nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть угол, равный 70°, является углом при вершине треугольника, тогда угол при основании будет:
½(180° - 70°) = ½ 110° = 55°.
∠1 = 55°, ∠2 = 55°, ∠3 = 70°.
Пусть угол, равный 70°, является углом при основании, тогда: 180° - 2 ⋅ 70° = 180° - 140° = 40°.
∠1 = 70°, ∠2 = 40°, ∠3 = 70°.
Ответ: 2 решения:
1) 40° и 70° или
2) 55° и 55°.
Вопрос: Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник равносторонний
Категория: школьный раздел
Ответы:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
1) Пусть угол при вершине треугольника равен 60°, тогда,
т.к. ∠1 = ∠2, то 60° + ∠1 + ∠2 = 180°, ∠1 = ∠2 = ½(180° - 60°) = 60°. Таким образом, треугольник равносторонний.
2) Пусть ∠60° — угол при основании, тогда 60° + 60° + ∠3 = 180°, ∠3 = 60°. Таким образом, треугольник равносторонний.
Вопрос: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC равен 1) 60°; 2) 75°; 3) α
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть ∠1 = х, тогда:
∠А+∠1+∠CDA=180
∠1=∠2=1/2∠A
(т.к. треугольник равнобедренный).
Исходя из условия, составим уровнения:
1) 2х + х + 60 = 180,
3х = 120,
х = 40.
∠А = 80о, ∠С = 80о, ∠АВС = 180о – 2 • 80о = 20о.
2) 2х + х + 75 = 180,
3х = 105,
х = 35.
∠А = 70о, ∠С = 70о, ∠В = 40о.
3) 2х + х + α = 180,
3х = 180 – α,
х = (180 – α) : 3 = 60-a/3
∠A = 120 – 2*a/3 α ,∠C = − 120-2a/3 ,∠B = 4a/3-60
Ответ: 1) 80о, 80о, 20о;
2) 70о, 70о, 40о;
3) 120 – 2*a/3, 120-2*a/3, 4*a/3-60
Вопрос: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные
Категория: школьный раздел
Ответы:
Углы при основании треугольника:
1/2 (180о – 36о) = 72о,
∠BAD = ∠DAC = ½ 
 72о = 36о (т.к. AD — биссектриса).
∠ADC – 180о – (72о + 36о) = 72о.
Т.к. ∠С = ∠ADC; ∠В = ∠BAD, то треугольники ABD и ADC
равнобедренные.
Что и требовалось доказать.
Вопрос: В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если 1) АА = 50°, АВ = 100°; 2) АА = α, АВ = β; 3) АС = 130°; 4) АС = γ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Так как BK и AL — биссектрисы, то ∠BAD = ∠DAC, ∠ABD = ∠DBC.
Рассмотрим ΔABD:
1/2∠A+1/2∠B+∠ADB=180
(т.к. сумма углов треугольника равна180°).
∠ADB=180-1/2(∠A+∠B)
∠ADB=180-1/2(50+100)=105
∠ADB=180-1/2(a+b)
∠A+∠B+∠C=180
∠A+∠B=180-130
∠ADB=180-1/2*50=155
∠A+∠B=180-γ
Ответ: 1) 105о;
2) 180о – (α + β)/2;
3) 155о;
4) 90о + γ/2.
Вопрос: Чему равны углы равностороннего треугольника?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. у равностороннего треугольника все углы равны, то ∠1 = ∠2 = ∠3 = 180°/3 = 60°.
Ответ: 60°, 60°, 60°.
Вопрос: Спрос и предложение товара задано формулами Qd = 8 – Р, Qs = –4 + 2Р. 
Определите: равновесную цену, равновесный объем продаж и изменения на рынке, если государство установит налог в размере 20 % продажной цены.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяется равновесие на рынке до введения налога. Qd = Qs, следовательно, 8 – Р = –4 + 2Р, отсюда Рравн = 4, Qравн = 4. 
Введение налога приведет к изменению на рынке: покупатель будет платить на размер налога больше, чем получать продавец. Вследствие этого: 8 – (Рпрод. + 0,2 Рпрод.) = -4 + 2Рпрод. 
Рпрод. = 3,75; Рпок. = 3,75 + 0,2 * 3,75 = 4,5. Qпродаж = -4 + 2 * 3,75 = 3,5. 
Ответ: равновесие до введения налога характеризуется: Р=4, Q=4; после введения налога продавец получит 3,75 у. е. за единицу товара, покупатель заплатит 4,5 у. е., будет реализовано 3,5 ед.
Вопрос: Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. сумма двух односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°, тогда сумма половины этих углов равна 90°, а угол пересечения биссектрис равен 180° - 90° = 90°.
Вопрос: Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите углы треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Внутренний угол треугольника, смежный со внешним углом 70°, равен 180° - 70° = 110°. Это может быть только угол между боковыми сторонами, т.к. иначе сумма углов треугольника была
бы больше 180°. Таким образом, углы при основании: ½ (180° -110°) = 35°.
Ответ: 35°, 35°, 110°.
Вопрос: Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом 150°, равен 180° - 150° = 30°, а с углом 120° - равен 180° - 120° = 60°. Третий угол равен: 180° - 60° - 30° = 90°.
Ответ: 30°,60°, 90°.
Вопрос: Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол
Категория: школьный раздел
Ответы:
Внутренний угол, смежный со внешним углом в 150°, равен: 180° - 150° = 30°, а с углом 100°: 180° - 100° = 80°. По теореме, третий внешней угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, т.е. 80° + 30° = 110°

