Насчёт домашки. Лично я эссе и письмо  прошу присылать заранее, чтобы к уроку я уже знала, где косяки и знала как это возможно исправить и улучшить. Проверка эссе на уроке действительно занимает много времени, но можно на время проверки дать ученику задание. А вот если он тупо в носу ковырялся, условно говоря, пока репетитор эссе проверяла(а это минут 10-15,как ни крути), то, да, выглядит странно. Тестовую часть и на уроке можно проверить, попутно обсуждая ошибки. Я рекомендую с новым репетитором писать эссе и делать устную часть. Аудирование и разделы чтение и грамматика с лексикой он вполне может сам осилить, в сборниках заданий есть ключи.