Да, не затягивай. И там уже по результатам. И если стремаешься антибиотика в идеале сдать посев с носоглотки чтобы понять, что хоть там у него и почему не проходит кашель. Думаю неделя роли не сыграет, но если и пить антибиотик,, то хоть правильный по результатам анализа, а не на глазок.