Kompleks sonlar haqida tushuncha

Yer - Quyosh sistemasidagi Quyoshdan uzoqligi jihatdan uchinchi (Merkuriy, Venera sayyoralaridan keyin) sayyora. U oʻz oʻqi atrofida va aylanaga juda yaqin boʻlgan elliptik orbita boʻyicha Quyosh atrofida aylanib turadi.
a – kompleks sonning haqiqiy qismi, bi – mavhum qismi deyiladi. Faqat mavhum qismining ishorasi bilan farq qiladigan ikki kompleks son: a bi va a-bi o’zaro qo’shma deyiladi. Ko’pincha a bi kompleks son bitta α harfi bilan belgilanadi: α=a bi. a bi kompleks sonning haqiqiy qismi a=Reα bilan, mavhum qismining koeffitsientini b=Lmα bilan belgilaydilar. α kompleks sonning a bi ko’rinishidagi yozuviga uning algebraik shakli deyiladi.
Agar ikkita α1=a1 b1i va α2=a2 b2i kompleks sonda a1= α2, b1= b2 bu ikki son teng deyiladi (α1= α2). Agar α=a bi kompleks sonda a=0, b=0 bo’lsa, bu kompleks son 0 ga (α=0) teng bo’ladi. Agar α=a bi kompleks sonda b=0 bo’lsa, haqiqiy son hosil bo’ladi; agar a=0 bo’lsa, 0 bi=bi sof mavhum son deyiladi.
2. Algebraik ko’rinishdagi kompleks sonlar
ustida to’rt amal.
Kompleks sonlar ustidagi amallar ko’phadlar ustidagi amallarni bajarish qoidalari bo’yicha o’tkaziladi, bunda i2 har safar -1 ga almashtiriladi.
1. Qo’shish amali. α1=a1 b1i va α2=a2 b2i kompleks sonlarning yig’indisi deb haqiqiy qismi qo’shiluvchi kompleks sonlar haqiqiy qismlarining yig’indisiga, mavhum qismi ularning mavhum qismlarining yig’indisiga teng bo’lgan α kompleks songa aytiladi va u quyidagicha yoziladi:
α=( a1 a2) (b1 b2)i
Misol: (5-3i) (3 3i)=(5 3) (3-3)i= 8
(2 5i) (-2 5i)=(2-2) (5 5)i= 10i
2. Ayirish amali. α1=a1 b1i kompleks sondan α2=a2 b2i kompleks sonning ayirmasi deb α1 va α2 ga qarama-qarshi bo’lgan – α2 sonlarning yig’indisidan iborat bo’lgan kompleks songa aytiladi:
α= α1 (-α2)= ( a1 - a2) (b1 - b2)i
Misol: (10 2i) – (3-4i)= (10-3) – (2 4)i= 7 6i
(4 5i) – (3 5i)= (4-3) – (5-5)i= 1
3. Ko’paytirish amali. α1=a1 b1i va α2=a2 b2i kompleks sonlarning ko’paytmasi deb
α= α1× α2=(a1a2 – b1b2) (a1b2 a2b1)i
kompleks songa aytiladi. Kompleks sonlarni ko’paytirganda i2=-1, i3=-i, i4= i2×i2=1, i5=i va hokazo, umuman k butun bo’lganda i4k=1, i4k 1=i, i4k 2=-1, i4k 3=-i ekanligini e’tiboga olish kerak.
Misol: (5 2i)(3-4i)= 23-14i
(2 i)(2-i)= 4 1=5
4. Bo’lish amali. . α1=a1 b1i kompleks sonning α2=a2 b2i kompleks songa bo’linmasi deb α1= α× α2 tenglikni qanoatlantiradigan α kompleks songa aytiladi va u quyidagi formula bilan topiladi:
Misol:
O’rin almashtirish, gruppalash qonuni kompleks sonlarda ham to’g’ri:
(a bi) (c di) = (c di) (a bi)
(a bi) · (c di) = (c di) · (a bi)
(a bi) (c di) (e fi) = (a bi) [(c di) (e fi)]
3. Kompleks sonning geometrik tasviri
va uning trigonometrik shakli
Har qanday kompleks son a bi ni Oxy tekislikda koordinatalari a va b bo’lgan z(a;b) nuqta shaklida tasvirlash mumkin va, aksincha, Oxy tekislikdagi har qanday z(a;b) nuqtani a bi kompleks sonning geometrik obrazi deb qarash mumkin. Kompleks sonlarni tekislikda tasvirlaganda Oy o’q mavhum, Ox o’q esa haqiqiy o’q deb olinadi. Koordinatalar boshini qutb, Ox o’qining musbat yo’nalishini qutb o’qi deb olib, z(a;b) nuqtaning qutb koordinatalarini φ va r (r≥0) bilan belgilaymiz, u holda
a bi= r(Cos φ iSin φ)
formulaga ega bo’lamiz, bunda , bo’lib, r ga a bi kompleks sonning moduli, φ ga esa kompleks sonning argumenti deyiladi,
r(Cos φ iSin φ) ga a bi sonning trigonometrik shakli deyiladi. Burchak
shartlardan topiladi. Odatda burchak φ ning
[-2π;0] yoki [0; 2π] dagi qiymati olinadi.
Misol: Algebraik ko’rinishdagi kompleks sonni trigonometrik ko’rinishga o’tkazish. α=1 i r=|1 i|=, , , demak, ;
α=1 i=
4. Trigonometrik ko’rinishdagi kompleks sonlar
ustida amallar bajarish.
1. Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son ko’paytmasi shunday kompleks sonki, uning moduli ko’paytiruvchilar modullarining ko’paymasiga, argumenti esa ko’paytiruvchilar argumentlarining yig’indisiga teng, ya’ni
r1(Cosφ1 iSinφ1) · r2(Cosφ2 iSinφ2)=
= r2· r2(Cos(φ1 φ2) iSin(φ1 φ2))
Misol: 2(Cos200 iSin200) · 7(Cos1000 iSin1000)=
= 14(Cos1200 iSin1200)=
2. Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son bo’linmasining moduli bo’linuvchi va bo’luvchi modullarining bo’linmasiga teng bo’lib, bo’linmaning argumenti bo’linuvchi va bo’luvchi argumentlarining ayirmasiga teng, ya’ni
Misol:
5. Muavr formulasi. Darajaga oshirish va
ildizdan chiqarish.
Kompleks sonning trigonometrik ko’rinishini n-chi darajaga oshirish uchun moduli n-chi darajaga oshiriladi, argumentiga n soni ko’paytiriladi. Agar n natural son bo’lib, α=r(Cosφ iSinφ) trigonometric ko’rinishdagi son bo’lsa, u holda
αn=rn(Cosnφ iSinnφ)
o’rinli bo’ladi. Bu formulaga Muavr formulasi deyiladi.
Misol: (Cos300-iSin300)100=(Cos(-300) iSin(-300))100=
= Cos(-30000) iSin(-30000)= Cos1200 – iSin1200=
Kompleks sonni n-chi ildizdan chiqarish uchun moduli n-chi darajali ildizdan chiqariladi, argumenti esa n soniga bo’linadi.
ildiz quyidagi formula bilan topiladi:
,
bunda n – natural son, k=0, 1, 2,3……n-1.
Misol: W=
-
k=0
-
k=1
-
k=2