طوبولوجيا التمديد

في الطوبولوجيا، أحد فروع الرياضيات، تعد طوبولوجيا التمديد طوبولوجيا تركز على الاتحاد المنفصل لفضاء طوبولوجي ومجموعة أخرى.

وهناك أنواع مختلفة من طوبولوجيا التمديد، تم وصفها فيما يلي.

طوبولوجيا التمديد 

افترض أن X فضاءً طوبولوجيًا وP مجموعة منفصلة عن X. ادرس X ∪ P الطوبولوجيا التي مجموعاتها المفتوحة بصيغة: A ∪ Q، حيث A مجموعة مفتوحة من X وQ مجموعة جزئية من P.

لاحظ أن المجموعات المغلقة من X ∪ P تتخذ الصيغة: B ∪ Q، حيث B مجموعة مغلقة من X وQ مجموعة جزئية من P.

لهذه الأسباب، يسمى هذا النوع من الطوبولوجيا طوبولوجيا التمديد من X بالإضافة إلى P، التي يمكن من خلالها أن نمد إلى X ∪ P المجموعات المفتوحة والمغلقة من X. لاحظ أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي من X كمجموعة جزئية من X ∪ P هي الطوبولوجيا الأصلية من X، بينما طوبولوجيا الفضاء الفرعي من P كمجموعة جزئية من X ∪ P هي الطوبولوجيا المتقطعة.

مع اعتبار Y فضاءً طوبولوجيًا و R مجموعة جزئية من Y، فقد يتم السؤال عما إذا كانت طوبولوجيا التمديد من Y - R بالإضافة لـ R هي نفسها كالطوبولوجيا الأصلية من Y، ولكن تكون الإجابة «لا» في العموم.

لاحظ التشابه بين هذه البنية من طوبولوجيا التمديد وتمديد أليكسندروف، التي فيها يكون الفضاء الطوبولوجي X المراد ضغطه (رصه) بإضافة النقطة ∞ إلى اللانهاية، وتعتبر المجموعات المغلقة من X ∪ {∞} هي مجموعات بالصيغة: K، حيث K مجموعة مضغوطة (متراصة) مغلقة من X، أو B ∪ {∞}، حيث B مجموعة مغلقة من X.

طوبولوجيا التمديد المفتوح 

افترض أن X فضاء طوبولوجي وP مجموعة منفصلة عن X. وانظر بعين الدراسة إلى X ∪ P الطوبولوجيا التي مجموعاتها المفتوحة بصيغة: X ∪ Q، حيث Q مجموعة جزئية من P، أو A، حيث A مجموعة مفتوحة من X.

لهذه الأسباب يسمى هذا النوع من الطوبولوجيا طوبولوجيا التمديد المفتوح من X بالإضافة إلى P، التي يمكن من خلالها أن نمد إلى X ∪ P المجموعات المفتوحة من X. لاحظ أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي من X كمجموعة جزئية من X ∪ P هي الطوبولوجيا الأصلية من X، بينما طوبولوجيا الفضاء الفرعي من P كمجموعة جزئية من X ∪ P هي الطوبولوجيا المتقطعة.

لاحظ أن المجموعات المغلقة من X ∪ P تتخذ الصيغة: Q، حيث Q مجموعة جزئية من P، أو B ∪ P، حيث B مجموعة مغلقة من X.

مع اعتبار Y فضاءً طوبولوجيًا و R مجموعة جزئية من Y، فقد يتم السؤال عما إذا كانت طوبولوجيا التمديد من Y - R بالإضافة لـ R هي نفسها كالطوبولوجيا الأصلية من Y، ولكن تكون الإجابة «لا» في العموم.

لاحظ أن طوبولوجيا التمديد المفتوح من X ∪ P تكون أصغر من طوبولوجيا التمديد من X ∪ P.

مع اعتبار Z مجموعة وp نقطة في Z، يمكن الحصول على بنية الطوبولوجيا الاستبعادية باعتبار الطوبولوجيا المتقطعة تكون في Z وتطبيق بنية طوبولوجيا التمديد المفتوح على Z - {p}، بالإضافة إلى p.

طوبولوجيا التمديد المغلق 

افترض أن X فضاء طوبولوجي وP مجموعة منفصلة عن X. وانظر بعين الدراسة إلى X ∪ P الطوبولوجيا التي مجموعاتها المغلقة بصيغة : X ∪ Q، حيث Q مجموعة فرعية من P، أو B، حيث B مجموعة مغلقة من X.

لهذه الأسباب يسمى هذا النوع من الطوبولوجيا طوبولوجيا التمديد المغلق من X بالإضافة إلى P، التي يمكن من خلالها أن نمد إلى X ∪ P المجموعات المغلقة من X. لاحظ أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي من X كمجموعة جزئية من X ∪ P هي الطوبولوجيا الأصلية من X، بينما طوبولوجيا الفضاء الفرعي من P كمجموعة جزئية من X ∪ P هي الطوبولوجيا المتقطعة.

لاحظ أن المجموعات المفتوحة من X ∪ P تتخذ الصيغة: Q، حيث Q مجموعة جزئية من P، أو A ∪ P، حيث A مجموعة مفتوحة من X.

مع اعتبار Y فضاءً طوبولوجيًا و R مجموعة جزئية من Y، فقد يتم السؤال عما إذا كانت طوبولوجيا التمديد من Y - R بالإضافة لـ R هي نفسها كالطوبولوجيا الأصلية من Y، ولكن تكون الإجابة «لا» في العموم.

لاحظ أن طوبولوجيا التمديد المغلق من X ∪P  تكون أصغر من طوبولوجيا التمديد من X ∪P .

مع اعتبار Z مجموعة وp نقطة في Z، يمكن الحصول على بنية الطوبولوجيا التضمينية باعتبار الطوبولوجيا المتقطعة تكون في Z وتطبيق بنية طوبولوجيا التمديد المغلق على Z - {p}، بالإضافة إلى p.

المراجع 

 

طوبولوجيا
فضاءات طوبولوجية