Если кому интересно, побывали мы у вета. Крутили-вертели, всего общупали, рентген, ЭКГ и ОАК сделали, кал и мазок слизистой сдали.  По всем параметрам норма, респираторных инфекций не обнаружено, с сердцем всё в порядке. Вердикт - астма. Назначили (если все-таки скрытая респираторная инфекция) антибиотик и наблюдаем за ним. Если кашель не прекратится, то вводим стероид и опять наблюдаем, если не поможет, то меняем схему лечения