Qarshi davlat universiteti matematika va kompyuter ilmlari fakulteti amaliy matematika kafedrasi

О‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
QARSHI DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIKA VA KOMPYUTER ILMLARI FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA KAFEDRASI
Azimov Sherbekning
“Chegaraviy masalalarni yechishda
variatsion va proyeksion usullar”
mavzusida yozgan
KURS ISHI
Rahbar: Xurramov A.
QARSHI 2024
1
Mundarija:
KIRISH
I NAZARIY QISM
1.1 Chegaraviy masalalar haqida tushuncha ………………….3
II ASOSIY QISM
2.1 Chegaraviy masala qo’yilgan tenglamalarni proyeksion
usul bilan yechish …………………………………………………. 7
2.2 Chegaraviy masalalarni yechishning variatsion-
proyeksiya usullari................................................ 12
Xulosa………………………………………………………….16
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………….17
2
KIRISH
Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlanti ruvchi yechimlarini topish talab etiladi.
Boshlang‘ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng ma’noda bo‘lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir.
Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz. Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish imkonini beradi. Xususan, bu usullar o‘zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bunday tenglamalar ko‘plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o‘xshash.
Taqribiy usullar kompyuterlar paydo bo‘lmasidan ancha avval ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda ham ularning ko‘pchiligi amaliyotda o‘z mazmunini yo‘qotgani yo‘q. Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga bo‘lnadi: taqribiy-analitik usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini biror
funksiya ko‘rinishida izlash); sonli yoki to‘r usullar
(boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish).
Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash
3
tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir.
Hozirgi kunda ko‘plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular oddiy differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega. Buning uchun esa oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qiladi. Bu bilan birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim bo‘ladi.
Umuman olganda, oddiy differensial tenglama bilan berilgan chegaraviy masala: yagona yechimga ega; yechimga ega emas; bir nechta yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lisi mumkin.
Koshi masalasini yechish usullari: Teylor qatori yordamida approksi matsiyalash; Runge-Kutta usullari; tahlil va korreksiya usuli va hokazo. Koshi masalasini yechishning barcha usullari uchun Eyler usuli nolinchi yaqinlashish bo‘ladi. Oddiy differensial tenglamalar uchun
4
chegaraviy masalalarni yechish, umuman olganda, quyidagi guruhlarga bo‘linadi [2-9]: 1) Koshi masalasiga (ya’ni boshlang‘ich masalaga) keltirib yechiladigan usullar (o‘q otish usuli, reduksiya usuli, differensial progonka usuli va hokazo); 2) chekli ayirmalar usuli; 3) balanslar usuli yoki integro-interpolyatsion usul; 4) kollokatsiyalar usuli; 5) proyeksion usullar (momentlar usuli, Galyorkin usuli); 6) variatsion usullar (kichik kvadratlar usuli, Rits usuli); 7) proyeksion-ayirmali usullar (chekli elementlar usuli); 8) Fredgolm integral tenglamalariga keltiriladigan usullar va hokazo.
Yuqorida sanab o‘tilgan 4)-6) usullar taqribiy yechimni berilgan biror funksiyalar oilasiga (masalan, o‘zaro chiziqli bog‘lanmagan biror funksiyalar sistemasining chiziqli kombinatsiyasiga) keltiradi;
1)-3), 7) usullar taqribiy yechimning sonli qiymatlari jadvalini tuzadi; 8) usulda esa har xil variantlar bo‘lishi mumkin. Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, sof to‘r usullar ancha sodda, oldindan berilgan aniqlikda berilgan to‘rda yechimni qurish texnikasi juda sodda bo‘lib, uni nazorat qilish ham oson, masalan, Runge qoidasi bilan. Ammo, taqribiy-analitik usullar ancha ustunlikka ega, buni yechimning funksional ifodasi aniqligida va ba’zi chegaraviy masalalar klassik ma’noda yagona yechimga ega bo‘lmaganda chegaraviy masalaning umumlashgan yechimiga juda yaxshi yaqinlashishga erishish mumkinligida ko‘ramiz.
