O’lchovning umumiy tushunchasi va xossalari

|
O’lchovning umumiy tushunchasi va xossalari
|
bet | 7/7 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 253,23 Kb. | | #136510 |
Bog'liq Asilbek2.2 O’lchovning umumiy tushunchasi va xossalari
Bu paragrafda biz o`lchovning umumiy ta'ri ni beramiz. O`lchovni yarim halqadan halqaga davom ettiramiz hamda uning additivlik va σ − additivlik xossalarini isbotlaymiz. Tekislikda to`g`ri to`rtburchaklar o`lchovi tushunchasi- ga tayangan holda uni kengroq to`plamlar sin ga yoyish natijasida o`lchovni qurdik. Bunda (jarayonda) to`g`ri to`rtburchaklar o`lchovidan elementar to`p- lamlar o`lchoviga o`tishda to`g`ri to`rtburchaklar sistemasining yarim halqa ekanligi va yuzaning man ymas va additiv bo`lishi muhim rol o`ynadi. Bun- dan tashqari, tekislikdagi o`lchov Lebeg davomining σ − additivligi ham muhimdir.
Aytilganlarga ko`ra 6-paragrafdaplam (Set of Numbers):*shli bo' da tekislikdagi to`plamlar uchun amalga oshirilgan konstruksiyani yetarlicha umumiy abstrakt talqin qilish mumkin. Keyingi ikki paragra ar shu masalaga bag`ishlanadi.
7.1-ta'rif. Agar µ to`plam funksiyasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
µ funksiyaning aniqlanish sohasi Sµ yarim halqa bo`lsa;
µ funksiyaning qiymatlar sohasi haqiqiy va man ymas bo`lsa;
µ additiv bo`lsa, ya'ni ixtiyoriy A ∈ Sµ to`plamning o`zaro kesish- maydigan A1, A2, A3, . . . , An ∈ Sµ to`plamlar bo`yicha
Chekli yoyilmasi uchun
[
tenglik o`rinli bo`lsa, µ : Sµ → R ga o`lchov deyiladi.
Eslatma. ∅ = ∅ ∪ ∅ yoyilmadan µ(∅) = 2µ(∅), ya'ni µ(∅) = 0 tenglik kelib chiqadi.
O`lchovni yarim halqadan undan hosil bo`lgan minimal halqa- ga davom ettirish. Tekislikdagi to`plamlar Lebeg o`lchovini aniqlash uchun dastlabki qadam, bu o`lchovni to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi (yarim halqa) dan elementar to`plamlar sistemasi (undan hosil qilingan minimal halqa) ga davom ettirish bo`ldi. Hozir biz bu konstruksiyaga o`xshash abstrakt konstruk- siyani qaraymiz.
7.2-ta'rif. Agar m o`lchovning aniqlanish sohasi m ikkinchi µ o`lchov-
ning aniqlanish sohasi µ da saqlansa ( m ⊂ µ ) va ixtiyoriy A ∈ m
to`plam uchun
µ(A) = m(A)
tenglik o`rinli bo`lsa, u holda µ o`lchov m o`lchovning davomi deyiladi.
7.1-teorema. Aniqlanish sohasi m yarim halqa bo`lgan har bir m o`lchov uchun aniqlanish sohasi M( m) ( m ni o`zida saqlovchi minimal halqa) bo`lgan yagona mj davom mavjud.
Isbot. Har bir A ∈ M( m) to`plam uchun
ko`rinishdagi yoyilma mavjud. U holda A ga
sonni mos qo`yuvchi va M( m) da aniqlangan mj to`plam funksiyasi o`lchov bo`ladi. Haqiqatan ham, (7.2) tenglik bilan aniqlangan mj(A) miqdor (7.1) yoyilmaning tanlanishiga bog`liq emas, chunki ixtiyoriy ikkita
yoyilmalarni qarasak, Bi ∩ Cj kesishmalar m ga tegishli bo`lganligi uchun
m o`lchovning additivligidan foydalanib,
tengliklarga ega bo`lamiz.
Ravshanki, (7.2) tenglik bilan aniqlangan mj(A) funksiya man ymas va additiv bo`ladi. Shunday qilib, m o`lchovning M(Sm) ga davomi mj ning mavjudligi isbotlandi.
Endi bu o`lchovning yagonaligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy A ∈ M(Sm) to`p- lamni va uning biror
yoyilmasini olaylik. U holda m o`lchovning M(Sm) da aniqlangan ixtiyoriy
˜
m davomi uchun
tenglikni olamiz, ya'ni m o`lchov mj o`lchov bilan ustma-ust tushadi.
O`lchovning man ymaslik va additivlik xossalaridan quyidagi muhim xossalar kelib chiqadi.
|
| |