Элективный курс по математике «Методы решения уравнений и неравенств». 11 класс
Автор: Лукьянченко Елена Юрьевна (учитель математики, Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа №23" НГО)
Тип документа: УМК. Аудитория: Учителя средней школы. Дата публикации: 24.12.2014
Описание: Элективный курс  « Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов общеобразовательной  школы, изучающих математику на базовом уровне,  и предполагает совершенствование подготовки школьников к ЕГЭ на повышенном уровне, а также  предусматривает овладение различными приемами, способами  решения задач, уравнений, систем, неравенств.


                                                   Лукьянченко Елена Юрьевна
                      Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
                                 "Средняя общеобразовательная школа №23" НГО
                                                          Учитель математики

                        Элективный курс по математике
                   «Методы решения уравнений и неравенств»
                                  11  класс

                            Пояснительная записка

           Элективный курс  « Решение уравнений и  неравенств»  предназначен
для учащихся 11 классов общеобразовательной  школы, изучающих математику  на
базовом уровне,  и предполагает совершенствование  подготовки  школьников  к
ЕГЭ на повышенном уровне,  а  также   предусматривает  овладение  различными
приемами, способами  решения задач, уравнений, систем, неравенств.


      Данный  элективный  курс   практико-ориентированного   вида,   поэтому
программа курса имеет практическую направленность. Преподавание  элективного
курса  строится   как   углубленное   изучение   вопросов,   предусмотренных
программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения  методам
и  приемам  решения  математических  задач,  требующих  применения   высокой
логической  и  операционной  культуры,  развивающих  научно-теоретическое  и
алгоритмическое мышление  учащихся.  Тематика  задач  не  выходит  за  рамки
основного  курса,  но  уровень  их  трудности  –   повышенный,   существенно
превышающий  обязательный.   Особое   место   занимают   задачи,   требующие
применения учащимися знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.


      Обобщение  систематизации  математических  знаний,  умений  и  навыков
осуществляется  на  основе  рассмотрения  общих  методов  решений  различных
классов уравнений,  неравенств,  систем  уравнений  и  систем  неравенств  с
использованием обобщённых приёмов  решения.  Рассматриваются  принципиальные
вопросы,  связанные  с  равносильностью  уравнений,  с  потерей  корней,   с
появлением  посторонних  корней,  со  способами  проверки  и  отбора  корней
уравнений.


      Многие  математические  задачи  сводятся   к   решению   уравнений   и
неравенств.  За  время  обучения  математике  школьникам  приходится  решать
достаточно   много   уравнений   и   неравенств:    линейных,    квадратных,
тригонометрических,    показательных,    логарифмических,    иррациональных.
Обучение методам   решения  уравнений  и  неравенств   традиционно  является
важнейшей частью  школьного курса   математики.  При  решении  уравнений   и
неравенств  помимо   технических   приходится   преодолевать   и  логические
трудности   и  в  частности    отвечать  на   вопрос,   почему   выполненные
преобразования   не  приводят    к   потере    корней     или   приобретению
посторонних   корней.   Данный   курс    помимо   теоретических    сведений,
необходимых  для решения  уравнений и неравенств,  содержит  интересные    и
красивые задачи, освещает   намеченные,  но  совершенно  не  рассматриваемые
методы, способы в  школьном  курсе  математики.    Расширение  и  углубление
математических знаний  происходит  за  счёт  решения  заданий,  связанных  с
использованием модулей и параметров.

       Теоретический   материал   классифицируется,   систематизируется    и
обобщается   в   ходе   решения    различных    задач,    с    использование
дифференцированного  подхода   к   учащимся,   основанного   на   достижении
обязательного уровня подготовки.

      Данный курс рассчитан на  34  часа  (1  час  в  неделю).  Предлагаемые
задачи   различны  по  уровню     сложности:  от  простых  упражнений     на
применение    изученных     формул    до   заданий   повышенной   сложности.
Разнообразный   дидактический   материал    даёт     возможность    отбирать
дополнительные   задания    для  учащихся    разной   степени    подготовки:
уровень  сложности  задач  варьируется   от   простых    до   конкурсных   и
олимпиадных. Все занятия направлены  на развитие  интереса   школьников    к
предмету, на расширение представлений об изучаемом   материале,  на  решение
новых и интересных  задач.


