Белка и белый не однокоренные слова.БОтать [по фене] - из блатного жаргона, видимо от слова болтать,  ботать [учебное] - от ботАна -  утопленника в учебном, по идее ударение на А, но сместилось по аналогии, как бы игра слов - на школьной фене. А вот откуда ботан/ботаник - неведомо. Может есть лингвисты?