Elektrosztatika - Elektrodinamika bsc ci laTeX

kobalt, a nikkel. Kobalt (Cobaltum), Co - Mendeleyev davriy sistemasining VIII guruhiga mansub kimyoviy element. Tartib raqami 27, atom massasi 58,9332. Kobalt metalini ilk bor 1735 yilda shved kimyogari Yu. Brand rudalardan ajratib olgan.
Röviden megtárgyaljuk a szupravezető anyagok magnetosztatikáját, ami tulajdonképpen nem sztatika, mert az ún. szuperáram játszik benne fontos szerepet.
A tapasztalat szerint a szupravezetőkbe a mágneses tér csak nagyon kis mértékben, 10-100 nm nagyságrendű mélységben hatol be, ez a Meissner-effektus. A M definíció szerint B 0 esetén, H M, ami tökéletes diamágnességként (1) interpretálható. A tárgyalás érdekében megelőlegezzük az elektromos térerősség potenciálokkal kifejezett általános alakját (l. 6. fejezet), amely szerint .
Feltételezve, hogy a szupravezetésben sztatikus töltések nem játszanak szerepet, zérusnak vehető, ezért . A szuperáram konvektív áram, sűrűségének időegységre jutó megváltozása, , itt a szupravezetésben résztvevő töltések számsűrűsége, felhasználtuk e töltések mozgásegyenletét. A kapott differenciálegyenlet könnyen megoldható, A, az integrációs állandó 0, mert a szuperáramot az alkalmazott mágneses tér hozza létre. A feltevés szerint a valódi áramsűrűséghez hozzáadódik az első Maxwell-egyenletben, . Feltételezve, hogy valódi áram nem folyik, és hogy a közeg homogenitása miatt , a Maxwell-egyenlet rotációját képezve a
London-egyenletre jutunk, ez helyettesíti az Ohm-törvényt. A definíciójú állandót Landau-féle behatolási mélységnek nevezik. Olyan elrendezésre oldjuk meg az egyenletet, amelyben az 0 féltérben alkalmazott -irányú mágneses tér behatol az féltérben elhelyezkedő közegbe. A határfeltételeknek eleget tevő megoldás,
megegyezik a kísérleti tapasztalattal.
5. 5 Kvázistacionárius áram
Az elnevezés azt takarja, hogy míg a harmadik Maxwell-egyenletben megtartjuk a mágneses indukció vektor időderiváltját, az elsőben az elektromos térerősség időderiváltját az áramsűrűség mellett elhanyagoljuk. Mikor jelent ez jó közelítést? Az elektrotechnikában gyakori a vezetőben folyó, időben periodikusan változó áram, , . Ekkor , . E két mennyiség egy periódusra vett átlagának hányadosa, a gyakorlatban előforduló frekvenciáknál nagy, tehát . A kvázistacionárius áram differenciális egyenletei:
az Ohm-törvény: .
Először az indukció jelenségével foglalkozunk. Rögzített görbe és felület esetén a harmadik Maxwell-egyenlet:
a rögzített felületen átmenő mágneses fluxus.
Az indukált feszültség (elektromotoros erő) definíciója a következő: a töltésegységre ható erő érintő irányú komponensének tetszőleges zárt görbére vett körintegrálja, azaz a töltésegységen végzett munka. Fontos megjegyezni, hogy vezető jelenlétére nincs szükség.
Nyugalmi indukcióról beszélünk, ha a mágneses fluxus csak B változása miatt változik, a zárt görbe és a felület rögzített. Ekkor az időben változó mágneses tér kelt elektromos teret, ez mozgatja a töltést, így az indukált feszültség, .
A mozgási indukciót egy egyszerű példával szemléltetjük. Képzeljünk el egy téglalap határait alkotó keretet, amelynek három oldala rögzített, a negyedik hosszúságú oldal a rá merőleges két oldal meghosszabbításán állandó sebességgel mozog, e két oldal hosszúsága
változik. A téglalap síkjára merőleges B állandó, mágneses tér van jelen, elektromos tér nincs. A keretben gondolatban mozgatott töltésre (nem áramról van szó!) a Lorentz-erő hat. A rögzített szakaszokon való mozgásnál a töltés sebessége a szakaszokkal párhuzamos, érintő irányú, ezért a Lorentz-erőnek nincs érintő irányú komponense. A sebességgel mozgó szakaszon a töltés szakasszal párhuzamos sebessége az előzőekhez hasonlóan nem ad járulékot, a szakaszra merőleges sebesség igen, a Lorentz-erő érintő irányú komponensének nagysága VB. Az indukált feszültség
A előjel Lenz-törvény néven ismeretes, a levezetés során azért lép fel, mert a körüljárás iránya a jobbkéz szabály szerint megszabja a felület normálisának, így a f vektornak irányát.
