nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: На прямую дорогу между псом в будке и котом положили килограмм сосисок, и животные одновременно бросились к ним. Кот бегает вдвое быстрее пса, зато ест в два раза медленнее. Добежав до сосисок, оба ели без драки и съели поровну. Известно, что кот мог бы за одно и то же время съесть все сосиски или добежать от места старта до будки пса.
а) К кому сосиски положили ближе?
б) Во сколько раз путь одного животного больше пути другого?
Ответы обоснуйте.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пока пёс ел свою половину сосисок, кот съел вдвое меньше, то есть четверть всех положенных сосисок. Остальные сосиски (в количестве 1/2−1/4 = 1/4) кот ел, пока пёс до сосисок ещё не добежал. За это время кот мог бы пробежать четверть расстояния от места своего старта до будки пса, значит, пёс пробежал 1/8 этого расстояния. Остальное расстояние (7/8 начальной дистанции) пёс и кот бежали вместе и пробежали одновременно. При этом кот, бегая вдвое быстрее, покрыл 2/3 этого пути, то есть 7/12 всего расстояния от места старта кота до будки пса, а остальную часть (5/12 всей дистанции) пробежал пёс. Отношение этих величин, равное 7/5, даёт ответ на второй вопрос задачи.
Вопрос: На основании AC треугольника ABC взята точка D. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD, точками касания не могут делить отрезок BD на 3 равные части
Категория: школьный раздел
Ответы:
Предположим противное. Пусть такое возможно, и одна окружность касается отрезков AB AD и BD в точках K, E и F соответственно, а вторая окружность — отрезков CB CD и BD в точках G, H и I соответственно. Без ограничения общности, будем считать, что точка I лежит между точками B и F (см. рисунок). Пусть BI = IF = F D = x. Тогда по свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, получаем BG = BI = x, BF = BK = 2x,
ID = DH = 2x и DF = DE = x. Отсюда BK = DH и DE = BG. Кроме того, AK = AE и CH = CG. Но тогда AB + BC = AK + KB + BG + GC = AE + DH + ED + CH = AC.
Противоречие с неравенством треугольника.
Ответ: это невозможно
Вопрос: На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать 5 из них, если нельзя выбирать стоящие рядом книги? Ответ обоснуйте.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение: Поставим справа на полку ещё одну, тринадцатую книгу. Склеим мысленно каждую выбранную книгу с соседней книгой справа. Это возможно, так как мы не выбираем 13-ю книгу и не выбираем рядом стоящие. Получиться 5 склеенных двухтомников и ещё 3 книги отдельно. Значит, способов столько же, сколько способов разместить в ряд 5 двухтомников (считая их одинаковыми) и 3 однотомника (тоже одинаковых). Это число равно числу сочетаний из 8 по 3, то есть равно 
8!/(3!*(8-3)!) = 56
Ответ: 56-ю способами.
Вопрос: Предоставляемые бюджету другого уровня бюджетные средства на возвратной, безвозмездной или возмездной основах на определенный срок в пределах финансового года – это
(*ответ*) бюджетная ссуда
 субсидии
 субвенция
 бюджетный кредит
Принципами функционирования бюджетной системы являются
(*ответ*) гласность
(*ответ*) достоверность бюджета
(*ответ*) самостоятельность бюджетов
 состязательность
Приобретение объектов в муниципальную собственность (покупка) осуществляется с разрешения _ города на основании предложений департамента, управлений, комитетов, отделов, других подразделений мэрии, а также решений постоянных комиссий муниципалитета
(*ответ*) мэра
Путепроводы, подземные переходы – это
(*ответ*) транспортные сооружения местного значения
 подземные сооружения глубиной 5 м
 линии коммуникации для водоснабжения
 вид строительных дорог
Размер дефицита бюджета субъекта РФ без учета финансовой помощи из федерального бюджета не может превышать _% объема доходов бюджета субъекта РФ
(*ответ*) 15
 10
 20
 5
Размер дефицита местного бюджета субъекта РФ без учета финансовой помощи из федерального бюджета и бюджета субъекта РФ не может превышать _% объема доходов бюджета субъекта РФ
(*ответ*) 10
 15
 20
 5
Расходы бюджетов в зависимости от экономического содержания делятся на расходы
(*ответ*) текущие и капитальные
 только капитальные
 только текущие
 налоговые
Расходы местных бюджетов разделяются на бюджеты
(*ответ*) текущих расходов
(*ответ*) развития
 государственный
 муниципальный
Свод бюджетов всех уровней бюджетной системы РФ на соответствующей территории – это
(*ответ*) консолидированный бюджет
 бюджет муниципального образования
 достоверность бюджета
 доходы бюджетов
Свод всех доходов и расходов муниципального образования и хозяйствующих субъектов на определенной территории – это территориальный финансовый
(*ответ*) баланс
 проект
 план
 бюджет
Сводный финансовый баланс фиксирует только _ обороты ресурсов
(*ответ*) годовые
 полугодовые
 квартальные
 месячные
Система гарантированных органами государственной власти области социальных норм и финансовых нормативов минимальной бюджетной обеспеченности для обеспечения населения важнейшими жилищно-бытовыми, социально-культурными и иными услугами – это
(*ответ*) временные нормативы минимальной бюджетной обеспеченности
 регулирующие доходы бюджетов
 собственные доходы бюджетов
 финансовая политика
Категория: юридические
Ответы:
Правильные ответы  отмечены по тесту
теста прошел проверку)
Вопрос: На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке, после чего проделали эту операцию ещё раз. В итоге получилась 101 точка. Сколько точек было отмечено вначале?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть вначале было отмечено k точек. Тогда к ним добавилась еще k – 1 точка (по одной между первой и второй, второй и третьей, …, k – 1-й и k-й отмеченными точками), а затем ещё (k + (k - 1)) – 1 = 2k – 2 точки. Всего точек в итоге стало 4k – 3. Решая уравнение 4k – 3 = 101, находим ответ.
