Вопрос: Нужно найти:
1) уравнение сторон треугольника;
2) уравнение высоты АН, проведенной из вершины А на сторону ВС;
3) координаты точки Н пересечения высоты АН со стороной ВС и
длину высоты;
4) координаты центра тяжести треугольника АВС;
5) величину угла ABC (в градусах);
6) систему неравенств, которая определяет треугольник АВС;
7) уравнение медианы ВМ, проведенной из вершины В;
8) уравнение прямой l, проходящей через вершину С треугольника
параллельно медиане ВМ;
9) расстояние от точки А до прямой l.
Категория: разное
Ответы:
1) Уравнение сторон треугольника:

AB: y = 6x - 28
BC: y = -2x + 14
AC: y = -12x + 44

2) Уравнение высоты АН:

AB: y = 6x - 28
AC: y = -12x + 44

Уравнение высоты АН будет перпендикулярно стороне ВС, поэтому её угловой коэффициент будет обратным и противоположным угловому коэффициенту стороны ВС:

AN: y = 1/2x + 6

3) Координаты точки Н пересечения высоты АН со стороной ВС:

AN: y = 1/2x + 6
BC: y = -2x + 14

Подставим уравнение AN в уравнение BC и решим систему уравнений:

1/2x + 6 = -2x + 14
2.5x = 8
x = 8/2.5 = 3.2

Подставим x в уравнение AN:

y = 1/2 * 3.2 + 6
y = 1.6 + 6
y = 7.6

Точка Н имеет координаты (3.2, 7.6).

Длина высоты АН можно найти, используя расстояние между точками А и Н:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d = √((3.2 - 4)² + (7.6 - (-4))²)
d = √((-0.8)² + 11.6²)
d = √(0.64 + 134.56)
d = √135.2
d ≈ 11.62

Длина высоты АН примерно равна 11.62.

4) Координаты центра тяжести треугольника АВС:

Xg = (x₁ + x₂ + x₃)/3
Yg = (y₁ + y₂ + y₃)/3

Xg = (4 + 6 + (-1))/3
Xg = 9/3
Xg = 3

Yg = (-4 + 2 + 8)/3
Yg = 6/3
Yg = 2

Центр тяжести треугольника АВС имеет координаты (3, 2).

5) Величина угла ABC:

Угол ABC можно найти, используя формулу косинусов:

cos(ABC) = (AB² + BC² - AC²)/(2 * AB * BC)

AB² = (6 - 4)² + (2 - (-4))² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
BC² = (6 - (-1))² + (2 - 8)² = 7² + (-6)² = 49 + 36 = 85
AC² = (4 - (-1))² + (-4 - 8)² = 5² + (-12)² = 25 + 144 = 169

cos(ABC) = (40 + 85 - 169)/(2 * √40 * √85)
cos(ABC) = (-44)/(2 * √40 * √85)
cos(ABC) ≈ -0.784

Угол ABC ≈ arccos(-0.784) ≈ 140.4 градусов.

6) Система неравенств, которая определяет треугольник АВС:

x₁ < x < x₂
y₁ < y < y₂

4 < x < 6
-4 < y < 2

7) Уравнение медианы ВМ:

AB: y = 6x - 28
BC: y = -2x + 14

Уравнение медианы ВМ будет проходить через середину стороны AC, поэтому её уравнение можно найти путем нахождения средней точки координат AC:

xM = (x₁ + x₃)/2
yM = (y₁ + y₃)/2

xM = (4 + (-1))/2
xM = 3/2
xM = 1.5

yM = (-4 + 8)/2
yM = 4/2
yM = 2

Медиана ВМ проходит через точку с координатами (1.5, 2).

Уравнение медианы ВМ можно найти, используя точку M и угловой коэффициент стороны AB:

VM: y - yM = 6(x - xM)
y - 2 = 6(x - 1.5)
y - 2 = 6x - 9
y = 6x - 7

Уравнение медианы ВМ: y = 6x - 7

8) Уравнение прямой l, проходящей через вершину С треугольника параллельно медиане ВМ:

Уравнение прямой l будет иметь тот же угловой коэффициент, что и у медианы ВМ, но смещено на значение y-координаты вершины С:

l: y = 6x + b

Подставим координаты вершины С в уравнение прямой:

8 = 6(-1) + b
8 = -6 + b
b = 14

Уравнение прямой l: y = 6x + 14

9) Расстояние от точки А до прямой l:

d = |Ax + By + C|/√(A² + B²)

Уравнение прямой l: y = 6x + 14

Приведем его к общему виду Ax + By + C = 0:

-6x + y - 14 = 0

A = -6, B = 1, C = -14

d = |4(-6) + (-4) + (-14)|/√((-6)² + 1²)
d = |-24 - 4 - 14|/√(36 + 1)
d = |-42|/√37
d = 42/√37

Расстояние от точки А до прямой l примерно равно 6.84.