nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Середина E стороны AD выпуклого четырехугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 92° и 148°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сумма углов любого выпуклого n-угольника равна (n-2)180, тогда сумма углов четырехугольника (4-2)180=360.
Т.е. ∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠A+92°+148°+∠D=360°
∠A+∠D=120°
Треугольники AEB, BEC и ECD - равнобедренные, т.к. стороны AE=EB=EC=ED.
Следовательно:
∠A=∠ABE
∠EBC=∠ECB
∠ECD=∠D
Использую сумму углов четырехугольника, запишем:
∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB+∠ECD+∠D=360°
Используя ранее полученные равенства, запишем:
∠A+∠A+2∠EBC+∠D+∠D=360°
2∠A+2∠EBC+2∠D=360°
∠A+∠EBC+∠D=180°
120°+∠EBC=180°
∠EBC=60°
Рассмотрим треугольник EBC.
По теореме о сумме углов треугольника ∠BEC тоже равен 60°.
Следовательно треугольник EBC - равносторонний (по свойству).
Значит BC=BE=EC=8 (по определению) и
8=BE=EC=AE (по условию задачи).
AD=AE+ED=8+8=16
Ответ: AD=16
Вопрос: Углы при одном из оснований трапеции равны 48° и 42°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 6 и 3. Найдите основания трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке K.
Рассмотрим треугольник AKD.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠AKD+∠KDA+∠DAK=180°
∠AKD+48°+42°=180°
∠AKD=90°
Следовательно треугольник AKD - прямоугольный с гипотенузой AD.
KF - медиана (по условию задачи).
Мысленно опишем вокруг этого треугольника окружность. Так как треугольник прямоугольный, то центр окружности располагается на середине гипотенузы AD (по теореме об описанной окружности).
Следовательно AF=FD=R - радиус окружности, медиана KF тоже равна радиусу и, следовательно, равна AD/2.
Рассмотрим треугольник GKH.
Для этого треугольника KO - медиана и равна половине гипотенузы GH (как и у предыдущего треугольника).
KO=OH=GH/2
В треугольнике BKC - аналогичная ситуация: KE=EC=BC/2
Вернемся к треугольнику GKH:
KO=OH=GH/2=6/2=3
3=OH=KE+EO=EC+EF/2
EC=3-EF/2=3-3/2=1,5
BC=2*EC=2*1,5=3
Рассмотрим трапецию ABCD.
GH - средняя линия, следовательно GH=(BC+AD)/2
2GH=BC+AD
AD=2GH-BC=2*6-3=12-3=9
Ответ: AD=9, BC=3
Вопрос: Выберите слово со значением «бледность» 
 (*ответ*) pallor 
 broad 
 fan 
 finery 
Выберите слово со значением «веер» 
 (*ответ*) fan 
 darling 
 pocket 
 jacket 
Выберите слово со значением «вырезанный» 
 (*ответ*) carved 
 usher 
 fidget 
 anxiety 
Выберите слово со значением «достоинство» 
 (*ответ*) merit 
 bequest 
 resignation 
 chilly 
Выберите слово со значением «доступ» 
 (*ответ*) access 
 fashion 
 scale 
 brocade 
Выберите слово со значением «жалоба» («жалобы») 
 (*ответ*) plaints 
 sign 
 idle 
 adopt 
Выберите слово со значением «жук» 
 (*ответ*) beetle 
 bully 
 fly 
 bee 
Выберите слово со значением «насекомое» 
 (*ответ*) insect 
 fury 
 wrist 
 creature 
Выберите слово со значением «недоверчиво» 
 (*ответ*) suspiciously 
 choked 
 bully 
 idly 
Выберите слово со значением «отчаяние» 
 (*ответ*) desperation 
 crisp 
 pat 
 treatment 
Выберите слово со значением «раздражение» 
 (*ответ*) irritation 
 purgatory 
 crushed 
 impatiently 
Выберите слово со значением «рассеянно» 
 (*ответ*) distractedly 
 improper 
 vehement 
 reward 
Выберите слово со значением «смирение» 
 (*ответ*) resignation 
 break-off 
 groan 
 placidly 
Выберите слово со значением «упрек» 
 (*ответ*) reproach 
 vexed 
 accost 
 deliver 
Выражение “to peer out” на русский язык переводится как 
 (*ответ*) выглядывать 
 рвануть 
 вбегать 
 выбегать 
Глагол “to repudiate” на русский язык переводится как 
 (*ответ*) отвергать 
 расходиться 
 смеяться 
 отходить 
Глагол “to retort” на русский язык переводится как 
 (*ответ*) возражать 
 скучать 
 отделять 
 ретироваться 
Дополните предложение Current of air in a room, chimney or other enclosed place is called … 
 (*ответ*) draught 
 portico 
 whistle 
 torrent 
Дополните предложение If you knock a man down with your car, and then call him a fool, you are adding insult to … 
 (*ответ*) injury 
 patience 
 his trouble 
 pain 
Дополните предложение Person, walking in a street, is called … 
 (*ответ*) pedestrian 
 shelter 
 passer-by 
 walkman 
Дополните предложение The way in which the language is spoken is called … 
 (*ответ*) pronunciation 
 statement 
 style 
 pronto 
Дополните предложение When something makes or becomes greater in size, number, degree, etc, it means that it … 
 (*ответ*) increases 
 emigrates 
 grows 
 fastens 
Дополните предложение When something or somebody causes trouble it or he/she is called … 
 (*ответ*) troublesome 
 chilled 
 preoccupied 
 worrying 
Дополните предложение When you do something in a right, correct, suitable way you do it … 
 (*ответ*) properly 
 correctly 
 willingly 
 quickly 
Дополните предложение When you look closely, as if unable to see well, you … 
 (*ответ*) peer (at) 
 catch a glance 
 glance 
 look 
Дополните предложение When you say that you will have nothing more to do with something or somebody you … it/he/she 
 (*ответ*) repudiate 
 repulse 
 direct 
 disown 
Дополните предложение When you take all your attention so that attention is not given to other matters, you are … 
 (*ответ*) occupied 
 writing 
 reading 
 busy
Категория: школьный раздел
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены
Тест  прошел проверку
Вопрос: Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=22°, ∠2=72°. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим еще один угол как показано на рисунке.
