nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Чтобы решить подобную задачу, ее надо перефразировать:
Какова вероятность, что:
при первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4
ИЛИ
при первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, а при втором броске выпадет 5.
ИЛИ
выпадает 5 при обоих бросках.
Вероятность выпадания любой грани равна 1/6, так как всего граней 6.
Следовательно, вероятность выпадения 5 тоже равна 1/6.
Вероятность выпадения 1, или 2, или 3, или 4 равна 1/6+1/6+1/6+1/6=4/6.
Вероятность, что произойдут оба события равно произведению вероятностей каждого из событий: (1/6)*(4/6)=4/36
Это мы рассмотрели первый случай (сначала выпадает 5, потом любое число кроме 5 и 6), теперь рассмотрим второй случай (сначала выпадает любое число кроме 5 и 6, потом выпадает 5), очевидно, что вероятность таких событий равно:
(4/6)*(1/6)=4/36, т.е. столько же.
Одновременное выпадение 5 при обоих бросках:
1/6*1/6=1/36
Вероятность, что произойдет или первый случай или второй или третий равна сумме их вероятностей:
4/36+4/36+1/36=9/36=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Вопрос: Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся
Категория: школьный раздел
Ответы:
Если нужно посчитать вероятность нескольких событий, все из которых должны произойти (т.е. должно произойти и первое, и второе, и третье, и т.д.), то нужно умножить вероятности всех этих событий.
Если нужно посчитать вероятность нескольких событий, хотя бы одно из которых должны произойти (т.е. должно произойти или первое, или второе, или третье, и т.д.), то нужно сложить вероятности всех этих событий.
В нашем случае должны произойти все события: 1 выстрел - попал, 2-ой выстрел - попал, 3-ий выстрел - попал, 4-ый выстрел - не попал.
Вероятность того, что стрелок промахнется, т.е. не попадет P=1-0,5=0,5.
Тогда:
P=0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625
Ответ: 0,0625
Вопрос: В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - старт спортсмена из Норвегии или Швеции первым.
Старт первым одного из 11-и российских спортсменов - неблагоприятный исход
Старт первым одного из 6-и норвежских спортсменов - благоприятный исход.
Старт первым одного из 3-х шведских спортсменов - благоприятный исход
Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 11+6+3=20.
Благоприятных исходов = 6+3=9.
P=9/20=0,45 или 45%.
Ответ: P=0,45
Вопрос: Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3
Категория: школьный раздел
Ответы:
Чтобы решить подобную задачу, ее надо перефразировать:
Какова вероятность, что:
1) при первом броске выпадет 1, или 2, или 3, а при втором броске выпадет 4, или 5, или 6
ИЛИ
2) при первом броске выпадет 4, или 5, или 6, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3
ИЛИ
3) при первом броске выпадет 4, или 5, или 6, и при втором броске выпадет 4, или 5, или 6
Вероятность выпадания любой грани равна 1/6, так как всего граней 6.
1) Первый вариант:
Вероятность выпадения при первом броске 1, или 2, или 3, равна 1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.
Вероятность выпадения при втором броске 4, или 5, или 6, равна 1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.
Вероятность, что произойдут оба события равно произведению вероятностей каждого из событий: (1/2)*(1/2)=1/4
2) Второй вариант:
Вероятность выпадения при первом броске 4, или 5, или 6, равна 1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.
Вероятность выпадения при втором броске 1, или 2, или 3, равна 1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.
Вероятность, что произойдут оба события равно произведению вероятностей каждого из событий: (1/2)*(1/2)=1/4
3) Третий вариант:
Вероятность выпадения при первом броске 4, или 5, или 6, равна 1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.
Вероятность выпадения при втором броске 4, или 5, или 6, равна 1/6+1/6+1/6=3/6=1/2.
Вероятность, что произойдут оба события равно произведению вероятностей каждого из событий: (1/2)*(1/2)=1/4
Вероятность, что произойдет или первый случай, или второй, или третий равна сумме их вероятностей:
1/4+1/4+1/4=3/4=0,75
Ответ: 0,75
Вопрос: В среднем у каждой ученицы класса, где учится Настя, есть по 4 юбки. У Насти 3 юбки. Какое из следующих утверждений верно?
1) Обязательно есть девочка, у которой 2 юбки.
2) Обязательно есть девочка, у которой 6 юбок.
3) Обязательно есть девочка, кроме Насти, у которой юбок меньше 4.
4) Обязательно есть девочка, у которой юбок больше 4.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) "Обязательно есть девочка, у которой 2 юбки" - это утверждение неверно, можно привезти такой пример: у Насти 3 юбки (как сказано в условии), у одной девочки из класса 5 юбок, а у остальных по 4 юбки. Все условия задачи выполнены, очевидно, что данное утверждение неверно
2) "Обязательно есть девочка, у которой 6 юбок" - это утверждение неверно, можно посмотреть на пример из п.1).
3) "Обязательно есть девочка, кроме Насти, у которой юбок меньше 4" - это утверждение неверно, можно посмотреть на пример из п.1).
4) "Обязательно есть девочка, у которой юбок больше 4" - это утверждение верно. Если есть девочка, у которой юбок меньше среднего значения, то, конечно, есть девочка, у которой юбок больше среднего значения.
