دالة بيتا

في الرياضيات، دالة بيتا ، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

لكل 

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص 
تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:
 

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما 
لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

 
من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية.
ومن ثم،

المشتقات 
تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

حيث  هي دالة ثنائي غاما

التكاملات 
يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب 
يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

دالة بيتا غير الكاملة 
تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

خصائصها

حساب دالة بيتا

انظر أيضا 
 توزيع بيتا
 دالة غاما
 توزيع احتمالي ثنائي

المراجع 

 
 M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)

وصلات خارجية 

 
 Arbitrarily accurate values can be obtained from:
 The Wolfram Functions Site: Evaluate Beta Regularized Incomplete beta
 danielsoper.com: Incomplete Beta Function Calculator, Regularized Incomplete Beta Function Calculator

غاما والدوال المتعلقة بها