Markaziy maydondagi harakat

MARKAZIY MAYDONDAGI HARAKAT
Reja:
Simmetrik maydonda moddiy nukta xarakati.
"Effektiv" potensial energiya.
Markaziy maydonda zarra harakati.
. Ikki jism masalasi.
Zarralarning sochilishi.
m massali modiy nuktaning nukta va kuch markazi oraligiga boglig bulgan markaziy kuch tasiridagi xarakatini kuraylik. Bunday kuch statsionarli va poensionallidir. Xisoblash sistemasining boshini kuch markaziga joylashtirib energiya va inpulps momenti saklanish konunidan foydalanib, kuydagi integralni olamiz.
(1)
bunda U(r)potensial energiya berilgan deb xisoblanadi. Shunday interaldan biri M0 r=0 sirtni tenglamasi bulib, unda nukta xarakatlanadi. Kolgan 2ta integral (1) dan chikadi. 0Z ukini M0 vektor buylab yunaltirib, 0XY tekisligiga kuyib koordinatalari r, larni kiritib kuydagini topamiz.
mr2 =M0 ,
Energiya integralidan ni chikarib kuydagini yozamiz.
funksiya “ Effektiv “ potensial energiya deb ataladi va (3)tenglik nukta tugri chizikli Xarakatdagi potensial energiyasi Ueff ga ekvivalent ekanligini takidlaymiz. (3) tenglikdan uzgaruvchilarni ajratib yana bir ikkinchi integralni topamiz.
(5)
(5) dan r(t) funksiyani aniklash mumkin va uni integral momentiga kuyib (6) topamiz.
Bundan oxirgi ikkinchi integralni topiladi.
integral momenti troektoriya tenglamasini topishga imkon beradi. Buning uchun energiya integralidan dt ni chikarish lozim.
(5) va (8) integralda ishora boshlanich shartdan topiladi. Masalan (5) oldidagi r ning ishorasi bilan olinadi. Shunday kilib M0r=0, (5) va (8) kuyilgan masalani umumiy yechimini aniklaydi.Agar U(r) funksiya berilsa, (5), (6) va (8) integralni Xisoblab, ma’lum kurinishda uzaro tapsir uchun umumiy yechim topiladi. Ueff (r) grafikgini tuzib, chegaradagi nukta koordinatalari r ning uzgarishsiz soxasini aniklash mumkin. (3) tenglikdan kuydagini yozamiz. (9) r ni uzgarishsiz soxasini aniklovchi. (10) kursatilgan soxa chegaralarini aniklovchi tenglik buladi. Oddiy bir misolni kuraylik. Nukta traektoriyasida yotmagan kooordinata boshiga nisbatan nukta inersiya bulgan xarakatda bulsin. Bu xolda r — ning uzgarish soxasi kuyidagi tenglik bilan aniklanadi. nukta treaktoriyasi, radiusi r=rish bulgan aylanaga urinma bulgan xar kanday turi chizik bulishi mumkin.
Agar nukta potensial maydonda xarakatlansa u xolda; u xolda (10) ikki nukta burun xosil kiladi. (9) tengsizlik r1 r r2 soxani aniklaydi. (2-Chizma)
Agar bulsa,u Xolda nukta doirada xarakatlanadi. Umumiy xolda nukta proeksiyasi bulgan (7) integral yordamida topiladi. Treaktoriyasi ellipisdan iborat bulib uning markazi kuchlar markazida bulib, r1 va r2 radiusli aylana bilan ikki marta tegib utadi.
Ueff analiz grafigi zarrachani kuch maydon markaziga tushish shartini topishga imkon beradi.
Masalan
Agar bulsa xarakat chegaralanmagan soxada bulishi mumkin. Nukta markazga xam tushishi mumkin. Agar bulsa, xarakat yoki 0 da bulishi mumkin. Agar Ye0 0 xolda xam markazga tushishi imkon beradi. Umumiy xolda markazga tushish shartini ni ni yozish bilan olish mumkin. Bu yerda r - ni nolga yakinlashtirib, kuch maydoni markaziga tushish shartini topamiz.
Darajali potensial uchun shart beriladi.n =2 agar , n=2 agar bulsa kachonki №№ bulsa, (8) dan radius vektorini burulishi r ning uzgarishi ichida, troektoriyasining berklish shartini yozamiz k va n lar butun sonlar. Oxirgi ifoda xar kanday boshlanich shartida fakat ikki maydon uchun bajariladi. U~ , U~ .
Moddiy nuqta markaziy − simmetrik maydonda harakatlanish vaqtida tashqi kuchlar potensiali faqat kuch markazidan (chiz. 32) o’tkazilgan radius-vektorni absolyut qiymatiga bog’liq bo’ladi,
, (8)
u holda, zarraga ta’sir etuvchi kuch, shu radius − vektor bo’ylab yo’nalgan bo’ladi, chunki
, (9)
va markaziy kuch deyiladi.
