Ekvivalent to’plamlar - Reja Kirish I bob. To’plamlar nazariyasi

|
Reja Kirish I bob. To’plamlar nazariyasi
|
bet | 5/7 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 253,23 Kb. | | #136510 |
Bog'liq AsilbekEkvivalent to’plamlar.
U yoki bu cheksiz to`plamlarni natural sonlar to`plami bilan taqqoslash natijasida sanoqli to`plam tushunchasiga keldik. To`plamlarni nafaqat natural sonlar to`plami bilan taqqoslash mumkin, balki ixtiyoriy ikki to`plamni ular o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslik (biyeksiya) o`rnatish bilan taqqoslash mumkin.
3.2-ta'rif. Sanoqli bo`lmagan cheksiz to`plam sanoqsiz to`plam deyiladi.
3.3-ta'rif. Agar A va B to`plamlar o`rtasida biyektiv moslik o`rnatish mumkin bo`lsa, u holda ular ekvivalent to`plamlar deyiladi va A ∼ B shaklida belgilanadi. To`plamlarning ekvivalentligi tushunchasini ham chekli to`plamlar, ham cheksiz to`plamlar uchun qo`llash mumkin. Ikkita chekli to`plam ekvivalent bo`lishi uchun ularning elementlari soni teng bo`lishi zarur va yetarlidir. Endi sanoqli to`plam tushunchasini boshqacha ta'riflash mumkin: agarto`plam natural sonlar to`plamiga ekvivalent bo`lsa, u sanoqli to`plam deyiladi. Ishonch hosil qilish qiyin emaski, agar ikkita to`plam uchunchi to`plamga ekvivalent bo`lsa, ularning o`zlari ham ekvivalentdir, xususan, ixtiyoriy ikkita sanoqli to`plamlar ekvivalentdir.
Ixtiyoriy ikkita [a, b] va [c, d] kesmalardagi nuqtalar to`plamlari ekvivalentligini isbotlang. Bu yerda a < b, c < d deb faraz qilinadi.
Isbot. [a, b] va [c, d] kesmalar o`rtasidagi biyektiv moslik 3.1-hizmadan ham ko`rinib turibdi. Bu to`plamlar o`rtasida biyektiv moslikni
→ −
ϕ : [a, b] [c, d], ϕ(x) = d − c(x a) + c
b − a
orqali o`rnatish mumkin. ϕ ning biyektiv moslik ekanligi 2.9, 2.10-misollardan kelib chiqadi.
II BOB. O’lchovli to’plamlar
Bu bob uch paragrafdan iborat. Dastlabki 6-paragrafda tekislikdagi to`plamning Lebeg o`lchovi tushunchasi kiritilgan. O`lchov tushunchasi bu − kesmaning uzunligi, tekislikdagi shaklning yuzasi, fazodagi jismning hajmi kabi tushunchalarning umumlashmasi natijasida paydo bo`lgan. Bu paragrafda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin Jordan ma'nosida o`lchovli to`plamlar sinfidan kengroq ekanligi ta'kidlangan va Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, am- mo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltirilgan. Lebeg o`lchovining yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos- salari (6.6, 6.8-6.9 teoremalar) isbotlangan. Birlik kvadratdagi o`lchovli to`p- lamlar sistemasi σ − algebra tashkil qilishi ko`rsatilgan. Bu paragrafning ay- rim to`ldirishlar bandida tekislikda berilgan A to`plamning Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lishligi ta'ri angan. Umumlashtirishlar bandida esa Lebeg-Stiltes o`lchovlari berilgan. Paragrafning oxirgi bandida sonlar o`qida Lebeg ma'nosida o`lchovsiz to`plamga misol keltirilgan. Absolyut uzluksiz, singulyar uzluksiz va diskret o`lchovlarga ta'rif berilgan hamda ularga misollar keltirilgan.
paragrafda o`lchovning umumiy ta'ri keltirilgan. Yarim halqada berilgan o`lchovni yarim halqadan hosil bo`lgan minimal halqaga davom ettirish va davomning yagonaligi (7.1-teorema) isbotlangan. Additiv va σ − additiv o`lchovlarning umumiy xossalari keltirilgan. Additiv, ammo σ − additiv bo`lmagan o`lchovga misol keltirilgan.
Bobning oxirgi, 8-paragra da yarim halqada berilgan o`lchovni Lebeg bo`yicha davom ettirish masalasi qaralgan. Bu yerda ham 6-paragrafdagiga o`xshash o`lchovning yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos- salari isbotlangan. Birlik elementli Sm yarim halqada σ − additiv m o`lchov berilgan bo`lsa, bu o`lchovning Lebeg bo`yicha davomi −µ ham σ − additiv o`lchov bo`lishi isbotlangan.
|
| |