Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va undan ildiz chiqarish

|
Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va undan ildiz chiqarish
|
bet | 4/9 | Sana | 23.01.2024 | Hajmi | 3 Mb. | | #143972 |
Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va undan ildiz chiqarish.
Aytaylik kompleks sonlar berilgan bo‘lsin. Ikkita kompleks sonlar ko‘paytmasi singari bu n ta kompleks sonlar ko‘paytmasi
(1)
bo‘ladi. Bunda Xususan, bo‘lsa, (1) tenglik ushbu
(2)
ko‘rinishga ega bo‘lib, bu z kompleks sonning n-darajasi deyiladi.
Ravshanki,
.
Demak,
. (3)
Odatda (3) formula Muavr formulasi deyiladi.
Aytaylik, kompleks son va tayinlangan sonlar berilgan bo‘lsin. Ushbu
. (4)
tenglikni qanoatlantiruvchi kompleks son kompleks sondan olingan n-darajali ildiz deyiladi va u kabi belgilanadi:
.
Berilgan kompleks son quyidagi
(5)
trigonometrik ko‘rinishda bo‘lsin. kompleks sonni ushbu
(6)
ko‘rinishda izlaymiz.
Unda (4), (5), va (6) munosabatlarga ko‘ra
bo‘ladi.
Endi
formulani e’tiborga olib, quyidagi
tenglikka kelamiz. Unda
(7)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Bu tengliklarni kvadratga ko‘tarib, so‘ng ularni hadlab qo‘shib topamiz:
Topilgan ning qiymatini (7) tengliklardagi ning o‘rniga qo‘ysak, ushbu
tenglamalar hosil bo‘ladi.
Agar ma’lum bo‘lgan
tengliklarni e’tiborga olsak, unda
ya’ni
bo‘lishini topamiz.
Demak, izlanayotgan kompleks sonning moduli
argumenti esa
bo‘lar ekan. Demak,
(8)
bo‘ladi.
2. Kompleks sonning trigonometrik ko‘rinishi.
Trigonometrik ko‘rinishdagi kompleks sonning ayrim amaliy masalalarda tadbiqlari
Bizga ma’lumki,akademik litsey va ixtisoslashtirilgan maktablarning yuqori sinf o‘quvchilari uchun “Kompleks son tushunchasi “ kiritiladi, huddi shunga doir ayrim masalalarni kompleks sonning trigonometrik ko‘rinishi orqali yechilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi. Kompleks sonning trigonometrik ko‘rinishi va shu sonni n darajaga ko‘tarish formulasi
(1)
1-misol.
Quyidagi yig‘indilarni hisoblang
Yuqoridagi yig‘indilarni topish uchun kompleks sonlarning trigonometrik formasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir.Buning uchun ikkinchi yig‘indini ga ko‘paytirib birinchisiga qo‘shiladi:
Agar
deb belgilasak Muavr formulasiga ko‘ra
bo‘ladi.
U holda
Ikkala tomondagi mos qismlarini tenglashtirish bilan ushbu
va
Natijaga ega bo‘lamiz.
Keltirish formulalarni hisobga olib quyidagi munosabatlarni yozish mumkin:
Yuqoridagilarga asosan quyidagi radikal formula yozish mumkin:
2-misol.
Quyidagi tenglikni isbotlang.
Bu tenglikni isbotlashda odatiy trigonometrik xossalardan foydalanmagan holda,kompleks sonning trigonometrik almashtirishlar orqali ko‘rsatamiz.Birinchi navbatda
ko‘rinishdagi moduli 1 ga teng kompleks sonni kiritamiz, .Berilgan kompleks sonni 7-darajasini yuqoridagi Muavr formulasi yordamida topib olamiz va quyidagi natijaga erishamiz: va .Boshqa tomondan quyidagi tenglikga egamiz:
orqali quyidagi tengliklarga erishamiz: va . Ushbu tenglikdan
Shunga ko‘ra,ushbu tenglik isbotlandi:
3-misol.
Quyidagi yig‘indini hisoblang.
Yuqoridagi yig‘indini hisoblash uchun yig‘indi kiritamiz:
.
kompleks sonning trigonometrik shakli ma’lum. yig‘indini ga ko‘paytirib yig‘indiga qo‘shib quyidagi yig‘indiga ega bo‘lamiz:
Bizga ma’lum bo‘lgan trigonometrik almashtirishlar orqali va shunga ko‘ra
Yuqoridagi tenglikdan quyidagi natijaga erishamiz:
Bu tenglikni haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib va yig‘indilarni topamiz:
s
Xulosa o‘rnida aytish joizki,ayrim yig‘indilarni hisoblashda kompleks sonning trigonometrik ko‘rinishini qo‘llab hisoblash ancha qo‘l keladi.
|
| |