nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: В обычном домино наибольшее значение клетки – 6 очков. В нем всего 28 косточек. Сколько будет косточек в домино, у которого наибольшее число очков – 7?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Представим себе, что мы должны сделать такое домино и что нам в качестве полуфабриката выдали отдельные квадратики. Мы должны склеить эти квадратики по два в косточки домино. На одних квадратиках мы поставим по семь точек (рисунок), на других – по шесть, на третьих – по пять, на четвертых – по четыре, на пятых – по три, на шестых – по две, на седьмых – по одной, а восьмые оставим без точек. Подсчитаем, сколько квадратиков каждого вида нам нужно будет подготовить для склеивания. Возьмем, например, пустышки. Они понадобятся для изготовления восьми разных косточек. В этих косточках таких квадратиков будет девять. Значит, квадратиков каждого вида нужно по девять. А таких видов, как мы уже выяснили, восемь. Теперь нетрудно подсчитать, сколько понадобится квадратиков, а потом – сколько получится косточек.
Ответ: 36.
Вопрос: В шахматном турнире 10 шахматистов играют в один круг. Сколько будет сыграно партий?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если бы они играли в два круга, то партий было бы 90 (например, каждый играет белыми по 9 партий, и всего партий 9 x 10 = 90). А так как играется только один круг, то партий вдвое меньше.
Ответ: 45.
Вопрос: Гавиал, кашалот и пеликан съели 31 рыбу. Кашалот съел рыб во столько раз больше, чем пеликан, во сколько пеликан съел больше гавиала. Сколько рыб съел каждый из них?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Составим пропорцию: К : П = П : Г, откуда П x П = К x Г. Подберем такие три числа К, П и Г, которые удовлетворяют этому условию и в то же время в сумме дают 31. Это 1, 5 и 25.
Ответ: Кашалот съел 25 рыб, пеликан съел 5 рыб, гавиал съел 1 рыбу.
Вопрос: Как с помощью прямоугольной плитки размерами 5 x 7см начертиить на листе бумаги отрезок длиной 1 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Во-первых, начертим отрезок достаточной длины. Во-вторых, отложим на нем три отрезка по 5 см, а затем на этом отрезке от его конца отложим два отрезка по 7 см. Получится 5 x 3 – 7 x 2 = 1 (см).
Вопрос: Трое хотят попасть из города А в деревню Б за кратчайшее время. Расстояние от А до Б – 30 км. У них есть 2 велосипеда. На велосипеде вдвоем или втроем ехать нельзя. Скорость их на велосипеде 15 км/ч, а пешком 5 км/ч. За какое время они могут попасть в Б?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Важно поровну распределить время движения на двух велосипедах между тремя людьми, чтобы никто не отстал от остальных. Этого можно добиться, если первый и второй сядут на велосипеды, а третий пойдет пешком. Проехав 1/3 пути, первый должен сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Второй должен проехать 2/3 пути, сойти с велосипеда, оставить его на дороге и продолжить путь пешком. Третий, дойдя до велосипеда, оставленного первым, садится на него и едет до пункта Б. Первый, пройдя 1/3 пути пешком, дойдет до велосипеда, оставленного вторым, сядет на него и доедет до Б. В результате каждый пройдет 10 км пешком, а 20 км проедет на велосипеде.
Ответ: За 3 часа 20 мин.
Вопрос: В 1 кг сплава олова и никеля содержится 40% олова. Сколько олова надо добавить в этот сплав, чтобы оно составило 50% сплава?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100% – это 1 кг, то олова в сплаве 400 г, а никеля – 600 г. Чтобы олово составило половину сплава, нужно довести его до 600 г.
Ответ: 200 г.
Вопрос: Двое путников одновременно вышли из пунктв А в пункт В. Первый половину времени, затраченного им на переход, шел со скоростью 5 км/час, а затем пошел со скоростью 4 км/час. Второй же первую половину пути прошел со скоростью 4 км/час, а затем пошел со скоростью 5 км/час. Кто из них раньше пришел в пункт В?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Для обоих путников одинаково пройденное расстояние. Первый половину времени шел со скоростью 5 км/ч, а значит, он с большей скоростью прошел больше половины пути. Второй же ровно половину пути прошел с большей скоростью, значит, первый потратил времени меньше.
 
