Konstruksies van meetkundige figure

Konstruksies is akkurate tekeninge wat op gegewe afmetings gebaseer is.

Wenke vir enige konstruksie 
 Gebruik 'n skerp potlood. Dit sal jou help om akkuraat te werk. Moet nooit 'n pen gebruik nie.
 Konstruksies moet netjies wees.
 Moenie enige van jou konstruksielyne (bogies) uitvee nie.
 Dit help om eers 'n rowwe skets van die konstruksie te maak. Dit hoef glad nie op skaal te wees nie. Die rowwe skets kan dan as 'n riglyn gebruik word vir die finale konstruksie.
 Wanneer jy hoeke met 'n gradeboog meet, moet jy seker maak dat die 0° lyn op een van die hoekbene is. Jy gebruik die buitenste ry getalle op die gradeboog as jy die hoek in 'n kloksgewyse rigting meet en die binneste ry getalle as in 'n anti-kloksgewyse rigting meet.

Konstruksies van driehoeke 
 Lengtes van al drie sye is bekend
AB = 10 cm,  BC = 8 cm en AC = 5 cm

Stap 1:     Trek een sy akkuraat deur jou liniaal te gebruik. Benoem die twee punte (A en B).

Stap 2:     Sit die punt van jou passer presies op die een punt (A) van hierdie lyn en merk die lengte met jou passer deur 'n boog te trek van 5 cm.

Stap 3:     Sit nou die passerpunt presies op die ander punt (B) van die lyn en merk die lengte met jou passer deur weer 'n boog  te trek van 8 cm.

Stap 4:     Die twee boë sny by C. Verbind die snypunt van die twee boë met die ander hoekpunte op die lyn om 'n driehoek te vorm.

 Grootte van twee hoeke en die lengte van een sy is bekend
Stap 1:     Trek een sy akkuraat deur jou liniaal te gebruik. Benoem die twee punte (A en B).

Stap 2:     Gebruik 'n gradeboog en meet die presiese hoekgrootte by punt A. Trek dan 'n lyn na die punt waar die hoek afgemerk is.

Stap 3:     Meet met 'n gradeboog die ander hoek af by punt B op die lyn en trek dan 'n lyn na die punt waar die hoek afgemerk is.

Stap 4:     Die twee lyne sny mekaar en  vorm 'n driehoek. Benoem die punt waar die lyne sny (C).

 Lengtes van twee sye en en die hoekgrootte tussen die twee sye is bekend
Stap 1:     Trek een sy akkuraat deur jou liniaal te gebruik. Benoem die twee punte (A en B).

Stap 2:     Gebruik 'n gradeboog en meet die presiese hoekgrootte by punt A. Trek dan 'n lyn na die punt waar die hoek afgemerk is.

Stap 3:     Meet met jou passer die lengte van die ander sy op jou liniaal af. Trek 'n boog op die lyn om die sylengte af te merk. Benoem dit punt C.

Stap 4:     Trek die derde sy deur die punt B en C te verbind.

Halveer hoeke 
 Halveer beteken om in twee ewe groot helftes te verdeel.
Jy kan enige hoek halveer sonder dat die grootte van die hoek bekend is.

Stap 1:     Gebruik jou liniaal en teken enige hoek (FĜH)

Stap 2:     Gebruik jou passer en plaas die skerppunt op punt G. Teken 'n boog wat lyn FG en GH kruis. Noem die punt A en B.

Stap 3:     Plaas jou passerpunt op punt A en daarna op punt B en konstrueer nog twee boë van gelyke lengte van die punte wat mekaar kruis by punt C.

Stap 4:     Teken 'n lyn vanaf punt g deur C. GC is die halveerlyn van FĜH.

Stap 5:     Meet die hoeke met jou gradeboog om te bewys dat FĜC = CĜH.

Loodregte lyn vanaf 'n gegewe punt na 'n lyn 
 Loodregte lyne ontmoet of sny mekaar teen 'n hoek van 90°.
Stap 1:     Teken 'n lynsegment  en punt A.

