Istilikkeçirmə tənliyi. Laplas tənliyinə gətirilən məsələ

Istilikkeçirmə tənliyi. Laplas tənliyinə gətirilən məsələ.
1. Istilikkeçirmə tənliyi (ümumi halı).
2. Sonsuz çubuqda istiliyin yayılması.
3. Laplas tənliyi üçün əsas sərhəd məsələləri.
4. Dirixle məsələsi.
5. Neyman məsələsi.
1. Istilikkeçirmə tənliyi (ümumi halı).
Tutaq ki, üçölçülü fəzada yerləşən bircinsli E cismi qeyri-bərabər olaraq qızdırılmışdır. Bu halda cismin, temperaturu yüksək olan nöqtələrindən temperaturu alçaq olan nöqtələrinə tərəf istilik axını əmələ gəlir.
Cismin M( x, y, z) nöztəsində t anında temperatur U = U( M, t ) = U(x, y, z, t) olsun. Bu funksiyanı tapmaq üçün onun ödədiyi diferensial tənliyi bilmək lazımdır. İstilikkeçirmə tənliyi adlanan həmin tənliyi çıxarmaq üçün E cisminin daxilində yerləşən elementar kubu götürək. İstilikkeçirmə nəzəriyyəsində müəyyən edilmişdir ki, ∆S sahəsindən ∆t zaman müddətində istiqamətində keçən istilik miqdarı ∆S, ∆t, (temperaturun dəyişmə sürəti) və (cismin istilikkeçirmə əmsalı) kəmiyyətləri ilə düz mütanasibdir.
z
∆z ∆y
0 x x
y
y
Onda kubunun sahəsi ∆S = ∆y ∆z olan sol üzündən ∆t zaman müddətində (Ox) oxu istiqamətində (sağdan sola) keçən istiliyin miqdarı
(1)
kəmiyyətinə bərabər olar. Bu zaman kubun baxılan üzünün bütün nöqtələrində xüsusi törəmə qiymətlərinin (yüksəktərtibli sonsuz kiçilən həddə qədər dəqiqliklə) eyni ifadəsinə bərabər olduğu qəbul olunur.
Kubun sahəsi ∆S = ∆y ∆z olan sağ üzündən∆t zaman müddətində (Ox) oxu istiqamətində (sağdan sola) keçən istiliyin miqdarı isə
(2)
kəmiyyətinə bərabərdir. Buradan aydındır ki, ∆t zaman müddətində sol və sağ
üzlərdən kuba daxil olan istiliyin miqdarı (1) və (2) kəmiyyətlərinin fərginə bərabər olar:
(3)
Kubun OY və Oz oxlarına perpendikulyar olan üzlərindən ∆t zaman müddətində ona daxil olan istiliyin miqdarı isə uyğun olaraq
(4)
və
(5)
kəmiyyətinə bərabərdir. Beləliklə (3), (4) və (5) kəmiyyətlərinin cəmi ( t, t + ∆t ) zaman müddətində bütün üzlərdən kuba daxil istiliyin miqdarına bərabər olar:
(6)
Kuba ∆t zaman müddətində daxil olan istiliyin miqdarı başqa üsüllada hesablamaq olar. Tutaq ki, ilə cismin istilik tutumu və ilə onun sıxlığı işarə olunmuşdur (cisim üçün bu kəmiyyətlər sabit hesab olunur). Onda həcmi olan kubun ∆t zaman müddətində temperaturun ∆U qədər dəyişməsinə sərf olunan istiliyin miqdarı
(7)
kəmiyyətinə bərabər olar.
(6) və (7) ifadələri bərabər olduğundan
və ya qəbul etməklə
(8)
alınır.
(8) tənliyinə fəzada istilikkeçirmə tənliyi deyilir.
Onu qısa olaraq
(9)
şəklində də yazmaq olar. (8) tənliyi diffuziya proseslərini də təsvir edir.
Müstəvi cisimlər üçün U = U( x, y, t ) və olduğundan (8) tənliyi
(10)
şəklində yazılar. Buna ikiölçülü fəzada istilikkeçirmə tənliyi deyilir.
