ZHRNUTIE - 1 elementárna kvantová mechanika

1.15 ZHRNUTIE
Táto kapitola bola úvodom do niektorých myšlienok, z ktorých vyrástla kvantová mechanika. Nepredstavuje úplný pohľad ani úplnú logickú schému
a väčšinu pojmov, s ktorými sme sa tu stretli, bude potrebné v ďalšom prehĺbiť
a „prečistiť“. Predsa však je nutná pre prvé oboznámenie sa s javmi v atómovej fyzike a so zákonitosťami tejto oblasti.
Tak ako väčšina „veľkých“ fyzikálnych teórií aj kvantová mechanika vznikla syntézou poznatkov získaných analýzou mnohých experimentálnych výsledkov. Rozhodujúcu úlohu zohrali tieto skutočnosti:
– Kvantovanie energie atomárnych sústav je experimentálne potvrdenou skutočnosťou. Toto treba chápať ako empiricky získaný fakt, napriek tomu, že to protirečí predstavám klasickej mechaniky.
– Kvantové vlastnosti žiarenia boli objavené v Planckovej analýze žiarenia zahriatych telies (dutín) a potvrdené a prehĺbené v Einsteinovej analýze fotoelektrického javu a v Comptonovom jave. Monochromatická vlna s kruhovou frekvenciou má energiu, ktorá je celočíselným násobkom ħ, kde ħ je Planckova konštanta.
– Vlnové vlastnosti častíc boli predpovedané de Brogliom a potvrdené neskôr experimentálne v plnom rozsahu. K častici s hybnosťou p prislúcha de Brogliho vlna s dĺžkou vlny
= 2ħ/p
Vlnové vlastnosti častíc sa ukázali byť kľúčom k vysvetleniu existencie kvantových stavov s určitými hodnotami energie (stacionárne stavy). Podstatným bolo pritom intuitívne motivované stotožnenie takýchto kvantových stavov a stojatých de Brogliho vĺn (harmonických kmitov de Brogliho vĺn).
Kvantovanie energie stacionárnych stavov bolo ilustrované na prípade elektrónu viazaného na úsečku, kde logika argumentu mala zhruba túto schému:
Kvantový stav s určitou energiou sme stotožnili so stojatou de Brogliho vlnou. Stojatá vlna môže mať len diskrétne hodnoty vlnovej dĺžky n, a preto jej odpovedajú len určité hodnoty energie.
Vlnové vlastnosti častíc spolu so vzťahom p = 2ħ/ vedú priamo k vzťahu neurčitosti. Ak totiž vytvoríme superpozíciou rovinných vĺn vlnový balík lokalizovaný v oblasti x, potom potrebujeme použiť vlny z istého intervalu , ktorému podľa vzťahu p = 2ħ/ odpovedá istý interval hybností p. Medzi p a x platí vzťah
p x >~ ħ/2
Vzťah neurčitosti vedie k tomu, že rozmery vlnového balíka možno zmenšiť iba za cenu zväčšenia neurčitosti p. Tým vstupujú do hry veľké hybnosti a energia balíka rastie. Toto zabraňuje sťahovaniu vlnových balíkov a vedie k vzniku stabilných atomárnych sústav.
V kvantovej mechanike, podobne ako pri mnohých vlnových procesoch platí princíp superpozície: Ak stavy, ktorým sú priradené vlnové funkcie ψ1, ψ2 sú možnými stavmi sústavy, potom aj stav, ktorému je priradená vlnová funkcia c1ψ1 + c2ψ2, kde c1, c2 sú čísla, je tiež možným stavom sústavy.
Centrálny význam v kvantovej mechanike má pojem stavu sústavy. Tento sme sa zatiaľ nesnažili podrobnejšie špecifikovať. V tejto kapitole sme len intuitívne stotožnili každý stav s istou de Broglieho vlnou.
Zatiaľ sme nič nehovorili o tom, aké matematické objekty priraďujeme fyzikálnym veličinám. K tomuto prídeme už v nasledujúcich dvoch kapitolách.
Ako vyplynulo z analýzy dvojštrbinového experimentu vlnová funkcia je objektom celkom inej povahy ako sú veci známe z klasickej fyziky. Podľa štatistickej interpretácie je vlnová funkcia ψ(x) amplitúdou pravdepodobnosti, t. j. |ψ(x)|2x je pravdepodobnosťou nájdenia častice v intervale (x, x + x) v experimente, v ktorom meriame polohu častice.
Toto tvrdenie je len špeciálnym prípadom všeobecnej schémy pre experimentálne predpovede kvantovej teórie. Podľa nej platí nasledujúce tvrdenie: ak ψ1, ψ2,… sú vlnové funkcie stavov, v ktorých má fyzikálna veličina E určité hodnoty E1, E2, …, potom výsledkom merania veličiny E v stave, ktorému prislúcha vlnová funkcia
= ciψi
môžu byť iba hodnoty E1, E2,… pričom každé meranie dá práve jednu z týchto hodnôt. Pravdepodobnosť namerania určitého Ei je rovná (pri normalizovanom stave ) druhej mocnine absolútnej hodnoty ci:
Pi = |ci|2
Tabuľka 1.1
Náboj elektrónu
|
e = 1,6022.10−19 C
|
Hmotnosť elektrónu
|
m = 9,11.10−31 kg
|
Hmotnosť protónu
|
mp = 1,67.10−27 kg
|
Planckova konštanta
|
ħ = l,055.10−34 Js
|
Bohrov polomer
(dĺžka)
|
a1 == 0,5292.10−10 m
|
Rydberg (energia)
|
E1 == 13,606 eV = 2,18.10−18 J
|
Magnetický moment
(Bohrov magneton)
|
= 0,9274.10−23 JT−1
|
Typická intenzita
el. poľa v atóme
|
= 5,15.1011 Vm−1
|
Typická intenzita
magnetického poľa*
|
= 6,3 T
|
Typická kruhová frekvencia
|
,07.1016 s−1
|
Typický čas
|
t1,03.10−16 s
|
Typická rýchlosť
|
v1 = a11 = 1,09.106 ms−1
|
* Odhadnuté nasledovne. Pole B budené v strede kruhovej slučky o polomere a1 obtekanej prúdom I je B = (/2)I/a1, kde = 4.10−7 SI, za a1 zoberieme Bohrov polomer, I vyjadríme ako súčin náboja elektrónu a typickej atómovej frekvencie 1 = E1/2ħ.
Táto schéma pracuje – ako sme ukázali na príkladoch s meraním spinu a polarizácie fotónu – aj v tých prípadoch, keď stav neopisujeme vlnovou funkciou, ale veličinou iného typu, napríklad polarizačným vektorom v prípade prechodu fotónu polarizátorom.
Pre kvalitatívnu orientáciu v javoch z oblasti atómovej fyziky je nevyhnutná predstava o typických hodnotách jednotlivých veličín. Môžeme ju získať dvoma spôsobmi vedúcimi k rovnakým výsledkom. V prvom z nich vychádzame z kvalitatívnej predstavy o štruktúre atomárnych sústav, v druhej sa opierame o rozmerovú analýzu. Oba prístupy vedú k rovnakým výsledkom, lebo v oboch používame ako základné veličiny e (náboj elektrónu vystupujúci vo vzťahoch súvisiacich
s Coulombovým zákonom v kombinácii Ke2 = [l/(40)]e2), hmotnosť elektrónu m a Planckovu konštantu ħ. Rýchlosť svetla tu nevystupuje, pretože problémy sú nerelativistické. Výsledkom je tabuľka 1.1.
|