На осмотре можно только предположить степень аденоидов. Раньше пальцами смотрели, но сейчас врачи как-то не пользуются этим методом. Да в любом случае, ребенок сейчас болеет, у него и так носоглотка сейчас отечна. Вместо рентгена можно эндоскопию сделать (через нос засовывается тоненькая трубочка и на мониторе врач смотрит). Если хотите бесплатно, то можно попробовать попросить направление в детскую больницу, где делают эндоскопию. Или сделать самим платно в коммерческим центре.