nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение
Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 3600. Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*900 = 3600. Имеем противоречие. Утверждение доказано

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку куб имеет шесть одинаковых сторон, найдем площадь одной из них. 

24 / 6 = 4 см2 

Зная площадь стороны (основания) куба, найдем величину ребра 

a = √4 = 2 см 

Откуда его объем равен 
S = a3 = 23 = 8 см3 . 

Ответ: 8 см3 .
Вопрос: Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость альфа в точке А1 а плоскость бета в точке А2, и прямая b пересекает эти плоскости в точках B1 и B2 соответственно. 
Найти KB2 если A2B2 относится к A1B1 как 4:3, а KB1 = 14 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Через прямые  a и b проведем плоскость, образованную этими пересекающимися прямыми.  В этой плоскости лежат треугольники A2KB2 и A1KB1. Эти треугольники подобны, так как угол К у них общий, а остальные углы также равны, так как образованы секущими KA2 и KB2 на параллельных прямых A1B1 и A2B2, так как плоскости альфа и бета - параллельны. 

Таким образом, коэффициент подобия верен для соотношения любых двух соответствующих сторон, то есть: 
KB2 : KB1 = 4:3 

Откуда 
KB2 : 14  = 4:3 
KB2 = 14 * 4 / 3 = 56/3 = 18 2/3 см 

Ответ: 18 2/3 см
Вопрос: Луч KM пересекает параллельные плоскости α и β в точках M1 и М2, а луч КР- в точках Р1 и Р2 соответственно. Вычислите длину отрезка М1М2 , если 
КМ1 = 8см. 
М1 Р1 : М2 Р2 = 4 : 9
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Совершив геометрические построения, согласно условию задачи, увидим, что у нас образовались треугольники KM1P1 и KM2P2 . 
У них общий угол K, а, поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые М1 Р1  и М2 Р2 , лежащие на этих плоскостях, также параллельны. Поскольку параллельные прямые, пересекающие третью, образуют с ней равные углы, то треугольники KM1P1 и KM2P2 - подобны по трем углам. То есть имеют равные углы. 

Поскольку треугольники KM1P1 и KM2P2  подобны, то 
М1 Р1 / М2 Р2 = КМ1 / KМ2 

Обозначим KМ2 как х. Таким образом : 
4 / 9 = 8 / x 
4x = 72 
x = 18 

Ответ: 18 см
Вопрос: В результате роста цены с 4 до 7 долл., объем спроса на товар Х упал с 1000 до 800 штук. Определите коэффициент эластичности спроса по цене.
Категория: экономические
Ответы:
Этот коэффициент характеризует малоэластичный товар.Ответ: коэффициент эластичности равен –0,4; это малоэластичный товар.
Вопрос: Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскость A и B в точках А1и А2 соответственно, прямая m - в точках В1 и В2. Найти длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12см, В1О:ОВ2 = 3:4
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Через прямые А1А2 и В1В2 можно повести плоскость, которая пересечёт параллельные плоскости по параллельным прямым А1В1 и А2В2. 
У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные - как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны. 

У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия. 

Откуда: 
ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2, 

Следовательно: 
 А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16 

Ответ: 16 см.
Вопрос: Точка A находится на расстоянии 1 см до одной из двух перпендикулярных плоскостей. 
Найдите расстояние от точки A до второй плоскости, если расстояние от A до прямой их пересечения равно √5 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Проведем перпендикуляр от точки А также и ко второй плоскости. Перпендикуляры к плоскостям от точки А, а также расстояния от них до прямой пересечения плоскостей образуют прямоугольник, диагональ которого является расстоянием от точки А до прямой пересечения плоскостей и равна по условию √5 см. 

Поскольку длина одного перпендикуляра, являющегося стороной прямоугольника,  нам известна, то длину второго перпендикуляра найдем как сторону прямоугольника: 

х2 + 1 = 5 
х2 = 4 
x = 2 

Ответ: расстояние от точки А до второй плоскости равно 2 см.
Вопрос: Две прямые а и в пересекаются в точке О.Докажите,что все прямые,которые проходят не через точку О и пересекают каждую из данных прямых, лежат в одной плоскости
Категория: школьный раздел
Ответы:
Доказательство. 
Пусть прямая, не пересекающая точку О пересекает каждую из данных прямых. Поскольку обе данные прямые лежат в одной плоскости, то все точки, принадлежащие данным прямым, равно как и точки пересечения с третьей прямой лежат в одной плоскости. 

Воспользуемся аксиомой стереометрии: 
"Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости." 

