в мечети пускают всегда кроме времени молитвы и ночи, для женщин и мужчин могут быть отдельные входы(мне это встретилось в Бурсе), если ваш вид не позволяет вас пустить в мечеть - специальный человек даст платок, кстати голову покрывать не нужно, достаточно, чтобы не было открытого декольте. Посещение мечетей бесплатно, всякий может прийти к Аллаху. Пожертвования у вас тоже не возьмут, если только не сочтут за мусульман. Рекомендую посетить айя Софию, а затем сразу голубую мечеть, Сулеймание, церковь Хора и если будет время, то малую Софию - вам этого хватит.