Дворовая школа- имеется в виду что  школу не выбирали и пошли в ближайшую (условно - ту, которая во дворе).  При этом хорошие школы - они тоже у кого-то рядом,  т.е. их можно назвать дворовыми. Но в целом, вероятность попать в  плохую школу, если специально не выбирать - очень большая. Поэтому отдать в дворовую школу - это синоним "отдать куда попало не задумываясь".