Думаю, нет. Загвоздка в том, что у них, скорее всего, нет такого понятия "жить в стране не имея никаких прав за чей-то счет". Или ты турист (и тогда должен уехать по истечении срока визы), или ты имеешь постоянный вид на жительство и тогда автоматически пользуешься практически теми же правами, что и граждане, т.е. тебе положена минимальная пенсия, медицинское обслуживание, льготный проезд и т.д. А поскольку бабушка не платила никаких налогов в Финляндии, понятно, что  никто не рвется давать ей вид на жительство со всеми вытекающими последствиями. Тем более известно, что бабушка больна.