Применение метода оценки при решении нестандартных уравнений
Автор: Уртюкова Мая Андреевна (учитель математики, Республика Марий Эл, г. Козьмодемьянск, Муниципальное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа №3 г. Козьмодемьянска")
Тип документа: УМК. Аудитория: Учителя математики, ученики старших классов. Дата публикации: 10.08.2015
Описание: Для раскрытия метода использовано большое число разнообразных уравнений, неравенства Коши и Бернулли. Предлагаются упражнения для самостоятельной работы.


                                                      Уртюкова Мая Андреевна
              МОУ  "Средняя общеобразовательная школа №3 г. Козьмодемьянска"
                                                        Республика Марий Эл.
                                                          Учитель математики




                      Методическая  разработка по теме:
       «Применение метода оценки при решении нестандартных уравнений»



                                 Содержание

Введение
Глава1. Развитие творческого мышления средствами нестандартных задач.
1.1 Функции  нестандартных задач в обучении математике
1.2 Актуальность изучения метода мажорант(оценки)
Глава 2. Метод мажорант(оценки) как один из способов решения нестандартных
задач.
2.1 Применение метода к решению уравнений вида f(x) =g(x)
2.2 Использование метода при решении задач на неравенства Коши и Бернулли
Заключение
Список использованной литературы



                            Введение.



      Сегодня нашему обществу, как никогда, необходимы не  только  грамотные
специалисты в той или иной области, но и  творческие  люди,  умеющие  решать
нестандартные задачи.
      Математические задачи -   главное  звено  в  формировании  творческого
мышления.  Существует  огромное  количество  творческих   задач,   требующих
нетрадиционного метода их решения.
       Под нестандартной понимают задачу, алгоритм  решения  которой  обычно
неизвестен  и  нужен  самостоятельный  поиск  ключевой  идеи.  Нестандартная
задача  в  большинстве  случаев  воспринимается  как  вызов   интеллекту   и
порождает потребность реализовать себя в  преодолении  препятствия.  Вера  в
то, что  личного  опыта  достаточно  для  успеха,  затягивает  решающего,  а
увлеченность поиском решения проблемы –  главная  движущая  сила  творческой
активности.
Цель работы  :  раскрыть  нетрадиционный  метод  решения  творческих  задач,
способствовать формированию гибкости мышления.
Задачи: 1)изучение понятия метода оценки;
  2)использование различных уравнений, неравенств  Коши  и     Бернулли  для
раскрытия метода;
  3)обосновать  эффективность  изучения  данного  метода  учащимися  старших
классов.

  Глава1.  Развитие творческих способностей средствами нестандартных задач.

