Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (5 Augustus 1802 – 6 April 1829) was 'n Noorse wiskundige wat die onmoontlikheid van die oplos van vyfdegraadse vergelykings deur middel van wortels bewys het deur die deur hom uitgedinkte wiskundige vertakking groepteorie aan te wend.

Vroeë lewe 

Niels Henrik Abel is in Nedstrand, Noorweë gebore en was die tweede kind van Søren Georg Abel en Anne Marie Simonsen. Toe hy gebore was, het die familie in die pastorie in Finnøy gebly. Niels Henrik was heel moontlik in die aangrensende gemeente gebore, aangesien sy ouers gaste van die balju in Nedstrand was gedurende Julie-Augustus in die jaar van sy geboorte.

Niels Henrik Abel se vader, Søren Georg Abel, had 'n graad in teologie en filosofie en het as pastoor in Finnøy gedien. Søren se vader en Niels se oupa, Hans Mathias Abel, was ook 'n pastoor, in Gjerstad naby Risør. Søren het sy jeug in Gjerstad deurgebring en het daar ook as kapelaan gedien. Ná sy vader se dood in 1804 is Søren as pastoor in Gjerstad aangestel, en dis toe dat die familie soontoe trek.

Anne Marie Simonsen was van Risør. Haar vader, Niels Henrik Saxild Simonsen, was 'n vakman en handelaar-skeepseienaar, en skynbaar die rykste persoon in Risør. Anne Marie het met twee stiefmoeders en in relatief luukse omstandighede grootgeword. In Gjerstad het sy graag balle en sosiale aangeleenthede gereël. Sy was blykbaar 'n alkoholis en het nie veel in die grootmaak van haar kinders belang gestel nie. Niels Henrik en sy broers het hul onderrig van hul vader ontvang en het uit handgeskrewe teksboeke geleer. Interessant lees 'n opteltabel in een van die wiskundeboeke: 1+0=0.

Katedraalskool en Koninklike Frederik-universiteit 

Met Noorse onafhanklikheid en die eerste verkiesing in 1814 is Søren Abel as 'n verteenwoordige vir die Noorse parlement, die Storting, verkies. Die Storting se vergaderings is tot en met 1866 in die hoofsaal van die Katedraalskool van Christiania (vandag Oslo) gehou. Heel moontlik as gevolg van hierdie blootstelling tot die skool het hy besluit dat sy oudste seun, Hans Mathias, die volgende jaar daar moes begin skoolgaan. Net voor hy die huis moes verlaat, was Hans Mathias só hartseer en depressief om weg te gaan dat sy vader hom toegelaat het om te bly. Hy stuur toe dus eerder Niels Henrik.

Niels Abel het in 1815 op die ouderdom van 13 by die skool begin skoolgaan. Hans Mathias het 'n jaar later by hom daar aangesluit. Hulle het in dieselfde kamer gebly en dieselfde klasse bygewoon. Hans Mathias het oor die algemeen beter punte as Niels gekry. In 1818 is Bernt Michael Holmboe as wiskundeonderwyser aangestel, en deur sy leerlinge take vir huiswerk te gee, het hy Niels Henrik se talent in wiskunde raakgesien. Hy het Niels private lesse ná skool gegee en hom aangemoedig om die vak tot op 'n gevorderde vlak te studeer.

In 1818 had Søren Abel 'n openbare teologiese argument met Stener Johannes Stenersen oor sy kategisme van 1806. Die argument is wyd in die pers gedek en Søren het die bynaam "Abel Spandabel" gekry. Terselfdertyd het Søren amper sy posisie in die parlement verloor nadat hy Carsten Anker, gasheer van die Noorse Konstituentvergadering, beledig het. In 1818 keer Søren terug na Gjerstad met sy politieke loopbaan tot niet. Hy het hewig begin drink en is twee jaar later, in 1820 en op die ouderdom van 48, dood. Op sy begrafnis, met die pastorie gevul met gaste, het sy vrou dronk geword en openlik met een van die diensknegte na 'n slaapkamer onttrek.

Die twee broers het verskillend op die agteruitgang van hul familie gerageer. Op skool het Niels Henrik geweldig goed in wiskunde gedoen, maar hy het met sy ander vakke gesukkel. Hans Mathias het egter in 'n ernstige depressie verval, waarvan hy nooit sou herstel nie. Hy het sy klasse opgeskop en na Gjerstad teruggekeer kort ná sy vader se dood. Die familie is in moeilike omstandighede gelaat. Anne Marie Abel se welvarende vader het in die resessie ná die Napoleontiese Oorloë bankrot geword en het ook in 1820 gesterf.