5
Chegaraviy masalani boshlang‘ich masalaga keltirib yechish usullari ning asosiy g‘oyasi – bu berilgan chegaraviy masala parametrlarining cheklangan qiymatlarida unga mos qilib tuzib olingan bir yoki bir nechta har xil qiyinlikdagi Koshi masalalarini yechishdan iborat. Mazkur ishda ana shunday usullardan biri chegaraviy masalalarni yechishda variatsion va proyeksion usulini o‘rganamiz.
6
Chegaraviy masalalarni proyeksion usulda yechish va ularning yechimini olish Rits metodidan foydalandik.
Tahlil va natijalar
H Gilbert fazosi va 𝑢 ,𝑓 ∈𝐻 bo’lsin. Ushbu 𝑢− funksiya noma’lum tenglamani qaraylik
𝐴𝑢=𝑓 (1)
bu yerda 𝐴:𝐻→𝐻 o’zi o’ziga qo’shma operator bo’lib, ∀𝑥∈𝐻 uchun quyidagi shart bajariladi:
𝐴(𝑥,𝑥)≥𝑚(𝑥,𝑥) , 𝑚>0 . (2)
𝐻𝐴⊆𝐻 - gilbert fazosining qism fazosi bo’lsin. Bu fazoda skalyar ko’paytmani quyidagicha aniqlaymiz : (𝑢,𝑣)𝐴=(𝐴𝑢,𝑣). H Gilbert fazosi va unda aniqlangan g 1,𝑔2,…,𝑔𝑛 chiziqli erkli elementlar va 𝐻𝑛=𝐿{𝑔1,𝑔2,…,𝑔𝑛} - chiziqli qobiq ularning ustiga qurilgan bo’lsin. Agar 𝑢n∈𝐻𝑛 uchun
𝑢𝑛=∑nk=1 𝛼𝑘𝑔𝑘
bo’lsa, u holda (1) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi
𝐴𝑢=∑ 𝛼𝑘𝐴𝑔𝑘=𝑓
𝑔𝑛- sistema chiziqli erkli bo’lgani uchun (1) tenglamaning har ikkala tomonini 𝑔𝑚 ga ko’paytirib ushbu
∑nk=1 𝛼𝑘(𝐴𝑔𝑘,𝑔𝑚) =(𝑔𝑚,𝑓) (3)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu tenglamalar sistemasidan 𝛼k larni topsak,
𝑢=∑nk=1 𝛼𝑘 (𝑛)𝑔𝑘
noma’lum funksiyani topgan bo’lamiz
7
Misol.
Quyidagi differensal tenglamani qaraymiz.
- [𝑝(𝑥) ]+𝑞(𝑥)𝑢(𝑥)=𝑓(𝑥), 0<𝑥<1 (5)
Chegaraviy sharti 𝑢(0)=𝑢(1)=0,
bundan tashqari 𝑝(𝑥)≥𝑐0>0 (6)
Mos operatorni A bilan belagilaymiz. Agar
𝐷(𝐴)={ [0,1]; 𝑢(0)=𝑢(1)=0}
bo’lsa, u holda A operator o’z-o’ziga qo’shma operator bo’ladi. Bu yerda 𝐻𝐴= [ [0,1] va skalyar ko’paytma quyidagi ko’rinishida ifodalanadi
(𝑢,𝑣)𝐴= (7)
H𝐴 fazoda ixtiyoriy n uchun qismfazoni qaraymiz, bu fazoda quyidagi funksiyalar ketma-ketligini quramiz
(𝑥)=𝜃(𝑛𝑥−𝑘),0≤𝑥≤1,𝑘=1,…,𝑛−1,
bu yerda 𝜃(𝑡)=max {0,1−|𝑡|} . Bu funksiyalar ketma-ketligining umumiy ifodalanishi quyidagicha bo’ladi:
(𝑥)=
Bu funksiya grafigi har bir 𝜙k(𝑥) – funksiya uchun 𝑘 ning qiymatlariga bog’liq holda chiziladi.
8
fazo elementlarini quyidagicha aniqlash mumkin:
𝑢n ,𝑥∈[0,1] (8)
(8) ni (5) tenglamaga qo’yib, quyidagi tengliklarni olamiz
−ℎ−1[𝛼𝑘−1𝑝𝑘−𝛼𝑘(𝑝𝑘+𝑝𝑘+1)+𝛼𝑘+1( 𝑝𝑘+1)]+
+ℎ [𝛼𝑘−1𝑞𝑘−1,𝑘+𝛼𝑘𝑞𝑘𝑘+𝛼𝑘+1𝑞𝑘+1,𝑘]=ℎ𝑓𝑘, 𝑘=1,2,…,𝑛−1.
