nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: В трапеции ABCD (ВС || AD) углы С и D — прямые, ВС = 4 см, CD = 4√3 см и АD = 8 см. Вычислите градусную меру угла BAD.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Периметр ромба равен 16 см, а длина одной из его диагоналей равна 4√3 см. Вычислите градусные меры углов ромба.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10 см, а синус одного из острых углов равен 0,4. Вычислите длины катетов треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Вычислите градусные меры острых углов прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 14 см, а длина одного из катетов — 7√3 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: В прямоугольном треугольнике АСВ с прямым углом С катет АС = m и угол ABC =φ. Найдите длины гипотенузы и другого катета треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Вычислите синус, косинус и котангенс острого угла равнобедренной трапеции, разность длин оснований которой равна 16 см, а сумма длин боковых сторон — 20 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина катета прямоугольного треугольника равна 12 см, а синус противолежащего угла равен 0,8. Вычислите длины сторон этого треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: В истории человечества выделяют последовательно три больших периода (века) 
 (*ответ*) каменный, бронзовый и железный 
 каменный, железный и бронзовый 
 каменный, деревянный и бронзовый 
 деревянный, каменный и железный 
В конце XIII в. в Париже количество цеховых мастеров было примерно _ тысяч(и). 
 (*ответ*) 4 
 6 
 8 
 2 
В конце XIII в. в Париже число профессий, освоенных цеховыми мастерами, составляло 
 (*ответ*) 350 
 75 
 500 
 150 
В России мануфактуры возникли в _ веке. 
 (*ответ*) XVII 
 XIX 
 XVI 
 XVIII 
В средневековой Европе улучшить качество железных изделий за счет повышения температуры в железоплавильной печи стало возможным благодаря изобретению 
 (*ответ*) воздушных мехов 
 специальных химических ингредиентов, используемых при плавке 
 жароустойчивых керамических изделий 
 гидравлического насоса 
Великие пирамиды в Египте строились как 
 (*ответ*) усыпальницы фараонов 
 памятники пребывания на Земле инопланетян 
 сооружения, хранящие тайные знания египетских жрецов о будущем 
 астрономические обсерватории 
Великий итальянский ученый, астроном и инженер Галилео Галилей 
 (*ответ*) один из основателей науки Нового времени 
 основатель гелиоцентрической системы мира 
 основоположник небесной механики 
 положил начало эпохе быстрого развития науки в Италии 
Впервые в Европе арабские (индийские) цифры были применены для записи чисел 
 (*ответ*) монахом Гербертом во второй половине X в. 
 математиками Оксфордского университета в XIII в. 
 в Византиии не ранее XII в. 
 итальянским математиком Кардано в XV в. 
Высшие учебные заведения нового типа в Европе - университеты - создаются в _ вв. 
 (*ответ*) XI-XII 
 XV-XVI 
 XIII-XIV 
 IX-X 
Геоцентрическая система мира обоснована в труде "Альмагест" 
 (*ответ*) во II в. древнегреческим ученым астрономом, географом и оптиком Птолемеем 
 в эпоху Возрождения математиком Джеронимо Кардано 
 3000 лет назад древнеегипетскими жрецами 
 во II в. до н.э. составителем звездного каталога древнегреческим астрономом Гиппархом 
Датой начала века металла считается _ тыс. лет до н.э. 
 (*ответ*) 4 
 3 
 1 
 2 
Для исторического перехода от палеолита к неолиту характерно 
 (*ответ*) постепенное освоение людьми регулярного земледелия и скотоводства 
 собирательство дикорастущих плодов и съедобных кореньев 
 развитие коллективной охоты на мамонта 
 изобретение колеса
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: ABCD - равнобедренная трапеция, у которой диагональ перпендикулярна боковой стороне, а высота CF = 6 см. Вычислите длины отрезков, на которые точка F делит основание трапеции, и длину ее боковой стороны, если тангенс угла CAD равен 2/3 (рис. 138, а).
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: АВ — диаметр окружности, точка С лежит на этой окружности (рис. 138, б). Вычислите диаметр окружности и длину хорды ВС, если расстояние CD от точки С до прямой АВ равно 12 см, а котангенс угла СВА равен 1,5.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне АВ, а его высота ВО равна 24 см. Вычислите площадь параллелограмма, если тангенс угла BDA равен 2/3.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Высота ромба равна h, а его острый угол — α. Найдите площадь ромба
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Периметр ромба равен Р, а его острый угол — β. Найдите площадь ромба.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее острый угол при основании равен α, а длины боковой стороны и средней линии равны соответственно m и b.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, АВ1 и А1D — диагонали его боковых граней (рис. 139, а, б). Найдите площади боковых граней параллелепипеда, если АВ = a, угол A1B1A = α , угол A1DA = β.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: В прямоугольном треугольнике ABC длина гипотенузы АС равна 8 см, а градусная мера угла треугольника равна 28°. Вычислите длины катетов треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина катета прямоугольного треугольника равна 6 см, а градусная мера угла равна 47°. Вычислите длины гипотенузы и другого катета
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна 35°, а длина боковой стороны равна 16 см. Вычислите длину основания треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Для массового производства высококачественной керамики было необходимо 
 (*ответ*) освоить технологию обжига глиняных изделий при температуре более 400 градусов в особых гончарных печах 
 накопить достаточный опыт изготовления керамики 
 изобрести особый способ подготовки глиняной массы 
 найти залежи подходящей глины 
Для мезолита характерно 
 (*ответ*) распространение техники изготовления тонких и острых ножевидных кремневых орудий правильной геометрической формы 
 изготовление затупленных наконечников стрел для добычи пушного зверя без порчи шкуры 
 изготовление керамических изделий, возведение храмовых построек 
 освоение твердых горных пород - нефрита, яшмы, горного хрусталя 
Древнейшие металлические предметы, найденные археологами, были изготовлены по технологии 
 (*ответ*) холодной ковки 
 обтачивания 
 резки 
 литья 
Древнейший из дошедших до нас письменных памятников принадлежит цивилизации 
 (*ответ*) шумеров 
 инков 
 китайцев 
 майя 
Древние земледельческие государства в Китае были основаны 
 (*ответ*) в середине 3 тысячелетия до н.э. 
