Poolkoördinatestelsel

In wiskunde is die poolkoördinatestelsel, of poolkoördinaatstelsel, 'n twee-dimensionele koördinatestelsel waarin punte aangegee word deur 'n hoek en 'n afstand. Die poolkoördinatestelsel word in baie velde gebruik insluitend wiskunde, fisika, ingenieurswese, navigasie en robotika. Dit is veral nuttig in omstandighede waar die verhouding tussen twee punte geredelik in terme van hoeke en afstande bepaal kan word; in die Cartesiese koördinatestelsel kan sulke verhoudings slegs deur trigonometriese formules gevind word. Vir baie soorte krommes is 'n poolvergelyking die eenvoudigste wyse van voorstelling; en vir sommige die enigste.

Aangesien die koördinatestelsel tweedimensioneel is word elke punt deur twee polêre koördinate bepaal: die radiale-koördinaat en die hoekkoördinaat. Die radiale-koördinaat (gewoonlik voorgestel deur  of ) dui die punt se afstand vanaf 'n sentrale punt wat as die pool (ekwivalent aan die oorsprong in die Cartesiese stelsel) bekendstaan. Die hoekkoördinaat (wat ook bekendstaan as die poolhoek of die asimuthoek, gewoonlik deur ,  of  voorgestel) dui die positiewe of antikloksgewyse hoek tussen die punt en die 0° straal of poolas (wat ekwivalent is aan die positiewe x-as in die Cartesiese koördinaatvlak is) aan. In die poolkoördinatestelsel is die koördinaatlyne dus konsentriese sirkels ( = konstant) en strale ( = konstant) eerder as die reghoekige roosterpatroon wat by die Cartesiese koördinatestelsel ontstaan. Die poolkoördinatestelsel is dan ook ortogonaal aangesien die koördinaatlyne mekaar teen regtehoeke sny.

Die poolkoördinatestelsel kan op twee maniere na 'n driedimensionele stelsel uitgebrei word. In die  silindriese koördinatestelsel word 'n derde koördinaat bygevoeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. In die sferiese koördinatestelsel word 'n punt afgestip deur die koördinate deur twee hoeke en die afstand van die oorsprong te spesifiseer.

Geskiedenis 

Dit is bekend dat die Grieke die konsepte van hoek en radius gebruik het. Die sterrekundige Hipparchos (190-120 v.C.) het 'n tabel van koordfunksies opgestel wat die lengte van elke koord vir elke hoek gee en daar is verwysings na sy gebruik van poolkoördinate in die bepaling van sterposisies.
In Oor Spirale, beskryf Archimedes sy beroemde spiraal, 'n funksie waarvan die radius afhang van die hoek. Die Griekse werk het egter nie sover as 'n volle koördinatestelsel gestrek nie.

Daar is verskeie bewerings oor wie poolkoördinate vir die eerste keer as deel van 'n formele koördinatestelsel gebruik het. Die verhaal van die onderwerp word volledig vertel in Harvard professor Julian Lowell Coolidge se Origin of Polar Coordinates. Gréggoire de Saint-Vincent en Bonaventura Cavalieri het die konsepte onafhanklik op omtrent dieselfde tyd ingevoer. Saint-Vincent het privaat daaroor geskryf in 1625 en dit in 1647 gepubliseer, terwyl Cavalieri dit in 1635 gepubliseer het met 'n gekorrigeerde weergawe wat in 1653 uitgekom het. Poolkoördinate is aanvanklik vir spesiale doeleindes gebruik vir die studie van sekere krommes voor dit as 'n algemene meetkundige stuk gereedskap aangeneem is. Cavalieri het poolkoördinate vir die eerste keer gebruik om 'n probleem oor die oppervlak binne 'n Archimedesspiraal op te los. Blaise Pascal het poolkoördinate vervolgens gebruik om die lengte van paraboliese boë te bereken. Die probleem is wel te vore deur Roberval opgelos, maar sy oplossing is nie universeel as geldig aanvaar nie. James Gregory het 'n transformasie soortgelyk aan dié van Cavalieri tussen twee individuele krommes waar die oppervlaktes verwant was gebruik en Pierre Varignon het 'n effens aangepaste transformasie gebruik vir die studie van spirale.

