А Богатырь дает бесплатный проход в парк? Вообще, в этом районе делать особо нечего. Мы жили рядом и вечером даже кафе приличного найти не могли. Олимпийские объекты смотреть можно, но эта не приятные улочки для прогулки... на любителя.. .Разве что на велосипедах там хорошо по набережной и вокруг объектов. Поэтому я бы пожила в Адлере 2 ночи, ну 3, если в парк можно ходить все эти дни. В самом Сочи помимо того, что Вы выбрали, смотрите экскурсии. Зимой их тоже достаточно. В разные пещеры, водопады, Форелевое хозяйство, Обезьяний питомник, Страусиную ферму. Ну и далекие есть - в Абхазию, например.Что касается гор, они конечно производят наилучшее впечатление!Я бы селилась в районе Горки Город или в Розе хутор. Там атмосфера курорта. Цены там в кафе довольно высокие, но можно снять апартаменты (Горки город апартаменты или Вальсет апартаменты). В горах есть каток, аквапарки 2 шт, кино, боулинг, скайпарк... Если кататься на лыжах  (Вы прям планируете поставить ребенка на лыжи??? или он катается уже ???), то наверно везде хорошо. В Розе хутор есть детский лыжный клуб Егорка, на других курортах  свои, наверно тоже есть. Надо узнавать.  Наверняка и на санках где-то можно покататься. В инфоцентрах в горах тоже, кстати, разные экскурсии предлагают.