-ta’rif - Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari

l
inf D( ) bo‘lsa, u holda
effyektiv baho dyeb ataladi.
i
Umuman olganda, effyektiv baho mavjud bo‘lmasligi ham mumkin.
i
2.4.4-ta’rif. Agar , (i 1, 2,...)
baholar va
noma’lum
M ( (x , x ,..., x ) )2
paramyetrlar uchun
lim
1 2 n
1 munosabat o‘rinli bo‘lsa,
n inf M ( ( x , x ,..., x ) ) 2
i
u holda baho asimptotik effyektiv baho dyeb ataladi.
Juda katta hajmli ( n yetarlicha katta bo‘lganida) tanlanmalar qaralganda statistik baholarga asoslilik talabi qo‘yiladi.
2.4.5-ta’rif. Asosli baho dyeb baholanayotgan paramyetrga
n
da ehtimol bo‘yicha yaqinlashadigan bahoga aytiladi, ya’ni
lim P
n
0 , bu yerda 0 –yetarli darajada kichik son.
Agar bahoning dispyersiyasi baho asosli ham bo‘ladi.
n
da nolga intilsa, u holda bunday
Agar N
hajmli bosh to‘plamning mumkin bo‘lgan
x1, x2 ,..., xN -
qiymatlari turli bo‘lsa, xB -bosh to‘plam o‘rtachasi
x x1 x2 ... xN 1 N x
(1)
B N N
i
i1
x1, x2 ,..., xk -qiymatlari mos ravishda
N1, N2 ,..., Nk
chastotalarga ega bo‘lib,
N1 N2 ... Nk N bo‘lsa:
x x1 N1 x2 N2 ... xk Nk 1 k
x N . (2)
B N N
i i
i1
Bosh to‘plamning kuzatilayotgan X byelgisini tasodifiy miqdor
sifatida qarasak, uning matyematik kutilmasi uchun o‘rinli bo‘ladi.
M ( X ) xB
tyenglik
Agar
turli bo‘lsa,
n hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan
xT -tanlanma o‘rtacha
x1, x2 ,..., xn -qiymatlari
T
i
x x1 x2 ... xn 1 n x
n n i1
(3)
formula bilan topiladi; agar n hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan
x1, x2 ,..., xk -qiymatlari mos ravishda
n1, n2 ,..., nk
chastotalarga ega bo‘lib,
n1 n2 ... nk n bo‘lsa:
x x1n1 x2n2 ... xk nk
1 k
x n . (4)
T n n
i i
i1
x x1 x2 ... xn 1 n x
yoki
x x1n1 x2n2 ... xk nk
1 k x n
i i
T n n
i T
i1
n n i1
-tanlanma o‘rtacha qabul qilinadi. xT siljimagan baho
ekanligiga, ya’ni
M (xT ) M ( X )
ekanligiga ishonch hosil qilamiz. xT ni
XT -tasodifiy miqdor, x1, x2 ,..., xn -variantalarni erkli, bir xil taqsimlangan
X1, X2 ,..., Xn
tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu miqdorlar bir xil
taqsimlanganligi uchun ular bir xil son xaraktyeristikalarga, jumladan bir
xil matyematik kutilmaga ega: a M (Xi ) . Bir xil taqsimlangan tasodifiy
miqdorlar arifmyetik o‘rtacha qiymatining matyematik kutilmasi ulardan bittasining matyematik kutilmasiga tyeng, ya’ni
M ( X
) M X1 X 2 ... Xn nM ( X1) M ( X ) a .
T n n 1
X1, X2 ,..., Xn
miqdorlarning har biri va bosh to‘plamning X
byelgisi (uni ham tasodifiy miqdor sifatida qaraymiz) bir xil taqsimotga ega ekanligini e’tiborga oladigan bo‘lsak, bu miqdorlarning va bosh to‘plamning sonli xaraktyeristikalari bir
xil dyegan xulosaga kyelamiz. Shunday qilib,
M ( XT ) a M ( X ) .
U holda xT bosh to‘plam matyematik kutilmasi uchun siljimagan
baho ekan.
Ma’lumki, katta sonlar qonuniga (Chyebishyev tyeoryemasi)asosan
ixtiyoriy kichik
0 son uchun
lim P
n
n
a 1 ,
T
ya’ni n
ortishi bilan
xT -tanlanma o‘rtachasi bosh to‘plam matyematik
kutilmasiga ehtimol bo‘yicha yaqinlashadi. Bundan esa, xT
uchun asosli baho bo‘lishi kyelib chiqadi.
baho a
Agar bosh to‘plamdan ancha katta hajmli bir nyechta tanlanmalar olinib har birining tanlanma o‘rtachalari topiladigan bo‘lsa, ular o‘zaro taqriban tyeng bo‘ladi. Bu tanlanma o‘rtachaning turg‘unlik xossasi dyeyiladi.
Agar N
hajmli bosh to‘plamning mumkin bo‘lgan
x1, x2 ,..., xN -
qiymatlari turli bo‘lsa, bosh to‘plam dispyersiyasi
D( X ) D
1 N
(x x )2
(5)
i B
B
N
i1
formula bilan topiladi; agar N hajmli bosh to‘plamning mumkin bo‘lgan
x1, x2 ,..., xk -qiymatlari mos ravishda
N1, N2 ,..., Nk
chastotalarga ega bo‘lib,
N1 N2 ... Nk N bo‘lsa:
D 1 k
B
N ( x x
)2 . (6)
N i1
i i B
Bosh to‘plam o‘rtacha kvadratik chyetlanishi
( X ) B
formula bilan aniqlanadi.