Сумма внешнего и внутреннего углов треугольника равна 180°. Первый внутренний угол равен 180°-100°=80°; второй 180°-150°=30°. По теореме о сумме углов треугольника (180°) найдем его третий внутренний угол: 180°-80°-30°=70°. Тогда третий внешний угол равен 180°-70°=110°.
Ответ: 110°.
Вопрос: В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если угол А тупой? Обоснуйте ответ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть точка В лежит между точками А и D, тогда ∠B = ∠D + ∠C, но ∠B < 90°, ∠D = 90°. Таким образом, получили противоречие. Пусть точка D лежит между точками А и В, тогда ∠D = ∠A + ∠C, но ∠D = 90°, ∠A > 90°. Таким образом, получили противоречие. Таким образом, точка А лежит между В и D.
Ответ: А.
Вопрос: Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠KBD + ∠DBC = ∠А + ∠С (по теореме 4.5),
∠А = ∠С (т.к. это углы при основании в равнобедренном треугольнике).
∠CBD = ∠KBD, таким образом, ∠KBD = ∠DBC = ∠A = ∠C. Т.к. ∠DBC = ∠C, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых DB и АС и секущей ВС, то BD || АС.
Вопрос: Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°. Чему равен угол С треугольника?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сумма внутренних углов треугольника при вершинах А и В по теореме 4.5 равна 360° - 240° = 120°. Таким образом, ∠С = 180° - 120° = 60°.

Ответ: 60°.
Вопрос: Треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD = АВ и СЕ = СВ. как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Треугольник ΔABD — равнобедренный, BD — его основание. В ΔABD: ∠А — внешний угол для ΔABD.
Поэтому
∠D=1/2 ∠BAC=∠A/2
Аналогично найдем угол Е треугольника BDE.
ΔDBA и ΔBCE равнобедренные, таким образом,
∠D=(180-∠DAB)/2=(180-180+∠BAC)/2=1/2∠BAC
(т.к. ∠ВАС и ∠DAB смежные).
Аналогично
∠E=1/2∠BCA ∠DBE=∠ABC+1/2(∠BCA+∠BAC)
∠E=1/2∠BCA=∠C/2
Следовательно,
∠DBE=∠B+∠A/2+∠C/2=∠B+(∠a+∠C)/2
счисчитая ∠А, ∠С, ∠В углами треугольника АВС.
Ответ:
∠DBE=∠ABC+(∠BAC+∠ACB)/2
∠D=1/2∠BAC ∠E=1/2 ∠BCA
Вопрос: У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40°. Найдите остальные внутренние углы треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠ВАС = 180° - ∠DAB = 180° - 40° = 140° (т.к. ∠DAB и ∠ВАС — смежные).
∠В = 180° - ∠С - ∠ВАС = 180° - 30° - 140° = 10° (т.к. сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Ответ: 140°, 10°.
Вопрос: Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CBD, зная, что 1) ∠A = 20°; 2) ∠A = 65°; 3) ∠A = α
Категория: школьный раздел
Ответы:
Так как угол В — прямой, то точка D лежит на гипотенузе (по задаче № 35 § 4).
 
Т.к. ΔАВС — прямоугольный, то ∠C = 90° - ∠А. Т.к. ΔBCD — прямоугольный, то ∠CBD = 90° - 90° + ∠А = ∠A.
1) ∠CBD = 20°,
2) ∠CBD = 65°,
3) ∠CBD = α.
Ответ: 1) 20°;
2) 65°;
3) α.
Вопрос: Объем спроса на товар Х определяется по формуле Qd = 2400 – 100 P, объем предложения – по формуле Qs = 1000 + 250 P. Определите равновесные значения цены и объема продаж. Что произойдет на рынке товара Х, если государство установит дотацию на производство товара Х в размере 1,5 у. е.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяем равновесную цену и равновесный объем продаж: 2400 – 100Р = 1000 + 250Р, 
Рравн = 4 у. е., объем продаж равен 2000 ед. Если государство введет дотацию, то покупатель будет платить меньше, чем получит продавец, на величину дотации. Теперь будет выполняться уравнение: 2400 – 100 Рпокуп = 1000 + 250 (Рпокуп + 1,5). Отсюда
Рпокуп = 2,93 у. е., объем продаж увеличится до 2400 – 100 * 2,93 = 2107 ед. 
Ответ: Рравн = 4 у. е., объем продаж равен 2000 ед., после введения дотации цена покупки снизится до 2,93, продавец будет получать 4,08, объем продаж увеличится на 107 ед.
Вопрос: Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника ABD и CBD, зная, что ∠А = α, ∠В = β
Категория: школьный раздел
Ответы:
АС = 180° - (α + β)
Т.к. ∠CDB — прямоугольный, то ∠DBC = 90° - АС = 90° -180° + α + β = α + β - 90°.
Т.к. ∠DBA — прямоугольный, то ∠D = 90°
∠АВС = 90° - ∠А = 90° - α.
Ответ: 90°, α, 90° - α; 90°, 180° - (α + β), (α + β) - 90°.
Вопрос: Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Прямой угол может быть только при вершине, т.к. иначе сумма углов треугольника будет больше 180°. Углы при основании равны ½(180° - 90°) = 45°.

Ответ: 90°, 45°, 45°
Вопрос: В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABD
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠С = ∠А = ∠В = 60° (по свойству равностороннего треугольника). Т.к. медиана является высотой, то ∠D = 90°, ∠В = 60°, ∠DAB = 90° - ∠В = 30°.