Ответ: Первый.
Вопрос: 1 кг грибов имел влажность 99%. Его подсушили до 98% влажности. Сколько теперь весят эти грибы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Очень трудно предугадать ответ этой задачи. Советую попробовать сделать это в классе. Дети будут называть числа, близкие к 1 кг. А между тем, во время подсушивания испарялась вода, а сухое вещество, которого было и осталось 10 г, из 1% превратилось в 2%. Так что масса грибов уменьшилась вдвое.
Ответ: 500 г.
Вопрос: В шахматы играют 20 человек, без ничьих, на выбывание. Сколько будет сыграно партий?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Это еще одна форма соревнований: проигравший одну партию сразу выбывает. Должно выбыть 19 человек, значит, партий должно быть столько, сколько человек должно выбыть.
Ответ: 19.
Вопрос: АС (5) = 50, МС (6) = 8. Определите, чему равны средние издержки при объеме выпуска 6 штук.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяются общие издержки производства 5 и 6 штук продукции: 
ТС (5) = 50 * 5 = 250 у. е.; ТС (6) = 250 + 8 = 258 у. е. 
Теперь можно определить средние издержки АС (6) = 258 : 6 = 43 у. е. 
Ответ: АС = 43 у. е.
Вопрос: У меня остановились стенные часы, а никаких других часов у меня нет. Я пошел к другу, часы которого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя домой, смог верно поставить свои часы. Как мне удалось это сделать?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Я завел свои часы и запомнил, сколько времени они показывают. Придя к другу и уходя от него, я оба раза посмотрел на его часы, а поэтому я знал, сколько времени я пробыл у него и во сколько от него ушел. Придя домой, я определил по своим часам, сколько времени я отсутствовал, а вычтя из этого времени то время, которое пробыл у друга, определил, сколько времени я потратил на путь к нему и от него. Разделив это время пополам и прибавив его к последнему показанию часов друга, я определил время прибытия к себе домой. (Например, пусть я поставил свои часы на 12.00, придя к лругу, увидел, что на его часах 16.00, уходя от него увидел на его часах 17.00, а придя домой, увидел, что мои часы показывают 13.30. Тогда я определяю, что отсутствовал 1,5 часа, из них ровно час был у друга, значит, на дорогу в оба конца потратил полчаса, а на путь от друга домой – 15 минут. Я ставлю свои часы на 17.15.)
Вопрос: В 1 кг сплава олова и никеля содержится 50% олова. Сколько никеля надо добавить в этот сплав, чтобы он составил 60% сплава?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100% – это 1 кг, то олова в сплаве 500 г и никеля – 500 г. Чтобы никель составил 60% сплава, нужно сделать так, чтобы 500 г олова составляли 40% сплава, то есть чтобы в сплаве было 1250 г.
Ответ: 250 г.
Вопрос: Сорок учеников выстроены в прямоугольник по 10 человек в каждой шеренге и по 4 в каждой колонне. В каждой шеренге выбран самый низенький ученик, а затем из 4 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждой колонне был выбран самый высокий ученик и среди 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или Петров?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть в той же колонне, что Андреев и в той же шеренге, что Петров, стоит Сергеев. Тогда он выше Андреева и ниже Петрова, то есть Петров выше Андреева. 
Ответ: Петров.
Вопрос: В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 80% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например, 0,2 л или не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 80%, а 40% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 40%.
Ответ: 50%.
Вопрос: Выписаны подряд все числа от 1 до 60, без пробелов между цифрами: 123456789101112…585960. Надо вычеркнуть 100 цифр, чтобы оставшееся число оказалось наименьшим.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Всего выписано 111 цифр (9 – на однозначные числа и еще 102 на 51 двузначное число). Значит, после вычеркивания 100 цифр останется 11-значное число. Чтобы оно было самым маленьким, нужно поставить в нем на первое место 1, а на последующие – нули. Однако нулей в нашей записи всего 6. Если мы выпишем их все, то за последним нулем цифр уже не останется. Попробуем оставить нули только от чисел 10, 20, 30, 40 и 50. Тогда у нас получится такое число: 10000051525354555657585960. От него можно оставить после 100000 еще 5 цифр. Так как нуль поставить нельзя, поставим самую маленькую из возможных – 1, вычеркнув первую пятерку после пяти нулей: 1000001525354555657585960. Теперь можно вычеркнуть еще две пятерки и все цифры между 4 и последним нулем, оставляя следующие за ними цифры: 10000012340.
Ответ: 10000012340.
Вопрос: Имелось 10 мешков с одинаковыми монетами. Злоумышленник заменил один мешок мешком с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая монета весит 10 г, а фальшивая 11 г. Как с помощью одного взвешивания на весах с гирями установить, в каком именно мешке монеты фальшивые?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Надо перенумеровать мешки. Затем надо взять из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее до десятого, из которого надо взять десять монет. Все эти монеты вместе надо взвесить. Если бы все монеты были настоящими, то все взятые монеты весили бы 10 + 20 + 30 + … + 90 + 100 = 550 г. Но они будут весить больше на столько граммов, сколько среди них фальшивых монет. А число фальшивых монет равно номеру мешка, из которого они взяты. (Например, если монеты весят 556 г, то фальшивых монет 6 и все они из одного мешка. А 6 монет мы брали из шестого мешка.)
Вопрос: В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется уравнять число орехов во всех этих кучках, причем можно перекладывать из одной кучки в другую столько орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать число орехов в кучке). Как это сделать?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. В результате распределение орехов должно быть таким: 16, 16, 16.
Поэтому предпоследнее распределение должно быть таким: 16, 24, 8.
Перед этим распределение орехов может быть более разнообразным. Но нас должно заинтересовать такое, в котором есть хоть одна кучка с 22 или с 14 или с 12 орехами. Это может выглядеть так: 12, 20, 16.
Если теперь не трогать кучку в 12 орехов, то перед этим возможны такие распределения: 12, 10, 26, или 12, 28, 8.
Второе распределение можно получить из первоначального. 
Ответ: Возможен следующий путь решения: 22, 14, 12 – 8, 28, 12 – 16, 20, 12 – 16, 8, 24 – 16, 16, 16.

Ответ: Возможен следующий путь решения: 
22, 14, 12 -> 8, 28, 12  -> 16, 20, 12  -> 16, 8, 24  -> 16, 16, 16.

