Метод объёмов. Методическая разработка.
Автор: Гагарина Наталия Юрьевна (Учитель математики, Государственное общеобразовательное учреждение Республики Коми "Физико-математический лицей-интернат")
Тип документа: Другое. Аудитория: Учителя математики в 10-11 классах. Дата публикации: 23.09.2018
Описание: В пособии собраны методические материалы по использованию метода объемов при решении некоторых типов стереометрических задач. Пособие адресовано учителям математики образовательных организаций, осуществляющих образовательную деятельность по предмету  в 10-11 классах.


Гагарина Наталия Юрьевна 
Государственное общеобразовательное учреждение 
"Физико-математический лицей-интернат"
Республика Коми, г. Сыктывкар 
Учитель математики 

Метод объемов
Методическая разработка

В пособии собраны методические материалы по  использованию метода объемов при решении некоторых типов стереометрических задач. Пособие адресовано учителям математики образовательных организаций, осуществляющих образовательную деятельность по предмету  в 10-11 классах.
Введение
В школьном курсе стереометрии довольно часто приходится сталкиваться с задачами на определение расстояния от точки до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми и угла между плоскостями.  Нередко задачи указанных типов вызывают у учащихся затруднения. Задания части 2 Единого государственного экзамена по стереометрии  большей частью посвящены именно вычислению расстояний и углов в пространстве, поэтому решению таких задач необходимо уделить особое внимание. В данном пособии предлагается  для этой цели применить метод объемов, который является очень удобным, понятным и легко запоминающимся, но, к сожалению, зачастую не рассматриваемым в школьной программе. При использовании метода объемов необходимо знать ряд теорем, формулировки и доказательства которых приведены в данном пособии. Пособие содержит подборку задач различного уровня сложности, при решении которых удобно использовать метод объемов. 

Метод объёмов

Метод объёмов состоит в следующем: выражая объем какого-нибудь тела двумя способами и приравнивая полученные величины, получаем требуемый результат.
Указанный метод удобно использовать при решении стереометрических задач следующих типов:
Нахождение расстояния от точки до плоскости.
Нахождение угла между плоскостями.
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. 
1 тип. Нахождение расстояния от точки до плоскости

Задача 1.1. Вединичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки A до плоскости BDA1.

 Решение:
Пусть AH – перпендикуляр к плоскости A1DB, отметим, что нам не нужно будет находить местоположение точки H, в этом и есть преимущество метода объёмов.
Рассмотрим пирамиду A1ADB, пусть V – объём этой пирамиды.
                                                           С одной стороны,  .
                                                           С другой стороны, .
                                                           Приравниваем полученные выражения:
 , откуда AH =  .
Задача 1.2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости SCD.
Задача 1.3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти расстояние от точки A до плоскости SDE.
Задача 1.4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости BFE1.
Задача 1.5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти расстояние от точки A до плоскости SBC.
2 тип. Нахождение угла между плоскостями
Теорема 1 (вычисление объёма тетраэдра через площади двух граней, двугранный угол и ребро). Пусть P и Q – площади двух граней тетраэдра,  а – длина общего ребра, α – величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем пирамиды может быть вычислен по формуле   .
Доказательство: Пусть SABC = P, SDBC = Q, тогда BC = a. Пусть DH – высота пирамиды, DM = d – высота грани DBC.
При этом SDBC =  , значит, d = 
 Рассмотрим далее ∆DHM:  , значит, 
DH = 
Получим, V= 

Задача 2.1. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти синус угла между плоскостями ADD1 и BDC1.










  Решение:
Угол между плоскостями (ADD1) и (BDC1) равен углу между плоскостями (BDC1) и (BB1C).
Рассмотрим треугольную пирамиду C1DBC, пусть V – объём этой пирамиды. Пусть P и Q – площади граней C1DB и C1CB, α – угол между этими гранями, a – длина их общего ребра. Тогда по теореме 1    , где . 
С одной стороны,  ,
С другой стороны,  .
Приравниваем полученные выражения:
 =  , откуда  .

Задача 2.2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти синус угла между плоскостями ABC и CB1D1.
Задача 2.3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найти тангенс угла между плоскостями ABC и CA1B1.
Задача 2.4. В основании пирамиды ABCD лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC, DC – высота пирамиды. AB = 1, BC = 3, CD = 3. Найти величину двугранного угла между плоскостями ADB и ADC.
Задача 2.5. В основании  пирамиды ABCD лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 4. Высота пирамиды равна 2, а ее основание совпадает с серединой AC. Найти величину двугранного угла между гранями ABD и BCD.
3 тип. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
Теорема 2 (вычисление объёма тетраэдра через два противоположных ребра, расстояние и угол между ними). Пусть a и b – длины двух противоположных рёбер тетраэдра, d – расстояние, φ – угол между ними. Тогда объём тетраэдра может быть вычислен по формуле  .
Доказательство: рассмотрим тетраэдр DABC, пусть AB и CD – рёбра. Достроим тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Площади граней AKBM и LCQD равны 1/2∙a∙b∙, расстояние между ними d. Тогда 
 , где V1 – объём параллелепипеда.
Отсекая от параллелепипеда 4 треугольные пирамиды, получим рассматриваемый тетраэдр ABCD.
.
Аналогично .
Итак,



Задача 3.1. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между прямыми AB1 и  BC1.










Решение:
Рассмотрим пирамиду ABB1C1, пусть V – объём этой пирамиды.
С одной стороны,  .
С другой стороны, (по теореме 2), где a и b – длины противоположных рёбер AB1 и BC1, d – расстояние между ними, φ – угол между рёбрами AB1 и BC1 (он равен 60°, т.к. стороны треугольника AD1B1 – диагонали равных квадратов). Значит,  .
Приравниваем полученные выражения:
 , отсюда следует, что искомое 

Задача 3.2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти расстояние между прямыми SB и AF.
Задача 3.3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найти расстояние между прямыми SA и CD.
Задача 3.4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найти расстояние между прямыми AA1 и CF1.
Задача 3.5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми SA и BC.
Заключение

Итак, метод объёмов действительно позволяет решать некоторые типы стереометрических задач более рационально. Такие решения более понятны, удобны и занимают меньше времени по сравнению с традиционными. Данный метод рекомендуется для рассмотрения с целью подготовки учащихся к ЕГЭ, для решения задач олимпиадного уровня.