Египетский счет
Автор: Белый Евгений Константинович (доцент, пенсионер)
Тип документа: Другое. Аудитория: Преподаватели и учителя математики. Дата публикации: 23.05.2021
Описание: Книга посвящена задачам, связанным с последовательным удвоением чисел, и ее можно рассматривать как приложение к опубликованному ранее учебному пособию "Прогрессии". Материал построен так, что пищу для размышления может найти и младший, и старший школьник. Надеемся, книга окажется полезной также учителям при подготовке занятий по темам "Прогрессии" и "Системы счисления". В первом параграфе вы познакомитесь с египетским счетом. Такой способ счета впервые упоминается в папирусе Ренда, датируемом примерно 1 800 г. до н. э. Поскольку египетский счет позволяет обучить любого человека делению и умножению, минуя мучительную стадию заучивания таблицы умножения, он был широко распространен в Европе вплоть до начала XX в. Интересно, что в зарубежной литературе египетский счет иногда называли <<способом умножения чисел, применяемым русскими крестьянами>>.
В следующих параграфах мы затронули проблему оптимального набора гирь, вспомнили древнюю легенду об изобретателе шахмат, совершили экскурсию в египетский лабиринт и разобрали популярную среди азартных игроков стратегию мартингейла. Задачи изложены в форме рассказа о пиратах.

Математик а не для ЕГЭ
Е. К. Белый
Египетский счет
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Петрозаво дск
Издательство ПетрГУ
2017
У ДК 519.813.7
ББК 22.1я92
Б439
Р ецензенты:
С. С. Платонов , доктор физик о-математических на ук, профессор
к афедры геометрии и топологии ПетрГУ ;
Е. С. Кокк арева , препо даватель I к атегории Г АПО У РК
«Инду стриальный к олледж»
Белый, Евгений Конст антинович.
Б439 Египетский счет : учебное пособие для учащих с я средних шк ол
/ Е. К. Белый. – Петрозаво дск : Издательство ПетрГУ , 2017. –
34, [2] с. – (Математик а не для ЕГЭ).
ISBN 978-5-8021-2295-2
В книге в форме расск аза разобран р яд зада ч на последовательное
у двоение чисел. Учебное пособие адресовано учащимс я и учителям
средней шк олы, а т акж е всем тем, кто интересу етс я математик ой.
ISBN 978-5-8021-2295-2
У ДК 519.813.7
ББК 22.1я92
c○ Белый Е. К., 2017
Со дер ж ание
Предисловие 4
§ 1. Египетский счет 6
§ 2. Гири Т олст як а До до 13
§ 3. Р асск аз матроса Бена 14
§ 4. Т айна жрецов 17
§ 5. Мартингейл 19
Коммент арии, вопросы и зада чи 21
Египетский счет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Гири Т олст як а До до . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Р асск аз матроса Бена . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Т айна жрецов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Мартингейл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Вместо эпилог а 30
Список литературы 34
Простеганные ветр ами и сбоку, и в упор,
Прияте ли из памяти встают:
Р азбойными корветами, вернувшимися в порт,
Покуривают трубочки "Салют!"
Юрий Визбор
Предисловие
⇒ 6 Дорогой чит атель! Эт а книг а посвящена зада чам,
связанным с последовательным у двоением чисел, и ее
мо жно рассматривать к ак прило ж ение к опублик ованно-
му ранее учебному пособию «Прогрессии» [1]. Материал
построен т ак, что пищу для размышления мо ж ет найти
и младший, и ст арший шк ольник. Надеемс я, книг а ок а-
ж етс я полезной т акж е учителям при по дготовк е занятий
по темам «Прогрессии» и «Системы счисления» .
В первом параграфе вы познак омитесь с египетским сче-
том. Т ак ой способ счет а впервые упоминаетс я в папиру се
Р енда, датиру емом примерно 1 800 г . до н. э. [2, с. 17-24],
[3, с. 17-23], [5, с. 19-21]. Поск ольку египетский счет позво-
ляет обучить любого человек а делению и умно ж ению, ми-
ну я мучительную ст адию за учивания т аблицы умно ж ения,
он был широк о распространен в Европе вплоть до на чала
XX в. Интересно, что в зарубежной литературе египетский
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
счет иног да называли «способом умно ж ения чисел, при-
меняемым ру сскими крестьянами» [4, с. 195-199]. Мо ж ет
создатьс я впечат ление, что египетский счет в наше время
неакту ален. Однак о он способству ет развитию ку ль туры
у стного счет а и уж е потому заслуживает внимания.
В книге мы затрону ли проблему оптимального набора гирь,
вспомнили древнюю легенду об изобрет ателе шахмат , со-
вершили эк скурсию в египетский лабиринт и разобрали
попу лярную среди азартных игрок ов стратегию мартин-
гейла. Зада чи изло ж ены в форме расск аза о пират ах, дей-
ствие к оторого развора чиваетс я в о дной из т аверн Порт-
Р ойала к онца XVI I век а незадолго до того, к ак самый
грешный горо д земли пог лотила морск ая пучина. Каждая
зада ча снаб ж ена к оммент ариями. Не надо тольк о рассчи-
тывать, что бу дет понятно все и сразу . Это даж е х орошо,
если ост анетс я место для т айны.
Автор выраж ает благо дарность всем, кто про явил интерес
к серии. Любые замечания и предло ж ения вы мо ж ете, к ак
и ранее, направлять по адресу: b elyi@p etrsu.ru .
Евгений Белый
Апрель 2017
§ 1. Египетский счет
4⇔ 13 На захва ченном су дне пираты нашли 13 к оробов,
в к аждом из к оторых хранилось по 125 золотых дук атов.
Р ешено было разделить сокровища поровну между 22 чле-
нами к оманды. Надо заметить, пират ам часто прих о ди-
лось прибавлять и отнимать. Капит ан Большой Сэм учил,
что отнимать всег да лучше у других, а прибавлять – се-
бе. С умно ж ением морским разбойник ам просто не везло.
