Uzatish funksiyalari va ularga misollar

Uzatish funksiyalari va ularga misollar
Bir o‘lchamli uzluksiz statsionar chiziqli sistemaning differensial tenglamasini umumiy ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin:
d n y
d n1 y
d m x
d m1 x
a0
dt n
a1
dt n1
... an y(t) b0
dt m
b1 dt m1
... bm x(t) . (6.2.1)
Sistema yoki bo`g`inning uzatish funkiyasi deb – boshlang‘ich shartlari nol bo‘lganida chiqish signalining Laplas tasvirini kirish signalining Laplas tasviri
signali nisbatiga aytiladi. (6.2.1)-tenglamani Laplas tasviri bo‘yicha o‘zgartiramiz,
buning uchun differensial tenglamada bilan almashtiramiz
d operatorni «p» kompleks o‘zgaruvchi
dt
(a pn a pn1 ... a ) y( p) (b pm b pm1 ... b )x( p) . (6.2..2)
0 1 n 0 1 m
Uzatish funksiyasining ta‘rifiga muvofiq W(p)ni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin
(b pm b pm1 ... b )
W ( p)
t0 0 1 m . (6.2.3)
yoki
(a0
pn a pn1 ... a )
1
n
W ( p) P( p)
Q( p)
bunda
P( p) b pm b pm1 b pm2 ... b
- m darajali ko‘phad;
0 1 2 m
Q( p) a0
pn a pn1 a
pn2 ... a
- n darajali ko‘phad.
1
2
n
Sistemani amalga oshirish uchun sistema ishlashi mumkin.
m n
shart bajarilishi kerak. SHundagini
(6.2.3) tenglamaga muvofiq bo`g`inyoki sistemaning chiqish signalining Laplas tasviri
y( p) W ( p) x( p). (6.2.4)
Endi bo`g`inyoki sistemaning uzatish W(p) funksiyasi bilan o‘tkinchi funksiyasi h(t) hamda impulsli o‘tkinchi funksiyasi (t) orasidagi bog‘lanishni ko‘rib chiqamiz (6.2.1-rasm).
x(t) y(t)
– rasm
Agar kirish signali x(t)=1(t) bo‘lsa, unda uning Laplas tasviri
x( t) 1
p
bo‘ladi. (6.2.4) formulaga muvofiq chiqish signalining Laplas tasviri
y( p) W ( p) 1 ga teng bo‘ladi. Bundan original funksiyaga o‘tsak
p
y(t) h(t)
1 1
bo‘ladi.
p
L W ( p)
Demak, o‘tkinchi funksiya h( t) bilan uzatish funksiyasi W( p) bir ma‘noli bog‘langan ekan.
Agar x(t)=(t) bo‘lsa, unda x(p)=1 bo‘ladi. (6.2.4) formulaga muvofiq chiqish signalining Laplas tasviri y(p)=W(p) bo‘lib, uning originali impulsli
o‘tkinchi funksiya bo‘ladi, ya‘ni
y(t) (t) L1W ( p).
ekan.
Demak, impulsli o‘tkinchi funksiya ( t) uzatish funksiyasining originali
Endi uzatish funksiyasining mohiyatini aniq misolda ko‘rib chiqamiz.
misol. RC zanjiri berilgan bo‘lsin (6.2.2-rasm). SHu zanjirining uzatish
funksiyasi W( p)ni topish kerak.
Z ( p) R 1 ;
k pC
Z ( p) 1 ;
ч pC
|
1
W ( p) Zч pC 1 1
Zk R 1 RCp 1 Tp 1
pC
|
R
Z Z
k C ч
6.2.2-расм
bunda T = RC – vaqt doimiyligi.
misol. SR zanjiri berilgan bo‘lsin (6.2.3-rasm). SHu zanjirning uzatish funksiyasi W(p)ni topish kerak.
Z
C k ( p) R
1 R;
pC
Zч ( p) R;
Zч
W ( p) Zч
Zk
R
1 R
RCp
1 RCp
Tp .
1 Tp
6.2.3-расм pC
Bu erda T = RC – vaqt doimiyligi.
Chastotaviy va vaqt harakteristikalari
Chiziqli statsionar sistemalarni tasvirlashda chastotali harakteristikalar juda muhim rol o‘ynaydi. Bir o‘lchamli chiziqli statsionar sistemaning umumiy ko‘rinishdagi operator tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:
(a pn a pn1 a pn2 ... a ) y( p) (b pm b pm1 b pm2 ... b
)x( p).
0 1 2 n 0 1 2 m
Uzatish funksiyasining ta‘rifiga ko‘ra
W ( p)
y( p)
b pm b pm1 b pm2 ... b
0 1 2 m
P( p) .
x( p)
a pn a pn1 a pn2 ... a
Q( p)
0 1 2 n
W ( j)
funksiyaning uzatish funksiyasi W( p )
dan
p j
bilan almashtirish
orqali olinadi va chastotaviy uzatish funksiyasi deyiladi
0 1 2 m
b ( j)m b ( j)m1 b ( j)m2 ... b
W ( j ) .
1
0
2
n
a ( j)n a ( j)n1 a ( j)n2 ... a
Chastotaviy uzatish funksiya
W ( j)
chatota deb ataluvchi haqiqiy
o‘zgaruvchi « » ga bog‘liq bo‘lgan kompleks funksiyadir.
W ( j) U ( ) jV ( )
W ( j) A( ) e j()
algebraik ko‘rinishi;
darajali ko‘rinishi,
bu erda U ( )
faza.
V ( )
A( )
- amplituda;
( ) -
A( ) ; ( ) arctg V () U ()
– rasm.
Kompleks tekisligida W(j) funksiyasini OC vektor orqali ifodalash mumkin. Bu vektorning uzunligi chastotali uzatish funksiyasining amplitudasi
«A»ga vektorning haqiqiy musbat o‘q bilan hosil qilgan burchagi fazasi «»ga teng bo‘ladi (6.3.1-rasm).
CHastota noldan chiksiz (0) oraliqda o‘zgarganda OC vektorning kompleks tekisligida chizgan egri chizig‘iga amplituda-fazali harakteristika (AFX) deyiladi, yoki boshqa qilib aytganda AFX deb kompleks tekisligida chastotaning o‘zgarishiga qarab amplituda va fazaning o‘zgarishiga aytish mumkin.
Chastotali uzatish funksiyasining amplitudasi chiqish signalining amplitudasini kirish signalining amplitudasiga nisbatan necha marotaba kattaligini ko‘rsatadi. CHastotali uzatish funksiyasining moduli amplitudasini beradi, ya‘ni
A() modW ( j) Aч () ;
Ak ()
chastotali uzatish funksiyasining argumenti chiqish va
kirish signallari orasidagi burchak siljishini ko‘rsatadi, ya‘ni () argW ( j);
k t t
W ( j)
y( j)
x( j)
– rasm.
A ()e
j[ t ч ]
к
ч A( ) e A ()e j[ t к ]
j ( )
A( ) - kuchaytirishning amplitudasi
A() Aчик () ; ()
.
Aкир
()
чик
кир
W ( j) - amplituda fazaviy har aketistika (AFX);
U ( )
V ( )
haqiqiy chastotaviy harakteristika (HCHX);
mavhum chastotaviy harakteristika (MCHX);
A() - amplituda chastotaviy harakteristika (ACHX);
() - faza chastotaviy harakteristika (FCHX).
Bu har akteristiakalarning hammasi oddiy chiziqli masshtabda chiziladi. YUqoridagi harakteristikalardan tashqari quyidagi ikkita logarifmik harakteristika ham mavjuddir.
L() 20lg A() funksiya - logarifmik amplituda chastotaviy harakteristika
(LACHX) deyiladi. Amplitudaning lg ga nisbatan chizilgan grafigiga logarifmik
amplituda chastotaviy harakteristika (LACHX) deyiladi.
() ni
lg ga nisbatan
chizilgan grafigiga logarifmik fazo-chastotaviy harakteristika (LFCHX) deyiladi.
lg ning o‘lchov birligi «dakada», bir dekada chastotaning o‘n marta oshishini bildiradi.
L() ning o‘lchov birligi «detsibell» quvvatni o‘n marta ko‘paytirish bir
bellni beradi, ya‘ni 1дц
1 белл .
10
L( ) 10lg P( ) 10 lg U I 10lg A2 ( ) 20lg A( ) .
|