Chiziqli va chiziqli ACS barqarorligi uchun zarur shartlar

|
Chiziqli va chiziqli ACS barqarorligi uchun zarur shartlar
|
bet | 5/7 | Sana | 16.05.2024 | Hajmi | 445,82 Kb. | | #239040 |
Bog'liq Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari 6.2. Chiziqli va chiziqli ACS barqarorligi uchun zarur shartlar.
Chiziqli (chiziqli) avtomatik boshqaruv tizimlarining barqarorligi uchun eng oddiy zaruriy shart "kirish-chiqish" o'zgaruvchilari bilan yozilgan tizimlar uchun tuzilgan va u yopiq va ochiq avtomatik boshqaruv tizimlari uchun bir xil "nashrda" qo'llaniladi. Bu holat yopiq ACS uchun D(s) xarakterli polinomi yoki ochiq ACS uchun L(lar) yordamida isbotlangan . D(lar) ga asoslanib xulosa chiqaramiz
D(lar) polinomini elementar chiziqli omillarga ajratamiz:
Birinchi qavsda biz quyidagi ifodani olamiz: Shunday qilib, biz ko'phadning faqat ijobiy koeffitsientlarini olamiz.Shunday qilib, chiziqli ACS barqarorligi uchun zarur shartni shakllantirishimiz mumkin:
Chiziqli ACS barqarorligining zaruriy sharti polinomdagi barcha koeffitsientlarning musbatligi - yopiq ACS uchun yoki in - ochiq ACS uchun.
1 va 2-darajali tizimlar uchun zarur shart ham etarli.
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari avtomatik sistemalarning chastotaviy xarakteristikalari ko‘rinishiga qarab ularning turg‘unlik xolatlarini tekshirish imkonini beradi.
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari grafoanalitik mezon bo‘lib, sistemalarning turg‘unligini tekshirishda juda keng qo‘llaniladi. Chunki bu mezonlar yordamida yuqori darajali avtomatik sistemalarning turg‘unlik ќolatini tekshirish ancha oson ќamda ular sodda geometrik tasvirga egadirlar.
Argumentlar prinsipi
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari asosida kompleks o‘zgaruvchi funksiya nazariyasidan ma’lum bo‘lgan argumentlar prinsipi yotadi.
Quyida argumentlar prinsipining qiskacha bayonini keltiramiz
. (1)
«n» - darajali polinom berilgan bo‘lsin. Bu polinomni Bezu teoremasiga asosan quyidagicha ifodalash mumkin
, (2)
bu yerda р1, р2, …, рn – D(p)=0 xarakteristik tenglamaning ildizlari.
«р» kompleks tekisligida har qaysi ildizni koordinata o‘qi boshidan «рi» nuqtagacha o’tkazilgan vektor orqali ifodalash mumkin (1-rasm).
1-rasm.
Bu vektorning uzunligi kompleks sonning pi=i+jωi ning moduli |pi|ga shu vektorning musbat ќaqiqiy o‘q bilan xosil qilgan burchagi esa pi kompleks sonining argumentiga yoki fazasi (arg pi) ga teng bo‘ladi. (p-pi) miqdorning geometrik o‘rni pi nuqtadan ixtiyoriy «р» nuqtasiga o‘tkazilgan vektor orqali ifodalanadi. Xususiy holda р=jw bo‘lganda (2) ifodani
(3)
ko‘rinishida ifodalash mumkin. (3) ifodaning geometrik tasviri 2-rasmda keltirilgan.
2-rasm.
D(jω) vektorning moduli (jω-pi) elementar vektorning va а0 koeffitsiyentining ko‘paytmasiga
(4)
argumenti esa elementar vektorlar argumentining yig‘indisiga teng bo‘ladi
. (5)
Частота -∞<ω<∞ o‘zgarganda D(jω) vektor argumentining o‘zgarishi
(6)
ga teng bo‘ladi.
(6) ifodaga ko‘ra D(jω) vektor argumentining uzgarishini hisoblash uchun (jω-pi) vektorlar argumenti o‘zgarishining yig‘indisini hisoblash zarur. Argumentning bu o‘zgarishi esa pi ildizning kompleks tekisligining qaysi tomonida joylashganligiga bog‘liq.
1. pi ildiz kompleks tekisligining chap tomonida joylashgan bo‘lsin (3a-rasm).
-∞<ω<∞ o‘zgargandа (jω-pi) vektorning uchi mavќum o‘q bo‘yicha pastdan yuqoriga soat strelkasiga teskari (qarshi) yo‘nalishda 1800 burchakka buriladi, ya’ni
. (7)
3-rasm.
2. pi ildiz kompleks tekisligining o‘ng tomonida joylashgan bo‘lsin (1b-rasm).
Bu holda yuqoridagi kabi fikr yuritganimizda (jω-pi) vektori chastota -∞<ω<∞ œzgarganda soat strilkasi yœnalishi bœyicha (manfiy) - burchakka buriladi, ya’ni
. (8)
D(p)=0 tenglamaning «l» ildizlari kompleks tekisligining o`ng tomonida, (n-l) та ildizlari chap tomonida joylashgan deb faraz qilaylik. Unda (7) va (8) ifodalarga asoslanib, D(jω) vektor argumentining o’zgarishi
(9)
ga teng bœlishini ko’ramiz.
(9) tenglik argumentlar prinsipining ifodasini bildiradi va uni qœyidagicha ta’riflash mumkin.
Chastota -∞<ω<∞ o‘zgarganda D(jw) vektori argumentining o’zgarishi chap va o’ng ildizlar ayirmasining «» soniga kœpaytirilganiga teng bo’ladi.
Agarda 0<ω</2 o’zgarsa, unda
(10)
bo’ladi.
|
| |