Yechish - Sh. A. Saipnazarov biznes matematika

Yechish.
Masalaning iqtisodiy – matematik modelini tuzamiz.
Ishlab chiqarishga rejalashtirilgan
1
p
va
2
p
turdagi mahsulotlar birligini mos
ravishda
1
x
va
2
x
bilan belgilaymiz. Ularni tayyorlash uchun (1.1-jadval)
1
S
resursdan
2
1
3
1
x
x
birlik,
2
S
resursdan
2
1
1
2
x
x
birlik,
3
S
resursdan
2
1
x
birlik va
4
S
dan
1
3
x
birlik zarur bo„ladi.
Ma‟lumki,
3
2
1
,
,
S
S
S
va
4
S
resurslar talabi mos ravishda ularning
zahiralaridan katta bo„lmasligi kerak.
6
Bunday holda resurslar talabi va ularning zahiralari orasidagi bog„lanishi
ushbu tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi:
1
.
2
.
1
21
3
5
16
2
,
18
3
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
Masalaning ma‟nosida
1
x
va
2
x
o„zgaruvchilar
0
,
0
2
1
x
x
(1.2.2)
1
p
turdagi
mahsulotni sotishdan keladigan foyda
1
2
x
pul birligi va
2
p
turdagi mahsulotni
sotishdan keladigan foyda
2
3
x
pul birligiga teng. ya‟ni umumiy foyda
2
1
3
2
x
x
F
(1.2.3)
Shunday qilib, masalaning iqtisodiy matematik modeli quyidagicha:
(1.2.1) sistemani va (1.2.2) shartni qanoatlantiruvchi ishlab chiqarish
2
1
,
x
x
X
ni
topish kerakki, bunda (1.2.3) funksiya eng katta qiymatni qabul qilsin.
Endi
n
turdagi mahsulotni
m
turdagi resursdan foydalanib ishlab chiqarish
masalasini umumlashtirish mumkin.
Ishlab chiqarishga mo„ljallangan
j
P
mahsulot birligini
n
j
x
j
,
,
2
,
1
;
i
S
resurs zahirasini
m
i
b
i
,
,
2
,
1
,
j
P
mahsulot birligini tayyorlashda sarflanadigan
resurs birligini
j
ij
P
a
;
mahsulot birligini sotishdan olinadigan foydani
j
C
bilan
belgilaymiz.
U holda ishlab chiqarishning iqtisodiy-matematik modeli quyidagi
ko„rinishni oladi:
m
n
mn
m
m
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
nx
a
x
a
x
a
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
4
1
2
12
1
11
4
.
2
.
1
,
,
va
0
,
,
0
,
0
4
2
1
x
x
x
(1.2.5) shartni qanoatlantiruvchi
n
x
x
x
X
,
,
,
2
1
rejani
topish kerakki, bunda
n
n
x
c
x
c
x
c
F
2
2
1
1
(1.2.6)
funksiya maksimal qiymatni qabul qilsin.
Qorishma tayyorlash masalasi
. Agar qorishma
,
1,
i
b
i
m
birlikdan kam
bo„lmagan
m
xil oziq moddadan iborat bo„lsa, tarkibida yuqoridagi moddalar
bo„lgan, qoramollar uchun
n
xildagi to`yimli ozuqa tayyorlash talab etilsin.
Masalaning matematik modelini tuzish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
1,
;
1,
ij
a i
m j
n
-
j
- to„yimli ozuqaning bir birligini ishlab chiqarish uchun
sarflangan,
i
– ozuqa modda miqdori;
j
C
-
j
- to„yimli ozuqaning bir birligining
bahosi;
j
x
- kunlik ratsionga qo`shiladigan oziq modda miqdori.
Quyidagi chiziqli funksiyaning minimal qiymatini aniqlang
n
n
x
с
x
с
x
с
x
F
2
2
1
1
Ushbu shartlarda
7
11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
...
.............................................
...
0
1,
n
n
n
n
m
m
mn
n
m
j
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
x
j
n
Quyidagi chiziqli funksiyaning
min
qiymatini toping.
n
n
x
с
x
с
x
с
x
F
2
2
1
1
Bundagi maqsad funksiya, kunlik ratsionga sarflangan ozuqa moddalarining
bahosi. Chegaraviy shartlar esa, kunlik ratsion to„yimli bo„lishini ta`minlaydi.
Chiziqli programmalashtirish masalasi yozilishining vektor shakli.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
1 1
2 2
0
...
,
0
n
n
A x
A x
A x
A
X
chiziqli funksiyani minimallashtiring
L
CX
,
bunda
1
2
,
,...,
n
C
c c
c
;
1
2
,
,...,
n
X
x x
x
;
CX
- skalyar ko„paytma; ozod hadlar va
noma`lumlar oldidagi koeffisientlar vektorlardan iborat
А
а
а
а
А
а
а
а
А
а
а
а
А
b
b
b
m
m
n
n
n
mn
m
1
11
21
1
2
12
22
2
1
2
0
1
2
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
,
.
.
.
.
Chiziqli programmalashtirish masalasi yozilishining matrisa shakli.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
0
0
AX
A
X
chiziqli funksiyani minimallashtiring
L
CX
,
bunda
1
2
,
,...,
n
C
c c
c
- satrli matrisa;
ij
A
a
- sistema matrisasi;
Х
х
х
х
m
1
2
.
.
.
,
А
b
b
b
m
0
1
2
.
.
.
- ustunli matrisa.
