Predikatlar ekvivalentsiyasi - M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma...

|
M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma oliy ta’limning boshlang’ich ta’lim asoslari yo‘nalishida belgilangan dts talablari va "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" o‘q
|
bet | 36/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрPredikatlar ekvivalentsiyasi. X to‘plamda A(x) va B(x) predikatlar berilgan bo‘lsin. Bu predikatlardan "A(x) bo‘ladi faqat va faqat B(x) bo‘lganda" degan yangi predikatni tuzamiz. Bu predikatga A(x) va B(x) predikatlar ekvivalentsiyasi deb aytiladi va u A(x)↔B(x) deb belgilanadi.
Predikatlar ekvivalentsiyasi A(x)→B(x) hamda B(x)→A(x) implikatsiyalar konyunktsiyasidan iborat. A(x)↔B(x) ning rostlik qiymatlar to‘plamini aniqlaylik:
A(x) ning rostlik qiymatlar to‘plami TA:
B(x) ning rostlik qiymatlar to‘plami TB bo‘lsin.
A(x)→B(x) ning rostlik qiymatlar to‘plami TA' TB
B(x)→A(x) ning rostlik qiymatlar to‘plami TB' TA
Yuqoridagi tasdiqqa asosan, A(x)↔B(x) ning rostlik qiymatlar to‘plami T=(TA' TB) (TB' TA) dan iborat bo‘ladi. To‘plamlar birlashmasi amallarining kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik xossalarini qo‘llab, T=( TA' T'B) (T'B TA) ni hosil qilamiz.
T- to‘plamni Eyler-Venn doirasida tasvirlaymiz.
X
TA TB
47-rasm
Demak, predikatlar ekvivalentsiyasining rostlik qiymatlar to‘plami, har bir predikat rostlik qiymatlar to‘plami kesishmasi va har bir predikat rostlik qiymatlar to‘plami to‘ldiruvchilari kesishmalarining birlashmasiga teng.
Teoremalar tuzilishi . Teoremalar turlari
Tushunchalarni ikkinchi bir tushunchalar orqali ta'riflash va munosabatlarning xossalarini ikkinchi xossalar orqali isbotlash matematik nazariyaning mazmunini ifodalaydi. Biroq matematik nazariyadagi hamma tushunchalarga ta'rif berish va munosabatlarning ko‘riladigan hamma xossalarini isbotlash mumkin emas. Chunki ta'riflanuvchi har bir tushuncha o‘zining oldingi tushunchalar orqali ta'riflanadigan va binobarin isbotlanuvchi har bir xossa o‘zidan oldingi xossalar yordamida isbotlanadi.
Agar nazariya boshlanishiga tomon harakat qila borsa tushunchalar va xossalarni birin- ketin ko‘zdan kechirib ta'riflanmas tushunchalar va isbotlanmas xossalarga albatta kelib yetamizki, ularni ta'riflash uchun nazariyada ulardan oldin turgan tushuncha va xossa bo‘lmaydi. Bu xildagi tushunchalar boshlang'ich (dastlabki, ta'riflanmas) tushunchalar deyiladi. Shuningdek, boshlang'ich (dastlabki, isbotlanmas) xossalar mavjud bo‘lib, ularni isbotsiz qabul qilish mumkin. Ularni aksiomalar deymiz. Isbotlanuvchi xossalar esa teoremalar deb ataladi.
Asosiy (boshlang'ich) tushunchalarning xossalari aksiomalarda isbotsiz qabul qilinadigan (ba'zi nazariyalarda) jumlalarda ochiladi. Masalan, geometriyaning "nuqta ", "to‘g'ri chiziq", "tekislik" kabi asosiy tushunchalarning xossalari ushbu aksiomalarda kiritilgan.
To‘g'ri chiziq qanday bo‘lmasin, to‘g'ri chiziqqa tegishli bo‘lgan nuqtalar va to‘g'ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan nuqtalar mavjud. Ixtiyoriy ikkita nuqta orqali bitta va faqat bitta to‘g'ri chiziq o‘tkazish mumkin va h.k
To‘g'ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi.
Biz faqat berilgan tushunchalarning xossalarini ochuvchi ba'zi aksiomalarni aytib o‘tdik.