Bernt Michael Holmboe het Niels Henrik Abel met 'n beurs ondersteun sodat hy by die skool kon bly en het geld van sy vriende ingesamel sodat Niels Henrik aan die Koninklike Frederik-universiteit kon studeer.

Teen 1821 toe Abel by die universiteit begin studeer het, was hy reeds die slimste wiskundige in Noorweë. Holmboe het geen meer onderwerpe wat hy aan Abel, wat reeds al die nuutste wiskundige literatuur in die universiteitsbiblioteek bestudeer het, kon leer nie. Abel het ook reeds begin werk aan sy eerste prestasie, die oplossingsprobleem van vyfdegraadse vergelykings in wortels. Wiskundiges het vir die vorige 250 jaar vir 'n oplossing tot hierdie probleem gesoek, en toe Abel in 1821 dink dat hy die oplossing gevind het, het twee professors aan Christiania, Søren Rasmussen en Christopher Hansteen, geen foute in Abel se formules gevind nie. Hulle stuur toe die werk na die voorste wiskundige in die Nordiese lande, professor Ferdinand Degen in Kopenhagen. Hy kon ook geen fout met die werk vind nie, maar het getwyfel of 'n onbekende student in vergeleë Christiania werklik die oplossing tot 'n probleem waaroor wiskundiges al vir so lank gedink het, kon vind. Degen het egter opgemerk dat Abel 'n merkwaardig skerp verstand had en dat só 'n talentvolle jong man nie sy vermoë op die steriele vyfdegraadvergelyking-probleem moes mors nie, maar eerder sy tyd op elliptiese funksies en transendensie moes bestee. Volgens Degen sou dít Abel in staat stel om "Magellaanse deurweë tot groot gedeeltes van 'n uitgestrekte analitiese oseaan ontdek". Degen het Abel versoek om 'n numeriese voorbeeld vir sy metode te verskaf, maar Abel ontdek toe 'n fout in sy artikel voor hy só 'n voorbeeld kon vind.

In 1822 gradueer Abel van die universiteit. Sy prestasie was gemiddeld, behalwe in wiskunde.

Loopbaan 

Ná sy graduering het professors van die universiteit Abel finansieel ondersteun, en professor Christoper Hansteen het hom in sy solder laat woon. Abel sou later me. Hansteen as sy tweede moeder beskou. Terwyl Abel daar in die solder gewoon het, het hy ondertussen sy jonger broer, Peder Abel, help voorberei vir die examen artium, eksamens wat in Noorweë en Denemarke afgelê word om universiteitsvrystelling te kry. Hy het ook sy suster Elisabeth gehelp werk kry in die stad.

Vroeg 1823 publiseer Niels Henrik Abel sy eerste artikel in Magazin for naturvidenskaberne (Tydskrif vir die natuurwetenskappe), Noorweë se eerste wetenskaplike tydskrif en waarvan professor Hansteen 'n medestigter was. Abel het heelwat artikels gepubliseer, maar die tydskrif het gou agtergekom dat hierdie materiaal nie geskik was vir die deursnit leser nie. Ook in 1823 het Abel 'n artikel in Frans geskryf, met die Noorse titel "En alminnelig fremstilling af muligheten at integrere alle mulige differential-formler" ('n Algemene voorstelling van die moontlikheid om enige moontlike differensiaalformule te integreer). Hy het by die universiteit om fondse aansoek gedoen sodat hy die artikel kon publiseer, maar tydens hersiening het die werk verlore geraak en is nooit weer gevind nie.

Midde-1823 skenk professor Rasmussen aan Abel 100 speciedaler waarmee hy na Kopenhagen kon reis om Ferdinand Degen en ander wiskundiges daar te ontmoet. In Kopenhagen werk Abel ietwat aan Fermat se laaste stelling. Abel se oom, Peder Mandrup Tuxen, het by die vlootsbasis in Christianshavn, Kopenhagen gewoon en tydens 'n bal daar het Niels Henrik Abel Christine Kemp ontmoet, met wie hy verloof sou word. Inj 1824 trek Christine na Son om as goewerneurin te werk, en die paartjie is daardie Kersfees verloof.

