To’lqinlarning protsess.To’lqin turlari

6
sifatida tasvirlay olamiz: s = f(x, t). To’lqinning h yo’nalish bo’ylab v tezlik bilan
tarqalishi o’sha funksiya bilan ifodalanadi, biroq bu funksiyaning argumentiga t va x lar
(vt— x) yoki (t — x/v) kombinatsiyalar ko’rinishida kiradi. Haqiqatan ham
argumentning tuzilishi bunday ekanligi shuni kursatadiki, funksiyaning x nuqtada t
paytdagi qiymati birmuncha naridagi x+dx nuktada bir oz keyingi t+dt paytda
takrorlanadi, lekin bunda kuyidagi shart bajarilishi kerak:
vt — x = v(t + dt) — (x + dx). (1)
Shunday qilib, galayon tezlik bilan tarqalib, dt vaqt ichida
dx masofaga ko’chadi. (1) munosabatdan
ekanligi, ya'ni bu
tezlik v ga teng ekanligi kelib chiqadi.
Demak, vt — x argumentli har qanday funksiya to’lqinning x yo’nalish bo’ylab x ning
o’sib boruvchi qiymatlari tomon o’zgarmas v tezlik bilan tarqalishini ifodalaydi. Shunga
o’xshash, vt+x argument har qanday funksiya to’lqinning v tezlik bilan, le-
kin qarama-qarshi tomonga tarqalishini ifodalaydi. f funksiyaning ko’rinishi to’lqinning
har qanday t paytdagi shaklini aniqlash imkonini berish va to’lqinning vujudga kelish
sharoitiga bog’liq bo’ladi.
Tulqinning harakatini tavsiflovchi differensial tenglama, ya'ni yechimi vt— x yoki vt+x
argumentli har qanday funksiya bo’la oladigan tenglama
Ko’rinishda bo’lishini isbotlash oson. Haqiqatdan ham,
s =
(vt + x) +
(vt — x)
(2)
munosabat bilan aniqlanadigan s to’lqin (2) ning yechimi bo’ladi; buni o’rniga ko’yish
yo’li bilan tekshirib ko’rish mumkin. Bu tenglama ikkinchi tartibli differenial tenglama
bo’lganligi uchun ikki ixtiyoriy funksiyani o’z tarkibiga oluvchi topilgan yechim uning
u mumiy y echimi buladi.Bu yechim v tezlik bilan bir-biriga qarshi tarqalayotgan ikki
to’lqin yig’indisidan iborat. Ravshanki, differensial tenglamaning o’ziga qarab, hech
qachon
, va
funksiyalarning maxsus shaklida xulosa chiqarish mumkin emas.
Ma'lumki, Myxitning biror joyida o’zgaruvchan elektr toki vujudga kelishi bilan bir
vaqtda atrofdagi fazoda o’zgaruvchan magnit maydoni paydo bo’ladi
(elektromagnetizm); o’zgaruvchan magnit maydoni o’zgaruvchan elektr maydoni hosil
bo’lishiga olib keladi (elektromagnitik induksiya), bu tufayli atrofdagi muhit
o’zgaruvchan siljish toklari paydo bo’ladi.O’tkazgichdagi oddiy o’tkazuvchanlik toklari
o’z atrofida magnit maydoni vujudga keltirgani kabi, siljish toklari ham magnit
maydoni paydo bo’lishiga sabab bo’ladi. Shunday qiilib, fazoning tobora yangi-yangi
sohalari elektromagnitik maydonlar ta'siri sohalari bo’la boradi: biror joyda vujudga
kelgan elektr tebranishi o’z joyida bo’lmaydi, balki elektromagnitik to’lqin ko’rinishida
tarqalib, fazoning tobora yangi-yangi qismlarini birin-ketin egallab bo- radi.
Bu protsess yuzaga keltiruvchi elektromagnetizm va elektromagnitik induksiya
hodisalari elektr (E) va magnit (H) maydonlari kuchlanganliklari o’zgarishlari orasidagi
7
munosabatni aniqlovchi Maksvell tenglamalarida o’zining qisqa matematik ifodasini
topadi. Maksvellning tajriba ma'lumotlariga muvofiq mulohazalari shuni ko’rsatadiki,
elektr va magnit vektorlari bir-biriga hamda elektromagnitik to’lqinning tarqalish
yo’nalishiga perpendikulyar bo’ladi. Е elektr maydoni z o’qi bo’ylab, H magnit
maydoni esa y o’qi bo’ylab yo’nalgan eng sodda yassi to’lqin holida Maksvell
tenglamalari quyidagi» ko’rinishda bo’ladi:
=-
(3)
bundagi
—muhitning magnit singdiruvchanligi c esa tok kuchining elektromagnitik
va elektrostatik birliklari nisbati; o’lchashlarning ko’rsatishicha, s nisbat yoru’lik
tezligiga, ya'ni 3
m/s ga teng.
Biror joyda vujudga kelgan elektromagnitik maydonning fazoda v=c/
tezlik bilan
tarqalishi bu tenglamalardan zaruriy tarzda kelib chiqadi. Haqiqatan ham, (3)
tenglamani x bo’yicha, (4) tenglamani esa t bo’yicha differensiallab, ulardan I ni
yuqotsak,to’lqinnin g differensial tenglamasi hosil bo’ladi; bu tenglama Е elektr
maydonining fazoda x o’qi bo’ylab v tezlik bilan tarqalishini ko’rsatadi. Shunday qilib,
E = f(x — vt) ifoda (bu erda f—ihtiyoriy funksiya) bu tenglamaning yechimi bo’la
oladi.
Magnit maydoni kuchlanganligining H kattaligi uchun ham huddi shu singari xulosa
chiqarishimiz mumkin.
Е bilan H orasidagi munosabatni aniqlash oson; masalan, E = f(x — vt) deb hisoblab,
quyidagin topamiz
(5)
Barcha elektrodinamik (va binobarin, optik) protsesslarda o’zgarmas maydon rol
o’ynamaganligi uchun o’zgarmas kattalikni umumiylikka halal bermagan holda nolga
teng deb hisoblash mumkin. Demak,
munosabatЕ va H bir-biriga chiziqli bog’langanligini ko’rsatadi; Е va H maksimum va
minimumdan baravar o’tadigan bo’lib o’zgaradi. Shunday qilib, elektromagnitik to’lqin
uchun (shuningdek, elastik to’lqinlar uchun ham) umumiy tezlik bilan to’lqinsimon
tarqaladigan ikkita bog’langan vektorlar to’plamiga egamiz.