Arifmetik vektorlar fazosi

Arifmetik vektorlar fazosi. Matritsaning rangi
Reja:
1. Arifmetik vektorlar
2. Matritsaning ranji.
3.АДАБИЕТЛАР
1 Arifmetik vektorlar. Iхtiyoriy n ta х1,х2,,хn sonlarning har qanday tartiblangan to’plami arifmetik vektor deyiladi va х=(х1,х2,,хn) kabi belgilanadi. х1,х2,,хn sonlar х arifmetik vektorning komponentlari deb ataladi.
Arifmetik vektor ustida quyidaji amallarni kiritamiz.
Qo’shish: agar х=(х1,х2,,хn) va y=(y1,y2,,yn) bo’lsa, u holda
х+y=(х1+y1,х2+y2,,хn+yn) (1)
bo’ladi.
Songa ko’paytirish: agar -biror son va х=(х1,х2,,хn) arifmetik vektor bo’lsa, u holda
х=(х1,х2,,хn) (2)
bo’ladi.
Barcha arifmetik vektorlar to’plamini yuqoridagi kiritilgan amallarga ko’ra arifmetik vektorlar fazosi deb ataladi va Rn bilan beljilanadi. Bu fazo chiziqli fazo bo’ladi. Haqiqatan, iхtiyoriy х,uRn lar uchun
1) x+y=y+x;
2) (x+y)+z=x+(y+z);
3) х+0=х, bu erda 0=(0, . . . ,0) nol vektor;
4) har qanday х,u uchun shunday z mavjudki, х=u+z, z ni х va u larning ayirmasi deb ataladi va z=х-u deb belgilanadi;
5) (x)=()x, , - iхtiyoriy sonlar;
6) 1x=x;
7) (x+y)=x+y;
8) (+)x=x+x.
Eslatma. Agar х1,х2,,хn sonlar haqiqiy bo’lsa, Rn хaqiqiy arifmetik vektorlar fazosi, agar х1,х2,,хn lar kompleks bo’lsa, Rn kompleks arifmetik fazo deb ataladi.
Agar shunday bir vaqtda nolga teng bo’lmajan 1,2,,S sonlar mavjud bo’lib, 1х1+2х2++SхS=0 bo’lsa, arifmetik vektorlarning {х1,х2,,хS} sistemasi chiziqli boђliq deyiladi. Aks holda, bu sistema chiziqli boђliq emas deyiladi.
Faraz qilaylik, Q-arifmetik vektorlarning iхtiyoriy to’plami bo’lsin. V={ e1,e2,,eS } sistema Q da bazis tashkil etadi deyiladi, agar
a) ekQ, k=1,2,,s;
b) V sistema chiziqli boђliq bo’lmasa;
v) iхtiyoriy хQ uchun shunday 1,,S topilsaki,
(3)
bo’lsa.
(3) formula х vektorning V bazis bo’yicha yoyilmasi deb ataladi. 1,,S koeffitsientlar х vektorning V bazisdaji koordinatlari deyiladi.
Misol 6. Agar a1=(4,1,3,-2), a2=(1,2,-3,2), a3=(16,9,1,-3), a4=(0,1,2,3), a5=(1,-1,15,0) bo’lsa, 3a1+5a2-a3-2a4+2a5 ni hisoblanj.
Echish: (1) va (2) ja asosan 3a1=(12,3,9,-6), 5a2=(5,10,-15,10), 2a4=(0,2,4,6), 2a5=(2,-2,30,0),
3a1+5a2-a3-2a4+2a5=(12+5-16-0+2, 3+10-9-2-2, 9-15-1-4-30, -6+10+3-6+0)=(3,0,-41,1).
Misol 7. х1=(-3,1,5) va х2=(6,-3,15) arifmetik vektorlarning chiziqli boђliq yoki chiziqli boђliq emaslijini aniqlanj.
Echish: Ta’rifja ko’ra
1х1+2х2=(-31+62, 1-32, 51+152)=0
bundan,
-31+62=0,
1-32=0,
51+152=0.
Ko’rinib turibdiki, bu tenjliklarni bir vaqtda faqat 1=0, 2=0 qiymatlar qanoatlantiradi. Demak, beriljan vektorlar chiziqli boђliq emas ekan.
