Я не знаю, из каких источников финансируется обучение иностранцев, но школа подает сведения о всех не-россиянах, количество, гражданство, и т.д. в департамент образования. И кто-то их обучение всё-таки оплачивает. На российских детей деньги выделяются по месту регистрации, поэтому у приезжих такие проблемы в Москве,  что деньги за них уже получила не-МОсква. А про соседний двор - по регистрации принять обязаны, даже если директору придется отдать под классы собственный кабинет, и открыть класс с буквой "Ю". А вот без регистрации - только если в школе есть недобор. Иностранца без регистрации тоже могут не принять в соседний двор, а отправить на другой конец района, где места есть.