А врачи по какому принципу живут? Она должна подписать эту бумажку не больше, чем клиника должна лечить кота бесплатно. Но у неё  хватило совести от врачей не требовать, чтобы они его бесплатно лечили. А у клиники не хватило совести не прикапываться к ней с бумажкой.  Договор на оказание услуг и трудовой договор - это документы, нужные обеим сторонам, которые определяют права и обязанности этих сторон. В данном  случае документ ей не нужен. У клиентки вет клиники возникают какие-то правоотношения с клиникой только на время лечения кота. Если лечение кота в этой клинике не продолжено, то и отношений нет, и  зачем ей тогда что-то подписывать?