Есть несколько типов агентств. В одних платится за подбор персонала (оговаривается - сколько они предоставляют кандидатур, сколько на замену), за это платится определенная сумма, дальше вы уже имеете дело только с сиделкой.  Еще вариант - деньги платятся агентству ежемесячно, по чеку, а агентство уже с сиделкой само рассчитывается. Тут замена по требованию, столько, сколько надо, все проблемы с сиделками  (она в отпуске/заболела/уехала) агентство берет на себя - присылает замену. Такого экзотического варианта, как у вас, не встречала