Ничего не нужно, никакой подписи директора. Если вы подали заявление, и у вас документально заверено , что вы его подали ( секретарем), все. А выше вам очень грамотно все объяснили насчет трудовой книжки и инспекции. Да  кадровики сами заинтересованы, чтобы вам отдать трудовую в день увольнения, они за это своими собственными деньгами отвечают, трудовая инспекция на что? Достаточно  жалобы, и такой штраф огребут, мам не горюй!  Советую почтой направить им заявление, о том, что не получили до сих пор трудовой книжки, и ее можно выслать  вам по почте ( адрес прописки),   составить опись вложения ( вашего заявления), и все. После этого в клювике понесут на почту, бегом! А если нет, смело топайте в трудовую инспекцию.