Без трудовой работать можно, но крайне нежелательно. Оформление по всем правилам подразумевает и запись в трудовой, и заключение договора, и подписание Вами должностных инструкций, и приказ о приёме, где Вы ставите подпись в строке "ознакомлен" и т.д. и т.п. Если всё это есть, значит, Вы оформлены официально, с Вашей з/п будут платиться взносы, Вам будет предоставляться ежегодный отпуск и в конфликтной ситуации работодатель уже не сможет сделать вид, что "Вас тут не стояло"   Не стесняйтесь задавать вопросы на собеседовании, чтобы понять - "белая" это компания или "чёрная".