Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari - bet 2

|
Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari
|
bet | 2/4 | Sana | 19.01.2024 | Hajmi | 26,19 Kb. | | #140716 |
Bog'liq Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari,
ya’ni {xkn} ketma-ketlik a songa yaqinlashadi. Bu esa, o’z navbatida, a soni {xn} ketma-ketlikning qismiy limiti ekanini anglatadi. Q.E.D.
3. Umuman aytganda, har qanday ketma-ketlikda qismiy limitlar ko’p bo’lishi mumkin, ammo ularning ichida eng kattasi va eng kichigi ayniqsa katta ahamiyatga egadir.
Ta’rif. Ketma-ketlikning eng katta qismiy limiti bu ketma-ketlikning yuqori
limiti deyiladi.
Agar {xn} ketma-ketlikning yuqori limitini a desak, u quyidagi simvol
a = nlim→∞xn (2.4.1)
orqali belgilanadi.
Xuddi shunga o’xshash ketma-ketlikning quyi limiti aniqlanadi.
Ta’rif. Ketma-ketlikning eng kichik qismiy limiti bu ketma-ketlikning quyi limiti deyiladi.
Agar {xn} ketma-ketlikning quyi limitini a desak, u quyidagi simvol
(2.4.2)
orqali belgilanadi.
Yuqorida, ikkita qismiy limitga ega bo’lgan ketma-ketlikka misol sifatida, {(−1)n} ketma-ketlik keltirilgan edi. Bu misolda qismiy limitlar 1 va −1 ga teng. Turgan gap, bu holda
.
Albatta, o’z-o’zidan quyidagi savol tug’uladi: har qanday ketma-ketlikda ham limit nuqtalar bormi? Agar ketma-ketlik chegaralangan bo’lsa, bu savolga javob ijobiy bo’lar ekan. Bu natija, bir-biridan bog’liqsiz ravishda, chex matematigi B.Bol’sano va nemis matematigi K.Veyershtrass tomonlaridan isbotlangan. Aslida, biz bu yerda bundanda umumiyroq navbatdagi tasdiqni isbotlaymiz. Shuni aytish lozimki, bordiyu ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo’lsa, uning yuqori va quyi limitlari o’zaro teng bo’lib, ana shu nuqtadan iborat bo’ladi.
2.4.1 - Teorema. Har qanday chegaralangan ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga ega.
Isbot. Shartga ko’ra, {xn} chegaralangan ketma-ketlik bo’lsin deylik, ya’ni shunday
A va B o’zgarmaslar mavjudki, ular uchun
A ≤ xn ≤ B
munosabat o’rinli.
Bu tengsizliklar {xn} ketma-ketlikning barcha elementlari [A, B] kesmada yotishini anglatadi.
Avval biz [A, B] kesmani nuqta orqali ikkita teng kesmalarga ajratamiz. Bu ikki kesmalardan ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlarini o’z ichiga olganini [a1, b1] simvol orqali belgilaymiz. Bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementini o’z ichiga olsa, [a1, b1] sifatida bu kesmalardan o’ng tarafdagisini olamiz.
So’ngra, tanlangan [a1, b1] kesmani ikkita teng kesmaga bo’lamiz va [a2, b2]
simvoli orqali ulardan ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlarini o’z ichiga olganini belgilaymiz. Yana, bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlarini o’z ichiga olsa, [a2, b2] sifatida bu kesmalardan o’ng tarafdagisini olamiz.
Bu jarayonni davom ettirib, biz shunday ichma-ich joylashgan kesmalar ketmaketligini olamizki, n- qadamda qurilgan [an, bn] kesma uzunligi ga teng bo’lib, u {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlarini o’z ichiga oladi, bundan tashqari, bn nuqtadan o’ngda ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotadi.
Ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipiga (2.3.1 - Teorema) asosan, [a, b] ning barcha kesmalariga tegishli bo’lgan c nuqta mavjud va yagona. Aynan shu c nuqta {xn} ketma-ketlikning yuqori limiti bo’lishini isbotlaymiz. Buning uchun c nuqtaning ixtiyoriy ε-atrofini qaraymiz. Ravshanki, biror nomerdan boshlab (ya’ni bn−an < ε bo’lgan nomerdan boshlab), barcha [an, bn] kesmalar ana shu ε-atrofda yotadi. Shunday ekan, quyidagi tasdiqlar o’rinli bo’ladi:
|
| |