Ko‘phad bilan intеrpolyatsiyalash

|
Ko‘phad bilan intеrpolyatsiyalash
|
bet | 4/7 | Sana | 09.01.2024 | Hajmi | 321,9 Kb. | | #132818 |
Bog'liq Sonli kurs ishiKo‘phad bilan intеrpolyatsiyalash. Intеrpolyatsiyalash funksiyasini quyidagi ko‘phad
(4.2)
ko‘rinishida izlaylik. Pn(xi) = yi, i = 0,1,...,n dеb talab qilib, mazkur ko‘phadning noma`lum koeffisiеntlariga nisbatan quyidagi chiziqli algеbraik tеnglamalar sistеmasini hosil qilamiz:
(4.3)
(4.3) sistеmani to‘g’ri yoki itеratsion usullar yordamida yechib, qiymatlari x=xi nuqtalarda y = f (x) funksiya qiymatlari bilan ustma-ust tushadigan y=Pn(x) ko‘phadi hosil qilinadi. Lеkin, (4.3) sistеmani yechishda o‘ziga xos muammolar hosil bo‘ladi. Bu muammo ayniqsa, sistеmaning tartibi katta bo‘lganda o‘zini namoyon qiladi. Chunki, yuqori tartibli sistеmalarni yechishda kompyutеr xotirasini yetishmasligi yoki hisoblashlardagi yaxlitlash xatosining ortib kеtishi kabi muammolar hosil bo‘ladi. Shunday xollarning oldini olish uchun Pn(x) ko‘phadi maxsus ko‘rinishlarda tanlab olinadi.
Pn(x) intеrpolyatsiya ko‘phadining I.Nyuton (1643-1727) va J.L.Lagranj (1736-1813) topgan qulay ko‘rinishlari ana shu maxsus ko‘rinishlarga misol sifatida qaralishi mumkin.
Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda emas, balki [xi,xi+1] (i=0, n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi.
Ulanish tugun nuqtalarida funksiya va uning hisoblarining ham uzluksizligi talab qilinadi. Shuning uchun [xi,xi+1] (i=0,n-1) barcha oraliqlarda qurilgan splayn funksiyalar ulanib butun [a,b] oraliqda silliq bir splayn funksiyani beradi.
Klassik interpolyatsiyalashda esa butun bir [a,b] oraliqda 1 ta funksiya qurilar edi. Shuning uchun ham klassik interpolyatsiyalashga nisbatan splayn funksiyalar yordamida qaralgan interpolyatsiyalash masalasining silliqlik darajasi yuqori va qurilishi jihatidan ham sodda bo’ladi. (i=0, n-1) [xi,xi+1] oraliqlarda qurilgan silliq bo’lakli kophadli funksiyalarga splayn funksiyalar deyiladi.
Hisoblash matematikasining yaqinlashish nazariyasida splayn funksiyalar qo’llanilishi 1946–yil Shonberg tomonidan “Splayn” so’zi fanga kritilgandan boshlangan bo’lib, 50-yillardan keyin juda tez rivojlangan.
Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasida klassik polinomlar orqali interpolyatsiyalash masalasiga yaxshi ekanligini ko’rsatadi.
Ushbu ishda Ermit interpolyatsion kubik splayn yordamida kvadratur formula quriladi. Ermit interpolyatsion kubik splayni qurilishida funksiyaning hamda bu funksiyaning hosilasining tugun nuqtalardagi qiymatlari berilgan holda qurildi.
Polinomial interpolyatsion splayn funksiya o’zining:
1. Interpolyatsiya obyektiga yaxshi yaqinlashuvchanligi;
2. Qurilishi sodda va EHM algaritmini tuzish juda soddaligi bilan ajralib turadi.
Shuning uchun interpolyatsiyalash masalasida splayn funksiyalarni qo’llanilishi hisoblash matematikas fanida dolzarb basalalar hisoblanadi.
Splayn funksiyalar kvadratur yordamida qurilgan kvadratur formulalaning xatoligininng bahosi ham klassik interpolyatsion kvadratur formulalarning xatoligining baholaridan ancha kichik bo’ladi. Ushbu ishda qaralgan kvadratur furmula Ermit interpolyatsion kubik splayni yordamida qurilganligi uchun bu kvadratur formulning xatoligini C[a,b]-uzluksiz funksiyalar sinfida baholab bo’lmaydi. Chunki Ermit interpolyatsion kubik splayni asosida qurilganligi sababli bu kvadratur formula ham f(x) funksiyaning hosilasini qiymatlari qatnashganligi uchun uzluksiz funksiyalar sinfida bu kvadratur formulaning xatoligini baholab bo’lmaydi. Shuning uchun ushbu kvadratur formulaning xatoligini Ck[a,b] sinfda baholashni ko’rib chiqamiz.
Xisoblash metodikasining yaqinlashish nazariyasi yo’nalishida qilinadigan ilmiy natijalar fan texnika rivojlanishining juda ko’p sohalarda qilinadi Aerodinamika, Gidrodinamika, Geologiya, Gedrotexnika va boshqa bir qancha texnika yo’nalishlarida funksiyalarni tiklash va qo’yilgan masalalarni joylashishini yaratishda funksiyalarni tiklash funksiyaga yaqinlashtrish borasida ko’plab metodlar yaratgan.
Hozirgi fan texnikaning rivojlangan davrida Splayn funksiyalarning qurilishi va uning tadbiqi xisoblash matematikasi faning dolzarb masalalaridan xisoblanadi. Splayn funksiyalarning qurilishida quyilgan shartlarni holatiga qarab splayn funksiyalar defektini 1, defekti 2ga teng v x k splayn funksiyalarning nuqtalari ko’rsatiladi. Defekti 1 da teng splayn funksiya yaxshi yaqinlashuvchi splayn funksiya hisoblanadi va bu splaynlarning qo’llanilishi eng yaxshi natijalarni beradi. Splayn funksiyaning ta’rifi va defektining ta’rifini kiritamiz Sn(f,x) splayn n-chi tartibli interpolyatsion splayn diyiladi.
Agarda quyidagi shartlar bajarilsa:
1)
2)
3)
2.2 Splayn funksiyalarning xossalari va ularning qo'llanilishi.
|
| |