Elektrodinamika - bet 8

a) Ha a töltés változatlanul hagyásával helyezünk ε dielektromos állandójú közeget a fegyverzetek közé, akkor a feszültség ε-od részére csökken, a kapacitás pedig ε-szorosára nő:
.
Ennélfogva
.
Az energiaváltozás tehát:
.
Mivel ε > 1, a kondenzátor energiája csökken.
b) Ha a feszültség változatlan marad, akkor U' = εU, és így az energiaváltozás
.
Ebben az esetben nőtt a kondenzátor energiája.
11. Egy kockakeret élei egyenként r ellenállású vezetőből vannak. A kocka két szemben levő csúcsába feszültséget kapcsolunk. Számítsuk ki a kockakeret eredő ellenállását.
Megoldás:
A befolyó I erősségű áram az 1 pontban háromfelé ágazik, és mivel az élek ellenállása azonos, az 1–2 élben folyó áram erőssége I/3. A 2 pontban ez az áram két részre ágazik, a 2–3 élben folyó áram erőssége így I/6. Kövessük az áram útját az 1, 2, 3, 4 pontokon át, és írjuk fel az egyes élek feszültségeit:
,
,
.
77. ábra -
A három egyenlet összeadásával az 1 és 4 jelű szemben levő csúcsok közötti feszültséget kapjuk:
.
Ebből következik, hogy az eredő ellenállás:
.
12. Kis belső ellenállású elektromotoros erejű telep az M műszert nem tudja elég hosszú ideig i árammal ellátni. A hálózati feszültség viszont ingadozik V1 és V2 feszültségek között (; 78. ábra). Ezért a következőképpen járunk el. Az M műszert a teleppel párhuzamosan R ellenálláson keresztül a hálózatba kapcsoljuk. R-et úgy választjuk meg, hogy V = V1 esetén a telep ne adjon áramot. Milyen áramot ad a telep V = V2 esetén? Hányszor kisebb ez i-nél?
78. ábra -
Megoldás:
Alkalmazzuk Kirchhoff törvényeit:
,
.
Az első esetben: V = V1, I2 = 0.
,
.
A második esetben:
,
.
Ebből kell I2-t meghatároznunk.
,
,
.
13. Az A és B állomások közötti távíróvezetéket n pózna tartja az A1, A2, ..., An pontokban. (A második vezeték szerepét a föld játssza.) A vonal AA1, A1A2, ..., AnB darabjainak ellenállása egyaránt R. Száraz időben a póznák tökéletesen szigetelnek. Nedves időben az egyes póznák ellenállása . Az A pontban elhelyezett telep elektromotoros ereje , belső ellenállása elhanyagolható. A B pontban rövidre zárjuk a kört. Határozzuk meg a rövidzárási áramot száraz és nedves idő esetén.
Megoldás:
Száraz időben:
.
A nedves időben érvényes helyzetet a 79. ábra szemlélteti:
A k-adik körre vonatkozó áramköri egyenlet:
,
.
Az Ik függvényt keressük a következő alakban:
.
Egyenletünkbe helyettesítve, adódik:
.
79. ábra -
Akkor lehetséges a fenti próbamegoldás, ha a zárójeles kifejezések eltűnnek, azaz
, vagyis .
Talált megoldásunkat más alakban is írhatjuk:
.
Az a és b állandók helyett bevezettük A-t és β-t.
A megoldásban szereplő állandókat a határfeltételek szabják meg. A jobb oldali legszélső körben:
,
a bal oldali legszélső áramkörben:
.
Első feltételünkből meghatározzuk β-t:
,
;
ebből adódik:
,
azaz
.
Ezt a második határfeltételi egyenletünkbe téve, kapjuk:
.
Ebből:
.
A rövidzárási áram tehát:
,
ahol .
14. R sugarú kör alakú vezetőben I erősségű áram folyik. Határozzuk meg a mágneses teret a vezetőtől nagy távolságban.
Megoldás:
Helyezzük koordináta-rendszerünk kezdőpontját a kör középpontjába, z tengelye legyen merőleges a kör síkjára, x tengelyét pedig válasszuk úgy, hogy a potenciálpont az (x, z) síkban legyen.
.
80. ábra -
Koordináta-rendszerünkben:
.
Használjuk ki, hogy . Így az integrál alatt a nevező sorba fejthető:
.
Így
Hasonlóan adódik:
;
Az egyes komponensek ismeretében a köráram mágneses tere így foglalható össze vektor alakban:
,
ahol k a körvezető síkjára merőleges egységvektor, a kör területe. A körvezető mágneses tere a középpontjától nagy távolságban tehát olyan, mint egy dipólus tere, melynek dipolnyomatéka .
|