Не знаю, поможет ли вам - у меня опыт давний, 6-7 лет назад летали и ездили на поезде с собакой. На самолет нужен был вет паспорт + справка из вет.клиники (государственной) о том, что собака привита и эпидемий в регионе нет. Билет на собаку приобретали в вет.службе аэропорта - вот именно тогда нужна была справка из вет.клиники. Улетали-прилетали в Домодедово, но мне кажется, тут больше не правила аэропорта актуальны, а правила конкретной авиакомпании. На поезд только вет. паспорт нужен был. Возили мы Собаку в Краснодарский край, а не в Мин.Воды, но, думаю, это не принципиально.