Haqiqiy sonlar

|
Haqiqiy sonlar
|
bet | 1/2 | Sana | 13.02.2024 | Hajmi | 128,67 Kb. | | #155669 |
Bog'liq Haqiqiy sonlar
Haqiqiy sonlar - har qanday musbat, manfiy son yoki nol. Haqiqiy sonlar toʻplami ratsional sonlar va irratsional sonla toʻplamining birlashmasidan iborat. Haqiqiy sonlar toʻplami son oʻqi deb ham ataladi va � bilan belgilanadi. � chiziqli tartiblangan toʻplam va, koʻpaytirish, qoʻshish amallariga nisbatan maydon tashkil qiladi. ratsional sonlar �ning hamma yerida zich joylashgan. Haqiqiy sonlar toʻplami bilan toʻgʻri chiziq nuqtalari oʻrtasida, tartiblanganlikni saqlagan holda, oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin. Haqiqiy sonlar toʻplamining muhim xususiyatlaridan biri uning uzluksizligidir. Uzluksizlik prinsipi turli shakllarda bayon qilinishi mumkin.Tаrtib nоmеrigа egа bo’lgаn sоnlаr to’plаmi sоnlаr kеtmа-kеtligi dеyilаdi.Sоnlаr kеtmа-kеtligi quyidagicha bo’lаdi.1 O’suvchi kеtmа-kеtlik.2/ K.mаyuvchi kеtmа-kеtlik..Agar a nu qtaning ixtiyoriy - atrofi uchun biror n0 nomerdan boshlab (xn) ketma-ketlikning barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, u holda a soni (xn) ketmaketlikning limiti deyilad
Funksiyaning sohadagi ikki karrali integrali tegishli integral yig’indining ma’lum ma’nodagi limiti sifatida ta’riflanadi. Bu limit tushunchasi murakkab xarakterga ega bo’lib, uni shu ta’rif bo’yicha hisoblash hatto sodda hollarda ham ancha qiyin bo’ladi. Agar funksiyaning sohada integrallanuvchiligi ma’lum bo’lsa, unda bilamizki, integral yig’indi sohaning bo’laklash usuliga ham, har bir bo’lakda olingan nuqtalarga ham bog’liq bo’lmay, da yagona songa intiladi. Natijada funksiyaning ikki karrali integralini topish uchun birorta bo’laklashga nisbatan integral yig’indining limitini hisoblash etarli bo’ladi.
(1)ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda,a1, a2,…, an,… haqiqiy sonlar bo‘lib, qator-ning hadlari, an – had qatorning n – chi hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir (1)sonli qator uchunqismiy yig‘indilar ketma- ketligini qurishmumkinAgar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda istalgan chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi hadlarni qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2
Ikkita a va b haqiqiy sonlar berilgan bo'lsin. Ushbu a+ib ko'rinishdagi son kompleks son.i=ildizda(-1) esa mavhum birlik.i=i,ikvadrati=-1, ikubi=-1, 1to'rtinchidarajasi=1.odatda kompleks sonlar bitta harf bn belgilaniladi z=a+ib. a soni z kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi b soni z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi. Kompleks sonlar ustida amallar Ikkita z1=a1 +ib, z2=a2+ib2, z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2) ,z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2), z1×z2=(a1×a2-b1×b2)+i(a1b2+a2b1) ,z1/z2=a1a2+b1b2/a2kvad+b2kvad+ i a2b1-a1b2/a2kvad+b2kvad
2 Berilgan y=f(x) funksiya [a, +∞) cheksiz yarim oraliqda aniqlangan va ixtiyoriy chekli b≥a uchun [a,b] kesmada integrallanuvchi , ya’ni ntegral mavjud bo‘lsin. y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali deb yuqori chegarasi o‘zgaruvchi F(b) integralning b→+∞ bo‘lgandagi limitiga aytiladi.y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali deb belgilaniladi.Geometrik nuqtai nazardan (1) xosmas integral y=f(x) [f(x)≥0], x=a va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz shaklning yuzasini ifodalaydi.
3. integral yig’indining, qismlarga bo’linish usuliga, Pi nuqtalarning tanlanishiga bog’liq bo’lmagan 0 dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limitga f (x, y) funksiyaning D sohadagi ikki karrali integrali. D f x, y ds simvol bilan belgilanadi.
3
Aytaylik 𝑋 𝑣𝑎 𝑌 haqiqiy sonlar to’plami berilgan bo’lsin. 1-Ta’rif. Agar 𝑋 to’plamning har bir 𝑥 ∊ 𝑋 elementiga 𝑌 to’plamning yagona 𝑦∊𝑌 elementi mos qo’yilsa, u holda bu moslik funktsiya deyiladi va uni 𝑦 = (𝑥) kabi yoziladi. Bu yerda 𝑥 − erkli o’zgaruvchi(argument); 𝑦 −erksiz o’zgaruvchi (funksiya); 𝑓 − 𝑥 ni 𝑦 ga mos qo’yuvchi qoida. 2-Ta’rif. Argument 𝑥 ning berilgan funktsiya ma’noga ega bo’ladigan qiymatlar to’plamiga funktsiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va uni 𝐷 𝑓 bilan belgilanadi. 3-Ta’rif. 𝑥 ning o’zgarishiga ko’ra 𝑦 ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar to’plamiga funktsiyaning qiymatlar sohasi deyiladi va uni E 𝑓 bilan belgilanadi. Bir o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to’plami.
n o’lchovli haqiqiy fazoda nuqtalar to’plami berilgan bo’lsin.
V to’plamga tegishli har bir nuqtaga aniq biror-bir y haqiqiy sonni mos qo’yuvchi f qonunga x1, x2, …, xn o’zgaruvchilarning V nuqtalar to’plamida berilgan funksiyasi deyiladi. n ta o’z-garuvchilarning funksiyasi y = f (M) yoki y = f (x1; x2; …; xn) ko’rinishda yoziladi. f (M) haqiqiy son y funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi.
Xususan, agar V є R1 bo’lib, V to’plam R1={x} haqiqiy sonlar to’plamining qism osti to’plamidan iborat bo’lsa, V to’plamda bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya berilgan deyiladi.
Misollar: 1) to’plamda berilgan bir x o’zgaruvchili funksiya. Xususan, єf (e) = lne = 1.
2) to’plamda berilgan ikki va o’zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada .
3) to’plamda berilgan uch x1, x2 va x3 o’zgaruvchili funksiya. nuqtada
funksiya berilgan fazoga tegishli to’plamga uning aniqlanish sohasi deyiladi va yoki yozuv bilan ifodalanadi.
funksiya o’z aniqlanish sohasi ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlari to’plamiga esa uning qiymatlari to’plami yoki o’zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to’plami R1 haqiqiy sonlar to’plamining qism osti to’plami bo’lib, yoki belgilar bilan yoziladi.
Agar un(x) , n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ , biror D sohada aniqlangan funksiyalarning cheksiz ketma-ketligi bo‘lsa, ulardan tuzilgan
(1)
qator funksional qator deb ataladi.
Masalan,
funksional qatorlar bo‘ladi.
Izoh: Agar un(x)= un=const. ( n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ ) deb olsak (1) funksional qator sonli qatorga aylanadi.
2-TA’RIF: Agar x=x0=const. holda (1) funksional qatordan hosil bo‘ladigan
(2)
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (1) funksional qator x=x0 nuqtada yaqinlashuvchi deyiladi , bunday nuqtalar to‘plami esa uning yaqinlashish sohasi deb ataladi.
Masalan, yuqorida keltirilgan (a) va (b) funksional qatorlarning yaqinlashish sohasi (–∞ , ∞) bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x= x0 uchun
.
Uchinchi (c) qatorning yaqinlashish sohasi (–1,1), chunki |x|=qAgar (1) funksional qatorning yaqinlashish sohasi D bo‘lsa, unda har bir x=x0D uchun (2) sonli qatorning yig‘indisi biror S(x0) sonidan iborat bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki (1) funksional qator yaqinlashish sohasida biror S(x) funksiyani aniqlaydi. S(x) funksiya (1) funksional qatorning yig‘indisi deyilib,
, (3) kabi ifodalanadi. Ushbu ko‘rinishdagi funksional qator
darajali qator dеb ataladi. Bu qatorda аn ( n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙) o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular darajali qatorning koeffitsiyеntlari dеyiladi.
Har qanday darajali qator uchun x=0 uning yaqinlashish nuqtasi bo‘ladi, ya’ni uning yaqinlashish sohasi hech qachon bo‘sh to‘plam bo‘lmaydi. (6) darajali qatorning yaqinlashish sohasi atigi 27 yil umr ko‘rgan, ammo bu qisqa davrda matematika rivojlanishiga juda katta hissa qo‘shgan norvegiyalik matematik N.Abelning (1802–1829 y.) ushbu teoremasi yordamida topiladi.
1-TEOREMA (Abel teoremasi): а) Agar (6) darajali qator biror x0≠0 nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda bu qator x o‘zgaruvchining |x|<|x0| shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi ;
b) agar (6) darajali qator biror x0 nuqtada uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda bu qator x o‘zgaruvchining | x | > | x0 | tеngsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Egri chiziq yoyi massasini topish talab qilinsin.
Shu maqsadda egri chiziqni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka bo‘lamiz ( deb olamiz).
Egri chiziqning yoyidan biror nuqta olib, shu nuqtadagi zichlik ni hisoblab chiqamiz. Bu yoyning barcha nuqtalardagi zichlik ham taqriban ana shu ga teng deb hisoblasak va yoy uzunligini bilan belgilasak, bu yoyning massasi uchun ushbu taqribiy ifodani hosil qilamiz. Izlanayotgan umumiy massa uchun esa
(1)
ifoda hosil bo‘ladi.
uzunliklarning eng kattasini bilan belgilab, limitga o‘tsak, aniq formulaga ega bo‘lamiz.
Matematika va mexanikadagi ko‘pgina masalalarni yechish (1) ko‘rinishdagi yig‘indilarning limitini topishga olib keladi.
Umuman, shu xildagi limitlarni o‘rganaylik. Shu maqsadda ko‘rilayotgan masaladan bir oz chetga chiqamiz. Tekislikdagi to‘g‘rilanuvchi uzluksiz AB yoyda aniqlangan funksiya olib, yuqorida tasvirlangan jarayonni takrorlaymiz: AB yoyni elementar yoylarga ajratib, ularda bittadan nuqtalar tanlaymiz va funksiyaning shu nuqtalaridagi qiymatlari larni hisoblab,
(2)
yig‘indini tuzamiz, bu funksiyaning AB yoydagi integral yig‘indisi deyiladi.
(2) yig‘indi umuman olganda AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.
Ta’rif. Agar da (2) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limit funksiyadan AB yoyi uzunligi bo‘yicha olingan birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: .
4
1 Uzluksiz funksiya - maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I
2. Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalalarini yechishda,
xususan har xil geometrik va fizik kattaliklarni hisoblashda keng qo‘llaniladi.
5>
|
| |