1 elementárna kvantová mechanika - bet 22

Pn = |cn|2 (17)
Ak v konkrétnom prípade nameriame (náhodne) hodnotu Ai, potom po meraní sa meraná sústava bude nachádzať v novom (zmenenom) stave ψi.
Túto formuláciu ešte neskôr spresníme najmä z matematickej stránky, ale fyzika ostane taká ako tu. V súčasnej kvantovej mechanike je tvrdenie tohto obsahu jedným zo základných postulátov. V tejto úvodnej kapitole sme však chceli ukázať ako toto tvrdenie súvisí s niektorými realistickými fyzikálnymi situáciami.
Napokon sa ešte vrátime k otázke merania polohy častice v kvantovej mechanike. Pri analýze dvojštrbinového experimentu v článku 1.11 sme totiž prišli k záveru, že pravdepodobnosť nájsť časticu v istom elemente s plochy fotografickej platne je úmerná výrazu |ψ (x, y, z)|2s, teda |ψ|2 udáva hustotu pravdepodobnosti výskytu častice. Na prvý pohľad by sa snáď mohlo zdať, že tento spôsob určovania pravdepodobnosti výsledkov merania je iný ako je všeobecná schéma opísaná rovnicami (16) a (17). Ukážeme si však, že sú to fyzikálne rovnaké schémy a že funkcia ψ(x, y, z) má pri meraní polohy takú istú úlohu ako koeficienty cn vystupujúce
vo výraze (15) pri meraní veličiny A. Predstavme si pre určitosť, že fotografická platňa na obr. 1.11 je kolmá na os x a pretína ju v bode x0. Vlnová funkcia častice v oblasti platne je teda ψ(x0, y, z).
Podľa už opísanej všeobecnej schémy musíme najprv nájsť vlnové funkcie, ktoré odpovedajú častici lokalizovanej v okolí istého bodu platne. Pre názornosť si predstavme, že celá platňa je rozdelená na štvorčeky, z ktorých každý má plochu približne rovnú ploche zrnka fotografickej emulzie. Stred určitého štvorčeka má súradnice (yi, zk), pričom súradnicu x nevypisujeme, lebo všetky štvorčeky ležia v rovine x = x0. Tento štvorček nazveme štvorčekom (i, k) a zavedieme funkciu
ak y, z ležia v štvorčeku (i, k)
ik(y, k) =
0 ak y, z neležia v štvorčeku (i, k)
Zrejme platí
kde integrujeme cez celú plochu fotografickej platne. Ak je častica v stave opísanom vlnovou funkciou ik(y, z), potom je pravdepodobnosť nájsť časticu
v štvorčeku (i, k) jednotková a pravdepodobnosť nájsť ju mimo tohto štvorčeka je nulová. Funkcie ik(y, z) teda odpovedajú prakticky (z hľadiska experimentu) lokalizovaným časticiam. Pretože vlnová funkcia častice po prechode dvoma štrbinami a práve pri dopade na platňu sa mení len veľmi málo od vzdialenosti odpovedajúcej strane našich štvorčekov, môžeme vo vynikajúcom priblížení napísať
Všimnime si teraz, že sú čísla a môžeme ich označiť ako cik.
Takže máme
Takto zapísané ψ(x0, y, z) má už tvar (15) a podľa všeobecnej schémy je pravdepodobnosť toho, že časticu nájdeme v štvorčeku (i, k) daná výrazom
Pik = |cik|2 = |ψ(x0, yi, zk)|2 (19)
Tento vzťah je ale to isté, ako by sme dostali rovno z Bornovej štatistickej interpretácie. Táto je totiž daná výrazom
(20)
kde integrujeme cez plochu Sik štvorčeka (i, k) a pri vyjadrení integrálu posledným členom na pravej strane rovnice (20) sme využili to, že vlnová funkcia ψ(x0, y, z) sa len veľmi málo mení na vzdialenosti rádovo rovnej dĺžke hrany štvorčeka.
K výsledku (19) takto môžeme dospieť buď priamo z pravdepodobnostnej interpretácie, alebo trocha zdĺhavejšie spôsobom, ktorým sme prišli k rovnici (19). Tento zdĺhavejší postup je však poučný, lebo ukazuje, že meranie polohy je iba špeciálnym prípadom merania fyzikálnej veličiny a snáď ešte viac tým, že ukazuje fyzikálnu interpretáciu ψ(x, y, z) ako sústavy koeficientov pri vlnových funkciách odpovedajúcich lokalizovanej častici.
|