Все нелегким тру дом добытые деньги на берегу ух о дили,
к ак во да между пальцев. Поэтому умно ж ать было в об-
щем нечего и нек ог да. Ну а деление часто зак анчивалось
большой пот асовк ой. Вот и сейчас: мо жно было бы раз-
дать монеты по о дной по кругу . Но что, если добыча не
делитс я на 22 равные части и кто-то получит на 1 дук ат
больше. В т ак ом случае ссоры не избеж ать. А к аждый
мор як знает: ссоры на к орабле допу ск ать нельзя! И тог да
Большой Сэм объявил: «К то из вас смо ж ет , не переклады-
вая монеты, ск азать, ск ольк о причит аетс я к аждому , тому
дост анетс я, помимо его доли, ост аток от деления» . Пираты
задумались. И тольк о юнг а Элвин, порывшись в своем сун-
дук е, извлек огрызок к арандаша и клочок бумаги. Немно-
го почирк ав к арандашом, он сообщил, что всего в к оробах
1 625 монет , к аждому следу ет отсчит ать 73, а ост авшиес я
§ 1. ЕГИПЕТСКИЙ СЧЕТ 7
19 от дать ему . Видавшие виды морские волки пона чалу не
поверили, но к ог да все получили по 73 дук ат а, о чу до, на
дне последнего к ороба ост алось ровно 19 монет . Капит ан
взял ост авленную на пу стой бочк е бумагу и увидел заг а-
дочные столбики цифр:
взять 13 р аз по 125
13 125
1 125 1 000
2 250 500
4 500 125
8 1 000 1 625
р азде лить на 22
1 625 1 408
1 22 176
2 44 1 584
4 88 22
8 176 1 606
16 352
32 704 1 + 8 + 64 = 73
64 1 408 1 625−1 606 = 19
Все знали, Элвин – самый грамотный пират . За его плеча-
ми почти два класса младшей шк олы. И все-т аки к ак он,
8
не зная т аблицы умно ж ения, справилс я с т ак ой сло жной
зада чей? Капит ан суну л бумагу в к арман к амзола, решив
разобратьс я на досуге, и вск оре забыл про нее. Вспомнил
тольк о через пару недель на Ямайк е в г авани Кингстон-
Харбор по пути в т аверну Ст арого Боба.
Большое тропическ ое солнце уж е готовилось нырнуть
в море. Жизнь к азалась, к ак ник ог да, прекрасной. Еще бы!
Враспло х, почти без бо я, располаг ая тольк о небольшим
быстро х о дным шлюпом с пятью пушк ами, взял трехма ч-
тового «купца» , на свою беду пополнявшего в его аквато-
рии запасы пресной во ды. Взял молниеносно, к ог да боль-
шая часть неу да чник ов беспечно про хлаждалась на берегу .
Сэм шаг ал по знак омым у лицам Порт-Р ойала в шелк овой
рубашк е с круж евными манж ет ами, в широких ат ласных
шт анах до к олен, в пестром жилете из лучшей парчи по-
вер х рубашки и ст аром к амзоле, без к оторого он просто
себ я не предст авлял. Шаг ал, пог лаживая до блеск а на-
чищенный эфес к оротк ой абор дажной сабли. Г олову его
украшала тольк о вошедшая в мо ду черная треуголк а. Из-
редк а к апит ан у лыбалс я встречным му латк ам, с интересом
разг лядывавшим его. Тут он и вспомнил о бумаге и сразу
решил пок азать ее Бобу .
Отку да по явилс я на острове этот Боб и чем промышлял
раньше, никто не знает . Сам Боб ник ог да об этом не го-
§ 1. ЕГИПЕТСКИЙ СЧЕТ 9
ворил, а расспрашивать было не в местных обычаях. Как
бы то ни было, слыл он на острове человек ом ученым.
Г овор ят , даж е книги чит ал. В многочисленных заведени-
ях Порт-Р ойала день и ночь освобо ждала свои к арманы
от т яж елых монет самая разношерстная публик а: голланд-
цы, португ альцы, немцы, французы, испанцы, ирландцы...
Однак о нак ануне г авань покину ли сразу три больших к ор-
вет а, и сейчас у Боба было на у дивление пу сто. Зак азав
бок ал знаменитого ямайск ого рома, Большой Сэм ж естом
приг ласил х озяина за стол и, поведав ему свою историю,
выт ащил из к армана мятую бумагу: «Что здесь нацара-
пал этот шк ет?» Боб поручил свои об язанности помощни-
ку и с х о дил за очк ами. В очк ах Сэм прежде ник ог да его
не видел. Впрочем, в то время «очк арик» на Ямайк е был
т ак ой ж е экзотик ой, к ак нильский крок о дил на Бейк ер-
стрит .
– Да это ж е египетский счет!
Изучив со дер жимое записки, Боб с делалс я разговорчивым:
– (1) В первой т аблице найдено произведение 13 на 125.
13 – меньший сомно житель, разло жим именно его по сте-
пеням 2. Это чтобы меньше строк в т аблице было. Запи-
шем 13 в заголовк е первой к олонки, а 125 – второй.
(2) В первой строк е запишем «1 125» .
(3) Далее в к аждой строк е со дер жимое предыдущей
10
у дваиваетс я. Запись во второй строк е: «2 250» озна ча-
ет , что 2 раза по 125 бу дет 250.
(4) В третьей: «4 500» – 4 раза по 125 бу дет 500.
(5) В четвертой: «8 1 000» – 8 раз по 125 бу дет 1 000.
