Brahmagupta

Brahmagupta (Hindi: ब्रह्मगुप्त; 598-668 n.C.) was ’n Indiese wiskundige en sterrekundige. Hy word beskou as die eerste mens wat reëls neergelê het vir berekenings met nul. 

Brahmagupta het in 628 ’n boek oor wiskunde en sterrekunde, die Brahmasphuta-siddhanta, geskryf asook ’n praktiese werk in 665, Khandakhadyaka. Van dié twee is die Brahmasphuta-siddhanta ("Gekorrigeerde werk van Brahma") ongetwyfeld die belangrikste. Dit bestaan uit 24 hoofstukke met 1 008 verse. Baie daarvan gaan oor sterrekunde, maar dit bevat ook hoofstukke oor onder meer algebra, geometrie, trigonometrie en algoritmes wat nuwe insigte gee danksy Brahmagupta se idees.

Wiskunde

Die getal nul
Brahmagupta het ’n belangrike begrip in wiskunde, naamlik die getal nul, gebruik. Die Brahmasphuta-siddhanta is die oudste bekende geskrif wat nul as ’n egte getal beskou en nie net as ’n plaasvervangende syfer wat ’n ander getal verteenwoordig, soos die Babiloniërs, of as ’n simbool wat ’n gebrek aan ’n hoeveelheid uitdruk, soos Ptolemaeus en die Romeine, nie.

Brahmagupta het reëls opgestel vir die rekenkundige gebruik van nul en van negatiewe getalle. Sy reëls is nagenoeg gelyk aan die moderne reëls.

In hoofstuk 18 van die Brahmasphuta Siddhanta beskryf Brahmagupta rekenkundige bewerkings van negatiewe getalle, eerstens optel en aftrek:

18.30. Die som van twee positiewe getalle is positief, die som van twee negatiewe getalle negatief; die som van ’n positiewe en ’n negatiewe getal is hulle verskil; as hulle gelyk is, is die som nul. Die som van ’n negatiewe getal en nul is negatief, dié van ’n positiewe getal en nul positief, die som van twee nulle is nul.
[...]
18.32. ’n Negatiewe getal minus nul is negatief, ’n positiewe getal minus nul is positief; nul minus nul is nul; as ’n mens ’n positiewe getal aftrek van ’n negatiewe getal of ’n negatiewe getal van ’n positiewe getal, dan moet die getalle opgetel word.

Vervolgens beskryf hy vermenigvuldiging:
18.33. Die produk van ’n negatiewe en ’n positiewe getal is ’n negatiewe getal, die produk van twee negatiewe getalle is positief, en die produk van twee positiewe getalle is positief.

Die belangrikste verskil tussen moderne wiskunde en Brahmagupta se reëls is sy begrip van deling deur nul. In die moderne rekenkunde word dit nie gedefinieer nie. Brahmagupta het dit wel gedoen en gesê nul gedeel deur nul is gelyk aan nul.

18.34. ’n Positiewe getal gedeel deur ’n positiewe getal of ’n negatiewe getal gedeel deur ’n negatiewe getal is positief; ’n nul gedeel deur nul is nul; ’n positiewe getal gedeel deur ’n negatiewe getal is negatief; ’n negatiewe getal gedeel deur ’n positiewe getal is negatief.
18.35. ’n Negatiewe of ’n positiewe getal gedeel deur nul het dié nul as deler; nul gedeel deur ’n negatiewe of ’n positiewe getal het dié negatiewe en positiewe getal as ’n deler. Die kwadraat van ’n negatiewe of positiewe getal is positief; die kwadraat van nul is nul. Dit waarvan die kwadraat die kwadraat is, is sy vierkantswortel.

Toepassing in sterrekunde
Brahmagupta was ook die eerste persoon wat algebra gebruik het om sterrekundige vraagstukke op te los. Deur die Brahmasphuta-siddhanta het die Arabiese wêreld kennis van Indiese wiskunde en sterrekunde opgedoen. Die sterrekundige Kankah het die Brahmasphuta-siddhanta gebruik om die Hindoeïstiese stelsel van rekenkundige sterrekunde aan kalief Al-Mansoer (712-775) van die Abbasidiese Ryk uit te lê. Al-Fazari het toe, op versoek van die kalief, die Brahmasphuta-siddhanta in Arabies vertaal onder die titel Sindhind.

Pi
In hoofstuk 12 vers 40 gee Brahmagupta ’n waarde vir pi.
12.40. Die deursnee en die kwadraat van die radius [elk] vermenigvuldig met 3 is [respektiewelik] die praktiese omtrek en die oppervlakte van ’n sirkel. Die akkurate [waardes] is die vierkantswortels van die kwadrate [van die omtrek en die oppervlakte] vermenigvuldig met tien.

Brahmagupta gebruik dus 3 as ’n "praktiese" waarde vir pi, en √10 (3,16227766) as ’n "akkurate" waarde daarvoor. Die "akkurate" waarde verskil bitter min van die moderne waarde.

Sterrekunde
In hoofstuk 7 van die Brahmasphuta-siddhanta, met die titel Sekelmaan, weerlê Brahmagupta die idee wat in verskeie godsdiensgeskrifte gehandhaaf is dat die Maan verder van die Aarde af is as die Son. Hy doen dit deur daarop te wys dat die Maan deur die Son verlig word.

7.1. As die Maan verder as die Son gelê het, hoe word die wassende en afnemende Maan dan verklaar? Die naaste helfte van die Maan sou altyd verlig gewees het.
7.2. Op dieselfde manier dat die helfte van ’n pot wat gesien kan word in die Son verlig is, en die ongesiene helfte donker, word die Maan onder die Son gesien.
7.3. Die helderheid neem toe in die rigting van die Son. Aan die einde van die wassende (groeiende) Maan is die naaste helfte helder en die verste helfte donker. Die grootte van die "horings" [van die sekelmaan] kan bereken word.

Op grond van sy gevolgtrekking dat die Maan nader aan die Aarde is as die Son, sê Brahmagupta die mate waarin die Maan verlig word, hang af van die relatiewe posisies van die Son en die Maan, en dat die mate bereken kan word uit die grootte van die hoek tussen die Son en die Maan.

In sy ander werk, Khandakhadyaka, het Brahmagupta ook belangrike sterrekundige bydraes gelewer wat betref metodes om die posisie van hemelliggame in tyd te bereken, verklarings vir die was en afneem van hemelliggame en die konjunksie van planete. Hy het ook ’n metode ontwikkel om sons- en maansverduisterings te bereken. en kritiek gelewer op die siening in die puranas dat die Aarde plat of hol is – volgens hom was die Aarde en hemel bolvormig.

Verwysings

Skakels

Wiskundiges
Sterrekundiges
Algebra
Getalle