Метод площадей при решении планиметрических задач
Автор: Пахутина Галина Михайловна (учитель математики, МБОУ Чернухинская средняя школа Нижегородская область Арзамасский район)
Тип документа: Презентация. Аудитория: Ученики, учителя математики. Дата публикации: 13.10.2015
Описание: Представлена ученическая исследовательская работа, выполненная под руководством педагога  Пахутиной Г.М.

Метод площадей при решении планиметрических задач
Работу выполнил
  Гладышев Алексей
ученик 10 класса.
Руководитель
Пахутина Г.М.,
учитель математики.
       Цель работы 

рассмотрение теоретических основ 

формирование представления о методе площадей

использование метода площадей при решении различных видов планиметрических задач
задачи: 

изучить научно-методическую, математическую литературу  по проблеме исследования;

проанализировать учебные пособия с целью изучить и описать метод площадей; 

классифицировать задачи, решаемые методом площадей;
 
определить диапазон применимости метода площадей. 

Задача.
 В параллелограмме смежные стороны равны 18 и 30 см, высота, проведенная к большему основанию, равна 6. Найти высоту, проведенную к меньшему основанию. 


Решение.



   
Площадь параллелограмма равна: S=b*h=30*6=180(см2). 

С другой стороны, она равна: S=a*Н. 

Отсюда H=S:а=180:18=10(см).
 

Ответ: 10 см. 

Описание метода площадей.
 Рис.1


   

Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, при любом разбиении объекта на части. 


Аддитивность площади означает, что если фигура разрезана на несколько частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей (рис.2).

    S=S1+S2+S3


Свойство аддитивности площади. 
 Рис. 2
C

   Задача. 

Найти биссектрису AD треугольника АВС, если АВ=10, АС=8, а угол А равен 86º. 


Решение


Подставляя полученные выражения в первое равенство, получим уравнение: 
40 sin86º=5*AD sin43º+4*AD sin43º, откуда AD=(40 sin86º):(9 sin43º). 
A
C
D
B



Рис.4
C
D

SABC= SADB+SADB; 
SABC=1/2 АВ*АС Sin86º= 40 sin86º; 
SABD=1/2 АВ*AD sin43º=5*AD sin43º; 
SADC=1/2 АС*AD sin43º=4*AD sin43º;
Свойства 
n
S1
S2
1. Если два треугольника имеют общую вершину, а противолежащие этой вершине стороны лежат на одной прямой, то площади этих треугольников относятся как стороны, лежащие на одной прямой 






   
         
                                                                      
. 

C

B
A

P
2. Пусть в треугольнике АВС точка М лежит на стороне ВС, точка Р - на АМ. 
Тогда SABP:SACP = ВМ:МС.



м
m
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка О - точка пересечения диагоналей. Тогда SABD. SBCD=AO:OC. 

                                              

4. Если два треугольника имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих данный угол.
SABC:SAKM= (АВ* АС):К (А *АМ).
5. Если в двух треугольниках есть по углу, сумма которых равна 180', то площади таких треугольников относятся как произведения сторон, содержащих эти углы. 
На рис. ےМАК+ےВАС = 180°. Тогда SABC:SAKM =(АВ*АС):(АК*АМ).

            
6. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность, О – точка пересечения его диагоналей. Тогда ВО:OD=(AB*ВС):(CD*DA). 


    
Основные характеристики метода площадей:
 
универсальность

продуктивность

вариативность

доступность

традуктивность

Классификация задач, решаемых методом площадей.
Свойство аддитивности площадей используется  в задачах: 


о вписанной или описанной в треугольник окружности, об окружностях, касающихся двух сторон треугольника (если требуется найти радиус, угол и т.д.);

о точках, лежащих на сторонах многоугольника; 

о точке внутри многоугольника;

о доказательстве того, что три точки лежат на одной прямой. 
Список литературы.


1. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. - М.: Наука, 1975. - 112 с. 
2. Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений/Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.- 9-е изд.- М.: Просвещение, 2005. - 384 с. 
3. Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1996. - 240 с. 
4. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1. - М.: Наука, 1991.- 320с. 
5. Шарыгин И. Ф. Математика: Для поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2004. - 480 с. 
6. Шарыгин И. Ф. Математика: 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 1999. - 304 с. 
7. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии (Планиметрия). - М.: Наука, 1986. - 224 с.