не лечат. Даже и с симптомами препаратов непосредственно противовирусных от него не существует, лечат симптоматически и просто ждут. А кашель такой может на фоне аденоидита быть,например, из-за стекания слизи по задней стенке. Однозначно такого ребенка я бы антибиотиками не лечила. ну, а если сомневаетесь в абсолютном здоровье, покажитесь еще ЛОРу хорошему и пульмонологу. Общий анализ крови сдайте.