nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т. д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: любое число от 100 до 109
Решение
Разность между числом и суммой его цифр делится на 9 (так как у них равные остатки при делении на 9). Поэтому все числа, которые мы получали, делились на 9 (кроме, может быть, исходного). Пойдём с конца. Нуль в получается из любого однозначного натурального числа после вычитания из него суммы цифр. Но из них на 9 делится только 9. Поэтому на предпоследнем шаге у нас было число 9. Но 9 можно получить только из одного числа, делящегося на 9, – из 18. И так далее. На числе 81 путь раздваивается – 81 можно получить и из 90, и из 99. Сделаем последний шаг назад (теперь делимость на 9 нам уже не важна!) – 90 ни из какого числа получить нельзя, а для 99 есть целых 10 возможных предшественников: 100, 101, 102,..., 109.
Вопрос: На __ стадии выполнения функций реализуются указанные в решении действия
(*ответ*) исполнительской
На __ управленческой стадии определяется объем и содержание работы, которую необходимо выполнить для реализации конкретной функции
(*ответ*) собственно
На уровне фирмы управленческие решения принимают
(*ответ*) профессиональные менеджеры
 государственные чиновники
 муниципальные служащие
 муниципальные службы
Носителями отраслевых ведомственных интересов выступают
(*ответ*) частные лица
(*ответ*) коллективы предприятий
 фонды
 Правительство РФ
Обоснование системы целей социально-экономического развития регионов в прогнозируемом периоде и выявление состава ее приоритетных целей, а также целей долгосрочного, среднесрочного, краткосрочного характера, – это __ функция
(*ответ*) прогнозно-целевая
 прогнозно-аналитическая
 прогнозно-расчетная
 планово-прогнозная
Объединение, деятельность которого, в соответствии с уставными целями, осуществляется в пределах территориального органа местного самоуправления, – это общественное объединение
(*ответ*) местное
 региональное
 межрегиональное
 общероссийское
Ограниченное пространство, в пределах которого распространяется суверенитет и где органы государственной власти осуществляют свои полномочия, – это
(*ответ*) территория
 население
 налоги
 право
Орган государственной власти субъекта РФ, который является постоянно действующим высшим и единственным органом законодательной власти субъекта РФ, – это
(*ответ*) представительный орган
 орган исполнительной власти
 орган судебной власти
 высшее должностное лицо
Орган местного самоуправления или глава местного самоуправления обязаны назначить местный референдум по требованию не менее _ процентов граждан, постоянно проживающих на территории муниципального образования и имеющих право участвовать в местном референдуме
(*ответ*) 5
 10
 3
 15
Органами __ самоуправления являются советы или комитеты микрорайонов, жилищных комплексов, поселков, сельских населенных пунктов, кварталов, улиц, дворов и других территорий
(*ответ*) территориального
Органы местного самоуправления не входят в систему органов _ власти
(*ответ*) государственной
Основами местного самоуправления являются основы
(*ответ*) правовые
(*ответ*) территориальные
(*ответ*) организационные
(*ответ*) финансово-экономические
 социальные
Основной составной частью муниципальных финансов являются
(*ответ*) местные бюджеты
 социальная норма
 финансовый норматив
 финансовая политика
Основными признаками сообщества являются
(*ответ*) население
(*ответ*) место
(*ответ*) социальное взаимодействие
(*ответ*) чувство сообщества
 финансовое состояние
Категория: юридические
Ответы:
Правильные ответы  отмечены по тесту
теста прошел проверку)
Вопрос: Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 10, либо 11 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: на 20 кусков
Решение
Если придут 10 гостей, то каждый должен получить не меньше двух кусков. В самом деле, иначе один из 10 гостей получил бы один кусок в 1/10 часть пирога, и если бы пришло 11 гостей, то этот кусок нужно было бы дополнительно разделить. Таким образом, количество кусков не меньше, чем 2·10 = 20.
Покажем, что двадцати кусков хватит. Разрежем пирог на 10 кусков по 1/11 части пирога и на 10 кусков по 1/110 пирога. Если придут 10 гостей, то каждому дадим один большой кусок и один маленький – всего 1/11 + 1/110 =1/10. Если же придут 11 гостей, то десяти из них дадим по одному большому куску в 1/11, а одному – 10 маленьких кусков
Вопрос: Высота комнаты — 3 метра. При ее ремонте выяснилось, что на каждую стену уходит краски больше, чем на пол. Может ли площадь пола этой комнаты быть больше, чем 10 квадратных метров?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: нет, не может.
Решение.  Так как на каждую стену уходит краски больше, чем на пол, то площадь пола меньше, чем площадь каждой из стен. Площадь пола равна произведению ширины комнаты и ее длины, а площадь одной из стен равна произведению ширины комнаты и ее высоты. Поэтому длина комнаты меньше ее высоты, то есть меньше, чем 3 метра. Аналогично и ширина комнаты меньше, чем 3 метра.
Поэтому площадь комнаты меньше, чем 9 м2, значит, она меньше, чем 10 м2
Вопрос: Вчера Саша варил суп и положил мало соли, суп пришлось досаливать. Сегодня он положил соли в два раза больше, но все равно суп пришлось досаливать, правда, уже вдвое меньшим количеством соли, чем вчера. Во сколько раз Саше нужно увеличить сегодняшнюю порцию соли, чтобы завтра не пришлось досаливать?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: в 1,5 раза.
Решение.  Увеличение количества соли вдвое скомпенсировало половину вчерашней добавки, следовательно, вчерашнее количество соли, которое Саша положил первоначально, составляет треть от необходимого. Значит, сегодняшнее количество соли, которое Саша положил первоначально, составляет две трети от необходимого. Следовательно, завтра надо положить еще в полтора раза больше
Вопрос: Однажды дядя Федор взвесил Шарика и Матроскина. Оказалось, что Шарик на 6 кг тяжелее Матроскина, а Матроскин втрое легче Шарика. Сколько весил Матроскин?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 3 кг.
