Ədədi sıralar, onların yığılması. Yığılan sıraların xassələri

Ədədi sıralar, onların yığılması. Yığılan sıraların xassələri.
Müsbət hədli sıralar və onların yığılma əlamətləri.
1. Əsas anlayışlar və ümumi teoremlər.
2. Sıranın yığılmasının zəruri əlaməti. Müsbət hədli sıraların müqayisəsi.
3. Sıranın yığılmasının əlamətləri: Dalamber əlaməti, Koşi
əlaməti, inteqral əlaməti.
1. Əsas anlayışlar və ümumi teoremlər.
Tutaq ki, sonsuz ədədlər ardıcıllığı verilmişdir. Bu ardıcıllığın elementlərindən düzəldilmiş
(1)
ifadəsi ədədi sıra adlanır. ədədlərinə sıranın hədləri deyilir. Sıranın sonlu sayda ilk n həddinin cəminə sıranın n-ci xüsusi cəmi deyilir və ilə işarə edilir:
Əgər limiti varsa və sonludursa, onda bu limit (1) sırasının cəmi adlanır və bu halda deyirlər ki, sıra yığılandır. limiti yoxdursa (məsələn, ) deyirlər ki, (1) sırası dağılandır və cəmi yoxdur.
sırasının hədləri hər hansı bir parçasında qiymətlər alan x dəyişənindən asılı funksiyalardırsa, bu sıraya funksional sıra deyilir:
(2)
x dəyişəninə müxtəlif qiymətlər verməklə müxtəlif ədədi sıralar almış olarıq. Bu ədədi sıralar yığılan və ya dağılan ola bilər.
(2) sırasının yığıldığı x ədədləri çoxluğuna funksional sıranın yığılma oblastı deyilir. Aydındır ki, sıranın cəmi x dəyişənindən asılı bir funksiyadır və bu funksiyanın təyin oblastı həmin yığılma oblastından ibarətdir. Buna görə də funksional sıranın cəmini ilə işarə edirlər. (2) sırasının ilk n həddinin cəmini ilə işarə edək. Əgər bu sıra yığılırsa və onun cəmi olarsa, onda
,
burada funksiyası .
Bu halda funksiyası (2) sırasının qalığı adlanır. Yığılma intervalından götürülmüş bütün x-lər üçün , buna görə də
,
yəni yığılan sıranın qalığı şərtində sıfra yaxınlaşır.
Ədədi sıraların aşağıdakı xassələrinə baxaq.
Teorem 1. Verilmiş (1) sırasının bir neçə həddini atdıqdan sonra alınan sıra yığılırsa, verilmiş sıranın özü də yığılır.
Əksinə, verilmiş sıra yığılırsa, bu sıranın bir neçə həddini atdıqdan sonra alınan sıra da yığılır. Başqa sözlə, sıranın sonlu sayda hədlərinin atılması onun yığılmasına təsir etmir.
Teorem 2. Əgər sırası yığılırsa və onun cəmi S ədədinə bərabərdirsə, onda
sırası da yığılır və onun cəmi cS ədədinə bərabərdir; burada c hər hansı qeyd edilmiş ədəddir.
Teorem 3. Əgər və sıraları yığılırsa və onların cəmləri uyğun olaraq S və ədədlərinə bərabərdirsə, onda
və
sıraları da yığılır və onların cəmi uyğun olaraq və ədədlərinə bərabərdir, yəni
2. Sıranın yığılmasının zəruri əlaməti. Müsbət hədli
sıraların müqayisəsi.
►Teorem 1. (sıraların yığılmasının zəruri əlaməti). Əgər sıra yığılırsa, onda n qeyri-məhdud artdıqda onun n-ci həddi sıfra yaxınlaşır.
İsbatı. Tutaq ki, sırası yığılır, yəni
(burada S – sıranın cəmidir), onda şərtində olduğundan
.
Birinci bərabərlikdən ikinci bərabərliyi tərəf-tərəfə çıxsaq
yaxud
alırıq. Digər tərəfdən olduğundan
olar. Teorem isbat edildi.
Nəticə. Sıranın n-ci həddi şərtində sıfra yaxınlaşmırsa, sıra dağılır.
Qeyd edək ki, baxılan əlamət yığılma üçün ancaq zəruridir, kafi deyil, yəni sıranın n-ci həddinin sıfra yaxınlışmasından onun yığılması alınmır, sıra dağıla da bilər.
Məsələn, harmonik sıra adlanan
sırası dağılır, lakin
.
►Müsbət hədli sıraların müqayisəsi. Tutaq ki, müsbət hədli iki sıra verilmişdir:
, (1)
(2)
Onlar üçün aşağıdakı təkliflər doğrudur.
►Teorem 2. Əgər (1) sırasının hədləri (2) sırasının uyğun hədlərindən böyük deyildirsə, yəni (n = 1, 2, …) və (2) sırası yığılırsa, onda (1) sırası da yığılır.
►Teorem 3. Əgər (1) sırasının hədləri (2) sırasının uyğun hədlərindən kiçik deyildirsə, yəni (n = 1, 2, …) və (2) sırası dağılırsa, onda (1) sırası da dağılır.
Qeyd. Bu əlamətlər (1-ci və 2-ci teorem) ancaq müsbət hədli sıralar üçün doğrudur. Bu sıraların bəzi hədləri sıfır olduqda da bu əlamətlər öz gücündə qalır, ancaq sıraların hədləri içərisində mənfi hədlər olarsa, onda bu əlamətlər doğru olmaya da bilər.
3. Sıranın yığılmasının əlamətləri: Dalamber əlaməti, Koşi
əlaməti, inteqral əlaməti.
►Teorem 1. (Dalamber əlaməti). Əgər müsbət hədli
(1)
sırasında (n+1)-ci həddin n-ci həddə nisbətinin şərtində sonlu l limiti varsa, yəni
,
onda:
1) l < 1 olduqda sıra yığılır,
2) l > 1 olduqda sıra dağılır,
3) l = 1 olduqda sıranın yığılan olub-olmaması sualına bu teorem cavab vermir.
►Teorem 2. (Koşi əlaməti). Əgər müsbət hədli (1) sırası üçün kəmiyyətinin şərtində sonlu l limiti varsa, yəni
,
onda: 1) l < 1 olduqda sıra yığılır,
2) l > 1 olduqda sıra dağılır.
Qeyd. Dalamber əlamətində olduğu kimi burada da
halı əlavə tədqiqat tələb edir. Bu şərti ödəyən sıralar içərisində istər yığılan və istərsə də dağılan sıralar vardır.
►Teorem 3. (inteqral əlaməti). Tutaq ki,
(1)
sırasının hədləri müsbət və artmayandır, yəni
və f (x) elə artmayan kəsilməz funksiyadır ki,
, , … ,
şərtlərini ödəyir. Bu halda aşağıdakı təkliflər doğrudur:
1) əgər qeyri-məxsusi inteqralı yığılırsa, (1) sırası da yığılır,
2) həmin inteqral dağılırsa, (1) sırası da dağılır.
Mövzü 34
|