nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Две фирмы купили одинаковые механизмы, стоимость которых 500 у. е., срок службы 10 лет. Через 7 лет эти механизмы стали дешевле на 40 %. Сравните сумму потерь от морального износа у двух фирм, при условии, что вторая фирма купила механизмы на 2 года раньше.
Категория: экономические
Ответы:
Моральный износ у первой фирмы составит: (500-500:10*7) - (500 – 0,4*500):10*3= 60 у. е. Моральный износ у второй фирмы равен: (500-500:10*9) – (500-0,4*500):10*1= 20 у. е. 
Ответ: потери второй фирмы на 40 у. е. меньше.
Вопрос: Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:
1) 180°-30° =150°;
2) 180°-45° =135°;
3) 180°-60° =120°;
4) 180°-90° = 90°.
Ответ: 150°; 135°; 120°; 90°.
Вопрос: Могут ли два смежных угла быть оба
1) острыми,
2) тупыми;
3) прямыми? Обоснуйте ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:
1) Угол, меньший 90°, называется острым. Сумма двух острых углов меньше 180°, значит, оба смежных угла не могут быть острыми.
2) Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым. Сумма двух тупых углов больше 180°, значит, оба смежных угла не могут быть тупыми.
3) Угол, равный 90°, называется прямым. Сумма двух прямых углов равна 180°, значит, оба смежных угла могут быть прямыми (заметим, что если один из смежных углов прямой, то другой обязательно будет прямым).
Ответ: 1) не могут;
2) не могут;
3) могут.
Вопрос: Найдите смежные углы, если
1) один из них на 30° больше другого;
2) их разность равна 40°;
3) один из них в 3 раза меньше другого;
4) они равны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
1) Пусть градусная мера одного угла х, тогда другого — х + 30. Составим уравнение:
х + х + 30 = 180, 2х=150, х = 75
х +30 = 75+30 = 105. Получаем, что смежные углы равны 75° и 105°.
2) Пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — х + 40. Составим уравнение:
х + х + 40 = 180, 2х = 140, х = 70;
х + 40 = 70 + 40 = 110. Получаем, что смежные углы равны 70° и 110°.
3) Пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — Зх. Составим уравнение:
х + Зх=180, 4х=180, х = 45;
Зх = 3-45 = 135. Получаем, что смежные углы равны 45° и 135°.
4) Получаем, что градусная мера каждого из углов равна 180 : 2 = 90, следовательно, смежные углы равны по 90°.
Ответ: 1)75° и 105°;
2) 70° и 110°; 3)45° и 135°; 4) 90° и 90°.
Вопрос: Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся
как 1) 2:3;
2) 3:7;
3) 11:25;
4) 22:23.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
1) Пусть градусная мера одного угла 2х, тогда второго — Зх. Составим уравнение:
2х + Зх=180, 5х=180, х = 36;
2х = 2 • 36 = 72; Зх = 3 -36 = 108. Получаем, что смежные углы равны 72° и 108°.
2) Пусть градусная мера одного угла Зх, тогда второго — 7х. Составим уравнение:
Зх + 7х=180,
10х=180,
х=18;
Зх = 3- 18 = 54;7х = 7-18 = 126. Получаем, что смежные углы равны 54° и 126°.
3) Пусть градусная мера одного угла 11х, тогда второго — 25х. Составим уравнение:
11х + 25х=180, 36х=180, х = 5;
11х=11 -5 = 55; 25х = 25-5 = 125. Получаем, что смежные углы равны 55° и 125°.
4) Пусть градусная мера одного угла 22х, тогда второго — 23х. Составим уравнение:
22х + 23х=180, 45х=180, х = 4;
22х = 22-4 = 88; 23х = 23 • 4 = 92. Получаем, что смежные углы равны 88° и 92°.
Ответ: 1)72° и 108°;
2) 54° и 126°;
3)55° и 125°; 4) 88° и 92°.
Вопрос: Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть /ЛОВ = 30° 
ZAOB = ZCOD, как вертикальные углы, значит, ZCOD = 30°.
ZAOB и ZBOC — смежные углы. Сумма смежных углов равна 180°. Значит, ZBOC = 180° - ZAOB = 180° - 30° = 150°.
ZBOC и ZAOD — вертикальные углы, а следовательно они равны. Значит, ZAOD = 150°.
Ответ: 30°, 150°, 150°.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: 11. Задолженность фирмы поставщикам на конец периода – 44420д.е., при задолженности на начало того же периода – 150000д.е., за данный период были совершены закупки на сумму – 481000д.е., таким образом. Определить  выплаты по счетам за период  586 580
481 000 – 44 420 + 150 000 = 586 580 (*ответ к тесту*) 

12. Чистая выручка с продаж предприятия за отчетный период составила – 450000д.е., производственная себестоимость продукции, реализованной за тот же период – 115000д.е., расходы на реализацию – 150000д.е., общие административные расходы – 100000д.е., таким образом, прибыль предприятия от продаж в данном периоде составит– ?    85000 (*ответ к тесту*) 

13. Плановое значение удельных переменных затрат – 2д.е./шт., плановая величина постоянных затрат – 300д.е., плановый объем выпуска – 400шт., фактический выпуск – 500шт., фактические затраты – 1200д.е., таким образом, правильно составленный отчет покажет благоприятные отклонения затрат на сумму – ?  100 (*ответ к тесту*) 

План: 300 +800  = 1100
План. 400 
Факт : Пост+Перем=1200
Факт 500

14. Бюджет, основанный  на добавлении к бюджетному периоду одного месяца, как только истекает текущий, называется непрерывным (*ответ к тесту*) 

15. В состав операционного бюджета предприятия входит: бюджет прямых затрат на оплату труда (*ответ к тесту*) 

