Симметрические уравнения
Автор: Белый Евгений Константинович (доцент, пенсионер)
Тип документа: Другое. Аудитория: Учителя математики. Дата публикации: 26.05.2021
Описание: Учебное пособие снабжено подборкой задач, которые могут пригодиться учителю при подготовке домашних и контрольных заданий. Большая часть материала доступна ученику девятого класса, но встречаются задачи, рассчитанные на старшеклассника. Такие примеры обычно расположены в конце текущего раздела книги, и их можно пропустить без ущерба для понимания материала следующего параграфа.

Математик а не для ЕГЭ
Е. К. Белый
Симметрические уравнения
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Петрозаво дск
Издательство ПетрГУ
2021
У ДК 512.1
ББК 22.14
Б439
Р ецензенты:
С. С. Платонов , доктор физик о-математических на ук, профессор
к афедры математическ ого анализа ПетрГУ ;
Н. П. Егорова , учитель математики СОШ № 20 г . Петрозаво дск а
Белый, Евгений Конст антинович.
Б439 Симметрические уравнения : учебное пособие для учащих с я
средних шк ол / Е. К. Белый. – Петрозаво дск : Издательство
ПетрГУ , 2021. – 94, [2] с. – (Математик а не для ЕГЭ).
ISBN 978-5-8021-3810-6
Учебное пособие позволит освоить эффективные мето ды решения
систем не тольк о симметрических алгебраических уравнений, но
и целого класса других уравнений, сво дящих с я к симметрическим.
Большая часть материала доступна ученику девятого класса.
ISBN 978-5-8021-3810-6
У ДК 512.1
ББК 22.14
© Белый Е. К., 2021
Со дер ж ание
Предисловие 4
Т еория, примеры и зада чи 7
§ 1. Системы двух уравнений . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Т еория и примеры . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Зада чи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 2. Симметрия относительно выраж ений . . . . 41
2.1. Т еория и примеры . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Зада чи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 3. Cистемы трех уравнений . . . . . . . . . . . . 54
3.1. Т еория и примеры . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Зада чи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ответы 72
§ 1. Системы двух уравнений . . . . . . . . . . . . 72
§ 2. Симметрия относительно выраж ений . . . . 74
§ 3. Системы трех уравнений . . . . . . . . . . . . 75
Биографические справки 76
Список литературы 89
Симметрия является той идеей, посредство м которой
че ловек на протяжении веков пытался постичь
и создать порядок, кр асоту и совершенство.
Г ер ман Вейль
Предисловие
⇒ 7 Дорогой чит атель! В этой книге речь пойдет
о симметрических уравнениях. А раз т ак, попробу ем
сна чала ответить на вопрос «что т ак ое симметрия?» .
Т ермин «симметрия» (греч. 𝜎𝜐𝜇𝜇𝜀𝜏𝜌𝜄𝛼 – соразмерность)
озна чает инвариантность (неизменность) относительно
к аких-либо преобразований. Т акие явления мы посто янно
встречаем в живой и неживой приро де, иску сстве. Любому
зак ону со хранения соответству ет сво я симметрия физиче-
ских систем. Сог ласно третьему зак ону Ньютона,
симметричны взаимо действия тел. Т ак, Земля прит ягива-
ет нас с той ж е силой, с к ак ой мы прит ягиваем
Землю. С древних времен человек а завораживала волшеб-
ная структура крист аллов – от драгоценных к амней до
простой снежинки. Нам дост авляет у довольствие
созерцать группу симметрий в соцветии. Зерк ально сим-
метричны левая и правая части человеческ ого тела. Неу ди-
вительно, что это нах о дит отраж ение в геометрических,
5
алгебраических и других математических мо делях, описы-
вающих явления окруж ающей нас действительности.
Т аким образом, уравнения, к оторые мы собираемс я рас-
смотреть, вовсе не «пло д измышлений праздного ума» .
Надеемс я, пособие помо ж ет учащему с я овладеть навык а-
ми эффективного решения не тольк о симметрических, но
и целого класса других систем алгебраических уравнений.
Обычно шк ольник решает их мето дом по дст ановки. Это
наиболее универсальный мето д, но за частую громоздкий
и требующий большого умственного напр яж ения. Выпол-
нение самого сло жного задания связано с применением
р яда относительно простых приемов. И если к аждый из
них бу дет требовать зна чительных затрат времени и сил,
мы просто не дойдем до резу ль т ат а. Нам нужны простые,
к ороткие и красивые решения.
Учебное пособие снаб ж ено по дборк ой зада ч, к оторые
могут приго дитьс я учителю при по дготовк е домашних
и к онтрольных заданий. Большая часть материала доступ-
на ученику девятого класса, но встречаютс я зада чи, рас-
счит анные на ст аршеклассник а. Т акие примеры обычно
располо ж ены в к онце текущего раздела книги, и их мо жно
пропу стить без ущерба для понимания материала
следующего параграфа.
6 Предисловие
В процессе работы над учебным пособием мы обращались
к следующим учебник ам и зада чник ам: [19, с. 71–76],
[2, с. 23–31], [5, с. 77–79], [6, с. 249–251], [8, с. 164–171],
[3, с. 184–187], [10, с. 70–77], [11, 249–253], [12, с. 142–145],
[15, с. 70–74], [4, с. 112–116], [16, с. 132–135], [18, с. 36–42],
[14, с. 106–112], [1, с. 195–203], [20, с. 40–48]. Чит ателям,
ж елающим г луб ж е познак омитьс я с теорией, рек оменду ем
работы [13, с. 321–334], [7] и [9].
Биографические справки в к онце книги посвящены
авторам учебник ов и зада чник ов по алгебре из приведен-
ного выше списк а. К со ж алению, мы располаг аем непол-
ной информацией. Бу дем признательны к аждому , кто
сообщит недост ающие сведения по о дному из адресов:
b elyi@p etrsu.ru или kurs_b elyi1@mail.ru .
Выраж аем благо дарность всем, кто выск азал замечания
и предло ж ения по ранее вышедшим в печать книг ам
данной серии.
Евгений Белый
Январь 2021
Т еория, примеры и зада чи
§ 1. Системы двух уравнений
1.1. Т еория и примеры
4⇔ 35 Вспомним теорему Виет а. Еще древние греки
применяли ее для нах о ждения к орней квадратного трех-
члена. Но греки нах о дили к орни геометрически, с цирку-
лем и линейк ой. Нас ж е сейчас интересуют алгебраические
мето ды. Пу сть квадратный трехчлен предст авлен в виде
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 (1)
и имеет вещественные к орни 𝑥1 и𝑥2 . Т ог да его мо жно
разло жить в произведение двух линейных членов:
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2).
Р аскроем ск обки и приведем по добные:
(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) =𝑥2−(𝑥1+𝑥2)𝑥+𝑥1𝑥2.
Т аким образом,⎧
⎨
⎩𝑥1+𝑥2=−𝑝,
𝑥1·𝑥2=𝑞.(2)
8 Т еория, примеры и зада чи
Т еорема 1 (теорема Виет а). Если 𝑥1 и𝑥2 – к орни квад-
ратного трехчлена (1), то их сумма равна к оэффициен-
ту при 𝑥 с противополо жным знак ом, а произведение –
свобо дному члену (2).
Т еорема 2 (обратная теорема Виет а). Если перемен-
ные𝑥1 и𝑥2 у довлетвор яют у словиям (2), то они являютс я
к орнями квадратного трехчлена (1).
Пр ямая теорема иног да помог ает нам уг адать к орни квад-
ратного трехчлена. Например, тольк о взг лянув на выра-
ж ение 𝑥2−5𝑥+ 6 , мы мо ж ем ск азать, что 𝑥1= 2 и𝑥2= 3 .
Аналогично мы видим к орни трехчлена 𝑥2−5𝑥−6 . Это
𝑥1=−1 и𝑥2= 6 . Обратная теорема позволяет свести
процесс решения системы вида
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=𝑢,
𝑥·𝑦=𝑣к нах о ждению к орней о дного уравнения.
Дадим системе геометрическую интерпрет ацию. График
первого уравнения – пр ямая, второго – гипербола. Воз-
мо жны три случая: графики имеют две точки пересече-
ния, о дну или не пересек аютс я. На рис. 1 приведен при-
мер для 𝑣= 1 . Cистема уравнений имеет два решения,
о дно решение или не имеет решений, к ог да 𝑢 принима-
ет зна чения 3 ,2 и1 соответственно. Коор динаты (𝑥;𝑦)
§ 1. Системы двух уравнений 9
Рис. 1. Графики уравнений: два решения ( 𝑢= 3 ); о дно решение
(𝑢= 2 ); нет решений ( 𝑢= 1 )
точек пересечения график ов бу дут к орнями квадратного
трехчлена 𝑡2−𝑢·𝑡+𝑣 .
Пример 1.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
𝑥𝑦= 6.
Р ешение. Мы мог ли бы сразу уг адать ответ .
Ответ: ⎧
⎨
⎩𝑥= 2,
𝑦= 3,и⎧
⎨
⎩𝑥= 3,
𝑦= 2.
Но тог да нас попрос ят обосновать отсутствие других ре-
шений. Легк о! Обратная теорема Виет а утвер ждает , что
зна чения 𝑥 и𝑦 , у довлетвор яющие у словию зада чи, долж-
ны быть к орнями квадратного трехчлена 𝑡2−5𝑡+ 6 , а он
имеет тольк о два к орня: 𝑡1= 2 и𝑡2= 3 . В следующем
примере уг адать решения не у дастс я.
10 Т еория, примеры и зада чи
Пример 2.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3,
𝑥𝑦=−1.
Р ешение. Найдем к орни треxчлена 𝑡2−3𝑡−1 . Дискрими-
нант 𝐷= 9 + 4 = 13 . Зна чит ,
𝑡1=3−√
13
2, 𝑡 2=3 +√
13
2.
Т еперь мо жно записать ответ .
Ответ: ⎧
⎨
⎩𝑥=3−√
13
2,
𝑦=3+√
13
2,и⎧
⎨
⎩𝑥=3+√
13
2,
𝑦=3−√
13
2.
Поск ольку решениями системы уравнений с двумя неиз-
вестными являютс я пары зна чений 𝑥 и𝑦 , к оторые интер-
претируютс я к ак к оор динаты точек на плоск ости, в даль-
нейшем мы бу дем записывать ответ в виде(︁
3−√
13
2;3+√
13
2)︁
и(︁
3+√
13
2;3−√
13
2)︁
.
Пример 3.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3√
2,
𝑥𝑦=√
6 + 1 .
Р ешение. Найдем к орни квадратного трехчлена
𝑡2−3√
2𝑡+√
6 + 1 .𝐷= 18−4√
6−4 = 14−4√
6 .
§ 1. Системы двух уравнений 11
Никто не осу дил бы нас, если бы мы записали:
𝑡1,2=3√
2±√︀
14−4√
6
2
и на том ост ановились. Однак о попробу ем предст авить
14−4√
6 к ак полный квадрат: 14−4√
6 = ( 𝑎√
2−𝑏√
3)2.
Преобразу ем правую часть равенства
14−4√
6 = 2 𝑎2+ 3𝑏2−2𝑎𝑏√
6.
По дберем т акие 𝑎 и𝑏 , чтобы выполнялись у словия:
⎧
⎨
⎩2𝑎𝑏= 4,
2𝑎2+ 3𝑏2= 14.
По дх о дит 𝑎= 1 и𝑏= 2 . Т ог да 𝐷= (2√
3−√
2)2.√
𝐷= 2√
3−√
2 . Отсю да 𝑡1= 2√
2−√
3 ,𝑡2=√
2 +√
3 .
Ответ:(︀
2√
2−√
3;√
2 +√
3)︀
,(︀√
2 +√
3; 2√
2−√
3)︀
.
Выво д: если получили 𝑡=3√
2+√
14−4√
6
2, а в зада чник е дан
ответ 𝑡=√
2 +√
3 , это еще не зна чит , что вы
ошиблись. Просто3√
2+√
14−4√
6
2=√
2 +√
3 .
12 Т еория, примеры и зада чи
Пример 4 (первая Моск овск ая математическ ая
олимпиада, 1936). Ск ольк о действительных решений
имеет система ⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
𝑥𝑦−𝑧2= 1?
Р ешение. При к аждом фик сированном 𝑧 мы имеем сим-
метричную относительно 𝑥 и𝑦 систему уравнений
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
𝑥𝑦= 1 + 𝑧2.⇒𝑡2−2𝑡+ 1 + 𝑧2. 𝐷/ 4 =−𝑧2.
𝐷/4≥0 тольк о при 𝑧= 0 . Т ог да квадратный трехчлен
𝑡2−2𝑡+ 1 имеет два совпадающих к орня: 𝑡1=𝑡2= 1 .
Единственное решение: 𝑥=𝑦= 1, 𝑧= 0 .
Ответ: о дно решение.
Определение 1. Многочлен 𝐹(𝑥, 𝑦) от двух переменных
𝑥 и𝑦 бу дем называть симметрическим, если
𝐹(𝑦, 𝑥)≡𝐹(𝑥, 𝑦) .
Это зна чит , что если в многочлене поменять мест ами пе-
ременные, то мы получим многочлен, то ждественный ис-
х о дному . Симметрическими являютс я уж е знак омые нам
многочлены 𝑥+𝑦 и𝑥𝑦 , а т акж е 𝑥2+𝑦2,𝑥−3𝑥𝑦+𝑦 ,
𝑥5+ 2𝑥2+𝑦5+ 2𝑦2и т . д. Здесь мы акцентиру ем внимание
§ 1. Системы двух уравнений 13
на симметрических многочленах, но, к онечно, симметри-
ческими могут быть и другие выраж ения:
𝑥2+𝑦2
𝑥6+ 2𝑥𝑦+𝑦6,√
2𝑥+√︀
2𝑦,2𝑥+ 2𝑦. . .
На этот случай сформу лиру ем более общее определение.
Определение 2. Выраж ение 𝐹(𝑥, 𝑦) от двух переменных
𝑥 и𝑦 бу дем называть симметрическим, если
𝐹(𝑦, 𝑥)≡𝐹(𝑥, 𝑦) .
Определение 3. Многочлены 𝜎1=𝑥+𝑦 и𝜎2=𝑥𝑦 бу дем
называть элемент арными симметрическими.
Приведем без док азательства две теоремы, утвер ждения
к оторых, возмо жно, многим пок ажутс я очевидными.
Т еорема 3. Если в любом многочлене 𝐹(𝜎1, 𝜎2) вместо 𝜎1
и𝜎2 по дст авить соответственно 𝑥+𝑦 и𝑥𝑦 , то получитс я
симметрический многочлен от 𝑥 и𝑦 .
Т еорема 4. Любой симметрический многочлен от 𝑥 и𝑦
мо жно предст авить в виде многочлена от 𝑥+𝑦 и𝑥𝑦 .
Первая теорема дает нам мето д к онструирования симмет-
рических многочленов. Вторая по дск азывает по дх о д к ре-
шению уравнений с т акими многочленами.
Определение 4. Уравнение, в к оторое вх о дят тольк о сим-
метрические выраж ения, бу дем называть симметрическим.
Р азумеетс я, определенный в этой книге вид симметрии
14 Т еория, примеры и зада чи
уравнений не единственно возмо жный.
Из теоремы 4, в частности, следу ет , что через 𝜎1=𝑥+𝑦
и𝜎2=𝑥𝑦 мо жно выразить любой многочлен вида 𝑥𝑛+𝑦𝑛,
г де𝑛 – натуральное число. Ниж е приведен р яд полезных
то ждеств.
𝑥+𝑦=𝜎1,
𝑥2+𝑦2=𝜎2
1−2𝜎2,
𝑥3+𝑦3=𝜎3
1−3𝜎1𝜎2,
𝑥4+𝑦4=𝜎4
1−4𝜎2
1𝜎2+ 2𝜎2
2,
𝑥5+𝑦5=𝜎5
1−5𝜎3
1𝜎2+ 5𝜎1𝜎2
2,
𝑥6+𝑦6=𝜎6
1−6𝜎4
1𝜎2+ 9𝜎2
1𝜎2
2−2𝜎3
2,
𝑥7+𝑦7=𝜎7
1−7𝜎5
1𝜎2+ 14𝜎3
1𝜎2
2−7𝜎1𝜎3
2,
𝑥8+𝑦8=𝜎8
1−8𝜎6
1𝜎2+ 20𝜎4
1𝜎2
2−16𝜎2
1𝜎3
2+ 2𝜎4
2,
𝑥9+𝑦9=𝜎9
1−9𝜎7
1𝜎2+ 27𝜎5
1𝜎2
2−30𝜎3
1𝜎3
2+ 9𝜎1𝜎4
2,
𝑥10+𝑦10=𝜎10
1−10𝜎8
1𝜎2+35𝜎6
1𝜎2
2−50𝜎4
1𝜎3
2+25𝜎2
1𝜎4
2−2𝜎5
2.