ответ к заданию приложен
Вопрос: В 1 стакане 20% молока, а остальное – вода, в другом таком же стакане 30% молока, а остальное – вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Включение в условие стакана дает учителю возможность считать стакан равным, например, 0,2 л или не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20%, а 10% всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 30%, а 15% всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10% + 15%.
Ответ: 25%.
Вопрос: Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток, а потом еще 100 км на север, снова оказаться в точке отправления?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: Во-первых, это Северный полюс. Но, кроме того, это бесконечное множество точек, лежащих невдалеке от Южного полюса и отвечающих следующему условию: если пройти из такой точки на юг, то окажешься на параллели, длина которой равна 100 : n км, где n – любое натуральное число.
Вопрос: 3 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 3. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:
3 м – 200 р.
4,5 м – х р.
Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:
1) Сколько стоят 9 м? 200 х 3 = 600 (р.).
2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 2 = 300 (р.).
Возможно и иное решение, так как 4,5 м = 3 м + 1,5 м, а 1,5 м стоят 200 : 2 = 100 (р.).
Ответ: 300 р.
Вопрос: Средние издержки при производстве 6 и 7 кг продукции равны, соответственно, АС(6) = 10 у. е., 
АС(7) = 11 у. е. Определите предельные издержки производства 7-го кг.
Категория: экономические
Ответы:
Определим общие издержки производства 6 и 7 кг продукции: ТС(6)= 10 * 6 = 60 у. е.; ТС (7) = 11 * 7 = 77 у. е. Отсюда предельные издержки 7-го кг равны 77 – 60 = 17 у. е. 
Ответ: 17 у. е.
Вопрос: Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 100?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5. Двоек очень много – они присутствуют во всех четных числах. А пятерок меньше – они имеются только в числах, делящихся на 5. Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25, …, 95, 100. Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 х 5, 50 = 2 х 5 х 5, 75 = 3 х 5 х 5, 100 = 2 х 2 х 5 х 5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24.
Ответ: 24 нуля.
Вопрос: Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Маршака и Барто, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Маршак и Барто стояли рядом?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Соединим томики Маршака и Барто в одну связку. Поставив на первое место томик Пушкина, на следующие три места мы можем поставить в любом порядке томик Лермонтова, томик Некрасова и связку. Это можно сделать шестью способами. А так как томики Маршака и Барто можно соединить двумя способами, то способов расставить книги вдвое больше.
Ответ: 12.
Вопрос: Муравей сидит на передней грани куба в точак А и желает попасть на верхнюю грань в точку В. Как узнать, по какому кратчайшему пути должен он ползти?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если бы события происходили в одной плоскости, ответ был бы прост: ползти по прямой. Поэтому нужно распрямить развертку куба и определить возможный путь. В случае на нашем рисунке это путь АСВ.
 
