Я сейчас занята...  и предложение выхода из положения, разве не извинение, человек даже когда занят не отказал.   У меня ощущение, что вся ваша проблема в том что это была переписка, а не живой разговор, вы сами додумали интонацию, после разговора у вас бы даже мысли не возникло что это неудобно, в живом разговоре вы бы услышали поток извинений, как это напишешь в сообщении, сухое слово "извини" еще бы больше обидело. Вообще я заметила, когда люди пальцами говорят они отгораживаются от живого общения, и действительно возникает барьер, переступить его тяжело. Но это вы сами с собой сделали.