Vii. RÉSz atomhéjfizika

VII. RÉSZ ATOMHÉJFIZIKA
Írta: DR. KÜRTI JENŐ
A 19. század végére sikerült feltárni, hogy az anyag nem folytonos, hanem igen apró – 10-10 m nagyságrendjébe eső méretű – atomokból illetve azok összekapcsolódásával kialakuló molekulákból épül fel. Az ehhez a felismeréshez vezető legfontosabb lépésekkel – állandó- (Proust, 1799) és többszörös (Dalton, 1803) súlyviszonyok törvénye, Avogadro törvénye (1811), Brown-mozgás (1827), kinetikus gázelmélet (Krönig, 1856; Boltzmann, ???) – már korábban megismerkedtünk (Fizika II. kötet, II. rész), ezért azokat nem tárgyaljuk újra.
Faradaynek az elektrolízisre vonatkozó törvényei (1837) ugyanakkor rámutattak arra, hogy az anyagok elektromos töltése is adagos természetű (Fizika II. kötet, II. rész ?!). Az ionok („elektromos töltéssel rendelkező atomok”) felfedezésén kívül a Mengyelejev-féle periódusos rendszerben (1869) megmutatkozó szabályosságok is azt sugallták, hogy az atomok talán kisebb, pozitív illetve negatív elektromos töltésű alkotórészekből állnak. Ennek ellenére egészen a 19. század végéig az atomra – híven a név eredeti görög jelentéséhez – mint az anyag legkisebb, tovább már nem osztható részére tekintettek.
Az atom összetett szerkezetének felismerése, a modern atomfizika kibontakozása a röntgensugárzás (Röntgen, 1895), a radioaktivitás (Becquerel, 1896) és az elektron (Thomson, 1897) felfedezésével kezdődött. 1911-ben Rutherford radioaktív a-sugárzásnak vékony fémfóliákon történő áthaladását illetve a fóliáról való visszaszóródását vizsgálta és a szórás szögfüggésének tanulmányozásából arra a következtetésre jutott, hogy az atomok egy nagyon kis kiterjedésű (10-14 m sugarú), pozitív töltésű atommagból – amelyben az atom szinte teljes tömege koncentrálódik – és egy ennél mintegy tízezerszer nagyobb sugarú negatív elektronfelhőből állnak (… fejezet ?!).
Az atomhéjfizika alatt az atomfizikán belül egy szűkebb területet értünk, azt amely az elektronburokkal kapcsolatos jelenségekkel foglalkozik: az atomok és molekulák szerkezetével, egymással illetve a fénnyel való kölcsönhatásaikkal. Tágabb értelemben idetartoznak a kondenzált anyagokban (elsősorban a szilárd testekben) lejátszódó azon jelenségek is, amelyekért az elektronok a felelősek.
Az atomok és molekulák valamint a fény viselkedésének megismerése, (megértése) párhuzamosan történt a modern fizika alapját jelentő kvantumfizika kidolgozásával, amelynek születési éve 1900, ekkor jelent meg Max Planck híres dolgozata a fekete test sugárzásáról. Az atomi szinten lejátszódó jelenségek a kvantummechanika fogalmaival, törvényeivel tárgyalhatók. Ezért ebben a részben először a kvantumfizika előzményeit és a kvantummechanika alapjait ismertetjük. Ezután tárgyaljuk az atomok, molekulák és – érintőlegesen – a kondenzált anyagok leglényegesebb tulajdonságait. Végül bemutatjuk az atomok és molekulák (tulajdonságainak) kísérleti vizsgálatában használatos legfontosabb spektroszkópiai módszereket (?).
… (Esetleg ide egy AFM ábra?!)
