Delta funksiyası - Azərbaycan respublikasi təHSİl naziRLİYİ azərbaycan döVLƏT İQTİsad universiteti magistratura məRKƏZİ

Delta funksiyası (və ya δ funksiyası, Dirac δ funksiyası, Dirac deltası, vahid impuls funksiyası ) nöqtə effektini, habelə fiziki miqdarın (kütlə, yük, istilik mənbəyinin intensivliyi, qüvvə və s.) fəza sıxlığını qeyd etməyə imkan verən ümumiləşdirilmiş bir funksiyadır, bir nöqtədə konsentrat və ya tətbiq olunur.
Şəkil 2.2. Bir ölçülü delta funksiyasının sxematik diaqramı
|
|
Məsələn, bir ölçülü Evklid
|
məkanında
|
yerləşən
|
vahid
|
nöqtə
|
kütləsinin m sıxlığı ℝ1 istifadə
|
edərək
|
qeyd
|
edildi δ şəklində
|
funksiyalar
|
( − ). Delta funksiyası
|
səthlərdə və ya
|
xətlərdə
|
şarjın,
|
kütlənin və s. paylanmasını təsvir etmək üçün də tətbiq olunur.
|
|
|
Yazının ümumi formasına baxmayaraq
|
δ(x) ,, ∈ ℝ δ-fəaliyyət həqiqi dəyişənin
|
funksiyası
|
deyil, ümumiləşdirilmiş bir
|
funksiya kimi müəyyən
|
edilir: fərqlənən
|
funksiyalar məkanında davamlı xətti funksionaldır. Ümumiləşdirilmiş bir funksiya olacaq və Heaviside funksiyası olaraq təyin olunan inteqral olan funksiyası üçün törəməni təqdim edə bilərik. Zəif bir şəkildə çevrilən adi klassik funksiyaların ardıcıllığını göstərmək asandır δ-funksiyaları.
Bir ölçülü və çoxölçülü deltanın funksiyalarını bir-birindən ayırmaq olar, lakin ikincisini çoxölçülü funksiyanın təyin olunduğu məkanın ölçüsünə bərabər olan bir ölçülü funksiyaların məhsulu kimi göstərmək olar. İngilis fiziki P. Dirac tərəfindən təqdim edilmişdir.
31
Sadə tərif
Bir real dəyişənin Delta funksiyası (Dirac funksiyası) bir funksiya olaraq təyin edilə bilər δ(x) aşağıdakı şərtləri ödəyir:
Delta funksiyanın x=0 nöqtəsində qiyməti +∞ olur, x≠0 nöqtələrində isə sıfıra bərabərdir. Bu mənada bir delta funksiyası anlayışı nöqtə kütləsi və ya nöqtə yükünün fiziki anlayışlarına bənzəyir. İnteqralı anlamaq üçün müəyyən bir rəqəmi vahid sahəsi olan bir təyyarədə, məsələn, üçbucaqda təsəvvür etmək faydalıdır. Bu üçbucağın əsasını azaltsaq və ərazinin dəyişməməsi üçün hündürlüyü artırsaq, həddindən artıq vəziyyətdə kiçik bir baza və çox böyük bir hündürlüyə malik üçbucaq alırıq. Fərziyyəyə görə, onun sahəsi inteqral ilə göstərilən vəhdətə bərabərdir. Üçbucaq əvəzinə ümumiliyi itirmədən istənilən formanı istifadə edə bilərsiniz. Oxşar şərtlər müəyyən edilmiş delta funksiyaları üçün də tutulur ℝ .
Bu bərabərliklər delta funksiyasının tərifi olaraq qəbul edilmir, lakin bir çox fizika dərsliklərində bu şəkildə müəyyən edilmişdir və bu delta funksiyasını dəqiq müəyyənləşdirmək üçün kifayətdir. Qeyd edək ki, aşağıdakı bərabərlik bir delta funksiyasının bu tərifindən irəli gəlir
(filtrləmə mülkiyyəti)
|
hər hansı bir
|
funksiya üçün f . Həqiqətən, malın
|
xeyirinə δ(x-y)=0
|
at
|
x≠y funksiya
|
varsa
|
bu
|
inteqralın
|
qiyməti
|
dəyişmir ( ) funksiya
|
ilə əvəz edin ̃( ) bərabərdir
|
( ) nöqtədə
|
x=y , və
|
digər nöqtələrdə
|
ixtiyari
|
qiymətlər var. Məsələn
|
götürün
|
̃()= ()=
|
sonra dözürük ( ) inteqralın işarəsi üçün və delta funksiyasının tərifində ikinci şərti istifadə edərək istənilən bərabərliyi əldə edirik.
Delta funksiyasının törəmələri də demək olar ki, hər yerdə 0-a bərabərdir və çevrilir ±∞ at x=0 .
32
Klassik tərif
Bir delta funksiyası bəzi funksional məkanda ( əsas funksiyaların boşluğu )
xətti fasiləsiz
|
bir
|
funksiya olaraq
|
təyin olunur. Məqsədindən
|
və
|
istədiyi
|
xüsusiyyətlərdən
|
asılı
|
olaraq,
|
bu, kompakt
|
dəstəyi olan
|
funksiyalar
|
sahəsi, sonsuzluqda
|
sürətlə
|
azalan
|
funksiyalar
|
sahəsi, çoxfunksiyalı
|
hamar
|
funksiyalar,
|
analtik funksiyalar və
|
s. Yaxşı xüsusiyyətlərə
|
malik
|
delta
|
funksiyalarının törəmələrinin müəyyənləşdirilməsi üçün ola bilər. , bütün hallarda təməl funksiyalar sonsuz dərəcədə fərqlənir, əsas funksiyaların sahəsi də tam bir metrik boşluq olmalıdır. Belə ümumiləşdirilmiş funksiyalar paylanmalara da deyilir.
Ən sadə variantı nəzərdən keçirəcəyik. Əsas funksiyaların məkanı olaraq, məkanı
nəzərdən keçiririk bir seqmentdə bütün sonsuz fərqlənən
funksiyalar. Ardıcıllıq n∈ çevrilir ∈ əgər hər hansı bir kompakt varsa K∈
funksiyaları birləşmək bütün törəmələri ilə bərabər:
n
Bu yerli konveks ölçülə bilən boşluqdur. Delta funksiyası funksional olaraq təyin olunur δ∈ belə ki ∀ ∈ ∶ < ; >= (0)
Davamlılıq o deməkdir ki, əgər → sonra < ; > →< ; >. Burada < ; > -funksiyanın üzərindəki qiyməti .
|