مسألة مونتي هول

مسألة مونتي هول  هي لغز احتمالات ظهرت في البرنامج التلفزيوني الأمريكي للألعاب دعونا نعقد صفقة . أتى اسم هذه المسألة من اسم المضيف مونتي هول. هذه المسألة تسمى أيضًا مفارقة مونتي هول . فبما أنها مفارقة حقيقية فإن طريقة حلها غير قابلة للتوقُع.

نشر التعبير المشهور لهذه المسألة في مجلة باريد:

فبما أن اللاعب لا يعرف ما وراء تلك الأبواب، ولا يعرف ما هو باب الفوز من البابين المتبقيين، سيفترض أكثر الناس بأن لدى كل باب نفس عدد الاحتمالات، وبالتالي سيعتقد بأن تغيير اختياره المبدئي لن يفيده مطلقاً. في الحقيقة، من المفترض على اللاعب أن يغير اختياره، لأن بفعله ذلك سيضاعف احتمالية فوزه بالسيارة من 1/3 إلى 2/3.

فبمعنى أبسط، يكون لدى اللاعب احتمال مقداره 2/3 لاختيار الماعز. فاللاعب الذي يختار وأصر على اختياره بدون تغيير، سيكون لديه فرصة مقدارها 1/3 للفوز بالسيارة. أما اللاعبون الذي يغيرون اختيارهم فسيحصلون على عكس ما يتوقعونه، سيكون لديهم فرصة مقدارها 2/3 للفوز بالسيارة.

عندما ظهرت المسألة وحلها في مجلة باريد كتب ما يقارب من 10,000 قارئ - ومن ضمنهم قرابة 1,000 شخص من حملة شهادات الدكتوراة - إلى المجلة مدعين بأن الحل المنشور في المجلة هو حل خاطئ. كان سبب بعض ذلك الجدال هو أن نسخة المسألة التي كانت موجودة في مجلة باريد غامضة فنياً. بالإضافة إلى أنها لم تذكر بعض الجوانب التي يسلكها المضيف، فمثلاُ ما إذا كان على المضيف أن يفتح الباب أو عليه أن يقدم عرضًا لتغيير الاختيار. نسخ مختلفة من هذه المسألة التي تنطوي على هذه الافتراضات وبعض الافتراضات الأخرى - مثل أن يختار المضيف السيارة بدلاً من الماعز - تمت مناقشتها في بعض الأدبيات الرياضياتية.

إن مسألة مونتي هول المعيارية هي مكافئة رياضياتية لمسألة السجناء الثلاثة. كلتا هاتين المسألتين تكافئان مسألةً أكثر قدمًا وهي مفارقة صندوق بيرتراند. إن هذه المسائل، وبعض المسائل الأخرى التي تنطوي على توزيع غير متساوي من الاحتمالات، مشهورة بصعوبتها على الناس العامة في أن يتوصلوا إلى حلها بشكل صحيح. تمت العديد من الدراسات النفسية حول هذه المسائل، فأعطي حل مسألة مونتي هول وتفسيراتها ومحاكياتها وبراهينها الرياضياتية الرسمية للعديد من الناس، وكانت النتيجة إن العديد منهم يختارون جوابهم الصحيح بعدم ثقة.

المسألة 
كتب ستيف سيلفين رسالة إلى أمريكان ستاتيستيشين  في عام 1975 يصف فيها أن المسألة تعتمد بشكل مطلق على برنامج الألعاب «دعونا نعقد صفقة Selvin 1975a». ثم أطلق على هذا المسألة في رسالة لاحقة اسم «مسألة مونتي هول» (Selvin 1975b). المسألة هي مكافئة رياضياتية (Morgan et al., 1991) لمسألة السجناء الثلاثة التي وُصِفَت في عمود الألعاب الرياضياتية لمارتن غاردنر في ساينتفك أمريكان في 1959 (Gardner 1959a).

أُعيدت صياغة مسألة مونتي هول إلى شكلها المشهور بواسطة سيلفين في رسالة إلى عمود أسأل مارلين  لمارلين فوس سافانت في مجلة باريد:

هناك بعض الغموض في صياغة هذه المسألة: فهي لم توضح فيما إذا كان على المضيف دائماً أ يفتح باباً آخر أو لا، أو هل عليه دائماً أن يعرض الفرصة للاعب للقيام بالتغيير، أو هل يمكن للمضيف فتح الباب الذي يوجد وراءه السيارة أو لا (Mueser and Granberg 1999). يفترض التحليل المعياري لهذه المسألة بأن المضيف دائماً مقيد بفتح الباب الذي وراءه الماعز، وهو مجبر أيضاً بالعرض على اللاعب فرصة لتغيير أختياره، ويُجبر أيضاً بفتح واحد من البابين المتبقيين بشكل عشوائي إذا اختار اللاعب الباب الذي وراءه السيارة (Barbeau 2000:87). ولذلك سيكون التعبير الأكثر دقةً للمسألة هو كالتالي:

لاحظ بأن اللاعب قدً يختار مبدئياً أيا من الأبواب الثلاثة (ليس فقط الباب ذا الرقم 1)، ولاحظ بأن المضيف سيفتح لك باباً آخر كاشفاً لك الماعز (ليس بالضرورة بأن يكون الباب ذا الرقم 3)، ولاحظ بأنه سيعطي للاعب فرصة ثانية بين البابين المفتوحين المتبقيين. فمهما أختلفت أرقام الأبواب، فهي ستؤدي في النهاية إلى نفس النتيجة.

الحل الشعبي 
توضع السيارة والماعزتين خلف الأبواب الثلاثة، بحيث يوضع السيارة بشكل عشوائي خلف أحد الأبواب وتوزع الماعزتين خلف البابين المتبقيين، ثم يختار اللاعب أحد الأبواب مبدئياً. في التحليل الشعبي، يكون أرقام الأبواب غير مأخوذة في عين الاعتبار؛ حيث لدى اللاعب، الذي قد اختار إحدى هذه الأبواب، 1/3 فرصة لربح السيارة، ولديه أيضاً 1/3 فرصة للفوز لكل ماعز. من المفترض بأنه إذا فتح المضيف أحد الأبواب المتبقية لكشف الماعز، فلن يكون هناك أي معلومة جديدة حول ما وراء الباب الذي قد أختاره اللاعب، لأن «البايزية السليمة»  ترى ان احتمالية كون السيارة خلف الباب الذي اختاره هي 1/3، لكن تكون احتمالية العثور على السيارة خلف الباب المتبقي هو 2/3. لذلك إذا غير اللاعب اختياره ستكون فرصة فوزه بالسيارة عالية مع فرصة مقدارها 2/3. لذلك على اللاعب دائماً أن يقوم بتغيير الباب الذي اختاره مسبقاً (Wheeler 1991; Mack 1992; Schwager 1994; vos Savant 1996:8).