 в 5ом тысячелетии до н.э. 
 одновременно с образованием древнеегипетского государства 
 в то же время, когда возникли первые города Шумера 
Западная Европа в эпоху Возрождения становится лидером мирового исторического развития в результате утраты позиций 
 (*ответ*) Византией 
 Арабоязычного Востока 
 Священной Римской империей 
 Элладой 
Заслуга создания самой древней из известных нам обобщающих систем строго обоснованных научных математических знаний принадлежит 
 (*ответ*) Евклиду 
 Фалесу 
 Пифагору 
 Анаксимандру 
Здание маяка высотой 120 метров было построено у входа в гавань Александрии 
 (*ответ*) в 323-283 гг. до н.э. 
 во II в. 
 одновременно с великими египетскими пирамидами 
 в XIII в. 
Значение научного эксперимента в истории науки определяется тем, что он является 
 (*ответ*) методом научного познания, положенным в основу точного естествознания Нового времени 
 методом наблюдения за поведением социальных систем в контролируемых и управляемых условиях 
 одним из методов проверки достоверности новых химических знаний 
 одним из способов практической деятельности 
Изобретение твердого искусственного покрытия дорог было сделано 
 (*ответ*) шумерами 
 греками 
 китайцами 
 римлянами 
Инженеры широкого профиля в Древнем Риме именовались 
 (*ответ*) архитекторами 
 механиками 
 композиционерами 
 конструкторами 
Ирригацией называется 
 (*ответ*) сооружение систем оросительных каналов и плотин для орошения засушливых земель или отвода воды с заболоченных участков 
 процесс осушения земной поверхности 
 строительство судоходных каналов 
 откачка воды из-под земли
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а градусная мера угла при вершине равна 48°. Вычислите длину боковой стороны треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Периметр ромба равен 32 см, а градусная мера острого угла равна 34°. Вычислите длины диагоналей ромба.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина диагонали прямоугольника равна 40 см, и эта диагонали образует с одной из сторон прямоугольника угол, градусная мера которого равна 72°. Вычислите периметр прямоугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длины диагоналей ромба равны 16 см и 12 см. Вычислите градусные меры углов ромба.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина основания равнобедренного треугольника равна 16 см, а высота, проведенная к основанию равна 4 см. Вычислите градусную меру угла при основании.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 8 см, а длина катета равна 7 см. Вычислите градусные меры углов треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Высота равнобедренного треугольника в два раза больше его основания. Вычислите градусные меры углов треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Вычислите: а) tg 45° + sin 30°; б) cos 60° + sin 30°; в) cos 30° + cos 45°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Вычислите: а) 2 tg 60° - 2 cos 30°; б) √2 sin 45° + √3 tg 30°; в) sin 60° cos 30° + 1/ tg 45°; г) tg 60° tg 30° - √2 cos 45°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Упростите выражение: а) 1 - cos2 α; б) 1 + cos2 α - sin2 α; в) tg2 α cos2 α + cos2 α; г) cos α - cos α sin2 α; д) (1 - cos α)(l + cos α) + sin2 α.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Историческое развитие техники и науки 
 (*ответ*) представляет собой две стороны единого процесса освоения мира человеком 
 существенно отлично 
 протекает в значительной степени независимо друг от друга 
 протекает одновременно, но они не зависят друг от друга, так как техника и природа не одно и то же 
К числу изобретений механика Ктесибия (около II - I вв. до н.э.) относятся 
 (*ответ*) пневматический орган, водяной насос 
 центрифуга, руль, кривошип 
 полиспаст, гончарный круг 
 "журавль" с противовесом, рычаг 
Каменное ручное рубило впервые было изготовлено 
 (*ответ*) в начале ашельской эпохи, то есть 900-350 тыс. лет назад 
 приматами 
 австралопитеками 
 в олдувайскую эпоху, то есть ранее 900 тыс. лет назад 
Каменный век на территории Америки продолжался до _ вв. н.э. 
 (*ответ*) IX-X 
 III-IV 
 V-VI 
 I-II 
Колесо и колесная повозка изобретены древними народами, жившими в 
 (*ответ*) Шумере 
 Америке 
 Египте 
 Южной Африке 
Мануфактура - это 
 (*ответ*) производство, основанное на пооперационном разделении труда 
 разнообразные хлопчатобумажные ткани 
 фабрика для производства текстиля 
 товарная продукция ремесленных мастерских 
Мануфактура получила распространение в Западной Европе в _ вв. 
 (*ответ*) XVI-XVIII 
 XVI-XIX 
 XVII-XIX 
 XV-XVII 
Машиной называется 
 (*ответ*) механическое устройство для преобразования энергии, вещества и информации 
 техническое устройство для перемещения тяжестей 
 техническое средство для производства промышленной продукции 
 автономное транспортное техническое средство 
Механика становится в центр научных исследований в _ веке 
 (*ответ*) XVII 
 XV 
 XVIII 
 XVI 
Механические часы с зубчатыми колесами и гирями известны в Европе c _ века. 