16. Прогнозный отчет о движении денежных средств разрабатывается непосредственно на 
основе: прогнозного отчета о прибылях и убытках (*ответ к тесту*)
Категория: экономические
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены по каждому вопросу
Вопрос: Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из рисунка:
ZBOC и ZCOD — смежные углы;
ZBOC и ZAOB — смежные углы.
ZCOD и ZAOB — вертикальные углы, которые равны между собой и по условию в сумме составляют 100°. Значит, каждый из этих углов равен 100°: 2 = 50°.
ZAOB + ZBOC =180° (по теореме о сумме смежных углов). 
Следовательно, ZBOC = 180° - 50° = 130°. Ответ: 130°.
Вопрос: Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Из рисунка:
Z1 и Z3 — вертикальные, следовательно, они равны.
Z2 и Z4 — вертикальные, следовательно, они равны.
Z1 и Z2 — смежные углы, Zl + Z2 = 180°.
Z4 и Z3 — смежные углы, Z3 + Z4 = 180°. Получаем, что
Zl+Z2 + Z3+Z4 = 360°. 
Пусть градусная мера первого угла х, тогда второго — 4х. Составим уравнение:
х + 4х + х + 4х = 360, 10х = 360, х = 36;
4х = 36-4 = 144. Имеем: Z1 = 36°; Z2 = 144°; Z3 = 36°; Z4 = 144°.
Ответ: 36°; 144°.
Вопрос: Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Z1 и Z3 — вертикальные углы, следовательно, они равны. Z2 и Z4 — вертикальные углы, следовательно, они равны. Z1 и Z2 — смежные углы, Zl + Z2 = 180°. Z3 и Z4 — смежные углы, Z3 + Z4 = 180°.
Получаем, что Zl + Z2 + Z3 + Z4 = 180° + 180° = 360°. Пусть градусная мера второго угла х, тогда первого — х + 50. Составим уравнение:
х + х + 50х + х + х + 50 = 360, 4х + 100 = 360, 4х = 260, х = 65. Итак, Z2 = 65°, Z4 = 65°, Z1 = 115°, Z2 = 115°.
Ответ: 65°, 115°.
Вопрос: Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
При пересечении двух прямых получается две пары смежных углов, сумма каждой 180°, значит, сумма всех четырех углов 360°. Если сумма трех из этих углов 270°, то четвертый угол равен 360° - 270° = 90°. Из рисунка: Z1 = 90°.
Z1 и Z3 — вертикальные, значит, Zl = Z3 = 90°.
Z1 и Z2 — смежные, следовательно, Zl + Z2 = 180°, Z2
90°.
Z2 и Z4 — вертикальные, следовательно, Z2 = Z4 = 90°.
При пересечении двух прямых получились углы 90°, 90°, 90°,
90°.
Ответ:
все углы прямые.
Вопрос: Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть градусная мера каждого из трех равных углов равна х. Сумма четырех углов при пересечении двух прямых равна 360°. Из рисунка: Zl + Z2 + Z3 + Z4 = 360°, x + x + x + Z4 = 360°, но Z4 и Z2 — вертикальные, значит, Z2 = Z4, поэтому его градусная мера также равна х. 4х = 360, х = 90. При пересечении двух прямых получились прямые углы, значит, они пересекаются под прямым углом, следовательно, они перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
Вопрос: Фирма установила 50 станков, стоимостью по 20000 у. е., срок службы 10 лет, но через 8 лет они морально устарели. Стоимость новых станков, появившихся на рынке, осталась без изменения, а производительность повысилась в 2 раза. Определите сумму потерь от морального износа.
Категория: экономические
Ответы:
Амортизация, приходящаяся на 1 единицу продукции, входит в издержки производства, чем больше производится товаров, тем меньше издержки. Моральный износ второго вила можно определить, сопоставив издержки на старых и новых станках: 
50*20000+10*2-50*20000+10*2+2/50*20000+10*100=50
Чтобы получить сумму потерь, надо остаточную стоимость умножить на процент морального износа : 50*20000:10*2 *50 % :100 % = 50000 у. е. 
Ответ: потери равны 50000 у. е.
Вопрос: Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного
1)30°;
2) 52°;
3) 172°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
По определению биссектриса делит угол пополам, значит, угол между биссектрисой и стороной угла равен половине данного угла:
1) 30°: 2 = 15°;
2) 52°: 2 = 26°;
3) 172°: 2 = 86°.
Ответ: 1) 15°;
2) 26°;
3) 86°.
Вопрос: Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный
1) 60°;
2) 75°;
3) 89°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
По определению биссектриса делит угол пополам, следовательно, искомый угол равен удвоенному углу между биссектрисой и стороной искомого угла.
1) 60° • 2 = 120°;
2) 75° • 2 = 150°;
3) 89° • 2 = 178°.
Ответ: 1) 120°;
2) 150°;
3) 178°.
Вопрос: Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть луч С образует равные острые углы со сторонами аиЪ. 
Проведем отрезок АВ, как показано на рисунке. Он пересекает прямую с либо на луче С, либо на его дополнении, но его дополнение он пересекать не может, т.к. в этом случае дополнение луча С являлось бы биссектрисой, но по определению биссектриса не может образовывать со сторонами угла тупы углы.
Таким образом, луч С проходит между сторронами угла.
По определению биссектрисы луч С является биссектрисой, что и требовалось доказать.
Вопрос: Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
ААОВ и Z.BOC — смежные, и их сумма равна 180° (по свойству смежных углов).
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть ОК— биссектриса /1АОВ; OD — биссектриса Z.BOC. Выведем обозначения:
ZBOD = x, aZAOK = y.
Тогда 2х + 2у=180°,
х + у = 90°.
ZKOD = x + у = 90°.
Ответ:    
90°.
Вопрос: Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Z1 и Z3; Z1 и Z4 — вертикальные. Проведем биссектрисы Z1; Z2; Z3 и Z4. 
Z1 и Z2 — смежные. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90° (см. предыдущую задачу), т.е. ZKOM= ZMON = ZNOF = ZFOK = 90°. Углы ZKOM, ZMON, ZNOF и ZFOK имеют общие стороны и общую вершину.
Таким образом, KN _L MF.
Вопрос: Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного
1) 50°;
2) 90°;
3) 150°.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть угол КОС — данный, ОВ — его биссектриса.
ZAOK+ZKOC = 180° (т.к. они смежные). Т.к. биссектриса по определению делит данный угол пополам, то /ЛОВ = 180° — ZKOC : 2.
1) 180°-50°:2 = 155°;
2) 180°-90°:2 = 135°;
3) 180°-150°: 2 = 105°.
Ответ:
1) 155°;
2) 135°;
3) 105°.
Вопрос: Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч OD в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ. Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше (больше) угла А ОВ? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Так как прямая 0D пересекает сторону АС треугольника ABC в точке О, то она пересекает либо сторону АВ, либо сторону ВС (по теореме 1.1). 
 Т.к. дополнительный луч к лучу OD лежит в разных полуплоскостях с отрезками АВ и ВС, точка пересечения прямой OD с одним из этих отрезков лежит на луче OD.
Если ZAOD больше ZAOB, то луч OD будет проходить между сторонами ZBOC и будет пересекать отрезов ВС; а в случае, когда угол AOD меньше угла АОВ, луч OD будет пересекать отрезок АВ.
