nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Каждое натуральное число от 1 до 50000 заменяют числом равным сумме его цифр. С получившимися цифрами проделывают ту же операцию, и так поступают до тех пор, пока все числа не станут однозначными. Сколько раз среди этих однозначных чисел встретится каждое из целых чисел от 0 до 8?
Категория: школьный раздел
Ответы:
указанные однозначные числа в последовательном порядке таковы : 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 0,… .
Эта закономерность сохраняется и дальше. В самом деле, при замене натурального числа суммой его цифр остаток от деления числа на 9 остается неизменным, то есть является инвариантом данного преобразования. Поэтому при переходе от каждого натурального числа к следующему остаток от деления числа на 9 увеличивается на 1 или перескакивает от 8 к 0. 
Для того чтобы узнать, сколько таких групп цифр по 9 цифр в каждой, разделим 50000 на 9 с остатком : 
50000 = 9 х 5555 + 5.
Следовательно, таких групп 5555 . Еще одну, неполную группу образуют последние 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
 Ответ: однозначные числа 1,2,3,4,5 встречаются 5556 раз, а числа 6,7,8 – 5555 раз.
Вопрос: В каждой цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа:
1) 1, 8, 11, 18, ___, 28, 31.
2) 24, 21, ___, 15, 12.
3) 65, 60, 55, ____, 45, 40, 35.
4) 45, 50, 40, _____, 35.
5) 12, 23, ____, 45, 56.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) 1, 8, 11, 18, 21, 28, 31.
2) 24, 21, 18, 15, 12.
3) 65, 60, 55,  50, 45, 40, 35.
4) 45, 50, 40, 45, 35.
5) 12, 23, 34, 45, 56.
Вопрос: Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребёнок по четверти хлеба.
Сколько было мужчин, женщин и детей?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.
Сколько было мужчин, женщин и детей?
5 мужчин –    по 2 хлеба      –                                                10 хлебов;
1 женщина – по половина хлеба -                                             половина хлеба;
6 детей – по четверти хлеба -      четверть + четверть =  половина хлеба;
                                                         четверть + четверть = половина хлеба;
                                                         четверть + четверть = половина  хлеба;
12 человек                                                                 12 хлебов;
Вопрос: В корзине лежат яблоки, груши и персики – всего 37 плодов. Яблок в корзине в два раза больше, чем персиков и на 3 штуки больше, чем груш. Сколько в корзине яблок, груш, персиков?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1ч.- персики;  2ч. – яблоки;  (2ч. – 3) – груши;
1ч.+ 2ч. + 2ч. – 3 = 37(п.)
5ч. – 3 = 37
5ч. = 37 +3 
5ч. = 40
1ч. = 40 : 5
1ч. = 8(п.) – персики;
8 х2 = 16(п.) - яблоки; 
16 – 3 = 13(п.)  – груши;
Вопрос: Водитель должен был проехать 456 км за 6 часов. Через 1ч 30 минут он доехал до участка дороги, который ремонтируется. Водитель вынужден был двигаться на этом участке со скоростью 44км/ч и потратил на этот участок полчаса. С какой скоростью должен двигаться автомобилист на оставшемся участке, чтобы нагнать необходимое время?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1)    456 : 6 = 76(км/ч) – запланированная скорость водителя;
2)    76 + 76 : 2 = 114(км) – проехал автомобилист по хорошей дороге;
3)    44 : 2 = 22(км)   - проехал по плохой дороге;
4)    114 + 22 = 136(км) – проехал водитель;
5)    456 – 136 = 320(км) – оставшийся путь;
6)    1ч.30мин + 30 мин  = 2(ч.)– потраченное время;
7)    6 – 2 – оставшееся время;
8)    320 : 4 – 80(км/ч) - с такой скоростью должен двигаться автомобилист на оставшемся участке, чтобы нагнать необходимое время;
Вопрос: Квадрат, площадью 36 кв.см разделили на квадраты площадью 4кв.см. Каждый из квадратов сложили дважды по диагонали и развернули. 
Сколько треугольников получилось?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1)36 : 4 = 9(кв.) – столько квадратов, площадью 4 кв.см получилось;
1квадрат = 8 треугольников
2) 8 х 9 = 72 (тр.)
Вопрос: Восстанови цифры, если известно, что каждой букве соответствует своя цифра:
            П 
    +   ПА 
       ПАР 
    ПАРИ 
  ПАРИК 
  6 0 3 5 5
Категория: школьный раздел
Ответы:
П                                                                 5
     +  ПА                                                          +   54
       ПАР                                                             543
    ПАРИ                                                           5432
  ПАРИК                                                         54321
  6 0 3 5 5                                                         60355
Вопрос: Нюша, Бараш, Копатыч и Лосяш играли с мячами: синим, зелёным, жёлтым и красным. Каким из мячей играл каждый из них, если мяч Бараша не синий, у Нюши не синий и не красный, а у Копатыча жёлтый мяч?
