nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа
Категория: школьный раздел
Ответы:
2n; 2n + 2; 2n + 4 - три последовательных четных числа. 
(2n)^2 + (2n + 2)^2 = (2n + 4)^2; 4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16; 4n^2 - 8n - 12 = 0; 
n^2 - 2n - 3 = 0; D1 = 1 + 3 = 4; n = 1 ± 2; n1 = 3; n2 = -1.
Ответ: 6; 8; 10 или -2; 0; 2.
Вопрос: Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см2. Найдите стороны прямоугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть длинна прямоугольника равна х, а ширина y.
            2(х + у) = 28
Тогда, { 
            х^2 + у^2 = 116
х + у = 14; х = 14 - у => (14 - у)^2 + y^2 = 116; 196 - 28y + y^2 + у^2 = 116; 2у^2 - 28y + 80 = 0; у^2 - 14у + 40 - 0; 
D1 = 49 - 40 = - 9; у = 7 ± 3; у1 = 10 не подходит так как y < x; у2 = 4 => х = 10.
Ответ: длинна 10 см, ширина 4 см.
Вопрос: Фотографическая карточка размером 12x18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см2.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим искомую ширину как х. Тогда, длинна листа равна 12 + 2х см, а ширина 18 + 2х см. 
(12 + 2х) (18 + 2х) = 280; (6 + х) (9 + х) = 70; х2 + 9х + 6х + 54 - 70 = 0; х^2 + 15x - 16 = 0; (х - 1)(x + 16) = 0; 
x1 = 1; х^2 = -16 - не подходит.
Ответ: ширина рамки 1 см.
Вопрос: Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна 3,25 м2.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть ширина бордюра равна х м. 
Тогда 4,5 • 2,5 - (4,5 - 2х)(2,5 - 2х) = 3,25; 11,25 - 11,25 + 9x + 5х - 4x^2 = 3,25; 4x^2 - 14х + 3,25 = 0; 
D1 = 49 - 4 • 3,25 = 49 - 13 = 36; х = (7±6)/4; х1 = 0,25; х2 = 3,25 - не подходит, так как 2,5 - 2х > 0 => х = 0,25 м.
Ответ: 0,25 м.
Вопрос: Сколько стратегий определяется на основании Gap-анализа?
Категория: экономические
Ответы:
четыре разрыв-стратегии
Разрыв между рыночным предложением компании (в самом широком смысле) и существующим на рынке уровнем спроса
Разрыв между текущей деятельностью или бизнес-процессами и их характеристиками, и видением того, как должно  быть в идеале или с точки зрения руководства.  
Разрыв между действительными целями и задачами работы компании в целом и сотрудников в частности с одной стороны и с другой стороны — теоретически необходимыми целями и задачами
Разрыв между текущими показателями работы и лучшими показателями в отрасли (benchmarks)
Вопрос: Старинная задача. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть некто купил лошадь за х пистолей. Тогда (x-24)/x = 0,01х; 0,01x^2 - x + 24 = 0; 
D = 1 - 4 • 0,01 • 24 = 1 - 0,96 = 0,04; х = (1±0,2)/0,02; x1 = 40; х2 = 60.
Ответ: 40 пистолей и 60 пистолей.
Вопрос: Дно ящика - прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м2 меньше площади боковых стенок
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть длинна ящика равняется 2х, тогда ширина х. Площадь дна ящика 2x2, суммарная площадь поверхности боковых стенок равна 0,5 • 2 • (2а + а) = 3а. 2х^2 + 1,08 = 3x; 2х^2 - 3х + 1,08 = 0; 
D = 32 - 8 • 1,08 = 9 - 8,64 = 0,36; х = (3±0,6)/4; x1 = 0,9; x2 = 0,6; 
Объем ящика 2х • х • 0,5 = х^2; При х = 0,9х^2 = 0,81; При х = 0,6x^2 = 0,36.
Ответ: 0,81 м3 или 0,36 м3.
Вопрос: Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом 6080 см3, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры - длину и ширину листа картона.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть ширина картонного листа равняется х, тогда длинна 1,5x. Так как сторона вырезанного квадрата равно 8 см объем коробки равен 8 • (х - 16) • (1,5x - 16); 8(х - 16)(1,5x - 16) = 6080; 1,5x^2 - 16x - 24x + 256 = 760; 
3х^2 - 80x - 1008 = 0; D1 = 40^2 + 3 • 1008 = 1600 + 3024 = 4624; х = (40±68)/3; х > 0 => х = 36; 1,5x = 54.
Ответ: 36 см и 54 см.
Вопрос: Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.
Категория: школьный раздел
Ответы:
n; n + 1 - два последовательных натуральных числа, n € N. (n + 1)^3 - n^3 = 919; n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n3 - 919 = 0; 
3n^2 + 3n - 918 = 0; n^2 + n - 306 = 0; D = 1 + 4 • 306 = 1225; n = (-1±35)/2 так как n натуральное => n = 17; n + 1 = 18.
Ответ: 17 и 18.
Вопрос: Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.
Категория: школьный раздел
Ответы:
2n + 1; 2n + З - два последовательных нечетных натуральных числа, n є N. 
(2n + 3)^3 - (2n + 1)^3 = 866; 8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 - 12n^2 - 6n - 1 = 866; 24n^2 + 48n - 840 = 0; 
n^2 + 2n - 35 = 0; D1 = 1 + 35 = 36; n = - 1 ± 6 так как n натуральное => n = 5; 2n + 1 = 11; 2n + 2 = 13.
Ответ: 11 и 13.
Вопрос: Докажите, что уравнение 7х^2 + bх - 23 = 0 при любых значениях Ь имеет один положительный и один отрицательный корень.
Категория: школьный раздел
Ответы:
7x^2 + bx - 23 = 0; D = b^2 + 4 • 7 - 23 > 0; значит, данное уравнение имеет два корня. x^2 + b/7x - 23/7 = 0;
по теореме Виета x1 • x2 = - 23/7 => уравнение имеет всегда два корня противоположных знаков.