Ответ: 4)
Вопрос: В каждой четвёртой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдёт приз в своей банке.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - не найти приз.
Из четырех банок 1 с призом (неблагоприятный исход), а 3 без приза (благоприятный исход). Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 1+3=4.
P=3/4=0,75
Ответ: P=0,75
Вопрос: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность выпадания орла при броске 1/2.
Возможны четыре варианта:
1) В оба броска выпал орел - не благоприятный исход.
2) В первый бросок выпал орел, а во второй решко - благоприятный исход.
3) В первый бросок выпал решко, а во второй орел - благоприятный исход.
4) В оба броска выпал решко - не благоприятный исход.
Т.е. P=2/4=0,5
Ответ: 0,5

Возможные варианты двух бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:№ варианта1-й бросок2-й бросок1ОрелОрел2ОрелРешка3РешкаОрел4РешкаРешкаИз таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел выпадает 1 раз} соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких вариантов два m=2.Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5
Вопрос: Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Посчитаем среднее арифметическое: (158+166+134+130+132)/5=144
Посчитаем медиану этого ряда, для этого сначала упорядочим ряд по возрастанию:
130, 132, 134, 158, 166
Отбросим первый и последний члены ряда:
132, 134, 158
Опять отбросим первый и последний члены оставшегося ряда:
134 - это и есть медиана ряда
144-134=10
Ответ: 10
Вопрос: В среднем каждый работающий житель города, в котором живет Илья Дмитриевич, тратит на дорогу до работы 42 минуты. Илья Дмитриевич тратит на дорогу 50 минут. Какое из следующих утверждений верно?
1) Более 80% процентов работающих людей тратит на дорогу 42 минуты.
2) Обязательно найдется работающий человек, который тратит на дорогу 42 минуты.
3) Обязательно найдется работающий человек, который тратит на дорогу меньше 42 минут.
4) Обязательно найдется хотя бы 2 работающих человека, которые тратят на дорогу меньше 42 минут.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) "Более 80% процентов работающих людей тратит на дорогу 42 минуты."
Это утверждение неверно, можно привезти такой пример: Ровно половина работающих жителей тратят на дорогу 50 минут, а другая половина работающих жителей тратит на дорогу 34 минуты. Все условия задачи выполнены, но никто не тратит ровно 42 минуты, т.е. это утверждение неверно
2) "Обязательно найдется работающий человек, который тратит на дорогу 42 минуты."
Это утверждение неверно, можно посмотреть на пример из п.1).
3) Обязательно найдется работающий человек, который тратит на дорогу меньше 42 минут.
Это утверждение верно. Если есть житель, который тратит на дорогу больше среднего значения, то, конечно, есть житель, который тратит на дорогу меньше среднего значения.
4) "Обязательно найдется хотя бы 2 работающих человека, которые тратят на дорогу меньше 42 минут".
Это утверждение неверно, можно привезти такой пример: все работающие жители тратят на дорогу 42 минуты, только Илья Дмитриевич тратит 50 минут и один другой житель тратит 34 минуты. Все условия задачи выполнены, но только один житель на дорогу тратит меньше 42 минут, т.е. это утверждение неверно
Ответ: 3)
Вопрос: В среднем на 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится три неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - выбор исправного фонарика.
Выбор одного из 3-х неисправных фонариков - неблагоприятный исход
Выбор одного из 147-и исправных фонариков - благоприятный исход
Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 3+147=150.
P=147/150=49/50=98/100=0,98.
Ответ: P=0,98
Вопрос: В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки, из них 22 — красные, 9 — зелёные, 41 — фиолетовые, ещё есть синие и чёрные. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или фиолетовая ручка.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Во-первых, найдем сколько синих и черных ручек:
84-22-9-41=12, т.е. 12 синих и черных.
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - выбор красной или фиолетовой ручки.
Выбор одной из 22-х красных ручек - благоприятный исход
Выбор одной из 9-и зеленых ручек - неблагоприятный исход
Выбор одной из 41-ой фиолетовых ручек - благоприятный исход
Выбор одной из 12-и синих или черных ручек - неблагоприятный исход
Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 84.
P=(22+41)/84=63/84=0,75 или 75%.
Ответ: P=0,75

84 ручки-всего
22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, 6 черных и 6 синих
нам надо красные и фиолетовые
41+22=63
получается 63/84. Эту дробь делим на 3; получается 21/28. Потом делим ее на 7. И того 3/4, а это 0.75
ОТВЕТ: 0.75
Вопрос: В среднем каждый ученик класса, в котором учится Сережа, тратит на дорогу до школы 36 минут. Сережа тратит на дорогу 10 минут. Какое из следующих утверждений верно?
1) Обязательно найдется ученик класса, который тратит на дорогу более 40 минут.
2) Обязательно найдется ученик класса, который тратит на дорогу ровно 36 минут.
3) В классе каждый ученик, кроме Сережи, тратит на дорогу более 36 минут.
4) Обязательно найдется ученик, который тратит на дорогу тратит более 36 минут.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) " Обязательно найдется ученик класса, который тратит на дорогу более 40 минут." Рассмотрим такой пример: Сережа тратит на дорогу 10 минут (как в условии), не считая Сережи, учеников в классе 13 (не противоречит условиям задачи), все кроме Сережи тратят на дорогу 38 минут. Среднее время по классу равно (38*13+10)/14=36 минут (соответствует условию задачи). Очевидно, что данное утверждение неверно.
