Думаю у Вас сейчас аденоидит (аденоиды воспалены, а насморка нет), отсюда храп, отсюда кашель (слизь с аденоидов стекает вниз и вызывает кашель). Лечите нос, кашель должен сам пройти. Я конечно не врач, чтоб ставить диагнозы, но у моего ребенка именно так аденоидит протекает...