Символы и их творцы
Автор: Белый Евгений Константинович (доцент, пенсионер)
Тип документа: Другое. Аудитория: Педагогические работники.. Дата публикации: 25.05.2021
Описание: В книге рассказывается об истории возникновения ряда наиболее известных математических символов. Отношения между символами и их творцами неоднозначны: иногда один ученый вводит в употребление несколько символов, а порой над различными вариантами одного символа трудится множество авторов. Поэтому книга разбита на две части: «Символы» и «Биографические справки». Данные о происхождении большинства из рассмотренных в книге символов можно найти в трехтомнике «История математики с древнейших времен до начала XIX столетия» под редакцией Адольфа Павловича Юшкевича и монографии Николая Ивановича Стяжкина «Формирование математической логики», которые, однако, рассчитаны на читателя с солидной математической подготовкой. Предлагаемое же учебное пособие рассчитано в первую очередь на учащегося средней школы. По структуре учебное пособие можно рассматривать, как справочник. В первой части в алфавитном порядке (по названию) представлены символы. Во второй части также в алфавитном порядке – краткие биографии их творцов, снабженные ссылками на литературные источники из списка, приложенного в конце книги. Приложенный список в частности содержит большое количество биографической литературы.

Математик а не для ЕГЭ
Е. К. Белый
Символы и их творцы
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Петрозаво дск
Издательство ПетрГУ
2018
У ДК 51(09)
ББК 22.1г
Б439
Р ецензенты:
С. С. Платонов , доктор физик о-математических на ук, профессор
к афедры математическ ого анализа ПетрГУ ;
П. В. Дружинин , доктор эк ономических на ук, ведущий на учный
сотру дник От дела мо делирования и прогнозирования регионального
развития институт а эк ономики КарНЦ Р АН
Белый, Евгений Конст антинович.
Б439 Символы и их творцы : учебное пособие для учащих с я
средних шк ол / Е. К. Белый. – Петрозаво дск : Издательство
ПетрГУ , 2018. – 70, [2] с. – (Математик а не для ЕГЭ).
ISBN 978-5-8021-3370-5
Учебное пособие ориентировано на широкий круг чит ателей: уча-
щих с я средней шк олы, учителей математики, сту дентов, а т акж е
всех, интересующих с я историей математики.
ISBN 978-5-8021-3370-5
У ДК 51(09)
ББК 22.1г
c○ Белый Е. К., 2018
Со дер ж ание
Предисловие 4
Символы 8
А–Г . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Д–О . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
П–С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Т–Я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Биографические справки 34
А–Г . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Д–О . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
П–С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Т–Я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Список литературы 58
Симво л – это совершенное совпадение языка и идеи.
Ханс Г еорг Г адамер
Предисловие ⇒ 8
Дорогой чит атель! В этой книге мы расск аж ем о проис-
х о ждении наиболее известных математических символов.
Нек оторые из них знак омы нам еще с младших классов.
Каж етс я, что они были всег да, но на самом деле почти
все эти символы по явились недавно – в течение последних
неск ольких столетий, и их авторы известны. Отношения
между символами и их творцами нео днозна чны. К то-то
автор целой семьи символов, а порой над о дним символом
тру дилось неск ольк о ученых.
Книг а разделена на две части: в первой (с. 8) речь идет
собственно о символах, а во второй (с. 34) даны крат-
кие биографии их творцов, снаб ж енные ссылк ами на ли-
тературные источники из приведенного на с. 58 списк а.
Пособие мо ж ет служить справочник ом или, точнее, путе-
во дителем в исследовательск ой работе шк ольник ов. Т ак-
ж е книг а мо ж ет быть полезна препо давателям, поск оль-
ку исторический материал украшает и о живляет любой
урок или лекцию. Мы не пыт ались дать полный обзор всех
символов. Да это и невозмо жно. В к аждом разделе мате-
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
матики есть сво я специфическ ая символик а, порой зна-
к омая тольк о узк ому кругу посвященных. Иног да символ
имеет лок альный ст ату с, в пределах раздела тек ст а:
в о дной г лаве учебник а физики буквой 𝑡 обозна чено вре-
мя, в другой – температура.
Мы заговорили о буквах. Буквы латинск ого, греческ ого
и (реж е) других алфавитов являютс я неотъемлемой ча-
стью математическ ой символики. Ими обозна чают пере-
менные и к онст анты. Нек оторые буквы сами ст али сим-
волами, например, число 𝜋 , число 𝑒 ; другие послужили
для них «строительным материалом» . Т ак, средневек овые
математики обозна чали квадратный к орень буквой r (от
лат . r adix – к орень), к оторая со временем превратилась в
знак√; Г отфрид Лейбниц «создал» интеграл(︀∫︀)︀
, выт я-
нув букву s, а Г ер х ар д Г енцен «получил» квантор всеобщ-
ности (∀) , пост авив «ввер х ног ами» букву A.
Математическими символами вне вс як ого сомнения явля-
ютс я и цифры. В любом учебник е по истории математи-
ки у деляетс я внимание вавилонским, египетским, римским
и другим цифрам. Но их нельзя рассматривать к ак часть
современной математическ ой символики. Современные
цифры пришли в Европу из Индии через арабов, и пото-
му их часто называют арабскими. Первая большая отече-
ственная работ а по истории современных цифр
6
«Проис х о ждение и история наших цифр» [14] увидела свет
в 1908 г . Ее автор – выдающийс я ру сский историк и фи-
лолог Ник олай Мих айлович Бубнов.
Процесс ст ановления символики нельзя рассматривать
в отрыве от развития идей и понятий соответствующей
области знания, а это к ак раз и есть то, чем занимаетс я
история на уки. В отечественной литературе традиционно
у делялось большое внимание истории математики. Преж-
де всего х очетс я отметить т акие фундамент альные тру-
ды, к ак трехтомная «История математики с древнейших
времен до на чала XIX столения» по д редакцией Адоль фа
Павловича Юшк евича [46], [47], [48] и «Формирование ма-
тематическ ой логики» Ник олая Ивановича Ст яжкина [82],
в к оторых, помимо прочего, мо жно найти почти всю ин-
формацию о рассмотренных ниж е символах. Нельзя не
упомянуть двухтомник Конст антина Алек сеевича Рыбни-
к ова, задуманный к ак учебник по «Истории математики»
для сту дентов IV курса МГУ [80], [81]. В 1948 г .
в Советск ом Союзе по инициативе А. П. Юшк евича осно-
вано первое в мире перио дическ ое издание по истории ма-
тематики «Историк о-математические исследования» , пять-
дес ят выпу ск ов к оторого увидело свет . Однак о эт а лите-
ратура рассчит ана на по дготовленного чит ателя. На ру с-
ский язык переведены работы многих зарубежных авто-
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ров – это «Пробуждающаяс я на ук а. Математик а Древнего
Египт а, Вавилона и Греции» Ван дер Вар дена [18], «Очер-
ки по истории математики» Ник оля Бурбаки [15] и др.
Математическ ая символик а – сло жная, развивающаяс я по
своим зак онам, система, даж е повер хностное описание к о-
торой не сво дитс я к перечню символов. Мы ж е предла-
г аем не «клад» , а тольк о стрелочку , ук азывающую путь
к нему . В списк е литературы на с. 58 вы найдете био-
графии многих выдающих с я ученых. Т ак ая литература,
к ак и любая на учно-попу лярная, способству ет не тольк о
формированию у стойчивого интереса чит ателя к на ук е, но
и дает ему возмо жность обог атитьс я новыми идеями, за-
г лянуть за рамки шк ольной программы, выбрать бу дущую
профессию.
В процессе работы над книгой использовались материалы
3-го издания БСЭ и Википедии.
Замечания и предло ж ения вы мо ж ете направлять по о дному
из адресов: b elyi@p etrsu.ru или kurs_b elyi1@mail.ru .
Евгений Белый
Сент ябрь 2018
Символы
А–Г 4⇔ 10
Абсолютная величина (мо ду ль) (|𝑥| , abs(x)).
Предполо жительно автор знак а |𝑥| Р о дж ер Котс.
Г отфрид Лейбниц т акж е называл соответствующую функ-
цию «мо ду лем» (лат . mo dulus – мера), но обозна чал 𝑚𝑜𝑙 𝑥
(возмо жно, от лат . moles – сила). Общепринятым обозна-
чение|𝑥| ст ало после работ Карла Вейерштрасса (1841).
Огюстен Коши и Жан Р оберт Арг ан в на чале XIX в. рас-
ширили понятие «мо ду ль» на область к омплек сных
чисел, а Хондрик Лоренц (1903) использовал эту ж е сим-
волику для обозна чения длины вектора. Карл Г отфрид
Нейман (1914) предпочит ал обозна чение abs(x), к оторое
сейчас обычно используют в язык ах программирования.
Беск онечность (∞ ). Впервые встречаетс я в тракт а-
те анг лийск ого математик а Дж она Валлиса «Арифметик а
беск онечно малых» (1656). Возмо жно, знак по явилс я к ак
вариант 𝜔 — последней буквы греческ ого алфавит а. Т ак-
ж е применяют знаки +∞ и−∞ .
Вектор (𝑟 ). В 1806 г . Жан Р обер Арг ан обозна чил на-
правленный отрезок черточк ой над буквой. Огюстен Луи
Коши обозна чил вектор буквой со стрелочк ой навер ху (1853),
СИМВОЛЫ 9
к оторая впоследствии трансформировалась в черточку . А
термин «вектор» (от лат . ve ctor – несущий) предло жил в
первой половине XIX в. Уильям Г амиль тон.
Гиперболические функции (𝑠ℎ ,𝑐ℎ ,𝑡ℎ ,𝑐𝑡ℎ ,𝑠𝑒𝑐ℎ
и𝑐𝑠𝑐ℎ ). Впервые по явились в тру дах Абрах ама
де Му авра (1707). Современное определение гиперболиче-
ских сину са и к осину са дал Винченцо Рикк ати в работе
«Opusculorum» (1757), он ж е предло жил их обозна чения –
𝑠ℎ ,𝑐ℎ . Дальнейшее исследование свойств гиперболических
функций было проведено Иог анном Ламбертом (1768).
В обозна чении гиперболических сину са, к осину са
и т ангенса первую букву взяли от соответствующих триго-
нометрических функций, в обозна чении к ат ангенса –
первые две, а в обозна чении сек анса и к осек анса – все три
буквы, после чего к ним добавили ℎ – первую букву лат .
hyp erb olic a (гиперболический).
Градиент (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 или▽𝜙 ). Градиент ск алярной
функции 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) трех переменных – вектор
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 =▽𝜙=𝜕𝜙
𝜕𝑥𝑖+𝜕𝜙
𝜕𝑦𝑗+𝜕𝜙
𝜕𝑧𝑘,
г де𝑖 ,𝑗 и𝑘 – орты, сост авляющие ортонормированный ба-
зис трехмерного пространства. Т ермин «градиент» (от лат .
gr adiens – растущий) ввел Дж еймс Мак свелл (1873). Он ж е
10
предло жил обозна чение 𝑔𝑟𝑎𝑑 .
Д–О 8⇔ 20
Деление (/,: и÷ ). Косую черту ( / ) в к а честве знак а
деления на чал использовать Уильям Отред (1631).
Г отфрид Лейбниц для этой ж е цели применил двоеточие
(1684). В Анг лии и США получил распространение пред-
ло ж енный Иог анном Р аном (1659) символ «обелюс» ( ÷ )
(анг л. ob elus – крестик). Все три символа дошли до наших
дней. Р анее в к а честве знак а деления использовали бук-
ву D, а на чиная с Леонар до Фибона ччи, т акж е горизон-
т альную черту , употреблявшуюс я Г ероном Алек сандрий-
ским, Диофантом Алек сандрийским и арабскими матема-
тик ами. Интересно, что знак ÷ использовалс я древнегре-
ческим филологом Зено дотом Эфесским для обозна чения
сомнительных слов или утвер ждений.
Дивергенция (𝑑𝑖𝑣𝐹 или▽𝐹 ). Т ермин (лат . diver genc e
– рас х о ждение) впервые применил Уильям Клиффор д (1878).
Саму величину 𝑑𝑖𝑣𝐹=▽𝐹=𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑥+𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑦+𝜕𝐹𝑧
𝜕𝑧,
г де𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) =(︁
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧 ), 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧 ), 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧 ))︁
, ввел
Дж еймс Мак свелл (1873).
Дизъюнкция (𝐴∨𝐵 ,𝐴+𝐵 ,𝐴‖𝐵 ,𝐴|𝐵 ).
