1. Tenzorning umumiy aniqlanishi Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish Tenzor zichliklari

|
1. Tenzorning umumiy aniqlanishi Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish Tenzor zichliklari
|
bet | 1/4 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 167,79 Kb. | | #136290 |
Bog'liq 18 Tuychiyev UMIDJON
MAVZU: TENZOR INDEKSLARINI KO'TARISH VA TUSHIRISH.
Tenzor zichliklari
Reja :
1.Tenzorning umumiy aniqlanishi
2.Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish
3.Tenzor zichliklari
Biror ortonormal bazisda berilgan polichiziqli formaning koeffisentlari larning to’plamidan iborat bo’lgan geometrik (yoki fizik ) ob’ekt tenzor deb ataladi. Polichiziqli forma darajasi bo’lsa, rangli tenzordeyiladi.
Agar forma L3 fazoda berilsa, tenzor indekslari 1, 2, 3 qiymatlar oladi. Tenzor rangi 3p ta kompanentaga ega tekislikda 2p ta va Lnchiziqli fazoda ta komponentaga ega bo’ladi.
Oldingi ma’ruzalarda vektorning koordinatalari bir bazisdan boshqasiga o’tganda ma’lum bir qonunga ko’ra o’zgarishini ko’rib o’tganmiz.Bundan esa polichiziqli forma koeffisentlari ham bazislar almashganda o’zgarishi kelib chiqadi. Tenzor komponenttalarining o’zgarishi qonuni quyidagi teoremada keltirilgan:
Teorema. koordinatalardan bog’liq kattaliklar to’plamidan iborat tenzor mavjud bo’lishi uchun bazisdan bazisga o’tganda
(1.3)
shart (8.3) bajarilishi zarur va etarli.
Dastlab zarurligi isbotlaymiz tenzor polichiziqli forma koeffisentlari to’plami bo’lsin u holda bo’ladi. Xuddi shunday bu formani yangi bazisdagi koeffisentlari
lar lar orqali kabi ifodalanadi. Bunda .
polichiziqli forma ekanligidan
Endi etarliligini isbotlaymiz. ta vektor berilgan bo’lsin. Bu vektorlarni eski va yangi bazislarda quyidagicha yozish mumkin.
, ,
Kattalik sistemasi tenzor polichiziqli ifoda bilan polichiziqli formani ifodalashini isbotlash kerak.Bu esa vektorlardan bog’liq bazislarni tanlanishidan bo’gliq emas. Bazislarni almashtirganda
Yuqoridagilardan
Ortogonal matritsalarning xossalariga ko’ra
Bundan
Teorema isbotlandi.
Chiziqli koordinatalar sistemasida tenzorning ta’rifini berish uchun bundan keyin bizga vektorlarining diadko‘paytmalari tushunchasi bilan tanishish zarur bo‘ladi (diad – ikki vektor ko‘paytmasi, poliad ko‘p vektorlar ko‘paytmasi demakdir). Bazis vektorlarining quyidagi diad ko’paytmalarini kiritamiz
va
(1.2)
ob‘yektni qaraymiz. Bu yerdagi T sonlarT ning E bazisdasi komponentalari deyiladi. Bazis vektorlarining diad ko‘paytmalari chiziqli bog‘lanmaganlar. U holda T=0 tenglik faqat T =0 ( = ) munosabat ning hamma qiymatlari uchun birvarakayiga bajarilsa o‘rinli bo‘ladi. Odatda Eilar o‘rniga belgilashlarni ishlatish va (9.2) ni
ko‘rinishda yozish ancha qulayroq. Diad ko‘paytmalar ham xuddi bazis vektorlarining o‘zlari kabi koordinatalar sistemasini tanlashga, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasiga bog‘liq bo‘ladi. Bu esa o‘z navbatida koordinatalarni almashtirganda diadlarni almashtirish formulasini chiqarishni taqozo qiladi. Yuqorida keltirilgan formula asosida diad kopaytma uchun
(1.3)
ifodaga ega bo‘lamiz. Demak,
ob‘yekt invariant bo‘lishligi uchun va (9.3) formulaga asosan kattaliklar kontravariant yo‘l bilan almashtirilishlari zarurligi kelib chiqadi, ya’ni
(1.4)
2-ta’rif.T = T ij - invariant ob‘yekt ikkinchi rang tenzor deyiladi. Tenzorning rangi deb uning komponentalarining indekslari soniga aytiladi.
Yuqorida ta’kidlanganidek, vektor birinchi rang tenzordir. Ikkinchi rang tenzorga
o‘xshash ixtiyoriy rangli tenzor tushunchasini kiritsh mumkin. Masalan:
ob‘yekt to‘rtinchi rang tenzordir. Bu yerdagi larni poliad ko‘paytmalar boshqaradi; T i j k l komponentalar xuddi (1.4) kabi almashtiriladi.
fazoning metrikasi deganda odatda shu fazoda uzunlikni aniqlash usuli tushuniladi. Biror vektorning uzunligini aniqlash uchun uning o‘zini-o‘ziga skalyar ko‘paytirish yetarli, ya’ni
Bu yerdagi bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasini gij lar orqali belgilaymiz, yani
|
| |