Вы всё очень правильно написали относительно того, что животное - член семьи. Так у меня, собственно, вопрос: Вы бы оставили тяжело больного члена семьи и отправились в отпуск? Лично я, никогда бы не стала вешать (и не делала этого) больное животное на кого-то. Это моё животное, моя отвественность и его болезнь - моя боль. Одно дело форс-мажор - допустим, я попадаю в больницу, тогда, да, думаю, ни у кого даже вопросов не возникнет и мою живность не бросят. Но в ситуации автора совершенно иная картина. И я, как человек не раз прошедший через болезни с длительным лечением и борьбой до победного, и смерти СВОИХ животных, очень не рекомендую ей в это дело ввязываться, а уж с её-то вводными и подавно.