Matematik modellarni qurish usullari Reja

|
Matematik modellarni qurish usullari Reja
|
bet | 1/4 | Sana | 26.11.2023 | Hajmi | 157,29 Kb. | | #105622 |
Bog'liq Text of lecture 9
Matematik modellarni qurish usullari
Reja:
Modellash turlari va usullari.
Matematik modellashning mohiyati
Mashinalardagi murakkab jarayonlarni modellashni osonlashtiruvchi chekli ayirmalar usuli
Matematik modellarni qurish
Tayanch iboralar:
Modellash, matematik model, fizik model, chekli usullar, model qurish, model adekvatligi, Monte-Karlo usuli, Nyuton qonuni, Fur’e qonuni, Fik qonuni, Om qonuni, taqsimlangan parametrli modellar, to’plangan para- metrli modellar,
Ma’ruza maqsadi: Tadqiqotlami o'tkazish jarayonida fizik modellar ustida si- novlar o'tkazish qiyinligi sababli matematik modellar uztida izlanishlar olib borish o'rganiladi.
MODELLASH TURLARI VA USULLARI
Oxirgi yillarda mashina va mexanizmlarni loyihalash jarayoni va uni hisoblashga yondoshish tubdan o’zgarib bormoqda. Optimallashtirish usullari nafaqat eng ma’qul konstruktsiya yechimini tanlash, balki loyihalash jarayonining o’zini ham optimallash maqsadida loyihalash jarayonining zaruriy va ajralmas bir qismi bo’lib qolmoqda.
Kompyuterlarni keng ko’lamda qo’llash hisoblash usullarini o’zgartirdi, matematik modellarni zamonaviy taxlil va oldindan aniqlash usullarining asosi qilib qo’ydi.
Yangi yaratilayotgan mashinalarni loyiha bosqichidan, ishlab chiqarish bos- qichiga ko’chirishni tezlashtirish muxandislar oldida turgan muhim masalalardan biridir. CHunki an’anaviy usullarda g’oya loyiha taxtasidagi qog’ozdan ishlab chiqarishga joriy qilingan aniq mashinaga aylanguncha o’tgan vaqt 8 - 15 yilni tashkil etishi mumkin. Buning sababi dastlab (matematik modellardan foyda- lanmasdan turib) bir necha bosqichli tajriba sinovlari o’tkaziladi. Har bir bos- qichda sinov jihozlari tayyorlanadi, mashinaning ko’rsatkichlari qayta -qayta aniqlanadi, tadqiqotchilar, muxandis va ishchilarning juda ko’p mehnati sarfla- nadi. Bu o’tgan vaqt ichida mashinalarning mutlaqo yangi negizda ishlovchi av- lodlari yaratilishi mumkin. Ayniqsa, bozor munosabatlari sharoitida raqobatga bardosh bera oluvchi mashinalar yaratish uchun loyihalash va ishlab chiqarishni juda tez yo’lga qo’yish talab etiladi. Bu vazifalar matematik modellar tuzish va uni loyihalashning avtomatlashtirilgan tizimi yordamida o’rganish yo’li bilan hal qi- linadi.
Modellash ilmiy bilish usuli bo’lib, undan foydalanganda o’rganilayotgan ob’ekt boshqa, model deb ataluvchi, oddiyroq ob’ekt bilan almashtiriladi. Modelni o’rganish natijasida ob’ekt haqida yangi ahborot hosil bo’ladi [1].
Asl nushani modelga aylantirish usuliga bog’liq holda fizik va matematik modellash mavjud. Fizik modellashda o’rganilayotgan tizim (ob’ekt) uning fizik modeli bilan almashtiriladi, u o’rganilayotgan tizim (ob’ekt)ni fizik tabiatini saqlagan holda qaytadan takrorlaydi. Matematik modellashda kompyuterda amalga oshirilgan tizim (ob’ekt)ning matematik modeli ustida tadqiqot o’tkaziladi.
Har qanday tizimni matematik modellash usulida o’rganish qator operatsiya- larni ketma-ket bajarishdan tashkil topadi [2]:
ishlab chiqiladigan yoki o’rganiladigan tizimning ta’rifini tuzish;
uning matematik modelini shakllantirish;
modelni kompyuterda amalga oshirish;
modelni tadqiq qilib, o’rganish;
olingan natijalarni izohlab berish.
