Integrallash doimiyliklari

Integrallash doimiyliklari
Agarda mexanik sistemamiz N -ta moddiy nuqtadan tashqil topgan bo’lsa,
harakat tenglamalarining yechimida 6N -ta anna shunday ixtiyoriy doimiyliklar ishtirok etadi, ya’ni
r→ r→ (t, C , C ,..., C )
(9)
1 2 6 N
Integrallash doimiyliklarini boshlang’ich shartlar bilan bog’lash mumkin. Haqiqatdan (2) umumiy yechim bizga ma’lum bo’lsa va boshlang’ich vaqtda
(t t0 )
bo’lgan sistema nuqtaning holatlari
r→ r→ (t )
tezliklari
0 0
v→ v→ (t )
(10)
0 0
berilgan bo’lsa, (10)ni vaqt buyicha differensiallab
v→ v→ (t, C , C ,..., C )
(11)
1 2 6 N
Tezliklarni topamiz va (9) va (11 larda
(t t0 )
deb olib, (10) asosida yoza olamiz:
0
r→
→
r→ (t
0
→
, C1 , C2
,..., C6 N )
(12)
v 0 r (t0 , C1 , C2 ,..., C6 N )
Oxirgi sistemani integrallash doimiyliklariga nisbat an yechib, quyidagini topamiz:
10
N 0
, v
N 0
10
С C (t, t0 , r→ ,....., r→ → ,......, v→ ) 1,2,3,.....,6N (13)
N 0
→
10
10
N 0
, r
, v
Topilgan bu koeffisiyentlarni (10)ga quyib, N -ta nuqtalardan tashkil topgan sistema uchun harakat tenglamalarining yechimini aniqlaymiz:
r
0
→ r→ (t, t
→ ,. , r→
→ ,......, v→ )
(14)
Misol. Faraz qilaylikki, elektr maydoni
E E0
cost
OZ o’qi buyicha yo’nalsin
zaryad esa OY o’qi bo’yicha tushayotgan bo’lsin. U holda
Ez E0 cost
, Ex Ey 0,
vy v0 , vx vz 0
Masala shartiga ko’ra, zaryadga
F eE cost
kuch ta’sir etyapti. Harakat
→
→
tenglamasi Dekart komponentalarda
mx 0
my 0
x 0 , y 0 , z m E0 cost
(15)
tenglamalarni vaqt buyicha bir marta integrallab topamiz:
e
z m E0
sin t C1 ,
y C2 ,
x C3
(16
Boshlang’ich vaqt momenti t t0
da vy
y0 v0 ,
x0 z0 0
bulgani uchun (16)
dagi C1
eEo sin t m 0
, C2 v0 ,
C3 0
buladi.
Demak (16):
e e
z m E0 sin t m E0 sin t0
y v0
ni yana bir marta vaqt buyicha integrallaymiz:
z eE0
m 2
cost eE0 sin t
m 0
C4 ,
y v0t C5
Bundan t t0 , bulganda topamiz:
y0 0 ,
z0 0
ekanligini e’tiborga olib, C4 , C5
larni
(17)
C4
eE0
m 2
cos t0
m 0
sin t0
C5 v0t0 (18)
larni (17)ga qo’yib, zarraning istalgan vaqt momentidagi holatini aniqlaymiz:
z eE0
m 2
(cos t0
m 0
y v0 ( t t0 )
da t ni yo’qotib, harakat tenglamasini topamiz. Buning uchun
(19)
t t y
ni (19) dagi z uchun ifodaga quyamiz:
v
0
0
z eE0
(cos t
y )) eE0
y sin t
0
0
m 2 0
Nihoyat
0 m v 0
cos( t0
cos y sin t
0
v0
sin y
v
v0
0
Asosida trayektoriyaning tenglama bilan ifodalanishini topamiz:
z eE0
((1 cos y ) cos t y (1 sin y ) sin t )
v
v
v
m 2
0 0
0 0 0
Nazorat savollari
Nyuton tenglamalarining Galiley almashtirishlariga nisbatan invariantligini ko’rsating.
Harakat tenglamalarini integrallash va boshlang’ich shartlari haqida ayting.
Nuqtaning istalgan vaqt momentidagi holatini toping
Integrallash doimiyliklari tushuntirib bering.
ma’ruza: HARAKAT QONUNLARI. MODDIY NUQTANING TRAYEKTORIYASI, TEZLIGI VA TEZLANISHLARNING DEKART, SFERIK VA SILINDRIK KOORDINATALARDA IFODASI.
