Скажу как аллергик со стажем длиною в жизнь. Аллергия абсолютно не предсказуема. Как выше сказали, может не быть аллегии на вашего кота и при этом быть сильнейшая реакция на всех остальных котов. Может появиться в любой момент жизни и так же сама по себе исчезнуть. Аллергологи говорят, что это в пределах нормы. Вам правильно сказали- самое действенное лечение и оно единственное- убрать аллерген. Все лекарства снимают приступ и немного утихают реакции на  какое то время, но не излечивают полностью.Я бы тоже посоветовала не отдавать ПОКА кота. Если конкретно на этого кота не реагирует, сплюньте и наблюдайте.Что вызвает реакцию в доме бабушки, надо проверять методом среднепотолочного тыка. Берете результаты теста и буквально по сантиметру обследуете весь дом. Сама понимаю насколько это нелегко, а может и нереально. Но это единственный совет, который мне дал аллеголог в аналогичной ситуации. Или как можно меньше времени проводить в этом доме- до начала первых симптомов.Мне не понравилось категоричное заявления вашего врача на счет того, что точно будет астма. Этого он знать не может! Тоже со слов аллергологов, и не одного, невозможно дать гарантию будет-не будет.