Ребенок должен быть прописан по месту жительства кого либо из родителей. Если бы у матери и у ребенка не было бы временной регистрации, они были бы бомжами. Тогда отец обязан был бы прописать ребенка. И для этого ребенок не обязательно бы жил с ним. Другое дело, что в этом случае отец может подать иск на определения места жительства ребенка с ним. Но это ему надо очень сильно постараться, чтобы этого добиться)