Mavzu: Gauss shovqinida raqamli signallarning xatolik ehtimolini baholash

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALARI VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
“Raqamli aloqa” fani bo’yicha
Mustaqil ishi
Bajardi: Xolmurodov Farrux
Toshkent 2024
Mavzu: Gauss shovqinida raqamli signallarning xatolik ehtimolini baholash.
Reja:
1.Gauss tasodifiy jarayoni.
2.Gauss shovqini.
3.Gauss shovqinida raqamli signallarning xatolik ehtimolini baholaymiz.
4. Xulosa
Gauss tasodifiy jarayoni
Normal – Gauss tasodifiy qiymatlar taqsimot qonuni tabaitda boshqa
taqsimot qonunlariga qaraganda nisbatan ko‘p uchraydi. Aloqa kanallaridagi
xalaqitlar ham ko‘p hollarda normal taqsimot qonuniga bo‘ysunadi. Ko‘p hollarda
taqsimot qonuni normal taqsimot qonunidan kam farqlanadigan tasodifiy
jarayonlarni Gauss jarayoni shaklida tahlil etiladi.
Bir o‘lchamli normal taqsimot qonuni quyidagi umumiy formula orqali
ifodalanadi:
Bunda tasodifiy jarayon statsionar va ergodik Gauss jarayoni deb
hisoblanadi. Shuning uchun 𝑚𝑥 va 𝜎𝑥 sifatida fluktuatsion shovqin – xalaqitning
o‘rtacha qiymati va realizatsiyasining fluktuatsion (o‘zgaruvchan) tashkil
etuvchisining quvvati tushuniladi
Normal taqsimot qonuni ehtimollik zichligining grafigi 𝜎𝑥 ning bir necha
qiymatlari uchun 11.1-rasmda keltirilgan.
Ehtimollik zichligi 𝑃(𝑥) taqsimot qonuniga nisbatan simmetrik joylashgan.
Dispersiya 𝜎𝑥 ning qiymati qancha katta bo‘lsa ehtimollik zichligining eng katta
qiymati shuncha kichik bo‘ladi, grafigi yassi bo‘ladi va aksincha 𝜎𝑥 ning qiymati
qancha kichik bo‘lsa grafigi maksimumi shuncha katta va tik bo‘ladi.
Dispersiyaning har qanday qiymatlarida ham uning grafigi ostidagi yuza bir xil
saqlanib qoladi, chunki
Normal taqsimot qonunining eng ko‘p tarqalganiga sabab, yetarli darajada
ko‘p bir-biri bilan umuman bog‘liq bo‘lmagan yoki kuchsiz (kam) bog‘liq bo‘lgan
tasodifiy kattaliklar yig‘indisining qiymatlari taqsimot qonuni normal (Gauss)
taqsimot qonuniga bo‘ysunadi. Ushbu ta’rif ehtimollik nazariyasining markaziy
chegaraviy teoremasi deb ataladi.
Radiotexnik tizimlarda eng ko‘p tarqalgan xalaqitlardan biri bu fluktuatsion
shovqin – xalaqit hisoblanadi. Fluktuatsion xalaqit elektr hodisasining natijasi
bo‘lib, u radiotexnik zanjirga ko‘p sonli alohida-alohida kuchlanishlarning ta’siri
natijalari ulardagi o‘tish jarayoni sababli bir-biri bilan qo‘shilib yagona tasodifiy
ko‘rinishdagi xalaqitni keltirib chiqaradi.
Fluktuatsion xalaqitning o‘rtacha qiymati 𝑚𝑥 = 0 ligini e’tiborga olib
(11.10) ifodani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz.
formula orqali fluktuatsion xalaqitning sathi berilgan 𝑢0 ga teng yoki
kichiklik ehtimolligi hisoblanadi. formulada 𝜎^2 = 𝑃𝑥 bo‘lib, xalaqitning
o‘rtacha quvvatini anglatadi, bundan tashqari 𝜎𝑛 = √𝑃𝑥 = 𝑈𝑥𝑒 – xalaqitning
effektiv qiymati, 𝐹(𝑢) – funksiya ehtimollik integrali yoki Kramp funksiyasi
deb ataladi va u quyidagicha aniqlanadi:
Kramp funksiyasi – ehtimollik integralining qiymatlari maxsus jadvallarda
keltiriladi va u quyidagi xususiyatlarga ega:
- Kramp funksiyasi toq funksiya, ya’ni 𝐹(−𝑢) = −𝐹(𝑢);
- Kramp funksiyasi 𝐹(∞) = 1 va 𝐹(0) = 0.
