Числовая последовательность
Автор: Бондаренко Валентина Алексеевна (учитель математики, МБОУСОШ №1 с. Троицкое)
Тип документа: Конспект. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 18.04.2015
Описание: Методическая разработка урока по математике.


                                             Бондаренко Валентина Алексеевна
                                                       МБОУСОШ №1 с Троицкое
                      Нанайского  муниципального  района  Хабаровского  края
                                                          Учитель математики


          [pic]

                Методическая разработка  урока по  математике
                        «Числовая последовательность»



                                                         Аннотация .

                  Данная      методическая   разработка  посвящена  теме   «
Числовая   последовательность».  В   ней   раскрывается   понятие   числовой
последовательности,  способов  ее  задания ( с помощью формул,  описанием  ,
реккурентным способом)  , показана    взаимосвязь   данной  темы  с  другими
темами  предмета , а именно « Функция и ее свойства»,  «Построение  точек  в
координатной плоскости  «,  «  Формулы»   и  др.    Учащиеся   знакомятся  с
историческим   материалом,  интересной    задачей  средневековья,   известна
задача  о  кроликах,  которую  связывают  с   именем   Леонардо   Фибоначчи,
итальянского учёного из города Пиза . Создается  представление о  математике
как средстве моделирования явлений окружающего мира  (природой,  культурой,)
Проведена линия взаимосвязи  с  предметами:  литературой,  обществоведением.
Данная   разработка   может   быть   использована    учителями   математики,
работающими  в 9 классе по учебнику    Алгебра   авт  Г.В  Дорофеев  ,  С.В.
Суворова и  др


                                                        Введение

      Математика является одним из самых значимых школьных предметов с точки
зрения её вклада в развитие интеллекта  учащихся.  «Школьное  математическое
образование «ум в  порядок  приводит»,  развивает  воображение  и  интуицию,
формирует навыки логического и алгоритмического мышления»
  Выбор  данной  темы  связан  с   тем   ,   что   эта   тема   «   Числовая
последовательность» играет существенную роль в  изучении  таких тем , как  «
Арифметическая и геометрическая  прогрессии»  ,с  помощью  которых  решаются
многие  задачи  из   школьной  программы  и   реальной  жизни.  Данная  тема
прослеживается красной линией  на итоговой аттестации  школьников   за  курс
основной  и старшей школы.  По программе  на данную тему отводится 2 часа  ,
данный  урок–  первый   в  главе   4    «Арифметическая   и   геометрическая
прогрессия» в курсе алгебры 9 класса.

     Урок  построен   мною  с  позиций     метапредметности   и   личностно-
ориентированного обучения.  Спроектирован  так,  чтобы  каждый  ученик  смог
создать свой, индивидуальный  смысл изучаемого понятия благодаря  выходу  за
рамки предмета и возможности сотрудничества с  учителем  и  одноклассниками.
Вдумчивое отношение к смыслу привычных слов, обращение к философии я  считаю
способствует  восприятию нового  учебного  материала  с  позиций  личностно-
значимой  ценности.  На  этом  уроке  при  обсуждении  нет  правильных   или
неправильных ответов, есть разные мнения учащихся .  Учащиеся  не  ошибаются
при выполнении заданий, а выдвигают свои  гипотезы, которые учитель   должен
 принимать   и   поправлять.   Предметные  результаты   планируются,  но  на
первый план выходят ценностно-смысловые  аспекты  урока,  которые  позволяют
достичь личностных и метапредметных результатов обучения.

    На  уроке  осуществляется   погружение  учащихся в философский смысл
 терминов, связанных  с изучаемым понятий, которое способствует формированию
   у    школьников позитивного и ценностного отношения к миру и к себе как
                              части этого мира.
Выход за рамки предмета и использование жизненного опыта учащихся позволяет
развивать представления о целостности мире. Конкретные математические
умения по теме формируют  и развиваются   уже на последующих уроках.
Учитывая, что первый урок внесёт значительную лепту в   формирование
представлений об изучаемом понятии,  в установление прочных ассоциативных
связей в сознании, в возбуждение интереса к теме, можно прогнозировать
эффективную работу школьников при освоении новых учебных действий. На уроке
 созданы атмосферы взаимной заинтересованности в работе учащихся и учителя;

           • оценка деятельности ученика не только по конечному результату
             (правильно- неправильно), но и по процессу его достижения;
           • поощрение стремления ученика находить свой способ решения
             задачи, анализировать способы других учеников в ходе урока,
             выбирать и осваивать наиболее рациональные;
           • создание педагогических ситуаций, позволяющих каждому ученику
             проявлять инициативу, самостоятельность, избирательность в
             способах работы;
           • создание ситуации выбора и успеха;
           • создание условий для актуализации и обогащения субъектного
             опыта учащихся;
           • создание обстановки для естественного самовыражения ученика;
       Учебная деятельность на уроке  спланирована , с учётом здоровье -
сберегающей технологии обучения, способствует сохранению здоровья детей, а
именно:
    • своевременная подготовка к уроку и его мобилизующее начало;
    • доброжелательная атмосфера, способствующая положительному
      эмоциональному настрою;
    • чёткая организация учебного труда;
    • антистрессовые моменты, выраженные в стимулировании учащихся;
    • смена видов деятельности учащихся;
    • динамическая пауза
 Организация учебной деятельности на  с учётом ИКТ. позволяет учащимся   с
использованием презентация  проверить групповую , парную работу. С другой
стороны, надпредметным   компонентом результата деятельности учащихся на
уроке является приобщение их к процессу творчества, открытия для себя
нового, осознание чувства сопричастности к общему успеху

          План    урока по теме:   «  Числовые последовательности»

Цели урока:
    Образовательная :
      -  формирования  понятия  числовой  последовательности,   рассмотреть
        различные  способы  задания  последовательности,  для  формирования
        опыта  смыслотворчества;

   Развивающая:
      -  развитие способности  к обобщению, сравнению; эмоционального
восприятия математических объектов ,взаимопомощи при работе в группе,
формирование представлений о математике как способе познания;
   Воспитательная:

   -воспитание активности и аккуратности.

