Amaliy ish Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi vektorlar fazosida akslantirishga Bajardi: 052-21 guruh talabasi usmonov aziz - bet 5

y1 + y2 − 2 y3 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = cos t ,
|
3
|
|
2 funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki
|
|
|
|
|
|
|
8-ta’rif. Agar chiziqli fazo cheksiz sondagi chiziqli erkli vektorlar sistemasiga
|
|
ega boʻlsa, u holda bunday chiziqli fazoga cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo deyiladi.
|
|
|
Yuqorida koʻrilgan C[ a , b]
|
fazo cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo boʻladi, chunki
|
|
1, t , t 2 ,...,tn
|
funksiyalar barcha
|
n N lar uchun chiziqli erkli boʻladi.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
9-ta’rif. L chiziqli fаzoning V qism toʻplamining oʻzi ham
|
L da aniqlangan
|
|
elementlarni qoʻshish va elementlarni songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qilsa, u holda V fazo L fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi.
12-misol. Barcha n -tartibli kvadrat matritsalar chiziqli fazosini qaraymiz. Bu fazo uchun barcha n -tartibli diagonal matritsalar fazosi chiziqli qism fazo boʻladimi?
Yechish. Ixtiyoriy
|
a11
|
0 ...
|
0
|
|
|
|
b11
|
0
|
...
|
0
|
|
|
|
0
|
a
|
|
...
|
0
|
|
|
|
0
|
b
|
...
|
0
|
|
|
D =
|
|
|
22
|
|
|
|
D =
|
|
22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1...
|
,,, ...
|
...
|
2
|
...
|
...
|
...
|
...
|
|
|
0
|
0 ...
|
|
|
|
|
0
|
0
|
...
|
|
|
|
|
ann
|
|
|
bnn
|
|
matritsalarni qaraymiz. Maʻlumki bunda
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 + b11
|
|
0
|
...
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
a22
|
+ b22
|
...
|
0
|
|
|
|
|
D+D=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...
|
...
|
...
|
|
|
|
1
|
|
2
|
...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
0
|
...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ann + bnn
|
|
|
|
yaʻni ikkita diagonal matritsaning yigʻindisi yana diagonal matritsa boʻladi.
Endi diagonal matritsaning songa koʻpaytmasini tekshiramiz:
|
|
a11
|
0
|
...
|
0
|
|
|
a11
|
0
|
...
|
0
|
|
|
|
|
0
|
a
|
...
|
0
|
|
|
0
|
a
|
...
|
0
|
|
|
D =
|
|
22
|
|
|
|
=
|
|
22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
...
|
,,,
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
|
|
|
|
|
|
0
|
0
|
...
|
|
|
|
0
|
0
|
...
|
|
|
|
|
|
ann
|
|
ann
|
| |
yaʻni diagonal matritsani songa koʻpaytirsak yana diagonal matritsa hosil boʻladi. Bundan tashqari bizga maʻlumki, n − tartibli matritsalar uchun chiziqli fazo uchun oʻrinli boʻlgan yuqoridagi 8 ta aksioma bajariladi. Demak, n -tartibli diagonal matritsalar toʻplami n − tartibli matritsalar fazosining chiziqli qism fazosini tashkil
qiladi. Endi biz oldingi mavzuda Rn arifmetik fazo uchun kiritilgan ckalyar koʻpaytma tushunchasini chiziqli fazo uchun umumlashtiramiz.
10-ta’rif. L chiziqli fazoning har bir x va y vektorlar juftligiga biror qoida bilan haqiqiy son (x, y) mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar:
(x, y ) = ( y , x);
(x + y , z ) = ( x, z ) + ( y , z );
( x, y ) = (x, y).
(x, x) 0 , ixtiyoriy x L uchun (x, x ) = 0 x = ;
bajarilsa, u holda (x, y) son x va y vektorlarning skalyar koʻpaytmasi deyiladi.
11-ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skаlyar koʻpаytmа aniqlangan boʻlsa, bu fazo Yevklid fаzosi dеyilаdi va E n koʻrinishda belgilanadi.
Har qanday n oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skаlyar koʻpаytmаni aniqlash orqali uni Yevklid fаzosigа aylantirish mumkin.
12-ta’rif. Yevklid fаzosidаn olingan x vеktor uchun quyidagicha
= ( x, x)
aniqlangan songa x vektorning normаsi (uzunligi) dеb аytilаdi:
Vеktorning uzunligi uchun quyidаgi хossаlаr oʻrinlidir:
1.
2.
3.
4.
0
x =
( x, y )
x + y
barcha x L elementlar uchun. x = 0 x =
x , bundа R ;
x y (Koshi-Bunyakovskiy tеngsizligi); x + y (uchburchаk tеngsizligi).
13-ta’rif. Agar x , y En
|
elementlar uchun ( x , y) = 0
|
boʻlsa u holda x va y
|
|
elementlar ortogonal vektorlar deyiladi.
|
|
|
|
14-ta’rif. Noldan farqli
|
a , a ,..., a En
|
elementlardan tashkil topgan vektorlar
|
|
|
12
|
n
|
|
sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi.
|
|
|
15-ta’rif.
|
Agar
|
a1 , a2 ,..., anEn
|
ortogonal
|
vektorlar
|
sistemasi
|
boʻlib
|
|
|
a i
|
|
= 1
|
(
|
i =1, 2,..., n
|
|
a1 , a 2
|
, a 3 ,..., an
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) boʻlsa, u holda
|
|
vektorlar sistemasi ortonormal
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vektorlar sistemasi deyiladi.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16-ta’rif.
|
Agar
|
e1 , e2 , e3 ,...,enEn
|
vektorlar
|
sistemasi E n
|
fazoning
|
bazisi
|
|
boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi.
Ortonormallangan e1 , e2 , e3 ,...,en En bazis uchun quyidagi munosabat oʻrinli:
( ) 1, agar i = k bo ' lsa
e i ,ek =
0, agar i k bo ' lsa
2-teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar
vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli
a1 + a 2 + ... + a n
|
2 = a1
|
2 + a 2
|
2 + ... + an
|
2
|
3-teorema. Agar a1 , a2 , ..., an En vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi.
Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz
1 a1 + 2 a 2 + ... + n an = 0
Bu tenglikning ikkala tomonini a1 ga skalyar koʻpaytiramiz: 1 ( a1 , a1 ) + 2 ( a 2 , a1 ) + ... + n ( a n , a1) = 0
Teorema
|
shartiga
|
koʻra
|
( a1 , a1 ) 0, ( a1 , a i ) = 0
|
( i = 2,3,..., n)
|
boʻlgani uchun
|
|
oxirgi tenglikdan
|
1 ( a1 , a1 ) = 1
|
|
a1
|
|
|
|
2 =0,
|
ga ega boʻlamiz. Bundan
|
= 0
|
ekani kelib
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chiqadi. Xuddi
|
shunga
|
oʻxshab
|
|
2 = 3 = ... = n = 0
|
ekanligi isbotlanadi. Demak
|
|
a1 , a 2 ,..., a k En chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi.
4-teorema. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy Yevklid fazosida ortonormallangan
|
bazis mavjud.
|
|
Isbot. Faraz qilaylik e1 , e 2 , e3 ,...,e n En
|
vektorlar sistemasi E n fazoning
|
ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz:
e = e1, deb olib keyingi qadamda
|