Eslatma - Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

Eslatma. Ushbu
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
differensial
tenglamada
P(x, y)
va Q(x, y)
funksiyalar bir xil o`lchovli bir jinsli
funksiya bo`lsa, u holda bu tenglama bir jinsli diffеrеnsial tеnglama bo`ladi.
misol.
y
x 2 y
2 x y
differensial tenglamani yeching.
Bir jinsli differensial tenglama bo`lgani uchun o`zgaruvchini quyidagicha almashtirami
y u y ux y u ux ,
x
u x du
dx
1 2u ,
2 u
x du dx
1 u2
2 u .
O„zgaruvchilarini ajratamiz va integrallaymiz:
2 u du dx , 1 u2 x
2 u du dx
1 u2 1 u2 x ,
2arctgu 1 ln 1 u2
2
ln
x ln C,
y 1 y2
2arctg
ln1
x 2
ln
x2
x ln C ,
2arctg y
x
ln C
.◄
Birinchi tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglamalar. Nоma`lum funksiya va uninghоsilasiga nisbatan chiziqli bo„lgan differensial tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deb ataladi.
Chiziqli tenglamaning umumiy ko„rinishi quyidagicha:
y P(x) y Q(x) , (1.9)
bu yerda
P(x) va
Q(x)
lar x ning uzluksiz funksiyalari(yoki
o„zgarmaslar).
Agar
P(x) 0
yoki Q(x) 0 bo„lsa, (1.9) tenglama o„zgaruvchilari
ajraladigan tenglama bo„ladi. P(x) 0
va Q(x) 0
deb faraz qilamiz.
(1.9) tenglamaning yechimini x ning ikkita funksiyasining ko„paytmasi shaklida izlaymiz(Bernulli almashtirishi):
y u(x)v(x)
y uv
(1.10)
Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini esa (1.9) tenglama asosida aniqlanadi. (1.10) tenglikdan y ni hisoblaymiz
y uv uv .
y va y ni (1.9) tenglamaga qo„yamiz
yoki
uv uv P(x)uv Q(x)
(1.11)
uv u(v P(x)v) Q(x). (1.12)
Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin bo„lgani uchun v funksiyani qavs ichida turgan ifoda nolga teng bo„ladigan qilib tanlaymiz, ya‟ni
v P(x)v 0
(1.13)
bo„lishini talab qilamiz. U holda u funksiyani topish uchun (1.12) tenglikdan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
uv Q(x)
Dastlab, (1.13) tenglamadan v ni topamiz:
v C e P( x )dx .
(1.14)
(1.13) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning
uchun
C 1 deb olamiz. U holda
v e P( x)dx . (1.15)
v ning bu topilgan ifodasini (1.14) tenglamaga qo„yib, u funksiya uchun o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
u e P( xdx Q(x) .
Bu tenglamaning yechimi
u Q(x) e P( x)dx dx C . (1.16) (1.15) va(1.16)lar u va v ning x orqali ifodalarini beradi. u va v ni (1.10)ga qo„yib, berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini hosil
qilamiz
y e P( x)dx C Q(x) e P( x)dx dx
. (1.17)
Quyida biz (1.9) tenglamani yechishning o`zgarmasni variatsiyalash usuli(Lagranj usuli) bilan tanishamiz. Buning uchun berilgan tenglamaning
y P(x) y 0
bir jinsli qismining umumiy yechimi
y Сe P( x ) dx
topiladi. Ixtiyoriy
o`zgarmas C ni x ning funksiyasi
С(x)
deb olsak,
y С(x)e P( x)dx
hosil bo`ladi. Uni (1.9) tenglamaga qo`yamiz va
С(x)e P( x)dx Q(x)
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
С(x) Q(x)e P( x )dxdx С
(1.18)
(1.19)
(1.20)
bo`ladi va uni (1.18) ga qo`ysak, berilgan (1.9) tenglamaning umumiy yechimi (1.17) hosil bo`ladi.
Eslatma. Ayrim hollarda differensial tenglama x ni y ning funksiyasi
deb qaralganda chiziqli bo`lishi mumkin. Bu hollarda tenglama yuqoridagi biror usulda yechiladi.
misol. Koshi masalasi yechimini toping.
y y cos x 1 sin 2 x, y(0) 0.
2
dx p( y) x q( y) dy
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama, chunki
P( x) cos x, Q( x) 1 sin 2 x
2
y uv
deb belgilab yechiladi.
v e P( x)dx ecosxdx
esin x
u Q x e P x dx dx 1
sin 2x dx 1
esin x sin 2 xdx
2 esin x 2
esin x sin x cos xdx
sin x t
cos xdx dt
tetdt
dv et dt,
v et
sin xe sin x
yoki
U holda umumiy yechim
y esin x (sin xe sin x esin x
y sin x 1 Cesinx .
Boshlang`ich shartga ko`ra,
C),
y(0) 0 0 0 1 C C 1.
Demak, Koshi masalasining yechimi
y sin x 1 esinx .◄
Bernulli tenglamasi. Ushbu
y P(x) y Q(x) yn
(1.21)
ko`rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi, bu
yerda
P(x) va
Q(x)
lar x ning uzluksiz funksiyalari, hamda
n 0,
n 1.
Bеrnulli tеnglamasini
yn ga bo„lamiz:
yn y P(x) yn1 Q(x). (1.22)
So„ngra
z y n1 almashtirish bajarib,
z' (n 1) y n y' ekanligini
hisоbga оlib (1.22)ga qo„ysak,
z'( n 1) P( x) z ( n 1) Q( x)
(1.23)
birinchi tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglamaga ega bo„lamiz. Chiziqli
differensial tenglamaning umumiy yechimi topiladi, hamda zo„rniga ni qo„yib, Bernulli tenglamasining umumiy yechimi topiladi.
y n1
misоl. y xy xy3 diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.
y3 y y2 x x
tеnglamani hоsil qilamiz.
y2 z
almashtirish bajarsak,
z 2 y3 y
bo„ladi. Bularni tеnglamaga qo„yib,
z 2xz 2x
chiziqli tеnglamaga kеlamiz. Bu tеnglamaning umumiy yеchimini (1.17)ga asоsan tоpish mumkin:
z e2 xdx C (2x)e2 xdxdx ex2 C 2xex2 dx
ex2 C ex2 d (x2 ) ex2 C ex2 Cex2 1.
Shunday qilib,
bo„ladi, z ning o„rniga
z C ex2 1
y 2 ni qo„yib, bеrilgan Bеrnulli tеnglamasining
umumiy yеchimini hosil qilamiz
y 2 C ex2
1,
y2
1
Cex2
1 .◄
Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Tartibi pasayadigan differensial tenglamalar
|