∠2=∠4=72° (т.к. это накрест-лежащие углы).
Заметим, что ∠1+∠4+∠3=180° (так как в сумме образуют развернутый угол, который всегда равен 180°, т.е. прямую линию).
22°+72°+∠3=180°
∠3=180°-72°-22°=86°
Ответ: 86
Вопрос: Сторона ромба равна 8, а расстояние от центра ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим ключевые точки как показано на рисунке.
Проведем продолжение высоты OE к стороне AB и обозначим точку пересечения как F 
Площадь ромба (как и параллелограмма) равна произведению высоты на сторону ромба.
Высота ромба = EF (т.к. EF перпендикулярна CD). Рассмотрим треугольники DOE и BOF.
DO=OB (по второму свойству ромба)
/DOE=/BOF (т.к. они вертикальные)
/EDO=/FBO (т.к. это внутренние накрест-лежащие)
Следовательно, треугольники DOE и BOF равны по второму признаку.
Тогда OE=OF => EF=2*OE=2*2=4
Sромба=EF*CD=4*8=32
Ответ: Sромба=32
Вопрос: В трапеции ABCD AD=4, BC=1, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь трапеции равна h*(a+b)/2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.
hтрапеции*(4+1)/2=35 (по условию задачи)
h=35/2,5=14
Проведем высоту треугольника ABC, как показано на рисунке.
hтреугольника=hтрапеции, так как они обе перпендикулярны одним и тем же параллельным основаниям трапеции и образуют прямоугольник.
Sтреугольника=hтреугольника*BC/2=14*1/2=7
Ответ: Sтреугольника=7
Вопрос: Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100
Категория: школьный раздел
Ответы:
AB=100, AC=28
По теореме Пифагора найдем второй катет:
AB2=AC2+BC2
100^2=28^2+BC^2
BC^2=10000-784
BC^2=9216
BC=√9216
Если под рукой нет таблицы квадратов, то разложим 9216 на множители:
BC=√9216=√4*2304=√4*4*576=√4*4*4*144=2*2*2*12=96
Площадь любого треугольника равна половине произведения высоты и стороны, к которой проведена высота. В прямоугольном треугольнике высота совпадает с одним из катетов, получается, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
SABC=(AC*BC)/2=(28*96)/2=1344
Ответ: 1344
Вопрос: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь любого треугольника равна половине произведения высоты и стороны, к которой высота проведена.
Проведем высоту как показано на рисунке.
По свойству равнобедренного треугольника BE - и высота, и медиана. Следовательно, AE=EC=AC/2.
Треугольник ABE - прямоугольный (т.к. BE - высота).
По теореме Пифагора найдем высоту BE:
AB2=AE2+BE2
AB2=(AC/2)2+BE2
34^2=(60/2)^2+BE^2
1156=900+BE^2
BE^2=256
BE=16
SABC=(BE*AC)/2=(16*60)/2=16*30=480
Ответ: SABC=480
Вопрос: В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10
Категория: школьный раздел
Ответы:
Продлим стороны AB и CD до пересечения друг с другом.
 Рассмотрим треугольник AED.
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠EDA+∠DAE+∠AED
180°=90°+∠AED
∠AED=90°
Следовательно треугольник AED - прямоугольный.
Рассмотрим треугольники AED и BEC.
∠AED - общий
∠EBC=∠EAD (т.к. это соответственные углы)
Треугольники AED и BEC подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда по определению подобия:
AD/BC=AE/BE
AD/BC=(AB+BE)/BE
34/9=(10+BE)/BE
34BE/9=10+BE
25BE/9=10
BE=90/25=3,6
Точка F - точка касания прямой CD и окружности.
По теореме о касательной и секущей:
EF2=BE*AE=BE*(AB+BE)=3,6(10+3,6)=48,96
EF=√48,96 
Рассмотрим треугольник EOK.
О - центр окружности
OB - радиус окружности
OK - серединный перпендикуляр к хорде AB ( третье свойство хорды)
OK=EF (т.к. KEFO - прямоугольник)
KB=AB/2 (т.к. OK - серединный перпендикуляр)
По теореме Пифагора:
OB2=OK2+KB2
OB^2=(√48,96 )^2+(10/2)^2
OB^2=48,96+25=73,96
OB=8,6
Ответ: R=8,6
Вопрос: На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC=36, BC=42 и CD=24
Категория: школьный раздел
Ответы:
Прямая и окружность могут располагаться относительно друг друга в трех вариантах:
1) Не пересекаться, то есть не иметь ни одной общей точки.
2) Касаться, то есть иметь только одну общую точку, тогда прямая называется касательной к окружности.
3) Пересекаться, то есть иметь две общие точки.
В условии задачи сказано, что окружность проходит через точку С и касается прямой ВС. Значит прямая ВС кроме точки касания других общих точек с окружностью иметь не может, следовательно, окружность касается с прямой ВС в точке С (как показано на рисунке).
Рассмотрим треугольники ABC и CDB.
∠B - общий
∠DAC является вписанным в окружность и опирается на дугу CD. Т.е. равен половине ее градусной меры.
∠BCD обхватывает дугу CD как касательная и хорда и тоже равен половине градусной меры дуги CD (по четвертому свойству углов).
