nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Атос, Портос и Арамис играли в снежки. Первый снежок бросил Портос. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Атос бросал 6 снежков, Арамис - 5, а Портос - 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)
Категория: школьный раздел
Ответы:
Если в Атоса, Портоса и Арамиса попали x, y и z снежков соответственно, то всего было брошено 13+x+y+z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой стороны, Атос бросил 6x, Арамис - 5y, а Портос - (4z+1) снежков (вместе с первым снежком). Получаем уравнение: 6x+5y+4z+1=13+x+y+z, откуда 5x+4y+3z=12. Так как x, y, z - целые неотрицательные числа, то перебором находим единственное решение (1; 1; 1). 
Ответ: В каждого попали по одному разу.
Вопрос: Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты. Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
Категория: школьный раздел
Ответы:
Лиса раскладывает конфеты так: 10, 10 и 80. Если ей достанется кучка из 80 конфет, то медвежатам достанется поровну конфет, и они не будут жаловаться. Если ей достанется кучка из 10 конфет, то, для того чтобы уравнять доли медвежат, ей придётся съесть ещё 70 конфет.
Вопрос: В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на 10 минут в сутки спешат. Сегодня в полдень и те, и другие часы показывали правильное время. Когда в следующий раз они одновременно покажут правильное время?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Через 144 суток. 
Первые часы отстают на 15 минут в сутки. Следовательно, через четверо суток они будут отставать на час, а через 48 суток отстанут на 12 часов, то есть впервые покажут правильное время. Вторые часы будут спешить на час через 6 суток, а правильное время впервые покажут, когда будут спешить на 12 часов, то есть по прошествии 72 суток. Так как НОК(48; 72) = 144, то и те, и другие часы впервые покажут правильное время через 144 суток.
Вопрос: Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль – со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?
Категория: школьный раздел
Ответы:
500 метров. 
Скорость сближения автомобилей равна 80 – 65 = 15 (км/ч) = 250 (м/мин). Через две минуты после того, как автомобили поравняются, они будут находиться друг от друга на расстоянии 250*2 = 500 (м).
Вопрос: На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные 7 крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?
Категория: школьный раздел
Ответы:
11 головок сыра. 
Пусть всего было k крыс (k>7), тогда каждая съела в первую ночь по 10/k головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть 5/k головок. Все 7 крыс съели тем самым 35/k головок. Это целое число. Единственный делитель числа 35, превышающий 7, –– само число 35. Поэтому 35/k=1, и всего на складе до нашествия крыс было 10+1=11 головок сыра.
Вопрос: На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он – рыцарь!», либо «Он – лжец!». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Нет, не могло. 
Предположим, что описанная ситуация возможна, тогда, каждая из фраз произнесена по 1234 : 2 = 617 раз. При любом разбиении жителей на пары существует только три возможных вида пар: 1) два рыцаря; 2) два лжеца; 3) рыцарь и лжец. В парах первого и второго вида каждый произнес: «Он – рыцарь!», а в парах третьего вида каждый произнес: «Он – лжец!». Таким образом, каждая из фраз произнесена четное количество раз, что противоречит тому, что их должно быть по 617.
Вопрос: Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?
Категория: школьный раздел
Ответы:
18 м/мин. 
Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.
Вопрос: Дима живет в девятиэтажном доме. Он спускается на лифте со своего этажа на первый за 1 минуту. Из-за маленького роста Дима не достает до кнопки своего этажа. Поэтому, поднимаясь наверх, он нажимает ту кнопку, до которой может дотянуться, а дальше идет пешком. Весь путь наверх занимает 1 минуту 10 секунд. Лифт движется вверх и вниз с одинаковой скоростью, а Дима поднимается вдвое медленнее лифта. На каком этаже живет Дима?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим ту часть пути, которую Дима вниз едет на лифте, а вверх идет пешком. С одной стороны путь пешком занимает вдвое больше времени, а с другой — больше на 10 секунд. Значит, эту часть пути он проехал за 10 секунд, а прошел пешком за 20 секунд. Поскольку весь путь на лифте занимает 60 секунд, то пешком он шел 1/6 пути.
Заметим, что пешком он шел целое число промежутков между этажами. Поскольку дом девятиэтажный, пешком он шел 1 промежуток, а ехал 5. Значит, Дима живет на 7-м этаже.
Вопрос: На каждом из двух огородов Дед посадил по одинаковому количеству репок. Если в огород заходит Внучка, то она выдёргивает ровно 1/3 репок, имеющихся к этому моменту. Если заходит Жучка, то она выдёргивает 1/7 репок, а если заходит Мышка, то она выдёргивает только 1/12 репок. К концу недели на первом огороде осталось 7 репок, а на втором –– 4. Заходила ли Жучка во второй огород?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Да, заходила. 
Каждый раз после того, как в огород заходит Внучка, на нем остаётся 2/3 имевшихся до того репок, после визита Жучки –– 6/7, а после визита Мышки –– 11/12. Поэтому количество репок на огороде не может стать кратным 7 после визита ни одного из этих персонажей, а перестать делиться на 7 может только после визита Жучки. Так как в конце недели количество репок на первом огороде делится на 7, исходное количество репок на этом огороде тоже делилось на 7. Вначале на втором огороде было столько же репок, сколько на первом, а в конце осталось 4. Поэтому в какой-то момент число репок там перестало делиться на 7. Значит, Жучка заходила во второй огород
Вопрос: В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим сумму всех чисел: 1 + 2 + ... + 63 + 64 = (1 + 64)32 = 6532. Для того, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы эта сумма была кратна трем, но это невозможно, так как ни 65, ни 32 не делится на 3. Ответ: не может.
