Пытаясь соблюсти вид формальной законности, вы можете заключить с бабушкой договор безвозмездного пользования с правом сдачи квартиры в наем. И будете сдавать квартиру от своего имени на основании этого договора, неплохо при этом иметь на руках оригиналы правоустанавливающих документов на квартиру.