Отец и мать равноправны в смысле опеки над ребенком. Мать ничем не ближе отца.  Поэтому выписать мать,  оставив детей с отцом, не то, чтобы легко, но и не очень сложно.  Соответственно, мать , так же, как и отец быть бомжом  может.Иногда , правда, суд не сразу выписывает мать , а дает ей дает отсрочку, может быть и год, и даже больше, чтоб она решила свой жилищный вопрос. Опека будет заинтересована , если нарушаются права ребенка-собственника  недвиги.  Если у ребенка собственности нет, то и прав ... соответственно много меньше.  Бывают , конечно, сложные случаи, когда опека может вмешиваться, но это редко.