nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: В треугольник ABC вписан квадрат KLMN. При этом точка M лежит на стороне AC, точка  N лежит на стороне AC, точка K лежит на стороне AB, точка L лежит на стороне BC. Найти сторону квадрата, если длина стороны AC треугольника равна a, высота BD, опущенная из вершины B треугольника равна h.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Обозначим искомую сторону квадарата как x. Обозначим точку, в которой высота треугольника BD пересекает сторону вписанного квадрата как E. Тогда 

BD =  BE + ED 

Поскольку ED будет равно стороне квадрата, то 

h = BE + x 
BE = h - x 

Полученные треугольники ABC и BKL являются подобными, таким образом, все их геометрические размеры относятся друг к другу с неким коэффициентом подобия. Отношение оснований треугольников равно отношению оснований их высот. То есть: 

KL / AC = BE / BD 

KL - это сторона вписанного квадрата, значит 

x / a = ( h - x ) / h 
xh = a ( h - x ) 
xh = ah - ax 
xh + ax = ah 
x ( h + a ) = ah 
x = ah / ( h + a ) 

Ответ: ah / ( h + a )
Вопрос: В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD:BA=1:3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D1.  Докажите, что треугольник DBD1 подобен треугольнику ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Для доказательства воспользуемся теоремой Фалеса: "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки". 

Поскольку плоскость, проходящая через точку D, которая пересекает отрезок BC в точке D1 параллельна прямой AC, то прямая DD1 принадлежащая этой плоскости, также параллельна прямой AC. 

Согласно теореме Фалеса, "Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки". То есть: 

BD / AD = BD1 / D1C 

Согласно второму признаку подобия треугольников "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны". 
В данном случае угол В у треугольников DBD1 и треугольника ABC является общим. Таким образом, треугольники подобны.
Вопрос: Внутри окружности проведены хорды AB и BC, длина которых равна радиусу окружности. Определите величину угла ABC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Проведем к центру окружности, который обозначим буквой O, отрезки AO, BO и CO. Поскольку по условию задачи AB и BC равны радиусу окружности, а AO, BO и CO равны радиусу по определению, то в треугольнике ABO  AB=AO=BO=r (радиусу окружности), а в треугольнике BCO BC=OC=OB=r (радиусу окружности). 

Таким образом, треугольники ABO и BCO - равносторонние. Углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют 60 градусов. Таким образом углы ABO=OBC=600, а угол ABC равен сумме углов ABO и OBC, ABC = ABO + OBC = 600 + 600= 1200. 

Ответ: Искомый угол ABC, образованный двумя хордами AB и BC равен 120 градусов.
Вопрос: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найдите радиус описанной окружности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Значит R = 26/2 = 13 см. 

Ответ: 13 см.
Вопрос: В треугольнике АВС угол В=60 градусов, АВ больше ВС на 1, радиус описанной окружности равен √7. Найдите площадь треугольника и длину стороны АС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
обозначим BC как x, тогда AB = x+1 
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен 
R = a / 2sinα 
где 
a - сторона, противолежащая углу α 
Таким образом, учитывая, что sin 60 градусов равен √3/2 : 
√7 = AC / 2sin60º 
√7 = AC / ( 2 √3/2 ) 
√7 = AC / √3 
AC = √21
Вопрос: Оптовая цена закупки составляет 11257,5 руб. за единицу товара, а планируемая магазином торговая надбавка – 35 %. Определить розничную цену товара.
Категория: экономические
Ответы:
Розничные цены формируются в сфере розничной торговли. Помимо оптовых цен закупки они включают торговые скидки (надбавки). Розничные цены обеспечивают необходимые условия для прибыльной работы розничной торговли. 
Розничная цена, таким образом, равна оптовой цене закупки с учетом торговой надбавки: 
Ц = 11257,5+11257,5*35/100=20725
Ответ: розничная цена товара составит 20725 руб.
Вопрос: Радиус окружности , описанной около остроугольного треугольника ABC, равен √3 см. 
Найдите градусную меру угла B , если AC =√6 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен 
R = a / 2sinα, где 
a - сторона треугольника, вписанного в окружность, α - противолежащий угол. 

Таким образом: 
√3 = √6 / 2sinα 
2sinα = √2 
sinα = √2/2 
Смотрим таблицу значений тригонометрических функций, 
α = 45º 
Ответ: градусная мера угла треугольника, вписанного в заданную окружность равна 45 градусов.
Вопрос: Существует ли четырехугольник, если длины сторон 1 см, 3 см, 5 см, 9 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Для того, чтобы четырехугольник существовал, необходимо, чтобы длина одной из его сторон была меньше, чем сумма длин трех остальных сторон, иначе будет невозможно замкнуть периметр.

Для проверки возьмем наибольшую из сторон (9 см). Тогда сумма остальных составит 1+3+5 = 9 см. Это означает, что длины этих сторон либо должны быт отложены как часть отрезка (9 см) большей стороны, либо такую фигуру замкнуть невозможно. Вывод: такой четырехугольник существовать не может.

Ответ: Нет не существует.
Вопрос: Существует ли четырехугольник, если длины сторон 5 см, 17 см, 3 см, 7 см?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Для того, чтобы четырехугольник существовал, необходимо, чтобы длина одной из его сторон была меньше, чем сумма длин трех остальных сторон, иначе будет невозможно замкнуть периметр.

