Да никак вы не докажете. Для того, чтоб что-то доказать, нужно предъявить органам, которые могут интересоваться сдачей квартиры, как минимум договор, по которому квартира сдается, и расписки арендодателя в получении денег, но кто ж вам их покажет (не говоря уже "даст" )? А так вы ничего не докажете. Вызовите лучше независимую экспертизу, которая оценит вам ущерб объективно, и с этой бумагой попытайтесь решить вопрос полюбовно. Не получится - идите в суд.