Уравнения с параметром. Теорема Виета
Автор: Чумакова Мария Евгеньевна (учитель математики, МБОУ "Гимназия №22")
Тип документа: Конспект. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 14.01.2016
Описание: В представленной работе рассматриваются уравнения с параметром. Обосновано применение Теоремы Виета, как для обычных уравнений, так и для уравнений с параметром.

Чумакова Мария Евгеньевна
МБОУ "Гимназия №22"
г. Майкоп
Учитель математики

Методическая разработка.
Тема: Уравнения с параметром. Теорема Виета.

1.Линейные уравнения.
Определение: Уравнение вида  называют линейным уравнением.
Рассмотрим уравнение , любая из входящих в уравнение букв может считаться переменной, поэтому если нет уточнений, мы считаем, что х переменная, а  параметры. 
Запишем план решения: 
Перенесем  вправо, поменяв знак. Что эта фраза означает математически?
С любым ли числом  мы можем это сделать?
На самом деле мы из обеих частей вычитаем , а вычитать можно любые числа.
Чтобы найти х надо разделить на  При каких  это можно сделать?
Возникает ветвление параметра: I  (Параметр принимает конкретное значение, подставляем его в первоначальное уравнение)

Это уравнение при любых х превращается в тождество, поэтому переменная принимает любые значения.
II , тогда .
Вывод: если  любое действительное число, то  любое действительное число,
если  любое действительное число, то .
Пример 1. При всех значениях  решить уравнение: (.
Решение: 
I Если , то возникает ветвление параметра:
 (Параметр принимает конкретное значение, подставляем его в первоначальное уравнение)
.
Равенство не верное, следовательно уравнение решений не имеет
 (Параметр принимает конкретное значение, подставляем его в первоначальное уравнение)
.
Это уравнение при любых значениях  превращается в тождество.
II Если , то можно разделить на , получаем .
Ответ: если , то нет решений,
если , то ,
если , то .
Пример 2. При всех значениях  решить уравнение: .
Решение:
Вынесем за скобки , получаем: .
Рассмотрим ветвление параметра:
I , то есть , подставим в уравнение и получим, , это равенство выполняется при всех значениях переменной.
II , разделим обе части на , получим





Ответ: если , то ,
если , то .
Пример 3. Решить уравнение  относительно переменной х.
Решение:
1 способ. Раскроем скобки: .
Запишем уравнение в стандартном виде: .
I Пусть , то есть , то имеем верное равенство , поэтому .
II В случае, если выражение   , имеем решение , т.е. х = 1.
2 способ. Вынесем за скобки , получаем: . Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Имеем . Таким образом, если , то  любое число, а если , то х = 1.
Ответ: если  , то ,
если , то х = 1.
Пример 4. Решить уравнение  относительно переменной х.
Решение.
Так как  находится в знаменателе, то множеством допустимых значений параметра есть объединение лучей .
Пусть , умножим уравнение на , получим . 
Преобразуем уравнение к виду . Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 x = 0, следовательно, х – любое число.
Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид .
Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Такое изображение называется разверткой по параметру.
Ответ: если , то ,
если , то .
2. Квадратные уравнения.
Квадратные уравнения часто является элементом различных более сложных уравнений и неравенств, в том числе и с параметром, поэтому важно научиться решать их быстро. Рассмотрим способы ускоренного решения квадратных уравнений на основе теоремы Виета. 
Теорема Виета. Для того чтобы числа , были  корнями уравнения , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:
 и .  Далее в тексте будем обозначать ТВ.
В прямой теореме подразумевается, что уравнение имеет корни (). 
Если это не учитывать, то можно сделать неверные выводы, рассмотрим пример характеризующий это.
Пример 5. Не вычисляя корней уравнения , найдите сумму квадратов корней.
Решение.
Так как   и , то имеем: 
.
Обратите внимание, что сумма квадратов получилась отрицательным числом. Если мы решаем уравнение в комплексных числах, то это ответ. Если решать в действительной области, то обязательна проверка дискриминанта. Так как , то уравнение корней не имеет и задача не имеет решения.
Для приведенных квадратных уравнений теорема Виета принимает более простой вид:
Для приведенного квадратного уравнения  сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q.
Рассмотрим задание 1.
В первом и втором столбцах произведение корней положительно, то есть корни одного знака, а сумма показывает знак корней, так в первом столбце корни положительны, а во втором отрицательны. (3.   и  8. )
В третьем и четвертом столбцах произведение корней отрицательно, то есть корни разного знака, если сумма положительна, то есть второй коэффициент отрицательный, то больший корень положительный и если сумма отрицательна, то есть второй коэффициент положительный, то больший корень отрицательный. (13. ) 
Задание 1. Решите квадратное уравнение с помощью теоремы Виета
Рассмотрим не приведенные квадратные уравнения, разберем способ их решения, основанный на теореме Виета
Рассмотрим уравнение . Умножим обе части на . Получим приведенное квадратное уравнение относительно 
, это уравнение квадратное относительно , но оно является приведенным. Обозначим , получим уравнение , решив его по ТВ, получаем корни , чтобы найти , разделим каждое t на . Этот метод еще называют методом переброски коэффициента. Рассмотрим пример (17. из задания 2)
Заметим, что 36 имеет много делителей, а сумма 13 нечетное число, то есть надо выбирать нечетный делитель 36, простым подбором убеждаемся, что 3 не подходит, а 9 подходит. 
Задание 2. Решите квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.
В задании 3 применяется следующая теорема:
Теорема. 1) Если сумма коэффициентов квадратного уравнения  равна нулю, , то  корень этого уравнения.
(По ТВ легко находится второй корень )
2) Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то  корень этого уравнения.
(По ТВ легко находится второй корень )
Задание 3. Решите квадратное уравнение с помощью свойства .
Отметим, что многие уравнения и неравенства с параметром решаются также быстро, с помощью теоремы Виета.
2. Уравнения, сводимые к квадратным.
Рассмотрим два вида уравнения сводимые к квадратным:
	(1)
а также уравнения вида
,	(2)
где  и  – заданные числа, а   – некоторая функция.
Для того, чтобы решить уравнения вида (1), введем новую переменную 
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной  :
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того чтобы решить уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Пример 6. Решите уравнение
Решение. 
Если обозначить , то уравнение превратится в квадратное относительно :  .
По ТВ .

или

Ответ: 
Пример 6. Решите уравнение

Решение. Если обозначить 
где  ,то уравнение (8) превратится в квадратное относительно t 
Так как , не подходит. 


Ответ: 
Пример 7. Решить уравнение  .
Решение.
Если обозначить , то уравнение превратится в квадратное относительно t: . По ТВ . 
Так как , не подходит. 



Ответ: 

Задания для самостоятельного решения
Решите уравнение при всех значениях : .
Решите уравнение при всех значениях : .
Решите уравнение при всех значениях : .
Решите уравнение с параметром по ТВ: .
Решите уравнение с параметром по ТВ: .
Решите уравнение по ТВ: .
Решите уравнение: .
Решите уравнение: 
Решите уравнение: .
Решите уравнение: .
Решите уравнение: .