İşarəsi dəyişən sıralar (növləri). Leybnis əlaməti

İşarəsi dəyişən sıralar (növləri). Leybnis əlaməti. Qüvvət
sıraları.
1. İşarəsi dəyişən sıralar
2. Leybnis teoremi.
3. Qüvvət sıraları.
1. İşarəsi dəyişən sıralar.
Sıranın hədləri içərisində həm müsbət və həm də mənfi işarəli hədlər olarsa, onda belə sıraya işarəsini dəyişən sıra deyilir.
Teorem 1. Əgər işarəsini dəyişən
(1)
sırasının hədlərinin mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş
(2)
sırası yığılırsa, onda verilmiş işarəsini dəyişən sıra da yığılır.
Qeyd edək ki, bu yığılma əlaməti işarəsini dəyişən sıralar üçün yalnız kafi əlamətdir, zəruri əlamət deyil; işarəsini dəyişən elə sıralar var ki, özləri yığılır, lakin mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş sıralar dağılır. Buna görə də işarəsini dəyişən sıralar üçün yeni mütləq və şərti yığılma anlayışlarını və bu anlayışlar əsasında işarəsini dəyişən sıraların təsnifatını vermək lazım gəlir.
Tərif. Hədləri müxtəlif işarəli olan (1) sırasının hədlərinin mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş (2) sırası yığılırsa, (1) sırasına mütləq yığılan sıra deyilir. İşarəsini dəyişən (1) sırası yığılırsa, lakin onun mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş (2) sırası dağılırsa, verilmiş (1) sırasına şərti və ya qeyri-mütləq yığılan sıra deyilir.
Hədləri müxtəlif işarəli ədədlər olan sıraların ən sadə növü işarəsini növbə ilə dəyişən sıralardır.
(3)
şəklində olan sıraya işarəsini növbə ilə dəyişən sıra deyilir.
2. Leybnis teoremi.
Leybnis teoremi. İşarəsini növbə ilə dəyişən
sırasının hədləri azalırsa:
və
şərti ödənirsə, onda (1) sırası yığılır, onun cəmi müsbət ədəddir və birinci həddən böyük deyildir.
3. Qüvvət sıraları.
Tərif 1. Aşağıdakı şəkildə verilmiş funksional sıraya qüvvət sırası deyilir:
, (1)
burada sabit ədədlərdir, bu ədədlər sıranın əmsalları adlanır.
Teorem 1 (Abel teoremi). 1) Əgər qüvvət sırası x0-ın sıfra bərabər olmayan hər hansı bir qiymətində yığılırsa, onda bu sıra bərabərsizliyini ödəyən bütün x-lər üçün mütləq yığılır;
2) əgər qüvvət sırası hər hansı bir x0 nöqtəsində dağılırsa, onda bu sıra x-in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində dağılır.
Bu teoremdən alınır ki, qüvvət sırasının yığılma oblastı, mərkəzi koordinat başlanğıcında olan intervaldır.
Tərif 2. Tutaq ki, intervalının istənilən daxili nöqtəsində verilmiş qüvvət sırası yığılır və istənilən xarici nöqtəsində isə sıra dağılır. Onda R ədədinə qüvvət sırasının yığılma radiusu, intervalına isə onun yığılma intervalı deyilir.
İntervalın uclarında (yəni –R və R nöqtələrində) sıranın yığılıb-dağılan olduğunu hər bir sıra üçün ayrıca yoxlamaq lazımdır.
Qeyd edək ki, elə sıralar var ki, yığılma intervalı ancaq bir nöqtədən ibarətdir (R = 0) və elə sıralar da var ki, yığılma intervalı bütün OX oxunu əhatə edir
().
Qüvvət sırasının yığılma radiusu sıraların Dalamber və Koşi əlamətinə əsasən tapmaq olar. Qüvvət sıralarının yığılma radiusu
və ya
düsturu ilə təyin olunur.
Teorem 2. intervalı (1) qüvvət sırasının yığılma intervalıdırsa, onda (1) sırasını hədbəhəd diferensiallamaqla alınan
(3)
qüvvət sırasının da yığılma intervalı həmin intervalıdır, bundan başqa yığılma intervalının daxilində (1) qüvvət sırasının cəminin törəməsi, həmin sıranı hədbəhəd diferensiallamaqla alınan sıranın cəminə bərabərdir.
Bu teoremi (3) sırasına tətbiq etməklə həmin sıranın da yığılma intervalı daxilində hədbəhəd diferensiallanan olduğununu almaq olar. Həmin prosesi istənilən qədər davam etdirmək olar və beləliklə, aşağıdakı nəticə alınar.
Teorem 3. Əgər qüvvət sırasının yığılma intervalıdırsa, bu intervalın daxilində sıranın cəminin istənilən tərtibli törəməsi var, bu törəmələrdən istənilən k tərtiblisi verilmiş sıranı k dəfə diferensiallamaqla alınan sıranın cəminə bərabərdir, bundan başqa diferensiallamaqla alınan sıraların hər birinin yığılma intervalı həmin intervalıdır.
Teorem 4. (1) qüvvət sırasını onun yığılma intervalı daxilində yerləşən hər bir parçasında hədbəhəd inteqrallamaq olar.
(x – a) ikihədlisinin qüvvətlərinə görə düzülmüş
funksional sırası da qüvvət sırasıdır, ədədlərinə sıranın əmsalları deyilir. Bu sıra x-in bərabərsizliklərini ödəyən qiymətlərində yığılır və olduqda isə dağılır. Deməli, R yığılma radiusudur, sıranın yığılma intervalı isə mərkəzi a nöqtəsində olan () intervalıdır.
Mövzü 35
Funksional sıralar. Teylor və Makloren sıraları.
1. Teylor və Makloren sıraları.
2. Elementar funksiyaların Makloren sırasına ayrılması.
1. Teylor və Makloren sıraları.
Tərif. Tutaq ki,
(1)
qüvvət sırası () intervalında yığılır və onun cəmi funksiyasına bərabərdir, yəni x-in () intervalındakı bütün qiymətlərində
bərabərliyi doğrudur. Onda, deyirlər ki, funksiyası () intervalında (1) qüvvət sırasına ayrılır.
►Tutaq ki, funksiyası () intervalında qüvvət sırasına ayrılmışdır, yəni
(2)
Onda bu sıranı istənilən tərtibdən hədbəhəd diferensiallamaq olar:
Bu bərabərliklərdə və (2)-də x-in yerinə a yazdıqda:
, , , ,
, …
buradan
, , , (3)
, , …
əmsallarının tapdığımız bu qiymətlərini (2) düsturunda yerinə yazsaq alarıq
(4)
Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra Teylor sırası adlanır. (4) bərabərliyi funksiyasının a nöqtəsində Teylor sırasına ayrılışıdır. (3) ədədlərinə Teylor əmsalları deyilir.
Xüsusi halda, a=0 olduqda Teylor sırası
şəklinə düşür. Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra Makloren sırası adlanır, bərabərlik isəfunksiyasının Makloren sırasına ayrılışıdır.
2. Elementar funksiyaların Makloren sırasına ayrılması.
I. funksiyasının ayrılışı. Ardıcıl törəmələri və onların xüsusi qiymətlərini tapaq:
, ;
, ;
, ;
, ; …
Bu qiymətləri Makloren sırasında yerinə yazdıqda, nəticədə alarıq:
II. funksiyasının ayrılışı.
, ;
, ;
, ;
, ;
, ; …
III. funksiyasının ayrılışı.
IV. funksiyasının ayrılışı.
V. funksiyasının ayrılışı.
Mövzu 36
|