Sh. A. Saipnazarov biznes matematika - bet 27

m
m
m
m
n
n
mn
m
a p
a p
a p
v
a p
a p
a
p
v
a p
a p
a p
v
(5.1)
Aniqlik uchun,
0
bo`lsin.
Bunga doimo erishish mumkin, ya`ni agar
A
matrisaning har bir elementiga
biror o„zgarmas S sonni qo„shish, optimal strategiyani o„zgartirmaydi, balki faqat
o„yin narxini S ga oshiradi.
Sistemaning har bir tengsizlikni
0
songa bo„lib, ushbu yangi
o„zgaruvchilarni kiritamiz:
1
2
1
2
,
, ...,
m
m
p
p
p
X
X
X
.
U holda (5.1) sistema, quyidagi ko„rinishni oladi:
11
1
21
2
1
12
1
22
2
2
1
1
2
2
1,
1,
1,
0,
1,
m
m
m
m
n
n
mn
m
i
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
X
i
m
(5.2)
So„ngra quyidagi tenglikni ko„ramiz:
1
2
1
m
p
p
p
.
Bu tenglikni
0
songa bo„lib, quyidagini hosil qilamiz:
1
2
1/
m
X
X
X
66
min
2
1
m
X
X
X
X
F
(5.3)
A
o„yinchining
maqsadi
o„zining
kafolatlangan
yutug`ini
maksimallashtirish, ya`ni o`yinning narxi,
ni maksimallashtirish bo`lib, bu esa,
1/
miqdorni minimallashtirishga ekvivalentdir. Shuning uchun
masala
quyidagicha qo`yi
ladi:
0,
1, 2,
,
i
X
i
m
o„zgaruvchilarni shunday qiymatlarini
aniqlash kerakki, bunda ular (5.2) sistemani qanoatlantirib, (20.5.3) funksiyaga
minimal qiymat bersin.
Hosil bo„lgan chiziqli programmalashtirish masalasining matematik
modelini keltiramiz.
A
o`yinchining matematik modeli
B
o`yinchining matematik modeli
min
2
1
m
X
X
X
X
F
;
11
1
21
2
1
12
1
22
2
2
1
1
2
2
1,
1,
1.
0,
1,
m
m
m
m
n
n
mn
m
i
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
X
i
m
1
2
max
n
S Y
Y
Y
Y
11 1
12 2
1
21
1
22 2
2
1 1
2 2
1,
1,
1.
0,
1,
n n
n n
m
m
mn n
j
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
Y
j
n
Ko„rinib turibdiki, bu o„zaro ikkilangan juft chiziqli programmalashtirish
masalasini ifodalaydi. Ularning yechimi mazkur o„yin masalasining yechimidir.
Bunda:
n
j
Y
v
q
m
i
X
v
p
Y
S
X
F
v
j
j
i
i
,
1
,
;
,
1
,
;
*
1
*
1
*
*
*
*
(5.4)
Demak, matrisali o„yin masalasini, chiziqli programmalashtirish masalasi
usullari bilan yechish, quyidagi bosqichlardan iborat bo„ladi.
1. Berilgan juft o„yin masalasiga ekvivalent, o„zaro juft ikkilangan chiziqli
programmalashtirish masalasini tuzish.
2. Ikkilangan masalaning optimal rejalarini aniqlash.
3. Ikkilangan masalaning optimal rejalaridan foydalanib, optimal strategiyalarni
va o„yin narxini aniqlash (5.4).
Chekli mxn o
„
lchamli matrisali o
„
yinni, chiziqli programmalashtirish
masalasiga keltirish uchun tavsiyalar quyidagi sxema bo`yicha bo`ladi
1. To„lov matrisasidagi qulay bo„lmagan strategiyalar tashlab yuborilib, to„lov
matrisasi yetarlicha soddalashtiriladi.
2. O„yinning quyi va yuqori narxlari aniqlanib, egar nuqtaning mavjudligi
tekshiriladi. Agar egar nuqta mavjud bo„lsa, unga mos strategiyalar, optimal
strategiyalar bo„lib, o„yinning narxi, quyi (yuqori) narx bilan mos tushadi.
3. Agar egar nuqta mavjud bo„lmasa, yechim aralash strategiyalarda topiladi.
Agar to„lov matrisasi 2xn yoki nx2 o„lchamli bo„lsa, o„yin grafik usulda yechiladi.
67
Agar to`lov matrisasi mxn o„lchamli bo„lsa, chiziqli programmalashtirish
masalasiga keltirilib, simpleks usul orqali masalaning yechimi aniqlanadi.
Mustaqil yechish uchun misollar
To‘lov matrisasini soddalashtiring va uning yechimini aniqlang.
1.
2
3
1
3
2
4
0
4
3
. 2.
2
1
4
1
5
1
1
3
4
. 3.
3
2
6
2
4
1
2
0
1
0
6
2
2
1
5
0
. 5.
6
3
5
2
1
7
9
4
4
4
0
5
3
6
4
4
.
