Забирайте детей и уезжайте на съемную квартиру в любом городе, договор аренды  на год - вполне хорош. По факту, раз у вас такая ситуация - у кого дети, тот в более выигрышном положении на суде, поскольку определять место жительства могут и больше года, а там и школы и друзья и тп.. Кроме того, мать у которой дети может обратиться в суд по своему фактическому пребыванию, как истец.... Регистрацию по фактическому месту пребывания легко сделать одному из родителей без участия другого. Квартиру рядом с его мамой сдать и получать деньги. Можете писать свои доп вопросы мне  в личку.