Kuch momenti. Simmetrik tenzor

Kuch momenti. Simmetrik tenzor.
Jismning qandaydir hajmiga ta’sirn etuvchi kuch momenti
-kuchlar qo’yilgan nuqtalar koordinatalari.
ni e’tiborga olsak,
M ik
( il
xl
x kl
k
xl
xi )dV
( il xk kl xi ) dV
xl
( il
xk
xl
xi )dV
kl x
Ikkinchi haddan ko’rinadiki, agar koordinatalar bir xil bo’lsa, bir koordinataning ikkinchisidan olingan hosilasi birga teng bo’ladi, koordinatalar har xil bo’lsa, nolga teng bo’ladi. Ya’ni
kl - birlik tenzor
dxk dxl
kl
1,
0,
k l k l
kl il
ik
il kl ki
Integral ostidagi birinchi hadda qandaydir tenzor divergensiyasi turibdi, Ostrogradskiy formulasiga ko’ra yuza integraliga aylantirish mumkin.
d ( il xk kl xi ) dV
dxl
( il xk
kl
xi ) dfl
ik
ki - simmetrikdir.
Jism har tomonlama qisilgan holdagi kuchlanish tenzorini oson yozish mumkin. Jism yuza birligiga jism hajmi ichi yuzasiga normal yo’nalgan bir qiymatli bosim
ta’sir etadi. R –bosim,
di
yuza elementiga ta’sir etuvchi kuch –
ndi
kuchlanish
tenzori orqali ifodalangan
Ikkinchi tomondan
ik dfk
ik
pik
i k
bo’lsa,
ik p
Bir jinsli deformasiyalar.
Agar deformasiya tenzori jismning butun hajmi bo’yicha o’zgarmas bo’lsa, bunday deformasiya bir jinsli deformasiya deyiladi. Masalan, jismning har tomonlama bir xil siqlishi bir jinsli deformasiyadir.
Endi sterjenning oddiy cho’zilishi (yoki siqilishini) ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, sterjen z o’qi bo’ylab joylashgan bo’lsin va uning uchlariga qarama- qarshi taraflarga cho’ziluvchi kuchlar qo’yilgan bo’lsin. Bu sterjen uchlari sirtlarida bir tekis harakat qilsin. Birlik yuzaga ta’sir etuvchi kuch r bo’lsin.
Deformasiya bir jinsli bo’lganligi, ya’ni
uik
jism bo’yicha o’zgarmas bo’lganligi
uchun kuchlanish tenzorlari ham o’zgarmas bo’ladi. Demak, kuchlanish tenzorini
ik
chegaraviy shartlar yordamida aniqlash mumkin. Sterjenning yon tomonida
tashqi kuchlar ta’siri yo’q, demak,
pi ik nk
0 . Birlik vektor n yon sirtda z
o’qiga perpendikulyar, ya’ni u faqat nz
va ny
komponentlariga yegadir. Demak,
ik ,
zz
komponentasidan tashqari barcha komponentlari nolga teng bo’ladi.
Sterjen uchlarining sirtida
zi ni
p , demak zz p .
uik
1
9K
ik ll
1 ( 2 ik
1 3
ik ll )
Deformasiya va kuchlanish tenzorini bog’lovchi umumiy ifodadan ko’rinadiki,
uik
(i k )
barcha komponentlari nolga teng. Qolganlari uchun esa
uxx
u yy
1 1
1
p,
1 1
uzz
1
3 2
3k
3 2k
U zz
komponenta sterjenning z o’qi bo’ylab nisbiy uzayishini bildiradi. bu
P
ifodadagi r ning oldidagi koeffisiyent cho’zilish koeffisiyenti deyiladi, unga teskari bo’lgan kattalik esa cho’zilish moduli E - (yoki Yung moduli) deyiladi.
u xx
va u yy
koponentlar sterjen ko’ndalang yo’nalishidagi nisbiy siqilishni
bildiradi. Ko’ndalang siqilishning bo’ylama cho’zilishga nisbati Puasson koeffisiyenti deb ataladi.
2 3k
K va har doim musbat bo’lgani uchun Puasson koeffisiyenti turli
moddalarda 1 k 0 dan 1/ 2 0 largacha o’zgaradi. Demak,
1 1/ 2 (12)
Sterjenning cho’zilishi natijasidagi hajmning nisbiy siljishi
Ozod energiya
Cho’zilgan sterjening ozod energiyasini yozamiz,
0 , demak
bu yerdan
F 1
2
zz u zz
p
2
F 2E (14)
Keyingi nisbatlarda K va lar o’rniga E va lardan foydalanamiz.
(9) va (11) dan
E , 2(1 )
K E
3(1 2 )
. Ozod energiya uchun
(u
F E
2(1 )
2 2
ik 1 2 ll
u )
Kuchlanish tenzori va uning komponentalari.
Kuchlanish tenzori deformasiya tenzori orqali
ifodalanishi mumkin.
Aksincha:
ik
E ( u (1 ) ik
u ) 1 2 ll ik
(15)
u 1 [(1 )
]
ik E
ik ll ik
Bu formuladan ko’p foydalanamiz, shuning uchun ularni komponentlar bo’yicha yozib chiqish kerak
xx
E
(1 )(1 2 )
[(1 ) uxx
( u yy
)],
yy
E
(1 )(1 2 )
[(1 ) uyy
( uxx
)],
zz
E
(1 )(1 2 )
[(1 ) uzz
( uxx
)],
xy
E
(1 )
E
uxy
u
xz
yz
(1 )
E
(1 )
xz
u yz
Teskari ifodalar
u 1 [
(
)] ,
xx E xx
yy zz
u 1 [
(
)] ,
yy E yy
xx zz
u 1 [
(
)] ,
zz E zz
xx yy
u
1
xy E xy ,
1
u
xz E xz ,
u 1
yz E yz
Temperatura o’zgarishi bo’yicha bo’ladigan deformasiyalar.
Temperaturaning o’zgarishi deformasiyalanish jarayoni natijasida va chetdan bo’ladigan sabablar natijasida ro’y berishi mumkin.
Tashqi kuchlar bo’lmagan paytda qandaydir berilgan T0 temperatura jism
holatini deformasiyalangan deb olamiz. Agar jism T0
dan farqli T temperaturaga
ega bo’lsa, jismga tashqi kuch qo’yilmagan bo’lsa ham issiqlik kengayishi tufayli
deformasiyalangan bo’ladi. Shuning uchun F T – ozod energiyaning
yig’ilmasida nafaqat kvadratik, hattoki deformasiya tenzorining chiziqli hadlari qantnashadi.
erkin energiya:
F ( T ) F
( T ) k ( T T ) u
( u
1
)2 K u 2
(18)
0 0 ll
ik 3
ik ll
2 ll
, k , larni o’zgarmas deb olaylik. Ularni T dan bog’liq deb olsak, yuqori
tartibli ifodalarga kelar edik.
K – har tomonlama siqilish moduli, - siljish moduli
F
ik
u
T
ik
dull
ik duik
larni e’tiborga olsak,
uik
bo’yicha F ni differensiallasak,
F ( T ) Kd ( T T0 ) dull
1
3 ik
ull
)( duik
1
3 ik
dull
) Kull
dull
K ( T T0 ) ik
duik
duik
1
3 ik
ull
)(duik
1 3
ikik
duik )
K ( T T )
2( u
1
u ) du
o ik
ll ik
ik 3
ik ll ik
ik
K ( T To ) ik
1
3 ik
ull )
(19)
Birinchi had jism temperaturasi bo’yicha bog’langan qo’shimcha kuchlanishlarni aniqlaydi. Jismning erkin issiqlik kengayishida (tashqi bo’lmagan
natijada) ichik kuchlanishlar bo’lmasligi kerak. ik 0
ga tenglashtirsak:
bu yerdan
1
3 ik
ull
) 0
2 uik
K ( T To ) ik
2
3 ik
ull
[K (T To ) Kull
2 u
1
3 ll
]ik
uik
2 [K (T T0
) Kull
2 u
3 ll
]ik
Demak, U ik const ,
Bu yerdagi U ll T T0
Lekin
U ll
– deformasiyadagi hajmning nisbiy o’zgarishini aniqlaydi.
Shuning uchun -jismning issiqlik kengayish koeffisiyenti deyiladi.
Har xil deformasiya turlarini izotermik va adiabatik deformasiyalarga bo’lish mumkin. Izotermik deformasiyalarda jism temperaturasi o’zgarmaydi. Agar (18)
da T T0
deb olsak, odatdagi formulaga kelamiz. K va larni izotermik
modullar deb atasak bo’ladi.
Jism va jismni o’rab oluvchi muhit bilan, shuningdek jismning har xil uchastkalarida issiqlik almashinuvi sodir bo’lmaydigan deformasiyalarga adiabatik deformasiyalar deyiladi. S – entropiya bu xolda o’zgarmas bo’lib qoladi. Ma’lumki,
S dF
dT
(18) ifodani differensiallasak, U lk bo’yicha birinchi tartibgacha aniqlikda
S T S0 T K 0U ll
entropiyani topgan bo’lamiz. S ni o’zgarmasga tenglashtirib,
deformasiyadagi
T T0
temperaturaning o’zgarishini
U ll
ga proporsional tarzdagi
ifodasini aniqlash mumkin. Bu ifodani (19) ga qo’ysak, ik
uchun
ik
Kad U
ll ik
2U
ik
1 3
ikU
ll
odatdagi ifodaga kelgan bo’lar edik. Bu yerda bo’yicha siljish moduli, lekin boshqa siqilish moduli.
Adiabatik va izotermik modullar orasidagi bog’lanish
K ad
1 1
Kad K
T 2
,
Cp
ad
(20)
Bu yerda Sr
bosim o’zgarmas bo’lganda issiqlik sig’im miqdori.
Adiabatik cho’zilish (Yung) moduli uchun quyidagi munosabatlarga kelamiz:
Ead
va Puasson koeffisiyenti
ad
Ead
E
T 2 ;
ad
E
T 2
9Cp ;
T 2
(21)
Real holatda
ET 2 / S
ifoda odatda kichik. Shuning uchun yetarli darajadagi
r
aniqlikda yozish mumkin
2 T 2
T 2
Ead
E E
;
9Cp
ad
(1 )E
9Cp
(22)
Izotermik deformasiya uchun kuchlanish tenzori:
F
ik
u
ik T
u
ik S
- ichki energiya.
Bunga ko’ra adiabatik deformasiya uchun jismning hajm birligidagi ichki energiya (ozod energiya emas, oldin ko’rganimizdek)
Kad u 2 (u
1 u )2
(23)
2 ll
ik 3 ll ik
|