To‘lovlar oqimining dyurasiyasi

|
To‘lovlar oqimining dyurasiyasiBog'liq Biznes matematika
To‘lovlar oqimining dyurasiyasi
Faraz qilaylik,
i
va
(1
)
i
mos ravishda foiz stavkasi va jamg„arma
koeffitsiyenti bo„lsin. Shuningdek, to„lovlar oqimi
(
, )
k
k
R t
bo„lsin, bunda
k
R
kattalik
k
t
momentdagi to„lov miqdori. Bu oqimning joriy qiymatini
A
bilan
belgilaymiz:
,
k
k
A
A
bunda keyingi to„lovning joriy qiymati
ln
/ (1
)
(1
)
k
k
k
t
t
t
k
k
k
k
A
R
i
R
i
R e
Ta‟rif:
to„lovlar oqimining dyuratsiyasi deb, joriy qiymatining
jamg„arma koeffitsiyenti
bo„yicha “minus” ishora bilan olingan elastikligiga
aytiladi va quyidagicha belgilanadi:
(
/
) : (A/ M)
А
Е
dA d
148
Belgilash kiritsak,
( )
A
Dur
E
hosil bo„ladi.
Elastiklik ta‟rifini eslatamiz. Aytaylik,
x
argument,
y
funksiya
bo„lsin, u holda
y
ning
x
bo„yicha
0
x
nuqtadagi elastikligi deb
y
ning nisbiy
o„zgarishini
x
ning nisbiy o„zgarishiga nisbatining
0
x
dagi limitiga aytiladi va
0
( )
y
x
E
x
kabi belgilanadi. Shunday qilib,
0
0
0
0
0
0
0
0
/
( )
(
/
) : (
/
)
( )
.
/
y
x
dy y
x
E
x
dy dx
y
x
y x
dx x
y
Agar
2
y
x
E
bo„lsa, u holda
x
ning
1%
ga ortishi
y
ning
2%
ga
kamayishini bildiradi. Dyurasiya jamg„arma koeffitsiyentini o„zgarishidagi
oqimning joriy qiymatining o„zgarishini bildirar ekan, agar oqimning dyurasiyasi
2 bo„lsa, jamg„arma koeffitsiyentining
1%
ga ortishidagi oqimning joriy qiymatini
jamg„arma koeffisiyenti
bo„yicha differensiallaymiz.
Demak,
ln
(
1)ln
ln /
:
/
(
)
k
k
k
t
k
k
t
t
A
k
k
k
k
k
k
d
R e
dA
t R e
A
t R e
d
d
(
/ )
( )
k
k
k
t A
A
dur
( )
(
/ ).
k
k
k
dur
t A
A
Endi barcha to„lovlar nomanfiy deb hisoblaylik, u holda barcha
k
A
lar ham
nomanfiy bo„ladi va ularning yig„indisi
A
ga teng bo„lib, barcha
/
k
A
A
lar
yig„indisi 1ga teng bo„ladi. Shuning uchun
/
k
A
A
nisbatlarni ehtimollar,
/
k
k
k
t A
A
ni esa to„lovlarning o„rta momenti sifatida qarab, ushbu ma‟noda
tushunish mumkin:
T
tasodifiy miqdorni diskret deb hisoblab, uning ehtimolini
shunday aniqlash kerakki, bunda
(
)
k
k
P T
t
A A
,
uning matematik kutilishi esa
[ ]
(
)
k
k
k
M T
t A A
ga teng bo„ladi. Bundan ko„rinadiki,
(
)
( )
k
k
k
t A A
dur
Demak, quyidagi xulosaga kelamiz: nomanfiy to„lovlarning o„rta momenti
va to„lovlar oqimining dyurasiyasi o„zaro teng ekan. Agar to„lovlar oqimining
dyurasiyasi 2 ga teng bo„lsa, u holda jamg„arma koeffitsiyenti 1% ga oshganda
to„lovlar oqimining o„rta momenti 2% ga oshadi. Bundan ko„rinadiki, nomanfiy
to„lovlar oqimining jamg„arma koeffitsiyenti bo„yicha elastikligi manfiy bo„lsa,
149
bunday to„lovlar oqimining dyurasiyasi musbat bo„ladi. Agar to„lovlar jamg„arma
qiymati ma‟lum bo„lsa, u holda to„lovlarning chekli momentigacha, katta
cheksizga qadar diskontirlash mumkin.
Bunga oydinlik kiritish maqsadida
100
R
ming so„m bo„lgan 5 yillik
rentaning dyurasiyasini yillik 10% stavkada topish talab etiladi.
Ma‟lumki,
T
momentdagi
{
; }
k
k
R t
to„lovlar oqimining shu muddatga
diskontirlangan qiymati
( )
(1
)
,
k
T t
k
k
T
R
i
(1
)
.
k
T t
k
k
A
R
i
Rentaning jamg„arma qiymati
5
1000(1,1
1)
6105.
0,1
A
5 1
4
1
1000(1 0,1)
1000 1,1
1464,
A
3
2
1000 1,1
1331,
A
2
3
1000 1,1
1210,
A
4
1000 1,1 1100,
A
0
5
1000 1,1
1000.
A
(
)
k
k
P T
t
A A
formuladan
1
1464
0, 24,
6105
P
2
1331
0, 22,
6105
P
3
1210
0, 20,
6105
P
4
1100
0,18,
6105
P
5
1000
0,16.
