Ekvivalent tasdiqlar - Mavzu: To’plamlar ustida amallar va ularning xossalari. Isbotlari bilan. Eyler-Venn diagrammalari. Reja

Ekvivalent tasdiqlar:
tengliklar o‗zaro ikki taraflama
Ixtiyoriy ekvivalentdir:
A va B
to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlar
1) A B; 2) A B A; 3) A B B .
1.7-misol: A 3,5, 7,9,11,18 , В 1,5,8,9,10,
С 1, 2,3, 4,5
to‘plamlar berilgan, to‘plamlar kesishmasining assosiativlik qonunini isbotlang.
Yechimi: А В С А В С ayniyatni isbotlash uchun
А В С А В С va А В С А В С qism
to‘plam shartlarini bajarilishini ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik x А В С bo‘lsin, u holda quyidagilarga ega bo‘lamiz
x A B,
x A,
x B,
x A,
x С,
x С,
x B C,
Bundan esa,
x А В С
kelib chiqadi
ikkinchi qarashlilik ham shunga o'xshash tarzda isbotlanadi:
Aytaylik у А В С bo‘lsin, bundan quyidagilarga ega bo‘lamiz
у A,
у A,
у B,
у A B,
у B C,
у С,
у С.
natijada у А В С
kelib chiqadi. Ayniyat isbotlandi.
А В С А В С
tenglikni berilgan А, В, С to‘plamlar
misolida tekshirib ko‘ramiz: В С 1,5 , А В С 5 ;
A B 5 , А В С 5 . Demak, А В С А В С .
1.8-misol: Koordinatalar tekisligida x 2+y 2 ≤1 va x 2+(y-1) 2 ≤1 shartlarni qanoatlantiradigan koordinata tekisligining A va B nuqtalari to‘plamini aniqlang. 2-rasmdagi qaysi figuralar A B, А to‘plamlarni ifodalaydi ?
Yechimi: Ikkala to'plam ham tekislikda radiusi R = 1 teng bo'lgan doiralarni bildiradi, birinchi doira markazi koordinatalari (0, 0) nuqtada, ikkinchisining markazi esa (0, -1) nuqtada joylashgan. А, В, A B, А to‘plamlarni ifodalovchi figuralar 2-rasmda keltirilgan.
у
х
A B A B А
2-rasm
1.9-misol: Istalgan А, В va С to‘plamlar uchun: 1) A B ; 2)
A B A ; 3) A
ifodalar tengligini isbotlang.
Yechimi: Birinchi shartdan ikkinchisi kelib chiqishini isbotlaymiz.
A B
A ekanligidan A A
kelib chiqishini qaraymiz. Agar
x A bo‘lsa, u holda x B bo‘ladi. Aslida, A B
ekanligidan
x A kelib chiqadi.
Ikkinchi shartdan uchinchisi kelib chiqishini qarab chiqamiz.
A ekanligidan A deb olish mumkin. Yutilish
qo‘llab A B B ga ega bo‘lamiz.
Endi uchinchi shartdan birinchisini kelib chiqishini isbotlaymiz.
A A B ekanligidan uchinchi shartga binoan A B B bo‘lsa, demak
A B .
1.10-misol: Agar
A {1, 2, 3, 4, 5},
B {2,3, 4,5, 6}, A {2,3, 6, 7},
D {2, 5, 6, 7,8},
I {1,...,8} ( I A, B, C, D larga nisbatan universal) bo‘lsa,
A C A B C A C D
to‘plam elementlarini aniqlang (yutilish qoidasini qo‘llab):
Yechimi:
To‘plamlar algebrasidagi 11)- va 2)-qoidalarga asosan,
A C A B C ( A C) (U B) deb yozish mumkin.
Yana 2)-qoidaga asosan, A C A C A C ; U B U va
A C A C D
bor qo‘llab
ko‘rinisni oladi. 11)- va 2)- qoidalarni yana bir
A C A C D ( A C) (U D) ;
( A C) U A C larni hosil qilamiz.
Demak, natija A C {2,3}.
1.11-misol: Quyidagi ifodani soddalashtiring:
A B C A B C A B ;
Yechimi:
Berilgan ifodaning A B C A B C
A B C A B C ( A B ) (C C )
qismini
deb yozish mumkin.
Demak, U (C A B ) U yechim bo‘ladi.
1.12-misol: … nuqtalarni o‘rniga = yoki ≠ belgilarni qo‘ying.
1) A B C B C...A C ;
Yechimi:
2)-qoidaga asosan, (B C) (B C) B C ; bo‘ladi.
А ∪ (B ∩ C) ( А ∪ B) ∩ ( А ∪ C)
10)- qoidaga asosan A ekanligidan
nuqtalar o‘rniga ≠ qo‘yishimiz kelib chiqadi.
To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi.
1.10-ta’rif. Tartiblangan
A1, A2 ,..., An
to‘plamlar elementlaridan
tuzilgan n o‘rinli barcha qism to‘plamiga shu to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi (qisqacha, Dekart ko‘paytmasi) deb ataladi.
Ba‘zan to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi iborasi o‗rniga
to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi iborasidan ham foydalaniladi.
Tartiblangan
A1, A2 ,..., An
n
to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi
A1 A2 ... An
yoki
Ai
i1
ko‗rinishda belgilanadi, ya‘ni
A1 A2 ... An
n
Ai
i1
{ a1, a2 ,..., an
To‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi tushunchasining aniqlanishida bu ko‗paytmada qatnashuvchi to‗plamlarning soni ham muhim hisoblanadi. n ta to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi iborasi o‗rniga n o‘rinli Dekart ko‘paytmasi iborasi ham qo‗llaniladi.
Tabiiyki, agar
A1, A2 ,..., An
to‗plamlarning birortasi bo‗sh to‗plam
bo‗lsa, u holda ulardan foydalanib birorta ham qism to‘plam tuzish imkoniyati yo‗q. Demak, tarkibida hech bo‗lmasa bitta bo‗sh to‗plam
qatnashgan
A1, A2 ,..., An
to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi ham bo‘sh
to‗plamdir, ya‘ni
A1 A2 ... An
.
Dekart ko‗paytmasidan to‗plamlar bilan bog‗liq murakkab tuzilmalarni hosil qilishda va ularda ko‗paytma tushunchasini aniqlashda foydalaniladi. To‗plamlarning to‗g‗ri ko‗paytmasi tushunchasidan
foydalanib, to‘plamning darajasi tushunchasi
An
n marta
formula asosida kiritiladi. Masalan,
A1 A ,
A2 A A. Umuman
olganda,
An A An1 .
n o‗rinli
A A1 A2 ... An va
B B1 B2 ... Bn
Dekart
ko‗paytmalari berilgan bo‗lsin. Agar
A1 B1,
A2 B2 ,…, An Bn
munosabatlar o‗rinli bo‗lsa, u holda A Dekart ko‗paytmasi B Dekart
|