Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan yechish

|
Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan yechish
|
bet | 3/8 | Sana | 16.05.2024 | Hajmi | 1,63 Mb. | | #238701 |
Bog'liq Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan sonli yechish 1.2. Integral tenglamalarni chekli yig’indilar usuli bilan yechish.
Chekli yig’indilar usuli
Ushbu aniq integralni kvadratura formulasi yordamida taqribiy yechishga asoslanadi, ya’ni aniq integralni quyidagicha ifodalaymiz:
, (1.2.1)
bu yerda segmentdagi nuqtalar; funksiyaning tanlanishidan bog’liq bo’lmagan sonli koeffitsiyentlar va (1.2.1) formulaning qoldiq hadi. Odatda sonli koeffitsiyentlar va quyidagicha tanlanadi:
va .
Masalan:
, ,
bo’lsa, sonli koeffitsiyentlar uchun quyidagilar o’rinli:
To’g’ri to’rtburchak formulasi uchun:
, , ;
Trapetsiya umumiy formulasi uchun:
, ;
bo’lgandagi barcha turdagi Simpson formulasi uchun:
,
,
.
Endi berilgan ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi
. (1.2.2)
ni yechish maqsadida da nuqtalarni va ushbu
, , ,
belgilashlarni kiritamiz. U holda, (1.2.1) formulaga asosan, ushbu
. (1.2.3)
tenglamalarni hosil qilamiz, bunda -kvadratur, -yechim va -taqribiy yechim orasidagi hatolik.
(1.2.3) sistemada miqdorni tashlab, ushbu
. (1.2.4)
chiziqli algebrik sistemani hosil qilamiz. Ushbu
Kroneker belgisini kiritsak quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
,
Bu yerda (1.2.4) sistemani quyidagicha yozish mumkin:
. (1.2.4*)
Agar
, (1.2.5)
Tenglik bajarilsa, (1.2.4*) yagona yechimga ega bo’ladi. Bu yechimlarni Gauss yoki biror usul bilan toppish qiyinchilik tug’dirmaydi.
, sonlarni topib, (1.2.2) tenglamaning yechimi uchun taqribiy analitik ifodasini hosil qilamiz:
. (1.2.6)
algebraik tenglamaning turli ildizlari bo’lgan sonlar, umuman olganda yadroning tqribiy xos qiymatlarini ifodalaydi.
Agar -orqali
, (1.2.7)
bir jinsli tenglamalar sistemasining nolda farqli yechimlarini belgilasak, u holda yadroning taqribiy xos funksiyalari uchun ushbu
,
ifoda aniqlanadi.
Chekli yig’indilar usulini birinchi tur Fredgolm integral tenglamasi
uchun ham qo’llasa bo’ladi. Bu holda yechimning nuqtalardagi taqribiy qiymatlari quyidagi sistema yordamida aniqlanadi (1.2.1-rasm):
. (1.2.8)
Ikkinchi tur Volter integral tenglamasi uchun chekli yig’indilar usulini qo’llash juda oddiydir. Buning uchun
,
tenglamani ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi sifatida qaraymiz. Bu holda, agar bo’lsa,
bo’ladi. Shunga ko’ra (1.2.4) ga mos sistema quyidagicha bo’ladi:
. (1.2.9)
yani uchburchak matritsali tenglamalar sistemasini hosil qilamiz (1.2.2-rasm).
1.2.1-rasm. Ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasini chekli yig’indilar usuli bilan yechishning blok-sxemasi.
1.2.2-rasm. Ikkinchi tur Volter integral tenglamasini chekli yig’indilar usuli bilan
yechishning blok-sxemasi.
Agar
, (1.2.10)
tenglik bajarilsa, u holda (1.2.9) sistemadan ketma-ket sonlarni quyidagicha topamiz:
Eslatib o’tish joizki, berilgan da (1.2.10) shartni bajarish uchun sonli koeffitsiyentlarni yetarlicha kichik qilib olamiz.
Misol. Chekli yig’indilar usuli yordamida ushbu
integral tenglamaning taqribiy yechimini toping.
Yechish. Tugun nuqtalar sifatida , , deb olamiz. Bu nuqtalarga mos yadro va funksiyalarning qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan:
qiymatlari jadvali.
x
t
|
0
|
0,5
|
1
|
0
0,5
1
|
0
0
0
|
0,5000
0,6420
1,3592
|
1
1,6487
2,7183
|
qiymatlari jadvali.
Simpson kvadratura formulasi
dan foydalanib, yechimning tugun nuqtalari taqribiy qiymatlari uchun quyidagi sistemani hosil qilamiz:
bu yerda esa soddalshtirishlardan keyin
sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechsak,
; ; .
Taqribiy yechim esa quyidagi formula bilan ifodalanadi:
.
Osongina tekshirish mumkinki, misolda berilgan tenglamaning aniq yechimi ga teng bo’ladi.
|
| |