Ta’rif-2 - Qo’shma operatorlar

|
Qo’shma operatorlar
|
bet | 6/7 | Sana | 09.01.2024 | Hajmi | 1,14 Mb. | | #132793 |
Bog'liq QO\'SHMA OPERATORLARTa’rif-2. Yevklid fazosida x vektorning uzunligi deb
(4)
songa aytiladi. x vektorning uzunligini bilan belgilaymiz.
Vektorlar orasidagi burchak, vektoning uzunligi hamda vektorlarning skalyar ko‘paytmalari odatdagi munosabatlar bilan bog‘langan: vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning uzunliklari ko‘paytmasi bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga teng. Ammo bu jumladagi «vektorlar orasidagi burchak» so‘zlaridan tashqari hamma so‘zlarning ma’nosi bizga tushunarli bo‘lishi uchun quyidagi ta’rifni beramiz.
Ta’rif-3. x va u vektorlar orasidagi burchak deb
songa aytamiz, ya’ni
21
deb qabul qilamiz. Agar x va u vektorlar orasidagi burchak ga teng bo‘lsa, ya’ni
(x,u)=0
bo‘lsa, x va u vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
Kiritilgan tushunchalar yordami bilan elementar geometriyaning qator teoremalarini yevklid fazosiga ko‘chirish mumkin.
Qo’shma operatorlar fazosi
Qo’shma operatorlar fazosi E va F chizikli fazolar bulib, L(E,F) esa E fazoni F fazoga akslantiradigan barcha chizikli operatorlar tuplami bo’lsin. L(E,F) to’plamda (A+V)x=Ax+Vx 24 tenglik bilan ikkata A va V operatorlarni kushish amalini aniqlash mumkin. Xuddi shuningdek, bu tuplamda A operatorni €R songa kupaytirish amalini xam kuyidagicha aniqlash mumkin: ( L(E,F) to’plamni kiritilgan amallarga nisbatan chizikli fazo tashkil etishini tekshirish kiyin emas. Masalan, bu fazoning nol elemnet o- nol operator bo’ladi. A operatorga karama-karshi operator bo’ladi. A operatorga karama-karshi operator esa, (-1) A bo’ladi. Xususiy xolda, agar E=F bo’lsa, ya’ni aniqlanish sohasi E bo’lgan operatorlarning qiymatlar sohasi xam yana E fazoda yotsa, u xolda L(E,F) fazoda operatorlarni kupaytirish amalini xam aniqlash mumkin bo’ladi. Agar A,V€ L(E,F) bo’lsa, (AV) x=A(Vx) tenglik bilan A va V operatorlarni kupaytirishga nisbatan birlik element rolini uynaydi va L(E,F) tuplam birlik elementli xalka tashkil etadi. Bu xalka tashkil etadi. Bu xalka umumiy xolda kommutativ emas. Masalan, E=Rn bulib n>1 shart bajarilsa L(Rn,Rn) fazo barcha ikkinch tartibli xakikiy elementli matristalar xalkasiga izomorf bo’lgan xalka bulib, bu xalka kommutativ emas. Agar A € L(E,E) operator uchun AV=J va SA=J (bu erda J- ayniy almashtirish) tengliklarni qanoatlantiruvchi V va S operatorlar mavjud bo’lsa, u xolda V va S operatorlar bir xil bo’ladi, chunki V= (SA)V= S(AV)=SJ=C munosabatlar urnili bo’ladi. Shu
22
bilan birga bunday V operatorni A ga teskari operator deyiladi va uni A-1
ko’rinishda belgilanadi. A sup ( ) sup Bu xossalar L(E,F) fazoning normallangan fazo ekanini bildiradi. Xususan, F=R ,bo’lgan hol uchun L(E,F)-uzluksiz chiziqli funkstionallar fazosi nomalangan bo’lib, uni E ga qo’shma fazo deyiladi. Misollar. E=Rn F=Rm ,bo’lsin. Chiziqli A:RnRm operatorni aniqlash uchun Rn fazodagi biror e1, orqali Aei vektorlarni bu bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz, ya’ni R 1 , Agar n i i i Rn x x e 1 ixtiyoriy vektor bo’lsa, u holda bu erda Demak A operator (aij) matrista yordamida aniqlanib, u x=(x1,x2,…,xn) vektorga quyidagicha ta’sir etadi. Rn va Rm fazolarida oddiy Evklid normasini olamiz, masalan, xRn uchun , ya’ni Ax a x i j ij , 2 munosabat o’rinli. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir. A chiziq almashtirish ixtiyoriy ekanrliginidan har qanday A:RnRm chiziqli operator uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi. 2. E seperabel Gilbert fazosi bo’lib, e1ement uning ortogonal bizisi bo’lsin u holda ixtiyoriy xE elementni ko’rinishida yozish mumkin. Biror C>0 soni uchun n C tengsizlik uni qanoatlantiruvchi { } n ketma – ketligini olib A: E E operatorni quyidagicha aniqlaymiz: Ax x e 1 ( ) A operatorning mavjudligi 1 2 1 2 2 [ ] tengsilikdan va Riss – fisher teoremasidan kelib chiqadi. A operatorning chiziqli ekanligi uning qurilishidan kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, A operatorning qurilishidan Te e tenglik ham kelib chiqadi. Agar n n sup belgilashni kiritsak, 2 2 1 2 ( , ) munosabatlar hosil bo’ladi. Bundan Ax {ei} bazisning ortonormalligidan, n n n x n A sup Ax sup Te sup 1 kelib chiqadi, ya’ni Ax . Demak, n n Ax sup 26 Teorema. Agar F – Banax fazosi bo’lsa, u holda normallangan E fazoni F ga akslantiradigan barcha chiziqli va chegaralangan operatorlar to’plami L(E,F) ham Banax fazosi bo’ladi. Isbot. L(E,F) fazodagi normaga nisbatan fundamental
23
holda ixtiyoriy xE element uchun n,m da A n x A m x A n A m x 0. Demak, har bir xE uchun {Anx} ketma – ketlik fundamentaldir. F fazoning to’la ekanligidan bu {Anx} ketma – ketlik biror eF elementga intiladi. Shunday qilib, har bir x elementga F bitta elementi mos qo’yilmoqda, bu moslikni A bilan belgilaymiz, ya’ni y A x n n lim bo’lsa, y=Ax deb olamiz. U holda bu A:EF operator additiv bo’ladi, chunki 1 2 1 2 1 2 1 2 A(x x ) lim A (x x ) lim A x munosabatlar o’rinli. Endi A operatorni chegaralanganligini kuzatamiz. Shartga asosan, {An} ketma – ketlik normaga nisbatan fundamentaldir. Bundan va A n A m A n A m tengsizlikdan { } A n sonli ketma – ketlikni fundamentalligi kelib chiыadi. Demak, bu ketma – ketlik chegaralangan hamdir, ya’ni shunday K son mavjudki, barcha n lar uchun A n K o’rinli bo’ladi. Shuning uchun A x K x n va Ax A x K x lim n bajariladi. Oxirgi munosabat chegaralanganligi ifodalaydi. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir. Bu operator {An} operatorning norma ma’nosidagi yaqinlashishga nisbatan limiti ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy 0 uchun shunday n0 nomer topiladiki, n n0 , 0 bo’lganda x 1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x elementlar uchun A n x A n x tengsizlik bajariladi. Agar oxirgi tengsizlikda da limitga o’tsak Ax A x n tengsizlik barcha n n0 va x 1 shartni qanoatlantiruvchilar uchun bajariladi. Shuning uchun
sup ( ) 1 tengsizlik n n0 bo’lganda o’rinli bo’ladi. 27 Cheksiz o’lchamli V vektor fazoda ham bazis tushunchasini kiritish mumkin .G=x chiziqli erkli sistema bo’lib, Vning ixtiyoriy xV elementi uchun shunday x1, x2, ..., xkG vektorlar sitemasi va 1, 2, ...,k sonlar topilsaki, ular uchun x=1 x1+2x2+…+kxk tenglik bajarilsa, u holda G fazoning Hamel (Gamel) bazisi deyiladi. Ixtiyoriy vektor fazoda Hamel bazisi mavjudligini ko’rsatish mumkin. Agar L to’plam V
vektor fazoning qism to’plami bo’lib, L to’plamning o’zi ham V fazodagi vektorlarni qo’shish va R maydoning elementi bilan V fazoning vektorini ko’paytirish amallariga nisbatan vektor fazo tashkil etsa, u holda L to’plamni V f
24
S0 shartlar bajarilsin. U holda S to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazo L ni S ning chiziqli qobig’i deyiladi. Bunday holda, L=[S] ko’rinishda belgilanadi va L ni S bilan hosil qilingan qism fazo deyiladi. Ba’zi hollarda [S]=V bo’lishi ham mumkin. Agar S chiziqli erkli vektorlar sistemasidan iborat bo’lib, [S]=V tenglik bajarilsa, u holda S Hamel bazisi bo’ladi. Agar V1 to’plam V fazoning qism fazosi bo’lsa, V fazodan olingan x va u vektorlar uchun x-uV1 shart bajarilganda bu x, u elementlarning ekvivalent deb atasak, u holda bu munosabat ekvivalentlik munosabatini tashkil etadi. Bu ekvivalentlik munosabati bo’yicha qurilgan barcha ekvivalentlik sinflari to’plamini V / V1 ko’rinishda belgilanadi V/V1 to’plamga tegishli bo’lgan 2 ta A va V sinflarning yig’indisini aniqlaymiz. Buning uchun A va V sinflardan ixtiyoriy xA, uV elementlarni olib ularning yig’indisi x+u elementni o’z ichiga olgan sinf S ni A va V sinflarning yig’indisi deb qabul qilamiz. Bu amal A va V sinflardan olingan x va u elementlarning tanlanishiga bog’liq emasligini isbotlash mumkin.
25
Xulosa
Evklid fazosini normalangan fazo sifatida qarasak, u to‘la bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar E Evklid fazosi to‘la bo‘lmasa, u holda uning to‘ldiruvchisi bo‘lgan Banax fazosini 𝐸̅ bilan belgilaymiz.
|
| |