Tenglama va tengsizliklar - bet 5

Bir xil noma’lumlar bitta kattalikni ifodalovchi ikki yoki birnechta tenglama - tenglamalar sistemasini tashkil etadi.
Ikki tenglama sistemasini yechish undagi noma’lumlarni qanoatlantiruvchi qiymatlarini topish demakdir. Noma’lumlarni qanoatlantiruvchi shunday qiymatlar juftiga sistemaning yechimi deyiladi. Bunday tushuncha bilan ikki noma’lumli tenglamaning yechimi ixtiyoriy son bo’lmay balki tartiblangan juftidan iborat muxim yangi tasavvurga ega bo’ladi.
Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini
Umumiy ko’rinishini ko’rsatish foydali bo’ladi. Mavzuni o’tishda, o’rniga qo’yish, qo’shish usullari yordamida ikki noma’lumli ikki tenglama, sistemasini mustaqil yechishga va bunday sistemaga keluvchi masalalarni hal qilish ko’nikmalariga ega bo’lishga o’quvchilarni diqqatlarini qaratmoq kerak. Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini grafik usulda yechishda sistemaning yagona cheksiz ko’p yechimlariga ega bo’lgan hamda yechimlari mavjud bo’lmagan hollarga alohida e’tibor qilish lozim bo’ladi.
KVADRAT TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda kvadrat tenglamalarni yechish va u yordamida masalalarni hal qilish muhim o’rinni egallaydi. SHu sababdan bu mavzuni o’tishda o’qituvchidan kvadrat tenglamani turli ko’rinishlarini yechishni sodda va qulay usullarini, eng muhimi kvadrat tenglama keltiriladigan masalalarni yechish ko’nikmalarini o’quvchilariga puxta o’rgatishga alohida e’tibor qilish lozim. (bu yerda ) ko’rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi. Kvadrat tenglama ildizlarining soni ifodaning musbat, manfiy yoki nolga teng bo’lishiga bog’liq. ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi va odatda harfi bilan belgilanadi.
Agar :
bo’sa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.
bo’lganda tenglama yagona ildizga ega bo’ladi.
bo’lganda esa berilgan tenglama ikkita ildizga va ega bo’ladi. umumiy holda (bu yerda ) ko’rinishida yoziladi. Ko’pchilik algebra kitoblarida yuqoridagi formuladan tashqari keltirilgan kvadrat tenglama uchun quydagi formuladan bu yerda foydalaniladi. Kvadrat tenglamani yechishni o’quvchilar 7-sinfda o’rganadilar. Keyingi sinflarda esa bu mavzuga doir har xil misol va masalar orqali uni takrorlaydi va ayrim xossalari bilan tanishadilar. (bu yerda – uchinchi yoki undan yuqori darajada bo’lgan ko’phad) korinishidagi tenglamalarni, berilgan ko’phad birinchi yoki ikkinchi darajali ko’phadga ega bo’lgan ko’paytuvchilarga ajratish bilan, yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yoki ko’rinishiga keltirish bilan yechadilar. Aytaylik ko’rinishidagi tenglamani yechish lozim bo’lsin. tenglamadagi ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratib quydagiga ega bo’lamiz :
Ifodaning har biri ning har qanday qiymatida ma’noga ega bo’lgani uchun berilgan tenglama yoki yoki tenglamalariga teng kuchli. Demak, berilgan tenglamaning yechimlari -1, -4, 4 sonlardan iborat.
Sakkiz yillik maktablarda yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yechiladigan tenglamalarga misol qilib bikvadrat tenglamani ko’rsatish mumkin. Bu tenglamani yechishga doir aniq misol ko’raylik
Tenglamadagi orqali belgilab, ga ega bo’lamiz. Butenglamani yechib ikkita ildizga ega bo’lamiz. Demak, berilgan bikvadrat tenglama yoki larga teng kuchli bo’ladi. bu tenglamalarni yechib qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni berilgan bikvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. ko’rinishidagi tenglamani unga teng kuchli tenglamaga almashtirish mumkin. toq bo’lganda bu tenglamani tenglamaga teng kuchli bo’ladi. juft bo’lganda : ; hollari bo’lishi mumkin. bo’lganda, tenglama yechimga ega emas. bo’lganda tenglama birgina yechimga ega bo’adi. bo’lganda esa tenglama va ikkita ildizga ega bo’ladi. Demak, ifodalar butun bo’lganda ko’rinishidagi chiziqli yoki kvadrat tenglamaga teng kuchli bo’lgan har qanday tenglamani o’quvchilar yecha oladilar. Agar ko’rib o’tilgan tenglamalar uchinchi yoki undan katta darajali bo’lgan ko’phaddan iborat) tenglamaga teng kuchli bo’lsa, u holda bunday bunday tenglamalarni o’quvchilar maxsus ko’rinishtagilarnigina yecha oladilar. Endi va lar ratsional ifodalar, kamida bittasi kasrli bo’lgan ko’rinishidagi tenglamani yechishni ko’raylik. Uni aniq misollarda ko’ramiz.
(1)
Tenglamasi berilgan bo’lsin. Tenglamani hadini teskari ishora bilan tenglikning chap tomoniga o’tqazib nolga tenglashtiramiz.
(2)
tenglama (2) ko’rinishga keltirilganda uning ildizi yo’qolishi yoki yangidan ildizga ega bolishi mumkin. Haqiqatdan ifoda ning qiymatlarida aynan nolga teng. ni nolga aylantiradigan qiymatlarida yangidan ildizga ega bo’lishi mumkin. bu qiymatlar (2) tenglamaning ildizlari bo’la olmaydi, chunki bu qiymatlarda ifoda o’z ma’nosini yo’qotadi. SHu tariqa muhokama yuritib ratsional ifodalar va bularning kamoda bittasi kasrli bo’lganda tenglama tenglamaga teng kuchli bo’ladi. yuqorida ko’rib o’tgan misolga qaytaylik
Kasrlarning yig’indisi keltirib, quydagi tenglamaga ega bo’lamiz
(3)tenglamaga (2) va (1) tenglamalarga teng kuchli bo’ladi. kasrli ifodani surat va maxraji ko’phadlardan iborat bo’lganda tenglamani almashtirish natijasida o’ziga teng kuchli bo’lgan tenglamaga har doim o’tish mumkinmi ?
Buni aniq misollarda ko’raylik.
1-misol. (4) tenglamani ko’rinishiga keltiramiz.
|