Вопрос: Из вершины развернутого угла (аах) в одну полуплоскость проведены лучи Ъ и с. Чему равен угол (be), если
1) Z(ab) = 50°; Z(ac) = 70°;
2) Z(axb) = 50°; Z(ac) = 70°;
3) Z(ab) = 60°; Z(axc) = 30°?
Категория: школьный раздел
Ответы:
По свойству измерения углов
Z(bc) = Z(ac) - Z(ab) = 70° - 50° = 20°. 2) 
Т.к. Z(aa{) = 180°, то по свойству измерения углов
Z{aax) = Z(ac) + Z(cb) + Z{bax)
Zibc) = Z(aax) - Z(ac) - Z{bax) = 180° - 70° - 50° = 60°.
Z(aax) = Z(ab) + Z(bc) + Z(cax) Z(bc)= 180° -60° -30° = 90°.
Ответ:
1) 20°;
2) 60°;
3) 90°.
Вопрос: Из вершины развернутого угла (аа\) проведены лучи b и с в одну полуплоскость. Известно, что Z(ab) = 60°, Z(ac) = 30°. Найдите углы {аф), (ciic) и (be).
Категория: школьный раздел
Ответы:
Z(aai)=180°.
Z(ab) + Z(ct\b) = 180° (т.к. они смежные). Z(alb)= 180° -60° = 120°.
Z(ac) + Z(ci\c) = 180° (т.к. они смежные). Z{axc) = 180° - 30° = 150°, Z(ab) = Z(ac) + Z(cb). Z(cb) = Z(ab) - Z(ac) = 60° - 30° = 30°. 
Ответ: 120°; 150°; 30°.
Вопрос: От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и BAD. Найдите угол CAD, если
1) ZBAC = 80°, ZBAD = 170°;
2) ZBAC = 87°, ZBAD = 98°;
3) ZBAC = 140°, ZBAD = 30°;
4) ZBAC = 60°, ZBAD = 70°.
ZG4£> = ZBAC + ZBAD
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) ZG4£> = 80° + 170° = 250°, т.к. 250° > 180°, то ZCAD = 360°-250° = 110°;
2) ZCAD = 87° + 98° = 185°, т.к. 185° > 180°, то ZCAD = 360°-185° = 175°; 
3) ZCAD = 140° + 30° = 170°;
4) ZCAD = 60° + 70° = 130°.
Ответ: 1) 250°;
2) 175°;
3) 170°;
4) 130°.
Вопрос: Объем спроса задан формулой Qd = 4700 – 400Р, объем предложения определяется по формуле Qs = 2000 + 500Р. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж данного товара. Что произойдет на рынке, если государство установит цену на продукцию в размере 2,5 у. е.
Категория: экономические
Ответы:
Технология решения задачи: сначала надо определить равновесную цену продукции, исходя из уравнения Qd = Qs, 4700 – 400Р =2000 + 500Р, отсюда Р равновесная равна 3 у. е. При этой цене объем продаж будет равен 3500 единиц. Если государство установит предельную цену в размере 2,5 у. е., то спрос увеличится до 3700, а предложение упадет 3250, следовательно, на рынке возникнет дефицит: 3700 – 3250 = 450 ед. 
Ответ: равновесная цена 3 у. е., равновесный объем продаж 3500. При цене 2,5 у. е. возникнет дефицит в размере 450 ед.
Вопрос: Даны три луча а, Ъ, с с общей начальной точкой. Известно, что Z(ab) = Z(ac) = Z(bc) = 120°.
1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?
2) Может ли прямая пересекать все три данных луча? Объясните ответ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Пусть один из этих лучей проходит между сторонами угла, образованного двумя другими лучами. Тогда он образует со сторонами этого угла углы, равные 120°, значит, этот луч является биссектрисой угла в 240°, а он, по условию, равен 120°. Противоречие. Таким образом, ни один из этих лучей не может проходить между сторонами угла, образованного двумя другими лучами. 
2) Пусть прямая d не проходит через общую точку лучей а, Ъ, с и пересекает их в точках А, В, С. Одна из этих точек лежит между двумя другими точками. Предположим, это точка С. тогда луч С пересекает отрезок АВ, а т.к. отрезок АВ находится внутри угла Z(ab), то это означает, что луч С проходит между сторонами Z(ab), но этопротиворечит доказанному в п. 1 данной задачи. Таким образом, не существует прямой, пересекающей все три луча.
Вопрос: Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек А и В.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Возьмем на прямой произвольную точку X и соединим ее с точками А и В.
Рассмотрим полученные треугольники: В ААОХ= АВОХАО = ОВ, т.к. О — середина отрезками;
ZAOX= ZBOX= 90°, т.к. АВ 1X0;
ОХ— общая сторона. 
Таким образом, ААОХ = АВОХ по 1-му признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда АХ=ВХ.
Что и требовалось доказать.
Вопрос: На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне А1В1 треугольника А1В1С1 взята точка D1. Известно, что треугольники АDC и A1D1C1 равны и отрезки DB и D1B1 равны. Докажите равенство треугольников ABC и A1B1C1
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Т.к. AADC = AAlDlCh то AC =A1CuAD=A1Dh ZA=ZAh
AB = AD + DB, AXBX =AXDX+ DXBU т.к. АВ =AXBUDB = DXBU то AD = AA
В ААВСи AA^Q:
ZA = ZAX AC = AXCU т.к. AADC = А АфхСи АВ = AXBU следовательно, ААВС = АА\В\С\ по 1-му признаку равенства треугольников.
Вопрос: Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Измеряют расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = АС и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объясните почему.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ZACB = ZECD (т.к. они вертикальные), ЕС = СВ, АС = CD (по построению), то ААСВ = AECD (по 1-му признаку ора-венства треугольников). 
В равных треугольниках против равных углов лежат равные сторроны. Таким образом, АВ = ED.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO n ВО = СО.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. СО = ВО, ZACO = ZDBO, a ZAOC = ZDOB (как вертикальные углы), то ААСО = ADBO по 2-му признаку равенства треугольников.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Отрезки А С и BD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников ВАО и DCO, если известно, что угол ВАО равен углу DCO пАО = СО.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ААВО и ADCO:
АО = ОС (из условия)
ZBAO = ZDCO (из условия)
ZAOB = ZDOC (как вертикальные углы).
Таким образом, ААВО = ZDCO по 2-му признаку равенства треугольников.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Сделаем дополнительные построения:
Продолжим AD до точки К, так, что DK = AD.
Продолжим A\D\ до точки К\, так, что D\K\ =A\D\.
В AADC и ADBK:
AD = DK
AADC = /-BDK (как вертикальные)
BD = DC (т.к. AD — медиана)
Таким образом, AADC = ADBK по 1-му признаку, и ZDAC = ZDKB
АС = ВК.
Аналогично AAXDXCX = ADXBXKX и ZDXAXCX = ZDXKXBX
АХСХ=ВХКХ.
Ъ ААВКи ААХВХКХ:
АК = АХКХ (т.к.AK=2AD = 2AlDl=AlKl)
ZBAK = ZB1A1K1 (по условию)
ZBKA = ZBxKiAi (т.к. ZBKA = ZKAC = ZKXAXCX = ZBXKXAX), (ZKAC = ZK\A\C\ no условию)
Таким образом, ААВК = hA\B\K\ по 2-му признаку равенства треугольников, и АВ =AiBi,w ВК = BxKi =A\C\ = АС.
Т.к. в ААВС и AA^Q
BA=BlAl
АС = АХСХ
ZBAC = ZBXAXCX, то ААВС = ДЛ^Сь А^В^ по 1-му признаку равенства треугольников.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDQ и EDF и отмеряют FD=DE и DQ=BD. Затем идут по прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HQ равно искомому расстоянию. Докажите это
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

