nyuuzyou/ukr-lit huggingface dataset:
Презентація на тему «Логарифми в біології»

Логарифми в біології

           В наше сучасне життя втручається математика з її особливим стилем мислення, яке стає зараз обов'язковим і для інженера і для біолога 



  Можна сказати, що спіраль є математичним символом співвідношення форми і зростання.
	Великий німецький поет Йоганн-Вольфганг Гете вважав її символом життя і духовного розвитку.
Логарифмічна функція виникає у зв'язку з найрізноманітнішими природними формами.
 По логарифмічних спіралях розташовуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus, роги гірського барана і дзьоби папуг. Один з павуків, епейра, сплітаючи павутиння , закручує нитки навколо центра по логарифмічним спіралям.

         Нічні метелики, які пролітають величезні відстані, орієнтуючись по паралельним промінням місяця, інстинктивно зберігають прямий кут між напрямом руху і променем світла. Якщо вони орієнтуються на точкове джерело світла, інстинкт їх підводить, і метелики потрапляють в полум’я по логарифмічної спіралі, що скручується.
Презентація на тему «Вектори та їх застосування» (варіант 1)

Вектори та їх 
застосування
Підготувала
учениця 11-А класу
Кошина Анна
	Вектор — це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Наприклад, такі величини, як сила, швидкість, прискорення. Вектор не можна представити звичайним числом, лише умовним.
Поняття
1844 -1850 р.р. 
 - основи векторного числення були закла-дені дослідженнями англійського мате-матика У.Гамільтона
і німецького матема-тика Г. Грассмана по гіперкомплексних числах.
Історія
Їх ідеї були використані англійським фізиком Дж.К.Максвеллом в його роботах по електриці і магнетизму.
Історія
	Значний внесок у розвиток векторного числення внесли російські учені. В першу чергу слід зазначити роботи 
М. У. Остроградського. Їм була доведена основна теорема векторного аналізу. Числення мали важливе значення для механіки і геометрії. Ці дослідження були продовжені радянськими математиками 
Н. Зейлігером і А. Широковим. 
Історія
	Використання векторів у комп'ютерних технологіях
	Майже з моменту створення ЕОМ з’явилася і комп’ютерна графіка, яка зараз вважається невід’ємною частиною світової технології. Спочатку це була лише векторна графіка – побудова зображення за допомогою так званих"векторів" - функцій, які дозволяють обчислити положення точки на екрані або папері. Наприклад, функція, графіком якої є коло, пряма лінія чи інші більш складні криві. Сукупність таких "векторів" називається векторним зображенням.
Застосування векторів
	Приклади векторної графіки
	Приклади векторної графіки
Використання векторів у фізиці
У фізиці вектор - це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням і напрямком. Зустрічається чимало важливих величин, які є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, що обертає момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм,тиск, температура і щільність, які можна описати звичайним числом, і називаються вони "скалярами". Векторна запис використовується при роботі з величинами, які неможливо поставити повністю за допомогою звичайних чисел.
Застосування векторів
Використання векторів в біології
Вектор — організм, клітина, вірус, плазміда або інший біологічний об'єкт, що несе потенційно активний елемент,який не проявляє активності під час перебуванні у фазі вектора, але може розмножуватися разом із вектором. 
Застосування векторів
Український орнамент у векторі
Векторні фони з українськими національними орнаментами в стилі національної вишивки хрестиком, а також імітація візерунків на скатертинах та рушниках,виконаних в національному українському стилі. Векторні фони на тему національної української вишивки з яскравим і барвистим геометричним і рослинним орнаментом, що застосовуються для вишивання рушників та одягу.
Застосування векторів
Приклади українського орнаменту у векторі
Приклади українського орнаменту у векторі
Дякую за увагу!
Презентація на тему «Формули скороченого множення» (варіант 2)

Формули 
скороченого 
множення
Виконала:ліцеїстка ІІІ-І курсуГринюк Ольга
Евклід. Начала
«Якщо відрізок яким-небудь чином розділити на два відрізки, то площа квадрата, побудованого на всьому відрізку, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з двох відрізків, та подвоєний площі прямокутника, сторонами якого є ці два відрізка.»

Сенс цього виразу у формулі
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2
Геометричне зображення 
формули
Різниця квадратів
різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми 

a2-b2=(a+b)(a-b)
Доведення:
(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2= a2-b2

Формули скороченого множення
Квадрат суми двох виразів
Квадрат різниці двох виразів
Розклад на множники (обернені формули)
Формули скороченого множення
 Різниця квадратів двох виразів
Сума кубів двох виразів
Різниця кубів двох виразів
Дякую за увагу!!!
Презентація на тему «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»

            Параллельность прямых и плоскостей в     пространстве. 
Выполнила 
ученица 10 класса 
Нетребко Галина

пересекаются
параллельны


а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве.





Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.




Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой, 
лежащей в этой плоскости , то 
она параллельна и самой плоскости.
Дано:
Доказать:










1.Через прямые a и  b проведем плоскость α 

Пусть                  ,                  , 
 α 
2. α  β =  b
Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α   b 
 a  β 

 a    β 
Теорема доказана.



Расположение плоскостей в пространстве.
α   β 
α и  β  совпадают
α  β 
Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
 плоскости соответственно параллельны двум 
 пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
 плоскости параллельны.
Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.
Доказать:   




а
а₁
b
b₁
M


c
Доказательство:
                              Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку  М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего  быть на может. 
Значит     .
1. Пусть    = с.
Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную. 
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
    Дано:
 точка А вне плоскости α.
существует плоскость β║α, проходящая через точку А
1. В плоскости α проведём прямые а∩в.
Через точку А проведём 
а1║а
и в1║в.
По признаку параллельности плоскостей  прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.
Существование плоскости β доказано.






Если две параллельные плоскости 
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
 α   β,  α    = a 
 β    = b 
Доказать:  a   b
Доказательство: 
1.    a  , b   
2. Пусть  a   b, 
тогда  a   b = М
3.   M  α, M  β 
 α   β = с (А2)
Получили противоречие с условием. 
Значит  a   b     ч. т.д.






Отрезки параллельных прямых, 
заключенные между параллельными
                    плоскостями,  равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ = СD
Дано:
 α   β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D
Доказательство:
1. Через АВ СD проведем   
2. α β, α   = a, β   = b 
3.  АС В D, 
4. АВ СD (как отрезки парал. прямых) 
5.  АВСД – параллелограмм (по опр.) 
  АВ = СD ( по свойству параллелограмма) 

  Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.
α 

β 



А
Решение.
1. В плоскости α возьмем т. В. 
2. Проведем прямые ВС и ВD.
В
• 
С1
D1
D
С
3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.








4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
• 
5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β
Презентація на тему «Похідна» (варіант 1)

Похідна
Фізичний зміст похідної
Похідна
Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього(червоний). Значення тангенсу кута нахилу дотичної є значенням похідної у вказаній точці.
Похідна – основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.
Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки.
Фізичний зміст похідної
Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, яку можна застосувати до найрізноманітніших фізичних величин.

у
х
0
у = f(x)

а
х0
Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу:
s = s(t) – залежність пройденого шляху від часу;
v = s’(t) – швидкість прямолінійного руху;
a = v’(t) – прискорення прямолінійного руху
Фізичний зміст похідної
Задано закон прямолінійного руху: 
Приклад:
(х - вимірюється у метрах, t - у секундах). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 2с.
Розв’язання.
Презентація на тему «Maria Zankovetska»

Maria Zankovetska – "a symbol of Ukrainian Theatre".

Maria Zankovetska was born on 23rd July, 1854 in the village of Zanki. After finishing studies in a private school in Chernihiv, she studied for two years at a conservatoire in Helsinki.

Her talent was noticed by Micola Sadovsky, who became a leading figure of Ukrainian theatre.Maria dreamed of a professional theatrical career. Together with Micola Sadovsky and Marko Kropivnitsky, she was destined to contribute to the birth of the National Theatre.

She debuted in 1882 in Ivan Kotliarevsky's Natalka from Poltava as a member of Marko Kropyvnytsky’s troupe. Zankovetska performed as leading actress in the troupes of Kropyvnytsky (1882–3, 1885–8, 1899–1900), Mykhailo Starytsky (1883–5), and Mykola Sadovsky (1888–98), in Saksahansky’s Troupe (1900–3), in Onysym Suslov's troupe (1903–4), in the Society of Ukrainian Actors (1915–17), and in the State People’s Theater (1918–22). Her last performance on stage was in Kyiv in 1922, and that same year a theater in her name was founded.

Zankovetska's stage career spanned over 30 dramatic-heroic roles from the populist-ethnographical repertoire, which she played with innate subtlety and intelligence. Among them were Olena in Marko Kropyvnytsky’s Hlytai, abo zh pavuk (The Profiteer, or the Spider), Katria and Aza in Mykhailo Starytsky 's Ne sudylos’ (Not Destined) and Tsyhanka Aza (The Gypsy Aza), Sofiia and Kharytyna in Ivan Karpenko-Kary 's Beztalanna (The Hapless Maiden) and Naimychka (The Hired Girl), Natalia in  Panas Myrny 's Lymerivna (The Saddler's Daughter)

She starred in the films Natalka from Poltava (1910) and Ostap Bandura(1923).

