Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat - bet 29

11. Orta qiymət haqqında teorem. Əgər funksiyası parçasında kəsilməzdirsə, onda bu parçada elə nöqtəsi tapmaq olar ki, aşağıdakı bərabərlik doğru olsun:
.
►Müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallar arasında əlaqə
Tutaq ki, inteqralının aşağı sərhədi həmişəki kimi sabit ədəddir, lakin yuxarı sərhədi – b dəyişir. Onda inteqralın qiyməti də dəyişər, yəni inteqral yuxarı sərhədin funksiyasıdır.
Yuxarı sərhədi x ilə işarə edək və bunu inteqrallama dəyişəni ilə qarışdırmamaq üçün sonuncunu t ilə işarə edək
a sabit olduğundan bu inteqral yuxarı sərhədin, yəni x-in funksiyasını təyin edir. Bu funksiyanı ilə işarə edək
(1)
Əgər mənfi deyilsə, funksiyası ədədi qiymətcə aAXx əyrixətli trapesiyasının sahəsinə bərabərdir (şəkil3). Aydındır ki, həmin sahə
x-dən asılı olaraq dəyişir.
Teorem. Əgər funksiyası kəsilməzdirsə, onda yuxarı sərhədi dəyiəşən olan müəyyən inteqralın törəməsi vardır və inteqralaltı funksiyanın yuxarı sərhəddə aldığı qiymətə bərabərdir, yəni
(2)
İsbatı. x-in ixtiyari qiymətini götürək və ona elə artımı verək ki, . Onda müəyyən inteqralın 4-cü xassəsinə əsasən alarıq:
Buradan funksiyasının artımını tapaq:
.
Orta qiymət haqqında teoremi (11-ci xassə) tətbiq etsək, alarıq
,
burada ədədi x ilə x + x arasındadır. Bərabərliyin iki tərəfini də x bölək
.
Əgər indi , onda və funksiyası parçasında kəsilməz olduğu üçün . Onda axırıncı bərabərlikdə şərtində limitə keçsək alarıq
və ya . Teorem isbat olundu.
Beləliklə, müəyyən edilib ki, istənilən parçasında kəsilməz funksiyasının bu parçada ibtidai funksiyası var və funksiyası – yuxarı sərhədi dəyişən olan müəyyən intaqral – üçün ibtidai funksiyadır. funksiyası üçün başqa ibtidai funksiya -dan yalnız C sabitinə fərqləndiyindən biz müəyyən və qeyri-müəyyən inteqral arasında olan əlaqəni müəyyən etmiş oluruq:
3. Müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə və hissə-hissə
inteqrallama.
Teorem. Əgər F(x) funksiyası verilmiş -in ibtidai funksiyalarından biri olarsa, onda
(1)
düsturu doğrudur. Bu düstura Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.
İsbatı. Tutaq ki, F(x) funksiyası-in hər hansı bir ibtidai funksiyasıdır. Yuxarıda isbat olunan teoremə görə funksiyası da üçün ibtidaidir. Verilən funksiyanın iki ibtidaisi bir-birindən C sabiti qədər fərqləndiyindən aşağıdakı kimi yazmaq olar
(2)
C sabiti düzgün seçildikdə bu bərabərlik istənilən x üçün doğrudur, yəni eynilikdır. Bu C sabitini tapmaq üçün bu eynilikdə götürək, onda
,
yaxud ; və buradan
Deməli,
.
Burada x = b götürməklə Nyuton-Leybnis düsturunu alarıq
,
və yaxud inteqrallama dəyişəni x götürərək
.
Əgər fərqi simvolik olaraq
şəklində işarə etsək, onda (1) düsturunu belə yazmaq olar
.
İnteqralaltı funksiyanın ibtidai funksiyası məlum olduqda Nyuton-Leybnis düsturu müəyyən inteqralı hesablamaq üçün əlverişli üsul verir.
4. Müəyyən inteqralın təqribi hesablanması.
►Düzbucaqlılar düsturu. Tutaq ki, parçasında kəsilməyən y=f(x) funksiyası verilmişdir və
(1)
inteqralını təqribi hesablamaq tələb olunur.
(2)
(3)
bunlara düzbucaqlılar düsturu deyilir.
►Trapeslər düsturu . Bu halda (1) əvəzinə
(4)
təqribi bərabərliyi götürülür. Bu təqribi bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq
(5)
təqribi bərabərliyi alınır. Buna (1) müəyyən inteqralının təqribi hesablanması üçün
trapesiyalar düsturu deyilir.
►Parabolalar və ya Simpson düsturu.
(1) Inteqralını təqribi hesablamaq üçün bu halda parçasını
nöqtələri vasitəsilə 2n sayda bərabər hissələrə ayırırlar.
təqribi bərabərliyini alarıq.
Mövzu 22
|