Ayirish. Ayirish amali xossalari - M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma...

|
M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma oliy ta’limning boshlang’ich ta’lim asoslari yo‘nalishida belgilangan dts talablari va "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" o‘q
|
bet | 46/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрAyirish. Ayirish amali xossalari.
(to‘plamlar nazariyasi nuqtai nazarida)
Birinchi sinf o‘quvchilari yechadigan ushbu masalani qaraylik:
Maktab hovlisiga 8 tup daraxt-olma o‘tkazildi.Olmalar 3 tup. Maktab hovlisiga necha tup nok o‘tkazilgan. Masalaning savoliga javob berish uchun 8 dan 3 ni ayirish kerak: 8-3=5. Biroq bu erda nima uchun boshqa amaldan emas, sonlarni ayirishdan foydanalanilganligini qanday tushuntirish kerak? Maktab hovlisiga o‘tkazilgan har bir daraxtni doira bilan tasvirlash orqali masala shartini ko‘rgazmali namoyish etamiz
59-rasm
O‘tkazilgan daraxtlardan 3 tasi olma daraxti-rasmda ularni olmalarni tasvirlovchi doiralar ustiga chizish bilan ajratamiz. U holda qolgan daraxtlar noklar bo‘ladi. Ular 8 dan 3 ni ayirsa, nechta bo‘lsa, o‘shancha, ya’ni 5 ta.
Ko‘rinib turibdiki, berilgan masalaning yechimi berilgan to‘plamdan qism to‘plamni ajratish va bu qism to‘plamning to‘ldiruvchisidagi elementlar sonini topish bilan uzviy bog’langan, ya’ni sonlarni ayirish qism to‘plamni to‘ldirish operatsiyasi bilan bog’liq ekan.
Ta’rif: Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb n(A)=a, n(В)=b va В А shartlar bajarilganda В to‘plamning A to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plamining elementlari soniga aytiladi:
а-b=n(А\В), bu erda а=n(А), b=n(В), В А
Misol. Berilgan ta’rifdan foydalanib, 7-4=3 bo‘lishini tushuntiramiz. 7 biror A to‘plamning elementlari soni, 4 esa A to‘plamning qism to‘plami bo‘lgan В to‘plamning elementlari soni. Masalan, A={x,u,z,t,p,r,s}, В={x,u,z,t} to‘plamlarni olaylik. В to‘plamning A to‘plamgacha to‘ldiruvchisini topamiz: A\В=(p,r,s), n(A\В)=3 ega bo‘lamiz. Demak, 7-4=3
n(A)=7, n(В)=4 va В А bo‘ladigan A va В to‘plamlar sifatida qaralganlardan farq qiladigan to‘plamlarni tanlash mumkin ekanligi aniq, chunki a-в ayirma n(A)=a, n(В)=b va В А shartlarni qanoatlantiruvchi A va В to‘plamlarning tanlanishiga bog’liq emas.
Biroq butun nomanfiy sonlarning ayirmasi har doim ham mavjud bo‘ladimi? В А ekanida n(В) n(А) bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, a=n(A), b=n(В) va В А shartlarini qanoatlantiruvchi butun nomanfiy a va b sonlarning a-b ayirmasi bа bo‘lganda va faqat shu holda mavjud bo‘ladi.
a-b ayirmani topishda qo‘llaniladigan amal ayirish amali a-kamayuvchi, b-ayiriluvchi
А\В
A
60-rasm
Ko‘p hollarda ayirish amali to‘g’ri bajarilganligini tekshirish uchun biz qo‘shishga murojaat qilamiz. Nima uchun? Shubhasiz, bunga qo‘shish va ayirish amallari orasida bog’lanish mavjudligi sabab bo‘ladi.
a=n(A), b=n(В) va В А bo‘ladigan butun nomanfiy a va b sonlar berilgan bo‘lsin va bu sonlarning ayirmasi В to‘plamning A to‘plamgacha to‘ldiruvchisidagi elementlar soni bo‘lsin ya’ni a-b=n(A\В).
Eyler doiralarida A,В A\В to‘plamlar 2-rasmda ko‘rsatilganidek tasvirlanadi.
A=ВU(A\В) ekani ma’lum, bundan
n(A)=n (ВU(A\В)). B (A\B)= bo‘lgani uchun biz
n(A)=n (ВU(A\В))=n(В)+n(A\В)=b+(a-b) ga ega bo‘lamiz.
Demak, a= b+(a-b) ga ega bo‘lamiz, ya’ni a-b ayirma shunday sonki uning b son bilan yigindisi bo‘ladi, ya’ni ayirmaga ayriluvchini qo‘shganimizda kamayuvchi hosil bo‘ladi.