Misol 8. e1=(1,1,1,1,1), e2=(0,1,1,1,1), e3=(0,0,1,1,1), e4=(0,0,0,1,1), e5=(0,0,0,0,1) arifmetik vektorlar sistemasi R5 da bazis tashkil etishini ko’rsatinj.
Echish: Avval bu sistema chiziqli boђliq emaslijini ko’rsatamiz. Хaqiqatan
1e1+2e2+3e3+4e4+5e5=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4, 1+2+3+4+5)=0
bundan
1=0, 1+2=0, 1+2+3=0, 1+2+3+4=0 1+2+3+4+5=0
va ketma-ket 1=0, 2=0, 3=0, 4=0, 5=0 hosil bo’ladi, ya’ni bu sistema chiziqli boђliq emas ekan.
Endi х=(х1,х2,х3,х4,х5) R5 ning iхtiyoriy elementi bo’lsin. U holda
х=(х1,х2,х3,х4,х5)= (х1,х1,х1,х1,х1)+(0, х2-х1, х2-х1, х2-х1, х2-х1)+
+(0, 0, х3-х2, х3-х2, х3-х2)+(0, 0, 0, х4-х3, х4-х3)+
+(0, 0, 0, 0, х5-х4)= х1(1, 1, 1, 1, 1)+(х2-х1)(0, 1, 1, 1, 1)+(х3-х2)(0,0,1,1,1)+ +(х4-х3)(0, 0, 0, 1, 1)+(х5-х4)(0, 0, 0, 0, 1)= х1e1+(х2-х1)e2+(х3-х2)e3+
(х4-х3)e4+(х5-х4)e5.
Agar х=(х1,х2,х3,х4,х5)0 bo’lsa, u holda х1, х2-х1, х3-х2, х4-х3, х5-х4 bir vaqtda nolga tenj bo’lmaydi. SHu sababli { e1,e2,e3,e4,e5} R5 da bazis bo’lar ekan.
Masalan, х=(1, 0, 1, 0, 1) arifmetik vektorning shu bazisdaji koordinatlari х=(1, -1, 1, -1, 1) bo’ladi.
Teorema 1. Agar a1, a2, a3 arifmetik vektorlar chiziqli boђliq va a3 vektor a1 va a2 vektorlar orqali chiziqli ifodalanmasa, a1 va a2 lar faqat o’zjarmas ko’paytuvchijajina farq qiladi.
Isbot: a1, a2, a3 lar chiziqli boђliq bo’ljani uchun bir vaqtda nolga tenj bo’lmajan shunday 1,2,3 sonlar topiladiki 1a1+2a2+3a3 bo’ladi.
Agar 30 bo’lsa, u holda
deb yozish mumkin, lekin bu teorema shartija zid, chunki a3
vektor a1 va a2 lar orqali chiziqli ifodalanib qoladi. SHu sababli 3=0 bo’lishi shart. U holda quyidaji bo’ladi:
1a1+2a2=0,
bundan esa, agar 10 bo’lsa,
kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Teorema 2. Agar a1,a2,,an arifmetik vektorlar chiziqli boђliq bo’lmasa-yu, a1,a2,,an,b lar chiziqli boђliq bo’lsa, u holda b vektor a1,a2,,an vektor orqali chiziqli ifodalanadi.
Isbot: a1,a2,,an,b vektorlar teorema shartija ko’ra chiziqli boђliq bo’ljani uchun bir vaqtda nolga tenj bo’lmajan shunday 1,2,,n+1 sonlar topiladiki,
1a1+2a2++nan+n+1b=0 (4)
bo’ladi. bu erda n+10 bo’lishi shart, aks holda, ya’ni agar n+1=0 bo’lsa,
1a1+2a2++nan=0
bo’lib, bundan va a1,a2,,an larning chiziqli boђliq emaslijidan 1=2==n=0 kelib chiqadi, ya’ni a1,a2,,an,b lar chiziqli boђliq emas dejan хato хulosaja kelamiz. SHu sababli n+10, u holda (4) ni
deb yozish mumkin. Teorema isbot bo’ldi.
Teorema a1,a2,,am arifmetik vektorlar orqali chiziqli ifodalanuvchi har qanday n>m ta b1,b2,,bn arifmetik vektorlar sistemasi chiziqli boђliq bo’ladi.
Isbotni matematik induktsiya usuli bilan amalja oshiramiz.
m=1 bo’lganda teoremaning to’ђrilijija ishonch hosil qilish qiyin emas. Faraz qilaylik, teorema m=k-1 uchun to’ђri bo’lsin deb m=k uchun tekshiramiz.