Вопрос: Решите графически уравнение:
а) 6/|x|= 1,5x - 2; б) 8/|x| = x^2; в) 3/|x| = x + 1; г) x^2 = 5/|x|
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решите графически уравнение:а) 6/|x|= 1,5x - 2; б) 8/|x| = x^2; в) 3/|x| = x + 1; г) x^2 = 5/|x|
Вопрос: На перегоне в 600 км после прохождения 1/4 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть х скорость поезда, тогда х + 15 скорость поезда после ее увеличения. Первый участок пути поезд прошел за 150/x ч, а второй за 450/(x+15) ч. Весь путь поезд прошел за 600/x ч. Тогда, 150/x + 3/2 + 450/(x+15) = 600/x;
(3x+45+900)/(2(x+15)) - 450/x = 0; 3x^2 + 945x - 900x - 13500 = 0; 3x^2 + 45x - 13500 = 0; x^2 + 15x - 4500 = 0; 
D = 15^2 + 4 • 4500 = 18225; x = (-15±135)/2; x > 0; x = 60; Поезд был в пути 600/x = 10 ч.
Ответ: 10 часов.
Вопрос: Туристы совершили три перехода в 12,5 км, 18 км и 14 км, причём скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость на втором переходе была х, тогда скорость на первом х - 1, а на третьем х - 2. 
Тогда, 14/(x-2) = 18/x + 1/2; (28x-36(x-2)-x(x-2))/(2x(x-2)) = 0;
28x - 36x + 72 - x2 + 2х = 0; x2 + 6х - 72 = 0; 
D1 = 9 + 72 = 81; x = -3±9; x > 0 => x = 6; x - 1 = 5; х - 2 = 4;
12,5/(x-1) = 2,5; 18/x = 3; 14/(x-2) = 3,5.
Ответ: Первый переход был пройден за 2,5 часа, второй за 3 часа, третий за 3,5 часа.
Вопрос: Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 2/5 ч меньше, чем на путь от А до Б. С какой скоростью шёл автомобиль из А в В?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость автомобиля на первых двух участках пути х, тогда х + 10 скорость на третьем участке. 
Значит, 120/x + 120/(x+10) + 2/5 = 240/x;
(300(х+10)+300х+x(x+10)-600(х+10))/(5x(x+10)) = 0; 
600x + 3000 + х^2 + 10х - 600x - 6000 = 0; х^2 + 10х - 3000 = 0; D1 = 25 + 3000 = 3025; х = -5 ± 55; х > 0 => х = 50.
Ответ: 50 км/ч.
Вопрос: Расстояние от А до В, равное 400 км, поезд прошёл с некоторой постоянной скоростью; 2/5 обратного пути из В в А он шёл с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость поезда на участке от А до Вx, тогда на первом участке обратного пути, равном 160 км, он шел со скоростью х, а на втором со скорость х - 20. 
Значит, 400/x + 160/x + 240/(x-20) = 11; 560/x + 240/(x-20) - 11 = 0;
(560(x-20)+240х-11(x2-20x))/(x(x-20)) = 0; 
560x - 11200 + 240x - 11x^2 + 220x = 0; 11x^2 - 1020x + 11200 = 0; D1 = (510)^2 + 11 • 11200 = 136900; 
х = (510±370)/11; x - 20 > 0; х > 20 => х = 80; х - 20 = 60.
Ответ: 60 км/ч.
Вопрос: Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость течения реки равняется х, тогда против течения лодка плыла со скоростью 12 - х. 
Значит, 25/x - 25/(12-x) = 10; (25(12-x)-25x))/(x(12-x)) - (10x(12-x)) /(x(12-x)) = 0;
300 - 25x - 25x - 120x + 10x^2 = 0; x^2 - 17x + 30 = 0; 
D = 17^2 - 4 • 30 = 169; x = (17±13)/2; 12 - x < 0 => x = (17-13)/2 = 2.
Ответ: 2 км/ч.
Вопрос: Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость течения в притоке х, тогда скорость течения реки х - 1, значит, 35/(10-(x-1)) + 18/(10-x) = 8;
35/(11-x) + 18/(10-x) - 8 = 0; (350-35x+198-18х-8(11-х)(10-х)/(11-x)(10-x) = 0;
548 - 53x - 8(110 + х^2 - 21х) = 0; 548 - 53х - 880 - 8х^2 + 168х = 0; 8х^2 - 115х + 332 = 0; 
D = (115)^2 - 4 • 8 • 332 = 13225 - 10624 = 2601; х = (115±51)/16; 10 - х > 0; х = (115-51)/16 = 4; х - 1 = 3.
Ответ: скорость течения реки 3 км/ч.
Вопрос: Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость плота х, тогда скорость катера х + 12. 5 ч 20 мин = 5 1/3 ч. 
Значит, 20/(x+12) + 5 1/3 = 20/x;
20/(x+12) - 16/3 - 20/x = 0; (60х+16х(х+12)-60(х+12))/(3x(x+12)) = 0;
60x + 16x^2 + 192x - 60х - 720 = 0; 16х^2 + 192х - 720 = 0; x^2 + 12х - 45 = 0; 
D1 = 36 + 45 = 81; х = -6 ± 9х > 0 => x = -6 + 9 = 3.
Ответ: 3 км/ч.
Вопрос: Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв б км, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость течения реки х км/ч, скорость лодки в неподвижной воде равна 90 м/мин = 5,4 км/ч. 
Тогда 6/(5,4-x) + 6/x = 4,5; (6x+(32,4-6x))/(x(5,4-x)) - 4,5 = 0;
(32,4-4,5(5,4-х^2))/(x(5,4-x)) = 0; 32,4 - 24,3x + 4,5x^2 = 0; 
х^2 - 5,4x + 7,2 = 0; D = 5,42 - 4 • 7,2 = 29,16 - 28,8 = 0,36; х = (5,4±0,6)/2; x1 = 3; x2 = 2,4.
Ответ: 3 км/ч или 2,4 км/ч.
Вопрос: Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в 27 км от Б. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В равно 44 км
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость плота х, тогда время его движения (44-27)/x = 17/x, скорость катера 12 - х, время его движения 
12 - x. Значит, 27/(12-x) + 8/3 = 17/x;
(81x+8x(12-x)-51(12-x))/(3x(12-x)) = 0; 81x + 96х - 8х^2 - 612 + 51x = 0;
8x^2 - 228х + 612 = 0; 2x^2 - 57x - 153 = 0;
D = 57^2 - 4 • 2 •153 = 3249 - 1224 = 2025; х = (57±45)/4; 12 - х < 0;
Ответ: 3 км/ч.
Вопрос: Теплоход отправился от пристани А до пристани Б, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на 1/2 ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть первоначальная скорость теплохода равняется х, тогда после задержки стала х + 10. 
Значит, 225/x = (225-1,5x)/(x+10) + 3/2 + 1/2; 225/x - (225-1,5x)/(x+10) - 2 = 0;
(225х+2250-225x+1,5х^2-2х^2-20х)/(x(x+10)) = 0; 
2250 - 0,5x^2 - 20x = 0; х^2 + 40x - 4500 = 0; D1 = 400 + 4500 = 4900; х = -20 ± 70; х > 0 => х = 50.
Ответ: 50 км/ч.
Вопрос: Из города А в город Б, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 3/4 ч ехал с той лее скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город В вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость первого автомобиля равняется х,тогда до остановки второй двигался со скоростью х, а после х + 5. 
Время движения первого автомобиля 120/x; время движения второго до остановки 3/4, после (120-3/4x)/(x+5).
Значит 120/x = 3/4 + 1/4 + (120-3/4х)/(x+5). 120/x - (120-3/4х)/(x+5) - 1 = 0;
(120х+600-120x+3/4х^2-x^2-5х)/(x(x+5)) = 0; 600 - 1/4x^2 - 5x = 0; х^2 + 20х - 2400 = 0; 
D1 = 100 + 2400 = 2500; x = -10 ± 50; x > 0 => х = 40.
Ответ: 40 км/ч.
Вопрос: Автобус проехал расстояние между пунктами А и B, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть первоначальная скорость автобуса х, тогда после увеличения х + 10. 20 мин = 1/3 ч. 
Значит, 400/x = 2 + 13 + (400-2х)/(x+10); 400/x - (400-2х)/(x+10) - 7/3 = 0;
(1200x+12000-1200x+6x^2-7х2-70х)/(3x(x+10)) = 0; 12000 - х^2 - 70x = 0;
х^2 + 70х - 12000 = 0; D1 = 35^2 + 12000 = 1225 + 12000 = 13225; х = -35 ± 115; x > 0 => х = 80;
(400-2x)/(x+10) = (400-160)/90 = 2 2/3.
Ответ: 2 часа 40 минут.
Вопрос: Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость мотоциклиста равняется х, тогда после уменьшения х - 10. 
Значит, 100/x + (4x-100)/(x-10) = 4 1/2; 100/x + (4x-100)/(x-10) = 9/2; 
(200х-2000+8х^2-200х-9х^2+90х)/(2x(x-10)) = 0; x^2 - 90x + 2000 = 0; 
D1 = 45^2 - 2000 = 2025 - 2000 = 25; х = 45 ± 5; x1 = 40; х2 = 50; 4x1 = 160; 4х2 = 200.
Ответ: 160 км или 200 км.
Вопрос: Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 4 1/2 ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и Б.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость первого автомобиля равняется х, тогда скорость второго х + 10. Расстояние между городами равно 
5х + 5(х + 10) = 10x + 50; время движения второго автомобиля если бы первый вышел на 4,5 ч раньше 150/(x+10); значит, (10x+50-150)/x - 150/(x+10) = 4,5; (10х-100)/x - 150(x+10) - 4,5 = 0;
(10х^2-100х+100х-1000-150х-4,5х^2-45x)/(x2+10x) = 0; 5,5x^2 - 195х - 1000 = 0; 
D = 195^2 + 4 • 5,5 • 1000 = 38025 + 22000 = 60025; х = (195±245)/11; х > 0 => х = (195+245)/11 = 40; 10х + 50 = 450.
Ответ: 450 км.
Вопрос: Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость катера в стоячей волне х, тогда скорость катера по течению х + 2, против течения х - 2. Расстояние между пристанями 6(х + 2); значит, (6(x+2)-40)/(x+2) + (6+(x+2)-40)/(x-2) = 9;
(6(х2-4)-40х+80+6(х2+4х+4)-40х-80)/(х2-4) = 0;
(6х^2-24-80x+6х^2+24x+24-9х^2+36)/(х2-4) = 0; 3х^2 - 56x + 36 = 0;
D1 = 28^2 - 3 • 36 = 784 - 108 = 676; х = (28±26)/3;
х - 2 > 0 => x = (28+26)/3 = 18.
Ответ: 18 км/ч.
Вопрос: Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути - со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта М в пункт N?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть первоначальная скорость мотоциклиста равняется х, тогда время, за которое мотоциклист проехал первую часть обратного пути 36/x; время движения на втором участке пути (5x-36)/(x+3); 
Значит, 36/x + (5x-36)/(x+3) = 5 - 1/4;
(36х+108+5х^2-36х)/(х^2+3x) = 19/4; (20х^2+432-19х^2-57х)/(4(х^2+3x)) = 0; 
х^2 - 57х + 432 = 0; D = 57^2 - 432 = 3249 - 4 • 432 = 3249 - 1728 = 1521; х = (57±39)/2; x1 = 48; х2 = 9.
Ответ: 48 км/ч или 9 км/ч.
Вопрос: Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть длинна шага сына равняется х м, тогда длинна шага отца х + 0,2 м. Сын сделал 240/x шагов, отец сделал 240/(x+0,2). Значит 240/x - 240/(x+0,2) = 100; (240х+48-240х)/(x(x+0,2)) - 100 = 0;
(48-100x^2-20x)/(x(x+0,2)) = 0; 50х^2 + 10х - 24 = 0; 25х^2 + 5х - 12 = 0;
D = 25 + 4 • 25 • 12 = 1225; х = (-5±35)/50; x > 0 => х = 0,6; x + 0,2 = 0,8.
Ответ: 0,6 м и 0,8 м.
Вопрос: Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок - на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть вторая бригада шила за день х костюмов, тогда первая х + 10. 
Значит, 160/(x+10) + 2 = 0,75 • 160/x - 2; 160/(x+10) - 150/x + 4 = 0;
(160х-120х-1200+4х^2+40х)/(x(x+10)) = 0; 4x^2 + 80x - 1200 = 0; х^2 + 20х - 300 = 0; 
D1 = 100 + 300 = 400; х = -10 ± 20; х > 0 => х = 10.
Ответ: 10 костюмов.