Вопрос: Процедура, проводимая по определенным правилам, целью которой является установление и подтверждение соответствия деятельности определенной организации или лица установленным стандартам называется _. 
(*ответ*) аккредитацией 
 стандартизацией 
 легализацией 
 аттестованием 
Решение любой проблемы сводится в конечном итоге к разрешению имеющихся внутренних или внешних _. 
(*ответ*) противоречий 
 факторов 
 разногласий 
 конфликтов 
Российский детский фонд - это общественная, самоуправляемая организация в защиту детства, создана в _ г. как Советский детский фонд имени В.И. Ленина. 
(*ответ*) 1987 
 1997 
 1990 
 1970 
Система социальных мер в виде содействия, поддержки и услуг, оказываемых отдельным лицам или группам населения социальной службой для преодоления или смягчения жизненных трудностей, поддержания их социального статуса и полноценной жизнедеятельности, адаптации в обществе является социальной _. 
(*ответ*) помощью 
 поддержкой 
 защитой 
 работой 
Совокупность операций, объединенных общей целью (подцелью), составляет _ технологического процесса. 
(*ответ*) процедуру 
 задачу 
 описание 
 функцию 
Совокупность приемов, способов воздействия субъектов социальной работы на функционирование и развитие социальных отношений и процессов в обществе с целью достижения их оптимального соответствия жизнедеятельности людей - это _ социальной работы. 
(*ответ*) методы 
 способы 
 функции 
 задачи 
Согласно Конвенции о правах ребенка, ребенком является каждое лицо в возрасте до _ лет, если только национальным законодательством не установлен более ранний возраст достижения совершеннолетия. 
(*ответ*) 18 
 16 
 20 
 14 
Социальная _ - это деятельность общества по регулированию отношений между индивидами, группами, общинами, социальными институтами. 
(*ответ*) политика 
 группа 
 защита 
 работа 
Социальная _ - это деятельность общественного субъекта по преобразованию социальной ситуации соответственно его целям и потребностям. 
(*ответ*) деятельность 
 защита 
 поддержка 
 работа 
Социальная _ - это процесс восстановления основных социальных функций личности, общественного института, социальной группы, их социальной роли как субъекта основных сфер жизни общества. 
(*ответ*) реабилитация 
 работа 
 норма 
 гарантия
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге островов, если мостов – 84?
Категория: школьный раздел
Ответы:
24 острова. 
Пусть в архипелаге x островов. Построим около каждого моста по две таможни – у выхода на каждый из двух островов, которые соединяет этот мост. Тогда всего будет построено 842 = 168 таможен. С другой стороны, так как каждый остров соединён с семью другими, то на каждом острове – по семь таможен, то есть всего их – 7x. Следовательно, х=168/7=24.
Вопрос: На доске были написаны несколько первых натуральных чисел. Когда одно из чисел стерли, сумма оставшихся оказалась равна 89. Какое число стерли?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Сумма 13 первых натуральных чисел равна 91. Ясно, что меньше и больше чисел написано быть не может. Значит, стерли число 2.
Вопрос: В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов. Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? Ответ обоснуйте.
Категория: школьный раздел
Ответы:
200. Пусть каждый двугорбый верблюд «поделится» горбом с лошадью (у которой горба нет). Тогда у каждого животного будет по одному горбу, что означает, что количество горбов равно количеству животных в стаде.
Вопрос: Рассмотрим девять точек расположенных в вершинах, серединах сторон и в центре квадрата. Какое наименьшее число точек из этих девяти можно убрать, чтобы никакие 4 из оставшихся точек не лежали в вершинах квадрата (указать, какие убрать, и почему меньшим числом точек нельзя обойтись)?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 3 точки. Обязательно должна быть убрана одна из вершин исходного квадрата и одна из середин сторон. Простым перебором убедитесь, что этого недостаточно, и предъявите пример на 3 точки
Вопрос: Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи двенадцатого замечательного числа?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 2012
Вопрос: На День рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Митя, Петя, Соня и Тимур. Можно ли всех восьмерых ребят рассадить за круглый стол так, чтобы у любых двух, рядом сидящих, в именах встречались одинаковые буквы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Можно посадить детей так: Вася → Даша → Андрей → Глеб → Петя → Тимур → Митя → Соня.
Вопрос: Среди 5 школьников A,B,C,D,E двое всегда лгут, а трое всегда говорят правду. Каждый из них сдавал зачет, причем все они знают, кто сдал зачет, а кто — нет. Они сделали следующие утверждения.
A: «B не сдал зачет».
B: «C не сдал зачет».
C: «A не сдал зачет».
D: «E не сдал зачет».
E: «D не сдал зачет».
Сколько из них зачет сдали?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Поскольку все пять утверждений были сделаны про 5 разных школьников и три из них верны, то три школьника не сдали зачет. Два других утверждения ложны, поэтому соответствующие школьники зачет сдали.
