Презентація на тему «Перерізи многогранників»

Перерізи многогранників
Робота Роговченко Тетяни, 10-А
Многогранник – це геометрична фігура, частина простору, обмежена замкненою поверхнею, що складається з певної кількості плоских многокутників, так званих граней багатогранника.

грань
ребро
вершина
Мінімальний тороїдальний багатогранник

Правильний багатогранник  –  це опуклий багатогранник з максимально можливою симетрією.
Багатогранник називається правильним, якщо:
він опуклий;
всі його грані є рівними правильними многокутниками;
в кожній його вершині сходиться однакове число граней;
всі його двогранні кути рівні.
Існує всього п’ять видів правильних многогранників: тетраедр(чотиригранник), куб(шестигранник), октаедр(восьмигранник), додекаедр(дванадцятигранник) та
ікосаедр(двадцятигранник).



            Правильні многогранники
Тетраедр називається правильним, якщо всі його грані  – рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.
Кількість вершин кутів – 4.
Кількість ребер – 6.
Кількість граней – 4.
      Тетраедр
           (трикутна піраміда) 

             Куб



Куб або гексаедр – правильний багатогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.
Кількість вершин кутів – 8.
Кількість ребер – 12.
Кількість граней – 6.

        Октаедр
 
Кожна грань октаедру – правильний трикутник.
Кількість вершин кутів – 6.
Кількість ребер – 12.
Кількість граней – 8.


Додекаедр – об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників.
Кількість вершин кутів – 20.
Кількість ребер – 30.
Кількість граней – 12.

 Додекаедр
В ікосаедрі кожна грань є правильним трикутником.
Кількість вершин кутів – 20.
Кількість ребер – 30.
Кількість граней – 12.


 Ікосаедр
Утворення перерізу
Переріз многогранника – перетин многогранника січною площиною; фігура, що складається з усіх спільних точок геометричної фігури і січної площини.




Переріз
Площину перерізу можна задати:

1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій.
2. Прямою і точкою, що не лежить на ній.
3. Двома прямими, що перетинаються.
4. Двома паралельними прямими.
Січна площина перетинає грані многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад, в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі  можемо отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.
Існують різні методи побудови перерізів. Найбільш поширений у практиці – метод слідів, який полягає в тому, що на площині нижньої основи (іноді на якійсь іншій площині) виконується побудова прямих, по якій площина перерізу перетинає площину будь-якої грані многогранника, – слідів. 

За допомогою їх виконується побудова точок перетину січної площини з ребрами многогранника та ліній перетину січної площини з гранями многогранника.

A
B
C
D
A1
B1
D1
C1

N
E
F



G


P

H

Q





Побудувати переріз куба площиною, яка проходить через три задані точки K, L, M, що лежать на ребрах, які не перетинаються.







О
Р
К
Метод зручний при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини.
Побудувати переріз через точки К,Р,О.
(АА1РР1)
(DD1ОО1)



Р1
Площина (DD1ОО1) визначається паралельними прямими DD1 і OO1. Площина (АА1РР1) визначається паралельними              прямими АА1 і РР1.



О1
  Метод внутрішнього проектування







О
Р
К



Р1



О1
М
М1

(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1







О
Р
К



Р1



О1
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2

 
М
М1

 
М2








О
Р
К



Р1



О1
М
М1

М2

S

Точка S належить шуканому перерізу
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S

 







О
Р
К



Р1



О1
М
М1

М2


 
S

(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H

 

H
Точки S і Р лежать на правій грані, шуканий переріз перетинає межу по SР







О
Р
К



Р1



О1
М
М1

М2

S


 

H
Точки O і H лежать на задній грані, шуканий переріз перетинає межу по OH
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7.  OH ∩ BB1=L



L







О
Р
К



Р1



О1
М
М1

М2

S


H
 Точки К і S лежать на передній грані, шуканий переріз перетинає межу по SK

(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7.  OH ∩ BB1=L
8.  SK


L








О
Р
К



Р1



О1
М
М1

М2

S


H
Точки K і L лежать на лівій грані, шуканий переріз перетинає межу по VK



L


V

(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7.  OH ∩ BB1=L
SK
KL ∩ AB1=V






О
Р
К



Р1



О1
М
М1

М2

S


H
Точки O і V лежать на верхній грані, шуканий переріз перетинає межу по VO



L


V


Отже, KVOHS – шуканий переріз.
(АА1РР1)
(DD1ОО1)
(АА1РР1) ∩ (DD1ОО1)=ММ1
КР ∩ ММ1=М2
ОМ2 ∩ DD1=S
SP ∩ CC1=H
7.  OH ∩ BB1=L
SK
KL ∩ AB1=V
10. OV
  Практичне значення перерізів 
Перерізи найчастіше застосовують для того, щоб показу­вати поперечну форму предметів (рукояток, гайкових клю­чів, слюсарних інструментів, деталей з прокату різного про­філю) та форму отворів, заглибин, зрізів та вирізів на повер­хнях округлих деталей тощо. Перерізи є невід’ємною частиною нашого повсякденного життя, вони   
  зустрічаються у різних ситуаціях: у побуті,     у столярстві, токарстві і т.д. Також   
    перерізи використовуються у кресленні, 
                                       конструкторській   
                                       практиці.

Дякую за
увагу!