I – BOB. IKKI OʻZGARUVCHILI FUNKSIYA GRAFIGIGA OʻTKAZILGAN URINMA TEKISLIK

|
I – BOB. IKKI OʻZGARUVCHILI FUNKSIYA GRAFIGIGA OʻTKAZILGAN URINMA TEKISLIK
|
bet | 3/8 | Sana | 30.05.2024 | Hajmi | 42,08 Kb. | | #257315 |
Bog'liq OI – BOB. IKKI OʻZGARUVCHILI FUNKSIYA GRAFIGIGA OʻTKAZILGAN URINMA TEKISLIK
Funksiya va uning grafigi
Ikki oʻzgaruvchili funksiya tushunchasi
Ikki oʻzgaruvchili funksiya \( z = f(x, y) \) ko'rinishidagi funksiya bo'lib, bu erda \( x \) va \( y \) mustaqil o'zgaruvchilar, \( z \) esa bog'liq o'zgaruvchidir. Bunday funksiya ikki o'zgaruvchiga bog'liq bo'lib, har bir \( (x, y) \) nuqtasiga bitta \( z \) qiymatni moslashtiradi.
Grafigi qanday hosil qilinadi va qanday koʻrinishga ega
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigi uch o'lchovli fazoda \( (x, y, z) \) nuqtalar to'plami sifatida ko'rsatiladi. Bu grafik uch o'lchovli koordinatalar sistemida sirt (yuz) ko'rinishida namoyon bo'ladi.
- Hosil qilish: Funksiyaning grafigini hosil qilish uchun, turli \( (x, y) \) juftliklarini tanlab, ular uchun \( z \) qiymatlarini hisoblash kerak. Ushbu nuqtalar uch o'lchovli fazoda birlashib, sirt hosil qiladi.
- Ko'rinishi: Funksiya turiga qarab, grafikning ko'rinishi har xil bo'lishi mumkin: tekislik, silindr, parabolik sirt, elliptik sirt va h.k. Masalan, kvadrat funksiya grafigi parabolik sirt bo'lishi mumkin.
Geometrik Tushunchalar
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigidagi nuqta
Grafikdagi har bir nuqta uch o'lchovli koordinatalar sistemasida \( (x, y, z) \) koordinatalarga ega. Bu nuqta \( z = f(x, y) \) tenglama yordamida aniqlanadi. Masalan, agar \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) bo'lsa, unda grafigidagi nuqta \( (x, y, x^2 + y^2) \) ko'rinishida bo'ladi.
Grafikning tekislikka proyeksiyasi
Grafikning tekislikka proyeksiyasi grafikaning ikki o'lchovli tasviri bo'lib, uch o'lchovli fazoda joylashgan nuqtalarni tegishli ikki o'lchovli tekislikka tushiradi. Proyeksiya turlari:
- XY-tekislikka proyeksiya: \( z \) o'qidagi qiymatlar e'tiborsiz qoldirilib, faqat \( (x, y) \) koordinatalar qabul qilinadi. Bu holatda grafik XY-tekislikda chiziqlar to'plami sifatida ko'rinadi.
- XZ-tekislikka proyeksiya: Bu holda, \( y \) o'qidagi qiymatlar e'tiborsiz qoldiriladi va \( (x, z) \) koordinatalar olinadi.
- YZ-tekislikka proyeksiya: \( x \) o'qidagi qiymatlar e'tiborsiz qoldirilib, \( (y, z) \) koordinatalar qabul qilinadi.
Bu proyeksiyalar grafikning uch o'lchovli fazodagi tuzilishini ikki o'lchovli tasvirlar yordamida ko'rsatishga imkon beradi va grafikning xususiyatlarini yanada yaxshiroq tushunishga yordam beradi.
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigi uch o'lchovli fazoda sirt shaklida tasvirlanadi. Ushbu grafikning nuqtalari \( z = f(x, y) \) tenglama orqali aniqlanadi va turli tekisliklarga proyeksiya qilish orqali grafikning xususiyatlari va shakllari o'rganiladi. Bu tushunchalar murakkab matematik va ilmiy masalalarni hal qilishda katta ahamiyatga ega.