            1.1 Функции нестандартных задач в обучении математике


      Способность размышлять, анализировать, строить планы, создавать разные
проекты ─ очень важные умения, которые  в  дальнейшем  смогут  помочь  детям
самостоятельно  принимать  решения  и   действовать   в   сложных   условиях
современной жизни. Поэтому, начиная с первых лет  обучения,  нужно  приучить
учащихся к  самостоятельной  работе,  к  поиску  нетрадиционных  решений,  к
творческой работе. Если учитель не будет  постоянно  заботиться  о  развитии
мышления, поставляя “ пищу для ума”, то ученики  не  смогут  состояться  как
творческие личности. Главная задача ─ содействовать  творческому  восприятию
учащимися  учебного   материала   и   их   желанию   самосовершенствоваться.
Математика в этом плане обладает исключительными возможностями.
      В теории и практике обучения наиболее распространенный  путь  развития
творческой активности – «через творческие  задачи».  Не  случайно  известный
педагог-математик Д.Пойа пишет: «Что значит владение математикой?  Это  есть
умение  решать  задачи,  причем  не  только  стандартные,  но  и   требующие
известной   независимости   мышления,   здравого   смысла,   оригинальности,
изобретательности». Педагог Колягин Ю.М., например,  считает,  что  «решение
задач становится не только  средством  сознательного  и  прочного  овладения
учащимися системой математических знаний, умений и навыков, но и  средством,
с помощью  которого  у  школьника  самым  естественным  образом  могут  быть
сформированы качества, присущие  творческой  личности,  необходимые  им  для
активного участия в создании материальных и  духовных  ценностей  в  будущем
независимо от того, какую профессию они изберут».
      На уроках математики по традиционной программе  при  решении  школьных
задач учащиеся применяют  для  их  решения  определенные  знания,  умения  и
навыки. Их роль заключается в обработке и закреплении  конкретных  умений  и
навыков. При этом известная алгоритмизация способов их решения  ограничивает
творческий поиск учащихся. Учащиеся, постоянно  следуя  жестко  предписанным
операциям, привыкают к однотипным действиям, быстро теряют свои  наклонности
к оригинальным решениям, начинают мыслить и  действовать  по  стандарту  как
все, что естественно, тормозит их творческую активность. Творчество  –  это,
прежде всего умение, отказаться  от  стереотипов  мышления,  только  в  этом
случае можно создать что-то новое.  В  этом  отношении  большие  возможности
имеются на уроках математики, в частности при решении нестандартных задач.
      Нестандартная  задача  в  отличие  от  традиционной  не   может   быть
непосредственно (в той форме, в которой она предъявлена) решена  по  какому-
либо алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика  жесткими  рамками  одного
решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы  мышления  и
способствующий  его  развитию.  “Задача,  которую  вы  решаете,  может  быть
скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет  вас
быть изобретательными, то вы можете испытать ведущее к  открытию  напряжения
ума и насладиться радостью победы”.
      Решение нестандартных задач – процесс сложный. При решении таких задач
дети  встречают  трудности.  Это   объясняется   такими   причинами:   из-за
неуверенности в  своих  возможностях  и  боязни  их  трудности,  отсутствием
необходимого для этого умения и навыков. Только при  систематической  работе
можно достичь желаемого результата. Решая нестандартные  задачи,  дети  сами
приходят  к  выводу,  что  есть  задачи,  которые  не  решают  сразу   одним
действием, что надо анализировать, сравнивать, рассуждать.
      Для  решения  нестандартных  задач  наиболее  эффективный   способ   –
вооружить детей теми приемами умственной  деятельности,  которые  необходимы
при этом: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация.
      Важнейшими математическими операциями являются анализ и синтез. Анализ
 связан с выделением элементов данного объекта, его признаков  или  свойств.
Синтез – соединение различных элементов, сторон объекта в  единое  целое.  В
мыслительной  деятельности   анализ   и   синтез   дополняют   друг   друга.
Формированию и развитию данных мыслительных  операций  способствует  решение
задач, в которых от учащихся  требуется  проводить  правильные  рассуждения,
рассматривать объекты с разных сторон, указывать их  различные  свойства,  а
также постановка различных вопросов относительно данного объекта.
      Другой  мыслительной  операцией,  которой  должны  овладеть   ученики,
способствующей   развитию   творческих   способностей   учащихся,   является
сравнение. Формированию приема сравнения  способствуют  задания,  в  которых
требуется сравнить объекты, указать их признаки и свойства,  найти  сходства
и различия.
      Аналогия  –  это  такая  мыслительная  операция,  с  помощью   которой
находится сходство между  объектами  в  некотором  отношении.  Использование
аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач.
      Классификация  –  это  прием  логического  мышления,   суть   которого
заключается   в   разбиении   данного   множества   объектов   на    попарно
непересекающиеся подмножества.
      Критерии, фиксирующие процесс, способы решения творческих задач:
- какие цели выдвигает учащийся при решении  задачи  –  нахождение  частного
    результата или нахождение способа решения;
- как выдвигает, обосновывает и реализует в  необходимой  последовательности
все учебные действия, относящиеся к решению учебной задачи: анализ  условия,
планирование решения, оценка способа решения;
- как решает учебные задачи в измененных условиях;
- как оценивает и корректирует собственные действия по решению задачи;
-  какова  реакция  учащегося  на  ошибку(  ищет  выход  самостоятельно  или
аппелирует к преподавателю или к учащемуся);
- склонен ли учащийся искать множественность способов решения задач.
      Решение  нестандартных  задач   расширяет   математический   кругозор,
формирует неординарность мышления, умения применять знания  в  нестандартных
ситуациях, развивает упорство в  достижении  поставленных  целей,  прививает
интерес к изучению классической математики. Воспитывается  любознательность,
самостоятельность, активность, инициативность. Все это развивает  творческое
мышление  школьников.

      1.2 Актуальность изучения метода мажорант(оценки)
      В школьном курсе математики выделены четыре  основных  метода  решений
уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от  равенства
функции к равенству  аргументов,  функционально-графический.  Надо  сказать,
что   существует   огромное   количество   творческих    задач,    требующих
нетрадиционного  метода  их  решения.  Многолетняя  практика  экзаменов   по
математике стимулировала создание  мощного  производства  по  «изготовлению»
задач, в частности уравнений.
      Одним из  способов  решения  нестандартных  уравнений  является  метод
оценок.  Нередко  выпускники  не  могут  справиться   даже   с   простейшими
задачами, что свидетельствует об отсутствии  у  них  навыков  решения  задач
методом оценки. Попросим ученика решить, допустим, уравнение: cosx  +  cos3x
= 2.  С  чего  начинает  решение  ученик?  –  С  представления  левой  части
уравнения в виде произведения. Однако этот путь нахождения корней  уравнения
довольно длинный, так как его часть  отлична  от  нуля.  Проще  использовать
свойство ограниченности тригонометрических функции, поэтому сумма  косинусов
может быть равной 2 только в том случае, когда  оба  слагаемых  одновременно
будут равны по 1.
      Учащиеся, владеющие только стандартными  методами  решения  уравнений,
как правило попадают в расставляемые  экзаменаторами  «ловушки».  Берясь  за
решение  уравнения,  они  концентрируют  свое  внимание  только  на   поиске
преобразований, сводящих исходное уравнение к более  простому,  забывая  при
этом, что упрощение полезно и возможно не всегда.
Математические знания учащихся  слишком  часто  оказываются  формальными,  у
основной массы учащихся не формируется  разумный  подход  к  поиску  способа
решения незнакомых задач.  Поэтому  важным  становятся  не  только  усвоение
знаний, но  и  сами  способы  усвоения  и  переработки  учебной  информации,
развития познавательных сил и творческого потенциала учащихся.
      В данной разработке систематизированы задачи, решаемые методом оценок.
Для раскрытия метода использовано большое  число   разнообразных   уравнений
из всех разделов  элементарной  математики,  неравенства  Коши  и  Бернулли.
Наличие функции разного вида создает впечатление о том, что уравнение  вовсе
не решается. Кроме  того,  порой  применение  метода  сложно  в  техническом
исполнении, поэтому, для того, чтобы хорошо  овладеть  им  и  уметь  увидеть
когда  его  применение  может  принести  успех,  нужно   прорешать   большое
количество задач такого типа.
      При  решении  задач  данным  методом  развивается  гибкость  мышления,
формируется умение анализировать,  проводить  сравнение,  обобщать  факты  и
делать   выводы.   Рассуждения   учащихся   становятся    последовательными,
доказательными и логичными.
      Метод оценок, раскрытый в данной работе,  позволяет  учащимся  открыть
для себя новый путь решения тех или иных нестандартных уравнений.
      Таким  образом,  материал  данной   работы   можно   использовать   на
факультативных занятиях и на уроках при подготовке  к ЕГЭ.


