nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Среднее арифметическое некоторых 3 чисел равно 3,7, а некоторых других, пяти чисел 2,9. Вычислите среднее арифметическое этих восьми чисел.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
1) 3 * 3,7 = 11,1 сумма первых трех чисел;
2) 5 * 2,9 = 14,5 сумма других пяти чисел;
3) 11,1 + 14,5 = 25,6 сумма восьми чисел;
4) 25,6 : 8 = 3,2.
Ответ: среднее арифметическое восьми чисел равно 3,2.
Вопрос: Витя прочитал 100 страниц из книги, при этом ему осталось прочитать в 1,5 раза больше. Сколько процентов книги прочел Витя? Сколько процентов ему осталось проесть?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
1) 100 * 1,5 = 150 (стр.) осталось прочесть Вите;
2) 100 + 150 = 250 (стр.) вся книга;
3) 100 : 250 * 100 = 40%;
4) 100 - 40 = 60%.
Ответ: Витя прочел 40% кнгиги, ему осталось прочесть 60% книги
Вопрос: Стоимость книги, сначала увеличили на 20%, а потом снизили на 15 рублей. Сколько стоила книга сначала, если теперь она стоит 225 рублей?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
1) 225 + 15 = 240 (рублей) стоимость книги до снижения стоимости;
Пусть книга стоила x рублей, тогда 20% от x равно 0,2x.
x + 0,2x = 240;
1,2x = 240;
x = 240 : 1,2;
x = 200;
Ответ: сначала книга стоила 200 рублей.
Вопрос: В треугольнике ABC угол ∠A равен 48°, угол ∠B равен 32°. Постройте треугольник ABC. Чему равен угол ∠C? Чему равна сумма всех углов треугольника?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
Сумма всех углов треугольника равна 180°
1) 48 + 32 = 80° сумма углов ∠A и ∠B;
2) 180 - 80 = 100°;
Ответ: угол ∠C = 100°. Сумма всех углов треугольника равна 180°.
Вопрос: По результатам расчетов, приведенный доход составит 5466 тыс. руб. Рассчитать интегральный эффект (ЧДД), если общий объем капиталовложений с учетом дисконтирования равен 4,7 млн руб.
Категория: экономические
Ответы:
Интегральный эффект, или чистый дисконтный доход (ЧДД), рассчитывают как разницу между приведенным (дисконтированным) доходом и общим объемом капиталовложений, рассчитанным с учетом дисконтирования: ЧДД = 5466 – 4700 = 766 тыс. руб. 
Полученный результат положителен, значит рассматриваемый проект эффективен, и можно рассматривать вопрос о его принятии. 
Ответ: интегральный эффект составит 766 тыс. руб.
Вопрос: В магазине до обеда было продано 60 кг муки, а осталось в 1,5 раза больше, чем продано. Сколько процентов всей муки было продано до обеда? Сколько процентов муки осталось в магазине?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
1) 60 * 1,5 = 90 (кг) муки осталось;
2) 60 + 90 = 150 (кг) всего муки;
3) 60 : 150 * 100 = 40%;
4) 100 - 40 = 60%.
Ответ: до обеда продали 40% муки, осталось 60%.
Вопрос: Благодаря оптимизации производственного процесса, себестоимость одной единицы продукции уменьшилась на 25%, а потом еще на 10 рублей. Какова была начальная себестоимость продукции, если сейчас она составляет 170 рублей?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
1) 170 + 10 = 180 (рублей) себестоимость продукции до второго снижения;
Пусть себестоимость продукции сначала была равна x, тогда 25% от ее себестоимости 0,4x;
x - 0,4x = 180;
0,6x = 180;
x = 180 : 0,6;
x = 300;
Ответ: начальная себестоимость одной единицы продукции 300 - рублей.
Вопрос: У треугольника AOD угол ∠A = 60° угол ∠O = 42°. Постройте треугольник AOD. Чему равен угол ∠D? Чему равна сумма всех углов треугольника?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
Сумма всех углов треугольника равна 180°;
1) 60 + 42 = 102°; сумма углов ∠A и O∠;
2) 180° - 102° = 78°.
Ответ: ∠D равен 78°. Сумма всех углов треугольника равна 180°.
Вопрос: Угол ∠BOD = 110°, ∠COD= 33°, угол ∠AOD - развернутый. Найдите величины остальных углов изображенных на рисунке.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
1) 110° - 33° = 77°;
2) 180° - 110° = 70°;
Ответ: угол ∠BOC = 77° угол ∠AOB = 70°.
Вопрос: Найдите координаты точки, лежащей на оси y и равноудаленной от точек с координатами A(-2;3) и B(6;1)
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Примечание. Вместо знака квадратного корня далее по тексту использовано выражение sqrt(), что следует читать как квадратный корень, подкоренное выражение которого указано в скобках. 

Обозначим искомую точку как С. Поскольку известно, что искомая точка равноудалена от заданных точек А и В, то она находится от заданных координат точек на одном и том же расстоянии. Это означает, что длина отрезка BC равна длине отрезка AC. 

