Да, можно зарегистрироваться на основании такого договора. Если завуч сказала, что можно без регистрации, то нормально. А так, теоретически, должны именно регистрацию проверять, ведь чем у нас "проживание по определенному адресу" подтверждается - регистрацией. В некоторых школах просили выписку из ДК принести или справку с МЖ. Хорошо, что у Вас так - так конечно проще.