Следовательно, углы DAC и BCD равны.
Тогда, по первому признаку подобия треугольников, эти треугольники подобны.
Следовательно:
AC/CD=BC/BD=AB/BC
AC/CD=BC/BD
36/24=42/BD =>BD=24*42/36=28
BC/BD=AB/BC
42/28=AB/42 => AB=42*42/28=63
AD=AB-BD=63-28=35
Ответ: AD=35
Вопрос: Площадь ромба равна 30, а периметр равен 24. Найдите высоту ромба
Категория: школьный раздел
Ответы:
Все стороны ромба равны (по определению).
Поэтому P=24=4a, где а - сторона ромба.
a=24/4=6
S=ah, где h - высота ромба.
30=S=ah=6h
h=30/6=5
Ответ: h=5
Вопрос: Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По определению tgBAC=CB/AC=9/40 => AC=40*CB/9.
По теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB^2=(40*CB/9)^2+CB^2
AB^2=1600*CB^2/81+CB^2
AB^2=1681*CB^2/81
AB=41*CB/9
Необходимо вычислить CB.
По теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По определению tgBCP=BP/CP=9/40 => CP=40*BP/9.
По теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB^2=(40*BP/9)^2+BP^2
CB^2=1600*BP^2/81+BP^2
CB^2=1681*BP^2/81
CB=41*BP/9
BP=9*CB/41
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+40*BP/9-CB
2*27=49*BP/9-CB
54=(49/9)*9*CB/41-CB
54=49*CB/41-CB
54=8*CB/41
CB=54*41/8=276,75
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=41*CB/9=41*276,75/9=1260,75
AC=40*CB/9=40*276,75/9=1230
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(1230+276,75-1260,75)/2
R=246/2=123
Ответ: R=123.
Вопрос: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD
Категория: школьный раздел
Ответы:
По свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора:
AO^2=AF^2+OF^2
25^2=AF^2+7^2
625=AF^2+49
AF2=576
AF=24=AG
EH - высота параллелограмма. EH=OH+OE=7+8=15
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда: SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(24+x+x+y+y+24)*7=15*(x+y)
(48+2x+2y)*7=15*(x+y)
336+7(2x+2y)=15*(x+y)
336+14(x+y)=15*(x+y)
336=x+y
x+y=BC=AD
SABCD=EH*AD=15*336=5040
Ответ: SABCD=5040
Вопрос: 6. Отличительной чертой предмета муниципального права как отрасли права является …
сочетание императивного и диспозитивного методов правового регулирования отношений в области местного самоуправления
большое количество нормативных правовых актов — источников данной отрасли права
разнообразие общественных отношений возникающих в области организации и осуществления местного самоуправления (*ответ к тесту*) 
специфический круг субъектов муниципально-правовых общественных отношений
7. Европейскую Хартию местного самоуправления принял …
Совет Федерации России
Союз государств, в которых развивается местное самоуправление
Совет Европы (*ответ к тесту*) 
Съезд муниципальных образований стран Европы
8. Предметом отрасли муниципального права являются …
отношения, возникающие в ходе осуществления органами местного самоуправления отдельных государственных полномочий
общественные отношения в области организации и осуществления местного самоуправления (*ответ к тесту*) 
отношения, связанные с деятельностью органов местного самоуправления по управлению муниципальной собственностью, муниципальным хозяйством, исполнением местного бюджета
общественные отношения, возникающие в процессе выбора населением организационных форм осуществления местного самоуправления
9. Субъектом муниципально-правовых отношений является
городское, сельское поселение (*ответ к тесту*) 
городской, сельский населенный пункт
муниципальное образование (*ответ к тесту*) 
местное население (*ответ к тесту*) 
коммунальное хозяйство
10. Под субъектами муниципально-правовых отношений понимаются …
местное население, органы местного самоуправления, физические и юридические лица
индивидуальные и коллективные субъекты права, обладающие право- и дееспособностью
те, кто вступает в общественные отношения в области организации и осуществления местного самоуправления
участники муниципально-правовых отношений, наделенные субъективными правами и юридическими обязанностями (*ответ к тесту*)
Категория: юридические
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены 
Тест  прошел проверку
Вопрос: Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 2 минуты?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Круг составляет 360°.
1 круг для часовой стрелки равен 12 часам,следовательно 1 час = 360°/12=30°.
1 час составляет 60 минут, следовательно для часовой стрелки 1 минута = 30°/60=0,5°
Тогда 2 минуты = 2*0,5°=1°
Ответ: 1°
Вопрос: Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 7 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека в метрах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим рисунок:
BD - человек
AE - высота фонаря
ED - расстояние от фонаря до человека
DC - длина тени человека
Рассмотрим треугольники ACE и BCD.
∠C - общий
∠AEC=∠BDC=90° (это прямые углы)
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, эти треугольники подобны.
Тогда:
AE/BD=EC/DC
AE/BD=(ED+DC)/DC
3,6/1,5=(7+DC)/DC
2,4=7/DC+1
1,4=7/DC
DC=7/1,4=5
Ответ: длина тени равна 5 м.
Вопрос: В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 128°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠AOB - смежный углу AOD. Следовательно:
∠AOB=180°-∠AOD=180°-128°=52°
∠AOB является центральным, и следовательно равен градусной мере дуги, на которую опирается.
∠ACB - вписанный угол, и следовательно равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
∠ACB=52°/2=26°
Ответ: 26
Вопрос: Площадь прямоугольного треугольника равна 968√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S=AC*BC/2=968√3
Пусть 60-и градусам равен угол BAC.
Тангенс BAC:
td∠BAC=tg60°=BC/AC=√3 (по таблице).
