اختبار المشتقة الثانية

في علم التفاضل، يعد اختبار المشتقة الثانية معيار ذا أهمية لمعرفة نوع النقطة الساكنة للدالة (عظمى، صغرى أم انقلاب) عند النقطة المعنية.
ينص الفحص على أنه: إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة ساكنة xبمعنى أنه 
, فإن:

 إذا كانت  فإن  لها نهاية عظمى محلية عند .
 إذا كانت  فإن  لها نهاية صغرى محلية .
 إذا كانت ,لاينص اختبار المشتقة الثانية على شيء عن النقطة , يمكن أن تكون نقطة انقلاب.

في الحالة الأخيرة، بالرغم من أن الدالة قد يكون لها قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية عند x, لأن الدالة «مسطحة» بما يكفي (أي أن ) القيم العظمى والصغرىتظل غير محسوسة بالاشتقاق الثاني. في حالة كهذه يفضل اختبار المشتقة الثالثة. النقطة عند  تكون نقطة انقلاب إذا تغير تقعرها من أي من الجانبين. عل سبيل المثال, (0,0) هي نقطة انقلاب على  لأن , و و.

مبرهنة اختبار المشتقة الثانية 
لنفرض أن  (إثبات أن  متصلة). حينئذ

بالتالي، من أجلh صغيرة بما يكفي نحصل على

ما يعني أن
 إذا كانت h < 0, و
 إذا كانت h > 0.

الآن، من اختبار المشتقة الأولى نعلم أن  لها نقطة محلية صغرى عند .

انظر أيضا 
 الاشتقاق
 النقاط العظمى والصغرى
 نقطة انقلاب

المصادر 

حساب تفاضلي