Если нарушено много звуков, то поликлинический логопед может и отказаться от занятий  с таким ребенком. Про ограничение в 15 занятий ничего не знаю. В логосад Вы опоздали. Как вариант - занятия с логопедом в детском государственном центре диагностики и консультирования, которые есть в каждом округе в Москве. В июне еще можно успеть проконсультироваться и записаться на занятия с сентября. Удачи!