Ответ: 26
Вопрос: Гонцу надо пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всём пути равнялась 12 миль в час?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Чтобы средняя скорость гонца на всем пути равнялась 12 милям в час, он должен пробежать 24 мили за 2 часа. Но эти 2 часа он уже потратил на первые 16 миль.
 Ответ: не сможет
Вопрос: Перпендикуляры BE и DF, опущенные из вершин B и D параллелограмма ABCD на стороны AD и BC соответственно, делят параллелограмм на три части равной площади. На продолжении диагонали BD за вершину D отложен отрезок DG, равный отрезку BD. Прямая ВЕ пересекает отрезок AG в точке H. Найдите отношение АН : НG
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условию (АЕ * ВЕ) : 2 = ED * BE, откуда АЕ = 2 ЕD. Заметим, что AD – медиана треугольника АBG. Поэтому отрезок ВН, делящий медиану AD в отношении АЕ : ED = 2, тоже медиана треугольника ABG.
 Ответ: 1 : 1.
Вопрос: По кругу записано n целых чисел, сумма которых равна 94. Известно, что любое число равно модулю разности двух следующих за ним чисел. Найдите все возможные значения n.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Из условия следует, что все записанные числа неотрицательны. Пусть а – наибольшее из этих чисел (если таких несколько, то выберем любое из них), а b, c, d, e – следующие за ним по кругу числа. Тогда а = |b – c|, что возможно, только если одно из чисел b или с равно а, а другое равно 0. Если b = a, c = 0, то из равенства b = |c – d| следует, что d = a. Из равенства с = |d – e|, следует, что е = а, и т.д. Если же b = 0, а с = а, то аналогично d = a, e = 0 и т.д. Таким образом, n делится на 3, n = 3m, и записанные числа таковы: a, a, 0, a, a, 0, …, a, a, 0. Их сумма равна 2ma. Из равенства 2ma = 94 следует, что ma = 47, т.е. m = 47, a = 1 или m = 1, a = 47, откуда n = 141 или n = 3. 
Ответ: n = 3 или n = 141
Вопрос: Доска размером 4 х 4 клетки покрыта 13 прямоугольниками размером 1 х 2 клетки, стороны которых идут по сторонам клеток. Докажите, что один из прямоугольников можно убрать так, что оставшиеся будут по-прежнему покрывать всю доску
Категория: школьный раздел
Ответы:
Предположим, что ни один прямоугольник убрать нельзя. Это значит, что у каждого прямоугольника есть половинка, которая не закрыта другими прямоугольниками. Эти 13 половинок закрывают различные клетки доски. На доске остаются 3 клетки, которые закрыты оставшимися 13 половинками прямоугольников. Значит, одна из этих клеток закрыта не менее чем пятью прямоугольниками. Но прямоугольник клетку может закрывать только четырьмя различными способами: слева, справа, сверху и снизу. Значит, два прямоугольника лежат друг на друге и один из них можно убрать – противоречие.
Вопрос: Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. За 4 минуты.
Решение.
Первый способ. Если Чебурашка ест вдвое медленнее Гены, то, чтобы съесть столько же торта, сколько съел Гена, ему нужно в два раза больше времени. Значит, то время, которое Чебурашка ел в одиночку (1 минута), составляет половину всего времени, за которое Чебурашка съел половину торта. Таким образом половину торта он съел за 2 минуты, а весь торт съел бы за 4 минуты. 
Второй способ. Пусть Гена съедает весь торт за x минут, тогда Чебурашке на весь торт нужно 2x минут. Каждому из них досталась половина торта, то есть Гена ел 0,5x минут, а Чебурашка x минут. Из условия следует, что 0,5x + 1 = x, откуда x = 2. Значит, Чебурашка съест торт за 2⋅2 = 4 минуты.
Вопрос: В коробке лежат несколько (больше трёх) шариков. Каждый покрашен в какой-то цвет. Если достать из коробки любые три шарика, то среди них обязательно будет хотя бы один красный и хотя бы один синий. Сколько шариков может быть в коробке?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 4. 
Решение. В коробке не больше, чем по два красных и синих шарика (иначе можно было бы достать три красных или три синих) и не больше одного шарика других цветов (иначе можно было бы достать один синий или красный шарик и два шарика других цветов). Получается, что шариков в коробке не больше пяти, причем если их пять, то среди них по два синих и красных и один - какого-то третьего цвета. Но тогда мы можем достать шарик третьего цвета и два синих. Значит, пяти шариков в коробке быть не может. Стало быть, их там четыре: два синих и два красных
Вопрос: На 5 карточках написаны натуральные числа от 1 до 10 (каждое – ровно один раз, по одному на каждой стороне). Известно, что на каждой карточке одно из чисел делится на другое. Карточки выложены на стол так, что числа на верхних сторонах видны, а на нижних – нет. Можно ли однозначно определить, какие числа написаны у карточек на обороте?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: да, можно. 