BC = AC 

Найдем расстояние между этими точками согласно формуле длины отрезка. 
sqrt(  (x1-x2)2+(y1-y2)2 ), 

Учтем, что, поскольку искомая точка С лежит на оси y, то для точки С координата  x=0. 
AC = sqrt( (-2 - 0)2 +(3 - y)2 ) 
BC = sqrt( (0 - 6)2 +(y - 1)2 ) 

Поскольку AC=BC, приравняем выражения 
sqrt( (-2 - 0)2 +(3 - y)2 ) = sqrt( (0 - 6)2 +(y - 1)2 ) 
(-2 - 0)2 +(3 - y)2 = (0 - 6)2 +(y - 1)2 
4 + 9 - 6y + y2 = 36 + y2 - 2y + 1 
- 6y + 2y + y2- y2 =36 + 1 - 4 - 9 
- 4y = 24 
y = -6 

Ответ: Координаты искомой точки (0;-6)
Вопрос: Расстояние между точками A(m;-3) и B(1;5) равно 10. Найдите значение m.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Примечание. Вместо знака квадратного корня далее по тексту использовано выражение sqrt(), что следует читать как квадратный корень, подкоренное выражение которого указано в скобках. 

Найдем расстояние между этими точками согласно формуле длины отрезка. 
sqrt(  (x1-x2)2+(y1-y2)2 ), 
подставим значения соответствующих координат точек отрезка 
sqrt(  (m-1)2+(-3-5)2 ), 
согласно условию, длина отрезка равна 10, получаем 
sqrt(  (m-1)2+(-3-5)2 ) = 10 
(m-1)2+(-3-5)2 = 100 
m2- 2m + 65 = 100 
m2- 2m - 35 = 0 
решаем полученное квадратное уравнение 
D = 144 
x1=7 
x2=-5 
Ответ: Возможные значения m 7 и -5
Вопрос: Докажите, что точки A(-2;-3), B(2;1) и C(7;6) лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Формула уравнения прямой, проходящих через две точки (x1;y1) и (x2;y2) имеет вид 
( y - y1 ) / ( y2 - y1 ) = (x - x1) / (x2-x1) 

Выведем уравнение прямой AB. Применим координаты точек A(-2;-3), B(2;1). Получим: 

( y - (-3) ) / ( 1 - (-3) ) = ( x - (-2) ) / ( 2 - (-2)) 
( y + 3 ) / 4 = ( x + 2 ) / 4 
y + 3 = x + 2 
y = x - 1 

Таким образом, полученному уравнению соответствуют все точки, лежащие на данной прямой. Подставив в уравнение, значение х точки С, получим: 

y = 7 - 1 = 6 

То есть прямая проходит через точку C(7;6) 

Вывод: Все точки A, B, C лежат на одной прямой
Вопрос: Один из смежных углов в три раза больше другого. Найдите эти углы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Согласно свойству смежных углов, сумма смежных углов 180 градусов, поскольку один в три раза больше второго, то обозначим градусную меру этого угла как х (икс), величина же второго угла составит, соответственно 3х. Сумма этих смежных углов (х и 3х) равна 180 градусам.
Составим уравнение: 
х + 3х = 180 
4х = 180 
х = 45

Второй угол в три раза больше другого, соответственно
3 * 45 = 135 градусов

Ответ: величина смежных углов составляет 45 и 135 градусов

решение задания по геометрии
Вопрос: При пересечении двух прямых образовались четыре угла. При этом ни один из них не является тупым. Под каким углом пересекаются эти прямые?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
При пересечении прямых образуются вертикальные и смежные углы. Каждый из образовавшихся углов имеет два смежных.
Сумма смежных углов равна 180 градусов. Поскольку угол больше 90 градусов - тупой, то ни один из них не может быть больше 90 градусов. С другой стороны, ни один из них не может быть меньше 90 градусов, поскольку их сумма не будет равна 180. 
Таким образом, в данном случае два любых смежных угла равны 90 градусов. Таким образом, все углы, образовавшиеся при пересечении двух данных прямых равны 90 градусам, то есть прямые
Вопрос: Прямые AB и CD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч OE проходит между лучами OA и OD. А луч OF проходит между лучами OB и OC. ∠EOB = 160 градусов, а ∠EOF = 140 градусов. Найдите угол COF
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Сумма всех углов, вокруг луча OF равна 360 градусов, что составляет полный развернутый угол. 
Таким образом,  сумма градусных мер углов ∠FOB +∠BOE + ∠EOF = 360 градусов
Величина градусных мер двух из них даны по условию. 
Подставим их величины в выражение     
∠FOB + 160 + 140 = 360 
∠FOB + 300 = 360   
откуда ∠FOB = 60 градусов 
Угол COB - прямой по условию задачи, то есть он равен 90 градусов.
Величина угла COB равна сумме градусных мер углов FOB и COF     
то есть 
FOB + COF = 90 градусов
Поскольку величину угла FOB мы уже нашли, подставим ее в уравнение 
60 + COF = 90 
COF = 30

Ответ: угол COF равен 30 градусов
Вопрос: По результатам расчетов, приведенный доход составит 5466 тыс. руб. Рассчитать индекс доходности, если общий объем капиталовложений с учетом дисконтирования равен 4,7 млн руб.
Категория: экономические
Ответы:
Индекс доходности рассчитывают как отношение приведенного (дисконтированного) дохода к общему объему капиталовложений, рассчитанному с учетом дисконтирования: ИД=5466/4700=1,16
Значение индекса доходности 1,16 свидетельствует о том, что проект экономически эффективен, так как основной критерий выглядит, как ИД>1. 
Ответ: расчет индекса доходности показал, что проект экономически эффективен.
Вопрос: Найдите косинусы углов треугольника ABC, если его стороны заданы векторами A(-3;2), B(5;3), C(-4;-3). Определите вид треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Косинус угла между двумя прямыми, на которых лежат векторы равен 
|a1b1+a2b2| / ( sqrt(a1+a2) + sqrt(b1+b2)) 

