Ratsional sonlar to’plamining zichligi

2. Ratsional sonlar to’plamining zichligi. Bu bandda ratsional sonlar to’plami Q ning tartiblanganlik xossasi bilan bog’liq bo’lgan yana bir xossani qaraymiz. Faraz qilaylik, rєQ , tєQ va r
Bu jarayonni istalgancha davom ettirish yo’li bilan ixtiyoriy r va t ratsional sonlar orasida cheksiz ko’p ratsional sonlar borligi aniqlanadi. Mana shu xossa ratsional sonlar to’plami Q ning zichlik xossasi deyiladi.
3. Ratsional sonli chegaralangan va chegaralangan to’plamlar. Agar ratsional sonlardan tashqari biror to’plam bo’lsin.
1-ta’rif. Agar shunday ratsional r soni (s soni) mavjud bo’lsaki, uchun
bo’lsa, A to’plam yuqoridan (quyidan) chegaralangan deb ataladi., r ratsional son (s ratsional son) esa A to’plamning yuqori(quyi) chegarasi deyiladi.Masalan to’plam yuqoridan chegaralangan chunki bu to’plamning har bir elementi 1 dan kichik. N={1,2,3,…} to’plam quyidan chegaralangan, chunki B to’plamning har bir elementi 0 dan katta.
2-ta’rif. Agar A to’plam ham yuqoridan ham quyidan chegaralangan bo’lsa, y chegaralangan to’plam deb ataladi. Masalan to’plam chegaralangan chunki bu to’plamning har bir elementi 0 dan katta 1 dan kichik.
Aytaylik, A to’plam yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsin. U holda ravshanki bu to’plamning yuqori (quyi) chegaralari cheksiz ko’p bo’ladi.
Barcha manfiy ratsional sonlar, nol soni va kvadrati 2 dan kichik bo’lgan musbat ratsional sonlardan iborat to’plamni A deylik:
A={r:rєQ, r≤0}U{r:rєQ, r>0, r2<2}
Bu to’plam yuqoridan chegaralangan. Kvadrati 2 dan katta bo’lgan har bir musbat ratsional son A to’plamning yuqori chegarasi bo’ladi. Demak, A ning yuqori chegaralaridan iborat to’plam
B={r:rєQ, r>0, r2>2}
bo’ladi. Bu B to’plam elementlari orasida eng kichk son mavjud bo’lmaydi. Shuni isbotlaymiz. B to’plamdan r0 (r0єB, r0<1) olib, uning yordamida ushbu
ratsional son hosil qilamiz. Bu r1 ratsional sonning kvadrati 2 dan katta bo’ladi. Demak, r1єB, shunday qilib, B to’plamda r0 sonidan kichik bo’lgan r1 ratsional sonning mavjud bo’lishi ko’rsatildi. Bu esa B to’plamning elementlari orasida eng kichigi mavjud emasligini bildiradi.
3. Ushbu A={r:rєQ; r>1}to’plamni qaraylik. Bu to’plam quyidan chegaralangandir. Uning quyi chegaralaridan iborat to’plamB={r:rєQ; r≤1}
bo’ladi. B to’plam elementlari orasida eng kattasi mavjud va u 1 ga teng.
4. Kvadrati 2 dan katta bo’lgan barcha musbat ratsional sonlardan iborat to’plamni A deylik: A={r:rєQ, r>0, r2>2}.Bu to’plam quyidan chegaralangan. A ning quyi chegaralangan iborat to’plamB={r:rєQ, r≤0}U{r:rєQ, r>0, r2<2}bo’ladi. Bu B to’plam elementlari orasida eng katta son mavjud bo’lmaydi. Shuni ko’rsatamiz. B to’plamdan soni (r0єB, r0>1) olingan uning yordamida ushbu
ratsional sonni hosil qilamiz. Bu r1 ratsional sonning kvadrati 2 dan kichik bo’ladi Demak, r1єB,shunday qilib, B to’plamda r0 sondan katta bo’lgan r1 ratsional sonning mavjud bo’lishi ko’rsatildi. Bu esa B to’plamning elementlari orasida eng kattasi mavjud emasligini bildiradi.
