Нерегулярных занятий один раз в неделю в вашем возрасте и при ваших нарушениях маловато будет. Посещает ли ребенок д\сад? Есть ли возможность отдать его в логопедическую группу? Оценивать работу другого специалиста с моей стороны будет не совсем правильно. Работа по постановке звуков идет. Сложно сказать, не видя ребенка, почему звук "Ш" у вас никак не хочет появляться. Единственное, что меня смущает, почему специалист занялся постановкой нового звука, не автоматизировав  в речи другие. На счет запинок, мне кажется, здесь играет большую роль хороший фонематический слух ребенка. Она произносит начало фразы, понимает, что сказала не совсем правильно, пытается по ходу речи скорректировать и построить окончание фразы. Но это только мои догадки. Конечно, нельзя не обращать на них внимание! Необходимо заниматься не только звуковкой, но и развитием речи. Возможно, описание картинки, составление коротких рассказов и т.д.