Algebra va sonlar nazariyasi-1 - bet 7

|
Algebra va sonlar nazariyasi-1
|
bet | 7/16 | Sana | 11.12.2023 | Hajmi | 494 Kb. | | #116213 |
Bog'liq Algebra va sonlar nazariyasi-1Ta’rif. f(x)=g(x) x X tenglikni qanoatlantiruvchi f : X Y, g : X Y funktsiyalar ŏzaro teng funktsiyalar deyiladi va ushbu munosabat g=f kabi yoziladi.
Ta’rif. f : X Y funktsiya berilgan bŏlsin.
a) R X uchun {u / ( x R) u= f(x)} barcha x R elementlar akslari tŏplamiga R tŏplamning aksi deyiladi va u f(R) orqali belgilanadi. Xususiy holda f(X) tŏplam qiymatlar tŏplami deb yuritiladi.
b) K Y uchun { x X / ( u K ) u= f(x)} barcha u K elementlar asllari tŏplamiga K tŏplamning asli deyiladi va u f -1 (K) orqali belgilanadi.
Ta’rif. f : X Y funktsiya berilgan bŏlsin. Agar
a) barcha Y ning barcha elementlari asliga ega bŏlsa (ya’ni f(X) =Y ), u holda f : X Y funktsiya syur’ektiv funktsiya (yoki syur’ektsiya) deyiladi .
b) Agar Y ning elementlari bittadan ortiq asliga ega bŏlmasa (ya’ni a X , b X f(a)=f(b) a=b), u holda f : X Y funktsiya in’ektiv funktsiya (yoki in’ektsiya) deyiladi.
Ta’rif. f : X Y funktsiya bir vaqtda ham syur’ektsiya, ham in’ektsiya bŏlsa, u holda f : X Y funktsiya biektiv funktsiya (yoki biektsiya) deyiladi.
Shunday qilib, biektiv f : X Y funktsiya uchun u Y ! x X u= f(x) munosabat ŏrinli (bu erda «! » belgi yagonalikni bildiradi).
Ta’rif. f : X X biektiv funktsiya X ni almashtirishi deyiladi.
Ta’rif. eX(x)=x x X tenglik bilan aniqlangan eX : X X funktsiya birlik (ayniy) funktsiya deyiladi.
Ravshanki, ayniy funktsiya biektiv bŏladi.
Ta’rif. f : X Y, g : Y Z funktsiyalar uchun h(x)=g( f(x)) xX tenglik bilan aniqlangan h : X Z funktsiya murakkab funktsiya deyiladi va u g f orqali belgilanadi.
Adabiyotlarda gf funktsiya g va f funktsiyalar superpozitsiyasi yoki kompozitsiyasi deb yuritiladi.
X =Y= Z bŏlsa, gf :X X, fg: X X funktsiyalar mavjud, ammo ŏzaro teng emas (tekshiring).
f : X Y, g : Y Z, h : Z A funktsiyalar uchun superpozitsiyaning assotsiativligi deb ataladigan (fg) h= f (gh) tenglik bajariladi .
Teskari funktsiya.
Ta’rif. f : X Y funktsiya uchun fg = eY , gf = eX tengliklarni ta’minlovchi
g : Y X funktsiya mavjud bŏlsa, u holda f : X Y funktsiya teskarilanuvchi funktsiya,
g : Y X funktsiya esa f : X Y funktsiyaga teskari funktsiya deyiladi.
1 - teorema. f : X Y funktsiya teskarilanuvchi bŏlishi uchun, u biektiv bŏlishi zarur va etarli. Ushbu holda f funktsiyaga teskari bŏlgan g : Y X funktsiya
g( u) = f -1(u), u Y
tenglik bilan aniqlanadi.
Isbot. Zarurligi. f : X Y funktsiya teskarilanuvchi bŏlsin. U holda f g = eY , g f = eX tengliklarni ta’minlovchi g : Y X funktsiya mavjud, ya’ni
f g(u)= eY (u)= u u Y.
Demak, u Y uchun g(u) X element asli bŏladi. Bundan f ni syur’ektivligi kelib chiqadi.
Endi in’ektivlikni kŏrsatish uchun a X , b X uchun f(a)=f(b) tenglikni qaraymiz. U holda gf(a)= gf(b) tenglik bajariladi. g - teskari funktsiya bŏlgani uchun oxirgi tenglikdan a= b tenglik kelib chiqadi, ya’ni f : X Y funktsiya in’ektiv funktsiya.
Etarliligi. f : X Y funktsiya biektiv funktsiya bŏlsin. Ushbu holda u Y elementga uning yagona proobrazini mos qŏyadigan , ya’ni g( u) = f -1(u) tenglik bilan aniqlanadigan g : Y X funktsiyani qaraymiz. Ushbu funktsiya u Y va x X uchun
fg(u)= f (f -1(u)) = u= eY (u), gf (x)= f -1 (f (x)) = x= eX (x),
ya’ni fg = eY , gf = eX tengliklarni qanoatlantiradi, demak g : Y X funktsiya
f : X Y funktsiyaga teskari.
