Если вы меняете место рождения ребенка, то в решении суда об этом будет сказано - "изменить место рождения город такой-то на город такой-то", если ребенок родился в Вашем же городе, и вы не меняете место рождения, то и получаете больничный в своем городе, в любом РД. Почему в день суда?! В любой день  после суда, с решением на руках.