Чтобы быть доверенным лицом в вопросах наследства, надо получить от бабушки нотариальную доверенность, для этого можно отвести бабушку к нотариусу, или вызвать нотариуса на дом. Из документов должны быть паспорт доверителя (бабушкин оригинал), паспорт доверенного лица (можно копию паспорта), имеющиеся документы на квартиру, желательно свидетельство о смерти умерщшего дяди, т.к. в доверенности надо будет обязательно указать на права доверенного лица  оформить наследство. Наследственное дело надо открывать как можно скорее. Если это сделать при жизни бабушки, тогда  потом Вам будет проще всё оформить самостоятельно без обращения в суд. Если пропишитесь на бабушкину жилплощадь сейчас при её жизни, это тоже упростит Вам в будущем оформление квартиры даже в том случае, если бабушка не доживёт до вступления в наследство на дядину долю. На Вашем месте я  при посещении нотариуса вместе с доверенностью сразу оформила бы договор дарения или купли-продажи на имеющуюся долю и/или завещание от бабушки на всё её имущество. Заранее сходите к нотариусу и узнайте, какие документы для этого нужны. Договор дарения или купли-продажи доли квартиры также можно сделать в простой письменной форме, это дешевле, чем у нотариуса, государственная регистрация такого договора обязательно нужна будет в любом случае, и этим надо заниматься.