Когда мы говорим про решение задач через шахматную раскраску или про количество рукопожатий, это в принципе не про  теоремы и не про алгебру с геометрией, это другая область математики.  Если вы вспоминаете теоремы, то наверное речь идет о геометрии, именно там их большинство.По моим наблюдениям, геометрия олимпиадного уровня отличается от школьной и от промежуточных количеством шагов - идей  (а по сути промежуточных теорем) которые надо применить для получения результата.В базовой школьной математике обычно задачки на 1-2 применения известных школьных теорем.   Уровня  "есть треугольник, у него есть высота, которая делит основание на части 3 и 4, и  дана одна сторона, которая равна  5.  Найти другую сторону.  Тут высший пилотаж - надо аж 2 раза применить теорему Пифагора.   Половина детей в обычном классе с этим не справится. Они могут только один раз.Углубленный уровень, который дают на экзаменах в вузах, это когда надо сделать дополнительные построения, в них увидеть стандартные школьные теоремы, штуки 2. И их последовательно применить.А закл всероса это когда надо сделать дополнительные построения, в которых увидеть пару теорем, которых в школе не проходили.   Их можно вывести из школьных, но  чтобы их вывести, надо же понимать, куда идешь. А  если теорем не знаешь, то и куда идти - неизвестно. А до результата от школьных теорем надо сделать уже не 2 шага, а шагов 4-5.. А это уже высший уровень сложности.Это представьте, находитесь вы в лесу.  И вам надо понять, куда пойти чтобы выйти к дороге.Если дорога издали видна, это достаточно легко.   (один шаг)Если дорога не видна, но изредка проезжают машины, внимательный человек может прислушаться и понять, куда идти. (два шага)Если дорога не видна и не слышна, но человек в   100 метрах от того места, где она будет слышна, он может обойти этот радиус в 100 метров и всюду прослушать, и может быть ее услышать.  Это уже продвинутый уровень, надо иметь достаточную веру в себя, чтобы этим заняться.  (придумать какое сделать доп.построение чтобы увидеть дорогу)А если расстояние в километр? Куда пойти, в какую сторону этот километр?  А точно ли километра хватит? Представьте, вы пойдете туда, обойдете всю территорию в километр и ничего не услышите.  А надо было еще 10 метров в какую-то сторону сдвинуться. Или 100.  Это ведь неизвестно.  Поэтому большинство просто заблудятся. Преимущество будет у тех, кто умеет лазить на высокие деревья и сможет посмотреть оттуда. Формально-то навык тот же, ходить, слушать и смотреть. Но реально это уже не помогает. Спасаются только те, кто хорошо залезает на деревья. Или у кого есть компас и карта.  Вот на кружках по олимпиадной геометрии учат картам и лазить на деревья.По мотивам этих обсуждений вспомнилась история. Я ее когда-то здесь рассказывала.   Четвертый класс  2*2.  Дочка приносит домой листок с задачками и говорит "мама, помоги,  я не понимаю как решать. Весь класс уже сдал, а я не могу".Я смотрю задачки, и понимаю, что тоже не могу решить, ни одну.   Я смотрела на них 3 дня, и у меня в голове ни одной идеи, что с этим делать.   Четвероклашки решили, а я не могу.  А я же если берусь что-то решать  и мне надо, я реально думаю несколько дней. И все никак.  Через 3 дня я попросила еще раз дать мне листок, и обратила внимание на его название. А там было что-то типа "шахматные раскраски". Тут я поняла, на какой метод задачки, и решила их все минут за 15.Ну и при чем тут была алгебра, геометрия и школьная математика? Очевидно же, что у меня она намного сильнее чем у любого четвероклашки.  А задачки олматовские решить не могла, пока не поняла какой метод использовать.   Каюсь, за 30 лет неиспользования олмат методов я их подзабыла. Сейчас уже частично повспоминала, спасибо детям.