Откуда проведенная нами прямая также лежит в данной плоскости.
Вопрос: Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его сторон 6 см. 
Найдите диагональ квадрата
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Расстояния от точки до углов квадрата образуют правильную пирамиду. 
Правильная четырехугольная пирамида 
Таким образом,  OKC является прямоугольным треугольником. Откуда 
KC2 + OK2 = OC2 
KC2 = OC2 - OK2 
KC2 = 36 - 16 
KC = √20 = 2√5 

Откуда диагональ квадрата равна KC * 2 = 4√5 

Ответ: 4√5
Вопрос: Из O -центра равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр OM к плоскости треугольника ABC. 
Найдите длину OM, если BC=6см, а MC=4см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Точка М вместе с правильным треугольником образует правильную пирамиду, поскольку ее вершина проецируется в центр основания. 

МОС - прямоугольный треугольник. Поскольку ABC - правильный треугольник, а О - является его центром, то OC будет равно длине радиуса описанной окружности. Длину радиуса описанной окружности найдем как 
R = a √3 / 3 
OC = BC√3 / 3 
OC = 6√3 / 3 = 2√3 

Откуда 
OM2 + OC2 = MC2 
OM2 = MC2  - OC2 
OM2 = 16 - 12 
OM = 2 

Ответ: 2 см
Вопрос: Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Пусть отрезок пересекает плоскость в точке D, середину отрезка обозначим как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1. 
Достроим отрезок AB до треугольника ABK, где точка К лежит на плоскости, параллельной исходной. 
Отрезок пересекающий плоскость 

Найдем длину отрезка MM1, который и будет расстоянием от середины отрезка AB до плоскости. 
Учтем что MM1 = MC - M1C 

Для  треугольника ВАВ1 по теореме Фалеса, МС будет средней линией треугольника. То есть 
МС = ВВ1 / 2. 

Для треугольника АА1В1 отрезок М1С также является средней линией. 
Откуда 
М1С = АА1/2 
  
Так как ММ1 = МС – М1С 

MM1 = ( BB1 − AA1 ) / 2 

Если AA1 ≥ BB1, путем аналогичных рассуждений получим 
MM1 = ( AA1 − BB1 ) / 2 

То есть для общего случая 
MM1 = | BB1 − AA1 | / 2 

Подставим значения: 
MM1 = | 10 − 6 | / 2 = 2 

Ответ: 2 см.
Вопрос: Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся между собой как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
 Обозначим заданную в условии точку как В. Пусть наклонные к плоскости пересекают плоскость в точках А и D . 

Опустим из точки В перпендикуляр на данную плоскость. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью как С.   
Наклонные к плоскости и их проектции на плоскость образовали треугольник

Отметим, что у нас образовались прямоугольные треугольники DBC и ABC с прямым углом C. Из чего следует, что по теореме Пифагора:   
BC2 + AC2  = AB2 
и 
BC2  + CD2  = BD2 
или 
BC2  = AB2  - AC2 
и 
BC2  = BD2  - CD2 
Теперь, учитывая, что левые части обоих выражений равны, получаем 
AB2  - AC2 =  BD2  - CD2 
Подставим значения, которые известны по условию 
AB2   - 72 = BD2   - 1 
AB2   - 49 = BD2   - 1 
Поскольку длины наклонных соотносятся как 1:2, обозначив длину BD как х (икс), получаем, что длина AB = 2x, откуда 
 4х2   - 49 =  х2   - 1 
 3х2  = 48  
 х2   = 16 
х = 4

Откуда длина второй наклонной равна 4 * 2 = 8 см

Ответ: 4 и 8 см.
Вопрос: Дан параллелограмм ABCD. Стороны параллелограмма АВ и CD пересекают плоскость альфа в точках М и К соответственно. Сторона параллелограмма AD параллельна плоскости альфа. AM:MB=3:5. Найдите CK и KD, если АВ=24см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Зная соотношение AM и MB, а также длину отрезка AB. Найдем длину каждого из отрезков. Пусть коэффициент пропорциональности х, тогда 
AB = 3x + 5x 
24 = 3x + 5x 
24 = 8x 
x=3 

Откуда AM = 9 см, MB = 15 см. 

Поскольку AD || плоскости α , то AD || MK, таким образом AMKD также параллелограмм. Откуда KD = 9 см CK = 15 см 

Ответ: KD = 9 см CK = 15 см
Вопрос: Расстояния от вершин A, B,C параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 14 см, 11 см и 4 см. 
Найдите расстояние от вершины D до плоскости α.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Обозначим как O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. 

Согласно свойствам параллелограмма, O - середина отрезка AC. Таким образом, Перпендикуляры к плоскости от точек A и C образуют трапецию, при чем перпендикуляр от О - будет ее средней линией. Из чего следует, что расстояние от точки O до плоскости M (средняя линия трапеции) полусумме расстояний от вершин A и C до плоскости (оснований трапеции). 

Средняя линия трапеции равна (14 + 4) / 2 = 9 

С другой стороны, O - также является и серединой диагонали BD. Аналогично сказанному выше, также расстояние до плоскости является средней линией трапеции, образованной перпендикулярами от точек B и D на плоскость. 