 (*ответ*) XI 
 V 
 VII 
 IX 
Наибольшего расцвета Восточная Римская империя достигла в _ веке. 
 (*ответ*) VI 
 VII 
 IX 
 II 
Наука, изучающая историческое прошлое человечества по вещественным памятникам, называется 
 (*ответ*) археологией 
 историей древнего мира 
 палеоантропологией 
 антропологией 
Наукой, раньше других выделившейся из общих знаний о природе и вышедшей на путь самостоятельного развития, была 
 (*ответ*) математика 
 минералогия 
 зоология 
 физика
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: Вычислите: а) cos α и tg α, если sin α = 0,3; б) sin α и ctg α, если cos α = 0,6; в) sin α и tg α, если sin α = 12/13; г) sin α и cos α, если tg α = 3/4.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АСВ равна 10 см, а угол ABC = 60°. Вычислите: а) длины катетов треугольника; б) высоту CF треугольника; в) площади треугольников АСВ и CFB.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Из точки пересечения диагоналей ромба проведен перпендикуляр к стороне ромба, который делит ее на отрезки, длины которых — 9 см и 16 см. Вычислите тангенсы углов, образованных стороной ромба и диагоналями.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Длина катета прямоугольного треугольника равна b, а градусная мера противолежащего ему угла — β. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины этого угла.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Площадь равнобедренной трапеции равна 32 см2. Котангенс угла между диагональю трапеции и ее основанием равен 2. Вычислите высоту трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: В равнобедренной трапеции ABCD длина боковой стороны равна а. Диагональ делит угол, градусная мера которого равна α, при нижнем основании пополам. Найдите площадь трапеции.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Градусная мера острого угла параллелограмма равна α, а длины его сторон равны а и b. Найдите тангенсы острых углов, которые образует со сторонами параллелограмма его большая диагональ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Градусная мера угла при вершине ромба равна α, а его площадь равна S. Найдите длины диагоналей ромба
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: В равнобедренной трапеции длина диагонали равна а, и диагональ образует с основанием угол, градусная мера которого равна α. Найдите площадь трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Выделите условие и заключение в утверждениях задания 16. Для каждого из утверждений упражнения сформулируйте утверждение,  в котором условие  и заключение меняются  местами,   и  определите,   истинно ли  полученное утверждение
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Научно-техническим прогрессом называется 
 (*ответ*) взаимосвязанный процесс развития техники, технологии и науки 
 характер изменения образа жизни людей в XX веке 
 развитие науки на основе применения новых технических средств 
 процесс развития техники 
Научное знание отличается от знаний других видов и форм тем, что 
 (*ответ*) изложено на специальном научном языке, логически упорядочено и достоверно 
 в нем обязательно используются математические доказательства 
 получено с помощью научных приборов 
 получено профессиональными учеными и признано сообществом ученых 
Начало взаимосвязанному развитию знаний о природе и технике было положено в _ века. 
 (*ответ*) начале каменного 
 начале железного 
 конце каменного 
 середине бронзового 
Начало строительства ирригационных сооружений и регулярного земледелия в Египте относят к 
 (*ответ*) 5-4 тысячелетию до н.э. 
 эпохе строительства великих пирамид 
 эпохе позднего палеолита 
 3 тысячелетию до н.э. 
Неолитической революцией называется 
 (*ответ*) переход человека от охоты и собирательства к производящему хозяйству 
 процесс отделения ремесла от земледелия 
 начало использования человеком орудий труда 
 процесс выделения человека из животного мира 
Николо Тарталья является основателем 
 (*ответ*) баллистики 
 начертательной геометрии 
 теоретической механики 
 аэродинамики 
Новый строительный материал, посредством которого древние римляне усовершенствовали технологию возведения инженерных сооружений, состоял из 
 (*ответ*) вулканического пепла с гравием и камнями 
 древесной смолы с базальтом 
 морского ила с гранитом 
 глины с мраморной крошкой 
Обоснование учения о строении материи из атомов было дано 
 (*ответ*) Демокритом 
 Платоном 
 Птолемеем 
 Гиппократом 
Огнестрельное оружие получило распространение в Европе 
 (*ответ*) в XIV в. 
 в период первых крестовых походов 
 в XI в. 
 в античную эпоху 
Огнестрельное оружие появилось в Европе в _ веке. 
 (*ответ*) XIV 
 VIII 
 X 
 XII 
Одна из первых в Европе Петербургская Академия наук основана по указу 
 (*ответ*) Петра I 
 Александра I 
 Екатерины II 
 Елизаветы 
Опредмеченные знания - это 
 (*ответ*) знания, отражаемые в свойствах и характеристиках, созданных человеком материальных предметов 
 предметы, используемые в качестве учебных пособий 
 знания, зафиксированные на материальных носителях информации - бумаге, магнитных лентах и т.п. 