На этом месте заполнение т аблицы прервем, поск ольку
следующее у двоение даст в первом столбце число, боль-
шее 13. Обведем рамочк ой число 8 и на чнем движ ение
по первому столбцу ввер х. Поск ольку 8 + 4 <13 , обве-
дем рамочк ой и 4. А вот 8 + 4 + 2 >13 . Соответствующую
строку пропу стим. Последним обведем число 1. Сумма чи-
сел в рамочк ах: 1 + 4 + 8 = 13 . Ост алось сло жить числа
из второго столбца, соответствующие отмеченным числам
первого. Заметь, действия умно ж ения ниг де здесь нет .
– Р азве у двоение не есть умно ж ение?
– Умно ж ение на 2 то ж е, что сло ж ение числа с самим со-
бой. В Европе сейчас у двоение счит аетс я от дельной ариф-
метическ ой операцией и т ак бу дет еще лет двести...
На этом месте х озяин осек с я, к ак человек, сболтнувший
лишнего, но обычно наблю дательный к апит ан ничего
не заметил.
– Т аким образом, – про долж ал Боб, – вам дост алось
12·125 = 1 625 дук атов, к оторые надо разделить меж-
ду 22 к орсарами. Ниж е т ак ая ж е т аблица для деления:
(1) В заголовк е справа – 1 625 . Левый столбец пу ст .
§ 1. ЕГИПЕТСКИЙ СЧЕТ 11
(2) В первой строк е пишем 1 и 22.
(3) И далее опять в к аждой строк е пишем у двоенные зна-
чения предыдущей.
(4) В последней строк е: 64 и1 408 . На этом ост ановимс я,
поск ольку у двоенное 1 408 превысит 1 625 . Обведем 1 408
и на чнем движ ение ввер х по столбцу . 1 408 + 704 >1 625 ,
т акж е 1 408 + 352 >1 625 , но 1 408 + 176 <1 625 . Обведем
рамочк ой 176 . Правее запишем:
1 408
176
1 584
Обведем рамк ой 176 и по днимемс я выше: 1 584+88 >1 625 ,
1 584 + 44 >1 625 , но 1 584 + 22 <1 625 . Опишем рамку
и вокруг 22. Выкладки приняли вид
1 408
22
1 584
22
1 606
Если бы дук атов было ровно 1 606 , не видать твоему шк ету
вознаграждения, но их 1 625 . Зна чит , юнг а получил в на-
граду 1 625−1 606 = 19 монет . А к ак ова доля к аждого
к орсара? Чтобы узнать ее, надо сло жить числа в левой
12
к олонк е, соответствующие отмеченным числам из правой:
1 + 8 + 64 = 73 . Это и есть египетский счет .
Боб ото двину л листок.
– И всего делов, – промычал Сэм после очередного г лотк а
рома. – А наш юный друг Элвин из-за этой чертовой т аб-
лицы бросил шк олу и ушел в пираты.
– По думаешь т аблица! В дес ятичной системе! Вот в Древ-
нем Вавилоне была 60-ричная система. Предст авь, к ак ая
т ам была т аблица. Помню, о днажды...
Боб погрузилс я в воспоминания.
– Однак о эт а египетск ая штук а бу дет полезна и дж ентель-
менам, зубр ящим т аблицу , – про должил к апит ан, извлек ая
из к армана размером с лимон ку сок мела, к оторым нак а-
нуне на чищал эфес сабли. – Например, я не помню, ск оль-
к о бу дет 6×9 ,8×7 и6×5 .
Сэм быстро набросал решение на повер хности дощатого
стола:
6 9 7 8 5 6
1 9 1 8 1 6
2 18 2 16 2 12
4 36 4 32 4 24
54 56 30
– Быстро ты с хватываешь, – о добрительно кивну л Боб.
Сэм скромно по ж ал плечами: мол, работ а т ак ая.
§ 2. ГИРИ ТОЛСТ ЯКА ДО ДО 13
– Т ольк о во втором случае проще три раза у двоить число 7:
7→14→28→56.
– Все это верно – не отст авал Сэм, – при о дном у словии:
если любое число мо жно заменить суммой степеней двоек.
– И единицы, – уточнил хриплый голос.
§ 2. Гири Т олст як а До до
6⇔ 14 Сэм по днял голову и увидел ст арого знак омого
торговца, Т олст як а До до, у к оторого часто закупал про-
виант для дальних по х о дов. Т орговец был немоло дым, об-
щительным и, говор ят , г де-то в г лубине души даж е очень
пор ядочным человек ом.
– У меня 7 гирь, – с х о ду включилс я в разговор До до, –
весом: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 фунт а. И не сойти мне с это-
го мест а, ск ольк о лет веду здесь дело, их всег да хват ало,
чтобы взвесить любой груз от 1 до 127 фунтов. При этом
ни о дна гир я не ок азалась лишней.
До до без церемоний рухну л на ск амью р ядом с Бобом.
– Это потому , что ты всег да ст авишь груз на левую ча-
шу весов, а гири на правую, – заметил Боб. – Т ак, чтобы
взвесить товар от 1 до 4 фунтов, тебе нужны три гири:
1, 2 и 4 фунт а. Но хватило бы двух: 1 и 3 фунт а.
– А если товар весит 2 фунт а? – возразил к апит ан.
14
– Т ог да надо пост авить 3-фунтовую гирю на правую чашу
весов, а на левую фунтовую. А для грузов от 1 до 121 фун-
т а хватит пяти гирь весом 1, 3, 9, 27 и 81.
– Однак о это уж е друг ая зада ча, – запротестовал Сэм. –
Мы отклонились от курса.
– Капит ан прав, – о х отно сог ласилс я Боб и весело восклик-
ну л: « К то помо ж ет бедным странник ам вернутьс я на вер-
ный путь, получит два бок ала рома за счет заведения!»
– Позволь те мне, сэр.
Из-за соседнего стола по днялс я матрос Бен. Т ольк о сейчас
к апит ан заметил: вокруг спорщик ов собралась уж е вс я к о-
манда и с интересом следила за х о дом беседы. Вот почему
в заведении было тих о, к ак в к остеле в бу дний день.
