Elektrodinamika - bet 6

F = eE
ismert összefüggés alapján kapjuk. Eszerint az elektromos térerősség egysége: .
A Maxwell-egyenletek segítségével áttérhetünk a mágneses mennyiségekre is, hiszen ezek teremtenek kapcsolatot az elektromos és a mágneses térmennyiségek között. Az első Maxwell-egyenlet pl. kifejezi azt a felismerést, hogy az elektromos áram és az elektromos tér időbeli megváltozása mágneses teret kelt. A mágneses térerősség egységének megválasztása előtt ezt az egyenletet a következőképpen írhatjuk:
((F 1,3). egyenlet).
Az indukciótörvényt kifejező harmadik Maxwell-egyenlet alakja pedig a következő:
((F 1,4). egyenlet).
A H és B mágneses térmennyiségek dimenziója és egysége attól függ, hogy az (F 1,3) és (F 1,4) egyenletekben szereplő k2, k3, k4 állandókat hogyan választjuk. Arra törekszünk, hogy egyenleteink a lehető legegyszerűbb alakot vegyék fel. Ezért célszerűnek mutatkozik, hogy a fellépő együtthatókat dimenziótlan számoknak és értéküket esetleg egységnyinek válasszuk. Ha így definiáljuk (F 1,3) és (F 1,4) alapján a H és B egységét és dimenzióját, akkor a mágneses teret jellemző két vektortér különböző dimenziójúnak adódik. Nevezetesen:
((F 1,5). egyenlet)
Ebből következik, hogy a mágneses permeabilitás () nem dimenzió nélküli szám, és értéke sem egynek adódik.
Az így kiépített mértékrendszert nevezzük elektrosztatikus mértékrendszernek. Ebben az elektromos Coulomb-törvény is és a Maxwell-egyenletek is egyszerű alakot vesznek fel, de a mágneses és a megfelelő elektromos mennyiségek közötti analógia elvész, és a mágneses mennyiségek közötti összefüggések bonyolultabbak lesznek.
A mértékrendszer kiépítésénél követhetünk más utat is. Először a mágneses mennyiségek egységét értelmezzük, és azután a fenti két Maxwell-egyenleten keresztül jutunk el az elektromos mennyiségek egységeihez. Most az ún. mágneses Coulomb-törvényből indulunk ki. (Homogénen mágnesezett hosszú mágnesrúd végei úgy viselkednek, mintha az egyik végén pozitív, a másikon negatív „mágneses pólus” lenne.) Az egymástól r távolságban levő pontszerű m1 és m2 „mágneses póluserősség” között ható erő a Coulomb-törvény szerint:
((F 1,6). egyenlet).
A k5 együttható megválasztásával értelmezzük a mágneses póluserősség egységét. k5-öt vákuumban 1-nek választjuk. A póluserősség dimenziójára ekkor (F 1,6)-ból adódik.
A mágneses térerősség egységére és dimenziójára az
((F 1,7). egyenlet)
képlet alapján oersted adódik. Ezután az ismert összefüggések alapján értelmezhetők a mágneses mennyiségek, majd a fenti két Maxwell-egyenlet segítségével – az együtthatókat dimenziótlan számoknak választva – az elektromos mennyiségek egységei. A mértékrendszer kiépítésének ez az útja az előbbinek fordítottja. Most az elektromos Coulomb-törvényben szereplő együtthatóra (vagy az dielektromos állandóra) még vákuum esetén sem kapunk dimenziótlan számot, és értéke is különbözik egytől. Következésképpen ebben a mértékrendszerben az E és D vektorok különböző dimenziójúak. Ezt a mértékrendszert nevezzük elektromágneses mértékrendszernek.
E két mértékrendszer közül egyik sem terjedt el általánosan, hanem egy harmadik, az ún. Gauss-féle mértékrendszer, amely a kettőt szerencsésen egyesíti magában. Ebben az elektromos mennyiségeket az elektrosztatikus, a mágneses mennyiségeket az elektromágneses mértékegységekkel fejezzük ki. Gauss a két Coulomb-törvényből indul ki, és a bennük fellépő k1, illetve k5 együtthatókat dimenziótlannak és értéküket vákuumban 1-nek veszi. Így az (F 1,3) és (F 1,4) Maxwell-egyenletek mindkét oldalán meghatározott dimenziójú elektromos, illetve mágneses mennyiségek szerepelnek. Ezért a k2, k3, k4 együtthatók nem lesznek dimenziótlan mennyiségek, hanem azok dimenziója és számértéke már meghatározott. Nevezetesen:
((F 1,8). egyenlet),
((F 1,9). egyenlet).
