Введение в теорию массового обслуживания
Автор: Белый Евгений Константинович (доцент, пенсионер)
Тип документа: Другое. Аудитория: Учителя. Дата публикации: 22.05.2021
Описание: Теория массового обслуживания родилась в датском королевстве в начале XX века под именем «Теория очередей». Первые идеи теории были высказаны директором Копенгагенской телефонной компании Фредериком Йохансоном в 1907 году в статье.«Время ожидания и число вызовов». Затем идеи были математически развиты и оформлены инженером той же компании Агнером Эрлангом. Опубликованную им в 1909 году статью «Теория вероятностей и телефонные переговоры» принято считать краеугольным камнем в фундаменте теории. В 30-х годах теорией очередей серьезно занялся Александр Яковлевич Хинчин в связи с автоматизацией московской городской телефонной сети. В научной литературе прижился введенный тогда Хинчиным термин «теория массового обслуживания» (ТМО), а предмет исследований вскоре стали называть системами массового обслуживания (СМО). ТМО опирается на фундаментальные работы в области теории случайных процессов Андрея Андреевича Маркова, Андрея Николаевича Колмогорова и ряда других математиков.

1Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУ ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. К. Белый
Введение в теорию массового 
обслуживания
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению 
«Информационные системы и технологии»
Петрозаводск
Издательство ПетрГУ
2014
2УД К 519. 21
ББК 22.172Д439
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Петрозаводского государственного университета
Издается в рамках реализации комплекса мероприятий
Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012—2016 гг.
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор каф. геометрии и топологии ПетрГУ 
С. С. Платонов ;
д-р эконом. наук, зав. отделом моделирования и прогнозирования 
регионального развития института экономики КарНЦ РАН 
П. В. Дружинин
  Белый, Евгений Константинович.
Б439 Введение в теорию массового обслуживания : учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Информационные системы и технологии» / Е. К. Белый. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2014. – 76 с.
  ISBN 978-5-8021-2203-7
  Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по 
направлению «Информационные системы и технологии», а также для всех интересующихся теорией массового обслуживания и владеющих математическим аппаратом в рамках вузовского курса высшей математики и теории вероятностей. 
          УДК 519.21          ББК 22.172
 © Белый Е. К., 2014
 © Петрозаводский государственный универ-  ситет, 2014
ISBN 978-5-8021-2203-7
.
Со дер ж ание
Введение 4
Г лава 1. Вх о дящий поток 9
§ 1.1. Определение простейшего поток а . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1.2. Уравнения простейшего поток а . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 1.3. Свойства простейшего поток а . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 1.4. Простейший нест ационарный поток . . . . . . . . . . . . 21
Г лава 2. Марк овск ая мо дель СМО 26
§ 2.1. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 2.2. Однок анальная СМО с отк азами . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 2.3. Дублированная СМО с восст ановлением . . . . . . . . . 38
§ 2.4. СМО с приоритетными заявк ами . . . . . . . . . . . . . 44
Г лава 3. Процессы гибели и размно ж ения 55
§ 3.1. Форму лы Эрланг а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 3.2. Многок анальная СМО с отк азами . . . . . . . . . . . . . 58
§ 3.3. Однок анальная СМО без ограничений на длину очереди 62
§ 3.4. Однок анальная СМО с ограничением на длину очереди 66
§ 3.5. Однок анальная СМО с нетерпеливыми заявк ами . . . . 67
§ 3.6. Замкнут ая о днок анальная СМО . . . . . . . . . . . . . . 68
Биографические справки 72
Список литературы 75
3
Введение
Т о и де ло р аздаются го лос а, утверждающие, будто главная за-
дача обучения мате матике в шко ле и вузе – это научить людей
логически мыс лить. Отсюда чрезмерная фор мализация мате-
матических дисциплин, изложение их в отрыве от задач пр ак-
тики. Слов нет, привычка к логическо му мышлению – хорошее
де ло, но у мате матики есть и другие задачи: активного вмеша-
те льства в пр актику, р азумной организации производственных
и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от мате мати-
ка ответа на вопрос, как поступить в то м или друго м с лучае,
при тех или других с ложившихся обстояте льствах. И де ло его
чести – не уходить от этих требований в пучину абстр акций,
а по мере сил удовлетворять их.
Е. С. Вентцель
Т еория массового обслуживания ро дилась в датск ом к оролев-
стве в на чале XX век а по д именем «Т еория очередей» . Первые
идеи теории были выск азаны директором Копенг агенск ой теле-
фонной к омпании Фредерик ом Йо х ансоном в 1907 го ду в ст атье
«Время о жидания и число вызовов» . Затем идеи были математи-
чески развиты и оформлены инж енером той ж е к омпании Агне-
ром Эрлангом. Опублик ованную им в 1909 го ду ст атью «Т еория
веро ятностей и телефонные переговоры» принято счит ать кра-
еугольным к амнем в фундаменте теории. В 30-х го дах теорией
очередей серьезно занялс я Алек сандр Як овлевич Хинчин в связи
с автоматизацией моск овск ой горо дск ой телефонной сети. В на-
4
учной литературе прижилс я введенный тог да Хинчиным термин
«теория массового обслуживания» (ТМО), а предмет исследова-
ний вск оре ст али называть системами массового обслуживания
(СМО). ТМО опиралась на фундамент альные работы в области
теории случайных процессов Андрея Андреевича Марк ова, Ан-
дрея Ник олаевича Колмогорова и р яда других математик ов.
Хот я все на чалось с телефона, вск оре на ТМО обратили внима-
ние предст авители р яда на ук, далеких от проблем связи. Ок аза-
лось, что в мо дели СМО вписываютс я многие реальные явления:
от ж елезно доро жных к асс до противовоздушной обороны и про-
цессов, протек ающих в к омпьютере. С системами массового об-
служивания мы ст алкиваемс я буквально на к аждом шагу . СМО
– это торговля, общественное пит ание, транспорт , бани, банки,
страх овые к омпании, налоговая инспекция, парикмах ерские, ин-
ду стрия развлечений, ремонтные мастерские, здравоо хранение,
образование и т . д.
Что ж е предст авляет собой СМО? Это система, реализующая
многократное выполнение о днотипных зада ч. Для любой т ак ой
системы х арактерен, по крайней мере, о дин вх о дящий поток –
поток заявок на обслуживание, мно ж ество к аналов обслужива-
ния и к ак минимум о дин вых о дящий поток – поток обслуж енных
заявок. СМО мо ж ет быть зна чительно сло жней. Вых о дящие по-
токи обслуж енных заявок, заявок, получивших отк аз и заявок,
обслуживание к оторых было по той или иной причине прервано
5
в свою очередь могут образовывать вх о дящие потоки для дру-
гих по дсистем СМО. Т ак, поток пациентов на прием к терапевту
разделяетс я после обслуживания на вых о дящий поток заявок,
обслуживание к оторых завершено, и потоки заявок на обслужи-
вание к хирургу , к ар диологу и другим специалист ам. Источник
вх о дящего поток а в зависимости от целей исследования мо ж ет
рассматриватьс я к ак нечто внешнее по отношению к СМО или
ж е к ак часть системы.
Наск ольк о для орг анизации массового обслуживания нужна тео-
рия? Действительно, во многих случаях рук ово дящие решения
опираютс я на опыт и интуицию. И не всег да эти решения ок азы-
ваютс я пло хими. Однак о обратимс я к примеру из третьей г лавы:
пу сть пропу скная способность горо дск ого травматологическ ого
пункт а – 10 пациентов в час, а в горо де в этот перио д времени
случаетс я 9 травм в час. На первый взг ляд, здесь все в пор ядк е –
травматологический пункт долж ен справитьс я с работой. И все
ж е, сог ласно теории, средняя длина очереди у пункт а сост авит
8,1 человек а, а среднее время пребывания пациент а в очереди
– 0,9 часа (54 минуты). При этом 10 % времени работы пункт а
придетс я на простой. Например, если смена про долж аетс я 6 ча-
сов, то из них 36 минут персонал прост аивает . Другой пример:
малое к оличество к асс в супермарк ете приведет к росту очередей
в определенные перио ды работы маг азина и потере части поку-
пателей, а большое – к большому простою и неэффективным
рас х о дам на заработную плату к ассиров. Оптимальное решение
6
опять неочевидно. Мы тольк о что рассмотрели два самых про-
стых примера. А если речь пойдет об орг анизации работы рай-
онной поликлиники? Это уж е проектирование сло жной системы!
В основу предлаг аемого учебного пособия лег курс лекций, в
течение неск ольких лет чит аемый автором для сту дентов, обу-
чающих с я по направлению «Информационные системы и тех-
нологии» . Пособие призвано помочь сту денту овладеть первич-
ными навык ами исследования СМО и построения их мо делей.
К со ж алению, объем книги не позволил автору в полной мере
реализовать свои планы. Однак о, учитывая опыт препо давания
дисциплины, он стремилс я тщательно разобрать вопросы, вызы-
вающие у сту дентов наибольшее затру днение, дать приво димые
док азательства дост аточно по дробно, с делать изло ж ение доступ-
ным для широк ого круг а чит ателей. Небольшая книг а не мо ж ет
дать ответы на широкий спектр вопросов, но иног да, прежде
чем открыть солидную монографию, человеку нужно прочит ать
«тонкую» книгу , чтобы понять, к ому и за чем нужна теория, и
чтобы возникла заинтересованность.
Пособие состоит их трех г лав. Первая посвящена вх о дящим по-
ток ам – простейшему и простейшему нест ационарному . Во вто-
рой рассматриваютс я уравнения Колмогорова и примеры их ре-
шения для дост аточно простых СМО. Т аким образом, для р я-
да СМО получены аналитические решения дифференциальных
уравнений, описывающих их работу . В более сло жных случаях
7
аналитическ ое решение получить непросто. Однак о в широк ом
классе зада ч веро ятности возмо жных состо яний СМО быстро
приближ аютс я к нек оторым предельным зна чениям – у ст ано-
вившему с я решению. В третьей г лаве анализируютс я системы
гибели и размно ж ения для случая у ст ановивших с я решений.
Зна чительное влияние на структуру и со дер ж ание предлаг аемо-
го пособия ок азали работы А. Я. Хинчина [8], Б. В. Гнеденк о и
И. Н. Коваленк о [3], Л. Г . Лабск ера и Л. О. Бабешк о [7].
В к а честве источник а зада ч для творческ ого у своения и закреп-
ления пройденного материала мо жно рек омендовать книгу
О. А. Новик ова и С. И. Петух ова [6].
Замечания и предло ж ения мо жно направлять по о дному
из адресов:
b elyi@p etrsu.ru или kurs_b elyi1@mail.ru .
8
Г лава 1. Вх о дящий поток
Уж е давно в самых разных сферах человеческ ой деятельности
для описания процессов, протек ающих во времени, широк ое рас-
пространение получило понятие поток событий , к оторое озна-
чает последовательность событий, разделенных нек оторыми ин-
тервалами времени. Т ак, о дним из ключевых понятий финансо-
вой математики являетс я поток платеж ей, авто доро жники гово-
р ят о поток е машин. В теории массового обслуживания события
обычно называют заявк ами или требованиями и, соответствен-
но, рассматривают потоки заявок или требований.
События, образующие поток, могут проис х о дить к ак в фик сиро-
ванные, т ак и в случайные моменты времени. Например, ваши
дни ро ждения приурочены к фик сированным момент ам, а встре-
чи знак омых во время вашей прогу лки по горо ду , ск орее всего,
образуют поток случайных событий. Часто случайные факторы
накладываютс я на определенную зак ономерность. Т ак, даж е при
наличии четк ого расписания прибытия автобу сов на ст анцию ре-
альные моменты этих событий могут от личатьс я от плановых в
резу ль т ате непредвиденных задер ж ек: пробок на дорог ах, ост а-
новок у шлагба ума, пого дных у словий и т . д. Поэтому при по-
строении математических мо делей мы мо ж ем рассматривать мо-
менты наступления о дних и тех ж е событий к ак фик сированные
или к ак случайные, в зависимости от цели исследования, от раз-
броса фактических моментов наступления событий относитель-
но о жидаемых, от требований к точности. И все ж е часто, в силу
9
приро ды исследу емых явлений, события прих о дитс я рассматри-
вать именно к ак случайные.
Вопрос о том, что в той или иной ситу ации мо жно счит ать со-
бытием, обычно не вызывает затру днений. Если нас интересу ет
работ а диспетчера т ак си, очевидно, что событиями бу дут звонки
клиентов на служ ебный телефон, но ник ак не звонки ее по друг
на личный мобильный телефон. Другой вопрос – о дноро дность
поток а . Одноро дность озна чает возмо жность привлечь для об-
работки событий о дни и те ж е технологии, ресурсы системы. На
практик е часто нео дноро дный поток заменяют набором о дноро д-
ных поток ов. Например, нео дноро дный поток бытовой техники
в ремонтной мастерск ой у добно разбить на о дноро дные потоки
х оло дильник ов, чайник ов, утюгов и т . д. Это разбиение моти-
виру етс я специфик ой обслуживания соответствующих заявок и
различными квалифик ационными требованиями к мастерам по
ремонту техники. Здесь вопрос о дноро дности заявок тесно свя-
зан с вопросом г лубины специализации персонала мастерск ой.
По д источник ом вх о дящего поток а часто, но не всег да, по дразу-
мевают нечто внешнее по отношению к системе массового обслу-
живания, свойства к оторого не завис ят от особенностей функци-
онирования системы. Т ак, вх о дящий поток ст анции ск орой по-
мощи – мно ж ество телефонных вызовов вра ча – не зависит от
орг анизации работы ст анции.
10
§ 1.1. Определение простейшего поток а
В теории массового обслуживания наибольшее распространение
получил простейший поток. Это обу словлено тем, что он явля-
етс я дост аточно адекватной, математически обоснованной и на-
ск ольк о возмо жно простой мо делью многих реальных поток ов.
Простейшим нызывают поток о дноро дных событий, обладаю-
щий следующими тремя свойствами:
1. Ст ационарностью . Ст ационарность поток а озна чает , что
для любых вещественных 𝑇 ,𝑡 >0 и целого 𝑘≥0 веро-
ятность по явления 𝑘 событий на интервале (𝑇, 𝑇 +𝑡) не
зависит от T.
2. Отсутствием последействия . По д отсутствием последей-
ствия по дразумевают независимость веро ятности по явле-
ния𝑘 событий на интервале (𝑇, 𝑇+𝑡) от к оличества и вре-
мени по явления событий до момент а 𝑇 . В дальнейшем ве-
ро ятность по явления 𝑘 событий на интервале длины 𝑡 в
простейшем поток е бу дем обозна чать 𝑃𝑘(𝑡) .