 знания, необходимые для проектирования и изготовления различных предметов
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: Внутри отрезка MN длиной 6 см выбрана точка X. Найдите длины отрезков MX и NX, учитывая, что:
а) XM - XN = 2 см;           в) 2XM + 3XN = 13 см;
б) XM = 2XN;                    г) 5XM = 7XN.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На прямой a выбраны точки M, N, X, при этом отрезок MN имеет длину 6 см. Найдите длины отрезков MX и NX, учитывая, что:
а) XM - XN = 2 см;           в) 2XM + 3XN = 13 см;
б) XM = 2XN;                    г) 5XM = 7XN.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Соловей обыкновенный, варакушка, малиновка — птицы семейства дроздовых,   которые гнездятся на территории нашей страны. Длина  тела  малиновки  является   средним  арифметическим  длин  тел  соловья и варакушки, а вместе с длиной тела соловья составляет 33 см. Найдите длины тел этих птиц, учитывая, что длина тела соловья на 2 см больше длины тела варакушки.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Масса малиновки в 1,5 раза меньше массы соловья и на 3 г больше массы варакушки. Найдите массы этих птиц, учитывая, что среднее арифметическое масс соловья и малиновки на 8 г больше массы варакушки.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Могло ли так случиться, что, пройдя 100 км на север, затем 100 км на запад и 100 км на юг, путешественник оказался на месте своего старта?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Определите, при каком наименьшем количестве слагаемых      истинно      равенство      СТУК + СТУК + ... + СТУК = = ААА ААА. Расшифруйте этот арифметический ребус, в котором одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — разные цифры.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: В    квадрате    ABCD    выбрали    точку    F    так,    что FAB = FBA= 15°. Докажите, что треугольник CDF равносторонний.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Павел купил 4 карандаша и 7 тетрадей. Цена карандаша меньше 1600 р., а тетради — меньше 6800 р. Докажите, что стоимость покупки меньше 55 000 р.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: В треугольнике стороны: одна — меньше 43 мм, вторая — меньше 5 см 7 мм, третья — меньше 78 мм. Докажите, что периметр треугольника меньше 17 см 8 мм.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Боковая сторона равнобедренного треугольника больше его основания в два раза. Докажите, что периметр треугольника меньше 25 см, учитывая, что его основание меньше 5 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Длина прямоугольного участка в два раза   больше   ширины,    а   ширина   больше 20 м. Докажите, что площадь участка больше 8 а.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 9 м. Докажите, что его периметр больше 18 м, но меньше 36 м
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Одна сторона треугольника равна 6 см, другая в два раза больше первой, а третья составляет не менее 125 % второй. Докажите, что периметр треугольника не меньше 33 см, но меньше 36 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Угол M треугольника MNO равен 40°. Угол N составляет не больше 120 % угла M. Запишите двойным неравенством возможные значения:
а) угла N;           б) угла O.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На прямой отмечены четыре точки P, Q, R, S. Найдите возможные значения длины отрезка PS, учитывая, что:
а) PQ = 10 см; QR = 13 см; RS = 17 см;
б) QR = 7 дм; RS = 13 дм; PQ = 10 дм;
в) PQ = 1,3 м; RQ = 2,5 м; SR = 3,6 м.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На отрезке CD длиной 18 см выбраны точки K и L так, что СК : KL : LD = 2:3:4. Найдите длины отрезков CK, KL, LD.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Найдите точку P1, в которую перейдет точка P(x) координатной прямой при симметрии относительно некоторой ее точки, учитывая, что точка M(a) при этой симметрии переходит в точку M1(b) и:
а) x = 0; a = 1; b = 3;               в) x = -7; a = -9; b = 7;
б) x = 11; a = —1; b = 1;           г) x = -1,6; a = -10; b = -4.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Внутри отрезка MN длиной 105 мм выбрана точка X. Найдите длины отрезков MX и NX, учитывая, что:
a)MX:NX = 4:3;         б) NX : MX = 2 : 3;         б)3MX=2NX;
г) площадь квадрата, построенного на отрезке MX, на 525 мм2 больше площади квадрата, построенного на отрезке NX.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Жерлянка краснобрюхая, квакша  обыкновенная,   чесночница — земноводные, живущие на   территории   нашей   страны. Длина тела жерлянки относится к длине тела квакши как 9: 8, а к длине тела чесночницы как 3:4.   Найдите  длины   тел  этих животных,  учитывая,  что тело квакши короче тела чесночницы на 20 мм.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Основателем научной биологии является 
 (*ответ*) Чарльз Дарвин 
 Карл Линней 
 Луи Пастер 
 Огюст Ламарк 
Основным проявлением глобального техногенного экологического кризиса является: 
 (*ответ*) резкое ухудшение природных условий существования живых организмов на Земле под воздействием отрицательных последствий развития техники 
 изменение качества питьевой воды вследствие загрязнения ее техническими отходами промышленности 
 уменьшение площади лесов и увеличение зоны пустынь на Земле под воздействием сельскохозяйственной техники 
 перенаселение людьми планеты Земля и уменьшение численности животных из-за развития техники 
Основоположником единой науки о природе в Древней Греции считается 
 (*ответ*) Фалес 
 Платон 
 Гераклит 
 Анаксимандр 
Особо мощный лук с прикладом и направляющей для тяжелой стрелы был изобретен в _ века до н.э. 
 (*ответ*) начале V 
 конце II 
 середине III 
 конце IV 
Палеоантропология изучает 
 (*ответ*) происхождение и строение древнего человека и строение его тела 
 происхождение живых организмов 
 происхождение и строение земной коры 
 историю развития естественных наук 
Первая система естественно-научных знаний разработана 
 (*ответ*) Аристотелем 
 Героном 
 Евклидом 
 Архимедом 
Первая типография в России была основана Иваном Федоровым в _ году 
 (*ответ*) 1563 
 1413 
 1380 
 1613 
Первое техническое устройство, приводившееся во вращение за счет реактивной силы, образованной струей пара, было описано 
 (*ответ*) жившим в Александрии математиком и механиком Героном около 1 в. н.э. 
