Основы 3D математики - Векторные и матричные преобразования

== Векторы ==
Вектор - направленный отрезок, имеющий направление и длину. Векторы обозначаются так: a = (x, y, z), например, b = (0, 1, -2). Еще одно представление вектора : AB = (x, y, z).
 AB = (x, y, z) = (bx-ax, by-ay, bz-az),
где A и B - 2 точки, A(ax, ay, az) и B(bx, by, bz), A - начало вектора, B - конец вектора.
=== Длина вектора ===
Длина вектора, |a|, считается так:
 |a| = sqrt(ax2 + ay2 + az2)
=== Сложение векторов ===
 a + b = c;
 a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz).
т. е. как результат мы получаем вектор.
=== Вычитание векторов ===
 c - a = b;
 c - a = (cx - ax, cy - ay, cz - az).
как результат - также мы получаем вектор.
=== Скалярное произведение векторов ===
Скалярное произведение 2-х векторов - произведение длин 2-х векторов на cos угла между ними. Скалярное произведение векторов - это длина проекции вектора a на вектор b.
 a · b = |a| |b| cos(α);
или
 a · b = axbx + ayby + azbz;
Следствие: α - угол между двумя векторами:
 cos(α) = a · b / (|a| |b|);
=== Проекция одного вектора на другой ===
Для того, чтобы вычислить проекцию вектора b на вектор а требуется просто произвести скалярное умножение этих векторов, а затем получить произведение получившегося результата на вектор b. Обозначим искомый вектор как c. тогда:
 an = a / |a|;
 c = (an · b) an;
фактически, мы находим длину проекции и, умножая ее на вектор, проекцию которого мы нашли, масштабируем его до нужного размера.
=== Умножение вектора на вектор (Векторное произведение) ===
Умножая вектор a на вектор b, мы получим вектор, перпендикулярный плоскости, которую определяют вектора a и b.
 a × b = (aybz - byaz, azbx - bzax, axby - bxay);
фактически, таким образом находиться вектор нормали к полигонам.
== Матрицы ==
Здесь я постарался вкратце изложить то, что мы будем делать с матрицами.
=== Скалярное произведение векторов ===
 [ a ] [ d ]
 [ b ] * [ f ] = a*d + b*f + c*g
 [ c ] [ g ]
=== Векторное произведение ===
 [ a ] [ d ] [ b*f - c*e ]
 A × B = [ b ] × [ e ] = [ c*d - a*f ]
 [ c ] [ f ] [ a*e - b*d ]
=== Сложение матриц ===
 [ 1 2 3 ] [ 10 11 12 ] [ 1+10 2+11 3+12 ]
 [ 4 5 6 ] + [ 13 14 15 ] = [ 4+13 5+14 6+15 ]
 [ 7 8 9 ] [ 16 17 18 ] [ 7+16 8+17 9+18 ]
=== Умножение матриц ===
 [ 1 2 3 ] [ 10 11 12 ] [ 1*10+2*13+3*16 1*11+2*14+3*17 1*12+2*15+3*18 ]
 [ 4 5 6 ] * [ 13 14 15 ] = [ 4*10+5*13+6*16 4*11+5*14+6*17 4*12+5*15+6*18 ]
 [ 7 8 9 ] [ 16 17 18 ] [ 7*10+8*13+9*16 7*11+8*14+9*17 7*12+8*15+9*18 ]
Очень важным является тот факт, что (A*B)*С = A*(B*C)
== Векторные и матричные преобразования ==
=== Параллельный перенос ===
Переносим точку (x, y, z) на вектор (dx, dy, dz), в результате получим точку с координатами (x+dx, y+dy, z+dz);
=== Поворот ===
Поворачиваем точку (x, y) на угол α :
 x' = x cos(α) - y*sin(α)
 y' = x sin(α) + y*cos(α)
для трехмерного случая - аналогично для каждой плоскости.
ясно, что если нам потребуется (а нам потребуется :) ) проводить для каждой точки в пространстве параллельный перенос + поворот в пространстве, то придется сделать огромное количество преобразований.
можно построить матрицы преобразований, помножив точку - вектор на которую, мы получим результат - координаты искомой точки.
=== Матрица параллельного переноса ===
 [ 1 0 0 0 ]
 [ 0 1 0 0 ]
 [ 0 0 1 0 ]
 [ x y z 1 ]
=== Матрица растяжения/сжатия ===
 [ z 0 0 0 ]
 [ 0 y 0 0 ]
 [ 0 0 x 0 ]
 [ 0 0 0 1 ]
=== Матрица поворота вокруг оси x ===
 [ 0 0 0 0 ]
 [ 0 cos(α) sin(α) 0 ]
 [ 0 -sin(α) cos(α) 0 ]
 [ 0 0 0 1 ]
=== Матрица поворота вокруг оси y ===
 [ cos(α) 0 -sin(α) 0 ]
 [ 0 1 0 0 ]
 [ sin(α) 0 cos(α) 0 ]
 [ 0 0 0 1 ]
=== Матрица поворота вокруг оси z ===
 [ cos(α) sin(α) 0 0 ]
 [-sin(α) cos(α) 0 0 ]
 [ 0 0 1 0 ]
 [ 0 0 0 1 ]
Теперь - зачем нужны матрицы в 3D-программировании, если можно все сделать с помощью векторов, и если, например, поворот точки с помощью векторов занимает меньше операций, чем используя матрицы.
Например, мы отодвигаем камеру и поворачиваем ее. Для этого требуется произвести серию операций (переносов, поворотов) с точками (вершинами полигонов) в 3D-сцене. Т.е. для каждой точки произвести сначала параллельный перенос, а затем - повороты по всем осям. При использовании векторов мы просто проведем все эти операции отдельно для каждой точки... Что весьма ресурсоёмко. Или - матричные параллельные переносы, повороты.... Еще более ресурсоёмко, но вспомним:
 (A*B)*C = A*(B*C)
Для матриц.. А нам требуется провести такие преобразования: a*A*B*C*D, где - а-точка-вектор, над которым требуется произвести действия, а A,B,C,D - матрицы переноса и поворотов. Мы вполне можем не последовательно умножать точку-вектор a на матрицы переносов, а сначала перемножить эти матрицы, а затем просто умножать получившуюся матрицу на каждую точку, которую требуется сместить - перемножение 4х матриц, а затем умножение 1 вектора на 1 матрицу на каждую точку. По сравнению с подвержением каждой точки векторным преобразованиям - весьма и весьма значительное сокращение производимых операций.
Author: Антон Ярославович Якушев
Source: https://gamedev.ru/code/articles/?id=4184
ID: 03959
Category:Алгоритмы
Category:Матрицы
Category:Статьи
Category:Справочники