Вредная геометрия
Автор: Белый Евгений Константинович (доцент, пенсионер)
Тип документа: Другое. Аудитория: Преподаватели и учителя информатики. Дата публикации: 21.05.2021
Описание: Книга посвящена особому классу задач, который называют "софизмами". Суть их в том, что требуется найти ошибку в заведомо ложном доказательстве. Последнее иногда оказывается довольно сложно. Не случайно с греческого "софизм" можно перевести как хитрая выдумка, уловка. Некоторые софизмы возникли еще в античном мире, скорее всего в результате ошибок в серьезных рассуждениях. Но история происхождения большей их части навсегда останется тайной. Зачем нужны такие задачи? На этот вопрос ответил в предисловии к одной из своих книг известный популяризатор науки, профессор Геттингенского университета немецкий математик Карл Литцман: "Серьезное значение изучения ошибок и софизмов для воспитания математического мышления, как кажется автору, еще недостаточно осознано. Не только учитель должен иметь дело с ошибками, которые делают его ученики; сами учащиеся зачастую научаются большему на примере разъясненной ошибки, чем даже при правильном выполнении по готовым образцам задач и упражнений".

Математик а не для ЕГЭ
Е. К. Белый
Вредная геометрия
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Петрозаво дск
Издательство ПетрГУ
2017
У ДК 514.01
ББК 22.151
Б439
Р ецензенты:
С. С. Платонов , доктор физик о-математических на ук, профессор
к афедры математическ ого анализа ПетрГУ ;
П. В. Дружинин , доктор эк ономических на ук, ведущий на учный со-
тру дник От дела мо делирования и прогнозирования регионального
развития институт а эк ономики КарНЦ Р АН
Белый, Евгений Конст антинович.
Б439 Вредная геометрия : учебное пособие для учащих с я средних
шк ол / Е. К. Белый. – Петрозаво дск : Издательство ПетрГУ , 2017.
– 34, [2] с. – (Математик а не для ЕГЭ).
ISBN 978-5-8021-3207-4
В книге в форме расск аза разобрано неск ольк о классических
геометрических софизмов, исследование к оторых способству ет
развитию логическ ого мышления учащих с я.
Учебное пособие адресовано ученик ам и учителям средней шк олы, а
т акж е всем, кто интересу етс я математик ой.
ISBN 978-5-8021-3207-4
У ДК 514.01
ББК 22.151
c○ Белый Е. К., 2017
Со дер ж ание
Предисловие 4
С чего все на чалось 7
Васины теоремы 12
Т1. Все уг лы пр ямые . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Т2. Все треугольники правильные . . . . . . . . . 18
Т3. Все отрезки равны . . . . . . . . . . . . . . . 23
Т4. Все окружности равны . . . . . . . . . . . . . 26
И чем все зак ончилось 28
Биографические справки 30
Список литературы 33
Г ео метрия – это искусство де лать пр авильные выводы
по непр авильным чертежам.
Евклид
Предисловие
⇒ 13 Дорогой чит атель! Эт а книг а посвящена особому
классу зада ч, к оторый называют «софизмами» . Суть их
в том, что требу етс я найти ошибку в заведомо ло жном
док азательстве. Последнее иног да ок азываетс я довольно
сло жно. Не случайно с греческ ого «софизм» мо жно пере-
вести к ак хитрая выдумк а, у ловк а. Нек оторые софизмы
возникли еще в античном мире, ск орее всего в резу ль т а-
те ошибок в серьезных рассуждениях. Но история проис-
х о ждения большей их части навсег да ост анетс я т айной.
В к онце XIX в. замечательный российский педагог и попу-
ляризатор математики Василий Иванович Обреимов,
бу дучи препо давателем математики и физики Ек атерин-
бургск ой муж ск ой Его Императорск ого Величества гимна-
зии, на чал собирать т ак ого ро да зада чи. В 1884 г . увидело
свет первое издание его сборник а «Математические софиз-
мы» [1], а в 1911 г . вышла книг а А. А. Лямина, препо дава-
теля Моск овск ого к оммерческ ого училища
М. А. Паршина, «Математические парадок сы и интерес-
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ные зада чи для любителей математики» [2], в к оторой ав-
тор с делал попытку «собрать в о дно целое лучшие из тех
разнообразнейших интересных зада ч, к оторые большей
частью разбросаны в многочисленных учебник ах, зада ч-
ник ах и журналах, а часто даж е просто передаютс я изу ст-
но» [2, с. 3]. В 1953 г . опублик овано первое издание
книги Як ова Семеновича Дубнова «Ошибки в геометри-
ческих док азательствах» [3], в к оторой разобрана боль-
шая часть геометрических софизмов из вышеперечислен-
ных книг и дана классифик ация ошибок в геометриче-
ских док азательствах. В 1962 г . издана на ру сск ом язы-
к е книг а известного немецк ого попу ляризатора математи-
ческих знаний Карла Юлиу са Валь тера Литцмана «Г де
ошибк а?» [4]. Справедливости ради заметим, что первый
вариант книги на ру сск ом язык е вышел еще до 1917 г . в
соавторстве с датским математик ом Вигго Триером и пе-
реиздавалс я неск ольк о раз, на чиная с 1919 г . Р азумеетс я,
софизмы в той или иной мере рассматривались и в других
учебных пособиях. Мы отметили здесь тольк о самые зна-
чительные работы.
