Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Paskal uchburchagi. Nyuton binomi formulasi

|
Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Paskal uchburchagi. Nyuton binomi formulasi
|
bet | 22/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёр1.12. Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Paskal uchburchagi. Nyuton binomi formulasi.
Ta'rif : m elementi X to‘plam elementlaridan k elementli qilib tuzilgan to‘plam ostilariga m elementdan k tadan qilib tuzilgan elementlari takrorlanmaydigan guruhlashlar deyiladi.
Bu guruhlashlar soni Skm . - deb belgilanadi
Fransuzcha-"combinaison"-guruhlash degan ma'noni bildiradi.
Kombinatorikaning shunday masalasini qaraylik.
m -elementli X to‘plamdan nechta k elementli to‘plam ostilarini tuzish mumkin?
Bu umumiy masalani echishdan oldin quyidagi xususiy masalani qaraylik.
Masalan: A={a,b,c,d} - to‘plam elementlaridan nechta 3 elementli to‘plam ostilarni tuzish mumkin?
Bular: {a,b,c} {a,b,d} {a,c,d} {b,c,d}
Agar bu A to‘plamda tartiblangan 3 elementli to‘plamlarni tuzmoqchi bo‘lsak, bular 24 ta bo‘lib, 3 elementli to‘plam elementlari sonidan
3!=6 marta ortiq.
( a, b, c ) ( a, b, d ) (a, c, d ) ( b, c, d )
( a, c, b ) ( a, d, b ) ( a, d, c ) ( b, d, a )
( b, c, a ) ( b, d, a ) ( c, d, a ) ( c, b, a )
( b, a, c ) ( b, a, d ) ( c, a, d ) ( c, d, b )
( c, b, a ) ( d, a, b ) ( d, a, c ) ( d, b, c )
( c, a, b ) ( d, b, a ) ( d, c, a ) ( a, c, b )
Umumiy masalada m elementli to‘plamlardan tartiblangan k elementli qilib tuzilgan to‘plam ostilar, k elementli tartiblangan to‘plamlardan necha marta kam ekanligini aniqlaydi.
m - elementli X to‘plamdan qandaydir k elementli A to‘plam ostini tanlab olaylik.
X={X1,X2…XnXk+1…Xm} A={X1,X2,…,Xk} A X
A to‘plamni k! marta tartiblash mumkin. Bu erda A-istalgan k-elementli to‘plam osti, demak, har bir k-elementli to‘plamni k! marta usulda tartiblash mumkin.
Tartiblangan k-elementli to‘plamlar soni, k-elementli to‘plamlar sonidan k! marta ortiq ekan.
Lekin tartiblangan k-elementli to‘plamlar soni Akm , k-elementli to‘plam ostilar soni Ckm deb belgilagaymiz.
Shuning uchun Akm = k! Ckm
Ma'lumki, Akm = m1/(m-k)!
U holda Ckm = m1/(m-k)!·k
Bu formula m -elementdan k-tadan qilib tuzilgan guruhlashlar sonini topish formulasi.
1- misol: 4 shaxmatchi bir-biri bilan bir partiyadan shaxmat o‘ynashi kerak. Ular necha partiya shaxmat o‘ynashadi?
C24 = 4!/(4-2)!2! = 4·3·2·1/1·2·1·2=6
2- misol : O‘quvchi 6 ta kitobdan 4 tasini necha usul bilan ajratish mumkin?
C46 = 6!/2!·4!=5·6/2=15
3-misol : Ma'lum bo‘limda ishlash uchun 20 ishchidan 6 ishchini ajratish kerak. Buni necha usul bilan amalga oshirish mumkin?
C610=20!/(20-6)!·6!=20!/14!·6!=15·16·17·18·19·20/2·20·6·3=15·8·17·19=38760
Guruhlashlarga doir misol va masalalar mana shu usulda yechiladi. m -elementli X to‘plamdan k-elementli to‘plam ostilar sonini ifodalovchi Ckm juda ko‘p xarakterli xossalarga ega.
10 xossa. Agar 0≤k≤m bo‘lsa, u holda
Ckm=Cmm-k (2)
Isbot: Ckm=m!/(m-k)!k!
Cmm-k=m!/(m-(m-k))!(m-k)!=m!/(m-k)!k!=Ckm
Masalan:
1. C65=6!/5!(6-5)!=6!/1!=6
C65=C61
C61=6!/1!(6-1)!=6/1!=5
2. C54=5!/4!(5-4)!=5/1!=5
C54= C51
C51=5!/1!(5-4)!=5
20 xossa. 0≤k≤m shartni qanoatlantiruvchi istalgan k va m lar uchun quyidagi tenglik o‘rinli.
Ckm=Ck-1m-1+Ckm-1 (3)
Bu tenglikni Paskal ayniyati deymiz. Ushbu ayniyat fransuz matematigi Blez Paskal nomi bilan atalgan.
Isbot: (3) formula ham (1) formula guruhlashlar sonini topish formulasidan kelib chiqadi, haqiqatdan ham,
Ck-1m-1=(m-1)!/(m-k)!(k-1)!=(m-1)!k/k!(m-k)!
Ckm-1=(m-1)!/(m-1-k)!k!=(m-1)!(m-n)!/(m-k)!k!
