Əyrixətli inteqral - Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

Əyrixətli inteqral.
1. İstiqamətli əyrilər.
2. I növ əyri xətli inteqral və onun hesablanması.
3. II növ əyri xətli inteqral və onun hesablanması.
4. I və II növ əyri xətli inteqrallar arasındakı əlaqə.
5. Qrin düsturu.
1. İstiqamətli əyrilər.
Ədəd oxunun parçasında təyin olunmuş funksiyaların müəyyən inteqralına baxılır. Bir çox praktiki məsələlərinin həlli isə müəyyən əyri parçasında təyin olunmuş funksiyalar üçün yeni inteqral anlayışının verilməsini tələb edir. Belə inteqrallar əyrixətli inteqrallar adlanır. İki növ əyri xətli inteqral vardır.
Müxtəlif müstəvi və ya fəza əyriləri üzrə götürülmüş əyrixətli inteqrallara baxaq.
Tutaq ki, parçasında kəsilməyən və funksiyaları fəzada əyrisini təyin edir:
(1)
Bu o deməkdir ki, t parametrinin parçasındakı bütün qiymətlərində alınan nöqtələri çoxluğu əyrisini təşkil edir.
(1) münasibəti fəza əyrisinin parametrik tənliyi adlanır. (1) tənlikləri əyrisini təkcə nöqtələr çoxluğu kimi təyin etmir, həm də onun istiqamətini, yəni nöqtələrin əyri üzərində yerləşmə ardıcılığını təyin edir. Parametrin qiymətləri verildikdə, deyirlər ki, əyrinin () nöqtəsi () nöqtəsindən sonra gəlir. T parametri a-dan b-yə kimi bütün qiymətləri alaraq kəsilməz dəyişdikdə,
nöqtəsi əyrinin başlanğıc A nöqtəsindən son B nöqtəsinə kimi bütün əyri üzrə.
hərəkət edir (şəkil 1).
Şəkil – 1
Əyri üzərində t parametrinin artmasına uyğun olan istiqamət müsbət, azalmasına uyğun olan istiqamət isə mənfi hesab olunur. Bu halda parametrin
t = a qiymətində alınan nöqtəsi əyrinin baçlanğıc nöqtəsi, t = b qiymətində alınan nöqtəsi isə son üç nöqtəsi alınır. Əyri üzərində ox işarəsi onun müsbət istiqamətini göstərir.
Üzərində istiqamət təyin olunan əyriyə istiqamətlənmiş əyri deyilir.
Ola bilər ki, parametrin bir neçə müxtəlif qiymətinə əyrinin eyni bir nöqtəsi uyğun olsun. Məsələn, t parametrinin qiymətlərində olduqda əyrinin () və () nöqtələri üst-üstə düşür, yəni bü nöqtədə əyri özü-özünü kəsir. Əyrinin başlanğıc A nöqtəsi və son B nöqtəsi üst-üstə düşdükdə ona qapalı
əyri deyilir.
Məlumdur ki, parçasında kəsilməyən (1) funksiyalarının verilməsi bir skalyar arqumentli
(2)
vektor funksiyasının verilməsinə ekvivalentdir. Onda əyrisinin vektorial göstərişi olar. Bunu kimi yazılır. Hamar vektor funksiya, yəni parçasında sıfra çevrilməyən kəsilməz törəməsi olan vektor funksiyası vasitəsilə göstərilən əyriyə hamar əyri deyilir. Hamar əyrisinin hər bir nöqtəsində toxunanı var və vektoru həmin toxunanla eyni istiqamətdə (parametrin artmasına uyğun olan istiqamətə) yönəlmişdir. Buna görə də
(3)
vahid vektoru əyrisinin toxunanı üzərində yerləşir və onun istiqaməti parametrin artmasına uyğun olan istiqamətin eynidir. Beləliklə, (3) vahid vektoru əyrisinin müsbət istiqamətini, isə mənfi istiqaməti təyin edilir.
olduğundan
və
olar. Sağ tərəfdəki ifadə əyrisi qövsunun diferensialıdır:
.
Tutaq ki, əyrisinin istiqamətini təyin edən vahid vektorunun yönəldici bucağları və -dır. Onda vahid vektorun
və (3) bərabərliyindən alınan
kimi iki göstərilişi olar. Buradan
(4)
alınır.
Tutaq ki, qapalı əyridir. Özü-özünə kəsməyən qapalı əyri kontur adlanır. Tutaq ki, konturu oblastının sərhədidir (şəkil 2).
Şəkil – 2
konturu üzrə hərəkət etdikdə konturun əhatə etdiyi oblastı solda qalırsa, həmin istiqamət müsbət, əks istiqamət isə mənfi hesab olunur. Müsbət istiqamətli konturu (çox zaman sadəcə ilə), mənfi istiqamətli konturu isə ilə işarə edillər. Konturun müsbət və mənfi istiqamətləri şəkildə göstərilmişdir.
|