Почему грех? Вы ведь не сами убили, так как Вам мешал больной зверек, а усыпили по рекомендации врачей, чтобы не мучился. Так часто делают в ветеринарии и это в порядке вещей. Не нужно себя казнить. Вашей вины в произошедшем нет.