вычислим значения: 
cos AB = -(-3*5 + 2 * 3) / ( √13 √34) ≈ 0.428 
cos BC = -(5*(-4) + 3 * (-3)) / ( 5 √34) ≈ 0.995 
cos AC = -(-3*(-4) + 2 * (-3)) / ( 5 √13 ) ≈ -0.333 

Соответственно углы равны приблизительно 64,7 , 5,7 и 109,6 треугольник тупоугольный
Вопрос: В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 900) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники - единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

DC2=AD*BD

DC2=9*16

DC=12 см
Вопрос: Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см.  Разность отрезков BD-AD=5 см. 
Найти: Стороны треугольника ABC.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD2+BD2=BC2

CD2+AD2=AC2

поскольку CD=6

36+BD2=BC2
36+AD2=AC2

Поскольку BD-AD=5, то
BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5)2=BC2

36+AD2=AC2

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой - равенство не будет нарушено. Получим: 
36+36+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC2+BC2=AB2

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид: 
AC2+BC2=(AD+BD)2

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC2+BC2=(AD+AD+5)2 
3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

Они имеют общую часть AC2+BC2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5)2+AD2=(AD+AD+5)2

72+AD2+10AD+25+AD2=4AD2+20AD+25

-2AD2-10AD+72=0 
В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

х1=-3,5

x2=4 

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

AD=4

Соответственно

BD = AD + 5 = 9

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

BC = корень из (117).
Вопрос: Один из углов треугольника на 30 градусов меньше другого и в 7 раз больше третьего.найти углы треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. 
Обозначим третий угол как х. 

Тогда другой относительно него будет равен (и в семь раз больше третьего) 7х, а первый (на тридцать градусов меньше другого, значит - другой на тридцать градусов больше), соответственно, 7х + 30 . 
Получим уравнение: 
 х + 7х + ( 7х + 30 ) = 180 
15х + 30 = 180 
15х = 150 
х=10 

Находим остальные углы. 7х = 70, а 7х+30 = 100 

Ответ: 10, 70, 100
Вопрос: Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота CD. Найти величину угла BCD если угол А равен 65 градусам
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, построим следующие рассуждения: 
Величины углов ∠A + ∠B + ∠C = 180° 
Так как угол С - прямой, то  
65 + ∠B + 90 = 180 
B = 25° 
Теперь, поскольку CD - высота, то треугольник BCD - прямоугольный, откуда 
∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°  
25 + 90 + ∠BCD =180°  
∠BCD =65°    
Ответ: 65 градусов
Вопрос: Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока. 
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна 
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу: 
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60    
В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два.  
S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)
Вопрос: Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: 

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a2 
S = √3 / 4 * 32 
S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4.
Вопрос: Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься в низ решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )  
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c. 
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c) ) 
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики. 
Тогда

S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - на третьей строке рисунка 
S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) - четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня     
S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) 
S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) 
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального. 
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S2 / S = 16 
(см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения - в последней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)
4/1/4=16
Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз
Вопрос: Биссектриса угла A треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BK = 8 см и KC = 18 см. Определите длину стороны AC, если длина стороны AB = 12 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Для решения задачи потребуется знание следующей теоремы:

Биссектриса  любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника.

Для условий данной задачи это означает:

BK/KC = AB/AC

8/18=12/x

x=27 см
Вопрос: Найти отрезки, на которые биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC, если AB=6 BC=7 AC=8
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Для решения задачи потребуется знание следующей теоремы:

Биссектриса  любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника.

Для условий данной задачи это означает:

BD/DC = AB/AC

BD/DC = 6/8

Обозначим BD = x, тогда DC = 7 - x

x / ( 7 - x ) = 6/8

8x = 42 - 6x

14x = 42

x =3

Тогда DC = 4

Ответ: BD = 3, DC = 4 см
Вопрос: Себестоимость выпуска товара равна 18000 руб. за единицу, планируемая производителем рентабельность – 15 % к затратам. Определить оптовую цену изготовителя на товар.
Категория: экономические
Ответы:
Оптовая цена Цопт формируется на основе полной себестоимости единицы продукции и прибыли, приходящейся на 1 руб. полной себестоимости: 
    
где Sпрод – полная себестоимость единицы продукции, руб.; 
R – уровень рентабельности, рассчитанный по себестоимости, то есть отношение плановой прибыли к полной себестоимости годового объема производства. 
Оптовая цена изготовителя в нашей задаче составит: 
Ц=1800+(1800*15/1000+20700
Ответ: оптовая цена изготовителя равна 20700 руб.
Вопрос: Луч AD является биссектрисой угла A. На сторонах угла A отмечены точки B,C так что угол ADC равен углу ADB. Доказать, что AB=AC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Сторона AD у них общая, углы DAC и DAB равны, так как биссектриса AD делит угол А пополам, а углы ADC и ADB равны по условию задачи. Таким образом, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум углам. 

