Геометрические аналогии
Автор: Драгунова Светлана Николаевна (учитель математики, МОУ "СОШ №73" города Саратова)
Тип документа: Статья. Аудитория: Учителя математики, учащиеся 10-11 классов. Дата публикации: 24.05.2015
Описание: Во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы, да и множество теорем, свойств и аксиом построены по аналогии с планиметрией. Можно ли провести аналогию между геометрическими телами пространства и фигурами плоскости?

Драгунова Светлана Николаевна,
 МОУ  «Средняя общеобразовательная школа №73»
 города Саратова.
Учитель математики

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ

Введение
На плоскости две прямые линии не могут образовать ограниченную фигуру, а три могут образовать треугольник. В пространстве три плоскости не могут образовать ограниченное тело, а четыре могут образовать тетраэдр. Отношение треугольника к плоскости такое же, как отношение тетраэдра к пространству, поскольку и треугольник, и тетраэдр ограничены минимальным числом простых ограничивающих элементов.
Д. Пойа
В 10 классе мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрия. Это один из интереснейших разделов, который позволяет нам мыслить более абстрактно, представлять заданные нам фигуры в пространстве. Ранее мы уже были знакомы с планиметрией (напомню, что в планиметрии мы рассматриваем фигуры, которые находятся в пределах одной плоскости). Мы заметили, что во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы, да и множество теорем, свойств и аксиом построены по аналогии с планиметрией. После сделанного нами такого замечания, мы задумались, можно ли провести аналогию между геометрическими телами пространства и фигурами плоскости.
Цель исследования – рассмотреть геометрические аналогии.
Задачи исследования:
Изучение учебной, методической и энциклопедической литературы;
Определение сущности аналогии и ее видов;
Выделение признаков у сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости друг от друга, через доказательство различных теорем и решение задач.
Объект исследования – геометрические аналогии в учебниках геометрии 9, 10 и 11 классов на примере треугольника и тетраэдра.
Предмет исследования – треугольник и тетраэдр.
Методы исследования: анализ различных видов литературы, а так же проведение сравнительного анализа, выявление аналогий.
Актуальность темы исследования заключается в том, что традиционный курс геометрии для средней школы делится на две части: планиметрию и стереометрию.
Эти разделы остаются независимыми друг от друга, и представление о геометрии на плоскости и в пространстве как едином целом, формируется недостаточно полно.
Избежать этой односторонности в изучении геометрии может помочь широкое применение в курсе стереометрии метода аналогии.
Степень научной разработанности проблемы.
Аналогия – это некоторого рода сходство, но на более определенном и выражаемом с помощью различных понятий уровне. Различие между аналогией и другими видами сходства заключается в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении, и если свести это отношение, то можно рассмотреть эти сходные предметы как аналогичные. Если удается добраться до ясных понятий, то выясняется аналогия. Аналогия (греч. analogia- соответствие, сходство), сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах. Аналогии могут быть двух видов: 1) простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках; 2) распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.
Простая и распространенная аналогия могут быть: а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости; б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.
Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах, а при решении задач используется либо алгоритм, либо нестрогая аналогия с уже решенными однотипными задачами.
Аналогия является одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.
Некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналогии.
 Например:
Сторона треугольника – грань тетраэдра;
Вписанная окружность – вписанная сфера;
Длина стороны – площадь грани и т.д.
Эта аналогия не только внешняя. Многие теоремы, если применить в их в формулировках планиметрические термины, соответствующие стереометрическим, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Несколько таких теорем и задач мы рассмотрим в данной работе.

Теоретико-методологический аспект геометрических аналогий
Глава 1. Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра

Отметим какие-нибудь три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и соединим их между собой отрезками АВ, ЕС, АС (рис. 1)

Мы получили геометрическую фигуру, которая называется треугольником. 
Точки А, В, С называются вершинами, отрезки  АВ, ВС, АС - сторонами, три угла –  САВ,   АСВ,   ВАС - углами треугольника. 
Название «треугольник» происходит от греческого слова тригонон. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D с вершинами треугольника АВС, получим треугольники ВАD, ВDС и DСА. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DАВ, DВС и DСА, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС. (рис. 2)

