Не раз летала с детьми, да и сама с двумя паспортами. При выезде из России вы подаете российские паспорта, потому что граждане России должны въезжать в РФ и выезжать  из нее по российским паспортам.Обычно на регистрации спрашивают, глядя в девственно чистый российский паспорт, на каком основании будем въезжать в страну прибытия. в ответ - показывают второй паспорт. В российский ставят печать о выезде, во второй поставят печать о въезде. Обратно когда летите, та же процедура - в паспорт страны вылета почтавят штам о выезде, в России поставят штамп о въезде в российский паспорт.