Не могли. Он говорит, что "просился в армию, но не прошёл медкомиссию". Медкомиссию на тот момент проходили в 16 лет. Если он её не прошёл - то он не получал отсрочку как студент.  Если бы он неожиданно  и серьёзно заболел - то он бы так и  говорил - мол, заболел, а не  "не прошёл медкомиссию".