Может быть, ваш сынуля банально подмерзает под утро? Вы его будите, но он еще сонный и немного замерзший (отопления, думаю, у Вас еще нет), отсюда и описывания. Я бы на Вашем месте подождала до включения отопления и, если не проходит, дальше думала, что делать. Вы памперсы ночные давно сняли?