Совместное проживание и хозяйство ни при чем, этого не надо. Участие в воспитании ребенка он сможет доказать влегкую. Ребенок его знает, причем знает как отца, в сад устраивал он, общается с ребенком, поддерживает контакты. Доказательства, например:Свидетельские показания соседей, знакомых, работников сада.Информация о регулярных телефонных переговорах с мамой ребенка.Его подписи на договорах об оказании медицинских услуг (если такие есть, что запросто).Совместные фото (они же с автором несколько лет жили вместе).И еще многое другое. Все вместе вполне доказывает.