Презентація на тему «Теорема про три перпендикуляри»

Геометрія
Теорема про три перпендикуляри
Робота 
учениці 10-А класу
Баранюк Надії
Відрізок АВ - перпендикуляр, точка В — основа цього перпендикуляра. 
Будь-який  відрізок АС, де С — довільна точка площини α, відмінна від В, називається похилою до цієї площини.
Узагальнююче повторення
Перпендикуляр і похила
Властивості проекції
1. Перпендикуляр, проведений з даної точки до площини, менший будь-якої похилої, проведеної з тієї ж точки доцієї площини.
2. Якщо похилі рівні, то рівні і їх проекції;
3. Якщо проекції похилих рівні, то рівні і похилі;
4. Якщо похилі не рівні, то більша похила має і більшу проекцію.
Відстань від точки до площини
Довжина перпендикуляра, проведеного з точки А до площини  α,  називається відстань від точки А до площини  α.


α

a
A
b
c
d

Означення прямої,  перпендикулярної до  площини: 
Пряма називається перпендикулярною до  площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить в цій площині.

α

a
A
b
c
Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, та лежать у площині, то вона 
перпендикулярна і самій площині.
 
 


Ознака перпендикулярності прямої та площини:

α

A
 
 
Перпендикуляр, похила, 
проекція похилої  на площину:

В

М

АВ - перпендикуляр
МА - похила
МВ - проекція


М

α

А


В


Завдання:
а
Пряма a – похила до площини α. Вона перетинає площину в точці М. Побудувати  проекцію цієї похилої на площину α.
Нехай 
АВ – перпендикуляр до площини , 
АС – похила, 
ВС – проекція похилої 
m – пряма в площині , проведена через основу С похилої.
Вивчення нового навчального матеріалу
Теорема про три перпендикуляри

α

A
 
 
Теорема про три перпендикуляри

В

М



а
Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої

α

A
 
 
Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри):

В

М



а
Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.
Теорема про три перпендикуляри та обернена до неї. Висновки
1). Якщо сВС, то сАС
2). Якщо сАС, то сВС
Первинне закріплення вивченого матеріалу
Задача. Відстань від точки М до кожної зі сторін ромба дорівнює 10 см, а до площини ромба – 8 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб.
Розв'язання
Нехай АВСD – ромб. МК=МР=МЕ=MF=10 см, МО=8 см.
За означенням, відстані МКАВ, МРВС, МЕCD, MFAD.





K
E
P
M
D
С
В
А
F
O
Первинне закріплення вивченого матеріалу
За теоремою про три перпендикуляри ОКАВ, ОР ВС, ОЕ CD, OF AD.
Оскільки відстані від точки М до сторін ромба рівні, то відрізки ОК, ОР, ОЕ, OF також рівні як проекції рівних похилих. Звідси точка О -  основа перпендикуляра  МО – є центром кола, вписаного в ромб. Із прямокутного трикутника МОК знайдемо радіус цього кола:




Висновок 1
Якщо т. А однаково віддалена від усіх сторін многокутника, то основа перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини многокутника, також однаково віддалена від його сторін, тобто є центром вписаного в многокутник кола.





Дві прямі, що перетинаються, в просторі визначають єдину площину, тому кут між цими прямими визначається як і на площині.
а
в
Менший із кутів, утворених при перетині двох прямих, називається кутом міжу даними прямими.






Кут між двома прямими, що перетинаються не може не може бути більшим 900 .
Якщо прямі паралельні, то величина кута між ними вважається рівним  00.
М
Нехай дано площину  і пряму а, яка її перетинає і не перпендикулярна до площини . Основи перпендикулярів, проведених з точок прямої а до площини , лежать на прямій b. Ця пряма називається проекцією  прямої а на площину . Кутом між прямою і площиною  називається кут  між цією прямою і її проекцією на площину.
b
а












Побудова кута між прямою і площиною
т

n
K
Пряма n – проекція прямої m на площину 
Р – довільна точка прямої m 
PF  n
 PKF =  - кут між прямою m і площиною 
 

P
F
Закріплення вивченого матеріалуВизначте взаємне розміщення прямих а і b на кожному малюнку
На малюнках пряма а1 – проекція прямої а на площину . На якому з малюнків кут  є кутом між прямою а і площиною ?
1). Діагоналлю DC1 грані  DD1C1C і площиною основи ABCD
2). Діагоналлю B1D куба і площиною основи ABCD
3). Діагоналлю B1D і площиною грані  DD1C1C.
ABCDA1B1C1D1 – назвіть кут між:
Задача 410
AF – перпендикуляр до площини трикутника АВС.  AD – його висота. Доведіть, що  DF ВC
У рівнобедреному трикутнику АВС основа ВС=12 см, бічна сторона дорівнює 10 см. З вершини А проведено перпендикуляр АD до площини АВС, АD=6 см. Знайти відстань від точки D до сторони ВС. 










B
А
С
D
Н
Відповідь: 10 см
Довести, що якщо точка рівновіддалена від усіх вершин многокутника, то вона проектується на його площину у центр описаного кола. 


M
A
B
C
D
E
O

Дано: МА=МВ=МС=МD. МО. 
Довести: О – центр описаного кола
Доведення
Ми доведемо, що О – центр кола, описаного навколо многокутника, якщо доведемо, що точка О – рівновіддалена від вершин А, В, С, …
Для цього проведемо відрізки ОА, ОВ, ОС, … і порівняємо їх.  ОА=ОВ=ОС=… (як проекції рівних похилих МА, МВ, МС, …), отже, О – центр описаного кола
Якщо точка рівновіддалена від усіх вершин многокутника, то основою перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину многокутника,  є центр кола, описаного навколо даного многокутника.
Висновок 2