Опорные конспекты по математике для 6 класса
Автор: Курагина Елена Ивановна (учитель математики, МБОУ "СОШ № 12")
Тип документа: Другое. Аудитория: Учителя математики; обучающиеся 6 классов. Дата публикации: 19.10.2015
Описание: Представлены основные правила с примерами материала, изучаемого в  5 - 6 классах.


                                                     Курагина Елена Ивановна
                                                             МБОУ "СОШ № 12"
                                                          г.Усолье-Сибирское
                                                          Учитель математики


                       Опорные конспекты по математике


                                  СЛОЖЕНИЕ.

                    1 слагаемое  +  2 слагаемое  =  сумма

                             Свойства сложения.

   1. Переместительное.          а + b = b + a
       От перестановки слагаемых сумма не  меняется.


   2. Сочетательное.               а + ( b + с ) = ( а + b ) + c
        Чтобы к числу а прибавить сумму чисел b и с, можно к  сумме чисел
         а и b прибавить число с.


   3. Свойство нуля.               а + 0 = 0 + а = а
       Если к числу прибавить 0, то получится то же число.


   _____________________________________________________________




                                  ВЫЧИТАНИЕ

                    уменьшаемое -  вычитаемое = разность

                             Свойства вычитания.

   1. Вычитание суммы из числа.       а – ( b + c ) = а – b – с
      Чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть каждое
      слагаемое.


   2. Вычитание числа из суммы.       ( а + b ) – c = a + ( b – c )
                                                                  ( а + b )
   – c =( a – c ) + b
      Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть это число из одного
      слагаемого и к разности прибавить второе слагаемое.


   3. Свойства нуля.                а – 0 = а ;     а – а = 0
      Если из числа вычесть 0, то получится то же число.
      Если из числа вычесть это же число, то получится 0.






                                  УМНОЖЕНИЕ

                  1 множитель · 2 множитель = произведение

                             Свойства умножения.

   1. Переместительное.          а · b = b · a
       От перестановки множителей, произведение не  меняется.


   2. Сочетательное.                а · ( b · с ) = ( а · b ) · c
        Чтобы  число а умножить на произведение чисел b и с, можно
        произведение чисел а и b умножить на число с.


   3. Распределительное.              ( а  + b ) · с = ас + bc, ( а  - b ) ·
   с = ас – bc
        Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое
        умножить на это число и полученные результаты сложить.


   3. Свойство единицы.       1 · а = а · 1 = а
        Если  число умножить на 1, то получится то же число.


   4. Свойство нуля.                а · 0 = 0 · а = а
       Если  число умножить на 0, то получится 0.




                                   ДЕЛЕНИЕ

                        делимое : делитель = частное

                              Свойства деления.

   1. Свойство единицы.        а : 1 = а;    а : а = 1
        Если  число разделить на 1, то получится то же число.
       Если число разделить само на себя, то получится 1.


   2. Свойство нуля.               0 · а = 0
       Если 0 разделить на число, то получится 0.


                           ДЕЛИТЬ НА 0 НЕЛЬЗЯ !!!
   _______________________________________________________________
                                  УРАВНЕНИЯ

      Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число

                        (переменную).
      Корень уравнения – это значение переменной, при котором
                                     уравнение обращается в верное
равенство.
      Решить уравнение – значит найти все его корни или
                                          доказать, что корней нет.


1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть (от суммы
отнять) известное слагаемое.
                                348 + х = 590
                                х = 590 – 348
                                   х = 242

2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить
вычитаемое.
                                 х – 24 = 38
                                 х = 38 + 24
                                   х = 62

3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть
разность.
                                124 – х = 32
                                х = 124 – 32
                                   х = 92

4) Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на
известный множитель.
                                35 · х = 105
                                х = 105 : 35
                                    х = 3

5) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
                                 х : 15 = 8
                                 х = 8 · 15
                                   х = 120

4) Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
                                325 : х = 13
                                х = 325 : 13
                                   х = 25
                                    ДРОБИ

Обыкновенные дроби.

Дробь ( [pic] )  – одна или несколько равных долей целого.
 а – числитель, b – знаменатель.