Ná sy terugkeer uit Kopenhagen, doen Abel aansoek om 'n staatsbeurs om top wiskundiges in Duitsland en Frankryk te besoek; hy is egter 200 speciadaler jaarliks oor twee jaar toegestaan om in Christiania te bly en Duits en Frans te leer. Hy is belowe dat hy in die daaropvolgende twee jaar jaarliks 600 speciadaler sou ontvang en dan internasionaal sou kon reis. Terwyl Abel Duits en Frans leer, publiseer het sy eerste noemenswaardige werk in 1824, "Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré" (Memoires oor algebraïese vergelykings, waarin die onmoontlikheid van die oplos van die algemene formule van die vyfdegraadse vergelyking bewys word). Hierdie stuk het op Abel se werk van 1823 gevolg toe hy die onmoontlikheid van die oplos van die vyfdegraadse vergelyking in wortels bewys het, in 'n stelling wat vandag as die Abel-Ruffini-stelling bekend staan. Hierdie artikel was egter in onverstaanbare vorm, gedeeltelik omrede Abel die werk tot ses bladsye beperk het sodat hy geld op die druk daarvan kon bespaar. 'n Meer gedetailleerde bewys is in 1826 in die eerste uitgawe van Crelle se Tydskrif gepubliseer.

In 1825 skryf Abel 'n persoonlike brief aan Koning Karl Johan van Noorweë-Swede om toestemming te kry om onmiddellik buitelands te reis. Hy is hierdie toestemming toegestaan en vertrek in September 1825 vanuit Christiania met vier universiteitsvriende, Christian P.B. Boek, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller, en Otto Tank. Die vier was op reis na Berlyn om aardrykskunde te bestudeer. Abel wou hulle na Kopenhagen vergesel en vandaar sy eie weg na Göttingen neem. Die voorwaardes van sy skolierskap het gestipuleer dat hy Gauss in Göttingen sou besoek en dan na Parys reis. Toe hy egter Kopenhagen bereik, het hy van plan verander: hy wou eerste sy vriende tot in Berlyn vergesel en dan daarna Göttingen en Parys besoek.

Op pad besoek hy die astronoom Heinrich Christian Schumacher in Altona, nou 'n distrik van Hamburg. Hy bestee daarna vier maande in Berlyn, waar hy August Leopold Crelle goed leer ken het, wie toe net van plan was om sy wiskundige tydskrif, Journal für die reine und angewandte Mathematik (ook Crelle se Tydskrif), te publiseer. Abel het hierdie projek sterk aangemoedig, en het geweldig tot die sukses daarvan bygedra. Hy het in die tydskrif se eerste jaar sewe artikels daarin gepubliseer.

Vanaf Berlyn het Abel sy vriende tot in die Alpe vergesel. Hy het 'n draai in Leipzig en Freiberg gemaak waar hy Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann en sy broer, die wiskundige August Naumann, besoek het. In Freiberg doen Abel briljante navorsing in die teorie van funksies, veral in elliptiese, hiperelliptiese, en abelse funksies.

Vanaf Freiberg reis die manskap na Dresden, Praag, Wene, Trieste, Venesië, Verona, Bolzano, Innsbruck, Luzern, en Basel. Julie 1826 reis Abel alleen van Basel na Parys. Abel het die meeste van sy werk na Berlyn gestuur om in Crelle se Tydskrif gepubliseer te word, maar hy het wat hy as sy belangrikste werk geag het, 'n stelling oor die optel van algebraïese differensiale, gespaar vir die Franse Akademie vir die Wetenskappe. Met hulp van Gørbitz vond hy 'n woonstel in Parys, waar hy werk aan die stelling voortgesit het. Hy voltooi dit in Oktober 1826 en stuur dit aan die Akademie, waar dit deur Augustin-Louis Cauchy hersien sou word. Abel se werk was min bekend in Parys, en sy beskeidenheid het hom daarvan weerhou om sy navorsing te verkondig. Die stelling is eenkant gesit en is van vergeet tot en met sy dood.

Abel se beperkte fondse forseer hom uiteindelik om sy reis in Januarie 1827 te staak. Hy keer na Berlyn terug, waar hy 'n pos as redakteur van Crelle se Tydskrif aangebied is. Hy aanvaar dit egter nie. Teen Mei 1827 is hy terug in Noorweë, waar sy buitelandse reis as 'n mislukking beskou word. Hy het nie Gauss in Göttingen besoek nie en hy het niks in Parys gepubliseer nie. Sy skolierskap word dus nie hernieu nie en hy moes 'n private lening van 200 speciedaler by Norges Bank uitneem. Hy sou hierdie lening nooit terugbetaal nie. Hy begin bylesse gee en stuur die meeste van sy werk na Crelle se Tydskrif. Midde-1828 publiseer hy, tydens 'n wedywering met Carl Jacobi, 'n belangrike werk oor elliptiese funksies in Astronomische Nachrichten in Altona.