2) "Обязательно найдется ученик класса, который тратит на дорогу ровно 36 минут." Данное утверждение неверно, можно посмотреть на пример из п.1).
3) "В классе каждый ученик, кроме Сережи, тратит на дорогу более 36 минут." Можно рассмотреть другой вариант: ровно половина класса тратит на дорогу 10 минут (как и Сережа), а другая половина тратит на дорогу ровно 62 минуты. Среднее значение 36 минут. Понятно, что данное утверждение неверно.
4) "Обязательно найдется ученик, который тратит на дорогу тратит более 36 минут." Если есть ученик, время которого меньше среднего, то обязательно найдется ученик, время которого больше среднего значения. Т.е. данное утверждение верно.
Ответ: 4)
Вопрос: Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность выпадения орла или решко равна 1/2 или 0,5, следовательно из 1000 бросков, по теории вероятности, должно выпасть 500 раз решко и 500 раз орел.
Реально орел выпал 532 раза, т.е. частота равна 532/1000=0,532.
Получается, что разница между частотой и вероятностью равна 0,532-0,5=0,032
Ответ: 0,032
Вопрос: Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Пете не выпадет.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - жребий не выпадет на Петю.
Жребий выпадет на Петю - неблагоприятный исход
Жребий выпадет на Катю - благоприятный исход
Жребий выпадет на Ваню - благоприятный исход.
Жребий выпадет на Дашу - благоприятный исход.
Жребий выпадет на Наташу - благоприятный исход.
Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 5.
P=4/5=0,8.
Ответ: 0,8
Вопрос: В среднем у каждого ученика класса, где учится Толя, есть по 7 тетрадок. У Толи 6 тетрадок. Какое из следующих утверждений верно?
1) Обязательно найдется ученик, у которого ровно 7 тетрадок.
2) Обязательно найдется человек, у которого хотя бы 9 тетрадок.
3) У Толи меньше всех тетрадок в классе.
4) Обязательно найдется ученик, у которого есть хотя бы 8 тетрадок.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) "Обязательно найдется ученик, у которого ровно 7 тетрадок". Рассмотрим такой вариант: ровно у половины учеников, включая Толю, по 6 тетрадей, у другой половины - по 8. Все условия задачи выполняются, а утверждение неверно.
2) "Обязательно найдется человек, у которого хотя бы 9 тетрадок" - это утверждение неверно, см. пример из п.1).
3) "У Толи меньше всех тетрадок в классе" - это утверждение так же неверно, см. пример из п.1).
4) "Обязательно найдется ученик, у которого есть хотя бы 8 тетрадок" - это утверждение верно. Если есть ученик, у которого тетрадей меньше среднего значения, то обязательно найдется ученик, у которого тетрадей больше среднего значения.
Ответ: 4)
Вопрос: Средний рост мальчиков класса, где учится Гоша, равен 165 см. Рост Гоши 161 см. Какое из следующих утверждений верно?
1) В классе обязательно есть мальчик ростом 165 см.
2) Все мальчики в классе, кроме Гоши, имеют рост 165 см.
3) В классе обязательно есть хотя бы 2 мальчика с ростом более 165 см.
4) В классе обязательно есть мальчик ростом более 165 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) "В классе обязательно есть мальчик ростом 165 см". Рассмотрим такой вариант: ровно половина мальчиков в классе, включая Гошу, ростом 161 см, другая половина - ростом 169 см. Все условия задачи выполняются, а утверждение неверно.
2) "Все мальчики в классе, кроме Гоши, имеют рост 165 см" - это утверждение неверно, см. пример из п.1).
3) "В классе обязательно есть хотя бы 2 мальчика с ростом более 165 см" - это утверждение так же неверно. Если рассмотреть пример из п.1) с оговоркой, что в классе только два ученика (такой спецкласс). Т.е. Гоша ростом 161 см, а второй ученик ростом 169.
4) "В классе обязательно есть мальчик ростом более 165 см" - это утверждение верно. Если есть ученик, у которого рост ниже среднего значения, то обязательно найдется ученик, рост которого выше среднего значения.
Ответ: 4)
Вопрос: Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Суммарная вероятность событий: ручка пишет или не пишет равна 1.
Вероятность того, что ручка не пишет равна 0,19.
Следовательно, вероятность того, что пишет равна P=1-0,19=0,81.
Ответ: 0,81

1-0,19=0,81
Вопрос: На экзамене 25 билетов, Антон не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - выпадение выученного билета.
Выучил Антон 25-4=21 билет - это число благоприятных исходов.
25 - это числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, так как билетов всего 25.
P=21/25=84/100=0,84
Ответ: 0,84
Вопрос: Стрелок 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишени, а последние 4 раза промахнулся
Категория: школьный раздел
Ответы:
Если нужно посчитать вероятность нескольких событий, все из которых должны произойти (т.е. должно произойти и первое, и второе, и третье, и т.д.), то нужно умножить вероятности всех этих событий.
