Вы не понимаете сути регистрации гражданина по мету проживания (прописки). Отсюда ваши "должен же бывший хоть что-то делать для ребенка своего". А что он сделает, прописав ребенка? ДА НИЧЕГО! Эта регистрация у отца ровным счётом ребенку ничего не даёт и вам не даёт то же, тем более "обезопасить". А по закону ребенок должен быть зарегистрирован по месту своего фактического проживания, т.е. у вас.