Усыновлять можно в съемную квартиру при договоре аренды сроком на 6 мес., при опеке и ПС тоже думаю можно, так как есть прецеденты, брали люди деток в съемную квартиру, но при обязательном наличии еще и официального постоянного места жительства (муниципальное жилье с пропиской там) или собственности, пусть в другом городе, но собственное жилье у кандидатов было, правда в этом случае если кроме вас собственником является еще кто-то, то нужно их согласие, на усыновление нет, а на опеку и ПС нужно. Насчет можно ли зарегистрировать ребенка по месту прописки опекуна а жить в съемной кв. - ну в принципе можно, но тогда  приедется встать на учет в ту опеку, где съемная кв., и пособие получать там же, или скрывать от опеки проживание на съемной кв. и для проверок являться в кв., где прописаны.