Категория: школьный раздел
Ответы:
синийзелёныйжёлтыйкрасныйНюша-+--Бараш---+Копатыч--+-Лосяш+---
Вопрос: 12 мешков с капустой и 14 мешков с морковью весят 6ц 92кг. Причём масса одного мешка моркови на 10кг меньше массы одного мешка капусты. Какова масса одного мешка моркови?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) 12 х 10 = 120(кг)  - на столько больше весят мешки с капустой;
2) 692 – 120 = 572(кг) – масса капусты и моркови, если бы мешки весили одинаково;
3)12 + 14 = 26(м.) все мешки;
4) 572 : 26 = 22(кг) – масса одного мешка моркови;
Вопрос: Что больше: половина половины  от «20» или четверть четверти от «80»?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) 20 : 2 :2 -= 5 - половина половины 20;
2) 80 : 4 : 4 = 5 - четверть четверти 80; 
5 = 5
Ответ: равно
Вопрос: Соотнесите понятия
 социальная групповая работа < акцент делается на проблемы, связанные с социальным функционированием
 групповая психотерапия < акцент делается на эмоциональных и психологических процессах у больных людей
 индивидуальная работа со случаем < акцент делается на помощи индивидам более эффективно справляться с их социальными проблемами в социальном функционировании
Соотнесите понятия и определения
 социальный диагноз < исследование состояния социального отклонения клиента
 социальный прогноз < предположение о перспективе улучшения клиента
 социальное лечение < оказание социальной помощи клиенту
Соотнесите понятия и определения
 благотворительные общества < помогали просителю в момент обращения
 благотворительные заведения < помимо разовой помощи бедным, давали приют, пропитание тем, кто в них нуждался каждодневно
 воспитательные дома < специальные учреждения для призрения детей грудного возраста, покинутых родителями
Соотношение результата к затратам – это:
(*ответ*) эффективность
 воспроизводимость
 управляемость
 системность
Сосредоточение дела призрения в государственных учреждениях началось после воцарения
(*ответ*) династии Романовых
 Петра I
 Екатерины Великой
 Николая II
Состояние индивида в обществе, характеризующееся бессилием, бессмысленностью, отсутствием норм, социальной изолированностью и самоотстранением, – это
(*ответ*) отчуждение
Социализация – это:
(*ответ*) приобщение человека к социальной жизни
(*ответ*) процесс усвоения индивидом определенной системы ценностей и норм функционирования в обществе
 освоение моральными нормами
 освоение социальных ролей
Социальная напряженность – это:
(*ответ*) важнейшая характеристика социальных отношений
(*ответ*) результат эскалации социальных конфликтов, роста их массовости и остроты
 конфликтность
 бедность
Социальная ответственность неправительственных структур включает в себя
(*ответ*) деятельность по защите интересов отдельных групп населения
(*ответ*) контроль за соблюдением действующего социального законодательства
 конкретизация порядка социальных выплат
 создание комфортных условий проживания всех членов домохозяйств
Социальная помощь обеспечивает использование средств на
(*ответ*) ликвидацию крайней бедности
 поддержку малого бизнеса
 пособия по безработице
 покупку жилья
Социально-геронтологические концепции старения
(*ответ*) теория разъединения < процесс отчуждения рассматривается как фатальная неизбежность и объективный процесс, когда люди старшего поколения уступают место молодым, способным более продуктивно трудиться
(*ответ*) теория субкультуры < поздний возраст рассматривается как некая субкультура людей, у которых общие ценности, нормы и стереотипы поведения
(*ответ*) теория активности < для сохранения самооценки и самосознания пожилых людей необходимо представить посильные для них новые виды деятельности
(*ответ*) теория возрастной стратификации < каждое старшее поколение обладает своим уникальным опытом, который невозможно повторить, однако ценность его в том, что отдельные элементы этого опыта могут использовать последующие поколения
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Поставьте ударение в словах:
Углубить, цемент, простыня,  звонишь, начала, начали.
Категория: школьный раздел
Ответы:
УглубИть, цемЕнт, простынЯ,  звонИшь, началА, нАчали.
Вопрос: Замените глаголом следующие выражения:
Зарубить на носу – 
Водить за нос – 
Бить баклуши -  
Попасть впросак 
Раскинуть умом -
Категория: школьный раздел
Ответы:
Зарубить на носу – запомнить;
Водить за нос – обманывать;
Бить баклуши – бездельничать;
Попасть впросак – запутаться, оказаться в трудном положении;
Раскинуть умом – подумать;
Вопрос: Отгадайте и запишите ответ.
а) Не цветы, а вянут,
  Не ладони, а ими хлопают,
  Не бельё, а их развешивают.
б) Он в голове бывает, его ищут в поле, на него бросают слова и деньги
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Не цветы, а вянут,
  Не ладони, а ими хлопают,
  Не белье, а их развешивают.
(уши)
б) Он в голове бывает, его ищут в поле, на него бросают слова и деньги.
(ветер)
Вопрос: Подберите прилагательное к каждой группе слов, которые превратят следующие слова во фразеологизмы:
1.Век, середина, правило  
2.Удар, система, затмение  
3.Суп, шут, чучело  
4. Полюс, буря, поле
Категория: школьный раздел
Ответы:
1.Век, середина, правило __ Золотой; 
2.Удар, система, затмение ___ Солнечный;
3.Суп, шут, чучело ___ Гороховый;
4. Полюс, буря, поле __ Магнитный;
Вопрос: Укажите, какой частью речи являются подчёркнутые слова:
В полях, не кошенных косой,
Всё утро дождик шёл косой . 
Дочь грома капля-егоза,
Кончая свой высотный путь,
Летела с круч, закрыв глаза,
В лицо земли, боясь взглянуть,
Скользнув с небесного стекла,
В ладонь цветка она стекла.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В полях, не кошенных косой, (сущ.)
Всё утро дождик шёл косой. (прил. )
Дочь грома капля-егоза,
Кончая свой высотный путь,
Летела с круч, закрыв глаза,
В лицо земли, боясь взглянуть,
Скользнув с небесного стекла, (сущ.)
В ладонь цветка она стекла. (глагол)
Вопрос: Поставьте существительные в форме родительного падежа, множественного числа и запишите их рядом:
килограммы -  сапоги – 
помидоры-   ботинки-
Категория: школьный раздел
Ответы:
Килограммы - килограммов, сапоги - сапог, помидоры - помидоров, ботинки - ботинок.
Вопрос: В каком слове из 5 букв насчитывается 5 «о»?
Категория: школьный раздел
Ответы:
в слове - опять
Вопрос: Найдите спрятанные в предложениях фамилии хорошо известных вам писателей, выпишите их. 
а) Мама, а змея, рыба, комар, шакал - это всё звери? 
б) Витя, не надо краба ртом трогать.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Мама, а змея, рыба, коМАР, ШАКал - это всё звери? 
б) Витя, не надо краБА РТОм трогать.
Вопрос: Одним словом объясните значения заимствованных слов. 
антракт - дегустация -  
лозунг -    финал -
Категория: школьный раздел
Ответы:
антракт - перерыв, передышка, остановка, отдых;
дегустация – проба, опробование кушанья или напитка с целью определения вкусовых качеств; 
лозунг – призыв, девиз, обращение, плакат, идея, слоган;
финал – завершение, заключение, окончание, итог, конец, финиш, развязка, исход, эпилог;
Вопрос: Из звуков, входящих в слово палитра, ученик составил слова: 
пар, лапа, трап, лира, пир, тир, тара. 
Найдите среди этих слов три слова со звуками, которых нет в слове «палитра» подчеркни их.
Категория: школьный раздел
Ответы:
лапа, пир, тир
Вопрос: Слова из одного ряда свяжите со словами другого ряда при помощи предлогов «от» и «для» и запишите полученные словосочетания:
Порошок   головная боль
Капли    успокоение нервов
Средство    прыщей
Жидкость   дезинфекция
Таблетки    бессонница
Гимнастика   укрепление организма
Состав    выведение пятен
Категория: школьный раздел
Ответы:
Порошок от головной боли.
