Matematik modellarning universalligi

|
Matematik modellarning universalligi
|
bet | 4/5 | Sana | 22.12.2023 | Hajmi | 0,57 Mb. | | #126651 |
Bog'liq matematik modellashtirish (2)2.3. Matematik modellarning universalligi.
Turli xil jarayonlarning matematik modellari bir xil bo’shi mumkin. Albatta, mazkur matematik modellarda turli jarayonlar uchun qaralayotgan obyektga tegishli parametrlarning ma‘nosi turlicha bo’ladi. Masalan, ― “tirik” materiya (amyoba) va ― “nomateriya” qiymat (ehtimolligi zichligi) bir xil ko’rinishdagi parabolik tipdagi tenglama bilan ifoda qilinadi. Demak, mexanik yoki fizik yoki biologik yoki iqtisodiy jarayonlar orasida analogiyalar mavjud. Biz quyida ushbu analogiyalarni [1] obyekt bo’yicha ko’rib chiqamiz.
1.Amyobalar to’planishining dinamikasi. Amyoba o’lchami o’n mikronga (0,001 sm) yaqin bo’lgan, tuproqda yashovchi va soxta oyoqchalari, ya‘ni o’z jismini ismi bilan harakat qiluvchi. Asosan amyobalar bakteriyalar bilan ozuqlanadi va ozuqalarni tuproq bilan birga yutadi (agar ozuqa etarli bo’lsa, u holda amyobalar ikki qismga bo’linish yo’li bilan ko’payadi).
Kuzatish va tajribalardan ma‘lumki, bir-biriga yaqin masofada joylashgan yetarlicha ko’p sondagi amyobalar oilasining o’sish dinamikasi o’ta murakkabdir. Masalan, tashqi shart-sharoitlar natijasida o’ta katta sohadagi amyobalar bir joyga to’planishi va yaxlit shakldagi kabi harakat qila boshlaydilar, vaholanki bu yerda har amyobaning individualligi saqlangan bo’lsa ham. Kuzatish natijasida shu narsa
aniqlanganki, bu mikroskopik ― “tartiblangan” harakat amyobalarning o’zlari tomonidan ishlab chiqilgan qandaydir ximik modellarining yanada yuqori konsentratsiyasi tomon yo’naltirilgan bo’ladi. Amyobalarning to’planishi dinamikasining matematik modeli quyidagi farazlarga asoslanadi:
amyobalar orasidagi masofa ularning to’planish o’lchamlariga nisbatan kichik, shuning uchun ham bu to’plashni “tutash muhit” deb qarash mumkin. N (x, y, z, t) amyobalarning birlik hajmdagi sonining konsenratsiyasi;
qaralayotgan jarayon bir o’lchovli, ya‘ni amyobalar konsentratsiyasi va boshqa miqdorlar x koordinata va t vaqtning funksiyasi bo’ladi;
amyobalar mikroskopik harakat jarayonida tug’ilmaydi ham, o’lmaydilar ham, ya‘ni amyobalarning ko’payish vaqti va hayotning tasnifiga nisbatan tasnifiy harakat vaqti kichik;
imkon beradigan tashqi ta‘sirlar (oziq-ovqat, issiqlik va h.k.) bo’lmaganda amyobalarning individual harakati tartibsiz va xatolik
bo’ladi. Ajratib olingan yo’nalishlar bo’lmagani uchun har bir amyoba
tip ehtimollik bilan o’ngga va chapga harakat qiladi;
agar muhitda “o’ziga tortuvchi” kimyoviy modda bo’lsa, o’zlarining shaxsiy harakatlariga ushbu modda tomon ularning yo’naltirilgan holdagi zich harakati ham qo’shiladi.
Yuqoridagi farazlarga ko’ra endi uning matematik modelini quramiz.
Amyobalarning soni bo’yicha “saqlanish qonuni” asosida dx muhit elementi va dt vaqtda amyobalarning balans tenglamasini tuzamiz (3-faraz). Bu holda dx hajmda (ko’ndalang kesim yuzasi birlik bo’lganda) amyobalarning umumiy soni elementning chap va o’ng chegaralari amyobalar potogi W (x,t) ning farqiga ko’ra o’zgaradi. W (x,t)miqdor odatdagi kabi tushuniladi: bu birlik vaqtda birlik sirtni kesib o’tuvchi amyobalar soni. Izlanayotgan tenglamaning ko’rinishi:
bu yerda , lar dx, dtkichik oraliqlardagi miqdorlarning qandaydir o’rta qiymatlari. dx va dt larni nolga intiltirib amyobalar soni balans differensial tenglamalarga kelamiz:
W= + miqdor ikkita tashkil etuvchilar va larning yig’indisiga
teng. Umumiy oqimning qismi amyobalarning xaotik harakatlari natijasida va shuning uchun ham issiqlik diffuziyasi jarayoni uchun Fure qonuniga analogik qilib tenglamani amyobalarning konsentratsiyasi gradienti orqali yozish mumkin:
bu yerda 0 -qaralayotgan “muhitni” tasniflovchi ma‘lum bir koeffisient.
va miqdor uchun issiqlikni jo’natish hodisasi uchun qo’llaniladigan mulohazalar bo’yicha ham mikrodarajadagi jarayonlar to’la-to’kis tahlil qilgan holda ham chiqarish mumkin.
