Приглашение не нужно, в принципе, но можно сделать отменяемую бронь отеля на всякий случай, могут спросить на таможне, маме, думаю, будет нелегко объяснять про брата и т.п. Мою свекровь с французской визой последний раз дотошно спрашивали, просили показать бронь. Билеты - надо просто просмотреть всех перевозчиков - AirBerlin, Aeroflot, GermanWings, Люфтганаза.  Люфтганза напрямую в Кельн не летает (про Дюссельдорф не в курсе), но у нее бывают очень выгодные предложения - самолет до Франкфурта, потом поезд до Кельна. Но там надо суметь сориентироваться в терминале, куда идти, где регистрироваться на поезд - в общем, надо иметь некоторые навыки самостоятельных поездок.