Ребенок может быть зарегистрирован по месту жительства (то, что Вы называете давно устаревшим словом "прописка" ) только ПО МЕСТУ ЖИТЕЛЬСТВА (это следует понимать буквально). Место жительства - это жилое помещение, где ребенок постоянно или преимущественно проживает (вместе с одним из родителей).Если ребенок будет проживать с отцом, то отец ОБЯЗАН зарегистрировать его по месту жительства (или пребывания).