Что значит "биться за предоставление жилья в Москве"? Если ребенок только прописан, но доли не имеет, вам никто ничего не должен предоставлять. Ребенок живет с вами - вы его и обеспечивайте жильем. Выписать его из квартиры элементарно, выпишется бывший супруг, автоматом и ребенок. Квартиру они продадут, помешать вы не сможете. Так что берите квартиру в регионе, пока предлагают. Вообще они могут вас просто выпереть оттуда,   и все.