To’liq diffirensialning egri chiziqli integrali integral olinadigan egri chiziqning shakliga bog’liq emasligini ko’ramiz

|
To’liq diffirensialning egri chiziqli integrali integral olinadigan egri chiziqning shakliga bog’liq emasligini ko’ramiz
|
bet | 11/14 | Sana | 18.05.2024 | Hajmi | 1,36 Mb. | | #242295 |
Bog'liq 2-Egri chiziqli integrallarTo’liq diffirensialning egri chiziqli integrali integral olinadigan egri chiziqning shakliga bog’liq emasligini ko’ramiz.
Bunga o’xshash muhokama fazoviy egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integral uchun ham o’rinlidir.
Izoh. Bazan ixtiyoriy funksiyaning L yoy uzunligi bo’yicha olingan egri chiziqli:
integralni qarashga to’g’ri keladi, bunda yoy differensiali. Bunday integrallar ham yuqorida qaralgan egri chiziqli integralni hisoblash kabi hisoblanadi. L egri chiziq o’zining
parametric tenglamalari bilan berilgan bo’lsin, bu yerda
lar ning uzluksiz funksiyalari.
parametrning va qiymatlari L yoyning boshlang’ich va oxirgi uchlariga mos kelsin.
ekanligini hisobga olsak, (1.4.15) integralni hisoblash uchun ushbu formulani hosil qilamiz:
fazoviy egri chiziq yoyi bo’yicha olingan egri chiziqli integralni ham qarash mumkin:
Yoy bo’yicha olingan egri chiziqli integrallar yordami bilan, masalan, chiziqlar og’irlik markazining koordinatalari aniqlanadi.
Yuqoridagi formulalar muhokamlaridan foydalanib fazoviy egri chiziq og’irlik markazining koordinatalarini hisoblash uchun quydagi formulalarni hosil qilamiz:
Xulosa
Bitiruv malakaviy ishimning І bobi egri chiziqli integrallarga bag’ishlangan bo’lib, ushbu bob to’rt bo’limdan iborat.
Birinchi bo’limda egri chiziqli integrallarga doir teoremalar o’z izohi bilan o’rin olgan.
Ikkinchi bo’limda egri chiziqli integrallarni hisoblash haqidagi ma’lumotlar aytib o’tilgan.
Uchinchi bo’limda esa egri chiziqli integral bilan sohaning yuzini hisoblashga doir ma’lumotlar keltirilgan.
To’rtinchi bo’limda esa Grin formulasi izohi va isboti bilan keltirib o’tilgan.
II bob. Sirtlar bo’yicha olingan integrallar
2.1- . Sirt integrali
Oxyz to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida biror V soha berilgan bo’lsin. Bu Vsohada biror fazoviy chiziq bilan chegaralangan sirt berilgan bo’lsin.
Biz sirtga nisbatanuning har bir P nuqtasidagi normalning musbat yo’nalishi n(P) birlik vector yo’naltiruvchi kosinuslari sirt nuqtalari koordinatalarining uzluksiz funksiyalari deb faraz qilamiz.
Sirtning har bir nuqtasida
vector aniqlangan bo’lsin, bunda X,Y,Z koordinatalarning uzluksiz funksiyalaridir.
Sirtni biror usul bilan elementar yuzlarga bo’lamiz. Har bir yuzda ixtiyoriy nuqtani olamiz va
yig’indini qaraymiz, bunda vektorning yuzning nuqtadagi qiymati, shu nuqtadagi narmalning birlik vektori, shu vektorlarning sikalyar ko’paytmasi. Barcha bunday yuzlarning diametrlari nolga intilgandagi hamma yuzlarga tadbiq etilgan (2.1.1) yig’indining limiti sirt integrali deb ataladi va ushbu
simvol bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra
(2.1.1) yig’indining har bir
qo’shiluvchisini mexanik jihatdan: asosi va balandligi bo’lgan silindirning hajmiga teng deb tushinish mumkin.
2.1.1-rasm
Agar F vector sirtdan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezligi bo’lsa, (3) ko’paytma yuzdan vaqt birligida vektor yo’nalishida oqib o’tgan suyuqlikning miqdoriga teng (2.1.1-rasm).
Agar F vector suyuqlikning berilgan nuqtadagi oqish tezligi deb tushunilsa,
ifoda vaqt birligida sirt oprqali musbat yo’nalishda oqib o’tuvchi suyuqlikning umumiy miqdorini bildiradi. Shuning uchun sirt integrali (2) sirt orqali o’tuvchi F vector maydonning oqimi deb ataladi.
Sirt integralining ta’rifidan, agar sirt qismlarga bo’linsa, u vaqtda
ekanligi chiqadi.
2.1.2-rasm
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
To’liq diffirensialning egri chiziqli integrali integral olinadigan egri chiziqning shakliga bog’liq emasligini ko’ramiz
|