Ответ: 30°, 60°, 90°.
Вопрос: Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ∠АМС, если ∠А = 70°, ∠С = 80°
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ΔАСС1:
∠А = 70° (из условия), ∠С1 = 90°, ∠АСС1 = 90° - 70° = 20°. В ΔАСА1:
∠С = 80° (из условия), ∠А1 = 90°, ∠А1АС = 90° - 80° = 10°. В ΔАМС: т.к. сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то
∠АМС = 180° - (∠А1АС + ∠С1СА) = 180° - 20° - 10° = 150°. Ответ: 150°.
Вопрос: В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть ∠ADB = х, тогда ∠BDC = 180° - х (смежный угол). ΔADB и ΔDBC равнобедренные (по построению). Таким образом,
∠A=∠ABD=1/2(180-x)
∠C=DBC=1/2(180-180+x)
∠B=∠DBC+∠ABC=90-x/2+x/2=90
Ответ: 90°.
Вопрос: Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведем через точки В и С прямые, перпендикулярные прямой а. В ΔABB1 и ΔACC1:
∠ВАВ1 = ∠САС1 (как вертикальные),
∠В1 = ∠С1 = 90°
АВ = АС (по условию).
∠В = 90° - ∠ВАВ1 = 90° - ∠С1АС = ∠С
Таким образом, ΔАВВ1 = ΔАСС1 по по гипотенузе и прилежащему к ней углу, откуда ВВ1 = СС1.
Вопрос: Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС
Категория: школьный раздел
Ответы:
В ΔОВВ1 и ΔОСС1:
∠ВОВ1 = ∠СОС1 (как вертикальные),
∠В1 = ∠С1 = 90°
∠В = 90° - ∠ВОВ1 = 90° - ∠С1ОС = АС ОВ = ОС (из условия)
 
Таким образом, ΔОВВ1 = ΔОСС1 по 2-му признаку равенства треугольников, откуда ОВ = ОС. Таким образом, точка О — середина отрезка ВС
Вопрос: Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Построим высоты АА1, ВВ1, СС1. В ΔАВВ1, ΔВ1ВС и ΔАС1С: АС = АВ = ВС
∠А = ∠С = ∠В (т.к. ΔАВС — равнобедренный), таким образом,
ΔАВВ1 = ΔВ1ВС = ΔАС1С по гипотенузе и острому углу, откуда ВВ1 = АА1 = СС1.
Вопрос: Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке
Категория: школьный раздел
Ответы:
Луч пересечет окружность на расстоянии радиуса от центра окружности. Другой точки окружности на луче быть не может, т.к. на луче можно отложить только один отрезок данной длины.
Вопрос: 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) ОВ = ВА = ОА (по условию), таким образом, ΔАОВ — равносторонний, откуда ∠ОАВ = 60°.
2) Аналогично ∠ОАС = 60°
∠ВАС = ∠ОАВ + ∠ОАС = 60° + 60° = 120°. 
Ответ: 1) 60°;
2) 120°.
Вопрос: Объем спроса на товар Z определяется по формуле Qd = 400 – 10 P, объем предложения – по формуле Qs = 100 + 20 P. Определите равновесные значения цены и объема продаж. Что произойдет на рынке товара Z, если государство установит дотацию на покупку товара Z в размере 3 у. е.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала определяем равновесную цену и равновесный объем продаж: 400 – 10Р = 100 + 20Р, 
Рравн = 10 у. е., объем продаж равен 300 ед. Если государство введет дотацию, то покупатель будет платить меньше, чем получит продавец, на величину дотации. Теперь будет выполняться уравнение: 400 – 10 Рпокуп = 100 + 20 (Рпокуп + 3). Отсюда, 
Рпокуп = 8 у. е., Рпродав = 8 + 3 = 11, объем продаж увеличится до 400 – 10 * 8 = 320 ед., т. е. объем увеличивается на 20 ед. 
Ответ: до введения дотации: Р = 10 у. е., Q = 300 ед., после введения дотации: Рпродав = 11 у. е., Рпокуп = 8 у. е., Q = 320 ед.
Вопрос: Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Допустим, окружность с центром О касается прямой в двух точках А и В, таким образом, у треугольника АОВ: ∠ОАВ = ∠ОВА = 90°, а этого не может быть.

Ответ: не может.
Вопрос: Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А
Категория: школьный раздел
Ответы:
ОВ = ОА = АВ (по условию), таким образом, ∠ОAB = 60° (т.к. ΔАВО — равносторонний).
Т.к. ОА ⊥ а, то ∠BAK = 90° - 60° = 30°.
Ответ: ∠BAK = 30°.
Вопрос: Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу
Категория: школьный раздел
Ответы:
∠ABK = ∠BAK = 30° (из предыдущей задачи) ∠BKA = 180° - (∠BAK + ∠ABK) = 180° - 30° - 30° = 120° (т.к. сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
∠BKF = 180° - 120° = 60° (т.к. ∠BKF и ∠BKA смежные).
Ответ: 60°, 120°.
Вопрос: Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точки О, А, О1 лежат на одной прямой. Рассмотрим 2 случая 1) Случай внешнего касания окружностей. ОО1 = ОА + О1А = 30 + 40 = 70 см
2) Случай внутреннего касания окружностей.
О1О = ОА - О1А = 40 - 30 = 10 см
Ответ: 70 см, 10 см.
Вопрос: Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Допустим, они касаются, тогда их центры и точка пересечения лежат на одной прямой и расстояние между центрами равно либо 25 + 50 = 75, либо 50 - 25 = 25, но 75 ≠ 60 и 25 ≠ 60, таким образом, пришли к противоречию.

