Tor tebranish tenglamasi - Matematik fizikaning zamonaviy usullari

|
Matematik fizikaning zamonaviy usullari
|
bet | 2/8 | Sana | 10.01.2024 | Hajmi | 0,63 Mb. | | #133684 |
Bog'liq Maxmudov.A1.Tor tebranish tenglamasi. Mexanikaning (Tor, sterjen, membrana, uch o’lchovli hajmlarning tebranishlari), fizikaning (elektromagnit tebranishlar) ko’p masalalari
(1.1.1)
ko’rinishidagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi u(x,t) noma’lum funksiya n ta fazoviy koordinatalarga hamda t vaqtga bog’liqdir. -koeffisiyentlar tebranish sodir bo’layotgan muhitning xossalari bilan aniqlanadi, ozod had F(x,t) esa tashqi ta’sirning (ya’ni ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning) intensivligini ifodalaydi. (1.1.1) tenglamada ishtirok etayotgan div va grad operatorlar ta’rifiga asosan
(1.1.1) tenglamaning keltirib chiqarilishini tor tebranishining misolida ko’rsatamiz. Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o’lchovlaridan anchagina ortiq bo’ladi. Torga ta’sir qilib turgan taranglik kuchi yetarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilgandagi qarshiligini tarangligiga nisbatan hisobga olmasa ham bo’ladi. Ikki nuqta orasida tarang qilib tortilgan torni tekshiramiz. Aniqlik uchun bu Ox o’qida joylashgan bo’lsin. Biz torning tekis ko’ndalang tebranishini tekshiramiz, ya’ni bu shundy tebranishki tor hamma vaqt bir tekislikda yotadi va torning har bir nuqtasi Ox o’qqa perpendikulyar bo’yicha siljiydi. Bu degan so’z, muvozanat vaqtida x absissaga ega bo’lgan torning nuqtasi Tebranish jarayonida ham shu absissaga ega bo’ladi (1.1.1-chizma)
1.1.1-chizma
Bu nuqtaning ordinatasi u vaqt o’tishi bilan o’zgaradi, ya’ni u torning muvozant holatidan siljishidan iborat. Tor tebranishining matematik qonunini topish uchun u ning t vaqtga bog’liqligini, ya’ni u=u(x,t) funksiyani topish kerak. Biz torning faqat kichik tebranishlarini tekshiramiz, ya’ni u(x,t) va ga nisbatan yuqori tartibli kichiklikdagi miqdorlarni hisobga olamiz.Yuqorida ko’rsatib o’tganimizdek asosan biror fizik jarayonni to’la o’rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang’ich holatini (boshlang’ich shartlarni) va jarayon sodir bo’layotgan sohaning chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.
Matematik nuqtai nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan bog’liqdir.
Oddiy differensil tenglamalar kursidan ma’lumki, n-tartibli
Tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liqdir, ya’ni Bu o’zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya y(x) qo’shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o’zgarmaslarga emas, balki umuman aytganda ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’lib, bu funksiyalarning soni tenglamaning tartibiga teng bo’ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo’ladi.
Jarayon sodir bo’layotgan soha bo’lib, S uning chegarasi bo’lsin. S ni bo’laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. Demak, G (1.1.20) tenglamadagi erkli x o’zgaruvchilarning o’zgarish sohasi, ya’ni (1.1.20) tenglamaning berilgan sohasidir. (1.1.1) va (1.1.8) tenglamalarning berilish sohasi asosi G va balandligi T bo’lgan silindrdan iborat deb hisoblaymiz. Bu silindrning chegarasi uning yon sirti ikkita quyi va yuqori asoslaridan iboratdir (1.2.1-chizma).
1.2.1-chizma.(Jarayon sodir bo’layotgan soha)
(1.1.1), (1.1.8), (1.1.20) tenglamalarning koeffisiyentlarini t o’zgaruvchiga bog’liq emas, bularning fizik ma’nosiga ko’ra deb hisoblaymiz.
Nihoyat ko’rilayotgan tenglamalarning matematik ma’nosiga ko’ra shartlarning bajarilishi ham zarurdir. Bularga asosan (1.1.1) tenglama giperbolik, (1.1.8) parabolik, (1.1.20) esa elliptik tipga tegishli bo’ladi. Differensial tenglamalar uchun, asosan, uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.
|
| |