За чем нужны т акие зада чи? На этот вопрос ответил в пре-
дисловии к своей книге сам Литцман: «Серьезное зна чение
изучения ошибок и софизмов для воспит ания математи-
ческ ого мышления, к ак к аж етс я автору , еще недост аточно
6
осознано. Не тольк о учитель долж ен иметь дело с ошибк а-
ми, к оторые делают его ученики; сами учащиес я за частую
на учаютс я большему на примере разъясненной ошибки,
чем даж е при правильном выполнении по готовым образ-
цам зада ч и упражнений» [4, с. 7].
В этой книге мы рассмотрели всего четыре геометриче-
ских софизма, преследу я довольно скромную цель:
вернуть внимание педагогическ ого сообщества к классу
зада ч, незаслуж енно забытых в большинстве современных
шк ол. Материал изло ж ен в форме расск аза. Объяснения
ошибок мы сознательно не приво дим, поск ольку , сразу про-
чит ав их, мало кто зах очет взять на себ я тру д тщательно
проверить построения с цирку лем и линейк ой. При ж ела-
нии чит атель мо ж ет обратитьс я к о дному из перечислен-
ных учебных пособий, например Я. С. Дубнова [2].
Автор выраж ает благо дарность всем, кто про явил интерес
к данной серии книг . Любые замечания и предло ж ения вы
мо ж ете, к ак и ранее, направлять по адресу:
b elyi@p etrsu.ru .
Евгений Белый
Дек абрь 2017
С чего все на чалось
4⇔ 13 Вас я уж е выск очил в к оридор, к ог да его поймал
за рук ав пидж ак а Гриша.
– Стой, Кошкин. Ты это... в круж ок х о дишь? При НИИ.
– И что? – пыт аясь вырватьс я, спросил Вас я.
Гриша, не ослабляя захват а, по двел его к окну , дабы
уклонитьс я от полного жизненной энергии, смет ающего
все на своем пути шк олярск ого поток а в полном
соответствии с зак онами гидро динамики стремительно
мчащегос я вниз к вых о ду .
– Эт а... Воробьева заболела, Зина. А ей в пятницу до-
клад делать на математическ ом вечере. Через неделю. По
этой... геометрии. Соображ аешь?
Вас я бросил гру стный взг ляд в окно на залитый ослепи-
тельным солнечным светом шк ольный двор, на привет ли-
во машущие ему листвой березы и машинально ответил:
– Не очень.
– Честь спасать надо!
– Чью? – просто душно спросил Вас я.
– Вашего класса! 9-го «б» . Ответственное мероприятие
срываетс я, – тер яя терпение, выпалил Гриша.
– А я тут при чем?
За окном, радостно верт я хвостом, носилс я любимец
8
детворы дворовый пес Мак арий, черный с к ончик ов ушей
до пят , но со свет лой душой, всег да счаст ливый и безза-
ботный. Вышла на крыльцо Лена Синичкина...
– Ты, говор ят , в этом деле мэтр, – не отст авал Гриша.
– Киломэтр, – отшутилс я Вас я.
– Т ак вот , киломэтр, доклад с делаешь ты! И времени на
по дготовку у теб я уйма. Это... целая неделя, – уж е спо-
к ойно зак ончил мысль Гриша.
– Г оворишь, по геометрии. А на к акую тему? – спросил,
еще не потер явший надежду у лизнуть Вас я.
Доклады он не любил даж е слушать, не то что делать
самому .
– Все равно!
– Все равно, – задумчиво повторил Вас я и впервые с ин-
тересом посмотрел на Гришу . – А что, непло х ая идея. По-
х о ж е, я теб я недооценивал.
И уж е совсем миролюбиво зак ончил:
– Замет ано, в следующую пятницу бу ду .
Гриша ослабил захват , и Васю унес поток.
Президенту пок азалось по дозрительно то, что обычно упр я-
мый Вас я к ак-то уж слишк ом быстро с далс я, но он от-
нес этот факт на счет своего орг анизаторск ого т алант а.
Об этом т аланте мы к оротк о, пок а нам никто не мешает ,
расск аж ем. Ученик 10-го «а» президент Шк ольной Ак аде-
С ЧЕГО ВСЕ НА ЧАЛОСЬ 9
мии Гриша Т арасенк о был неверо ятно целеу стремленным
человек ом. Т очнее ст ал т аким после того, к ак по явилась
достойная цель. В раннем детстве он х отел быть директо-
ром шок оладной фабрики и даж е к оллекционировал фан-
тики, потом мечт ал ст ать олиг ар х ом, сантехник ом, ревизо-
ром... Затем мечты ст али мельк ать совсем быстро, сменяя
о дна другую, к ак узоры в детск ом к алейдоск опе. Одна-
жды он даж е мечт ал о к арьере Фреди Крюгера. Это было
в пионерск ом лагере, летом, после того к ак товарищи по
отр яду у строили ему «темную» . И тог да ж е он задумалс я
о депут атск ой неприк основенности. К осени идея созрела,
к ак поло ж енный в валенок помидор, и Гриша ст ал часами
сидеть у зерк ала, трениру я г лубок омысленное выраж ение
лица му дрого политик а. Но пок а это были лишь фант азии.
Мечт а ст ановитс я целью тольк о после того, к ак человек
на чнет что-то предпринимать для ее осуществления.
