Конечно можно. Пусть бывший муж идет к нотариусу и пишет согласие  на усыновление ребенка конкретным лицом ( вашим нынешним мужем)Нотариусы прекрасно знают такую форму заявления.Потом с ним ваш нынешний идет в опеку и берет список документов на усыновление. Все можно собрать очень быстро. Опека потом дает заключение ( в случаях усыновления отчимом эта процедура  сильно упрощена, можно сказать-формальная) и подаете заявление в суд.Госпошлиной не облагается. Не забудьте сразу указать в заявлении о смене фамилии и отчества ребенку