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigini hosil qilish uchun quyidagi bosqichlarni bajarish kerak:
1. Funksiyani tanlash: Avvalo, \( z = f(x, y) \) ko'rinishidagi ikki oʻzgaruvchili funksiyani aniqlash kerak. Masalan, \( f(x, y) = x^2 + y^2 \).
2. Koordinatalar tanlash: \( x \) va \( y \) o'zgaruvchilar uchun qiymatlar to'plamini tanlash. Bu qiymatlar odatda tartiblangan to'r (grid) shaklida bo'ladi, masalan, \( x \) va \( y \) o'qlari bo'yicha teng oraliqli qiymatlar.
3. Z qiymatlarini hisoblash: Har bir \( (x, y) \) juftligi uchun \( z \) qiymatlarini hisoblash. Bu qiymatlar \( z = f(x, y) \) tenglama orqali aniqlanadi. Masalan, \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) bo'lsa, \( z \) ning qiymati \( x \) va \( y \) ning kvadratlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
4. Grafikni chizish: Uch o'lchovli koordinatalar sistemasida har bir \( (x, y, z) \) nuqtani belgilash va ularni birlashtirib, sirt hosil qilish. Bu sirt funksiyaning grafigi hisoblanadi.
Grafigi qanday koʻrinishga ega
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigining ko'rinishi funksiyaning turiga bog'liq. Quyida ba'zi umumiy grafik ko'rinishlari keltirilgan:
1. Tekislik: Agar funksiya chiziqli bo'lsa, masalan \( f(x, y) = ax + by + c \), grafik tekislik bo'ladi. Bu sirt uch o'lchovli fazoda to'g'ri chiziqlar orqali ifodalanadi.
2. Parabolik sirt: Kvadrat funksiya, masalan \( f(x, y) = x^2 + y^2 \), parabolik sirt hosil qiladi. Bu holda grafik paraboloid ko'rinishida bo'ladi, ya'ni parabola shaklida sirt.
3. Elliptik sirt: Funksiyalar, masalan \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 \), elliptik sirt hosil qilishi mumkin. Bu grafikning ko'rinishi ellipsga o'xshash.
4. Sinusoidal sirt: Trigonometrik funksiyalar, masalan \( f(x, y) = \sin(x) \sin(y) \), sinusoidal sirt hosil qiladi. Bu sirt to'lqin shaklida bo'ladi.
5. Giperbolik sirt: Masalan, \( f(x, y) = \frac{1}{x^2 - y^2} \) funksiyasi giperbolik sirt hosil qiladi. Bunday grafiklar ko'pincha murakkab va simmetrik bo'ladi.
Misol: Kvadrat Funksiya Grafigi
Keling, \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) funksiyasining grafigini ko'rib chiqaylik:
1. Funksiya: \( z = f(x, y) = x^2 + y^2 \).
2. Koordinatalar tanlash: \( x \) va \( y \) uchun [-2, 2] oraliqdagi qiymatlarni tanlaymiz.
3. Z qiymatlarini hisoblash: Har bir \( (x, y) \) juftligi uchun \( z \) qiymatlarini hisoblaymiz. Masalan, \( (x, y) = (1, 1) \) bo'lsa, \( z = 1^2 + 1^2 = 2 \).
4. Grafikni chizish: Uch o'lchovli koordinatalar sistemasida bu nuqtalarni chizib, birlashtiramiz.
Bu grafik uch o'lchovli fazoda paraboloid shaklida ko'rinadi.
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigi uch o'lchovli fazoda hosil qilinadi va turli funksiyalar uchun turli shakllarda bo'ladi. Grafigi hosil qilish jarayoni funksiyaning ko'rinishiga bog'liq bo'lib, tanlangan nuqtalar orqali z qiymatlarini hisoblab, ularni uch o'lchovli fazoda chizishdan iborat. Bu tushunchalar matematik analiz va amaliyotda muhim ahamiyatga ega.
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigi bilan bog'liq asosiy geometrik tushunchalarni quyidagicha tasniflash mumkin:
1. Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigidagi nuqta
Ikki oʻzgaruvchili funksiya \( z = f(x, y) \) grafigi uch o'lchovli fazoda \( (x, y, z) \) koordinatalar bilan ifodalanadi. Har bir nuqta uchun:
- \( x \): Birinchi o'zgaruvchi (abscissa).