3. Ор динарностью . Ор динарность поток а озна чает выпол-
нение равенства 𝑃>1(ℎ) =∘(ℎ) . Здесь 𝑃>1(ℎ) – веро ятность
по явления более о дного события за время ℎ , а∘(ℎ) – произ-
вольная вещественная функция h, беск онечно малая более
высок ого пор ядк а, чем ℎ . Т о есть
lim
ℎ→0𝑃>1(ℎ)
ℎ= 0.
11
Отсю да следу ет равенство ну лю веро ятности по явления о д-
новременно двух и более событий (разумеетс я, последнее
не исключает возмо жность по явления сразу двух и более
событий).
Простейший поток являетс я т аким ж е абстрактным математиче-
ским объектом, к ак пр ямая линия в геометрии. Ст ационарность,
отсутствие последействия и ор динарность не более чем допуще-
ния. Т ак, поток вызовов ск орой помощи мо жно счит ать ст ацио-
нарным лишь на нек оторых ограниченных интервалах времени
суток. При небольшом к оличестве радиоактивного вещества в
поток е распадов атомов последействие практически не имеет ме-
ст а, но в случае большой массы того ж е вещества наблю даетс я
цепная реакция, т . е. веро ятность распада нек оторого к оличе-
ства атомов на заданном интервале времени зависит от к оличе-
ства произошедших ранее распадов. Допущение об ор динарности
т акж е перио дически нарушаетс я. Например, в ж елезно доро жной
к ассе иног да приобрет аютс я билеты сразу на целую группу ту-
ристов. Увы, мы живем не в идеальном мире, но это не пово д
отк азатьс я от любых попыток понять его.
§ 1.2. Уравнения простейшего поток а
Введем обозна чение 𝑃0(1) = 𝜃 , г де 𝑃0(𝑡) – веро ятность того, что
за время 𝑡 не произойдет ни о дного события. Р азобьем единич-
ный интервал времени на 𝑛 равных частей. Т ог да для того, чтобы
на всем интервале не произошло ни о дного события, необ х о димо
12
и дост аточно, чтобы ни о дного события не произошло на к аж-
дом из 𝑛 частных интервалов. Поск ольку 𝑃0(1/𝑛) зависит толь-
к о от длины интервала, при у словии отсутствия последействия
𝑃0(1) = [ 𝑃0(1/𝑛)]𝑛=𝜃 или𝑃0(1/𝑛) =𝜃1
𝑛 . Аналогично при на-
туральном 𝑘 получим 𝑃0(𝑘/𝑛) =𝜃𝑘
𝑛 . Пу сть вещественное число
𝑡 >0 . Т ог да для любых 𝑡 и𝑛 мо жно найти т ак ое 𝑘 , что
𝑘−1
𝑛≤𝑡≤𝑘
𝑛=⇒
=⇒𝑃0(𝑘−1
𝑛)≥𝑃0(𝑡)≥𝑃0(𝑘
𝑛) или 𝜃𝑘−1
𝑛≥𝑃0(𝑡)≥𝜃𝑘
𝑛.
Т ог да
lim
𝑛→∞𝑘
𝑛= lim
𝑛→∞𝑘−1
𝑛=𝑡 и𝑃0(𝑡) =𝜃𝑡.
Поск ольку веро ятность всег да принимает зна чения из интерва-
ла[0; 1] , мы должны рассмотреть три случая: 𝜃= 0 ,𝜃= 1 и
0< 𝜃 < 1 . В первом случае 𝑃0(𝑡) = 0 для любого 𝑡 >0 и, сле-
довательно, на любом ск оль уго дно малом интервале произойдет
беск онечное мно ж ество событий, что противоречит принципу ор-
динарности поток а. Во втором случае 𝑃0(𝑡) = 1 и поток, к ак т а-
к овой, отсутству ет . Ост аетс я тольк о третий случай. Введем заме-
ну переменной 𝜃=𝑒−𝜆·𝑡, г де 𝜆 >0 – нек оторый вещественный
параметр. Т ог да, 𝜃∈(0; 1] =⇒ 𝜆∈[0; +∞) . Т аким об-
разом, веро ятность отсутствия событий на интервале длины 𝑡
задаетс я равенством 𝑃0(𝑡) =𝑒−𝜆𝑡. Смысл параметра 𝜆 мы выяс-
ним ниж е. Поск ольку 𝑒𝛼−1 =𝛼+∘(𝛼) или𝑒𝛼= 1 + 𝛼+∘(𝛼 ),
мы мо ж ем записать равенство, к оторое нам в ближ айшее время
приго дитс я: 𝑃0(ℎ) = 1−𝜆·ℎ+∘(ℎ) . Т еперь док аж ем лемму .
13
Лемма
В простейшем поток е 𝑃1(ℎ) =𝜆·ℎ+∘(ℎ) . Т о есть веро ятность
по явления о дного события за время ℎ с точностью до беск онечно
малой более высок ого пор ядк а, чем ℎ , пропорциональна ℎ .
Док азательство
Для любого ℎ∈[0; +∞], 𝑃 0(ℎ)+𝑃1(ℎ)+𝑃>1(ℎ) = 1 . По дст авив
в последнее равенство 𝑃0(ℎ) = 1−𝜆·ℎ+∘(ℎ) и𝑃>1(ℎ) =∘(ℎ) ,
получим 𝑃1(ℎ) =𝜆·ℎ+∘(ℎ) , что и требовалось док азать. 
Напомним, что∘(ℎ) – произвольная беск онечно малая величи-
на, большего, чем ℎ , пор ядк а. Поэтому ∘(ℎ)±∘(ℎ) =∘(ℎ) и
𝐶·∘(ℎ) =∘(ℎ) , г де∀𝐶∈(0;∞) – вещественная к онст ант а.
Р ассмотрим интервал времени длины 𝑡+ℎ . Пу сть на этом ин-
тервале произошло 𝑘 событий. Т ог да, если на участок длины 𝑡
пришлось 𝑗 событий, то на участок длины ℎ придетс я 𝑘−𝑗 со-
бытий, г де 𝑗= 0,1, . . . , 𝑘 . По форму ле полной веро ятности для
𝑘= 1 имеет место равенство
𝑃1(𝑡+ℎ) = 𝑃1(𝑡)·𝑃0(ℎ) +𝑃0(𝑡)·𝑃1(ℎ) =
=𝑃1(𝑡)·(1−𝜆·ℎ+∘(ℎ)) +𝑃0(𝑡)·(𝜆·ℎ+∘(ℎ));
𝑃1(𝑡+ℎ) =𝑃1(𝑡)·(1−𝜆·ℎ) +𝑃0(𝑡)·𝜆·ℎ+∘(ℎ). (1)
Аналогично для 𝑘 >1
14
𝑃𝑘(𝑡+ℎ) =𝑘∑︁
𝑗=0𝑃𝑗(𝑡)·𝑃𝑘−𝑗(ℎ) =
=𝑃𝑘(𝑡)·𝑃0(ℎ) +𝑃𝑘−1(𝑡)·𝑃1(ℎ) +𝑘−2∑︁
𝑗=0𝑃𝑗(𝑡)·𝑃𝑘−𝑗(ℎ);
0≤𝑘−2∑︁
𝑗=0𝑃𝑗(𝑡)·𝑃𝑘−𝑗(ℎ)≤𝑘−2∑︁
𝑗=0𝑃𝑘−𝑗(ℎ) =𝑘∑︁
𝑗=2𝑃𝑗(ℎ) =𝑃>1(ℎ) =∘(ℎ).
Т о есть
𝑘−2∑︁
𝑗=0𝑃𝑗(𝑡)·𝑃𝑘−𝑗(ℎ) =∘(ℎ).
Зна чит ,
𝑃𝑘(𝑡+ℎ) = 𝑃𝑘(𝑡)·𝑃0(ℎ) +𝑃𝑘−1(𝑡)·𝑃1(ℎ) +∘(ℎ) =
=𝑃𝑘(𝑡)·(1−𝜆·ℎ+∘(ℎ)) +𝑃𝑘−1(𝑡)·(𝜆·ℎ+∘(ℎ)) +
+∘(ℎ);
𝑃𝑘(𝑡+ℎ) =𝑃𝑘(𝑡)·(1−𝜆·ℎ) +𝑃𝑘−1(𝑡)·𝜆·ℎ+∘(ℎ). (2)
Т ог да из (1) и (2) для 𝑘≥1 следу ет
𝑃𝑘(𝑡+ℎ)−𝑃𝑘(𝑡)
ℎ=𝜆·𝑃𝑘−1(𝑡)−𝜆·𝑃𝑘(𝑡) +∘(ℎ)
ℎ. (3)
Хот я для 𝑘= 0 уж е получено решение 𝑃0(𝑡) =𝑒−𝜆·𝑡, сост авим и
для этого случая равенство
15
𝑃0(𝑡+ℎ)−𝑃0(𝑡)
ℎ=−𝜆·𝑃0(𝑡) +∘(ℎ)
ℎ. (4)
У стремив к ну лю ℎ в левых и правых част ях (3) и (4), получим
беск онечную систему дифференциальных уравнений:
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑃′
0(𝑡) =−𝜆·𝑃0(𝑡);
𝑃′
1(𝑡) =𝜆·𝑃0(𝑡)−𝜆·𝑃1(𝑡);
. . .
𝑃′
𝑘(𝑡) =𝜆·𝑃𝑘−1(𝑡)−𝜆·𝑃𝑘(𝑡).(5)
На чальные у словия:
𝑃0(0) = 1 , 𝑃 1(0) = . . . 𝑃 𝑘(0) = 0 . (6)
Первый способ решения системы (5)
По дст авим во второе уравнение выраж ение 𝑃0(𝑡) , запишем урав-
нение в виде
𝑃′
1(𝑡) +𝜆·𝑃1(𝑡) =𝜆·𝑒−𝜆·𝑡
и, учт я на чальное у словие 𝑃1(0) = 0 , найдем решение:
𝑃1(𝑡) =𝜆·𝑡·𝑒−𝜆𝑡.
Т еперь, по дст авив в третье уравнение выраж ение 𝑃1(𝑡) , получим
уравнение
𝑃′
2(𝑡) +𝜆·𝑃2(𝑡) =𝜆2·𝑡·𝑒−𝜆·𝑡
16
и, учт я на чальное у словие 𝑃2(0) = 0 , найдем его решение:
𝑃2(𝑡) =(𝜆·𝑡)2
2!𝑒−𝜆·𝑡. Процесс бу дем про долж ать до тех пор, по-
к а мы не дог адаемс я, что веро ятность по явления 𝑘 событий за
время 𝑡 равна
𝑃𝑘(𝑡) =(𝜆·𝑡)𝑘
𝑘!𝑒−𝜆·𝑡. (7)
Т еперь, к ог да мы знаем резу ль т ат , нетру дно обосновать его, при-
бегнув к мето ду математическ ой индукции. Здесь мы пропу сти-
ли собственно сам процесс решения уравнений. Первый способ
позволяет получить решение, опираясь на минимальный мате-
матический аппарат . Однак о в нек оторых случаях этот способ
мо ж ет ок азатьс я слишк ом громоздким. Т еперь рассмотрим бо-
лее к омпактный мето д решения беск онечной системы линейных
дифференциальных уравнений.
Второй способ решения системы (5)
Введем произво дящую функцию 𝜑(𝑡, 𝑧) =∑︀∞
𝑘=0𝑃𝑘(𝑡)·𝑧𝑘. Заме-
тим, что из (6) следу ет 𝜑(0, 𝑧) = 1 . В уравнениях (5) левые и
правые части соответственно индек су при 𝑃 умно жим на 𝑧𝑘и
просуммиру ем от дельно левые и правые части. Т ог да
∞∑︁
𝑘=0𝑃′
𝑘(𝑡)·𝑧𝑘=𝜆·∞∑︁
𝑘=1𝑃𝑘−1(𝑡)·𝑧𝑘−𝜆·∞∑︁
𝑘=0𝑃𝑘(𝑡)·𝑧𝑘; (8)
∞∑︁
𝑘=0𝑃′
𝑘(𝑡)·𝑧𝑘= (∞∑︁
𝑘=0𝑃𝑘(𝑡)·𝑧𝑘)′
𝑡=𝜕𝜑(𝑡, 𝑧)
𝜕𝑡;
∞∑︁
𝑘=1𝑃𝑘−1(𝑡)·𝑧𝑘=𝑧·∞∑︁
𝑘=1𝑃𝑘−1(𝑡)·𝑧𝑘−1=𝑧·𝜑(𝑡, 𝑧).
17
Суммы в левой и правой част ях (8) мо жно переписать в виде
𝜕𝜑(𝑡,𝑧)
𝜕𝑡=𝜆·(𝑧−1)·𝜑(𝑡, 𝑧) , после чего решение беск онечной системы
сво дитс я к решению о дного уравнения.
𝜕𝑙𝑛(𝜑(𝑡, 𝑧))
𝜕𝑡=𝜆·(𝑧−1) =⇒ 𝑙𝑛(𝜑(𝑡, 𝑧)) =𝜆·(𝑧−1)·𝑡+𝑙𝑛|𝐶|
или
𝜑(𝑡, 𝑧) =𝐶·𝑒𝜆·(𝑧−1)·𝑡,
г де вещественное 𝐶=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . Учитывая равенство 𝜑(0, 𝑧) = 1 ,
получим 𝐶= 1 и
𝜑(𝑡, 𝑧) =𝑒𝜆·(𝑧−1)·𝑡=𝑒𝜆·𝑧·𝑡·𝑒−𝜆·𝑡=∞∑︁
𝑘=0(𝜆·𝑡)𝑘
𝑘!𝑒−𝜆·𝑡·𝑧𝑘=∞∑︁
𝑘=0𝑃𝑘(𝑡)·𝑧𝑘.
Ост алось тольк о приравнять в последнем равенстве к оэффици-
енты при степенях 𝑧 . Мы снова получили 𝑃𝑘(𝑡) =(𝜆·𝑡)𝑘
𝑘!𝑒−𝜆·𝑡. По-
следняя форму ла в теории веро ятностей известна к ак форму ла
распределения Пу ассона .