Планируемые результаты:
     ▪ личностные:
  --умение понимать смысл поставленной задачи, ясно и  чётко  излагать  свои
мысли в устной речи, выстраивать аргументацию, приводить контрпримеры;
--самооценка результатов деятельности, осознание  границ  применения  нового
знания;
  -умение работать в команде;
       -ценностно-эмоциональное  отношение  к  изучаемому  с  общекультурных
позиций;
- представление о  значении  математической  науки  как  сфере  человеческой
деятельности.
     ▪ метапредметные:
-  умение  выделять  главное,  сравнивать,  обобщать,  проводить   аналогию,
применять индуктивные способы рассуждений, выдвигать  гипотезы  при  решении
учебных задач;
      - осознанное чтение текста;
-  способность к интерпретации;
-   представление  о   математике   как   средстве   моделирования   явлений
окружающего мира.
     ▪ предметные:
--  понятие числовой последовательности;
- умение использовать индексные обозначения и строить  речевые  высказывания
с использованием специальной терминологии ( вп ;  вп-1; вп+1  и т.п.);
-умение устанавливать закономерность в построении  последовательности,  если
выписаны первые несколько её новых членов;
 -   умение изображать  члены  последовательности  точками  на  координатной
плоскости;
-   использовать различные языки  математики  (словесный,   символический  ,
графический).

                                      Ход урока.

                                                                     Эпиграф
урока.


                        Закончился XX век.


                       Куда стремится человек?


                   Изучен космос и моря,


                   Строенье звёзд и вся Земля.


                      Но математиков зовёт


                    Известный лозунг:


                 «Прогрессию» – движение вперёд»


Актуализация знаний учащихся
 Выразите свое настроение на начало урока ( на рабочем столе  у каждого
смайлики)
   Учитель:  Эта история произошла давным – давно. В древнем городе жил
добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он
придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на
луг, поймал бабочку, сжал между сомкнутыми ладонями и подумал: « Спрошу –
ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он
скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет, что
живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал. Поймал
бабочку, посадил между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая
у меня бабочка живая или мертвая»? Мудрец ответил: «Всё в твоих руках!»
Как часто, ребята, нам кажется, что  ничего не понимаю, ничего не знаю,
ничего не решу! Но я хочу повторить слова мудреца «все в твоих руках».
Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

Рефлексия (  Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной
деятельности на основном этапе урока (работа в группах, дифференцированный
подход).
    Сегодня мы приступаем к изучению новой для вас темы, которая может быть
«пройдена» вами, а может быть «прожита». Надеюсь, сегодняшний урок  поможет
освоить новую тему с интересом  и хорошими результатами, одним из которых
будет яркий образ науки математики ,как способе познания, сохранения и
гармоничного развития мира.
      Понятие числа  является одним из основных понятий,  изучением  которых
занимается математика. Мир чисел таит столько загадок и тайн! В то же  время
язык чисел  близок и  интересен  многим  людям,  даже  довольно  далёким  от
математики.  Поэтому  наверное числовые головоломки  решают  и  взрослые,  и
дети. Я   хочу    предложить   вам  несколько  таких  головоломок,   которые
выведет  вас  на  дорогу  познания  смыслов  новых  математических  понятий,
связанных с его величеством Числом.
      При   работе   в   группах    вы   встретитесь    с   таким   понятием
как«закономерность»?
   Вопрос. Как вы понимаете   это  слово?
Учитель. Верно, однокоренные слова закономерность  и  закон  –  это  близкие
понятия.  Убедимся  в  этом  с  помощью  философского  словаря.(  «Закон   –
внутренняя существенная  и  устойчивая  связь  явлений,  обусловливающая  их
упорядоченные  изменения.  На  основе  знания  закона  возможно  достоверное
предвидение   течения   процесса.   Понятие   закон   близко    к    понятию
закономерность,  которое  представляет  собой  совокупность  взаимосвязанных
законов,  обеспечивающих   устойчивую   тенденцию   или   направленность   в
изменениях системы». )  - на рабочем  столе выдержка из  словаря
Вопрос.  Каковы, на ваш взгляд,  главные слова в этом определении?
Вопрос.  Как вы думаете, возможно ли существование мира без законов?
Предполагаемый ответ: Законы природы и  естественные  законы  (механические,
физико-химические, органические законы и др.)  существуют  объективно  и  не
зависят от желаний людей: закон всемирного тяготения, законы  электричества,
генетики  и  т.п.   Законы  же,  придуманные  людьми,   носят   субъективный
характер, отражают  интересы  отдельных  групп  людей,  соблюдаются  или  не
соблюдаются.
Вопрос.  А лично вам нужны законы?
Предполагаемый ответ:  Знание  законов  позволяет  защитить  себя  в  как  в
природе, так и в обществе. Освоение человеком норм равносильно  приобретению
им   различных  прав.  Право  –  норма  свободы.  Изучая   законы,   человек
определяет своё место в мире и познаёт себя.
Вопрос.  Нужно ли изучать законы?
Предполагаемый ответ: Познать закон означает раскрыть ту  или  иную  сторону
сущности исследуемого предмета, явления. На протяжении тысячелетий  познание
законов природы способствовало развитию человеческой цивилизации.   Познание
законов  человеческого  общества  нужно   для    предотвращения   социальных
конфликтов и устойчивого развития общества. Законы позволяют  прогнозировать
развитие событий, явлений.
Вопрос.  Какую роль математика играет в познании человеком законов  мира?
Предполагаемый ответ: Математика является верным союзником человека на  пути
познания  законов  природы  и  человеческого  общества:  она  и   инструмент
моделирования реальных объектов и явлений,  и  универсальный  язык  науки  и
техники. И  наоборот,  идеи  математики  способствуют  развитию  всех  наук,
экономики, человеческого общества.
 Стадия вызова
Работа в группах (Каждая группа учеников получает свое задание.  После его
выполнения   отчитывается каждая группа перед классом, начинают ученики 1
группы.)
                            Задание для учеников 1 группы:
Задание №1 Какие события в нашей жизни происходят последовательно?
Приведите примеры таких явлений и событий.
Задание №2.
Вставьте промежуточные числа, если все тройки чисел составлены по  одному  и
тому же правилу:
а)                                                                        б)
                                  в)
|8 |  |5 |
|  |3 |  |
|13 |  |7 |
|   |? |  |
|2  |10 |4  |
|3  |17 |5  |
|3  |?  |4  |
|651 |(331)|342 |
|449 |(?)  |523 |






                                Задание для учеников 2  группы
Задание №1  Найдите закономерность в последовательности  чисел   и  замените
вопросительный знак числом:
                        82, 97, 114, 133, ?…   .
                         1;4;7;10;13,?…     .

