Конечно, можете жить с детьми! Им необязательно проживать по месту регистрации, главное - с родителем. Так что если дети остаются с вами, выписывать вы их не должны. Но если папа захочет, то сам выпишется, детей выпишут автоматом. Вы же про доли в квартире беспокоитесь?Иск подать может даже без этих оснований, а просто потому что хочет быть с детьми. Прописка - дополнительный плюс в его сторону. Но не основной.