Второй родитель не может подписывать свидетельство о регистрации, т.к. у него не определено отцовство.  А отцовство определяется тогда, когда уже ребенок зарегистрирован - т.е. отцовство определяется по отношению к ФИО ребенка. Когда это делается одновременно с регистрацией - то эти 2 документа выдают чуть ли не одновременно, но именно мать пишет ФИО ребенка, т.к. на момент регистрации отца у него еще нет.