Нет, латышам не обязательно забывать родной язык. Просто русскоязычные должны мочь исходя из правил латышской фонетики записать имя так, чтобы оно читалось максимально близко к оригиналу (если это возможно).Ну скажем, в примере с  именем Грыцько не обязательно писать русскую форму имени Григорий, можно написать Грыцько. Но не стоит ожидать от русских,  что они будут выговаривать гортанное г, смягчённое ц и твёрдое р перед безударным Ы.Скорее имя будут произносить как Грицко.