§ 1.3. Свойства простейшего поток а
На рис. 1 предст авлены графики функций (7) при 𝑘= 0,1,2,3 и
𝜆= 4 . Взяв (при 𝑘 >0 ) произво дную о дной из функций (7) и
приравняв ее к ну лю, легк о найдем точку мак симума функции
𝑡𝑚𝑎𝑥=𝑘
𝜆. Зна чение веро ятности в точк е мак симума 𝑃𝑘(𝑡𝑚𝑎𝑥) =
=𝑘𝑘
𝑘!·𝑒−𝑘. Хот я мы предполаг али 𝑘 >0 , форму ла 𝑡𝑚𝑎𝑥=𝑘
𝜆спра-
ведлива и при 𝑘= 0 .
18
Рис. 1. Р аспределение Пу ассона
Нетру дно т акж е аналитически док азать еще о дну отраж енную
на рисунк е зак ономерность. График к аждой функции пересек а-
ет график следующей по зна чению 𝑘 функции в точк е ее мак си-
мума.
Как док азано выше, 𝑃0(𝑡) =𝑒−𝜆·𝑡– веро ятность того, что за вре-
мя𝑡 не произойдет ни о дного события или, ина че говор я, того,
что промежуток между двумя событиями больше 𝑡 .
Т ог да 𝑃(𝜏 < 𝑡 ) =𝐹(𝑡) = 1−𝑒−𝜆·𝑡– веро ятность того, что время
𝜏 между двумя событиями меньше t, а плотность веро ятности
𝑓(𝑡) =𝐹′(𝑡) =𝜆·𝑒−𝜆·𝑡.
𝑇 ож=𝑀(𝑡) =∫︁+∞
−∞𝑓(𝑡)·𝑡·𝑑𝑡=∫︁+∞
0𝜆·𝑒−𝜆·𝑡·𝑡·𝑑𝑡=1
𝜆
19
– математическ ое о жидание времени t между двумя событиями.
𝑀(𝑡2) =∫︁+∞
−∞𝑓(𝑡)·𝑡2·𝑑𝑡=∫︁+∞
0𝜆·𝑒−𝜆·𝑡·𝑡2·𝑑𝑡=2
𝜆2
– математическ ое о жидание 𝑡2.
𝐷(𝑡) =𝑀(𝑡2)−(𝑀(𝑡))2=1
𝜆2, 𝜎 (𝑡) =√︀
𝐷(𝑡) =1
𝜆
– соответственно дисперсия и среднее квадратичное отклонение
времени между двумя событиями от о жидаемого. Ина че говор я,
среднее время между заявк ами на обслуживание1
𝜆и среднее от-
клонение от среднего т акж е1
𝜆.
Заметим т акж е, что 𝑀(𝑡𝑘) =𝑘!
𝜆𝑘 . Т еперь определим о жидаемое
к оличество событий за время 𝑡 и его разброс.
𝑀(𝑘) =∞∑︁
𝑘=0𝑘·𝑃𝑘(𝑡) =∞∑︁
𝑘=1𝑘·(𝜆·𝑡)𝑘
𝑘!𝑒−𝜆·𝑡=
=𝑒−𝜆·𝑡·𝜆·𝑡∞∑︁
𝑘=1𝑘·(𝜆·𝑡)𝑘−1
𝑘!=𝑒−𝜆·𝑡·𝑡·(𝑒𝜆·𝑡)′
𝑡=
=𝜆·𝑡.
Зна чит , математическ ое о жидание к оличества событий за время
t равно 𝜆·𝑡 , а𝜆 – о жидаемое к оличество событий, прих о дяще-
ес я на единицу времени. Величину 𝜆 называют интенсивностью
вх о дящего поток а, или параметром поток а.
20
Аналогично найдем математическ ое о жидание 𝑘2:
𝑀(𝑘2) =∞∑︁
𝑘=0𝑘2·(𝜆·𝑡)𝑘
𝑘!·𝑒−𝜆·𝑡=𝜆·𝑡+ (𝜆·𝑡)2,
дисперсию и среднее квадратичное отклонение 𝑘 :
𝐷(𝑘) =𝑀(𝑘2)−[𝑀(𝑘)]2=𝜆·𝑡, 𝜎 (𝑘) =√︀
𝐷(𝑘) =√
𝜆·𝑡.
Т аким образом, о жидаемое к оличество событий за время 𝑡 равно
𝜆·𝑡±√
𝜆·𝑡 .
§ 1.4. Простейший нест ационарный поток
Как было отмечено выше, ст ационарность поток а являетс я всего
лишь допущением. По большей части реальные потоки не явля-
ютс я ст ационарными. Например, интенсивность поток а отк азов
техническ ого у стройства, к ак правило, являетс я функцией вре-
мени 𝜆(𝑡) и на график е (рис. 2) предст авляет собой известную
U-образную кривую. Неисправности приборов случаютс я чаще
всего в на чале и в к онце срок а их эк сплу ат ации. Любопытно,
что и человек болеет чаще всего в моло дости и в ст арости. Досто-
верную ст атистику по вых о ду из стро я бытовой техники мо жно
найти в соответствующих мастерских. Естественно, ст атистик а
отк азов обору дования ведетс я на транспорте, на произво дстве и
в других сферах деятельности человек а.
Для нижней части U-образной кривой х арактерен пологий уча-
21
Рис. 2. Кривая отк азов техническ ого у стройства
сток, на к отором интенсивность отк азов мо жно счит ать посто ян-
ной (участок AB на рис. 2).
Т еперь вернемс я к заголовку параграфа. Поск ольку простейший
поток мы определили к ак ст ационарный, заголовок мо ж ет пок а-
затьс я противоречивым. Однак о в данном случае речь идет всего
лишь о новом определении: простейший нест ационарный поток
– это ор динарный поток без последействия. Простейший нест а-
ционарный поток т акж е называют пу ассоновским поток ом.
Поск ольку в нест ационарном поток е веро ятность по явления k со-
бытий на интервале зависит не тольк о от длины интервала, но
и от его на чала 𝑡0 , в дальнейшем бу дем обозна чать 𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡) ве-
ро ятность по явления k событий на интервале (𝑡0, 𝑡) . Добавим к
ор динарности у словие, соответствующее у словию леммы из § 1.2.
22
Т ог да
𝑃>1(𝑡, 𝑡+ℎ) =∘(ℎ), 𝑃 1(𝑡, 𝑡+ℎ) =𝜆(𝑡)·ℎ+∘(𝑡). (9)
По дст авим в равенство
𝑃0(𝑡, 𝑡+ℎ) +𝑃1(𝑡, 𝑡+ℎ) +𝑃>1(𝑡, 𝑡+ℎ) = 1
выраж ения (9) и придем к равенству
𝑃0(𝑡, 𝑡+ℎ) = 1−𝜆(𝑡)·ℎ+∘(ℎ). (10)
По дст авив (10) в равенство
𝑃0(𝑡0, 𝑡+ℎ) =𝑃0(𝑡0, 𝑡)·𝑃0(𝑡, 𝑡+ℎ),
после несло жных преобразований получим:
𝑃0(𝑡0, 𝑡+ℎ)−𝑃0(𝑡0, 𝑡)
ℎ=−𝜆(𝑡)·𝑃0(𝑡0, 𝑡) +∘(ℎ). (11)
Аналогично
𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡+ℎ) =𝑘∑︁
𝑗=0𝑃𝑗(𝑡0, 𝑡)·𝑃𝑘−𝑗(𝑡, 𝑡+ℎ).
Повторив рассуждения из § 1.2, получим отношение
𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡+ℎ)−𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)
ℎ=−𝜆(𝑡)·[𝑃𝑘−1(𝑡0, 𝑡)−𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)]+∘(ℎ). (12)
23
У стремив в (11) и (12) ℎ к ну лю, получим беск онечную систему
дифференциальных уравнений:
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜕𝑃0(𝑡0,𝑡)
𝜕𝑡=−𝜆(𝑡)·𝑃0(𝑡0, 𝑡);
𝜕𝑃1(𝑡0,𝑡)
𝜕𝑡=−𝜆(𝑡)(𝑃0(𝑡0, 𝑡)−𝑃1(𝑡0, 𝑡));
. . .
𝜕𝑃𝑘(𝑡0,𝑡)
𝜕𝑡=−𝜆(𝑡)(𝑃𝑘−1(𝑡0, 𝑡)−𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡));
. . .(13)
Введем вспомог ательную функцию 𝑃−1(𝑡0, 𝑡)≡0 . Т ог да
∀𝑘≥0𝜕𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)
𝜕𝑡=𝜆(𝑡)·[𝑃𝑘−1(𝑡0, 𝑡)−𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)]. (14)
Введем произво дящую функцию
𝜑(𝑡0, 𝑡, 𝑧) =∞∑︁
𝑘=0𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)·𝑧𝑘. (15)
Умно жим левые и правые части уравнений (14) на соответству-
ющие степени 𝑧 и просуммиру ем их.
∞∑︁
𝑘=0𝜕𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)
𝜕𝑡·𝑧𝑘=𝜆(𝑡)·[∞∑︁
𝑘=0𝑃𝑘−1(𝑡0, 𝑡)𝑧𝑘−𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡)𝑧𝑘],
𝜕𝜑(𝑡0, 𝑡, 𝑧)
𝜕𝑡=𝜆(𝑡)·𝜑(𝑡0, 𝑡, 𝑧)·(𝑧−1),𝜕ln𝜑(𝑡0, 𝑡, 𝑧)
𝜕𝑡=𝜆(𝑡)·(𝑧−1).
24
Проинтегриру ем последнее равенство по 𝑡 :
ln(𝜑(𝑡0, 𝑡, 𝑧))−𝑙𝑛(𝜑(𝑡0, 𝑡0, 𝑧)) = ( 𝑧−1)·∫︁𝑡
𝑡0𝜆(𝑡)𝑑𝑡.
Из на чальных у словий:
𝑃0(𝑡0, 𝑡0) = 1 , 𝑃1(𝑡0, 𝑡0) =···=𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡0) =···= 0 следу ет
𝜑(𝑡0, 𝑡0, 𝑧) = 1 . Введем обозна чение (𝑡0, 𝑡) =∫︀𝑡
𝑡0𝜆(𝑡)·𝑡 . Т ог да
𝜑(𝑡0, 𝑡, 𝑧) = 𝑒(𝑧−1)Λ(𝑡0,𝑡)𝑒𝑧Λ(𝑡0,𝑡)=
=𝑒−Λ(𝑡0,𝑡)·𝑒𝑧𝑐𝑑𝑜𝑡 Λ(𝑡0,𝑡)=
=𝑒−Λ(𝑡0,𝑡)·∞∑︁
𝑘=0[(𝑡0, 𝑡)]𝑘
𝑘!·𝑧𝑘. (16)
Приравняв в (15) и (16) к оэффициенты при соответствующих
степенях 𝑧 , получим:
𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡) =[(𝑡0, 𝑡)]𝑘
𝑘!·𝑒−Λ(𝑡0,𝑡). (17)
Пу сть 𝜆=(𝑡0, 𝑡)
𝑡−𝑡0=∫︀𝑡
𝑡0𝜆(𝑡)𝑑𝑡
(𝑡−𝑡0)
– средняя интенсивность вх о дящего поток а на интервале (𝑡0, 𝑡),
𝜏=𝑡−𝑡0 – длина интервала. Т ог да (𝑡0, 𝑡) =𝜆·𝜏 и уравнение
(17) примет вид
𝑃𝑘(𝑡0, 𝑡) =[𝜆·𝜏]𝑘
𝑘!·𝑒−¯𝜆·𝜏.
Т аким образом, мы снова пришли к форму ле Пу ассона.
25
Г лава 2. Марк овск ая мо дель СМО
Функционирование СМО мы бу дем рассматривать к ак случай-
ный процесс с непрерывным временем и дискретным
мно ж еством состо яний . Следовательно, в любой момент вре-
мени 𝑡∈[0; +∞) система нах о дитс я в о дном состо янии из задан-
ного к онечного или счетного набора.
Например, в цех е имеетс я дес ять о днотипных ст анк ов. Ст анки
обслуживает о дин мастер по ремонту . Т аким образом, соответ-
ствующая система мо ж ет нах о дитьс я в о дном из 11 состо яний:
𝑆0 – все ст анки исправны, 𝑆1 – о дин в ремонте и девять в рабо-
чем состо янии, 𝑆2 – о дин в ремонте, о дин в очереди на ремонт
и восемь работ ают , . . . , 𝑆10 – о дин в ремонте и девять в очере-
ди. Очевидно, момент отк аза ст анк а и время, необ х о димое для
у странения неисправности, – случайные величины. В процессе
функционирования система иног да перех о дит из о дного состо я-
ния в другое. Более того, теоретически в любой момент времени
система мо ж ет нах о дитьс я в любом из перечисленных выше со-
сто яний. Поэтому имеет смысл говорить тольк о о веро ятност ях
соответствующих состо яний: 𝑃0(𝑡), 𝑃1(𝑡), 𝑃2(𝑡). . . 𝑃 10(𝑡) .
Случайный процесс называетс я марк овским , если для любого
момент а времени 𝑡 у словные веро ятности всех состо яний систе-
мы в бу дущем завис ят тольк о от состо яния системы в момент 𝑡 и
не завис ят от того, к ог да и к аким образом она пришла в это со-
сто яние. Ина че говор я, бу дущее зависит от прошлого тольк о че-
рез насто ящее. Марк овский процесс называют т акж е процессом
26
без последействия. Мы бу дем счит ать процесс функционирова-
ния СМО марк овским. Хот я марк овск ая мо дель СМО не являет-
с я единственно возмо жной, она дост аточно адекватно отраж ает
широкий класс реальных систем.
Пу сть система в любой момент времени мо ж ет нах о дитьс я в о д-
ном из 𝑛 возмо жных состо яний 𝑆 , г де 𝑖= 1,2, . . . 𝑛 . В частно-
сти, не исключаетс я случай 𝑛=∞ . Т о есть мно ж ество ис х о дов
не более чем счетно. Иног да нам бу дет у добней говорить не «со-
сто яние 𝑆𝑖 » , а «i-е состо яние» . Нумерацию состо яний мы часто
бу дем на чинать не с единицы, а с ну ля. Сделаем допущение, что
веро ятность перех о да системы за время ℎ из𝑖− в𝑗− состо яние
задаетс я равенством
𝑃𝑖𝑗(ℎ) =𝜆𝑖𝑗·ℎ+∘(ℎ), где𝑖̸=𝑗. (18)
Т о есть на небольшом интервале времени веро ятность перех о да
системы из i-го в j-е состо яние пропорциональна длине интерва-
ла. Р авенства (18), очевидно, делают процесс марк овским. Вели-
чину 𝜆𝑖𝑗 , г де 𝑖̸=𝑗 , назовем интенсивностью перех о да из i-го
в j-е состо яние. В общем случае 𝜆𝑖𝑗 могут зависеть от времени,
но здесь мы ограничимс я случаем посто янных интенсивностей.
