вы должны предоставить выписку из домой книги, чтобы государство знало, что ребенок будет где-то зарегистрирован (то есть по месту прописки мамы), жить же в съемной квартире вы можете без проблем. Просто, если вы прописаны в Питере, например, а живете в Москве - идете в питер по месту жительства и там проходите все инстанции, по месту жительства, как Питерский усыновитель. Нельзя пройти их здесь, в Москве