Qatorlarning absalyut va shartli yaqinlashuvchanligiga doir misollar

3.Qatorlarning absalyut va shartli yaqinlashuvchanligiga doir misollar.
1-misol.
qatorning absalyut yaqinlashuvchiligini ko`rsating.
Yechish.
Berilgan qator bilan birga qatorni qaraymiz. Bu qatorning umumiy hadini qudagicha shakl almashtiramiz:
.
Demak, --qator yaqinlashuvchi chunki p= . U Holda (1.1) ta`rifga ko`ra berilgan qator absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
2-misol.
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish:
deb belgilaymiz. uchun
-- qator absalyut yaqinlashuvchi, chunki qator yaqinlashuvchi. Demak (1.2) teoremaga asosan berilgan qator absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
3-misol.
Ushbu qatorlar yig`indisining absalyut yaqinlashuvchi ekanini ko`rsating.
Yechish:
Ravshanki , berilgan qatorlar (1.2) teoremaga asosan absa;yut yaqinlashuvchi bo`ladi. Endi quyiodagi yig`indi qatorni qaraymiz:
Hosil bo`lgan qator (1.2) teoremaga asosan absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.Demak, (1.3) teoremaga asosan, absalyut yaqinlashuvchi qatorlarning yig`indisidan tuzilgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
4-misol.
Ushbu qatorlarning ko`paytmasini hisoblang.
Yechish
Ma`lumki, bu berilgan qatorlar absalyut yaqinlashuvchi bo`lib, ularning yig`indilari mos ravishda va ga teng bo`ladi.Endi bu qatorlarni Koshi formulasi bo`yicha ko`paytiramiz.
Ko`paytma qatorning umumiy hadi
Endi qator hadlarining absalyut qiymatlaridan tuzilgan
qatorni absalyut yaqinlashishiga tekshiramiz: Dalamber alomatiga asosan qator yaqinlashuvchi. Demak (1.6) teoremaga asosan ko`aytma qator absalyut yaqinlashuvchi va uning yig`indisi
= ga teng bo`ladi.
Ishorasi almashinuvchi qatorlarga doir misollar.
1-misol.
Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish
Berilgan qator hadlarining absalyut qiymatlaridan tuzilgan
qator yaqinlashuvchi, chunki bu qator qator bilan taqqoslaganda berilgan qatorning har bir hadi bu atorning mos hadlaridan katta emas, lekin yaqinlashuvchi qator, shuning uchunn berilgann qator absalyut yaqinlashuvchidir.
Endi Leybnis alomatining shartlarini tekshiramiz. n da lekin manotonlikk sharti o`rinli emas: demak, (2.4) eslatmaga asosan ishorasi almashinuvchi qatorlarda shart bajarilib manotonlik sharti bajarilmaganda ham qator yaqinlashuvchi bo`lishi mumkin.
2-misol.
Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring.
+ -…
Yechish
Qator hadlarining ishorasi almashmayapti,lekin hadlari absalyut qiymati bo`yicha monoton kamayib nolga intiladi.Qismiy yig`indilarining ko`rinishi ushbu
Shaklda bo`lgan ketma-ketlik limitga ega emas.Shuning uchun berligan qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
3-misol.Quyidagi shartlar bajarilsin.
a) qatorning umumiy hadi n da bo`lsin.
b) qator hadlarining o`rinlarini o`zgartirmasdan guruhlab tuzilgan qator yaqinlashuvchi bo`lsin.
d) ga kiruvchi qo`shiluvchi hadlarining soni chegaralangan bo`lsin, u holda qator yaqinlashuvchi ekanini isbotlang.
Isbot.
qatorning qismiy yig`indilari krtma-ketligini deb belgilaymiz.Unda
Bu yerda qatorning qismiy yig`indilari ketma- ketligi.
Shartga ko`ra n da hamda ketma-ketlik;
Shartga asosan chegaralangan bo`lganligi uchun, k da . Shuning uchun bo`ladi.Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Xulosa.
Qatorlar nazariyasidan taqribiy hisoblashlarda keng qo‘llaniladi. Taqribiy hisoblashlarda yo‘l qo‘yilgan xatolikni baholash katta amaliy ahamiyatga ega. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlarda xatolik, hisobga olinmayotgan birinchi had absolyut qiymatidan katta bo‘lmaydi,
Sonli qator, cheksiz yig‘indi, umumiy had, garmonik qator, qator yig‘indisi, qismiy yig‘indi, yaqinlashuvchi qator, uzoqlashuvchi qator, zaruriy belgi, etarli belgi, taqqoslash belgisi, Dalamber belgisi, Koshi belgisi, integral belgi, ishoralari navbat bilan almashinuvchi qatorlar, o‘zgaruvchan ishorali qatorlar, Leybnits belgisi, absolyut va shartli yaqinlashish.
Bu mazuda qatorlarning absalyut va shartli yaqinlashuvchiligi.
Ishorasi almashinuvchi qatorlar, qatorlarning absalyut va shartli yaqinlashuvchanligiga doir misollar yortib berildi.
|