Вопрос: Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть плановое количество пылесосов, которое должна изготавливать бригада в день равняется х, тогда бригада должна была выполнить план за 768/x дней, значит, 5 + (844-5x)/(x+6) = 798/x - 1; (844-5x)/(x+6) - 768/x + 6 = 0;
(844х-5x^2-768-4608+6x^2+36х)/(x(x+6)) = 0; x^2 + 112x - 4608 = 0;
D1 = 56^2 + 4608 = 3136 + 4608 = 7744; х = -56 ± 88; х > 0 => х = 32.
Ответ: 32 пылесоса.
Вопрос: Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит 6 кг меди, а второй - 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса второго 60 - х кг. 6/x = 3,6/(60-x) + 0,15; 6/x - 3,6/(60-x) - 0,15 = 0; 
(360-6x-3,6x-9x+0,15x^2)/(x(60-x)) = 0; 0,15x^2 - 18,6x + 360 = 0;
D1 = 9,3^2 - 360 • 0,15 = 86,49 - 54 = 32,49; 
х = (9,3+5,7)/0,15 = 100; не может такого быть так как 60 - х > 0 => х = (9,3-5,7)/0,15 = 24; 60 - 24 = 36.
Ответ: 24 кг и 36 кг.
Вопрос: Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть первоначально масса сплава была х кг, тогда 6/x = 6/(x+13) + 0,26; 6/x = (6+0,26x+3,38)/(x+13);
6/x - (9,38+0,26x)/(x+13) = 0;
(6x+78-9,38x-0,26x^2)/(x(x+13)) = 0; 0,26x^2 + 3,38x - 78 = 0;
D = 3,38^2 + 4 • 0,26 • 78 = 92,5444; x = (-3,38±9,62)/0,52; x > 0; x = (-3,38+9,62)/0,52 = 12.
Ответ: 12 кг.
Вопрос: За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Примем объем всей работы за единицу. Пусть х количество дней, за которое может вспахать все поле первый трактор, тогда второй может вспахать поле за х + 5 дней, 1/x - производительность первого трактора, 1/(x+5) - производительность второго трактора, 1/x + 1/(x+5) - их совестная производительность. 
Значит, (1/x + 1/(x+5)) • 4 = 2/3; 1/x + 1/(x+5) = 1/6; 6x + 30 + 6x = x^2 + 5x; 
х^2 - 7х - 30 = 0; D = 49 + 4 • 30 = 169; x = (7±13)/2; х > 0; х = 10; х + 5 = 15.
Ответ: 10 дней и 15 дней.
Вопрос: Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Примем объем всей работы за единицу. Пусть за х дней, оба комбайна уберут поле, тогда за х + 9 уберет поле первый, 
за х + 4 уберет поле второй. 1/(x+4) + 1/(x+9) - их совместная производительность. 
Значит, 1/(x+4) + 1/(x+9) = 1/x; x^2 + 9x + х^2 + 4x = х^2 + 9x + 4х + 36; x^2 = 36; x = 6; х + 9 = 15; х + 4 = 10.
Ответ: за 15 дней и за 10 дней.
Вопрос: Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Примем объем всей работы за единицу. Пусть за х часов, наполниться первый бассейн при работе двух труб, тогда за 
x + 9 ч при работе первой трубы и за х + 16 при работе второй трубы. 
Совместная производительность 1/(x+9) + 1/(x+16). 
Значит, 1/(x+9) + 1/(x+16) = 1/x; х^2 + 16x + x^2 + 9х = x^2 + 16x + 9х + 144; х^2 = 144; х = 12.
Ответ: за 12 часов.
Вопрос: Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Примем объем всей работы за единицу. Пусть за  х часов первый слесарь выполнит всю работу, тогда второй выполнит  за х - 5 часов. Их совместная  производительность 1/х +1/х-5
значит 1/х +4(1/х+1/х-5) = 0,4
5/х+4/х-5-2/5=0
25х-125+20х-2х^2+10х/5х(х-5)=0 
-2х^2+55х-125=0
2х ^2-55х+125=0
Д = 55&2 -4*2*125=2025
х= 55+45/4
х-5>0
х= 55+45/4 = 25
х-5=20
ответ за 25 часов и за 20 часов
Вопрос: При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части - другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Примем объем всей работы за единицу. Пусть за х минут можно снять ксерокопию с рукописи при работе первой машины. Тогда производительность первой машины равна 1/x; совместная производительность первой и второй машины равняется 1/6, значит производительность второй машины 1/6 - 1/x = (x-6)/6x; а время за которое можно снять ксерокопию рукописи 6x/(x-6);
Вопрос: Сравните числа а и b, если:
а) а - b = -0,001; б) а - b = 0; в) а - b = 4,3.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) a - b = -0,001; a < b; 
6) a - b = 0; a = b; 
в) a - b = 4,3; a > b.
Вопрос: Известно, что a < b. Может ли разность а - b выражаться числом 3,72? -5? 0?
Категория: школьный раздел
Ответы:
a < b => a - b < 0 => разность а - b может выражаться только числом -5.
Вопрос: Даны выражения 3а(а + 6) и (3а + 6)(а + 4).
Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.
Категория: школьный раздел
Ответы:
3а(а + 6) = 3а2 + 18а; (3а + 6)(а + 4) = 3а2 + + 12а + 6а + 24 = 3а2 + 18а + 24; 
При а = -5; 
3а(а + 6) = -15; (3а + 6)(а + 4) = -9 • (-1) = 9 => 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4); 
При а = 0; 
3а(а + 6) = 0; 
(3а + 6)(а + 4) = 6 • 4 = 24 => 3а (а + 6) < (3а + 6)(а + 4); 
При а = 40; 3а(а + 6) = 120 • 46 = 5520; (3а + 6)(а + 4) = 126 • 44 = 5544 => 3а (а + 6) < (3а + 6) (а + 4); 3а (а + 6) = = 3а2 + 18а; 
(3а + 6)(а + 4) = 3а2 + 12а + 6а + 24 = 3а2 + 18а + 24 => 3а(а + 6) - (3а + 6)(а + 4) = а2 + 18а - (3а2 + 18а + 24) = 
= -24 => 3а (а + 6) < (3а + 6)(а + 4).
Вопрос: Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть х положительное число, тогда 1/x число обратное ему. 
х + 1/x - 2 = (x^2+1-2x)/x = (x-1)^2/x ≥ 0 => х + 1/x ≥ 2.
Вопрос: К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.