(3)
Второе то ждество (𝑥2+𝑦2=𝜎2
1−2𝜎2) непосредственно
следу ет из то ждества 𝑥2+𝑦2= (𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦 . Умно жим
его левую и правую части на 𝑥+𝑦 .
(𝑥2+𝑦2)(𝑥+𝑦) = (𝜎2
1−2𝜎2)(𝑥+𝑦)⇒
§ 1. Системы двух уравнений 15
⇒𝑥3+𝑦3+𝑥2𝑦+𝑥𝑦2=𝜎3
1−2𝜎1𝜎2⇒
⇒𝑥3+𝑦3=𝜎3
1−2𝜎1𝜎2−𝑥𝑦(𝑥+𝑦) =𝜎3
1−3𝜎1𝜎2.
Т акж е последовательно док азываютс я и ост альные
то ждества (3).
Пример 5.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 6,
𝑥2+𝑦2= 20.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 6,
(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦= 20;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 6,
36−2𝑥𝑦= 20;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 6,
𝑥𝑦= 8.
Ответ: (2; 4) ,(4; 2) .
Пример 6.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 11,
𝑥2𝑦+𝑥𝑦2= 30.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 11,
𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 30 .Замена переменных:⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=𝑢,
𝑥𝑦=𝑣.
16 Т еория, примеры и зада чи
⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣= 11,
𝑢𝑣= 30.⇒1.⎧
⎨
⎩𝑢= 5,
𝑣= 6.2.⎧
⎨
⎩𝑢= 6,
𝑣= 5.
1.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
𝑥𝑦= 6.⇒1.1.⎧
⎨
⎩𝑥= 2,
𝑦= 3.1.2.⎧
⎨
⎩𝑥= 3,
𝑦= 2.
2.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 6,
𝑥𝑦= 5.⇒2.1.⎧
⎨
⎩𝑥= 1,
𝑦= 5.2.2.⎧
⎨
⎩𝑥= 5,
𝑦= 1.
Ответ: (3; 2) ,(2; 3) ,(1; 5) ,(5; 1) .
Пример 7. ⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=5
4,
𝑥2+𝑦2= 17.
Р ешение:
⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥+𝑦
𝑥𝑦=5
4,
(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦= 17;⎧
⎨
⎩4(𝑥+𝑦) = 5 𝑥𝑦,
(𝑥+𝑦)2= 17 + 2 𝑥𝑦;
⎧
⎨
⎩5(𝑥+𝑦)2= 85 + 10 𝑥𝑦,
−8(𝑥+𝑦) =−10𝑥𝑦;⎧
⎨
⎩5(𝑥+𝑦)2−8(𝑥+𝑦) = 85 ,
5𝑥𝑦= 4(𝑥+𝑦).
Пу сть 𝑡=𝑥+𝑦 . Т ог да первое уравнение в последней фи-
гурной ск обк е мо жно записать в виде 5𝑡2−8𝑡−85 = 0 .
§ 1. Системы двух уравнений 17
𝐷/4 = 16 + 425 = 441 ,√︀
𝐷/4 = 21 ,𝑡1,2=4±21
5.
𝑡1=−17
5,𝑡2= 5 . Поск ольку 𝑡=𝑥+𝑦 , а𝑥𝑦=4
5(𝑥+𝑦) , для
к аждого к орня 𝑡 получим систему уравнений:
1.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥+𝑦=−17
5,
𝑥𝑦=−68
25,г де x и y – к орни уравнения
𝑡2+17
5𝑡−68
25= 0.⇒(5𝑡)2+ 17(5 𝑡)−68 = 0 . Неизвест-
ная величина здесь 5𝑡 .𝐷= 561 .5𝑡1,2=−17±√
561
2⇒
⇒𝑡1,2=−17±√
561
10. Т аким образом, мы получили два
решения:(︁
−17−√
561
10;−17+√
561
10)︁
и(︁
−17+√
561
10;−17−√
561
10)︁
.
2.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
𝑥𝑦= 4.⇒ решения (1; 4) и(4; 1) .
Ответ:(︁
−17−√
561
10;−17+√
561
10)︁
,(︁
−17+√
561
10;−17−√
561
10)︁
,
(1; 4) и(4; 1) .
Пример 8.⎧
⎨
⎩𝑥8+𝑦8=41
128,
𝑥2+𝑦2= 1.
18 Т еория, примеры и зада чи
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(𝑥4+𝑦4)2−2𝑥4𝑦4=41
128,
𝑥2+𝑦2= 1.Повторим ту ж е процедуру:
⎧
⎨
⎩(︀
(𝑥2+𝑦2)2−2𝑥2𝑦2)︀2−2𝑥4𝑦4=41
128,
𝑥2+𝑦2= 1.Т ак к ак 𝑥2+𝑦2= 1,
⎧
⎨
⎩(1−2𝑥2𝑦2)2−2𝑥4𝑦4=41
128,
𝑥2+𝑦2= 1;⎧
⎨
⎩2𝑥4𝑦4−4𝑥2𝑦2+87
128= 0,
𝑥2+𝑦2= 1.
Введем обозна чение 𝑧=𝑥2𝑦2. Т ог да 2𝑧2−4𝑧+87
27= 0 .
(16𝑧)2−32(16 𝑧) + 87 = 0 . Неизвестная величина здесь 16𝑧 .
𝐷/4 = 162−87 = 169 = 132.16𝑧1,2= 16±13⇒
⇒𝑧1=3
16,𝑧2=29
16. Ост алось рассмотреть две систе-
мы уравнений, к оторые являютс я симметрическими отно-
сительно 𝑥2и𝑦2. Последнее озна чает , что если ввести за-
мену переменных, например 𝑢=𝑥2,𝑣=𝑦2, то получатс я
системы, симметрические относительно 𝑢 и𝑣 .
1.⎧
⎨
⎩𝑥2𝑦2=3
16,
𝑥2+𝑦2= 1.1.1.⎧
⎨
⎩𝑥2=1
4,
𝑦2=3
4.1.2.⎧
⎨
⎩𝑥2=3
4,
𝑦2=1
4.
§ 1. Системы двух уравнений 19
2.⎧
⎨
⎩𝑥2𝑦2=29
16,
𝑥2+𝑦2= 1.𝑡2−𝑡+29
16= 0. 𝐷 = 1−4·29
16<0.
Последняя система уравнений не имеет решения.
Ответ:(︁
−1
2;−√
3
2)︁
,(︁
−1
2;√
3
2)︁
,(︁
1
2;−√
3
2)︁
,(︁
1
2;√
3
2)︁
,(︁
−√
3
2;−1
2)︁
,(︁
−√
3
2;1
2)︁
,(︁√
3
2;−1
2)︁
,(︁√
3
2;1
2)︁
.
Г еометрический смысл последнего задания: найти к оор ди-
наты точек пересечения окружности 𝑥2+𝑦2= 1 с кривой
𝑥8+𝑦8=41
128. Любопытства ради посмотрим, что ж е это
за кривая (рис. 2). Уравнение 𝑥𝑛+𝑦𝑛=𝑟𝑛при возраст а-
Рис. 2. Графики к примеру 8
нии𝑛 определяет фигуры, все более по х о жие на квадрат .
В нашем случае 𝑟=8√︁
41
128≈0.867 .
20 Т еория, примеры и зада чи
Друж ащий с тригонометрией шк ольник увидит
в последнем задании по дх о д к решению уравнения
cos8𝑡+ sin8𝑡=41
128. Если обозна чить cos𝑡=𝑥 ,sin𝑡=𝑦
и учесть г лавное тригонометрическ ое то ждество
cos2𝑡+ sin2𝑡= 1 , получим у словия примера 7.
В следующем примере сведем уравнение с радик алами к
симметрическ ой системе уравнений.
Пример 9. Р ешить уравнение√𝑥−1 +√102−𝑥= 11 .
Р ешение. Найдем О ДЗ: 𝑥∈[1; 102] . Обозна чим:
⎧
⎨
⎩𝑢=√𝑥−1,
𝑣=√102−𝑥;⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣= 11,
𝑢2+𝑣2= 101;⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣= 11,
(𝑢+𝑣)2−2𝑢𝑣= 101;
⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣= 11,
𝑢𝑣= 10.1.⎧
⎨
⎩𝑢= 1,
𝑣= 10.2.⎧
⎨
⎩𝑢= 10,
𝑣= 1.
В первом случае получим 𝑥= 2 , во втором 𝑥= 101 .
Ответ: 𝑥1= 2 ,𝑥2= 101 .
Пример 10.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+ 4𝑥𝑦= 6,
𝑥+𝑦+|𝑥+𝑦|= 6.
Р ешение. Если 𝑥+𝑦 <0 , второе уравнение примет вид
0 = 6 , и тог да система не имеет решения. Следовательно,
§ 1. Системы двух уравнений 21
𝑥+𝑦≥0 и|𝑥+𝑦|=𝑥+𝑦 .
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+ 4𝑥𝑦= 6,
𝑥+𝑦= 3;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3,
𝑥𝑦=3
4.⇒𝑡2−3𝑡+3
4= 0.
(2𝑡)2−6(2𝑡) + 3 = 0 .𝐷/4 = 9−3 = 6 .2𝑡1,2= 3±√
6.
𝑡1,2=3±√
6
2.
Ответ:(︁
3−√
6
2;3+√
6
2)︁
,(︁
3+√
6
2;3−√
6
2)︁
.
Пример 11.
⎧
⎨
⎩𝑥3+𝑦3+𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 13 ,
𝑥2𝑦2(𝑥2+𝑦2) = 468 .
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(𝑥+𝑦)(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2) +𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 13 ,
𝑥2𝑦2(𝑥2+𝑦2) = 468 .
⎧
⎨
⎩(𝑥+𝑦)(𝑥2+𝑦2) = 13 ,
𝑥2𝑦2(𝑥2+𝑦2) = 468 .⇒𝑥2𝑦2(𝑥2+𝑦2)
(𝑥+𝑦)(𝑥2+𝑦2)=468
13.
𝑥2𝑦2
𝑥+𝑦= 36. Введем обозна чения:⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=𝑢,
𝑥𝑦=𝑣.
22 Т еория, примеры и зада чи
⎧
⎨
⎩𝑣2= 36𝑢,
𝑣2(𝑢2−2𝑣) = 468;⎧
⎨
⎩𝑣2= 36𝑢,
𝑣2((36𝑢)2−2·362𝑣) = 468·362.
𝑣2(𝑣4−2·362𝑣) = 13·363⇒𝑣6−2·362𝑣3−13·363= 0.
Введем обозна чение: 𝑡=𝑣3. Т ог да 𝑡2−2·362𝑡−13·363= 0 .
𝐷/4 = 364+ 13·363= 363·49⇒√︀
𝐷/4 = 63·7 = 1 512 .
𝑡1,2= 1 296±1 512⇒ 𝑡1=−216, 𝑡 2= 2 808 .
𝑡=𝑣3⇒𝑣=3√
𝑡⇒𝑣1=−6, 𝑣 2= 63√
13 .
1.⎧
⎨
⎩36𝑢=𝑣2,
𝑣=−6;⎧
⎨
⎩𝑢= 1,
𝑣=−6;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 1,
𝑥𝑦=−6.
Отку да следуют два решения: (3;−2) и(−2; 3) .
2.⎧
⎨
⎩36𝑢=𝑣2,
𝑣= 63√
13;⎧
⎨
⎩𝑢= 132
3,
𝑣= 6·131
3;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 132
3,
𝑥𝑦= 6·131
3.
𝑥 и𝑦 ищем к ак к орни уравнения 𝑡2−132
3𝑡+ 6·131
3 .
𝐷= 134
3−24·131
3= 131
3(13−24)<0 . Р ешений нет .
Ответ: (3;−2) и(−2; 3) .
Пример 12.
⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 49,
𝑥4+𝑥2𝑦2+𝑦4= 931 .
§ 1. Системы двух уравнений 23
Р ешение:
⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 49,
(𝑥2+𝑦2)2−(𝑥𝑦)2= 931;⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 49,
(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2) = 931 .
⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 49,
𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 19;⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 34,
𝑥𝑦= 15;⎧
⎨
⎩(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦= 34,
𝑥𝑦= 15.
⎧
⎨
⎩(𝑥+𝑦)2= 64,
𝑥𝑦= 15.⇒1.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−8,
𝑥𝑦= 15.2.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
𝑥𝑦= 15.
Ответ: (3; 5) ,(5; 3) ,(−3;−5) ,(−5;−3) .
Пример 13.
⎧
⎪⎨
⎪⎩4(︂𝑥2
𝑦2+𝑦2
𝑥2)︂
−6(︂𝑥
𝑦+𝑦
𝑥)︂
= 2,
𝑥2+𝑦2= 5.
Р ешение. Заметим, что𝑥2
𝑦2+𝑦2
𝑥2=(︂𝑥
𝑦+𝑦
𝑥)︂2
−2 . Т ог да
первое уравнение примет вид
4(︃(︂𝑥
𝑦+𝑦
𝑥)︂2
−2)︃
−6(︂𝑥
𝑦+𝑦
𝑥)︂
= 2.
24 Т еория, примеры и зада чи
Пу сть𝑥
𝑦+𝑦
𝑥=𝑡 . После элемент арных преобразований
получим: 4𝑡2−6𝑡−10 = 0 . Корни: 𝑡1=−1 ,𝑡2=5
2.
Заметив, что𝑥
𝑦+𝑦
𝑥=𝑥2+𝑦2
𝑥𝑦, рассмотрим два случая:
1.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2+𝑦2
𝑥𝑦=−1,
𝑥2+𝑦2= 5;⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 5,
𝑥𝑦=−5;⎧
⎨
⎩(𝑥+𝑦)2=−5,
𝑥𝑦=−5.
Поск ольку квадрат вещественного числа не мо ж ет быть
отрицательной величиной, система не имеет решений.
2.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2+𝑦2
𝑥𝑦=5
2,
𝑥2+𝑦2= 5;⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 5,
𝑥𝑦= 2;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=±3,
𝑥𝑦= 2.
Ост алось воспользоватьс я теоремой Виет а.
Ответ: (1; 2) ,(2; 1) ,(−1;−2) ,(−2;−1) .
Пример 14. Р ешить систему уравнений
⎧
⎨
⎩𝑥8+𝑦8+𝑥4+𝑦4= 274 ,
𝑥𝑦= 2.
§ 1. Системы двух уравнений 25
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(𝑥4+𝑦4)2−2𝑥4𝑦4+𝑥4+𝑦4= 274 ,
𝑥4𝑦4= 16.⇒
⇒⎧
⎨
⎩(𝑥4+𝑦4)2+𝑥4+𝑦4−306 = 0 ,
𝑥4𝑦4= 16.
Обозна чим 𝑡=𝑥4+𝑦4.𝑡≥0 .𝑡2+𝑡−306 = 0 . Заметим,
что306 = 17·18 .𝑡1=−18 ,𝑡2= 17 . Отрицательный к орень
отбрасываем. Т ог да
⎧
⎨
⎩𝑥4+𝑦4= 17,
𝑥4𝑦4= 16.⇒𝑡2−17𝑡+ 16 = 0 . 𝑡1= 1, 𝑡2= 16.
1.⎧
⎨
⎩𝑥4= 1,
𝑦4= 16;⎧
⎨
⎩𝑥=±1,
𝑦=±2.
2.⎧
⎨
⎩𝑥4= 16,
𝑦4= 1;⎧
⎨
⎩𝑥=±2,
𝑦=±1.
Поск ольку 𝑥𝑦= 2 ,𝑥 и𝑦 должны иметь о дин знак.
Ответ: (1; 2) ,(2; 1) ,(−1;−2) ,(−2;−1) .
Исследу ем три системы уравнений с параметром.
26 Т еория, примеры и зада чи
В общем случае решить систему с параметром – зна чит
для любого зна чения параметра найти все решения
системы или у ст ановить отсутствие решений. Но у словия
к онкретной зада чи, к ак в следующем примере, могут быть
менее ж есткими.
Пример 15 (ЕГЭ, 2020). Найти все зна чения параметра 𝑎 ,
при к аждом из к оторых система уравнений
⎧
⎨
⎩𝑥4+𝑦2=𝑎2,
𝑥2+𝑦=|𝑎+ 1|
имеет ровно четыре решения.