И вот о днажды на шк ольный вечер был приг лашен ст а-
ренький ак адемик, зак ончивший эту шк олу еще до Все-
мирного потопа. Никто уж е не помнит , о чем он говорил,
но его расск азы пробу дили в Грише новую, насто ящую
мечту: ст ать ак адемик ом. Уваж ение, почет , х орошая зар-
плат а, пол жизни про х о дит на к онференциях и симпозиу-
мах в самых экзотических част ях свет а. К тому ж е депу-
т атов не всег да выбирают , директоров иног да снимают и
10
даж е саж ают , а ак адемик – это навсег да! Ост алось толь-
к о решить, к аким ак адемик ом быть лучше. По ж алуй, т а-
ким, к оторый рук ово дит другими, т . е. ук азывает им, к ог да
и к акие открытия надо делать. Идея т ак увлекла Гри-
шу , что он в кратчайшие сроки заметно по дт яну лс я в уче-
бе. А насчет форму лировки проблем теперь Грише просто
не было равных. Т ак, все ст аршеклассники знают , что «ки-
нетическ ая энергия равна половине произведения массы
на квадрат ск орости» , но тольк о у Гриши возник вопрос,
ку да деваетс я друг ая половина. Очень к ст ати РОНО спу-
стило в шк олу депешу Минобраза о необ х о димости при-
общать учащих с я к на учно-исследовательск ой работе. По-
ск ольку , к ак это делать, никто точно не знал, в к абинете
директора собрали совещание с участием администрации
и ст арост ст арших классов.
Гриша тог да к ак раз был ст аростой. Вот он и предло жил
первым делом создать на учное общество
и самим фактом его существования обозна чить наличие
на уки в шк оле. Общество Гриша предло жил назвать Выс-
шей Шк ольной Ак адемией, но собрание решительно
отклонило это название, заметив, что его аббревиатура
напоминает о дно очень несимпатичное насек омое. И обще-
ство назвали просто Шк ольной Ак адемией (ША). Г овор ят ,
«к ак к орабль назовешь, т ак он и поплывет» . В действи-
С ЧЕГО ВСЕ НА ЧАЛОСЬ 11
тельности больше всего к опий ломаетс я не вокруг вопро-
сов: «к ак к орабль назвать?» или «к ак он поплывет?» . Г о-
раздо важней: «кто бу дет к апит аном?» . И тут Грише снова
повезло, его избрали президентом ША за инициативность
и еще потому , что другие не х отели. Т еперь Гриша отвечал
за проведение всех математических и физических вечеров,
оформление презент аций по естественно-на учной темати-
к е и тьму других мероприятий.
12
Васины теоремы
Т от , кто х орошо знает Васю, сейчас мне не поверит , о дна-
к о его и вправду увлекла навязанная тема и он с головой
окуну лс я в работу . Математик ой Вас я занималс я тольк о
потому , что она ему нравилась. И тут уж было не до шу-
ток. Он отобрал из своей большой, «нак а чанной» из Ин-
тернет а библиотеки неск ольк о по дх о дящих книг и сел за
чертежи, ловк о ору ду я цирку лем, деревянными линейк а-
ми и угольник ом. Все заметили, что даж е на урок ах Вас я
ст ал к ак ой-то рассеянный. За работой незаметно пролете-
ла неделя, и нак онец наст ала пятница.
В белой рубашк е и при г алстук е Вас я уверенно взобралс я
на сцену в просторном актовом зале. Центральную часть
занимала специально зак азанная для т аких случаев боль-
шая переносная классная доск а. Как и поло ж ено насто я-
щему оратору , он внимательно осмотрел а у диторию. Пер-
вые р яды заполнил весь цвет шк ольной на уки и... Лена
Синичкина. Ког да Вас я громк о объявил тему доклада –
«Все равно!» , по залу прок атилс я ропот . По х о ж е, тема вы-
звала у публики недоумение. Гриша почувствовал, что те-
р яет к онтроль над ситу ацией. Однак о делать было нечего.
Т ем временем ничуть не смутившийс я докладчик сформу-
лировал первую теорему .
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 13
Т1. Все уг лы пр ямые
12⇔ 18 Поск ольку любой острый угол являетс я допол-
нением до 180𝑜нек оторого тупого уг ла, то дост аточно до-
к азать, что любой тупой угол равен пр ямому . Для док аза-
тельства построим отрезок 𝐴𝐵 . От левого к онца
отрезк а проведем луч по д пр ямым уг лом, а от правого по д
тупым (рис. 1). На лучах от ло жим равные отрезки 𝐴𝐶 и
Рис. 1. Т очк а 𝑆 лежит ниж е отрезк а 𝐴𝐵
𝐵𝐷 соответственно. Док аж ем, что ̸𝐶𝐴𝐵 = ̸𝐷𝐵𝐴 . Соеди-
ним точки 𝐶 и𝐷 отрезк ом пр ямой. Проведем
14
перпендику ляры через середины отрезк ов 𝐴𝐵 и𝐶𝐷 . Т оч-
ку их пересечения обозна чим 𝑆 .
