nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Двугранные углы при основании равны α. Найти площадь полной поверхности пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку пирамида правильная, то ее высота проецируется в центр основания. 
Значит KN = a/2 
Соответственно, треугольник OKN - прямоугольный. Значит 
ON = KN / cos α = a / 2cos α 

Поскольку пирамида правильная, то треугольник DOC - равнобедренный. Значит его площадь равна 
Sт = DC * ON / 2 
Sт = ( a * a / 2cos α) / 2 = a2 / 4cos α 

Откуда площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна площади всех ее боковых граней 
Sб = 4a2 / 4cos α 
Sб = a2 / cos α 

Откуда площадь полной поверхности равна 
Sп = a2 / cos α + a2 = a2 ( 1 + 1 / cos α ) 
Ответ: площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна a2 ( 1 + 1 / cos α )
Вопрос: В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. 
Найти площадь боковой поверхности и высоту пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Исходя из свойств правильной пирамиды, каждая из ее сторон является равнобедренным треугольником. 
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна сумме площадей каждой из граней, являющихся равнобедренными треугольниками.

Площадь равнобедренного треугольника найдем по формуле (Формула 1 из списка): 
  
 Формулы нахождения площади равнобедренного треугольника через его стороны и углы, а также через основание и высоту

Подставив значения из условия задачи в Формулу 1, получим: 
S = 5 √ ( (13 + 5) (13 - 5) ) 
S = 5 √ 144 = 60 

Поскольку граней у пирамиды четыре, то площадь боковой поверхности будет равна сумме всех четырех граней:
60 * 4 = 240 см2 
Правильная четырехугольная пирамида 
Так как по условию задачи, пирамида является правильной, то в основании ее лежит правильный многоугольник. Так как, согласно условию, она является четырехугольной, то данным многоугольником является квадрат.

Поскольку основанием пирамиды является квадрат, то: 
KN = 10/2 = 5 см 

Поскольку каждая грань правильной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, а в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к третьей стороне совпадают, то 
CN = 10/2 = 5 

Теперь найдем апофему пирамиды, исходя из свойств прямоугольного треугольника, образованного апофемой пирамиды, ребром и половиной основания (треугольником OCN).       

ON2 + CN2 = OC2 
ON2 + 25 = 169 
ON2 = 144 
ON = 12 

Откуда уже несложно найти искомую высоту, исходя из свойств прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, ее апофемой и отрезком KN (треугольник ONK)               

OK2+ KN2= ON2 
OK2 + 25 = 144 
OK = √119 

Ответ: √119, 240 см2 .
Вопрос: Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см.Определите полную поверхность пирамиды,если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильная четырехугольная пирамида 
Поскольку угол ONK равен 60 градусам, то 
KN = ON cos 60 = 10 * 1/2 = 5 см 

Так как, по условию задачи, пирамида является правильной, то K - проецирется в центр основания, которое является квадратом. Значит сторона основания равна 

AD = 2KN = 2 * 5 = 10 см 

Таким образом, площадь основания 

S1 = AD2 = 102 = 100 см2 . 

Найдем площадь боковой грани  
S2 = 1/2 CD * ON 
S2 = 1/2 * 10 * 10 = 50 см2 . 

Таким образом общая площадь 
S = S1 + 4S2 = 100 + 4 * 50 = 300 см2 . 

Ответ: 300 см2 .
Вопрос: В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а. 
Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильная четырехугольная пирамида 
Найдем угол наклона ребер к плоскости основания. 
Поскольку в основании правильной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то, в данном случае, это - квадрат. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр основания, то это - точка пересечения диагоналей. Откуда KN = а/2 

Треугольник OKN - прямоугольный, OK - высота, равная 3а. 
Найдем тангенс угла KNO, обозначив его как α. 

tg α = OK / KN 
tg α = 3a / (a/2) = 6 
α = arctg 6 ≈ 80.5377° 

Найдем угол наклона ребра пирамиды. 
Диагональ квадрата со стороной а равна а√2. Поскольку высота проецируется в центр основания, то в этой точке диагонали делятся пополам. 

Таким образом, для прямоугольного треугольника OKC тангенс угла KCO (обозначим его как β ) равен 

tg β = OK / KC 
tg β = 3a / (а√2/2) = 6 / √2 
β = arctg 6/√2 ≈ 76.7373° 

Ответ: угол наклона граней arctg 6 ≈ 80.5377°; угол наклона ребер arctg 6/√2 ≈ 76.7373°
Вопрос: Найти величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом 45 градусов, то в треугольнике ANC угол ANC равен 90 градусам. Таким образом, данный треугольник является прямоугольным. 
Пусть длина ребра пирамиды равна а, тогда, исходя из того, что треугольник ANC - прямоугольный равнобедренный, 
AC2 = NC2 + AN2 
AC2 = 2a2   
AC = a√2 
откуда 
OC = AC / 2   
OC =  a√2/2    
найдем высоту пирамиды NO:  
NO = √(NC2 - OC2 ) 
NO = √( a2 - a2/2) 
NO = a/√2 
Рассмотрим прямоугольный треугольник COD и аналогичным способом найдем его высоту CK 
CD2 = OC2 + OD2  
CD2 = ( a√2/2 )2  +  ( a√2/2 )2 
CD = a 
Откуда 
KC = CD / 2 
KC = a / 2

OK2 = OC2 - KC 2 
OK = a/2   
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KON. Так как он прямоугольный, то 
tg ∠NKO = NO / OK 
tg ∠NKO = (  a/√2  ) / ( a / 2 )   
tg ∠NKO =   2/√2 
откуда 
∠NKO =  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356° 
Ответ:  arctg( 2/√2 ) ≈ 54,7356°
Вопрос: ABCD - квадрат с стороной 4 см.Точка М отдалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Найти расстояние от середины отрезка МА до вершин и сторон квадрата
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Сначала изобразим условие задачи графически. 
Пирамида с меданами граней 
Как видно из чертежа, точка М - представляет собой вершину правильной четырехугольной пирамиды. Точка К, явлющаяся серединой ребра АМ, Является точкой, к которой проведены медианы треугольников ADM, ABM и ACM. То есть медианы KC, KD и KB этих треугольников и являются расстояниями до вершин квадрата.

