Берете Такси (звоните из аэропорта в службу ред такси). Они вас встретят и довезут. В прошлом году нам посоветовал сотрудник камеры хранения в аэропорту это такси. Около 500 руб до границы доедите. При переходе на границе посмотрите где написано проход с детьми. Если там стоит толпа без детей, делаете лицо "кирпичем" и проходите без очереди - никто ничего не скажет. Проверено  После перехода можно взять частника и поторговаться с ним. Сколько до Афона не подскажу. До Гагр за 500 в прошлом году любой вез.