Не знаю еще насчет МФЦ, пока все в паспортный стол сдавали. Существует 2 вида прописки-выписки: либо прописываетесь по новому месту и со старого выписывают автоматом, либо (если надо, чтобы быстрее по старому выписали) выписываетесь со старого, затем прописываетесь на новое.