вы нарушили порядок оформления работника и теперь это уже ваша проблема, которая при проверке выльется в штрафы. Запрашивайте письменно у работника трудовую. При непередоставлении составляйте акт. Далее по ситуации (совместительство, заявление что потерял и просит завести новую)