In Method of Fluxions (geskryf in 1671, gepubliseer in 1736) was Sir Isaac Newton die eerste wat poolkoördinate oorweeg het as 'n algemene metode om enige punt in 'n vlak te bepaal. Newton het in Method of Fluxions agt nuwe koördinaatstelesels voorgestel wat bestaan het uit verskillende kombinasies pare van afstande wat radiaal van 'n gegewe punt, of sywaarts teenoor gegewe reguitlyne of kromlynig langs boë of sirkels gemeet is. Een van die nuwe stelsels, waarna Newton verwys het as Seventh Manner; For Spirals, is in wese wat vandag as die hedendaagse poolkoördinatestelsel bekendstaan. In Acta eruditorum (1691) het Jacob Bernoulli 'n stelsel met 'n punt op 'n lyn, onderskeidelik genaamd die pool en poolas, gebruik. Koördinate is deur die afstand van die pool en die hoek van die  poolas gegee. Bernoulli se werk het gestrek tot bepaling van die buigingsradius van krommes wat in die koördinate uitgedruk is. In 1729, twee jaar ná Newton se dood, het Jacob Hermann poolkoördinate vir die eerste keer as 'n behoorlike element van beskrywende meetkunde gebruik in sy studie oor lokusse. Hermann het sy vergelyking nie in die moderne vorm uitgedruk nie, maar drie veranderlikes z, m, en n gebruik, waar z die radius was en m en n sinus en kosinus van die poolhoek. Waar sy voorgangers poolkoördinate vir die studie van spirale gebruik het, het hy dit uitsluitlik vir algebraïese krommes gebruik.

Die term coordinate polari, Italiaans vir poolkoördinate, word aan Gregorio Fontana toegeskryf en is deur 18de eeuse Italiaanse skrywers gebruik. Die term is vir die eerste keer in Engels gebruik in George Peacock se 1816 vertaling van Lacroix se Differensiaal- en Integraalanalise.

Alexis Clairaut was die eerste om die uitbreiding van poolkoördinate na drie dimensies oorweeg, terwyl Leonhard Euler dit ontwikkel het.

Uitstip van punte met poolkoördinate 

Soos in ander tweedimensionele koördinatestelsels is daar twee poolkoördinate: r (die radiale koördinaat) en θ (die hoekkoördinaat, poolhoek of asimuthoek, soms voorgestel deur φ  of  t).  Die r-koördinaat verteenwoordig die radiale afstand van die pool af, en die θ-koördinaat die antiklokgewyse (linksom) hoek van die 0° straal (soms die poolas genoem), wat as die positiewe x-as op die Cartesiese koördinaatvlak bekend staan.

Byvoorbeeld, die poolkoördinate (3,60°) sal afgestip word as 'n punt 3 eenhede van die pool op die 60° straal. Die koördinate (−3,240°) sal ook as die punt afgestip word omdat die negatiewe radiale afstand as 'n positiewe afstand op die oorstaande straal gemeet word (240° ; 180° = 60°).

Een belangrike aspek van die poolkoördinatestelsel wat nie in die Cartesiese koördinatestelsel  is nie is die vermoë om 'n enkele punt met oneindig verskillende koördinate uit te druk. In die algemeen kan die punt (r, θ) uitgedruk word as (r, θ ± n×360°) of (r,  θ (2n + 1)180°), waar n enige heelgetal is.   'n Ander interessante feit oor die afstip van punte in poolkoördinate is dat indien die r-koördinaat van 'n punt 0 is, sal die punt by die pool geleë wees, ongeag van die θ-koördinaat.

Gebruik van radiaalmeting 
Hoeke in poolnotasie word gewoonlik in of grade of radiale uitgedruk waar 2 rad = 360°. Die keuse hang hoofsaaklik van die konteks af. Navigasietoepassings gebruik grade terwyl sommige fisikatoepassings (spesifiek rotasie-meganika) radiaalmetings gebruik, gegrond op die verhouding van die radius van 'n sirkel tot die omtrek daarvan.

Omskakeling tussen pool- en Cartesiese koördinate 

Die twee poolkoördinate r en θ kan na Cartesiese koördinate  en  omgeskakel word deur die trigonometriese funksies:
 
 

terwyl die twee Cartesiese koördinate  en  na die poolkoördinate  omgeskakel kan word deur
  (deur eenvoudig Pythagoras se stelling toe te pas).

om die hoek koördinaat θ te bepaal moet die volgende twee gedagtes oorweeg word:
 Vir  = 0, kan θ gestel word na enige reële waarde.
 Vir  ≠ 0, om 'n unieke voorstelling vir θ te verkry, moet dit beperk word tot 'n interval met grootte 2π. Konvensionele keuses vir so 'n interval is [0, 2π) en (−π, π].

