Ikki nuqta orasidagi masofa

Ikki nuqta orasidagi masofa.
Ikkita M
1
(x
1
), M
2
(x
2
) nuqtalar to’g’ri chiziqdagi dekart koordinatalari
sistemasida yotgan bo’lsa,
1
2
yo’nalgan kesmaning uzunligi
│
x
2
-
x
1│
ga teng.
│
1
2
│
=
│
x
2
− x
1
│
.
Isbot.
│
OM
1
│
+
│
M
1
M
2
│
=
│
OM
2
│
;
│
OM
1
│
=
│
x
1
│
,
│
OM
2
│
=
│
x
2
│
;
│
x
1
│
+
│
M
1
M
2
│
=
│
x
2
│;
│
1
2
│
=
│
x
2
− x
1
│.
1. Misol. Sonlar o’qida M
1
(5) va M
2
(-4) nuqtalar berilgan. M
2
ga
nisbatan
M
1
nuqtaga
simmetrik
bo’lgan
M
3
nuqtaning
koordinatasini toping.
Yechish.
│
1
2
│ kesmaning uzunligini aniqlaymiz:
│
1
2
│
=
│
x
2
− x
1
│ = │ − 4 − 5 = 9│
M
1
nuqta M
2
nuqtadan 9 birlik uzoqda yotadi. M
3
nuqta M
2
nuqtaga nisbatan M
1
nuqtaga simmetrik bo’lishi uchun bu nuqta
xam M
2
dan M
1
ga qarama-qarshi tomonda 9 birlik masofada
yotishi kerak.
M
3
=( -4-9)=(-13).
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. Boshlang’ich nuqtasi A(x
1
)
oxirgi nuqtasi B(x
2
) bo’lgan AB kesmani
AC /CB=λ (λ
≠ -1)
nisbatda bo’luvchi
C(x) nuqtaning koordinatasini topish.
│퐴 │
=
│ � − �
1
│, │
│
=
│�
2
− �│.
λ =
퐴
=
� − �
1
�
2
− �
λ�
2
− λ �
=
� − �
1
,
λ�
2
+ �
1
=
�
(1 +
λ
)
,
�
=
λ�
2
+ �
1
1 +
λ
Agar λ >0 bo’lsa, AC va CB kesmalarning yo’nalishi bir xil, λ <0
bulsa, qarama-qarshi buladi va aksincha. Agar A(x
1
) va B(x
2
) ikki
ixtiyoriy nuqta va C(x) AB kesmaning o’rtasi bo’lsa, u holda
�
=
�
�
+ �
�
�
.
Tekislikda koordinatalar metodi.
Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi ikkita
o’zaro perpendikulyar o’qlar va chiziqli birlik masshtab berilishi bilan
aniqlanadi.
O’qlarning kesishish nuqtasi – 0 koordinatalar boshi, birinchi o’q –
Ox yoki abssissalar o’qi, ikkinchisini esa – Oy yoki ordinatalar o’qi deb
ataladi.
Tekislikda ixtiyoriy M nuqta olamiz. M nuqtaning Ox va Oy
o’qlarga proyeksiyalarini mos ravishda M
x
va M
y
deb belgilaymiz.
О
�
va
О
�
yo’nalgan kesmalarning kattaliklari x va y sonlar, M
nuqtaning to’g’ri
burchakli dekart koordinatalari deyiladi va M (x; y) kabi yoziladi. x - M
nuqtaning absissasi, y- M nuqtaning ordinatasi deyiladi.
Koordinata o’qlari tekislikni 4 ta kvadrantga bo’ladi.
Ikki nuqta orasidagi masofa.
A(x
1
,y
1
) va B(x
2
,y
2
) nuqtalar berilgan
bo’lib, bunda x
1
≠ x
2
, y
1
≠ y
2
bo’lsin.
