- m a ’ r u z a : M a t e m a t i k m o d e l l a s h t i r i s h n i n g a s o s i y

1 - m a ’ r u z a : M a t e m a t i k m o d e l l a s h t i r i s h n i n g a s o s i y
t u s h u n c h a l a r i , m a s a l a l a r n i E H M d a y e c h i s h b o s q i c h l a r i v a
a l g o r i t m l a r n a z a r i y a s i .
Reja:
1. Kirish;
2. Matematik model tushunchasi;
3. Statsion va nostatsion modellar;
4. Parametrlari tо‘plangan va tarqoq modellar;
5. Masalani EHMda yechish bosqichlari;
6. Algoritm tushunchasi va uning vazifasi;
7. Algoritmni ifodalash usullari, uning xossalari va unga qо‘yiladigan
talablar.
1. Kirish
Qadim zamonlardan beri inson о‘z imkoniyatlarini kengaytirishga harakat
qilib, turli mehnat qurollarini yaratib kelgan. Masalan, uzoqni kо‘rolmaslikni
mikroskop, teleskop, radiolokator kabi buyumlarni yaratish bilan qoplagan bо‘lsa,
bir-biriga ma’lumotlar uzatishdagi cheklangan imkoniyatlarini telefon, radio va
televideniya hisobiga kengaytirmoqda. Elektron hisoblash mashinalarining
yaratilishi va ularning keskin rivojlanib borishi inson ongining imkoniyatlarini
tо‘ldiribgina qolmay, uning turli-tuman ma’lumotlarni tahlil qilish va о‘zining ish
faoliyatida uchrovchi masalalar yechimini qabul qilish tezligini ham jadal sur’atda
о‘stiradi.
Shunday qilib, fan va texnikaning rivojlanishi va о‘ta murakkab jarayonlarning
hisob ishlarini sifatli va tez bajarilishini talab etayotgan bir paytda,- yuqori
texnologiyali elektron hisoblash mashinalarining ishlab chiqilishi tabiiy bir holdir.
XXI asr – kompyuterlashtirish asrida insoniyat faoliyatining barcha jabhalariga
kompyuterlar jadal sur’atda kirib bormoqda.
Zamonaviy kompyuterlarning kо‘payib borishi esa tabiiy ravishda undan
foydalanuvchilarning safini ortib borishiga turtki bо‘ladi. Odatda kompyuterdan
foydalanuvchilar sinfi juda ham xilma-xildir. Lekin, umumiy qilib ularni
kompyuterlardan о‘z ishlarini bajarishda tayyor programma mahsuloti sifatida
foydalanuvchi-operatorlar sinfi va ular uchun zarur bо‘lgan programma
ta’minotlarini yaratuvchi-dasturchilar sinfiga ajratish mumkin. Dasturchilar sinfini
esa о‘z navbatida shartli ravishda sistemali va amaliy dasturchilar guruxlariga
ajratamiz.
Mazkur «Algritmik tillar va dasturlash» fanidan yozilgan ma’ruzalar matni amaliy
dasturchilar guruxiga tegishli mutaxassislarni, institutning «Informatika va
axborotlar texnologiyasi» kafedrasida «Informatika va AT» yо‘nalishi bо‘yicha
ta’lim olayotgan texnik bakalavrlar va kasbiy ta’lim bо‘yicha muhandis-
muallimlarni Turbo-Paskal algoritmik tiliga о‘rgatish uchun mо‘ljallangan.
2. Matematik model tushunchasi
Elektron hisoblash mashinalari bilan bevosita ishlashdan oldin qanday ishlarni
bajarish kerakligini kо‘rib chiqaylik. Istalgan hayotiy, matematik yoki fizik va
hokazo masala shartlarini ifoda qilish dastlabki ma’lumotlar va fikrlarni
tasvirlashdan boshlanadi va ular qat’iy ta’riflangan matematik yoki fizik va hokazo
tushunchalar tilida bayon qilinadi. Sо‘ngra masalani yechishning maqsadi, ya’ni
masalani yechish natijasida ayni nimani yoki nimalarni aniqlash zarurligi
kо‘rsatiladi. Masalani о‘rganish uning matematik modelini tuzishdan boshlanadi,
ya’ni uning о‘ziga xos asosiy xususiyatlari ajratiladi va ular о‘rtasidagi matematik
munosabat о‘rnatiladi. Boshqacha qilib aytganda, dastlab о‘rganilayotgan fizik
hodisaning mohiyati, belgilari, ishlatiladigan kо‘rsatkichlar sо‘zlar yordamida
batafsil ifoda etiladi, sо‘ngra fizik qonunlar asosida kerakli matematik tenglamalar
keltirilib chiqariladi. Bu tenglamalar о‘rganilayotgan fizik jarayon yoki
hodisalarning matematik modeli deb ataladi. Matematik modelni haqiqiy obyektga
moslik darajasi amaliyotda tajriba orqali tekshiriladi. Odatda, matematik model
qaralayotgan obyektning xususiyatlarini aynan, tо‘la о‘zida mujassam qilmaydi. U
har xil faraz va cheklanishlar asosida tuzilgani uchun taqribiylik xarakteriga ega,
tabiiyki uning asosida olinayotgan natijalar ham taqribiy bо‘ladi. Shuning uchun,
tajriba qilib kо‘rish orqali yaratilgan modelni baholash va lozim bо‘lgan holda uni
aniqlashtirish imkoniyati yaratiladi.
Matematik modelning aniqligi, uning korrekt qо‘yilganligi, olinadigan
natijalarning ishonchlilik va turg‘unlik darajasini baholash masalasi
modellashtirishning asosiy masalalaridan biridir.
Matematik modellarni shartli ravishda quyidagi turlarga ajratish mumkin.
3. Statsionar modellar va nostatsionar modellar
Bu modellarda qaralayotgan jarayon vaqt bо‘yicha turg‘unlashgan deb qaraladi,
ya’ni matematik modelni ifodalovchi tenglamalarda vaqtni ifodalovchi kо‘rsatkichi
qatnashmaydi. Modelda qatnashuvchi kо‘rsatkichlar, parametrlarning bir qismi
yoki barchasi faqat fazoviy о‘lchovlarga bog‘liq bо‘ladi. Bunday modellarga misol
qilib inshoot devoridan о‘tuvchi statsionar issiqlik oqimi tenglamasi, qurilish
tо‘sinlarining statsionar egilishi va buralishi tenglamalarini keltirish mumkin.
Statsionar modellar algebraik tenglamalar, oddiy differensial tenglamalar yoki
ularning sistemasi kabi ifodalanadi.
Bu modellarda jarayon kо‘rsatkichlari vaqtga bog‘liq deb qaraladi. Umumiy holda
esa, bu kо‘rsatkichlar fazoviy о‘lchovlarga ham bog‘liq bо‘lishi mumkin. Bunday
modellarga qurilish inshootlarida nostatsionar issiqlik oqimi tenglamalari,
tebranish jarayonlarining tenglamalari, diffuziya tenglamalarini misol qilib
kо‘rsatish mumkin. Nostatsionar jarayon о‘zi va hosilalari vaqtga bog‘liq funksiya
qatnashgan differensial tenglama yoki shunday tenglamalar sistemasi, xususiy
hosilali differensial tenglamalar yordamida yoziladi.
4. Parametrlari tо‘plangan modellar va parametrlari tarqoq modellar
Bunday modellarda jarayon kо‘rsatkichlari fazoviy о‘lchovlar bо‘yicha о‘rnatiladi.
Natijada model kо‘rsatkichlari faqat vaqtga bog‘liq bо‘ladi. Bu jihatdan
parametrlari tо‘plangan modellar fazoviy о‘lchovga bog‘liq bо‘lmagan
nostatsionar modellarga о‘xshashdir. Modellar chiziqli va chiziqli bо‘lmagan
algebraik, chiziqsiz tenglamalar, vaqt bо‘yicha hosilalar qatnashuvchi oddiy
differensial tenglamalar yoki shunday tenglamalar sistemasi kabi tenglamalar bilan
ifodalanadi.
Bunday modellarda umuman olganda qaralayotgan jarayon kо‘rsatkichlari ham
vaqtga, ham fazoviy о‘lchovlarga bog‘liq bо‘ladi. Modellar asosan xususiy hosilali
differensial tenglamalar yordamida ifodalanadi. Xususiy holda, modellar vaqtga
bog‘liq bо‘lsa, ular statsionar modellar bilan bir xil bо‘ladi. Lekin, parametrlari
tarqoq modellarning mazkur guruhga kiritilishida ularda qatnashuvchi
kо‘rsatkichlarning fazoviy о‘lchovlarga bog‘liqligi belgilovchi omil bо‘lgan
bо‘lsa, statsionar modellarning alohida guruhga birlashtirilishida asosiy omil –
ulardagi kо‘rsatkichlarining vaqtga bog‘liq emasligidir.
Yuqorida keltirilgan tavsif ma’lum darajada shartlidir. Matematik modellarning
boshqa kо‘rinishdagi tavsiflari ham berilishi mumkin. Masalan, ularni chiziqli va
chiziqli bо‘lmagan, bir о‘lchamli va kо‘p о‘lchamli kabi guruhlarga ajratish
mumkin.
Shuni ham ta’kidlash lozimki, har doim ham qо‘yilgan masalaning matematik
modelini yaratib bо‘lavermaydi.
5. Masalalarni EHMda yechish bosqichlari
Matematik model har xil vositalar yordamida berilishi mumkin. Bu
vositalar fizik qonuniyatlar hamda funksional analiz elementlarini ishlatib
differensial va integral tenglamalar tuzishdan to hisoblash algoritmi va EHM
dasturlarini yozishgacha bо‘lgan bosqichlarni о‘z ichiga oladi. Har xil bosqich
yakuniy natijasiga kо‘ra о‘ziga xos ta’sir kо‘rsatadi va ulardagi yо‘l qо‘yiladigan
xatoliklar oldingi bosqichlardagi xatoliklar bilan ham belgilanadi.
Obyektning matematik modelini tuzish, uni EHMda bajariladigan hisoblashlar
asosida tahlil qilish - hisoblash tajribasi deyiladi. Hisoblash tajribasining umumiy
sxemasi 1-rasmda kо‘rsatilgan.
Birinchi bosqichda masalaning aniq qо‘yilishi, berilgan va izlanuvchi miqdorlar,
obyektning matematik modelini tuzish uchun ishlatish lozim bо‘lgan boshqa
xususiyatlari tasvirlanadi.
1-rasm
Ikkinchi bosqichda fizik, mexanik, kimyoviy va boshqa qonuniyatlar asosida
matematik model tuziladi. U asosan algebraik, differensial, integral, integro-
1.Тад=и=от
объекти.
Масала
шартлари
2.Математик
модель
тузиш, уни
асослаш
3.Масала
нинг дискрет
моделини ва
щисоблаш
алгоритмини
тузиш
5.ЭЩМда щисоб ишларини
бажа-риш, олинган
натижаларни тащлил
=илиш ва бащолаш
4. Алгоритмик
тилларда ЭЩМ учун
дастур таъминотини
яратиш
differensial va boshqa turdagi tenglamalardan iborat bо‘ladi. Ularni tuzishda
о‘rganilayotgan jarayonga ta’sir kо‘rsatuvchi omillarning barchasini bir vaqtning
о‘zida hisobga olib bо‘lmaydi, chunki, matematik model juda murakkablashib
ketadi. Shuning uchun, model tuzishda qaraliyotgan jarayonga eng kuchli ta’sir
etuvchi asosiy omillargina hisobga olinadi.
Masalaning matematik modeli yaratilgandan sо‘ng, uni yechish usuli izlana
boshlanadi, ya’ni, mos tenglamalar yechilishi va kerakli kо‘rsatkichlar aniqlanishi
lozim. Ayrim xollarda masalaning qо‘yilishidan keyin tо‘g‘ridan-tо‘g‘ri, masalani
yechish usuliga ham о‘tish kerak bо‘ladi. Bunday masalalar oshkor kо‘rinishdagi
matematik model bilan ifodalanmasligi mumkin. Bu bosqich masalalarni EHMda
yechishning uchinchi bosqichini tashkil qiladi.
Navbatdagi bosqichda, ya’ni, tо‘rtinchi bosqichda, masalani EHMdan foydalanib
yechish uchun uning yechish algoritmi ishlab chiqiladi, hamda shu algoritm
asosida biror-bir zamonaviy algoritmik tilda EHMda ishlatish uchun dastur
tuziladi. Dastur ma’lum talablar asosida tuziladi. Masalan, u umumiylik
xususiyatiga ega bо‘lishi kerak, ya’ni, matematik modelda ifodalangan masala
parametrlarining yetarlicha katta sohada о‘zgaruvchi qiymatlarida dastur ishonchli
natija berishi kerak. U bir necha mustaqil qismlar (protseduralar) dan iborat
bо‘lishi mumkin.
Nihoyat masalani yechishning yakunlovchi beshinchi bosqichida yaratilgan dastur
EHMga kiritiladi va sozlanadi hamda olingan natijalar chuqur tahlil qilinib,
baholanadi. Natijalarni tahlil qilish, zarur bо‘lgan hollarda algoritmni, yechish
usulini va modelni aniqlashtirishga yordam beradi, hattoki masalani notо‘g‘ri
qо‘yilganligini ham baholab berishi mumkin.
Shunday qilib, biz masalalarni EHMlar yordamida yechish bosqichlari bilan
tanishib chiqdik. Shuni ta’kidlash lozimki, har doim ham bu bosqichlar bir-biridan
yaqqol ajralgan holda bо‘lmasdan, bir-biriga qо‘shilib ketgan bо‘lishi ham
mumkin.
6. Algoritm tushunchasi va uning vazifasi
Algoritm sо‘zi о‘rta asrlarda paydo bо‘lib, buyuk о‘zbek mutafakkiri Al-
Xorazmiyning (783-855) ishlari bilan yevropaliklarning birinchi bor tanishishi
bilan bog‘liqdir. Bu ilmiy ishlar ularda juda chuqur taasurot qoldirib algoritm
(algoritmi) sо‘zining kelib chiqishiga sabab bо‘ldiki, u Al-Xorazmiy ismining
lotincha aytilishidir.
Algoritm deganda, berilgan masalani yechish uchun ma’lum tartib bilan
bajarilishi kerak bо‘lgan chekli sondagi buyruqlar ketma-ketligini tushuniladi.
Biror masalani kompyuterda yechishda eng muxim va ma’suliyatli ishlardan
biri qо‘yilgan masalani yechish algoritmini yaratish bо‘lib, bu jarayonda bajarilishi
kerak bо‘lgan xamma bо‘lajak buyruqlar ketma-ketligi aniqlanadi. Ma’lumki,
kompyuterning о‘zi xech qanday masalani yechmaydi, balki programma
kо‘rinishida yozilgan algoritmni bajaruvchi hisoblanadi xolos. Shuning uchun,
algoritmda yо‘l qо‘yilgan xato xisoblash jarayonining notо‘g‘ri bajarilishiga olib
keladi, bu esa о‘z navbatida yechilayotgan masalaning xato natijasiga olib keladi.
Biror soxaga tegishli masalani yechish algoritmini yaratish, algoritm
tuzuvchidan shu soxani mukammal bilgan xolda, qо‘yilgan masalani chuqur tahlil
qilishni talab qiladi. Bunda masalani yechish uchun kerak bо‘lgan ishlarning
rejasini tuza bilish muxim axamiyatga ega. Shuningdek, masalani yechishda
ishtirok yetadigan obyektlarning qaysilari boshlang‘ich ma’lumot (masalani
yechish uchun zarur bо‘lgan ma’lumotlar) va qaysilari natijaligini aniqlash, ular
о‘rtasidagi о‘zaro bog‘lanishni aniq va tо‘la kо‘rsata bilish lozim.
7. Algoritmni ifodalash usullari, uning xossalari va unga qо‘yiladigan talablar
Masalani yechishning algoritmini turli usullar bilan ifodalash mumkin:
— sо‘z bilan;
— blok-sxemalar shaklida;
— formulalar orqali;
— algoritmik tillar orqali va x.z.
Endi biror usulda tuzilgan algoritmning ayrim xossalari va algoritmga
qо‘yilgan ba’zi bir talablarni kо‘rib chiqaylik:
1. Algoritm xar doim bir qiymatlidir, ya’ni uni bir hil boshlang‘ich
qiymatlar bilan kо‘p marta qо‘llash har doim bir hil natija beradi.
2. Algoritm birgina masalani yechish qoidasi bо‘lib qolmay, balki turli-
tuman boshlang‘ich shartlar asosida ma’lum turdagi masalalar tо‘plamini
yechish yо‘lidir.
3. Algoritmni qо‘llash natijasida chekli qadamdan keyin natijaga erishamiz
yoki natijaga erishish mumkin emasligi haqidagi ma’lumotga ega
bо‘lamiz.
Yuqorida keltirilgan xossalarni har bir ijrochi о‘zi tuzgan biror masalaning
algoritmidan foydalanib tekshirib kо‘rishi mumkin. Masalan,
|