Ответ: Распрямить развертку куба и провести прямую линию из точки А в точку В.
Вопрос: В ящике 35 шариков. Каждый из двух играющих по очереди вынимает из ящика любое число шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний шарик. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или второй игрок?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Выигрывает тот, кто возьмет 35-й шарик, следовательно, тот, кто возьмет 29-й шарик, 23-й, 19-й, 13-й, 7-й, 2-й шарик.
Ответ: Выигрывает начинающий, если он возьмет 2 шарика и затем будет дополнять до 6 число шариков, взятых партнером.
Вопрос: 2001 год начался с понедельника. А с каких еще дней недели может начинаться век?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Нужно принять во внимание следующие факты.
1) В невисокосном году 365 дней, то есть 52 полные недели и еще 1 день, так что невисокосный год сдвигает календарь на один день недели.
2) В високосном году 366 дней, то есть 52 полные недели и еще 2 дня, так что високосный год сдвигает календарь на два дня недели.
3) Високосными в нашем григорианском календаре (календаре "по новому стилю") считается любой год, номер которого делится на 4, кроме тех лет, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, то есть, например, годы 2000, 2004 и 2400 – високосные, а годы 2100 и 2200 – невисокосные).
4) В первом веке третьего тысячелетия, а также во втором и в третьем его веке будет по 24 високосных года, а в четвертом веке будет 25 високосных лет. 
5) Первый век третьего тысячелетия сдвинет календарь на 124 дня недели, то есть на 5 дней. То же будет и во втором и в третьем веке. А четвертый век (2301–2400 гг.) сдвинет календарь на 6 дней. 
Значит, 2101 год начнется с субботы, 2201 – с четверга, 2301 – со вторника, 2401 – с понедельника, так же, как и 2001 год. И в дальнейшем каждые 400 лет все будет повторяться.
Ответ: Век может начинаться с понедельника, вторника, четверга и субботы.
Вопрос: 7,5 м ткани стоят 200 р. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 7,5. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:
7,5 м – 200 р.
4,5 м – х р.
Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:
3) Сколько стоят 22,5 м? 200 х 3 = 600 (р.).
4) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 5 = 120 (р.).
Ответ: 120 р.
Вопрос: В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета. Все носки одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть носков, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Можно случайно вытянуть первый носок одного цвета, а второй – другого, так что два вытянутых носка могут не образовать пары. Но уже третий носок будет в пару с одним из двух первых.
Ответ: Не более трех.
Вопрос: Десяток яиц стоит 16 р. 52 к. Сколько стоят 15 таких яиц?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит одно яйцо, придется делить 1652 к. на 15. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:
10 яиц – 1652 к.
15 яиц – х к.
Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:
1) Сколько стоят 30 яиц?
2) Сколько стоят 15 яиц?
Возможно и иное решение, так как 15 яиц = 10 яиц + 5 яиц, 5 яиц стоят 8 р. 26 к.
Ответ: 24 р. 78 к.
Вопрос: В ящике находится 10 пар черных перчаток и 5 пар синих одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть перчаток, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных перчаток?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Можно случайно вытянуть первые десять черных перчаток с левой (или правой) руки, а потом еще 5 синих перчаток с одной руки, так что никакие две из этих 15 перчаток могут не образовать пары. Но уже шестнадцатая перчатка будет в пару с одной из пятнадцати первых.
Ответ: Не более шестнадцати.
Вопрос: Коля поймал за 5 дней 512 мухи. Каждый день он отлавливал столько мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал он за каждый из этих дней?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. За последний день он поймал столько мух, сколько в первые 4 дня, то есть половину всех мух. На четвертый день – половину мух, пойманных за 4 дня. И так далее.
Ответ: На пятый день – 256, на четвертый – 128, на третий – 64, во второй – 32, в первый – 32.
Вопрос: Общие издержки производства 3 ед. товара Х равны 100 у. е. Производство 4-й ед. потребовало затратить 22 у. е., 5-й – 21, а 6-й – 19 у. е. Определите средние издержки на производство продукции при Q = 6.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяются общие издержки производства 4, 5 и 6 единиц продукции: ТС(4) = 100 + 22 =122 у. е.; ТС(5) = 122 + 21 = 143 у. е.; ТС (6)= 143 + 19 = 162 у. е. Затем можно определить средние издержки.
АС(6)= 162 : 6 = 27 у. е. 
Ответ: 27 у. е.
Вопрос: Составь не меньше 10 разных сумм из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в эту сумму два раза.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Самое маленькое значение такой суммы 3 (это 1 + 2), а самое большое 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, так что задача имеет решение. 
Ответ: Это, например, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, 4 + 5, 1 + 4 + 5, 2 + 4 + 5, 3 + 4 + 5.
Вопрос: Составь не меньше 10 разных произведений из чисел от 1 до 5, чтобы никакое число не входило в это произведение два раза.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 1 х 2, 1 х 3, 1 х 4, 1 х 5, 2 х 5, 3 х 5, 4 х 5, 2 х 4 х 5, 3 х 4 х 5, 2 х 3 х 4 х 5.
Вопрос: Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 секунд. Какова длина каждого поезда?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если бы первый поезд стоял на месте, то пассажир второго поезда ехал бы мимо него со скоростью 45 км/ч. А так как первый поезд ехал навстречу со скоростью 36 км/ч, то пассажир второго поезда ехал мимо него со скоростью 36+45 = 81 (км/ч). Следовательно, путь длиной в поезд он проделал со скоростью 81 км/ч за 6 секунд, то есть за 1/600 часа. Умножив это время на скорость, мы получим ответ.
Ответ: 135 м.
Вопрос: Крестьянка принесла на рынок некоторое число яиц. Первому покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца; второму – половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца; третьему – половину нового остатка и еще пол-яйца; четвертому – половину того, что осталось, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько яиц было у нее вначале?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать. 
Что было у крестьянки перед встречей с четвертым покупателем? Что-то, половина чего была продана, после чего осталось пол-яйца. Но, значит, пол-яйца были второй половиной того, что у нее было. Значит, перед встречей с четвертым покупателем у крестьянки было одно яйцо. Нарисуем его в виде одной клетки.
Перед встречей с третьим покупателем у нее было это яйцо и те пол-яйца, которые она продала третьему, и все это составляло половину того, что она имела. Значит, пририсуем пол-яйца и удвоим полученное – эти три яйца были у крестьянки перед встречей с третьим покупателем.
Аналогично, пририсовав к трем яйцам пол-яйца и удвоив полученное, будем иметь семь яиц, имевшиеся у нее перед встречей со вторым покупателем.
Проделав еще раз эту операцию, узнаем, сколько было у нее яиц в самом начале.
Ответ: 15 яиц.
Заметим, что полученный ответ следует проверить:
1-му покупателю продано 15 : 2 + 0,5 = 8 яиц, после чего осталось 7 яиц,
2-му покупателю продано 7 : 2 + 0,5 = 4 яйца, после чего осталось 3 яйца,
3-му покупателю продано 3 : 2 + 0,5 = 2 яйца, после чего осталось 1 яйцо,
4-му покупателю продано 1 : 2 + 0,5 = 1 яйцо, после чего не осталось ничего.
Вопрос: Имеется много жетонов стоимостью в 3 рубля и два жетона по 5 рублей. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 рублей?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Сумму в 8 рублей составляем как 3 + 5, в 9 – как 3 + 3 + 3, в 10 – как 5 + 5. Прибавляя к этим суммам нужное число трехрублевых жетонов, мы получим любую сумму, большую 10. Например, чтобы получить сумму 121, сообразим, что 121 при делении на 3 дает такой же остаток, как 10, а значит, 121 можно получить, прибавив к 5 + 5 нужное число 3-рублевых жетонов. Число этих жетонов определяем так: (121 – 10) : 3 = 37.
Ответ: Да.
Вопрос: 1) Исторические типы мировоззрения 
А) религиозное мировоззрение
В) мифология
Г) философское мировоззрение 

2) Материю представлял в виде атома
Г) Демокрит 

3) Какой аспект учения Платона был взят теологией Средневековья
Б) Учение об идеях 

4) Основное утверждение рационализма Нового времени:
А)разум играет приоритетную роль в познавательной деятельности

5) Теоретические источники марксистской философии 
Б) Гегель В)Фейербах

6)Представители русской религиозно-идеалистическая философия 
Б) Розанов
В) Булгаков
Г) Бакунин

