§. Klassik tengsizliklarni isbotlashda trans-tengsizlikni qo’llash

§. Klassik tengsizliklarni isbotlashda trans-tengsizlikni qo’llash.
Barcha
a
1
, ...,
a
n
sonlar uchun (1) tengsizlikning muhim xususiy hollarini ta’kidlab
o’tamiz:
1
2
1
2
...
n
n
b
b
b
n
a
a
a
+
+ +
≥
(4)
(5)
2
2
2
1
2
1 1
2 2
...
...
n
a
a
a
a b
a b
a b
+
+ +
≥
+
+ +
n n
bu yerda
-
ixtiyoriy natural son , (
b
n
1
, ...,
b
n
)
–
a
1
,
a
2
, …,
a
n
sonlarning ixtiyoriy o’rin
almashtirishi.
1-misol
(O’rta qiymatlar haqidagi Koshi tengsizligi).
x
1
, x
2
,…, x
n
musbat sonlar uchun
1
2
...
n
x
x
x
n
+
+ +
≥
1 2
...
n
n
x x
x
,
tengsizlik o’rinli, shu bilan birga tenglik
x
1
= x
2
=…= x
n
bo’lgandagina bajariladi.
Yechilishi.
G =
1 2
...
n
n
x x
x
, a
1
=
1
x
G
, a
2
=
1 2
2
x x
G
, …, a
n
=
1 2
...
1
n
n
x x
x
G
=
bo’lsin.
(4) tengsizlikka binoan
1
2
...
n
x
x
x
n
+
+ +
≥
G
tengsizlikka teng ekvivalent bo’lgan ushbu
1
2
1
1
...
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
−
≤
+
+ +
=
1
2
...
n
x
x
x
G
G
G
+
+ +
tengsizlikka egamiz. Tenglik bajarilishi uchun
a
1
= a
2
=…= a
n
ya’ni
x
1
= x
2
=…= x
n
bo’lishi zarur va etarli.
2-misol.
( O’rta geometrik va o’rta garmonik qiymatlar orasidagi tengsizlik)
x
1
, x
2
,…, x
n
musbat sonlar uchun
27
1 2
...
n
n
x x
x
≥
1
1
1
2
...
n
n
1
x
x
x
−
−
−
+
+ +
tengsizlik o’rinli, shu bilan birga tenglik
x
1
= x
2
=…= x
n
bo’lgandagina bajariladi.
Yechilishi.
Oldingi misoldagi
G, a
1
, a
2
, …, a
n
sonlarni qaraymiz.
(4) tengsizlikka binoan
1
1
1
2
...
n
n
1
x
x
x
−
−
−
+
+ +
≤
G
tengsizlikka teng ekvivalent bo’lgan ushbu
1
2
2
3
...
n
a
a
a
n
a
a
a
≤
+
+ +
1
=
1
2
...
n
G
G
G
x
x
x
+
+ +
tengsizlikka egamiz.
Tenglik bajarilishi uchun
a
1
= a
2
=…= a
n
ya’ni
x
1
= x
2
=…= x
n
bo’lishi zarur va etarli.
3-misol.
( O’rta kvadratik va o’rta arifmetik qiymatlar orasidagi tengsizlik)
Ixtiyoriy
x
1
, x
2
,…, x
n
sonlar uchun
2
2
1
2
...
n
2
x
x
x
n
+
+ +
≥
1
2
...
n
x
x
x
n
+
+ +
,
tengsizlik o’rinli, shu bilan birga tenglik
x
1
= x
2
=…= x
n
bo’lgandagina bajariladi.
Yechilishi.
(5) tengsizlikka ko’ra
2
2
1
2
...
n
2
x
x
x
+
+ +
≥
1 2
2 3
1
...
n
x x
x x
x x
+
+ +
2
2
1
2
...
n
2
x
x
x
+
+ +
≥
1 3
2 4
2
...
n
x x
x x
x x
+
+ +
…………………………………………….
2
2
1
2
...
n
2
x
x
x
+
+ +
≥
1
2 1
...
n
n
x x
x x
x x
−
1
n
+
+ +
munosabatlarga ega bo’lamiz.
28
Bu tengsizliklarni barchasini
2
2
2
1
2
...
n
x
x
x
+
+ +
2
2
2
1
2
...
n
=
x
x
x
+
+ +
n
n x
x
x
+
+ +
2
1
2
(
...
)
n
tenglik bilan qo’shib, natijada
2
2
2
1
2
(
...
)
≥
x
x
x
+
+ +
n n
a b
a b
a b
+
+ +
2
2
1
2
...
