Признак перпендикулярности плоскостей (урок геометрии в 10 классе)
Автор: Федченко Светлана Николаевна (учитель математики, МБОУ Куйбышевская СОШ им.А.А.Гречко Ростовская область село Куйбышево)
Тип документа: Конспект. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 18.09.2015
Описание: Урок изучения нового материала, цели которого: изучить теорему «Признак перпендикулярности плоскостей»: закрепить определение перпендикулярности плоскостей через работу с доказательством признака; совершенствовать умение четко выделять этапы и шаги доказательства.



                                                Федченко Светлана Николаевна


                                        МБОУ Куйбышевская СОШ им. А.А.Гречко


                                            Ростоская область село Куйбышево


                                                          Учитель математики



                    Признак перпендикулярности плоскостей
                        (урок геометрии в 10 классе)


      Обучение  ведется  по  учебнику  Л.  С.  Атанасянa,  однако  на  уроке
используется учебник А.В. Погорелова.
      В   конце   урока,    который    предшествовал    изучению    признака
перпендикулярности  плоскостей,  учащиеся   познакомились   с   определением
перпендикулярных   плоскостей   и   наметили   план   дальнейшего   изучения
перпендикулярности  плоскостей,  обсудили  способ   организации   урока   по
изучению признака.
      Тип урока: урок изучения нового материала.
      Вид урока: урок – презентация теоремы.
      Цели урока:
      1) изучить теорему «Признак перпендикулярности плоскостей»:
      * совершенствовать умение четко выделять этапы и шаги доказательства;
      * учиться находить к ним обоснование;
      2) закрепить определение перпендикулярности плоскостей через работу  с
доказательством признака;
3)  обогатить опыт организации своей  деятельности  при  групповом  изучении
 текста учебника с правом выбора варианта затребованной помощи;
4)  обогатить опыт учащихся в запоминании сложных текстов;
5)  развивать у учащихся коммуникативные навыки общения;
6)  обогатить  опыт  использования   компьютера   через   перенос   навыков,
 полученных на уроках информатики, на уроки математики.
      Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая.
      Оборудование к уроку: цифровой проектор, компьютер, экран, презентация
PowerPoint «Признак»; раздаточный дидактический материал  для  работы  групп
(см. Приложение); рабочие плакаты для  отчетов  групп;  фломастеры,  учебник
А.В.Погорелова «Геометрия 7 – 11»
      План урока:
1.  Организационный этап.
2.  Работа с формулировкой теоремы.
3.  Инструктаж к групповой работе.
 Самостоятельная работа в группах (15 – 20 мин.) по изучению  доказательства
теоремы.
 Публичная защита доказательства.
      6. Сравнение групповых работ с презентацией учителя.
      7. Усвоение теоремы.
      8. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
      Ход урока
      I. Организационный этап.
      Сегодня мы продолжим изучение темы «Перпендикулярность плоскостей». На
прошлом уроке  мы  познакомились  с  определением.  Вспомним  его  (учащиеся
говорят определение).
      Трудно ли было вам  его  запомнить?  (Предполагаемый  ответ  учащихся:
«Трудно!»)
      Сегодня мы посмотрим, как обращение к определению  в  процессе  работы
поможет его запомнить. На прошлом уроке мы наметили план изучения темы.  Что
согласно этому плану будем изучать сегодня? (Учащиеся отвечают, что  признак
перпендикулярности плоскостей).
      Это и будет темой урока (учащиеся записывают тему в тетрадь,  название
темы появляется на экране).
      II. Работа с формулировкой теоремы (фронтально).
      Познакомимся  с   формулировкой   признака   (на   экране   появляется
формулировка теоремы; ученик читает ее вслух).
      Поработаем  вместе.  С  чего  обычно  начинают  изучение  теоремы?  (С
выделения условия и заключения теорем; краткой записи формулировки).
      Какие ключевые слова помогают выделить условие  и  заключение  теорем?
(«если», «то»).
      Назовите условие и заключение  теоремы;  сделайте  чертеж  у  себя  на
черновиках (через 1 – 2 минуты учащиеся сравнивают свой  процесс  построения
чертежа с тем, который появится на экране; записывают в  тетрадях  «Дано»  и
«Доказать»).
      Что обычно делаем дальше? (Ищем идею доказательства,  выделяем  этапы,
шаги доказательства, даем им обоснование). Все это вам предлагается  делать,
работая в группах самостоятельно, используя при этом  текст  доказательства,
который  предложен  в  учебнике.  Есть  выбор:  возможно  образование  такой
группы, которой не будет предоставлен текст учебника, будет только  сообщена
идея доказательства; в случае неудачи учащиеся этой группы могут  продолжить
работу в других группах (учащиеся рассаживаются по группам).
      III. Инструктаж к групповой работе учащихся.
      Задача групп, работающих по учебнику:
1)  прочитать доказательство;
2)  определить основную идею доказательства;
3)  выделить этапы и шаги доказательства;
 дать обоснование каждому шагу и заполнить таблицу:

|Этапы   |Шаги    |Обоснование |
|1.      |        |            |
|        |а)      |            |
|        |б)      |            |
|2.      |        |            |
|        |a)      |            |
|        |б)      |            |
|Значит, |        |            |


