Markaziy maydondagi harakat. Markaziy kuch maydoni

Markaziy maydondagi harakat. Markaziy kuch maydoni
Zarra potensial energiyasi bu zarraga ta’sir etuvchi biror kuch markazi joylashgan nuqtagacha bulgan r masofaning radiusi bo’lganda bunday kuch yaratgan maydonni markaziy kuch deb yttgan edik. Bunday kuch
→ U (r→) U r→
F r→ r→ r
Ko’rinishida yoziladi va absolyut jihatdan faqat r buladi,har bir nuo’tada radius- vektor r→ bo’yicha yo’naladi. Bunday maydon Lagranj funksiyasi
mv 2
L U (r ) 2
Vaqtda oshkor bog’liq bulmaydi hamda sferik simmetriyaga ega bo’ladi. Shuning uchun energiya saqlanuvchan,
E
U
mv 2
2
r
const
(11)
bo’ladi. Xudi shuningdek, berilgan holda maydon markaziga nisbatan impuls
momenti ham saqlanadi. Bita zarra uchun
M
→ r→ p→ const
(12)
bo’ladi va
→ → → → → → → →
M r r pr pr r 0
(13)
Xulosa 1. Markaziy kuch maydonining bir tekislikda sodir bo’lishi. Effektiv potensial energiya. Markaziy maydonda harakat bir tekislikda sodir bo’ladi. Harakat tekisligini xy tekisligi deb olsak, impuls momenti z o’qi bo’ylab
yo’naladi:
→
M M z M 0
0
M mr 2
(14)
d
dt
M 0
mr 2
(15)
Qutb koordinatalarida Lagranj funksiyasi va energiya ko’rinishlari quyidagicha bo’ladi:
(16) ga ni (15)dan qo’ysak
L m r 2 r 2 2 U ( r) 2
E m r 2 r 2 2 U ( r) 2
(16)
E
mr 2
2
M 2
2
M
0
2mr 2
U (r )
(17)
Bu yerda
0
2mr 2
markazdan qochma energiya deyiladi. Agar
M 2
belgilash kiritsak,
U eff
( r) U ( r) 0
2 mr 2
(18)
E
mr 2
2
U eff (r)
(19)
Xulosa 2. Markaziy kuch maydonida finitli va infinitli xarakat uchun trayektoriya tenglamasi. Markaziy maydonda harakat «effektiv» potensial energiyalik bir o’lchamli harakatga keltiradi.
Endi zarra trayektoriya tenglamasini aniqlaymiz. Aytganimizdan, berilgan
holda harakat integrallari hisoblangan E , M 0 kattaliklar hisoblangan tenglamasini
yechmasdan trayektoriya tenglamasini topish imkonini beradi. Buning uchun (17) dan r ni topamiz:
bundan
r dr
dt
(20)
dt dr
(21)
ekanligini topamiz va (21)ni ifodaga qo’yib, itegrallasak
d
M 0 dt
mr 2
M 0 dr
mr 2
(22)
Trayektoriya tenglamasini topamiz, chunki (22) tenglama r va o’zgaruvchilar o’rtasidagi bog’lanishni ifoda etadi.
Biz ko’rdikki,
M 2
U (r) 0 E
2mr 2
(23)
tenglik markazdan qancha masofa zarra harakat qiladigan soha chegarasini aniqlar edi. Bu holda (17) va (23) lardan radial tezlik r ning nolga teng bo’lishligi kelib chiqadi. Lekin bu holda zarra, bir o’lchamli harakatda ko’rganimizdek, harakatdan to’xtamaydi, chunki burchakli tezlik nolga teng bo’lmaydi. Radial tezlik uchun
r 0
r (t )
tenglik trayektoriyadagi «burilish nuqtani» ko’rsatadi, bu nuqtadan boshlab oshib boruvchi yoki kamayib boruvchi qiymatlarni qabul qiladi. Agar r ning
o’zgarish sohasi
r rmin
shart bilan chegaralangan bo’lsa, zarra cheksizlikdan
r rmin gacha yaqinlashib, yana cheksizlikka uzoqlashadi.