Р ешение. Введем обозна чение 𝑥2=𝑧 . Т еперь систему
мо жно записать в виде
⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=|𝑎+ 1|,
𝑦2+𝑧2=𝑎2;⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=|𝑎+ 1|,
(𝑦+𝑧)2−2𝑦𝑧=𝑎2;
⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=|𝑎+ 1|,
(𝑎+ 1)2−2𝑦𝑧=𝑎2;⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=|𝑎+ 1|,
𝑦𝑧=𝑎+1
2.
Поск ольку к аждому поло жительному зна чению 𝑧 соответ-
ству ет два зна чения 𝑥=±√𝑧 , нам дост аточно определить,
при к аких зна чениях 𝑎 последняя система уравнений име-
§ 1. Системы двух уравнений 27
ет два поло жительных решения. Эти решения бу дем ис-
к ать к ак к орни квадратного трехчлена 𝑡2−|𝑎+1|·𝑡+𝑎+1
2.
𝐷=𝑎2+ 2𝑎+ 1−4𝑎−2 =𝑎2−2𝑎−1 = ( 𝑎−𝑎1)(𝑎−𝑎2),
г де𝑎1,2= 1±√
2 .
1) При 𝑎∈(1−√
2; 1 +√
2) получим 𝐷 < 0 – трехчлен
не имеет вещественных к орней;
2) при 𝑎= 1±√
2 трехчлен имеет два совпадающих к орня;
3) при 𝑎∈(−∞; 1−√
2)∪(1 +√
2; +∞) – два различных
к орня 𝑡1,2=|𝑎+ 1|±√
𝑎2−2𝑎−1
2.
Ост алось исключить случаи, к ог да о дин из к орней отри-
цателен или равен ну лю.
𝑡1=|𝑎+ 1|+√
𝑎2−2𝑎−1
2всег да неотрицателен, а т акж е
не равен 0 , т ак к ак выраж ения по д мо ду лем и по д знак ом
радик ала о дновременно в ноль не обращаютс я.
𝑡2=|𝑎+ 1|−√
𝑎2−2𝑎−1
2≤0⇒ |𝑎+ 1|≤√
𝑎2−2𝑎−1 .
𝑎2+ 2𝑎+ 1≤𝑎2−2𝑎−1⇒𝑎≤−0,5 .
(−∞; 1−√
2)∪(1 +√
2; +∞)∖(−∞;−0,5] =
= (−0,5; 1−√
2)∪(1 +√
2; +∞).
Ответ: (−0,5; 1−√
2)∪(1 +√
2; +∞) .
28 Т еория, примеры и зада чи
Пример 16 (ЕГЭ, 2020). Найти все зна чения параметра 𝑎 ,
при к аждом из к оторых система уравнений
⎧
⎨
⎩(𝑎𝑦−𝑎𝑥+ 2)( 𝑦−𝑥+ 3𝑎) = 0 ,
|𝑥𝑦|=𝑎
имеет ровно восемь решений.
Р ешение. Из второго уравнения следу ет , что 𝑎≥0 . Р ас-
смотрим случай 𝑎= 0 . Т ог да из первого уравнения следу ет
𝑥=𝑦 , а из второго 𝑥𝑦= 0 . Зна чит , при 𝑎= 0 существу ет
единственное решение: 𝑥=𝑦= 0 . Этот случай нас не инте-
ресу ет . В дальнейшем бу дем рассматривать тольк о 𝑎 >0 .
Введем замену переменной 𝑧=−𝑥 . Т еперь систему мо жно
переписать в виде
⎧
⎨
⎩(𝑦+𝑧=−2
𝑎)∨(𝑦+𝑧=−3𝑎),
(𝑦𝑧=𝑎)∨(𝑦𝑧=−𝑎),г де∨ – логическ ое «или» .
Т аким образом, нам следу ет рассмотреть четыре случая:
1.⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=−2
𝑎,
𝑦𝑧=𝑎.⇒𝑡2+2
𝑎𝑡+𝑎= 0, 𝐷= 4·1−𝑎3
𝑎2.
𝐷 > 0 при𝑎∈(0; 1) – два решения; 𝐷= 0 при𝑎= 1 –
§ 1. Системы двух уравнений 29
о дно решение.
2.⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=−3𝑎,
𝑦𝑧=𝑎.⇒𝑡2+ 3𝑎𝑡+𝑎= 0, 𝐷=𝑎(9𝑎−4).
𝐷 > 0 при𝑎∈(4
9; +∞) – два решения; 𝐷= 0 при𝑎=4
9–
о дно решение.
3.⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=−2
𝑎,
𝑦𝑧=−𝑎.⇒𝑡2+2
𝑎𝑡−𝑎= 0, 𝐷= 4·1 +𝑎3
𝑎2.
𝐷 > 0 при𝑎∈(0; +∞) – два решения.
4.⎧
⎨
⎩𝑦+𝑧=−3𝑎,
𝑦𝑧=−𝑎.⇒𝑡2+ 3𝑎𝑡−𝑎= 0, 𝐷=𝑎(9𝑎+ 4).
𝐷 > 0 при𝑎∈(0; +∞) – два решения.
Помним, что нас интересуют тольк о поло жительные зна-
чения 𝑎 . В двух последних пункт ах имеем в сумме четы-
ре решения при всех 𝑎 из интервала (0; +∞) . Ост альные
четыре принадлеж ат пересечению интервалов 𝑎∈(0; 1)
и(4
9; +∞) из первых двух пунктов, на к аждом из к оторых
имеетс я два решения: (0; 1)∩(4
9; +∞) = (4
9; 1) . Однак о ре-
шения могут совпадать при2
𝑎= 3𝑎 , т . е. при 𝑎=±√︁
2
3.
30 Т еория, примеры и зада чи
Отрицательный к орень нас не интересу ет , а поло житель-
ный, к ак легк о проверить,√︁
2
3>4
9. Исключим этот слу-
чай. Система уравнений бу дет иметь ровно восемь реше-
ний при 𝑎∈(4
9;√︁
2
3)∪(√︁
2
3; 1) .
Ответ: (4
9;√︁
2
3)∪(√︁
2
3; 1) .
Обычно графики стро ят в процессе работы над зада чей.
В нашем случае обратимс я к ним для анализа резу ль т атов.
График первого уравнения распадаетс я на две параллель-
ные пр ямые, график второго – на две гиперболы. Р ешени-
ям соответствуют точки пересечения пр ямых с гипербола-
ми. Как видно на рис. 3, при 𝑎=4
9(левая граница интер-
вала(︁
4
9;√︁
2
3)︁
) т аких пересечений семь, при 𝑎=2
3(внут-
ри интервала(︁
4
9;√︁
2
3)︁
) – восемь пересечений. На рис. 4
Рис. 3. Графики к примеру 16: 𝑎=4
9(слева); 𝑎=2
3(справа)
при𝑎=√︁
2
3(две пр ямые совпадают) – четыре точки, при
§ 1. Системы двух уравнений 31
𝑎=9
10(внутри интервала(︁√︁
2
3; 1)︁
) – восемь точек. На
Рис. 4. Графики к примеру 16: 𝑎=√︁
2
3(слева); 𝑎=9
10(справа)
рис. 5 при 𝑎= 1 (граница интервала(︁√︁
2
3; 1)︁
) – восемь
точек пересечения, при 𝑎=4
3(точк а справа от 1) – четыре
точки пересечения. При движ ении 𝑎 слева направо вдоль
Рис. 5. Графики к примеру 16: 𝑎= 1 (слева); 𝑎=4
3(справа)
вещественной оси о дна пр ямая на график е по днимаетс я
32 Т еория, примеры и зада чи
ввер х параллельно самой себе, а друг ая опу ск аетс я вниз.
Пример 17. Р ешить систему уравнений
⎧
⎨
⎩|𝑥|+|𝑦|= 1,
𝑥2+𝑦2=𝑎.
Р ешение. Из вида уравнений следу ет , что 𝑎≥0 . Гра-
фик первого уравнения – квадрат , второго – окружность
радиу сом√𝑎 (рис 6). Если радиу с окружности меньше√
2
2
Рис. 6. Графики к примеру 17
или больше 1 , система не имеет решений. При радиу се,
равном√
2
2или1 , существуют четыре решения, а если зна-
§ 1. Системы двух уравнений 33
чение радиу са принадлежит интервалу(︁√
2
2; 1)︁
– восемь
решений, т . е. окружность пересек ает квадрат в восьми
точк ах. Т еперь перейдем к аналитическ ому решению.
⎧
⎨
⎩|𝑥|+|𝑦|= 1,
(|𝑥|+|𝑦|)2−2|𝑥||𝑦|=𝑎;⎧
⎨
⎩|𝑥|+|𝑦|= 1,
|𝑥||𝑦|=1−𝑎
2.
𝑡2−𝑡+1−𝑎
2= 0. 𝐷 = 2𝑎−1.
1.𝐷 < 0 при𝑎 <1
2. Р ешений нет .
2.𝐷= 0 при𝑎=1
2⇒|𝑥|=|𝑦|=1
2.
3.𝐷 > 0 при𝑎 >1
2⇒𝑡1,2=1±√2𝑎−1
2.
Однак о|𝑥|≥0,|𝑦|≥0 . Зна чит , (𝑡1≥0)&(𝑡2≥0) .
𝑡1=1 +√2𝑎−1
2≥0 при любом допу стимом 𝑎 .
𝑡2=1−√2𝑎−1
2≥0 , к ог да√2𝑎−1≤1⇒𝑎≤1 .
𝑎= 1⇒𝑡1= 0, 𝑡2= 1. Соответственно|𝑥|= 0,|𝑦|= 1
или|𝑥|= 1,|𝑦|= 0 . При 𝑎 >1 Р ешений нет . Т еперь мы мо-
ж ем сформу лировать ответ .
Ответ: При 𝑎∈(−∞;1
2)∪(1; +∞) Р ешений нет;
при𝑎=1
2– четыре решения: (1
2;1
2),(1
2;−1
2),(−1
2;1
2),(−1
2;−1
2) ;
при𝑎∈(1
2; 1) – восемь решений:(︁
±1−√2𝑎−1
2;±1+√2𝑎−1
2)︁
,(︁
±1+√2𝑎−1
2;±1−√2𝑎−1
2)︁
,(︁
±1−√2𝑎−1
2;∓1+√2𝑎−1
2)︁
,(︁
±1+√2𝑎−1
2;∓1−√2𝑎−1
2)︁
;
при𝑎= 1 – четыре решения: (1; 0) ,(0; 1) ,(−1; 0),(0;−1) .
34 Т еория, примеры и зада чи
Следующее задание для тех, кто дружит с лог арифмами.
Пример 18 (вступительный экзамен, математический фа-
ку ль тет ЛГПИ им. А. И. Г ерцена, 1979). Р ешить систему
уравнений⎧
⎨
⎩𝑥𝑦= 20,
𝑥lg𝑦= 2.
Р ешение. О ДЗ: (𝑥 >0)&(𝑦 >0) . Возьмем лог арифмы от
левых и правых частей уравнений.
⎧
⎨
⎩lg𝑥+ lg𝑦= 1 + lg 2 ,
lg𝑥·lg𝑦= lg 2 .⇒1.⎧
⎨
⎩lg𝑥= 1,
lg𝑦= lg 2 .2.⎧
⎨
⎩lg𝑥= lg 2 ,
lg𝑦= 1.
⇒𝑥= 10, 𝑦= 2 и𝑥= 2, 𝑦= 10 .
Ответ: (10; 2) и(2; 10) .
Пример 19 (вступительный экзамен, математический фа-
ку ль тет Моск овск ого областного педагогическ ого институ-
т а им. Н. К. Крупск ой, 1979). Р ешить систему уравнений
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+√𝑥+𝑦= 20,
𝑥2+𝑦2= 136 .
Р ешение. Обозна чим√𝑥+𝑦=𝑡 ,𝑡≥0 . Первое уравнение
примет вид 𝑡2+𝑡−20 = 0⇒𝑡1=−5, 𝑡2= 4 . У словию
§ 1. Системы двух уравнений 35
𝑡≥0 у довлетвор яет 𝑡= 4 .𝑥+𝑦=𝑡2= 16 .
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 16,
𝑥2+𝑦2= 136;⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 16,
(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦= 136;
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 16,
𝑥𝑦= 60.⇒1.⎧
⎨
⎩𝑥= 6,
𝑦= 10.2.⎧
⎨
⎩𝑥= 10,
𝑦= 6.
Ответ: (6; 10) и(10; 6) .
1.2. Зада чи
7⇔ 41
1.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−7,
𝑥𝑦= 10.2.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3,
𝑥𝑦= 2.3.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
𝑥𝑦= 12.
4.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−3,
𝑥𝑦= 2.5.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3,
𝑥𝑦= 4.6.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 1,
𝑥𝑦=−2.
7.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−1,
𝑥𝑦=−12.8.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−5,
𝑥𝑦=−14.9.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 4,
𝑥𝑦=−21.
36 Т еория, примеры и зада чи
10.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−4,
𝑥𝑦=−12.11.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 9,
𝑥𝑦= 18.12.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−4,
𝑥𝑦=−45.
13.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
𝑥𝑦= 3.14.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=√
3 + 1 ,
𝑥𝑦=√
3.15.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−2,
𝑥𝑦=−2.
16.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3,
𝑥𝑦=−1.17.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=√
2 +√
3,
𝑥𝑦=√
6.
18.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
𝑥𝑦=−1.19.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
𝑥𝑦= 5.20.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 4,
𝑥𝑦= 3.
21.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 5,
𝑥𝑦=−2.22.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 25,
𝑥+𝑦= 7.23.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 13,
𝑥𝑦=−7.
24.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 34,
𝑥𝑦= 15.25.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 101 ,
𝑥+𝑦= 11.26.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 8,
𝑥𝑦=−4.
27.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 5,
𝑥+𝑦= 3.28.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 13,
𝑥+𝑦= 5.29.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 74,
𝑥𝑦=−5.
30.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦−2(𝑥+𝑦) = 2 ,
𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 29.31.⎧
⎨
⎩𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 19,
𝑥𝑦=−7.
§ 1. Системы двух уравнений 37
32.⎧
⎨
⎩𝑥2+ 4𝑥𝑦+𝑦2= 94,
𝑥𝑦= 15.33.⎧
⎨
⎩𝑥2−6𝑥𝑦+𝑦2= 8,
𝑥𝑦= 7.
34.⎧
⎨
⎩𝑥2+ 3𝑥𝑦+𝑦2= 79,
𝑥𝑦= 15.35.⎧
⎨
⎩𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 19,
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 49.
36.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 7,
𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 19.37.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 52.
38.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦= 15,
𝑥+𝑦+𝑥2+𝑦2= 42.39.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 13,
𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 7.
40.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+𝑥𝑦= 5,
𝑥+𝑦−𝑥𝑦= 1.41.⎧
⎨
⎩𝑥+ 2𝑥𝑦+𝑦= 10,
𝑥−2𝑥𝑦+𝑦=−2.
42.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=−7.43.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦−7 = 0 ,
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 43.
44.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+ 4𝑥𝑦= 6,
𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 2 .45.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦−3𝑥−3𝑦=−8,
𝑥2+𝑦2−5𝑥−5𝑦=−12.
46.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦−7𝑥−7𝑦=−9,
𝑥2+𝑦2+ 11( 𝑥+𝑦) = 16 .47.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦−3𝑥−3𝑦=−5,
𝑥2+𝑦2−5𝑥−5𝑦= 0.
38 Т еория, примеры и зада чи
48.⎧
⎨
⎩2𝑥2+𝑥𝑦+ 2𝑦2−𝑥−𝑦= 3,
𝑥2+𝑦2−5𝑥𝑦+ 3𝑥+ 3𝑦= 3.49.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 1.
50.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 7 + 𝑥𝑦,
𝑥3+𝑦3= 6𝑥𝑦−1.51.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 7,
𝑥4+𝑥2𝑦2+𝑦4= 21.
52.⎧
⎨
⎩𝑥3+𝑦3= 133 ,
𝑥+𝑦= 7.53.⎧
⎨
⎩𝑥3+𝑦3= 28,
𝑥2𝑦+𝑥𝑦2= 12.
54.⎧
⎨
⎩𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 7,
𝑥4+𝑥2𝑦2+𝑦4= 91.55.⎧
⎨
⎩𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 3,
𝑥4+𝑥2𝑦2+𝑦4= 21.