Из чего следует, что средняя линия трапеции равна 
( 11 +  х ) / 2, 
где х - искомое расстояние от точки D до плоскости. 

Поскольку средняя линия трапеции в обоих случаях - это расстояние от точки О до плоскости, то 

( 11 +  х ) / 2 = 9 
х = 7 

Ответ: расстояние от точки D до плоскости равно 7 см.
Вопрос: Расстояние от точки О до сторон квадрата равно 13 см. Найдите расстояние от точки О до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна 10 см.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Точка О, которая равноудалена от каждой из сторон квадрата будет проецироваться в точку пересечения его диагоналей (центр). Докажем это.

Опустим из точки О на плоскость квадрата перпендикуляр, который коснется плоскости квадрата в точке К. Теперь докажем равенство образовавшихся прямоугольных треугольников треугольников. Поскольку их гипотенузы равны по условию задачи, а один из катетов - общий, то вторые катеты также равны как следствие из теоремы Пифагора. Таким образом, точка К равноудалена от сторон квадрата и является его центром.

Поскольку сторона квадрата равна 10 см, то точка К удалена от каждой из них на 10/2 = 5 см . Из имеющегося прямоугольного треугольника с катетом 5 см и гипотенузой 13 см, найдем его катет (который и является расстоянием от точки О до плоскости квадрата. 

OK 2 = 13^2 - 5 ^2 
OK = 12

Ответ: 12 см
Вопрос: Цена на товар А выросла со 100 до 200 ден. ед. Спрос на этот товар упал с 3000 до 1000 штук. Спрос на товар В вырос с 500 до 1000. Определите коэффициенты эластичности товара А и В. О каких коэффициентах идет речь?
Категория: экономические
Ответы:
Так как цена товара А выросла, а спрос на этот товар упал, то можно определить коэффициент ценовой эластичности товара А:
Вопрос: Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 9 и 12 см. Через середину гипотенузы (точку О) провели перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 6см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до катетов.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.

Отобразим условие задачи на рисунке

Треугольник с перпендикуляром к плоскости

Обратим внимание на то, что ON и OM являются перпендикулярами к катетам прямоугольного треугольника, поскольку нам необходимо найти расстояние KN и KM.

Рассмотрим отрезок NO. Он является перпендикуляром к CB. Угол ACB также вляется прямым по условию задачи. Таким образом, треугольники ABC и OBN  - подобны по признаку равенства углов (см. подобие треугольников). Угол В - общий, а, поскольку CA и NO являются перпендикулярами к CB - то остальные углы также равны (один прямой, второй равен 180 градусов минус сумма остальных углов, равенство которых мы уже доказали). 

Коэффициент подобия треугольников равен соотношению BO к BA. Поскольку точка О - точка касания медианы прямоугольного треугольника к гипотенузе, то есть AO = OB, то коэффициент подобия будет равен 1:2.

Откуда ON = CA / 2 = 9 / 2 = 4,5

Расстояние же KN найдем по теореме Пифагора.

KN = √(4,52 + 62 ) = 7,5 см

Аналогично, найдем расстояние до второго катета:

OM = CB / 2 = 12 / 2 = 6

 KN = √( 62 + 62 ) = √72 = 6√2 см 

Ответ:  7,5 см,  6√2 см
Вопрос: Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания.Вычислите длину бокового ребра,если сторона основания 7см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле: 
Формула нахождения площади равностороннего треугольника 
S=√3/4*a^2=3√3/4*R^2=3√3r^2
Воспользуемся первой формулой. 
По условию задачи a = 7 см 
Так как площадь грани призмы в данном случае будет равна 7h, где h - высота бокового ребра, количество граней - три, то 

49√3 / 4 = 3 * 7h 
49√3 / 4 = 21h 
откуда 
h = 7√3 / 12 

Ответ: длина бокового ребра правильной треугольной призмы равна 7√
Вопрос: Высота правильной треугольной призмы равна h. 
Найдите объем призмы, если диагонали боковых граней, не исходящие из одной точки, перпендикулярны.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку в основании призмы по условию лежит правильный треугольник, то все боковые грани в основании равны. Поскольку диагонали каждой из них пересекаются под прямым углом, то боковые грани представляют собой квадрат. Докажем это. 
Поскольку AD = BC как основания прямой призмы, углы BOC = AOD как вертикальные, а BCO = OAD, OBC = ODA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC. То есть треугольники BOC и AOD  равны. 

Отсюда следует, что BO = OD, значит треугольники BOC  и COD также равны, у них смежная сторона OC, а углы COB = COD = 90 градусам. Из этого следует, что CD =BC = AD = AB. 

ABCD - квадрат 

Следовательно, объем призмы будет равен 
V = Sh 

Площадь основания - правильный треугольник. Откуда 
S = √3/4 h2 
V = √3/4 h3 

Ответ: √3/4 h3 .
Вопрос: Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле: 
S=√3/4a^2=3√3r^2
Формула нахождения площади равностороннего треугольника 
Принимаем во внимание первую формулу.