Если нужно посчитать вероятность нескольких событий, хотя бы одно из которых должны произойти (т.е. должно произойти или первое, или второе, или третье, и т.д.), то нужно сложить вероятности всех этих событий.
В нашем случае должны произойти все события: 1 выстрел - попал, 2-ой выстрел - не попал, 3-ий выстрел - не попал, 4-ый выстрел - не попал, 5-ый выстрел - не попал.
Вероятность того, что стрелок промахнется, т.е. не попадет P=1-0,8=0,2.
Тогда:
P=0,8*0,2*0,2*0,2*0,2=8*2*2*2*2*10^-5=128*10^-5=0,00128
Ответ: 0,00128
Вопрос: На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - выбор небракованной лампочки.
Небракованных лампочек 1000-5=995 - это число благоприятных исходов.
1000 - это числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.
P=995/1000=0,995
Ответ: 0,995

Всего лампочек 1000+5=1005
1000/1005=0,995024....
Округляем до тысячных, получаем 0,995.
Вопрос: Из 1000 продающихся батареек в среднем 90 разряжены. Какова вероятность того, что случайно выбранная батарейка исправна?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - выбор исправной батарейки.
Из 1000 батареек 90 разряжены (неблагоприятный исход), а 910 заряжены (благоприятный исход). Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 1000.
P=910/1000=0,91 или 91%.
Ответ: 0,91
Вопрос: Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 7 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
В данной задаче интересующее нас событие - это то, что Саше достанется пазл с машиной.
То, что достанется один из 7-и пазлов с машинами - благоприятный исход
То, что достанется один из 3-х пазлов с городами - неблагоприятный исход
Полная группа исходов (благоприятных и неблагоприятных) = 7+3=10.
P=7/10=0,7.
Ответ: 0,7
Вопрос: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Чтобы найти Вероятность любого события нужно определить количество всевозможных вариантов события и количество интересующих нас вариантов события.
Всех вариантов событий 2*2*2*2=16
Чтобы это лучше понять рассмотрим варианты проще:
Если бы монетку бросали только один раз, то было бы 2 варианта (орел или решка).
Если бы монетку бросали два раза, то было бы 2*2 варианта (орел или решка)*(орел или решка).
Если бы монетку бросали три раза, то было бы 2*2*2 варианта (орел или решка)*(орел или решка)*(орел или решка).
Если монетку бросают четыре раза, то 2*2*2*2 варианта (орел или решка)*(орел или решка)*(орел или решка)*(орел или решка).
Теперь найдем сколько вариантов, когда орел выпадает ровно 3 раза:
1. Когда орел выпадает при первом, втором и третьем броске.
2. Когда орел выпадает при первом, втором и четвертом броске.
3. Когда орел выпадает при первом, третьем и четвертом броске.
4. Когда орел выпадает при втором, третьем и четвертом броске.
Итого 4 варианта, тогда:
P=4/16=1/4=0,25
Ответ: 0,25

Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:№ варианта1-й бросок2-й бросок3-й бросок4-й бросок№ варианта1-й бросок2-й бросок3-й бросок4-й бросок1ОрелОрелОрелОрел9РешкаОрелРешкаОрел2ОрелРешкаРешкаРешка10ОрелРешкаОрелРешка3РешкаОрелРешкаРешка11ОрелРешкаРешкаОрел4РешкаРешкаОрелРешка12ОрелОрелОрелРешка5РешкаРешкаРешкаОрел13РешкаОрелОрелОрел6ОрелОрелРешкаРешка14ОрелРешкаОрелОрел7РешкаОрелОрелРешка15ОрелОрелРешкаОрел8РешкаРешкаОрелОрел16РешкаРешкаРешкаРешкаИз таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные исходы события А = {орел выпадет 3 раза} соответствуют вариантам №12, 13, 14 и 15 эксперимента, значит m=4.Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25
Вопрос: Максим выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 11
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Найдем сколько всего трехзначных чисел.
Трехзначные числа начинаются с "100" и заканчиваются "999", т.е. всего трехзначных чисел 999-99=900 - это и есть число всех равновозможных несовместных элементарных исходов.
Теперь найдем сколько трехзначных чисел делятся на 11.
Разделим 999 на 11, получим приблизительно 90,81, берем от полученного числа целое значение (не округляем, а берем именно целое). Таким образом от 1 до 999 будет 90 чисел, делящихся на 11. Но нас интересуют только трехзначные числа.
В диапазоне от 1 до 99 чисел, которые делятся на 11, девять (11, 22, 33, .. , 99), т.е. трехзначных чисел, делящихся на 11 всего 90-9=81.
Вероятность того, что выбранное число делится на 11:
P=81/900=9/100=0,09 или 9%
Ответ: P=0,09
Вопрос: Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вероятность любого события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Найдем сколько всего трехзначных чисел.
Трехзначные числа начинаются с "100" и заканчиваются "999", т.е. всего трехзначных чисел 999-99=900 - это и есть число всех равновозможных несовместных элементарных исходов.
Теперь найдем сколько трехзначных чисел делятся на 51.
Разделим 999 на 51, получим приблизительно 19,59, берем от полученного числа целое значение (не округляем, а берем именно целое). Таким образом от 1 до 999 будет 19 чисел, делящихся на 51. Но нас интересуют только трехзначные числа.
