Анюточка - может быть.  Анечка - просто уменьшительное.  Аня - ваще не сюсюкания ни разу.  Ну, не хочет она, чтобы ее "бабкой" называли.  При чем тут "молодящаяся"?  Меня вот обращение "тетя" коробит страшно, и возраст тут совершенно ни при чем.