Funksiyanın limiti və kəsilməzliyi haqqında teoremlər

Funksiyanın limiti və kəsilməzliyi haqqında teoremlər.
1. Funksiyanın limiti
2. Limitlər haqqında əsas teoremlər.
3. Məşhur limitlər.
4. Funksiyanın kəsilməzliyi.
1. Funksiyanın limiti
Tərif 1. X çöxluğunun a-ya yığılan istənilən nöqtələri ardıcılığına ƒ(x) funksiyasının uyğun olan qiymətləri ardıcıllığının hamısı eyni bir A ədədinə yığıldıqda , həmin A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.
Aydındır ki, a-ya yığılan heç olmazsa iki ardıcıllığına funksiyasının və uyğun qiymətləri ardıcıllıqları müxtəlif limitlərə yığılarsa, onda funksiyasının x=a nöqtəsində limiti yoxdur. Funksiyanın nöqtədə limitinin başqa tərifi də vardır.
Tərif 2. Tutaq ki, sonlu a və A ədədləri və istənilən ədədi üçün elə ədədi varki, x-in X çoxluğundan götürülmüş və (1) bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (2) münasibəti ödənilir.Onda A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.
Qeyid edək ki, A ədədi x→a şərtində funksiyasının limiti olduqda (2) bərabərsizliyinin x=a qiymətində ödənilib ödənilməməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. funksiyası x=a nöqtəsində təyin olunduqda isə onun həmin nöqtədə limiti xüsusi qiymətinə bərabər olada bilər, olmayada bilər.
Funksiya limitinin birinci tərifinə “ limitin ardıcıllıq dilində tərifi ” (və ya Heyns mənada tərifi) , ikinci tərifinə isə
“ limitin dilində tərifi ”(və ya Koşi mənada tərifi ) deyilir.
2. Limitlər haqqında əsas teoremlər.
Teorem 1. Sonlu limitləri olan sonlu sayda funksiyalarının cəminin limiti onların limitləri cəminə bərabərdir. (1)
Teorem 2. Sonlu limitləri olan sonlu sayda funksiyalarının hasilinin limiti onların limitləri hasilinə bərabərdir. (2)
(1)
(2)
Sabit vuruğu limit işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.
Teorem 3.f(x) və (x) funksiyalarının sonlu limitləri varsa və olarsa, onların nisbətinin limiti limitlərinin nisbətinə bərabərdir;
3. Məşhur limitlər.
1.
2. ədədi.
Tərif . dəyişən kəmiyyətinin şərtində limitinə e ədədi deyilir.
ədədi bərabərsizliyini ödəyir.
e ədədi 2≤e≤3
e ≈2,7182818284
4. Funksiyanın kəsilməzliyi.
► Nöqtədə funksiyanın kəsilməzliyi.
Tərif 1. Tutaq ki, istənilən ədədi üçün elə ədədi var ki, x-in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilir. Bu halda funksiyasına x=xo nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir.
►Parçada kəsilməz funksiyanın bəzi xassələri.
Xassə1. (Veyerştrasın birinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçada məhduddur.
Xassə 2. (Veyerştrasın ikinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası bu parçanın heç olmasa bir α nöqtəsində özünün həmin parçadakı dəqiq aşağı sərhəddini, heç olmasa bir nöqtəsində isə dəqiq yuxarı sərhəddini alır, yəni
(1)
Xassə 3. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçanın uc nöqtələrində müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda a və b nöqtələri arasında yerləşən ən azı bir C(a c b ) nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyası sıfıra çevrilir;
Xassə 4. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parcanın uc nöqtələrində bərabər olmayan qiymətlərini alırsa, onda həmin A və B ədədləri arasında yerləşən hər bir c ədədi üçün parçasında yerləşən ən azı bir nöqtəsi var ki, olar.
Xassə 5. Məhdud və qapalı X çoxluğunda kəsilməyən funksiyasının qiymətləri çoxluğu məhdud və qapalı çoxluqdur, yəni məhdud və qapalı X çoxluğunda kəsilməyən funksiyası həmin çoxluğu məhdud və qapalı çoxluğuna inikas etdirir.
►Tərs funksiyanın kəsilməzliyi.
Teorem . parçasında təyin olunmuş kəsilməyən və artan (ya da azalan) funksiyasının tərs funksiyası olan x=φ(y) funksiyası parçasında kəsilməyəndir .
►Kantor teoreminin söylənilməsi və izah edilməsi.
Teorem . Parçada kəsilməyən funksiya həmin parçada müntəzəm kəsilməyəndir.
Deməli funksiyanın parçada kəsilməzliyi anlayışı ilə parçada müntəzəm kəsilməzliyi anlayışı eynidir. Lakin bu xassə interval və yarıminterval üçün doğru deyildir.
Məsələn; funksiyası (0,1) intervalında kəsilməyəndir, lakin həmin intervalında müntəzəm kəsilməyən deyildir.
►Teorem 2. Əgər (x) (xa), (x) (xa) və = A (xa) olarsa, onda
A (xa).
Doğrudan da, xa olduqda
= = 1 · A · 1 = A.
Bu teorem göstərir ki, iki funksiya nisbətinin limitini hesabladıqda, onları uyğun olaraq ekvivalent funksiyalarla əvəz etsək limitin qiyməti dəyişməz.
Mövzu 11
|