В диапазоне от 1 до 99 чисел, которые делятся на 51, только одно, 51, т.е. трехзначных чисел, делящихся на 51 всего 19-1=18.
Вероятность того, что выбранное число делится на 51:
P=18/900=2/100=0,02 или 2%
Ответ: P=0,02

Число возможных исходов это количество трѐхзначных чисел. Их существует от 100 до 999, быстрее всего их можно посчитать так 1000-1-99=900 (исключаем тысячу и числа от 1 до 99). Из них на 51 делятся 18 чисел (переберѐм все): 102,153,204,255, 306,357,408, 459,510,561,612,663,714,765,816,867, 918,969. Можно посчитать количество чисел кратных 51 следующим образом:
1000:51=19,6 то есть чисел, которые делятся (кратны) на 51 в тысяче 19 штук. Но здесь же и число 51, его необходимо исключить (оно двухзначное). Получается 18 чисел. Таким образом, число благоприятных исходов 18. Вероятность искомого события равна 18 к 900, или 18/900=0,02. 
Ответ: 0,02
Вопрос: Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем отрезок АО, данный отрезок равен 6 (по условию задачи).
Обозначим одну из точек касания окружности и касательной как Р.
Проведем отрезок ОР.
ОР является перпендикуляром к касательной АР (по свойству касательной).
Рассмотрим треугольник АОР. Данный треугольник является прямоугольным,т.к. ОР перпендикулярен АР.
АО является биссектрисой угла, образованного касательными (свойство касательных прямых).
Соответственно угол РАО равен половине данного угла, т.е. 30°.
sin∠PAO=sin30°=1/2 (табличное значение)
sin∠PAO=ОР/АО (по определению синуса).
Получаем:
1/2=ОР/АО
OP=AO/2=6/2=3
Это и есть радиус окружности.
Ответ: 3
Вопрос: Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник АОВ. АО=ОВ, т.к. это радиусы окружности. Следовательно, треугольник АОВ - равнобедренный. Следовательно, /ОВА = /ОАВ = 60° (по свойству равнобедренного треугольника). Заметим, что /АОВ тоже равен 60° (по теореме о сумме углов треугольника). 180°-60°-60°=60°. Следовательно треугольник АОВ - равносторонний (по свойству равностороннего треугольника). Следовательно, ОВ=ОА=АВ=8. Ответ: АВ=8.
Вопрос: Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Лестница, дерево и земля представляют из себя прямоугольный треугольник. Высоту, на которой находится конец лестницы обозначим как х. Тогда по теореме Пифагора мы можем записать 2^2=1,2^2+x^2. Отсюда, x^2=4-1,44, х^2=2,56, x=1,6.
Ответ: 1,6 метра.
Вопрос: Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √11 и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию задачи ∠KAC>90°, т.е. это наибольший угол в треугольнике AKC следовательно, сторона KC, противолежащая этому углу тоже наибольшая (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).
Сторона AC равная 2√5 - наибольшая сторона исходного треугольника ABC (т.к. 2<√11<2√5).
Следовательно, угол ABC - наибольший угол треугольника ABC.
По условию задачи треугольник KAC подобен исходному треугольнику ABC. А значит углы этих треугольников соответственно равны (по определению подобных треугольников).
Поэтому наибольшие углы двух рассматриваемых треугольников равны, т.е. ∠KAC=∠ABC.
∠ACK не равен ∠ACB (т.к. KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B), поэтому ∠ACK = ∠BAC.
Следовательно, ∠AKC=∠ACB => cos(∠AKC)=cos(∠ACB).
Применяя теорему косинусов, мы можем записать:
AB2=AC2+BC2-2*AC*BC*cos(∠ACB). 
(√11)2=(2√5)2+22-2*2√5*2*cos(∠ACB);
11=4*5+4-8*√5*cos(∠ACB);
11-24=-8*√5*cos(∠ACB);
13=8*√5*cos(∠ACB);
cos(∠AKC)=cos(∠ACB)=13/(8*√5)
Ответ: 13/(8*√5)
Вопрос: В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны LM. Известно, что KA=NA. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольники KLA и NMA. LA=MA, т.к. точка А - середина LM, AK=AN из условия задачи, LK=MN (по свойству параллелограмма). Соответственно, треугольники KLA и NMA равны (по третьему признаку равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников следует, что /KLA=/NMA.
LK||MN (по определению параллелограмма), рассмотрим сторону LM как секущую к этим параллельным сторонам. Тогда получается, что сумма углов KLA и NMA равна 180°, т.к. эти углы являются внутренними односторонними. Отсюда следует, что каждый из этих углов равен 90°.
Рассмотрим треугольник KAN, KA=NA (по условию задачи), соответственно, этот треугольник равнобедренный. Отсюда следует, что /AKN=/ANK ( из свойства равнобедренного треугольника). Из ранее полученного равенства треугольников, следует, что /LKA=/MNA. Получаем, что углы LKN и MNK равны.
В свою очередь они так же являются внутренними односторонними и их сумма равна 180°. Получается, что и эти углы равны 90° каждый.
Параллелограмм, у которого все углы прямые (т.е. 90°) называется прямоугольником (по определению).
