"Сидят",  тем, с кем нужно сидеть, с детьми, с пожилыми родственниками. И тут совершенно не имеет значения, кто кому кем приходится. Договорились, значит договорились. "Молодая" бабушка в принципе могла отказаться сидеть с внучкой, она сама еще мать с ребенком.