Bo‘lish. “…marta katta”, “…marta kichik” munosabatlar

|
Bo‘lish. “…marta katta”, “…marta kichik” munosabatlar
|
bet | 49/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрBo‘lish. “…marta katta”, “…marta kichik” munosabatlar
Kichik yoshdagi maktab o‘quvchilari bo‘lish amalini o‘rganishga kirisha boshlaganda echadigan bir masalani qaraylik: “8 ta apelsinni har biriga 2 tadan qilib necha marta apelsin qo‘yishdi? Nechta likopcha kerak bo‘ldi?” Masalaning savoliga javob bo‘lish yordamida topiladi: 8:2=4
Bu masalaning yechilishini tahlil qilamiz. Masalada 8 ta elementga ega to‘plam qaralmoqda.U har birida 2 tadan element bo‘lgan qism to‘plamlarga, ya’ni teng quvvatli qism to‘plamlarga ajratilmoqda (63-rasm)
n(A)=8
2 2 2 2
63-rasm
1-o‘quvchi
2- o‘quvchi
3- o‘quvchi
Bundan tashqari, ular jufti-jufti bilan kesishmaydi. Masalada nechta shunday qism to‘plam hosil bo‘lishi so‘ralyapti. Shunday qilib, javobda hosil qilingan 4 soni- bu 8 ta elementdan iborat to‘plam bo‘lingan ikki elementli qism to‘plamlar sonidir. (Bunday masalalar odatda ma’noga qarab bo‘lishga doir masalalar deb nomlanadi.)
Endi boshqa misolga e’tibor beraylik: “12 ta qalamni 3 o‘quvchiga baravardan tarqatishdi. Har bir o‘quvchi nechtadan qalam oldi?”
U ham bo‘lish bilan echiladi: 12:3=4. Lekin bu erda 4 soni boshqa ma’noda-12 ta elementdan iborat to‘plam bo‘lingan teng quvvatli kesishmaydigan har bir uchta qism to‘plamdagi elementlar soni sifatida qatnashmoqda (-rasm). (Bunday masalalar teng bo‘laklarga bo‘lishga doir masalalar deb nomlanadi.)
Umumiy ko‘rinishda butun nomanfiy a sonining natural b songa bo‘linmasi quyidagicha ta’riflanadi:
Ta’rif: a=n(A) va A to‘plam jufti-jufti bilan kesishmaydigan teng quvvatli qism to‘plamlarga ajratilgan bo‘lsin.
Agar b A to‘plamni bo‘lishdagi qism to‘plamlar soni bo‘lsa, u holda a va b sonlarning bo‘linmasi deb har bir qism to‘plamdagi elementlar soniga aytiladi.
Agar b A to‘plamni bo‘lishdagi har bir qism to‘plam elementlari soni bo‘lsa, u holda a va b sonlarning bo‘linmasi deb bu bo‘linmadagi qism to‘plamlar soniga aytiladi.
a:b bo‘linmani topishda foydalaniladigan amal bo‘lish deb, a soni bo‘linuvchi, b soni bo‘luvchi deb ataladi.
Bo‘lish amalining to‘g’ri bajarilganini tekshirish uchun biz ko‘pincha ko‘paytirishga murojaat qilamiz. Nima uchun? Chunki bo‘lish va ko‘paytirish amallari o‘zaro bog’liq ekani shubhasiz. Biroq bu bog’lanish qanday?
a=n(A) to‘plam va A to‘plam b ta jufti-jufti bilan kesishmaydigan teng quvvatli А1,А2,…,Аb , qism to‘plamlarga bo‘lingan bo‘lsin. U holda c=a:b har bir shunday qism to‘plamdagi elementlar soni bo‘ladi, ya’ni с=а:b=n(А1)=n(А2)=…=n(Аb)
Shartga ko‘ra А=А1UА2U…UАb bo‘lgani uchun n(А)=n(А1UА2U…UАb) bo‘ladi. Lekin А1,А2,…,Аb qism to‘plamlar jufti-jufti bilan kesishmaydi, demak, yig’indining ta’rifiga ko‘ra
n(А1UА2U…UАb)=n(А1)+n(А2)+…+n(Аb)=с+с+…+с (b ta qo‘shiluvchi)
Ko‘paytmaning ta'rifiga ko‘ra har biri c ga teng bo‘lgan b ta qo‘shiluvchining yig'indisi c·b ko‘paytmaga teng. Shunday qilib, a=c·b ekani aniqlandi, ya'ni a va b sonlarning bo‘linmasi shunday sonki, u bilan b sonning ko‘paytmasi a ga teng bo‘ladi. C=a:b bo‘linma A to‘plamning bo‘linishidagi qism to‘plamlar soni bo‘lganda ham xuddi shunday xulosaga kelamiz.
Shunday qilib, bo‘linmaning ikkinchi ta’rifiga ega bo‘lamiz:
Ta’rif: Butun nomanfiy a soni bilan b natural sonning bo‘linmasi deb shunday butun nomanfiy c=-a:b songa aytiladiki, uning b son bilan ko‘paytmasi a bo‘ladi.
Teskari bog’lanishning mavjudligini ham ko‘rsatish mumkin, ya’ni bo‘linmaning ikkinchi ta’rifidan birinchi ta’rifi kelib chiqishini ko‘rsatish mumkin: a:b=c a=c·b
Demak, ikkinchi holda bo‘linma ko‘paytma orqali ta’riflandi. Shuning uchun bo‘lish ko‘paytirishga teskari amal deb aytiladi.
a va b natural sonlarning bo‘linmasi har doim ham mavjud bo‘ladimi? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema. Ikkita a va b natural sonning bo‘linmasi mavjud bo‘lishi uchun ba bo‘lishi zarur.
Isboti. a va b natural sonlarning bo‘linmasi mavjud bo‘lsin, ya’ni a=c·b bo‘ladigan c natural son mavjud bo‘lsin. Ixtiyoriy c natural son uchun 1c da’vo o‘rinli. Bu tengsizlikning ikkala qismini в natural songa ko‘paytiramiz, bc·b ga ega bo‘lamiz. c·b=a bo‘lgani uchun ba bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
a=0 va b natural sonning bo‘linmasi nimaga teng? Ta’rifga ko‘ra bu c·b=0 shartni qanoatlantiruvchi a sonidir. B 0 bo‘lgani uchun c·b=0 tenglik c=0 bo‘lganda bajariladi. Demak, b N da 0:b=0 bo‘ladi.
Teorema. Agar a va b natural sonlarning bo‘linmasi mavjud bo‘lsa, u yagonadir.
Bu teoremaning isboti ayirmaning yagonaligi haqidagi teoremaning isboti kabidir.
Endi butun nomanfiy sonni nolga bo‘lish mumkin emasligi haqidagi masalani ko‘rib chiqamiz.
a0 va b=0 sonlar berilgan bo‘lsin. A va b sonlarning bo‘linmasi mavjud deb faraz qilamiz. U holda bo‘linmaning ta’rifiga ko‘ra a=c·0 bo‘ladigan butun nomanfiy c soni mavjud bo‘ladi, bundan a= 0. Shartga zid xulosaga keldik. Demak, a 0 va b=0 sonlarning bo‘linmasi mavjud emas.
Agar a=0 va b=0 bo‘lsa, u holda bunday a va b sonlarning bo‘linmasi mavjud degan jumladan c ning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli bo‘ladigan 0=c·0 tenglik kelib chiqadi, ya’ni a=0 va b=0 sonlarning bo‘linmasi har qanday son bo‘lishi mumkin. Shuning uchun matematikada nolni nolga bo‘lish ham mumkin emas deb hisoblanadi.(0:0 –aniqmaslikdir)
Boshlang’ich matematika kursida bo‘lish haqidagi dastlabki tasavvurlar to‘plamni jufti-jufti bilan kesishmaydigan teng quvvatli qism to‘plamlarga ajratish bilan bog’liq bo‘lgan, lekin mos terminologiya va simvolikalar kiritilmaydigan amaliy mashqlar asosida shakllanadi. Bu bo‘lish tushunchasini ochishning bosh vositasi masalalarni yechishdir. Shunday ikkita masalani yechishning mohiyati punktning boshida ko‘rib o‘tildi.
Bo‘lishning ko‘paytirishga teskari amal sifatidagi ta’rifi oshkor ko‘rinishda berilmaydi. Bo‘lish bilan ko‘paytirish orasidagi o‘zaro bog’lanish “Noma’lum ko‘paytuvchini topish” temasini o‘rganish bilan o‘rnatiladi, bunda asosan bo‘linmaning nazariy-to‘plam bayonida o‘rinli bo‘lgan ikkita ma’nosining umumlashishi yuz beradi.
“…Marta katta”, “…marta kichik” munosabatlari
Masalalar yechishda va amaliy faoliyatda ko‘pincha bunday savol tug’iladi: “Bir son ikkinchi sondan necha marta katta yoki kichik?” “…marta katta” va “…marta kichik” munosabatlari bilan dastlabki tanishish boshlang’ich maktabda yuz beradi. Bu munosabatlarning ma’nosini aniqlashtiramiz.
6 ta elementi bo‘lgan A to‘plam va 2 ta elementi bo‘lgan B to‘plam berilgan bo‘lsin. A to‘plamda B to‘plamga teng quvvatli qism to‘plamlar ajratamiz (3-rasm). Ular 3 ta ekan. Bunday holda 6 soni 2 sonidan 3 marta katta, 2 soni esa 6 sonidan 3 marta kichik deb aytiladi.
A1 A2 A3
B 64-rasm
Umuman, agar a=n(A), b=n(B), a>b bo‘ladigan a va b sonlar berilgan va A to‘plamni B to‘plamga teng quvvatli c ta qism to‘plamga ajratish mumkin bo‘lsa, a soni b sonidan c marta katta, b soni esa a sonidan c marta kichik deb aytiladi.
Ammo bu c sonining o‘zi nimani ifodalaydi? Nazariy to‘plam nuqtai nazaridan bu a va b sonlarining bo‘linmasidir. Bundan quyidagi qoidani hosil qilamiz:
Bir son ikkinchi sondan necha marta katta yoki kichik ekanini bilish uchun katta sonni kichik songa bo‘lish zarur.
Masalan, ushbu masalani qaraylik: “3 tup olma va 12 tup olcha o‘tqazildi. Olchadan necha marta kam olma o‘tqazildi?” Yuqoridagi qoidaga ko‘ra savolga bo‘lish yordamida javob topiladi: 12:3=4 (marta). Bajarilgan amalning ma’nosi 4 rasmda yorqin namoyish etilgan. “…marta ko‘p” va “… marta kam” munosabatlarni boshqa ko‘rinishdagi masalalarda ham uchraydi.
А В
65-rasm
Masala: Lolada 6 ta daftar, Karimda undan 2 marta kam daftar. Karimda nechta daftar bor?
Masalada ikkita to‘plam: Loladagi daftarlar to‘plami A, Karimdagi daftarlar to‘plami В haqida gap bormoqda. n(A)=6 ekani ma’lum. n(B) soni 6 dan 2 marta kam ekanini bilgan holda shu n(B) sonni topish talab etiladi. Bu shartdan kelib chiqib, A to‘plamni teng quvvatli ikkita qism to‘plam ko‘rinishida tasvirlash mumkin (65-rasm) u holda B to‘plamda A to‘plamning har bir qism to‘plamida nechta element bo‘lsa, shuncha element bo‘ladi, bu son bo‘lish bilan topiladi: 6:2=3. Demak, n(B)=3, ya’ni Karimda 3 ta daftar bor ekan.
Masala. Lolada 3 ta daftar, Karimda esa undan 4 marta ko‘p daftar bor. Karimda nechta daftar bor?
Bu masalada ham oldingi masaladagi kabi ikkita to‘plam: Loladagi daftarlar to‘plami A va Karimdagi daftarlar to‘plami В qaraladi. n(B)=3 ekani ma’lum. B to‘plamdagi elementlar soni A to‘plamdagi elementlar sonidan 4 marta ko‘p ekanini bilgan holda n(B)ni topish talab etiladi. Bu B to‘plam A to‘plamga teng quvvatli kesishmaydigan to‘rtta В1, В2, В3, В4 qism to‘plamdan iborat ekanini anglatadi (66-rasm) va demak, n(В1)=n(В2)=n(В3)=n(В4)=n(А) Biroq u holda B to‘plamdagi elementlar sonini qo‘shish bilan topish mumkin: n(В)=n(В1UВ2UВ3UВ4)=n(В1)+n(В2)+n(В3)+n(В4)=3+3+3+3. qo‘shishni ko‘paytirish bilan almashtirib, ushbuni hosil qilamiz: 3+3+3+3=3·4=12
Demak, Karimda 12 ta daftar bor ekan.
В1 В2 В3 В4
66-rasm
«a soni b dan c marta katta» jumlani «>» belgidan foydalanib, qisqa yozish mumkin emasligini eslatib o‘tamiz, chunki «… marta katta» munosabatini yozish uchun («…marta kichik» munosabati uchun ham) maxsus belgi yo‘q.
|
| |