Таким образом, задача нахождения расстояний сводится к задаче нахождения длины этих медиан.

Для нахождения длины медиан применим теорему Стюарта.

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4

Для треугольника ABM медиана KB 
KB2 = ( 2AM2   + 2AB2 - AM2  )  / 4 
KB2 = ( 2 * 7 2 + 2 * 4 2 - 7 2 ) / 4 
KB2 = ( 98 + 32 - 49  ) / 4 = 81 / 4 
KB = 4,5  
Поскольку пирамида правильная, то для KD будет тот же результат KD = 4,5

Длина диагонали квадрата АС = 4√2 (по соответствующей формуле d = a√2 )

Для треугольника ACM медиана CK будет равна: 
CK2 = ( 2AC2 + 2CM2 - AM2  )  / 4 
CK2 = ( 2(4√2)2 + 2 * 72 - 72  )  / 4 
CK2 = ( 64 + 98 - 49  )  / 4 
CK = √113/2 
Для нахождения расстояний до сторон квадрата изобразим задачу следующим образом:

piramida_m2.gif 
Сначала определим высоту пирамиды:   
MO2  = MA2 -  OA2 
Поскольку пирамида правильная, длина OA равна половине длины диагонали квадрата. 
MO2 = 72 - ( 2√2 )2  
MO = √41 
Откуда длина отрезка KL по теореме Фалеса равна  
KL = √41/2 
(так как KA равно половине MA в треугольнике AOM или, если хотите, как средняя линия треугольника)

Аналогично, 
LA = OA / 2 = √2 
LA является диагональю квадрата, стороны которого равны расстоянию от точки L до сторон основания. Поскольку диагональ квадрата равна  
d = a√2 
то 
LA = a√2 
√2 = a√2   
  a = 1 
То есть LF = 1

Тогда расстояние от точки K до стороны AD по теореме Пифагора будет равно: 
KF2 = KL2 + LF2 
KF2 = ( √41/2 )2 + 1 
KF = √45 / 2 = 3√5 / 2 
Теперь найдем расстояние до двух других сторон квадрата 
KE2 = KL2 + LE2 
заметим, что LE = FE - LF = AB - LF = 4 - 1 = 3

Откуда 
KE2 = ( √41/2 )2  + 32 
KE = √77 / 2 
Ответ: расстояния до вершин квадрата равны 4,5 4,5   √113/2, а до сторон  квадрата √77/2 и   3√5/2
Вопрос: Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина его диагонали BD равна 6 см. Через точку О, которая является точкой пересечения диагоналей ромба, проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки К до вершин ромба (КА, КВ, КС, КD) если ОК = 8см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

В результате построения геометрической фигуры по условию задачи, заметим, что у нас получилась пирамида, в основании которой лежит ромб. Нам необходимо найти величину ребер пирамиды, которые прилегают к ее вершине. 

Поскольку диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам, то BO равно половине диагонали BD. 

BO = BD / 2 = 6 / 2 = 3 см 

Поскольку OK по условию задачи является перпендикуляром к плоскости основания пирамиды, то треугольник BOK является прямоугольным. Отсюда, по теореме Пифагора находим величину ребра BK. 

BK2 = BO2 + OK2 
BK2 = 32 + 82 
BK2 =73 
BK = sqrt (73), то есть корень квадратный из 73 

Поскольку треугольники BKO и DKO равны по двум сторонам и углу (KO - общая сторона треугольников, BO=OD как половины диагонали ромба, а прямой угол образован перпендикуляром по условию задачи), то ребро BK = BD. 

Вычислим длину ребра AK. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то зная величину половины одной диагонали и стороны ромба, несложно определить величину половины другой диагонали, то есть: 

AB2 = BO2 + AO2 
52 = 32 + AO2 
AO2 = 52 - 32 
AO2 = 16 
AO = 4 

Аналогичным способом теперь найдем длину ребра AK 
AK2 = AO2 + OK2 
BK2 = 42 + 82 
BK2 = 80 
BK = 4 sqrt( 5 ), четыре квадратных корня из пяти 

Поскольку треугольники AOK и COK также равны по двум сторонам и углу, то AO = CO. 

Ответ: AO и CO равны четыре квадратных корня из пяти, а BO и DO равны корню квадратному из 73
Вопрос: Спрос на товар Х определяется формулой P = 60-2Qd. Определите коэффициент эластичности при цене, равной 30 у. е.
Категория: экономические
Ответы:
Для решения задачи необходимо применить формулу расчета коэффициента точечной эластичности: Ed=1/B*(p/Q), где B – коэффициент, показывающий угол наклона кривой спроса. Найдем объем спроса при заданной цене: 30 = 60 – 2 Qd, отсюда Qd = 15. Подставив значения в формулу, получим:Ed=(1/2)*(30/50)=1Ответ: Еd = 1.
Вопрос: Высота четырехугольной пирамиды равна 4см. а её апофема создаёт с высотой угол 45 градусов.Найдите боковую поверхность пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Исходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол. 

Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный. 

Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной). 

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна 

a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух 

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом 

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух 

Ответ: 64 корня из двух
Вопрос: Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 24 см,а боковое ребро равно 26 см. Найти: а) площади диагонального сечения пирамиды б) сторону основания пирамиды в) площадь боковой поверхности пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку пирамида правильная, то диагональ основания вместе с соответствующими двумя ребрами пирамиды образуют равнобедренный треугольник, площадь которого будет равна площади диагонального сечения пирамиды. Его площадь можно найти по формуле Герона: 

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) 
S = 1/4 sqrt( ( 26 + 26 + 24 )( 26 + 24 - 26 )( 26 + 24 - 26 )( 26 + 26 - 24 ) ) 
S = 1/4 sqrt( 76 * 24 * 24 * 28 ) = 1/4 sqrt( 1225728 ) ≈ 276, 78 см2 . 

Поскольку пирамида правильная, то ее диагональ образует с двумя сторонами основания равнобедренный прямоугольный треугольник. Если обозначить сторону основания как а, то по теореме Пифагора 

а2 + а2 = 242 
2а2 = 576 
а2 = 288 
а = sqrt( 288 ) ≈ 16.97 см 

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей поверхностей боковых граней, каждая из которых по формуле Герона имеет площадь 

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) 
S = 1/4 sqrt( ( 26 + 26 + sqrt(288) )( 26 + sqrt(288) -26 )( 26 + sqrt(288) -26 )( 26 + 26 - sqrt(288) ) ) 
S = 1/4 sqrt( 695808 ) ≈ 208.54 см2 . 

То есть площадь боковой поверхности будет равна 4S = sqrt( 695808 ) ≈ 208.54 см2 . 
Ответ: 1/4 sqrt( 1225728 ) см2 , sqrt( 288 ) см, sqrt( 695808 ) см2 .
Вопрос: Из точки к плоскости прямоугольника со сторонами 9 см и 12 см, проведен перпендикуляр,основанием которого является одна из вершин прямоугольника.Расстояние от противоположной вершины прямоугольника до этой точки равно 39 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости прямоугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Неправильная пирамида

Пусть перпендикуляр к плоскости прямоугольника проведен из вершины В. Найдем длину диагонали прямоугольника BD.

BD является гипотенузой прямоугольного треугольника BCD, поэтому

BD2 = BC2 + CD2 
BD2  = 9^2 + 12^2  
BD2  = 225  
BD = 15 
Точка О образует с противоположной вершиной прямоугольника также прямоугольный треугольник. Откуда высота перпендикуляра ОВ равна:

OD2 = OB2 + BD2 
OB2 = OD2 - BD2 
OB2 = 1521 - 225 
OB2 = 1296 
OB = 36 
Ответ: Расстояние от точки до плоскости прямоугольника 36 см.
Вопрос: Отрезок SB - перпендикуляр, проведенный к плоскости квадрата. 
Найдите длину отрезка SD, если AB=12 см, SC=16 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Как видно из чертежа, в результате построения у нас образовалась неправильная пирамида с квадратом в основании. 

Поскольку SB - перпендикуляр, то треугольник SBC - прямоугольный, откуда 

BC2 + SB2 = SC2 
122 + 162 = SC2  
SB = √112 = 4√7 

Найдем диагональ квадрата, лежащего в основании пирамиды. 
DC2 + BC2 = BD2  
122 + 122 = BD2  
BD = √288 = 12√2 

Из прямоугольного треугольника DBS найдем длину ребра SD 
BD2 + SB2 = SD2 
SD2  = 112 + 288 
SD = 20 

Ответ: 20 см
Вопрос: Объем шара равен 288п см3. Найти диаметр шара
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для решения задачи применим формулу объема шара 

V = пd3 / 6 

Таким образом 

288п = пd3 / 6 
пd3 = 1728п 
d3 = 1728 
d = 12 

Ответ. 12 см
Вопрос: 40. «Только та теория может быть признана научной, которая в принципе опровержима, т.е. которая способна доказать свою ложность». Формулировка какого принципа представлена в данном суждении:
а)принцип верификации; 
б) принцип фальсификации; (*ответ к тесту*) 
в) принцип дополнительности;
г) принцип конкретности истины.
41. Прочитайте нижеследующие суждения. Какое из трех ведущих направлений философии XX в. характеризует этот набор идей:
неопозитивизм     Абсурд заключен в противостоянии человеческой потребности в смысле, с одной стороны, и безразличного, бессмысленного мира, с другой;
экзистенциализм     Свобода накладывает на нас неизмеримую ответственность, и поэтому люди часто живут в «дурной   вере»,   избегая   ответственности   за собственную  жизнь  посредством   отрицания реальности своей свободы; 
неотомизм    ...Если даже бога нет, то есть по крайне мере одно бытие, у которого существование предшествует сущности, бытие, которое существует прежде, чем его можно определить каким-нибудь понятием, и этим бытием является человек...
42. В русской философии истории сложились две концепции путей исторического развития России - славянофильство и западничество. Определите принадлежность перечисленных ниже мыслителей к этим направлениям:
1) славянофилы        г) И.В. Киреевский;
ж) И.С. Аксаков;
з) Ю.Ф. Самарин.
2) западники;                      а) П.Я. Чаадаев;
б) А.И. Герцен;
в) А.С. Хомяков;
д) В.Г. Белинский;
е) Т.Н. Грановский;
43. Выделите из ниже приведенного списка тех русских мыслителей, основой философского мировоззрения которых был материализм:
а) А.С. Хомяков
б) П.Я. Чаадаев 
в) А.И. Герцен (*ответ к тесту*) 
г) К.Н. Леонтьев 
д) Н.Г. Чернышевский  (*ответ к тесту*) 
е) B.C. Соловьев 
ж) Н.А. Бердяев (*ответ к тесту*) 
3) К.Э. Циолковский
44. В русской философской мысли сложилось несколько самобытных концепций. Какое из этих направлений не имеет аналогов в западно-европейской философской мысли:
а) философия всеединства B.C. Соловьева, С.Г. Булгакова, П. Флоренского;
б) антропологический материализм Н.Г. Чернышевского; 
в) космическая философия Н. Федорова, К.Э. Циолковского; (*ответ к тесту*) 
г) экзистенциальная философия Н.А. Бердяева, Л. Шестова.
Категория: гуманитарные
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены по каждому вопросу
Вопрос: Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник. 

Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности. 

Радиус вписанной в треугольник окружности равен: 
r = S / p, где 
S - площадь треугольника 
p - его полупериметр 

Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание - удвоенный радиус конуса, то 
S = RH 

Полупериметр равен 
p = 1/2 ( 2R + 2m) 
m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника 
R - радиус окружности,  составляющей основание конуса 

m найдем по теореме Пифагора как m = √( H2 + R2 ), откуда 

p = 1/2 ( 2R + 2√( H2 + R2 ) ) = R + √( H2 + R2 )
Вопрос: В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь сферы найдем по формуле: 

S = 4πr2 

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы ( 180-60 ) / 2 = 60 , то есть все углы равны ). 

Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть 

R = √3/3 l 

Таким образом площадь сферы 

S = 4π(√3/3 l)2 
S = 4/3πl2 

Ответ: площадь сферы равна 4/3πl2.
Вопрос: Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы. 
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус: 
L = 2πR 
Откуда 
R =  L / 2π 
R = 46 / 2π 
R = 23 /  π 
Откуда площадь основания равна 
S =  πR2   
S = π (23/π) 2 
S = 529 / π 
Площадь сферы найдем по формуле:   
S = 4πr2 
Соответственно площадь полусферы 
S = 4πr2 / 2 
S =  2π  (23/π)  2 
S = 1058 / π 
Общая площадь поверхности фигуры равна: 
529 / π + 1058 / π  = 1587 / π   

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров) 
  1587 / π  * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г
Вопрос: Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 градусов. Найти обьём цилиндра
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку основание осевого сечения образует с высотой цилиндра, принадлежащей сечению, прямой угол, то треугольник, который образован диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и его диаметром - прямоугольный. 

Исходя из этого, угол между диагональю и высотой также равен 45 градусов ( 180 - 90 - 45 ). 

Таким образом, треугольник является равнобедренным, а, следовательно, высота цилиндра равна его диаметру. Применив теорему Пифагора, найдем их. 

d2 + d2 = 122 

2d2 = 144 
d2 = 72 

Теперь применим формулу объема цилиндра V = пd2 / 4 h 

V = 72п / 4 * √72 
V = 18п * √72  

Ответ: 18п√72
Вопрос: В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Объем цилиндра найдем по формуле: 

V = пR2h 
где: 
R - радиус основания прямого цилиндра,  
h - высота. 

Найдем основание цилиндра. 1-й способ. 
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле: 

R = a / 2 sin α 
где: 
a - сторона треугольника 
α - угол, противолежащий стороне а. 

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен: 

R = 2a / 2 sin 30 = 2a 

Найдем основание цилиндра. 2-й способ 
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу. 
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию: 
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a 
R = 2a 

Найдем высоту цилиндра. 
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй - высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра. 

Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 - 45 - 90 = 45 градусов. 
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом: 

V = пR2h 
V = п*4a2*4a 
V = п16a3. 

Ответ: п16a3.
Вопрос: На рынке товара две группы потребителей, функции спроса которых записываются следующими формулами: Q=12-P, Q=12-3P. Определите, какой будет эластичность спроса по цене в точке, соответствующей Qd, равной 12.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяется формула рыночного спроса на товар: Qd1 + Qd2 = 12 – Р + 12 – 3Р = 24 – 4Р. Находим цену товара при объеме спроса на рынке, равном 12 единиц: 12 = 24 – 4Р; Р = 3. Затем, применяя формулу точечной эластичности, находим коэффициент эластичности: Ed=B*(P/Q), где B – коэффициент, показывающий угол наклона кривой спроса. ED=4*3/12=1Ответ: 1.
Вопрос: В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. 
На каком расстоянии от оси проведено это сечение?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC. 

BK2 = BM2 + MK2 
MK2 = BK2 - BM2 
MK2 = 172 - 152 
MK2 = 64 
MK = 8 

Таким образом, MK = BC = 8 см 

Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость. 
(это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). 

Трапеция, вписанная в окружность 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. 

Найдем величины некоторых отрезков. 
AD = 2R = 2 * 5 = 10 см 
OC = OD = R = 5 см 

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом, 

AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см 

тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см 

Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда 

CP2 + OP2 = OC2 
CP2 = OC2 - OP2 
CP2 = 52 - 42 
CP2 = 25 - 16 
CP = 3 

Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.
Вопрос: Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4√2. 
Вычислить объем цилиндра.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку диагональ сечения цилиндра - квадрат, то обозначим его сторону как a. 
a2 + a2 = (4√2)2 
2a2 = 32 
a2 = 16 
a = 4 

Объем цилиндра найдем по формуле: 
 V = πd2 / 4 * h 
откуда 
V = π42 / 4 * 4 
V = 16π 

Ответ: Объем цилиндра равен 16π
Вопрос: Куб с ребром длиной а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Проведем плоскость через основание цилиндра. 
Квадрат вписанный в круг 
Диагональ куба является одновременно диаметром цилиндра. Зная сторону куба, определяем длину диагонали AC квадрата ABCD как 
CD2 + AD2= AC2 
a2 + a2 = AC2 
2a2 = AC 
AC = a√2 

Проведем плоскость через ось цилиндра по диагонали AC. Высота сечения равна длине ребра куба и по условиям задачи рана а, а ширина сечения равна a√2. 
Таким образом, площадь сечения равна: 

S = a * a√2 = a2√2 

Ответ: a2√2
Вопрос: Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Цилиндр с сечением 
Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30° 
Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ∠ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций.

