Посетите пульмонолога и сделайте рентген. А так на трахеит похоже, кашель несколько недель может быть.  Трахеит может быть вызван и вирусом и инфекцией , иметь аллергическую природу, поэтому и лечение разное. Можете Эреспал и Синекод попробовать, еще и противоаллергический препарат какой нибудь. Главное посетите врача, иногда и астма так проявляется.