Hisoblash usullari - bet 10

Hisoblash usullari
Eshmamatov Fazliddin
2.16-rasm. Proporsional bo‘laklar usuli (vatarlar usuli)ning har xil hollari uchun sxemalar. Agar [a,b] kesmada A(a,f(a)) nuqta qo‘zg‘almas va f(x) funksiya botiq va kamayuvchi ( f (x) 0, f (x) 0 ) bo‘lsa (1.17,a-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik x =b , x x f (xn ) (x a) (n=0,1,2,…) (5.2) 0 n1 n f (x ) f (a) n n chegaralangan va monoton kamayuvchi: a< x <…<xn+1<xn<…x1<x0=b. b)Agar [a,b] kesmada B(b,f(b)) nuqta qo‘zg‘almas va f(x) funksiya botiq va o‘suvchi ( f (x) 0, f (x) 0 ) bo‘lsa (1.17,b-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik x =a , x x f (xn ) (b x ) n (n=0,1,2,…) 0 n 1 n f (b) f (xn ) chegaralangan va monoton o‘suvchi: a= x0< x1<…<xn<xn+1<…< x <b. C)Agar [a,b] kesmada A(a,f(a)) nuqta qo‘zg‘almas va f(x) funksiya qovariq va o‘suvchi ( f (x) 0, f (x) 0 ) bo‘lsa (1.17,a-rasm), u holda ushbu ketma-ketlik x0=b , xn1 xn f (x f (xn ) n ) f (a) (xn a) (n=0,1,2,…) chegaralangan va monoton kamayuvchi: a< x <…<xn+1<xn<…x1<x0=b. Agar [a,b] kesmada B(b,f(b)) nuqta qo‘zg‘almas va f(x) funksiya qovariq va kamayuvchi ( f (x) 0, f (x) 0 ) bo‘lsa (1.17,b-rasm), chegaralangan va monoton o‘suvchi: a= x0< x1<…<xn<xn+1<…< x <b. Endi bu to‘rtta holatni umumlashtiramiz: agar kesmaning qaysi bir chetida f(x) funksiya va uning f(x) ikkinchi hosilasi bir xil ishoraga ega bo‘lsa, o‘sha chetki nuqta qo‘zg‘almas deb olinadi; agar x ildizning qaysi tarafida f(x) funksiya o‘zining f(x) ikkinchi hosilasiga qarama qarshi ishoraga ega bo‘lsa, xn ketma-ket yaqinlashishlar o‘sha tomondan x ildizga yaqinlashadi. a) b) 2.17-rasm. Vatarlar usulining geometrik interpretatsiyasi: a) f (x) f (x) 0 ; b) f (x) f (x) 0 . Iteratsion jarayonning tugallanishi ikkita qo‘shni xn va xn-1 iteratsiyalarning hisob hatijalari bo‘yicha hisobni tugallash kriteriyasini beradi, ya’ni bu iteratsion jarayon ushbu xn+1–xn< shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi va xn+1= x yoki xn = x yechim deb olinadi, bu yerda – berilgan limitik (chegaraviy) absolyut xato. Usulning qulayliklari: usulning yaqinlashishi kafolatlangan; oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga qaraganda kamida ikki yoki uch marta tezroq yaqinlashishni beradi. Usulning kamchiliklari: agar a dan b gacha bo‘lgan kesmada umuman ildiz mavjud bo‘lmasa yoki unda bir nechta ildizlar mavjud bo‘lsa, u yechimni izlash vaqti cheksizga yaqinlashishi mumkin; agar f(x) funksiya grafigi [a,b] kesmada yetarlicha yotiq bo‘lsa, u holda f(a) – f(b) farq katta bo‘ladi va hisoblashlarda xatolik ko‘payadi, bunday holda keyingi hisoblashlarda dixotomiya usuliga o‘tgan ma’qul. Xulosa. chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish ancha murakkab va bu masala hisoblash matematikasining mukammal yechilmagan muammosi ekan; chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning boshlang‘ich muammosi – bu chiziqli bo‘lmagan tenglama yechimlarining mavjudligi, soni va ular yotgan oraliqni topish muammolari o‘rganildi, bular aniq misollarni yechish orqali izohlandi;chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ajratilgan ildizini topish muammosi bir nechta taqribiy usullarda bayon qilindi, aniq misollar yechimlari bilan izohlandi; chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizlarini topishning taqribiy usullari sod- dadan murakkabga va ularning xususiy hollari bilan o‘rganildiki, bu shu mavzuni batafsilroq yoritish imkonini berdi; chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni matematik paketlar yordamida yechishning muammolari o‘rganildi, uni amalga oshirishning bosqichlari ishlab chiqildi; chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining grafigini matematik paketlar yordamida chizish orqali tenglama haqiqiy yechimlari mavjudligi, ularning soni, bu yechimlar yotgan oraliqlarni topish muammolari o‘rganildi; chiziqli bo‘lmagan tenglamalarning analitik yechimini matematik paketlar yordamida yechish o‘rganildi, hisob algoritmiga oid tushunchalar bilan tan- ishildi, amaliy masalalar yechildi; chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni matematik paketlar yordamida sonli yechishning algoritmi, dasturi, matematik paketlardan foydalanish bosqichlari bajarildi, har xil amaliy masalalar yechildi; qo‘yilgan masalani matematik paketlar yordamida samarali yechishga oid tavsiyalar ishlab chiqildi, undan foydalanishning mumkin bo‘lgan imkoni- yatlari ketma-ket tahlil qilindi; sonli yechimlar analitik yechimlar bilan taqqoslandi, hisob jarayonining to‘g‘ri ekanligi, algoritm va dasturlardan samarali foydalanish mumkinligi ko‘rsatildi; ishlab chiqilgan hisob metodikasi va yaratilgan hisob dasturlatidan har xil chiziqli bo‘lmagan tenglamalarga oid amaliy masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin; chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan Nyuton usuli juda samarali ekan, ammo uning qo‘llanilish sohasi juda tor; iteratsiyalar usuli ham juda qulay, ammo yaqinlashuvchi funksiyani topish ko‘p hollarda mushkulroq; oraliqni ikkiga bo‘lish usuli juda qulay, ammo uning yaqinlashish tezligi juda sust va karrali ildizlar uchun muammoli; iteratsion usullarning takomillashtirilgan har xil variantlari juda samarali, ammo bu boshlang‘ich yaqinlashishni yakkalashtirilgan ildizga juda yaqin olinganda va yaqinlashish shartlari bajarilgandagini bu usullarning yaqin- lashsh tezligi keskin oshadi; Shunday qilib, chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish muammosi qo‘yilgan amaliy masala turiga qarab to‘g‘ri taqribiy usulni va boshlang‘ich shartni tanlash, bu usullardan va matematik paketlardan samarali foydalanishdan iborat ekan. Download 1,2 Mb.
|