1) Пу сть точк а 𝑆 лежит ниж е пр ямой 𝐴𝐵 . Т ог да
|𝐴𝐶|=|𝐵𝐷| по построению.|𝐶𝑆|=|𝐷𝑆| , поск ольку точ-
к а𝑆 лежит на перпендику ляре, про х о дящем через сере-
дину отрезк а 𝐶𝐷 .|𝐴𝑆|=|𝐵𝑆| , поск ольку точк а 𝑆 лежит
на перпендику ляре, про х о дящем через середину отрезк а
𝐴𝐵 . Т аким образом, треугольники 𝐴𝐶𝑆 и𝐵𝐷𝑆 равны по
трем сторонам. В равных треугольник ах против равных
сторон леж ат равные уг лы: ̸𝐶𝐴𝑆 = ̸𝐷𝐵𝑆 . Кроме то-
го, имеет место равенство ̸𝐵𝐴𝑆 = ̸𝐴𝐵𝑆 для двух уг лов
при основании равнобедренного треугольник а 𝐴𝐵𝑆 . Вы-
чит ая из равных уг лов равные: ̸𝐶𝐴𝐵 = ̸𝐶𝐴𝑆− ̸𝐵𝐴𝑆
и ̸𝐷𝐵𝐴 = ̸𝐷𝐵𝑆− ̸𝐴𝐵𝑆 , получим равные. Следователь-
но, ̸𝐶𝐴𝐵 = ̸𝐷𝐵𝐴 , что и требовалось док азать. В си-
лу произвольности тупого уг ла ̸𝐷𝐵𝐴 делаем выво д, что
любой тупой угол равен пр ямому . Поск ольку любой ост-
рый угол являетс я дополнением тупого до 180𝑜, т . е. до
двух пр ямых уг лов, все острые уг лы т акж е равны пр ямо-
му . Т еорема док азана.
– Постой, а если перпендику ляры пересек аютс я выше от-
резк а 𝐶𝐷 ? – вмешалс я от личник из 10-го «a» Лева Мухин.
– Этого не мо ж ет быть, но, если ж елаете, рассмотрим и т а-
к ой случай.
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 15
Вас я набросал на доск е новый чертеж (рис. 2):
– Ит ак,
Рис. 2. Т очк а 𝑆 лежит выше отрезк а 𝐶𝐷
2) точк а 𝑆 лежит выше пр ямой 𝐶𝐷 . Треугольники 𝐴𝐶𝑆
и𝐵𝐷𝑆 снова равны по трем сторонам. ̸𝐶𝐴𝑆 = ̸𝐷𝐵𝑆
к ак уг лы равных треугольник ов, леж ащие против равных
сторон. ̸𝐵𝐴𝑆 = ̸𝐴𝐵𝑆 к ак уг лы при основании равнобед-
ренного треугольник а 𝐴𝐵𝑆 . Т ог да
⎧
⎨
⎩̸𝐶𝐴𝑆 = ̸𝐷𝐵𝑆
̸𝐵𝐴𝑆 = ̸𝐴𝐵𝑆⇒ ̸𝐶𝐴𝐵 = ̸𝐷𝐵𝐴,
16
поск ольку суммы равных равны.
– Еще о дин случай не учли, – заметил Мухин. – Если точ-
к а𝑆 лежит внутри четырехугольник а 𝐴𝐵𝐷𝐶 .
– По ж алуйст а, – сог ласилс я к ак ник ог да покладистый
Вас я и набросал еще о дин чертеж (рис. 3).
– Т еперь:
3) точк а 𝑆 лежит внутри четырехугольник а 𝐴𝐵𝐷𝐶 . Хо д
Рис. 3. Т очк а 𝑆 лежит внутри треугольник а 𝐴𝐵𝐷𝐶
док азательства полностью повтор яет предыдущий.
– Ост алс я еще о дин случай. Т очк а 𝑆 лежит на о дном из
отрезк ов: 𝐴𝐵 или𝐶𝐷 , – заметила Кат я Кузина.
– Если точк а пересечения перпендику ляров лежит на о д-
ном из этих отрезк ов... – Вас я на минуту задумалс я.
– Пр ямые,
4) имеющие две общие точки, совпадают . Если точк а 𝑆
лежит на 𝐴𝐵 или𝐶𝐷 и от лична от основания соответ-
ствующего перпендику ляра, то перпендику ляр совпадет
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 17
с отрезк ом, через середину к оторого он проведен. Это ни-
ку да не го дитс я. Ост аетс я случай, к ог да точк а 𝑆 совпада-
ет с основанием о дного из перпендику ляров и пр ямые 𝐸𝑆
и𝐹𝑆 совпадают (рис. 4). Т ог да равенство уг лов ̸𝐶𝐴𝐵
Рис. 4. Перпендику ляры совпадают
и ̸𝐷𝐵𝐴 следу ет из равенства треугольник ов 𝐴𝐶𝐸 и𝐵𝐷𝐸 .
По ж алуй, мы рассмотрели все возмо жные случаи.
По залу опять прошел ропот .
– Это все неверно, – хмуро заметил Гриша.
– Т ог да г де ошибк а?
– Не знаю, но все, что ты тут док азал, противоречит тому ,
что мы видим.
– Или ук ажи ошибку , или помолчи, – решительно отрезал
Вас я и перешел к следующей теореме.
18
Т2. Все треугольники правильные
13⇔ 23 Дост аточно док азать, что в любом треугольни-
к е любые две стороны равны. Возьмем произвольный тре-
угольник 𝐴𝐵𝐶 (рис. 5) и док аж ем, что любые две его сто-
роны, например 𝐴𝐶 и𝐵𝐶 , равны.
