-masala - Sonli tengsizliklar haqida. Toshkent 2008

3-masala
. (Eron, 1997) Faraz qilaylik , ,
x y z
sonlar
1
1
1
, ,
1,
2
x y z
x
y
z
>
+ + =
shartlarni qanoatlantirsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
1
1
1
x
y
z
x y
− +
− +
− ≤
+ +
z
Isboti. Quyidagicha
)
1
,
1
,
1
(
)
,
,
(
+
+
+
=
c
b
a
z
y
x
almashtirish olaylik, bunda
va
shartga ko’ra
tenglik o’rinli.U holda quyidagi tengsizlikni
isbotlash etarli
, ,
0
a b c
>
2
1
ab bc ca
abc
+
+
+
=
3
a
b
c
a b c
+
+
≤
+ + +
.
Ikkala tarafni kvadratga oshirib va ayrim xadlarni yo’qotib quyidagi tegsizlikka kelamiz
3
2
ab
bc
ca
+
+
≤
.
45
A7 dan foydalanib
2
2
2
( , , ) (sin
,sin
,sin
)
2
2
ab bc ca
2
α
β
γ
=
ni olamiz, bunda
ABC
ixtiyoriy
uchburchak. Demak quyidagi tengsizlikni isbotlashimiz kerak
3
sin
sin
sin
2
2
2
2
α
β
γ
+
+
≤
Bu tengsizlikning o’rinli ekanligi ma’lum.Isbot tugadi.
4-masala
. (Crux Mathematicorum and Mathematical Mayhem ) Faraz qilaylik
, ,
x y z
lar musbat sonlar bo’lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
1
x
y
z
x
x y x z
y
y z y x
z
z x z y
+
+
≤
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Isboti. Bu tengsizlik quyidagi tengsizlikka teng kuchli
2
1
1
(
)(
)
1
x y x z
x
≤
+
+
+
∑
Berilgan tengsizlik bir jinsli bo’lganligi uchun umumiylikka ziyon etkazmasdan
1
xy yz zx
+
+
=
deb faraz qilishimiz mumkin. A3 almashtirishdan foydalanamiz
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
1
2
2
2
2
,
sin
2
2
tg
tg
tg
tg
x y x z
x
tg
α
β
α
γ
α
α
+
+
+
+
=
=
qolgan xadlar ham shunga o’xshash ifodalanadi. Tengsizlik quyidagi shaklga keladi
sin
sin
sin
2
2
2
1,
1 sin
1 sin
1 sin
2
2
2
α
β
γ
α
β
γ
+
+
≤
+
+
+
ya’ni
1
1
1
2
1 sin
1 sin
1 sin
2
2
2
α
β
γ
≤
+
+
+
+
+
.
46
Boshqa tomondan yaxshi tanish bo’lgan
3
sin
sin
sin
2
2
2
2
α
β
γ
+
+
≤
tengsizlik va Koshi-
Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligidan foydalanib quyidagi tengsizlikka ega bo’lamiz
9
1
2
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
2
2
2
2
α
α
β
γ
≤
≤
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
+
+
+ +
+ +
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∑
Isbot tugadi.
5-masala
. (Ruminiya, 2005) Faraz qilaylik musbat
sonlar
shartni qanoatlantirsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
, ,
a b c
(
)(
)(
) 1
a b b c c a
+
+
+
=
3
4
ab bc ca
+
+
≤
Isboti. Bu tengsizlik quyidagi tengsizlikka teng kuchli
3
3
2
2
3
(
)
(
) (
) (
4
ab bc ca
a b b c
c a
⎛ ⎞
+
+
≤
+
+
+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
)
Bu tengsizlik bir jinsli bo’lganligi uchun umumiylikka ziyon etkazmasdan
deb faraz qilishimiz mumkin. A3 almashtirishdan foydalanamiz
1
ab bc ca
+
+
=
cos
1
2
(
)(
)(
)
cos cos
cos cos cos
2
2
2
2
a b b c c a
γ
2
α
β
α
β
⎛
⎞
⎜
⎟
+
+
+
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∏
γ
.
Demak, ushbu
3
2
2
2
4
1
3
cos
cos
cos
2
2
2
α
β
γ
⎛ ⎞ ≤
⎜ ⎟
⎝ ⎠
yoki
3 3
4cos cos cos
2
2
2
2
α
β
γ
≤
tengsizlikni isbotlash etarli. Ushbu
47
sin
sin
sin
4cos cos cos
2
2
2
α
β
γ
α
β
γ
+
+
=
ayniyatga asosan quyidagi tengsizlikni isbotlashimiz kerak
3 3
sin
sin
sin
2
α
β
γ
+
+
≤
Bu tengsizlik esa ( ) sin
f x
=
x
funksiya (0; )
π
intervalda yuqoriga qavariqligi uchun
Iensen tengsizligidan kelib chiqadi. Isbot tugadi.
6-masala
. (Polsha, 1999) Faraz qilaylik musbat
sonlar
shartni
qanoatlantirsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
, ,
a b c
1
a b c
+ + =
2
2
2
2 3
1
a
b
c
abc
+
+
+
≤
.
Isboti. Ushbu
almashtirish bilan tengsizlik quyidagi shaklga keladi
,
,
a xy b yz c zx
=
=
=
2
2
2 2
2 2
2 3
1
x y
y z
z x
xyz
+
+
+
≤
bunda , ,
0
x y z
>
va
1
xy yz zx
+
+
=
. Yuqoridagi tengsizlik quyidagi tengsizlikka teng
kuchli
2
(
)
2 3
1 2
(
)
xy yz zx
xyz
xyz x y z
+
+
+
≤ +
+ +
,
yoki
3
x y z
≤ + +
A3 almashtirishga ko’ra
3
2
2
2
tg
tg
tg
α
β
γ
+
+
≥
tengsizlikni isbotlash etarli. Bu tengsizlik esa ( )
2
x
f x
tg
=
funksiya (0; )
π
intervalda
qavariqligi uchun Iensen tengsizligidan kelib chiqadi. Isbot tugadi.
7-masala
. Faraz qilaylik , ,
x y z
lar musbat sonlar bo’lsin.Quyidagi tengsizlikni isbotlang
48
(
)
(
)(
)(
(
)
(
) 2
)
x y y z z x
x y z
y z x
z x y
x y z
+
+
+
+
+
+
+
+
≥
+ +
Isboti. Tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz
(
)
(
)
(
)
2
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
x x y z
y x y z
z x y z
x y x z
y z y x
z x z y
+ +
+ +
+ +
+
+
≥
+
+
+
+
+
+
A10 almashtirishga ko’ra
cos
cos
cos
2
2
2
2
α
β
γ
+
+
≥
tengsizlikni isbot qilish etarli. A1 ga ko’ra o’tkir burchakli
ABC
uchburchak uchun
sin
sin
sin
2
A
B
C
+
+
≥
tengsizlikni isbotlash etarli. Bu tengsizlikni isbotlashning juda ko’p usullari mavjud. Biz
Jordan tengsizligidan foydalanishni tavsiya qilamiz.
Jordan tengsizligi.
Barcha
0;
2
π
α
⎛
∈⎜
⎝
⎠
⎞
⎟
lar uchun quyidagi tengsizlik o’rinli
2
sin
α
α α
π
≤
≤
.
U holda
2
2
2
sin
sin
sin
2
A
B
C
A
B
C
π
π
π
+
+
≥
+
+
=
Isbot tugadi.
8-masala
. Faraz qilaylik , ,
x y z
lar musbat sonlar bo’lsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
3
16(
)
3(
)(
)(
)
y z
z x
x y
x y z
x
y
z
x y y z z
+
+
+
+ +
+
+
≥
x
+
+
+
.