Dood 
Abel was in Parys toe hy tuberkulose opdoen. Hy reis vir die Kersfees van 1828 na Froland om besoek aan sy verloofde af te lê, maar op pad word hy ernstig siek. Alhoewel hy vir 'n kort ruk beter gevoel het en die vakansie saam met sy verloofde kon geniet, het hy gesterf net twee dae voordat 'n brief vir hom van August Crelle aangekom het. Crelle het al die tyd vir Abel 'n werk in Berlyn gesoek en het daarin geslaag om hom as professor by 'n universiteit aangestel te kry. Crelle het die brief op 8 April 1829 geskryf om aan hom die goeie nuus te vertel, maar dit was net te laat.

Wiskundige bydraes 
Abel het 'n bewys van die binomiaalstelling gelewer wat vir alle getalle geld, en het daarmee dus Euler se resultaat uitgebrei wat net vir rasionale getalle geld. Op die ouderdom van 19 wys Abel dat daar geen algemene algebraïese oplossing vir die wortels van 'n vyfdegraadse vergelyking is nie, en sterker nog daar geen sulke formule in terme van algebraïese bewerkings bestaan vir enige polinomiese vergelyking met graad hoër as vier nie. Om tot hierdie slotsom te kom, moes Abel 'n geweldig belangrike vertakking van wiskunde, genaamd groepteorie, uitdink, wat vandag van kardinale belang in beide wiskunde en fisika is. Abel se teorie is onafhanklink van die jong Franse groepteoretikus Évariste Galois ontwikkel, en Abel se ander prestasies sluit in 'n monumentale werk oor elliptiese funksies wat ongelukkig nie tot ná sy dood ontdek is nie. Toe Abel gevra is hoe hy sy wiskundige vermoë so vinnig ontwikkel het, was sy antwoord "deur die meesters, en nie hul studente nie, te bestudeer". Abel het van Carl Friedrich Gauss se skryfstyl gesê: "Hy is soos die vos wat sy voetspore in die sand met sy stert uitwis."

Nalatenskap 
Die vroegtydige dood van hierdie talentvolle jong wiskundige, van wie Adrien-Marie Legendre gesê het "quelle tête celle du jeune Norvégien!" ("wat 'n hoof het die jong Noor!"), het 'n loopbaan van uitstaande briljansie kort geknip. Onder Abel se leiding is die heersende probleme in analise uit die weg begin ruim, nuwe velde ontdek en die studie van funksies tot só 'n mate bevorder dat wiskundiges met geweldige hoeveelhede nuwe materiaal gelaat is waarmee hulle verdere vooruitgang kon maak. Sy werke, waarvan die meeste oorspronklik in Crelle se Tydskrif verskyn het en deur Bernt Michael Holmboe geredigeer is, is in 1839 deur die Noorse regering gepubliseer; 'n vollediger weergawe deur Ludwig Sylow en Sophus Lie is in 1881 gepubliseer. Die byvoeglike naamwoord "abels" het in sulke algemene gebruik in die wiskundige literatuur beland dat dit vandag volgens konvensie met 'n kleinletter "a" geskryf word, bv. in abelse groep, abelse kategorie, en abelse variëteit.

Op 6 April 1929 is vier Noorse posseëls uitgereik om 'n honderd jaar sedert Abel se dood te herdenk. Sy portret verskyn op weergawe V van die 500-kroon banknoot wat van 1978 tot 1985 gedruk is. Op 5 Junie 2002 is weer vier Noorse posseëls uitgereik twee maande vóór die tweede eeuherdenking van Abel se dood. Daar word ook 'n 20-kroon munt in Abel se eer in Noorweë gesirkuleer. 'n Standbeeld deur Gustav Vigeland staan in Oslo, en die Abel-krater op die Maan is na hom vernoem. In 2002 is ook die Abel-prys ter sy nagedagtenis gevestig.

Noorse wiskundiges
Wiskundiges in die 19de eeu
Geboortes in 1802
Sterftes in 1829