Schaden beim Zat

==Einleitung==
Die meisten Rollenspieler beurteilen die Funktionstauglichkeit von diversen Regelmechanismen aufgrund prägnanter subjektiver Erlebnisse am Spieltisch, was selten ein objektives Urteil über die Effizienz von solchen Mechanismen zulässt. Hruruzat-Tritte sind aufgrund ihrer hohen Varianz besonders anfällig dafür. Dieser Artikel untersucht den mathematischen Hintergrund der Zats.
==Offizielle Regeln==
Beim Kampfstil "Hruruzat" richten Tritte 2W6 TP(A) an. Bei einem erwürfelten Pasch (Beide Würfel zeigen die gleiche Augenzahl) wird der Schadenswurf wiederholt und aufaddiert, dies sogar beliebig lange, solange weiter ein Pasch gewürfelt wird. Dies ist der sogenannte "Zat".
Mit einer Ansage +4 kann der Kämpfer jeweils (allerdings nur beim ersten Wurf) einen Würfel um eine Augenzahl verändern. Diese Ansage kann nicht mit einer gewöhnlichen Ansage zur TP-Erhöhung kombiniert werden.
==Fragestellung==
*Wieviel Durchschnittsschaden richtet ein Tritt wirklich an?
*Lohnt sich eine Ansage, um das Würfelergebniss zu ändern, oder ist es klüger, eine Ansage auf die TP zu machen?
==Vorbemerkungen==
*Wichtig bei der Berechnung des Schadens ist die unendliche Reihe
:\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}
*Der Einfachheit halber sei eine "Zat-Ansage von k" eine Ansage, die es erlaubt, den Würfelwurf um k Punkte zu verändern und die AT um 4k Punkte erschwert.
*P(k) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, einen Zat zu landen und dabei die Würfel um genau k Punkte zu verändern.
*Analog bezeichnet S(k) den erwarteten Durchschnittsschaden bei einer Zat-Ansage von k.
*TP-Boni durch KK oder Handgemengewaffen wirken sich nur einmal und überall gleich aus, und werden daher nicht weiter beachtet.
*Wir verzichten darauf, mit 2W6 zu hantieren, und gehen von einem Erwartungswert (dem durchschnittlichen, "erwarteten" Ergebnis) von 7 beim Würfeln aus. Dies ist möglich, da sowohl Pasch als auch Nicht-Pasch den selben Erwartungswert (d.h. 7) haben. Dabei ist es kein Widerspruch, dass ein Pasch durchschnittlich 7 Punkte erwürfelt, aber kein einziger Pasch 7 Augen zeigt (da zwei gleiche Würfelergebnisse immer ein gerades Ergebnis zur Folge haben.)
==Erste handfeste Betrachtungen==
Verzichtet man auf eine zusätzliche Ansage, ist die Berechnung des erwarteten Durchschnittsschadens simpel:
:P(0) = \frac{1}{6}
Bei jedem Wurf hat man also eine ca. 16,7%-ige Chance, einen Pasch zu würfeln. Der Schaden ergibt sich dann wie folgt:
:S(0) = \sum_{k=0}^{\infty} ((\frac{1}{6})^k \cdot 7 ) = ( \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{6})^k ) \cdot 7 = (\frac{1}{1-\frac{1}{6}}) \cdot 7 = 1,2 \cdot 7 = 8,4
Man erzielt also durchschnittlich 8,4 TP(A).
==Die Zat-Ansage==
Wie ändert sich nun das Bild, wenn man zusätzliche Ansagen verwendet?
Der erste Fall, eine Erschwernis von +4 bei einer Zat-Ansage von 1, gestaltet sich ebenfalls einfach:
*In \frac{1}{6} der Fälle würfelt man wieder einen Pasch, die Ansage verfällt.
*In weiteren \frac{5}{18} der Fälle unterscheiden sich die Augen nur um einen Punkt, man kann die Ansage verwenden, um einen Zat herbeizuführen. Selbstverständlich erhöht man hierbei den niedrigeren Wurf um einen Punkt, anstatt den höheren zu senken.
*In den restlichen Fällen (\frac{5}{9}) sind die Würfel zu weit auseinander, man kann die Ansage jedoch nutzen, um die TP um eins zu erhöhen.
Die erzielten TP sind also:
:S(1) = 7 + P(0) \cdot S(0) + P(1) \cdot (1 + S(0)) + (1 - P(0) - P(1)) \cdot 1 \approx 11.57 
Bei einer Erschwernis von +8 wird es schon komplizierter.
*In \frac{5}{36} der Fälle, nämlich genau dann, wenn ein Pasch fällt, der keine zwei Sechsen ist, kann man beide Würfel um je ein Auge erhöhen
*In \frac{1}{36} der Fälle, eben obiger Ausnahme, verfällt die Ansage
*In weiteren \frac{5}{18} der Fälle unterscheiden sich die Augen nur um einen Punkt, man kann einen Punkt der Ansage verwenden, um einen Zat herbeizuführen. Der andere Punkt verfällt.
*Bei \frac{2}{9} der möglichen Würfe unterscheiden sich die Würfel um zwei Punkte, ein Zat kann herbeigeführt werden.
*Ansonsten kann man mit der Ansage die TP nur um 2 erhöhen.
:S(2) = 7 + P(0) \cdot S(0) + \frac{5}{36} \cdot 2 + P(1) \cdot (1 + S(0)) + P(2) \cdot (2 + S(0)) + (1 - P(0) - P(1) - P(2)) \cdot 2 \approx 14,27
==Vergleich==
Ob diese Ansage nun lohnenswert war, erkennt man bei einem Vergleich mit einer TP-Ansage der gleichen Erschwernis:
Erschwernis	TP bei Zat-Ansage	TP bei TP-Ansage
0 	8,4 	8,4
4 	11,57 	12,4
8 	14,27 	16,4
12 	16,44 	20,4
Bedauerlicherweise schneidet die klassische TP-Erhöhung besser ab. Bei einer Erschwernis von +4 kann man das Einsetzen allerdings noch aufgrund des geringen Unterschieds mit der höheren Streuung des Schadens rechtfertigen, auch wenn im Waffenlosen Kampf Wunden sehr selten sind und es somit irrelevant ist, ob nun zweimal mittelmäßige TP angerichtet werden oder einmal viel und einmal sehr wenig TP.
Allerdings kann es aufgrund der Wundenregelung durchaus sinnvoll sein, darauf zu spekulieren beim ersten Schadenswurf direkt so viel Schaden anzurichten, dass der Gegner durch die Wunde in seinen weiteren Aktionen eingeschränkt wird.
Außerdem kann es im Kampf gegen Gegner mit hohem Rüstungsschutz sinnvoll sein, wenn man den Rüstungsschutz mit mehreren mittelstarken Schadenswürfen nicht durchdringen kann, wohl aber mit einem hohen.
Kategorie:DSA aus mathematischer Sicht