Kvázistacionárius áram - Elektrodinamika bsc ci laTeX

5. 5 Kvázistacionárius áram
Az elnevezés azt takarja, hogy míg a harmadik Maxwell-egyenletben megtartjuk a mágneses indukció vektor időderiváltját, az elsőben az elektromos térerősség időderiváltját az áramsűrűség mellett elhanyagoljuk. Mikor jelent ez jó közelítést? Az elektrotechnikában gyakori a vezetőben folyó, időben periodikusan változó áram, , . Ekkor , . E két mennyiség egy periódusra vett átlagának hányadosa, a gyakorlatban előforduló frekvenciáknál nagy, tehát . A kvázistacionárius áram differenciális egyenletei:
az Ohm-törvény: .
Először az indukció jelenségével foglalkozunk. Rögzített görbe és felület esetén a harmadik Maxwell-egyenlet:
a rögzített felületen átmenő mágneses fluxus.
Az indukált feszültség (elektromotoros erő) definíciója a következő: a töltésegységre ható erő érintő irányú komponensének tetszőleges zárt görbére vett körintegrálja, azaz a töltésegységen végzett munka. Fontos megjegyezni, hogy vezető jelenlétére nincs szükség.
Nyugalmi indukcióról beszélünk, ha a mágneses fluxus csak B változása miatt változik, a zárt görbe és a felület rögzített. Ekkor az időben változó mágneses tér kelt elektromos teret, ez mozgatja a töltést, így az indukált feszültség, .
A mozgási indukciót egy egyszerű példával szemléltetjük. Képzeljünk el egy téglalap határait alkotó keretet, amelynek három oldala rögzített, a negyedik hosszúságú oldal a rá merőleges két oldal meghosszabbításán állandó sebességgel mozog, e két oldal hosszúsága
változik. A téglalap síkjára merőleges B állandó, mágneses tér van jelen, elektromos tér nincs. A keretben gondolatban mozgatott töltésre (nem áramról van szó!) a Lorentz-erő hat. A rögzített szakaszokon való mozgásnál a töltés sebessége a szakaszokkal párhuzamos, érintő irányú, ezért a Lorentz-erőnek nincs érintő irányú komponense. A sebességgel mozgó szakaszon a töltés szakasszal párhuzamos sebessége az előzőekhez hasonlóan nem ad járulékot, a szakaszra merőleges sebesség igen, a Lorentz-erő érintő irányú komponensének nagysága VB. Az indukált feszültség
A előjel Lenz-törvény néven ismeretes, a levezetés során azért lép fel, mert a körüljárás iránya a jobbkéz szabály szerint megszabja a felület normálisának, így a f vektornak irányát.
Az, hogy a mozgási indukció e speciális példáján az indukált feszültség a nyugalmi indukciónál kapottal megegyezik, nem véletlen. Az indukált feszültséget úgy is definiálhattuk volna, hogy az elektromos térerősség érintő irányú komponensének tetszőleges zárt görbére vett integrálja a görbével együtt mozgó rendszerben. A bemutatott példában a speciális relativitáselmélet Lorenz-transzformációjának segítségével ki kellett volna számítani, hogy a szakasszal együtt mozgó rendszerben mekkora az elektromos térerősség, ennek integrálja a fenti eredményt adta volna.
A lineáris vezetőkből álló hálózatokra vonatkozó Kirchoff- törvények közül az első változatlan, a második az indukcióval bővül. A -ik (térben rögzített) áramhurokra felírt harmadik Maxwell-egyenletet az Ohm-törvény és a B rot A egyenlőség felhasználásával átalakítjuk:
Behelyettesítjük ide a egyenlet megoldását. Feltételezzük, hogy nincs külső mágneses tér (csak az, amit az áramok létrehoznak), és hogy , ismert. Az eredmény a következő:
a hálózat geometriájától függő kölcsönös indukciós együttható. Ha , akkor a kifejezés értelmetlen, ennek oka a lineáris vezető feltevés, a vektorpotenciálkifejezésében meg kell tartani a térfogati integrálást. Az önidukciós együttható, .
Ha az áramkörben kondenzátor is van, akkor annak fegyverzetei között az Ohm-törvény helyett , a kondenzátor töltése, a kapacitása. Egy áramkörre az másodrendű differenciálegyenlet adódik, ennek megoldásához két kezdeti feltételre van szükség. Honnan vesszük a kezdeti feltételeket?
Tapasztalati tény, hogy semmilyen fizikai tér, így E és B sem képes ugrásszerűen megváltozni. Ezért a kondenzátor feszültsége, , és az indukciós tekercs fluxusa, is csak folytonosan változhat. Utóbbi, ha nincs több tekercs pl. közös vasmagra tekercselve, azaz nem közösen hozzák létre a fluxust, az áramerősség folytonosságát jelenti, mert ebben az esetben LI.
|