3W20-Median-Probe

==Einführung==
Wie auf Wahrscheinlichkeit für das Bestehen einer Talentprobe und Die 3W20-Probe gezeigt, ist es nicht sehr einfach, die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen einer Talentprobe auszurechnen, und somit ist es sowohl für Spielleiter als auch Spieler schwer einzuschätzen, wie hoch die Erfolgswahrscheinlichkeit einer Probe ist. Oft wird auch kritisiert, dass die 3W20-Probe einfach zu lange dauert. Andererseits ist die Streuung der 1W20-Probe sehr hoch (da es sich um eine Gleichverteilung handelt, siehe Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel).
Eine vorgeschlagene Hausregel, die sowohl einfach durchzuführen und einzuschätzen sein soll, und andererseits auch eine geringere Streuung als die 1W20-Probe besitzt, ist die 3W20-Median-Probe: Es existiert ein Prüfwert, der zwischen 1 und 19 liegt; man wirft mit 3W20, sucht den mittleren Wert (den Median) heraus, und vergleicht diesen mit dem Prüfwert.
==Erfolgswahrscheinlichkeit==
Der 3W20-Median ist genau dann gleich X, wenn einer der Würfel X zeigt, ein anderer kleiner oder gleich X, und der dritte größer oder gleich X.
;Beispiel: Man erhält genau dann 10 als Ergebnis, wenn die geordneten Ergebnisse so aussehen: (a,10,b) mit a aus {1,...,10} und b aus {10,...,20}.
Um nun die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, bleiben wir zuerst bei diesem Beispiel und zählen die Möglichkeiten ab:
*Angenommen, W1 zeigt die 10. Dann kann entweder W2 kleiner oder gleich 10 sein und W3 größer oder gleich 10, oder andersherum. Es gibt also 10*11 + 11*10 - 1 = 219 Kombinationen (-1, weil wir ansonsten (10,10,10) doppelt zählen).
*Angenommen, W2 zeigt nun die 10. Damit wir keine Kombinationen doppelt zählen, müssen wir jetzt ausschließen, dass W1 = 10 ist. Daher kann W1 nur kleiner oder größer sein, während W3 wiederum entweder kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich 10 sein kann. Es gibt also 9*11 + 10*10 = 199 zusätzliche Kombinationen.
*Zum Schluss betrachten wir W3 = 10. Jetzt müssen wir ausschließen, dass einer der anderen Würfel 10 zeigt, also erhalten wir noch 9*10 + 10*9 = 180 weitere mögliche Kombinationen.
Insgesamt haben wir hier also 598 mögliche Kombinationen, und da es insgesamt 8000 mögliche Kombinationen gibt, erhält man als Wahrscheinlichkeit, dass der 3W20-Median "10" beträgt, 598/8000 = 7,475%.
Als allgemeine Formel kann man folgern: P(3W20Median = X) = \frac{(2*X*(21-X) - 1 + (X-1)*(21-X) + X(20-X) + 2(X-1)(20-X))}{8000} = \frac{(-6*X^2 + 126*X - 62)}{8000}
Daraus kann man nun die Verteilung berechnen:
X 	P(3W20Med=X)	P(3W20Med<=X)	P(W20<=X)	3W20Med - W20
1 	0,73% 	0,73% 	5,00% 	-4,28%
2 	2,08% 	2,80% 	10,00% 	-7,20%
3 	3,28% 	6,08% 	15,00% 	-8,93%
4 	4,33% 	10,40% 	20,00% 	-9,60%
5 	5,23% 	15,63% 	25,00% 	-9,38%
6 	5,98% 	21,60% 	30,00% 	-8,40%
7 	6,58% 	28,18% 	35,00% 	-6,83%
8 	7,03% 	35,20% 	40,00% 	-4,80%
9 	7,33% 	42,53% 	45,00% 	-2,48%
10	7,48% 	50,00% 	50,00% 	0,00%
11	7,48% 	57,48% 	55,00% 	2,48%
12	7,33% 	64,80% 	60,00% 	4,80%
13	7,03% 	71,83% 	65,00% 	6,83%
14	6,58% 	78,40% 	70,00% 	8,40%
15	5,98% 	84,38% 	75,00% 	9,38%
16	5,23% 	89,60% 	80,00% 	9,60%
17	4,33% 	93,93% 	85,00% 	8,93%
18	3,28% 	97,20% 	90,00% 	7,20%
19	2,08% 	99,28% 	95,00% 	4,28%
20	0,73% 	100,00% 	100,00% 	0,00%
Die Wahrscheinlichkeit, mit dem 3W20Median einen Wert kleiner oder gleich dem Prüfwert zu erhalten (und damit die Probe zu bestehen), ist in der dritten Spalte eingetragen.
In der letzten Spalte ist der Vergleich mit der W20-Probe eingetragen. Mit dem 3W20-Median wird der Erfolg bei Prüfwerten unter 10 unwahrscheinlicher, und bei Werten über 10 dafür wahrscheinlicher.
Kategorie:DSA aus mathematischer Sicht