По условию задачи a = 6 см  откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3

Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна  
9√3 * 2 =   18√3 

Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180

Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.

Ответ:  180 + 18√3 ≈ 211,18
Вопрос: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8 .Боковые ребра равны 8/п. Найдите объем цилиндра описанного около этой призмы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Найдем диагональ основания призмы, исходя из информации о размере ребер ее основания. 

По теореме Пифагора, найдем квадрат гипотенузы треугольника, лежащего в основании. 
7^2 + 8^2 = 113
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности). 
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы. 

Таким образом, цилиндр, описанный около заданной призмы, будет иметь диаметр, равный гипотенузе  прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы и высоту, равную высоте призмы. Таким образом, объем цилиндра составит: 

V= пr2h, где 
п - число пи 
r - радиус основания цилиндра 
h - высота цилиндра 

Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы одновременно является диаметром цилиндра, описанного вокруг призмы, то радиус цилиндра будет равен половине гипотенузы, то есть квадратный корень из 113 деленный пополам, а квадрат радиуса, соответственно равен  r2=113/4. 

По условию задачи высота ребра призмы равна 8/п . 
Таким образом: 

V=п*113/4*8/п 
V=226 

Ответ: 226
Вопрос: Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см.Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть 

S = 2S1 + S2 + 2S3 , где S1 - площадь основания призмы, S2 - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S3 - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы) 

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани). 

Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь. 

S1 = 1/2ah = 1/2 * 12 * 8 = 48 см2 . 

Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора 

sqrt( 62 + 82 ) = 10 см 

Таким образом 

S2 = 12 * 12 = 144 см2 . 
S3 = 10 * 12 = 120 см2 . 

S = 2S1 + S2 + 2S3 = 2 * 48 + 144 + 2 *120 = 480 см2 . 

Ответ: 480 см2.
Вопрос: В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Сначала найдем гипотенузу основания призмы. 

AB2 = AC2 + BC2 
AB2 = 82 + 62 
AB2 = 64 + 36 
AB = √100 
AB = 10 

Обозначим боковое ребро призмы как  h . Боковое ребро одновременно является и высотой призмы, поскольку по условию задачи призма является прямой. Тогда площадь боковой поверхности призмы является суммой площадей трех прямоугольников - ACC1A1, CBB1C1 и ABB1A1 или, если подставить известные значения катетов основания призмы, то 

10h + 6h + 8h = 120 
24h = 120 
h =5 

Ответ: ребро прямоугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании равно 5 см.
Вопрос: Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Согласно теореме косинусов 
Теорема косинусов 

Откуда 
AC2 = AB2 + BC2 - 2*AB*BC*cos 120 
AC2 = 25 + 9 - 2*5*3*cos 120 

Косинус 120 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций. 
AC2 = 34 - 30 (-0.5) 
AC2 = 49 
AC = 7 

Каждая из граней боковой поверхности представляет собой прямоугольник. При чем длина одной из сторон прямоугольников одинакова и равна высоте призмы. Таким образом, боковая грань призны наибольшей площади лежит на той стороне основания, длина стороны которого наибольшая. 

То есть наибольшая из боковых граней имеет длину основания 7 см. 
Откуда высота призмы равна 35 / 7 = 5 см 

Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна сумме площадей каждой из боковых граней 

S = 5*5 + 3*5 + 7*5 = 75 см2 

Ответ: 75 см2 .
Вопрос: В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильный четырехугольник - это квадрат. 
Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см. 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
√( 122 + 122 ) = √288 = 12√2 

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: 
√( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см 

Ответ: 22 см
Вопрос: Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора: 

a2 + a2 = 52 
2a2 = 25 
a = √12,5 

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: 

h2 + 12,5 = 42 
h2 + 12,5 = 16 
h2 = 3,5 
h = √3,5 

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания 

S = 2a2 + 4ah 
S = 25 + 4√12,5 * √3,5 
S = 25 + 4√43,75 
S = 25 + 4√(175/4) 
S = 25 + 4√(7*25/4) 
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 . 

Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .
Вопрос: Цена на товар А выросла со 10 до 15 ден. ед. Спрос на товар В вырос с 1000 до 2000 штук, на товар С упал с 50 до 40 кг. Определите коэффициенты перекрестной эластичности.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала рассчитываем коэффициент перекрестной эластичности товара В по формуле
Вопрос: Основание прямой призмы - ромб с углом 120 градусов. БОльшая диагональ призмы равна 8см и составляет с боковым ребром угол 60 градусов. Найти сторону ромба и меньшую диагональ призмы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку диагональ AC1 образует с ребром AA1 угол 60 градусов, призма является прямой, то угол C1AC равен 90 - 60 = 30 градусов. 

