برهان صيغة جداء أويلر بالنسبة لدالة زيتا لريمان



صيغة جداء أويلر

برهان صيغة جداء أويلر
فيما يلي برهان هاته الصيغة :

دعونا نحسب الجداء التالي :

نلاحظ أن 2 و مضاعفاته قد اختفوا من الجانب الأيمن من الصيغة. سنقوم بأضافة 3 للمعادلة مما يعطي ما يلي:

بإضافة جميع الأعداد الأولية، نحصل على النتيجة. و هذه الطريقة تذكر بغربال إراتوستينس

حالة s=1 
يمكن إيجاد نتيجة مهمة بالنسبة إلى (ζ(1:

والتي يمكن أن تكتب أيضا على الشكل التالي:

مما يؤدي إلى : 

بما أن:

إذن،

علما أن الحد الموجود في المعادلة أعلاه يتباعد إلى ما لا نهاية له، فإن, بسط الد الموجود في يمين المعادلة يتباعد أيضا إلى ما لا نهاية له. هذا يثبت أن عدد ألاعداد الأولية غير منته.

برهان آخر

مراجع 

زيتا والدوال اللامية
ليونهارت أويلر
مقالات تحوي براهين رياضية