- \( y \): Ikkinchi o'zgaruvchi (ordinate).
- \( z \): Funksiya qiymati \( z = f(x, y) \).
Misol uchun, \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) funksiyasi uchun, nuqtaning koordinatalari \( (x, y, z) = (1, 1, 2) \) bo'lishi mumkin, chunki \( 1^2 + 1^2 = 2 \).
2. Grafikning tekislikka proyeksiyasi
Grafikning turli tekisliklarga proyeksiyasi uning ikki o'lchovli tasvirini hosil qilishda muhimdir. Proyeksiya asosiy uch o'lchovli koordinatalar sistemasining biror tekisligiga tushiriladi.
- XY-tekislikka proyeksiya: Ushbu proyeksiyada uch o'lchovli grafik \( (x, y, z) \) nuqtalarining faqat \( (x, y) \) koordinatalari hisobga olinadi, \( z \) qiymatlari e'tiborsiz qoldiriladi. Bu proyeksiya grafigning yuqoridan ko'rinishini ifodalaydi.
- Misol: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) uchun, yuqoridan ko'rinishda grafik aylana bo'lib ko'rinadi.
- XZ-tekislikka proyeksiya: Bu proyeksiyada \( y \) o'qidagi qiymatlar e'tiborsiz qoldirilib, \( (x, z) \) koordinatalar olinadi. Bu holatda grafik yon tomondan ko'rinadi.
- Misol: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) uchun, yon tomondan ko'rinishda grafik parabola bo'lib ko'rinadi.
- YZ-tekislikka proyeksiya: Bu proyeksiyada \( x \) o'qidagi qiymatlar e'tiborsiz qoldiriladi va \( (y, z) \) koordinatalar qabul qilinadi. Bu holatda grafik boshqa bir yon tomondan ko'rinadi.
- Misol: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) uchun, yana parabola ko'rinishida bo'ladi.
3. Urinma tekislik
Urinma tekislik ma'lum bir nuqtada grafik sirtiga urinib turadigan tekislikdir. Bu tekislikning tenglamasi gradient va normallar orqali aniqlanadi.
- Gradient: Gradient vektori \( \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \) ma'lum bir nuqtada grafiga urinma tekislikni aniqlashda muhim o'rin tutadi.
- Tenglama: Agar \( (x_0, y_0, z_0) \) nuqtada urinma tekislikni aniqlash kerak bo'lsa, bu tekislikning tenglamasi:
\[
z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)
\]
bu yerda \( f_x \) va \( f_y \) - funksiyaning x va y bo'yicha xususiy hosilalari.
4. Differentsial va Jakobian
Differentsial tushunchasi funksiyaning kichik o'zgarishlar vaqtida qanday o'zgarishini o'rganish uchun ishlatiladi.
- Differentsial: Funksiyaning differentsiali \( dz \) quyidagicha ifodalanadi:
\[
dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
\]
bu yerda \( dx \) va \( dy \) - x va y ning kichik o'zgarishlari.
- Jakobian: Jakobian determinant \( J \) ko'plik o'zgaruvchili funksiyalarni bir koordinata sistemasidan boshqasiga o'tkazishda qo'llaniladi.
\[
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x'}{\partial x} & \frac{\partial x'}{\partial y} \\
\frac{\partial y'}{\partial x} & \frac{\partial y'}{\partial y}
\end{vmatrix}
\]
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigidagi geometrik tushunchalar funksiyaning uch o'lchovli fazodagi tasvirini yaxshiroq tushunish va analiz qilish uchun muhimdir. Bu tushunchalar orasida grafikdagi nuqtalar, tekisliklarga proyeksiyalar, urinma tekislik va differentsiallar asosiy o'rin tutadi. Ushbu tushunchalar nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy masalalarda ham katta ahamiyatga ega.
