Решение геометрических задач с использованием дополнительного построения – вспомогательной окружности
Автор: Калужина Татьяна Николаевна (учитель математики, МАОУ "Лицей №29" , г. Тамбов)
Тип документа: Статья. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 30.07.2021
Описание: При доказательстве теорем элементарной геометрии и решении задач часто используют дополнительные  построения.  В рамках статьи  рассматривается  один из видов дополнительного построения –  введение вспомогательной окружности.

Калужина Татьяна Николаевна
МАОУ "Лицей №29" , г. Тамбов
Учитель математики

Решение геометрических задач с использованием дополнительного построения – вспомогательной окружности.

          При доказательстве теорем элементарной геометрии и решении задач часто используют дополнительные  построения. Они являются достаточно мощным методом решения как стандартных, так и олимпиадных задач. Суть метода дополнительных построений заключается в том, что чертеж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными. 
         Отыскать удачное дополнительное построение часто бывает нелегко.   Знание приемов и методов таких построений облегчает решение даже самых сложных задач. 
         В рамках нашей статьи мы рассмотрим один из видов дополнительного построения –  введение вспомогательной окружности.
         Введение вспомогательной окружности чаще всего связано с ситуацией, когда окружность описывают около треугольника, четырехугольника. Это дает возможность использовать свойства углов и отрезков в окружности.
       Ввести вспомогательную окружность, можно опираясь на следующие теоремы:
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну. (У любого треугольника существует и притом единственная описанная окружность) .
Условие принадлежности четырех точек окружности:
Если для четырех точек плоскости A, B, M и  K  выполняется одно из  следующих условий:
1)Можно указать точку, равноудаленную от рассматриваемых точек A, B, M и  K;
2)Точки  M и  K расположены по одну сторону от прямой  AB и при этом ∠AMB=∠AKB.



3) Точки  M и  K расположены по одну сторону от прямой  AB и при     этом ∠AMB+∠AKB=180°, 

4)Точки A и В лежат на одной стороне неразвернутого угла, а точки  М  и  K – на другой, и при этом OA·OB=OM·OK 
5) Отрезки AB и  MK  пересекаются в точке О, и при этом OA·OB=OM·OK, 

то точки A, B, M и  K  лежат на одной окружности.

 6)Если ∠AMB=∠AKB=90°, то точки  A, B, M и  K  расположены на окружности с диаметром AB.

      

Рассмотрим примеры таких задач. 

(ОГЭ, задача №25)
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом В проведена биссектриса угла А. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведенный к стороне ВС в точке К. Найдите угол ВСК, если известно, что угол АСВ равен 40°.
Решение.
 
       Так как биссектриса острого угла А прямоугольного треугольника АВС не может быть перпендикулярна  ВС, то биссектриса и серединный перпендикуляр к ВС имеют ровно одну общую точку.  
        Пусть N –  середина ВС. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника АВС. Пусть серединный перпендикуляр к ВС пересекает меньшую дугу ВС в точке L, тогда точка L является серединой этой дуги и . Но тогда ∠BAL=∠CAL как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL – биссектриса угла ВАС. Но это означает, что точка L  совпадает с  точкой пересечения серединного перпендикуляра к  ВС и биссектрисой  угла ВАС. Заметим, что ∠BCL=∠CBL  как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. 
              Пусть ∠BCL = х°. Четырехугольник  ACLB – вписанный, поэтому ∠ACL+∠ABL=180°,  то есть 40°+х+90°+х= 180°, откуда х=25°.  
              Так как точки K и  L совпадают, то ∠BCK=∠BCL = 25°. 
Ответ : 25°. 

 (ВОШ, региональный этап, 2006-2007 учебный год, 9 класс) 
На стороне АС треугольника АВС взята точка . Пусть I – центр вписанной окружности треугольника. Окружность, описанная около , вторично пересекает сторону AB в точке . Окружность, описанная около , вторично пересекает сторону BC в точке .
Докажите,  что центр описанной окружности   не зависит от положения точки  на стороне АС.

Решение. 
            Так  как  I – центр вписанной окружности треугольника ABC , то AI,  BI и CI – биссектрисы треугольника ABC.  Тогда 
∠∠IA , а значит равны дуги  и хорды  .
Аналогично, из равенства углов следует равенство хорд .                             Следовательно, , а значит,    точки  равноудалены от точки I  и  лежат на окружности с центром в точке I.  Т.о. точка  I   является центром окружности для всех описанных треугольников .  Значит, центр описанной окружности не зависит от положения точки  на стороне АС.

(ВОШ, региональный этап, 2008-2009 учебный год, 10 класс)
Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон  ВС, СА, АВ в точках     соответственно.  На продолжении отрезка   за точку А взята точка D, такая что AD = A. Прямые  пересекают второй раз окружность  в точках  . Докажите, что – диаметр окружности 
         Решение. 



