Ratsional funksiyalarni integrallash

Ratsional funksiyalarni integrallash. Endi umumiy holda R(x)=Qm(x)/Pn(x) to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasi ustida qisqacha to‘xtalib o‘tamiz. Bunda “Oliy algebra” fanida ko‘riladigan va isbotlanadigan bir qator teoremalarni isbotsiz keltiramiz. Ularning orasida ushbu teorema asosiy vazifani bajaradi:
1-TEOREMA: Har qanday (2) ko‘rinishdagi R(x) to‘g‘ri ratsional kasrni
(6)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda Rk(x) I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar, ularning umumiy soni r≤n bo‘ladi.
Demak, har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrlarning (4) chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida yozish mumkin. Kelgusida (6) tenglikni R(x) ratsional kasrning yoyilmasi deb yuritamiz.
Masalan, ushbu ratsional kasrlar uchun
(7)
(8)
yoyilmalar o‘rinli ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.
1-teoremadan har qanday R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasr, eng sodda ratsional kasrlarning yig‘indisi sifatida, elementar funksiyalarda integrallanuvchi va uning integrali logarifmik, arktangens hamda ratsional funksiyalar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Ammo bu integralni hisoblash uchun bizga ratsional kasrning (6) yoyilmasi kerak bo‘ladi. Shu sababli R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasrning (6) yoyilmasini topish masalasini qaraymiz.
Dastlab (4) yoyilmada qatnashadigan eng sodda Rk(x) kasrlarning turi va soni qanday aniqlanishini ko‘ramiz. Bu savolga javob maxrajining nollari, ya’ni
Pn(x)=0 (9)
algebraik tenglamaning ildizlari yordamida topiladi. Shu sababli (9) algebraik tenglamaning ildizlari to‘g‘risidagi ayrim ma’lumotlarni va ulardan kelib chiqadigan natijalarni qisqacha, isbotsiz keltiramiz.
Biror x=a soni (9) tenglamani ayniyatga aylantirsa, ya’ni Pn(a)≡0 bo‘lsa, u shu tenglamaning ildizi deyiladi. Masalan, x=–1 soni
(10)
tenglamaning ildizi bo‘ladi, chunki P3(–1)=(–1)3+3∙(–1)2+4∙(–1)+2≡0.
(9) tenglama uchun x=a ildiz bo‘lib, shart bajarilsa, unda x=a bu tenglamaning oddiy ildizi deyiladi. Bu holda (9) tenglamani chap tomonidagi ko‘phadni Pn(x)=(x–a)Ln–1(x) ko‘paytma ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi. Bu tenglikda Ln–1(x) ko‘paytuvchi biror (n–1)- darajali ko‘phad bo‘lib, u Ln–1(a)≠0 shartni qanoatlantiradi.
Masalan, x=–1 soni (10) tenglamaning oddiy ildizi bo‘ladi, chunki
.
Bunda haqiqatan ham yuqorida aytilgan tasdiq o‘rinli bo‘lib,
(11)
tenglik bajarilishini va L2(–1)=1≠0 ekanligini tekshirib ko‘rish mumkin.
2-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasr maxrajining oddiy ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida bitta A/(x–a) ko‘rinishdagi I tur eng sodda ratsional kasrdan iborat qo‘shiluvchi qatnashadi.
Masalan, (8) ratsional kasrning maxraji uchun x=–1 oddiy ildizi bo‘lishini yuqorida ko‘rib o‘tdik va shu sababli ratsional kasrning (8) yoyilmasida bitta –5/(x+1) qo‘shiluvchi qatnashmoqda.
Agar (9) tenglamaning x=a ildizi uchun
shartlar bajarilsa, x=a bu tenglamaning s karrali ildizi deyiladi. Bu holda (7) tenglamaning chap tomonini Pn(x)=(x–a)sLn–s(x) [Ln–s(a)≠0] ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi.
Masalan, P3(x)=x3–x2–8x+12=0 tenglama uchun x=2 ikki karrali ildiz bo‘ladi. Haqiqatan ham
va
P3(x)= x3–x2–8x+12 =(x–2) 2(x+3) (12)
tenglik o‘rinli.
3-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasr maxrajining s karrali ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida
ko‘rinishdagi bitta I tur va s–1 ta II tur eng sodda ratsional kasrlardan iborat qo‘shiluvchilar qatnashadi.
Masalan, (12) tenglikdan
ratsional kasrning maxraji uchun x=2 ikki karrali va x=–3 oddiy ildiz ekanligi kelib chiqadi va bunda
yoyilma o‘rinli bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin.
Agar biror x1=a+bi kompleks son (9) algebraik tenglamaning ildizi bo‘lsa, unda x2=a–bi qo‘shma kompleks son ham bu tenglamaning ildizi bo‘lishini isbotlash mumkin. Demak, Pn(x)=0 tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘lsa, bu ildizlar albatta qo‘shma kompleks sonlar juftliklaridan iborat bo‘ladi.
Agar x1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar Pn(x)=0 tenglamaning oddiy ildizi bo‘lsa, unda
Pn(x)=(x–x1)(x–x2)Ln–2(x)=(x2+px+q)Ln–2(x) [Ln–2(x1,2)≠0, p=–2a, q=a2+b2]
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Masalan,
P4(x)=2x4–17x3+77x2–107x–75
ko‘phad uchun x1,2=3±4i oddiy kompleks ildiz bo‘ladi. Bu holda
(x–x1)(x–x2)= x2–6x+25 => P4(x)=(x2–6x+25)(2x2–5x–3) (13)
ekanligini ko‘rsatish mumkin.
|