При длительном кашле надо сделать рентгенографию легких, исключить пневмонию, а так же инородное тело к примеру которое ребенок мог вдохнуть ( в следствии  может быть та клиническая картина, как у Вас )! обструктивный бронхит ставится клинически ( осмотр врача) в легких характерные хрипы и тд, но никто не исключает течение пневмонии с бронхообструктивным синдромом! в анализе крови лимфоциты, нейтррфилы( палки, сегменты)? Причиной длительного кашля могут оппортунистические инфекции ( микоплазмы и тд) вот вильпрофен и назначили ( антибактериальный препарат группы макролидов) с учетом этих возбудителей ( кровь на Ig M и G) можно сдать в любой платной лаборатории ! Причин кашля много.... Сходите к доктору на осмотр! Удачи