Договор об аренде, филькина грамота )по идее нужна регистрация по месту пребывания или жительства, как я понял она есть но на другом конце Москвы.Как вариант: Искать школу, готовую взять, и исходя из этого искать квартиру.Либо делать регистрацию по месту пребывания ребенку ( несколько сократит количество вариантов аренды), тогда должны будут в том же районе место найти.