5)  после обсуждения в  группе  данные  таблицы  перенести  фломастерами  на
плакат  для  демонстрации  другим  группам  (здесь   возможна   работа   на
персональных компьютерах в режиме on-line);
6)  подготовить выступление  от  группы  в  защиту  приведенного  в  таблице
доказательства.
      В случае затруднений можно «затребовать помощь» одного из типов:
      I. Описание шагов доказательства;
      II. Обоснование к шагам;
III.  Описание первого этапа;
IV.  Название этапов;
      V. Идея доказательства.
      Первые  четыре  вида  помощи  будут  появляться  на  экране,  поэтому,
пожалуйста, повернитесь спиной к экрану, чтобы не видеть ту помощь,  которую
вы не посчитали нужным запросить  (здесь  возможна  работа  на  персональных
компьютерах в режиме on-line).
      IV. Самостоятельная работа  в  группах  (15  –  20минут)  по  изучению
доказательства теоремы.
      Учитель подходит  к  каждой  группе,  слушает  высказывания  учащихся,
оказывает  «затребованную  помощь».  После  обсуждения  в  группах  учащиеся
готовят плакат (слайд) со своими результатами по  оформлению  доказательства
теоремы, выбирают и готовят к выступлению спикера от группы.
      V. Публичная защита доказательства.
      Каждая группа начинает свое выступление
      с формулировки теоремы, с  выделения  условия  и  заключения  теоремы.
Спикер каждой группы приводит этапы, шаги  доказательства  и  обоснование  к
ним, используя подготовленный плакат (слайд).
      Идет активное обсуждение доказательства, в  ходе  которого  с  помощью
вопросов учителя и учащихся обосновывается тот или иной вариант.
      Примерные вопросы:
      * Какова идея доказательства?
      * Сколько этапов и почему выделили столько?
*  Сколько шагов на каждом этапе и почему столько?
*  Почему сделаны именно эти дополнительные построения?
*  Какие теоретические обоснования использовали?
      VI. Сравнение групповых работ с презентацией учителя.
      Учитель организует итоговый диалог: Как  назвали  первый  этап?  Какие
дополнительные   построения   выполняли?   Как   изменился    чертеж?    Как
сформулировали  обоснование?  и  т.д.  На  экране  появляется  сопровождение
пошагового заполнения таблицы.
      Учащиеся, при необходимости, делают исправления в своих таблицах.
      Вариант оформления доказательства теоремы, подготовленный учителем:
|Этапы          |Шаги         |Обоснование                                |
|1. Строим третью плоскость γ                                              |
|               |а) [pic]     |Через каждую точку прямой на плоскости     |
|               |[pic]        |можно провести перпендикулярную ей прямую и|
|               |             |только одну.                               |
|               |б) γ(a,b)    |Аксиома: если две различные прямые имеют   |
|               |             |общую точку, то через них можно провести   |
|               |             |плоскость.                                 |
|2. Доказываем, что γ удовлетворяет признакам, указанным в определении     |
|перпендикулярных плоскостей.                                              |
|               |а) [pic]     |По признаку перпендикулярности прямой и    |
|               |             |плоскости: 1) [pic] (по построению); 2)    |
|               |             |[pic] (по условию), [pic], значит, [pic]   |
|               |             |(по определению перпендикулярности прямой и|
|               |             |плоскости); 3) а и Ь пересекаются.         |
|               |б) [pic]     |По определению перпендикулярности прямой и |
|               |             |плоскости.                                 |
|Значит,        |[pic]        |По определению перпендикулярности          |
|               |             |плоскостей.                                |


