Die 3W20-Probe

==Einleitung==
Nachdem wir uns vor einigen Wochen mit den Eigenheiten des DSA-Kampfsystems auseinandergesetzt haben, ist unser heutiges Thema das Kernstück des DSA-Systems: Das berühmt-berüchtigte System mit den drei W20. Ende letzten Jahres hat Ulisses die Spieler gefragt, ob es in einer eventuellen neuen Systemfassung Bestand haben soll. Nach Lesen dieses Artikels sollte euch meine Antwort auf diese Frage klar sein …
==Talent-, Zauber und Liturgieproben==
Dieses sind die Proben, denen der Artikel seinen Namen verdankt: Talentproben (bzw. Zauber– und Liturgieproben, die ja nach demselben Prinzip funktionieren). Für jede Probe ist festgelegt, auf welche drei Eigenschaftswerte sie abgelegt werden, ebenso gibt es einen Talentwert und eventuell Modifikatoren.
Man würfelt nun drei Mal mit je einem W20. Wenn man unter der entsprechenden Eigenschaftswert bleibt, ist alles gut, wenn nicht, muss man die Differenz mit Punkten aus dem Talentwert ausgleichen, wodurch sich dieser für diese Probe entsprechend verbraucht. Kann man das nicht, misslingt die Probe.
Hat man alle drei Würfe bestanden, so ist die Probe erfolgreich und eventuell noch vorhandene Punkte aus dem Talentwert sind unter Umständen wichtig und geben das Ausmaß des Erfolges an. Modifikatoren verändern direkt den Talentwert. Sollte dieser dadurch unter 0 fallen, so muss jeder einzelne der drei Würfe um mindestens den entsprechenden Wert unter der dazugehörigen Eigenschaft liegen.
Jede dieser Proben wird also mit drei W20 abgelegt, wobei die Reihenfolge relevant ist. Wir haben also schon einmal einen Ergebnisraum von 8000 möglichen Würfelergebnissen. Dazu haben wir vier variable Werte, die in die Probe eingehen. Und da auch noch jeder der drei Würfel die Erfolgschance der nachfolgenden Würfel beeinflusst, können wir nicht auf einfache Art und Weise die Wahrscheinlichkeit auf einen Erfolg bestimmen.
Wie auch schon im ersten Teil des Artikels werde ich auch dieses Mal wieder automatische Erfolge und Misserfolge aus der Betrachtung herauslassen, da sie die Formeln NOCH komplizierter gestalten würden. Außerdem ist die Chance auf diese besonderen Ergebnisse jeweils 58/8000=0,00725 (es sind nicht, wie man auf Anhieb denken würde, 60/8000, da die (1|1|1) bzw. (20|20|20) in allen drei Bereichen vorkommt, also zweimal abgezogen werden muss), also weniger als 1%.
In den meisten Fällen wird mindestens die Hälfte dieser 58 Fälle auch durch normale Erfolge oder Misserfolge abgedeckt. Wir sprechen hier also von Abweichungen von weniger als einem halben Prozentpunkt.
==Grundlegende Überlegungen==
Zuerst können wir ein paar grundlegende Überlegungen anstellen:
*Es ist für die Chance, Erfolg zu haben, nicht relevant, ob man zum Beispiel einen Talentwert von 10 hat und mindestens 5 Punkte übrig behalten will oder ob man einen Talentwert von 5 hat und es egal ist, wie gut die Probe geschafft wird. Bis zur maximalen Höhe des Talentwertes kann man also negative Modifikatoren und übrig zu behaltende Talentpunkte gleichsetzen.
*Das führt dazu, dass viele Spielleiter die Probenerschwernisse nicht ansagen, meist, um den Spielern keine Hinweise zu geben, wie schwierig die Situation ist. Leider funktioniert das nicht immer so gut, denn wenn man zum Beispiel eine Probe +8 bestehen müsste, aber nur einen Talentwert von 7 hat, so hat man ohne die Ansage der Erschwernis keine Chance auf einen Erfolg, da man ja gar nicht 8 Punkte übrig behalten kann.
*Ist ein Modifikator maximal so hoch wie der Talentwert, so senkt er effektiv einfach nur den Talentwert
*Sobald der Modifikator den Talentwert übersteigt, kommt das einem Absenken aller Attribute um die entsprechende Differenz gleich.
*Aus den beiden vorigen Aussagen ergibt sich, dass der Modifikator nicht einzeln betrachtet werden muss, da er direkt in andere Wertekombinationen überführt werden kann.
