У нас в свое время был сухой кашель и сопли, небольшая температура. Я тебе напишу, что нам прописывали, но ты самолечением не занимайся, вызови другого врача и посоветуйся. Врачи, особенно участковые, сейчас такие перестраховщики, чуть что - сразу антибиотик.Нам прописывали сироп Эреспал (это против инфекций дыхательных путей) и Лазолван, чтобы отхаркивалось. В носик по схеме капали сначала аквалор - отсасывали сопельки - потом протаргол (насчет протаргола много мнений, кто-то против, но я капала - у нас к тому времени сопли уже третью неделю были). После недели лечения кашель и сопли прошли.  Я думаю, ничего страшного у вас нет, тем более, что температуры и хрипов нет.  Если нет необходимости пить антибиотик, то зачем его пить. Тем более, что сам по себе он кашель не лечит (почитай на сайте Комаровского).