- atomok láthatóvá tétele (röntgen - áttételesen; EM, AFM, STM, röntgen-holográfia) – ezt vagy az „Atomok” fejezet végére, vagy még inkább a „Kondenzált anyagok” részbe …
- …
VII. A) A KVANTUMFIZIKA KIALAKULÁSA SZEMPONTJÁBÓL LEGFONTOSABB KÍSÉRLETEK
Ebben a részben azokat a legfontosabb kísérleti eredményeket mutatjuk be – nem feltétlenül időrendben – amelyek a kvantumfizika kialakulásában döntő szerepet játszottak. Elsőként és legrészletesebben a hőmérsékleti sugárzást tárgyaljuk, mivel ennek az értelmezése jelentette az első szakítást a hagyományos, newtoni ún. klasszikus fizika gondolatvilágával, amennyiben Max Planck 1900-ban megjelent híres cikkében merült fel először, hogy bizonyos fizikai mennyiségek, mint pl. az energia nem vehet föl folytonosan akármilyen értékeket, hanem az értékkészlete diszkrét, adagos, kvantumos.
1. § A hőmérsékleti sugárzás
1. Testek hőmérsékleti sugárzása
Jól ismert tapasztalati tény, hogy a felmelegített testek világítanak. Az izzó parázs, vagy egy villanykörte magas hőmérsékletű wolframszála stb. fényt bocsátanak ki magukból. Ennek oka alapvetően az, hogy a testben hőmozgást végző töltéshordozók, mint gyorsuló töltések elektromágneses hullámokat keltenek (Fizika II. … fejezet). Ezt a test hőmérsékletétől függő, folytonos spektrumú elektromágneses sugárzást hívjuk hőmérsékleti sugárzásnak.
Változtatva a test hőmérsékletét, a kibocsátott fénynek nemcsak az összintenzitása hanem az intenzitásnak a hullámhossz (vagy a frekvencia) szerinti ún. spektrális eloszlása, vagyis a fény (illetve az azt kibocsátó test) színe is változik. (A látható fény és általában az elektromágneses hullámok spektrumáról, a különböző hullámhossz- (frekvencia-) tartományok elnevezéséről lásd a … fejezetet [optika?] illetve a … Függeléket. (MEGJEGYZÉS: valahol jó lenne egy l (m), f (Hz) és hf (eV) adatokat tartalmazó „csík”, színes zoom-mal a látható tartományra, lásd pl. SH atlasz, Atomfizika 14. o. !)) Egy vörösen izzó vasdarab jól látható egy sötét szobában, azonban „eltűnik” a szemünk elől, ha hagyjuk a vasat kihűlni. Egy infravörös tartományban is érzékelő műszerrel (pl. egy infratávcsővel) azonban ilyenkor is észlelhetjük. Csökkenő hőmérséklettel a hőmérsékleti sugárzás összintenzitása csökken, a spektrális eloszlás pedig a nagyobb hullámhosszak (kisebb frekvenciák) felé tolódik. A hősugárzók által kibocsátott, zömmel az infravörös tartományba eső elektromágneses sugárzást, ha a szemünk nem is, de a bőrünk hőérzékelő receptorai érzékelik. Hasonlóan forrónak érezzük az izzólámpát is, mivel a belőle kijövő fénynek csak kis része esik a látható tartományba, a kisugárzott energia zöme itt is az infravörös tartományban van.
Az egymással nem érintkező testek még akkor is termikus egyensúlyba kerülhetnek, ha közöttük vákuum van. Az energiacserét ilyenkor az biztosítja, hogy kölcsönösen elnyelik a másik által kibocsátott hőmérsékleti sugárzás bizonyos hányadát. Ezért a nagyon alacsony hőmérsékleteken (néhány K alatt) elvégzendő kísérleteknél arra is gondosan kell ügyelni, hogy a mérési térfogat a labor hőmérsékleti sugárzását visszaverni képes lapokkal le legyen „árnyékolva” a környezetétől.
Végül érdemes megemlíteni, hogy nem minden, a testek által kibocsátott elektromágneses sugárzás azonos a termikus egyensúlynak megfelelő hőmérsékleti sugárzással. Vannak olyan fényforrások is, amelyekből kilépő elektromágneses sugárzás ettől lényegesen különböző tulajdonságú, ilyenek például a gázkisülési csövek („fénycsövek”) vagy a lézerek.
