Не нужно доказывать, что встречи были, нужно доказать, что ответчик -- отец. Это непростой путь, небыстрый и малоприятный (со слов тех, кто это прошёл), но всё вполне реально. Только вы подумайте 100 раз нужно ли вам это, если отцовство через суд установите -- это ведь навсегда, обратно пути не будет. Отец ведь не только обязанности получит, но и права на ребёнка (права, равные вашим).