Juft va toq funksiyalarning Fure qatorlari

Juft va toq funksiyalarning Fure qatorlari.
7-teorema. Agar f(x) funksiya juft bo‘lsa, u holda uning Furye qatoridagi barcha bn koeffitsientlari nolga teng bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya toq bo‘lsa, u holda uning Furye qatoridagi barcha an koeffitsientlari nolga teng bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya dastlab sonlar o‘qida emas, balki uzunligi 2 dan kichik bo‘lgan biror oraliqda berilgan bo‘lsa, u holda bu funksiyani cheksiz ko‘p usulda trigonometrik qatorga yoyish mumkin.
1-rasm
Haqiqatan ham, f(x) funksiya (0;a) intervalda berilgan bo‘lsin, bu yerda a<2. f(x) funksiyani ixtiyoriy ravishda [0;2) oraliqqa, keyin esa 2 davr bilan sonlar o‘qiga davom ettiramiz (1-rasm). Bunday davom ettirish natijasida hosil bo‘lgan funksiyani orqali belgilaymiz. funksiyaning davri 2 ga teng, uni Furye qatoriga yoyish mumkin, bu Furye qatori (0;a) oraliqda (f(x) funksiya uzluksiz bo‘lgan barcha nuqtalarda) f(x) funksiyaga yaqinlashadi. Berilgan f(x) funksiyaning davomi cheksiz ko‘p usulda tanlanishi mumkinligi sababli, (0;a) intervalda f(x) funksiyaga yaqinlashadigan trigonometrik qatorlar ham cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Shunday qilib, uzunligi 2 dan kichik bo‘lgan oraliqda berilgan f(x) funksiyani trigonometrik qatorga turlicha yoyish mumkin ekan.
2-rasm
Bu xossa (0;) intervalda (umuman olganda, uzunligi ga teng oraliqda) berilgan f(x) funksiyalar uchun alohida ahamiyatga ega. Bu holda f(x) funksiyaning turli davomlari ichida ikkita maxsus - fj(x) va ft(x) davomlari mavjud, bu yerda fj(x) -juft, ft(x) - toq funksiyalar. fj(x) funksiyani hosil qilish uchun avval f(x) funksiyani (-;0) intervalga juft tarzda, keyin esa hosil bo‘lgan funksiyani 2 davr bilan butun sonla o‘qiga davom ettiramiz (10-rasm).
Xuddi shunga o‘xshash ft(x) funksiyani hosil qilamiz: avval f(x) funksiyani (-;0) intervalga toq tarzda, keyin esa hosil bo‘lgan funksiyani 2 davr bilan butun sonlar o‘qiga davom ettiramiz (3-rasm).
fj(x) juft funksiya bo‘lganligi sababli uning Furye qatori faqat ancosnx qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. Bu qator f(x) funksiyaning (0;) intervaldagi kosinuslar bo‘yicha trigonometrik qatori deyiladi.
3-rasm
Shunga o‘xshash, ft(x) toq funksiya bo‘lganligi sababli uning Furye qatori faqat bnsinnx qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. Bu qator f(x) funksiyaning (0;) intervaldagi sinuslar bo‘yicha trigonometrik qatori deyiladi.
Shunday qilib, uzunligi ga teng bo‘lgan oraliqda berilgan funksiyani faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo‘yicha Furye qatoriga yoyish mumkin ekan.
f(x) funksiya da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ravshanki, bu holda f(x) cos nx juft funksiya, f(x) sin nx (n=1,2,3,…) esa toq funksiya bo’ladi va da integrallanuvchi bo’ladi.
Formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
=
(n=0,1,2,3,…)
(n=0,1,2,3…).
Demak, juft f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlari
(n=0, 1, 2, 3,…)
(n=0, 1, 2, 3,…)
bo’lib, Fure qatori esa
bo’ladi.
Endi f(x) funksiya da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu oraqliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x) cos nx toq funksiya, f(x) sin nx (n=1,2,3,…) esa juft funksiya bo’ladi va da integrallanuvchi bo’ladi.
Formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
=
(n=0,1,2,3,…)
=
= (n=0,1,2,3…)
Demak, toq f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlari
(n=0,1,2,3…)
= (n=0, 1, 2, 3…)
bo’lib, Fure qatori esa
bo’ladi.
|