Вопрос: В 2019 году уже произошли или произойдут следующие события:
•    21 января полное лунное затмение, во время которого Луна пересекла северную часть земной тени вскоре после прохождения узла своей орбиты;
•    5 февраля покрытие Меркурия Луной;
•    11  апреля Меркурий  окажется в  максимальной западной элонгации на угловом расстоянии 27°43';
•    11 ноября - прохождение Меркурия по диску Солнца.
Исходя из этих данных определите:
1)  Вблизи какой конфигурации находился Меркурий 5 февраля?
2)  Как он будет располагаться 11 апреля относительно небесного экватора, севернее или южнее?
3)  Севернее или южнее эклиптики он окажется 11 апреля?
Большая полуось орбиты Меркурия равна 0,387 а.е., эксцентриситет - 0,2. Наклонение орбиты - 7°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Заметим, что покрытие Луной Меркурия произошло спустя 15 суток после лунного затмения. При этом половина драконического месяца (драконический месяц - это интервал времени между двумя прохождениями Луны через один и тот же узел орбиты) чуть короче сидерического месяца и составляет 13,6 суток. Раз во время затмения Луна находилась немного севернее эклиптики, то спустя 15 суток она, совершив более половины оборота по орбите, окажется уже значительно южнее эклиптики. А вместе с ней и Меркурий. При этом события происходили вскоре после новолуния, т. е. Меркурий должен в это время быть вблизи соединения.
Из 3-го закона Кеплера сидерический период Меркурия:
T = 0,387^1,5 ≈ 0,241 года ≈ 88 дней.

Синодический период Меркурия составляет
S = 0,241 / (1 – 0,241) ≈ 0,318 года ≈ 116 дней.
От нижнего соединения до западной элонгации Меркурия должно пройти существенно меньше четверти синодического периода, в то время как между 5 февраля и 11 апреля должно пройти 65 дней. Это чуть больше половины синодического периода, а значит, Меркурий мог располагаться только вблизи верхнего соединения.
Тут может возникнуть вопрос, почему за половину синодического периода Меркурий успевает не только дойти от верхнего соединения до нижнего, но и оказывается в западной элонгации. Можно заметить, что 11 апреля угловое расстояние Меркурия от Солнца близко к максимально возможному (arcsin[0,387(1+0,2)] ≈ 27,67° = 27°40′,  здесь не учтён эксцентриситет земной орбиты), т. е. Меркурий находится в афелии. Значит, на пути от верхнего соединения к нижнему Меркурий двигался со скоростью выше средней и затратил менее половины синодического периода. Кроме того, Луна уже прошла соединение с Солнцем, а значит, Меркурий прошёл верхнее соединение.
Рассмотрим, как меняется взаимное положение Земли и Меркурия в течение 2019 года (см. рисунок). 11 ноября 2019 года во время прохождения Земля, Меркурий и Солнце выстраиваются в одну линию, а Меркурий проходит узел своей орбиты. Из условия не ясно, восходящий это узел или нисходящий. Значит, прямая, соединяющая планеты и Солнце, - это линия узлов, разбивающая орбиту Меркурия на две части, одна из которых севернее эклиптики, а другая южнее. Значит, 11 ноября 2018 года ± 1 день Земля также проходила через линию узлов орбиты Меркурия. Между 11 ноября 2018 года и 5 февраля 2019 года прошло 86 дней. Скорость движения Земли по орбите составляет 360° / 365,26 дней = 0,986°/день. Значит, за 86 дней Земля проходит примерно 85° по орбите. Изобразив на рисунке положение Земли и Меркурия, мы определяем, что ниже (южнее) эклиптики будет дальняя в этот момент от Земли часть меркурианской орбиты.
От 11 ноября 2018 до 11 апреля 2019 151 день. Это соответствует дуге Земной орбиты 149°. Меркурий, который находится в элонгации, должен пройти дополнительно угол 90° - 27°43' = 62° 17'. Отметив положение Земли и Меркурия на рисунке, мы можем заметить, что Меркурий вновь оказывается южнее эклиптики.
Теперь ответим на второй вопрос задачи. Эклиптика пересекает небесный экватор в двух точках - точках весеннего и осеннего равноденствия. Через точку весеннего равноденствия Солнце проходит в день весеннего равноденствия, т. е. 20 марта. Таким образом, элонгация Меркурия произойдёт через 22 дня после равноденствия. За это время Солнце успеет сдвинуться вдоль эклиптики на угол 21,7°. Меркурий будет находиться к западу от Солнца, то есть отставать от него в рамках годичного движения. Экватор и эклиптика пересекаются под углом 23,5°. Поскольку Меркурий располагается южнее эклиптики, то он даже за счёт наклона орбиты не может оказаться севернее экватора.