Fizik modellashda jarayonni turli masshtablarda qayta tiklash va fizikaviy xususiyatlarini, chiziqli o’lchamlarini ta’sirini o’rganish ro’y beradi. Tajriba bevosita o’rganilayotgan jarayonda o’tkaziladi. Tajriba ma’lumotlariga ishlov berish, ularni turli fizik kattaliklar va chiziqli o’lchamlar kombinatsiyasi bilan tuzilgan, o’lchamsiz komplekslarning bog’lanishlari shaklida ifodalash orqali amalga oshiriladi. Bu o’lchamsiz shakl, olingan bog’lanishlarni, aniqlovchi o’lchamsiz komplekslar yoki o’xshashlik mezonlarining doimiyligi bilan tavsiflanuvchi, o’zaro o’xshash jarayonlar guruhiga tarqatishga imkon beradi. □lchamsiz komplekslarni olish yoki differentsial tenglamalar asosida, yoki kattaliklar (o’lchamlar) nazariyasi usuli bilan amalga oshiriladi [3].
Fizik modellash modelda va ob’ektda aniqlovchi o’xshashlik mezonlari doimiyligini qayta tiklashga keltiriladi. Amalda bu, o’rganilayotgan fizik jarayonni bir necha bosqichda qayta tiklash kerakligini, ya’ni ushbu fizik jarayonni amalga oshirishning kichik masshtablaridan, aniqlovchi chiziqli o’lchamlarni qonuniyat bo’yicha o’zgartirib, katta masshtablarga o’tishni bildiradi. SHunday qilib, fizik modelni o’zgartirish bevosita fizik jarayonning o’zida amalga oshiriladi.
Geometrik shaklni modellash va bunda masshtab omilini baholash masalasi maxsus adabiyotlarda ko’rilgan. Fizik modellashda keng ishlatiladigan o’xshashlik nazariyasi, o’xshashlik mezonlari va o’lchamlar taxlili ham maxsus adabiyotlarga murojaat qilishni talab qiladi.
Ba’zi bir murakkab mashina va jarayonlarni tabiiy xolda emas, balki geometrik va fizik modellarda tadqiqot qilish qulay. Bunday modellar yordamida olingan tajriba ma’lumotlari, matematik model qurishga kirishishdan avval, o’xshashlik nazariyasi yordamida taxlil qilinishi kerak. Bunda muvofiq tarzda masshtab koeffitsientlari, o’xshashlik mezonlari topiladi va modeldan olingan ma’lumotlarni (ba’zi hollarda o’lchamsiz) tabiiy holga qanchalik muvofiq kelishi baholanadi. Tabiiy kattalikka keltirib olingan ma’lumotlardan matematik modellar qurish uchun foydalansa bo’ladi.
MATEMATIK MODELLASHNING MOHIYATI
Matematik modellashning mohiyati shundaki, bu yerda jarayon modelini o’zgarishi fizik modelda emas, balki bevosita matematik modelning o’zida kompyuter yordamida o’rganiladi.
Matematik modellash uchta bosqichni o’z ichiga oladi: matematik modelni qurish, o’rganilayotgan jarayonni modellovchi algoritm yaratish, model va o’rganilayotgan jarayonning adekvatligini aniqlash [4].
Matematik modelni qurish, jarayonni o’zaro munosabatlar tizimi ko’rinishidagi (masalan, chekli yoki differentsial tenglamalar, tengsizliklar, man- tiqiy shartlar, maxsus operatorlar va xokazo) rasmiy shaklga (formalizatsiyaga) olib kelinadi. Bu munosabatlar jarayonning elementar xodisalarini va ular orasidagi o’zaro ta’sirni, asosiy qo’zg’atuvchi omillarni hisobga olgan holda, ifodalaydi.
Qrganilayotgan jarayonni modellovchi algoritm kompyuter uchun dastur ko’rinishida yozilishi mumkin. Bunda elementar xodisalar va jarayonni butunlay tavsiflovchi ahborot qadamma-qadam ishlab chiqiladi, shuningdek modellash na- tijasi sifatida ishlatiladigan kattaliklar shakllanadi. Jarayonning kechishiga tasodifiy omillarni ta’siri tasodifiy sonlar yordamida imitatsiya qilinadi. Tasodifiy sonlar avvaldan berilgan va modellash jarayonida olinadigan taqsimot qonunlariga ega bo’ladi. Tabiiy tajribadagi kabi, jarayonni kompyuterda amalga oshirishning har bir alohida natijasi, tasodifiy qo’zg’alishlarning shakllangan birgalikda kelishini hisobga olgan holda, qo’zg’atuvchi omillarning ta’siri to’plamining jam- langan samarasini aks ettiradi.