Доказате льство: Проведем биссектрису ̸𝐴𝐶𝐵 . Если бис-
Рис. 5. Т очк а 𝑆 лежит внутри треугольник а 𝐴𝐵𝐶
сектриса перпендику лярна стороне 𝐴𝐵 , она о дновременно
являетс я высотой. В этом случае треугольник 𝐴𝐵𝐶 рав-
нобедренный и|𝐴𝐶|=|𝐵𝐶| . Если биссектриса не перпен-
дику лярна 𝐴𝐵 , она бу дет пересек ать перпендику ляр, про-
веденный к отрезку 𝐴𝐵 через его середину в нек оторой
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 19
точк е 𝑆 .
1) Пу сть точк а 𝑆 лежит внутри треугольник а 𝐴𝐵𝐶
(см. рис. 5). Соединим точку 𝑆 с к онцами отрезк а 𝐴𝐵 и
опу стим из нее перпендику ляры 𝑆𝑁 и𝑆𝑀 соответствен-
но на стороны 𝐴𝐶 и𝐵𝐶 . Р ассмотрим треугольники 𝐶𝑁𝑆
и𝐶𝑀𝑆 . Поск ольку точк а, леж ащая на биссектрисе, о дина-
к ово у далена от его сторон, отрезки 𝑆𝑁 и𝑆𝑀 равны. Кро-
ме того, треугольники имеют общую гипотенузу 𝐶𝑆 . Сле-
довательно, пр ямоугольные треугольники 𝐶𝑁𝑆 и𝐶𝑀𝑆
равны по к атету и гипотенузе. Отсю да |𝐶𝑁|=|𝐶𝑀| . Т ак
к ак точк а 𝑆 лежит на перпендику ляре, проведенном че-
рез середину отрезк а 𝐴𝐵 , она о динак ово у далена от его
к онцов:|𝐴𝑆|=|𝐵𝑆| . Пр ямоугольные треугольники 𝑆𝐴𝑁 и
𝑆𝐵𝑀 равны по к атету и гипотенузе. Зна чит , |𝐴𝑁|=|𝐵𝑀| .
⎧
⎨
⎩|𝐶𝑁|=|𝐶𝑀|
|𝐴𝑁|=|𝐵𝑀|⇒|𝐴𝐶|=|𝐵𝐶|.
2) Т еперь пу сть точк а 𝑆 лежит ниж е стороны 𝐴𝐵 (рис. 6),
но опущенные из нее перпендику ляры 𝑁 и𝑀 снова леж ат
на сторонах 𝐴𝐶 и𝐵𝐶 соответственно. Ост аетс я тольк о по-
вторить про деланные выше док азательства: док азать ра-
венство треугольник ов 𝐶𝑁𝑆 и𝐶𝑀𝑆 , затем 𝑆𝐴𝑁 и𝑆𝐵𝑀 .
Поск ольку|𝐴𝐶|=|𝐴𝑁|+|𝐶𝑁| и|𝐵𝐶|=|𝐵𝑀|+|𝐶𝑀| , мы
20
Рис. 6. Т очк а 𝑆 лежит вне треугольник а 𝐴𝐵𝐶
снова придем к равенству |𝐴𝐶|=|𝐵𝐶| .
3) Р ассмотрим последний случай, к ог да основания пер-
пендику ляров 𝑁 и𝑀 леж ат на про долж ениях сторон 𝐴𝐶
и𝐵𝐶 (рис. 7). Т акж е док азываем равенство треугольни-
к ов𝐶𝑁𝑆 и𝐶𝑀𝑆 , затем 𝑆𝐴𝑁 и𝑆𝐵𝑀 . В общем все то ж е,
тольк о теперь|𝐴𝐶|=|𝐶𝑁|−|𝐴𝑁| и|𝐵𝐶|=|𝐶𝑀|−|𝐵𝑀| .
Отку да неизбежно следу ет |𝐴𝐶|=|𝐵𝐶| . В силу произволь-
ности рассмотренного треугольник а и его сторон, мы дела-
ем выво д, что у любого треугольник а любые две его сторо-
ны равны. Т аким образом, все треугольники правильные.
Т еорема док азана.
– Ты что, х очешь нам всю геометрию испортить! – воз-
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 21
Рис. 7. Основания перпендику ляров леж ат на про долж ении сторон
мутилс я Гриша. – Мне дост аточно взять в руки линейку ,
чтобы убедитьс я, что все ск азанное тобой – чушь!
– В геометрии истина док азываетс я, и ты пок а не опроверг
ни о дного моего док азательства.
– А практик а больше не критерий истины? – не унималь-
с я Гриша, чувству я, что его на учный авторитет т ает , к ак
снег по д лучами солнца.
22
– Практик а, это х орошо, но к ак ты с линейк ой полезешь
в бескрайние просторы Вселенной. Да и пространство т ам
кривое. Тут другой инструмент нуж ен. Т от , что в голове.
– Ошибку надо иск ать, – резонно заметил Мухин.
– А если ошибки нет? – робк о спросила Кат я.
– Хуж е не придумаешь, – Мухина даж е передерну ло. – Т о-
г да теория противоречива и мы напрасно потратили луч-
шие го ды на изучение геометрии.
