Как раз недавно получала новое свидетельство, вы обращаетесь в ЗАГС по месту суда, в том же районе где и суд (у нас получилось и живем мы там), там вам выдадут свидетельство об усыновлении, и если у вас изменено место рождения на Москву, то составят новую актовую запись о рождении и выдадут новое свидетельство о рождении. В старый ребенкин ЗАГС сведения пошлют сами. Если же ваш ребенок родился в Москве, как и мой, то получается что место рождения не менялось, в этом случае запись актовая новая не составляется, а  только изменения в нее вносятся, свидетельство будет из того ЗАГСа, где первый раз регистрировали рождение ребенка, вам в него идти не надо, все сами сделают в том ЗАГСе того района, где у вас был суд, они пересылают документы, потом им присылают новое свидетельство.