Tanlangan modelni ko’rilayotgan ob’ektga adekvatligini tekshirish modellashning eng muhim qismi hisoblanadi. Har qanday model chinakam jarayonning faqat yaqinlashgan aks etishi hisoblanadi. Aniq jarayonni o’rganilganlik darajasi- dan kelib chiqib, katta yoki kichik aniqlik darajasi bilan, modellanayotgan ob’ektning tabiatini qayta tiklovchi model tuzish mumkin. Matematik modelni ishlab chiqishda u yoki bu darajada model tenglamalarining ba’zi parametrlarini
mumkin bo’lgan kattaliklari haqida yaqinlashgan ma’lumotlarni ishlatishga to’g’ri kelgani sababli, modelni adekvatligini baholash masalasi kelib chiqadi. Tabiiyki, faqat mavjud jarayon (ob’ekt)ni modellashda bunday masalalarni yechish mumkin.
Matematik modellash usullari matematik modelda tajriba o’tkazishga imkon beradi. Bunda modellash sharoitlari to’liq hajmda nazorat qilinadi va modellash natijalariga hisobga olinmagan tasodifiy omillarning ta’sir ko’rsatishi yo’qotiladi. Bu usullar zamonaviy kompyuterlar yordamida, nisbatan katta bo’lmagan xarajat bilan, ob’ektning mumkin bo’lgan barcha variantlarini tadqiqot qilish, uning aso- siy xossalarini o’rganish, uni takomillashtirish rezervlarini ochib berishga imkon beradi. SHu bilan birga ishlatilayotgan model doirasida optimal yechimlarni qidirib topish doimo kafolatlanadi [5].
Matematik modellash xech qachon fizik modellashga qarshi qo’yilmasligini doimo nazarda tutish kerak. U ko’proq fizik modellashni matematik ifodalash vositalari va sonli taxlil aslahalari bilan to’ldirishga yaraydi. Mohiyati bo’yicha fizik modellash usullari ham tekshirilayotgan ob’ektdagi jarayonlarning matematik ifodasi va uning fizik modeli aynan o’xshashligiga asoslanadi. Biroq ular, umumiy matematik tenglamalardagi ba’zi aniqlovchi komplekslarni taqqoslash asosida, matematik ifodalashning aniq xossalarini ko’rib chiqmaydi.
Hozirgi vaqtda fizik modellash usullari yangi sifat olmoqda. Ular matematik model tenglamalariga kirgan koeffitsientlarning o’zgarish chegaralarini topish uchun ishlatilishi mumkin. Bu bilan matematik ifodalangan jarayonni masshtablash va modelni o’rganilayotgan ob’ektga adekvatligini o’rnatish im- konini beradi.
MASHINALARDAGI MURAKKAB JARAYONLARNI MODEL- LASHNI OSONLASHTIRUVCHI CHEKLI AYIRMALAR USULI
Traktorsozlikda yechishga to’g’ri keladigan ko’pgina masalalar ancha mu- rakkab, chunki hisoblanayotgan fizikaviy jarayonlar doimo uchta koordinat o’qi va vaqtdan iborat bo’lgan to’rt o’lchovli fazoda sodir bo’ladi.
Echim matematik fizika tenglamalari deb ataluvchi, xususiy hosilali differ- entsial tengamalar tizimini yechishga olib kelinadi. Bu tenglamalarga to’rtta bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi kiradi.
Ba’zan masalani shunchalik soddalashtirishga muvaffaq bo’linadiki, tengla- malarda faqat bitta bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi qoladi, ya’ni masala bir o’lchovli holga keltiriladi. SHunday yo’l bilan olingan differentsial tenglamalar bitta bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchiga ega va amalda aniq analitik usullar bilan yechilishi mumkin.