56.⎧
⎨
⎩𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2= 21,
𝑥4+𝑥2𝑦2+𝑦4= 609 .57.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦= 3,
𝑥4+𝑦4+𝑥2+𝑦2= 92.
58.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2= 3,
𝑥𝑦(𝑥2+𝑦2) = 2 .59.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 5,
𝑥4+𝑦4= 17.
60.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2= 13,
𝑥3+𝑦3= 19.61.⎧
⎨
⎩𝑥3+𝑦3−𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦= 5,
𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 3.
62.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=1
2,
𝑥+𝑦= 9.63.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=1
2,
𝑥𝑦=−2.64.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=2
3,
𝑥+𝑦= 8.
§ 1. Системы двух уравнений 39
65.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦= 5,
1
𝑥2+1
𝑦2= 13.66.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=5
4,
𝑥𝑦=3
8.67.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=5
6,
𝑥+𝑦= 5.
68.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥
𝑦+𝑦
𝑥=13
6,
𝑥+𝑦= 5.69.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=5
4,
𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 20 .70.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦= 1,
𝑥𝑦= 1.
71.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦= 1,
𝑥+𝑦= 4.72.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=8
7,
𝑥+𝑦= 8.73.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=1
3,
𝑥2+𝑦2= 160 .
74.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=3
2,
1
𝑥2+1
𝑦2=5
4.75.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥+1
𝑦=−1
2,
𝑥+𝑦= 1.76.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2+𝑦2= 29,
𝑥
𝑦+𝑦
𝑥=29
10.
77.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥2+1
𝑦2=5
4,
𝑥+𝑦= 1.78.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2
𝑦2+𝑦2
𝑥2=97
36,
1
𝑥+1
𝑦= 5.
79.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥
𝑦+𝑦
𝑥=34
15,
𝑥2+𝑦2= 34.80.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2
𝑦2+𝑦2
𝑥2=97
36,
1
𝑥+1
𝑦=5
6.
81.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥
𝑦+𝑦
𝑥=17
4,
𝑥2+𝑦2=17
4.82.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥+𝑦+1
𝑥+1
𝑦= 4,
𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 2 .
40 Т еория, примеры и зада чи
83.⎧
⎪⎨
⎪⎩1
𝑥2+1
𝑥𝑦+1
𝑦2=7
16,
𝑥𝑦= 8.84.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2
𝑦+𝑦2
𝑥= 12,
1
𝑥+1
𝑦=1
3.
85.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥𝑦(𝑥+𝑦) = 2 ,
1
𝑥+1
𝑦= 2.86.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥+𝑦= 5,
𝑥−3
𝑦+ 4+𝑦−3
𝑥+ 4=−1
20.
87.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2𝑦+𝑥𝑦2=−2,
1
𝑥𝑦+1
𝑥+𝑦=1
2.88.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥2
𝑦2+𝑦2
𝑥2=𝑥
𝑦+𝑦
𝑥,
𝑥2+𝑦2= 2.
89.⎧
⎪⎨
⎪⎩2(︂𝑥2
𝑦2+𝑦2
𝑥2)︂
−9(︂𝑥
𝑦+𝑦
𝑥)︂
=−14,
𝑥2+𝑦2= 5.
90.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+√𝑥𝑦= 21,
𝑥𝑦= 36.91.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦+√︀
𝑥2+𝑦2=𝑥𝑦
2,
𝑥𝑦= 48.
92.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 10,
√𝑥+√𝑦= 4.93.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦−√𝑥𝑦= 7,
𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦= 133 .
94.⎧
⎪⎨
⎪⎩√︂𝑥
𝑦+√︂𝑦
𝑥=5
2,
𝑥+𝑦= 10.95.⎧
⎪⎨
⎪⎩√︂𝑥
𝑦+√︂𝑦
𝑥=41
20,
𝑥+𝑦= 41.
§ 2. Симметрия относительно выраж ений
2.1. Т еория и примеры
35⇔ 50 Пу сть 𝐹(𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜓(𝑥, 𝑦)) – многочлен от двух
выраж ений: 𝜙(𝑥, 𝑦) и𝜓(𝑥, 𝑦) .
Определение 5. Бу дем говорить, что многочлен
𝐹(𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜓(𝑥, 𝑦)) симметричен относительно выраж ений
𝜙(𝑥, 𝑦) и𝜓(𝑥, 𝑦) , если имеет место то ждество
𝐹(𝜓(𝑥, 𝑦), 𝜙(𝑥, 𝑦))≡𝐹(𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜓(𝑥, 𝑦)) .
Заметим, что 𝜙(𝑥, 𝑦) и𝜓(𝑥, 𝑦) в общем случае несиммет-
ричны, а зна чит , и 𝐹(𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜓(𝑥, 𝑦)) в общем случае
не являетс я симметрическим выраж ением от 𝑥 и𝑦 .
Определение 6. Бу дем называть систему уравнений
симметрическ ой относительно 𝜙(𝑥, 𝑦) и𝜓(𝑥, 𝑦) , если все
вх о дящие в нее выраж ения симметричны относительно
𝜙(𝑥, 𝑦) и𝜓(𝑥, 𝑦) .
Пример 13.⎧
⎨
⎩2𝑥−3𝑦= 5,
𝑥𝑦= 6.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(2𝑥) + (−3𝑦) = 5 ,
(2𝑥)(−3𝑦) =−36,⇒𝑡2−5𝑡−36 = 0⇒𝑡1=−4, 𝑡2= 9.
42 Т еория, примеры и зада чи
1.⎧
⎨
⎩2𝑥=−4,
−3𝑦= 9;⎧
⎨
⎩𝑥=−2,
𝑦=−3.2.⎧
⎨
⎩2𝑥= 9,
−3𝑦=−4;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=9
2,
𝑦=4
3.
Ответ: (−2;−3),(︀9
2;4
3)︀
.
Р азберем решение. Левую и правую части второго урав-
нения мы умно жили на 2 и на−3 и, т аким образом, по-
лучили систему , симметричную относительно выраж ений
(2𝑥) и(−3𝑦) . Далее, опираясь на обратную теорему Виет а,
нашли зна чения этих выраж ений к ак к орней нек оторого
квадратного уравнения, а затем и сами неизвестные.
Пример 14.⎧
⎨
⎩5𝑥−2𝑦= 24,
𝑥𝑦=−1.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(5𝑥) + (−2𝑦) = 24 ,
(5𝑥)(−2𝑦) = 10 .⇒𝑡2−24𝑡+10 = 0⇒𝑡1,2= 12±√
134.
1.⎧
⎨
⎩5𝑥= 12−√
134,
−2𝑦= 12 +√
134;⎧
⎨
⎩𝑥=12−√
134
5,
𝑦=−12−√
134
2.
2.⎧
⎨
⎩5𝑥= 12 +√
134,
−2𝑦= 12−√
134;⎧
⎨
⎩𝑥=12+√
134
5,
𝑦=−12+√
134
2.
§ 2. Симметрия относительно выраж ений 43
Ответ:(︁
12−√
134
5;−12−√
134
2)︁
,(︁
12+√
134
5;−12+√
134
2)︁
.
Т от , к ому прих о дилось решать т акие системы мето дом
по дст ановки, сог ласитс я, что у нас это получилось быстро
и без особого напр яж ения.
Пример 15.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
(𝑥−3)(𝑦+ 1) = 8 .
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(𝑥−3) + ( 𝑦+ 1) = 6 ,
(𝑥−3)(𝑦+ 1) = 8;1.⎧
⎨
⎩𝑥−3 = 2 ,
𝑦+ 1 = 4 .2.⎧
⎨
⎩𝑥−3 = 4 ,
𝑦+ 1 = 2 .
Ответ: (5; 3) ,(7; 1) .
Пример 16.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
(𝑥−2)(𝑦+ 4) = 3 .
Р ешение:
⎧
⎨
⎩(𝑥−2) + ( 𝑦+ 4) = 7 ,
(𝑥−2)(𝑦+ 4) = 3 .⇒𝑡2−7𝑡+3 = 0⇒𝑡1,2=7±√
37
2.
44 Т еория, примеры и зада чи
1.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥−2 =7−√
37
2,
𝑦+ 4 =7 +√
37
2;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=11−√
37
2,
𝑦=−1 +√
37
2.
2.⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥−2 =7 +√
37
2,
𝑦+ 4 =7−√
37
2;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=11 +√
37
2,
𝑦=−1−√
37
2.
Ответ:(︁
11−√
37
2;−1+√
37
2)︁
,(︁
11+√
37
2;−1−√
37
2)︁
.
Пример 17.
⎧
⎨
⎩3𝑥+ 5𝑦= 11,
(𝑥+ 1)( 𝑦−2) =−4.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩3𝑥+ 5𝑦= 11,
(3𝑥+ 3)(5 𝑦−10) =−60;⎧
⎨
⎩(3𝑥+ 3) + (5 𝑦−10) = 4 ,
(3𝑥+ 3)(5 𝑦−10) =−60.
𝑡2−4𝑡−60 = 0⇒𝑡1= 10, 𝑡2=−6.
1.⎧
⎨
⎩3𝑥+ 3 = 10 ,
5𝑦−10 =−6;⎧
⎨
⎩3𝑥= 7,
5𝑦= 4;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=7
3,
𝑦=4
5.
§ 2. Симметрия относительно выраж ений 45
2.⎧
⎨
⎩3𝑥+ 3 =−6,
5𝑦−10 = 10;⎧
⎨
⎩3𝑥=−9,
5𝑦= 20;⎧
⎨
⎩𝑥=−3,
𝑦= 4.
Ответ:(︀7
3;4
5)︀
,(−3; 4) .
Пример 18.⎧
⎨
⎩3𝑥−4𝑦= 5,
(𝑥−2)(𝑦−3) = 2 .
Р ешение:
⎧
⎨
⎩3𝑥−4𝑦= 5,
(3𝑥−6)(−4𝑦+ 12) =−24;⎧
⎨
⎩(3𝑥−6) + (−4𝑦+ 12) = 11 ,
(3𝑥−6)(−4𝑦+ 12) =−24.
𝑡2−11𝑡−24 = 0⇒𝑡1=11 +√
217
2, 𝑡2=11−√
217
2.
1.⎧
⎪⎨
⎪⎩3𝑥−6 =11 +√
217
2,
−4𝑦+ 12 =11−√
217
2;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=23 +√
217
6,
𝑦=13 +√
217
8.
2.⎧
⎪⎨
⎪⎩3𝑥−6 =11−√
217
2,
−4𝑦+ 12 =11 +√
217
2;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=23−√
217
6,
𝑦=13−√
217
8.
Ответ:(︁
23+√
217
6;13+√
217
8)︁
,(︁
23−√
217
6;13−√
217
8)︁
.
Следующий прием основан на то ждестве, док азательство
46 Т еория, примеры и зада чи
к оторого не сост авляет тру да:
𝑥𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦= (𝑥+𝑏)(𝑦+𝑎)−𝑎𝑏.
Пример 19.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
3𝑥−2𝑦+𝑥𝑦= 14.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
(𝑥−2)(𝑦+ 3) + 6 = 14;⎧
⎨
⎩(𝑥−2) + ( 𝑦+ 3) = 9 ,
(𝑥−2)(𝑦+ 3) = 8 .
𝑡1= 1, 𝑡2= 8.
1.⎧
⎨
⎩𝑥−2 = 1 ,
𝑦+ 3 = 8;⎧
⎨
⎩𝑥= 3,
𝑦= 5.2.⎧
⎨
⎩𝑥−2 = 8 ,
𝑦+ 3 = 1;⎧
⎨
⎩𝑥= 10,
𝑦=−2.
Ответ: (3; 5) ,(10;−2) .
Пример 20.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
2𝑥+ 5𝑦+𝑥𝑦=−2.
§ 2. Симметрия относительно выраж ений 47
Р ешение:
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
(𝑥+ 5)( 𝑦+ 2) = 8;⎧
⎨
⎩(𝑥+ 5) + ( 𝑦+ 2) = 12 ,
(𝑥+ 5)( 𝑦+ 2) = 8 .
⇒𝑡2−12𝑡+ 8 = 0⇒𝑡1,2= 6±2√
7.
1.⎧
⎨
⎩𝑥+ 5 = 6−2√
7,
𝑦+ 2 = 6 + 2√
7;⎧
⎨
⎩𝑥= 1−2√
7,
𝑦= 4 + 2√
7.
2.⎧
⎨
⎩𝑥+ 5 = 6 + 2√
7,
𝑦+ 2 = 6−2√
7;⎧
⎨
⎩𝑥= 1 + 2√
7,
𝑦= 4−2√
7.
Ответ:(︀
1−2√
7; 4 + 2√
7)︀
,(︀
1 + 2√
7; 4−2√
7)︀
.
Пример 21.⎧
⎨
⎩4𝑥+ 7𝑦= 15,
3𝑥−5𝑦+ 2𝑥𝑦= 5.
Р ешение:
⎧
⎨
⎩4𝑥+ 7𝑦= 15,
3
2𝑥−5
2𝑦+𝑥𝑦=5
2;⎧
⎪⎨
⎪⎩4𝑥+ 7𝑦= 15,(︂
𝑥−5
2)︂(︂
𝑦+3
2)︂
=−5
4.
48 Т еория, примеры и зада чи
⎧
⎪⎨
⎪⎩4𝑥+ 7𝑦= 15,
(4𝑥−10)(︂
7𝑦+21
2)︂
=−35;⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩(4𝑥−10) +(︂
7𝑦+21
2)︂
=31
2,
(4𝑥−10)(︂
7𝑦+21
2)︂
=−35.
⇒𝑡2−31
2𝑡−35 = 0⇒𝑡1=−2, 𝑡2=35
2.
1.⎧
⎨
⎩4𝑥−10 =−2,
7𝑦+21
2=35
2;⎧
⎨
⎩4𝑥= 8,
7𝑦= 7;⎧
⎨
⎩𝑥= 2,
𝑦= 1.
2.⎧
⎪⎨
⎪⎩4𝑥−10 =35
2,
7𝑦+21
2=−2;⎧
⎪⎨
⎪⎩4𝑥=55
2,
7𝑦=−25
2;⎧
⎪⎨
⎪⎩𝑥=55
8,
𝑦=−25
14.
Ответ: (2; 1) ,(︀55
8;−25
14)︀
.
Не проще ли было в первом уравнении выразить 𝑥 через 𝑦
и по дст авить во второе? Возмо жно. Однак о здесь мы всего
лишь иллюстриру ем прием, к оторый в другой ситу ации
мо ж ет ок азатьс я более эффективным.
Пример 22.
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−8,
𝑥2+𝑦2+ 6𝑥+ 2𝑦= 0.
§ 2. Симметрия относительно выраж ений 49
Р ешение:
⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−8,
(𝑥+ 3)2+ (𝑦+ 1)2= 10;⎧
⎨
⎩(𝑥+ 3) + ( 𝑦+ 1) =−4,
(𝑥+ 3)2+ (𝑦+ 1)2= 10.
⎧
⎨
⎩𝑢=𝑥+ 3,
𝑣=𝑦+ 1;⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣=−4,
𝑢2+𝑣2= 10;⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣=−4,
(𝑢+𝑣)2−2𝑢𝑣= 10.
⎧
⎨
⎩𝑢+𝑣=−4,
𝑢𝑣= 3.⇒𝑡1=−1, 𝑡2=−3.
1.⎧
⎨
⎩𝑢=−1,
𝑣=−3;⎧
⎨
⎩𝑥+ 3 =−1,
𝑦+ 1 =−3;⎧
⎨
⎩𝑥=−4,
𝑦=−4.
2.⎧
⎨
⎩𝑢=−3,
𝑣=−1;⎧
⎨
⎩𝑥+ 3 =−3,
𝑦+ 1 =−1;⎧
⎨
⎩𝑥=−6,
𝑦=−2.
Ответ: (−4;−4) ,(−6;−2) .
Пример 23.⎧
⎨
⎩𝑥𝑦+𝑥2= 2,
2𝑥+ 3𝑦= 4.
Р ешение: ⎧
⎨
⎩𝑥(𝑥+𝑦) = 2 ,
3(𝑥+𝑦)−𝑥= 4.
50 Т еория, примеры и зада чи
Введем замену переменных 𝑥+𝑦=𝑧 .
⎧
⎨
⎩−𝑥+ 3𝑧= 4,
𝑥𝑧= 2;⎧
⎨
⎩(−𝑥) + (3 𝑧) = 4 ,
(−𝑥)(3𝑧) =−6.
𝑡2−4𝑡−6 = 0⇒𝑡1,2= 2±√
10.
