Электронное учебное пособие к разделу "Производная и ее приложения"
Автор: Куликова Ольга Васильевна (преподаватель математики, ГАПОУ РО "РКРСТ "Сократ")
Тип документа: Презентация. Аудитория: 1 курс СПО. Дата публикации: 21.10.2015
Описание: Презентация поможет учащимся научиться вычислять производную по формулам; сформировать представление о производной; применять производную к построению графика функции; расширить понятие темы: "Производная и ее приложения".

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области 
«Ростовский колледж рекламы, сервиса и туризма «Сократ»

Электронное учебное пособие к разделу «Производная и ее приложения»
для студентов 1 курса СПО

1
Автор: Куликова О.В.- преподаватель математики 
высшей квалификационной категории
ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ» 
2015 год
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Профессиональная деятельность преподавателя за последние несколько лет претерпела значительные изменения. Многие проблемы современного образования сегодня напрямую связаны с информационно-коммуникационными технологиями. Компьютерные технологии призваны стать неотъемлемой частью целостного образовательного процесса, значительно повышающей его эффективность. С каждым годом увеличивается умственная нагрузка на уроках математики, и это заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому предмету, как научить применять полученные знания и умения в жизни. В учебных заведениях компьютер становится посредником между преподавателем и обучающимся, позволяет организовать процесс обучения на основе индивидуальной программы. В этом проявляется главное преимущество компьютера в процессе: он работает с каждым студентом в отдельности. Существует много учебных программ, которые можно условно классифицировать так: обучающие, контролирующие, инструментальные. Но готовые учебники не всегда могут доступно преподнести материал, ликвидировать пробел в знаниях. Ощущается недостаток не программного обеспечения на уроках математики, а программно-методических комплексов, включающих в себя компьютерную программу, а также и пособие для учителя, которое содержит не только описание технических возможностей программы, но и применение ее при изучении конкретной темы. 
Целью создания электронного учебного пособия «Производная и ее приложения» являлось получение продукта, удобного в пользовании, соответствующего рабочей учебной программе, позволяющего формировать предметные и межпредметные компетенции обучающихся и отвечающей всем требованиям здоровьесберегающих технологий на уроках математики. Данный проект способствует реализации деятельностного подхода в обучении, повышению учебной мотивации, развитию личностных качеств, формирующих самооценку и самодостаточность учащихся. Для достижения поставленной цели автором была выбрана наиболее удобная для этого среда Microsoft PowerPoint. Это позволяет использовать полученный продукт в различных операционных системах. 


2
Цель использования ЭУП: повышение интереса к предмету «Математика» и получение прочных знаний по теме «Производная и ее приложения». Задачи: • научить самостоятельной работе с электронным учебным пособием; • способствовать отработке точности и последовательности при выполнении практических заданий. 
Вошедшие в нашу жизнь компьютеры  и электронные издания учебного назначения предоставили преподавателям новые возможности для решения задачи индивидуализации обучения. Компьютер может излагать учебный материал последовательно, без лишних слов, наглядно, в интерактивном режиме и , следовательно, в индивидуальном темпе и на разных уровнях проникновения в тему - от минимально необходимого уровня до факультативного. Но качественные электронные учебные пособия (ЭУП) и учебники, которых, заметим, не так много, только начинают пользоваться спросом у преподавателей и студентов. 
Использование электронных учебных пособий в образовательном процессе имеет многофункциональный характер, меняющийся в зависимости от дидактических целей урока и отдельных его этапов. Так, повторение или закрепление пройденного материала может  быть оптимизировано, если этот процесс пойдет с использованием ЭУП. При этом за одним компьютером может работать как один студент, так и два или три студента примерно одинакового уровня успеваемости. Имеющиеся задания помогут оценить степень усвоения пройденного материала. А если у кого-то возникли сложности при выполнении заданий, то имеется возможность повторить теоретический материал, изложенный в ЭУП в лаконичной форме и с примерами. При изложении нового материала кадры из ЭУП выступают на экране проектора в качестве наглядного иллюстрированного материала к лекции или беседе преподавателя с обучающимися.  Электронные учебные пособия используются и при самообразовании. Обучающиеся, пропустившие занятие по каким-либо причинам, могут с их помощью "догнать" своих однокурсников в изучении математики. 
3
Наконец, эти пособия являются надежными помощниками при подготовке учащихся к экзаменам и при обучении в форме экстерната.
Электронные учебные пособия используют при:
При изложении материала - слайды, презентации, демонстрации(видеоролики-лекции, в которых используются звук, цвет и анимация);
При практической работе - слайды с текстами задач(упражнения на готовых чертежах, задачи с визуальными подсказками) и практические задания, в которых рассматриваются динамические чертежи (задачи на выявление связей между элементами фигуры, на построение фигур с помощью виртуальных инструментов, на перекраивание и др.);
При контроле и тестировании - задачи на вычисление( с вводом ответа), задания с выбором ответа, табличные тесты и т. д.
Благодаря электронным помощникам: компьютеру или графическому калькулятору - на уроках алгебры стало возможным создание графических образов (рисунков реальных объектов, узоров) как множества точек координатной плоскости. Рисование - увлекательный процесс, который может послужить мотивацией к учебной деятельности на этапе формирования умений распознавать виды изучаемых функций, показывать расположение в координатной плоскости графиков функций в зависимости от значений коэффициентов, строить графики функций на основе преобразования известных графиков, решать некоторые виды задач на координатной плоскости. Процесс создания рисунка с использованием графических соображений будет полезен каждому студенту. Характерной его особенностью является постоянная взаимосвязь алгебраического и геометрического языков, переход от буквенного равенства или неравенства к геометрическому образу или наоборот. Подобные занятия могут оказаться доступными и интересными для студентов, увлекая их возможностью воспроизведения замысла рисунка с помощью графических представлений. Это окажет влияние на их самостоятельность и активность в познавательной деятельности.

