- Lemma - Mundarija kirish I bob. Sonli ketma-ketliklar

|
Mundarija kirish I bob. Sonli ketma-ketliklar
|
bet | 8/16 | Sana | 18.11.2023 | Hajmi | 466,29 Kb. | | #100822 |
Bog'liq Diplom ishi.Rasulova N.A1.1 - Lemma. Berilgan ketma-ketlik songa yaqinlashsin. U holda, shunday nomer topiladiki, barcha lar uchun
(1.19)
tengsizlik bajariladi.
Isbot. Limit ta'rifiga ko'ra, istalgan olganda ham shunday nomer topiladiki, u uchun
tengsizlik bajariladi.
Bundan
kelib chiqadi. Bu tengsizlikda desak, talab qilingan (1.19) tengsizlikni olamiz.
Eslatma. Isbotlangan lemma, xususan, noldan farqli limitga ega bo'lgan ketma-ketlik faqat chekli sondagi nolga teng hadlarga ega bo'lishi mumkinligini anglatadi.
Endi ikki ketma-ketlik nisbatining limiti haqidagi teoremani isbotlashimiz mumkin.
1.3 - Teorema. Faraz qilaylik, ketma-ketlik songa va ketma-ketlik esa songa yaqinlashsin. U holda biror nomerdan boshlab ketma-ketlik aniqlangan bo'lib, u songa yaqinlashadi.
Isbot. Shartga ko'ra, va bo'lsin. U holda 1.7 - tasdiqqa asosan, (1.15) va (1.16) tengliklar bajariladi. Shunday ekan, 1.1 - lemmaga asosan biror nomerdan boshlab quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:
Agar biz bu tenglikda deb belgilasak, - cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib,
(1.21)
tenglik o'rinli bo'ladi.
1.1 - Lemmaga ko'ra ketma-ketlik chegaralangan, shuning uchun 1.4 - Tasdiqdan (1.21) ning o'ng qismi cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak,
.
Shunday qilib, 1.3 - Teoremaga asosan, nisbatning limiti limitlar nisbatiga teng ekan.
Shubhasiz, agar ketma-ketlikning barcha elementlari noldan farqli bo'lsa, ketma-ketlik barcha larda aniqlangan bo'ladi.
Shunga ahamiyat berish joizki, agar biz ketma-ketlikning istalgan chekli sondagi elementlarini o'zgartirsak, uning yaqinlashish xossasi ham va limiti ham o'zgarmaydi. Xususan, agar ketma-ketlikning chekli sondagi elementlari nolga teng bo'lsayu, biz ularni, masalan, birlar bilan almashtirsak, biz nolga teng bo'lmagan elementlardan iborat yangi ketma-ketlik olamiz va eski bilan yangi ketma-ketliklar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo'ladilar. Bundan tashqari, bordiyu ular yaqinlashsa, ularning limitlari teng bo'ladi.
5. Ushbu bandda biz tengsizliklarda limitga o'tishni o'rganamiz
2.1.2 - Lemma. Agar ketma-ketlik songa yaqinlashib, bo'lsa, u holda bo'ladi.
Isbot. Shartga ko'ra va bo'lsin. Demak, limit ta'rifiga asosan, istalgan uchun shunday nomer topiladiki,
bo'ladi.
3.2 - Tasdiqdan bu tengsizlikning quyidagi qo'shaloq tengsizlikka ekvivalent ekanligini olamiz:
(1.22)
Shunday ekan, shartdan va (1.22) ning o'ng tarafidagi tengsizlikdan,
bahoni hosil qilamiz, bundan chiqdi, istalgan musbat uchun
(1.23)
tengsizlik o'rinli bo'lar ekan.
Oxirgi tengsizlik a son har qanday manfiy sondan katta ekanini anglatadi va shuning uchun u manfiy bo'la olmaydi. Demak,
2.1.4 - Teorema(tengsizliklarda limitga o'tish haqida). Agar ikki yaqinlashuvchi va ketma-ketliklarning barcha elementlari
(1.24)
tengsizlikni qanoatlantirsa, ularning limitlari ham shu tengsizlikni qanoatlantiradi:
(1.25)
Isbot. (1.24) ga ko'ra − ≥ 0 tengsizlik o'rinli va shuning uchun, 1.2 - Lemmaga asosan,
Endi (1.18) tenglikni qo'llab, talab qilingan (1.25) munosabatni olamiz.
Eslatma. Agar (1.24) shartni qat'iy tengsizlikka o'zgartirsak, bundan, umuman aytganda, limitlar uchun ham qat'iy tengsizlik kelib chiqmaydi. Masalan, agar va ketma-ketliklarni olsak,
biroq
Navbatdagi teorema matematik tahlilda muhim rol o'ynaydi.
|
| |