1.⎧
⎨
⎩−𝑥= 2−√
10,
3(𝑥+𝑦) = 2 +√
10;⎧
⎨
⎩𝑥=−2 +√
10,
𝑦=8−2√
10
3.
2.⎧
⎨
⎩−𝑥= 2 +√
10,
3(𝑥+𝑦) = 2−√
10;⎧
⎨
⎩𝑥=−2−√
10,
𝑦=8+2√
10
3.
Ответ:(︁
−2 +√
10;8−2√
10
3)︁
,(︁
−2−√
10;8+2√
10
3)︁
.
2.2. Зада чи
41⇔ 54
96.⎧
⎨
⎩𝑥+ 5𝑦= 7,
𝑥𝑦= 2.97.⎧
⎨
⎩7𝑥−4𝑦= 2,
𝑥𝑦= 6.98.⎧
⎨
⎩2𝑥−5𝑦=−4,
𝑥𝑦= 6.
99.⎧
⎨
⎩3𝑥−7𝑦= 8,
𝑥𝑦= 5.100.⎧
⎨
⎩5𝑥+𝑦=−5,
𝑥𝑦=−10.101.⎧
⎨
⎩5𝑥−2𝑦= 10,
𝑥𝑦= 20.
§ 2. Симметрия относительно выраж ений 51
102.⎧
⎨
⎩11𝑥−3𝑦= 3,
𝑥𝑦= 30.103.⎧
⎨
⎩2𝑥+ 3𝑦= 43,
𝑥𝑦= 72.104.⎧
⎨
⎩5𝑥−4𝑦= 5,
𝑥𝑦= 15.
105.⎧
⎨
⎩3𝑥+ 4𝑦= 2,
𝑥𝑦=−4.106.⎧
⎨
⎩𝑥−7𝑦=−1,
𝑥𝑦= 6.107.⎧
⎨
⎩2𝑥+ 5𝑦=−2,
𝑥𝑦=−12.
108.⎧
⎨
⎩2𝑥+ 5𝑦= 2,
𝑥𝑦= 5.109.⎧
⎨
⎩2𝑥−5𝑦= 10,
𝑥𝑦= 2.110.⎧
⎨
⎩3𝑥−𝑦= 8,
𝑥𝑦= 2.
111.⎧
⎨
⎩7𝑥+ 2𝑦= 20,
𝑥𝑦=−1.112.⎧
⎨
⎩3𝑥−2𝑦= 3,
𝑥𝑦=−3.113.⎧
⎨
⎩2𝑥+ 6𝑦= 13,
𝑥𝑦= 2.
114.⎧
⎨
⎩2𝑥−9𝑦= 5,
𝑥𝑦=−2.115.⎧
⎨
⎩7𝑥−5𝑦=−14,
𝑥𝑦= 1.116.⎧
⎨
⎩3𝑥+ 6𝑦=−18,
𝑥𝑦= 3.
117.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
(𝑥+ 2)( 𝑦+ 3) = 24 .118.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−3,
(𝑥−2)(𝑦+ 1) =−5.
119.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 7,
(𝑥+ 2)( 𝑦−3) = 8 .120.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 4,
(𝑥+ 3)( 𝑦+ 3) = 24 .
121.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−7,
(𝑥−2)(𝑦+ 2) = 12 .122.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
(𝑥+ 5)( 𝑦−3) =−12.
52 Т еория, примеры и зада чи
123.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 20,
(𝑥−8)(𝑦−2) = 16 .124.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−12,
(𝑥+ 10)( 𝑦+ 6) = 4 .
125.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
(𝑥+ 1)( 𝑦+ 2) = 7 .126.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 7,
(𝑥−1)(𝑦−3) = 2 .
127.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
(𝑥+ 3)( 𝑦−2) = 5 .128.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
(𝑥+ 2)( 𝑦+ 4) = 2 .
129.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−6,
(𝑥−2)(𝑦+ 5) = 3 .130.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 1,
(𝑥−5)(𝑦−6) = 2 .
131.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 3,
(𝑥−5)(𝑦+ 6) = 4 .132.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 2,
(𝑥+ 1)( 𝑦+ 2) =−3.
133.⎧
⎨
⎩2𝑥+ 3𝑦= 8,
(𝑥+ 2)( 𝑦+ 1) = 9 .134.⎧
⎨
⎩5𝑥−𝑦= 2,
(𝑥+ 3)( 𝑦−2) = 4 .
135.⎧
⎨
⎩3𝑥+ 4𝑦=−7,
(𝑥−5)(𝑦+ 2) =−6.136.⎧
⎨
⎩𝑥−7𝑦= 1,
(𝑥−2)(𝑦−3) =−12.
137.⎧
⎨
⎩3𝑥+𝑦=−2,
(𝑥+ 3)( 𝑦−5) =−8.138.⎧
⎨
⎩2𝑥−5𝑦=−1,
(𝑥+ 3)( 𝑦+ 5) = 30 .
§ 2. Симметрия относительно выраж ений 53
139.⎧
⎨
⎩2𝑥−3𝑦= 20,
(𝑥+ 10)( 𝑦+ 5) = 2 .140.⎧
⎨
⎩3𝑥+ 5𝑦= 2,
(𝑥+ 2)( 𝑦−1) = 3 .
141.⎧
⎨
⎩7𝑥−5𝑦= 3,
(𝑥−3)(𝑦+ 5) = 5 .142.⎧
⎨
⎩2𝑥−𝑦=−2,
(𝑥−1)(𝑦−1) = 5 .
143.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 4,
3𝑥−8𝑦+𝑥𝑦=−6.144.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−2,
2𝑥+𝑦+𝑥𝑦=−14.
145.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 8,
7𝑥+ 3𝑦+𝑥𝑦= 44.146.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−1,
3𝑥−8𝑦−𝑥𝑦= 36.
147.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦= 5,
5𝑥+ 2𝑦+ 2𝑥𝑦= 28.148.⎧
⎨
⎩𝑥+𝑦=−4,
3𝑥+ 5𝑦−3𝑥𝑦=−28.
§ 3. Cистемы трех уравнений
3.1. Т еория и примеры
50⇔ 70 Док аж ем теорему Виет а для случая многочлена
3-й степени. Пу сть многочлен предст авлен в виде
𝑥3+𝑝𝑥2+𝑟𝑥+𝑞 (4)
и имеет вещественные к орни 𝑥1 ,𝑥2 и𝑥3 . Т ог да его мо жно
разло жить в произведение линейных членов:
𝑥3+𝑝𝑥2+𝑟𝑥+𝑞= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3).
Р аскроем ск обки и приведем по добные:
(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3) =
=𝑥3−(𝑥1+𝑥2+𝑥3)𝑥2+ (𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3)𝑥−𝑥1𝑥2𝑥3.
Приравняем к оэффициенты при степенях 𝑥 :
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥1+𝑥2+𝑥3=−𝑝,
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3=𝑟,
𝑥1𝑥2𝑥3=−𝑞.(5)
§ 3. Cистемы трех уравнений 55
Т еорема 5 (теорема Виет а). Если 𝑥1 ,𝑥2 и𝑥3 – к орни
многочлена (4), то их сумма равна к оэффициенту при 𝑥2
с противополо жным знак ом, сумма попарных произведе-
ний – к оэффициенту при 𝑥 , а произведение 𝑥1𝑥2𝑥3 –
свобо дному члену с противополо жным знак ом (5).
Т еорема 6 (обратная теорема Виет а). Если перемен-
ные𝑥1 ,𝑥2 и𝑥3 у довлетвор яют у словиям (5), то они явля-
ютс я к орнями многочлена (4).
Определение 7. Многочлен 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) от трех переменных
𝑥 ,𝑦 и𝑧 бу дем называть симметрическим, если в резу ль т а-
те любых перест ановок вх о дящих в него переменных 𝑥 ,𝑦
и𝑧 получаетс я многочлен, то ждественный ис х о дному .
Например, 𝐹(𝑧, 𝑥, 𝑦 )≡𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) . Следу ет обратить вни-
мание на то, что симметричностью многочлен обладает
тольк о относительно заданного набора переменных. Т ак,
многочлен 𝑥+𝑦 симметричен относительно 𝑥 и𝑦 , но несим-
метричен относительно 𝑥 ,𝑦 и𝑧 .
Как и в случае двух переменных, симметрическими мо-
гут быть не тольк о многочлены, но и другие выраж ения,
например:𝑥2+𝑦2+𝑧2
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧,√
2𝑥+√2𝑦+√
2𝑧 ,2𝑥+ 2𝑦+ 2𝑧.
Определение 8. Выраж ение 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) от трех перемен-
ных 𝑥 ,𝑦 и𝑧 бу дем называть симметрическим, если
в резу ль т ате любых перест ановок вх о дящих в него
56 Т еория, примеры и зада чи
переменных 𝑥 ,𝑦 и𝑧 получаетс я выраж ение, то ждествен-
ное ис х о дному .
Определение 9 . Многочлены 𝜎1=𝑥+𝑦+𝑧 ,
𝜎2=𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 и𝜎3=𝑥𝑦𝑧 – элемент арные симмет-
рические многочлены от переменных 𝑥 ,𝑦 и𝑧 .
Приведем без док азательства две теоремы.
Т еорема 6 . Если в любом многочлене 𝐹(𝜎1, 𝜎2, 𝜎3) вместо
𝜎1 ,𝜎2 и𝜎3 по дст авить соответственно 𝑥+𝑦+𝑧 ,𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧
и𝑥𝑦𝑧 , то получитс я симметрический многочлен.
Т еорема 7 . Любой симметрический многочлен от 𝑥 ,𝑦 и𝑧
мо жно предст авить в виде многочлена от 𝜎1=𝑥+𝑦+𝑧 ,
𝜎2=𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 и𝜎3=𝑥𝑦𝑧 .
В частности:
𝑥+𝑦+𝑧=𝜎1,
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝜎2
1−2𝜎2,
𝑥3+𝑦3+𝑧3=𝜎3
1−3𝜎1𝜎2+ 3𝜎3,
𝑥4+𝑦4+𝑧4=𝜎4
1−4𝜎2
1𝜎2+ 2𝜎2
2+ 4𝜎1𝜎3. (6)
§ 3. Cистемы трех уравнений 57
Еще три полезных то ждества:
𝑥2𝑦+𝑥𝑦2+𝑥2𝑧+𝑥𝑧2+𝑦2𝑧+𝑦𝑧2=𝜎1𝜎2−3𝜎3,
𝑥2𝑦2+𝑥2𝑧2+𝑦2𝑧2=𝜎2
2−2𝜎1𝜎3,
𝑥3𝑦+𝑥𝑦3+𝑥3𝑧+𝑥𝑧3+𝑦3𝑧+𝑦𝑧3=𝜎2
1𝜎2−2𝜎2
2−𝜎1𝜎3.
(7)
Определение 10 . Уравнение, в к оторое вх о дят тольк о
симметрические по заданному набору переменных выра-
ж ения, бу дем называть симметрическим.
Пример 24.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧=−2,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−5,
𝑥𝑦𝑧= 6.
Р ешение. Сог ласно обратной теореме Виет а 𝑥 ,𝑦 и𝑧 долж-
ны быть к орнями многочлена 𝑡3+2𝑡2−5𝑡−6 . Ищем целые
к орни среди делителей свобо дного члена (−6) . По дст анов-
к а пок азывает , что о дним из к орней бу дет 𝑡1=−1 . В т а-
к ом случае наш многочлен долж ен без ост атк а делитьс я
на𝑡+ 1 .
58 Т еория, примеры и зада чи
𝑡3+2𝑡2−5𝑡−6 𝑡+ 1
𝑡3+𝑡2𝑡2+𝑡−6
𝑡2−5𝑡
𝑡2+𝑡
−6𝑡−6
−6𝑡−6
0
Найдем к орни частного 𝑡2+𝑡−6 и запишем:
𝑡3+ 2𝑡2−5𝑡−6 = ( 𝑡+ 1)( 𝑡2+𝑡−6) = ( 𝑡+ 1)( 𝑡+ 3)( 𝑡−2).
Т аким образом, многочлен имеет три к орня: 𝑡1=−1 ,
𝑡2=−3 и𝑡3= 2 . В силу симметричности системы урав-
нений, ее решениями бу дут все возмо жные перест ановки
этих зна чений: 𝑥1=−1, 𝑦1=−3, 𝑧1= 2 ;𝑥2=−1, 𝑦2= 2,
𝑧2=−3 и т . д.
Ответ: (−1;−3; 2) ,(−1; 2;−3) ,(−3;−1; 2) ,(−3; 2;−1) ,
(2;−1;−3) ,(2;−3;−1) .
Пример 25.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 3,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧= 1,
𝑥𝑦𝑧=−2.
§ 3. Cистемы трех уравнений 59
Р ешение: 𝑥 ,𝑦 и𝑧 должны быть к орнями многочлена
𝑡3−3𝑡2+𝑡+2 . Ищем целые к орни среди делителей свобо дно-
го члена 2 . По дст ановк а пок азывает , что о дним из к орней
бу дет 𝑡1= 2 . В т ак ом случае наш многочлен долж ен без
ост атк а делитьс я на (𝑡−2) .
𝑡3−3𝑡2+𝑡+2 𝑡−2
𝑡3−2𝑡2𝑡2−𝑡−1
−𝑡2+𝑡
−𝑡2+2𝑡
−𝑡+2
−𝑡+2
0
Найдем к орни трехчлена 𝑡2−𝑡−1 :𝑡2=1−√
5
2и𝑡3=1+√
5
2.
𝑡3−3𝑡2+𝑡+ 2 = ( 𝑡−2)(︃
𝑡−1−√
5
2)︃(︃
𝑡−1 +√
5
2)︃
.
В силу симметричности системы уравнений, ее решениями
бу дут все возмо жные перест ановки зна чений 𝑡1 ,𝑡2 и𝑡3 .
Ответ:(︁
2;1−√
5
2;1+√
5
2)︁
,(︁
2;1+√
5
2;1−√
5
2)︁
,(︁
1−√
5
2; 2;1+√
5
2)︁
,(︁
1+√
5
2; 2;1−√
5
2)︁
,(︁
1−√
5
2;1+√
5
2; 2)︁
,(︁
1+√
5
2;1−√
5
2; 2)︁
.
60 Т еория, примеры и зада чи
Пример 26.⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩𝑥
𝑦+𝑦
𝑧+𝑧
𝑥= 3,
𝑦
𝑥+𝑧
𝑦+𝑥
𝑧= 3,
𝑥+𝑦+𝑧= 3.
Р ешение. Введем обозна чения:
⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩𝑎=𝑥
𝑦,
𝑏=𝑦
𝑧,
𝑎=𝑧
𝑥.⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑎+𝑏+𝑐= 3,
𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐= 3,
𝑎𝑏𝑐= 1.
Зна чения 𝑎 ,𝑏 и𝑐 должны быть к орнями многочлена
𝑡3−3𝑡2+ 3𝑡−1⇒(𝑡−1)3= 0 . Три совпадающих
к орня. Следовательно, 𝑎=𝑏=𝑐⇒𝑥
𝑦=𝑦
𝑧=𝑧
𝑥= 1 . Далее
𝑥=𝑦=𝑧 . Из у словия 𝑥+𝑦+𝑧= 3 следу ет 𝑥=𝑦=𝑧= 1 .
Ответ: (1; 1; 1) .
Пример 27.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 6,
𝑥2+𝑦2+𝑧2= 12,
𝑥4+𝑦4+𝑧4= 48.
§ 3. Cистемы трех уравнений 61
Р ешение. Воспользу емс я форму лами (6) на с. 56.
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧=𝜎1,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=𝜎2,
𝑥𝑦𝑧=𝜎3;⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 6,
𝜎2
1−2𝜎2= 12,
𝜎4
1−4𝜎2
1𝜎2+ 2𝜎2
2+ 4𝜎1𝜎3= 48.
Применяя поочередную по дст ановку , нах о дим 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 .
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 6,
𝜎2= 12,
𝜎3= 8.⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 6,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧= 12,
𝑥𝑦𝑧= 8.
Зна чения 𝑥 ,𝑦 и𝑧 должны быть к орнями многочлена
𝑡3−6𝑡2+ 12𝑡−8⇒(𝑡−2)3= 0 . Три совпадающих
к орня. Следовательно, 𝑥=𝑦=𝑧= 2 .
Ответ: (2; 2; 2) .
Пример 28.
