Yopishma tekislik ta‘rifi. Yopishma tekislikning mavjudligi xaqidagi teorema

Egri chiziqning yopishma tekisligi
Reja:
-
Yopishma tekislik ta‘rifi.
-
Yopishma tekislikning mavjudligi xaqidagi teorema.
-
Yopishma tekislik tenglamasi.
-
Binormal va bosh normal tenglamalari.
Tayanch iboralar Yopishma tekislik, komplanar vektorlar, vektorlarning komplanarlik sharti, yopishma tekislik tenglamasi, binormal, bosh normal, to`g`irlovchi tekislik va ularning tenglamalari.
Faraz qilaylik egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo`lsin. Р nuqta orqali qandaydir tekislikni o`tkazamiz.
Р va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan va Q nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani bilan belgilaymiz.
Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda /d2 nisbat nolga intilsa tekislikni egri chiziqning Р nuqtasidagi yopishma tekisligi deyiladi.
TEOREMA. Ikki marta differentsiallanuvchi egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida yopishma tekislikka ega. Bunda yopishma tekislik yoki yagonadir yoki urinma orqali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iborat. Агар r=r(t) egri chiziqning vektor tenglamasidan iborat bo`lsa, yopishma tekislik r'(t) va r"(t) vektorlarga perpendikulyardir.
ISBOT. Faraz qilaylik tekislik egri chiziqning parametrning t qiymatiga mos kelgan Р nuqtasidagi yopishma tekislikdan iborat bo`lsin.
Yopishma tekislikning birlik normal vektorini n orqali belgilaymiz. U xolda oldingi mavzulardagi kabi muloxazalar yuritib quyidagilarni olamiz, ya‘ni
d=|r(t+t)-r(t)|, =|n(r(t+t)-r(t))|
Shartga asosan yopishma tekislik bo`lgani uchun QР da (/d2)0 bo`ladi. Ma‘lumki, Q nuqta Р nuqtaga intilsa t 0 ga intiladi. Aytilganlar asosida quyidagilarga ega bo`lamiz:
Q nuqta Р nuqtaga intilganda 10, 20 bo`ladi va oxirgidan nr'(t)=0, nr"(t)=0 kelib chiqadi. Bu tengliklardan nr', nr" ekani yoki r' va r" vektorlarning yopishma tekislikka parallelligi kelib chiqadi.
Yopishma tekislikning xar doim mavjudligi osongina ishonch xosil kilish mumkin. Buning uchun r'(t) ва r"(t) vektorlarga parallel bo`lgan tekislikni olamiz. U xolda nr'(t)=0, nr"(t)=0 bo`lib, Q nuqta Р nuqtaga intilganda kelib chiqadi.
Shunday qilib, egri chiziqning xar bir nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo`lib, agar r'(t) ва r"(t) vektorlar kollinear bo`lsa yoki r"(t)=0 bo`lsa, urinma orkali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iboratdir.
Endi egri chiziqning Р(x0,y0,z0) nuqtasidagi yopishma tekislik tenglamasini tuzamiz. Aytaylik А(x,y,z) nuqta yopishma tekislikning o`zgaruvchi nuqtasi bo`lsin. U xolda uchta РА, r' ва r" vektorlar o`zaro komplanardir. Vektorlarning komplanarlik shartiga asosan (РА, r',r")=0 bo`ladi.
Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozsak,
bo`ladi.
Bu yopishma tekislik tenglamasidir.
Ma‘lumki, urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan xar bir to`g`ri chiziqning normali deyiladi. Agar yopishma tekislik yagona bo`lsa, bu normallar orasida ikkitasi ajralib turadi. Ulardan birinchisi yopishma tekislikda yotuvchi normal bo`lib, uni egri chiziqning bosh normali deyiladi. Ikkinchisi esa, yopishma tekislikka perpendikulyar bo`lgan normal bo`lib, uni egri chiziqning binormali deyiladi.
Endi binormalning tenglamasini tuzamiz. r' ва r" vektorlar chiziqning М0 nuqtasidagi yopishma tekislikda yotadi. Shuning uchun В0=[r',r"] vektor binormal bo`ylab yo`nalgandir. Agar binormal ustida ixtiyoriy М(x,y,z) nuqtani olsak, vektor В0 vektor bilan kollinear bo`ladi, yani =В0. Bunda В0 vektorning yoyilmasi:
В0=(y'z"-y'z')i+(z'x"-z"x')j+(x'y"-x"y')k
ning yoyilmasi esa
=(X-x)i+(Y-y)j+(Z-z)k.
Shu sababli binormalning koordinata shaklidagi tenglamalari
va vektor shakldagi tenglamasi: R-r=[r'r"].
Agar B=[r'r"] vektorni r' vektor bilan ko`paytirsak, В va r' ga tik vektor xosil bo`ladi. Bu vektor chiziqning bosh normali bo`ylab yo`nalgandir. Uni N bilan belgilaymiz:N=[[r'r"]r']. Ikki qaytali vektor ko`paytmani yoyish formulasiga asosan:
N=[[r'r"]r']=r"r'2-r'(r'r").
Jumladan, chiziqning М0 nuqtasidagi bosh normal vektori N0=[[r'0r"0]r'0] bo`ladi. Uning yoyilmasi
N0=[[r'0r"0]r'0]=r"0r'20 - r'0(r'0r"0).
Bosh normal vektorining to`g`ri burchakli koordinata sistemasidagi yoyilmasi qisqacha N=i+j+k bo`lsin. Bu xolda to`g`irlovchi tekislikning tenglamasi
(X-x)+(Y-y)+(Z-z)=0
ko`rinishni oladi, chunki to`g`irlovchi tekislik М0 nuqtadan o`tib, N0 vektorga perpendikulyar bo`ladi.
Chiziqning М0 nuqtasidagi bosh normali N0 vektor bo`ylab yo`nalgandir. Uning tenglamasini yozish uchun bosh normalda ixtiyoriy М nuqtani olamiz. Natijada М0М ва N0 vektorlar o`zaro kollinear bo`ladi. М0М=N0. Agar N0 ning yoyilmasi N0=0i+0j+0k shaklda olinsa, bosh normalning tenglamalarini
ko`rinishda yozish mumkin.
Adabiyotlar
-
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
-
Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
-
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
-
Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
-
Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.
|