Решение. Так как Матроскин втрое легче Шарика, то Матроскин легче Шарика на два своих веса. По условию это равно 6 кг, т.е. Матроскин весит 6:2=3 кг.
Вопрос: Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр  в их записи было ровно 16 двоек
Категория: школьный раздел
Ответы:
2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221
2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, 2235
Вопрос: Мама купила коробку кускового сахара (сахар в кубиках). Дети сначала съели верхний слой – 77 кубиков, затем боковой слой – 55 кубиков, наконец, передний слой. Сколько кубиков сахара осталось в коробке?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 300 или 0.
Решение. У коробки есть три измерения: высота, ширина и глубина. Чтобы узнать, сколько кубиков в верхнем слое, нужно ширину умножить на глубину, в боковом – высоту на глубину. После того, как был съеден верхний слой, высота уменьшилась на 1, а глубина осталась прежней. Т.е. 77 и 55 должны делиться на глубину исходной коробки. Т.к. у 77 и 55 общие множители только 1 и 11. Если глубина равна 1, то после съедания переднего слоя ничего не осталось. Если считать, что сахар все же остался, то глубина коробки 11. Тогда ширина 77:11=7 кубиков, а высота после того, как верхний слой съеден, 55:11=5 кубиков. После того, как будет съеден боковой слой, ширина уменьшится на 1 (и станет равна 7-1=6 кубиков), а после того, как съедят передний слой, глубина уменьшится на 1 и станет равна 11-1=10. Итого высота оставшегося в коробке сахара 5, ширина – 6, глубина – 10 кубиков. Т.е. в коробке осталось 5*6*10=300 кубиков сахара
Вопрос: Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: да.
Решение
Положим в первую кучку две гирьки массой 101 г и 1 г, а во вторую – 100 г и 2 г; затем в первую две гирьки – 99 г и 3 г, а во вторую – 98 г и 4 г. Так будем действовать, пока не положим во вторую кучку гирьки в 84 г и 18 г. К этому моменту в каждой кучке будет лежать по 18 гирек. Теперь положим в первую кучку две гирьки массой 83 г и 20 г, а во вторую – 82 г и 21 г. Так будем продолжать до тех пор, пока во вторую кучку не придётся положить последнюю пару гирек массой 52 г и 51 г
Вопрос: На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что: 
красная фигура лежит между синей и зелёной; 
справа от жёлтой фигуры лежит ромб;
круг лежит правее и треугольника и ромба;
треугольник лежит не с краю;
синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом.
В каком порядке лежат фигуры и какого они цвета?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.
Решение
Для удобства изложения повторим все условия задачи:
1) красная фигура – между синей и зелёной;
2) справа от жёлтой фигуры – ромб;
3) круг – правее и треугольника и ромба;
4) треугольник – не с краю;
5) синяя и жёлтая фигуры – не рядом.
Поскольку красная фигура лежит между синей и зелёной (условие 1), а жёлтая – не рядом с синей (условие 5), то возможны только два варианта расположения фигур по цвету: "синяя, красная, зелёная, жёлтая" или "жёлтая, зелёная, красная, синяя". Первый из приведённых вариантов неверен, поскольку по условию 2 жёлтая фигура не может лежать на правом крае. Остаётся только одна возможность расположения фигур по цветам: "жёлтая, зелёная, красная, синяя". Из условия 2 сразу же определяется, что ромб зелёный. Отсюда и из условия 4 следует, что треугольник красный. В свою очередь отсюда и из условия 3 следует, что круг синий. Значит, прямоугольник может быть только жёлтым. Окончательный Ответ: жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг
Вопрос: Собираясь в школу, Миша нашел под подушкой, под диваном, на столе и под столом все необходимое: тетрадь, шпаргалку, плеер и кроссовки. Под столом он нашел не тетрадь и не плеер. Мишины шпаргалки никогда не валяются на полу. Плеера не оказалось ни на столе, ни под диваном. Что где лежало, если в каждом из мест находился только один предмет?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: тетрадь была под диваном, шпаргалка — на столе, плеер — под подушкой, кроссовки — под столом.
Решение  По условию, плеер нашелся не под столом, не на столе и не под диваном. Значит, плеер мог быть только под подушкой. Поэтому шпаргалка под подушкой лежать не могла. Но она не валялась и на полу (то есть, ее не было ни под столом, ни под диваном). Следовательно, шпаргалка лежала на столе. Тетрадь не лежала под столом, значит, ей осталось только место под диваном. Тогда под столом могли быть только кроссовки.
