Tekintsünk egy, a tengelyével párhuzamos H

15. Tekintsünk egy, a tengelyével párhuzamos H mágneses térben felfüggesztett hengerkondenzátort. A kondenzátort a fegyverzetekre merőleges nagy ellenállású vezetővel kisütjük. A mágneses tér a kisütő áramra erőt fejt ki, a kondenzátor elfordul. Határozzuk meg a kondenzátor impulzusmomentumát.
Megoldás:
A vezetőre ható erősűrűség:
,
j és H esetünkben egymásra merőleges vektorok, a ható erő iránya mindkettőre merőleges. A dr vezetőszakaszra ható erő abszolút értéke:
.
Az erőnek a tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatéka:
,
ahol r1 és r2 a hengerek sugarai. Ez forgatja el a kondenzátort. Az M forgatónyomaték miatt fellépő impulzusmomentum:
.
16. Áramkörünk két egymással párhuzamos, a, ill. b sugarú végtelen hosszú vezetőből áll. A vezetők nem mágnesezhetők, a középpontoktól mért távolságuk . Az áram ellenkező irányban folyik az egyes vezetőkben. Határozzuk meg az egységnyi hosszra eső önindukciót.
Megoldás:
Az áramkör felületén átmenő indukciófluxus:
.
Mivel , . A 36. pontban kapott eredmények alapján:
A vezetőkön átfektetett síkon, melyre integrálni kell, a térerősségnek csak normális irányú komponense van, azaz a sík mentén . Helyezzük koordináta-rendszerünk kezdőpontját az a sugarú vezető középpontjába. Ekkor az egységnyi hosszra eső indukciófluxus:
Ebből
.
17. Kondenzátor fegyverzetei között ionizált gáz van, amelynek dielektromos együtthatója a frekvenciától függ a következőképpen:
,
ahol , , e az ionizált részecske töltése, m a tömege, N pedig a térfogategységben levő ilyen részek száma. Bizonyítsuk be, hogy a kondenzátor komplex ellenállása formailag megegyezik a 81. ábrán látható két pólus ellenállásával. Határozzuk meg R, L és C értékét.
81. ábra -
Megoldás:
Jelöljük az üres kondenzátor kapacitását C0-val. Az ionizált gázzal töltött kondenzátor kapacitása: ; komplex ellenállása pedig:
.
Számítsuk most ki a felrajzolt kör komplex ellenállását:
.
Látható, hogy a
megfeleltetéssel formailag: Z = Z1.
18. Határozzuk meg a 82. ábrán látható végtelen rendszer komplex ellenállását. Számítsuk ki a feszültségeket a csomópontokban. Diszkutáljuk a kapott eredményt abban az esetben, ha Z1 tiszta induktív, Z2 pedig tiszta kapacitív ellenállás.
82. ábra -
Megoldás:
Minthogy a lánc végtelen, az első ellenálláspár leválasztása után maradt lánc (83. ábra) ellenállása megegyezik az eredetivel:
.
83. ábra -
Ennek megoldása:
.
Vizsgáljuk most a feszültségeket. Használjuk ki ismét, hogy az n-edik ellenálláspár után álló lánc szintén Z0 ellenállású (84. ábra). A következők a viszonyok:
.
84. ábra -
Minthogy bármely elágazási ponttól jobbra az ellenállás Z0, fennáll, hogy . Ezt egyenlőségünkbe írva:
,
amiből
.
Ha a lánc elején betáplált elektromos erő , akkor
.
Vizsgáljuk most a tiszta induktivitásokból és kapacitásokból álló láncot (85. ábra):
,
,
tehát
.
85. ábra -
Legyen , ekkor:
.
Abban az esetben, ha , a gyök alatti mennyiség pozitív, a csak induktivitásokból és kapacitásokból álló láncnak ohmos ellenállása van, tehát állandóan elnyel energiát. Hogyan lehetséges ez? Kis frekvenciák esetén a végtelen sok kapacitásból és induktivitásból álló rendszer állandóan töltődik, az újabb feszültséglökésig a lánc egyes elemeinek van idejük átadni az energiát a további tagoknak.
Ha , a komplex ellenállás tiszta képzetes.
Vizsgáljuk most a feszültségviszonyokat:
.
Ha
,
ezért
,
ami azt jelenti, hogy a feszültség abszolút értéke minden csomópontban azonos:
.
δ negatív, ami a hullámok késleltetését jelenti. Az esetben:
tiszta valós, és . Tehát
,
ami azt jelenti, hogy minden elágazásban kisebb a feszültség, mint a megelőzőben. A feszültség gyorsan esik a lánc mentén. ω0-nál nagyobb frekvenciákat a rendszer nem enged át. Az új feszültséghullám megjelenésekor az egyes elemek még nem tudták továbbadni tárolt energiájukat.
A frekvencia függvényében az áteresztést jellemző görbéje a 86. ábrán látható.
86. ábra -
19. Egy feltöltött C kapacitású kondenzátort R ellenálláson és L önindukción át kisütünk. Feltételezve, hogy a kisülés aperiodikusan történik, számítsuk ki, mikor éri el az áram intenzitása a maximális értékét.
Megoldás:
Az RLC kör differenciálegyenlete:
;
kezdeti feltétel: t = 0-kor I = 0. A differenciálegyenlet megoldása:
,
ahol
.
Mivel a kisülés a feltétel szerint aperiodikus, ezért . I ott lesz maximális, ahol az első differenciálhányadosa zérus, tehát:
.
Ebből
,
,
amiből t-re kapjuk:
.
20. A C kapacitású kondenzátor sorba van kötve az R ohmos ellenállással, C' sorba van kötve R'-vel. A két ág párhuzamosan rá van kötve egy akkumulátor sarkára, amelynek belső ellenállása elhanyagolható. Az akkumulátort hirtelen bekapcsoljuk, és mérjük a két kondenzátor közötti feszültséget a feltöltődés alatt. Bizonyítsuk be, hogy az hányados megfelelő választása esetén a feszültségkülönbség a feltöltődés egész tartama alatt zérus.
Megoldás:
A bekapcsolás a t = 0 időpontban történik. A két kondenzátor töltésének időbeli változását a következő egyenletek írják le:
.
Ezekből
,
.
Ennek alapján a kondenzátorok feszültsége:
,
illetve
.
A két feszültség akkor egyezik meg minden időpillanatban, ha
.
21. és n törésmutatójú közegeket síkfelület választ el. E felületre merőlegesen, a z tengely irányában ω körfrekvenciájú síkhullám terjed. Mekkora légrést kell hagynunk a két közeg között, hogy ne legyen visszavert hullám?
Megoldás:
Felírjuk a térerősség-komponenseket az egyes közegekben, kihasználjuk, hogy a transzverzális komponensek folytonosan mennek át, és megköveteljük, hogy az törésmutatójú közegben a visszavert hullám amplitúdója 0 legyen. Az 52. pontban tanultak szerint az 1-es, 2-es és 3-as közegekben fennáll:
A jobbra, a balra futó síkhullámot jelöl. A többi térerősség-komponens 0. A továbbiakban a 0x alsó indexet elhagyjuk. Tegyük a z tengely 0 pontját az 1-es és 2-es közegek határára, és jelöljük a légrés kiszámítandó vastagságát s-sel. Ekkor a határfeltételekből adódik a z = 0 helyen:
;
;
és a z = s helyen:
;
.
E két utóbbi egyenletből:
;
ahol
.
Ezt az első két egyenletbe téve, kapjuk:
.
Az eltűnésének feltétele:
,
vagyis
.
Az A korábbi kifejezésével összehasonlítva:
,
,
,
,
.
Tehát negyed hullámhossznak megfelelő légrést kell hagyni, hogy ne legyen visszavert hullám.
22. A Föld közelében 1 cm2 felületen áthaladó, Naptól származó sugárzási energiaáram kb. 0,14 watt/cm2. Legyen a bolygóközi „kozmikus vitorláshajó” vitorlájának cm2-enkénti tömege 10–4 g, és elhanyagolható a többi tartozék tömege. Milyen lehet a Nap sugárzásának sugárnyomása miatti maximális gyorsulás? Tételezzük fel, hogy a „vitorla” minden rá eső sugárzást teljesen visszaver.
Megoldás:
A térimpulzus-sűrűség és az energiaáram-sűrűség közötti összefüggés:
.
A „vitorlán” való visszaverődés során az impulzus előjelet vált. A „kozmikus vitorlás” által időegységenként átvett impulzus, vagyis az erőhatás 2g:
,
ahol μ a felületegység tömege. Ebből adódik:
,
.
23. Elektromágneses hullám terjed homogén plazmán keresztül. Közelítésként feltehető, hogy a plazmát alkotó nehéz pozitív ionok az elektromos tér rezgéseit nem követik, de a könnyű elektronok igen, és ezáltal a hullám terjedését befolyásolják. Mutassuk meg, hogy ha külső mágneses tér nincs jelen, a plazma az
kritikus frekvenciánál nagyobb frekvenciájú elektromágneses hullám számára olyan, mintha
dielektromos együtthatójú szigetelő lenne. ω a hullám körfrekvenciáját, N az elektronok számsűrűségét, e azok töltését, m pedig tömegét jelenti.
Megoldás:
Síkhullám esetén vákuumban , ezért az elektronokra ható Lorentz-erő mágneses tértől eredő része a tényező miatt elhanyagolható az elektromos rész mellett. Így az elektron mozgásegyenlete:
.
.
Az elektronok konvektív áramsűrűsége:
.
Ezt az első Maxwell-egyenletbe írva:
.
Figyelembe véve, hogy ,
.
Ebből az egyenletből látható, hogy a plazma az elektromágneses hullám terjedése szempontjából olyan, mintha
dielektromos együtthatójú szigetelő lenne. Igen nagy frekvenciáknál () , ugyanis ekkor az elektronok már nem tudják követni a tér rezgéseit. A plazma sajátfrekvenciájánál .
24. Az előző feladat eredményét felhasználva határozzuk meg merőleges beesés esetén a visszaverődési együtthatót mint a frekvencia függvényét.
Ismeretes, hogy az ionoszféra a méteres hullámhosszúságú rádióhullámokat visszaveri, a néhány deciméter hullámhosszú radarhullámokat átereszti. Becsüljük meg az ionoszféra maximális elektronsűrűségét.
Megoldás:
a) A visszaverődési együttható:
,
ahol
,
és így
.
Ha , , a beeső hullám teljes egészében áthatol az ionizált rétegen. Az elektronok képtelenek követni a tér gyors rezgéseit. ω csökkenésekor r monoton nő, és -nál r = 1, a beeső hullám teljes egészében visszaverődik. Ha , a gyökjel alatti mennyiség negatívvá válik, ilyenkor
.
A visszaverődés teljes. Az függvényt a 87. ábra szemlélteti.
.
87. ábra -
b) A még éppen áthaladó hullám hullámhosszára teljesül, hogy
.
Vegyük -t. Ekkor
.
Ezt megadott kifejezésével egyenlővé téve, adódik:
,
amiből
.
25. A 23. feladat alapján határozzuk meg a plazmában haladó elektromágneses síkhullám fázis- és csoportsebességét.
Megoldás:
A hullám fázissebessége:
.
Ha , és képzetes. Ebben az esetben a térerősség már nem haladó hullám, hanem a távolsággal exponenciálisan csökkenő, időben periodikusan változó.
A csoportsebesség:
.
Mivel ,
.
A plazmán áthaladó hullámvonulat csoportsebessége az előbbi képlet alapján:
.
26. Tegyük fel, hogy a plazma rétegezetten inhomogén, mint pl. a Heaviside-réteg. Az elektronsűrűség felfelé haladva nő, elér egy maximumot, és azután ismét csökken. Mutassuk meg, hogy merőleges beesés esetén a hullám éppen azon a helyen verődik vissza teljesen, ahol a sajátfrekvencia egyenlővé válik a hullám frekvenciájával.
Megoldás:
Ha a plazma dielektromos együtthatója nem változik nagyon gyorsan a magassággal, akkor a közeg állandó dielektromos együtthatójú rétegekből összetettnek képzelhető. Az ilyen közegben haladó hullám terjedési iránya a Snellius–Descartes-törvény alapján rétegről rétegre követhető. Ha az elektronsűrűség felfelé haladva nő, akkor csökken, tehát optikailag ritkább közegeken következik be a törés. Egy bizonyos elektronsűrűségnél bekövetkezik a teljes visszaverődés. A töréstörvény az egyes rétegekre:
.
Ebből adódik:
.
A teljes visszaverődésnél , tehát ezen a helyen , mivel . Merőleges beesés esetén , és így . A hullám tehát ott verődik vissza teljesen, ahol , vagyis ahol a sajátfrekvencia megegyezik a hullám frekvenciájával: .