– А мо ж ет , проще признать, что Вас я – жу лик, и на этом
у спок оитьс я, – предло жила Кат я.
– За чем у спок аиватьс я, – угрюмо пробурчал Веня Бучи-
к ов. – Я чит ал, раньше шу леров к анделябрами били.
– Вечер... Канделябры... Как это было романтично, – меч-
т ательно прот яну ла Синичкина.
– Мысль убить нельзя, – предостерег товарищей от опро-
метчивого поступк а Вас я, – и презумпцию невиновности
никто пок а не отменял.
В зале ст ало шумно. Гриша посмотрел на сидевшую в пер-
вом р яду Ларису Ник олаевну . Она еле с дер живала смех,
но молчала. По давно у ст ановившейс я традиции на тема-
тических вечерах учителя брали слово тольк о на заклю-
чительном эт апе диску ссии. Ког да шум стих, Гриша по-
пробовал взять реванш:
– Т ог да и все отрезки равны.
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 23
– Вот именно! – о х отно по ддер ж ал его Вас я и сформу ли-
ровал следующую теорему .
Т3. Все отрезки равны
18⇔ 26 Для док азательства берем два произвольных от-
резк а 𝐴𝐵 и𝐶𝐷 . От произвольной точки 𝑆 прово дим два
луча, к ак пок азано на рис. 8. На лучах от точки 𝑆 от ло-
Рис. 8.|𝐴𝐵|=|𝑆𝐵1| и|𝐶𝐷|=|𝑆𝐷 1|
жим отрезки 𝑆𝐵 1 и𝑆𝐷 1 , равные 𝐴𝐵 и𝐶𝐷 соответственно.
Все выполняетс я при помощи цирку ля и линейки. Соеди-
24
нив точки 𝑆𝐵 1 и𝑆𝐷 1 отрезк ом пр ямой, получим треуголь-
ник𝐴𝐵𝐶 . Сог ласно тольк о что док азанной нами теоре-
ме 2, все треугольники правильные. Зна чит , |𝑆𝐵 1|=|𝑆𝐷 1| ,
отку да следу ет:|𝐴𝐵|=|𝐶𝐷| . Т еорема док азана.
– Ошибку надо иск ать, – повторил Мухин.
– Если докладчик не возраж ает , могу выск азать свои со-
ображ ения, – хитро у лыбаясь, вмешалс я в диску ссию луч-
ший математик шк олы ученик 11-го «а» Вит я Бурыгин.
Гриша с надеждой посмотрел на потенциального спасите-
ля. Одиннадцатиклассник быстро по дошел к доск е и, за-
говорщически по дмигнув Васе, с х о ду на чал:
– Как в первой, т ак и во второй теореме мы ис х о дили из
того, что перпендику ляр к кривой и наклонная имеют точ-
ку пересечения. Всег да ли это т ак?
Вит я нарисовал две с х о дящиес я пр ямые ( 𝐿1 и𝐿2 на рис. 9),
взял на к аждой по точк е ( 𝐴1 и𝐵1 ) и соединил их отрезк ом
пр ямой.
– Сейчас выясним, могут ли пр ямые 𝐿1 и𝐿2 иметь общую
точку 𝑆 . Р ассмотрим уг лы 𝛼1 и𝛽1 , образованные пр ямы-
ми𝐿1 и𝐿2 с отрезк ом 𝐴1𝐵1 и леж ащие по о дну сторону
от него. Если 𝛼1+𝛽1= 180𝑜, пр ямые 𝐿1 и𝐿2 параллель-
ны и не имеют точки пересечения. Если 𝛼1+𝛽1>180𝑜,
то пр ямые не могут пересечьс я по эту сторону от 𝐴1𝐵1 ,
т ак к ак в т ак ом случае сумма уг лов треугольник а 𝐴1𝐵1𝑆
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 25
Рис. 9. Пр ямые 𝐴1𝐴3 и𝐵1𝐵3 не пересек аютс я
бу дет больше 180𝑜. Т еперь пу сть 𝛼1+𝛽1<180𝑜. На гра-
фик е эти уг лы располо ж ены по правую сторону от 𝐴1𝐵1 .
От ло жим от точек 𝐴1 и𝐵1 отрезки 𝐴1𝐴2 и𝐵1𝐵2 , рав-
ные половине длины отрезк а 𝐴1𝐵1 . Отрезки 𝐴1𝐴2 и𝐵1𝐵2
не могут пересек атьс я ни в к ак ой точк е 𝑆 , т ак к ак тог да
сумма сторон 𝐴1𝑆 и𝐵1𝑆 треугольник а 𝐴1𝐵1𝑆 бу дет мень-
ше стороны 𝐴1𝐵1 . Соединим точки 𝐴2 и𝐵2 отрезк ом пр я-
мой. Поск ольку сумма уг лов четырехугольник а 𝐴1𝐴2𝐵2𝐵1
равна 360𝑜, а сумма 𝛼1+𝛽1<180𝑜, легк о убедитьс я, что
𝛼2+𝛽2<180𝑜. От ло жим на пр ямых 𝐿1 и𝐿2 от точек 𝐴2
и𝐵2 отрезки 𝐴2𝐴3 и𝐵2𝐵3 , равные половине 𝐴2𝐵2 . Т оч-
но т ак ж е отрезки 𝐴2𝐴3 и𝐵2𝐵3 не могут пересек атьс я ни
в к ак ой точк е 𝑆 . Процесс мо жно про долж ать беск онечно,
26
и мы ник ог да не придем к точк е пересечения.
