Ничего у них не оформлено как надо. Берете договор и идете ногами в трудовую инспекцию и объясняете им что это постоянная работа, вот такой договор и вот такая оплата. И пишите жалобу. Как написать они скажут сами. Договора нигде и не надо регистрировать, все остальное за вас сделает трудовая инспекция.