Umuman ixtiyoriy matematik nazariyaning aksiomalar sistemasi asosiy tushuncha xossalarini ochish bilan, aslini deganda, ularning ta'rifini beradi. Bu ta'riflar aksiomatik ta'riflar deyiladi.
Tushunchalarning asosiy bitilmagan va ta'riflarga kiritilmagan xossalari odatda isbotlanadi, ya'ni ta'riflarda aksiomalar va ilgari isbotlangan xossalardan natija sifatida keltirib chiqariladi. Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari ko‘pincha teoremalar, ba'zida natijalar yoki alomatlar deb ataladi. Algebrada- formulalar, ayniyatlar, qoidalar deb ataladi.
Har xil aytilishiga qaramay bu jumlalarning tuzilishi har xil bo‘ladi, shuning uchun ularning hammasi teoremalar deb ataladi.
Matematik teorema to‘g'riligini (haqiqatligini) isbotlash bilan yuzaga chiqaradigan mulohazadir.
Shunday qilib, teorema bir A xossadan B xossani kelib chiqishi haqidagi fikr ekan. Bu fikrning rostligini isbotlash yo‘li bilan aniqlanadi. Teorema A → B ko‘rinishidagi fikr bo‘lganligi uchun uning so‘zma- so‘z ifodasi turlicha shaklga ega bo‘lishi mumkin. Biroq teorema qanday ko‘rinishda ifodalangan bo‘lmasin unda har doim A shart (nima berilgan) va B xulosa (nima isbotlash kerak) ajratiladi. Teorema asosan 3 qismdan tuzilgan:
Tushuntirish qismi
Teorema sharti
Teorema xulosasi
Masalan, “to‘g'ri burchakli uburchak gipotenuzasining kvadrati, katetlar kvadratlari yig'indisiga teng” teoremani olsak, bunda :
1.) Uchburchaklar haqida
2. )Uchburchak to‘g'ri burchakli sharti
3.)“Gipotenuzaning kvadrati katetlar kvadratining yig'indisiga teng” jumla teoremaga xulosa bo‘ladi.
Demak, har qanday teoremani matematik tilda quyidagicha yozish mumkin:
( x X) A(x) → B(x)
Tushuntiruvchi qism sharti; xulosasi.
Misollar:
1. Quyidagi teoremalarni shart va xulosalarga ajrating.
a) Agar uchburchaklar o‘xshash bo‘lsa, u holda ularning mos chiziqli o‘lchovlari nisbatlari o‘zaro teng bo‘ladi: "Uchburchaklar o‘xshash"- shart; "Ularning mos chiziqli o‘lchovlari nisbatlari o‘zaro teng bo‘ladi"- xulosa;
b) Agar ko‘pburchak muntazam bo‘lsa, u holda unga ichki aylanma chizish mumkin: "Ko‘pburchak muntazam bo‘lsa"- shart; "Unga aylanma chizish mumkin"- xulosa;
c) Agar ikkita to‘g'ri chiziq bitta to‘g'ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa , bu to‘g'ri chiziqlar o‘zaro parallel bo‘ladi. "Ikki to‘g'ri chiziq bitta to‘g'ri chiziqqa perpendikulyar" - shart. "To‘g'ri chiziqlar o‘zaro parallel bo‘ladi"- xulosa.
To‘rt xil teorema turi mavjud:
1. To‘g'ri teorema ( x X) A(x) → B(x)
2. Teskari teorema (shart va xulosa o‘rni almashadi)
( x X) B(x) → A(x)
3 . Qarama-qarshi teorema ( x X) A(x) → B(x)
4 . Qarama-qarshi teoremaga teskari teorema ( x X) B(x) → A(x)
Ushbu A → B teorema berilgan bo‘lsin, undan B → A, A → B, B→A ko‘rinishdagi fikrlarni hosil qilamiz. A → B va B → A teoremalar bir-biriga teskari teoremalar, A → B va A → B teoremalar esa bir-biriga qarama-qarshi teoremalar deyiladi.
