KVANTOVÉ STAVY ELEKTRÓNU VIAZANÉHO 
NA ÚSEČKU

1.7 KVANTOVÉ STAVY ELEKTRÓNU VIAZANÉHO
NA ÚSEČKU
Teraz sa vrátime k problému kvantových energetických hladín a pokúsime sa naznačiť, v čom spočíva nádej vysvetliť príčinu kvantovania energie pomocou hypotézy o vlnovej povahe častíc. Naša argumentácia bude – ako ostatne v celej tejto kapitole – iba kvalitatívna. Zodpovedajúci rigorózny aparát budeme systematickejšie používať až v nasledujúcej kapitole.
Predovšetkým si treba uvedomiť, že ak existuje vzťah medzi energiou častice a frekvenciou vlny, ktorá prislúcha k tejto častici, potom vysvetliť kvantovanie energie znamená nájsť dôvod pre to, že existujú iba diskrétne možné hodnoty frekvencie vlnenia odpovedajúceho stavu častice.
Existencia určitých diskrétnych frekvencií je však pre vlnové procesy typická. Stačí si spomenúť na to, že hudobné nástroje (napríklad struna určitej dĺžky) vydávajú tóny, ktorých výška (frekvencia) je pre daný nástroj charakteristická.
Túto myšlienku si ukážeme podrobnejšie na konkrétnom prípade elektrónu viazaného na úsečku a budeme uvažovať analógiu medzi stavmi takéhoto elektrónu a stojatými vlnami na strune určitej dĺžky. Príklad elektrónu viazaného na úsečku nie je celkom akademický. V prírode existujú dlhé lineárne organické molekuly, v ktorých sa niektoré elektróny môžu pohybovať viac-menej voľne. Ak budeme skúmať energetické hladiny elektrónu, ktorý sa môže pohybovať iba v jednom smere po úsečke dĺžky L, nebude to problém veľmi vzdialený od praktického problému hladín elektrónu v lineárnej molekule.
Mechanickou analógiou de Broglieho vĺn prislúchajúcich takémuto elektrónu je vlnenie šíriace sa v strune o dĺžke L. Struna môže v princípe vykonávať veľmi komplikované kmity v závislosti od toho, ako ju na začiatku vychýlime z rovnovážnej polohy. Niektoré z kmitov struny sú však zvlášť význačné; sú to čisté harmonické tóny, pri ktorých sa na strune vytvára stojatá vlna. Takýto harmonický kmit má stacionárny charakter – keby sme zanedbali straty energie a pozreli sa na kmitajúcu strunu po istom čase, videli by sme stále ten istý typ pohybu. Termín „stacionárny“ sa tu používa v tom istom zmysle ako v iných častiach fyziky – pohyb je stacionárny ak sa jeho charakter s časom nemení. Stacionárne kmity struny – stojaté vlny – majú i ďalšiu významnú vlastnosť. Ľubovoľný iný pohyb struny možno vyjadriť ako superpozíciu viacerých stojatých vĺn s rôznymi vlnovými dĺžkami a frekvenciami. Stojaté vlny predstavujú jediný druh pohybu struny, ktorého časová závislosť je charakterizovaná jedinou hodnotou frekvencie. Ostatné druhy pohybu nemajú frekvenciu striktne definovanú (keďže v príslušnej superpozícii sa vyskytujú aspoň dve rôzne frekvencie). Hovoríme tiež, že ich frekvencia je neurčitá, má istú neurčitosť. V prípade de Broglieho vĺn istá hodnota frekvencie znamená istú hodnotu energie. Ak sa teda zaujímame o také kvantové stavy
elektrónu, v ktorých je jeho energia striktne určená, prichádzame intuitívne
k analógii
Harmonické kmity de Broglieho vĺn (stojaté vlny)
Kvantové stavy elektrónu s istou energiou
↔ (1)
Otázku kvantovomechanického analógu pohybov struny s neurčitou frekvenciou nechajme zatial stranou a venujme sa bližšej analýze analógie (1). Na príklade elektrónu viazaného na úsečku si ukážeme, že vzťah (1) skutočne predstavuje kľúč k pochopeniu kvantovania energie.
Obr. 1.6
Ako vidno z obr. 1.6 harmonické kmity (stojaté vlny) na úsečke dĺžky L môžu mať iba vlnové dĺžky
n = 1, 2, 3, … (2)
Teraz potrebujeme vzťah medzi energiou a vlnovou dĺžkou pre stojatú vlnu. Budeme postupovať tak, že si pripomenieme tento vzťah pre postupnú de Broglieho vlnu a potom ho – trochu nekriticky a bez hlbšieho zdôvodnenia – použijeme i pre stojatú vlnu. Výsledok, ktorý takto dostaneme je správny, ale jeho zdôvodnenie možno získať až pomocou formalizmu kvantovej mechaniky, s ktorým sa stretneme v nasledujúcej kapitole. Postupnej vlne prislúcha podľa de Broglieho vzťahu hybnosť
a energia
Ak tento vzťah použijeme i pre stojatú vlnu a dĺžky stojatých vĺn zoberieme zo vzťahu (2), dostaneme
n = 1, 2, 3, … (3)
Podľa (1) potom predpokladáme, že energiou elektrónu viazaného na úsečku dĺžky L môže byť len niektorá z diskrétnych hodnôt (3). Na základe analógie
s kmitmi struny potom očakávame, že kvantovomechanické stavy elektrónu,
v ktorých je jeho energia striktne určená a rovná niektorej s hodnôt En, budú mať tiež stacionárny charakter. To je tiež dôvod, prečo sa v praxi najčastejšie stretávame práve s takýmito stavmi.