Исходя из этого cos 30 = AC / AC1 = √3 / 2 

AC / AC1 = √3 / 2 
AC / 8 = √3 / 2 
2AC = 8√3 
AC = 4√3 

Поскольку угол ADC равен 120 градусам, то угол BAD равен 60 градусам. (Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180(n-2) = 360 градусам, углы ромба попарно равны). 

Исходя из того, что угол BAD равен 60 градусам, треугольники ABD и BDC- равносторонние. (Так как ABCD - ромб, то они равнобедренные, следовательно углы при основании равны, значит они равны ( 180 - 60 ) / 2 = 60 градусов. Треугольник, у которого все углы равны - равносторонний). 

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, AO = AC / 2 = 4√3 / 2 = 2√3 

Поскольку треугольник ABD правильный, то AO является одновременно высотой и биссектрисой. Учтем, что высота правильного треугольника равна 
h = а √3 / 2, тогда 
а √3 / 2 = 2√3 
а = 4 

Зная, что BD = 4 см, DD1 = 4 см, по теореме Пифагора найдем меньшую диагональ: 
BD12 = 4 + 4 
Таким образом, сторона ромба равна 4 см, а, так как треугольники ABD и BDC- равносторонние, то и меньшая диагональ ромба равна 4 см. 

Для того, чтобы найти длину ребра призмы, учтем, что диагональ AC1 = 8 см, а угол C1AC = 30 градусам. Тогда sin 30 = C1C / AC1 = 1/2 

C1C / 8 = 1/2 
C1C = 4 см 

Зная что BD = 4 см (меньшая диагональ ромба), D1D = 4 см (ребро призмы), длину меньшей диагонали призмы найдем по теореме Пифагора: 
BD12 = DD12 + BD2 
BD12 = 42 + 42 
BD12 = 32 
BD1 = 4√2 

Ответ: Сторона ромба - 4 см, меньшая диагональ призмы с ромбом в основании равна 4√2 см.
Вопрос: Диагональным сечением правильной четырехугольной призмы является квадрат, площадь которого равен 144 квадратных сантиметров. 
Найдите объем объем призмы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку, согласно определению диагонального сечения призмы, оно проходит через диагональ основания, а данная призма является правильной и четырехугольной, то данное диагональное сечение проходит через диагональ основания, которое является квадратом. 
Прямая правильная четырехугольная призма, через которую проведено диагональное сечение

Исходя из того, что площадь диагонального сечения является квадратом (BB1DD1), то сторона квадрата (она же равна высоте призмы) равна:

а = √144 = 12 см

Как мы уже показали, в основании данной призмы также лежит квадрат ABCD, диагональ которого мы только что определили.

Таким образом, если обозначить сторону квадрата как b, получим:

b2 + b2 = 122 
или 
2b2 = 144 
b2 = 72 
Заметим, что площадь основания (квадрата ABCD) равна   
S = b2 
то есть 
S = 72 
Согласно формуле нахождения объема призмы 
V = Sh 
Подставим значения: 
V = 72h 
высота сечения равна высоте прямой призмы и это значение было найдено нами ранее, то есть 
V = 72 * 12 = 864 см3 
Ответ: 864 кубических сантиметра
Вопрос: Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4√3 см и углом, равным 30 градусов. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180 - 30 = 150 градусов. 
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150 градусов. 
Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b. Учтем, что косинус 150 градусов равен cos( 150° ) = -√3 / 2. Получим: 
d2 = a2 + b2 - 2abcos( 150° ) 
d2 = 16 + 48 - 2 * 4 * 4√3 * ( -√3 / 2 ) = 112   
d = 4√7 
AC =  4√7   

Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC1 ( AC1С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая) является прямоугольным. Угол ∠C1AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла ∠C1AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( ∠C1AC ) = C1С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = √3. 
Соответственно, C1С =  AC tg ( ∠C1AC ) 
C1С = 4√7 * tg 60° 
C1С = 4√21 

Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности: 
S = 2ha + 2hb 
S = 2 * 4 √21 * 4 √3 + 2 * 4 √21 * 4 = 96√7 + 16√21 ≈ 327,31   

Ответ: 96√7 + 16√21 ≈ 327,31
Вопрос: Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее F) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее AC) она образует равнобедренный треугольник AFC. AF = AC по условию. Одновременно, AF - это ребро параллелепипеда. 

Таким образом, в равнобедренном треугольнике AFC стороны равны следующим величинам: AF=FC=5 см , AC = 8 см. 

Высота равнобедренного треугольника AFC одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Пусть она опущена в точке K. 
Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна: 

FK2  + (AC/2)2  = FC2 
FK2  + 16 = 25 
FK2 = 9 
FK = 3 см 

Ответ: высота параллелепипеда равна 3 см.
Вопрос: Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = 6 см, DB = 5 см, BC1 = 4 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Параллелепипед 
Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора.

Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 
BB1 = √( B1D2 - BD2 ) 
BB1 = √(36 - 25) = 3 
Соответственно 
СС1 = BB1 = 3 см 
Для прямоугольного треугольника BC1C 
BC = √( BC12  - C1C2 ) 
BC = √( 16 - 9 ) = √7 
В треугольнике BCD найдем CD 
CD = √( BD2 - BC2 ) 
CD = √( 25 - 7 ) = √18 = 3√2 
Откуда площадь основания параллелепипеда равна: 
S = BC * CD = √7 * 3√2 = 3√14 
Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3√14
Вопрос: Основание прямоугольного параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны P и Q
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Площадь первого сечения выразим как 
P = hd1 , где 
h - высота параллелепипеда 
d1 - длина диагонали 

Площадь второго сечения выразим как 
Q= hd2 , где 
h - высота параллелепипеда 
d2 - длина диагонали 

Соответственно, 
d1 = P / h 
d2 = Q / h 

Площадь боковой поверхности равна 
S = 4ah, где 
a - длина стороны ромба 
h - высота параллелепипеда 

По теореме Пифагора 
a = sqrt( ( d1 / 2 )2 + ( d2 / 2 )2 ) 
a = sqrt( d12 / 4  + d22 / 4 ) 
a = sqrt( d12 + d22 ) / 2 

Тогда 
S = 4ah 
S = 4h sqrt( d12 + d22 ) / 2 
S = 2h sqrt( d12 + d22 ) 

поскольку 
d1 = P / h 
d2 = Q / h 

то 
S = 2h √( ( P / h )2 + ( Q / h )2 ) 
S = 2h √( P 2 + Q2 ) / h 
S = 2 √( P 2 + Q2 ) 

Ответ: S = 2 √( P 2 + Q2 )

решение задания по геометрии
Вопрос: Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание. 
Величины апофемы пирамиды равны по условию задачи. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим высоту и точку касания апофемы и основания - равны. Откуда - высота, опущенная из вершины - является центром вписанной в основание окружности. 

Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: 
Формула вписанной окружности 

p = ( 13 + 14 + 15 ) / 2 = 21 
r = 4 

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости основания равно длине высоты, опущенной из вершины на основание. По теореме Пифагора: 

52 = h2 + 42 
h2 = 25 - 16 
h2 = 9 
h = 3 

Ответ: 3 см.
Вопрос: Найдите угол между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку медианы скрещиваются, они лежат в одной плоскости. Поскольку они проведены к боковым граням правильного тетраэдра, то эта плоскость лежит на боковой грани. Поскольку тетраэдр является правильным, то каждая из его граней представляет собой правильный треугольник. 
Равносторонний треугольник 

Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам. 
Поскольку в равностороннем треугольнике каждая медиана является одновременно и биссектриссой и высотой, то: 
MAB = 30 градусов 
ANK = 90 градусов 
Откуда AKN = 180 - 90 -30 = 60 градусов. 

Ответ: Медианы пересекаются под углом 60 градусов
Вопрос: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 

Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна 
AN2 = AO2 + ON2 
AN2 = 52 + 122 
AN = √169 
AN = 13 

Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна 
CB2 = CO2 + OB2 
64 = CO2 + 25 
CO2 = 39 
CO = √39 

Соответственно, величина ребра CN будет равна 
CN2 =  CO2 + NO2 
CN2 = 39 + 144 
CN = √183 

Ответ: 13, 13 , √183
Вопрос: Основание пирамиды прямоугольный треугольник, катеты которого равны 8 и 6 см. высота пирамиды равна 10 см. Вычислить объем пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Объем пирамиды найдем по формуле: 
V = 1/3 Sh 

Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника: 
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24 
откуда 
V = 1/3 * 24 *10 = 80 см3 .
Вопрос: Цена на товар А выросла со 1 до 4 ден. ед. Спрос на товар В упал с 3000 до 1000 штук. Спрос на товар С вырос с 500 до 1000, на товар Д не изменился. Определите коэффициенты перекрестной эластичности.
Категория: экономические
Ответы:
Сначала рассчитываем коэффициент перекрестной эластичности товара С по формуле
Вопрос: Поскольку в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, то для нахождения площади равнобедренного треугольника, воспользуемся приведенными в соответствующем уроке формулами
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, то для нахождения площади равнобедренного треугольника, воспользуемся приведенными в соответствующем уроке формулами. 
Правильная пирамида

При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,

AK = AB sin ß = b sin β 
BK = AB cos β = b cos β 
SABK = AK * BK / 2 = b2sin β cos β / 2 
откуда 
SABС =   2SABK =   b2sin β cos β  
(примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше) 
Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то 
b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β   
или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 
1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α)  =  1/2 b2sin α 
Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. 
Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна: 
h = r / sin φ 
Длину радиуса вписанной окружности найдем как 
r = S/p

Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β 
откуда 
p = ( b + b + 2b cos β ) / 2 
p = ( 2b + 2b cos β ) / 2 
p = 2b ( 1 + cos β ) / 2 
p = b ( 1 + cos β )

Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен 
r = S / p 
r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )

Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что 
l / r = cos φ, то 
l = r cos φ

Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: 
S1 = lb / 2 
S1 = r cos φ * b / 2 
S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2 
S1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2 
S1 = b2 sin β cos β  cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )

Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: 
S2 = BC * l / 2 
S2 = 2b cos β *  r cos φ / 2 
S2 = b cos β * r cos φ 
S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ 
S2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) 
Площадь боковой поверхности пирамиды равна: 
Sбок = 2S1 + S2 
Sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) 
Sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) 
Sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β ) 
Sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1  + cos β ) / ( 1 + cos β ) 
Sбок = b2 sin β cos β cos φ

Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: 
S = Sбок + Sосн 
S = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Вопрос: Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16√3). Вычислить периметр основания пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна: 
Формула нахождения площади равностороннего треугольника 
Соответственно: 
16√3 = a2 √3 / 4 
16 = a2 / 4 
a2 = 64 
a = 8 см 

Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен 
8 * 3 = 24 см 

Ответ: 24 см.
Вопрос: В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. Найти объём пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Основанием правильной треугольной пирамиды по определению является равносторонний треугольник. А расстояние от центра основания до боковой грани равно радиусу вписанной окружности. Согласно свойствам равностороннего треугольника площадь основания равна: 
Формула нахождения площади равностороннего треугольника 

S = 3√3  r2 = 3√3 (2√3)2 = 36√3 

Правильная пирамида 

Поскольку грани наклонены к основанию под углом 60 градусов, то для прямоугольного треугольника MOK 

tg MKO = MO/KO 
tg 60 = MO / (2√3) 

Исходя из таблицы значений тригонометрических функций tg 60 = √3 

√3 = MO / (2√3) 
MO = 6 

Таким образом, высота пирамиды равна 6 см. 

Объем пирамиды найдем по формуле: 

S = 1/3 Sh 
S = 1/3 * 36√3 * 6 
S = 72√3 

Ответ: 72√3
Вопрос: Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. 
Найти площадь полной поверхности пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильная пирамида 
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. 
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника: 
Формулы равностороннего треугольника 

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь. 
h = √3/2 a 
a = h / (√3/2) 
a = 3 / (√3/2) 
a = 6 / √3 

Откуда площадь основания будет равна: 
S = √3/4 a2 
S = √3/4 ( 6 / √3 )2 
S = 3√3 

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам. 
Таким образом: 
OK / MK = cos 45 
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения. 

OK / MK = √2/2 

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда 
OK = √3/6 a 
OK = √3/6 * 6/√3 = 1 

Тогда 
OK / MK = √2/2 
1 / MK = √2/2 
MK = 2/√2 

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника. 
Sбок = 1/2 (6 / √3 ) (2/√2) = 6/√6 

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна 
S = 3√3 + 3 * 6/√6 
S = 3√3 + 18/√6 

Ответ: 3√3 + 18/√6
Вопрос: В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильная пирамида 
Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. 
(Это следует из свойств правильной пирамиды) 

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств 
Формулы равностороннего треугольника 

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна: 
AM2 = MO2 + AO2 
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3 
AM2 = 100 + 256/3 
AM = √(556/3) 

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже   
Формулы нахождения площади равнобедренного треугольника через его стороны и углы, а также через основание и высоту 
S = 1/2 * 16 sqrt(  (√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8) ) 
S = 8 sqrt(  (556/3) - 64 ) 
S = 8 sqrt(  364/3 ) 
S = 16 sqrt(  91/3 ) 

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна 
3S = 48 √(91/3) 

Ответ: 48 √(91/3)
Вопрос: Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна  
Формула нахождения площади равностороннего треугольника 
So =   9 * √3/4    
Правильная пирамида

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.  
Таким образом: 
OK / MK = cos 45 
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.  

OK / MK = √2/2 

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности.

Тогда (по таблице соотношений в правильном треугольнике) 
OK = √3/6 a 
 OK = √3/6 * 3 =   √3/2    

Тогда 
OK / MK = √2/2 
√3/2 / MK = √2/2 
MK =   √3/√2 

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника. 
  Sбок = 1/2 * 3√( 3/2 )  
Откуда площадь полной поверхности будет равна  
S =   9√3/4 + 3/2 √( 3/2 )
Вопрос: Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. 
Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Правильная пирамида 
Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен 
MO/MK = 1/2 
откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 градусов. 

Откуда 
KO / MK = cos 30 
KO / 8 = cos 30 
KO = 8 cos 30 

По таблице тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусов. 

