b) Ixtiyoriy ratsional sonlarni geometrik tasvirlash

b) Ixtiyoriy ratsional sonlarni geometrik tasvirlash. Ixtiyoriy ratsional sonni geometrik tasvirlashdan avval birlik kesmaning 1/n (nєN) qismini topishni aytib o’tamiz. Bir kateti birlik kesma OE, ikkinchi kateti bilik kesmani n marta qo’yishdan hosil bo’lgan OF kesmadan iborat OFE to’g’ri burchakli uchburchani qaraylik. Bu OFE uchburchakning OF tomonidagi 1,2,3,…,n-1 sonlarni tasvirlovchi nuqtalar F1, F2, F3,…,Fn-1 bo’lsin. Natijada OF katet bir-biriga teng bo’lgan n ta kesmalarga bo’linadi.
Endi OF katetdagi F1, F2,…,Fn-1 nuqtalardan FE gipotenuzasiga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziqlarning OE katet bilan kesishish nuqtalarini E1, E2, E3,…,En-1 bilan belgilaymiz. Ravshanki bu nuqtalar OE da OE1 ,E1E2,…,En-1E kesmalarni hosil qiladi. Demak OE birlik kesma n ta OE1 ,E1E2,…,En-1E kesmalarga ajraldi. Fales teoremasiga ko’ra bu kesmalar bir-biriga teng bo’ladi. Demak OE1 kesma OE ning 1/n qismiga teng.
Masshtab kesmasi OE ning 1/n qismi bo’lgan OE1 kesmani O nuqtadan boshlab o’ng va chap tomonlarga qo’yamiz. Bu kesmaning bir uchi O nuqtada bo’lib, ikkinchi uchi esa o’ng tomondagi nurda , chap tomondagi nurda esa nuqtalarni belgilaydi. Endi 1/n va -1/n sonlarga nuqtalarni mos qo’yamiz. OE1 kesmani O nuqtadan uning o’ng va chap tomonlaridagi nurga ketma-ket m marta qo’yish natijasida m/n va –m/n ratsional sonlarning geometrik tasvirlovchi nuqtalarni topamiz. Shu yo’l bilan l to’g’ri chiziqda sonni geometrik tasvirlovchi nuqta topiladi. Shunday qilib, ratsional sonlar to’plamidan olingan ixtiyoriy songa to’g’ri chiziqda bitta Mr nuqta mos keladi. Bunda songa nuqta mos keladi.
Bundan keyin qulaylik uchun rєQ songa to’g’ri chiziqda mos keladigan nuqtani Mr kabi belgilamasdan r nuqta deb olaveramiz.Ratsional songa mos keladigan to’g’ri chiziqdagi nuqta ratsional nuqta ham deb ataladi.Ixtiyoriy ratsional sonni geometrik tasvirlashdan avval birlik kesmaning 1/n (nєN) qismini topishni aytib o’tamiz.
Bir kateti birlik kesma OE, ikkinchi kateti bilik kesmani n marta qo’yishdan hosil bo’lgan OF kesmadan iborat OFE to’g’ri burchakli uchburchani qaraylik. Bu OFE uchburchakning OF tomonidagi 1,2,3,…,n-1 sonlarni tasvirlovchi nuqtalar F1, F2, F3,…,Fn-1 bo’lsin. Natijada OF katet bir-biriga teng bo’lgan n ta kesmalarga bo’linadi.
Endi OF katetdagi F1, F2,…,Fn-1 nuqtalardan FE gipotenuzasiga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziqlarning OE katet bilan kesishish nuqtalarini E1, E2, E3,…,En-1 bilan belgilaymiz. Ravshanki bu nuqtalar OE da OE1 ,E1E2,…,En-1E kesmalarni hosil qiladi. Demak OE birlik kesma n ta OE1 ,E1E2,…,En-1E kesmalarga ajraldi. Fales teoremasiga ko’ra bu kesmalar bir-biriga teng bo’ladi. Demak OE1 kesma OE ning 1/n qismiga teng.
Masshtab kesmasi OE ning 1/n qismi bo’lgan OE1 kesmani O nuqtadan boshlab o’ng va chap tomonlarga qo’yamiz. Bu kesmaning bir uchi O nuqtada bo’lib, ikkinchi uchi esa o’ng tomondagi nurda , chap tomondagi nurda esa nuqtalarni belgilaydi. Endi 1/n va -1/n sonlarga nuqtalarni mos qo’yamiz. OE1 kesmani O nuqtadan uning o’ng va chap tomonlaridagi nurga ketma-ket m marta qo’yish natijasida m/n va –m/n ratsional sonlarning geometrik tasvirlovchi nuqtalarni topamiz. Shu yo’l bilan l to’g’ri chiziqda sonni geometrik tasvirlovchi nuqta topiladi. Shunday qilib, ratsional sonlar to’plamidan olingan ixtiyoriy songa to’g’ri chiziqda bitta Mr nuqta mos keladi. Bunda songa nuqta mos keladi.
Bundan keyin qulaylik uchun rєQ songa to’g’ri chiziqda mos keladigan nuqtani Mr kabi belgilamasdan r nuqta deb olaveramiz.Ratsional songa mos keladigan to’g’ri chiziqdagi nuqta ratsional nuqta ham deb ataladi.
|