Stap 2:     Plaas jou passer se skerp punt akkuraat op punt A en teken dan 'n boog wat die lynsegment op twee plekke sny. Benoem die kruispunte B en C.

Stap 3:     Stel jou passer kleiner. Plaas die skerp punt van die passer op punt B en dan op punt C en trek twee boë wat mekaar sny aan die teenoorgetelde kant van die lyn as punt A. Benoem die kruispunt D.

Stap 4:     Verbind punt A en D. Lyn AD is loodreg op lyn BC. Gebruik jou gradeboog op seker te maak dat AD  BC (90°).

Loodregte lyn by 'n gegewe punt op 'n lyn 
Stap 1:     Teken 'n lynsegment  (enige lengte) en merk punt A af op die lyn.

Stap 2:     Plaas jou passer se skerp punt akkuraat op punt A en teken dan gelyke boë deur die lyn aan weerskante van A. Benoem hierdie kruispunte B en C.

Stap 3:     Plaas die skerpunt van die passer op punt B en teken boë bo en onder die lyn. Daarna word die skerppunt op punt C geplaas en word daar ook gelyke boë bo en onder die lyn getrek. Die twee stelle boë moet mekaar kruis.

Stap 4:     Verbind die twee kruispunte met mekaar deur 'n reguit lyn te trek met 'n liniaal. Die reguitlyn behoort deur punt A op die lynsegment te gaan om loodregte lyne te vorm.

Middelloodlyn van 'n lynsegment / loodregte halveerlyn 
Stap 1:     Trek 'n lyn van presiese lengte (bv. 6 cm). Benoem die lyn AB.

Stap 2:     Plaas die skerppunt van die passer op die beginpunt van die lyn (A) en trek 'n boog van bo na onder die lyn.

Stap 3:     Hou die passer se grootte dieselfde. Plaas die passerpunt op punt B en teken nog  'n boog. Die boë moet mekaar bo en onder die lyn sny.

Stap 4:     Teken 'n lyn deur die kruispunte van die boë. Benoem die lyn CD. Indien die konstruksie akkuraat gedoen is, sal CD die lyn AB halveer by punt E.

                  AE = BE = 3 cm

                  CD is die middelloodlyn of halveerlyn en CD  AB.

Konstruksie van spesiale hoeke sonder 'n gradeboog (30°, 45° en 60°) 
 Konstrueer 'n hoek van 45°
Jy het alreeds in die vorige konstruksies drie verskillende tegnieke geleer hoe om 'n hoek van 90° te konstrueer sonder die gebruik van 'n gradeboog, asook hoe om 'n hoek te halveer. Gebruik nou hierdie inligting om 'n hoek van 45° te konstrueer.

Stap 1:     Konstrueer 'n hoek van 90°.

Stap 2:     Halveer die hoek. Daar is dus twee konstruksies op een.

·        Konstrueer 'n hoek van 60°

'n Hoek van 60° kan gekonstrueer word deur 'n gelyksydige driehoek te teken. 'n Gelyksydige driehoek het drie gelyke sye en al drie die hoeke is 60°.

 Stap 1:     Trek 'n reguit lyn met 'n liniaal van presiese lengte (Bv. 6 cm). Benoem die lyn AB.

Stap 2:     Gebruik jou liniaal en stel jou passer se radius (wydte) op 6 cm. Jy moet die radius dieselfde hou vir die res van die konstruksie.

Stap 3:     Plaas die passer se skerppunt op punt A en trek 'n boog bo lyn AB.

Stap 4:     Plaas nou die passer se skerppunt op punt B en trek 'n boog bo lyn AB wat kruis met die vorige boog reeds getrek. Benoem die kruispunt C.

Stap 5:     Verbind punt A met die kruispunt deur 'n reguitlyn te trek en verbind daarna punt B met dieselfde kruispunt. 'n Gelyksydige driehoek word gevorm waarvan al die hoeke 60° is.