Вопрос: Основу ресурсов муниципального образования составляет муниципальное __
(*ответ*) хозяйство
Открытость процедур рассмотрения и принятия решений по проектам бюджетов, в том числе по вопросам, вызывающим разногласия либо внутри законодательного или представительного органа государственной власти, либо между законодательным или представительным и исполнительным органами государственной власти, – это
(*ответ*) гласность
 открытость
 секретность
 закрытость
Отраслевые и территориальные виды воздействия осуществляются, как известно, через систему управления, которая на уровне народного хозяйства создается __ (государственное управление или регулирование)
(*ответ*) государством
Отраслевые и территориальные виды воздействия осуществляются, как известно, через систему управления, которая на уровне фирмы создается _(внутрифирменное управление или менеджмент)
(*ответ*) дирекцией
Ощущение общности судеб, включая степень и характер взаимодействия членов сообщества, – это
(*ответ*) разделенная эмоциональная связь
 интегрированность и осуществимость личных желаний человека
 влияние
 членство
Первая составляющая чувства сообщества – это __, или чувство принадлежности и эмоциональной безопасности
(*ответ*) членство
 влияние
 интегрированность и осуществимость личных желаний человека
 разделенная эмоциональная связь
Письменный документ установленной формы, принятый уполномоченным органом в пределах его компетенции и направленный на установление, изменение или прекращение действия правовых норм (акт длительного действия, адресованный широкому кругу лиц – субъектам права), – это
(*ответ*) нормативный правовой акт
 ненормативный правовой акт
 интерпретационный акт
 лицензия
План финансовой деятельности органов местного самоуправления на определенный период, представленный в форме описи доходов и расходов, – это
(*ответ*) местный бюджет
 финансовая политика
 местные (муниципальные) финансы
 муниципальная собственность
План финансовой деятельности органов местного самоуправления на определенный период, представленный в форме описи доходов и расходов, – это
(*ответ*) местный бюджет
 бюджет развития
 дефицит бюджета
 профицит бюджета
По выполняемым функциям органы муниципального управления делятся на
(*ответ*) исполнительные
(*ответ*) представительные
 судебные
 законодательные
По признаку возрастания роли собственной хозяйственной деятельности муниципальное хозяйство делится на
(*ответ*) коммунальную модель муниципального хозяйства
(*ответ*) коммунально-рентную модель муниципального хозяйства
(*ответ*) муниципально-рентную модель муниципального хозяйства
 социальную модель муниципального хозяйства
По характеру и объему охватываемых управлением общественных явлений выделяют управление
(*ответ*) обществом
(*ответ*) государством
(*ответ*) отраслями
(*ответ*) сферами народного хозяйства
(*ответ*) предприятиями
(*ответ*) организациями
 духовной жизнью
Под __ понимается первичная организационная единица в структуре управления, характеризующая роль и полномочия лица, занимающего ее
(*ответ*) должностью
Категория: юридические
Ответы:
Правильные ответы  отмечены по тесту
теста прошел проверку)
Вопрос: Какое наибольшее число пятниц может быть в году?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ 53. 
Решение
Будем считать, что неделя начинается с того дня недели, коим является первое января  рассматриваемого года (т.е. если первое января – среда, то считаем, что неделя начинается со среды и заканчивается вторником). Тогда с начала года проходит [365/7] = 52 (в високосный год [366/7] = 52) полных недель, на каждой из которых ровно по одной пятнице. Кроме этого, в конце года остается еще 365 - 7*52 = 1 или 366 - 7*52 = 2 дня. Можно привести пример, когда один из оставшихся дней – пятница. В этот год достигается максимальное возможное число пятниц – 53
Вопрос: Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел  так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30+ 4 + 2 + 5. Есть и другие представления
Вопрос: Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 20.
Решение. Пусть Ланселот не сразился с x рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4x, а сразился Ланселот с 3x − 1 рыцарем (общее количество за вычетом x и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с 3x−1/ 7 рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное x такое, что 3x−1 делится на 7. Значения x = 1, 2, 3, 4 не подходят, а x = 5 подходит. Таким образом, наименьшее возможное число рыцарей равно 20.
Вопрос: Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8 × 8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или 1×3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 0 или 64.
Решение. Предположим, что в каждом квадрате 2×2 стоит m фигур, а в каждом прямоугольнике 1×3 — n фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2 × 6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2 × 2, и значит в нём 3m фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1 × 3, и тогда в нём 4n фигур. Получаем соотношение 3m = 4n, откуда n делится на 3. Но n может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, n = 0 или n = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1 × 3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1 × 3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры
Вопрос: Три школьницы зашли в магазин. Аня купила 2 ручки, 7 карандашей и 1 блокнот, Варя — 5 ручек, 6 карандашей и 5 блокнотов, Саша — 8 ручек, 4 карандаша и 9 блокнота. Все заплатили поровну, но одна при оплате воспользовалась скидкой. Кто?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: Варя.
Решение. Обозначим символами Р, К, Б стоимости ручки, карандаша и блокнота соответственно. Обозначим также суммарную стоимость покупок (без учёта скидки) Ани, Вари и Саши символами A, B, C. По условию,
A = 2Р + 7К + 1Б; B = 5Р + 6К + 5Б; C = 8Р + 4К + 9Б.
Сложим выражения для A и C и сравним результат с 2B:
A + C = 10Р + 11К + 10Б < 10Р + 12К + 10Б = 2B.
Получили, что A + C < 2B, откуда следует, что стоимость покупок Вари больше, чем стоимость покупок хотя бы одной из остальных девочек, а значит скидкой могла воспользоваться только Варя
Вопрос: Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин этого четырехугольника минимальна
Категория: школьный раздел
Ответы:
Это точка пересечения диагоналей этого четырехугольника. Докажем, что сумма расстояний от любой другой точки до вершин четырехугольника будет больше.
Пусть М - точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника АВСD, N - точка внутри этого четырехугольника, не совпадающая с М.
В треугольнике АСN по неравенству треугольника AN+CN≥AC, то есть
AN+CN≥AM+CM.
В треугольнике BDN по неравенству треугольника BN+DN≥BD, то есть
BN+DN≥BM+MD.
Знак ≥ поставлен потому, что точка N может лежать на одной из диагоналей. При этом заметим, что если одно неравенство выполняется как равенство (точка N лежит на соответствующей диагонали), то другое неравенство выполняется как строгое  равенство.
Таким образом, получаем AN+CN+ BN+DN> AM+CM+ BM+MD
Вопрос: Докажите, что 1 + 2 + 3 + ⋯ + (2 − 1) делится на (2 − 1) при любом натуральном .
Категория: школьный раздел
Ответы:
Выражение представляет собой сумму 2 − 1 последовательных натуральных чисел, последнее число нечетное.
Без последнего числа (2 − 1) в сумме четное число слагаемых. Разобьем их на пары крайних, то есть 1 и (2 − 2), 2 и (2 − 3) и т.д. Сумма в каждой паре равна (2 − 1). Тогда сумма 1 + 2 + 3 + ⋯ + (2 − 2) = (2 − 1), где  – натуральное число (количество пар), то есть эта сумма делится на (2 − 1).