Для проверки возьмем наибольшую из сторон (17 см). Тогда сумма остальных составит 7+3+5 = 15 см. Это означает, что такую фигуру замкнуть невозможно. Вывод: такой четырехугольник существовать не может.

Ответ: Нет не существует
Вопрос: Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, а одна из сторон больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей, а четвертая - в три раза больше второй
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Периметр четырехугольника равен сумме длин каждой из его сторон. Для решения задачи обозначим меньшую (!) сторону четырехугольника через x. Для понимания решения, пусть названия сторон будут A, B, C и D. Тогда

A = х + 8 (Одна из сторон четырехугольника, пусть это будет сторона A, больше второй, пусть это будет сторона B на 8 см, соответственно длина меньшей стороны будет x)

B  =  x  (Одна из сторон четырехугольника, пусть это будет сторона A, больше этой стороны на 8 см)

C = x + 16 (... "и на столько же меньше третьей". То есть, если длина стороны A = x + 8, а она меньше третьей на 8 см, то длина стороны C четырехугольника составит x + 16 см)

D = 3x (Длина этой стороны четырехугольника по условию в три раза больше второй)

Соответственно, периметр четырехугольника равен:

P= A + B + C + D

(x + 8) + x + (x + 16) + 3x = 66

6x + 24 = 66

6x = 42

x=7

Соответственно, длины сторон четырехугольника в задаче равны 7, 15, 23, 21

Ответ: 7 см, 15 см, 23 см, 21 см
Вопрос: Можно ли описать окружность вокруг четырехугольника, если его углы, расположенные последовательно, равны 138, 44, 52, 126 градусов?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об углах четырехугольника, и окружности, описанной вокруг него, которая гласит: "Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам". Или другие формулировки: "Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180 градусам" или "Сумма противолежащих углов четырехугольника, вокруг которого описана окружность, равна 180 градусам".

Поскольку нам дана четкая последовательность углов, то они разбиваются на пары 138 и 52, а также 44 и 126 градусов. Если вокруг данного четырехугольника можно описать окружность, то сумма каждой пары должна составить 180 градусов.

44 + 126 = 170

138 + 52 = 190

Таким образом, вокруг данного четырехугольника невозможно описать окружность.

Ответ: нет
Вопрос: 35. Ф. Энгельс утверждал, что «двумя великими открытиями мы обязаны Марксу». Первое - это «открытие тайны прибавочной стоимости». А что было вторым, философским открытием К. Маркса:
а) идея общественного прогресса;
б) открытие классов и классовой борьбы; 
в) открытие материалистического понимания истории; (*ответ к тесту*) 
г) идея социализма как общественной системы без частной собственности.
36. Какое из ниже перечисленных высказываний выражает суть марксистского подхода к пониманию общественной жизни:
а) «Мир, в котором вы живете, определяется в первую очередь не внешними условиями и обстоятельствами, но мыслями, которые обычно заполняют ваше сознание... Чтобы изменить ваши обстоятельства, прежде всего начните думать иначе....»; 
б) «.. .Планирующая работу голова уже на очень ранней ступени развития общества... имела возможность заставить не свои, а чужие руки выполнять намеченную ею работу. Всю заслугу быстрого развития цивилизации стали приписывать голове, развитию и деятельности мозга. Люди привыкли объяснять свои действия из своего мышления, вместо того, чтобы объяснять их из своих потребностей...»; (*ответ к тесту*) 
в) «Для того, чтобы изменить установившийся ход жизни в себе или людях, надо бороться не с событиями, а с теми мыслями, которые произвели их». (*ответ к тесту*) 
37. Какое из ниже перечисленных суждений отражает оригинальность марксистской гносеологии:
а) признание относительности любых истин; 
б)Понимание познания как отражения действительности;  (*ответ к тесту*) 
в) признание исходным пунктом познания наших ощущений; 
г)введение категории «практики» в гносеологию. (*ответ к тесту*) 
38.  Кто из ниже перечисленных мыслителей является представителем западноевропейского экзистенциализма
а) 3. Фрейд;
б) К. Ясперс (*ответ к тесту*) 
в) Ж.П. Сартр;
г) А. Камю; (*ответ к тесту*) 
д) Б. Рассел
39. «Наука не нуждается ни в какой стоящей над ней философии» - лозунг, характерный для:
а) экзистенциализма;
б) неотомизма; 
в) позитивизма. (*ответ к тесту*)
Категория: гуманитарные
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены по каждому вопросу
Вопрос: В окружность вписан прямоугольник со сторонами 32см и 24см. Найдите радиус окружности.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольника лежит на пересечении диагоналей. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Стороны прямоугольника образуют с диагональю прямоугольный треугольник. Таким образом, по теореме Пифагора, длина диагонали прямоугольника будет равна:

d 2 = 322 + 242

d 2 = 1600

d = 40

Таким образом, центр описанной окружности вокруг прямоугольника лежит на середине диагонали, значит R = 40 / 2 = 20