CD = 8 * √3/2 = 4√3

Аналогично, 
AD = AC sin 30° 
AD = 8 * 1/2 = 4 
Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см

Площадь основания цилиндра, соответственно, равна 
S1 = πR2 = 4π 
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: 
S2 = 2πRh = 2π * 2 * 4√3  = 16π√3 
Общая площадь поверхности цилиндра равна: 
S1 + S2 =   4π +  16π√3    
Ответ:  4π +  16π√3
Вопрос: Какой из цилиндров с обьемом 128π см3 имеет наименьшую полную поверхность?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Формула нахождения объема цилиндра 
V = πr2 h 
Поскольку объем цилиндра нам известен, то 
πr2  h = 128π 
откуда 
r2  h = 128 
h = 128 /  r2  
Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:   
 S = 2πr2  + 2πrh  
где 
πr2 - площадь основания цилиндра (площадь круга) 
2πr - длина окружности основания 
Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу 
S = 2πr2  + 2πrh  
S =  2πr2  + 2πr  * 128 /  r2    
S =  2πr2  + 256π / r 
Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию. 
f(r) =  2πr2  + 256π / r 
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим: 
f '(r) = 4πr - 256π /  r2  
Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f '(r) к нулю и решим уравнение.  
4πr - 256π /  r2  = 0 
получим 
 4πr ( 1 - 64/r ) = 0 
откуда 
 4πr = 0 или  1 - 64/r = 0  
первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем,  
1 - 64/r = 0 
r = 64 
Откуда  
h = 128 /  r2  
h = 128 / 4096 
h = 0.03125 или 1/32 
Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см
Вопрос: Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Найдем площадь осевого сечения цилиндра. 
S = 2HR 
По условию задачи 
2HR = M 
откуда 
2R = M / H 

Площадь каждого основания цилиндра 
S = πR2 
По условию задачи 
πR2=Q 

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности. 
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
Sб = 2πRH 
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра 
Sп = 2Q + 2πRH 
Учтем, что значение 2R = M/H, получим 
Sп = 2Q + ( M / H ) πH 
откуда 
Sп = 2Q + πМ
Ответ: Sп = 2Q + πМ
Вопрос: Объем цилиндра равен 48 см3. Найти объем конуса, радиус основания которого равна радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Формула объема цилиндра 

V = hпr2 

А формула объема вписанного конуса (V = 1/3hпr2 ) для "нашего" случая, учитывая, что высота конуса равна половине высоты цилиндра, будет равна: 

V = 1/3 h/2 пr2 

но, по условию задачи, объем цилиндра составляет 48 , то есть hпr2 = 48 . Значит подставим в формулу объема конуса вместо hпr2 известное нам значение. Получаем: 

V = 1/3 * 48 / 2 
V = 8 см3. 

Ответ: 8 см3.
Вопрос: Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Примечание. Для обозначения символа извлечения квадратного корня в данной задаче используется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках - подкоренное выражение. 
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: 

S1 = пrl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей 
S2 = пr2 - площадь круга, то есть основания конуса 

Таким образом, площадь поверхности конуса составит 

S = S1 + S2 

Поскольку S1 = пrl , найдем образующую. Поскольку Высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то 

l2 = h2 + r2 
S1 = пr * sqrt( h2 + r2 ) 

Тогда 

S1 + S2 = пr( h2 + r2 ) + пr2 = п * 12 * sqrt( 25 + 144 ) + 144 * п =  п * 12 * 13 + 144 * п = 156п + 144п = 300п ≈ 942,48 

Ответ: 300п ≈ 942,48 см2 .
Вопрос: Площадь основания конуса  36π см2 , а его образующая 10 см. 
Вычислить боковую поверхность конуса.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Зная площадь основания, найдем его радиус. 
S = πR2 
36π = πR2 
R2 = 36 
R = 6 

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле: 
S = πRl 
где 
R - радиус основания 
l - длина образующей 

откуда 
S = π * 6 * 10 = 60π 

Ответ: 60π см2 .
Вопрос: В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания. 
Найти отношение объёма конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для решения задачи воспользуемся формулами нахождения объема шара, цилиндра и конуса: 
Формула нахождения объема 

Учтем, что по условию задачи высота цилиндра, а, соответственно и конуса, равны диаметру шара, что следует из построения согласно условию. То есть шар касается обеих оснований цилиндра в их центре. Из чего запишем: 
h = 2R 
Откуда 
Vцилиндра = πR2h =  πR22R = 2πR3 
Vшара = 4/3πR3 
Vконуса = 1/3πR2h = 1/3πR22R = 2/3πR3 

Таким образом, соотношение объема конуса к объему шара будет равно: 
Vконуса / Vшара =  2/3πR3 / 4/3πR3 = 2/3 / 4/3 = 1/2 

А соотношение объема конуса к объему цилиндра будет равно: 
Vконуса / Vшара = 2/3πR3 / 2πR3 = 2/3 / 2 = 1/3 

Ответ: 1/2 и 1/3
Вопрос: Функция спроса на товар имеет вид Qd = 50 – 2Р. Определите дуговую эластичность спроса по цене при снижении цены с 10 до 9 евро.
Категория: экономические
Ответы:
Определяем объем спроса при цене 10 евро: Q=50-2*10=30, а затем при цене 9 евро:
Вопрос: Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обратим внимание, что треугольники AOB и COD - подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3. 
Конус 
Объем конуса находится по формуле, указанной в предыдущей задаче. 
Vконуса = 1/3πR2h = 27 (по условию) 
Тогда объем малого конуса будет равен 
Vмал.конуса = 1/3π(2/3R)2(2/3h) 
то есть 
Vмал.конуса = 1/3π 4/9 R2 2/3 h 
Vмал.конуса = 8/27 *1/3π R2 h 
а так как мы знаем, что 1/3π R2 h= 27 (см. выше), то 

