nyuuzyou/soloby huggingface dataset:
Вопрос: На рисунке 53 (с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что ΔАВС=ΔCDА; б) найдите АВ и ВС, если AD= 19 см, CD=11 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) ААВС = ACDА по второму признаку равенства треугольников (АС — общая сторона; Zl = Z2 и Z3 = Z4 по условию).б) Из равенства треугольников ABC и CD А следует, что АВ = CD и ВС = AD. Поэтому АВ = II см, ВС = 19 см.О т в е т. б) АВ = 11 см, ВС = 19 см.
Вопрос: На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла— точки В и С такие, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что BD=CD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. AABD = AACD по второму признаку равенства треугольников: AD — общая сторона; ZBAD = ZCAD, так как AD — биссектриса угла A; ZADB = ZADC по условию (рис.59). Отсюда следует, что BD = CD.
Вопрос: По данным рисунка 73 докажите, что ОР=OT, ∠P=∠T
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. АОВР = АОСТ по второму признаку равенства треугольников (ОВ = ОС и ZB = ZC по условию; ZBOP = ZCOT, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что ОР = ОТ и ZP = ZT.
Вопрос: На рисунке 74 ∠DAC=∠DBC, АО =ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. ААОС = ABOD по второму признаку равенства треугольников (АО = ВО и ZOAC = ZOBD по условию; ZAOC = = ZBOD, так как эти углы вертикальные). Отсюда следует, что ZC = = ZD и АС = BD.
Вопрос: Основные производственные фонды предприятия на начало 2005 года составляли 3000 тыс. руб. В течение года было ликвидировано основных фондов на сумму 300 тыс. руб. Рассчитать коэффициент выбытия основных фондов.
Категория: экономические
Ответы:
Коэффициент выбытия основных фондов рассчитывают по формуле: 
    
