Topshiriqlar - Kompyuterli boshqarish tizimlari

7– amalıy mashg‘ulot. Furyening diskret almashtirishi
Raqamli tadqiqotlarda diskret Furye o‘zgarishi to‘r funksiyasi va uning
spektral fazodagi tasviri o‘rtasidagi yakkama-yakka muvofiqlikni ta’minlovchi
samarali usuldir. Furye konvertatsiyasi yordamida hisoblash va fizik eksperiment
natijalarini spektral qayta ishlash ilmiy tadqiqotlarda tahlil
qilish imkoniyatlarini
sezilarli darajada kengaytiradi. Ko‘p o‘lchovli yechish uchun ajratish usullarida
matematik fizika muammolari, diskret Furye almashtirishi tejamkor hisoblash
sxemalarini qurish uchun kuchli vositaga aylandi.
To‘r funksiyasidan uning spektriga to‘g‘ridan-to‘g‘ri va teskari o‘tish
imkoniyati spektral fazoda bo‘linish masalasining alohida komponentlarini yechish
imkonini beradi. Bu esa sonli sxemaning samaradorligini
sezilarli darajada
oshiradi. Diskret Furye transformatsiyasi spektroskopiya, tomografiya, signal va
tasvirni qayta ishlashda dasturiy ta'minotning asosiy komponentidir.
Diskret Furye konvertatsiyasi trigonometrik
funksiyalarda ketma-ket
kengaytirish orqali funksiyalarni ifodalashning raqamli algoritmi. Funksiyalarni
trigonometrik qatorga kengaytirish usuli Jan-Batist Jozef Furyega tegishli. 1807
yilda Parij Fanlar akademiyasida "Qattiq jismda issiqlikning tarqalishi
to‘g‘risida"gi ma’ruzasi trigonometrik qatorga kengaytirish orqali issiqlik
o‘tkazuvchanligi muammosini hal qilish uchun ma'qullanmadi va 1812 yilda Furye
Grand mukofotiga sazovor bo‘ldi. Akademiyaning "Issiqlikning analitik nazariyasi"
ishi uchun mukofoti, uning uslubi yanada rivojlangan.
Garmoniklarning spektral fazosiga o‘tish Furye, ayniqsa, optika,
akustika,
elektronika, radiofizika va boshqa ilmiy sohalarda to‘lqin jarayonlarining analitik
va raqamli usullaridan foydalangan holda fundamental va amaliy tadqiqotlarda
samaralidir. Issiqlik o‘tkazuvchanlik muammosini hal qilish uchun matematik
apparat sifatida boshlangan Furye garmonik
usuli hozirgi vaqtda fizik
tadqiqotlarda spektral tahlil uchun kuchli vositaga aylandi.
Teorema diskret Furye konvertatsiyasi bilan chambarchas bog‘liq namunalar,
birinchi marta 1933 yilda V.A. Kotelnikov tomonidan "Telekommunikatsiyada
"efir" va simning o‘tkazuvchanligi to‘g‘risida" maqolasida tuzilgan. Mustaqil
ravishda 1949 yilda K. Shennon ham uning formulasini oldi. Raqamli signalni
qayta ishlash bilan bog‘liq bo‘lgan ushbu teorema optimal namuna olish oralig‘ini
aniqlaydi, uzluksiz funksiya, unda diskret namunalardan asl funksiya to‘liq
tiklanadi. Namuna olish teoremasi aloqa texnologiyalari
sohasida fundamental
ahamiyatga ega va shu bilan birga u hisoblash tajribasi natijalarini qayta ishlash va
taqdim etish vositasidir. Ushbu qo‘llanmada Kotelnikov-Shannon tanlama
teoremasi raqamli tadqiqotda diskret Furye transformatsiyasining ajralmas qismi
sifatida kiritilgan.
Diskret Furye transformatsiyasi keng tarqaldi tezkor algoritmlarni ishlab
chiqishdan keyin taqsimlash transformatsiyalar, ayniqsa, katta o‘lchamli massivlar
uchun hisoblash xarajatlarini sezilarli darajada kamaytirishga imkon berdi. Hozirgi
vaqtda tez Furye o‘zgartirish algoritmlari yaxshi ma'lum va spektral tahlilda keng
qo‘llaniladi.
Signal spektrini olish
Vaqtga bog‘liqlik spektri (funktsiyasi) x(t) uning
garmonik komponentlari
(harmonika) to‘plami bo‘lib, Furye qatorini tashkil qiladi. Davriy funksiyalarning
spektral tahlili Furye qatorining ak, bk koeffitsientlarini topishdan iborat.
bu yerda f1 - takrorlanish chastotasi (yoki birinchi garmonikning chastotasi),
k - garmonik son. Furye qatorining koeffitsientlari ifodalar bilan aniqlanadi.
Diskret Furye konvertatsiyasi X(k), x(n) ketma-ketligi kabi, N davriga ega k
argumentidagi davriy funksiyadir. DFT aniqlangan N chekli uzunlikdagi x(nT)
ketma-ketlikni ifodalash uchun ham ishlatilishi mumkin. n=0, 1 , 2, …, N-1 uchun
va [0, N-1] oraliqdan tashqarida nolga teng. Haqiqatan ham,
bunday ketma-
ketlikni tegishli davriy ketma-ketlikning bir davri deb hisoblash mumkin va (2.8),
(2.9) o‘zgarishlardan foydalanish mumkin.