Да, это специалитет. Нам можно в любую магистратуру) Насчет бюджета уже не уверена, это надо узнавать в конкретном ВУЗе, грозились отменить давно. Но продлевали несколько лет подряд. Защита магистерской серьезная, и обучение тоже, это не курсы, конечно, но зато диплом котируется как высшее педагогическое. Если есть время,  и действительно хочется поменять жизнь - очень рекомендую. Интересно, полезно, вторая молодость)