 Konstrueer 'n hoek van 30°
Jy het alreeds in die vorige konstruksies die tegnieke geleer hoe om 'n hoek van 60° te konstrueer sonder die gebruik van 'n gradeboog, asook hoe om 'n hoek te halveer. Gebruik nou hierdie inligting om 'n hoek van 30° te konstrueer.

Stap 1:     Konstrueer 'n hoek van 90°.

Stap 2:     Halveer die hoek. Daar is dus twee konstruksies op een.

Ondersoek die eienskappe van vierhoeke 
'n Vierhoek is meetkundige figuur met 4 sye. Ons gaan die eienskappe van verskillende vierhoeke ondersoek (hoeke, sye en hoeklyne) deur van konstruksies gebruik te maak.

Voordat jy 'n vierhoek kan konstrueer, moet jy eers weet hoe om parallelle lyne te konstrueer.

Stap 1:     Teken 'n lynsegment AB en merk 'n punt D. Punt D sal op die lyn wees wat parallel aan AB is.

Stap 2:     Trek 'n lyn vanaf A deur punt D.

Stap 3:     Stel die passer se radius (wydte) kleiner as die afstand tussen A en D. Trek 'n boog wat deur lyn AD en AB sny.

Stap 4:     Hou die passer se wydte presies dieselfde. Plaas die passer se skerppunt op punt D en teken nog 'n boog.

Stap 5:     Stel die passer se wydte dat dit gelyk is aan die afstand tussen die twee punte waar die eerste boog lyn AD en AB sny. Plaas nou die passer se skerppunt op die punt waar die tweede boog lyn AD sny en teken 'n derde boog. Herdie boog moet deur die tweede boog sny.

Stap 6:     Trek 'n reguitlyn vanaf punt D na die kruispunt van die twee boë. DC is parallel aan AB.

Eienskappe van 'n parallelogram 
Stap 1:     Trek twee reguitlyne AB = 7 cm en BC = 5 cm, met B = 70°. Om die parallelogram te voltooi, konstrueer  en  deur jou liniaal en passer te gebruik en die konstruksie van parallellelyne toe te pas.

Stap 2:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AB en DC; BC en AD.

Stap 3:     Meet en vergelyk die hoekgroottes van:

                  A en C;  B en D.

Stap 4:     Trek lyn BD en AC. Dit is die hoeklyne van die parallelogram. Die twee hoeklyne sny mekaar in punt M. Meet en vergelyk die lengtes van AC en BD.

Stap 5:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AM en MC;  BM en MD.
 Uit die konstruksie van 'n parallelogram, het die volgende eienskappe na vore gekom:
 Teenoorstaande sye is gelyk (AB = CD en AD = BC)
 Teenoorstaande sye is parallel (ewewydig) ( en ).
 Teenoorstaande hoeke is gelyk (A = C en B = D).
 Die hoeklyne is nie gelyk nie, maar die hoeklyne halveer mekaar (AM = MC en BM = MD).

Eienskappe van 'n ruit 
Stap 1:     Trek twee reguitlyne AB = 7 cm en BC = 7 cm, met B = 70°. Om die ruit te voltooi, konstrueer  en  deur jou liniaal en passer te gebruik en die konstruksie van parallellelyne toe te pas.

Stap 2:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AB en DC; BC en AD.

Stap 3:     Meet en vergelyk die hoekgroottes van:

                  A en C;  B en D.

Stap 4:     Trek lyn BD en AC. Die hoeklyne van die ruit sny mekaar in punt G. Meet en vergelyk die lengtes van AC en BD.

Stap 5:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AG en GC;  BG en DG.

Stap 6:     Meet en vergelyk die grootte van AĜB, AĜD, CĜB en CĜD.

