ну вообще-то "гулять с собакой" - это означает процесс с момента выхода с собакой из дома, до момента захода домой. Чем по Вашему гулянье отличается от просто прохода? У нас собачники проходят через парк, потом обратно и домой - они не гуляют, они проходят?