O’qitish uslubi - Chiziq orasidagi burchak. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi. Sirt ustidagi chiziq egriligi. Mene teoremasi

O’qitish uslubi va texnikasi
|
Ko’rgazmali ma’ruza, suhbat
|
O’qitish shakli
|
Ommaviy, jamoaviy
|
O’qitish vositalari
|
O’quv qo’llanma, proyektor
|
O’qitish shart-sharoiti
|
zoom
|
Ma’ruza mashg’ulotining texnologik haritasi
Ish bosqichlari va vaqti
|
Faoliyat mazmuni
|
Ta’lim beruvchi
|
Ta’lim oluvchilar
|
1-bosqich.
Kirish
|
1.1. Mavzu, uning maqsadi, o’quv mashg’ulotidan kutilayotgan natijalar ma’lum
qilinadi.
|
1.1. Eshitadi, yozib oladi.
|
2-bosqich Asosiy
|
Musbat aniqlangan kvadratik forma,
Sirtning birinchi kvadratik formasi, 2.3Funksiya shaklida berilgan sirt
Aylanma sirt, sirtdagi silliq sirt, yoy uzunligi.
Sirtning birinchi kvadratik formasi ta'rifini
|
Tinglaydilar, yozadilar
Talabalar berilgan
|
|
ayting.
Sirtning birinchi kvadratik formasi musbat aniqlanganligini ko'rsating.
Sirtning birinchi kvadratik formasi koef- fitsientlari uchun ifodalarni keltirib chiqaring.
Sirt ustidagi chiziq yoyining uzunligi formulasini keltirib chiqaring.
Aylanma sirtning birinchi kvadratik formasini toping.
Funksiya grafigi shaklida berilgan sirtning birinchi kvadratik formasini toping.
|
savollarga javob beradilar.
|
3- bosqich Yakuniy
|
Mavzuga yakun yasaydi va talabalar e’tiborini asosiy masalalarga qaratadi.Faol ishtirok etgan talabalarni rag’batlantiradi. Mustaqil ish uchun vazifa: “ Sirtning birinchi kvadratik formasi ” so’ziga klaster tuzishni
vazifa qilib beradi, baholaydi.
|
Eshitadi aniqlashtiradi.
Topshiriqni yozib oladi.
|
Mavzu 5. Sirtning birinchi kvadratik formasi. Misollar.
S tenglamasi
r = r (u, v),
(u, v) D,
bo'lgan silliq sirt va
ru rv 0
bo'lsin.
Sirtning birinchi kvadratik formasi deb ushbu
I = dr 2
ifodaga aytiladi.
r (u, v)
vektor funksiyaning differentsiali
dr = ru du rv dv
bo'lganligi sababli, uning skalyar kvadrati quyidagiga teng:
u v u u v v
dr 2 = (r du r dv)2 = r 2du2 2(r , r )dudv r 2dv2.
Bu ifoda S
sirtning har bir nuqtasida
du va
dv differentsiallarning
kvadratik formasidir. Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangandir. Haqiqatdan,
r 2 > 0 va birinchi kvadratik forma determinanti
u v u v u v
r 2r 2 (r , r )2 = (r r )2 > 0
bo'lgani uchun I musbat aniqlangandir. Odatda, birinchi kvadratik forma
koeffitsientlari uchun quyidagicha belgilashlar ishlatiladi:
E = r 2, F = (r , r ), G = r 2.
u u v v
Shu sababli, birinchi kvadratik formani quyidagicha yozish mumkin:
I = Edu2 2Fdudv Gdv2 , EG F 2 > 0.
Endi koeffitsentlarning koordinatalarga nisbatan ifodalarini keltiramiz.
r (u, v) = {x(u, v), y(u, v),z(u, v)},
(u, v) D,
hamda
ru = {xu , yu ,zu },
rv = {xv , yv ,zv },
bo'lgani uchun koeffitsientlarni ushbu
u u u
E = x2 y2 z2 ,
F = xu xv yu yv zu zv ,
v v v
G = x2 y2 z2 ,
formulalarni topish mumkin.
Misollar
Sirt differentsiallanuvchi
z = f ( x, y)
funksiya grafigi shaklida berilgan
bo'lsin. O'zgaruvchi nuqtaning radius vektorini quyidagicha yozamiz:
r = r (u, v) = {x, y, f (x, y)}.
U holda
ekanligidan
ru = rx ={1,0, fx},
rv = ry ={1,0, fy},
E = r 2 = 1 f 2, F = r r = f f , G = 1 f 2
u x u v x y y
kelib chiqadi va birinchi kavdratik forma ushbu
x x y y
I = (1 f 2 )dx2 f f dxdy (1 f 2 )dy2
shaklga ega bo'ladi.
Aylanma sirtlar,
xOz
tekisligida joylashgan
L chiziqning Oz
o'qi
atrofida aylanishdan hosil bo'lgan sirtni qaraylik. Farz qilaylik L chiziq
x = f (u) > 0; z = g(u)
parametrik tenglama bilan berilgan bo'lsin. (
f (u) > 0
shart chiziqning
aylanish o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirtni qaraylik.) Sirtdagi biror P
nuqtaning holatini aniqlash uchun u parametrning qiymatini, ya'ni berilgan L
chiziqdagi P0
nuqta va
L chziqning Oz
o'qi atrofida aylanish burchagi
v ni bilish
etarlidir.
P nuqtaning
x, y, z
koordinatalari u
va v
orqali quyidagicha ifodalanadi:
x = f (u) cos v,
y = f (u) sin v,
z = g(u).
Endi aylanma sirtning birinchi kvadratik formasini topomiz. Quyidagilardan
r = { x , y , z } = { f ' ( u) cos v, f '( u) sin v, g '( u),}
u u u u
rv = { xv , yv , zv } = { f ( u) sin v, f ( u) cos v, 0,}
ushbuni hosil qilamiz:
Demak
E = f '2 g'2 ,F = 0,G =
f '2.
I = ( f '2 g'2 )du2 f '2dv2.
Sirt ustidagi chiziq yoyining uzunligi
r = r (u, v)
tenglama bilan berilgan
S sirtdagi
L chiziq quyidagicha
berilishi mumkin. Faraz qilaylik,
u = u(t),
v = v(t)
- t [a, b]
parametrning uzluksiz
differetsiallanuvchi funksiyalari bo'lsin. U holda
r (t) = r (u(t), v(t))
tenglama S sirtda yotuvchi chiziqni aniqlaydi. Bu chiziqning yoy
uzunligini topaylik. Yoy uzunligi differentsialini topish formulasiga ko'ra
ds =| dr |=| r ' (u(t), v(t)) | dt = = I ,
b
t t t t
bu yerdan esa ushbuga kelamiz:
b
s = a
= a
Eu'2 2Fdu'dv' Gdv'2 dt
Sirtning ikkinchi kvadratik formasi.
F: r r u, v sirtning ikkinchi kvadratik formasi
II d 2r n Ddu2 2Ddudv D dv2 , bunda D, D, D koeffisiyentlar ushbu formulalar bilan aniqlanadi:
r r r
xuu yuu zuu
D
D
uu u v
ruv ru rv
x y z ;
|
u
xv
|
u
yv
|
u
zv
|
|
xuv x
|
yuv y
|
zuv zu
|
u u ;
r r r
xv yv zv
xvv yvv zvv
|