Elektrodinamika - bet 2

a) Ha ds2 > 0, akkor a (dx, dy, dz, dt) elmozdulást térszerűnek nevezzük. Könnyen belátható, hogy ez az elmozdulás alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a
((63,4). egyenlet)
alakra hozható. Abban az inerciarendszerben, amelyben az elmozdulást (63,4) írja le, a két végponthoz tartozó események egyidejűek. Más inerciarendszerben azonban dt általában zérustól különböző, és a koordináta-rendszertől függően pozitív vagy negatív lehet. Ennélfogva az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje a koordináta-rendszertől függően más lehet.
b) Ha ds2 > 0, akkor a (dx, dy, dz, dt) elmozdulást időszerűnek nevezzük. Alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a ds2 < 0 elmozdulások
((63,5). egyenlet)
alakra hozhatók. Az ilyen elmozdulások jellegzetes sajátsága, hogy az időkomponens előjelét a transzformáció nem változtatja meg. Ebben az esetben az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje invariáns a Lorentz-transzformációval szemben.
A leggyakoribb példa az időszerű elmozdulásokra a fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó részecske világvonalának ds eleme. Ugyanis
((63,6). egyenlet);
ahol , és mivel , . A pontszerűnek tekintett fizikai részek (a fénykvantum és a neutrinó kivételével) a vákuumbeli fénysebességnél kisebb sebességgel mozognak, ezért világvonaluk olyan görbe, amelynek minden eleme időszerű. A (63,5) szerint van olyan koordináta-rendszer, amelyben a világvonal elemének megfelelő (dx, dy, dz, dt) elmozdulás
((63,7). egyenlet)
alakú. Ebben a koordináta-rendszerben a részecske sebessége zérus, ezért ezt a részecske nyugalmi rendszerének nevezzük. A részecske nyugalmi rendszere csak abban az esetben ugyanaz minden időben, ha a világvonal egyenes, vagyis ha egyenes vonalú egyenletes mozgásról van szó. Egyébként a nyugalmi rendszer pillanatról pillanatra változik. Ezért helyesebb a pillanatnyi nyugalmi rendszerről beszélni. dτ a (61,13)-ban definiált sajátidőtartam, amely ds-sel a következő kapcsolatban van:
((63,8). egyenlet).
c) Ha ds2 = 0, akkor az elmozdulást nullelmozdulásnak vagy nullvektornak nevezzük. A nullelmozdulásnak bármely koordináta-rendszerben van legalább egy el nem tűnő térszerű és zérustól különböző időszerű komponense. A (63,6) összefüggésből látszik, hogy a vákuumbeli fénysebességgel mozgó részecske világvonalának minden eleme nullelmozdulás. A fénykvantum (az ún. foton) világvonala ilyen tehát. Mivel a fény állandó sebességgel terjed, a világvonala egyenes vonal, amelynek nemcsak végtelen kis elemei, hanem bármely véges része is nullvonal.
Az O világpontból különböző irányokba kiinduló fényvilágvonalak egy hiperkúpfelületet alkotnak; ezt nevezzük fénykúpnak(71. ábra). Az O-ból kiinduló t > 0-nak megfelelő részt pozitív fénykúpnak, a t < 0-nak megfelelő részt negatív fénykúpnak nevezzük.
71. ábra -
A fénykúp a Minkowski-féle négyes teret a következő három részre osztja:
I. A pozitív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt. Tehát azon PI pontok összessége, amelyekre vonatkozóan az vektor hosszának négyzete nem pozitív, és időkomponense pozitív, vagyis
.
II. A negatív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt. Azon PII pontok összessége tehát, amelyekre vonatkozóan az vektor hosszának négyzete nem pozitív, de az időkomponense negatív: ; .
III. A Minkowski-féle négyes tér fénykúpon kívüli része. Azon PIII pontok összessége tehát, amelyekre az vektor hosszának négyzete pozitív, vagyis .
