Если для Болгарии достаточно бумажки от нотариуса, то действуйте, а русский адвокат вам все правильно сказал, лишение родительских прав в России - только через суд. И не удивляйтесь потом, если через много много лет русский отец потребует от вашего "болгарского" сына алименты на содержание или, не дай бог, заявит свои права на наследство.