Sh. A. Saipnazarov biznes matematika - bet 37

102
n
i
S
n
S
n
A
)
1
(
)
0
(
)
(
)
,
0
(
(2.1.3) formula faqat
n
ning butun qiymatlarida o„rinli ekanligini ko„rsatgan
edik, endi bu formulani
n
ning barcha nomanfiy qiymatlarida ham o„rinli
ekanligini ko„rsatamiz, ya‟ni (2.1.3) formulani umumlashtiramiz.
Buning uchun investitsiya muddatini va vaqtni yillarda o„lchab,
t
muddat
uchun dastlabki
)
(
0
t
S
jarg„armaning o„sish qiymatini yozamiz:
0
0
,
)
1
(
)
(
)
(
0
t
t
i
t
S
t
S
t
t
,
(2.1.5)
)
,
(
0
t
t
intervaldagi o„sish koeffitsiyenti
0
0
,
)
1
(
)
,
(
0
t
t
i
t
t
A
t
t
. (2.1.6)
Agar
0
t
t
bo„lsa,
barcha
i
larda
1
)
,
(
0
t
t
A
bo„ladi. Agar
0
0
t
va
n
t
bo„lsa, bu formulalar mos ravishda (2.1.3) va (2.1.4) formulalar bilan bir xil
bo„ladi.
Teorema
(bozorning barqarorlik prinsipi).
Agar soliq va boshqa xarajatlar hisobga olinmasa, u holda qandaydir
oraliqda o„sish koeffitsiyenti shu intervalning tashkil etuvchilaridan iborat
bo„lgan qism intervallaridagi o„sish koeffisientlari ko„paytmasiga teng bo„ladi.
Isbot. Soddalik uchun
)
,
(
2
0
t
t
intervalni
)
,
(
1
0
t
t
va
)
,
(
2
1
t
t
qism intervallarga
ajratamiz.
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
2
0
0
2
0
2
2
0
t
t
A
t
S
t
S
t
S
t
S
t
t
A
(2.1.7)
Ikkinchi tomondan
)
,
(
)
(
)
(
1
0
0
1
t
t
A
t
S
t
S
,
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
1
1
0
0
2
1
1
2
t
t
A
t
t
A
t
S
t
t
A
t
S
t
S
(2.1.8)
(2.1.7) va (2.1.8) lardan
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
1
0
2
0
t
t
A
t
t
A
t
t
A
. (2.1.9)
Yuqoridagi teorema moliyaviy operatsiyalarda taqriban o„rinli bo„ladi,
chunki
bunda soliqlar, shartnomalarni qayta ko„rib chiqish va boshqa faktorlar
hisobga olinmaydi.
Endi bir yil mobaynida ustama haq yozilishining bir nechta davrlarini
ko„rib chiqaylik. Ustama haq yozilishining bir yildan kichik bo„lgan davrini
qaraymiz. Aytaylik,
bir yil mobaynida
m
marta ustama haq yoziladigan bo„lsin.
yillar
t
0
t
1
t
2
103
Ko„p uchraydigan ustama haq yozilish davrlari va unga mos
m
ning qiymatlari
ushbu jadvalda berilgan:
Ustama
haq
yozilish
davri
1
yil
1
hafta
1
oy
2
oy
3
oy
4
oy
6
oy
12
oy
m
365
52
12
6
4
3
2
1
Faraz qilaylik,
m
g
- bir yilda
m
marta ustama
haq yozilishdagi murakkab
foiz stavkasi bo„lsin. U holda
n
yil uchun ustama haq yozilish davrlarining soni
m
n
bo„ladi. (2.1.4) formulaga asosan
,...
2
,
1
,
)
1
(
)
,
0
(
n
g
n
A
mn
m
(2.1.10)
Buni quyidagicha umumlashtirish mumkin:
0
,
)
1
(
)
,
(
0
0
T
g
T
t
t
A
mT
m
. (2.1.11)
Kelajakdagi pul miqdorining boshlang„ich narxini hisoblash operatsiyasi
matematik diskontirlash deyiladi.
