-§.Taqqoslamalar nazariyasining ayrim arifmеtik tadbiqlari

2.3-§.Taqqoslamalar nazariyasining ayrim arifmеtik tadbiqlari.
1.Bo’linish alomatlari .Butun sonlar to’plamiga tegishli ixtiyoriy va sonlari berilgan bo’lsin.Ko’p hollarda sonni songa bo’lishdan hosil bo’lgan eng kichik qoldiqni topish talab etiladi.Bu masalani hal etishning umumlashgan usulini dastlab fransuz matematigi B.Paskal ko’rsatgan edi. Biz hozir shu usulni o’nlik ,yuzlik va minglik sanoq sistemalari uchun bayon etamiz. Faraz qilaylik, natural son o’nlik sanoq sistemada berilgan bo’lsin. Unda bu sonni o’nning darajalari bo’yicha quyidagicha yozish mumkin.
modul bo’yicha son tegishli bo’lgan chegirmalar sinfining eng kichik absolyut chegirmasi ya’ni
bo’lsin.Unda sonini quyidagicha yozish mumkin :
(1)
Agar desak, (1) ushbu
Ko’rinishida bo’ladi.Shunday qilib, a soni undan kichik bo’lgan Rm soni bilan almashtiriladi.Boshqacha qilib aytganda, (1) taqqoslama o’nlik sistemada Paskalning bo’linishi (yoki teng qoldiqlilik) alomatini bildiradi.Agar Rm=0 bo’lsa a son m ga qoldiqsiz bo’linadi,agar Rm≠0 bo’lsa u holda r=Rm bo’ladi.
Bo'linish alomatini quyidagi ba'zi xususiy hollarini ko'rib o'tamiz:
bo’lsin.Biz ixtiyoriy natural sonning 9 ga bo’linish alomatini keltirib chiqaramiz.
Ushbu taqqoslamaning ikkala qismini darajaga ko’tarsak,
taqqoslama hosil bo’ladi.Bundan ko’rinadiki barcha lar 1 ga teng ekan.Unda quyidagi ko’rinishni oladi:
Bu esa o’rta maktabda bizga ma’lum bo’lgan alomatning o’zidir,yani berilgan sonning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linsa u holda bu natural son 9 ga bo’linadi
2. bo’lsin .U holda ga asosan
Tenglik o’rinli bo’ladi,ya’ni son 11ga bolinsa u holda berilgan son 11ga bolinadi.
1-misol. 3568921 sonni 11ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqni toping.
demak ,3568921 sonni 11ga bo’lganda qoladigan qoldiq 4 ga teng.
Faraz qilaylik, 10 soni m modul bo’yicha ᵟ korsatgichga ega bo’lsin. Unda ko’rsatgichning tarifiga asosan , bo’lgani uchun bo’lib, bo’ladi.yani qoldiqlar ta qadamdan so’ng takrorlanadi.U holda quyidagi ko’rinishni oladi:
Ma’lumki, ixtiyoriy sonni ixtiyoriy sanoq sistemasida yozish mumkin .Faraz qilaylik, sanoq sistemasining asosi bo’lib, bu asosga ko’ra sonning yoyilmasi
bo’lsin.
bo’lgani uchun (1) taqqoslama
ko’rinishini oladi.
Demak, 10 asosli sistemada berilgan sonning m ga bolinish alomati o’nlik sistemada berilgan sonning 9 ga bo’linish alomati kabi bo’lar ekan. Shuni alohida takidlash kerakki, berilgan a sonning 10 asos bo’yicha m ga bo’linish alomatini keltirib chiqarish uchun o’ngdan chapga qarab xonalrga ajratish lozim.
2-misol. a sonning 100 lik sistemada 11 ga bo’linish alomatini keltirib chiqaring.
Avvalo a ni yuzlik sistemada quyidagicha yozib olamiz:
Ammo 100k=1(mod11) bo’lganiuchun
Bo’lib, sonini yuzlik sistemada 11 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiq
3-misol.37modul bo’yicha 10soni 3 ko’rsatgichga tegishli,ya’ni bo;lgani uchun berilgan soni minglik sistemada
ko’rinishida yozilgan bo’lsa, u holda
Bo’lganidan minglik sistemada 37ga bo’linish alomati
Bo’ladi. a=83576289 sonini 1000 lik sistemada 37 ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqni toping.
Bo’lgani uchun qoldiq 23 ga teng.
Endi darajani bo’lishdan chiqqan qoldiqni hisoblaylik.
B o’lgani uchun ak daraja rk daraja bilan almashtiriladi.(r;m)=0 bo’lganda Eyler teoremasidan foydalanish maqsadga muvofiq. Haqiqatan (r;m)=1 bo’lganda
e ndi tenglikka asosan
ni yoza olamiz.
4-misol. 1277261 ni 28 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
B unda bo’lgani uchun
b o’lgani uchun bo’ladi.
a yniy taqqoslama olaylik. U holda
D emak, ya’ni 1277261 soni 28 ga bo’lganda chiqadigan qoldiq 13 bo’lar ekan.
Oddiy kasrni o’nlik kasrga aylantirishda hosil bo’ladigan davr uzunligini aniqlash.Ma’lumki,mahraj 2 va5ga bo’linmaydigan har qanday qisqarmaydigan kasrni o’nli kasrga aylantirganda ,bu o’nli kasr cheksiz davriy o’nli kasr bo’ladi.
1-ta’rif. O’nli kasrning butun qismi uning xarakteristikasi,kasr qismi esa mantissasi deyiladi. Agar o’nli kasrning mantissasi cheksiz bo’lib, unda ma’lum uzunlikdagi o’nli ulushlar takrorlanib kelsa,u holda bunday o’nli kasr davriy o’nli kasr,takrorlanadigan o’nli ulushlarning kichigi davr,bu davrdagi raqamlar soni davr uzunligi deyiladi.
2-ta’rif. Agar davriy kasrda davr bevosita verguldan keyin kelsa,u holda bunday kasr sof davriy kasr,agar vergul bilan davr orasida boshqa raqamlar bo’lsa,u holda bunday davriy kasr aralash davriy kasr deyiladi.
Har bir davriy o’nli kasrning davr uzunligini topish mumkin.Buning uchun quyidagi 2 holni b’lishi mumkin.
1-hol.qisqarmaydigan to’g’ri (aks holda kasrning butun qismini ajratib olgan bo’lardik) kasrning maxrajida 2va 5 kabi bo’luvchilar mavjud emas,ya’ni bo’lsin.
Quyidagi tengliklar ketma-ketligini qaraymiz:
…………… ………...
bo’lgani uchun bo’ladi.Quyidagi tasdiqlar rost bo’ladi:
……………………………………………
Shunday qilib (r;b)=1 ekaniga ishonch hosil qilamiz.Demak,turli ri=(i=1..n) lar b modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etadi. Ma’lumki, b modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi chegirmalar soni qadamdan so’ng barcha qoldiqlar va ular bilan birgalikda chala bo’linmalar yana takrorlana boshlaydi. raqamlar esa qisqarmaydigan kasrning davri deyilib,bu kasrning davr uzunligi dan katta bo’la olmaydi.
Davrdagi raqamlar sonini topish uchun (1) tengliklarni b modul bo’yicha quyidagi taqqoslamalarga almashtiramiz:
Bu taqqoslamalarni hadlab ko’paytiramiz, u holda
h osil bo’ladi. bo’lgani uchun oxirgi taqqoslamaning ikkala qismini ko’paytmaga bo’lib, ushbu taqqoslamani hosil qilamiz.
Aytaylik, 10 soni b modul bo’yicha m ko’rsatgichga tegishli bo’lsin.U holda son tegishli ko’rsatgichning ta’rifiga asosan, ushbu
10m=1(modb) (4)
taqqoslama o’rinli bo’ladi.(4) ga asosan (3) ni quyidagicha yozish mumkin:
a=rm(modb) (5)
M a’lumki, har biri b dan kichik bo’lgan 2 ta musbat son b modul bo’yicha teng qoldiqli bo’lishi uchun ular teng bo’lishi ya’ni bo’lishi lozim.
Demak, m ta qadamdan keyin qoldiqlar (va demak bo’linmalar ham)takrorlanib keladi:
m soni (5) taqqoslama o’rinli bo’lgan indekslarning eng kichigidir. Chunki m indeks b modul bo’yicha a soni tegishli bo’lgan ko’rsatgichdir. Tegishli ko’rsatgich esa uning ta’rifiga asosan (4) taqqoslamani qanoatlantiruvchi daraja ko’rsatgichlaridan eng kichigidir. Bundan m soni kasrning davr uzunligi ekan degan xulosaga kelamiz. Shunday qilib, (4) taqqoslama o’rinli bo’lganda kasr bo’lganda sof davriy kasrga yoyiladi, davrdagi raqamlar soni (davr uzunligi) faqatgina kasrning maxrajiga bo’g’liq. (1) dagi tengliklarning har ikki qismini b ga bo’lib,quyidagilarni hosil qilamiz:
Bu tengliklarga asosan,quidagi yoyilmaga ega bo’lamiz.
Lekin, Demak,
b o’lib, kasrning davri bo’ladi.Yuqoridagi tengliklar ketma-ketligi asosan ning davri ning davri umuman kasrning davri bo’lishiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, 10 soni b modul bo’yicha m ko’rsatgichga tegishli bo’lsa kasrlar sof davriy kasrlar bo’lib,ular bir-biridan davrdagi raqamlarning siklik almashib kelishi bilan farq qiladi.
5-misol. kasrni o’nli kasrga aylantirib, uning davr uzunligini toping.
1 0 soni 37 modul bo’yicha 3 ko’rsatgichga tegishli ekanini biz bilamiz.boshqacha aytganda Demak ,yuqoridagi kasrning davri 3 ta raqamdan tashkil topadi.Hozir shu raqamlarni topamiz.
