Шарага какая-то)))) Запись в трудовой делается на основании приказа о приёме на работу, а не "когда хотят". С Вами должны были заключить трудовой договор, издать приказ о приёме на работу, официально платить з/п и начислять на неё взносы... Если всего этого не было, то и смысла в записи в трудовой никакого нет)