Следовательно AB = AC.
Вопрос: На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так,что BC = BD. Докажите,что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Поскольку по условию задачи BC = BD, то треугольник DBC - равнобедренный. 
Для данного треугольника угол CBA является внешним. Таким образом, решение задачи сводится к доказательству утверждения, что биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника параллельна его основанию. 

Угол DBA - равзвернутый и равен 180 градусам. Сумма углов треугольника также DBC равна 180 градусам. Поскольку в состав развернутого угла DBA входит угол DBC, то градусная мера угла ABC равна сумме остальных углов равнобедренного треугольника, которые равны между собой. 

Таким образом, угол ABC равен удвоенной градусной мере угла DCB. Исходя из того, что BK - биссектриса угла ABC, то углы KBC = DCB. 

Рассмотрим прямые BK и DC. Их внутренние накрест лежащие углы равны (KBC = DCB). Таким образом, прямые параллельны.
Вопрос: Стороны треугольника равны 8, 9 и 13 сантиметров. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите медиану треугольника исходя из размеров его сторон
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Задача имеет два способа решения. Первый, который не нравится учителям средней школы, но является наиболее универсальным. 

Способ 1. 

Применим Теорему Стюарта, согласно которой квадрат медианы равен одной четвертой от суммы удвоенных квадратов сторон из которой вычли квадрат стороны, к которой проведена медиана. 

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4 

Соответственно 

mc2 = ( 2 * 82 + 2 * 92 - 132) / 4 
mc2 = 30,25 
mc = 5,5 см 

Способ 2. 

Второй способ решения, который преподаватели в школе любят - это дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма. 

Продлим стороны треугольника и медиану достроив их до параллелограмма. В этом случае медиана треугольника будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, а две стороны треугольника - его боковым сторонам. Третья сторона треугольника, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма. 

Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон. 

2(a2+b2)=d12+d22 

Обозначим диагональ параллелограмма, которая образована продолжением медианы исходного треугольника как х, получим: 

2( 82 + 92 ) = 132 + x2 
290 = 169 + x2 
x2 = 290 - 169 
x2 = 121 
х = 11 

Поскольку искомая медиана равна половине диагонали параллелограмма, то величина медианы треугольника составит 11 / 2 = 5,5 см 

Ответ: 5,5 см
Вопрос: В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20 см, AC = 12 см, а угол ACB равен 135 градусам
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Кроме медиан, указанных в условии, проведем медиану к третьей стороне треугольника. 
Треугольник с медианами 
Воспользуемся следующими свойствами медианы треугольника: 
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Таким образом, если площади указанных треугольников равны, то площадь искомого четырехугольника будет равна двум из шести получившихся треугольников, а значит 1/3 площади всего треугольника. 

Площадь треугольника найдем по формуле S = ab sin γ 

S = 20 *12 * sin 135 

Значение синуса 135 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций. 

S = 240 * √2 / 2 = 120√2 

Откуда площадь искомого четырехугольника равна ( 120√2  ) / 3 = 40√2 

Ответ: 40√2
Вопрос: Найдите угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника, которые проведены из вершины прямого угла, если острый угол равен 20 градусов
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Решим задачу путем дополнительного построения вокруг заданной геометрической фигуры (треугольника), чтобы использовать свойства новой образованной фигуры (прямоугольника) для решения этой задачи по геометрии
Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника. 
Прямоугольный треугольник, достроенный до прямоугольника

В результате дополнительного построения катеты прямоугольного треугольника одновременно являются сторонами прямоугольника, а гипотенуза - его диагональю.

Далее учтем следующие свойства треугольника и прямоугольника:

Сумма углов треугольника равна 180 градусам
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
Диагонали прямоугольника равны
Величина одного из углов треугольника задана в условии задачи. Поскольку треугольник по условию прямоугольный, то мы можем найти величину третьего угла, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70° 
Таким образом, мы нашли градусную меру угла B в треугольнике ABC

Рассмотрим треугольник COA. Он равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Это следует из свойств прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны, а в точке пересечения они делятся пополам, то половины равных отрезков будут также между собой равны. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то: 
∠OCA = ∠OAC = 20º

Рассмотрим треугольник BKC. CK является высотой треугольника ABC, проведенной к гипотенузе. Значит угол BKC - прямой, то есть равен 90 градусам, а сам треугольник BKC - прямоугольный. Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°. (Это следует из того, что сумма углов треугольника 180 градусов, угол BKC - прямой, а величину угла B мы нашли ранее)

Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна 90 градусов и, одновременно, равна сумме градусных мер составляющих его углов: BCK, KCO и OCA. 
Величину угла BCK мы только что нашли, она составляет 20 градусов, величину угла OCA мы также нашли ранее и она тоже составляет 20 градусов. 
Откуда: 
20° + 20° + ∠KCO = 90° 
∠KCO = 50°   
Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.
Вопрос: Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение 
 treug.gif

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC - общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2 
Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то 
4x2 + y2 = 9  
Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC. 
По теореме Пифагора: 
EC2 + BC2  = BE2 
Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то 
x2 + 4y2  = 16 
Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой. 
Решим полученную систему уравнений.  
4x2 + y2 = 9 
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения). 
5x2 + 5y2 = 25   
5( x2 + y2 ) = 25 
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора   
AC2 + BC2  = AB2 

Так как длина каждого из катетов нам "известна", мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть 
4x2 + 4y2 = AB2 
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки       
4 ( x2 + y2 ) = AB2   
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5 
AB2 = 20 
AB = √20 = 2√5   
Ответ: длина гипотенузы равна 2√5
Вопрос: Вершинами треугольника являются точки A(-2;1), B(-1;5), C(-6;2). Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

У равнобедренного треугольника две стороны равны. Чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, необходимо вычислить длину всех его сторон. 