Biröıçülü fəzada istilikkeçirmə tənliyi aşağıdakı kimi yazılır:
. (11)
2. Sonsuz çubuqda istiliyin yayılması.
Tutaq ki, yan səthi izolə edilmiş, istilikkeçirən və çox böyük uzunluğu olan bircinsli dəmir çunuq verilmişdir. Yan səthin izolə edilməsi o deməkdir ki, çubuğun yan səthi ilə onu əhatə edən mühit arasında istilik mübadiləsi olmur.
Fərz edək ki, çebeq Ox oxu ilə üst-üstə düşür və onun x nöqtəsində istənilən t anında temperaturu U =U( x, t ) ilə işarə edilmişdir. Başlanğıc anda çubuğun en kəsiklərində temperatur verilir və istənilən sonrakı t anında çubuqun temperaturun paylanmasını tapmaq tələb edilir.
Məlumdur ki, çubuqda istiliyin yayılmasını xarakterizə edən U = U( x, t ) funksiyası
(1)
tənliyini ödəyir. Bu halda yuxarıda qoyulmuş məsələ riyazi olaraq belə ifadə olunur: verilmiş (1) tənliyinin
U t=0 = U ( x,0 ) = φ(x), (2)
başlanğıc şərtini ödəyən həllini tapmalı.
Bu məsələnin Furye üsulu ilə həll etmək üçün həlli
U( x, t ) = X (x) T (t) (3)
şəklində axtaraq. (3) ifadəsini (1) tənliyində yerinə yazdıqda
X (x) Tꞌ (t) = Xꞌꞌ (x) T (t)
və ya
(4)
bərabərliyi alınır. Əvvəlki paraqraflarda olduğu kimi, burada da göstərmək olar ki, (4) nisbətləri bir sabit ədədinə bərabər olmalıdır. Onda
bərabərliklərindən X (x) və T (t) funksiyalarını təyin etmək üçün
Xꞌꞌ (x) + X (x) = 0, (5)
Tꞌ (t) + = 0. (6)
adi diferensial tənlikləri alınır. (5) və (6) tənliklərinin ümumi həlli uyğun olaraq
X (x) = C1 cos μx + C2 sin μx,
T (t) = C3
şəklində olar. (C1 , C2 və C3 ixtiyari sabitlərdir). Bu qiymətləri (3) bərabərliyində yazmaqla, (1) tənliyinin
U = (C1 C3 cos μx + C2 C3 sin μx) (7)
şəklində xüsusi həlləri alınır.
(7) funksiyası μ-nun hər bir qiymətində (1) tənliyinin həllidir. Buna görə də hər bir μ üçün yeni C1 C3 və C2 C3 sabitləri götürmək, yəni C1 C3 = a(μ) və
C2 C3 = b(μ) hesab etmək olar. Onda μ-nun ixtiyari həqiqi qiymətlərində (1) tənliyinin xüsusi həlləri
(8)
kimi yazılır. Bu halda,
(9)
funksiyası da (1) tənliyinin həlli olar.
İndi (9) həllinə daxil olan naməlum a(μ) və b(μ) funksiyalarını elə seçək ki, (2) başlanğıc şərti ödənilsin, yəni ixtiyari üçün
U t=0 = (10)
bərabərliyi doğru olsun. Bu o deməkdir ki, funksiyası Furye inteqralına ayrılır:
Buradan a(μ) və b(μ) funksiyaları tapılır:
.
Bu qiymətləri (9) bərabərliyində yerinə yazdıqda (1) tənliyini (2) başlanğıc şərtini ödəyən həlli alınır:
(11)
(11) həllinin şəklini dəyişmək üçün
bərabərliyindən istifadə edək. Buna əsasən (11) bərabərliyinin sağ tərəfindəki daxili inteqral hesablanır:
.
Bu qiyməti (11) bərabərliyində yerinə yazmaqda (1) tənliyinin (2) başlanğıc şərtini ğdəyən həlli aşağıdakı kimi alınır:
(12)
(12) ifadəsinə Qauss-Veyerştrass inteqralı deyilir.
3. Laplas tənliyi üçün əsas sərhəd məsələləri
Tutaq ki, Ω səthi ilə əhatə olunmuş bircinsli E cismi verilmişdir. Bilir ki, cismin nöqtələrində temperaturu göstərən U = U( x, y, z, t ) funksiyası
(1)
istilik keçirmə tənliyini ödəyir. Cisimdə istiliyin yayılması zamandan asılı deyilsə, yəni istilikkeçirmə prosesi stasionardırsa, onda olar və (1) tənliyi
(2)
və ya
(3)
şəklinə düşər.