Если на карточке написана семерка, то на обороте должна быть единица, потому что других чисел, делящих 7 или делящихся на 7, среди чисел от 1 до 10 нет. На обороте карточки, где написана пятерка, могут быть только 1 или 10, но единица занята, поэтому там десятка. На обороте карточки с девяткой могут быть только 1 или 3, поэтому там 3. Остались числа 2, 4, 6, 8. Из них на обороте карточки с шестеркой может быть только двойка. Значит, на обороте карточки с восьмеркой — четверка. Таким образом, числа на обороте карточек однозначно восстанавливаются по числам на их лицевой
стороне
Вопрос: В центральной клетке квадрата 7х7 стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают эту фишку на соседнюю по стороне клетку. Первый может продвинуть фишку в том же направлении, в котором был сделан предыдущий ход вторым игроком, или повернуть налево, а второй – продвинуть в том же направлении первым игроком или повернуть направо. Первый игрок начинает ходом в произвольном направлении. Проигрывает игрок, не имеющий хода.  Может ли первый игрок обеспечить себе победу?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: нет, не может. Понятно, что выиграть может только тот игрок, который своим ходом поставит фишку в угол. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке. С каждым ходом цвет поля, на котором стоит фишка, меняется. Поскольку все угловые клетки доски 7х7 – того же цвета, что и центральная, поставить фишку в угол может только игрок, ходящий на поля черного цвета, то есть второй игрок.
Вопрос: Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов: красный или синий. Докажите, что на этой плоскости найдется прямолинейный отрезок длиной 2016 км, оба конца которого окрашены в один и тот же цвет.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Рассмотрим на данной плоскости равносторонний треугольник стороной 2016 км. По крайней мере, две его вершины имеют один и тот же цвет (так как вершин три, а цветов всего два).
Вопрос: Сумма двух натуральных слагаемых равна 2016. Если у одного из них зачеркнуть последнюю цифру - получится второе. Найдите эти числа
Категория: школьный раздел
Ответы:
Обозначим второе число через А. Тогда первое равно 10А + В, где В - его последняя цифра. По условию получаем (10А + В) + А = 11А + В = 2016. Поскольку однозначное число B меньше 11, последнее равенство означает, что В есть остаток от деления числа 2016 на 11. Деля 2016 на 11 с остатком, получим 2016 = 183·11 + 3, откуда В = 3, А = 183 и 10А+В = = 1833. 
Ответ: единственная возможность: 1833 + 183
Вопрос: В каждой из трех коробок лежит по 2016 спичек. Двое играющих берут по очереди любое число спичек из любой коробки, но только из одной. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Докажите, что тот, кто ходит первым, может выиграть, как бы ни играл его партнер.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Первым ходом начинающий должен забрать все спички из любой коробки. После этого останутся две коробки, и ему надо в дальнейшем каждым своим ходом брать столько же спичек, сколько взял перед этим его партнер, но из другой коробки. Придерживаясь такой стратегии, первый будет каждым своим ходом уравнивать число спичек в коробках и ясно, он рано или поздно выиграет
Вопрос: За круглым столом сидят 2015 представителей четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы - рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного племени сидят рядом.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что никакие два соплеменника не сидят рядом. Назовём условно людей и гоблинов красными племенами, а эльфов и гномов - синими. Тогда синие могут сидеть рядом только с красными, а красные - только с синими. Но в таком случае красные и синие за столом должны чередоваться, а это возможно только в случае, когда сидящих - чётное число. Получили противоречие с тем, что сидящих нечетное число (2015). Следовательно, какие-то два представителя одного племени сидят рядом. Что и требовалось доказать.
Вопрос: На доске написано 2017 цифр. Из них составили несколько чисел, вычислили суммы цифр этих чисел, а затем из суммы всех чисел вычли сумму сумм их цифр. Полученное число разбили на цифры, и снова повторили указанную выше операцию. После того, как эту операцию выполнили несколько раз, на доске впервые осталась только одна цифра. Что это за цифра?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как разность числа и суммы цифр числа делится на 9, то при первом же прогоне операции мы получаем число, кратное 9. Причѐм, если взять сумму нескольких чисел и из неѐ вычесть сумму цифр этих чисел, то результат также будет кратен 9. Продолжая вычисления, мы будем получать числа, кратные 9, но уменьшающиеся по абсолютной величине. В итоге, первое однозначное число, которое мы получим, должно делиться на 9,а это только 9
Вопрос: В круг выложили 30 бусин (голубых и зелёных). У 26 бусин соседней была голубая, а у 20 бусин соседней была зелёная. Сколько было голубых бусин?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 18 голубых бусин.
Решение. Найдём число бусин, рядом с которыми была и голубая, и зелёная: 26 + 20 − 30 = 16. Число бусин, рядом с которыми были только голубые, равно 26 − 16 = 10. Число голубых бусин равно 10∙2+16/ 2 = 18. Приведем пример такого расположения. Обозначим голубую бусину (г), зеленую – (з). Пусть бусины по кругу располагаются в следующем порядке по часовой стрелке:
г з г г г г з г г г з г з г г г з з з г г з г г з з з г г з,
причем первая и последние бусины являются соседними. При этом все условия выполняются, и голубых бусин 18.