Категория: школьный раздел
Ответы:
0 + k; 1 + k; 2 + k; 3 + k; 
(1 + k)(2 + k) - k(3 + k) = k^2 + k + 2k + 2 - 3k - k^2 = 2 > 0 => (1 + k)(2 + k) > k(k + 3).
Вопрос: Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути - со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть расстояние между поселком и станцией х км, Коля затратил на путь x/5; а Миша  0,5x/(5+0,5) + 0,5x/(5-0,5) = x/11 + x/9 = (9x+11x)/99 = 20x/99; x/5 - 20x/99 = (99x-100x)/5•99 < 0 => Коля пришел первым.
Вопрос: Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и b, если известно, что верны неравенства:
а) а - 3 > b - 3 и b > 4;    в) 7a > 7b и b > 1/2;
б) a - 8 > b - 8 и a < -12; г) -2а > -2b и b < -1/3?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) а - 3 > b - 3 и b > 4 => а > b и b > 4 => а > b > 0; а и b положительные;
б) a - 8 > b - 8 и a < -12 => а > b; и а < -12 => 0 > -12 > а > b; а и b отрицательные;
в) 7a > 7b и b > 1/2 => а > b; и b > 1/2 => а > b > 1/2 > 0; а и b положительные;
г) -2а > -2b и b < -1/3 => а < b и b < -1/3 => а < b < - 1/3 < 0; а и b отрицательные.
Вопрос: Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям неравенства 18 > -7 прибавить число -5; число 2,7; число 7;
б) из обеих частей неравенства 5 > -3 вычесть число 2; число 12; число -5;
в) обе части неравенства -9 < 21 умножить на 2; на -1; на - 1/3;
г) обе части неравенства 15 > -6 разделить на 3; на -3; на -1.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) 18 > -7; 18 - 5 > -7 - 5; 13 > -12; 18 + 2,7 > -7 + 2,7; 20,7 > -4,3; 18 + 7 > -7 + 7; 25 > 0; 
6) 5 > -3; 5 - 2 > -3 - 2; 3 > -5; 5 - 12 > -3 - 12; -7 > -15; 5 + 5 > -3 + 5; 10 > 2; 
в) -9 < 21; -9 • 2 < 21 • 2; -18 < 42; -9 • (-1) > 21 • (-1); 9 > -21; -9 • (-1/3) > 21 • (-1/3); 3 > -7;
г) 15 > -6; 15/3 > -6/3; 5 > -2; 15/-3 < -6/-3; -5 < 2; 15/-1 < -6/-1; -15 < 6.
Вопрос: Известно, что а < b. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4;
б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5;
в) обе части этого неравенства умножить на 8;
г) обе части этого неравенства разделить на 1/3;
д) обе части этого неравенства умножить на -4,8;
е) обе части этого неравенства разделить на -1.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a < b; a) a + 4 < b + 4; 6) a - 5 < b - 5; в) 8a < 8b; г) 3a < 3b; д) -4,8a > -4,8b; e) -a > -b.
Вопрос: Известно, что а < b. Поставьте вместо звёздочки знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство:
а) -12,7а * -12,76; в) 0,07а * 0,076;
б) a/3 * b/3;          г) -a/2 * -b/2.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a < b; a) -12,7a > -12,7b; 6) a/3 < b/3; в) 0,07a < 0,07b; r) -a/2 > -b/2.
Вопрос: Каков знак числа а, если известно, что:
а) 5а < 2а; б) 7а > 3а; в) -3а < 3а; г) -12а > -2а?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) 5а < 2а => 5а - 2а = 3а < 0 => а < 0;
б) 7а > 3а => 7а - 3а = 4а > 0 => а > 0;
в) -3а < 3а => 3а - (-3а) = 6а > 0 => а > 0;
г) -12а > -2а => -12а- (-2а) = -10а > 0 => а < 0.
Вопрос: Известно, что а, b, с и d - положительные числа, причём а > b, d < b, c > а. Расположите в порядке возрастания числа 1/a, 1/b, 1/c, 1/d
Категория: школьный раздел
Ответы:
c > a > b > d; 1/c < 1/a < 1/b< 1/d.
Вопрос: Известно, что а - положительное число.
а) Расположите в порядке возрастания числа: 2а, а√3, -а, а(√3 - √2), 3а.
б) Расположите в порядке убывания числа: 6а, -a√5, a(√7 - √6), -а, -5а - 1.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) -a < а (√3 - √2) < a√3 < 2a < 3а;
б) 6а > a (√7 - √6) > -а > -а√5 > -5а - 1.
Вопрос: Известно, что 3 < а < 4. Оцените значение выражения: 
а) 5а; б) -а; в) а + 2; г) 5 - а; д) 0,2а + 3.
Категория: школьный раздел
Ответы:
3 < а < 4; 
а) 15 < 5а < 20; 
б) -4 < -а < -3;
в) 5 < а + 2 < 6;
г) -4 < -а < -3 => 1 < 5 - а < 2;
д) 0,6 < 0,2а < 0,8 => 3,6 < 0,2а + 3 < 3,8.
Вопрос: Зная, что 5 < х < 8, оцените значение выражения: 
а) 6х; б) -10х; в) х - 5; г) 3х + 2.
Категория: школьный раздел
Ответы:
5 < x < 8; 
а) 30 < 6x < 48; 
б) -80 < -10x < -50; 
в) 0 < х - 5 < 3;
г) 15 < 3x < 24 => 17 < 3х + 2 < 26.
Вопрос: а) Оцените периметр квадрата со стороной а см, если 5,1 ≤ а ≤ 5,2.
б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен Р см, если 15,6 ≤ Р ≤ 15,8.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Периметр квадрата равен 4а => 20,4 < 4а < 20,8;
б) Сторона квадрата равна S/4 => 3,9 < S/4 < 3,95.
Вопрос: Оцените значение выражения 1/y, если:
a) 5 < y < 8; б) 0,125 < у < 0,25.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) 5 < у < 8 => 1/8 < 1/y < 1/5; 
б) 0,125 < y < 0,25; 4 < 1/y < 8.
Вопрос: Известны границы длин основания а и боковой стороны b равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах: 
26 ≤ а ≤ 28 и 41 ≤ b ≤ 43.
