Внутри Москвы только второй вариант. А раньше было еще интереснее: сначала берешь по новому адресу бумагу о будущей прописке (не помню, как называлась, что-то вроде согласия или как-то так), с ней идешь по старому адресу - выписываться, а потом топаешь по новому - прописываться.