" но при рождении нового ребенка прописывают его и жену к новому мужу (можно, наверное, у нотариуса подписать бумагу). " - нет, и нет, и нет.  Такую бумагу у нотариуса подписать НЕЛЬЗЯ.  И если БЖ останется зарегистрированной в вашей квартире, то своего нового ребенка она там же зарегистрирует,  даже не ставя  собственника в известность. Оно вам надо ?