Amyobalarning yo’naltirgan oqimini ifodalovchi ni ifodalay olishi uchun “o’ziga tortuvchi” zichlik gradienti qancha katta bo‗lsa, qiymat ham shuncha katta bo’ladi deb hisoblaymiz:
bu yerda qaror o’zgarmas, p(x,t)- jism zichligi, gradient oldidagi N ko’paytuvchi esa shuni bildiradiki, p zichlik gradienti berilgan bo’lsa, oqim tashkil qiluvchisi berilgan nuqtadagi amyobalar konsentratsiyasini proportsional bo’ladi:
(2.3.1)
(2.3.1) tenglamada 2 ta noma‘lum funksiyalar N va bor. Shuning uchun ham saqlanish qonunidan foydalanib, miqdor uchun ham balans tenglamasini chiqarish lozim. Bu yerda ximik moddaning ajralish tezligiga amaliyotlarning konsentratsiyasi proportsional ekanini hisobga olish kerak. Shu bilan birga moddalarning bo’linish tezligi tabiiy ravishda uning konsentratsiyasiga proprtsional deb hisoblaymiz (radiatsiyaning bo’linish jarayoniga analogik holda). Shunday qilib birlik vaqtda, birlik hajmda:
ga teng bo’lgan modda soni paydo bo’ladi va yo’qotiladi. Bu yerda 0, 0- mos ravishda uning amyobalar bo’linish tezligi. Elementar hajm muhitida modda zichligi o’zgarish elementining o’ng va chap chegaralarining ayirmasi natijasida amalga oshiriladi. Issiqlik ko’proq qizdirilgan issiqlik o’tkazuvchi muhit uchastkalaridan kam qizdirilgan uchastkalarga tarqalganidek, u ko’proq konsentratsiyalangan joydan kam kontsentratsiyalangan joyga diffuziyalanadi.
Fik qonuniga ko’ra bu harakat W quyidagicha aniqlanadi:
bu yerda D 0- diffuziya koeffisienti (Fik qonunini chiqarish Fure qonunini chiqarishga o’xshashdir).
Shunday qilib, moddaning balans tenglamasi
ko’rinishiga keladi, agar va f uchun
(2.3.2)
bo’lsa, (3.2.1), (3.2.2) tenglamalar ularga kiruvchi ,,, , D kiritiluvchi
ma‘lumotlar bilan birga qilingan farazlarga ko’ra amyobalar to’planishining modeli bo’lib xizmat qiladi. Masalani bir qiymatli yechish uchun, ya‘ni obyektdagi mazkur differensial tenglamalar chegaraviy va boshlang’ich shartlarini aniqlash lozim. Bu yerda eng sodda hol bo’lib Koshi masalasi qo’yiladi, agar jarayon
chegaralanmagan fazoda ya‘ni x da qaralayotgan bo’lsa. Bu holda t 0 momentida amyobalarning boshlang’ich konsentratsiyasi. va modda zichligi larni bilish etarli.
Demak, mazkur masalaning matematik modeli quyidagicha aniqlanadi:
(2.3.1) va (2.3.2) tenglamalar o’zaro bog’langan: birinchi tenglamaga va ikkinchisiga esa N kattaligi kirgan. Shu bilan birga (2.3.1) va (2.3.2) tenglamalar tizimi chiziqsiz. Chiziqsizlik (2.3.1) tenglamaning o’ng tomonining qavs ichidagi
hadi tufayli yuzaga keladi. Amyobalarning konsentratsiyasi N va modda zichligi ga nisbatan (2.3.1) va (2.3.2) tenglamalar parabolik tipdagi tenglamalar
hisoblanadi.