Вопрос: На олимпиаду приехали 64 участника. Оказалось, что у каждого не более 8 знакомых среди участников. Докажите что найдутся 8 попарно незнакомых между собой участников
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пронумеруем людей от 1 до 64. Возьмём первого человека, он знаком не более, чем с 8 другими, следовательно, остаётся не менее 64 − 8 − 1 = 55 людей, с которыми он не знаком. Возьмем второго человека из этих 55, он знаком не более, чем с 8 другими, следовательно, остаётся не менее 55 − 8 − 1 = 46 людей, с которыми он не знаком (среди них есть и первый). Будем повторять тот же процесс с оставшимися на предыдущем шаге людьми. На каждом шаге выбирается один человек, который не знаком ни с одним из предыдущих по построению. На третьем шаге людей, не знакомых с выбранными, останется 37, на четвёртом 28, на пятом 19, на шестом 10, на седьмом 1. Таким образом, после 7-го шага останется один человек, не знакомый ни с одним из 7 выбранных. Мы получили 8 попарно незнакомых людей
Вопрос: Вася и Петя играют в следующую игру. Вася называет ненулевую цифру, а Петя вставляет её вместо одной из звездочек в произведение ∗∗∗ × ∗∗∗ × ∗∗∗ × ∗∗∗, причем Вася видит, куда именно. Сможет ли Петя расставить цифры так, чтобы получившееся при этом произведение делилось на 9 независимо от того, какие цифры называл Вася?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: да, сможет.
Решение. Петя будет действовать так: цифры, дающие остаток 0 от деления на 3, он будет ставить в первое число; цифры, дающие остаток 1 от деления на 3, он будет ставить во второе число; а цифры, дающие остаток 2 от деления на 3, он будет ставить в третье число. Когда в одном из чисел закончатся места, он будет ставить цифры, которые поставил бы в это число, в четвертое число. Заметим, что когда заполняются два числа, то каждое из них будет делиться на 3, а значит, произведение четырех чисел будет делиться на 9.
Вопрос: В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три – на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: не обязательно.
Решение. Приведём контрпример. Пусть пять слонов весят по 7 тонн, а ещё пять – по 9 тонн каждый. Тогда любые четыре слона на левой чаше весов вместе весят не менее, чем 4*7 = 28 тонн, а любые три слона на правой – не более, чем 3*9 = 27 тонн, и левая чаша действительно перевесит. Но если пять “лёгких” слонов общей массой 5*7 = 35 тонн встанут на левую чашу весов, а четыре “тяжёлых” слона общей массой 4*9 = 36 тонн на правую, то перевесит правая чаша
Вопрос: На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: четыре числа.
Решение. Оценка. Так как любые два записанных числа взаимно просты, то каждое из простых чисел 2, 3, 5 и 7 может войти в разложение на множители не более, чем одного из них. Если же на доске пять или более чисел, то все простые множители в разложении какого-то из них должны быть не меньше, чем 11. Но это составное число, значит, оно не меньше, чем 121. Это противоречит условию: все записанные числа двузначные. Следовательно, на доске записано не более четырёх чисел.
Пример. 25, 26, 33, 49
Вопрос: Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Чекалинский.
Решение. Выигрышная стратегия Чекалинского состоит в том, чтобы каждый раз переворачивать одну и ту же карту (например, пиковую даму). Все возможные позиции можно разбить на пары, отличающиеся лишь расположением пиковой дамы. Если в ответ на ход Чекалинского Германн тоже перевернёт пиковую даму, то повторится предыдущая позиция, и он проиграет. Поэтому он вынужден переворачивать другую карту. А Чекалинский, перевернув в ответ пиковую даму, получит позицию, парную к той, которая только что была. Таким образом, каждым ходом Германну придётся “начинать” новую пару, и Чекалинский всегда сможет сделать ответный ход, “закончив” пару. Так как количество возможных позиций конечно, то рано или поздно Германн не сможет открыть новую пару и проиграет
Вопрос: У каких одиннадцати последовательных целых чисел сумма шести первых чисел равняется сумме пяти последних?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.
Решение:
Других решений нет, т.к. при сдвиге этих значений по числовой прямой на k единиц сумма первых шести чисел изменяется на 6k, а последних пяти – на 5k
Вопрос: В куче 2016 камней. Играют два игрока. Первый каждым своим ходом может взять либо 1, либо 3, либо 4 камня. Второй каждым своим ходом может взять либо 1, либо 2, либо 3 камня. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: Второй.
Решение:
Стратегия второго игрока: каждый раз оставлять в куче количество камней, дающее остаток 2 при делении на 3. Заметим, что он может это сделать после любого хода соперника, т.к. набор его ходов позволяет изменять остаток оставшихся камней на любое значение.
Первый при таком количестве оставшихся камней закончить игру не может, значит, последний ход останется за вторым
Вопрос: В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Да, могло.
Решение. В качестве примера подходит произведение 1·1·676. После указанной операции получается (−2)·(−2)·673 =  2692 = 676 + 2016
Вопрос: В подземном царстве живут гномы, предпочитающие носить либо зелёные, либо синие, либо красные кафтаны. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды каждому из них задали четыре вопроса.
1. «Ты предпочитаешь носить зелёный кафтан?»
2. «Ты предпочитаешь носить синий кафтан?»
3. «Ты предпочитаешь носить красный кафтан?»
4. «На предыдущие вопросы ты отвечал честно?»
На первый вопрос «да» ответили 40 гномов, на второй — 50, на третий — 70, а на четвёртый — 100. Сколько честных гномов в подземном царстве?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 40 честных гномов.
Решение.
На 4-й вопрос и честный, и лгун ответят «да», поэтому в подземном царстве всего 100 гномов. Честный гном на один из трёх первых вопросов ответит «да», а на два — «нет». А лгун, наоборот, на два из первых трёх вопросов ответит «да», а на один — «нет».
Далее ответ можно получить или уравнением, или рассуждением.
Способ 1. Пусть всего x честных гномов. Тогда всего на первые три вопроса будет x + 2 · (100 – x) = 200 – x ответов «да», т. е. 200 – x = 40 + 50 + 70 = 160, откуда x = 40.