4
Определение производной.
 Пусть функция f(х) определена на некотором промежутке, х- точка этого промежутка и число h≠0,такое,что  х+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения                           при h→0 (если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке х и обозначается f'(x) (читается: «Эф штрих от икс».). Таким образом,





5

   Отметим, что в формуле число h, где h≠0, может быть как положительным, так и отрицательным, при этом число x+h должно принадлежать промежутку, на котором определена функция f(х).

   Если функция f(х) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(х) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

6
                            Задача.Найти производную функции 
Составим разностное отношение:



Если h→0, то 2х+h →2x, поэтому



Следовательно, (х ²)'=2x.



7
                           Задача.Найти производную функции
Найдем сначала разность 
f(x+h) - f(x) = (x+h)³ - x³ =x³ + 3x²h + 3xh² + h³-x³=
= h(3x² + 3xh + h²).
 Составим теперь разностное отношение:


Если h→0, то h² →0 и 3xh→0, поэтому 
3x² + 3xh + h² → 3x², т.е. (x³)'=3x².


8
Определение предела функции в точке.
Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ и обозначается 
                       
 если для любого числа ε>0 существует такое число δ>0,что для всех х, удовлетворяющих условию  |x-x₀|< δ, где x≠x₀, выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.
Поясним это определение предела функции. Число А является пределом  функции f(x) при х, достаточно близких к х₀, становятся как угодно близкими к числу А, т.е. значения 
|f(x)-A| становятся как угодно малыми. Это означает, что можно взять сколь угодно малое положительное число ε и убедиться в том, что для всех х, отличающихся от х₀ меньше чем на некоторое число δ, модуль разности между f(x) и числом А будет меньше взятого числа ε.



9
Производная функции является одним из особых пределов, имеющих большое практическое значение.Понятие предела функции тесно связано с понятием непрерывности.
Если график функции на некотором промежутке представляет собой непрерывную линию, т.е. линию, которую можно провести, не отрывая карандаша от бумаги, то эту функцию называют непрерывной на этом промежутке . Приведем примеры функций, которые не являются непрерывными . Например, представим график функции, которая непрерывна на промежутке [a;c] и (c;b] ,но разрывна в точке х=с и потому не является непрерывной на всем отрезке [a;b].Все элементарные (линейная, квадратичная и т.д.) функции, которые изучаются в школьном курсе математики, являются непрерывными на каждом промежутке,на котором они определены.
10
Определение непрерывности функции.
       Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то ее называют непрерывной на этом интервале.
Обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производную в некоторых точках этого промежутка. Например, функция y=|х| непрерывна при всех значениях х, но не имеет производной в точке х=0.Действительно.
                                                     1,если х>0,    
                                                     -1,если x<0.
И поэтому разностное отношение                              не имеет предела при х→0.

11
Производная степенной функции
                                            при рϵR


12
Производная постоянной функции
(const)'=0
13
Практические задания.Вычислить производную.Устно.




14
Найти производную функции.
15
Найти производную функции.Самостоятельно.






16
Производная линейной функции(kx+b)' =k   (k≠0)





17
Производная сложной функции.F(g(x))ᶦ=fᶦ(g(x))•gᶦ(x)
Вычислить производную:





Выполнить самостоятельно:

18
Вычислить производную:






Выполнить самостоятельно:

19
Вычислить производную:








Выполнить самостоятельно:

20
                   Найти f '(x₀),если:
21
Найти производную функции.








22
Вычислить производную:





Выполните самостоятельно:


23
                     Найти f ' (0) и f '(2)







Выполнить самостоятельно:


24
Найти f '(1)








Выполнить самостоятельно:
 


25
Решить самостоятельно.
Решить уравнение f'(x)=0


26
Производная некоторых элементарных функций
27
Производная сложной функции
28
Решение упражнений на применение всех формул вычисления производных.Найти производную
29
Выполнить самостоятельно:




30
Геометрический смысл производной.
Если k>0,то 0<α<     в этом случае функция возрастает и говорят, что прямая направлена вверх.
Если k<0,то        < α<0 в этом случае функция у=kx+b и говорят,что прямая направлена вниз.
31
Геометрический смысл производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.







где k-угловой коэффициент касательной.






32
Уравнение касательной к графику функции.
где х₀- абсцисса точки касания.
33
Практические задания
34
Самостоятельно:


35
Применение производной к исследованию функций.
    Производная широко используется для исследования функций, т.е. для изучения различных свойств функций.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными. Заметим, что функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции. Т.о.,для того чтобы точка х₀ была точкой экстремума функции f(x), необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции.
36
Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а;b), 
х₀ϵ (а;b), и f '(х₀)=0. Тогда:
1)Если при переходе через стационарную точку х₀ функции f(х) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f'(х)>0 слева от точки х₀ и f'(х)<0 справа от точки х₀, то х₀- точка максимума функции f(x).
2)Если при переходе через стационарную точку х₀ функции f(х) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то х₀- точка минимума функции f(x).
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
37
Задача.Построить график функции
Решение:
1)Найти область определения функции
 XϵR
2)Найти производную:
fᶦ(x)=(x³-2x²+x)ᶦ=3x²-4x+1
3)Найти стационарные точки


38
4)Найти промежутки монотонности.







5)Найти точки экстремума









39
6)Составить таблицу.





7)Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
      С осью Ох                                        С осью Оу
40
8)Построить график

41
         Решить самостоятельно.
42
Спасибо за внимание.
43