Ответ: не могут.
Вопрос: 17. Финансовые показатели бизнес-плана должны быть сбалансированы: с показателями производства и реализации продукции (*ответ к тесту*) 

18. Смета прибылей и убытков отражает: прибыль (убытки) как по основной, так и по другим видам деятельности (*ответ к тесту*) 

19. . Увеличение остатков готовой продукции на конец периода при постоянном объеме выпуска продукции: уменьшает объем реализации продукции за отчетный период (*ответ к тесту*) 

20. К переменным расходам относятся: расходы на сырье, материалы, электроэнергию, транспорт и т. д. Эти затраты изменяются пропорционально изменению объема производства (*ответ к тесту*) 

21. Назовите источник прироста собственного капитала компании: нераспределенная прибыль, выпуск акций, полученные от эмиссии акции (*ответ к тесту*) 

22. Прибыль от продаж компании составил 25%. Среднегодовые остатки запасов оценены в 30,000 тыс. руб. Коэффициент оборачиваемости запасов равен 8. Определите величину продаж за отчетный период.320 000 руб. (30000*8=240000. 240000 (с/с)+0,25х(прибыль) = х(выручка). ) (*ответ к тесту*)

23. Счет «Запасы» увеличился с 90,000 тыс. руб. до 100,000 тыс. руб. в течение отчетного периода. Себестоимость проданных товаров составила 160,000 тыс. руб. На какую сумму были закуплены товары в течение отчетного периода? 170 000(*ответ к тесту*)

24. За февраль 2011 г. компанией достигнут объем продаж в объеме 1,500 единиц продукции при цене реализации 25 руб. Переменные затраты на единицу продукции установлены в размере 10 руб. Определите рост прибыли в денежном выражении при условии, что в марте 2011 г. ожидается рост объема продаж на 10,000 руб.6000 руб. (февраль = 1500*25-15000=22500. Март = 1900*25-19000=28500. Фев-март=6000) (*ответ к тесту*)

25. Начальным этапом процесса составления бюджета является… (Составление бюджета - начальный этап бюджетного процесса. На этом этапе решаются такие вопросы, как объем бюджета, налоговая и денежно-кредитная политика на предстоящий год, основные методы и направления покрытия бюджетного дефицита, а также распределение расходов между звеньями бюджетной системы.)определение ключевых факторов или ограничений, влияющих на план бюджета(*ответ к тесту*)
Категория: экономические
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены по каждому вопросу
Вопрос: 1) Точки А , В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Допустим, ΔАОВ и ΔВОС — равнобедренные, таким образом, АО = ОВ = ОС, и ∠A = ∠С = ∠АВО = ∠ОВС, а это возможно лишь если ∠АВО = ∠OBC = 90°, т.к. они смежные, то есть их сумма равна 180° но тогда ∠А = ∠C = 90°, что не может быть, т.к. в этом случае сумма углов треугольника будет больше 180°.
2) Пусть прямая а пересекает окружность с центром в точке О хотя бы в трех точках А, В, С. Тогда точки А, В, С принадлежат окружности, и ОА = ОВ = ОС (как радиусы) и лежат на прямой а. Треугольники ОАВ и ВОС — равнобедренные. Но это невозможно (в п. 1 мы это доказали). Значит, предположение не верно, могут пересекаться более чем в двух точках.
Ответ: 1) Не могут;
2) Не могут.
Вопрос: 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Докажем, что АВ ⊥ ОО1.
В ΔОАО1 и ΔОВО1:
ОА = ОВ (как радиусы),
О1А = О1В (как радиусы),
ОО1 — общая.
Таким образом, ΔОАО1 = ΔОВО1 по 3-му признаку равенства треугольников, откуда ∠AOK = ∠KOB, ∠AO1K = ∠BO1K.
В ΔАОВ:
ОА = ОВ, следовательно, ΔАОВ — равнобедренный, ∠AOK = ∠KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к. ΔАОВ — равнобедренный, то есть OK ⊥ АВ.
Таким образом, АВ ⊥ ОО1.
2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.
Допустим, что две окружности с центрами О и О1 пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ⊥ ОО1, АВ ⊥ ОО1, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО1.
Таким образом, мы пришли к противоречию.
Вопрос: 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 
2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Так как прямая а не касается окружности, то она пересекает окружность в двух точках.
В ΔАОС:
ОВ — медиана (т.к. АВ = ВС (по условию)) и высота (т.к. ОВ ⊥ а (по условию)). Значит, ΔАОС — равнобедренный. Таким образом, ОА = ОС и таким образом точка С принадлежит окружности.
2) Пусть прямая а имеет с окружностью только одну общую точку А, но не является касательной, т.е. не перпендикулярна радиусу ОА, таким образом, из точки О можно провести к прямой перпендикуляр ОВ, не совпадающий с ОА. На продолжении отрезка АВ отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ. Тогда, из п. 1, точки А и С лежат на окружности. Противоречие, т.к. по условию прямая а имеет с окружностью только одну общую точку.
3) Если две окружности касаются в некоторой точке А, то они имеют общую касательную в этой точке.
Пусть точки О1, О, А не лежат на одной прямой, тогда имеем ΔOO1A. Прямая ОО1 разбивает плоскость на две полуплоскости,
в одной из которых лежит точка А. ΔОО1А = ΔОО1А1 по 1-му признаку. От луча О1О отложим в другую полуплоскость ∠А1О1О = ∠АО1О и на нем отложим отрезок ОА1 = ОА. ОА = ОА1, О1А = О1А1, откуда точка А1 является общей точкой обеих окружностей. Противоречие. По условию окружности имеют только одну точку пересечения. Таким образом, точки О, О1, А лежат на одной прямой.
Через точку А проведем прямую а, а ⊥ ОА. Таким образом, а — касательная к первой окружности. Так как точки О, О1, А лежат на одной прямой, то О1А ⊥ а. Таким образом, а — касательная ко второй окружности. Откуда получаем, что окружности
касаются в точке А.
Вопрос: 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) В ΔОРМ и ΔOQM:
ОМ — общая,
ОР = OQ, как радиусы,
ОР ⊥ МР, OQ ⊥ MQ (т.к. МР и MQ — касательные).
Таким образом, ΔОРМ = ΔOQM по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда МР = МQ.
2) Пусть через точку М можно провести три касательных к окружности: МР, MQ, МА. Тогда из п. 1 следует, что МР = MQ = MA, откуда точки Р, Q, А лежат на одной окружности с центром М. Получилось, что две окружности имеют три общие очки. Противоречие. В задаче 14 § 5 мы это доказали. Таким образом, через данную точку нельзя провести более двух касательных к данной окружности.
Вопрос: Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают
Категория: школьный раздел
Ответы:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров.
В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами и высотами, откуда они являются и серединными перпендикулярами. Значит, центры вписанной и описанной окружности совпадают.
Вопрос: В республике Бетании 1 кг товара А стоит 500 луидоров, а в республике Дельта – 1500 песо. Определите, исходя из паритета покупательной способности, валютный курс луидора.
Категория: экономические
Ответы:
Так как 1 кг товар А в 3 раза дороже в Дельте, то ценность песо в 3 раза ниже, чем луидора. Необходимо отдать три песо за 1 луидор. 
Ответ: 1 луидор = 3 песо.
Вопрос: Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 =(AB+AC-BC)/2
Категория: школьный раздел
Ответы:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной
точки, равны.
АС1 = АВ1 (по свойству касательных)
АС1 + АВ1 = АВ – ВС1 + АС – СВ1 = АВ + АС – (ВА1 + СА1) =
АВ + АС – ВС = 2АС
таким образом  Ac1=(AB+AC-BC)/2
Вопрос: Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них. 1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70°; 2) а = 4 см, b = 6 см, β
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) Построим отрезок, равный 4 см. Конец отрезка будет являться вершиной данного угла, из другого конца проведем окружность с r = 6 см. Точка пересечений стороны угла и данной окружности будет третьей вершиной треугольника.

