Презентація на тему «Тригонометричні рівняння. Їх види та способи розв’язування»

«Тригонометричні рівняння. Їх види та способи розв’язування»
Робота учнів 10-А класу 
Федорініна В. Добржанського В. Підгородецького Б.
Вступ
Тригонометрія - слово грецьке і в буквальному перекладі означає вимірювання  трикутників ( - трикутник,  - вимірюю). В даному випадку вимірювання трикутників слід розуміти як розв’язування трикутників, тобто визначення сторін, кутів та інших елементів трикутника, якщо дано лише деякі з них. Велика кількість практичних завдань, а також завдань планіметрії, стереометрії, астрономії та інших наводяться до задач розв’язування трикутників. Вперше способи розв’язування трикутників, засновані на відношеннях між сторонами і кутами трикутника, були знайдені давньогрецькими астрономами Гиппархом (2 ст. До н. Е..) і Клавдієм Птолемеєм (2 ст. Н. Е..). Пізніше такі відношення почали називати тригонометричними функціями.
Значний внесок у розвиток тригонометрії внесли арабські вчені аль-Батанов (850-929) і Абуль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), який склав таблиці синусів і тангенсів через 10' з точністю до 1/604. Теорему синусів уже знали індійський вчений Бхаскара  та азербайджанський астроном і математик Насіреддін Тусі Мухамед. Теорему тангенсів довів  Йоганн Мюллер (1436-1476). Довгий час тригонометрія носила чисто геометричний характер. Такою вона була ще і в середньовіччі. Поступово тригонометрія органічно увійшла в математичний аналіз, механіку, фізику і технічні дисципліни. Починаючи з XVII ст., тригонометричні функції почали застосовувати до розв’язування рівнянь, задач механіки, оптики, електрики, радіотехніки,  розповсюдження хвиль,  для вивчення змінного електричного струму тощо. Тому тригонометричні функції всебічно і глибоко досліджувалися . Знання графіків та властивостей тригонометричних функцій дозволяють знаходити розв’язки тригонометричних рівнянь.
Після невеликого ознайомлення з історією появи тригонометіївсе ж повернемось до тогоякі ж  буваютьтригонометричні рівняння
Для початку ознайомимо вас з найпростішими тригонометричними рівняннями
 Найпростіше тригонометричне рівняння cosx = а
Якщо |а| > 1, то рівняння cos x = а не має розв'язків, поскільки |cos x| < 1 для будь-якого x. 


t2
t1
.
a
1
.
Pt₂
Pt₁
x
y
.
.
Якщо |а| < 1, то враховуючи те, що cos x — абсциса точки Рx одиничного кола, маємо: абсцису, рівну а, мають дві точки (рис. 122) одиничного кола(на осі ОХ відкладемо число а і через побудова­ну точку проведемо пряму, перпенди­кулярну до осі абсцис, яка перетне коло у двох точках   і . Тоді  
   x1 = arccos a + 2πn, n € Z,
   x2 = - arccos а + 2πn, n € Z. 
Ці розв'язки можна об'єднати    
   x = ± arccos a + 2πn, n € Z

Окремі випадки



cos t = 0
cos t = 1
cos  t = -1
t = 2πn, n € Z
 
t = π + 2πn, n € Z

.
.
.
.
.
.
.
.
y
y
y
x
x
x
0
0
0
1
1
₋1
Очікувана відповідь: коренів немає.

Розв’язування тригонометричних рівнянь способом розкладанням на множники
Виберіть тему





Розв’язування тригонометричних рівнянь, 
що зводяться до квадратних

Розв’язування однорідних рівнянь

Розв’язування тригонометричних дробово-раціональних рівнянь


Тригонометричні рівняння з параметрами
Графічний спосіб


Тригонометричні рівняння, що містять ірраціональність

Розв’язування тригонометричних рівнянь способом розкладанням на множники
Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники. Під час розв’язування тригонометричних рівнянь цим способом усі члени рівняння переносять у ліву частину і подають утворений вираз у вигляді добутку. Далі використовують необхідну і достатню умови рівності нулю добутку тригонометричних виразів: добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли принаймні один зі співмножників дорівнює нулю, а інші при цьому не втрачають змісту. Розглянемо цей спосіб.

Розв’язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних
У курсі алгебри 8-го класу було вивчено способи розв’язування квадратних рівнянь, які використовуються і при розв’язуванні окремих випадків тригонометричних рівнянь.

Розв’язування однорідних рівнянь
Однорідні тригонометричні рівняння n-го степеня
          розв’язуються аналогічно до вищеназваних.

Повернемось до початкової змінної:

Розв’язування тригонометричних дробово-раціональних рівнянь 
Тригонометричні рівняння з параметрами
Рівняння з параметрами – це рівняння, до запису якого, крім змінної та числових коефіцієнтів входять також буквені коефіцієнти – параметри. Розв’язати тригонометричне рівняння з параметрами – значить для будь-якого припустимого значення параметра знайти множину всіх розв’язків даного рівняння. Таким чином розв’язання задач з параметром відрізняється від розв’язання аналогічної задачі без параметра, необхідністю дослідити всі можливі значення невідомого при всіх припустимих значеннях параметра.

Тригонометричні рівняння, що містять ірраціональність
Це тригонометричні рівняння, що містять в собі тригонометричну функцію під знаком радикала будь-якого степеня. Розв’язки рівняння такого типу обов’язково повинні перевірятись на їх належність ОДЗ рівняння.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

y
x
.
-1
1
x₁
x₂
x₃
x₄
y=sin x
y=cos x
Дякуємо за  увагу!