С этими слова Вит я покину л сцену . Гриша прово дил его
взг лядом, к ак предателя, а Вас я, пок а никто не опомнилс я,
сформу лировал следующую теорему .
Т4. Все окружности равны
23⇔ 28 Вас я быстро набросал новый чертеж.
– Док азательство, к оторое я х очу привести, приписывают
Аристотелю. Предст авь те, что мы по пр ямой 𝐴𝐵 прок а-
тили без трения круг т ак, что он совершил ровно о дин
оборот вокруг своего центра (рис. 10).
– Без трения ск ольж ения, – поправил его Иван Петрович,
Рис. 10. Окружность совершает полный оборот
учитель физики. – Трение к а чения все равно ост аетс я.
Вас я сог ласилс я и про должил:
– Отсутствие трения ск ольж ения озна чает , что при к а-
ВА СИНЫ ТЕОРЕМЫ 27
чении ск орость точки к асания всег да равна ну лю. В т а-
к ом случае длина пройденного отрезк а 𝐴𝐵 равна длине
окружности этого круг а. Т еперь ж естк о закрепим на той
ж е оси вращения другой круг меньшего радиу са. «Жест-
к о» здесь озна чает , что оба круг а вращаютс я о дновремен-
но и к ог да точк а 𝐴 первого круг а перейдет в поло ж ение
𝐵 , точк а 𝐴1 второго круг а перейдет в поло ж ение 𝐵1 . При
этом оба круг а совершат ровно о дин оборот . Но к ог да пер-
вый круг пройдет рассто яние |𝐴𝐵| , второй прео долеет рас-
сто яние|𝐴1𝐵1| .
– Хоть мех анику пощадите, – простонал Иван Петрович.
Но Вас я, не обращая внимания на реплику , зак ончил:
– Зна чит ,|𝐴𝐵|=|𝐴1𝐵1| . Отсю да длины окружностей рав-
ны. В силу произвольности окружностей, мы мо ж ем за-
ключить, что длины любых окружностей равны.
Т еорема док азана.
28
И чем все зак ончилось
26⇔ 33 Вас я отошел в сторону , к ак мавр, к оторый с де-
лал свое дело. Его место занял Гриша, но к своему уж асу
вдруг почувствовал, что у него пропал дар речи, а ноги
ст али, к ак ватные. В зале наступила тишина, к оторую на-
рушал тольк о лай Мак ария за окном. А тут еще он увидел
взбирающуюс я на сцену Ларису Ник олаевну .
– И кто это все придумал? – пыт аясь придать лицу суро-
вый вид, спросила она.
Гриша готов был провалитьс я сквозь землю, но нашел
в себе муж ество признатьс я:
– Идея мо я, все ост альное – Васино.
– Какие ж е вы оба моло дцы! А к ак Гриша сыграл свою
роль! Натурально, – уж е, не скрывая у лыбки, про должи-
ла Лариса Ник олаевна и поверну лась лицом к залу:
– А что к асаетс я «Васиных теорем» , на них выросло не о д-
но пок оление отечественных математик ов и физик ов. Най-
ти ошибку тут непросто. Да и линейки с цирку лем по д
рук ой нет . Т ех, кто сообразил, в чем дело, прошу пок а
не раскрывать секрет а. Пу сть ост альные в вых о дные по-
думают , а потом мы эти «теоремы» обсу дим на урок ах.
Пок а ж е прошу всех дружно поблаго дарить орг анизато-
ров этого замечательного вечера.
И ЧЕМ ВСЕ ЗАК ОНЧИЛОСЬ 29
Т ак ого поворот а Гриша меньше всего о жидал. Во всем
произошедшем он не видел ничего достойного по хвалы.
Но все ж е вместе с Васей молча по д овации, достойные
эстрадных звезд, покину л сцену .
На у лице Васю догнала Синичкина.
– Ты знаешь, это у теб я вредная геометрия . Но мне
все равно очень понравилось. Как ой у спех! – ск азала она
и совсем тих о дабавила: – А у меня сего дня очень т яж е-
лый портфель. Помо ж ешь донести до дома?
И Вас я понял что вечер действительно у далс я.
Биографические справки
28⇔ 33 Обреимов Василий Иванович (1843–1910)
– деятель просвещения, автор попу лярных учебных посо-
бий «Математические софизмы» (1884), «Тройная голо-
воломк а» (1884), «Элементы арифметики» (1906). Обра-
зование получил в Ярославск ой гимназии, затем на мате-
матическ ом факу ль тете Казанск ого университет а. С 1869
по 1872 го д – препо даватель физики и математики в Ек а-
теринбургск ой гимназии. Р езк о выступал против рефор-
мы образования 1871 г ., в резу ль т ате к оторой в учебной
программе гимназии на математику , физику , математиче-
скую географию и естествознание отво дилось менее 18 %
учебного времени. За несог ласие с официальной полити-
к ой министерства в 1872 г . был выслан по д полицейский
надзор в Вятскую губернию. В 1883 г . перевел на ру сский
язык «Математические развлечения» Э. Люк а. Во второй
половине 1890-х го дов интенсивный эк ономический рост
Р оссии потребовал изменений в образовании. В 1905 г .
