Поэтому ребенок и ведет себя так с бабушкой, сложно от ребенка ждать чего-то другого в такой ситуации. Судя по всему девочка с характером, а сейчас у нее стрессовая ситуация во всем. Она привыкла быть с вами, родителями, сейчас она этого резко лишилась, вынуждена быть с бабушкой, которая просто за ней присматривает, но воспитания никакого. Учеба сложнее, нагрузка больше, нервное напряжение выливается в поведении. Она не виновата, ей плохо, поймите. Да, враньем в школе, утаскиваемыми вещами из дома она пытается заработать авторитет среди одноклассников. Я бы выяснила в школе с учителем, какие проблемы, почему ребенок так некомфортно себя там чувствует, привлекла бы школьного психолога, чтобы он прорабатывал все ситуации там на месте. Вообще, я бы перевела девочку в другую школу, раз здесь за ней закрепилось мнение, как о врушке. С девочкой перед этим поговорить, посадив на колени и обняв, сказать, что перейдете в другую школу, но там врать будет никак нельзя, мы с ребятами подружимся другими способами. И проговорить все возможные способы, научите её. А сдавать... Как можно сдать свою дочь? Или проблема именно в том, что вы её так и не приняли до конца? Тогда ребенок это чувствует и половина её поведения от этого.