انتقادات للحل التقليدي 
الأساليب الموجودة في الأعلى تنطبق على جميع اللاعبين في بداية اللعبة بغض النظر عن أي باب سيختاره المضيف، وعلى وجه التحديد، قبل أن يفتح المضيف الباب ويعطي للاعب الخيار بتغيير اختياره (Morgan et al. 1991). هذا يعني أنه لو اختار عدد كبير من اللاعبين الأبواب عشوائياً وخُيّر لهم بإما الإبقاء على إختيراهم أو تغييرها، فسيكون هناك قرابة 1/3 منهم سيختارون البقاء على أختيارهم المبدئي و 2/3 منهم سيختارون التغيير للفوز بالسيارة. تم التحقق من هذه النتيجة تجريبياً وذلك باستعمال الحواسيب وتقنيات المحاكاة الأخرى (أنظر المحاكاة في الأسفل). ومع ذلك، ينتقد بعض الإحصائيين هذا الحل لأن هذا الجواب يكون خاطئاً للمسألة التي تم ذكرها في الأعلى، بالإضافة إلى أنها لا تُفيَم احتمال اللاعب بالفوز بالتغيير في ضوء المعلومات الإضافية التي أُعطيت من الباب الذي فتحه المضيف كاشفاً الماعز. فعلى سبيل المثال وكما ذُكر في المسألة، إذا أختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 والمضيف فتح الباب ذو الرقم 3؛ فمن المحتمل أن يقدم الباب الذي فتحه المضيف معلوماتاً أكثر للاعب عن احتمالية كون السيارة خلف الباب الذي أختاره اللاعب أصلاً، هذا إذا كان لدى اللاعب نموذج احتمالي لكيفية اختيار المضيف للأبواب عندما يختار اللاعب الباب الذي وراءه السيارة.

تحت تأثير بعض المجموعات من الافتراضات في اللعبة، التي من ضمنها اختيار المضيف عشوائياً بين البابين المتبقيين بنسب احتمالية متساوية، فلن يحصل المتسابق على أي معلومات جديدة التي تجعله يفوز باحتمال 1/3 بالبقاء على الأختيار المبدئي (Granberg 1996)، وبالتالي ينطبق هذا الحل أيضاً بشكل صحيح على القرارات وعلى احتمالات الفوز بعد أن يفتح المضيف الباب الذي وراءه ماعز. وكذلك، إذا كانت الشروط أكثر عمومية، إياُ كانت، فسوف نحتاج أيضاً إلى حلول أكثر عمومية (Morgan et al. 1991).

الحل الشرطي 
الحل الشعبي الذي ذُكر في الأعلى يقول بأن احتمال الفوز لأي لاعب يقوم بتغيير اختياره المبدئي إلى اختيار آخر هو 2/3، ولكن هذا لا يعني بالضرورة بأن يكون احتمالية الفوز بالتغيير هي 2/3 دائماً فهذه الاحتمالية تعتمد على الباب الذي سيفتحه المضيف. هذه الاحتمالية هي نوع من الاحتمالات الشرطية (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137). فالاختلاف موجود فقط في التحليل المذكور في الأعلى، فيما إذا كان التحليل يأخذ جميع السيناريوهات بعين الاعتبار أو فقط السيناريوهات التي يفتح فيها المضيف باباً محدداً. أو بتعبير مختلف، هل يأخذ التحليل بعين الاعتبار الوقت الذي يقوم فيه اللاعب بتغيير اختياره، أي قبل أن يفتح المضيف الباب، أو أنه سيقرر بعد رؤية الباب الذي سيفتحه المضيف (Gillman 1992). الاحتمال الشرطي قد يختلف عن الاحتمال الإجمالي وذلك اعتماداً على الصيغة الدقيقة للمسألة.

الاحتمالات الشرطية للفوز يمكن أن تُعرف وذلك اعتماداً على أي باب سيفتحه المضيف، فالشكل الموسع الموجود أدناه أو المخطط الشجري الموجود في اليسار يمكن أن تبين احتمالات الفوز والقرارات المتكافئة (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138). فعلى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3 وغير اللاعب اختياره، فإن اللاعب سيفوز باحتمالية إجمالية مقدارها 1/3 إذا كانت السيارة خلف الباب ذو الرقم 2 وسيخسر باحتمالية إجمالية مقدارها 1/6 إذا كانت السيارة موجودة خلف الباب ذو الرقم 1 —هذا الشرح سيكون خاطئاً إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 2-. لكي نقوم بتحويلها إلى احتمالات شرطية، علينا أن نقوم بتقسيمها على مجموعها، وبالتالي يكون الاحتمال الشرطي للفوز بالتغير عندما يختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 وعندما يفتح المضيف الباب ذو الرقم 3 هي (1/3)/(1/3 + 1/6)، التي تساوي 2/3. هذا التحليل يعتمد على تقييد المضيف الذي ذُكر في حالة المسألة الواضحة عندما يختار اللاعب السيارة مبدئياً، ويضظر فيها بأن يختار أي باب عشوائياً ليقوم بفتحه.

