Sonli usullar Xaydaraliyev Nurulllo kurs ishi sonli usullar

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
NAMANGAN DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIKA FAKULTETI
AMALIY MATEMATIKA YO’NALISHI 4– KURS ATI-BU-20 GURUH TALABASI
XAYDARALIYEV NURULLONING
“SONLI USULLAR” FANIDAN TAYYORLAGAN
KURS ISHI
MAVZU: ZAMONAVIY KOMPYUTERLARDAGI HISOBLASH XATOLIKLARI VA ULARNING TURLARI
Talaba: Xaydaraliyev Nurullo
Rahbar: __________________
Namangan - 2023-yil
REJA:
KIRISH ..................................................……………………………………….
ASOSIY QISM
Sonli usullarga qo‘yiladigan talablar.
Aniq va taqribiy sonlar haqida tushuncha.
Xatoliklar nazariyasining asosiy masalasi
Absolyut va nisbiy xatolar. Ularning taqribiy yechimlari……………
Xatoliklar va ularning turlariga doir masalalarning dasturiy natijalari.
XULOSA VA TAKLIFLAR....................................................
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ........................................…………….
Ilova………………………………………….
KIRISH
Hozirgi davrda jadal sur’atlar bilan rivojlanib borayotgan jamiyat uchun ta’lim – eng muhim jarayonlardan biri hisoblanadi. Xalqning farovon turmush tarzi ta’limning nechog’li sifatli va samaradorligiga bog’liq. Prezidentimiz Sh.M. Mirziyoyev ta’kidlaganidek “Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma’naviy salohiyatga ega bo’lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo’sh kelmaydigan insonlar bo’lib kamol topishi, baxtli bo’lishi uchun davlatimiz jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz”1.
Kompyuter va axborot texnologiyalaridan foydalanib, ta’lim sohasida, o’quv faoliyatida va o’quvchilar ijodiy tafakkurini rivojlantirishda yangi imkoniyatlar yaratiladi.
Kompyuterning qo‘llanilish sohalaridan biri mexanik jarayonlarni va ob’yektlarning matematik modellarini hisoblash usullari va kompyuterlarning dasturiy vositalari yordamida tadqiq etish bo’lib qolmoqda. Hisoblash usullari va kompyuterlarning zamonaviy imkoniyatlari birgalikda mexanik jarayonlar va ob’yektlarning shu paytgacha noma’lum xususiyatlarini ochishga va shu asnoda, texnologik jarayonlarni takomillashtirishga xizmat qilmoqda.
Haqiqatda mavjud obyektlarning asosiy xossalarini ularning matematik modellari yordamida o‘rganishning klassik vositasi bu analitik usullar bo‘lib, ular aniq yechimni matematik formulalarda ifodalash imkonini beradi. Bu usullar hozirgi kunda ham masalani yechish haqida yetarlicha aniqlikdagi to‘la axborotni bermoqda va ular o‘z amaliy ahamiyatini yo‘qotgani yo‘q. Ammo, afsuski, ularning qo‘llanilish sohasi juda cheklangan. Shuning uchun, odatda, sonli usullarga yoki hisoblash usullariga murojaat qilinadi.
Mavzuning dolzarbligi. Matematikada tipik matematik masalalarining yechimlarni yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishga va shu maqsadda hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga bag‘ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi. Funksional
fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlarni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llanadigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejashlar algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iborat.
Mavzuning maqsadi. Talabalarni taqribiy sonlar bilan ishlashga o’rgatish, taqribiy sonning absolyut va nisbiy xatosini baholash, shuningdek, argumentlar xatoligi keltirib chiqaradigan differensiallanuvchi funksiya, klavishli hisoblash mashinalari ishlatilishini o’rgatish.
Mavzuning vazifalari. Hisoblash matematikasi fanining rivojlanishi ta’rixini o’rganish, taqribiy sonlarni kelib chiqishini, xatolar nazariyasi ularning kelib chiqishi manbalari va nihoyat dastlabki yaqinlashishni aniqlash usullarini o’rganish va undan keyin sonli usullarni o’rganib borilgan masalalarni yetarli aniqlik bilan yechishdan iborat. Sonli usullarni mustahkam egallashni va ulardan amaliy masalalarni yechishda foydalanishni hamda yechilayotgan masalani dasturini yaratib, zarur sonli yechimni olishga erisha olishlari talab etiladi.