Р авенства (18) аналогичны равенству , док азанному в первой г ла-
ве для простейшего поток а 𝑃1(ℎ) =𝜆·ℎ+∘(ℎ) . Более того, сам
поток о дноро дных событий мо жно интерпретировать к ак слу-
чайный процесс нак опления событий. Пу сть 𝑘(𝑡) – число собы-
27
тий, произошедших до момент а 𝑡 . Каждая реализация т ак ого
случайного процесса предст авляет собой ступенчатую функцию
(рис. 3), зна чение к оторой увеличиваетс я на единицу с по явле-
нием очередного события.
Рис. 3. Простейший поток к ак случайный процесс
Мо жно т акж е связать описанный случайный процесс с системой,
имеющей мно ж ество состо яний 𝑆𝑖 , г де 𝑖= 0,1,2, . . . , 𝑛 . В данном
случае i – к оличество событий. Т ог да интенсивности перех о дов:
𝜆𝑖𝑗=⎧
⎨
⎩𝜆, ес ли 𝑗=𝑖+ 1, где𝑖, 𝑗= 0,1. . .∞;
0, иначе .
Здесь по д 𝜆 мы, к ак и в первой г лаве, по дразумеваем интенсив-
ность вх о дящего поток а событий. В данном случае на мно ж естве
состо яний 𝑆0, 𝑆1, 𝑆2, . . . допу стимы тольк о перех о ды слева напра-
во в пор ядк е возраст ания номеров.
СМО с дискретным мно ж еством состо яний мы часто бу дем с х е-
матически предст авлять в виде направленного графа, вершина-
ми к оторого являютс я состо яния, а дуг ами – допу стимые пере-
х о ды из о дного состо яния в другое.
28
§ 2.1. Уравнения Колмогорова
Пу сть состо яния СМО занумерованы натуральными числами 𝑖=
= 1,2, . . . 𝑛 . Заметим, что веро ятность (18) перех о да
𝑃𝑖𝑘(ℎ) =𝑃(𝑆𝑘(𝑡+ℎ)/𝑆𝑖(𝑡)) – у словная веро ятность, ина че говор я,
веро ятность того, что система в момент времени 𝑡+ℎ ок азалась
в состо янии 𝑆𝑘 при у словии, что в момент 𝑡 система нах о дилась
в состо янии 𝑆𝑖 . Р азумеетс я, 𝑘= 1,2, . . . 𝑛 .
Если здесь 𝑡 насто ящее, то, т аким образом, веро ятности всех воз-
мо жных состо яний в бу дущем завис ят тольк о от состо яния в на-
сто ящем. Обозна чим т акж е
𝑃𝑘𝑘(ℎ) =𝑃(𝑆𝑘(𝑡+ℎ)/𝑆𝑘(𝑡))
– веро ятность того, что система за время ℎ не изменит текущее
состо яние. Поск ольку нах о дящаяс я в состо янии 𝑆𝑘 система за
время ℎ либо перейдет в к ак ое-либо иное состо яние, либо ост а-
нетс я в 𝑆𝑘 ,
𝑛∑︁
𝑖=1𝑃𝑘𝑖(ℎ) = 1 , отку да 𝑃𝑘𝑘(ℎ) = 1−∑︁
𝑖̸=𝑘𝑃𝑘𝑖(ℎ).
По форму ле полной веро ятности
𝑃𝑘(𝑡+ℎ) =∑︁
𝑖̸=𝑘𝑃𝑖(𝑡)·𝑃𝑖𝑘(ℎ) +𝑃𝑘(𝑡)·(1−∑︁
𝑖̸=𝑘𝑃𝑘𝑖(ℎ)).
29
По дст авим в последнюю форму лу зна чения из (18), получим:
𝑃𝑘(𝑡+ℎ) =∑︁
𝑖̸=𝑘𝑃𝑖(𝑡)(𝜆𝑖𝑘·ℎ+∘(ℎ)) +
+𝑃𝑘(𝑡)·(1−∑︁
𝑖̸=𝑘(𝜆𝑘𝑖·ℎ+∘(ℎ))) =
=∑︁
𝑖̸=𝑘𝜆𝑖𝑘·ℎ·𝑃𝑖(𝑡) +𝑃𝑘(𝑡)·(1−∑︁
𝑖̸=𝑘𝜆𝑘𝑖·ℎ) +∘(ℎ).
Отсю да𝑃𝑘(𝑡+ℎ)−𝑃𝑗(𝑡)
ℎ=∑︁
𝑖̸=𝑘𝜆𝑖𝑗·𝑃𝑖(𝑡)−∑︁
𝑖̸=𝑘𝜆𝑘𝑖𝑃𝑘(𝑡).
У стремив ℎ к ну лю, получим линейное дифференциальное урав-
нение, соответствующее k-му состо янию системы:
𝑃′
𝑘(𝑡) =∑︁
𝑖̸=𝑘𝜆𝑖𝑗·𝑃𝑖(𝑡)−∑︁
𝑖̸=𝑘𝜆𝑘𝑖𝑃𝑘(𝑡). (19)
Уравнения (19) для всех состо яний СМО образуют систему урав-
нений Колмогорова, описывающую работу произвольной СМО с
посто янными интенсивност ями перех о дов:
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑃′
1(𝑡) =−∑︀
𝑖̸=1𝜆1𝑖·𝑃1(𝑡) +𝜆21·𝑃2(𝑡) +···+𝜆𝑛1·𝑃𝑛(𝑡);
𝑃′
2(𝑡) =𝜆12·𝑃1(𝑡)−∑︀
𝑖̸=2𝜆2𝑖·𝑃2(𝑡) +···+𝜆𝑛2·𝑃𝑛(𝑡);
. . .
𝑃′
𝑛(𝑡) =𝜆1𝑛·𝑃1(𝑡) +𝜆2𝑛·𝑃2(𝑡) +···−∑︀
𝑖̸=𝑛𝜆𝑛𝑖·𝑃𝑛(𝑡).
На чальные у словия обычно имеют вид 𝑃1(0) = 1 ,𝑃2(0) = 𝑃3(0) =
=···=𝑃𝑛(0) , поск ольку в на чале работы СМО нах о дитс я в нек о-
30
тором ис х о дном состо янии.
Р ассмотренной выше СМО соответству ет полный направленный
граф, т . е. допу ск аютс я перех о ды из любого состо яния в любое
другое. Граф реальной СМО, ск орее всего, ок аж етс я неполным.
Однак о для нас это бу дет озна чать тольк о то, что в системе урав-
нений (19) нек оторые интенсивности перех о дов следу ет прирав-
нять к ну лю.
§ 2.2. Однок анальная СМО с отк азами
Самая прост ая СМО – о днок анальная с отк азами (рис. 4).
Рис. 4. Однок анальная СМО с отк азами
Эт а система в любой момент времени мо ж ет нах о дитьс я в о дном
из двух состо яний. Состо яние 𝑆0 – единственный к анал свобо-
ден, 𝑆1 – к анал занят обслуживанием заявки. Если в момент
поступления очередной заявки к анал занят , заявк а получает от-
к аз, т . е. тер яетс я. Как видно на с х еме, интенсивности перех о дов
𝜆01=𝜆 и𝜆10=𝜇 . Здесь 𝜆 – интенсивность вх о дящего поток а,
𝜇 – интенсивность поток а обслуживания. Предполаг аетс я, что
время обслуживания – случайная величина с эк споненциальной
плотностью распределения 𝑓(𝑡) =𝜇·𝑒−𝜇·𝑡. Т о есть время обслу-
живания распределено по тому ж е зак ону , что и время между
31
двумя соседними заявк ами. Т аким образом, для веро ятностей
перех о дов выполняютс я равенства (18):
𝑃01(ℎ) =𝜆·ℎ+∘(ℎ) и𝑃10(ℎ) =𝜇·ℎ+∘(ℎ).
Математическ ое о жидание времени обслуживания
𝑇 обс л=𝑀(𝑡) =∫︁+∞
−∞𝑓(𝑡)·𝑡·𝑑𝑡=∫︁+∞
0𝜇·𝑒−𝜇·𝑡·𝑡·𝑑𝑡=1
𝜇.
Это соответству ет полученному в первой г лаве резу ль т ату для
времени о жидания очередной заявки 𝑇 обс л=1
𝜆. Естественно
возник ает вопрос: «Не несет ли в себе параметр 𝜇 смысл, ана-
логичный смыслу интенсивности простейшего поток а 𝜆 ?» . Дей-
ствительно, 𝜇 мо жно определить к ак о жидаемое к оличество об-
служиваемых в единицу времени заявок при у словии, что к анал
обслуживания работ ает непрерывно. На самом деле к анал обслу-
живания иног да прост аивает , и потому 𝜇 не совпадает с интен-
сивностью вых о дящего поток а, т . е. поток а обслуж енных заявок.
Запишем систему уравнений Колмогорова для о днок анальной
СМО с отк азами:
⎧
⎨
⎩𝑃′
0(𝑡) =−𝜆·𝑃0(𝑡) +𝜇·𝑃1(𝑡);
𝑃′
1(𝑡) =𝜆·𝑃0(𝑡)−𝜇·𝑃1(𝑡).
На чальные у словия 𝑃0(0) = 1 и𝑃1(0) = 0 , т . е. в на чале работы
32
система готова принять заявку . По дст авив в первое уравнение
𝑃1(𝑡) = 1−𝑃0(𝑡), получим 𝑃′
0(𝑡) + (𝜆+𝜇)·𝑃0(𝑡) =𝜇. (20)
Р ешение
1. Найдем решение соответствующего о дноро дного уравнения:
𝑃′
0(𝑡) + (𝜆+𝜇)·𝑃0(𝑡) = 0 .
𝑑𝑃0
𝑃0=−(𝜆+𝜇)·𝑑𝑡= 0 =⇒𝑙𝑛𝑃0(𝑡) =−(𝜆+𝜇)·𝑡+𝑙𝑛|𝐶|,
г де𝐶−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . Т ог да 𝑃0(𝑡) =𝐶·𝑒−(𝜆+𝜇)·𝑡.
2. Найдем о дно частное решение ис х о дного уравнения в виде
𝜌(𝑡) =𝛼 мето дом неопределенных к оэффициентов. По дст а-
вив𝜌(𝑡) =𝛼 в (20), получим (𝜆+𝜇)·𝛼=𝜇 . Т аким образом,
𝜌(𝑡) =𝜇
𝜆+𝜇.
3. Общее решение нео дноро дного линейного уравнения скла-
дываетс я из общего решения соответствующего о дноро дно-
го и произвольного частного решения. Следовательно, об-
щее решение уравнения (20) бу дет иметь вид
𝑃0(𝑡) =𝐶·𝑒−(𝜆+𝜇)·𝑡+𝜇
𝜆+𝜇.
Из у словия 𝑃0(0) = 1 вытек ает 𝐶=𝜆
𝜆+𝜇и иск омое решение
𝑃0(𝑡) =1
𝜆+𝜇·(𝜇+𝜆·𝑒−(𝜆+𝜇)·𝑡).
33
𝑃1(𝑡) найдем к ак 1−𝑃0(𝑡) и предст авим резу ль т ат в виде
⎧
⎨
⎩𝑃0(𝑡) =1
𝜆+𝜇·(𝜇+𝜆·𝑒−(𝜆+𝜇)·𝑡);
𝑃1(𝑡) =𝜆
𝜆+𝜇·(1−𝑒−(𝜆+𝜇)·𝑡).(21)
Заметим, что lim
𝑡→+∞𝑃0(𝑡) =𝜇
𝜆+𝜇,lim
𝑡→+∞𝑃1(𝑡) =𝜆
𝜆+𝜇.
Т аким образом, графики 𝑃0(𝑡) и𝑃1(𝑡) на беск онечности стремят-
с я к нек оторым асимптот ам.
Зна чения 𝑃0(𝑡) =𝜇
𝜆+𝜇и𝑃1(𝑡) =𝜆
𝜆+𝜇называют у ст ановивши-
мис я решениями , а т акж е предельными веро ятност ями ,
или ст ационарными веро ятност ями . В у ст ановивших с я ре-
шениях после 𝑃𝑘 мы не пишем в ск обк ах 𝑡 .
На рис. 5 предст авлены графики веро ятностей состо яний систе-
мы на временном интервале [0; 2] . Как видно, графики очень
быстро сливаютс я с асимптот ами. В т аких случаях часто сосре-
дот а чивают внимание на у ст ановивших с я решениях. И все ж е
иног да, например, к ог да речь идет о запу ск е к осмическ ого к о-
рабля, крайне важно поведение системы именно на на чальном
временном интервале. На график ах предст авлены три решения
при различных отношениях между интенсивностью вх о дящего
поток а заявок и интенсивностью обслуживания и, соответствен-
но, три вариант а у ст ановившегос я решения:
1.𝜆 < 𝜇 – система чаще свобо дна, чем занят а обслуживанием
заявок;
34
Рис. 5. Однок анальная СМО с отк азами: a) 𝜆= 4 и𝜇= 2 , b)𝜆= 2 и𝜇= 4 ,
c)𝜆= 3 и𝜇= 3
2.𝜆 > 𝜇 – система чаще занят а;
3.𝜆=𝜇 – система прост аивает ровно в половине случаев.
У ст ановившиес я решения мо жно получать и непосредственно из
уравнений Колмогорова. Для этого дост аточно в о дном из урав-
нений (19) заменить переменные 𝑃𝑘(𝑡) на к онст анты 𝑃𝑘 и доба-
35
вить у словие∑︀
𝑘𝑃𝑘= 1 .
Для рассмотренной в этом параграфе СМО система уравнений
примет вид⎧
⎨
⎩−𝜆·𝑃0(𝑡) +𝜇𝑃1= 0;
𝑃0(𝑡) +𝑃1= 1.(22)
Р азумеетс я, ее решение совпадет с резу ль т атом, полученным вы-
ше путем предельного перех о да.
Характеристики о днок анальной СМО с отк азами
1. Ожидаемое время между двумя последовательными
заявк ами
𝑇 Ожид =1
𝜆.
2. Ожидаемое время обслуживания заявки
𝑇 Обс л=1
𝜇.
3. Относительная пропу скная способность 𝑄(𝑡) =𝑃0(𝑡)
– доля обслуж енных заявок в общем к оличестве поступив-
ших. В данном случае эт а величина совпадает с веро ятно-
стью того, что единственный к анал обслуживания в момент
𝑡 свобо ден.
