Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar

|
Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar
|
bet | 4/5 | Sana | 20.02.2024 | Hajmi | 177,28 Kb. | | #159334 |
Bog'liq Aniq intеgralni taqribiy hisoblash MT 5.1. Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar. Bir qator matematik, fizik, mexanik va iqtisodiy masalalarni yechish uchun aniq integral tushunchasi juda katta ahamiyatga ega. Bu tushunchani kiritishdan oldin unga olib keladigan ayrim masalalarni qaraymiz.
Egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasi. Turli geometrik shakllarning yuzalarini topish masalasi matematikaning eng qadimgi masalalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Qadimgi Vavilon va Misrda ko‘pburchaklarning yuzalarini hisoblay olganlar. Buyuk yunon olimi Arximed (miloddan oldingi 287-212 y.) parabola segmentining yuzasini hisoblashni bilgan.O‘rta Osiyolik yurtdoshlarimiz Beruniy va Al-Xorazmiy doira va doiraviy sektor yuzalarini topa olganlar. Ammo bu geometrik shaklarning yuzalari o‘ziga xos usullarda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy geometrik shaklning yuzasini hisoblashga imkon beradigan umumiy usul ma’lum emas edi. Differensial va integral hisob yaratilgach bu masala geometrik shakllarning nisbatan keng sinfi uchun o‘z yechimini topdi.
1-TA’RIF: Berilgan у=(х) uzluksiz funksiya grafigi, х=а va х=b vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda OX o‘qi bilan chegaralangan geometrik shakl egri chiziqli trapetsiya dеb ataladi.
Quyidagi 70-rasmda ko‘rsatilgan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini topish masalasini qaraymiz.
70-rasm
Buning uchun dastlab aABb egri chiziqli trapetsiyaning asosini ifodalovchi [a,b] kesmani х1 х2 … хi … хn–1 bo‘lgan ixtiyoriy n–1 ta nuqta yordamida bo‘laklarga ajratamiz. Bu nuqtalarga а=х0 vа b=хn nuqtalarni birlashtirsak, [a,b] kesma ular orqali
[х0, х1] , [х1, х2] , … , [хi-1, хi] , …. , [хn-1, хn]
n ta kichik kesmachalarga bo‘linadi.
So‘ngra xi , i=1,2, …, n–1 bo‘linish nuqtalaridan OY o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tqazib, berilgan aABb egri chiziqli trapetsiyani n ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarga (yuqoridagi 69-rasmga qarang) ajratamiz. Ravshanki aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi n ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari yig‘indisiga tеng bo‘ladi. Shu sababli, agar asosi [хi-1, хi] (i=1,2,3,…, n) bo‘lgan egri chiziqli kichik trapetsiyalarning yuzalarini Si kabi belgilansa, quyidagi tеnglik o‘rinli bo‘ladi:
(1)
Bu yerda Si (i=1,2, ... , n) ham egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari bo‘lgani uchun ularning aniq qiymatlarini topa olmaymiz. Bu yuzalarning taqribiy qiymatini aniqlash uchun [хi–1, хi] (i=1,2, ... , n) kesmalarning har biridan ixtiyoriy ravishda i nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlangan i nuqtalarda AB egri chiziqni ifodalovchi y=f(x)>0 funksiyaning f(i) qiymatlarini hisoblaymiz. Endi har bir Si (i=1,2, ... , n) yuzalarni asoslari xi=xi–xi–1 va balandliklari hi= f(i)>0 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yuzalari bilan almashtirib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo‘lamiz:
S1 f(1)x1 , S2 f(2)x2, …, Si f(i)xi , …, Sn f(n)xn .
Bu taqribiy tengliklarni (1) yig‘indiga qo‘yib, berilgan aABb egri chiziqli trapetsiyaning izlanayotgan S yuzasi uchun ushbu taqribiy tenglikka ega bo‘lamiz:
. (2)
(2) taqribiy tenglikning geometrik ma’nosi shundan iboratki, biz hozircha hisoblay olmaydigan egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi to‘g‘ri to‘rtburchaklardan hosil qilingan pog‘onasimon shakl yuzasi bilan almashtirildi. Bunda bo‘laklar soni n qanchalik katta qilib olinsa, pog‘onasimon shaklning yuzasi egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini shunchalik darajada aniqroq ifodalaydi. Bu mulohazadan izlanayotgan S yuzaning aniq qiymati
(3)
limit bilan aniqlanishi mumkinligini ko‘ramiz.
XULOSA
Oldin aniq integral ta’rifga asosan integral yig‘indining limiti singari aniqlanishini ko‘rgan edik. Ammo kamdan-kam funksiyaning aniq integralini bevosita ta’rif bo‘yicha hisoblash mumkin. Bunda juda murakkab hisoblashlarni bajarishga to‘g‘ri keladi. Shu sababli aniq integralni qulay va osonroq hisoblash usulini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masalaning javobi Nyuton-Leybnits formulasi orqali beriladi. Bu formula integral hisobning eng asosiy formulasi bo‘lib, aniq va aniqmas integrallar orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Agar berilgan aniq integralni to‘g‘ridan-to‘g‘ri Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash murakkab bo‘lsa, unda ayrim hollarda bo‘laklab integrallash yoki o‘zgaruvchilarni almashtirish usullaridan foydalanish mumkin.
Bir qator hollarda integralning aniq qiymatini topish masalasi juda murakkab bo‘lishi mumkin. Bunday hollarda aniq integral qiymatini taqribiy hisoblash usullariga murojaat qilinadi. Ularga to‘g‘ri to‘rtburchaklar va trapetsiyalar formulalarini misol qilib ko‘rsatib bo‘ladi.
|
| |