Sh. A. Saipnazarov biznes matematika - bet 17

39
Ikkilanmalikning birinchi teoremasiga doir misol ko‘ramiz
O„zaro ikkilanma masalalar berilgan:
I
II
max
3
2
0
,
0
21
3
5
16
2
18
3
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
min
21
5
16
18
0
,
0
,
0
,
0
,
3
3
,
2
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
4
2
1
y
y
y
y
Z
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Bu masalalarni yechib
24
max
F
I masala uchun, II masala uchun esa
24
min
Z
hosil qilamiz.
3.2. Iqtisodiy masalalar yechimining talqini
Ikkilanmalikning asosiy teoremasiga iqtisodiy talqini
Ishlab
chiqarishni
rejasi
n
x
x
x
X
,
,
,
*
2
1
va
narxlar
to„plami
m
y
y
y
Y
,
,
,
*
2
1
optimal bo„ladi faqat va faqat, qachonki oldindan ma‟lum
bo„lgan
n
c
c
c
,
,
,
2
1
“tashqi” narxda mahsulotni sotishdan olinadigan foyda, “ichki”
resurs uchun sarflangan xarajat narxi
m
y
y
y
,
,
,
2
1
ga teng bo„lsa. boshqa har qanday
reja
X
va
Y
uchun ikkilanmalik nazariyasining asosiy tengsizligiga ko„ra ishlab
chiqarilgan mahsulotni sotishdan olinadigan foyda resurslar uchun sarflangan
xarajatdan kichik bo„ladi.
3.2-masala.
Resurslardan foydalanish (1.1) masalani simpleks usulda
yechamiz.
max
3
2
0
,
0
21
3
5
16
2
18
3
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
Yechish.
Masalani kanonik holda yozib olamiz.
0
3
2
6
,
1
,
0
21
3
5
16
2
18
3
2
1
6
1
5
2
4
2
1
3
2
1
x
x
F
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
Simpleks jadvalni tuzamiz.
40
3.2.1-jadval
BO„
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
OH
3
x
1
3
1
0
0
0
18
4
x
2
1
0
1
0
0
16
5
x
0
1
0
0
1
0
5
6
x
3
0
0
0
0
1
21
F
-2
-3
0
0
0
0
0
5
;
5
;
16
;
3
18
min
2
x
3.2-jadvalni tuzamiz. Ba‟zis o„zgaruvchilar
6
2
4
3
,
,
,
x
x
x
x
Ikkinchi ustunda to„rtburchakka olingan hal qiluvchi element 1 dan boshqa
barchasida nollar hosil qilamiz.
3.2.2-jadval
BO„
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
OH
3
x
1
0
1
0
-3
0
3
4
x
2
0
0
1
-1
0
11
2
x
0
1
0
0
1
0
5
6
x
3
0
0
0
0
1
21
F
-2
0
0
0
3
0
15
Optimallik kriteriyasi bajarilmadi. Endi birinchi ustun hal qiluvchi ustun bo„ladi.
1
x
bazisga kiradi, chunki
3
7
;
;
2
/
4
;
1
/
3
1
x
yangi 3.3 simlpeks jadval quyidagi
ko„rinishni oladi.
3.2.3-jadval
BO„
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
OH
1
x
1
0
1
0
-3
0
3
4
x
0
0
-2
1
5
0
5
2
x
0
1
0
0
1
0
5
6
x
0
0
-3
0
9
1
12
F
0
0
2
0
-3
0
21
Bu holda ham optimallik kriteriyasi bajarilmadi.
3.4-jadvalni tuzamiz.
5
x
bazisga kiradi.
3.2.4-jadval
BO„
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
OH
1
x
1
0
5
/
1
5
/
3
0
0
6
5
x
0
0
5
/
2
5
/
1
1
0
1
2
x
0
1
5
/
2
5
/
1
0
0
4
6
x
0
0
5
/
3
5
/
9
0
1
3
F
0
0
5
/
4
5
/
3
0
0
24
41
Optimallik kriteriyasi bajarilda, demak
24
max
F
, optial bazis yechim
3
;
1
;
0
;
0
;
4
;
6
*
X
Endi I ga ikkilanma II masalani yechamiz. Sun‟iy bazis usulidan
foydalanamiz.
0
21
5
16
18
3
3
2
3
2
2
1
4
3
2
1
2
6
3
2
1
1
5
4
2
1
u
u
M
y
y
y
y
z
u
y
y
y
y
u
y
y
y
y
3.2.5-jadval
BO„
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
1
u
2
u
OH
1
u
1
2
0
3
-1
0
1
0
2
2
u
3
1
1
0
0
-1
0
1
3
Z
-18
-16
-5
-21
0
0
0
0
0
F
-4
-3
-1
-3
1
1
-1
-1
-5
Keyingi jadvalni tuzamiz.
3.2.6-jadval
BO„
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
1
u
OH
1
u
0
3
/
5
3
/
1
3
-1
3
/
1
1
1
1
y
1
3
/
1
3
/
1
0
0
3
/
1
0
1
Z
0
-10
-1
-21
0
-6
0
18
ф
M
0
3
/
5
3
/
1
-3
1
3
/
1
-1
-1
3.2.7-jadval
BO„
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
OH
4
y
0
9
/
5
3
/
1
1
3
/
1
1
1
1
y
1
3
/
1
3
/
1
0
0
3
/
1
1
Z
0
3
/
5
3
/
4
0
-7
3
/
4
25
ф
M
0
0
0
0
0
0
0
Optimallik kriteriyasi bajarilmadi. Keyingi jadvalni tuzamiz.
