Можно подробно прописать процедуру прекращения договора, например вашу обязанность при оплате последнего месяца напомнить о том, что через месяц договор прекращается, а также то, что будет, если вы эту обязанность не выполнили. Как вариант в этом случае может быть автоматическое продолжение договора на следующий месяц, например. Но при этом пролонгированный договор становится долгосрочным и, хотя по договорам аренды (не найма!) есть судебная практика о том, что они все равно при пролонгации на срок менее года подчиняется нормам для краткосрочных договоров, считаю, что в нашей непрецедентной системе судопроизводства не стоит давать повода к возможным неоднозначным трактовкам закона. Лучше к переоформлению отношений дроговора при его окончании подойти максимально формально и либо перезаключить договор, либо прекратить договорные отношения.