Ничего безобразного, в том числе и на взгляд истинных математиков Петерсон не делает. Разбирается в тригонометрии, не смотря на то что не учил определений, в том стиле, что вам кажется верным,  как и любые другие  определения не учил. Потому что все понятия и правила запоминаыутся в практике, выведенной  и доказанной самим ребенком. И таки да,  БЛАГОДАРЯ Петерсон ребенок это научился делать раньше 9 класса, без дополнительных репетиторов и курсов и дополнительных  правильных на ваш взгляд учебников. Математика должна быть интересной, вызывать желание  найти решение, доказать, что  конкретное решение верно и не только для данной задачи.  Этому не учат голые определения .Вам  бесполезно объяснять. Вам надо было стать поэтом. "Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии."  Гилберт.