Az interneten

KVANTUM FŐNIX - HULLÁMCSOMAG-DINAMIKA
AZ INTERNETEN
Vancsó Péter, Biró László Péter, Márk Géza István
MTA Mu˝ szaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet
Nanoszerkezetek Osztály
A kvantummechanika ismerete alapvető fontosságú,
hogy megértsük a körülöttünk lévő természetet, annak
működését. Az elektronok mozgásának, az atomok
és molekulák tulajdonságainak leírásához a
klasszikus fizika törvényei (már) nem elegendőek.
Habár az a mikroszkopikus méret- és időtartomány,
amelyben a kvantummechanika törvényei érvényesek,
távol esik emberi világunk méret- és időskálájától,
ez a tudomány mégsem csupán a kutatók birodalma.
A 21. század elején az embereket a mindennapokban
körülvevő modern technikai eszközök [1]
- például tranzisztor, lézer - működésének megértésénél
is nélkülözhetetlenek a kvantummechanikai
ismeretek. Ezeknek az ismereteknek az átadása az
oktatás feladata, legyen szó középiskolai vagy egyetemi
szintű oktatásról [2].
A kvantummechanika oktatása az egyik legnehezebb
feladat a fizika tanítása folyamán, mivel a diákok
túl absztraktnak, matematikailag túl bonyolultnak
tartják [3]. Ez érthető is, ha végiggondoljuk, hogy a
klasszikus fizika fogalomkörének és törvényeinek
megértésénél segítségünkre vannak mindennapi tapasztalataink,
mindenki által könnyen elvégezhető
kísérletek. Ezzel szemben a kvantummechanika mérettartományában
végzett mérések többnyire közvetettek
és nehezen értelmezhetők.
Matematikai szempontból ahhoz, hogy klasszikus
mechanikai leírását adjuk egy részecske (tömegpont)
mozgásának, 6 paramétert kell megadnunk: r(t) és
p(t ), azaz a hely és a lendület x, y és z komponensét
az idő függvényében. Ezek határozzák meg a többi
dinamikai változót, például az energiát. A Newtontörvények
ismeretében kiszámíthatjuk az r(t) és p(t )
függvények értékeit minden pillanatra, ha ismerjük a
függvények értékét valamely tetszőleges t0 kezdeti
pillanatban, azaz adottak az r0 = r(t0) és p0 = p(t0)
kezdeti hely- és lendületértékek, továbbá ismerjük a
részecskére hatóerőket. A kvantummechanikai leírásmód
ennél bonyolultabb. A részecske állapotát t pillanatban
egy hullámfüggvény adja meg, ψ(r, t ), amely
tartalmazza az összes információt, amit a részecskéről
tudni lehet. Látható tehát, hogy a 6 paraméter helyett,
most végtelen számú paraméterünk van: a ψ 3+1 = 4
változós függvény értékei a tér minden pontjában,
minden időpontban. A ψ(r, t ) függvényt valószínűségi
amplitúdónak nevezzük, mert
annak a valószínűségét adja meg, hogy a részecske t
ρ(r, t ) dr3 = ψ(r, t ) 2 dr3
időpontban egy r pont körüli dr3 térfogatelemben
található, ρ(r, t ) pedig a megtalálási valószínűségsűrűség.
A hullámfüggvény időfejlődését az időfüggő
Schrödinger-egyenlet írja le, amely egy homogén lineáris
parciális differenciálegyenlet:
Ez az az egyenlet, amely mai ismereteink szerint az
atom- és molekulafizika, a szilárdtestfizika, sőt a kémia
és a biológia összes (nem-relativisztikus) jelenségét
kormányozza. Következményeit számtalan kísérlet
igazolta az egyenlet megalkotása óta eltelt több,
mint 80 év folyamán.
A Schrödinger-egyenlet determinisztikus; adott
ψ0(r) = ψ(r, t=t0) kezdőállapot esetén a hullámfüggvény
kiszámíthatóbár mely t időpontra. A véletlenszerűség,
az indeterminizmus, a fizikai mennyiség mérése
folyamán jelenik meg a kvantummechanikában. A
Schrödinger-egyenlet megoldásához a kezdő állapot
ismeretén kívül szükséges az adott fizikai rendszert
meghatározó H Hamilton-operátor. Konzervatív rendszerek
esetén H = K+V, ahol K a kinetikus, V pedig a
potenciális energia operátora, tehát a rendszert végső
soron a V potenciáloperátor írja le. Ha ez a potenciál
lokális, akkor a potenciális energia operátor hatása
egy egyszerű V(r) potenciálfüggvénnyel adható meg.
