Əsas anlayışlar. Cismin rəqs tənliyi

Əsas anlayışlar. Cismin rəqs tənliyi.
1. Əsas anlayışlar və təriflər.
2. Tənliklərin həlli haqqında, sərhəd şərtlər.
3. Simin rəqs tənliyi.
4. Simin rəqs tənliyi üçün başlanğıc və sərhəd şərtləri.
5. Sonlu simin sərbəst rəqs tənliyinin Furye üsulu ilə həlli.
1. Əsas anlayışlar və təriflər.
Birdəyişənli məchul funksiya və onun müxtəlif tərtibli törəmələri daxil olan hər bir bərabərlik adi diferensial tənlik adlanır. Belə tənliklər və onların müxtəlif həlli üsulları XXX – XXXIV fəsillərdə öyrənilmişdir.
Bu fəsildə çoxdəyişənli məchul funksiya və onun müxtəlif tərtibli xüsusi törəmələri daxil olan diferensial tənliklər öyrənilir. Onlara xüsusi törəməli diferensial tənliklər deyilir. Burada, fizika, mexanika və texnika məsələlərinin həlli ilə bağlı olan ikitərtibli xüsusi törəmələr konkret diferensial tənliklər tədqiq edilir. Belə tənliklərər riyazi fizika tənlikləri deyilir.
Diferensial tənliyə daxil olan törəmələrin ən yüksək tərtibli həmin tənliyin tərtibi adlanr. Məsələn, məchul U funksiyası iki x və y dəyişənindən asılı olduqda
tənlikləri birtərtibli,
Tənlikləri isə ikitərtibli diferensial tənliklərdir. Bu halda, ikitərtibli xüsusi törəməli diferensial tənliyin uyumu şəkli
(1)
kimi yazılır. Tənlikdə iştirak edən bütün törəmələr bir dərəcəli olduqda (1) bərabərliyi ikitərtibli xətti diferensial tənliyə çevrilir:
(2)
Tənliyin sağ tərəfi sıfra bərabər olduqda alınan
(3)
bərabərliyinə ikitərtibli xətti bircinsli diferensial tənlik deyilir. funksiyası (3) xətti bircinsli diferensial tənliyini ödəyir, yəni onun həllidir.
L. Eyler göstərmişdir ki, x və y dəyişənlərin yeni 𝜉 və η dəyişənləri ilə
, kimi əvəz etməklə, (2) şəklində hər bir tənliyi aşağıdakı üç şəkildən birinə gətirmək olar:
1. Elliptik tipli tənliklər
(4)
kanonik şəklində;
2. Qiperbolik tipli tənliklər
(5)
kanonik şəklində;
3. Parabolik tipli tənliklər isə
(6)
kanonik şəklinə gətirilir.
Yeni funksiyalar daxil etmıklə (4) – (6) tənlikləri çox vaxt uyğun olaraq aşağıdakı daha sadə şəkillərə gətirilir (a - sabit ədəddir):
(elleptik),
(hiperbolik),
(parabolik).
2. Tənliklərin həlli haqqında, sərhəd şərtlər.
►Verilmiş diferensial tənliyi müəyyən oblastda eyniliyə çevirən hər bir funksiya həmin tənliyin həlli və ya inteqralı adlanır. Ai diferensial tənliklər kimi, xüsusi törəməli diferensial tənliklərin də, ümümiyyətlə, sonsuz sayda həlli vardir. Lakin adi diferensial tənliyin ümumu həlli tənliyin tərtibi sayda ixtiyari sabitdən(parametrdən) asılı olduğu halda, xüsusi törəməli tənliyin ümumu həlli tənliyin tərtibi sayda ixtiyari funksiyadan asılı olur. Məsələn,
(1)
tənliyinin ümumu həlli şəklində funksiyadır. Burada ilə y-dən asılı olan ixtiyari funksiya işarə edilmişdir.
(2)
tənliyinin ümumu həlli də ixtiyari funksiyası vasitəsilə yazılmış
(
şəklində funksiyadır. Buna inanmaq üçün ( bərabərliyinin hər iki tərəfini y-ə nəzərən diferensiallamaq kifayətdir.
İkitərtibli xətti
(3)
diferensial tənliyinin ümumu həlli iki ixtiyari funksiyadan asılıdır. Dogrudan da, əvəzləməsini apardıqda (3) tənliyi (1) şəklundə tənliyə çevrilir:
.
Bu tənliyin ümumu həlli ixtiyari funksiyasıdır:. Onda (3) tənliyinin ümumu həlli tənliyinin həlli olar. (2) şəklində olan sonuncu tənliyin ümumu həlli isə
şəklində funksiyadır. Burada və ixtiyari funksiyalar olduğdan sonuncu bərabərliyi
(4)
kimi yazmaq olar. Sağ tərəfdə iştirak edən funksiyası, ixtiyari funksiyasının inteqralı olduğundan, o da hər hansı ixtiyari funksiyadır.
Deməli ikitərtibli (3) tənliyinin ümumi həlli olan (4) funksiyası iki ixtiyari və funksiyalarından asılıdır.
►Xüsusi törəməli diferensial tənliklərin, ümumiyyətlə, sonsuz sayda həlli vardır. Onların xətti asılı olmayan həlləri belə sonsuz sayda ola bilər. Bu həllər içərisindən tələb olunanını, yəni qoyulan konkret məsələnin həllini ayırmaq üçün müəyyən əlavə çərtlər verilməlidir. Tənliyin növündən asılı olaraq bu əlavə şərtlər müxtəlif ola bilər.
