Если мать не напишет отказ, то на каком основании вы ее заберете? Возможно она может у вас жить, но как вы ее оформите в школу, как будете представлять ее интересы в поликлинике и т.д. тем более это другой город. У подростков часто бывают испорчены отношения с  родителями, но это не повод для переезда, семья не асоциальная, не понимаю почему бы просто не помочь ребенку наладить отношения с родителями или не лезть в их отношения, на худой конец, думаю в 13 лет все видется по-другому, многие кажутся врагами, не думаю, что матери все это нравится и она хотела бы отселить ребенка от себя в другой город.