Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Автор: Плаксина Вера Валентиновна (учитель информатики и ИКТ, МБОУ СОШ с УИОП № 183 имени Р. Алексеева г. Нижнего Новгорода)
Тип документа: УМК. Аудитория: Учителя информатики, учащиеся 9 - 11 классов. Дата публикации: 03.08.2015
Описание: Использование электронных таблиц для решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с использованием электронных таблиц Microsoft  Excel  Пошаговое решение системы линейных уравнений 
методом Гаусса в электронной таблице Microsoft  Excel  
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 42 3 7 6 1
3 5 3 3
5 3 3 4
3 3 6 5x x x x
x x x x
x x x x
x x x x   
      
   
 
Решение  
В диапазон ячеек A1:E4 заносим расширенную матрицу системы.  
 Таблица 1  
2 3 7 6 1
3 5 3 1 3
5 3 1 3 4
3 3 1 6 5
 
В соответствии с методом Гаусса, используя элементарные преобразования метода Гаусса, 
во второй, третьей и четвертой строках первого столбца расширенной матрицы получим 
нули (коэффициенты при 
1x  во втором, третьем и четвертом уравне ниях системы сделаем 
равными нулю), при этом первую строку (первое уравнение) оставим без изменения, 
фиксируем первую строку.  
Дальнейшие преобразования делаем с использованием первой строки расширенной 
матрицы (первого уравнения системы).  
Выделяем диапазон  ячеек A6:E6, для чего: кликнем ячейку A6, нажимаем клавишу Shift  и, 
не отпуская ее, кликнем ячейку E6. 
В диапазон ячеек A6:E6 записываем формулу   =A1:E1. 
Нажимаем не как обычно клавишу < Enter >, а комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + 
<Enter >. Таким образом  мы сообщаем программе, что нужно выполнить операцию над 
массивом. При этом Excel  заключит формулу в строке формул в фигурные скобки  
{=A1:E1}. 
В результате мы оставили без изменения первую строку расширенной матрицы (первое 
уравнение системы).  
Выделяем диа пазон ячеек A7:E7, для чего: кликнем ячейку A7, нажимаем клавишу Shift  и, 
не отпуская ее, кликнем ячейку E7. 
В диапазон ячеек A7:E7 записываем формулу     =A2:E2 –$A$1:$E$1*(A2/$A$1),  которая 
обратит в нуль элемент расширенной матрицы, стоящий во второй строке первого столбца 
(обращающую в нуль коэффициент при 
1x  во втором уравнении системы).  
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter > и в строке формул  получаем 
формулу     {=A2:E2 -$A$1:$E$1*(A2/$A$1)},  при этом диапазон ячеек A7:E7 остается 
выделенным; если в результате каких -либо действий диапазон ячеек A7:E7 перестал быть 
выделенным, то его нужно выделить.  
Позиционируем указатель мыши на черном квадрат ике — маркере заполнения, который 
находится в правом нижнем углу выделенного диапазона, указатель мыши примет вид 
черного креста, нажимаем левую кнопку мыши и протаскиваем маркер заполнения так, 
чтобы заполнить диапазон A8:E9. Это обратит в нуль элементы р асширенной матрицы, 
стоящие в третьей и четвертой строках первого столбца расширенной матрицы (обратит в 
нуль коэффициенты при 
1x  в третьем и четвертом уравнениях системы).  
Получим  
 2 
 Таблица 2  
2 3 7 6 1
3 5 3 1 3
5 3 1 3 4
3 3 1 6 5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 -4,5 -16,5 -12 1,5
0 -1,5 -9,5 -3 3,5
 
В соответстви и с методом Гаусса, используя элементарные преобразования метода Гаусса, 
в третьей и четвертой строках второго столбца расширенной матрицы получим нули 
(коэффициенты при 
2x  в третьем и четвертом уравнениях системы сделаем равными 
нулю), а первую и вторую строки расширенной матрицы (первое и второе уравнение 
системы) оставим без изменения, фиксируем вторую строку расширенной матрицы 
(второе уравнение системы).  
Выделяем диапазон ячеек A11:E12, для чего: кликнем ячейку A11, нажимаем кла вишу 
Shift  и, не отпуская ее, кликнем ячейку E12. 
В диапазон ячеек A11:E12 записываем формулу     =A6:E7. 
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. При этом Excel  заключит 
формулу в строке формул в фигурные скобки     {=A6:E7}. 
В результате мы оставили без изменения первую и вторую строки расширенной матрицы 
расширенной матрицы (первое и второе уравнения системы).  
Выделяем диапазон ячеек A13:E13, для чего: кликнем ячейку A13, нажимаем клавишу 
Shift  и, не отпуская ее, кликнем ячейку E13. 
В диапаз он ячеек A13:E13 записываем формулу      =A8:E8 –$A$7:$E$7*(B8/$B$7),  
обращающую в нуль элемент третьей строки второго столбца расширенной матрицы 
(обращающую в нуль коэффициент при 
2x  в третьем уравнении системы).  
Нажимаем комбинацию  клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter > и в строке формул получаем 
формулу      {=A8:E8 -$A$7:$E$7*(B8/$B$7)},     при этом диапазон ячеек A13:E13 остается 
выделенным; если в результате каких -либо действий диапазон ячеек A13:E13 перестал 
быть выделенным, то его ну жно выделить.  
Позиционируем указатель мыши на черном квадратике – маркере заполнения, который 
находится в правом нижнем углу выделенного диапазона, указатель мыши примет вид 
черного креста, нажимаем левую кнопку мыши и протаскиваем маркер заполнения так, 
чтобы заполнить диапазон A13:E14. Это обратит в нуль элемент четвертой строки второго 
столбца расширенной матрицы (обратит в нуль коэффициент при 
2x  в четвертом 
уравнении системы).  
Получим  
     Таблица 3  
2 3 7 6 1
3 5 3 1 3
5 3 1 3 4
3 3 1 6 5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 -4,5 -16,5 -12 1,5
0 -1,5 -9,5 -3 3,5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 0 -84 -84 15
0 0 -32 -27 8
 
