В Турцию точно разрешения не надо. Летала сама 2 раза, подруга летала и в Турцию и в Египет, у ребенка была другая фамилия и отдельный паспорт. Обязательно смотрели на границе свидетельство о рождении. Разрешение необходимо только в случае подачи одним из родителей запрета на выезд.  А в Вашем случае, лучше вообще к БМ не обращаться, по-тихоньку съездили и отдохнули, чем меньше знает, тем лучше спит. А то не дай бог запрет оформит.