Látható tehát, hogy a kvantummechanika matematikai
nyelvezetének megértése szintén nem egyszerű
feladat, és további probléma, mint említettem, hogy a
jelenségeket nem tudja a diák a mindennapi tapasztalataihoz
kapcsolni - ψ(r, t ) komplex értékű függvény(!) -,
a mérések pedig mindig közvetettek: maga a hullámfüggvény
nem mérhető, csak a belőle származtatott
mennyiségek, az úgynevezett megfigyelhető mennyiségek,
mint például 〈r〉, a hely várhatóértéke:
Ahhoz, hogy mégis szemléletes képet tudjunk adni a
diákoknak a Schrödinger-egyenlet „működéséről”,
egy nagyon hasznos eszközt alkalmazhatunk: a számítógépes
szimulációt. A mai személyi számítógépek
sebessége és tárolókapacitása már bárki számára lehetővé
teszi egyszerű kvantummechanikai rendszerek
numerikus vizsgálatát. Ha például a háromdimenziós
hullámfüggvényt egy x, y,z-ben egyaránt 256 pontból
állófelosztáson modellezzünk, a hullámfüggvény
(duplapontos komplex) tárolásához 256 Megabyte
tárolókapacitás szükséges - egy mai köznapi PC-ben
általában több mint 1024 Megabyte memória található.
Ha a számítást két dimenzióra korlátozzuk és/vagy
kihasználjuk az adott rendszer szimmetriáit, akkor
még kevesebb memória elegendő a számításokhoz.
Web-Schrödinger
Az MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézet
Nanoszerkezetek Osztályán, belga kutatókkal
együttműködésben kifejlesztett Web-Schrödinger egy
olyan interaktív számítógépes szimuláció, amely
szemléletessé teszi az időfüggő Schrödinger-egyenlet
megoldását. A numerikus számítás maga egy alkalmazásszerveren
fut, így a felhasználónak nem kell telepíteni
semmit a saját számítógépén, egyszerű web-böngésző
segítségével használhatja a programot (http://
www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/
index.html címen). A program interaktív voltából adódóan
pedig a felhasználó betöltheti az előre elkészített
példákat, és változtathat azok beállításain, továbbá
készíthet teljesen új példákat, amelyek mentése
szintén lehetséges. Ahhoz, hogy megértsük hogyan
„kormányozhatja a hullámfüggvényt” a felhasználó a
szimuláció során, kicsit részletesebben meg kell ismerkednünk
a programmal.
A szimuláció három lépésből áll:
• Először meg kell határoznunk a ψ0(r) kezdőállapot-
és a V(r) potenciálfüggvényeket, és beállítanunk
néhány számolási paramétert, mint például a szimulált
időintervallumot.
• Ezután a program kiszámítja a hullámfüggvény
időfejlődését.
• Végül megjeleníti a megtalálási valószínűség
időfejlődését.
A hullámcsomag-dinamikai módszer
Erwin Schrödinger 1926-ban [4] azzal a céllal alkotta
meg a kvantummechanikai hullámcsomag fogalmát,
hogy hidat építsen a klasszikus és a kvantummechanika
között. A hullámcsomag egy térben lokalizált hullámfüggvény,
azaz olyan kvantumállapotot ír le, amikor
a részecske nagy valószínűséggel egy adott pont közelében
található. A Schrödinger-egyenletből levezethető,
hogy a hullámcsomag tömegközéppontja jó közelítéssel
úgy mozog, mint egy klasszikus tömegpont, ha a
potenciál lassan változik a hullámcsomag méretéhez
képest. A hullámcsomag leggyakrabban alkalmazott
formája a Gauss-hullámcsomag - a Web-Schrödinger
program is ezt használja kezdőállapotként:
ahol k0 = (2π/λ)n a hullámcsomag hullámszámvektora,
λ a de Broglie hullámhossz, a pedig a hullámcsomag
szélessége - minél nagyobb a, annál szélesebb a
hullámcsomag. Az n vektor a részecske haladási irá-
nyát adja meg, N pedig egy normálási faktor. A
hullámszám a részecske lendületéből így számíthatóki:
k0 = p0/ , = h/2π, ahol h a Planck-állandó. r0 adja
meg a részecske helyét - a negatív kitevőjű exponenciális
függvény miatt ezen a helyen maximális a ψ
hullámfüggvény abszolút értéke, r0-tól távolodva
gyorsan csökken. Mivel ρ = |ψ|2 adja a megtalálási
valószínűségsűrűséget a hely függvényében, azonnal
láthatjuk, hogy a Gauss-hullámcsomag valóban lokalizált
állapotot ír le: a részecske megtalálási valószínűsége
az r0 pontban a legnagyobb, attól távolodva rohamosan
csökken - lásd a 2. ábrát!