Ответ: Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 20 см.
Вопрос: Найдите углы выпуклого четырехугольника , если они пропорциональны числам 1,2,4,5
Категория: школьный раздел
Ответы:
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая:

180(n-2)=180*(4-2)=360 градусов

Обозначим меньший угол четырехугольника как x, тогда углы такого четырехугольника будут равны:

x, 2x, 4x, 5x.
Исходя из теоремы о сумме углов четырехугольника, имеем:

x+2x+4x+5x=360, тогда

12x=360

x=30

Соответственно, остальные углы четырехугольника равны 60, 120 и 150 градусов.
Ответ:

30, 60, 120, 150 градусов
Вопрос: Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 60градусов, а длина AC составляет  10,5 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Поскольку AC является диагональю ромба, все стороны ромба равны, то ABC - равнобедренный треугольник. Поэтому углы ABC и ACB равны (углы при основаниях равнобедренного треугольника). 

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, то каждый из этих углов будет равен (180° - 60°) / 2 = 60° . 

Треугольник, все углы которого равны, является равносторонним. Таким образом,  AB = BC = AC. 

Зная сторону ромба, найдем его периметр. P = 10,5 * 4 = 42 см 

Ответ: 42 см
Вопрос: У ромба ABCD диагональ BD равна 14 см, длина диагонали AC равна 48 см. Найти длину стороны АВ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то 

DO = OB = BD / 2 
DO = OB = 24 см 

AO = OC = AC /2 
AO = OC = 7 см 

Исходя из того, что диагонали ромба пересекаются под прямім углом, треугольники AOD и AOB - прямоугольные. Откуда 

AO2 + OB2 = AB2 
откуда 
72 + 242 =  AB2 
49 + 576 = 
625 = AB2 
AB =25 см 

Ответ: 25 см
Вопрос: У трапеции ABCD ( основания AB ,CD ) расстояние между основаниями равно 10 см . Найти площадь трапеции АВСD, если сумма оснований равна 8
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Согласно формулам нахождения площади трапеции, площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту трапеции. Расстояние между основаниями трапеции и есть высота трапеции. Поэтому площадь трапеции будет равна:

S = 1/2 * 8 * 10 = 40 квадратных сантиметров

Ответ: 40 см кв.
Вопрос: Предприятие производит и реализует продукцию одного вида в количестве 500 шт. Цена реализации изделия – 130 руб. Маркетинговые исследования показали, что можно увеличить объем реализации на 10 % – до 550 шт. изделий при незначительном снижении цены. Поскольку производственные мощности позволяют увеличить объем выпуска, необходимо определить выручку предприятия при снижении цены – на 5 руб. и на 10 руб.
Категория: экономические
Ответы:
Представим в виде таблицы алгоритм расчета выручки от реализации продукции (как произведение цены на объем продукции) до и после уменьшения цены на 5 руб. и на 10 руб. 
      Таблица 1
Цена изделия, руб.     Объем реализации, шт.     Выручка, руб. 
130     500     65000 
125     550     68750 
120     550     66000 
Таким образом, при снижении цены в обоих случаях выручка от реализации продукции все равно увеличилась за счет увеличения объема продаж. 
Ответ: выручка от реализации продукции до изменения цены составит 65000 руб., при увеличении на 5 руб. – 68750 руб., а при увеличении на 10 руб. – 66000 руб.
Вопрос: Дана трапеция ABCD, у которой AD||BC (AD и BC - параллельные основания). При этом величина сторон составляет AB = 8см, BC = 7,5 см,  
CD = 6 см, AD = 17,5 см. Найти площадь данной трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для случая, когда у трапеции известны величины всех ее сторон, существует соответствующая формула нахождения площади трапеции. Ею мы и воспользуемся. 
S = ( AD + BC ) / 2 √ ( AB2 - ( ( (BC -AD)2 + AB2 - CD2  ) / (2 ( BC - AD ) ) )2 ) 
S = ( 17,5 + 7,5 ) / 2 √ ( 82 - ( (17,5 - 7,5)2 + 82  - 62 ) / ( 2 ( 17,5 - 7,5 ) ) )2 ) 
S = 12,5 √ ( 64 - ( ( 100 + 64 - 36 ) / 20 ) 2 ) 
S = 12,5 √ ( 64 - 40,96 ) = 6 635,52 см2
Вопрос: Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и ADотносятся как 3 к 7
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых. 

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом: 

BO / OD = 3 / 7 

По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно 

OD = 40 - BO 

Таким образом, 

BO / ( 40 - BO ) = 3 / 7 
7BO = 3 ( 40 - BO ) 
7BO = 120 - 3BO 
10BO = 120 
BO = 12 

Соответственно, OD = 40 - 12 = 28 

Ответ: 28 см
Вопрос: Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см. Найдите основания трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим большее основание как а, а меньшее как b. Учтем при этом следующее: 

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме 

Значит: 

a - b = 4 
(a + b) / 2 = 10 

Откуда a = b + 4, тогда 

(b + 4 + b) / 2 = 10 
2b + 4 = 20 
b = 8 

Следовательно a = b + 4 = 12 

Ответ: Основания трапеции равны 8 и 12 см
Вопрос: У трапеции ABCD угол ABC равен углу ACD. При этом величина основания AD равна 18 сантиметрам, а диагональ AC равна 12 см. 
 Найти величину основания BC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку ABCD - трапеция, то углы CAD и BCA равны, исходя из свойств секущей для двух параллельных прямых. 
Так как углы CAD и BCA равны, углы ABC и ACD равны по условию, то в треугольниках ABC и ACD, в которых два угла равны, третьи углы также равны - угол BAC равен CDA (сумма углов треугольника равна 180 градусам, а два из трех углов равны, поэтому и оставшиеся углы равны).