Tengliklarga asosan,
Agar 10soni modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lsa, bo’ladi.U holda o’nli kasrning davrdagi raqamlar soni ga teng.Lekin boshlang’ich ildiz har qanday sonlar uchunmavjud bo’lavermasligini biz ko’rib o’tgan edik.
Aytaylik,10 soni modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lmasin. Unda 10soni tegishli bo’lgan ko’rsatgich dan kichik bo’ladi.bunday holda kabi tenglikni yoza olamiz.Demak,suratlari 1dan gacha bo’lgan sonlarni qabul qiluvchi,maxrajlari esa ga teng bo’lgan kasrlar to’plami ta kasr lar sistemasiga ajralar ekan. Bu kasrlar sistemasini biz quyidagicha yozib olamiz:
Bunda har bir yo’ldagi kasrlarning davri biri ikkinchisidan faqatgina raqamlarning siklik almashinishi bilan farq qilishini biz yuqorida ko’rib o’tgan edik. Aytaylik, bo’lsin.U holda ikkinchi yo’l kasrlari hosil bo’lib,ularning davri ham ga teng bo’ladi. va lardan farqli biror ni olsak,uchinchi kasrlar sistemasi hosil bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, biz ta kasrlar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu aytilgan fikrlarni yuqoridagi misolga qo’llab qaraylik: bo’lib, ekanidan 12ta kasrlar sistemasiga ega bo’lamiz.
Haqiqatan,5,13,19larga teng bo’lmagan biror sonni,masalan, 2 ni olaylik, u holda
Tengliklarga asosan, sistemasiga ega bo’lamiz. Qolgan kasrlar sistemalari mos ravishda quydagicha bo’ladi:
Shuni alohida eslatib o’tish lozimki,turli kasrlar sistemasining davri biri ikkinchisidan sikli almashtirish yordamida hosil bo’lmaydi. Agar to’g’ri kasrning maxraji berilgan bo’lsa, bu kasrga bukasrga teng bo’lgan o’nli kasrning davr uzunliginiindekslar yordamida topish mumkin.Buni quyidagi misolda ko’rib o’tamiz:
6-misol. Maxraji bo’lgan qisqarmas kasrning o’nli kasrga aylantirganda hsil bo’lgan kasrning davr uzunligini toping. Tegishli ko’rsatgichning ta’rifiga binoan,bu ko’rsatgich
t aqqoslamani qanoatlantiruvchi ko’rsatgichning eng kichigidir.Bu taqqoslamani indekslar yordamida yechamiz:bo’lgani uchun Oxirgi taqqoslamani qanoatlantiruvchi eng kichik musbat son x=5 dir. Demak, maxraji 41 ga teng bo’lgan qiaqarmas kasrlarning davr uzunligi 5ga teng.
2-hol.Qirqarmaydigan kasr maxrajining kanonik yoyilmasida 2 yoki5 qatnashsin, ya’ni bo’lmay, balki bo’lsin. Bu yerda bo’lishi . va larning eng kattasini deb belgilaylik.
Quyidagi nisbatni qaraylik:
Endi bo’lgani uchun qiaqarmas kasrni o’nli kasrga aylantirish mumkin. U holda quyidagi tenglik hosil bo’ladi:
Bundan kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bu yerda . Demak, ekan. Shunday qilib, bo’lganda
kasrni o’nli kasrga aylantirganda aralash davriy kasr hosil bo’lib, uning uzunligi 10 soni modul bo’yicha tegishli bo’lgan ko’rsatkichga teng bo’ladi. Verguldan keyingi davrgacha raqamlar soni esa orqali aniqlanadi.
XULOSA
Ushbu kurs ishi kirish, 5 ta paragraf xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Kirish qismida pedagoglarni tayyorlash, matematikani rivojlantirish haqidagi prezidentimiz Shavkat Mirziyoyevning qonunlar haqida ma’lumotlar va kurs ishini yozishdan asosiy maqsad, uning dolzarbligi, mavzuning ahamiyati haqida mulohazalar yuritilgan.
Tub modul bo'yicha Lejandr vaYakobi simvollari haqida so’z borgan. Kurs ishini tayyorlashda ta’lim bosqichlari orasidagi izchillikka va ta’limning kasbiy yo‘nalganlik tamoyillariga, hamda ustozlarning qo’llanma kitoblariga asoslangan holda tayyorlandi. Kurs ishining tuzilishi, mavzularning tanlanishi mana shu tajribalar natijasi bo‘lib, shuningdek, shu paytgacha o‘zbek tilida mavjud bo‘lgan darslik va o‘quv qo‘llanmalardan, horijiy davlatlarda chop etilgan yangi adabiyotlardan ijobiy foydalanildi. Foydalanilgan adabiyotlardagi atamalar, tushunchalar va belgilashlarni saqlab qolishga harakat qilindi. Nazariy va qisman amaliy materiallarni mukammal o‘zlashtirishni ta’minlash maqsadida har bir bob so‘ngida amaliy misollar yechimlari berildi. Kurs ishida teorema, ta’rif, misol, formulalar har bir paragraph bo‘yicha, tenglamalar har bir bo‘lim uchun alohida nomerlangan.
|