معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

حيث  و  هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث ، و هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

وعندما تكون  تسمى المعادلة حينئذٍ بالمتجانسة Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).

عندما تكون المعاملات  مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابتة.

مؤثر تفاضلي خطي 

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر:  بحيث ان:

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: . المعادلة تسمى «خطية» لان المؤثر هو خطي: .

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه إذا كان   و  حلول للمعادلة التفاضلية المعطاة، فان  هو أيضا حل، وأيضا   أيضا حل (بحيث ان  هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا إذا كان  المعادلة تسمى متجانسة'.

حل المعادلة التفاضلية 
فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال  يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : . بحيث  ثوابت اختيارية، «حل عام للمعادلة المتجانسة».

إذا يكفي ان نبحث عن الحلول  لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة  الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة . أي أن، إذا  إذا ينتج . ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

إذا إذا كان  حل عام للمعادلة الغير متجانسة، و  هو حل خاص لها، إذا , مثلما اوضحنا، هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :

 حل خاص للغير متجانسة

 حل عام للمتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة 

هذه المعادلة هي من الشكل

وتحل باستخدام الوسيط

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل

لها عدد n من الحلول

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية
 

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل

حيث قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

تمثيلات أخرى 
أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة  بالرمز  أي

وتصبح المعادلة كالتالي

أو

مراجع 

معادلات تفاضلية