Могу сказать с точки зрения преподавателя, работающего именно с детьми и подростками. ИМХО, если Вы хотите прогресса, а не просто поддерживать уровень - 2 раза в неделю по 60 минут являются минимумом. Средняя ставка хорошего преподавателя - около 1500 руб. за час, если речь не идет о ЕГЭ и т.д. И контракт с частным преподавателем - это нонсенс. В крайнем случае оговаривают варианты с отменой без достаточного предупреждения (например, если предупредили меньше, чем за 2 часа, урок считается проведенным и оплаченным), но это лично я делаю в исключительных случаях, с особо злостными "отменяльщиками".