Я, конечно, не в Москве, но у нас также есть бюджетные и частные (организациям принадлежат) садики, правда все платные разве, что по цене сильно отличаются. Так когда встал вопрос про прививки - решили без проблем, сходила в администрацию - объяснила ситуацию и всё, приняли, закон для всех одинаковый.