Metrik fazoda kompakt tuplamlar

|
Metrik fazoda kompakt tuplamlar
|
bet | 7/11 | Sana | 15.05.2024 | Hajmi | 98,76 Kb. | | #234427 |
Bog'liq “Metrik fazo ” mavzudagi Bajardi2.2. Metrik fazoda kompakt tuplamlar
To’g’ri chizikning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har qanday cheksiz to’plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano — Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasinn topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda bunday sodda natija, umuman aytganda, o’rinli emas. Shuning uchuy quyidagi savolning qo’yilishi tabiiy. Metrik fazoda qanday to’plamlar sinfi uchun Bolsano — Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? Mana shu savol munosabati bilan quyidagi muhim ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif. X metrik fazodagi M to’plamning yechim elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy ketma-ketlikdan biror x(∈X) elementga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin bo‘lsa, M to’plam X da nisbiy kompakt deyiladi; yopik nisbiy kompakt to’plam kompakt deyiladi.
Bolsano — Veyershtrass teoremasiga asosan to’gri chiziqda har qanday chegaralangan (yopik va chegaralangan) to’plam nisbiy kompaktdir .
Ravshanki, nisbiy kompakt to’plamning ixtiyoriy qism to’plami yana nisbiy kompakt to’plamdir.
1 - teorema. Nisbiy, kompakt to’plam chegaralangan bo‘ladi.
Isbot. A( X) nisbiy kompakt to’plam bo‘lib, chegaralangan bo’lmasin deb faraz qilamiz. A dan ixtiyoriy x1 nuqtani olib, radiusi r1 = 1 ga teng S(x1, r1) sharni ko’ramiz. A chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to’lasicha joylashgan bo’lmaydi. A to’plamning S(x1,r1) sharga kirmagan biror x2 elementinn olamiz. U holda . So’ng radiusi r2 = (x1, x2) + 1 ga teng S(x1,r2) sharni ko’rib, A to’plamning bu sharga kirmagan biror x3 elementini olamiz; bunday element mavjud, chunki A chegaralanmagan to’plam va . So’ngra radiusi r3 = +1 ga teng S(x1, r3) sharni ko’ramiz. Bu protsessii, A to’plam chegaralanmaganligi uchun, cheksiz davom ettirishimiz mumkin. Natijada {xn} (xp ∈ A) ketma-ketlik va o’sib boruvchi {rn} sonli ketma-ketlik hosil bo‘lib, ushbu
tengeizliklar bajariladi.
Endi ixtiyoriy natural sonlar uchun
munosabatlar o’rinli. Bulardan quyidagi
tengeizliklarga asosan ushbu
munosabat kelib chiqadi.
So’nggi munosabat ko’rsatadiki, {xp} ketma-ket-likning o‘zi va na uning biror qismi fundamental bo’la olmaydi, demak, yaqinlashuvchi ham bo’lishi mumkin emas. Bu esa ziddiyatga olib keladi, chunki {xp} ketma-ketlikning elementlari A nisbiy kompakt to’plamdan olingan.
Bu teoremaning teskarisi, umuman aytganda, o’rinli emas, ya’ni to’plam chegaralangan bo‘lsa, u nisbiy kompakt bo’lishi shart emas. Bunga l2 fazodan konkret misol keltiramiz. l2 fazodan ushbu
elementlardan iborat chegaralangan to’plamni tuzamiz. Bu elementlarning ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa ga teng. Shuning uchun bu ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo’lmaydi, demak, tuzilgan to’plam nisbiy kompakt emas.
Metrik fazoda nisbiy kompaktlik tushunchasiga yaqin bo’lgan tushunchani kiritamiz.
Ta’rif. A, V lar (X, ) metrik fazodan olingan to’plamlar va > 0 biror son bo’lsin. Agar A dan olingan ixtiyoriy x element uchun V da ushbu tengeizlikni qanoatlantiradigan u element mavjud bo‘lsa, V to’plam A to’plamga nisbatan tur deyiladi. Agar ixtiyoriy >0 uchun A to’plam chekli turga ega bo‘lsa, u holda A to’la chegaralangan deyiladi.
Misollar.
1. Tekislikda koordinatalari butun sonlardan iborat to’plam 1- turni tashkil etadi.
2. Rn fazoda har qanday chegaralangan A to’plam chekli -turga ega, ya’ni A to’la chegaralangan.
Kompaktlik, to’lalik va to’la chegaralanganlik tushunchalari orasida qanday bog’lanish borligini quyidagi teoremadan ko’rish mumkin.
|
| |