§ 3. Р асск аз матроса Бена
13⇔ 17 – Лет дес ять назад, к ог да я имел честь служить
матросом к оролевск ого флот а, наш фрег ат поправлял т а-
к елаж в Бомбее. Т ог да был я еще моло д и нечужд благо-
ро дных порывов. И потому о днажды, возвращаясь из т а-
верны на к орабль, заступилс я за мелк ого торговца, у к ото-
рого несправедливо пыт ались отнять товар два здоровен-
ных португ альца. Меня к ак раз то и задело, что два здоро-
вяк а насели на о дного тщедушного инду са. Да и напомнил
§ 3. Р А ССКАЗ МА ТРОСА БЕНА 15
о себе выпитый ром. Не бу ду утомлять вас, дж ент льмены,
по дробност ями. Все знают , к ак ов я в бою. И вот , благо дар-
ный торговец по дарил мне роск ошную клетчатую доску
и набор фигур из слоновой к ости для древней индийск ой
игры. Как узнал потом, игру эту у нас называют шахмат а-
ми. Т акж е инду с на учил меня правилам игры и расск азал
легенду о ее изобрет ателе...
– Однак о, к ак ое отношение это имеет к нашему разгово-
ру? – хмуро произнес Большой Сэм.
– Самое пр ямое, дж ент льмены. Новая игра т ак понрави-
лась местному царю, что он прик азал немедленно дост а-
вить изобрет ателя к себе и спросил, к акую награду тот
х очет получить.
– Заплати о дно пшеничное зерно за первую клетку , два
– за вторую, четыре – за третью... И т ак далее: к оличе-
ство зерен, причит ающих с я за к аждую следующую клет-
ку , должно у дваиватьс я..
– Ты получишь награду за все 64 клетки, – перебил изоб-
рет ателя разгневанный столь ничто жной просьбой царь.
Он прогнал невежу и прик азал к азна чею отсчит ать затре-
бованное число зерен. За обедом царь между прочим по-
интересовалс я, исполнен ли его прик аз.
– Еще нет , – потупилс я к азна чей. – Награда ок азалась
слишк ом велик а...
16
– Ничего не х очу знать! Награда должна быть выпла чена
сполна! – разгневалс я царь.
Казна чей поспешно у далилс я. На утро, дро ж а от страх а,
он вновь предст ал перед властелином и сообщил, что для
выплаты награды не хватит зерна, хранящегос я во всех
амбарах цар я, всего госу дарства и даж е всей земли.
– Вот т ак ое число, – зак ончил расск аз Бен.
– 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона
73 миллиар да 709 миллионов 551 тыс яча 615 зерен, – к ак
заклинание пробормот ал себе по д нос Боб и налил матро-
су два бок ала ямайск ого рома.
– Не соблаговолят ли дж ент льмены выслушать и мою ис-
торию, – с поклоном обратилс я к собеседник ам доселе мол-
чавший к орабельный к ок Р ахим. – Она не менее, чем преды-
дущая, заслуживает двух бок алов х орошего рома.
– Если других мнений нет , сна чала послушаем, – предло-
жил Боб. – А потом, поск ольку ром мой, я и решу , заслу-
живает или нет .
Возраж ений не последовало, и, т аким образом, все внима-
ние переключилось на обычно незаметного Р ахима.
§ 4. Т АЙНА ЖРЕЦОВ 17
§ 4. Т айна жрецов
14⇔ 19 – Детство мое прошло в прекрасном оазисе Эль-
Файюля, к оторый наши предки называли «горо дом г адов» .
На восток е Эль-Файюль от деляют от Нила пески Ливий-
ск ой пу стыни и гр яды х олмов. В 4 милях ю жнее прости-
раютс я величественные развалины Хавара, примык ающие
к незавершенной пирамиде. Не раз прих о дилось мне слы-
шать расск азы о скрытом здесь по дземном Лабиринте, хра-
нящем несметные сокровища жрецов, т айны давно исчез-
нувших наро дов и ключи от бу дущего.
– Почему ж е ты сидишь сейчас на ск амье в этой чертовой
т аверне, а не на золотом сундук е? И не в шелк ах, а в ло х-
мотьях? – с иронией заметил Сэм.
– Если путь к бог атству т ак легок, задолго до меня на-
шлись бы лю ди, для к оторых бедность страшнее гнева мо-
гущественных богов. Сна чала надо пройти Лабиринт .
– И до сих пор никто не прошел?
– Вот об этом я и х отел расск азать. Дорогу к сокровищам
знали тольк о посвященные жрецы. Жрец зах о дил в тон-
нель с четк ами – толстым шнуром с нанизанными на него
черными и белыми бу синами. По х о ду движ ения тоннель
время от времени раздваивалс я, и тог да жрец перекиды-
вал о дну бу сину . Если бу сина была белая, жрец свора чи-
18
вал налево, если черная – направо. Последняя бу сина ук а-
зывала тоннель, в к онце к оторого и нах о дилась заветная
к омнат а. А бу син в четк ах было не меньше, чем на шее
у смуг лой по дружки Бена.
По т аверне прок атилс я о добрительный смех.
– Г овор ят , были смель чаки, нашедшие вх о д в Лабиринт , но
ни о дин из них не верну лс я...
– Зна чит , число путей на к аждой развилк е у дваиваетс я
и твои предки нарыли стольк о нор, ск ольк о зерен обе-
щано за мою доску . А их случайно не крот ами звали?! –
запаль чиво перебил к ок а Бен.
– Маршрутов мо ж ет быть и больше, ск оль уго дно много.
Не пут ай с х ему Лабиринт а с маршрутом, – осадил матроса
Сэм. – Т оннель мо ж ет выво дить на уж е пройденные пути.
И кружить по ним мо жно вечно. Про долж ай, Р ахим.