Глава 2. Метод мажорант (оценки) как один из способов решения нестандартных
задач
                      2.1. Применение метода к решению
                        уравнений вида f(x) = g (x).
      Нестандартными обычно называются равнения вида f(x) = g (x), где  f(x)
и g (x) – функции совершенно разного типа. Например,
[pic]  [pic] sin х ,  log ах = 2 х  и т.д.
      Существуют теоремы,  способные  облегчить  решение  данных  уравнений.
Например, одна из них:
       Если на некотором промежутке I наибольшее значение  f(x) равно  числу
А, а наименьшее значение g (x) тоже равно числу А, то уравнение   f(x)  =  g
(x) равносильно системе               f(x) = А
                                                                    g (x)  =
А
на данном промежутке I.
      Для подтверждения правильности теоремы рассмотрим уравнение        х 2
 + 1 = cos х . Для этого построим графики функций у = х 2  + 1 и у = cos х.
[pic]

По теореме заключаем:
                                               х 2  + 1 = 1
                                                  ( x=0
                             cos х = 1
      Очень часто метод оценки называют «методом мажорант». «Метод мажорант»
-  это  прием,  который  можно  назвать  оценкой  соответствующих   значений
функции.
Определение. Мажорантой данной функции f(x) на множестве Р называется  такое
число М, что-либо f(x) ≤ М, для всех х (Р, либо f(x) ≥ М для всех  х ( Р.
   Мы знаем много мажорант для известных функций: y=ax2+bx+c, y=sin x, y
=cos x. 
    Как искать такое число М? Для того, чтобы найти мажоранту нужно:
 а) найти D(f) функции;
 б) найти E(f) функции;
 в) исследовать функцию на экстремум;
 г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и наименьшее
значения;
 д) применить известные неравенства:
      [pic][pic]2, если [pic]> 0,
      [pic][pic]2, если [pic]< 0.
   Например. Назовите наибольшее и наименьшее значения функций, если они
существуют: y=sin 3x, y=2cosx, y=2x, y=x2 - 6x+5, y=5 - x2, y=x2+3,
y=log3x.
   Рассмотрим уравнения:
Пример 1. Решите уравнение
                      (х2 - 2х + 3) (у2  + 6у + 12) = 6
Решение: Первое, что необходимо сделать – надо выделить  квадраты  двучленов
в каждом множителе левой части уравнения:
                      ((х – 1)2 +2) ((у + 3) 2+ 3) = 6
Далее оцениваем каждый множитель произведения или  найдем  мажоранту  каждой
функции, входящей в уравнение: (х – 1)2 +2 ≥ 2 и     (у + 3) 2+ 3  ≥  3  при
всех значениях примененных  х  и  у.  Выделив  все  необходимые  оценки,  мы
подходим к последнему этапу решения. Равенство (х2 - 2х + 3)  (у2   +  6у  +
12) = 6  возможно тогда и только тогда, когда выполняется система:
                                        х – 1 = 0
                                        у + 3 = 0
                                                Откуда х = 1, у = 3.
Пример 2. Решите уравнение
                         - cos (7πх) = х2 - 6х + 10
Решение: Для любого действительного  α  │cos  α│  ≤  1,  следовательно,  для
любого х ( R - cos (7πх) ≤ 1. Преобразовывая правую часть, получим:
             х2 - 6х + 10 = х2 - 6х + 9 + 1 = (х – 3)2 + 1 ≥ 1.
Таким образом, левая часть уравнения не больше 1,  а  правая  не  меньше  1.
Поэтому равенство может достигаться только в  том  случае,  если  обе  части
равны 1, т.е. исходное уравнение равносильно системе
                                 - cos (7πх) = 1
                              (х – 3)2 + 1 = 1
Несложно заметить, что второе уравнение имеет единственный  корень  х  =  3.
Подставляя  полученное  значение  в  первое  уравнение,   получим   истинное
равенство.                                Ответ: х = 3.
Пример 3. Решите уравнение
                     log 2 (17 - | sin 0,5 πх |) = [pic]
Решение: Учитывая ограниченность функции синус,     log 2 (17 -  |  sin  0,5
πх |) ≥ log 2 (17 – 1) = 4 для всех х ( R; с другой стороны,  [pic] =  [pic]
≤ [pic] = 4 для всех х ( [-3; -5].  Значит,  уравнение  равносильно  системе
                       sin 0,5 πх = 1
                                                              х = 1
                      откуда х = 1.
                                           Ответ: х = 1.
Пример 4. Решите уравнение
                       сos 6 х + sin 2 3х + 4sin9х = 7
Решение: Сумма коэффициентов перед  тригонометрическими  функциями  в  левой
части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль  о  решении  уравнения
методом оценки. Действительно, сos 6 х ≤ 1, sin  2  3х  ≤  1,  4sin9х  ≤  4.
Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом х,  поэтому  уравнение
не имеет действительных решений.
                             Ответ: решений нет.
Пример 5. Решите уравнение
                           tg2 3х=cos 2x – 1      (1)
Решение:  tg2 3х  = - 2 sin2x
Так как tg2 3х ≥ 0, а - 2 sin2x ≤ 0, то уравнение tg2 3х  = - 2 sin2x имеет
решение тогда и только тогда, когда выполняется система
tg2 3х =0                            х=[pic]
                              (
 ( х = [pic], п[pic]z
 - 2 sin2x=о                        х =[pic], п[pic]z
                                                          Ответ:    х
=[pic], п[pic]z
Пример 6. Решите уравнение
              arccos(2x – 3) = [pic]+[pic]·│x2 – 6x + 5│.
Решение: ОДЗ:│ 2x – 3│≤1[pic]2≤2х≤4[pic]х[pic][1;2].
Множество значений функции y  =  arccos(2x  –  3)  принадлежит  отрезку  [0;
[pic]]. Правая часть уравнения всегда не  меньше  [pic],  и  по  определению
модуля │x2 – 6x + 5│≥0 для всех  х[pic]R.  Значит,  данное  уравнение  будет
иметь решение тогда и только тогда, когда левая  и  правая  части  уравнения
будут равны  [pic],т.е
[pic]     [pic]
Полученное значение х =1 принадлежит ОДЗ уравнения и, значит, является его
корнем.
                                              Ответ: х = 1.
Пример 7. Решить уравнение
2[pic] (1)
Решение: Допустимые значения [pic]определяются системой неравенств.
[pic]      откуда [pic]<1
Так как [pic]и  [pic]- функции возрастающие и [pic], то [pic], [pic]
[pic]- функция убывающая [pic]<[pic]<1  и  0<1- [pic]≤1 при [pic], то [pic]
Решениями уравнения (1) будут являться значения переменной х, при которых
каждое слагаемое уравнения (1) равно нулю, при этом