Vмал.конуса = 8/27 * 27 = 8 

Ответ: объем малого конуса равен 8
Вопрос: Образующая конуса равна 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Конус 
Объем конуса найдем по формуле: 
Формула нахождения объема 
Поскольку образующая вместе в высотой конуса и радиусом его основания образуют прямоугольный треугольник, то необходимые размеры конуса вычислим исходя из того, что нам известен угол этого прямоугольного треугольника между основанием и образующей конуса.

h / OB = sin 30 
h = OB sin 30 
h = 12 sin 30 
По таблице значений тригонометрических функций найдем значение синуса 30 градусов. 
h = 12 * 1/2 
h = 6 
R / OB = cos 30 
R = OB cos 30 
R = 12 cos 30 
По таблице значений тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусов. 
R = 12 √3/2 
R = 6√3   
Откуда объем конуса будет равен: 
V = 1/3π ( 6√3 )2 * 6 
V = 216π  
Ответ: объем конуса равен   216π см2 .
Вопрос: Смесь меди и оксида меди(II) массой 2г, растворили в конц.серной кислоте. При этом выделился газ объемом 0,56(н.у) Вычислить массовую долю оксида меди в смеси
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Составим уравнения реакции. 
Сu + 2H2SO4 = CuSO4 + SO2  + 2H2O 
CuO + H2SO4 = CuSO4 + H2O 

Как видно из уравнений реакции, то только в одном из них выделяется SO2 . Таким образом, используя пропорцию между объемом выделенного газа и меди, определим, сколько меди вступило в первую реакцию. 

По уравнению реакции находим массу меди: 
из 64 г Cu выделилось 22,4 л SO2 
тогда из Х г  выделилось 0,56 л 

Откуда х = 1,6 г 

Значит, оксида меди: 2 - 1,6 = 0,4 г 

Откуда массовая доля составляет 0,4/2 = 0,2 или 20%

решение задания по химии
Вопрос: В отрасли А и в отрасли В функционирует по 10 фирм. При этом в отрасли А рыночная доля самой крупной формы равна 49%, а трех последующих, соответственно, по 7% и оставшиеся фирмы - по 5%.
В отрасли В каждая из четырех крупных фирм занимает 19%,а доля следующей по величине фирмы составляет 14%. Оставшиеся 5 мелких фирм поровну разделили 10% рынка.
Необходимо рассчитать уровень концентрации и индекс Херфиндаля-Хиршмана для 4 крупных фирм в каждой отрасли
Категория: экономические
Ответы:
Решение.
Для отрасли А:

HHI = 492 + 3 x 72  + 6 х 52  = 2 698
CR4 = 49 + 7 + 7 + 7 = 70

Для отрасли В:

HHI = 4 x 192  + 142  + 5 x 22  = 1 660
CR4 = 19 + 19 + 19 + 19 = 76
Вопрос: Собственный капитал банка равен 40 миллиардов рублей. Депозиты составляют 190 миллиардов рублей. Резервы равны 10 млрд. руб. По кредитам банк взимает 60% годовых. Банк желает получить прибыль с собственного капитала 80% годовых. Рассчитайте, какой процент банк должен выплачивать по вкладам, чтобы обеспечить себе данную норму прибыли.
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Что хотят от студента? А хотят, чтобы он вспомнил, что на лекциях ему сообщили, что в собственный капитал банка входят раскрытые резервы. После чего он должен совершить титанически сложную операцию: 
40 + 10 = 50 миллиардов рублей

Теперь определим желаемую прибыль с собственного капитала банка (80% - цифра, от которой любой европейский банк должен, истекая слюной, забиться в судорогах):

50 * 0,8 = 40 миллиардов рублей
Вопрос: В банке размещены депозиты клиентов на сумму 250 млн. грн., выплаты по которым осуществляются по средней ставке 10% годовых, в то же время банк предоставляет кредиты на сумму 200 млн .грн  сроком на 2 года со ставкой 15%. Узнать годовой доход
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Валовые выплаты по депозитам 
250 * 10% = 25 миллионов в год 
Валовый доход по кредитам 
200 * 15% = 30 миллионов в год 
30 - 25 = 5 миллионов маржи

Именно маржи, потому как эта сумма должна быть уменьшена на сумму сформированных резервов, также неплохо было бы учесть связанные с этими операциями расходы банка.
Вопрос: Сумма цен, предназначенных для продажи товаров - 128,6 млрд грн; потребительских кредитов предоставлено на сумму 18,6 млрд грн. Бартерные операции составляют пятую часть всех хозяйственных операций. Кредитные обязательства, по которым наступил срок уплаты -11,42 млрд. грн. Определите количество наличных денег, необходимую для обеспечения обращения данной товарной массы, если скорость оборота этой денежной единицы -12 раз в год
Категория: экономические
Ответы:
Решение.

1. Читаем (переходим по ссылке), как определяется количество денег в государстве.

2. Подставляем данные в формулу, прочитанную при выполнении пункта 1

(128,6 - 18,6 - 128,6/5 + 11,42 ) / 12 = 7,975

Ответ: 7,975 миллиардов гривен
Вопрос: Годовые издержки банка на аренду помещения, банковского оборудования, на наем банковских работников и т.п. составляет 170 тыс.руб. Все имеющиеся в банке деньги принадлежат вкладчикам. Средняя норма прибыли, или «Рс’», равна 10%. Ставка ссудного процента равна 2%, а ставка процента по вкладам равна 1,6%. Для выдачи денег вкладчикам в банке постоянно должна быть сумма денег, равная 9 тыс.руб. Определите минимальную сумму вкладов, необходимую для открытия банка, т.е. чтобы он имел достаточную прибыль, определяемую по формуле: 
Р=(издержки банка)* Рс’ /100%
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Наконец, приступаем к решению данной "задачи по экономике". 