7) Согласно Сартру: «Свобода для человека…
Б) человек осужден быть свободным

8) Назовите важнейшие свойства материи, зафиксированные в ее диалектико-материалистическом определении
А) существовать в ощущениях человека
В) быть объективной реальностью

9) Уровень познания, опирающийся на повседневный жизненный опыт:
Г) обыденный

10) Философское направление, приписывающее активную, творческую роль в мире исключительно идеальному началу и ставящее материальное в зависимость от идеального: 
Б) Идеализм

11) В Новое время для европейского общества наука была востребована благодаря:
В) развитию производства

12) Воззрения Джордана Бруно характеризуют идеи:
А) бесконечности вселенной
В) существование бесчисленного множества миров во вселенной

13) Французские просветители предлагали преобразовать общество на основе:
Б) Разума и справедливости

14) Теоретические источники марксизма:
А) французский утопический социализм
Б) немецкая классическая философия, 
В) английская политэкономия

15) Установите соответствие между философскими направлениями и их представителями
1) Славянофилы – б) Хомяков, В) Киреевский, д) Аксаков
2) Западная – а) Герцен г) Белинский

16) Приведите в соответствие философские направления современной западной философии и школы
1) Рационализм – а) неопозитивизм в) постпозитивизм
2) Иррационализм - б) экзистенциализм г) психоанализ

17) Истина
В) процесс и результат

18) Установите соответствие: понятие – автор
Либидо – Фрейд 
Общественно-экономическая формация – Маркс

19) Мир - это наши ощущения, утверждения:
Б) солипсизма

20) Философское направление, где сознание е интерпретируется как свойство высокоорганизованной материи:
Б) Материализм
Категория: гуманитарные
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены по каждому вопросу
Вопрос: Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Если задача не получается, ее надо рисовать. 
Нарисуем два луга, один больше другого вдвое. 
Разделим большой луг на две части. Первая часть – это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть – работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.
Меньший луг тоже разделим на две части. Первая часть меньшего луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов. Значит, первая часть меньшего луга равна 1/3 большого луга. 1/3 меньшего луга = 1/6 большого луга.
 
Вторую часть меньшего луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся артель косила две трети большого луга полдня, то артель состояла из 8 косцов.
Ответ: 8 косцов.

Решение: 
Пусть Х- число косцов; 
У- размер участка , скашиваемого косцом в 1 день; 
Выразим через Х и У площадь большого луга. 
Луг этот косили полдня Х косцов; и они скосили Х*0.5*У=(Х*У)/2 
Вторую половину дня его косилатолько половина артели, т.е. Х/2 косцов; 
Они скосили 
(Х/2)*1/2)*У=(Х*У)/4. 
Так как к вечеру скошен был весь луг, то площадь его равна 
(Х*У)/2 +(Х*У)/4=(3*Х*У)/4. 
Выразим теперь через Х и У площадь меньшего луга. 
Его полдня косили Х/2 косцов и скосили площадь 
Х/2 *1/2 * = (Х*У)/4. 
Прибавим недокошенный участок, как раз равный у (площади, скашиваемой 
одним косцом в 1 рабочий день), и получим площадь меньшего луга: 
(Х*У)/4 + У =(Х*У+4*У)/4 
Остаётся перевести на язык алгебры фразу: "первый луг вдвое больше 
второго", - и уравнение составлено: 
((3*Х*У) /4 ) : (Х*У+*У )/4 =2, или 
(3*Х*У)/(Х*У+4*У)=2. 
Сократим дробь в левой части уравнения на У; вспомогательное неиз- 
вестное благодаря этому исключается, и уравнение принимает вид 
(3*Х)/(Х+4) =2, или 3*Х=2*Х+8, 
Откуда Х=8. 
Ответ: в артели было 8 косцов.
Вопрос: Поезд прошел мост длиной в 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.
Ответ: 1200 м.
Вопрос: Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения – на 30 секунд, получим скорость.
Ответ: 25 м/сек.

1) 750 : 30 = 25 (м/с) – скорость
Ответ: 25 м/с.
Вопрос: Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, сли сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. За полный оборот большого колеса через точку сцепления пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота – 40 х 32 = = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает 
1280 : 16 оборотов.
 
Ответ: 80 оборотов.
Вопрос: Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Паровоз продвинулся за 2 минуты на 1750 м. Разделив этот путь на время движения, получим скорость.
Ответ: 875 м/мин.

1) 1 км = 1000 м
2) 750 + 1000 = 1750 (м) – мост и длина поезда вместе 
3) 1750 : 2 = 875 (м/мин) – скорость
Ответ: 875 м/мин.
Вопрос: Фирма платит 200 тыс. руб. в месяц за аренду оборудования и 100 тыс. руб. заработной платы. При этом она использует такое количество труда и капитала, что их предельные продукты соответственно равны 0,5 и 1. Использует ли фирма оптимальное сочетание факторов производства с точки зрения максимизации прибыли?
Категория: экономические
Ответы:
При оптимальном сочетании факторов производства соотношение предельных продуктов капитала и труда равно соотношению их цен. Рассмотрим данные задачи: 
1 : 0,5 = 200 : 100. Поскольку условие выполняется, то сочетание оптимальное. 
Ответ: сочетание факторов оптимальное.
Вопрос: Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Это может быть, если разрыв между прибытием трамваев на остановку не одинаков.
Например, представим себе такое расписание
Время прибытия    Маршрут
8.00
8.01
8.04
8.05
8.08    № 1
№ 2
№ 1
№ 2
№ 1
При таком расписании Коля будет чаще попадать на трамвай № 1.
Вопрос: Поезд длиной 750 м обгоняет поезд длиной 1 км за 10 мин. Какова скорость короткого поезда, если скорость длинного 60 км/ч?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. За 10 минут произошло следующее. Паровоз короткого поезда проехал мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проехал мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проехал суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной разности скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов, затем разделить ее на время (на 10 минут), а затем к полученной скорости прибавить скорость второго поезда.
Ответ: 70500 м/ч.
Вопрос: Поезд длиной 750 м проходит мимо такого же встречного поезда за 1 мин. Какова скорость первого поезда, если скорость второго 60 км/час?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. За 1 минуту происходит следующее. Паровоз короткого поезда проезжает мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проезжает мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проезжает суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной сумме скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин).
Ответ: 500 м/мин.