Om θ in die interval [0, 2π) te verkry word die volgende gebruik ( of boogtan dui die inverse van die tangens funksie aan):
 

Om θ in die interval (−π, π] te verkry kan die volgende gebruik word:
 

'n Mens kan dit vermy om tred te hou met teller en noemer deur die atan2 funksie te gebruik wat aparte argumente vir die teller en noemer is.

Poolvergelykings 
Die vergelyking van 'n algebraïese kromme uitgedruk in poolkoördinate staan bekend as 'n poolvergelyking, en word gewoonlik geskryf met r as 'n funksie van θ.

Poolvergelykings kan verskillende grade van simmetrie vertoon. As r(-θ) = r(θ) sal die kurwe simmetries om die horisontale (0°/180°) straal wees; as r(π−θ) = r(θ) sal dit simmetries om die vertikale (90°/270°) straal wees; as r(θ−α) = r(θ) sal dit rotasioneel simmetries α° antikloksgewys om die pool wees.

Sirkel 

Die algemene vergelyking vir enige sirkel met 'n middelpunt by (r0, ) en radius a is
 

Dit kan op verskeie maniere vereenvoudig word om ooreen te kom met meer spesifieke gevalle, soos die vergelyking
 
vir 'n sirkel met 'n middelpunt by die pool en 'n radius a.

Lyn 
Radiale lyne (die wat deur die pool loop) word voorgestel deur die vergelyking
 ,
waar φ die hoogtehoek (elevasiehoek) van die lyn is; dit wil sê  met m die helling van die lyn in die Cartesiese koördinatestelsel.

Enige lyn wat nie deur die pool gaan nie is reghoekig tot 'n radiale lyn.  Die lyn wat die lyn θ = φ  reghoekig kruis by die punt (r0,φ ) het die vergelyking
 .

Poolroos 

'n Poolroos is 'n beroemde wiskundige kromme wat soos 'n blom met kroonblare lyk, en wat slegs as 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word beskryf deur die vergelykings
  of
 
As k 'n heelgetal is sal die vergelykings 'n k-blaar roos produseer as k onewe is, of 'n 2k-blaar roos as k ewe is. As k nie 'n heelgetal is nie word 'n skyf gevorm, aangesien die aantal blare ook nie 'n heelgetal is nie. Let daarop dat dit met die vergelykings onmoontlik is om 'n roos te maak met 2 meer as 'n veelvoud van 4 (2, 6, 10, ens.) blare.  Die veranderlike a verteenwoordig die lengte van die blare van die roos.

Archimedesspiraal 

Die Archimedesspiraal is 'n beroemde spriraal wat deur Archimedes ontdek is wat ook slegs deur 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word uitgedruk deur die vergelyking:
 .
Verandering van die parameter a sal die spiraal draai, terwyl b die afstand tussen die arms beheer, wat altyd konstant is. Die Archimedesspiraal het twee arms, een vir θ > 0 en een vir θ < 0. Die twee arms is glad verbind by die pool. Die spieëlbeeld van een arm oor die 90°/270°-lyn sal die ander arm lewer.

Keëlsnitte 

Keëlsnitte word uitgedruk deur die vergelyking
 
waar l die semi-latus rectum is en e die eksentrisiteit is.

As e < 1 definieer die vergelyking 'n ellips, as e = 1 definieer dit 'n parabool en as e > 1 definieer 'n hiperbool.

Ander krommes 
As gevolg van die sirkulêre basis van die koördinatestelsel is dit baie eenvoudiger om sekere krommes deur 'n vergelyking in poolkoördinate eerder as in Cartesiese vorm uit te druk. Onder die krommes tel lemniskaat, limaçons, en kardioïde.

