Решение простое -  большой лоток с высокими бортами,  в нем - наполнитель,  БЕЗ РЕШЕТКИ!!!  Все,  что обоссано -  стираете чем угодно, что не пахнет хлором! Закрывайте чаще двери  в комнаты,  когда уходите,  в которые коту ходить не обязательно.Параллельно (без этого никак) хватаете кота в охапку и несете к ветеринару сдавать анализы - общий и биохиимю крови,  анализ  мочи.