"Хочет придти" это и называется напросилась,в противном случае говорят "пригласили в гости",при чем тут "напросилась на дружбу" вообще непонятно.Там было не только согласие автора взять на себя ответственность за чужого ребенка и устроить ему день развлечений,но и согласие мамы,что подразумевается,что мама готова это оплатить,это же не поездка на пикник за город.Вот мою дочку подружка пригласила летом во Францию на недельку-другую,а то ей одной скучно,мне тоже стоит расценивать это как "все включенно" или все-таки озаботиться покупкой билетов и выдачей карманных денег на развлечения ?