Natural sonning ma’nosi va sonlar-kattaliklarni o‘lchash natijalari ustida amallar ma’nosi

|
Natural sonning ma’nosi va sonlar-kattaliklarni o‘lchash natijalari ustida amallar ma’nosi
|
bet | 57/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрNatural sonning ma’nosi va sonlar-kattaliklarni o‘lchash natijalari ustida amallar ma’nosi
Kishiga amaliy faoliyatida nafaqat buyumlar sanog’ini olib borishga, balki turli kattaliklar uzunlik, massa, vaqt va boshqalarni o‘lchashga to‘g’ri keladi. Shuning uchun natural sonlarning vujudga kelishida sanoqqa bo‘lgan ehtiyojgina emas, kattaliklarni o‘lchash masalasi ham sabab bo‘ladi.
Agar natural son kattaliklarni o‘lchash natijasida paydo bo‘lgan bo‘lsa, uning qanday ma’noga ega ekanligini aniqlaymiz. Natural songa bunday yondashish bilan bog’liq bo‘lgan hamma nazariy dalillarni bitta kattalik –kesma uzunligi misolida qaraymiz.
а va в kesmalar berilgan bo‘lsin. Bu kesmalarga teng kesmalarni boshi 0 nuqtada bo‘lgan biror nurga qo’yamiz. OA=a va OВ=b kesmalarni hosil qilamiz. Uchta hol bo‘lishi mumkin.
1. A va В nuqtalar ustma-ust tushadi. (1-rasm) U holda OA va OВ- bitta kesma, a va в kesmalar esa unga teng, demak, a=в.
2.В nuqta OA kesma ichida yotadi (2-rasm) U holda OВ kesma OA kesmadan kichik (yoki OA kesma OВ kesmadan katta) deyiladi va bunday yoziladi: OВOВ) yoki вв).
3. A nuqta OВ kesma ichida yotadi.(3-rasm) U holda OA kesma OВ kesmadan kichik deyiladi va bunday yoziladi:
OAa).
0 A 0 В A 0 A
В
70-rasm 71-rasm 72-rasm
Kesmalar ustida turli amallar bajariladi.
Ta’rif: Agar a kesma а1,а2…..,аn kesmalarning birlashmasi bo‘lib, kesmalarning birortasi ham ichki umumiy nuqtaga ega bo‘lmasa(bir-biri bilan ustma-ust tushmasa) va bir kesma ikkinchi kesmaning oxiriga birin-ketin tutashsa, a kesma bu kesmalarning yigindisi deyiladi.
Bunday yoziladi: а=а1+а2+…..+аn .
Masalan, 4-rasmda tasvirlangan a kesmani а1,а2, а3,а4 kesmalarning yigindisi deyish mumkin.
а1 a2 a3 a4
Ta’rif: a va в kesmalarning a-в ayirmasi deb, shunday с kesmaga aytiladiki, uning uchun в+с=a tenglik o‘rinli bo‘ladi.
а va в kesmalarning ayirmasi bunday topiladi. а kesmaga teng AВ kesma yasaladi va unda в kesmaga teng AС kesma ajratiladi.
U holda СВ kesma a va в kesmalarning a-в ayirmasi bo‘ladi.(5-rasm)
а
A C В
СВ=a-в
в 73-rasm
Ravshanki, a va в kesmalarning ayirmasi mavjud bo‘lishi uchun в kesma a kesmadan kichik bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Kesmalar ustida amallar qator xossalarga ega. Ulardan ba’zilarini isbotsiz keltiramiz.
1. Har qanday a va в kesmalar uchun a+в=в+a tenglik o‘rinli, ya’ni kesmalarni qo‘shish o‘rin almashtirish qonuniga buysunadi.
2. Har qanday a,в,с kesmalar uchun
(a+в)+с=a+(в+с)
tenglik o‘rinli, ya’ni kesmalarni qo‘shish guruhlash qonuniga buysunadi.
3. Har qanday a va в kesmalar uchun
a+в a.
4. Har qanday a,в va с kesmalar uchun a<в bo‘lsa, u holda a+с<в+с bo‘ladi.
Kesmalar uzunliklari qanday o‘lchanishini eslaylik. Eng avval kesmalar to‘plamidan birorta e kesma tanlab olinadi va u birlik kesma yoki uzunlik birligi deb ataladi.
So‘ngra berilgan a kesma birlik e kesma bilan taqqoslanadi. Agar a kesma e birlik kesmaga teng n ta kesma yig’indisi bo‘lsa, bunday yoziladi:
а=e+e+…..+e=ne
n ta qo‘shiluvchi va n natural son va kesma uzunligining e uzunlik birlikdagi son qiymati deyiladi.
Masalan, 73-rasmda tasvirlangan a kesma uzunligining e uzunlik birligidagi son qiymati 8 soni bo‘ladi. Bunday yozish mumkin: a=8e
Agar uzunlik birligi sifatida boshqa kesma olinsa, u holda, a kesma uzunligining son qiymati o‘zgaradi. Masalan; agar uzunlik birlik sifatida e1, kesma tanlab olinsa (73-rasm), a kesma uzunligining son qiymati 4:a=4e 1ga teng bo‘ladi.
Shuni eslatib o‘tish muhimki, har qanday natural son n uchun uzunligi shu son bilan ifodalanadigan kesma mavjud bo‘ladi. Bunday kesma yasash uchun e uzunlik birligini birin-ketin n marta qo‘shish yetarlidir.
Shunday qilib, a kesma o‘zunligining son qiymati sifatidagi natural son a kesma tanlab olingan e birlik kesmalarning nechtasidan iboratligini ko‘rsatadi. Tanlab olingan e uzunlik birligidagi bu son yagonadir.
E e1 a
74-rasm
a=8e a=4e1
Bunday sonlar uchun “teng” va “kichik” munosabatlari qanday ma’noga ega ekanligini aniqlaymiz.
N natural son a kesma uzunligining son qiymati, m natural son в kesma uzunligining son qiymati bo‘lib, bu sonlar bitta e uzunlik birligida hosil qilingan bo‘lsin. U holda:
a va в kesmalar teng bo‘lsa, ular uzunliklarining son qiymati teng bo‘ladi, ya’ni n =m: teskari tasdiq ham o‘rinli;
a kesma в kesmadan kichik bo‘lsa, a kesma uzunligining son qiymati в kesma o‘zunligining son qiymatidan kichik bo‘ladi, ya’ni n Kesmalar va ular uzunliklarining son qiymati orasida o‘rnatilgan o‘zaro bog’lanish kesmalar uzunliklarini taqqoslashni ularning tegishli son qiymatlarini taqqoslashga keltiradi va aksincha.
Masalan, 5 sm>3sm, chunki 5>3
Biz natural son kesmalar uzunliklarini o‘lchash natijalari sifatida nimani bildirishini aniqladik. Natural sonning ma’nosini, sonlar orasidagi munosabatlarini yuz, massa, baho, vaqt kabi boshqa kattaliklarni o‘lchash bilan bog’liq ravishda shunga o‘xshash talqin qilish mumkin.
Agar natural sonlar kesmalarning uzunliklarini o‘lchash natijasida hosil bo‘lgan bo‘lsa, bu sonlarni qo‘shish va ayirish qanday ma’noga ega bo‘lishini aniqlaymiz.
Qo‘shish. Masalan, 3 va 8 sonlari v va s kesmalar uzunliklarini e birlik yordamida o‘lchash natijalari bo‘lsin, ya’ni в=3e, с=8e. Ma’lumki 3+8=11. Ammo 11 soni qaysi kesma uzunligini o‘lchash natijasi bo‘ladi? Ravshanki, bu a=в+с kesma o‘zunligining qiymatidir.
в с
75-rasm
Mulohazani umumiy ko‘rinishda yuritamiz. A kesma в va с kesmalar yig'indisi hamda в=me, с=ne bo‘lsin, bunda m va n –natural sonlar. U holda в kesma m ta bo‘lakka, с kesma n ta shunday bo‘lakka bo‘linadi, bu bo‘laklarning har biri birlik kesma e ga teng. Shunday qilib, butun a kesma m+n ta shunday bo‘lakka bo‘linadi. Demak, a=(m+n)e.
Shunday qilib, m va n natural sonlar yigindisini uzunliklari m va n natural sonlar bilan ifodalanadigan в va с kesmalardan tuzilgan a kesma uzunligining qiymati sifatida qarash mumkin ekan.
Ayirish. Agar a kesma в va с kesmalardan iborat bo‘lib, a va в kesmalarning uzunliklari m va n natural sonlar bilan ifodalansa (bir xil uzunlik birligida), с kesma uzunligining qiymati a va в kesmalar uzunliklari qiymatlarining ayirmasiga teng: с=(m-n)e, ya’ni natural sonlarning m-n ayirmasini uzunliklari mos ravishda m va n natural sonlar bilan ifodalangan a va в kesmalar ayirmasi bo‘lgan с kesma uzunligining qiymati sifatida qarash mumkin ekan.
Agar a=9e kesma в va с kesmalardan iborat bo‘lsa, с=(9-4)e=5e bo‘ladi, bunda в=4e. Shuni eslatamizki, natural sonlarni qo‘shish va ayirishga bunday yondashish nafaqat kesmalar uzunliklarini o‘lchash bilan, balki boshqa kattaliklarni o‘lchash bilan bogliq.
Boshlang’ich sinflar uchun matematika darsliklarida turli kattaliklar va ular ustida amallar qaraladigan masala ko‘p.Kattaliklarning qiymatlari bo‘lgan natural sonlarni qo‘shish va ayirishning ma’nosini aniqlash bunday masalalarni yechishda amallarni tanlashni asoslashga imkon beradi.
Masalan, quyidagi masalani qaraylik: Bog’dan 3 kg olcha va 4 kg olma terishdi. Hammasi bo‘lib necha kg meva terishgan? Masala qo‘shish amali bilan yechiladi. Nima uchun?
Terilgan olchalar massasini a kesma ko‘rinishida, terilgan olmalar massasini в kesma ko‘rinishida tasvirlaymiz.U holda terilgan hamma mevalar massasini AВ kesmadan va ВС kesmadan AС kesma yordamida tasvirlash mumkin. AС kesma uzunligining son qiymati AВ va ВС kesmalar son qiymatlarining yig’indisiga teng bo‘lgani uchun terilgan mevalar massasini qo‘shish amali bilan topamiz: 3+4=7(kg).
Ushbu masalani yechishda ham amal tanlash xuddi shunga o‘xshash asoslaniladi: “Bolalar ko’ylagiga 2 m, kattalar ko’ylagiga undan 1 m ortiq gazlama ketadi. Kattalar ko‘ylagiga necha metr gazlama ketadi?”.
Bolalar ko‘ylagiga ketgan gazlamani a kesma ko‘rinishda tasvirlaymiz, unda kattalar ko‘ylagiga ketgan gazlamani AВ kesma va 1 m ni tasvirlovchi ВС kesma yordamida tasvirlaymiz (75-rasm). AС kesma uzunligining qiymati qo‘shiluvchi kesmalar uzunliklari qiymatlarining yigindisiga teng bo‘lgani uchun kattalar ko‘ylagiga ketgan gazlama miqdorini qo‘shish amali bilan topamiz: 2+1=3(m)
a
е в e
A В С
а=3kg в=4kg e=1kg e=1kg
2m 1m
1m a A B C
76-rasm.
Boshlang’ich sinf darsliklarida uchraydigan masalalardan birini tahlil qilamiz: “Oshxonada har birida 3 l sharbat bo‘lgan 4 ta banka bor. Bu bankalarda hammasi bo‘lib qancha sharbat bor?”
Nima uchun bu masala ko‘paytirish amali bilan yechiladi: 3·4=12(l).Masalaga berilgan rasm masalani yechishga yordam beradi: 4 ta bankada hammasi bo‘lib qancha sharbat borligini bilish uchun 3l+3l+3l+3l yig’indini topish yetarli. 3l yozuv 3·1 ko‘paytma bo‘lgani uchun topilgan ifodani quyidagicha ko‘rinishda yozish mumkin: (3+3+3+3)·1. To‘rtta bir xil qo‘shiluvchining yigindisini 3·4 ko‘paytma bilan almashtirib (3+3+3+3)·1 l =12 l ni hosil qilamiz.
Mazkur masalani yechishning boshqa usuli ham bor. Avvalo shuni aytishimiz kerakki, bu masalada sharbat egallagan hajmning ikki birligi banka va metr haqida gapirilmoqda. Avval sharbat bankalar bilan o‘lchangan, keyin uni yangi birlik- metr bilan o‘lchash kerak, bunda shu narsa ma’lumki, eski birlikda (bankada) uchta yangi birlik (3 litr) bor. Demak, 4·1b=4·(3l)=4·(3·1l)=(4·3)·1=12 l. Bularning hammasi 77-rasmda tasvirlangan.
Shunday qilib, natural sonlarni ko‘paytirish kattalikning yangi, yanada maydaroq birligini tasvirlaydi.
1 banka 1l 3l 3l 3l 3l
77-rasm
Bu tasdiqni sonlarga-kesmalar uzunliklarining qiymatlariga qo‘llab, umumiy ko‘rinishda isbotlaymiz, ya’ni a kesma b kesmadan, e kesmaning yuzi n ta kesmadan iborat bo‘lsa, a kesma uzunligining son qiymati uzunlikning e1 birligida m·n bo‘ladi.
Haqiqatan, a kesmaning e1 kesmaga teng bo‘laklari soni n+n+…..+n ta qo‘shiluvchi bilan ifodalanadi, shuning uchun u n·m eng.
Demak, a=(m·n)e1.
Shunday qilib, natural sonlarni ko‘paytirish uzunlikning yangi birligiga o‘tishni ifodalaydi: agar m natural son a kesma uzunligining e uzunlik birligidagi qiymati, n natural son e kesma uzunligining e1 uzunlik birligidagi qiymati bo‘lsa, m·n ko‘paytma a kesma uzunligining e1 uzunlik birligidagi qiymatidir.
Endi kattaliklarning qiymatlari bo‘lgan natural sonlarni bo‘lish qanday ma’noga ega ekanligini aniqlaymiz.
Masalan qaraymiz: “Bir bankaning sig’imi 3 l. 12l meva sharbatini quyish uchun nechta banka kerak bo‘ladi?”
Masalani yechish uchun 12 l ni kesma bilan tasvirlaymiz va unda 3l ni tasvirlovchi kesma necha marta joylashishini aniqlaymiz.
Topamiz: 12l:3l=4l(b)
Bu masalaning yechilishini boshqacha asoslash mumkin. Masalada sharbat egallagan hajmning ikki birligi litr va banka qaralmoqda. Masalada o‘lchash natijasini bankalar bilan ya’ni yangi birlikda (sharbat hajmi litr bilan o‘lchanganda) ifodalash talab qilinmoqda, shu bilan, birga yangi birlikda (bankada) 3ta eski birlik (3l) bor, shuning uchun 1l=1b:3 12l=12·(1b:3)=(12:3)·1b=4·1b=4b
Ko‘rib turibmizki, natural sonlarni bo‘lish kattalikning yangi birligiga o‘tish bilan bog’liq ekan. Buni umumiy holda ko‘rsatamiz. a kesma e birlik m ta kesmadan, e1 kesma e birlik kesmaga teng n ta kesmadan iborat bo‘lsin. E1 uzunlik birligida a kesma uzunligini ifodalaydigan sonni qanday topishni aniqlaymiz.
E1=a va b bo‘lgani uchun e =e1:n .U holda ·( e1:n)=(m:n) e1
Shunday qilib, kesmalar uzunliklarining qiymati bo‘lgan natural sonlarni bo‘lish uzunlikning yangi(yanada yirikroq) birligiga o‘tishni tasvirlaydi: agar m natural son a kesma uzunligining e uzunlik birligidagi qiymati, n natural son e kesma uzunligining e uzunlik birligidagi qiymati bo‘lsa, m:n bo‘linma a kesma uzunligining e1 uzunlik birligidagi qiymatidir.
Masalan, agar a=12e va e1=2e bo‘lsa a kesma uzunligining e1 uzunlik birligidagi qiymati 6 e1 ga teng bo‘ladi:
а=12e=12·( e1:2)=(12:2) e1=6 e1
Bunday vaziyat 78-rasmda tasvirlangan. Boshlangich sinflar uchun matematika darslarida turli kattaliklar qaraladigan ko‘paytirish hamda bo‘lish bilan yechiladigan masalalar ko‘p. Bularning hammasi odatda ko‘rgazmalilik asosida bajariladi. Bunda ko‘paytirish bir xil qo‘shiluvchilarni qo‘shish amali sifatida talqin qilinadi, bo‘lish esa ko‘paytirishga teskari amal sifatida qaraladi.
E e1 e 1 =2e
a=12e a=(12:2) e 1= e 1
78-rasm
|
| |