Elektrodinamika - bet 3

si-t négyes áramsűrűségnek nevezzük.
Az E, H térerősségek komponenseit az Fik antiszimmetrikus tenzor elemeihez rendeljük a következőképpen:
((68,5). egyenlet).
Fik-t térerősségtenzornak nevezzük.
Ezek után írjuk fel a (68,1) egyenletcsoport négy egyenletét a (68,4) négyes vektorral és a (68,5) tenzorral. Kezdjük a (68,1) első egyenletével.
.
Ez az egyenlet (68,4) és (68,5) alapján így írható:
.
Itt figyelembe vettük a korábbi jelölésünket, miszerint x = x1, y = x2, z = x3, ict = x4. Az egyenlet bal oldalához hozzávehetjük a tagot, amely antiszimmetrikus tenzornál azonosan zérus. Így egyenletünk a következő alakot veszi fel:
.
A szokásos jelöléssel ez így írható:
.
A (68,1) egyenletcsoport második és harmadik egyenlete azonos szerkezetű az elsővel, ezért ennek mintájára írható:
,
.
Nézzük most (68,1) negyedik egyenletét:
.
Az egyenlet mindkét oldalát i-vel megszorozva, (68,5) alapján adódik:
.
A bal oldalhoz hozzávéve a tagot, amely zérus, ez a negyedik egyenlet is az első hárommal teljesen azonos szerkezetű lesz:
.
A (68,1) első Maxwell-egyenletcsoport tehát a következő négyes vektoregyenletbe foglalható össze:
((68,6). egyenlet).
(66,13) szerint ez valóban négyes vektoregyenlet, és azt jelenti, hogy az Fik térerősségtenzor divergenciája az si négyes áramsűrűség 4π-szeresével egyenlő.
Hasonlóképpen írható át a (68,2) egyenletcsoport is. Ennek első egyenlete:
,
amely (68,5) segítségével a következő alakra hozható:
.
(–i)-vel szorozva és a második tagban a tenzor indexeit felcserélve, kapjuk, hogy
.
A (68,2) második egyenletcsoport többi három egyenletének átírása is ilyen szerkezetű egyenletre vezet. A második Maxwell-egyenletcsoport tehát a következő egyenletbe foglalható össze:
((68,7). egyenlet),
ahol i, k, l az 1, 2, 3, 4 számokból kiválasztott számhármas: 234, 341, 412 és 123. A (68,7) egyenletben a második tag úgy keletkezik az elsőből, hogy az i, k, l indexeket ciklikusan felcseréljük. Hasonlóan adódik a harmadik tag a másodikból.
Az elektrodinamika (68,1), (68,2) alapegyenleteit tehát sikerült négyes vektor-, illetve tenzoregyenletek alakjában felírnunk. Az előző pontban mondottak értelmében ez azt jelenti, hogy a Maxwell-egyenletek Lorentz-invariáns egyenletek, tehát egzakt természettörvényt fejeznek ki.
A 45. pontban láttuk, hogy az elektromágneses térerősségek az A vektorpotenciálból és a skalárpotenciálból származtathatók. Nevezetesen:
((68,8). egyenlet).
Mint ismeretes, ezek az összefüggések kielégítik a második Maxwell-egyenletcsoportot. A (68,1) egyenletek pedig az elektromágneses potenciálok meghatározására szolgálnak.
((68,9). egyenlet)
A (68,9) egyenletek a (68,8) összefüggésekkel együtt ekvivalensek a Maxwell-egyenletekkel.
Itt is áttérhetünk a négydimenziós írásmódra minden nehézség nélkül. Az A vektorpotenciált és a skalárpotenciált összefogjuk egy Ai négyes vektorba:
((68,10). egyenlet).
(68,8) első egyenletéből és (68,5)-ből következik:
,
amely a (68,10) jelöléssel így írható:
.
Hasonlóképpen adódik:
, .
Továbbá (68,8) második egyenletéből (68,10) és (68,5) alapján adódik:
.
Hasonlóképpen kapjuk:
, .
Ezek a képletek a következő tenzorösszefüggés alakjában foghatók össze:
((68,11). egyenlet).