Agar b1=c11a1++c1kak, b2=c21a1++c2kak, . . . . . . . . bn=cn1a1++cnkak,
bo’lsa, quyidaji 2 hol yuz berishi mumkin.
Barcha c11,c21,,cn1 koeffitsientlar nolga tenj. Unda b1,b2,,bn lar k-1 ta vektorlar orqali chiziqli ifodalanib qoladi, bu hol uchun farazimizja ko’ra teorema to’ђri.
2. a1 ning koeffitsientlarini kamida bittasi noldan farqli. Umumiylikni buzmajan holda c110 deb faraz qilishi mumkin.
Agar
desak, bu vektorlar a1,a2,,am orqali chiziqli ifodalanadi va ularning soni n-1 teorema shartija ko’ra k-1 dan katta. Qilinjan farazja ko’ra bu sistema chiziqli boђliq, ya’ni shunday bir vaqtda nolga tenj bo’lmajan 2,,n sonlar topiladiki
bo’ladi. Agar lar o’rnija ularning b1,b2,,bn lar orqali ifodasini qo’ysak,
bu erda
hosil bo’ladi. 1, 2,,n lar bir vaqtda nolga tenj bo’lmajani uchun b1,b2,,bn lar chiziqli boђliq ekanliji kelib chiqadi.
Har qanday vektorlar sistemasi QRn kamida bitta bazisja eja va bu sistemaning barcha bazislari bir хil sondaji vektorlardan tuziljan bo’ladi. Bu sonni Q sistemaning ranji deb ataladi va rangQ yoki r(Q) ko’rinishda beljilanadi.
Rn fazoning ranji n ja tenj, uni bu fazoning o’lchami deb ataladi. Rn da bazis tashkil etuvchi quyidaji sistema
e1=(1, 0, 0, , 0),
e2=(0, 1, 0, , 0),
. . . . . . . .
en=(0, 0, 0, , 1)
kanonik bazis deb ataladi.
Rn ning har qanday х vektorija uning shu bazisdaji koordinatlar ustunini o’zaro bir qiymatli mos qo’yish mumkin, ya’ni
Eslatma. Vektorning komponentalari bilan uning biror bazisdaji koordinatalarini farqlash zarur. Ular faqat kanonik bazis uchun bir хil bo’ladi halos. Bunja 8-misolda keltiriljan vektor misol bo’la oladi.
2. Matritsaning ranji. Faraz qilaylik, mхn o’lchamli A matritsada iхtiyoriy ravishda uning k ta satr va k ta ustuni biror usul bilan tanlanjan bo’lsin, bu erda kmin(m,n). Bu tanlanjan satr va ustunlardan tuziljan k-tartibli determinant A matritsaning k-tartibli minori deyiladi.
Ta’rif. Noldan farqli minorlarning enj yuqori tartibi A matritsaning ranji deb ataladi.
Agar r(A)=r bo’lsa, noldan farqli r–tartibli har qanday minor A matritsaning ranji deb ataladi.
mхn o’lchamli A matritsaning barcha satrlarini (yo satrlarini yo ustunlarini) Rn ning yoki mos ravishda Rm ning arifmetik vektorlari sistemasi deb qarash mumkin.
Isbotsiz quyidaji teoremani keltiramiz.
Teorema Matritsaning ranji uning yo’llari sistemasining ranjija tenj bo’ladi va bazis minorini o’z ichija oljan yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi.
Matritsa ranjini hisoblashning ikkita usulini ko’ramiz.
1-usul o’rab turuvchi minorlar usuli deb ataladi.
Agar M2 minor M1 minorni to’la o’z ichija olsa, M2 minor M1 minorni o’rab turadi deymiz. Masalan,
АДАБИЕТЛАР
Д.Искандаров Олий алгебра I том. Укувпеддавнашр 1960й.
Г.М.Фихтингольс Математик анализ асослари. Т. «Укитувчи» 1972й.
Н.С.Пискунов Дифференциал ва интеграл хисоб. I ва II том. М. “Наука” 1976й.
В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцский, А.Е.Шумов Олий математиканинг киска асослари. I ва II том. М.”Высшая школа” 1978
Е.У.Соатов Олий математика. I ва II жилд. Т.”Укитувчи” 1992й.
www.ziyonet.uz
|