Смотря какой кашель. В некоторых случаях имеет смысл сделать рентген. Бывают случаи с вялотекущей пневмонией без хрипов, температуры и даже с нормальным ОАК (знаю живые "примеры" ). Если рентген не хотите, то сдайте анализы на инфекции, как мин хламидии и микоплазму пневмонию IgA, IgM, IgG. А по хорошему еще и на пневмоцисту (на нее делают анализ тут  http://www.finistmedanaliz.ru/). Не знаю, может ли при коклюше и паракоклюше кашель от ингаляций смягчаться, но если допустить такую "атипичную" форму, а сейчас очень много болезней протекает "атипично", то  имеет смысл сдать кровь еще и на этих возбудителей. Клинически аденоидит может проявляться кашлем.  Характерен кашель по утрам или после дневного сна.В этом случае оптимально сделать  микробиологическое исследование отделяемого лимфоидной ткани носоглотки. На практике " у 38% детей была выявлена условно-патогенная флора, у 62% — различные патогены, в том числе Pseudomonas aeruginosa, S. pneumonia, H. influenzea, B. catarrhalis, S. aureus, S. pyogenus и др."