Dielektrikumok - Elektrodinamika bsc ci laTeX

3. 3 Dielektrikumok
Ha egy kondenzátor lemezei közé szigetelő anyagot csúsztatunk be, akkor a tapasztalat szerint a kondenzátor kapacitása -szeresére nő, a szigetelő anyagának relatív dielektromos állandója. A jelenség magyarázata az, hogy szigetelő az elektromos tér hatására polarizálódik, a semleges atomok töltései egy kicsit elmozdulnak, a protonok és elektronok töltésközéppontjai, amelyek eredetileg egybeestek, szétválnak, ún. indukált dipólmomentumok jönnek létre. (A töltésközéppont a tömegközéppont mintájára definiálható.) A térfogategység dipólmomentuma, P Nqd, az atomok számsűrűsége, d egy atom indukált dipólmomentuma. A dipólmomentumsűrűség másik neve: polarizációs vektor.
Korábban meghatároztuk egy kis dipólus potenciálját. Ennek ismeretében egy térfogati dipóluseloszlás potenciálja a szuperpozíció elv felhasználásával könnyen felírható,
(az integrandus a P és a grad vektor skalárszorzata). Ez a kifejezés vektoranalitikai tételek és azonosságok segítségével a következő alakra hozható:
a második integrált a dipóluseloszlást határoló felületre kell képezni, az integrációs változó mindkét integrálban . Ezt a kifejezést a töltéseloszlás potenciáljával összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy egy dipóluseloszlás potenciálja egy divP térfogati és egy felületi töltéseloszlás potenciáljával ekvivalens, a polarizáció vektornak a térfogatból kifelé mutató normális komponense.
Sok olyan szigetelő anyag van, amelyre (és vannak olyanok is, amelyekre ez nem teljesül), az anyag elektromos szuszceptibilitása. A síkkondenzátorban (a szokásos közelítésben) E, így P is állandó, ezért , a szigetelő felületén . Felhasználva az E normális komponensére vonatkozó határfeltételt, a kondenzátorban
így
a kondenzátor kapacitása pedig , a tapasztalatnak megfelelően, . Ugyanígy szétválasztjuk a térfogati töltéssűrűséget valódira és polarizációsra:
amiből
A definícióval bevezetjük az elektromos eltolás D vektorát. Az elektrosztatika egyenletei így
D-nek nincs olyan egyszerű fizikai jelentése, mint E-nek és P-nek. Azért vezetjük be, mert a rá vonatkozó egyenletben csak a valódi töltéssűrűség szerepel, ezt általában jobban ismerjük, mint a polarizációsat, így várhatóan az egyenletet is könnyebben lehet megoldani, mint az E-re vonatkozót. Hasonló módon átalakítjuk az E normális komponensére vonatkozó határfeltételt:
n a közegeket elválasztó felület normális egységvektora az 1-es közegből a 2-es felé mutat, és a közegek polarizáció vektorainak n irányú komponensei, előtt azért van előjel, mert a polarizációs felületi töltést a polarizáció vektorának a közegből kifelé mutató komponense adja meg. Az egyenletet átrendezve azt kapjuk, hogy
tehát a D vektor normális komponensére vonatkozó határfeltételben is csak a valódi töltés jelenik meg.
Fontos megjegyezni, hogy az elektromos megosztás során létrejövő töltésszétválás nem polarizáció. Mint korábban megjegyeztük, poarizáció során az atomok töltésközéppontjai csak igen kis mértékben mozdulnak el, míg egy pl. 1 m sugarú fémgömbön végbemenő megosztásnál az ellentétes előjelű töltések méteres távolságra is kerülhetnek egymástól. D-re éppen a megosztás alapján lehet mérési utasítást adni.
Vannak olyan szigetelő (félvezető) ún. ferroelektromos anyagok, amelyek egyes makroszkopikus tartományainak külső elektromos tér nélkül is van elektromos dipólmomentumuk, ilyen pl a BaTiO báriumtitanát. Ez annak következménye, hogy a molekulák pozitív és negatív töltésközéppontja nem esik egybe. Az ilyen anyagokra nem érvényes a összefüggés. Ferroelektromos anyagokból elektréteket lehet előállítani, ezeknek tartós elektromos dipólmomentuma van, ilyen pl. a viasz.
Érdekes és anyagszerkezeti szempontból fontos kérdés, hogy milyen a térerősség a dielektrikumok üregeiben. Helyezzük a dielektrikumot feltöltött síkkondenzátor lapjai közé. Tudjuk, hogy ha a fegyverzetek elég nagyok, távolságuk elég kicsi, akkor a kondenzátoron belül, a szélektől elég távol az E térerősség jó közelítéssel állandó. Ezt a dielektrikumon belüli átlagos értéknek kell tekintenünk, hiszen a közeg atomjai között mozogva gyorsan változó elektromos teret észlelnénk. Nem erre vagyunk kíváncsiak, hanem egy nagyon sok atomot tartalmazó térfogatra átlagolt térerősségre. Ezt az átlagolást matematikailag precíz módon el lehet végezni, leírása megtalálható pl. J. D. Jackson Klasszikus elektrodinamika c. könyvében. Mostantól közegek jelenléte esetén a Maxwell-egyenletekben szereplő E, D, B, H mindig ilyen átlagolt térmennyiségeket jelentenek.
Tekintsünk először egy E-vel párhuzamos, hosszú, keskeny rést és egy olyan téglalapot, amelynek két hosszú oldala párhuzamos a réssel, egyik a résen belül, másik a résen kívül halad, a másik két, rövid oldal köti őket össze. Mivel E körintegrálja minden zárt görbére 0, és a rövid oldalak járuléka nagyon jó közelítéssel 0, a résen belüli térerősség egyenlő kell legyen a közegen belüli (átlagos) E-vel.
Tekintsünk most egy E-re merőleges hosszú, keskeny rést és egy olyan téglatestet, amelynek két nagy lapja E-re merőleges, egyik a résen belül, másik a résen kívül, a másik négy lap párhuzamos E-vel. Mivel D zárt felületre vett integrálja 0 (valódi töltés nincs), a résen belüli D egyenlő kell legyen a közegen belüli (átlagos) D-vel, ezért az üregben E .
Tekintsünk végül egy G gömb alakú üreget. A szuperpozíció elve szerint E az üreges dielektrikum üregbeli térerősségének és a közeg egy G gömb alakú darabja gömbön belüli térerősségének összege. A G gömbön belül a P dipólmomentumsűrűség állandó (feltételezzük, hogy a közegre érvényes a összefüggés), ezért egy állandó polarizációjú gömb gömbön belüli térerősségére van szükségünk, megmutatható, hogy ez lal egyenlő. Így a gömb alakú üregen belül a térerősség, .
A későbbiekben szükségünk lesz egy külső elektromos tér által polarizált gömb p eredő dipólmomentumára. A fentiek szerint a gömbön belül az eredő térerősség , ezért P (feltételeztük, hogy a gömb közegére érvényes a P E összefüggés), innen P kifejezhető. Végül
4. 4 Stacionárius áram
Ebben a fejezetben az egyenáramra vonatkozó törvényekkel és az áram által keltett mágneses térrel foglalkozunk. Feltételezzük, hogy az elektromos és mágneses erőtér időben nem változik. A mágneses indukcióvektorra vonatkozó integrális egyenletek:
az áramerősség. A differenciális egyenletek:
a határfeltételek:
i a felületi áramsűrűség.
Először az egyenletek általános megoldási módszerét tárgyaljuk. Mivel , B felírható egy vektor rotációjaként, , A a vektorpotenciál. Az vektor ugyanazt a B-t állítja elő, mint A, tehát utóbbi csak egy ún. mértéktranszformáció erejéig meghatározott, kiróhatunk rá valamilyen mellékfeltételt. Ha pl. azt írjuk elő, hogy teljesüljön, akkor azt mondjuk, hogy Coulomb-mértékben dolgozunk. Később lesz szó más mértékről is. -t a másik Maxwell-egyenletbe helyettesítve és egy vektoranalitikai azonosságot felhasználva azt kapjuk, hogy
Coulomb-mértékben ez a Laplace-egyenletre vezet. E vektoregyenlet három komponense formailag azonos az elektrosztatika Poisson-egyenletével, a szuperpozíció elvet használva felírhatjuk a megoldást:
Megmutatható, hogy ez a megoldás kielégíti az egyenletet és a divA 0 mellékfeltételt is.
Lineáris vezetőre jdVIds, ezért
ez a Biot-Savart törvény.
Alkalmazásként meghatározzuk egy kisméretű vezetőhurok mágneses terét a huroktól nagy távolságban. Az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan szorozzuk egy állandó a vektorral, hogy alkalmazni tudjuk a Stokes-tételt:
az utolsó átalakításnál vektoranalitikai azonosságot használtunk ki és azt, hogy az állandó a vektor kihozható az integrálás elé. szerinti sorfejtéssel
Az áramforrásokban a töltéseket különböző típusú erők mozgatják, pl. a van der Graaf generátorban a szalag mechanikai ereje, a galvánelemekben a koncentrációkülönbség okozta kémiai erő. Ezek biztosítják az állandó feszültségkülönbséget.