SONLI USULLARGA QO‘YILADIGAN TALABLAR.
Matеmatik modеldagi tеnglamalarni har xil sonli usullar bilan yechish mumkin. Lеkin, hamma usullar ham kеrakli aniqlikdagi yechimni bеravеrmaydi. Ayniqsa, masala hozirgi zamon EHMlarida yechilganda hisoblash algoritmi turli, o‘ziga xos shartlarni bajarishi kеrak. Sonli usullarga qo‘yiladigan talablar ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruhga sonli usullar qo‘llanishi natijasida xosil qilingan diskrеt(uzuq-uzuq) masalaning matеmatik modеldagi dastlabki masalaga mos kеlish shartlari kiradi. Sonli usullarning yaqinlashishi, diskrеt masalalarda saqlanish qonunlarining bajarilishi, turg’unlik, korrеktlik kabi talablar birinchi guruhga kiradi. Shulardan ayrimlarini qarab o‘tamiz. Matеmatik modеldagi paramеtrlarning dastlabki qiymatlaridagi xatolikni bartaraf etish mumkin bo‘lmagan xatolik ekanligini yuqorida ko‘rsatgan edik. Bu xatolikni masala yechimiga ko‘rsatadigan ta`sir darajasini bilish katta ahamiyatga ega. Sonli usullarning bunday sеzuvchanligini (ta`sirchanligini) turg’unlik dеgan tushuncha yordamida tеkshirish mumkin. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, masala korrеkt qo‘yilgan dеyiladi: 1)yechim mavjud; 2)yagona; 3)turg’un. Ko‘rsatilgan shartlardan birortasi bajarilmasa, masala korrеkt qo‘yilmagan dеyiladi. Bunday masalalarga sonli usullarni qo‘llash foydasizdir, chunki bunda yetarli darajadagi shartlarni qanoatlantiruvchi sifatli yechimni olish imkoniyati yo‘qdir. Shuni ham aytish kеrakki, ayrim korrеkt qo‘yilmagan masalalarni yechish usullari ham yaratilgan. Bu usullar dastlabki qo‘yilgan masalani emas, unga korrеkt qilib qo‘yilgan yordamchi masalani yechishga asoslangandir. Yordamchi masalada qo‘shimcha a paramеtr qatnashadi. Shunday yo‘l bilan dastlabki masala rеgulyarlashtiriladi. Agar a-0 bo‘lsa, yordamchi masalaning yechimi dastlabki masalaning yechimiga intilishi kеrak. Yuqoridagiga o‘xshash sonli usullarning korrеktlik tushunchasi kiritilgan. Agar masaladagi paramеtrlarning barcha qiymatlarida sonli yechim mavjud, yagona va turg’un bo‘lsa, u korrеkt dеyiladi. Sonli usullar bilan topilgan yechim masalaning haqiqiy yechimiga yaqin bo‘lishi kеrak. Buni sonli usullarning yaqinlashishi tushunchasi yordamida tahlil qilishimiz mumkin. Diskrеtlashgan masalalar misolida yaqinlashish tushunchasini quyidagicha bеrishimiz mumkin. Agar diskrеtlashtirilgan masalaning yechimi diskrеtlashtirish paramеtri nolga intilganda dastlabki uzluksiz masalaning yechimiga intilsa, sonli usul yaqinlashadi dеyiladi. Sonli usullar ichida eng ko‘p ishlatiladiganlari ayirmali usullardir. Bu usullar yordamida uzluksiz matеmatik modеllardan diskrеt modеllar xosil qilinadi. Buning uchun, masala qaralayotgan soha diskrеt nuqtalar majmuasi to‘r bilan almashtiriladi, tеnglamadagi, chеgaraviy va boshlang’ich shartlardagi xossalardan chеkli ayirmalarga o‘tiladi. Natijada, to‘rning tugun nuqtalarida aniqlangan funksiyalarga nisbatan algеbraik tеnglamalar sistеmasi hosil qilinadi. Ma`lumki, matеmatik modеllar asosida yotuvchi tеnglamalar aksariyat hollarda fizika, mеxanikadagi saqlanish qonunlari asosida tuziladi. Bu qonunlar matеmatik modеldagi tеnglamalar diskrеt tеnglamalar-chеkli ayirmali sxеmalar bilan almashtirilganda ham bajarilishi kеrak. Bunday chеkli ayirmali sxеmalarga konsеrvativ sxеmalar dеyiladi. Konsеrvativ sxеmalar tеnglamalar yechimini fizik nuqtai-nazardan to‘g’ri olish imkoniyatini bеradi. Shuning uchun, chеkli ayirmali sxеmalarning konsеrvativlik sharti masalalar yechishda boshqa shartlar qatori tеkshirilishi kеrak.