Az Fik elektromágneses térerősségtenzor tehát az Ai elektromágneses potenciál négyes rotációja.
Egyszerű számítással meggyőződhetünk róla, hogy (68,11) automatikusan kielégíti a (68,7) második Maxwell-egyenletcsoportot.
Ha (68,11)-et a (68,6) Maxwell-egyenletekbe helyettesítjük, az elektromágneses potenciálok (68,9) egyenleteinek négydimenziós alakját kapjuk:
((68,12). egyenlet).
Ez az egyenlet egyszerű átalakítással a következő alakot veszi fel:
((68,13). egyenlet).
Az Fik elektromágneses térnek és az Ai elektromágneses potenciáloknak (68,11) szerinti egymáshoz rendelése nem egyértelmű. Ugyanis, ha az Ai-hez hozzáadjuk egy tetszőleges skalártér gradiensét, az így keletkezett
((68,14). egyenlet)
négyes vektor – mint elektromágneses potenciál – (68,11) alapján ugyanazt az Fik elektromágneses teret adja, mint az Ai. Ez a körülmény lehetővé teszi, hogy az Ai potenciálra olyan megszorító feltételt írjunk elő, amely a konkrét feladat megoldását egyszerűvé teszi. (68,13)-ból következik, hogy erre a célra különösen alkalmas az ún. Lorentz-feltétel kikötése:
((68,15). egyenlet).
A (68,15) Lorentz-feltétellel a (68,13) alapegyenlet a következő egyszerű alakot veszi fel:
((68,16). egyenlet).
A (68,16) egyenlet és a (68,15) Lorentz-feltétel az elektromágneses potenciálok (68,9) egyenletének négyes vektorokkal felírt Lorentz-invariáns alakja.
A (68,16) egyenlet bal oldalát gyakran más alakban is írjuk. E célból bevezetjük a
ún. d’Alembert-operátort. Ezzel (68,16) így írható:
((68,16'). egyenlet).
Képezzük most a (68,13) egyenlet mindkét oldalának a divergenciáját:
.
A bal oldal azonosan zérus; ugyanis a és operátorok egymással felcserélhetők, és a második tagban az r index helyett használható az i is. Ennélfogva:
((68,17). egyenlet).
Ez az egyenlet a (68,3) kontinuitási egyenletet fejezi ki négydimenziós alakban. Írjuk ki az összeget részletesen, és vegyük figyelembe a (68,4), valamint az x = x1, y = x2, z = x3, ict = x4 jelöléseket:
;
–vel egyszerűsítve:
.
Ezzel beláttuk, hogy (68,7) valóban a kontinuitási egyenletet fejezi ki.
2. A térerősségek és az áramsűrűség transzformációs képletei
Foglalkozzunk előbb a térerősség-komponensek transzformációs képleteivel.
Az előző pontban láttuk, hogy a térerősség-komponensek (68,5) szerint az Fik antiszimmetrikus tenzor elemeivel vannak kapcsolatban. Ennélfogva, ha a K inerciarendszerről egy másik K' inerciarendszerre térünk át, a térerősség-komponensek úgy transzformálódnak, mint a megfelelő tenzorkomponensek. (66,1) szerint:
((69,1). egyenlet),
ahol air és aks a (64,5) mátrix elemei. Speciális Lorentz-transzformáció esetén a transzformációs mátrix elemeit (64,10) adja.
Nézzük először Hz transzformációját. Hz az Fik tenzor F12 elemével egyezik meg. (69,1) szerint:
((69,2). egyenlet).
(64,10) figyelembevételével ez a kettős összeg a következő kifejezésre egyszerűsödik:
((69,3). egyenlet).
A tenzorkomponensek helyére a térerősségek megfelelő komponenseit beírva, kapjuk, hogy
((69,4). egyenlet).
Hasonlóképpen határozhatjuk meg (69,1), (64,10) és (68,5) alapján a térerősségek többi komponensének transzformációs képleteit. Az egyszerű számítást mellőzve, csak a végeredményt közöljük:
((69,5). egyenlet)
Ha a K rendszerben ismerjük a térerősségeket, (69,5) alapján egyszerű számítással kapjuk a K' inerciarendszerben érvényes komponenseket. Az egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere például (69,5) szerint egyszerűen adódik a nyugvó töltés elektrosztatikus teréből (lásd a következő pontot).