Isboti. Qulaylik uchun quyidagicha belgilash olamiz:
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
cyc
f x y z
f x y z
f y z x
f z x y
=
+
+
∑
Berilgan tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz
49
(
)(
)
4(
(
)
(
)
3
cyc
)
x y z x
x y z
y z
x x y z
+
+
+
+
≥
+ +
∑
+
A2 va A10 almashtirishlarga ko’ra
(
)(
)
(
)
4 sin
(
)
cos
2
x y z x
a
y z
R
x x y z
2
α
α
+
+
+
=
=
+ +
,
boshqa xadlarni ham shunday ifodalab olamiz.
Shuningdek
4(
)
4 (sin
sin
sin )
3
3
x y z
R
α
β
γ
+ +
+
+
=
munosabat o’rinli. Bu yerda , ,
α β γ
lar tashqi chizilgan aylana radiusi
R
bo’lgan
uchburchakning burchaklari.
Shunday qilib quyidagi tengsizlikni isbotlashimiz kerak
3
sin
sin
sin
sin cos
sin cos
sin cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α
β
γ
α
α
β
β
γ
⎛
⎞
+
+
≥
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
γ
.
Ushbu ( ) cos
2
x
f x
=
funksiya
[ ]
0;
π
kesmada botiqligi uchun Iensen tengsizligiga ko’ra
quyidagi tengsizlik o’rinli
3
1
cos
cos
cos
2
3
2
2
2
α
β
γ
⎛
⎞
≥
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Ushbu
( ) sin
2
x
f x
=
funksiya
[ ]
0;
π
kesmada o’suvchi,
( ) cos
2
x
f x
=
funksiya
[ ]
0;
π
kesmada kamayuvchi bo’lganligi uchun Chebishev tengsizligiga ko’ra quyidagi
tengsizlik o’rinli
1
sin
sin
sin
cos
cos
cos
3
2
2
2
2
2
2
α
β
γ
α
β
γ
⎛
⎞⎛
+
+
+
+
⎜
⎟⎜
⎝
⎠⎝
⎞ ≥
⎟
⎠
≥
sin cos
sin cos
sin cos
2
2
2
2
2
2
α
α
β
β
γ
+
+
γ
Bu va bundan oldingi tengsizliklarga ko’ra
50
3
sin
sin
sin
sin cos
sin cos
sin cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α
β
γ
α
α
β
β
γ
⎛
⎞
+
+
≥
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
γ
tengsizlikning o’rinli ekanligi ko’rinib turibdi. Isbot tugadi.
Mashqlar
1. (Ruminiya, 2005) Faraz qilaylik musbat
sonlar
shartni
qanoatlantirsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
, ,
a b c
1
a b c
+ + =
3
2
a
b
с
b c
c a
a b
+
+
≥
+
+
+
2. (Ukraina, 2005) Faraz qilaylik musbat
sonlar
shartni
qanoatlantirsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
, ,
a b c
1
a b c
+ + =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
b
b
c
c
a
−
− +
−
− +
−
− ≥
6
3. Faraz qilaylik musbat
sonlar
, ,
a b c
1
ab bc ca
+
+
=
shartni qanoatlantirsin. Quyidagi
tengsizlikni isbotlang
1
1
1
2
2
b c
c a
a b
+
+
≥ +
+
+
+
1
)
a
4. (APMO, 2004) Musbat
sonlar uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang
, ,
a b c
2
2
2
(
2)(
2)(
2) 9(
a
b
c
ab bc c
+
+
+
≥
+
+
5. (APMO, 2002) Faraz qilaylik musbat
sonlar
, ,
a b c
1 1 1
1
a b c
+ + =
shartni
qanoatlantirsin. Quyidagi tengsizlikni isbotlang
a bc
b ca
c ab
abc
a
b
c
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
.
|