)
n
a
a
a
+
+ +
2
2
2
1
2
(
...
)
n
b
b
b
+
+ +
n
tengsizlikni hosil qilamiz.
4-misol.
(Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligi)
n
sondan iborat ikkita
a
1
,
a
2
, …,
a
n
,
b
1
,
b
2
, ... ,
b
n
ketma-ketlik berilgan
bo’lsin. U holda
2
1 1
2 2
(
...
)
≤
(
2
tengsizlik o’rinli. Tenglik biror o’zgarmas
k
son uchun
,
bo’lgandagina bajariladi.
,
1,2,...,
i
i
a
kb i
=
=
Yechilishi.
Agar
a
1
=
a
2
= …=
a
n
= 0 yoki
b
1
=
b
2
= …=
b
n
= 0 bo’lsa, u holda
tengsizlik bajariladi. Shuning uchun
2
2
1
2
...
n
2
P
a
a
a
=
+
+ +
,
2
2
1
2
...
n
Q
b
b
b
2
=
+
+ +
sonlarni noldan farqli deb hisoblaymiz.
Quyidagicha aniqlangan
x
1
, x
2
,…, x
2n
ketma-ketlikni qaraymiz:
,
,
i
i
i
n i
a
b
x
x
P
Q
+
=
=
1, 2,...,
i
n
=
.
U holda
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
...
...
2
n
n
a
a
a
b
b
b
P
Q
+
+ +
+
+ +
=
+
2
2
=
2
2
1
2
2
...
n
x
x
x
+
+ +
ga egamiz.
(5) tengsizlikka ko’ra
2
2
1
2
...
n
2
2
x
x
x
+
+ +
≥
1
1
2
2
2
1 1
2 2
2
...
...
n
n
n
n
n
n
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+
+
+
+
n n
+
+ +
+
+
+ +
=
1 1
2 2
2(
...
)
n n
a b
a b
a b
PQ
+
+ +
=
29
ga egamiz. Natijada
1
≥
1 1
2 2
...
n n
a b
a b
a b
PQ
+
+ +
tengsizlikni hosil qilamiz.
Eslatib o’tamiz, tenglik
,
1, 2,...,
i
i
P
a
b i
Q
=
=
n
n
, shart bajarilganda bo’ladi. Bu
shart esa
shartiga ekvivalent.
,
i
n i
x
x
+
=
1, 2,...,
i
=
5-misol.
(Chebishev tengsizligi).
n
sondan iborat ikkita
a
1
,
a
2
, …,
a
n
,
b
1
,
b
2
, ... ,
b
n
ketma-ketliklar berilgan
bo’lsin. Faraz qilamiz
a
1
≥
a
2
≥
...
≥
a
n
shart bajarilsin.
U holda
a)
n
a
a
a
n
+
+
+
...
2
1
⋅
n
b
b
b
n
+
+
+
...
2
1
≤
n
b
a
b
a
b
a
n
n
+
+
+
...
2
2
1
1
, agar
b
1
≥
b
2
≥
...
≥
b
n
b)
n
a
a
a
n
+
+
+
...
2
1
⋅
n
b
b
b
n
+
+
+
...
2
1
≥
n
b
a
b
a
b
a
n
n
+
+
+
...
2
2
1
1
, agar
b
1
≤
b
2
≤
...
≤
b
n
Isbot.
a) (5) tengsizlikka ko’ra
1 1
2 2
...
n n
a b
a b
a b
+
+ +
=
1 1
2 2
...
n n
a b
a b
a b
+
+ +
1 1
2 2
...
n n
a b
a b
a b
+
+ +
≥
1 2
2 3
1
...
n
a b
a b
a b
+
+ +
1 1
2 2
...
n n
a b
a b
a b
+
+ +
≥
1 3
2 4
2
...
n
a b
a b
a b
+
+ +
…………………………………………….
1 1
2 2
...
n n
a b
a b
a b
+
+ +
≥
1
n
1
2 1
...
n
n
a b
a b
a b
−
+
+ +
munosabatlarga egamiz, ularni qo’shib
1 1
2 2
(
...
)
n n
n a b
a b
a b
+
+ +
1
2
...
)
n
a
a
a
+
+ +
)
≥
(
⋅
1
2
(
...
n
b b
b
+ + +
yoki
n
a
a
a
n
+
+
+
...
2
1
⋅
n
b
b
b
n
+
+
+
...
2
1
≤
n
b
a
b
a
b
a
n
n
+
+
+
...
2
2
1
1
30
ni hosil qilamiz.
b) holi shunga o’xshash isbotlanadi.
31
|