Про Москву не знаю, напишу про Одессу. Общественные бани были всегда. Еще в конце 80-х гг ХХ века во многих домах в старой части города не было горячего водоснабжения. И люди мылись в тазиках или переносных оцинкованных ваннах. Или ходили в баню.