Московские ежемесячные выплаты назначает Москва, если суд проходил в Москве. Так что общения с "той опекой" не избежать.Со свидетельством о рождении при любых условиях можно идти в свой районный ЗАГС, даже если само свидетельство будет оформляться в Подмосковье, ваш ЗАГС пошлет туда соответствующие запросы.А вот что именно в этом свидетельстве будет написано - это зависит от решения суда. Внести изменения в актовую запись, или создать новую.