Элективный курс "Решение задач с параметрами"
Автор: Каркунова Маина Ивановна (учитель математики, МБОУ "Кударинская СОШ" Кяхтинского района Республики Бурятия)
Тип документа: Презентация. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 21.12.2015
Описание: Курс предназначен для предпрофильной подготовки школьников, для реализации в 8- 9 классах. Он, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса алгебры, направлен на систематизацию знаний, реализацию внутрипредметных связей, а с другой – служит для построения индивидуального образовательного пути. Курс формирует такие умения и навыки как логичность и самостоятельность мышления, умение обобщать и систематизировать, навыки в решении задач.

Элективный курс «Решение задач с параметрами»
Для предпрофильной подготовки учащихся 8-9 классов
       

 Здравствуйте, дорогие ребята!
Я рада приветствовать на своем курсе вас, любящих математику, интересующихся решением логических задач, желающих в будущем связать себя с царицей наук.
Я рада приветствовать всех тех ребят, кто заглянул сюда из-за любопытства,  которые не определились с выбором профиля, может вам пригодятся полученные здесь знания при подготовке к ЕГЭ. 
В своем курсе ДО я используем такие элементы обучения, как лекция, тест-тренинг, практические и самостоятельные работы, чаты и итоговую контрольную работу.  

Лекции ( У-1)строятся по типу чередования страниц с теоретическим материалом и страниц с вопросами. Материал лекции строится таким образом, чтобы в основе обучения лежал деятельностный подход. То есть практически в каждом параграфе содержится какое-либо задание, которое выполняется совместно с учителем, либо самостоятельно.

 По завершении лекции учащиеся проходят тест-тренинг(Тест «Найти параметр» и т.д.), который помогает вам самим проверить, насколько вы усвоили пройденный материал, и повторить его. На выполнение таких тестов отводится неограниченное количество попыток с начислением или нет штрафных баллов за неправильные ответы. 

После прохождения лекционного тематического блока учащемуся предлагается выполнить самостоятельную работу,( которая не ограничена по времени) и отправить преподавателю на проверку(СР№ 1и т.д.)



Чат будет использоваться для вопросов –ответов, для обсуждения  возникших в ходе выполнения самостоятельной работы вопросов. При этом в обсуждении принимают участие как преподаватель, так и другие ученики. Мой skype: maina601
Данный блок (курс) завершится итоговой контрольной работой (КР) и круглым столом. 
Темы курса:
Что такое параметр?
Примеры  равенств с параметрами
Равносильность уравнений
Преобразования, при которых данное уравнение переходит в равносильное:
Преобразования, при которых появляются уравнения – следствия
 Таблица равносильных преобразований 

Уравнения и неравенства с параметрами
1.Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
2.Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
3.Некоторые рациональные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.

Наши цели:
                       - знать, что такое параметр,
                         - знать, что значит решить уравнение и неравенство с параметром;
                         -уметь решать уравнения и неравенства с параметром;
                        - уметь отличать в уравнениях  и неравенствах параметр от неизвестных;
                        - уметь выбирать и  записывать ответ в уравнениях и неравенствах
                         с параметрами.

Урок 1.Что такое параметр?
Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами.
Уравнение или неравенство называются параметрическими.



                                                                     


Примеры  равенств с параметрами
 линейная функция y=кx+b, k, b - параметры, x, y- переменные;
 квадратичная функция y= ax²+bx+c, где а≠0        
a, b, c-параметры,   x, y –переменные;
уравнение окружности  с центром в начале координат имеет вид                         ,где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.


Практическая работа (совместно с учителем)Составьте уравнение с параметром, чтобы:
 каждому значению параметра соответствовало единственное значение переменной х;
 при любом значении параметра оно не имело корней;
 которое не имеет корней при  всех а<0;
 которое не имело корней при каком-то одном  значении параметра, а при всех остальных его значениях имело бы корни;
 которое имело бы  корни при одном значении параметра, а при всех остальных его значениях не имело бы корней.

Тест-тренинг.
 

