1. нужно ли назначать антибиотики при нашем анализе. - скажу свое мнение - я бы назначил.2.  Можно ли его применять так часто?- это не часто, и в данном случае можно, только дозу не превышайте, то, что он не помог - не удивительно: он не смог подавить воспаление ( это и не его задача, его задача - вылечить кашель, когда основные причины ушли)3. Может, есть еще какие-то сиропы от сильного влажного кашля? - на фоне воспаления ( у Вас оно присутствует) - не сиропы нужны, а лечение скорее всего бронхита. Что касается сиропов их уйма, но аскорил - очень удачный препарат...