Способ 2. В сумме на первые три вопроса было дано 40 + 50 + 70 = 160 ответов «да». Если бы все гномы говорили правду, то на первые три вопроса было бы 100 ответов «да». Так как каждый лжец даёт на один ответ «да» больше, всего отвечали 160 – 100 = 60 лжецов. Значит, честных гномов 40.
Вопрос: Кто убил Ивана Грозного?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Существует множество версий, догадок и легенд о смерти царя. Согласно официальной версии, причина смерти Ивана Грозного - старость и болезнь
Вопрос: В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а медиана, выходящая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла А. Известно, что сторона АВ = 1. Найдите периметр треугольника АВС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 5.
Решение. Пусть АМ – медиана, проведённая из вершины А. Тогда в треугольнике ABM биссектриса угла В перпендикулярна стороне AM, т. е. биссектриса является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, AB = BM = 1. Но тогда ВС = 2BM = 2. Аналогично из второго условия получаем, что сторона АС в два раза больше АВ, т. е. периметр треугольника АВС равен 1+ 2 + 2 = 5
Вопрос: Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: да.
Решение. Таким свойством обладают, например, числа 299 и 300. Действительно, 2 · 9 · 9 : 3 = 54.
Вопрос: Иван хотел купить гвозди. В одном магазине, где 100 г гвоздей стоили 180 рублей, он не смог купить необходимое количество, так как не хватило 1430 рублей. Тогда он пошел в другой магазин, где 100 г стоили 120 рублей. Он купил нужное количество и получил сдачу 490 рублей. Сколько килограммов гвоздей купил Иван?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 3,2 кг.
По условию задачи разница в цене составляет 60 рублей за 100 г, или 600 руб. за килограмм, если ее умножить на массу гвоздей в кг, получим 1430+490=1920. Значит, Иван купил 1920:600=3,2 (кг).
Вопрос: Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трех из них была простым числом?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 4 числа. 
Пример: 1, 3, 7, 9. Действительно, числа 1+3+7=11, 1+3+9=13,  1+7+9=17, 3+7+9=19 являются простыми. Оценка. Заметим, что из пяти натуральных чисел всегда можно выбрать три, сумма которых составное число. Рассмотрим остатки от деления на 3 этих пяти чисел. Если среди остатков есть три одинаковых, то сумма соответствующих им чисел делится на 3. Если же нет трех одинаковых остатков, то каждый из трех возможных остатков 0, 1, 2 должен присутствовать. Тогда сумма трех чисел, имеющих различные остатки от деления на 3, делится на 3. При этом эта сумма не равна 3, так как все числа различные и натуральные. Значит эта сумма составное число
Вопрос: Может ли прямая пересекать все ребра замкнутой 2015-звенной ломаной, не проходя ни через одну её вершину?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: нет
Решение
Нет, поскольку в каждой полуплоскости, на которые делит прямая плоскость, должно быть одинаковое число вершин
Вопрос: Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 48 фишек
Решение
Оценка. Число фишек на каждой вертикали кратно 3, значит, их не больше 6, а на всей доске – не более 48.
Пример: 32 белые фишки ставим на белые поля, а 16 чёрных - вдоль главной "чёрной" диагонали и вдоль двух параллельных диагоналей "длины" 4
Вопрос: Сколько имеется пятизначных натуральных чисел, делящихся на 9, у которых последняя цифра больше предпоследней на 2?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 800.  
Предпоследняя цифра (цифра десятков) может быль любой от 0 до 7 (чтобы после прибавления двойки последняя цифра имела смысл). Третья и вторая цифра могут быть любыми (от 0 до 9). После выбора указанных трех цифр (второй, третьей и четвертой) последняя цифра однозначно определена по предпоследней, а первая цифра однозначно определена после этого остальными четырьмя из условия делимости на 9 (заметим, что первой цифрой 0 быть не может, а все остальные цифры 1, 2, ... , 9 дают все возможные остатки при делении на 9). Итого, по правилу произведения имеем 8*10*10 = 800 чисел.
Вопрос: Сумма двух натуральных чисел равна 2015. Если в одном из них зачеркнуть последнюю цифру, то получится второе число. Найдите все такие числа.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть b - меньшее число. Тогда большее число a = 10b+c, где c – зачеркнутая цифра, 0 < c < 9. По условию, 2015=a+b = 11b+c, значит b – неполное частное, а c – остаток от деления 2015 на 11, т.е. b=183, c=2. Искомые числа – 1832 и 183
Вопрос: Имеется линейка длиной 10 см без делений. Какое наименьшее число промежуточных делений нужно нанести на линейку, чтобы можно было отложить отрезки длины 1 см, 2 см, 3см, … , 10 см, прикладывая линейку в каждом случае лишь один раз
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 4
Решение: Докажем вначале, что трёх делений не хватит. Всего отрезков с концами в пяти точках ровно 10. Значит, если нанести три деления, то каждая из длин от 1 до 10 должна получаться ровно один раз. Если какое-то из делений нанесено на нецелом расстоянии от левого конца, то найдутся отрезки нецелой длины, то есть не все длины от 1 до 10 могут быть получены. Значит, для каждого из делений возможны только девять вариантов. Итак, отрезок длины 9 можно получить лишь одним способом: нанесением деления на расстоянии 1 от одного из концов линейки. Без ограничения общности можно считать, что это деление нанесено на расстоянии 1 от левого конца, обозначим это деление за T. Как может быть получен отрезок длины 8? Снова учтём тот факт, что отрезков нецелой длины получиться не должно. Это значит, что отрезок длины 8 получается либо нанесением деления на расстоянии 2 от одного из концов, либо из двух делений, каждое из которых нанесено на расстоянии 1 от левого и правого концов линейки. Второй случай невозможен, так как образуются два одинаковых отрезка (длины 1). Если деление наносится на расстоянии 2 от левого края, то снова получаются два отрезка длины 1. Значит, остаётся лишь один вариант: деление наносится на расстоянии 2 от правого края. Обозначим это деление за S. Отрезок длины 3 не может быть получен при помощи концов линейки: получаются лишние отрезки длины 1 или 2. Значит третья точка N такова, что либо NT=3, либо NS=4 (в каждом из вариантов единственность следует из того, что N лежит на линейке). Обозначим левый конец линейки как A, правый --- как B. Если NT=3, то AN=NS=4, получаем противоречие. Если SN=3, то AN=NB=5, снова противоречие с фактом, что длины всех отрезков различны. Итак, мы доказали, что тремя делениями выполнить поставленную задачу нельзя.
