Не возьмут. Живя без регистрации Вы нарушаете закон, так что ссылка на Конституцию не прокатит. Насчет липовой, имейте в виду школа вправе отдать регистрацию на проверку. Право на образование никто у Вашего ребенка не отнимал, его обязаны предоставить по месту проживания, а проживание надо документально подтвердить, в законе это предусмотрено, так что никаких нарушений тут нет