Sh. A. Saipnazarov biznes matematika - bet 51

144
13.2.Investorning riskka bo’lgan munosabati
Ma‟lumki, kishilar riskka turlicha munosabatda bo„ladilar, ayrimlari
tavakkal qilishni yoqtirmaydi, ayrimlari esa o„zlarini “omadli” hisoblaydilar.
Investorning riskni qabul qilmasligini baholash mumkin. Buni lotereyalar misolida
ko„ramiz.
Faraz qilaylik,
n
,
...
,
2
,
1
yutuqlarga ega bo„lgan
n
ta lotereya berilgan
bo„lsin. Bu yutuqlar investorning qarashi bo„yicha teng qiymatli emas.
Oddiy lotereya deb, yutuqlar to„plamidagi
)
...,
,
(
1
n
p
p
L
ehtimollar
taqsimotiga aytiladi. Oddiy lotereyalardan murakkabroq lotereyalarni qurish
mumkin.
k
ta oddiy
k
L
L
...,
,
1
lotereyalarni olamiz. Har biriga
,
i
p
k
i
...,
,
1
ehtimolni yozib murakkab lotereya
)
,
,
...
,
,
(
1
1
k
k
p
L
p
L
ni hosil qilamiz.
Bu lotereya quyidagicha yoritiladi: avval mos keluvchi tasodifiy mexanizm
yordamida
)
...,
,
(
1
k
p
p
ehtimollar taqsimoti o„ynaladi va
k
...,
,
1
nomerlar
to„plamidan qandaydir
i
nomerni olamiz. So„ngra oddiy
i
L
lotereyalar o„ynaladi.
Bunday lotereyani birinchi tartibli murakkab lotereya deb yuritiladi.
Lotereyalardan 2-tartibli murakkab lotereyalarni qurish mumkin va h.k.
Investor uchun turli lotereyalar turlicha qadrga ega, shuning uchun
lotereyalar to„plamida afzallik munosabati kelib chiqadi:
L
L
yozuv investor
uchun
L
ning afzal ekanligini bildiradi. Afzallik munosabati quyidagi xossalarga
ega:
1) refleksivlik; 2) tranzitivlik; 3) etuklilik. Refleksivlik har qanday lotereya
uchun
L
L
bo„lishini; tranzitivlik, agar
2
1
L
L
va
3
2
L
L
bo„lsa, u holda
3
1
L
L
ekanligini; etuklilik esa ikkita loteriya uchun yo
L
L
yoki
L
L
to„g„riligini bildiradi.
Lotereyaning har bir
n
i
...,
,
2
,
1
yutuqlariga shunday
i
U
son yozilsaki,
bunda ikkita
),
...,
,
(
1
1
n
p
p
L
)
,
...
,
(
1
1
1
n
p
p
L
lotereyalar uchun
i
i
i
i
i
i
U
p
U
p
1
tengsizlik bajarilsa, u holda
1
L
L
munosabat o„rinli bo„ladi.
i
yutuqlarga
yozilgan
i
U
sonlar lotereyaning foydaliligi deyiladi.
i
i
i
U
p
L
U
)
(
son esa lotereyaning o„rtacha foydaliligi deyiladi. Ehtimollar nazariyasi nuqtai
nazari bo„yicha bu matematik kutilmadir. Demak, lotereyaning foydaliligi
matematik kutilma formulasi yordamida hisoblanadi.
)
,
...,
,
,
(
1
1
k
k
p
L
p
L
birinchi tartibli murakkab lotereya oddiy lotereyaga
ekvivalent bo„lishi uchun uning
j
yutug„ining ehtimoli
ij
i
p
p
ga teng bo„lishi
lozim. Bunda
i
p
ij
lotereya
i
L
ning
j
yutug„ining ehtimoli.
Misol. Ikkita oddiy
)
9
,
0
;
1
,
0
(
1
L
va
)
6
,
0
;
4
,
0
(
2
L
lotereyalarni olamiz.
