Teorema - Ызбекистон республикаси олий ва ырта махсус таълим вазирлиги

Teorema. Agar ishorali o’lchov Z(E) sistemada aniqlangan bo’lsa, u xolda E to’plamning shunday o’lchovli E- qismi mavjudki, ishorali o’lchovga nisbatan E-to’plam manfiy, to’plam esa musbat bo’ladi.
E to’plamning musbat va manfiy to’plamlarning yigindisi shaklida ifodalashi, ya’ni yoyilmasi uning Xaan ma’nodagi yoyilmasi deyiladi.
Agar ishorali o’lchovning tashuvchisi chekli yoki sanoqli to’plamdan iborat bo’lsa, ishorali diskret o’lchov deyiladi.
4-ta’rif. Agar bo’lgan xar qanday uchun bo’lsa, ni o’lchovga nisbatan absalyut uzluksiz ishorali o’lchov deyiladi.
Nixoyat, agar ishorali o’lchovning tashuvchisi o’lchovi nol bo’lgan biror to’plamdan iborat bo’lsa, u o’lchovga nisbatan singulyar ishorali o’lchov deyiladi.
Lemma. Agar aynan nolga teng bo’lmagan o’lchovga nisbatan absalyut uzluksiz bo’lsa, u xolda shunday natural n va bo’lgan o’lchovli B to’plam topiladiki, B to’plam ishorali o’lchovga nisbatan musbat to’plam bo’ladi.
Teorema. (RADON-NIKODIM). Agar ishorali o’lchov xamda additiv o’lchov Z(x) algebrada aniqlanib o’lchov o’lchovga nisbatan absalyut uzluksiz bo’lsa,u holda X to’plamda o’lchov bo’yicha jamlanuvchi f(x) funktsiya mavjud bo’lib, har bir uchun
tenglik o’rinlidir
Muxokama uchun savollar.
1. To’plam funktsiyasi nima ?
2. Ishorali uzluksiz o’lchov deb nimaga aytiladi?
3. Singulyar o’lchov nima?
4. Radon – Nikodim teoremasini moxiyatini izoxlang.
Mavzuga oid ilmiy muammo:
Agar a bo’lsa, u holda (a,c) bo’yicha olingan Lebeg-Stiltes integralining mavjudligidan (a,b) va (b,c) bo’yicha olingan Lebeg-Stiltes integrallarining mavjudligi kelib chiqadi. Lekin aksinchasi umuman hamma vaqt o’rinli emas.
Endi qanday funktsiyalar uchun aksinchasi o’rinli bo’lish masalasi muammo hisoblanadi. Bunday muammo o’z echimini kutmoqda.
II. Amaliy mashg’ulot. Lebeg - Stiltes integralidoir masalalar yYechish.
Ajratilgan vaqt 4 soat.
Dars maqsadi.
1. Lebeg – Stiltes integralini masala yYechish yordamida tushintirish.
Identiv o’quv maqsadi:
1. Lebeg – Stiltes o’lchovini biladi.
2. Lebeg – Stiltes integraliga doir masala echa oladi.
1. Zaruriy tushunchalar.
Faraz qilaylik, [a.b] segmentdan aniqlangan monoton F funktsiya orqali keltirib chiqarilgan Lebeg-Stiltes ulchovli berilgan bulsin. Bu ulchov uchun Lebeg integirali tushunchasini kiritib, odatdagidek, jamlanuvchi funktsiyalar sinfini aniqlashimiz mumkin. [a,b]segmentda aniqlangan funktsiyaning ulchov buyicha Lebeg integirali Lebeg-Stiltes integirali deyiladi va u quyidagicha belgilanadi.