Капли для успокоения нервов.
Средство от прыщей.
Жидкость для дезинфекции.
Таблетки от бессонницы.
Гимнастика для укрепления организма.
Состав для выведения пятен.
Вопрос: Напишите названия животных, в написании которых только 2 буквы.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ёж,  Уж,  Як
Вопрос: Детёнышей какого животного называют «настовиками», 
«травниками» и «листопадниками»? Объясните, почему?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Так называют маленьких зайчат. Зайчиха приносит потомство три раза в год: зайчата первого выводка появляются, когда на снегу образуется наст, вторые — рождаются летом, а последний приплод бывает осенью.
Вопрос: Укажите строку, где перечислены искусственные водоёмы:
1) море, океан;
2) река, озеро;
3) река, пруд;
4) пруд, водохранилище.
Категория: школьный раздел
Ответы:
4) пруд, водохранилище.
Вопрос: Вставьте на место пропусков числа: 600, 60-80, 5-6, 200
1) В скелете взрослого человека более … костей.
2) В теле человека более … мышц.
3) Пульс здорового человека … ударов в минуту.
4) В теле взрослого человека … литров крови.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1)В скелете взрослого человека более 200 костей.
2) В теле человека более 600 мышц.
3) В теле взрослого человека 5-6 литров крови.
4) Пульс здорового человека 60-80 ударов в минуту.
Вопрос: В каких горах вырос “Каменный цветок” П.П. Бажова?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Уральские горы
Вопрос: Какое общее свойство у мела и торфа?
Категория: школьный раздел
Ответы:
состоят из остатков растений
Вопрос: Я хочу познакомить тебя с одним удивительным растением. С давних пор люди использовали его корни вместо картофеля, из семян делали масло, из стеблей вили верёвки, а из листьев до сих пор многие любят заваривать вкусный лечебный чай. Но самое удивительное в этом растении то, что после страшных лесных пожаров именно его малиновые цветы первыми заполняют выжженную землю, возрождая погибший лес.
О каком растении идёт речь?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Кипрей или Иван-чай
Вопрос: Переставьте в словах буквы так, чтобы получились названия рыб. 
А. знаас; Б. укащ; В. раська; Г. милан; Д. парк; Е. куала.
Категория: школьный раздел
Ответы:
(сазан, щука, карась, налим, карп, акула)
Вопрос: Существенные, устойчивые и повторяющиеся связи, которые проявляются при взаимодействии субъекта и объекта социальной работы и обусловливают характер и направленность ее влияния на развитие конкретных социальных явлений, процессов, отношений, - это _ социальной работы
(*ответ*) закономерности
 методы
 принципы
 функции
Сущность милосердия в христианских текстах
 Василий Великий < милосердие как «болезнование об угнетаемых сверх их вины, ощущаемое состраданием»
 Григорий Нисский < милосердие есть проявление божественного начала
 Григорий Богослов < милосердие как практическое наставление и служение
Тезис "матерью филантропии является религия" принадлежит
(*ответ*) Эмерсону Эндрюссу
 С. М. Соловьеву
 В.О. Ключевскому
 О. Платонову
Теоретические основы социальной работы с группой
 эго-психология < предлагает концепции, объясняющие внутреннюю самоорганизацию индивида и его отношения с внешним миром
 когнитивные теории и теории социального научения < дают возможность социальным работникам интерпретировать и анализировать мотивы поведения индивидуумов в межгрупповом взаимодействии, определять ценностные ориентации клиентов, помогать им понять, как они «чувствуют друг друга», как формируется их знание о мире и о ситуации.
 теория отношений < рассматривает межличностные отношения как фактор взаимовлияния людей друг на друга
 ролевая теория личности < в соответствии с этой теорией в процессе межличностного взаимодействия индивид обучается определенным образцам поведения, соответствующим тем или иным ролям
 теория коммуникации < в основе лежат представления о динамическом обмене информацией между субъектами
Узаконения Петра Великого в социальной сфере большей части направлены к тому, чтобы
(*ответ*) создать сознательное отношение к нищенствующим
 развивать неприятие нищих в целом
 создать условия для развития нищенства
 заставить всех нищих работать
Узаконения Петра Великого в социальной сфере большей части направлены к тому, чтобы
(*ответ*) Создать сознательное отношение к нищенствующим
 Развивать неприятие нищих в целом
 Создать условия для развития нищенства
 Заставить всех нищих работать
Укажите, в какую группу включены основные направления социальной работы:
(*ответ*) гуманизация общественных отношений, защита детей-сирот, нормализация межэтнических отношений, защита бывших осужденных, защита безработных
 правонарушения, аморальное поведение, алкоголизм, наркомания, проституция, токсикомания, самоубийства
 олигофрения, шизофрения, истерия, психоз, психопатии, навязчивые состояния
 неврозы, невротические реакции, аффекты, стрессы, апатия, депрессия, страх
Указ, чтобы зазорных младенцев в непристойные места не отметали, но приносили бы к вышеозначенным гошпиталям и клали тайно в окно чрез такое закрытие, дабы приносимых лиц не было видно", издал
(*ответ*) Петр I
 Александр I
 Владимир Мономах
 Екатерина Великая
Универсальный способ жизнедеятельности людей и информационный процесс – это:
(*ответ*) общение
 диалог
 взаимодействие
 контакт
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Почему в тёплой комнате появляются клубы тумана, когда в холодную погоду открывают форточку?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Белые клубы тумана, возникающие при открытии форточки, – это мельчайшие капельки воды. В теплой комнате накапливается большое количество пара. Когда открывают форточку, воздух в комнате охлаждается, пар начинает превращаться в мельчайшие капельки воды, образуя туман. Когда форточку закрывают, капельки воды снова превращаются в пар, и туман исчезает
Вопрос: На песчаных дорожках после дождя не образуются лужи, а на глинистых скапливается много воды. Почему? Почему глинистые почвы долго не просыхают?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Песок водопроницаем, а глина - нет, поэтому на песчаных дорожках после дождя нет луж, а на глинистых они образуются. Глина удерживает воду.