Mint azt korábban részletesen leírtuk [5], a hullámcsomag-
dinamikai módszerben egy adott potenciáltérben
vizsgáljuk meg a hullámcsomag mozgását (szimulált
szóráskísérlet). Ennek szemléltetése pedig kiemelkedő
fontosságú, ugyanis a diákok nehezen tudják
elképzelni, hogyan terjed egy elektron, mi történik,
ha potenciálgáttal érintkezik, hogyan megy végbe
a kölcsönhatás stb.
Paraméterek
Elsőként a felhasználó a számolási doboz méretét, illetve
annak felosztását tudja beállítani. Jellegzetes nanofizikai
alkalmazásoknál a számolási doboz mérete néhány
nanométer, a felosztást pedig úgy kell megadni,
hogy a szimulációban előforduló de Broglie hullámokat
jól mintavételezze. Elektronvolt nagyságrendű energiáknál
ez - elektronra - 0,01-0,1 nm lépésközt jelent.
A második lépés a potenciálfüggvény megadása,
voltaképpen ezzel határozzuk meg azt a fizikai rendszert,
amelyet vizsgálni akarunk. A különböző potenciálokkal
vagyunk tehát képesek különböző jelenségek
szemléltetésére, mint például az alagutazás folyamata,
a tiltott és megengedett sáv kristályokban, dobozba
zárt részecske stb.
Háromfajta potenciál „építőkocka” közül választhatunk;
a kör, a téglalap és a félsík, amelyeket tetszőleges
módon és számban helyezhetünk el a számolási dobozban,
természetesen értékeik megadásával, ezáltal széles
alkalmazási spektrumot kínálva a felhasználónak. Az 1.
ábrán, amely egy, a programból kimentett képernyőkép,
láthatjuk, hogyan lehet bonyolult potenciálokat is
egyszerűen felépíteni a programmal: ezen a képen egy
szén nanocső pásztázó alagútmikroszkópos leképezésének
szimulációjánál használt potenciált [5] mutatunk
be. Az 1. ábrán az STM-tű - nanocső - hordozófelületnek
a csőre merőleges keresztmetszetét láthatjuk: az
alsó fekete félsík a hordozót, a középső gyűrű a nanocsövet
(amely a Van der Waals potenciálon „lebeg” a
hordozó fölött, körülbelül 0,335 nm távolságra), a fölső
félsík a félkör alakú kiemelkedéssel az alagútmikroszkóp
tűjét szimulálja. Az STM leképezésnek ezzel az
egyszerű, geometriai modelljével számos kísérleti eredmény
vált értelmezhetővé, amelyekről részletesen az
alábbi cikkekben lehet olvasni [5-7].
A következő lépés a kezdeti hullámcsomag paramétereinek
megadása. Itt tudja a felhasználó a hullámcsomag
kezdeti helyét, kinetikus energiáját, szélességét és
még egyéb, ehhez kapcsolódó adatokat beállítani.
Végül a már említett számolási lépésközt (δt) és a
szimulált időtartamot adhatjuk meg. A számolás eredményét
a program képek formájában jeleníti meg
(results menüpont). A képeken a megtalálási valószínűségsűrűség,
ρ(r, t) = |ψ(r, t )|2 időfüggése látható.
Megismerkedvén lehetőségeinkkel, a cikk következő
részében néhány példával szeretnénk bemutatni a
program működését (ezek szintén megtalálhatóak a
„példák” menüpont alatt).