*Es ist offensichtlich, dass Modifikatoren, die über dem Talentwert liegen, drastischere Auswirkungen haben als solche, die das nicht tun. Am einfachsten sieht man das, indem man die zusätzlichen möglichen Würfelergebnisse betrachtet, die nicht zum Erfolg führen, wenn der Malus vorhanden ist. Bei Werten von 10|10|10, einem Talentwert von 0 und einem Malus von 1 fallen die sechs möglichen Ergebnisse 9|9|10, 9|10|9, 9|10|10, 10|9|9, 10|9|10, 10|10|9 und 10|10|10 weg. Sinkt hingegen der Talentwert von 1 auf 0, so fallen lediglich die drei Ergebnisse 11|10|10, 10|11|10 und 10|10|11 weg.
==Hypothetische Vereinfachung auf ein bzw. zwei Würfe==
Um die Betrachtung zu vereinfachen, zeige ich das später für drei Würfel verwendete Prinzip erst einmal mit weniger Würfeln:
===Eine Eigenschaft bzw. ein Würfel===
Haben wir nur einen Würfel, und natürlich auch nur einen dazugehörigen Eigenschaftswert, ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit geradezu trivial und entspricht einer einfachen Eigenschaftsprobe (siehe 1. aus dem ersten Teil des Artikels). Aber zur Verdeutlichung auch hier noch ein nettes Bild dazu:
Bei einem Eigenschaftswert von 11 und einem Talentwert von drei haben wir die grüne Fläche als Grunderfolge, dazu dann in Blau die drei weiteren Möglichkeiten durch den Talentwert. Oder als Formel:
p_{Erfolg}(e_1,t) = \frac{e_1 + t}{20}
Sollte der Talentwert zusammen mit dem Eigenschaftswert über 20 liegen, so gilt die Formel nicht, so dass wir sie noch etwas nachbessern müssen:
p_{Erfolg}(e_1,t) = \frac{e_1 + min(t,20-e_1)}{20}
===Zwei Eigenschaften bzw. Würfel===
Kommt nun ein zweiter Wurf mit einer zweiten Eigenschaft hinzu, beginnt es, etwas komplizierter zu werden. Wir können uns den Ergebnisraum, der aktuell 400 Ergebnisse umfasst, als zweidimensionales Raster vorstellen. Ohne einen Talentwert umfasst das Rechteck, dass durch die beiden Eigenschaftswerte aufgespannt wird, dabei alle erfolgreichen Ergebnisse. Diese Fläche, geteilt durch 400, ist also die Erfolgswahrscheinlichkeit. Für die Werte 13 und 11 sähe das etwa so aus:
Die Erfolgswahrscheinlichkeit wäre knapp 36%.
Kommt nun ein Talentwert hinzu, so ergeben sich um dieses Rechteck weitere Bereiche, die zum Erfolg werden:
Für die Bereiche, in denen der Talentwert klein genug ist, dass damit für keinen Eigenschaftswert gilt en + i > 20 können wir diese neue Erfolgschance wie folgt berechnen:
p_{Erfolg}(e_1,e_2,t) = \frac{e_1*e_2 + \sum_{i=1}^{2} e_i*t + \frac{t*(t-1)}{2}}{400}
Der erste Summand ist dabei immer noch der gleiche wie vorher (grün), dann kommen die Rechtecke, die von einem Eigenschaftswert und dem Talentwert aufgespannt werden (blau), und zuletzt das Dreieck zwischen diesen (rot).
Anders betrachtet stellen die blauen Bereiche die Würfe da, wo einer der beiden Würfe kleiner oder gleich der zugehörigen Eigenschaft war (ei Möglichkeiten) und somit der komplette Talentwert auf den anderen Wurf verteilt werden konnte (t Möglichkeiten). Der rote Bereich sind die Würfe, wo beide Würfe über den jeweiligen Eigenschaften lagen. Die Formel hierfür ist relativ einfach herzuleiten: Wenn ich zwei Punkte auf zwei Würfe verteilen will, wobei jeder Wurf mindestens einen Punkt erhalten soll, habe ich genau eine Möglichkeit dazu: (1|1). Bei drei Punkten sind es zwei Möglichkeiten (1|2) und (2|1), bei vier Punkten drei (1|3), (2|2) und (3|1), usw. Also sind es bei t Punkten genau \sum_{n=1}^{t-1}n Möglichkeiten, was, wie wir seit Gauß wissen, auch als \frac{t(t-1)}{2} dargestellt werden kann.
Damit keine dieser Formen nun den Ereignisraum verlassen kann, müssen wir die Formel leider noch ein wenig verkomplizieren. Um es nicht unnötig kompliziert zu machen, überlegen wir uns kurz, dass t \ge 40 - e_1 - e_2, wenn gilt, die Wahrscheinlichkeit 100% wird, einfach weil zwei gewürfelte 20en immer noch ein Erfolg wären. Somit sind diese Fälle für unsere Formel nicht mehr interessant und wir ignorieren sie. Desweiteren definieren wir, damit die Formel nicht zu lang wird, folgende Werte:
o_i := max(0, e_i + t - 20), also einfach gesagt, wie weit die Summe aus Eigenschaft und Talentwert über 20 liegt, bzw. 0 wenn sie darunter liegt.
