Знаю выход! Есть такие ледянки большие, как корыто типа такого http://www.lybyshka.ru/e-store/xml_catalog/index.php?SECTION_ID=463&ELEMENT_ID=4064    Она прекрасно едет и по снегу и по льду, сама ничего не весит, так что тащить легко.  При этом нормально тащится по асфальту без ребенка (а ребенок идет за ручку то место,  где почищено).  Стоит копейки, у нас служит уже 4 года