Название логическ ой операции проис х о дит от лат . disjunctio
СИМВОЛЫ 11
– разобщение. Т акж е говор ят: «логическ ое ИЛИ» либо
«логическ ое сло ж ение» . Изна чально для обозна чения дизъ-
юнкции Уильям Дж евонс предло жил знак ·|· , Дж ор дж
Бу ль, Эрнст Шредер и Платон Сергеевич Порецкий
использовали +. Символ ∨ (от лат . ver – или) ввел
Бертран Р ассел (1908). Символы ‖ ,| , а т акж е 𝑂𝑅
используют в язык ах программирования.
Дифференциал (𝑑𝑥, 𝑑 𝑓 (𝑥) ). Линейная часть прира-
щения функции (от лат . differ entia — разность, различие).
Г отфрид Лейбниц, Як об и Иог анн Берну лли слово
«differen tia» употребляли в смысле «приращение» . С 1675 г .
Лейбниц для «беск онечно малой разности» ст ал использо-
вать букву d.
Дополнение мно ж ества (𝐴 ). Мно ж ество всех эле-
ментов универсума 𝐼 , не принадлеж ащих 𝐴 :{𝑥|𝑥 /∈𝐴} .
Обозна чение ввел Джузеппе Пеано (1888).
Дробная часть числа ({𝑥} ). Р азность 𝑥 и его
целой части:{𝑥}=𝑥−[𝑥] .
Дробь(︁𝑎
𝑏)︁
. Дроби по явились в Индии в VI I–V в. до
н. э. Знаменатель записывалс я по д числителем без дроб-
ной черты, зато вс я дробь помещалась в пр ямоугольник.
Дроби получили распространение в Европе после работ
Леонар до Фибона ччи. Именно он на чал от делять числи-
12
тель от знаменателя чертой (1202). Ок ончательно т ак ая
запись дроби закрепилась после работы Иог анна Видмана
(1489). Т ермины «числитель» и «знаменатель» ввел
в XI I I в. Мак сим Плану д. На Ру си дроби называли
«долями» или «ломаными числами» (по аналогии с лат .
fr actur e – обломок), а термин «дробь» ввел Леонид
Филлиппович Магницкий в своей «Арифметик е» (1703).
Имплик ация (𝐴→𝐵 ,𝐴⇒𝐵 ,𝐴⊃𝐵 ). Логиче-
ск ая связк а, соответствующая грамматическ ой к онструк-
ции «если A, то B» . Т ермин проис х о дит от лат . implic atio –
связь. Символ «стрелк а» ( → ) предло жил Давид Гильберт
(1922) (иног да его изображ ают к ак ⇒ ). Р анее Дж ор дж
Пеано (1898) использовал обозна чение 𝐴⊃𝐵 . Его ана-
лог в «тироновых нот ах» – знак ⊃𝑏– чит алс я к ак c ausa ,
что в перево де с латинск ого озна чает «причина» .
Индек с (𝑎𝑖, 𝑎𝑖,𝑗 ). Индек сировать о дноро дные перемен-
ные впервые на чал Исаак Ньютон (1717). Двойное индек-
сирование применил Карл Гу ст ав Як оби (1835).
В к а честве индек сов обычно (но не всег да) используют
натуральные числа.
Интеграл (∫︀
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,∫︀𝑏
𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ). Слово «интеграл»
впервые употребил в печати Як об Берну лли (1690).
Возмо жно, термин проис х о дит от лат . inte ger – целый, но
это ж е слово мо жно перевести к ак «нерешенный» . По дру-
СИМВОЛЫ 13
гому предполо ж ению, основой послужило латинск ое
слово inte gr o – восполнять, восст анавливать. Знак
интеграла (∫︀
) – выт янутую букву 𝑠 , первую букву латин-
ск ого слова summa , впервые использовал Г отфрид Лейб-
ниц в к онце XVI I в. В анг лийск ой литературе знак∫︀
по-
явилс я в 1693 г . и вск оре был принят большинством мате-
матик ов. Однак о Исаак Ньютон, рассматривавший инте-
грирование не к ак операцию, а к ак зада чу решения урав-
нения 𝑥′=𝑓(𝑡) , использовал обозна чения f(x) и𝑓(𝑥) .
Символ определенного интеграла в привычном нам ви-
де∫︀𝑏
𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 предло жил французский математик и физик
Жан Батист Жозеф Фурье в на чале XIX в.
В 1923 г . Хендрик Крамерс обозна чил криволинейный ин-
теграл по замкнутому к онтуру символом∮︀
.
Кванторы (∃,∃!∀ ). Квантор – общее название
логических операций, задающих область истинности
предик ат а выск азывания. Обычно в логик е выделяют две
т акие операции: квантор существования ( ∃ ), введенный
Чарльзом Пирсом (1885), и квантор всеобщности ( ∀ ), пред-
ло ж енный Г ер х ар дом Г енценом (1935). ∃ чит аетс я к ак «су-
ществу ет» ,∀ – «любой» , «к аждый» . Символы предст ав-
ляют собой перевернутые первые буквы анг лийских слов
existenc e – существование – и any – любой. Иног да приме-
няют квантор существования и единственности ∃! .
14
Конъюнкция (𝐴&𝐵 ,𝐴∧𝐵 ,𝐴·𝐵 ,𝐴𝐵 ). Название
логическ ой операции проис х о дит от лат . c onjunctio – со-
юз, связь. Конъюнкцию т акж е называют «логическим И»
или «логическим умно ж ением» . Символ «амперсанд» ( & )
впервые по явилс я к ак графическ ое сокращение латинск о-
го союза et – «и» – в «тироновых нот ах» . С на чала XIX в.
до на чала XX в. знак & сто ял в к онце анг лийск ого алфа-
вит а и при его чтении последние буквы произносили к ак
«x, y , z, and p er se and» . Отсю да название символа «ампер-
санд» (лат . p er se – сама по себе или к ак т ак овая). В сере-
дине XIX в. Дж ор ж Бу ль пользовалс я знак ом умно ж ения
(· ) (1854). В 1930 г . Арнольд Г ейтинг применил знак ∧ , к о-
торый в стенографическ ой системе Дж она Уиллиса (1602)
соответству ет букве «a» , первой букве анг лийск ого and .
В свою очередь, в систему Уиллиса знак попал из «тироно-
вых нот» . В р яде язык ов программирования
«логическ ое И» обозна чаетс я к ак AND.
Корень (√, 3√, 4√, . . . ). Символ операции извле-
чения к орня называют радик алом. Дж ероламо Кар дано
и р яд других средневек овых математик ов обозна чали квад-
ратный к орень символом Rx (от лат . r adix – к орень).
Современное обозна чение идет от малой буквы 𝑟 . Его впер-
вые применил Кристоф Ру доль ф (1525). Черту над по дк о-
ренным выраж ением ст ал использовать Р ене Дек арт (1637)
СИМВОЛЫ 15
дабы не окруж ать его ск обк ами. Символ 𝑛√для произ-
вольного натурального 𝑛 ввел Альберт Жирар (1629),
а закрепили Исаак Ньютон и Г отфрид Лейбниц.
Лог арифм (log ,lg иln ). Лог арифм «построил» из
двух греческих слов – 𝜆𝑜𝛾𝑜𝜍 (отношение) и 𝛼𝜚𝜄𝜃𝜇𝑜𝜍
(число) – Дж он Непер. Он ж е впервые употребил термин
в работе «Описание у дивительной т аблицы лог арифмов»
(1614). Первые т аблицы дес ятичных лог арифмов опубли-
к овал Г енри Бригс (1617), поэтому на Западе дес ятичные
лог арифмы часто называют бригсовыми. Знак лог ариф-
ма по явилс я почти о дновременно с первыми лог арифми-
ческими т аблицами: Log – у Иог ана Кеплера (1624) и Г ен-
ри Бригса (1631), log – у Бонавентуры Кавальери (1632).
В 1619 г . Дж он Спайделл сост авил т аблицу натуральных
лог арифмов, т . е. лог арифмов с числом 𝑒 в основании, но
сам термин «натуральный лог арифм» ввели позднее Пьет-
ро Менголи (1659) и Ник олас Мерк атор (1668).
Уильям Отред (1622) и Эдмунд Унгейт (1620) изобрели ло-
г арифмическую линейку – счетное мех аническ ое у строй-
ство, служившее к альку лятором вплоть до середины XX в.
В Р оссии первые т аблицы лог арифмов по явились при уча-
стии Леонтия Филипповича Магницк ого (1703). Современ-
ное определение лог арифма дал Леонар д Эйлер в книге
«Введение в анализ беск онечных» (1748). До к онца XIX в.
16
математики располаг али основание лог арифма то левее и
выше log , то над ним, пок а не пришли к привычной для
нас символик е log𝑎𝑏 . Обозна чение « 𝑙𝑛 » для натурального
лог арифма ввел Аль фред Прингс х ейм (1893).
Матрица(︁
𝐴=⎛
⎜⎜⎝𝑎11𝑎12. . . 𝑎 1𝑛
𝑎21𝑎22. . . 𝑎 2𝑛
. . . . . . . . . . . .
𝑎𝑚1𝑎𝑚2. . . 𝑎 𝑚𝑛⎞
⎟⎟⎠)︁
.
Понятие «матрица» (от лат . matrix – матк а, на чало,
источник) оформилось в середине XIX в. после работ
Артура Кэли и Уильяма Г амиль тона. На рубеж е
XIX–XX вв. Карл Вейерштрасс и Фер динанд Фробени-
у с зало жили основы теории. Поск ольку матрица по су-
ти предст авляет собой т аблицу , способы ее обозна чения
от личались тольк о формой ограничивающих ее слева
и справа ск обок. Помимо круг лых, используют квадрат-
ные или двойные вертик альные ск обки:
⎛
⎜⎜⎝𝑎11. . . 𝑎 1𝑛
. . . . . . . . .
𝑎𝑚1. . . 𝑎 𝑚𝑛⎞
⎟⎟⎠,⎡
⎢⎢⎣𝑎11. . . 𝑎 1𝑛
. . . . . . . . .
𝑎𝑚1. . . 𝑎 𝑚𝑛⎤
⎥⎥⎦,⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦𝑎11. . . 𝑎 1𝑛
. . . . . . . . .
𝑎𝑚1. . . 𝑎 𝑚𝑛⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦.
СИМВОЛЫ 17
Мнимая единица (𝑖 ). Величина 𝑖 , квадрат к оторой
равен−1 , т . е. 𝑖2=−1 , впервые упоминаетс я в тру де
Дж ераламо Кар дано «Велик ое иску сство, или об алгеб-
раических правилах» (1545). Символ 𝑖 для обозна чения
мнимой единицы ввел Леонар д Эйлер (1794), взяв первую
букву латинск ого слова imaginarius , к оторое перево дитс я
к ак «мнимый» .
Неравенство (< ,> ,≤ ,≥ ). Знаки строгого неравен-
ства < (меньше) и > (больше) впервые по явились
в изданном посмертно сочинении Т омаса Хэрриот а (1632),
а знаки≤ (меньше или равно) и ≥ (больше или равно)
предло жил Дж он Валлис (1670). Р анее Альберт Жирар
предлаг ал символ 𝑓𝑓 в к а честве знак а «больше»
иS в к а честве знак а «меньше» .
Норма (||𝑥|| ). Знак «нормы» (от лат . norma – правило)
ввел Эр х ар д Шмидт (1908) для обозна чения функциона-
ла, заданного на векторном пространстве и обобщающего
понятие длины вектора или мо ду ля числа.
Обратные гиперболические функции (𝑎𝑟𝑠ℎ ,
𝑎𝑟𝑐ℎ ,𝑎𝑟𝑡ℎ ,𝑎𝑟𝑐𝑡ℎ ,𝑎𝑟𝑠𝑒𝑐ℎ и𝑎𝑟𝑐𝑠𝑐ℎ ). Известны
т акж е к ак ареафункции. Названия обратных функций по-
лучаютс я из названий соответствующих гиперболических
путем добавления прист авки «ар» , а обозна чения из обо-
зна чений гиперболических функций – путем добавления
18
«ar» (от лат . ar e a – площадь).
Обратные тригонометрические функции
(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 ).
Названия обратных получаютс я из названий соответству-
ющих тригонометрических функций путем добавления при-
ст авки «арк» (от лат . ar cus – лук, дуг а). Это связано
с тем, что геометрический смысл обратных тригономет-
рических функций – длины дуг единичной окружности.
Обозна чения обратных функций получаютс я из обозна-
чений соответствующих тригонометрических функций пу-
тем добавления 𝑎𝑟𝑐 . Т акую символику ввел Карл Шеффер
и по ддер ж ал Жозеф Луи Лагранж.