Значит, выражение 1 + 2 + 3 + ⋯ + (2 − 1) = (2 − 1) + (2 − 1) = (2 − 1)( + 1) делится на (2 − 1).
Вопрос: Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками. Сколько стоила одна книга?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из первого условия следует, что одна книга стоит больше 122 копеек, иначе 122 ∙ 9 = 1098 < 1100. Из второго условия следует, что одна книга стоит меньше 124 копеек, иначе 124∙ 13 = 1612 > 1599. Таким образом, цена одной книги равна 123 копейкам.
Ответ: 123 копейки.
Вопрос: В ряд по возрастанию выписано 10 натуральных чисел так, что каждое из чисел, кроме первого делится на какое-нибудь из предыдущих. Первое число не равно 1, а сумма всех 10 чисел равна 275. Восстановите эти числа
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть первое выписанное число равно , тогда каждое из 9 оставшихся чисел обязательно делится на , а значит и сумма всех чисел также делится на . Таким образом,  должен быть делителем числа 275 = 5^2∙ 11.
Если  больше 5, то наименьшее возможное значение суммы будет 11 + 11 ∙ 2 + 11 ∙ 3 + ⋯ + 11∙ 9 + 11∙ 10 = 605 , что уже больше 275. Значит подойдет только  = 5 . В этом случае подойдет лишь минимально возможная сумма чисел 5 + 5 ∙ 2 + 5 ∙ 3 + ⋯+ 5 ∙ 9 + 5 ∙ 10 = 275.
Ответ: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.
Вопрос: На двери сейфа расположено 15 выключателей. У каждого выключателя есть два возможных состояния - "включен" и "выключен", но по виду выключателя невозможно определить, в каком положении он находится. За один рубль разрешается переключить один выключатель. Дверь откроется, если ровно 8 выключателей окажутся в положении "включен". Как гарантировано открыть сейф, потратив не более 15 рублей?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Поочередно переключим все 15 выключателей по одному разу. Докажем, что в какой-то момент дверь сейфа открылась. Заметим, что после каждого действия количество выключателей в положении "включен" изменяется ровно на 1. Пусть первоначально количество выключателей в положении "включен" было  , тогда после завершения всех операций их будет 15 −  . Значит все значения от  до 15 −  "включенных" выключателей будут достигаться при переключении всех выключателей. 
Осталось заметить, что одно из чисел  и 15 −  обязательно меньше 8, а другое - не меньше 8. Таким образом, настанет момент, когда будут "включены" ровно 8 выключателей
Вопрос: 3. Депутатом Государственной Думы можно быть избранным при достижении
 18 лет
 (*ответ к тесту*) 21 года
 30 лет
 35 лет
4. К источнику права относится
 правовой обычай
 правовой прецедент
 нормативно-правовой акт
 (*ответ к тесту*) все вышеперечисленное
5. Не являются формами выражения социальных норм первобытного общества
 (*ответ к тесту*) правосознание
 миф
 обычай
 обряд
6. Обычай закрепляет
 равенство всех
 (*ответ к тесту*) кровную месть
 общую собственность
 все перечисленное
7. Отличительной чертой уголовной ответственности является
 (*ответ к тесту*) особый порядок расследования преступления
 право обвиняемого на защиту
 состязательность процесса
 все вышеперечисленные
8. Плюрализм гражданского общества характеризуется
 наличием в обществе различных классов, слоев
 стабильностью политической системы
 отсутствием обязательной государственной идеологии
 (*ответ к тесту*) всем вышеперечисленным
9. По вопросам, отнесенным к компетенции Федерации и ее субъектов действует
 (*ответ к тесту*) приоритет общефедеральных норм
 эсктерриториальный принцип
 территориальный принцип
 нет правильного варианта
10. Проступок не может быть
 административным
 уголовным
 дисциплинарным
 (*ответ к тесту*) материальным
11. Такие события как рождение и смерть – это
 юридически значимые состояния
 (*ответ к тесту*) юридически значимые события
 юридически значимые деяния
 нет правильного варианта
Категория: юридические
Ответы:
Правильные вопросы отмечены по тесту
правильность теста проверенна 
надеюсь на плюс 1 голос к ответу, если тест помог
Вопрос: Вася утверждает, что нарисовал прямоугольник на клетчатой бумаге, который можно разрезать по сторонам клеток на одну полоску 1 × 37 клеток и 135 трёхклеточных уголков. Прав ли Вася?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Вася не прав.
Решение. Если бы такой прямоугольник существовал, его площадь составляла бы 37 + 135 ∙ 3 = 442 клетки. Чтобы из прямоугольника можно было вырезать полоску 1 × 37, одна из его сторон должна быть не короче 37. Так как 442 = 2 × 13 × 17, нам подойдут только прямоугольники 1 × 442 и 2 × 221.
Но из первого нельзя вырезать ни одного уголка, а у второго участок, из которого нельзя вырезать ни одного уголка, образуется после вырезания полоски 1 × 37.
Вопрос: В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что противолежащий ей угол − наименьший угол треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Достаточно доказать, что указанная сторона − наименьшая из сторон треугольника (против меньшей стороны лежит меньший угол). Пусть а − ее длина, b и с − длины других сторон. По условию 3a < b + c . По неравенству треугольника a +b > c. Поэтому 3a < b + a + b, откуда a < b. Аналогично a < c .
Вопрос: На клетчатой доске 10х20 несколько клеток покрашено в красный цвет. Костя разрезал доску по клеточкам на прямоугольники так, что в каждом оказалось 5 красных клеток. А Влад разрезал такую же доску на прямоугольники так, что в каждом оказалось 7 красных клеток. Докажите, что Дима не сможет разрезать такую же доску на прямоугольники так, что в каждом будет 6 красных клеток
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим через n общее число красных клеток. Если k − число Костиных прямоугольников, то n = 5k. Значит, n делится на 5. Аналогично, n делится на 7. Если бы Костя смог разрезать доску на прямоугольники с 6 красными клетками, то n делилось бы еще на 6. Так как числа 5,6,7 попарно взаимно простые, то n делилось бы на их произведение 5*6*7 = 210. Поэтому n > 210. Но в данной доске всего 200 клеток.
