funksiya uchun Makloren formulasi

funksiya uchun Makloren formulasi.
f(x)=e
x
funksiyaning
(-
;+
)
oraliqda
barcha
tartibli
hosilalari
mavjud:
f
(k)
(x)=e
x
, k=1, 2, ..., n+1.
Bundan
x
=0 da
f
(k)
(0)=1, k=1, 2, ...,
n
;
f
(n+1)
(
x)=e
x
va
f(0)=
1 hosil bo‘ladi. Olingan natijalarni 3-§ dagi (10)
formulaga qo‘yib
(1)
bu yerda 0<
<1, formulaga ega bo‘lamiz.
Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning Teylor formulasi.
Aytaylik,
m
x
x
x
f
x
f
...,
,
,
2
1
funksiya ochiq
m
R
E
tо‘plamda berilgan bо‘lib,
E
x
U
0
bо‘lsin, bunda
0
0
2
0
1
0
...,
,
,
m
x
x
x
x
va
0
. Ravshanki,
0
0
2
0
1
0
0
2
1
,
...
,
,
,
,...,
,
m
m
x
x
x
x
x
U
x
x
x
x
nuqtalarni birlashtiruvchi tо‘g‘ri chiziq kesmasi
1
0
;
,...,
,
0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
t
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
t
x
A
m
m
m
shu
0
x
U
ga tegishli bо‘ladi.
Faraz qilaylik,
m
x
x
x
f
....,
,
,
2
1
funksiya
0
x
U
tо‘plamda
1
n
marta
differensialllanuvchi bо‘lsin. Bu funksiyani
A
tо‘plamda qarasak,
1
,
0
segmentda
aniqlangan ushbu
0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
,...,
,
m
m
m
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
t
x
f
t
F
funksiyaga ega bо‘lamiz.
t
F
funksiya
1
,
0
da hosilaga ega bо‘lib,
19
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
t
F
m
m
m
m
m
m
0
0
2
2
2
0
1
1
1
0
0
2
2
2
0
1
1
1
'
...
...
bо‘ladi, bunda
x
f
funksiyaning barcha xususiy hosilalari
0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
...,
,
,
m
m
m
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
t
x
(4)
nuqtada hisoblangan.
Umuman, hosil qilingan
t
F
funksiya
k
-tartibli
1
,...,
2
,
1
n
k
hosilalarga ega
va u
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
F
k
m
m
m
k
0
2
2
2
0
1
1
1
...
ga teng, bundagi barcha xususiy hosilalar (4) nuqtada hisoblangan. Bu
munosabatning tо‘g‘riligi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi.
Shunday qilib,
t
F
funksiya
t
F
t
F
t
F
n
1
'
,
...
,
,
hosilalarga ega
bо‘ladi. Teylor formulasiga kо‘ra (qaralsin, 24-ma’ruza)
0
t
nuqtada
1
0
0
t
1
0
1
0
0
2
0
0
0
0
'
0
!
1
1
!
1
...
!
2
1
n
n
n
n
t
t
c
F
n
t
t
t
F
n
t
t
t
F
t
t
t
F
t
F
t
F
(5)
bо‘ladi, bunda
1
0
,
0
0
t
t
t
c
. Bu tenglikda
1
,
0
0
t
t
deyilsa, unda
1
'
!
1
1
0
!
1
...
0
!
2
1
0
!
1
1
0
1
n
n
F
n
F
n
F
F
F
F
bо‘lishi kelib chiqadi.
Ayni paytda,
,
...,
,
,
1
,
...,
,
,
0
2
1
0
0
2
0
1
m
m
x
x
x
f
F
x
x
x
f
F
(6)
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
m
m
m
k
0
0
2
2
2
0
1
1
1
0
...
20
(bunda
f
funksiyaning barcha xususiy hosilalari
0
0
2
0
1
,
...
,
,
m
x
x
x
nuqtada
hisoblangan) bо‘lishini e’tiborga olsak, u holda (5) va (6) tengliklardan ushbu
0
0
2
0
1
2
1
m
m
x
x
x
f
x
x
x
f
,
...
,
,
,
...
,
,
0
0
2
0
1
0
0
2
2
2
0
1
1
1
1
,
...
,
,
...
!
1
m
k
m
m
m
n
k
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k
0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
1
0
0
2
2
2
0
1
1
1
,
...
,
,
...
!
1
1
m
m
m
n
m
m
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash.
Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini
qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas
M
son mavjud bo‘lsinki,
argument
x
ning
x
0
=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda
n
ning barcha
qiymatlarida
|f
(n)
(x)|
M
tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda
|R
n
(x)|=|
|
M
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument
x
ning tayin qiymatida
=0 tenglik
o‘rinli, demak
n
ning yetarlicha katta qiymatlarida
R
n
(x)
yetarlicha kichik bo‘lar
ekan.