Az, hogy a mozgási indukció e speciális példáján az indukált feszültség a nyugalmi indukciónál kapottal megegyezik, nem véletlen. Az indukált feszültséget úgy is definiálhattuk volna, hogy az elektromos térerősség érintő irányú komponensének tetszőleges zárt görbére vett integrálja a görbével együtt mozgó rendszerben. A bemutatott példában a speciális relativitáselmélet Lorenz-transzformációjának segítségével ki kellett volna számítani, hogy a szakasszal együtt mozgó rendszerben mekkora az elektromos térerősség, ennek integrálja a fenti eredményt adta volna.
A lineáris vezetőkből álló hálózatokra vonatkozó Kirchoff- törvények közül az első változatlan, a második az indukcióval bővül. A -ik (térben rögzített) áramhurokra felírt harmadik Maxwell-egyenletet az Ohm-törvény és a B rot A egyenlőség felhasználásával átalakítjuk:
Behelyettesítjük ide a egyenlet megoldását. Feltételezzük, hogy nincs külső mágneses tér (csak az, amit az áramok létrehoznak), és hogy , ismert. Az eredmény a következő:
a hálózat geometriájától függő kölcsönös indukciós együttható. Ha , akkor a kifejezés értelmetlen, ennek oka a lineáris vezető feltevés, a vektorpotenciálkifejezésében meg kell tartani a térfogati integrálást. Az önidukciós együttható, .
Ha az áramkörben kondenzátor is van, akkor annak fegyverzetei között az Ohm-törvény helyett , a kondenzátor töltése, a kapacitása. Egy áramkörre az másodrendű differenciálegyenlet adódik, ennek megoldásához két kezdeti feltételre van szükség. Honnan vesszük a kezdeti feltételeket?
Tapasztalati tény, hogy semmilyen fizikai tér, így E és B sem képes ugrásszerűen megváltozni. Ezért a kondenzátor feszültsége, , és az indukciós tekercs fluxusa, is csak folytonosan változhat. Utóbbi, ha nincs több tekercs pl. közös vasmagra tekercselve, azaz nem közösen hozzák létre a fluxust, az áramerősség folytonosságát jelenti, mert ebben az esetben LI.
6. 6 Energia, impulzus, impulzusmomentum
A teljes Maxwell-egyenletrendszer:
Az első egyenletet E -vel, a harmadikat H -val skalárisan szorozzuk, a kapottakat összeadjuk, és az egyenlet mindkét oldalát egy tetszőleges térfogatra integráljuk:
Felhasználtuk az E rotH H rotE div ( azonosságot, és feltételeztük, hogy D E, B H, azaz a közeg lineáris. A jobb oldal második tagját a Gauss-tétel segítségével átalakítottuk.
Az a feladat, hogy értelmezzük ezt az egyenletet. Vizsgáljuk először a jobb oldal első tagját. Az áramsűrűséget felbontjuk vezetési és konvektív részre:
, hozzáadtunk és levontunk -t, hogy alkalmazhassuk az Ohm-törvényt.
a konvektív áramot létrehozó töltéseken egységnyi idő alatt végzett munka.
a (lineáris) vezetőben egységnyi idő alatt fejlődő Joule-hő.
az áramforrásból az elektromágneses térbe egységnyi idő alatt betáplált energia.
Tegyük fel, hogy a teljes végtelen térfogatot vizsgáljuk, és csak szabadon mozgó töltések vannak a végesben. E és H a távolság négyzetével fordított arányban csökken, az f tagban az integrálási felület a távolság négyzetével arányosan nő, ezért a felületi integrál a végtelenben eltűnik. A töltéseken végzett munka, azok mozgási energiáját növeli, ez csak valamilyen más energia rovására történhet.
Ezek alapján az mennyiséget az elektromágneses tér energiasűrűségének tekinthetjük, az elektromágneses tér energiájának egységnyi
idő alatti megváltozása a kiválasztott térfogatban. Amikor pl. egy vezetőben Joule-hő fejlődik, akkor az elektromágneses tér energiájának kell csökkennie. Ha a térfogatban sem szabad
töltések, sem vezetők nincsenek, akkor ebben csak úgy változhat az energia, hogy határfelületén energia áramlik ki vagy be. Ezért a jobb oldal második tagja, f az integrálási térfogat felületén egységnyi idő alatt kiáramló energia, S energia/felület/idő dimenziójú mennyiség, az energiaáramsűrűség vektora, más néven Poynting-vektor.
