مبرهنة الفردية

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثبات 
في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

حيث

 هو الجهد الكهربائي .

 هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما  و  , و  هو الفرق بين قيمة الحلين  .

وبما أن  و  تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها  .

وباستخدام التعريف

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

حيث

 هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

 و 

إذا

 يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون  .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

 
بشرط أن يكون :

  معرفة على كل حدود السطح، وتكون  , وبالتالي تصبح  . 
  معرفة على كل حدود السطح، وتكون  , وبالتالي تصبح  .
 أن تحقق  قانون جاوس

مراجع

انظر أيضا

 معادلة بواسون
 قانون جاوس
 قانون كولوم
 توافقات كروية
 سيمنز (وحدة) 
 مطاوعة كهربائية

حساب المتجهات
كهرباء ساكنة
مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل