1 elementárna kvantová mechanika - bet 20

P1 = |c1|2, P2= |c2|2
Vďaka normovacej podmienke (6) platí
P1 + P2 = 1 (7)
tak ako to pre pravdepodobnosti musí byť. Zdôraznime ešte raz, že každý z atómov sa nachádzal pred meraním energie v stave ψ = c1ψ1 + c2ψ2 a v tomto stave atóm nemá určitú hodnotu energie. Čísla P1 = |c1|2, P2 = |c2|2 udávajú pravdepodobnosti toho, že v tomto stave pri meraní energie nájdeme hodnoty E1, E2.
Opis tohto myšlienkového experimentu bol snáď trocha zdĺhavý, ale chceli sme ukázať, že tvrdenia kvantovej mechaniky sa vždy týkajú konkrétnych experimentálnych situácií. Jeho nevýhodou je snáď i to, že meranie energie je tu nepriame,
s priamym experimentom podobného typu sa stretneme, keď budeme hovoriť
o meraní polarizácie fotónu a o meraní spinu.
Predchádzajúci myšlienkový experiment by sme mohli zovšeobecniť aj na situáciu, keď všetky atómy dopadajúceho zväzku sú v stave opísanom superpozíciou
ψ = cnψn (12)
kde ψn je stav s presnou hodnotou energie En. Koeficienty cn musia spĺňať podmienku
Zovšeobecnením výsledku získaného v prípade superpozície dvoch stavov (t. j. stavu ψ = c1ψ1 + c2ψ2) prídeme k predpokladu (plne potvrdenému analogickými experimentmi), že pri meraní energie atómu môžeme namerať iba hodnoty E1, E2, E3, … a pritom pravdepodobnosť namerať Ei je
Pi = |ci|2 (13)
Tento vzťah je aj najprirodzenejším výrazom pre pravdepodobnosť namerať Ei. Ak totiž vieme, že výsledky merania sú len isté pravdepodobnosti Pi, potom je prirodzené očakávať, že tieto Pi sú funkciami koeficientov ck vystupujúcich v (12): Pi = Pi(c1, …, cn). Tieto funkcie by ale na základe intuitívnych argumentov mali spĺňať takéto podmienky:
a) Pi = 1
b) ak ψi nevystupuje v (12), t. j. ak ci je nulové, potom príslušné Pi je tiež nulové.
Výber pravdepodobnosti Pi v tvare (13) je určite najjednoduchšou možnosťou ako tieto požiadavky splniť a experiment túto možnosť plne potvrdzuje.
Fakty, na ktoré sme tu narazili sa istotne javia také prekvapivé, že nezaškodí ilustrovať ich na iných experimentálnych situáciách.
Príklad, ktorý veľmi silne ukazuje nevyhnutnosť interpretácie v už uvedenom zmysle je príklad merania polarizácie fotónu. Tento problém, pravdu povediac, nepatrí do nerelativistickej kvantovej mechaniky, lebo fotón sa pohybuje rýchlosťou svetla a je ultrarelativistickým objektom. Pri meraní polarizácie však jeho rýchlosť nehrá podstatnú úlohu a toto meranie je opísané kvantovou mechanikou. Výhodou merania polarizácie je to, že proces má dobre známy klasický analóg – meranie polarizácie klasických elektromagnetických vĺn. Pripomenieme si preto najprv klasický prípad.24
Ak sa svetelný lúč pohybuje v smere osi x a dopadá na polarizátor – nikol, potom za nikolom máme lineárne polarizované svetlo. Rovina jeho polarizácie je daná smerom hlavného rezu nikolu. Lineárnu polarizáciu môžeme opísať vektorom e, ktorý je kolmý na smer šírenia sa lúča a leží v rovine polarizácie. Predstavme si teraz, že tento lúč postupuje ďalej a dopadne na ďalší nikol, ktorý prepúšťa len svetlo polarizované lineárne v smere vektora e1 a úplne pohlcuje25 žiarenie polarizované v smere e2, kolmom na e1. Situácia je znázornená na obr. 1.18. Nech
I označuje intenzitu svetla polarizovaného v smere e pred prechodom nikolom
a I' označuje intenzitu svetla polarizovaného v smere e1 po prechode nikolom.
Podľa klasickej optiky môžeme prechod svetla cez tento nikol charakterizovať troma skutočnosťami
a) svetlo, ktoré prešlo nikolom má polarizáciu e1,
b) frekvencia svetla sa pri prechode cez nikol nemení,
c) intenzita svetla prejdeného nikolom je
I' = I cos2
kde I je intenzita dopadajúceho svetla a je uhol medzi lineárnou polarizáciou e dopadajúceho svetla a polarizáciou e1 vychádzajúceho svetla.
Skúsme teraz kvantovomechanicky opísať prechod lineárne polarizovaného svetla nikolom tak, aby tento opis bol konzistentný s výsledkami získanými
v klasickej optike.
Najprv si všimneme poučenie vyplývajúce z bodu b). V kvantovej fyzike totiž kruhová frekvencia fotónu súvisí s jeho energiou vzťahom E = ħ a to, že sa pri prechode nikolom nemení nám hovorí, že fotón buď prejde nikolom „celý“, alebo sa „celý“ pohltí. Bod c) vraví, že intenzita je daná vzťahom I' = I cos2 . Intenzita je ale úmerná celkovej energii prenášanej žiarením, a teda celkovému počtu fotónov, ktoré prejdú polarizátorom za sekundu. Prichádzame teda k záveru, že pravdepodobnosť prechodu fotónu je rovná cos2 a pravdepodobnosť jeho
pohltenia je sin2 . Všimnime si ale dôležitú skutočnosť. Všetky fotóny, ktoré prešli prvým polarizujúcim nikolom, majú rovnakú polarizáciu danú vektorom e a sú všetky v rovnakom stave. Určiť pravdepodobnosť prechodu je jednoduché.
Obr. 1.18
Podľa obr. 1.18 môžeme rozložiť vektor polarizácie dopadajúcej vlny takto
|