Hosilaning fizik ma’nosi - Toshkent moliya instituti andijon fakulteti

|
Toshkent moliya instituti andijon fakulteti
|
bet | 8/9 | Sana | 24.09.2024 | Hajmi | 318,69 Kb. | | #272344 | Turi | Referat |
Bog'liq Abbosbek iqtsiodchilar uchun matematika mustaqil ta\'limiHosilaning fizik ma’nosi. Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi masalada harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi voniy = ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi kelib chiqadi.
s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqt momentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: voniy =s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin: yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki boshqa jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz qilaylik y=Q(T) jismni T tempyeraturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan issiqlik miqdorining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik sig‘imi issiqlik miqdoridan tempyeratura bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:
C= .
Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining matematik modeli deb aytish mumkin.
Urinma va normal tenglamalari. Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x0 nuqtada hosilaga ega, M(x0;f(x0)) funksiya grafigiga tegishli nuqta bo‘lsin. Funksiya grafigiga berilgan nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik.
Bu tenglamani y=kx+b ko‘rinishda izlaymiz. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq M(x0;f(x0)) nuqtadan o‘tishi ma’lum, shu sababli f(x0)= kx0+b tenglik o‘rinli. Bundan b=f(x0)-kx0 ekanligini topamiz. Demak, urinma tenglamasini y=kx+ f(x0)- kx0 yoki y= f(x0)+k(x- x0) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar urinmaning k burchak koeffitsienti hosilaning x0 nuqtadagi qiymatiga tengligini e’tiborga olsak, y=f(x) funksiya grafigiga M(x0;f(x0)) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
y= f(x0)+f’(x0)(x-x0) (3.1)
Ma’lumki, agar kurinma¹0 bo‘lsa, urinma va normalning burchak koeffitsientlari pyerpendikulyarlik sharti knormal×kurinma=-1 bilan bog‘langan bo‘ladi. Bundan y=f(x) funksiya grafigiga M(x0;f(x0)) nuqtasida o‘tkazilgan normal tenglamasini
y= f(x0)- (x-x0) (3.2)
keltirib chiqarish mumkin.
Misol. Abstsissasi x=1 bo‘lgan nuqtada y=1/x gipyerbolaga o‘tkazilgan urinma va normal tenglamalarini tuzing.
Yechish. Bu misolda x0=1, f(x0)=1, f’(x)=- , f’(1)=-1. Bu qiymatlarni (3.1) formulaga qo‘yib urinma tenglamasini hosil qilamiz:
y=1-(x-1), ya’ni y=2-x;
(3.2) formuladan foydalanib, normal tenglamasini yozamiz: y=1+(x-1), ya’ni y=x.
Misol. y=x2 parabolaning A(0;-4) nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasini yozing.
Yechish. Berilgan nuqta y=x2 parabolaga tegishli emasligi ko‘rinib turibdi. Faraz qilaylik x=x0 nuqta urinish nuqtasining abssissasi bo‘lsin. U holda f(x0)=x02, f’(x)=2x, f’(x0)=2x0. (3.1) formuladan foydalansak
y= x02+2x0(x-x0)
ya’ni
y= 2x0x- x02 (3.3)
tenglamaga ega bo‘lamiz.
Shartga ko‘ra urinma (0;-4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3.3) tenglamada x va y o‘rniga 0 va -4 qiymatlarini qo‘yib x0 ga nisbatan -4=- x02 tenglamaga ega bo‘lamiz. Bundan x0=2, x0=-2 bo‘lishini topamiz.
Agar x0=2 bo‘lsa, u holda urinma tenglamasi y=4x-4; agar x0=-2 bo‘lsa, y=-4x-4 bo‘ladi.
Shunday qilib, ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita y=4x-4, y=-4x-4 urinma tenglamasini hosil qildik.
Ikki chiziq orasidagi burchak. Urinmalar yordamida ikki egri chiziq orasidagi burchak tushunchasi ta’riflanadi.
Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.
Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz qilaylik y=f1(x) va y=f2(x) chiziqlar M0(x0;y0) nuqtada kesishsin, hamda y=f1(x) chiziqqa M0 nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan a burchak, y=f2(x) chiziqqa M0 nuqtada o‘tkazilgan urinma esa b burchak tashkil qilsin. (3-rasm)
Agar g urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda g=b-a bo‘ladi. Bundan esa
tgg=tg(b-a)=
tenglikka ega bo‘lamiz.
9-rasm
Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tga=f1’(x0) va tgb=f2’(x0), demak ikki chiziq orasidagi burchak uchun
tgg= (3.4)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Misol. y=x2 parabola va gipyerbolalar orasidagi burchakni toping.
Yechish. Avvalo parabola va gipyerbolaning kesishish nuqtasini topamiz. Buning uchun ushbu sistemani yechamiz. Bundan , x3=1, x=1 bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. (x2)’=2x bo‘lgani uchun f1’(1)=2, shuningdek, bo‘lgani uchun f2’(1)=-1 bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra bo‘lib, bundan burchak kattaligi uchun g=arstg3 tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. (9 -rasm).
Biz oldingi paragraflarda hosila tushunchasini turli fizik masalalarni yechishda, urinma tenglamasini yozishda foydalandik. Hosilaning boshqa tatbiqlarini kelgusida o‘rganamiz. Bu degani har xil masalalarda uchrashishi mumkin bo‘lgan turli xil funksiyalarning hosilalarini hisoblashni bilish zarurligini anglatadi. Ushbu paragrafda u(x) va v(x) funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining hosilalarini topishni o‘rganamiz.
|
| |