Четырёх точек хватит, ибо их можно расположить так: AC=1, AD=4, AE=5, AF=8, где A --- левый конец отрезка
Вопрос: У Вовы в журнале стоит 19 оценок по математике, все двойки и тройки, причём первые четыре оценки — двойки. Оказалось, что среди четвёрок подряд идущих оценок Вовы встречаются все 16 возможных комбинаций из четырёх двоек и троек. Какие у Вовы последние четыре оценки?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 3222.
Решение. Заметим, что четвёрок подряд идущих оценок в строке из 19 оценок Вовы ровно 16, то есть каждая встречается ровно по одному разу. После первых четырёх двоек должна идти тройка, иначе комбинация из четырёх двоек будет встречаться дважды. Значит, после комбинации 3222 не может идти ни 2, ни 3, так как в обоих случаях возникает комбинация, которая уже встречалась. Следовательно, комбинация 3222 стоит в конце строки
Вопрос: На доске написаны четыре ненулевых числа, причём сумма любых трёх из них меньше четвёртого числа. Какое наименьшее количество отрицательных чисел может быть написано на доске? Ответ обосновать.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть на доске записаны числа a > b > c > d. Условие задачи равносильно неравенству a + b + c < d. Отсюда a + b < d − c 6 0, поэтому среди чисел a и b есть отрицательные. Тогда числа c и d тоже отрицательны, значит, отрицательных не меньше трёх. Набор чисел a = 1, b = −2, c = d = −3 показывает, что возможна ситуация, когда отрицательных чисел ровно 3.
Ответ: 3 числа
Вопрос: В обменном пункте можно совершать только следующие операции: 
1) обменять 2 золотых монеты на три серебряных и одну медную;
2) обменять 5 серебряных монет на три золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных монет. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ обоснуйте. Учтите, что обмен денег в банке не является равноценной операцией, то есть при каждом обмене покупательная способность имеющихся у Николая монет несколько уменьшалась
Категория: школьный раздел
Ответы:
В результате каждой операции Николай приобретает ровно 1 медную монету, значит, операций всего было ровно 50. Из них несколько (пусть a) было 1- го типа, остальные 50−a — второго. На операции первого типа Николай потратил 2a золотых монет, на операциях второго типа заработал 3(50 − a) золотых монет. Так как золотых монет у него не осталось, то 2a = 3(50 − a), откуда a = 30. Это значит, что на операциях первого типа Николай получил 30 · 3 = 90 серебряных монет, а на операциях второго типа потерял (50−30)· 5 = 100 таких монет. Тогда их количество уменьшилось на 100 − 90 = 10 штук.
Ответ: На 10 монет.
Вопрос: Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ясно, что ромашки можно разделить 11 способами – первый может не взять ни одной ромашки, взять одну ромашку, две ромашки, …, все 10 ромашек. Точно так же васильки можно разделить 16 способами, а незабудки – 15 способами. Так как цветы каждого вида можно делить независимо от цветов другого вида, тогда правилу произведения получаем 11∙16 ∙15 = 2640 способов раздела цветов.
Ответ: 2640 способов
Вопрос: В цистерне находится 1,3 т молока. Какую площадь бассейна можно залить этим молоком если его высота равна 129 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Вопрос: В тот день, когда Диму поздравляли с днём рождения его брат и сестра, Дима сказал: «Смотрите, как интересно, я теперь вдвое старше брата и втрое старше сестры!» – «А ваш средний возраст 11 лет», – подхватил папа. Сколько лет исполнилось Диме?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ.18 лет.
Решение. 
По условию задачи можно составить уравнение. Пусть возраст Димы – х лет, тогда возраст сестры х/3, а брата – х/2; (х + х/3 + х/2):3=11. После решения этого уравнения получаем, что х=18. Диме исполнилось 18 лет.
Будет полезным привести несколько иное решение, «в частях».
Вопрос: Однажды следователю пришлось допрашивать трёх свидетелей ограбления: Джона Уайта, Сэма Грэя и Боба Блэка. Джон уверял, что все показания Сэма – сплошная ложь, а Сэм только и делал, что твердил, будто Боб говорит неправду. Боб же всё это время уговаривал следователя не верить ни Уайту, ни, тем более, Грэю. Следователь, будучи человеком сообразительным и умным, попросил всех троих  замолчать и, не задав более ни одного вопроса, быстро определил, с кем из них стоит иметь дело, а с кем – нет. Кто же из свидетелей не лгал?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ.Сэм Грэй 
Решение. Из условия задачи ясно, что высказывания каждого из свидетелей произнесены по поводу высказываний остальных двух свидетелей. Рассмотрим заявление Боба Блэка. Если то, что он говорит – правда, то Сэм Грэй и Джон Уайт лгут. Но из того, что Джон Уайт лжет следует, что не все показания Сэма Грэя – сплошная ложь. А это противоречит словам Боба Блэка, которому мы решили поверить и который утверждает, что Сэм Грэй лжет. Итак, слова Боба Блэка не могут быть правдой. Значит, он солгал, и мы должны признать слова Сэма Грэя правдой, а, следовательно, утверждения Джона Уайта – ложью. Ответ: не лгал Сэм Грэй.
