Базилик - это нежный многолетник. Так же как и перец, баклажан, томат и пр. То есть, в тропическом или субтропическом климате он будет расти как многоилетник, в условиях средней полосы умрет после первого заморозка.  Теоретически, его можно в горшке перезимовать в условиях квартиры/дома, практически он скорее всего покроетсяя всеми известными науке болячками и не доживет до весны.