где Фвыб – стоимость выбывающих (ликвидируемых) основных фондов, руб.; 
Фн – стоимость основных фондов на начало года, руб. 
Рассчитаем коэффициент выбытия основных производственных фондов: 
К=300/3000=0,1
Таким образом, на предприятии было ликвидировано 10 % основных производственных фондов. 
Ответ: коэффициент выбытия основных фондов равен 0,1.
Вопрос: На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC = 13 см. Найдите BD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. ADAB = АС В А по второму признаку равенства треугольников (АВ — общая сторона, ZDAB = ZCBA и ZDBA = = ZCAB по условию). Отсюда следует, что DB = С А и, следовательно, DB = 13 см.Ответ. 13 см.
Вопрос: В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, ВС=В1С1, ∠B =∠B1. На сторонах АВ и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что ΔBCD = ΔB1C1D1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. ААВС = АА\В\С\ по первому признаку равенства треугольников  (рис.62).  Поэтому ZACB = ZA\C\B\.  Из равенства этих углов, а также равенства углов ACD и A\C\D\  следует, что ZBCD = ZBlClDl.ABCD = AB\C\D\  по второму признаку равенства треугольников (ВС = B{CU ZB = ZBU ZBCD = ZBXCXDX).
Вопрос: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть ААВС = AAiBiCi, причем ZA = ZAU ZB = = ZB\, AB = А\В\ (рис.63), и пусть AD и A\D\ — биссектрисы треугольников ABC и А\В\С\. Докажем, что AD = A\D\.AABD = AA\B\D\ по второму признаку равенства треугольников (АВ = АхВц ZB = ZBu ZBAD = ZBXAXDU так как AD и A\D\ — биссектрисы равных углов А и А\). Отсюда следует, что
Вопрос: Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка AC, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔВОА=ΔDОС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. АВОС = ADO А по второму  признаку равенства треугольников: ОС = О А и ZBCO = ZDAO по условию; АВОС = = ZDOA, так как эти углы — вертикальные (рис.64). Поэтому OB = OD.  АВОА = ADOC по первому признаку равенства треугольников (ОА = ОС; OB = OD; Zl = Z2, так как эти углы — вертикальные).
Вопрос: В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1. Докажите, что: а) ΔАСO=ΔА1С1O1; б) ΔВСO=ΔВ1С1O1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) ААВС = АА\В\С\ по второму признаку равенства треугольников (рис.65). Отсюда следует, что АВ = А\В\, АС = А\С\ и ZA = ZA1.Так как АВ = А\В\, а точки О и О\ — середины сторон АВ и А\В\, то АО = ОВ = АХОХ =ОХВХ.ААСО = АА\С\О\ по первому признаку равенства треугольников (АС = Aid, АО = АхОи ZA = ZAX).б) АВСО = АВ\С\О\ по первому признаку равенства треугольников (ВС = ВХСХ, ВО = BiOi, ZB = ZBi).
Вопрос: В треугольниках DEF и MN PEF=NP, DF=MP и ∠F=∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N в точке К. Докажите, что ∠DOE=∠MKN
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение математической задачи представлено в виде рисунка и приложено к ответу
Вопрос: Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла А и прямой MN, перпендикулярной к АО (рис.67). ААОМ = AAON по второму признаку равенства треугольников (АО — общая сторона, ZOAM = ZOAN,   ZAOM = ZAON = 90°).Отсюда следует, что AM = AN, т. е. треугольник AMN — равнобедренный.
Вопрос: Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть AD — биссектриса и высота треугольника ABC (рис.68). Тогда AABD = AACD по второму признаку равенства треугольников (AD — общая сторона, ZBAD = ZCAD, ZADB = = ZADC = 90°). Отсюда следует, что АВ = АС, т. е. треугольник ABC — равнобедренный.
Вопрос: Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Поэтому, если основание и прилежащий к нему угол одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого равнобедренного треугольника, то равны также два других угла, прилежащих к этим основаниям, и, следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Вопрос: Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольники равносторонние, то из равенства двух сторон этих треугольников следует, что все стороны этих треугольников равны друг другу и, следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Вопрос: На предприятии в течение года было введено основных производственных фондов на сумму 150 тыс. руб., а ликвидировано на сумму 100 тыс. руб. Рассчитать прирост основных фондов предприятия в денежном выражении.
Категория: экономические
Ответы:
Прирост основных фондов рассчитывается как разница между вновь введенными и ликвидированными фондами по формуле: 
Фприр = Фвв – Фвыб.    (4)
Подставив известные из условия данные, получаем: 
Фприр = 150 – 100 = 50 тыс. руб. 
Ответ: прирост основных фондов предприятия в денежном выражении составил 50 тыс. руб. за год.
Вопрос: На рисунке 52 (с. 31) АВ =AC, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. AABD = AACD по третьему признаку равенства треугольников (АВ = AC, BD = DC, AD — общая сторона), поэтому Zl = Z2. По условию ABAC = Zl + Z2 = 50°. Отсюда следует, что ZCAD = Z2 = 25°.Ответ. 25°.
Вопрос: На рисунке 53 (с. 31) BC=AD, AB = CD. Докажите, что ∠B=∠D
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. ААВС = ACDA по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, ВС = AD, АС — общая сторона), поэтому ZB = ZD.
Вопрос: На рисунке 75 AB = CD и BD=AC. Докажите, что: a) ∠CAD=∠ADB; б) ∠BAC=∠CDB
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, a) AABD = AACD по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, BD = AC, AD — общая сторона). Отсюда следует, что ZADB = ZCAD.б) ААВС = ADCB по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, AC = £>!}, ВС — общая сторона). Отсюда следует, что ZBAC = ZCDB.
Вопрос: На рисунке 76 АВ = CD, AD = ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔABE=ΔCDF
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) ААВС = ACDA по третьему    признаку    равенства    треугольников (АВ = CD, ВС = AD, АС - общая сторона). Отсюда следует, что ZB = ZD.Отрезки BE и DF — биссектрисы в равных   треугольниках,   проведенные   к   равным   сторонам,   поэтому   BE = DF   (задача   128)   и   ZABE = ZADF,   ZABE =  ZCDF.б) ААВЕ = ACDF по первому признаку равенства треугольников (АВ = CD, BE = DF, ZABE = ZCDF).
Вопрос: В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABC =ΔA1B1C1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как АС = А\С\, а точки М и М\ — середины сторон АС и А\С\, то AM = А\М\ (рис. 73).ААВМ = АА\В\М\ по третьему признаку равенства треугольников (АВ = А\В\, ВЫ = В\М\, AM = А\М\). Отсюда следует, что ZA = ZAX.ААВС = АА\В\С\  по первому признаку равенства треугольников (АВ = AiBi, АС = АХСХ, ZA = ZAX).
Вопрос: В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, АВ=А1В1, BD = B1D1 и AD=A1D1. Докажите, что ΔABC=ΔA1B1C1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. AABD = AA\B\D\ по третьему признаку равенства треугольников (рис.74). Отсюда следует, что Zl = Z2 и АВ = ZB\. Так как AD и A\D\ — биссектрисы и Zl = Z2, то ZA = /_А\. ААВС = ДА1.В1С1  по второму признаку равенства треугольников (АВ = AiBi, ZA = ZAi, ZB = ZBX).
Вопрос: Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB=∠ACB; б) DO = ОС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) По условию АС = AD и ВС = = BD. Отрезок АВ — общая сторона треугольников ABC и ABD (рис.75, на этом рисунке точка В лежит на луче АО; случай, когда точка В лежит на продолжении луча АО, рассматривается аналогично). Поэтому ААВС = AABD по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ZADB = ZACB.6) Из равенства треугольников ABC и ABD следует также, что ZCAB = ZDAB. Это означает, что АО — биссектриса равнобедренного треугольника ACD. Следовательно, АО — также медиана треугольника ACD, т. е. DO = ОС.
Вопрос: Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?
Категория: школьный раздел
Ответы:
а) Хорды: MN; CD; АВ; б) диаметр: АВ; в) радиусы: OP; ОА; ВО
Вопрос: Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD =∠BCD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) ААОС = ABOD по двум сторонам и углу между ними: О А = ОВ и ОС = OD, так как эти отрезки — радиусы окружности; ААОС = ZBOD, так как эти углы — вертикальные (рис.76). Отсюда следует, что АС = BD.б)  Аналогично, из равенства треугольников AOD и ВОС следует, что AD = ВС.в)   AABD = ACDB по трем сторонам: АВ = CD, так как эти отрезки  —  диаметры  окружности;  AD = ВС  (п. б);  BD  —  общая сторона. Отсюда следует, что ZBAD = ZBCD.
Вопрос: Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Отрезок РО — медиана равнобедренного треугольника МРК (рис.77). Поэтому РО — также и высота этого треугольника, т. е. АРОМ = 90°.Ответ. 90°.
Вопрос: На предприятии в течение года прирост основных производственных фондов составил 80 тыс. руб. стоимость основных фондов на конец года – 4000 тыс. руб. Рассчитать коэффициент прироста основных фондов.
Категория: экономические
Ответы:
Коэффициент прироста – еще один показатель, который наряду с коэффициентами обновления и выбытия используется для проведения анализа изменения структуры основных производственных фондов. 
Коэффициент прироста основных фондов рассчитывается как отношение: 
    
