Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani variatsion
masalaga keltirish

|
Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani variatsion
masalaga keltirish
|
bet | 4/6 | Sana | 08.01.2024 | Hajmi | 62,33 Kb. | | #132449 |
Bog'liq MATEMATIK FIZIKA MASALALARINI SONLI YECHISHDA VARIATSION USULLAR1.2.Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani variatsion
masalaga keltirish
Bizga ushbu oddiy differinsial tenglama
(1)
va
(2)
chiziqli chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin, bunda [a,b] oraliqda P(x), Q(x), F(x) funksiyalar uzluksiz hamda .Bu chegaraviy masalani variatsion masalaga keltirish uchun, avvalo, uni o’z-o’ziga qo’shma bo’lgan ko’rinishga keltirish kerak. Buning uchun uning hamma hadlarini
musbat funksiyaga ko’paytiramiz:
(3)
Ravshanki,
shuning uchun ham (3) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(4)
bunda
Ushbu
(5)
Chiziqli operatorni kiritib , quyidagiga ega bo’lamiz:
(6)
Bunda funksiyalar [a,b] oraliqda uzluksiz .
Avval (2) chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lgan holni ko’ramiz :
(7)
Shu bilan birga umumiylikka ziyon yetkazmasdan deb qarashimiz mumkin.
Endi u(x) funksiyalarning [𝑎,b] oraliqda ikkinchi tartibli hosilasigacha uzluksiz (u(x )ϵC2[𝑎,b]) va (7 ) bir jinsli shartlarni qanoatlantiradigan K = {u(x)} to’plamida A operatorning o’z-o’ziga qo’shmaligini (simmetrikligini) ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, uϵK va ϑϵ K ixtiyoriy funksiyalar bo’lsin. (5) ga ko’ra
(8)
(7) bir jinsli shartdan foydalanib ,
(9)
Ekanligini ko’rsatamiz .Haqiqatan ham,
(10)
u(x) va ϑ(x) funksiyalar
Bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Agar α1≠0 bo’lsa u holda
(11)
bo’lib , agar α0≠0 bo’lsa u holda
(12)
Tenglik o’rinli bo’ladi. Masalan , α1≠0 bo’lsin , u holda
Tenglik bajariladi.Xuddi shunga o’xshash α≠0 bo’lganda hamda β0≠0 yoki β1≠0 bo’lganda
ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak, (10) ga ko’ra (9) tenglik o’rinli ekan Shunday qilib,
(13)
Ma’lumki, p(x) > 0, shuning uchun ham (11) tenglikdan A operator musbat bo’lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
q(x)≥0, a≤x≤b (14)
va
u(a) u’(b)≥0, u(b)u’(b)≤0 (15)
farazimizga ko’ra α1≥0, β1≥0, shuning uchun ham (7) chegaraviy shartga ko’ra (15) shartlar
α0≤0, β0≥0 (16)
tengsizliklarga ekvivalentdir.
Shunday qilib, (6), (7) chegaraviy masala (14) va (15) shartlar bajarilganda 2 -teoremaga ko’ra funksiyalarning K sinfida quyidagi
(17)
funksionalning minimumini topish masalasiga teng kuchlidir.
(13) formulaga ko’ra
Agar α1>0 ,β1>0 bo’lsa , u holda (11) munosabatga ko’ra
(18)
Qolgan hollarda ham I(u) uchun shunga o’xshash ifodalarni hosil qilish mumkin. Bu funksionallar ko’pincha yuklatilgan va ba’zan aralash ham deyiladi.Endi (6) masalani (2) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartlar bajarilganda ko’ramiz. Shu bilan birga (12) va (14) shartlar bajarilgan deb faraz qilamiz. (2) shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar sinfida A operator, umuman aytganda, simmetrik va
musbat emas.
Faraz qilaylik, [a,b] funksiya (2 ) shartni qanoatlantirsin, u holda
(19)
Funksiya (7) bir jinsli shartni qanoatlantiradi va
ya’ni
(20)
operator tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak, uϵK va A operator funksiyalarning K sinfida simmetrik va musbat. Shuning uchun ham ϑ(x) funksiya (6) va (20) chegaraviy masalaning yechimi bo’lib,
Funksionalning minimumini ta’minlaydi. Bundan (13) formulaga ko’ra
(22)
Buni bo’laklab integrallab va soddalashtirib , quyidgiga ega bo’lamiz :
(23)
Faraz qilaylik α1≥0 va β1≥0 bo’lsin , u holda (2) chegaraviy shartlardan quyidagilar kelib chiqadi:
U holda
Katta qavs ichidagi ifoda muayyan ifoda bo’lib, u(x) funksiyaga
bog’liq emas, shuning uchun ham I1(u) funksional o’rniga quyidagi
funksionalni qarash mumkin:
Shunday qilib, (6) va (2) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartlar bilan berilgan chegaraviy masala (14) va (16) shartlar bajarilganda (24) funksional uchun variatsion masala bilan teng kuchlidir.
|
| |