Если у матери жилья нет, то ребенок должен проживать с отцом. Ребенок как и любой другой гражданин должен быть зарегистрирован по месте проживания!Вы все написали правильно но это касается ребенка "проживающего в жилом помещении", а тут ребенок не проживает!