Shunday qilib,
x
0
=
0 nuqta atrofida
f(x)
funksiyani
f(0)+ f’(0)x+
f’’(0)x
2
+ ... +
f
(n)
(0)x
n
ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning
x
nuqtadagi qiymati
uchun
f(x)
f(0)+ f’(0)x+
f’’(0)x
2
+ ... +
f
(n)
(0)x
n
21
taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy
hisoblashdagi xatolik |
R
n
(x)|
ga teng bo‘ladi.
3-misol.
e
0,1
ni 0,001 aniqlikda hisoblang.
Yechish.
e
x
funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (1)
formulada
x=
0,1 deb olsak, u holda
,
masala shartiga ko‘ra xatolik 0,001 dan katta bo‘lmasligi kerak, demak
R
n
(x)=
<
0,001 tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan birinchi
n
ni topish
yetarli.
e
0,1
<
2 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tengsizlikni quyidagicha yozib
olish mumkin:
.
Endi
n
=1, 2, 3, ... qiymatlarni so‘ngi tengsizlikka qo‘yib tekshiramiz va bu
tengsizlik
n
=3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda
.
Xususiy holda,
n
=1 bo‘lganda
f(x)
f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)
taqribiy hisoblash formulasi
R
2
(x)=
(x-x
0
)
2
,
x
0
<
aniqlikda o‘rinli bo‘ladi.
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
XULOSA
Bu yoyilmalarni o’z ichiga oluvchi quyidagi funksiyani ko’raylik:
F(a, b, c
f
x)
funksiya uchta o’zgarmas va bitta o’zgaruvchidan iborat bo’lib, a, b
va c larga xohlagan 0 dan farqli sonlarni olsak, aniq bir funksiyani beradi.
Masalan, I)
Xulosa qilib shuni aytishimiz kerakki kurs ishimniyozishim davomida, Teylor va
Makloren qatorigaformulalari.’’ Ba’zi elementar funksiyarning Teylor formulasi’’
mavzusida yetarlicha bilimga ega bo’ldim. Bu mavzu mohiyatini anglab misollarni
yechishni o’zlashtirdim.
Murakkab funksiyalarni ulardan soddaroq bo’lgan funksiyalar orqali ifodalash
masalalariga bir necha marta duch keldim va ularni o’rgandim.
Funksiyalarni qatorga yoyish masalasi bo’yicha formularni o’rganib chiqdim
ularning kelib chiqishini va qo’llanilishi bilan tanishdim. Shuningdek yuqorida
qaralayotgan funksiyalarni Teylor qatoriga qanday yoyilishini va ba’zi
funiksiyalarning Makloren qatoriga yoyilishiga doir masalalarni bilan ham tanishib
chiqdim va o’rganib oldim.
32
Qolaversa matematik analiz fanining matematika fanida naqadar katta o’rin
egallashini tushinib yetdim.
Bundan tashqari turli xil ta’rif va teoremalarning isbotlarini ham tushunib,
yetarlicha ko’nikma hosil qildim. Turli xil adabiyotlardan foydalanishni o’rgandim
va shu adabiyotlardan foydalangan holda mavzuning mohiyatini yoritishga harakat
qildim.
33
FOYDALANILGANADABIYOTLAR:
1.
Т.Азларов,Ҳ.Мансуров. Математик анализ.1-қисм. Тошкент. 1989.
2.
Азларов Т., Мансуров Ҳ. Математик анализ, 1-қисм, Тошкент,
«Ўқитувчи», 1994;
3.
Азларов Т., Мансуров Ҳ. Математик анализ, 2-қисм, Тошкент,
«Ўқитувчи», 1994;
4.
Азларов Т., Мансуров Ҳ. Математик анализ асослари, 1-қисм, Тошкент,
2005;
5.
Ё.Соатов. Олий математика.1-қисм. Тошкент. 1992
6.
Саъдуллаэв А., Мансуров Ҳ., Худойберганов Г., Ворисов А., Ғуломов Р.
Математик анализ курсидан мисол ва масалалар тўплами. Т. И, ИИ,
Тошкент, «Ўзбекистон», 1993, 1995.
7.
Ўзбекистон Республикаси “Таълим тўғрисида” Қонуни. Баркамол авлод -
Ўзбекистон тараққиётининг пойдевори. -Т.: Шарқ, 1997й.
8.
Ё. Соатов.Олий математика.1-қисм. Тошкент. 1992
9.
Toshmetov O’., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik
analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -97-99 b.
10.
Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag.
Italia, Milan. 2008.- 96-102p.
11.
Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. I T.:«Voris-nashriyot». 2010 y. 85–91 b
Internet saytlari
12.
www.ziyonet.uz
13.
www.arxiv.uz
14.
www.pedagog.uz
15.
www.o‘qituvchi.uz
16.
http:/staff.tiiame.uz
17.
www.genderi.org
|