صيغة فاولهابر

في الرياضيات، صيغة فاولابر، المسماة على اسم جوهان فاولابر، تعبر عن مجموع قوى الأعداد الطبيعية n الأولى من الدرجة p:

بأنه متعددة للحدود متغيرها  n، ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي.

أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هُن:

حيث  بدلا من 

ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا، بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع).

تنص الصيغة أن

 (المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1).

لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس فرديا، فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة.
اشتقاق صيغة فاولابر متوفر في كتاب الأرقام (The Book of Numbers) لـجون هورتون كونوي ورتشارد غاي.

أمثلة

علاقتها بكثيرة حدود بيرنولي 

يمكن أيضا كتابة

حيثφj هي متعدد حدود بيرنولي حتى الحد j.

الشكل الظلالي 

في التفاضل الظلالي التقليدي يتم معاملة 'j العوامل في تعاقب أو سلسلة Bj على أنها قوى، حتى نستطيع في هذه الحال تطبيق نظرية ذات الحدين ونقول:

في الشكل الحديث للتفاضل الظلالي، يتم اعتبار الشكل الخطي T على الفضاء الشعاعي لمتعدادت حدود (كثيرات حدود) في متغير b معطى بالعلاقة

ويمكن القول حينئذ

 كثيرات حدود فاولابر 

يستخدم المصطلح «كثيرات حدود فاولابر» من قبل بعض المؤلفين للإشارة إلى شيء غير متسلسلة كثيرة الحدود المعطاة سابقا. لاحظ فاولابر أنه إذا كانت p فردية، فإن

هي دالة متعدد حدود في

وبشكل خاص

أولى هذه المتطابقات، للحالة p = 3, تعرف بنظرية ىيكوماتشو.
ويطلق بعض المؤلفين على كثيرات الحدود في الجانب الأيمن من هذه المطابقات اسم «كثيرات حدود فاولابر في a». كثيرات الحدود على الشق الأيمن تقبل القسمة على a 2 لأنه في حالة كانت j > 1 فردية، يكون عدد برنولي،Bj هو 0.

العلاقة بدالة زيتا لريمان
باستعمال ، قد يكتب 

If we consider the generating function  in the large  limit for , then we find

Heuristically, this suggests that 

هذه النتيجة لا تتعارض مع قيم دالة زيتا لريمان  for negative integers  on appropriately analytically continuing .

 مراجع 

 وصلات خارجية 
 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, إيريك ويستاين، Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-347-2, page 2331
 
 "Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae'', Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631.

فروق منتهية
نظرية الأعداد