Chegaraviy va boshlang’ich shartlar bilan masalaning umumiy

2. Chegaraviy va boshlang’ich shartlar bilan masalaning umumiy qo’yilishi
Chekli ayirmalar usulining asosiy g’oyasiga ko’ra biror muhitda berilgan funksiya to’r vektor bilan ifodalanadi, differensial operatorlar esa hech bo’lmaganda fazoviy o’zgaruvchilar va vaqt bo’yicha to’rlarda ularning ayirmali analoglarini approksimatsiyalaydi. Vaqt bo’yicha masalalarda EHMning real vaqtiga to’g’ri keluvchi yechimni olishga majburmiz va vaqt bo’yicha hosilalarni hisoblash oson kechmaydi, chunki yangi vaqt momentiga to’g’ri keluvchi yechim noma’lum. Shuning uchun vaqtdan bog’liq hadlarni o’z ichiga olgan masalalarda vaqt to’tlarida integrallash operatsiyasini bajarish maxsus ta’riflarni talab qiladi. Biz bu yerda vaqt bo’yicha masalani qaraganimizda bitta nuqtada berilgan chegaraviy shartli masalalarni tushunamiz. Shuning uchun real vaqt momentida yechiladigan masalalarning o’ziga xos jihatlari va muhim ahamiyati mavjud.
Har qanday mexanik, fizik masala albatta boshlang’ich shartlar bilan beriladi va u fundamental ahamiyatga ega. Real masalaning o’zi matematik modellashtirish jarayonida oddiy yoki xususiy hosilali differensial tenglamalarga yoki tenglamalar sistemasiga olib kelinadi. Quyida xususiy hosilali differensial tenglamalarga olib kelinadigan ba’zi jarayonlarini qaraylik.
Faraz qilaylik, biror tizimning holati vektor bilan berilgan fazoning berilgan sohasida ifodalansin. vaqt momentida boshlang’ich miqdor va sohaning sirtida vaqt ning barcha qiymatlari uchun vektorning qiymatlari ma’lum. sohaning barcha ichki nuqtalarida vaqt ning barcha qiymatlari uchun vektorni aniqlash talab etilsin. Tizimning bunday holatini berilgan boshlang’ich qiymatlarga asoslanib
tenglamani yechish orqali topish mumkin, bu yerda - oddiy differensial tenglamalar uchun algebraik, xususiy hosilali tenglamalar uchun esa fazoviy differensial operator. Agar muhitning fazoviy holatidagi to’r vektor holatini ifodalasa, u holda ayirmali operatorlardan iborat.
Gidrodinamik jarayonga kelsak, bu yopiq tenglamalar sistemasi orqali ham barqaror (vaqt bo’yicha xususiy hosilalar nolga teng), ham nobarqaror ideal issiqlik o’tkazmaydigan suyuqliklarning oqishini, hamda suyuqlikning har xil sharoitda har xil jismlar atrofidan aylanib oqishini ifodalash mumkin. Bu tenglamalar sistemasining yechimlari to’plami juda keng. Qo’yilgan masalaning shartlaridan kelib chiqib, kerakli yechimni tanlashga imkon beruvchi shartlarni (chegaraviy va boshlang’ich shartlarni) qo’ya bilish kerak, ya’ni chegaraviy masala tuziladi.
Boshlang’ich holatda muhitning vaqt momentidagi ba’zi parametrlari (masalan, ko’chishlari, tezliklari, zichligi, gidrodinamik bosimlari qiymatlari) maydoni beriladi (ko’pincha muhit tinch holatda turibdi, deb ham faraz qilinadi).
Xususiy hosilali differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi jarayonlarning muhim tashkil etuvchilaridan biri bu tenglamalarning o’zidan tashqari ularga mos qo’shimcha shartlardir.
Giperbolik vaparabolik tipdagi tenglamalar uchun erkli o’zgaruvchi vaqtga nisbatan muhit yoki sistemaning boshlang’ich holatini ifodalovchi boshlang’ich shartlar kiritiladi. , , koordinatalar bo’yicha esa chegaraviy shartlar kiritiladi. Issiqlik jarayonlari masalalarida, masalan ular muhit tadqiqot sohasining chegaralaridagi temperatura taqsimotini tavsiflaydi. Elliptik tenglamali masalalarda esa vaqt qatnashmaydi, unda faqat , , koordinatalar bo’yicha chegaraviy shartlar kiritiladi,masalaning o’zi esa chegaraviy masala deb ataladi.
Agar chegaraviy shart funksiyaning chegaradagi taqsimotini ifodalasa, u holda bu shart Dirixle sharti deb ataladi. Hisob sohasining chegarasida hosila bilan ifodalanuvchi ushbu shart bilan yozilsa, u holda bus hart Neyman sharti deb ataladi, bu yerda - tadqiqot sohasi chegarasiga qo’yilgan birlik normal.Agar chegaraviy shart yuqoridagi ikkala chegaraviy shartlar kombinatsiyasidan tuzilgan bo’lsa, u holda bu aralash chegaraviy shart deb ataladi.
Amaliyotda bunday chegaraviy masalalarni yechishning ko’pgina usullari mavjud, masalan, xarakteristikalar usuli, o’zgaruvchilarni ajratish usuli, manbalar usuli, taqribiy hisob usullari. Ana shu usullardan taqribiy hisob usullariga kiruvchi chekli ayirmalar usuli bilan bir necha chegaraviy masalalarni yechish ushbu ishda o’rganilgan.
|