Применив формулу вычисления длины отрезка через координаты его точек, получим:   

AB = sqrt(  ( -2 - ( -1 ) )2 + ( 1 - 5 )2 ) = √( 1 + 16 )  = √17  
BC = sqrt(  ( -1 - ( -6 ) )2 + ( 5 - 2 )2 ) = √( 25 + 9 )  = √36 = 6   
AC = sqrt(  ( -2 - ( -6 ) )2 + ( 1 - 2 )2 ) = √( 16 + 1 )  = √17  

Как видно из расчетов, AB = AC равно корню квадратному из 17. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным
Вопрос: Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Для решения задачи воспользуемся следующими формулами: 
 
где: 
R - радиус описанной окружности 
r - радиус вписанной окружности 
p - полупериметр треугольника 
S - площадь треугольника, при чем формула нахождения площади треугольника приведена для равнобедренного треугольника и является следствием формулы Герона для случая, когда a  - длины одинаковых сторон, а b - длина третьей стороны. 

Сначала найдем длину одинаковых сторон равнобедренного треугольника. Поскольку высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является одновременно и медианой, то, применив теорему Пифагора, получим: 
a = √ (92 + 122 ) =  √225 = 15 

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника 
S = 1/2 * 24 √ (  ( 15 + 1/2 * 24 ) ( 15  - 1/2 * 24 ) ) = 12 √ ( 27 * 3 ) = 12 √ 81 = 108 см2 

Откуда радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника 
R = 15 * 15 * 24 / ( 4 * 108 ) = 12.5 см. 

Радиус вписанной окружности 
p = ( 15 + 15 + 24 ) / 2 = 27 
r = 108 / 27 = 4 

Ответ: 4 и 12,5 см.
Вопрос: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

1-й способ. Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше): 
Плоащдь равнобедренного треугольника 
где а - длина боковых сторон, а b - длина основания. 
Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим: 
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5 )( 13 - 5 )) = 5 √ (18 * 8) = 60 см2 

2-й способ. Применим теорему Пифагора 
Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK. 
Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна 
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см . 

Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.
Соответственно, высота будет равна: 

h = √ ( 132 - 52 ) = √144 = 12 см 

Площадь исходного равнобедренного треугольника ABC будет равна площади двух прямоугольных треугольников ABK и CBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба прямоугольных треугольника равны между собой. Гипотенузы - это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов - общий, а, поскольку, BK одновременно является и биссектрисой и высотой, то, соответствующие углы также равны. Поэтому нам будет достаточно найти площадь одного из них и умножить полученное число на два.
Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим: 

S = AK * BK / 2 
S = 5 * 12 / 2 = 30 см2 

Поскольку в составе треугольника ABC два равных прямоугольных треугольника ABK и CBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит: 
30 * 2 = 60 см2 . 

Как видно, оба способа решения дают один и тот же результат.     

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см2 .
Вопрос: Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х. 

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то 

2x + x + x = 180 
4x = 180 
x = 45 

Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания  равен 2 * 45 = 90 градусам. 

Ответ: 45, 45, 90 градусов
Вопрос: Предприятием-изготовителем установлена оптовая цена в размере 8700 руб. за единицу продукции. Ставка акциза равна 20 %, ставка налога на добавленную стоимость – 20 %. о пределить оптовую отпускную цену товара.
Категория: экономические
Ответы:
Оптовые отпускные цены помимо цен изготовителя включают косвенные налоги: акциз и налог на добавленную стоимость. 
Оптовая отпускная цена товара без НДС (но с акцизом) равна оптовой цене производителя, увеличенной на величину акцизной ставки: Ц = 8700/100+20=10875 Далее полученный результат увеличиваем на величину налога на добавленную стоимость (НДС). Полученная оптовая отпускная цена того же товара с НДС составит: 
Цотпуск = 10875 + (10875 х 0,2) = 13050 руб. 
Ответ: оптовая отпускная цена товара составит 13050 руб.
Вопрос: Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на 66 градусов больше угла, противолежащему основанию
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Пусть угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, будет равен х (икс). Тогда, каждый из углов, прилежащих к основанию (а в равнобедренном треугольнике оба угла, прилежащих к основанию равны) будет равен ( х + 66 ) 
Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, получим:

х + 2 ( х + 66 ) = 180 
х + 2х + 132 = 180 
3х = 48 
х = 16 
Таким образом, мы нашли угол, противолежащий основанию. Откуда два других угла будут равны: 
16 + 66 = 82 градуса 
Ответ: углы равнобедренного треугольника равны 16, 82 и 82 градуса.
Вопрос: В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как 
AK/KB = tg B = 3/4 
Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х. 
Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение: 
(3x)2 + (4x)2 = (13a)2 
9x2  + 16x2 = 169a2 
25x2  = 169a2 
x2  = 169/25a2 
x = 13/5a 
Откуда 
AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a 
KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