She was highly commented by Konstantin Stanislavsky. The wife of Tzar Alexander III sent a note of thanks to her.
 In 1912 the journal "Women's Profiles" came out. It was devoted to outstanding women of the world, and it mentioned M. Zankovetska as one of three great Russian actresses.
Her talent was sustained by her realization of the importance of what she was doing — educating the people and fostering respect and interest in Ukrainian culture.
Презентація на тему «Відстань між двома точками»

ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ.КООРДИНАТИ СЕРЕДИНИ ВІДРІЗКА.

Х

о
У
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-4
-5
-6
-3






6







-7
7













-6
-7
Координатна площина-це площина, на якій зображено дві взаємно перпендикулярні координатні прямі зі спільним початком відліку.
Вісь Оу-
вісь ординат
Вісь Ох-
вісь абсцис
   Координати точки на площині ху називають декартовими координатами 

(на честь французького математика 
Рене Декарта)
А (2;3)

В (1;-3)

І(+;+)
ІІ(-;+) 
ІІІ(-;-) 
ІV(+;-)
х – абсциса точки
 у – ордината точки
А(1; 2),
В(-1; 0),
С(0; 4),
D(2; -5),
F(-2; 3),
K(-1; -1),
L(4; 0),
M(0; -4),
P(0; 0).

Побудуйте точки за вказаними
 координатами:
А
В
С
D
F
K
L
M
P









ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ


А (х₁;у₁)
В (х₂;у₂)


    Відстань між двома точками дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць їх відповідних координат.
Знайдіть відстань між точками:

С(-1; 2)  і  В(4;-3)


С
В



Вершинами трикутника є точки А(-1;3), В(5;9), С(6;2). Доведіть, що трикутник-рівнобедрений.








ВС=АС,    АВС- рівнобедрений.
Координати середини відрізка

А (х₁;у₁)
В (х₂;у₂)


Якщо А(х₁;у₁) і В(х₂;у₂) –кінці 
відрізка АВ, 
а С(х;у)-його середина, то 
, а 

Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.
При якому значенні х відстань між точками С(3;-2) і Д(х;-1) дорівнює 5?





х-3=4,  х=7
Презентація на тему «Методи розв’язування задач»

Методи розв’язування задач
Роботу підготувала
учениця 10 класу 
ЗОШ І-ІІІ ст. №19
м. Черкас
Пономаренко Анжела
Методи розв’язування задач
     За структурою:
синтетичний
аналітичний
від супротивного
      За використанням 
математичного апарату:
алгебраїчний
метод координат
векторний метод
метод площ
Аналітичний метод передбачає застосування тотожних перетворень і співвідношень, отриманих на підставі відомих геометричних фактів. Такі перетворення, формули часто застосовуються без урахування взаємного розміщення фігур та їх елементів. Розв’язати задачі, використовуючи аналітичний метод,  досить часто можна без побудови рисунка.
Аналітичний метод 
Знайдіть градусні міри суміжних, якщо різниця їхніх градусних мір дорівнює 50°.
Розв‘язання:
Нехай градусні міри суміжних кутів x  і у  (x ˃y). 
Тоді за теоремою про суму суміжних кутів х+у =50. 
Маємо систему рівнянь:
{х+у =180
{х-у =50. 
Звідки 
2х =230;
х =115, у =65.
Отже, градусні міри даних кутів 115° і 65°.
Задача 1 
Дякую за увагу!
Презентація на тему «Конус» (варіант 5)



Презентация по геометрии
по теме «Конус»


Конус -
это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.


Конус
Prezentacii.com


Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ
Осевое сечение конуса.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого- диаметр основания конуса, а боковые стороны- образующие конуса. Это сечение- осевое.

Сечение конуса плоскостью q, перпендикулярной к его оси.
      


                               
Сечение конуса плоскостью


Площадь поверхности конуса
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки. 
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.   
   S= π r l
Площадь полной поверхности конуса- сумма площадей боковой поверхности и основания.            
   S= π r (l+r)  


Усечённый конус
Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD
Площадь боковой поверхности усечённого конуса.


Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: S = π (r + r‘) l
Спасибо за внимание
Презентація на тему «Повторення курсу планіметрії»

Геометрія 10 клас
Робота 
учениці 10-А класу
Баранюк Надії
ПОВТОРЕННЯКУРСУ ПЛАНІМЕТРІЇ
основні поняття планіметрії;
аксіоми – твердження, істинність яких
приймають без доведень;
основні властивості геометричних фігур
та їх ознаки;
методи розв’язування геометричних задач
ОПОРНІ ФАКТИ ПЛАНІМЕТРІЇ
В планіметрії основними фігурами є точка і пряма, а основними відношеннями – «належати», «лежати між», «накладання».
Вони вводяться без означень. Використовуючи ці поняття, ми даємо означення іншим фігурам (променю, відрізку, куту тощо) та відношенням (рівності, подібності, паралельності тощо). Так само, кілька перших тверджень приймають як істинні без доведень. Їх називають аксіомами.
Всі інші твердження доводять, спираючись на аксіоми, означення понять та раніше доведені теореми.
Кути
Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями (мал. 1). 
Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними променями сторін другого (мал. 2). 
Вертикальні кути рівні.
Властивості паралельних прямих
Якщо дві паралельні прямі перетинає третя (мал. 3), то:
1) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°: ∠1 + ∠2 = 180°;
2) внутрішні різносторонні кути рівні: ∠1 = ∠3;
3) відповідні кути рівні: ∠1 = ∠4.
Трикутники
Залежно від міри кутів, трикутники поділяють на гострокутні, тупокутні й прямокутні.



Залежно від довжин сторін трикутники поділяють на різносторонні, рівнобедрені й рівносторонні.






Трикутники
Трикутники
Трикутник
Ознаки рівності й ознаки подібності трикутників
Означення вписаних і описа-них трикутників та їх властивості
Паралелограм
Паралелограм ABCD (мал. 6):
1) AD || BC, AB || DC;
2) AD = BC, AB = DC;
3) ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D;
4) AO = OC, BO = OD;
5) ∠ A + ∠ B = 180°, ∠ A + ∠ D = 180°.
Площа паралелограма: S = ah.
Прямокутник
Прямокутник  ABCD (мал. 7):
1) усі властивості паралелограма;
2) ∠ A = ∠ В = ∠ С = ∠ D = 90°;
3) АС = ВD.
Площа прямокутника: S = ab.
Ромб
Квадрат
Квадрат ABCD (мал. 9): усі властивості паралелограма, прямокутника, ромба.
Площа квадрата: S = a2.
Трапеція
Властивості вписаних і описанихчотирикутників
1) у вписаному чотирикутнику MNKP
(мал. 11): ∠ M + ∠ P = 180°, ∠ N + ∠ K = 180°;
2) в описаному чотирикутнику ABCD
(мал. 11): AB + CD = AD + BC.
Многокутники
Правильні многокутники
Презентація на тему «Проценты» (варіант 1)


              0                         64            6              70                          0  
2%
30
 5 
40
10
                                         
30
 5 
40                     25
3 + 2 = 5
4413
  5 
 9
     
 5 
9
12
4
 3 
4
2
           
11
4
64

              0                         64            6              70                          0
Презентація на тему «Відстань між мимобіжними прямими»

 
a
b
A
B
a
b
A
B
a
b
A
B
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
a
b
A
B
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
P
K
a
b
A
B
a1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
K
a
b
A
B
b1
m
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
C1
B
C
D
D1
H
C1
B
C
D
D1
H
Презентація на тему «Піраміда» (варіант 3)

              Піраміда

        Поняття слова «піраміда»
«Піраміда» – латинська форма грецького слова “ пюраміс ”, яким  греки називали єгипетські піраміди; це слово походить від давньоєгипетського слова «пурама», яким ці піраміди  називали самі єгиптяни. Сучасні єгиптяни називають піраміди  словом “ ахрам ”, яке також  походить від давньоєгипетського  слова.

   Піраміда як одне із 100 чудес світу
Призначення пірамід у Давньому Єгипті
В релігії давніх єгиптян вирішальне значення мала уява про загробне життя. Ці уявлення вплинули на розвиток і формування стилю пірамід та гробниць, на всю архітектуру Давнього Єгипту в цілому. Люди вважали підготовку до загробного життя одним із головних завдань свого земного життя. Загробне життя єгиптяни уявляли собі як продовження земного існування: людина і після смерті продовжує свій шлях у царстві безсмертя. А тому благоустрій майбутньої гробниці мав важливе значення.
Презентація на тему «Линейная функция. Прямая пропорциональность»

 Линейная функция. Прямая 
пропорциональность
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = kx + b где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа. 
Графиком линейной функции является прямая.  