(7)
Agar n
hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan
x1, x2 ,..., xn -qiymatlari
turli bo‘lsa, tanlanma dispyersiyasi
D( x) D
1 n
(x x )2
(8)
i T
T
n
i1
formula bilan topiladi; agar n hajmli tanlanmaning mumkin bo‘lgan
x1, x2 ,..., xk -qiymatlari mos ravishda
n1, n2 ,..., nk
chastotalarga ega bo‘lib,
n1 n2 ... nk n
bo‘lsa:
T
D
1 n
n (x x
)2 . (9)
n i1
i i T
2.4.6-misol. Tanlanmaning
xi : 4 8 11
ni : 5 10 5
statistik taqsimoti bo‘yicha uning dispyersiyasini toping.
Yechilishi. (4) formuladan foydalansak: xT 7, 75 . Dispyersiyani
hisoblash uchun (9) formuladan foydalanamiz. U holda
5(4 7, 75) 2 10 (8 7, 75) 2 5 (11 7, 75) 2 70,3125 0, 625 70,3125
DT 7, 0625 .
20 20
Dispyersiyani hisoblashda (5), (6), (8), (9) formulalar noqulay, shu sababli, dispyersiya va matyematik kutilmalarning xossalaridan foydalanib, dispyersiyani hisoblash uchun qulay bo‘lgan quyidagi formulani kyeltirib chiqarish mumkin:
n x n x2
D x2 x2 ,
i i i i
x i , x2 i . (10)
n n
Bosh to‘plam dispyersiyasi uchun baho sifatida tanlanma
dispyersiyasi
D 1 n ( x x ) 2
T
qanday baho bo‘lishini ko‘rib chiqamiz.
n
i T
1 B
i1
Qulaylik uchun
m M (X ) ,
2 D
byelgilashlar kiritib olamiz.
n
2 1 n
x x
2 1 n
x m (x
m)2 1 n
(x m)2
n
i T
i1
i T
i1
i
n
i1
n
n
n
2 ( x m) 2 ( x m) n ( x
m) 2 1 n ( x m) 2
i
T i T
i1
n i1
2 (x m)(x m)n (x
m)2 1 n (x m)2 (x
m)2.
n
n T T T
i T
i1
Agar
M (x m)2 D(x ) 1 2
byelgilashni e’tiborga olsak,
T T n 1
M ( 2 ) 1 M n ( x m) 2 M ( x
i
m) 2 2 1 2 n 1 2 .
T
n i1
1 n 1 n 1
Dyemak, tanlanma dispyersiyasi- DT bosh to‘plam dispyersiyasi DB
uchun siljimagan baho bo‘lolmas ekan, shu sababli, bosh to‘plam dis- pyersiyasi uchun siljimagan statistik baho sifatida
s2 n D
(11)
-“tuzatilgan” dispyersiya olinadi.
n 1 T
Bosh to‘plam o‘rtacha kvadratik chyetlanishining bahosi sifatida
s - “tuzatilgan” o‘rtacha kvadratik chyetlanish olinadi.
Shuni alohida ta’kidlash kyeraki, s siljimagan baho bo‘la
olmaydi, shuning uchun uni “tuzatilgan” o‘rtacha kvadratik chyetlanish dyeb ataymiz.
2.4.7-eslatma. D
1 n
n (x x )2 va
s2 1 n
n (x x )2
formulalar
T
n i1
i i T
n 1
i1
i i T
maxrajlari bilan farqlanadi. U holda n ning katta qiymatlarida tanlanma
dispyersiyasi va “tuzatilgan” dispyersiyalarning farqi juda kam bo‘ladi.
Shu sababli, “tuzatilgan” dispyersiyadan foydalanish tavsiya etiladi.
n 30
hajmli tanlanmalarda
2.4.8-eslatma. Agar tanlanmaning variatsion qatorida variantalarning qiymatlari katta sonlardan iborat bo‘lsa, u holda
xi -
xi
variantadan
u xi c1 -shartli variantaga o‘tish orqali
i
c2
ui -variantalari
kichik sonlardan iborat yangi variatsion qator hosil qilinadi, so‘ngra
yangi tanlanma uchun uT va
DT (u)
lar topiladi. Oldingi tanlanmaning
x , D
( x)
xaraktyeristikalarini topish uchun
c u c
va D
( x) c2D
( u)
T T
formulalardan foydalaniladi.
T 2 T 1
T 2 T
Matyematik statistika va uning tatbiqlarida variatsion qatorning tanlanma o‘rtachasi va tanlanma dispyersiyasidan tashqari boshka xaraktyeristikalari ham ishlatiladi. Shulardan ba’zilarini kyeltiramiz.
Eng katta chastotaga ega bo‘lgan varianta moda dyeb ataladi va M0
kabi byelgilanadi.
Myediana dyeb, variatsion qator variantalarini son jihatidan tyeng
ikki qismga ajratadigan variantaga aytiladi va Me kabi byelgilanadi.
Variantalar sonining juft yoki toqligiga karab, myediana quyidagicha aniqlanadi.
|