Poznámka - 1 elementárna kvantová mechanika

Poznámka
Pozrime sa teraz na základné veličiny atómovej fyziky z trocha iného hľadiska. Predpokladáme, že v atóme bude mať dôležitú úlohu coulombovská interakcia, do ktorej vstupuje elementárny náboj v kombinácii Ke2 (kde K = 1/(40)), ďalej bude dôležitá veľkosť hmotnosti elektrónu me a ak je dynamika sústavy kvantová, objaví sa v teórii určite Planckova konštanta ħ. Rozmery týchto veličín sú po rade
[ħ] = Js = kg m2 s−1
[Ke2] = Nm2 = kg m3 s−2
[me] = kg
Pozrime sa teraz na to, ako môžeme pomocou týchto troch veličín skonštruovať veličiny s rozmerom dĺžky, rýchlosti, energie a momentu hybnosti. Postup si ukážeme na prípade dĺžky. Označme veličinu dĺžky ako a1 a zapíšeme
a1 = (ħ) (Ke2) (me)
Koeficienty , , určíme z toho, aby rozmery výrazov na ľavej a na pravej strane boli rovnaké. Rozmer veličiny na ľavej strane je m, ale zapíšeme ho ako m1 kg0 s0. Pravú stranu rozpíšeme podrobnejšie a máme
m1 kg0 s0 = (kg m2 s−1) (kg m3 s−2) (kg) =
= (kg) + + m2 + 3 s− − 2
Porovnaním rozmerov na obidvoch stranách dostaneme podmienky
l = 2 + 3
0 = + +
0 = + 2
Riešením týchto troch rovníc je = 2, = = −1 a dostávame
Táto veličina, nazývaná Bohrovým polomerom (atómu vodíka) je najjednoduchšou veličinou s rozmerom dĺžky, ktorú môžeme skonštruovať z veličín ħ, me, Ke2 a možno teda očakávať, že a1 bude typická dĺžka v atómovej fyzike. Podobne môžeme skonštruovať typickú rýchlosť v1 a energiu E1. Dostaneme tak
ms−1
eV
Vo vzťahu pre energiu sme tu do výrazu pridali faktor 1/2, aby číselná hodnota E, nebola dvojnásobkom (ale priamo rovná) energii väzby v základnom stave atómu vodíka8.
Predchádzajúca jednoduchá rozmerová analýza naznačuje, že v atómovej fyzike budú mať fyzikálne veličiny rozmeru dĺžky, rýchlostí a energie veľkosť rádové rovnú a1, v1, E1. Myslené je to tak, že pri jednoduchej teórii „šitej na mieru“ daného okruhu problémov je prirodzené dostať vo výsledkoch číselné faktory typu 1/4, 2, /2 a pod., ale je menej prirodzené prísť pre niektorú z veličín k výsledku typu 1,74192632 . 1011. Ak je kvantová teória „šitá na mieru“ problémov atómovej fyziky, potom naozaj očakávame, že veličiny charakterizujúce štruktúru atómu, ktoré majú rozmery dĺžky, rýchlosti, energie a momentu hybnosti sú rádové rovné a1, v1, E1, ħ. Pri riešení kvantovomechanických problémov je preto spravidla užitočné prejsť k bezrozmerným premenným, čo prakticky znamená, že dĺžku meriame v jednotkách a1, energiu v jednotkách E1 atď. Toto je fyzikálny obsah viet typu „pomocou substitúcie…. prejdeme k bezrozmerným premenným“, s ktorými sa ešte viackrát stretneme pri riešení Schrödingerovej rovnice9 Výsledok získaný predchádzajúcou jednoduchou rozmerovou analýzou možno zhrnúť takto: najjednoduchšie veličiny s rozmermi dĺžky, rýchlosti, energie a momentu hybnosti skonštruované z veličín ħ, Ke2, me majú veľkosti typické pre veľkosti základných veličín atómovej fyziky. O tom, že tento fakt je netriviálny sa najjednoduchšie presvedčíme tým, že skúsime niečo čo „nepracuje“. Predstavme si napríklad, že by sme chceli „vyrobiť“ nekvantovú relativistickú teóriu štruktúry atómu. Potom by základnými veličinami boli me, Ke2 a rýchlosť svetla c (pretože teória by bola nekvantová, Planckova konštanta by nehrala podstatnú úlohu).
V tejto situácii by sme pre jednoduchú veličinu s rozmerom energie získali výraz mec2 = 0,511 . 106 eV, pre veličinu s rozmerom dĺžky Ke2/mec2 = 2,818 . 10−15 m, pre rýchlosť, prirodzene, c = 3 . 108 ms−1 a pre moment hybnosti Ke2/c, čo je približne 137-krát menšie ako Planckova konštanta ħ.
„Prirodzené veličiny“ takejto nekvantovej relativistickej teórie by nemali nič spoločné so základnými veličinami atómovej fyziky.
|