معادلات كوشي-ريمان

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية  في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

 
و

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد 

افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من , والتي ممكن اعتبارها دالة من  إلى ، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

 إذا كانت الدالة  قابلة للاشتقاق عند النقطة ، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة  وتحقق معادلات كوشي -ريمان.

مثال 
افترض أن الدالة  ، حيث ، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة 
 

فيكون الجزء الحقيقي هو:  حيث 

والجزء التخيلي هو:  حيث 

ومشتقاتهم الجزئية هي:

.
.
ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:
.
.

مراجع 

دوال توافقية
أوغستين لوي كوشي
برنارد ريمان
تحليل مركب
معادلات
معادلات تفاضلية جزئية