Kub tenglamalarni yechishning yana bir usuli

UDK: 514.74
KUB TENGLAMALARNI YECHISHNING YANA BIR USULI
G.Gaymnazarov, A.Nurbayev
Guliston davlat universiteti
E-mail: a-nurbaev@inbox.uz
Uchinchi darajali tenglamani XI asrda Umar Xayyom (1048-1123) birinchi marta geometrik usulda yechgan edi.Umar Xayyom (taxallusi; asl ism-sharifi Gʻiyosiddin Abulfath Umar ibn Ibrohim Xayyom Nishopuriy) (1048.18.5, Nishopur - 1131.4.12) - matematik, astronom, faylasuf, hakim va mutafakkir shoir. Nishopurda boshlangich maʼlumotni olgach, Balx, Buxoro va Samarqandda tahsil koʻrgan. U uchinchi darajali tenglamani aylana va parabola tenglamalariga ajratib ularning kesishish nuqtasining berilgan tenglamaning yechimi ekanligini isbotlagan edi. Uning koordinitalar sistemasidagi o’qlar chapdan o’ngga va yuqoridan pastga qarab yo’naltirilgan (Gaymnazarov va b., 2014). XVI asr boshida italiyalik Ferro (1465-1526)
x3 px q=0 (1)
ko’rinishdagi tenglamaning yechish usulini topgan edi. Italiya (Italia), Italiya Respublikasi (Repubblica Italiana) - Yevropa jan. da, Oʻrta dengiz havzasida joylashgan davlat. Apennin ya.o., Sitsiliya, Sardiniya va b. kichik orollarni oʻz ichiga olgan. Mayd.
1545 yilda italiyalik Kardano (1501-1576) (1) ko’rinishdagi tenglamani italiyalik Tartalya (1500-1557) ko’rsatgan usulda bayon etdi (Kurosh, 1976).
Biz yuqorida qayd etilgan usuldan jiddiy farq qiluvchi usulni bayon qilamiz.
Quyidagi usul yuqorida qayd qilingan usullardan jiddiy farq qiladi.
Biz
x3 c1x2 c2x c3=0 (2)
tenglamani ko’rib o’tamiz , bunda c1, c2, c3 berilgan sonlar (haqiqiy yoki kompleks)
Agar
x=t c1/3
almashtirish bajarilsa (2) tenglama
t3 at b=0
ko’rinishga keladi, ya’ni (1) ko’rinishda bo’ladi.
Biz (2) dan
x3=-c1x2-c2x-c3 (3)
deb yozamiz.
1683 yilda Chirngauz taklif qilgan
almashtirishdan foydalanamiz (Prosolov, 2003), bunda - sonlar hozircha noma’lum (haqiqiy, kompleks). Bu almashtirish va (3) ga asosan
tengliklarni hosil qilamiz, bunda x3=-c1x2-c2x-c3 . Shunday qilib biz
tenglamalar sistemasiga egamiz. Bu sistemani
(A)
ko’rinishda yozamiz.
Endi
z1=1, z2=x, z3=x2 (*)
deb belgilaymiz. U holda (A) ni
ko’rinishda yozamiz. Buni larga nisbatan bir jinsli tenglamalar sistemasi deb qaraymiz. Uning nol bo’lmagan yechimlari cheksiz ko’p. Bir jinsli tenglamalar sistemasining nol bo’lmagan yechimlaridan biri.
z1=1, z2=x, z3=x2 ekanligi (ya’ni (*) ekanligi) (A) sistemadan ko’rinib turibdi.
Shuning uchun oxirgi sistemada
(B)
bo’lganda qaralyotgan sistema nolmas yechimlarga ega bo’ladi.
Endi (B) tenglikdan (determinantini yoyib)
tenglamaga ega bo`lamiz va buni quyidagi ko`rinishda yozsak
(**)
tenglamaga ega bo’lamiz, bunda
d1, d2, d3 (C)
sonlar larga bog’liq sonlar . Shu bilan birga o’z navbatida sonlar sonlar bilan ifoda etiladi.
Xuddi shunday sonlar ham lar orqali ifoda etiladi.