T
t
i
T
t
S
t
S
)
(
1
)
(
)
(
0
0
0
,
bunda
)
(
0
t
S
-
0
t
vaqtda investitsiya qilinadigan boshlang„ich
pul miqdori;
)
(
0
T
t
S
-
T
vaqt o„tgandan keyingi pul miqdori;
)
(
0
t
i
-
0
t
vaqtdagi foiz stavkasi;
T
t
i
)
(
1
1
0
- diskont ko„paytuvchisi.
1-misol
. Investor yarim yilda 200 ming so„m pul olishi uchun yiliga 50%
to„laydigan korxonaga qancha pul o„tkazishi lozim?
Yechish:
160000
5
,
0
5
,
0
1
200000
)
0
(
S
(so„m).
8.2. Hisob stavkasi va hisob stavkasining ekvivalentligi
Diskont va diskont stavkasi ham, foiz va foiz stavkasiga o„xshagan
kredit
operatsiyalarining parametrlari kabi bo„ladi, lekin hisob sxemalarining yo„nalishi
bo„yicha farq qiladi. Foizni va foiz stavkasini hisoblashda boshlang„ich narx (joriy)
tayanch kattalik bo„lib, diskont va hisob stavkasini hisoblashda esa oxirgi
jamg„arma miqdori tayanch kattalik bo„lib xizmat qiladi. Endi yuqorida aytilgan
gaplar uchun quyidagi tengliklarni yozamiz.
1
2
t
t
T
davr uchun foizlar
P
S
I
T
ni tashkil etadi. Bu davr uchun foiz stavkasi
,
P
P
S
P
I
i
T
T
ikkinchi
tomondan shu davr
uchun hisob stavkasi esa
.
S
P
S
S
D
d
T
T
Shunday qilib,
ixtiyoriy
t
davr uchun foiz va hisob stavkasi ikkita boshlang„ich
)
(
P
va oxirgi
)
(
S
jamg„armalarni o„zaro bog„laydi, ya‟ni
)
1
(
it
P
S
(8.2.1)
104
)
1
(
dt
S
P
(8.2.1)
Bu munosabatlardan
1
)
1
(
)
1
(
dt
it
(8.2.3)
yoki
it
dt
1
1
1
kelib chiqadi, bundan
t
i
va
t
d
larni bog„lovchi tengliklarni olamiz:
it
it
dt
1
(8.2.4)
va
dt
dt
it
1
(8.2.5)
Agar
it
va
dt
lar
i
va
d
yillik stavkalarga mos keluvchi oddiy foiz va
hisob stavkalari, ya‟ni
1
t
va
t
d
d
t
bo„lsa, u holda bir yil uchun
i
i
d
1
,
(8.2.6)
d
d
i
1
(8.2.7)
tengliklarni hosil qilamiz.
Bu munosabatlar diskont haqida yana bir talqin berish imkonini beradi.
Aytaylik, birlik jamg„arma
i
foiz stavkasi bo„yicha investitsiya qilinayotgan
bo„lsin. U holda yil oxirida bu jamg„arma foizlari
i
ni tashkil etadi, bu kattalikning
joriy qiymati esa
d
i
i
1
ga teng bo„ladi. (8.2.7) formula ham xuddi shuni beradi:
.
)
1
(
d
i
d
Boshqacha
aytganda diskontga ham foiz kabi qarash mumkin, lekin bunda yil oxirida emas,
balki yil boshida to„lanadi, shuning uchun ba‟zan diskont stavkasini oldindan
beriladigan foiz stavkasi deb yuritiladi.
Foiz stavkasi va hisob stavkalari kredit operatsiyalarining turli ikki tomonini
ifoda etadi. (8.2.4–8.2.5) formulalar bu kattaliklardan ixtiyoriy bittasini bitta davr
uchun topish imkonini beradi. Ayrim hollarda bu
formulalarni hisob va foiz
stavkalarining ekvivalentlik shartlari deb yuritiladi.
)
1
(
t
d
S
P
formula hisob stavkasidan kelib chiqib joriy qiymatni
hisoblashning yana boshqa usulini beradi.
Agar
i
t
muddatga mos keluvchi foiz stavkasi bo„lsa, u holda
t
i
S
P
1
formula xuddi shu natijani beradi, ya‟ni
i
va
d
ning ekvivalentligi
t
d
t
i
i
1
1
tenglikning bajarilishini bildiradi.