Для хронического аденойдита характерен именно УТРЕННИЙ кашель, он является одним из симптомов наряду с ночным храпом, частыми простудами с частыми же и обильными насморками. А то, что у вас сейчас происходит - имхо, просто следствие острого процесса и отека слизистой. Он пройдет. А когда пройдет, ты можешь для собственного успокоения пойти к ЛОРу и попросить обследовать Лию через нос зондом (это не больно, но даст достоверную картину).