لقد عرض مورغان وآخرون (1991) وجيلمان (1992) حل أكثر عموماً وذلك عندما يكون فيه المضيف غير مقيد بالاختيار عشوائياً إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً، وقاما يتفسير واضح لللتعبير المشهور للمسألة التي ذُكرت في مجلة باريد. ففيها يعبران عن السيناريو الذي سيختار فيه المضيف الباب الذي يحب عليه أن يفتحه، ورمزا الأفضلية بالاحتمال q، التي تمتلك قيمة بين 0 و 1. إذا اختار المضيف عشوائياً فأن q سيكون بمقدار 1/2 ويكون احتمالية الفوز بالتغيير هو 2/3 بغض النظر عن أي باب سيفتحه المضيف. وإذا اختار اللاعب الباب ذو الرقم 1 فإن أفضلية المضيف للباب 3 هي q، إذاً، في حالة فتح المضيف للباب ذو الرقم 3 سيكون الاحتمال الإجمالي للفوز بالتغيير هو 1/3 هذا إذا كانت السيارة خلف الباب ذو الرقم 2، ويكون الاحتمال الإجمالي للخسارة هو (1/3)q عندما تكون السيارة خلف الباب ذو الرقم 1. إن الاحتمال الشرطي للفوز بالتغيير الذي يختار فيه المضيف الباب ذو الرقم 3 هو (1/3)/(1/3 + (1/3)q) التي تُبسط إلى 1/(1+q). حيث يكون q متراوحة بين 0 و 1 وبالتالي يتراوح الاحتمال الشرطي هنا بين 1/2 و 1. هذا يعني أنه حتى ولو لم نقم بتقييد المضيف بالاختبار العشوائي إذا أختار اللاعب مبدئياً السيارة، فإن اللاعب ليس أسوأ حالاً عندما يقوم بالتغيير.

مصادر الارتباك 
عندما عرضت مسألة مونتي هول لأول مرة كانت الأغلبية الساحقة من الناس قد افترضت بأن لدى كل باب احتمال متساوي والنتيجة هي أن تغيير اختيارهم الأولي لا يؤثر على النتيجة (Mueser and Granberg, 1999). في إحدى الدراسات، تم اختبار 228 شخص في هذه المسألة، وكانت النتيجة هي أن 13% منهم فقط قد قرروا بتغيير اختيارهم المبدئي إلى خيار آخر (Granberg and Brown, 1995:713). اقتبست فوس سافانت في كتابها قوة التفكير المنطقي ، (في 1996:15) ما قاله عالم النفس الإدراكي ماسيمو بياتيللي-بالماريني «... بأنه لا يوجد هناك لغز إحصائي آخر يقترب كل ذلك القرب من خداع جميع الناس طوال ذلك الوقت» و«حتى إن فيزيائيين الذين حصلوا على جائزة نوبل يعطون الإجابة الخاطئة بشكل نظامي، وهم أيضاً يصرون عليها، ويكونون مستعدين أيضاً لجميع أنواع التوبيخ التي سيتلقونها في مطبوعات أولئك الذين يقترحون الجواب الصحيح.»

كما إن أكثر تعابير هذه المسألة، وخصوصاً تلك التعبير التي ذُكرت في مجلة باريد، لا تتطابق مع قوانين برنامج الألعاب الحقيقي (Krauss and Wang, 2003:9)، ولا توصف سلوك المضيف بشكل كامل، حتى أنها لم تذكر بأن موقع السيارة عشوائي (Granberg and Brown, 1995:712). توقع كلاً من كراوس ووانغ (2003:10) بأن الناس يقومون بافتراضات معيارية وحتى وإن لم يذكروها صراحةً. فبالرغم من أن هذه القضايا لها أهمية رياضياتية كبيرة، إلا أنه حتى ولو تحكمنا بتلك العوامل فسيبقى تقريباًً كل الناس يعتقدون بأن لكل باب غير مفتوح له احتمال متساوي، ويكون اختيارهم هو أن التغيير لا يؤثر على النتيجة (Mueser and Granberg, 1999). إن افتراض «الاحتمالات المتساوية» لها جذور بديهية (Falk 1992:202). يميل الكثير من الناس بقوة بان الاحتمالات موزعة بالتساوي سواءً كانت تلك الأبواب مجهولة أو كانت معلومة (Fox and Levav, 2004:637).

إن هذا النوع من الحدسيات لها جذور عميقة في البديهيات التي نحدث في مسابقة مسألة مونتي هول، والتي هي عبارة عن الاعتقاد بإن المعلومات التي تظهر في إثناء المسابقة لن تقوم بتغيير قيم الاحتمالات المعروفة مسبقاً (Falk 1992:207). لذلك يكون هذا الحدس هو الأساس لوجود هذه المسألة التي تقوم بإثبات بأن المضيف إذا فتح باباً فلن يعتقد اللاعب بأن الاحتمال 1/3 سيتغير. إذا تم ذكر المسألة بشكل كامل، فإن هذا الافتراض الخاطيء سيقود إلى الجواب الصحيح عددياً، فمثلاُ هناك فرصة مقدارها 2/3 للفوز بالسيارة عن طريق التغيير، لكنها تقود إلى نفس الحل إذا أُعطيت متغيرات أكثر حيث يكون خيار التغيير جواباً غير صحيح (Falk 1992:207).

إن المصدر الآخر للارتباك هو سؤال الصياغة المعتادة للتعبير هذه المسألة عن الاحتمال الشرطي للفوز، مع معرفة أي باب سيفتحه المضيف، بدلاً من أن تسأل عن الاحتمال الإجمالي أو اللاشرطي. هذه المسائل تكون مختلفة رياضياتياً ويمكن أن تكون لها أجوبة مختلفة اعتماداً على كيفية اختيار المضيف لأي باب سيقوم بفتحه إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً (Morgan et al., 1991; Gillman 1992). فعلى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذو الرقم 3 -أياً كان الباب الذي سيختاره اللاعب- فسيكون احتمال الفوز بالتغيير للاعب الذي يختار الباب ذو الرقم 1 مبدئياً هو 2/3 إجمالياً، ولكنها ستصبح 1/2 إذا اختار اللاعب الباب ذو الرقم 3. لم تحدد صيغة هذه المسألة المعتادة كل هذه التفاصيل لسلوك المضيف، جاعلةً الإجابة هي أن الفوز بالسيارة عن طريق التغيير هي 2/3 دون أي مبرر رياضياتي. تعالج العديد من الحلول الشائعة التي تمت اقتراحتها مسبقاُ الاحتمال اللاشرطي، متجاهلةُ الباب الذي سيفتحه المضيف؛ لكن مورغان وآخرون سموا هذه الحلول «بالحلول الخاطئة» (1991).

مساعدات للفهم

لماذا لا يكون الاحتمال هو 1/2 
إن أكثر الاعتراضات الصوتية شيوعاً لهذا الحل هي تلك الاعتراضات التي تقول بأنه علينا تجاهل الماضي عندما نقوم بتقييم الاحتمالات—حيث أنه لا يوجد هناك أي علاقة بين الباب الذي أختاره اللاعب مبدئياً أو الباب الذي سيفتحه المضيف بقيم الاحتمالات. على أية حال، في المسألة الأصلية، الاختيار المبدئي لللاعب سيقوم بتأثير كبير على قيم الاحتمالات التي يقدمها المضيف للاعب.

