VLNOVÉ VLASTNOSTI ČASTÍC - 1 elementárna kvantová mechanika

1.6 VLNOVÉ VLASTNOSTI ČASTÍC
Jedným z rozhodujúcich momentov pri vzniku súčasnej kvantovej mechaniky bola de Broglieho hypotéza (1924) o vlnových vlastnostiach častíc. Podľa nej častici s energiou E a hybnosťou p priraďujeme rovinnú vlnu, charakterizovanú kruhovou frekvenciou a vlnovým vektorom k, pričom
Tieto vzťahy sú formálne analogické vzťahom (5.2) platným pre fotóny rovinnej elektromagnetickej vlny. Vzťahy (1) platia iba pre voľnú časticu. Ak sa častica pohybuje v silovom poli (napríklad elektrón v atóme vodíka), priradenie vlny
k tomuto pohybu častice je oveľa komplikovanejšie a analýza tejto otázky (spolu s tým ako treba interpretovať toto priradenie vlny častici) tvorí podstatnú časť náplne našej knihy. K tejto problematike sa ešte vrátime viac ráz, no na úvod nám zatiaľ stačí prípad voľnej častice.
Pozrime sa najprv na niekoľko bezprostredných dôsledkov de Broglieho hypotézy. Pri hľadaní prejavov predpokladanej vlnovej povahy častíc musíme hľadať typické vlastnosti vĺn ako sú interferencia a difrakcia. Keby sme sa totiž hlbšie zamysleli nad tým, čo to je „vlna“ z hľadiska klasickej fyziky, prišli by sme asi k tomu, že je to niečo schopné interferencie (difrakcia je jej špeciálnym prípadom). Najprv si však musíme urobiť konkrétnejšiu predstavu o typických vlnových dĺžkach elektrónov. Napríklad elektrón urýchlený napätím U = 10 kV získa kinetickú energiu
a podľa vzťahu (1) mu teda prislúcha vlna s vlnovou dĺžkou
Tu vidno dôvod, prečo sa pri elektrónovom lúči v obrazovke televízora (čo je približne situácia odpovedajúca takto urýchleným elektrónom) nemôžu prejaviť vlnové vlastnosti elektrónov. Rozmery elektród v obrazovkách sú totiž rádovo podstatne väčšie ako nájdená vlnová dĺžka. Pre elektróny urýchlené napätiami niekoľko sto voltov máme vlnové dĺžky elektrónov v oblasti 10−10 m a pre takéto elektróny príroda poskytuje priestorové štruktúry tej istej veličiny – kryštály,
v ktorých sú medziatómové vzdialenosti tiež rádovo 10−10 m. Ak necháme elektrónový lúč dopadať na vhodný monokryštál, lúč sa rozptýli (obr. 1.4). Podľa klasickej fyziky by sme očakávali málo pravidelností v smeroch rozptýlených elektrónov. Ako však ukázali pokusy Davissona a Germera (1927) intenzita rozptýleného zväzku závisí veľmi silne od smeru. V krivke uvádzajúcej závislosť intenzity rozptýleného zväzku od uhla rozptylu sa pozorovali výrazné maximá a minimá
a ich poloha navyše závisela od energie dopadajúceho zväzku.11
De Broglieho hypotéza prirodzene vysvetľuje pozorované zákonitostí v intenzitách rozptýlených elektrónov ako dôsledok interferencie de Broglieho vĺn odrazených od jednotlivých atómov v kryštáli. V uhlovom rozložení rozptýlených elektrónov je potom prirodzené očakávať typické interferenčné maximá a minimá. Interferenčný obraz závisí aj od dĺžky vĺn. Táto zas podľa vzťahu = 2ħ/p závisí od hybnosti, a teda od energie dopadajúcich elektrónov, a preto je aj poloha pozorovaných maxím a miním závislá od energie primárneho elektrónového zväzku.
Matematický opis interferencie de Broglieho vĺn odrazených od monokryštálu je pomerne komplikovaný. Dobrým priblížením k situácii v experimentoch Davissona a Germera je uvažovať rozptyl de Broglieho vlny na povrchovej vrstve atómov. Pre rovinnú vlnu dopadajúcu kolmo na rovinu atómov je táto zjednodušená situácia znázornená na obr. 1.5. Dráhový rozdiel lúčov l a 2 (pozri obr. 1.5) je = d cos . Interferenčné maximá de Broglieho vĺn očakávame v smeroch, pre ktoré platí
d cos = n (2)
Obr. 1.4 Obr. 1.5
Experimenty Davissona a Germera ukázali, že elektróny sa od povrchu monokryštálu odrážajú najčastejšie v smeroch daných podmienkou (2). Na to, aby sme odtiaľ mohli usúdiť, že experiment potvrdzuje de Broglieho hypotézu, musíme ešte postulovať istú koreláciu medzi intenzitou de Broglieho vlny a výskytom elektrónu. V kvalitatívnej formulácii tento postulát hovorí, že elektróny sa budú často vyskytovať v miestach, kde je intenzita de Broglieho vlny veľká a zriedkavo v miestach, kde je táto intenzita malá. K podrobnejšej diskusii tejto korelácie sa vrátime v článku 1.11.
Ak poznáme vzdialenosť atómov v monokryštáli (napríklad z röntgenoštruktúrnej analýzy použitého kryštálu), potom porovnaním experimentálnych výsledkov pre polohy maxím možno podľa vzťahu (2) určiť vlnovú dĺžku a menením energie dopadajúceho zväzku môžeme určiť aj závislosť od energie. Pokusy Davissona a Germera tak umožňujú priamo testovať správnosť de Broglieho vzťahov. Výsledky týchto a mnohých ďalších experimentov študujúcich vlnové vlastnosti častíc boli vždy vo veľmi dobrej zhode s predpoveďami vyplývajúcimi
z de Broglieho vzťahov.
|