A c konstans dimenziója cm s–1, számértéke Kohlrausch és Weber mérései szerint .
A fizikában a Gauss-féle mértékrendszer használata az általános. Ebben minden mennyiség dimenzióját a mechanikában önkényesen megválasztott három egységgel, a cm-rel, g-mal és s-mal fejezzük ki. E három egységen kívül a többi egység leszármaztatott. Nagy előnye, hogy az univerzális állandókat nagymértékben kiküszöbölte az alapvető és leginkább használt törvényekből, és ezáltal a legvilágosabban fejezi ki a fizikai mennyiségek között fennálló mély tartalommal rendelkező összefüggéseket. Éppen emiatt alkalmazható a fizika valamennyi ágában a mechanikától az atomfizikáig.
A gyakorlati életben már a mechanikai mennyiségek mérésénél elterjedt a CGS-től eltérő egységek alkalmazása. Pl. a hosszúság egységére inkább használták a cm százszorosát, a métert (m); vagy a tömegegységre a g ezerszeresét, a kilogrammot (kg). A teljesítményt az erg s–1 helyett ennek 107-szeresében, a wattban fejezték ki.
Az elektrotechnika kiterjedt alkalmazásával igen gyakorivá vált az áramerősség és a feszültség gyakorlati egységének a használata. Az előbbire az ampert, az utóbbira a voltot használták. Ezek után merült fel az az igény, hogy a Gauss-féle mértékrendszer helyett a gyakorlati élet számára jobban megfelelő mértékrendszert építsenek ki. Ezt a munkát következetesen Giorgi végezte el. Mechanikai egységekül a métert (m), a kilogrammot (kg) és a másodpercet (s) választotta. Ezekhez hozzávett egy negyedik egységet, az abszolút ampert, és ezzel kapcsolta az elektromos egységeket a mechanikaiakhoz a teljesítmény
((F 1,10). egyenlet)
képletén keresztül. Az amper definíciója a következő: egy drótpárban akkor folyik 1 amper erősségű áram, ha az egyenes vezetők egymás 1 m hosszú szakaszára 1 m távolságból vákuumban mkgs–2 erőt fejtenek ki. Az (F 1,10) bal oldalán álló teljesítmény egysége a mechanikában leszármaztatott watt, a jobb oldalon az áramerősségé az önkényesen definiált amper, és így a feszültségre (F 1,10) szerint már nem írható elő újabb egység, azt (F 1,10)-ből kell leszármaztatni. Erre (F 1,10) alapján az 1 volt = 1 watt/amper adódik. Az elektrodinamikában megismert törvények alapján ezután minden elektromos és mágneses mennyiség egysége leszármaztatható. Ennél ismét arra törekszünk, hogy az (F 1,3) és (F 1,4) Maxwell-egyenletek alakja a lehető legegyszerűbb legyen. Mivel most k2, k3, k4 önkényesen megválasztható együtthatók, azokat egységnyi értékű dimenziótlan számoknak választjuk. Ebben a Giorgi-féle (vagy MKSA) mértékrendszerben1 a Maxwell-egyenletek a következő alakot veszik fel:
((F 1,11). egyenlet)
Az E és D, valamint a H és B térmennyiségek még vákuumban sem lesznek azonos dimenziójúak. Az anyagi egyenletek:
,
ahol , ; a vákuum dielektromos állandója, a vákuum mágneses permeabilitása. , illetve a vákuumhoz viszonyított relatív dielektromos állandó, illetve relatív mágneses permeabilitás.ű
1. táblázat - Elektromos és mágneses mértékegységek táblázata