Az áramforrás beoltott elektromotoros erejére jellemző vektor a definíció szerint azzal a térerősséggel egyenlő, ami a töltésszétválasztás során létrejött elektromos térerősséget kompenzálja, amikor nem folyik áram: . Az -vel jellemzett mechanikai, kémiai stb. erők az elektromos térerősséghez hasonlóan részt vesznek a töltések mozgatásában, az Ohm törvény általános alakja: , csak az áramforrásokban különbözik 0-tól.
Az egyenáram elektromos terének maghatározására szolgáló egyenletek:
a kontinuitási egyenlet div j 0. A vezetőkön kívül ( itt feltevés szerint 0) a egyenletet kell megoldani a határfeltételekkel. A vezetőn belül -t nem ismerjük, a kontinuitási egyenletből indulhatunk ki:
Az áramforráson kívül , ezért
Ha állandó, akkor div E 0, , ha változik, akkor div E , ez azt jelenti, hogy inhomogén vezetőben térfogati töltéssűrűség alakul ki. A div j 0 kontinuitási egyenletből a Gauss-tétel segítségével kapjuk, hogy két különböző vezetőképességű vezetőszakaszt elválasztó határfelületen
ami azt jelenti, hogy a határfelületen felületi töltéssűrűség halmozódik fel. A jelenség egy gyakran előforduló közlekedési helyzettel szemléltethető. Ha egy többsávos út pl. az útszélen végzett munkák miatt folyamatosan szűkül, "vezetőképessége" folytonosan változik, akkor az autók be akarnak sorolni egymás mögé, ezt indexeléssel, esetleg dudálással jelzik, amit " térfogati töltéssürüségnek" foghatunk fel. Ha pedig az egyik sávot valahol lezárják, az út " vezetőképessége" ugrásszerűen változik, akkor a lezárás közvetlen közelében észlelhető indexelés, dudálás, azaz "felületi töltéssűrűség".
Lényegesen egyszerűbb feladat az áramerősségek meghatározása. Lineárisnak nevezzük az olyan vezetőt, amelyben a j áramsűrűség, és a s vonalelem párhuzamos egymással, kis keresztmetszetű drótra ez jó közelítésnek tekinthető. Ilyen vezetőkből álló áramkörre, zárt görbére
az áramforrás elektromotoros ereje (kihasználtuk, hogy . Másrészt
az állandó keresztmetszetűnek tekintett lineáris vezetőben folyó áramerősség, a vezető ellenállása. Ha több áramhurok kapcsolódik egymáshoz, és az egyes hurkokban több áramforrás és több fogyasztó ellenállás található (és az egyéb vezetőszakaszok ellenállását a szokásos módon elhanyagoljuk), akkor
a 2. Kirchoff-törvény, vagy huroktörvény.
A div j 0 egyenletet egy, a vezetők elágazási pontját körülvevő térfogatra integrálva
A vezető határán 0, ezért a felületi integrálhoz csak az elágazási pontba be- és kifutó vezetőszakaszok keresztmetszetére számított integrálok adnak járulékot, ezek éppen az áramerősségek, tehát az elágazási pontoknál
az 1. Kirchoff-törvény, vagy csomóponttörvény.
A mágneses térben mozgó töltésre ható erő, , a Lorentz-erő. Egy
térfogatban lévő töltésekre ható erő . a konvektív áramsűrűség, így az előzőek mintájára egy vezető térfogatára ható erő, , j a konduktív áramsűrűség. Lineáris vezetőre az áramerősség vektorát -ként definiálva ( a vezető keresztmetszete) , a vezetődarab hossza. A vezető egységnyi hosszú darabjára ható erő így .
Az áram mágneses tere megfelelő szimmetriát mutató árameloszlás, pl. végtelen hosszú egyenes vezetőben folyó áram esetén a Maxwell-egyenletek integrális alakjából viszonylag könnyen meghatározható, a végtelen viszont matematikai nehézségeket okoz. A differenciális egyenletek megoldása, amelyet a következőkben megtárgyalunk, mentes az ilyen nehézségektől, elvezet a Biot-Savart-törvényhez, amelyből az eredmény egyszerű integrálással előállítható, és kiderül, hogy ugyanaz, amit az integrális egyenletekből a végtelen problémájával nem törődve kapnánk. Most csak a végeredményt írjuk fel. A végtelen hosszú, egyenes vezető mágneses tere áramerősség esetén a tér valamelyik vezetőn kívüli, r helyzetvektorú pontjában (a kezdőpont a vezető valamelyik pontja),
Most már megadhatjuk az áramerősség mértékegysége definíciójának magyarázatát. Az egyik vezető mágneses tere
a másik vezető hosszúságú darabjára ható erő nagysága így ( a két vezető távolsága)
Vázoljuk a mágneses indukció vektor definíciójának magyarázatát. Kis áramhurok esetén B állandónak vehető, lineáris vezetőre Ids Is. A vezető kis s szakaszára ható forgatónyomaték , r a kis vezetőszakasz helyzetvektora. A teljes forgatónyomaték , mert M második tagjának körintegrálja 0. Ez a kifejezés vektroanalitikai azonosságok és a Stokes-tétel felhasználásával az alakra hozható, és kis áramhurok esetén ,
f a felületvektor. A maximális forgatónyomaték nagysága IfB, amikor f és B merőleges egymásra.