Оцените периметр этого треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Периметр треугольника равен а + 2b; 
26 ≤ а ≤ 28; 41 ≤ b ≤ 43 => 2 • 41 ≤ 2b ≤ 2 • 43 => 82 ≤ 2b < 86; 
26 + 82 ≤ а + 2b ≤ 28 + 86 => 108 ≤ а + 2b < 114(мм).
Вопрос: Измеряя длину а и ширину b прямоугольника (в см), нашли, что 5,4 < а < 5,5 и 3,6 < b < 3,7.
Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
5,4 < a < 5,5; 3,6 < b < 3,7; 
а) Периметр прямоугольника равен 2a + 2b; 
2 • 5,4 < 2a < 2 • 5,5 => 10,8 < 2a < 11; 2 • 3,6 < 2b < 2 < 3,7 => 7,2 < 2b < 7,4; 
10,8 + 7,2 < 2a + 2b < 11 + 7,4 => 18 < 2a + 2b < 18,4 (cм);
б) Площадь прямоугольника равняется a • b;
5,4 • 3,6 < ab < 5,5 • 3,7 => 19,44 < ab < 20,35 см2.
Вопрос: Известны границы длины а и ширины b (в м) комнаты прямоугольной формы: 7,5 ≤ а ≤ 7,6 и 5,4 ≤ b ≤ 5,5. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее 40 м2?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь прямоугольника равняется а • b. 
7,5 • 5,4 < ab < 7,6 • 5,5 => 40,5 < аb < 41,8 м2. Значит, помещение подойдет.
Вопрос: Пусть а и ß - углы треугольника. Известно, что
58° ≤ а ≤ 59°, 
102° ≤ ß ≤ 103°.
Оцените величину третьего угла.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сумма углов треугольника равняется 180°; Пусть третий угол ζ = 180 - а - ß. 
-59° ≤ -а ≤ -58°; 
-103° ≤ -ß ≤ -102°; 
180° - 59° - 103° ≤ ζ ≤ 180° - 58° - 102° => 18° ≤ ζ ≤ 20°.
Вопрос: Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0 верно неравенство:
а) (а + b)(b + с)(а + с) ≥ 8abc;
б) ((a+1)(b+1)(a+c)(b+c))/16 ≥ аbс.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) (а + b)(b + с)(а + с) ≥ 2√ab • 2√bc • 2√ac = 8abc;
б) ((a+1)(b+1)(a+c)(b+c))/16 ≥ (2√a•2√b•2√ac•2√bc)/16 = аbс.
Вопрос: Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из неравенства треугольника следует что: 
AВ < АО + ВО; DC < DO + OC => АВ + DC < АО + ВО + DO + OC => AB + DC < АС + BD.
Вопрос: Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану ВО.
2) На луче ВО отложите отрезок OD = ВО и соедините точку D с точками А и С. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2mb с суммой ВС + АВ (mb - медиана ВО).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2ma и 2mс.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму ma + mb + mc.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из неравенства треугольника следует что 
СО + OZ > CZ; АО - OX > АХ; ВО + OY > BY => CO + OZ + AO + OX + BO + OY > CZ + AX + BY => 
=> AZ + CY + BX > CZ + AX + BY => 2(AZ + CY + BX) > CB + AC + AB.
Вопрос: Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм2. Каковы размеры первоначального листа жести?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть сторона квадрата равняется х дм, после того как отрезали полосу лист жести стал иметь форму прямоугольника, с длинной х дм, а шириной х - 5 дм, значит, х • (х - 5) = 6; х^2 - 5х - б = 0; D = 25 + 24 = 49; х = (5±7)/2; x > 0 => x = 6.
Ответ: 6 дм х 6 дм.
Вопрос: Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления:
а) числа 9,87 до единиц;  в) числа 0,453 до десятых;
б) числа 124 до десятков; г) числа 0,198 до сотых.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) 9,87 ≈ 10; |9,87 - 10| = 0,13;
б) 124 ≈ 120; |124 - 120| = 4;
в) 0,453 ≈ 0,5; |0,453 - 0,5| = 0,047;
г) 0,198 ≈ 0,2; |0,198 - 2| = 0,002.
Вопрос: При выполнении  вычислений дробь 1/7 заменили десятичной дробью 0,14.  Какова абсолютная погрешность этого приближения?
Категория: школьный раздел
Ответы:
|1/7 - 0,14| = |100/700 - 98/100| = 1/350
Вопрос: В каких границах заключено число y, если:
а) у = 6,5 ± 0,1; б) у = 1,27 ± 0,2.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) у = 6,5 ± 0,1; 6,4 < у < 6,6; 
б) у = 1,27 ± 0,2; 1,07 < у < 1,47.
Вопрос: На упаковке простокваши написано, что её надо хранить при температуре 4 ± 2°С. В каких границах заключено значение температуры t°С, допустимое для хранения?
Категория: школьный раздел
Ответы:
2°С ≤ t ≤ 6°C.
Вопрос: На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%. В каких границах заключена масса а г этого товара?
Категория: школьный раздел
Ответы:
0,03 • 420 = 12,6; 407,4 ≤ a ≤ 432,6.
Вопрос: На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре 16 ± 3°С. Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная:
а) 18°; б) 21°; в) 14,5°; г) 12,5°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) да; б) нет; в) да; г) нет.
Вопрос: Определяя массу мешка картофеля с точностью до 1 кг, нашли, что она равна 32 кг. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до 0,1 кг, оказаться равной: 
а) 31,4; б) 32,5; в) 33,2; г) 30,7?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) да; б) да; в) нет; г) нет.
Вопрос: Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точность полученного результата 1°.
Вопрос: При измерении длины стержня пользовались линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления 0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом были получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений и какую точность даёт каждый инструмент?
Категория: школьный раздел
Ответы:
18 мм - линейка, точность инструмента 1 мм.
17,9 мм - штангенциркуль, точность инструмента 0,1 мм. 
17,86 мм - микрометр, точность инструмента 0,01 мм.
Вопрос: Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.
Категория: школьный раздел
Ответы:
2,525 ≈ 2,5; 
Абсолютная погрешность: |2,525 - 2,5| = 0,025. 
Относительная погрешность равна 0,025/2,5 • 100% = 1%.
Вопрос: Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6 г/см3. Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см3).
Категория: школьный раздел
Ответы:
(|7,6-7,8|)/7,6 • 100% = 0,2/7,6 • 100% ≈ 2,6%.
