На Вашем месте я показала бы ребенка другому врачу и сдала бы кровь. Странно, что платный врач смотрела ребенка 5 минут и ничего не объяснила, от чего назначает антибиотик. Обычно говорят "жесткое дыхание, возможен бронхит, давайте дадим антибиотик" или что-то другое, но обосновывают как-то лечение, бывают и ошибаются, но все равно объясняют.