Kristal uchun Shredinger tenglamasi

|
Kristal uchun Shredinger tenglamasi
|
bet | 8/12 | Sana | 10.01.2024 | Hajmi | 1,39 Mb. | | #134208 |
Kristal uchun Shredinger tenglamasi
Kvant mexanikasidan elektronlarning izolyatsiya qilingan atomdagi harakati ma'lum: elektronlarning energiya spektri diskret xususiyatga ega, bir energiya darajasidan ikkinchisiga o'tish energiyaning yutilishi yoki nurlanishi bilan bog'liq.
Izolyatsiya qilingan atomlar atomning kattaligi tartibida bo'lgan masofada joylashgan kristalga kondensatsiyalanganda, o'z atomining yadrosi va elektronlari bilan o'zaro ta'siridan tashqari, har bir elektron boshqa elektronlar va kristall yadrolarining ta'sirini boshdan kechiradi. Elektronlarning to'lqin funktsiyalari bir-biriga to'g'ri keladi, bu esa energiya darajalarining bo'linishiga va ularning energiya zonalariga aylanishiga olib keladi (1-rasm). 4.1).
To'lqin funktsiyalarining bir-biriga mos kelishi natijasida elektronlar juda qisqa vaqt ichida bir atomdan ikkinchisiga o'tish qobiliyatiga ega bo'ladi; boshqacha qilib aytganda, elektronlarning sotsializatsiyasi sodir bo'ladi. Bu ko'proq valentlik elektronlariga tegishli; atomlarning ichki qobig'idagi elektronlarning to'lqin funktsiyalari bir-biriga ozgina to'g'ri keladi, shuning uchun ularning energiya holatini belgilovchi omil o'z yadrosi bilan o'zaro ta'sir qilishdir.
Kristalldagi elektronlarning energiya spektri diskretdir, ammo qo'shni darajalar orasidagi masofa shunchalik kichikki, energiya zonasi doirasida energiya o'zgarishini uzluksiz deb hisoblash mumkin. Kristaldagi elektron energiyasining to'lqin vektoriga bog'liqligini aniqlash, ya'ni dispersiya qonunini o'rnatish zona nazariyasining asosiy vazifasi hisoblanadi.
|
Shakl: 4.1. Atomlarning energiya darajasini ular orasidagi masofani kamaytirganda ajratish
|
Kristal ko'p sonli atom yadrolari va elektronlarning yig'indisidir. Bunday tizimning statsionar holatlari va energiya spektri muammosining echimini Shredingerning statsionar tenglamasining echimidan topish mumkin
(2.8)
Kristal uchun bu barcha elektronlar va atom yadrolarining koordinatalari funktsiyasi , Gamilton operatori5 esashaklga ega
(2.9)
bu erda elektronlar va yadrolarning massalari; -i-го elektron vaj-гоyadroning radius vektorlari; – yadrolarning atom raqamlari; - tegishli yadrolar va elektronlar orasidagi masofalar.
(2.9) dagi birinchi atama elektronlarning kinetik energiyasini, ikkinchisi yadrolarning kinetik energiyasini tavsiflaydi, quyidagi atamalar yadrolarning bir – biri bilan, elektronlarning bir-biri bilan va yadrolarning elektronlar bilan o'zaro ta'sirining potentsial energiyasini hisobga oladi. Ko'p sonli mustaqil o'zgaruvchilar tufayli muammoni ushbu shaklda hal qilish mumkin emas. Shuning uchun ular soddalashtirishga murojaat qilishadi.
Ulardan birinchisi zarrachalar tizimini ikkita quyi tizimga – engil elektronlar va og'ir yadrolarga bo'lishdir. Mumkin bo'lgan holatlarda, ya'ni minimal erkin energiya bilan, elektronlar va yadrolarning kinetik energiyalari bir xil tartibda va shuning uchun elektronlarning tezligi yadro tezligidan ikki baravar yuqori bo'lishi kerak deb taxmin qilish mumkin. Shuning uchun, ba'zi bir, hatto muvozanatsiz yadro konfiguratsiyasi uchun elektronlar deyarli bir-biri bilan muvozanatlashadi. Elektronlarning holatini o'zgartirish uchun zarur bo'lgan vaqt ichida yadrolarning holati deyarli o'zgarishsiz qoladi, shuning uchun elektron tizimi va yadro tizimini mustaqil deb hisoblash mumkin. Boshqacha qilib aytganda, Kristal-bu deyarli energiya almashinmaydigan ikkita mustaqil quyi tizimdan iborat tizim. Bunday yaqinlashishadiabatik deb ataladi. Ushbu yaqinlashishda tizimning to'lqin funktsiyasi ikkita to'lqin funktsiyasining mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin, ulardan biri elektronlarning holatini, ikkinchisi yadrolarni tavsiflaydi
(2.10)
(2.10) ni (2.8) ga almashtirishda ikkinchisi ikkita tenglamaga bo'linadi, ulardan biri elektronlarning harakatini tavsiflaydi
(2.11)
Yadrolarning koordinatalari ushbu tenglamaga doimiy parametrlar sifatida kiradi. Ushbu yondashuv bilan ba'zi hodisalarning tavsifi yo'qoladi (polaron holati, supero'tkazuvchanlik va boshqalar), ammo, afsuski, vazifaning asosiy qiyinchiliklari bartaraf etilmaydi: bu ko'plab tanalarning muammosi bo'lib qolmoqda.
Ikkinchi yaqinlashish-bu bitta elektron vazifaga o'tish. Buning uchun barcha elektronlarning ma'lum bir elektronga ta'siri ba'zi o'rtacha maydon bilan almashtiriladi va ko'p elektron to'lqin funktsiyasi bitta elektron funktsiyalarning mahsuloti sifatida ifodalanadi
(2.12)
Bunday almashtirishda (2.11) tenglama har bir elektron uchun bir xil bo'lgan mustaqil tenglamalarga bo'linadi
(2.13)
Bu erda kristall panjara ionlari va ko'rib chiqilayotgan elektrondan tashqari barcha boshqa elektronlar tomonidan yaratilgan davriy maydon mavjud. Maydonning o'ziga xos turini aniqlash eng katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Bir elektronli yaqinlashuv yordamida elektronlarning o'zaro bog'liq harakati bilan bog'liq ba'zi hodisalar yo'qoladi, masalan, teshik o'tkazuvchanligi.
Potentsial maydon turiga va elektronlarning lokalizatsiya darajasiga qarab, bitta elektronli Shredinger tenglamasini (2.13) echishda uchta asosiy yondashuv mumkin: erkin elektronlarning yaqinlashishi, kuchli bog'langan elektronlarning yaqinlashishi va zaif bog'langan elektronlarning yaqinlashishi.
Birinchi holda, panjara potentsiali kosmosda doimiy deb hisoblanadi, ya'ni kristalning chastotasi hisobga olinmaydi. Ikkinchi holda, potentsial energiya davriy funktsiya bilan ifodalanadi, davr panjara davriga teng, ammo har bir davrda izolyatsiya qilingan atomdagi elektronning potentsial energiyasidan unchalik farq qilmaydi. Ushbu yondashuv ichki qobiqlarning elektronlari uchun amal qiladi. Agar potentsial energiya davriy funktsiya bo'lsa va kattaligi bo'yicha elektronning kinetik energiyasi bilan taqqoslanadigan bo'lsa, unda zaif bog'langan elektronlarning yaqinlashuvidan foydalanish mumkin.
|
| |