Определим "расчетную прибыль банка", данную нам в безумной формуле. 
К сумме операционных расходов, заданных в "задаче", добавим сумму процентных расходов на средства, находящиеся у нас в кассе (про корреспондентские счета и обязательные резервы, как мы уже поняли, автор не подозревает). 
Для того, чтобы держать в кассе "огромную сумму" 9 000 рублей, нам нужно заплатить за их привлечение 

9 000 * 1,6% (годовая ставка привлечения) = 144 рубля. 

Таким образом, годовые издержки (исходя из данных, имеющихся в задаче) составят: 

170 000 + 144 = 170 144 рубля 

Теперь применим формулу "расчетной прибыли" 
170 144 * 10% = 17 014,40 рублей 

Вот эту "огромную сумму" банк должен заработать за год по условию задачи. 

Теперь определим сумму необходимых привлеченных депозитов. Автор задачи предполагает, что вся эта сумма будет выдана в качестве кредитов. Мы уже разобрались, что это бесконечно далеко от реальной действительности. Но... 

Маржа с каждой кредитно-депозитной операции 
2% - 1,6% = 0,4% 

Определим необходимый объем маржи 
170 144 + 17 014,40 = 187 158,40 
(к годовым операционным издержкам мы прибавили "расчетное значение" по прибыли) 
То есть из полученного объема маржи будут вычтены издержки операционной деятельности, в результате чего останется наша "расчетная прибыль". 

Определим объем депозитов: 
187 158,40 / 0,4% = 46 789 600 рублей.
Вопрос: Предприятие, которое выпускает однородную продукцию, несет такие расходы на единицу продукции: сырье и материалы - 3 грн., расходы на оплату труда - 2 грн., прочие расходы - 0,8 грн. Продажная цена единицы продукции составляет 6,8 грн. Определить необходимый объем реализации продукции, который бы обеспечил получение 10000 грн. чистой прибыли, если налог на прибыль составляет 25%
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Находим маржу от реализации единицы продукции. 
6,8 - 6,8 * 0% - ( 3 + 2 + 0,8 ) = 1

Судя по тому, что у нас получилось "целое" число, мы - "на верном пути". А как бы удивился преподаватель, если бы мы применили действующую ставку НДС, а не ноль?

Теперь находим объем необходимой реализации с учетом налога на прибыль.

10 000 / 1 / (100% - 25%) ≈ 13 334 шт (мы округлили выпуск до целого)

Ответ: 13 334 единицы продукции
Вопрос: Общие издержки описываются уравнением ТС = 10 + 2Q, при этом FC = 10, а p = 4. При каком выпуске фирма будет самоокупаемой?
Категория: экономические
Ответы:
Решение.
Рассмотрим заданное в условии уравнение издержек предприятия ТС = 10 + 2Q. 
Оно является уравнением вида y = ax + b. При этом величина b - это постоянная часть издержек (FC = 10).
Это согласуется с общей формулой

TC = AC + FC
(общие издержки равны сумме условно-постоянных и условно-переменных издержек)

Переменные издержки при этом выражаются (из условия нашей "задачи")  как AC = 2Q (исходя из сказанного выше)
То есть количество произведенной продукции - Q.

Точка окупаемости достигается при равенстве издержек и выручки от реализации. То есть:

4Q = 10 + 2Q

Решаем получившееся уравнение.

2Q = 10 
Q = 5

Ответ: предприятие достигнет самоокупаемости при выпуске и реализации продукции объемом 5 единиц
Вопрос: Ценовая эластичность спроса населения на товар составляет (–0,8), а эластичность спроса по доходу 1,3. Если цена на товар снизится на 2 %, а доход увеличится на 5 %, что произойдет со спросом на данный товар?
Категория: экономические
Ответы:
Объем спроса увеличится под воздействием снижения цены товара и увеличения дохода с учетом коэффициентов эластичности. Это рассчитывается следующим образом:
Вопрос: Кредит в сумме 40,0 млн. руб., выданный на 5 лет под 6% годовых, подлежит погашению равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими процентные платежи и сумму в погашение основного долга. Проценты начисляются в один раз в год. После выплаты третьего платежа достигнута договоренность между кредитором и заемщиком о продлении срока погашения займа на 2 года и увеличении процентной ставки с момента конверсии до 10%. Необходимо составить план погашения оставшейся части долга.
Категория: экономические
Ответы:
Для определения коэффициента аннуитета используем вторую формулу. 
K = 0.06 ( 1 + 0.06 )5 / ( ( 1 + 0.06 )5 - 1 ) = 0.2373964 

Тогда размер аннуитетного платежа будет равен: 
A = KS = 40 000 000 * 0.2373964 = 9 495 856 рублей 

Поскольку платеж включает в себя и тело кредита и проценты, составим таблицу на три года о том, что произошло с остатком долга. 

Период    Остаток долга на начало периода    Выплачено процентов    Выплачено тела кредита
1    40 000 000,00    2 400 000,00    7 095 856,00
2    32 904 144,00    1 974 248,64    7 521 607,36
3    25 382 536,64    1 522 952,20    7 972 903,80
4    17 409 632,84        

Проценты определены как 6% к сумме долга на начало периода. А тело кредита - разница между суммой платежа и процентами. 

Теперь пересматриваем условия кредита. 
Продление срока погашения кредита на 2 года означает, что оставшуюся сумму нужно погасить за 4 года (у нас оставались 4 и 5 год на погашение плюс два). Принцип погашения (аннуитетными платежами) не изменился, поэтому делаем перерасчет. 