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами тетраэдра. 
Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке 2 противоположными являются ребра АВ и DС, ВD и АС, АD и BC. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие - боковыми гранями.
Виды треугольников и тетраэдров.
Правильный треугольник – правильный тетраэдр;
Равносторонний треугольник – тетраэдр общего вида;
Равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;
Прямоугольный треугольник – тетраэдр, в котором при одной вершине все три плоских угла прямые.
Важно отметить следующий факт: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не в каждом тетраэдре можно сказать, то же самое.
Те тетраэдры, для которых такое свойство, верно, составляют класс ортоцентрических тетраэдров.
Признаки равенства треугольников и тетраэдров.
Признаки равенства треугольников - одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии. В сте­реометрии признаки равенства тетраэдров не рассматриваются. И тем не менее, на мой взгляд для того, чтобы выявить аналогии необходимо рассмотреть признаки равенства тетраэдров.
Равенство треугольников и тетраэдров определяются на основе понятия наложения:
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
Две пирамиды называются равными, если они при наложении одной в другую могут быть совмещены.
Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо знать признаки равенства трехгранных углов, а именно:
два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;

два трехгранных угла равны, если они имеют по равному двугранному углу, заключенному между двумя двугранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными;
два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двугранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.


Глава 2. Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра
Так же мы решили рассмотреть теоремы о замечательных точках треугольника и провести стереометрические аналогии. Представленная ниже таблица требуется для решения более трудных задач.

Теперь попробуем провести аналогию на примере задач.
Задача [1]
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник АВС.
Медианы ,  и  пересекаются в одной точке (пусть эта точка будет точкой О).
 - средняя линия треугольника. || АВ, <1 = <2, <3 = <4. Треугольник АОВ  треугольнику (по двум углам).
 =  =  = . 
АО = 2, ВО + 2.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан  и  делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Все три медианы в треугольнике АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Задача [2]
Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершин.

Доказательство:
Отрезки  и  принадлежат плоскости . Отрезки  и  пересекаются в точке О.
||AD, треугольник   треугольнику , значит, что    =  = .
Треугольник   треугольнику DOA, значит, что  =  = .
Повторив рассуждения для треугольника и треугольника , мы получим, что  и  пересекают отрезок  в точке, делящей его в отношении 3 : 1, считая от вершины, то есть в точке O.
  :  = 3 : 1.
Заключение
Приступая к данному исследованию, мы ставили перед собой задачу вызвать интерес к геометрическим аналогиям. Для этого мы использовали различную литературу; выявляли признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости друг от друга, через доказательства теорем и решения задач; определяли сущность аналогии и ее видов. Обнаружение сходства или различия между предметами значительно поднимает уровень нашего мышления на более высокий уровень. Существовавшие ранее без взаимосвязи  знания приобрели для нас новые качества.
Список используемой литературы

Атанасян, Л. С. Геометрия. 10-11 классы [Текст] / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2001.
Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы [Текст] / Л. С. Атанасян. -М.: Просвещение, 2003.
Кучеров, В. Геометрические аналогии [Текст] / В. Кучеров. - М.:Бюро Квантум, 1995. - 128 с.
Эрдииев, О. П. Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сфере [Текст] / О. П. Эрдниев // Математика в школе. - 1998. - № 3
Никулин, А. В. Геометрия на плоскости (Планиметрия) [Текст]:учебное пособие / А. В. Никулин, А. Г. Кукуш, Ю. С. Татаренко. - Минск:ООО «Попурри», 1996. - 592 с.
Гетман, Э. Аналог формулы Герона в стереометрии [Текст] / Э. Гетман// Математика в школе. - 2000. - № 3.
Учебник – тетрадь для углубленного изучения геометрии, С. В. Алексеева, М. И. Зайкин, АГПИ им. А. П. Гайара, 2000 г.
Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1 [Текст] / В. В. Прасолов. -М.: Наука, 1991. -320 с.
 Гангнус, Р. В. Геометрия: методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. 4.2. Стереометрия / Р. В. Гангнус, Ю. О. Гурвиц. - М.: Учпедгиз, 1936.
 Энциклопедический словарь юного математика [Текст]. - М.: Педагогика, 1989. -352 с.