 3 
В соответствии с методом Гаусса, используя элементарные преобразования метода Гаусса, 
в четвертой строке третьего столбца расширенной матрицы получим нуль (коэффициент 
при 
3x  в четвертом уравнении системы сделаем равным нулю), а пер вую, вторую и 
третью строки расширенной матрицы (первое, второе и третье уравнения системы) 
оставим без изменения, фиксируем третью строку расширенной матрицы (третье 
уравнение системы).  
Дальнейшие преобразования делаем с использованием третьей строки расш иренной 
матрицы (третьего уравнения системы).  
Выделяем диапазон ячеек A16:E18. 
В диапазон ячеек A16:E18 записываем формулу     =A11:E13. 
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. При этом Excel  заключит 
формулу в строке формул в фигурные скобки     {=A11:E13}. 
В результате мы оставили без изменения первую, вторую и третью строки расширенной 
матрицы (первое, второе и третье уравнения системы).  
Выделяем диапазон ячеек A19:E19. 
В диапазон ячеек A19:E19 записываем формулу      =A14:E14 -$A$13:$E$13*(C1 4/$C$13),  
обращающую в нуль элемент четвертой строки третьего столбца расширенной матрицы 
(коэффициент при 
3x  в четвертом уравнении системы).  
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter > и в строке формул получаем 
формулу      {=A14:E14 -$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}.  
Получим  
 Таблица 4  
2 3 7 6 1
3 5 3 1 3
5 3 1 3 4
3 3 1 6 5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 -4,5 -16,5 -12 1,5
0 -1,5 -9,5 -3 3,5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 0 -84 -84 15
0 0 -32 -27 8
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 0 -84 -84 15
0 0 0 52,285714
 
В результате применения элементарных преобразований метода Гаусса мы привели 
расширенную матрицу к ступенчатому виду.  
Теперь последовательно находим значения неизвестных.  
Выделяем диапазон ячеек A24:E24 и записываем в него формулу     =A19:E19/D19,     в 
результате в ячейке E24 получим значение неизвестной 
4x . 
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. 
Выделяем диапазон ячеек A23:E23 и записываем в него формулу  
=(A18:E18 –A24:E24*D18)/C18,    в результате в ячейке E23 получим значение неизвестной 
3x
. 
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. 
Выделяем диапазон ячеек A22:E22 и записываем в него формулу   
=(A17:E17 –A24:E24*D17 –A23:E23*C17)/B17,     в результате в ячейке E22 получим 
значение неизвестной 
2x . 
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. 
 4 
Выделяем диапазон ячеек A21:E21 и записываем в него формулу  
=(A16:E16 -A24:E2 4*D16 -A23:E23*C16 -A22:E22*B16)/A16,     в результате в ячейке E21 
получим значение неизвестной 
1x . 
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. 
Окончательно получим  
 
 Таблица 5  
2 3 7 6 1
3 5 3 1 3
5 3 1 3 4
3 3 1 6 5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 -4,5 -16,5 -12 1,5
0 -1,5 -9,5 -3 3,5
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 0 -84 -84 15
0 0 -32 -27 8
2 3 7 6 1
0 0,5 -7,5 -8 1,5
0 0 -84 -84 15
0 0 0 52,285714
1 0 0 00,185714
0 1 0 00,778571
0 0 1 0-0,63571
0 0 0 10,457143
 
Для проверки правильности проведенных расчетов решим заданную систему матричным 
методом.  
Для этого выделим диапазон ячеек G21:G24 и запишем в него формулу  
=МУМНОЖ(МОБР(A1:D4);E1:E4).  
Нажимаем комбинацию клавиш < Ctrl> + < Shift > + < Enter >. 
Получим  
 Таблица 6  
1 0 0 00,185714 0,185714
0 1 0 00,778571 0,778571
0 0 1 0-0,63571 -0,63571
0 0 0 10,457143 0,457143
 
Мы видим, что получился тот же самый результат.  
=ЕСЛИ(A1="";"";(ЕСЛИ(ИЛИ(A1=1;A1=21);"год";(ЕСЛИ(ИЛИ(И(A1>=2;A1<=4);И(A1>=
22;A1<=24));"года";"лет")))))