В 5 класс в другой район Москвы моего ребенка прекрасно приняли без какой-либо регистрации в том районе. А вот иногородних или из МО по слухам в московские школы не берут (за исключением отдельных школ с особым статусом ). Среди ровесников моей старшей полно было детей с не московской пропиской в московских школах. Но, говорят, в последние годы ситуация изменилась, что теперь надо иметь регистрацию на Мос ру, которая не москвичам не доступна.. Про другие регионы не знаю  .