Вопрос: На острове собрались рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, причем как рыцарей, так и лжецов было не меньше, чем по двое. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнес: «Ты рыцарь!» или «Ты лжец!«. Высказываний «Ты лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты рыцарь!«?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Заметим, что «Ты — лжец!» говорит лжец рыцарю или рыцарь лжецу, а «Ты — рыцарь!» — рыцарь рыцарю или лжец лжецу. Пусть среди собравшихся a рыцарей и b лжецов. Тогда фраза «Ты — лжец!» была сказана 2ab раз. Отсюда ab = 35. Поскольку каждое из чисел a и b не меньше 2, одно из них равно 5, а другое – 7. Поэтому фраза «Ты – рыцарь!» была сказана 5•4 + 7•6 = 20 + 42 = 62 раза.
Вопрос: Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Могут. Пусть в каждом плохом грибе ровно 10 червей, а в хорошем червей нет. Далее, пусть из каждого плохого гриба по одному червю переползут в хорошие, по 9 в каждый. В результате в каждом грибе окажется по 9 червей, и все грибы будут хорошими.
Вопрос: В однокруговом турнире по футболу (каждая команда сыграла с каждой ровно один раз) участвовало 8 команд, которые набрали 15, 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка. За победу присуждалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Заметим, что всего игр в таком турнире 28, а всего очков набрано 15 + 14 + 13 + 9 + 8 + 7 + 4 + 3 = 29 + 22 + 15 + 7 = 51 + 22 = 73. Всего разыгрывалось 84 очка – не хватает 11. Но при ничьих как раз одно очко и теряется, поэтому ничьих было 11. Пример турнира приводить необязательно..
Вопрос: Социальная _ - это специальные меры, направленные на поддержание условий, достаточных для существования «слабых» социальных групп, отдельных семей, личностей, испытывающих нужду в процессе своей жизнедеятельности и деятельного существования. 
(*ответ*) поддержка 
 помощь 
 работа 
 защита 
Социальная служба, специалисты которой, зная, что дни больного сочтены, стремятся облегчить его физические и душевные страдания называется _. 
(*ответ*) Хоспис 
 социальным приютом 
 скорой помощью 
 Гринпис 
Социальное _ - это взаимодействие взаимоисключающих сторон или тенденций в явлениях социальной жизни, взаимодействие противоположностей. 
(*ответ*) противоречие 
 решение 
 урегулирование 
 отношение 
Социальное _ представляет собой один из видов управления в обществе, функции которого заключаются в регулировании социального положения всех участников общественной жизни, в обеспечении их развития как субъектов общественных отношений. 
(*ответ*) управление 
 обеспечение 
 развитие 
 регулирование 
Социальные _ - это система знаний об оптимальных способах преобразования и регулирования социальных отношений и процессов в жизнедеятельности людей, а также сама практика алгоритмического применения оптимальных способов преобразования и регулирования социальных отношений и процессов. 
(*ответ*) технологии 
 преобразования 
 отношения 
 решения 
Социальные отношения с их многогранностью и сложностью, отдельные категории населения, нуждающиеся в социальной помощи являются _ социальной работы. 
(*ответ*) объектами 
 задачами 
 предметом 
 субъектами 
Социальный _ - это специалист в области социальной работы; это профессия, специальность, совокупность специальностей в области социальной работы. 
(*ответ*) работник 
 функционер 
 чиновник 
 специалист 
Столкновение между притязаниями человека и степенью их удовлетворения определяется как _ проблема. 
(*ответ*) личностная 
 бытовая 
 социальная 
 общественная 
Технологическая _ социальной работы заключается в выявлении социальной проблемы и с помощью имеющегося в распоряжении социальных служб инструментария и средств своевременном корректировании действий социального работника и поведения объекта социальной работы для оказания ему социальной помощи. 
(*ответ*) задача 
 процедура 
 цель 
 проблема 
Тип поведения предполагающий отрицание целей данной культуры, но согласие использовать социально одобряемые средства называется _. 
(*ответ*) ритуализмом 
 девиацией 
 инновацией 
 конформизмом
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения. Афродита: «Я самая прекрасная. Гера не самая прекрасная». Афина: «Афродита не самая прекрасная. Я самая прекрасная». Гера: «Я самая прекрасная». Афина: «Я самая прекрасная». Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто из богинь прекраснее?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим три возможных случая. 
Случай 1: прекраснейшая из богинь — Гера. Тогда только она говорит правду. Значит, Афина лжет. Но Афина, в частности, утверждает, что Афродита не самая прекрасная. Стало быть. на самом деле самой прекрасной должна быть Афродита, а не Гера. Итак, этот случай привел нас к противоречию. 
Случай 2: прекраснейшая из богинь — Афина, и только она говорит правду. Но тогда Афродита лжет, а она утверждает, что Гера не самая прекрасная. То есть на самом деле прекраснейшей должна быть Гера, а на Афина. Этот случай тоже привел нас к противоречию. 
Остается случай 3: прекраснейшая из богинь — Афродита, и только она говорит правду. Но надо еще проверить, что этот случай не предет нас к противоречию. Афродита утверждает, что она самая прекрасная, а Гера не самая прекрасная, и это верно. Афина утверждает, что самая прекрасная она, а не Афродита. Но это ложь, то есть на самом деле самая прекрасная все-таки Афродита, а не Афина. Гера, называющая самой прекрасной себя, также лжет. Поэтому в этом случае не возникает никаких противоречий, и он является единственно возможным.
