для разрешения на проживание нужно основание. "Сидеть с бабушкой" - это не основание для ФМС, к сожалению.сделайте родственнице сначала просто туристическую регистрацию, этого достаточно на 90 дней, кажется (как с Узбекистаном, точно не знаю). А потом уже разберетесь с разрешениями на проживание.