c ) Interpolyatsion kvadratur formulalar

c ) Interpolyatsion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur formulaning koeffisiyentlari va tugunlarini yuqori indekssiz А1, А2, .... Ап va х1, х2, ...,хп ko`rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga f(x) funksiyaning х1, х2, ...,хп nuqtalardagi f(x1),f(x2),…,f(xn) qiymatlari berilgan bo`lib, maqsad shu qiymatlar bo`yicha integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori aniqlikda topishdan iborat bo`lsin. Demak Ак koeffisiyentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun f(x)ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, (п-1) - darajali ko`phad bilan interpolyatsiyalaymiz:
(2.11)
E ndi bu tenglikni (x) ga kupaytirib, a dan b gacha integrallaylik.
Agar bundagi
(2.12)
qoldiq hadni tashlasak:
(2.13)
kvadratur formulaga ega bo`lamiz.
Bu formula qurilish usuliga ko`ra interpolyatsion kvadratur formula deyiladi. Bunday formulalar uchun ushbu teorema o`rinlidir.
Teorema. Quyidagi
(2.14)
kvadratur formulaning interpolyatsion bo`lishi uchun uning barcha (п-1) - darajali algebraik ko`phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.
I sbot. Zarurligi. Agar f(x) (п-1) - darajali ko`phad bo`lsa, u holda (2.11) tenglikda rn(f,x) bo`lib,
f(x)=
t englik o`rinli bo`ladi va (2.14) qoida interpolyatsion qoida bo`lganidan (2.13) ga ko`ra:
Demak (2.14) formula (п - 1) - darajali f(x) ko`phadni aniq integrallaydi.
Kifoyaligi. (2.14) formula (п - 1) - darajali ixtiyoriy ko`phad uchun aniq formuladir. Xususiy holda, (п - 1) -darajali ushbu:
k o`phad uchun ham aniq bo`ladi. Agar m(xk)=0 (к т) va ekanligini hisobga olsak,
kelib chiqadi. Demak (2.14) qoida interpolyatsiondir, shu bilan teorema isbot bo`ldi.
Bu teoremadan ko`rinadiki, n nuqtali interpolyatsion kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi (п-1) dan kichik bo`lmasligi kerak.
O songina ishonch hosil qilish mumkinki, yuqorida ko`rib o`tilgan to`g`ri to`rtburchak, trapetsiya vа Simpson formulalari interpolyatsion kvadratur formulalardir. Ma`lumki, f(x) [a, b) oraliqda n-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, u holda interpolyatsion formulaning qoldiq hadi rn(f, x) ni
ko`rinishda yozish mumkin. Buni (2.12) ga qo`yib, kvadratur formula uchun R (2.15)
ga ega bo`lamiz. Endi n-tartibli uzluksiz hosilaga ega va hosilasi
Мп (2.16)
t engsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfini qaraymiz. Bunday funksiyalar uchun (2.15) dan
(2.17)
ga ega bo`lamiz. Agar (х) ko`phad [a,b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda (2.17) baho aniq bo`lib, undagi tenglikka
f(x) =
k o`phadda erishiladi. Endi interpolyatsion kvadratur formulalarning bir muhim xossasini ko`rib o`taylik. Avval Ак ni aniqlaydigan integralda
a lmashtirish bajaramiz. Agar
d eb belgilasak , u holda Ак quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
b u yerda
(2.18)
va
Shunday qilib, (2.13) formula quyidagi
ko`rinishga keladi.
Teorema. Faraz qilaylik, vazn funksiyasi (х) [а,b] oraliqning o`rta nuqtasiga nisbatan juft funksiya va tk tugunlar shu nuqtaga nisbatan simmetrik, ya`ni
tk= - tn+1-k bo`lsin. U holda simmetrik tugunlarga mos keladigan kvadratur formulaning koeffisiyentlari o`zaro teng bo`ladi:
Bk=Bn+1-k (2.20)
Isbot: Agar n juft bo`lsa, u holda
(t)=(t-t1 )…(t-tn )= (-t) ,
tengliklar o`rinlidir. Agar п toq bo`lsa, u holda, aksincha (t)=- (-t), , har ikkala holda ham t=- almashtirish bajarsak, quyidagiga ega bo`lamiz :
Shuni isbotlash talab qilingan edi. Bundan ko`rinadiki, ti lar simmetrik joylashganda barcha Bi larni hisoblash o`rniga B1 , B2 ,…,B larni hisoblash kifoyadir.
I kkinchi tomondan, bunday formulalar oraliqning o`rtasiga nisbatan toq bo`lgan har qanday funksiya uchun aniq formuladir . Haqiqatan ham, ning juft ekanligini e`tiborga olsak, bunday funksiyalar uchun va shu bilan birga (2.20) formulaga ko`ra . Demak, Rn=0. Xususiy holda, (2.19) formula const ko`rinishdagi ko`phadni aniq integrallaydi.
Endi xuddi shu kvadratur formulani p toq bo`lganda qaraylik. Bu formula f(x)=соnst ni aniq integrallaydi va qurilish usuliga ko`ra ixtiyoriy
(n-1) - darajali ko`phadni ham aniq integrallaydi. Demak bunday kvadratur formula ixtiyoriy п -darajali ko`phadni aniq integrallaydi. Shunday qilib, tugunlari soni 2т-1 yoki 2т bo`lsa, oraliq o`rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan interpolyatsion kvadratur formulalar 2т-1 darajali ko`phadlar uchun aniq formuladir. Bunga to`g`ri to`rtburchak va Simpson formulalari misol bo`ladi.
Toq tugunli kvadratur formulaning qoldiq hadini f (n)(x) orqali emas, f(n+1)(x) orqali ifodalash uchun integral ostidagi funksiyani yanada aniqroq nuqtada ikki karrali tugunga ega bo`lgan Ermit interpolyatsion ko`phadi bilan almashtirish kerak. Biz yuqorida to`g`ri to`rtburchak va Simpson formulalarining qoldiq hadlarini baholashda xuddi shunday qilgan edik.
|