Vektorların skalyar və vektorial hasili. Paraleloqramın və

Vektorların skalyar və vektorial hasili. Paraleloqramın və
üçbucaqın sahəsi. Üç vektorun qarışıq hasili. Paralelepiped və
piramidanın həcmi.
1. Vektorların skalyar hasili.
2. Vektorların vektorial hasili.
3. Paraleloqramın və üçbucaqın sahəsi.
4. Üç vektorun qarışıq hasili.
5. Paralelepiped və piramidanın həcmi.
1. Vektorların skalyar hasili.
və vektorların uzunluqları ilə aralarındakı bucağın kosinusu hasilinə
onların skalyar hasili deyilir. Belə işarə olunur · , , () .
φ = ( ,ˆ ) olduqda tərifə görə;
() = · · və ya · = · · (1)
olar.
İki vektorun skalyar hasilinin (1) ifadəsini başqa şəkildədə yazmaq olar. Bu məqsədlə vektorunun vektoru üzərində proyeksiyasının
= , φ = ( ,ˆ )
olduğunu nəzərə almaq lazımdır. Onda (1) bərabərliyini
() = (2)
və
() = (3)
kimi yazmaq olar.
Xüsusi halda = olduqda φ =0 və = 1 olar və (1) münasibəti
· = 2 = 2 (4)
şəklində yazılır. Deməli bir vektorun skalyar kvadratı (özünə skalyar hasili) həmin vektorun uzunluğunun kvadratına bərabərdir. (4) bərabərliyindən vektorunun uzunluğu üçün
= (5)
düsturu alıtıq.
Vektorların skalyar hasilinin aşağıdakı xassələri də vardır:
I. Skalyar hasil yerdəyişmə ( kommutativlik ) xaəsinə tabedir:
( , ) = ( , ). (6)
II. Skalyar vuruğu skalyar hasil işarəsi xaricind çıxarmaq olar:
( λ, ) = λ( , ) = ( , λ ) (7)
III. Skalyar hasilin paylanma ( distributivlik ) xassəsi vardır:
( + , ) = ( , ) + ( , ). (8)
IV. = ax + ay + az və = bx + by + bz vektorlarını skalyar hasili onların koordinatları ilə
() = axbx + ayby + azbz (9)
şəklində ifadə olunur. Ortlar üçün lyar hasili aşağıdaki kimi alarıq:
· = 1, · = 1, · = 1
· = 0, · = 0, · = 0.
Xüsusi halda, = olarsa, onda (9) bərabərliyini
2 = ax2 + ay2 + az2
kimi yazmaq olar. Buradan və (5) düsturundan vektorunun uzunluğu üçün
= (10)
düsturunu alırıq.
V. (1) , (9) və (10) düsturlarına əsasən və vektorları arasındakı φ bucağını hesablamaq üçün
=
və ya
=
düsturunu almaq olar. Buradan və vektorlarının ortoqonal olması şərti alınır: və vektorlarının ortoqonal olması üçün
axbx + ayby + azbz = 0
münasibətinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.
VI. Verilmiş və vektorları və ixtiyari vektoru üçün
· = · (12)
münasibəti ödənilirsə, onda = .
2. Vektorların vektorial hasili.
Müəyyən ardicillıqla götürülmüş və komplanar olmayan (birinci), (ikinci) və (üçüncü) vektorları götürək. Bu vektorların başlanğıcına bir nöqtəyə köçürsək, aşağıdakı iki vəziyyətin biri alınır:
I. vektorunun son ucundan baxdıqda vektorunu vektoru üzərinə gətirmək üçün kiçik bucaq gədər fırlama saat əqrəbi hərəkitinin əksinə olur. Bu halda, deyirlər ki, , , vektorları üçlüyü sağ oriyentasiyalıdır və ya sağ üçlükdür.
II. vektorunun vektorunu vektoru üzərinə gətirmək üçün kiçik bucaq gədər fırlama saat əqrəbi hərəkitinin istiqamətində olur. Bu halda isə , , vektorları sol oriyentasiyalı üçlük və ya sol üclük adlanır.