Вопрос: Двое с постоянными скоростями плавают в бассейне по двум параллельным соседним дорожкам. Доплыв до бортика, каждый немедленно поворачивает назад. Пловцы стартовали одновременно с одного бортика и впервые встретились посередине бассейна. Где они встретятся во второй раз? Ответ объясните
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из условия ясно, что за время, которое один из пловцов потратил, чтобы проплыть половину дорожки, второй успел проплыть дорожку целиком и половину дорожки в обратном направлении. Стало быть, быстрый пловец плывёт втрое быстрее медленного, и пока медленный будет преодолевать вторую половину своей дорожки, быстрый проплывёт полторы дорожки. Отсюда получаем ответ: во второй раз они встретятся у бортика, противоположного тому, с которого стартовали.
Ответ: Во второй раз они встретятся у бортика, противоположного тому, с которого стартовали.
Вопрос: Знайка знает, что Незнайка задумал три целых числа, бльших 1, но не знает самих этих чисел. Незнайка умножил первое число на второе и получил 2013, а потом перемножил второе и третье и получил 533. Увидев это и немного подумав, Знайка сказал, что Незнайка где-то ошибся. Почему он так решил?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Разложим результаты Незнайки на простые множители: 2013 = 3*11*61, 533 = 13*41. Получается, что НОД(2013, 533) = 1, а он по условию должен делиться на второе Незнайкино число, которое больше 1.
Вопрос: Как разрезать квадрат на четыре одинаковые части ровно тремя сквозными прямолинейными разрезами, среди которых нет параллельных и перпендикулярных?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Например, так, как на рисунке
Вопрос: В компании из 10 человек есть «эрудит», который знает дату рождения каждого из остальных, но никто из остальных не знает даты рождения этого человека. Вы можете спросить у любого члена компании про любого другого её члена, знает ли спрошенный дату его рождения, и получить честный ответ. Как за девять таких вопросов наверняка найти «эрудита»?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Возьмём любого члена компании, укажем ему на любого другого и спросим у первого, знает ли он дату рождения второго. Если окажется, что не знает — первый не эрудит, если окажется, что знает — второй не эрудит. В обоих случаях мы можем удалить из компании одного члена, который наверняка не эрудит. Проделав такую операцию 9 раз, мы удалим из компании девятерых. Единственный оставшийся — очевидно, эрудит.
Вопрос: Постройте треугольник, середины сторон которого находятся в трех данных точках.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Соединим данные точки P, Q и R (Рис. 1).Рис. 1.Отрезки PQ, QR и PR – средние линии искомого треугольника, поэтому через точки P, Q и R проводим прямые, параллельные прямым QR, PR и PQ соответственно. Полученный в их пересечении треугольник АВС – искомый. Задача имеет единственное решение для любых трех точек P, Q и R, не лежащих на одной прямой, и не имеет решений, в случае, когда P, Q и R лежат на одной прямой.
Вопрос: На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний от этой точки до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть на продолжении стороны АС дана точка О 
Опустим из нее перпендикуляры ОМ и ОЕ на прямые АВ и ВС соответственно. Пусть СК – высота треугольника АВС. Опустим из точки С перпендикуляр СР на прямую МО. Тогда КМРС – прямоугольник, следовательно, КС=МР. Прямоугольные треугольники СРО и СОЕ равны по общей гипотенузе СО и острому углу (РСО=ВАС=АСВ=ОСЕ), так что ОЕ=ОР. Поэтому ОМ-ОЕ=ОМ-ОР=МР=КС, что и требовалось доказать.
Вопрос: В новогоднюю полночь Шреку и Фионе подарили 2013 кг шоколада. С тех пор каждый день на рассвете Шрек съедает четверть имеющегося шоколада, а Фиона на закате съедает треть оставшегося шоколада. Какого числа какого месяца шоколада впервые останется меньше килограмма?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Заметим, что за день Шрек и Фиона вместе съедают половину имеющегося шоколада: Шрек съедает четверть его, а Фиона — треть остатка, то есть столько же, сколько Шрек. Поэтому задача сводится к тому, чтобы узнать, на какую наименьшую степень двойки надо разделить 2013, чтобы частное оказалось меньше 1. Осталось заметить, что 2^10 = 1024 < 2013 < 2^11 = 2048.
Ответ: 11 января.
Вопрос: Дан отрезок АВ. Найти множество вершин С остроугольных треугольников АВС.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем через точки А и В прямые, перпендикулярные отрезку АВ. Тогда для точек С, лежащих вне получившейся полосы или на ее границе один из углов (САВ или СВА) треугольника АВС оказывается не острым. Построим теперь окружность с диаметром АВ. Для точек С этой окружности (кроме самих А и В) угол АСВ прямой, для точек С, попавших внутрь окружности – тупой, а для точек С, лежащих снаружи нее – острый. Искомое множество изображено на рисунке 1 (заштриховано).
Вопрос: Бассейн наполняется водой двумя кранами. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, какое нужно было бы, чтобы наполнить бассейн, открыв только второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна одним первым краном. После этого оказалось наполненным 13/18 бассейна. Вычислить, сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности, если оба крана, открытые вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 минут.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть первый кран наполняет весь бассейн за x часов, а второй – за y часов, тогда они вместе за час наполнят (1/x+1/y) часть бассейна, а за 3 часа 36 минут –(1/x+1/y)18/5 бассейна, т.е. справедливо равенство (1/x+1/y)*18/5 = 1.Первый кран был открыт y/3 часа, а в час он наполняет 1/x часть бассейна, значит всего он наполнит y/3x часть бассейна. Второй кран был открыт x/3 часа, а в час он наполняет 1/y часть бассейна, значит всего он наполнит x/3y часть бассейна. Вместе по условию они наполнили 13/18 бассейна, таким образом, справедлива система:Ответ: Первый кран наполнит бассейн за 9 часов, а второй – за 6 часов, или, наоборот: первый – за 6 часов, а второй – за 9 часов
Вопрос: На плоскости проведено 2013 прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдется не менее:
а) 671 треугольника;
б) 1342 треугольников.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Возьмем прямую a и ближайшую к ней точку А пересечения двух других прямых b и c (если ближайших точек несколько, выберем любую из них). Треугольник, образованный прямыми a, b и c, не пересекает никакая другая прямая, иначе нашлась бы более близкая к прямой a точка пересечения прямых, чем точка А. Следовательно, к любой прямой примыкает как минимум один треугольник, а так как каждый из них при подсчете общего числа учитывается трижды, то таких треугольников не менее 2013/3=671.
