То, что так быстро хотят результата - это нормально, и даже хорошо для Вас - это стимулирует.. Я думаю, что первое время Вам без задержек не обойтись, хотя бы потому, что текучка и аврал в течение дня не дадут времени для анализа ситуации в целом, и  каждой задачи в частности. Расставьте задачи по степени важности, определите решение каждой из поэтапно: что сделано, что не сделано, что нужно сделать. Изложите свой взгляд на работу отдела руководству. Если у оно у Вас адекватное, то, скорее всего, Вам перенесут сроки исполнения задач.   И вообще чаще общайтесь со своим руководителем,в основном руководители любят, чтобы их держали в курсе всего. Ну, и конечно, хотя бы пару задач за месяц нужно решить, чтобы были видны результаты. А там потихоньку организуете работу без авралов и  задержек. Все у Вас получится, не отчаивайтесь, просто сейчас на Вас обрушился огромный поток информации, и Вам тяжеловато с ним справиться. Через пару месяцев все наладиться, вот увидите!