هذه الاختلافات ظهرت بسبب وجود التناقض الحاصل بين المسألة الأصلية والنسخ الأخرى لها الموجودة في عمود فوس سافانت في نوفمبر 2006. في أحد النسخ التي قدمتها فوس سافانت، ينسى مونتي هول أي باب يكون وراءه السيارة. فيقوم بفتح إحدى الأبواب عشوائياً وسيسعد عندما ينكشف الماعز. ورداً على السؤال ما إذا كان ينبغي على المتسابق بأن يغير اختياره المبدئي، ردت فوس سافانت بشكل صحيح، قائلةً بأنه "إذا كان المضيف جاهلاً عما وراء الأبواب، فلن يكون هناك أي اختلاف سواءً أبقى على اختياره أو قام بالتغيير. أما إذا كان يعلم، فلن يكون هناك أي اختلاف عند التغيير (vos Savant, 2006).

في هذه النسخة من اللغز، يكون لدى اللاعب فرص متساوية للفوز سواءً أقام بالتغيير أو لا. فلنفترض بأن اللاعب اختار الباب ذو الرقم 1، فسيكون هناك ستة نتائج محتملة يمكن لها أن تحدث، كل واحدة منها لها احتمال مقداره 1/6:

كما هو موضح في الجدول الموجود أعلاه، هناك حالتين فقط يكشف فيها المضيف عن السيارة، وما يحدث في هاتين الحالتين لا زال مجهولاً —ربما يفوز المتسابق مباشرةً أو قد يخسر. على أية حال، المسألة الأصلية تقول بأنه يجب على المضيف أن يكشف الماعز، لذلك سيكون هناك أربعة حالات فقط محتملة من أصل ستة حالات، وهذه الاحتمالات تكون متساوية في المقدار. في حالتين من تلك الأربعة حالات، يؤدي التغيير إلى الفوز، وفي الحالتين الأخرتين، يؤدي التغيير إلى الخسارة. وعند البقاء على الاختيار المبدئي فأنها تعطي نفس قيم الاحتمالات: فالخسارة تحدث في حالتين والفوز تحدث في حالتين.

إن احتمالات اللاعب بالفوز تزداد إلى 2/3 في المسألة الأصلية لأن في الحالتين الموجودتين أعلاه حيث يكشف فيها المضيف عن السيارة لا تكون موجودة، لأنه مضطر إلى الكشف عن الماعز المتبقي بدلاً من أن يكشف عن السيارة. في الجدول أدناه، تم تسليط الضوء على تلك الحالتين:

هذا التغير في سلوك المضيف قد سبب في تضاعف احتمالية الفوز بالسيارة، فنسبة الاحتمال تتضاعف عندما تكون السيارة خلف «الباب الثالث» أو «الباب الثاني»، وسبب تضاعف احتمالية الفوز بالتغيير هو «معرفة المضيف» لمتغيرات المسألة.

زيادة عدد الأبواب 
قد يكون من الأسهل تقييم الحل بأخذ نفس المسألة لكن نجعل من عدد الأبواب مليوناً بدلاً من ثلاثة أبواب فقط (vos Savant 1990). ففي هذه الحالة سيكون هناك 999,999 باب وراءها مواعز وباب واحد سيكون خلفه الجائزة. اللاعب سيختار إحدى الأبواب. بعد ذلك سيفتح مضيف اللعبة 999,998 من الأبواب المتبقية كاشفاً 999,998 ماعز—تخيل المضيف يبدأ بفتح الباب الأول إلى الباب الأخير ذو الرقم 1,000,000، ويفتح كل واحد منها، متخطياً الباب الذي اختاره اللاعب والباب الآخر الذي يوجد وراءه الماعز. ثم يعرض المضيف على اللاعب الفرصة بالتغيير إلى الباب الغير مفتوح. على حسب الاحتمالات، سيكون هناك احتمال مقداره 999,999 من أصل 1,000,000 مرة يكون الجائزة وراء الباب المتبقي الغير مفتوح، كما أن هناك احتمال مقداره 999,999 من أصل 1,000,000 مرة يفوز فيه اللاعب بالماعز عند البقاء على اختياره المبدئي. اللاعب العقلاني سيقوم بالتغيير. بالحديث بديهياً، على اللاعب أن يسأل نفسه ما مدى حظه، من بين مليون باب، يختار فيها الباب الصحيح.

أقترح ستايبل وآخرون (2008) بأن مطلب الذاكرة العاملة تقوم بإجبار الناس عند اختبارهم في مسألة مونتي هول «بتهديم» اختياراتهم إلى اختيارين فقط لهما الاحتمالان متساويان. كما أنهم أقترحوا بأنه إذا تم زيادة عدد الاختيارات إلى ما فوق 7 اختيارات (7 أبواب) يميل الناس إلى التغيير أكثر من قبل، على أية حال لا يزال هناك البعض يبقون في اعتقادهم بأن هذا الجواب غير صحيح وإن احتمال الفوز ستتقسم إلى 50/50.

دمج الأبواب 

بدلاً من القيام باختيار إحدى الأبواب ليتبين لك لاحقاً بأنها تؤدي إلى الخسارة، فأنه من الممكن القيام بحركة مكافئة لها وهي دمج البابين الغير مختارين إلى باب واحد فقط. وبما أن اللاعب لا يستطيع، ولن يستطيع، اختيار الباب المفتوح، فستنتقل قيمة احتمال الباب المفتوح وتنجمع مع الباب المغلق التي تم دمجها معها (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel et al., 2008). وبالتالي سيكون لدى اللاعب الخيار إما أن يبقى على اختياره المبدئي للباب مع 1/3 احتمال للفوز بالسيارة، أو أنه يختيار البابين الآخرين المندمجتان اللتان لديهما 2/3 احتمال كما هو موجود في الصورة التوضيحية.

إن افتراضات اللعبة تلعب دوراً مهماً هنا—فالفوز بالتغيير يكافئ أخذ البايين المندمجين إذا وفقط إذا كان مضيف اللعبة يعرف ما وراء الأبواب، وأنه يضطر لفتح الباب الذي وراءه الماعز فقط، وأنه يختار بين البابين المتبقيين اللذان وراءهما ماعز بشكل عشوائي مع احتمالات متساوية.