Вопрос: Поверхность Земли равна 510,2 млн км2 (с точностью до 0,1 млн км2). Оцените относительную погрешность приближённого значения.
Категория: школьный раздел
Ответы:
0,1/510,2 • 100% ≈ 0,02%.
Вопрос: Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили d ≈ 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и l ≈ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Относительная погрешность измерения человеческого волоса: 0,01/0,15 • 100% ≈ 7%. Относительная погрешность измерения расстояния от Земли до Луны: 500/384000 • 100% ≈ 0,13%. Качество второго измерения намного выше, чем первого.
Вопрос: Известно, что X - множество простых чисел, не превосходящих 20, а У - множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества X и У перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.
Категория: школьный раздел
Ответы:
X = {2,3,5,7,11,13,17,19}.
Y = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}.
XUY = {2,3,5,7,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
X∩Y = {11,13,17,19}.
Вопрос: Задайте путём перечисления элементов множество А двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.
Категория: школьный раздел
Ответы:
A = {16,25,36,49,64,81}.
В = {16,32,48,64,80,96}. 
A U В = {16,25,32,36,48,49,64,80,81,96} 
А ∩ В = {16,64}.
Вопрос: Найдите пересечение и объединение:
а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;
б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;
в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;
г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) X = {1,2,3,4}.У = {1,2,3,6};
Х U У = {1,2,3,4,6}.
Х ∩ У = {1,2,3};
б) X = {г, е, о, м, е, т, р, и, я};
Y = {г, е, о, г, р, а, ф, и, я};
X U Y = {г, е, о, м, т, р, и, я, а, ф};
Х ∩ У = {г, е, о, р, и, я}.
Вопрос: Пусть А - множество квадратов натуральных чисел, В - множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:
а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;
б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) 1 и 64 принадлежит, а 4 не принадлежит; 
б) 16,27 и 64 принадлежит.
Вопрос: Множеством каких фигур является пересечение:
а) множества прямоугольников и множества ромбов;
б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Множество квадратов;
б) Множество прямоугольных равнобедренных треугольников.
Вопрос: Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:
а) множества натуральных и множества целых чисел;
б) множества целых и множества рациональных чисел;
в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) N ∩ Z = N; N U Z = Z;
б) Z ∩ Q = Z; Z U Q = Z;
в) N ∩ I = 0; N U I = R.
Вопрос: Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Общая часть кругов изображает множество кратное 12.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если:
а) X - множество простых чисел, Y - множество составных чисел;
б) X - множество целых чисел, кратных 5, Y - множество целых чисел, кратных 15.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) X ∩ Y = Ø; X U Y = Z;
6) X ∩ Y — множество целых чисел кратных 15;
X U Y = множество целых чисел кратных 5.
Вопрос: Термометр показывает температуру с точностью до 1°С. Измеряя им температуру воздуха, нашли, что она равна 16°С. С какой относительной точностью выполнено измерение?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1/16 • 100% = 6,25%.
Вопрос: В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть урожайность гречихи в первом хозяйстве х + 2, тогда во втором х. 
Значит, 180/(x-2) = 160/x - 1;
180/(x+2) - 160/x + 1 = 0; (180x-160x-320+x^2+2x)/(x(x+2)) = 0; 
x^2 + 22x - 320 = 0; D1 = 121 + 320 = 441; х = -11 ± 21; x > 0 => х = 10; х + 2 = 12.
Ответ: 12 ц и 10 ц.
Вопрос: Принадлежит ли интервалу (-4; 6,5) число: -3; -5; 5; 6,5; -3,9; -4,1?
б) Принадлежит ли отрезку [-8; -5] число: -9; -8; -5,5; -5; -6; -7,5?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Принадлежат интервалу числа -3; 5; -3,9; Не принадлежат интервалу числа -5; 6,5; -4,1.
б) Принадлежат интервалу числа -8; -5,5; -5; -6; Не принадлежит интервалу число -9.
Вопрос: Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку:
а) [-1,5; 6,5]; б) (3; +∞); в) (-∞; -1]?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5; 
б) 5,1; 6,5; 
в) -1,6; -1,5; -1.
Вопрос: Укажите все дроби вида a/54, где а є N, принадлежащие промежутку [1/9; 1/6].
Категория: школьный раздел
Ответы:
1/9 = 6/54; 1/6 = 9/54 => 6/54; 7/54; 8/54; 9/54  принадлежат промежутку [1/9; 1/6].
Вопрос: Какие целые числа принадлежат промежутку: 
а) (-4; 3); б) [-3; 5]?
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) -3; -2; -1; 0; 1; 2; 
б) -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Вопрос: Какие целые числа принадлежат промежутку:
а) [0; 8]; б) (-3; 3); в) (-5; 2); г) (-4; 9]?
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 
б) -2; -1; 0; 1; 2;
в) -4; -3; -2; -1; 0; 1;
г) -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Вопрос: Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку: 
а) [-12; -9]; б) [-1; 17); в) (-∞; 31]; г) (-∞; 8).
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) -9; б) 16; в) 31; г) 7.
Вопрос: Принадлежит ли промежутку (-∞; 2) число 1,98? Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1,98 Є (-∞; 2); 1,981 Є (-∞; 2); 1,985 Є (-∞; 2); Нельзя найти наибольшее и наименьшее число принадлежащие промежутку (-∞; 2).
Вопрос: 45. Ведущую роль в международных организациях МВФ, ВБ играют:
1. развивающиеся стран
2 (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)   развитые страны 
3. страны с переходной экономикой
4. НИС
5. НРС
1.Субъектами мирового хозяйства как функционирующей системы являются:
1. национальные экономики
2. транснациональные компании
3. региональные экономические группировки
4. международные экономические организации
5 (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)   верно все
2. К СНГ относятся:
1. Армения
2. Азербайджан
3. Беларусь
4. Киргизия
5 (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)   верно все
3. Частями МРТ являются:
1 (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)   международное кооперирование производства 
2. международный экспорт
3. специальные производства
4. международная интеграция производства
5. международный импорт
4. Глобализация как новое явление в мировой экономике стало типичным:
1. в 18в.
2. в 19 в.
3. в начале 20в.
4. в середине 20в.