Так как все углы треугольников ABC и ACD попарно равны, то такие треугольники подобны.

Поскольку треугольники ABC и ACD подобны, то соотношения всех их сторон равны одному и тому же числу.

Откуда: 
AC/AD = BC/AC 
(AC - сторона, противолежащая углу B треугольника ABC, AD - сторона, противолежащая соответствующему углу треугольника ACD, аналогично и правой стороной равенства) 
таким образом: 
12/18 = BC/12 
BC = 8 
Ответ: BC = 8 см
Вопрос: Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам. 

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых. 

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть 

AO / OC = AD / BC 
9 / 6 = 24 / BC 
BC = 24 * 6 / 9 = 16 

Ответ: 16 см
Вопрос: В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник. 

Значит 
AD = AM+BC+KD 
a + 8 + b = 24 
a = 16 - b 

Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора 

h2 + (24 - a)2 = (5√17)2 
и 
h2 + (24 - b)2 = 132 

Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении 
h2 + (24 - 16 + b)2 = 425 
h2  = 425 - (8 + b)2 

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим: 
425 - (8 + b)2 + (24 - b)2  = 169 
-(64 + 16b + b)2 + (24 - b)2 = -256 
-64 - 16b - b2 + 576 - 48b + b2  = -256 
-64b = -768 
b = 12 

Таким образом, KD = 12 
Откуда 
h2  = 425 - (8 + b)2 = 425 - (8 + 12)2 = 25 
h = 5 

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований 
Площадь трапеции, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции 
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см2 

Ответ: площадь трапеции равна 80 см2.
Вопрос: В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как  a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет ∠A. 

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна 
S = ab 

Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора 
CK2 + KD2 = CD2 

Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b 
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD.  Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b,  следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a - b. 
то есть 
122 + (a - b)2 = (a + b)2 
откуда 
144 + a2 - 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2 
144 = 4ab 

Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то 
144 = 4S 
S = 144 / 4 = 36 

Ответ: 36 см2 .
Вопрос: Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на 30 градусов больше второго
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой: 
Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2). 
Таким образом, сумма углов равнобокой (равнобедренной) трапеции равна: 
180 ( 4 - 2) = 360 градусов. 
Исходя из свойств равнобокой трапеции о том, что ее углы попарно равны, обозначим одну пару углов как х. Поскольку один угол на 30 градусов больше второго, то сумма углов равнобокой трапеции равна: 
х + (х + 30) + х + ( х + 30 ) = 360 
4х + 60 = 360 
х = 75 
Ответ: углы равнобокой (равнобедренной) трапеции равны 75 и 105 градусов попарно
Вопрос: В равнобедренной трапеции АBCD проведена диагональ АС равная 15 см и задан угол САD. 
Найти высоту трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Равнобокая (равнобедренная) трапеция  с диагональю и высотой 
Диагональ AC, сторона CD и основание трапеции AD образуют треугольник. Опустим из его вершины высоту CK, которая, одновременно, будет являться и высотой заданной трапеции.

Поскольку CK - высота, то треугольник ACK, образованный данной высотой - прямоугольный.  При этом угол ∠CAK = ∠CAD, так как точки K и D лежат на одной прямой. 
Таким образом:

sin ∠CAK = CK / AC 
(это следует из самого определения синуса - противолежащий катет мы делим на гипотенузу) 
откуда легко найти высоту заданной трапеции:

CK = AC * sin  ∠CAK 
или 
CK = 15 sin ∠CAD 
Примечание. Если угол CAD был бы задан, можно было бы воспользоваться таблицей значений тригонометрических функций.
Вопрос: Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то 

AD = BC + AM + ND 

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом, 

AD = BC + AM * 2 
AM = (AD - BC) / 2 
AM = ( 20 - 8 ) / 2 = 6 см 

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора: 

BM2 = AB2 - AM2 
BM2  = 102 - 62 
BM = 8 см 

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен 

k = 12 / 8 = 1,5 

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия: 

Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k ) 
Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см2  

