Newton-Raphson-metode

Die Newton-Raphson metode (ook bekend as Newton se metode) is 'n iteratiewe metode wat gebruik word om vergelykings op te los wat andersins baie moeilik of onmoontlik is om algebraïs op te los. Dit is waarskynlik een van die beste en gewildste metodes om opeenvolgend beter benaderings tot die wortels van 'n reëlwaardige funksie te vind.  Dié metode konvergeer dikwels verbasend vinnig, veral as die iterasie naby aan die verlangde wortel begin.  Ongelukkig is dit ook waar dat dié metode vinnig kan wegbeweeg vanaf die verlangde wortel as die eerste iterasie ver van die wortel af begin het.  Goeie algoritmes wat die metode insluit bevat daarom gewoonlik 'n metode om konvergensieprobleme op te spoor.

Probleemstelling 
Vir 'n gegewe funksie  wil ons die waarde van  bereken waarvoor . Ons wil dus die wortel van die funksie bereken. Mens kan enige vergelyking in hierdie formaat skryf deur al die terme aan die regterkant na die linkerkant toe te skuif. As voorbeeld, veronderstel  is gegewe, dan kan ons hierdie uitdrukking herskryf as  waaruit volg dat  'n oplossing van die vergelyking  is.

Beskrywing 
Gegewe 'n funksie  en sy afgeleide , dan word daar begin met 'n eerste raaiskoot  'n Beter benadering  van die wortel word dan verkry deur die formule

Ons gebruik dan as die volgende raaiskoot en bereken dan 'n volgende raaiskoot deur gebruik te maak van die vorige formule, dit wil sê

Hierdie proses word dan oor en oor toegepas om 'n ry opeenvolgend beter benaderings  te verkry. Die proses word beëindig indien óf  (waar  'n klein, reële getal is) óf Die voorgenoemde voorwaarde dui aan dat die raaiskote naby mekaar is en die laasgenoemde voorwaarde dui aan dat die funksiewaarde klein genoeg is vir die waardeskatting. Die getal  word die fout (van die benadering) genoem.

Bespreking 

Die gedagte agter die metode is as volg: 'n mens begin met 'n aanvanklike raaiskoot wat redelik naby is aan die ware wortel, die funksie word dan benader deur sy raaklyn (wat bereken kan word deur van differensiasie gebruik te maak) wat mens dan in staat stel om die -snypunt van die raaklyn te bereken (met behulp van gewone algebra).  Hierdie -snypunt sal tipies 'n beter benadering wees vir die funksie se wortel as die oorspronklike raaiskoot en die metode kan dan van daar herhaal word deur verder iterasies uit te voer.

Gestel  is 'n differensieërbare funksie gedefinieer op die interval  met waardes in die reële getalle .  Die vergelyking vir die konvergensie na die wortel kan dan maklik afgelei word.  Gestel ons het 'n benadering xn.  Die vergelyking vir 'n beter benadering, xn+1 kan  dan afgelei word deur te verwys na die diagram na regs.  Ons weet uit die definisie van die afgeleide by 'n gegewe punt dat dit die helling van die raaklyn by 'n gegewe punt op die grafiek is.

Dit wil sê

f ' stel die afgeleide van die funksie f voor.  'n Mens kan dan algebraïes aflei dat

Die proses word begin met 'n arbitrêre aanvangswaarde x0.  (Hoe nader dit aan die wortel is des te beter.  Die metode sal gewoonlik kwadraties konvergeer in die gebied van die wortel, wat beteken dat die aantal korrekte desimale van die benadering met elke raaiskoot rofweg verdubbel. In die afwesigheid van enige kennis van waar die wortel mag lê, kan die biseksie metode gebruik word om die moontlike ligging van die wortel oor 'n redelik klein interval te bepaal deur na die tussenwaarde stelling te verwys.

Toepassing op minimering en maksimering 
Newton se metode kan ook gebruik word om die minimum of maksimum van 'n funksie te bepaal.  Die afgeleide is nul by 'n minimum of 'n maksimum, dus kan minima en maksima gevind word deur Newton se metode op die afgeleide toe te pas.  Die iterasie word dan:

Meetkundige interpretasie 
Die metode kan baie maklik verstaan word as dit meetkundig beskou word:

 Kies 'n punt x1 op die x-as naby die nulpunt;
 Konstrueer 'n loodregte lyn op die x-as, deur x1;
 Konstrueer die raaklyn deur f(x1) aan die kromme f(x);
 Die nuwe benadering x2 word deur die snypunt van die raaklyn met die x-as gegee;
 Herhaal bogenoemde proses deur by x2 te begin.

Verdere gebruike 
'n Belangrike, maar ietwat verrassende, toepassing is Newton-Raphson deling, wat gebruik kan word om vinnig die omgekeerde van 'n getal te verkry deur slegs van vermenigvuldiging en aftrekking gebruik te maak.

Wiskunde