1 elementárna kvantová mechanika - bet 11

2. Pokusy o klasické vysvetlenie spinu elektrónu (modely vrtiacej sa guľôčky) nepriniesli pozitívne výsledky a prevažná väčšina fyzikov je dnes presvedčená
o tom, že spin je kvantovomechanická veličina, ktorú nemožno vysvetliť klasickou fyzikou.
1.9 SPIN ELEKTRÓNU A PAULIHO PRINCÍP
Doteraz, pri výpočtoch kvantových stacionárnych stavov elektrónu viazaného na úsečke, sme síce hovorili o elektróne, ale v skutočnosti sme spin elektrónu neuvažovali. Pri výpočte energetických hladín spin ani nebolo potrebné uvažovať, ale musíme ho zobrať do úvahy pri „číslovaní“ kvantových stavov a pri argumentoch súvisiacich s Pauliho princípom určujúcim pravidlá pre obsadzovanie stavov vo viacelektrónových sústavách. Existencia spinu vedie k tomu, že elektrón môže existovať v dvoch rôznych spinových stavoch, ktoré môžeme označovať symbolmi ↑ a ↓. Pritom ↑ odpovedá hodnote sz = +ħ/2 a ↓ hodnote –ħ/2. Doterajšie tvrdenia o energetických hladinách musíme teraz spresniť, pretože každá z uvažovaných energetických hladín je (navyše k tomu, čo sme už uviedli) ešte dvojnásobne degenerovaná podľa toho, či spin je v stave ↑ alebo ↓. Tak napríklad základnej hladine elektrónu viazaného na štvorec odpovedajú dva stavy (↑ a ↓), hladine
s energiou
odpovedajú v označení (n1, n2, sz) štyri stavy (1, 2, ↑), (1, 2, ↓), (2, 1, ↑) a (2, 1, ↓). Na jednoznačné určenie stavu elektrónu takto potrebujeme určiť tri údaje: n1, n2 a spinový stav.
Poznať degeneráciu energetických hladín elektrónov je dôležité pri skúmaní viacelektrónových sústav. Ak totiž zanedbávame interakciu elektrónov, potom pre poznanie možných stavov sústavy stačí overiť možné stavy jediného elektrónu. Stav celej sústavy potom určíme tak, že udáme tie (jednoelektrónové) stavy, ktoré sú obsadené. Pre elektróny však platí Pauliho princíp: V určitom (jednoelektrónovom) stave mnohoelektrónovej sústavy sa môže nachádzať najviac jeden elektrón sústavy. Pauliho princíp má hlboké zdôvodnenie v rámci kvantovej teórie poľa (Pauli 1941), ktorá ďaleko presahuje rámec tejto knihy, ale možno ho tiež chápať tak, ako bol objavený (Pauli 1925), t. j. ako zovšeobecnenie radu experimentálnych zákonitostí z oblasti atómových spektier.
Aby sme si všimli dôsledky Pauliho princípu, uvažujme sústavu piatich elektrónov viazaných na štvorec. Naivne by sme očakávali, že sústava skladajúca sa z piatich častíc má stav s najnižšou energiou (t. j. základný stav) taký, že všetkých päť častíc je v najnižšom jednočasticovom stave, teda v našom prípade by všetky elektróny mali byť v stave (n1, n2) = (1, 1). To však protirečí Pauliho princípu. Ľahko prídeme na to, ako bude vyzerať správny základný stav. Päť elektrónov obsadí napríklad stavy
(1, 1, ↑), (1, 1, ↓), (2, 1, ↑), (2, 1, ↓), (1, 2, ↑)
Energia základného stavu bude
[2(12 + 12) + 2(22 + 12) + (12 + 22)]
Zatiaľ čo naivne by sme očakávali
[5(12 + 12)]
Dôsledky Pauliho princípu sme tu sledovali na veľmi jednoduchom prípade elektrónu viazaného na štvorec. Pauliho princíp „pracuje“ celkom rovnakým spôsobom aj v komplikovanejších sústavách, napríklad v atómoch s viacerými elektrónmi. Jediný rozdiel je v tom, že jednoelektrónové kvantové stacionárne stavy označujeme štvoricou kvantových čísel (n, l, m, sz) namiesto tu uvažovaného (n1, n2, sz).
|