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 2,
(𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧) + (𝑦+𝑧)(𝑧+𝑥) + (𝑧+𝑥)(𝑥+𝑦) = 1 ,
𝑥2(𝑦+𝑧) +𝑦2(𝑧+𝑥) +𝑧2(𝑥+𝑦) =−6.
Р ешение. Р аскроем ск обки во втором и третьем уравне-
ниях системы и обратимс я к форму лам (6) и (7) на с. 56.
62 Т еория, примеры и зада чи
Систему мо жно переписать в виде
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 2,
3𝜎2+𝜎2
1−2𝜎2= 1,
𝜎1𝜎2−3𝜎3=−6;⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 6,
𝜎2=−3,
−6−3𝜎3=−6;⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 6,
𝜎2=−3,
𝜎3= 0.
Зна чения 𝑥 ,𝑦 и𝑧 должны быть к орнями многочлена
𝑡3−2𝑡2−3𝑡=𝑡(𝑡2−2𝑡−3)⇒𝑡1= 0, 𝑡2=−1, 𝑡3= 3 .
Ответ: (−1; 0; 3) ,(−1; 3; 0) ,(0;−1; 3) ,(0; 3;−1) ,(3;−1; 0) ,
(3; 0;−1) .
Пример 29.⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2+𝑧2= 12,
𝑥𝑦+𝑦𝑥+𝑥𝑧= 12.
Р ешение. Вычтем из левой части первого уравнения ле-
вую часть второго, соответственно – из правой правую.
⎧
⎨
⎩𝑥2+𝑦2+𝑧2−𝑥𝑦+𝑦𝑥+𝑥𝑧= 0,
𝑥𝑦+𝑦𝑥+𝑥𝑧= 12.
Умно жим левую и правую части первого уравнения на 2.
2𝑥2+ 2𝑦2+ 2𝑧2−2𝑥𝑦+ 2𝑦𝑥+ 2𝑥𝑧 = 0⇒
⇒(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2) + (𝑥2−2𝑥𝑧+𝑧2) + (𝑦2−2𝑦𝑧+𝑧2) = 0⇒
⇒(𝑥−𝑦)2+ (𝑥−𝑧)2+ (𝑦−𝑧)2= 0⇒𝑥=𝑦=𝑧 . По дст авив
§ 3. Cистемы трех уравнений 63
в уравнение 𝑥2+𝑦2+𝑧2= 12 переменную 𝑥 вместо 𝑦 и𝑧 ,
получим: 3𝑥2−12⇒𝑥=±2 .
Ответ: (2; 2; 2) ,(−2;−2;−2) .
Пример 30. Р ешить систему уравнений с параметром 𝑎 :
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 2,
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝑎,
𝑥3+𝑦3+𝑧3= 8.
Р ешение. Обратимс я к форму лам (6) на с. 56.
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 2,
𝜎2
1−2𝜎2=𝑎,
𝜎3
1−3𝜎1𝜎3+ 3𝜎3= 8.⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝜎1= 2,
𝜎2=4−𝑎
2,
𝜎3= 4−𝑎.
𝑡3−2𝑡2+4−𝑎
2𝑡−(4−𝑎) = 0⇒(𝑡−2)(︀
𝑡2+4−𝑎
2)︀
= 0 . Все
к орни бу дут вещественными тольк о при4−𝑎
2≤0 , т . е. при
𝑎≥4 :𝑡1= 2, 𝑡2=−√︁
𝑎−4
2, 𝑡3=√︁
𝑎−4
2.
Ответ: при𝑎 <4 система не имеет решений,
при𝑎= 4 : (2; 0; 0) ,(0; 2; 0) ,(0; 0; 2) ,
при 𝑎 > 4 :(︁
2;−√︁
𝑎−4
2;√︁
𝑎−4
2)︁
,(︁
2;√︁
𝑎−4
2;−√︁
𝑎−4
2)︁
,
(︁
−√︁
𝑎−4
2; 2;√︁
𝑎−4
2)︁
,(︁√︁
𝑎−4
2; 2;−√︁
𝑎−4
2)︁
,(︁
−√︁
𝑎−4
2;√︁
𝑎−4
2; 2)︁
,
(︁√︁
𝑎−4
2;−√︁
𝑎−4
2; 2)︁
.
64 Т еория, примеры и зада чи
Следующие три примера рассчит аны на «про двинутого»
ст аршеклассник а, друж ащего с к омплек сными числами
и произво дными.
Пример 31. Определить, при к аких зна чениях парамет-
ров𝑎 и𝑏 система имеет ровно о дно вещественное решение
и найти это решение.
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 3𝑎,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧= 3𝑏,
𝑥𝑦𝑧= 1.
Р ешение. Р ассмотрим многочлен
𝑓(𝑡) =𝑡3−3𝑎𝑡2+ 3𝑏𝑡−1. (8)
Из теории известно, что многочлен 3-й степени мо ж ет
иметь о дин или три вещественных к орня. Если веществен-
ный к орень о дин (два других к омплек сные), то система
не имеет вещественных решений. Если многочлен имеет
три вещественных к орня: 𝑡1 ,𝑡2 и𝑡3 , то решениями ис х о д-
ной системы уравнений бу дут тройки (𝑥;𝑦;𝑧) , полученные
из всех возмо жных перест ановок 𝑡1 ,𝑡2 и𝑡3 . В частности,
если мы имеем три различных к орня, система бу дет иметь
3! = 6 решений. Одно решение возмо жно тольк о тог да,
§ 3. Cистемы трех уравнений 65
к ог да все три к орня совпадают , т . е. многочлен мо жно
предст авить в виде
𝑓(𝑡) = (𝑡−𝑐)3=𝑡3−3𝑐𝑡2+ 3𝑐2𝑡−𝑐3. (9)
Приравняем к оэффициеты в правых част ях уравнений
8 и 9: ⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩−3𝑎=−3𝑐,
3𝑏= 3𝑐2
−𝑐3=−1.⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑎= 1,
𝑏= 1,
𝑐= 1.
Т аким образом, 𝑎= 1 ,𝑏= 1 и𝑡1=𝑡2=𝑡3= 1 .
𝑓(𝑡) =𝑡3−3𝑡2+ 3𝑡−1 . График функции 𝑓(𝑡) предст ав-
лен на рис. 7.
Рис. 7. График многочлена 𝑓(𝑡)
Ответ . Т ольк о при у словии (𝑎= 1)&( 𝑏= 1) система имеет
ровно о дно решение: 𝑥=𝑦=𝑧= 1 .
66 Т еория, примеры и зада чи
А что если задать возмущение о дного из параметров, т . е.
изменить его на небольшую величину? Например, пу сть
𝑏= 1.001 . Построим график уравнения с возмущенным
параметром: 𝑓(𝑡) = 𝑡3−3𝑡2+ 3·1.001𝑡−1 . Ок аж етс я,
что он визу ально неот личим от изображ енного на рис. 7
и т акж е пересек ает ось абсцисс тольк о в о дной точк е.
Мо ж ет , и в этом случае у системы бу дет единственное ре-
шение? Нет! Многочлен с возмущенным к оэффициентом
имеет о дин вещественный и два к омплек сных к орня. При
любом малом возмущении параметров 𝑎 и𝑏 по являютс я
к омплек сные к орни, и потому система не имеет веществен-
ного решения.
Пример 32. Определить, при к аких зна чениях парамет-
ра𝑎 система не имеет вещественных решений; имеет ровно
три; ровно шесть вещественных решений.
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧=−3
2,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−6,
𝑥𝑦𝑧=𝑎.
Р ешение. Р ешениями системы уравнений бу дут все веще-
ственные тройки чисел (𝑥;𝑦;𝑧) , являющиес я к орнями мно-
гочлена 𝑓(𝑡) =𝑡3+3
2𝑡2−6𝑡−𝑎 . Определим вспомог ательный
многочлен 𝜙(𝑡) =𝑡3+3
2𝑡2−6𝑡 . Его график предст авлен на
§ 3. Cистемы трех уравнений 67
рис. 8. Очевидно, 𝑓(𝑡) =𝜙(𝑡)−𝑎 .
Рис. 8. График многочлена 𝜙(𝑡)
Произво дная 𝜙′(𝑡) = 3 𝑡2−3𝑡−6 = 3( 𝑡−2)(𝑡+ 1). Отсю да
(−∞;−1)∪(2; +∞) – область возраст ания функции; (−1; 2)
– область убывания функции; (−1) – точк а мак симума;
2 – точк а минимума. График 𝑓(𝑡) получаетс я смещением
график а 𝜙(𝑡) ввер х или вниз в зависимости от знак а 𝑎 . На
рис. 9а пок азан график функции 𝜙(𝑡)−3.5 , а на рис.
9б – график функции 𝜙(𝑡) + 10 . Графики соответствуют
случаям, к ог да 𝑓(𝑡) имеет три вещественных к орня, два
из к оторых кратны (при 𝑎= 3.5 или𝑎=−10 ). Т ог да при
𝑎∈(−10; 3.5) ось𝑂𝑥 пересечет график функции в трех
точк ах – три различных к орня, а при 𝑎∈(−∞;−10)∪
(3.5; +∞) – тольк о о дин вещественный к орень. Т еперь мы
мо ж ем сформу лировать ответ .
68 Т еория, примеры и зада чи
Рис. 9. Графики многочленов: а) 𝜙(𝑡)−3.5 ; б)𝜙(𝑡) + 10
Ответ: при𝑎∈(−∞;−10)∪(3.5; +∞) система не имеет
вещественных решений; при 𝑎= 3.5 и𝑎=−10 имеет ров-
но три вещественных решения; при 𝑎∈(−10; 3.5) – ровно
шесть.
Пример 33. При к аких зна чениях параметра 𝑎 система
имеет ровно о дно решение?
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 3𝑎,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧= 6𝑎,
𝑥𝑦𝑧= 4𝑎.
Р ешение. Р ешение бу дет единственным, если все три
к орня многочлена 𝑡3−3𝑎𝑡2+6𝑎𝑡−4𝑎 совпадают . В т ак ом
случае многочлен мо жно предст авить в виде
(𝑡−𝑝)3=𝑡3−3𝑝𝑡2+ 3𝑝2𝑡−𝑝3. Приравняв к оэффициен-
§ 3. Cистемы трех уравнений 69
ты многочленов, получим:
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩3𝑝= 3𝑎,
3𝑝2= 6𝑎,
𝑝3= 4𝑎.⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑝=𝑎,
𝑎2= 2𝑎,
𝑎3= 4𝑎.⇒⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑝=𝑎,
𝑎(𝑎−2) = 0 ,
𝑎(𝑎−2)(𝑎+ 2) = 0 .
Т аким образом, возмо жны два случая: при 𝑎= 0 существу-
ет единственное решение (0; 0; 0) и при 𝑎= 2 –(2; 2; 2) .
Ответ: 𝑎= 0 и𝑎= 2 .
Т еорему Виет а мо жно обобщить на многочлены любой сте-
пени. Т ак, для к орней многочлена четвертой степени
𝑥4+𝑝𝑥3+𝑟𝑥2+𝑠𝑥+𝑞= (𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)
имеют место равенства:
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4=−𝑝,
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥1𝑥4+𝑥2𝑥3+𝑥2𝑥4+𝑥3𝑥4=𝑟,
𝑥1𝑥2𝑥3+𝑥1𝑥2𝑥4+𝑥1𝑥3𝑥4+𝑥2𝑥3𝑥4=−𝑠,
𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4=𝑞.
Предост авляем чит ателю возмо жность самому определить
принцип построения т аких систем уравнений.
70 Т еория, примеры и зада чи
3.2. Зада чи
54⇔ 72
149.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 6,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧= 11,
𝑥𝑦𝑧= 6.150.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 4,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−1,
𝑥𝑦𝑧=−4.
151.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 0,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−7,
𝑥𝑦𝑧= 6.152.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 2,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−9,
𝑥𝑦𝑧=−18.
153.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 1,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−22,
𝑥𝑦𝑧=−40.154.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 3,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−6,
𝑥𝑦𝑧=−8.
155.⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧=7
2,
𝑥+𝑦+𝑧=7
2,
𝑥𝑦𝑧= 1.156.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 1,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−4,
𝑥3+𝑦3+𝑧3= 1.
157.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 2,
𝑥2+𝑦2+𝑧2= 6,
𝑥3+𝑦3+𝑧3= 8.158.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 3,
𝑥2+𝑦2+𝑧2= 3,
𝑥𝑦𝑧= 1.
§ 3. Cистемы трех уравнений 71
159.⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 1,
1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧= 1,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−1.160.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥+𝑦+𝑧= 0,
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝑥3+𝑦3+𝑧3,
𝑥𝑦𝑧= 2.
161.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥2+𝑦2+𝑧2= 9,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧= 0,
𝑥4+𝑦4+𝑧4= 81.162.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥2+𝑦2+𝑧2= 2,
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=−1,
𝑥𝑦𝑧= 0.
163.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥2+𝑦2+𝑧2= 3,
𝑥2𝑦+𝑥𝑦2+𝑥2𝑧+𝑥𝑧2+𝑦2𝑧+𝑦𝑧2= 6,
𝑥𝑦𝑧= 1.
164.⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩𝑥−2𝑦+ 3𝑧= 3,
−2𝑥𝑦+ 3𝑥𝑧−6𝑦𝑧= 3,
𝑥𝑦𝑧=−1
6.
Ответы
70⇔ 76
§ 1. Системы двух уравнений
1.(−2;−5) и(−5;−2) . 2.(1; 2) и(2; 1) . 3.(2; 6) и(6; 2) .
4.(−1;−2) и(−2;−1) . 5. Р ешений нет . 6.(2;−1) и(−1; 2) .
7.(−4; 3) и(3;−4) . 8.(−7; 2) и(2;−7) . 9.(7;−3) и(−3; 7) .
10.(−6; 2) и(2;−6) . 11.(3; 6) и(6; 3) . 12.(−9; 5) и(5;−9) .
13.(︁
5−√
13
2;5+√
13
2)︁
и(︁
5+√
13
2;5−√
13
2)︁
. 14.(1;√
3) и(√
3; 1) .
15. (−1 +√
3;−1−√
3) и(−1−√
3;−1 +√
3) .
16.(3−√
13
2;3+√
13
2и(3+√
13
2;3−√
13
2) . 17.(√
2;√
3) и(√
3;√
2) .
18.(1−√
2; 1 +√
2) и(1 +√
2; 1−√
2) . 19. Р ешений нет .
20. (1; 3) и(3; 1) . 21. (−2; 1) ,(1;−2) ,(−1; 2) ,(2;−1) .
22.(3; 4) и(4; 3) . 23. Р ешений нет . 24.(3; 5) ,(5; 3) ,(−3;−5) ,
(−5;−3) . 25.(1; 10) и(10; 1) . 26.(2;−2) и(−2; 2) . 27.(1; 2)
и(2; 1) . 28. (2; 3) и(3; 2) . 29. (4−√
21; 4 +√
21) ,
(4 +√
21; 4−√
21) ,(−4−√
21;−4 +√
21) ,
(−4 +√
21;−4−√
21) . 30.(4; 5) ,(5; 4) . 31. Р ешений нет .
32.(3; 5) ,(5; 3) ,(−3;−5) ,(−5;−3) . 33.(1; 7) ,(7; 1) ,(−1;−7) ,
(−7;−1) . 34.(3; 5) ,(5; 3) ,(−3;−5) ,(−5;−3) . 35.(3; 5) ,(5; 3) ,
(−3;−5) ,(−5;−3) . 36. (2; 5) ,(5; 2) . 37. (2; 6) ,(6; 2) .
38.(−9−√
21
2;−9+√
21
2) ,(−9+√
21
2;−9−√
21
2) ,(3; 5) ,(5; 3) . 39.(1; 3) ,
(3; 1) ,(−1;−3) ,(−3;−1) . 40.(1; 2) ,(2; 1) . 41.(1; 3) ,(3; 1) .
§ 1. Системы двух уравнений 73
42. Р ешений нет . 43.(1; 6) ,(6; 1) . 44.(1; 1) ,(4−√
14
2;4+√
14
2) ,
(4+√
14
2;4−√
14
2) . 45.(2; 2) . 46.(−1; 2) ,(2;−1) . 47.(−1; 2) ,
(2;−1) ,(5; 5) . 48.(1; 1) ,(−3−2√
21
11;−3+2√
21
11) ,(−3+2√
21
11;−3−2√
21
11) .
49.(1; 1) . 50.(−9−√
309
12;−9+√
309
12) ,(−9+√
309
12;−9−√
309
12) ,(2; 3) ,
(3; 2) . 51.(1; 2) ,(2; 1) ,(−1;−2) ,(−2;−1) . 52.(2; 5) ,(5; 2) .