Mit dem min und der letzten Summe werden jeweils die Bereiche, die außerhalb des Ereignisraumes liegen, abgeschnitten. Einmal indem die Seitenlänge des Rechtecks begrenzt wird und einmal in dem die Ecken des Dreiecks, die analog zu der Betrachtung oben nach dem kleinen Gauß berechnet wurden, abgezogen werden.
Vergleichen wir diese Formeln nun mit der weiter oben, so fällt recht schnell eine gewisse Verwandtschaft auf. Und diese bleibt auch bestehen, wenn man das Ganze auf drei Dimensionen aufspannt:
===Die ungeschönte Wahrheit===
Nun aber genug der Vorgeplänkel, kommen wir nun zu den wirklich von DSA eingesetzten Proben. Hier haben wir nun einen dreidimensionalen Ergebnisraum vor uns, in dem insgesamt 8000 mögliche Ergebnisse dargestellt werden können.
Ohne Talentwert ist es auch hier wieder recht simpel, die Grundwahrscheinlichkeit zu berechnen:
p_{Erfolg}(e_1,e_2,e_3,0) = \frac{e_1*e_2*e_3}{8000}
Für die Eigenschaftswerte 11, 13 und 12 sähe der Raum etwa so aus:
Weicht der Talentwert von 0 ab, so entstehen ähnlich wie mit zwei Eigenschaftswerten weitere Bereiche, die hinzugerechnet werden müssen. Zum einen wieder das Dreieck, das wir bereits aus 3.2.2 kennen, dieses Mal aber statt als eine Fläche an drei Stellen als Körper mit einer Kantenlänge, die der Breite des Grunderfolgsquaders an dieser Stelle entspricht, sowie zusätzlich noch ein Bereich, an dem sich diese drei Körper treffen.
Für die bereits oben erwähnten Werte und den Talentwert 5 stellt sich der Körper folgendermaßen dar:
Die blauen und roten Bereiche entsprechen denen aus der zweidimensionalen Darstellung oben, der grüne Grundquader ist nicht mehr sichtbar. Neu hinzugekommen ist der gelbe Bereich.
So erhalten wir, erst einmal ohne die Bereiche jenseits der 20 zu beachten, folgende Formel
e4 := e1 und e5 := e2
Die ersten drei Sektionen kennen wir ja bereits auf den vorigen Formeln, sie sind nur jeweils um eine weitere Eigenschaft erweitert worden, bei der in diesen Fällen jedoch niedriger oder gleich der Eigenschaft gewürfelt wurde, was die Eigenschaft einfach als Multiplikator in die bisherige Rechnung einbringt.
Neu ist lediglich die Doppelsumme am Ende. Diese entsteht in dem Bereich, wo alle drei Würfe über den Eigenschaftswerten liegen. Damit der Wurf immer noch gelungen ist, muss der Talentwert mindestens drei Betragen, daher die t-2 in der ersten Summe. Wenn er genau drei ist, haben wir eine Möglichkeit: (1|1|1). Wenn er vier ist, haben wir für die erste Probe zwei Möglichkeiten: 1 und 2.
Wird ein Punkt verbraucht, entspricht das bis zu 3 Punkten, die wir auf die beiden anderen Proben verteilen können, und wie das geht haben wir weiter oben bereits gesehen. Hat die erste Probe zwei Punkte verbraucht, bleiben für die beiden anderen nur zwei Punkte übrig, und auch dafür wissen wir bereits, wie sich das darstellt.
Da diese Doppelsumme aber etwas arg unhandlich ist, schauen wir uns das Ganze noch einmal räumlich an und stellen fest, dass der gelbe Bereich immer einer sogenannten Tetraederzahl entspricht, und zwar genau der (t-2)-ten ist. Und für solche Tetraederzahlen gibt es eine relativ einfache Formel, wodurch wir Folgendes erhalten:
Aber ihr ahnt es schon: Auch hier gibt es wieder Bereiche, die außerhalb der Grenzen des Ergebnisraumes liegen, und diese müssen wir loswerden. Analog zu oben überlegen wir uns kurz, dass für t ≥ 60 - e1 - e2 - e3 gilt, dass die Probe immer gelungen ist und betrachten diese Fälle nicht weiter. Auch die Definition von oben für oi gilt weiterhin.
Wenn die Körper anwachsen, bilden sich nun, wie schon vorher bei den Flächen, Teilbereiche, die außerhalb des Ereignisraumes liegen. Und diese haben, auch wie bereits vorher, die gleiche Grundform wie die Gebilde, von denen wir sie „abschneiden“:
Für die meisten Wertekombinationen funktioniert diese Formel, so hässlich sie auch sein mag.