Цели курса:

    •  восполнить  некоторые  содержательные   пробелы    основного   курса,
      придающие  ему необходимую целостность;

    •  показать   некоторые   нестандартные  методы   решения  уравнений   и
      неравенств;

    •  формировать   качества  мышления,   характерные   для  математической
      деятельности и  необходимые    человеку   для  жизни    в  современном
      обществе



Задачи курса:


    •  научить   учащихся   решить   уравнения  и  неравенства    повышенной
      сложности;

    • приобрести   приёмы,  способы решения уравнений и неравенств;


    • углубить знания по математике, предусматривающие формирование у
      обучающихся устойчивого интереса к предмету;


    • выявить и развить математические способности учащихся;


    • расширить математические представления учащихся о  приёмах  и  методах
      решения задач различного типа сложности, включая задачи  с  модулем  и
      параметром повышение уровня  математического  и  логического  мышления
      учащихся;


    • обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования;


    • обеспечить   подготовку   к   профессиональной   деятельности,
      требующей   высокой математической культуры.


             Для  реализации  целей  и  задач  данного   элективного   курса
предполагается использовать следующие формы занятий: лекции,  практикумы  по
решению задач, практические работы, работа в  группах.  Все  занятия  должны
носить  проблемный  характер  и  включать  в  себя  самостоятельную  работу,
исследовательскую  работу.  Формой  контроля  являются  тематические  зачеты
(практические работы, тесты), рефераты, защита  своей работы.


Методы активного обучения:


Репродуктивный,   поисковый,    исследовательский,    проектный,    игровой,
коллективная деятельность (дискуссии).








                        Учебно-методический комплекс




   Список литературы:


   Литература для учащихся:


   1. Никольский С.Н., Потапов М.К. Решетников Н.Н. Алгебра и начала анализа
      10-11 .


   2. Чулков. П.В.Уравнения  и  неравенства  в  школьном  курсе  математики.


            Педагогический университет «Первое сентября»




   3.  Шандер  В.Н.  Уравнения  и  неравенства  -  М.  Российская   академия
      образования при МГУ.


   4.  Алгебраические   уравнения    в   курсе   элементарной    математики.
      Математика. «Первое сентября» 2011


   5. Жафяров А.Ж. Математика : профильный уровень, 2007г


   6. Гомонов  С. А. Методические  рекомендации  к  элективному  курсу  С.А.
      Гомонова   Замечательные  неравенства:  способы  получения  и  примеры
      применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. 2006.


   7. Элективный курс. Неравенства: через тернии к успеху. Алгебра 10  –  11
      классы./ Составитель Ким Н. А. 2007г.




   8. Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир м.С. Задачи с параметрами, 2007г.


   9. 3000 конкурсных задач по математике, 2009г. Под редакцией Бобылева  Н.
      А.


  10. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Показательные и логарифмические уравнения
      и неравенства, 2006г


  11. Сергеев И.Н. Математика, учебное пособие, 2008г



                        Содержание тем учебного курса

   1. Общие методы решения уравнений и неравенств


    • Метод разложения на множители
    • Метод введения новых переменных
    • Функциально - графический метод




   2. О равносильных уравнениях


     • Уравнения - следствия
     • Отбор, проверка и потеря корней уравнения




   3. Тригонометрические уравнения и неравенства


     • Метод разложения на множители
     • Введение новых переменных
     • Функционально - графический метод
     • Отбор корней в тригонометрических уравнениях и неравенствах




   4. Уравнения и неравенства высших степеней


     • Метод  решения
     • Искусственные приёмы решения
     • Дробно-рациональные неравенства


   5. Иррациональные алгебраические уравнения и неравенства


    • Способ «уединения» радикала
    • Введение вспомогательного неизвестного
    • Иррациональные неравенства


   6. Показательные уравнения и неравенства


    • Использование монотонности
    • Функционально - графический метод


   7. Логарифмические уравнения и неравенства


    • Основные и дополнительные свойства логарифмов
    • Логарифмические уравнения и системы уравнений
    • Логарифмические  неравенства и системы неравенств

   8. Модуль и его применение


    • Уравнения с модулем. Графические способы  решения
    • Неравенства с модулем. Графическое решение


   9. Параметры

    • Параметр. Уравнения и неравенства с параметрами


  10. Решение систем уравнений и неравенств

    • Решение систем уравнений и неравенств смешанного типа


  11. Итоговое повторение


    • Обобщающее повторение

   Формой итогового контроля может стать  самостоятельная  работа,  тестовая
   работа, собеседование, доклад, защита проекта, зачет и т.д.