B → A teorema qarama-qarshi teoremaga teskari teorema deyiladi. Misol, Ushbu teorema berilgan: "Agar burchaklar vertikal burchaklar bo‘lsa , u holda ular teng bo‘ladi". Bu teoremaga teskari, qarama-qarshi va qarama-qarshiga teskari teoremalarni ifodalaymiz. Berilgan teoremaga teskari teorema: "Agar burchaklar teng bo‘lsa, u holda ular vertikal burchaklar bo‘ladi" – bu yolg'on fikr.
Berilgan teoremaga qarama-qarshi teorema: "Agar burchaklar vertikal burchaklar bo‘lmasa, u holda ular teng bo‘lmaydi", bu ham yolg'on fikr . Qarama-qarshisiga teskari: "Agar burchaklar teng bo‘lmasa , u holda ular vertikal burchaklar bo‘lmaydi " , bu chin fikr . A → B va B→A teoremalarning teng kuchli ekani, ya'ni har doim A → B teorema chin bo‘lganda B →A teorema chin va aksincha bo‘lishi aniqlangan.
Xuddi shuningdek teskari teorema bilan qarama – qarshi teorema ham teng kuchli bo‘ladi. Hosil bo‘lgan teng kuchlilik kontropozitsiya qonuni deyiladi.
1.Agar x soni 2 ga bo‘linsa, u holda bu sonning oxirgi raqami ham 2 ga bo‘linadi. A(x) → B(x).
2.Agar x sonning oxirgi raqami 2 ga bo‘linsa, u holda bu son 2 ga bo‘linadi. B(x) → A(x)
3.Agar x soni 2 ga bo‘linmasa , u holda bu sonning oxirgi raqami ham 2 ga bo‘linmaydi.
A(x) → B (x)
4. x sonining oxirgi raqami 2 ga bo‘linmasa, u holda bu son 2 ga bo‘linmaydi.
B(x) → A(x)
Biroq, har bir teoremaga teskari teorema mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, " Butun sonning oxirgi raqami 5 bo‘lsa, bu son 5 ga bo‘linadi" teoremaga teskari teorema yo‘q , chunki unga teskari teorema quyidagidan iborat bo‘lishi lozim.
"Butun son 5 ga bo‘linsa, uning oxirgi raqami 5 bo‘ladi". Bunday tasdiq umuman noto‘g'ridir. Chunki 5 ga bo‘linuvchi butun sonning oxirgi raqami faqat 5 bo‘lmay, 0 ham bo‘lishi mumkin.
A→B ko‘rinishidagi biror-bir teorema isbotlangandan keyin unga teskari teoremani tekshirish ma'noga egadir, hamda uning mustaqil isbotini o‘tkazish kerak. Chunki berilgan teoremaga teskari teorema yolg'on bo‘lishi ham mumkin.
Agar berilgan teorema ham, unga teskari teorema ham to‘g'ri bo‘lsa, u holda ular bo‘lganda va faqat shunday bo‘lganda "yoki zarur va etarli" so‘zlari yordamida bitta teoremaga birlashtirishimiz mumkin.
Jumlalar orasidagi kelib chiqishlik munosabati matematikada ko‘p qo‘llaniladigan "zarur" va "etarli" so‘zlarning ma'nosini aniqlashtirishga imkon beradi.
Agar A jumladan B jumla kelib chiqsa , u holda B A uchun zarur shart A esa B uchun yetarli shart deyiladi.
Boshqacha so‘z bilan aytganda, B jumla mantiqan A dan kelib chiqsa, B jumla A uchun zarur shart deyiladi. Agar A jumladan B jumla kelib chiqsa, A jumla B uchun yetarli shart deyiladi. A → B B jumla A uchun zarur shart, A jumla B uchun yetarli shart.
Agar A va B jumlalar teng kuchi jumlalar bo‘lsa, u holda A jumla B uchun zarur va yetarli shart deyiladi va aksincha: A ↔ B.