Объединение мно ж еств (⋃︀). Знак ввел Джузеп-
пе Пеано (1888). Запись 𝐴⋃︀𝐵 чит аетс я к ак «объединение
мно ж еств 𝐴 и𝐵 » . Объединение системы мно ж еств {𝐴𝑖} ,
г де𝑖= 1,2, . . . 𝑛 , обозна чают𝑛⋃︁
𝑖=1𝐴𝑖 .
Оператор Г амиль тона (▽=𝜕
𝜕𝑥𝑖+𝜕
𝜕𝑦𝑗+𝜕
𝜕𝑧𝑘 ).
Оператор и символ ▷ для его обозна чения ввел Уильям Г а-
миль тон (1853). Он ж е назвал этот символ словом
«ат лед» («дель т а» , прочит анное наоборот). Питер Г атри
Тэйт поверну л «ат лед» на 90𝑜и получил символ ▽ , за
к оторым и закрепилось название «оператор Г амиль тона» .
Оливер Хевисайд, а вслед за ним и другие ученые ст али
СИМВОЛЫ 19
называть его «набла» (древ. греч. 𝜈𝛼𝛽𝜆𝛼 – арфа).
Оператор Лапласа (Δ𝜙=𝜕2𝜙
𝜕𝑥2+𝜕2𝜙
𝜕𝑦2+𝜕2𝜙
𝜕𝑧2 ).
Ввел Р оберт Мерфи (1833). Оператор Лапласа Δ т акж е
называют лапласианом, а уравнение Δ𝜙= 0 – уравнением
Лапласа.
Определитель(︁
𝑑𝑒𝑡(𝐴),|𝐴|,⃒⃒⃒⃒⃒⃒𝑎11. . . 𝑎 1𝑛
. . . . . . . . .
𝑎𝑛1. . . 𝑎 𝑛𝑛⃒⃒⃒⃒⃒⃒)︁
.
Т еория определителя создана на рубеж е XIX–XX вв.
Алек сандром Вандермондом, Пьером Симоном Лапласом,
Огюстеном Коши, Карлом Як оби и др. Обозна чение 𝑑𝑒𝑡(𝐴)
определителя матрицы A проис х о дит от лат . determinator
– определяющий, у ст анавливающий. Обозна чение в виде
матрицы, ограниченной двумя вертик альными черт ами,
ввел Альберт Кэли (1841).
Ортонормированный базис (𝑖,𝑗,𝑘 ). Т ермин про-
изошел от греч. orthos – пр ямой. Система трех векторов
единичной длины 𝑖,𝑗,𝑘 , направленных вдоль осей OХ, O Y
и OZ дек артовой системы к оор динат . Обозна чения 𝑖,𝑗,𝑘
в первой половине XIX в. на чал применять Уильям
Г амиль тон, а сам термин «орт» ввел в 1892 г . Оливер
Хевисайд.
20
Отрицание (𝐴,∼𝐴 и¬𝐴 ). Знак отрицания 𝐴
ввели Дж ор дж Бу ль и Чарльз Пирс (1867). Это обозна че-
ние приняли Ог астес де Морг ан и Эрнст Шредер. В 1897 г .
Джузеппе Пеано использовал символ «тильда» ( ∼ ). Знак
¬𝐴 ввел Аренд Г ейтинг (1930). В язык ах программирова-
ния используют знаки «!» , « ∼ » и «NOT» .
П–С 10⇔ 28
Параллельность (‖ ). Знак известен с античных
времен, его использовали Г ерон и Папп Алек сандрийский,
но до по явления «знак а равенства» черточки располог а-
лись горизонт ально. В современном виде знак по явилс я
в посмертном издании работ Уильяма Оутреда (1677).
Пересечение мно ж еств (⋂︀). Знак ввел Джузеп-
пе Пеано (1888) для обозна чения общей части двух мно-
ж еств. Запись 𝐴⋂︀𝐵 чит аетс я к ак «пересечение мно ж еств
𝐴 и𝐵 » . Пересечение системы мно ж еств {𝐴𝑖} обозна ча-
ют к ак𝑛⋂︁
𝑖=1𝐴𝑖 . Интересно, что в стенографическ ой систе-
ме Дж она Уиллиса (1602) символ⋂︀обозна чал звук 𝑏 , а в
письменности Древнего Египт а – число 10.
СИМВОЛЫ 21
Перпендику лярность (⊥ ). Знак⊥ для отношения
между двумя пр ямыми, двумя плоск ост ями или
пр ямой и плоск остью ввел Пьер Эригон (1634).
Плюс, мину с (+ ,− ,± ,∓ ). Знаки + ,− ,± и∓
могут сто ять перед числом или выраж ением, ск обк ой,
знак ом функции, знак ом ∞ . Символ «− » меняет знак вы-
раж ения на противополо жный. До по явления этого знак а
Ник оля Шюк е (1484) предлаг ал ст авить перед отрицатель-
ным числом знак «m» , служивший тог да «знак ом вычит а-
ния» . Знаки± и∓ ввел в XVI I в. Альберт Жирар для
сокращения записей. Например, запись 𝑥1,2=±2∓√
3
равносильна записи 𝑥1= 2−√
3 и𝑥2=−2 +√
3 .
Эти ж е знаки применяют для задания диапазона зна чений
величины. Т ак, фраза «ширина ру лона 120±0,3 см» озна-
чает , что ширина принимает зна чения из интервала
от119,7 до120,3 см.
Предел(︁
lim
𝑛→∞𝑎𝑛,lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥))︁
. Понятие «предел»
сформировалось в работ ах Исаак а Ньютона (вторая поло-
вина XVI I в.), Леонар да Эйлера и Жозефа Луи Лагран-
ж а (XVI I I в.). Строгое определение предела последова-
тельности дали Бернар д Больцано (1816) и Огюстен Ко-
ши (1821). Символ lim (лат . limes – граница) ввел Симон
Анту ан Жан Люилье (1787). Сади Карно (1813) использо-
22
вал обозна чение 𝐿𝑓(𝑥) . С 1853 г . Уильям Г амиль тон
на чал писать выраж ение lim в более привычном для нас
виде. Близк ое к современному обозна чение нах о дим
у Вейерштрасса, о днак о вместо стрелки он ст авил знак
равенства. Стрелк а по явилась в на чале XX в. у Г о дфрида
Хар ди (1908) и других математик ов. Еще в XIX в. Эду ар д
Г ейне и Огюстен Коши пришли к понятию о дносторонних
пределов: lim
𝑥→𝑎−0𝑓(𝑥) иlim
𝑥→𝑎+0𝑓(𝑥) .
Принадлежность (𝑎∈𝐴 ). Чит ают: « 𝑎 принадле-
жит𝐴 » или « 𝑎 являетс я элементом 𝐴 » . Знак впервые ст ал
использовать Джузеппе Пеано (1895). Символ ∈ проис х о-
дит от первой буквы греческ ого слова 𝜖𝜎𝜏𝜄 – быть. Если
𝑎 не являетс я элементом мно ж ества 𝐴 , пишут 𝑎 /∈𝐴 .
Приращение (Δ ). Обозна чение приращения функции
или переменной символом Δ ввел Иог анн Берну лли,
веро ятно, к ак греческий вариант буквы d , первой буквы
лат . differ entia — разность. После работ Леонар да Эйлера
(1755) символ ст ал общепринятым.
Произведение(︁𝑛∏︁
𝑖=0𝑎𝑘=𝑎1·𝑎2·. . .·𝑎𝑛)︁
.
Символ∏︀ввел в 1812 г . Карл Г а у сс.
СИМВОЛЫ 23
Произведение векторное(︀
[𝑎,𝑏] или𝑎×𝑏)︀
.
Ввел Уильям Г амиль тон в 1846 г .
[𝑎,𝑏] =𝑎×𝑏= (𝑎𝑦𝑏𝑧−𝑎𝑧𝑏𝑦, 𝑎𝑧𝑏𝑥−𝑎𝑥𝑏𝑧, 𝑎𝑥𝑏𝑦−𝑎𝑦𝑏𝑧).
[𝑎,𝑏] =𝑎×𝑏=⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒𝑖𝑗𝑘
𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧
𝑏𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒, г де{︃
𝑎= (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧),
𝑏= (𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧).
Произведение ск алярное(︀
(𝑎,𝑏) или𝑎·𝑏)︀
.
Ввел Уильям Г амиль тон в 1846 г . Сна чала ск алярное про-
изведение обозна чали к ак <𝑎,𝑏 > , а Петер Дирихле писал
<𝑎|𝑏 > . Со временем перешли от уг ловых к круг лым ск об-
к ам: (𝑎,𝑏) =𝑎·𝑏=𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦+𝑎𝑧𝑏𝑧=|𝑎|·|𝑏|·cos̸(︀
𝑎𝑏)︀
,
г де𝑎= (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧),𝑏= (𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧).
Произво дная(︁
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥,𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥), 𝑓′, 𝑦′,
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥, 𝑦′′,𝑑2𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2, 𝑦(𝑛),𝜕𝑓(𝑥,𝑦,𝑧 )
𝜕𝑥𝜕𝑧)︁
. Впервые отношения
беск онечно малых величин𝑑𝑦
𝑑𝑥ст ал рассматривать
Г отфрид Лейбниц (1675). В 1797 г . Жозеф
Луи Лагранж ввел термин «произво дная» и обозна чение 𝑦′.
Принят ая и по сей день в теоретическ ой мех аник е манера
обозна чать произво дную по времени точк ой над буквой
( ˙𝑦) идет от Ньютона (1691). Ру сский термин «произво д-
24
ная» впервые употребил Василий Иванович Виск оватов
(XVI I I в.). Обозна чения частных произво дных первого по-
р ядк а𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥и𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦ввел Адриен Мари Леж андр (1786),
𝑓′
𝑥, 𝑓′
𝑦 – Жозеф Луи Лагранж (1797), частных произво д-
ных второго пор ядк а𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2,𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦– Карл Гу ст ав Як об
Як оби (1837).
Проценты (% ). Количество сотых долей нек оторого
целого. Т ермин проис х о дит от лат . pr o c entum , что
в перево де зна чит «на сто» . Г овор ят , что современное обо-
зна чение по явилось в резу ль т ате опечатки в книге Матье
де ла Порт а «Рук ово дство по к оммерческ ой арифмети-
к е» , изданной в 1685 г . в Париж е. Наборщик принял «cto»
(сокращение c ento ) за дробь и напечат ал « % » .
Пу стое мно ж ество (∅ ). Символ впервые по явилс я в
1939 г . в книг ах Ник оля Бурбаки (к оллективный псевдо-
ним группы французских математик ов). Насто ящий автор
знак а∅ – Андре Вейль, о дин из участник ов группы.
Р авенство (= ). Знак ввел Р оберт Р ек ор д (1557),
к оторый говорил, что «ник акие другие две вещи не мо-
гут быть более равными» . До Р ек ор да равенство обозна-
чали словесно, например, по французски – est e gale . Еще
раньше Диофант употреблял букву 𝜄 (от греч. isos – ра-
венство). В Европе знак получил распространение тольк о
на рубеж е XVI I—XVI I I вв. благо дар я тру дам Вильгельма
СИМВОЛЫ 25
Лейбница. Для отрицания равенства Леонар д Эйлер ис-
пользовал знак̸= . Знак приближ енного равенства ≈ ввел
Зигмунд Гюнтер (1882).
Ск обки ((),[],{}). В математик е ск обки по явились
в XVI в. к ак знаки агрег ации, т . е. группировки частей
сло жных математических выраж ений. Р анее Ник оля
Шюк е (1484) выраж ение, к оторое следовало заключить
в ск обки, по дчеркивал горизонт альной линией. Квадрат-
ные ск обки ввел Р афаэль Бомбелли (1550). Первона чаль-
но Бомбелли вместо левой ск обки использовал букву L,
а вместо правой – эту ж е букву , повернутую на 180𝑜.
Никк оло Т арт алье в книге «Общее исследование чисел
и мер» (1556) применил круг лые ск обки, а Франсу а Ви-
ет (1595) ввел фигурные. В XVI I в. Р ене Дек арт заклю-
чал выраж ения не между ск обок, а между двумя точк ами,
а Уильям Отред – между двумя двоеточиями. Ок онча-
тельно ск обки к ак знаки агрег ации закрепились в матема-
тик е после работ Вильгельма Лейбница и Леонар да
Эйлера. В последующие столетия область применения ск о-
бок существенно расширилась. В XIX в. Г еорг Кантор
ст ал применять фигурные ск обки для задания мно ж еств,
например:{𝑥∈R|𝐴(𝑥)} – мно ж ество вещественных чисел,
обладающих свойством 𝐴(𝑥) ;{−2,0,3,9} – мно ж ество, со-
сто ящее из чисел −2,0,3,9 . Круг лые и квадратные ск об-
26
ки на чали применять для обозна чения соответственно от-
крытых и замкнутых интервалов. Перед левой или после
правой меж строчной фигурной ск обки ст али писать фраг-
менты тек ст а, относ ящиес я к о всем о хва ченным ск обк ой
строк ам.
