Вашу ссылку я просмотрела, так же, как толковые словари. Если пользоваться вашим пониманием разницы между прощением и извинением,  получается, что "извини меня" - это  "избавь  меня от вины". Вина,  в отличие от стыда,  это  чувство, переживаемое наедине с собой. Да, извинения можно  попросить. И другой извинить может. Но это не предоставляет жертве никаких  рычагов для изменения ситуации: дистанция сохранилась, отношение сохранилось,  причины поступка не обсуждались.  Были извинены обстоятельства, все списано. Никакого основания полагать, что  это  не повторится,  нет. А вот тут уже важна не филология,  а психология - жертве эти основания нужны. Иначе она попадает в цикл насилия,  когда можно  бесконечно  бить условную морду, а потом извиняться за это. А вот прощение - такие основания дает. Потому что меняется формат  отношений или дистанция. Потому что  агрессор берет на себя ответственность и исправляет последствия своих  действий, и только потом просит  прощения. Поскольку вы считаете,  что  ситуация с нарушением личного  пространства ребенка вопреки договоренностям  заслуживает только  "извинений", вы говорите о вине,  а не об ответственности. Смысла продолжать  диалог нет.Да, я в обсуждении употребляю и "попросить прощения" и "извиниться", но при  этом  а) постоянно упоминаю, что  надо  выяснить  у дочери, как загладить  свою  вину и сделать  это, если они смогут придумать  способ.б) плохо себе представляю, как в этой ситуации заглаживать  свою  вину, тем более, что  сможет придумать  ребенок, так что  по факту дело  кончится как раз  извинениями. но намерения надо демонстрировать с желанием загладить  свою  вину. далее пунктом  должны следовать  санкции: если мама еще раз  нарушает личное пространство дочери, то... и что там удовлетворит обеих.  иначе извинения - пустая формальность, развязывающая агрессору руки для повторного  проступка.