Wahrscheinlichkeit Summen N-seitiger Würfel

==Einführung==
Wirft man nur einen Würfel, liegt eine Gleichverteilung vor, wie auf Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel besprochen. Wirft man jedoch mehrere Würfel und addiert die Ergebnisse, ändert sich die Situation. Im Falle der Addition zweier gleicher Würfel erhält man den diskreten Fall einer symmetrischen Dreiecksverteilung. Je mehr gleiche Würfel man addiert, desto mehr nähert sich die resultierende Verteilung der Binomialverteilung an.
==Erwartungswert und Standardabweichung==
Einfach zu berechnen ist der Erwartungswert von solchen Summen. Dazu muss man nur wissen, dass der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen stets gleich der Summe der Erwartungswerte ist - somit ist der Erwartungswert der Summe von 2W6 gleich 7, und der Erwartungswert der Summe von 3W6 gleich 10,5 (und damit gleich dem Erwartungswert eines W20). Dies funktioniert auch, wenn man ungleiche Würfel addiert, also beispielsweise einen W6 und einen W20 (man erhält einen Erwartungswert von 14).
Zur Berechnung der Standardabweichung kann man im Falle der Würfelsummen vorraussetzen, dass die Würfe voneinander unabhängig sind. In diesem Fall ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen, und man muss somit zur Berechnung der Standardabweichung nur die Wurzel aus den quadrierten Standardabweichungen der Einzelverteilungen berechnen. Als Beispiel: Die Standardabweichung eines W6 beträgt 1,7 (siehe Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel), also berechnet man die Standardabweichung von 3W6 zu \sqrt{(3*(1,7)^2)} = 2,94 (womit sie geringer ist als die Standardabweichung eines W20, die 5,77 beträgt).
Auch hier kann man mit der gleichen Formel die Standardabweichung von Summen ungleicher Würfel berechnen, im Beispiel mit einem W6 und einem W20 erhält man als Ergebnis 6,01.
==Wahrscheinlichkeit bestimmter Summen==
Möchte man die konkrete Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Kombinationen, die zu diesem Ergebnis führen, addieren. Dazu ist es hilfreich zu wissen, dass jede Kombination von Würfelergebnissen, bei denen man die Würfel als unterscheidbar ansieht, die gleiche Wahrscheinlichkeit hat (siehe auch Wahrscheinlichkeit N-seitige Würfel#Mehrere Würfel).
Möchte man also für eine gewünschte Summe die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ausrechnen, muss man zuerst ausrechnen, wie wahrscheinlich jede Kombination ist, sich dann überlegen, welche Kombinationen von Würfelaugen zu der gewünschten Summe führt, und dann die Anzahl der möglichen Permutationen dieser Kombinationen ausrechnen (hierbei ist der Multinomialkoeffizient hilfreich; siehe auch Fakultät). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann die Summe aller möglichen Kombinationen und deren Permutationen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit einer Kombination.
;Beispiel 1: Wir werfen 2W6 und möchten die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass die Summe "3" beträgt. Die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination (a,b) beträgt bei 2W6 \frac{1}{6}*\frac{1}{6}=\frac{1}{36}. Mögliche Kombinationen, die zur Summe "3" führen: 1 + 2. Anzahl der Permutationen von (1,2): \frac{2!}{1! 1!} = 2. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass man als Summe "3" erhält: 2*\frac{1}{36}.
;Beispiel 2: Wir werfen 2W6 und möchten die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass die Summe "7" beträgt. Die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination ist immernoch \frac{1}{36}. Mögliche Kombinationen, die zur Summe "7" führen: 1+6, 2+5, 3+4. Anzahl der Permutationen jeder dieser Kombinationen: 2. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass man als Summe "7" erhält: (2+2+2)*\frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}. 
;Beispiel 3: Wir werfen 3W6 und möchten die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass die Summe "6" beträgt. Die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination ist jetzt \frac{1}{216}. Mögliche Kombinationen: 1+1+4, 1+2+3, 2+2+2. Anzahl der Permutationen: \frac{3!}{2!*1!} + \frac{3!}{1!*1!*1!} + \frac{3!}{3!}= 3+6+1 = 10. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \frac{10*1}{216}.
;Beispiel 4: Wir werfen einen W6 und einen W20 und möchten die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass die Summe "23" beträgt. Die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination ist \frac{1}{6}*\frac{1}{20} = \frac{1}{120}. Mögliche Kombinationen: 3+20, 4+19, 5+18, 6+17. Permutationen sind hier nicht möglich, die gesuchte Wahrscheinlickeit beträgt also \frac{4}{120}. (Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeit für jeden Summenwert ≥ 7 und ≤ 21 beträgt \frac{6}{120}).
Anmerkung: Im Falle der Summe zweier Würfel nennt man diese Berechnung diskrete Faltung.
==Tabellen==
Im Folgenden einige Tabellen zu den Wahrscheinlichkeiten von Summen. Relevant für Wahrscheinlichkeitsüberlegungen ist meist nur die Tabelle der addierten Wahrscheinlichkeiten.
===Tabellen: 2W6===
{| class="wikitable"	
Ergebnis	Wahrscheinlichkeit
2 	1/36 ≈ 2,8%
3 	2/36 ≈ 5,6%
4 	3/36 ≈ 8,3%
5 	4/36 ≈ 11,1%
6 	5/36 ≈ 13,9%
7 	6/36 ≈ 16,7%
8 	5/36 ≈ 13,9%
9 	4/36 ≈ 11,1%
10 	3/36 ≈ 8,3%
11 	2/36 ≈ 5,6%
12 	1/36 ≈ 2,8%
Konkrete Anwendungen dieses Wurfes sind die Schadenswürfe einiger schwerer Waffen, aber auch der Bruchtest, bei denen es jeweils um Summen geht.
===Tabellen: 3W6===
{| class="wikitable"	
Ergebnis	Wahrscheinlichkeit
3 	1/216 ≈ 0.463%
4 	3/216 ≈ 1.39%
5 	6/216 ≈ 2,78%
6 	10/216 ≈ 4.63%
7 	15/216 ≈ 6.94%
8 	21/216 ≈ 9.72%
9 	25/216 ≈ 11.57%
10 	27/216 ≈ 12.5%
11 	27/216 ≈ 12.5%
12 	25/216 ≈ 11.57%
13 	21/216 ≈ 9.72%
14 	15/216 ≈ 6.94%
15 	10/216 ≈ 4.63%
16 	6/216 ≈ 2,78%
17 	3/216 ≈ 1.39%
18 	1/216 ≈ 0.463%
==Weblinks==
*Rechner: Wahrscheinlichkeit für bestimmte Würfelsumme berechnen
Kategorie:DSA aus mathematischer Sicht