Teorema isbot bŏldi.
Ushbu teoremadan ixtiyoriy sonli f : D(f) E(f), (D(f) R – aniqlanish sohasi,
E(f) ) R –qiymatlar sohasi) monoton funktsiyaning biektivligi kelib chiqadi.
Masalan, : R+ R , (x)= = ln x, x R+ , funktsiya biektiv bŏladi (bu erda R+ - musbat sonlar tŏplami)
Endi biz f : X Y funktsiyaga g : Y X teskari funktsiya f -1 orqali belgilashimiz mumkin.
2-teorema. f : X Y va g : Y Z biektiv funktsiyalar uchun gf : X Z funktsiya biektiv bŏladi va u uchun (gf) –1= f –1g –1 tenglik bajariladi.
Isbot. (gf) ( f –1g –1)= g (f f –1) g –1= (geY ) g –1= gg –1 =eZ
Xuddi shunday ( f –1g –1) (gf)= f –1 ( g –1 g) f = f –1 (eY f –1)= f –1 f =eX. Demak gf teskarilanuvchi funktsiya va (gf) –1= f –1g –1 . Oxirgi teoremaga kŏra gf –biektiv funktsiya.
Teorema isbot bŏldi.
Algebraik munosabatlar va binar munosabatlarning xossalari.
Ta’rif. X , Y tŏplamlar berilgan bŏlsin. f : Xn Y funktsiya n – ŏzgaruvchili funktsiya deyiladi.
x = (x1 , x2 , …, xn) X n uchun f(x) = f(x1 , x2 , …, xn) belgilash qabul qilingan.
orqali barcha mulohazalar tŏplamini belgilaylik.
Ta’rif. X tŏplam berilgan bŏlsin. f : Xn funktsiya X dagi algebraik munosabat deyiladi.
Ŏzgaruvchilar soniga qarab algebraik munosabat bir ŏrinli yoki unar (bitta ŏzgaruvchi qatnashsa), ikki ŏrinli yoki binar (ikkita ŏzgaruvchi qatnashsa), uch ŏrinli yoki ternar (uch ŏzgaruvchi qatnashsa), va umumiy holda n - ŏrinli yoki n-ar (n-ta ŏzgaruvchi qatnashsa) deyiladi.
Ta’rifdan kŏrinib turibdiki , n - ŏrinli algebraik munosabat n - ŏrinli predikatni xususiy holi sifatida ham qaralishi mumkin. Algebra fanida kŏpincha binar amallar qaraladi, shuning uchun ushbu hol jiddiyroq tahlil qilinishi lozim.
Mazkur holda x = (x , u ) X 2 uchun f(x , u ) belgilash ŏrniga x f u belgilash qabul qilingan (f belgini ŏrniga ixtiyoriy belgi ishlatilishi mumkin, masalan
, , , , , , , , , , , , , , , , , >,<).
- X dagi binar algebraik munosabat bŏlsin.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy x X uchun x x munosabat bajarilsa (bajarilmasa) u holda munosabat X tŏplamdagi refleksiv (antirefleksiv) munosabat deyiladi.
Masalan, haqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan “tenglik” munosabati refleksiv, ammo “kichik” , “katta” munosabatlari antirefleksiv.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy x X va u X uchun x u munosabati bajarilgani-dan u x munosabatning ŏrinligi kelib chiqsa (chiqmasa), u holda munosabat X tŏplamdagi simmetrik (simmetrikmas) munosabat deyiladi.
Masalan, haqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan “tenglik” munosabati simmetrik , ammo “kichik” , “katta” munosabatlari simmetrik emas.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy x X va u X uchun x u va u x munosabatlari bajarilganidan x = u tenglik kelib chiqsa, u holda munosabat X tŏplamdagi antisimmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, haqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan “kichik emas” , “katta emas” munosabatlari antisimmetrik.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy x X , u X va z X uchun x u , u z munosabatlari bajarilganidan x z munosabat ŏrinligi kelib chiqsa, u holda munosabat X tŏplamdagi tranzitiv munosabat deyiladi.
Masalan, haqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan “kichik” , “katta”, “kichik emas” , “katta emas” munosabatlari tranzitiv.
Ekvivalentlik va tartib munosabatlari.
Ta’rif. Bir vaqtning ŏzida refleksiv, simmetrik va tranzitiv bŏlgan muno-sabat ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Ekvivalentlik munosabati odatda , , , orqali belgilanadi.
Masalan, turli tabiatdagi ob’ektlar uchun aniqlangan tenglik munosabati, tŏg’ri chiziqlar tŏplamidagi parallellik munosabati, geometrik figuralar tŏpla-mida ŏxshashlik va kongruentlik munosabatlari, mulohazalar algebrasida tengkuch-lilik munosabati ekvivalentlik munosabatiga misol sifatida qaralishi mumkin.
