نهاية دالة

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.
تعتبر نهاية أو غاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:
 للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.
نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ 
انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات 
يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان
لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة
|ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن , النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل  يوجد على الأقل نقطة واحدة  حيث.
.

لتكن , و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد  بحيث إذا كانت  و  إذاً .

العلاقة بالإستمرارية (الإتصال) 
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.

خصائص

قاعدة التسلسل 
, و
 غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد  حيث إذا توفر  فإن ).

قاعدة لوبيتال

الجمع والتكامل 

نظرية

العدد  هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  في A بحيث  و  .

 مثال:

الفترة المفتوحة كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ.
النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ  لكنها لا تنتمي إلى
 . كل النقاط في  هي نقاط تراكم ل 

 المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
 المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:

إذا أعطي  جوار لـL
  يوجد جوار لـ c 
  بحيث x≠c هي أي نقطة في  إذاً

أمثلة 

1) 

الحل

أفترض f(x)=b, لكل, نريد إثبات أن 
، وإذا كان , نفترض .

(في الحقيقة في أي  موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),

إذا  , ((الواحد تعويض عن ))
لدينا  وبما أن أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية
أن 

2)  

الحل:

لتكن g(x)=x , لكل  , إذا كان نختار  إذاًو إذا كانت
 , يكون لدينا , بما أن , نستنتج أن 
مما يعني أن

نظرية [معيار المتتابعة 

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L
 

2/ لكل متتابعة  في A تتقارب إلى c بحيث  لكل  , المتتابعه
  تتقارب إلى L

معيار التباعد 

لنفرض أن  ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت  ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  في A و لكل  بحيث المتتابعة  تتقارب إلى c لكن المتتابعة
  لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  في A و
  لكل  بحيث المتتابعة  تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
 
 ليست تقاربية في R

أمثلة 

1/  غير موجودة

الحل

نفرض أن  إذا كانت x>0 سنعتبر c=0
إذا أخذنا المتتابعة لـ حيث  ,
 هذا سيؤدي إلى أن  لكن
 وكما نعلم أن المتتابعة
 ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن  غير موجودة.

انظر أيضًا 
 نهاية متتالية،
 قاعدة لوبيتال.

مراجع 

دوال
نهايات (رياضيات)