Можно, но работать  в белую вы не сможете даже за три копейки. Это доступно только для  безработных трудоспособных лиц.  Платить вам будут 1200 руб. вместе с пенсией матери. В трудовую книжку  этот период не заносится, а в страховой стаж  для пенсии по данным ПФ РФ пойдет, видно будет это только у них же. Отчислений в фонды никаких не будет, так же как и налогов. Это не вид самозанятости, это именно безработный человек осуществляет уход. В общем, смотря какая цель. Стаж будет ( но без учета доходов, только время) и нужные бумажки для всяких соцвыплат тоже, вы будете для государства  неработающей по уважительной причине.