Бабенка не может ходатайствовать о проживании детей с отцом. Только отец по своему желанию может.Никакой суд проживать с детьми отца заставить не может.Ответственность за детей у отца - алименты, в т.ч. маленькие. если официальный оклад маленький.За чужого ребенка, даже если он его усыновит, тем более мужчина не будет иметь желания нести ответственность  и никто ег не заставит.