Обязанности не снимает, прав лишается.В свидетельстве о рождении указывается новый отец - усыновитель.вы хотите сказать что в этом случае родительскими правами в отношении ребенка обладают трое - мать, био-отец и отец-усыновитель??? Выдача согласия на усыновление другим фактически является отказом от родительских прав.