(
)
7
,
0
,
;
3
,
0
,
2
1
L
L
murakkab lotereya qanday oddiy lotereyaga ekvivalent bo„ladi?
145
Yuqoridagi qabul qilingan ta‟rifga ko„ra
)
69
,
0
;
31
,
0
(
)
6
,
0
7
,
0
9
,
0
3
,
0
;
4
,
0
7
,
0
1
,
0
3
,
0
(
Bu misolni quyidagicha davom ettiramiz. Ikkita lotereyadan bittasi 0
yutuqqa, ikkinchisi 1 yutuqqa ega bo„lsin. 0 yutuqlisi 0 foydalilikka, 1 yutuqlisi
esa 100 foydalilikka ega bo„lsa,
),
9
,
0
;
1
,
0
(
1
L
)
6
,
0
;
4
,
0
(
2
L
va
)
7
,
0
,
;
3
,
0
,
(
2
1
L
L
lotereyalarning o„rtacha foydaliligini topamiz.
)
69
,
0
;
31
,
0
(
)
7
,
0
,
;
3
,
0
,
(
,
100
,
0
2
1
3
1
L
L
L
U
U
.
;
90
100
9
,
0
0
1
,
0
)
(
1
L
U
;
60
100
6
,
0
0
4
,
0
)
(
2
L
U
.
69
100
69
,
0
0
31
,
0
)
(
3
L
U
Misol. Investorning boshlang„ich mablag„i 4 mln. so„m bo„lib, pulning
foydaliligi
x
x
U
)
(
bo„lsin. Unga quyidagicha loteriya taklif etiladi: 0,5
ehtimol bilan 12 mln, 0,5 ehtimol bilan 0 mln. so„m. Investor o„yinda ishtirok
etishi kerakmi?
Yechish:
.
2
4
)
4
(
U
Investorning 12 mln. so„mni yutgandan keyingi
mablag„i
,
4
)
16
(
)
12
4
(
U
U
0 mln. so„mni yutgandan keyingi mablag„i
.
2
)
4
(
U
O„rtacha kutiladigan foydalilik boshlang„ich qiymatdan katta. Demak,
investor o„yinda qatnashishi kerak.
13.3.Riskning miqdoriy bahosi va uni kamaytirish usullari
Agar moliyaviy operatsiyada har bir natijaning ehtimoli mavjud bo„lsa,
bunday operatsiya ehtimoliy moliyaviy operatsiya deyiladi. Bunday
operatsiyalarning daromadi, ya‟ni oxirgi va boshlang„ich pul miqdorlari
ayirmasining bahosi tasodifiy miqdor bo„ladi.
1-misol. Ushbu ikkita ehtimoliy operatsiyani qaraymiz:
0
2
:
15
25
0,5
0,5
1
0
birinchi operatsiyada investor -5 ga teng bo„lgan pul birligini
(daromad) 0,01 ehtimol bilan, 25 ga teng bo„lgan pul birligini esa 0,99 ehtimol
bilan oladi.
2
0
ikkinchi operatsiyada esa 15 va 25 ga teng bo„lgan pul
birliklarini 0,5 ehtimol bilan oladi. Investor qaysi operatsiyani tanlaydi? Albatta
qaysi operatsiyada risk kichik bo„lsa, o„shani tanlaydi.
Endi riskni miqdoriy baholashga o„tamiz. Operatsiyaning har bir
natijasining ehtimolini yozib, investorning daromadini baholaymiz. Demak,
0
1
:
-5
25
0,01
0,99
146
investorning daromadi tasodifiy miqdor bo„lib, uni biz tasodifiy daromad deb
ataymiz. Hozircha diskret bo„lgan hol bilan chegaralanamiz.
