Отвечаю как филолог. Урожай -  я бы разобрала именно так, как ваша учительница. Урожай (с  j на конце) - корень, нулевое окончание. Совершенно очевидно, что исторически, то есть этимологически, слово происходит от корня -рож-  путем прибавления приставки и суффикса. Но это именно исторически, а для современного языка это все входит в корень. Процесс называется перераспределение основы, так часто бывает. Так что "родить" и "урожай" - слова родственные, но не однокоренные.