O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

|
O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
|
Sana | 21.12.2023 | Hajmi | 0,78 Mb. | | #126198 |
Bog'liq 2-Taqdimot
2-mavzu.
O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Reja
1. Birinchi tartibli soda differensial tenglamalarni integrallash
2. O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
3. Bir jinsli tenglamalar
4. Bir jinsli tengalamaga keltiriladigan differensial teglamalar
Kalit so’zlar: Differensial tenglama, bir jinsli tenglama, umumiy yechim, hususiy yechim, maxsus yechim.
1-Reja. Ushbu
tenglama – noma’lum fuksiya qatnashmagan birinchi tartibli eng soda differensial tenglama deyiladi. Agar funksiya intervalda uzluksiz bo’lsa, tenglamaning bu intervaldagi umumiy yechimi
formula bilan ifodalanadi.
Ushbu
tenglama – erkli o’zgaruvchi qatnashmagan birinchi tartibli eng soda differensial tenglama deyiladi. Agar funksiya o’zgaruvchining biror intervalida uzluksiz va nolga aylanmasa u holda (2) tenglama
tenglamaga teng kuchli bo’ladi. tenglamani erkli o’zgaruvchi dan, no’malum funksiya dan iborat (1) ko’rinishdagi differentsial tenglama deyish mumkin. Va uning intervaldagi umumiy yechimi
formula bilan ifodalanadi.
Agar tenglama ildizlarga ega bo’lsa, u holda (2) differentsial tenglama intervalda yechimlarga ega bo’ladi.
2-Reja. Ushbu
tenglama o’zgaruvchilari ajralgan differentsial tenglama deyiladi. Matematik amallar bajarish natijasida (3) ko’rinishda yozish mumkin bo’lgan teglamalarni o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataymiz. va funksiyalar uzluksiz bo’lgan sohada (3) tenglamaning umumiy yechimi
formula bilan ifodalanadi.
Misol. tenglamani (3) ko’rinishda yozish mumkin: . Umumiy yechimni yozamiz:
Yoki
Berilgan teglamani yechish jarayonida ifodaga bo’lish bajarildi. bo’lgani uchin bu amalni bajarish mumkin.
Javob:.
3-Reja. Ushbu
ko’rinishda yozish mumkin bo’lgan tenglamalarni bir jinsli differensial tenglamalar deb ataymiz. (4) tenglamani integrallash uchun formula bilan noma’lum funksiyani almashtirish bajaramiz, bunda – yangi noma’lum funksiya. Natijada
Yoki
– o’zgaruvchlari ajralgan differensial tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaning umumiy yechimi formulasida almashtirish bajarsak (4) tenglamaning umumiy yechimi topiladi.
Tenglamani yechish jarayonida ifodaga bo’lishni bajardik. Bu ifoda nolga aylanadigan holatni o’rganib chiqamiz. Agar bo’lsa (4) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadan iborat bo’ladi va uning umumiy yechimi ko’rinishga ega. Agar tenglama ildizlarga ega bo’lsa, (4) differentsial tenglama yechimlarga ega bo’ladi.
Misol.
tenglamani integrallaymiz. Bu tenglamani (4) ko’rinishga keltirish mumkun:
demak tenglama bir jinsli ekan. almashtirish bajaramiz, natijada:
Eski o’zgaruvchiga qaytamiz:
tenglamani yechish jarayonida ga bo’lishni bajardik. funksiya tenglamani qanoatlantiradi. Javob: .
4-Reja. Dastlab
ko’rinishdagi differensial tenglamalarni holatlarga ajratib o’rganaylik.
I holat. bo’gan hol. Bu holda (5) tenglama
ko’rinishga ega bo’lib u bir jinsli tenglamadan iborat. Chunki tenglamani (4) ko’rinishda yoza olamiz:
2. – Koshi masalasini yechamiz. Berilgan tenglamaning umumiy yechimi chiziqlar oilasidan iborat. tenglikdan masalaning yechimini aniqlaymiz: .