Сло ж ение, вычит ание (+ ,− ). До XV в. сло ж ение
обозна чалось буквой p (от лат . plus – больше) или латин-
ским словом et (союз «и»), а вычит ание – буквой m (от
лат . minus – менее, меньше). В математическ ой литерату-
ре эти знаки ( + ,− ) впервые по явились в работе Иог анна
Видмана «Быстрый и красивый счет для всего купече-
ства» , вышедшей в 1489 г . в Лейпциге. После этого новые
символы быстро распространились во всей Европе. Еще
до Видмана торговцы вином маленькими черточк ами от-
мечали, ск ольк о мер вина они про дали из бочки. А к ог да
добавляли в бочку новые меры, они перечеркивали столь-
к о черточек, ск ольк о мер восст ановлено. Т акж е есть пред-
поло ж ение, что знак «+» произошел от амперсанда (&).
Со дер житс я, со дер жит (𝐵⊂𝐴 и𝐴⊃𝐵 ).
Чит ают: «мно ж ество B со дер житс я в мно ж естве A» , «мно-
ж ество A со дер жит мно ж ество B» , «мно ж ество B являет-
с я по дмно ж еством мно ж ества A» , «мно ж ество B включе-
но в мно ж ество A» , «мно ж ество A со дер жит мно ж ество
B» и «мно ж ество A включает мно ж ество B» . Символы
СИМВОЛЫ 27
«со дер житс я» (⊂ ) и «со дер жит» (⊃ ) ввел Джузеппе Пеано
(1888). Нек оторые авторы по аналогии со знак ами нестро-
гого неравенства, определенными на числовых мно ж ествах,
используют символы «нестрого со дер житс я» ( ⊆ ) и «нестро-
го со дер жит» (⊇ ). В т ак ом случае знак ами ⊂ и⊃ они обо-
зна чают соответственно отношения «строго со дер житс я»
и «строго со дер жит» , т . е. о дно мно ж ество со дер жит дру-
гое, но не совпадает с ним.
Сочет ания (𝐶𝑘
𝑛 или(︀𝑛
𝑘)︀
). Количество способов,
к оторыми мо жно выбрать 𝑘 элементов из мно ж ества, со-
дер ж ащего 𝑛 различных элементов,
𝐶𝑘
𝑛=(︂𝑛
𝑘)︂
=𝑛!
𝑘!·(𝑛−𝑘)!=𝑛·(𝑛−1). . .(𝑛−𝑘+ 1)
𝑘!.
Т ермин «сочет ание» (лат . c ombination ) в современном смыс-
ле впервые употребил Блез Паск аль (1653). Обозна чение
(𝑛
𝑘) введено Леонар дом Эйлером (1778) в виде(︀𝑛
𝑘)︀
или[︀𝑛
𝑘]︀
,
а𝐶𝑘
𝑛 применил в 1880 г . Р оберт Поттс к ак 𝐶𝑘 .
Сравнимость по мо ду лю (𝑎≡𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛 ) ).
Cравнения по мо ду лю впервые исследовал Карл Г а у сс
в работе «Арифметические исследования» (1801). Если раз-
ность целых чисел (𝑎−𝑏) без ост атк а делитс я на 𝑛 ,
пишут 𝑎≡𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛 ) и говор ят , что числа 𝑎 и𝑏 сравнимы
по мо ду лю 𝑛 .
28
Степень (𝑎𝑏). Современный способ записи степени 𝑎𝑏,
г де𝑎 – основание степени, а 𝑏 – пок азатель степени, впер-
вые применил Р ене Дек арт (1637) для натуральных сте-
пеней в своей «Г еометрии» . В 1676 г . Исаак Ньютон рас-
пространил эту символику на отрицательные и дробные
пок азатели. До него пыт ались расширить мно ж ество по-
к азателей степени Симон Стевин, Дж он Валлис и Альберт
Жирар.
Сумма(︃∑︁
𝑖𝑎𝑖,𝑛∑︁
𝑖=1𝑎𝑖 и∞∑︁
𝑖=1𝑎𝑖)︃
. Знак ввел в 1755 г .
Леонар д Эйлер.𝑛∑︁
𝑖=1𝑎𝑖=𝑎1+𝑎2+. . .+𝑎𝑛 .
Т–Я 20⇔ 34
Т ог да и тольк о тог да (𝐴⇔𝐵 ,𝐴 𝑖𝑓𝑓 𝐵 ). Чит ает-
с я: «A тог да и тольк о тог да, к ог да B» или «A необ х о димо
и дост аточно для B» . Использу емая в анг ло язычной ли-
тературе аббревиатура iff проис х о дит от анг л. if and only
if («если, и тольк о если»). В ру сск о язычной литературе
встречаетс я ее аналог ттт .
Т о ждество (≡ ). Знак ввел Бернар д Риман (1857).
Чит аетс я «то ждественно» или «то ждественно равно» .
СИМВОЛЫ 29
Тригонометрические функции (𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠, 𝑠𝑒𝑐,
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐, 𝑡𝑔, 𝑐𝑡𝑔 ). Сину с у индийских математик ов перво-
на чально называлс я «ар х а-джива» , что озна чает «полуте-
тива» (лук а), то есть половина х ор ды, ст ягивающей дан-
ную дугу . У арабских математик ов термин закрепилс я к ак
«джиба» . При перево де арабских сочинений
на латынь европейские перево дчики прочит али «джиба»
к ак «дж айб» , что на арабск ом язык е озна чало «залив» . Т а-
ким образом, функцию назвали латинским словом sinus ,
что перево дитс я «залив» . Обозна чения 𝑠𝑖𝑛 и𝑐𝑜𝑠 ввел
в середине XVI I в. Уильям Оутред. Косину с проис х о дит
от лат . c omplementi sinus – дополнительный сину с. Р анее
Т омас Финк е ввел термины «сек анс» (лат . se c ans –
секущий) и «к осек анс» , к оторые мы обозна чаем 𝑠𝑒𝑐
и𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 . В Западной Европе «к осек анс» принято обозна-
чать𝑐𝑠𝑐 . Т ермин «т ангенс» проис х о дит от лат . tangens
– к асающийс я, впервые по явилс я в книге Т омаса Финк е
«Г еометрия круг лого» (1583). Обозна чения 𝑡𝑔 и𝑐𝑡𝑔 ,
введенные Иог анном Берну лли в XVI I I в., получили рас-
пространение в Г ермании и Р оссии. В других странах при-
няты обозна чения 𝑡𝑎𝑛 ,𝑐𝑜𝑡 , предло ж енные в на чале XVI I в.
Альбером Жираром. Т ермин «тригонометрические
функции» ввел Г еорг Симон Клюгель (1770).
30
Угол (̸𝐵 ,̸𝐴𝐵𝐶 ,̸𝛼 или̸(𝑎𝑏) ). Обозна чение пред-
ло жил Пьер Эригон (1634).
Умно ж ение (× ,· или* ). Косой крест ввел
Уильям Отред (1631). Прежде использовали букву М и
другие знаки. В 1634 г . Пьер Эригон предло жил пр ямо-
угольник, в 1659 г . Иог анн Р ан – звездочку , к оторая
и сейчас широк о применяетс я в язык ах программирова-
ния. В к онце XVI I в. Г отфрид Вильгельм Лейбниц ввел
в употребление точку . До него в XV в. т ак ая символик а
встречалась у Р егиомонт ана и Т омаса Хэрриот а.
Факториал (𝑛! = 1·2·3·. . .·𝑛 ). Восклицатель-
ный знак по явилс я в Анг лии в XV в. и называлс я sign of
admir ation or exclamation – знак вос хищения или воскли-
цания. По о дной из теорий символ «!» произошел от латин-
ск ого слова для обозна чения радости Io . Т ермин «факто-
риал» (лат . factorialis – умно ж ающий) ввeл Луи
Франсу а Анту ан Арбог аст (1800), а обозна чение 𝑛! – Кри-
стиан Крамп (1808). В 1916 г . Совет Лондонск ого мате-
матическ ого общества рек омендовал чит ать символ 𝑛! к ак
«n-вос хищение» . В насто ящее время распространен т акж е
СИМВОЛЫ 31
знак двойного факториала
𝑛! ! =⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩2·4·6·. . .·𝑛=𝑛
2∏︁
𝑘=12𝑘 – для четных 𝑛;
1·3·5·. . .·𝑛=𝑛+1
2∏︁
𝑘=1(2𝑘−1) – для нечетных 𝑛.
Целая часть числа ([𝑥] ). Целой частью [х] числа
х называют наибольшее целое число, не превос х о дящее х.
Символ ввел Карл Г а у сс (1808). Целую часть т акж е обо-
зна чают термином «антье» (от фр. entier – целый), вве-
денным Адриеном Мари Леж андром (1798) о дновременно
со знак ом E(x).
Число 𝑒 . Основание натурального лог арифма, матема-
тическ ая к онст ант а, трансцендентное число. Ввел Леонар д
Эйлер (1736). Конст анту иног да называют числом
Эйлера. Ее зна чение впервые получил швейцарский
математик Як об Берну лли в х о де решения зада чи
о предельной величине процентного до х о да:
𝑒= lim
𝑛→∞(︂
1 +1
𝑛)︂𝑛
= 2,71828182845904523 . . . .
Поск ольку число по явилось к ак основание пок азательной
функции, обозна чение, возмо жно, проис х о дит от первой
32
буквы лат . exp ono – пок азывать.
Число 𝜋 . Отношение длины окружности к диаметру ,
математическ ая к онст ант а, трансцендентное число. Впер-
вые обозна чение 𝜋 использовал Дж онс Уильям (1706) к ак
первую букву греч. слова 𝜋𝜀𝜚𝜄𝜙𝜀𝜚𝜀𝜄𝛼 – перефирия, окруж-
ность. Общепринятым обозна чение ст ало тольк о после
работ Леонар да Эйлера. Р анее к онст анту называли
«лу доль фовым числом» по имени Лю доль фа ван Цейле-
на, нашедшего в 1596 г . 35 дес ятичных знак ов 𝜋 . До этого
благо дар я тру дам аль-Каши (XV в.) были известны толь-
к о 16 цифр: 𝜋≈3.141592653589793 .
Числовые мно ж ества (N,Z,Q,J,R,C,H ).
N – мно ж ество натуральных чисел (от лат . natur alis –
естественный). Т акж е рассматривают N0=N∪{0} – рас-
ширенный натуральный р яд; Z – мно ж ество целых чисел;
Q – мно ж ество рациональных чисел (от лат . r atio –
отношение, дробь). Обозна чение Q идет от первой буквы
анг л. слова quotient – частное. Т акж е рассматривают Q+–
мно ж ество поло жительных рациональных чисел;
J – мно ж ество иррациональных чисел, т . е. чисел, не пред-
ст авимых в виде отношения двух целых; R=Q∪J – мно-
ж ество вещественных чисел; C – мно ж ество к омплек сных
чисел; H – мно ж ество кватернионов. Имеет место отноше-
ниеN⊂Z⊂Q⊂R⊂C⊂H .
СИМВОЛЫ 33
Что и требовалось док азать ( ). Знак ввел для
обозна чения ок ончания док азательства Дональд
Эрвин Кнут (1978) и назвал его «символом Халмоша» (по
имени Пола Ричар да Халмоша), х от я последний писал
знак . До Кнут а, на чиная с эпо хи Возро ждения, ок он-
чание док азательства обозна чали к ак Q.E.D., от лат . Quo d
Er at Demonstr andum – «что и требовалось док азать» . Еще
раньше по добная аббревиатура применялась в античном
мире Евклидом, Ар химедом и Аристотелем. В Р оссии пи-
сали «ч. т . д.» . Иног да применяют с той ж е целью правый
треугольник ( ◁ ) или две к осые черты ( // ).
Эквиваленция, эквивалентность (𝐴↔𝐵 ,
𝐴⇔𝐵 ,𝐴≡𝐵 ). При о динак овом обозна чении это
разные понятия: эквиваленция – логическ ая операция,
а эквивалентность – отношение на мно ж естве. Т ермины
проис х о дят от лат . ae quus – равный – и valeus – действен-
ный. Знак «≡ » ввел Бертран Р ассел (1908). Знак с двойной
стрелк ой произошел от знак а имплик ации.