Chiziqli programmalashtirish masalasi yozilishining yig‘indi belgilari
shaklidagi ko‘rinishi
.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
1
,
0,
1, ,
1,
n
ij
i
j
j
a
b x
i
m
j
n
chiziqli funksiyani minimallashtiring
8
Z
C x
j
j
j
n
1
.
Chiziqli programmalashtirish masalasining ba`zi teoremalari.
Teorema
(
chiziqli tengsizlikni, chiziqli tenglamaga almashtirish
).
Tengsizlikning
1 1
2 2
...
n
n
a x
a x
a x
b
(1.2.7)
har bir yechimiga,
1
0
n
x
bo„lganda
,
ushbu
1 1
2 2
1
...
n
n
n
a x
a x
a x
x
b
(1.2.8)
tenglamaning
1
2
1
,
,...,
,
n
n
y
yagona yechimi mos keladi va aksincha.
Isbot
. (1.2.7) tengsizlikning yechimi,
1
2
,
,...,
n
x
bo„lsin. U holda
quyidagi sonli tengsizlik o„rinli
1
1
2
2
...
n
n
a
a
a
b
.
Belgilash kiroitamiz
1
1
1
2
2
...
n
n
n
b
a
a
a
.
U holda
1
1
2
2
1
...
n
n
n
a
a
a
b
Bunda,
1
0
n
. Bu degani ,
1
2
1
,
,...,
,
n
n
y
(1.8) tenglamaning ildizi
bo`lib,
1
0
n
х
ni qanoatlantiradi.
Demak, agar chegaraviy shartlar sistemasida tengsizliklar bo„lsa (bunday
holda chiziqli programmalashtirish masalasi
standart
shaklda berilgan deyiladi), u
holda har bir tengsizlikka, qo`shimcha o„zgaruvchi kiritib, tenglamalar sistemasini
hosil qilish mumkin. Qo„shimcha o„zgaruvchilarni
muvozanat o‘zgaruvchilar
ham
deyiladi.
Mana
shundan,
kanonik
bo„lmagan
chiziqli
programmalashtirish
masalasidan, kanonik shaklga o„tish qoidasi kelib chiqadi. Masala kanonik
shaklga o„tishi uchun, har bir tengsizlikka muvozanat o„zgaruvchilar kiritiladi.
Agar tengsizlikning belgisi
bo`lsa, muvozanat o„zgaruvchi tengsizlikka musbat
ishora bilan, tengsizlikning belgisi
bo„lsa, manfiy ishora bilan kiritiladi. Maqsad
funksiyaga muvozanat o`zgaruvchilar kiritilmaydi.
Teorema
(
chegaralangan sohadagi, maqsad funksiya ekstremumi
). Agar
chiziqli
programmalashtirish
masalasidagi,
berilgan
chegaraviy
shartlar
sistemasining, mumkin bo`lgan yechimlar sohasi, yopiq va chekli bo„lsa, bu
tayanch yechimlar orasidan hech bo`lmaganda bittasi, berilgan masalaning optimal
yechimi bo„ladi.
Teorema
(
chegaralanmagan sohadagi, maqsad funksiya ekstremumi
). Agar
mumkin bo„lgan yechimlar sohasi chegaralanmagan bo`lsa, optimal yechim
mavjud bo„lishiining zarur va yetarli sharti, maksimum masalada maqsad funksiya
yuqoridan chegaralangan, yoki minimum masalada esa quyidan chegaralangan
bo„ladi.
Agar teoremalar sharti bajarilmasa, maqsad funksiya, mumkin bo„lgan
yechimlar sohasida chegaralanmagan bo„ladi.
Misol
. Chiziqli programmalashtirish masalasini standart shaklga keltiring:
9
4
,
1
0
10
3
2
6
2
4
2
3
min
3
4
2
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
j
Yechish
. Birinchi va ikkinchi chegaraviy shartlarni tengsizliklarga
o„tkazamiz. Birinchi chegaraviy shartdan
4
x
ni topib, ikkinchi chegaraviy shartga
qo„yib, soddalashtirgandan so„ng quyidagini hosil qilamiz.
4
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2 3
2
3
4
2
3
10
0
1, 4
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
Ikkinchi chegaraviy shartdan
3
x
ni topib, 1- va 3-shartlarga qo„yamiz:
4
1
2
3
1
2
1
2
2 5
2
4 2
3
8
10
2
0
1, 4
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
Masala shartiga asosan
3
x
va
4
x
o„zgaruvchilar, masala shartiga asosan
manfiy emasligidan, ularga teng bo`lgan ifodalar ham, manfiy emasdir. Bu
ifodalarni maqsad funksiyasiga qo„yamiz. Birinchi va ikkinchi chegaraviy
shartlardan
3
x
va
4
x
larni tashlab yuborib, ba`zi almashtirishlardan so`ng,
matematik modelning standart shaklini hosil qilamiz:
2
,
1
0
2
10
8
4
3
2
2
2
5
min
2
7
11
2
1
2
1
2
1
2
1
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
j
Misol
. Chegaraviy shartlar sistemasini kanonik shaklga keltiring:
1
2
3
2
3
5
2
4
4
2
2
2
3
2
6
2
5
11
0
1, 5
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
Yechish
. Chegaraviy shartlar sistemasini kanonik shaklga keltirish uchun
yangi manfiy bo`lmagan
6
7
8
,
,
x
x x
noma`lumlarni kiritamiz. Birinchi tengsizlikka
6
x
ni, ikkinchi tengsizlikka
7
x
ni, uchinchi tengsizlikka
8
x
ni kiritib, quyidagi kanonik
shaklni hosil qilamiz:
10
1
2
3
6
2
3
5
7
2
4
8
4
2
2
2
3
2
6
2
5
11
0
1,8
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
|