Markaziy kuchlar maydonida harakatlanayotgan zarraning impuls momenti 6 mavzuda ko’rsatilgandek o’zgarmasdir, ya’ni
, (10)
radius − vektor va impuls ikkalasi vektorga bo’lgan o’zgarmas tekislikda yotadilar. Boshqacha aytganda, nuqta harakati kuch markazidan o’tuvchi yagona tekislikda sodir bo’ladi. Bunday harakatni tavsiflash uchun mahsus silindrik koordinatalar sistemasidan foydalangan ma’qul va deb olish mumkin (chiz.32). Bunday vaziyatda ( , , va ) (8) potensial uchun Lagranj funksiyasi konstanta manfiy yoki musbat bo’lishi mumkin, umumlashgan impulslar quyidagicha hisoblanadi׃ , koordinata siklik bo’lgani uchun unga mos impuls o’zgarmas bo’ladi (11)׃ radial silindrik koordinata bo’yicha Lagranj tenglamasi esa
Markaziy maydonda harakatlanayotgan jismning (zarraning) energiyasi saqlanuvchidir. Zarraning trayektoriyasining aniqlash uchun Lagranj tenglamalaridan ko’ra (12) va (13) munosabatlardan kelib chiqqan maqbul. Bu usul soddaroq, sabab Lagranj tenglamalarida koordinatalarning ikkinchi tartibli hosilalari qatnashadi (12) va (13) munosabatlarda esa koordinatalarning vaqt bo’yicha 1− chi tartibli hosilalari. Mazkur munosabatlardan yo’qotsak (11) munosabat olamiz, bundan . (12) - chi formuladan . Oxirgi ikki tenglamadan yo’qotsak quyidagi munosabatga kelamiz (13) munosabatga kelamiz. Quyidagi belgilashlar kiritib
, , .
(13) - ni integrallash doimiysi.
Ilgarigi asosiy belgilarga kaytsak biz kutb koordinatalarda zarraning harakat trayektoriya tenglamasini hosil qilamiz
Bu formuladan shu ko’rinadiki ning berilgan qiymatida farq ikkita ishora bilan farqlanuvchi qiymat qabul qilishi mumkin chunki׃ . Bundan shunday hulosaga kelamizki mazkur formula tavsiflaydigan egri chiziq o’q bilan burchak hosil qiluvchi to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladi (chiz. 12).
Bu egri chiziqqi xarakterini bilib olish uchun belgilashlar kiritamiz. U holda trayektoriya tenglamasi quyidagicha yozi-ladi , bundan (14) (yuqoridagi ishora itarilish holiga mos, pastigisi esa tortilishga mos keladi). (14) formula fokal parametrli va ekssentrisitetli konik kesimni tenglamasidir. Konik kesimlar mos ravishda ellips, giperbola va parabolani berishi mumkin.
Avvalam bor itarilish holni ko’rib chiqamiz . Bu holda , chunki to’liq energiya manfiy bo’lishi mumkin emas. SHuning uchun . SHunday qilib, itarilishda zarraning trayektoriyasi giperbola bo’lishi mumkin holos (chiz.33), , fokuslari, tenglamasi, va Agar bo’lsa u holda , agar bo’ls a׃ (chiz.33). Endi tortilish maydoniga murojat etsak . Bu holda (14) formulada pastgi ishora olinadi. bo’lsa , bo’lsa׃ . Ellips, giperbola yoki parabola bo’lishligi ekssentisitet qiymatiga bog’liq.
Agar bo’lsa, ya’ni , , va trayektoriya aylanadan iborat bo’ladi. Zarra cheksizlikka uzoqlashsa, uning harakati infinit bo’ladi, agar ellips yoki aylana bo’ylab harakat qilsa, uning trayektoriyasi finit (chegaralangan) bo’ladi. YUqoridagi natijalar va chizmalar o’z kuchini mikrodunyo sohasida ham saqlab qoladi.
Zarralarning sochilishi. effektiv massali zarraning biror kuch markazida sochilishi masalasini nazariy jihatdan ko’rib chiqaylik. Kuch markazi sistemaning massalar markazida joylashgan deb qaraymiz. Zarra kelib tortilish (itarilish) markazida sochilib ketadi. Zarraning kuch markazi bilan ta’sirlanish potensial energiyasi . Kuch markazi qo’zg’almasdir.
ADABIYOTLAR:
1.A.U.Raximov Klassik mexanika. 1988 y.
2.N.I.Jirnov Klassicheskaya mexanika. 1980 y.
3.V.V.Multanovskiy Klassicheskaya mexanika. 1988 y.
4.L.D.Landau, Ye.M.Lifshis Kratkiy kurs teoreticheskoy mexaniki. 1990 y.
5.Meщerskiy Nazariy mexanikadan masalalar tuplami. 1998 y.
|