الاختلاف الوحيد بين تبديل الباب الواحد ببابين مندمجين وبين تبديل باباً واحداً بباباً واحداً أخر هو أن المضيف سيفتح أحد البابين المندمجين حيث أن نسبة الاحتمال للباب المفتوح سينتقل للآخر، بينما إذا قام اللاعب بوضع كل باب على حدة فلن يكون هناك أي أفضلية له. فبفتح إحدى الأبواب سيعرض لنا جميع الأبواب التي يجب أن تكون خلفها السيارة، فتكون السيارة خلف إحداهما. على الأقل يجب أن يكون وراء إحدى البابين الغير مختارين الماعز، سيكون لدى المضيف احتمالات متساوية لفتح إحداهما إذا كان وراء كلا البابين الماعز، ففتح إحدى هذين البابين لن يعطي معلومات إضافية؛ وبمعنى آخر ففتح إحدى هذه الأبواب لن يغير احتمالية 2/3 في أن السيارة خلف إحدى تلك الأبواب (Devlin 2003).

المحاكاة 
هناك طريقة بسيطة لتوضيح أن إستراتيجية التغيير تؤدي إلى احتمال الفوز في المتوسط مرتين من أصل ثلاث مرات وذلك بمحاكاة اللعبة عن طريق أوراق اللعب (Gardner 1959b; vos Savant 1996:8). فلتُستعمل ثلاث أوراق من مجموعة عادية ونعتبرها ثلاثة أبواب؛ سنجعل من أحدها ورقة 'مميزة' مثل ورقة البستوني  ونعتبرها الباب الذي خلفه السيارة، ونجعل من الورقتين المتبقيتين ورقتان عاديتان، على سبيل المثال ورقتين حمراوتين، ولنعتبرها الأبواب التي خلفها الماعز.

هذه المحاكاة، وباستعمال الإجراء التالي، يمكن أن تُعاد عدة مرات لمحاكاة دورات عديدة من اللعبة. فبالنسبة 'للاعب' عليه أن يقوم باختيار إحدى البطاقات عشوائياً، لكي يعتبرها الباب الذي سيختاره اللاعب مبدئياً. بعد ذلك، يبقى بطاقتين مقلوبتين، يراهما المضيف ويجب أن يكون هناك بطاقة حمراء واحدة على الأقل، يسحب 'المضيف' البطاقة الحمراء. إذا كانت البطاقة المتبقية التي ليست في يد المضيف هي ورقة البستوني، فسيتم تسجيل هذا كدورة يفوز فيها اللاعب بالتغيير؛ أما إذا كان الورقة المتبقية في الطاولة هي البطاقة الحمراء الأخرى، فسيتم تسجيل هذا كدورة يفوز فيها اللاعب بالبقاء على اختياره المبدئي.

حسب قانون الأعداد الكبيرة، فمن المرجح أن هذه التجربة ستحدد تقريبياً احتمالات للفوز، فبإعادة هذه التجربة عدة مرات كافية فأنها لن تثبت فقط بأن اللاعب سيفوز بالتغيير مرتين من أصل ثلاثة مرات، بل أنها ترينا أيضاً سبب ذلك. بعد أن يختار اللاعب إحدى البطاقات التي سنعبر عنها كورقة الاختيار المبدئي، ستكون النتيجة محتمة مسبقاً حيث أن التغيير سيؤدي إلى الفوز بإحتمالاً كبير؛ وهي مرتين من أصل ثلاث مرات يكون فيها البستوني الورقة المختارة بالتغيير.

إذا لم يكن هذا مقنعاً، فيمكن أن تُعمل هذه المحاكاة على مجموعة أوراق كاملة، يختار فيها اللاعب إحدى البطاقات ويبقي 51 ورقة المتبقية (Gardner 1959b;Adams 1990). في هذا النسخة من المحاكاة تكون احتمالية اختيار المضيف لبطاقة البستوني هي 51 مرة من أصل 52، وسيبقى هذه الاحتمال في ازدياد كلما أزداد عدد البطاقات اللا-بستونية التي سيتم كشفها.

التبديل بعد الإزالة سيؤدي إلى تبديل الاحتمالات بين جسمين مختلفين 
هنالك طريقة آخرى لفهم المسألة وهي اعتبار أن تبديل الاختيار بعد الإزالة (أي إزالة فرص الخسارة) هي عبارة عن تبديل الاحتمال بين الجسم المختار مبدئياً والجسم المتبقي. بمعنى آخر إذا أُختير الماعز مبدئياً فاحتمال الفوز بها سينتقل إلى السيارة بعد إزا آلة الماعز الآخر والعكس صحيح. أي أن احتمال الفوز بالماعز هي الضعف قبل أن يقوم اللاعب بالإزالة وبقي على اختياره، وينتقل احتمال الفوز إلى السيارة بمقدار الضعف بعد أن تتم إزالة أحد الماعزين وقام اللاعب بتغيير اختياره المبدئي.

متغيرات أخرى للمسألة

سلوكيات أخرى للمضيف 
في بعض النسخ من مسألة مونتي هول، لا يُذكر فيها سلوك المضيف بشكل كامل. فعلى سبيل المثال، النسخة التي نُشرت في مجلة باريد في 1990 لم تذكر تحديداً بأن على المضيف دوماً القيام بفتح الباب الآخر، ولم تذكر بأن المضيف سيعرض الفرصة للتغيير دائماً، حتى أنها لم تذكر بأن المضيف لن يكشف السيارة أبداً. إن لم يتم تحديد هذه القواعد، فأن اللاعب لن يكون بمقدوره الاستنتاج بأن لديه احتمال الثلثين للفوز بالسيارة (Mueser and Granberg, 1999). يعرض الجدول الموجود أدناه سلوكيات المضيف المحتملة وتأثيرها على مقدار الفوز.

لتحديد ما هي أفضل إستراتيجية عندما لا يعرف اللاعب سلوك المضيف في اللعبة هو استخدام إحدى الطرق لحل المسائل المعروفة باسم نظرية الألعاب. فعلى سبيل المثال، قد يفترض اللاعب بأن المضيف شخصاُ ماكر ويكثر في عرض الفرص للتغير إذا وقع اختيار اللاعب المبدئي على السيارة. على العموم، الإجابة على هذا النوع من الأسئلة تعتمد دوماً على افتراضات معينة حول سلوكيات المضيف، قد تتراوح من "تجاهل المضيف تماماً" إلى 'أرمي بالعملة وقوم بالتغيير إذا كان الوجه على أعلى".