Leider nicht für alle. Sobald t > 40 - em - en gilt, für beliebige, aber verschiedene m und n, ziehen wir Teile der Bereiche außerhalb des Ergebnisbereichs mehrfach ab und verfälschen so das Ergebnis.
Bisher ist mir auch kein schöner Weg eingefallen, diesen Fehler zu beheben.
Dieser Fehler tritt aber auch nur in sehr hohen Wertebereichen auf, wo man keine Formel braucht, um festzustellen, dass der Erfolg des Wurfes sehr wahrscheinlich ist … Wie wahrscheinlich genau, kann man dann zwar nicht mit dieser Formel herausfinden, aber mit dem folgenden Tool:
==Weiterführender Link==
Natürlich sind wir bei weitem nicht die ersten, die sich mit diesem Thema auseinandersetzen. Bei meiner Recherche bin ich auf diverse andere Artikel und Ansätze gestoßen, von denen ich einen ganz besonders interessant und gelungen fand.
Denny Vrandečić hat ein einfach zu bedienendes Werkzeug programmiert und online gestellt, mit dem man die Wahrscheinlichkeiten sowohl sehr gut bildlich sehen kann als auch ausgerechnet bekommt.
Der Ansatz für die Rechnung ist hierbei ein komplett anderer, da er einfach alle möglichen Würfelergebnisse durchgeht, jeweils feststellt, ob es ein Erfolg wäre oder nicht, und am Ende die Anzahl der Erfolge durch 8000 teilt. Dabei entsteht zwar keine Formel, wie wir sie versucht haben, herzuleiten, aber dafür kann er die Erfolge auch gleich noch grafisch darstellen. Und da es nicht darum ging, eine Formel zu erstellen, die möglichst nicht die Breite einer normalen Webseite sprengt, konnte er, auch bedingt durch seinen „Brute-Force“-Ansatz, ohne jegliche Probleme automatische Erfolge und Misserfolge mit einbeziehen.
Eine wirklich bemerkenswerte und gelungene Arbeit!
http://simia.net/dsa4wk/
Dieses Werkzeug, leicht umprogrammiert, war es auch, mit dem die dreidimensionalen Darstellungen weiter oben im Artikel entstanden sind.
Diese umprogrammierte Version findet ihr hier
==Auswirkungen auf das Spielen bzw. Spielleiten==
Etwa 2000 Worte, nur um eine Formel herzuleiten, die eine Randbedingung erfordert, zwei Definitionen, die nur dazu dienen, dass die Formel nicht so breit wird, dass man seitlich scrollen müsste, um sie komplett zu sehen, und mit dem Weglassen der automatischen Erfolge und Misserfolge.
Und sieht diese Formel in irgendeiner Form so aus, dass man auch nur ansatzweise in der Lage wäre, das Ergebnis im Kopf zu berechnen oder zumindest abzuschätzen? Nein!
Das hat zwei Dinge zur Folge: Erstens, dass es für Spieler unmöglich wird, abzuschätzen, wie hoch die eigenen Chancen sind, eine bestimmte Probe zu schaffen. Viel gravierender ist aber, dass es zweitens auch für Spielleiter nahezu unmöglich wird, Proben so zu gestalten, dass die Erfolgschancen einer handelnden Figur oder, noch viel unmöglicher, mehrerer Figuren, in einem gewünschten Rahmen liegen.
Gerade auch die Auswirkungen von Modifikatoren auf eine Probe sind nicht wirklich abschätzbar. Es spielen einfach zu viele Faktoren eine Rolle.
Da es so viele Faktoren sind, will ich mich auch gar nicht daran versuchen, Wahrscheinlichkeiten für einzelne Wertekombinationen hier näher zu betrachten. Es gibt zu viele davon. Und in jeder Runde sind pro Fertigkeit und Charakter eine solche Kombination vorhanden, also im Normalfall in einer Gruppe von 4 Spielern mindestens 100 Kombinationen, die relevant sind. Selbst wenn man die zu erwartenden mehrfach vorkommenden Kombinationen abzieht, wird eine Anzahl übrig bleiben, die jedem Spieler oder Spielleiter, der das System aus stochastischer Sicht betrachtet, Albträume verursacht.
Vielleicht war aber auch das von den Machern von DSA so gewollt, denn das System richtet sich nicht nur an dieser Stelle ja eher nicht an Leute, die im Englischen gerne als Roll-Player bezeichnet werden.
Aber wie seht ihr das? Stört euch diese schlechte Handhabbarkeit der Wahrscheinlichkeiten oder findet ihr das gerade gut?
== Siehe auch ==
* Fr:Probabilités d'un test de talent
Kategorie:DSA aus mathematischer Sicht