где  [pic]<1
Решим  первое уравнение
1+[pic]; [pic]
При  [pic] второе и третье уравнения  обращаются в верные равенства.
Следовательно, [pic] единственный корень уравнения (1).
                                                       Ответ: 0
Пример 8. С помощью производной найдите все решения уравнения [pic],
лежащие на отрезке[pic].
Решение:
Итак, рассмотрим функции f(x)=4x 3 +3x 2 - 6x+[pic] и g(x) =sin[pic]х
x[pic]R,[pic].
[pic] при [pic] и [pic].
                                                                   
              +           ─                +          
                       
 [pic]
Наименьшее значение[pic] принимает либо в точке [pic][pic]либо в
точке[pic].
[pic], [pic].
 Значит 1 – наименьшее значение.
[pic], 1 – наибольшее значение.
Итак,[pic] Значит[pic] при [pic].
                                                       Ответ: [pic]
 Пример 9. Найти все пары чисел (x,у) удовлетворяющие условию
(х[pic])(1+ sin2(x+y)) =1+7cos2(x+y)        (1)
Решение: Уравнение (1) равносильно уравнению (2).
х[pic]= [pic] (2)
Преобразуем обе части уравнения (2).
х[pic]=([pic])+8 = ([pic])2+8    (3)
[pic]=[pic]=[pic]   (4)
При [pic]выражение (3) принимает своё наименьшее значение, равное восьми.
При [pic] [pic][pic] выражение (4) принимает своё наибольшее значение,
равное восьми. Следовательно, уравнение (2), значит, и (1) будут иметь
решения, если обе части уравнения (2) принимают значения, равные восьми.
При х=2 ,y=-2+[pic],[pic]
При х= - 2, [pic],[pic]
Ответ: (2; -2 +[pic]); (-2; 2+[pic]),[pic].
Пример 10. Решить уравнение: log[pic](3+|sin x|) - 2|x| =-2
Решение:               ОДЗ: x[pic]R
 log[pic](3+|sin x|) =2|x|- 2
Оценим левую и правую части уравнения:
0 ≤ |sinx| ≤ 1,
|x| ≥ 0,
3 ≤ 3+|sin x| ≤ 4,
2|x| ≥ 1,
log[pic]4 ≤ log[pic](3+|sin x|) ≤ log[pic]3,
2|x|- 2 ≥- 1.
log[pic]4 ≤ log[pic](3+|sin x|) ≤ -1.
Так как левая часть уравнения принимает значения не более -1, а правая – не
менее -1, то равенство возможно, если одновременно выполняются условия
 log[pic](3+|sin x|) = -1,
 2|x| - 2 = -1.
Решая систему, получаем х = 0.
                           Ответ: х = 0
Пример 11. Решите уравнение.
                      2 сos 2 ( [pic] ) = 2 х  + 2 – х
Решение: В левой части  уравнения  стоит  тригонометрическая  функция,  а  в
правой – сумма показательных функции. Формул, позволяющих находить  корни  в
таких случаях не существует. Оценим каждую из  частей  уравнения.  Очевидно,
что
                            2 сos 2 ( [pic] ) ≤ 2
      Если  f(x) > 0, то f(x)  +  [pic]  =  [pic]  =  [pic]+2  ≥  2,  причем
равенство достигается только при  f(x) = 1. В данном случае f(x)  =  2  х  .
Таким образом, уравнение имеет решение,  только  если  обе  части  равны  2.
Следовательно, 2 х  = 1 <=> х =  0  .  Проверив,  убедимся,  что   2  сos  2
([pic]) = 2 при  х = 0.
                                Ответ: х = 0.