Határozzuk meg ezután az áramsűrűség komponenseinek és a töltéssűrűségnek a transzformációját.
Mivel (68,4) szerint ezek egy négyes vektort alkotnak, Lorentz-transzformációkor a négyes vektorokra vonatkozó (65,1) képlet szerint transzformálódnak:
((69,6). egyenlet).
(69,6) és (64,10) alapján adódik:
Az áramsűrűség háromdimenziós komponenseit és a töltéssűrűséget (68,4) alapján beírva, kapjuk, hogy
((69,7). egyenlet)
Ezekben a képletekben a K' inerciarendszernek a K rendszerhez viszonyított sebessége.
Tekintsük most azt a speciális esetet, amikor a töltés a K rendszerben nyugszik. Ebben a rendszerben áram tehát nincs. A nyugvó töltés sűrűségét jelöljük -val.
A K' rendszerben a töltésrendszer – sebességgel mozog az x tengely mentén. (69,7) szerint:
((69,8). egyenlet)
A mozgó töltés sűrűsége tehát nagyobb a nyugalmi töltéssűrűségnél; az áramsűrűség pedig a töltésrendszer sebességének és az ún. „mozgási” töltéssűrűségnek a szorzata.
Az elektromos töltés sűrűségének nyugalmi és mozgási (elhagytuk a vesszős jelet) mérőszáma között (69,8) szerint a
((69,9). egyenlet)
összefüggés áll fenn. A 61. pontban megismertük, hogy a térfogat nyugalmi és mozgási mérőszáma sem egyezik meg, hanem közöttük a (61,4) összefüggés érvényes:
((69,10). egyenlet).
A (69,9) és a (69,10) összefüggés alapján könnyen belátható, hogy a V térfogatban sűrűséggel eloszlott e töltés a koordináta-rendszertől független, ún. Lorentz-invariáns mennyiség. E célból tételezzük fel, hogy a nyugvó töltés sűrűséggel tölti ki a V0 térfogatot. A benne levő töltést az
((69,11). egyenlet)
integrál adja meg. A K' inerciarendszerben a töltésrendszer – sebességgel mozog, és a fentiek értelmében a kisebb V térfogatot sűrűséggel tölti ki. (69,9) és (69,10) alapján látható azonban, hogy a térfogat által bezárt töltés ugyanaz:
((69,12). egyenlet).
A térfogatelem mozgási mérőszáma ugyanolyan mértékben csökken, mint amilyen mértékben nő a töltéssűrűség mozgási mérőszáma a nyugalmihoz képest. Ennek következtében az elektromos töltés invariáns marad, midőn egyik inerciarendszerről egy másikra áttérünk.
3. Egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses tere
Gondoljunk el pontszerű e töltést, amely állandó sebességgel mozog inerciarendszerünk x tengelye mentén. A mozgó töltés áramot képvisel, ezért maga körül elektromos és mágneses teret kelt. Feladatul tűzzük az elektromos és a mágneses térerősség meghatározását. Mint korábban tanultuk, meg kell oldanunk az ismert mozgásállapotú töltés elektromágneses terét leíró Maxwell-egyenleteket. Sokkal egyszerűbben jutunk azonban a célhoz, ha az előző pontban megismert transzformációs képleteket használjuk. A nyugvó ponttöltés elektromos terét már ismerjük (lásd a 11. pontot), a keresett megoldást ebből egyszerű transzformációval kaphatjuk.
Tegyük fel, hogy az e pontszerű töltés a K' inerciarendszer origójában nyugszik. A K rendszerben ekkor valóban sebességgel mozog az x tengely mentén. A K' rendszerben a nyugvó ponttöltésnek csak elektrosztatikus tere van. A tér erőssége az x', y', z' koordinátájú pontban:
((70,1). egyenlet),
ahol
((70,2). egyenlet).
|