2. Masalalar yYechish.
1. bu erda pogonali funktsiya bulib, lar ning uzulish nuktalari, lar esa nuktalarga mos funktsiyaning sakrashlari. funktsiya yaratgan ulchovning tashuvchisi nuktalar ekanligi va xar bir nuqtaning ulchovi ekanligini Lebeg-Stites ulchovining birinchi xolida kurgan Edik.endi, agar ulchovga mos kelgan Lebeg-Stiltes integiralini olsak, kuyidagiga ega bulamiz:
2. Agar F absolyut uzluksiz funktsiya bulsa, ushbu
(1)
tenglik urinli. Demak, bu xolda Lebeg-Stiltes integrali Lebeg integiraliga aylanar ekan
Amaliy mashg’ulot uchun zaruriy adabiyotlar:
1. Sarimsoqov T.A. Xaqiqiy o’zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi, T. 1982y. 303-307 betlar.
III. Mustaqil topshiriqlar
1-topshiriq. Riman - Stiltes integrali.
2-topshiriq. Quyidagi masalalarni eching.
1. itegral - ning qaysi qiymatida mavjud?
2. ni xisoblang, bunda
IV. Mavzu bo’yicha yakuniy mashg’ulot
1) Faraz qilaylik X to’palam o’lchovga ega bo’lgan ixtiyoriy fazo bo’lsin. f(x) funktsiya esa bo’yicha X da jamlanuvchi funktsiya bo’lsin.
U holda:
,
integral A to’plam funktsiyasi deyiladi. Endi F funktsiya additiv o’lchov bo’lib f(x)funktsiyaga bog’lik bo’lgan ishora almashuvchi (ishorali) o’lchovdan iboratdir va bu esa o’lchov tushunchasini rivojlantirish deb xisoblanadi.
2) Faraz qilaylik biror F funktsiya kesmada o’lchovni hosil qilsin. Bunday o’lchov uchun
Lebeg integrali tushunchasini kiritamiz. Bunday integral Lebeg-Stilstes integrali deyiladi va bu Lebeg integralini kengaytirish deb xisoblanadi.
3) Lebeg–Stilstes integral bilan bir qatorda Riman–Stilstes integral tushunchasi ham kiritiladi. Riman-Stiltes integral tushunchasi Riman integral tushunchasi kabi xosil qilinadi va uning xossalari Riman integrali xossalariga o’xshashdir. Bular Riman integralini ma’lum ma’noda rivojlantirish deb xisoblanadi.
Nazorat savollari:
1. To’plam funktsiyasi nima?
2. Ishorali uzluksiz o’lovni tushintiring.
3. Singulyar o’lchovni izoxlang.
4. Manfiy to’plam nimadan iborat?
5. Xan yoyilmasi.
6. Radon - Nikodim teoremasini izoxlang.
7. Bir o’lchovni boshqa o’lchov bo’yicha xosilasini izoxlang.
8. Lebegning aniqmas integralini ayting.
9. Lebeg – Stiltes o’lchovini ayting.
10. Lebeg - Stiltes integralini tushintiring.
11. Lebeg – Stiltes integrali tatbiqiga misol keltiring.
12. Riman – Stiltes integralini tushintiring.
13. Qanday shartda Lebeg – Stiltes integrali ostida limitga o’tish mumkin.
14. Absalyut uzluksiz funktsiyani ayting.
15. O’zgarishi chegaralangan funktsiyani ayting.
16. Monoton funktsiyani ayting.
17. Lebeg ma’nosida jamlanuvchi funktsiyalar.
18. Jardon ma’nosida yoyilma nimadan iborat?
19. Lebeg – Stiltes integralini xossalarini ayting.
20. Riman - Stiltes integralini xossalarini ayting?
Tavsiya etilgan adabiyotlar:
1. Sarimsoqov T.A. Xaqiqiy o’zgaruvchi funktsiyalar nazariyasi. T 1991.
2. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elemento’ teorii funktsiy i funktsianalnogo analiza M. 1980
3. Ochan Yu .S. Sbornik zadacha po matematichiskomu analizu, M.1981.
4. Natanson I.P. Teoriya funktsiy veshestvennoy peremenoy, M. 1974.
|