Teorema 7. Paralelogrammning yuzasi

Teorema 7. Paralelogrammning yuzasi.
Fazoda berilgan va vektorlarning vektor ko‘paytmasining moduli son jixatdan shu va vektorlarga qurilgan paralelogrammning yuzasiga teng.
Misol . Uchburchakning yuzasi.
Fazoda berilgan uchta va nuqtalardan tuzilgan uchburchakning yuzasini toping.
Yechish. uchburchak yuzasi va vektorlarga qurilgan parallelogramm yuzining yarmisiga teng.
Ta’rif 6. Aralash ko‘paytma.
Bizga fazoda uch o‘lchovli , va vektorlarberilganbo‘lsin.
ko‘paytma uch vektorning aralash ko‘paytmasi deb ataladi. Isbotlash mumkinki aralash ko‘paytma uch vektor komponentalaridan tuzilgan matritsaning determinantiga teng:
Misol.
Vektorlarning aralash ko‘paytmasini toping.
Yechish.
Izox. aralash ko‘paytmani boshqa ko‘rinishda olsa xam bo‘ladi, faqat ketma-ketlik o‘zgarmasa bo‘ldi.
Vektorlarning skalyar ko’paytmasi.
Yuqorida, vektorlar ustidagi chiziqli amallar: vektorni qo’shish va ayirish, vektorni songa ko’paytirish amallari bilan tanishdik. Endi chiziqli bo’lmagan yangi amal, vektorni skalyar ko’paytirish amali bilan tanishaylik.
Fazoda (yoki tekislikda) va vektorlar berilgan bo’lsin. O nuqtaga vektorlarni qo’yamiz (11-chizma).
O,Q,N nuqtalar orqali aniqlangan tekislikda, OQ va ON nurlar yordamida ikkita burchak aniqlanadi, bulardan biri ikkinchisi .
Bu burchaklarning eng kichigini va vektorlar orasidagi burchak deb aytiladi va ko’rinishda belgilaymiz.
1-tarif. va vektorlarning uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini ko’paytirishdan hosil bo’lgan son bu vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb aytiladi.
Vektorlarning skalyar ko’paytmasi yoki ko’rinishida yoziladi.
Ta’rifga ko’ra
(5.1)1
Misol. bo’lib, bo’lsa, ni toping.
Echish: .
Natija. Nol vektorning har qanday vektorga skalyar ko’paytmasi nolga teng.
Skalyar ko’paytma xossalari
10. Ixtiyoriy ikkita vektor uchun ; (komutativ)
20. Ixtiyoriy uchta , va vektorlar uchun ;
30. Ixtiyoriy vektor uchun
40. coni vektorning skalyar kvadrati deyiladi va kabi belgilanadi. soni vektorning uzunligi deyiladi va | | bilan belgilanadi.
50. Agar =0 bo’lsa, 2=0.2
Isbot. 10-xossani isbotlaylik.
Ta’rifga ko’ra .
Kosinus juft funksiya ekanini e’tiborga olsak, u holda .
30-xossa, skalyar ko’paytma ta’rifiga ko’ra , lekin va . Shuning uchun .
40-xossa skalyar ko’paytma ta’rifidan
.
Agar va vektorlar perpendikulyar bo’lsa, skalyar ko’paytma nolga teng: (5.2)
Buning isboti ta’rifdan kelib chiqadi.
Ortanormallangan bazis uchun
(5.3)
Haqiqatan skalyar ko’paytma ta’rifidan
Xususiy holda
(5.4)
Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalyar ko’paytmasi.
Uch o’lchovli vektor fazoda ortonormal bazis berilgan bo’lsin, bu bazisga nisbatan , koordinatalarga ega:
va vektorlarning skalyar ko’paytmasini hisoblashda (5.2) va (5.4) larni e’tiborga olsak, quyidagilarga ega bo’lamiz.
Demak, koordinatalari bilan berilgan ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi bu vektorlarning mos koordinatalari ko’paytmasining yig’indisiga teng. Ya’ni:
(6.1)
bu tenglikdan
Natijalar. 1. vektor uzunligi
(6.2)
2. Ikki , vektorlar orasidagi burchak (5.1) ga ko’ra
(6.3)
Agar va vektor koordinatalar bilan berilgan bo’lsa, bu vektorlar orasidagi burchak ushbu formula bilan aniqlanadi.3
(6.4)
1-misol. vektorlarning qaysi jufti perpendikulyar?
Yechish , , skalyar ko’paytmalarini tekshiramiz:
;
Bundan .
2-misol. vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechish (6.3) formuladan foydalanamiz.
. Bundan .
XULOSA
Ilmiy tadqiqotlar va olib borilgan kuzatuvlar xulosasiga ko‘ra Analitik geometriya kursida vektorlar algebrasi ham o'rganiladi. Vektor tushunchasi muhim fundamental tushunchalardan bo'lib, faqatgina analitik geometriya kursida emas, balki matematikaning boshqa bo'limlarida ham muhim rol o'ynaydi.
Mavzuga doir ilmiy maqolalar, ilmiy ishlar, adabiyotlar, internet ma’lumotlari yig’ildi va o’rganildi. Tartibga solinib, ma’lum ketma-ketlikda to’la yoritildi.
Kurs ishining mavzu yurasidan rejalar tuzildi va reja asosida o’rganildi va kengiroq yoritishga xarakat qilindi. Kurs ishini tajriba qismi quydagi rejalar asosida yoritishga xarakat qilindi. . Vektor haqida tushincha, vektorlarni qo’shish va ayrish, Vektorlarning skalyar ko’paytmasi, Ikki vektorning vektor ko’paytmasi. Shu rejalar asosida yoritishga xarakat qildim va mavzu yuzasidan o’zimga ko’nikmalar oldim.
|