1) 750 + 750 = 1500 (м) – расстояние между последними вагонами 
2) 60 км/ч = 60000 м/ч = (60000 : 60) м/мин = 1000 м/мин 
3) 1500 : 1 = 1500 (м/мин) – скорость сближения
4) 1500 – 1000 = 500 (м/мин) – скорость первого  
Ответ: 500 м/мин
Вопрос: Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа: 
1) Андрей – первое, Борис – второе,
2) Андрей – второе, Геннадий – третье,
3) Вадим – второе, Геннадий – четвертое.
В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Приходится анализировать варианты. Это можно делать по-разному. Можно выяснить, возможно ли, чтобы в первом ответе первая часть была правдой, а вторая ложью и так далее. Однако удобнее проверить, возможно ли, чтобы тот или иной мальчик занял то или иное место. Чаще всего в ответах упоминаются Андрей и Геннадий. С любого из них и нужно начать. Начнем, например, с Андрея. Именно рассмотрим, мог ли Андрей занять первое место, мог ли второе, мог ли третье, мог ли четвертое.
Пусть Андрей занял первое место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, то есть Борис – не второй (но и не первый, так как первый – Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть – неправда, так как Андрей – не второй, а первый. Значит, во втором ответе вторая часть – правда, откуда получается, что Геннадий – третий. Поэтому Борис – не третий, а четвертый, и мы получаем такое распределение:
Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый. Осталось с этой точки зрения просмотреть третий ответ. "Вадим – второй" – правда, "Геннадий – четвертый" – неправда. Все сходится.
Но, быть может, Андрей мог быть и вторым? Нет, так как тогда первый ответ был бы полностью ложным.
Не мог быть Андрей и третьим, так как тогда полностью ложен второй ответ. 
Не мог быть Андрей и четвертым, что доказать несколько труднее – нужно сопоставлять разные ответы. Из первого следует, что Борис – второй, из второго – что Геннадий – третий, но тогда полностью лжив третий ответ.
Ответ: Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый.
Вопрос: Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Общее число рукопожатий, сделанных всеми людьми, четно. И если бы сделавших нечетное число рукопожатий было нечетно, то это правило было бы нарушено. Полезно пригласить к доске трех человек и попросить их несколько раз пожать друг другу руки. Выясняется, что при каждом рукопожатии число рукопожатий, сделанных каждым, увеличивается на 2, так что оно всегда четно.
Вопрос: В краже дырки от бублика подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали:
А: Это сделал Б.
Б: Это сделал Г.
В: Это сделал не я.
Г: Б лжет, что это сделал я.
Правду сказал только один из них. Кто совершил кражу?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Нужно несколько упростить заявление Г и составить таблицу их заявлений:
Заявитель     Заявление
А
Б
В
Г    Это Б
Это Г
Это не В
Это не Г
А теперь посмотрим, сколько ответов окажутся правдивыми и сколько ложными в каждом из возможных случаев.
Случай первый. Кражу совершил А. Тогда заявления А и Б ложны, а заявления В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай второй. Кражу совершил Б. Тогда заявления А, В и Г правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай третий. Кражу совершил В. Тогда заявления А, Б и В ложны, а заявление Г правдиво, что согласуется с условием "правду сказал только один".
Случай четвертый. Кражу совершил Г. Тогда заявления А и Г ложны, а заявления Б и В правдивы, что не согласуется с условием "правду сказал только один".
Ответ: Кражу совершил В.
Вопрос: Пусть запись а г b обозначает наименьшее из чисел a + b и 2b. Решите уравнение х г 3 = 5 г х.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Эту задачу нужно дать непосредственно за предыдущей тем детям, которые предыдущей задачей заинтересовались. Запись х г 3 обозначает то же, что и запись х Е 3 в предыдущей задаче. Поэтому и решение и ответ в этой задаче те же.
Ответ: х = 5.
Вопрос: На одной пасеке было 47 ульев, а на другой 52 улья, С первой пасеки собрали на 350 кг мёда меньше, чем со второй пасеки. Сколько кг мёда собрали с каждой
Категория: школьный раздел
Ответы:
Узнаем разницу в количестве ульев.
1) 52-47=5.
Следовательно, с 5 ульев собирают 350 кг мёда.
2) 350:5=70 (кг) — мёда, с одного улья. 
Теперь узнаём массу собранного мёда с каждой пасеки.
3) 47×70=3290 (кг) — мёда с первой пасеки.
4) 52×70=3640 (кг) — мёда со второй пасеки.
Вопрос: Пароход шёл по течению реки со скоростью 24 км/ч. При движении парохода обратно (против течения) от него отделился плот. Когда с этого момента пароход прошёл против течения 15 км, этот плот оказался на расстоянии 20 км от него. Определить скорость парохода в стоячей воде
Категория: школьный раздел
Ответы:
Х-скорость течения
(24-Х)сообственная скорость парохода
(24-Х-Х)скорость против течения
15:(24-2Х)=5Х
15Х=120-10Х
25Х=120
Х=4,8скорость течения
Вопрос: Пять кошек и собак сьели 27 колбасок.Каждая собака сьела по 6 колбасок,а каждый кот-по 5.Сколько было котов? Сколько собак?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) 6+5=11 - штук съедают собака и кошка
2) 27:11 будет 2 и 5 в остатке
2 - это значит было 2 кошки и 2 собаки
5 в остатке - это кот, раз он ест по 5 штук
Значит 2+1=3 кошки и 2 собаки
Вопрос: Предельная норма технического замещения труда капиталом равна 2. Произошло сокращение трудовых ресурсов на 4 ед. Определите, на сколько необходимо увеличить использование капитала для обеспечения прежнего объема продукции?
Категория: экономические
Ответы:
Для решения задачи необходимо использовать формулу предельной нормы технического замещения: 
Подставив значения, получим:MPTS = -L/K=-4 /R =2, отсюда ^K = 2 ед. 
Ответ: на 2 ед.
Вопрос: 10 котов и собак съели 54 сосиски. Каждая собака съела по 6 сосисок, а каждый кот — по 5. Сколько было котов и сколько собак?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Трудность составляет, что коты едят по 5 сосисок, а собаки — по 6. Пусть все животные будут котами, тогда они должны съесть 50 сосисок. 2 шаг. Во вспомогательной задаче у нас получилось 50 сосисок, но сосисок-то было 54.
Окончательное решение. ‘Если бы все животные были котами, то они бы съели 50 сосисок, а т. к. было съедено 54 сосиски, а каждая собака съедает на одну сосиску больше, чем кот, значит собак было 4, а котов 6.
Вопрос: На шахматной доске 8×8 стоит 31 пешка. Доказать, что найдется уголок из трех клеток, на котором не стоит пешка.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Доска очень большая. Уменьшим ее до размеров 2 х 2 и прикинем, сколько там должно быть пешек, чтобы задача имела решение. Таким образом, сформулирована похожая задача: На шахматной доске 2×2 стоит 1 пешка. Доказать, что найдется уголок, склеенный из трех клеток, на котором не стоит пешка. Доказательство сводится к элементарному перебору четырех вариантов.

