I.7.To‘plamda munosabat va uning xossalari

I.7.To‘plamda munosabat va uning xossalari
Munosabat so‘zining turli ma'nolari bor . Biz biror kishi haqida "u bilan munosabatim yaxshi" yoki "u bilan munosabatimiz sal yomonlashib qolgan edi " kabi iboralarni ishlatishimiz mumkin.
Biror ishga, voqeaga, o‘qishga munosabat haqida gapiramiz: ishlab chiqarish munosabatlari, diplomatik munosabatlar , yaxshi qo‘shnichilik munosabatlar, do‘stona munosabat kabi iboralar bizga tanish.
Umuman A-kishilarning biror to‘plami bo‘lsa, x A kishi y A kishi bilan do‘stlik, qarindoshlik va hokazo munosabatda bo‘lishi, z A kishi bilan hech qanday munosabatda bo‘lmasligi mumkin.
B - ko‘pburchaklar to‘plami bo‘lsin. F1 va F2 ko‘pburchaklar o‘xshash tengdosh, teng, teng parametrli va hokazo bo‘lishi mumkin. Tekislikdagi A to‘g'ri chiziqlar to‘plamida esa bir to‘g'ri chiziq ikkinchisiga parallel, perpendikulyar bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin.
Matematikada faqat ob'yektlarning (sonlar, figuralar, kattaliklar) o‘zigina emas, balki ular orasidagi munosabatlar ham o‘rganiladi.Masalan, boshlang'ich sinf matematikasi va umuman matematikadagi muhim tushunchalardan biri natural sonlar tushunchasini o‘zlashtirish sonlar orasidagi turli-tuman o‘zaro bog'lanishlarni o‘rganish bilan amalga oshiriladi. Masalan, 5 soni 2 sonidan katta (ortiq); 10 soni 8 sonidan 2 ta ko‘p ; 7 soni 6 sonidan keyin keladi; ya'ni sonlar turli-tuman munosabatlar: "katta (ortiq)" , "ta ko‘p", "keyin keladi" va hokazolar bilan bog'langan deb tushuntiriladi.
Geometriyada to‘g'ri chiziqlarning parallelligi va perpendikulyarligi, figuralarning tengligi va o‘xshashligi, ya'ni geometrik ob'ektlar orasidagi turli- tuman munosabatlar o‘rganiladi.
To‘plamlarni taqqoslab, biz masalan, ular kesishadi yoki kesishmaydi, teng yoki biri ikkinchisida yotadi deymiz, ya'ni to‘plamlar orasidagi munosabatlarni aniqlaymiz.Matematikada ko‘proq ikki ob'ekt orasidagi munosabat qaraladi. Bular binar munosabatlar deyiladi.
Bizning oldimizda bunday masala turibdi: sonlar orasidagi, geometrik figuralar orasidagi , to‘plamlar va boshqa ob'ektlar orasidagi konkret munosabatlar haqida tasavvurga ega bo‘lgan holda bu munosabatlarda qanday umumiylik borligini aniqlash, qanday qilib bunday ulkan sondagi turli tuman munosabatlarni tasnif qilish mumkin? Bu materialni bilish boshlang'ich sinf o‘qituvchisiga boshlang'ich maktabda aniq munosabatlarni o‘rganayotgan u yoki bu tushunchalarni o‘zlashtirishda ularning umumiyligi, o‘zaro bog'lanishi rolini tushunish uchun kerak.
Dastlab, bizga ma'lum bo‘lgan turli-tuman munosabatlar orasida qanday umumiylik borligini aniqlaymiz.
X={3,4,5,6,8} sonlar to‘plamini qaraymiz. Bu to‘plamdagi sonlar orasida "katta" munosabati mavjud: 4>3, 5>3 , 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5, 8>6. Berilgan sonlar uchun "1 ta ko‘p" (1 ta ortiq) munosabatini ham qarash mumkin: " 4 soni 3 sonidan 1 ta ko‘p (ortik)", "5 soni 4 dan 1 ta ko‘p (ortiq)" , " 6 soni 5 sonidan 1 ta ko‘p (ortiq)".Berilgan sonlar uchun, shuningdek, "2 marta kichik (kam)" munosabati bilan ham bog'langan : "3 soni 6 dan 2 marta kichik (kam)", "4 soni 8 dan 2 marta kichik (kam)". 3,4,5,6 va 8 sonlari orasidagi yana boshqa munosabatlarni ham ko‘rsatish mumkin, biz ularning yuqorida sanab o‘tilgan uchtasi bilan chegaralanamiz.
