Nazorat savollari - Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Nazorat savollari
Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasini yozing (umumlashgan koordinata, Lagranj tenglamasi, Gamilton tenglamasi, almashtirish, yangi o’zgaruvchilar).
O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish ifodasini ko’rsating. (hosilaviy funksiya, kanonik almashtirish, garmonik almashtirish, garmonik ossillyator)
Yangi kanonik almashtirish formulasini yozing. (yangi kanonik almashtirish Gamilton funksiyasi, Puasson qavsi).
Пуассон қавслари
Режа:
Пуассон қавси
Пуассон қавсининг хоссалари
Пуассон теоремаси
Гамилтон формасида ёзилган механика Пуассон қавслари деб аталувчи муносабатлар ёрдамида қулай ва содда кўринишни олади.
Фараз қилайликки, бизга
q, p
лар ва t нинг функцияси бўлган
f f q, p, t ва g gq, p, t
функциялар берилган бўлсин. Бу функциялар учун Пуассон қавси қуйидагича ёзилади:
f
f , g p
g f
q q
g
p
i i i i
i
Ҳар бири учун бу қавсни қуйидагича топамиз. Функсиялар бирортасининг вақт бўйича тўлиқ ҳосиласи
df f ( f q
f p )
dt t
qi
pi
qi , p i лар ўрнига Гамилтон тенгламасидан қийматларни қўямиз:
df f ( f H
f H ) f f , H
dt t
qi
pi
pi
qi t
f -нинг ҳаракат интеграли бўлишлиги учун
df 0
dt
ёки
f f , H 0
t
бўлмоғи зарурдир. Агар ҳаракат интеграли вақтга ошкор боғлиқ бўлмаса,
f 0
t
бўлади, у ҳолда f , H ҳам нолга тенг бўлади.
Пуассон қавсининг таърифидан унинг бир қанча хоссалари келиб чиқади:
Агар қавс ичидаги функциялар ўрин алмашса, қавснинг ишораси
ўзгаради:
f , g g, f
Агар функциялардан бири доимий бўлса, масалан, г=C, қавс нолга тенг бўлади:
f , g f , C 0
Ҳар бир функция бўйича қавс чизиқли бўлади:
f1 f 2 , g f1 , g f 2 , g
f1 f 2 , g
f1 f 2 , g
f 2 f1 , g
Вақт бўйича хусусий дифференциаллаш учун Лейбниц қоидаси бажарилади:
{ f , g} { f , g} { f , g }
t t t
Якоби айнияти бажарилади:
f , g, h
g,h, f
hf , g 0
Агар функциялардан бири координаталар ёки импулслардан бирига мос келса, Пуассон қавси хусусий ҳосилага келтирилади:
f f
f , qk p p
k
f , pk
f
p
(qi , qk ) 0,
( pi , pk ) ik
k
( pi , pk ) 0
энди Гамилтон тенгламаларини Пуассон қавси ёрдамида ёзамиз:
q H
dqi
ни
qi
(q , H ) (q , H )
i
i p dt t i i
Бунга кўра Гамилтон тегламалари қуйдаги кўринишни олади
qi
(qi , H ),
pi
( pi , H ) (H , pi )
ma’ruza: GAMILTON-YAKOBI METODI.
REJA
Gamilton-Yakobi tenglamasi.
O’zgaruvchilarni ajratish usuli.
Ta’sir-burchak o’zgaruvchilari va adiabatik invariantlar.
Yangi Gamilton funksiyasi.
Gamilton-Yakobi tenglamasining to’la bo’lmagan integrali.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: trayektoriya, erkinlik, Lagranj tenglamasi, energiya, impuls, Gamilton
– Yakobi tenglamasi, ta’sir, integrallash, variasiya
Bizga ma’lumki ta’sir funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega
to
S Ldt
t
(1)
erkinlik darajasi birga teng bo’lganda biror trayektoriyadan unga yaqin bo’lgan trayektoriyaga o’tilganda (1) ning o’zgarishi uning variasiyasi orqali berilar edi:
L t2 L d L
S
q | t2
t
q 1
q
t
1
(2)
Haqiqiy harakat trayektoriyasi Lagranj tenglamasini qanoatlantirgani uchun (2)
ning o’ng tomonidagi ikkinchi had nolga teng. Agar quyi chegarada q(t1) 0
L
desak, q(t2 ) q deb belgilash kiritsak va q ning p ekanligini hisobga olsak,
yoki umumiy holda
S p q
hosil bo’ladi. (3) dan
S
p i qi
(3)
S
q
p i
ekanligini topamiz. (2) dan ta’sirning vaqt bo’yicha to’liq hosilasi
S L
q
(4)
dt t
va (5) larni solishtirib,
qi t
ekanligini topamiz. Agar
S
t L pi qi
ekanligini hisobga olsak
H pi qi L
bo’ladi. Yoki
S H
t
Agar
p S
q
S H ( p, q, t) 0
t
ekanligini hisobga olsak, (6) quyidagicha yoziladi:
(6)
s
S H (q ,...q
, S ,..., S , t) 0
(7)
t 1
q1 qs
ushbu tenglama Gamilton-Yakobi tenglamasi deyiladi. Xususiy hosilaga ega bo’lgan differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, agar tenglama qancha o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilarga ega bo’lsa, uning integrallashguniga qadar shuncha ixtiyoriy doimiyliklarga ega bo’ladi.