2 шаг. Попробуем найти на большой доске маленькую с одной пешкой. Для этого разобьем большую доску на кусочки размером 2×2. Таких кусочков будет 16. А пешек 31.

Окончательное решение. Если в каждый квадратик размером 2×2 мы будем ставить по 2 пешки, то их не хватит, т. к. всего тогда понадобится 32 пешки. В один из таких квадратиков придется поставить всего 1 пешку. А это сразу обеспечит существование искомого варианта с трехклеточным пустым уголком.
Вопрос: Червяк ползет по стеблю, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки стебля, высота которого равна 75 см? 1шаг. Стебель очень длинный, укоротим его, придумав похожую задачу: Червяк ползет по стеблю, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки стебля, высота которого равна 5 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ очевиден — через половину суток.

2 шаг. Будем понемногу увеличивать высоту стебля. Пусть его высота станет равной 6 см. Для ее преодоления понадобится 1,5 суток. Значит, каждый дополнительный сантиметр высоты (свыше 5 см) увеличивает срок подъема на одни сутки.

Окончательное решение. На высоту 70 см червя поднимется за 70 суток, а потом за половину суток поднимется на 5 см.

Ответ: через 70,5 суток.
Вопрос: Из квадрата клетчатой бумаги 16 х 16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Квадрат очень большой. Рассмотрим для начала квадрат 4 х 4. Но есть еще меньший квадрат — именно он будет фигурировать в нашей вспомогательной задаче: Из квадрата клетчатой бумаги 2×2 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток. Очевидно, что после удаления любой клетки из квадрата 2×2, останется уголок из трех клеток. Теперь рассмотрим квадрат 4-к 4, разобьем его на 4 квадрата 2 х 2. В одном из них будет вырезана одна клетка, а три целых можно разрезать на уголки, состоящие из трех клеток, например, так, как показано на рисунке.

Квадрат 8×8 разбиваем на 4 квадрата 4 х 4 и повторяем наши рассуждения

в квадрате 8 на 8 будет 21, а в квадрате 16 на 16 будет 85. удачи с сириусом
Вопрос: Рубик разрубает свой кубик 3 х 3 х 3 на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, чтобы это сделать, если наложения кусков кубика друг на друга при разрубании разрешены?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Задача сложна из-за того, что разрубаемая фигура имеет большие размеры. Уменьшим одно измерение до 1, превратив куб в параллелепипед и тем самым, сводя исходную задачу к следующей: Рубик разрубает свой прямой параллелепипед размером 3 х 3 х 1 на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, если разрешается накладывать фигуры друг на друга?

Фигура, остается сложной. Представим себе, что еще одно измерение сократилось до 1, т. е. перед нами полоска 3x1x1. Рубик разрубает «полоску» размером 3 х 1 х 1 на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором? Двух ударов достаточно, меньше не получается.

2 шаг. Как же перейти от этой задачи к предыдущей? Надо разрубить прямой параллелепипед на три «полоски» размером 3x1x1. Для этого необходимо два удара. Еще 2 требуются, как мы знаем, чтобы справиться с «полосками». Меньше не получится, поскольку центральный квадратик нужно обрубить с четырех сторон.