Agar r ning o’zgarish sohasi
rmax
va rmin
chegaralarga ega bo’lsa, zarra
harakati finitli bo’ladi va uning trayektoriyasi
r rmax
va r rmin
doiralar bilan
chegaralangan halqa ichida joylashgan bo’ladi. Lekin bundan zarra harakat trayektoriyasining so’zsiz yopiq bo’lishi kerak degan xulosa kelib chiqmaydi.
Zarraning kuch markazigacha bo’lgan masofaning
rmax
dan
rmin
gacha va undan
yana
rmax
ga qaytishida radius vektor
burchakka buriladi va uning qiymati
ga asosan:
rmax
2
rmin
M 0 dr
r 2
(24)
Trayektoriyaning yopiq bo’lishligi uchun
m 2
n
(25)
(bu yerda
m, n
butun sonlar) tengligining bajarilmog’i zarurdir. U holda davr n
marta takrorlangandan keyin zarraning radius-vektori m to’liq aylanishlar yasab yana boshlangich qiymatini qabul qiladi. Lekin trayektoriyaning yopiq bo’lishligi kamdan-kam hollarda uchraydi. Shuning uchun umumiy holda finitli harakat
trayektoriyasi yopiq
Ueff
bo’lmaydi va u
rmin va
rmax
chegaralardan
U (r) ~ 1 , r 2
r
bog’lanishga
ega bo’lsa, anna shu
hollardagina trayektoriya yopiq bo’ladi. Infinitli harakat uchun (24) quyidagicha yoziladi
2
rmin
M 0 dr
r 2
(26)
Bu burchak tortuvchi markazdan uning trayektoriyasiga o’tkazilgan asimptotalar o’rtasidagi burchak hisoblanadi.
Effektiv potensial energiya va to’la energiyalarning radius vektordan bog’liqligi
Endi (17) va (18) energiyalarning r bog’liqlik grafigini chizaylik. Potensial
energiya tortishuvga mos kelsin, ya’ni U ( r) 0 bo’lsin.
U holda r 0 da U ( r)
M 2
M 2
0
2 mr 2
intiladi.
r da esa U (r) ,
0 0
2mr 2
Faraz qilaylikki,
M 2
r 0
bo’lganda U ( r)
energiya
0 ga nisbatan tezroq cheksizlikka intilsin.
2 mr 2
U holda I-egrilikni olamiz.
M 2
egrilikka ega bo’lamiz.
Endi U (r) 0
itaruvishga mos kelsin. U holda U eff
masofaning biror nuqtasida
minimumga ega bo’lmaydi va III-egrilik hosil bo’ladi.
Rasmda IF-II, IF-III lar energiyasining berilgan qiymatlarida infinitli harakatni ko’rsatadi. Infinitli harakat faqat B-holda mavjud bo’ladi (rasm IF-I bilan ko’rsatilgan).
Deyarlik ko’p hollarda
2
M
0
2mr 2
energiya
r 0
da U (r) ga nisbatan tezroq
cheksizlikka intiladi va zarraning kuch markaziga kirib borishga imkon bermaydi.
A-holda esa
r 0
U ( r)
energiya juda tez
«tushib» qolishi mumkin. (17) dan
mr 2
2
E U
r
2
M
0 0
2mr 2
yoki
M 2
r 2U (r) 0 Er 2
2mr 2
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan
r 0
ga intiluvchi qiymatga
r 2U (r)
r 0
M 2
0
2m
sharti bajarilgandagina ega bo’ladi. Bundan
M 2
U (r)
0
r0 2mr 2 r 2
Ekanligini topamiz. Demak,
U (r)
manfiy cheksizlikka yoki
r 2
tariqasida 1
r n
( n 2 ) tariqasida intilmog’i kerak.
|