Sifatni tadqiq qilishning ildizli kriteriylari

Sifatni tadqiq qilishning ildizli kriteriylari
Bu kriteriylar guruhi o‘tkinchi jarayonlar sifatini uzatish funksiyasi qutblari va nollari orqali baholashga asoslangan:
ь„Т\{р-я<) v • (5-33)
ff.ncp-A)
98
Qutblar Г; va nollar q( o‘zgarmas koeffitsiyent — gacha bo‘lgan
an
aniqlik bilan uzatish funksiyasini aniqlaydi. Shuning uchun ulaming kompleks sonlar tekisligida joylashishiga qarab o‘tkinchi jarayon sifati haqida fikr yuritish mumkin. Barqarorlikdan farqli o‘laroq, bu holda uzatish funksiyasining nafaqat qutblari, balki nollarini ham hisobga olish kerak.
Faqat xususiy holda:
L
W(P) = ^—5!
anll(P-Pi)
i=l
ya’ni, nollar bo‘lmagan holda o‘tkinchi jarayon sifati ham faqat qutblar yordamida aniqlanadi.
Ildizli kriteriylar mazmunini tushuntirish uchun quyidagi holni ko‘rib chiqamiz. Ma’lumki, chiziqli sistemada o‘tkinchi prosess:
П
xn (t) = c;ePit so'nuvchan aperiodik va tebranuvchan tashkil etuvchilar
i=l
yig‘indisidan iborat bo‘lib, ulardan har biri uzatish funksiyasining har xil
qutbiga mos keladi. Agar eng davomiy tashkil etuvchining davomiyligi
va eng tebranuvchan tashkil etuvchining tebranuvchanligi topilsa, ular
orqali to‘la o‘tkinchi jarayon davomiyligi va tebranuvchanligi qiymatlari
yuqoridan baholanishi mumkin (ya’ni, haqiqatda o‘tkinchi jarayon yax-
shiroq bo‘lishi ham mumkin).
Davomivlik kriteriysi - barqarorlik darajasi t).
• Bu parametr alohida tashkil etuvchining so'nish vaqti ea‘’, kattaligi
__t_
bilan aniqlanadi, chunki e 11, bu yerda Tj = -Ц- - so‘nishning vaqt
lail
doimiysi a; - i - ildizning haqiqiy qismi. Ushbu tashkil etuvchi davomiyligini tn. » 3T; deb qabul qilish mumkin.
Shunday qilib, davomiylik Tj ga to‘g‘ri proporsional va jarayon davomiyligi to‘g‘risida eng katta T, yoki eng kichik |оц| qiymatlari bo‘yicha mulohaza yurgizish mumkin. |«|шт absolyut kattalik barqarorlik
99
darajasi deyiladi va quyidagicha belgilanadi |aL-=tf- Bunda to‘la
3
к—►
o‘tkinchi jarayon davomiyligi t„< —
X I
■n
bo‘ladi.
ri kattaligi eng yaqin ildizdan + mavhum sonlar o‘qigacha bo‘lgan masofadan iborat, ya’ni ildizlar tekisligida barqarorlik chegarasigacha bo‘lgan masofani bildiradi va shu- ning uchun barqarorlik darajasi deyiladi.
0
5.16-rasm.
Tebranuvchanlik kriteriysi - tebranuvchanlik darajasi ц.
Tebranma tashkil etuvchi cjea/ sin(-t + pf) ning tebranuvchanligi quyidagi nisbat bo‘yicha topiladi:
cea'(''+r'>
xi ce'
' мах2 _. I
ч* = ee,T/
(5.34)
c,
e
bu yerda, Т/ - tashkil etuvchining tebranish davri.
2-n
5.18-rasm.
r, =-
a,
Shunday qilib, tebranuvchanlik
2я-
e ga teng, yoki a(<0 bo'lgani
10
0uchun, e . Natijada nisbati tebranuvchanlikning o'lchami
l«il
hisoblanadi, u qancha katta bo'lsa, tebranuvchanlik shuncha katta bo'ladi. Bu nisbat maksimal bo'lgan tashkil etuvchi eng tebranuvchan
kattalik tebranuvchanlik darajasi
bo'ladi va bunga mos kelgan ц =
deyiladi. Bu o‘tkinchi jarayonning yuqoridan baholanishi hisoblanadi, ya’ni uning tebranuvchanligi (5.17 - rasm):
ХП,мах-2 <g~ ^5 36^
ХП,мa-l
Eng tebranuvchan tashkil etuvchiga mos keluvchi va kompleks tekis- ligida yotuvchi ildiz, u bilan koordinatalar boshini birlashtiruvchi nur
hamda absissalar o‘qi orasidagi у = arctg-
“i
keladi. r| va ц ning qiymatlarini barqarorlik kriteriylari yordamida sistema parametrlari orqali topish mumkin. Masalan: A(P) = anpn +an_Ipn_1 + ... + a0 ko‘phaddan foydalanishga asoslangan barqarorlik kriteriylari (Gurvits, Mixaylov) orqali buni amalga oshirsa bo‘ladi.
