Lagrange-meganika

Lagrange-meganika is 'n herformulering van klassieke meganika, deur die Italiaans-Franse wiskundige en astronoom Joseph-Louis Lagrange in 1788.

In Lagrange-meganika, word die trajek van 'n stel deeltjies afgelei deur die Lagrange-vergelykings op te los in een van twee vorme, òf die Lagrange-vergelykings van die eerste soort, wat randvoorwaardes eksplisiet as bykomende vergelykings uitdruk, dikwels deur middel van Lagrange-vermenigvuldigers; òf die Lagrange-vergelykings van die tweede soort, wat die randvoorwaardes direk inkorporeer deur oordeelkundige keuse van veralgemeende koördinate. In elke geval is die Lagrange-funksie, soms die Lagrangiaan genoem, 'n funksie van die veralgemeende koördinate, hul tyd-afgeleides, en van tyd, en bevat die inligting omtrent die dinamika van die stelsel.

Lagrange-meganika behels geen nuwe fisika nie, en is tewens minder algemeen as Newtoniese meganika. Newton se wette kan nie-konserwatiewe kragte soos wrywing insluit, maar moet beperkende kragte eksplisiet insluit en is mees geskik vir kartesiese koördinate. Lagrange-meganika is ideaal vir stelsels met konserwatiewe kragte en vir die systap van beperkende kragte, en sekere (nie alle) nie-konserwatiewe kragte, in enige koördinaatstelsel. Veralgemeende koördinate kan vir gerief gekies word, om munt te slaan uit simmetrieë in die stelsel of die geometrie van die randvoorwaardes, wat aansienlike vereenvoudiging meebring in die beskrywing van die dinamika van die stelsel. Lagrange-meganika onthul ook konserwatiewe kwantiteite en hul simmetrieë op 'n direkte wyse, alhoewel dan slegs as 'n spesiale geval van Noether se stelling. Die teorie sluit aan by die beginsel van stasionêre aksie, alhoewel Lagrange-meganika minder algemeen is deurdat dit tot ekwilibriumprobleme beperk is. Ook kan Lagrange-meganika net toegepas word op stelsels met holonomiese randvoorwaardes, aangesien die formulering daarvan nie voorsiening maak vir die nie-holonomiese geval nie. Drie voorbeelde is naamlik wanneer die randvoorwaarde-vergelykings nie integreerbaar is nie, wanneer die randvoorwaardes ongelykhede bevat, of by ingewikkelde nie-konserwatiewe kragte soos wrywing. Nie-holonomiese randvoorwaardes vereis spesiale sorg, sodat mens op Newtoniese meganika of ander metodes aangewese mag wees.

Die Lagrangiaanse formulering van meganika is nie bloot belangrik weens die wye toepassings daarvan nie, maar ook omdat dit dieper insigte in fisika verskaf. Alhoewel die beskrywing van klassieke meganika Lagrange se enigste oogmerk was, sou Hamilton se beginsel, waarvan die Lagrange-vergelyking afgelei kan word, volgens latere insigte op 'n groot deel van teoretiese fisika toepasbaar wees. In kwantummeganika is aksie en kwamtummeganiese fases deur middel van Planck se konstante verwant, en die beginsel van stasionêre aksie kan verstaan word in terme van konstruktiewe interferensie van golffunksies. Wanneer die Lagrangiaan invariant m.b.t. 'n simmetrie is, is die resulterende bewegings-vergelykings ook invariant m.b.t. daardie simmetrie. Hierdie kenmerk is baie nuttig om aan te dui dat teorieë voldoen aan spesiale relatiwiteit of algemene relatiwiteit. Die aksiebeginsel, en die Lagrange-formalisme, staan in noue verband met Noether se stelling, wat 'n verband bewerkstellig tussen fisiese konserwatiewe kwantiteite en kontinue simmetrieë van 'n fisiese stelsel. Lagrange-meganika en Noether se stelling lewer in samehang 'n natuurlike formalisme vir eerste kwantifisering deur kommutatore in te sluit tussen sekere terme van die Lagrange-vergelykings vir die beweging van 'n fisiese stelsel.

Lagrange-meganika word algemeen toegepas in die oplossing van meganiese probleme in fisika en ingenieurswese wanneer Newton se formulering van klassieke meganika nie gerieflik is nie. Lagrange-vergelykings word ook gebruik in optimiseringsprobleme van dinamiese stelsels. In meganika word Lagrange se vergelykings van die tweede soort baie meer gebruik as dié van die eerste soort.

Verwysings 

Fisika
Wiskunde