Turli bir o’lchovli masalalarni analitik yechimlari qator mahsus fanlarda ko’riladi. Masalan, mustahkamlikni hisoblashning bir o’lchovli masalalari materi- allar qarshiligi fanida yechiladi. Bu yerda bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi sifatida koordinat o’qlaridan biri ifodalanadi va bir o’lchovli masala aniq yechiladi, masalan nazariy mexanika, mashina va mexanizmlar nazariyasining ko’pgina masalalari.
Masalani bir o’lchovli ko’rinishga keltirish doimo uni ideallash bilan bog’liq bo’ladi. Ideal masalada fizikaviy jarayonning kechishiga ta’sir etuvchi qator ikkinchi darajali omillarni hisobga olmaslikka to’g’ri keladi. Bundan nazorat qi- lish qiyin bo’lgan xatolar paydo bo’ladi. Mashina va u ishlayotgan sharoit qancha- lik murakkab bo’lsa, hisoblash natijalarining yetarli aniqligiga umid qilsa bo’ladigan, bir o’lchovli matematik modelni ishlab chiqish shunchalik qiyin bo’ladi [6].
Ba’zi hollarda masalani bir o’lchovli ko’rinishga keltirish va uni aniq analitik usullar bilan yechish amaliy mumkin emas. Ko’p o’lchovli masalalarni qo’yishga yuqorida aytilganlardan ko’ra murakkabroq fanlar bag’ishlangan. Masalan, mustahkamlikni hisoblash masalalarini yechishda materiallar qarshiligidan elastiklik nazariyasiga o’tishga to’g’ri keladi. Ko’p o’lchovli elektrotexnika masalalarini ko’rishga elektrodinamika fani bag’ishlangan. Issiqlik jarayonlari issiqlik uzatish nazariyasida ko’riladi, ishqalanish jarayonini o’rganishda umumiy fizikadan tri-
bologiya faniga o’tiladi va hokazo. Bu fanlarni barchasini mukammal darajada o’rganish juda qiyin.
Traktor loyihalayotgan konstruktor elastiklik nazariyasi va elektrodinamika, issiqlik uzatish va gidrodinamika, tribologiya va mashinalar puxtaligi fanlarining aralash masalalariga duch keladi. Qandaydir fan sohasida ozgina xatolikka yo’l qo’yilsa, mashina mo’ljaldagidek ishlamaydi.
Hisoblash usullarining murakkabligi va yetarlicha takomillashmagani sababli loyihachi "sinov va xatolar" usulida ish yuritadi. Mashina qurilgach sinovga qo’yiladi. Natija asosida yana qaytadan loyihalanadi va xokazo. Mashinalardagi murakkab jarayonlarning nazariy hisoblash usullarni hayotga tadbiq etishda xususiy hosilali differentsial tenglamalarni turli yaqinlashtirib yechish usullari yordam beradi.
Bunday usullardan biri chekli ayirmalar usuli bo’lib, bu usulni to’r usuli yoki kublar usuli deb ham ataladi. CHekli ayirmalar usuli odatda juda katta hajmdagi hisoblash ishlarini bajarishga olib keladi. Bu kamchilik zamonaviy kompyutarlar yordamida oson yo’qotiladi. Mashinalarni loyihalashda kompyuter hisob-kitob ishlaridan tashqari detallarni joylashtirish, loyihani ko’p variantli bajarish kabi qulayliklar yaratadi. Avtomatlashtirilgan loyihalash tizimi bunga yorqin misol bo’la oladi.
CHekli ayirmalar usulining tenglamalari maxsus matematika kitoblarida keng yoritilgani sababli biz ularga to’xtalib o’tirmaymiz.
MATEMATIK MODELLARNI QURISH
Modellar fizik, matematik, mantiqiy va boshqa ko’rinishlarda bo’lishi mumkin.
Model - chinakam jarayonlar va tizimdagi o’zaro bog’lanishlarni ifodalash- ning soddalashtirilgan shakli bo’lib, tashkil etuvchi elementlar (omillar)ni tizimn- ing butkul holatiga ta’sirini o’rganish, baholash va oldindan aniqlash imkoniyatini
beradi. Masalan, mashinaning texnik holatini foydalanish jarayonida o’zgarishini uchta shaklda yozib ifodalash mumkin.
t ish vaqtiga bog’liq holda, uni odatda n - darajali (tartibli) polinom bilan approksima-tsiyalashadi [7]:
2 n
|
| |