где Фприр – прирост основных фондов в денежном выражении, руб.; 
Фк – стоимость основных фондов на конец года, руб. 
Соответственно, коэффициент прироста основных фондов: 
Ф=80/4000=0,02
Ответ: прирост основных фондов составил 2 %.
Вопрос: Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Обратимся к рисунку 76. В задаче 144 б) доказано, что AD = ВС, поэтому AD = 13 см.Так как О А и OD — радиусы окружности, то О А = OD = - АВ = = 8 см.Следовательно, Paod = AD + О А + OD = 29 см. Ответ. 29 см.
Вопрос: На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. ААОВ = ААОС (рис.78) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АВ = АС.
Вопрос: На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС= 2АВ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем окружность радиуса В А с центром в точке В. Она пересекает прямую АВ в точках Аи D (рис.79).Далее проведем окружность радиуса DB с центром в точке D. Она пересекает прямую АВ в точках В и С.Отрезок ВС — искомый, поскольку АВ = BD = DC, и поэтому ВС = 2АВ.
Вопрос: Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой a так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Построим окружность с центром В, радиус которой равен PQ (рис. 80). Если эта окружность имеет общую точку М с прямой а, то М — искомая точка, поскольку ВM = PQ. Если же построенная окружность не имеет общих точек с прямой а, то задача не имеет решения.Ответ. Не всегда.
Вопрос: Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Построим окружность с центром А, радиус которой равен PQ (рис.81). Если эта окружность имеет общую точку М с данной окружностью, то М — искомая точка, поскольку AM = PQ. Если же построенная окружность не имеет общих точек с данной окружностью, то задача не имеет решения.
Вопрос: Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Сначала от данного луча XY отложим угол DXY, равный данному углу ВАС (рис.82). Построение угла, равного данному, описано в п. 23 учебника.Затем от луча XD отложим угол ZXD, равный углу ВАС, как показано на рисунке 82.Угол YXZ - искомый, так как ZYXZ = 2ZBAC.Ответ. Не всегда.
Вопрос: Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Построим биссектрису OY данного тупого угла АОВ (рис.83). Построение биссектрисы угла описано в п. 23 учебника. Проведем далее прямую OY и обозначим через ОХ луч, являющийся продолжением луча OY. Докажем, что луч ОХ является искомым. В самом деле, углы ХОА и ХОВ являются смежными с равными острыми углами YOA и YOB. Поэтому ZXOA и АХОВ — равные тупые углы.
Вопрос: Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а
Категория: школьный раздел
Ответы:
РешениеПостроим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и B (рис. 91).Затем построим две окружности с центрами А и B, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и еще в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведем прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т.е. она перпендикулярна к прямой а.В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трем сторонам, поэтому ∠1=∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМB, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ AB, т. е. MN ⊥ а.
Вопрос: Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) Построим биссектрису угла А (как это сделать, описано в п. 23 учебника) и обозначим буквой К точку пересечения построенной биссектрисы со стороной ВС. Отрезок АК — искомая биссектриса треугольника ABC.б)   Построим   середину  отрезка   АС   (как  это   сделать,   описано в п. 23) и обозначим ее буквой М. Проведем отрезок ВМ. Этот отрезок и есть искомая медиана треугольника ABC.в)   Построим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную к прямой АВ (см. задачу 153). Обозначим буквой Н точку пересечения построенной прямой и прямой АВ. Отрезок СН — искомая высота треугольника ABC.
Вопрос: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30'
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем прямую и отметим на ней точки А и В. Затем построим прямую АС, перпендикулярную к прямой АВ (как это сделать, описано в п. 23 учебника). Очевидно, ZBAC = 90°.а)  Построим биссектрису AD угла ВАС. Тогда ZBAD = 45°.б)  Построив теперь биссектрису АЕ угла BAD, получим угол ВАЕ, равный 22°30/.
Вопрос: Стоимость приобретения оборудования составляет 90 тыс. руб., транспортные и монтажные затраты – 10 тыс. руб. Работы по пуску и наладке нового оборудования предприятию обойдутся в 5 тыс. руб. Определить первоначальную стоимость основных производственных фондов предприятия.
Категория: экономические
Ответы:
Первоначальная стоимость основных фондов Фп включает в себя стоимость их приобретения Цо с учетом затрат, связанных с вводом нового объекта основных фондов З вв. в состав этих затрат входят транспортные, монтажные и, если имеют место, пуско-наладочные затраты: 
    
