Вообще похоже все-таки на аллергию  При аллергии эозинофилы могут быть в норме, общий IgE говорит о повышенном аллергическом фоне. Как правило аллергию подтверждают анализами крови на аллергены и пробами-царапками, но он у Вас для этого еще маленький. Нам в свое время говорили, что это все результативно после 3 лет. На мой взгляд, единственный способ удостовериться что это аллергия - это подавать антигистамины. Если кашель и чихи исчезнут - то это скорее всего аллергия, и тогда - убирать кошку.