0:
j
q
1
q
2
q
…
n
q
j
p
1
p
2
p
…
n
p
Bunda
j
q
daromad,
j
p
shu daromadning ehtimoli. Endi ehtimollar
nazariyasini qo„llash mumkin. Kutiladigan o„rtacha daromad -
Q
daromadning
matematik kutilishi, ya‟ni
n
n
p
q
p
q
Q
M
...
)
(
1
1
,
ba‟zan
Q
m
bilan belgilanib operasiyaning samaradorligi deb ham yuritiladi.
)
(
Q
D
operatsiyaning dispersiyasi
Q
D
bilan belgilanadi.
,
))
(
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
Q
M
Q
M
m
Q
M
Q
D
Q
o„rtacha kvadratik chetlanish
Q
Q
D
Q
,
)
(
)
(
bilan belgilanadi.
Operatsiyaning samaradorligi va o„rtacha kvadratik chetlanishi bir xil
birlikda daromad qanday birlikda o„lchansa, xuddi shunday birlikda o„lchanadi.
Operatsiyaning risklik darajasini baholash daromad tasodifiy miqdorining
o„rtacha kvadratik chetlanishi orqali amalga oshirish maqsadga muvofiqdir.
Shunday qilib, operatsiyaning riski deb
Q
tasodifiy daromadning o„rtacha
kvadratik chetlanishi
Q
soniga aytiladi va uni biz
Q
r
bilan belgilashni kelishib
olamiz. Endi 1-misoldagi operatsiyalarning risklarini topamiz.
Dastlab matematik kutilishlarni, so„ngra dispersiyalarni hisoblaymiz.
7
,
24
99
,
0
25
01
,
0
5
1
m
91
,
8
7
,
24
99
,
0
625
01
,
0
25
)
(
2
2
1
2
1
1
m
Q
M
D
98
,
2
91
,
8
1
1
D
r
20
40
5
,
0
5
,
0
25
5
,
0
15
2
m
25
400
425
400
850
5
,
0
20
5
,
0
625
5
,
0
225
2
2
D
.
5
25
2
r
Demak, birinchi operatsiyaning riski kamroq.
.
5
98
,
2
2-misol. Investor quyidagi ikkita o„yinni qaramoqda. Bu o„yinlarning birida
tanga tashlanmoqda. Agar tanga gerb tomoni bilan tushsa, investor 10 pul birligini
oladi, agar raqam tomoni bilan tushsa, 10 pul birligini to„laydi. Bu o„yinda
to„lovlar quyidagicha taqsimlangan:
147
raqam
gerb
to„lovlar
-10
10
0,5
0,5
Ikkinchi o„yinda o„yin soqqasi tashlanmoqda va bunda investorning
to„lovlari quyidagicha taqsimlangan:
1
2
3
4
5
6
to„lovlar
-20
-10
0
0
10
20
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
Ikkala holda ham kutiladigan yutuq 0 ga teng. Dispersiyalarni va risklarni
hisoblaymiz.
;
100
5
,
0
100
5
,
0
100
1
D
167
3
500
6
1
)
100
400
(
2
2
D
;
10
100
1
1
D
r
.
13
167
2
2
D
r
Operatsiyaning kutiladigan o„rtacha daromadi, ya‟ni
Q
m
samaradorlik va
uning riski Chebishev tengsizligi bilan quyidagicha bog„langan:
2
2
)
(
Q
Q
r
m
Q
P
yoki
2
2
1
)
(
Q
Q
r
m
Q
P
Ma‟lumki, bu tengsizlikning xatoligi katta bo„lib u amalda ko„p
qo„llanilmaydi.
Agar operatsiyaning daromadi tasodifiy bo„lib, normal taqsimot qonuni
bo„yicha taqsimlangan bo„lsa, u holda risk samaradorlik bilan bog„liq bo„lgan
qandaydir ehtimolni aniqroq ko„rsatadi.
;
997
,
0
)
3
(
Q
Q
r
m
Q
P
95
,
0
)
2
(
Q
Q
r
m
Q
P
Ba‟zan bu baholar juda foydali bo„ladi.
|