Мы 7 лет дочери отмечали в кафе Ландрин на программе школа этикета. ИМХО, под все ваши критерии подходит, кроме возраста детей и района (Новослободскую можно считать центром?). Если всем детям 6 и более лет и дети спокойные, то можете попробовать. Так эта программа от 7-8 лет. Наши активные 7летки были в восторге и вели себя прекрасно. Для маленьких детей у них по воскресеньям можно отметить ДР в кулинарной программе, но там больше народу и детей присоединят к общей группе, мне бы это не понравилось.В ЮЗАО вроде неплохо дни рождения отмечают в Динозаврии, но, по-моему, для возраста 6 лет там не очень интересно. Ого-город... В Историческом музее можете узнать про программы празднования ДР, там в нормальном ресторане застолье, но вот цены...  Ну и поспрашивайте в районе в местных ресторанах часто дают снять отдельный зал и пригласить своего аниматора (или предлагают местных аниматоров).