Как уже верно написали - Константиново с музеем Есенина и Пощупово со святым источником. Далее в самой Рязани - Кремль с постоянно действующей экспозицией. Кукольный театр и ТЮЗ для детей - неплохие постановки бывают, ну и цирк, конечно. На выезде из Рязани по направлению Солотчи есть замечательное место - В некотором царстве. Небольшой парк со всякими качельками для детей, есть мини-отель, бани, ресторан, мини-зоопарк с зубром, олененком, козочками всякими. Очень красивое место, все сделано со вкусом и душой - повсюду резные фигуры деревянные, как будто в сказке.  Как раз по выходным туда с детьми ездим гулять. http://www.v-nek-tsarstve.ru/index_ru.phpЕсли не хотите на природу - есть неплохой аква-центр Акапулько, рядом с ним развлекательный центр Озон (картинг, боулинг, кафешки). http://www.acapulco-club.ru/Из гостиниц в городе очент неплохие: Гранд-Отель, Форум, Ловеч.