مبرهنة فيرما الصغرى

من أجل مبرهنات أخرى مسماة نسبة إلى بيير دي فيرما، انظر إلى مبرهنة فيرما (توضيح).

مبرهنة فيرما الصغرى  هي مبرهنة تنص على أنه إذا كان p عددا أوليا، فإنه ولأي عدد صحيح a ،تكون ap - a قابلة للقسمة على p،ويمكن كتابتها رياضياتيا بالعلاقة:
 

سميت المبرهنة بهذا الاسم لتمييزها عن مبرهنة فيرما الأخيرة. بعبارة أخرى، إذا أخذ عدد a وضرب في نفسه p مرة ثم طرح منه a فالعدد الناتج من هذه العمليات يقبل القسمة على p.

يمكن أيضاً كتابة العلاقة السابقة بالصورة:
 إذا كان  .

مبرهنة فيرما الصغرى 
ليكن p عددا اوليا موجبا

      ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في

نتيجة مبرهنة فيرما الصغرى 
ليكن p عددا اوليا موجبا

إذا كان  فإن

البرهنة 
سنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0.
خطوة الأساس هي حينما 0 p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1.
ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال:

استدلال 

لأي عدد أولي p فإن

لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n

حيث المعاملات معاملات ذات الحدين

والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب

و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0 < p > i  فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي

وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير .

البرهان بالاستقراء 

لنفرض أن (kp ≡ k (mod p و لننظر لـk+1)p) من الاستدلال لدينا

وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (kp ≡ k (mod p; وببساطة 1p = 1

وبالتالي نحصل على 

وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎

عموميات 

إذا كان p عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث 'm يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: am ≡ an (بترديد p).
(≡ يوافق بترديد)

انظر أيضا 
 خوارزمية آر إس إيه.

مراجع

وصلات خارجية 
 مبرهنة فيرما الصغرى.
 دالة ومبرهنة أويلر.

اختبارات أولية العدد
حسابيات نمطية
مبرهنات حول الأعداد الأولية
نظريات في نظرية الأعداد