BC=AC√3
S=AC*BC/2=968√3
AC*BC=1936√3
AC*AC√3=1936√3
AC2=1936
AC=44
Ответ: 44
Вопрос: В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=86, SQ=43
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠QNM - является вписанным в окружность и опирается на дугу QM.
∠QPM тоже является вписанным в окружность и опирается на дугу QM.
Следовательно, эти углы равны.
∠QNM=∠QPM
 Рассмотрим треугольники NPQ и SPQ.
∠SQP - общий
∠QNP=∠SPQ
По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда, NQ/QP=QP/SQ
NQ=QP^2/SQ=86^2/43=88=7396/43=172
NS=NQ-SQ=172-43=129
Ответ: NS=129
Вопрос: На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая проходит 21°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Круг составляет 360°.
1 круг для часовой стрелки равен 12 часам, следовательно 1 час = 360°/12=30°.
1 час составляет 60 минут, следовательно для часовой стрелки 1 минута = 30°/60=0,5°
Тогда 21° часовая стрелка проходит за 21°/0,5°=42 минуты
Для минутной стрелки 60 минут - это 360°, т.е. 360°/60=6° - одна минута.
6°*42=252°
Ответ: 252°

не легче 12*21=252
Вопрос: В треугольнике ABC DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 35. Найдите площадь треугольника ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем высоту CH.
Средняя линия делит CH пополам, как и стороны треугольника.
Следовательно, CK=KH.
По теореме о средней линии AB=2DE.
SCDE=DE*CK/2=35.
DE*CK=70
SABC=AB*CH/2=2DE*2CK/2=2DE*CK=2*70=140
Ответ: SABC=140
Вопрос: Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол OVT. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
SO=VO (т.к. это радиусы окружности)
SO=VO=ST=TV (по определению ромба)
Проведем отрезок OT.
OT тоже радиус окружности, следовательно OT=SO=VO=ST=TV
Следовательно, треугольники STO и TVO - равносторонние, а все углы равностороннего треугольника равны 60° (по свойству).
Следовательно и ∠OVT=60°
Ответ: 60
Вопрос: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
SABC=AB*AC/2
Пусть угол, равный 45° будет угол В.
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠A+∠B+∠C
180°=90°+45°+∠C
∠C=45°
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, треугольник ABC - равнобедренный.
Значит AB=AC.
По теореме Пифагора:
BC2=AB2+AC2
BC2=AB2+AB2
70^2=2AB^2
4900=2AB^2
AB2=2450
SABC=AB*AC/2
SABC=AB^2/2=2450/2=1225
Ответ: SABC=1225
Вопрос: Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим трапецию ACO1O2
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т.к. ACKO2 - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O1O2)^2=(O2K)^2+(KO1)^2
(R+r)^2=(O2K)^2+(R-r)^2
(77+44)^2=(O2K)^2+(77-44)^2
14641=(O2K)^2+1089
(O2K)2=13552
O2K=√13552=√16*121*7=4*11√7=44√7=AC
Проведем отрезок AM, перпендикулярный CD. AM равняется искомому EF, так как AMFE образует прямоугольник.
Рассмотрим треугольники ACM и O2KO1.
∠O2KO1=∠AMC=90°
∠KO2O1=CAM (так как стороны улов попарно параллельны).
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку).
Тогда:
AM/O2K=AC/O2O1
Напомним: AC мы нашли ранее, O2K=AC, O2O1=R+r.
AM/AC=AC/(R+r)
AM=AC*AC/(R+r)
AM=(44√7)2/(77+44)
AM=44^2*7/121
AM=13552/121=112
Ответ: 112
Вопрос: Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 24 см и 37 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 1440 см2. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметра
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим ширину окантовки как х.
Тогда ширина бумаги будет (2х+24) см (2х потому, что окантовка с обоих сторон от картинки).
Высока бумаги - (2х+37) см.
Sбумаги=(2х+37)(2х+24)=1440
4x2+48x+74x+888=1440
4x^2+122x+888=1440
4x^2+122x-552=0
x^2+30,5x-138=0
Решим это квадратное уравнение:
D=30,5^2-4*1*(-138)=930,25+552=1482,25
x1=(-30,5+38,5)/2=4
x2=(-30,5-38,5)/2=-34,5
Отрицательный ответ нам не подходит, следовательно, ширина окантовки 4 см.
Ответ: 4
Вопрос: Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Категория: школьный раздел
Ответы:
По девятому свойству трапеции треугольники AOD и BOC - подобны.
Следовательно, BC/AD=OC/AO=2/3
Проведем через точку пересечения диагоналей отрезок, перпендикулярный основаниям.
Рассмотрим треугольники AOF и COE.
∠OAF=∠OCE ( накрест-лежащие углы).
∠AFO=∠CEO=90°
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, OC/AO=OE/OF=2/3
Для простоты обозначим BC как 2x, а AD как 3x
По пятому свойству трапеции GH=2*2x*3x/(2x+3x)=12x2/5x=12x/5
Площадь верхней трапеции:
S1=(BC+GH)*EO/2=(2x+12x/5)*EO/2=(10x+12x)*EO/10=22x*EO/10
Площадь нижней трапеции:
S2=(AD+GH)*OF/2=(3x+12x/5)*OF/2=(15x+12x)*OF/10=27x*OF/10
S1/S2=(22x*EO/10)/(27x*OF/10)=(22x*EO)/(27x*OF)=22EO/27OF=22*2/(27*3)=44/81
Ответ: 44/81
Вопрос: Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 10,5 см, а длина – 36 см. Расстояние между точками A и B составляет 15 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
Категория: школьный раздел
Ответы:
Чтобы определить высоту, на которую поднимается лестница, надо узнать количество ступеней и умножить на высоту ступени.
Каждая ступенька представляет из себя прямоугольный треугольник, следовательно расстояние между точками А и В будет равняться сумме гипотенуз ступеней.