В AFDQ и ABDE: FD = DE, BD = DQ (по условию)
ZFDQ = ZBDE (как вертикальные).
Таким образом, AFDQ = ABDE (по 1-му признаку равенства треугольников).
Отсюда ZDFQ = ZDEB.
В AEDA и AFDH:
FD = DE
ZDFQ = ZDEB
ZFDH = ZADE (как вертикальные)
Таким образом, AEDA = AFDH по 2-му признаку равенства треугольников.
Откуда: AD = DH, ZEAD = ZDHF.
Рассмотрим AABD и AQHD:
AD = DH
ZEAD = ZFHD
ZADB = ZQDH (как вертикальные) 
 '' IF о H
Таким образом, AABD = AQHD по 2-му признаку равенства треугольников.
Откуда АВ = QH, что и требовалось доказать.
Вопрос: Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ААВС — равнобедренный, то АВ = ВС и Р = TAB +AC. \=2АВ + 0,4
TAB = 0,6
ЛЯ = 0,3.
АВ = ВС = 03м. 
Ответ: 0,3 м.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Т.к. ААВС — равнобедренный, то АВ = ВС и Р = АВ + ВС + АС = 2АВ+АС,АС=Р-2АВ ЛС = 7,5м-2-2м = 3,5м. 
Ответ: 3,5 м.
Вопрос: Спрос и предложение товара Х описываются уравнениями: Qd = 1100 – 30Р; Qs = 700 + 20Р. Государство установило фиксированную цену на товар Х в размере 10 у. е. Определите, к каким последствиям это приведет на рынке товара Х?
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяется равновесие на рынке товара Х. Оно характеризуется равновесной ценой 8 у. е. (1100 – 30Р = 700 + 20Р) и равновесным объемом продаж, равным 860 ед. Введение фиксированной цены приведет к изменению спроса и предложения товара: 
Qd = 1100 – 30 * 10 = 800; Qs = 700 +20 * 10 = 900. Следовательно, на рынке появляется излишек товара Х в размере: 900 – 800 = 100 ед. 
Ответ: спрос уменьшается на 60 ед., а предложение увеличивается на 40 ед., в результате возникает излишек товара в размере 100 ед.
Вопрос: Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание:
1) меньше боковой стороны на 3 м;
2) больше боковой стороны на 3 м.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Пусть боковая сторона — хм, тогда основание — (х- 3). Тогда:
Р = х + х + (х - 3), Р = Зх - 3, 15,6 = 3х-3, Зх=18,6,
х = 6,2 м.
2) Пусть боковая сторона — хм, тогда основание — (х + 3) м. Тогда:
Р = х + х + (х + 3), Р = 3х + 3, 15,6 = 3х + 3, Зх=12,6
х = 4,2 м.
Ответ: 1) 6,2 м; 6,2 м; 3,2 м;
2) 4,2 м; 4,2 м; 7,2 м.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: От вершины С равнобедренного треугольника ABC с основанием AB отложены равные отрезки: CA1 на стороне CA и CB1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников 
1) САВ1 и СВА1; 
2) ABB1 и BAA1
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