Вопрос: Стенные часы спешат на две минуты в час, а будильник отстает на 1 минуту в час. Вчера Петя одновременно поставил правильно и стенные часы, и будильник. Когда он проснулся, стенные часы показывали 7 ч 30 мин, а будильник – 7 ч. Сколько времени было на самом деле, когда Петя проснулся?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Каждый час разница в показаниях часов увеличивается на 3 минуты. Когда Петя проснулся, то разница была 30 минут, значит, он спал 10 часов. За это время будильник отстал на 10 минут.
Ответ: 7 ч 10 мин.
Вопрос: Четыре друга участвовали в олимпиаде. Витя решил больше всех задач — восемь, а Петя меньше всех — пять. Каждая задача олимпиады была решена ровно тремя из друзей. Сколько задач было на олимпиаде?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Так как каждая задача была решена ровно тремя из друзей, то количество полученных от них решений делится на три (т.е. если сложить количества решённых каждым задач, то получится число, делящееся на три). Так как самое маленькое количество решённых задач — 5, а самое большое — 8, то оставшиеся два числа либо 6 и 6, либо 6 и 7, либо 7 и 7. Тогда сумма может быть равна 25, 26 или 27. На три делится только 27. Количество задач в три раза меньше числа решений, поэтому равно 9.
Вопрос: 14 команд играют между собой чемпионат – в каждом туре встречаются какие-то 7 пар команд, не игравшие между собой ранее. Докажите, что можно так провести первые 7 туров, что ни одного тура больше сыграть не удастся.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Разобьем команды на две группы по 7 команд. Очевидно, можно провести первые семь туров так, чтобы каждая команда из одной группы сыграла с каждой командой из другой. После этого все матчи должны происходить внутри групп, а 7 команд разбить на пары невозможно.
Вопрос: 2012 мартышек сидят по кругу. Одни мартышки грустные, другие весёлые. Каждая из них по очереди произнесла фразу: «Обе мои соседки — грустные». Если про мартышку солгали, она сразу обижается и грустнеет. Если про мартышку сказали правду, она сразу радуется и веселеет. Когда весёлых мартышек больше: в начале или в конце?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим некоторую мартышку. Заметим, что поменять настроение она может только, когда произносят фразы ее соседки. Предположим, что она была грустной. Тогда после первой соседки она станет веселой, а после второй — грустной. Если же она была веселой, то после первой соседки она станет грустной, а затем — снова веселой. Значит, сколько веселых было, столько и осталось.
Вопрос: Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л молока? 
Молоко разрешается выливать обратно в цистерну.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в восьмилитровый. 
2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый бидон. 
Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока. 
3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона. 
4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон. 
5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый. 
В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока.
Вопрос: Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и 322324, и обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки арифметических  действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100. Как это  можно сделать?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 62 + 55 - 17 и (3+22) • (3-2)• 4
Вопрос: Между цифрами 1 2 3 4 5 6 нужно расставить знаки «+» и «-» так, чтобы после выполнения действий получилась единица.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1+2+3-4+5-6=1. После ознакомления учащихся с отрицательными числами можно рассмотреть несколько других решений. Например: 1-2-3 + 4-5 + 6=1, -1-2-3-4+5+6=1 и т. д. Очевидно, чтобы получить решение, нужно сумму положительных слагаемых сделать равной 11.
Вопрос: В апреле 3 пятницы были нечетные числа. Каким днем недели было 25 апреля?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: Понедельник
Вопрос: Имеется 2 сосуда – 3 л и 5 л. Нужно, пользуясь ими, налить 1 л воды.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Наполним 3 л, перельем в сосуд 5 л, затем нальем ещё раз 3 л в сосуд и перельем 2 л в сосуд 5 л до полного. В трехлитровом сосуде остался один литр.
Вопрос: Адаптация, в ходе которой решаются различные аспекты в формировании различных навыков, установок, привычек, существующих между людьми, называется
(*ответ*) бытовой
 хозяйственной
 традиционной
 домашней
Адаптация, в ходе которой формируются способности к удовлетворению эстетических переживаний, способности к поддержанию здоровья, называется
(*ответ*) досуговой
 бытовой
 физической
 здоровой
Адаптация, осуществляемая в ходе трудовой деятельности, называется
(*ответ*) производственной 
 трудовой
 гражданской
 деятельностной
Арсенал средств, обеспечивающих достижение цели, – это
(*ответ*) инструментарий
 методы
 формы
 средства
Взаимный контроль участников какого-либо процесса, объединения за соблюдением добровольно принятых обязанностей – это надзор
(*ответ*) неофициальный 
 добровольный 
 общественный 
 дружеский 
Взаимодействие взаимоисключающих сторон или тенденций – это
(*ответ*) противоречие
 взаимодействие
 взаимосвязь
 противоположности
Взаимосвязь логики процесса и всех его частей – это
(*ответ*) системность
 научность
 эпистолярность
 исследуемость
Вид официального надзора, который осуществляется органами прокуратуры за точным исполнением законов, – это надзор
(*ответ*) прокурорский 
 государственный 
 правовой 
 законодательный 
Вид социального обслуживания, преимущественно на дому, – это
(*ответ*) патронаж
 опека
 попечение
 защита
Вид социального обслуживания, преимущественно на дому, – это
(*ответ*) патронаж
Включение в систему общественных отношений, усвоение норм человеческого общежития – это
(*ответ*) социализация
 интеграция
 интернационализация
 адаптация
Внесение позитивных изменений в структуру личностных показателей – это
(*ответ*) коррекция
 опрос
 тестирование
 мониторинг
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Делится ли число 11*21*31*41*51*…*91-1 на 10? Почему?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Последняя цифра уменьшаемого оканчивается на 1, поэтому разность оканчивается 0. Значит, число делится на 10.
