Разрешение нужно для получения виз в некоторые страны. В Шенген обязательно. Если родитель не дает разрешение - ребенку в эти страны не попасть. На границе нигде и никогда разрешения не смотрят, даже закон есть, тут сто раз цитировали, если ребенок с одним из родителей едет - этого достаточно.