Да, начальник может отказать без объяснения причин. И отгул,и отпуск, и отпуск без сохранения заработной платы можно получить ТОЛЬКО по согласованию с работодателем. Не прийти на работу нельзя, будет оформлен прогул, справка в данном случае не поможет. Пусть берет больничный на пару дней. тупо его покупает. Либо договариается и еще раз договаривается, например, уйти только на полдня. А еще лучше заплатить кому-то из друзей/соседей/родственников за визит к врачу