вам нужен дефектолог, а не просто логопед. И да, за трехлеток мало кто берется. Ищите по коррекционным центрам. Массаж ротовой полости вы можете делать сами, просто пальцем (либо в перчатке, либо просто хорошо вымытым. в интернете полно роликов.дома же можно пропевать песенки  с отхлопыванием ритма, можно давать слушать разные музыкальные инструменты, а потом пусть закрывает глаза и угадывает что сейчас звучало. для этого не обязательно говорить, можно и пальцем показать. Играйте с игрушками вместе с ним, в диалогами и проигрыванием ситуаций.Порекомендую дельфинотерапию, мы были в свое время в Одессе, сейчас туда ходу нет, но и в Краснодарском крае есть,и в Крыму. Мне понравилось, что во время дельфинотерапии можно взять занятия и  с психологом, и с логопедом-дефектологом, и лфк. за 12 дней дочку хорошо подтянули и плюс отличные впечатления от общения с дельфинами. Не бойтесь таблеток, назначаемых неврологами (если есть сомнения, проконсультируйтесь еще с одним врачом). Занятия лучше проводить в центре каком-нибудь (лучше специализирующемся на детях с особенностями развития), там оснащение как правило хорошее, как тольок немного осовоится малыш, лучше перевести в мини-группу у того же дефектолога, будет и общение с детьми. подготовьте себя, что путь будет длинным и трудным, но ВСЕ БУДЕТ ХОРОШО,мы тоже начали работать только в три года, сейчас 5,8 лет, звуки стоят все, а вот со словообразованием, слоговой структурой и перессказыванием дела идут туго. К школе логопед обещает все подправить, но скорее всего потребуются занятия и в начальной школе.