Подать заявление на регистрацию можно да, через Госуслуги. Поэтому поездка только одна нужна будет.По поводу ребенка тоже не уверена, что он с Вами автоматом в Москву не уедет в регистрацию. Насколько я понимаю, ребенок до 14 лет может быть зарегистрирован только вместе с родителем. Но это не точно, немного сейчас не в теме.