Nyuton interpolyatsi formulasi

Nyuton interpolyatsi formulasi
Lagranj interpolyatsion ko‘phadi universal va sodda bo‘lishi bilan ayrim kamchiliklarga ham ega ekan. Xususan interpolyatsion ko‘pxadi bo‘yicha funksiya qiymatini hisoblash uchun bajarilishi kerak bo‘lgan amallar juda ko‘p.
Shuninigdek, funksiya qiymatlar jadvaliga yana bir qiymat qo‘shilsa
barcha ishni qaytadan bajarish kerak bo‘ladi. Bu kamchiliklardan xoli bo‘lgan interpolyatsion ko‘phad Nyuton tomonidan kashf qilingan. Biz bu erda bevosita ko‘pxadni tuzish bosqichlari va jarayonini keltiramiz. Avvalo, bo‘lingan ayirmalar tushunchasini kiritamiz. Funksiya qiymatlar jadvali berilgan
bo‘lsa birinchi tartibli bo‘lingan ayirmalar
-1 (2.7)
Formulalar bo‘yicha xisoblanadi. xn) ta
birinchi tartibli bo‘linganayirmalar topilgach, ikkinchi tartibli bo‘lingan ayirmalar
i+k+1) (2.8)
Formula bo‘yicha kiritiladi. (2.7) va (2.8) formulalar shu tartibda davom ettirilsa, 3-,4-,... tartibli bo‘lingan ayirmalar ham topiladi. Umumiy formula sifatida agar k-tartibli bo‘lingan ayirmalar ma’lum bo‘lsa k+1 –tatibli bo‘lingan ayirmalar
+k+1) (2.9)
Formula bo‘yicha topiladi. Bo‘lingan ayirmalar quyidagi jadval ko‘rinishda to‘ldiriladi.
|
|
1-tartibli bo‘lgan
ayirma
|
2- tartibli bo‘lgan ayirma
|
3- tartibli bo‘lgan
ayirma
|
........
......
|
n-tartibli bo‘lgan ayirma
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
…..
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
…..
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
…….
……..
|
………
………
|
………
………
|
……….
……..
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jadvaldan ko‘rinadiki, 1-tartibli bo‘lingan ayirmalar soni ta , ya’ni qiymatlar
sonidan bitta kam, 2-tartibli ayirmalar soni n bo‘lar ekan. Tartibi ortgan sari bo‘lingan ayirmalar soni bittadan kamayib boradi. SHu tariqa tartibli bo‘lingan
ayirma bitta bo‘lar ekan. Jadval esa uchburchak ko‘rinishda bo‘ladi. Bu jadvalni yuqori qismida, jadvalda tagiga chizilgan, Nyuton interpolyatsion ko‘phadi koeffitsentlari hosil bo‘lar ekan. Ular asosida Nyuton interpolyatsion ko‘phadi quyidagicha ifodalanar ekan.
(2.10)
Keltirilgan qoidani quyidagi misolda ko‘ramiz.
|
|
1-tartibli
bo‘lgan
|
2- tartibli
bo‘lgan ayirma
|
3- tartibli
bo‘lgan
|
4-
tartibli
|
|
|
ayirma
|
|
ayirma
|
bo‘lgan
ayirma
|
|
-1
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
0
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
10
5
|
|
|
|
|
Bu jadval asosida (2.10) formulaga ko‘ra Nyuton interpolyasion ko‘phadini tuzamiz.
Hosil bo‘lgan ko‘phad funksiya qiymatlar jadvaliga to‘la mos keladi.
Bu ko‘phad asosida funksiyaning istalgan nuqtadagi qiymatini topish mumkin. Masalan nuqtadagi qiymati so‘ralgan bo‘lsa
qiymatini topamiz.
Nyuton va Lagranj interpolyatsion ko‘phadlari aslida bitta masala echimi bo‘lganligi uchun ular faqat tuzilish usulidagina farq qilinadi, aslida esa ular aynan bir xil chiqadi. SHuning uchun topilgan qiymat xatoligini baxolashda xam Lagranj ko‘pxadi qoldiq hadi formulasidan foydalanish mumkin. Bizdagi misolda soddalik uchun olingan, xatolik tartibi qoida unchalik yaxshi natija emas. Aslida
xatolik
Tengsizlik bo‘yicha baxolansa xamda chegaralangan desak xatolik tartibi uchun
munosabatdan foydalansa xam bo‘ladi.
