На то и статья "По соглашению сторон", что оно должно быть. Подписывают обе стороны. Один экземпляр у РД, другой у РБ. Про "ходить не ходить": у Вашего мужа есть копия заявления об увольнении по соглашению либо с №№ входящим, либо с резолюцией руководства? В противном случае он не докажет факт его изъявления о расторжении ТД, а вот руководство может тогда потрепать ему нервы.