Если котенок вам тоже дорог, и вы полны желания его оставить - то оставляйте. Какое-то время подержите его в комнате, по чуть-чуть выпуская на волю, к дочке. Пусть она за ним наблюдает с дивана или стула, играет с ним с веревочкой. Насчет царапок и беганий пробуйте объяснить ей, что  бегает за ней, т.к. ему просто интересно за ней бегать, он так играет. Кусается потому, что зубки чешутся, но кусаться отучиться и т.д.Мы когда завели  старшую собаку в ребенкину 3 года - было приблизительно такое же, как у вас. Т.е. сын общался до этого со взрослыми собаками, они были довольно спокойны и воспитаны. А тут влетел в дом щенок 3-х месяцев, начал прыгать, царапать лапками, покусывать за пятки и т.д. Сын просто визжал, не мог понять всей собачьей активности. Потом привык, и стал с ней играть. Со второй собакой уже все прошло  нормально.