В нашем случае первоначальная стоимость основных производственных фондов будет равна 
Фп = (90 + 10 + 5) = 105 тыс. руб. 
Ответ: первоначальная стоимость основных производственных фондов равна 105 тыс. руб.
Вопрос: Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона AB меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условиюАВ + ВС + АС = 15 см, ВС = АВ + 2 см, АВ = АС - 1 см.Отсюда получаемАВ + (АВ + 2 см)  + (АВ + 1 см)  = 15 см,или ЗАВ = 12 см.Следовательно, АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 5 см. Ответ. АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 5 см.
Вопрос: В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть ВС — основание равнобедренного треугольника ABC. ТогдаАВ = АС,    ВС = АВ + 2 см,    ВС = АВ + АС - 3 см.Отсюда получаем:АВ + 2 см = АВ + АВ - 3 сми, следовательно, АВ = 5 см.Поэтому ВС = 7 см, АС = 5 см. Ответ. 5 см, 5 см, 7 см.
Вопрос: Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть в треугольнике ABC: ВС = 8 см, АВ = АС, ВЫ - медиана (рис. 84). Возможны два случая: а) Равм = Рсвм + + 2 см; б) Рсвм = Равм + 2 см.а) АВ + ВЫ + AM = ВС + ВЫ + МС + + 2  см.  Отсюда,  учитывая  равенство  AM = = МС,  получаем:  АВ = ВС + 2 см = 8 см ++ 2 см = 10 см.б) ВС + ВЫ + МС = АВ + ВМ + AM + 2 см. Отсюда получаем: ВС = АВ + 2 см, т. е. ЛВ = ВС - 2 см = 8 см - 2 см = 6 см. Ответ. 10 см или 6 см.
Вопрос: Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Указанные треугольники равны по двум сторонами и углу между ними.
Вопрос: Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и B; б) каждая точка, равноудаленная от точек А и B, лежит на прямой а
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть точка О — середина отрезка АВ (рис.85).а)  Точка О, очевидно, равноудалена от точек А и В, т. е. АО = ВО.Пусть М — произвольная точка прямой а, отличная от точки О. Тогда ААОМ = = АВОМ по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, МО — общая сторона, ААОМ = АВОМ = 90° по условию). Отсюда следует, что MA = MB, т. е. точка М равноудалена от точек А и В.б)  Пусть точка М равноудалена от точек А и В, т. е. MA = MB. Докажем, что точка М лежит на прямой а.Если точка М лежит на прямой АВ, то она совпадает с точкой О и, следовательно, лежит на прямой а. Если же точка М не лежит на прямой АВ, то точки М, А и В являются вершинами равнобедренного треугольника МАВ. Отрезок МО — медиана этого треугольника, а следовательно, и высота, т. е. МО _1_ АВ. Отсюда следует, что прямая МО совпадает с прямой а и, значит, точка М лежит на прямой а.
Вопрос: В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы AM и А1М1 равны, BC=B1С1 и ∠AMB=∠A1M1B1. Докажите, что ΔABC=ΔA1B1C1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как ВС = ВХСХ, то ВМ = Х-ВС = \B\C\ = ВХМХ. Следовательно, ААВМ = ААХВХМХ по двум сторонам и углу между ними (рис.86). Из равенства этих треугольников следует, что АВ = = АХВ\ и АВ = АВХ. Так  как  АВ = АХВХ,  ВС = ВХСХ   и  /Б = ZBX,   то  ААВС = = АА\В\С\ (по двум сторонам и углу между ними).
Вопрос: На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD=CE, то ∠CAD=∠BAE и AB=АС; б) если ∠CAD=∠BAE, то BD = CE и AB=АС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольник ADE — равнобедренный с основанием DE, то AD = АЕ и ZD = ZE.а)  Если BD = СЕ, то DC = BE и тогда ДАОС = ДАЕВ по двум сторонам и углу между ними  (AD = АЕ, DC = ЕВ, ZD    = ZE). Отсюда следует, что АС = АВ и ZCAD = ZBAE.б)  Если ZCAD = ZBAE, то AADC = ААЕВ по стороне и двум прилежащим углам (AD = АЕ, ZCAD = /БАЕ, ZD = ZE). Отсюда следует, что АС = АВ и DC = БЕ. Последнее равенство запишем в виде: BD + ВС = БС + СЕ, откуда получаем BD = СЕ, что и требовалось доказать.
Вопрос: Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть треугольник ABC — равнобедренный с основанием ВС, а точки Ах, Вх,  Сх  — середины его сторон  (рис.88). Тогда АВ = AC, ZB = ZC, ВСХ = 1-АВ = 1-АС = СВХ, ВАХ = САХ.Следовательно, АВАХСХ = АСАХВХ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АХСХ = АХВХ, т. е. треугольник АХВХСХ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

решение к задаче приложено к ответу
Вопрос: На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольник ABC — равносторонний, то ZA = = ZB = ZC, а так как AD = BE = СЕ, то CD = АЕ = BE. Отсюда следует, что треугольники ADE, BEF и CFD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому DE = ЕЕ = FD, т. е. треугольник DEF — равносторонний.
Вопрос: Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1 так, что АК = BK1. Докажите, что: а) ОК = ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) ААОС = ABOD по двум сторонам и углу между ними (рис.90), откуда следует, что ZA = АВ.ААОК = АВОК\ по двум сторонам и углу между ними, поэтому ОК = ОКХ.б) Из равенства треугольников АОК и ВОК\ следует также, что Zl = Z2.Пусть луч ОК2 — продолжение луча ОК. Тогда Z1 = ZBOK2.Из последних двух равенств следует, что Z2 = ZBOK2, т. е. ZBOK\ = ZBOK2, а это означает, что лучи Oi^i и Oi^2 совпадают, т. е. луч ОК\ является продолжением луча ОК. Поэтому точки О, К и К\ лежат на одной прямой.
Вопрос: Первоначальная стоимость оборудования для предприятия составляет 100 тыс. руб. период эксплуатации оборудования – 8 лет. среднегодовые темпы роста производительности труда в отрасли составляют 3 %. Определить восстановительную стоимость основных производственных фондов.
Категория: экономические
Ответы:
Восстановительная стоимость основных фондов Фвосст рассчитывается с учетом их переоценки: 
    