Ta’rif: Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb shunday butun nomanfiy c songa aytiladiki, uning b son bilan yig’indisi a songa teng bo‘ladi.
Biz bir to‘plamning ikkinchi to‘plamgacha to‘ldiruvchisidagi elementlar soni sifatidagi butun nomanfiy sonlar ayirmasini ta’rifidan uning yig’indi orqali ta’rifi kelib chiqishini ko‘rsatdik. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin.
Shunday qilib, а-b=с а=b+с
Ayirish amali qo‘shishga teskari amal deb aytiladi. Ayirmaning ikkinchi ta’rifidan kelib chiqib, quyidagi teoremalarni isbotlaymiz:
Teorema: Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi bа bo‘lganda va faqat shunda mavjud bo‘ladi.
Isbot. Agar a=b bo‘lsa, u holda a-b=0 bo‘ladi va demak, a-b ayirma mavjud bo‘ladi.
Agar b< a bo‘lsa, u holda “kichik” munosabati ta’rifiga ko‘ra shunday natural son mavjudki, bunda a=b+c bo‘ladi. U holda ayirmaning ta’rifiga ko‘ra c=a-b ya’ni a-b ayirma mavjud bo‘ladi.
Agar a-b ayirma mavjud bo‘lsa, u holda ayirmaning ta’rifiga ko‘ra shunday butun nomanfiy c son topiladiki, a=b+c bo‘ladi.
Agar c=0 bo‘lsa u holda a=b bo‘ladi; agar c > 0 bo‘lsa, u holda “kichik” munosabatining ta’rifiga ko‘ra b< a bo‘ladi. Demak, b а,
Teorema: Agar butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi mavjud bo‘lsa, u holda u yagonadir.
Isboti. A-b ayirmaning ikkita qiymati mavjud bo‘lsin deb faraz qilaylik; a-b=c1 va a-b=c2 U holda ayirmaning ta’rifiga ko‘ra a=b+c1 va a=b+c2 ga ega bo‘lamiz. Bunda b+c1=b+c2 va demak c1=c2 ekani kelib chiqadi.
Boshlang’ich matematika kursida dastlab butun nomanfiy sonlarning ayirmasi berilgan to‘plamning qism to‘plamini ajratish va yangi to‘plamni-ajratilgan qism to‘plamning to‘ldiruvchisini hosil qilish bilan bog’liq bo‘lgan amaliy mashqlar asosida qaraladi. Bunda nazariy to‘plam terminologiyasi va simvolikasidan foydalanilmaydi. Ayirishning nazariy to‘plam ma’nosining bosh mezoni masalalarni echishdir.
Ayirishning qo‘shish bilan bog’lanishi “Noma’lum qo‘shiluvchi qanday topiladi?” mavzusini o‘rganishda o‘rnatiladi. Ayirish tushunchasining qo‘shishga teskari amal sifatidagi ta’rifi oshkor ko‘rinishda berilmaydi, lekin ta’kidlab o‘tiladi: “ayirish qo‘shish bilan bog’langan: 40 sonidan 16 sonini ayirish deb shunday sonni topishga aytiladiki, uni 16 ga qo‘shganda yig’indida 40 soni hosil bo‘ladi. Bu 24 sonidir. Demak, 40-16=24”
“…ta ko‘p” va “… ta kam” munosabatlari.
Amaliy faoliyatda masalalar echish jarayonida ko‘pincha nafaqat a sonining b sonidan ko‘pligi (yoki kamligi), balki a sonining b sonidan nechta ko‘pligi (yoki kamligi) ham aniqlanadi.
“…ta ko‘p” va “… ta kam” munosabatlarining ma’nosi qanday?
D
Z
61-rasm
a va b a=n(A), b=n(В) bo‘lgan butun nomanfiy sonlar va a1 qism to‘plamni ajratish mumkin va В\В1 to‘plam bo‘sh emas, n(В\В1)=с (с 0) , bo‘lsin. U holda В to‘plamda A to‘plamda qancha element bo‘lsa shuncha va yana с ta element bo‘ladi. Bunday holda a soni в sonidan с ta kam yoki в soni a sonidan с ta ko‘p deyiladi.
В1 В da с=n(В\В1) bo‘lgani uchun c=b-a bo‘ladi. Demak, bir son ikkinchi sondan nechta kam yoki ko‘p ekanini bilish uchun katta sondan kichik sonni ayirish kerak.