Példák
Alagúteffektus
A klasszikus fizika törvényei szerint egy E energiával
rendelkező részecske nem tud behatolni V > E potenciállal
rendelkező térrészbe, ez számára ugyanis tiltott
tartomány. Ennek szemléletes példája a mély gödör
alján lévő, abból kigurulni nem tudó labda esete. A
kvantummechanika azonban mást mond: hullámtulajdonságából
kifolyólag a részecskének van egy véges
valószínűségű esélye arra, hogy áthaladjon az energiáját
meghaladó„magasságú” potenciálfalon. Ezt a
jelenséget nevezzük alagúteffektusnak, ennek nem
egy megjelenési formájával találkozhatunk a természetben
és a technikában, a radioaktív bomlástól a
villanykapcsoló működéséig. A Web-Schrödingerrel
most ezt a jelenséget szeretnénk bemutatni.
A beállítások kritériuma, hogy a potenciálfal magassága
legyen nagyobb a hullámcsomag energiájánál.
Ekkor az áthaladási valószínűség jó közelítéssel
ahol κ paraméter a részecske tömegéből, energiájá-
T ∼ e 2κd,
ból, illetve a potenciál nagyságából számítható. Innen
már látszik, hogy nem érdemes a potenciálfal szélességét
túl nagyra választani, mert akkor
az átjutás mértéke túlságosan
csökkenhet, ezáltal a
jelenség kevésbé szemléletes.
A példában a potenciál értéke
V = 7 eV, a kezdeti energia
pedig E = 5 eV. A potenciál
vastagsága d = 2 Ĺ. Ezekkel
az értékekkel az átmeneti valószínűségre
T = 0,17 értéket
kapunk a fenti képletből, a
visszaverődési valószínűség
tehát R = 1-T = 0,83.
A megtalálási valószínűségsűrűség időfejlődése a 2.
ábrán látható. Mivel a kezdeti hullámcsomagnak egy
-y („lefelé”) irányú lendületet adtunk, megfigyelhetjük,
hogy időfejlődése során a -y irányba halad -
amíg csak el nem éri a potenciálfalat. A további képek
azt mutatják, ahogyan a hullámcsomag kölcsönhatásba
lép a potenciálfallal, az utolsókép pedig a kölcsönhatás
lezajlása utáni végállapotot ábrázolja. A
teljes folyamat 2,32 fs = 2,32 10-15 s időt vesz igénybe.
A vízszintes csíkokat a visszavert és beérkező hullámok
interferenciája okozza. Látható hogy bár a részecske
elég nagy eséllyel visszaverődik, mégis véges
valószínűséggel átjuthat a potenciálfalon (szürke folt
a potenciál túloldalán). Így tehát szemléletes képet
sikerült alkotnunk az alagutazás folyamatáról.
Tiltott és megengedett sáv kristályokban
Az ideális kristály a térben ismétlődő, azonos szerkezeti
egységekből állórendszer . Ha egy hullám, amelynek
hullámhossza összemérhető a kristály periodicitásával,
kölcsönhatásba lép a kristállyal, akkor fellép a diffrakció jelensége.
A diffrakció pedig erősen függ a hullámhossztól,
ezáltal bizonyos hullámhosszú hullámok át
tudnak hatolni a kristályon
(megengedett sáv), míg mások
visszaverődést szenvednek
(tiltott sáv). Ha elektronok
szóródnak, akkor ez a jelenség
alakítja ki többek között az
elektronok sávszerkezetét -
ezen alapul a félvezető eszközök
működése -, láthatófény
szóródásánál pedig különböző
színek megjelenését tapasztalhatjuk.
Azokat a kristályokat,
amelyek periodicitása a látható
fény hullámhosszának nagyságrendjébe
esik, fotonikus
kristályoknak nevezzük, és
bizonyos ásványoknál és élőlényeknél
ez okozza a színpompás
megjelenést. Ezzel
részletesen az alábbi cikk foglalkozik
[8].
A 3. ábrán bemutatott szimulációban a potenciálok
megegyeznek, de a kezdeti állapotok energiái eltérőek,
így szemléltetve a tiltott és megengedett sáv hatását.