                       10;19;37;73;145;?…
Задание №2  Найдите   закономерности и покажите   их с помощью стрелок.


             |                                                 |                          |
|В порядке возрастания положительные нечетные     |1/2;1/3;¼;1/5;1/6…        |
|числа                                            |                          |
|                                                 |                          |
|                                                 |                          |
|В порядке убывания правильные дроби с числителем,|1; 3; 5;7;…               |
|равным 1                                         |                          |
|                                                 |                          |
|                                                 |                          |
|В порядке возрастания положительные числа,       |                          |
|кратные 5                                        |5; 10; 15; 20; 25;…       |
|                                                 |                          |
|                                                 |                          |

                                 Задание для учеников 3группы

Задание №1Найти закономерности и показать их с помощью стрелок.
|                                  |Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1    |
|1; 4; 7; 10; 13; …                |                                         |
|                                  |                                         |
|                                  |                                         |
|                                  |                                         |
|10; 19; 37; 73; 145; …            |Чередовать увеличение на 2 и увеличение в|
|                                  |2 раза                                   |
|                                  |                                         |
|6; 8; 16; 18; 36; …               |Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1    |
|                                  |Увеличение на 3                          |
|                                  |                                         |
|                                  |                                         |
|                                  |                                         |
|                                  |                                         |


                       Задание №2 Найди нарушение закономерности:
                      А)[pic]
                        Б)    10;    2;    0,4;     0,08;    0,16;    0,032;

                        В)    3;    0,5;    6;    0,8;    12;    1,1;    18;
1,4;
                        Г)   [pic]
Ответы учащихся 1 группы:
 Дни недели, названия  месяцев,  возраст  человека,  номер  счѐта  в  банке,
последовательно происходит смена дня  и  ночи,  последовательно  увеличивает
скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.
 число 6 в случае 1а);14 в случае 1б)
 Вопрос.  Можно ли поставить другое число  вместо  числа  6  в  случае  1а)?
вместо числа 14 в случае 1б)?
Предполагаемый ответ: Да, если мы найдём иную закономерность  между  числами
8, 5 и 3 помимо 8 – 5 = 3 (или для второго случая одинаковую  закономерность
для троек чисел 2, 4, 10 и 3, 5, 17).
Комментарий.  В  случае  положительного  ответа  ученики   могут   показать,
например, следующий вариант: 5+8=13, количество  единиц  3.  Тогда  13+7=20,
количество единиц 0, это и  будет искомым числом.
Ответы 2 группы:
1. В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7; 9; … )
2. В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2; 1/3;
1/4; 1/5; 1/6…)
3. В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15; 20; 25;
…)

Ответы 3 группы:
  1.задание  :1. 1; 4; 7; 10; 13; … (Увеличение на 3)
2. 10; 19; 37; 73; 145; … (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1)
3. 6; 8; 16; 18; 36; … (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза)
2 задание   10 ; 0,16 ; 18 ; 9/32

Проверка  выполнения  (фронтально):  ученики  называют  полученные   ответы,
объясняя,   какую   закономерность   они   установили.     Задания     групп
высвечиваются   на   экран   (   поощрять    разные    способы    нахождения
закономерностей,  вариантов ответов в каждом случае может быть несколько.)
  Идет  обсуждение  с  элементами  дискуссии.  В  ходе  обсуждения  учащиеся
оперировали  такими  понятиями,  как : правило – закон – норма – право.
II этап.  Первичное осмысление
 Учитель. Отражая существенные и устойчивые связи  явлений  реального  мира,
математика  и  сама   соткана   из   законов   и   закономерностей.   Многие
закономерности, существующие в мире чисел, были известны ещё в древности
Устная работа. 1.По первым числам  из  серий  чисел  догадаться,  по  какому
правилу построены эти серии:
        1) 1, 2, 3, 4,…
        2) 2, 4, 6, 8, …
        3) 1, 3, 5, 7, …
        4) 1, 4, 9, 16, …
        5) 2, 3, 5, 7, 11, …
        6) 1,  [pic],  [pic], [pic], ….
        7) 1,4,16,…      .
Предполагаемый ответ:
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … - натуральные числа;
2) 2, 4, 6, 8,10, … - чётные числа;
3) 1, 3, 5, 7, 9, … -  нечётные числа;
4) 1, 4, 9, 16, 25, 36,  … - квадраты натуральных чисел:
5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … - простые числа;
6) 1,  [pic],  [pic], [pic], [pic], [pic],…- числа, обратные  натуральным.
7)   1,4,16,…    .каждое следующее в 4 раза больше
2 Определить, что является общим и главным для всех этих серий чисел.
(Предполагаемый ответ:  Общим для всех рядов чисел является  то,  что  числа
записаны в определённом порядке, последовательности.)
Учащимся предоставляется хорошая возможность  для  развития  умений  слушать
друг друга, выстраивать аргументацию, приводить контрпримеры (например, кто-
то выскажет мысль о возрастании чисел в каждом из  рядов  –  в  этом  случае
шестой пример  будет  хорошим  контрпримером).  В  ходе  обсуждения   должны
появиться следующие слова: очерёдность, порядок и т.п.
Вопрос: Сформулировать определение  понятия  «числовая  последовательность».
Двое    учащихся  работают    с   компъютором,    моделируют     определение
числовой последовательности -вывод на экран результат своего продукта.

   Учитель  опрашивает   нескольких  учащихся,   учащиеся,   работающие    с
компьютором   выводят   свое   определение   на   экран.   Идет   обсуждение
предложенных определений  Делают вывод.
Учитель. Сравните своё определение с определением из школьного  учебника   п
4.1  «Числовая последовательность – это записанные  в  определённом  порядке
числа».
Учитель. Приведите  примеры    числовых  последовательностей  из  окружающей
действительности.  Что является  главным?
( Главным является именно порядок:  каждое  число  стоит  на  своём  месте.)
Учитель . Давайте  запишем числовую последовательность в  общем виде.
На 1 месте в1
на 2 месте в2
на 3 месте в3
Все числа последовательности называются членами последовательности,  индексы
1, 2, 3, … -  номерами членов последовательности.
– Как записать член последовательности с номером 4?
– С номером п?
– Какой номер будет у члена последовательности, предшествующего вп?
– А у следующего за ним?
– Как записать член последовательности, предшествующий вп?
– Следующий за ним?