2. Kirchhoff törvénye. Az abszolút fekete test
Egy test fénykibocsátó-képességét az e(l,T) ún. spektrális emisszióképességével szokás jellemezni, ami megadja a test egységnyi felülete által, időegység alatt, a felületre merőlegesen, egységnyi térszögben kisugárzott energiának az egységnyi hullámhossztartományba eső részét. Az e(l,T) SI-mértékegysége: W/m3. (Hasonlóan definiálható az e(f,T) egységnyi frekvenciatartományra vonatkozó emisszióképesség is, aminek J/m2 az SI-mértékegysége.) A teljes- vagy összemisszió-képességet a spektrális mennyiségnek a hullámhossz (vagy a frekvencia) szerinti integrálja adja.
A termikus egyensúly kialakulása szempontjából az is meghatározó, hogy mi történik, ha egy testre kívülről esik elektromágneses sugárzás. A test a ráeső fény egy részét visszaveri (reflexió), más részét átengedi (transzmisszió), a maradék részt pedig elnyeli (abszorpció). Ezekre ugyanúgy definiálhatók a megfelelő tényezők: r(l,T) a spektrális visszaverődési (reflexiós) tényező, t(l,T) a spektrális áteresztési (transzmissziós) tényező, a(l,T) pedig a spektrális elnyelési (abszorpciós) tényező, más néven spektrális abszorpcióképesség. Ezekre teljesül, hogy
a(l,T) + t(l,T) + r(l,T) = 1 (1.1)
Az így definiált mennyiségek a hőmérsékleten kívül általában függenek egyéb tényezőktől is (pl. a felület érdessége, anyagi minősége). Például a felületet vékony koromréteggel bevonva a test sokkal nagyobb mértékben nyeli el a látható fényt. Azt az idealizált testet, amely a ráeső fényt minden hullámhosszon és bármely hőmérsékleten teljes egészében elnyeli abszolút fekete testnek hívjuk. Egy (fiktív!) abszolút fekete test spektrális abszorpcióképessége tehát
A(l,T) 1 (1.2)
Szigorúan véve olyan anyag, amely minden ráeső elektromágneses sugárzást 100%-ban elnyelne nem létezik. Jó közelítéssel azonban ilyennek tekinthetők a csillagok, vagy az izzólámpa izzószála. Ennél még jobb közelítéssel tekinthető abszolút fekete testnek egy olyan üreg, amit egy a sugárzást át nem eresztő, belül korommal bevont vastag falú edény zár körbe úgy, hogy a falon egyetlen pici lukat fúrunk (1.1. ábra). A lukon át az üregbe érkező fénynek igen kicsi az esélye, hogy a belső falon történő sokszoros visszaverődés során ne nyelődjön el, hanem visszatalálva a lukhoz elhagyja az üreget. A lukba érkező fény gyakorlatilag teljes egészében elnyelődik, annál inkább, minél kisebb a luk.
Az abszolút fekete test jelentőségét a következő tapasztalati tény adja, amit Gustav KIRCHHOFF (1824-87) német fizikus 1859-ben termodinamikai úton le is vezetett. Amíg a testek spektrális emisszió- illetve abszorpcióképessége anyagi minőségtől függ, a kettő hányadosa minden testre ugyanaz, és csak a hullámhossz (frekvencia) és a hőmérséklet függvénye:
(1.3)
ahol E(l,T) nem más, mint az abszolút fekete test spektrális emisszióképessége. Vagyis adott hőmérsékleten az erősebben abszorbeáló testek erősebben is világítanak. (1.3) alapján a különböző testek emisszióképességét az abszorpcióképességnek és az univerzális E(l,T) függvénynek a szorzata adja:
(1.4)
Ebből látszik, hogy a(l,T) 1 miatt adott hőmérsékleten az abszolút fekete test emisszióképessége bármely más test emisszióképességénél nagyobb. Ha például izzítunk egy üreget tartalmazó vasdarabot, amin van egy kis luk, akkor a tapasztalat szerint a lyuk sokkal erősebben világít, mint maga a környező vas.