Ответ:    7,8a и 10,4a
Вопрос: Окружность радиусом 4 вписана в равнобедренный треугольник MNK с основанием MK и касается стороны MN в точке С. найдите боковую сторону треугольника, если она в 5 раз больше отрезка CN
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Пусть длина отрезка CN = x , тогда MN = 5х . То есть боковая сторона равнобедренного треугольника равна a = 5x 

Примем во внимание формулу радиуса окружности для равнобедренного треугольника и формулу нахождения полупериметра равнобедренного треугольника. 
Eqn500.gif 

Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно 
d = p - c 

Подставим известные значения 
x = a + b/2 - a 
x = b/2 

Откуда основание равнобедренного треугольника 
b = 2x 

Подставим значения a и b в формулу радиуса вписанной окружности. Получим 
r = x√(2/3) 
4 = x√(2/3) 
x = 4 / √(2/3) 

Откуда a = 5x = 20 / √(2/3) 

Ответ: 20 / √(2/3)
Вопрос: Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого катета и меньше гипотенузы на 1 см. Найти площадь треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим катет одного треугольника через х, тогда второй катет будет равен х+1, а гипотенуза х+2. 
Тогда по теореме Пифагора: 
x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 
x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 
x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + 4x +4 
2x2 + 2x +1 - x2 - 4x -4 = 0 
x2 - 2x - 3 = 0 

D = 16 
x1 = 3 
x2 = -1 (не подходит по условию задачи) 

Площадь прямоугольного треугольника равна 
S = 1/2 ab = 1/2 * 3 * 4 = 6 см2 . 

Площадь треугольника также можно было найти по формуле Герона 
S = 1/4 sqrt( ( a + b + c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( b + c - a ) ) 
S = 1/4 sqrt( ( 3 + 4 + 5 ) ( 3 + 4 - 5 ) ( 3 - 4 + 5 ) ( 4 + 5 - 3 ) ) 
S = 1/4 sqrt( 12 * 2 * 4 * 6 ) 
S = 1/4 √ 576 = 6 см2 . 

Ответ: 6 см2
Вопрос: В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны корень из 52 и корень из 73. Найти площадь прямоугольного треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Каждая из медиан катетов образует с прямым углом прямоугольный треугольник. Обозначим длину половины каждого катета как a и b. Тогда, по теореме Пифагора получим: 

задача о медианах прямоугольного треугольника 

Откуда 
a2 = 73 - 4b2 

подставим выражение во второе уравнение 

b2 + 4( 73 - 4b2 ) = 52 
b2 + 292 - 16b2 = 52 
15b2 = 240 
b2 = 16 
b = 4 

Соответственно, а2 = 73 - 4 * 16 = 9, а = 3 

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (2a и 2b) 8 и 6 см. 

Откуда площадь прямоугольного треугольника равна 
S = 1/2 8*6 = 24 см2 . 

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2 .
Вопрос: В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90градусов, сторона АС равна 3 см, а сторона ВС больше стороны АС на 2 см. Найдите tg угла А
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
tg A = BC /AC 
BC = AC + 2 
AC = 3 
tg A = 5 / 3
Вопрос: Докажите что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют угол 45
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, угол С в данном случае прямой, то сумма двух оставшихся углов составляет 180 - 90 = 90 градусов. 

Поскольку BM и AN - биссектрисы, а сумма их градусных мер составляет 90 градусов, то сумма половин этих углов ( KAB и KBA) составляет 90 / 2 = 45 градусов. Таким образом, величина угла AKB в треугольнике AKB составляет 180 - 45 = 135 градусов. 

Соответственно, величина угла MKA равна 180 -135 = 45 градусов. То есть биссектрисы прямоугольного треугольника образуют угол 45 градусов. 

Таким образом, при пересечении биссектрисы прямоугольного треугольника образуют углы 45 и 135 градусов
Вопрос: В треугольнике ABC угол С - прямой. Перпендикуляр CD равен 6 см. AD на 2 см. больше BD. Площадь треугольника ABC равна 180 см в кв. Найти чему равны AC и BС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Прямоугольный треугольник с высотой 

Пусть BD = x, тогда AD = x + 2 

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC . Поскольку CD - высота, то оба эти треугольника также прямоугольные. Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь треугольника ABC будет равна: 

CD * AD / 2 + CD * BD / 2 = 180 

Подставим известные значения и обозначения переменной х. 

6 ( x + 2 ) / 2 + 6x / 2 = 180 
3 ( x + 2 ) + 3x = 180 
6x + 6 = 180 
6x = 174 
x = 29 

Таким образом, BD = 29, AD = BD + 2 = 29 + 2 = 31 

По теореме Пифагора вычислим длину AC и BC. 

