PRINCÍP SUPERPOZÍCIE - 1 elementárna kvantová mechanika

1.12 PRINCÍP SUPERPOZÍCIE
Pri diskusii odrazu elektrónov od kryštálu v článku 1.6 i pri diskusii dvojštrbinového experimentu v článku 1.11 sme už hovorili o tom, že de Broglieho vlny interferujú rovnako, ako by interferovali klasické vlny s tou istou vlnovou dĺžkou. Pri formálnejšom opise by sme interferenciu v dvojštrbinovom experimente opísali takto. Uvažujme nejaký bod na fotografickej doske, jeho polohu označme r. Predstavme si, že pri pokuse zakryjeme štrbinu „1“. Nech v tomto usporiadaní stavu častice v nejakom čase t0 odpovedá vlnová funkcia ψ1(r, t0). Ak by sme naopak zakryli štrbinu „2“, príslušnému stavu v čase t0 by odpovedala vlnová funkcia ψ2(r, t0). Ak sú obidve štrbiny pri pokuse otvorené, potom fakt, že sa na fotoplatni objaví interferenčný obrazec, ukazuje, že v tomto prípade stavu častice
v okamihu t0 musí byť priradená vlnová funkcia19
ψ(r, t0) = ψ1(r, t0) + ψ2(r, t0)
Mohli by sme si predstaviť aj situáciu, v ktorej sú štrbiny čiastočne priepustné. Odpovedajúca vlnová funkcia by v tomto prípade bola
c1ψ1(r, t0) + c2ψ2(r, t0)
Tvrdenia tohto druhu nie sú pre klasické vlnenie niečím zvláštnym. De Broglieho vlny – vlnové funkcie – však nie sú nejakým hmotným vlnením. Sú to matematické objekty priradené v zmysle Bornovej pravdepodobnostnej interpretácie stavom kvantovomechanickej sústavy. Ak teda vlnové funkcie možno vo vyššie uvedenom zmysle „skladať“, potom to znamená, že množina všetkých možných stavov danej sústavy musí spĺňať nejaké podmienky. Konkrétne to znamená, že ak v okamihu t0 je prípustný nejaký stav sústavy, ktorému je priradená vlnová funkcia ψ1(x, t0) a iný stav, ktorému je priradená vlnová funkcia ψ2(x, t0), potom – v princípe – musí byť možný aj taký stav sústavy, ktorému by bola priradená superpozícia týchto dvoch vlnových funkcií (c1 a c2 sú nejaké komplexné čísla):
c1ψ1(x, t0) + c2ψ2(x, t0)
Vsuvku „v princípe“ sme použili preto, že jedna vec je teoretická možnosť existencie nejakého stavu, a druhá vec je jeho praktická experimentálna príprava.
Práve sformulované tvrdenie o vlastnostiach možných stavov kvantovomechanickej sústavy sa nazýva princípom superpozície. Je to jeden z hlavných postulátov kvantovej mechaniky.
Uveďme si na jeho ilustráciu niekoľko príkladov.
Uvažujme elektrón viazaný na úsečku (0, L). Stacionárne stavy tohto systému sú istotne možnými stavmi v určitom okamihu (pre určitosť voľme t = 0) a prislúchajú im podľa (11.8) vlnové funkcie
ψ(x) = sin (nx/L), n = 1, 2, … (1)
Podľa princípu superpozície potom musia byť možné aj stavy, ktorým by boli priradené vlnové funkcie typu
(2)
kde cn sú ľubovoľné komplexné čísla, viazané iba tým, že funkcia (2) musí spĺňať normovaciu podmienku (11.2). Musí teda platiť
Ako sa možno presvedčiť explicitným výpočtom, funkcie (1) spĺňajú vzťah
(3)
kde mn je Kroneckerov symbol
(4)
So vzťahom typu (3) sa budeme často stretávať. Budeme ho nazývať podmienkou ortonormovanosti systému funkcií (1).
S využitím (3) dostaneme pre koeficienty cn jednoduchú podmienku
(5)
Z teórie Fourierových radov je známe, že funkcie (1) tvoria úplný systém funkcií, a to v nasledovnom zmysle: ľubovoľnú dostatočne hladkú funkciu na úsečke (0, L), ktorá spĺňa podmienky
ψ(0) = ψ(L) = 0 (6)
možno vyjadriť v tvare (2) ako superpozíciu vlnových funkcií príslušných stacionárnym stavom. Znamená to potom, že ku každej normovanej funkcii spĺňajúcej podmienky (6) musí existovať možný stav elektrónu na úsečke (0, L), ktorému je takáto vlnová funkcia priradená. Množina možných stavov teda musí byť značne bohatá.
Pozrime sa teraz na fyzikálny význam stavov, ktorým sú priradené vlnové funkcie (2). Stacionárne stavy sú význačné tým, že im odpovedá určitá hodnota energie sústavy. Ak v superpozícii (2) sú nenulové aspoň dva koeficienty cn, potom predpokladáme, že stav, ktorému je priradená vlnová funkcia (2) nebude mať určitú hodnotu energie, hovoríme o neurčitosti energie takého stavu. V našej mechanickej analógii s kmitajúcou strunou takýmto stavom odpovedajú kmity struny, ktoré sú superpozíciou stojatých vĺn, ktorým prislúchajú rôzne vlnové dĺžky a frekvencie. O takýchto kmitoch struny sme v článku 1.7 hovorili, že ich frekvencia je neurčitá. Podľa de Broglieho hypotézy o súvise energie a frekvencie má teda stav, ktorému prislúcha vlnová funkcia (2) neurčitú energiu. Experimentálny význam tohto tvrdenia si priblížime v článku 1.14.
Ako druhý príklad na ilustráciu princípu superpozície uvažujeme voľnú časticu v jednorozmernom prípade. Stacionárnym stavom v tomto prípade prislúcha nielen určitá hodnota energie ale aj hybnosti a vlnové funkcie, ktoré im napr. v čase t = 0 prislúchajú, podľa (11.10) sú
ψk(x) = C exp (ikx), k = p/ħ (7)
Pretože k môže nadobúdať všetky hodnoty z intervalu (−∞,∞) môžeme vytvoriť
i „spojitú superpozíciu“
(8)
Funkcia c(k) vo vzťahu (8) hrá takú istú úlohu ako koeficienty cn vo vzťahu (2). Podľa teórie Fourierových integrálov funkcie (7) tvoria úplný systém: ľubovoľnú funkciu20 ψ(x) môžeme písať v tvare (8). Podľa princípu superpozície musí existovať stav voľnej častice, ktorému odpovedá vlnová funkcia (8).
Na záver pripojme ešte poznámku o význame princípu superpozície pre formálnu štruktúru kvantovej mechaniky. Až budeme uvažovať nad tým, akou matematickou konštrukciou opísať súbor možných stavov sústavy, potom z princípu superpozície usúdime, že s matematickými objektmi, ktorými budeme opisovať jednotlivé stavy sa musia dať vykonávať nejaké lineárne operácie „skladania“ zodpovedajúce vzťahu (2).
|