В вашем случаи я бы сначала рекомендовал бы проконсультироваться в ветеринара с МосВетЦентр, это абсолютно бесплатно. Скорей всего вас скажут что усыплять кошку не нужно, а лучше вызвать волонтеров с приюта. Они поймают ее и заберут в приют для животных.