Sonli usullar - bet 7

(ii) s(x) funksiya ikkinchi darajali bo’lib, [xi , xi+1] oraliqda aniqlangan si(x)
i = 1, 2, . . . , n − 1,
(iii) s(x) va s’(x) funksiyalar (a, b) oraliqda uzliksiz.
Kvadratik splayn tuzish.
1-masala. [xi-1,xi] (i = 1,..,n, x0 = a, xn =b) qismlarga ajratilgan [a,b] oraliqda jadval ko’rinishida berilgan [xi-1,xi] funktsiyasi interpolyatsiyalovchi shundayi S2(x) kvadrat splayn tuzilsinki, u uchun ma’lum shartlar bajarilsin, ya’ni:
1) har qaysi [xi-1,xi] oralikda splayn bo’lagi s(x) = a0 + a1x + a2x2 ko'rinishidagi ko'phaddan iborat;
2) ;
3) S2(xk)= fk ;
4) x0=a da s'(a) = A, har qaysi xi(i=1,..,n-1) nuqtada s'(x-0) = s'(x+0) tenglik o'rinli bo’lsin.
Yechish: Splaynning [x0,x1] oraliqdagi bo’lagini topish uchun ko’rsatilgan shartlardan foydalanib ushbu sistemani tuzamiz:
Sistemani yechib, topilgan a0, a1 va a2 koeffitsiyentlar bo’yicha izlanayotgan
s(x) = a0 + a1x0 + a2x02 ni tuzamiz.
To’rning qolgan har qaysi [xi-1,xi] (i = 2,..,n) qismi uchun
ko’rinishdag sistema tuziladi va izlanayotgan
s(x)= a0 + a1x + a2x2
ko’phad olinadi, bunda
s'(x)= a1+2a2x.
1-misol. Biror f(x) funksiya f’(0.78)=-2.5 va
x
|
0.78
|
1.56
|
2.34
|
3.12
|
3.81
|
y
|
2.5
|
1.2
|
1.12
|
2.25
|
4.28
|
jadval bilan berilgan. Uni interpolyatsiya qiluvchi 2-tartibli splayn tuzilsin.
Yechish: [0,78; 1.56] oralik uchun:
Sistemani yechib a2=1,069, a1=-4,168, a0 = 5,1 ni topamiz. Izlanayotgan uchhad s(x) = 5,1-4,168x + 1,069x2 bo’ladi.
[1,56; 2.34] oraliq uchun: oldingi oraliq uchun topilgan munosabatdan foydalanib, s'(1.56) = -4.168 + 2.136*1.56 = -0.83 ni aniqlaymiz. So’ng quyidagi sistemani tuzamiz:
Sistemani yechib a2=0,936, a1=-3,755, a0 = 4,781 ni topamiz. Bu oraliq uchun izlanayotgan uchhad s(x) = 4,781 -3,755x + 0,936x2 bo’ladi.
[2.34,3.12] oraliq uchun: oldingi oraliq uchun topilgan munosabatdan foydalanib, s'(2.34) = -3,755+ 2*0,936*2.34 = 0.625 ni aniqlaymiz. So’ng quyidagi sistemani tuzamiz:
Sistemani yechib a2=1.056, a1=-4,317, a0 = 5.44 ni topamiz. Bu oraliq uchun izlanayotgan uchhad s(x) = 5.44 -4,317x +1.056x2 bo’ladi.
[3.12,3.81] oraliq uchun: oldingi oraliq uchun topilgan munosabatdan foydalanib, s'(3.12) = -4,317+ 2*1.056*3.12 = 2.27244 ni aniqlaymiz. So’ng quyidagi sistemani tuzamiz:
Sistemani yechib a2=0.971, a1=-3.787, a0 = 4.614 ni topamiz. Bu oraliq uchun izlanayotgan uchhad s(x) = 4.614-3.787x +0.971x2 bo’ladi.
