Вопрос: Фирма А производит некоторый сезонный товар, имеющий спрос в течение n
единиц времени, и который она может поставить на рынок в один из моментов  i(i=1,n).
 Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна  , не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в один из моментов  i(i=1,n).
Цель фирмы В - разорение фирмы   после чего, используя капитал концерна  , ей будет легко наверстать упущенное. Единственным законным средством фирмы В в конкурентной борьбе является выбор момента поставки товара на рынок, так как понижение цены на поставляемый товар запрещено определенным соглашением. Для разорения фирмы А фирма В должна минимизировать ее доходы. Пусть технология выпуска товара такова, что чем дольше он находится в производстве, и, следовательно позже поступает на рынок, тем качество его выше, а реализуется товар только более высокого качества (так как цена на товары разного качества одна и та же). Доход от продажи товара в единицу времени составляет с денежных единиц.
 Требуется построить функцию выигрыша фирмы А, где под выигрышем понимается в данном случае доход этой фирмы, зависящий от складывающихся ситуаций. Используя функцию выигрыша, составить матрицу игры для случая n = 4 выписать конкретный вид этой матрицы, который она приобретает в случае, когда доход с = 6 денежным единицам.
Категория: экономические
Ответы:
Решение
Заинтересованные стороны, в данной ситуации - фирмы А и В. Ситуация является конфликтной, так как стороны А и В преследуют различные интересы. Более того, эти интересы противоположны: фирма А стремится максимизировать свой доход, а фирма В стремится его минимизировать. Поэтому рассматриваемый конфликт - антагонистический. Математической моделью может служить антагонистическая игра, игроками - антагонистами в которой выступают фирмы А и В. Фирма А обладает n стратегиями для достижения своей цели (максимизация своего дохода) - выбор одного из n моментов поставки своего товара на рынок:  S= (F1,A2A3… An), где   -стратегия, состоящая в том, что А поставляет товар на рынок в момент  . Фирма В обладает теми же n стратегиями:  S=(B1,B2B3… Bn), где  -стратегия, состоящая в том, что фирма выбрасывает свой товар на рынок в момент  . В данном случае число стратегий каждого из игроков А и В совпадает: m=n. Возможны только три варианта результатов сравнения моментов поставки товаров фирм А и В:  i<j i=j i>j.
 Если фирма А выбросит на рынок свой товар в момент i<j , т.е. раньше, чем фирма В, то в течение (i-j ) единиц времени, фирма А не будет иметь конкурента и поэтому ее доход составит за это время  денежных единиц. В момент времени j  на рынке появляется товар фирмы В, который имеет более высокое качество чем товар фирмы А , поскольку он поступает на рынок позже. Поэтому с момента   jфирма А теряет рынок и в дальнейшем дохода не получает.
 Если фирмы А и В поставляют на рынок свои товары одновременно, т.е.  , то их качества (и цены) будут одинаковы, а потому одинаковым будет и спрос. Следовательно, фирма А (так же как и фирма В) в оставшиеся   единиц времени получит половину всего дохода с(n-i  + 1)/2 денежных единиц. 
 Наконец, если фирма А выбросила на рынок свой товар позже, чем фирма В т.е.  , то товар фирмы А более качественный и потому она будет получать доход в течение всех оставшихся (  c(n-i+ 1) единиц времени. Этот доход равен c(n-i+1) денежных единиц. |
 Таким образом, можно записать аналитическое выражение функции выигрыша игрока А :
  Подставив в это выражение n=4 и подсчитав выигрыши  , составим матрицу выигрышей игрока А: 
2c c 2c 3c
3c 3/2c c 2c
2c 2c 2 2
c c  c 1/2c
 Если доход с=6 то из матрицы А получим матрицу выигрышей с числовыми элементами :
12 6 12 18
18 9 6 12
12 12 6 6
6 6 6 3