б) Имеется не более двух таких прямых, что все точки пересечения остальных прямых лежат с одной стороны от каждой из них. Действительно, если таких прямых больше, выберем три из них. Они разобьют плоскость на 7 частей, и все точки пересечения остальных прямых должны лежать только в одной из этих частей, чего не может быть (четвертая прямая пересекает две области). Таким образом, у 2013-2=2011 прямых мы дополнительно к пункту а) насчитали еще по треугольнику (один порожден ближайшей к прямой точкой с одной, а другой – ближайшей к ней точкой с другой стороны), т.е. насчитали 2013+2011=4024 треугольников. Так как каждый из них по-прежнему подсчитывается трижды, общее количество треугольников не меньше N>4024/3 = 1341 1/3. Поскольку N число целое, получаем N>1342.
Вопрос: Для заданных действительных чисел p и q найдите все значения, которые многочлен x^2+ px+q принимает на отрезке [-1; 1].
Категория: школьный раздел
Ответы:
Функция y=x2+ px+q имеет на действительной оси одну точку минимума, соответствующую вершине параболы x0=-p/2. При x<x0 эта функция убывает, а при x>x0 – возрастает. Поэтому для множества А значений функции y=x2+ px+q на отрезке [-1; 1] имеем следующее:Если p<-2, то x0>1 и А=[y(1); y(-1)]=[1+p+q; 1-p+q].Если -2≤p≤2, то -1≤x0≤1, и А=[y(x0); max{y(-1); y(1)}]. Более точно, при -2≤p≤0 А=[q-p2/4; 1-p+q], а при 0<p≤2 А=[q-p2/4; 1+p+q].Если p>2, то x0<-1 и А=[y(-1); y(1)]=[1-p+q; 1+p+q].p<-2: А=[1+p+q; 1-p+q];при -2≤p≤0: А=[q-p2/4; 1-p+q];при 0<p≤2: А=[q-p2/4; 1+p+q];при p>2: А=[1-p+q; 1+p+q].
Вопрос: Докажите, что число 2013k+2 не является квадратом целого числа ни при каком натуральном k
Категория: школьный раздел
Ответы:
Любое целое число n либо делится на 3 нацело, либо представляется в виде n=3m±1. В первом случае n2 делится на 3 (и даже на 9) нацело, а во втором – дает при делении на 3 остаток 1: n2=9m2±6m+1. Число же 2013k+2=3×11×61×k+2 при любом k дает при делении на 3 остаток 2.
Вопрос: Через точку К, лежащую на окружности с центром О, проведена хорда КА (дуга КА больше 90) и касательная МКР. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно радиусу ОА, пересекает хорду АК в точке В и касательную МР в точке С. Доказать, что отрезок КС равен отрезку ВС.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение задачи
Вопрос: Дана геометрическая прогрессия, первый член которой отличен от 0, а знаменатель – целое число, не равное 0 и -1. Доказать, что сумма двух или большего числа произвольно выбранных членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ясно, почему из рассмотрения исключены геометрические прогрессии со знаменателем 0 и -1: у прогрессий первого типа любой член, начиная со второго, равен 0 (то же касается геометрических прогрессий с b1=0), а потому равен сумме любого количества других таких членов; а у прогрессий второго типа сумма любого нечетного количества подряд идущих членов равна первому своему слагаемому.Заметим, что если знаменатель прогрессии равен 1, то все члены ее равны первому члену b1, поэтому сумма произвольных k членов при k≥2 равна k×b1≠b1, так что утверждение задачи справедливо.Пусть теперь первый член прогрессии отличен от 0, а знаменатель q геометрической прогрессии отличен от 0, 1 и -1. Докажем искомое утверждение от противного. Пусть сумма некоторого количества m членов прогрессии (m не менее двух) равна какому-то ее члену: bk+bk+i,+…+bk+j= bl, т.е. b1×qk-1×(1+qi-k+…qj-k)=b1×ql, где i>k,…, j>k.Сокращая на b1, получаем уравнение в целых числах qk-1×(1+qi-k+…qj-k)=ql. Теперь при k-1>l, сокращая на ql, получаем, что левая часть делится на q, а правая – нет. При k-1<l, сокращая на q k-1, получаем, что правая часть делится на q, а левая – нет. Если же k-1=l, сокращая на qk-1, получаем равенство 1+qi-k+…+qj-k=1, или, считая для определенности, что i<…<j,  qi-k×(1+…+qj-i)=0 Û 1+…+qj-i=0, где слева все слагаемые (количеством ≥1), кроме первого, делятся на q, и правая часть тоже, а первое слагаемое левой части – нет, что вступает в противоречие с признаками делимости. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно, и никакая сумма некоторого количества m≥2 членов прогрессии не равна какому-то одному ее члену
Вопрос: Найдите все целые a, при которых уравнение x^2+ax+a=0 имеет целый корень.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть x1, x2 – корни данного уравнения (возможно, совпадающие). По теореме Виета x1+x2=-a, x1×x2=a, следовательно, если один из корней – целое число, то и второй тоже. Кроме того, (x1+1)(x2+1)=(x1+x2)+x1×x2+1=1. Числа x1+1 и x2+1 тоже должны быть целыми, поэтому либо x1+1=x2+1=1, либо x1+1=x2+1=-1. В первом случае x1=x2=0 и a=0, во втором – x1=x2=-2, а a=4.ответ a=0 или a=4.
Вопрос: Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен V. Точки P, Q, R являются серединами ребер A1B1, CC1, CD соответственно. Найдите объем пирамиды PQRA.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение задачи
Вопрос: Для каждого n определите, сколько есть троек натуральных чисел, сумма которых равна 6n.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Найдем количество троек натуральных чисел (x, y, z), для которых x≤y≤z и x+y+z=6n. При каждом значении k=1, 2,…, n выпишем все тройки, для которых x=2k-1 и соответственно x=2k:
(2k-1; 2k-1; 6n-4k+2), (2k-1; 2k; 6n-4k+1),…, (2k-1; 3n-k-1; 3n-k+2),
(2k-1; 3n-k; 3n-k+1),
и соответственно
(2k; 2k; 6n-4k), (2k; 2k+1; 6n-4k-1),…, (2k; 3n-k-1; 3n-k+1),
(2k; 3n-k; 3n-k).
Поэтому количество всех выписанных троек для данного k равно
Sk=(3n-k)-(2k-2)+(3n-k)-(2k-1)=6n-6k+3,
а количество всех троек, удовлетворяющих условию задачи, есть
S1+S2+…+Sn=3n^2.