Mivel a relativitás elve szerint az O pontból kiinduló bármilyen hatás legfeljebb fénysebességgel terjedhet, az csak az I. tartomány PI pontjait érheti el. Másrészt, csak a II. tartomány PII pontjaiból kiinduló hatások érhetik el az O pontot. Ezzel szemben az O pont és a III. tartomány PIII pontjai között semmilyen ok-okozati összefüggés nincs. Más szóval: az O pontból kiinduló hatások a PIII pontokat nem érik el, és ez megfordítva is igaz.
2. Általános Lorentz-transzformáció
A Minkowski-féle négydimenziós tér bevezetése után foglalkozzunk azokkal a legáltalánosabb transzformációkkal, amelyek az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérést teszik lehetővé. A (60,7), (60,8) transzformációk ugyanis speciálisak abban az értelemben, hogy a tengelyek speciális választása miatt y és z nem transzformálódik. Most meg akarunk szabadulni ettől a korlátozástól is.
Minkowski nyomán bevezetjük a következő jelöléseket:
((64,1). egyenlet).
A Minkowski-féle négydimenziós tér OP távolságának négyzete e jelölésekkel:
((64,2). egyenlet).
Tekintsünk két inerciarendszert. Az egyiket jelöljük K-val, a másikat K'-vel. Valamely pontszerű esemény hely- és időkoordinátáit jelöljük x1, x2, x3, x4-gyel, illetőleg x'1, x'2, x'3, x'4-vel. A keresett transzformáció kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták között. E kapcsolatnak olyannak kell lennie, hogy a két inerciarendszer a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékű legyen. Két vonatkoztatási rendszert akkor tekintünk egyenértékűnek, ha
1. az egyenes vonalú egyenletes mozgás a transzformáció során ugyanilyenbe megy át. Ez geometriailag azt jelenti, hogy a transzformáció a négydimenziós tér K rendszerbeli egyenesét a K'-beli egyenesbe viszi át.
2. s2 invariáns marad, vagyis
((64,3). egyenlet).
Ezt a második követelményt arra alapozzuk, hogy a fénysebesség mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanaz a c érték. Ebből közvetlenül adódik, hogy -nak -ba kell átmennie. Ezt mi a (64,3) alakba általánosítottuk.
Az 1. és 2. feltételt kielégítő transzformációkat nevezzük általános Lorentz-transzformációknak.
Az 1. feltétel miatt a transzformációnak lineárisnak kell lennie. Ha feltételezzük, hogy xi = 0 az x'i = 0-val egybeesik, akkor a transzformációs képlet konstans tagot nem tartalmaz, tehát:
((64,4). egyenlet).
A transzformációt tehát az
((64,5). egyenlet)
mátrix egyértelműen meghatározza. Mivel x1, x2, x3; valamint x'1, x'2, x'3 valósak, az x4 és x'4 pedig tiszta képezetes, az mátrix aik (i, k = 1, 2, 3) elemei és a44 valósak, az ai4 és a4i (i = 1, 2, 3) elemek pedig képzetesek.
A 2. feltétel további megszorítást jelent az mátrix elemeire. Ha (64,4)-et a (64,3)-ba behelyettesítjük, akkor aik-ra a következő feltételeket kapjuk:
((64,6). egyenlet).
a Weierstrass-féle δ szimbólumot jelenti:
((64,7). egyenlet).
(64,6) segítségével (64,4)-ből xk kifejezhető. Szorozzuk meg (64,4)-et ais-sel és összegezzünk i-re 1-től 4-ig:
.
Ez az ún. inverz-transzformációt fejezi ki:
((64,8). egyenlet).
Ha (64,8)-at (64,3)-ba behelyettesítjük, akkor a
((64,9). egyenlet)
feltételi egyenletet kapjuk. A (64,6) egyenlet bal oldala az mátrix két oszlopában álló megfelelő elemek szorzatának összegét, (64,9) bal oldala pedig két sor elemeinek szorzatösszegét adja. A Lorentz-transzformáció mátrixának elemei tehát kielégítik a (64,6), (64,9) feltételeket.
Könnyen belátható, hogy a Lorentz-transzformációk csoportot alkotnak. Két Lorentz-transzformáció egymás utáni alkalmazása ismét Lorentz-transzformációt ad.
A 60. pontban tárgyalt speciális Lorentz-transzformáció mátrixa a következő:
((64,10). egyenlet),
ahol . Ugyanis (64,4) és (64,10) alapján:
((64,11). egyenlet)
Ezek a transzformációs képletek pedig megegyeznek (60,7)-tel.
3. Négyes vektorok
A geometriában tanultuk, hogy a háromdimenziós térben értelmezett ún. közönséges vektorok rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy a koordináta-rendszer elforgatásakor komponenseik úgy transzformálódnak, mint az x, y, z koordináták. A megelőző elméleti fizikai tanulmányainkban a vektorokat éppen ezzel a sajátságukkal definiáltuk. Nevezetesen: vektornak nevezünk olyan három komponenssel megadott mennyiséget, amelynek komponensei a koordináta-rendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint az x, y, z koordináták.
Ennek mintájára definiáljuk az ún. négyes vektorokat a Minkowski-féle négydimenziós térben. Négyes vektor olyan négykomponensű mennyiség, amelynek komponensei a (64,4), illetve a (64,8) képlet szerint transzformálódnak. Legyen az Ai négyes vektor négy komponense a K rendszerben A1, A2, A3, A4, a K' rendszerben pedig A'1, A'2, A'3, A'4. A definíció szerint:
((65,1). egyenlet)
ahol aik és ark a (64,5) mátrix elemei. Az Ai négyes vektor negyedik komponense (A4) az előző pont szerint tiszta képzetes.
Két négyes vektor skaláris szorzata invariáns skalár. Legyen a két négyes vektor Ai, illetve Bk. A skaláris szorzatuk:
.
A (64,9) összefüggés alapján ez a következőképpen írható:
((65,2). egyenlet).
Az eredeti és a transzformált négyes vektorok skaláris szorzata tehát megegyezik, vagyis invariáns.
(65,2)-nek speciális esete egy négyes vektor önmagával való skaláris szorzata, vagyis négyzete:
((65,3). egyenlet).
Képezzük az xi világpont τ sajátidő szerint vett differenciálhányadosát:
((65,4). egyenlet).
Az így definiált u1, u2, u3, u4 négykomponensű mennyiség négyes vektor. Ugyanis a számláló úgy transzformálódik, mint az xi koordináta, a nevező pedig invariáns skalár, ezért ui úgy transzformálódik, mint xi, tehát négyes vektor. Az ui négyes vektort a tömegpont négyes sebességének nevezzük.
Mivel ,
((65,5). egyenlet)
ahol a hármas sebesség x, y, z komponense; .
A négyes sebesség négyzete:
((65,6). egyenlet).
A K inerciarendszerben nyugvó részecske négyes sebessége ui(0, 0, 0, ic). Ha a tömegpont sebessége kicsi a vákuumbeli fénysebességhez képest , akkor , és ezért az első három komponens megegyezik a háromdimenziós sebesség komponenseivel. ui tehát joggal tekinthető a sebesség négydimenziós általánosításának.
Az
((65,7). egyenlet)
négyes vektort a tömegpont négyes gyorsulásának nevezzük. Hogy ez négyes vektor, az az előbbiek alapján nyilvánvaló. Nézzük most a1-et részletesen:
((65,8). egyenlet),
ahol v a hármas sebesség, . Ha kicsi a c-hez képest – vagyis a rendű tagok elhagyhatók –, akkor . Hasonló igaz az a2 és az a3 komponensre is. A negyedik komponens:
((65,9). egyenlet).
Könnyen belátható, hogy a négyes sebességnek és a négyes gyorsulásnak a skaláris szorzata zérus. Differenciáljuk e célból az (56,6) egyenletet a τ sajátidő szerint:
((65,10). egyenlet).
4. Négyes tenzorok. Tenzoranalízis
A négyes vektorok bevezetése után most áttérünk a négydimenziós tér tenzorainak ismertetésére.
Fizikai tanulmányainkban tenzorokkal először a rugalmasságtanban találkoztunk. A rugalmas testben fellépő feszültséget fejeztük ki tenzorokkal. A feszültségtenzor kilenc komponensből álló mennyiség:
Az első sorban álló mennyiségek a rugalmas test x tengelyre merőleges felületegységére ható erő három komponensét jelentik. A második, illetve a harmadik sorban álló mennyiségek az y, ill. a z tengelyre merőleges felületegységre ható erő komponensei. A Pik feszültségtenzor elemei a koordináta-rendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint az xixk szorzat. (Pl. Pxy úgy, mint az xy szorzat.) Az elméleti fizikai tanulmányainkban a tenzoroknak ezt a sajátságát használtuk fel definiálásukra.
Hasonlóan ahhoz, ahogyan a vektoroknál tettük, ennek általánosításával definiáljuk a négydimenziós tér tenzorait. A négydimenziós tér másodrendű tenzorán olyan tizenhat elemből álló Tik mennyiséget értünk, amely a (64,4) Lorentz-transz- formációkor úgy transzformálódik, mint az xixk szorzat. Ha Tik (i, k = 1, 2, 3, 4) jelenti a tenzor elemeit a K-rendszerben, és T'ik (i, k = 1, 2, 3, 4) a K'-rendszerben, akkor
((66,1). egyenlet),
ahol air és aks a (64,5) mátrix elemei.
A Tik tenzor definíciójából következik, hogy két négyes vektor komponenseinek az AiBk szorzata tenzor; hiszen AiBk úgy transzformálódik, mint az xixk szorzat.
A másodrendű tenzor definíciója könnyen általánosítható, akárhányadrendű tenzorra. Az n-ed rendű tenzor olyan 4n elemből álló mennyiség, amelynek eleme Lorentz-transzformációkor úgy transzformálódik, mint az szorzat. Ennek alapján a négyes vektort elsőrendű tenzornak, a skalárt pedig nulladrendű tenzornak tekinthetjük.
Gyakran előfordulnak olyan másodrendű tenzorok, amelyeknek Tik eleme megegyezik a Tki elemével:
((66,2). egyenlet).
Ilyenkor a tenzort szimmetrikusnak mondjuk. Antiszimmetrikus a tenzor akkor, ha
((66,3). egyenlet).
Bármely Tik tenzor felbontható szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzor összegére:
((66,4). egyenlet),
ahol
,
.
Könnyen belátható, hogy a tenzor szimmetriatulajdonsága nem változik meg a koordinátatranszformációkor, vagyis szimmetrikus tenzort a Lorentz-transzformáció szimmetrikus tenzorba visz át.
Tenzorok szorzásával magasabb rendű tenzort kapunk. Pl. két másodrendű tenzor szorzásából negyedrendű tenzor keletkezik. A szorzást úgy értelmezzük, hogy az egyik tenzor minden elemét megszorozzuk a másik tenzor minden elemével.
((66,5). egyenlet).
Egy tenzorból alacsonyabb rendű tenzort kaphatunk azáltal, hogy két indexét azonossá tesszük, és ezekre összegezünk. Ezt az eljárást „kontrakciónak” nevezzük. Pl. a Tikl harmadrendű tenzorból vektort kapunk:
((66,6). egyenlet),
vagy
.
Másodrendű tenzorból kontrakcióval skalárt kapunk:
((66,7). egyenlet).
Az S skalárt a Tik tenzor átlós összegének, vagy idegen szóval spurjának nevezzük. A tenzor spurja tehát invariáns mennyiség.
