Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi

|
Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi
|
bet | 3/12 | Sana | 13.05.2024 | Hajmi | 61,74 Kb. | | #229485 |
Bog'liq Mustaqil ishi-4-kompy.infoOraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi) taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha
tashkil qilamiz:
1. Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a) f(c)<0 shartidan foydalanib
aniqlaymiz.
3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz
3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz.
2-teorema. Aytaylik,
𝜓 (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi
bo‘lsin;
𝜓 (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda 𝜓 (x) q <1 tengsizlik bajarilsin.
Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓 (x) tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim
tn= 𝜓 (tn-1). t0 a;b
formulalar bilan aniqlanadi
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama
uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi
shakillar misolida ko‘rish mumkin.
Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c rasm uzoqlashuvchi va t0 qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, ti – ni
yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1)
f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan, grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2) [a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a).f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz. 3)Tenglamani x = (x) ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x) [a,b] ekanligini
hamda [a;b] da '(x) mavjudligini tekshiramiz va q= max '(x) ni topamiz.
x a;b
4) Agar q<1 bo‘lsa, xn (xn−1) ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi x0 uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
xn- xn-1
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni <
shart bajarilguncha
davom ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun xn ni olamiz.
Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x3-20x+3=0 tenglamani [0,1] intervalda 10-4 aniqlikda toping.
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan 𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga
o’tkazib olamiz.
1) 𝑥 = 𝑥 + (5𝑥3 − 20𝑥 + 3) bunda 𝜓1(𝑥) = 5𝑥3 − 19𝑥 + 3
bunda, 𝜓
bunda, 𝜓
𝜓(𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning uchun,
|ψ′(x)| < 1
shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz.
[0,1] intervaldan olingan x0 nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x0=0.5;
𝜓1′(𝑥) = 15𝑥2 − 19
′ (𝑥) = 4 (20𝑥 − 3)− ;
𝜓2
3
5
′ (𝑥) = 3 𝑥2
𝜓3
4
Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz
|𝜓1′(𝑥0)| > 1 – uzoqlashuvchi iteratsion jarayon
{|𝜓′ (𝑥0)| > 1
2
|𝜓3′ (𝑥0)| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon
Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓3(𝑥) funksiya yaqinlashuvchi ekan.
1)
𝑥1=5𝑥0 3+3
20
ni hisoblaymiz va |𝑥1 − 𝑥0| < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001.
𝑥2=5𝑥1 3+3
20
2) |𝑥2 − 𝑥1| < 𝜀
Bu jarayonni |𝑥1 − 𝑥0| < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz.
4. Vatarlar usuli
Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini tutashtiruvchi
vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x1 va ga mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x1] yoki [x1, b] olinsa, avvalgi [a, b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin bo’ladi.
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini aniqlikda hisoblash uchun x0 boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x0=b, qolgan hollarda x0=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar).
0>0>0>1>0>1>0>
|
| |