A va B nuqtalar orasidagi masofa
퐴
yo’nalgan kesma uzunligiga
teng. Bu esa o’z navbatida ACB to’g’ri burchakli uchburchakning
gipotenuzasiga teng.
Uchburchakning Ox
o’qiga parallel tomonining uzunligi,
kesmaning Ox o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani │x
2
- x
1
│ ga teng.
Xuddi shuningdek, uning Oy o’qiga parallel tomonining uzunligi
СА
kesmaning Oy o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani │у
2
- у
1
│ ga teng.
To’g’ri burchakli ACB uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib
quyidagini topamiz:
│
퐴 │
2
= (x
2
- x
1
)
2+
( у
2
- у
1
)
2
│푨 │
= (
�
�
− �
�
)
�
+ (
�
�
− �
�
)
�
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. To’g’ri burchakli dekart
koordinatalari sistemasida A(x
1
,y
1
) va B(x
2
,y
2
) ikki nuqta berilgan
bo’lsin. Berilgan nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazib, unda musbat
yo’nalishni aniqlasak, bu to’g’ri chiziq o’qqa aylanadi. Bu o’q koordinata
o’qlariga parallel emas deb olaylik. Olingan o’qda A va B nuqtalar
퐴
yo’nalgan kesmani aniqlaydi. Faraz qilaylik, М (х, у) В nuqtadan
farqli bo’lgan (aytilgan o’qdagi) nuqta bo’lsin.
퐴
kesmani
λ =AМ : МВ nisbatda bo’luvchi M nuqtaning koordinatasini topish talab
etiladi.
A, M va B nuqtalarni koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: Ular A
x
,
M
x
,B
x
, A
y
,
M
y
, B
y
lardan iborat bo’ladi.
A
x
M
x
B
x
M
x
nuqta
퐴
�
В
�
yo’nalgan kesmani λ nisbatda bo’ladi, yani
푨
�
�
�
:
�
� �
=
�
푨
�
�
�
=
� − �
�
,
�
� �
=
�
�
− �
tenglikdan
�
=
�
�
+
��
�
(
�
+
�
)
ekanligini topamiz.
Xuddi shu yo’l bilan
�
=
�
�
+
��
�
(
�
+
�
)
ni topamiz.
Bu yerda x, y berilgan kesmani λ nisbatda bo’luvchi M (x; y)
nuqtaning koordinatalari bo’ladi.
Agar M (x; y) nuqta
퐴
yo’nalgan kesmaning o’rtasida bo’lsa λ
=1 bo’lib yuqoridagi formulalar quyidagi
ko’rinishni oladi:
�
=
�
1
+
�
2
2
�
=
�
1
+
�
2
2
Chiziq tenglamalari.
Ta’rif. Berilgan koordinatalar sistemasida chiziqning tenglamasi deb,
shunday ikki nomalumli
F(x , y)= 0
tenglamaga aytiladiki, shu chiziqda yotuvchi har qanday nuqtaning x va y
koordinatalari uni qanoatlantiradi. Bu chiziqqa tegishli bo’lmagan hech
bir nuqtaning koordinatalari uni qanoatlantirimaydi.
Biror koordinata sitemasida berilgan tenglama bilan aniqlanuvchi
chiziq,
koordinatalari
shu
tenglamani qanoatlantiradigan tekislik
nuqtalarining geometrik o’rni bo’ladi.
Dekart koordinatalar sistemasida biror l to’g’ri chiziq berilgan bo’lib
A
1
(a
1
,b
1
)
ва A
2
(a
2
,b
2
)
lar shu to’g’ri chiziqga nisbatan simmetrik bo’lgan
nuqtalar bo’lsin
Bunday holda to’g’ri chiziq ustidagi istalgan A(x, y) nuqta bu
nuqtalardan baravar uzoqlikda yotadi va aksincha A
1
va A
2
nuqtalardan
baravar uzoqlikda yotgan A nuqta to’g’ri chiziqga tegishli bo’ladi. A
0> |