Asosiy tushunchalar - Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

Asosiy tushunchalar. Ushbu
F x, y, y, y,..., yn 0
(1.24)
ko`rinishdagi tenglama n tartibli differensial tenglama tenglama deyiladi.
Berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradigan n marta
differensiallanuvchi x funksiyaga uning yechimi deyiladi. Bunday
tenglamalar uchun uning
yx0
y0 ,
yx0
y0 , … \
yn1 x
y0
n1
0
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi
masalasi deyiladi. Agar y x,C1,C2 ,...Cn funksiya o`zgarmas
C1,C2,...Cn larning mos qiymatlarida tenglamaga qo`yilgan ixtiyoriy Koshi masalasining yechimi bo`lsa, bu funksiya (2.21) tenglamaning umumiy
yechimi deyiladi. Umumiy yechimdan
C1,C2 ,...Cn
larning muayyan
qiymatida hosil qilingan yechimga xususiy yechim deyiladi. n tartibli
differensial tenglamalarni ayrim hollardagina integrallash mumkin. Bulardan biri tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan differensial tenglamalardir.
yn
f x
ko`rinishdagi differensial tenglamalar. Bunday
tenglamalarning umumiy yechimi n marta ketma-ket integrallash orqali topiladi.
yn
f x
yn1
f xdx
f1 x C1 ,
yn2
f1
x С1
dx
f2 x C1 x C2
,…,
y fn
x C xn1 C
xn2 ... C
n1
x Cn ,
1
2
bu yerda Ci
Ci
n i!.
misol. y '' 1 sin x
x
differensial tenglamani yeching.
Ikki marta integrallaymiz:
y 1 sin x dx ln x cos x C
x
1 ,
y ln x cos x C1 dx x ln x x sin x C1x C2 .
Demak, berilgan tenlamaning yechimi:
y x ln x x sin x C1x C2 .◄
F x, yk , yk 1,..., yn 0 ko`rinishdagi differensial tenglamalar.
Bunday tenglamalar yk z almashtirish orqali tartibi pasaytiriladi. Bu holda
F x, z, z,..., znk 0
( n k ) – tartibli differensial tenglama hosil bo`ladi. Xususan,
n k 1
uchun birinchi tartibli
Fx, z, z 0
differensial tenglama hosil bo`ladi.
Bu tenglamaning yechimini k marta integrallab berilgan tenglamaning yechimi topiladi.
misol. xy yln y
x
differensial tenglamani yeching.
xz z ln
z , z
x
z ln z .
x x
Hosil bo`lgan bir jinsli differensial tenglamada bajaramiz.
z ux
almashtirish
ux u u ln u
yoki
du dx .
Integrallab,
u(ln u 1) x
lnln u 1 ln x ln C1
yoki
ln u 1 C1x .
Bundan
u e1C1 x
yechimni olamiz va u dan y o`zgaruvchiga qaytamiz,
ya‟ni
y xe1C1 x . Natijada,
y
xe1C1 xdx 1
C1
xe1 C1 x
1 e1 C1 x C .◄
C
2
2
1
misol. yctgx y 2
differensial tenglamani yeching.
deb belgilab yechamiz:
z tgx z 2 tgx .
Hosil bo`lgan chiziqli differensial tenglamada bajaramiz.
z uv
almashtirish
v tgx v 0 va
uv 2tgx .
Birinchi tenglamaning qo`yamiz:
v cos x
yechimini ikkinchi tenglamaga
u
2sin x
cos2 x .
Bundan
u 2 cos x
hosil bo`ladi. Natijada, birinchi tartibli chiziqli
z uv cos x 2 C 2 C
cos x
ga ega bo`lamiz. Bu tenglikni ikki marta integrallab berilgan tenglamaning
yechimi topiladi:
y 2 C1 cos xdx 2x C1 sin x C2 ;
y 2x C1 sin x C2
dx x2 C cos x C x C
1
2 3 .◄
F y, y, y,..., yn 0
ko`rinishdagi differensial tenglamalar.
Erkli x o`zgaruvchioshkor qatnshmagan bunday tenglamalar
y z( y)
almashtirish orqali tartibi pasaytiriladi. Bu holda,
y z( y) y zz ,
tenglamaning tartibi bittaga pasaytiriladi.
misol. Koshi masalasini yeching:
2 yy '' 1 y '2 ,
y(0) 2,
y0 1 .
y z dz
dy
deb belgilab yechamiz:
2 yz dz
dy
1 z2 .
Hosil bo`lgan birinchi tartibli o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechamiz.
2zdz dy
yoki
ln1 z2 ln y ln C .
Bundan
z
1 z2
y
, ya‟ni
y
1
hosil bo`ladi.
y(0) 2,
y0 1
boshlang`ich shartlarga ko`ra,
С1 1. Natijada,
y
yoki
dx
tenglikga ega bo`lamiz. Bu tenglikni integrallab berilgan tenglamaning
umumiy integralini topamiz va foydalanamiz:
y(0) 2
boshlang`ich shartdan
2 x C2
va С2 2 2
x 2 .
x 2 2
Demak, Koshi masalasining yechimi:
y
1 .◄
2
Yuqori tartibli chiziqli diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr. Agar n- tartibli differensial tenglamada izlanayotgan funksiya va uning hоsilalari birinchi darajada qatnashsa, bunday tenglama n- tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi.
U quyidagi ko`rinishga ega:
1
0
n
a (x) y(n) a (x) y(n1) ... a
(x) y
f (x) .
Bu yerda
a0 (x),a1 (x),..., an (x) lar va
f ( x)
biror D sohada berilgan x ning
ma‟lum uzluksiz funksiyalari(o`zgarmas bo`lishi ham mumkin).
i
a (x)i 1, nfunksiyalar tenglamaning kоeffitsientlari deyiladi, shu bilan
unga bo`lishimiz mumkin), f(x) funksiya esa ozod hadi deyiladi.
Agar
f (x) 0
bo`lsa, ushbu
1
n
y(n) a (x) y(n1) ... a
(x) y
f (x)
(1.25)
tenglama n - tartiblichiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama
deyiladi.
Agar
f ( x) 0
bo`lsa, ushbu
1
n
y(n) a ( x) y(n1) ... a
(x) y 0
(1.26)
tenglama n – tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
|