Я впервые слышу, что "не глядя" - это прост. Одно из его вполне словарных значений как раз "не смотря на кого-либо, что-либо".Например, "глядя в глаза" или "не глядя по сторонам". Однако почему-то мне в конкретном предложении именно "не оглядываясь" ближе. Но могу ошибаться.