Вопрос: Точка О – центр окружности, /AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию ∠AOB=84°, этот угол является центральным, соответственно дуга АВ (нижняя часть) тоже равна 84°. ∠ACB - является вписанным углом и равен половине дуги, на которую опирается ( по теореме о вписанном угле). Соответственно, 84/2=42.
Ответ: 42
Вопрос: В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC = KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольники DAK и KBC. AK=KB, т.к. точка K - середина AB, KC=KD (из условия задачи), AD=BC (по свойству параллелограмма). Соответственно, треугольники DAK и KBC равны (по третьему признаку равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников следует, что /DAK=/KBC.
AD||BC (по определению параллелограмма), рассмотрим сторону AB как секущую к этим параллельным сторонам. Тогда получается, что сумма углов DAK и KBC равна 180°, т.к. эти углы являются внутренними односторонними. Отсюда следует, что каждый из этих углов равен 90°.
Теперь рассмотрим стороны AB и CD, они параллельны (тоже по определению параллелограмма). Рассмотрим сторону AD как секущую к этим параллельным сторонам.
/DAK и /ADC - внутренние односторонние. Следовательно их сумма равна 180°. А так как /DAK=90°, то /ADC тоже равен 90°.
Аналогично доказывается, что /BCD тоже равен 90°.
Параллелограмм, у которого все углы прямые (т.е. 90°) называется прямоугольником (по определению).
Вопрос: Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь трапеции вычисляется по формуле S=(a+b)/2*h, где a и b - основания трапеции, а h - высота трапеции. Обозначим углы трапеции A, B, C и D. И проведем высоту из угла B к основанию AD, как паказано на рисунке.
 Получившийся треугольник ABP - прямоугольный c катетами BP и AP. Заметим, что BP - это катет притиволежащий углу в 30°, следовательно он равен половине гипотенузы ( по свойству прямоугольного треугольника), h=3/2=1,5. Используя формулу площади трапеции получаем S=(2+6)*1,5/2. Вычисляем S=6.
Вопрос: Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 5
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь трапеции вычисляется по формуле S=(a+b)/2*h, где a и b - основания трапеции, а h - высота трапеции. Обозначим углы трапеции A, B, C и D. И проведем высоту из угла B к основанию AD, как паказано на рисунке. 
 Получившийся треугольник ABP - прямоугольный c катетами BP и AP. Заметим, что BP - это катет притиволежащий углу в 30°, следовательно он равен половине гипотенузы ( по свойству прямоугольного треугольника), h=4/2=2. Используя формулу площади трапеции получаем S=(2+5)*2/2. Вычисляем S=7.
Ответ: S=7.
Вопрос: Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √7 и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если /KAC>90°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию задачи /KAC>90°, т.е. это наибольший угол в треугольнике AKC следовательно, сторона KC, противолежащая этому углу тоже наибольшая (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника). Сторона AC равная 2√5 - наибольшая сторона исходного треугольника ABC (т.к. 2<√7<2√5). Следовательно, угол ABC - наибольший угол треугольника ABC.
По условию задачи треугольник KAC подобен исходному треугольнику ABC. А значит углы этих треугольников соответственно равны (по определению подобных треугольников). Поэтому наибольшие углы двух рассматриваемых треугольников равны, т.е. /KAC=/ABC. /ACK не равен /ACB ( т.к. KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B), поэтому /ACK = /BAC. Следовательно, /AKC=/ACB => cos(/AKC)=cos(/ACB).
Применяя теорему косинусов мы можем записать AB2=AC2+BC2-2*AC*BC*cos(/ACB). 
(√7)2=(2√5)2+22-2*2√5*2*cos(/ACB);
7=4*5+4-8*√5*cos(/ACB);
7-24=-8*√5*cos(/ACB);
17=8*√5*cos(/ACB);
cos(/AKC)=cos(/ACB)=17/(8*√5)
Ответ: cos(/AKC)=17/(8*√5)
Вопрос: Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √13 и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если /KAC>90
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию задачи /KAC>90°, т.е. это наибольший угол в треугольнике AKC следовательно, сторона KC, противолежащая этому углу тоже наибольшая (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника). Сторона AC равная 2√5 - наибольшая сторона исходного треугольника ABC (т.к. 2<√13<2√5). Следовательно, угол ABC - наибольший угол треугольника ABC.
По условию задачи треугольник KAC подобен исходному треугольнику ABC. А значит углы этих треугольников соответственно равны (по определению подобных треугольников). Поэтому наибольшие углы двух рассматриваемых треугольников равны, т.е. /KAC=/ABC. /ACK не равен /ACB ( т.к. KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B), поэтому /ACK = /BAC. Следовательно, /AKC=/ACB => cos(/AKC)=cos(/ACB).
Применяя теорему косинусов мы можем записать AB2=AC2+BC2-2*AC*BC*cos(/ACB). 
(√13)2=(2√5)2+22-2*2√5*2*cos(/ACB);
13=4*5+4-8*√5*cos(/ACB);
13-24=-8*√5*cos(/ACB);
11=8*√5*cos(/ACB);
cos(/AKC)=cos(/ACB)=11/(8*√5)
Ответ: cos(/AKC)=11/(8*√5)
Вопрос: В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольники ABC и ACD.