Обреимов нашел работу в пригоро де Петербург а в Лесном
к оммерческ ом училище, г де снова про явил себ я т алант ли-
вым препо давателем.
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 31
Дубнов Як ов Семенович (1887–1958) – видный совет-
ский математик и выдающийс я педагог , автор попу лярно-
го учебного пособия «Ошибки в геометрических док аза-
тельствах» (1953). В 1906 г . поступил на физик о-
математический факу ль тет Императорск ого Новороссий-
ск ого университет а (г . Одесса). В 1910 г . отчислен за уча-
стие в сту денческ ом движ ении, отбыл полтора мес яца
в тюрьме и выслан по д надзор полиции в провинцию.
В 1913 г . с дал эк стерном госу дарственный экзамен при
Новороссийск ом университете и снова выслан из Одессы.
С 1914 по 1923 го д препо давал математику в провинци-
альных средних учебных заведениях и на общеобразова-
тельных курсах в Москве, а с 1919 г . на рабфак е МГУ .
С 1918 г . состо ял к онсу ль т антом при От деле реформ шк о-
лы Нарк омпроса. С 1921 по 1923 го д чит ал лекции по
высшей математик е в Моск овск ом электротехническ ом ин-
ституте связи, к оторый потом слилс я с энергетическим
факу ль тетом МВТУ . С 1923 г . – доцент , затем профес-
сор физик о-техническ ого от деления педфак а I I Универ-
ситет а, бу дущего Моск овск ого педагогическ ого институ-
т а им. А. С. Бубнова. В 1936 г . ВАК по распор яж ению
Нарк омпроса прису дил Я. С. Дубнову степень доктора
физик о-математических на ук без защиты диссерт ации на
основе многочисленных на учных исследований. С 1940 по
32
1941 го д заведовал к афедрой математики Загорск ого учи-
тельск ого институт а. С 1943 г . работ ал ст аршим на учным
сотру дник ом Ак адемии педагогических на ук и участвовал
в сост авлении новых программ по геометрии.
Литцман Карл Юлиу с Валь тер (1880–1959) – немец-
кий математик, ученик Гильберт а, попу ляризатор на уки,
автор попу лярных учебных пособий «Велик аны и к арли-
ки в мире чисел» (1959), «Ст арое и новое о круге» (1960),
«Т еорема Пифагора» (1960), «Г де ошибк а?» (1962), «Весе-
лое и занимательное о числах и фигурах» (1963). C 1919 по
1956 го д – директор Г еттингенск ого оберреальшу ле (выс-
шего реального училища). В 1918 г . избран членом
Леопольдины (ак адемии естествоиспыт ателей). Т ак ое из-
брание в Г ермании счит аетс я самой высок ой ак адемиче-
ск ой почестью. С 1934 г . – профессор Г еттингенск ого уни-
верситет а; в 1937 г . избран президентом немецк ой ассоциа-
ции математик ов, участвовал в программе Фелик са Клей-
на по реформированию программы средней шк олы. В те-
чение дес ятилетий писал и редактировал уроки матема-
тики. Его мето дология математическ ого обучения ок азала
про должительное влияние на дидактическ ое образование
учителей математики. Сейчас имя Литцмана носит Г ет-
тингенск ая гимназия.
30⇐
Список литературы
[1] Обреимовъ, В. И. Математические софизмы /
В. И. Обреимовъ. – С. Петербургъ : Типография
Ю. Н. Эрлихъ, 1889. – 80 с.
[2] Ляминъ, А. А. Математические парадок сы и ин-
тересные зада чи для любителей математики /
А. А. Ляминъ. – Москва : Типография Г . Лисснера
и Д. Совк о, 1911. – 135 с.
[3] Дубнов, Я. С. Ошибки в геометрических док азатель-
ствах / Я. С. Дубнов. – Москва : Физматгиз, 1961. –
68 с.
[4] Литцман, В. Г де ошибк а? / В. Литцман. – Москва :
Физматгиз, 1962. – 192 с.
Р анее вышли в печать книги серии
«Математик а не для ЕГЭ»:
1. Белый Е. К. Египетский счет . – Петрозаво дск :
Издательство ПетрГУ , 2017. - 36 с.
В фор ме р ассказа о пир атах р асс мотрен ряд задач
на пос ледовате льное удвоение чисе л.
2. Белый Е. К. Прогрессии. – Петрозаво дск : Издательство
ПетрГУ , 2016. - 132 с.
Изложена теория ариф метических и гео метрических про-
грессий, а также примеры ее применения в финансовых
вычис лениях.
3. Белый Е. К., Дорофеева Ю. А. Алгебраические уравне-
ния. – Петрозаво дск : Издательство ПетрГУ ,
2015. - 240 с.
Р азобр аны наибо лее э ф фективные методы решения алгеб-
р аических ур авнений р азличных степеней.
Учебное издание
Белый Евгений Конст антинович
Математик а не для ЕГЭ
Вредная геометрия
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Р едактор Е. Е. Порывакина
Оформление обло жки Е. Ю. Т ихоновой
Компьютерная верстк а Е. К. Бе лого
По дписано в печать 20.12.17. Формат 60х84 1/16.
Бумаг а офсетная. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 50 экз. Изд. № 199
Отпечат ано в типографии Издательства ПетрГУ
185910, г . Петрозаво дск, пр. Ленина, 33