E'tiborimizni quyidagiga qaratamiz: u yoki bu munosabatlarni qarashda biz har safar berilgan to‘plamlardagi sonlardan tashkil topgan tartiblangan juftliklar bilan operatsiyalar bajardik. "Katta" munosabati uchun bu {(4,3), (5,3), (6,3), (8,3), (5,4), (6,4), (8,4), (6,5), (8,5), (8,6)} to‘plam , "1 ta ko‘p" munosabati uchun bu {(4,3) , (5,4), (6,5)} to‘plam bo‘ldi "ikki marta kichik" munosabati uchun esa bu ikkita juftliklarni o‘z ichiga olgan {(3,6), (4,8)} to‘plam bo‘ladi. Shunday qilib aytish mumkinki, ko‘rib o‘tilgan har bir munosabat X={3,4,5,6,8} to‘plam elementlaridan hosil qilingan sonlar juftliklari to‘plami bilan aniqlanadi.
Ma'lumki, tartiblangan juftliklarning bu to‘plamlar Dekart ko‘paytmasi elementlari Dekart ko‘paytmaning qism to‘plamining elementlaridir. "Katta", "1 ta ko‘p" va "2 marta kam" munosabatlarni aniqlovchi juftliklar XxX={(3,3), (3,4),(3,5), (3,6), (3,8), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,8), (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (5,8), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,8), (8,3), (8,4), (8,5),(8,6),(8,8)} Dekart ko‘paytmaning qism to‘plami bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas.
Shunday qilib, ko‘rib o‘tilgan munosabatlarning har bir o‘z navbatida XxX Dekart ko‘paytmaning qism to‘plami bilan aniqlanar ekan.
Munosabat juftliklar to‘plami bilan aniqlanadi deyish o‘rniga matematikada bu juftliklar to‘plamining o‘zi X to‘plam elementlari orasidagi munosabat deyiladi.
Ta'rif : X to‘plam elementlari orasidagi munosabat deb, XxX Dekart ko‘paytmaning har qanday qism to‘plamiga aytiladi.
Munosabat lotin alfavitining bosh harflari P,R,S,Q lar bilan belgilanadi.Demak, agar R,X to‘plam elementlari orasidagi munosabat bo‘lsa, u holda R X*X bo‘ladi.
X chekli to‘plamdagi munosabatni strelka bilan tutashtirilgan nuqtalardan tashkil topgan alohida rasmlar yordamida ko‘rgazmali tasvirlash mumkin.Bunday rasmlar graflar deb aytiladi."Graf" so‘zi "grafik so‘zi kabi grekcha ""grafo"so‘zidan olingan bo‘lib, yozaman degan ma'noni anglatadi.
Masalan, X={2;4,6,8,12} to‘plam elementlari orasidagi "katta" munosabati bo‘luvchi sonlarni tasvirlovchi nuqtalarni strelkalar bilan tutashtiramiz.4>2 bo‘lgani uchun 4 dan 2 ga strelka o‘tkazamiz,6>4 bo‘lgani uchun 6 dan 4 ga strelka o‘tkazamiz va hokazo. Bu jarayonni berilgan munosabat bilan bog'lanuvchi hamma juftliklarni ko‘rsatib bo‘lguncha davom ettiramiz.
Bular (4;2),(6;2),(6;4),(8;2),(8;4),(8;6),(12;2),(12;4),(12;8).
Yuqoridagi munosabat grafi quyidagicha :
27-rasm
Endi xuddi shu X to‘plamda "4 ga karrali" munosabatini qaraymiz va uning grafigini yasaymiz. X to‘plamda elementlarini yuqoridagi holdagiga o‘xshash nuqtalar bilan tasvirlaymiz va "karrali" munosabatida bo‘luvchi sonlarni tasvirlovchi strelkalar bilan tushiramiz. 12 soni 2 ga karrali, 12 soni 4 ga karrali va hokazo. X to‘plamdagi ixtiyoriy son o‘z-o‘ziga karrali bo‘lgani uchun bu munosabatning grafigi boshi va oxiri ustma-ust tushadigan strelkalarga ega.