1) В АСАВг и АСВАг: АС = ВС, т.к. ААВС — равнобедрен-ный А\С = СВ\ (по условию).
Z.C — общий, таким образом, Ь.САВ\ = Ь.СВА\ по 1-му признаку равенства треугольников.
2) В AABBi и
 {AAX = AC-CAX =AB-AB1
АВ — общая сторона.
ZCAB = ZCBA (т.к. ABC — равнобедренный, а у равнобедренных треугольников углы при основании равны).
Таким образом, ААВВ\ = АВАА\ по 1-му признаку равенства треугольников.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А1 и В1. Известно, что АВ1=ВА1. Докажите, что треугольники АВ1С и ВА1С равны
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

В ААВгС и АВАгС:
АС = ВС (т.к. ААВС — равнобедренный)
Z.CAB = Z.CBA (т.к. ААВС — равнобедренный).
АВ\ = ВА\ (из условия)
Таким образом, AABiC = ABAiC по 1-му признаку равенства треугольников.
Вопрос: Треугольники АСС1 и ВСС1 равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС1. Докажите, что треугольники АВС и АВС1 равнобедренные
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Т.к. ААСС, = АВСС,, то: АС = ВС^ АС, = ВС,. 
Таким образом, ААВС и ААВС\ равнобедренные по определению.
Что и требовалось доказать.
Вопрос: На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки С\ и С2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если треугольники АВС\ иВАС2 равны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

Т.к. AACiB = ААС2В, то /-А = АВ. Следовательно, ААВС равнобедренный. 
Что и требовалось доказать.
Вопрос: 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