 Тест  «Найти параметр»
Урок 2-3.Равносильность уравнений
Определение 1. Пусть имеются два уравнения f (х)=g (х) и f (х)=g (х).
  Если каждый корень первого уравнения  является корнем второго уравнения, и каждый корень второго уравнения является корнем            первого, то эти уравнения называют равносильными.
Пример. Уравнения 3х=9 и                           являются равносильными. Значение  х=3 -их корень.
Уравнения                     и 3х²+8=0 тоже равносильны, так как ни одно из них   не имеет корней.
Определение 2. Если каждый корень одного уравнения является корнем другого, то второе уравнение является следствием первого. (Из определения  следует, что если два уравнения не являются следствием друг друга, то они равносильны).
Пример. Уравнение (х+2)(х-3)=0 является следствием уравнения 2х=6, так  как число 3 является корнем второго уравнения, но не является корнем первого.

Преобразования, при которых данное уравнение переходит в равносильное:
1. Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный.
Пример. Уравнение х²+7=3х равносильно уравнению
  х²-3х+7=0.
2. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример. Уравнение 9х-5=4 равносильно  9х-1=0.
3. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример. Уравнение 2,5х+3,5=2 равносильно 5х+7=4.
4. Если обе части  уравнения f(х)=g(х) умножить или разделить на функцию     у=k(х) (для всех х выполняется k(х)≠0 ), то получится уравнение, равносильное данному.
Пример. Уравнение 4(х²+1)²- (х²+1)=0 равносильно уравнению (х²+1)= .


Преобразования, при которых появляются уравнения – следствия:
1. Освобождение от знаменателя.

Пример. Уравнение                     
не равносильно уравнению х²+1=х(х-1), так как первое уравнение имеет только один корень -1, а второе - два корня 1 и -1.
2. Возведение в одну и ту же чётную степень.
Пример. Уравнения                  
и х²=3-2х не равносильны, т.к. первое уравнение имеет только один корень 1, а второе - два корня 1 и -3.
Каждое второе уравнение называют  следствием первого.  Переходя от одного уравнения к его следствию, мы не потеряем корней уравнения, но, возможно, приобретём лишние. Поэтому необходима проверка полученных  его корней непосредственной подстановкой в исходное  или составлением смешанной системы, включающей ограничения на то действие, которое изменило равносильность.

Практическая работа  (зад.1-1,3,5; зад.2-1,3-совместно с учителем, остальное- самостоятельно)
Задание 1. Какие из пар уравнений являются равносильными? Какое уравнение в парах является следствием другого?
1)                  и 5х+6=4-2х.
2) (х+3)²=(4-х)² и 
3)          и 9-х²=0.
4) 6х²-11х+5=0 и х- 5/6=0.
5)                       
6) 3х-2=х и (3х-2)           = х 
Задание 2. При каких значениях параметра a уравнения равносильны?
1)5х-101=0 и (5х-101)             =0.
2) 2х-7+           =3х-а+               и 2х-7=3х-a.
3)                   и 4х+3=0.


ОТВЕТЫ: 1.  1) Равносильны.
                       2) Равносильны.
                       3) Второе является следствием первого.
                       4) Первое является следствием второго. 
                       5) Первое является следствием второго. 
                       6) никакое из уравнений не является следствием другого.
                  2.  1) при a>0; 
                       2) при  a>9;
                       3) при a=3/4 .

С.Р.№1     Таблица равносильных преобразований (заполнить самостоятельно, привести примеры)
Таблица неравносильных преобразований
                Вопросы:
1)Что такое параметр?
2) Какие уравнения называются равносильными?
3) Какие уравнения называют уравнениями- следствиями?
4) Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям?
5) Какие преобразования приводят к уравнениям - следствиям? 

Работа в skype
чат-форум по вопросам к урокам1-3
Уравнения и неравенства с параметрами
1.Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
2.Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
3.Некоторые рациональные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
Уроки 4-5Линейные уравнения
    Уравнение вида 
А х = В, (1) 
где А, В – выражения, зависящие от параметров, 
          х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами. 
Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество корней заданного уравнения.

