nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Рассчитать для фирмы «Б.А.Р.Д.» показатель денежного потока на основе данных, приведенных из отчетов о прибылях и убытках, движении средств, а также с учетом изменения баланса предприятия (в руб.).
Поступления по контрактам на реализацию продукции:
реализация с оплатой по факту поставки     
 
300 000
реализация с оплатой в рассрочку    100 000
авансы и предоплата    175000
Итого поступления     
по контрактам на реализацию продукции    575000
Чистая прибыль    85 000
Себестоимость реализованной продукции    310 000
Накладные расходы    75 000
Износ    160 000
Налоги    155 000
Проценты за кредит    38345
Увеличение задолженности по балансу    280 000
Вновь приобретенные активы, поставленные на баланс    205 000
Категория: экономические
Ответы:
Решение
Денежным потоком является сальдо между поступлениями (со знаком «плюс») и платежами (со знаком «минус») предприятия.
Поступлениями в исходных данных являются: 1) поступления от реализации продукции (в свою очередь, делятся на поступления от продаж продукции с оплатой по факту поставки и от продукции, проданной - в том числе в предшествовавших периодах - в рассрочку); 2) поступления новых кредитных средств (увеличение задолженности). Сумма этих поступлений равна: 575 000 + 280 000 = - 855 000 руб.
Показатель чистой прибыли в исходных данных является промежуточным (расчетным) и не соответствует какому-либо конкретному поступлению средств. Реальные платежи на указанные суммы, согласно данным задачи, делались по всем следующим позициям: себестоимость реализованной продукции (прямые материальные и трудовые затраты); накладные расходы; налоги, проценты за кредит; вновь приобретенные активы, поставленные на баланс (на баланс активы ставятся по той стоимости, по которой они фактически покупались).
Отчисления на износ не являются платежом, так как эти средства с предприятия не уходят.
Таким образом, сумма платежей составила: 310 000 + 75 000 + 155 000 + + 38 345 + 205 000 = 783 345 руб.
Сальдо поступлений и платежей (оно же - денежный поток) за период равно: + 855 000 - 783 345 = + 71 655 руб.
Вопрос: Какую максимальную цену можно ожидать за предприятие в настоящий момент, если в его выдержавшем требовательную защиту бизнес-плане намечается, что через 4 года (длительность прогнозного периода)денежный поток предприятия выйдет на уровень 100 000 руб. при выявлении, уже начиная с перехода от второго к третьему году прогнозного периода, стабильного темпа прироста в 3%. Бизнес предприятия является долгосрочным. Указать на время его окончания невозможно. Рекомендуемая ставка дисконта - 25%.
Категория: экономические
Ответы:
Решение
1. Согласно модели Гордона, прогнозная остаточная стоимость предприятия на конец четвертого года равна (на основе величины денежного потока, планируемого на пятый год, который явится первым годом, когда все заработанные предприятием средства могут быть с него изъяты новым владельцем, покупающим предприятие по цене Ц1 в течение четвертого года):
Ц1= 100 000х(1+0,03)/(0,25 - 0,03) - 468 181,8 (руб.).
 2. Текущий эквивалент этой величины (текущая стоимость данного дохода, возможного от перепродажи предприятия через четыре года), который и является максимально допустимой ценой Ц0 за предприятие в настоящее время для инвестора, собирающегося его перепродать через четыре года, представляет собой результат дисконтирования вероятной цены Ц4 на четыре года «назад» во времени:
Ц0 - 468 181,8/ (1+0,25)4 = 192 667,0 (руб.).
Вопрос: Оценить ожидаемый коэффициент «Цена/Прибыль» для открытой компании «X» на момент до широкой публикации ее финансовых результатов за отчетный 1998 г., если известно, что:
прибыль за 1998 г., руб.    27 000 000;
прибыль, прогнозируемая на 1999 г., руб.    29 000 000;
ставка дисконта для компании «X», рассчитанная по модели оценки капитальных активов    25%.
 Темп роста прибылей компании стабилизирован. Остаточный срок жизни бизнеса компании - неопределенно длительный (указанное может допускаться для получения предварительной оценки).
Категория: экономические
Ответы:
Решение
1. До выявления на фондовом рынке непосредственно наблюдаемой рыночной цены компании, которая учитывала бы широко объявленные финансовые результаты, можно попытаться оценить ее вероятную величину Ц согласно модели Гордона; для этого необходимо рассчитать (применительно к прибылям 1999 г. как начального года в остаточном периоде бизнеса; прибыли здесь будут использоваться вместо денежных потоков как более грубый измеритель чистых доходов предприятия): 
Ц = 29 000 000/0,25 - а - 164 772 720 (руб.) , 
где a- долгосрочный (стабилизированный) темп роста прибылей компании; из сравнения прибылей за 1998 и 1999 годы он равен:
(29 000 000 - 27 000 000)/27 000 000 = 0,074.
2. Коэффициент «Цена/Прибыль» на рассматриваемый момент времени и рассчитываемый по текущей (в данном случае пока оценочной) цене 100% акций компании, соотнесенной с прибылью за последний завершенный финансовый период, оказывается равен: 
Цена (вероятная) компании в 1999 г. (Ц98) / Прибыль компании за 1998 г. (П97) = 164 772 720/27 000 000 - 6,10 (Ц98 /П97).
Вопрос: Переоцененная рыночная стоимость материальных активов предприятия - 200 млн руб. Отношение чистой прибыли к собственному капиталу в отрасли, к которой принадлежит предприятие, равно 15%. Средняя годовая чистая прибыль предприятия за предыдущие пять лет в ценах года, когда производится оценка предприятия, составляет 35 млн руб. Рекомендуемый коэффициент капитализации прибылей предприятия - 25%. Необходимо оценить стоимость «гудвила» предприятия и суммарную рыночную стоимость предприятия согласно методу накопления активов.
Категория: экономические
Ответы:
Решение
1. Оценка совокупности нематериальных активов («гудвил») предприятия (НМА*) может быть осуществлена согласно алгоритму, приведенному на представленной схеме.
2. Общая оценочная стоимость предприятия, представленная как сумма рыночной стоимости его материальных и всех нематериальных активов, тогда оказывается равной: 200 + 20 = 220 (млн руб.).
= П/Ск=0,15
=200*0,15=30
=35-30=5
=5/0,25
Вопрос: Требуется оценить стоимость 5%-ного (в % от числа акций, находящихся во владении акционеров) пакета акций закрытого акционерного общества, акции которого в результате их инициативных продаж его акционерами появились на рынке и фактически уже предлагаются на нем к перепродаже. Обоснованная рыночная стоимость компании, определенная методом дисконтированного денежного потока, составляет 50 млн руб. Рекомендуемая для использования при необходимости информация относительно характерных для данной отрасли (и компаний схожего размера) скидок (премий), которые могут быть учтены при оценке рассматриваемого пакета акций, %:
Скидка за недостаток контроля    25
Премия за приобретаемый контроль    40
Скидка за недостаток ликвидности    30
Скидка, основанная на издержках     
по размещению акций на рынке    15
Категория: экономические
Ответы:
Решение
Пропорциональная доля 5% акций в 100% акций предприятия равна: 50 х 0,05 = 2,5 млн руб.
Метод дисконтированного денежного потока неадекватен оценке предприятия в расчете на владение мелким пакетом его акций, которым фактически является 5%-ный пакет. Следовательно, с полученной величины необходимо произвести скидку за недостаток контроля (25%). Премия за приобретаемый контроль в данной ситуации заведомо не нужна.