– Ит ак, – Р ахим выстроил на столе цепочку из золотых
и серебр яных монет: « ∘∙∘∙∙ » , – чит аем: «налево» , «на-
право» , «налево» , «направо» , «направо» .
– Жрец долж ен вернутьс я. Зна чит , на обратном пути он
бу дет перебирать бу сины в пор ядк е: « ∙∙∘∙∘ » . Но теперь
черная бу сина зна чит «налево» , а белая «направо» , – доба-
вил Боб, наливая Р ахиму два бок ала. – Однак о, если т ак
пойдет и дальше, вы разорите мое заведение.
§ 5. МАРТИНГЕЙЛ 19
§ 5. Мартингейл
17⇔ 21 – Прошу внимания, дж ент льмены.
К столу приблизилс я Рыжий Билл, иног да азартный иг-
рок, но во все ост альное время образцовый боцман.
– Р аз уж зашел т ак ой ученый спор, не развеете вы зао дно
и мои сомнения? Этот про хиндей Элвин предло жил мне
игру в к ости на довольно странных у словиях. Он называ-
ет ст авку . Я бросаю к ость. Если выпадет от 1 до 5 очк ов
– он платит мне сумму ст авки. Если выпадет 6 – я пла чу
ему двойную ст авку .
– Если я не ослышалс я, – До до снис х о дительно посмотрел
на боцмана, – в пяти из шести случаев Элвин платит о д-
ну ст авку Биллу , а в о дном из шести – Билл платит две
ст авки Элвину . Зна чит , на к аждые две ст авки, к оторые от-
дает Билл, прих о дитс я 5 ст авок, к оторые Билл получает .
В среднем к аждые шесть броск ов к ости делают Билла на
3 ст авки бог а че. И в чем здесь сомнения?
– Т ак-то оно т ак, – рассу дительный боцман почесал заты-
лок. – Но полаг аю, шк ет предло жил игру не ради того,
чтобы облаго детельствовать ст арину Билла.
– Билл прав! Элвин не т ак прост! – Боб даж е по дпрыг-
ну л от у довольствия. – Если бы Элвин делал к аждый раз
о динак овые ст авки, например по дук ату , то все было бы
20
в точности т ак, к ак ск азал До до: дук аты постепенно пе-
ретек али бы из к армана юнги в к арман боцмана. Но если
юнг а на чнет с 1 дук ат а и после к аждого проигрыша бу дет
у дваивать ст авку , до ждавшись выигрыша, он всег да бу дет
иметь 1 дук ат чистого до х о да. К примеру , пу сть выигрыш
выпадет Элвину на седьмом бросании к ости, он проиграет
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 дук ат а, но выиг ает 64 . Эту
стратегию игроки называют «мартингейл» .
– А если выигрыш долго не наступит?
– Т ог да вспомним расск аз Бена. Впрочем, чем больше че-
реда проигышей, тем менее она веро ятна. Г лавное, чтобы
у Элвина хватило денег на все у двоения.
Боб по днялс я из-за стола.
– Увы, друзья, меня ждут дела. А ж аль, давно не был сви-
детелем т ак ой увлек ательной беседы.
– Ит ак, круг замкну лс я. На чали с юнги, им и зак ончили.
Большой Сэм обвел взг лядом к оманду .
– Дж ент льмены. Я то ж е долж ен покинуть вас. Надеюсь
вы не бу дете скучать. И не забу дь те, в понедельник утром
по днимаем пару са!
Коммент арии, вопросы и зада чи
Египетский счет
19⇔ 23 1) Р езу ль т ат деления из зада чи этого параграфа
мо жно предст авить в виде
1 625 : 22 = 7319
22.
2) Деление мо жно было про должить следующим образом:
1 625 : 22
1 625 1 408
1 22 176
2 44 1 584
4 88 22
8 176 1 606
16 352 11
32 704 1 617
64 1 408 5.5
1
211 1 622.5
1
45.5
1
82.75
Т ог да 1 625 : 22≈64 + 8 + 1 +1
2+1
4= 73.75.
Р асчет на к альку ляторе даст: 1 625 : 22≈73.8636 .
22
3) Хот я древние египт яне обращались с дробными числами
неск ольк о ина че, египетский счет вполне го дитс я и для
нах о ждения произведений дес ятичных дробей:
21.72×22.1 = 221×2.172.
221 2.172
1 2.172 278.016
2 4.344 139.008
4 8.688 34.752
8 17.376 17.376
16 34.752 8.688
32 69.504 2.172
64 139.008 480.012
128 278.016
Т аким образом, 21.72×22.1 = 480 .012 .
В левом столбце т аблицы число 221 разло ж ено по степе-
ням 2, т . е. 221 = 1 + 4 + 8 + 16 + 64 + 128 , что равносильно
его предст авлению в двоичной системе:
221 10= 27+ 26+ 24+ 23+ 22+ 20= 11 011 101 2.
Аналогично мо жно выполнить и операцию деления о дной
дес ятичной дроби на другую.
К ОММЕНТ АРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДА ЧИ 23
4) Попробуйте выполнить умно ж ение и деление о дних
и тех ж е чисел сна чала привычным мето дом «в столбик» ,
затем, применив египетский счет . Сравните величины вре-
мени, затра ченного на вычисления по к аждому мето ду .
Гири Т олст як а До до
21⇔ 25 1) Если в вашем распор яж ении имеетс я набор
гирь{1,2,4,8,16, . . .} , любое целое зна чение веса мо жно
о днозна чно задать их к омбинацией. Дост аточно записать
зна чение веса в двоичной системе и за к аждую единичку
пост авить гирю веса, равного весу ее разр яда. При этом
все гири бу дут сто ять на чаше, уравновешивающей груз.