Вопрос: На координатной плоскости построены четыре прямые, уравнения которых имеют вид y = kx + b. Все коэффициенты и свободные члены – различные натуральные числа от 1 до 8. Могут ли эти 4 прямые разделить плоскость ровно на 8 частей?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: могут. 
Решение. Рассмотрим, например, прямые, заданные уравнениями: y = 8x + 1, y = 7x + 2, y = 6x + 3 и y = 5x + 4. Каждая из них проходит через точку (1; 9), поэтому они делят плоскость ровно на 8 частей.
Вопрос: На острове живут 33 рыцаря, а также лжецы и фантазёры. Каждого жителя этого острова по очереди спросили: “Сколько среди вас рыцарей?”. Было получено десять различных ответов, каждый из которых был назван более, чем одним жителем. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда называют неверное число, которое ещё не было названо, а фантазёры всегда называют число, которое на единицу больше предыдущего ответа. Обязательно ли было названо число 40?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: обязательно.
Решение. Назовём число m “начальным”, если его назвали, а предыдущее число m – 1 не называли. Фантазёры по условию не называли начальных чисел. Если бы начальное число назвал лжец, то ни другой лжец, ни рыцарь не могли бы назвать его второй раз. Но каждое число было названо, как минимум, два раза. Поэтому начальное число могли называть только рыцари, и 33 – единственное начальное число. Кроме того, каждое число, отличное от 33, должен был назвать хотя бы один фантазер, так как лжецы не могут называть одно и то же число дважды. Это означает: 1) числа, меньшие, чем 33, названы не были (иначе наименьшее из них было бы начальным); 2) все десять названных чисел идут подряд (но не обязательно назывались в порядке возрастания).
Следовательно, названы все натуральные числа от 33 до 42 включительно, и 40 – среди них
Вопрос: Имеется 5 внешне одинаковых ящиков, массы которых равны 10, 11, 12, 14 и 17 кг, а также электронные весы, которые показывают точную массу взвешиваемых предметов (на весы разрешается поставить любое количество ящиков). Можно ли за 3 взвешивания определить, какой ящик сколько весит
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Можно
Решение 1. Будем взвешивать по 2 ящика. Обратим внимание, что все попарные суммы масс различны, поэтому по результату взвешивания можно однозначно определить, какая пара масс взвешивалась (21 = 10+11, 22 = 10+12, 23 = 11+12, 24 = 10+14, 25 = 11+14, 26 = 12+14, 27 = 10 + 17, 28 = 11+17, 29 = 12+17, 31 = 14+17). Обозначим ящики буквами A, B, C, D, E.
1) взвесим (A+B), определим пару масс (m1, m2)
2) взвесим (C+D), определим пару масс (m3, m4)
По результатам двух взвешиваний мы знаем 4 массы, принимавших участие во взвешиваниях.
Оставшаяся пятая масса – это масса ящика E.
3) взвесим (A+C), определим пару масс. Одна из них входит в пару (m1, m2) – это масса A,
вторая входит в пару (m3, m4) – это масса C. Массы B и D – оставшиеся числа из пар (m1, m2) и (m3, m4) соответственно.
Решение 2. Аналогично решению 1 доказываем, что по результату взвешивания двух ящиков
можно однозначно определить, какая пара масс взвешивалась. Обозначим ящики буквами A, B, C, D, E.
1) взвесим (A+B), определим пару масс (m1, m2)
2) взвесим (B+C), определим пару масс (m3, m4)
Поскольку в оба взвешивания входит предмет B, какая-то масса входит в обе полученные пары – это масса ящика B. Оставшееся число из пары (m1, m2) – это масса ящика A, а из пары (m3, m4) – масса ящика C. Таким образом, мы определили массы трех ящиков.
3) взвесим D, определим его массу. Мы определили массы четырех ящиков, оставшаяся «свободной» пятая масса – масса E.
Вопрос: Алёша и Витя отправляются из пункта N в пункт M, расстояние между которыми равно 20 км. К сожалению, на двоих у них есть только один велосипед. Из N Алеша выезжает на велосипеде, а Витя выходит пешком. Алёша может оставить велосипед в любой точке дороги, продолжив путь пешком. Когда Витя дойдет до этой точки, он пересаживается на велосипед. Скорость Алёши пешком – 4 км/ч, на велосипеде – 15 км/ч. Скорость Вити пешком – 5 км/ч, на велосипеде – 20 км/ч. В какой точке Алёша должен оставить велосипед, чтобы в M они с Витей прибыли одновременно?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. В 12 км от пункта N.
Решение. Обозначим за x (км) расстояние от N до точки, где Алёша оставляет велосипед. Тогда
на весь путь Алёша затратит х/15 + 20-х/4  часов, а Витя – х/5 + 20-х /20  часов. Составляя и решая уравнение, находим x =12 (км).
Вопрос: На столе лежит 7 чистых листов бумаги. Каждую минуту Вася выбирает любые 4 из них и на каждом из выбранных листов рисует по одной звезде. Вася хочет, чтобы в итоге на всех листах оказалось нарисовано различное число звёзд (то есть не было двух листов с одинаковым количеством нарисованных на них звезд). Какое наименьшее число звёзд в сумме для этого ему придется нарисовать
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 28
Решение. Оценка. Докажем, что для достижения желаемого результата число ходов должно быть не менее 7. Если сделано 5 или менее ходов, то на каждом листе не более 5 звёзд, то есть имеется всего 6 различных вариантов числа звёзд (от 0 до 5), а листов 7. По принципу Дирихле найдутся хотя бы два листа с одинаковым числом звёзд, что противоречит условию. Пусть сделано 6 ходов, тогда максимальное число звёзд на одном листе равно 6. Но тогда различное число звёзд на всех листах достигается единственным набором значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, что в сумме даёт 21 звезду, а по предположению их нарисовано 6*4 = 24. Таким образом, ходов действительно должно быть не менее 7
Вопрос: Можно ли число 2017 представить в виде суммы четырёх слагаемых, в десятичной записи каждого из которых используется только одна цифра, и в записи которых различное число цифр?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Искомое представление: 2017=1111+888+11+7
Вопрос: В круг встали семнадцать аборигенов – представителей нескольких племён. Они говорят правду соплеменникам и лгут представителям других племён. Могло ли случится так, что каждый из них сказал соседу справа: " Мой сосед слева - из другого племени"?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: не могло.
