Сейчас самое хорошее время для прогулок -сырость и влага. Одевайтесь теплее и гуляйте весь день. Дома имеет смысл поставить увлажнитель или те же самые тазики с водой, мокрые простыни/полотенца, хотя сейчас пока не топят, и так в квартире прохладно. Кашель надо пережить, я бы не стала давать антибиотик.