53. (1; 3) ,(3; 1) . 54. (1; 3) ,(3; 1) ,(−1;−3) ,(−3;−1) .
55.(1; 2) ,(2; 1) ,(−1;−2) ,(−2;−1) . 56.(√
33−√
17
2;√
33+√
17
2) ,
(√
33+√
17
2;√
33−√
17
2) ,(−√
33−√
17
2;−√
33+√
17
2) ,(−√
33+√
17
2;−√
33−√
17
2) .
57.(1; 3) ,(3; 1) ,(−1;−3) ,(−3;−1) . 58.(1; 1) ,(−1;−1) .
59.(1; 2) ,(−1; 2) ,(1;−2) ,(−1;−2) ,(2; 1) ,(−2; 1) ,(2;−1) ,
(−2;−1) . 60.(3;−2) ,(−2; 3) . 61.(1; 1) . 62.(3; 6) ,(6; 3) .
63. (−2; 1) ,(1;−2) . 64. (2; 6) ,(6; 2) . 65. (1
2;1
3) ,(1
3;1
2) .
66. Р ешений нет . 67.(2; 3) ,(3; 2) . 68.(2; 3) ,(3; 2) . 69.(1; 4) ,
(4; 1) ,(−5−√
41
2;−5+√
41
2) ,(−5+√
41
2;−5−√
41
2) . 70. Р ешений нет .
71. (2; 2) . 72. (1; 7) ,(7; 1) . 73. (4; 12) ,(12; 4) ,
(−5−√
55;−5 +√
55) ,(−5 +√
55;−5−√
55) . 74. (1; 2) ,
(2; 1) . 75.(−1; 2) ,(2;−1) . 76.(2; 5) ,(5; 2) ,(−2;−5) ,(−5;−2) .
77.(−1; 2) ,(2;−1) . 78.(1
2;1
3) ,(1
3;1
2) ,(−1
10;1
15) ,(1
15;−1
10) .
79.(3; 5) ,(5; 3) ,(−3;−5) ,(−5;−3) . 80.(2; 3) ,(3; 2) ,(2
5;−3
5) ,
(−3
5;2
5) . 81. (2;1
2) ,(1
2; 2) ,(−2;−1
2) ,(−1
2;−2) .
82. (1;1), (−4−3√
2
2;−4+3√
2
2) ,(−4+3√
2
2;−4−3√
2
2) . 83.(2; 4) ,(4; 2) ,
(−2;−4) ,(−4;−2) . 84.(−3√
5+1
2; 3√
5−1
2) ,(3√
5−1
2;−3√
5+1
2) ,
(6; 6) . 85.(−1−√
2;−1 +√
2) ,(−1 +√
2;−1−√
2) ,(1; 1) .
86.(1; 4) ,(4; 1) . 87.(−1;−1) ,(2;−1) ,(−1; 2) . 88.(1; 1) ,
74 Ответы
(−1;−1) . 89.(√
10
2;√
10
2) ,(−√
10
2;−√
10
2) ,(1; 2) ,(2; 1) ,(−1;−2) ,
(−2;−1) . 90.(3; 12) ,(12; 3) . 91.(6; 8) ,(8; 6) . 92.(1; 9) ,(9; 1) .
93.(4; 9) ,(9; 4) . 94.(2; 8) ,(8; 2) . 95.(16; 25) ,(25; 16) .
§ 2. Симметрия относительно выраж ений
96.(2; 1) ,(5;2
5) . 97.(2; 3) ,(−12
7;−7
2) . 98.(3; 2) ,(−5;−6
5) .
99. (5; 1) ,(−7
3;−15
7) . 100. (1;−10) ,(−2; 5) . 101. (4; 5) ,
(−2;−10) . 102. (3; 10) ,(−30
11;−11) . 103. (8; 9) ,(27
2;16
3) .
104. (−3;−5) ,(4;15
4) . 105. (−2; 2) ,(8
3;−3
2) . 106. (6; 1) ,
(−7;−6
7) . 107. (−6; 2) ,(5;−12
5) . 108. Р ешений нет .
109. (5−3√
5
2;−5−3√
5
5) ,(5+3√
5
2;−5+3√
5
5) . 110. (4−√
22
3;−4−√
22) ,
(4+√
22
3;−4+√
22) . 111. (10−√
114
7;10+√
114
2) ,(10+√
114
7;10−√
114
2) .
112. Р ешений нет . 113. (13−√
73
4;13+√
73
12) ,(13+√
73
4;13−√
73
12) .
114. Р ешений нет . 115. (−7−2√
21
7;7−2√
21
5) ,(−7+2√
21
7;7+2√
21
5) .
116. (−3−√
3;−3+√
3
2) ,(−3 +√
3;−3−√
3
2) . 117. (2; 3) ,(4; 1) .
118. (−3; 0) ,(3;−6) . 119. (0; 7) ,(2; 5) . 120. (1; 3) ,(3; 1) .
121. (−1;−6) ,(−2;−5) . 122. (1; 1) ,(−7; 9) . 123. (10; 10) ,
(16; 4) . 124. (−8;−4) . 125. (0; 5) ,(6;−1) . 126. (2; 5) ,(3; 4) .
127. Р ешений нет . 128. (5−√
47; 3+√
47) ,(5+√
47; 3−√
47) .
129. Р ешений нет . 130. (−√
23; 1 +√
23) ,(√
23; 1−√
23) .
131. (7;−4) . 132. (3−√
37
2;1+√
37
2) ,(3+√
37
2;1−√
37
2) . 133. (1; 2) ,
(5
2; 1) . 134. (−3,2;−18) ,(1; 3) . 135. (−1;−1) ,(19
3;−13
2) .
136. (8; 1) ,(16;15
7) . 137. (−1; 1) ,(−13
3; 11) . 138. (2; 1) ,
§ 3. Системы трех уравнений 75
(−18;−7) . 139. (−15−√
673
4;−55−√
673
6) ,(−15+√
673
4;−55+√
673
6) .
140. Р ешений нет . 141. (−1−√
2549
14;−7−√
2549
10) ,
(−1+√
2549
14;−7+√
2549
10) . 142.(−3
2;−1) ,(2; 6) . 143. (2; 2) ,(13;−9) .
144. (3;−5) ,(−4; 2) . 145. (2; 6) ,(10;−2) . 146. (−14; 13) ,
(2;−3) . 147. (2; 3) ,(9
2;1
2) . 148. (−2;−2) ,(−4
3;−8
3) .
§ 3. Системы трех уравнений
149. (1; 2; 3) ,(1; 3; 2) ,(2; 1; 3) ,(2; 3; 1) ,(3; 1; 2) ,(3; 2; 1) .
150. (−1; 1; 4) ,(−1; 4; 1) ,(1;−1; 4) ,(1; 4;−1) ,(4;−1; 1) ,
(4; 1;−1) . 151. (−2;−1; 3) ,(−2; 3;−1) ,(−1;−2; 3) ,
(−1; 3;−2) ,(3;−2;−1) ,(3;−1;−2) . 152. (−3; 2; 3) ,(−3; 3; 2) ,
(2;−3; 3) ,(2; 3;−3) ,(3;−3; 2) ,(3; 2;−3) . 153. (−5; 2; 4) ,
(−5; 4; 2) ,(2;−5; 4) ,(2; 4;−5) ,(4;−5; 2) ,(4; 2;−5) .
154. (−2; 1; 4) ,(−2; 4; 1) ,(1;−2; 4) ,(1; 4;−2) ,(4;−2; 1) ,
(4; 1;−2) . 155. (1
2; 1; 2) ,(1
2; 2; 1) ,(1;1
2; 2) ,(2;1
2; 1) ,(1; 2;1
2) ,
(2; 1;1
2) . 156. (−2; 1; 2) ,(−2; 2; 1) ,(1;−2; 2) ,(1; 2;−2) ,
(2;−2; 1) ,(2; 1;−2) . 157. (−1; 1; 2) ,(−1; 2; 1) ,(1;−1; 2) ,
(1; 2;−1) ,(2;−1; 1) ,(2; 1;−1) . 158. (1; 1; 1) . 159. (−1; 1; 1) ,
(1;−1; 1) ,(1; 1;−1) . 160. (−1;−1; 2) ,(−1; 2;−1) ,(2;−1;−1) .
161. (0; 0; 3) ,(0; 3; 0) ,(3; 0; 0) ,(0; 0;−3) ,(0;−3; 0) ,(−3; 0; 0) .
162. (−1; 0; 1) ,(−1; 1; 0) ,(0;−1; 1) ,(0; 1;−1) ,(1;−1; 0) ,
(1; 0;−1) . 163. (1; 1; 1) . 164. (1;−1
2;1
3) .
Биографические справки
72⇔ 89
Азаров Алек сей Иванович (1951) – советский и бело-
ру сский математик, доцент Белору сск ого госу дарственно-
го университет а. Р о дилс я в г . Суздале в семье военнослу-
ж ащего. В 1973 г . ок ончил факу ль тет прикладной матема-
тики БГУ . Автор р яда учебных пособий для шк ольник ов
и абитуриентов [19].
Алимов Шавк ат Ариф дж анович (1945) – советский
и узбек ский математик, доктор физик о-математических
на ук, профессор Т ашк ентск ого госу дарственного универ-
ситет а, ак адемик АН Узбекист ана. В 1968 г . ок ончил
физический факу ль тет МГУ . Автор учебник а алгебры [2].
Ашкинузе Владимир Г еоргиевич (1927) – советский
математик и педагог , соавтор учебник а [7].
Барвенов Сергей Алек сандрович – советский и бело-
ру сский математик, доцент БГУ , автор р яда учебных по-
собий по математик е для абитуриентов [19].
Болт янский Владимир Григорьевич (1925–2019) –
советский и российский математик, доктор физик о-
математических на ук, профессор МГУ , член-
к орреспондент АПН СССР и Р А О, ветеран Велик ой
Отечественной войны. Р о дилс я в Москве в семье историк а
77
кино Григория Моисеевича Болт янск ого. В 1948 г . ок ончил
мех аник о-математический факу ль тет МГУ . Р абот ал над
теорией отечественного шк ольного образования.
Автор р яда учебных пособий, в том числе [7].
Бунимович Евгений Абрамович (1954) – советский
и российский математик-педагог , г лавный редактор на учно-
мето дических журналов «Математик а в шк оле» и «Ма-
тематик а для шк ольник ов» . Р о дилс я в семье профессо-
ра МГУ Бунимовича Абрама Исаак овича. В 1975 г . ок он-
чил мех аник о-математический факу ль тет МГУ . С 1976 по
2007 г . работ ал учителем математики. Автор учебник ов
и учебных пособий по математик е для 5–9 классов [3].
Вальцов Ник олай Конст антинович (1858–1900) – рос-
сийский математик-педагог , препо даватель математики
и физики Коломенск ой гимназии. Р о дилс я в селе Троицк о-
Борск ом Ярославск ой губернии в семье прист ава. В 1881 г .
ок ончил физик о-математический факу ль тет Император-
ск ого Моск овск ого университет а. Один из авторов
зада чник а [20].
Виленкин На ум Як овлевич (1920–1991) – советский
математик, доктор физик о-математических на ук, профес-
сор Моск овск ого заочного педагогическ ого институт а, по-
пу ляризатор математики, автор шк ольных учебник ов по
математик е [8], [7]. В 1942 г . ок ончил МГУ .
78 Биографические справки
Винберг Эрнест Борисович (1937) – советский и рос-
сийский математик, профессор МГУ . Р о дилс я в семье
инж енера заво да «Динамо» . В 1959 г . ок ончил мех аник о-
математический факу ль тет МГУ . Автор книги [9].
Гутер Р афаил Самойлович (1920—1978) – советский
математик, соавтор шк ольного учебник а алгебры [8],
автор попу лярных книг для шк ольник ов.
Дорофеев Г еоргий Владимирович (1938–2008) –
советский и российский математик, доктор физик о-
математических на ук, профессор, автор р яда известных
учебник ов и учебных пособий по математик е [3].
Звавич Леонид Исаак ович (1945) – советский и рос-
сийский математик-педагог , автор более ст а книг и ст атей
по вопросам шк ольной математики, педагогики и псих о-
логии, в том числе широк о известного зада чник а по ал-
гебре [10]. Р о дилс я в семье советск ого историк а-анг ловеда
Звавича Исаак а Семеновича. В 1969 г . ок ончил МГПИ
им. В. И. Ленина.
Киселев Андрей Петрович (1852–1940) – ру сский
и советский педагог , т алант ливый учитель математики,
автор учебник ов для средних шк ол и реальных училищ,
к оторые о хватили все дисциплины шк ольной математики
и у спешно работ али в отечественной шк оле свыше 65 лет
[11]. Р о дилс я в бедной мещанск ой семье Мценск ого
79
у езда Орловск ой губернии. В 1987 г . ок ончил физик о-
математический факу ль тет Петербургск ого университет а.
Препо давал математику , мех анику и черчение в Воронеж-
ск ом реальном училище, затем в Курск ой муж ск ой гимна-
зии и, нак онец, в Воронеж ск ом к адетск ом к орпу се
(1892—1901). В 1901 г . вышел в отст авку и занялс я лите-
ратурной работой. После революции (1918–1921) препо да-
вал математику в Воронеж ск ом институте наро дного об-
разования, на педагогических курсах, высших к омандных
курсах. С 1922 г . жил и работ ал в Ленинграде.
Колягин Юрий Мих айлович (1927–2016) – российский
математик-педагог , член-к орреспондент АПН СССР , ак а-
демик Р А О. Ок ончил физик о-математический факу ль тет
Моск овск ого областного педагогическ ого институт а. Один
из авторов программ и учебник ов математики для средней
шк олы, учащих с я техникумов, сту дентов педагогических
институтов и учителей [2].
Кочетк ов Евгений Семенович – автор учебник а алгеб-
ры для ст арших классов средней шк олы [12].
Кочетк ова Ек атерина Семеновна – автор учебник а ал-
гебры для ст арших классов средней шк олы [12].
Кузнецова Лю дмила Викторовна – российский
математик-мето дист , автор учебник ов, учебных пособий
и зада чник ов для учащих с я 5–9 классов, в том числе [3].
80 Биографические справки
Р абот ала в лаборатории математическ ого образования Ин-
ститут а со дер ж ания и мето дов обучения Р оссийск ой ак а-
демии образования.
Курош Алек сандр Г еннадиевич (1908–1971) –
выдающийс я советский математик, доктор физик о-
математических на ук, профессор МГУ . Р о дилс я в фаб-
ричном поселк е Ярцево Смоленск ой губернии в семье к он-
торщик а хлопчатобумажной фабрики. В го ды революции
и Гражданск ой войны вынужден был совмещать учебу
в шк оле с работой. В 1924 г . поступил на физик о-
техническ ое от деление педагогическ ого факу ль тет а Смо-
ленск ого университет а, ст ал ученик ом Павла Сергеевича
Алек сандрова, чит авшего в этом университете лекции по
р яду математических дисциплин. После ок ончания уни-
верситет а с 1930 г . и до последних дней жизни препо да-
вал в МГУ . С 1949 г . заведовал к афедрой высшей алгеб-
ры мех аник о-математическ ого факу ль тет а. Автор учебни-
к а «Курс высшей алгебры» [13], на к отором выросло
неск ольк о пок олений отечественных физик ов, математи-
к ов и инж енеров.
Ларичев Павел Афанасьевич (1892–1963) – советский
математик-педагог и мето дист , автор шк ольного зада чни-
к а по алгебре [14].
81
Литвиненк о Виктор Ник олаевич (1923) – советский
и российский математик, профессор, ветеран Велик ой
Отечественной войны. Ок ончил физик о-математический
факу ль тет Кировск ого педагогическ ого университет а.
Автор учебных пособий по алгебре и геометрии для
учащих с я средней шк олы и сту дентов педагогических
факу ль тетов, в частности [15].
Мак арычев Юрий Ник олаевич (1922–2007) – совет-
ский и российский математик, ветеран Велик ой Отече-
ственной войны. С 1951 по 1961 г . работ ал в шк оле № 578
г . Москвы. Рук ово дитель авторских к оллективов, по дго-
товивших учебники алгебры для 7, 8 и 9-го классов по д
редакцией Алек сея Мих айловича Маркушевича, а затем
Сергея Алек сандровича Т еляк овск ого. Автор учебник ов
алгебры для учащих с я 7–9-х классов с уг лубленным
изучением математики [4], автор книги «Система
изучения элемент арных функций в ст арших классах сред-
ней шк олы» , о дин из авторов серии книг «Математик а
в на чальной шк оле» .
