Если вы про усыновленных детей, то в том ЗАГС где выдано Свидетельство о рождении уже после суда, у нас место рождения не менялось, поэтому ребенкино Свидетельство о рождении выдавалось повторное и после суда  уже и еще раз после смены фамилии именно в том ЗАГСе, где и было зарегистрировано его рождение и где хранится актовая запись. Если же у вас при усыновлении место рождения меняется, то СоР вам выдадут в том ЗАГСе, где вы проживаете или по месту суда, это и будет ваш первоначальный ЗАГС, в нем зарегистрировано рождение ребенка и в нем хранится актовая запись о рождении,  вот в этот ЗАГС и и придется еще раз ехать, чтобы вписать отца со слов уже после того как ваша фамилия изменится и ребенкина тоже.Если ребенок рожденный вами, то его актовая запись о рождении хранится в том ЗАГСе, где вы его зарегистрировали, и в этот ЗАГС опят же вы поедете, чтобы вписать отца со слов.