Masalan, quyidagi masalani qaraylik: “Maktab oldiga 4 tup olma va 9 tup olcha o‘tqazildi. Necha tup ko‘p olcha o‘tqazildi?”
Ifodalangan qoidaga ko‘ra savolga ayirish yordamida javob topiladi: 9-4=5(tup) Biroq tushunmovchilik vujudga keladi: 9 tup olchadan 4 tup olmani ayirish mumkinmi? Gap shundaki, mazkur holda 9 tup olchadan 4 tup olcha ayiriladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun olmalarni doirachalar bilan olchalarni esa kvadratchalar bilan tasvirlaymiz.
Masalaning savoliga javob berish uchun olchalar to‘plami olmalar to‘plamiga teng quvvatli bo‘lgan Z1 qism to‘plamni ajratamiz (rasmda bu to‘plamda figurali qavs bilan ko‘rsatilgan). U holda qolgan olchani Z1 qism to‘plamning Z to‘plamgacha to‘ldiruvchisini hosil qiladi va ularning soni 9 va 4 sonlar ayirmasiga teng.
“…ta ko‘p” va “… ta kam” munosabatlari boshqa turdagi masalalarda ham uchraydi.
Masalan, bunday masalani qaraylik: “Maktab oldiga 4 tup olma va ulardan 5 tup ko‘p olcha o‘tqaziladi. Necha tup olcha o‘tqazilgan?”
Masalada daraxtlarning ikkita to‘plami: olmalar to‘plami va olchalar to‘plami haqida gap bormoqda. Ularni D va Z bilan belgilaymiz. n (D)=4 ekani ma’lum. Z to‘plamda D to‘plamdagidan 5 ta element ko‘p ekanini bilgan holda undagi elementlar sonini topish kerak. Oxirgi jumla n(Z)-n(D)=5 ekanini anglatadi. Bundan n(Z)=5+ n(D)=5+4=9 3-rasmdan foydalanib, yanada batafsil tushuntirish mumkin.
Z to‘plamda D to‘plamdagidan 5 ta element ko‘p bo‘lgani uchun bu Z to‘plamda D to‘plamda qancha element bo‘lsa, shuncha va yana 5 element bor degan ma’noni anglatadi. Boshqacha aytganda, Z to‘plamni Z1 ~ D va n (Z2)=5 bo‘ladigan ikkita Z1 va Z2 to‘plamlarning birlashmasi sifatida qarash mumkin. Z1 va Z2 to‘plamlar umumiy elementga ega bo‘lmagani uchun
n (Z)=n ( Z1UZ2)=n (Z 1)+n (Z 2)=4+5=9 bo‘ladi.
Endi quyidagi masalaga murojaat etamiz: “Maktab oldiga 9 tup olcha va undan 3 tup kam olma o‘tqazildi. Necha tup olma o‘tqazilgan?”
Bu erda ham oldingi masaladagi kabi daraxtlarning 2 ta to‘plami: olchalar to‘plami(Z) va olmalar to‘plami (D) haqida gap bormoqda, biroq n(Z)=9 ekani ma’lum, D to‘plami Z to‘plamidagidan 3 ta element kam ekanini bilgan holda D to‘plamidagi elementlar sonini topish kerak. Oxirgi jumla n(Z) – n(D)=3 ekanini anglatadi, bundan n(D)=n(Z)-3=9-3=6.
Z
D
rasmdan foydalanib, bu masalani quyidagicha echish mumkin: olmalar olchalardan 3 ta kam bo‘lganligi uchun olchalar olmalardan 3 ta ko‘p bo‘ladi, shuning uchun Z to‘plamidan 3 ta elementga ega bo‘lgan qism to‘plamni chiqarib tashlasak, D to‘plamiga teng quvvatli to‘plam hosil bo‘ladi: n(D) = 9-3=6.
Tabiiyki, boshlang’ich maktabda bu punktda keltirilgan masalani boshqacha asoslash bilan echiladi, biroq bu bilan uning mohiyati o‘zgarmaydi.
Shuni ta’kidlaymizki, “5 soni 2 dan 3 ta ko‘p” jumlani “>” belgidan foydalanib qisqacha yozish mumkin emas, chunki “… ta ko‘p” munosabat uchun ( shuningdek “… ta kam” munosabat uchun ham) maxsus belgi yo‘q. “>” belgi “ko‘p” (katta) munosabatini “<” belgi esa “kam” (kichik) munosabatini belgilash uchun xizmat qiladi.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma oliy ta’limning boshlang’ich ta’lim asoslari yo‘nalishida belgilangan dts talablari va "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" o‘q
|