Matematik modelni qurish metodlari

Matematik modelni qurish metodlari
Biz modellarning ahamiyati ularning jamiyat taraqqiyotidagi roli,
shu jumladan matematik modellashtirish va uning boshqa modellardan
farqi va turlari haqida gapirib o‘tdik. Xulosa qilib aytish mumkinki,
umuman, matematik modellashtirish atrof-muhitni o'rganishning asosiy
va doimiy quroli hisoblanadi. Shunday ekan, atrof-muhitga doir u yoki
bu masalalar o'rganilayotganda matematik modelning o‘zi qanday quriladi?
Bu savolga ushbu bobda javob beriladi.
Avval matematik modellarni qurishning asosiy etaplari bilan tanishib
chiqamiz. Ana shu etaplar ichida ikkita asosiy momenti bor, bu ishchi
gipotezalarni aniqlash va shu ishchi gipotezalar asosida matematik
modelning konseptual sxemasini qurish. Bu ikkita asosiy tayanch,
m atem atik m odel o 'rg a n a y o tg a n obyekt q a n c h a lik h a q q o n iy
akslantirishini aniqlaydi. Bu bob bilan tanishayotganda ana shu ikki
asosiy tayanchga juda katta e’tibor berish kerak, bundan tashqari ishchi
gipotezalar asosida yotuvchi eksperimental berilganlarning statistik
analizi haqida va ulardan to ‘g‘ri xulosa chiqarish kerakligi haqidagi
ma’lumotlarga ham to'xtalinadi va shunga doir misol qarab chiqiladi.
20
Matematik modellashtirishda asosiy talablar
Matematik modelni qurishdan oldin biz model qaysi talablarga javob
berishini bilishimiz kerak. Bu talablar quyidagilar:
konkret obyektning modeli boshqa o'xshash obyektlarga qo'llanishi
uchun kerakli darajada universal bo'lishi shart;
model qurilishi lozimki, uni deyarli o'zgartirishsiz o‘zidan yuqori
darajali modelga model osti sifatida kiritish mumkin bo‘lsin;
modelda faktorlarni masalani echishda qanchalik zarurligini hisobga
olish kerak;
model hisobga olinishi zarur bo‘lgan faktorlarga nisbatan sezgirlik
darajasi past bo'lishi shart (hisobga olinishi mumkin bo‘lgan faktorlaming
aniq qiymatini eksperimentda aniqlanishi murakkabligini nazaiga olgan holda);
model blokli prinsipda qurilishi lozim, ya’ni o ‘zgaruvchilar. to
iloji boricha alohida blokda hisoblansin (avtonom holda), toki modelning
modifikatsiyasi (o‘zgartirish)ni qulay bo'lishligi uchun.
Birinchi qo'yilgan talabning ma’nosi, ya’ni real obyektning matematik
modeli kerakli darajada umumiy bo'lishi kerakki, uni biz juda kam
o'zgartirish tufayli boshqa o'xshash obyektlarga qo'llab olsak. Misol uchun
olsak issiqlik o'tkazuvchanlikni chiziqsiz tenglamasini nafaqat issiqlik
jarayonlarini yozish uchun, balki diffuziya, yer osti suvlarining harakati,
gazning po‘k (poristik) qavatlardagi filtratsiyasidek jarayonlarni o'rganishga
ham foydalanish mumkin. Bunda faqat modelga kiruvchi kattaliklarning
ma’nosi va o‘zgarmas kattaliklarning qiymati o‘zgarishi mumkin. Bu yerdan
bunday obyektlaming umumiy va asosiy qonunlari bir xil abstrak ko‘rinishga
ega bo'lishi mumkinligi kelib chiqadi.
Ikkinchi qo'yilgan talabda matematik modelning kompaktligi nazarda
tutilgan. Modelni ko'rayotganda hamma vaqt nazarda tutish kerakki, model
kerakli vaqtda o'zidan yuqori darajali modelning bir bloki sifatida ishlatilishini
hamma vaqt nazarda tutish kerak. Misol, daraxtning matematik modeli o‘rmon
ekosistemasi modelining bir bloki sifatida yoki fotosintez jarayonining
matematik modeli daraxt matematik modelining bir bloki sifatida ishlatish
mumkinligi nazarda tutiladi.