Пункт 2) аналогично.
Вопрос: Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сначала построим треугольник по стороне, половине стороны и медиане, затем продлим половину стороны до целой и соединим с третьей вершиной.
Вопрос: Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Построим окружность данного радиуса, возьмем на ней произвольную точку и построим данную сторону, затем разделим ее пополам и построим медиану. Наконец, соединим вершины.
Вопрос: Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть две стороны будут а и b, а медиана — m.
Построим треугольник по трем сторонам:
АВ = а, BD = b, AD = 2m;
Проведем медиану ВА1 и на ее продолжении отложим А1С = А1В;
Проведем сторону АС.
ΔАВС — искомый. Докажем это:
ΔBA1D = ΔCA1A (по 1-му признаку равенства треугольников). Таким образом, АС = BD = b
AB = a
AA1 = AD = 2m : 2 = m АА1 — медиана.
Таким образом, ΔАВС — искомый.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету
Категория: школьный раздел
Ответы:
На произвольной прямой строим перпендикуляр длины катета, затем от вершины катета строим окружность с радиусом гипотенузы, после соединяем вершины
Вопрос: Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону
Категория: школьный раздел
Ответы:
Существует два решения:
1) от высоты откладывать отрезки данной длины в одну сторону
2) в разные стороны.
Вопрос: Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проводим прямую, затем строим на ней высоту. От вершины высоты откладываем отрезок, равный первой стороне, он пересечет нашу прямую в некоторой точке, от которой мы отложим по первоначальной прямой вторую сторону. Затем соединим все вершины и получим искомый треугольник.
Вопрос: Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сначала строим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — заданная медиана треугольника, а катет — заданная высота. Затем от основания медианы в обе стороны откладываем отрезки, равные ½ стороны треугольника. Потом соединяем вершины и получим искомый треугольник.
Вопрос: Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Построим окружность данного радиуса, затем проведем хорду, равную данной стороне. После проведем серединный перпендикуляр к полученному отрезку. Точку пересечения окружности с серединным перпендикуляром соединим с концами хорды. Получим равнобедренный треугольник.
Вопрос: В республике Банании 1 тройская унция золота стоит 2000 реалов, а в Кофейной республике – 5000 лир. Определите валютный курс лиры.
Категория: экономические
Ответы:
Поскольку золото стоит в лирах в 2,5 раза дороже, чем в реалах, то лира стоит в 2,5 раза дешевле реала, т. е. 1 лира = 0,4 реала. 
Ответ: 1 лира стоит 0,4 реала.
Вопрос: Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h
Категория: школьный раздел
Ответы:
Т.к. расстояние от прямой до некоторой точки — это есть перпендикуляр к этой прямой через эту точку
Докажем, что любая точка, удаленная от а на h лежит либо на с, либо на b.
Пусть точка D не лежит ни на b, ни на с, и расстояние от D до точки А на прямой равно h.
Тогда DA = h и AD ⊥ a.
Но СА также равно h и СА ⊥ а.
Следовательно, точки С и D либо совпадают, либо противоположны относительно прямой а.
То есть точка D лежит на прямой b или на с.
Вопрос: На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой
Категория: школьный раздел
Ответы:
Согласно задаче № 41, геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух параллельных прямых, параллельных данной, и отстоит от нее на данное расстояние.
Вопрос: Даны три точки А, В, С. Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точка х должна быть:
1) одинаково удалена от точек А и В;
2) находится на данном расстоянии от точки С.
1) Точка х лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
2) Точка х лежит на окружности данного радиуса, с центром в точке С.
Искомая точка х лежит на пересечении серединного перпендикуляра и окружности.
Вопрос: На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точка х лежит на пересечении серединного перпендикуляра к отрезку АВ и прямой а.
Вопрос: Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точка х лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам АВ и CD.
Вопрос: Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть даны два отрезка а и m и угол α. Надо построить ΔАВС такой, что ВС = а, ΔBCD АВ + АС = m.
Решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Построим ΔBCD по двум сторонам (BD = m, ВС = а) и углу между ними (∠В = α).
Проведем серединный перпендикуляр от CD, он пересечет BD в точке А. AD = АС. Получаем искомый ΔBCD, где ВС = а, ΔBCD В = α, АВ + АС = m, т.к. АС = AD.
Если m = а, то в ΔBCD ∠С будет больше ∠D. Серединный перпендикуляр d к стороне CD по теореме 1.1. должен пересекать либо сторону ВС, либо СD.
Докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именно BD.
Допустим, d пересекает сторону ВС в точке М, а прямую BD в точке K. Т.к. KD > BD, то ∠KCD < ∠BCD.
По свойству серединного перпендикуляра ΔDKC — равнобедренный, таким образом, ∠KCD = ∠D, но тогда ∠D > ∠BCD (т.к. m > a), то есть в ΔBCD ∠D < ∠С. Противоречие, т.е. d пересекает именно ВD.
Таким образом, задача имеет единственное решение.
Вопрос: Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон
Категория: школьный раздел
Ответы:
Пусть даны два отрезка а и d и угол α.
Нужно построить ΔАВС, в котором ВС = а, ∠В = α, а |AC -AB| = d.
Задача имеет решения лишь при d < a, т.к. из неравенства треугольника следует, что любая сторона должна быть больше разности двух сторон.
I. Допустим такой треугольник уже построен. Рассмотрим два случая:
1) ∠α — острый.
Если АВ > АС, d = АС, то отложим на стороне АВ отрезок BD = d, тогда AD = AB - d = AC, т.е. точка А лежит на серединном перпендикуляре к CD.
Если АС > АВ, то отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD = d.
d = AC - AB, AD = AB + BD = AB + d, т.е. AD = AC, поэтому точка А будет лежать на серединном перпендикуляре к CD.
2) ∠α — тупой.
АС > АВ, тогда на продолжении сторона АВ отложим BD = d, тогда AD = AC и тогда точка А лежит на серединном перпендикуляре к CD.
а) Если α — острый угол, d = АС - АВ.
Построим ∠B = α.
Отложим на одной стороне угла ВС = а, а на дополнительной полупрямой к другой стороне BD = d.
Найдем точку А, проведя серединный перпендикуляр к стороне CD. Т.к. АВ = AD - DB = AC - d, то d = AC - AB, и ΔАВС — искомый.
б) Если a — острый угол, d = AB - AC.
Построим ∠B = a.
Отложим на одной стороне угла ВС = а, а на другой — BD= d.
Найдем точку А, проведя серединный перпендикуляр к отрезку CD. Т.к. ВА = d + AC, то d = AB - AC, таким образом, ΔАВС — искомый.
II.Если α' — тупой угол, то d = АС - АВ (аналогично п. I, а)
Выясним, всегда ли задача имеет решение.
I.а) В ΔDBC ∠DBC — тупой (т.к. α и ∠DBC смежные) и DB < BC, то серединный перпендикуляр обязан пересечь сторону ВС < В и сторону ВА, таким образом, решение обязано существовать.
б) Если ∠BDC ≤ 90°, то ∠CDA ≥ 90°. Тогда решений нет, иначе есть единственное решение.