Наконец, мы доходим до первоначальной задачи. Теперь мы видим ее решение. Двумя ударами разрезаем кубик на параллелепипеды 3x3x1. Наложив их друг на друга, еще двумя ударами получаем «полоски» 3x1x1. Еще два удара на собранные вместе полоски — и маленькие кубики получены. Итак, потребуется 6 ударов.

Но мы не всегда можем свободно менять параметры по одному. Иногда изменение одного параметра требует неизбежного изменения одного или нескольких других. И как их менять, неясно. Специально для этого случая разработано особое правило.

«Неизвестное» правило: изменив одно условие, другое, связанное с ним обозначьте за х так, чтобы вспомогательная задача решалась при данном значении х и не решалась при увеличении х на 1.
Вопрос: Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Мальчиков много. Пусть их будет меньше. Трое мальчиков нашли х грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну. Для доказательства установим, при каких л: задача имеет решение. При х = 0, х = 1, х = 2. При х = 3 решения нет, потому что 3 = 0+1+2. Сформулируем следующую похожую задачу. Трое мальчиков нашли 2 гриба. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Пусть все три мальчика нашли разное количество грибов. Тогда минимальное число грибов равно 3, поскольку 3 = 0+1+2, но по условию число грибов меньше 3, поэтому два мальчика нашли одинаковое число грибов.

При решении исходной задачи рассуждения точно такие же. Пусть все пять мальчиков нашли разное число грибов. Минимальное число грибов тогда должно равняться 10 (10 = 0+1+2+3+4). Но по условию число грибов меньше 10, поэтому двое мальчиков нашли одинаковое число грибов.

«Интересное» правило: делайте условия задачи более интересными, обнуляйте их, делайте равными друг другу, приравнивайте к единице, увеличивайте симметрию и т. д.

Если бы все мальчики собрали разное количество грибов, то 0+1+2+3+4=10 грибов они собрали бы как минимум. По условию они собрали 9 грибов, значит, хотя бы двое нашли грибов поровну, например: 1+1+2+3+2=9
Вопрос: Основание пирамиды Хеопса — квадрат, а ее боковые грани -равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и изменил угол грани при вершине. Получилось 100°. Может ли так быть?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Будем придумывать похожую задачу, меняя высоту пирамиды: Основание пирамиды — квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники, высота — нулевая. Буратино никуда не лазил и, измерив угол грани при вершине, получил 100°. Может ли так быть?

Не может, так как речь фактически идет об углах, образованных диагоналями квадрата. Они равны 90°.

2 шаг. А что будет, если увеличивать высоту пирамиды? Углы при вершине у боковых граней будут только увеличиваться, поэтому угол в 100° получить нельзя.

«Временное» правило: если в задаче идет какой-то процесс, и конечное состояние более определено, чем начальное, стоит запустить время в обратную сторону: рассмотрим последний шаг процесса, потом предпоследний и т. д.
Вопрос: Кузнец подковывает одно копыто за 5 мин. Сколько времени потребуется 8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей (лошадь не умеет стоять на двух ногах)?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1 шаг. Лошадей и кузнецов слишком много, уменьшим пропорционально их количества, составив задачу: Кузнец подковывает одно копыто за 5 мин. Сколько времени потребуется 4 кузнецам, чтобы подковать 5 лошадей? Ясно, что минимально возможное время — 25 минут, но может ли оно быть достигнуто? Необходимо организовать работу кузнецов без простоев. Будем действовать, не нарушая симметрии. Расположим 5 лошадей по кругу. После того, как четверо кузнецов подкуют каждый одно копыто лошади, кузнецы сдвинутся на одну лошадь по кругу. Чтобы обойти полный круг, потребуется 5 тактов работы по 5 минут. Во время 4 тактов каждая лошадь будет подковываться, а один такт — отдыхать. В итоге, все лошади будут подкованы за 25 минут.

2 шаг. Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что 8 = 2 — 4, а 10 = 2 5. Тогда всех кузнецов можно разбить на 2 бригады по 4 человека в каждой, а лошадей на 2 табуна по 5 лошадей в каждом. За 25 минут первая бригада подкует первый табун, а вторая — второй. Использование плана решения В этом случае решение основной задачи строится по аналогии с решением вспомогательной. При этом некоторые ключевые слова заменяют аналогичными. В этом случае способ решения вспомогательной задачи чрезвычайно важен. И надо рассматривать как можно больше различных вариантов решения вспомогательной задачи.
Вопрос: В книжке 12 страниц. Сколько цифр понадобилось, чтобы пронумеровать все страницы? Сколько из них единичек? А если в книге 20 страниц?
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение
1)9*1=9(ц.) однозначные.
2)12-9=3(ч.) двухзначные.
3)2*3=6(ц.) двухзначные.
4)9+6=15(ц.)понадобилось.
Ответ:15 цифр.

1)9*1=9(ц.) однозначные.
2)20-9=11(ч.) двухзначные.
3)2*11=22(ц.) двухзначных.
4)9+22=31(ц.) понадобилась.
Ответ:31 цифра.

Для книжки с 20 страницами можно рассуждать так. Два числа кончаются на 0 (10 и 20), всего 4 цифры, 1 единица. Остальные – это числа 1, 2, …, 9 и 11, 12, …, 19. Всего 9 + 18 = 27 цифр, 9 единиц в разряде десятков и 2 – в разряде единиц. Всего 4 + 27 = 31 цифра, 1 + 9 + 2 = 12 единиц.