Прямая и обратная геодезическая задача
Автор: Гайворонская Инна Владимировна (Преподаватель высшей категории, Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края "Пашковский сельскохозяйственный колледж")
Тип документа: Другое. Аудитория: Преподаватели техникумов и колледжей. Дата публикации: 27.10.2015
Описание: Открытый урок по ПМ 01. Участие в проектировании зданий и сооружений МДК 01.01. Проектирование зданий и сооружений р.5 "Строительная геодезия"

Гайворонская Инна Владимировна 
ГБПОУ Краснодарского края
 "Пашковский сельскохозяйственный колледж"
Преподаватель

ПЛАН ОТКРЫТОГО УРОКА
«Прямая и обратная геодезическая задача»


  
Конспект:
Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

	При вычислительной обработке выполненных на местности измерений, а также при проектировании инженерных сооружений и расчетах для перенесения проектов в натуру возникает необходимость решения прямой и обратной геодезических задач. 
Прямая геодезическая задача. По известным координатам х1 и у1 точки 1, дирекционному углу 1-2 и расстоянию d1-2 до точки 2 требуется вычислить ее координаты х2, у2. 
Координаты точки 2 вычисляют по формулам (рис. 1):
                                         (1.1)
где х, у  приращения координат, равные 
                                      (1.2)
Обратная геодезическая задача. По известным координатам х1, у1 точки 1 и х2, у2 точки 2 требуется вычислить расстояние между ними d1-2 и дирекционный угол 1-2. 
	Из формул (1.1) и рис. 1 видно, что
.                                                (1.3)
Для определения дирекционного угла 1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса 
 =,
лежащее в диапазоне 90+90, тогда как искомый дирекционный угол  может иметь любое значение в диапазоне 0   360.  
Формула перехода от  к  зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков  разностей y = y2  y1 и x = х2  х1 (см. таблицу1 и рис. 1).


Таблица 1


Рис. 2. Дирекционные углы и главные значения арктангенса в I, II, III и IV четвертях 

Расстояние между точками вычисляют по формуле
                                        (1.4)
или другим путем – по формулам
                                   (1.5)
Программами решения прямых и обратных геодезических задач снабжены, в частности, электронные тахеометры, что дает возможность непосредственно в ходе полевых измерений определять координаты наблюдаемых точек, вычислять углы и расстояния для разбивочных работ.

Пример: Решить прямую геодезическую задачу.
Известны:
ХА=95094,4;          d = 609,2;
YA= 99568,8;         L (AB) = 4511’21″.
Определить координаты точки В.
Решение
ХВ =ХА+ d. cosL (AB);                            cosL (AB) = cos (4511’21″) = 0,70572;
YB = YA +d . sin L(AB);                            sinL (AB) = sin (4511’21″) = 0,70848.
Х =d. cos (AB) = 429,3 м;                       XB = 95523,7 м;
Y =d. sin (AB) = 432,2 м.                       YB = 100000,1 м.

Пример: Решить прямую геодезическую задачу.
Известны:                      XA = 81819,9;     = 778,3;
YA = 41894,8;     (AB) = 27540’50″.
Определить координаты ориентира В.
Решение
XB = XA +d . cos (AB);                        cos (AB) = cos (27540’50″) =  0,098982;
YB = YA +d . sin (AB);                         sin (AB) = sin (27540’50″) = -0,995089.
ΔX = d. cos (AB) = 77,0 м;                 XB = 81898,9 м;
ΔY = d. sin (AB) = — 774,5 м.               YB = 41120,3 м. 

Обратная геодезическая задача
Пример: Решить обратную геодезическую задачу.
Известны:
XA = 32761,3;     XB = 36184,3 м;
YA = 87847,4;     YB = 84249,7 м.
Определить:
- расстояние  между точками А и В;
- дирекционный угол (АВ) между точками А и В.
Решение
tg (AB) = (YB — YA) / (XB - XA) = Y /X;
d= (YB — YA) / sin (AB);           (AB) = 37334’29″;
d= (XB — XA) / cos (AB).           (AB) =  4965,9 м;
X =  3423,0 м;
Y = -3597,7 м.
Пример: Решить обратную геодезическую задачу.
Известны:
XA = 28148,2;   XB = 29962,8 м;
YA = 71558,4;   YB = 71540,8 м.
Определить:
- расстояние между точками  (расстояние между НП и ориентиром);
- дирекционный угол (АВ) (с НП на ориентир).
Решение
tg (AB) = (YB — YA) / (XB - XA) = Y / X;
d= (YB — YA) / sin (AB);           (AB) = 35926’36″;       
d= (XB – XA ) / cos (AB).        d =  1814,7 м;             
X = 1814,6 м;
Y = — 176,3 м.






Презентация:

Прямая и обратная геодезические задачи. Их применение в геодезическом производстве  

а) Прямая геодезическая задача


 Рис. 1. Прямая геодезическая задача

Дано: координаты точки 1  х1,  у1;
 горизонтальное проложение линии 1 – 2:   d1,2; 
      дирекционный угол линии 1 – 2:  a1,2  (рис.1).
Найти: координаты точки 2:   х2,  у2.

Решение: координаты точки 2:  
  х2 = х1 + Dх;              у2 = у1 + Dу,                     (1)

где приращения координат  
              Dх = d · cos a;           Dу = d · sin a,                (2)

откуда    
                                              
 х2 = х1 + d · cos a;     у2 = у1 + d · sin a.                    (3)

Знаки приращений координат Dх  и Dу  зависят от знаков функций sin a и cos a.





б) Обратная геодезическая задача
 


                                                  Рис. 2 





Обратная геодезическая задача





Дано:   координаты точек 1 и 2:  х1,  у1;    х2,  у2 (рис.2).

Найти:  горизонтальное проложение линии 1 – 2:
d1,2;  дирекционный угол линии 1 – 2:  a1,2.


Решение:   
                    Dх = х2 –  х1;         Dу = у2 –  у1;             (4)

                                                           (5)
                                          
                       .                                    (6)

По значению tg a определяется румб линии. По знакам приращений координат определяется четверть, а по четверти определяется дирекционный угол линии.
                                      

 Рис. 3. Знаки приращений координат в зависимости от четверти
      
Прямая геодезическая задача применяется при вычислении координат в теодолитном ходе. Обратная геодезическая задача применяется в тех случаях, когда по известным координатам 2-х 
Точек определяют расстояние между ними и дирекционный угол линии.


Тесты по теме: «Ориентирование на местности»:
Тесты по теме: «Прямая и обратная геодезическая задача»: