Вообще не вижу проблем, объяснить ситуацию и выйти по договору / контракту . Так же восстановить свою трудовую за пару дней. Вы не первая и не последняя, кому не выдают трудовую, делая вид, что это какой то ппц важный документ, который ровный счётом никуя не значит.