Ответ:  252 см2
Вопрос: Предприятие производит и реализует продукцию одного вида в количестве 500 шт. Цена реализации изделия – 130 руб., полная себестоимость – 65 руб. (удельный вес постоянных затрат – 30 %). Маркетинговые исследования показали, что можно увеличить объем реализации на 10 % – до 1100 шт. изделий при незначительном снижении цены. Поскольку производственные мощности позволяют увеличить объем выпуска, необходимо определить, насколько экономически выгодно фирме снизить цену – на 5 руб. или на 10 руб.
Категория: экономические
Ответы:
Показатель выручки от реализации продукции не достаточно точно характеризует изменение прибыли. Для того чтобы оценить изменение прибыли, необходимо проанализировать влияние увеличения объема производства на 50 шт. изделий на соотношение между постоянными и переменными затратами. 
Расчет прибыли от увеличения объема производства на 50 шт. изделий и снижения цены на 5 руб. и 10 руб. представлен в табл. 2 при условии, что постоянные затраты составляют 30 %, а переменные – 70 %. 
Предельный доход определяем как разницу между ценой и переменными затратами. 
Общий предельный доход рассчитываем путем умножения предельного дохода на объем продаж. Общий предельный доход за вычетом общих постоянных затрат представляет собой общую прибыль предприятия. 
    Таблица 2
Показатель     Объем, шт 
    500     550     550 
Продажная цена, руб./шт.     130     125     120 
Переменные затраты, руб./шт.     65*0,7=45,5     45,5     45,5 
Предельный доход, руб./шт.     130-45,5=84,5     79,5     74,5 
Общий предельный доход, руб.     84,5*500=42250     43724     40975 
Общие постоянные затраты, руб.     65*500*0,3=9750     10725     10725 
Общая прибыль, руб.     42250-9750=32500     32999     30250 
Данные табл. 2 свидетельствуют, что при объеме продаж 550 шт. и цене 120 руб. за 1 шт. прибыль фирмы уменьшилась на 2250 руб. (разность 30250руб. – 32500 руб.), а при цене 125 руб. за 1 шт. – увеличилась на 499 руб. (разность 32999 руб. – 32500 руб.) по сравнению с первоначальным вариантом. 
Ответ: фирме экономически выгодно снизить цену на 5 руб., так как в этом случае прибыль увеличится на 499 руб.
Вопрос: В равнобокой трапеции большее основание 36см,боковая сторона 25см, диагональ 29см.найти площадь трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Для получившихся прямоугольных треугольников ABM и BMD справедливо следующее: 
AB2  = BM2  + AM2 
AD2 = BM2 + MD2 

Поскольку высота равнобокой трапеции одновременно равна 
BM2 = AB2 - AM2 
BM2 = AD2 - MD2 

Таким образом, 
AB2 - AM2  = AD2 - MD2 
252 -  AM2  = 292 - MD2 

Так как AD = AM + MD, то 
AM + MD = 36 
MD = 36 - AM 

Откуда 
252 -  AM2  = 292 - (36 -AM)2 
625 - AM2  = 841 - (36 -AM)2 
625 - AM2  = 841 - (1296 - 72AM + AM2 ) 
625 - AM2  = 72AM - 455 - AM2 
625 = 72AM - 455 
AM = 15 

Откуда MD = 36 - 15 = 21 

Поскольку AM = 15, то величина меньшего основания равнобокой трапеции будет равна 36 - 15 *2 = 6 см 

Высоту равнобокой трапеции найдем по теореме Пифагора: 
BM2 = AB2 - AM2 
BM2 = 625 - 225 
BM = 20 

Площадь равнобокой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. 
S = 1/2 (36 + 6 ) * 20 = 420 см2 . 

Ответ: 420 см2 .
Вопрос: В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание BC = 5 см, угол ABC = 135 градусов, высота трапеции равна 3 см. Найдите большее основание
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Опустим из вершины B на основание AD высоту BE.  

В результате угол ABC равен сумме градусных мер углов ABE и EBC. Поскольку основания трапеции параллельны, то угол EBC равен 90 градусов. Откуда угол ABE = 135 - 90 = 45 градусов. 

Поскольку BE - высота, то треугольник ABE - прямоугольный. Зная угол ABE, определим, что угол EAB равен 180º - 90º - 45º = 45º . Откуда следует, что треугольник ABE - равнобедренный, то есть AE = BE = 3 см. 

Поскольку трапеция ABCD - равнобокая, то большее основание равно 5 + 3 + 3 = 11 см. 

Ответ: большее основание равнобокой трапеции равно 11 см
Вопрос: Найти среднюю линию равнобокой трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона 5, а одно из оснований в 2 раза больше другого
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку основания трапеции параллельны, то угол ADB равен углу DBC, как внутренние накрест лежащие углы. Так как по условию диагональ является биссектрисой, то углы ADB и BDC равны. Откуда следует, что углы CBD и CDB равны. 

Из сказанного выше следует, что треугольник BCD - равнобедренный. Таким образом, поскольку боковая сторона равна 5 см, то основание BC также равно 5 см. 

Согласно условию, второе основание больше в два раза, то есть равно 10 см. 

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Откуда средняя линия трапеции равна ( 5 + 10 ) / 2 = 7,5 см 

Ответ: Средняя линия трапеции равна 7,5 см
Вопрос: Две окружности с радиусами a и b касаются внешним образом. К ним проведены общие внешние касательные. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Как видно из рисунка, четырехугольник, образованный касательными, является равнобокой (равнобедренной) трапецией. 
Площадь трапеции найдем по формуле (1): 
Формулы нахождения площади трапеции через высоту и основания 

Длины верхнего и нижнего оснований равны двойным радиусам соответствующих окружностей, а высота - сумме радиусов. 
Откуда: 

S = ( 2a + 2b ) ( a + b ) / 2 
S = ( a + b )2 

Ответ: S = (a + b)2 .
Вопрос: Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, угол при основании которой равен 30 градусов. Высота трапеции равна 4 см. Найдите сумму длин оснований трапеции
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Равнобокая трапеция, описанная вокруг окружности

Для решения данной задачи определим длину равных боковых сторон трапеции. По условию, угол KAB равен 30 градусам. Так как BK - высота равнобедренной трапеции, то треугольник ABK - прямоугольный. Откуда

BK / AB = sin 30

Значение sin 30 градусов найдем из таблицы тригонометрических функций.

