Только читаю о таких случаях, ни разу за все время выездов вдвоем с ребенком (в том числе с разными фамилиями) со мной такого не было. Видимо, вам попался новичок или неграмотный сотрудник, ничего он вам сделать в любом случае не смог бы. На границе могут спросить свидетельство о рождении, т.к. это единственное ваше подтверждение родства с ребенком.