قائمة المتطابقات المثلثية

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.

ملاحظات 
 لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

علاقات أساسية 

<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى. 
! الدالة
! 
! 
! 
! 
! 
! 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| | 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|}

التطابق، والإزاحة والدورية 
من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق 
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

الإزاحة والدورية

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

شكل المصفوفة

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

ظلال مجاميع حدود محدودة 

 

مثال:

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة 

 

مثلا,

صيغ الزوايا المتعددة

صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا 

أنظر أيضا:

صيغ ضعف زاوية

صيغ ثلاثة أضعاف زاوية

صيغ نصف زاوية 

حيث  و  هي دالة الجزء الصحيح.

 

 

 

 

 

أيضا:

جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة

ظل المتوسط

جداء Viète اللانهائي 

 

حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري
وهي تكافئ

صيغ اختصار الأس

متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس

متطابقات أخرى ذات صلة 

إذا كانت  تساوي نصف دائرة، فإن:

و

مبرهنة بطليموس 

إذا كانت  تساوي نصف دائرة، فإن:

مركبات خطية 

حيث:

أو:

حيث:

و:

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

تحويلات كسرية خطية معينة 

 

وبالمثل: 

وعليه:

الدوال المثلثية العكسية

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

علاقة بالأس المركب 

 (صيغة أويلر),

 

 

 

حيث .

صيغ الجداء اللانهائي

المتطابقات الخالية من المتغيرات

حساب π

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

قيم أخرى شيقة 

بـالنسبة الذهبية φ:

التفاضل والتكامل 
في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا
بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

محققة باستخدام هذه المتطابقة . بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن  و . إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

تعاريف أسية

متفرقات

نواة ديراك

تعويض ظل نصف الزاوية 

إذا وضعنا  :

  و  و  .

انظر أيضًا 

إثبات المتطابقات المثلثية

مراجع 

تحليل حقيقي
دوال مثلثية
علم المثلثات
قوائم متعلقة بالرياضيات
مطابقات رياضية