BK / AB = 1/2 
так как BK - высота трапеции, то  
4 / AB = 1/2 
AB = 8 см 
Поскольку трапеция равнобокая (равнобедренная), то AB = CD = 8 см

Теперь обратимся к основному свойству четырехугольника, описанного вокруг окружности. Из него следует, что суммы длин противоположных сторон равны. То есть

AB + CD = BC + AD 
откуда 
BC + AD = 8 + 8 = 16 см 
Что и требовалось определить.

Ответ: 16 см.
Вопрос: Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону.  Обозначим стороны параллелограмма как a и b. 
Следовательно площадь и периметр будут равны: 

S = 4a 
S = 5b 
P = 2a + 2b 

Откуда 4a = 5b 
a = 5/4b 

Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то 
2( 5/4b ) + 2b = 42 
b = 9 1/3 

Откуда a = 11 2/3 

Теперь находим площадь параллелограмма: 
S = 4 * 11 2/3 = 5 * 9 1/3 = 46 2/3 см2 . 

Ответ: 46 2/3 см2 .
Вопрос: Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b). 
Пусть х - это сторона а, тогда 

b=3х. 
2(х+3х)=16 
2*4х=16 
х=2 

значит сторона а=2, а сторона b=6. 

Ответ: 2 и 6.

решение задания по геометрии
Вопрос: На диагонали МР прямоугольника МNРQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что АNBQ параллелограмм
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Докажем это. 

Исходя из условия задачи треугольники MAN и PBQ равны. Так как PB = AM по условию задачи, PQ = NM как противоположные стороны прямоугольника, а углы BPQ и NMA равны, как внутренние накрест лежащие для параллельных прямых NP и MQ и секущей MP. 

Аналогично доказывается равенство треугольников NBP и QAM. 

Поскольку описанные треугольники равны, то NA = BQ,  NB = BQ. 

Таким образом, поскольку противолежащие стороны равны, то АNBQ параллелограмм
Вопрос: В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов. Определите углы и периметр параллелограмма ABCD. 
Дополнительно: определите вид четырехугольника ABMD, где точка M - середина DC, определите углы четырехугольника ABMD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Поскольку нам дана величина угла ADB (диагональ параллелограмма образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов), то величина угла DBC также равна 60 градусов, поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, соответственно диагональ является секущей для двух параллельных прямых AD и BC, а для любой секущей внутренние накрест лежащие углы равны. 

Таким образом, в треугольнике BCD нам известны два угла из трех, и они оба равны 60 градусов. Соответственно, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол BCD также равен 60 градусам, из чего следует, что треугольник BCD - равносторонний. 

Поскольку треугольник BCD - равносторонний, то BC = CD = BD = 6 см. 

Таким образом, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, периметр его равен 24 см. Параллелограмм является ромбом. 

Дополнительно: 

Поскольку точка М лежит на стороне CD, то AB и MD - параллельны, следовательно, ABMD - трапеция. 

Угол DAB трапеции равен 60 градусов, исходя из решения, изложенного выше, как угол параллелограмма. 

Угол ADM равен 120 градусов, так как по условию диагональ BD образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов, а ADM равен сумме данных углов. 

Поскольку по условию точка M - середина DC, CM = MD. Значит BM - медиана треугольника DBC. Как указано выше, треугольник DBC - равносторонний, а в равностороннем треугольнике медиана является, одновременно, биссектрисой и высотой. Значит, угол DBM равен половине угла DBC и равен 60 / 2 = 30 градусов. Откуда угол ABM = 60 + 30 = 90 градусов. Поскольку BM - высота, то BMD равен также 90 градусов. 

Исходя из сказанного,  ABMD - прямоугольная трапеция. 

Ответ: 24 см. 60º, 90º, 90º, 120º - прямоугольная трапеция.
Вопрос: В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см .Найти площадь параллелограмма
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD  как BK. 
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора: 

AB2 = BK2 + AK2 
 82 = 92  + AK2 
AK2 = 82 - 81 
AK = 1 

Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания.  AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC. 
AN2 + NC2 = AC2 
92 + NC2 = 152 
NC2 = 225 - 81 
NC2 = √144 
NC = 12 

Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD. 
BC = NC - NB 
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда 
BC = 12 - 1 = 11 

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию. 
S = ah 
S = BC * BK 
S = 11 * 9 = 99 

Ответ: 99 см2 .
Вопрос: Рассмотрите рисунок. Определите коэффициент ценовой эластичности на отрезке АВ кривой спроса d1. О каком товаре идет речь?
Категория: экономические
Ответы:
Для решения задачи необходимо вспомнить, как определяется дуговой коэффициент ценовой эластичности. Коэффициент эластичности обозначим Еd/p, тогда
Вопрос: В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK. 
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов - прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали. 