Shunday qilib, talab etilayotgan S3(x) splayn ketma-ket joylashgan [xi-1,xi] oraliqlar uchun topilgan s(x) uchhadlar majmuasidan iborat.
2.5. Kubik splayn funksiya
S(x) funksiya, agar u quyidagi xususiyatlarni qanoatlantirsa, kvadrat splayn deyiladi:
(i) s(xi) = f(xi) i = 1, 2, . . . , n.
(ii) s(x) har bir kichik [xi,xi+1] oraliqda si(x) bilan belgilangan 3-darajali ko‘phaddir, i=1, 2, . . . ,n-1.
(iii) s(x), s’(x) and s”(x) funksiyalar (a, b) da uzluksiz.
Kubik splaynni tuzish.
Tugun xi , xi+1 nuqtalarda mos ravishda fi , fi+1 qiymatlarni qabul qiluvchi kubik S3(x) splayn funksiya
(1)
ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda S3’(xi)=mi, S3’(xi+1)=mi+1 .
, i=1,...,N-1,
, (2)
Quyidagi jadval funksiya berilgan.
xi
|
x0
|
x1
|
x2
|
x3
|
fi
|
f0
|
f1
|
f2
|
f3
|
1) [x0,x1] oraliqcha uchun (1) splayn funksiyasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi (i=0):
(2) ifodalar esa quyidagi koʻrinishni oladi:
, .
2) [x1,x2] oraliqcha uchun (1) splayn funksiyasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi (i=1):
(2) ifodalar esa quyidagi koʻrinishni oladi:
, .
3) [x2,x3] oraliqcha uchun (1) splayn funksiyasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi (i=2):
(2) ifodalar esa quyidagi koʻrinishni oladi:
, .
Misol: h=0.34
xi
|
-0.16
|
0.18
|
0.52
|
0.86
|
fi
|
-1.4
|
1.8
|
2.4
|
2.8
|
1) [-0.16,0.18] oraliq uchun:
,
2) [0.18,0.52] oraliq uchun:
, .
,
3) [0.52,0.86] oraliq uchun:
, .
,
2.6. Splayn funksiyalar implementatsiyasi
Chiziqli splayn funksiyani hosil qilishning Python dasturlash tilidagi kodi:
# dastlab kerakli kutubxonalarni e’lon qilamiz
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
# x va y larning qiymatlarini kiritib olamiz
plt.style.use('seaborn-poster')
x = [0, 1, 2]
y = [1, 3, 2]
f = interp1d(x, y)
# topilgan funksiyaning 1.5 nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz
y_hat = f(1.5)
print(y_hat)
# funksiya grafigini chizamiz
plt.figure(figsize = (10,8))
plt.plot(x, y, '-ob')
plt.plot(1.5, y_hat, 'ro')
plt.title('Linear Interpolation at x = 1.5')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
Natija: 2.5
Kubik splayn funksiyani hosil qilishning Python dasturlash tilidagi kodi:
#kerakli kutubxonalarni e'lon qilamiz
from scipy.interpolate import CubicSpline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# x va y ning qiymatlarini kiritib olamiz
plt.style.use('seaborn-poster')
x = [0, 1, 2]
y = [1, 3, 2]
#funksiyaga qiymatlar beramiz
f = CubicSpline(x, y, bc_type='natural')
x_new = np.linspace(0, 2, 100)
y_new = f(x_new)
#grafigini quramiz
plt.figure(figsize = (10,8))
plt.plot(x_new, y_new, 'b')
plt.plot(x, y, 'ro')
plt.title('Cubic Spline Interpolation')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
Natija:
III. Xulosa.
Maqolada ko‘p o‘lchovli splayn - approksimatsiya masalalarini yechish uchun splaynlar nazariyasining bir nechta jabhalari ham nazariy ham amaliy jihatdan o‘rganib chiqildi. Maqolada olingan natijalar yangi, nazariy va ayniqsa amaliy ahamiyatga ega. Mazkur dissertatsiya ishida qaralgan splayn funksiyalardan turli sinflardagi funksiyalarni yaqinlashtirishda foydalanish mumkin. Biror bir muammoli ob’ektni muammosini yechish uchun olingan berilgan ma’lumotlar asosida ob’ektning matematik modelini qurish, tahlil qilish va bashorat qilishda ushbu ishda qaralgan splayn funksiyadan foydalanish yaxshi natijalar beradi. Hisoblash matematikasi fanining “Funksiyalarni interpolyatsiyalash” va “Funksiyalarni yaqinlashtirish” bo‘limlari fan – texnika rivojida muhim ahamiyatga ega. Hozirgi kunda jadval ko‘rinishida berilgan funksiyalarni analitik ko‘rinishini tiklash borasida klassik interpolyatsion ko‘phadlarga nisbatan o‘zining nazariy va amaliy jihatdan afzallligi, ayniqsa funksiyalarni yaqinlashtirishda o‘zining qurilishi jihatidan soddaligi, EHM mashinalarini vaqtini tejashni, ayniqsa berilgan (𝑓, 𝑥) funksiyaga yaqinlashish tezligi yuqoroligi bilan ajralib turgan interpolyatsion splayn funksiyalarning qurilishi va uning xatoligini baholash masalalarini taqribiy jihatdan fan-texnikaning rivojlanishida dolzarb masalalardan hisoblanadi. Shunday qilib, chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish muammosi qo‘yilgan amaliy masala turiga qarab to‘g‘ri taqribiy usulni va boshlang‘ich shartni tanlash, bu usullardan va matematik paketlardan samarali foydalanishdan iborat ekan. Splayn funksiyalar ancha qulay usul va bu hisoblash matematikasining mukammal yechilmagan masalalarni hal qilish uchun samarali ekan.
Foydalanilgan adabiyotlar
Mirziyoyev Sh. M. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib - intizom va shaxsiy javobgarlik har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak. - Toshkent: “O’zbekiston” NMU 2017. - 104 b.
Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. 1 - qism. Toshkent. O’qituvchi. 2003
Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. 2 - qism. Toshkent. O’qituvchi. 2008
Ismatullayev G’.P. ,Po’latov S.I. ,Fayozov Q.S. Sonli usullardan qo’llanma. - Toshkent Universitet. 2006
Ismatullayev G’.P. ,Jo’raev G’.U. , Hisoblash usullaridan metodik qo’llanma. - Toshkent Universitet. 2005
Kahaner D., Mowler K., Nash S. Raqamli usullar va dasturiy ta'minot (ingliz tilidan tarjima qilingan) .. - Ed. ikkinchidan, stereotip .. - M . : Mir, 2001. - 575 b. - ISBN 5-03-003392-0 .
Samarskiy A. A. , Gulin A. V. Raqamli usullar: Prok. universitetlar uchun nafaqa. - M . : Fan. Ch. ed. fizika va matematika lit., 1989. - 432 b. - ISBN 5-02-013996-3 .
Piskunov N. S. Differensial va integral hisoblash: Prok. universitetlar uchun nafaqa: 2 jildda - 13-nashr - M . : Nauka. Ch. ed. fizika va matematika lit., 1985. - 432 b.
Boltachev G.Sh. Issiqlik fizikasidagi sonli usullar. Ma'ruza kursi
N.S. Baxvalov, N.P. Jidkov, G.M. Kobelkov. Raqamli usullar.
3-nashr, Moskva. BINOM, Bilimlar laboratoriyasi, 2004, 636 b.
N.N. Kalitkin, E.A. Alshina. Raqamli usullar: 2 ta kitobda. Kitob. bitta
Raqamli tahlil. Moskva, "Akademiya" nashriyot markazi,
2013 yil, 304 b.
I.P. Mysovskix. Interpolyatsiya kubatura formulalari.
Moskva. Nauka, Fizika va matematika bosh tahririyati adabiyot, 1981, 336 b.
|