1-misol: Ilgari biz A - "x va y burchaklar vertikal burchaklar", jumladan, B -"x va y burchaklar teng" jumla kelib chiqishini aniqlagan edik. Shuning uchun yuqorida berilgan ta'rifga ko‘ra burchaklarning vertikal bo‘lishi bu burchaklarning tengligi uchun zaruriy shart, burchaklar tengligi burchaklar vertikal b’lishi uchun yetarli shart bo‘ladi. Shunga ko‘ra , "agar burchaklar vertikal bo‘lsa, u holda ular teng" jumlani "zarur" va etarli so‘zlardan foydalanib boshqacha ifodalash mumkin:
1. Burchaklar vertikal bo‘lishi uchun ular teng bo‘lishi zarur.
2. Burchaklar teng bo‘lishi uchun vertikal bo‘lishi etarli.
2-misol: A-"x sonining yozuvi 0,2,4,6,8 raqamlarining biri bilan tugaydi" jumla, B-"x soni 2 ga bo‘linadi" jumla bo‘lsin. Ma'lumki, x sonining yozuvi 0,2,4,6,8 raqamlarining biri bilan tugashidan bu sonning 2 ga bo‘linishi kelib chiqadi. Teskari da'vo, ham o‘rinli.Demak, berilgan A va B jumlalar teng kuchli va ularning har biri zarur va etarli shart bo‘ladi. Shuning uchun bunday deyish mumkin: sonning 2 ga bo‘linishi uchun bu sonning yozuvi 0,2,4,6,8 raqamlarning biri bilan tugashi zarur va yetarli . Sonning 2 ga bo‘linishining ma'lum alomati hosil bo‘ladi.
3-misol: Ushbu "to‘rtburchakning romb bo‘lishi uchun uning diagonallari o‘zaro perpendikulyar bo‘lishi zarur" jumla berilgan bo‘lsin. Bu jumlani boshqacha ifodalash mumkin yoki mumkin emasligini aniqlaymiz.
"Rombning diagonallari o‘zaro perpendikulyar" jumla to‘rtburchak- romb jumladan kelib chiqayotgani uchun "To‘rtburchakning romb bo‘lishi uchun uning diagonallari o‘zaro perpendikulyar bulishi zarur" jumlani yana bunday ifodalash mumkin:
1.To‘rtburchakning romb bo‘lishidan uning diagonallari o‘zaro perpendikulyar bo‘lishi kelib chiqadi.
Har qanday rombning diagonallari o‘zaro perpendikulyar.
Agar to‘rtburchak romb bo‘lsa, u holda uning diagonallari o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi.
To‘rtburchak diagonallari o‘zaro perpendikulyar bo‘lishi uchun uning romb bo‘lishi etarli.
A → B ga teskari B → A teorema mavjud bo‘lmasa B dan A kelib chiqmaydi va demak, bu holda A ning bajarilishi B ning bajarilishi uchun etarli shart bo‘lib xizmat qiladi. Bunday teoremalarga faqat etarli shartni beruvchi teoremalar deymiz. Masalan, uchburchakda bitta ichki burchakning to‘g'riligi qolgan ichki burchakning o‘tkirligi uchun faqat etarli shart bo‘lib xizmat qiladi.
Odatda , boshlang'ich matematika kursida "zarur" va "yetarli" so‘zlari ishlatilmaydi , biroq bularning sinonimlari mos ravishda "kerak" va "mumkin" so‘zlari keng foydalaniladi. Misol keltiramiz.
Masala: Birinchi qutida 6 ta, ikkinchisida esa undan 2 ta kam qalam bor. Ikkala qutida nechta qalam bor.
Masala yechimini topish mumkin bo‘lgan yo‘llardan biri bunday bo‘lishi mumkin. O‘qituvchi so‘raydi: Hammasi bo‘lib nechta qalam borligini birdaniga bilish mumkinmi (ya'ni berilgan savolga birdaniga javob berish uchun masalada ma'lumotlar etarlimi)?
O‘quvchi javob beradi:
- Mumkin emas, yana ikkinchi qutida nechta qalam borligini bilish kerak (ya'ni buni bilish zarur).
O‘qituvchi yana so‘raydi:
- Ikkinchi qutida nechta qalam borligini bilish mumkinmi (ya'ni bu savolga javob berish uchun masaladagi ma'lumotlar etarlimi)?