3.2.8-jadval
BO„
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
OH
2
y
0
1
5
/
1
5
/
9
5
/
3
5
/
1
5
/
3
1
y
1
0
3
/
2
5
/
3
5
/
1
3
/
2
5
/
4
Z
0
0
-1
-3
-6
-4
24
Optimallik kriteriyasi bajarildi, ya‟ni jadvalning oxirgi qatorida musbat
element qolmadi. Demak,
0
;
0
;
0
;
0
;
5
/
3
;
5
/
4
*
Y
da
24
min
Z
. Shunday qilib,
42
24
min
max
Z
F
. Optmal bo„lmagan boshqa har qanday rejada
24
,
24
y
Z
x
F
bo„ladi.
Ikkilanmalikning birinchi teoremasining iqtisodiy ma‟nosini quyidagicha
talqin qilish mumkin. korxona
n
x
x
x
X
,
,
,
*
2
1
optimal rejada mahsulot ishlab
chiqarib maksimal foyda olish mumkin yoki
m
y
y
y
Y
,
,
,
*
2
1
optimal rejada
resurs sotib, minimal xarajat qilib. Optimal foyda ko„rishi ham mumkin.
3.3. Ikkilanma simpleks usul
Aytaylik, bizga ikkita o„zaro ikkilanma masalalar berilgan bo„lsin (3.1-
jadval). Agar bu masalalarning har birini simpleks metod yordamida yechishimiz
uchun bu masalalarning har birini kanonik holga keltiramiz. I masalaning cheklov
sharti
m
i
b
x
a
n
j
i
j
lj
,
1
1
ga
m
ta nomanfiy
m
n
i
n
n
n
x
x
x
x
,
,
,
,
,
2
1
o„zgaruvchilarni
kiritamiz. II masalaning cheklov sharti
n
j
c
x
a
n
i
j
j
lj
,
1
1
ga
n
ta
m
n
m
m
y
x
y
,
,
,
2
1
, bu yerda
.
0
,
0
j
m
i
n
y
x
U holda har bir ikkilanma masalaning cheklov sistemalari ushbu ko„rinishga
ega bo„ladi.
m
i
b
x
a
n
j
i
i
n
lj
,
1
1
(3.5.)
n
j
c
y
y
a
m
i
j
j
m
j
lj
,
1
1
(3.6.)
O„zaro ikkilanma masalalardan birining dastlabki o„zgaruvchilari bilan
ikkinchi masalaning yordamchi o„zgaruvchilari orasida moslik o„rnatamiz.
3.3.1-jadval
Dastlabki I masalaning o„zgaruvchilari
Dastlabki
Yordamchi
n
m
j
m
m
m
n
j
y
y
y
y
x
x
x
x
2
1
2
1
m
j
m
n
i
n
n
n
y
y
y
y
x
x
x
x
2
1
2
1
(3.7)
Yordamchi
Dastlabki
Ikkilanma II
Masalaning o„zgaruvchilari
Teorema.
Ikkilanma masalalardan birining optimal yechimidan musbat (nol
bo„lmagan) komponentlari ikkinchi masalalaning optimal yechimidagi nolli
komponentlariga mos keladi, ya‟ni har qanday
m
i
,
1
va
n
j
,
1
uchun
0
*
j
x
bo„lsa, u holda
0
*
j
m
y
; agar
0
*
i
n
x
bo„lsa, u holda
0
*
i
y
, va shunga
o„xshash agar
0
*
i
y
bo„lsa, u holda
0
*
i
n
x
, agar
0
*
j
m
y
, u holda
0
*
j
x
.
43
I va II o„zaro ikkilanma masalalarning (3.5) va (3.6) cheklov sistemasining
har bir tenglamasiga mos ravishda
m
y
y
y
,
,
,
2
1
ko„paytirib qo„shamiz va ushbuga
ega bo„lamiz.
m
i
n
j
i
j
ij
m
i
i
i
m
i
i
j
n
y
x
a
y
b
y
x
1
1
1
1
(3.8)
Shunga o„xshash (3.6) sistemaning har bir tenglamasiga
0
j
x
ni ko„paytirib
qo„shamiz va ushbuga ega bo„lamiz.
m
i
n
j
j
j
n
j
i
j
ij
n
j
j
m
j
x
c
y
x
a
y
x
1
1
1
1
(3.9)
(3.8) va (3.9) tengliklar o„zgaruvchilarning har qanday joiz qiymatlarida o„rinli,
jumladan
*
*
*
*
,
,
,
j
m
i
i
n
j
y
y
x
x
optimal qiymatlar uchun ham. Ikkilanmalikning birinchi
teoremasiga ko„ra
*
*
y
Z
x
F
yoki
m
i
i
i
n
j
j
j
y
b
x
c
1
*
1
*
, shuning uchun (3.8) va
(3.9) tengliklarning o„ng qismlari faqat ishorasi bilan farq
m
i
i
j
n
y
x
1
va
n
j
i
m
j
y
x
1
ifodalarning nomanfiyligini hisobga olsak, (3.8) va (3.9) tengliklarning o„ng
qismlari ham nomanfiy ekanligi kelib chiqadi. Bu shart bajarilishi uchun, ya‟ni
o„zgaruvchilarning optimal qiymatlarida ularning o„ng qismlari nolga teng bo„lishi
kerak:
n
j
j
m
j
m
i
i
i
n
y
x
y
x
1
*
*
1
*
*
0
0
(3.10)
(3.10) da o„zgaruvchilarning nomanfiyligidan
n
j
y
x
m
i
y
x
j
m
j
i
i
n
,
1
0
,
1
0
*
*
*
*
bundan yuqoridagi teoremaning isboti kelib chiqadi.
|