где Потр – среднегодовые темпы роста производительности труда в отрасли; 
t – время между годами выпуска и переоценки (например, год выпуска 2000, год переоценки – 2005, значит t= 5). 
Восстановительная стоимость основных фондов с учетом их переоценки в нашей задаче равна: 
Ф = 100/(1+0,03)^8=78940
Ответ: восстановительная стоимость основных производственных фондов равна 78940 руб.
Вопрос: Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение.  ААОС = ABOD  по двум  сторонам  и углу  междуними (см. рис. 90), поэтому АС = BD и, следовательно, AM = - АС == -BD = BN. Отсюда, используя задачу 165, получаем, что ОМ = = UN и точки О, М и N лежат на одной прямой. Поэтому точка О — середина отрезка MN.
Вопрос: Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольник ABC — равносторонний, то углы А, В и С равны друг другу. Отсюда следует, что смежные с ними углы DAE, FBD и ECF также равны друг другу, а так как АЕ = = BD = СЕ и AD = BE = СЕ, то треугольники ADE, BED и CEF равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует, что DE = FD = EF, т. е. треугольник DEF — равносторонний.
Вопрос: В треугольнике ABC ∠A= 38°, ∠B= 110°, ∠C=32°. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD=DA, ВЕ=ЕС. Найдите угол DBE
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольники ADB и ВЕС — равнобедренные (рис.92), то Zl = ZA = 38°, Z2 = = ZC = 32°. ПоэтомуZDBE = ZB - Z\ - Z2 = 110° - 38° - 32° = 40°Ответ. 40°.
Вопрос: На рисунке 95 OC=OD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. АВОС = ADOE по двум сторонам и углу между ними, поэтому ZD = ZC и ВС = = DE.ААОС = AFOD по стороне и двум прилежащим к ней углам (ОС = OD по условию; ZC = = ZD; ZAOC = ZFOD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что АС = DF, а так как ВС = DE, то АВ = EF, что требовалось доказать
Вопрос: Докажите, что треугольники ABC и А1B1С1 равны, если АВ =А1В1, ∠A=∠A1, AD =A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. AABD = AA\B\D\ по двум сторонам и углу между ними (рис.94). Отсюда следует, что ZB = ZB\.A ABC = AA\B\C\ по стороне и двум прилежащим к ней углам (АВ = А\В\, ZA = ZAU /-B = ZBX).
Вопрос: В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC=∠OCA. Докажите, что треугольники АВО и СDO равны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Обратимся к рисунку 95. ААВС = AADC по двум сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, СВ = AD, ZACB = = ZCAD). Отсюда следует, что АВ = CD, ZB = ZD и ZBAC = = ZACD. Из последнего равенства получаем, что Z\ = Z2 (рис.95).ААВО = AC DO по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD, /Б = /Д Z\ = Z2).
Вопрос: На рисунке 96 AC=AD, AB⊥CD. Докажите, что BC=BD и ∠ACB=∠ADB.
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольник ACD — равнобедренный, то высота, проведенная к основанию CD, является биссектрисой, и поэтому ZCAB = ZDAB.ААСВ = AADB по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что ВС = BD и ZACB = ZADB.
Вопрос: Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть угол BAD — смежный с углом А треугольника ABC (рис.97). Докажем, например, что ZBAD > АВ.Отметим середину О стороны АВ и на продолжении отрезка СО отложим отрезок ОЕ, равный СО. Тогда АВОС = = ААОЕ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АВ = = Z1. Но ZBAD > Z1 и, следовательно, ZBAD > ZB.
Вопрос: Докажите, что ΔАВС=ΔА1В1С1, если ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, BC=B1C1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Наложим треугольник ABC на треугольник А\В\С\ так, чтобы сторона ВС совместилась с В\С\, а сторона В А наложилась на луч В\А\. Это можно сделать, так как ВС = В\С\ и ZB = ZB\. Если допустить, что точки А и А\ не совместятся (рис.98), то получится треугольник САА\, у которого один из углов, прилежащих к стороне АА\, равен углу, смежному с другим углом треугольника САА\ (на рисунке 98 ZA = = ZBA\C). Но этого не может быть (см. задачу 173). Следовательно, точка А совместится с точкой А\, а поэтому и весь треугольник ABC совместится с треугольником А\В\С\, т. е. эти треугольники равны.
Вопрос: На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. AOAD = АОВС по двум сторонам и углу между ними (ОА = OB, OD = ОС, угол О — общий). Отсюда следует, что ZODA = ZOCB.Сравним треугольники BDE и АСЕ. В этих треугольниках BD = = AC, ZBDE = ZACE и углы с вершиной Е равны как вертикальные. Поэтому ABDE = ААСЕ (см. задачу 174), и, следовательно, BE = АЕ.АОАЕ = АОВЕ по трем сторонам. Отсюда следует, что ZAOE = ZBOE, т. е. луч ОЕ — биссектриса угла XOY.Биссектрису данного угла с вершиной О можно построить следующим образом. На сторонах угла откладываем равные отрезки О А и ОВ, АС и BD, как показано на рисунке 99. Затем проводим отрезки AD и ВС. Они пересекаются в некоторой точке Е. Остается провести луч ОЕ — это и есть биссектриса данного угла.
Вопрос: Первоначальная стоимость основных производственных фондов предприятия составляет 100 тыс. руб. период эксплуатации оборудования – 8 лет. Определить остаточную стоимость основных производственных фондов, если норма амортизационных отчислений для данного оборудования составляет 10 %.
Категория: экономические
Ответы:
Первоначальная стоимость, уменьшенная на величину перенесенной стоимости, представляет собой остаточную стоимость основных производственных фондов Фост. Поэтому для решения данной задачи используем следующую формулу: 
    