S f (t, q1 ,..., qs ,1,..., s ) A
(8)
bu yerda 1 ,. ,s
A ixtiyoriy doimiyliklar.
Endi Gamilton – Yakobi tenglamasining to’liq integrali va bizni
qiziqtirayotgan yechimi o’rtasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. Buning uchun q, p
koordinatalardan yangi o’zgaruvchilarga kanonik almashtirish yordamida o’tamiz.
o’zgaruvchilar – impulslar deb olamiz, yangi koordinatalarni belgilaymiz. Kanonik almashtirishlarda ko’rganimizdek,
1 ,... s
orqali
pi
f ,
qi
i
f ,
i
H ' H f
t
bu yerda f funksiya Gamilton – Yakobi tenglamasini qanoatlantirgani uchun yangi funksiya N aynan nolga teng bo’ladi:
H ' H A H S 0
t t
yangi o’zgaruvchilar Gamilton tenglamasini qanoatlantirgani uchun
i
H ' 0,
i
i
H ' 0
i
bulardan
1 const ,
1 const
Ikkinchi tomondan, S – ta
fi
i
i
( i , i )
orqali ifodalash imkonini beradi. Bu bilan harakat tenglamasining umumiy
integralini topamiz.
Shunday qilib, Gamilton – Yakobi usuli bilan mexanik sistema harakatini topish masalasi quyidagi amallarni bajarishni talab yetadi.
Gamilton funksiyasi yordamida Gamilton-Yakobi tenglamasi tuziladi va uning (8) ko’rinishdagi to’liq integrali topiladi. Yechimni ixtiyoriy doimiylik bo’yicha differensiallanib va uni yangi doimiylikka tenglashtirib, S – ta algebraik tenglamalar sistemasini olamiz:
S
i
i
Bu tenglamalar sistemasini yechib, q ni vaqtning va 2S ta ixtiyoriy doimiyliklar
funksiyasi tariqasida topiladi. Impulslarning vaqtga bog’liqligi esa
Pi
S
qi
tenglamalardan topiladi.
Agar Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmasa, Gamilton-Yakobi tenglamasining integrali quyidagicha bo’ladi:
S S0 q Et
bu yerda
S 0 (q)
– qisqartirilgan ta’sir deyiladi. Bundan
S
t E H (q1 ,..., qs
, p1,..., ps ),
P S
q
S0
q
yoki Gamilton – Yakobi tenglamasi
1 s
H ( q ,... q
, S0 ,..., S0 ) E
(9)
ko’rinishga yega bo’ladi.
q1
qs
Ayrim hollarda Gamilton-Yakobi tenglamasining to’liq integrali o’zgaruvchilarga ajratish usuli bilan ham topiladi. Bu usulning mohiyati quyidagicha:
Faraz qilaylik, qandaydir
q1 koordinata va unga tegishli bo’lgan
S
q1
hosila
S
Gamilton – Yakobi tenglamasiga
q1 , q
kombinasiyasida kirsin hamda
1
boshqa biror koordinata va hosilalarga bog’liq bo’lmasin. U holda Gamilton – Yakobi tenglamasi
S S S
qi , t, q t , q1 , q 0
(10)
i 1
umumiy ko’rinishga yega bo’ladi. Bu yerda qu
to’plamini ifodalaydi.
Bu tenglamaning yechimini
S S q0t S1q1
q1 dan tashqari koordinatalar
(11)
yig’indi tariqasida axtaraylik. Bu yechimni (10) ga qo’yamiz:
q ,t, S ' S ' ,(q , S1 ) 0
i
1
qi t
q1
(12)
Faraz qilaylikki, (11) yechim topilgan bo’lsin. Uni (12) ga qo’yilganda, (12)
ayniyatga aylanadi va q1 ning istalgan qiymatida o’rinli bo’ladi. Lekin q1
o’zgarganda faqat funksiya o’zgaradi. Shuning uchun (12)ning aynan bajarilishi uchun funksiya doimiy bo’lmog’i lozim. U holda (12) ikkita tenglamaga ajraladi
i
1
1
( q , S1 ) ,
q , t, S ' , S ' , 0
q1
i q t 1
(1 ixtiyoriy doimiylik). Bu tenglamaning birinchisi oddiy differensial tenglama,
uning oddiy integrali
S1 (q1 )
ni beradi. Ikkinchisi ham differensial tenglama, lekin
o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilari kamaygan bo’ladi. Shu yo’l bilan tenglamadan S barcha koordinata vaqtni ajratib, yechimi topiladi.
S Sk ( qk , 1 ,..., s ) E( 1 ,..., s ) t
Bu yerda har bir Sk funksiya faqat bitta koordinataga bog’liq bo’ladi, energiya
esa 1 ,..., s ixtiyoriy doimiyliklar funksiya bo’ladi. Energiya
S0 S
ni (9)
|