В пределе 𝑄=𝑃0=𝜇
𝜆+𝜇.
36
4. Абсолютная пропу скная способность 𝐴(𝑡) =𝜆·𝑄(𝑡) =
=𝜆·𝑃0(𝑡) – среднее число обслуживаемых в единицу вре-
мени заявок.
В пределе 𝐴=𝜆·𝑃0=𝜆·𝜇
𝜆+𝜇.
Поск ольку к аждая принят ая заявк а бу дет обслуж ена, эт а
величина здесь совпадает с интенсивностью вых о дящего
поток а.
5. Ожидаемая доля необслуж енных заявок среди посту-
пивших в момент 𝑡 :𝑃 отк(𝑡) =𝑃1(𝑡) = 1−𝑄(𝑡) .
В пределе 𝑃 отк=𝜆
𝜆+𝜇.
Обратим внимание на тот факт , что рассмотренная в этом
параграфе система имеет два вых о дящих поток а заявок. В
предельном случае:
𝐴=𝜆·𝑃0=𝜆·𝜇
𝜆+𝜇
– интенсивность поток а обслуж енных заявок и
𝐴=𝜆·𝑃1=𝜆2
𝜆+𝜇
– интенсивность поток а потер янных заявок.
37
§ 2.3. Дублированная СМО с восст ановлением
Т еперь рассмотрим о дну классическую зада чу теории надеж-
ности. Нек оторое у стройство в процессе работы мо ж ет вых о-
дить из стро я. Имеетс я резервное у стройство, к оторое в случае
неисправности основного автоматически включаетс я в работу .
В этот ж е момент на чинаетс я восст ановление основного. Бу дем
счит ать, что резерв ненагруж енный, т . е. во время работы основ-
ного у стройства резервное не мо ж ет потер ять работоспособность.
Пу сть 𝜆 – интенсивность поток а отк азов, 𝜇 – интенсивность вос-
ст ановления. Т ог да1
𝜆=𝑇 отк – о жидаемая наработк а на отк аз,
т . е. среднее время работы у стройства до его отк аза,1
𝜇=𝑇 восст
– о жидаемое время восст ановления неисправного у стройства,
т . е. среднее время у странения неисправности.
Изна чально система нах о дитс я в состо янии 𝑆0 – работ ает основ-
ное у стройство. В случае вых о да из стро я основного у стройства,
система перех о дит в состо яние 𝑆1 – работ ает резервное у строй-
ство. Если во время работы резервного у стройства было восст а-
новлено основное, система возвращаетс я в 𝑆0 . Если ж е до вос-
ст ановления основного у стройства вышло из стро я резервное, си-
стема перех о дит в состо яние 𝑆2 , что фактически озна чает пре-
кращение работы системы.
Сост авим по изображ енной на рис. 6 с х еме систему уравнений
38
Колмогорова:
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑃′
0(𝑡) =−𝜆·𝑃0(𝑡) +𝜇·𝑃1(𝑡);
𝑃′
1(𝑡) =𝜆·𝑃0(𝑡)−(𝜆+𝜇)·𝑃1(𝑡);
𝑃′
2(𝑡) =𝜆·𝑃1(𝑡).(23)
Рис. 6. Дублированная СМО с восст ановлением
На чальные у словия: 𝑃0(0) = 1 и𝑃1(0) = 𝑃2(0) = 0 . Из второго
уравнения выразим
𝜆·𝑃0(𝑡) =𝑃′
1(𝑡) + (𝜆+𝜇)·𝑃1(𝑡). (24)
Левую и правую части первого из уравнений (23 ) умно жим на
𝜆 и по дст авим в полученное уравнение зна чение 𝜆·𝑃0(𝑡) из (24).
После приведения по добных членов получим линейное о дноро д-
ное уравнение второго пор ядк а
𝑃′′
1(𝑡) + (2·𝜆+𝜇)·𝑃′
1(𝑡) +𝜆2·𝑃1(𝑡) = 0 .
Сост авим соответствующий ему х арактеристический многочлен:
𝑘2+ (2·𝜆+𝜇)·𝑘+𝜆2
39
и найдем его к орни:
𝐷= 4 𝜆𝜇+𝜇2;
𝑘1=−(2·𝜆+𝜇)−√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2<0;
𝑘2=−(2·𝜆+𝜇) +√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2.
Поск ольку 4𝜆𝜇+𝜇2<(2·𝜆+𝜇)2,𝑘2 т акж е меньше ну ля. Все к орни
х арактеристическ ого уравнения отрицательны. Многочлен, ве-
щественные части всех к орней к оторого отрицательны, называ-
ют textbfу стойчивым. У стойчивость озна чает , что, к ак и в при-
мере предыдущего параграфа, все эк споненты, линейной к ом-
бинацией к оторых являетс я решение уравнения, при 𝑡→+∞
стремятс я к ну лю и уравнение имеет предельное решение.
Общее решение уравнения запишем в виде
𝑃1(𝑡) =𝑒−2𝜆+𝜇
2·𝑡·(𝐶1·𝑒√
4𝜆𝜇+𝜇2
2·𝑡+𝐶2·𝑒−√
4𝜆𝜇+𝜇2
2·𝑡).
По дст авив в уравнение 𝑡= 0 и применив на чальное у словие
𝑃1(0) = 0 , получим 𝐶2=−𝐶1 . С целью эк ономии пространства
и времени введем обозна чения:
2𝜆+𝜇
2=𝑎 и√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2=𝑏.
Т еперь уравнение перепишем в виде
𝑃1(𝑡) =𝐶·𝑒−𝑎𝑡·(𝑒𝑏𝑡−𝑒−𝑏𝑡)
40
и возьмем произво дную
𝑃′
1(𝑡) =𝐶·𝑒−𝑎𝑡·((𝑏−𝑎)·𝑒𝑏𝑡+ (𝑎+𝑏)𝑒−𝑏𝑡). (25)
По дст авив во второе уравнение (23) 𝑡= 0 , и, учитывая 𝑃0(0) =
= 1 и𝑃1(0) = 0 , получим недост ающее для дифференциального
уравнения второго пор ядк а на чальное у словие 𝑃′
1(0) = 𝜆 . При
𝑡= 0 из (25) следу ет: 𝐶·(𝑏−𝑎+𝑎+𝑏) =𝜆 или𝐶=𝜆
2𝑏.
𝑃1(𝑡) =𝜆
2𝑏·𝑒−𝑎𝑡·(𝑒𝑏𝑡−𝑒−𝑏𝑡).
Т еперь легк о из (24) получим уравнение
𝑃0(𝑡) =1
2𝑏·𝑒−𝑎𝑡·((𝑏+𝜇
2)·𝑒𝑏𝑡+ (𝑏−𝜇
2)·𝑒−𝑏𝑡).
Веро ятность безотк азной работы системы в течение времени 𝑡
𝑅(𝑡) =𝑃0(𝑡) +𝑃1(𝑡) =1
2𝑏·𝑒−𝑎𝑡·((𝑎+𝑏)·𝑒𝑏𝑡−(𝑎−𝑏)·𝑒−𝑏𝑡). (26)
Р азумеетс я, 𝑃2(𝑡) = 1−𝑅(𝑡) . Причем lim𝑡→+∞𝑃2(𝑡) = 1 , и, зна-
чит , система в к онце к онцов зак ончит свой путь в состо янии 𝑆2 .
Однак о нас в этой зада че прежде всего интересу ет веро ятность
безотк азной работы системы в течение заданного времени. По д-
ст авив в правую часть (26 ) зна чения 𝑎 и𝑏 , после р яда преобра-
зований получим:
𝑅(𝑡) =𝑒−2𝜆+𝜇
2·𝑡·[2𝜆+𝜇√︀
4𝜆𝜇+𝜇2·𝑠ℎ(√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2)+𝑐ℎ(√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2·𝑡)].
(27)
41
Чтобы найти веро ятность безотк азной работы соответствующей
СМО с резервом без восст ановления, дост аточно у стремить к ну-
лю𝜇 .
lim
𝜇→0𝑒−2𝜆+𝜇
2=𝑒−𝜆·𝑡;
lim
𝜇→0𝑐ℎ(√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2·𝑡) = 1;
lim
𝜇→0𝑠ℎ(√︀
4𝜆𝜇+𝜇2
2)/√︀
4𝜆𝜇+𝜇2= lim
𝑏→0𝑠ℎ(𝑏·𝑡)
2𝑏=
= lim
𝑏→0𝑒𝑏𝑡−𝑒−𝑏𝑡
4𝑏= lim
𝑏→0𝑡·(𝑒𝑏𝑡−𝑒−𝑏𝑡)
4=𝑡
2.
Следовательно,
lim
𝜇→0𝑅(𝑡) =𝑒−𝜆·𝑡·(1 +𝜆·𝑡).
На рис.7 предст авлены графики функции 𝑅(𝑡) при𝜇 > 0 (си-
Рис. 7. График R(t) при 𝜆= 2 . Сплошная линия: 𝜇= 4 , пунктир: 𝜇= 0
стема с восст ановлением) и 𝜇= 0 (система без восст ановления).
Т еперь найдем о жидаемое время наработки системы на отк аз.
Функция распределения времени безотк азной работы 𝐹(𝑡) = 1−
𝑅(𝑡) . Соответственно, плотность распределения 𝑓(𝑡) =𝐹′(𝑡) . Вер-
42
немс я к более к омпактной, чем (28), форму ле (26). Т ог да
𝑓(𝑡) =𝜆2
2𝑏·(𝑒−(𝑎−𝑏)·𝑡−𝑒−(𝑎+𝑏)·𝑡).
Обозна чим наработку на отк аз системы 𝑇 сист в от личие от на-
работки на отк аз к аждого у стройства 𝑇 отк :
𝑇 сист =𝑀(𝑡) =∫︁∞
0𝑡·𝑓(𝑡)·𝑑𝑡=𝜆2
2𝑏·(1
(𝑎−𝑏)2−1
(𝑎+𝑏)2).
По дст авив зна чения 𝑎 и𝑏 , получим:
𝑇 сист =2
𝜆+𝜇
𝜆2.
Здесь𝜇
𝜆2 – увеличение наработки системы на отк аз за счет вос-
ст ановления. При 𝜇= 0 зна чение 𝑇 сист =2
𝜆= 2·𝑇 отк . Т о есть
наработк а на отк аз системы без восст ановления равна сумме на-
работок на отк аз основного и резервного у стройств. Т от ж е ре-
зу ль т ат мо жно получить, взяв
𝑅(𝑡) = 𝑒−𝜆·𝑡·(1 +𝜆·𝑡),
𝐹(𝑡) = 1−𝑅(𝑡) =⇒
𝑓(𝑡) = 𝐹′(𝑡) =𝜆2·𝑡·𝑒−𝜆·𝑡.
𝑇 сист =𝑀(𝑡) =∫︁∞
0𝑡·𝑓(𝑡)·𝑑𝑡=∫︁∞
0𝜆2·𝑡2·𝑒−𝜆·𝑡·𝑑𝑡=2
𝜆.
Например, система, г де 𝜆= 0,5 без восст ановления бу дет иметь
наработку на отк аз 𝑇 сист = 4 , а при интенсивности восст ановле-
ния𝜇= 2 получим 𝑇 сист = 12 .
43
§ 2.4. СМО с приоритетными заявк ами
Системы массового обслуживания с приоритет ами мы наблю да-
ем в ж елезно доро жных к ассовых залах, к ог да вне очереди оформ-
ляют билеты ветеранам войн и другим к атегориям граждан, на
к оторые распространяетс я соответствующая льгот а; в стомато-
логическ ом к абинете, г де принимают без очереди пациентов с
острой болью. Мо жно привести много по добных примеров.
Системы с приоритет ами классифицируют прежде всего по к о-
личеству к атегорий заявок. Т ак, в военно-полевой медицине при-
нято делить раненых на четыре группы по срочности ок азания
медицинск ой помощи. Т ак ая классифик ация впервые была пред-
ло ж ена выдающимс я российским хирургом Ник олаем Иванови-
чем Пироговым. На телеграфе к ог да-то выделяли три к атегории
телеграмм: простые, срочные и молния. СМО с приоритет ами
мо ж ет быть с отк азами или с очередями. Кроме того, при по-
ступлении приоритетной заявки обслуживание «р ядовой» мо ж ет
прерыватьс я или ж е система бу дет ждать завершения обслужи-
вания. Например, в противовоздушной обороне при по явлении
более опасных целей система мо ж ет отпу стить неприоритетную
заявку и переключитьс я на обслуживание «дорогих гостей» .
Мы рассмотрим СМО (рис. 8) с отк азами и с двумя вх о дящи-
ми поток ами заявок: обычный с интенсивностью 𝜆1 и приори-
тетный с интенсивностью 𝜆2 . Интенсивности обслуживания со-
ответствующих заявок – 𝜇1 и𝜇2 . Система мо ж ет нах о дитьс я в
44
Рис. 8. СМО с приоритет ами
трех состо яниях: 𝑆0 – свобо дна, 𝑆1 – обработк а обычной заяв-
ки,𝑆2 – обработк а приоритетной заявки. Первона чально система
нах о дитс я в состо янии 𝑆0 . В случае поступления обычной заяв-
ки система перех о дит в состо яние 𝑆1 . Если до завершения об-
служивания обычной заявки поступила приоритетная, система
прерывает обслуживание текущей заявки и приступает к обслу-
живанию приоритетной, т . е. перех о дит в состо яние 𝑆2 . После
завершения обслуживания любой заявки система возвращаетс я
в ис х о дное состо яние 𝑆0 .
Обыкновенная заявк а получает отк аз, если система занят а об-
служиванием любой другой заявки, приоритетная – тольк о то-
г да, к ог да СМО занят а обслуживанием другой приоритетной за-
явки.
Т ак ая система бу дет иметь пять вых о дящих поток ов, к оторые
соответственно сост авляют обслуж енные приоритетные и обыч-
ные заявки, приоритетные и обычные заявки, получившие отк аз
в обслуживании и, нак онец, обычные заявки, принятые на об-
45
служивание, но не обслуж енные по вине приоритетных.
Сост авим систему уравнений Колмогорова:
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑃′
0(𝑡) = (𝜆1+𝜆2)·𝑃0(𝑡) +𝜇1·𝑃1(𝑡) +𝜇2·𝑃2(𝑡);
𝑃′
1(𝑡) =𝜆1·𝑃0(𝑡)−(𝜇+𝜆2)·𝑃1(𝑡);
𝑃′
2(𝑡) =𝜆2·𝑃0(𝑡) +𝜆2·𝑃1(𝑡)−𝜇2·𝑃2(𝑡).(28)
На чальные у словия по-прежнему 𝑃0(0) = 1 и𝑃1(0) = 𝑃2(0) = 0 .