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть 
Sпаралл = 2SAOB +2SBOC 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда 
S = 2 ( 1/2 8 * 4 ) + 2 ( 1/2 6 * 4 ) = 56 см2 
Ответ: 56 см2 .
Вопрос: Высота параллелограмма проведена из вершины тупого угла и равняется 5 см. Высота делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол равняется 30 градусам. Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Параллелограмм 
  Поскольку, по условию задачи,  AE=ED,  то треугольники ABE и DBE равны между собой (по первому признаку равенства треугольников: равны две стороны и угол между ними, AE=ED и  BE - общая сторона, а BE образует с AD  угол 90 градусов). Таким образом, угол ADB равен 30 градусам. Соответственно, угол DBC также равен 30 градусам как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD.

Из прямоугольного треугольника  ABE определим, что угол ABE равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов. Откуда (из равенства треугольников ABE и DBE) угол EBD также равен 60 градусов. Таким образом, диагональ образует со вторым основанием угол ABD = 60 + 60 = 120 градусов. BDC = ABD = 120 градусов как внутренние накрест лежащие.

Найдем длину диагонали. 
BE / BD = cos ∠EBD 
BE / BD = cos 60 
Подставим значение косинуса 60 градусов и получим: 
BE / BD = 1/2 
По условию задачи BE = 5 см, откуда 
5 / BD = 1/2 
BD = 10 
Ответ: длина диагонали параллелограмма равна 10 см, углы, которые образует диагональ с основаниями равны 30 и 120 градусов.
Вопрос: В прямоугольнике CKMN проведена биссектриса угла C,которая пересекает сторону KM в точке E, причём длина отрезка KE на 3 см меньше длины ME. Найдите MN, если периметр CKMN равен 51 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Поскольку CE - биссектрисса угла С, то угол KCE равен 90 / 2 = 45 градусов. 

Тогда в прямоугольном треугольнике CKE угол KEC найдем исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поскольку два угла из трех нам известны (К - прямой угол прямоугольника, угол KEC равен 45 градусам), то 180 - 90 - 45 = 45 градусов. 

Поскольку два угла треугольника CKE равны между собой, то этот прямоугольный треугольник также является и равнобедренным. Исходя из этого CK=KE=MN. 

Обозначим длину отрезка KE как x. Тогда EM будет равно х+3 . Таким образом, периметр прямоугольника будет равен 

2 ( CK + KE + EM ) = 51 

Учтем, что CK = KE 

2 ( x + x + x + 3 ) = 51 
2( 3x + 3) = 51 
6x + 6 = 51 
6x = 45 
x = 7,5 см 

Так как KE = CK = MN, то MN = 7,5 см 

Ответ: 7,5 см
Вопрос: Периметр прямоугольника равен 32 сантиметрам, а сумма площадей квадратов, построенных на каждой из его сторон - 260 квадратных сантиметров. Найдите стороны прямоугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим стороны прямоугольника как x и y. 
Тогда периметр прямоугольника равен: 
2(x+y)=32 
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, четыре) будет равна 
2x2+2y2=260 
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что 
x+y=16 
x=16-y 
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом. 
2(16-y)2+2y2=260 
2(256-32y+y2)+2y2=260 
512-64y+4y2-260=0 
4y2-64y+252=0 
Решаем полученное квадратное уравнение. 
D=4096-16x252=64 
x1=9 
x2=7 
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=16 (см. выше) при x=9, то y=7 и наоборот, если x=7, то y=9 
Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 и 9 сантиметров
Вопрос: Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим стороны прямоугольника как x и y. 
Тогда периметр прямоугольника равен: 
2(x+y)=26 
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна 
x2+y2=89 
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что 
x+y=13 
y=13-y 
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом. 
(13-y)2+y2=89 
169-26y+y2+y2-89=0 
2y2-26y+80=0 
Решаем полученное квадратное уравнение. 
D=676-640=36 
x1=5 
x2=8 
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5 
Ответ: 5 и 8 см
Вопрос: Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.  
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой - 3х.

Тогда: 
2(2x+3x)=26 
2x+3x=13 
5x=13 
x=13/5 
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника: 
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см2
Вопрос: Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь прямоугольника равна 
S = ab 

В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна 
S2 = 1,25ab 

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то 
S2 = S / 1.25 
S2 = 1,25ab / 1.25 

поскольку новый размер а изменять нельзя, то 
S2 = (1,25a) b / 1.25 

1 / 1,25 = 0,8 
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на ( 1 - 0,8 ) * 100% = 20% 

Ответ: ширину нужно уменьшить на 20%.
Вопрос: Одна из сторон треугольника больше другой на 8 сантиметров, а угол между ними равен 120 градусам. Найдите периметр треугольника, если длин третьей стороны равна 28 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Обозначим одну из сторон треугольника как x, тогда величина другой равна x+8 см.

Исходя из теоремы косинусов, получим: 
282 = x2 + (x+8)2-2x(x+8)cos120o 
784 = x2 + x2 +16x + 64 - 2x(x+8)(-0,5) 
784 = 2x2+16x + 64 + x(x+8) 
720 = 3x2 + 16x + 8x 
3x2 + 24x +720 = 0 
D=9216 
x1=((-24)+96)/6=12 (второй корень является отрицательным числом и не имеет смысла в рамках решения задачи)

Таким образом, периметр треугольника P=12+(12+8)+28 = 60 см.

