To’plamlar ustida amallar

|
To’plamlar ustida amallar
|
bet | 2/7 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 253,23 Kb. | | #136510 |
Bog'liq AsilbekTo’plamlar ustida amallar
Ixtiyoriy A va B to`plamlar berilgan bo`lsin. Agar C to`plam faqatgina A va B o`plam elementlaridan iborat bo`lsa, u holda C to`plam A va B to`plamlarning yig`indisi yoki birlashmasi deyiladi va C = A ∪ B shaklda belgilanadi.
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aα to`plamlarning yig`indisi ham shunga o`xshash aniqlanadi: Aα to`plamlarning kamida biriga tegishli bo`lgan barcha elementlar to`plami bu to`plamlarning yig`indisi deyiladi va bu munosabat ∪ α Aα shaklda belgilanadi. Endi A va B to`plamlar kesishmasini ta'riflaymiz. A va B to`plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to`plam ularning kesishmasi deyiladi (1.2-chizma) va A ∩ B shaklda belgilanadi.
Ixtiyoriy(chekliyokicheksiz)sondagito`plamlarningkesishmasi – T α Aα deb, Aα to`plamlarning barchasiga tegishli bo`lgan elementlar to`plami tushuniladi. To`plamlar yig`indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko`ra kommutativ va assotsiativdir, ya'ni
A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Bundan tashqari, ular o`zaro distributivlik qonunlari bilan bog`langan
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (1.1)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). (1.2)
Biz (1.1) va (1.2) tengliklarning isboti murakkab bo`lmaganligi uchun ularni o`quvchiga havola qilamiz.
Endi A va B to`plamlar ayirmasini ta'ri aymiz. A va B to`plamlar ayir-masi deb A to`plamning B to`plamga tegishli bo`lmagan barcha elementla- ridan iborat to`plamga aytiladi va A\B shaklda belgilanadi.
Ba'zan (masalan o`lchovlar nazariyasida), A va B to`plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini kiritish maqsadga muvo q bo`ladi. A\B va B\A to`plamlarning birlashmasidan iborat to`plamga A va B to`plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va A∆B shaklda belgilanadi, ya'ni A∆B = (A\B) ∪ (B\A).
Ko`p hollarda qandaydir universal E to`plamning qism to`plamlari qaraladi. Masalan, E tekislik, A tekislikdagi biror to`plam bo`lsin. Bu holda E\A ayirma A to`plamning to`ldiruvchi to`plami deyiladi va Aj yoki CA shaklda belgilanadi.
To`plamlar nazariyasi va uning tadbiqlarida muhim o`rin tutadigan ikkilik prinsipi deb nomlanuvchi quyidagi ikki munosabatni keltiramiz:
1.1. Yig`indining to`ldiruvchisi to`ldiruvchilar kesishmasiga teng:
1.2 Kesishmaning to`ldiruvchisi to`ldiruvchilar yig`indisiga teng:
Ikkilik prinsipi shundan iboratki ixtiyoriy tenglikdan, agar bu tenglik qan- daydir universal E to`plamning qism to`plamlari ustida bo`lsa, ikkinchi ikkilik tenglikka o`tish mimkin, buning uchun barcha qaralayotgan to`plamlar ular- ning to`ldiruvchilari bilan, to`plamlar kesishmasi-birlashma bilan, birlashmasi - kesishma bilan almashtiriladi.
Biz (1.3) tenglikning isbotini keltiramiz. (1.4) tenglik shunga o`xshash isbotlanadi.
Isbot. ixtiyoriy element bo’lsin. U holda x E va x bo’ladi. Bundan ixtiyoriy α uchun x ning to’plamga tegishli emasligiga kelamiz. Demak, x element to’plamlarning to’ldiruvchilarida yotadi. Shunday qilib, ixtiyoriy α uchun munosabat o’rinli, bundan biz ) ga ega bo’lamiz. Bu esa
Munosabatni keltirib chiqaradi. Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Agar ) bo’lsa, u holda barcha α larda bo’ladi va x elementi to’plamlarning birortasiga ham tegishli bo’lmaydi, bu esa ekanligini bildiradi. Demak, ekan. Bundan biz
Munosabatga kelamiz. (15). (1.6) munosabatlar (1.3) tenglikni isbotlaydi.
Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma'lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta'ri anadi: X sonlar o`qidagi biror to`plam bo`lsin. Agar har bir x ∈ X songa f qoida bo`yicha aniq bir y son mos qo`yilgan bo`lsa, u holda X to`plamda f funksiya aniqlangan deyiladi va y = f (x) shaklda yoziladi. Bunda X to`plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil top- gan E(f ) to`plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya'ni
E(f ) ={ y : y = f (x), x ∈ X } .
Agar sonli to`plamlar o`rnida ixtiyoriy to`plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya'ni akslantirish ta'ri ga kelamiz. Bizga ix- tiyoriy X va Y to`plamlar berilgan bo`lsin. Agar har bir x ∈ X elementga biror f qoida bo`yicha Y to`plamdan yagona y element mos qo`yilsa, u holda X to`plamda aniqlangan Y to`plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslan- tirish berilgan deyiladi. Bundan keyin biz ixtiyoriy tabiatli to`plamlar bilan ish ko`ramiz (shu jumladan sonli to`plamlar bilan ham), shuning uchun ko`pgina hollarda funksiya termini o`rniga akslantirish atamasini ishlatamiz.
X to`plamda aniqlangan va Y to`plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f aks- lantirish uchun f : X → Y belgilashdan foydalaniladi. Biz asosan quyidagi belgilashlardan foydalanamiz. N − natural sonlar to`plami, Z − butun son- lar to`plami, Q − ratsional sonlar to`plami, R − haqiqiy sonlar to`plami, C − kompleks sonlar to`plami, R+ = [0, ∞), Z+ = {0} N hamda sifatida n o`lchamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi.
Endi f : X → Y akslantirishga misollar keltiramiz. Quyida, 2.1-2.6 misol- larda keltirilgan akslantirishlarning qiymatlar sohalarini toping.
Yechish. 2.1-misolda keltirilgan f : R → R akslantirishning qiymatlar sohasi E(f ) = [0, ∞) dan iborat. Chunki barcha x ∈ R lar uchun |x| ≥ 0 va ixtiyoriy y ∈ [0, ∞) uchun f (y) = y tenglik o`rinli.
2.2-misoldagi g : R → R, g(x) = 2 [x] akslantirishning qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko`ra E(g) = 2 · Z := {. . . , −2, 0, 2, . . . , 2n, . . .} dan iborat.
Dirixle funksiyasi D : R → R ning qiymatlar sohasi ikki nuqtali to`plamdan iborat, ya'ni E(D) = {0; 1} .
Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi P : R2 → R, P (x, y) = x ning qiymatlar sohasi, E(P ) = R dan iborat.
1
2
3
Sferik akslantirish S : R3 → R, S(x1, x2, x3) = x2 + x2 + x2 ning qiymatlar sohasi, E(S) = R+ dan iborat.
Endi f : X → Y akslantirish uchun quyidagi tushunchalarni kirita- miz. Har bir a ∈ X uchun unga mos qo`yilgan b = f (a) ∈ Y element a elementning f akslantirishdagi tasviri yoki aksi deyiladi. Umuman, X to`plamning biror A qismi berilgan bo`lsa, A to`plam barcha elementlari- ning Y dagi tasvirlaridan iborat to`plam A to`plamning f akslantirishdagi tasviri yoki aksi deyiladi va f (A) simvol bilan belgilanadi. Endi b ∈ Y ix- tiyoriy element bo`lsin. X to`plamning b ga akslanuvchi barcha elementla- ridan iborat qismi b elementning f akslantirishdagi asli deyiladi va f −1(b) simvol bilan belgilanadi. f −1(b) to`plam f (x) = b tenglama ildizlaridan ibo- rat. O`z navbatida har bir B ⊂ Y to`plam uchun X ning B ga akslanuvchi (o`tuvchi) qismi B to`plamning f akslantirishdagi asli deyiladi va f −1(B) ={ x ∈ X : f (x) ∈ B} shaklda belgilanadi. Umuman olganda, Y to`plam sifati- da f akslantirishning qiymatlar sohasini o`zida saqlovchi to`plam qaraladi. Agar barcha b ∈ B lar uchun ularning f −1(b) aslilari bo`sh bo`lsa, u holda B to`plamning asli ham bo`sh to`plam bo`ladi.
|
| |