§. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi

FAZODA ANALITIK GEOMETRIYA.
Reja:
1§. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi. 3§. Uch nuqtadan o’tgan tekislik tenglamasi. Tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi
Tayanch iboralar: Normal tenglama, masofa, normallovchi kupaytuvchi burchak, ikki tugri chizikning kesishuvi.
1 - Berilgan nuqtadan o’tib berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasi.
Avvalo tekislikni tushunchasiga tegishli ba’zi tushunchalar bilan tanishaylik. Tekislik tushunchasi stereometriyaning asosiy tushunchalaridan bo’lib, tekislikdagi to’g’ri chiziq kabi bevosita ta’riflanmaydi.
Tekislikka tegishli asosiy xossalar qo’yidagi aksiomalarda mujassamlashgan:
Bir to’g’ri chiziq ustida yotmagan uch nuqtadan fakatgina bir tekislik o’tadi.
Bir to’g’ri chiziqning ikki nuqtasi tekislik ustida yotsa, kolgan barcha nuqtalari ham shu tekislik ustida yotadi.
Keltirilgan aksiomalar va ularadan kelib chiqadigan natijalardan foydalanib tekislikni qo’yidagi berilish usullari yordamida aniqlash mumkin:
Bitta to’g’ri chiziqdan va unda yotmovchi nuqtadan o’tuvchi tekislik.
Ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziq, orkali bitta tekisllik o’tadi.
Ikkita parallel to’g’ri chiziq, orkali bitta tekislik o’tadi.
Odatda tekislikni grek alfavitni harflari bilan belgilanadi, yasashda esa tekislikni biror chekli qismi parallelogramm shaklda kursatiladi.
Endi quyidagi masalani qaraylik:
Fazoda nuqtadan o’tib vektorga perpendikulyar bo’lgan tekislik berilgan bo’lsin. SHu tekislikning tenglamasi tuzilsin. Berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lgan har qanday vektor tekislikning normal vektori deyiladi.
tekislik tenglamasini tuzamiz, chiziq va sirtni tenglamasini tuzish qoidasiga asosan tekislik ustida koordinatalari o’zgaruvchi nuqta olamiz va o’zgaruvchi koordinatalar bo’lgan orasidagi bog’lanishni topamiz:
no’qtani birlashtirib vektorni hosil qilamiz. normal vektor tekislik ustida yotgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar, xususiy holda ya’ni yoki
(19,1) yoki ekanini e’tiborga olsak . (19,2) biz izlayotgan tekislikning vektor shakldagi tenglamasi deyiladi.
z
y
0
x
2 – Tekislikni umumiy tenglamasi va uni tekshirish.
Fazoda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli
(20,1)
bu yerda , tenglama berilgan bo’lsin. Isbot qilamizki (20,1) tekislikning tenglamasi. Haqiqatdan bo’lsa (20,2) bo’lib (20,2) tenglama (19,1) ko’rinishdagi tenglamadir, ya’ni (20,1) tekislik tenglamasini ifodalaydi. Xudi shuningdek (19,1)ni ochib chiksak
yoki
desak, (19,1) tenglamasi hosil bo’ladi. (19,1)ga tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Endi tekislikni, umumiy tenglamasini tekshiramiz: tekislikni umumiy tenglamasini tekshirish deganda, A, V, S, D koeffitsientlarni ba’zi qiymatlari nolga teng bo’lganda tekislikni fazoda qanday joylashganligani tekshiramiz:
D = 0 bo’lsin, bu holda (19,1) tenglama bo’lib koordinata boshidan o’tadi va normal vektori bo’ladi.
A = 0, B, C, D bo’lsin, ya’ni By+Cz+D=0
B = 0, A, C, D bo’lsin, ya’ni Ax+Cz+D=0
C = 0, A, B, D bo’lsin, ya’ni Ax+By+D=0
2, 3, 4 hol uchun umumiy qoida keltirib chiqaramiz.
Buning shu uch holdan birortasini, Masalan: 3 – holni qaraylik. V = 0 bo’lsa, bo’ladi, ya’ni vektor Bilan OU o’qi orasidagi burchak ga perpendikulyar bo’ladi. Endi Ax+Cz+D=0 tenglamani kesmalar shakliga keltirsak
tekislik OX o’qidan va OU o’qidan s birlik ajratib vektorga perpendikulyar yoki OU o’qiga parallel bo’lgan tekislik tenglamasidir. (r – 30)
z
y
0
x
z
u
x r - 30
Bundan ko’rinadiki tekislikning umumiy tenglamasida o’zgaruvchi lardan kaysi biri qatnashmasa, tekislik shu qatnashmagan o’zgaruvchiga mos keluvchi koordinata o’qiga parallel bo’lar ekan.