Olingan natijani quyidagicha yozishimiz mumkin
Bu yerda quyidagi belgilashlardan foydalandik
U holda
Bulardan quyidagi ifodani hosil qilamiz
Biz bu ifodani har bir k uchun yozib chiqsak k lar noma’lum bo’lgan tenglamalar sistemasiga keladi. Agar har bir k uchu yozadigan bo’lsak
9
Ifodaga ega bo’lamiz, 0 =n 0 ekanligidan asosiy matritsasi quyidagicha bo’lgan tenglamalar sistemasiga keladi.
10
Bu hisoblar misolda bajarish uchun, dasturda har bir funksiya
qiymatlari alohida alohida bo’lgan ro’yxatlar(massivlar)ga
chaqirtiriladi va dasturda 𝑘 ning qiymati bir birlik
pasaytiriladi. Matritsaning qolgan hadlari barchasi nolga
teng. Sistemani yechib topilgan k larni (8) tenglikka
qo’ysak, (5) tenglamaning yechimini topamiz.
11
Chegaraviy masalalarni yechishning variatsion-
proyeksiya usullari.
Ushbu usullar differentsial tenglamaning (muammoning) yechimini berilgan funktsiyalarning chekli chiziqli birikmasi orqali yaqinlashtirish g'oyasiga asoslanadi. Odatda asosiy (yoki test) funksiyalar deb ataladigan bu oldindan belgilangan funksiyalar nisbatan sodda qilib tanlanadi: polinomlar, trigonometrik funksiyalar yoki spline funksiyalar. Eng muhimi spline funktsiyalari.
Variatsion proyeksiya usullari g'oyasini ko'rib chiqaylik. Keling, shaklning chegaraviy muammosini olaylik
(1) (2)
(3)
Bu yerda (1) n-tartibli differensial tenglama bo‘lib,
chiziqli bo‘lishi shart emas. Funksiyalar
dastlabki differensial tenglamaning tartibiga to'g'ri keladigan umumiy shartlar soniga ega.
Proyeksiya-variatsion usullarda (1)-(3) tenglamalarni qanoatlantiradigan taxminiy yechim chiziqli birikma shaklida tuziladi.
(4)
12
Bu yerda asosiy funktsiyalar, ya'ni. ma'lum chiziqli mustaqil analitik funktsiyalar to'plami. Koeffitsientlar haqiqiy raqamlar bo'lib, ularning bevosita qiymatlari har bir aniq usulga qarab topiladi:
variatsion usullarda koeffitsientlarning qiymatlari bazis funktsiyalari bilan aniqlanadigan pastki fazodagi ba'zi funktsional (u) ning minimal shartidan topiladi. Bu funksional (u) shunday tuzilganki, uni minimallashtirish masalasi dastlabki chegaraviy masala (1)-(3) ni yechishga teng;
proyeksiyalash usullarida koeffitsientlarning qiymatlari tenglamaning (1) qoldig'iga qo'yilgan shartlardan aniqlanadi. Qoida tariqasida, dastlabki tenglamaning qoldig'i bazis funktsiyalari tizimiga ortogonal bo'lishi talab qilinadi. Bu usullarda dastlabki chegaraviy masalaning aniq yechimi qandaydir cheksiz o‘lchamli funksiya fazosida yotadi, deb taxmin qilinadi. Bazis funktsiyalari bilan aniqlangan chekli o'lchovli fazoda yotadigan taxminiy yechim tuziladi.
Bu taxminiy yechim cheksiz o‘lchamli funksiya fazosining bazis funksiyalari bilan aniqlangan chekli o‘lchamli fazoga proyeksiyasidir.
Variatsion proyeksiya usullarining asosiy masalalaridan biri bazis funksiyalarini tanlashdir. Oddiylik uchun quyidagi ko'rinishdagi ikkinchi darajali chiziqli differensial tenglamaga asoslangan muammoni yarataylik.
