n
≥
(3) tengsizlikni isbotlaymiz. 
Induktsiya bazasi

(6) masalada
tengsizlik isbotlangan edi. Bu tengsizlikdan
kelib chiqadi:
1
(
1) ,
n
n
n
n
n
+
>
+
∀ ≥
3
1
2
2
(
1) ,
n
n
n
n
n
3
+
>
+
∀ ≥
.
U holda
n k
=
da
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
(
1) (
1)
1
(
1)
(
1)
(1
)
(
1)
(
1)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
>
+
⋅ +
>
+
⋅
=
+
⋅ +
>
+
+
⋅
1
1
2
2
k
k
+
.
Matematik induktsiya
printsipiga asoslanib, ixtiyoriy
natural son uchun (3)
tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
3
n
≥
(4) tengsizlikni isbotlaymiz.
Induktsiya bazasi
.
3
n
=
da:
(4) tengsizlikning chap tomoni:
3! 6
36
= =
;
(4) tengsizlikning o’ng tomoni:
3 1
2
4
−
=
.
demak,
induktsiya bazasi isbot
bo’ldi.
6 4
>
Induktiv o’tish.
(4) tengsizlik
n k
=
da bajariladi deb faraz qilamiz:
.
da
1
! 2 ,
3
k
k
k
−
>
∀ ≥
3
k
1
n k
= +
1 1
(
1)! 2
,
k
k
+ −
+
>
≥
tengsizlik bajarilishini
isbotlash kerak.
1
1
1
(
1)!
! (
1) 2
(
1) 2
2 ,
3
2
k
k
k
k
k
k k
k
k
−
>
+
+
= ⋅ + >
⋅ + =
⋅
>
≥
.
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy
natural son uchun (4)
tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
3
n
≥
(5) tengsizlikni isbotlaymiz.
Induktsiya bazasi
.
1
n
=
da:
1
1
1
1
1!
2
e
e
⎛ ⎞
⎛ ⎞
< <
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
. Induktsiya bazasi isbot
bo’ldi.
21
Induktiv o’tish.
n k
=
da (5) tengsizlik to’g’ri deb faraz qilamiz:
!
2
k
k
k
k
k
e
e
⎛ ⎞
⎛ ⎞
< <
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
.
da
1
n k
= +
1
1
1
1
(
1)!
2
k
k
k
k
k
e
e
+
+
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
<
+
<
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
tengsizlik
bajarilishini isbotlash kerak. Bu tengsizlikning chap tomonini isbotlaymiz.
1
1
(
1)
1
(
1)!
! (
1) (
1)
1
k
k
k
k
k
k
k
k
e
k
k k
k
e
e
k
e
+
+
⎛ ⎞
+ ⋅⎜ ⎟
+
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎝ ⎠
+
= ⋅ + >
+ ⋅
=
⋅
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
=
1
1
1
1
1
(
1)
1
1
(
1)
1
1
k
k
k
k
k
k
e
k
k
k e
k
e
k
e
e
k
k
+
+
+
+
+
+ ⋅
⋅
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
1
k
e
+
>
.
(5) tengsizlikning chap tomonini isbotlaymiz.
1
1
1
1
1
2
(
1)!
! (
1)
2
2
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k
e
e
e
k
+
+
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+
+
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝ ⎠
+
= ⋅ + <
=
⋅
=
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
k
×
1
1
1
1
2
1
(
1)
1
2
k
k
k
k
e
k
k
+
+
<
≤
+
⎛
⎞
⎛
⎞
×
⋅
<
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
.
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy natural son uchun (5)
tengsizlik bajariladi deb hulosa qilamiz.
n
Eslatib o’tamiz, (2) tengnsizlik va
1
1
n
e
n
⎛
⎞
+
<
⎜
⎟
⎝
⎠
tengsizlikdan
foydalanib,
da
1
n
>
22
Induktiv o’tish.
n
da
k
=
4
4 ...
4
k
k
та илдиз
x
3
=
+
+ +
<
tengsizlik to’g’ri deb
faraz qilamiz.
da:
1
n k
= +
1
( 3)
4
4
4 ...
4
4 3
k
k
та илдиз
x
+
<
3
=
+
+
+ +
<
+ <
.
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy natural son uchun (7)
tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
n
3-masala.
5
5
5
5
5
,
:
!
5! 6
n
n
n N n
n
−
⎛ ⎞
≤
∀ ∈
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6
≥
, (8)
tengsizlikni isbotlang.
Induktsiya bazasi
.
6
n
=
da:
6 5
6
5
5
5
5
6!
5! 6
−
⎛ ⎞
≤
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.Induktsiya bazasi isbotlandi.
Induktiv o’tish.
5
5
5
5
5
,
!
5! 6
k
k
k
k
−
⎛ ⎞
6
≤
≥
⎜ ⎟
⎝ ⎠
tengsizlik
bajariladi deb faraz
qilamiz.
1 5
1
5
5
5
5
(
1)! 5! 6
k
k
k
+ −
+
⎛ ⎞
≤
⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.
5
5
5
1
1
5
5
5 5
6
5! 6
5
5
5
5
5
5 5
5
(
1)!
!
1 5! 6
6
5! 6
k
k
k
k
k
k
k
k
−
5
5
−
+ −
+
⎛ ⎞
<
≤ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
≤
⋅
≤
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+
+
⎝ ⎠
⎝ ⎠
.
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib ixtiyoriy
natural son uchun (8)
tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
6
n
≥
4-masala.
Ixtiyoriy
natural son uchun
n
sin
sin
kx
k
x
≤
, (9)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
24
Induktsiya bazasi
.
1
n
=
da:
sin1
1 sin
x
x
≤ ⋅
. Induktsiya bazasi isbotlandi.
Induktiv o’tish.
n
da
k
=
sin
sin
kx
k
x
≤
tengsizlik bajariladi deb faraz
qilamiz.
sin(
1)
(
1) sin
k
x
k
+
≤
+
x
tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.
1
1
sin
sin(
1)
sin
cos
sin cos
sin
cos
sin cos
k
x
k
x
kx
x
x
kx
kx
x
x
kx
≤
≤
≤
+
=
+
≤
⋅
+
≤
(
1) sin
k
x
≤
+
.
Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy natural son uchun (9)
tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.
n
5-masala.
Ixtiyoriy natural son uchun
n
1
1
1
...
1
1
2
3
1
n
n
n
+
+ +
+
+
+
>
, (10)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
1
1
1
...
1
2
3
k
S
k
k
k
=
+
+ +
+
+
+
1
deb belgilab olamiz.