Ответ: 3n^2.
Вопрос: Дедушка одарил своих 5 внуков деньгами. Он разделил между ними 10 000 рублей, но не поровну, а по старшинству. Больше всех получил самый старший внук. Следующий внук получил на 200 рублей меньше и так далее. Меньше всех получил младший внук. Сколько денег дал ему дедушка?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение:
1) Х руб. – получил старший внук;
2) Х – 200 руб. - получил второй внук;
3) Х – 200 – 200 - получил третий внук;
4) Х – 200 – 200 – 200 - получил четвертый внук;
5) Х – 200 –200 – 200 – 200 –получил пятый внук;
Так как по условию задачи дедушка отдал внукам 10 000 рублей, то составляем уравнение:
 6) Х + Х – 200 + Х – 400 + Х – 600 + Х – 800 = 10 000
 5х – 2 000 = 10.000
 5х = 10 000 + 2000
 5х = 12000
 х = 12000 : 5
 х = 2400
 2400 – 800 = 1600 (руб.)
Ответ: младший внук получил 1600 рублей;
Вопрос: Цель этой группы – личностное изменение клиентов. Группа работает непрерывно в течение 24 часов и более, роль лидеров направлена на развитие творческого потенциала группы и снятие напряжения
(*ответ*) Марафон
 S-группа
 T-группа
 Группа встреч
Церковный обряд в христианстве, совершаемый при посвящении в духовное звание или в монашество,– это
(*ответ*) пострижение
Человеческой деятельностью движут
(*ответ*) потребности
 желания
 эмоции
 чувства
Эта национальная модель помощи использует принципы государственного патернализма на основе гражданства
(*ответ*) Германская
 Английская
 Российская
 Американская
Эта национальная модель помощи направлена на восстановление и сохранение человеческих ресурсов
(*ответ*) Американская
 Германская
 Английская
 Российская
Этот тип семейных отношений _ характеризуется игнорированием индивидуальных возможностей ребенка, заменяя детское желание в достижениях на необходимость.
(*ответ*) исполнительный
 симбиотический
 напряженный
 внутренней депривации
Этот тип семейных отношений связан с реализаций границ самоконтроля ребенка, ограничение и вседозволенность приводят и в том и в другом случае к невозможности позитивной оценки своего «Я», осознание ограничений как в восхищении, так и в разрешенности. Клиническая картина — наличие истерических припадков, конфликтов, обид, фобий: страх одиночества, темноты, страх смерти.
(*ответ*) тип директивно-разрешающих отношений
 тип внутренней депривации
 симбиотический тип внутрисемейных отношений
 напряженный тип внутрисемейных отношений
Языческие жрецы, звездочеты, чародеи, предсказатели – это
(*ответ*) волхвы
Cоциальная работа как наука носит преимущественно ….. характер 
(*ответ*) прикладной 
 экспериментальный 
 узкоспециальный 
 фундаментальный 
А. Адлер в отличие от приверженцев ортодоксального психоанализа выстроил собственное понимание бессознательного содержания личности, сущность которого состоит в 
(*ответ*) признании господства индивидуализма 
 гармоничном развитии личности 
 признании права личности на саморазвитие 
 признании первичности коллективизма 
А. Маслоу разработал концепцию 
(*ответ*) иерархии потребностей 
 социальной стратификации 
 меркантилизма 
 непрерывного развития 
Антиколлективизм декларирует 
(*ответ*) ценности ндивидуальной свободы 
 альтруизм 
 приоритет духовных ценностей над материальными 
 приоритет общественного над частным
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Виноградарь обычно продает виноградный сок по 30 и 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как виноградарь отмерил ему 10 литров, пользуясь своими кувшинами?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Надо набрать полный 30-литровый кувшин и перелить сок из этого кувшина в 50 – литровый кувшин. Набрать еще раз полный 30-литровый кувшин и долить сок из этого кувшина в 50-литровый кувшин. В 30 – литровом кувшине останется 10 литров.
Вопрос: Вставьте вместо точек знаки арифметических действий (и скобки, если необходимо) так, чтобы равенства стили верными:
18…3…3…3 = 10
48…4…2…2 = 20
88…4…4…2 = 30
Категория: школьный раздел
Ответы:
(18 + 3) : 3 + 3 = 10
(48 : 4 – 2) х 2 = 20
 88 : 4 + 4 х 2 = 30
Вопрос: У мальчика спросили, сколько у него орехов. Он ответил: «Если мне дадут еще 4 ореха, то у меня будет столько, сколько у моего брата. Если же мне дадут 28 орехов, то у меня будет втрое больше орехов, чем у брата». Сколько орехов у мальчика?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) х– количество орехов у мальчика;
2) х + 4 - количество орехов у брата;
3) х + 28 – тройное количество орехов брата;
4) 3(х + 4) - тройное количество орехов брата;
Используя последние 2 равенства, составляем уравнение:
5) 3(х + 4) = х + 28
 3х + 12 = х + 28
 3х – х = 28 – 12
 2х = 16
 х = 16: 2
 х = 8 - количество орехов у мальчика
Ответ: 8 орехов у мальчика.
Вопрос: Даны четыре шара массой 101 г, 102 г, 103 г и 105 г, а также весы со стрелкой, на которых можно взвесить любой груз. Сделав два взвешивания, определите массу каждого шара
Категория: школьный раздел
Ответы:
Взвесим какие-нибудь два шара вместе, а затем – один из них и один из оставшихся вместе. Поскольку массы всех пар различны (203, 204, 205, 206, 207 и 208 г), масса пары шаров однозначно определяет состав этой пары. Например, взвесив сначала 1-й и 2-й шары, а затем 1-й и 3-й с результатами 207 г и 205 г соответственно, определяем, что 1-й шар весит 102 г, 2-й – 105 г, 3-й – 103 г, а 4-й – 101 г.
Вопрос: Из вершины В произвольного треугольника АВС проведены вне треугольника прямые BM и BN так, что ∠ABM=∠CBN. Точки А' и С' симметричны точкам А и С относительно прямых BM и BN соответственно. Доказать, что АС'=А'С.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим точку пересечения прямых BM и АА' за K, а прямых BN и СС' за L 
Поскольку А и А' симметричны относительно прямой BM, имеем: АВ=А'В, ∠ABМ=∠А'BМ. Аналогично, СВ=С'В, ∠СBN=∠С'BN. Отсюда ∠А'BС=∠АBС+∠АBА'=∠АBС+2∠ABM =∠АBС+2∠СBN=∠АBС+∠СBС'= ∠АBС'. Поэтому треугольники А'BС и АBС' равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, АС'=А'С.
