Если вы идете во второй класс, то какие госуслуги? Разве надо? Просто идете и договариваетесь, есть места - возьмут, нет - в другую отправят. В хороших школах, всё забито, конечно, и поступления через тесты/собеседования. Временной прописки будет достаточно. Постоянную имела бы смысл только если бы вы шли в первый класс, а дальше это уже не важно.