Láthatjuk, hogy a szimulációban a tiltott sáv esetén is
van egy kis áthaladás és a megengedett sáv esetén is
egy kis visszaverődés. Ez abból adódik, hogy a hullámcsomag
nem egy energia-sajátállapot, azaz van egy
bizonyos ΔE energiaszórása. Ezért a tiltott (megengedett)
sávba eső hullámcsomag - kis valószínűséggel -
áthaladhat (visszaverődhet) a kristály-potenciálon. A
hullámcsomag ΔE energiaszórását természetesen tetszőleges
mértékben csökkenthetjük, de ez csak azon az
áron lehetséges, hogy a Δr térbeli kiterjedését megnöveljük
(azaz egyre inkább közelítünk a síkhullám határesethez).
Ám a hullámcsomag térbeli kiterjedésének
növelése megnöveli a számolási doboz méretét is.
A kvantum főnix
A szabad térbeli kvantummechanikai hullámcsomag -
azaz, ha a részecske nem hat kölcsön semmi mással -
alapvető tulajdonsága a szétfolyás, azaz a megtalálási
valószínűség az idő előrehaladtával egyre nagyobb térrészre
terjed ki. Megfelelő potenciál alkalmazásával
azonban megfordíthatjuk ezt a folyamatot! Azt a
jelenséget, amikor a kezdeti hullámcsomag időfejlődése folyamán
újra kialakul a kezdeti állapot, quantum revivalnek
(kvantumállapot újjászületés) nevezzük. Egy végtelen
mély potenciáldoboz esetén a folyamat érdekessége
továbbá, hogy az a periódusidő, ami alatt a hullámfüggvény
visszatér kezdeti állapotába, független a kezdeti
hullámcsomag paramétereitől, csak a doboz méretei határozzák
meg, ami szöges ellentétben áll a klasszikus
szemlélettel. Ezt nevezik revival-paradoxonnak, további
részletek erről az alábbi cikkben találhatók [9]. Érdemes
megemlíteni, hogy hasonlójelenség (Talbot-effektus)
már 1836 óta ismert az optikában!
A kvantumállapot újjászületés bemutatásához a „dobozba
zárt részecske” modellből indulunk ki, amelyben
a hullámcsomag egy kétdimenziós potenciálgödörbe
van lokalizálva. ρ(x,y; t ) időfejlődését láthatjuk a 4. ábrán,
ahol a szimuláció teljes időtartama egy újjászületési
periódus. Megfigyelhetjük, hogy a kezdeti hullámcsomag
először elkezd szétfolyni, majd visszaverődik a
potenciálfalról, interferencia-mintázatok alakulnak ki. A
szimuláció végére rekonstruálódik a kezdeti állapot. Ám
a közbenső időkben is bámulatosan érdekes jelenséget
figyelhetünk meg, a többszörös (tört) újjászületéseket: a
kezdeti hullámcsomag több példányban rekonstruálódik
a potenciáldoboz különböző helyein. A többszörös
újjászületések szimmetriaszerkezetét a V(r) potenciál
szimmetriája szabja meg. Mivel a 4. ábrán a potenciál x
és y irányban szimmetrikus, a kezdeti hullámcsomag x
és y irányban is megismétlődik. Mint a hátsóborító n
láthatószínes kép bemutatja, az újjászületés és a többszörös
újjászületések bonyolult alakú hullámcsomagok
esetén is bekövetkeznek. A 4. ábrán a fehér felel meg a
nulla megtalálási valószínűségsűrűségnek, a fekete a
legnagyobb megtalálási valószínűségsűrűségnek. Láthatjuk,
ahogyan a hullámcsomag szétfolyik, úgy egyre
szélesebb lesz, de egyre alacsonyabb lesz a csúcsa. Fizikailag
ez azt jelenti, hogy a kezdeti, jól lokalizált állapotban
a hullámcsomag az r0 hely (ami a 4. ábrán az origó)
kis környezetében található nagy valószínűséggel,
de később már nagyobb térrészre tejed ki. A többszörös
rekonstrukciók esetén, ha a rekonstrukció n-szeres, a
maximális megtalálási valószínűség 1/n2 arányban csökken
a kiinduló állapothoz képest.
Természetesen az időfüggő Schrödinger-egyenlet
megoldásán alapuló hullámcsomag-dinamikai szimulációkat
nemcsak az oktatásban, hanem a kutatásban
is eredményesen lehet használni. Ennek szemléltetésére
a Web-Schrödinger példái közt szerepel még egy
érdekes, a hétköznapi tudományból származó példa,
amellyel az 1990-es években tanulmányoztuk a szén
nanocsövek alagútmikroszkópos leképezését.