Uchinchi qo£yilgan talabning ma’nosi to iloji boricha ikkinchi, uchinchi
darajali faktorlarni matematik modellashtirishda hisobga olmaslik, ya’ni modelni
murakkablashtirmaslik. Misol, epidemiya tarqalishining matematik modelida
shamolning tezligini hisobga olish modelni ancha murakkablashtiradi, ammo
atrof-muhitning ifloslanuvchi kotsergenlarini tarqalishni akslantiruvchi,
geopotensial, atmosfera temperaturasi matematik modelga shamol yo'nalishini
21
va tezligini hisobga olmaslik umuman mumkin emas. Yana bir misol, suv
quvuridagi suvning oqimining matematik modelini ko‘rayotganda Oyning ta’sirini
hisobga olmasak ham bo'ladi, ammo dengiz yoki okeandagi suv toshqinlarini
hisoblayotganda, biz albatta, Oyning tortishini hisobga olishimiz kerak, chunki
suv toshqinlari to‘g‘ridan-to‘g‘ri Oyning tortishish natijasidir.
To‘rtinchi qo'yilgan talabning ma’nosi shuki, real tabiatdagi ko'pgina
faktorlami o‘lchashda anchagina xatoliklaiga yo‘l qo‘yilishi mumkin. Ko'pchilik
hollarda faktorning aniq qiymatini o'lchash mumkin bo'lmasdan qoladi.
Sababi yo o‘lchashning biror bir aniq mukammal metodikasi yo‘q yoki
umuman buning iloji yo‘q. Misol, ob-havoning prognozi to hozirgacha
taxminiy, hasharotlami paxta maydonidagi soni, Oyning Yer atrofida aylanish
trayektoriyasining aniq qonuniyati va hokazolar. Bundan kelib chiqadiki,
bizning matematik modelimiz har bir hisobga olingan faktorlarning qiymatini
aniqlashda juda kichik qo'yilgan xatolikka sezgir bo‘lsa, unda bizning modelimiz
hech qachon qoniqarli natija bermaydi. Shu sababli model hisobga olinadigan
faktorlaiga nisbatan qo'pol bolishi shart, ya’ni faktorlarning qiymatiga sezgir
bo'lmasligi kerak.
Albatta, bunday talab hamma vaqt ham o ‘rinli bo'lmaydi. Agar biz
texnologik jarayonlarning matematik modeli haqida gapirmoqchi bo'lsak,
to'rtinchi talab o'rinli emas. Bunday talab faqaf tabiiy jarayonlar hisobga
olinayotganda o'rinlidir.
Beshinchi talab m atem atik m odelning uncha katta b o ‘lmagan
o'zgartirishsiz tezda moslashishiga qaratilgan bo'lib, m odelning
universalligini xarakterlaydi.
Matematik modelni tanlashda quyidagilarga ahamiyat berish kerak:
obyektni o ‘rganishga;
o b y e k tn i o b y e k t o sti b lo k la rg a a jra tis h , b lo k la rd a g i
o'zgaruvchilarni aniqlash, bloklar va ulardagi o'zgaruvchilar orasidagi
bog'liqliklarni o'rnatish va obyektning konseptual modelini qurish;
-
konseptual modelni matematika tilida formalizatsiyalash, ya’ni
obyektning matematik modelini yozish. Matematik modelning nazariy
tadqiqotini o‘tkazish;
- qulay kompyuter tilida moyedllashtirish algoritmini yozish;
- kompyuterda obyekt dinamikasini imitatsiyalash;
- model parametrlarini baholash (identifikatsiyalash), imitatsiya
natijasini obyektning tabiiy dinamikasi bilan taqqoslash asosida;
-
modelni sinash (verifikatsiyalash), ya’ni identifikatsiyalashgan
modelni boshqa (identifikatsiyalashga foydalanilmagan) berilganlarda sinash;
22
-
model sezgirligining analizi, ya’ni imitatsiya natijasini model
parametrlari qiymatlaridan (keng ma’nodamodel asosidagi gipotezalaming
qanoatlantiruvchi miqdoriy bog'liqliklarning ko‘rinishidan)va boshlang‘ich
berilganlarning o'zgarishidan bog‘liqligini aniqlash;
imitatsion eksperiment andozasini yozish va har xil mantiqiy
senariyalarni ko'rib chiqish.