   Требования к математической подготовке учащихся по результатам изучения
                              элективного курса

В результате изучения данного курса учащиеся должны:
знать:
    • основные методы и приёмы решения  уравнений  и  неравенств  различного
      уровня сложности;
    • алгоритмы решения уравнений,  неравенств,  содержащих  переменную  под
      знаком модуля;
    • особенности их решения.
уметь:
    • решать задачи обязательного и  повышенного  уровня  сложности  (решать
      уравнения   высших   степеней,   тригонометрические,    показательные,
      логарифмические,  содержащие  переменную  под  знаком  модуля,  решать
      задачи с параметром);
    • применять нестандартные методы при решении уравнений и неравенств,  их
      систем;
    • точно и грамотно формулировать  изученные  теоретические  положения  и
      излагать собственные     рассуждения при решении задач;
    • применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

    •   правильно        пользоваться    математической     символикой     и
      терминологией;
    • использовать приёмы, рационализирующие вычисления.
Ожидаемые результаты
      Учащиеся должны знать:  понятие  параметра,  прочно  усвоить  понятие
модуль числа,
алгоритмы решений задач с модулями и параметрами, различные приёмы при
решении тригонометрических, иррациональных, показательных и комбинированных
уравнений, неравенств и систем.
      Должны уметь: решать   уравнения и неравенства с модулем и параметром;
применять различные  приёмы  при  решении  рациональных,    иррациональных,
показательных и комбинированных  уравнений  и  неравенств;  знать  и  уметь
применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств.
      В курсе заложена возможность дифференцированного  обучения  как  путём
использования задач различного  уровня сложности, так и на основе  различной
степени  самостоятельности  осваивания  нового   материала.   Следовательно,
программа применима для самых  разных  групп  школьников,  в  том  числе  не
имеющих хорошей подготовки.
      На изучение всего курса отводится 34 часа, по окончании  предусмотрено
зачётное мероприятие на 2  часа в виде контрольной или тестовой работы.

                      Формы организации учебных занятий

Формы   проведения   занятий   включают   в  себя  лекции,  практические
работы  (тестовой формы), игры, зачет, исследовательские работы, тренинги
по использованию методов поиска решений.
Основной     тип    занятий     комбинированный    урок.    Каждая    тема
  курса    начинается   с  постановки  задачи.  Теоретический  материал
излагается  в  форме  мини   лекции.   После изучения теоретического
материала выполняются практические задания для его закрепления.
Занятия    строятся   с   учётом   индивидуальных   особенностей
обучающихся,   их    темпа восприятия и уровня усвоения материала.
                          Формы итогового контроля

         В   ходе   обучения   периодически   проводятся   непродолжительные
практические работы  и тестовые испытания для определения глубины  знаний  и
скорости выполнения заданий, исследовательские  работы,  зачет.  Контрольные
замеры обеспечивают эффективную  обратную  связь,  позволяющую  обучающим  и
обучающимся корректировать свою деятельность.
Систематическое  повторение   способствует   более   целостному   осмыслению
изученного  материала,  поскольку  целенаправленное  обращение  к  изученным
ранее темам позволяет  учащимся  встраивать  новые  понятия  в  систему  уже
освоенных знаний.


                               Структура курса
      Всего на проведение занятий отводится 34 часа. Включенный в  программу
материал   предполагает   повторение   и   углубление   следующих   разделов
математики:
|№ п/п       |Модуль                                      |Примерное           |
|            |                                            |количество часов    |
|1           |Общие методы решения уравнений и неравенств |3                   |
|2           |О равносильных уравнениях                   |1                   |
|3           |Тригонометрические уравнения и неравенства  |4                   |
|4           |Уравнения и неравенства высших степеней     |4                   |
|5           |Иррациональные алгебраические  уравнения и  |4                   |
|            |неравенства                                 |                    |
|6           |Показательные уравнения и неравенства       |3                   |
|7           |Логарифмические уравнения и неравенства     |5                   |
|8           |Модуль и его применение                     |2                   |
|9           |Параметры                                   |2                   |
|10          |Решение систем уравнений и неравенств       |2                   |
|11          |Итоговое повторение                         |4                   |
|            |Итого:                                      |34                  |


