В июне очень хорошо, старый город в каком смысле? Турецкий колорит? )) можно проехать в соседний Фетхие, там можно прогуляться, а вообще поблизости много всяких любопытных мест город Ксанф и храм Летоон, в национальный парк Саклыкент , Тлос, смотрите и выбирайте