По-моему, если нет мест в школе по прописке, то надо обращаться в департамент образования своего района Москвы и они обязаны подобрать школу, где есть места  . Вроде бы так. Другое дело, что эта школа не обязана быть рядом с домом, сильной-хорошей-желанной. Куда сунут, туда и сунут ... Но мы трижды меняли школы , один раз в середине года, все три раза куда хотели, туда и пошли в итоге. Только один раз не с первой попытки, по месту прописки мест не оказалось, пошли в школу через дорогу.  PS я не пробовала искать школу через департамент, обзванивала сама .