Spiraal

'n Spiraal is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

Spirale in twee dimensies
In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:
 (waar  'n monototiese toenemende funksie is)
of in kartesiese koördinate deur

Die bekendste spirale sluit in:
 Die Archimedesspiraal: 
 DIe Hiperboliese spiraal: 
 Fermat se spiraal: 
 Die lituus: 
 Die logaritmiese spirale:  
 Die Klotoïde 
 Die Fibonaccispiraal en die  spiral
 Die Spiraal van Theodorus: 'n benaadering van die Archimedesspiraal - Dit is saamgestel uit aangrensende regte hoeke.
Die evolvente van 'n sirkel, wat twee keer op elke tand van byna elke moderne rat gebruik word.

Eienskappe
Die eiendomme wat hier beskryf word, is van toepassing op die meeste spirale van die vorm , veral vir die gevalle  (Archimedesespiraal, hiperboliesespiraal, Fermatsespiraal, lituusspirale) en die logaritmiese spiraal

Polêre hellinghoek
Die hoek  tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en  die poolhelling. Die formule vir die poolhelling , wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is: 
 waar  is 

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van , maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiraal spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant:

Kromming
Die kromming  van 'n kurwe met poolvergelyking  is

Sektor oppervlak
Die oppervlak van 'n sektor van 'n kurwe (sien diagram) met poolvergelyking  is

Booglengte
Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking  is:

Spirale in drie dimensies
In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:
met die vereiste dat óf  óf  'n monototiese toenemende funksie is.

Silindriese spiraal
Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

waar  is die radius van die spoel en  is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Koniese spiraal 

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings
 
dan kan 'n derde koördinaat  sodanig ingebring word met die beperking:
 :
met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

Voorbeeld
As iemand met 'n archimedean spiral  kry hy 'n koniese spiraal van  (sien beeld regs):

Sferiese spirale 

Die oppervlak van 'n sfeer, radius , kan voorgestel word deur die volgende vergelykings:: 

Wanneer  voorgestel is deur die vergelyking , kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal.  met die parametriese voorstelling ( is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

Verwysings

Meetkunde