Пример 12. Найдите все пары[pic], для которых [pic]([pic])=[pic]. 
Решение:
ОДЗ:cos([pic])[pic]0,  в  этой  области  [pic][pic]   ,   причем   равенство
достигается только  при  cos2([pic])=1.  Отсюда  следует,  что  левая  часть
уравнения не менее 1. С другой стороны [pic], т.е.  правая  часть  уравнения
не превосходит 1, причем равенство достигается только при y=1.
Итак,
[pic]
 
Ответ:([pic]n;1), [pic].
Пример 13. Решить уравнение: sin[pic]= [pic].
Решение. ОДЗ: х – любое, кроме 0, [pic]1.
х2 + 6х + 13 = (х + 3)2 + 4 ≥ 4. Тогда 0 < [pic];   0 < [pic]≤ [pic];
0 < sin[pic]≤ [pic], т.к. функция у=sin t монотонно возрастает на[pic].
Найдем границы области значений правой части уравнения, применяя
неравенство [pic]≥ 2, где а > 0.
Если log3|х| < 0, то правая часть уравнения будет принимать отрицательные
значения, но sin[pic]> 0, следовательно, равенство возможно, если log3|х| >
0.
[pic]= [pic]≥  2.
[pic]≥ [pic]; [pic]≥ [pic].
Тогда данное уравнение равносильно системе
sin[pic]= [pic],
[pic]= [pic].
Решая логарифмическое уравнение методом введения новой переменной, находим
его корни: х1 = -3; х2 = 3. Проверка показывает, что число 3 не является
корнем первого уравнения системы, следовательно, не является решением
системы и исходного уравнения.
                                                                  Ответ: х
= -3.
      Все разработанные выше задачи достаточно непохожи друг на друга,
однако их решения содержат общую идею – оценить одно аналитическое
выражение другим выражением (чаще всего конкретным числом), «снизу», а
другое – этим же числом «сверху».
Конечно, все эти признаки не гарантируют того, что задача решается методом
оценки. Кроме того, порой применение метода сложно в техническом
исполнении, поэтому, для того, чтобы хорошо овладеть им и уметь видеть
когда его применение может принести успех, нужно прорешать большее
количество задач такого типа.

                    Упражнения для самостоятельной работы

Решите уравнения:
1)[pic]                                    2)[pic]
3) [pic]                            4) [pic]
5)[pic][pic]                                   6)[pic]
7)  [pic]                                8)[pic]
9) [pic]              10) [pic]
11)[pic]                        12) [pic]
13)[pic]            14)   [pic]
15)[pic]  16) [pic]
17) [pic]                               18) [pic]
19)[pic]                              20) [pic]

                2.1  Использование метода при решении задач
                    на неравенства    Коши   и Бернулли.