27. Mutassuk meg, hogy a koordinátatengelyek elforgatása és a jobbsodrású koordináta-rendszerről balsodrásúra való áttérés is Lorentz-transzformáció, de egy állandó szögsebességgel forgó rendszerre való áttérés már nem az.
Megoldás:
A Lorentz-transzformációnak invariánsul kell hagynia a
ívelem-négyzetet. A koordináta-rendszer elforgatásakor két szomszédos pont távolságának négyzete:
változatlan marad. Mivel t nem változik, ezért ds2 valóban invariáns; a koordináta-rendszer elforgatása tehát Lorentz-transzformáció.
A jobbsodrású koordináta-rendszerről balsodrásúra áttérhetünk a térbeli koordináták tükrözésével:
.
Ekkor , , , és így ds2 ismét invariáns, tehát ez is Lorentz-transzformáció.
Most tekintsük azt a transzformációt, amely a z tengely körül állandó ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerre való áttérést írja le:
,
,
,
.
Ez a transzformáció a ds2 ívelem négyzetalakját megváltoztatja. Ugyanis:
.
Ez a transzformáció tehát nem Lorentz-transzformáció.
28. Egyirányú sebességek összetevési képlete a relativitáselmélet szerint:
.
Vezessük be a sebesség helyett a gyorsaság fogalmát a következő definícióval: . Milyen összetevési képlet érvényes a gyorsaságokra? Hogyan szól gyorsaságokkal kifejezve az a megállapítás, hogy c-nél kisebb sebességek összege kisebb c-nél?
Megoldás:
A sebesség-összetevési képletben c-vel osztva, és a gyorsaságokat behelyettesítve:
,
a c sebességnek megfelelő gyorsaság:
,
ez pedig véges gyorsaságok összeadásából nem nyerhető.
29. mezon élettartama 10–16 s. Fotoemulzióban átlagosan cm utat tesz meg elbomlásáig. Határozzuk meg a sebességét.
Megoldás:
A megtett út és a sajátidő közti összefüggés:
.
A számértékeket behelyettesítve:
.
30. Egy négyzet alakú vezetőben állandó elektromotoros erejű telep hatására állandó sűrűségű konduktív áram folyik. A vezetőnek elektrosztatikus töltése nincsen. Mutassuk meg, hogy az a megfigyelő, akihez képest a vezetőkör v sebességgel mozog, a vezető egyes szakaszain elektromos töltés felléptét észleli, de – a töltés Lorentz-invarianciájának megfelelően – a vezető összes töltése zérus.
Megoldás:
Tételezzük fel, hogy a mozgás az x tengely mentén történik. A négyes áramsűrűség komponensei a vezetővel együtt mozgó koordináta-rendszerben: . A vezetőhöz képest mozgó rendszerben:
.
Az AB és a CD szakaszon sx = 0 (88. ábra), így ezeken . A BC szakaszon , ezért
.
88. ábra -
Az AD szakaszon , ezért itt
.
A vezetőhöz képest mozgó megfigyelő tehát a BC szakaszon pozitív, az AD szakaszon negatív töltés felléptét észleli. Mivel a két töltéssűrűség abszolút értékben megegyezik, csak ellentétes előjelű, az egész áramkör összes töltése a mozgó megfigyelő számára is zérus.
31. Végtelen hosszú hengeres vezető ω vonal menti töltéssűrűséggel egyenletesen töltött. A vezetőben I áram folyik. A vezetőn kívüli térben . Keressünk olyan koordináta-rendszert, amelyben vagy csak elektromos, vagy csak mágneses térerősség van. Határozzuk meg ezeket a térerősségeket.
Megoldás:
Az elektromos tér sugárirányú, a mágneses tér erre merőleges.
.
.
A transzformációs egyenletek a következó'k:
;
;
itt
.
Az elektromos tér akkor tűnik el, ha
.
A sebesség iránya a pozitív x tengely irányával egyezik meg. Kell, hogy teljesüljön. Ezért olyan koordináta-rendszer választása, melyben E = 0, csak akkor lehetséges, ha . Ekkor
.
Mikor teljesül, olyan koordináta-rendszert választhatunk, melyben . Ehhez az szükséges, hogy
legyen. Most
.
Ha -hez, a fenti módon választott rendszerek sebessége , a térerősségek pedig 0-hoz tartanak.
|