Если мать писала отказ в род.доме, тогда там вообще у ребенка нет и не было никаких родителей.Соответственно и родительских обязанностей ни у кого не возникло. А если у ребенка есть родители , записанные в свидетельство о рождении, тогда у них у родительские обязанности есть.