      Неравенство  Коши
              [pic] ≥[pic]
выполняется при неотрицательных  a 1 , a 2 , ... a n . Его можно  переписать
следующим образом:
                      a 1 + a 2 + ... + a n  ≥ n [pic]
Рассмотрим частный случай неравенства   Коши   для n = 2, т.е.
                   [pic]≥ [pic]  или   a 1 + a 2  ≥ 2[pic]
      Поскольку мы хотим воспользоваться неравенством для решения уравнений,
нас интересует то, когда в неравенстве достигается равенство. Выясним это  с
помощью преобразований:
a 1 + a 2  = 2 [pic]   ;          a 1 + a 2 - 2[pic] ≥ 0
([pic])2  ≥ 0.
Отсюда следует, что ([pic])2  = 0, если a 1 = a 2 .
      Для всех других значений  n условие a 1  =  a  2  =  …  =  a  n  также
обеспечивает обращение неравенства Коши в равенство.
Приведем примеры.
Пример1.Решите уравнение  [pic] = 4х + [pic]
Решение: Сразу учтем область определения неизвестного: х (R, х ≠ 0.
Исходя из вида левой части, можно догадаться,  что  целесообразно  применить
неравенство  Коши  для  n  =  3.  Но  неравенство   Коши   выполняется   для
неотрицательных  членов  (множителей).  Левая  и  правая   части   уравнения
представляют собой нечетные функции. Отсюда следует, что корни  уравнения  –
числа противоположные, поэтому достаточно решить уравнение для х > 0.
Преобразуем уравнение, умножив обе его части на х, так как х > 0:
      х [pic] = 4х2 + 3 => [pic]= 4х2 + 3
Рассмотрим левую часть и оценим ее:
[pic] =[pic]≤[pic] = [pic] = 4х2+3
т.е.[pic]≤ 4х2 + 3, а по условию [pic]= 4х2 + 3. Таким образом,  неравенство
Коши обращается в равенство, а это возможно, если    5х2 =5х2  =  2х2   +  9
или
    5х2 = 2х2  + 9
                            (х=[pic]
     х > 0
Учитывая нечетность функций, входящих в уравнение, получаем   х =  ± [pic]
                             Ответ: х = ± [pic].
Пример 2 .Решите уравнение
[pic]
Решение: Очевидно, что левая часть  уравнения  представляет  собой  функцию,
которая определена при условиях   9 - х2 ≥  0  и  [pic] ≠ 3. Отсюда   х  ([-
3;0) U (0; 3] .
      Пусть [pic] = у, у ≥ 0. Тогда 9 - х2 = у2  => х2 = 9 – у2.
С учетом обозначения исходное уравнение примет вид:
[pic]
Поскольку х2 = 9 – у2, приведем последнее уравнение к виду
[pic]=1
Учитывая, что каждое слагаемое левой  части  неотрицательное,  оценим  левую
часть
[pic][pic]
Теперь ясно, что исходное уравнение равносильно системе
                                       [pic][pic]1
                            [pic]=1
Неравенство этой системы обращается в равенство тогда, когда
[pic]=[pic]’ 3 - y =[pic]
Дальнейшие рассуждения легко записать чисто символически:
4 (3-y)[pic]=1          у1 = [pic]      [pic]=  [pic]             9 –  х2  =
[pic]        х2 =[pic][pic][pic][pic]
                 у2  =   [pic]    [pic]=[pic]=>      9 – х2 = [pic]     х2 =-
             [pic]
         х1 =[pic]
        х2  =-[pic]
Оба полученных корня принадлежат промежутку [- 3; 0) U (0; 3].
                           Ответ: х1,2 = ± [pic] .
Пример 3.Решите в целых числах уравнение:
                            2х4  + 2у4  = 4ху – 1
Решение: Левая часть  исходного  уравнения  представляет  собой  сумму  двух
неотрицательных выражений, поэтому можно воспользоваться неравенством  Коши:
      2х4  + 2у4  ≥ 2 [pic]   = 2 ·2х2у2  = 4х2у2
      С учетом исходного уравнения имеем:

  2х4  + 2у4  = 4ху – 1
  2х4  + 2у4  ≥ 4х2у2        => 4ху – 1 ≥ 4х2у2
От последнего неравенства легко перейти к неравенству (2ху – 1)2 ≤ 0.
Отсюда 2ху – 1 = 0, => 2ху = 1, у = [pic]
Представим у = [pic] в исходное уравнение, получим
      2х4  + [pic] = 2 -1.
При обозначении х4 = z, z > 0, предыдущие равенство примет вид
2z + [pic] = 1 => (4z – 1)2  = 0 => z = [pic]
Вернемся к исходной переменной  х4  =[pic]
Тогда х = ± [pic] и    у = ± [pic]
Полученные х, у, целыми не являются, следовательно, в целых  числах  решений
нет.
                             Ответ: решений нет.
Пример 4. Решите уравнение
                                [pic]= [pic]
Решение:  Последовательно   используя   неравенство   Коши   между   средним
арифметическим и средним геометрическим и учитывая возрастание функции  у  =
2t, имеем
      [pic]≥ 2 [pic] = [pic] ≥ [pic]  = [pic] . Равенство достигается  тогда
и только тогда, когда
      [pic]
      х6 = х2      (поскольку неравенство  Коши  обращается  в  равенство  в
случае совпадения величин, к которым неравенство применяется).
      Итак, х6 = х2  , откуда х 1= 0, х 2= 1, х 3= - 1.


