Скорее всего вам больше всего подойдет Анапа и окрестности, мы выбрали Витязево.  На машине ездили, не смертельно, но достаточно тяжело с детьми.  Если с ночевкой, то 2 дня из Москвы.По поводу того что бюджетнее сказать сложно, есть  разные варианты на разный кошелек. Самый бюджетный - частный сектор подальше от моря.  В августе одни из самых дорогих цен, гораздо дешевле первая половина июня и конец августа-сентябрь.Санатории лично я не люблю, очень все по совковому, особенно еда.Советую выбирать место отдыха с закрытой или охраняемой парковкой, если на машине поедете.