        Работа в парах
Учитель. Очевидно, что  номера  –  это  натуральные  числа.  Таким  образом,
числовая  последовательность   представляет   собой   функцию   натурального
аргумента: вп=f(п)., график которой можно построить . Давайте уточним:
- что будем откладывать по горизонтальной оси?
- по вертикальной?
Задание: Изобразите  точками  на  координатной  плоскости  несколько  первых
членов числовой  последовательности  Для  работы  учащимся  заранее   выданы
листы  с нанесённой на них системой координат.
 ( Двое за компъютором)
Проверка выполнения –  вывод  на  экран,  обсуждение,  сопоставление  разных
графиков, исправление ошибок ,ответы на возникшие вопросы.
                                                                       [pic]
   [pic]
Этот  материал     пригодится  для  изучения   темы   «   Арифметическая   и
геометрическая прогрессии.» (ресурс)
Вопрос : Все эти последовательности какие  по монотонности?
 Предполагаемый ответ: возрастающие, монотонно возрастающие
Вопрос   : Как вы это понимаете?

Учитель.  Придумайте   не   монотонную   последовательность   и   изобразите
несколько ее первых членов.. (Есть  у учащихся не  получилось , то  показать
самой график не монотонной последовательности, например, такой: 0, 1,  [pic]
[pic],  [pic]  [pic],….(*)  Учащимся  дать  домой   в  виде  индивидуального
задания: По какому  правилу она построены  ?(Ответ:  Первый  член  равен  0,
второй – 1, каждый, начиная с третьего, равен  полусумме  двух предыдущих).
Индивидуальное  домашнее задание (получают  учащиеся по желанию)
 1. По какому правилу построена данная  последовательность  2/1  ;3/2;  4/3;
5/4;        6/5…         .        и        построй         ее        график.

 Вопрос  Если мы говорим  о числовой последовательности, что имеем  в  виду?
Вывод: (каждому натуральному п соответствует своё число вп, . делают   вывод
учащиеся )
Вопрос: В чём была трудность  составления последовательностей?
Предполагаемый  ответ:   Трудно   было   придумать   связь   между   членами
последовательности  т.е   правило   или   закономерность   для   составления
последовательности).
Учитель. Вот мы и опять вернулись к  понятию  «закономерность».
Вопрос:   Слово закономерность состоит из  каких двух корней?
 Предполагаемый ответ учащихся:  закон и мера,
 Вывод :значит,  закономерность  предполагает  возможность  измерить  что-то
неким законом. В нашем случае:  постичь  взаимосвязь  между  числами-членами
последовательности.
Вопрос.  А как соотносятся  с  изучаемой  нами   темой  наши  рассуждения  о
необходимости знать закон?
Предполагаемый ответ: любой член последовательности можно определить,
если установить, по какому  закону  установлена  взаимосвязь  между  членами
этой последовательности.
Учитель.   Существуют   различные   способы,   которые   позволяют    задать
последовательность..
1-й способ. Самый удобный, когда по номеру можно  вычислить  соответствующий
член последовательности.
Работа   в группах . ( одно задание для всех групп)
Задание.  Попробуйте для  данных последовательностей
                              1) 1, 2, 3, 4,…
                                     2) 2, 4, 6, 8, …
                                     3) 1, 3, 5, 7, …
                                     4) 1, 4, 9, 16, …
                                     5) 2, 3, 5, 7, 11, …
                                     6)  1,   [pic],   [pic],   [pic],?…   -
связать  в формулу переменные п и вп.
Проверка  выполнения:  Каждая  группа(  спикер)    представляет   результаты
деятельности у доски.
 По завершении отчётов групп  ,  формулы  п-ного  члена  последовательностей
появляются на уже известном слайде:
 1) 1, 2, 3, 4,…(вп=п) - последовательность натуральных чисел
2) 2, 4, 6, 8, …(вп=2п)  - последовательность чётных чисел
3) 1, 3, 5, 7, …(вп=2п-1)  -  последовательность нечётных чисел
4) 1, 4, 9, 16, …(вп=п2)  - последовательность квадратов натуральных чисел
5) 2, 3, 5, 7, 11, …? - последовательность простых чисел
6)  1,   [pic],   [pic],  [pic],…(вп=[pic])  -   последовательность   чисел,
обратных  натуральным
Вопрос :  А  как проверить   в правильности составления  данных формул?
Предполагаемый  ответ:   Подставить  вместо    n     натуральное   число   и
подсчитать. Устно идет проверка..
Учитель. Составленные вами формулы называются формулами п–ного (или  общего)
члена   последовательности.   Итак   -   это     первый    способ    задания
последовательности – формулой п-ного члена.( аналитический способ)
Вопрос. С какой трудностью вы столкнулись при выполнении задания?
Предполагаемый ответ: Для последовательности 5   нельзя  задать  формулу  п-
ного (общего) члена.
Учитель.  В  таком  случае  используют  описательный  способ.   Для   данной
последовательности в  III  веке  до  н.э.  учёный  Эратосфен  указал  способ
получения   п-ного члена. Вспомните знаменитое «решето Эратосфена»
( заслушать  ученика  подготовившего  индивидуальное задание)
 Учитель :   второй способ – описательный.
    Вопрос:    Попробуйте    применить    описательный    способ     задания
последовательности из чередующихся нулей и единиц 1, 0 , 1, 0, ….
Вопрос:  Эту  же  последовательность   попробуйте  задать   формулой  п-ного
члена. Запишите эту формулу.
Предполагаемый ответ: (описательно: на  нечётных  местах  1,  на  чётных  0;
аналитически: [pic], где [pic]).
Учитель.   Есть и третий способ задания последовательности называется
рекуррентным (от латинского recursio – возвращаться). Он позволяет, зная
один или несколько предыдущих членов, найти следующий член числовой
последовательности
    Например, последовательность, заданную правилом    а1=1; аn+1= аn +3
можно записать с многоточием  1; 4; 7; 10; 13; …
 Вопрос:  Как получили?
Учитель  Работа  с дидактическим материалом  О-22  №9(а,г,д.) ,№10(а)
Динамическая пауза. ( Направлена на профилактику остеохондроза.)
Сесть на краешек стула.
Поднять руки, потянуться, напрячь мышцы.
Вытянуть руки перед грудью, потянуться.
Руки в стороны, потянуться, напрячь мышцы.
Обхватить себя руками, выгнуть спину.
Принять рабочее положение.

