Differensial Tenglamalarni Integrallash

|
Differensial Tenglamalarni Integrallash
|
bet | 4/7 | Sana | 27.05.2024 | Hajmi | 296,21 Kb. | | #255079 |
Bog'liq Oʻzgarmas kuchlar taʼsirida boʻlgan moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini integrallash1.3. Differensial Tenglamalarni Integrallash
Differensial tenglamalar moddiy nuqtaning harakatini tasvirlashda muhim vosita hisoblanadi. Ushbu bo'limda moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini integrallash usullari batafsil ko'rib chiqiladi.
Differensial tenglamalarni integrallash uchun bir necha usullar mavjud. Quyida ba'zi asosiy usullar keltiriladi:
Analitik usullar: Ushbu usul differensial tenglamalarning aniq yechimini topishga qaratilgan. Ba'zi oddiy tenglamalar uchun umumiy yechimlarni topish mumkin.
Raqamli usullar: Bu usullar murakkab yoki analitik yechim topish qiyin bo'lgan tenglamalarni yechish uchun kompyuter yordamida qo'llaniladi. Misollar: Euler usuli, Runge-Kutta usuli.
Ajraladigan o'zgaruvchilar usuli: Agar tenglama ajraladigan bo'lsa, ya'ni
shaklida bo'lsa, uni quyidagi tarzda integrallash mumkin:
Bu usul oddiy tenglamalarni yechish uchun juda qulaydir.
Bir jinsli tenglamalar: Agar tenglama bir jinsli bo'lsa, ya'ni
shaklida bo'lsa, almashtirish yordamida uni ajraladigan o'zgaruvchilarga keltirish mumkin.
Integrallar yordamida yechish: Ba'zi tenglamalarni bevosita integrallash yordamida yechish mumkin. Masalan,
tenglamasini integrallasak, birinchi integrallash natijasida tezlik
Runge-Kutta usuli: Ko'proq aniqlik talab qilinadigan holatlarda qo'llaniladi. Masalan, to'rtinchi darajali Runge-Kutta usuli:
Bu usul ko'proq hisoblash talab qiladi, lekin natijalar ancha aniq bo'ladi.
Masalalar va misollar: Raqamli usullar yordamida turli masalalarni yechish misollari keltiriladi. Misol uchun, dampinli tebranishlar uchun Runge-Kutta usuli qo'llanilishi va natijalarni kompyuterda hisoblash.
Grafik tahlil: Harakatning vaqtga bog'liq grafiklari chizilib, natijalar tahlil qilinadi.
Energiya tahlili: Harakat davomida kinetik va potentsial energiyaning o'zgarishi tahlil qilinadi. Energiya saqlanish qonuni tekshiriladi.
Oʻzgarmas kuchlar taʼsirida boʻlgan moddiy nuqtaning harakati differensial tenglamalar yordamida ifodalanadi. Ushbu bo'limda tezlanish differensial tenglamasini integrallash orqali tezlik va joylashuv tenglamalarini hosil qilamiz.
Tezlanish differensial tenglamasini integrallash
Tezlanish differensial tenglamasi:
N'yutonning ikkinchi qonuniga ko'ra:
Bu tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:
Tezlik tenglamasini topish:
Tezlanishning integrali tezlikni beradi:
Kuch F vaqt bo'yicha doimiy bo'lganda, integrallashni bajaramiz:
Shunday qilib, tezlik tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
Joylashuv tenglamasini topish:
Tezlikning vaqt bo'yicha integrali joylashuvni beradi:
Umumiy yechim
Boshlang'ich shartlarni hisobga olgan holda, moddiy nuqtaning harakat tenglamalari quyidagicha bo'ladi:
Tezlik tenglamasi:
Joylashuv tenglamasi:
Bu tenglamalar o'zgarishsiz kuchlar ta'sirida bo'lgan moddiy nuqtaning harakatini to'liq tavsiflaydi. Moddiy nuqtaning harakati vaqtga bog'liq holda tezlik va joylashuv bilan ifodalanadi. Ular birinchi bosqichda tezlik, keyin esa joylashuv tenglamalarini hosil qilish uchun ikki marta integrallash orqali topiladi.
Differensial tenglamalarni integrallash jarayonida, avvalo, tezlanish tenglamasini integrallash orqali tezlik tenglamasi topildi, keyin esa tezlik tenglamasini integrallash orqali joylashuv tenglamasi hosil qilindi. Bu tenglamalar moddiy nuqtaning vaqtga bog'liq harakatini ifodalaydi va fizik masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega.
|
| |