Вы совершенно правы, прогимназия это гимназический вариант начальной школы, там, помимо основных предметов, есть дополнительные, и финансирование у такой школы в 2 раза выше, чем у обычной. Как правило, прогимназии имеют договор сотрудничества с ближайшей гимназией, либо являются начальной школой при гимназии (т.е. одно юр.лицо) Все остальные варианты только называются прогимназиями, но юридически такого статуса не имеют. В том числе школа-сад, всякие дошкольные учреждения могут называть себя хоть лицеями, хоть гимназиями, хоть прогимназиями, но от этого они ими не становятся.