Все изменения должны быть в решении суда: дата рождения, место рождения, ФИО, составление новой актовой записи. Для этого вы все указываете в заявление в суд. В ЗАГС вы идете с решением суда, старым сор ребенка и своими паспортами. ЗАГС выдает новое сор со всеми изменениями, указанными в решении суда. Больничный получаете в рд по месту нахождения ребенка, местом нахождения ребенка считается его место рождения, указанное в решении суда. Поэтому, если ребенок родился в другом городе, а больничный хотите получать в своем городе, то и место рождения в заявлении в суд меняете на свой город. Приказ вы привели правильный, там четко написано, что больничный выдается родовспомогательный учреждением, ЖК таковым не является. Про сертификаты родовые очень подробно написано по этой ссылке http://posobie-expert.ru/dekretnyj-otpusk/rodovoj-sertifikat/