Да, именно так и выглядит экзамен по математике как Вы описали. Защитить значит устно преподавателю рассказать как решается задача. По истории можно взять проект, темы обычно озвучивают после первого тура, но когда сын поступал говорили что если ребенка очень интересует какая то тема, то можно обсудить  и возможно разрешат взять ее.