5 (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)   в конце 20 в (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)  
5. Окончание угрозы ядерной войны в 20 веке относится к:
1. к 60-м годам
2. к 70-м годам
3 (*ответ к тесту* (*ответ к тесту*)   к 80-м годам 
4. к 90-м годам
5. к 50-м годам
Категория: экономические
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены 
Тест  прошел проверку
Вопрос: Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:
а) (1; 8) и (5; 10);  в) (5; +∞) и (7; +∞);
б) [-4; 4] и [-6; 6]; г) (-∞; 10) и (-∞; 6).
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) (5; 8); б) [-4; 4]; в) (7;+∞); г) (-∞;6).
Вопрос: Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов (-3,9; 2) и (-4,3; 1)? Выберите верный ответ:
1. Три 2. Четыре 3. Пять 4. Шесть
Категория: школьный раздел
Ответы:
(-3,9; 2) ∩ (-4,3; 1) = (-3,9; 1);  целые числа в пересечении -3; -2; -1; 0. 2. Четыре.
Вопрос: Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:
а) [-7; 0] и [-3; 5];   в) (-∞; 4) и (10; +∞);
б) (-4; 1) и (10; 12); г) [3; +∞) и (8; +∞).
Категория: школьный раздел
Ответы:
Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:а) [-7; 0] и [-3; 5];   в) (-∞; 4) и (10; +∞);б) (-4; 1) и (10; 12); г) [3; +∞) и (8; +∞).
Вопрос: Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:
а) (-3; +оо) и (4; +∞); в) (-∞; 6) и (-∞; 9);
б) (-∞; 2) и [0; +∞);    г) [1; 5] и [0; 8].
Категория: школьный раздел
Ответы:
Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:а) (-3; +оо) и (4; +∞); в) (-∞; 6) и (-∞; 9);б) (-∞; 2) и [0; +∞);    г) [1; 5] и [0; 8].
Вопрос: Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть скорость первого поезда равняется х км/ч, тогда скорость второго х + 5 км/ч. Время движения первого поезда 
120/x ч, второго 120/(x+5) ч. 20 мин = 1/3 ч.
Значит, 120/x - 120/(x+5) = 1/3; (360х+1800-360х-х^2-5х)/(3x(x+5)) = 0;
x^2 + 5х - 1800 = 0; D = 25 + 4 • 1800 = 7225; х = (-5±85)/2; x > 0 => х = 40; х + 5 = 45.
Ответ: 40 км/ч и 45 км/ч.
Вопрос: При каком х значение функции, заданной формулой y = (3x-2)/x-2, равно -1?
Категория: школьный раздел
Ответы:
(3x-2)/x-2 = -1; 3x - 1 = 2 - x; 4x = 3; x = 3/4.
Вопрос: Является ли решением неравенства 5y > 2(у - 1) + 6 значение у, равное:
а) 8; б) -2; в) 1,5; г) 2?
Категория: школьный раздел
Ответы:
5y > 2 (у - 1) + 6; 5y > 2y - 2 + 6; 5y > 2y + 4; 3y > 4; у > 4/3; 
а) является; б) не является; в) является; г) является.
Вопрос: Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) х + 8 > 0; в) x + 1,5 ≤ 0;
б) x - 7 < 0;  г) х - 0,4 ≥ 0.
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) x + 8 > 0; x > -8; 
6) x - 7 < 0; x < 7
в) x + 1,5 ≤ 0; x ≤ -1,5; 
г) х - 0,4 ≥ 0; x ≥ 0,4.
Вопрос: Решите неравенство 5x + 1 > 11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства.
Категория: школьный раздел
Ответы:
5x + 1 > 11; 5x > 10; x > 2; решением неравенства являются числа: 3; 4; 5.
Вопрос: Решите неравенство 3х - 2 < 6. Является ли решением этого неравенства число: 4; 2 4/5; 2 4/7?
Категория: школьный раздел
Ответы:
3x - 2 < 6; 3х < 8; х < 2 2/3; решением неравенства является число: 2 4/7; не являются решением числа: 4; 2 4/5.
Вопрос: а) При каких значениях х двучлен 2х - 1 принимает положительные значения?
б) При каких значениях у двучлен 21 - 3y принимает отрицательные значения?
в) При каких значениях с двучлен 5 - 3с принимает значения, большие 80?
Категория: школьный раздел
Ответы:
a) 2x - 1 > 0; 2x > 1; x > 1/2; 
6) 21 - 3y < 0; 3y > 21; y > 7;
в) 5 - 3c > 80; 3c < 5 - 80; 3c < -75; с < -25.
Вопрос: а) При каких значениях а значения двучлена 2а - 1 меньше значений двучлена 7 - 1,2а?
б) При каких значениях р значения двучлена 1,5р - 1 больше значений двучлена 1 + 1,1р?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) 2а - 1 < 7 - 1,2а; 3,2а < 8; а < 2,5; 
б) 1,5р - 1 > 1 + 1,1р; 0,4р > 2; р > 5.
Вопрос: При каких значениях у:
а) значения дроби (7-2y)/6 больше соответствующих значений дроби (3y-7)/12;
б) значения дроби (4,5-2y)/5 меньше соответствующих значении дроби (2-3y)/10;
в) значения двучлена 5у - 1 больше соответствующих значении дроби (3y-1)/4;
г) значения дроби (5-2y)/12 меньше соответствующих значений двучлена 1 - 6y?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) (7-2y)/6 > (3y-7)/12; 14 - 4y > 3y - 7; 7y < 21; у < 3;
б) (4,5-2y)/5 < (2-3y)/10; 9 - 4y < 2 - 3y; y > 7;
в) 5у - 1 > (3y-1)/4; 20y - 4 > 3y - 1; 17y > 3; у > 3/17;
г) (5-2y)/12 < 1 - 6y; 5 - 2y < 12 - 72y; 70y < 7; у < 1/10.
Вопрос: Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
а) (13x-1)/2 < 4x; б) (5-2x)/4 ≥ 2x; 
в) x/4 - x/5 ≤ 2;    г) 2y/5 - y/2 ≥ 1.
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) (13x-1)/2 < 4x; 13x - 1 < 8x; 5x < 1; x < 1/5; 
б) (5-2x)/4 ≥ 2x; 5 - 2a ≥ 8a; 10a ≤ 5; a ≤ 1/2;
в) x/4 - x/5 ≤ 2; 5x - 4x ≤ 40; x ≤ 40;
г) 2y/5 - y/2 ≥ 1; 4y - 5y ≥ 10; -y ≥ 10; y ≤ -10.