الأبواب N 
اقترح دي. إل. فيرغوسون (1975 في رسالة إلى سيلفين وردت ذكرها في Selvin 1975b) بتعميم عدد الأبواب N في المسألة الأصلية يقوم فيها المضيف بفتح الأبواب الخاسرة ذو العدد p وبعدها يعرض على اللاعب الفرصة للتغيير؛ في هذه النسخة المختلفة من المسألة تكون احتمالية الفوز بالتغيير هي (N-1)/N(N-p-1). حتى إذا فتح المضيف باباً واحداً فمن الأفضل له يأن يقوم بالتغيير، لكن هذه الإجابية ستقارب الصفر كلما أزداد عدد الأبواب N بشكلاً كبير (Granberg 1996:188). وعلى الطرف الآخر، إذا فتح المضيف جميع الأبواب إلا باباً واحداً يؤدي إلى الفوز، فأن فرصة الفوز بالتغيير ستقارب الواحد كلما أزداد عدد الأبواب.

أقترح كلاً من بيبسويرا راو وراو (1992) نسخة مختلفة لمسألة الأبواب ذو العدد N حيث يفتح فيه المضيف باباً خاسراً مختلف عن الذي اختاره اللاعب وسيعطي للاعب الفرصة للتغير بعد كل باباً يفتحه حتى يتبقى في النهاية بابين فقط. بوجود أربعة أبواب فقط تكون الإستراتيجية المثلى هي الاختيار مرة واحدة والقيام بالتغيير فقط عندما يتبقى بابين. بوجود الأبواب N تكون احتمالية الفوز بهذه الإستراتيجية هي (N-1)/N كما تم الإثبات رياضياتياً بأن هذه الإستراتيجية هي الإستراتيجية المثلى.

يبدو أن هذه المسألة تشابه لحد كبير طريقة برنامج العروض صفقة أو لا صفقة؛ على أية حال، مع كل اختيار يقوم به لاعب في برناكد Deal or No Deal تكون احتمالية الفوز بالجائز متساوية لإحتمالية الخسارة. مونتي، من جهة أخرى، يعرف المحتويات ويُمنع منعاً باتاً من من أن يكشف عن الخيار الفائز. وبافتراض أن الجائزة الكبرى لا تزال متروكة في الصندوقين المتبقيين، سيكون لدى اللاعب في Deal or No Deal فرصة مقدارها 50/50 لاختيار الصندوق الذي توجد تحته الجائزة الكبرى.

النسخة الكمومية 
إن النسخة الكمومية لهذه المفارقة قد قامت بتوضيح بعض النقاط حول العلاقة بين المعلومات الكلاسيكية أو اللا-كمومية والمعلومات الكمومية ، كما تم تكويدها في حالات الأنظمة الميكانيكية الكمومية. تعتمد صياغة هذه المسألة بشكلاً مطلق على نظرية الألعاب الكمومية . تم فيها تبديل الثلاثة أبواب بأنظمة كمومية يسمح بوجود ثلاثة بدائل؛ ترجمت فيها فتح الباب والنظر على ما وراءه كالقيام بعملية الملاحظة من المراقب. يمكننا ذكر قواعد اللعبة بهذه الطريقة، لمرة أخرى يكون للاعب الاختيار في أن يبقى على اختياره المبدئي، أو أن يقوم بالتغيير إلى خيار «متعامد» آخر. نجد أيضاً أن الطريقة الثانية-أي التغيير- تؤدي إلى مضاعفة فرص الفوز مرتين، تماماً كما هو موجود في الحالة الكلاسيكية. على أية حال، إذا لم يقم مضيف العرض بتوزيع أماكن الجوائز عشوائياً على الطريقة الميكانيكية الكمومية التامة، فأنه يمكن للاعب القيام بعمل أفضل، حتى أن بإمكانه تحديد مكان الجائزة بكل ثقة (Flitney and Abbott 2002، D'Ariano et al. 2002).

تاريخ المسألة 
إن أقدم لغز احتمالات التي لها علاقة بمسألة مونتي هول هي مفارقة صندوق بيرتراند، التي قام بها جوزيف بيرتراند في عام 1889 في مطبوعته حساب الاحتماليات (Barbeau 1993). في هذا اللغز نجد ثلاثة صناديق: صندوق يحتوي على عملتين ذهبيتين، وصندوق آخر يحتوي على عملتين فضيتين، وصندوق آخر يحتوي على عملة ذهبية وعملة فضية. بعد اختيار أحد الصناديق عشوائياً وأخذ عملة واحدة منها عشوائياً ليتبين لنا أنها ذهبية، سيكون السؤال هو ما احتمالية أن تكون العملة الأخرى ذهبية؟ كما في مسألة مونتي هول، يكون الجواب البديهي هو 1/2، لكن الحقيقة هي أن الاحتمالية تساوي 2/3.

إن مسألة السجناء الثلاثة، التي نُشرت في عمود الألعاب الرياضياتية لمارتن غاردنر' في ساينتفك أمريكان في 1959 (1959a، 1959b)، تشابه لحد كبير مسألة مونتي هول. يوجد في هذه المسألة ثلاثة سجناء لكل واحد منهم اسم مستعار، تم اختيار أحدهم وأعفي عنه بشكل سري. يطلب أحد السجناء الثلاثة من الحارس بأن يخبره عن اسم أحد الشخصين الآخرين الذي سيتم إعدامه، فلنفترض جدلاً بأن الحارس سيوافق حيث إن ذاك السجين قد أقنعه بأن كشفه للاسم لن يقدم أي معلومات عن مصير ذاك السجين إلا أنها ستزيد فرصته بأن يكون المعفو عنه من 1/3 إلى 1/2. يوافق الحارس، وبعد ذلك يرمي (و بشكل سري) عملة ليقرر أي اسم سيخبره إذا كان السجين الذي سأل هو المعفو عنه. السؤال هو إذا عرفنا جواب الحارس هل سيتغير فرصة السجين ليكون المعفو عنه؟ هذه المسألة مكافئة لمسألة مونتي هول؛ يبقى للسجين الذي سأل السؤال 1/3 فرصة ليكون المعفو عنه لكن لدى رفيقه الذي لم يُذكر اسمه 2/3 فرصة.

