Я сейчас нахожусь в Татарстане: Нижнекамск, Набережные Челны. У меня тут сверкры. Говорят исключительно " Татария". Полагаю, молодежь может и говорит " Татарстан", а все, кто 50 и старше- в основном " Татария" ( другие родственники тоже). Ну и конечно же , Башкирия. Она рядом, они туда постоянно мотаются к родне. Никто не называет Башкортостан). Про знаки. Уж не знаю, на которых вы видели много букоффф ( в осн знаки без слов, так ведь?), но дорожные указатели- наименования населенных пунктов здесь, таки да, на 2 языках: русском и татарском