Bu ikki ifoda qiymatlarini (3) formulaning o‘ng tomoniga keltirib qo‘yib soddalashtiramiz.
Ck-1m-1+Ckm-1=(m-1)!k/k!(m-k)!+(m-1)!(m-k)!/(m-k)!k!=(m-1)![k+m-k]/(m-k)!k!=(m--1)!m/(m-k)!k!=m!/(m-k)!k!=Ckm
(3) formula to‘g'riligi isbotlandi.
Shuni eslatish kerakki, k=0 da
C0m=C-1m-1+C0m-1 bo‘lib; C0m=C0m-1=1
u holda,
C-1m-1=0 k>m bo‘lganda, Ckm=0 qabul qilingan.
(3) ayniyat shuni ko‘rsatadiki
Ckm-1 va Ck-1m-1
lar ma'lum bo‘lsa, Ckm ni hisoblash mumkin. Boshqacha aytganda, Ckm ni yuqoridagi ayniyat yordamida ketma-ket hisoblash mumkin.
Oldin m=0, so‘ngra m=1, m=2 va x.k bo‘lgandagina qiymatlari aniqlanadi. Hisoblashni uchburchak ko‘rinishdagi jadvalda yozish qulaydir.
C00
C10 C11
C02 C12 C22
C03 C13 C23 C33
C04 C14 C24 C34 C44
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
(m+1) -qatorida javob bilan C0m, C1m...Cmm sonlar turadi.
C0m = Cmm = 1 bo‘lib qolgan sonlar
Ckm=Ck-1m-1+Ckm-1
formula yordamida topiladi.
Ck-1m-1 va Ckm-1 lar Ckmga qaraganda jadvalda bir qator yuqori joylashgan bo‘ladi. Ckm ni topish uchun undan oldingi qatorda joylashgan chap va o‘ng elementlarni qo‘shib chiqish kerak. Bu uchburchak uchida va yon tomonlarida hamma satrlar bo‘yicha 1 lar turadi. Uchburchak ichidagi qolgan sonlar maxsus qoidaga asosan tuziladi. Buni masalan, 6-satr uchun ko‘rib o‘taylik 5 ni hosil qilish uchun uning yuqorisida undan bir xil masofada turuvchi 1 va 4 ni qo‘shamiz. 10 ni hosil qilish uchun yuqoridagi 4 va 6 ni qo‘shamiz.
Har bir satr ikkinchisidan boshlab o‘zidan yuqoridagi satrdan mana shu qoida bo‘yicha hosil qilinadi.
Bu shakl Paskal uchburchagi deyiladi, fransuz matematigi Blez Paskal sharafiga qo’yilgan. Paskal uchburchagi Paskal vafot etganidan keyin uning "Arifmetik uchburchak" haqidagi kitobida bayon etilgan edi. Lekin Paskalning o‘zi uchburchakli jadvalni quyidagi shaklda bergan edi.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 6 10 15 21 28 36
1 4 10 20 35 56 84
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126
1 7 28 84
1 8 36
1 9
1
Bunda har bir Paskal soni uning ustida va chap tomonida turgan Paskal sonlari yig'indisidan iborat. Bu jadvalni 450 ga burilsa, yuqoridagi Paskal uchburchagi hosil bo‘ladi.
Paskal uchburchagida joylashgan sonlar quyidagi xossalarga ega:
-Birinchi diаganal qatorlar ham chap, ham o‘ngda faqat birlardan;
-Ikkinchi diаganal qator esa ketma-ket natural sonlardan;
-Uchinchi diаganal qator uchburchakli sonlar(1, 3, 6, 10, 15...)dan iboarat bo‘lib, uchburchakli sonlar orasidagi masofa ketma-ket natural sonlardan;
-To‘rtinchi diаganal qatordagi sonlar 1, 4, 10, 20, 35... piramida sonlardan;
-Beshinchi diаganaldagi 1, 5, 15, 30, 70 sonlar pentagonal sonlardan.
Har bir gorizontal qatordagi paskal sonlarining yig'indisi 2 ning darajalaridan iborat.
1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
Paskal uchburchagi qatoridagi sonlarni (a+b) hadni darajaga ko‘targanda uchratish mumkin.
( a+b )0 = 1
( a+b )1= a+b
( a+b )2 = a2 +2ab +b2
( a+b )3 = a3+3a2b + 3ab2 +b3
Bunda 1, 2, 1-sonlar jadvaldagi 3-qator sonlarni tashkil etadi, ya'ni C01 ; C12 ; C22
1, 3, 3, 1-sonlar jadvaldagi 4-kator sonlarni ifodalaydi. C03 ; C13 ; C23 ; C33 ;
Yuqoridagilardan shunday gиpoteza kelib chiqadi.
Istalgan n uchun:
(a+b)n = C0n an +C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Ckn an-kbk + …+ Cnn bn
Bu formula Nyuton binomi formulasi deyiladi. Formula isboti matematik induktsiya printsipi asosida olib boriladi.
Agar bu formulada a=b=1 deb olinsa,
2n= C0n + C1n + ….+ Ckm + Ck+1n + … + Cnn ni hosil qilamiz.
Agar a = 1 ; b = -1 deb olinsa,
O = C0n - C1n + C2n -….-(-1)k Ckn + …+…(-1)n Cnn
|
| |