Összegzés
A kvantummechanika megértéséhez nagyon hatékony
eszköz a számítógépes szimuláció, amellyel szemléletesen
tudunk bemutatni különböző folyamatokat. A
Web-Schrödinger egy ilyen szimulációs program,
amely a szemléletesség mellett interaktív is. Ezáltal a
diákok maguk készíthetnek példákat, modellezhetnek
folyamatokat, amelyek segítségével mélyebben megérthetik
a kvantummechanika jelenségvilágát.
Epilógus
A hullámcsomag-dinamikai szimulációk még a kvantummechanika
filozófiai kérdéseit is segítenek megvilágítani
- már az egyszerű alagútjelenség példája segítségével.
Ugyanis a hullámcsomag, amíg nem éri el a
potenciálgátat, egyenletesen halad és közben szétfolyik.
A szétfolyás jelensége ellen még talán nem nagyon
berzenkedik a klasszikus szemléletünk - annyi történik
mindössze, hogy a részecske helyének „bizonytalansága”
egyre nagyobb lesz. Ám az alagútjelenség lezajlása
utáni végállapotban (2. ábra) azt láthatjuk, hogy a hullámcsomag
két különállórészre oszlott, amelyek egyre
távolodnak egymástól - azaz immár nem egy, hanem
két hely van, amelynek környezetében nagy valószínűséggel
megtalálhatóa részecske. Nevezzük ezeket A (a
potenciálfal egyik oldalán) és B (a potenciálfal másik
oldalán) helyeknek. Az idő múlásával a két rész-hullámcsomag
bármilyen messzire távolodhat egymástól.
De - mivel az egyrészecske hullámfüggvény valójában
egyetlen tömegpont megtalálási valószínűségsűrűségét
határozza meg - a részecske csak az A hely környezetében,
vagy a B hely környezetében lehet, viszont az,
hogy melyik helyen találjuk meg a részecskét, csak
akkor derül ki, mikor megmérjük, hogy hol van. Ám
amint megmérjük, hogy például az A oldalon van-e a
részecske és azt találjuk, hogy ott van (illetve nincs),
ekkor abban a szempillantásban meghatározottá válik,
hogy a másik oldalon nincs (illetve van). Az A és B helyeken
történő részecske helymeghatározás akkor is
antikorrelációt fog mutatni, ha a két mérés között a t =
d/c időnél rövidebb idő telik el, ahol d a két hely távolsága
és c a vákuumbeli fénysebesség. Ezekről a kérdésekről
lásd bővebben [10, 11] Geszti Tamás cikkeit!
Irodalom
1. Gyulai J.: Az anyagtudomány apoteózisa. Fizikai Szemle 46/8
(1996) 264.
2. Márk G. I.: A modern fizika alapjai a műszaki menedzser-képzésben
- Fizikai Szemle 47/9 (1997) 298.
3. D. F. Styer: Common misconceptions regarding quantum mechanics.
American Journal ofPhysics 64 (1996) 31-34.
4. E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweitere
Mitteilung). Ann. Phys. 79 (1926) 489.
5. Márk G. I.: Egy hullámcsomag kalandjai az alagútmikroszkópban.
Fizikai Szemle 61/6 (2006) 190.
6. G. I. Márk, L. P. Biró, J. Gyulai: Simulation of STM images of 3D
surfaces and comparison with experimental data: carbon nanotubes.
Phys. Rev. B 58 (1998) 12645.
7. G. I. Márk, L. P. Biró, P. Lambin: Calculation of axial charge
spreading in carbon nanotubes and nanotube Y-junctions during
STM measurement. Phys. Rev. B 70 (2004) 115423-1.
8. Rajkovits Zs.: Szerkezeti színek az élővilágban. Fizikai Szemle
72/4 (2007) 121.
9. D. F. Styer: Quantum revivals versus classical periodicity in the
infinite square well. American Journal ofPhysics 69/1 (2001)
56-62.
10. Geszti Tamás: Párolt macska. Fizikai Szemle 47/5 (1997) 157.
11. Geszti Tamás: Kvantum és klasszikus határán. Fizikai Szemle
58/6 (2008) 209.
|