Не пойдёт, и так не употребляется это выражение. Попробуйте подставить вместо "под эгидой" выражение "под защитой": разве корректно получается "ПОД ЗАЩИТОЙ ЗАБОТЫ О БЛАГОПОЛУЧИИ И ЗДРАВИИ ЗЯТЯ"? Неужели не чувствуете, что не так?В вашем случае не "под эгидой", а "под предлогом" заботы.Это вам бесплатный урок.пс: а похавать(с) тебе могу направление указать на трибу, чтобы уж хоть кто-то поимел (с)  Это к вопросу семантики этюдности в творчестве Пришвина...