Kronig Modeli - Bob. Kristall panjaralar

|
Bob. Kristall panjaralar
|
bet | 10/12 | Sana | 10.01.2024 | Hajmi | 1,39 Mb. | | #134208 |
Kronig Modeli7-Penny8
Kristaldagi elektron energiyasining to'lqin vektoriga bog'liqligi xususiyatini topish yoki boshqacha qilib aytganda, dispersiya qonunini o'rnatish uchun biz bir o'lchovli modelni – potentsial maydoni davriy xarakterga ega bo'lgan atomlarning chiziqli zanjirini ko'rib chiqamiz (rasm. 4.2,a). Bunday potentsial uchun Shredinger tenglamasining echimini topish qiyin, shuning uchun biz potentsial chuqurning haqiqiy shaklini to'rtburchaklar bilan almashtiramiz (rasm.4.2,b). Garchi bunday potentsial haqiqiydan sezilarli darajada farq qilsa – da, u asosiy xususiyatni-chastotani saqlab qoladi.
|
|
A
|
B
|
rasm. 4.2. Bir o'lchovli kristalning potentsial maydoni-atomlarning chiziqli zanjiri (a) va КронигаKronig-Penny potentsiali (B)
|
Energiya bilan elektron uchun Shredinger tenglamasining echimlari mavjud
(2.18)
qaerda va (2.19)
Maydonning chastotasi tufayli echimlar burga to'lqini shaklida ham ifodalanishi mumkin
(2.20)
qaerda
(2.18) va (2.20) dan quyidagilar kelib chiqadi
(2.21)
Biz funktsiya va uning hosilasi uchun uzluksizlik shartlarini nuqtalarda va qo'shimcha ravishda davriylik shartlarini bajarishni talab qilamiz . Bu to'rtta tenglama tizimiga olib keladi. Bir hil tizimning (2.22) ahamiyatsiz bo'lmagan echimi mavjudligining sharti uning determinantining nolga tengligidir. Tizimning determinantini yozish va ochish orqali biz olamiz
(2.23)
(2.23) dan kelib chiqadiki, elektron energiyasi to'lqin sonining noaniq funktsiyasidir . Ushbu bog'liqlikni aniqlash uchun to'rtburchaklar shaklidagi to'siqlarni-shaklidagi to'siqlar bilan almashtirish orqali vazifani soddalashtiramiz. Buning uchun biz bir vaqtning o'zida shunday harakat qilamiz . и таким образом, чтобы Bunday holda, to'siqning shaffofligi ozgina o'zgaradi va (2.23) tenglama sezilarli darajada soddalashtiriladi
(2.24)
qaerda
(2.24) ifodasi КронигаKronig-Penni tenglamasi deb ataladi. Bundan kelib chiqadiki, energiya noaniq funktsiyadir . Ushbu bog'liqlikning xususiyatini aniqlash uchun (2.24) tenglamaning grafoanalitik echimini amalga oshiramiz. Ifodaning chap tomonini (2.24) funktsiya sifatida ifodalaymiz (rasm.4.3). Haqiqiy qiymatlar uchun mumkin bo'lgan qiymatlar ba'zi aniq sohalar bilan cheklanganligi sababli. Boshqacha qilib aytganda, so'nmaydigan to'lqinlar uchun echimlar faqat ma'lum ruxsat etilgan energiya zonalari uchun mavjud (rasmdagi o'qning qoraygan qismlari. 4.3).
Ruxsat etilgan zonalarning kengligi energiya (yoki ) o'sishi bilan ortadi va kattalashganda kamayadi . Parametr nol potentsialga ega bo'lgan hududlarni ajratib turadigan potentsial to'siqlarning "kuchini" tavsiflaydi. Agar u doimiy bo'lsa va elektronning energiyasi ko'tarilsa, ikkinchisi to'siqdan "chiqib ketishi" osonroq bo'ladi va elektron o'zini erkin tutganda.
O'sish bilan ruxsat etilgan energiya zonasining kengligi kamayadi va ruxsat etilgan qiymatlar bilan faqat qiymatlar paydo bo'ladi , bu erdalbutun sondir. Ushbu echimlar shunchaki cheksiz chuqur potentsial chuqurdagi zarrachaning energiya darajasini tavsiflaydi.
Ikkala chegara holati ham haqiqiy kristallarda o'xshashliklarga ega-erkin elektronlarning yaqinlashishi va kuchli bog'langan elektronlarning yaqinlashishi.
(2.24) tenglamaning echimiga javob beradigan elektronning energiya spektri sek.4.4. Ruxsat etilgan eng past energiya zonasi nisbatan tor, energiya ko'payishi bilaneruxsat etilgan zonalarning kengligi oshadi va taqiqlangan zonalarning kengligi kamayadi.
|
| |