 средневековым инженером Агриколой 
 итальянским инженером и живописцем Леонардо да Винчи 
 древнеримским инженером Витрувием 
Первое типографское оборудование в Европе создал 
 (*ответ*) Йоганн Гуттенберг 
 Вильфрид Штри-Штрикфельдт 
 Свен Стеенберг 
 Йоахим Хофман 
Первой технологией выплавки металла из руды, освоенной людьми, была металлургия 
 (*ответ*) меди 
 золота 
 железа 
 олова 
Первоначально в Древнем Риме мельницы использовались только как привод, вращающий 
 (*ответ*) мельничный камень для размалывания зерна 
 деревообрабатывающие и металлообрабатывающие станки 
 толченые станы для дробления руды 
 молоты и насосы 
Первые в истории человечества государства возникли 
 (*ответ*) в долинах великих рек юга Азии и Африки 
 в Южной Америке 
 на островах Средиземного моря и Атлантического океана 
 в защищенных от нападений врага горных долинах
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: Количество икринок, которые откладывает квакша обыкновенная,   таково,   что   оно   на
0,1 тыс. больше утроенного количества икринок, которые откладывает жерлянка краснобрюхая, и в 2,6 раза меньше количества икринок, которые откладывает чесночница. Сколько икринок откладывают квакша обыкновенная, жерлянка краснобрюхая и чесночница, если количество икринок, которые откладывает чесночница, на 2 тыс. больше удвоенного количества икринок, которые откладывает жерлянка?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Через 2 ч после отправления из Кличева Антону оставалось проехать до Березино 16 км. Если бы он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей, то через 3 ч не доехал бы до Березино 4 км. Найдите скорость, с которой ехал Антон, и длину пути от Кличева до Березино.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Средняя урожайность гречихи на двух полях,  первое из которых на 12 га больше, составила 21 ц/га. Найдите, сколько гречихи собрали со второго поля, учитывая, что урожайность на нем была 25 ц/га, а урожай на первом поле оказался на 300 ц меньше, чем на втором.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Дунай,   Днестр,   Днепр,   Кызыл-Ирмак   —   наиболее длинные реки, впадающие в Черное море. Семьдесят первая доля длины Днепра совпадает с девяносто второй долей увеличенной на 2 км длины Дуная, с сорок третьей долей уменьшенной на 19 км длины Днестра и с тридцать седьмой долей уменьшенной на 4 км длины Кызыл-Ирмака. Найдите длины этих рек, учитывая, что самая длинная из них отличается от самой короткой на 1699 км.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На плоскости отмечено 4 точки. Докажите, что из них можно выбрать три такие точки, которые не являются вершинами остроугольного треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сумма двух чисел равна 330, а меньшее из них получается из большего вычеркиванием нуля. Найдите эти числа.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: По пятницам профессор Брайен в своем клубе предлагает сыграть с ним на 10 фунтов. Для этого нужно открыть одну карточку. Если,   например,  мистер Смит открыл  карточку,   на которой написано «Получите», то он получает от профессора Брайена   10  фунтов.  А  если  будет  открыта  надпись   «Заплатите», то мистер Смит должен уплатить профессору Брайену 10 фунтов.
—  А может ли так случиться, что на всех карточках написано «Заплатите»?
—  Игра есть игра, такое не исключается. Но в игре может случиться и так, что везде написано «Получите».
—   Так что это за игра, если от игрока ничего не зависит?
—  Не будьте фаталистами. Вы в своем выборе не целиком зависите от удачи, поскольку на повернутых к вам сторонах карточек будет что-то написано.
—   Это уже интереснее. Но в какой мере можно верить надписям?
—  Сегодня надпись на одной карточке истинная, а на другой ложная, — и профессор положил на стол две карточки, показанные на рисунке 23.
Какую   карточку   нужно   перевернуть,   чтобы   выиграть 10 фунтов?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На прямой выбран 21 отрезок так, что эти отрезки целиком закрывают данный отрезок длиной 13 см. Докажите, что хотя бы один отрезок длиннее 0,6 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Когда развернули на плоскость поверхность пирамиды,  основанием  которой является квадрат, а боковыми гранями — равнобедренные  треугольники,   то  образовался многоугольник ABCDEFGH (рис. 48), угол ABC которого равен 120°.