Биографические справки
А–Г 28⇔ 40
Аль-Коши Гияс-ад-дин Дж амад ибн Масу д
(1380–1420) – узбек ский математик и астроном, о дин из
рук ово дителей Самарк андск ой обсерватории [39, с. 11–449],
[5, с. 239–246].
Арбог аст Луи Франсу а Анту ан (1759–1803) – фран-
цузский математик, член Париж ск ой и иностранный член-
к орреспондент Петербургск ой ак адемии на ук, теоретик
дифференциального и интегрального исчисления
[48, с. 100, 266].
Арг ан Жан Р обер (1768–1822) – французский математик-
самоучк а. В 1806 г ., управляя книжным маг азином
в Париж е, опублик овал идею геометрическ ого предст ав-
ления к омплек сных чисел [9, с. 20].
Аристотель (384–322 г . до н. э.) – древнегреческий фило-
соф, создатель целостной системы на учных знаний в обла-
сти социологии, философии, политики, логики и физики;
воспит атель Алек сандра Мак едонск ого [3], [46, с. 60–61].
Ар химед (287–212 г . до н. э.) – древнегреческий матема-
тик, физик и инж енер, автор мно ж ества открытий
в геометрии, зало жил основы мех аники и гидрост атики.
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 35
[5, с. 29–41], [10, с. 74–86], [18, с. 287–312], [26], [37], [49],
[66], [72, с. 91–118], [89, с. 22–39].
Берну лли Иог анн (1667–1748) – швейцарский матема-
тик, мех аник, вра ч и филолог , о дин из первых разработчи-
к ов математическ ого анализа, член Париж ск ой, Берлин-
ск ой, Петербургск ой ак адемий на ук и Лондонск ого
к оролевск ого общества. Образование получил в Базель-
ск ом университете [5, с. 111–115], [73].
Берну лли Як об (1655–1705) – швейцарский математик,
член Париж ск ой и Берлинск ой ак адемий на ук, о дин из
основателей теории веро ятностей и математическ ого
анализа. Ст арший брат Иог анна Берну лли. Ок ончил
Базельский университет [10, с. 226–228], [47, с. 271], [73].
Больцано Бернар д (1781–1848) – чешский математик,
философ и теолог . Один из основополо жник ов теории
мно ж еств и современной теории вещественных чисел.
Ок ончил философский факу ль тет Карлового университе-
т а [48, с. 243–246], [57], [59].
Бомбелли Р афаэль (1526–1572) – ит альянский матема-
тик, инж енер-гидравлик, о дним из первых ввел к омплек с-
ные числа и разработ ал базовые правила действия с ни-
ми, перевел и опублик овал «Арифметику» Диофант а, что
дало первый толчок к развитию теории чисел в Европе.
Образование получил самосто ятельно [46, с. 296–298].
36
Бригс Г енри (1561–1630) – анг лийский математик, автор
первых т аблиц дес ятичных лог арифмов. Училс я в Кем-
бридж е. В честь Бригса в 1935 г . назван кратер на Луне
[10, с. 163–164], [47, с. 155–157].
Бу ль Дж ор дж (1815–1864) – анг лийский математик
и логик, о дин из основополо жник ов математическ ой
логики. Р о дилс я в семье бедного ремесленник а. Матема-
тику изучал самосто ятельно [69, с. 22–27], [82, с. 313–346].
Бурбаки Ник оля (1935) – псевдоним группы математи-
к ов, работ ающей над серией книг «Элементы математи-
ки» . В к а честве псевдонима взят а фамилия французск о-
го генерала Шарля Дени Бурбаки, участник а наполеонов-
ких и р яда других войн. Книги о хватывают р яд разделов
современной математики. Последний выпу ск «Алгебраи-
ческ ая топология» датиру етс я 2016 г . Т очный сост ав груп-
пы Бурбаки всег да дер ж алс я в секрете [15].
Валлис Дж он (1616–1703) – анг лийский математик, о дин
из предшественник ов математическ ого анализа. После ок он-
чания Кембридж ск ого университет а служил священник ом
анг лик анск ой церкви. Не тольк о самосто ятельно изучал
математику , но и вел собственные на учные исследования.
В перио д революции занималс я расшифровк ой перехва-
ченных писем сторонник ов к ороля. После рест аврации мо-
нар хии был священник ом при дворе Карла I. Участвовал
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 37
в создании Лондонск ого к оролевск ого общества. С 1649 г .
возг лавлял в Ок сфор де к афедру геометрии [10, с. 208–210],
[40, с. 11–100], [44, с. 146–163].
Вандермонд Алек сандр Т еофил (1735–1796) – фран-
цузский музык ант и математик, автор работ по линей-
ной алгебре, теории определителей, теории музыки, член
Париж ск ой ак адемии на ук. Математическ ое образование
получил самосто ятельно [48, с. 68–69].
Вейерштрасс Карл (1815–1897) – немецкий математик,
основополо жник современного математическ ого анализа.
Четыре го да училс я на юридическ ом факу ль тете Боннск о-
го университет а, г де заработ ал репут ацию дуэлянт а
и от личного фехтовальщик а. Увлечение математик ой по-
бу дило Вейерштрасса покинуть университет , после чего
он длительное время препо давал в гимназии небольшого
провинциального горо дк а Дейл-Кроне. После того к ак за
р яд на учных работ Кенигсбергский университет присвоил
ему степень доктора без защиты, Вейерштрасс получает
должность профессора в Берлинск ом промышленном ин-
ституте, а затем ст ановитс я эк страор динарным профессо-
ром Берлинск ого университет а [10, с. 259–251], [48, с. 312],
[52, с. 334], [61].
Вейль Г ерман Кла у с Гуго (1885–1955) – немецкий
математик и физик-теоретик. Ок ончил Г еттингенский
38
университет . Автор работ по топологии, теории чисел, ма-
тематическ ой логик е и др. [19], [20], [91].
Видман Иог анн (1460–1505) – немецкий математик,
автор книги «Быстрый и приятный счет для всех тор-
говцев» (1489), в к оторой впервые по явились знаки « + »
и «− » . Ок ончил Лейпцигский университет [9, с. 100],
[46, с. 290–291].
Виет Франсу а (1540–1603) – французский математик.
Р о дилс я в семье прокурора. Зак ончил университет
в Пу атье, после чего занималс я адвок атск ой практик ой,
состо ял советник ом при к ороле Г енрих е I I I, а затем Г ен-
рих е IV. Тру ды Виет а по алгебре приобрели широкую из-
вестность в Европе. Увлечение математик ой о дин раз по-
мог ло Виету выполнить важное поручение Г енрих а IV:
расшифровать переписку испанских агентов во Франции
[10, с. 152–154], [46, с. 308–314], [89, с. 70–73].
Виск оватов Василий Иванович (1779–1812) – ру сский
математик, ак адемик Петербургск ой ак адемии на ук. Ок он-
чил Артиллерийский и Инж енерный шлях етский к адет-
ский к орпу с, впоследствии переименованный во Второй
к адетский императора Петра Велик ого к орпу с [9, с. 104].
Г амиль тон Уильям Р оуэн (1805–1865) – ирландский
математик, мех аник-теоретик, физик-теоретик, создатель
теории кватернионов, векторного анализа и вариационно-
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 39
го исчисления. Ок ончил Дублинский университет
[9, с. 118], [10, с. 263–264], [77], [89, с. 198–201].
Г а у сс Карл Фридрих (1777–1855) – немецкий матема-
тик, мех аник, физик, астроном и гео дезист , иностранный
член Шведск ой и Р оссийск ой ак адемий на ук, Лондонск ого
к оролевск ого общества. Часто Г а у сса называют
«к оролем математики» . Дед Г а у сса был бедным крестья-
нином, отец – садовник ом и к аменщик ом. Образование по-
лучил в Г еттингенск ом университете [5, с. 178–217],
[10, с. 245–250], [16], [22, с. 84–89], [28, с. 326–381].
Г ейне Г енрих Эду ар д (1821–1881) – немецкий матема-
тик, автор работ по теории потенциала, теории функций
и теории дифференциальных уравнений. Училс я в Г еттин-
генск ом и Берлинск ом университет ах [9, с. 124].
Г ейтинг Аренд (1898–1980) – голландский математик
и логик, исследователь оснований математики, выдающий-
с я предст авитель интуиционизма, член Нидерландск ой ак а-
демии на ук. Ок ончил Амстер дамский университет
[9, с. 124–125].
Г енцен Г ер х ар д Карл Эрих (1909–1945) – немецкий
математик и логик, внесший большой вклад в основания
математики и теорию док азательств. Ок ончил Г еттинген-
ский университет [9, с. 128].
40
Г ерон Алек сандрийский (I в. н. э.) – греческий мате-
матик и мех аник, автор сочинений по геометрии, оптик е,
мех аник е и гидрост атик е [9, с. 129–130], [46, с. 141].
Гильберт Давид (1862–1943) – выдающийс я немецкий
математик, член Берлинск ой, Г еттингенск ой и р яда дру-
гих ак адемий на ук, член Лондонск ого к оролевск ого обще-
ства, автор фундамент альных работ в различных разде-
лах математики. Одновременно с Альбертом Эйнштейном
вывел основные уравнения общей теории относительности
[9, с. 133], [21, с. 292–326], [42, с. 171–197], [79].
Д–О 34⇔ 49
Дек арт Р ене (1596–1650) – французский философ, мате-
матик, мех аник, физик и физиолог . Ок ончил иезуитский
к олледж Ла Флеш. С 1617 г . в офицерск ом чине нах о дил-
с я на военной службе в революционной Г олландии, затем
в Г ермании, сраж алс я за Прагу , принимал участие в осаде
крепости Ла-Р ошель. По возвращении во Францию был за-
по дозрен иезуит ами в ереси и потому вынужден переех ать
в Г олландию, г де в течение 20 лет им были написаны вы-
дающиес я на учные работы. Дек арт переработ ал матема-
тическую символику Виет а и создал новую, близкую к со-
временной. Введенная им «дек артова» система к оор динат
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 41
позволила у ст ановить соответствие между алгебраически-
ми уравнениями и широким классом кривых на плоск о-
сти. Задолго до Ньютона пришел к выво ду , что основным
видом движ ения являетс я движ ение по инерции, ввел по-
нятие «к оличество движ ения» и впервые сформу лировал
зак он со хранения движ ения [5, с. 42–55], [10, с. 180–188],
[22, с. 16–17], [67], [70], [89, с. 80–89].
Дж евонс Уильям Стенли (1835–1882) – анг лийский
эк ономист , ст атистик и философ-логик, основатель мате-
матическ ой шк олы в политическ ой эк ономик е и о дин из
основополо жник ов теории предельной полезности. Обра-
зование получил в Лондонск ом университетск ом к олледж е
[69, с. 27–30], [82, с. 347–351].
Диофант Алек сандрийский (I I I в. н. э.) – древнегрече-
ский математик, «отец» алгебры, автор книги
«Арифметик а» , посвященной нах о ждению поло жительных
рациональных к орней алгебраических уравнений [4],
[42, с. 63–103], [46, с. 144–153].
Дирихле Петр Гу ст ав Леж ен (1805–1859) – немецкий
математик, член Берлинск ой, Париж ск ой, Петербургск ой
и р яда других ак адемий на ук. Внес существенный вклад
в математический анализ, теорию функций и теорию чи-
сел [5, с. 228–238], [44, с. 179–189].
Евклид (I I I в. до н. э.) – древнегреческий математик,
42
автор первого из дошедших до нас тракт атов по матема-
тик е [38, с. 217–334].
Жирар Альберт (1595–1632) – французский математик.
Впервые дал геометрическ ое объяснение отрицательных
к орней уравнений (1629), привел в стройную систему
тригонометрию (1626) [9, с. 183].
Зено дот Эфесский (325-260 до н. э.) – древнегреческий
филолог и поэт , к омент атор Г омера [46, с. 139].
Кавальери Бенавентура (1598–1647) – ит альянский ма-
тематик, яркий предст авитель «геометрии неделимости» .
Математику изучал самосто ятельно [10, с. 200–203],
[47, с. 174–181], [86, с. 23–32].
Кантор Г еорг (1845–1918) – немецкий математик,
создатель теории мно ж еств. Училс я в Федеральном поли-
техническ ом институте г . Цюрих а, в Берлинск ом и Г еттин-
генск ом университет ах [78].
Кар дано Дж ероламо (1501–1576) – ит альянский
математик, инж енер, философ, медик и астролог . Ок он-
чил Паду анский университет . Счит алс я о дним из лучших
вра чей Европы. Его имя носит форму ла для нах о ждения
к орней кубическ ого уравнения и к ар данный вал [34].
