N-tartipli turaqh koefficientli birtekli siziqli ten’lemeler. Eyler usili

|
N-tartipli turaqh koefficientli birtekli siziqli ten’lemeler. Eyler usili
|
Sana | 27.05.2024 | Hajmi | 300,59 Kb. | | #254894 |
Bog'liq Jumamuratov Mansur
n-tartipli turaqh koefficientli birtekli siziqli ten’lemeler.
Eyler usili
Tayarlagan: Mansur Jumamuratov
Qabillag’an: Jamal Muxiyatdinov
Turaqli koefficientli siziqli differencialliq tenlemeler -
differencialhq tenlemelerdin ogada ahmiyetli turi bolip tabiladi.
Bunday te r ilem e le rg e t e o r iy a liq m exanikan in ham
elektrotexnikanm bir qatar maseleleri keltiriledi.
L[y]=
terilemesin Uyrenemiz, bunda
koefficientleri -turaqli haqiyqiy sanlar.
Bul (43) tenlemenin uliwma sheshimin tabiw mdselesi 9-teoremaga muwapiq, sheshimlerdin fundamentalliq sistemasm tabiw menen baylanisli. (43) tenlemenin sheshimlerinin fundamentalliq sistemasm elementar funkciyalarda duziw mumkin ekenin ko’rsetemiz.
Birinshi tartipli y' + ay = 0 birtekli siziqh tenlemenin sheshimi y — funkciyasi boladi. Usigan uqsas turde (43) tenlemenin dara sheshimin de 1743-jili L. Eyler qollangan metodqa muwapiq,
y=
korsetkishli funkciyasi turinde izleymiz, bunda - ha’zirshe
amq emes bazibir turaqli san. Bul (44) anlatpasin n mdrte x
boyinsha differenciallaymiz:
=
ham bul tuwmdilardi (44) funkciya menen birge (43) tenlemenin sol jagma qoyip,
L[eXx] = eXx(Xn + a, A"”1 + ... + anl A + an) (45)
tenligine iye bolamiz. Bundagi
F(X) = X" + a A’*-v ' 1 1 + ... + a1 1 —1, A + a11
kopagzalisi L operatorina sdykes keliwshi xarakteristikaliq
kopagzali dep ataladi. Bul b e lgilewle rd e (45) teAlik
L[eXx] = eXlF(X) turinde jaziladi.
Eger eXx funkciyasi (43) differencialliq tenlemenin sheshimi bolsa, onda (45) anlatpasi birdeylik turde nolge ten boliwi tiyis. Biraqta, eXx ^ 0 bolgani ushm
F(X) = A” + OjA” 1 + ... + + a„ = 0 (46)
boliwi tiyis. Bul (48) tenleme xarakteristikaliq tenleme dep ataladi. Eger eXx anlatpadagi A sipatmda (46) xarakteristikaliq tenlemenin A^ koreni almsa, onda (45) anlatpa birdeylik t&rde nolge ten boladi, yagmy funkciyasi (43) differencialhq tenlemenin sheshimi boladi. Biraq, (46) xarakteristikaliq tenleme n-darejeli algebraliq tenleme bolganliqtan, ol n korenge iye.
(43) differencialhq tenlemenin sheshimlerinin fundamentalhq sistemasi (46) xarakteristikaliq tenlemenin korenlerinen garezli boladi. Bul korenler xarakteristikaliq sanlar dep ataladi. Mumkin bolgan jagdaylardi qaraymiz.
Xarakteristikaliq tenlemenin barliq korenleri har qiyli ham haqiyqiy korenler bolgan jagday. Meyli (46) xarakteristikaliq tenlemenin barliq A1, A^ • • • > A( korenleri har qiyli him haqiyqiy bolsin. Bul korenlerdi gezek penen (44) formulaga qoyip, (43)
tenlemenin n haqiyqiy dara sheshimlerin tabamiz:
x A, x A x yx = z = e = e (47)
Bul sheshimler fundamentalhq sistema duzetugimn
dalilleymiz. Bunin ushm Vronskiy determinantm duzemiz:
kobeymege ten ham demek, ol nolge aynalmaydi, ager (46) xarakteristikaliq tenlemenin barliq korenleri har qiyh bolsa. Solay etip, W(x) ^ 0 bolganliqtan, (47) sheshimler jiynagi fundamentalliq sistema boladi ham (43) tenlemenin uliwma sheshimi
Sonhqtan, bul dara sheshimler siziqli garezsiz bolip,
sheshimlerdin fundamentalliq sistemasm diizedi. Sonda berilgen tenlemenin uhwma sheshimi
y = c xe + C f *
boladi, bunda C ham C? - erikli turaqlilar.
X a ra k te r is t ik a liq tenlemenin korenleri har qiyli ham kompleks korenler bolgan jagday. Endi (46) xarakteristikahq tenlemenin korenleri M r qiyli, biraq olar ishinde kompleks korenler'bolgan jagdaydi qaraymiz. Bul jagdayda xarakteristikaliq tenlemenin barliq a » = koefficientleri haqiyqiy sanlar bolganliqtan, kompleks korenler tuyinles jubi menen qatnasadi,
mAselen, eger A a + i/3 kompleks sani (46) xarakteristikaliq tenlemenin koreni bolsa, onda ogan kompleks tuyinles bolgan A,2 = a — i/3 sani da usi tenlemenin koreni boladi. (44) formulaga A ornma A1 sanin qoyip, berilgen tenlemenin
Birtekli siziqli tenlemenin sheshimlerinin qasiyeti boymsha (4-teorema) alingan (49) kompleks sheshimnin haqiyqiy bolegi de ham jorima bolegi de berilgen (43) tenlemenin sheshimi boladi. Solay etip, eki haqiyqiy
j/, = eax cos /3x ham y2 = eax sin fix (51) dara sheshimlerge iye bolamiz. Bul (51) dara sheshimler siziqli garezsiz boladi. Al, A, = o — if} tuyinles korenge
y = e(o ~,'))3' = eax cos fix — ieax sin fix kompleks sheshim saykes keledi. Bunnan eki ax a x • n e cos px, — e sm px haqiyqiy dara sheshimlerin alamiz, biraq ta olar (51) dara sheshimler menen siziqli garezli boladi.
Solay etip, xarakteristikaliq tenlemenin kompleks tuyinles Aj2 = a ± i/3 korenler jubma (51) turindegi eki siziqli garezsiz haqiyqiy dara sheshimler s&ykes keledi.
Kompleks tuyinles korenlerdin basqa juplarma da saykes keliwshi haqiyqiy dara sheshimlerdi ham barliq haqiyqiy korenlerge saykes keliwshi dara sheshimlerdi tawip, berilgen (43) tenlemenin sheshimlerinin fundamentalliq sistemasm duzemiz. Bul n siziqli garezsiz dara sheshimlerdin erikli turaqlilar menen bolgan siziqli kombinaciyasi uliwma sheshimdi berfedi. Misal. y" + y — 0 tenlemesin sheshin.
Sheshiliwi. Xarakteristikaliq tenleme k2 +1 = 0, al omn korenleri Xl2 = H boladi. Bunnan eki e,x ham e~a kompleks sheshimlerin alamiz, al olarga sdykes keliwshi eki haqiyqiy siziqli garezsiz dara sheshimler yi = cosx ham y2 = sinx boladi. Demek, b e r ilg e n ten lem en in uliwma sheshimi 156;// C[ cosx + C2 sin a: boladi, bunda C him C2 - erikli turaqlilar.
ITIBARIŃIZ USHIN RAXMET
|
| |