Komplekse getalle 

Komplekse getalle, geskryf in reghoekige vorm as a + bi, kan ook op twee verskillende maniere in poolvorm uitgedruk word:
 , afgekort 
 
wat beide ekwivalent is volgens Euler se formule. Om tussen reghoekige en poolkomplekse getalle om te skakel word die volgende omskakelingsformules gebruik:
 
 
 en daarom 
Vermenigvuldiging, deling, en magsverheffing, en die bepaling van wortels van komplekse getalle is dit baie makliker om poolkomplekse getalle te gebruik as reghoekige komplekse getalle.
In afgekorte vorm:
 Vermenigvuldiging:
 
 Deling:
 
 Magsverheffing (De Moivre se formule):

Analise 
Analise kan op vergelykings wat in poolkoördinate uitgedruk is toegepas word.

Die hoekkoördinaat θ word in hierdie afdeling deurgaans in radiale uitgedruk.

Differensiasie 
Ons het die volgende formules:

 
 

Om die Cartesiese helling van die raaklyn aan die poolkromme r(θ) by enige gewe punt te verkry word die punt eers as 'n stel parametriese vergelykings geskryf.

 

 

Differensiasie van beide vergelykings met betrekking tot θ lewer

 

 

Deur die tweede vergelyking deur die eerste te deel word die Cartesiese helling van die raaklyn tot die kromme by punt (r, r(θ)) verkry:

Intergraalanalise 

Laat R die gebied aandui ingesluit deur  r(θ) en die strale  θ = a en θ = b, waar 0 < b − a < 2π. Dan is die oppervlak van R

 

Hierdie resultaat kan as volg gevind word. Eers word die interval [a, b] verdeel in n subintervalle, waar n 'n arbitrêre positiewe heelgetal is. Dus Δθ, die lengte van elke subinterval, is gelyk aan b − a (die totale lengte van die interval), gedeel deur n, die aantal subintervalle. Vir elke subinterval i = 1, 2, …, n, laat θi die middelpunt van die subinterval wees, en konstrueer 'n sektor met die middelpunt by die pool, radius r(θi), sentrale hoek Δθ en booglengte  . Die oppervlak van elke gekonstrueerde sektor is dus gelyk aan . Gevolglik is die totale oppervlak van al die sektore

 

Soos die aantal subintervalle n vermeerder word, word die benadering van die oppervlak al hoe beter. In die limiet soos n → ∞, word die som die Riemann som vir die bostaande integraal.

Veralgemening 
Deur Cartesiese koördinate te gebruik kan 'n infinitesimale oppervlak element bereken word as dA = dx dy. Die substitusie reël vir vermenigvuldiging stel dat, wanneer ander koördinate gebruik word, die Jacobiaanse determinant van die koördinateomskakelingformule oorweeg moet word:
 

Gevolglik kan 'n oppervlak element in poolkördinate geskryf word as
 

Nou, 'n funksie wat in poolkoördinate gegee word kan as volg geïntegreer word:
 
Hier is R dieselfde gebied as hier bo, naamlik, die gebied ingesluit deur 'n kromme r(θ) en die strale θ = a en θ = b.

Die formule vir die oppervlak van R word verkry deur f identies gelyk aan 1 te neem. 'n Meer verrassende toepassing van hierdie resultaat gee die Gauss integraal

Vektoranalise 
Analise kan toegepas word op uitdrukkings in poolkoördinate. Laat  die posisievektor  wees, met r en  wat afhang van tyd t, laat  'n eenheidsvektor in die regting  wees en  'n eenheidsvektor reghoekig tot . Die eerste een tweede afgeleides van posisie is
 .
 
Laat  die oppervlakte wees gevee deur 'n lyn wat die fokus met 'n punt op die kromme verbind. In die limiet is  helfte van die oppervlak van die parallelogram gevorm deur  en ,
 ,
en die totale oppervlak sal die integraal van  met betrekking tot tyd wees.

Drie dimensies 
Die poolkoördinatestelsel word deur twee verskillende koördinatestelsels na drie dimensies uitgebrei, die silindriese en sferiese koördinatestelsels.

Silindriese koördinate 

Die  silindriese koördinatestelsel is 'n koördinatestelsel wat die tweedimensionele poolkoördinatestelsel uitbrei na drie dimensies deur 'n derde koördinaat by te voeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. Die derde dimensie word gewoonlik deur h voorgestel wat die drie koördinate (r, θ, h) lewer.