Poznamenajme, že hoci naša úvaha bola založená na analógii s kmitajúcou strunou, a teda ju možno považovať nanajvýš za kvalitatívnu, vzťah (3) je v skutočnosti celkom presný a dostaneme ho znova riešením príslušnej Schrödingerovej rovnice v článku 2.6.
Preto, aby sme mohli posúdiť, či nás analógia (1) privádza „na správnu stopu“ pri hľadaní príčin vzniku diskrétnych energetických hladín je dôležité nielen to, že vzťah (3) naozaj dáva diskrétne hodnoty, ale aj to, že aj numericky dostávame očakávané hodnoty.
Uvažujme nejaký organický uhľovodíkový reťazec. Vzdialenosť medzi susednými atómami uhlíka v takom reťazci je približne 1,5.10−10m a pre reťazec
z N atómov uhlíka, bude dĺžka molekuly L približne L = N.1,5.10−10m. Po dosadení do (3) máme
pre energetické hladiny elektrónu pohybujúceho sa pozdĺž reťazca12.
Dostali sme teda energie v elektrónvoltovej oblasti. To ukazuje, že sme na správnej ceste.
Ako zovšeobecnenie skúmanej úlohy všimnime si teraz (čiastočne akademický) príklad elektrónu viazaného na dvojrozmernú oblasť tvaru štvorca. Mechanickou analógiou elektrónovej vlny budú teraz kmity štvorcovej membrány. V takejto membráne sa môžu šíriť dve navzájom nezávislé vlnenia v dvoch navzájom kolmých smeroch (obr. 1.7). Aby vznikli harmonické stacionárne kmity musia byť splnené dve nezávislé podmienky:
n1 = 1, 2, …
n2 = 1, 2, …
Obr. 1.7
Podľa klasickej mechaniky je kinetická energia častice viazanej na rovinu x, y daná vzťahom E = (p2x + p2y)/2m. Vidíme, že celková energia je súčtom kinetických energií pohybov v smere jednotlivých súradnicových osí.
Ak toto pravidlo teraz použijeme a zapíšeme celkovú energiu ako súčet energií stojatého kmitu „v smere“ osi x a stojatého kmitu „v smere“ osi y, dostaneme
(4)
takže energetická hladina je daná jednoznačne dvoma prirodzenými číslami n1, n2. Tieto čísla charakterizujú typ harmonického kmitu klasickej membrány a očakávame, že budú tiež jednoznačne charakterizovať príslušný stacionárny kvantový stav elektrónu. Nazývame ich preto kvantovými číslami.
Všimnime si zaujímavú skutočnosť. Stavom líšiacim sa zámenou n1 ↔ n2, napríklad stavu (n1, n2) = (3, 4) a stavu (n1, n2) = (4, 3) odpovedá v analógii iný pohyb membrány, ale podľa vzťahu (4) majú tieto stavy rovnakú energiu. Pojem energetická hladina a pojem stav sústavy teda nie sú ekvivalentné. Niekedy sa stáva – ako v našom prípade – že istej energetickej hladine odpovedá viacero rôznych stavov sústavy. Vtedy hovoríme o degenerácii energetických hladín. V uvažovanom prípade elektrónu viazaného na štvorcovú oblasť budú degenerované všetky hladiny s energiou danou vzťahom (4) pri n1 ≠ n2; hladiny s energiou E(n1, n2) pri n1 = n2 nebudú degenerované.
V našom prípade príčinou degenerácie hladín je symetria problému, menovite to, že sme uvažovali dvojrozmernú oblasť tvaru štvorca. Keby sme namiesto štvorcovej oblasti uvažovali obdĺžnikovú oblasť so stranami L1, L2, pričom L1 ≠ L2, potom by sme (podobne ako vyššie) prišli ku vzťahu
a stavy líšiace sa zámenou n1 ↔ n2 už nebudú mať rovnakú energiu.
K narušeniu symetrie dochádza niekedy v dôsledku pôsobenia vonkajších síl. Ak máme pôvodne symetrický štvorec s L1 = L2 = L a tento jednostranne stlačíme na L1 = L, L2 = L − L prejaví sa to tým, že sa pôvodne degenerované hladiny rozštiepia (obr. 1.8). S podobnou situáciou sa ešte stretneme viackrát.
Obr. 1.8
|