Agar amyobalar “o’ziga tortuvchi” moddalarni ajratishmasa, ya‘ni
(x,t) 0, u holda (2.3.1) tenglama issiqlik tarqalish (yoki diffuziya) tenglamasiga keladi:
Oxirgi tenglamadan ko’rinib turibdiki, W oqimda faqat tashkil etuvchigina qolgan, ya‘ni bu yerda faqat amyobalarning yo’naltirilmagan tartibsiz harakati hisobga olingan. Agar qandaydir sababga ko’ra amyobalar modda ajratishni to’xtatib qo’ysalar, u holda (2.3.1) tenglamada koeffisient nolga teng bo’ladi. Bu holda (2.3.1) ning ushbu momentidan boshlab quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi (bo’linishli diffuziya):
(2.3.3)
Oxirgi tenglamani sodda almashtirish orqali issiqlik tarqalish tenglamasiga keltirish mumkin (bu almashtirishni o’quvchiga mustaqil hal qilishni topshiramiz):
(2.3.4)
(2.3.1) va (2.3.2) tenglamalarning chiziqsizliklari uchun ularning umumiy yechimini qurish mumkin emas. Shuning uchun ham amyobalarning fazoviy-vaqtli to’planishini dinamikasi sodda masala emas. Lekin agar vaqtdan va fazodan o’ta kichik chetlanishlari ni o’rganilsa masala ancha soddalashadi, ya‘ni chiziqsiz masala chiziqli masalaga keladi. Bunday yechim
munosabatidagina o’rinli bo’lib, moddaning ajralishi va bo’linishi birbirini tenglashtiradi (turg’unlashtiradi).
Doimiy satrlarda (2.3.1) va (2.3.2) tizimlarni chiziqlashtirish tizimi quyidagi ko’rinishga keladi:
(2.3.5)
bu yerda N va - kichik ta‘sir ( ). Bu tenglamaning umumiy yechimini chegaralanmagan x (bu holda chegaraviy shartlarni qanoatlantirishga hojat yo’q) ikkita xususiy yechimning garmonik yig’indisi ko’rinishida qurish mumkin.
bu yerda k 0 to’lqinli son, , - konstantalar. Xususiy yechimlar uchun quyidagi munosabatlar bajarilishi shart:
(2.3.6)
bu shartlar garmonika uzunligi bilan uning inkrementi (yoki dekrementi) ni bog’lovchi va vaqtga nisbatan o’sish va so’nishni tavsiflaydi. (2.3.6) dan va larni yo’qotib ga nisbatan kvadrat tenglamani hosil qilamiz, ya‘ni
(2.3.7)
bu yerda
.
(2.3.7) tenglamaning ikkala ildizi ham manfiy bo’ladi shu holda va shu holdagi qachonki c 0 bo’lsa, ya‘ni
(2.3.8)
(2.3.3) o’rinli bo’ladi, qachonki vaqt o’tishi bilan k ning ixtiyoriy qiymatida ixtiyoriy uzunligidagi to’lqinning amplitudasi ta‘siri (qo’zg’alishi) kamayadi va doimiy yechim turg’un bo’ladi. (2.3.2) tengsizlikdan ko’rinib turibdiki,
yoki
o’rinli, ya‘ni amyobalarni yetarlicha kichik to’planishida (g’uj bo’lishida) fiksirlangan masala parametrlarida. Aks holda doimiy yechim turg’unmas bo’lishi mumkin va amyobalar g’ujlanish evolyutsiyasi murakkab ko’rinishni oladi.
Ta‘kidlab o’tamizki, chiziqlashtirilgan model qaralayotgan jarayon uchun barcha holatlarni tasvirlab bermaydi, lekin masalani to’la o’rganish uchun undan foydali ma‘lumotlarni chiqarib olish mumkin.
Xulosa.
Xulosa sifatida shuni aytish joizki, men o`z kurs ishimda haqida yoritib berishga harakat qildim. “Boshlang’ich va chegaraviy shartlar va uzulishdagi shartlar. Optimum chegaralari va shartlar yordamida modellashtirish” mavzusida bo’lib men ushbu kurs ishimda boshlang’ich va chegaraviy shartlar, optimum chegaralari va shartlar haqida yoritib berdim.
Bu kurs ishmda men ishimda boshlang’ich va chegaraviy shartlar, optimum chegaralari va shartlar to’g’risida ham ma’lumotlar berib o’tdim va ko’plab shu fanga doyir bilimlar o’rgandim va bu fanda o’ta tezkor va keng hajmdagi xotiraga ega zamonaviy kompyuterlar fizika, kimyo, mexanika, texnika, iqtisod va boshqa ko’plab soha muammolarini tadqiq qilish va hal etishda matematik usullarni qo’llash uchun keng yo’l ochib bermoqda ekan.
Men bu kurs ishim boshlang’ich, chegaraviy shartlar va uzulishdagi shartlar. Optimum chegaralari va shartlar yordamida modellashtirish haqida bo’ldi va men mavzuga doir masalalarni ushbu kurs ishimda qisqacha va tushunarli ma`lumot keltirib o`tdim.
|
| |