Ответ: 60 см
Вопрос: В треугольнике АВС сторона АС равна 7√3 см, сторона ВС равна 1 см. Угол С равен 150 градусам. Найти длину стороны АВ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Применим теорему косинусов и соответствующую формулу (см.выше) 
AB2  = (7√3)2 + 12  - 2 (7√3) cos 150º 
Значение косинуса 150 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций. 
AB2 = 147 + 1 - 14√3 (-√3/2)  
AB2 = 148 + 21 = 169 
AB = 13 
Ответ: 13 см
Вопрос: В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β
Категория: школьный раздел
Ответы:
Поскольку cos α = 4/5, то AC / AB = 4 / 5. То есть стороны соотносятся как 4:5. Обозначим длину AC как 4x, тогда AB = 5x. 

По теореме Пифагора: 
BC2 + AC2 = AB2 

Тогда 
BC2 + ( 4х )2 = ( 5х )2 
BC2 + 16х2 = 25х2 
BC2 = 9х2 
BC = 3x 

sin α = BC / AB = 3x / 5x = 3/5 
sin β = AC / AB, а его значение и так известно по условию, то есть 4/5 

Ответ: 3/5, 4/5
Вопрос: Даны три товара. Изменения объемов спроса в зависимости от изменения цены приведены в таблице. Определите коэффициенты ценовой эластичности по каждому товару. 
Товар А     Товар В     Товар С 
Цена     Количество     Цена     Количество     Цена     Количество 
40     200     3,5     600     1     500 
10     1400     7,0     300     2     480
Категория: экономические
Ответы:
Технология решения задачи: необходимо определить коэффициенты дуговой эластичности спроса по цене по каждому товару. Коэффициент эластичности товара А (Еd/p A) определяется по формуле
Вопрос: Сторона АВ треугольника ABC равна 16см. Угол А равен 30 градусам. Угол В равен 105 градусам. Вычислите длину стороны ВС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: 
a / sin α = b / sin β = c / sin γ 

Таким образом 
BC / sin α = AB / sin γ 

Величину угла С найдем, исходя из того, сумма углов треугольника равна 180 градусам. 
С = 180 - 30 -105 = 45 градусов. 

Откуда: 
BC / sin 30° = 16 / sin 45° 

BC = 16 sin 30° /  sin 45° 

Обратившись к таблице тригонометрических функций, находим: 

BC = ( 16 * 1 / 2 ) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 см 

Ответ: 16 / √2
Вопрос: В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника. 
Найти АН
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Из нее следует, что: 

BC / sin α = AB / sin β 

то есть 
7 / sin α = AB / sin β 
AB = 7 sin β / sin α 

Теперь рассмотрим треугольник ABH. По условию задачи BH - высота, значит он является прямоугольным. Угол AHB = 90 градусам. 
Тогда угол ABH = 180 - 90 - α. = 90 - α. 
Для него будет верно соотношение: 

AB / sin 90 = AH / sin (90 - α) 

Из таблицы значений тригонометрических функций учтем что sin 90 = 1, тогда 

AB = AH / sin (90 - α) 

Из формул приведения тригонометрических функций учтем что sin( 90 - α ) = cos α, тогда 

AB = AH / cos α 

Подставим значение AB 

7 sin β / sin α = AH / cos α 
AH sin α = 7 sin β cos α 
AH = 7 sin β cos α / sin α 

Из тех же тригонометрических тождеств выясним, что cos α / sin α = ctg α, тогда 

AH = 7 sin β ctg α 

Ответ: 7 sin β ctg α
Вопрос: Найдите количество сторон правильного многоугольника,центральный угол которого равен: 
1)120° 
2)60° 
3)72°
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Центральный угол - это угол, образованный двумя радиусами. 
Правильный многоугольник (восьмиугольник) у которого проведен центральный угол 
Так как многоугольник является правильным, все его стороны равны и все треугольники, которые образованы центром многоугольника и его углами - равны. Таким образом, все центральные углы также равны. 

Общая мера суммы всех центральных углов равна 360 градусов. 

Таким образом, количество сторон правильного многоугольника, исходя из градусной меры центрального угла будет равна: 
1) 360 / 120 = 3 (правильный треугольник) 
2) 360 / 60 = 6 (правильный шестиугольник) 
3) 360 / 72 = 5 (правильный пятиугольник) 

Ответ: 3; 6; 5 сторон.
Вопрос: В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая:

180(n-2)=3*80+x*150, где

3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.

Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то  очевидно, что x=n-3.

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Решаем полученное уравнение

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

30n = 150

n=5

Ответ: 5 вершин
Вопрос: Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:

180(n-2)=120n

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)

60n = 360

n=6

Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.

Объяснение:

Исходя из выражения 180n - 120n = 360 , при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.

Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.
Вопрос: В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360°.

Таким образом,

3*(180-113)+(n-3)x=360

правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.

201+(n-3)x=360

(n-3)x=159

159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.

Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.

Ответ: шесть углов