      Завершает работу демонстрация слайда – «Оформление доказательства»,  в
котором не используется таблица.
      VII. Усвоение теоремы.
      На этом этапе  основная  задача  связана  с  обеспечением  запоминания
формулировки теоремы и ее доказательства, поэтому учитель  задает  следующие
вопросы:
1)  Что было дано? Что  требовалось  доказать?  Какова  полная  формулировка
теоремы?
2)  В чем заключается основная идея доказательства?
3)  Назовите этапы доказательства.
4)  Раскройте первый этап (его шаги и обоснование), второй.
5)  Какие теоретические знания  использовались  при  доказательстве?  Какова
цель их использования?
      Важно показать непосредственное применение  теоремы,  поэтому  учитель
предлагает задачу: докажите,  что  плоскость,  перпендикулярная  прямой,  по
которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярная каждой  из  этих
плоскостей  (решение  обсуждается  в  группах;  желательно,  чтобы  учащиеся
рассказали о процессе работы  с  задачей:  как  анализировали  условие;  как
искали возможность  использовать  признак  перпендикулярности  плоскостей  и
т.д.).
      Важно также из проделанной работы выделить  полезное  для  дальнейшего
самообучения. Поэтому учитель задает следующие вопросы:
1)  Дайте  определение  перпендикулярных  плоскостей.  Затрудняетесь  ли  вы
теперь в его воспроизведении? Если нет, то, что помогло его запомнить?
2) Чтобы доказать теорему, вам были предложены «помощники». Перечислите их.
      Возможные ответы учащихся записываются на доске:
*  текст доказательства;
*  «затребованная помощь»;
*  таблица;
*  определение перпендикулярных плоскостей;
      * помощь друга;
      * …
      Какой,  на  ваш  взгляд,  «помощник»  был  главным  в  вашей   работе?
Посоветуйтесь в группе и ответьте, обосновывая свой ответ.
      VIII. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
      Учащиеся подводят итоги  урока;  намечают  пути  дальнейшей  работы  с
теоремой, что позволяет мотивировать следующее домашнее задание:
  Выучить  доказательство  признака,  попробовав  при  этом  разные   приемы
запоминания (на следующем уроке будет обсуждение, кому какой прием помог).
 Познакомиться с доказательством признака  перпендикулярности  плоскостей  в
учебнике Л.С. Атанасяна, сравнить подходы двух  авторов  школьных  учебников
геометрии.
  Выбрать  из  задач  к  параграфу  2  –  3  задачи,  которые   решаются   с
использованием  признака  перпендикулярности  плоскостей,   и   решить   их.
Рассказать о том,  как  осуществлялся  выбор  задач,  с  какими  трудностями
встретились в процессе решения задачи, как искали пути их преодоления.
                                Анализ урока
      I. Какова роль компьютера на уроке ? Компьютер помогает:
1)  обучению построению стереометрического чертежа  по  условию  теоремы,  в
  процессе  доказательства,  поскольку  есть  возможность   демонстрировать
  последовательность построений;
2)  оказать затребованную  учащимися  помощь,  поскольку  для  каждого  вида
  помощи можно заготовить свой слайд,  который  можно  быстро  показать  по
  требованию учащихся (названия этапов; шаги доказательства, обоснования  к
  шагам, описание первого этапа доказательства);
3)   визуально  представить  результаты  групповой  работы  для  дальнейшего
   обсуждения (каждая группа имеет единую  таблицу,  заполнение  которой  не
   вызывает больших затрат времени; демонстрация результатов  осуществляется
   на большом экране);
4)  осуществлять проверку решений в режиме диалога, поскольку смену  слайдов
   предваряют вопрос учителя и ответ учащихся;
5)   согласовать  решения  учащимися  учебной  задачи  с  вариантом  учителя
   (заранее заготовленный учителем слайд  по  ходу  урока  не  исправляется,
   поэтому имеется возможность сравнить варианты; не беда,  что  у  учащихся
   слайд может оказаться лучше учительского);
6)  сохранить информацию  для  уроков  повторения,  а  также  для  учащихся,
   пропустивших урок;
7)  самим учащимся быстро корректировать свои записи  («черновик  превращать
   в чистовик»).
      II. Какие ставились задачи для повышения эффективности обучения?
 На традиционном уроке изучения теоремы учитель чаще всего сам  приводит  ее
док%7-зательство, причем то, которое дано в учебнике, а учащиеся  записывают
его в свои тетради. Записывают, не задумываясь,  «ведь  учитель  знает,  что
пишет». Такое списывание приводит учащихся к безделью на уроке.  Не  секрет,
что доказательства теорем быстро забываются  учащимися.  Поэтому  мы  должны
стремиться не столько  к  запоминанию,  сколько  к  логическому  обоснованию
суждений, выработке у учащихся умений и навыков,  благодаря  которым  они  в
состоянии самостоятельно  разобраться  в  них.  Для  этого  полезны  учебные
задания на поиск идеи, шагов доказательства и их обоснования, что и  сделано
на уроке.
  Другой  путь  активизации  деятельности  учащихся  связан   с   отысканием
различных  способов  доказательства  теорем.  Поэтому  на  уроке  предложена
работа по учебнику А.В.Погорелова, а на дом задана работа с  учебником  Л.С.
Атанасяна. Сравнение двух вариантов доказательств даст возможность  еще  раз
поговорить о логическом строении геометрии.
3.  На  приведенном  уроке  доказательство   теоремы   служит   закреплением
определения   перпендикулярности    плоскостей.    Текст    доказательства,
приведенный в учебнике, «не прозрачен» для учащихся:
*  в нем не указана идея доказательства;
*  не выделены этапы доказательства;
 к некоторым шагам не даны обоснования в надежде на  то,  что  учащиеся  уже
имеют достаточный опыт, чтобы все это сделать самостоятельно.
      Определение, которое используется  в  доказательстве,  объемно  и  его
трудно запомнить. Использование  на  уроке  групповой  работы  по  выделению
этапов  и  шагов  доказательства  и  их   обоснованию,   прочно   закрепляет
определение в памяти ученика.
      Групповая работа организована таким образом, что позволяет каждому:
 приобрести новый коммуникативный опыт;
 обогатить видение предложенной проблемы;
 совершенствовать  технику  дискуссий  (умение  формулировать  высказывания,
аргументировать свою точку зрения, соотносить свою точку зрения  с  другими,
критически подходить  к  своему  мнению  и  мнению  окружающих,  а  в  итоге
корректировать свою позицию);
 проявить инициативу, самостоятельность, избирательность в способах работы;
 почувствовать уважение к себе и проявить терпимость к другим.
      III.  Какие  ставились  задачи  для  совершенствования   методического
мастерства ?
 Внедрить в практику методику выделения этапов доказательства,  изученную  в
ШУМе (школе учителя математики).
2.   Применить  методику  изучения  теорем  в  ситуации  сопоставления  двух
школьных учебников.
3.   Проверить,  является   ли   изучение   теоремы   способом   закрепления
определения.
4.  Применить прием затребованной помощи не к решению математических  задач,
а к изучению теорем.
5.  Посмотреть, как учащиеся осуществят  выбор  способов  организации  своей
деятельности; выяснить,  зависит  ли  это  от  индивидуальных  особенностей
лидера группы или является согласованным коллективным решением.
6.  Провести урок с опорой на компьютер  и  определить  методическую  пользу
его использования на уроках математики при изучении теорем.
      Приложение к уроку
      Материал для работы групп
      Тема: «Признак перпендикулярности плоскостей»
      Определение:     Две     пересекающиеся      плоскости      называются
перпендикулярными,  если  какая-либо  плоскость,   перпендикулярная   прямой
пересечения плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
      Теорема  (признак  перпендикулярности  плоскостей):   Если   плоскость
проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то  эти  плоскости
перпендикулярны. Работаем вместе!
      Задание. Выделите условие  и  заключение  теоремы,  выполните  чертеж,
нанесите на него данные.
|Рисунок                            |Дано:                               |
|                                   |                                    |
|                                   |Доказать:                           |


