Вопрос: Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема N=100:
Варианта ХI    48    52    56    60    64    68    72    76    80    84
Частота Ni    2    4    6    8    12    30    18    8    7    5
Категория: экономические
Ответы:
Решение. Асимметрия  эмпирического распределения определяется равенством:Где  - центральный эмпирический момент третьего порядка, вычисляемый по формуле: Эксцесс  эмпирического распределения определяется равенством:Где  - центральный эмпирический момент четвертого порядка, вычисляемый по формуле: Асимметрия и эксцесс служат для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального. Кроме того, если эксцесс положительный, то распределение будет островершинным; если отрицательный, то распределение будет плосковершинным по сравнению с нормальным распределением.Для практического расчета асимметрии и эксцесса непосредственно пользоваться вышеуказанными формулами довольно затруднительно, поэтому воспользуемся методом сумм. Составим расчетную таблицу 1, для этого:1) Запишем варианты в первый столбец.2) Запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца.3) В качестве ложного нуля С выберем варианту (68), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю.4) В оставшихся незаполненными над нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты:2; 2+4=6; 6+6=12; 12+8=20; 20+12=32.Сложив все накопленные частоты, получим число B1=72, которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты:5; 5+7=12; 12+8=20; 20+18=38.Сложив все накопленные частоты, получим число A1=75, которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца.5) Аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца. Сложив все накопленные частоты, расположенные над нулем, получим число B2=70, которое поместим в верхнюю клетку четвертого столбца. Сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу A2=59, которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца.6) Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (68); над этим нулем и под ним поставим еще по два нуля. В клетках над нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 сверху вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:2; 2+8=10; 10+20=30.Сложив накопленные частоты, получим число B3=42, которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца. В клетках под нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 снизу вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:5; 5+17=22.Сложив накопленные частоты, получим число A3=27, которое поместим в нижнюю клетку пятого столбца.7) Аналогично заполняется столбец 6, причем суммируют частоты столбца 5.В итоге получим расчетную таблицу 1: