Kompleks sonning geometrik tasviri

Kompleks sonning geometrik tasviri
Har qanday z=a+ib kompleks sonni 0ху tekislikda koordinatalari а va b bo’lgan А (а,b) nuqta shaklida tasvirlash mumkin. Aksincha, 0ху tekislikdagi har qanday А(а,b) nuqtaga z=a+ib kompleks son mos keladi.
Kompleks sonlar tasvirlanadigan tekislik z kompleks o’zgaruvchining tekisligi deyiladi va tekislikka doiracha ichiga z qo’yiladi. (1-chizma)
1-chizma
Shunday qilib kompleks sonning geometrik tasviri tekislikning nuqtasidan iborat ekan. Bunda 0х o’qda yotuvchi nuqtalar z=а haqiqiy sonlarni (b=0), 0у o’qda yotuvchi nuqtalar esa z=bi sof mavhum sonlarni tasvirlaydi (а=о). Shuning uchun kompleks sonlarni z kompleks o’zgaruvchining tekisligi da tasvirlanganda 0х o’q haqiqiy o’q, 0у o’q mavhum o’q deb ataladi. Umuman aytganda, kompleks sonlar to’plami bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud.
А(а,b) nuqtani koordinatalar boshi bilan tutashtirib vektorni hosil qilamiz. Ba‘zi hollarda z=a+ib kompleks sonni vektor ko’rinishda tasvirlash ma‘qul bo’ladi. Bu ham kompleks sonning geometrik tasviri deyiladi.
Shunday qilib, kompleks sonning geometrik tasviri tekislikdagi nuqtadan yoki vektordan iborat ekan.
Kompleks sonning trigonometrik shakli
Koordinatalar boshini qutb, 0х o’qning musbat yo’nalishini qutb o’qi deb kompleks tekislikda qutb koordinatalar sistemasini kiritamiz. φ va r А(а,b) nuqtaning qutb koordinatalari bo’lsin.
А nuqtaning qutb radiusi r, ya‘ni А nuqtadan qutbgacha bo’lgan masofa z=a+bi kompleks sonning moduli deyiladi va |z| kabi belgilanadi.
Pifagor teoremasiga binoan 1-chizmadagi to’g’ri burchakli OAB uchburchakdan r= kelib chiqadi. Masalan, z1=-3+4i sonning moduli r1=|z1|=|-3+4i|= =5 ga teng. Noldan farqli har qanday kompleks sonning moduli musbat haqiqiy sondir.
А nuqtaning qutb burchagi φ ni z kompleks sonning argumenti deyiladi va Аrgz kabi belgilanadi. Argument bir qiymatli aniqlanmay, balki 2πк qo’shiluvchi qadar aniqlikda aniqlanadi, bunda k-butun son. Argumentning hamma qiymatlari orasida 0≤φ<2π tengsizlikni qanoatlantiruvchi bittasini tanlaymiz. Bu qiymat bosh qiymat deyiladi va φ=аrgz kabi belgilanadi.
Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bog’lanish а=rcosφ, b=rsinφ ni hisobga olib z=a+bi=rcosφ+irsinφ yoki z=r(cosφ+isinφ) (1) tenglikka ega bo’lamiz.
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ifoda z=a+bi kompleks sonning trigonometrik shakldagi yozuvi deb ataladi.
Qutb burchagi φ=arctg kabi topilishi ma‘lum.
Shunday qilib, z kompleks sonning moduli deb uni tasvirlovchi vektorning uzunligiga, argumenti deb shu vektorning 0х o’qning musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchagiga aytilar ekan.
φ=arctg argumentni hisoblashda z kompleks sonning koordinatalar tekisligining qaysi choragida yotishini hisobga olish kerak, chunki arctg qiymatga φ argumentning ikkita qiymatlari mos keladi. Shuning uchun
tenglikdan foydalanish kerak. Masalan,
arg(1+i)= arctg1= , chunki а=1>0, b=1>0, arg(-1+i)=
=π+ arctg(-1)= π- = , chunki а=-1<0, b=1>0, arg(-1-i)=π+ arctg1= , chunki а=-1<0, b=-1<0, arg(1-i)= 2π+ arctg(-1)=2 π- = , chunki а=1>0, b=-1<0.
Kompleks sonning z=a+bi ko’rinishdagi yozuvi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.
Kompleks son vektor shaklida tasvirlanganda haqiqiy songa 0х o’qda yotuvchi vektor, sof mavhum songa 0у o’qda yotuvchi vektor mos keladi.
1-misol. z=a+bi va =a-ib qo’shma kompleks sonlar bir xil modullarga ega va argumentlarining absolyut qiymatlari teng, ishoralari qarama-qarshi ekanligini ko’rsating.
|