Это Вас неправильно информировали. Разрешение нужно для визы если ребенок едет с одним из родителей.На границе кому нужно? Русским? или болгарам? Русские требовать не могут по закону. Болгары по-русски читать не умеют, даже если скажут, Вы имеете право не понять. Не требуют ничего при выезде и въезде, будьте уверены.