Вопрос: Сколько существует трёхзначных чисел, которые в 5 раз больше произведения своих цифр?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. Одно число 175.
Решение.
В составе цифр, которыми записывается число, нет цифры 0, иначе не может быть выполнено условие задачи. Данное трехзначное число получено умножением на 5 произведения своих цифр, следовательно, оно делится на 5. Значит, его запись оканчивается цифрой 5. Получаем, что произведение цифр, умноженное на 5, должно делиться на 25. Заметим, что четных цифр в записи числа быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю. Таким образом, трехзначное число должно делиться на 25 и не содержать четных цифр. Таких чисел только пять: 175, 375, 575, 775 и 975. Произведение цифр искомого числа должно быть меньше 200, иначе, умноженное на 5, даст четырехзначное число. Поэтому числа 775 и 975 заведомо не подходят. Среди оставшихся трех чисел только 175 удовлетворяет условию задачи
Вопрос: В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: нет, не могли.
Решение. В круговом турнире из шести участников разыгрывается 6 · 5/ 2 = 15 очков, причем каждый участник может набрать не более пяти очков. Если бы мальчики набрали в два раза больше очков, чем девочки, то они набрали 10 очков на двоих, то есть по 5 очков каждый. Но тогда оба должны были выиграть все партии, что невозможно (в личной встрече кто-то из них должен потерять очки).
Вопрос: Дан треугольник ABC. Прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно, а медиану AM — в точке Q. Известно, что PQ = 3, а QT = 5. Найдите длину AC.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: AC = 11.
Решение.  Проведем через точку Q прямую, параллельную BC (N и L — точки пересечения этой прямой со сторонами AB и AC соответственно, см. рис. 9.3а). Поскольку AM — медиана треугольника ABC, то LQ = NQ, кроме того, PT k AC, то есть, PQ — средняя линия в треугольнике ANL. Тогда AL = 2PQ = 6. Кроме того, QL k TC и QT k LC, следовательно, LQTC — параллелограмм, откуда LC = QT = 5. Таким образом, AC = AL + LC = 6 + 5 = 11.
Вопрос: Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 91.
Решение. Пример. Рассмотрим девять чисел, равных 91, и число 182. Их сумма равна 1001.
Вопрос: Четырехугольник ABCD — вписанный. На его диагоналях AC и BD отметили точки K и L соответственно, так, что AK = AB и DL = DC. Докажите, что прямые KL и AD параллельны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Первый способ. Поскольку четырехугольник ABCD — вписанный, то ∠BAC = ∠BDC. Тогда в равнобедренных треугольниках ABK и DLC равны и углы при основаниях, следовательно, ∠BLC = ∠BKC, то есть, четырехугольник BCKL — вписанный. Таким образом, ∠KLO =  ∠BCO = ∠BDA, то есть, KL k AD
Вопрос: Функциональные сферы поддержки, такие как блок __ , создают основу для формирования рациональной структуры мер поддержки
(*ответ*) планирования
 финансирования
 организации
 стимулирования
Хозяйственная деятельность, связанная с преобразованием материальной среды, среды обитания, – это
(*ответ*) местное хозяйство
 муниципальное хозяйство
 муниципальная экономическая политика
 финансовая политика
Цена покупки или продажи объектов осуществляется по _ стоимости, определенной оценщиками, имеющими соответствующую лицензию
(*ответ*) рыночной
Часть расходов бюджетов, обеспечивающая текущее функционирование органов государственной власти, органов местного самоуправления, бюджетных учреждений, оказание государственной поддержки другим бюджетам и отдельным отраслям экономики в форме дотации, субсидии и субвенций на текущее функционирование, а также расходы бюджетов, не включенные в капитальные расходы в соответствии с бюджетной классификацией РФ, – это
(*ответ*) текущие расходы бюджетов
 капитальные расходы бюджетов
 дефицит бюджета
 профицит бюджета
Часть расходов бюджетов, связанных с расширенным воспроизводством, при осуществлении которых создается или увеличивается имущество, находящееся в собственности РФ, субъектов РФ, муниципальных образований, – это
(*ответ*) капитальные расходы бюджетов
 текущие расходы бюджетов
 трансферты населению
 бюджет муниципального образования
Человеческое общество, проживающее на территории государства, – это
(*ответ*) население
 территория
 публичная власть
 государственный суверенитет
Экономические отношения на местном уровне и соответствующие им процессы – это
(*ответ*) главная сфера муниципального управления
 муниципальные экономические отношения
 цель органов исполнительной власти
 муниципальная экономическая политика
Экономическую основу местного самоуправления составляют
(*ответ*) муниципальная собственность
(*ответ*) местные финансы
(*ответ*) имущество, находящееся в государственной собственности и переданное в управление органам местного самоуправления
 государственный бюджет
Акты Правительства подлежат официальному опубликованию в “Российской газете” и Собрании законодательства Российской Федерации в течение __ дней со дня их подписания 
(*ответ*) 10 
 8 
 12 
 14 
В РФ находятся _ область(ей) 
(*ответ*) 49 
 16 
 21 
 30 
В соответствии с Конституцией Российской Федерации 1993 года поправки Федерального Собрания в порядке, предусмотренном для принятия Федерального Конституционного закона, допускаются только к главам Конституции 
(*ответ*) 3-8 
 1-8 
 1 и 9 
 1, 2 и 9 
В соответствии с Конституцией Российской Федерации, Российская Федерация является 
(*ответ*) демократическим государством 
 социалистическим государством 
 правовым государством 
 светским государством
Категория: юридические
Ответы:
Правильные ответы  отмечены по тесту
теста прошел проверку)
Вопрос: За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них — либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: «Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей». После этого k из сидящих сказали: «Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей». При каком наибольшем k это могло случиться?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ. 2013.
