هندسة تفاضلية

في الرياضيات، الهندسة التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد الشعب قابل للمفاضلة أيضا، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية.

أما  الهندسة التفاضلية  فهي دراسة الهندسة باستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي.

جوهري مقابل عرضيِ 

منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر  عرضية  : حيث يتم اعتبار المنحنى ،و السطح واقعين في فضاء إقليدي ذو أبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواس.
كانت البداية بعملِ ريمان،حيث طُوّرتْ وجهة نظر  الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معرفا بشكل حر.

إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهو على سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الاتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه.

وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة تركيبِ إلى الجوهريةِ.

هندسة المنحنيات التفاضلية 

 قائمة بمواضيع المنحنيات
 صيغ فريني-سيري
 المنحنيات في الهندسة التفاضلية
 عنصر خط
 انحناء Curvature
 نصف قطر الانحناء Radius of curvature
 دائرة التقبيل
 منحني Curve

هندسة السطوح التفاضلية 

 سطح مسطر,
 سطح مخروطي Conical surface
 انحناء متوسط Mean curvature
 مبرهنة إغريغوم
 مبرهنة غاوس-بونيت.

الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet مبرهنة 
 حسبان متعدد المتغيرات,
 متعدد التفرع Manifold
 شعاع مماسي أو متجه مماسي Tangent vector
 فضاء مماسي Tangent space
 حزمة مماسات Tangent bundle
 فضاء مماسي مرافق Cotangent space
 حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
 حزمة شعاعية Vector bundle
 حقل شعاعي Vector field
 حقل تينسوري Tensor field
 شكل تفاضلي Differential form
 مشتق خارجي Exterior derivative
 مبرهنة فروبنيوس,
 اتصال (رياضيات) Contact (mathematics

طوبولوجيا تفاضلية 

 تشاكل تفاضلي Diffeomorphism
 Large diffeomorphism
 قابلية توجيه Orientability
 مبرهنة ويتني المضمرة Whitney embedding theorem
 قيمة حرجة Critical value
 نقطة سادل Saddle point
 نظرية مورس Morse theory
 مشتق لاي Lie derivative
 مبرهنة هيري بول Hairy ball theorem
 مبرهنة بوانكاريه-هوبف Poincaré-Hopf theorem
 مبرهنة ستوكس,
 De Rham cohomology
 مفارقة سميل Smale's paradox

حزم ليفية Fiber bundles 
 الحزمة الليفية
 حزمة مبدئية Principal bundle
 حزمة إطار Frame bundle
 حزمة هوبف Hopf bundle
 حزمة مترافقة Associated bundle
 حزمة شعاعية Vector bundle
 حزمة مماسية Tangent bundle
 حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
 حزمة خط Line bundle
 حزمة مفصلية Jet bundle

هندسة ريمانية 
 List of coordinate charts،
 تينسور متري Metric tensor،
 متعدد شعب ريماني،
 هندسة لاإقليدية،
 زيادة زاوية Angle excess،
 عالم-كرة Sphere-world،
 معامل نجمة هودج Hodge star operator
 حقل شعاع قاتل Killing vector field
 جيوديسي Geodesic
 جيوديسي أولي Prime geodesic
 جيوديسي
 إسقاط أسي Exponential map
 Injectivity radius
 حقل جاكوبي,
 مبرهنة المجانسة Uniformization theorem
 مبرهنة مايرز Myers theorem
 فضاء متناظر Symmetric space
 سطح فائق Hypersurface
 مبرهنة ناش المضمرة Nash embedding theorem
 مبرهنة الانضغاط لغروموف،
 حدسية هسيانغ-لاوسون Hsiang-Lawson's conjecture
 متعدد تفرع جزئي ريماني Riemannian submanifold

بنى متعددة 

 متري جوهري Intrinsic metric
 متعدد تفرع ريماني كاذب Pseudo-Riemannian manifold
 متعدد تفرع ريماني-جزئي Sub-Riemannian manifold
 نسبية عامة General relativity
 هولونومي (تقييد تام) Holonomy، هولونومي محلية
 G-structure
 متعدد تفرع معقد Complex manifold،
 متعدد تفرع معقد تقريبا Almost complex manifold
 متعدد تفرع كيلر Kähler manifold
 متعدد شعب كلابي ياو
 Hyperkähler manifold
 هندسة تماسكية
 هندسة اتصال Contact geometry
 G2 manifold
 تورق
 شروط التكاملية للجمل التفاضلية
 هندسة فينسلر Finsler geometry
 هندسة معلومات Information geometry

انحناء Curvature 
المقالة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني''

 مبرهنة إغريغوم
 مبرهنة غاوس-بونيت,
 اسقاط غاوس Gauss map
 شكل أصلي ثان Second fundamental form
 شعاع انحناء Curvature vector
 شكل الانحناء Curvature form
 تينسور الانحناء Curvature tensor
 انحناء جيوديسي Geodesic curvature
 انحناء مقياسي Scalar curvature
 انحناء مقطعي Sectional curvature
 انحناء ريتشي Ricci curvature، انبساط ريتشي Ricci flat
 انحناء ويلي Weyl curvature
 جريان ريتشي Ricci flow
 سطح أصغري Minimal surface
 تواصل (رياضيات) Connection (mathematics)
 شكل التواصل Connection form
 مبرهنة شيرن-غاوس-بونيت Chern-Gauss-Bonnet theorem
 Chern-Weil homomorphism
 تواصل كارتان Cartan connection
 تطبيقات تواصل كارتان Cartan connection applications
 Vierbein
 نظرية ابنشتاين-كارتان Einstein-Cartan theory
 مشتق متباين مترافق Covariant derivative
 تواصل ليفي-كيفيتا Levi-Civita connection
 إطار متحرك Moving frame
 نقل متوازي Parallel transport
 عزم (هندسة تفاضلية) Torsion (differential geometry

مصادر