Ta’rif. - X tŏplamda aniqlangan ekvivalentlik munosabati bŏlsin.
{ yX / yx} , xX , tŏplam xX elementga mos bŏlgan tŏplam ekvivalentlik sinfi , ekvivalentlik sinflari majmuasi esa faktor-tŏplam deyiladi.
Masalan, butun sonlar tŏplamida ekvivalentlik munosabati sifatida «2 bŏlinganda bir xil qoldiqqa ega» munosabatini olsak juft va toq sonlardan iborat bŏlgan ikkita ekvivalentlik sinflarga ega bŏlamiz.
Ta’rif. Bir vaqtning ŏzida antisimmetrik va tranzitiv bŏlgan munosabat tartib munosabati deyiladi.
Tartib munosabati odatda orqali belgilanadi.
Tartib munosabatiga ega bŏlgan X tŏplam tartiblangan tŏplam deyiladi.
Ta’rif. Antirefleksiv (refleksiv) bŏlgan tartib munosabati qat’iy (qat’iymas) deyiladi.
Masalan, haqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan “kichik” , “katta” munosa-batlari qat’iy, “kichik emas” , “katta emas” munosabatlari esa qat’iymas tartib munosabatlaridir.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy x X va u X uchun yoki x u yoki u x yoki x = u munosabatlar bajarilsa, u holda tartib munosabati chiziqli deyiladi.
Chiziqli bŏlgan tartib munosabatiga ega bŏlgan X tŏplam chiziqli tartib-langan tŏplam deyiladi.
Masalan, haqiqiy sonlar tŏplamida aniqlangan “kichik” , “katta” munosabatlari chiziqli tartib munosabatlaridir.
Chiziqli bŏlmagan tartib munosabatiga ega bŏlgan X tŏplam qisman tartib-langan tŏplam deyiladi.
5.3. Xulosa. Maktab matematikasida ŏtilgan funktsiyalar va “teng”, “kichik” , “katta”, “kichik emas” , “katta emas”, “ŏxshash”, “bŏlinadi”, “kongruent” munosabat-lari bugun biz ŏrgangan tushunchalarni xususiy hollaridir. Shuning uchun ham ular jiddiyroq ŏrganilishi kerak. Bundan tashqari, ayrim adabiyotlarda funktsiya tushunchasi kŏp qiymatli mosliklarni ham ŏz ichiga oladi. Ammo biz bunday hollarni algebra kursida uchratmaymiz.
6. Tayanch tushunchalar: kortej, dekart kŏpaytma, funktsiya, akslantirish, element asli (proobrazi) va aksi (obrazi), qism tŏplam asli (proobrazi) va aksi (obrazi), ŏzaro teng funktsiyalar, syur’ektsiya, in’ektsiya, biektsiya, murakkab funktsiya, kompozitsiya, superpozitsiya, teskarilanuvchi funktsiya, teskari funktsiya, ayniy funktsiya, kŏp ŏrinli algebraik munosabat, binar algebraik munosabat, refleksiv munosabat, antirefleksiv munosabat, tranzitiv munosabat, simmetrik munosabat, simmetrikmas munosabat, antisimmetrik munosabat, ekvivalentlik munosabati, ekvivalentlik sinflari, faktor-tŏplam, tartib munosabati, tartiblangan tŏplam, qat’iy va qat’iymas tartib, chiziqli tartib, chiziqli tartiblangan tŏplam, qisman tartiblangan tŏplam.
Nazorat savollari.
Dekart kŏpaytma ta’rifini bering.
Funktsiya (akslantirish) deb nimaga aytiladi?
Element asli (proobrazi) va aksi (obrazi) deb nimalarga aytiladi?
Shism tŏplam asli (proobrazi) va aksi (obrazi) qanday aniqlanadi?
Funktsiyalar qachon teng bŏladi?
Syur’ektsiya, in’ektsiya va biektsiya deb qaysi funktsiyalarga aytiladi?
Murakkab funktsiya (kompozitsiya, superpozitsiya) qanday aniqlanadi?
Teskarilanuvchi funktsiya va teskari funktsiya deb nimalarga aytiladi?
Funktsiyaning teskarilanuvchi bŏlishi uchun zaruriy va etarli shartni keltiring.
Kŏp ŏrinli algebraik munosabat deb nimaga aytiladi?
Binar algebraik munosabatlarga misollar keltiring.
Refleksiv , antirefleksiv , tranzitiv, simmetrik , simmetrikmas va antisimmetrik munosabatlarga misollarni keltiring.
Ekvivalentlik munosabati deb nimaga aytiladi?
Ekvivalentlik sinflari va faktor-tŏplamga misol keltiring.
Tartib munosabati deb nimaga aytiladi?
Tartiblangan tŏplamga misollar keltiring.
Shat’iy va qat’iymas tartib munosabati deb nimaga aytiladi?
Chiziqli tartib va chiziqli tartiblangan tŏplam deb nimalarga aytiladi?
Shisman tartiblangan tŏplam deb nimaga aytiladi?
|
| |