(2) (və ya (3) tənliyi) Laplas tənliyi, onu ödəyən funksiya harmonik funksiya və
operatoru Laplas operatoru ( və ya Laplasiyan) adlanır. Laplas tənliyi ikitərtibli xətti bircinsli diferensial tənliykdir.
Laplas tənliyi silindrik koordinatlarla
(5)
şəklində, sferik koordinatlarla isə
(6)
şəklində yazılır.
Müəyyən məsələ ilə bağlı olan Laplas tənliyinin həllini tapmaq üçün, əsasən sərhəd şərtləri şəklində olan əlavə şərtlər verilir. Laplas tənliyi üçün (sərhəd şərtlərinin verilmə xarakterinə görə) aşağıdakı kimi sərhəd məsələlərinə baxılır.
4. Dirixle məsələsi.
E cisminin daxilində tənliyini ödəyən və onun Ω səthinin M = (x, y, z) nöqtələrində verilmiş f (M) qiymətlərini alan
U(M) = U(x, y, z) funksiyasını tapmalı.
U(M) funksiyasının Ω səthinin nöqtələrində qiyməti dedikdə, E çoxluğunun daxili nöqtələri Ω səthinin nöqtələrinə müəyyən qanunla yaxınlaşdıqda həmin funksiyanın limit qiyməti başa düşülür.
Dirixle məsələsinə bəzən birinci sərhəd məsələsi də deyilir. Dirixle məsələsini belə də söyləmək olar: E oblastının daxilində harmonik və onun Ω səthi üzərində
U Ω = f (M)
sərhəd şərtini ödəyən U(M) funksiyasını tapmalı.
Dirixle məsələsi həllinin varlığı fiziki mülahizələrdən aydındır. Doğrudan da, cismin bütün sərhədində baxılan müddətdə sabit temperatur saxlanıldıqda (əlbəttə, müxtəlif nöqtəlif müxtəlif temperatur da ola bilər) onun daxili nöqtələrinin hər birində müəyyən bir temperatur əmələ gələr və bu vəziyyət saxlanılır. Daxili nöqtələrin bu temperatur vəziyyətini ifadə edən U(x, y, z) funksiyası Dirixle məsələsinin həlli olar. Buradan Dirixle məsələsi həllinin yeganə olması da aydındır.
(1)
və ya polyar koordinatlarla
(2)
şəklində yazılır. (1) tənliyi üçün Dirixle məsələsi belə qoyulur.
Qapalı Г müstəvi əyrisinin daxilində (1) Laplas tənliyini və onun üzərində
U г = f ( x, y )
sərhəd şərtini öddəyən U( x, y ) funksiyasını tapmalı.
Bir ölçülü oblastlar üçün Laplas tənliyi kimi yazılır və onun həlli
U( x, y ) = Ax + B şəklində xətti funksiyadır. Bu halda, parçası üçün Dirixle məsələsi U x=a = Ua və U x=b = Ub sərhəd şərtləri vasitəsilə qoyulur. Onun həlli isə
funksiyasıdır.
5. Neyman məsələsi.
►E oblastının daxilində Laplas tənliyini və onun Ω səthi üzərində
sərhəd şərtini ödəyən U(M) funksiyasını tapmalı.
Dirixle və Neyman sərhəd məsələlərindən fərgli olan üçüncü sərhəd məsələsi də vardır.
►Üçüncü sərhəd məsələsi. E oblastının daxilində Laplas tənliyini və onun Ω səthi üzərində
sərhəd şərtini ödəyən U(M) funksiyasını tapmalı ( burada φ(M) verilmiş funksiyadır).
Laplas tənliyi üçün yuxarıda qoyulan sərhəd məsələləri daxili sərhəd məsələləri adlanır. Əgər qoyulan sərhəd məsələlərində funksiyanın E-nin xarici olan oblastda (və ya Ω-nın xaricində). harmonik olması tələb edilsə, onda Laplas tənliyi üçün uyğun xarici sərhəd məsələləri adlanır.
Burada bir neçə sadə oblast üçün ancaq daxili Dirixle məsələsi öyrənilir.
Mövzu 38
|