где НА – норма амортизационных отчислений; 
tэкспл – период эксплуатации основных фондов. 
Подставив известные из условия задачи данные, получаем: 
Ф = 100*(1-0,1*8)=20
Ответ: остаточная стоимость основных производственных фондов составляет 20 тыс. руб.
Вопрос: Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1, где AM и А1М1 — медианы треугольников
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. На продолжениях отрезков AM и А\М\ отложим отрезки MD и Mi А, равные AM и АХМХ (рис. 100). ААМС = ABMD по двум сторонам и углу между ними (AM = MD по построению; ВМ = МС, так как AM — медиана; ZAMC = ZBMD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что BD = АС.Аналогично, из равенства треугольников А\М\С\ и B\M\D\ следует, что B\D\ = А\С\, а так как АС = А\С\ (по условию), то BD = = BXDX.AABD = AA\B\Di по трем сторонам (АВ = АХВХ; BD = BXDX\ AD = AXDX, так как AD = 2AM, A\D\ = 2A\M\ и AM = AXMX). Отсюда следует, что медианы ВМ и В\М\ в этих треугольниках равны (см. задачу 114). Поэтому ВС = 2ВМ = 2В\М\ = В\С\ и ААВС = АА\В\С\ по трем сторонам.
Вопрос: Даны два треугольника: ABC и А1В1С1. Известно, что АВ=А1В1, АС=А1С1, ∠A=∠A1. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А1С1 и В1С1 треугольника А1В1С1 — точки К1 и L1 так, что AK=A1K1, LC=L1C1. Докажите, что: a) KL=K1L1; б) AL=A1L1
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. ААВС = АА\В\С\ по двум сторонам и углу между ними, поэтому АС = ZCi (рис. 101).Так как АС = АХСХ и АК = АхКи то КС = КХСХ.а)   AKCL = AK\C\L\   по двум  сторонам  и  углу  между Отсюда следует, что KL = KXLX.б)  Аналогично, из равенства треугольников ACL и AXCXLX следует, что AL = AXLX.
Вопрос: Даны три точки А, B, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть точка В лежит между А и С. Предположим, что AD = BD = = CD (рис. 102). Тогда треугольники ADB, BDC и ADC — равнобедренные, откуда следует, что Z1 = Z2, Z3 = Z4 и Zl = Z4,  т. е. углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Но углы 2 и 3 — смежные, поэтому Z2 + Z3 = 2Z2 = 180°, откуда Z2 = 90°. Итак, Zl = Z2 = = Z3 = Z4 = Z90°, т. е. из точки D проведены три перпендикуляра к прямой АС, чего не может быть. Следовательно, наше предположение о равенстве отрезков AD, BD и CD неверно. Поэтому хотя бы два из этих отрезков не равны друг другу.
Вопрос: На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB=∠QXC, где X— середина основания ВС. Докажите, что BQ=CP
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Так как треугольник ABC — равнобедренный с основанием ВС, то ZB = = АС (рис. 103).АВРХ = ACQX по стороне и двум прилежащим углам  (ВХ = СХ и ZPXB = ZQXC по условию, ZB = ZC).Отсюда следует, что ВР = CQ АВРС = ACQB по двум сторонам и углу между ними (ВР = CQ, ВС — общая сторона,   ZB = ZC), поэтому СР = BQ, что и требовалось доказать.
Вопрос: Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем окружность данного радиуса с центром в данной точке М (рис. 104). Пусть О — общая точка этой окружности и данной прямой а. Проведем теперь окружность данного радиуса с центром в точке О. Эта окружность является искомой.
Вопрос: 31. Определить величину прибыли, если маржинальный доход - 3240 тыс.руб.; выручка от продаж-4960 тыс.руб., постоянные расходы - 1640 тыс.руб.:3240 – 1640 = 1600(*ответ к тесту*)

32. Выберите правильный вариант ответа: Определение выручки от реализации продукции расчетным методом осуществляется путем: исходя из общего объема выпуска товарной продукции, скорректированного на изменение остатков нереализованной продукции на начало и конец планируемого периода (*ответ к тесту*)

33. Выберите правильный вариант ответа: Остатки готовой продукции на начало года - 600 ед., за год запланировано продать 4200 ед., для обеспечения непрерывности процесса реализации остатки продукции на конец года должны составить не менее 500 ед. Объем производственной программы на год составит: 4100 = 4200 – 600 + 500 (*ответ к тесту*)

34. Выберите правильный вариант ответа: Остатки готовой продукции на начало года -700 ед., за год произведено 4500 ед., продано 4200 ед. Определить остатки продукции на конец года  1000 = 700+4500-4200 (*ответ к тесту*)

35. Реализация за год составит 280 000 тыс. руб.; 60% продаж осуществляется в кредит, и предполагается, что в конце года продажи в кредит за три последних месяца будут неопла-ченными. Выручка от реализации формируется равномерно в течение года. Определить величину дебиторской задолженности на конец периода. 42 000 280000*0,6=168000. 168000/12=14000 в мес. 14000*3 = 42000(*ответ к тесту*)