3. Az abszolút fekete test emisszióképessége
A 19. század második felében (1879) Jozef STEFAN (1835-93) szlovén származású osztrák fizikus kísérletileg vizsgálta az 1.1 ábrán látható, állandó hőmérsékleten tartott üreg nyílásából kilépő sugárzás spektrális eloszlását valamint annak a hőmérséklettől való függését. Az eredményt az 1.2 ábra mutatja. A legfontosabb tanulságok a következők:
-
a sugárzás széles hullámhossz-tartományt átfogva egy maximummal rendelkezik
-
a hőmérséklet növelésével az emisszióképesség minden hullámhosszon nő, tehát a görbék nem metszik egymást
-
a hőmérséklet növelésével a maximumhely a rövidebb hullámhosszak felé tolódik
Stefan empirikusan megállapította, Ludwig BOLTZMANN (1844-1906) osztrák fizikus pedig termodinamikai megfontolásokból elméletileg is alátámasztotta, hogy az egységnyi felületen át kijövő sugárzás teljes intenzitása, vagyis az összemisszióképesség (az ábrán látható valamely görbe alatti terület) az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával arányos, ez az ún. Stefan–Boltzmann-törvény:
(1.5)
ahol, a mérések szerint, s=5,67·10-8 W/(m2K4) az ún. Stefan-Boltzmann állandó. Egy fekete test tehát, ha hőmérsékletét megduplázzuk, 16-szor akkora összintenzitású hőmérsékleti sugárzást bocsát ki.
A Stefan-Boltzmann törvény alapján az összemisszió-képesség mérésével meghatározható egy fekete test hőmérséklete. Például a Nap sugárzásának intenzitása a Föld légkörének határán 1370 W/m2 (Ez az ún. napállandó – a felszínre, a tengerszint magasságában ennek már csupán mintegy a fele jut le). A napállandóból, ismerve a Nap-Föld távolságot, kiszámítható a Nap által kisugárzott összteljesítmény, amit elosztva a Nap felszínével megkaphatjuk a Nap összemisszióképességét, I(T)-t. A Nap folytonos emissziós spektruma (eltekintve bizonyos diszkrét, keskeny ún. elnyelési vonalaktól, ahol az intenzitás leesik – lásd később) jó közelítéssel követi a fekete test 1.2 ábrán látható emissziós spektrumát, E(l,T)-t. Ezért alkalmazhatjuk az (1.5) Stefan-Boltzmann törvényt, amiből a Nap felszíni (ún. sugárzási, vagy fekete) hőmérsékletére 5800 K adódik. (Természetesen a Nap belsejében a hőmérséklet ennél több nagyságrenddel nagyobb, az energiatermelő fúziós folyamatokhoz több millió fokra van szükség – lásd a Magfizika részben.)
A fekete test sugárzására vonatkozó másik fontos összefüggés az 1.2 ábrán látható görbék maximumáról Wilhelm WIEN (1864-1928; Nobel-díj 1911-ben) német fizikus által 1893-ban megállapított és később róla elnevezett Wien-féle eltolódási törvény, amely szerint E(l,T) maximumhelye fordítottan arányos az abszolút hőmérséklettel:
lmax·T = Cl (1.6a)
ahol Cl = 2,898·10-3 m·K. Ugyanez az E(f,T) maximumhelyére vonatkozóan:
fmax/T = Cf (1.6b)
ahol Cf ≡ c/Cl = 5,879·1010 Hz/K (c a fénysebesség).
A Wien-féle eltolódási törvény alapján érthető, miért kezd a fölizzított vas először vörösen, majd a hőmérséklet emelésével sárgán, végül több ezer fokon kékes-fehéren világítani.
Feladat: Hány fokos feketes test sugárzásának a maximuma felel meg a látható tartomány vörös (l800 nm) illetve ibolya (l400 nm) szélének? (Válasz: 3622 K illetve 7245 K.)
A Nap 5800 K-es felszíni hőmérséklete l max 500 nm-nek felel meg, ami a sárgás tartományba esik. A vörös csillagok felszíni hőmérséklete alacsonyabb, a kék csillagoké magasabb a Napénál.
