Как правило, для бега обувь сделана со спецификой беговой-  поддержка пятки, в том числе, и снизу, на подошве и скошенный носок, т.н rocker-  чтоб отталкиваться легче при ударе ступни о землю.  И достаточно толстая подошва ( но не мягкая "пена"!). Для силовых нужна устойчивая обувь, чтоб вес ваш и гантельный и размахивание этого веса в разные стороны, удерживали.  Поэтому тут да, нужны  разные типы.