Решение. У каждого аборигена ровно один из его соседей – его соплеменник. Если оба соседа – соплеменники, он должен говорить правду, а он лжёт. Если оба соседа из других племён, он должен лгать, а он говорит правду. Значит, все аборигены должны разбиваться на пары соседей соплеменников. Но для 17 аборигенов это невозможно, поскольку 17 - нечётное число.
Вопрос: В турнире играют 15 волейбольных команд, каждая команда играет со всеми остальными командами только один раз. Поскольку в волейболе нет ничьих, в каждом матче есть победитель. Команда считается выступившей хорошо, если она проиграла не более двух матчей. Найти наибольшее возможное число команд, выступивших хорошо
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 5.
Решение.
Оценка. Если команд, сыгравших хорошо, не менее 6, то рассмотрим шесть из них. Они могли проиграть не более 6*2=12 матчей. Но игр между собой они совершили 6*5/2=15. И, значит, суммарно проиграли не менее 15 матчей. Противоречие.
Вопрос: Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370, 372, 374, …, 468 кг на семи грузовиках грузоподъёмностью три тонны каждый?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение: если увозить 50 камней на 7 грузовиках, то обязательно на одном из них должно быть 8 камней. Найдем массу 8 самых лёгких камней: 370 + 372 + 374 + 376 + 378 + 380 + 382 + 384 = 3016 кг. Это больше 3 тонн, не поместится. Следовательно, увезти 50 камней на 7 грузовиках нельзя. 
Ответ: нельзя
Вопрос: Красная Шапочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км ходьбы от ее дома. Волк ей в тот день не попался, поэтому туда и обратно она шла по одному и тому же маршруту. На горизонтальных участках ее скорость была 4 км/ч, в гору – 3 км/ч, а с горы – 6 км/ч. Сколько времени она была в пути?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Полчаса.
Решение. Рассмотрим какой-нибудь наклонный участок пути длиной s. Проходя его в гору, Красная Шапочка потратит время s/3, под гору – s/6, всего --  S(1/3+1/6) = s/2. Значит, ее средняя скорость на этом участке составляет 2: s/2 = 4 . Итак, средняя скорость на всех участках одинакова и равна 4 км/ч. Весь путь девочки составляет 2 км, так что она потратит на дорогу полчаса.
Вопрос: Три прямые, пересекаясь, образуют 12 углов, причем n из них оказались равными. Каково может быть максимальное значение n?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 6.
Решение. Три прямые ограничивают некий треугольник. Если этот треугольник равносторонний, то из двенадцати углов шесть составляют 60, а остальные шесть -- 120.
Может ли какой-нибудь внешний угол треугольника быть равным его внутреннему углу? Он равен сумме несмежных с ним внутренних, так что он больше каждого из несмежных. Значит, равным он может быть только смежному с ним. Тогда каждый из них составляет 90, таких углов 4 (у них общая вершина). Других прямых углов в этой конструкции нет. Но тогда другие внешние углы не равны внутренним. Равными могут быть только внутренние (и вертикальные к ним) или только внешние (и вертикальные к ним). Тогда равных углов каждого типа будет не более 4
Вопрос: Заседание комиссии началось в 13 часов, а закончилось между 16 и 17 часами. Найти точное время длительности заседания, если известно, что в конце заседания часовая и минутная стрелки на циферблате часов были направлены в противоположные стороны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 43/11 часа
Решение.
Пусть t – искомое время в часах. Конечное положение минутной стрелки показывает, что она прошла 3 полных оборота, затем 1/12 часа до исходного положения часовой стрелки, затем путь часовой стрелки за время t/1, поскольку она движется в 12 раз быстрее часовой стрелки, затем еще 1/2 часа, поскольку минутная и часовая стрелка направлены противоположно в конце заседания.
Следовательно,
t = 3+ 1/12 + t/12 + 1/2;
t = 43/11 ч
Вопрос: Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Выигрывает второй
Решение.
Занумеруем коробки: 1, . . ., 11 и будем обозначать ход номером той коробки, куда мы не клали монету. Можно считать, что первый игрок начал игру ходом 1. Чтобы победить, второму надо, независимо от игры первого, сделать ходы 2, . . ., 11. Этими десятью ходами вместе с ходом первого в каждую коробку будет положено по 10 монет. Кроме того, найдется коробка (назовем ее A), в которую первый каждым своим ходом со 2 по 11 клал по монете. Тем самым, после 11 хода первого в коробке A окажется 20 монет, и ни в какой коробке не окажется больше. Второй игрок своим 11-м ходом должен положить монеты так, чтобы в коробку A попала монета. Тем самым, он выигрывает.
Вопрос: Натуральное число n называется «хорошим», если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на n. Запишите 13 хороших чисел, которые меньше 2017
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: любые 13 чисел из набора из 15 чисел: 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000, 1250, 2000.
Решение. Приписывание числа справа равносильно умножению на 10 в соответствующей степени р (количество цифр в числе n). Так как исходное число может быть любым, то число n будет «хорошим» тогда и только тогда, когда 10р будет кратно n. Поэтому надо искать n в виде произведения множителей 2 и 5
Вопрос: Андрей, Борис, Василий, Геннадий и Дмитрий играли в настольный теннис парами так, что каждые двое сыграли с каждой другой парой ровно один раз. Ничьих в теннисе не бывает. Известно, что Андрей проиграл ровно 12 раз, а Борис ровно 6 раз. Сколько раз выиграл Геннадий?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: Геннадий выиграл 8 раз.
