1-mavzu. Elеmеntar hоdisalar fazоsi. Tasоdifiy hodisalar va ehtimоlning turli ta`riflari. Reja

1-MAVZU.
Elеmеntar hоdisalar fazоsi. Tasоdifiy hodisalar va ehtimоlning turli ta`riflari.
Reja:
1. Ehtimollar nazariyasining predmeti.
2.
Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi.
3. Hodisalar ustida amallar.
4. Tasodifiy hodisalar. Hodisalar algebrasi.
5. Kombinatorika elementlari.
6. Ehtimollikning klassik ta‘rifi.
7. Ehtimolning statistik ta‘rifi.
8. Ehtimolning geometrik ta‘rifi.
Tayanch ibora va tushunchalar:
elementar hodisa, tasodifiy hodisa, muqarrar hodisa,
mumkin bo‘lmagan hodisa, hodisalar yig‘indisi, hodisalar ko‘paytmasi, hodisalar ayirmasi,
teng
imkoniyatli hodisalar, qulaylik yaratuvchi hodisalar, nisbiy chastota, ehtimol,
geometrik
ehtimollik
1. Ehtimollar nazariyasining predmeti
Ehtimollar nazariyasi ―tasodifiy tajribalar‖, ya‘ni natijasini oldindan aytib
bo‗lmaydigan tajribalardagi qonuniyatlarni o‗rganuvchi matematik fandir. Bunda
shunday tajribalar qaraladiki, ularni o‗zgarmas (ya‘ni, bir xil) shartlar kompleksida
hech bo‗lmaganda nazariy ravishda ixtiyoriy sonda takrorlash mumkin, deb
hisoblanadi. Bunday tajribalar har birining natijasi
tasodifiy hodisa
ro‗y berishidan
iboratdir. Insoniyat faoliyatining deyarli hamma sohalarida shunday holatlar
mavjudki, u yoki bu tajribalarni bir xil sharoitda ko‗p
marta takrorlash mumkin
bo‗ladi. Ehtimollar nazariyasini sinovdan-sinovga o‗tishida natijalari turlicha
bo‗lgan tajribalar qiziqtiradi. Biror tajribada ro‗y berish yoki bermasligini oldindan
aytib bo‗lmaydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. Masalan, tanga tashlash
tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa mos keladi: tanganing gerb
tomoni tushishi yoki tanganing raqam tomoni tushishi. Albatta, bu tajribani bir
marta takrorlashda shu ikki tasodifiy hodisalardan faqat bittasigina ro‗y beradi.
Tasodifiy hodisalarni biz tabiatda, jamiatda,
ilmiy tajribalarda, sport va qimor
o‗yinlarida kuzatishimiz mumkin. Umumlashtirib aytish mumkinki, tasodifiyat
elementlarisiz rivojlanishni tasavvur qilish qiyindir. Tasodifsiz umuman hayotning
va biologik turlarning yuzaga kelishini,
insoniyat tarihini, insonlarning ijodiy
faoliyatini, sotsial-iqtisodiy tizimlarning rivojlanishini tasavvur etib bo‗lmaydi.
Ehtimollar nazariyasi esa aynan mana shunday tasodifiy bog‗liqliklarning
matematik modelini tuzish bilan shug‗ullanadi. Tasodiflar insoniyatni doimo
qiziqtirib kelgan. Shu sababli ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlar kabi
amaliyot talablariga mos ravishda rivojlangan. Ehtimollar nazariyasi boshqa
matematik fanlardan farqli o‗laroq nisbatan qisqa, ammo o‗ta shijoatlik rivojlanish
tarixiga ega. Endi qisqacha tarixiy ma‘lumotlarni keltiramiz.
Ommaviy tasodifiy
hodisalarga mos masalalarni sistematik ravishda o‗rganish va ularga mos
matematik apparatning yuzaga kelishi XVII asrga to‗g‗ri keladi. XVII asr boshida,
mashhur fizik Galiley fizik o‗lchashlardagi xatoliklarni tasodifiy deb hisoblab,
ularni ilmiy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrlarda kasallanish, o‗lish, baxtsiz
hodisalar statistikasi va shu kabi ommaviy tasodifiy hodisalardagi
qonuniyatlarni
tahlil qilishga asoslangan sug‗urtalanishning umumiy nazariyasini yaratishga ham
urinishlar bo‗lgan. Ammo, ehtimollar nazariyasi matematik ilm sifatida murakkab
tasodifiy jarayonlarni o‗rganishdan emas, balki eng sodda qimor o‗yinlarini tahlil
qilish natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtimollar nazariyasining
paydo bo‗lishi XVII asr ikkinchi yarmiga mos keladi va u Paskal (1623-1662),
Ferma (1601-1665) va Gyuygens (1629-1695) kabi olimlarning qimor o‗yinlarini
nazariyasidagi tadqiqotlari bilan bog‗liqdir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi katta
qadam Yakov Bernulli (1654-1705) ilmiy izlanishlari bilan bog‗liqdir. Unga,
ehtimollar nazariyasining eng muhim qonuniyati, deb hisoblanuvchi ―katta sonlar
qonuni‖ tegishlidir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi yana bir muhim qadam de
Muavr (1667-1754) nomi bilan bog‗liqdir. Bu olim tomonidan normal qonun (yoki
normal taqsimot) deb ataluvchi muhim qonuniyat mavjudligi sodda holda
asoslanib berildi.
Keyinchalik, ma‘lum bo‗ldiki, bu qonuniyat ham, ehtimollar
nazariyasida muhim rol‘ o‗ynar ekan. Bu qonuniyat mavjudligini asoslovchi
teoremalar ―markaziy limit teoremalar‖ deb ataladi. Ehtimollar nazariyasi
rivojlanishida katta hissa mashhur matematik Laplasga (1749-1827) ham
tegishlidir. U birinchi bo‗lib ehtimollar nazariyasi asoslarini qat‘iy
va sistematik
ravishda ta‘rifladi, markaziy limit teoremasining bir formasini isbotladi (Muavr-
Laplas teoremasi) va ehtimollar nazariyasining bir necha tadbiqlarini keltirdi.
Ehtimollar nazariyasi rivojidagi etarlicha darajada oldinga siljish Gauss (1777-
1855) nomi bilan bog‗liqdir. U normal qonuniyatga yanada umumiy asos berdi va
tajribadan olingan sonli ma‘lumotlarni qayta ishlashning muhim usuli – ―kichik
kvadratlar usuli‖ni yaratdi. Puasson (1781-1840) katta sonlar qonunini
umumlashtirdi va ehtimollar nazariyasini o‗q uzish masalalariga qo‗lladi. Uning
nomi bilan ehtimollar nazariyasida katta rol‘ o‗ynovchi taqsimot qonuni
nomlangandir. XVII va XIX asrlar uchun ehtimollar nazariyasining keskin
rivojlanishi va u bilan har tomonlama qiziqish xarakterlidir. Keyinchalik ehtimollar
nazariyasi rivojiga V.Ya. Bunyakovskiy (1804-1889), P.L. Chebishev (1821-
1894), A.A. Markov (1856-1922), A.M.Lyapunov (1857-1918), A.Ya.
Xinchin
(1894-1959), V.I.Romanovskiy (1879-1954), A.N.Kolmogorov (1903-1987) va
ularning shogirdlari bebaho hissa qo‗shdilar. O‗zbekistonda ehtimollar nazariyasi
bo‗yicha butun dunyoga taniqli ilmiy maktabni yuzaga kelishida Т.А. Sarimsoqov