На границе проблем не будет ,главное выехать не позже 90 суток.Для выезда нужна нпросроченная миграционая карта. Больше они ничего не имеют права спрашивать.  А эта сама регистрация(бумажка) нужна для нахождения в Москве , ментам на улице показать. Или если будете делать врем.разрешение на проживание ,то она тоже понадобится не просроченная.