Что такое множества?

=== Что такое множества? ===
Множества - это наборы однотипных логически связанных друг с другом объектов. Характер связей между объектами лишь подразумевается программистом и никак не контролируется Object Pascal. Количество элементов, входящих в множество, может меняться в пределах от 0 до 256 (множество, не содержащее элементов, называется пустым). Именно непостоянством количества своих элементов множества отличаются от массивов и записей. 
Два множества считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда все их элементы одинаковы, причем порядок следования элементов в множестве безразличен. Если все элементы одного множества входят также и в другое, говорят о включении первого множества во второе. Пустое множество включается в любое другое. 
Пример определения и задания множеств: 
type 
 digitChar = set of '0'..'9'; 
 digit = set of 0. .9; 
var 
 sl,s2,s3 : digitChar; 
 s4,s5,s6 : digit; 
begin 
 si := ['1', '2', '3']; 
 s2 := ['3', '2', '1']; 
 s3 := ['2', '3']; 
 s4 := [0..3, 6]; 
 s5 := [4, 5]; 
 s6 := [3..9]; 
end. 
В этом примере множества si и s2 эквивалентны, а множество S3 включено в s 2 , но не эквивалентно ему. 
Описание типа множества имеет вид: 
 <имя типа> = set of <базовый тип>; 
Здесь <имя типа> - правильный идентификатор; set, of - зарезервированные слова (множество, из); <базовый тип> - базовый тип элементов множества, в качестве которого может использоваться любой порядковый тип, кроме Word, Integer, Longint, Int64. 
Для задания множества используется так называемый конструктор множества: список спецификаций элементов множества, отделенных друг от друга запятыми; список обрамляется квадратными скобками. Спецификациями элементов могут быть константы или выражения базового типа, а также тип-диапазон того же базового типа. 
Над множествами определены следующие операции: 
* 	пересечение множеств; результат содержит элементы, общие для обоих множеств; например, s4*s6 содержит [3], s4*s5 - пустое множество (см. выше);
+ 	объединение множеств; результат содержит элементы первого множества, дополненные недостающими элементами из второго множества:
S4+S5 содержит [0,1,2,3,4,5,6];
S5+S6 содержит [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
- 	разность множеств; результат содержит элементы из первого множества, которые не принадлежат второму:
S6-S5 содержит [3,6,7,8,9];
S4-S5 содержит [0,1, 2, 3, 6] ;
= 	проверка эквивалентности; возвращает True, если оба множества эквивалентны;
<>	проверка неэквивалентности; возвращает True, если оба множества неэквивалентны;
<=	проверка вхождения; возвращает True, если первое множество включено во второе;
>=	проверка вхождения; возвращает True, если второе множество включено в первое;
in	проверка принадлежности; в этой бинарной операции первый элемент - выражение, а второй - множество одного и того же типа; возвращает True, если выражение имеет значение, принадлежащее множеству:
3 in s 6 возвращает True; 
2*2 in si возвращает False.
Дополнительно к этим операциям можно использовать две процедуры. 
include - включает новый элемент во множество. Обращение к процедуре: 
 Include(S,I) 
Здесь s - множество, состоящее из элементов базового типа TSet Base; I - элемент типа TSetBase, который необходимо включить во множество. 
exclude - исключает элемент из множества. Обращение: 
 Exclude(S,I) 
Параметры обращения - такие же, как у процедуры include. В отличие от операций + и -, реализующих аналогичные действия над двумя множествами, процедуры оптимизированы для работы с одиночными элементами множества и поэтому отличаются высокой скоростью выполнения. 
Учебная программа PRIMSET 
В следующем примере, иллюстрирующем приемы работы с множествами, реализуется алгоритм выделения из первой сотни натуральных чисел всех простых чисел[ Простыми называются целые числа, которые не делятся без остатка на любые другие целые числа, кроме 1 и самого себя. К простым относятся 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.. ]. В его основе лежит прием, известный под названием "решето Эратосфена". В соответствии с этим алгоритмом вначале формируется множество BeginSet, состоящее из всех целых чисел в диапазоне от 2 до N. В множество primerset (оно будет содержать искомые простые числа) помещается 1. Затем циклически повторяются следующие действия: 
* взять из BeginSet первое входящее в него число Next и поместить его В PrimerSet; 
* удалить из BeginSet число Next и все другие числа, кратные ему, Т. е. 2*Next, 3*Next И Т.Д. 
Цикл повторяется до тех пор, пока множество BeginSet не станет пустым. 
Эту программу нельзя использовать для произвольного N, так как в любом множестве не может быть больше 256 элементов. 
// Выделение всех простых чисел из первых N целых 
procedure TfmExample.bbRunClick(Sender: TObject); 
const 
 N = 255; // Количество элементов исходного множества 
type 
 SetOfNumber = set of 1..N; 
var 
 n1, Next, i: Word; // Вспомогательные переменные 
 BeginSet, // Исходное множество 
 PrimerSet: SetOfNumber; // Множество простых чисел 
 S: String; 
begin 
 BeginSet := [2..N]; 
 // Создаем исходное множество 
 PrimerSet := [1]; // Первое простое число 
 Next := 2; // Следующее простое число 
 while BeginSet <> [] do // Начало основного цикла 
 begin 
 nl := Next; // nl-число, кратное очередному простому (Next) 
 // Цикл удаления из исходного множества непростых чисел: 
 while nl <= N do 
 begin 
 Exclude(BeginSet, nl); 
 n1 := nl + Next // Следующее кратное 
 end; // Конец цикла удаления 
 Include(PrimerSet, next); 
 // Получаем следующее простое, которое есть первое 
 // число, не вычеркнутое из исходного множества 
 repeat 
 Inc(Next) 
 until (Next in BeginSet) or (Next > N) 
 end; 
 // Конец основного цикла 
 // Выводим результат: 
 S := '1'; 
 for i := 2 to N do 
 if i in PrimerSet then 
 S := S + ', ' + IntToStr(i); 
 mmOutput.Lines.Add(S) 
end; 
Перед тем как закончить рассмотрение множеств, полезно провести небольшой эксперимент. Измените описание типа SetOfNumber следующим образом: 
type SetOfNumber = set of 1..1; 
и еще раз запустите программу из предыдущего примера. На экран будет выведено 1, 3, 5, 7 
Множества BeginSet и PrimerSet состоят теперь из одного элемента, а программа сумела поместить в них не менее семи! 
Секрет этого прост: внутреннее устройство множества таково, что каждому его элементу ставится в соответствие один двоичный разряд (один бит); если элемент включен во множество, соответствующий разряд имеет значение 1, в противном случае - 0. В то же время минимальной единицей памяти является один байт, содержащий 8 бит, поэтому компилятор выделил множествам по одному байту, и в результате мощность каждого из них стала равна 8 элементам. Максимальная мощность множества - 256 элементов. Для таких множеств компилятор выделяет по 16 смежных байт. 
И еще один эксперимент: измените диапазон базового типа на 1..256. Хотя мощность этого типа составляет 256 элементов, при попытке компиляции программы компилятор сообщит об ошибке: Sets may have at most 256 elements (Множества могут иметь не более 256 элементов) т. к. нумерация элементов множества начинается с нуля независимо от объявленной в программе нижней границы. Компилятор разрешает использовать в качестве базового типа целочисленный тип-диапазон с минимальной границей 0 и максимальной 255 или любой перечисляемый тип не более чем с 256 элементами (максимальная мощность перечисляемого типа - 65536 элементов). 
Source: https://studopedia.info
ID: 00260