A világító testek fekete hőmérsékletének nevezzük azon abszolút fekete test hőmérsékletét, aminek emisszióképessége (összesen vagy egy adott hullámhosszon) megegyezik a testével. Fényforrásoknál a fekete hőmérséklet mellett szokás az ún. színhőmérsékletről is beszélni, ami egy olyan abszolút fekete test hőmérséklete, amiből kijövő hőmérsékleti sugárzás spektrális eloszlása (színe) a legjobban hasonlít az adott fényforrás spektrális eloszlásához (színéhez).
Érdemes még megemlíteni a világűr minden irányából egyformán érkező ún. mikrohullámú háttérsugárzást, aminek spektrális eloszlása megfelel egy 2,7 K hőmérsékletű fekete test hőmérsékleti sugárzásának. Ez az 1964-ben Penzias és Wilson által felfedezett (Nobel-díj 1978-ban) háttérsugárzás („mikrohullámú zaj”) nem más, mint az Univerzum fejlődésének kezdeti szakaszából visszamaradt és a „Nagy Bumm” óta eltelt sok milliárd év alatt ennyire „lehűlt” hőmérsékleti sugárzás.
4. Problémák az abszolút fekete test emisszióképességének klasszikus fizikai értelmezésével
A fekete test sugárzásának tanulmányozása mérföldkő volt a tudomány fejlődésében. A 19. század vége felé a klasszikus fizika szinte teljes fegyvertárát bevetették (elektrodinamika, termodinamika, statisztikus fizika), mégsem sikerült levezetni, megmagyarázni az 1.2 ábrán látható spektrális eloszlást. Sőt, az értelmezési kísérletek kudarca egyúttal alapvető problémákra mutatott rá.
Lord RAYLEIGH (eredeti nevén John William Strutt) (1842-1919; Nobel-díj 1904-ben) és James JEANS (1877-1946) brit fizikusoknak 1900-ban sikerült olyan sugárzási törvényt felállítaniuk, amely alacsony f frekvencián, tehát nagy l hullámhosszon helyesen írta le a kísérleti eredményeket, magas frekvencián azonban képletük teljes csődöt mondott. Röviden vázoljuk gondolatmenetük lényegét.
Az 1.1 ábrán látható üreg belsejében elektromágneses állóhullámok alakulnak ki. Ha az üreg teljesen zárt, egy idő múlva beáll a termikus egyensúly, amikor az üreg falában lévő részecskék által az üregbe kisugárzott és az üregből elnyelt elektromágneses sugárzás – minden frekvencián – dinamikus egyensúlyba kerül egymással. Ha ezek után egy nagyon pici lyukat fúrunk az üreg falába, akkor a lyukon át kibocsátott sugárzás spektrális eloszlása szükségszerűen megegyezik a zárt üreg belsejében kialakuló elektromágneses mező energiájának spektrális eloszlásával. Az abszolút fekete test emisszióképessége tehát megkapható az üregben lévő elektromágneses mező energiájának spektrális eloszlásából.
