Есть разные типы приютов - с усыплением и без.Уже давно установлено, что единственный способ - это уничтожение дикой популяции и строгий контроль за домашними животными. Тогда будет невозможно восстановление и, соответственно, проблема сведется к отлову потерявшихся животных.