طرح ستيف سيلفين مسألة مونتي هول في زوج من الرسائل إلى دورية أمريكان ستاتيستيشين في 1975 (1975a، 1975b). تقوم الرسالة الأولى بعرض المسألة في نسخة تشابه المسألة المذكورة في مجلة باريد التي أتت بعد 15 عام من أرسالها. أما الرسالة الثانية فقد ظهر فيها الاستعمال الأول لمُسمى «مسألة مونتي هول». في الواقع هذه المسألة مأخوذة من برنامج الألعاب. يقوم مونتي هول بفتح الباب الخاطئ لإغراء اللاعب، لكنه -في هذه المرة- سيعرض على اللاعب جائزة مالية أقل من الجائزة الرئيسية —على سبيل المثال $100 نقداً— بشرط ألا يقوم بتغيير الأبواب. وكما كتب مونتي هول إلى سيلفين:وإذا لم تأخذ أبداً بعروضي، ستزداد قواعد اللعبة عليك صرامةً— لذلك لا تقوم بالتفيير بعد الاختيار.(Hall 1975)

نُشرت إحدى النسخ المسألة في قسم الألغاز لدورية المنظورات الاقتصادية، وهذه النسخة تشبه كثيراً لما هو مذكور في مجلة باريد التي أتت بعدها بثلاثة سنوات في عام 1987 (Nalebuff 1987).

قدمت المقالة التي كتبها فيليب مارتن في عام 1989 في إحدى أعداد مجلة بريدج توداي بعنوان «فخ مونتي هول» (Martin 1989) مسألة سيلفين، مع ذكر الحل الصحيح، والتي أعتبرها كمثال لكيفية سقوط اللاعب في فخ معالجة المعلومات اللا-عشوائية كما لو كانت عشوائية. من ثم أعطى مارتن بعض الأمثلة الموجودة في لعبة الجسر حيث يسيئ اللاعبون عادةً تقدير الاحتمالات، وذلك بالسقوط في نفس الفخ، مبدأ الاختيار المقيد هي أحد تلك الأمثلة. في السنة التالية ونظراً للجدل الذي قد نشأ حول هذه المسألة، صرح مارتن بعدم قدرته على علم الغيب عندما قال، «هنا [في مسألة مونتي هول] يمكن أن نكتشف الفخ بسهولة. لكن يمكن للفخ أن يقوى أكثر وبخبث في وضع لعبة الجسر.»

ظهرت النسخة المعدلة لمسألة سيلفين في عمود سؤال-و-جواب أسأل مارلين لمارلين فوس سافانت في مجلة باريد سبتمبر في عام 1990 (vos Savant 1990). بالرغم من أن فوس سافانت أعطت الإجابة الصحيحة بأن التغيير يؤدي إلى الفوز باحتمال مقداره ثلثين، إلا أنها أستقبلت ما يقارب 10,000 رسالة ومن ضمنها ما يقارب 1,000 رسالة موقعة من أشخاص لديهم شهادة الدكتوراة، العديد من هذه الرسائل هي خطابات قادمة من أقسام الرياضيات والعلوم الطبيعية، وبالتالي، أعلنت فوس سافانت بأن حلها كان خاطئاً (Tierney 1991). وبسبب هذه الردود الساحقة، نشرت مجلة باريد أربعة أعمدة لم يسبق لها مثيل حول هذه المسألة (vos Savant 1996:xv). ونتيجةً لهذه الشعبية، أُستخدم اسم بديل للمسألة -مارلين والمواعز.

في نوفمبر عام 1990، وعلى نفس قدر الجدال الحاصل من مقالة فوس سافانت، حدث نقاش طويل في عمود سيسيل ادامز المسمى ذا سترايت دوب (Adams 1990). أجاب فيه ادامز، وبشكل خاطئ، بأن فرص الأبواب المتبقية هي واحد من أثنين -أي بمقدار النصف. بعد أن كتب القراء الرسائل لتصحيح العمليات الرياضياتية التي كانت موجودة في تحليل ادامز، أقر ادامز بأنه أخطأ في تلك العمليات، لكنه قال بأن نسخة باريد تركت بعض القيود الحرجة بدون أن تقوم بذكرها، وبدون هذه القيود، لن تكون بالضرورة فرصة الفوز بالتغيير هي 2/3. كتب الكثير من القراء رسائل مدعين فيها بأن ادامز «محقاً ولأول مرة» وأن الفرصة الحقيقية للفوز هي واحد من أثنين.

حظي عمود باريد والردود عليها اهتماماً كبيراً من قبل الصحافة، حتى أنها تمت كتابة قصة حول هذا العمود في الصفحة الأولى من جريدة نيويورك تايمز (Tierney 1991) وقد أٌُستقبل فيها مونتي هول نفسه. وكان يبدو مدركاً للمسألة بشكل جيد، حيث أنه أجرى عرض تجريبي بمفاتيح السيارة أمام الصحفي، وقد قام بشرح كيف أن اللعبة في برنامج فلنعقد صفقة Let's Make a Deal مختلفة عن قواعد الألغاز الأخرى.

كما تم نشر أكثر من 40 ورقة دراسية حول هذه المسألة في الدوريات الأكاديمية وفي الصحافة العامة (Mueser and Granberg 1999).

تستمر المسألة في الظهور خارجاً عن الدراسات الأكاديمية. تتميز برنامج NPR المتزامن كار توك «بألغازها» الأسبوعية، حيث يظهر الجواب مشروح بشكل واضح في الأسبوع اللاحق، وقد تم عرض حلقة خاصة لهذه المسألة (Magliozzi and Magliozzi, 1998). ذكر الرياضياتي باول إيردوس هذه المسألة مع القيام بأول محاولة له لحلها بالحسابات الرياضياتية في المنشورة الرجل الذي عشق الأعداد فقط —مثل العديد من الآخرين، فقد أخطأ في أولى محاولاته. أضافة إلى ذلك، فقد تمت المناقشة حول المسألة من منظور طفل مصاب بمتلازمة آسبرجر، في "The Curious Incident of the Dog in the Night-time"، وهي رواية من عام 2003 كتبها مارك هادون. وتمت إيضاً إضافة المسألة في محاضرة للشخصية تشارلي ايبس في أحد الحلقات لبرنامج CBS الدرامي نمبرز (و تحديداً في الحلقة 1.13) وفي كتاب دارين براون من عام 2006 المسمى خدع الذهن . كما شرح بين جيليتيه مسألة مونتي هول في حلقة «الحظ» من السلسلة الإذاعية لبوب ديلان المسمى "Theme Time Radio Hour". كما ظهرت مسألة مونتي هول في فيلم 21 (Bloch 2008). كما حدد الاقتصادي إم. كيث تشين العيب الكامن في المئات من التجارب المتعلقة باللاتوافق الاستعرافي  التي تُستعمل لتحليل القضايا المشابهة لما هو موجود في مسألة مونتي هول الأصلية (Tierney 2008).