Вопрос: Кусок мыла имеет форму параллелепипеда. После семи стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 1 стирку
Вопрос: На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке. Такое «уплотнение» повторили еще дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если (до уплотнения) было отмечено n точек, то после уплотнения будет отмечено 2n-1 точек (из которых n старых и n-1 – новая). Следовательно, число точек до уплотнения можно найти, прибавив к числу точек после уплотнения единицу и поделив пополам. Таким образом, до последнего уплотнения было (113+1)/2=57 точек, до второго – (57+1)/2=29 точек и в самом начале – (29+1)/2=15 точек. 
Ответ: изначально было отмечено 15 точек.
Вопрос: Все акции компаний «Карабас» и «Барабас» вместе стоят 90 золотых монет. У Буратино есть 25% акций компании «Карабас» и 75% акций компании «Барабас» общей стоимостью 30 золотых монет. Найдите стоимость всех акций каждой компании
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: все акции компании «Карабас» стоит 75 золотых монет, а компании «Барабас» – 15 золотых монет. Из условия следует, что 100% акций компании «Карабас» и 300% акций компании «Барабас» стоят 120 монет. Значит, 200% акций компании «Барабас» стоят 120 – 90 = 30 золотых монет. Тогда все акции компании «Барабас» стоит 15 монет, а все акции компании «Карабас»: 90 – 15 = 75 (монет).
Вопрос: Можно ли в клетки квадрата 10х10 поставить некоторое количество звездочек так, чтобы в любом квадрате 2х2 было ровно две звездочки, а в любом прямоугольнике 3х1 – ровно одна звездочка? (В каждой клетке может стоять не более одной звездочки.)
Категория: школьный раздел
Ответы:
Нельзя. Квадрат 10х10 можно разбить на 25 непересекающихся квадратов 2х2. Так как в каждом из них должно быть по две звездочки, то всего звездочек должно быть 50. С другой стороны, 99 клеток исходного квадрата можно разбить на 33 непересекающихся прямоугольника 3х1. В каждом из должно быть по одной звездочке, поэтому, даже поставив звездочку в оставшуюся клетку, мы не сможем получить больше, чем 34 звездочки. Полученное противоречие доказывает невозможность требуемой расстановки.
Вопрос: Даша и Таня живут в одном подъезде. Даша живёт на 6 этаже. Выходя от Даши, Таня пошла не вниз, как ей было нужно, а вверх. Дойдя до последнего этажа, Таня поняла свою ошибку и пошла вниз на свой этаж. Оказалось, что Таня прошла в полтора раза больше, чем если бы она сразу пошла вниз. Сколько этажей в доме?
Категория: школьный раздел
Ответы:
7 этажей. 
Пусть с шестого этажа Тане надо было спуститься на n этажей. Тогда Таня прошла «лишний путь» вверх до последнего этажа и обратно до шестого. Длина лишнего пути 1,5n-n=0,5n этажей. Половину этого лишнего пути Таня шла вверх, а половину – вниз. Значит, вверх она поднялась на n/4 этажей. Если она поднялась на один этаж (n/4=1), то Таня живет на 4 этажа ниже Даши и в доме 7 этажей. Если же n/4 равно 2 или больше, то Тане пришлось бы спуститься с шестого этажа минимум на 8 этажей вниз, что невозможно.
Вопрос: Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Нет, не может. Докажем методом от противного. Предположим, что найдутся два натуральных числа k и n такие, что n(n+1)=2k(2k+2). Отметим числа 2k и 2k+2 на числовой оси и рассмотрим два случая: n<2k и n>2k. 
Если n<2k, то n+1<2k+2, поэтому n(n+1)<2k(2k+2). Противоречие. 
Если n>2k, то n+1>2k+2, поэтому n(n+1)>2k(2k+2). Противоречие.
Вопрос: В Среднеземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько среднемцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: «Он – хоббит». Сосед сказал: «Мой правый сосед солгал». В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили «Мой правый сосед солгал» много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят. Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело 9 жителей Среднеземья.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Все были хоббитами. 
Рассмотрим того, про кого сказали, что он – хоббит, и для удобства назовём его Боб. Боб не согласился с тем, что он хоббит, следующий не согласился с ним, а значит, подтвердил, что Боб хоббит, и так далее – все говорящие через раз подтверждали или отрицали, что Боб хоббит. Если пирующих было 9 (нечётное число), то на следующем круге каждый говорил противоположное к тому, что сказал на предыдущем, так что все они хоббиты, а первый хоббит про Боба сказал сначала правду, что вполне возможно.
Вопрос: Пять футбольных команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Каждая команда провела 4 игры. 
Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения. Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть, она один раз выиграла, кроме того, у неё две ничьи и поражение. Четвёртая команда победила два раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в трёх играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза, а проиграли 7 раз. Однако число побед должно равняться числу поражений. Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков. Нетрудно привести пример турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть пятая команда выиграла у всех, четвёртая – у первой и второй, третья – у первой, а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет названное число очков.