Знаменатель дроби показывает на сколько равных частей разделено целое.
Числитель дроби показывает сколько таких частей взято.

              [pic] - половина,           [pic] - треть,            [pic] -
четверть

Деление и дроби:        а : b = [pic],   3 : 4 = [pic]

Правильная дробь – дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
                                                          [pic] < 1

Неправильная дробь – дробь, у которой числитель больше или
                                            равен знаменателю.
                                                         [pic] = 1,
[pic] > 1

Смешанное число:      1[pic] = 1 + [pic];  ( 1 – целая часть, [pic] -
дробная часть )


Чтобы из неправильной  дроби выделить целую часть, надо числитель разделить
на знаменатель. Частное записать целой частью, остаток – числителем дробной
части, знаменатель оставить прежним.

                                           [pic] = 27 : 4 = 6[pic]

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую часть
умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель. Полученное
число записать в числитель неправильной дроби, знаменатель оставить
прежним.

                                         6[pic] = [pic] = [pic]

                      Действия с обыкновенными дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями, числители складывают, а
знаменатель оставляют прежним.
Если получается неправильная дробь, выделяют целую часть.
                                           [pic] + [pic] = [pic];
[pic] + [pic] = [pic] = 1[pic]

Вычитание  дробей с одинаковыми знаменателями.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя уменьшаемого
вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель  оставляют прежним.

                                            [pic] - [pic] = [pic]

Сложение смешанных чисел.

При сложении смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно –
дробные.
 Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделяют
из нее целую часть и прибавляют к целой части.
                         3[pic] + 1[pic] = ( 3 + 1 ) + ( [pic] + [pic] ) =
4 + [pic] = 4[pic]

                         3[pic] + 2[pic] = ( 3 + 2 ) + ( [pic] + [pic] ) =
5 + [pic] = 5 + 1[pic] = 6[pic]

Вычитание смешанных чисел.

При вычитании смешанных чисел отдельно находят разность целых и дробных
частей.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, берут 1
из целой части,  представляют ее в виде дроби с тем же знаменателем и
прибавляют к дробной части уменьшаемого.

                       2[pic] − 1[pic] = ( 2 – 1 ) + ( [pic] − [pic] ) = 1
+ [pic] = 1[pic]

                       6[pic] − 2[pic] = 5[pic] − 2[pic] = ( 5 − 2 ) + (
[pic] − [pic] ) = 3 + [pic] = 3[pic]

                       4 − [pic] = 3[pic] − [pic] = 3 + ( [pic] − [pic] ) =
3 + [pic] = 3[pic]


  Десятичные дроби.

Особая запись дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д., в которой
целая часть отделяется от дробной запятой, а знаменатель не пишется.

6[pic] = 6,3 ;             7[pic] = 7[pic] = 7,021

Разложение числа по разрядам.       0,456 =       0,4     +     0, 05     +
    0, 006

десятые       сотые       тысячные


                       Действия с десятичными дробями.


Сложение и вычитание десятичных дробей.

   1. Уравнять количество знаков после запятой.
   2. Записать запятую под запятой.
   3. Выполнить сложение или вычитание, не обращая внимания на запятые.
   4. Поставить в ответе запятую под запятыми.


                           2 , 3 6                 7 , 9 0
                                             +                         −
                                                   3 , 2 6
   3 , 4 6
                                               _____________
          ___________
                             5 , 5 6                 4 , 4 4

Умножение десятичных дробей.

   1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые (последняя цифра
      под последней цифрой).


   2. Отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в
      обоих множителях вместе.


                                  3 , 5
                                                   [pic]
                                                         0 , 3
                                                 _____________
                                                 1  , 0     5




   Деление десятичных дробей на натуральное число.


     I. Если целая часть делимого больше делителя или равна ему, то нужно
        делить, не обращая внимания на запятую, а в частном ставить запятую
        тогда, когда заканчивается деление целой части.


    II. Если целая часть делимого меньше делителя, то сначала в частном
        пишется 0 и ставится запятая, а затем продолжают деление, не
        обращая внимания на запятую в делимом.


