►Ümumiləşmiş Viyet teoremi

=
Bu bərabərliyin sol və sağ tərəfində olan x-in eyni qüvvətlərinin əmsallarını bərabər etsək:
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
n – dərəcəli çoxhədlinin kökləri ilə əmsalları arasında əlaqə yaradan bu düsturlara Viyet düsturları deyilir.
2. Çoxhədlinin təkrarlanan köklər haqqında.
n – dərəcəli f(x) çoxhədlisinin ayrılışında bəzi xətti vuruqlar bir-birinə bərabər olarsa onda həmin ayrılışı
şəklində yazmaq olar. Bu halda a1 – ədədi çoxhədlinin k1 dəfə, a2 – ədədi k2 dəfə təkrarlanan kökü olacaq. Bunu nəzərə alsaq
olar.
Nəticə. Yəni n dərəcəli hər bir çoxhədlinin düz n sayda həqiqi və ya kompleks kökü vardır.
3. Həqiqi əmsallı çoxhədlinin həqiqi vuruqlara ayrılması.
Fərz edək ki, n – dərəcəli çoxhədlisinin A0, A1,...An əmsallarının hamısı həqiqidir.
Teorem 1. Əgər kompleks ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlisinin köküdürsə, onda həmin ədədin qoşması da onun kökü olar.
Teorem 2. Həqiqi əmsallı hər bir çoxhədlisi bir və ikidərəcəli həqiqi əmsallı vuruqların hasili şəklində, yəni
şəklində göstərilə bilər.
Bu zaman .
Mövzu 18
İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral. Əsas xassələr,
inteqrallar cədvəli. İnteqrallama üsulları.
1. İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral. Qeyri-müəyyən
inteqralın əsas xassələri.
2. Əsas inteqrallar cədvəli.
3. İnteqrallama üsulları.
1. İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral. Qeyri-müəyyən inteqralın əsas xassələri.
►Tutaq ki, hər hansı funksiyası verilmişdir. Elə funksi-yasını tapmaq tələb olunur ki, onun törəməsi -ə bərabər olsun, yəni .
Tərif 1. Əgər parçasının bütün nöqtələrində bərabərliyi ödənərsə, onda funksiyasına funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Teorem. Əgər və – eyni bir funksiyasının parçasında ibtidai funksiyalarıdırsa, onda onların fərqi sabit ədədə bərabərdir.
İsbatı. İbtidai funksiyanın tərifinə əsasən
, (1)
eynilikləri parçasının istənilən x nöqtəsi üçün ödənilir. Əgər
(2)
qəbul etsək, onda (1) bərabərliklərinə əsasən
olduğundan parçasından götürülmüş istənilən x üçün olar, bu bərabərlikdən isə -in sabit olması alınır.
parçasında kəsilməz və diferensiallanan funksiyasına Laqranj teoremini tətbiq edək. Laqranj düsturuna əsasən parçasının ixtiyari x nöqtəsi üçün
bərabərliyi doğrudur, burada .
olduğundan , yaxud
. (3)
Beləliklə, funksiyası parçasının istənilən x nöqtəsində ədədinə bərabər qiymət alır. Bu isə funksiyasının parçasında sabit olması deməkdik. sabitini C ilə işarə edərək, (2) və (3) bərabərliyindən alarıq ki,
.
Bu teoremdən alınır ki, əgər verilmiş funksiyasının hər hansı bir ibtidai funksiyası tapılmışdırsa, onda üçün istənilən başqa ibtidai funksiya şəklində olar, burada .
Tərif 2. Əgər funksiyası üçün ibtidai funksiyadırsa, onda ifadəsinə funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və simvolu ilə işarə edilir. Beləliklə, tərifə görə əgər olarsa, onda
olar. Burada inteqralaltı funksiya, dx inteqralaltı ifadə adlanır. Deməli, qeyri-müəyyən inteqral funksiyaları ailəsindən ibarətdir. Həndəsi olaraq qeyri-müəyyən inteqral elə əyrilər çoxluğudur (ailəsidir) ki, bu əyrilərdən hər biri digərindən özünə paralel olaraq yuxarı və ya aşağı (yəni OY oxu boyunca) köçürmə nəticəsində alınır. Qeyd edək ki, parçasında kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyası (deməli, qeyri-müəyyən inteqralı) var. Verilmiş funksiyasının ibtidai funksiyasını tapmağa funksiyasını inteqrallamaq deyilir.
Tərif 2-dən alınır ki:
1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya bərabərdir, yəni olarsa, onda
. (4)
2. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadəyə bərabərdir:
(5)
3. Hər hansı bir funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı həmin funksiya ilə ixtiyari sabitin cəminə bərabərdir:
.
► Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri
Teorem 1. İki və ya bir neçə funksiyanın cəminin qeyri-müəyyən inteqralı onların inteqrallarının cəminə bərabərdir
. (1)
Teorem 2. Sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar, yəni olarsa, onda
. (2)
Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayarkən aşağıdakı qaydaları nəzərə almaq faydalı olur.
Əgər olarsa, onda
1.
2.
3.
2. Əsas inteqrallar cədvəli.
|