KO = 8√3/2 = 4√3 

Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника 
Формулы равностороннего треугольника 

r = a√3/6 
Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника 

4√3 = a√3/6 
a = 24 

Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника: 
Sт = 1/2 * 24 * 8 = 96 см2 

Откуда площадь боковой поверхности пирамиды 
S = 3 Sт = 3 * 96 = 288 см2 . 

Ответ: 288 см2.
Вопрос: Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a2√3 . 
Тогда 
S = 3√3 

Ответ: 3√3
Вопрос: Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то 

AO = R = √3 / 3 a 
AO = 4√3 / 3 

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM 

AO2 + OM2 = AM2 
OM2 = AM2 - AO2 
OM2 =  42 - ( 4√3 / 3 )2 
OM2 = 16 - 16/3 
OM = √(32/3) 
OM = 4√2 / √3 

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh 
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a2 

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 ) 
V = 16√2 / 3 

Ответ: 16√2 / 3 см
Вопрос: В правильной треугольной пирамиде угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусов. Найти боковую поверхность вписанного в пирамиду конуса, если расстояние от основания высоты до середины бокового ребра равно корень из 7
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.
Пусть нам дана правильная пирамида с треугольником ABC в основании и вершиной K
Правильная треугольная пирамида с обозначенной высотой боковой грани
Из вершины К опустим высоту, которая пересечет основание в точке О.
Из вершины бокового ребра опустим высоту KN.
По условию задачи, отрезок OM равен √7.

Поскольку KO - высота, то треугольник KON - прямоугольный, а OM -является медианой прямоугольного треугольника.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, его медиана, опущенная на гипотенузу, равна радиусу описанной окружности и, одновременно, половине гипотенузы.
Таким образом:

OM = ON = √7

Соответственно, высота ребра равна 2√7

Поскольку угол ONM = 60º, а треугольник KON - прямоугольный, то

ON / KN = cos 60

По таблице значений тригонометрический функций найдем значение косинуса 60 градусов. Он равен 1/2.
Откуда

OK = KN x cos 60 = 2√7 x 1/2 = √7

Вписанный в данную пирамиду конус будет иметь длину образующей, равной высоте ребра пирамиды, а радиус, равный радиусу вписанной окружности.

Соответственно, площадь боковой поверхности конуса равна:

S = πRl
S = π * √7 * 2√7 = 14π

Ответ: площадь боковой поверхности конуса, вписанного в заданную пирамиду, равна 14π
Вопрос: На рынке товара А объем спроса определяется формулой  . Определите эластичность спроса в точке, соответствующей Q = 10.
Категория: экономические
Ответы:
Для решения задачи необходимо применить формулу расчета коэффициента точечной эластичности: Е=И*(P/Q), где B – коэффициент, показывающий угол наклона кривой спроса. Сначала надо найти цену: 10=18-2P, следовательно, Р = 4. Отсюда E= 2*(4^10)=0,8.Ответ: коэффициент эластичности равен 0,8.
Вопрос: Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Поскольку пирамида правильная, учтем следующее: 
Высота пирамиды проецируется на центр основания
Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник
Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол
Объем пирамиды можно найти по формуле: 
V = 1/3 Sh 

Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание: 
Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам ( сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30 )
синус 30 градусов равен 1/2
синус 60 градусов равен корню из трех пополам 
синус 90 градусов равен 1 
Согласно теореме синусов: 
4 / sin( 90 ) = h / sin ( 60 ) = r / sin( 30 ) 
4 = h / ( √3 / 2 ) = 2r 
откуда 
r = 2 
h = 2√3 

В основании пирамиды лежит правильный треугольник, площадь которого можно найти по формуле: 
S правильного треугольника = 3√3 r2. 
S = 3√3 22 . 
S = 12√3 . 

Теперь найдем объем пирамиды: 
V = 1/3 Sh 
V = 1/3 * 12√3  * 2√3  
V = 24 см3 . 

Ответ: 24 см3 .
Вопрос: Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 

Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды. 

Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения: 

72 + 242 = x2 
x2 = 625 
x = 25 

Ответ: 25 см
Вопрос: Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с основанием угол 60 градусов. найдите объем пирамиды
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 
Объем пирамиды найдем по формуле: 
V=1/3 Sh 

Зная диагональ основания пирамиды, найдем сторону основания. 
d2 = a2 + a2 
42 = 2a2 
16 = 2a2 
a= √8 = 2√2 

Соответственно, площадь основания 
S = 8 см2 . 

Проведем через вершину правильной четырехугольной пирамиды вертикальное сечение. Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, то сечение образует равносторонний треугольник. 
Основание равностороннего треугольника равно 2√2. Откуда высота будет равна 
h = √3/2 a 
h = √3/2 * 2√2 = √6 

Откуда объем правильной пирамиды с четырехугольником в основании равен 
V=1/3 Sh 
V = 1/3 * 8 * √6 = 8√6 / 3 

Ответ:  8√6 / 3 см3.