Не буду ничего писать по поводу того, что делать, но скажу лишь одно: даже если будет написано завещание в вашу пользу, то погодя немного он может составить новое завещание на кого угодно, которое будет отменять предыдущее. Вы об этом можете узнать по факту открытия наследственного дела. Так что думайте стоит ли связываться с завещанием. На мой взгляд есть только один вариант обезопасить себя от того, что квартира останется не вам- это уговорить-заставить ее прям сейчас зарегистрировать на вас.