Chiziqli va burchak tezlikning bog’liqligi

Chiziqli va burchak tezlikning bog’liqligi.
Endi qattiq jism bilan mustahkam bog’langan koordinata sistemasining koor-
V '
dinata boshi inersiya markazi O da emas, balki O dan a masofadagi qandaydir O'
nuqtada deylik. Bu sistema boshi
→
O' ning ko’chish tezligini
→ bilan uning aylanish
burchak tezligini esa ' orqali belgilaymiz.
Yana qattiq jismning biror P nuqtasini olaylik va uning O' ga nisbatan radius-
vektorni
r→'
bilan belgplaylik. U xolda
r→' r→ a
va (2) ga qo’yib,
V
V
→ → → a→ → r→'
→
V
munosabatni olamiz. Ikkinchi tomondan, V '
va → '
ning ta’rifiga ko’ra
bo’lishi lozim.
→
→ → ' r→'
Demak,
→ → → → → →
V ' V a, '
(3)
ya’ni, jismga bog’langan koordinata sistemasining har bir berilgan vaqt momentidagi burchak tezligi mazkur sistemaning tanlanishiga borliq emas ekan.
Barcha shunday sistemalar berilgan vaqt momentiga bir-biriga parallel o’qlar atrofida absolyut qiymati bo’yicha bir xil → tezlikda aylanadilar.
Aylanuvchi jism kinetik energiyasi.
Aylanuvchi jism uchun Lagranj funksiyasi.
Qattiq jism kinetik energiyasini hisoblash uchun jismni moddiy nuqtalardan iborat diskret sistema deb ko’ramiz va quyidagini yozamiz:
m 2
T 2
bu yerda yig’indi jismning barcha nuqtalari bo’yicha olinadi (indekslarini tushirib qoldirdik).
Bu tenglamaga (2) ni qiymatini qo’yib,
T m → → r→2 m →2
→→ r→ m → r→2
(4)
V
→ → 2
V mV
2 2
V va
tezliklar qattiq jismning barcha nuqtalari uchun bir hil bo’lganidan
→ 2
m
orqali belgilaymiz.
Ikkinchi hadini quyidagicha yozamiz:
mV
m V
V
→→ r→ → → r→ → → mr→
Agar harakatdagi koordinata sistemasining boshi shartga ko’ra, inersiya markazida olingan bo’lsa, bu had nolga aylanadi, chunki bu xolda mr→ 0 .
Uchinchi hadda ko’paytma kvadratini ochib chiqamiz va natijada quyidagini
topamiz:
→
2
T V 1
m2r
2 → r→2
2 2
Shunday qilib, qattiq jism kinetik energiyasining birinchi hadi ilgarilanma hadining kinetik energiyasidir, uning ko’rinishi shundayki, go’yo jismning to’la massasi
inersiya markaziga to’plangan deb faraz qilish mumkin. Ikkinchi hadi aylanma harakat kinetik energiyasini ifodalaydi. Bu aylanish inersiya markazidan o’tuvchi
o’q atrofida bo’lib, u → burchak tezlikka ega.
Aylanish kinetik energiyasini tenzor belgilarda, ya’ni r→, → vektorlarning
xi , i komponentlari orqali qayta yozamiz:
T 1 m 2x2 x
x 1 m
x2
x x 1
m x2
aylanish 2
i 𝑙
i i k k 2
i k ik i
i k i k
2 i k
𝑙 ik i k
Bu yerda
i ikk ayniyat qullaniladi (ik -birlik tenzor, uning komponentlari
i k da birga, i k da nolga teng).
ik
𝑙
i
k
ik
I m x2
(5)
tenzor kiritib, qattik jism kinetik energiyasi uchun so’nggi
V
→ 2
T
2
1
2 Iik
ik
(6)
ifodani olamiz. (6) va potensial energiya ayirmasi qattik jismning Lagranj
funksiyasini beradi:
V
→ 2
L
2
1
2 Iik
ik U
(7)
Umumiy holda, potensial energiya qattiq jism vaziyatini belgilovchi oltita
o’zgaruvchining funksiyasidir: bular inersiya markazining uchta X , Y , Z koordinatasi va harakatlanuvchi koordinata o’qlarining qo’zgalmas koordinatalarga nisbatan oriyentasiyasini ko’rsatuvchi uchta burchak.
