По пункту 1. Наиболее  быстрый способ ( он же и самый затратный) - это такси. Наиболее удобный - это автобус до площади Каталонии (что- то около 6.5 евро с носа + в середине автобуса есть такие металлические полки для багажа, куда модно положить чемоданы), а далее на метро. Советую сразу купить проездной ( вот какой, вы покопайтесь по ссылке, где-то там есть описание проездных. http://www.atm.cat/web/indexeng.php). Добираться на электричке мне меньше нравится, так как нужно будет доехать до другого терминала на автобусе, пройтись немного пешочком и дождаться электрички+ доехать до центра Барсы. Это займет больше времени, чем если бы вы поехали сразу до площади Каталонии на автобусе.По пункту 2. Фонтаны вроде работают каждый день. Проще купить проездной на Бас Туристик на 2 дня и от площади Каталонии спокойно объехать почти все must see (достопримечательности).Пункт 3. На Монсеррат нужен целый день. Своим ходом туда не ездила. Могу посоветовать сходить на отзыв.ру и задать в поисковике, или поспрашивать людей в ветке форума по Испании. Знаю только что надо ехать от вокзала Сантс.По пунктам 4 и 5. Сама ответить не могу на эти вопросы, но можно опять же сходить на Отзыв.ру ( там есть люди- консультанты, живущие в Испании, может чем помогут) или на форум Винского.