Вопрос: Произведение 2012 целых чисел равно 1. Может ли их сумма быть равна 2?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Очевидно, среди этих чисел есть только 1 и -1, причем последних – четное количество (иначе произведение будет отрицательным). Но для того, чтобы сумма чисел равнялась 2, должно быть 1007 чисел 1 и 1005 чисел -1. Противоречие.
Ответ. Не может
Вопрос: В коридоре длиной 100 м постелено 20 ковровых дорожек общей длиной 1000 м (ширина каждой дорожки равна ширине коридора). Каково может быть наибольшее число незастеленных участков коридора?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Поскольку длина дорожек в 10 раз больше длины коридора, то либо весь коридор застелен десятикратно (и тогда незастеленных участков нет вообще), либо есть какая-то точка коридора, застеленная не менее чем 11 дорожками. Но тогда эти 11 дорожек застилают некоторый сплошной участок, так что всего имеется не более 1+9=10 застеленных, и, соответственно, не более 11 разделенных ими незастеленных участков. Пример, в котором есть 11 незастеленных участков, дает следующая конструкция:
Н0 БЗУ Н1 З1 Н2 З2 … Н9 З9 Н10, где
Н0 – незастеленный участок длиной 0,5 м;
БЗУ – большой застеленный участок, застеленный 11-ю дорожками длиной 90,5 м каждая. лежащими друг над другом без смещения;
Н1, Н2, …, Н10 – незастеленные участки длиной 0,45 м каждый;
З1, З2, …, З9 чередующиеся с ними малые застеленные участки длиной 0,5 м каждый.
Ответ. 11
Вопрос: По дороге едут четверо: один на автомобиле, второй на мотоцикле, третий на мопеде, четвертый на велосипеде. Каждый едет со своей постоянной скоростью. Едущий на автомобиле догнал мопед в 12 ч, встретился с велосипедистом в 14 ч, а с мотоциклистом – в 16 ч. Мотоциклист встретил мопед в 17 ч и догнал велосипедиста в 18 ч. Сколько времени было, когда велосипедист встретил мопед?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из условия задачи следует, что автомобиль и мопед едут по дороге в одном направлении, а велосипедист и мотоциклист едут им навстречу, причем впереди едет велосипедист, которого мотоциклист догоняет в 18 ч после всех происшедших встреч. Скорость автомобиля больше скорости мопеда, ибо автомобиль в 12 ч догнал мопед. Аналогично скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста. Обозначим через a, b, u, v скорости автомобиля, мопеда, велосипедиста и мотоциклиста соответственно. Пусть А – пункт, в котором автомобиль догнал мопед, В, С – пункты, в которых автомобиль встретился соответственно с велосипедистом (в 14 ч) и с мотоциклистом (в 16 ч). Пусть D – пункт, в котором мопед встретился с велосипедистом (после 14 ч), а Е – пункт, в котором мопед встретился с мотоциклистом (в 17 ч). Заметим, что мотоциклист догнал велосипедиста в 18 ч, т.е. после встречи с мопедом. Обозначим этот пункт через F. Из условий задачи следует, что пункт D находится между А и В, что В есть середина АС, и что Е есть середина СF.Пусть t – искомое время встречи мопеда и велосипедиста. Ясно, что 14<t<17. АВ=ВС=2a, АС=4a, ЕС=v, FC=2v, BF=4u, АЕ=5b, AD=b(t-12), DB=u(t-14). Равенства FC=FB+BC, AC=AE+EC, AB=AD+DB принимают вид 2v=4u+2a, 4a=5b+v, 2a=b(t-12)+u(t-14) соответственно.Исключая из двух первых равенств переменную v, получаем равенство 2u=3a-5b. Из третьего равенства следует, что
Вопрос: Большая часть понятий теории социальной работы употребляется с прилагательным 
(*ответ*) социальный 
 глобальный 
 индивидуальный 
 экзистенциальный 
В американском обществе, например, за власть борются, как правило, две партии 
(*ответ*) республиканцы и демократы 
 социалисты и демократы 
 демократы и лейбористы 
 республиканцы и лейбористы 
В зависимости от трудоспособности граждан и их материальной обеспеченности предполагается 
(*ответ*) дифференцированные поддержка и социальное обслуживание 
 формы социальной работы 
 соответствующая помощь и поддержка 
 единые для всех поддержка и социальное обслуживание 
В зарубежной литературе принято говорить о 
(*ответ*) трех моделях социальной политики 
 семи моделях 
 четырех моделях социальной политики 
 двух моделях 
В настоящее время широкое распространение в развитии знания имеют следующие тенденции 
(*ответ*) с одной стороны, дифференциация знаний и возникновение таких специализированных наук как социальная психология; с другой - интегративные тенденции 
 к сокращению знаний 
 к интеграции знаний 
 к дифференциации знаний 
В основе пуританской этики лежат идеи 
(*ответ*) социал-дарвинизма 
 гуманизма 
 индивидуализма 
 социализма 
В основе японской модели лежат следующие принципы 
(*ответ*) пожизненный наем, зарплата по старшинству, пофирменные профсоюзы 
 гармоничное развитие личности 
 свободная конкуренция на рынке труда 
 наем по срочному контракту, сдельная оплата, добровольные отчисления в пенсионный фонд 
В подходах к социальному благосостоянию демократы уделяют большое внимание 
(*ответ*) государственным программам, таким, как социальное обеспечение населения, социальная помощь нуждающимся, бесплатная выдача лекарств социально неполноценным гражданам и другие акции 
 деятельности волонтерских организаций 
 развитию сети коммерческих услуг 
 благотворительным акциям 
В практике социальной работы одно из центральных мест принадлежит 
(*ответ*) индивидуальной работе с клиентом 
 работе на производстве 
 работе над собой 
 разработке философских принципов 
В республиканских концепциях социального благосостояния большое значение придается 
(*ответ*) временным мерам социальной поддержки 
 роли государства 
 личности и ее умению решать свои проблемы 
 постоянным мерам социальной поддержки 
В середине ХХ в. в практике социальной работы начинают преобладать подходы 
(*ответ*) защиты прав человека от различных форм дискриминации 
 защиты общечеловеческих ценностей 
 осмысления проблем социальной помощи 
 осмысления сущности человека
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: На листе клетчатой бумаги с клетками размером 1х1 нарисована окружность радиуса R с центром в узле сетки. Докажите, что если на ней лежит ровно 2012 узлов сетки, то либо R, либо R √2 – целое число
Категория: школьный раздел
Ответы:
Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в центре окружности и с осями, идущими по линиям сетки. Тогда окружность задается уравнением x2+y2=R2, а узлы сетки – точки с целыми координатами. Заметим, что вместе с точкой (x, y) на данной окружности лежат все точки (±x, ±y) и (±y, ±x). Их восемь, если x≠±y и ни одно из чисел x, y не равно 0 (в противном случае точек 4). Так как число 2012 при делении на 8 дает остаток 4, то среди данных 2012 точек найдется такая точка (x0, y0), для которой реализуется именно второй случай. При этом, если x0=±y0, то 2x02=R2 и R √2 – целое число, а если x0=0 или y0=0, то y02=R2 или x02=R2 соответственно, поэтому R –целое число.