I ik tenzor inersiya momentlarining tenzori yoki, jism inersiyasining tenzori deyiladi. Yuqoridagi ifodaga binoan, u simmetrikdir, ya’ni
Iik I ki
Uning komponentlarini oshkor ko’rinishda quyidagi jadvalda keltiramiz:
Iik
mxy
m x2 z2
(9)
Impuls momenti
(9) formulaga muvofiq agar koordinatalar boshi inersiya markaziga joylashtirilsa,
M moment jism nuqtalarining inersiya markaziga nisbatan harakatiga bog’liq bo’lgan "xususiy moment" ni ko’rsatadi.
V
V
M
Boshqacha kilib aytganda, → m →r → ta’rifda → ni → r→ga almashtirish
M
m r r
m r
r r
lozim:
→ →→ →
→2 ↼
→→
→
yoki tenzor belgilari yordamida
M mx2
x x
mx2 x x
i i i i k k k
Nihoyat, inersiya tenzorining
i ik i k
ta’rifini nazarda tutib,
ik
Mi Iik k
i ik i k
(10)
ifodani olamiz.
x1, x2 , x3 o’qlar jismning bosh inersiya o’qlari bo’ylab yo’nalgan
holda bu formula quyidagilarni beradi:
M1 I11,
M 2 I22 ,
M 3 I33
(11)
Xususan shar pirildok uchun (uchala bosh inersiya momenti o’zaro mos tushgan):
I
→ →→
M
(12)
ya’ni, moment vektori burchak tezligi vektoriga proporsional va u bilan bir hil
yo’nalishda bo’ladi. →
Umumiy xolda esa M vektor o’z yo’nalishi bo’yicha vektorga mos kelmaydi
M
va faqat u o’zining bosh inersiya o’qlaridan birortasi atrofida aylangandagina →
→
va lar bir xil yo’naladi.
Hyech qanday tashqi kuchlar ta’sirida bo’lmagan qattiq jismning erkin harakati ko’ramiz. Jism faqat erkin aylanma harakat qiladi deb faraz qilamiz.
Har qanday yopiq sistema uchun bo’lgani kabi erkin aylanayotgan jismning
M
impuls momenti ham o’zgarmas bo’ladi. → const shart shar pildiroq uchun oddiy
→ const
ifodani beradi, ya’ni shar pildiroq erkin aylanishining umumiy
qo’zg’almas o’q atrofida tekis aylanishidir.
Pildirokning x3 simmetriya o’qiga perpendikulyar bo’lgan
x1 , x2 bosh inersiya
M
x3 o’qning oniy vaziyati bilan aniqlanadigan tekislikka perpendikulyar qilib
tanlaymiz. U holda
M 2 0 .
I ik
m x 2
𝑙
ik
formulaga muvofik,
2 0 bo’ladi, ya’ni M ,
va pildiroq o’qi har bir vaqt
→ →
momentida bir tekislikda yotadi.
Aylanishdagi burchak tezlik. Pildirok o’qida barcha nuqtalar
V r
→ → →
tezliklarining har bir vaqt momentida ko’rsatilgan tekislikka perpendikulyar
M
ekanligi kelib chiqadi; ya’ni pildiroq o’qi → yo’nalishi atrofida tekis aylanadi va
doiraviy konus chizadi (bu-pildirokning muntazam presessiyasi deb ataladi). Presessiya bilan bir vaqtda pildiroqning o’zi ham xususiy o’qi atrofida tekis
aylanadi. →
→ Bu ikki aylanish burchak tezliklarini M
moment kattaligi va pildiroq o’qining
M yo’nalishiga og’ish burchagi orqali osongina ifodalashi mumkin. Pil-
diroqning bir o’qi atrofida aylanish burchak tezligi → vektorining shu o’qdagi
proyeksiyasi
3 , dan iborat.
3
M 3
I 3
M cos
I 3
pr
Proyeksiya tezligi ni aniqlash uchun esa → vektorni parallelogramm qoidasiga
M
→
ko’ra x3 va bo’ylab tashkil etuvchilarga ajratishi kerak. Tashkil etuvchilarning
birinchisi pildiroq o’qini ko’chirmaydi, shunga ko’ra ikkinchi tashkil etuvchi presessiyaning biz izlayotgan burchak tezligini beradi.
Rasmdagi shakldan
pr
sin 1
bu yerda
M 1
1
I1
M sin , ekanligidan
I1
pr
M .
I
|