Замечания:
 Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1), то сначала его нужно привести к виду (1) (стандартному виду) и только после этого проводить исследование. 
Если для каких-нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров множество решений уравнения пусто. Кроме этого, уравнение может иметь пустое множество решений и при других значениях параметров.
Решение задач
Задача1. Для всех значений параметра k решить уравнение: (k+4)x=2k+1
Решение: Уравнение уже записано в стандартном виде(1), поэтому проведем исследование по указанной выше схеме:
1) Еслиk+4=0, т.е. k=-4,  имеем 0*х=-7, то уравнение не имеет решений.
2) Если k+4 ≠  0,т.е. k=-4. то х=(2k+1)/(k+4)
Ответ: если k=-4, то х ϵ Ǿ
              если k ≠ -4, то х =(2k+1)/(k+4)

Задача 2. Для всех значений параметра а решить уравнение (3/4a-1) х- 3а+4 =0
Запишем уравнение в стандартном виде (3/4a-1) х= 3а-4 
1)3/4а-1=0, то а=4/3. Тогда уравнение имеет вид 0*х=0 Это равенство верно при любом х. Значит решением уравнения будет все множество действительных чисел, т.е. х ϵR.
2)3/4а -1 ≠ 0, то а  ≠ 4/3. Тогда х=(4-3а)/(3/4а-1) =-4
Ответ: если  а=4/3,то х ϵR.
              если а  ≠ 4/3, то х=-4
Задача 3
Для всех значений параметра р решить уравнение

Решение:1)
1)при р=1 уравнение имеет вид 0*х=2 
при р=-1 уравнение имеет вид 0*х=0            R

2)


Ответ: 
                                              R
Задача 4
Для всех значений параметров а и в решить уравнение 

Решение: 1) 
Если                                          ,    то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому 
Если 

2)
Ответ:



Повторение- мать учения!

«Линейные уравнения с параметром»

Тест-тренинг:
 «Линейные уравнения с параметром»
С.Р.№2.   Решить самостоятельно
Уроки 6-7Линейные неравенства с параметром
Неравенства вида                                                         , где А и В - действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а х - неизвестное, называются линейными неравенствами.
Решить неравенство с параметрами- значит для всех значений параметров найти множество решений заданного неравенства.
Задача 1
Задача 2
задача3
Повторение- мать учения!
Повторим!

Тест-тренинг
«Линейные неравенства с параметром»
Урок 8Это интересно!

Изучи самостоятельно!
Чат-форум по просмотренным презентациям.
С.Р.№3. Решить самостоятельно
Урок 9-10.Некоторые рациональные уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным
С.Р.№4. Решить самостоятельно
Вопросы
1)Что значит решить уравнение с параметром? 

2)Какой вид имеет линейное уравнение? 

3)Схема исследования линейного уравнения

4)Схема исследования линейного неравенства

5) Зачем надо знать ответы на эти вопросы?

Контрольная работа
Критерии оценивания контрольной работы
Чтобы получить оценку3, достаточно   правильно решить  № 1,2
Чтобы получить оценку 4, достаточно правильно решить № 3,4.
Чтобы получить оценку 5,достаточно правильно решить №5,6.
Приветствуется, если решили все номера.
Вопросы для форума(«круглый стол»)

Имели ли вы представление о содержании данного курса?
Не сожалеете ли вы, что выбрали данный элективный курс?
Встречались ли вы раньше с заданиями, содержащими параметр?
Испытывали ли вы затруднения в понимании смысла заданий, содержащих параметр, до изучения  курса?
Оказался ли вам полезен этот курс?
Оцените уровень своих умений в выполнении заданий с параметрами после изучения курса:
- задания не вызывают затруднений;
- иногда затрудняюсь;
- слабо ориентируюсь;
- так ничего и не понял.
  Что, по-вашему, может способствовать лучшему усвоению курса?
  Хотели бы вы продолжить изучение различных способов решения задач       с параметрами?

Форум
Подведение итогов