Не понял как может быть: "по суду и  ПО ФАКТУ ребенок зарегистрирован с матерью, ФАКТИЧЕСКИ живет с отцом, и судья обязала мать платить алименты." - даже если "по факту" ребёнок живёт с отцом, но по суду зарегистрирован с матерью, как суд может присудить чтобы она платила алименты?