Nyuton interpolyatsion ko‘phadining Lagranj interpolyatsion ko‘phadini avzal tarafi jadvalga biror yangi ma’lumot qo‘shilsa ko‘phadga yangi bitta had qo‘shilar ekan xolos. Soddalik yuqoridagi misolda bu xolatni taxlil qilamiz. Agar jadvalda faqat qiymatlargina bo‘lsa
kelib chiqqan bo‘lar edi. Agar dagi ma’lumot xam qo‘shilsa
ko‘phad xosil bo‘ladi. Keltirilgan muloxazalar o‘rinli ekanligini ko‘ramiz.
Eslatma: Interpolyatsion ko‘phadlar funksiyaning ,xn . nuqtalardagi qiymatlari asosida tuziladi. Bu ko‘phad xatoligi n+1) tartibda bo‘ladi deyiladi. Faqat bu xulosa ;xn) oraliqdagina o‘rinli. Bu oraliqdan
tashqaridagi qiymatlar uchun hech qanday xulosa qilib bo‘lmaydi. Bu xolat ekstrapolyatsiya masalasi bo‘lib uning echimini topishning ishonarli usullari yo‘q.
Interpolyatsiya masalasida yana bir usulni ko‘ramiz. Teng oraliqlar uchun Nyuton interpolyatsion ko‘pxadi. Agar interpolyatsiyalash tugunlari bir xil masofada joylashgan bo‘lsa, ya’ni munosabat o‘rinli
bo‘lsa, =th almashtirish kiritiladi, xamda funksiya qiymatlar jadvali
asosida chekli ayirmalar jadvali tuziladi. Birinchi tartibli chekli ayirmalar
(2.11)
Birinchi tartibli chekli ayirmalar asosida 2-tartibli chekli ayirmalar hisoblanadi.
(2.12)
Xuddi shunday tartibda 3-,4-, tartibli chekli ayirmalar aniqlanadi. Hisoblash tartibi va jadval ko‘rinishi quyida aks ettirilgan.
|
|
1-tartibli
|
2-tartibli
|
|
n-
tartibli
|
|
|
|
|
…
..
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
..
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
..
|
|
…
|
|
….
|
……….
|
…
|
|
|
|
|
|
…
|
|
…
|
|
…..
|
………..
|
…
…
|
|
|
|
|
|
…
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
..
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jadvalning yuqori dioganali bo‘ylab hosil bo‘lgan (tagiga chizilgan) koeffitsientlar asosida interpolyatsion ko‘pxad quyidagicha ifodalanadi.
(2.13)
(2.13) formula teng oraliqlar uchun Nyuton interpolyatsion ko‘pxadi deyiladi.(2.13) ko‘phad asosida biror qiymatni aniqlash uchun avval =t
formulaga ko‘ra t topiladi va (2.13) formulaga qo‘yib topiladi.
Quyidagi misolni ko‘ramiz. Funksiyaning
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
|
2
|
2,3
|
2,5
|
2,3
|
2,2
|
qiymatlar jadvaliga ko‘ra Nyuton interpolyasion ko‘phadini tuzing va qiymatini aniqlang. Avvalo chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz.
|
|
1- tartibli
|
2-
tartibli
|
3-
tartibli
|
4-
tartibli
|
,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
,3
|
2,3
|
|
|
|
|
|
|
0,2+
|
|
|
|
0
,4
|
2,5+
|
|
-0,4-2
|
|
|
|
|
-0,2-
|
|
0,5+3
|
|
0
,5
|
2,3
|
|
0,1+
|
|
|
|
|
-0,1
|
|
|
|
0
,6
|
2,2
|
|
|
|
|
Bu jadval asosida Nyuton interpolyatsion ko‘phadi
tuziladi.x=0,25 qiymatga ko‘ra topiladi. Bu qiymat
bo‘yicha funksiya taqribiy qiymati topiladi. Jadvalda
shuningdek funksiya qiymatlarida bartaraf qilib bo‘lmas xatolik mavjud bo‘lsa uning chekli ayirmalar jadvali bo‘yicha yoyilishi va natijaga ta’siri sxematik tarzda ifodalangan. Bu erda qiymatda tartibdagi xatolik bo‘lgan xol
namoyish qilingan.