Вопрос: Имеется две кучи конфет: в первой – 100, во второй – 201. За ход разрешается съесть из одной кучки любое число конфет, являющееся делителем количества конфет в другой кучке. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Первый. 
Он должен съесть одну конфету из первой кучки. Тогда второй сможет съесть только нечетное число конфет, и после его хода в одной из кучек окажется четное число конфет. Первый после этого вновь берет в «четной» куче одну конфету, и после его хда на столе вновь две кучки с нечетным числом конфет. Таким образом, в какой-то момент в одной из кучек после хода второго окажется 0 конфет. После этого первый забирает всю оставшуюся кучку и выигрывает.
Вопрос: Возможность применения (повторения) технологии в других однотипных учреждениях, другими субъектами – это
(*ответ*) воспроизводимость
 повторяемость
 однотипность
 определенность
Главное назначение социальных технологий – это
(*ответ*) регулирование социальных процессов
(*ответ*) решение определенной социальной проблемы
 процесс формулировки задач
 этап процесса социальной диагностики
Граждане, осуществляющие благотворительную деятельность в форме безвозмездного труда в интересах благополучателя, – это
(*ответ*) добровольцы 
 альтруисты
 меценаты 
 жертвователи
Действия, направленные на достижение свободного и ответственного репродуктивного выбора и ответственного родительства, – это 
(*ответ*) планирование семьи
 планирование
 контрацепция
 семейная терапия
Денежная сумма, выплачиваемая государством лицам, признанным безработными в установленном порядке, – это
(*ответ*) пособие по безработице
 всеобщности
 расширительности
 устойчивости
Денежное обеспечение, получаемое гражданами из общественных фондов потребления по старости, – это
(*ответ*) пенсия
 страхование
 услуга
 льгота
Дети с ограниченными возможностями, не достигшие 16 лет, – это
(*ответ*) дети-инвалиды
Дети, которые не имеют родительского или государственного попечения, – это
(*ответ*) беспризорные дети
Дети, лишенные присмотра, внимания со стороны родителей, – это 
(*ответ*) безнадзорные дети
Деятельность общества по регулированию отношений между индивидами, группами, общинами, социальными институтами – это социальная (ые)
(*ответ*) политика
 связь
 условия
 принципы
Деятельность общественного субъекта по преобразованию социальной ситуации соответственно его целям и потребностям – это социальная (ое)
(*ответ*) деятельность
 воспитание
 убеждение
 развитие
Евангелистская международная организация, занимающаяся благотворительной работой, – это
(*ответ*) армия спасения
 армия
 спасение
 благо
Закон, устанавливающий основы правового регулирования общественных отношений, – это Закон
(*ответ*) «Об общественных объединениях»
 «О благотворительности»
 «Об объединениях»
 «Об общественной деятельности»
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Из четырех неравенств 2x > 70, x < 100, 4x > 25 и x > 5 два истинны и два ложны. Найдите значение x, если известно, что оно целое.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 6.
Для каждого значения x данные неравенства являются логическими высказываниями. Обозначим их: а) 2x > 70; б) x < 100; в) 4x > 25; г) x > 5.
1) Если истинно а), то истинны в) и г), то есть три высказывания истинны, что противоречит условию. Следовательно, неравенство а) 2x > 70 – ложно, значит, x < 35.
2) Если истинно высказывание x < 35, то высказывание б) также истинно, поэтому, из высказываний в) и г) одно должно быть истинно, а другое – ложно. 
3) Если истинно высказывание в), то истинно и г) – противоречие. Следовательно, высказывание в) ложно, тогда x < 6. Значит, высказывание г) должно быть истинно.
Таким образом, 5 < x < 6, то есть x = 6.
Вопрос: Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: девочка.
Пусть у Антона x одноклассниц, тогда одноклассников – 4x. Предположим, что Женя – мальчик, тогда одноклассниц и одноклассников у него столько же, сколько у Антона. Из условия задачи следует, что 4x – x = 17. Так как 17 не делится на 3, то это уравнение не имеет натуральных решений, то есть наше предположение неверно. Аналогично, рассматривается второй случай.
Вопрос: Десять друзей послали друг другу открытки: каждый послал ровно пяти друзьям, каждому – по одной открытке. Всегда ли найдутся двое, которые послали открытки друг другу?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Да. 
Подсчитаем количество пар друзей: 10*9/2=45. Так как всего было послано 5*10 = 50 открыток, то на какую-то из пар приходится хотя бы две посланные открытки, то есть в этой паре друзья послали открытки друг другу.
Вопрос: Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Допустим, число 1 не покрашено. Если наименьшее из покрашенных чисел двузначное, то первый из непокрашенных участков состоит из нечётного числа цифр, а все остальные – из чётного числа цифр. Если же наименьшее из покрашенных чисел однозначное, то первый из непокрашенных участков состоит не более чем из 8 цифр. Но это слишком мало: покрашенных цифр в этом случае не более 5, непокрашенных – не более 8*4=32, итого – не более 37 цифр, а даже самый короткий месяц (февраль невисокосного года) даёт 47 цифр. В обоих случаях получили противоречие. Значит, число 1 должно быть покрашено.