A zárt üregben az elektromágneses mező kielégíti a vákuumbeli Maxwell-egyenleteket. Mivel az eredmény – az abszolút fekete test emisszióképessége – nem függhet sem az üreg alakjától, sem annak anyagától, a számolást legegyszerűbb fémfalú és pl. téglatest alakú üregre elvégezni. Ilyenkor a megoldás olyan állóhullámok szuperpozíciójaként írható föl, ahol az egyes állóhullámokban (módusokban) az elektromos térerősség fallal párhuzamos komponense eltűnik a falakon. Emiatt a peremfeltétel miatt az egyes állóhullámok (Fourier-komponensek) hullámhosszának fele egész számszor kell hogy beleférjen a téglatestbe (az egész számok természetesen különbözők lehetnek a három különböző térbeli irányban). Ennek alapján, elemi megfontolásokból könnyen megkapható (a részletek megtalálhatók pl. Marx György Kvantummechanika c. könyvében), hogy az egységnyi frekvencia-intervallumba eső lehetséges módusok száma a frekvencia négyzetével arányosan nő:
dNf f 2 (1.7)
A gondolatmenet második lépése azon alapul, hogy az elektromágneses mező energiasűrűsége a térerősségek négyzetével arányos, amit az egyes – időben harmonikusan oszcilláló – állóhullám-módusokra alkalmazva, azt kapjuk, hogy a mező teljes energiájához minden egyes Fourier-komponens (módus) az amplitúdójának a négyzetével arányosan járul hozzá. Az energia szempontjából tehát minden egyes módus megfelel egy harmonikus oszcillátornak. A klasszikus statisztikus fizikából pedig már ismert volt az ekvipartíció tétele, amely szerint hőmérsékleti egyensúlyban minden termikus szabadsági fokra (olyan szabadsági fok, amihez tartozó energia a szabadsági fokot leíró koordináta négyzetével arányos) átlagosan ½kBT energia jut, ahol kB 1,38·10-23 J/K a Boltzmann-állandó. Tekintve, hogy egy harmonikus oszcillátor két termikus („négyzetes”) szabadsági foknak felel meg, (az adott esetben ez az elektromos illetve a mágneses komponens amplitúdója) ezért minden egyes módusra termikus egyensúlyban átlagosan ugyanakkora
(1.8)
energia jut. Az (1.7)-ben nem szereplő szorzófaktorokat is kiírva (ügyelve például arra, hogy az elektromágneses állóhullámok transzverzálisak, ezért mindegyiket kétszer kell figyelembe venni a kétféle polarizáció miatt) a Rayleigh-Jeans-féle végső formula:
(1.9)
(A képlet értelemszerűen átírható a hullámhossz függvényeként is.)
Az (1.9) képlet a kis frekvenciákon (nagy hullámhosszakon) pontosan leírja a kísérleti tapasztalatot! Azonban nem rendelkezik maximummal, és ami a legsúlyosabb hibája, nagy frekvenciákon (kis hullámhosszakon) teljesen csődöt mond: minden határon túl nő! Ez azt jelenti, hogy a növekvő számú lehetséges módus együtt az ekvipartíció tétellel, amely szerint mindegyik módusra átlagosan ugyanakkora energia jut, ahhoz vezet, hogy az üreg csak akkor kerülhetne termikus egyensúlyba, ha a környezetéből végtelen nagy energiát vonna el, növekvő frekvenciákon egyre többet („ultraibolya katasztrófa”).
Megjegyezzük, hogy Wien 1896-ban megmutatta, hogy ha az elektromágneses hullámokat klasszikus részecskékből álló ideális gáznak tekintenénk, akkor az emisszióképességre egy olyan képlet vezethető le, ami a nagy frekvenciákon (kis hullámhosszakon) adja vissza a kísérleti eredményeket. Az ő formulája viszont kis frekvenciákon romlott el. Olyan képletet, ami az 1.2 ábrán látható sugárzási görbét minden hullámhosszon helyesen adná vissza, Planck előtt senkinek nem sikerült levezetnie.
5. A Planck-féle sugárzási törvény: a kvantumfizika megszületése
A Rayleigh-Jeans-féle levezetés során az állóhullám-módusok leszámlálásában nincs hiba. A problémát csak az ekvipartíció tételének alkalmazása jelentheti! Az ekvipartíció tétele pedig a statisztikus fizika igen általános elveiből – kicsit leegyszerűsítve: a nagy számok törvényén alapuló Boltzmann-eloszlásból – következik. Az ekvipartíció tételének bizonyításában (amit itt helyhiány miatt mellőzünk, mivel megtalálható más tankönyvekben) egy dolog fontos szerepet játszik: a lehetséges állapotok és a nekik megfelelő energiák folytonosan változnak, ezért a várható érték meghatározásához integrálokat kell elvégezni az ún. fázistérben. (A koordináták és az impulzusok által „kifeszített” absztrakt fázistérről lásd még a … fejezetet ?)