Коль скоро оцениваемая компания является закрытым акционерным обществом, ее акции недостаточно ликвидны, так как они не могут быть размещены в листинг фондовых бирж (куда принимаются акции только тех акционерных обществ, которые зарегистрированы как открытые). Значит, следует также сделать скидку на недостаток ликвидности акций (30%).
В силу того, что акции компании - несмотря на то, что она формально (судя по ее регистрации)является закрытым акционерным обществом (ЗАО) - фактически уже продавались на фондовом (внебиржевом) рынке (частью ее акционеров, которые согласно действующему Закону об акционерных обществах имеют право предложить свои акции к продаже лицам, не являющимся акционерами ЗАО) и таким образом де-факто уже размещены на рынке, скидку, основанную на из-держках размещения акций на рынке, можно не делать. Это объясняется, в частности, тем, что в результате ранее имевших место сделок с акциями компании они уже, по-видимому, попали в котировки фондового рынка и появились внебиржевые брокеры, осуществляющие подбор их потенциальных покупателей и продавцов.
Таким образом, окончательная оценка рассматриваемого пакета акций оказывается равной:
 2 500 000 х (1 - 0,25) х (1 - 0,30) = 1 312 500 (руб.).
Вопрос: Нужно оценить стоимость 75%-ного пакета акций закрытого акционерного общества. Обоснованная рыночная стоимость предприятия, определенная методом рынка капитала, составляет 30 млн руб. Рекомендуемая для использования при необходимости информация относительно характерных для данной отрасли (и компаний схожего размера) скидок (премий), которые могут быть учтены при оценке рассматриваемого пакета акций, %:
Скидка за недостаток контроля    28
Премия за приобретаемый контроль    37
Скидка за недостаток ликвидности    31
Скидка, основанная на издержках по размещению акций на рынке    12
Категория: экономические
Ответы:
Решение
Пропорциональная доля 75% акций в 100% акций предприятия равна: 30 х 0,75 = 22,5 млн руб.
Метод рынка капитала дает оценку предприятия в представлении мелких акционеров. Следовательно, необходимо к полученной величине добавить премию за приобретаемый контроль (37%).
По той причине, что оцениваемый пакет акций, очевидно контрольный, фактор ликвидности акций является несущественным, и скидку за недостаток ликвидности акций делать не следует.
Поскольку акции закрытой компании не только неликвидны, но и не размещены на фондовом рынке (иной информации в условиях задачи не содержится), полагается сделать скидку, основанную на издержках по размещению акций на рынке. В итоге стоимость оцениваемого пакета представит собой величину:
 22 500 000 х (1 + 0,37) х(1 - 0,12) = 27 126 000 (руб.)
Вопрос: Стоимость машины, установленной на предприятии 200 тыс. ден. ед., срок её службы 10 лет. Через 3 года, вследствие роста производительности труда в производстве подобных машин, рыночная стоимость их снизилась на 20%. Определите величину морального износа первого вида.
Категория: экономические
Ответы:
Современная рыночная стоимость подобных машин составляет: 200 – 0,2*200 = 160 тыс. ден. ед. Годовая амортизация в первые три года составляла: 200:10=20 тыс. ден. ед. За три года перенесено: 20*3=60 тыс. ден. ед. В связи с изменением рыночной стоимости годовая амортизация будет равна 160:10=16 тыс. ден. ед. За оставшиеся 7 лет будет перенесено: 16*7=112 тыс. ден. ед. Всего предприятие вернет 60+112 = 172 тыс. ден. ед. Моральный износ составит 200 – 172 = 28 тыс. ден. ед. 
Ответ: 28 тыс. ден. ед.
Вопрос: Компания X рассматривает условия целесообразности поглощения некоторой компании У. Целью поглощения является максимизация доходов с акций поглощаемой фирмы.
Данные по рассматриваемым компаниям в отчетном году, с учетом видения их перспектив поглощающей фирмой (в отличие от видения их прочими участниками фондового рынка), представлены ниже (в условных денежных единицах): 
Показатели компаний    Компания X    Компания Y
Чистая прибыль (без процентов и налогов), руб.    300 000    100 000
Обыкновенные акции, находящиеся в обращении, штук    300 000    100 000
Прибыль на акцию, руб.    1,0    1,0
Ожидаемый прирост прибыли в год после поглощения, сс,%    2    4
Соотношение «Цена/Прибыль»    8:1    (8:1)/Z
 Требуется найти коэффициент Z, указывающий, во сколько раз соотношение «Цена/Прибыль» для поглощаемой компании У на конкурентных рынках «компаний-рейдеров» за отчетный год может быть - с точки зрения приемлемости этого предприятия в качестве кандидата на поглощение - меньше соотношения « Цена/Прибыль», характерного в этом году для поглощающей фирмы X.
Категория: экономические
Ответы:
Решение
1) критериальным (пороговым) условием целесообразности приобретения акций поглощаемой компании Y должно служить следующее: в расчете  на одну акцию текущая остаточная стоимость прибылей поглощающей компании X, принимаемая за оценку их обоснованной рыночной стоимости, не должна быть меньше, чем текущая остаточная стоимость прибылей поглощаемой компании Y, принимаемая за оценку обоснованной рыночной стоимости акций этой фирмы;
2) это означает, что если использовать модель Гордона, то должно выполняться равенство:
 (1 * (1+0,02) /  1:8-0,02 ) = (1 * (1+0,04) / W-0,04 ),
где 1:8 - ставка дисконта по компании X, представляющая собой величину, обратную для этой компании коэффициенту «Цена/Прибыль»;
W - неизвестная искомая величина ставки дисконта по компании Y, обратная по отношению к коэффициенту «Цена/Прибыль» по компании Y, представленному в виде (8:1)/Z
Решение приведенного уравнения относительно неизвестной величины W дает значение искомой величины W, равное 0,147.
В свою очередь, это означает, что предельно допустимый коэффициент «Цена/Прибыль» для поглощаемой компании Y, при котором все же оказывается целесообразным ее поглощать (так, чтобы чистая текущая стоимость инвестиционного проекта по поглощению была хотя бы равна нулю), составляет 1:0,147=6,80.
Значит, отношение Z, показывающее, во сколько раз коэффициент «Цена/Прибыль» по поглощаемой компании Y может быть в предельном случае меньше, чем этот коэффициент по поглощающей компании X, оказывается равным 6,80 : 8 = 1,7
Вопрос: Какую из приводимых ниже оценок складского запаса готовой продукции необходимо включить в суммарную ликвидационную (в расчете на короткий срок ликвидации) стоимость предприятия:
а)      рыночную стоимость, равную 10 000 руб., полученную без учета коэффициента скрытого брака на складе, который составляет 4%, если указанный коэффициент уже учтен при расчете себестоимости продукции;
б)      ту же рыночную стоимость, уменьшенную на 4%;
в)      ликвидационную стоимость, равную б 000 руб., полученную без учета коэффициента скрытого брака на складе, который составляет 4%, если указанный коэффициент уже учтен при расчете себестоимости продукции;
в) ту же ликвидационную стоимость, уменьшенную на 4%?
Категория: экономические
Ответы:
Решение
Во-первых, опираться в расчете надо на возможную выручку при быстрой распродаже складского запаса, т. е. на сумму в 6000 руб. Во-вторых, к оценке вероятной выручки от распродажи внутрипроизводственные расчеты себестоимости никакого отношения не имеют. В то же время то обстоятельство, что на складе фактически находится 4% скрытого брака, означает невозможность его продать либо необходимость возвращать деньги при возврате бракованных изделий.
Следовательно, в суммарно ликвидационной стоимости предприятия нужно будет учитывать лишь величину, составляющую 6000 х(1- 0,04) = 5760 (руб.).
Вопрос: Существует ли двузначное число, которое в два раза больше произведения своих цифр?
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Пусть первая цифра числа - это x, вторая цифра - y. 
Тогда искомое число будет равно 
10x + y 