Маркушевич Алек сей Иванович (1908–1979) – совет-
ский математик и педагог , член-к орреспондент АПН, ав-
тор работ по теории функций, мето дик е препо давания
и истории математики. Р о дилс я в г . Петрозаво дск е в семье
младшего ар хитектора губернск ого правления. В 1930 г .
82 Биографические справки
ок ончил физик о-математическ ое от деление Среднеазиат-
ск ого университет а в г . Т ашк енте. В 1960-х г . принимал ак-
тивное участие в создании новых шк ольных
учебник ов по математик е [4].
Мерзляк Арк адий Григорьевич – советский и украин-
ский математик, учитель математики Киево-Печерск ого
лицея, автор книг и учебник ов по математик е [16].
Минаева Свет лана Ст аниславовна – ведущий на уч-
ный сотру дник Институт а со дер ж ания и мето дов обуче-
ния Р А О, автор на учных ст атей, мето дических разработок
и учебник ов [3].
Миндюк Нора Григорьевна (1933–2016) – советский
и российский математик-педагог , попу ляризатор новых ма-
тематических идей. Р о дилась в семье известного матема-
тик а, профессора МГПИ Григория Борисовича Гуревича.
Ок ончила Моск овский горо дск ой педагогический инсти-
тут им. В. П. Потемкина. Неск ольк о лет работ ала учи-
телем математики в о дной из шк ол г . Москвы, затем обу-
чалась в аспирантуре при секторе математики Институт а
мето дов обучения АПН СССР (1961–1964), с 1966 г . ст ала
сотру дник ом институт а. В 1960-е го ды вошла в авторский
к оллектив по разработк е новых учебник ов алгебры по д ру-
к ово дством Юрия Ник олаевича Мак арычева и редакцией
Алек сея Ивановича Маркушевича [4].
83
Мишу стина Т атьяна Ник олаевна – соавтор р яда учеб-
ник ов по алгебре для учащих с я 8–11 классов [18].
Мо денов Владимир Павлович (1938) – профессор
МГУ , автор более 180 на учных и свыше 40 учебно-
мето дических работ , в том числе учебных пособий для аби-
туриентов [17].
Мор дк ович Алек сандр Григорьевич (1940) – заслу-
ж енный деятель на уки РФ, профессор МГПУ , автор учеб-
ник ов и учебных пособий по математик е для «шк ольни-
к ов» и сту дентов педагогических институтов [18], [15].
Нешк ов Конст антин Иванович (1923–2011) – совет-
ский и российский педагог-мето дист , автор шк ольных учеб-
ник ов по математик е [4].
Ник ольский Сергей Мих айлович (1905–2012) – совет-
ский и российский математик, профессор МФТИ, ак аде-
мик Р АН. Р о дилс я в Пермск ой губернии в семье лесник а
и сельск ой учительницы. В 1929 г . ок ончил Ек атеринослав-
ский институт наро дного образования. В дальнейшем, ра-
бот ая в том ж е институте, ст ал ученик ом Андрея Ник ола-
евича Колмогорова, регу лярно приезж авшего в Днепро-
петровск для чтения лекций. Ник ольск ому принадлеж ат
фундамент альные резу ль т аты в области функционально-
го анализа. Автор учебник ов арифметики и алгебры [1].
84 Биографические справки
Овчинник ов Борис Владимирович – соавтор учебни-
к а алгебры [8].
Полонский Вит алий Борисович – советский и украин-
ский математик, учитель математики Киево-Печерск ого
лицея, автор книг и учебник ов по математик е [16].
Пот апов Мих аил Конст антинович (р. 1931) – совет-
ский и российский педагог-математик, профессор МГУ ,
соавтор учебных пособий для абитуриентов, на учно-попу-
лярных книг по математик е и шк ольных учебник ов по
алгебре [1] и на чалам математическ ого анализа.
Р ешетник ов Ник олай Ник олаевич – соавтор учебни-
к ов алгебры для учащих с я 5–11 классов [1].
Р ослова Лариса Олеговна – российский математик-
мето дист . В 1984 г . ок ончила факу ль тет вычислительной
математики и кибернетики МГУ , работ ала учителем ма-
тематики и параллельно в лаборатории обучения матема-
тик е Р А О. В на чале 1990-х в сост аве авторск ого к оллекти-
ва тру дилась над созданием новых учебник ов и учебных
пособий для «шк ольник ов» [3].
Рязановский Андрей Р афаилович (1945) – советский
и российский математик-педагог , доцент МГПИ, учитель
математики моск овск ой шк олы № 179, лицея ВШЭ
и Филлиповск ой шк олы. Р о дилс я в семье военнослуж аще-
го. Ок ончил мех аник о-математический факу ль тет МГУ .
85
Соавтор р яда учебник ов по алгебре и геометрии для
учащих с я 8–11 классов [10].
Семенов Павел Владимирович (1952) – советский
и российский математик, профессор факу ль тет а матема-
тики НИУ ВШЭ. В 1976 г . ок ончил МГПИ им.
В. И. Ленина. Соавтор учебник ов алгебры для учащих-
с я 9–10 классов [10].
Сидоров Юрий Викторович (1932–2002) – советский
и российский математик, препо даватель МФТИ, автор
р яда шк ольных учебник ов [2].
Суворова Свет лана Борисовна – соавтор р яда шк оль-
ных учебник ов по алгебре [3].
Т еляк овский Сергей Алек сандрович (1932) –
российский математик, доктор физик о-математических
на ук, редактор учебник ов по алгебре для учащих с я 7, 8
и 9-го [4] классов. Р о дилс я в семье инж енера Саратовск ого
заво да к омбайнов. Отец репрессирован в 1938 г .
В 1955 г . ок ончил мех аник о-математический факу ль тет
Саратовск ого университет а, а в 1958 г . аспирантуру
МИАН (Математический институт им. В. А. Стеклова Р АН).
С 1958 г . работ ал в МИАН.
Тк а чева Мария Владимировна – доктор педагогиче-
ских на ук, профессор. Автор шк ольных учебник ов
по математик е [2].
86 Биографические справки
Ту ль чинск ая Елена Ефимовна – учитель математики
шк олы № 1504 г . Москвы, соавтор учебник ов
по математик е [18].
Федорова Надежда Евгеньевна – математик, доцент .
В 1969 г . ок ончила МГПИ им. В. И. Ленина. Р абот ала учи-
телем математики в шк олах г . Москвы, участвовала в со-
здании учебник ов математики для средней шк олы [2].
Федосенк о Василий Степанович (1944–2002) – совет-
ский и белору сский математик, профессор БГУ . Р о дилс я
в деревне Нырки Могилевск ой области в крестьянск ой се-
мье. В 1960 г . пыт алс я поступить в МГУ , но не прошел по
к онкурсу . В приемной к омиссии предло жили способному
абитуриенту без экзаменов пойти на физик о-
математический факу ль тет Петрозаво дск ого госуниверси-
тет а с у словием, что при у спешной учебе он впоследствии
смо ж ет перевестись на математический факу ль тет МГУ .
Отучившись четыре семестра «на от лично» , Федосенк о по-
дал документы на перево д, но ок азалось, что в МГУ не мо-
гут предост авить ему мест а в общежитии, а другого жилья
в Москве найти не у далось. Василий Степанович верну л-
с я на ро дину в Белару сь и с 1962 по 1965 г . обучалс я на
математическ ом факу ль тете БГУ . Помимо на учной рабо-
ты по теме к афедры, Василий Степанович нах о дил время
для работы над учебными пособиями по математик е для
87
шк ольник ов и абитуриентов [19].
Шабунин Мих аил Иванович (1930–2017) – советский и
российский математик, профессор МФТИ. Соавтор учеб-
ник а [2].
Шапошник ов Ник олай Алек сандрович (1851–1920) –
ру сский математик, крупнейший мето дист-препо даватель,
автор учебник ов для средней и высшей шк олы [20]. Р о дил-
с я в семье чиновник а губернск ой палаты. В 1873 г . ок ончил
Имперский Моск овский университет .
Шварцбур д Семен Исаак ович (1918–1996) – советский
математик-педагог , доктор педагогических на ук, профес-
сор, член-к орреспондент АПН СССР , автор многочислен-
ных работ в области педагогики и мето дики обучения,
а т акж е учебник ов и мето дических пособий для
учителей и учащих с я [8].
Шевкин Алек сандр Владимирович (1951) – россий-
ский математик-педагог . Ок ончил математический факу ль-
тет Моск овск ого областного педагогическ ого институт а им.
Н. К. Крупск ой. С 1976 по 2007 г . работ ал в шк оле
№ 679 г . Москвы, с 1984 по 1999 г . – в Институте общего
среднего образования Р оссийск ой ак адемии образования.
С 2007 г . – учитель математики шк олы № 2007 г . Москвы.
В 1985 г . вошел в сост ав авторск ого к оллектива по д рук о-
во дством Сергея Мих айловича Ник ольск ого, работ ающего
88 Биографические справки
над учебник ами серии «МГУ – шк оле»: «Арифметик а.
5–6» , «Алгебра. 7–9» [1] и «Алгебра и на чала анализа.
10–11» .
Шибут Алек сандр Степанович (1957–2019) – совет-
ский и белору сский математик, ст арший препо даватель
БГУ , автор учебных пособий для шк ольник ов
и абитуриентов [19].
Якир Мих аил Семенович (1958) – советский и укра-
инский математик и педагог . В 1979 г . ок ончил Киевский
госу дарственный педагогический институт им.
А. М. Г орьк ого. С 1992 по 2017 г . препо давал в Киево-
Печерск ом лицее № 171. Автор более двадцати учебник ов
по математик е [16].
⇐ 76
Список литературы
[1] Алгебра. 8 класс : учебник для общеобразовательных
орг анизаций / С. М. Ник ольский [и др.]. – Москва :
Просвещение, 2014. – 301 с.
[2] Алгебра. 9 класс : учебник для общеобразовательных
учреждений / Ш. А. Алимов [и др.]. – Москва :
Просвещение, 2012. – 287 с.
[3] Алгебра. 9 класс : учебник для общеобразовательных
орг анизаций / Г . В. Дорофеев [и др.]. – Москва : Про-
свещение, 2016. – 336 с.
[4] Алгебра. 9 класс : учебник для общеобразовательных
орг анизаций / Ю. Н. Мак арычев [и др.]. – Москва :
Просвещение, 2014. – 271 с.
[5] Барсук ов, А. Н. Сборник зада ч по алгебре для педа-
гогических училищ / А. Н. Барсук ов. – Свер дловск :
Учпедгиз, 1948. – 164 с.
90 Список литературы
[6] Барсук ов, А. Н. Алгебра. Учебник для 6–8 классов /
А. Н. Барсук ов. – Москва : Просвещение, 1966. – 296 с.
[7] Болт янский, В. Г . Симметрия в алгебре / В. Г . Бол-
т янский, Н. Я. Виленкин. – Москва : НЦНМО, 2002.
– 240 с.
[8] Виленкин, Н. Я. Алгебра. Учебное пособие для IX
и X классов средних шк ол с математическ ой специа-
лизацией / Н. Я. Виленкин, Р . С. Гутер, С. И. Шварц-
бург . – Москва : Просвещение, 1968. – 336 с.
[9] Винберг , Э. Б. Симметрия многочленов / Э. Б. Вин-
берг . – Москва : МЦНМО, 2001. – 24 с.
[10] Звавич, Л. И. Алгебра. 9 класс : зада чник для учащих-
с я общеобразовательных учреждений / Л. И. Звавич,
А. Р . Рязановский, П. В. Семенов. – Москва : Мнемо-
зина, 2008. – 336 с.
[11] Киселев, А. Элементы алгебры и анализа : в 2 ч. /
А. Киселев. – Москва ; Ленинград : Г осу дарственное
изд-во, 1928. – Ч. 1. – 314 с.
[12] Кочетк ов, Е. С. Алгебра и элемент арные функции :
учебное пособие для учащих с я 9 класса средней
Список литературы 91
шк олы / Е. С. Кочетк ов, Е. С. Кочетк ова. – Москва :
Просвещение, 1969. – 352 с.
[13] Курош, А. Г . Курс высшей алгебры / А. Г . Курош. –
Москва : На ук а, 1975. – 432 с.
[14] Ларичев, П. А. Сборник зада ч по алгебре для 8–10
классов средней шк олы : в 2 ч. / П. А. Ларичев.
– Москва : Учебно-педагогическ ое изд-во, 1953. –
Ч. I I. – 264 с.
[15] Литвиненк о, В. Н. Практикум по элемент арной мате-
матик е: Алгебра. Тригонометрия / В. Н. Литвинен-
к о, А. Г . Мор дк ович. – Москва : Просвещение, 1991.
– 352 с.
[16] Мерзляк, А. Г . Алгебра : учебник для 9 класса обще-
образовательных учебных заведений / А. Г . Мерзляк,
В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Харьк ов : Гимназия,
2017. – 272 с.
[17] Мо денов, В. П. Математик а : пособие для поступаю-
щих в вузы / В. П. Мо денов. – Москва : Новая Волна,
2002. – 800 с.
[18] Мор дк ович, А. Г . Алгебра. 9 класс : зада чник для
общеобразовательных учреждений : в 2 ч. / А. Г .
92 Список литературы
Мор дк ович, Т . Н. Мишу стина, Е. Е. Ту ль чинск ая. –
Москва : Мнемозина, 2015. – Ч. 2. – 155 с.
[19] Системы алгебраических уравнений. Т ек стовые
зада чи / А. И. Азаров [и др.]. – Минск : Т етраСи-
стемс, 1998. – 288 с.
[20] Шапошник ов, Н. А. Сборник алгебраических зада ч
для средней шк олы : в 2 ч. / Н. А. Шапошник ов,
Н. К. Вальцов. – Москва : Учебно-педагогическ ое
изд-во, 1933. – Ч. 2. – 104 с.
Вышли в печать книги
серии «Математик а не для ЕГЭ»:
Белый Е. К. Введение в Microsoft A ccess. –
Петрозаво дск: Изд-во ПетрГУ , 2020. – 176 с.
Книга позво лит по лучить основные навыки создания
б аз данных в Micr osoft A c c ess.
Белый Е. К. Символы и их творцы. – Петрозаво дск:
Изд-во ПетрГУ , 2018. – 72 с.
В книге р ассказывается о происхождении наибо лее
известных мате матических симво лов. Некоторые из них
знако мы нам еще с младших классов. Кажется, что они
были всегда, но на с амо м де ле почти все эти симво лы
появились недавно – в течение пос ледних сто летий, и их
авторы известны.
Белый Е. К. Вредная геометрия. – Петрозаво дск:
Изд-во ПетрГУ , 2017. – 36 с.
Книга посвящена особо му классу гео метрических задач,
которые называют «со физмами» . Суть их в то м, что
требуется найти ошибку в заведо мо ложно м доказате ль-
стве. Т акие задачи наилучшим обр азо м способствуют р аз-
витию логического мышления.
Белый Е. К. Египетский счет . – Петрозаво дск:
Изд-во ПетрГУ , 2017. – 36 с.
В книге в фор ме р ассказа р асс мотрены неско лько задач на
пос ледовате льное удвоение чисе л.
Белый Е. К. Прогрессии. – Петрозаво дск: Изд-во
ПетрГУ , 2016. – 132 с.
Первые две главы книги посвящены ариф метическим,
гео метрическим, а также ариф метико-гео метрическим
прогрессиям. В третьей главе дается представление о
применении этих прогрессий в финансовых вычис лениях.
Белый Е. К., Дорофеева Ю. А. Алгебраические
уравнения. – Петрозаво дск: Изд-во ПетрГУ , 2015. – 240 с.
В пособии собр аны наибо лее э ф фективные методы реше-
ния алгебр аических ур авнений и их систе м.
Книги мо жно найти в сети Интернет , в частности на
сайте «Учительский порт ал»: h ttps://www.uc hp ortal.ru/.
Учебное издание
Белый Евгений Конст антинович
Математик а не для ЕГЭ
Симметрические уравнения
Учебное пособие для учащих с я средних шк ол
Р едактор Е. Е. Порывакина
Оформление обло жки Е. Ю. Т ихоновой
Компьютерная верстк а Е. К. Бе лого
По дписано в печать 15.02.21. Формат 60х84 1/16 .
Бумаг а офсетная. Уч.-изд. л. 3,2. Тираж 200 экз.
Изд. № 9
Отпечат ано в типографии Издательства ПетрГУ
185910, г . Петрозаво дск, пр. Ленина, 33