Знаете, возможно мы не поняли друг друга. Есть регистрация по месту жительства и есть регистрация по месту пребывания. Последнюю часто называют "временной", а первую "постоянной". На самом деле никакой временной или постоянной регистрации нет. Вам нужна регистрация по месту жительства. Если подруга согласна и она является собственником квартиры (или согласны все собственники квартиры), то заключаете с ней договор жилищного найма или договор безвозмездного пользования жилым помещением на любой срок и регистрируетесь в её квартире вместе с ребенком.