Без гражданства РФ вас никто легально на работу не  возьмет. Штрафы огромные за это и если вы не какой то очень узкий специалист,на которого можно получить квоты по причине того, что в России таких нет,то забудьте про это вообще. Кем вы готовы работать нелегально то? И как будете каждые 90 дней на Украину ездить и на какие шиши? Ваши 2 тысячи долларов это пожить 1 месяц нормально или 2 кое -как.  Если вы заболеете-то как вы будете здесь лечиться? Вы разоритесь на страховке. С собачкой проблем не вижу,квартиры сдают людям с животными.