Max PLANCK (1858-1947; Nobel-díj 1918-ban) német fizikus forradalmian új ötlete az volt, hogy „próbaképpen” kiszámította az energia várható értékét egy olyan rendszerre, ahol az energia nem folytonos értékkészletű, hanem diszkrét. A lehető legegyszerűbb diszkrét eloszlást tekintette, ahol a megengedett energiák egy legkisebb adagnak, az ún. energiakvantumnak (e0), csak egész számú többszörösei lehetnek:
n = 0,1,2 … (1.10)
A Boltzmann-eloszlás segítségével egyszerű számolással (ennek részletei megtalálhatók pl. Marx György Kvantummechanika c. könyvében) megmutatható, hogy egy ilyen rendszer energiájának várható értéke T hőmérsékleten:
(1.11)
Ebben az összefügggésben a kBT szorzója egy olyan kifejezés, ami az xe0/kBT0 határesetben egzaktul 1-hez tart. Vagyis, ha az e0 adagossággal nullához tartunk (ún. klasszikus határeset), a levezetés során az összegek integrálokba mennek át, az eredmény pedig átmegy a két termikus szabadsági fokú rendszerekre, például egy harmonikus oszcillátorra vonatkozó ekvipartíció tételbe: . Az 1.3 ábra mutatja az x/(ex-1) függvény viselkedését. Ennek alapján jól látható, hogy az ekvipartíció tétele jó közelítéssel igaz marad kis x értékekre, tehát mindaddig, amíg e0 « kBT. Nagyon nagy x-ekre (e0 » kBT) azonban az (1.11) kifejezés exponenciálisan nullához tart. Ily módon egy olyan szabadsági fokra, amelynek lehetséges energiái túlságosan diszkrétek, vagyis az adagosság túl nagy a kBT ún. termikus energiához képest, T hőmérsékleten gyakorlatilag nulla átlagos energia jut – ahogy mondani szokás, az ilyen szabadsági fok „befagy”.
Ez adta a kulcsot Planck kezébe, hogy megoldja az ultraibolya katasztrófa, sőt az egész hőmérsékleti sugárzás problémáját. Feltételezte, hogy az elektromágneses mező energiája nem változhat folytonosan, hanem csak diszkrét adagokban, méghozzá a frekvenciától függő adagokban. Mivel kis frekvenciákon jól működik az ekvipartíció tétellel nyert Rayleigh-Jeans-féle formula, itt az adagosság kicsi. Nagy frekvenciákon viszont nagy adagossággal be lehet fagyasztani az üreg módusait, így el lehet kerülni az ultraibolya katasztrófát. Az energiakvantumra vonatkozó legegyszerűbb ilyen tulajdonsággal rendelkező összefüggés az egyenes arányosság. Planck feltételezte, hogy
e0 = hf (1.12)
Ezt (1.11)-be helyettesítve, és az (1.8) formulát ezzel a kvantált várható értékkel lecserélve, (1.9) helyett adódik a Planck által 1900-ban fölírt és később róla elnevezett sugárzási törvény:
(1.13)
Kiderült, hogy ez a képlet (illetve ennek hullámhosszra átírt alakja) h alkalmas megválasztásával pontosan leírja az 1.2 ábrán bemutatott kísérleti görbéket. Az illesztésből kapott érték
h 6,62610-34 Js , (1.14)
amit azóta Planck-állandónak nevezünk.
Feladat : Mutassuk meg, hogy az (1.13) Planck-féle sugárzási törvényből következik az (1.5) Stefan-Boltzmann törvény valamint az (1.6b) Wien-féle eltolódási törvény, beleértve a s és Cf konstansok számszerű értékét is! (Útmutatás: vegyük észre, hogy a Planck-féle sugárzási törvény T3 Ê(f/T) alakba írható, amiből már mindkét összefüggés könnyen belátható.)
Megjegyezzük, hogy az üregben lévő elektromágneses mező teljes energiája természetesen tetszőlegesen kis adagokban változhat, hiszen az e0 diszkrétség annál kisebb, minél kisebb frekvenciájú Fourier-komponensről (módusról) van szó.
?! Ezután az Einstein-féle levezetést is be kellene mutatni !!!? Vagy inkább a lézeres részbe … !
|