Историческая справка   ( Рассказ учителя )
Рекуррентное задание последовательности может быть и более сложным.
Например:  равенства: х1=1; х2=1; хn+2= хn+1 + хn также позволяют вычислять
поочередно члены последовательности:
х3= х2 + х1 =1+1=2;   х4= х3 + х2 =2+1=3;    х5= х4 + х3 =3+2=5; … .
Проще всего выписывать члены этой последовательности, если перевести
равенство на русский язык: каждый член последовательности, начиная с
третьего, равен сумме двух предыдущих членов.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … .
Члены этой последовательности называются числами Фибоначчи – по имени
средневекового  итальянского ученого  Леонардо Фибоначчи (1180 – 1240 ) из
г. Пизы.   Последовательность Фибоначчи рассмотрена им в 1202 году в книге
«Liber abacci». Эти числа встречаются в математике и природе довольно
часто: треугольник Паскаля,  количество веток на дереве или приплод от пары
кроликов за определенный период  времени, семена в подсолнечнике .
Блез Паскаль  (1623 – 1662) один из самых знаменитых людей в истории
человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица
треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят
единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним
слева и справа в предшествующей строке:

                1
              1 1
             1 2 1
            1 3 3 1
           1 4 6 4 1
         1 5 10 10 5 1                              Продолжите строчку
сами!  (1 6 15 20 15 6 1)
Между числами  Фибоначчи   и  треугольником   Паскаля существует интересная
связь.   Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля
сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:
для 1 диагонали – 1;
для 2 диагонали – 1;
для 3 диагонали – 1+1=2;
для 4 диагонали – 1+2=3;
для 5 диагонали – 1+3+1=5;
для 6 диагонали – 1+4+3=8;
для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….
Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма
чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.
Каждый способ имеет свои достоинства. На  следующих  уроках  вы  сможете  их
оценить.
Учитель.  С последовательностями связанно много  интересных  задач,  берущих
своё начало в практической деятельности человека.  Со  времён  средневековья
известна задача о кроликах, которую связывают с именем  Леонардо  Фибоначчи,
итальянского учёного из города Пиза.
Вот один из вариантов этой задачи:
В январе вам подарили пару новорожденных кроликов. Через два  месяца  у  них
рождается новая пара кроликов, в следующем месяце – еще  одна  пара  и  т.д.
ежемесячно. С каждой новой парой кроликов происходит то  же  самое.  Сколько
пар кроликов будет у вас в декабре, если ни одна пара не погибнет?
Решая  задачу  всем  классом  совместно,  на   доске   появляется   числовая
последовательность:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …
Ответ: 144 пар кроликов.
Учитель  К следующему уроку я прошу вас  найти   еще  интересные  задачи  по
данной  теме,  придумать  способ  решения  предложенной   задачи,   выписать
последовательность чисел, которая получится  в  ходе  решения  и  попытаться
определить, каким способом можно её задать.
Кому   будет трудно, можете  воспользоваться  различными  энциклопедиями  по
математике. Информацию вы легко найдёте. Ведь эта последовательность,  члены
которой называются числами Фибоначчи, широко  известна  в  мире.   Вот  лишь
несколько примеров:
В природе. Расстояния  между  листьями  (или  ветками)  на  стволе  растения
относятся примерно как числа Фибоначчи.
В культуре: Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до  55  прикреплены  на  дымовой
трубе Turku Energia в г. Турку.
В  интерьерном  и  ландшафтном  дизайне:  Ряд  Фибоначчи  используется   для
вычисления гармоничных пропорций, например, соотношение высоты  помещения  к
высоте декорирования  стен  различными  материалами  или  соотношение  высот
нескольких деревьев в группе.
В литературе: Американский  писатель-фантаст  Дэн  Браун  в  книге  «Код  да
Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
В  стихосложении:  Последовательность  Фибоначчи  была  хорошо  известна   в
древней Индии, где она применялась для написания стихотворных  произведений,
причём  значительно раньше, чем она стала известна в Европе.

Рефлексия     (работа в группах, дифференцированный подход)
Каждая группа получает индивидуальное задание ( карточки ) . При выполнении
заданий ребята обсуждают решение и записывают его в тетрадь.  Проверяем(
раздаютсв группы на проверку  карточки с решениями), спикеры  информируют о
результативности работы каждого члена группы).
                     Задание для учеников 1 группы:
  1.  Последовательности заданны формулами: аn=n4 ;  аn=(-1)ⁿ  n²     ;
аn=n +4;    аn=-n-4;    аn=2n -5;    аn=3n -1.
 Впишите пропущенные члены последовательности:
1; ___; 81; ___; 625; ...
 -1; 4; ___; ___; -25; …
 5; ___; ___; ___; 9; …
 ___; -6; ___; ___ ; -9; …
 ___; ___; 3; 11; ___; …
2; 8; ___; ___; ___; …
                          Задание для учеников 2 группы:
1.Выписать первые пять членов последовательности, заданной формулой своего
n-ого  члена.
Хп=7 Хп+1 =10хп  ; Вп=(-1)ⁿ  Уп= (-1)ⁿ+3
                           Задание для учеников 3 группы
1.Определите, какими числами являются члены этих последовательностей,
заполните  таблицу аn=-n-4;аn=2n -   5; аn=3n -1.

|Положительные и      |Положительные числа  |Отрицательные числа  |
|отрицательные числа  |                     |                     |
|                     |                     |                     |



Вопрос. Из  тех  последовательностей,  которые  вы  рассмотрели  сегодня  на
уроке, какая вам представляется наиболее интересной и чем?
Предполагаемые ответы: Первая  последовательность  знакома  нам  с  детства,
причём  мы  все   учимся   считать   именно   в   этой   последовательности.
Последовательность  6   отличается   своей   загадочностью:   её   члены   с
возрастанием номеров уменьшаются, но никогда,  несмотря  на  бесконечное  её
убывание, её  члены  не достигнут нуля и т. п.
Комментарий. На слайде: список последовательностей,  с которыми работали на
уроке.
Учитель. Конечно же, русское слово последовательность было знакомо  вам  ещё
до сегодняшнего урока. Посмотрите, какие синонимы существуют у этого слова:
- логичность, связность, непротиворечивость;
- порядок, очерёдность;
- череда, вереница, цепочка;
- ряд.
Вопросы.
      - Какой синоним наиболее отвечает вашему представлению о
        последовательностях?
      - С чем лично  у вас ассоциируется понятие последовательности?
      - Что вам дало изучение понятия числовой последовательности?
      - Что вызвало наибольшие затруднения?
      - Каков для вас смысл сегодняшнего урока?