(5)
13
Bu yerda p(x), q(x), f(x) ma’lum funksiyalar masala birinchi turdagi chegaraviy shartlarga ega.
u(0)=A u(1)=B (6)
Bu masalaning taxminiy yechimini (5)-(6) shaklida qidiramiz
(7)
Funksiya shunday tanlanadiki, masalaning chegaraviy shartlari qanoatlantiriladi, ya’ni.
(1)=B (8)
Va bazis funktsiyalari nol chegara shartlarini qanoatlantiradi, ya'ni:
(9)
Bunda (7) formula bilan berilgan taqribiy yechim y(x) chegara shartlarini (6) qanoatlantiradi. Munosabat (9) o'rinli bo'lgan bazis funksiyalar to'plamiga klassik misol funksiyalardir.
(10)
yoki
(11)
Ikkinchi holda, ya'ni. bazis funksiyalar (11) formula bilan aniqlansa, (7) ning taqribiy yechimi ko‘phad bo‘ladi.
(12)
14
n+1 daraja, bu segmentning uchlarida, ya'ni 0 va 1 nuqtalarda yo'qoladi.
Agar biz [a,b] ixtiyoriy segmentida yechim izlayotgan bo‘lsak, u holda asl masala uchun eng ko‘p qo‘llaniladigan bazis funksiyalar tizimlari quyidagilar bo‘ladi:
(13)
i=1,2,…,n (14)
(15)
Biroq, asosiy funktsiyalarning eng yaxshi to'plami splinelardir, chunki ulardan foydalanish bizga oxir-oqibat chiziqli turdagi matritsani shakllantirishga imkon beradi, bu esa muammoni hal qilishni izlashni sezilarli darajada osonlashtiradi.
Berilgan bazis funktsiyalar to'plami uchun variatsion proyeksiya usullarining navbatdagi masalasi koeffitsientlarni
aniqlash uchun ishlatilishi kerak bo'lgan mezonni tanlashdir. Metodlarga nom beradigan mezon tanlashda turlicha yondashuvlar mavjud: kolokatsiya usuli, Galerkin usuli, momentlar usuli, eng kichik kvadratlar usuli va boshqalar
15
Xulosa
XXI asrda har bir sohada axborot texnologiyalari muhim ahamiyat kasb etmoqda. Endi hisob-kitoblarni qurilmalar bajarib bermoqda. Matematik tenglamalarni nafaqat nazariy yechish, balki ularni elektron hisoblash qurilmalari orqali tekshirib ularning qanchalik aniqlik bilan yechilayotganligini bilish mumkin. Shuning uchun nazariy yechilgan masalalarni yechishda raqamli texnologiyalardan foydalanish zarur.
Xulosa va takliflar Hozirgi kunda har bir nazariy masalani modellashtirish va uning modeli natijalarini raqamli texnologiyalar orqali sinovdan o’tkazish, amaliy va nazariy hisob kitoblar bir-biriga qanchalik mos kelayotganini bilish zarurdir. Bu masala orqali ayrim noaniqlikka ega bo’lgan masalalarni yechish mumkin.
Mavzuga oid adabiyotlar tahlili Akademik Sh.A. Alimov o’zining ma’ruzalarida bu mavzu bo’yicha to’xtalib o’tgan. Chagaralangan sohada funksiya aniqlanmay qolgan nuqta atrofini biror garmonik funksiya bilan ifodalash orqali butun sohada funksiyani silliqlashtirsh, yechimsiz deb qaralayotgan tenglamani yechimni Gilbert fazosida chiziqli erkli bo’lgan funksiyalar yordamida yechimga yaqinlashish orqali yechish masalasiga to’xtalib o’tgan. Hozirgi kunda dasturlash muhitlarida bunday tenglamalarni yechish va yechim grafigini chizish mumkin.
16
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. Sh. Alimov ma’ruzalari, Rits usuli
2. C. Г. Михлин “Вариационные методы в математической физике. М.-1970
3. Бари Н. К. “Теория линейных операторов”, «Наука», 1966.
4.Витебский государственный университет им. П. М. Машерова
5 . Бахвалов Н.С. Жидков Н.Г., Кобелков Г.М. Численные методы. Москва, «Наука», 1987.
171>
|