Чаще спектральные методы применяются для решения уравнений в частных производных, чем для ОДУ.В целом, методы основаны на разложение решения по "спектру": представлении решения в виде суммы "базисных" функций с коэффициентами. То есть, решение (обычного) дифференциального уравнения с переменными коэффициентами представляют в виде функционального ряда. Сначала осуществляется переход от диф.ур-я к алгебраическому, потом обратное преобразование для получения решения уравнения. Это не общее решение, а решение задачи Коши (или краевой задачи, но лучше более высокие порядки ребенку не трогать) Посмотрите учебники по численным методам решения ОДУ (мне нравятся за авторством Годунова), в большинстве эти методы довольно подробно расписаны с примерами и программами или алгоритмами