Elektrodinamika - bet 4

K'-ben mágneses tér nincs:
((70,3). egyenlet).
Mivel a K rendszerben a töltés mozog, ebben mind elektromos, mind mágneses tér fellép. A P pontban uralkodó térerősségeket (70,l)-ből és (70,3)-ból a térerősségek transzformációjával kapjuk. Most a K' rendszerről térünk át a K rendszerre, ezért (69,5) helyett az inverz transzformáció képleteit kell használnunk. Ezeket (69,5)-ből úgy kapjuk, hogy -t a -vel helyettesítjük:
((70,4). egyenlet)
Ha (70,4)-be beírjuk a (70,1) és (70,3) képletekkel megadott térerősség-komponenseket, az egyenletesen mozgó ponttöltés elektromágneses terét – tehát a keresett megoldást – kapjuk:
((70,5). egyenlet);
((70,6). egyenlet).
A (70,5) és (70,6) kifejezésekben a P pont K' rendszerbeli koordinátái szerepelnek. Ezeket még ki kell fejeznünk a K rendszerben érvényes koordinátákkal. A P pont K-, illetve K'-beli koordinátái közötti kapcsolatot a (60,7) speciális Lorentz-transzformáció adja:
((70,7). egyenlet).
Ebből következik:
((70,8). egyenlet).
A térerősség-komponensek végleges kifejezését ezek (70,5)-be, illetve (70,6)-ba történő behelyettesítésével kapjuk:
((70,9). egyenlet)
((70,10). egyenlet)
(70,9)-ből következik, hogy az elektromos tér erővonalai a mozgó töltésből sugárirányban mennek kifelé (ha e pozitív), de az erővonalak sűrűsége nem egyenletes. Más szóval: a tér radiális, de nem gömbszimmetrikus, ellentétben a nyugvó ponttöltés elektromos terével. Ezt a következőképpen láthatjuk be.
A nyugvó ponttöltésből (tehát az O' origóból) P-hez húzott R rádiuszvektor komponensei: , y, z. (70,9)-ből egyszerűen látható, hogy az elektromos térerősség-komponensek úgy aránylanak egymáshoz, mint , y és z:
((70,11). egyenlet).
Ez pedig azt jelenti, hogy az E elektromos térerősség R irányú, vagyis radiális.
Képezzük most az elektromos térerősség abszolút értékének négyzetét:
((70,12). egyenlet).
Jelöljük az R vektornak az x tengellyel bezárt szögét ϑ-val. Ekkor
((70,13). egyenlet),
ahol . (70,13)-at (70,12)-be beírva, kapjuk:
((70,14). egyenlet).
Ebből látszik, hogy a térerősség abszolút értéke függ a ϑ szögtől, tehát nem gömbszimmetrikus az elektromos tér. A térerősség a ϑ = 0 irányban, vagyis az x tengely mentén a legkisebb, ϑ-val fokozatosan nő, és a irányokban, tehát a mozgásirányra merőleges síkban a legnagyobb. A gömbszimmetriától való eltérés annál jelentősebb, minél nagyobb sebességgel mozog a töltés. Ha , akkor az elektromos tér gyakorlatilag a mozgásirányra merőleges síkban különbözik zérustól. A határesetben pontosan ez következne be. Ugyanis esetén , és ezért (70,14) nevezőjében a második tag elhagyható az első mellett:
.
Ez pedig gyakorlatilag a irányokban különbözik zérustól.
A (70,10)-ből adódó
((70,15). egyenlet)
arány alapján belátható, hogy a mágneses erővonalak a mozgás irányát körülfogó koaxiális körök. Irányuk – pozitív töltés esetén – a mozgás irányába nézve az óramutató járásával megegyező.
4. Doppler-effektus és aberráció
Ebben a pontban az elektromágneses síkhullámok transzformációs sajátságaival foglalkozunk. Feltételezzük, hogy a K inerciarendszerben monokromatikus elektromágneses síkhullám terjed az egységvektorral megadott irányban. A térerősségek (49,22) szerint:
((71,1). egyenlet),
ahol E0, illetve H0 a helytől és időtől független amplitúdóvektor, a hullám fázisa, amely az időnek és a helykoordinátáknak lineáris függvénye:
((71,2). egyenlet).
a hullám frekvenciája, c a terjedési sebessége. Térjünk át a (60,7) speciális Lorentz-transzformációval a K'-inerciarendszerre. A térerősségek a (69,5) képlet szerint transzformálódnak:
((71,3). egyenlet)
E képletekből látszik, hogy csak az amplitúdóvektorok transzformálódnak, a Φ fázis változatlan marad, ez tehát Lorentz-invariáns mennyiség.
Abból a tényből, hogy a fázis invariáns, érdekes következtetések vonhatók le a hullám frekvenciájának és terjedési irányának megváltozására vonatkozóan.
A fázis kifejezését átalakítjuk a szokásos x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict, továbbá a
((71,4). egyenlet)
jelölések bevezetésével:
((71,5). egyenlet)
Mivel Φ invariáns skalár, és az xi vektorként transzformálódik, -nek négyes vektornak kell lennie. Ugyanis, xi-nek csak négyes vektorral való skaláris szorzata ad invariáns mennyiséget.
(71,4)-ből következik, hogy nullvektor a Minkowski-féle négydimenziós térben:
((71,6). egyenlet).
Itt figyelembe vettük az összefüggést.
Ezek után határozzuk meg a vektor egyes komponenseinek transzformációs képleteit. Kezdjük a negyedik komponenssel. (65,1), valamint (64,10) alapján adódik:
.
A értéket beírva, a frekvenciára a következő transzformációs képletet kapjuk:
((71,7). egyenlet).
Ennek jelentése a következő. A K rendszerben frekvenciájú elektromágneses síkhullám terjed az n irányban. Ez felfogható úgy, hogy igen távoli hullámforrásból jön, amely a K rendszerben nyugszik. A K-hoz képest az x tengely mentén sebességgel mozgó K' rendszerben a hullám frekvenciája megváltozott. A frekvenciaváltozás annak a következménye, hogy a K'-beli megfigyelő (mérőberendezés) mozog a hullámforráshoz képest. A jelenséget Doppler-effektus néven ismerjük. A (71,7) képlet tehát a Doppler-effektusnál fellépő frekvenciaváltozásról ad számot. A (71,7) tetszőleges irányban haladó hullámra vonatkozik.
Alkalmazzuk ezt most két speciális esetre.
1. A hullám az x tengely mentén terjed. Ugyanebben az irányban (vagy vele szemben) mozog a megfigyelő is. Ekkor a megváltozott frekvencia, mivel , a következő lesz:
((71,8). egyenlet).
Ez az ún. longitudinális Doppler-effektus, amely sebességek esetén a klasszikus fizikából ismert
((71,9). egyenlet)
képletbe megy át. A két képlet az tényezőben különbözik egymástól. Ives mérései szerint a (71,8) relativisztikus képlet írja le helyesen a longitudinális effektust. Fényforrásul nagy sebességgel mozgó csősugárionokat használt. A közeledés és távolodás frekvenciájának középértékét mérte. Ez a (71,8) képlet szerint:
.
A (71,9) klasszikus képlet szerint pedig:
.
|