1. Tenzorning umumiy aniqlanishi Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish Tenzor zichliklari - bet 2

|
1. Tenzorning umumiy aniqlanishi Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish Tenzor zichliklari
|
bet | 2/4 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 167,79 Kb. | | #136290 |
Bog'liq 18 Tuychiyev UMIDJONgij =
U holda d vektorning uzunligi uchun
(1.5)
formulaga ega bo‘lamiz. Kiritilgan yangi gij kattaliklar yordamida ixtiyoriy vektorning uzunligini quyidagicha yozish mumkin:
Ushbu ifoda istalgan vektorning uzunligini uning komponentalari va bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasi orqali ifodalashga imkon beradi.
Vektorning uzunligi koordinat sistemasini tanlashga nisbatan invariantdir. Ushbu faktni o‘tgan ma’ruzada ham ta’kidlagan edik va bunday invariantlik ifodasi (1.1) dan iborat edi. Ana shu ifodaga asosan vektorning uzunligi
ko‘rinishni oladi. Bundan
(1.6)
ya’ni kiritilgan gpq - kattaliklar kovariant yo‘l bilan almashtiriladi. Ko‘rinib turibdiki gij kattaliklar uchinchi tartibli matritsani tashkil qiladi. Bu matritsaning determinanti noldan farqli bo’lishini talab qilamiz, ya’ni
bo‘lsin. U holda ga teskari matritsa mavjud bo‘ladi va algebra kursidan malumki, uning elementlari
gij = k ij / (1.7)
formuladan topiladi, bu yerda kij - matritsaning to‘ldiruvchi minorlari, gij kattaliklar (1.6) formulaga asosan kovariant yo‘l bilan almashtiriladi. U holda g ij kattaliklar xuddi ikkinchi rang tenzorning Tijkomponentalari singari (1.4) formulaga ko‘ra kontravariant yo‘l bilan almashtiriladi, ya’ni
(1.8)
Hosil qilingan g ij kattaliklari va bazis vektorlari yordamida
ikkinchi rang tenzorga ega bo‘lamiz, hamda birorikoordinatalari sistemasida
(1.9)
obyektlarni kiritamiz. Bu yerda, masalan, ixtiyoriy g1i vektor quyidagiga teng
ya’ni g1jlarga ko‘paytirilgan uchta bazis vektorlarining yig‘indisidan iborat.
Shunga o‘xshash boshqa 1, 2, 3 koordinatalari sistemasida ham
kabi ifodani qabul qilish mumkin. Oxirgi (9.8), va (9.9) formulalarga asosan bazis vektorlarini almashtirish formulalarini keltirib chiqaramiz
chunki
demak
(1.10)
Ko‘rinib turibdiki, bazis vektorlari kontravariant yo‘l bilan almashtiriladi va shuning uchun ham kontravariant bazis vektorlari deb ataladi. Mos ravishda bazis vektorlari kovariant bazis vektorlarideb yuritiladi.
Yuqorida aytilganlardan ma’lumki, matritsa matritsaga teskari matritsadir. Shuni hisobga olgan holda (1.9) ifodani larga nisbatan yechib,
(1.11)
ifodaga ega bo‘lamiz. Xuddi shunga o‘xshash, ixtiyoriy boshqa 1, 2, 3 koordinatalari sistemasida ham
formula o‘rinli bo‘ladi va bu yerdagi kattaliklar (1.6) formula yordamida almashtiriladi.
Ko‘rinib turibdikigij ifoda koordinat sistemasiga bog‘liq bo‘lmagan invariant obyekt bo‘ladi, chunki bu yerdagi ko‘paytma kontravariant bazis vektorlarining diad ko’paytmalari va shuning uchun ham (1.10) formulaga asosan
(1.12)
kontravariant yo’l bilan almashtiriladi. Bundan tashqari,
bo‘ladi, ya’ni qaralayotgan obyekt ikkinchi rang tenzorni tashkil etadi.
Shunday qilib,
(1.13)
Hosil qilingan g-tenzorfundamental metrik tenzor deb ataladi, gij kattaliklar-fundamental metrik tenzorning kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari, gijkattaliklar esa fundamentalmetrik tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi.
Joyi kelganda biz o‘quvchini Yevklid fazosining chuqurroq ta’rifi bilan tanishtirib o‘tishni lozim deb hisoblaymiz.Yuqoridagi mulohazalarni fazoning fiksirlangan nuqtasi uchun olib bordik.Bu holda (1.5) kvadratik shaklning koeffitsientlari o‘zgarmasbo‘ladi. Algebra kursidan ma’lumki, har qanday o‘zgarmas koeffitsientli kvadratik shaklni kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin, ya’ni fazoning har bir tanlangan nuqtasi uchunshunday 1, 2, 3 koordinatalarni topish mumkinki, bunda (1.5) kvadratik shakl
(1.14)
ko‘rinishga, fundamental metrik tenzorning matritsasi esa quyidagi ko‘rinishga keltiriladi
Umuman olganda bunday ishni fazoning har bir nuqtasi uchun bajarib bo‘lmaydi, ya’ni (9.10) ko‘rinishga keltiradigan 1, 2, 3lar topilmasligi mumkin. Lekin agar, biror fazoning hamma nuqtalari uchun shunday koordinat sistemasi mavjud bo‘lsa, bu fazo ‘Evklid fazosi, aks holda Evklidmas fazo deyiladi.
Demak, Evklid fazosi uchun fundamental metrik tenzorning matritsasi elementlari birlardan iborat bo‘lgan diagonal matritsadir. Bundan tashqari matritsalar o‘zaro teskari matritsalardir.
Aytilganlarni hisobga olgan holda aralash diad ko‘paytmalarning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Yuqorida keltirilgan (1.9) formulaga asosan
(1.15)
bu yerdan
Bu tengliklar vektorining vektorlari tekisligiga, vektorning vektorlari tekisligiga va h.k. ortogonalligini ko‘rsatadi. Ana shu faktlar asosida quyidagi munosabatlarni isbot qilish qiyin emas:
a) kontravariant bazis vektorlari uchun
b) kovariant bazis vektorlari uchun
bu yerda “ ” belgisi bilan oddiy vektor ko‘paytma belgilangan.
Fundamental metrik tenzordagi kabi bundan oldingi bo‘limlarda kiritilgan vektor va tenzorning ta’riflarida ishlatilgan Aiva Tijkomponentalar vektorning va tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalarideyiladi.
Endi vektor va tenzorning kovariant komponentalarini kiritish masalasi bilan tanishamiz. Buning uchun (1.11) formuladan foydalanamiz.Ushbu formulaga asosan ixtiyoriy vektorni
kabi yozish mumkin. Bu yerda
|
| |