По теореме Пифагора:
Квадрат гипотенузы одной ступени равен 10,5^2+36^2=110,25+1296=1406,25
Тогда длина гипотенузы равна √1406,25 =37,5 см.
1500/37,5=40 ступеней составляют лестницу.
10,5*40=420 см - высота лестницы = 4,2 м
Ответ: 4,2
Вопрос: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 10, 9 и 6. Найдите площадь параллелограмма ABCD
Категория: школьный раздел
Ответы:
По свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора:
AO2=AF2+OF2
10^2=AF^2+6^2
100=AF^2+36
AF^2=64
AF=8=AG
EH - высота параллелограмма. EH=OH+OE=6+9=15
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда: SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(8+x+x+y+y+8)*6=15*(x+y)
(16+2x+2y)*6=15*(x+y)
96+6(2x+2y)=15*(x+y)
96+12(x+y)=15*(x+y)
96=3(x+y)
x+y=32=BC=AD
SABCD=EH*AD=15*32=480
Ответ: SABCD=480
Вопрос: Курс фунта стерлингов к евро равен 1,426; курс евро к шведской кроне равен 8,929. 
Определите кросс-курс фунта стерлингов к шведской кроне.
Категория: экономические
Ответы:
Вопрос: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 35, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
По теореме о сумме углов треугольника можно вычислить третий угол, он равен 180°-90°-45°=45°.
Следовательно, этот треугольник равнобедренный (по первому свойству).
Т.е. катеты этого треугольника равны.
Площадь прямоугольного треугольника = ab/2, где а и b - катеты. Тогда:
Sтреугольника=35*35/2=612,5
Ответ: Sтреугольника=612,5
Вопрос: В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 20√3, а сторона AB равна 40. Найдите cos∠B
Категория: школьный раздел
Ответы:
Треугольник ABH прямоугольный, т.к. AH - высота.
Тогда по теореме Пифагора:
AB^2=AH^2+BH^2
40^2=(20√3)^2+BH^2
1600=400*3+BH^2
400=BH^2
BH=20
По определению:
cos∠B=BH/AB=20/40=1/2=0,5
Ответ: cos∠B=0,5
Вопрос: Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сумма углов любого выпуклого n-угольника равна (n-2)180, тогда сумма углов четырехугольника (4-2)180=360.
Т.е. ∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠A+129°+96°+∠D=360°
∠A+∠D=135°
Треугольники AEB, BEC и ECD - равнобедренные, т.к. стороны AE=EB=EC=ED.
Следовательно:
∠A=∠ABE
∠EBC=∠ECB
∠ECD=∠D
Использую сумму углов четырехугольника, запишем:
∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB+∠ECD+∠D=360°
Используя ранее полученные равенства, запишем:
∠A+∠A+2∠EBC+∠D+∠D=360°
2∠A+2∠EBC+2∠D=360°
∠A+∠EBC+∠D=180°
135°+∠EBC=180°
∠EBC=45°
Рассмотрим треугольник EBC.
BE=CE (по условию задачи)
Следовательно, треугольник EBC равнобедренный.
По свойству равнобедренного треугольника:
∠EBC=∠ECB=45°
По теореме о сумме углов треугольника: 180°=∠EBC+∠ECB+∠BEC
180°=45°+45°+∠BEC
∠BEC=90°
Получается, что треугольник EBC не только равнобедренный, но и прямоугольный.
Тогда по теореме Пифагора:
BC2=BE2+CE2
64=BE2+CE2
Так как BE=CE, то BE2=CE^2=64/2=32
BE=CE=√32=AE=ED
AD=AE+ED=√32+√32=2√32=2√16*2=2*4√2=8√2
Ответ: AD=8√2
Вопрос: Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 1°. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠BCA=∠DAC=1° (т.к. это накрест-лежащие углы)
А так как AC - биссектриса, то ∠BAC=∠DAC=1°.
∠A=∠BAC+∠DAC=1°+1°=2°
Ответ: 2
Вопрос: Площадь прямоугольного треугольника равна 2450√3/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S=AC*BC/2=2450√3/3
Пусть 30-и градусам равен угол BAC.
Тангенс BAC:
td∠BAC=tg30°=BC/AC=√3/3 (по таблице).
BC=AC√3/3
S=AC*BC/2=2450√3/3
AC*BC=4900√3/3
AC*AC√3/3=4900√3/3
AC2=4900
AC=70
Ответ: 70
Вопрос: У треугольника со сторонами 4 и 16 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть AB - сторона длиной 4, а AC - сторона длиной 16.
Задачу легко решить через площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно:
S=AB*CD/2=4*4/2=8
Так же: S=AC*BE/2
8=16*BE/2
16=16*BE
BE=1
Ответ: 1
Вопрос: В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 30, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
По второму свойству четырехугольника: AB+CD=BC+AD=30
По определению средней линии трапеции: m=(BC+AD)/2=30/2=15
Ответ: m=15
Вопрос: Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K стороны AB. Докажите, что K — середина AB
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠CDK=∠AKD (т.к. это накрест-лежащие углы).
Так как DK - биссектриса, то:
∠CDK=∠ADK.
Получается, что треугольник AKD - равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника).
Тогда, по определению равнобедренного треугольника:
AD=AK.
∠DCK=∠CKB (т.к. это накрест-лежащие углы).
Так как CK - биссектриса, то:
∠DCK=∠KCB.
Получается, что треугольник CKB - равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника).
Тогда, по определению равнобедренного треугольника:
BC=BK.
AD=BC (по свойству параллелограмма), следовательно:
AK=KB
Вопрос: Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим точки пересечения биссектрис со сторонами как показано на рисунке.
∠FAK=∠BEK (т.к. это накрест-лежащие углы).
