Kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli)

|
Kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli)
|
bet | 9/11 | Sana | 08.12.2023 | Hajmi | 1,2 Mb. | | #113716 |
Bog'liq Eshmamatov FazliddinKesmani teng ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli). Bu usul f(x) funksiya haqida ma’lumotlar juda ham kam bo‘lganda foydalanishga qulay. Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) intervalning qaysidir bir nuqtasida nolga aylanishini aniqladik, bunda ildizdan chaproqda f(x)<0 va o‘ngroqda esa f(x)>0. Bunday holda izlanayotgan ildizni topish murakkab bo‘lmaydi. Kesmani teng ikkiga bo‘lamiz va hosil bo‘lgan xi nuqtada funksiyaning ishoraini qaraymiz. Agar f(xi)>0 bo‘lsa, yuqori chegarani b = xi deb, aksincha esa quyi chegarani a = xi deb siljitamiz va hokazo (2.12-rasm).
Bularni quyidagicha ham ifodalash mumkin:
2.12–rasm. Kesmani ikkiga bo‘lish usulining sxematik tasviri.
Bu usul kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli, dixotomiya usuli (grekchadan – ikki qismga – kesish), biseksiyalar usuli yoki vilka usuli deb ataladi.
Agar tenglamaning qolgan ildizlarini ham aniqlash zarurati tug‘ilsa, u holda g(x)= f(x)/(x – x )
tenglikdan ketma-ket foydalanib, har safar topilgan x ildiz chiqarib tashlanadi (endi g(x) = 0 va f(x) = 0 tenglamalarning x (bu nuqta g(x) funksiya uchun qutb, f(x) funksiya uchun esa ildiz) dan boshqa barcha ildizlari mos keladi).
Talab qilingan aniqlikdagi yechimga erishish uchun avvalo g(x) funksiyaning ildizi qo‘pol holda bo‘lsa ham topiladi, keyin esa bu ildiz f(x) funksiyadan foydalanib aniqlashtiriladi.
Usulning qulayliklari:
f(x) funksiya haqida ma’lumotlar kam bo‘lganda ham undan foydalanish juda qulay;
bu usul algoritmi juda sekin, ammo barcha noqulayliklardan holi.
Usulning kamchiliklari:
ko‘p hollarda funksiyaning holati juda murakkab bo‘lib, bu chetki nuqtalarida funksiyaning ishorasi har xil bo‘lgan [a,b] kesmani oldindan aniqlashga qiyin- chilik tug‘diradi;
yaqinlashish juda sekin;
sodda bo‘lmagan ildiz, masalan, ildiz funksiyaning ekstremum nuqtasi bilan mos kelganda (.2-rasmda x2 nuqta), bu usulni qo‘llab bo‘lmaydi, chunki bunda ildiz atrofida funksiya o‘z ishorasini almashtirmaydi.
agar tenglama [a,b] kesmada bir nechta ildizga ega bo‘lsa, u holda hisoblash ja- rayonida shu ildizlardan qaysi biri topilishi noma’lum.
uni tenglama karrali (jufr karrali) va kompleks ildizlarga ega bo‘lganda qo‘llab bo‘lmaydi;
uni tenglamalar sistemasiga qo‘llab bo‘lmaydi.
Usulning algoritmi:
f(a) va f(b) ni hisoblang;
c = (a + b)/2 deb f(c) ni hisoblang;
agar sign(f(c)) = sign(f(a)) bo‘lsa a = c deb, aks holda esa b=c deb almashtirish oling (bunda sign ishora funksiyasi);
agar b – a > ε bo‘lsa, u holda qadam 2 ga o‘ting, aks holda hisob jarayonini to‘xtating (chunki biz talab qilingan ε – absolyut aniqlikka erishdik). Oxirgi kesma uchlaridan xoxlagan bittasi yoki ular yig‘indisining yarmini berilgan f(x)=0 tenglamaning yechimi deb qabul qilishimiz mumkin.
2.2 Vatarlar usuli (proporsional bo‘laklar usuli).
Usulning mazmuni. Quyidagi shartlarning bajarilishini talab qilamiz:
f(x) funksiya o‘zining f (x) va f (x) hosilalari bilan [a,b] kesmada uzluksiz;
funksiyaning f(a) va f(b) qiymatlari kesmaning oxirgi nuqtalarida har xil ishorali, ya’ni f(a) · f(b) < 0;
har ikkala f (x) va f (x) hosilalar [a,b] kesmaning barcha nuqtalarida o‘z ishor asini saqlab qoladi (berilgan [a,b] kesma f(x) funksiya hosilasining o‘z ishorasini saqlashi bu shu funksiya monotonligining yetarli sharti).
Bulardan foydalanib, 2.16,a-rasmga asosan, dastlab A(a,f(a)) nuqta qo‘zg‘almas, x0=b – nolinchi yaqinlashish, A(a,f(a)) va B(b,f(b)) nuqtalarni tutashtiruvchi AB vatarning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasini x1 – birinchi yaqilashish deb qabul qilamiz. Keyingi yaqinlashishlarni hisoblash uchun f(x1) qiymatni hisoblaymiz va uni f(a) va f(b) qiymatlar bilan taqqoslaymiz.
Bularga asosan umumlashgan quyidagi to‘rtta holat bo‘ladi:
0>
|
| |