Карно Ник оля Леонар Сади (1796–1832) – француз-
ский физик и математик. Ок ончил Политехническую
шк олу . Служил в инж енерном полку . Автор р яда
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 43
крупных работ по проективной геометрии [13],
[48, с. 198–201, 278–280], [62].
Кеплер Иог анн (1571–1630) – немецкий математик, аст-
роном, мех аник и оптик, первооткрыватель зак онов дви-
ж ения небесных тел Солнечной системы. Училс я в Тюбин-
генск ом университете [6], [7], [10, с. 194–199], [86, с. 10–23],
[88, с. 257–263], [89, с. 74–79].
Клиффор д Уильям Кинг дон (1845–1879) – анг лийский
математик и философ, член Лондонск ого к оролевск ого
общества. Ок ончил Тринити-к олледж Кембридж ск ого
университет а. Один из основополо жник ов векторного
анализа. Дал современное определение ск алярного произ-
ведения векторов. Впервые выдвину л о дну из основопола-
г ающих идей теории относительности, что материя и т яго-
тение являютс я про явлениями искривленности
пространства-времени [9, с. 226], [53].
Клюгель Г еорг Симон (1739–1812) – немецкий мате-
матик и физик, почетный член Петербургск ой ак адемии
на ук, с 1766 г . – профессор математики Г ельмштедтск ого,
а с 1788 г . – Г алльск ого университет а [48, с. 208].
Кнут Дональд Эрвин (1938) – америк анский ученый,
автор 19 монографий по программированию, создатель
издательск ой системы TEX.
44
Котс Р о дж ер (1682–1716) – анг лийский математик
и философ, автор р яда исследований по оптик е.
В своих исследованиях тесно сотру дничал с Исаак ом Нью-
тоном. Училс я в шк оле Святого Павла в Лондоне, а затем
в к ембридж ск ом Тринити-к олледж е [9, с. 241].
Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский матема-
тик и мех аник, член Париж ск ой ак адемии на ук,
Лондонск ого к оролевск ого общества, Петербургск ой и др.
ак адемий на ук, автор более 800 на учных работ . Внес огром-
ный вклад в ст ановление математическ ого анализа, мате-
матическ ой физики и мех аники сплошных сред. Училс я
в Политехническ ой шк оле, а затем в Шк оле мостов и до-
рог , нек оторое время работ ал инж енером путей сообщения
в Шербурге [9, с. 243–244], [10, с. 235–237], [43, с. 32–55].
Крамерс Хендрик Антон (1894–1952) – нидерланский
физик-теоретик и общественный деятель, член Нидерланд-
ск ой ак адемии на ук. Ок ончил Лейденский университет
[75, с. 191–219].
Крамп Кристиан (1760–1826) – французский матема-
тик, автор р яда работ по теории чисел, математическ ой
крист аллографии, алгебре и мех аник е. Предпринял попыт-
ку создания математическ ой мо дели кровообращения.
Получил медицинск ое образование в Страссбургск ом уни-
верситете, параллельно изучал математику и крист алло-
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 45
графию [9, с. 246], [48, с. 100].
Кэли Артур (1821–1895) – анг лийский математик,
автор более 700 работ , большая часть к оторых относит-
с я к линейной алгебре. Ок ончил к ембридж ский Тринити-
к олледж [48, с. 69].
Лагранж Жозеф Луи (1736–1813) – французский ма-
тематик, астроном и мех аник. С 1755 г . препо давал мате-
матику в Королевск ой артиллерийск ой шк оле в Турине.
В 1766 г . по приг лашению пру сск ого к ороля Фридрих а I I
переезж ает в Берлин, г де вна чале рук ово дит физик о-
математическим от делением Ак адемии на ук, а затем ст а-
новитс я президентом Ак адемии на ук [5, с. 368–306],
[28, с. 268–306], [84].
Ламберт Иог анн Г енрих (1728–1777) – немецкий
физик, астроном, философ, математик, ак адемик Мюн-
х енск ой ак адемии на ук. Образование получил самосто я-
тельно [9, с. 268–269], [82, с. 259–271].
Ланда у Эдмунд Г еорг Г ерман (1877–1938) – немецкий
математик, автор р яда работ по теории чисел. Ок ончил
Французский лицей в Берлине [9, с. 269–270].
Лаплас Пьер-Симон маркиз де (1749–1827) – француз-
ский математик, мех аник, физик и астроном, автор выда-
ющих с я работ по небесной мех аник е и дифференциальным
уравнениям, член Лондонск ого к оролевск ого
46
общества, Петербургск ой и р яда других ак адемий на ук.
Ок ончил Канский университет [5, с. 142–150], [23],
[28, с. 307–325].
Леж андр Адриен Мари (1752–1833) – французский
математик, член Париж ск ой ак адемии на ук. Ок ончил
к олледж Мазарини [9, с. 277].
Лейбниц Г отфрид Вильгельм (1646-–1716) – немец-
кий философ, логик, математик, физик, юрист , историк,
дипломат , изобрет атель и язык овед. Основатель и первый
президент Берлинск ой ак адемии на ук. Ст авил вопрос
о машинном мо делировании функций человеческ ого моз-
г а. Изобрел собственную к онструкцию арифмометра, спо-
собного выполнять операции сло ж ения, вычит ания, умно-
ж ения, деления, извлечения квадратных и кубических к ор-
ней. Нео днократно встречалс я с российским императором
Петром I, сформу лировал идею распространения на учных
знаний в Р оссии, за что получил от Петра I титу л т айного
советник а юстиции и пенсию в 2000 гу льденов
[5, с. 101–110], [27], [76], [82, с. 198–241], [89, с. 118–123].
Лоренц Хонрик Антон (1853–1928) – нидерландский
физик, ла уреат Нобелевск ой премии, член Нидерландск ой
и р яда других ак адемий на ук. Училс я в Лейдонск ом уни-
верситете [54].
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 47
Люилье Симон (1750–1840) – швейцарский математик,
сто явший у исток ов топологии. Член Петербургск ой и мно-
гих других ак адемий на ук. Ок ончил Ак адемию Кальвина
[41, с. 325–332].
Магницкий Леонид Филиппович (1669–1739) – ру с-
ский математик, педагог , препо даватель Моск овск ой шк о-
лы математических и навиг ационных на ук, автор первого
в Р оссии учебного справочник а по математик е. Образова-
ние получил в Славяно-грек о-латинск ой ак адемии – пер-
вом в Р оссии высшем учебном заведении [10, с. 279–284],
[25], [33, с. 167–168], [31, с. 53–68], [68], [89, с. 130–133].
Мак свелл Дж еймс Клерк (1831–1879) – брит анский
физик, математик и мех аник, основополо жник современ-
ной электро динамики. Ок ончил Эдинбургский универси-
тет [50], [85, с. 287–330].
Менголи Пьетро (1626–1686) – ит альянский математик,
к атолический священник. Занималс я проблемами преде-
ла и площади, с х о димости и суммирования «беск онечных
р ядов» . Ок ончил Болонский университет [9, с. 319].
Мерк атор Ник олас (1620–1687) – немецкий математик,
о дин из исследователей «беск онечных р ядов» . Образова-
ние получил в Копенг агенск ом университете [9, с. 321].
Морг ан Ог астес де (1806–1871) – шот ландский матема-
тик и логик, о дин из создателей математическ ой логики.
48
Ок ончил к ембридж ский Тринити-к олледж [69, с. 19–21],
[82, с. 304–312].
Му авр Абрах ам де (1667–1754) – анг лийский матема-
тик, член Лондонск ого к оролевск ого общества, Париж ск ой
и Берлинск ой ак адемий на ук. Четыре го да училс я
в Протест анск ой ак адемии в Седане [9, с. 337].
Нейман Карл Г отфрид (1832–1925) – немецкий матема-
тик, член-к орреспондент Берлинск ой и Баварск ой ак аде-
мий на ук, автор работ по дифференциальным уравнениям
и алгебраическим функциям [9, с. 343].
Непер Дж он (1550–1617) – шот ландский математик, о дин
из изобрет ателей лог арифмов. Ок ончил Сент-
Эндрюсский университет [10, с. 157–163], [29], [35].
Ньютон Исаак (1642–1727) – анг лийский физик, мате-
матик, астроном. В 1661 г . поступил в Тринити-к олледж
Кембридж ск ого университет а. Являетс я о дним из созда-
телей классическ ой мех аники и зак она всемирного т яготе-
ния, разработ ал дифференциальное и интегральное исчис-
ление. Нек оторое время нах о дилс я на должности управля-
ющего Королевск ого монетного двора, дважды избиралс я
в члены парламент а [2], [5, с. 80–100], [17], [51], [55], [63],
[64], [89, с. 106–117].
Орем Ник олай (1330–1382) – французский философ, ма-
тематик, мех аник, еписк оп горо да Лизье. Препо давал в
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 49
Наваррск ой к оллегии. Воспит атель бу дущего к ороля Фран-
ции Карла V. В своих математических тракт ат ах зна чи-
тельно опередил на учные идеи своей эпо хи: на чал приме-
нять степени с дробными пок азателями, исследовал бес-
к онечные р яды, док азал рас х о димость г армоническ ого р я-
да, нашел примеры фигур, имеющих беск онечную прот я-
ж енность, но к онечную площадь. В теории музыки впер-
вые предло жил с х ему деления окт авы на 12 равных тонов
[46, с. 275–283], [80, с. 112–113].
Отред Уильям (1575–1660) – анг лийский математик-
алгебраист , изобрет атель лог арифмическ ой линейки.
Ок ончил Кембридж ский университет [22, с. 13–15].
П–С 40⇔ 53
Папп Алек сандрийский (I I I–IV вв. н. э.) – греческий
математик и мех аник, автор тракт ат а в 8 книг ах «Мате-
матическ ое собрание» [9, с. 363], [57, с. 202–206].
Па чоли Лук а (1445–1517) – ит альянский математик, вы-
дающийс я алгебраист XV в., о дин из основополо жник ов
современной бухг алтерии [9, с. 366], [46, с. 286–288].
Пеано Джузеппе (1858–1932) – ит альянский математик,
автор работ по теории мно ж еств, математическ ой
логик е и истории математики. Ок ончил Туринский
50
университет [9, с. 367], [45, с. 146–157], [82, с. 446–451].
Пирсон Чарлз (1857–1936) – анг лийский математик,
ст атистик, биолог и философ, основатель математическ ой
ст атистики, член Лондонск ого к оролевск ого общества.
Училс я в Кембридж ск ом, Г ейдельбергск ом и Берлинск ом
университет ах [9, с. 377–378].
Плану д Мак сим (1260–1305) – византийский математик,
грамматик, ученый-монах, автор тракт ат а о дес ятичной
позиционной системе счисления инду сов [46, с. 250].
Порецкий Платон Сергеевич (1846–1907) – ру сский
математик и астроном, автор первых в Р оссии тру дов по
математическ ой логик е. Ок ончил Харьк овский универси-
тет [69, с. 36–38], [82, с. 362–408].
Поттс Р обер т (1805–1885) – анг лийский математик.
Ок ончил Тринити-к олледж Кембридж ск ого университет а.
Внес весомый вклад в реформы высших учебных
заведений.
Прингс х айм Аль фред (1850–1941) – немецкий матема-
тик, член Баварск ой ак адемии на ук, член-к орреспондент
Г еттингенск ой ак адемии на ук. Вел исследования в обла-
сти теории функций, теории непрерывных дробей, р ядов
Фурье и истории математики. Училс я в Берлинск ом и Г ей-
дельбургск ом университет ах [9, с. 391].
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 51
Р ан Иог анн (1622–1676) – швейцарский математик. Р о-
дилс я в семье бургомистра Цюрих а. Интерес к матема-
тик е привил Р ану его дядя, инж енер, строивший во время
тринадцатилетней войны оборонительные сооруж ения
в Цюрих е. Занимая ответственные должности на муни-
ципальной службе, нах о дил время и для математических
исследований. Внес зна чительный вклад в развитие алгеб-
раическ ой символики.
Р ассел Бертран (1872–1870) – брит анский философ,
математик и общественный деятель, автор тру дов по
математическ ой логик е, истории философии и теории
познания. Образование получил в Тринити-к олледж е Дуб-
линск ого университет а [56].
Р егиомонт ан (1436–1476) – выдающийс я немецкий
математик, астроном и астролог . По длинное имя – Иог анн
Мюллер. Училс я в Лейпцигск ом, затем Венск ом универси-
тет ах. Основной математический тру д – сочинение
«О всех видах треугольник ов» , в к отором впервые три-
гонометрия рассматриваетс я к ак самосто ятельный раздел
математики [8].
