Nomanfiy butun sonlar to‘plamining tartiblanganligi

|
Nomanfiy butun sonlar to‘plamining tartiblanganligi
|
bet | 53/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрNomanfiy butun sonlar to‘plamining tartiblanganligi
Piano aksiomalar sistemasi bazasida qurilgan natural sonlar nazariyasi – bu tartiblangan natural sonlar nazariyasidir. Manfiy bo‘lmagan butun sonlar to‘plamini ta’riflashda, bu to‘plamda “ketidan keladi” munosabati asos qilib olingan edi.
Shu munosabatga ko‘ra a natural son ketidan a’ natural son keladi, a’ natural sondan boshqa natural son emas.
Natural sonlar qatorida turuvchi 2 ta natural sondan qaysi biri katta? Shu maqsadda Zo to‘plamda tartib munosabatini berish kerak. Zo to‘plamda biror son ikkinchi sondan “katta”, “kichik”, “katta emas”, “kichik emas”, “teng” munosabatlari tartib munosabatini tashkil etadi.
Ta’rif: Agar a va в natural sonlari uchun, shunday noldan farqli k soni mavjud bo‘lsaki, a=в+k tenglik bajarilsa u holda a son в sondan katta, yoki в son a sondan kichik deb aytiladi, va u a>в yoki в
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi.
Ikkita ketma-ket keluvchi natural sonlar uchun quyidagi teorema o‘rinli:
1-teorema: Har qanday natural son o‘zidan oldin keluvchi natural sondan katta bo‘ladi, ya’ni
Haqiqatdan ham: а’=а+1 х’=х+1 (natijaga asosan) а’>а х’>х (ta’rifga asosan).
1-xossa: Manfiy bo‘lmagan butun sonlar to‘plamida quyidagi munosabat o‘rinli:
0<1<2<3<4<5…1<…
2-xossa: 0 soni Zo da eng kichik sondir.
3-xossa: Agar M qandaydir natural sonlar to‘plami bo‘lib, unda shunday в element topilsaki, uchun x<в o‘rinli bo‘lsa, u holda M da eng katta element в bo‘ladi.
2-teorema: Natural sonlar qatorida quyidagi munosabatlarning faqat va faqat bittasi bajariladi.
А) а=в
b) а=в+к (а>в)
v) в=а+м (а<в)
Isbot: Oldin shu munosabatlarning 2 tasi bir vaqtning o‘zida o‘rinli emasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun qo‘shimcha а+вв(*) munosabatdan foydalanamiz.
1) va 2) hollar bir vaqtda o‘rinli emas, chunki
(*) munosabatga asosan 1) va 3) hollar ham bir vaqtda bajarilmaydi а+м - * munosabatga asosan 2) va 3) hollar ham bir vaqtda bajarilmaydi…
Endi shu hollarning kamida bittasi bajarilishini ko‘rsatamiz. Faraz qilamizki, M to‘plam - a sonini va berilgan a uchun yuqoridagi munosabatlarning kamida bittasi o‘rinli bo‘lgan в larni o‘z ichiga olsin. Bu to‘plam Piano IV aksiomasini qanoatlantiruvchi to‘plam ekanligini ko‘rsatamiz.
1) Agar a=0 bo‘lsa, u holda в=0 uchun a=в ni hosil qilamiz, agar
а 0 bo‘lsa, u holda в=0 uchun teorema 1ga asosan в< a bo‘ladi, shunday qilib, 0 М.
2) в М bo‘lsin, u holda yoki a=в, bu paytda ko‘rinarliki, , в1=в+1=а+1, ya'ni а<в1 yoki а<в; ya'ni а+к=в (а+к)1=в1 а+к1=в1 а<в1 yoki в<а; ya'ni в+к=а; аgаr к=1 bo‘lsa, в1=а agar к 1 bo‘lsa, к=м1 deb
а= в+м1
а=в+(м+1)
а=в+(1+м)
а=(в+1)+м
а=в1+м а>в1:
Demak, , в м в1 м .
Piano IV aksiomasiga asosan, teorema barcha N lar uchun o‘rinli.
В) Zo da tartib munosabati tranzitivlik xossasiga ega.
(а,в,с, Zо) а<в в<с а<с
Haqiqatdan ham а<в ( )
в<с ( ) [ в + m=c]
к=в в+m=с (а+k)+m=с а+(k+m)=с а+l=c а<с. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
3-teorema :
1) а=в => а+c=в+c ^ а c= в.c ( а,в,c )
2) а>в => а+c>в+c ^ аc>вc ( а,в,c )
3) а<в=> а+c<в+c ^ а c<вc ( а,в,c )
Isbot: 1) ning isboti qo‘shish va ko‘paytirishning yagonaligidan kelib chiqadi.
а>в=> а=в+к
Qo‘shish uchun Ko‘paytirish uchun:
а+c=(в+к)+c а c=(в+к)c
а+c=в+(к+c) а c=в c+к c
а+c=в+(c+к) а c=в c+л
а+c=(в+c)+к аc>вc
3) а<в => а+m=в
Qo‘shish uchun Ko‘paytirish uchun:
(а+m)+c=в+c (а+m)c= вc
а+(m+c)=в+c аc+mc= вc
а+(c+m)=в+c а.c+l=вc
(а+c)+m=в+c а.c<вc
а+c<в+c
Teoremani isbotlashda qo‘shish va ko‘paytirishning o‘rin almashtirish, guruhlash hamda ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan tarqatish qoidalaridan foydalaniladi.
4-teorema (Teskari teorema )
1) а+c=в+c аc=вc => а=в
2) а+с>в+c аcвc=> а>в
3) а+с< в+c аc<вc=> а<в
Ushbu teorema isboti mustaqil topshiriladi.
Yuqorida kiritilgan tartib munosabati Z0 ning diskret to‘plam ekanligini ko‘rsatadi, ya’ni a va a+ 1 sonlari orasida boshqa natural son yo‘qligini ko‘rsatadi. Quyidagi teorema o‘rinli:
5-teorema : Natural sonlar qatorida n va n+1 natural sonlari yonma-yon turuvchi sonlardir, ya’ni nIsbot: Faraz qilamizki 1) a>n bo‘lsin. U holda son mavjudki, a=n+k bo‘ladi.
Bu yerda tengsizlikning ikkala tomoniga n ni qo‘shamiz.
a=n+k bo‘lgani uchun
I a – n+1 dan katta bo‘lishi kelib chiqadi.
2) a< n+1 bo‘lsin , ta’rifga ko‘ra
а+м= n+1 m1, bundan
a+1 n+1 yoki
a n
II a–n dan kichik
I va II lardan ko‘rinadiki, n va n+1 sonlari yonma-yon turuvchi sonlardir. Nomanfiy butun sonlar to‘plami xossalarini yorituvchi quyidagi teoremalarni isbotsiz keltiramiz.
6-teorema: Har qanday manfiy bo‘lmagan son noldan kichik emas, 0- natural sonlar to‘plamining eng kichik elementidir.
Bu teoremadan, Z0 ning quyidan chegaralanganligi kelib chiqadi.
In f Z0=0; In f N=1 (quyidan chegaralangan)
7-teorema . Natural sonlar to‘plamida Arximed aksiomasi o‘rinli: ya’ni a va b sonlar uchun nN topiladiki, вn>a bajariladi.
7-teoremadan natural sonlar to‘plamining cheksizligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, xulosa qilsak, manfiy bo‘lmagan butun sonlar to‘plami: cheksiz; quyidan chegaralangan (0 soni bilan); yuqoridan chegaralanmagan, diskret; tartiblangan to‘plam ekan.
|
| |