А не проще просто обязать как-то поликлиники, роддома, полицию, больницы и прочие социальные и не только учреждения принимать детей без выяснения обстоятельств дела, по простому обращению. Пришел любой, без предъявления документов, оставил ребенка и ушел. Отработать алгоритм действий в таких случаях, да он наверно и отработан уже. Зачем огороды городить с бейби-боксами или алиментами? Многие что ли  алименты платят за оставленного ребенка, из тех, кто не хочет? А вот если бросят на улице или где-то, то ответственность.