II.В ΔBDC ∠CBD — острый (т.к. α и ∠CBD смежные), а > d, таким образом, если ∠BDC прямой или тупой, то серединный пер
пендикуляр к DC не пересекает сторону ВА угла СВА и, значит, решений нет. Если ∠DBC — острый, задача имеет единственное решение.
Вопрос: 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
Категория: школьный раздел
Ответы:
1) ОС ⊥ АС по определению. Продлим ОС до точки В так, что СВ = ОС. В ΔОВА отрезок АС является высотой и медианой, так как ОС = ВС по построению, таким образом, ΔОВА — равнобедренный. Откуда АО = АВ и ОВ = 2ОС = 2R.
2) Проведем к данной окружности касательную, проходящую через данную точку А. Сначала соединим точки О и А.
Затем проведем окружности с центром О и радиусом 2R и ОА. Они пересекаются в двух точках В и В1.
ОВ и ОВ1 пересекают окружность в точках С и С1. Соединив их с точкой А, получим две касательные АС и АС1.
ΔОАВ и ΔОАВ1 — равнобедренные АС и АС1 — медианы, значит они являются и высотами. Таким образом, АС ⊥ ОС = R, АС1 ⊥ ОС1 = R, следовательно, АС и АС1 — касательные. Т.к. к окружности можно провести не более двух касательных (задача № 16 § 5), то построение закончено.
Вопрос: Проведите общую касательную к двум данным окружностям
Категория: школьный раздел
Ответы:
Сначала построим окружность с центром О1 и радиусом R1 - R2. Из центра О2 второй окружности проводим касательную к этой окружности (задача № 49). Касательная касается этой окружности в точке K.
Продлим O1K до пересечения с окружностью с центром О1 и радиусом R1. Прямая O1K пересечет эту окружность в точке М. Теперь проводим касательную из точки М к окружности с центром О2 и радиусом R2. Таким образом, MN — первая касательная, т.к. MN ⊥ ОМ, O2N ⊥ MN, следовательно, MN — общая касательная.
Затем строим окружность с центром в точке О1 и радиусом R1 + R2 и проводим касательную к ней О2Р. О1Н = R1 принадлежит О1Р. Из точки Н проведем касательную HL к окружности с центром О2 и радиусом R2, таким образом, HL — вторая касательная, т.к. HL ⊥ O2L и HL ⊥ О1Н, следовательно, HL — общая касательная.
Рассмотрим всевозможные варианты:
1) Если центр одной окружности лежит внутри другой и они не пересекаются, то касательную провести нельзя.
2) Если центр одной окружности лежит внутри другой и они касаются в одной точке, то одна касательная.
3) Если они пересекаются в двух точках, то две касательные.
4) Если единственная точка пересечения лежит между их центрами, то три касательные.
5) Если R1 + R2 < О1О2, то четыре касательных.
6) Если R1 = R2 и О2 совпадает с О1, то бесконечное число касательных
Вопрос: Проведите прямую, обозначьте ее буквой а и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой а, используя символы ∈ и ∉
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Уровень цен в стране А вырос с 2000 до 2006 года в 1,2 раза, в стране В – в 1,8 раза. Валютный курс альфы (валюты страны А) по отношению к бете (валюте страны В) в 2000 году составил: 1 альфа = 1000 бет. Каким должен быть валютный курс альфы в 2005 году, согласно теории паритета покупательной способности?
Категория: экономические
Ответы:
Поскольку цены выросли в обеих странах, то надо учесть этот рост: 1,8/1,2=1,5, т. е. в стране В цены выросли в 1,5 раза больше, чем в стране А, значит, бета обесценилась в 1,5 раза больше, чем альфа, поэтому валютный курс будет 1 альфа = 1500 бет. 
Ответ: 1 альфа = 1500 бет.
Вопрос: Отметьте три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые AB, BC и CA
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем сначала две прямые а и Ь, обозначим буквой О точку их пересечения. Проведем теперь третью прямую с. Возможны два случая: а) прямая с не проходит через точку О. Тогда она пересекает прямые а и Ь в точках А и В. Таким образом, получилось три точки: О, А, В (рис. 1); б) прямая с проходит через точку О. Получилась всего одна точка О (рис.2).
Вопрос: Отметьте точки A, B, C, D так, чтобы точки A, B, C лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Проведите прямую а и отметьте на ней точки A и B. Отметьте: а) точки М и N, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ; в) точки R и S, не лежащие на прямой а
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?Решение. На рисунке 3 проведена прямая и на ней отмечены три точки А, В и С. Каждые две из этих точек определяют отрезок с    концами    в    этих   точках.    Поэтому   на прямой получилось три отрезка:Ответ. Три отрезка.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка B
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча СА
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. На рисунке 4 изображен отрезок АВ и на этом отрезке — точка С. а) Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой, имеют общее начало и ни один из них не является продолжением другого луча.  Лучи   АВ   и   АС  удовлетворяют этим условиям, поэтому они совпадают. Точно так же совпадают лучи ВС и В А. б) Луч СВ является продолжением луча С А, так как лучи СВ и С А лежат на одной прямой, имеют общее начало и не совпадают. Ответ, а) Лучи АВ и АС, а также ВС и В А; б) луч СВ.
Вопрос: Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так: ∠AOB, ∠hk, ∠M
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Начертите три луча h, k и I с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. На рисунке 5 изображены три луча h, к и I с общим началом О. Эти лучи образуют три угла: /hk, /hi и /hi.Ответ, /hk, /hi и /hi.
Вопрос: Номинальный курс рубля по отношению к доллару в апреле 1995 года упал с 4749 до 5025 рубля за доллар. В этот месяц цены выросли в США на 0,4 %, а в России на 8,5 %. Определите, как изменился номинальный и реальный курс рубля.
Категория: экономические
Ответы:
Определим изменение номинального валютного курса, для чего сопоставим курс на начало и конец месяца: 
5025/4749*100=105,81. 
Изменение реального валютного курса можно определить двумя способами. 
Способ 1. Определяем реальный курс рубля к концу апреля. Для этого номинальный курс рубля умножаем на индекс цен в США и делим на индекс цен в России: 5025 * 1,004 : 1,085 = 4649,86 руб. за доллар. Теперь сопоставим валютный курс в конце апреля и в начале месяца: 
4649,86-4749/4749*100=-2,08. 
Способ 2. Подсчитаем динамику реального валютного курса через соотношение цен в двух странах: 
108,5*100,4/108,5=97,9, т. е. реальный курс вырос на 2,1 %. 
Ответ: реальный валютный курс вырос на 2,1 %.
Вопрос: Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, B, М и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. На рисунке 6 изображен угол АОВ. а) Проведем какой-нибудь луч ОС, который исходит из вершины О угла АОВ и проходит внутри этого угла. Луч ОС делит угол АОВ на два угла, б) Луч OD на рисунке 6 не делит угол АОС на два угла, так как он не проходит внутри этого угла.
Вопрос: Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке О (рис.7). Образуются четыре неразвернутых угла: АОС, AOD, ВОС и ВОВ.Ответ. Четыре угла.