При этом, если равны коэффициенты b, то прямые пересекаются  в одной точке с координатами (0, b).
Например: Прямые ,заданные формулами, пересекаются в точке с координатами
Линейная функция
Функция вида у = kx + b 
D (f) = R
E (f) = R 
    Линейная функция вида y = kx называют прямой пропорциональностью. Она определена на множестве R. Функция является возрастающей если k>0 и убывающей , если k< 0. Графиком  функции является прямая проходящая через начало координат.
Презентація на тему «Поверхности и вращения в пространстве»

Подготовила:
Кобец Варвара
Поверхности и вращения в пространстве
Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.
коническая поверхность
Цилиндрическая поверхность
однополостный гиперболоид вращения
Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон 
Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов
При вращении параболы вокруг ее оси получается поверхность, называемая параболоидом вращения. 
    При вращении гиперболы вокруг ее оси получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения.
Презентація на тему «Суміжні і вертикальні кути»


<1
<2
<1
<2
<3
<4

180º
180º
90º

1
2
3
<1=120º,<2=<3
<2,<AOM
<2=<3
=60º:2=30º
<AOM=
<1+<2
=120º+30º=150º
Презентація на тему «Множення раціональних чисел»

.
-2
-12
2
12
-1
-3
-12
8
-1
-3
0
1
153
-5
-7
151
20
-20
4
-4
= ?
20
-40
40
-20
-1
0
1
89,9
-90,1
89
-91
76
-76
-420
420
-66
206
-440
580
-5,13
16,91
5,13
-16,91
105
170
-105
-170
>
<
=
            
>
<
=
-57,6
576
480
Презентація на тему «Додекаедр»

Haga clic para cambiar el estilo de título	
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrónSegundo nivelTercer nivelCuarto nivelQuinto nivel
RomaNK ©
RomaNK ©
RomaNK ©
RomaNK ©
RomaNK ©
RomaNK ©
Презентація на тему «Степенные функции»

y
x
   -1  0    1  2
0
y
x
   -1  0    1  2
0
y
x
   -1  0    1  2
1
0
y
x
   -1  0    1  2
1
0
y
x
   -1  0    1  2
0
1
y
x
   -1  0    1  2
y
x
   -1  0    1  2
0
1
Презентація на тему «Готфрід Лейбніц і двійкова система числення»

+
0
1
0
0
1
1
1
10
×
0
1
0
0
0
1
0
1

1
+
1
1
1
0
1
0
1
=
1
0
0
1
1

×
1
1
1
0
1
0
1
+
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
Презентація на тему «Тригонометричні функції: y=sinx, y=cosx»

Презентація на тему:“Тригонометричні функції:y=sinx, y=cosx”
Функція y=sin x
Графік
Побудова графіку
Властивості:
1. Область визначення - R
2. Область значень [-1;1]
3. Нулі функції – числа виду πn, n ϵ Z
4. Проміжки знакосталості:
sin x > 0 на проміжках (2πn; π+2πn) n ϵ Z
sin x <0 (π+2πn; 2π+2πn), n ϵ Z
5. Зростання/спадання
-зростає на проміжках
 [-π/2+2πn; π/2+2πn], n ϵ Z
спадає на проміжках
 [π/2+2πn; 3π/2+2πn], n ϵ Z
6. Функція непарна:
f(x)=sin x
f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x)
7. Найбільше/найменше значення
значення 1 функція набуває 
в точках виду π/2+2πn, n ϵ Z 
-значення -1 функція набуває 
в точках виду -π/2+2πn, n ϵ Z
Функція y=cos x
Графік
Побудова графіку
Властивості:
1. Область визначення - R
2. Область значень [-1;1]
3. Нулі функції – числа виду π/2 + 2πn, n ϵ Z
4. Проміжки знакосталості:
cos x > 0 на проміжках (-π/2+2πn; π/2+2πn) n ϵ Z
cos x < 0 на проміжках (π/2+2πn; 3π/2+2πn), n ϵ Z
5. Зростання/спадання
–зростає на проміжках
 [π+2πn; 2π+2πn ], n ϵ Z
спадає на проміжках
 [2πn; π+2πn], n ϵ Z
6. Функція парна:
f(x)=cos x
f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x)
7. Найбільше/найменше значення
значення 1 функція набуває 
в точках виду 2πn, n ϵ Z 
-значення -1 функція набуває 
в точках виду π+2πn, n ϵ Z