BC2 = CD2 + BD2 
AC2 = CD2 + AD2 

откуда 

BC2 = 292 + 62 
AC2 = 312 + 62 

AB = √877 
AC = √997 

Ответ: √877 и  √997
Вопрос: Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один из острых углов равен α. Найти высоту, опущенную на гипотенузу
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Прямоугольный треугольник с высотой

Площадь треугольника (S) будет равна: 
S = 1/2 CD * AB

Пусть угол А равен α. Тогда 
AC = AB cos α 
(По определению косинуса   cos α = AC /AB)

Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку CD - высота, опущенная на гипотенузу, то угол CDA - прямой. Таким образом 
  CD = AC sin α 
поскольку   AC = AB cos α, то   
CD = AB cos α sin α 
откуда 
AB = CD / ( cos α sin α ) 
Вернемся к изначальной формуле площади прямоугольного треугольника и подставим в нее найденные значения. 
S = 1/2 CD * AB 
S = 1/2 CD *  CD / ( cos α sin α ) 
S = 1/2 CD2 / ( cos α sin α )

Поскольку все значения, кроме высоты CD треугольника нам известны, выразим высоту из формулы площади прямоугольного треугольника. 
CD2  = 2S  cos α sin α 
или 
CD = √ ( 2S  cos α sin α )
Вопрос: На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Поскольку ели растут вертикально, то AEB и DEC - прямоугольные треугольники. 
Откуда 
AB2 + BE2 = AE2 
CD2 + СE2 = DE2 

Поскольку птицы должны быть в равных условиях, то BE = CE, откуда 
AB2 + BE2 = CD2 + CE2 

Из условия задачи мы знаем, что AB = 4, а CD = 6 (или наоборот, что не имеет значения), тогда 
BE2 + 42 = CE2 + 62 
BE2 + 16 = CE2 + 36 

Поскольку, по условию задачи CE + BE = 10, то 
BE = 10 - CE 
тогда 

( 10 - CE )2 + 16 = CE2 + 36 
100 - 20CE + CE2 + 16 = CE2 + 36 
80 = 20CE 
CE = 4 

Откуда BE = 10 - 4 = 6 

Исходя из этого, поскольку 
AB2 + BE2 = AE2 
42 + 62 = AE2 
AE2 = 52 
AE = 2√13 

Таким образом, расстояние между сыром и воронами 2√13 м 

Ответ: AE = 2√13 м
Вопрос: Оптовая отпускная цена составила 10000 руб., издержки обращения посредника равны 700 руб. на единицу товара, планируемая посредником рентабельность составляет 50 %, налог на добавленную стоимость для посредника – 16,5 %. определить оптовую цену закупки.
Категория: экономические
Ответы:
Оптовые цены закупки включают посреднические надбавки (скидки). Возможны два варианта расчета оптовой цены закупки. 
По первому варианту она определяется как разница между ценой реализации продукции посредником потребителю (предприятию-потребителю, другому посреднику, торговой организации) и ценой, по которой товар был куплен у поставщика (изготовителя, посредника). 
По второму варианту оптовая цена закупки рассчитывается как сумма элементов, ее составляющих. 
Сначала определим прибыль посредника: 
Ппоср = 700 х 0,5 = 350 руб. 
Учитывая, что в надбавке налог на добавленную стоимость составляет 16,5 %, а издержки обращения с прибылью соответственно 83,5 % (из 100 % вычитаются 16,5 %), то величина посреднической надбавки равна: 
Н = 700+350/83,5*100=1257,5
Тогда минимальная оптовая цена закупки представляет собой оптовую отпускную цену, увеличенную на величину посреднической надбавки: 
Цотпуск = 10000 + 1257,5 = 11257,5 руб. 
Ответ: минимальная оптовая цена закупки составит 11257,5 руб.
Вопрос: Катет прямоугольного треугольника равен 8 см,а прилежащий к нему угол 60 градусов. Расстояние от точки пространства до всех вершин треугольника равно по 10 см.Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Прямоугольный треугольник, с перпендикуляром, являющимся вершиной  пирамиды

Пусть AC = 8, ∠CAB = 60°

Исходя из того, что, что расстояние от точки пространства К до вершин треугольника одинаковое, то вершина К будет проецироваться в центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности. Таким образом, решение задачи сводится к тому, чтобы найти высоту перпендикуляра, проведенного из центра описанной окружности.

Формула радиуса описанной окружности R = a / 2sinα

откуда 
R = AC / ( 2 sin ∠ABC ) 
Поскольку треугольник прямоугольный, а один из углов (прилежащий) известен, то противолежащий угол будет равен: 
∠ABC = 180° - 90° - 60°  = 30° 

R = 8 / ( 2 sin 30 ° ) = 8 см

Теперь найдем высоту получившегося прямоугольного треугольника AOK

OK = √ (102 - 82 ) = √36 = 6

Ответ: 6 см
Вопрос: Даны подобные треугольники: 
1)АВС и KLM  
АС = 17 см, АВ = 9 см, ВС = 10 см, ML = 7,5 см, LK = 6,75 см, MK = 12,75 см 
2)АВС и МКС 
АВ = 4 см, АС = 6см, ВС = 5см, МС = 3 см, СК = 2,5 см, МК = 2 см 
Составьте отношение их сходственных сторон.Определите коэффициент подобия.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку треугольники по условию задачи подобны, то для нахождения сходственных сторон выстроим их по возрастанию, так как у подобного треугольника стороны также будут иметь соответствующие размеры, умноженные на коэффициент подобия 
1)  АВ=9 см;  ВС=10 см;   АС=17 см; и   LK=6,75 см;   ML=7,5 см;   MK=12,75 см 
2)  АВ = 4 см;  ВС = 5см;  АС = 6см; и  МК = 2 см;  СК = 2,5 см; МС = 3 см

Теперь вычислим соотношение двух наименьших сторон, оно будет точно таким же, как двух наибольших или средних по величине сторон. Это и есть коэффициент подобия данных треугольников.

