Презентація на тему «Комбинации и бином Ньютона»


Комбинации и бином Ньютона
Выполнили:
Комбинации
Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор называется комбинацией. Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения.
Существуют 3 вида комбинаций составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.):
Перестановки
Размещения
Сочетания
Перестановки
Возьмём  n различных элементов:  a1 , a2 , a3 , …, an . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :



      Символ  n!  ( называется факториал ) - сокращённая запись произведения:  1 · 2 · 3 ·  … · ( n – 1 ) · n .
П р и м е р 1.  Найти число перестановок из трёх элементов:  a, b, c. 

Р е ш е н и е .  В соответствии с приведенной формулой:  P3 = 1 · 2 · 3 =6.
          Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.


Размещения
Будем составлять группы из  m различных элементов, взятых из множества, состоящего из  n элементов, располагая эти  m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются  размещениями из  n элементов по m .

     Их общее количество обозначается:                  и равно произведению:




П р и м е р 2.  Найти число размещений из четырёх элементов  a, b, c, d по два. 
Р е ш е н и е .  В соответствии с формулой получим:

                         


Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. 

Сочетания
  Будем составлять группы из  m различных элементов, взятых из множества, состоящего из  n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из  n элементов по  m .
Их общее количество обозначается          и может быть вычислено по формуле:


Из этой формулы ясно, что 
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все  n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что  0! = 1,  что является определением  0! . 


В соответствии с этим определением получим:
Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:



П р и м е р 3 . Найти число сочетаний из пяти элементов:  a, b, c, d, e  по три.
Р е ш е н и е : 


  Эти сочетания:  abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Бином Ньютона.

Это формула, представляющая выражение
 ( a + b ) n  при положительном целом  n  в виде многочлена:

Заметим, что сумма показателей степеней для  a  и  b  постоянна и равна n.

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)n, где a + b есть любой бином, а n - целое число. 
 
Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.
1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.
2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.
3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.
4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.


Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)6. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членовa6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, ci? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

  

Есть много особенностей в треугольнике. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:
Мы видим, что в последней строке 
первой и последнее числа 1;второе число равно 1 + 5, или 6;третье число это 5 + 10, или 15;четвертое число это 10 + 10, или 20;пятое число это 10 + 5, или 15; ишестое число это 5 + 1, или 6.
Таким образом, выражение (a + b)6 будет равно(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.


Для того, чтобы возвести в степень (a + b)8, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда (a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.
Пример 1 Возведите в степень: (u - v)5.
Решение У нас есть (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:1          5          10          10          5          1Тогда у нас есть(u - v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 - 5u4v + 10u3v2 - 10u2v3 + 5uv4 - v5.Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.
Пример 2 Возведите в степень: (x2 - 2y)5.
Решение У нас есть (a + b)n, где a = x2, b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем 










Наконец, (x2 - 2y)5 = x10 - 10x8y + 40x6y2 - 80x4y3 + 80x2y4 - 35y5.
1.  Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) n  равна  2 n . 
Для доказательства достаточно положить  a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: 
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. 
Это свойство следует из соотношения:


3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 
Для доказательства воспользуемся биномом: 
Здесь чётные члены имеют знак  « + » , а нечётные - « - ». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов   равны между собой, поэтому каждая из них равна:    
                                                 что и требовалось доказать.

4.   Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля.


 

  Свойства биноминальных коэффициентов