Что значит вам никто больничный не подпишет? Идёте к врачу, берете больничный (его можно и в платной поликлинике получить). Информируете работодателя, что с такого-то по такое-то вас не будет. Вашу напарницу по любому вытащат на работу. Вас уволить в таком случае не смогут по любому. Извините, но вот чисто гипотетически представьте ситуацию - вот, допустим, случится что-то с человеком - ногу сломает, отравится, аппендицит, сердце прихватит - по вашему его за это уволят? Нет. Вы преувеличиваете свою проблему. Делайте сейчас так, как вам надо, а не тратьте силы и нервы на какую-то ерунду.