Вопрос: Найдите все простые числа p такие, что 8p^2+1 – также простое.
Категория: школьный раздел
Ответы:
При p=3 имеем 8p2+1=73 – простое. Любое другое простое p не делится на 3, а потому представляется в виде p=3k1 для некоторого натурального k. Следовательно, 8p2+1=8(3k1)2+ 1=72k248k+8+1 =3(24k216k+3) – делится на 3, поэтому простым не является.Ответ. 3
Вопрос: В треугольнике ABC угол C тупой. На стороне AB отмечены точки E и H, на сторонах AC и BC – точки K и M соответственно. Оказалось, что AH=AC, EB=BC, AE=AK, BH=BM. Доказать, что точки E, H, K, и M лежат на одной окружности.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию треугольники AHC и AEK равнобедренные, поэтому КСНЕ – равнобочная трапеция, следовательно, вписана в некоторую окружность. Аналогично, CMHE – равнобочная трапеция, также вписанная в свою окружность. С другой стороны, существует единственная окружность, описанная вокруг треугольника СНЕ, а поскольку точки С, Н, и Е являются вершинами обеих трапеций, описанные вокруг данных трапеций окружности совпадают. Таким образом, все 4 точки – E, H, K, и M (и даже 5 – вместе с точкой С) лежат на одной окружности.
Вопрос: Про семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим данные числа a1, a2, …, a7. По условию каждая из сумм a1+a3+a4+a5+a6+a7 и a2+a3+a4+a5+a6+a7 делится на 5, следовательно, их разность a1-a2 будет делиться на 5; это означает, что числа a1 и a2 имеют одинаковые остатки от деления на 5. Рассматривая разности других сумм, аналогично устанавливаем, что все заданные числа имеют одинаковые остатки от деления на 5. Пусть это остаток r (0≤r<5). Тогда любая из рассматриваемых сумм имеет при делении на 5 тот же остаток, что и 6r, а поскольку по условию он равен 0, должно быть r=0.
Вопрос: Могут ли числа 1, 2, …, 100 быть членами ровно двенадцати геометрических прогрессий?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Покажем, что 3 разных простых числа не могут входить в одну геометрическую прогрессию. Предположим противное: p1<p2<p3 – простые числа, p1=aqk-1, p2=aqr-1, p3=aqm-1.Тогда p2/p1=qr-k=qs, p3/p2=qm-r=qn. Отсюда p2s+n=p1np3s, что невозможно, так как n и s – ненулевые целые числа. Отрицательный ответ на вопрос задачи теперь следует из того факта, что среди чисел от 1 до 100 содержится 25 различных простых чисел, а в одну геометрическую прогрессию могут входить не более двух из них.Ответ. Не могут.
Вопрос: В примере на сложение четырёхзначных чисел
МЕТР + МЕТР = ГРАММ
одинаковые цифры зашифрованы одинаковыми буквами, а разные — разными. Найдите все возможные расшифровки и объясните, почему других вариантов нет.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Будем рассуждать так, как будто данный пример записан «в столбик». Поскольку сумма Р+Р оканчивается на М, цифра М чётна. На М оканчивается также либо сумма Т+Т, если при сложении не было переноса единицы в разряд десятков, либо сумма Т+Т+1, если такой перенос был. Но последнее невозможно, ибо число 2Т+1 нечётно. Поэтому Р+Р = М и Т+Т = 10+М. Заметим также, что М ≥ 5, иначе сумма МЕТР + МЕТР не будет пятизначной. Значит М = 6 или М = 8. Если М = 6, то Р = 3, Т = 8. Пример приобретает вид 6Е83+6Е83 = 13А66. Видим, что при сложении был перенос в разряд тысяч (иначе там была бы чётная цифра). Поэтому Е ≥ 5. Так как 6 и 8 уже заняты, Е может равняться 5, 7 или 9. Подстановка показывает, что подходит только Е = 7, что даёт решение: 6783+6783 = 13566. Наконец, если М = 8, то пример приобретает вид 8Е94+8Е94 = 14А88, что невозможно, ибо в разряде тысяч у суммы 8Е94+8Е94 стоит 6 или 7. Таким образом, расшифровка у нашего ребуса только одна.
Ответ: 6783+6783 = 13566.
Вопрос: На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке, после чего проделали эту операцию ещё несколько раз. Могло ли в итоге получиться ровно 2012 отмеченных точек?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть вначале было отмечено k точек. Тогда после первой операции мы отметим k–1 новую точку (по одной между первой и второй, второй и третьей, …, k–1-ой и k-ой старыми отмеченными точками), и всего отмеченных точек станет 2k–1, то есть нечётное число. Соответственно, промежутков между ними будет четное число, и после повторной операции снова получится нечетное+четное=нечетное число точек. Очевидно, оно будет оставаться нечётным и после любого числа таких операций, а число 2012 чётно.
Ответ. Не могло.
Вопрос: В треугольнике ABC угол A вдвое больше угла B. Докажите, что по крайней мере две из сторон этого треугольника длиннее его биссектрисы, проведённой из вершины A.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть AD — биссектриса. В треугольнике ADB оба угла DAB и DBA равны половине угла СAB, откуда AD = DB < CB. Заметим теперь, что один из двух смежных углов ADC или ADB не меньше 90°. Против него в соответствующем треугольнике (ADC или ADB) лежит наибольшая сторона — AC или AB соответственно. Она и будет второй стороной треугольника АВС, большей биссектрисы AD.