                        Календарно-тематический план


|№    |Дата      |Тема                                  |Формы               |
|урока|          |                                      |работы              |
|                                                                            |
|Общие методы решения уравнений и неравенств  (3 часа)                       |
|1    |01.09.14  |Метод разложения на множители         |Лекционно-практическ|
|     |          |                                      |ое занятие.         |
|     |          |                                      |Исследование общих  |
|     |          |                                      |методов решения     |
|     |          |                                      |уравнений и         |
|     |          |                                      |неравенств.         |
|2    |08.09.14  |Метод введения новых переменных       |                    |
|3    |15.09.14  |Функционально - графический метод     |                    |
|                                                                            |
|О равносильных уравнениях  (1 час)                                          |
|4    |22.09.14  |Уравнения - следствия                 |Лекционно-практическ|
|     |          |Отбор, проверка и потеря корней       |ое занятие          |
|     |          |уравнения                             |                    |
|                                                                            |
|Тригонометрические уравнения и неравенства (4 часа)                         |
|5    |29.09.14  |Метод разложения на множители         |Лекция              |
|     |          |                                      |                    |
|     |          |                                      |Практикум           |
|     |          |                                      |                    |
|     |          |                                      |Исследование        |
|     |          |                                      |различных способов  |
|     |          |                                      |решения             |
|     |          |                                      |тригонометрических  |
|     |          |                                      |уравнений и         |
|     |          |                                      |неравенств          |
|     |          |                                      |                    |
|     |          |                                      |Практическая работа |
|6    |06.10.14  |Введение новых переменных             |                    |
|7    |13.10.14  |Функционально - графический метод     |                    |
|8    |20.10.14  |Отбор корней в тригонометрических     |                    |
|     |          |уравнениях и неравенствах             |                    |
|                                                                            |
|Уравнения и неравенства высших степеней  (4 часа)                           |
|9    |10.11.14  |Метод  решения                        |Лекция              |
|10   |17.11.14  |Искусственные приёмы решения          |Лекционно-практическ|
|     |          |                                      |ое занятие          |
|     |          |                                      |Проектно-игровая    |
|     |          |                                      |деятельность        |
|11   |24.11.14  |Дробно-рациональные неравенства       |                    |
|12   |01.12.14  |Дробно-рациональные неравенства       |Тестовая работа     |
|                                                                            |
|Иррациональные алгебраические уравнения и неравенства (4 часа)              |
|13   |08.12.14  |Способ «уединения» радикала           |Лекция.             |
|     |          |                                      |Практикум.          |
|     |          |                                      |Исследование        |
|     |          |                                      |различных способов  |
|     |          |                                      |решения             |
|     |          |                                      |иррациональных      |
|     |          |                                      |уравнений и         |
|     |          |                                      |неравенств.         |
|14   |15.12.14  |Введение вспомогательного неизвестного|                    |
|15   |22.12.14  |Иррациональные неравенства            |                    |
|16   |12.01.15  |                                      |Тестовая работа     |
|     |          |Иррациональные уравнения и неравенства|                    |
|                                                                            |
|Показательные уравнения и неравенства  (3 часа)                             |
|17   |19.01.15  |Использование монотонности            |Лекционно-практическ|
|     |          |                                      |ое занятие          |
|18   |26.01.15  |Функционально - графический метод     |Лекционно-практическ|
|     |          |                                      |ое занятие          |
|19   |02.02.15  |Функционально - графический метод     |Практикум           |
|     |          |                                      |(п/р)               |
|                                                                            |
|Логарифмические уравнения и неравенства (5 часов)                           |
|20   |09.02.15  |Основные и дополнительные свойства    |Лекция              |
|     |          |логарифмов                            |                    |
|     |          |                                      |Практикум           |
|     |          |                                      |                    |
|     |          |                                      |Исследование        |
|     |          |                                      |различных способов  |
|     |          |                                      |решения             |
|     |          |                                      |логарифмических     |
|     |          |                                      |уравнений и         |
|     |          |                                      |неравенств          |
|     |          |                                      |                    |
|     |          |                                      |Практическая работа |
|21   |16.02.15  |Логарифмические уравнения и системы   |                    |
|     |          |уравнений                             |                    |
|22   |23.02.15  |Логарифмические уравнения и системы   |                    |
|     |          |уравнений                             |                    |
|23   |02.03.15  |Логарифмические  неравенства и системы|                    |
|     |          |неравенств                            |                    |
|24   |09.03.15  |Логарифмические  неравенства и системы|                    |
|     |          |неравенств                            |                    |
|                                                                            |
|Модуль и его применение  (2 часа)                                           |
|25   |16.03.15  |Уравнения с модулем. Графические      |Лекционно-практическ|
|     |          |способы  решения                      |ое занятие          |
|26   |30.03.15  |Неравенства с модулем. Графическое    |Лекционно-практическ|
|     |          |решение                               |ое занятие          |
|Параметры (2 часа)                                                          |
|27   |06.04.15  |Уравнения и неравенства с параметрами |Лекционно-практическ|
|     |          |                                      |ое занятие          |
|28   |13.04.15  |Уравнения и неравенства с параметрами |Практикум, тестовая |
|     |          |                                      |работа;             |
|Решение систем уравнений и неравенств (2 часа)                              |
|29   |20.04.15  |Решение систем уравнений и неравенств |Практикум           |
|     |          |смешанного типа                       |                    |
|30   |27.04.15  |Решение систем уравнений и неравенств |Практическая работа |
|     |          |смешанного типа                       |                    |
|Итоговое повторение (4 часа)                                                |
|31   |04.05.15  |Итоговое повторение (Обобщение решения|Практикум           |
|     |          |уравнений и неравенств)               |                    |
|32   |11.05.15  |Итоговое повторение (Обобщение решения|Практикум           |
|     |          |уравнений и неравенств)               |                    |
|33   |18.05.15  |Итоговая диагностика                  |Зачет               |
|34   |22.05.15  |Итоговая диагностика                  |Зачет               |