1) российские пограничники не должны требовать от вас разрешение отца на вывоз ребенка. По российским законам вообще, если ребенок едет с одним из родителей, то согласие второго не требуется, если нет запрета на выезд, должным образом оформленного. Тем более украинский ребенок, до которого им вообще фиолетеово, едущий с мамой не должен у них вызвать вопросов по части каких-то еще разрешений2) Видимо, правильно вам ваш БМ не доверял. Дал разрешение на поездку к родственникам в Россию, а вы уже дальше намылились. Узнает он (ребенок проболтается, например) - вообще аннулирует все разрешения, и будет прав.