Нет, это становится обязанностью того, кто ребенка оставил жить у себя. У второго обязанность платить алименты и право общаться. Если бы мне, забрав ребенка жить с собой, предложили бегать водить и забирать из сада и водить по кружкам, я бы сказала - давай тогда ребенок будет жить со мной раз ты не успеваешь и не справляешься. Метаться бесплатной нянькой приведи-отведи-подожди я бы точно не стала.