28-rasm
Grafikdagi bunday strelkalar sirtmoqlar deyiladi.
A to‘plamda aniqlangan binar munosabat to‘plamlarning tartiblangan jufti (R,A) kabi belgilanadi: biz qisqalik uchun binar munosabatni R orqali belgilaymiz. (x;y) AxA bo‘lsa A ning x elementi y elementi bilan R binar munosabatda deymiz va uni xRy kabi belgilaymiz.
Misollar:
1) R- barcha haqiqiy sonlar to‘plami. R={(x,y) x>y, x R, y R} RxR bo‘lsin. R=(P,R) R da berilgan munosabat x va y sonlarining R munosabatda x R y bo‘lishi uchun x >y ekanini bildiradi. R da bunday aniqlangan R munosabat "katta" munosabatdir. Munosabat grafi quyidagi rasmda tasvirlangan.
Y=X
x>y
29-rasm
Munosabatlarning xossalari.
Yuqorida biz matematikada ikki obyekt orasidagi turli tuman munosabatlar o‘rganilishini aniqladik. Ularning har biri biror X to‘plamda qaraladi va juftliklar to‘plamini ifodalaydi.
Biroq, bunday ko‘p sonli munosabatlarni qanday o‘rganish mumkin? Ularni biror bir usul bilan klassifikatsiyalash mumkin emasmikan? Mumkin ekan. Buning uchun munosabatlarning xossalarini ajratib ko‘rsatish kerak.
Parallellik va tenglik munosabatlari haqida ular refleksivlik xossasiga ega yoki sodda qilib ular refleksiv deyiladi.
Ta'rif: Agar X to‘plamdagi ixtiyoriy element haqida u o‘z-o‘zi bilan R munosabatda deyish mumkin bo‘lsa , X to‘plamdagi munosabat refleksiv munosabat deyiladi. Aytib o‘tganimizdek, agar R munosabat refleksiv bo‘lsa, u holda grafning bir uchida sirtmoq bo‘ladi. Teskarisi ham o‘rinli: har bir uchida sirtmoq bo‘lgan graf biror refleksiv munosabatning grafini ifodalaydi.
Refleksiv xossaga ega bo‘lmagan munosabatlar mavjud. Masalan, perpendikulyarlik munosabati shunday munosabatdir. X to‘plamda o‘z-o‘zini perpendikulyar deyish mumkin bo‘lgan birorta ham kesma yo‘q. Endi kesmalarning parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari graflariga e'tibor beraylik. Ularning o‘ziga xos xususiyatlari shundan iboratki, agar elementlar juftini tutashtiruvchi bitta strelka bor bo‘lsa, u holda, albatta, shu elementlarni tutashtiruvchi, lekin qarama- qarshi yo‘nalgan boshqa strelka ham bor bo‘ladi. Bu strelkalar quyidagilarni bildiradi:
1) agar birinchi kesma ikkinchisiga parallel bo‘lsa: u holda ikkinchi kesma ham birinchisiga parallel bo‘ladi;
2) agar birinchi kesma ikkinchisiga perpendikulyar bo‘lsa, u holda ikkinchisi ham birinchisiga perpendikulyar bo‘ladi;
3) agar birinchi kesma ikkinchisiga teng bo‘lsa, u holda ikkinchi kesma ham birinchisiga teng bo‘ladi.
Parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari haqida ular simmetriklik xossasiga ega yoki soddaroq qilib ularga simmetrik deb aytiladi.
Ta'rif: Agar X to‘plamdagi x element y element bilan R munosabatda bo‘lishidan y elementning ham x element bilan R munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat simmetrik munosabat deyiladi.
X da R simmetrik mynosabat bo‘lsa', u holda xRy ↔ yRx
Simmetrik munosabatning grafi quyidagi xususiyatga ega: x dan y ga boruvchi har bir strelka bilan birga , graf y dan x ga boruvchi har bir strelkaga ega. Teskari da'vo ham o‘rinli: x dan y ga boruvchi har bir strelka bilan birga y dan x ga boruvchi strelkaga ega bo‘lgan graf simmetrik munosabatning grafi bo‘ladi.