Ehtimollik taqsimoti qonuni asosida xalaqitning qiymati ma’lum
chegaralardagi qiymatlarni olish ehtimolligini, qiymati berilgan sath 𝑢1 dan katta
𝑢2 dan kichikligi kabi ehtimolliklarni aniqlash mumkin.
ga Kramp funksiyasini qo‘yib quyidagini
aniqlaymiz:
Fluktuatsion xalaqit qiymati 𝑢0 dan kattaligi ehtimolligini hisoblash uchun
𝑢2 = ∞ va 𝑢1 = 𝑢0 qiymatlarni (11.15) ifodaga qo‘yish kerak, natijada quyidagini
olamiz:
formula asosida hisoblashlar shuni ko‘rsatadiki, fluktuatsion xalaqit
sathining bo‘sag‘aviy sath 𝑢0 dan katta bo‘lish ehtimolligi 𝑢0 kattalashgan sari
kichiklashib boradi. Misol uchun xalaqit sathi 𝑢0 = 1 dan katta bo‘lish ehtimolligi
0,16 ga teng; xalaqit sathi 𝑢0 = 3 dan katta bo‘lish ehtimolligi 0,0013 ga teng va
𝑢0 = 4 bo‘lgan holat uchun 3,5·10–5 va hakazo. Yuqoridagilardan ko‘rinadiki
fluktuatsion xalaqit sathi amalda 𝑢0 = 3 dan katta bo‘lmaydi. Odatda xalaqitning
eng katta qiymatini uning kichik qiymatiga nisbati 3,5...4,5 dan katta emas.
Shuning uchun fluktuatsion xalaqitni impulssimon xalaqitdan farqlash uchun tekis
xalaqit deb ham ataladi.
Oq shovqin – fluktuatsion xalaqitning spektri cheksiz keng bo‘lib
korrelyatsiya oralig‘i nolga intiladi. Oq shovqin haqidagi tushuncha ideallashgan
holat uchun bo‘lib, amalda esa chastota oshgan sari uning energetik spektri
kamayib boradi va korrelyatsiya oralig‘i ma’lum bir kattalikka ega bo‘ladi, ya’ni
∆𝜏 ≠ 0 . Yuqoridagi ideallashtirish xalaqitning korrelyatsiya oralig‘i u ta’sir
etayotgan radiotexnik zanjir vaqt davomiyligidan kichik bo‘lgan hol uchun o‘rinli
hisoblanadi. Bunday tizimlarning chastotalar o‘tkazish polosasida fluktuatsion
xalaqitning spektri tashkil etuvchilari bir xil taqsimlangan bo‘ladi.
Gauss shovqini.
Gauss shovqi (Gaussian noise) statistik shovqin turi boʻlib, har bir amplituda darajasining boshqa bir amplituda darajasiga mos ravishda tarqalgan normal (Gauss) distributsiya koʻrsatadi. Bu shovqin har bir amplituda qiymatining koʻrsatkichi uchun kichik, oʻrta va katta qiymatlarning oʻrtacha hisoblanishi natijasida paydo boʻlishi xususiyatiga ega. Gauss shovqi shuningdek "beyuz" shovqini yoki "normal" shovqini deb ham ataladi.
Gauss shovqi ma'lum bir o'lchovda (amplitudada) paydo bo'lan shovqinlar bilan solishtiriladi. Bunday shovqinlar har bir amplituda qiymatining ko'rsatkichi uchun oʻrtacha amplituda tashkil etadi.
Bu turiy shovqinning xususiyati, statistik tahlil, tashqi vaqtning burchagi, radio shovqinlar, va elektronika texnologiyalarda ishlatiladi. Misol uchun, optika va sensor sistemalarda paydo bo'lgan tashqi shovqinlar, ulardagi tashqi xatoliklarni modellashda foydalanish uchun gauss shovqi turlari ishlatiladi.
Gauss shovqini matematik formulasi esa quyidagicha:
Bu formuladan ko'rinib turibdiki, μ oʻrta qiymat (jumla markazi)ni, σ esa standart deviasiyani belgilaydi. Standart deviasiya katta bo'lganda, shovqin kengroq bo'ladi va amplitudalarning qisqasiga qisqacha bo'ladi.
Ishlatish sohalar:
Elektronika va Telekommunikatsiyalar: Elektronik qurilmalarda va kommunikatsiya texnologiyalarida chiqindi va dastlabki signalning arasidagi shovqinni modellashda foydalaniladi.
Optika: Optik sistemalarda chiqindi shovqinlarini modellash uchun ham foydalaniladi.
Statistika va Matematika: Statistik analizlar va matematik modellashtirishda foydalaniladi.Gauss shovqi, matematik, fizika, va injineriyada ampirologik modellashtirishni oʻrganish uchun keng foydalaniladi.
|