Во-первых, чиновник должен мотивировать требование единой регистрации  со ссылкой на конкретную норму закона. Если данной мотивации нет, то необходимо обращаться в суд в порядке ст. 254 ГПК РФ. Заявление м.б. подано в суд по месту Вашего жительства или по месту нахождения органа государственной власти, должностного лица, государственного или муниципального служащего, решение, действие (бездействие) которых оспариваются. Заявление м.б. подано в течение 3 месяцев с момента когда лицо узнало о нарушении своих прав, в Вашем случае с даты письменного отказа гос.органа о выдаче Вам пособия. Пропуск срока не является основанием для отказа в принятии и рассмотрении лзаявления.  Данные заявления рассматриваются в теч 10 дней. Более того, у Вас наверняка есть свидетели, подтверждающие факт  единого проживания с ребенком,именно проживания, а не регистрации. Для обращения в Европейский суд по правам человека необходимо пройти как минимум 2 судебных инстанции и получить отрицательный результат. Более того, решения ЕС  носят рекомендательный характер для РФ.