Ha a Maxwell-egyenletrendszer
alakjából indultunk volna ki, akkor a fentiekhez nagyon hasonlóan arra jutottunk volna, hogy
Az eltérés oka az, hogy j a teljes áramsűrűség, tartalmazza a polarizációs és a mágneses áramsűrűséget is. Utóbbira nem igaz az Ohm-törvény, ezért ez a levezetés csak vákuumban érvényes. Olyan közegek esetén, amelyekre nem teljesülnek a D E, B H összefüggések, a tárgyalás jóval bonyolultabb, ezzel nem foglalkozunk.
Átalakítjuk az elektrosztatikus tér energiáját megadó összefüggést. A kiválasztott térfogatban legyen térfogati töltés és egy vezető, rajta felületi töltés. Az integrálási térfogatot az külső és a vezetőt körülvevő belső felület határolja.
Felhasználunk vektoranalitikai azonosságot, a Gauss-tételt, a Poisson-egyenletet és azt, hogy E grad.
Az külső határfelületet kitoljuk a végtelenbe, az belsőt ráhúzzuk a vezető felszínére. Amikor , akkor szerint, grad szerint tart 0-hoz (a töltések a végesben vannak), a határfelület szerint tart -hez, így a külső felület járuléka a felületi integrálhoz 0-hoz tart. A vezető felületén grad (2 előjel van, az egyik az E grad egyenlőségben, a másik ott, hogy a Gauss-tétel szerint a felületi integrálban f a térfogatból kifelé mutat, a vezető felületén az elektromos térerősségnek a vezetőből kifelé mutató normális komponensével egyenlő). A végeredmény:
Ha csak ponttöltések vannak jelen, akkor
az járulékot, egyetlen töltés ún. (végtelen) sajátenergiáját elhagytuk. Érdemes megemlíteni, hogy az energiának ebből a kifejezéséből is ki lehet indulni, átalakításokkal a különböző töltéseloszlásokra jellemző energiaképletek levezethetőek. A
fenti megkapható úgy, hogy meghatározzuk, mekkora munkát végzünk, ha a töltést a végtelenből behozzuk a töltéstől távolságra lévő pontba.
Egy kondenzátor energiája, , a kondenzátor töltése, a fegyverzetek potenciálkülönbsége.
Hasonlóképpen átalakíthatjuk az áram által keltett mágneses tér energiáját,
Egy áramhurok esetén , L az előző pontban bevezetett önindukciós együttható.
Az egységnyi térfogatban lévő töltésekre ható erő (erősűrűség): , a töltésrendszer mechanikai impulzusának időegység alatti megváltozása: . A jobb oldalra f-et beírva, a korábbinál kissé bonyolultabb matematikai átalakítással a következő eredményre juthatunk:
Itt a Maxwell-féle feszültségtenzor. Előfordulhat, hogy a térfogat határfelületén , így az elektromágneses térnek impulzust kell tulajdonítanunk. Vákuumban , az impulzussűrűség, a tenzor pedig az impulzusáramsűrűség. Ez azért tenzor, mert két irányt kell megjelölnie, az egyik az impulzus iránya, a másik az impulzus áramlásáé. (Az energia skalár, ezért az energiaáramsűrűség vektor.)
Az elektromágneses tér impulzusának bizonyítéka a fénynyomás (Lebegyev-kísérlet). Egy teljesen tükröző felületre a felület normálisával szöget bezáró fénysugár esik. A tükröt felületére merőleges irányban időegység alatt impulzus éri ( az alapú, magasságú hasáb térfogata, időegység alatt az ebben lévő impulzus jut el a felületre). A nyomás az időegység alatti merőleges irányú impulzusváltozás és a felület hányadosa, , amit a kísérleti tapasztalat igazol.
A mechanikai impulzusmomentum ismeretében természetesnek tűnik, és belátható, hogy vákuumban az elektromágneses tér impulzusmomentum sűrűsége . Ezt a következő kísérlettel lehet alátámasztani. Feltöltött hengerkondenzátor fonálon lóg függőleges irányú mágneses térben. A kondenzátorban sugár irányú elektromos tér van, az impulzusmomentum így tengely irányú. Ha kikapcsoljuk a mágneses teret, a kondenzátor forgásba jön, az elektromágneses tér impulzusmomentuma mechanikai impulzusmomentummá alakul át.
|