TYPICKÉ HODNOTY VELIČÍN V ATÓMOVEJ FYZIKE

1.4 TYPICKÉ HODNOTY VELIČÍN V ATÓMOVEJ FYZIKE
V tomto článku si pripomenieme niekoľko faktov známych z atómovej fyziky a uvedieme typické hodnoty jej základných veličín. Poznanie týchto veličín je potrebné pre spojenie matematického formalizmu kvantovej mechaniky s predstavou o fyzikálnej skutočnosti.
Pri riešení praktických problémov treba vždy najprv oddeliť to podstatné od menej podstatného a pri tom tiež potrebujeme poznať aspoň rádové hodnoty jednotlivých veličín.
Typické rozmery atómov a molekúl sú rádovo 10−10 až 10−9 m. Hrubý odhad možno získať aj veľmi primitívne, napríklad z hrúbky olejovej vrstvy na vodnej hladine ak predpokladáme, že táto je vytvorená jedinou vrstvou molekúl. Benjamín Franklin (1706 – 1790) si všimol, že 5 cm3 oleja sa roztečie na hladine na plochu 0,2 hektára. Výška olejovej vrstvy je takto 2,5 . 10−9 m, čo dáva rozumný odhad veľkosti molekuly6.
S rozmerom molekúl bezprostredne súvisí Avogadrova konštanta (NA =
= 6,022 . 1026 kmol−1). Naozaj, ak poznáme rozmer molekuly, vieme odhadnúť
i objem pripadajúci na jednu molekulu a vieme odhadnúť aj počet molekúl v istom makroskopickom objeme, napr. v objeme, ktorý zaberá 1 kmol látky. Pre vodu je kilomól 18 kg a príslušný objem je 18 l = 18 . 10−3 m3. Ak lineárny rozmer molekuly vody je x . 10−10 m, potom v jednom kilomóle je
molekúl
Očakávame, že x je zhruba niekoľko jednotiek, a preto takto získaný odhad, hoci mimoriadne hrubý, nie je zlý.
Typické hodnoty energetických zmien, ku ktorým dochádza pri chemických reakciách sú rádové 1 eV na jednu molekulu. Skutočne, každodenná skúsenosť hovorí, že spálením 1 kg uhlia sa získa okolo 2 . 107 J tepla, na jednu reakciu
C + O2 → CO2 teda pripadá (počítame pre 12 kg, t. j. jeden kilomól čistého uhlíka)
Takéto hodnoty energie sú konzistentné s informáciou o rozmeroch atómu. Skutočne, skúsme odhadnúť v akej vzdialenosti od jadra treba očakávať výskyt elektrónu v atóme vodíka ak ionizačná energia je 13,6 eV.
Pripomeňme si najprv jeden vzťah známy z klasickej fyziky. Predstavme si ľahkú klasickú časticu s nábojom −e a hmotnosťou m pohybujúcu sa po kružnici o polomere r v Coulombovom poli budenom ťažkou časticou s nábojom e, nachádzajúcou sa v začiatku súradnicovej sústavy. Hmotnosť častice násobená dostredivým zrýchlením musí byť rovná elektrostatickej príťažlivej sile7
Po násobení oboch strán faktorom r/2 dostaneme
a pre celkovú energiu máme
Pre energiu E' potrebnú na vytrhnutie takejto klasickej častice z daného viazaného stavu takto máme E' = Ke2/2r.
Elektrón nie je klasickou časticou a jeho pohyb v atóme nemôžeme považovať za klasický pohyb po určitej trajektórii. Predsa však očakávame, že pre ionizačnú energiu atómu vodíka Eion bude platiť
(2)
kde r je veličina s rozmerom dĺžky, rádovo rovná rozmeru atómu vodíka. Ak sem dosadíme Eion =13,6 eV, K = 9 . 109 Nm2C−2, e = 1,6 . 10−19 C dostaneme rádový odhad rozmeru atómu vodíka
m
Pokúsime sa teraz odhadnúť typické rýchlosti elektrónu v atóme vodíka, pretože tento odhad potrebujeme prinajmenšom na to, aby sme vedeli, či pohyb elektrónu musíme uvažovať ako relativistický (a to by sme museli, keby typické rýchlosti boli takého rádu ako je rýchlosť svetla), alebo či nám stačí nerelativistické priblíženie. Na základe (1) a (2) očakávame, že rádovú veľkosť rýchlosti elektrónu v atóme vodíka možno odhadnúť zo vzťahu
Ekin = mv2/2 ≈ Eion
Pre rádovú veľkosť rýchlosti odtiaľ dostávame
v ≈ 2 . 106 ms−1 << c = 3 . 108 ms−1
Rýchlosti elektrónu sú teda o dva rády menšie ako rýchlosť svetla a pohyb elektrónu v atóme vodíka možno v dobrom priblížení považovať za nerelativistický. Relativistické efekty ale nie sú celkom zanedbateľné a už pri výpočte jemnej štruktúry spektrálnych čiar treba brať do úvahy aspoň prvé relativistické korekcie.
Odhadnime ešte typickú veľkosť momentu hybnosti elektrónu v atóme.
V klasickej mechanike je moment hybnosti určený vzťahom L = r × p, takže pre veľkosť momentu hybnosti platí L ≈ mvr. Možno teda očakávať, že v atómovej fyzike bude typická hodnota veličiny L daná odhadom
L ≈ mvr
kde m je hmotnosť elektrónu, r je typický rozmer atómu a v je typická rýchlosť elektrónu v atóme. Ak sem dosadíme, máme hodnotu
L ≈ 9 . 10−31 kg . 0,5 . 10–10 m . 2 . 106 ms−1 ≈ 10–34 Js
Rádová zhoda tejto veličiny s Planckovou konštantou
je isto nápadná.
|