а)  Найдите углы этого многоугольника;
б)  докажите, что точки E, G и H лежат на одной прямой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Определите произведение двух чисел, учитывая, что если первое число увеличить на 5, то это произведение увеличится на 560, а если второе число уменьшить на 3, то произведение уменьшится на 411.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Заказ планировалось выполнить за 40 дней. Но заказ увеличили на 116 изделий, и потому работа над ним продолжалась на 2 дня дольше, хотя дневная выработка увеличилась на 2 изделия. Каким был первоначальный заказ?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Петя с дядей Антосем катаются в парке на велосипедах по круговой дорожке длиной 1,2 км. Если они едут навстречу, то встречаются каждые 3 мин, а если в одном направлении, то Петя догоняет дядю Антося каждые 12 мин. С какой скоростью едет дядя Антось и с какой Петя?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сторона прямоугольника равна 7 см. Какой должна быть другая сторона, чтобы его периметр был меньше периметра квадрата со стороной 5 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Путешественники на моторной лодке поплыли против течения реки и должны возвратиться назад не позже чем через 3 ч. На какое расстояние они могут отплыть, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Ученики получили задание посадить 40 деревьев. Сколько деревьев им нужно посадить, если они намереваются перевыполнить задание не менее чем на 6 % ?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Одна сторона треугольника равна 7 см, другая — 12 см. Какой может быть третья сторона треугольника? Запишите натуральные значения длины этой стороны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сумма четного числа и утроенного следующего за ним четного числа не больше 85. Найдите наибольшее число, удовлетворяющее этому условию.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Постройте    график    зависимости у = 2x - 1 и определите, при каких значениях переменной x точки графика расположены:
а) выше оси абсцисс;
б) ниже оси абсцисс;
в) выше точек прямой y = -3;
г)  ниже точек прямой y = 3.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Площадь треугольника 28 м2. Какой должна быть сторона a треугольника, если высота, проведенная к ней, не меньше 14 м?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Площадь треугольника равна 32 см2. Какой должна быть высота h треугольника, если сторона, к которой она проведена, не больше 8 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Первые ветряные двигатели появились в 
 (*ответ*) Персии 
 Франции 
 Германии 
 Нидерландах 
Первые попытки научного обоснования гелиоцентрической системы мира были осуществлены 
 (*ответ*) Николаем Коперником 
 Галилео Галилеем 
 Джордано Бруно 
 Леонардо да Винчи 
Первые постоянные поселения земледельцев появились на территории теперешней 
 (*ответ*) Палестины и Турции 
 Мексики и Перу 
 Италии и Греции 
 Малайзии и Индонезии 
Первые университеты в средневековой Европе, помимо богословских, имели _ факультеты. 
 (*ответ*) юридические и медицинские 
 физические и биологические 
 химические и математические 
 астрономические и философские 
Первый в истории башенный маяк назывался 
 (*ответ*) Фарос 
 Радос 
 Лемнос 
 Самос 
Первым астрономом, построившим модель Вселенной, объясняющую движение Солнца, Луны и пяти планет по небосклону, был 
 (*ответ*) Евдокс Книдский 
 Николай Коперник 
 Джордано Бруно 
 Галелео Галилей 
Первым из создателей рациональной механики был 
 (*ответ*) Архимед 
 Птолемей 
 Евклид 
 Зенон 
Первыми химическими технологиями, освоенными людьми, были 
 (*ответ*) дубление кожи и производство керамики 
 изготовление консервантов 
 окраска тканей и производство стекла 
 изготовление металлических сплавов 
Переход от использования дерева к использованию камня в качестве основного строительного материала в Древней Греции произошел в _ веке до н.э. 
 (*ответ*) VII 
 I 
 III 
 V 
Переход от неолита к энеолиту сопровождался 
 (*ответ*) появлением первых великих земледельческих цивилизаций в Азии 
 зарождением ремесленного производства в Центральной и Южной Америке 
 первыми попытками создания системы летосчисления на Ближнем и Среднем Востоке 
 переходом от миграций к оседлому образу жизни племен, населявших Европу 
Подавляющую часть всего исторического времени существования человека составляет _ век. 
 (*ответ*) каменный 
 бронзовый 
 деревянный 
 железный 
Понятие "идеальный газ" было впервые использовано 
 (*ответ*) Гельмонтом 
 Николо Тартальо 
 Леонардо да Винчи 
 Парацельсом
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: Боковая    поверхность    прямоугольного параллелепипеда равна 176 см2, а его высота — 8 см. Какими могут быть измерения   основания  параллелепипеда, если одно из них составляет не больше 120% другого?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Площадь  сельскохозяйственных   угодий   Сморгонского района в 1,5 раза больше площади лесов и составляет 300 % площади иных земель. Найдите распределение земель Сморгонского района, зная, что леса и иные земли занимают 751,5 км2.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сумма двух чисел равна 13,2. Если первое число увеличить вдвое, а второе — вдвое уменьшить, то сумма станет равной 15. Какие это числа?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Заказ по сборке электродвигателей выполняли три бригады. Первая выполнила  7/25   заказа, вторая — на 40 % больше первой, а третья собрала остальных 410 двигателей. Сколько двигателей нужно было собрать?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Вместимость трех емкостей — 18 л. Если первую емкость наполнить водой, а затем перелить ее в две остальные, то или заполнится вторая и 1/5 третьей, или третья и 1/3 второй. Какова вместимость каждой емкости?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Друг за другом записали по возрастанию 100 последовательных чисел, начиная с числа 2000. В полученной записи вычеркнули все цифры 2. Какая цифра записана теперь на сто тридцать седьмом месте?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: При каких значениях переменной значения выражений 0,5a + 2 и 5 - 5a вместе:
а)  отрицательны;           в) меньше 4;
б)  положительны;         г) больше 3?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Одна сторона треугольника равна 6 см,  другая  — 9 см. Какой может быть третья сторона, если периметр треугольника:
а)  меньше 25 см;                в) не меньше 21 см;
б)  больше 19 см;                 г) не больше 13 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Если из 3 длины Локнеи вычесть 1/6 ее длины, то получится величина, большая 47 км, а если 1/5 длины, то — величина, меньшая 47 км. Определите с точностью до километра длину Локнеи.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сколько  литров   20-процентного   раствора  соляной кислоты нужно долить к 8 л ее 60-процентного раствора, чтобы концентрация полученного раствора была не больше 40 % и не меньше 30 % ?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сколько отрезков и сколько лучей образовалось, если на прямой отметили:
а)  2 точки A и B;                  в) 4 точки A, B, C и D;
б)  3 точки A, B и C;              г) 5 точек A, B, C, D и E?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Если к двузначному числу прибавить сумму его цифр, а потом сделать то же самое с полученным числом, то получится число, записанное теми же цифрами, что и первое. Какое это число?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Проиграв 30 фунтов, профессор   Брайен   решил   усложнить правила.
