Вряд ли. "Подпись в бумажке, что они помыли лестницу" нужна, когда на дворников кто-то нажаловался, а тогда ходят не дворники, а их начальство. По крайней мере, у нас только так. Ни разу по жалобам на "плохо помыли/подмели/убрали мусор" ни один дворник не приходил с подобной бАмажкой.