2) Если разрешено ст авить гири на обе чаши весов, зада чу
лучше описывает друг ая математическ ая мо дель. Р азло-
жим число, равное весу груза, в троичную систему счисле-
ния. Как мы знаем из теории, т ак ое разло ж ение единствен-
но. Запись 𝑛 -разр ядного числа в троичной системе имеет
вид𝑎𝑛−13𝑛−1+𝑎𝑛−23𝑛−2+. . .+𝑎13 +𝑎0 , г де 𝑎𝑖∈{0,1,2} ,
𝑖= 0,1, . . . , 𝑛−1 . Т еперь перейдем к троичной записи
со мно ж еством цифр {0,1,−1} . В любом месте записи
2·3𝑖мо жно заменить на −3𝑖+ 3𝑖+1. Заметим т акж е, что
3𝑖+ 3𝑖= 2·3𝑖=−3𝑖+ 3𝑖+1. Договоримс я в записи числа
цифру−1 обозна чать 1 . Т ог да 2 = 1 1 ,22 = 1 12 = 10 1 .
24
Например, 142 10= 12 021 3= 12 1 113= 21 1113= 111 1 113.
Т аким образом, чтобы взвесить груз в 142 фунт а, надо на
свобо дную чашу весов пост авить гири весом 243, 9 и 1,
а на чашу с грузом (отрицательный вес) 81, 27 и 3. Зада-
ча по дробно разобрана в книге Депмана [4, с. 37–38].
3) Взвесь те грузы массой 9, 10, 21 и 27, использу я сна чала
первый, а затем второй из рассмотренных наборов гирь.
4) В Советск ом Союзе нах о дились в обращении бумажные
купюры достоинством в 1, 3, 5, 10, 25 и 50 рублей. Во-
прос: к ак ой набор из 5 купюр лучше обеспечит платежи
без с да чи в сумме от 1 до 49 рублей: {1,3,5,10,25} или
{1,2,4,8,16} ? Ок азываетс я, ответ не т ак уж очевиден.
На этот раз мы разрешим иметь к аждую купюру в любом
к оличестве, к ак и должно быть в жизни. Существовавший
набор обеспечивал выплату без с да чи не более чем 4 ку-
пюрами любой суммы, кроме 42, 44, 47 и 49 руб. А набор
из степеней 2 позволяет 4 купюрами выдать любую сумму ,
кроме 31, 39, 43, 45, 45 и 47 руб. Но г лавное преимущество
существовавшего набора в том, что он лучше обслуживал
суммы, кратные 10. Однак о, к ак ск азал бы сейчас Боль-
шой Сэм, мы отклонились от курса.
К ОММЕНТ АРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДА ЧИ 25
Р асск аз матроса Бена
23⇔ 26 1) Шахматы по явились примерно 3 тыс. лет на-
зад в Индии. Существу ет неск ольк о вариантов легенды об
их изобрет ателе, к оторые рас х о дятс я в дет алях: кто был
правитель, к ем был изобрет атель и к акие были зерна? Эти
рас х о ждения не затрагивают сути легенды.
2) Вес о дного пшеничного зерна равен 0.065 грамма. Т ог да
вес 18 446 744 073 709 551 615 зерен сост авит ок оло 1 200
миллиар дов тонн.
3) Аналогичная зада ча ро дом из Древнего Рима. Цезарь
спросил храброго полк ово дца, вернувшегос я в Рим после
кровопролитных сраж ений, к акую награду за службу тот
х отел бы получить. Полк ово дец запросил слишк ом боль-
шую сумму , с к оторой Цезарю не х отелось расст аватьс я.
И тог да он предло жил воину забрать награду в к азна-
чействе самому следующим образом: в первый день для
него бу дет от лит а золот ая монет а весом в 1 грамм, во
второй – 2 грамма. Далее к аждый день – вдвое больше,
чем в предыдущий. И про долж атьс я т ак бу дет до тех пор,
пок а полк ово дец мо ж ет сам уносить монеты. Полк ово дец
обрадовалс я. Но ок азалось, что уж е 17-я монет а весила
65.536 кг и, ск орее всего, она ст ала последней, к оторую ге-
рой мог вынести самосто ятельно, ибо следующая монет а
26
весила уж е 131.072 кг . В т ак ом случае полк ово дец вынес
всего 131.071 кг золот а.
Т айна жрецов
25⇔ 28 1) Систему точек и линий (ребер), соединяющих
нек оторые пары точек, в математик е называют «графом» ,
а сами точки – «вершинами графа» . Если существу ет путь,
соединяющий любые две вершины графа, граф называют
связным. Простым циклом называют путь (маршрут), на-
чальная и к онечная точки к оторого совпадают , а ребра, по
к оторым про х о дит путь, ни разу не повтор яютс я. Связный
граф без простых циклов называют «деревом» (рис. 1а).
Рис. 1. Лабиринт
2) Маршруты движ ения между «кирпичик ами» (рис. 1б)
принадлеж ат нек оторому графу с циклами.
3) Если в наборе « ∘∙∘∙∙ » белые бу сины обозна чить ну лем,
К ОММЕНТ АРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДА ЧИ 27
а левые – единицей, маршрут мо жно записать в виде 01011
(см. рис. 1а). Т ог да для записи обратного пути надо сна-
чала записать двоичный к о д в обратном пор ядк е: 11010 ,
а затем инвертировать его: 00101 . Т ог да 0 по-прежнему
бу дет озна чать поворот «налево» , а 1 – «направо» .
4) Всег да ли мо жно обойти все вершины «дерева» за к о-
нечное время? Р азумеетс я, мы говорим о к онечном графе.
Всег да. Для этого мо жно применить, например, следую-
щую простую стратегию: при об х о де все время дер ж атьс я
рук ой за левую стенку тоннеля.