Сторона AC - общая для этих треугольников, AB=CD и BC=AD (по свойству параллелограмма), следовательно рассматриваемые треугольники равны (по третьему признаку). А значит равны и их площади, и равны эти площади половине площади параллелограмма.
Рассмотрим треугольник ACD, как только что выяснили, площадь этого треугольника равна половине площади параллелограмма. Отрезок DK - является медианой (по третьему свойству параллелограмма), и соответственно делит этот треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. равных по площади ( свойство медианы).
Следовательно площадь AKD равна половине площади треугольника ACD. SAKD=SACD/2=SABCD/4
Вопрос: Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 6. Окружность радиуса 4,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2):
 1) Из точки О2 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р)
2) Из точки О1 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К)
3) Из точки О1 к точке О2.
Заметим, что:
1) СМ=АС/2.
2) СР=СМ, по второму свойству касательной.
3) СМ=СК, по второму свойству касательной.
4) O1O2=R+r.
5) O2Р перпендикулярна BC, по первому свойству касательной.
6) O1К тоже перпендикулярна BC, по свойству касательной.
7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС.
Следовательно, O2Р || O1К (по свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что О1О2РК - прямоугольная трапеция (по определению трапеции). Рассмотрим эту трапецию.
Проведем отрезок О2Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О1К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O1O2Е - прямоугольный.
Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2.
Подставим известные нам данные, полученные ранее:
(R+r)^2=AC^2+(R-r)^2. Раскрываем скобки, получаем:
R^2+2Rr+r2=AC^2+R2-2Rr+r2
2Rr=AC^2-2Rr
4Rr=AC^2
r=(AC^2)/4R
r=6^2/4*4,5
r=36/4*4,5, r=2
Ответ: радиус вписанной окружности равен 2
Вопрос: Точка О — центр окружности, ∠BOC=160°. Найдите величину угла BAC (в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию ∠BOC=160°, этот угол является центральным, соответственно дуга ВC (малая часть) тоже равна 160°. ∠BAC - является вписанным углом и равен половине дуги, на которую опирается ( по теореме о вписанном угле). Соответственно, ∠BAC=160°/2=80°.
Ответ: 80
Вопрос: Сторона ромба равна 36, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник АВС.
Этот треугольник прямоугольный (по условию задачи).
∠С=90°, так как это прямой угол.
∠A=60°, следовательно по теореме о сумме углов треугольника:
180° = ∠АВС + ∠А + ∠С
180° = ∠АВС + 60° + 90°
∠АВС = 180°-90°-60°=30°.
По свойству прямоугольного треугольника:
АС=АВ/2=36/2=18.
Следовательно вторая половина стороны ромба = 36-18=18.
Т.е., в данной задаче, высота, проведенная к стороне ромба делит эту сторону на две равные части.
Ответ: 18 и 18
Вопрос: Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник АВС, этот треугольник прямоугольный (по условию задачи). /A=60°, следовательно по теореме о сумме углов треугольника /АВС = 180°-90°-60°=30°. По свойству прямоугольного треугольника АС=АВ/2=30/2=15. Следовательно вторая половина стороны ромба = 30-15=15. Т.е., в данной задаче, высота, проведенная к стороне ромба делит эту сторону на две равные части.
Ответ: длины обоих отрезков равны 15
Вопрос: Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2):
 1) Из точки О2 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р)
2) Из точки О1 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К)
3) Из точки О1 к точке О2.
Заметим, что:
1) СМ=АС/2.
2) СР=СМ, по второму свойству касательной.
3) СМ=СК, по второму свойству касательной.
4) O1O2=R+r.
5) O2Р перпендикулярна BC, по первому свойству касательной.
6) O1К тоже перпендикулярна BC, по свойству касательной.
7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС.
Следовательно, O2Р || O1К (по свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что О1О2РК - прямоугольная трапеция (по определению трапеции). Рассмотрим эту трапецию.
Проведем отрезок О2Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О1К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O1O2Е - прямоугольный.
Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2.
Подставим известные нам данные, полученные ранее:
(R+r)2=AC2+(R-r)2. Раскрываем скобки, получаем:
R^2+2Rr+r^2=AC^2+R^2-2Rr+r2
2Rr=AC^2-2Rr
4Rr=AC^2
r=(AC^2)/4R
r=12^2/4*8
r=144/4*8, r=4,5
Ответ: радиус вписанной окружности равен 4,5

решение задания по геометрии
Вопрос: Сторона ромба равна 32, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник АВС, этот треугольник прямоугольный (по условию задачи). /A=60°, следовательно по теореме о сумме углов треугольника /АВС = 180°-90°-60°=30°. По свойству прямоугольного треугольника АС=АВ/2=32/2=16. Следовательно вторая половина стороны ромба = 32-16=16. Т.е., в данной задаче, высота, проведенная к стороне ромба делит эту сторону на две равные части.
Ответ: длины обоих отрезков равны 16
Вопрос: На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рисунок,предложенный в задаче можно условно перерисовать в виде треугольников.
h1 - изначальная высота длинного плеча журавля.
h2 - конечная высота длинного плеча журавля.
h3 - изначальная высота короткого плеча журавля.
h4 - конечная высота короткого плеча журавля.
h3-h4=0,5 метра (по условию задачи).
