Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat - bet 53

2) μ = μ(x) olduqda, yəni
= λ(y) olduqda (4) tənliyindən
= λ(y) ; μ = (7)
Misal 3.
(2xy2 – 3y3)dx + (7-3xy3)dx
= = = λ(y);
μ = = = e-2 ln y = = =
dx + dy = 0;
(2x – 3y)dx + dy = 0
= , ,
u(x,y) =
u(x,y) = x2
x2
Verilmiş tənliyin ümumi inteqralıdır.
2. Tənliyin tərtibinin azadılması halları.
► Sərbəst dəyişəninə, axtarılan funksiyaya onun birinci və ikinci tərtib törəməsinə nəzərən tənliyə ikitərtibli diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar
(1)
İkitərtibli diferensial tənliyi eyniliyə çevirən x məchulundan və iki sərbəst ixtiyari sabitlərindən asılı olan funksiyasına bu tənliyin ümumi həlli deyilir.
(1) tənliyinin ümumi həllindən C1 və C2 ixtiyari sabitlərinin verilmiş qiymətlərində alınan həllinə (1) tənliyinin xüsusi həlli deyilir.
Əgər tənliyi yüksək törəməyə nəzərən həll ediləndirsə, onda bu tənliyi
(2)
şəklində göstərmək olar.
Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, (2) bərabərliyinin sağ tərəfində duran funksiya yalnız üç arqumentin birindən asılı olsun.
I növ. Tutaq ki,
. (3)
Bu tənliyi inteqrallasaq alarıq
Yenidən inteqrallasaq nəticədə alarıq
burada – ixtiyari sabitlərdir və qeyri-müəyyən inteqrallar uyğun funksiyaların ibtidai funksiyalarıdır.
II növ. Tutaq ki,
(4)
Burada
götürsək ( p-yə y-dən asılı funksiya kimi baxsaq) alarıq
Nəticədə, (4) tənliyi aşağıdakı şəkilə düşər
.
Dəyişənləri ayırsaq:
.
Sonuncu tənliyi inteqrallasaq alarıq:
və ya
olduğundan əvvəlki tənliyi belə yazmaq olar:
Buradan bir daha dəyişənləri ayıraraq və inteqrallayaraq sonda alarıq:
III növ. Tutaq ki,
(5)
Burada götürək. Onda
olar və (5) tənliyi aşağıdakı şəkilə düşər
.
Dəyişənləri ayıraraq inteqrallasaq:
və .
Bu tənlikdən kəmiyyətini müəyyən edərək ikinci dəfə inteqrallama yolu ilə y-ki də tapmaq olar.
► Tərtibin azaldılması halları. İkitərtibli
(1)
diferensial tənliyinin birtərtibli diferensial tənliyinə gətirildiyi aşağıdakı iki hala baxaq.
I hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində x dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik
(2)
şəklindədir.
Burada
və
götürərək
birtərtibli diferensial tənliyi alarıq. Burada sərbəst dəyişən kimi y çıxış edir.
II hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində y dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik
(3)
şəklindədir. Burada
və
götürərək məchul p funksiyasının daxil olduğu birtərtibli diferensial tənlik alarıq
Qeyd edək ki, yuxarıda baxılan II və III növləri (§ 6) (2) və (3) tənliklərinin xüsusi hallarıdır.
Misal 1.
(4)
tənliyini həll edin.
Birinci hala görə və götürək. Onda (4) tənliyi
şəklinə düşər.
Buradan:
1) p=0 , yəni y=C;
2) , yəni və
Potensiallasaq alarıq
və nəticədə,
İnteqralladıqdan sonra alarıq
və deməli,
burada – ixtiyari sabitlərdir.
Misal 2.
x=1 olduqda və başlanğıc şərtləri ödəyən
(5)
tənliyinin həllini tapın.
(5) tənliyində və götürək. Onda
yaxud
(6)
Alınan tənlik bircins tənlik olduğundan əvəzləməsi qəbul edək, nəticədə
(6) tənliyində yerinə yazsaq alarıq
;
buradan
, və ya
İnteqrallasaq alarıq
və nəticədə,
, yəni və .
ixtiyari sabitini müəyyən etmək üçün verilmiş başlanğıc şərtləri (x=1 olduqda ) nəzərə alaq: 1=1+, yəni = 0 və beləliklə,
Buradan alırıq və
. (7)
sabitini başlanğıc şərtlərdən tapırıq. (7) düsturunda x=1 və götürsək alarıq , yəni . Nəticədə, axtarılan xüsusi həll olar.
3. Hasil və qismətin diferensialını daxilinə alan tənliklər.
İndi isə funksiyaların hasilini və ya qismətini daxilinə alan iki növ tənliyə baxaq, həmin tənliklər aşağıdakı şəkildə yazıla bilər:
d(xy) = x dy + y dx; (1)
d = ; (2)
d = . (3)
Bu növ tənlikləri
xy = u, y = və ya =u, y = ux
əvəvzləmələrin köməyi ilə asanlıqla həll etmək mümkündür. Həmin əvəzləmələrin tədbiqinə aid bir misala baxaq:
|