Бу дем иск ать частные решения системы (29) в виде
𝑃0(𝑡) =𝛼·𝑒−𝑘𝑡;
𝑃1(𝑡) =𝛽·𝑒−𝑘𝑡;
𝑃2(𝑡) =𝛾·𝑒−𝑘𝑡. (29)
В т ак ом случае 𝑘 должно быть к орнем х арактеристическ ого урав-
нения ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒𝑘+𝜆1+𝜆2−𝜇1−𝜇2
−𝜆1 𝑘+𝜆2+𝜇1 0
−𝜆2−𝜆2 𝑘+𝜇2⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒= 0.
Преобразовав левую часть последнего уравнения, разло жим на
мно жители полученный многочлен:
𝑘·(𝑘+𝜇2+𝜆2)·(𝑘+𝜇1+𝜆1+𝜆2).
Ит ак, х арактеристический многочлен имеет три различных ве-
46
щественных к орня:
𝑘1= 0, 𝑘 2=−(𝜆2+𝜇2) и𝑘3=−(𝜆1+𝜆2+𝜇1).
Для к аждого к орня 𝑘 по дст авим (29) в (28) и выберем два пер-
вых уравнения из трех линейно зависимых. Найдем решения по-
лученных систем с точностью до посто янного мно жителя.
1.𝑘1= 0 :
⎧
⎨
⎩(𝜆1+𝜆2)𝛼−𝜇1·𝛽=𝜇2·𝛾;
−𝜆1·𝛼+ (𝜇1+𝜆2)·𝛽= 0;=⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝛼=𝜇2·(𝜆2+𝜇1);
𝛽=𝜆1·𝜇1;
𝛾=𝜆2·(𝜆1+𝜆2+𝜇1).
2.𝑘2=−𝜆2−𝜇2 :
⎧
⎨
⎩(𝜆1−𝜇2)𝛼−𝜇1·𝛽=𝜇2·𝛾;
−𝜆1·𝛼+ (𝜇1−𝜇2)·𝛽= 0;=⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝛼=𝜇1−𝜇2;
𝛽=𝜆1;
𝛾=−𝜆1−𝜇1+𝜇2.
3.𝑘3=−𝜆1−𝜆2−𝜇1 :
⎧
⎨
⎩𝜇1·𝛼−𝜇1·𝛽=𝜇2·𝛾;
−𝜆1·𝛼+ (𝜇1−𝜇2)·𝛽= 0;=⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝛼= 1;
𝛽=−1;
𝛾= 0.
47
Т ог да общее решение системы (28) примет вид
⎛
⎜⎜⎝𝑃0(𝑡)
𝑃1(𝑡)
𝑃2(𝑡)⎞
⎟⎟⎠=𝐶1·⎛
⎜⎜⎝𝜇2·(𝜆2+𝜇1)
𝜆·𝜇2
𝜆2·(𝜆1+𝜆2+𝜇1)⎞
⎟⎟⎠+
+𝐶2·𝑒−(𝜆2+𝜇2)·𝑡·⎛
⎜⎜⎝𝜇1−𝜇2
𝜆1
−𝜆1−𝜇1+𝜇2⎞
⎟⎟⎠+
+𝐶3·𝑒−(𝜆1+𝜆2+𝜇1)𝑡·⎛
⎜⎜⎝1
−1
0⎞
⎟⎟⎠, (30)
г де𝐶1 ,𝐶2 и𝐶3 – произвольные вещественные к онст анты. Для
нах о ждения частного решения (28), у довлетвор яющего на чаль-
ным у словиям, по дст авим в общее решение 𝑡= 0 .
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜇2·(𝜆2+𝜇1)·𝐶1+ (𝜇1−𝜇2)·𝐶2+𝐶3= 1;
𝜆1·𝜇2·𝐶1+𝜆1·𝐶2−𝐶3= 0;
𝜆2·(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·𝐶1+ (−𝜆1−𝜇1+𝜇2)·𝐶2= 0.
Р ешим систему относительно неизвестных:
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝐶1=1
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·(𝜆2+𝜇2);
𝐶2=𝜆2
(𝜆1+𝜇1−𝜇2)·(𝜆2+𝜇2);
𝐶3=𝜆1·(𝜆1+𝜆2+𝜇1−𝜇2)
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·(𝜆1+𝜇1−𝜇2).
По дст авив зна чения 𝐶1 ,𝐶2 и𝐶3 в (30), получим иск омое ре-
48
шение. К со ж алению, запись уравнений ок азалась слишк ом гро-
моздк ой, но тем не менее мы получили аналитическ ое решение
путем р яда довольно ст андартных, рутинных операций, к оторые
любой человек, знак омый с основами теории дифференциальных
уравнений, легк о мо ж ет про делать. Аналитическ ое решение от-
крывает нам большие возмо жности теоретическ ого исследования
различных режимов работы системы.
Непосредственно из (30) путем предельного перех о да найдем у ст а-
новившеес я решение:
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑃0=𝜇2·(𝜆2+𝜇1)
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·(𝜆2+𝜇2);
𝑃1=𝜆1·𝜇2
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·(𝜆2+𝜇2);
𝑃2=𝜆2
𝜆2+𝜇2.(31)
Запись решения системы уравнений (28), к ак и промежуточные
выкладки, зна чительно упрощаетс я, если взять равные интен-
сивности обслуживания обычных и привилегированных заявок.
На рис. 9 предст авлены графики решения системы уравнений
(30), а т акж е предельные веро ятности (31) при 𝜆1= 4 ,𝜇1= 6 ,
𝜆2= 1 ,𝜇2= 4 .
В приведенном примере предельные веро ятности 𝑃0= 0,509 ,
𝑃1= 0,291 ,𝑃2= 0,2 . Как видно на рисунк е, графики очень
быстро прижимаютс я к соответствующим асимптот ам. Здесь 𝑃0
– доля времени просто я системы, 𝑃1 – доля времени, прих о дяще-
гос я на обслуживание обычных заявок, 𝑃2= 1−𝑃0−𝑃1 – доля
времени, прих о дящегос я на обслуживание приоритетных заявок.
49
Рис. 9. Веро ятности состо яний СМО с приоритетным вх о дным поток ом
В дальнейшем при исследовании системы мы ск онцентриру ем
внимание на х арактеристик ах, основанных на предельных веро-
ятност ях.
Как следу ет из описания работы СМО, приоритетные заявки
ведут себ я т ак, к ак если бы поток обычных заявок отсутство-
вал. Т аким образом, х арактеристики обслуживания приоритет-
ных заявок совпадают с х арактеристик ами, рассмотренными в
§ 2.2. С обычными заявк ами ситу ация неск ольк о иная. Найдем
веро ятность того, что обслуживание принятой обычной заявки
бу дет завершено до по явления приоритетной. Веро ятность того,
что обычная заявк а, нах о дящаяс я на обслуживании в момент 𝑡 ,
бу дет обслуживатьс я в течение элемент арного промежутк а вре-
мени равна 𝑑𝑡 равна 𝜇1·𝑒−𝜇1·𝑡·𝑑𝑡 . Веро ятность того, что к моменту
𝑡 не поступила приоритетная заявк а 𝑒−𝜆2·𝑡. По форму ле полной
50
веро ятности иск омая веро ятность
∫︁+∞
0𝜇1·𝑒−(𝜆2+𝜇1)·𝑡·𝑡=𝜇1
𝜆2+𝜇1.
Ит ак, 𝜇1/(𝜆2+𝜇1)− веро ятность того, что принят ая заявк а бу дет
обслуж ена, а, соответственно, 𝜆2/(𝜆2+𝜇1)− веро ятность того,
что обслуживание принятой заявки бу дет прервано. Обе веро ят-
ности у словные, т . е. при у словии, что заявк а принят а. Сог лас-
но (31), безу словная веро ятность обслуживания обычной заявки
равна:
𝑃 обычн_обсл =𝑃0·𝜇1
(𝜆2+𝜇1)=𝜇1·𝜇2
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·(𝜆2+𝜇2);
𝑃 обычн_прерв =𝑃0·𝜆2
(𝜆2+𝜇1)=𝜆2·𝜇2
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)·(𝜆2+𝜇2).
Р азумеетс я, 𝑃 обычн_обсл +𝑃 обычн_прерв =𝑃0 – веро ятность при-
нятия обычной заявки на обслуживание.
Характеристики СМО с отк азами и приоритетными
заявк ами
1. Ожидаемое время между двумя последовательными
заявк ами в обычном поток е
𝑇 Ожид_об =1
𝜆1, в приоритетном поток е 𝑇 Ожид_пр =1
𝜆2.
51
2. Ожидаемое время обслуживания обычной заявки
𝑇 обсл_об =1
𝜇1и приоритетной 𝑇 обсл_пр =1
𝜇2.
3. Относительная пропу скная способность по приори-
тетным заявк ам 𝑄 пр=𝑃0+𝑃1=𝜇2
𝜆2+𝜇2– доля приоритет-
ных заявок, принимаемых на обслуживание. Все принятые
заявки обслуживаютс я.
4. Абсолютная пропу скная способность по приоритет-
ным заявк ам
𝐴 пр=𝜆2·𝑄 пр=𝜆2·𝜇2
𝜆2+𝜇2
– о жидаемое к оличество обслуживаемых в единицу време-
ни приоритетных заявок.
5. Относительная пропу скная способность по обычным
заявк ам
𝑄 об=𝑃 обыч_обсл =𝜇2
𝜆2+𝜇2·𝜇1
𝜆1+𝜆2+𝜇1
– доля обычных заявок, принимаемых на обслуживание.
Интересно, что относительная пропу скная способность (ОПС)
по обычным заявк ам равна произведению ОПС по приори-
тетным заявк ам на ту ОПС, к оторая была бы, если бы от-
менили приоритеты, т . е. если бы все заявки обслуживались
к ак обыкновенные.
52
6. Абсолютная пропу скная способность по обычным за-
явк ам
𝐴 об=𝑃 обыч_обсл·𝜆1=𝜆1·𝜇2
𝜆2+𝜇2·𝜇1
𝜆1+𝜆2+𝜇1
– о жидаемое к оличество обслуживаемых в единицу време-
ни обычных заявок.
7. Интенсивность вых о дящего поток а приоритетных за-
явок, получивших отк аз,
𝑃2·𝜆2=𝜆2
2
𝜆2+𝜇2
– о жидаемое к оличество приоритетных заявок в единицу
времени, получающих отк аз по причине занятости един-
ственного к анала обслуживанием другой приоритетной за-
явки.
8. Интенсивность вых о дящего поток а обычных заявок,
получивших отк аз,
(1−𝑃0)·𝜆1= (1−𝜇2·(𝜆2+𝜇1)
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)(𝜆2+𝜇2))·𝜆1
– о жидаемое к оличество обычных заявок в единицу време-
ни, получивших отк аз по причине занятости к анала.
53
9. Интенсивность вых о дящего поток а обычных заявок,
принятых на обслуживание, но не обслуж енных по
причине по явления приоритетной заявки
𝑃 обыч_прер·𝜆1=𝜆1·𝜆2·𝜇2
(𝜆1+𝜆2+𝜇1)(𝜆2+𝜇2)
– к оличество обычных заявок в единицу времени, вытес-
ненных из системы приоритетными заявк ами, т . е. заявок,
принятых на обслуживание, но необслуж енных.
Приведем пример расчет а интенсивностей вых о дящих поток ов
для предст авленного на рис. 9 случая: 𝜆1= 4 ,𝜇1= 6 ,𝜆2= 1 ,
𝜇2= 4 .
№ Интенсивности вых о дящих поток ов Обычные заявки Приоритетные заявки
1 Обслуж енных заявок 1,745 0,8
2 Заявок, получивших отк аз 1,964 0,2
3 С прерванным обслуживанием 0,291 0
4 ИТОГО 4 1
Очевидно, сумма интенсивностей всех вых о дящих поток ов равна
интенсивности соответствующего вх о дящего поток а.
54
Г лава 3. Процессы гибели и размно ж ения
Пу сть СМО имеет мно ж ество состо яний {𝑆𝑖} , г де 𝑖= 0,1, . . . , 𝑛 .
В частности, не исключаетс я случай 𝑛=∞ . По-прежнему спра-
ведливы допущения (18) о веро ятност ях перех о дов. При этом
возмо жны тольк о перех о ды вида
𝜆𝑖,𝑖+1 и𝜆𝑖+1,𝑖, г де𝑖= 0,1, . . . 𝑛−1.
Т ог да процесс функционирования системы называют процес-
сом гибели и размно ж ения . Т аким образом, для процессов
гибели и размно ж ения х арактерны тольк о последовательные пе-
рех о ды слева направо или справа налево (рис. 10). Этот класс
Рис. 10. Процесс гибели и размно ж ения
процессов впервые на чали изучать в связи с исследованиями
динамики численности попу ляций, распространения эпидемий и
другими по добными зада чами. Отсю да и закрепившеес я за про-
цессами название. Если возмо жны перех о ды тольк о слева напра-
во, процесс называют процессом чистого размно ж ения . Если
ж е возмо жны перех о ды тольк о в обратном направлении, говор ят
о процессе гибели .
Запишем уравнения Колмогорова для произвольной системы ги-
55
бели и размно ж ения. Сог ласно с х еме первое уравнение
𝑃′
0(𝑡) =−𝜆01·𝑃0(𝑡) +𝜆10·𝑃1(𝑡),
далее
𝑃′
𝑘(𝑡) =𝜆𝑘−1,𝑘·𝑃𝑘−1(𝑡)−(𝜆𝑘,𝑘−1+𝜆𝑘,𝑘+1)·𝑃𝑘(𝑡) +𝜆𝑘+1,𝑘·𝑃𝑘+1(𝑡),
г де𝑘 >0 . Если мно ж ество состо яний к онечно и номер крайнего
справа – 𝑛 , то систему бу дет замык ать уравнение
𝑃′
𝑛(𝑡) =𝜆𝑛−1,𝑛·𝑃𝑛−1(𝑡)−𝜆𝑛,𝑛−1·𝑃𝑛(𝑡).
Уравнения Колмогорова для случая процессов гибели и размно-
ж ения иног да называют уравнениями Эрланг а.
§ 3.1. Форму лы Эрланг а
Аналитическ ое решение систем уравнений Колмогорова даж е для
простых процессов гибели и размно ж ения с к онечным числом
состо яний часто ок азываетс я довольно громоздким. Однак о ес-
ли существу ет у ст ановившеес я решение, получить его нетру дно.
