А у вас с логикой. Понятие права в юридическом смысле применимо в том случае, когда есть документальное оформление отношений. Почему-то я уверена, что мама, отдавая ребенка, не заключала с бабушкой никакого договора и не писала доверенность. Посему, если подходить формально, она оставила ребенка с человеком, который вообще ничего не должен.