Qo'shish qoidasiga - Kombinatorika elementlari

|
Kombinatorika elementlari
|
bet | 6/7 | Sana | 13.12.2023 | Hajmi | 340,5 Kb. | | #118021 |
Bog'liq kombinatorika elementlarida o\'rin almashish va guruhlashlarQo'shish qoidasiga ko'ra, A yoki Вto'plamga tegishli bo'ladigan birorta elemental tanlash imkoniyatlari soni (m+«)ga tengdir. «Yoki» qoidasi deb ham ataluvchi bu qoida mazmunini quyidagi teorema orqali ham ifodalash mumkin.
1-teorema. Agar ixtiyoriy chekli A va Вto'plamlar uchun
Af]B = 0 bo'lsa, иholda \ A\J В\ = \ A\ + \ В\ bo'ladi.
Isboti o'quvchiga havola qilinadi. ■
Demak, qo'shish qoidasiga ko'ra, kesishmaydigan ikkita to'plam birlashmasining quvvati shu to'plamlar quwatlarining yig'indisiga tengdir.
Ko'paytirish qoidasiga asosan, m ta elementli A va n ta elementli В to'plamlarning elementlaridan tuzish mumkin bo'lgan barcha (aeA, b^B) kortejlar (juftliklar) soni mnga teng. Bu qoida «va» qoidasi deb ham ataladi. Uni quyidagi teorema ko'rinishida ifodalash ham mumkin.
2-teorema. Ixtiyoriy chekli A va В to 'plamlar uchun |у4х!?|=|у4| • |jB| tenglik о 'rinlidir.
Isboti o'quvchiga havola qilinadi.
Demak, ko'paytirish qoidasiga ko'ra, ixtiyoriy ikkita chekli to'plam Dekart ko'paytmasining quvvati shu to'plamlar quwatlarining ko'paytmasiga tengdir.
Umurniy holda, agar chekli A va В to'plamlar hech bo'lma-ganda bitta umurniy elementga ega bo'lsa, u holda И+I^l yig'indining qiymatini aniqlashda^ U В to'plamning ba'zi elementlarini, aniq-rog'i, А П В to'plamning elementlarini ikki marta hisobga olishga to'g'ri keladi. Bu mulohaza asosida quyidagi tasdiqqa kelamiz.
3-teorema. Ixtiyoriy chekli A va В to'plamlar uchun
\А[}ВЦА\+ \В\-\А{\В\tenglikо 'rinlidir. Isboti.Osonlik bilan ko'rish mumkinki:
a) A U В = A U (В\ A) vaАП(В\ A) = 0;
b) В = (А П B) U(В \ A) va(А П В) П \{B \ A) = 0.
Bu munosabatlarga 2-teoremani qo'llasak, mos ravishda,
\A{JBHA\+ \B\A\va\B^\Af)B\ + \B\A\tengliklarni hosil qilamiz.Bu tengliklardan isbotlanishi kerak bo'lgan tenglikni hosil qilish qiyin emas.
3-teoremaning tasdig'ini umurniy holda ikkita chekli to'plamlar birlashmasining quwatini hisoblash qoidasi deyish mumkin. Bu qoidaning ma'nosidan kelib chiqqan holda, uni kiritish va chiqarish qoidasi, deb atash qabul qilingan.
Ravshanki, 3-teoremada keltirilgan tenglikdan foydalanib |A|,
|B|, | A U В | va | А П В | miqdorlarning ixtiyoriy uchtasi malum bo'lganda to'rtinchisini hisoblash formulasini hosil qilish mumkin.
Yuqorida bayon qilingan ikkita to'plam uchun qo'shish, ko'paytirish hamda kiritish va chiqarish qoidalarini chekli sondagi istalgan chekli to'plamlar uchun umumlashtirish mumkin.
Awalo, kiritish va chiqarish qoidasining umumlashmasi sifatida quyidagi teoremani keltiramiz:
Ehtimollar nazariyasi tasodifiy voqea yoki hodisalarning qonuniyatlarini o’rgatuvchi fandir. Ehtimollar nazariyasi matematika fanining bir yo’nalishi bo’lib, u XVII asrning o’rtalaridan rivojlana boshlagan. XX asrga kelib ehtimollar nazariyasi alohida fan sifatida shakllandi hamda tabiatshunoslik va texnikaning ko’p sohalarida qo’llanila boshlandi. Matematika fani, xususan ehtimollar nazariyasi O’zbekistonda rivojlangan bo’lib, bu sohada alohida maktab yaratilgan. Bu maktabning asoschilari V.I. Romanovskiy va uning shogirdi akad. S.X. Sirojiddinovni eslash o’rinlidir. Ehtimollar nazariyasi ko’p sohalarda, xususan iqtisodiyot, muhandislik sohalarda ham muvaffaqiyatli qo’llanilmoqda. Shu sababdan ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani bo’yicha o’zbek tilida o’quv qo’llanma yozish taqozo etiladi.
|
| |