Yasashga doir masalalar - Masalalarning

Yasashga doir masalalar.
Isbot. Koordinatalar sistemasini shunday tanlaymizki, parallelogrammning uchlari
quyidagi koordinatalarga ega bo ‘lsin (5- rasmga qarang): A(0;0), B(b;c),A(0;0) C(atb;c), D(a; 0),
bu yerdaa > 0, b>0,c>0.
A, B, C, D nuqtalar orasidagi masofalarni ularning koordinatalari orqali ifodalaymiz:
AC=V(at b-0" +(c-0", BD=\(a—by +0-c).
Unda V(a + b-0)" + (c—0)° = Va— by +0 —c)*
yoki (a + b— 0) + (c—0)°=(a—byY +(0—c)*.
Bundan, 4ab = 0. Lekin a > 0, unda b = 0. Bu esa, o‘z navbatida, B (b; c) nugqta Oy o‘qida yotishini anglatadi. Shuning uchun BAD to‘g‘ri burchak bo‘ladi.
Bundan ABCD parallelogramm to‘g‘ri to‘rtburchak ekanligi kelib chigadi.
Geometrik almashtirishlar usuli:
Geometrik almashtirishlar usuliga burish, simmetrik akslantirishlar, parallel ko‘chirish va gomotetiya kabi almashtirishlarga asoslangan usullar kiradi. Geometrik almashtirishlar yordamida masalalarni yechish jarayonida berilgan geometrik shakllar bilan bir qatorda yangi, qo‘llanilgan geometrik almashtirish yordamida hosil qilingan shakllar ham qaraladi.
Yangi shakllarning xossalari aniqlanadi va berilgan shaklga o‘tkaziladi. Shundan so‘ng masalani yechish yo‘li topiladi.
Yugorida keltirilgan barcha usullar bitta umumiy nom bilan geometrik usullar deb aytiladi.
Muhim eslatma!
Bu bo‘limdan joy olgan materiallar planimetriyani takrorlash uchun keltirilgan. Takrorlash uchun masalalar keragidan ortig keltirilmoqda. Ularning barchasini sinfda ko ‘rishning imkoni bo‘lmasligi mumkin.
Bundan qat’iy nazar, ularni mustaqil yechib chigishni maslahat beramiz.
Geometrik figuralarni sirkul va chizg‘ich yordamida yasash
Agar uning markazi va radiusi ko'rsatilgan bo'lsa, doira
. chizing.
Ikki doiraning kesishish nuqtalarini toping.
Chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini toping.
Ikki chiziqning kesishish nuqtasini toping.
Har qanday geometrik konstruktsiya (odatiy ma'noda, sirkul va o'lchagichni nazarda tutgan holda) ushbu elementar
konstruktsiyalarning cheklangan ketma-ketligini bajarishdan iborat. Ulardan birinchi ikkitasini bitta kompas bilan amalga oshirish mumkinligi aniq. 3 va 4-sonli murakkabroq konstruktsiyalar oldingi paragrafda muhokama qilingan inversiya xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.
3-konstruktsiyaga murojaat qilaylik: biz bu aylananing kesishish nuqtalarini shu A va B nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bilan topamiz. O nuqtadan tashqari, mos ravishda AO va BO ga teng markazlari A va B va radiusli yoylar chizamiz. , ular P nuqtada kesishadi. Keyin C aylanaga nisbatan P nuqtaga qarama-qarshi Q nuqtasini quramiz (174-betda tasvirlangan qurilishga qarang).
Nihoyat, markazi Q va radiusi QO bo'lgan doira chizing (u, albatta, C bilan kesishadi): uning C aylana bo'ylab kesishgan X va X nuqtalari kerakli nuqtalar bo'ladi. Buni isbotlash uchun nuqtalarning har birini aniqlab olish kifoya. X va X" O va P dan bir xil masofada joylashgan (A va B nuqtalarida bo'lgani kabi, ularning o'xshash xususiyatidir.
