1.2.Можно3. Да, теоретически деньги нужно вернуть, но у вас не отработан всего 1 мес., сумма мелкая.  При попытке взыскать по суду, не выйдет. Но учитывая, что оплата учителям идет часто централизовано по региону, у вас их просто взыщут по новому месту работы.4. Больничный   взять можно, хотя  вас обязательно спросят про отпуск, но никакой оплаты его не будет, и вашу проблему это не решит.