      Рассмотрим способ, с помощью которого  будут  решены  уравнения   вида
[pic] + [pic] = [pic]
      Сначала оценивают каждый арифметический корень левой части уравнения с
учетом  показателя   степени   корня,   для   чего   подкоренное   выражение
представляют   в   виде   произведения   множителей,   количество    которых
определяется показателем степени корня. Например,
      [pic] = [pic] ≤  [pic] ,
      [pic] = [pic] ≤[pic] .
Затем складывают полученные оценки и записывают неравенство:
[pic] + [pic] ≤ φ (x),      где φ (x) = [pic]+[pic]
Таким образом, получают систему :
        [pic] + [pic] = g (x)
        [pic] + [pic] ≤ φ (x),
из нее неравенство g (x) ≤ φ (x).
      Теперь остается  определить,  при  каких  х  достигается  равенство  в
неравенстве g (x) ≤ φ (x).
Приведем ряд задач, в которых применяется этот способ.
Пример 1. Решите уравнение
                         [pic] + [pic] = х2  - х +2
Решение: Оценим каждый арифметический корень:
[pic] = [pic] ≤ [pic]  = [pic];
[pic]  = [pic] ≤    [pic]  = [pic] .
Найдем сумму полученных выражений:
[pic]+[pic] ≤     [pic] + [pic] = [pic]=  х + 1
С учетом исходного уравнения запишем систему
                      [pic] + [pic] = х2  - х +2
                      [pic] + [pic] ≤ х + 1
Отсюда х2  - х +2 ≤ х + 1, или х2  - 2х +1 ≤ 0 => (х – 1)2 ≤ 0.
      В  полученном  неравенстве  при   х   =   1   достигается   равенство,
следовательно, х = 1 является единственным решением уравнения.
                                Ответ: х = 1.
Пример 2. Решите уравнение:
                        [pic] +[pic] = х2  - 6х + 11.
Решение: Оценим, каждый арифметический корень левой части уравнения. В  силу
их неотрицательности, имеем:
      [pic] ≤[pic] =[pic]
      [pic] ≤[pic] = [pic].
Найдем сумму полученных выражений:
[pic]  + [pic]  ≤ [pic]+ [pic] = 2,
т.е. [pic] +[pic] ≤ 2.
Преобразуем теперь правую часть исходного уравнения:
      х2  - 6х + 11 = (х2  - 6х + 9) + 2 = (х – 3)2 + 2 ≥ 2.
Сведя воедино найденные оценки левой и правой частей исходного уравнения
[pic]  +[pic]  ≤ 2   и   х2  - 6х + 11 ≥ 2 , запишем систему
                             [pic]  +[pic]  = 2
                             х2  - 6х + 11 = 2.
Откуда    [pic] +[pic] = 2
                 (х – 3)2 + 2 = 2
и следовательно, х = 3.
      Остается проверить, удовлетворяет  ли  найденное  значение  х  области
допустимых значений неизвестного. Из условий
      х – 2 ≥ 0
      4 – х ≥ 0
      х2  - 6х + 11 ≥ 0
следует, что 2 ≤ х ≤ 4, т.е. 3 ( [2; 4].
                                Ответ: х = 3.
      Неравенством Бернулли принято называть теорему, которая  формулируется
в три этапа:
1) Если h > -1, то при любом натуральном р выполняется (1 + h)р ≥ 1 + рh.
2) Если h > - 1 и      р > 1    , то (1 + h)р ≥ 1 + рh
                                   р < 0
3)  Если h > - 1 и 0 < р < 1, то (1 + h)р ≥ 1 + рh.
Замечание. Равенство достигается только тогда и только тогда , когда р  =  1
или h = 0.
Для того, чтобы использовать эту теорему при решении уравнений вида
      [pic]+ …+ [pic] = a
нужно  левую  часть  уравнения  представить  в  виде  суммы  степеней   вида
(1 + f(x))р  и к каждому слагаемому  применить  неравенство  Бернулли.  Если
после преобразований получим, что левая часть исходного уравнения  совпадает
с его правой частью, то, в силу только что  приведенного  замечания,  делаем
вывод, что р = 1 или f(x) = 0.
Приведем примеры применения описанного метода.

Пример 1. Решите в целых числах уравнение
                              x = lg (9x + 1).
Решение: Функция f(x) =  lg  (9x  +  1)  определена  при   х  >  -  [pic]  .
Следовательно, целых отрицательных корней уравнение не имеет.
Проверим, существует ли корень, равный  нулю.  В  самом  деле,  при  х  =  0
уравнение принимает вид 0 = lg (9 · 0 + 1), т.е. 0 = 0. Следовательно,  х  =
0 – корень уравнения.
Остается  установить,  не   имеет   ли   уравнение   положительных   корней.
Преобразуем:
      x 1 = lg (9x + 1),      x ·lg 10 = lg (9x + 1),
      lg 10х  = lg (9x + 1),  10х  = 9х + 1.
Получаем (1 + 9)х  = 9x + 1. В неравенстве (1 + 9)х   ≥  9x  +  1  равенство
достигается или при х = 1 или при 9х +1 =0, т.е. при х = -  [pic]  .  Второе
значение х не входит в область допустимых значений  неизвестной  в  исходном
уравнении.
                           Ответ:   х = 0; х = 1.
Пример 2. Решите уравнение:
      [pic]= 2, при условии, что [pic]  ≥ 1.
Решение: Представим левую часть уравнения в виде суммы степеней:
[pic]  = (1+[pic]+ (1 – [pic] ).
Поскольку  основание   степени   с   дробным   показателем   неотрицательно,
заключаем, что 0 ≤ [pic] ≤ 1. Тогда для выражений (1 ± [pic]  )  выполняется
условие: [pic]> - 1 и [pic] > - 1, к тому же  0 < [pic] < 1.
      Значит, можно применить неравенство Бернулли и записать:
(1 + [pic] ≤ 1 +  [pic] [pic]   и     (1 – [pic] ≤ 1 – [pic] [pic].
Теперь можно рассмотреть сумму
(1 + [pic] + (1 – [pic]≤ 1 +  [pic]  [pic]    + 1 - [pic] [pic] = 2.
Так как  [pic]  ≠ 1, равенство возможно, если [pic] = 0, отсюда 1 –  х2  =0,
х2 = 1 и х = ± 1.
                               Ответ: х = ± 1.
Пример 3. Решите уравнение [pic] + [pic] = 4.
Решение: В левой части уравнения стоят корни четной степени, а  это  значит,
что 1 – х ≥ 0 и 1 + х ≥  0,  т.е.  имеет  место  равенство  -1  ≤  х   ≤  1.
Представим левую часть уравнения в виде суммы степеней:
        [pic] +[pic]  =[pic]
Условия х > - 1 и  0 < [pic] <  1  дают  возможность  применить  неравенство
Бернулли:
      [pic] ≤ 1 - [pic] х + 1 + [pic] х = 2.
Получили, что [pic]  ≤ 2, но [pic] + [pic] = 4, следовательно, решений нет.
                             Ответ: решений нет.
Рассмотрим  способ применения неравенства Бернулли к уравнению
      [pic]+ …+ [pic] = [pic]+ …+ [pic]
      Обе  части  уравнения  сначала  представим  в   виде   сумм   степеней
(1 + f(x))р. Затем к левой и правой частям  уравнения  применим  неравенство
Бернулли. Если после преобразования они совпадут, то определяем,  при  каких
х выполняется равенство.
Пример 1. Решите уравнение
                [pic]+ [pic] = (1 - [pic] )4 + (1 + [pic] )6
Решение: Представим левую часть уравнения в виде суммы степеней:
                           [pic] + [pic] = [pic],
приравняем и к правой части исходного уравнения:
[pic] =(1 - [pic] )4 +(1 + [pic] )6;
применим к обеим частям неравенство Бернулли  (так  как  х  €  [-  1;  3]  и
выполним преобразования: [pic] ≤ 1 - [pic] [pic]+ 1 +  [pic] х = 2,
(1 - [pic] )4 + (1 + [pic] )6 ≥ 1 – 4 ·[pic] + 1 + 6 ·[pic] = 2.
      Следовательно, левая часть исходного уравнения равна его правой части,
если каждая из них равна 2, значит, равенство возможно, если:
                            [pic]    = 0
                            х = 0
             => х = 0
                         [pic]    = 0
                           [pic]     = 0
          Ответ: х = 0.
                    Упражнения для самостоятельной работы
Решите уравнение:
1) [pic]+[pic] =[pic]
2) [pic]
3)[pic]
4) [pic]

