Передвигаться можно без учёта. Жить до 4-х месяцев тоже можно без учёта. Если решил осесть - то да, надо встать на учёт, поскольку социальные системы в разных странах разные ты должен войти в новую систему, зарегистрировать физический адрес, по которому с тобой будут контактировать, и прочее. Это в твоих интересах. Ты пользуешься социальной системой той страны, в чью казну ты платишь налоги. Для уплаты налогов тебя должны видить в системе.