5) Пу сть в к аждой точк е разветвления тоннель делитс я
на𝑛 тоннелей. Т ог да маршрут мо жно предст авить цепоч-
к ой𝑎1𝑎2𝑎3. . . 𝑎 𝑚 , г де𝑚 – к оличество ребер графа, к оторые
предстоит пройти, 𝑎𝑖∈{0,1, . . . , 𝑛−1} , к аждая цифра 𝑎𝑖
ук азывает номер тоннеля при отсчете слева, на к оторый
надо свернуть, 𝑖= 1,2, . . . , 𝑚 . Как найти последователь-
ность цифр, определяющую обратный путь? Записав по-
следовательность {𝑎𝑖} в обратном пор ядк е и заменив все
цифры их дополнениями до 𝑛−1 , мы получим последова-
тельность 𝑏1𝑏2𝑏3. . . 𝑏 𝑚 , в к оторой 𝑏𝑖=𝑛−𝑎𝑚−𝑖 . Например,
если 𝑛= 6 , ис х о дную цепочку 20511245 мы для описания
маршрут а обратного пути заменим на цепочку 01344053 .
6) Последовательность ну лей и единичек иног да называ-
ют «битовой цепочк ой» . Мо жно ли посредством битовой
28
цепочки о днозна чно задать маршрут в произвольном гра-
фе, т . е. графе, из любой вершины к оторого мо ж ет вых о-
дить произвольное, в общем случае разное число ребер?
Если мо жно, то к ак на основании этой цепочки описать
обратный путь?
Мартингейл
26⇔ 30 1) Стратегию, основанную на последователь-
ном у двоении ст авки, с середины XVI I I в. ст али назы-
вать «мартингейлом» . Легенда об изобрет ателе шахмат
иллюстриру ет тот факт , что мартингейл «по к арману»
тольк о состо ятельному игроку . Однак о на свете встреча-
ютс я обладатели огромных состо яний. Т ак ой клиент мо-
ж ет разорить заведение. Именно поэтому в 20-х го дах про-
шлого столетия игорный дом Монте-Карло запретил у дво-
ение ст авки более 12 раз по др яд. Альберту Эйнштейну
приписывают утвер ждение: «Ру летку мо ж ет о долеть иг-
рок с несметным к апит алом в игре, длящейс я вечность» .
Т аким образом, у спех юнги Элвина неочевиден.
2) Знак омому с теорией веро ятностей чит ателю предлаг а-
ем следующую зада чу . Некто испытывает у да чу в много-
кратно повтор яющейс я игре, в к оторой веро ятность вы-
игрыша равна 0.1. Т о есть при о дном испыт ании игрок
К ОММЕНТ АРИИ, ВОПРОСЫ И ЗАДА ЧИ 29
располаг ает всего о дним из дес яти шансов на выигрыш.
Как ова веро ятность того, что выигрыш наступит не да-
лее чем на 13-й попытк е? Если веро ятность выигрыша при
о дном испыт ании 𝑝= 0.1 , веро ятность проигрыша равна
𝑞= 1−𝑝= 0.9 . Веро ятность проиграть 13 раз по др яд
𝑞13≈0.254 . Т ог да веро ятность выигрыша х от я бы в о дном
из 13 испыт аний 1−𝑞13≈0.746 . Зна чит , игру , в к оторой
веро ятность не на нашей стороне, иног да мо жно заменить
более сло жной игрой, в к оторой веро ятность уж е на нашей
стороне. Однак о человек с небольшим состо янием мо ж ет
разоритьс я и т ам, г де веро ятность на его стороне.
3) Обозна чим проигрыш цифрой 0 , а выигрыш 1 , тог да
любая реализация игры из предыдущего пункт а описыва-
етс я о дной из цепочек бит:
1,01,001, . . . ,𝑘 раз⏞ ⏟ 
0. . .0 1, . . .
Найти математическ ое о жидание выигрыша в этой игре,
если после к аждого проигрыша игрок у дваивает ст авку ,
а выигрыш равен двум ст авк ам.
Вместо эпилог а
28⇔ 34 «Почему снова пираты?! Неуж ели нет насто ящих ге-
роев?!» – воскликнет придирчивый чит атель. Но кто в детстве
не играл в пиратов? И уж е потому х очетс я заступитьс я за мор-
ских разбойник ов. В XVI I в. понятия «пират» и «море-
плаватель» были почти то ждественны . Купцы при случае
непрочь были по живитьс я грабеж ом, а пираты нередк о посту-
пали на службу в к оролевский флот . Губернаторы анг лийских
и французских островов Вест-Индии выдавали за вознаграж-
дение грамоту , в к оторой ук азывалось, на к акие к орабли и к о-
лонии имеет право нападать ее обладатель и в к ак ом порту дол-
ж ен сбывать краденое. На островах Т ортуг а и Г аити пираты
от давали 10 % добычи французск ому губернатору , а с Ямайки
1
10доля добычи поступала вер х овному лор д-адмиралу Анг лии
и1
15– к оролю. Здесь прославилс я Порт-Р ойал, располаг авший-
с я на западном к онце длинной и узк ой к осы Палисадос, ю жной
границы г авани Кингстон. Основанное испанцами в 1518 г . к ак
Кагуэй, при анг личанах это поселение ст ало столицей Ямайки
и о дновременно столицей пиратов Карибск ого мор я, а т акж е
крупным центром работорговли. Благо дар я изобилию питей-
ных заведений и всевозмо жных притонов, Порт-Р ойал заслу-
жил титу л «пиратск ого Вавилона» . Но 7 июня 1692 го да по-
сле сильнейшего землетр ясения, сопрово ждавшегос я цунами,
ВМЕСТО ЭПИЛОГ А 31
2
3горо да ушло по д во ду . Погибло более 5 тыс яч человек. В г а-
вани затону ло 50 к ораблей. После этого к олониальная админи-
страция перенесла столицу Ямайки в небольшую деревушку
Кингстон на противополо жном берегу залива.