Demak (C) sonlar lar orqali ifodalanadi.
Endi larni
(D)
Ya`ni
shartni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz, bunda larning birortasini parametr deb olish kerak.
Natijada (D) ga asosan (**) tenglama
(E)
ko’rinishga keladi.
(E) tenglamadan Muavrning ikkinchi formulasiga ko`ra ildiz chiqarsak uchinchi darajali ildizdan larni topamiz.
Endi
(F)
almashtirishga asosan yi (i=1,2,3) larni qiymatlarini qo’ysak uchta kvadrat tenglama hosil bo`ladi. Bu kvadrat tenglamani yechamiz, bu erda lar (D) dan aniqlanadi.
Oxirgi (F) ni kvadrat tenglama sifatida yechamiz.
U holda:
noma’lumlarni topgan bo’lamiz.
Shunday qilib x0=1, x1, x2 yechimlar topilgan bo’ladi, ya’ni (2) tenglamaning yechimlari hosil bo’ladi.
Misol 1.
Bu misolni yechish uchun deb yozamiz
alashtirishni olamiz. U holda
ifodalarni hosil qilamiz va
tenglamalar sistemasini quyidagi ko`rinishda yozamiz
Bu tenglamalar sistemasidan quyidagi determinantni tuzamiz
Bu determinantdan
(**)
uchinchi darajali tenglamani hosil qilamiz.
Endi (**) tenglamani koeffitsentlarini aniqlaymiz.
Endi (D) shartga e’tibor beramiz.
ekanligidan ,
va bundan
kelib chiqadi. Endi ni hisoblaymiz.
Bu ning qiymatiga asosan (E) tenglamani tuzamiz. Bundan
hosil qilamiz. a bi- kompleks sondan ildiz chiqarishga asosan quyidagilarni hosil qilamiz.(triganometrik ko`rinishga keltirib ildiz chiqarish formulasidan foydalanamiz)
ildizlarni hosil qilamiz. Endi va larni aniqlangan qiymatlarida
tenglamalarni yechamiz. Har bir larda
-
uchun larni
-
uchun larni
-
uchun larni aniqlaymiz
Bu topilgan lardan berilgan tenglamani qanoatlantiradiganlarini aniqlaymiz.
To’rtinchi darajali tenglamalarni ham shu usulda yechish mumkinligini boshqa maqolada e’lon qilamiz.
Adabiyotlar ro’yxati:
G.Gaymnazarov va boshq. Umar Xayyom va algebra //Fizika, matematika va informatika. 2014.№ 5.– В.48-52.
A.G.Kurosh. Oliy algebra kursi. Toshkent, 1976. – 496 b. Toshkent - Markaziy Osiyoning eng yirik qadimiy shaharlaridan biri - O‘zbekiston Respublikasining poytaxtidir. Oʻrta Osiyoning yirik sanoat-transport chorraxasi va madaniyat markazlaridan biri. Mamlakatning shimoli-sharqiy qismida, Tyanshan togʻlari etaklarida, 440–480 m teppalikda, Chirchiq daryosi vodiysida joylashgan.
В.В.Просолов. Многочлены.. Москва:МЦНМО, 2003. – 342 c.
Annotatsiya
KUB TENGLAMALARNI YECHISHNING YANA BIR USULI
G.Gaymnazarov, A.Nurbayev
Mazkur maqolada uchinchi darajali tenglamalarni yechishning avval ma'lum bo`lgan usullaridan farq qiluvchi boshqa usul bayon qilinadi.
Tayanch so‘zlar: Uchinchi darajali tenglama, Umar Xayyom, Kardano, Chirngauz.
Аннотация
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Г.Гаймназаров, А.Нурбаев
В данной статье изложен способ решения уравнения третьей степени отличающегося от известных способов.
Ключевые слова: уравнения третьей степени, Умар Хайям, Кардано, Чирнгауз.
Summary
THERE IS ANOTHER WAY TO SOLVE THE CUBIC EQUATIONS
G.Gaymnazarov, A.Nurbaev
This article describes a way to solve the cubic equation different from well known methods.
Key words: equations of the third degree, Umar Khayyam, Cardano, Chirngauz.
|