36. Сумма, потраченная на приобретение товарно-материальных запасов, составит 186 000 тыс. руб., и закупки будут равномерно распределены в течение года. Все приобретения осуществляются в кредит, и предполагается, что к концу года закупки за два месяца останутся неоплаченными. Определить величину кредиторской задолженности поставщикам на конец года
31000 ( без комментариев) (*ответ к тесту*)
Категория: экономические
Ответы:
Правильные ответы к тесту выделены по каждому вопросу
Вопрос: Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем окружности данного радиуса с центрами в данных точках А и В (рис. 105). Пусть эти окружности имеют общую точку О. Проведем окружность данного радиуса с центром в точке О. Эта окружность — искомая.
Вопрос: Даны прямая а, точки А, B и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC=PQ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным PQ (рис. 106). Пусть С — общая точка этой окружности и прямой а. Проведем отрезки АВ, ВС и С А. Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то они являются вершинами искомого треугольника ABC.
Вопрос: Даны окружность, точки А, B и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC=PQ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным PQ (рис. 107). Пусть С — общая точка проведенной и данной  окружностей. Проведем отрезки АВ, ВС и С А. Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то они являются вершинами искомого треугольника ABC.
Вопрос: На стороне ВС треугольника ABC постройте точку, равноудаленную от вершин А и С
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Построим середину отрезка АС (точка D на рисунке 108) и прямую, проходящую через точку D и перпендикулярную к прямой АС (как это сделать, описано в п. 23 учебника). Точка М пересечения построенной прямой и прямой ВС является искомой точкой, так как МА = МС (см. задачу 160).
Вопрос: С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Построим середину данного отрезка (как это сделать, описано в п. 23 учебника), а затем построим середины каждого из двух получившихся отрезков. Построенные три точки разделяют данный отрезок на четыре равные части.
Вопрос: Стоимость основных производственных фондов предприятия на начало 2005 года составляла 7825 тыс. руб. в течение года как по вводу, так и по выбытию основных фондов было проведено четыре мероприятия. Они отражены в табл. 1. 
      Таблица 1
Месяц    Стоимость введенных основных фондов на 1-е число месяца, тыс. руб.    Стоимость ликвидированных основных фондов на 1-е число месяца, тыс. руб.
Март     60     3 
Июнь     80     8 
Август     100     10 
Декабрь     15     7 
Рассчитать среднегодовую стоимость основных производственных фондов, приуроченную к началу периода.
Категория: экономические
Ответы:
Среднегодовую стоимость основных производственных фондов, приуроченную к началу периода, рассчитывают по формуле: 
    
где Фн – стоимость основных фондов на начало года, руб.; 
Фi – стоимость основных производственных фондов на начало i-го месяца, начиная с февраля (i = 2) и заканчивая декабрем (i = 12); 
Фк – стоимость основных фондов на конец года, руб. 
Как известно из условия задачи, стоимость основных фондов на начало года составляет 7825 тыс. руб. 
Чтобы рассчитать стоимость основных производственных фондов на конец года, определим, чему равен прирост основных фондов. Как было сказано выше, он рассчитывается как разница между вновь введенными и ликвидированными фондами. Стоимость вновь введенных основных производственных фондов составляет 
Фвв = 60 + 80 + 100 + 15 = 255 тыс. руб. 
Стоимость ликвидированных основных производственных фондов составляет 
Фвыб = 3 + 8 + 10 + 7 = 28 тыс. руб. 
Прирост основных фондов, таким образом, составляет 
Фприр = 255 – 28 = 227 тыс. руб. 
Стоимость основных производственных фондов на конец года рассчитываем по формуле (2): 
Фк = 7825 + 227 = 8052 тыс. руб. 
Стоимость основных производственных фондов на начало февраля не изменилась, так как никаких изменений в их структуре не произошло. Поэтому Ф2 = Фн = 7825 тыс. руб. 
В марте было введено основных фондов на 60 тыс. руб. и ликвидировано на 3 тыс. руб., поэтому Ф3 = 7825 + 60 – 3 = 7882 тыс. руб. 
До июня никаких изменений в структуре основных производственных фондов не происходило, поэтому Ф4 = Ф5 = 7882 тыс. руб. 
В июне было введено основных фондов на 80 тыс. руб. и ликвидировано – на 8 тыс. руб., поэтому Ф6 = 7882 + 80 – 8 = 7954 тыс. руб. 
Подобным образом просчитываем стоимость основных производственных фондов до конца года. Занесем эти данные в табл. 2: 
      Таблица 2
i    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12     