3-ta’rif. Yuqoridan chegaralangan A to’plam yuqori chegaralarining eng kichigi (agar u mavjud bo’lsa) uning aniq yuqori chegarasi deyiladi. U supA kabi belgilanadi. Bu lotincha supremum-“eng yuqori” degan ma’noni anglatuvchi so’zdan olingandir.
4-ta’rif. Quyidan chegaralangan A to’plam quyi chegaralarining eng kattasi
( agar u mavjud bo’lsa) uning aniq quyi chegarasi deb ataladi. U infA kabi belgilanadi.Agar haqiqiy sonlar to’plami R da bajarilgan kesim tushunchasi kiritilsa ratsionla sonlar to’plami Q da sodir bo’lganidek, R ni ham kengaytirish zarurmi yoki yo’qmi degan tabiiy savol tug’uladi. Quyida biz bunday holat bo’lmasligini, ya’ni R da bajarilgan har qanday kesim faqat birinchi tur kesim bo’lishini ko’rsatamiz. Odatda bu xossa haqiqiy sonlar to’plami R ning to’liqlik xossasi deyiladi. Dastavval, R da bajarilgan kesim tushunchasi bilan tanishaylik.
Ta’rif. Haqiqiy sonlar to’plami R shunday E va E′ to’plamlarga ajratilsaki, unda
1) E≠
2)EUE′=R,
3)
shartlar bajarilsa, E va E′ to’plamlar R to’plamda kesim bajaradi deyiladi va (E,E′) kabi belgilanadi.Avvalgidek, E to’plam kesimining quyi sinfi, E′ to’plam esa kesimning yuqori sinfi deyiladi.
Misollar. 1. Biror x0єR sonni olib, x0 son va undan kichik bo’lgan barcha haqiqiy sonlar to’plamini E:E={x:xєR, x≤x0}, x, sondan katta bo’lgan barcha haqiqiy sonlar to’plamini E′:E′={x:xєR0 x>x0} deb olaylik. Natijada R to’plami E va E′ to’plamlarga ajraladi. E va E’ to’plamlarning tuzilishidan ular uchun yuqoridagi ta’rif shartlarining bajarilishini ko’rish qiyin emas. Demak E va E’ to’plamlar R to’plamda kesim bajaradi. Bu ( E,E′) kesimda uning quyi sinfi- E to’plam elementlari orasida eng katta element mavjud bo’lib, u x0 ga tengdir. Ammo bu holda kesimning yuqori sinfi E’ elementlari orasida eng kichik element mavjud emas. Odatda, bunday kesimda E to’plam yopiq sinf, undagi eng katta element yopuvchi element, E′ to’plam esa ochiq sinf deyiladi.
2. Ushbu x0єR sondan kichik bo’lgan barcha haqiqiy sonlar to’plami E:E={x:xєR x0), x0 son va undan katta bo’lgan barcha haqiqiy sonlar to’plami E′:E′={x:xєR, x≥x0} bo’lsin. Bu E va E′ to’plamlar R da (E,E′) kesim bajarishi ravshandir. E va E’ to’plamlarning tuzilishidan quyi sinf E elementlari orasida eng katta element mavjud emas, yuqori sinf E′ elementlari orasida esa eng kichik element mavjud
( u x0 ga teng) ekenligi ko’rinadi. Bu holda E to’plam ochiq sinf, E′ to’plam esa yopiq sinf, undagi eng kichik element yopuvchi element deyiladi.
3. Haqiqiy sonlar to’plami R da quyi sinf-E to’plamning elementlari orasida eng katta, yuqori sinf- E′ to’plamning elementlari orasida eng kichik element bor bo’lgan (E,E′) kesim mavjud emas. Buni isbotlaylik.