Решение. Пусть A и B — люди, которым достались карточки с самым большим и самым маленьким числами, соответственно. Поскольку они оба сказали первую фразу, A — рыцарь, а B — лжец. Но, если бы они сказали вторую фразу, то A солгал бы, а B сказал бы правду; это невозможно. Значит, A и B сказать вторую фразу не могут, и k 6 2013 
Покажем, что ситуация, когда оставшиеся 2013 человек смогут сказать вторую фразу, возможна. Пусть сидящим за столом достались (по часовой стрелке) карточки с числами 1, 2, 3, . . . , 2015; при этом карточка с числом 2015 досталась рыцарю, а остальные — лжецам. Тогда первую фразу могут сказать все, а вторую — все, кроме людей с карточками 1 и 2015.
Вопрос: В магазине «Все для чая» продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение: Возможны три разных случая: первый – покупаются чашка с блюдцем, второй – чашка с ложкой, третий – блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом – 15, во втором – 20, в третьем 12). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 47.
Ответ: 47.
Вопрос: На столе лежат 2014 спичек. Каждому из двух игроков разрешается по очереди брать не более 7 спичек, но не менее одной. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Кто выигрывает при правильной стратегии - начинающий игру или второй игрок? Какова выигрышная стратегия?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Начинающий первым ходом берет шесть спичек, а затем каждый раз дополняет число спичек, взятых соперником, до восьми.
Ответ: при правильной игре выигрывает начинающий
Вопрос: В квадратной таблице размером 100 × 100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 198.
Решение. Пример. Закрасим все клетки одной строки и все клетки одного столбца, за исключением их общей клетки. В этом случае условие задачи выполнено и закрашено ровно 198 клеток.
Оценка. Докажем, что требуемым образом не могло быть закрашено больше, чем 198 клеток. Для каждой закрашенной клетки выделим ту линию (строку или столбец), в которой она единственная закрашенная. При таком выделении не может быть выделено больше, чем 99 строк. Действительно, если выделено 100 строк, то каждая закрашенная клетка — единственная именно в своей строке, но тогда закрашенных клеток — не более, чем 100. Аналогично, не может быть выделено и больше, чем 99 столбцов. Поэтому выделенных линий, а значит, и закрашенных клеток, не более, чем 198.
Вопрос: На столе лежит куча из 2013 монет. Из нее убирают одну монету и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной монеты, снова убирают одну монету и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех монет?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: нет
После каждой процедуры число монет уменьшается на 1, а число кучек на 1 увеличивается. Поскольку первоначально монет было 2013, а кучка одна, то после n процедур монет окажется 2013 − n, а кучек станет n +1.
В задаче требуется, чтобы выполнилось равенство: 2013 − n = 3(n + 1) или 2010 = 4n, что невозможно, поскольку правая часть кратна 4, а левая – нет
Вопрос: Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 77
Решение
При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. При каждой операции добавлялось по 7 ящиков. Поэтому в результате стало 7 + 10·7 = 77 ящиков
Вопрос: Почему ряд государств в Европе не смогли преодолеть политическую раздробленность
Категория: школьный раздел
Ответы:
Раздробленность в Центральной Европе, то есть в Священной Римской империи германской нации не была преодолена потому, что в этом государстве не было достаточно влиятельных заинтересованных в этом сил. В других странах королевская власть опиралась на часть рыцарства и города. Но германское рыцарство зависело от герцогов и других крупных феодалов, от них чаще всего получало земли и поддерживало их, а не императора. Сильнейшие города объединялись в союзы (самый известный пример – Ганзейский), которые проводили самостоятельную политику. То есть города сами могли отстоять свои интересы и не нуждались для этого в сильной центральной власти. 
Также усиливала раздробленность и политика императоров. Правителя империи избирали. Часто для того, чтобы быть избранным, претендент вынужден был идти на значительные уступки крупным феодалам, причём не только раздавать им земли, но раз за разом всё больше урезать свою власть. Кульминацией этого процесса стала «Золотая булла» 1356 года, согласно которой центральная власть лишалась почти всех полномочий в пользу влиятельных феодалов. Избирался император согласно этому документу 7 крупнейшими церковными и светскими феодалами – так называемыми курфюрстами
Вопрос: Было 2013 пустых коробок. В некоторую из них положили 13 новых коробок (не вложенных друг в друга). Таким образом, стало 2026 коробок. В некоторую из них снова положили 13 новых коробок (не вложенных друг в друга) и т.д. После нескольких таких операций стало 2013 непустых коробок. Сколько всего стало коробок?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 28182.
Решение.
После каждой операции количество непустых коробок увеличивается на 1. Вначале непустых коробок не было. Значит, всего было сделано 2013 операций. За каждую операцию прибавляется 13 новых коробок. Стало
2013+13×2013=2013×14=28182.