Вопрос: В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось 4*5*4*5*4=2247. Восстановите исходный пример.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В получившемся примере три сомножителя чётные, значит, в исходном примере хотя бы один тоже был чётным. Поэтому и произведение было чётным числом, то есть последняя цифра произведения была изменена. Таким образом, слева изменено не более одной цифры. Значит, в исходном примере слева были и пятёрки, и четвёрки, а оканчивалось произведение на 0. 
Запись числа 4*5*4*5*4=1600 отличается от записи 2240 более чем на одну цифру. Из этого можно заключить, что один из сомножителей исправлен. Если исправлена четвёрка, то произведение должно делиться на 42*52=400, а 2240 на 400 не делится, так что исправлена одна из пятёрок. 
Ответ: 4*5*4*7*4=2240 (или 4*7*4*5*4=2240).
Вопрос: Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 14.
Рассмотрим любое звено этой ломаной и обозначим его AB. На отрезке AB могут находиться не более четырех точек самопересечения ломаной, поскольку со звеньями, исходящими из вершин A и B, отрезок AB пересечься не может. Так как у рассматриваемой ломаной 7 звеньев и в каждой точке пересекаются два звена, то точек самопересечения не больше, чем 7*4/2 = 14.
Вопрос: После игры в футбол (два тайма по 45 минут) ребята делились впечатлениями. 
Петя: «Я забил на один гол больше, чем все остальные, вместе взятые».
Миша: «Во втором тайме было забито вдвое больше голов, чем в первом».
Олег: «Из всех мячей, забитых в первом тайме, я забил половину».
Верно ли, что каждый из них сказал правду?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Предположим, что все высказывания истинны, тогда, из того, что сказал Олег, следует, что в первом тайме забито четное количество голов, тогда, из высказывания Миши следует, что количество голов, забитых во втором тайме также четно, значит, и общее количество забитых мячей – четно. Вместе с тем, из слов Пети можно определить, что количество забитых мячей – нечетно. Таким образом, получено противоречие.
Вопрос: На острове Невезения с населением 96 человек правительство решило провести пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина всех граждан. Гражданин выходит на митинг, если он недоволен более чем половиной всех реформ. Какое максимальное число людей правительство может ожидать на митинге? (Приведите пример и докажите, что больше нельзя.)
Категория: школьный раздел
Ответы:
ответ 80. 
Решение. Пусть x - число людей, вышедших на митинг. Рассмотрим общее число «недовольств». С одной стороны, каждой реформой недовольно ровно 48 жителей, а значит, общее число недовольств равно 48*5=240. С другой стороны, каждый вышедший на митинг недоволен хотя бы тремя реформами. Следовательно, общее число недовольств не меньше, чем 3x. Таким образом, 240>3x, откуда x<80. Итак, искомое число не больше 80. Приведём пример, когда на площадь выйдет ровно 80 человек. Выберем среди жителей острова 80 человек и разобьём их на пять групп по 16 человек. Пусть против первой реформы возражают люди из первых трёх групп, против второй - люди из второй, третьей и четвёртой групп, против третьей - люди из третьей, четвёртой и пятой групп, против четвёртой - люди из четвёртой, пятой и первой групп, а против пятой - люди из пятой, первой и второй групп. Тогда против каждой реформы возражают ровно 3*16=48 человек, и на митинг выйдут выбранные 80 человек.
Вопрос: Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть данные стороны четырехугольника АВСD – соседние, например, АВ и ВС  Тогда, используя неравенство треугольника, получим, что диагональю длины 2 может быть только BD. Применяя неравенство треугольника (или условие того, что три точки лежат на одной прямой) для треугольников АВD и CBD, получим, что AD = BD = 2; DC = BC = 4. Значит, периметр АВСD равен 11. Если данные стороны – противолежащие, например, АB и СD то, рассуждая аналогично, приходим к такому же четырехугольнику.
Вопрос: Двое рабочих могут успеть за день либо напилить пять поленниц дров, либо наколоть восемь таких поленниц. Какое наибольшее количество дров они могут напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 3 1/13 поленницы. 
Пусть x – искомое количество дров. На распиливания одной поленницы уходит 1/5 дня, а на то, чтобы затем ее наколоть –1/8 дня, поэтому, на обработку x пленниц будет затрачено х/5 и х/8 дней соответственно. Так как вся работа должна быть сделана за день, то х/5 + х/8 < 1. Решая это неравенство, получим, что x <40/13.
