Могут. В 2008г. я рожала второго ребенка и папа оставался сидеть с 1-м, которому не было еще 3-х лет. В роддоме дале больничный на папу без проблем, с формулировкой "по уходу за ребенком на время госпитализации матери". В этом году лежала уже в обычной ГКБ и папа сидел с 2-мя , больничный дали без проблем с такой же формулировкой. Я нахожусь в отпуска по уходу за ребенком до 3-х лет. Так что все возможно.