Я тоже из Москвы, но моя бабушка, жительница Владимирской области, называла садик за штакетником перед домом палисадником. В палисаднике у нее росла белая сирень и флоксы. Я тоже называю палисадником полоску земли перед домом на даче, где растут кустарники и цветы. Сответственно, мои дети знают это слово и точно знают, куда надо пойти, если я скажу "срежь в палисаднике несколько флоксов".