Согласно условию задачи 
10x + y = 2xy. 

Поскольку искомое число в два раза больше произведения своих цифр, то y - четное число. То есть оно может быть равно 0,2,4,6,8. Тогда пусть y = 2n. При этом 0 ≤ n ≤ 4 
Тогда: 

10x + 2n = 2*2n*x 
10x + 2n = 4xn 
откуда 
5x + n = 2xn 
5x = 2xn - n 
5x = n(2x-1) 

Из этого следует, что n(2x-1) должно быть кратно 5 
То есть или 2x - 1 = 5  или n = 5.  Но поскольку 0 ≤ n ≤ 4, то имеется единственный вариант: 

2x - 1 = 5 
2x = 6 
x=3 

Согласно условию задачи 
10x + y = 2xy 

подставив найденное значение х, получим: 
30 + y = 6y 
5y = 30 
y = 6 

То есть искомое число равно 36 

Ответ: 36
Вопрос: Трехзначное число оканчивается цифрой 2,если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найдите исходное число
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим первую цифру трехзначного числа как  a, вторую цифру как b. Тогда условие задачи может быть записано следующим образом: 

Трехзначное число оканчивается цифрой 2: 
100a + 10b + 2 

если ее перенести в начало записи числа: 
200 + 10a + b 

полученное число будет на 18 больше первоначального: 
( 200 + 10a + b ) - ( 100a + 10b + 2 ) = 18 

получим: 
200 + 10a + b - 100a - 10b - 2 = 18 
180 = 90a + 9b 

Поскольку 
9 ≤ a  ≤ 0 
9 ≤ b  ≤ 0 

а итоговая сумма равна 180, примем во внимание следующие рассуждения: 
Значение а не может превышать 2, поскольку итоговая сумма равна 180
При этом (умножении числа а на 90 ) получившееся число все равно заканчивается на ноль
Таким образом, произведение b на 9 тоже должно заканчиваться на ноль. Учитывая, что 9 ≤ b  ≤ 0, единственным вариантом значения b является ноль
Поскольку b = 0, то a = 2 

Подставим в условие значения и получим 202 и 220 
Трехзначное число оканчивается цифрой 2: 
100a + 10b + 2  то есть 100*2 + 10 * 0 + 2 = 202 
если ее перенести в начало записи числа: 
200 + 10a + b то есть 200 + 2 * 10 + 0 = 220 
полученное число будет на 18 больше первоначального: 
220 - 202 = 18 

Ответ: Это числа 202 и 220
Вопрос: Из двух городов расстояние между которыми 52 км одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 2ч. Найти скорость каждого велосипедиста ,если известно,что второй велосипедист проезжает за 3 часа на 18 км больше чем первый за 2 часа
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Расстояние, равно произведению времени на скорость. 
S = vt 
Поскольку велосипедисты ехали навстречу друг другу, то 
S = (v1 + v2)t   
v1 + v2 = S/t   
v1 + v2 = 52/2 
v1 + v2 = 26   
откуда 
v1 = 26 - v2   
Если известно,что второй велосипедист проезжает за 3 часа на 18 км больше чем первый за 2 часа, то   
s1   = 2v1 
s2  = 3v2  

