PLYN VOĽNÝCH ELEKTRÓNOV - 1 elementárna kvantová mechanika

1.10 PLYN VOĽNÝCH ELEKTRÓNOV
V praxi sa často stretávame so sústavou mnohých voľných elektrónov viazaných na ohraničenú oblasť priestoru. Typickým príkladom sú vodivostné elektróny v kove, ktoré sa môžu pohybovať po celej vzorke kovu. V istom kvalitatívnom priblížení ich môžeme považovať za voľné a navzájom neinteragujúce. Príslušné energetické hladiny takejto sústavy voľných elektrónov viazaných na kocku
s objemom V = L3 ľahko nájdeme zovšeobecnením úvah z článkov 1.7 a 1.9. Energetické hladiny budú určené troma nezávislými kvantovými číslami n1, n2, n3 (všetky z nich sú prirodzené ni = 1, 2, 3, … atď).
(1)
a jednotlivé kvantové stacionárne stavy sú dané troma číslami n1, n2, n3 a spinovým číslom sz. Ak systém obsahuje Ne elektrónov, potom v základnom stave bude podľa Pauliho princípu obsadených práve Ne jednoelektrónových stacionárnych stavov (n1, n2, n3, sz) s najnižšími energiami a to tak, že v každom takom stave bude práve jeden elektrón. Má zmysel položiť si otázku, aká najvyššia jednoelektrónová hladina bude obsadená v základnom stave mnohoelektrónovej sústavy. Energia tejto hladiny sa označuje EF a nazýva sa Fermiho energiou, alebo Fermiho hladinou. Energia EF je zrejme taká, že počet možných jednoelektrónových stacionárnych stavov s energiou menšou alebo rovnou ako EF je práve rovný počtu elektrónov v sústave. V základnom stave mnohoelektrónovej sústavy sú takto obsadené všetky stavy s energiou menšou alebo rovnou ako EF a všetky stavy
s energiou väčšou ako EF sú voľné.
Obr. 1.10
Počet možných jednoelektrónových stacionárnych stavov s energiou menšou ako určitá hodnota E nájdeme pomocou jednoduchej geometrickej úvahy. Všetky možné stavy sú znázornené na obr. 1.10. Vo fiktívnom (abstraktnom) priestore, v ktorom znázorňujeme možné jednoelektrónové stavy bodmi so súradnicami (n1, n2, n3) odpovedajú každému takémuto bodu dva možné stavy (n1, n2, n3 ↑)
a (n1, n2, n3 ↓). Príslušná hodnota energie týchto stavov je
kde n2 = (n21 + n22 + n23) má jednoduchý geometrický význam. Je to druhá mocnina vzdialenosti od začiatku násobená faktorom (2ħ2/2mL2). Najprv teda potrebujeme nájsť počet bodov (n1, n2, n3), ktoré majú celočíselné kladné súradnice a ležia vnútri gule o polomere n. Podľa obr. 1.10 je zrejmé, že jeden takýto bod je spoločný ôsmim susedným elementárnym kockám o jednotkovom objeme. Každá kocka má ale osem vrcholov, takže jeden bod typu (n1, n2, n3) pripadá na jednu kocku o jednotkovom objeme. Vnútri gule s polomerom n je preto (4/3)n3 bodov s celočíselnými súradnicami. Podľa vzťahu (1) Fermiho energii odpovedá guľová plocha o polomere
Kvantové čísla n1, n2, n3 musia byť kladné, preto musíme uvažovať iba osminu takejto gule. Bodu so súradnicami (n1, n2, n3) ale odpovedajú dva stavy líšiace sa priemetom spinu na určitú os, takže celkový počet jednoelektrónových stacionárnych stavov s energiou menšou ako EF bude
Pre Fermiho energiu takto dostaneme
(2)
kde = Ne/L3 udáva hustotu elektrónov. Aby sme si urobili predstavu o typických hodnotách Fermiho energie predstavme si kov, ktorého atómy majú mriežkovú vzdialenosť d a každý atóm prispieva jedným elektrónom k vodivostným elektrónom v kove. V prípade kubickej mriežky = (1/d)3 a toto môžeme prepísať do tvaru vhodnejšieho pre numerický výpočet:
kde sme dosadili za a1 výraz ħ2/mKe2. Po dosadení tohto výrazu do (13) dostaneme
kde člen v hranatej zátvorke je práve typická energia v atómovej fyzike 13,6 eV. V prípade kovu s d ≈ 2,5 . 10–10 m by sme takto dostali (a1/d) ≈ 1/5 a pre EF by vyšla hodnota14 okolo 5 eV.
