Этим словом (возможно, и в напоминание о татаро-монгольском иге) обозначается нечто таинственное, не вполне определенного облика, нежелательное и опасное. В поверьях северных районов России бабай - страшный кривобокий старик.По-татарски и по-башкирски  бабай - дедушка.