1) AB / LK = 9 / 6,75 = 1 1/3  Внимание! Переведите десятичные дроби в простые, чтобы получить верный коэффициент подобия. AB/ LK = BC / ML  = AC / MK = 1 1/3 
2) AB / MK = 4 / 2 = 2, AB / MK = BC / CK = AC / MC = 2
Вопрос: В треугольнике ABC угол A вдвое больше угла B, а длины противолежащих этим углам сторон соответственно равны 12 и 8. Найти третью сторону
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для угла А построим биссектрису на противоположную сторону BC. Пусть она пересечет противоположную сторону в точке К. 

Исходя из того, что AK -  биссектриса, углы ABC и KAC - равны. Поскольку угол С у них общий, то и третий угол этих треугольников является одинаковым. Таким образом, треугольники являются подобными по трем углам. 

Исходя из того, что треугольники ABC и AKC подобны: 
AC : BC = KC : AC = AK : AB 

AC : BC = KC : AC 
8 / 12 = KC / 8 
KC = 64 / 12 = 16 / 3 

Поскольку угол AKB = ABK (BK - биссектрисса, следовательно - треугольник AKB равнобедренный) 
Откуда AK = BK 

Учтем, что BK = AC - KC, тогда 
AK = BK = 12 - 16 / 3 

Теперь вернемся к свойствам подобных треугольников 
KC : AC = AK : AB 
и подставим известные значения 
(16 / 3 ) / 8 = ( 12 - 16 / 3 ) / AB 
AB =  (AK * AC) / KC = 10 

Ответ: 10 см
Вопрос: Треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Соотношение сторон теругольников 3:4 . Площадь одного из них больше площади другого на 14 см2. Найдите площади треугольников.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение

Для решения данной задачи будем руководствоваться основным свойством подобия треугольников - все размеры одного теругольника подобны размерам другого. Сначала опустим на сторону а каждого треугольника высоту h. Таким образом площадь первого треугольника будет выражаться формулой S1=1/2ah, а площадь второго треугольника формулой S2=1/2*3/4a*3/4h. Таким образом, можно определить соотношение площадей треугольников:

S1/S2 = 1/2 ah / ( 1/2 * 9/16 ah)

S1/S2 = ah / ( 9/16 ah)

S1/S2 = 16/9

Выше перечисленные преобразования мы могли бы не проводить, если нам известна теорема: "площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон"

Выразим площадь одного треугольника через площадь другого:

S1=16S2/9

По условию задачи S1-S2=14, таким образом

16S2/9-S2=14

7/9S2=14

S2=18, следовательно S1 = 14+18=32

Ответ: 18 и 32
Вопрос: Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение 

Начало решения. 

Из условия задачи видно, что у нас получились треугольники EAD и EBC. Поскольку оба треугольника имеют общий угол E, а основания трапеции, являющиеся параллельными, согласно теореме Фалеса, отсекают на сторонах AE и DE пропорциональные отрезки отрезки, то треугольники EAD и EBC являются подобными. 

Способ 1. 

Опустим из вершины E высоту на основание AD. Она же будет высотой для основания BC, поскольку основания трапеции параллельны. Обозначим высоту для треугольника EAD как h1, а для треугольника EBC как h2. 

Таким образом: 
Площадь треугольника EAD будет равна SEAD=1/2*AD*h1. 
Площадь треугольника EBC будет равна SEBC=1/2*BC*h2. 

Поскольку треугольники подобны, то все стороны относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия. Поскольку основания трапеции относятся дрцг к другу как 5:7, то и все остальные стороны относятся друг к другу с тем же соотношением. Из этого следует: 
BC / AD = 5 / 7 
BC = 5AD / 7 

аналогично: 
h2 / h1 = 5 / 7 
h2  = 5h1 / 7 

Таким образом: 
SEBC=1/2*BC*h2. 
Подставим значения сторон меньшего подобного треугольника через значения сторон большего подобного треугольника: 
SEBC=1/2*(5AD / 7)*(5h1 / 7) 
SEBC=1/2*AD*h1*25 / 49 

Заметим, что по условию задачи площадь получившегося треугольника EAD равна 98 сантиметрам, одновременно SEAD=1/2*AD*h1. 
Подставим вместо указанного выражения его значение: 
SEBC = 98*25/49 
SEBC = 50 см2 

Способ 2. 

Если нам известна теорема: "площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон", то площади подобных треугольников AED и BEC будут соотноситься как 52 : 72. То есть: 
SEBC / SEAD = 52 / 72 
SEBC / SEAD = 25 / 49 
SEBC = SEAD * 25 / 49 

Поскольку площадь треугольника EAD известна нам по условию и составляет 98 см2 , то 
SEBC = 98 * 25 / 49 
SEBC = 50 см2 

Продолжение решения. 

Площадь трапеции ABCD равна разности площадей треугольников AED и BEC. Таким образом, площадь трапеции равна 98 - 50 = 48 см2. 

Ответ: 48 см2.