REJA:
Dekart koordinatalar sistemasi.
Silindrik va qutb koordinatalar usuli
Sferik koordinatalar usuli
Maydon tushunchasi va Nyuton tenglamalarining qo’llanish chegarasi.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: koordinata, tizim, sferik, silindrik, harakat, tezlik, tezlanish, differesial, vaqt, nuqta, vector, tenglama, radius-vektor
Moddiy nuqtaning Dekart koordinata sistemasidagi harakat qonunlarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
x x(t), y yt , z zt
(1)
Agar (1) dan vaqtni chiqarib tashlasak nuqtaning trayektoriya tenglamasi topiladi. Bu tenglamalar parametrik tenglamalar deyiladi.
Koordinatalar orqali ifodalangan radius-vektor
k
r→ xi→ y→j z →
(2)
ni nazarda tutak, (1) ni vaqt bo’yicha to’liq differensiali M nuqtaning tezlik va
tezlanish vektorlarini beradi
→ → →
→ →
→ → → →
w v r
xi
yj zk
(3-2)
Tezlik va tezlanish vektorlarining o’qlardagi proyeksiyalarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
vx x,
vy y,
vz z;
wx vx x,
wy vy y,
wz vz z
(4)
Tezlik va tezlanishlarning modullarini esa
w
(5)
ko’rinishda yozish mumkin.
(3-1) va (3-2) formulalardan tezlik vektori radius-vektordan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli, tezlanish vektori esa radus-vektordan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga tengligi kelib chiqadi.
Silindrik va qutb koordinatalar usuli
Silindrik koordinatalar sistemasida M nuqtaning holati , , z koordinatalar
bilan aniqlanadi. Nuqtaning harakat qonunlari ko’rinishda bo’ladi.
(t),
(t),
z z(t)
shakldan foydalanib quyidagi bog’lanishlarni yozish mumkin
→
x cos , y sin, z z
(8-1)
r→ e→ zk , r 2 z 2 ,
(8-2)
Silindrik koordinatalar sistemasining e→ , e→ ortlari bilan
i→, →j
Dekart ortlari orasidagi
bog’lanishni topish uchun r→ radius-vektor har ikkala sistemadagi (2) va (8-2)
→ de
ifodalarini o’zaro tenglashtiramiz va (8-1) ni e’tiborga olsak, natijada quyidagi bog’lanishlarga ega bo’lamiz:
e
→ i→ cos
→j sin ,
→
e
d
i→ sin
→j cos
(9)
Silindrik koordinatalar sistemasining
e→ , e→
ortlarining yo’nalishi vaqtga bog’liq
holda o’zgaradi, ularning vaqt bo’yicha birinchi hosilalarini topsak
rasm
→ de→
→ →
de→ →
e e ,
d
e e
d
(9-1)
→
Nuqtaning (8-2) radius-vektoridan vaqt bo’yicha hosila olib, (9-1) ni e’tiborga olsak, tezlik vektori, uning moduli va proyeksiyalari uchun quyidagi ifodalarni olamiz
v↼ r→ e→
e→
(10-1)
v ,
v ,
vz z
(10-2)
v , v , vz
lar mos ravishda v tezlik vektorining radial, ko’ndalang va aksial
proyeksiyalari deb yuritiladi. Tezlik vektoridan vaqt bo’yicha hosila olib w→
→
tezlanish vektor va uning proyeksiyalari uchun quyidagilarga ega bo’lamiz:
w→ ( 2 ) e→
(2 ) e→
(11-1)
w 2 ,
w 2 ,
wz z
(11-2)
Agar
z 0,
r
desak, silindrik koordinatalar sistemasi tekislikdagi
r,
qutb
koordinatalar sistemasiga o’tadi (2.b-rasm).
x r cos, y r sin
(12-1)
r
r→ re→ , r
(12-2)
Bunda harakat qonuni
r r(t)
(t)
tenglamlar bilan beriladi. Ulardan t ni
chiqarib, M nuqtaning qutb koordinatalar sistemasidagi
r r()
trayektoriya
tenglamasi topiladi. Tekislikda → harakatlanuvchi M nuqtaning qutb
koordinatlaridagi r→ radius-vektori, v -chiziqli va → - sektorial tezliklari hamda w
tezlanishi uchun (10)-(12) munosabatlarga ko’ra ( z 0 , r , e→ e→ )
r
r→ re→ ,
v→ re→
re→ ,
r
k
→ 1 r 2 →,
2
r
w→ (r r 2 )e→ 1 d (r 2)e→
r r dt
|