В математике не нужно "разбираться не зная определений".  Разбираются в географии и истории. А определения в математике - то, на чем она основана. И логические выводы из определений - суть математики.Чтобы "решать тригонометрические задачи без определений" уже давно придуманы программы, они это сделают лучше любого человека. Сам по себе этот навык никакого интереса не представляет.Понятия не могут быть доказаны, на то они и понятия.Если на взгляд истинного математика некорректное определение - это нормально, надо пересмотреть истинность данного математика.И еще: ребенку с математическим складом ума не нужно из математики устраивать игру. Ему математика и сама по себе интересна, тем что мозги включает и заставляет их шевелиться.