- Mumkin,- javob beradi o‘quvchi.- Buning uchun nima qilish kerak? deb so‘raydi o’qituvchi va hokazo. O‘quvchilarning "kerak" va "mumkin" so‘zlarini to‘g'ri qo‘llay olishlari bundan buyon matematikani o‘rganishga "zarur" va "yetarli" so‘zlaridan foydalanishlarida muvaffaqiyat garovidir.
Quyidagi mulohazalarda "yetarli" va "zarur" so‘zlari natijasida rost mulohaza hosil bo‘ladigan qilib qo‘yamiz:
a) agar A(x) → B(x) bo‘lsa, u holda A (x) predikat B (x) uchun yetarli: B(x) va A (x) uchun zarur.
b) Agar B(x) → A (x) bo‘lsa, u holda A (x) predikat B (x) uchun zarur: B (x) esa A (x) uchun yetarli bo‘ladi.
A → B (B↔A) teoremani isbotlash , ya'ni A → B teoremada A ning chinligiga asosan, B ning chinligi kelitirib chiqarish (yoki A↔B teoremada A chinligiga asosan B ning chinligini ham keltirib chiqarish ) turli metodlar yordamida bajariladi. Shu metodlardan biri qarama-qarshisini faraz qilib isbotlash metodi. Bu metodning mohiyati shundan iborat: Chinligini isbotlash lozim bo‘lgan B xulosani yolg'on deb faraz qilamiz. U holda B ning inkori chin bo‘ladi. B ni yangi asos sifatida qarab A dan B ning kelib chiqishi lozimligiga va B ga suyanib A ning chinligini kelitirib chiqaramiz, ya'ni:
( A → B) (B → A) formulani hosil qilamiz. Bu formula ham doimo chindir . Formulaning doimo chinligi(A Yu B) B dan A ning haqiqatdan chin oqibat bo‘lib chiqish lozimligini tasdiqlaydi. Ammo bu ziddiyatga olib keladi chunki A emas, balki A chin deb berilgan . Bundan B yolg'on deb qilingan faraz noto‘g'ri ekanligi ma'lum bo‘ladi va B ning chinligi tasdiqlanadi.
Buni "To‘g'ri chiziqning har bir nuqtasining unga perpendikulyar to‘g'ri chiziq o‘tkazish mumkin va faqat birgina" isboti misolida tushuntiramiz. Teoremada to‘g'ri chiziqning har bir nuqtasi unga faqat bitta perpendikulyar o‘tkazish deb tasdiqlanadi. Biz bunday to‘g'ri chiziqlardan ikkita o‘tkazish mumkin deb faraz qilib berilgan yarim to‘g'ri chiziqdan boshlab berilgan yarim tekislikka gradus o‘lchovlari bir xil 90° bo‘lgan ikkita burchak qo‘yish mumkin, degan xulosaga qildik.Bu esa burchaklarni qo‘yish aksiomasiga zid. Bu aksiomaga binoan berilgan yarim to‘g'ri chiziqdan berilgan yarim tekislikka berilgan gradus o‘lchovi faqat bitta burchak qo‘yish mumkin.
"Teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari teng" teoremaga "Uchburchakning ikkita burchagi teng bo‘lsa, bu uchburchak teng yonli bo‘ladi" degan teorema teskari teorema deyiladi. Birinchi teoremaning xulosasi, ikkinchi teoremaning shartidir. Ikkinchi teoremaning sharti esa, birinchi teoremaning xulosasidir.Har qanday teorema uchun ham teskari teorema mavjud bo‘lavermaydi, ya'ni berilgan teorema to‘g'ri bo‘lsa, unga teskari teorema to‘g'ri bo‘lmasligi mumkin. Buni vertikal burchaklar haqidagi teorema misolida tushuntiramiz. Bu teoremani bunday ifodalash mumkin: agar ikkita burchak vertikal burchaklar bo‘lsa , ular teng unga teskari teorema bunday bo‘lar edi: Ikkita teng burchak , umuman vertikal burchaklar bo‘lishi shart emas.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
M. M. Qosimova "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" fanidan o‘quv qo‘llanma oliy ta’limning boshlang’ich ta’lim asoslari yo‘nalishida belgilangan dts talablari va "Boshlang’ich matematika kursi nazariyasi" o‘q
|