Grafikning tekislikka proyeksiyasi deganda uch o'lchovli fazoda joylashgan grafikaning ikki o'lchovli tekisliklarga tushirilishi tushuniladi. Bu proyeksiyalar grafikning turli ko'rinishlarini beradi va uning xususiyatlarini ikki o'lchovli fazoda o'rganishga yordam beradi. Uch asosiy proyeksiya turi mavjud:
1. XY-tekislikka proyeksiya
XY-tekislikka proyeksiya grafikning yuqoridan ko'rinishini ifodalaydi. Bunda uch o'lchovli fazoda \( z \) koordinatasi e'tiborsiz qoldirilib, faqat \( x \) va \( y \) koordinatalar hisobga olinadi.
- Proyeksiya usuli: Har bir \( (x, y, z) \) nuqta uchun \( (x, y) \) nuqta olinadi.
- Misol: Agar funksiya \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) bo'lsa, yuqoridan ko'rinishda grafik aylana bo'lib ko'rinadi, chunki \( x^2 + y^2 = r^2 \) tenglama aylana tenglamasidir.
2. XZ-tekislikka proyeksiya
XZ-tekislikka proyeksiya grafikning yon tomondan ko'rinishini ifodalaydi. Bunda \( y \) koordinatasi e'tiborsiz qoldirilib, faqat \( x \) va \( z \) koordinatalar olinadi.
- Proyeksiya usuli: Har bir \( (x, y, z) \) nuqta uchun \( (x, z) \) nuqta olinadi.
- Misol: Agar funksiya \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) bo'lsa, yon tomondan ko'rinishda grafik parabola bo'lib ko'rinadi, chunki \( z = x^2 + k \) (bu yerda \( k = y^2 \)) parabolik tenglamadir.
3. YZ-tekislikka proyeksiya
YZ-tekislikka proyeksiya grafikning boshqa bir yon tomondan ko'rinishini ifodalaydi. Bunda \( x \) koordinatasi e'tiborsiz qoldirilib, faqat \( y \) va \( z \) koordinatalar olinadi.
- Proyeksiya usuli: Har bir \( (x, y, z) \) nuqta uchun \( (y, z) \) nuqta olinadi.
- Misol: Agar funksiya \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) bo'lsa, boshqa yon tomondan ko'rinishda ham grafik parabola bo'lib ko'rinadi, chunki \( z = y^2 + k \) (bu yerda \( k = x^2 \)) parabolik tenglamadir.
Proyeksiya Namunalari
Quyida har bir proyeksiya uchun vizual namuna keltirilgan:
Misol Funksiya: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)
Bu funksiya paraboloid sirtni ifodalaydi.
- XY-tekislikka proyeksiya:
- Har bir \( z \) qiymati uchun \( (x, y) \) nuqtalarini belgilasak, natijada turli radiusdagi aylanalardan iborat grafik hosil bo'ladi. Bu grafikka yuqoridan qaraganda aylana shaklida ko'rinadi.
- XZ-tekislikka proyeksiya:
- Har bir \( y \) qiymati uchun \( (x, z) \) nuqtalarini belgilasak, natijada parabola shaklidagi grafik hosil bo'ladi. Bu grafikka yon tomondan qaraganda parabola shaklida ko'rinadi.
- YZ-tekislikka proyeksiya:
- Har bir \( x \) qiymati uchun \( (y, z) \) nuqtalarini belgilasak, natijada yana parabola shaklidagi grafik hosil bo'ladi. Bu grafikka boshqa yon tomondan qaraganda ham parabola shaklida ko'rinadi.
Grafik Proyeksiyalarning Ahamiyati
Grafikning tekislikka proyeksiyasi funksiyaning uch o'lchovli xususiyatlarini ikki o'lchovli fazoda ko'rishga va tahlil qilishga imkon beradi. Bu metod yordamida murakkab sirtlarni oddiyroq tasvirlash va tushunish osonlashadi. Shuningdek, proyeksiya usuli orqali grafikning asosiy xususiyatlarini ko'rish va tasvirlash imkoniyati ortadi.
Grafikning tekislikka proyeksiyasi matematik va amaliy jihatdan muhim ahamiyatga ega bo'lib, uch o'lchovli funksiyalarni tahlil qilishda va tasvirlashda keng qo'llaniladi. Bu proyeksiyalar funksiyaning xususiyatlarini ikki o'lchovli fazoda o'rganish va murakkab sirtlarni oddiy shakllarga keltirish imkonini beradi.
|
| |