A mennyiség megnevezése
|
A mértékegység neve és jele az MKSA és az MSVA rendszerben
|
Dimenzió az MKSA rendszerben
|
Dimenzió az MSVA rendszerben
|
A Gauss-féle rendszerre való átszámítás
|
Áramerősség
|
amper
|
A
|
A
|
A
|
3l09 cm3/2g1/2s–2
|
Töltés
|
coulomb
|
C
|
As
|
As
|
3l09 cm3/2g1/2s–1
|
Feszültség
|
volt
|
V
|
m2 kg s–3 A–1
|
V
|
l0–2 cm1/2g1/2s–1
|
Elektromos térerősség
|
volt/m
|
V/m
|
m kg s–3 A–1
|
V/m
|
l0–4 cm–1/2g1/2s–1
|
Ellenállás
|
ohm
|
|
m2 kg s–3 A–2
|
V/A
|
l0–11 cm–1 s
|
Kapacitás
|
farad
|
F
|
m–2 kg–1 s4 A2
|
As/V
|
l011 cm
|
Elektromos indukció (eltolás)
|
coulomb/m2
|
C/m2
|
m–2 s A
|
As/m2
|
3l05 cm–1/2g1/2s–1
|
Mágneses térerősség
|
amper/m
|
A/m
|
m–1 A
|
A/m
|
l0–3 cm–1/2g1/2s–1
|
Mágneses indukció
|
tesla
|
T
|
kg s–2 A–1
|
Vs/m2
|
104 cm–1/2g1/2s–1
|
Indukciófluxus
|
weber
|
Wb
|
m2 kg s–2 A–1
|
Vs
|
108 cm3/2g1/2s–1
|
Indukciós együttható
|
henry
|
H
|
m2 kg s–2 A–2
|
Vs/A
|
l0–11 cm–1 s2
|
Energia
|
joule
|
J
|
m2 kg s–2
|
VAs
|
l07 cm2 g s–2 = l07 erg
|
Teljesítmény
|
watt
|
W
|
m2 kg s–3
|
VA
|
107 cm2 g s–3 = 107 erg/s
|
A Coulomb-törvény most vákuum esetén is tartalmaz egy univerzális állandót:
((F 1,12). egyenlet).
A Giorgi-rendszerben négy alapegység van. Lényegében ennek következménye az újabb univerzális állandó fellépte. Mivel a vákuumbeli fénysebesség , valójában csak egy újabb univerzális állandó felléptéről van szó. (Giorgi az amper definiálásával arra törekedett, hogy a állandó számértéke könnyen megjegyezhető legyen.)
A Giorgi-féle mértékrendszer az elektrotechnikában általánosan elterjedt. A fizikában célszerűbb a Gauss-féle rendszer használata, és éppen emiatt ott ennek alkalmazása a szokásos. Könyvünkben mi is a Gauss-féle mértékrendszert használtuk.
A gyakrabban felhasználásra kerülő fizikai mennyiségek egységeit az egyik mértékrendszerről a másikra való áttérés megkönnyítése végett táblázatban összefoglaltuk.
2. A könyvben alkalmazott vektoralgebrai és vektoranalitikai összefüggések
1. A kettős vektoriális szorzat felbontása:
((F 2,1). egyenlet).
2. Gauss-tétel (vagy Gauss–Osztrogradszkij-tétel):
((F 2,2). egyenlet),
ahol F a K térfogatot határoló zárt felület.
3. Stokes-tétel:
((F 2,3). egyenlet),
ahol az F felület a zárt L görbére illeszkedik.
4.
((F 2,4). egyenlet),
ahol a dF felületelem-vektor a felület külső normálisa felé mutat.
5.
((F 2,5). egyenlet).
6.
((F 2,6). egyenlet).
7.
((F 2,7). egyenlet).
8.
((F 2,8). egyenlet).
9.
((F 2,9). egyenlet).
10.
((F 2,10). egyenlet).
11.
((F 2,11). egyenlet).
12.
((F 2,12). egyenlet).
13.
((F 2,13). egyenlet).
14.
((F 2,14). egyenlet).
15.
((F 2,15). egyenlet).
A 2–4. tételekben szereplő vektorterek a szóban forgó tartományokban mindenütt regulárisak. A tételek alkalmazásánál az esetleges szinguláris pontokat ki kell rekesztenünk a tartományból, pl. a szinguláris pontot körülvevő kis gömbfelülettel, amelyet végül gondos határátmenet-képzéssel a pontra ráhúzunk.