Ta’rif. Agar (1) tenglamaning integral chizigi’ining barcha nuqtalarida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa funksiya (1) tengla`maning hususiy yechimi deyiladi.
Agar (1) tenglamaning integral chizigi’ining barcha nuqtalarida Koshi masalasi kamida ikkita yechimga ega bo’lsa funksiya (1) tenglamaning mahsus yechimi deyiladi.
Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish masalasi differensial tenglamani integrallash masalasi deb yuritiladi.
ko’rinishni oladi. Tenglamada formula bilan noma’lum funksiyani almashtirish bajaramiz, bunda – yangi noma’lum funksiya. Natijada
yoki
– erkli o’zgaruvchi qatnashmagan birinchi tartibli eng sodda differensial tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaning umumiy yechimi formulasida almashtirish bajarsak (5) tenglamaning umumiy yechimi hosil boladi.
B hol. bo’lgan hol. Bu holda
sistema yagona yechimga ega. (5) tenglamada formulalar bilan o’zgaruvchilarni almashtirish bajaramiz, bunda – yangi erkli o’zgaruvchi, – yangi noma’lum funksiya. Natijada
tenglama hosil bo’ladi. Bunday ko’rinishdagi tenglamani yuqorida I holatda o’rgandik. Bu tenglamaning umumiy yechimi formulasida almashtirish bajarsak (5) tenglamaning umumiy yechimi hosil bo’ladi.
Ba’zan tenglamada formula bilan noma’lum funksiyani alamashtirish bajarish bilan bir jinsli differensial tenglama hosil qilinadi, bunda – yangi noma’lum funksiya.
Misol.
tenglamani bir jinsli tenglamaga keltirib integrallaylik. Tenglamada alamashtirish bajaramiz:
Bu tenglamada o’zgaruvchilarning darajalari teng bo’lsa tenglama bir jinsliga aylanadi, ya’ni tenglik bajarilishi zarur. (7) tenglamada desak u
ko’rinishni oladi. Bu bir jinsli tenglamada almashtirish bajaramiz:
Eski o’zgaruvchilarga qaytamiz:
Shunday qilib qaralayotgan tenglamaning umumiy yechimi: .
(6) tenglamani integrlalsh jarayonida ifodalarga bo’lish bajarildi. Bu ifodalar nolga aylangan holatlarni tekshiraylik. funksiya (6) tenglamani qanoatlantirmaydi. da almashtirish formulasiga ko’ra fuksiya hosil bo’ladi. Bu funksiya ham (6) tenglamani qanoatlantirmaydi. bo’lgan holni o’rganaylik. Bu holda o’z mavbatida va bundan funksiyalar hosil bo’ladi. Bu funksiyalar berilgan tenglamani qanoatlantiradi va umumiy yechimda bo’lgan holda hosil bo’ladi, ya’ni o’zgarmas parametr ga bo’g’liq aniqlanyapti. Demak funksiyalar (6) tenglamaning mahsus yechimlari ekan.
Javob:, .
Eslatma. Differensia tenglamani integrallash vaqtida bo’lish amalidan foydalanilganda qaralayotgan tenglamaning yechimi yo’qotilishi mumkin. Shu sababli bo’luvchi ifoda nolga aylangan hollarni tekshirish shart. Bunda, aytaylik funksiya hosil bo’lsa, birinchidan bu funksiya tenglamaning yechimi bo’lishi tekshiriladi, ikkinchidan funksiyani umumiy yechimda o’rniga qo’ib ning qiymatini aniqlaymiz. Agar ning qiymati bir qiymatli va chekli aniqlansa javobda funksiya alohida ko’rsatilmaydi. Agar ning qiymati ga teng bo’lsa funksiya qaralayotgan tenglamaning hususiy yechimi bo’ladi va javobda alohida ko’rsatiladi. Agar ning qiymati ga bog’liq aniqlansa, funksiya qaralayotgan tenglamaning maxsus yechimi bo’ladi va javobda alohida ko’rsatiladi.
|
| |