Метод различного подсчета объема пирамиды
Автор: Чумакова Мария Евгеньевна (учитель математики, Гимназия №22, город Майкоп)
Тип документа: Конспект. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 17.01.2016
Описание: Публикация содержит материал по стереометрии. Рассмотрен метод решения стереометрических задач типа ЕГЭ №14.

Методическая разработка учителя математики  
гимназии №22, города Майкопа, Чумаковой Марии Евгеньевны.  
 
Тема: Метод различного подсчета объема пирамиды.  
 
Одной  из проблем учащихся является изучение стереометрии. Школьникам 
тяжело представлять пространственные фигуры, они привыкли иметь делом с 
плоскостными фигурами, лежащих только в плоскости классной доски или 
ученической тетради. В связи с чем у них теряется и нтерес к предмету, и многие из 
них начинают считать стереометрию трудным школьным предметом.  
Трудности в изучении стереометрии вызваны тем, что зрительное восприятие 
геометрических объектов не всегда соответствует тем закономерностям, которыми 
этот объект  обладает. Например, скрещивающиеся прямые могут выглядеть как 
пересекающиеся или как параллельные прямые, прямой угол может выглядеть как 
острый или тупой угол, равные отрезки могут выглядеть как отрезки разной длины, и 
т.д.  
Самую важную роль в геометрич еских задачах имеет чертеж. Он является 
залогом дальнейшего правильного решения поставленной задачи. К сожалению, при 
изучении стереометрии учитель очень мало времени и внимания уделяет выполнения 
чертежа. Он иногда не замечает ошибок, не уделяет внимания учету выбора 
положения фигуры в пространстве для наиболее рационального решения, не 
обсуждает с учащимися чертеж к задаче, а сразу приступает к его построению, не 
уделяет внимания технике выполнения чертежа. Поэтому школьники не понимая 
важность чертежа в решении задачи, допускают ошибки при построении изображения, 
в результате чего усложняют себе дальнейшее решение стереометрических задач.  
Предлагаю метод  решения основных ге ометрических задач, не требующий  
специального геометрического построения.  
 
Метод р азличного подсч ета объема пирамиды.  
Метод применяется при решении основных стереометрических задач: угол между 
плоскостями, угол между прямой и плоскостью, расстояние между прямыми, 
расстояние от точки до плоскости.   
Задача 1.(ЕГЭ 2013, пробный экзамен ) В прямоугольном параллелепипеде 
                 ,         . Найдите угол между прямой     и плоскостью 
    . 
Решение.  
Отрывок оригинального решения :  
*Плоскости      и      перпендикулярны. 
Перпендикуляр из точки    к плоскости      лежит в 
плоскости      и пересекает прямую     в точке  . 
Значит, искомый угол равен углу     .* 
«Метод пирамидок»  не требует обоснования 
положения основания перпендикуляра.  
Чтобы найти угол мужду прямой     и плоскостью     , опустим 
перпендикуляр    . Угол       искомый.   
Рассмотрим пирамиду       . Посчитаем объем этой пирамиды двумя 
способами.  

         
           или          
            
          по теореме о трех перпендикулярах. По Теореме Пифагора из 
треугольников      и      находим         и       . 
              
       
       
 
        
   
            
     
  
    
       
   
Ответ:          
  . 
Задача 2 . В правильной шестиугольной призме     , все ребра которой равны 
1, найдите угол между прямой     и плоскостью     . 
Решение.  
1) Так как         , то угол между прямой     и 
плоскостью      равен углу между прямой     и 
плоскостью      
2) Пусть    расстояние  от точки    до плоскости     , 
тогда                 
     . 
3) Расс мотрим пирамиду       : 
         
             
         
          
             
        
4)              
        
      
 
         
                   . 
Ответ:    . 
Задача 3.(ЕГЭ 2013, досрочный экзамен)  Радиус основания конуса равен 8, а его 
высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, 
длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости 
сечения.  
Решение.  
Пусть    искомое расстояние.  
1) Расс мотрим пирамиду     : 
       
         
       
        
         
      
2) Из треугольника     по ТП:                            , 
3) Из треугольника     по ТП:                       , 
4) Из треугольника     по ТП:                              , 

5)          
      
           
 
         =  
 . 
Ответ:   
 . 
Замечание . Для решения таким способом, не требовалось доказать, что искомое 
расстояние   . 
Задача 4. В пра вильной треугольной призме           стороны основания 
равны 2, бо ковые ребра равны 3, точка    середина ребра    . Найдите расстояни е 
от вершины С до плоскости     .  
Решение.  
*Рисунок  из оригинального решения, для решения 
«методом пирамидок» не требуется такой рисунок и 
обоснования расположения основания перпендикуляра * 
Пусть    искомое расстояние и расстояние от точки    до 
плоскости         . 
1) Расс мотрим пирамиду      :  
        
         
       
         
         
       
2) Плоскости      и        перпендикулярны, поэтому     высота 
треугольника       .      , 
*Для равностороннего треугольника, можно выучить формулы высоты и 
площади*  
3) Из треугольника     по ТП:                              , 
так как фигура правильная        , 
4) Из треугольника       по ТП:                         , 
5) Если    высота      , то по ТП:                
    
    , 
6)          
       
     
    
 
             
  . 
Ответ:     
  . 
Задача 5. В правильной шестиугольной призме     , все ребра которой равны 
1, найдите расстояние между прямыми     и     . 
Решение.   
1)         , то                          , 
2) Пусть    искомое расстояние.  
Расс мотрим пирамиду        : 
          
             
          
          

             
        
3) В треугольнике        все стороны по   , так как фигура правильная, то 
               
 =   
 , 
4) Из треугольника      по ТП:        , 
5) Пусть в треугольнике          высота, то по ТП:                 
  
6)              
          
 
 
       
     
 . 
Ответ:    
 . 
 
Задания для самостоятельного решения.  
1. В правильной шестиугольной пирамиде        , боковые ребра которой 
равны 2, а стороны основания   , найдите косинус угла между прямой    и 
плоскостью    .  
2. В правильной четырехугольной пирамиде       сторона основания       , 
боковое ребро       . Найдите расстояние от вершины   до плоскости    . 
3. В правильной четырехугольной пирамиде      , все ребра которой равны 1, 
найдите расстояние между прямыми    и   .