Die drie silindriese koördinate kan na Cartesiese koördinate omgeskakel word deur

Sferiese koördinate 

Poolkoördinate kan ook na drie dimensies uitgebrei word deur die sferiese koördinatestelsel. In die koördinatestelsel word  'n punt afgestip deur die koördinate (ρ, φ, θ) waar ρ afstand van die pool is, φ die hoek van die z-as (bekend as die Engels: colatitude of zenith en gemeet van 0 tot 180°) en θ die hoek van die x-s (soos in die poolkoördinatestelsel). Die sferiese koördinatestelsel soortgelyk aan die breedtegraad en lengtegraad stelsel wat op die aarde gebruik word, met die breedtegraaddie komplement van  φ, wat bepaal word deur δ = 90° − φ, en die lengtegraad gemeet word deur l = θ − 180°.

Die drie sferiese koördinate word omgekakels na Cartesiese koördinate deur

Toepassings 
Poolkoördinate is tweedimensioneel en kan dus slegs gebruik word waar punte op 'n enkele tweedimensionele vlak lê. Poolkoördinate is veral geskik in gevalle waar die verskynsel wat beskryf word inherent verband hou met die lengte en rigting van 'n sentrale punt. Elementêre poolkoördinaatvergelyking kan by voorbeeld krommes soos die Archimedesspiraal beskryf terwyl die ekwivalente vergelyking in Cartesiese koördinate heelwat meer ingewikkeld sou wees. Verder word baie fisiese verskynsels, soos die wat bemoei is met liggame wat om 'n sentrale punt  beweeg of waar verskynsels hulle oorsprong by 'n sentrale punt het, kan baie eenvoudiger en op meer intuïtiewe wyse gemodelleer wanneer poolkoördinate gebruik word. Die aanvanklike rede vir die invoer van die poolkoördinatestelsel was om die studie van sirkulêre en orbitale beweging moontlik te maak

Posisie en navigasie 
Poolkoördinate word baiekeer in navigasie gebruik aangesien die bestemming en bewegingsrigting as 'n hoek en die afstand van voorwerp wat beskou word gegee kan word. Vliegtuie gebruik byvoorbeeld 'n effens aangepaste weergawe van die poolkoördinatestelsel vir navigasie. In die stelsel, wat gewoonlik vir enige vorm van navigasie gebruik word, word die 0° straal gewoonlik 360 genoem, en word die hoek in kloksgewyse rigting gemeet eerder as in die teenkloksgewyse rigting wat in die wiskundige stelsel gebruik word. 360 kom ooreen met Noord, terwyl 90, 180, en 270 onderskeidelik met Oos, Suid, en Wes, ooreenkom.  Dus sal 'n vliegtuig wat teen 5 seemyl oosvlieg teen 5 eenhede in rigting 90 (lees niner-zero lugverkeerbeheer) wees.

Modellering 
Stelsel wat radiale simmetrie vertoon vorm 'n natuurlike toepassingsveld vir die poolkoördinatestelsel, met die middelpunt wat as die pool dien. 'n Goeie voorbeeld van die gebruik is die grondwatervloeivergelyking wanneer toegepas op radiaal simmetriese putte. Stelsels met 'n radiale krag is ook goeie kandidate vir die gebruik van die poolkoördinatestelsel. Dit sluit in gravitasievelde, wat die omgekeerde-vierkantwet gehoorsaam, sowel as stelsels met puntbronne soos radio antennes.

Radiaal asimmetriese stelsels kan ook met poolkoördinate gemodelleer. 'n Mikrofoon se opvangspatroon illustreer byvoorbeeld die eweredige reaksie tot 'n inkomende klank uit enige gegewe rigting, en die patrone kan voorgestel word as polêre krommes. Die kromme van 'n standaard kardioïedmikrofoon, die mees algemene eenrigtingmikrofoon, kan voorgestel word as .

Kepler se wette van planetêre beweging 

Poolkoördinate is 'n natuurlike omgewing vir die uitdruk van Kepler se wette van planetêre beweging. Kepler se eerste wet stel dat die wentelbaan van 'n planeet om 'n ster 'n ellips vorm met een fokus by die middelpunt van die massamiddelpunt van die stelsel. Bogenoemde vergelyking kan gebruik word om die ellips voor te stel. Kepler se tweede wet, die wet van gelyke oppervlaktes stel dat  'n lyn wat 'n planeet en sy ster verbind gelyke oppervlaktes vee tydens die gelyke tydintervalle, dit wil sê   is konstant. Die vergelykings kan afgelei word van Newton se bewegingswette.

Verwysings

Eksterne skakels 

Koördinatestelsels