Az eddigiekben tenzorokból algebrai műveletekkel képeztünk újabb tenzorokat. A tenzorképzés e módszereivel foglalkozik az ún. tenzoralgebra.
Újabb tenzorokat kapunk akkor is, ha a tenzorokat a koordináták szerint differenciáljuk. Ezek a módszerek a tenzoranalízis körébe tartoznak.
Tekintsünk egy négyváltozós skalárfüggvényt. Képezzük ennek , , , parciális differenciálhányadosait. Könnyen belátható, hogy a parciális differenciálhányadosok egy Ai négyes vektor komponensei. Ehhez azt kell belátnunk, hogy a mennyiség úgy transzformálódik, mint az xr koordináta. Mivel Φ skalár, a transzformáció során csak a koordináták változnak meg. Képezzük a függvény szerinti parciális differenciálhányadosát. A közvetett differenciálás szabálya szerint:
((66,8). egyenlet).
Az
transzformációs képlet alapján
.
Ezt (66,8)-ba beírva, adódik:
((66,9). egyenlet).
Ez a képlet pedig pontosan megegyezik az Ai vektor (65,1) traszformációs képletével. A komponensek tehát négyes vektort alkotnak.
Tekintsünk most egy vektorteret. Megmutatjuk, hogy a parciális differenciálhányadosok egy másodrendű tenzor elemei. A négyes vektorok (65,1) transzformációs képletéből indulunk ki:
.
Differenciáljuk ezt az összefüggést szerint. Mivel air állandó, ezért
.
Az xs koordináta (64,8) transzformációs képletéből következik, hogy
.
Ezt figyelembe véve, adódik:
((66,10). egyenlet).
(66,10) megegyezik a Tik másodrendű tenzor (66,1) transzformációs képletével. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a differenciálhányadosok valóban egy másodrendű tenzor elemei. Hasonlóan belátható, hogy egy n-ed rendű tenzor elemeinek az xk koordináták szerinti parciális differenciálhányadosai n + 1-ed rendű tenzort alkotnak.
A tenzorok kontrakciójával kapcsolatban tett fenti megállapításaink alapján a
((66,11). egyenlet).
A (66,11) egyenlőség bal oldalán álló mennyiséget az Ai négyes vektor négyes divergenciájának nevezzük. Ez természetes általánosítása a háromdimenziós térben definiált vektordivergenciának.
Mivel a mellett a is másodrendű tenzor, ezért a kettő különbsége is egy másodrendű tenzor, amelyet Fik-val jelölünk:
((66,12). egyenlet).
(66,12) -ről szembetűnően látszik, hogy ez a tenzor antiszimmetrikus:
.
A (66,12) egyenlőség bal oldala az Ai négyes vektor négyes rotációja. A hármas vektor rotációja szintén vektor, de a négyes vektoré már nem, mert – mint láttuk – az tenzor.
A Tik másodrendű tenzor elemeinek differenciálhányadosai egy harmadrendű tenzor elemei. Ebből kontrakcióval négyes vektor nyerhető:
((66,13). egyenlet).
(66,13) bal oldala a Tik tenzor négyes divergenciája.
5. A speciális relativitáselmélet programja
A Minkowski által bevezetett négydimenziós térnek, a benne értelmezett négyes vektoroknak és négyes tenzoroknak fizikai jelentősége abban van, hogy segítségükkel a relativitáselmélet igen egyszerűen kiépíthető.