5) A = V = 0, C, D bo’lsin, ya’ni Cz+D=0
6) B = C = 0, A, D bo’lsin, ya’ni Ax+D=0
7) A = C = 0, B, D bo’lsin, ya’ni By+D=0
5, 6, 7 hol uchun umumiy qoida keltirib chiqaramiz. Masalan: 7 holni qaraylik:
A = S = 0 bo’lsa bo’ladi, ya’ni Vu+D=0 tekislik uchun OU o’qi normal vektor vazifasini bajaradi, OU o’qiga perpendikulyar tekisliklar esa XOZ tekisligi va o’nga parallel bo’lgan tekisliklardir. Vu + D = 0 tenglamadan Demak Vu + D = 0 tekislik OU o’qidan va birlik ajratgan va XOZ tekisligiga parallel bo’lgan tekislikni ifodalaydi.
z
y
r – 31 x
5 – holda tekislik OZ o’qiga, 6 – holda OX o’qiga parallel bo’ladi.
Demak tekislikni umumiy tenglamasida o’zgaruvchilardan ikkitasi qatnashmasa shu qatnashmagan o’zgaruvchilarga mos keluvchi koordinata tekisliklariga parallel bo’lar ekan, M: x va u qatnashmasa tekislik XOU koordinata tekislikligiga parallel bo’ladi, u va z qatnashmasa tekislik UOZ tekisligiga parallel bo’ladi.
8) A = V = D = 0, S
9) V = S = D = 0, A
10) A = S = D = 0, V
8, 9, 10 hollar 5, 6, 7 hollarning D=0 bo’lgandagi xususiy holidir, ya’ni tekislikning umumiy tenglamasida ozod had D=0 bo’lib ikki o’zgaruvchi qatnashmasa, tekislik shu qatnashmagan o’zgaruvchiga mos keluvchi koordinata tekisligini ifodalaydi:
X = 0 tenglama UOZ koordinata tekisligini,
U = 0 tenglama XOZ koordinata tekisligini,
Z = 0 tenglama XOU koordinata tekisligini
ifodalaydi (r – 32).
z
u = 0 x = 0
y
z = 0
x
3 – Uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi. Tekislikni kesmalarga nisbatan tenglamasi.
Quyidagi masalani qaraymiz: bir to’g’ri chiziq ustida yotmagan , va . Nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasi tuzilsin. Normal vektori bo’lib nuqtadan o’tgan tekislik tenglamasini yozamiz.
(21.1)
bu yerda A, V, S noma’lum o’zgarmas sonlar. A, V, S ni ixtiyorligidan foydalanib ushbu tekislikni va nuqtalardan o’tadi deb faraz qilamiz, ya’ni va nuqtaning koordinatalar (21.1) tenglamani qanoatlantirsin, ya’ni
(21.2)
A, V, S ni noma’lum desak (21.1) uch noma’lumli uchta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Ravshanki, bir jinsli tenglamalar sistemasi trivial (0,0,0) yechimga ega bo’ladi. Bizni esa (21.2) sistemani notrivial yechimi qiziqtiradi.
CHiziqli algebra kursida isbot qilinganki, bir jinsli tenglamalar sistemasi notrivial yechimga ega bo’lishi uchun (21.2) sistemani asosiy determinanti nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni
(21.2)
(21.2) tenglama biz izlayotgan tekislikning tenglamasi, ya’ni , va nuqtalardan o’tuvchi tekislikning tenglamasidir.
Endi tekislikni yasash uchun qulay bo’lgan tekislikni kesmalarga nisbatan tenglamasi deb ataluvchi tenglamani uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanib keltirib chiqaramiz.
Tekislik koordinata o’qlarini , va nuqtalarda kesib utsin, boshkacha aytganda tekislik koordinata o’qlaridan mos ravishda kesmalar ajratsin (r – 32).
z
u
x
(21.2) formuladan foydalanib A, V, S nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz: x1=a, y1, z1=0; x2=0, y2=b, z2=0; x3=y3 z3=c bo’lganidan
yoki
determinantni hisoblasak yoki yoki (21.3) (oxirgi tenglik ga bo’lingan)
(21.3) tenglama tekislikni kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
: tenglama koordinata o’qlaridan mos ravishda 3, 5, 2 birlik ajratgan tekislikni ifodalaydi.
Tekislik kesmalarga nisbatan tenglamasi bilan berilgan bo’lsa, uni yasash qulay bo’lganidan, umumiy tenglamasi bilan berilgan tekislikni kesmalarga nisbatan tenglamaga keltirishni o’rganamiz: buning uchun tekislikni umumiy tenglamasidagi ozod had D ni tenglikni o’ng tomoniga o’tkazib, tenglikni - D ga bo’lish kifoya.
, , yoki
(21.3), bu yerda .
MISOL: tekislikni yasang.
YECHISH: Berilgan tenglamani kesmalarga nisbatan tenglamaga keltiramiz:
(/12) . Demak bu tekislik OX o’qidan , OU o’qidan va OZ o’qidan birlik ajratib o’tar ekan. (r – 33)
z
B(0,-4,0) u
x r – 33.
Mavzuni takrorlash uchun savollar:
1) Tekislik nima?
2) Tekislikni bilvosita ta’rifini keltiring.
3) Tekislikni normal vektori nima?
4) Tekislikning umumiy tenglamasini yozing.
5) Tekislikni umumiy tenglamasida z katnashmasa, u kaysi koordinata ukiga paralel buladi.
6) Koordinata boshidan utuvchi tekislik tenglamasini yozing.
7) Tekislikning umumiy tenglamasida x va z katnashmasa u kaysi koordinata tekisligiga paralell buladi.
|