Shuni ta'kidlash kerakki, X, X" va O nuqtalardan o'tuvchi aylana C aylanaga nisbatan inversiyadagi teskari AB chiziqdir, chunki bu doira va AB chizig'i C bilan bir xil nuqtalarda kesishadi. (Inversiya paytida asos aylananing nuqtalari harakatsiz qoladi.) Agar AB chizig'i C markazidan o'tsagina ko'rsatilgan konstruktsiyani amalga oshirish mumkin emas. Ammo keyin kesishish nuqtalarini 178-betda o'rta nuqtalar sifatida tasvirlangan konstruktsiya yordamida topish mumkin. B 1 va B 2 nuqtalarda C bilan kesishuvchi markaz B bo'lgan ixtiyoriy aylana chizilganda olingan C yoylarining.
Doira chizish usuli, to'g'ri chiziqning teskarisi "ikki berilgan nuqtani bog'lab, darhol 4-masalani hal qiladigan konstruktsiyani beradi.
Chiziqlar A, B va A, B nuqtalari bilan berilgan bo'lsin" (50-rasm) Chiz. ixtiyoriy C aylana va yuqoridagi usuldan foydalanib AB va A "B" to'g'ri chiziqlarga qarama-qarshi doiralar quramiz.Bu doiralar O nuqtada kesishadi va yana bir Y nuqtada Y nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan X nuqta kerakli kesishish nuqtasidir. : uni qanday qurish kerakligi yuqorida allaqachon tushuntirilgan edi.kerakli nuqta,
bu Y nuqtaning bir vaqtning o'zida ikkala AB va A "B" to'g'rilariga tegishli nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan yagona nuqta ekanligi, shuning uchun X nuqtasi, qarama-qarshiligi aniq. Y ga, bir vaqtning o'zida AB
Bu ikki konstruksiya Mascheroni konstruksiyalari o‘rtasidagi ekvivalentlik isbotini tugatadi, buning uchun faqat sirkul va sirkul va to‘g‘ri chiziqli oddiy geometrik konstruksiyalardan foydalanishga ruxsat beriladi .Biz bu erda ko'rib chiqqan individual muammolarni hal qilishning nafisligi haqida qayg'urmadik, chunki bizning maqsadimiz
Mascheroni konstruktsiyalarining ichki ma'nosini aniqlash edi.Ammo misol sifatida biz oddiy beshburchakning qurilishini ham ko'rsatamiz; aniqrog'i, biz muntazam chizilgan beshburchakning cho'qqilari bo'lib xizmat qila oladigan aylananing beshta nuqtasini topish haqida gapiramiz.
A nuqta K aylanadagi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. Muntazam chizilgan oltiburchakning yon tomoni aylananing radiusiga teng bo‘lgani uchun K dagi B, C, D nuqtalarni AB = BC = CD bo‘ladigan tarzda kechiktirish qiyin bo‘lmaydi. = 60 ° (51-rasm). Radiusi AC ga teng boʻlgan markazlari A va D boʻlgan yoylarni chizish; ular X nuqtada kesishsin. U holda, agar O K ning markazi bo‘lsa, markazi A va radiusi OX bo‘lgan yoy K ni BC yoyining o‘rtasi bo‘lgan F nuqtada kesib o‘tadi (178-betga qarang). Keyin, radiusi K radiusga teng bo'lgan, biz G va H nuqtalarda K bilan kesishuvchi markaz F bo'lgan yoylarni tasvirlaymiz. G va H nuqtalardan masofalari OX ga teng bo'lgan va X dan X dan ajratilgan Y nuqta bo'lsin. markaz O. Bu holda, marta sifatida AY segmenti zarur beshburchak tomoni hisoblanadi. Dalil o'quvchiga mashq sifatida taqdim etiladi. Shunisi qiziqki, qurilish vaqtida faqat uch xil radius ishlatiladi.
|