Спокойствие! Трудовой договор, как и приказ о зачислении, оформляются в первый день работы (ну то есть так должно быть, дальше - все зависит от порядочности работодателя). Один экземпляр договора со всеми подписями выдается работнику. Смущает то, что взяли трудовую. Трудовая берется работодателем под подпись с регистрацией в соответствующей книге (опять же по правильному). Заявление писали о выходе на работу с какой даты? Собственно, эта дата определена? Возможно за Вас действительно "ухватились", бывает такое, что кандидат идеально подходит.