Госслужба - это когда государство (правительство России) наняло Вас на работу и платит из своего кармана (бюджета) Вам зарплату. И в школе и в Департаменте образования  наниматель один - государство и платит он и там и там из бюджета Вам. Отсюда вывод - госслужба и служба в бюджетной организации - это одно и то же.