Вопрос: Иностранцы, прибывшие в Россию из-за рубежа в поисках убежища, – это
(*ответ*) иммигранты
Исторически сложившаяся устойчивая форма организации совместной деятельности людей – это социальный (ая)
(*ответ*) институт
 организация
 устав
 система
Краткое описание руководящей идеи, гипотезы, принципов, способствующих пониманию, трактовке, построения и функционирования технологии, – это
(*ответ*) концепция
 теория
 методология
 парадигма
Лица, находящиеся на полном содержании другого лица, – это
(*ответ*) иждивенцы
Лица, не имеющие гражданства какого-либо государства, – это
(*ответ*) апатриды
 мигранты
 эмигранты
 переселенцы
Лица, осуществляющие благотворительные пожертвования в различных формах, – это 
(*ответ*) благотворители
Лица, осуществляющие благотворительные пожертвования, – это
(*ответ*) благотворители
 жертвователи
 меценаты
 соц. работники
Лицо, которое имеет нарушение здоровья, со стойким расстройством функций организма, – это
(*ответ*) инвалид
Люди, делающие что-либо по своей воле, а не по принуждению, – это
(*ответ*) волонтеры
Люди, прожившие относительно долгую жизнь, считаются
(*ответ*) пожилыми
 старыми
 престарелыми
 одинокими
Медико-социальное учреждение, предназначенное для постоянного проживания, – это
(*ответ*) дом-интернат
Метод лечения больного средствами психического воздействия – это
(*ответ*) психотерапия
 психокоррекция
 психодиагностика
 психологическая служба
Метод психотерапии, осуществляемый при помощи художественных книг, – это
(*ответ*) библеотерапия 
 специализация
 реабилитация
 ассимиляция
Методы, основанные на создании проблемных ситуаций, называются
(*ответ*) проблемными
 психологическими
 педагогическими
 социальными
Механизм социальной адаптации человека, с помощью которого расширяется круг усвоения социальных ценностей при контакте с другими индивидами, – это социальное (ая, ый)
(*ответ*) общение
 диалог
 монолог
 дискуссия
Категория: гуманитарные
Ответы:
тест  прошел проверку
правильные ответы отмечены по тесту
пользуемся)
Вопрос: Найдите угол А треугольника АВС, если он равен одному из углов между биссектрисами, проведенными из вершин В и С.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 60. 
Пусть СЕ – биссектриса ∠ВСА; BF – биссектриса ∠ABC; D – точка их пересечения. Введем обозначения: ∠А = а, ∠ABC = 2в, ∠ВСА = 2у. Исходя из условия, требуется рассмотреть два случая:
1) Если ∠А = ∠BDC, то из △АВС а = 180 - (2в + 2у), а из △BDC а = 180 - (в + у). Значит, в + у = 0, то есть, этот случай невозможен. 
2) Если ∠А = ∠BDЕ, то из △АВС а = 180 - 2 (в + у) и а = в + у, так как ∠BDЕ – внешний для △BDC. Следовательно, а = 180 - 2а, то есть, а = 60.
Вопрос: По кольцевой линии в одном направлении курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев нужно добавить, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились на одну пятую?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 3. 
Так как время ожидания каждого трамвая должно уменьшиться на одну пятую, то оно составит 4/5 от первоначального. Значит, за день мимо любой остановки должно проезжать в 5/4 раз больше трамваев, то есть их должно стать 15.
Вопрос: Существует ли прямоугольный треугольник, который можно разрезать на три равных треугольника?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: существует, например, прямоугольный треугольник с острым углом 30.
Рассмотрим △АBC с прямым углом С, в котором ∠ABC = 30. Проведем биссектрису АK этого треугольника и из точки K опустим перпендикуляр KD на гипотенузу. 
Прямоугольные треугольники AKC и AKD равны, так как ∠CAK = ∠DAK = 30, а AK – их общая гипотенуза, а прямоугольные треугольники BKD и AKD равны, так как ∠DBK = ∠DAK = 30, а DK – их общий катет. Следовательно, указанный треугольник АBC разрезан на три равных треугольника, что и требовалось доказать.
Вопрос: Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтальной строке, то они имеют одинаковую высоту, а будучи квадратами - и одинаковую ширину, так что в этом случае все доказано. Точно так же можно рассуждать, если два квадрата окажутся в одном вертикальном столбце. Осталось рассмотреть третий случай, когда все квадраты находятся в разных строках и в разных столбцах. Тогда они попадают в девять столбцов из десяти и в девять строк из десяти, и остается одна свободная строка и один свободный столбец. В пересечении свободной строки и свободного столбца будет еще один, десятый, квадрат. (В самом деле, ширину свободного столбца можно найти, вычтя суммарную ширину девяти квадратов из ширины большого квадрата. Точно так же высота свободной строки равна разности высоты большого квадрата и суммы высот девяти квадратов, а высота любого квадрата равна его ширине.) Но по условию десятого квадрата нет, так что третий случай невозможен.
Вопрос: В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью - 0,5 очка, за поражение - 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Какое наибольшее количество участников могли получить звание мастера спорта?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение:
Докажем от противного, что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть их было 8. Тогда каждый набрал не менее 0,7*11=7,7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не менее 8*8=64 очков. При этом в партиях с участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4 очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4*8 = 32 очков. 
Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях между собой не менее 32 очков. 
Подсчитаем, сколько партий сыграли между собой эти 8 мастеров. Если мы будем результаты партий записывать в таблицу 8*8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не играется) и на каждую партию будет выделено по две клетки: в строке одного из игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет (8*8-8)/2=28. В каждой партии разыгрывается одно очко, поэтому в этих партиях мастера в сумме наберут ровно 28 очков, что меньше 32. Противоречие. 
Если же звание мастера получили 9 или более участников, то они должны были набрать не менее 72 очков, в то время как всего в турнире разыгрывалось (12*11)/2=66 очков. Теперь приведём пример турнира, в котором звание мастера получили 7 участников. Пусть первые 7 (по списку) участников всегда выигрывали у последних 5, а все остальные партии завершились вничью. Тогда первые 7 участников набрали по 1*5+0,5*6=8 очков, а последние 5 - по 0*7+0,5*4=2 очка