Р ек ор д Р оберт (1510–1558) – анг лийский вра ч и матема-
тик. Ок ончил Ок сфор дский университет , занималс я вра-
чебной практик ой, нек оторое время препо давал в Ок сфор-
де математику и риторику , был управляющим Королев-
52
ск ого монетного двора Велик обрит ании, личным вра чом
к ороля Эду ар да IV и к оролевы Марии I. За долги был
арестован и помещен в тюрьму Кингз Бенг в округе Са-
утворк, г де в 1558 г . и умер [47, с. 41].
Рикк ати Винченцо де (1707–1775) – ит альянский мате-
матик, мех аник, физик, астроном, почетный член Петер-
бургск ой ак адемии на ук. Образование получил в Болон-
ск ом университете [9, с. 41].
Риман Г еорг Фридрих Бернх ар д (1826–1866) – немец-
кий математик, мех аник и физик, автор дес яти выдаю-
щих с я тру дов по различным разделам математики. Обра-
зование получил в Г еттингенск ом и Берлинск ом универси-
тет ах [10, с. 250–152], [36], [71].
Ру доль ф Кристоф (1499–1545) – немецкий математик,
автор первого немецк ого учебник а алгебры [9, с. 418].
Сильвестр Дж еймс Дж озеф (1814–1897) – анг лийский
математик, автор работ по теории матриц, теории чисел
и к омбинаторики. Училс я в к ембридж ск ом Сент-Дж он-
к олледж е, затем в дублинск ом Тринити-к олледж е
[9, с. 435–436].
Спайделл Дж он (1600–1634) – анг лийский математик,
учитель математики в Лондоне. Р азвивая идеи Непера,
первым сост авил т аблицу натуральных лог арифмов
[47, с. 63].
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 53
Стевин Симон (1548–1620) – фламандский математик,
мех аник и инж енер, автор книги «Дес ят ая» (1585), к ото-
рая способствовала распространению дес ятичных дробей
в Европе. До этой книги дес ятичная система, к ак правило,
распространялась тольк о на целые числа
[10, с. 155–156], [72, с. 119–196].
Т–Я 49⇔ 58
Т арт алья Никк оло (1499–1557) – ит альянский матема-
тик, мех аник, топограф, автор сочинения «Новая на ук а»
(1537), в к отором впервые обосновываетс я криволинейная
траектория полет а снар яда. Образование получил сомо-
сто ятельно [1, с. 104–116], [28, с. 16–18], [46, с. 292–296].
Т ейт Питер Г атри (1831–1901) – шот ландский матема-
тик и физик, член Эдинбургск ого к оролевск ого общества.
Автор работ по теории кватернионов, математическ ой фи-
зик е, топологии, теории функций, теории веро ятностей.
Ок ончил к ембридж ский к олледж Питер х а у с [9, с. 474].
Уильям Дж онс (1675–1749) – брит анский математик.
Училс я самосто ятельно. С 1695 по 1707 г . служил на
военно-морск ом флоте. Препо давал на военных к ораблях
математику . Автор р яда работ по математик е и навиг ации
[32, с. 3].
54
Унгейт Эдмунд (1596–1656) – анг лийский математик
и юрист , автор работы «Арифметик а лог арифмов» , о дин
из изобрет ателей лог арифмическ ой линейки. Ок ончил Ко-
ролевский к олледж в Ок сфор де [12, с. 482].
Фибона ччи Леонар до (1170–1250) – ит альянский
математик, известный т акж е по д именем Леонар до Пизан-
ский, автор р яда математических тракт атов. Математику
изучал у арабских учителей в Алжире, г де его отец ча-
сто бывал по торговым делам. Р аботы Фибона ччи способ-
ствовали распространению в Европе позиционной системы
счисления [46, 260–267], [80, с. 111–112], [87, с. 214–218].
Финк е Т омас (1561–1656) – датский математик, вра ч и
астролог . Слушал лекции в Г ейдельбергск ом, Лейпцигск ом
и других университет ах Г ермании. Р абот ал в Базельск ом
и Копенг агенск ом университет ах в разное время на к афед-
рах медицины, математики и риторики [12, с. 495–496].
Фреге Фридрих Лю двиг Г от лаб (1848–1925) – немец-
кий математик, логик и филосов, основатель логицизма,
т . е. направаления, основной идеей к оторого являетс я све-
дение математики к логик е. Образование получил
в Йенск ом и Г еттингенск ом университет ах [9, с. 493].
Фробениу с Фер динанд Г еорг (1849–1917) – немецкий
математик, внес зна чительный вклад в теорию эллиптиче-
ских функций, ввел понятие рациональной аппрок симации
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 55
функции. Училс я в Г еттингенск ом университете, затем в
университете Гумбольда в Берлине [9, с. 496].
Фурье Жан Батист Жозеф (1768–1830) – выдающийс я
французский математик и физик, член Париж ск ой ак аде-
мии на ук. Обучение про х о дил в военной шк оле при
бенедиктинск ом монастыре. Самосто ятельно уг лубленно
изучал математику [5, с. 151–168].
Халмош Пол Ричар д (1916–2006) – америк анский мате-
матик, автор работ в области теории веро ятностей, ст ати-
стики, функционального анализа и математическ ой
логики [12, с. 597].
Хар ди Г о дфрид (1877–1947) – анг лийский математик,
автор работ по теории чисел и математическ ому анализу .
Ок ончил Кембридж ский университет .
Хевисайд Оливер (1850–1925) – анг лийский инж енер,
математик и физик, автор р яда выдающих с я работ по тео-
рии поля и электротехник е. Образование получил самосто-
ятельно [11].
Хэрриот Т омас (1560–1621) – анг лийский астроном, ма-
тематик, этнограф и перево дчик. Ок ончил Ок сфор дский
университет . Переписывалс я с Кеплером. Сост авил о дну
из первых к арт Луны, к оторую на чал наблю дать в теле-
ск оп раньше Г алилея. Одним из первых заметил и описал
солнечные пятна [9, с. 512].
56
Шеффер Карл (1716–1783) – австрийский физик
и математик, профессор Венск ого университет а.
Шмидт Эр х ар д (1876–1959) – немецкий математик,
автор тру дов по интегральным уравнениям и функцио-
нальному анализу . Училс я в Берлинск ом и Г еттингенск ом
университет ах [9, с. 535].
Шюк е Ник оля (1445–1488) – французский математик,
изобрел р яд символов и терминов для алгебраических
понятий [43, с. 270–283], [46, с. 289–290], [87, с. 220–221].
Шредер Эрнст (1841–1902) – немецкий математик и ло-
гик, автор работ по функциональным уравнениям, алгебре
и символическ ой логик е. Училс я в Г ейдельбергск ом, Ке-
нигсбергск ом и Цюрих ск ом университет ах [69, с. 34–35],
[82, с. 351–356].
Эйлер Леонар д (1707–1783) – швейцарский, немецкий
и российский математик и мех аник, автор более 850 на-
учных работ по математическ ому анализу , дифференци-
альной геометрии, теории числел, приближ енным вычис-
лениям, небесной мех аник е, математическ ой физик е, оп-
тик е, баллистик е, воздух оплаванию, к ораблестроению, к о-
раблево ждению, теории музыки, медицине и другим на-
ук ам. Ак адемик Петербургск ой, Берлинск ой, Париж ск ой
и р яда других ак адемий на ук. Более тридцати лет рабо-
т ал в Р оссии и внес огромный вклад в по дготовку к адров
БИОГР А ФИЧЕСКИЕ СПР АВКИ 57
для российск ой на уки, образования, армии, флот а и про-
мышленности [5, с. 116–126], [22, с. 74–82], [28, с. 215–267],
[31, с. 72–82], [39, с. 453–640], [60], [65], [83], [92].
Эригон Пьер (1580–1643) – французский математик
и астроном, автор многотомного сво да математических
знаний [47, с. 83–84].
Эттинсг а узен Андреас фон (1796–1878) – немецкий ма-
тематик и физик, о дин из основателей и первый генераль-
ный секрет арь Венск ой ак адемии на ук. Ок ончил
Венский университет . С 1819 г . – профессор физики
Инсбрук ск ого университет а, два го да спу ст я – профессор
высшей математики Венск ого университет а.
Як оби Карл Гу ст ав Як об (1804–1851) – немецкий ма-
тематик и мех аник, член Берлинск ой и Венск ой ак адемий
на ук, член-к орреспондент Париж ск ой и Мадридск ой, член
Лондонск ого к оролевск ого общества, почетный иностран-
ный член Петербургск ой ак адемии на ук [1], [5, с. 228–238].
34⇐
Список литературы
[1] Абельсон, И. Б. Р о ждение лог арифма / И. Б.
Абельсон. – Москва : Г осу дарственное издательство
техник о-теоретическ ой литературы, 1948. – 232 с.
[2] Акройд, П. Исаак Ньютон / П. Акройд. – Москва :
КоЛибри, 2011. – 256 с.
[3] Алек сандров, Г . Аристотель (философские
и социально-политические взг ляды) / Г . Алек сандров.
– Москва : Г осу дарственное социально-эк ономическ ое
издательство, 1940. – 273 с.
[4] Башмак ова, И. Г . Диофант и диофантовы уравнения
/ И. Г . Башмак ова – Москва : На ук а, 1971. – 68 с.
[5] Белл, Э. Т . Творцы математики: Предшественники
современной математики / Э. Т . Белл. – Москва :
Просвещение, 1979. – 256 с.
СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ 59
[6] Белонучкин, В. Е. И. Коперник, И. Ньютон и все-
все-все / В. Е. Белонучкин. – Москва : МФТИ,
2014. – 115 с.
[7] Белый, Ю. А. Йог анн Кеплер. 1571–1630 / Ю. А. Бе-
лый. – Москва : На ук а, 1971. – 296 с.
[8] Белый, Ю. А. Йог анн Мюллер (Р егиомонт ан).
1436–1476 / Ю. А. Белый. – Москва : На ук а,
1985. – 128 с.
[9] Боголюбов, А. Н. Математики. Мех аники : биогра-
фический справочник / А. Н. Боголюбов. – Киев :
На ук ова думк а, 1983. – 639 с.
[10] Болг арский, Б. В. Очерки по истории математи-
ки / Б. В. Болг арский. – Минск : Вышэйшая шк ола,
1974. – 368 с.
[11] Болотовский, Б. Оливер Хевисайд. 1850–1925 /
Б. Болотовский. – Москва : На ук а, 1985. – 260 с.
[12] Боро дин, А. И. Биографический словарь деятелей
в области математики / А. И. Боро дин, А. С. Буг ай.
– Киев : Р адянськ а шк ола, 1979. – 607 с.
[13] Бро дянский, В. М. Лазар Карно. 1753–1823/
В. М. Бро дянский. – Москва : На ук а, 2003. – 148 с.
60 СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ
[14] Бубновъ, Н. М. Проис х о жденiе и исторiя нашихъ
цифръ / Н. М. Бубновъ. – Кiев : Типографiя
С. В. Ку льж енк о, 1908. – 204 с.
[15] Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Н. Бур-
баки. – Москва : Изд-во ин. лит ., 1963. – 292 с.
[16] Бюлер, В. Г а у сс. Биографическ ое исследование /
В. Бюлер. – Москва : Г лавная редакция физик о-
математическ ой литературы, 1989. – 208 с.
[17] Вавилов, С. И. Исаак Ньютон. 1643–1727 / С. И. Ва-
вилов. – Москва : На ук а, 1989. – 271 с.
[18] Ван дер Вар ден, Б. Л. Пробуждающаяс я на ук а. Мате-
матик а Древнего Египт а, Вавилона и Греции / Б. Л.
Ван дер Вар ден. – Москва : Г осу дарственное
издательство физик о-математическ ой литературы,
1968. – 202 с.
[19] Вейль, Г . Математическ ое мышление / Г . Вейль. –
Москва : На ук а, 1989. – 400 с.
[20] Вейль, Г . Симметрия / Г . Вейль. – Москва : На ук а,
1960. – 468 с.
СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ 61
[21] Визгин, В. П. Р елятивистск ая теория т яготения
(истоки и формирование 1900–1915) / В. П. Визгин. –
Москва : На ук а, 1981. – 352 с.
[22] Вилейтнер, Г . В. История математики от Дек арт а до
середины XIX столетия / Г . В. Вилейтнер. – Москва :
На ук а, 1960. – 468 с.
[23] Воронцов-Вельяминов, Б. А. Лаплас /
Б. А. Воронцов-Вельяминов. – Москва : На ук а,
1985. – 288 с.
