Variatsiya ko’rsatkichlari va dispersion tahlil asoslari

Yuqorida ta’kidlanganidek, o’rtacha miqdorlar mavhum miqdorlardir. Ular o’rganilayotgan to’plamga umumlashtirilgan holda baho beradilar xolos, lekin uning birliklarini tuzilishini, ularni bir-biridan farqini ko’rsatmaydilar, aksincha bu holat o’rtachalarda yopilib ketadi. To’plam birliklarining o’rtacha atrofida ayrim guruh va guruhchalarga bo’linishini, ular o’rtachadan qanday masofada joylashganligini, ularning ichidagi tebranishlarni o’rtacha miqdorlar ifodalab bera olmaydi. Quyidagi
ikki o’rtachani olaylik:
х I 90кг; х II
90кг.
Ikkala o’rtacha teng. Lekin ular qanday
birliklar asosida hisoblanganligi bizga noma’lum. Misol uchun aytaylik, uchta talaba quyidagicha ball to’plagan: birinchisi 89 ball; ikkinchisi-90; uchinchi-91. O’rtacha to’plangan ballni hisoblasak, u 90 ga [(89+90+91):3] teng. Ikkita talabadan bittasi 19 ball, ikkinchisi 161 ball to’plagan. O’rtacha ball bu erda ham 90 ga [(19+161):2] teng.
Olingan natijalardan ko’rinib turibdiki, х1 hodisaga to’g’ri baho bermoqda, ya’ni
birliklarning o’rtachadan farqi juda oz, х2
esa birinchining aksi, х2
o’rtacha orqali
biz o’rtachalar hodisaning ichki tuzilishini haqiqatdan ham bekitishiga guvoh bo’ldik.
Statistikaning muhim vazifalaridan biri faqatgina umumlashtiruvchi ko’rsatkichlarni (o’rtachalarni) hisoblash bilan cheklanmasdan, balki to’plam birliklarining o’rtachadan tafovutini, farqini, chetlanishini ham o’rganishdir. Bu ishni statistika variatsiya ko’rsatkichlari yordamida bajaradi.
“Variatsiya” so’zi lotincha “variatio” so’zidan kelib chiqqan bo’lib, o’zgarish, farq, tebranishni bildiradi. Ammo har qanday farq ham variatsiya bo’lavermaydi.
Statistikada variatsiya deganda, o’zaro qarama-qarshi omillar ta’sirida bo’lgan, bir turli birlikdan tashkil topgan miqdoriy o’zgarishlarga tushuniladi. O’rganilayotgan belgining tasodifiy va surunkali (sistematik) variatsiyalari bo’lishi mumkin.
Tasodifiy variatsiyani boshqarib bo’lmaydi. Surunkali variatsiyaga qisman bo’lsada, ta’sir o’tkazish mumkin. Surunkali variatsiyani tahlil qilish asosida o’rganilayotgan belgida o’zgarishni unga ta’sir qiluvchi omillarga qanchalik bog’liqligini baholash mumkin. Masalan, ajratilgan to’plam birliklari variatsiyasining kuchi va xarakterini o’rganishda, ular miqdoriy, ayrim vaqtlarda sifat tomondan qanchalik turdosh ekanligini va shu vaqtning o’zida aniqlangan o’rtacha ular uchun xarakterli ekanligini statistik baholash mumkin.
Shunday qilib, o’rtalashtirilgan birliklar (x i) o’rtachadan har xil farqda (uzoqlikda, yaqinlikda) bo’ladi va ular variatsiyaning turli ko’rsatkichlari orqali baholanadi. (5.1-sxema)
Keltirilgan sxemadan ko’rinib turibdiki, tafovutni baholashda bir qancha ko’rsatkichlardan foydalaniladi. Shulardan biri va eng oddiysi variatsion kenglikdir. Variatsion kenglik (R) deyilganda belgining eng katta va kichik hadlari orasidagi farq (tafovut) tushuniladi va u quyidagicha aniqlanadi:
R=Xmax Xmin ,
Nisbiy
O’rtacha
Mutloo’
Kvadratik
bu erda: R- variatsion kenglik; Xmax - belgining eng katta darajasi; Xmin – belgining eng kichik darajasi.
Variatsiya ko’rsatkichlari
O’rta cha kvad ratik chetlanish
Dis persiya
Variatsiya koeffi tsienti
Kvadrat chet la nish
O’rtacha nis biy chetla nish
Chiziqli chetla nish
Kenglik
5.1-sxema. Variatsiya ko’rsatkichlarining tuzilish tartibi
Bu oddiy ko’rsatkich ayrim kamchiliklarga ega:
birinchidan, ikki chetki hadga asoslangan, ular tasodifiy bo’lishi mumkin; ikkinchidan - hadlar o’rtacha bilan taqqoslanmaydi. Shu sabablar orqali, bu ko’rsatkichdan qatorning hadlari bir-biridan unchalik katta miqdorda farq qilmaydigan sharoitlarda foydalanish mumkin.
O’rtacha chiziqli chetlanish ( d ) variantalar bilan o’rtacha farqining variantalar soniga nisbatidir.
Oddiy qatorlar uchun u quyidagi formula bilan hisoblanadi:
d
n
Tortilgan qatorlar uchun u quyidagi formula bilan hisoblanadi:
d f
Biz yuqorida, o’rtacha arifmetikning xossalarini ko’rib chiqqanimizda
x x 0 ekanligiga ishonch hosil qilgan edik. Lekin bu erda shu qoidaga rioya
qilinmasdan, mutlaq qiymatlarning yig’indisi x x ёки x x f olinadi. Natijada umumiy olingan yig’indi iqtisodiy, real ma’noga ega bo’lmaydi, shu sababli bu ko’rsatkich amaliyotda deyarli qo’llanilmaydi va uning o’rniga dispersiya ishlatiladi.
O’rtacha kvadrat chetlanish yoki dispersiya ( 2 Γ) deb, variantlar bilan o’rtachani farqi kvadratlari yig’indisining variantlar soni nisbatiga aytiladi.
Dispersiyani quyidagi formulalar bilan hisoblaymiz:
Oddiy qatorlar uchun 2 (х х)2
nTortilgan qatorlar uchun 2 (х х) 2 f
f
Bu erda ham o’rtacha arifmetikning xossalari buzildi, ya’ni ( x x ) kvadratga ko’tarilib, ikki baravarga ko’paytirildi. Ularni o’z holiga olib kelish uchun kvadrat ildizdan chiqariladi, ya’ni o’rtacha kvadratik chetlanish hisoblaniladi.
O’rtacha kvadratik chetlanish ( ) deb, o’rtacha kvadrat chetlanishning kvadrat ildizdan chiqarilgan miqdoriga aytiladi va quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
Oddiy qatorlar uchun
Tortilgan qatorlar uchun
Yuqorida ko’rib chiqilgan variatsiya ko’rsatkichlari o’rganilayotgan hodisa va voqealar qanday birliklarda (so’m, tonna, metr va h.k.) ifodalangan bo’lsa, ular ham shu birliklarda ifodalanadi. Bu esa turli xildagi hodisa va voqealar uchun hisoblangan ko’rsatkichlarni taqqoslashga imkon bermaydi. Ushbu muammo statistikada variatsiya koeffitsientini hisoblash bilan hal etiladi.
Variatsiya koeffitsienti (V) deganda, o’rtacha kvadratik tafovutning ( ) o’rtacha miqdorga ( х ) nisbati tushuniladi. Bu ko’rsatkich foizda ifodalanadi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:
V 100
x
5.9-jadval ma’lumotlari asosida variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblaymiz.
|