Это все есть. ЦПМ и МЦНМО в течение года, лагерь Команда от Депобра Москвы, сборы от ЦПМ на базе других баз отдыха, пансионатов и лагерей - это все бесплатно. Плюс на коммерческой основе Коалиция и ее лагеря.Кроме того, в Москве развита система допобразования. Например, школы юных при МГУ. Конкретный пример: Экономико-математическая школа (ЭМШ) при экфаке МГУ. Все бесплатно. Этой "школе" уже более 50 лет. Более 40 курсов на выбор, не только математика (более 15 курсов) и экономика, но и совершенно разные области: и физика, и русский, и английский, и литература, и биология и история  - необъятно. 8-11 класс. Как раз указанный Вами возраст.