Ну садик это так, что холод терпимый.. Я своего 8 милетнего с кашлем и температурой недельной под 39 ( а не под 38 как  у вас) потащила на рентген и там увидели пневмонию,  хотя и кашель не был страшным...  37,6 это невысокая температура... Я бы на вашем месте сдала кровь общую и рентген- если все спокойно, можно не давать антибиотик , вылезать на ингаляциях..  Но я со своей колокольни сужу - у  меня двое ( младшая астматик) и старший ( не астматик) пере болели друг за другом пневмонией и я уже ,как говорится , " на воду дую"