По всем правилам этикета первой здоровается сторона, оказывающая услугу. В данном случае это врач. Если я уже нахожусь в переговорной, и в это время входит мой клиент, здороваюсь я. Если я вхожу в переговорную, а там находится мой клиент, опять же здороваюсь я. Правило королевы Елизаветы.