— Сегодня в игре используются синяя и белая карточки (рис. 72). Только учтите, что если на синей карточке написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне истинно, а если «Заплатите», то ложно. На белой карточке все наоборот: если написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне ложно, а если «Заплатите», то истинно.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На территории нашей страны живут три вида жаб — камышовая, серая, зеленая. Длина тела жабы зеленой такова, что она является средним арифметическим длин тел жаб камышовой и серой, на 1 см больше длины тела жабы камышовой, а длина тела жабы камышовой относится к длине тела жабы серой как 3:4. Найдите длины тел этих земноводных.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На плоскости отмечено 4 точки. Докажите, что их можно распределить на две такие группы, которые нельзя отделить одну от другой никакой прямой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Если разделить произведение чисел 2 и 3 на число 4, произведение чисел 3 и 4 на число 5, произведение чисел 4 и 5 на число 6, то в остатке получится число 2. Какую гипотезу можно выдвинуть? Попробуйте обосновать сформулированное утверждение.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Найдите неизвестные углы трапеции LMNO и начертите эту трапецию, учитывая, что:
а)  углы L и N равны 42° и 118°соответственно;
б)  два угла равны 40° и НОТ, а меньшее основание равно 4 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Найдите углы трапеции PQRS с основанием PS, учитывая, что:
а)  угол P равен 50°, а угол S на 10° меньше его;
б)  угол P равен 56°, а угол S в четыре раза меньше его;
в)  угол P на 20° меньше угла Q и на 20° больше угла S;
г)  угол P на 20° меньше угла Q и на 30° меньше угла S.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Найдите углы и установите вид четырехугольника EFGH, учитывая, что:
а)  его углы E, F, G, H относятся как 3:7:4:6;
б)  пятая доля угла H равна седьмой доле угла E, угол E на 30° больше угла F и вместе с углом G составляет 210°;
в)  его углы E, F, G, H относятся как 16 : 12 : 7 : 10.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Биссектриса угла P параллелограмма PQRS пересекает сторону QR в точке B. Найдите длины отрезков QB и RB, учитывая, что стороны PQ и PS соответственно равны 10 м и 14 м.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Последним по времени представителем древнегреческой (эллинистической) техники был 
 (*ответ*) Герон 
 Евклид 
 Зенон 
 Архимед 
Последняя стадия каменного века называется 
 (*ответ*) неолитом 
 палеолитом 
 мезолитом 
 энеолитом 
Прародителем будущей европейской системы письма стал алфавит, созданный жителями 
 (*ответ*) Финикии 
 Египта 
 Вавилона 
 Ассирии 
Предшественником древнейшей системы письма клинописи был (о), (и) 
 (*ответ*) пиктографическое письмо 
 финикийский алфавит 
 слоговое письмо 
 иероглифы 
Преемником культуры Рима и всей античной культуры считается 
 (*ответ*) Византия 
 Персия 
 Германия 
 Франция 
Промышленный переворот в Западной Европе в конце XVIII - начале XIX вв. характеризуется массовым использованием 
 (*ответ*) паровых двигателей 
 ветряных двигателей 
 водяных двигателей 
 двигателей внутреннего сгорания 
Простой микроскоп изобрел 
 (*ответ*) Янсен 
 Гарвей 
 Галилей 
 Герон 
Расцвет Древней Греции историки связывают с развитием 
 (*ответ*) технологии получения и обработки железа 
 строительства ирригационных сооружений 
 технологии обработки мрамора 
 мореплавания 
Ремесленные цехи возникли и развивались как 
 (*ответ*) городские профессиональные объединения ремесленников одной специальности 
 общественные организации всех ремесленников, проживающих в одном городе 
 политические организации, боровшиеся за власть в городе 
 союзы ремесленников, проживающих в одном квартале средневекового города 
Ремесло впервые выделилось в самостоятельный вид профессиональной деятельности, когда 
 (*ответ*) развитие земледелия и скотоводства привело к высвобождению части населения от занятий охотой и собирательством 
 наступила эпоха средневековья 
 возникло государство как форма организации совместной жизни большого числа людей 
 возросло ручное производство орудий труда и оружия 
Самые первые образцы техники каменного века были обнаружены в 
 (*ответ*) Африке 
 Австралии 
 Азии 
 Америке 
Самым длительным периодом каменного века был _ каменный век 
 (*ответ*) древний 
 новейший 
 новый 
 средний
Категория: экономические
Ответы:
Тест прошел проверку
Правильные вопросы выделены по тесту
Ставим плюс 1 голос к ответу)
Вопрос: Найдите углы параллелограмма, учитывая, что:
а)  один из них на 40° меньше другого;
б)  один из них составляет 20 % другого;
в)  один из них составляет 140 % другого;
г)  один из них в 3,5 раза больше другого.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Точка A пересечения биссектрисы угла L параллелограмма LMNO со стороной MN разделяет эту сторону на отрезки MA и AN, равные 16 дм и 10 дм соответственно. Найдите периметр параллелограмма.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Биссектриса SC параллелограмма RSTV разделяет сторону RV на равные отрезки RC и VC. Найдите периметр параллелограмма, учитывая, что сторона TV равна 40 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, разделяют противолежащую сторону на три части. Найдите эти части, учитывая, что стороны параллелограмма равны 5 дм и 12 дм.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Перпендикуляр BK, опущенный из вершины B параллелограмма ABCD, разделяет сторону AD на отрезки AK и DK, соответственно равные 6 см и 11 см. Найдите стороны и углы параллелограмма, учитывая, что угол A равен 60°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
а) углы, прилежащие к стороне AB, как и углы, прилежащие к стороне BC, вместе составляют 180°;
б) его противоположные углы A и C равны, а углы A и B вместе составляют 180°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма BCDE, отсекает на его сторонах CD и BE отрезки CK и BL, соответственно равные 1,3 дм и 1,7 дм. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что его периметр равен 10 дм.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Постройте параллелограмм, у которого:
а)  две стороны равны 3 см и 5 см, а угол между ними составляет 40°;
б)  две стороны и диагональ соответственно равны 30 мм, 50 мм и 60 мм;
в)  сторона, прилежащий к ней угол и диагональ соответственно равны 4 см, 35° и 5 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Постройте параллелограмм, у которого стороны равны 5 см и 8 см, а высота, проведенная к одной из этих сторон, делит ее пополам.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Отметьте в тетради центр симметрии O и отрезок PQ. Постройте фигуру, симметричную отрезку PQ относительно центра O, если центр O:
а)  не принадлежит отрезку PQ;
б)  принадлежит отрезку PQ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Найдите наименьшее натуральное число, третья степень которого кратна числу 588.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Сумма пяти различных целых чисел равна 19. Какое наибольшее значение при этом может принимать сумма двух наименьших из них?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: На этот раз профессор Брайен положил на стол карточки, показанные на рисунке 127, и был очень доволен.
