Eslatma. Yuqori tartibli hosilani belgilashda hosila belgisini kerakli marta takrorlash usuli ham qo‘llaniladi. Masalan

|
Eslatma. Yuqori tartibli hosilani belgilashda hosila belgisini kerakli marta takrorlash usuli ham qo‘llaniladi. Masalan
|
bet | 3/8 | Sana | 17.12.2023 | Hajmi | 379,29 Kb. | | #121588 |
Bog'liq Xisob Funksiyaning differensiali. Differensialning asosiy teoremalari Eslatma. Yuqori tartibli hosilani belgilashda hosila belgisini kerakli marta takrorlash usuli ham qo‘llaniladi. Masalan, y - ikkinchi, y - uchinchi va hokazo tartibli hosilalardir. Shuningdek, ba’zan rim raqamlari ham qo‘llaniladi, masalan, yIV - to‘rtinchi, yV – beshinchi va hokazo tartibli hosilalardir.
Quyidagi misollarni keltiramiz:
1-misol. y=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an bo‘lsa,
y=na0xn-1+(n-1)anxn-2+…+an-1 ,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y(n)=n.(n–1).….2*1* a0=a0 n! ,
y(n+1)=y(n+2)=…=0 .
Demak, n – darajali ko‘phadning n – tartibli hosilasi o‘zgarmas son bo‘lib, (n+1)- tartibli hosilasidan boshlab yuqori tartibli hosilalarining barchasi nolga teng bo‘lar ekan.
2-misol. f(x)=ekx , k – o‘zgarmas (k0).
f(x)=ekx(kx) =kekx;
f (x)=(f(x)) =(kekx) =k(ekx)
k*kekx=k2ekx
va hokazo,
f(n)(x)=knekx
ni olamiz. Demak,
(ekx)(n)= knekx, nN
f(x)=cosx=sin(x+ ),
f(x)=(f(x)) =(sin(x+ ))
=cos(x+ )*1=sin(x+),
- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -
f(n)(x)=sin(x+n* ),
(sinx)(n)=sin(x+n* ), nN
4-misol. f(x)=cosx.
Yuqoridagiga o‘xshash,
(cos x)(n)=cos(x+n* ), nN
ni olish mumkin.
5-misol. f(x)=U*V, bu yerda U va V lar ixtiyoriy tartibli hosilalari mavjud funksiyalardir.
(U*V) =UV+UV
(UV) =(UV+UV) =UV+UV+UV+UV=UV+ 2UV+UV
va hokazo.
ni olish mumkin. Bu Leybnis formulasi deb yuritiladi. Bu yerda nolinchi tartibli hosila funksiyaning o‘zi ekanligini eslash lozim.
Endi, yuqori tartibli differensial tushunchasini kiritamiz. Buning uchun funksiya differensialini uning birinchi tartibli differensiali argument orttirmasini o‘zgarmas deb qabul qilgan holda (n–1) – tartibli differensialning differensialini n-tartibli differensial deb ataymiz va uning uchun dny , dnf(x) kabi belgilashlarni qo‘llaymiz.
Demak, ta’rif bo‘yicha dny=d(dn-1y) ekan. Oxirgi formula asosida
d2y=d(dy)=d[f (x)dx]=(f (x)dx)dx=f (x)dx2
va hokazo,
dny=f(n)(x)dxn
Bu yerda ikkinchi va undan yuqori tartibli differensiallar birinchi tartibli differensialning invariantlik xossasiga ega emasligini ammo, oraliq o‘zgaruvchi bo‘lgan murakkab funksiya argumenti (erkli o‘zgaruvchi)ning chiziqli funksiyasi bo‘lgan holda bu xossa saqlanishini aytamiz.
Yuqori tartibli hosila ma’nolariga kelsak, agar moddiy nuqta S=S(t) qonun bo‘yicha to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan bo‘lsa, undan (yo‘l funksiyasidan) olingan birinchi tartibli hosila moddiy nuqtaning tezligi =(t) ekanligi bizga ma’lum, ya’ni
ekanligini chiqarish qiyin emas. Yoki
Demak, to‘g‘ri chiziqli harakatda bo‘lgan moddiy nuqtaning tezlanishi uning yo‘l funksiyasidan olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng ekan. Bu ikkinchi tartibli hosilaning fizik ma’nosidir. Geometrik ma’nosini keyinroq ko‘ramiz.
1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi. Faraz qilaylik, biror da hosilaga ega funksiya aniqlangan bo‘lsin. Ravshanki, hosila da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va , simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo‘yicha ekan.
Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa, u uchinchi tartibli hosila deyiladi kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha .
Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga o‘xshash aniqlanadi. Umuman funksiyaning -tartibli hosilasining hosilasiga uning n-tartibli hosilasi deyiladi va , , simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha n-tartibli hosila rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Eslatma. Yuqori tartibli hosilani belgilashda hosila belgisini kerakli marta takrorlash usuli ham qo‘llaniladi. Masalan
|