А что предст авлял собой к оролевский флот? На службе
с матросами обращались, к ак со ск отом. Часть экипаж ей со-
ст авляли лю ди, силой захва ченные на берегу , к оторых дер ж али
на поло ж ении рабов. На время пребывания к орабля в порту
их закрывали в трюме. Поло ж ение пиратов было лучше. Все
важные вопросы они решали на общем собрании. В частности,
избирали и снимали с должности к апит ана. В случае увечья
(потер я руки, ноги) пират получал разовую к омпенсацию, к о-
торая позволяла ему на чать на берегу свое дело.
Лучше ли жилось в Европе? В течение век а здесь шли из-
нурительные войны, общее к оличество убитых и раненых в к о-
торых превысило 2 млн человек: войны против Франции с уча-
стием Австрии, Испании, Г олландии, Швеции, Дании, Анг лии,
Савойи и Бранденбург а; войны Турции с Р оссией, Австрией,
Венгрией, Польшей и Венецией. При этом во Франции на дуэ-
лях гибло двор ян еще больше, чем на войнах. Пок а воевали к о-
роли, неу ст анно тру дилась свят ая инквизиция, к оторая в этот
славный век отправила на к остры более 100 тыс. о дних толь-
к о ведьм. Добавим и геноцид к оренного населения в к олониях,
32
рабство. А к акие к озни в свобо дное от угнетения крестьян вре-
мя строили друг другу фео далы?! В общем, время было т ак ое!
Т ак что вы х отите от пиратов?
И тог да ж е был зало ж ен фундамент современной на у-
ки. В Швейцарии на XVI I век прих о дитс я творчество о дного
из разработчик ов математическ ого анализа Иог анна Берну л-
ли, тру дитс я над основами теории веро ятностей Як об Берну л-
ли, Иог анн Р ан совершенству ет математическую символику .
В Ит алии занимаетс я проблемами предела, площади и сумми-
рования «беск онечных р ядов» к атолический священник Пьет-
ро Менголи, Р афаэль Бомбелли вво дит к омплек сные числа
и разрабатывает базовые правила действия с ними. В Г ер-
мании Иог анн Кеплер открывает зак оны движ ения небесных
тел Солнечной системы; философ, логик, математик, мех аник,
физик, юрист , историк, дипломат , изобрет атель и язык овед, ос-
нователь и первый президент Берлинск ой Ак адемии на ук Г от-
фрид Вильгельм Лейбниц закладывает идеи машинного мо де-
лирования функций человеческ ого мозг а, форму лиру ет о дин из
важнейших вариационных принципов физики – принцип наи-
меньшего действия, исследу ет вопрос о возникновении россий-
ск ой правящей династии, создает теорию историческ ого проис-
х о ждения язык ов и их классифик ацию. В Анг лии Исаак Нью-
тон разрабатывает классическую мех анику , открывает зак он
всемирного т яготения, дифференциальное и интегральное
ВМЕСТО ЭПИЛОГ А 33
исчисление, между делом управляя Королевским монетным
двором; Уильям Отро д и Эдмунд Унгейт изобрет ают первые
варианты лог арифмическ ой линейки; Т омас Хэрриот сост ав-
ляет к арту Луны, описывает солнечные пятна; Г енрих Бригс
создает т аблицу дес ятичных лог арифмов; анг лик анский свя-
щенник Дж он Валлис тру дитс я над основами математическ о-
го анализа. Нидерландский изобрет атель Корнему с Як обсон
Дреббель строит первую в мире действующую по дво дную ло д-
ку; Антони ван Левенгук наблю дает посредством созданного
им микроск опа бактерии. Во Франции философ, математик
и боевой офицер Р ене Дек арт вво дит пр ямоугольную систему
к оор динат , определяет понятие «к оличество движ ения» и от-
крывает зак он его со хранения; Альберт Жирар впервые дает
объяснение отрицательным к орням уравнений, приво дит в си-
стему плоскую и сферическую тригонометрию. В Дании Олаф
Р емер нах о дит близк ое к истинному зна чение ск орости свет а.
Ну а к ак обсто яли дела в Р оссии? В XVI I век е му дрый
Алек сей Тишайший мирно взял по д свою руку Сибирь и Даль-
ний Восток. У спехи цар я Алек сея закрепил его сын Петр Пер-
вый, к оторый создал российскую на уку , промышленность, ре-
гу лярную армию и флот . Но это уж е история другого век а.
Т еперь к аждый шк ольник знает Ньютона и Дек арт а,
но мало кто назовет имена правивших в их время мо-
нар х ов.
30⇐
Список литературы
[1] Белый, Е. К. Прогрессии / Е. К. Белый. – Петрозаво дск :
Изд-во ПетрГУ , 2016. – 132 с.
[2] Ван дер Вар ден, Б. Л. Пробуждающаяс я на ук а. Математи-
к а Древнего Египт а, Вавилона и Греции / Б. Л. Ван дер
Вар ден. – Москва : Г осу дарственное издательство физик о-
математическ ой литературы, 1968. – 202 с.
[3] Выго дский, М. Я. Арифметик а и алгебра в древнем мире
/ М. Я. Выго дский. – Москва : На ук а, 1967. – 368 с.
[4] Депман, И. Я. История арифметики / И. Я. Депман. –
Москва : Просвещение, 1965. – 416 с.
[5] Рыбник ов, К. А. История математики : в 2 т . Т . 1.
/ К. А. Рыбник ов. – Москва : Изд-во МГУ , 1960. – 192 с.
Учебное издание
Белый Евгений Конст антинович
Математик а не для ЕГЭ
Египетский счет
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Р едактор Е. Е. Порывакина
Оформление обло жки Е. Ю. Т ихоновой
Компьютерная верстк а Е. К. Бе лого
По дписано в печать 20.04.17. Формат 60х84 1/16.
Бумаг а офсетная. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 200 экз. Изд. № 45
Отпечат ано в типографии Издательства ПетрГУ
185910, г . Петрозаво дск, пр. Ленина, 33