Не, ну правда, москвичи не говорят "старый центр", могут сказать "на набережной" "на бульварном" "в центре" и т.д. выражение "старый центр" выдает человека приезжего, вполне вероятно и проживающего в Москве не первый год, но никак не второе десятилетие