   Работа в   парах:
Учитель   :   Напишите   СИНКВЕЙ   (от   англ.   “путь   мысли”)   к   слову
«последовательность»
1. Одно слово. Существительное  или  местоимение,  обозначающее  предмет,  о
котором идёт речь
2. Два слова. Прилагательные или причастия, описывающие признаки и  свойства
выбранного предмета.
3. Три  слова.  Глаголы,  описывающие  совершаемые  предметом  или  объектом
действия.
4. Фраза из четырёх слов. Выражает личное отношение автора  к  предмету  или
объекту.
   Проверка  выполнения:  Пары    представляют   результаты   деятельности..
Обсуждение,  добавление, выводы.

Учитель: На столах у обучающихся - смайлики с изображением различного
настроения: грустный, весёлый, удивлённый Теперь выберите смайлик,
характеризующий ваше настроение на конец урока и поставьте  его на той
ступеньке лестницы-успеха,  которой вы достигли к концу урока по вашему
мнению.


Домашнее задание.
  4.1  ( разобрать примеры) Выполнить индивидуальные задания. №572( а,б) ,
№ 577,№580  Обратиться к сайту Гущина» Решу ГИА, составить и   записать  две
последовательности     любым      способом      Подготовить      презентацию
«Последовательность в нашей жизни».



                                                               Приложение №1

                   Тезаурус к теме «Числовые последовательности»

Гармония -  (греч. armonia - связанность и соразмерность  частей)  установка
культуры, ориентирующая на осмысления мироздания (как в  целом,  так  и  его
фрагментов)  и  человека  с  позиции  полагания  их   глубинной   внутренней
упорядоченности. В античной  философии  гармония  трактовалась  как  мировой
космический закон: "все происходит по необходимости и согласно с  гармонией"
(Филолай).

Закон   -    внутренняя,   существенная   и   устойчивая   связь    явлений,
обусловливающая их  упорядоченное  изменение.  Закон  выражает  определенный
порядок  причинной  связи  между  явлениями  или   свойствами   материальных
объектов, повторяющиеся существенные отношения, при которых изменение  одних
явлений вызывает определенные  изменения  других.  Законы  бывают  всеобщие,
общие, частные. Первая группа – всеобщие, вселенские,  философские,  которые
выражают отношения  между  всеобщими  свойствами.  Вторая  группа  –  общие,
естественнонаучные  (физические,  химические,   биологические),   социальные
(экономические,  юридические)  и  технические.  Третья  группа  –   частные,
выражают  отношения   между   конкретными   специфическими   явлениями   или
частичными свойствами материи. Закон – это  предел,  постановленный  свободе
воли или действия;  начало;  правило,  постановление  высшей  власти.  Закон
божий  –  откровение,  составляющее  сущность  веры;   закон   христианский,
христианская вера. Закон природы или естественный закон, которому  неизбежно
следует  вся  вещественная  природа.   Законы   гражданские,   установленные
гражданской, государственною властью для обеспечения  быта  граждан.  Законы
носят объективный характер, т.е. существуют независимо от сознания людей.

Знание  -   результат  процесса  познания  действительности,  адекватное  её
отражение в сознании  человека  в  виде  представлений,  понятий,  суждений,
умозаключений,  теорий.  Знания  могут  быть   донаучными   (житейскими)   и
научными, а последние разделяются на  эмпирические  и  теоретические.  Кроме
того, в обществе есть мифологические,  художественные,  религиозные  и  т.д.
Истинные знания – результат познания,  проверенный  общественно-исторической
практикой и  удостоверенный  логикой.  Знания  обладают  различной  степенью
достоверности, отражая  диалектику  абсолютной  и  относительной  истины.  В
знаниях осуществляется перевод  разрозненных  представлений  в  теоретически
систематизированную  общезначимую  форму  удержания  того,  что  может  быть
сохранено,  передано,  преемственно  развито  в  качестве  устойчивой  опоры
последующей человеческой деятельности.

                               Математика – наука, изучающая величины,
                        количественные отношения, пространственные    формы.


Норма  –  1)  руководящее  начало,  образец,  общее  правило,  коему  должно
следовать во всех подобных случаях; 2) узаконенное установление,  признанный
обязательным  порядок,  строй  чего-либо;  3)  установленная  мера,  средняя
величина чего-нибудь ( например, норма выработки); 4)  законы,  правила,  по
которым развивается система.

Обязанность – долг, все  должное,  все,  что  кто-либо  должен  исполнять  и
соблюдать.  Образ  действия,  заключающийся  в  необходимости  исполнения  и
готовности к помощи. Обещание и условие, т.е.  письменная  сделка,  договор,
которые необходимо исполнить.

Природа  –  окружающий  нас  мир  во  всем  бесконечном  многообразии  своих
проявлений. Употребляется в  одном  ряду  с  понятиями  материя,  универсум,
Вселенная. Состоит из двух важных частей –  биосферы  и  ноосферы.  Биосфера
(греч. bios –  жизнь  и  sphaina  –   сфера,  область)  –  земная  оболочка,
охваченная жизнью и обладающая в связи с этим своеобразной  геологической  и
физико-химической организованностью. Ноосфера (греч. nous – разум и  sphaina
–  сфера, область; сфера разума)  –  область  планеты,  охваченная  разумной
человеческой  деятельностью.  Согласно   Вернадскому,   овладевая   законами
природы и развивая  технику,  человечество  все  более  преобразует  природу
соответственно своим потребностям, создает ноосферу; она имеет  тенденцию  к
непрерывному расширению за счет выхода человека в космос и  проникновения  в
недра планеты.  Естественная  среда  обитания,  таким  образом,  дополняется
искусственной, которая представляет собой так называемую  «вторую  природу»,
т.е.  совокупность  вещей,  не  находимых  в  природе  в  готовом   виде   и
создаваемых в процессе общественного  производства.  Изменять,  переделывать
природу в желаемом направлении люди могут,  только  руководствуясь  законами
природы, используя естественные силы и процессы.

