Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini yechishda Libman metodi

|
Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini yechishda Libman metodi
|
bet | 5/6 | Sana | 16.05.2024 | Hajmi | 2,14 Mb. | | #238703 |
Bog'liq Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmali sxemalar 2.2 Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini yechishda Libman metodi
Faraz qilaylik
(1)
Puasson tenglamasining G sohada
(2)
chegaraviy shartni qanoatlantiradigan yechimini topish talab qilinsin. Biz bu yerda besh nuqdali andazadan kvadratik tur uchun ( ) foydalanamiz.U xolda (3)
(3)dan quyidagi sodda ayirmali sxemani xosil qilamiz
(4)
Chegaraviy shartni esa
(5)
shaklda olamiz. Bu yerda yukoridagi tenglamalarning soni N juda
katta Bo’lishi mumkin, shuning uchun xam bu sistemani iteratsiya
metodi bilan yechish maʼquldir. Biz iteratsiya metodini Libman
ko'rsatgan usul buyicha qullaymiz. Buning uchun turdagi tugunlarni
quyidagicha turlarga ajratamiz. Chegaraviy tugunlarni birinchi tur
tugunlar deymiz. Kamida bitta qo’shnisi chegaraviy tugun bulgan
barcha ichki tugunlarni ikkinchi tur tugunlar deymiz. Oldingi turlarga tegishli bo’lmagan va kamida bitta qo’shnisi ikkinchi turga tegishli bulgan barcha ichki tugunlarni uchinchi tur tugunlar deymiz va x.k Shunday qilib, dagi barcha tugunlarni chekli mikdordagi turlarga ajratamiz, shu bilan birga xar bir tugun faqatgina bitta turga tegishli buladi.
Faraz qilaylik yechim soxadagi (4), (5) ayirmali chegaraviy masalaning j tugundagi aniq yechimi bolsin.Endi larga ixtiyoriy qiymat beramiz. va bularni (4), (5) ayirmali masalaning nolinchi yaqinlashishi deymiz. Birinchi yaqinlashish ni topish uchun (4) ga ko’ra ning to’rtda qo’shni tugundagi qiymatining o’rtacha arifmetikidan ning 1-tugundagi qiymatini ayirish kerak.Keyin ni topish uchun ning to’rtda qo’shni tugundagi qiymatlarining o’rtacha arifmetigidan ning 2=tugundagi qiymatini ayirish kerak. Shunga o’xshash lardan foydalanib larni topamiz va x.k.
Endi deb belgilab barcha uchun
(6)
Tenglamani ko’rsatamiz
Xaqiqatan xam (4), (5) ayirmali chegaraviy masalaning va chegaraviy shartlar nolga teng bolgandagi yechimidir.Shuning uchun xam navbatdagi yaqinlashish oldingi yaqinlashishlarning to’rtga qo’shni tugunlarining o’rtacha arifmetigiga teng. Xususiy xolda
Chunki birinchi tugunning kamida bitta qo’shnisi chegarada yotadi va unda chegaraviy shart nolga teng. Shunga o’xshash
Bu jarayonni davom ettirib, j ga bo’g’liq bo’lmagan ixtiyoriy n uchun
tengsizlikni xosil qilamiz. Bundan esa da kelib chiqdi
Ko’rinib turibdiki, bu algoritm xisoblash xatoligiga nisbatan
turgundir, chunki biror qadamda yo’l qo’yilgan xatolik keyingi
qadamda kamayib boradi. Bu usulning xisoblash uchun qulayroq, bulgan sxemasini qurish uchun orqali n tuzatmani belgilaymiz.
U xolda quyidagiga ega bo’lamiz
Rshankini hisoblash uchun yuqoridagi usulga ko’ra . ni hisoblab keyin
Ayirmani topish kerak. Barcha keying xisoblashlar ni hisoblagandek olib boriladi ,yani ni topish uchun nolli chegaraviy shartlar va . deb olib larning to’rtga qo’shni tugundagi qiymatlarining o’rtacha arifmetigini olish kerak. Endi
(7)
Deb olib bu tqribiy tenglikning xatoligini baxolaymiz. Ravshanki
Bundan esa
. (8)
Shunday qilib (8) taqribiy tenglikning xatosi
(9)
Miqdorga teng bolib, bunda
Shuni xam takidlsh kerakki (9) qo’polligiga qaramasdan jiddiy ravishda larga bog’liq. Shuning uchun xam dastlabki yaqinlashishlarni tanlash uchun qo’shimcha malumotlardan foydalanish kerak. Ayrim xollarda berilgan to’rda yechish kerak bo’lsa avval bu masalani yirikroq to’rda yechib keyin interpolyatsiya amalini bajarib natijada uchun berilgan to’rda ozmi-ko’pmi qoniqarli qiymatini xosil qilish mumkim.
Misol . Quyidagi
Puasson tenglamasining yechimi kvadratning 1-chizmada ko’rsatilgan 1-9 nuqtalardagi qiymati topilsin. Chegaraviy shatlar 1-chizmada ko’rsatilgan
Yechish. soxaning tugunlari 1-chizmada ko’rsatilgandek belgilab chiqamiz va (4) tenglamani quyidagicha yozib olamiz
(4.1)
1-rasm
Bunda ( ) orqali j-tugunning abssissasini belgilaymiz a, b, c,d lar esa j-tugunga qo’shni tugunlar. Chegaraviy shartlarning simmetrikligiga ko’ra
Tengliklar kelib chiqadi.Shuning uchun xam faqat larni toppish kifoyadir.Qaralyotgan to’rda h=1 dastlabki yaqinlashishlarni tanlash uchun quyidagi ish tuzamiz ni topish uchun uchun h=2 deb olib (4.1) dan quyidagiga ega bo’lamiz
.
ni topish uchun (4.1) da h= olamiz u holda
Shunga o’xshash
Endi berilgan to’rda h=1 qadam bilan quyidagilarni xisoblaymiz
Xisoblashlarning qolganlari 1-jadvalda keltirilgan. Biz faqat 6ta iteratsiyani oldik aslida xisoblashni yetarlicha kichik bo’lgunigacha davom ettirish kerak. Iteratsiya jarayoni sekin yaqinlashishning sababi qadamning kattaligiga (h=1). Jadvalning oxirgi satrida berilgan diffirensial tenglama
Aniq yechimning tugunlardagi qiymati keltirilgan
1-jadval
|
| |