Z. R. Babayeva Sirdaryo viloyati Guliston shahridagi 11-sonli umumiy oʻrta taʼlim maktabining matematika fani oʻqituvchisi - bet 31

53
6.1. Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar
Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda hosil bo‘lgan bur-
chaklarning bittasi to‘g‘ri burchak bo‘lsa
(1-rasm)
, qolgan
burchaklar haqida nima deyish mumkin?
To‘g‘ri (90° li) burchak ostida kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar
perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar
deb ataladi.
Qishda tarnovdan yerga tik (perpendikulyar) o‘sib
tushgan sumalaklarga
(2-rasm)
ko‘zingiz
tushgan
bo‘lsa kerak. 1-rasmda bir-biriga perpendikulyar
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar tasvirlangan. Bu to‘g‘ri
chiziqlarning
perpendikulyarligi maxsus belgi yordamida
a
⊥
b
tarzda yoziladi va “
a
to‘g‘ri
chiziq
b
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar” deb o‘qiladi.
Perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan to‘rtta
to‘g‘ri burchak hosil bo‘ladi.
?
?
?
?
Teorema.
To‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuq
-
tasidan shu to‘g‘ri chiziqqa yagona perpendikulyar
to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Isbot.
Aytaylik,
AB
to‘g‘ri chiziq va undagi
O
nuqta
berilgan bo‘lsin
(3-rasm)
. Ma’lumki,
OB
nurga uchi
O
nuqtada bo‘lgan 90° li
COB
burchak qo‘yish mumkin.
Unda
CO
to‘g‘ri chiziq
AB
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar
to‘g‘ri chiziq bo‘ladi.
Endi bu to‘g‘ri chiziqning yagona ekanini isbotlaylik.
Teskarisini faraz qilamiz:
O
nuqtadan o‘tuvchi, berilgan
AB
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar yagona bo‘lmasin,
ya’ni yana bitta perpendikulyar
DO
to‘g‘ri chiziq mavjud
bo‘lsin. U holda
DOB
va
COB
burchaklarning har biri
90° li bo‘lib,
OB
nurga qo‘yilgan burchaklar bo‘lib qola
-
di. Lekin bu
OB
nurga muayyan gradus o‘lchovga ega
yagona burchak qo‘yish mumkinligi haqidagi aksiomaga
zid, ya’ni bunday bo‘lishi mumkin emas.
Demak,
AB
to‘g‘ri chiziqqa uning
O
nuqtasidan faqat
bitta perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin ekan.
Teorema isbotlandi.
Masala.
Agar 4-rasmda
∠
1=
∠
4
,
∠
2=
∠
3 bo‘lsa,
CO
⊥
AE
bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish.
Aytaylik,
∠
1=
∠
4=α
,
∠
2=
∠
3=β
bo‘lsin. Burchaklarni o‘lchashning xossa
-
siga ko‘ra:
∠
AOE
=
∠
1+
∠
2
+
∠
3+
∠
4=α+β+α+β=2α+2β=180°
,
2(α+β)=180°, ya’ni α+β=90°
bo‘ladi.
Unda:
∠
AOC
=
∠
1+
∠
2=α+β=90°, ya’ni
CO
⊥
AE
bo‘ladi.
1
a
b
90°
2
a
⊥
b
–
a
to‘g‘ri
chiziq
b
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar
4
A
O
E
B
C
D
1
2 3
4
3
B
A
C
D
O
?
?
?
?
Faollashtiruvchi mashq
PERPENDIKULYAR TO‘G‘RI CHIZIQLAR
6
54
a
to‘g‘ri chiziq va unda yotmaydigan
A
nuqta berilgan
bo‘lsin.
A
nuqtani
a
to‘g‘ri chiziqning biror
B
nuqtasi bilan
tutashtiramiz
(5-rasm)
. Agar
AB
kesma
a
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar bo‘lmasa,
AB
kesma
og‘ma
deb ataladi.
Agar
AB
kesma
a
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa,
u holda
AB
kesma
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan
perpendikulyar
deyiladi.
6-rasmda
A
nuqtadan
a
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan
perpendikulyar tasvirlangan.
B
nuqta perpendikulyarning
asosi
deb nomlanadi.
To‘g‘ri chiziqning O nuqtasiga perpendikulyar tu
shirishning amaliy yo‘riqlari:
1-usul.
Transportir yordamida
(7
a
-rasm).
2-usul.
To‘g‘ri burchakli chizg‘ich (go‘niya) yordamida
(7
b
-rasm).
5
A
B
a
6
A
B
a
Biror to‘g‘ri chiziq chizing. Unda yotmaydigan biror nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa perpendi
-
kulyar va bir nechta og‘malar o‘tkazing. Perpendikulyar va og‘malarning uzunliklarini o‘l-
chab, o‘zaro taqqoslang. Qaysi kesmaning uzunligi eng kichik bo‘ladi? Javobingizni faraz
(gipoteza) ko‘rinishida ifodalang. Bu farazning to‘g‘riligini isbotsiz qabul qilsa bo‘ladimi yoki
uni albatta isbotlash kerakmi?
Mashq.
Dehqon-fermer xo‘jaligining xaritasi 8-rasmda
berilgan.
1. Fermer uyidan fermaga olib boruvchi yo‘l qurmoqchi.
Unga yo‘lni qaysi chiziq bo‘yicha
qurishni maslahat
berasiz? Nega? Chizmada bu yo‘lni chizib ko‘rsating.
2. Fermer fermasidan kanalga olib boruvchi yo‘l
qurmoqchi. Unga yo‘lni qaysi chiziq bo‘yicha qurishni
maslahat berasiz? Nega? Chizmada bu yo‘lni
chizib
ko‘rsating.
8
7
?
?
?
?
Geometrik tadqiqot
A
-fermer uyi
Kanal
B
-ferma
a
56
6.2.Teskarisini faraz qilib isbotlash usuli
Bu usulga ko‘ra, teoremaning sharti bajarilgan bo‘lsa-da, uning xulosasi o‘rinli bo‘lmasin
deb teoremada keltirilgan tasdiqning teskarisi faraz qilinadi:
AB
to‘g‘ri chiziqning
O
nuq-
tasiga tushirilgan perpendikulyar yagona bo‘lmasin, ya’ni yana bitta perpendikulyar
DO
to‘g‘ri chiziq mavjud bo‘lsin deb olinadi
(3-rasm).
U holda,
DOB
va
COB
burchaklarning har biri 90° li bo‘lib,
OB
nurga qo‘yilgan to‘g‘ri
burchaklar bo‘lib qoladi. Lekin bu
OB
nurga muayyan gradus o‘lchovga ega yagona burchak
qo‘yish mumkinligi haqidagi aksiomaga zid. Bu farazimizning noto‘g‘ri ekanini ko‘rsatadi.
Demak,
AB
to‘g‘ri chiziqqa uning
O
nuqtasidan yagona perpendikulyar to‘g‘ri chiziq
o‘tkazish mumkin.