Ребенка регистрируют только по месту регистрации одного из родителей. Что именно должно быть написано в доверенности, лучше всего узнать в МФЦ, где будете регистрировать. Еще нотариус, оформляющий дов-ть, может это знать.  Но они бывает ошибаются