-§ Teylor formulasi - Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
∆f(x0)=f’(x0)∆x+o(∆x), ya’ni f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
P1(x)=f(x0)+b1(x-x0) (3.1)
ko‘phad mavjud bo‘lib, x→x0 da f(x)=P1(x)+o(x-x0) bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad P1(x0)=f(x0), P1’(x0)=b=f’(x0) shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x0 nuqtaning biror atrofida aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f’(x), f’’(x), ..., f(n)(x) hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
f(x)=Pn(x)+o(x-x0) (3.2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan Pn(x) ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ ... +bn(x-x0)n, (3.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlarni topishda Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), Pn’’(x0)=f’’(x0), ..., Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (3.4) shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Pn’(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+ ... +nbn(x-x0)n-1,
Pn’’(x)=2⋅1b2+3⋅2b3(x-x0)+ ... +n⋅(n-1)bn(x-x0)n-2,
Pn’’’(x)=3⋅2⋅1b3+ ... +n⋅(n-1)⋅(n-2)bn(x-x0)n-3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Pn(n)(x)=n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅...⋅2⋅1bn.
Yuqorida olingan tengliklar va (3.3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x0 ni qo‘yib barcha b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Pn(x0)=f(x0)=b0,
Pn’(x0)=f’(x0)=b1,
Pn’’(x0)=f’’(x0)=2⋅1b2=2!b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pn(n)(x0)=f(n)(x0)=n⋅(n-1)⋅...⋅2⋅1bn=n!bn
Bulardan b), . . ., bn= 1 f(n)(x0) hosil qilamiz.
n!
Topilgan natijalarni (3.3) qo‘yamiz va
Pn(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2+ ... + f(n)(x0)(x-x0)n, (3.5) ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi. Teylor ko‘phadi (3.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini Rn(x) orqali belgilaymiz: Rn(x)=f(x)-Pn(x). (3.4) shartlardan Rn(x0)=Rn’(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 bo‘lishi kelib chiqadi. Endi Rn(x)=o((x-x0)n), ya’ni xlim→ 0 ( xR−n(xx ))n =0 ekanligini ko‘rsatamiz. Agar
x 0
x→x0 bo‘lsa, xlim→ 0 ( xR−n(xx ) n ifodaning 0/0 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish x 0 )
qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
xlim→x0 ( xR−n(xx ))n = xlim→x0 n( xR−n'(xx0 ))n−1 =…= xlim→x0 nR!n(( xn−1−)(xx0 )) = 0
= lim Rn( n )( x )= Rn( n )( x0 )=0, demak x→x0 da Rn(x)=o((x-x0)n) o‘rinli ekan. x→x0 n! n!
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema. Agar y=f(x) funksiya x0 nuqtaning biror atrofida n marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda x→x0 da quyidagi formula
f(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2+ ... + f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n) (3.6) o‘rinli bo‘ladi, bu erda Rn(x)=o((x-x0)n) Peano ko‘rinishidagi qoldiq had.
Agar (3.6) formulada x0=0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo‘ladi:
f(x)=f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn+o(xn). (3.7) Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.
|