Yangi q o'zgaruvchini kiritamiz va uni A(P) ifodasiga qo'yamiz: P = q-7], bu yerda, ij-hozircha noma’lum bo‘lgan haqiqiy musbat kattalik q o‘zgaruvchili yangi ko‘phadga ega bo‘lamiz: A(q) = bnq“ + bn_,qn_I +... + b0. Bu ko‘phadning bj koeffitsiyentlari A(P) ko‘phadning a; koeffitsiyentlari va barqarorlik darajasi rj orqali ifodalangan. A(q) ning ildizlari qi>i+1 =aj + л±jm; = —(|а£| — ri)±jcof A(P) ning ildizlari Pu+, = a; ± j©f dan faqat haqiqiy qismining T| kattali- giga (j o‘qining chapga r| ga siljishi) farq qiladi. Kriteriylardan
bittasini qo'llab, T] ni kritik qiymatini o'zgaruvchi parametr sifatida topish mumkin, bu holda A(q) ko'phad barqarorlik chegarasida bo'ladi. Bu esa albatta 17 = ^^ ning izlangan qiymati bo'ladi. Xuddi shunga o'xshash tebranuvchanlik darajasi ц topiladi. Bu holda quyidagi o'zgartirish kiritiladi p=-jqeJr, bu yerda, ./ = arctg/л.
eng katta burchakka to‘g‘ri
101
m
/3=/
dt,
(Ay)
da;
5.20-rasm.
bu yerda, Ду = yo rn - y(t).
Bu kriteriylami qo'llashning maqsadga muvofiqligi shundan iborat- ki, ulami sistema uzatish funktsiyasi koeffitsiyentlari orqali ifodalovchi tayyor formulalar mavjud.
Ii integral rasmlarda shtrixlangan maydon yuzasini ifodalaydi. Bu maydon (integral xatolik) qancha kichik bo‘lsa, o‘tkinchi jarayon shunchalik yaxshi ko'rinishga ega bo‘ladi (5.19-rasm).
Integral kriteriylar 0‘zgartiriladigan parametrlaming optimal qiymat- larini topishda qo‘llaniladi. Integralning absolyut qiymati (masalan, 7/ ning) bu yerda hech qanday rol o‘ynamaydi. 7/ uchun tayyor ifodani sistema uzatish fimksiyasi koeffitsiyentlari orqali qo‘llab, natijada sistemaning 0‘zgartiriladigan parametrlari orqali bu integral uchun ifodaga ega
bo'lamiz. So‘ngra -^J- = 0 shart orqali Ij ning minimumiga mos keluv-
chi yuqoridagi parametrlaming optimal qiymatlarini topish mumkin.
Ii kriteriy, y,.„ -y(t) o‘z ishorasini o‘zgartirmagan holda, ya’ni faqat monoton o‘tkinchi jarayonli sistemalar uchun o‘rinli.
Masalan, It kriteriysiga asosan turg‘unlashgan tebranishlar da or- aliqdagi yuza minimal (0 ga teng), ya’ni tezkorlik eng katta va bu
Sifatni bilvosita baholash uchun integral kriteriylarini ishlatishda quyidagi ifodalardan foydalaniladi:
* ®
A =\by(t)dt-,
0
h =}(дУ)2 dr,
■-If!
(5.37)
102
haqiqatgato‘g‘ri kelmaydi.
Shuning uchun o‘tkinchi jarayon tebranuvchan boMishi mumkin bo'lgan holda, I2 kvadratli integral kriteriyni qoMlash lozim. Bu kriteri- yga asosan, ishoralar va yuzalar inobatga olinmaydi (5.20-rasm). Biroq I2 kriteriy bo‘yicha olinadigan natijalar ko‘p hollarda katta tebranu- vchanlikni beradi. Bunday hollarda uchinchi integral kriteriy I3
qo‘llaniladi va u ikkita qismdan iborat: /2 va di h integralin-
ing minimumi I2 integralining minimumiga qaraganda ancha sekin o‘tkinchi jarayonga mos keladi.
Jarayonning sekinlashish darajasi T2 koeffitsiyenti qiymatini tashlash bilan aniqlanadi va bu koeffitsiyent I3 integrali barcha tashkil etu- vchilaming Ay va ^ ga nisbatan qiymatini aniqlaydi.
at
I2 -> 0 bo‘lganda ideal o‘tkinchi jarayonga ega bo‘lamiz va bu kattaligi Уо-п. ga teng bo‘lgan pog‘onadan iborat, I3 -> 0 boMganda esa ideal
r
0‘tkinchi jarayon (l-e ifoda bilan aniqlanadigan eksponentadir (5.19- rasmda punktir chiziq bilan ko‘rsatilgan).
Yuqorida avtomatik boshqarish sistemalari barqarorligini aniqlash va o‘tkinchi jarayonlar sifatini aniqlash kriteriylari haqida qisqa ko‘rinishdagi umumiy ma’lumotlar keltirildi. Batafsil ma’lumotlar ro'yxatda ko'rsatilgan adabiyotlardan olinishi mumkin.
0>
|