Simmetriklik xususiyatiga ega bo‘lmagan munosabatlar ham mavjud. Masalan, kesmalar uchun "uzunroq" munosabati shunday munosabatdir.
Simmetrik munosabatning graflar yordamidagi tasvirida A to‘plamning "x elementidan y elementiga yo‘nalgan strelka" bilan birga "y elementidan x ga ham yo‘nalgan strelka mavjud".
Ta’rif: Agar X to‘plamdagi x element y bilan R munosabatda bo‘lishi va y elementning z element bilan R munosabatda bo‘lishidan x elementning z elementga P munosabati kelib chiqsa, X to‘plamdagi P munosabat tranzitiv munosabat deyiladi.
X to‘plamdagi R tranzitiv munosabat bo‘lsa u holda uni quyidagicha holda yozish mumkin: xRy va yRz ↔xRz
Strelka birinchi elementdan ikkinchiga, ikkinchidan uchinchi elementga borsa, u holda, albatta, birinchi elementdan uchinchi elementga boradigan strelka ham bor bo‘ladi. Graflarning bu xususiyati berilgan munosabatlarning tranzitivlik xossasi deb ataluvchi xossani ifodalaydi.
Tranzitivlik munosabatining grafi x dan y ga va y dan z ga boruvchi har bir strelkalar juftligi bilan birga x dan z ga boruvchi strelkalarga ham ega . Teskari da'vo ham o‘rinli.
X· · Y
Z · 30-rasm
Tranzitivlik xossasiga ega bo‘lmagan munosabatlar ham mavjud. Masalan, kesmalarning perpendikulyarlik munosabati shunday munosabatdir: agar a kesma b ga va b kesma c ga perpendikulyar bo‘lsa, u holda a kesma c ga perpendikulyar bo‘lmaydi.
Ta'rif: Agar X to‘plamning turli x va y elementlari uchun x elementning y element bilan R munosabatda bo‘lishidan y element x element bilan R munosabatda bo‘lmasligi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat antisimmetrik munosabat deyiladi.
Antisimmetrik munosabatning grafi quyidagi xususiyatlarga ega: agar grafning ikkita uchi strelka bilan tutashtiriluvchi bo‘lsa, u holda bu strelka yagonadir. Teskari da'vo ham o‘rinli: uchlari faqat bitta strelka bilan tutashtiriluvchi graf antisimmetrik munosabatning grafi bo‘ladi.
Hamma munosabatlar simmetrik va antisimmetrik munosabatlarga bo‘linadi deb o‘ylamaslik kerak. Shunday munosabatlar uchraydiki, ular na simmetrik xossaga va na antisimmetrik xossasiga ega emas. Masalan, bir oiladagi bolalar to‘plamida , "aka (uka) bo‘lishlik" munosabatini qaraylik. Oilada uchta bola bo‘lsin: Karim, Murod, Tursunoy. U holda "aka (uka) bo‘lishlik" munosabatining grafigi quyidagicha bo‘lishi mumkin.
31-rasm
Ta'rif. Agar x X uchun xRx bo‘lsa, R munosabat antirefleksiv munosabat deyiladi.
Misollar: 1) A to‘plamda aniqlangan "tenglik" munosabati refleksivdir.
2) Haqiqiy sonlar to‘plamida berilgan "katta emas ( )" munosabati refleksiv , "kichik" munosabati esa antirefleksiv munosabatdir.
3)Tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plamida aniqlangan "ko‘pburchaklarning tengligi, o‘xshashligi, tengdoshligi" munosabati refleksiv munosabatdir.
Refleksiv, simmetrik va tranzitivlik munosabat ekvivalentlik munosabat deyiladi. Ekvivalentlik munosabatini grafiklar yordamida tasvirlaymiz.
A to‘plamning har bir x elementida sirtmoq bor ( refleksivlik), elementlarning har bir jufti qarama-qarshi yo‘nalgan ikkita strelka bilan bog'langan (simmetrik), ixtiyoriy x,y,z A uchun x dan y ga , y dan z ga yo‘nalgan strelka bor (tranzitivlik).
|