Получается, что ∠BAK=∠BEK, следовательно треугольник ABE - равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника).
Тогда AB=BE.
Треугольники ABK и EBK равны по первому признаку равенства треугольников.
Следовательно и высоты у этих треугольников тоже равны.
Аналогично, равны и треугольники ABK и AFK.
Получается, что высота параллелограмма равна 2h.
Площадь параллелограмма равна SABCD=2h*BC=2*3*11=66
Ответ: SABCD=66
Вопрос: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD
Категория: школьный раздел
Ответы:
По свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора:
AO2=AF2+OF2
25^2=AF^2+7^2
625=AF^2+49
AF2=576
AF=24=AG
EH - высота параллелограмма. EH=OH+OE=7+13=20
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда: SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(24+x+x+y+y+24)*7=20*(x+y)
(48+2x+2y)*7=20*(x+y)
336+7(2x+2y)=20*(x+y)
336+14(x+y)=20*(x+y)
336=6(x+y)
x+y=56=BC=AD
SABCD=EH*AD=20*56=1120
Ответ: SABCD=1120
Вопрос: Высота равностороннего треугольника равна 96√3. Найдите его периметр
Категория: школьный раздел
Ответы:
AB=BC=AC (т.к. треугольник равносторонний)
Периметр равен: P=AB+BC+CA=3AC
AH - высота, по свойству равностороннего треугольника, она так же является и медианой, и биссектрисой.
Следовательно, BH=CH=BC/2=AC/2
По теореме Пифагора:
AC2=AH2+CH2
AC2=AH2+(AC/2)^2
AC2-AC2/4=(96√3)^2
3*AC^2/4=96^2*3
AC2/4=96^2
AC2=(2*96)^2
AC=2*96=192
P=3AC=3*192=576
Ответ: P=576
Вопрос: Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
SO=VO (т.к. это радиусы окружности)
SO=VO=ST=TV (по определению ромба)
Проведем отрезок OT.
OT тоже радиус окружности, следовательно OT=SO=VO=ST=TV
Следовательно, треугольники STO и TVO - равносторонние, а все углы равностороннего треугольника равны 60° (по свойству).
∠STV=∠STO+∠VTO=60°+60°=120°
Ответ: 120
Вопрос: Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 32√3
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем из прямого угла медиану и высоту, обозначив их m и h соответственно.
Если описать окружность вокруг треугольника, то центр этой окружности будет лежать на середине гипотенузы (по теореме об описанной окружности). Следовательно:
m=c/2=16/2=8
S=(1/2)hc => h=2S/c=2*32√3/16=4√3
По определению синуса:
sinβ=h/m=4√3/8=√3/2
По таблице определяем, что β=60°
Угол γ является внешнем к β, следовательно γ=180°-β=180°-60°=120°
Треугольник, содержащий угол γ, равнобедренный, так как медиана m и половина гипотенузы равны (это мы выяснили ранее).
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны (обозначены α).
Тогда, по теореме о сумме углов треугольника:
180°=γ+α+α
180°=120°+2α
α=30° - это один из искомых углов.
Другой искомый угол найдем по той же теореме об углах треугольника: 180°-90°-30°=60°
ответ: 30° и 60°
Вопрос: Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 76°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем отрезок CO.
Рассмотрим треугольник ACO.
∠ACO=∠ACB/2=76°/2=38° (по второму свойству касательной).
∠CAO=90° (по первому свойству касательной)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AOC+∠ACO+∠CAO
180°=∠AOC+38°+90°
∠AOC=52°
Рассмотрим треугольники ACO и BCO.
OC - общая сторона
AC=BC (по второму свойству касательной)
OA=OB (т.к. это радиусы)
Следовательно, по третьему признаку, данные треугольники равны.
Тогда и ∠AOC=∠BOC=52°
Рассмотрим треугольник AOB.
OA=OB (т.к. это радиусы)
Следовательно, треугольник AOB - равнобедренный.
Тогда ∠BAO=∠ABO (по свойству равнобедренного треугольника).
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AOB+∠OAB+∠ABO
180°=∠AOC+∠BOC+2∠ABO
180°=52°+52°+2∠ABO
76°=2∠ABO
∠ABO=38°
Ответ: 38
Вопрос: AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 74°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотри треугольник OCB.
OB=OC (т.к. это радиусы)
Следовательно, треугольник OCB - равнобедренный.
Тогда ∠ACB=∠CBD=74° (по свойству равнобедренного треугольника).
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠ACB+∠CBD+∠BOC
180°=74°+74°+∠BOC
∠BOC=32°
∠BOC=∠AOD=32° (т.к. они вертикальные).
Ответ: 32
Вопрос: Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=13
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠KBP=90° (по условию)
Прямоугольный треугольник KPB с гипотенузой PK вписан в окружность.
Следовательно, PK является диаметром окружности. (по теореме об описанной окружности).
KP=BH=13
Ответ: PK=13
Вопрос: Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 10 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь дощечки составляет 5*20=100 квадратных сантиметра.
Площадь пола (в квадратных сантиметрах) составляет 400*1000=400000 квадратных сантиметров.
400000/100=4000 дощечек необходимо для покрытия пола.
Ответ: 4000
Вопрос: Площадь прямоугольного треугольника равна 392√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим:
a - искомый катет
b - второй катет
c - гипотенуза
sin30°=1/2 ( табличное значение)
sin30°=a/c=1/2 (по определению синуса)
c=2a
По теореме Пифагора:
a2+b2=c2
a^2+b^2=(2a)^2
b^2=3a^2
b=a√3
Из условия: Sтреугольника=ab/2=392√3
a*a√3/2=392√3
Сокращаем √3:
a^2=392*2=784
a=28
Ответ: a=28
Вопрос: На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая проходит 11°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Круг составляет 360°.