      Анализируя приведенные примеры, попытаемся сделать вывод,  когда  есть
основания для предположения, что данная задача  может  быть  решена  методом
оценки:
           1) если в одной части соотношения стоят ограниченные функции, а в
              другой – конкретные числа;
           2) если в задаче  переменных  больше,  чем  заданных  соотношений
              (уравнений или неравенств);
           3) если в соотношениях содержатся разного вида функции;
           4) если в задаче  просматриваются   неравенства  для  суммы  двух
              взаимно обратных чисел, Коши, Бернулли или им подобные.


                                             Заключение.
      Главная  задача  учителя  ─   содействовать   творческому   восприятию
учащимися  учебного   материала   и   их   желанию   самосовершенствоваться.
Математика в этом плане обладает исключительными возможностями.
      Математические задачи  –  главное  звено  в  формировании  творческого
мышления.  Надо  сказать,  что  существует  огромное  количество  творческих
задач, требующих нетрадиционного метода их решения.
            Одним из способов конструирования нестандартных  задач  является
мажорант (оценки). Этот  метод  используются  в  том  случае,  когда  задачи
весьма затруднительно  решить  основными  методами.  «Изюминка»  их  решения
состоит   в   том,   что   необходимо   «увидеть»   нужное   неравенство   и
воспользоваться условиями, при которых оно обращается в равенство.
               Я считаю целесообразным решение  задач  данным  методом,  так
как  он позволяют раскрыть потенциал учащихся и приобщить их  к  творчеству,
а также формирует неординарность мышления.
       Работу можно  рассматривать как  методическое  пособие  для  учителей
математики, а также окажет помощь выпускникам при подготовке к ЕГЭ.


                      Список использованной литературы.

             1. Аксенов А.А. Решение задач  методом  оценки  //Математика  в
                школе. -  1999. №3. – С.30-34.
             2.  Бартенев  Ф.А.  Нестандартные  задачи  по  алгебре   –   М.
                Просвещение, 1976.
             3. Барчунова Ф.М., Денищева Л.О. Применение свойств функции при
                решении уравнении //Математика в школе. – 1992. №6. – С.11.
             4. Кирсанов А.А., Зайцева Ж.А. Развитие  творческой  активности
                учащихся в педагогическом процессе.- Казань, 1995. 103с.
             5. Петров В.В., Елисеева Е.В. Нестандартные задачи //Математика
                в школе. -  2001. №8. – С. 56-57.
             6.  Писаренко  И.Б.  Стратегия  решения   нестандартных   задач
                //Математика в школе. – 2002. №5. – С. 40 - 43.
             7. Полякова Н.В. Решение нестандартных уравнений //Математика в
                школе. – 2004. №7. – С.48 – 50.
             8. Рузин Н.К.  Методика  обучения  и  стимулирования  поисковой
                деятельности учащихся  по  решению  школьных  математических
                задач: Учебное пособие.  –  Горький:  ГГПИ  им.  М.Горького,
                1989. – 80с.
             9. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и
                началам анализа для 10 –  11  классов.  –  М.:  Просвещения,
                1990.
            10. Смоляков А.Н. Решение тригонометрических  уравнений  методом
                экстремальных значений //Математика в школе. – 2005.  №6.  –
                С. 64 – 65.
            11.  Соколова  А.В.,  Пикан  В.В.,  Оганесян   В.А.   Из   опыта
                преподавания математики в средней школе. – М.:  Просвещение,
                1979. – 192 с.
            12.  Столин  А.В.  Комплексные  упражнения   по   математике   с
                решениями.7-11классы.- Х.: ИМП «Рубикон», 1995. – 240с.
            13. Фирстова Н.И. Решение некоторых видов уравнений  при  помощи
                неравенств / /Математика в школе. 2002, №1. – С.29 –
-----------------------
[pic]

-1

1

[pic]

-[pic]