التحليل البايزي 
تقترح تحليل المسألة بأن نقوم باستعمال الصياغة النظرية لللإحتمالية البايزية (Gill 2002) بقاعدة لافتراضات الموجودة ضمن المسألة.

في الحدود البايزية، تكون الاحتمالية  هي عدد في الفترة  المرتبطة بالافتراض . يحدد ذلك العدد درجة الاعتقاد في الحقيقة , وذلك اعتماداً على ما إذا كانت المعلومات الأساسية  قد حدثت وأصبحت معلومة.

بالنسبة لهذه المسألة، تأتي المعلومات الرئيسية من قواعد اللعبة، أما قيم الافتراضات التي تؤدي إلى نتيجة مغينة فهي:

 : حيث تكون السيارة خلف الباب i، وi تساوي 1، أو 2 أو 3.

 : حيث يفتح فيه المضيف الباب j بعد أن يختار اللاعب الباب i، وتكون الأعداد i وj مساوية 1، أو 2 أو 3.

فعلى سبيل المثال،  تشير إلى الافتراض  بأن تكون فيه السيارة خلف الباب ذو الرقم 1، وتشير  إلى الافتراض الذي يفتح فيه المضيف الباب ذو الرقم 2 بعد أن يختار اللاعب الباب ذو الرقم 1.

تكون الافتراضات التي تقوم على التفسير الشائع للغز مونتي هول المذكورة رسمياً على النحو التالي:

أولاً، يمكن أن تكون السيارة خلف أي باب، وحميع الأبواب لها نفس الاحتمالات البديهية لأن موقع السيارة غير معروف. ومن هذا السياق، يكون معنى بديهي أي قبل أن تُقام اللعبة، أو تعني قبل رؤية الماعز. لذلك، تكون الاحتمالية البديهية للافتراض  هي:

ثانياً، يفتح المضيف دائماً الباب الذي لا يوجد خلفه السيارة، وذلك باختيار إحدى البابين الذين لم يفتحهما اللاعب. إذا كان البابين المتبقيين لا يوجد خلفهما السيارة، فكل واحدة منهما لها نفس المقدار من الاحتمالات. بذلك يحدد هذه القاعدة الاحتمال الشرطي للافتراض  أعتماداً على مكان السيارة — بمعنى آخر، أنها مشروطة على الافتراض  وعلى وجه التحديد، تكون:

يمكن أن تُحل المسألة الآن بتسجيل كل إستراتيجية بواسطة احتمالياتها اللاحقة المرتبطة بالفوز، مع احتمالياتها المعتمدة على فتح المضيف لأحد الأبواب. وبدون فقدان العمومية، افترض، وبإعادة ترقيم الأبواب إن كنت تريد ذلك، بأن اللاعب قد اختار الباب ذو الرقم 1، وافترض بأن المضيف أتى بعدك وقام لفتح الباب ذو الرقم 3، كاشفاً بذلك الماعز. وبتعبير أخرى، يجعل المضيف من الافتراض  قيمة حقيقية.

الاحتمال اللاحق للفوز بعدم تغيير الاختيار، وذلك باعتماد على قواعد اللعبة والافتراض , هي . وباستعمال مبرهنة بايز، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

وبسبب الافتراض المذكور أعلاه، يكون البسط الموجود في الجهة اليمنى هي:

وبقسمة ثابت الاستنظام على البسط، ينتج:

لاحظ بأن الناتج يساوي الاحتمالية البديهية لكون السيارة خلف الباب المختار مبدئياً، مما يعني بأن حركة المضيف لم تساهم بأي معلومات جديدة بالنسبة إلى هذا الاحتمال. في الواقع، يوضح البرهان القادم بأن حركة المضيف تقوم بإعادة توزيع احتمالات في كون السيارة خلف إحدى البابين المتبقيين بشكل كلي.

من الممكن تقييم احتمالية الفوز بالتغيير إلى الباب 2، ، بشرط أن يُضاف الاحتماليات اللاحقة لجميع الافتراضات  إلى العدد 1. وتكون:

وبما أن السيارة لاتوجد خلف الباب ذو الرقم 3، لأن المضيف قد قام بفتحها بالفعل، فيجب أن يكون الحد الأخير مساوياً للصفر. ويكمن أن تُبرهن باستعمال مبرهنة بايز مع النتائج السابقة

و لذلك يكون:

هذا يظهر بأن الإستراتيجية المناسبة للفوز هي بتبديل الاختيار إلى الباب ذو الرقم 2. كما أنها تقوم بتوضيح بأن كشف المضيف للماعز -الذي كان خلف الباب -3 قد قامت بتأثير على النتيجة، وذلك بنقل 1/3 فرصة للفوز من الباب ذو الرقم 3 إلى الباب المرتبط بها بشكل بديهي -الباب الذي لم يتم فتحه-، وهذا ما يجعل لديه الاحتمال الأكبر للفوز.

انظر أيضًا 

 مبرهنة بايز

المراجع

وصلات خارجية 
 مسألة مونتي هول في موقع letsmakeadeal.com
 مسألة برنامج الألعاب–السؤال الأصلي والأجوبة في موقع مارلين فوس سافانت.
 
 "مفارقة مونتي هول" تأليف ماثيو ر. ماكدوغال، مشروع تظاهرات ولفارم (محاكاة).
 مسألة مونتي هول في صحيفة النيويورك تايمز (محاكاة).

استحداثات 1975
اقتصاد جزئي
معضلات رياضية
مفارقات نظرية الاحتمالات
نظرية الألعاب