Периодов погашения - 4 
Процент - 10% 

K = 0.10 ( 1 + 0.10 )4 / ( ( 1 + 0.10 )4 - 1 ) = 0.315470804 

Тогда размер аннуитетного платежа будет равен: 
A = KS = 17 409 632.84 * 0.315470804 = 5 492 230.86 рублей 

Итоговый расчет также оформим в виде таблицы: 

Период 
Остаток долга на начало периода 
Выплачено процентов 
Выплачено тела кредита 
1 
17 409 632,84    1 740 963,28    3 751 267,56 
2 
13 658 365,28 
1 365 836,53 
4 126 394,33 
3 
9 531 970,95 
953 197,10 
4 539 033,76 
4 
4 992 937,19 
499 293,72 
4 992 937,19 
0,00
Вопрос: Ваша тетя оставила вам по завещанию 20000 долл. Вы можете инвестировать деньги под 12% годовых. Если вы будете тратить по 3540 долл. в год из полученного наследства, то на сколько времени хватит денег?
Категория: экономические
Ответы:
По условию задачи нам необходимо найти срок, из вышеприведенной формулы выразим n:   
(1+r)n = FVn /A ×r + 1. 

Подставляем известные нам значения и решаем: 
(1+0,12)n = (20 000)/(3 540)× 0,12 + 1, 
(1,12)n =1,678, 

Здесь нам необходимо представить данное выражение в виде логарифма и найти его значение: 
Логарифм числа 1,678 по основанию 1,12 = 4,567 ≈ 4,5 года. 

Ответ: 4,5 года.
Вопрос: Фирма авансировала 240 млн. д.е.: 
на строительство производственного корпуса 100 млн. д.е.; 
на приобретение станков и оборудования 80 млн. д.е.; 
на закупку сырья, полуфабрикатов, топлива 25 млн. д.е.; 
на оплату рабочей силы 35 млн. д.е. 
Определите величину основного и оборотного капитала фирмы.
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Набираем сумму необоротных активов (точнее, которые до даты баланса таковыми станут). 
100 + 80 = 180 
Теперь - оборотных. При этом предполагаем, что из закупленных материалов ничего, не дай бог, не попадет для нужд строительства, ни грамма топлива не будет израсходовано на доставку станков или стройматериалов и т.д.

Собственно, по условию, 25.

35 у нас, по условию (которое мы немного додумали), "вылетело в трубу", то есть в расходы периода. Мы ничего не произвели, не создали, только охраняли, надували щеки и т.д.

Итого: 
Основной капитал равен 180 миллионам денежных единиц 
Оборотный капитал равен 25 миллионам денежных единиц.
Вопрос: Уставной капитал компании - 250 млн. рублей. Определенный доход, подлежащий распределению между акционерами, составляет 2,9 млн. рублей. Выпущено 4 млн. акций. Ставка банковского процента, которая сложилась, -12%. определите: 
А) Какая номинальная стоимость акций? 
Б) Какой ожидаемый размер дивидендов? 
В) Какой примерный курс акций? 
Г) Какова величина учредительной прибыли при продаже 85% акций?
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Определяем номинал акции 
250 000 000 / 4 000 000 = 62,50 руб. 
Распределено акционерам 
2 900 000 / 4 000 000 = 0,725 рубля на акцию 
Идея автора задачи заключалась в том, что если уравнять сумму дивидендов с полученной ставкой банковского процента, нужно рассчитать цену, по которой можно купить акцию, чтобы получить ровно такой же доход. То есть:

0,725 / 0,12 = 6,0417 рубля

Таким образом, разница между номиналом и стоимостью акции составляет

62,50 - 6,0417 = 56,4583 рубля

В случае продажи 85% акций убытки учредителей (!) составят 
4 000 000 * 0,85 * 56,4583 = 191 958 220 рублей 
Ответ: номинал акции  62,50 руб.,  распределено акционерам  0,725 рубля на акцию, курс акции с точки зрения инвестора может составлять   6,0417 рубля, убытки учредителей от продажи акций составят  191 958 220 рублей
Вопрос: Выручка от реализации продукции отчётного периода равна 33,994 млн. руб., условно-переменные затраты – 22,688 тыс. руб., условно-постоянные затраты – 9,723 млн. руб., прибыль от реализации – 1,583 млн. руб. По информации специалистов, в плановом периоде возможны такие изменения в рыночной ситуации:

возможен рост объёма производства и реализации на 70% и снижение цен на 10%; 
возможно повышение цены на 5% и уменьшение объёма производства и реализации на 4%; 
возможно улучшение конкурентных свойств продукции с привлечением дополнительных затрат в сумме 8,5 млн. руб., но при этом тоже возможны два варианта развития событий:
повышение цены на 6% без снижения объёма производства и реализации продукции; 
рост цены на 4% с увеличением объёма производства и реализации на 3%. 
Выбрать наиболее благоприятную для организации ситуацию с точки зрения финансовых результатов, то есть прибыли от реализации продукции.
Категория: экономические
Ответы:
Решение. 
Поскольку особым смыслом задача не наполнена, сведем результаты в таблицу 
Наименование    Базовые условия    Вариант 1    Вариант 2    Вариант 3а    Вариант 3б
1    Выручка от реализации, млн. руб.    33,994    52,011    34,266    36,034    36,414
2    Условно-переменные затраты, млн. руб.    22,688    38,570    21,780    21,780    23,369
3    Условно-постоянные затраты, млн. руб    9,723    9,723    9,723    9,723    9,723
4    Дополнительные затраты, млн.руб.                8,500    8,500
5    Прибыль от реализации, млн. руб    1,583    3,718    2,763    -3,969    -5,178
Строка 5 = Строка 1 - (Строка 2 + Строка 3 + Строка 4)

Соответственно, корректируем выручку от реализации на рост производства и цен. Условно переменные затраты корректируем только на изменение объемов производства и продаж.

Результат предсказуем, в варианте 1 получается наибольшая прибыль.