Нам надо найти:
h1-h2=?.
Рассмотрим треугольники AOE и COG.
1) ∠AOE=∠COG, т.к. они вертикальные.
2) ∠AEO=∠CGO=90°
Следовательно, треугольники AOE и COG подобны (по первому признаку подобия). Отсюда следует, что h1/OA=h3/OC.
Треугольники BOF и DOI тоже подобны (аналогично предыдущим треугольникам).
Тогда:
h2/OB=h4/OD
OA=OB и OC=OD (так как длины плеч журавля не меняются), тогда:
h2/OA=h4/OC
Вычтем из первого равенства второе:
h1/OA-h2/OA=h3/OC-h4/OC.
(h1-h2)/OA=(h3-h4)/OC.
(h1-h2)/6=0,5/2.
h1-h2=6*0,5/2=1,5.
Ответ: 1,5.
Вопрос: В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольники ABC и ACD.
Сторона AC - общая для этих треугольников, AB=CD и BC=AD (по свойству параллелограмма), следовательно рассматриваемые треугольники равны (по третьему признаку). А значит равны и их площади, и равны эти площади половине площади параллелограмма.
Рассмотрим треугольник ACD, как только что выяснили, площадь этого треугольника равна половине площади параллелограмма. Отрезок DO - является медианой (по третьему свойству параллелограмма), и соответственно делит этот треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. равных по площади ( свойство медианы).
Следовательно площадь AOD равна половине площади треугольника ACD. SAOD=SACD/2=SABCD/4
Вопрос: Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM
Категория: школьный раздел
Ответы:
По условию задачи ВМ - медиана треугольника АВС, следовательно, по свойству медианы, площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же свойству медианы
SABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок СК. СК является медианой для треугольника СМВ, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР. МЕ является средней линией для треугольника АРС, следовательно (по теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ КР является средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками Р и Е.
Проведем высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР. Выше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC. SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC =(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC.
SABC/SKPCM=12/5.
Ответ: SABC/SKPCM=12/5=2,4
Вопрос: Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем отрезок АО, данный отрезок равен 8 (по условию задачи). Обозначим одну из точек касания окружности и касательной как Р. Проведем отрезок ОР. ОР является перпендикуляром к касательной АР (по свойству касательной). Рассмотрим треугольник АОР. Данный треугольник является прямоугольным,т.к. ОР перпендикулярен АР. АО является биссектрисой угла, образованного касательными (свойство касательных прямых). Соответственно угол РАО равен половине данного угла, т.е. 30°. Синус угла PAO равен 1/2 (табличное значение) и равен отношению ОР к АО (по определению синуса). Соответственно, ОР равняется половине АО, т.е. 4. ОР - это и есть радиус окружности.
Ответ: R=4
Вопрос: От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли. Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода
Категория: школьный раздел
Ответы:
Изобразим рисунок схематично. Проведем отрезок СЕ, параллельный AD. AECD - прямоугольник, т.к. все углы прямые. Следовательно, СЕ=AD.
По теореме Пифагора BC^2=CE^2+EB^2
BC^2=15^2+(12-4)^2
BC^2=225+64
BC^2=289
BC=√289=17.
Ответ: 17
Вопрос: Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 8
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем отрезок АО. Обозначим одну из точек касания окружности и касательной как Р. Проведем отрезок ОР. ОР является радиусом и перпендикуляром к касательной АР (по свойству касательной). Рассмотрим треугольник АОР. Данный треугольник является прямоугольным,т.к. ОР перпендикулярен АР. АО является биссектрисой угла, образованного касательными (свойство касательных прямых). Соответственно угол РАО равен половине данного угла, т.е. 30°. Синус угла PAO равен 1/2 (табличное значение) и равен отношению ОР к АО (по определению синуса). Соответственно, ОР равняется половине АО. AO=2*ОР=2*8=16.
Ответ: AO=16
Вопрос: Лестницу длиной 3,7 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Земля, ствол дерева и лестница представляют из себя прямоугольный треугольник, где лестница - гипотенуза, а ствол и земля - катеты.
Обозначим высоту, на которой находится конец лестницы, как Х.
По теореме Пифагора:
3,7^2=1,2^2+X^2
13,69=1,44+X^2
X^2=13,69-1,44
X^2=12,25
X=3,5
Ответ: 3,5
Вопрос: В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник АОВ. Этот треугольник равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы, поэтому они равны.
По свойству равнобедренного треугольника /OAB=/OBA.
Рассмотрим треугольники АОВ и COD. /DOC=/AOB, т.к. они вертикальные. СО=DO=OB=OA, т.к. это радиусы окружности.
Следовательно, треугольники АОВ и COD равны (по первому признаку). Поэтому /OBA=/OAB=/ODC=/OCD=75°
Ответ: /ODC=75°.
Вопрос: Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 0,7 м?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Лестница, дерево и земля представляют из себя прямоугольный треугольник. Высоту, на которой находится конец лестницы обозначим как X. Тогда по теореме Пифагора мы можем записать 2,5^2=0,7^2+X^2. Отсюда, X62=6,25-0,49, X^2=5,76, X=2,4.
Ответ: высота равна 2,4 метра.