Симптомы, которые Вы описываете, - слизь по задней стенке глотки, кашель, скорее являются проявлением аденоидита. Тонзиллит проявляется болями в горле, гнойными пробками на миндалинах, обострения протекают по типу ангины, иногда с высокой температурой. Если кашель беспокоит недолго  и проходит самостоятельно, то аденоидит можно рассматривать как остаточные явления ОРЗ, если же сохраняется длительное время после простуды плюс носовое дыхание нарушено, значит, нужно к ЛОРврачу.