Система уравнений Колмогорова для у ст ановившегос я решения
56
принимает вид
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩−𝜆01·𝑃0+𝜆10·𝑃1= 0;
𝜆01·𝑃0−(𝜆10+𝜆12)·𝑃1+𝜆21𝑃2= 0;
. . .
𝜆𝑘−1,𝑘·𝑃𝑘−1−(𝜆𝑘,𝑘−1+𝜆𝑘,𝑘+1)·𝑃𝑘+𝜆𝑘+1,𝑘𝑃𝑘+1= 0.
Поло жим, 𝑧𝑘=𝜆𝑘,𝑘+1·𝑃𝑘−𝜆𝑘+1,𝑘·𝑃𝑘+1 , тог да
𝑧0= 0, 𝑧 0−𝑧1= 0, . . . 𝑧 𝑘−1−𝑧𝑘= 0 .
Отсю да, независимо от того, к онечна система или нет ,
𝑧0=𝑧1=···=𝑧𝑘=···= 0
и, следовательно, 𝑃𝑘+1=𝜆𝑘,𝑘+1
𝜆𝑘+1,𝑘·𝑃𝑘 , г де 𝑘 > 0 . По индукции
получим выраж ение предельных веро ятностей через
𝑃𝑘= (𝑘−1∏︁
𝑖=0𝜆𝑖,𝑖+1/𝑘−1∏︁
𝑖=0𝜆𝑖+1,𝑖),
г де𝑘 >0 . Введем обозна чение:
𝛼𝑘= (𝑘−1∏︁
𝑖=0𝜆𝑖,𝑖+1/𝑘−1∏︁
𝑖=0𝜆𝑖+1,𝑖),
г де𝑘 >0 . Т ог да 𝑃𝑘=𝛼𝑘·𝑃0 . Т аким образом, чтобы получить 𝛼𝑘 ,
надо просто произведение интенсивностей всех перех о дов, веду-
щих на с х еме 10 слева направо к 𝑆𝑘 , разделить на произведение
57
интенсивностей всех перех о дов, ведущих справа налево от 𝑆𝑘 .
Если поло жить 𝛼0= 0 , то из у словия∑︀𝑛
𝑘=0𝑃𝑘= 1 непосред-
ственно следу ет
𝑛∑︁
𝑘=0𝛼𝑘·𝑃0= 1 =⇒ 𝑃0= (𝑛∑︁
𝑘=0𝛼𝑘)−1.
Все ск азанное справедливо и для случая 𝑛=∞ , если соответ-
ствующая сумма с х о дитс я. Ит ак,
𝛼𝑘=⎧
⎨
⎩1, ес ли 𝑘= 0;
(∏︀𝑘−1
𝑖=0𝜆𝑖,𝑖+1/∏︀𝑘−1
𝑖=0𝜆𝑖+1,𝑖), ес ли 𝑘 >0.(32)
𝑃𝑘=𝛼𝑘·(𝑛∑︁
𝑘=0𝛼𝑘)−1. (33)
Выраж ения (32–33) известны к ак форму лы Эрланг а, поск ольку
именно Эрланг впервые получил их для у ст ановившегос я про-
цесса в многок анальной СМО с отк азами. Ниж е мы рассмотрим
примеры использования форму л (32 - 33) для различных типов
СМО.
§ 3.2. Многок анальная СМО с отк азами
Система с отк азами и 𝑛 к аналами обслуживания имеет к онечное
мно ж ество состо яний {𝑆𝑖} , г де 𝑖= 0,1, . . . , 𝑛 :𝑆0 – свобо дны все
к аналы, 𝑆1 – занят о дин к анал, 𝑆2 – заняты два к анала и т ак
далее, 𝑆𝑛 – заняты все 𝑛 к аналов обслуживания. Интенсивность
вх о дящего поток а – 𝜆 , интенсивность обслуживания – 𝜇 . Как
58
видно на с х еме (рис. 11), интенсивности перех о дов по возраст а-
нию индек са совпадают с интенсивностью вх о дящего поток а, а
интенсивности перех о дов по убыванию индек са завис ят от ин-
дек са состо яния.
Рис. 11. Многок анальная СМО с отк азами
Т ак, интенсивность перех о да 𝑆𝑘→𝑆𝑘−1 равна 𝑘·𝜇 , т . е. произ-
ведению интенсивности обслуживания о дним к аналом 𝜇 на к о-
личество задействованных к аналов 𝑘 .
Применим форму лы Эрланг а 𝛼0= 1 и𝛼𝑘=𝜆𝑘
1·2·...·𝑘·𝜇𝑘 для k>0.
Введем обозна чения 𝜌=𝜆
𝜇– приведенная интенсивность вх о дя-
щего поток а или нагрузк а системы.
Т ог да
𝛼𝑘=𝜌𝑘
𝑘!, где𝑘= 0,1, . . . , 𝑛, 𝑃 0= (𝑛∑︁
𝑘=0𝜌𝑘
𝑘!)−1.
Отк аз в обслуживании заявк а получает тольк о тог да, к ог да си-
стема нах о дитс я в состо янии 𝑆𝑛 , т . е. все к аналы заняты. Веро-
ятность этого события 𝑃𝑛 .
59
Характеристики многок анальной СМО с отк азами
1. Относительная пропу скная способность системы .
𝑄= 1−𝑃𝑛
2. Абсолютная пропу скная способность, она ж е интен-
сивность вых о дящего поток а обслуж енных заявок
𝐴=𝑄·𝜆= (1−𝑃𝑛)·𝜆.
3. Интенсивность вых о дящего поток а заявок, получив-
ших отк аз,
𝑃𝑛·𝜆.
4. Среднее число занятых обслуживанием к аналов,
т . е. математическ ое о жидание числа занятых к ана-
лов
𝐾=𝑀(𝑘) =𝑛∑︁
𝑘=0𝑘·𝑃𝑘=𝑛∑︁
𝑘=1𝑘·𝑃𝑘=𝑛∑︁
𝑘=1𝑘𝜌𝑘
𝑘!·𝑃0=
=𝜌·𝑛∑︁
𝑘=1𝜌𝑘−1
(𝑘−1)!·𝑃0=𝜌·𝑛−1∑︁
𝑘=0𝜌𝑘
𝑘!·𝑃0=
=𝜌·𝑛−1∑︁
𝑘=0𝑃𝑘=𝜌·(1−𝑃𝑛).
Т аким образом, среднее число занятых к аналов равно про-
изведению приведенной интенсивности вх о дящего поток а
60
на относительную пропу скную способность системы.
5. Среднее число свобо дных от обслуживания к аналов
𝑁0=𝑛−𝐾.
6. Коэффициент занятости к аналов 𝐾/𝑛 .
7. Коэффициент просто я к аналов 𝑁0/𝑛 .
Иног да рассматривают СМО с беск онечным числом к аналов. Хо-
т я кто-то мо ж ет вполне резонно возразить, что т ак овых не бы-
вает , названная мо дель вполне адекватно описывает нек оторые
реальные ситу ации. Например, если к аналы обслуживания – но-
мера в гостинице на курорте в мертвый сезон, а т акж е в других
ситу ациях, к ог да к аналов очень много, а заявок очень мало. Оче-
видно, в т ак ой системе обслуживаютс я все заявки.
В этом случае
𝑃0= (∞∑︁
𝑘=0𝜌𝑘
𝑘!)−1=𝑒−𝜌, 𝑃 𝑘=𝜌𝑘
𝑘!·𝑒−𝜌.
Среднее число занятых к аналов
𝐾=∞∑︁
𝑘=0𝑘·𝑃𝑘=∞∑︁
𝑘=1𝑘𝜌𝑘
𝑘!·𝑒−𝜌=𝜌∞∑︁
𝑘=1𝜌𝑘−1
(𝑘−1)!·𝑒−𝜌=
=𝜌·∞∑︁
𝑘=1(𝜌𝑘
𝑘!)′
𝜌·𝑒−𝜌=𝜌·(∞∑︁
𝑘=1𝜌𝑘
𝑘!)′
𝜌·𝑒−𝜌=𝜌·(𝑒𝜌)′
𝜌·𝑒−𝜌=𝜌.
61
Т аким образом, среднее число занятых к аналов в «беск онечно-
к анальной» СМО 𝐾=𝜌 определяетс я тольк о отношением ин-
тенсивности вх о дящего поток а к интенсивности обслуживания.
§ 3.3. Однок анальная СМО без ограничений на длину
очереди
Рис. 12. Однок анальная СМО без ограничений на длину очереди
Однок анальная система без ограничений на длину очереди (рис.
12) имеет беск онечное мно ж ество состо яний {𝑆𝑖} , г де г де 𝑖=
0,1, . . . :𝑆0 – единственный к анал свобо ден, 𝑆1 – к анал занят об-
служиванием заявки, 𝑆2 – к анал занят , и о дна заявк а нах о дитс я
в очереди, 𝑆3 – к анал занят , и две заявки нах о дятс я в очереди и
т . д. Т аким образом, состо яние 𝑆𝑘 , г де 𝑘 >1 , – это к ог да в оче-
реди нах о дитс я 𝑘−1 заявк а. Интенсивность вх о дящего поток а
–𝜆 , интенсивность обслуживания – 𝜇 . Интенсивности всех пере-
х о дов в пор ядк е возраст ания индек са равны 𝜆 , а интенсивности
всех перех о дов в обратном направлении, в от личие от случая из
§ 3.2, совпадают и равны 𝜇 .
Если зак анчиваетс я обслуживание очередной заявки при нали-
чии очереди, система перех о дит к обслуживанию следующей, а
длина очереди уменьшаетс я на единицу .
62
Форму лы Эрланг а теперь примут вид
𝛼𝑘=𝜆𝑘
𝜇𝑘=𝜌𝑘, где𝑘= 0,1,2. . .; 𝑃0= (∞∑︁
𝑘=0𝜌𝑘)−1= 1−𝜌.
Р азумеетс я, должно выполнятьс я у словие 𝜌 <1 . В противном
случае, к ог да 𝜆≥𝜇 , интенсивность обслуживания не превы-
шает интенсивности поступления заявок, очередь со временем
стремитс я к беск онечности и сам разговор о предельных веро ят-
ност ях тер яет смысл.
В дальнейшем мы не бу дем специально выделять основные х а-
рактеристики рассматриваемых СМО.
Веро ятности состо яний системы 𝑃𝑘= (1−𝜌)·𝜌𝑘. Любая посту-
пившая заявк а принимаетс я в очередь и рано или поздно обслу-
живаетс я. Отсю да относительная пропу скная способность 𝑄= 1 ,
а абсолютная 𝐴=𝜆 . Вых о дящий поток тольк о о дин и образован
обслуж енными заявк ами, его интенсивность равна интенсивно-
сти вх о дящего поток а 𝜆 .
Найдем среднюю длину очереди 𝐿 оч для у ст ановившегос я реше-
ния. Веро ятность ну левой длины равна 𝑃0+𝑃1 , и далее при 𝑘 >1
63
веро ятность длины k равна 𝑃𝑘+1 . Т аким образом,
𝐿 оч=𝑀(𝑘) =∞∑︁
𝑘=1𝑘·𝑃𝑘+1=
= (1−𝜌)∞∑︁
𝑘=1𝑘·𝜌𝑘+1= (1−𝜌)·𝜌2·∞∑︁
𝑘=1𝑘·𝜌𝑘−1=
= (1−𝜌)·𝜌2·(∞∑︁
𝑘=1𝜌𝑘)′
𝜌= (1−𝜌)·𝜌2·(𝜌
1−𝜌)′
𝜌=𝜌2
1−𝜌.
Пу сть 𝑇 оч – время нах о ждения вновь поступившей заявки в оче-
реди. 𝑀(𝑇 оч/𝑆𝑘) – о жидаемое время пребывания заявки в оче-
реди, при у словии, что система на момент поступления заявки
нах о дитс я в состо янии 𝑆𝑘 . Т ог да
𝑀(𝑇 оч/𝑆𝑘) =⎧
⎨
⎩0, ес ли 𝑘= 0;
𝑘
𝜇, ес ли 𝑘 >0.
По форму ле полной веро ятности о жидаемое время пребывания
заявки в очереди
𝑇 оч=∞∑︁
𝑘=0𝑃(𝑆𝑘)·𝑀(𝑇 оч/𝑆𝑘) =∞∑︁
𝑘=1𝑃𝑘·𝑀(𝑇 оч/𝑆𝑘) =
=∞∑︁
𝑘=1𝑃𝑘·𝑘
𝜇=1−𝜌
𝜇·∞∑︁
𝑘=1𝑘·𝜌𝑘=𝜌
𝜇(1−𝜌).
Отсю да – первая форму ла Литт ла: 𝐿 оч=𝜆·𝑇 оч .
Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме сред-
него времени пребывания в очереди и среднего времени обслу-
64
живания:
𝑇 сис=𝑇 оч+𝑇 обс=𝜌
𝜇(1−𝜌)+1
𝜇.
Среднее число заявок, нах о дящих с я по д обслуживанием, 𝐿 обс л=
= 1−𝑃0=𝜌 . Т ог да среднее число нах о дящих с я в системе заявок
𝐿 сис=𝐿 оч+𝐿 обс=𝜌2
1−𝜌+𝜌=𝜌
1−𝜌.
Отсю да легк о получаетс я соотношение между к оличеством за-
явок в системе и временем пребывания заявки в системе (34) –
вторая форму ла Литт ла. Т аким образом,
𝐿 оч=𝜆·𝑇 оч, 𝐿 сис=𝜆·𝑇 сис. (34)
Р ассмотренная нами в этом параграфе система без ограничений
на длину очереди являетс я довольно распространенной мо делью
реальных систем. Например, пу сть пропу скная способность го-
ро дск ого травматологическ ого пункт а – 10 пациентов в час, а
в горо де в этот перио д времени случаетс я 9 травм в час. Чему
равна средняя длина очереди 𝐿 оч и среднее время пребывания
пациент а в очереди 𝑇 оч ? Ит ак: 𝜆= 9 ,𝜇= 10 . Следовательно,
𝜌= 0,9 ;𝐿 оч= 8,1 пациент а; 𝑇 оч= 0,9 часа, или 54 минуты. При
этом, если смена длитс я 6 часов, то из них 0,6 часа, или 36 минут ,
пункт прост аивает . Эти моменты важно учесть при по дготовк е
орг анизационных решений, связанных с медицинским обслужи-
ванием и другими видами обслуживания населения.