      Работаем в группах! Задача групп, работающих по  учебнику  (группы  I,
II, III, IV):
1)  прочитать доказательство признака;
1)  определить основную идею доказательства;
2)  выделить этапы и шаги доказательства;
2)  дать обоснование каждому шагу и заполнить таблицу:
|Этапы    |Шаги     |Обоснование|
|1.       |         |           |
|         |а)       |           |
|         |б)       |           |
|2.       |         |           |
|         |а)       |           |
|         |б)       |           |
|Значит,  |         |           |


5)  подготовить выступление  от  группы  в  защиту  приведенного  в  таблице
доказательства;
6)  время работы группы 15 – 20 минут.
      В случае затруднений можно «затребовать помощь» одного  из  типов,  но
только один раз.
      Затребованная помощь
                                    [pic]
      Задача группы, работающей без учебника (группа V): не используя текста
доказательства пользуясь помощью V, заполнить приведенную  выше  таблицу.  В
случае неудачи может присоединиться к любой из групп и продолжить  работу  в
ней.
      Подводим итоги:
 В чем заключается основная идея доказательства?
2.  Назовите этапы доказательства и шаги.
3.  Дайте обоснование каждого шага.
 Создайте и оформите такое доказательство, которое можно записать в  тетрадь
по теории.
 Попробуйте дать определение перпендикулярных плоскостей, не глядя в текст.
 Оцените работу вашей группы и других групп.
      Спасибо за урок!
-----------------------
                                     I.
                        Описание шагов доказательства

                                     II.
                             Обоснование к шагам

                                    III.
                           Описание первого этапа

                                     IV.
                               Название этапов

                                     IV.
                             Идея доказательства