Birinchi bosqichda — obyektga doir, uning dinamikasini, tabiatini
tushuntiruvchi har qanday tegishli m a’lumotlarni yig'ish tushuniladi.
Ikkinchi bosqichda — yig'ilgan ma’lumotlarni sistemalashtirish, tegishli
ishchi gipotezalar yozish va sistemalashtirilgan ma’lumotlarni sxematik
ravishda akslantirish tushuniladi. Sistemalashtirilgan ma’lumotlarni sxematik
akslantirish — konseptual modellashtirishdir.
Uchinchi bosqichda konseptual model asosida matematik modelni yozish.
Bunda, albatta, o'sha konseptual model va o'rganilayotgan obyektga nisbatan
yurgizilgan ishchi gipotezalari asosidao'zgaruvchilar orasidagi bog‘liqlarni,
m unosabatlarni, ularni o'zgarish qonunlarining, bloklar orasidagi
bog‘lanishlami matematik ifodalar, funksiyalar va tenglamalar orqali yozilishi.
Bularning hammasi birgalikda matematik modelni tashkil qiladi. Matematik
model yozilgandan so‘ng uni ma’lum bir matematik metodlarga asosan,
tadqiqot o ‘tkaziladi. Bunda matematik model yechimlari aniqlanadi, ulaming
o‘zgarish sohalari aniqlanadi, modelni asimptotik yechimlarining analizi
ko‘rib chiqiladi, model tuig‘unligi tekshiriladi va hokazolar.
To£rtinchi bosqichda matematik model yechimlari asosida kompyuterdagi
qulay biron bir algoritmik tilda programma yoziladi, matematik model
yordamida imitatsion eksperimentlarni o'tkazish uchun.
Beshinchi bosqichda modelni obyekt dinamikasiga muvofiqlashtirish niyatida
obyekt dinamikasi bo‘yicha imitatsion eksperimentlar o'tkazish tushuniladi.
Oltinchi bosqichda imitatsion eksperiment natijasini obyektni tabiiy
dinamikasi bilan taqqoslash natijasida matematik model parametrlari
baholanadi.
Y ettin ch i bosqichda m odelni am alda q o ‘llash uchun sinov
eksperimentlari o'tkaziladi va aniqlanadi, modelni amalda tatbiq qilish
mumkinmi yo muvofiqlashtirish uchun o'zgartirish talab qilinadimi degan
savolga javob izlanadi.
Sakkizinchi bosqichda modelni o‘z parametrlarining qiymatiga nisbatan
sezgirligini, ya’ni parametrlarini aniqlashdagi xatoliklarning chegaralari
aniqlanadi. Agar xatolik belgilangan chegaradan chiqib ketsa, model
natijalari obyektning haqiqiy dinamikasidan farqi katta bo'lib, tamoman
noto‘g‘ri ma’lumotga olib kelishi mumkin. Ana shunday holatga tushmaslik
23
uchun, albatta, m odel param etrlarini o 'rg an ish , y a’ni «ishonch
intervallarini» aniqlashimiz kerak.
Oxirgi bosqichda matematik model yordamida har xil mantiqiy,
nazariy va amaliy eksperimentlar o ‘tkazish yordamida obyekt haqida
yangi m a’lumotlarni yig‘ish haqida, ya’ni ilmiy nazariy tadqiqot ishlari
olib borilishi tushuniladi.
|