6105
P
Dyurasiyani
T
ning momentlik kutilmasi sifatida hisoblaymiz:
( )
[ ] 1 0, 24
2 0, 22 3 0, 20
4 0,18 5 0,16
2,8.
dur
M T
Risk haqida quyidagi tasdiqlar o„rinli:
1. Operasiya miqyosi
k
marta ortsa, ya‟ni tasodifiy daromadning barcha
qiymatlari
k
marta ortsa, operasiyaning samaradorligi
k
marta, riski esa
k
marta ortadi.
2. Barcha daromadlar bir xil o„zgarmas son qiymatiga ortsa, operasiyaning
samaradorligi shu o„zgarmas songa o„zgaradi, risk esa o„zgarmaydi.
150
3. 0
1
va 0
2
operatsiyalar yig„indisining dispersiyasi dispersiyalar
yig„indisiga teng bo„ladi, shuning uchun yig„indi operatsiyaning riski
2
2
2
1
r
r
r
ga teng bo„ladi.
4. Umumiy holda, ya‟ni ikkita ixtiyoriy 0
1
va 0
2
operatsiyalar uchun
operatsiyalar yig„indisining riski
12
2
1
2
2
2
1
2
k
r
r
r
r
ga teng, bunda
12
k
operatsiyalarning tasodifiy daromadlarining korrelyatsiya koeffitsiyenti.
Endi umumiyroq holni qaraymiz. Yutuqlar to„plami barcha nomanfiy pul
miqdori
)
,
0
[
R
dan iborat. Lotereya
R
da ehtimollar taqsimoti bilan
F
taqsimot funksiya yordamida berilgan bo„lsin. Kutiladigan foydalilikni topish
qoidasiga ko„ra investor uchun
R
da aniqlangan
)
(
x
U
foydalilik funksiyasini
topish mumkin. Lotereyaning foydaligi
F
ushbu formula bo„yicha hisoblanadi:
R
x
F
d
x
U
F
U
),
(
)
(
)
(
agar qaralayotgan taqsimot uzluksiz, ya‟ni
)
(
x
f
zichlik funksiyaga ega bo„lsa, u
holda
R
dx
x
f
x
U
F
U
)
(
)
(
)
(
,
bu esa lotereyaning o„rtacha kutiladigan foydaliligi,
)
(
x
U
- Bernulli funksiyasi,
)
(
F
U
- Neyman-Morgenshtern funksiyasi deb yuritiladi.
Misol. Aytaylik, Bernulli funksiyasi
x
x
U
)
(
ko„rinishda bo„lib,
lotereyaning yutuqlari
]
1
,
0
[
kesmada tekis taqsimlangan bo„lsa, u holda o„rtacha
kutiladigan foydalilik
3
2
3
2
1
0
1
0
x
x
dx
x
ga teng bo„ladi.
Mustaqil yechish uchun masalalar
1. Ikkita oddiy lotereyalar
)
8
,
0
;
2
,
0
(
1
L
va
)
7
,
0
;
3
,
0
(
2
L
qaralayotgan
bo„lsin.
)
6
,
0
,
;
4
,
0
,
(
2
1
L
L
murakkab lotereya qanday oddiy lotereyaga ekvivalent
bo„ladi?
2. Yuqoridagi lotereyalardan bittasi 0 yutuqqa, ikkinchisi 1 yutuqqa ega
bo„lsin. 0 yutuqlisi 0 foydalikka, 1 yutuqlisi esa 100 foydalikka ega bo„lsa,
),
8
,
0
;
2
,
0
(
1
L
)
7
,
0
;
3
,
0
(
2
L
va
)
6
,
0
,
;
4
,
0
,
(
2
1
L
L
lotereyalarning o„rtacha foydaliligini
toping?
3. Investorning boshlang„ich mablag„i 3 mln. so„m bo„lib, pulining
foydaliligi
1
)
(
x
x
U
bo„lsin. Unga quyidagicha lotereya taklif etiladi: 0,5
ehtimol bilan 12 mln, 0,5 ehtimol bilan 0 mln. so„m, investor o„yinda ishtirok
etishi kerakmi?
4. Ushbu ikkita ehtimoliy operatsiya uchun quyidagilar ma‟lum bo„lsin.
151
0
1
:
-10
50
0,01
0,99
0
2
:
25
50
0,5
0,5
0
1
- birinchi operatsiyada investor -10 ga teng bo„lgan pul birligini 0,01
ehtimol bilan, 50 ga teng bo„lgan pul birligini esa 0,99 ehtimol bilan oladi. 0
2
-
ikkinchi operasiyada esa 25 va 50 ga teng bo„lgan pul birliklarini 0,5 ehtimol
bilan oladi. Investor qaysi operasiyani tanlaydi?
5. Investor quyidagi ikkita o„yinni qaramoqda. Bu o„yinlarning birida tanga
tashlanmoqda. Agar tanga gerb tomoni bilan tushsa, investor 100 pul birligini
oladi, agar raqam tomoni bilan tushsa, 100 pul birligini to„laydi. Bu o„yinda
to„lovlar quyidagicha taqsimlangan:
raqam
gerb
to„lovlar
- 100
100
0,5
0,5
Ikkinchi o„yinda o„yin soqqasi tashlanadi va bunda investorning to„lovlari
quyidagicha taqsimlangan:
1
2
3
4
5
6
to„lovlar
-200
-100
0
0
100
200
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6. Agar Bernulli funksiyasi
3
)
(
x
x
U
ko„rinishda bo„lib, lotereyaning
yutuqlari
]
1
;
0
[
kesmada tekis taqsimlangan bo„lsa, u holda kutiladigan o„rtacha
foydalilikni toping.
|
| |