To‘lov matrisasidan foydalanib o‘yinning optimal strategiyasi va
narxini aniqlang.
6.
2
5
6
4
A
. 7.
1
4
3
2
0
5
A
. 8.
4 7
9
3
5 9
6 9
A
. 9.
10
5
2
1 9
7
A
.
10.
2 3 1 4
3 2
4 1
A
. 11.
4
2
2
2
5
0
0
2
5
. 12.
4
2
1
0
1
2
3
2
0
.
13.
4
9
5
3
7
8
6
9
7
4
2
6
8
3
4
7
. 14.
1
2
1 5
2
3
2
5
0
2
1
3
2
3
2
3
.
To‘lov matrisasidan foydalanib, o‘yinning optimal strategiyasi va
narxini grafik usulda toping.
15.
2
2
1
1
. 16.
2
3
1
2
. 17.
4
2
1
3
. 18.
1 6
1
1
. 19.
2
5
6
4
. 20.
1
3
6
2
.
21.
3
2
1
4
. 22.
1
4
5
0
. 23.
4
7
9
3
. 24.
4
7
5
9
. 25.
6
9
4
7
.
68
VI-bob. Chiziqsiz programmalashtirish
6.1. Chiziqsiz programmalashtirish masalasining qo’yilishi va turlari
Ko„pgina iqtisodiy vaziyatlar chiziqli modellar bilan ifodalanmaydi.
Hayotda chiziqli modellar kam uchraydi.
Masalan,
x
birlik tovarni
p
narxdan
sotib
px
daromadni hosil qilar edik. Daromadning narxga to„g„ri proporsional
ekanligi kelib chiqadi. Lekin hayotda narx talabga bog„liq ravishda o„zgarib, ularni
sotish hajmi talab va tovar narxiga bog„liq bo`ladi. Sotish hajmi narxga bog„liq
bo`lgan
f p
funksiyadan iborat bo„lsa, u holda daromad
p f p
ga teng bo„lib, bu
esa
p
o„zgaruvchiga nisbatan chiziqsiz funksiyadan iborat bo„ladi.
Iqtisodiyotda korxona faoliyati natijalarining o„sishi yoki kamayishi,
resurslarning
o„zgarishiga proporsional ravishda o„zgarmaydi, masalan,
tovarlarning ko„pligidan talabning kamayishi, buning asosida esa, har bir tovarning
sotilishi avvalgisidan ham mushkullashib boradi.
Iqtisodiyot masalalari ko„p faktorlarga asoslangani uchun, ularning o„zgarish
qonuniyatlari chiziqsiz modellarga olib keladi. Shuning uchun chiziqsiz modellarni
yechish zaruriyati kelib chiqadi.
Chiziqsiz programmalashtirish
– matematik programmalashtirishning bir
bo`limi bo„lib, masalalarning ekstremal qiymatini aniqlashning nazariyasi va
yechish usullaridan iborat hamda, maqsad funksiya yoki chegaraviy shartlar (yoki
ikkalasi ham birgalikda) izlanayotgan miqdorning chiziqsiz ekanligiga asoslanadi.
Chiziqsiz programmalashtirishning umumiy matematik modeli: shunday
1
2
,
, ...,
n
x
x x
x
vektorni topish kerakki, u quyidagi chegaraviy shartlarni
qanoatlantirib
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
,
, ...,
,
1,
;
,
, ...,
,
1,
;
,
, ...,
,
1,
,
i
n
i
i
n
i
i
n
i
g x x
x
b
i
m
g x x
x
b
i
m
m
g x x
x
b
i
m
m
maqsad funksiyasiga
,
,...,
,
2
1
n
x
x
x
f
X
F
ekstremum qiymat bersin. Bunda
,
1,
j
x
j
n
o„zgaruvchilar;
,
,
1,
i
L f g i
m
- berilgan funksiyalar;
i
b
- fiksirlangan qiymatlar.
Chiziqsiz programmalashtirishning, chiziqli programmalashtirishdan farqi
shundaki, bunda yagona yechish usuli mavjud emas. Maqsad funksiyaning va
chegaraviy shartlarga asoslanib maxsus yechish usullari ishlab chiqilgan. Bularga,
Lagranjning ko„paytuvchilar usuli, kvadratik va qavariq programmalashtirish,
gradientlar usuli, taqribiy yechish usuli, grafik usullar mavjud.
Chiziqsiz programmalashtirishda maqsad funksiyaning global maksimum
yoki minimumini aniqlash talab etiladi. Funksiyaning
global maksimumi
(
minimumi
), bu uning lokal maksimumlari orasidan eng kattasi (eng kichigi), yoki
yopiq soha chegarasidagi funksiyaning maksimum (minimum) qiymatidan iborat.
69
Ta`rif. S
to„plamda aniqlangan
f x
funksiyaning,
0
x
S
nuqtada global
minimumga ega bo`lishi uchun, quyidagi tengsizlikning
0
f x
f x
,
x
S
,
bajarilishi zarur va yetarli.
|