I növ əyri xətli inteqral və onun hesablanması

2. I növ əyri xətli inteqral və onun hesablanması.
Tutaq ki, (Oxy) müstəvisi üzərində yerləşən sonlu uzunluğu əyrisi və həmin əyri üzərində təyin olunmuş funksiyası verilmişdir. əyrisini
nöqtələri vasitəsilə kimi kiçik hissələrə bölək
(şəkil 1).
Şəkil – 1
əyrisinin (1) şəkildə bölgüsünü T və bölgüdən alınan qövsunun uzunluğunu ilə işarə edək. ədədlərinin ən böyük T bölqüsünün parametri adlanır və λ(T) ilə işarə olunur:
.
Bölgüdən alınan kiçik hissələrin hər birinin üzərində bir ixtiyari
nöqtəsi götürək və aşağıdakı kimi cəm düzəldək:
. (2)
(2) cəminə f funksiyasının əyrisində (və ya əyrisi üzərində) inteqral cəmi deyilir. Bu cəmin qiyməti əyrisinin T bölgüsündən və nöqtələrinin seçilməsindən aılıdır.
Tərif. (2) inteqral cəminin λ(T) şərtində sonlu limiti varsa, həmin limitə funksiyasının əyrisi üzrə birinci növ əyrixətli inteqralı deyilir və
ilə işarə olunur:
(3)
Tərifdən aydındır ki, birinci növ əyrixətli inteqralın qiyməti əyrinin istiqamətindən asılı deyildir, yəni AB əyrisi (istiqaməti A-dan B-yə) və BA əyrisi (istiqaməti B-dan A-ya) üzrə inteqrallar bərabərdir:
(4)
Doğrudan da, (1) bölgüsünü tərsinə nömrələsək və uyğun inteqral cəmi düzəltsək, onda yenə də (2) cəmini alırıq ( qövsü ilə qövsünün uzunluğu eyni müsbət ədəddir). Buradan (4) bərabərliyi alınır.
Birinci növ əyrixətli inteqralın hesablanması müəyyən inteqralın hesablanmasına gətirilir. Bunu isbat etmək eçen, əvvəlcə fərz edək ki, (Oxy) müstəvisi üzərində uzunluğu sonlu L ədədi olan AB əyrisi və onun üzərində A-dan B-ya istiqamət təyin edilmişdir. Bu halda əyri üzərindəki ixtiyari nöqtəsinin vəziyyəti AM qövsünün l uzunluğu (l = uz · AM) ilə tamamilə təyin edilir (şəkil 2).
Şəkil – 2
Onda M nöqtəsinin x və y koordinatları da l parametrinin funksiyası olar:
(1)
Bu isə AB əyrisinin parametrik tənliyidir. (1) tənliklərindən parametrin l = 0 qiymətində A nöqtəsinin koordinatları, l = L qiymətində isə B nöqtəsinin koordinatları alınır.
Tutaq ki , AB əyrisi üzərində təyin olunmuş kəsilməyən funksiyadır. Bu halda həmin funksiya parçasında l parametrinin mürəkkəb funksiyası olar:
Tutaq ki, AB əyrisinin T bölgüsü
(2)
aparılmış və bölgüsən alınan qövsləri üzərində ixtiyari nöqtələri seçilmişdir. nöqtəsini parametrin uyğun olan qiymətini ilə işarə etsək, onda olar. qövsü üzərində seçilmiş nöqtəsinə parametrin uyğun olan qiyməti olsa, onda alınar. Bu halda, funksiyasının AB əyrisinin T bölgüsünə və seçilmiş nöqtələrinə uyğun olan inteqral cəmi
(3)
kimi yazılar. Bərabərliyin sağ tərəfindəki cəm müəyyən inteqralına uyğun olan inteqral cəmidir. Buna görə də T bölgüsünün parametrinin sıfra yaxınlaşması şərtində (3) bərabərliyində limitə keçdikdə
(4)
bərabərliyi alınır (əlbəttə, (3) bərabərliyindəki cəmlərin eyni zamanda sonlu limitləri olduqda).
funksiyası AB əyrisi üzərində və (1) funksiyaları parçasında kəsilməyən olduqda müəyyən inteqralın varlıq teoreminə görə inteqralı sonludur. Buna görə də həmin şərtlər daxilində (4) bərabərliyinin sol tərəfindəki əyrixətli inteqral da sonludur və (4) bərabərliyi ödənilir.
İndi fərz edək ki, hamar AB əyrisi ixtiyari t parametrində (t parametri qövs uzunluğu olmaya da bilər) asılı olan
(5)
tənlikləri vasitəsilə verilmişdir. Tutaq ki, t parametrinin dan ya gədər artması əyrinin A-dan B-ya istiqamətinə uyğundur. Onda əyri qövsünun diferensialı
(6)
şəklində olar. Bu halda (4) bərabərliyinin sağ tərəfindəki müəyyən inteqralda dəyişənləri əvəz etsək, əyri xətli inteqralın hesablanması üçün
(7)
düsturunu alırıq.
Xüsusi halda, AB əyrisinin tənliyi düzbucaqlı koordinatlar vasitəsilə
şəklində verildikdə, x dəyişənini parametr hesab etməklə
(7) düsturunu
(8)
şəklində yazmaq olar.
Şəkil – 3
|