Az 1–15-ig felsorolt összefüggések bizonyításai a matematikai tanulmányokban szerepelnek, ezért ezeket itt mellőztük.
B. függelék - FELADATGYŰJTEMÉNY
1. Határozzuk meg egyenletes térfogati eloszlással töltött gömb által keltett elektrosztatikus tér potenciálját és a térerősséget, azzal a feltevéssel, hogy mind a gömbön belül, mind azon kívül = l (vagyis D = E).
Megoldás:
Legyen tehát
Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját. Integrációs felületként a töltéseloszlás középpontjával azonos középpontú gömböt választunk.
.
A térerősségnek a töltéseloszlás gömbszimmetriája miatt csak radiális komponense van, és ez a választott integrációs felület mentén állandó. Így az integrál jele elé kihozható:
.
Ha r < R, akkor
,
és ebből
.
Az r > R esetben:
,
tehát
.
A térerősség tehát az egyenletesen töltött gömb határáig r-rel lineárisan növekszik, majd úgy változik, mintha az összes töltés egy pontban volna egyesítve.
A potenciál:
Az állandókat a következő feltételekből határozzuk meg:
1. esetén a potenciál legyen 0.
2. Az r = R helyen a potenciál folytonos.
Ebből c2 = 0, és
.
Végül tehát
2. Gondoljunk el pontszerű +e töltést, amelyet sűrűségű negatív töltéseloszlás vesz körül. Határozzuk meg a térerősséget r függvényében. (Tételezzük fel, hogy = l.)
Megoldás:
Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját. Ha az integrációs felület r sugarú gömb, melynek középpontja a pozitív ponttöltés, akkor a felület mentén a térerősségnek csak normális irányú komponense van, és ez az integrációs felületen állandó:
,
,
.
A térerősség tehát exponenciálisan csökken az r távolsággal.
3. Határozzuk meg két azonos tengelyű, r1 és r2 sugarú végtelen hengerből álló hengerkondenzátor egységnyi hosszra eső kapacitását, ha a fegyverzetek közt vákuum van.
Megoldás:
Alkalmazzuk a II. Maxwell-egyenlet integrális alakját. Integrációs felületként a kondenzátor fegyverzeteivel azonos tengelyű r sugarú hengert veszünk. r1 < r < r2. A henger felülete mentén a térerősségnek csak normális irányú komponense van, és ez állandó.
Jelöljük a hengerek hosszát L-lel (lim L = ), a belső hengeren kialakuló felületi töltéssűrűséget -val. Ekkor
,
ahol H(r) az r sugarú, H(r1) az r1 sugarú henger felületét jelzi.
,
.
A fegyverzetek közötti potenciálkülönbség:
.
A hosszegység kapacitása tehát:
.
4. A végtelen kiterjedésű x = 0 vezető síkkal szemben a pozitív x tengely mentén a végtelenbe nyúló vonal menti sűrűségű töltéseloszlás helyezkedik el. Határozzuk meg a kialakuló potenciálteret. Számítsuk ki a felületi töltéssűrűséget a síkon.
Megoldás:
A végtelen vezető síkot sűrűséggel töltött, a negatív x tengely mentén elhelyezkedő töltéseloszlással helyettesítjük (72. ábra).
72. ábra -
,
.
Az első integrálban áttérünk az x – s = z jelölésre, a harmadikban s – x = z'-re:
A felületi töltéssűrűség:
Ellenőrizzük, hogy a vezető sík mentén a térerősség tangenciális komponense zérus.
5. Két R sugarú gömb közül az egyik egyenletes térfogati töltéssűrűséggel, a másik egyenletes felületi töltéssűrűséggel töltött. A kialakult elektromos teret az 1. feladatban, ill. a II. fejezet 14. pontjában meghatároztuk. Számítsuk ki a tér energiáját mindkét esetben. Hasonlítsuk össze az eredményeket!
Megoldás:
A térfogatilag töltött gömb esetében a térerősség:
A térenergia:
.
Ha az összes töltés a gömb felületén helyezkedik el, akkor
.
Az e töltésű gömb elektromos terének energiája tehát a töltés egyenletes térfogati eloszlása esetén nagyobb, mint abban az esetben, ha az összes töltés a felületen helyezkedik el.
|