1 круг для часовой стрелки равен 12 часам, следовательно 1 час = 360°/12=30°.
1 час составляет 60 минут, следовательно для часовой стрелки 1 минута = 30°/60=0,5°
Тогда 11° часовая стрелка проходит за 11°/0,5°=22 минуты
Для минутной стрелки 60 минут - это 360°, т.е. 360°/60=6° - одна минута.
6°*22=132°
Ответ: 132
Вопрос: На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠AOB - является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 40°.
Значит градусная мера большей дуги равна 360°-40°=320°
Пусть х - длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:
40° - длина 50
320° - длина х
40/320=50/x
x=320*50/40=8*50=400
Ответ: 400
Вопрос: Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 2 часа 16 минут?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Круг составляет 360°.
1 круг для часовой стрелки равен 12 часам,следовательно 1 час = 360°/12=30°.
Тогда 2 часа - это 60°.
1 час составляет 60 минут, следовательно для часовой стрелки 1 минута = 30°/60=0,5°
Тогда 2 часа 16 минут = 60° + 16*0,5°=68°
Ответ: 68
Вопрос: Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 82°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем отрезок CO.
Рассмотрим треугольник ACO.
∠ACO=∠ACB/2=82°/2=41° (по второму свойству касательной).
∠CAO=90° (по первому свойству касательной)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AOC+∠ACO+∠CAO
180°=∠AOC+41°+90°
∠AOC=49°
Рассмотрим треугольники ACO и BCO.
OC - общая сторона
AC=BC (по второму свойству касательной)
OA=OB (т.к. это радиусы)
Следовательно, по третьему признаку, данные треугольники равны.
Тогда и ∠AOC=∠BOC=49°
Рассмотрим треугольник AOB.
OA=OB (т.к. это радиусы)
Следовательно, треугольник AOB - равнобедренный.
Тогда ∠BAO=∠ABO (по свойству равнобедренного треугольника).
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AOB+∠OAB+∠ABO
180°=∠AOC+∠BOC+2∠ABO
180°=49°+49°+2∠ABO
82°=2∠ABO
∠ABO=41°
Ответ: 41
Вопрос: Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 39 и 2
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь ромба можно найти по формуле:
S=ab/2, где a и b - диагонали ромба.
Тогда:
S=ab/2=39*2/2=39
Ответ: 39
Вопрос: Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=63. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник BDH.
Данный треугольник прямоугольный, следовательно можно применить теорему Пифагора:
BD2=HD2+BH2
65^2=63^2+BH^2
4225=3969+BH^2
BH^2=256
BH=16
Найдем площадь параллелограмма:
S=AD*BH=(AH+HD)*BH=(1+63)*16=1024
Ответ: 1024
Вопрос: ABCDEFGH – правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сумма углов правильного n-угольника равна (n-2)*180, значит сумма углов правильного 8-угольника равна (8-2)*180=1080°.
Тогда ∠EFG=1080/8=135° (так как, по определению, все углы равны).
Ответ: 135
Вопрос: Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF - средняя линия трапеции, так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по теореме Фалеса).
∠ADE=∠DEF (так как это накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠DEF=∠EDF (так как DE - биссектриса).
Значит треугольник EFD - равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, EF=FD (по определению).
EF=FD=CD/2=25/2=12,5
EF=(BC+AD)/2=12,5
(5+AD)/2=12,5
5+AD=25
AD=20
Проведем высоты как показано на рисунке.
MN=BC=5 (т.к. BCNM - прямоугольник).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
20=x+5+ND
ND=15-x
Для треугольника ABM запишем теорему Пифагора:
AB^2=h^2+x^2
20^2=h^2+x^2
h^2=400-x^2
Для треугольника CDN запишем теорему Пифагора:
CD^2=h^2+ND^2
25^2=h^2+(15-x)^2
625=h^2+(15-x)^2
Подставляем вместо h2 значение из первого уравнения:
625=400-x^2+(15-x)^2
625-400=-x^2+152-2*15*x-x^2
225=152-2*15*x
225=225-30x
30x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=20(20+5)/2=10*25=250
Вопрос: В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 37°, угол ABC равен 25°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник ABL.
∠BLA=180°-∠ALC=180°-37°=143° (т.к. это смежные углы)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠ABC+∠BLA+∠LAB=25°+143°+∠LAB
∠LAB=180°-25°-143°=12°
Рассмотрим треугольник ALC.
∠LAC=∠LAB=12° (т.к. AL - биссектриса)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠ALC+∠ACB+∠LAC=37°+∠ACB+12°
∠ACB=180°-37°-12°=131°
Ответ: 131
Вопрос: Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=36
Категория: школьный раздел
Ответы:
Дочертим отрезки как показано на рисунке.
DE=AF, т.к. это высоты трапеции.
∠DCE=180°-∠BCD=180°-135°=45° (т.к. это смежные углы).
sin(∠DCE)=ED/CD (по определению)
sin45°=ED/CD (sin45°=√2/2 по таблице)
√2/2=ED/36
ED=36√2/2=18√2
sin(∠ABF)=AF/AB (по определению)
sin60°=ED/AB
AB=ED/sin60° (sin60°=√3/2 по таблице)
AB=(18√2)/(√3/2)=18*2*√2/√3=36√2/√3 = √362*2/√3 = √1296*2/3 = √864 = 4√54 = 4*3√6 = 12√6
Ответ: AB=12√6
Вопрос: На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=27, MD=18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH
Категория: школьный раздел
Ответы:
полуокружность до полной окружности.
Продлим высоту AD до пересечения с окружностью, обозначим точку пересечения К.
Обозначим F как точку пересечения окружности и стороны AC.