Fontos és érdekes kérdés a tekercs mágneses tere. Egy hosszú, kis keresztmetszetű, szorosan tekercselt, áram által átjárt szolenoid közelítőleg olyan teret hoz létre, amely kívül gyenge, belül homogén, a tengellyel párhuzamos. Ezt feltételezve számítsuk ki B körintegrálját egy olyan téglalapra, amelynek hosszúságú élei a tekercsen belül és kívül párhuzamosak a tekercs tengelyével. Járulékot csak a belül lévő ilyen szakasz ad, így
az egységnyi hosszra jutó menetszám. Ez az eredmény olvasható általában a fizikai összefoglalókban, példatárakban található olyan kidolgozott feladat, amely a tekercs tengelyén jobb közelítő eredményt ad.
Próbáljuk részletesebben megvizsgálni, milyen lehet a mágneses indukcióvonalak szerkezete. Egy nagyon (végtelen) hosszú tekercs belsejében, a végektől elég távol eső
középső szakaszon a tengellyel párhuzamosnak, állandónak tekinthetjük a teret, legyen ez . Rakjuk össze ezt a tekercset két (félig végtelen) hosszú tekercsből, a szuperpozíció elv szerint a két féltekercs mágneses indukció vektorának összege. Ebből következik, hogy a féltekercsek végesben lévő határfelületén a mágneses tér tengelyirányú összetevője , a fluxus, , a tekercs sugara. A féltekercsek nagyon messze (végtelenben) lévő keresztmetszetén viszont a fluxus . Hová tűnt ennek a fluxusnak a fele? Kiment a tekercs hengeres felületén.
Tekintsünk most újra egy hosszú, de véges tekercset. Mivel a mágneses indukció vonalak zártak, a hengerfelületet elérő vonalaknak vissza kell fordulniuk, azaz a felületen a B vektor tangenciális komponense ugrásszerűen változik, ami megfelel a határfeltételnek, a tekercsben folyó áram felületi áramnak tekinthető.
A mágneses indukció vektor a kis áramhuroktól nagy távolságban:
megegyezik egy m mágneses dipólus terével, ahol . Ez az egyezés azt is sejteti, hogy a mágnesség eredetét atomi köráramokban lehet keresni.
Ahogy a dielektrikumok tárgyalásánál a töltéssűrűséget, úgy most az áramsűrűséget is felosztjuk különböző eredetű részekre. A cél most az, hogy úgy vezessük be a H vektort, hogy a rá vonatkozó egyenletekben csak a valódi áramsűrűség szerepeljen:
a polarizációs töltések mozgásából származó áramsűrűség, az atomi köráramok járuléka, az ami nem polarizációs és nem mágneses. A polarizáció (dipólusmomentum sűrűség) vektor időderiváltja, áramsűrűség dimenziójú mennyiség, a polarizációs töltések konvektív áramsűrűsége.
A dielektrikumoknál egy dipóluseloszlás potenciálját alakítottuk át, ebből vontunk le következtetést. Ehhez hasonlóan megállapítható, hogy egy mágneses momentum sűrűség vektorpotenciálja rot M térfogati és felületi áramsűrűség vektorpotenciáljával ekvivalens, n az eloszlás határfelületének normálisa. Az M vektort, a térfogategység mágneses momentumát mágnesezettségnek is nevezik. Az első Maxwell-egyenlet tehát így írható:
átalakítva:
Definiáljuk a H vektort, M , ezzel
Sztatikában a rot H egyenlet meghatározza H-t, nekünk B-re van szükségünk. Ehhez vagy ismerni kell mérésekből M-et, vagy az M és B közötti kapcsolatot.
Vannak olyan anyagok, amelyekre érvényes az összefüggés, ebből
B . a mágneses szuszceptibilitás, (
a (relatív) permeabilitás. A diamágneses anyagokra független a hőmérséklettől, ilyen pl. a bizmut, a nemes gázok, a benzol. általában kicsi, bizmutra pl. . A paramágneses anyagokra fordítva arányos a hőmérséklettel (Curie-törvény), ilyen pl. az oxigén, az alumínium, a ritka földfémek. Oxigénre szobahőmérsékleten .
A ferromágneses anyagoknál B és H kapcsolata bonyolult, függhet az anyag előéletétől is, ilyen pl. a vas, a
|