—  А что сегодня означает цвет карточек?
—  Ничего нового по сравнению с прошлой неделей. Если на синей карточке написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне истинно, а если «Заплатите», то ложно. На белой карточке все наоборот: если написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне ложно, а если «Заплатите», то истинно.
Какую   карточку  нужно   перевернуть,   чтобы   выиграть 10 фунтов?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: Средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне треугольника и равна ее половине.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть PQ — средняя линия треугольника DEF, т. е. DP = PE и FQ = = QE. На луче PQ за точку Q отложим отрезок QR, равный отрезку PQ, и точку R соединим с точкой F. Треугольники PQE и RQF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезок RF равен отрезкам EP и DP, а угол EPQ равен углу FRQ. Учитывая, что эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PE и FR, пересеченных прямой PR, получаем, что эти прямые параллельны. По признаку параллелограмма, доказанному в теореме 4 г, утверждаем, что четырехугольник DPRF — параллелограмм.
Из определения параллелограмма получаем, что средняя линия PQ параллельна стороне DF треугольника DEF.
По свойству параллелограмма, доказанному в теореме 3 б, получаем, что DF = PR. Но PR=2PQ. Значит, DF = 2PQ, или окончательно, PQ = 1/2 DF.
Вопрос: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть DB — средняя    линия    трапеции   KLMN. Проведем прямую LB, пусть она пересекает прямую KN в точке С. Треугольники LBM и CBN равны, так как у них углы LBM и CBN равны как вертикальные, углы LMB и CNB равны как накрест лежащие при параллельных LM и KC, пересеченных прямой MN, стороны NB и MB равны по условию. Поэтому отрезки LB и BC равны. Значит, DB есть средняя линия треугольника KLC, а отрезок DB параллелен отрезку KC и, значит, основанию KN трапеции. А поскольку основания KN и LM параллельны, то средняя линия DB параллельна и основанию LM. Мы доказали, что средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям трапеции. Докажем теперь, что она равна полусумме этих оснований.
В соответствии с теоремой о средней линии треугольника получаем:
DB = 1/2 KC.
Ho KC = KN + NC, аNC = LM, поэтому DB = 1/2(KN + NC) = -(KN + LM) = KN+LM/2
Вопрос: Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая из них делится точкой пересечения в отношении 2 : 1, если считать от вершины.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть медианы MB и PA треугольника MNP пересекаются в точке O
Найдем середины C и D отрезков ОР и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = OB. Учитывая, что D — середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Значит, МО:ОБ = 2:1. Так же РО:ОА= 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке O1 (рис. 136). Тогда по доказанному MO1:'O1B = 2- 1. Учитывая, что и МО ': ОВ = 2:1, заключаем, что точки O1 и O делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Значит, медиана NE проходит через точку O пересечения медиан MB и PA.
Вопрос: Точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, которые равны соответственно 6 см, 10 см, 14 см. Найдите длину отрезка:
а)A1B1;      б)A1C1;      в) B1C1.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для нахождения длины отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника - это половина длины соответствующей стороны треугольника.

Из условия задачи дано:
A1 = 6 см
B1 = 10 см
C1 = 14 см

а) Найдем длину отрезка A1B1:
A1B1 = 1/2 * AB
A1B1 = 1/2 * 2 * A1B1 (так как A1B1 = AB)
A1B1 = 1/2 * 12 см
A1B1 = 6 см

б) Найдем длину отрезка A1C1:
A1C1 = 1/2 * AC
A1C1 = 1/2 * 2 * A1C1 (так как A1C1 = AC)
A1C1 = 1/2 * 10 см
A1C1 = 5 см

в) Найдем длину отрезка B1C1:
B1C1 = 1/2 * BC
B1C1 = 1/2 * 2 * B1C1 (так как B1C1 = BC)
B1C1 = 1/2 * 14 см
B1C1 = 7 см

Итак, ответы:
а) A1B1 = 6 см
б) A1C1 = 5 см
в) B1C1 = 7 см