Verilmiş tənlikdə zamanı göstərən koordinat iştirak etdikdə (belə tənliyə gətirilən məsələyə riyazi fizikanın dinamik məsələsi deyilir) əlavə olaraq başlanğıc şərtlər verilir. Bu halda axtarılan funksiyanın başlanğıc anda qiyməti (tənlikdə zamana görə birtərtibli törəmə iştirakl etdikdə) və həm də onun dəyişmə sürətinin başlanğıc anda qiyməti (tənlikdə zamana görə ikitərtibli törəmə iştirakl etdikdə) verilə bilər. Bir sıra tənlikləri həll edərkən başlanğıc çərtlərdən başqa baxılan oblastın sərhədində də şərtlər (sərhəd şərtləri) verilir. Sərhəd şərtləri olaraq axtarılan funksiyanın özünün və onun sərhədin normalı üzrə törəməsinin sərhəddə qiymətləri və ya onların müəyyən kombinasiyası verilə bilər. Tənlikdə zaman iştirak etdikdə (belə tənliyə gətirilən məsələyə riyazi fizikanın stasionar və ya statik məsələsi deyilir) onu həll edərkən ancaq sərhəd şərtləri verilir.
3. Simin rəqs tənliyi.
Riyazi fizikada sim dedikdə uzunluğu başqa ölçülərinə nəzərən çox böyük olan cisim nəzərdə tutulut. Tutaq ki, tarım çəkilmiş elastiki simin ucları Ox oxunun
x = a və x = b nöqtələrinə bərkidilmişdir.
u
M1 M2 φ T
T
0 a x x+∆x b x
Hər hansı xarıcı qüvvənin təsiri ilə simi bu müvazinət halından çıxardaraq onun nöqtələrinə başlanğıc sürət verək. Xarici qüvvənin təsirini kəsdikdə sim özbaşına müəyyən hərəkət edər. Bu halda deyillər ki, sim rəqsi hərəkət edir. Burada simin elə rəqsi hərəkətinə baxılır ki, bu hərəkət zamanı onun bütün nöqtələri Ox oxuna perpendikulyar istiqamətdə eyni bir müstəvi üzərində yerləşir. Simin belə hərəkətinə onun eninə rəqsi deyilir.
Burada əsas məsələ, simin eninə rəqsi zamanı istənilən anda onun formasına və nöqtələrinin zamandan asılı olan hərəkət qanununu təyin etməkdən ibarətdir.
Simin, absisi x olan nöqtəsinin Ox oxundan t anında meylini U(x, t) ilə işarə etsək, onda U = U(x, t) funksiyasının (OxU) koordinat sistemində qrafiki rəqsi hərəkətdə olan simin t anında formasına göstərər. Bu halda, absisi x olan nöqtənin hərəkət sürəti və bu hərəkətin təcili olar.
Fərz edək ki, simin M1 M2 hissəsinin elə kiçik rəqslərinə baxılır ki, bu hərəkət zamanı onun uzunluöunun dəyişməsini nəzərə almamaq olar. Bu halda, simin parçasına uyğun olan M1 M2 hissəsinin uzunluğu hərəkət zamanı yenə də ə bərabər olur: qövs . Bundan başqa, qəbul edək ki, istənilən anda simin bütün nöqtələrində dartılma (gərginlik) eynidir və yaranan gərginlik qüvvəsi onun toxunanı istiqamətində yönəlmişdir. M1 M2 hissəsinin uclarına simə toxunan istiqamətdə skalyar qiyməti N olan gərginlik qüvvəsi təsir edir. gərginlik qüvvəsinin M2 nöqtəsində Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucaq φ olsa, onda
və həmin qüvvənin OU oxu üzərinə proyeksiyası
(1)
olar. Simin kiçik rəqslərinə baxıldığından qəbul etmək mümkündür. Onda, simin hərəkət tənliyini almaq üçün M1 M2 hissəsinə təsir edən qüvvələrin cəmini onun kütləsinin hərəkətin təcili hasilinə bərabər etmək lazımdır (Nyuton qanunu). Simin xətti saflığını ilə işarə etsək, onda M1 M2 hissəsinin kütləsi olar. Beləliklə, simin hərəkət tənliyi
və ya hər iki tərəfi ə ixtiyar etməklə
(2)
şəklində alınır. (4) tənliyinə simin eninə sərbəst rəqslərinin tənliyi və ya birölçülü dalğa tənliyi deyilir.
Sim xarici qüvvənin təsiri ilə rəqs etdikdə onun hərəkət tənliyi
(3)
kimi yazılır. (3) tənliyi simin məcburi rəqsinin tənliyi adlanır.
Simin eninə sərbəst rəqslərinin (2) tənliyi ikitərtibli xətti bircins, (3) tənliyi isə ikitərtibli xətti bircinsli olmayan diferensial tənlikdir.
4. Simin rəqs tənliyi üçün başlanğıc və sərhəd şərtləri.
Simin eninə sərbəst rəqslərinin
(1)
tənliyinin sonsuz sayda həlli vardır. İki ixtiyari funksiyadan asılı olan bu həllər simin sonsuz sayda rəqsi hərəkəti olduğunu göstərir.
(1) tənliyinin müəyyən həllini almaq, yəni onun ümumi həllindən müəyyən xüsusi həllini ayırmaq üçün əlavə şərtlər verilməlidir. Əlavə şərtlər iki növ olur: başlanğıc şərtlər və sərhəd şərtləri.
►Başlanğıc şərtləri simin rəqsə anda vəziyyətini göstərir. Tutaq ki, sim t = 0 anında rəqsə başlamışdır. Onda onun bu başlanğıc anda forması bir f (x) funksiyası vasitəsilə təyin olunar:
. (2)
Simin nöqtələrinin hərəkətinə başlanğıc anda verilən sürət bir F(x) funksiyası vasitəsilə təyin olunur:
(3)
|