решение задания по геометрии
Вопрос: Какие из точек, изображенных на рисунке 17, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла
Категория: школьный раздел
Ответы:
Внутри угла: М, А; вне угла: С, N; на сторонах угла: О, В
Вопрос: Какие из лучей, изображенных на рисунке 18, делят угол АОВ на два угла
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Лучи h, k, I, m и п исходят из вершины О угла АОВ, но только два из них — лучи h и I — проходят внутри этого угла, поэтому только лучи h и / делят угол АОВ на два угла.Ответ. Лучи h и I
Вопрос: На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки OB и ОА, ОС и OA, OB и OC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 1. Сравним отрезки ОВ и О А. По условию задачи точка В лежит между точками О и А (рис.9). Значит, отрезок ОВ  составляет часть отрезка О А, поэтому ОВ < О А.2. Сравним отрезки ОС и О А. Точка А лежит между точками О и С. Значит, отрезок О А составляет часть отрезка ОС, поэтому О А < ОС и, следовательно, ОС > О А.3. Сравним отрезки ОВ и ОС. По доказанному ОВ < ОА, а О А < ОС, следовательно, ОВ < ОС.Ответ. ОВ < ОА, ОС > ОА, ОВ < ОС.
Вопрос: Точка О является серединой отрезка AB. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОА и OB; б) ОА и AB?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) По условию задачи точка О — середина отрезка АВ. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны и поэтому их можно совместить наложением.б) Отрезок О А наложен на отрезок АВ так, что они имеют общий конец А, но два других конца этих отрезков — точки О и В — не совмещены. Отсюда следует, что отрезки О А и АВ не равны и поэтому их нельзя совместить наложением.Ответ, а) Да; б) нет.
Вопрос: На рисунке 25 отрезки AB, BC, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков AC, AE и CE; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) В - середина отрезка АС; С- середина отрезка АЕ; D - середина отрезка СЕ.б) Отрезок СЕ; отрезки АЕ и BD имеют общую середину С.
Вопрос: Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как луч ОС делит угол АОВ на два угла, то угол АОС составляет часть угла АОВ. Отсюда следует, что угол АОС меньше угла АОВ.Ответ. ZAOC < ZAOB.