Ф i    7825     7882     7882     7882     7954     7954     8044     8044     8044     8044     8052     87607 
Подставив результаты наших вычислений в формулу (9), получаем значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов на начало года: 
Ф = 1/12*(0,5*7825+87607+0,5*8052)= 7962,25
Ответ: среднегодовая стоимость основных производственных фондов, приуроченная к началу периода, составила 7962,25 тыс. руб.
Вопрос: На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°, ∠7=143°; б) ∠1=∠6; в) ∠1=45°, а угол 7 в три раза больше угла 3
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение, а) Так как Z7 и Z8 — смежные углы, то по свойству смежных углов Z7 + Z8 = 180°. По условию Z7 = 143°, поэтому Z8 = = 180° - 143° = 37°. Итак, Zl = Z8 = 37°, а углы 1 и 8 - соответственные углы при пересечении прямых а и Ь секущей с, следовательно, а || Ь.б)  Zl = Z6 по условию, Z6 = Z8, так как углы 6 и 8 — вертикальные, поэтому Zl = Z8, а значит, как и в задаче а), а || b.в)  По условию Z.7 = 3Z3, Z1 = 45°. Но Zl = Z3, так как углы 1 и 3 — вертикальные, поэтому Z7 = 3Z1 = 135°. Так как Z7 и Z8 — смежные углы, то по свойству смежных углов Z7 + Z8 = 180°. Отсюда следует, что Z8 = 180° - 135° = 45°, т. е. Zl = Z8. Тем самым, как и в задаче а), AB \\ DE.
Вопрос: По данным рисунка 107 докажите, что AB||DE
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Zl = Z2, Z3 = Z4, так как углы 1 и 2, 3 и 4 — углы при основании равнобедренных треугольников ABC и CDE соответственно, Z2 = Z3, так как углы 2 и 3 — вертикальные, поэтому Zl = Z4. Углы 1 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DE секущей АЕ, следовательно, АВ \\ DE.
Вопрос: Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (АО = OB, CO = OD, так как точка О — общая середина отрезков АВ и CD, Zl = Z2, так как углы 1 и 2 — вертикальные). Из равенства этих треугольников следует, что Z3 = Z4. Углы 3 и 4 — накрест лежащие при пересечении прямых АС и BD секущей АВ, следовательно, АС || BD.
Вопрос: Используя данные рисунка 108, докажите, что BC||AD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условию треугольник ABC — равнобедренный (АВ = ВС), поэтому Zl = Z3, так как Z1 и Z3 — углы при его основании. Zl = Z2 по условию, а значит, Z2 = Z3. Углы 2 и 3 — накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей АС, следовательно, ВС II AD.
Вопрос: На рисунке 109 АВ=BC, AD=DE, ∠C=70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE||АС
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условию треугольник ABC — равнобедренный (АВ = ВС), поэтому его углы при основании равны: ZA = ZC = 70°. ZA = Z1 + + 35°, поэтому Z1 =35°. Треугольник ADE -также равнобедренный (по условию AD = DE), поэтому его углы при основании равны: Z1 = = Z2 = 35°. Итак, ZEAC = Z2, а эти углы — накрест лежащие при пересечении прямых DE и АС секущей АЕ. Следовательно, DE II АС.
Вопрос: Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ=МК. Докажите, что КМ||АВ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условию треугольник ВМК — равнобедренный    (MB = МК),    поэтому    его    углы    при    основании    равны: Z2 = Z3 (рис.119). Так как отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC, то Z2 = Z1. Следовательно, Zl = Z3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и КМ секущей ВК, поэтому КМ \\ АВ.
Вопрос: В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть луч CF — биссектриса угла ВСЕ, равного 80° (рис. 120). Тогда Zl = Z2 = 40°, поэтому Z2 = ZA. Но углы А и 2 — соответственные при пересечении прямых CF и АВ секущей АС, следовательно, CF || АВ.
Вопрос: В треугольнике ABC ∠A=40°, ∠B=70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что AC||BD
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условию луч ВС — биссектриса угла ABD (рис. 121), поэтому ZABD = 2ZABC = 140°. Углы А и ABD -односторонние углы при пересечении прямых АС и BD секущей АВ, а так как ZA + ZABD = 40° + 140° = 180°, то АС II BD.
Вопрос: Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответы к задаче по геометрии представлены в виде рисунка и приложены к ответу
Вопрос: Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертежного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника
Категория: школьный раздел
Ответы:
Ответы к задаче по геометрии представлены в виде рисунка и приложены к ответу
Вопрос: Предприятием приобретен объект основных производственных фондов стоимостью 100 тыс. руб. со сроком полезного использования 10 лет. Определить годовую сумму амортизационных отчислений линейным (пропорциональным) способом.
Категория: экономические
Ответы:
Согласно линейному (пропорциональному) методу, происходит начисление равной нормы амортизации в любой период эксплуатации основных производственных фондов. 
Для расчета нормы амортизации используют формулу вида: 
    
где На— годовая норма амортизации, в процентах; 
T — срок полезного использования имущества, лет. 
В нашей задаче годовая норма амортизационных отчислений составит 
На = (1/10) 100 % = 10 %. 
Годовая сумма амортизационных отчислений определяется путем умножения первоначальной стоимости приобретенного объекта Фп на годовую норму амортизации На:
    
Итак, А = 100 * 0,1 = 10 тыс. руб. 
Ответ: годовая сумма амортизационных отчислений, рассчитанная линейным методом, составляет 10 тыс. руб. в год в течение всего периода.
Вопрос: Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Поэтому через точку С можно провести только одну прямую, параллельную стороне АВ.
Ответ. Одну прямую.
Вопрос: Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Пусть А — данная точка. Возможны два случая:а)   все  четыре  прямые,  проходящие  через  точку  А,  пересекают прямую р\б)    одна   из   прямых   параллельна   прямой   р.   Тогда   остальные три  прямые  пересекают  ее,  так  как  через  точку  А,   не  лежащую на  данной   прямой  р,   проходит  только  одна   прямая,   параллельная прямой р.Ответ. Четыре или три прямые.
Вопрос: Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. По условию прямые а и Ъ перпендикулярны к прямой р, поэтому они не пересекаются (см. п. 12 учебника), т. е. а || Ь. По условию прямая с пересекает одну из параллельных прямых (прямую а), поэтому, согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую Ъ.Ответ. Да.
Вопрос: Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Прямая ВС пересекает прямую АВ, параллельную прямой р, а значит, согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую р. По той же причине прямая АС пересекает прямую р.
Вопрос: На рисунке 115 AD||p и PQ||BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. Прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую АВ, а по условию AD \\ р. Согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую р. Аналогично, прямые ВС и PQ пересекают прямую AD,   поэтому  они  пересекают  и  параллельную ей прямую р.
Вопрос: На рисунке 116 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямых а, b и с параллельны
Категория: школьный раздел
Ответы:
Решение. 1°. Рассмотрим прямые а и Ъ. Z1 и Z2 — односторонние углы при пересечении прямых а и b секущей d и Zl + Z2 = 42° + + 140° = 182°. Следовательно, прямые а и Ь не параллельны. В самом деле, если предположить, что а || 6, то по свойству односторонних углов (третья теорема п.29 учебника) Zl + Z2 = 180°, что противоречит условию задачи.2°. Рассмотрим прямые а и с. Zl и Z3 — односторонние углы при пересечении прямых а и с секущей d и Zl + Z3 = 42° + 138° = 180°. Следовательно, по признаку параллельности двух прямых а \\ с.3°. Рассмотрим прямые Ъ и с. Углы 2 и 3 — соответственные углы при пересечении прямых Ъ и с секущей d и Z2 ф Z3. Следовательно, прямые Ь и с не параллельны.Ответ, а || с.