1)
В АААгВг п АВгСгС:
АА\ = СС\ как половины равных сторон (т.к. АА\ =АВ : 2 = ВС : 2 = ССХ)
АА = АС, т.к. ААВС — равнобедренный и АА и АС — углы при основании.
Таким образом, ААА\В\ = ASjCjC по 1-му признаку равенства треугольников.
ОтсюдаЛ^ =В\С\.
Таким образом, АА\В\С\ — равнобедренный (по определению).
2)
В АААгВг, ААгВСг,
АА = АВ = АС (т.к. ААВС — равносторонний). АА\ = А\В = ВС\ = С\С = СВ\ = В\А (как половины равных сто-рон).
Таким образом, ЬЛА\В = АА\ВС = АСС\В\ по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда А \С\ = С\В\ =А\В\.
Таким образом, АА\В\С\ равносторонний по определению.
Вопрос: Докажите, что у равнобедренного треугольника:
1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

1) ZBAK = ZKAC = ZOCA = ZOCK, т.к. ZA = ZC, и СО и КА — биссектриссы.
В ААКВ и АСОВ: АВ = ВС (т.к. ААВС — равнобедренный)
ZBAK = ZBCO (т.к. АК и СО — биссиктриссы равных углов).
ZB — общий. Таким образом, ААКВ = АСОВ по 2-му признаку равенства треугольников.
Откуда АК = СО, что и требовалось доказать.
2) AQ = QB = BF = FC, т.к. AF и CQ — медианы.
В AAFB и ACQB:
АВ = ВС (т.к. ААВС — равнобедренный)
QB = BF
ZB — общий. Таким образом, AAFB = ACQB по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда AF= CQ.
Вопрос: Докажите, что у равных треугольников ABC и А1В1 C\:
1) медианы, проведенные из вершин А иА\, равны;
2) биссектрисы, проведенные из вершин А иА\, равны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
решение к задаче приложено к ответу

1) 
АС = ZCU ZA = ZAU ZB = ZBX.
ВО = ОС = ВХОХ = ОХСХ, т.к. АО и АХОХ — медианы, и ВС = BiQ.
В ААОСи MlOlCl:AC = AlCl, ОС = OXCU ZC = ZCX.
Таким образом, ААОС = АА\О\С\ по 1-му признаку, откуда АО=А1О1.
2)
Т.к. ААВС = /SA\D\^\, то. ль —^1^1, ^л — zlAi, ZC = ZC\.
ZBAK = ZKAC = ZBXAXKX = ZKXAXCX, т.к. АК и АХКХ — биссектрисы равных углов.
В МКС и ААхКхСъ АС = AXCU Z.C = Z.CU ZKAC = Z_KXAXCX. Таким образом, ААКС = AAiKiCi по 2-му признакуравенства треугольников.
Откуда АК = А1К1.
Вопрос: Точки А С, В, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник ABE равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ААВЕ — равнобедренный, и (ZCAE и ZEAB), (ZEBA и ZEBD) — смежные, то ZCAE = 180° - ZEAB = 180° - ZEBA = ZEBD.
BACAEuAEBD:
AE = BE (т.к. ABE — равнобедренный)
ZCAE = ZEBD
CA = BD (т.к. CA = CO-AO = OD-OB = BD)
Таким образом, АСАЕ = AEBD, следовательно, ACED — равнобедренный, (т.к. СЕ = ZED как лежащие против равных углов в равных треугольниках), что и требовалось доказать.
Вопрос: Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Пусть AD = A\D\ — равные биссектрисы, ZA = ZAX, AC = AiCi — равные стороны.
В AADC = MAQ: ZDAC = ADXAXCX (т.к. ZDAC половина угла ZBAC ZDAC = ZBAC : 2 = ZBXAXCX : 2 = ZD^Q).
AD = Аф\, AC = A\C\. (по условию: AD = A\D\ — равные бис-сиктрисы, АС = А\С\ — равные прилежащие стороны). 
Таким образом, AADC = AA\DiC\ по 1-му признаку равенства треугольников, откуда Z.C = ZQ как лежащие против равных сторон в равных треугольниках)
BMBCuMlBlCl:AC = AlCl,ZA = ZAl (поусловию)
Z£ = Z£X.
Таким образом, ААВС = hA\B\C\ по 1-му признаку равенство треугольников, что и требовальсь доказать.
Вопрос: Спрос и предложение товара Y записываются уравнениями: Qd = 1450 – 100Р, Qs = 1000 + 50Р. Государство ввело цену на данный товар в размере 4 у. е. Определите, что от этого выиграли и что потеряли производители?
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяется равновесие на рынке товара Х. Оно характеризуется равновесной ценой 3 у. е. (1450 – 100Р = 1000 + 50Р) и равновесным объемом продаж, равным 1150 ед. Введение фиксированной цены приведет к изменению спроса и предложения товара: 
Qd = 1450 – 4 *100 = 1050; Qs = 1000 + 50 * 4 = 1200. Продаваться будет только 1050 ед., но по цене 4 у. е., поэтому предприятие получит больше выручки на 750: 1050 * 4 = 4200 (а раньше получало 1150 * 3 = 3450). В то же время часть продукции не продается: 1200 – 1050 = 150 ед. 
Ответ: 
выигрыш: рост выручки на 750 у. е., 
проигрыш: излишки товара на рынке в размере 150 ед.
Вопрос: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников: \)ABDvlCBD; 2)AMDuCMD.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ВМ — медиана равнобедренного треугольника, то она является и высотой и биссектрисой. Таким образом, ZAMD = ZDMV= 90°, ZABD = ZDBC, 
1) В AABD и ADBC: АВ = ВС (т.к. ААВС равнобедренный),
BD — общая.
ZABD = ZDBC (т.к. ВМ— биссектриса). Таким образом, AABD = ADBC по 1-му признаку равенства треугольников.
2) BAADMnAMDC: АМ=МС (т.к. ВМ— медиана)
DM— общая ZAMD = ZDMC = 90°
Таким образом, AADM = AMDC по 2-му катетам, что и требовалось доказать.
Вопрос: Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него
1) медиана BD является высотой;
2) высота BD является биссектрисой;
3) биссектриса BD является медианой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Если BD — медиана и высота, то AD = DC, ZADB = Z.CDB = 90°, BD — общая. AABD = ACBD по двум катетам.
Откуда АВ = ВС, таким образом, ААВС — равнобедренный.
2) Если BD — высота и биссектриса, то AABD = ADBC, ZADB = ZBDC, BD — общая. AABD = ACBD по 2катету и двум прилежащим углам.
Откуда АВ = ВС, таким образом, ААВС — равнобедренный.
3) Если BD — биссектриса и медиана: Продлим BD до точки В\, так, что BD = DB\. В AABD и ACDBX:
AD = DC (т.к. BD — медиана)
BD = DBx
ZADB = ZCDBi (из построения, как вертикальные).
Таким образом, AABD = ACDB\ по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда ZABD = ZCBXD, АВ = ВХС.
Аналогично AADB1 = ABDC.
ZABXD = ZDBC, ABX = ВС.
Т.к. ZABD = ZDBC (т.к. BD — биссектриса), то ZABD = ZDBC = ZABXD.
 — равнобедренный, т.к. ZABD = ZAB\D, 
Таким образом, АВ = АВХ; т.к. АВХ = ВС, то АВ = ВС. Следовательно, ААВС — равнобедренный по определению.
Вопрос: Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ААВС: ВО — медиана, а значит, и высота (ААВС — равнобедренный). Таким образом, ВО _1_ АС.
В AADC: DO — медиана, а значит, и высота (AADC — равнобедренный). Таким образом, DO _L АС.
Таким образом, к отрезку АС через точку О проведены два перпендикуляра. По теореме 2.3 через точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр, и притом единственный. Таким образом, медианы лежат на одной прямой.
Вопрос: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 м, а треугольника ЛШ) — 40 м.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Равс = АВ + ВС + АС
РАВС = 1АВ +АС (т.к. АВ = ВС) 50 = 2АВ+ АС.
25 = АВ + -АС,
PABD = AB + BD + AD = AB + BD + -AC (т.к. BD — медиана)
40 = 25 +BD AD = 40-25 = 15.
Ответ: 15 м.