A relativitás elve szerint az inerciarendszerek egyenértékűek a természeti jelenségek leírása szempontjából. Ez más szóval azt jelenti, hogy az egzakt természettörvények mindegyik inerciarendszerben ugyanolyan alakúak. A természettörvények tehát invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. A Lorentz-invariancia a természettörvények egzaktságának a kritériumát jelenti. Az új törvények felfedezésekor a kutató első feladata annak megállapítása, hogy a felismert törvény teljesíti-e ezt a kritériumot. A Lorentz-transzformációnak az elvégzése és a kívánt invarianciatulajdonság megállapítása fáradságos munkát jelentene minden egyes új alaptörvény felfedezésekor. Nagy könnyítést jelentene a kutatónak, ha a törvényeket olyan alakban tudná megfogalmazni, amely a Lorentz-invarianciát szemmel láthatóan mutatja. Az előző pontokban bevezetett négyes vektorok és négyes tenzorok éppen ebben adnak igen nagy segítséget. Ugyanis ha az alaptörvényeket vektor- vagy tenzoregyenlet alakjában sikerül felírni, akkor az már biztosítja az egyenlet Lorentz-invarianciáját.
Tegyük fel, hogy valamely természettörvény a K inerciarendszerben a
((67,1). egyenlet)
tenzoregyenlet alakjában írható fel. Térjünk át a K' inerciarendszerre a (64,4) koordinátatranszformácíóval. A (67,1) alapegyenlet (66,1) alapján a
((67,2). egyenlet)
egyenletbe megy át, mivel a K' rendszerbeli tenzorkomponensek a K-belinek lineáris kombinációi. A tenzoregyenlet tehát minden inerciarendszerben ugyanolyan alakú, vagyis invariáns a (64,4) Lorentz-transzformációval szemben. Ennélfogva ha a természettörvényt sikerül tenzoregyenlet alakjában felírnunk, akkor annak Lorentz-invarianciáját már eleve biztosítottuk.
Természetesen Lorentz-invariánsak a négyes vektoregyenletek is, hiszen az
((67,3). egyenlet)
egyenletet a (64,4) transzformáció az
((67,4). egyenlet)
egyenletbe viszi át.
Mivel a relativitás elve szerint az egzakt természettörvények Lorentz-invariánsak, vektor- vagy tenzoregyenlet alakjában írhatók.
Ezek után kézenfekvő megvizsgálni, hogy a fizika eddigi fejezetei (mechanika, elektrodinamika) teljesítik-e az itt megfogalmazott követelményt, vagyis alaptörvényeik egzaktak-e. Ha sikerül a mechanika és elektrodinamika alapegyenleteit négyes vektor- vagy négyes tenzoregyenlet alakjában felírnunk, akkor megnyugvással állapíthatjuk meg, hogy azok egzakt igazságokat foglalnak magukban. Ha az derülne ki, hogy ezek valamelyike nem Lorentz-invariáns, akkor ez azt mutatná, hogy az illető diszciplína csak közelítő jellegű törvényeket állapít meg. Ekkor meg kell kísérelnünk annak olyan általánosítását, amely kielégíti a relativitás elve támasztotta fenti kritériumokat.
A következő pontokban ezt a programot valósítjuk meg, vagyis megvizsgáljuk az elektrodinamika, majd a mechanika alapegyenleteit a Lorentz-invariancia szempontjából.
3. fejezet - RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA
1. A Maxwell-egyenletek tenzor alakban
Induljunk ki a vákuumbeli Maxwell-egyenletekből. A teret az áram-, ill. a töltéseloszlás kelti:
((68,1). egyenlet);
((68,2). egyenlet).
Az i áramsűrűség és a töltéssűrűség között – mint ismeretes – fennáll a (68,1) egyenletből következő
((68,3). egyenlet)
kontinuitási egyenlet.
Könnyen belátható, hogy a (68,1), illetve a (68,2) egyenletcsoport négyes vektor-, ill. négyes tenzoregyenletbe foglalható össze. Az i áramsűrűség három komponenséből és a töltéssűrűségből egy négyes vektor képezhető. Az E és H térerősségek hat komponense pedig egy antiszimmetrikus tenzor hat független elemének fogható fel.
Az i áramsűrűségből és a töltéssűrűségből keletkező négyes vektort jelöljük si-vel, és definiáljuk a következőképpen:
((68,4). egyenlet).
|