BF - является высотой треугольника ABC, так как для окружности ∠BFC - вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC - диаметр), следовательно ∠BFC=180°/2=90°
1) AF*AC=AM*AK (по теореме о двух секущих).
2) Рассмотрим хорду MK.
BC - перпендикуляр к MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC - серединный перпендикуляр.
Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD=KD=18
3) Рассмотрим треугольники AHF и ACD.
∠DAC - общий.
∠AFH=∠ADC - это прямые углы.
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда, по определению подобия, мы можем записать:
AC/AH=AD/AF => AC*AF=AD*AH
В п. 1) мы получили равенство AF*AC=AM*AK, тогда:
AM*AK=AD*AH
AH=AM*AK/AD
Из рисунка находим:
AM=AD-MD=27-18=9
AK=AD+KD=27+18=45
Тогда:
AH=9*45/27=45/3=15
Ответ: AH=15
Вопрос: В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем высоту CF.
Рассмотрим треугольники ABE и DCF.
∠BAE=∠CDF=45° (по свойству равнобедренной трапеции).
∠BEA=∠CFD=90° (так как BE и CF - высоты).
Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем, что: ∠EBA=∠FCD
AB=CD (по определению равнобедренной трапеции).
Следовательно, данные треугольники равны (по второму признаку равенства треугольников).
Значит, AE=FD.
Рассмотрим треугольник ABE.
По определению tg∠BAE=BE/AE
tg45°=5/AE=1 (по таблице)
AE=5
EF=BC=6 (так как BCFE - прямоугольник)
AD=AE+EF+FD=5+6+5=16
Ответ: AD=16
Вопрос: Длина хорды окружности равна 60, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 40. Найдите диаметр окружности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим ключевые точки, как показано на рисунке. Проведем отрезок АО.
Рассмотрим треугольник AOB.
Данный треугольник прямоугольный, так как расстояние ОВ является высотой (кротчайшее расстояние).
AB равна половине длины хорды (по третьему свойству хорды).
Тогда, по теореме Пифагора:
AO^2=OB^2+AB^2
AO^2=40^2+(60/2)^2
AO^2=1600+900=2500
AO=50 - это радиус окружности, следовательно, диаметр D=2*AO=100
Ответ: D=100
Вопрос: В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816
SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816
Тогда, SABС=3*10816=32448
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(208*BO)/2=32448/2
BO=32448/208=156
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=156^2+104^2
AB2=24336+10816=35152
AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13
BC=2AB=2*52√13=104√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=208-156=52
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE^2=104^2+52^2=10816+2704=13520
AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
104√13/52√13=CE/(52√5)
2=CE/(52√5)
CE=104√5
AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5
Ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5
Вопрос: На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая поворачивается на 14°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Круг составляет 360°.
1 круг для часовой стрелки равен 12 часам, следовательно 1 час = 360°/12=30°.
1 час составляет 60 минут, следовательно для часовой стрелки 1 минута = 30°/60=0,5°
Тогда 14° часовая стрелка проходит за 14°/0,5°=28 минут
Для минутной стрелки 60 минут - это 360°, т.е. 360°/60=6° - одна минута.
6°*28=168°
Ответ: 168
Вопрос: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
25=AB=2Rsin(a)
16=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула) 
Разделим второе уравнение на первое:
16/25=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
16/25=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
16*2sin(a)=25*(√3cos(a)-sin(a))
32sin(a)=25√3cos(a)-25sin(a)
57sin(a)=25√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
3249sin2(a)=625*3cos2(a)
3249sin2(a)=1875(1-sin2(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
3249sin2(a)=1875-1875sin2(a))
5124sin2(a)=1875
sin2(a)=1875/5124
sin2(a)=625/1708
sin(a)=√625/1708
sin(a)=25/√1708
sin(a)=25/(2√427)
25=2R*25/(2√427)
1=R/(√427)
R=√427
Ответ: R=√427

решение задания по геометрии
Вопрос: Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим ключевые точки треугольника как показано на рисунке.
Для начала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора:
AB2=AC2+BC2
AB^2=120^2+35^2
AB^2=14400+1225=15625
AB=125
Рассмотрим треугольники ACD и ABC.
∠ADC - прямой, так как AD - высота и, следовательно равен прямому углу ACB.
∠CAD - общий для этих треугольников.
Следовательно, по первому признаку, треугольники ABC и ACD подобны.
Значит мы можем записать пропорцию:
AC/AB=CD/CB
120/125=CD/35
CD=(120*35)/125=(120*7)/25=(24*7)/5=33,6
Ответ: 33,6
Вопрос: Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 11, а средняя линия равна 10
Категория: школьный раздел
Ответы:
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:
SABCD=h*(BC+AD)/2=h*l, где l - средняя линия трапеции l=(BC+AD)/2. Следовательно, нам надо найти высоту h.
Продлим основание AD и проведем отрезок из вершины C, параллельный BD до пересечения с продленным основанием в точке M (как показано на рисунке).
В четырехугольнике BCMD сторона CM||BD (мы сами так провели СМ) и DM||BC (по определению трапеции).
Следовательно, четырехугольник BCMD - параллелограмм.
Тогда, по свойству параллелограмма, DM=BC.
AM=AD+DM=AD+BC=2l=2*10=20
Рассмотрим треугольник ACM.
Мы знаем длины всех его сторон, следовательно можем найти площадь через полупериметр:
Полупериметр p=(AC+CM+AM)/2=(AC+BD+AM)/2=(13+11+20)/2=22
SACM=√p(p-AC)(p-CM)(p-AM)=√22(22-13)(22-11)(22-20)=√22*9*11*2=√4356=66
По другой формуле SACM=h*AM/2=66
h=2*66/AM=2*66/20=6,6
Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:
SABCD=h*l=6,6*10=66
Ответ: 66