Вопрос: Два предприятия А и В выделяют денежные средства на строительство трех объектов. С учетом особенностей вкладов и местных условий прибыль предприятия А в зависимости от объема финансирования выражается элементами матрицы.
 50 15 20
25 40 30
10 30 60
 Будем предполагать, что убыток предприятия В при этом равен прибыли предприятия А. Требуется найти оптимальные стратегии предприятий А и В.
Категория: экономические
Ответы:
Решение
 Обозначим чистые стратегии предприятий А и В через А1, А2, А3, и В1, В2, В3 соответственно. Предположим, что предприятие А располагает общей суммой а т.р., отпускаемой на строительство трех объектов. Аналогично и предприятие В имеет сумму в в т.р., отпускаемую на строительство тех же трех объектов. Тогда чистая стратегия А1 – это выделение   т.р. предприятием А на строительство первого объекта; А2 – чистая стратегия предприятия А, которое выделяет сумму а2 т.р. на строительство второго объекта; А3 – чистая стратегия предприятия А, которое выделяет сумму   т.р. на строительство третьего объекта. При этом a=a1+a2+a3.
 Аналогично определяются чистые стратегии и для предприятия B. 
 Проверим игру на наличие седловой точки:
 поэтому решение игры определяем в смешанных стратегиях. Цена игры   заключена между нижней  и верхней  ценами, т.е. 25 40.
 Составим задачу линейного программирования для каждого игрока.
Для игрока А:
 Min f x1+x2+x3
50x1+25x2+10x3 ≥ 1
15x1+30x2+30x3 ≥1
20x2+30x2+60x3 ≥1
x ≥0 i-1,2,3
Для игрока В:
 Nin f= y1+y2+y3
50y1+15y2+20y3 ≤1
25y1+40y2+30y3 ≤1
10y1+30y3+60y3 ≤1
y ≥0 i-1,2,3
Введя вспомогательные переменные х4 ≥0, х5 ≥0, х6 ≥ 0 для исходной задачи и у1 ≥0, у5 ≥0, у6 ≥0 для двойственной задачи, модели задач преобразуем к канонической форме. При этом вспомогательные переменные примем за базисные. Соответствие между переменными задач будет следующее:
 
Решаем симплекс-методом двойственную задачу и получаем:

БП    СБ    АО    у1    у2    у3    у4    у5    у6
            1    1    1    0    0    0
у1    1    0,0133    1    0    0    0,0234    -0,0047    -0,0055
у2    1    0,0094    0    1    0    -0,0188    0,0438    -0,0156
у3    1    0,0098    0    0    1    0,0056    -0,0211    0,0254
        0,0325    0    0    0    0,0102    0,0180    0,0043
 
 Из таблицы следует, что оптимальный план двойственной задачи:
  (0,0133;0,0094;0,0098;0;0;0). При этом  
 С учетом основной теоремы двойственности и соответствия между переменными оптимальный план прямой задачи запишется в виде 
  = (0,0102; 0,0180; 0,0043; 0; 0; 0);   = 0,0325.
 По формулам:
 получим цену игры:   и вероятности   для оптимальных смешанных стратегий соответственно предприятий А и В.
 Таким образом, оптимальными смешанными стратегиями предприятий А и В являются стратегии
 соответственно при гарантированном получении предприятием А независимо от стратегий предприятия В прибыли не менее 30,77 тыс. руб. Убыток предприятия В при этом составит не более 30,77т.р.
 Итак, из общей суммы средств а тыс. руб., выделяемых предприятием А на строительство трех объектов, на долю первого объекта должно выделяться 31,4%, второго – 55,4% и третьего – 13,2% этой суммы.
 Аналогично распределяются средства в тыс. руб. предприятием В. Так, на долю первого объекта приходится 40,9%, второго – 28,9% и третьего – 30,2% общей суммы. Такое распределение денежных средств предприятиями А и В по трем строящимся объектам позволит им получить максимальную прибыль 30,77 тыс. руб.