Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel

==Einführung==
Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Wahrscheinlichkeiten, die beim Werfen von n-seitigen Würfeln auftreten können.
==Ein Würfel==
Ein fairer n-seitiger Würfel besitzt für das Auftreten jeder Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit \frac{1}{n}(Gleichverteilung). Reale Würfel erfüllen dies zwar nicht perfekt, aber gut genug, wenn sie gut gearbeitet sind (was insbesondere bei den Platonischen Körpern W4, W6, W8, W12 und W20 vergleichsweise einfach ist). Es gibt natürlich auch "gezinkte Würfel" (siehe Schummeln im Rollenspiel), aber diese wollen wir hier nicht betrachten.
;Beispiel:
:Die Wahrscheinlichkeit, mit einem W6 eine "6" zu würfeln, beträgt \frac{1}{6} = 16.67 %
:Die Wahrscheinlichkeit, mit einem W20 eine "1" zu würfeln, beträgt \frac{1}{20} = 5 %
;Erwartungswert:
Der Erwartungswert eines Würfelwurfes ist der Wert, den man bei sehr vielen Würfen im Durchschnitt erwarten würde (alle Würfe zusammenzählen und durch die Anzahl teilen). Die allgemeine Formel für N-seitige Würfel lautet:
(N+1)/2
;Beispiel:
:Bei einem W6 beträgt der Erwartungswert 3,5, bei einem W20 10,5. Somit beträgt der erwartete Schaden einer 2W6+4 Waffe 11 und ist damit höher als der erwartete Wert eines W20.
;Standardabweichung:
Die Standardabweichung gibt Auskunft darüber, wie stark die auftretenden Werte um den Erwartungswert schwanken werden. Die allgemeine Formel für N-seitige Würfel lautet:
\sqrt{(N^2-1)/12}
;Beispiel:
:Damit ist die Standardabweichung für W6 1,7, und für W20 5,77. Die Angabe dieser Werte wird allerdings erst bei der Wahrscheinlichkeit Summen N-seitiger Würfel interessant.
Erwartungswert und Standardabweichung sind zwei wichtige Kennzahlen von Zufallsvariablen.
==Mehrere Würfel==
Wirft man mehrere n-seitige Würfel, wird es für die Angabe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse wichtig, ob man die Würfel als unterscheidbar ansieht (Variation mit Wiederholung) oder nicht (Kombination mit Wiederholung) - mit anderen Worten, ob man beim Werfen von drei Würfeln (grün, blau, rot) die Ergebnisse (1,4,6) und (4,1,6) als unterscheidbar ansieht oder nicht.
;Unterscheidbare Würfel (also mit Beachtung der Reihenfolge):
Im Fall der unterscheidbaren Würfel ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich, und man kann die Formel von Laplace nutzen:
\text{Wahrscheinlichkeit} = \frac{\text{Anzahl der gewünschten Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beim s-fachen Würfeln eines n-seitigen Würfels beträgt n^s.
;Beispiel:
:Werfe 2W6, dann ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse 6 * 6 = 6^2 = 36
:Werfe 3W20, dann ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse 20 * 20 * 20 = 20^3 = 8000
Es bleibt also nur noch die Aufgabe, die Anzahl der gewünschten Ergebnisse abzuzählen. Dies kann je nach Aufgabe mehr oder weniger schwierig sein.
;Beispiel:
:Wahrscheinlichkeit für (20,20,20): Es gibt nur ein "gewünschtes Ergebnis", die Wahrscheinlichkeit für diesen Wurf beträgt \frac{1}{8000} = 0,125 %
:Wahrscheinlichkeit für (11,12,13): Es gibt ebenfalls nur ein "gewünschtes Ergebnis", die Wahrscheinlichkeit beträgt \frac{1}{8000} = 0,125 %
:Wahrscheinlichkeit für (≤11,≥12,13): Es gibt 11*9*1 = 99 gewünschte Ergebnisse, die Wahrscheinlichkeit beträgt \frac{99}{8000} = 1,2375 %
;Ununterscheidbare Würfel (also ohne Beachtung der Reihenfolge):
Diesen Fall kann man auf den Fall der unterscheidbaren Würfel zurückführen, indem man für jedes auftretende Ergebnis die Wahrscheinlichkeiten der passenden unterscheidbaren Ergebnisse addiert.
;Beispiel: Ich interessiere mich für die Wahrscheinlichkeit, dass ich in einem Wurf mit 3W20 die Zahlen 11, 12 und 13 würfele, mich interessiert aber nicht die Reihenfolge, in der die Zahlen auftreten. Ich führe dies auf den unterscheidbaren Fall zurück, indem ich mir überlege, wieviele verschiedene Würfe zu diesem Ergebnis führen - es sind sechs: (11,12,13), (11,13,12), (12,11,13), (12,13,11), (13,11,12), (13,12,11). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also nach der Formel von Laplace \frac{6}{8000} = 0,075 %.
:Interessiere ich mich hingegen für das Ereignis, dass ich zweimal eine 11 und einmal eine 13 würfele, gibt es nur noch 3 mögliche Würfe: (11,11,13), (11,13,11), (13,11,11). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit \frac{3}{8000} = 0,0375 %.
Allgemein kann man sagen (Permutation mit Wiederholung): Die Anzahl der möglichen Permutationen von k Zahlen, von denen r identisch sind, beträgt \frac{k!}{r!}.
;Beispiel: Greift man wieder obige Beispiele auf, ergibt sich im ersten Fall \frac{3!}{1!} = 6, und im zweiten Fall \frac{3!}{2!} = 3.
Kategorie:DSA aus mathematischer Sicht