Ну если дед хочет, чтобы кто то ухаживал за котом в его отсутствие , то да, должен.  Не именно у автора,  а у кого то, кто согласен будет ухаживать. Дед уже сейчас знает, что уедет в санаторий. Резонный вопрос - а куда кота.