مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي  هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة.
لتكن المعادلة الحدودية

حيث المعاملات أعداد صحيحة () وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر ().

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم  و q عدد صحيح يقسم معامل .
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال .

البرهان 
نعرف كثيرة الحدود  حيث  أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل  حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في  نحصل على

وبنقل  للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في  وأخذ  كعامل مشترك نصل إلى

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن  تقسم a0.
و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد  للطرف الآخر وبالضرب في  نصل إلى

و بالمثل نستنتج أن q تقسم an .

مثال 

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد 
± 
والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

مراجع

روابط خارجية 

 

خوارزميات إيجاد الجذور
مبرهنات في الجبر
متعددات الحدود