Tento odhad sme robili snáď trocha príliš podrobne, ale chceli sme ním jednak prísť k rádovému odhadu Fermiho energie a jednak sme chceli poukázať na to, že pri odhadovaní jednotlivých veličín je nanajvýš užitočné vyjadriť najprv všetko pomocou typických veličín atómovej fyziky a až potom sa zaujímať o numerické hodnoty. Takýto postup umožňuje pochopiť výsledok oveľa hlbšie ako pri mechanickom dosadení. Výsledok (3) by napríklad bolo užitočné porovnať s energiou základného stavu elektrónu v kocke o dĺžke hrany d a zamyslieť sa nad tým, prečo dostaneme podobný výsledok. To už ale ponecháme čitateľovi. Poznamenajme ešte, že tento jednoduchý model je iba hrubým priblížením k skutočnosti, ktorá je o čosi komplikovanejšia a v presnejších modeloch vodivostných elektrónov v kove treba brať do úvahy, že elektróny nie sú voľné, ale pohybujú sa v poli kladne nabitých iónov, nachádzajúcich sa v uzloch kryštalickej mriežky. Podrobnosti
o tom možno nájsť v úvodných učebniciach fyziky tuhých látok. Tu sme chceli iba ukázať, že i jednoduché kvantovomechanické modely sú užitočné ako kvalitatívne rozumné priblíženia skutočnosti.
1.11 INTERPRETÁCIA VLNOVEJ FUNKCIE
VLNOVÁ FUNKCIA A STAV ČASTICE
Doteraz sme ukázali, že elementárnymi metódami možno riešiť niektoré jednoduché kvantovomechanické problémy. Vychádzali sme pritom z predpokladu, že stacionárnym kvantovým stavom odpovedajú harmonické kmity (stojaté vlny) de Broglieho vĺn s kruhovou frekvenciou n=En/ħ, kde En je energia príslušného stavu. Z diskusie Davissonovho a Germerovho experimentu vieme zatiaľ iba to, že elektróny sa často vyskytujú tam, kde je intenzita de Broglieho vlny veľká
a zriedkavo v miestach, kde je táto intenzita malá. Pred analýzou ďalších otázok sa už musíme s fyzikálnym významom de Broglieho vĺn zaoberať podrobnejšie.
Podstatu problému si vysvetlíme pomocou myšlienkového experimentu, ktorý zovšeobecňuje výsledky mnohých reálnych experimentov. Predstavme si rovnobežný zväzok elektrónov dopadajúcich na tienidlo s dvoma štrbinami15 (obr. 1.11). Na fotografickej platni umiestnenej za tienidlom vznikne interferenčný obraz – striedanie svetlých a tmavých prúžkov. Ak by sme sa však na tento obraz pozreli podrobnejšie, videli by sme, že sa skladá z jednotlivých malých škvrniek (obr. 1.12). V princípe by sme mohli zoslabiť zväzok dopadajúcich elektrónov natoľko, že by sa v sústave v istom čase nachádzal vždy iba jeden elektrón. Po vyvolaní platne by sme sa presvedčili o tom, že každý elektrón skutočne vytvorí na platni jedinú škvrnu, ale videli by sme i to, že celkový interferenčný obraz vznikajúci dopadom mnohých elektrónov je rovnaký ako predtým. Výsledky by sa dali zhrnúť takto:
1. Zväzok elektrónov prechádzajúcich cez dvojštrbinu vyvolá presne taký interferenčný obraz, aký by sme očakávali od rovinnej vlny s vlnovou dĺžkou
= 2ħ/p
|