65
§ 3.4. Однок анальная СМО с ограничением на длину
очереди
Т еперь рассмотрим систему , аналогичную исследованной в преды-
дущем параграфе, но с ограничением на длину очереди. Пу сть
система имеет 𝑛+ 1 состо яние: 𝑆0 – единственный к анал свобо-
ден,𝑆1 – единственный к анал занят обслуживанием заявки, 𝑆2 –
к анал занят и о дна заявк а нах о дитс я в очереди и т . д. Последнее
состо яние 𝑆𝑛+1 – в очереди n заявок (рис. 13).
Рис. 13. Однок анальная СМО с ограничением на длину очереди
Форму лы Эрланг а:
𝛼𝑘=𝜆𝑘
𝜇𝑘=𝜌𝑘, где𝑘= 0,1,2. . . , 𝑛 + 1; 𝑃0= (𝑛+1∑︁
𝑘=0𝜌𝑘)−1.
Выполнение у словия 𝜌 <1 теперь не требу етс я. 𝑃𝑘=𝑃0·𝜌𝑘.
Веро ятность принятия заявки на обслуживание равна 1−𝑃𝑛+1 ,
веро ятность отк аза – 𝑃𝑛+1 . Система имеет два вых о дных поток а:
поток обслуж енных заявок с интенсивностью 𝐴= (1−𝑃𝑛+1)𝜆 и
поток заявок, получивших отк аз, с интенсивностью 𝐴=𝑃𝑛+1·𝜆 .
Средняя длина очереди
𝐿 оч=𝑀(𝑘) =𝑛∑︁
𝑘=1𝑘·𝑃𝑘+1=𝑃0·𝑛∑︁
𝑘=1𝑘·𝜌𝑘+1. (35)
66
Аналогично тому , к ак это делалось в предыдущем параграфе,
нетру дно найти 𝐿 обс ,𝐿 сис ,𝑇 оч ,𝑇 сис . Р азумеетс я, форму лы Литт-
ла т акж е выполняютс я.
§ 3.5. Однок анальная СМО с нетерпеливыми заявк ами
Описание системы совпадает с предст авленным в § 3.2. Един-
ственное от личие – новый вых о дящий поток, поток нетерпели-
вых заявок. Для него мы вво дим новый параметр 𝜔 – интен-
сивность ух о да заявки из очереди. Т аким образом,1
𝜔– среднее
время о жидания заявки в очереди. Сх ема СМО изображ ена на
рис. 14.
Рис. 14. Однок анальная СМО с нетерпеливыми заявк ами
В рассматриваемом примере заявки иног да покидают очередь
по своей инициативе, не до ждавшись обслуживания. Форму лы
Эрланг а:
𝛼0= 1 , 𝛼𝑘=𝜆𝑘
∏︀𝑘
𝑖=1(𝜇+ (𝑖−1)·𝜔)=𝜌𝑘, для𝑘 >0;
𝑃0= (𝑛+1∑︁
𝑘=0𝜌𝑘)−1, 𝑃𝑘=𝛼𝑘·𝑃0.
Т акж е рассматривают приведенную интенсивность поток а ух о-
67
дов𝛽=𝜔
𝜇. Т ог да
𝛼𝑘=𝜌𝑘
∏︀𝑘
𝑖=1(1 + ( 𝑖−1)·𝛽).
Средняя длина очереди 𝐿 оч=𝑀(𝑘) =∑︀𝑛
𝑘=1𝑘·𝑃𝑘+1 . Каждая
заявк а «испытывает ж елание» уйти с интенсивностью 𝜔 . По-
этому интенсивность вых о дящего поток а покинувших очередь
заявок равна 𝐿 оч·𝜔 . Поск ольку в очередь принимаютс я все без
исключения заявки, абсолютная пропу скная способность систе-
мы𝐴=𝜆−𝐿 оч·𝜔 .
§ 3.6. Замкнут ая о днок анальная СМО
До сих пор мы рассматривали СМО, в к оторых вх о дной поток
не зависит от того, ск ольк о заявок в данный момент обслужива-
етс я или нах о дитс я в очереди. Т ак, в большом горо де вы мо ж ете
счит ать, что ваш звонок не ок аж ет влияния на общую интенсив-
ность звонк ов по горо ду и, х от я население даж е очень большого
горо да к онечно, вы мо ж ете в мо дели счит ать к оличество источ-
ник ов заявок беск онечным. Другое дело, например, к ог да в цех е
всего дес ять ст анк ов и о дин мастер по их ремонту . Т ог да мо де-
лью цех а бу дет СМО с состо яниями {𝑆𝑖} , г де 𝑖= 0,1, . . . , 𝑛 :𝑆0 –
работ ают все ст анки, 𝑆1 – о дин ст анок в ремонте, ост альные ра-
бот ают , 𝑆2 – о дин в ремонте, о дин в очереди, ост альные работ ают
и, нак онец, 𝑆𝑛 – о дин в ремонте, ост альные в очереди на ремонт!
Интенсивность поток а заявок на ремонт с о дного ст анк а, т . е. ин-
тенсивность поток а отк азов – 𝜆 , интенсивность обслуживания –
68
𝜇 . Величину 1/𝜆 в теории надежности называют наработк ой
на отк аз. Т акие системы называют замкнутыми, или системами
Энгсет а (рис. 15).
Рис. 15. Замкнут ая о днок анальная СМО
Форму лы Эрланг а:
𝛼0= 1 и𝛼𝑘=𝑘!
(𝑛−𝑘)!·𝜌𝑘, для𝑘= 1,2. . . 𝑛;
𝑃0= (𝑛∑︁
𝑘=0𝜌𝑘)−1, 𝑃𝑘=𝛼𝑘·𝑃0.
Абсолютная пропу скная способность СМО 𝐴=𝑃 зан·𝜇 , г де 𝑃 зан
– веро ятность того, что система занят а обслуживанием заявки.
Напомним, что здесь 𝜇 – произво дительность системы при у сло-
вии, что она обслуживала бы заявки непрерывно, без простоев.
В замкнутой СМО мо жно выделить нек оторые к оличества ак-
тивных 𝑁 акт и пассивных 𝑁 пас источник ов заявок. Например,
пассивные источники – это нах о дящиес я в ремонте или в очере-
ди на ремонт ст анки. Т ольк о активный источник мо ж ет по дать
новую заявку на обслуживание. Очевидно, 𝑁 акт+𝑁 пас=𝑛 .
Т акж е и для средних: 𝑁 акт+𝑁 пас=𝑛 . Средняя интенсивность
вх о дящего поток а
 =𝐴= (1−𝑃0)·𝜇= (𝑛−𝑁 пас)·𝜆=⇒ 𝑁 пас=𝑛−1−𝑃0
𝜌.
69
Здесь
𝑁 пас =𝐿 сис;
𝐿 оч=𝐿 сис−𝐿 обс л=
=𝑛−1−𝑃0
𝜌−(1−𝑃0) =𝑛−(1−𝑃0)·(1
𝜌+ 1).
Веро ятность того, что заявк а активна, т . е. доля активных заявок
𝑃 акт= 1−𝐿 сис
𝑛·𝜆; 𝑇 оч=𝐿 оч
.
70
* * *
К со ж алению, объем пособия не позволил рассмотреть многок а-
нальные системы с ограничением и без ограничений на длину
очереди, многок анальные системы с нетерпеливыми заявк ами
и замкнутые многок анальные системы. Т акж е не рассмотрены
многофазовые системы, пропущен р яд теоретических вопросов
существования решений уравнений Колмогорова, а т акж е осо-
бые случаи вх о дящего поток а и пор ядк а обслуживания, случаи,
к ог да нарушаетс я ор динарность поток а или к ог да заявки посту-
пают по зак онам простейшего поток а, но от дельные заявки не
обслуживаютс я. Например, занятия на курсах анг лийск ого язы-
к а на чинаютс я по мере к омплектования групп. В т аких случаях
не всег да классические учебники дадут ответ на все вопросы и
прих о дитс я обращатьс я к дополнительной литературе. Однак о
сту дент , освоивший мето ды мо делирования СМО и основные х а-
рактеристики СМО на рассмотренных в книге примерах и во-
оружившись необ х о димой литературой, смо ж ет самосто ятельно
исследовать многие пропущенные нами классы СМО. В к онце
к онцов для чего-то существуют и «толстые» книги.
71
Биографические справки
1. Вентцель Елена Сергеевна (1907–2002) – советский математик,
доктор технических на ук, профессор, автор на учных работ и
учебник ов по теории веро ятностей, исследованию операций и
теории массового обслуживания. Елена Сергеевна являетс я т ак-
ж е автором р яда романов, повестей и расск азов.
2. Гнеденк о Борис Владимирович (1912–1995) – советский матема-
тик, ак адемик АН У ССР , специалист по теории веро ятностей и
математическ ой ст атистик е. Занималс я зада чами, связанными с
обороной страны. Автор многих работ по теории массового об-
служивания, о дин из основополо жник ов теории надежности.
3. Йо х ансон Фредерик Фер динанд (1855–1934) – датский инж енер,
директор Копенг агенск ой телефонной к омпании. Изло жил пер-
вые идеи теории очередей в 1907 го ду в ст атье «Время о жидания
и число вызовов» .
4. Кашт анов Виктор Алек сеевич (1934) – советский математик, док-
тор физик о-математических на ук, ла уреат Г осу дарственной пре-
мии СССР 1979 го да. Один из рук ово дителей разработок в об-
ласти фундамент альных проблем системной безопасности.
5. Коваленк о Игорь Ник олаевич (1935) – советский математик, док-
тор технических на ук, доктор физик о - математических на ук,
профессор, ак адемик АН У ССР , ла уреат Г осу дарственной пре-
мии СССР 1978 го да. Основные тру ды относ ятс я к теории веро-
ятностей и ее прило ж ениям, теории надежности, теории массо-
вого обслуживания.
6. Колмогоров Андрей Ник олаевич (1903–1987) – выдающийс я со-
ветский математик, ак адемик АН СССР , Г ерой Социалистиче-
72
ск ого Тру да, ла уреат Ленинск ой и Г осу дарственной премий СССР ,
профессор МГУ , иностранный член Национальной ак адемии на-
ук США, член Лондонск ого к оролевск ого общества, член Г ер-
манск ой ак адемии естествоиспыт ателей и многих других ак аде-
мий и на учных обществ мира. Внес зна чительный вклад в раз-
витие теории марк овских процессов с непрерывным временем.
7. Клейнрок Леонар д (1934) – америк анский инж енер в области ин-
формационных технологий и к омпьютерных сетей. Сыграл важ-
ную роль в создании сети ARP ANET – предшественницы Интер-
нет а.
8. Марк ов Андрей Андреевич (1856–1922) – ру сский математик,
ак адемик Р оссийск ой ак адемии на ук, профессор физик о-мате-
матическ ого факу ль тет а Санкт- Петербургск ого университет а.
Внес большой вклад в теорию веро ятностей, математический
анализ и теорию чисел, впервые исследовал широкий класс сто-
х астических процессов с дискретным временем (марк овские це-
пи) и непрерывным временем (марк овские процессы). Цепи Мар-
к ова нашли широк ое применение в работ ах Планк а, Эйнштейна
и других ученых.
9. Пу ассон Симеон Денни (1781–1840) – французский математик,
мех аник и физик, профессор Политехническ ой шк олы в Пари-
ж е, почетный член Петербургск ой ак адемии на ук. Предло жил
о дин из важнейших зак онов распределения случайных величин,
впоследствии названный его именем.
10. Хинчин Алек сандр Як овлевич (1894–1959) – советский матема-
тик, о дин из наиболее зна чимых ученых в советск ой шк оле тео-
рии веро ятностей, член-к орреспондент АН СССР , действитель-
ный член и о дин из основателей Ак адемии педагогических на ук,
73
ла уреат Ст алинск ой премии 1941 го да. Являетс я (совместно с
А. Н. Колмогоровым) создателем современной теории случай-
ных процессов и теории массового обслуживания. В моло дости
Алек сандр Як овлевич опублик овал четыре небольших сборник а
своих стих ов.
11. Энгсет Т оре Ола у с (1865–1943) – норвеж ский математик и инж е-
нер, о дин из основополо жник ов теории массового обслуживания.
12. Эрланг Агнер Краруп (1878–1929) – датский математик, ст ати-
стик и инж енер, сотру дник Копенг агенск ой телефонной к омпа-
нии, основатель на учного направления по изучению трафик а в
телек оммуник ационных системах. В 1909 го ду Эрланг опубли-
к овал свою первую работу «Т еория веро ятностей и телефонные
разговоры» , к оторая была признана во всем мире и лег ла в ос-
нову теории массового обслуживания.
74
Список литературы
1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных.
М.: Мир, 1989. 540с.
2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Т еория случайных процессов и ее
инж енерные прило ж ения. М.: A CADEMA, 2003. 432 с.
3. Гнеденк о Б. В., Коваленк о И. Н. Введение в теорию массового
обслуживания. М.: На ук а, 1987. 336 с.
4. Ивченк о Г . И., Кашт анов В. А., Коваленк о И. Н. Т еория массо-
вого обслуживания. М.: Высшая шк ола, 1982. 256 с.
5. Клейнрок Л. Т еория массового обслуживания. М.: Машиностро-
ение, 1979. 432 с.
6. Новик ов О. А., Петух ов С. И. Прикладные вопросы теории мас-
сового обслуживания. М.: Советск ое радио, 1969. 400 с.
7. Лабск ер Л. Г ., Бабешк о Л. О. Т еория массового обслуживания в
эк ономическ ой сфере. М.: Издательск ое объединение ЮНИТИ,
1999. 319 с.
8. Хинчин А. Я. Р аботы по математическ ой теории массового об-
служивания. М.: Г осу дарственное издательство физик о-матема-
тическ ой литературы, 1963. 236 с.
9. Чернецкий В. И. Математическ ое мо делирование сто х астических
систем. Петрозаво дск: Издательство Петрозаво дск ого госу дар-
ственного университет а, 1994. 488 с.
75
Учебное издание
Белый Евгений Константинович
Введение в теорию массового обслуживания
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению 
«Информационные системы и технологии»
Редактор Редактор Е. Е. ПорывакинаЕ. Е. Порывакина
Компьютерная верстка Компьютерная верстка Е. К. БелогоЕ. К. Белого
Фотография для обложки предоставлена старшим преподавателем Фотография для обложки предоставлена старшим преподавателем 
кафедры физической культурыкафедры физической культуры
Г. А. КрикуновымГ. А. Крикуновым
Подписано в печать 17.12.14. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 2,7. Тираж 105 экз. Изд. № 168
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ
185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33