Презентація на тему «Пирамида»

Пирамида
 Что такое пирамида?
Пирамида  — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.


История развития пирамиды в геометрии.
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс  Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды:

Телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.



Демокрит
Евдокс  Книдский


Евклид
Элементы пирамиды
апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;
боковые грани (1) — треугольники сходящиеся в вершине
боковые ребра (2)
вершина пирамиды (3) — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота (4)— отрезок перпендикуляра, проведённого
через вершину пирамиды к плоскости её основания
(концами этого отрезка являются вершина 
пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды — сечение 
пирамиды, проходящее через вершину и 
диагональ основания;
основание (5) — многоугольник, которому не 
принадлежит вершина пирамиды;



Простейшая пирамида 
Простейшей, правильной пирамидой, является
пирамида, основанием и гранями которой служат
4 равных между собой равносторонних
треугольника. Основанием такой пирамиды
может служить её любая грань, и пирамида 
независимо будет считаться - правильной. Такая
Пирамида называется Тетраэдр. 


Двадцать таких пирамид с
примыкающими гранями и сходящимися
вершинами в одной точке, служат
составляющими Икосаэдра, основаниями
образуя его грани.





Углы пирамиды
Углы простейшей пирамиды - Тетраэдра, все равны 60°, как в треугольнике лежащем в основании, так и в треугольниках образующих граней. 

Углы прямоугольной пирамиды, угол в основании, между сторонами квадрата 90°, а в треугольниках образующих граней - 60°. В диагональном сечении, в треугольнике, угол в вершине пирамиды 90°, и два угла у основания 45°.

Развёртка пирамиды



Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью. Если отсек фигуры поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.


Разверткой правильной прямоугольной пирамиды, будет        основание, и четыре равносторонних       (грани), имеющие с основанием общую сторону с основанием. 


Разверткой правильной пятигранной пирамиды, будет правильный пятиугольник в основании, и 5 равнобедренных        , имеющих общую сторону с основанием.

Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то:
около основания пирамиды можно описать окружность, 
вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные
 углы.
также верно и обратное, т. е. если боковые ребра образуют 
с плоскостью основания равные углы или если около основания
пирамиды можно описать окружность, причём вершина  пирамиды проецируется 
в её центр, то все боковые ребра  пирамиды равны.


Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
около основания пирамиды можно описать окружность, вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
также верно и обратное, т. е. если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.


Формулы, связанные с пирамидой
 Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где S — площадь основания и  h — высота;

 Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле:


где a1,a2— скрещивающиеся рёбра, d — расстояние между a1 и a2 ,    — угол между a1 и a2;
 

 Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:


Формулы, связанные с пирамидой
 Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

 Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:


где  a — апофема, P — периметр основания, n — число сторон основания, b — боковое ребро,    — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды
 Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если
основанием её является правильный многоугольник, а вершина
проецируется в центр основания. 

Тогда она обладает такими свойствами:
боковые ребра правильной пирамиды равны;
в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания;
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
 Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых
рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном
случае, это ребро и является высотой пирамиды.


Особые случаи пирамиды

Усечённая пирамида
Усечённой пирамидой называется многогранник,
заключённый между основанием пирамиды и секущей 
плоскостью, параллельной её основанию.

Интересные факты
 Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Пирамиды в жизни
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!