При этом  s1 + 18 =  s2   

Откуда 2v1 + 18 =  3v2

Учтем что  v1 = 26 - v2   , тогда  

2( 26 - v2 )  + 18 = 3v2 
52 - 2v2 + 18 =  3v2 
5v2 = 70 
v2  = 14 
 откуда 
v1  = 26 - 14  = 12 
Ответ: 12 и 14
Вопрос: Станок, установленный на предприятии, позволяет выпускать 1000 ед. продукции за месяц. На рынке появился новый станок, производительность которого 4000 штуки в месяц. Определите моральный износ второго вида.
Категория: экономические
Ответы:
Моральный износ второго вида определяется по формуле: 
Подставив в формулу значения получим: (4000–1000):4000*100 %=75 % 
Ответ: 75 %.
Вопрос: Чтобы попасть из деревни в город, необходимо пройти 19 км. Первую часть пути турист прошел за 2 часа, а вторую - за 3 часа, при чем его скорость на первом участке была на 2 км/час большей, чем на втором. 
Найдите скорость туриста на втором участке.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Записав условие задачи на языке цифр, получим уравнение 
Пройденное расстояние равно произведению скорости на время: 
s = vt 

Имеем два участка пути 
s1 + s2 = 19 

заменим расстояния соответствующими произведениями 
v1t1 + v2t2 = 19 

время известно, поэтому 
2v1 + 3v2 = 19 

Поскольку скорость на первом участке была на 2 км/час большей, чем на втором, то 
v1 = v2 + 2 

Возвращаясь к первому уравнению, и подставив известные значения, получаем исходное уравнение. 
2 (v2 + 2) + 3 v2 = 19 

решим его: 
2v2 + 4 + 3v2 = 19 
v2 = 3 

Ответ: 3 км/ч
Вопрос: Туристы пять девятых пути проехали на автомобиле,три четвертых оставшегося пути проплыли на лодке,а остальные 5 км прошли пешком.Какой путь преодолели туристы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Решение этой задачи не представляет трудностей, если условие записать в виде формул. 
Текст задачи    Комментарий    Результат
Туристы пять девятых пути проехали на автомобиле    Обозначим общую длину пути как х    5/9 х
три четвертых оставшегося пути проплыли на лодке    Поскольку общий путь - это х, то вычтя из него пройденные 5/9 х, получим оставшееся расстояние. Взяв от него 3/4, получим искомое    ( х - 5/9 х ) * 3/4
остальные 5 км прошли пешком    Просуммировав все три отрезка пройденного туристами пути, получим общую длину пути, а она была обозначена нами как х.    5/9 х + ( х - 5/9х ) * 3/4 + 5 
= х 
(получили уравнение)
Решаем полученное уравнение 
5/9 х + ( х - 5/9 х ) * 3/4 + 5 = х  
5/9 х + 4/9 х * 3/4 + 5 = х   
5/9 х + 3/9 х + 5 = х    
8/9 х + 5 = х 
1/9 х = 5 
х = 45 
Ответ: туристы прошли 45 км
Вопрос: Лодка проплыла по течению реки 2,8 часа, а против течения - 3,4. Пусть, который лодка проплыла по течению, оказался на 4,4 км меньше, чем путь, пройденный против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Обозначим скорость лодки как икс (х). Тогда:
Скорость лодки по течению равна (х + 2), поскольку, когда лодка идет по течению, ее скорость и скорость реки складываются.
Скорость лодки против течения равна (х - 2) поскольку во время движения против течения, встречное течение замедляет движение лодки

Путь, который прошла лодка равен произведению скорости лодки на время. Таким образом:
Путь, который лодка прошла по течению равен 2,8 ( х + 2 ) . То есть мы умножаем 2,8 часа на скорость движения лодки (х+2) и получаем пройденный путь.
Путь, который лодка прошла против течения, равен 3,4 ( х - 2 ). То есть мы умножаем 3,4 часа на скорость движения лодки против течения (х-2) и получаем пройденный путь.

Поскольку разница в пройденном расстоянии равна 4,4 км, тогда
2,8 ( х + 2 ) + 4,4 = 3,4 ( х - 2 )
Поскольку по течению лодка прошла на 4,4 км меньше, то прибавив к пути, пройденному по течению 2,8 ( х + 2 ) эту цифру, мы можем утверждать, что полученная сумма (с учетом 4,4) равна пути против течения.

Решив полученное уравнение, и определим скорость лодки 
2,8х + 5,6 + 4,4 = 3,4х - 6,8 
2,8х + 10 = 3,4х - 6,8 
16,8 = 0,6х 
х = 28

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде составляет 28 км/ч
Вопрос: На соревнованиях по броскам гранаты участвовало 6 учеников, Беата бросила на 6 метров дальше чем Анна, Женя бросил на 11 м дальше чем Анна, Доминик бросил также как и Женя, Пауль бросил на 9 метров дальше Анны, Майк на 3 метра дальше Анны. Учитель сказал, все вместе вы бросили на 154 метра. На сколько метров бросил гранату каждый ребёнок? 
Доминик подумал и сказал: "Господин учитель,ваша общая сумма ошибочна, я действительно бросил на 11 метров дальше Анны, но это в полтора раза дальше чем Анна. Если допустить, что Доминик прав, то сколько м. он бросил? На сколько метров бросил каждый ребёнок, какая общая сумма?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Запишем задачу математически. Для краткости будем использовать первые буквы имен детей. Пусть Анна бросила гранату на некоторое расстояние, которое мы обозначим как "А"
Ребенок    Расстояние, на которое он бросил гранату    Комментарий
Анна    А    
Беата    А + 6     Беата бросила на 6 метров дальше чем Анна 
Женя    А + 11    Женя бросил на 11 м дальше чем Анна
Доминик    А + 11    Доминик бросил также как и Женя
Пауль    А + 9    Пауль бросил на 9 метров дальше Анны
Майк    А + 3    Майк на 3 метра дальше Анны
Все вместе    154    
Таким образом
А + (А + 6) + (А + 11) + (А + 11) + (А + 9) + (А +3) = 154 
раскроем скобки и решим уравнение: 
6А + 40 = 154 
6А = 114 
А = 19 
Откуда 
Анна бросила на 19 метров 
Беата А + 6 = 19 + 6 = 25 метров   
Женя А + 11 = 19 + 11 = 30 метров, Доминик, соответственно - тоже 30 метров Пауль А + 9 = 19 + 9 = 28 метров Майк А + 3 = 19 + 3 = 22 метра
Таким образом, мы решили первую часть задачи.
Вторая часть задачи. 
Если же предположить, что учитель ошибся, то Доминик бросил на 11 метров дальше Анны и это, одновременно, - в полтора раза больше, тогда:
А + 11 = А х 1,5
Откуда, путем решения данного уравнения получаем 
0,5А = 11 
А = 22 
Теперь простой пересчет приводит нас к следующему ответу: 
Анна бросила на 22 метра 
Беата А + 6 = 22 + 6 = 28 метров   
Женя А + 11 = 22 + 11 = 33 метра, Доминик, соответственно - тоже 33 метра 
Пауль А + 9 = 22 + 9 = 31 метр 
Майк А + 3 = 22 + 3 = 25 метров 
Таким образом, общая сумма составит: 
22 + 28 + 33 + 33 + 31 + 25 = 172 метра
Вопрос: Есть 8 разных конвертов, 4 разные марки и 6 разных листовок. Сколькими способами можно выбрать комплект из конверта, марки и листовки?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку на каждый из восьми конвертов можно наклеить одну из четырех марок, то количество комбинаций будет 8 * 4 = 32, к каждой из этих комбинаций можно добавить одну из шести листовок. Таким образом, общее число возможных вариантов составит 
8 * 4 *6 = 192 комбинации

Ответ: 192 способа
Вопрос: Имеется n писем n разным людям и n подписанных конвертов. Сколькими способами можно вложить письма в конверты так, чтобы ни одно письмо не дошло до адресата.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Учтем нюанс - если в нашем распоряжении n писем n разным людям, то, поскольку адрес и получатель (одновременно!) указывается на подписанном (именно так указано в условии!) конверте, данная фраза дана исключительно для запутывания (или проверки логического мышления?). Таким образом общее количество комбинаций равно n адресов * n писем. 
Определим теперь количество комбинаций, когда хотя бы один адрес совпал с содержанием письма. Это когда из общего количества совпал 1 адрес и конверт, 2 адреса и конверта, 3 адреса и конверта и так до (n-1) адресов и конвертов. Вообще-то, n-1 быть не может, поскольку "путать" последний конверт и адрес не с чем, они совпадут и так. Но для создания формулы нам будет удобно, поскольку случай совпадения всех n адресов и конвертов это и есть случай (n-1). 
Сумма всех не устраивающих нас случаев равна сумме арифметической прогрессии от 1 до (n-1). То есть: 
N = ( 1 + ( n - 1 ) ) / 2 * ( n  - 1 ) 
N = ( n2 - n  ) / 2 
Теперь из общего количество вариантов раскладки (количества комбинаций) вычтем неблагоприятные для нас случаи и получим количество благоприятных случаев. 
R =  n2 - ( n2 - n  ) / 2 =   ( n2 + n  ) / 2  
Ответ: Общее количество способов равно  ( n2 + n  ) / 2
Вопрос: Из колоды в 36 карт наугад взяли 6 карт.Найти вероятность того,что из них не меньше двух-тузы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Разобьем ситуацию на два события - одна из карт является тузом и вторая из карт является тузом. В колоде 4 туза. Таким образом, вероятность появления одного из них 4 / 36. После этого, вероятность появления второго туза из оставшихся карт будет равна 3 / 35. Вероятность одновременного наступления событий равна произведению этих вероятностей. 

4 / 36 * 3 / 35 ≈ 0,009523
Вопрос: В киоске 25 пакетов апельсинового сока,из них в 20 пакетах сок высшего сорта; 20 пакетов виноградного сока,из них 18-высшего сорта и 35 пакетов яблочного сока,среди которых 30-высшего сорта.Найти вероятность того,что во взятом наугад пакете окажется сок высшего сорта
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Определим общее число возможных вариантов события. Оно будет равно общему числу пакетов с соком. 
25 + 20 + 35 = 80 

Теперь определим общее число благоприятных вариантов события. Оно будет равно общему числу пакетов с соком высшего сорта. 
20 + 18 + 30 = 68 

Таким образом, вероятность благоприятного исхода составит 
68 / 80 = 0,85 

Ответ: 0,85
Вопрос: Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность что среди 1000 единиц окажется больше половины белого хлопка
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Общее число вариантов события - 1000. Теперь определим общее число благоприятных вариантов. Благоприятные варианты будут в том случае, когда количество белых единиц больше половины, то есть 501, 502 и так до 1000. То есть 499 благоприятных вариантов. 
Таким образом, вероятность благоприятного исхода составит 
499 / 1000 = 0,499
Вопрос: Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из них придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода шесть часов, а второго - восемь.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим время прихода одного парохода как х, а второго как y.  
Определим условия, когда первый пароход будет "мешать" второму. То второй пароход грузится шесть часов, а в это время придет первый. Математически, это будет выглядеть следующим образом: 
x - y < 6
Теперь, один пароход грузится восемь часов, а в это время придет другой. Математически, это будет выглядеть следующим образом:
y - x < 8
Отразим граничные условия в виде графиков, тогда
x - y < 6  
приведем к 
y = x - 6 
y - x < 8 
приведем к 
y = 8 + x 
(знак меньше заменяем на равенство и приводим к функции вида y = x + k)
Отразим графики. 
 