[24] Выго дский, М. Я. Арифметик а и алгебра в древ-
нем мире / М. Я. Выго дский – Москва: На ук а,
1967. – 368 с.
[25] Г аланинъ, Д. Д. Леонтiй Филипповичъ Магницкiй
и его арифметик а / Д. Д. Г аланинъ. – Москва :
Типографiя О. Л. Сомовой, 1914. – 70 с.
[26] Г ейбергъ, I. Новое сочинение Ар химеда / I. Г ейбергъ.
– Одесса : Типографiя М. Шпенцера, 1909. – 48 с.
[27] Г ерье, В. Лейбниц и его век / В. Г ерье. – Санкт-
Петербург : На ук а, 2008. – 807 с.
[28] Гиндикин, С. Г . Р асск азы о физик ах и математик ах /
С. Г . Гиндикин. – Москва: МЦНМО, 2006. – 464 с.
62 СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ
[29] Гиршвальд, Л. Я. История лог арифмов /
Л. Я. Гиршвальд. – Харьк ов : Изд-во
Харьк. гос. ун-т а, 1952. – 32 с.
[30] Г лейзер, Г . И. История математики в шк оле /
Г . И. Г лейзер. – Москва : Просвещение, 1964. – 376 с.
[31] Гнеденк о, Б. В. История математики / Б. В. Гнеден-
к о. – Москва : Г осу дарственное издательство техник о-
теоретическ ой литературы, 1946. – 247 с.
[32] Гнездовский, Ю. Ю. Справочник по тригонометрии /
Ю. Ю. Гнездовский, В. Н. Г орбузов, А. Ф. Проневич.
– Гро дно : ГрГУ , 2009. – 99 с.
[33] Григорьевъ, В. В. Исторический очеркъ ру сск ой шк о-
лы / В. В. Григорьевъ. – Москва : Т оварищество ти-
пографiй А. П. Мамонтова, 1900. – 587 с.
[34] Гутер, Р . С. Джироламо Кар дано / Р . С. Гутер,
Ю. Л. Полунов. – Москва : На ук а, 1980. – 192 с.
[35] Гутер, Р . С. Дж он Непер (1550–1617) / Р . С. Гутер,
Ю. Л. Полунов. – Москва : На ук а, 1980. – 226 с.
[36] Дербишир, Д. Прост ая о дер жимость. Бер х ар д Риман
и величайшая нерешенная проблема в математик е /
Д. Дербишир. – Москва : Астрель, 2010. – 463 с.
СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ 63
[37] Житомирский, С. В. Ар химед / С. В. Житомирский.
– Москва : Просвещение, 1981. – 192 с.
[38] Историк о-математические исследования. Вып. I.
– Москва : Г ос. изд-во техн.-теорет . лит ., 1948. – 334 с.
[39] Историк о-математические исследования. Вып. VI I.
– Москва : Г ос. изд-во техн.-теорет . лит ., 1956. – 720 с.
[40] Историк о-математические исследования. Вып. XIV.
– Москва : Г ос. изд-во физ.-мат . лит ., 1961. – 636 с.
[41] Историк о-математические исследования. Вып. XVI I.
– Москва : Г ос. изд-во физ.-мат . лит ., 1966. – 472 с.
[42] Историк о-математические исследования. Вып. XX.
– Москва : На ук а, 1975. – 382 с.
[43] Историк о-математические исследования. Вып. XXI I I.
– Москва : На ук а, 1978. – 360 с.
[44] Историк о-математические исследования. Вып.
XXVI I. – Москва : На ук а, 1985. – 344 с.
[45] Историк о-математические исследования. Вып.
XXXI I –XXXI I I. – Москва : На ук а, 1990. – 544 с.
64 СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ
[46] История математики с древнейших времен до на ча-
ла XIX столетия : в 3 т . Т ом первый / по д ред.
А. П. Юшк евича. – Москва : На ук а, 1970. – 352 с.
[47] История математики с древнейших времен до на ча-
ла XIX столетия : в 3 т . Т ом второй / по д ред.
А. П. Юшк евича. – Москва : На ук а, 1970. – 300 с.
[48] История математики с древнейших времен до на ча-
ла XIX столетия : в 3 т . Т ом третий / по д ред.
А. П. Юшк евича. – Москва : На ук а, 1972. – 496 с.
[49] Каг ан, В. Ф. Ар химед / В. Ф. Каг ан. – Ленинград :
Г ос. изд-во техн.-теорет . лит ., 1949. – 52 с.
[50] Карцев, В. Мак свелл / В. Карцев. – Москва : Моло дая
гвар дия, 1987. – 415 с.
[51] Карцев, В. Ньютон / В. Карцев. – Москва : Моло дая
гвар дия, 1974. – 333 с.
[52] Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX сто-
летии. Часть I / Ф. Клейн. – Москва : Ленин-
град : Объединенное на учн.-техн. изд-во МЦНМО,
1932. – 436 с.
СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ 65
[53] Клиффор д, В. Здравый смысл в точных на ук ах.
На чала учения о числе и пространстве / В. Клиф-
фор д. – Петроград : На ук а, 1922. – 221 с.
[54] Кляу с, Е. М. Г ендрик Антон Лоренц. 1853–1928 /
Е. М. Кляу с, А. М. Франкфурт , А. М. Френк –
Москва : На ук а, 1974. – 240 с.
[55] Кобзарев, И. Ю. Ньютон и его время / И. Ю. Кобза-
рев. – Москва : Знание, 1978. – 63 с.
[56] Колесник ов, А. А. Философия Бертрана Р ассела /
А. А. Колесник ов. – Ленинград : Изд-во Лен. ун-т а,
1991. – 232 с.
[57] Кольман, Э. Бернар д Больцано / Э. Кольман. –
Москва : Изд-во АН СССР , 1955. – 224 с.
[58] Кольман, Э. История математики в древности /
Э. Кольман. – Москва : Г ос. изд-во физ.-мат . лит .,
1961. – 236 с.
[59] Колядк о В. И. Бернар д Больцано / В. И. Колядк о. –
Москва : Мысль, 1982. – 198 с.
[60] Котек, В. В. Леонар д Эйлер / В. В. Котек. – Москва :
Учпедгиз, 1961. – 108 с.
66 СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ
[61] Кочина, П. Я. Карл Вейерштрасс: 1815–1897 /
П. Я. Кочина. – Москва : На ук а, 1985. – 272 с.
[62] Кошманов, В. В. Карно, Клайперон, Кла узис /
В. В. Кошманов. – Москва : Просвещение, 1985. – 96 с.
[63] Кузнецов, Б. Г . Ньютон / Б. Г . Кузнецов. – Москва :
Мысль, 1982. – 175 с.
[64] Левенсон, Т . Ньютон и фальшивомонетчики / Т . Ле-
венсон. – Москва : А СТ , 2001. – 416 с.
[65] Леонар д Эйлер. 1707–1783. Сборник ст атей и матери-
алов к 150-летию со дня смерти. – Москва : Ленин-
град : Изд-во АН СССР , 1935. – 240 с.
[66] Лурье, С. Я. Ар химед / С. Я. Лурье. – Москва-
Ленинград : Изд-во АН СССР , 1945. – 224 с.
[67] Лятк ер, Я. А. Дек арт / Я. А. Лятк ер. – Москва :
Мысль, 1975. – 200 с.
[68] Магницкий, Л. Ф. Арифметик а, сиречь на ук а числи-
телная / Л. Ф. Магницкий. – Москва : Сино дальная
типография, 1703. – 672 с.
[69] Математик а XIX век а / по д ред. А. Н. Колмогорова
и А. П. Юшк евича. – Москва : На ук а, 1978. – 254 с.
СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ 67
[70] Матиевск ая, Г . П. Р ене Дек арт / Г . П. Матиевск ая. –
Москва : Просвещение, 1987. – 79 с.
[71] Монастырский, М. И. Бер х ар д Риман. Т опология.
Физик а / М. И. Монастырский. – Москва : Яну с,
1999. – 188 с.
[72] На чала гидро динамики. Ар химед. Стэвин. Г алилей.
Паск аль. – Москва : Ленинград : Г ос. техн.-теорет .
изд-во, 1933. – 404 с.
[73] Никифоровский, В. А. Великие математики Бер-
ну лли / В. А. Никифоровский. – Москва : На ук а,
1984. – 180 с.
[74] Никифоровский, В. А. Путь к интегралу / В. А. Ни-
кифоровский. – Москва : На ук а, 1985. – 198 с.
[75] Пайс, А. Г ении на уки / А. Пайс. – Москва : Институт
к омпьютерных исследований, 2002. – 448 с.
[76] Погребысский, И. Б. Г отфрид Вильгельм Лейбниц.
1647–1716 / И. Б. Погребысский. – Москва : На ук а,
1993. – 270 с.
[77] Полак, Л. С. Уильям Г амиль тон. 1805–1865 /
Л. С. Полак. – Москва : На ук а, 1993. – 270 с.
68 СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ
[78] Пурк ет , В. Г еорг Кантор / В. Пурк ет , Ч. Н. Ильг а ут .
– Харьк ов : Основа, 1991. – 128 с.
[79] Рид, К. Гильберт / К. Рид. – Москва : На ук а,
1977. – 368 с.
[80] Рыбник ов, К. А. История математики. I / К. А. Рыб-
ник ов. – Москва : Изд-во МГУ , 1960. – 192 с.
[81] Рыбник ов, К. А. История математики. I I / К. А. Рыб-
ник ов. – Москва : Изд-во МГУ , 1980. – 112 с.
[82] Ст яжкин, Н. И. Формирование математическ ой логи-
ки / Н. И. Ст яжкин. – Москва : На ук а, 1967. – 508 с.
[83] Тиле, Р . Леонар д Эйлер / Р . Тиле. – Киев : Вища
шк ола, 1983. – 192 с.
[84] Тюлина, И. А. Жозеф Луи Лагранж / И. А. Тюлина.
– Москва : На ук а, 1977. – 224 с.
[85] Уиттек ер, Э. История теории эфира и электричества
/ Э. Уиттек ер. – Иж евск : Р егу лярная и х аотическ ая
динамик а, 2001. – 512 с.
[86] Фрейман, Л. С. Творцы высшей математики/
Л. С. Фрейман. – Москва : На ук а, 1968. – 216 с.
СПИСОК ЛИТЕР А ТУРЫ 69
[87] Цейтен, Г . Г . История математики в древности
и в средние век а / Г . Г . Цейтен. – Москва : Ленин-
град : Г ос. изд-во техн.-теорет . лит ., 1932. – 231 с.
[88] Цейтен, Г . Г . История математики в XVI и XVI I ве-
к ах / Г . Г . Цейтен. – Москва : ОНТИ, 1938. – 456 с.
[89] Чист як ов, В. Д. Р асск азы о математик ах / В. Д. Чи-
ст як ов. – Минск : Вышэйшая шк ола, 1966. – 404 с.
[90] Шумихин, С. Число Пи. История длиною в 4000
лет / С. Шумихин, А. Шумихина. – Москва : Эк смо,
2011. – 192 с.
[91] Яг лом, И. М. Г ерман Вейль/ И. М. Яг лом. – Москва :
Знание, 1967. – 48 с.
[92] Як овлев, А. Я. Леонар д Эйлер / А. Я. Як овлев. –
Москва : Просвещение, 1983. – 79 с.
Р анее вышли в печать книги серии
«Математик а не для ЕГЭ»:
Белый Е. К. Вредная геометрия. – Петрозаво дск :
Издательство ПетрГУ , 2017. – 36 с.
Белый Е. К. Египетский счет . – Петрозаво дск :
Издательство ПетрГУ , 2017. – 36 с.
Белый Е. К. Прогрессии. – Петрозаво дск : Издательство
ПетрГУ , 2016. – 132 с.
Белый Е. К., Дорофеева Ю. А. Алгебраические уравнения.
– Петрозаво дск : Издательство ПетрГУ ,
2015. – 240 с.
Книги мо жно найти в сети Интернет , в частности на сайте
«Современный учительский порт ал»: [h ttps://easy en.ru/].
Учебное издание
Белый Евгений Конст антинович
Математик а не для ЕГЭ
Символы и их творцы
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Р едактор Е. Е. Порывакина
Оформление обло жки Е. Ю. Т ихоновой
Компьютерная верстк а Е. К. Бе лого
По дписано в печать 15.10.18. Формат 60х84 1/16.
Бумаг а офсетная. Уч.-изд. л. 2,4. Тираж 200 экз.
Изд. № 161
Отпечат ано в типографии Издательства ПетрГУ
185910, г . Петрозаво дск, пр. Ленина, 33