(E,E′) kesim R da bajarilgan kesim bo’lib unda E ning eng katta elementi x0 va E′ ning eng kichik elementi y0 bo’lsin. Kesim ta’rifiga ko’ra x00 bo’ladi. R to’plamning zichlik xossasiga binoan shunday uєR son mavjudki, x00 bo’ladi. Keyingi tengsizliklardan ko’rinadiki, u son E ga tegishli emas, chunki x0 son E da eng katta element va x00 va y0 son E′ to’plamning eng kichik elementi ekanidan u sonining E′ ga tegishli emasligi kelib chiqadi. Shunday qilib, uєR son E va E′ to’plamlarning birortasiga ham tegishli bo’lmaydi. Bundan E va E’ to’plamlar R da kesim bajarmasligi kelib chiqadi. Bu esa yuqoridagi farazga zid. Tasdiq isbotlandi.
Demak, R to’plamda bir vaqtda quyi hamda yuqori sinflari yopiq bo’lgan kesim mavjud emas.
Teorema ( Dedekind teoremasi). Haqiqiy sonlar to’plami R da bajarilgan holda har qanday (E,E′) kesim uchun faqat quyidagi ikki holdan biri bo’lishi mumkin:
a) kesimning quyi sinfi-E da eng katta element mavjud, yuqori sinf-E′ da eng kichik element mavjud emas;
b) kesimning quyi sinfi-E da eng katta element mavjud emas, yuqori sinfi- E′ da eng kichik element mavjud.
Isbot. Faraz qilaylik, R da biror (E,E′) kesim bajarilgan bo’lsin. Demak, E va E′ to’plamlar uchun ta’rif shartlari bajariladi. E to’plamning barcha ratsional sonlari to’plamini A to’plam, E′ to’plamning barcha ratsional sonlari to’plamini A′ to’plam deylik. Ravshanki, Bu tuzulgan A va A’ to’plamlar ratsional sonlar to’plami Q da (A , A′) kesim bajarilishini ko’rsatamiz. Avvalo A va A′ to’plamlarning bo’sh emasligini isbotlaylik. bo’lgani uchun Ǝx0єR , x0єE. Agar x0 ratsional son bo’lsa, x0єA bo’lib, A bo’ladi. Agar x0 irratsional bo’lsa, ta’rifga ko’ra u Q to’plamdagi ikkinchi tur kesim bilan aniqlanadi.
Demak, x0=(A0,B0). Bunda bo’lgani sababli, Ǝr0єQ, r0єA0 bo’ladi. Ammo r00 va x0єR bo’lganidan esa r0єA ekani kelib chiqadi. Demak . Xuddi shuningdek, ekani ham ko’rsatiladi. dan va A ,A′ to’plamlarning tuzilishiga ko’ra bo’ladi.
(E,E′) kesim R da bajarilgan kesimligidan va dan mos ravishda A va A′ to’plamlarga tegishli a va a’ elementlar uchun a
Dedekind teoremasiga ko’ra haqiqiy sonlar to’plami R da bajarilgan har qanday (E,E′) kesim uchun ikki hol bo’ladi. Bunda E yoki E′ sinflarning yopuvchi elementlarini biridan ikkinchisiga o’tkazish yo’li bilan bitta holga, kesimni bir tur kesimga keltirish mumkin. Biz R da bajarilgan har qanday kesim (E,E′) da kesimning quyi sinfi E da eng katta element yo’q, yuqori sinf E′ da esa eng kichik element bor bo’lgan kesim deb qaraymiz. Bu esa Dedekind teoremasini quydagicha ham ifodalash mumkinligini ko’rsatadi.
Teorema. R da bajarilgan har qanday (E,E′) kesim yagona haqiqiy sonni aniqlaydi.
son yordamida har doim R da α=(E,E′) kesim bajarish mumkinki, bunda haqiqiy son α kesimning yuqori sinfi E′ ga tegishli bo’lib, uning eng kichik elementi bo’ladi. Aksincha, R da (E,E′) kesim bajarilgan bo’lsin. Bu kesimning yuqori sinfi E’ da eng kichik element mavjud bo’lib, kesim shu sonni ifodalaydi.
Demak, haqiqiy sonlar to’plami R shu to’plamda bajarilgan kesimlar to’plami bilan o’zaro bir qiymatli moslikda bo’ladi.
|