трахеит совсем не обязательно лечить антибиотиками, которые существенно понижают иммунитет и ведут к дисбактериозу кишечника, трахеит отлично лечится ингаляциями, купите небулайзер и дышите, а кашель при таком диагнозе может держатся 2-4 недели