Dimensionaliteitvermindering

In statistiek is dimensionaliteitvermindering die afbeelding van 'n multidimensionele ruimte na 'n ruimte met minder dimensies. Dit is soms die geval dat analises soos regressie of klassifikasie  meer akkuraat in 'n verminderde ruimte uitgevoer kan word as in die oorspronklike ruimte.

Beskou 'n string krale met die eerste 100 swart en dan 100 wit. As die string opgevou is of in 'n bondeltjie lê, is 'n klassifikasiegrens tussen swart en wit krale baie ingewikkeld in drie dimensies. Daar is egter 'n afbeelding van drie dimensies na een dimensie, naamlik die afstand langs die string af, wat die klassifikasie triviaal maak. Ongelukkig is so 'n dramatiese vereenvoudiging selde in praktyk moontlik.

Om 'n meer realistiese voorbeeld te gee, beskou die atmosferiese toestand: miskien maandelikse gemiddelde oppervlakdruk, voorgestel op 'n een graad rooster. Dit sal maand-na-maand en punt-na-punt verskil. As die korrelasie matriks van die data opgestel word en die eievektore bepaal word (sien hoofkomponentontleding) en volgens eiewaarde gelys word, dan kan (gewoonlik) slegs die eerste paar eiewaardes gebruik word om 'n groot breukdeel van die variansie van die oorspronklike data te herkonstrueer. Verder kan die eerste paar eievektore baie keer geïnterpreteer word in terme van die grootskaalse fisiese optrede van die stelsel. Die oorspronklike ruimte (met dimensie gelyk aan die aantal punte) is verminder (met dataverlies, maar hopelik met behoud van meeste belangrike variansie) tot die ruimte onderspan deur 'n paar eievektore.

Dimensionaliteitvermindering sonder verlies aan inligting is moontlik as die data onder beskouing presies op 'n gladde, lokaal plat, subruimte val; dan is die verminderde dimensies slegs koördinate in die subruimte. Meer algemeen is data ruiserig en bestaan daar nie 'n presiese afbeelding nie en is daar dus 'n mate van verlies aan inligting. Dimensionaliteitvermindering  is effektief as die verlies van inligting as gevolg van die afbeelding na 'n laer-dimensionele ruimte minder is as die voordeel meegebring deur die vereenvoudiging van die probleem.

Dimensionaliteitverminderingmetodes kan geklassifiseer word as lineêre of nie-lineêre metodes. Lineêre metodes poog om 'n globale plat subruimte te vind terwyl  nie-lineêre metodes poog om 'n plaaslike plat subruimte te vind. Soos in die geval van ander probleme, is lineêre metodes eenvoudiger en word dit beter verstaan, terwyl nie-lineêre metodes baie keer meer algemeen is en moeiliker is om te analiseer.

Eksterne skakels 
 A survey of dimension reduction techniques (US DOE Office of Scientific and Technical Information, 2002)
 Unsupervised Learning of Image Manifolds by Semidefinite Programming 
 Locally Linear Embedding
 A Global Geometric Framework for Nonlinear Dimensionality Reduction 

Dimensie
Masjienleer
Statistiek
Snaarteorie