решение задания по геометрии
Вопрос: Докажите, что у равнобедренного треугольника высота а, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Исходя из утверждения задачи № 29, выходит, что AABD = ADBC, таким образом, AD = DC как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов, следовательно, BD — медиана. в 
ZABD = ZDBC (следовательно, BD — биссектриса), что и требовалось доказать.
Вопрос: Треугольники ABC и АВC1 равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АСC1 и ВСC1.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В AACQ n ABCQ: AC = CB,
AC1 = C1B (т.к. AACB и AABC1 — равнобедренные) CC1 — общая.
Таким образом, AACC1 = ABCC1 (по 3-му признаку равенства треугольников).

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Точки Л, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ\ и АВЕ2 равны, то треугольники CDE\ и CDE2 тоже равны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
ВЕ1 = ВЕ2, ZABEx = ZABE2, т.к. МВЕ1 = ААВЕ2.(из условия) В АЕ1ВС и АЕ2ВС: ВС — общая
Е. 
ZExBC = ZE2BC (т.к. ZExBC = 180° - ZABEx = 180° - ZABE2 = ZE2BC) (смежные с рвными углами).
ВЕ1 = ВЕ2.(по условию)
Таким образом, АЕ1ВС = АЕ2ВС по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда Е1С = Е2С как лежащие против равных углов в равных треугольникахи ZBCEx = ZBCE2.
В ACDEx и ACDE2:
Е1С = Е2С,
ZE.CD = ZE2CD, т.к. ZEXCD = 180° - ZACEX = 180° - ZACE2 = ZE2CD (смежные с равными углами).
Таким образом, h.CDEl = ACDE2 по 1-му признаку равенства треугольников.
Вопрос: Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В MOD и АСОВ:
АО = ОВ, СО = OD (т.к. О — середина отрезков АВ и CD).
АСОВ = ZAOD (как вертикальные).
Таким образом, AAOD = АСОВ по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда AD = СВ (как лежащие против равных углов в равных треугольниках).
Аналогично АА ОС = ADOB и AC = DB.
В AACD и ABDC:
AD = СВ (из условия),
АС = DB (из условия),
CD — общая.
Таким образом, AACD = ABDC по 3-му признаку равенства треугольников.
Вопрос: Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
Категория: школьный раздел
Ответы:
BD = BXDX, т.к. BD = -BC = - BlCl = BXDX (по условию).
В AABD и AAXBXDX:
АВ = АХВХ, AD = AXDX, BD = BXDX, таким образом, AABD AAXBXDX по 3-му признаку равенства треугольников. Откуда AABD = M.XBXDX. 
В ААВСи ААХВХСХ: АВ=АХВХ
ВС = ВХСХ (по условию задачи)
ZABD = ZAXBXDX, таким образом, ААВС = ААХВХСХ по 1-му признаку равенства треугольников.
Вопрос: Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой угла CAD и луч CD — биссектрисой угла А СВ.
Категория: школьный раздел
Ответы:
BAACDn ABCD:
По условию: АС = CB, AD = DB, CD - общая.
Таким образом, AACD = ABCD (по 3-му признаку равенства треугольников), откуда ZACD = ZBCD, ZADC = ZCDB (как углы, лежащие в равных треугольниках против равных сторон).
Следовательно, CD — биссектриса ZACB.
Аналогично доказываем, что ААСВ = AADB и ZCBA = ZDBA, ZDAB = ZCAB. 
Таким образом, АВ — биссектриса ААСВ, что и требовальсь доказать.
Вопрос: Объем спроса задан формулой Qd = 4000 – 50Р, объем предложения определяется по формуле Qs = 3000 + 50Р. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж данного товара. Что произойдет на рынке, если государство установит налог на продажу в размере 2 у. е.?
Категория: экономические
Ответы:
Сначала надо определить параметры равновесного рынка. Для этого приравняем спрос и предложение товара: 4000 – 50Р = 3000 + 50Р. Равновесная цена равна 10 у. е., а равновесный объем – 3500 ед. Если государство введет налог, формулы спроса и предложения будут выглядеть так: Qd = 4000 – 50 Р покупателя; Qs = 3000 + 50Р продавца. При этом покупатель будет платить больше, чем получит продавец, на величину налога: 
Р покупателя = Р продавца + налог. Выразим цену покупателя через цену продавца и получим следующее уравнение: 
4000 – 50 (Р продавца + 2) = 3000 + 50Р продавца. Из уравнения следует, что Р продавца равна 9, цена покупателя 9 + 2 = 11, равновесный объем продаж: 3000 + 9 * 50 = 3450 ед., следовательно, объем сократится на 50 ед. 
Ответ: покупатель будет платить 11 у. е., а продавец получать 9 у. е. вместо 10, объем продаж уменьшится на 50 ед.
Вопрос: Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что
1) треугольники CBD и DA С равны;
2) прямая CD делит отрезок АВ пополам.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ААВС = AABD, то АС = BD, СВ = AD, ZCAO = ZOBD.
1) В ACBD и ADAC: CD — общая
АС = DB, AD = СВ (из условия).
Таким образом, ACBD = ADAC по 3-му признаку равенства треугольников, таким образом, ZCDB = ZDCA.
2) В ААОС и ADOB:
АС = BD, ZCAO = ZOBD, ZCDB = ZDCA. Таким образом, ААОС = ADOB по 2-му признаку, откуда АО = ОВ. Следовательно, отрезок BD делит отрезок АВ пополам, что и требовалось доказать.
Вопрос: Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников ABC и DCB.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ААОС и ADOB:
АО = 0D (по условию),
ОС = ОВ (т.к. ОС = DC - DO = AB - АО = OD),
ААОС = ADOB (как вертикальные).
Таким образом, ЛАОС = ADOB по 2-му признаку равенства треугольников, откуда АС = DB (как лежащие в равных треугольниках против равных углов). 
В ААВС и ADCB: АС = DB (из условия), AB = CD (из условия), ВС — общая.
Таким образом, ААВС = ADCB по 3-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Продлим медианы так, чтобы:
BD = DO,B1D1=D1O1.
В AADO и ADBC:
AD = DC (из условия)
BD = DO (по построению)
ZADO = ZBDC (как вертикальные).
Таким образом, AADO = ABDC по 1-му признаку равенства треугольников; откуда А О = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ZAOD = ZDBC.
Аналогично AAXDXOX = ADXBXOX и АХОХ = ВХСХ, ZAXOXDX = ZDXBXC1.
Т.к. ВС = ВХСХ, то АО = АХОХ.
АВ =АХВХ (из условия), АО = АХОХ (по построению), ВО = ВХОХ (по построению), 
Таким образом, ААВО = ААХВХОХ по 3-му признаку равенства треугольников.
Откуда ZABD = ZAXBXDX, ZAXOXDX = ZDXBXC1. Т.к. ZAOD = ZDBC и ZAXOXDX = ZDXBXC1, то ZDBC = ZDXBXC1.
ZABC = ZABD + ZDBC
ZA\B\C1 = ZA1B1D1 + Z.D\B\C1, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны.
Следовательно ААВС = ZA\B\C1.
В ААВСи ААгВгСг:
ZABC = ZAlBlCl,AB=AlBl, BC = BlCl (из условия).
Таким образом, ААВС = М.\В1C1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Вопрос: Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ΔBDC и ΔB1D1C1: BD = B1D1 (из условия),
DC=D1C1(DC=1/2AC=1/2F1C1=D1C1
(т. к. D и D1 — середины сторон АС и А1С1 соответственнно) ∠BDC = ∠B1D1C1 (из условия).
Таким образом, ΔBDC = ΔB1D1C1 по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда ВС = В1С1.
Аналогично ΔADB = ΔA1D1B1 и АВ = A1B1 В ΔABC и ΔA1B1C1:
АВ = А1В1 (из равенства ΔADB = ΔA1D1B1 ВС = В1С1 (из равенства ΔВDС = ΔВ1D1С1 АС = А1С1 (из условия)
Таким образом, ΔАВС = ΔA1B1C1 по 3-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Вопрос: Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть а и b — параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а. Допустим, с не пересекает b, тогда через данную точку проходят 2 прямые, параллельные прямой b, но это невозможно, таким образом, пришли к противоречию.
Вопрос: Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Допустим, что b не пересекает с, тогда b || с, но исходя из предыдущей задачи, т.к. а пересекает b в точке А, то она пересекает и с в некоторой точке.
Вопрос: Дано: a || b || с || d. Докажите, что a || d
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. b || c и b || c, то по определению параллельности b || d. Т.к.
a || b и b || d, то a || d.
Вопрос: Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а на стороне АС — точка С1. Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) внутренние односторонние углы: ∠АВ1С1 и ∠АС1В1
∠ВВ1С1 и ∠СС1В1
2) внутренние накрест лежащие углы: ∠АВ1С1 и ∠АС1В1
