А вы ситуацию мысленно представляйте себе- вот вы сидите на стуле и просите мужа " Дай мне сапог! " вы же про свой, какой-то понятный и знакомый сапог говорите, поэтому give me the boot. Ситуацию, где будет give me a boot предствить сложнее,не знаю, где можно просить какой- то неизвестный сапог у кого- то. Во мн числе артикля" а" не бывает