Как ни крути, а пока у родителей есть родительские права, остаются и обязанности. Теоретически. Поэтому оснований для государственных выплат нет. А в описанной Вами ситуации бабушке не стоит церемониться, а надо лишать родительских прав и получать пособие. Это решит много других проблем,  как Вы верно заметили, с той же школой, например.