∠ВВ1С1 и ∠СС1В1
Вопрос: Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке
Категория: школьный раздел
Ответы:
Внутренние односторонние углы: ∠2 и ∠3, ∠1 и ∠4. Внутренние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4.
Вопрос: Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠АСВ и ∠CBD — внутренние накрест лежащие углы, т.к. точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ВС. ∠ABD и ∠САВ — внутренние односторонние углы, т.к. точки C и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, в той полуплоскости, где лежит точка пересечения отрезков AD и ВС.
Вопрос: Объем спроса задан формулой Qd = 2500 – 40Р, объем предложения определяется по формуле Qs = 2050 + 50Р. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж данного товара. Что произойдет на рынке, если государство установит налог на покупку в размере 1 у. е.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала надо определить параметры равновесного рынка. Для этого приравняем спрос и предложение товара: 2500 – 40Р = 2050 + 50Р. Равновесная цена равна 5 у. е., а равновесный объем – 2300 ед. Если государство введет налог, формулы спроса и предложения будут выглядеть так: 
Qd = 2500 – 40Р покупателя; Qs = 2050 + 50Р продавца. При этом покупатель будет платить больше, чем получит продавец, на величину налога: Р покупателя = Р продавца + налог. Выразим цену покупателя через цену продавца и получим следующее уравнение: 
2500 – 40(Р продавца + 1) = 2050 + 50Р продавца. Из уравнения следует, что Р продавца равна 4,56, цена покупателя 4,56 + 1 = 5,56, равновесный объем продаж: 2050 + 4,56 * 50 = 2278 ед., следовательно, объем сократится на 22 ед. 
Ответ: цена продажи увеличится до 5,56 у. е., но продавец получит 4,56 у. е. (вместо 5 у. е.), объем продаж уменьшится на 22 ед.
Вопрос: Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, то есть лежат на параллельных прямых
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠MFO = ∠FOL как внутренние накрест лежащие углы.
∠MFO = ∠1 + ∠2, ∠1 = ∠2, потому что FD — биссектриса.
∠FOL = ∠3 + ∠4, ∠3 = ∠4, потому что OK — биссектриса.
Таким образом, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. Но ∠3 и ∠2 являются внутренними накрест лежащими при прямых DD1 и KK1 и секущей FO. Т.к .∠3 = ∠2, то прямые, содержащие биссектрисы, параллельны.
Вопрос: Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ΔDEB и ΔАЕС:
DE = EC, AЕ = ЕВ (из условия).
∠АЕС = ∠DEB (как вертикальные).
Таким образом, ΔDEB = ΔAEC по 1-му признаку равенства треугольников.
Откуда ∠CDB = ∠DCA (как углы, лежащие против равных сторон в равных треугольниках), которые являются внутренними накрест лежащими для прямых AC и DB и секущей DC. Следовательно, AC || DB.
Вопрос: Треугольники ЛВС и BAD равны. Точки С и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что прямые AC и BD параллельны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ΔABC = ΔABD, то ∠CAB = ∠ABD, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых AC, BD и секущей AB. Таким образом, AC || BD, что и требовалось доказать.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Угол ABC = 80°, а угол BCD = 120°. Могут ли прямые AB и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. 80° ≠ 120° и 80° + 120° ≠ 180°, то они и не накрест лежащие, и не односторонние, таким образом, прямые АВ и CD не параллельны.
Ответ: не могут.
Вопрос: 1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30о. Найдите эти углы.
2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150о. Чему равны эти углы?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) ∠1 = 180° - ∠2 (т.к. ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние).
∠1 = ∠2 + 30° (из условия), 180° - ∠2 = ∠2 + 30°, 2 ⋅ ∠2 = 150, ∠2 = 75°, ∠1 = 105°.
2) Т.к. ∠3 = ∠2 (внутренние накрест лежащие углы), то 2(∠3) = 150°
∠3 = ∠2 = 75°.
Ответ: 1) 75° и 105°;
2) 75° и 75°.
Вопрос: Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть ∠1 = 72°.
∠1 = ∠3 = 72° (как вертикальные).
∠3 = ∠5 = 72° (как накрест лежащие).
∠5 = ∠7 = 72° (как вертикальные).
∠2 = 180° - 72° = 108° (т.к. ∠1 и ∠2 — смежные).
Остальные находятся аналогично:
∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 108°.
Ответ: 72°, 72°, 72°, 108°, 108°, 108°,108°.
Вопрос: Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть a ⊥ b, тогда b || с a || d
∠1 = ∠2 = 90° (как соответственные углы). ∠2 = ∠4 = 90° (как накрест лежащие углы). Т. о. с ⊥ d.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°; 4) 25° и 120°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, то ∠3 = 180° - (∠1 + ∠2).
1) ∠3 = 180° - 30° - 50° = 100°
2) ∠3 = 180° - 40° - 75° = 65°
3) ∠3 = 180° - 65° - 80° = 35°
4) ∠3 = 180° - 25° - 120° = 35°.
Ответ: 1) 100°;
2) 65°;
3) 35°;
4) 35°.
Вопрос: Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6; 5) 5, 6, 7
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Пусть ∠1 = х, тогда
∠2 = 2х ∠3 = 3х
1) х + 2х + 3х = 180 (т.к. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°) 6х = 180 х = 30
Т.о. углы треугольника: 30°; 60°; 90°.
Аналогично:
2) 2х + 3х + 4х = 180°, х = 20°∠1 = 40°, ∠2 = 60°, ∠3 = 80°.
3) 3х + 4х + 5х = 180°, х = 15°∠1 = 45°, ∠2 = 60°, ∠3 = 75°
4) 4х + 5х + 6х = 180°, х = 12°∠1 = 48°, ∠2 = 60°, ∠3 = 72°
5) 5х + 6х + 7х = 180°, х = 10°∠1 = 50°, ∠2 = 60°, ∠3 = 70°.
Ответ: 1) 30°, 60°, 90°;
2) 40°, 60°, 80°;
3) 45°, 60°, 75°;
4) 48°, 60°, 72°;
5) 50°, 60°, 70°.
Вопрос: Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответ: 1) не может;
2) не может;
3) не может. Т. к. сумма углов треугольника равна 180°, а в данных случаях сумма будет больше.
Вопрос: Спрос и предложение товара А описываются уравнениями Qd = 3600 – 150Р, Qs = 1500 + 60Р. Определите, как изменится выигрыш покупателей, если государство введет потоварный налог в размере 2 у. е.?
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяются равновесные значения цены и объема продаж до введения налога: 
Qd = Qs, 3600 – 150Р = 1500 + 60Р, Рe = 10, Qe = 2100. Максимальная цена покупателя рассчитывается: 3600 – 150Р =0, отсюда 
Рмакс = 24. Выигрыш покупателя составлял: 
(Рмакс – Рравн) * равновесный объем продаж : 2 = (24 – 10) * 2100 : 2 = 14700. 
После введения налога покупатель будет платить 
3600 – 150Рпок = 1500 + 60 (Рпок – 2), Рпок = 10,57, объем продаж равен 3600 – 150 * 10,57= 2014,5. Выигрыш при этих условиях составит: (24 – 10,57) * 2014,5 : 2 = 13527. Выигрыш сократился на 14700 – 13527= 1173 у. е. 
Ответ: выигрыш уменьшится на 1173 у. е.
Вопрос: Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Если угол будет тупым, то сумма углов треугольника будет больше 180°, но это не может быть, т.к. сумма углов в треугольнике = 180°, т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: не может.
Вопрос: Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 1) 40°; 2) 55°; 3) 72°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны и сумма углов треугольника равна 180°, то
1) 180° - 2 ⋅ 40° = 100°;
2) 180° - 2 ⋅ 55° = 70°;
3) 180° - 2 ⋅ 72° = 36°.
Ответ: 1) 100°;
2) 70°;
3) 36°.
Вопрос: Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковым сторонами равен 1) 80°; 2) 120°; 3) 30°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть х — угол при основании, тогда, т.к. треугольник равнобедренный, то составим уравнение:
1) 2х + 80° = 180°,
х = (180° - 80°) : 2, х = 50°;
2) (180° - 120°) : 2 = 30°;
3) (180° - 30°) : 2 = 75°.
Ответ: 1) 50°;
2) 30°;
3) 75°.
Вопрос: Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. этот угол не может быть угло при основании (сумма углов в треугольнике тогда будет больше 180°), то это будет угол между боковыми сторонами. Из предыдущей задачи:
½(180° - 100°) = 40°.
∠1 = 40°, ∠2 = 40°, ∠3 = 100°.
Ответ: 40°, 40°.