Əgər , , Dekart koordinat bazisi üçlüyü sağ oriyentasiyalıdırsa, onda koordinat sisteminə sağ Dekart koordinat sistemi, həmin üçlük sol oriyentasiyalı olduqda isə koordinat sisteminə sol Dekart koordinat sistemi deyilir.
Biz urada sağ Dekart koordinat sistemindən istifadə edəcəyik.
► Tərif. (birinci) vektorunun (ikinci)vektoruna vektorial hasili aşağıdakı üç şərti ödəyən vektoruna deyilir:
1) vektorunun uzunluğu və vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə bərabər olsun:
= , φ = ( ,ˆ ).
2) vektoru və vektorlarının mustəvisinə perpendikulyar olsun.
3) , , üçlüyü sağ oriyentasiyalı olsun.
və vektorlarının vektoriyal hasili = və ya = · ilə işarə olunur.
Tərifdən aydındır ki, kollinear olan və vektorların vektorial hasili sıfra bərabərdir. Bunun tərsi də doğrudur. Deməli və vektorlarının kollinear olması üçün onların vektorial hasilinin sıfra bərabər olması, = 0, zəruri və kafi şərtdir. Xüsusi halda,
· = 0.
Vektorlarının vektorial hasilinin aşağıdakı xassələri vardır.
I. Vektorial hasil yerdəyişmə (kommutativlik) xassəsinə tabe deyildir
· = - · (1)
II. Skalyar vuruğu vektorial hasil işarəsi xaricinə çıxarmaq olar:
(λ) · = · (λ) = λ( · ). (2)
III. Vektorial hsdilin paylanma xassəsi vardır:
· () = · + · (3)
( + ) · = · + . (4)
3. Paraleloqramın və üçbucaqın sahəsi.
Tutaq ki, ( ax, ay, az ) və ( bx, by, bz ) vektorları öz koordinatları ilə verilmişdir. Bu vektorların vektorial hasilinin verilmiş koordinatlarla ifadəsini tapaq. Bu məqsədlə , , koordinat ortlarının cüt-cüt vektorial hasillərini hesablayaq. Vektorial hasilin tərifinə görə:
· = 0, · = 0, · = 0.
Koordinat ortlarının yerləşməsində isə aydındır ki,
z · = , · = - ,
· = , · = - ,
· = , · = - .
Onda
0 y = ax + ay + az
və
= bx + by + bz
x vektorlarının vektorial hasilini
· = · + · + · (1)
· = (2)
yazmaq olar.
►N ə t i c ə 1. Iki tərifi uyğun olaraq
( ax , ay , az ) və ( bx , by , bz )
olan üçbucaqin sahəsi, həmin vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinin yarısına bərabərdir:
S∆ = · . (3)
Əgər üçbucaqın verilmiş A( x1, y1, z1 ), B (x2, y2, z2) və C(x3, y3, z3) təpələrini birləşdirsək = AB və = AC vektorlarını alırıq. Bu vektorların koordinatları:
ax = x2 – x1, ay = y2 – y1, az = z2 – z1,
bx = x3 – x1, by = y3 – y1, bz = z3 – z1.
Onda üçbucağın sahəsini
S∆ =
düsturunda ax, ay, az, bx, by, bz ədədlərinin yerinə göstərilən qiymətləri yazmaqla hesablamaq olar.
►N ə t i c ə 2. ( ax , ay , az ) və ( bx , by , bz ) vektorlarının kollinear olması üçün zəruri və kafi şərt
= = (4)
olmasıdır.
►Misal 1. (1, -2, 3) və (2, 1, -1) vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini tapmalı
(1) düsturuna görə
· = - + 7 + 5
olduğundan
S = · = = 5
4. Üç vektorun qarışıq hasili.
►Tərif. (birinci) , (ikinci) və (üçüncü) vektorlarının birinci ikisinin · vektprial hasilinin üçüncü vektoruna skalyar hasili, yəni ( · ) · igadəsi, həmin vektorların qarışıq və ( , , ) və yaxud ilə işarə olunur.
Tərifdən aydındı r ki, üş vektorun qarışıq hasili skalyar kəmiyyətdir.
|