Не мне вас учить , но расскажу как было у меня.Начиналось все как у вас, кашель, температура, повторялась все это каждые две недели, я сама уже просила врачей назначить антибиотики или дать направление на ренген, но так же как у вас температура падала , кашель заканчивался . В итоги ,  в очередной раз кашель, сначала влажный, потом всю ночь сухой да такой что спать не могла, на утро температура 40 не сбивается, скорая , восполнение легких из за запущенного бронхита, который оказывается может протикать так как у нас ( в без антибиотиков его не вылечить)Так что не всегда антибиотики это плохо.