Как видно, время прихода одного парохода указано по оси х, а второго - по оси y. Таким образом, оба парохода не будут "мешать" друг другу, если их время прихода (x, y) будет ниже синей линии или выше красной.
Общее пространство вариантов прихода пароходов, как видно из графиков, находится на плоскости "квадрата" со стороной 24 часа. Таким образом, отношение площади между двумя линиями к общей площади квадрата и будет отражать вероятность того, что  одному из пароходов придется ожидать освобождения причала во время стоянки другого.
Искомую площадь можно найти через вычисление определенного интеграла функций на промежутке [0;24], но для простоты решения мы выберем более наглядный способ.
Найдем площадь треугольника ограниченного синей линией.   
S1 = (24-6) * (24-6) / 2 = 162 (см. площадь треугольника)   
Теперь найдем площадь треугольника, ограниченного красной линией: 
S2 = (24 -8) * (24-8) / 2 = 128 
Общая площадь квадрата, соответственно, равна 576
Площадь, геометрически отражающая  вероятность наступления события, что  одному из пароходов придется ожидать освобождения причала во время стоянки другого, таким образом, равна:
576 - 128 - 162 = 286
Откуда, вероятность ожидания освобождения причала равна: 
286 / 576 = 143 / 288 ≈ 0,49653 
Ответ:  143 / 288 ≈ 0,49653
Вопрос: Стоимость станка составляет 1000 у. е., срок его службы – 10 лет. Через четыре года на рынке стоимость таких станков составила 800 у. е. Определите потери предприятия от морального износа при линейном методе начисления амортизации и при использовании метода удвоения амортизации.
Категория: экономические
Ответы:
Технология решения задачи: величина амортизационных отчислений за год при линейном методе равна: 1000 : 10 = 100 у. е., следовательно, за 4 года в амортизационный фонд поступит 
100 * 4 = 400 у. е. Амортизация за последующие годы составит 800 : 10 * 6 = 480 у. е. Всего вернется 400 + 480 = 880 у. е. Потери от морального износа равны 1000 – 880 =120 у. е. 
При использовании метода ускоренной амортизации норма амортизации удваивается: 100% : 10 лет * 2 = 20%. Амортизационные отчисления составят за год: 1000 * 20% : 100% = 200 у. е., за четыре года 200 * 5 = 800 у. е. В пятый год: 800 * 0,2 = 160 у. е. За пять лет вернется 960 у. е. Потери составят 40 у. е. (при условии, что предприятие этот станок не будет больше использовать). 
Ответ: 120 при линейном методе, 40 – при ускоренной амортизации.
Вопрос: Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию. Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейки?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Этот способ проверки правильности линейки основан на том, что через две точки можно провести единственную прямую.
Вопрос: Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если
1) СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см;
2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм;
3) СМ = = 12,3 м, MD = 5,8 м.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию точка М лежит между двумя точками С и D, по свойству измерения отрезков получаем CD = СМ + MD.
1)     CD = 2,5 см + 3,5 см = 6 см;
2)     CD = 3,1 дм + 4,6 дм = 7,7 дм;
3)     CD = 12,3 м + 5,8 м= 18,1м.
Вопрос: Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Если точка В принадлежит отрезку АС, значит, лежит между точками А и С, по свойству измерения отрезков получаем АВ + ВС = АС, следовательно, АВ + 7 см = 5 см, но это невозможно. Значит предположение неверно, и точка В не принадлежит отрезку А С.
Ответ: Точка В не принадлежит отрезку А С.
Вопрос: Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Предположим, точка В разделяет точки А и С, а, значит, лежит между ними, тогда по свойству измерения отрезков получаем: АВ + ВС = АС, следовательно, АВ + 7,6 м = 7 м, что невозможно. Значит, точка В не разделяет точки А и С.
Ответ: Точка В не может разделять точки А и С.
Вопрос: Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть точки А, В, С лежат на одной прямой, тогда одна из них находится между двумя другими точками, и по свойству измерения отрезков получаем:
1) ВС = АВ +АС, что неверно, т.к. 3 м Ф 1,8 м + 1,3 м;
2) АВ = АС + СВ, что неверно, т.к. 1,8 м ф 1,3 м + 3 м.
3) АС = АВ +ВС, что неверно, т.к. 1,3 м Ф 1,8 м + 3 м;
Значит:
1) Точка В не лежит между точками А и С.
2) Точка Л не лежит между точками В и С.
3) Точка С не лежит между точками А и В.
Ответ: Точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.
Вопрос: Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Три точки А, В, С лежат на одной прямой, если АВ = АС + СВ (по свойству измерения отрезков), а по условию АВ < АС + СВ, значит, точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.
Ответ: Точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.
Вопрос: Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Существуют два решения. 1)
В2,7мА 3.2м °
2)
Л 2,7м
3,2м
1) Если точка А лежит между В и С, тогда ВС =АВ +АС = 2,7 м + 3,2 м = 5,9 м.
2) Если точка В лежит между А и С, тогда
ВС = AC - АВ = 3,2 м - 2,7 м = 0,5 м. Ответ: 5,9 м или 0,5 м.
Вопрос: На отрезке АВ длиной 15м отмечена точка С. Найдите длины отрезков А С и ВС, если:
1) отрезок А С на 3 м длиннее отрезка ВС;
2) отрезок А С в два раза длиннее отрезка ВС;
3) точка С — середина отрезка АВ;
4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) АВ = АС + ВС, ВС = 6м;
15 м = ВС + ВС+ 3м, ЛС = 6м + Зм = 9м.
12 м = 2ВС,
2) АВ = АС + ВС, ВС = 5м;
15 м = 2ВС +ВС, ЛС = 2-5м=10м.
3) Поскольку АС = СВ: АВ = АС + СВ, имеем:
АС = СВ = АВ : 2 = 15 м : 2 = 7,5 м.
4) Пусть АС - 2х м, а ВС - Зх м,
АВ=АС + СВ, АС = 2-Зм = 6м;
15=2х + 3х, £С = 3-Зм = 9м.
15 = 5х, х = 3.
Ответ: 1) АС = 9 м, ВС = 6 м;
2)ЛС=10м,,8С=5м; 3) АС = 7,5 м, ВС = 7,5 м; 4)АС = 6м,ВС = 9м.
Вопрос: Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если:
1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую;
2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает;
3) отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает;
4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает;
5) отрезки АВ, ВС, CD не пересекают прямую;
6) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Плоскость разделяется прямой на две полуплоскости. Отрезок AD пересекают нашу прямую, если концы отрезка — А и D — лежат в разных полуплоскостях.
1) а) АВ пересекает а, следовательно, А и В лежат в разных полуплоскостях относительно а. Аналогично: В и С лежат в разных полуплоскостях относительно а. Следовательно, А и С лежат в одной полуплоскости относительно а.
б) AD пересекает а, следовательно, AuD лежат в разных полуплоскостях относительно а.
Из а) и б) следует, что С и D лежат в разных полуплоскостях относительно а, следовательно, CD пересекает 
Ответ:
1) пересекает;
2) не пересекает;
3) не пересекает;
4) пересекает;
5) не пересекает;
6) пересекает.
Вопрос: Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение
6 отрезков: AD; AN; BD; BN; CD; CN
Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям
Вопрос: Стоимость станка – 12000 у. е., срок его службы – 15 лет. Определите остаточную стоимость станка через 6 лет эксплуатации.
Категория: экономические
Ответы:
Остаточная стоимость представляет собой разность между первоначальной стоимостью станка и накопленной амортизацией: 12000 – (12000:15*6)=7200 у. е. 
Ответ: 7200 у. е.
Вопрос: Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если
1) Z(ac) = 35°, Z(ad) = 75°;
2) Z(ac) = = 57°, Z(ad) = 62°;
3) Z(ac) = 94°, Z(ad) = = 85°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Если угол разбивается на углы любыл лучом, проходящим между его сторонами через его вершину, то градусная мера угла равна сумме градусных мер этих углов, значит, Z(cd) = Z(ac) + Z(ad).
1) Z(cd) = 35° + 75° = 110°;
2) Z(cd) = 57° + 62° = 119°;
3) Z(cd) = 94° + 85° = 179°.
Ответ: 1)110°;
2)119°; 3) 179°.
Вопрос: Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч с. Найдите углы (ос) и (be), если
1) угол (ас) на 30° больше угла (be);
2) угол (ас) в два раза больше угла (be);
3) луч с делит угол (ab) пополам;
4) градусные меры углов (ас) и (be) относятся как 2:3.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Поскольку луч с проходит между сторонами угла (ab), по свойству измерения углов получаем:
Z(ac) + Z(bc) = Z(ab).
1) Z(ab) = Z(bc) + Z(bc) + 30°, 60° = 2 • Z(bc)+ 30°;
2 • Z(bc) = 30°;
Z(ac) = 45°, Z(bc)= 15°.
2) Z(ai) = 2 • Z(bc) + Z(bc), 60° = 3 • Z(bc),
Z(ac) = 40°, Z(6c) = 20°.
3) Z{ac) = Z(bc) = Z(ab) : 2 = 60° : 2 = 30°.
4) Z{ac) = 2x, Z(bc) = 3x, Z(ab) = 60°, 2x + 3x = 60°,
5x = 60°,
x=12°.
Z{ac) = 24°, Z(bc) = 36°.
Ответ: 1) Z(ac) = 45°, Z(bc) = 15°;
2) Z{ac) = 40°, Z(bc) = 20°;
3) Z(ac) = 30°, Z(bc) = 60°;
4) Z{ac) = 24°, Z(6c) = 36°.
Вопрос: Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная от В, что АХ = АВ? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Предположим, такая точка х существует, X ф В.
По свойству откладывания отрезков на любой полупрямой можно отложить единственный отрезок заданной длины от ее начальной точки. Следовательно, точки Хий совпадут, т.е. X =
В, что неверно по предположению, значит такой точки X не существует.
Вопрос: На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если:
1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м;
2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) АС В
ВС=АВ-АС= 1,5 м - 0,3 м = 1,2 м;
2) А В
ВС=АС-АВ= 4,4 см - 2 см = 2.4 см.
Ответ: 1)1,2м;
2) 2,4 см.
Вопрос: На стороне АВ треугольника ABC взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, a BD = 6 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
AB=AD+BD = 5 см + 6 см = 11 см. 16
 Ответ: АВ = 11 см.
Вопрос: На стороне АВ треугольника ABC взята точка D. Найдите угол С треугольника, если ZACD = 30°, a ZBCD = 70°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По свойству измерения углов получим: ZBCA = ZACD + ZBCD = 30° + 70° = 100°.
Ответ:
ZBCA = 100°.
Вопрос: Треугольники ABC и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = б см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию треугольники ABC и PQR равны, значит, равны и их соответствующие стороны, тогда, АС = PR, АВ = PQ, ВС = QR.Получим: PQ = 5 см, PR = 7 см, QR = 6 см. Ответ: PQ = 5 см, PR = 7 см, Л = 6 см.
Вопрос: Треугольники ABC и PQR равны. Углы второго треугольника известны: ZP = 40°, ZQ = 60°, ZR = 80°. Найдите углы треугольника ABC.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию треугольники ABC и PQR равны, значит, у них равны и соответствующие углы, получаем:
ZB = ZQ, ZC = ZR,ZA= ZP. Следовательно, ZC = 80°, ZB = 60°, ZA = 40°. Ответ: ZC = 80°, ZB = 60°, ZA = 40°.
Вопрос: Треугольники ABC, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5 см, QR=6 cm, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию треугольники ABC, PQR и XYZ равны, значит, у них:
AB = PQ= XY, значит, PQ = XY = 5 см; CA=RP = ZX, значит, СА=КР = 7 см; BC = QR = YZ, значит, ВС = YZ = 6 см;
Ответ: PQ = 5 см, XY = 5 см, СА = 7 см, RP = 7 см,
ЙС = 6 см, YZ = 6 см.
Вопрос: Дан треугольник ABC. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из основного свойства простейших фигур, существует равный ему треугольник относительно данной полупрямой. Чтобы его найти, достаточно построить точку D, симметричную точке С относительно прямой и соединить ее с точками А и В.
Ответ: существует.
Вопрос: За 400 тыс у. е. предприниматель купил 100 станков. Средний срок их службы – 10 лет. Через 6 лет стоимость подобных станков понизилась на 25 %. Определите величину физического и морального износа каждого станка, а также его остаточную стоимость на начало 7 года использования с учетом морального износа.
Категория: экономические
Ответы:
Первоначальная стоимость станка составляла: 400:100=4 тыс. у. е. Через шесть лет она стала: 
(400-0,25*400):100=3 тыс. у. е. Физический износ составляет: 4:10*6=2,4 тыс. у. е. Остаточная стоимость равна: 4 – 2,4 = 1,6 тыс. у. е. В новой оценке остаточная стоимость станка будет равна: 3 – 3:10*6 = 1,2 тыс. у. е. Отсюда моральный износ составляет: 1,6-1,2=0,4 тыс. у. е. 
Ответ: физический износ равен 2,4 тыс. у. е., моральный износ – 0,4 тыс. у. е., остаточная стоимость с учетом морального износа – 1,2 тыс. у. е.
Вопрос: Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются
Категория: школьный раздел
Ответы:
Прямая АВ пересекает отрезок CD, следовательно, точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку CD.
Прямая CD пересекает отрезок АВ, следовательно, точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку АВ.
Точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку АВ и отрезку CD, получаем, что отрезки АВ и CD пересекаются в этой точке. Что и требовалось доказать.
Вопрос: Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть А — точка пересечения прямых а и Ь. Предположим, что мы провели прямую с, параллельную прямым а и Ъ. Это значит, что через точку А проходят две прямые а и Ъ, параллельные с, что противоречит аксиоме: через точку, не лежащую на прямой можно провести единственную прямую, паралель-ную данной.
 Ответ: нельзя.
Вопрос: Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Не может.
По теореме: если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. Следовательно, не может.
Вопрос: Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Прямые проходят через точки В и С. По аксиоме через любые две различные точки можно провести единственную прямую и получаем, что это одна и та же прямая. Так как она проходит через точки А, В, С и В, С, D, то все четыре точки А, В, С и D лежат на этой прямой. Что и требовалось доказать.
Вопрос: Даны четыре прямые а, Ь, с и d. Известно, что прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке и прямые Ь, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке, следовательно, прямая а проходит через точку пересечения прямых Ъ и с. Пряые Ъ, с, d пересекаются в одной точке, следовательно, прямая d проходит через точку пересечения прямых Ъ и с.
Две различные прямые не могут иметь двух точек пересечения, значит, прямые and проходят через одну точку пересечения прямых Ъ и с, и, следовательно, все четыре прямые проходят через одну точку. Что и требовалось доказать.
Вопрос: Дан треугольник ABC. На стороне АС взята точка В , а на стороне ВС — точка А,. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ, пересекаются.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Прямая ВВ\ пересекает сторону А С в точке В\, следовательно, точки А и С располагаются в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ\. Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, следовательно, отрезок А\С не пересекает прямую ВВ\, и точки А\ и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВВ\.
Так как точки А\иС расположены в одной полуплоскости, а точки А и С — в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ\, то точки А и А\ расположены в разных полуплоскостях, и следовательно отрезокЛЛ] пересекает прямую ВВ\.
Рассмотрим положение точек относительно прямой АА i. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, а точки В\ и С — в одной полуплоскости относительно прямой АА \. Значит, точки В и В\ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АА \ и следовательно отрезокВВХ пересекает прямую ААХ.
 Точка пересечения прямых АА\ и ВВ\ лежит и на отрезке ААь и на отрезке ВВ\, следовательно, эти отрезки пересекаются. Что и требовалось доказать.
Вопрос: Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, значит, отрезок ЕС не пересекает прямую DB, и точки Е и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой DB.
Отрезок АЕ не пересекает прямую DB и точки А и Е лежат в одной полуплоскости относительно прямой DB.
Точки А и Е и точки С и Е лежат в одной полуплоскости относительно прямой DB, значит, точки А и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой DB, и отрезок АС не пересекает прямую DB. Что и требовалось доказать.
Вопрос: Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает
1) отрезок АС с концами на сторонах угла;
2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Пусть К — точка пересечения луча с отрезком АВ. Прямая ОК пересекает отрезок АВ, следовательно, точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ОК. Точки В и С лежат в одной полуплоскости, так как отрезок ВС не пересекается с прямой ОК, а точки А и С лежат в разных полуплоскостях, получаем, что прямая ОК пересекает отрезок АС в некоторой точке, обозначим ее буквой Е.
Прямая ВС разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит данный луч ОК и точка А (поскольку отрезок АК не пересекает прямую ОВ) и точка Е (поскольку отрезок АЕ не пересекает прямую ОВ). Значит, точка Е должна лежать на луче ОК.
 2) Пусть CD — произвольный отрезок с концами на сторонах угла, и точка С лежит на стороне ОВ, а точка D на стороне ОА. Отрезок АВ пересекает луч ОК, значит, луч ОК пересекает и отрезок А С, а если луч пересекает А С, то луч будет пересекать и отрезок CD.
Вопрос: Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть даны две не параллельные прямые а и Ь, следовательно, они имеют общие точки. Если они имеют одну общую точку, то, это значит, что они пересекаются, если бы они имели две общие точки, то через эти точки проходили бы две различные прямые, что противоречит основному свойству принадлежности точек и прямых: через две различные точки можно провести прямую и притом только одну.
Что и требовалось доказать.
Вопрос: Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка СА.
1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точки А и В лежат на одной полупрямой с началом в точке С, следовательно, точка С не лежит между точками А и В.
Пусть В лежит между А и С, тогда АС = АВ + СВ иАС> СВ, что противоречит условию: СВ > АС, следовательно, В не лежит между точками А и С.
Из трех точек одна и только одна лежит между двумя другими. На основании предыдущих рассуждений приходим к выводу, что точка А лежит между точками В и С.
Через точку А проведем прямую Ъ, отличную от прямой а. Точка А лежит между точками В и С, следовательно, отрезок ВС пересекает прямую Ь, получаем, что точки В и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой Ь, и по разные стороны от точки А. Все точки прямой а, лежащие в одной полуплоскости с точкой С, расположены по одну сторону от точки А и образуют одну полупрямую АС, а все точки прямой а, расположенные в одной полуплоскости с точкой В, тоже будут лежать по одну сторону от точки А и образуют полупрямую АВ.
Что и требовалось доказать.