Amaliyotda approksimatsiya masalasini echishda quyidagi usuldan
foydalanishni tavsiya qilish mumkin. Funksiyaning qiymatlar jadvalidagi bartaraf qilib bo‘lmas xatolik tartibiga ko‘ra, hamda jadval qadami ga ko‘ra
interpolyasion ko‘phadning samarali darajasi tanlanadi. So‘ngra kerakli qiymatga qarab jadval qismi tanlanadi va interpolyatsion ko‘phadni jadvalning aynan tanlangan qismi bo‘yicha tuziladi. Tuzilgan ko‘phad yordamida funksiyaning izlanayotgan qiymati hisoblanadi.
Bu qoidani quyidagi misolda tadbiq qilish namunasini ko‘ramiz. Funksiya qiymatlar jadvali
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
|
2,71
|
2,65
|
2,53
|
2,45
|
2,37
|
2,5
|
2,61
|
2,75
|
2,9
|
3,21
|
ko‘rinishda berilgan bo‘lib, bu qiymatlar tarkibida o‘lchov vositalari shkala ko‘rsatkichlarini yaxlitlash hisobiga 0,005 tartibida yaxlitlash xatoligi mavjud bo‘lsin. SHu ma’lumotlar asosida ) qiymatini topish talab qilinayotgan
bo‘lsin.
Vaziyatdan ko‘rinib turibdiki bartaraf qilib bo‘lmas xatolik
bo‘lgan jadval qiymatlar asosida funksiya qiymatini undan aniqroq topishning iloji yo‘q. Berilgan jadvalda bo‘lib, to‘liq jadval asosida tuzilgan interpolyatsion
ko‘pxad darajasi 9 bo‘lib, 0.1 bo‘lganligi uchun xatolik tartibi
110) bo‘ladi. Mantiqan bunday aniqlikka erishish mumkin emas.
CHunki jadval qiymatlarida xatolik bor. SHuning uchun interpolyatsion ko‘pxad samarali darajasini aniqlash kerak bo‘ladi. Buning uchun
Tenglikni tavsiya qilish mumkin. Bundan =2 etarli ekanligi ko‘rinadi.
Demak 2-darajali interpolyatsion ko‘pxad tuzsak xam etarli bo‘lar ekan. Buning uchun esa 3 ta jadval qiymat etarli bo‘ladi. Jadvaldan 0,45 o‘z ichiga
oladigan ;0,6 qiymatlarga mos qismini olish mumkin. Quyida
amaliy xisoblar tartibi ko‘rsatilgan. =2 bo‘lganligi uchun chekli ayirmalar jadvalini 2-tartibgacha olib borish etarli.
|
|
|
|
|
0
|
2,71
|
|
|
|
|
|
-0,06
|
|
|
0,1
|
2,65
|
|
-0,06
|
|
|
|
-0,12
|
|
0,1
|
0,2
|
2,53
|
|
0,04
|
|
|
|
-0,08
|
|
-0,04
|
0,3
|
2,45
|
|
0
|
|
|
|
-0,08
|
|
0,21
|
0,4
|
2,37
|
|
0,21
|
|
|
|
0,13
|
|
-0,23
|
0,5
|
2,5
|
|
-0,02
|
|
|
|
0,11
|
|
0,05
|
0,6
|
2,61
|
|
0,03
|
|
|
|
0,14
|
|
-0,02
|
0,7
|
2,75
|
|
0,01
|
|
|
|
0,15
|
|
0,15
|
0,8
|
2,9
|
|
0,16
|
|
|
|
0,31
|
|
|
0,9
|
3,21
|
|
|
|
Jadvalni ajratilgan qismi va belgilangan koeffitsentlar asosida Nyuton interpolyatsion ko‘pxadini tuzamiz.
Bu erda =0,1 bo‘lgani uchun 0,5 bo‘ladi va
Odatda natijalar ishonchli raqamlar bilan ifodalanganligi ma’qul. Bizda interpolyatsion ko‘pxad xatoligi tartibda bo‘lganligi uchun natija
yaxlitlangan.
Agar jadvaldagi yaxlitlash yoki aniqlash xatoliklari 005
tartibda bo‘lsa ya’ni 3-darajali ko‘phad tuzilgan bo‘lar edi. Umumiy qoida sifatida to‘liq jadval uchta qismga ajratilsa
0,9} va har biri uchun aloxida
interpolyatsion ko‘phadlar tuzilsa, butun jadval qamrab olinadi. Tuzilgan ko‘phadlarni )(X) deb belgilasak istalgan 0,9)
qiymat uchun jadval qismiga qarab kerakli ko‘phad tanlanib funksiya qiymatini aniqlash mumkin.
|