Когда говорят: "в свидетельстве отец вписан" - это обычно означает "отец ребенка признал, пришел в загс и оформил Установление отцовства", а не "вписан со слов матери,а по факту - отец ребенка не признал". Ну или признан отцом по суду, но это явно не тот случай, человек добровольно платит алименты. А в случае, если отцовство оформлено, это невозможно отменить/отказаться ни по инициативе матери, ни по инициативе отца (кроме единственного случая, когда отец искренне считал ребенка своим, а он таковым не является, и это удастся доказать).