Естественно, что регистрация по месту пребывания, как и по месту жительства ребенка возможна только вместе с родителями. Я не об этом пишу. Я вам объяснила ситуацию предыдущего оратора  Но если вы имеете постоянную регистрацию в г. Мосве, вы НЕ можете зарегистрироваться по месту пребывания в г. Москве. В другом городе можете. Поэтому в качестве аргумента для выбора другой школы (не по прописке) вы увидите "фактическое проживание не совпадает с регистрацией" или как-то так. Авторы про эту фишку видимо знают. Можете обращаться в прокуратуру. Может быть теперь что-то изменится.