Lineêre algebra

Lineêre algebra is 'n vertakking van wiskunde begaand met die studie van vektore, met families van vektore genaamd vektorruimtes of lineêre ruimtes, en met funksies wat vektore as invoer (definisieversameling) en ander vektore as resultaat (waardeversameling) het, volgens sekere reëls. Hierdie funksies word lineêre afbeeldings genoem (of lineêre transformasies of lineêre operatore) en word dikwels voorgestel deur matrikse. Lineêre algebra staan sentraal tot moderne wiskunde en die toepassings daarvan. 'n Elementêre toepassing van lineêre algebra is die oplossing van 'n stelsel van lineêre vergelykings in verskeie onbekendes. Meer gevorderde toepassings is alomteenwoordig, in studierigtings so uiteenlopend as abstrakte algebra en funksionaalanalise. Lineêre algebra beskik oor 'n konkrete voorstelling in analitiese meetkunde (kyk illustrasie) en word veralgemeen in operatorteorie en moduleteorie. Dit het omvangryke toepassings in ingenieurswese, fisika, natuurwetenskappe en die sosiale wetenskappe. Nie-lineêre wiskundige modelle kan dikwels deur lineêre modelle benader word.

Geskiedenis 
Die vak het in die eerste helfte van die twintigste eeu begin om die moderne vorm aan te neem, waartydens etlike idees en metodes van vorige eeue veralgemeen is as abstrakte algebra. Matrikse en tensors is in die latere deel van die 19de eeu ingevoer. Die gebruik van hierdie objekte in kwantummeganika, spesiale relatiwiteit en statistiek het heelwat bygedra om die vak van lineêre algebra buite suiwer wiskunde te bevorder.

Die oorsprong van baie van hierdie idees is verwant aan die konsepte van determinante en Gauss-eliminasie.  Nogtans is enige aanspraak dat die konsepte van lineêre algebra voor die einde van die negentiende eeu aan wiskundiges bekend was, onakkuraat, en 'n voorbeeld van die historiese fout van anakronisme. Byvoorbeeld is die metode van kleinste kwadrate eerste deur Legendre en Gauss gebruik, om en by 1800, en word nou tipies beskryf in terme van lineêre algebra, maar die voorstellings in terme van lineêre algebra is eers in die 1940's opgestel deur Henry Jensen, 'n Deense geodesis, en deur Paul Dwyer, 'n Amerikaanse statistikus.

Hoofstrukture 
Die hoofstrukture van lineêre algebra, is vektorruimtes en die lineêre afbeeldings tussen hulle. 'n Vektorruimte is 'n versameling waarvan die elemente bymekaargetel kan word, en vermenigvuldig kan word met die skalare, of getalle. In baie fisiese toepassings is die skalare reële getalle, oftewel R. Meer algemeen beskou kan die skalare enige veld F vorm — sodat vektorruimtes oor die veld Q van rasionale getalle, die veld C van komplekse getalle, of 'n eindige veld Fq beskou kan word. Hierdie twee operasies moet soortgelyk werk as die gewone optelling en vermenigvuldiging van getalle: optelling is kommutatief en assosiatief, terwyl vermenigvuldiging distributief oor optelling is, ensomeer. Meer spesifiek, moet die twee vektoroperasies 'n lys aksiomas bevredig, wat juis gekies word om die eienskappe van optelling en skalaarvermenigvuldiging van Euklidiese vektore in die koördinaat n-ruimte Rn te ewenaar. Een van die aksiomas stipuleer die bestaan van 'n nulvektor, wat analoog aan die nulgetal fungeer met betrekking tot vermenigvuldiging. Elemente van 'n algemene vektorruimte V kan objekte van enige aard wees, byvoorbeeld funksies of polinome, maar wanneer dit as elemente van V beskou word, word hulle dikwels vektore genoem.

Gegewe twee vektorruimtes V en W oor 'n veld F, is 'n lineêre transformasie 'n afbeelding

 

wat voldoen aan optelling en skalaarvermenigvuldiging:

 

vir enige vektore u,v ∈ V en 'n skalaar r ∈ F.

Kernbegrippe in lineêre algebra is lineêre kombinasie, span en lineêre afhanklikheid van vektore, asook basis en die dimensie van 'n vektorruimte. Gegewe 'n vektorruimte V oor 'n veld F, word 'n uitdrukking van die vorm

 

waar v1, v2, …, vk vektore is en
r1, r2, …, rk skalare is, die lineêre kombinasie van die vektore v1, v2, …, vk met koëffisiënte r1, r2, …, rk genoem. Die versameling van alle lineêre kombinasies van vektore v1, v2, …, vk word hulle span genoem. 'n Lineêre kombinasie van enige stelsel van vektore met alle nulkoëffisiënte is die nulvektor van V. Indien dit die unieke wyse is om nulvektore uit te druk as 'n lineêre kombinasie van v1, v2, …, vk dan is hierdie vektore lineêr onafhanklik. 'n Lineêr onafhanklike stel vektore wat 'n vektorruimte V oorspan is 'n basis van V. Indien 'n vektorruimte 'n eindige basis toelaat, het enige twee basisse dieselfde getal elemente (genoem die dimensie van V) en is V dan 'n eindig-dimensionale vektorruimte. Hierdie teorie kan uitgebrei word na eindig-dimensionale ruimtes.

Daar bestaan 'n belangrike onderskeid tussen die koördinaat n-ruimte Rn
en 'n algemene eindig-dimensionale vektorruimte V. Terwyl Rn beskik oor 'n standaardbasis {e1, e2, …, en}, sal 'n vektorruimte V tipies nie oor 'n behorende basis beskik nie, en baie verskillende basisse bestaan (alhoewel hulle almal uit dieselde getal elemente opgemaak word, gelyk aan die dimensie van V). Indien 'n spesifieke basis {v1, v2, …, vn} van V beskikbaar is, kan 'n koördinaatstelsel in V gekonstrueer word: die vektor met koördinate (r1, r2, …, rn) is die lineêre kombinasie

 

Die voorwaarde dat v1, v2, …, vn vir V oorspan, waarborg dat elke vektor v koördinate toegeken kan word, terwyl die lineêre onafhanklikheid van v1, v2, …, vn verder verseker dat hierdie koördinate uniek bepaal word; daar bestaan dan slegs een lineêre kombinasie van die basisvektore wat aan v gelyk is. Hiervolgens sal, met 'n gekose basis van 'n vektorruimte V oor F, V met die koördinate van n-ruimte Fn geïdentifiseer kan word. Met hierdie identifikasie sal die optelling en skalaarvermenigvuldiging van vektore in V ooreenstem met die optelling en skalaarvermenigvuldiging van hul koördinaatvektore in Fn. Verder, indien V en W 'n n-dimensionale en m-dimensionale vektorruimte is oor F, en 'n basis van V en 'n basis van W vasgestel is, kan enige lineêre transformasie T: V → W deur 'n m × n matriks A geënkodeer word, met inskrywings in die veld F, genaamd die matriks van T met verwysing na hierdie basisse. Daarom kan die bestudering van lineêre transformasies, wanneer aksiomaties gedefinieer, grootliks vervang word deur die studie van matrikse, wat konkrete objekte is. Dit is 'n hooftegniek van lineêre algebra.