Oflis- - Xakimov jamshid oktyamovich kompyuterli loyihalash

002
Oflis-
.V10 3 -
o1------------------- 1------------------- L-------------
■— J
0
10
20
30
40
SO
N
11.5-rasm. To‘g i i to'rtburchaklar algoritmi xatoliklarini baholash
Sanab o‘tilgan an’anaviy algoritmlarning kamchiligi - kamchiliklarni
miqdoriy baholashdagi qiyinchiliklardadir. Xatoliklar uchun analitik
formulalar (ular, xususan, approksimatsiya metodi tartibini belgilaydi)
ko‘paytuvchidan tashqari integralosti fimksiyasi hosilasining (muayyan
oliy tartibdagi) kattaligini tavsiflovchi qo‘shimcha ko‘paytuvchini beradi.
Muayyan hisoblarda uning qiymatini baholash juda murakkab va shu
sababli algoritmning summar xatoligini ham hisoblash murakkabdir. Lekin
xatolik kattaligi haqidagi ma’lumotlar juda katta ahamiyatga ega va
integrallash intervalini boiaklarga bo‘lish soni N ni optimal tanlash uchun
ularning miqdoriy bahosiga ega bo iish maqsadga muvofiq bo'ladi.
Xatolikni aposterior baholash uchun, masalan, N ning bir necha
qiymatlari uchun hisoblangan s(N) bogianishining analizini qoilash
mumkin (11.5-rasm). Bir tarafdan, s(N) muayyan darajali qonim N~K
bo'yicha o'zgarishini, ikkinchidan, s(N )-> i (integralning aniq qiymatiga
intilishini) bilgan holda, metod xatoligini yetarli darajada aniq hisoblash
mumkin. 11.5-rasmdagi pastki grafikda xatolikning N dan bog'liqligi
keltirilgan (ushbu holda grafik ко rgazmaliroq boiishi uchun integralning
217
aniq qiymatidan foydalanilgan, amaliy hollarda esa u noma’lum bo‘ladi).
MathCADda foydalanilgan, aniq integrallarni hisoblash algoritmi shunga
o‘xshash protsedura bilan bog‘langan.
11.1.4. Romberg algoritmi
Romberg iteratsion algoritmining asosiy g‘oyalarini keltiramiz, u
MathCAD tizimida sonli-raqamli integrallash operatsiyasini bajarishda
qoilanadi:
• dastlab bir nechta interpolyatsiyalovchi polinomlar quriladi, ular
integrallash intervalida integral ostidagi funksiya f(x)ni almashtiradi.
Birinchi iteratsiya sifatida polinomlar 1, 2 va 4 intervallar bo'yiclia
hisoblanadi. Masalan, yuqorida qayd qilinganidek, 1 interval bo‘yicha
qurilgan birinchi polinom - bu integrallash intervalining ikki chegaraviy
nuqtasidan o'tkazilgan oddiy to‘g‘ri chiziq, ikkinchisi - kvadrat parabola
va h.k.
. koeffitsiyentlari ma’lum b o igan har bir polinomdan integral
analitik osonlik bilan hisoblanadi. Interpolyatsiyalovchi polinomlar
integrallarining ketma-ketligi quyidagicha aniqlanadi: h .h M -- Masalan,
trapetsiyalar qoidasi bo‘yicha Ii=(b-a) (f(a)+f(b))/2 va h.k.
. har xil nuqtalar soni bo'ykha interpolyatsiya qilinganligi sababli
hisoblab topilgan integrallar It, h, ... bir-biridan biroz farqlanadi. Bunda
interpolyatsiya uchun qancha ko‘p nuqtadan foydalanilsa, interpolyatsion
polinomning integrali izlanayotgan integral I ga shunchalik ko‘proq
yaqinlashadi va nuqtalar soni cheksizga intilganda izlanayotgan kattalik
haqiqiy
1
ga intiladi. Shuning uchun interpolyatsiya ketma-ketligi
it ,i
2
, U , -
elemental' interval nol kenglikka erishguncha ma’lum tarzda amalga
oshiriladi. Ushbu ekstrapolyatsiya natijasi j hisoblanayotgan integralga
yaqinlashuv sifatida qabul qilingan.
• yangi iteratsiyaga o‘tish integrallash intervalini yanada maydaroq
boiaklarga boiish, interpolyatsiyalovchi polinomlar ketma-ketligining
yangi hadini qo‘shish va Rombergning yangi (N nchi) yaqinlashuvi J1* ni
hisoblash yordamida amalga oshiriladi.
• interpolyatsiya
nuqtalarining
soni
qanchalik
ko‘p
boisa,
Rombergning
hisoblanayotgan
integralga
navbatdagi
yaqinlashuvi
shunchalik
yaqin
boiadi
va
mos
ravishda
oldingi
iteratsiya
yaqinlashuvidan shunchalik kam farqlanadi. Oxirgi ikki iteratsiya
orasidagi farq
xatolik TOL dan yoki T O L |./| dan kichik boigan
zahoti iteratsiya to‘xtatiladi va ekranda integrallash natijasi sifatida J v
paydo boiadi.
218
|