           _  2 3 , 0 4 |‌_4_                      _ 1 , 4 4 |_6
                        2 0          5,76                        1   2
   0,24
              _  3   0                                      _ 2 4
           2. 8                                         2 4
             _ 2 4                                         0
                2 4
                   0




      Деление десятичных дробей на десятичную дробь.


   1.  В делимом и в делителе перенести запятую вправо   на столько цифр,
        сколько их после запятой в делителе.


   2. Выполнить деление дроби на натуральное число.


             1 , 4 4 : 0 , 0 0 1 2 = 1 4 4 0 0 : 1 2 = 1 2 0 0


             1 , 2 5 : 0 , 5 = 1 2 , 5 : 5 = 2 , 5


Умножение  и деление десятичных дробей
 на 10, 100, 1000 и т.д.;  на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

   1. При умножении на 10, 100, 1000 и т.д. или  делении на 0,1; 0,01, 0,001
      и т. д., запятую передвигают вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.


               3 , 2 5 8 ·1 0 0 = 3 2 5 , 8            5 , 6 7 : 0 , 1 = 5 6
   , 7


   2. При делении на 10, 100, 1000 и т. д. или умножении на 0,1; 0,01, 0,001
      и т. д., запятую передвигают влево  на 1, 2, 3 и т. д. цифры.


              3 2 , 5 8 : 10 = 3 , 2 5 8                5 6 , 7 · 0 , 0 1 =
   0 , 5 6 7






                              ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.

Делителем  натурального числа а называется натуральное число,
                      на которое число а делится без остатка.

Кратным  натурального числа а называется натуральное число,
                    которое  делится без остатка на а.


                             Признаки делимости.

|Число делится на               |  2                   |5            |10      |
|Если оно оканчивается на       |0,   2,   4,   6,   8 |0 или 5      |0       |


|Число делится на                          |3           |9         |
|Если сумма цифр числа делится на          |3           |9         |


Простыми числами   называются числа, имеющие два делителя
                                      (1 и само число).

Составными числами   называются числа, имеющие более двух
                                          делителей.



Разложить число на простые множители  - значит представить это число в виде
   произведения простых чисел.


756  2        756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7;          675  3      675 = 3 · 3
   · 3 · 5 · 5;
378 ‌ 2                                                         225  3
189  3                                                           75  3
  63  3                                                           25  5
  21  3                                                             5  5
    7  7                                                             1
    1


Примечание:   делитель меняется на следующий, когда число перестает
   делиться на предыдущий.


Наибольший общий делитель  натуральных чисел – это
       наибольшее натуральное число, на которое все данные числа
       делятся без остатка.

Д(36) = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;    Д(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,
24, 48;
                                    НОД(36;48) = 12

Взаимно простыми числами называются натуральные числа,
                                                     НОД которых равен 1.

Наименьшее общее кратное  натуральных чисел – это
     наименьшее натуральное число, которое делится без остатка
     на все данные числа.

К(12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . .
К(9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, . . .
НОК(12;9) = 36

Чтобы найти НОД и НОК натуральных чисел, надо:

|НОД                             |НОК                                  |
|1. Разложить данные  числа на простые множители.                      |
|2. Подчеркнуть одинаковые множители в данных                          |
|разложениях.                                                          |
|3. Найти произведение           |3. Одно из чисел умножить на         |
|подчеркнутых множителей  в одном|оставшиеся множители других          |
|из разложений.                  |разложений.                          |

54  2      36  2           НОД(54;36) = 2 · 3 · 3 =18;
27  3      18  2
  9  3        9  3          НОК(54;36) = 54 · 2  = 108
  3  3        3  3                                = 36 · 3 = 108.
  1            1

84  2      28  2      36  2         НОД(84;28;36) = 2 · 2 = 4;
42  2      14  2      18  2
21  3       7  7         9  3        НОК(84;28;36) = 84 · 3 =252
 7  7        1             3  3                                   = 28 · 3
· 3 = 252
 1                           1                                       = 36 ·
7 = 252.

Если число а делится без остатка на b, то НОД( а;b )= b, а НОК( а;b ) = а.

Если числа а и b - взаимно простые, то НОК( а;b ) =  a · b.