Решение. Первую пару можно составить 5×4:2=10 способами, вторую пару можно составить 3×2:2=3 способами. Всего игр получаем 10×3:2=15.
Андрей всего играл в 4 парах, а они играли с 3 парами. Значит, всего Андрей играл 4×3=12 раз. По условию, он проиграл 12 раз, следовательно, он проиграл все свои игры. Вместе с ним в паре 3 раза проиграл Борис. ПосколькуБорис выиграл у Андрея 6 раз, когда играл в паре с Василием (2 раза), с Геннадием, с Дмитрием, то остальные он партии проиграл, то есть 3 с Андреем и по одной с Василием (против Геннадия и Дмитрия), с Геннадием и с Дмитрием. Значит, Геннадий проиграл с Андреем 3 раза и с Борисом 1 раз, всего 4 раза. Поэтому выиграл он 8 раз.
Вопрос: Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если: 1) на поле e4 пешку ставить нельзя; 2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных, относительно поля e4?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 39 пешек.
Решение. Все поля доски кроме вертикали a, горизонтали 8 и самого поля e4 можно разбить на пары, симметричные относительно e4. Таких пар образуется 24. По условию, на поля каждой пары можно поставить не более одной пешки. Кроме того, можно поставить не более чем по одной пешке на поля вертикали a и горизонтали 8. Таких полей 15. На поле e4, по условию, пешки ставить нельзя. Значит, всего можно поставить не более 39 пешек
Вопрос: Боря и Вова играют в следующую игру на изначально белой доске 8×8. Боря ходит первым и каждым своим ходом закрашивает в чёрный цвет любые четыре белые клетки. После каждого его хода Вова закрашивает полностью в белый цвет какой-нибудь ряд (строку или столбец). Боря стремится закрасить как можно больше клеток, а Вова стремится ему помешать. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске после хода Бори, как бы не играл Вова?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 25 клеток.
Решение. Пусть Вова каждым своим ходом делает белым ряд с наибольшим количеством чёрных клеток. Тогда, как только Боря добьётся ряда из не менее чем четырёх чёрных клеток (такой ряд будем называть «богатым»), Вова будет удалять минимум четыре клетки, значит, следующим ходом Боря не сможет увеличить количество чёрных клеток в сравнении со своим предыдущим ходом. И далее при наличии богатых рядов Вова удаляет минимум 4 чёрных клетки, а Боря после этого добавляет четыре, значит, увеличить свой максимальный результат не сможет. При этом перед первым и всеми последующими моментами создания богатого ряда при их отсутствии на доске была максимум 7⋅3=21 чёрная клетка − семь рядов по 3 чёрных клетки, т.к. только что Вова сделал белым ряд этого направления. Таким образом, Боря всегда создаёт конструкцию с максимум 25 чёрными клетками. Покажем теперь, что Боря всегда может добиться 25-ти чёрных клеток. Выделим на доске 24 клетки так, как показано на рисунке, − по три в каждом вертикальном и горизонтальном ряду. Пусть Боря закрашивает всегда только клетки этого множества, пока среди них есть белые клетки. Тогда Вова очередным ходом сможет удалить максимум три чёрные клетки, значит, количество чёрных клеток после каждой пары их ходов будет увеличиваться хотя бы на 1.
Значит, в некоторый момент Боря сможет сделать чёрными все эти клетки (и ещё, возможно, какие-то). Тогда после хода Вовы останется не менее 21- ой чёрной клетки, а Боря своим следующим ходом добьётся минимум 25-ти чёрных клеток. Значит, при правильной игре обоих максимальное количество чёрных клеток на доске, появление которого может обеспечить Боря, равно 25
Вопрос: В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе? Приведите все варианты ответа и докажите, что других нет
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть в шахматный кружок ходит n учащихся класса, тогда в него не ходят 2n учеников, а всего в классе 3n учеников, то есть общее число учеников класса делится на 3. Аналогично, из того, что в шашечный кружок ходит втрое меньше людей, чем не ходят, получаем, что общее число учеников класса делится на 4. Числа 3 и 4 взаимно просты, поэтому общее число учеников класса должно делиться и на 12 тоже. В промежутке от 20 до 30 такое число одно: 24. Легко строится пример, показывающий, что 24 ученика класс содержать может: при этом 8 человек ходят в кружок шахмат, а 6 — в кружок шашек.
Ответ: 24 ученика
Вопрос: На острове рыцарей и лжецов каждого жителя спросили про каждого из остальных: лжец тот или рыцарь. Всего было получено: 42 ответа «рыцарь» и 48 ответов «лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть на острове? Ответ обоснуйте
Категория: школьный раздел
Ответы:
Каждый из n жителей дал n−1 ответ; всего было дано n(n−1) ответов, что по условию равно 42 + 48 = 90. Отсюда n = 10, то есть на острове всего 10 жителей. Пусть рыцарей x, тогда лжецов 10 − x. Ответы «лжец» возникают в двух случаях: когда рыцарь говорит про лжеца (таких вариантов x(10 − x)) и наоборот (вариантов столько же). Имеем уравнение 2x(10−x) = 48, откуда x = 6 или x = 4. Оба варианта возможны
Вопрос: Существует ли девятизначное натуральное число без нулевых цифр, остатки от деления которого на каждую из его цифр (первую, вторую, . . . , девятую) будут попарно различны? Ответ обоснуйте
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию в таком числе (если оно существует) все цифры, кроме нуля, встречаются по одному разу. Значит, сумма всех цифр равна 45. По признакам делимости на 3 и на 9 число делится и на 3, и на 9. Но это значит, что остатки от деления числа на эти цифры раны 0, и, следовательно, совпадают. 
Ответ: Не существует.
Вопрос: По данным социологического опроса, проведенного в 7 "Я" классе, выяснилось, что 20% школьников, интересующихся математикой, интересуются еще и физикой, а 25% школьников, интересующихся физикой, интересуются также и математикой. И только Пете с Васей не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 7 "Я", если известно, что их больше 20, но меньше 30?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Количество человек в 7 "Я" без учета Пети и Васи превышает 18, но меньше 28. Пусть n школьников интересуются одновременно и математикой и физикой. Тогда всего математикой интересуются 5n, а физикой – 4n школьников. Значит, математикой или физикой интересуются 5n + 4n – n = 8n школьников В указанных границах есть только одно число, кратное восьми. Следовательно, 8n = 24, а всего в классе – 26 школьников.
Ответ 26 человек
Вопрос: Вдоль школьного коридора висит новогодняя гирлянда, состоящая из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде, если всего лампочек 50?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Подсчитаем, какое наименьшее количество синих лампочек может быть в гирлянде. Можно считать, что первая лампочка – красная. Поскольку рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя, то три красных лампочки не могут идти подряд. Следовательно, среди каждых трех последовательно идущих лампочек хотя бы одна лампочка должна быть синей. Тогда среди первых 48 лампочек синих будет не меньше, чем 48 : 3 = 16. Обе лампочки с номерами 49 и 50 оказаться красными не могут. Итак, синих лампочек в гирлянде должно быть не менее 17. Такой случай возможен: если лампочки с номерами 2, 5, 8, 11, ..., 50 – синие, а остальные – красные, то в гирлянде – 33 красные лампочки
Вопрос: По прогнозу экспертов цены на квартиры в Москве через год упадут в рублях на 20 %, а в евро – на 40 %. В Сочи через год цены на квартиры в рублях упадут на 10 %. На сколько упадут цены на квартиры в Сочи в евро? Предполагается, что курс евро по отношению к рублю (т. е. стоимость одного евро в рублях), один и тот же в Москве и в Сочи, однако он может меняться с течением времени. Ответ обосновать
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Рассмотрим равноценные по стоимости квартиры в Москве и в Сочи, пусть стоимость любой из них равна а рублей, что соответствует b евро. Через год стоимость квартиры в Москве станет равной 0,8 рублей, что равно 0,6b евро. Отсюда а рублям через год будет соответствовать 3b/4 евро. В Сочи квартира станет стоить 0,9а рублей. Найдём её цену в евро. Так как в каждый момент времени отношение стоимости рубля к стоимости евро одно и то же для любого региона, то 0,9а = 2,7b/4 = 0,675b. Значит, цена на квартиру в Сочи упадёт на 0,325b евро, т.е. на 32,5 %.
Ответ: на 32,5 %.
Вопрос: При последовательном вычислении на калькуляторе суммы ста слагаемых: 20, 12 + 20, 12 + 20, 12 + … + 20, 12 Петя несколько раз ошибался, сдвигая при наборе в некоторых слагаемых запятую на один знак – в каких-то вправо, в каких-то влево. Мог ли его результат оказаться ровно вдвое больше правильного? Ответ обосновать
Категория: школьный раздел
Ответы:
Будем все числа измерять в тысячных десятичных дробях. Каждое слагаемое (в тысячных) имеет остаток 1 при делении на 3. Этот остаток не меняется, как бы ни сдвигалась в числе запятая. Таким образом, у любого полученного Петей результата остаток при делении на 3 совпадает с остатком при делении верного ответа на 3. Последний остаток равен 1, поэтому у удвоенного правильного результата остаток при делении на 3 равен 2 и, значит, Петя его получить не мог
Вопрос: В ряд слева направо было выставлено 13 гирек с массами 1г, 2г, 3г, …, 13г. Из них осталось только семь подряд стоящих (их порядок не поменялся), а остальные 6 гирек потеряны. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах определить массы оставшихся гирек? Ответ обосновать. Различить гирьки иначе, чем взвешивая их на весах, невозможно
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть вес самой левой из оставшихся гирь равен х. Достаточно определить, чему равен х. Первым взвешиванием сравним три самые левые гири и две следующие за ними. Если веса равны, то имеем х + х + 1 + х + 2 = х + 3 + х + 4, т. е. х = 4 и всё установлено. Пусть три гири перевесили. Тогда х < 4. Вторым взвешиванием сравниваем три средние гири и две более тяжёлые. (3х + 9 и 2х + 11 на чашках весов). Если весы в равновесии, то х = 2, если перевесили три гири, то х = 3, если две, то х = 1. Наконец, пусть при первом взвешивании перевесили две гири. Тогда х > 4. Вторым взвешиванием сравниваем вес трёх самых левых и вес самой правой и самой средней гири (3х + 3 и 2х + 9). Равенство весов говорит, что х = 6, перевесила чашка с тремя гирями, значит, х = 7, иначе х = 5.
 Ответ: можно.
Вопрос: В комнате 10 ламп. Петя сказал: «В этой комнате есть 5 включённых ламп». Вася ему ответил: «Ты не прав». И добавил: «В этой комнате есть три выключенные лампы». Коля же сказал: «Включено чётное число ламп». Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное. Сколько ламп включено?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 9.
Решение. Первое и третье утверждения одновременно не могут быть оба неверными, иначе в комнате было бы меньше пяти включённых ламп и меньше трёх выключенных, т. е. всего меньше восьми ламп, что противоречит условию. Первое и второе утверждения также не могут быть одновременно неверными. Значит, среди утверждений 1 и 3 есть верное, и среди утверждений 1 и 2 есть верное. Поскольку верное утверждение всего одно, это утверждение 1, а остальные утверждения неверны.
Значит, в комнате меньше трёх выключенных ламп (так как утверждение 3 неверно). Тогда включённых ламп хотя бы восемь, причём их количество нечётно (так как утверждение 4 неверно). Значит, их девять