Решение. Так как луч ОС делит угол АОВ на два угла, то угол АОС составляет часть угла АОВ. Отсюда следует, что угол АОС меньше угла АОВ.
Ответ. ZAOC < ZAOB.
Вопрос: В 2006 году в республике Альфании индекс цен составил 200 % по сравнению с 2003 годом. В республике Бетании – 100 %. Равновесный обменный курс составил 3 песо (Альфании) = 1 реал (Бетании). Определите обменный курс в 2006 году.
Категория: экономические
Ответы:
Поскольку цены в Альфании выросли в 2 раза больше, то обменный курс 2 * 3 песо = 1 реалу.
Ответ: 6 песо = 1 реал.
Вопрос: Луч I — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и Ik; б) hl и hk
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) По условию задачи луч / — биссектриса угла hk. Отсюда следует, что углы hi и Ik равны и поэтому их можно совместить наложением.б) Так как луч / — биссектриса угла hk, то он делит угол hk на два угла. Согласно задаче 21 /_hl < Zhk. Таким образом, углы hi и hk не равны и поэтому их нельзя совместить наложением.Ответ, а) Да; б) нет.
Вопрос: На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, АОЕ; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) ОВ - биссектриса ∠AOC; OD - биссектриса ∠BOF; ОС -биссектриса ∠AOE. б) ОС - биссектриса углов BOD и АОЕ.
Вопрос: Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах
Категория: школьный раздел
Ответы:
Длина учебника - 14,5 см = 145 мм; ширина учебника -22см = 220 мм.
Вопрос: Измерив толщину учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа
Категория: школьный раздел
Ответы:
Толщина учебника - 1,5 см, количество листов в ней - 170. Значит толщина одного листа=1?5/170=3/340=0?009 cv
Вопрос: Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 31, если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) Так как KL — единица измерения, то KL = 1. В отрезке АВ отрезок KL укладывается два раза, поэтому АВ = 2. Аналогично, PQ = 3, EF = 5, CD = 6.б) Так как АВ — единица измерения, то АВ = 1. Половина отрезкаАВ укладывается в отрезке KL один раз, поэтому KL = -. В отрезке PQ отрезок АВ укладывается один раз, и в остатке половина отрезка АВ укладывается также один раз, поэтому PQ = 1 + - = 1-. Аналогично, EF = 2^, CD = 3.Ответ, a) KL = 1, АВ = 2, PQ = 3, EF = 5, CD = 6; б) KL = i, АВ = 1, PQ = li, EF = 2^, CD = 3.
Вопрос: Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 2AB, ½AB и ¼AB
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B. С помощью масштабной линейки отметьте точки C и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. На прямой АВ из точки А исходят два луча — луч АВ и луч АВ\, являющийся продолжением луча АВ. На каждом из этих лучей можно отметить только одну точку — точку С на луче АВ и точку С\ на луче АВ\ — так, чтобы АС = 2 см и АС\ = 2 см. Следовательно, на прямой АВ можно отметить две такие точки.Ответ. Две точки.
Вопрос: Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как точка В делит отрезок АС на два отрезка АВ и ВС, то АС = АВ + ВС. По условию АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм = = 2,5 см, поэтому АС = 7,8 см + 2,5 см = 10,3 см.Ответ. 10,3 см.
Вопрос: Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см; б) AB = 4 мм, АС = 4 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как точка В делит отрезок АС на два отрезка: АВ и ВС, то АС = АВ + ВС. Отсюда следует, что ВС = АС - АВ.а)  По условию АС = 7,2 см, АВ = 3,7 см, поэтому ВС = 7,2 см — - 3,7 см = 3,5 см.б)   По условию АС = 4 см = 40 мм, АВ = 4 мм, поэтому ВС = = 40 мм — 4 мм = 36 мм.Ответ, а) 3,5 см; б) 36 мм.
Вопрос: В стране Х в качестве денежных средств используются су, а стране У – песо. Валютный курс: 1 су = 3 песо. Определите, сколько будет стоить товар в стране У, если в стране Х он стоит 600 су.
Категория: экономические
Ответы:
В стране У он будет стоить в 3 раза дороже, т. е. 1800 песо. 
Ответ: 1800 песо.
Вопрос: Точки А, B и С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 12 см, BC= 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Возможны два случая.а)  Точка С лежит на луче В А (рис. 11, а). В этом случаеАС = ВС -ВА= 13,5 см - 12 см = 1,5 см.б)  Точка С лежит на продолжении луча АВ (рис. 11, б). В этом случае АС = АВ + ВС = 12 см + 13,5 см = 25,5 см.Ответ. 1,5 см или 25,5 см.
Вопрос: Точки B, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD= 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние BM
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Возможны два случая.а) Лучи DB и DM совпадают (рис. 12, а). В этом случае ВМ = = DM - DB = 16 см - 7 см = 9 см.б) Лучи DB и DM не совпадают, и, следовательно, точка М лежит на продолжении луча DB (рис. 12, б). В этом случае ВМ = BD + + DM = 7 см + 16 см = 23 см.Ответ. 9 см или 23 см