Право – совокупность общественных  правил  поведения  (норм),  установленных
или санкционированных государством. С помощью права  государство  закрепляет
порядок отношений, соответствующий его интересам. В  этом  смысле  право,  –
возведенная в закон воля всего народа, является общенародным правом.  Данная
кем-либо, или признанная  обычаем  власть,  сила,  воля,  свобода  действия;
власть и воля в условных пределах. Способность к  выбору деятельности  через
познание самого себя.

Свобода - своя воля, простор, возможность действовать по-своему;  отсутствие
стеснения, неволи  рабства,  подчинения  чужой  воли;  способности  человека
действовать в соответствии  со  своими  интересами  и  целями,  опираясь  на
познание  объективной  необходимости.  Мера  свободы  определяется   уровнем
развития  производительных  сил,  степенью  познания   законов   природы   и
общества, социальным и политическим строем.

Я (в философии) -  духовный центр человеческой  личности,  индивидуальности,
относящейся деятельно к миру  и  к  самой  себе.  Собственным  «я»  обладает
человек,  самостоятельно  контролирующий  свои  поступки   и   способный   к
всесторонней инициативе. В основе данного понятия лежит реальная  борьба  за
утверждение человеком себя в качестве творца общественных отношений  и  норм
жизни  общества.  Результатом  полного  и  свободного  проявления  в  каждом
человеке как активно действующем субъекте  его  человеческого  «Я»  является
всесторонне развитая личность.

                               Последовательности (ресурс)


Фундаментальную  роль  числа  в  природе   определил   еще   Пифагор   своим
утверждением "Все есть число". Поэтому математика являлась  одной  из  основ
религии  последователей   Пифагора   (пифагорейского   союза).   Пифагорейцы
считали, что бог Дионис  положил  число  в  основу  мировой  организации,  в
основу порядка; оно отражало единство мира, его начало,  а  мир  представлял
собой  множество,  состоящее  из  противоположностей.   То,   что   приводит
противоположности  к  единству,   и   есть   гармония.   Гармония   является
божественной и заключается в числовых соотношениях.


 Слово  «прогрессия»  латинского   происхождения   (progressio),   буквально
означает «движение вперед» ( как и слово «прогресс») и  встречается  впервые
у римского автора Боэция (V-VI вв.).


     Прогрессии известны издавна, а потому нельзя сказать,  кто  их  открыл.
Ведь и натуральный ряд – это арифметическая прогрессия. Во время раскопок  в
Египте был  найден папирус, который  датируется 2000 г. до н.э.,  но  и  его
было переписано из  другого,  еще  более    раннего,   отнесенного   к   ІІІ
тысячелетию  до  н.э.  Ученые  расшифровали   текст   папируса,   содержание
некоторых  задач дает возможность отнести их к задачам на прогрессии.


   В вавилонских текстах рассказывается о  том,  что  увеличение  освещенной
части лунного диска на протяжении первых  пяти  дней  происходит  по  закону
геометрической прогрессии со знаменателем 2,  а  в следующие десять  дней  –
по закону арифметической прогрессии с разностью 16.


   Задачи на прогрессии встречаются в одной из древнейших  памяток  права  –
«Русской правде», составленной при Киевском князе Ярославе Мудром (ХІ  ст.).
В этом документе есть статья, посвященная вычислению приплода от 22 овец  за
12 лет при условии, что каждая  овца  ежегодно  приносит  одну  овцу  и  два
барана. Так же содержатся  сведения  о  приплоде  от  пчел  за  определенный
промежуток времени, о количестве зерна, собранного на определенном   участке
Земли и др. Эти задачи не имели хозяйственного значения, а были  результатом
развития интереса к математике и математическому содержанию данных задач.


 О том, как давно была известная геометрическая прогрессия,  свидетельствует
и легенда об истории изобретения шахмат. Изобретатель шахмат,  ученый  Сета,
попросил в награду у индийского царя  Сирама  за  свое  изобретение  столько
пшеничных зерен, сколько их получится, если  на  первую  клеточку  шахматной
доски положить одно зерно, на вторую – два, на третью-  четыре,  т.е.  чтобы
число зерен все время удваивалось. Рассказывают, что  индийский  царь  Сирам
рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат.


Сколько зёрен должен был  получить  изобретатель  шахмат?  (Учащиеся  должны
подсчитать дома)


S64 = 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.


Современники сказали бы так:


S64 = 1, 84• 1019 – стандартный вид данного числа.


Если бы царю  удалось  засеять  пшеницей  площадь  всей  поверхности  Земли,
считая и моря , и океаны, и пустыни, и Арктику с  Антарктикой,  то  получить
удовлетворительный урожай,  то  за  пять  лет  он  смог  бы  рассчитаться  с
просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь  с  площади  в
2000 раз большей поверхности  Земли.  Это  превосходит  количество  пшеницы,
собранной человечеством до нашего времени.


Чтобы разместить это зерно в амбаре, то  его  размеры  будут:  высота  4  м,
ширина 10м, длина будет 30 000 000км- вдвое больше, чем расстояние от  Земли
до Солнца




                                                Заключение

      В заключении хочу поделиться своими мыслями по данной теме. Для  того,
чтобы успеть за 40 минут дать представление о числовых  последовательностях,
 способах их задания, научить школьников применять индексные  обозначения  и
использовать  формулы   п-ного  члена  и   рекуррентные   формулы,   учитель
заполняет   пространство   урока   учебными    действиями    учащихся     на
репродуктивном уровне. В итоге школьники  не  только  не  обогащаются  новым
опытом познавательной деятельности, но и не владеют самим понятием  числовой
последовательности.   Об  этом  ярко  говорят   результаты   государственной
итоговой аттестации выпускников основной школы по алгебре.

