См. у Пушкина: И после, дома целый день, Один, в расчеты погруженный, Он на бильярде в два шара Играет с самого утра (Евгений Онегин); Тут вызвался он выучить меня играть на биллиарде (Капитанская дочка); у Чехова: И опять мы спорили, и по вечерам играли на бильярде (Моя жизнь); Кто ему позволил на бильярде играть? (Вишневый сад).Играют именно на бильярде (стол такой) в различные бильярдные игры, в том числе и любимый вами снукер. Настоящий бильярдист по-другому не скажет. Можно, впрочем,  на нем же и в карты сыграть