Проведем перпендикуляры к прямым АВ и АС через точки   , они пересекутся в точке I, I – центр вписанной в треугольник АВС окружность.  Так как АD = A, A, то АD = A и следовательно,  А – центр окружности , R=AD,  ∠ – центральный. 
Пусть ∠,  ∠=  -  вписанный в окружность ,  дуга 
,  тогда ∠О= как  угол между касательной и хордой, ∠, а следовательно,  и дуга . 
  и   – секущие, ∠  =  - ),   - ),  
 - ,   =  = .  Значит,  – диаметр окружности 

(ОГЭ, задача №25)
Середина М стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите АD, если BC=4, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 128° и 112°.

Решение.
        Так как точка М равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то четыре точки  A, B, C и  D лежат на одной окружности с центром в точке М и AD  - диаметр этой окружности.
         Проведем диагональ АС.  Угол АСD  равен 90° ,  так как он вписанный и опирается на диаметр AD. 
 ∠ACB= ∠BCD - ∠ACD,  ∠ACB= 112° - 90° = 22°.
В   ABC  ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB,  тогда ∠ BAC = 30°.
 ABC  вписан в окружность.  По следствию из теоремы синусов
  ,    =  = 4.
Так как  AD – диаметр окружности , то  AD = 2R,  AD= 8.
Ответ: 8.

(ВОШ, региональный этап, 2016-2017 учебный год, 10 класс)
           Окружность с центром в точке I вписана в четырехугольник АВСD. Лучи  ВА и СD пересекаются в точке Р, а лучи АD и ВС пересекаются в точке Q. Известно, что точка Р  лежит на окружности , описанной около треугольника АIС. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности .
Решение. 
   
                              Так как четырехугольник АIСР вписанный, то ∠РСI=180° - ∠РАI = ∠BAI, иначе говоря, ∠DCI=∠BAI. Центр I вписанной окружности четырехугольника лежит на биссектрисах его углов, поэтому ∠DCI = ∠BAI. Центр I вписанной окружности лежит на биссектрисах его углов, поэтому ∠DCI = ∠BСI и ∠DAI=∠BAI. Отсюда следует, что ∠DAI=∠BCI, а значит, ∠QAI=∠BCI=180° - ∠QCI.
            Из полученного равенства вытекает, что четырехугольник AICQ     вписанный.  Тем самым, точка Q лежит на окружности  , проходящей через точки A, I  и  C.

(ВОШ, региональный этап, 2009-2010 учебный год, 9 класс)
            Пусть точки  А, В и С лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке В. Из точки Р, лежащей на прямой b, опущены перпендикуляры   и   на прямые  АВ и ВС соответственно ( точки   и    лежат на отрезках АВ и ВС). Докажите, что  и АС  перпендикулярны. 
 
           Решение. 

            Так как ∠ = ∠, то четыре точки   и В лежат на одной окружности  и значит,  четырехугольник В  - вписанный.  Значит,  .  С другой стороны,  ∠ РВ=∠АСВ. 
           Поэтому ∠ С= ∠90° - ∠АC, то есть прямые   и АС    пересекаются под прямым углом.

(ВОШ, региональный этап, 2009-2010 учебный год,  11 класс)
Четырехугольник  АВСD вписан в окружность с диаметром АС. Точки К и М проекции вершин А и С соответственно на прямую  ВD.  Через точку К проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая АС в точке Р. Докажите, что угол КРМ прямой. 
Решение. 
Обозначим через  Е точку пересечения диагоналей АС и ВD и рассмотрим случай, когда точка К лежит на отрезке ВЕ. Так как АС – диаметр, то вписанный угол СВА=90° и КР//ВС, где Р
Заметим, что ∠СВD=∠РКD=∠РАD=∠CАD, то есть четырехугольник АКРD вписан. Значит, ∠АКD=∠АРD=90°. Тогда из равенства ∠СРD=∠CMD=90°  следует вписанность четырехугольника СРМD, откуда ∠ЕРМ=180°- ∠СРМ=∠ЕDС=∠ВАС=∠ВАЕ. Отсюда следует, что РМ//АВ┴ВС//КР, а значит, КР┴РМ ,  что значит, что угол КМР – прямой, что и требовалось доказать.
              Случай, когда К лежит на отрезке DE, рассматривается аналогично. 


 
Список литературы
Шарыгин   И.Ф.  Геометрия  7-9кл.: учебник  для общеобразовательных учреждений - М.:Дрофа, 2012г.
Гордин Р.К. ЕГЭ 2015. Задача 18, Москва, издательство МЦНМО, 2015г.
Методика и система оценивания (проверки) регионального этапа XXXIII Всероссийской математической  олимпиады школьников 2006-2007 учебный год, Москва 2007 г.
Методика и система оценивания (проверки) регионального этапа XXXV Всероссийской математической  олимпиады школьников 2008-2009 учебный год, Москва 2009 г.
Методика и система оценивания (проверки) регионального этапа XXXVI Всероссийской математической  олимпиады школьников 2009-2010 учебный год,  Москва 2010 г.
Методика и система оценивания (проверки) регионального этапа XLIII Всероссийской математической  олимпиады школьников 2016-2017 учебный год, Москва 2017 г.
Сдам ГИА, образовательный портал для подготовки к экзаменам.