Мы жили в отеле Диана, хотя это и район Термини, но та его часть что ближе к  собору Санта Мария Маджоре. Криминала не видела. Совсем недалеко станция метро и виа Национале с кучей магазинов. В районе Трастевере я бы вам не советовала, от туда тяжело добираться (метро рядом нет). Конечно классно жить рядом с Испанской лестницей или с Пантеоном- но это будет уже не бюджетный вариант.