Die volgende eienskappe van die ruit het uit die konstruksie na vore gekom:
 Al die sye is gelyk (AB = BC = CD = AD)
 Teenoorstaande sye is parallel (ewewydig) ( en ).
 Teenoorstaande hoeke is gelyk (A = C en B = D).
 Die hoeklyne is nie gelyk nie, maar die hoeklyne halveer mekaar (AG = GC en BG = DG).
 Die hoeklyne sny mekaar loodreg (AC  BD).  AĜB = AĜD = CĜB = CĜD = 90°.

Eienskappe van 'n reghoek 
Stap 1:     Trek twee reguitlyne AB = 7 cm en BC = 5 cm, met AB  BC (90° hoek). Voltooi die reghoek deur  en  te konstrueer deur jou liniaal, passer en gradeboog te gebruik.

Stap 2:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AB en DC; BC en AD.

Stap 3:     Meet en vergelyk die hoekgroottes van:

                  A, B, C en D.

Stap 4:     Trek lyn BD en AC. Dit is die hoeklyne van die reghoek. Die twee hoeklyne sny mekaar in punt M. Meet en vergelyk die lengtes van AC en BD.

Stap 5:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AM en MC;  BM en MD.

Die volgende eienskappe van die reghoek het na vore gekom:
 Teenoorstaande sye is gelyk (AB = CD en AD = BC)
 Teenoorstaande sye is parallel (ewewydig) ( en ).
 Al die hoeke is gelyk aan 90°.
 Die hoeklyne is nie gelyk nie, maar die hoeklyne halveer mekaar (AM = MC en BM = MD).

Eienskappe van 'n vierkant 
Stap 1:     Trek twee reguitlyne AB = 5 cm en BC = 5 cm en AB  BC (90° hoek). Voltooi die vierkant deur  en  te konstrueer deur jou liniaal, passer en gradeboog te gebruik.

Stap 2:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AB, BC, CD en AD.

Stap 3:     Meet en vergelyk die hoekgroottes van:

                  A, B, C en D.

Stap 4:     Trek lyn BD en AC. Die hoeklyne van die vierkant sny mekaar in punt G. Meet en vergelyk die lengtes van AC en BD.

Stap 5:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AG en GC;  BG en DG.

Stap 6:     Meet en vergelyk die grootte van AĜB, AĜD, CĜB en CĜD.

Die volgende eienskappe van die vierkant het uit die konstruksie na vore gekom:
 Al die sye is gelyk (AB = BC = CD = AD)
 Teenoorstaande sye is parallel (ewewydig) ( en ).
 Al die hoeke is gelyk aan 90°.
 Die hoeklyne is gelyk (AC = BD).
 Die hoeklyne halveer mekaar (AG = GC en BG = DG).
 Die hoeklyne sny mekaar loodreg (AC  BD). AĜB = AĜD = CĜB = CĜD = 90°.

Eienskappe van 'n vlieër 
Stap 1:     Trek twee gelyke lyne AB = 3 cm en BC = 3 cm, met hoek B = 65° (of enige ander grootte). Gebruik nou jou passer en punte A en C om punt D te vind sodat AD = CD = 7 cm.

Stap 2:     Meet en vergelyk die groottes van:

                  A, C en D

Stap 3:     Trek lyn BD en AC. Dit is die hoeklyne van dievlieër. Die hoeklyne sny mekaar in punt G. Meet en vergelyk die lengtes van AC en BD.

Stap 5:     Meet en vergelyk die lengtes van:

                  AG en GC;  BG en DG.

Stap 6:     Meet en vergelyk die grootte van AĜB, AĜD, CĜB en CĜD.

Die volgende eienskappe van die vlieër het uit die konstruksie na vore gekom:
 Twee pare aangrensende / aanliggende sye is gelyk (AB = BC en AD = CD)
 Slegs een paar van die teenoorstaande hoeke is gelyk. BÂD = BĈD – gelyke hoeke is teenoor die simmetrielyn.
 Die hoeklyne is nie gelyk nie.
 Die langste hoeklyn halveer die kortste hoeklyn (AG = GC).
 Die hoeklyne sny mekaar loodreg (AĜB = AĜD = CĜB = CĜD = 90°).

Meetkunde