   Поэтому   считаю  по  теме  «  Числовые   последовательности»  желательно
отвести  как   минимум  3-4  урока.  Первые  два    урока,   направить    на
формирование метазнаний, которые  позволят учащимся  выстроить  свои  смыслы
изучаемого понятия, а учителю,  умело  направляя  мыслительную  деятельность
школьников,    приблизит     их     смыслы     к     истинному     значению.
Конкретные  математические  умения  по  теме  формировать   и  развивать  на
последующих уроках. Учитывая, что первый урок внесёт  значительную  лепту  в
формирование представлений об изучаемом  понятии,   в  установление  прочных
ассоциативных связей в  сознании,  в  возбуждение  интереса  к  теме,  можно
прогнозировать эффективную работу  школьников  при  освоении  новых  учебных
действий

Арифметическая  и  геометрическая  прогрессии  –  частные  случаи   числовой
последовательности. При условии сформированности понятия  последовательности
и прочных умений оперирования формулой п-ного члена и рекуррентной  формулой
можно прогнозировать успешное освоение  этих  понятий.  А  процесс  освоения
нового учебного содержания будет более эффективным,  целесообразным  на  мой
взгляд  ,  если  использовать  возможность   параллельного   изучения   двух
прогрессий, реализуя принцип сопоставления и одновременности.
Такой  подход  к  проектированию  учебного  содержания  позволит  не  только
добиться  системности  знаний,  умений  и  способов  деятельности,  но  и  в
значительной степени сэкономить  время.  Это  время  может  оказаться  очень
полезным для организации  на  уроках  специальной  работы,  направленной  на
достижение       личностных       и       метапредметных        результатов.

     Предлагаю, вне зависимости от используемого учебника, распределение
 учебного материала, использовать следующий вариант календарно-тематического
                                планирования.
    Примерное планирование учебного материала при изучении темы «Числовые
                             последовательности»
                   1 вариант: 3 ч
|Номера |Содержание                           |Количество часов   |
|пунктов|                                     |                   |
|(парагр|                                     |                   |
|афов)  |                                     |                   |
|       |                                     |I вариант |        |
|       |Последовательности. Способы задания  |4         |        |
|       |числовых                             |          |        |
|       |последовательностей.                 |          |        |
|       |Арифметическая и геометрическая      |5         |        |
|       |прогрессии                           |          |        |
|       |Сумма первых п членов прогрессий     |5         |        |
|       |Простые и  сложные проценты          |2         |        |
|       |Контрольная работа                   |1         |        |
|Всего                                       |17        |        |




  Характеристика  основных  видов  деятельности  ученика  даётся  в  проекте
примерной программы основного общего образования по математике ФГОС  второго
поколения.  Учителю  она  даёт  ориентиры   для   планирования   результатов
обучения. Приведу  фрагмент из проекта этого документа.


       Из проекта примерной программы основного общего образования по
                      математике ФГОС второго поколения
|Основное содержание            |Характеристика основных видов |
|                               |деятельности ученика (на      |
|                               |уровне учебных действий)      |
|Числовые последовательности. Арифметическая и геометрические  |
|прогрессии (15 ч.)                                            |
|Понятие числовой               |Применять индексные           |
|последовательности . Задание   |обозначения, строить речевые  |
|числовой последовательности    |высказывания с использованием |
|рекуррентной формулой и        |терминологии, связанной с     |
|формулой п-ного члена.         |понятием последовательности.  |
|Арифметическая и геометрическая|Вычислять члены               |
|прогрессии. Формулы п-ного     |последовательности, заданные  |
|члена арифметической и         |формулой п-ного члена или     |
|геометрической прогрессий,     |рекуррентной формулой.        |
|суммы первых п членов.         |Устанавливать закономерность в|
|Изображение членов             |построении последовательности |
|арифметической и геометрической|. если выписаны первые        |
|прогрессий точками координатной|несколько её членов.          |
|плоскости. Линейный и          |Изображать члены              |
|экспоненциальный рост(. Сложные|последовательности точками на |
|проценты.                      |координатной плоскости.       |
|                               |Распознавать арифметическую и |
|                               |геометрическую прогрессии при |
|                               |разных способах задания.      |
|                               |Выводить на основе            |
|                               |доказательных рассуждений     |
|                               |формулы общего члена          |
|                               |арифметической и              |
|                               |геометрической прогрессий,    |
|                               |суммы первых п членов         |
|                               |арифметической и              |
|                               |геометрической прогрессий,    |
|                               |решать задачи с использованием|
|                               |этих формул.                  |
|                               |Рассматривать примеры из      |
|                               |реальной жизни, иллюстрирующие|
|                               |изменение в арифметической    |
|                               |прогрессии, в геометрической  |
|                               |прогрессии,; изображать       |
|                               |соответствующие зависимости   |
|                               |графически.                   |
|                               |Решать задачи на сложные      |
|                               |проценты, в том числе задачи  |
|                               |из реальной практики (с       |
|                               |использованием калькулятора)  |






                            Список  использованных источников


           1.  Дорофеев, Г.В. Алгебра 9 класс [Текст]: учебник для
        учащихся общеобразовательных учреждений / Г.В.Дорофеев, С.Б.
           Суворова, Е.А. Бунимович. – М.: Просвещение.2012г 304с.
       2.Л.П.Евстафьева А.П.Карп . Дидактические материалы по алгебре
           для 9 класса [Текст]: учебно-методическое пособие/– М.:
                          Просвещение, 2006,-126с.
             3.  С.Б.Суворова  ,Л.В.Кузнецова  и    др   .   Алгебра   -9.:
             Методическое пособие для учителя.- М.:Просвещение, 2006 -160с
             4.Контрольные  измерительные  материалы  ГИА   по   математике
             www.fipi.ru/view/sections/223/docs/579.html
             5.  Открытый банк заданий ГИА-2012 mathgia.ru
              6. Математика. ГИА. Комплексная подготовка/ В.И.    Глизбург.
             – М.: Айрис-пресс, 2012. – 176 с.
             7..Ященко И. В., Семенов А. В., Захаров  П.  И.  Подготовка  к
             экзамену  по  математике  ГИА  9  в  2011  году.  Методические
             рекомендации. – М.: МЦНМО, 2011. – 208 с.








[pic][pic]


-----------------------
На 1 месте            в1
на 2 месте             в2
на 3 месте             в3
……………………….
 на п-1-вом месте   ….
на п-ном месте       …
на п+1-вом месте   …
……………………….

в1,  в2,  в3, …, вп-1, вп, вп+1, … - числовая  последовательность,  коротко:
(вп)