Sonli usullarga qo‘yiladigan talablarning ikkinchi guruhini diskrеt modеlni kompyu terda o‘tkazish imkoniyatlari tashkil qiladi. Sonli usullar shunday algoritmlarga olib kеlishi kеrakki, kompyuterning xotira qurilmasi ular uchun yetarli bo‘lishi va hisob-kitob vaqti iloji boricha kam bo‘lishi lozim. Hisoblash algoritmlari yetarli samaradorlikka ega bo‘lishi uchun algoritmdagi arifmеtik va mantiqiy amallar soni iloji boricha kam bo‘lib, xotira qurilmasida kam hajmni
egallashi kеrak.
2.ANIQ VA TAQRIBIY SONLAR HAQIDA TUSHUNCHA.
Kundalik hayotimizda va texnikada uchraydigan ko`plab masalalarni echishda turli sonlar bilan ish kurishga to`g’ri keladi. Bular aniq yoki taqribiy sonlar bo`lishi mumkin. Aniq sonlar biror kattalikning aniq, qiymatini ifodalaydi. Taqribiy sonlar esa biror kattalikning aniq qiymatiga juda yaqin bo`lgan sonni ifodalaydi. Taqribiy sonning aniq songa yaqinlik darajasi hisoblash yoki o`lchash jarayonida yo`l qo`yilgan xatolik bilan ifodalanadi. Masalan, ushbularda: «kitobda 738 ta varak», «auditoriyada 30 ta talaba», «uchburchakda 3 ta kirra», «telefon apparatida 10 ta raqam», 738, 30, 3, 10 aniq sonlar. Ushbularda esa: «yer bo`lagining perimetri 210 m», «yerrning radiusi 6000 km», «Qalamning og’irligi 8 g», 210, 6000, 8 taqribiy sonlar. Bu kattaliklarning taqribiy bo’lishlariga sabab, o’lchov asboblarining takomillashmaganligidir. Mutlaq aniq o’lchaydigan o’lchov asboblari yo’q bo’lib, ulardan foydalanganda ma’lum xatoliklarga yo’l qo’yiladi.
Bundan tashqari, yerr aniq shar shaklida bulmaganligi tufayli, uning radiusi taqribiy olingan. Uchinchi misolda esa qalamlar har xil bo’lganligi uchun ularning og’irligi turlicha. 8g deb o’rtacha kalamning og’irligi olingan.
Amaliyotda taqribiy son a deb, aniq qiymatli son A dan biroz farq kiladigan va hisoblash jarayonida uning urnida ishlatiladigan songa aytiladi. Qisqalik uchun bundan keyin aniq qiymatli son o`rniga aniq son, kattalikning taqribiy qiymati o`rniga taqribiy son deb yozamiz.
Amaliy masalalarni echish asosan quyidagi ketma-ket qadamlardan iborat:
1) echilayotgan masalani matematik ifodalar orqali yozish;
2) qo`yilgan matematik masalani echish.
Tabiatda uchraydigan masalalarni doim ham aniq matematik tilda ifodalash mumkin bulmaganligi tufayli masala ma`lum darajada ideallashgan model’ vositasida yoziladi, ya`ni xatolikka yo`l qo`yiladi (birinchi qadamda).
Masalaning tarkibiga kirgan ba`zi parametrlar tajribadan olinganligi tufayli, bunda ham xatolikka yo`l qo`yiladi. Bularning yig’indisi esa boshlang’ich informatsiya xatoligini keltirib chiqaradi.
Juda ko’p hollarda matematik masalaning (ikkinchi qadam) aniq yechimini (analitik) topishning iloji bo`lmaydi. Shuning uchun amaliyotda taqribiy matematik usullar qo`llaniladi. Aniq yechimning o`rniga taqribiy echimni qabul qilish (majburiy ravishda) yana xatolikni keltirib chikaradi. Masalani echish jarayonida boshlang’ich shartlarni va hisoblash natijalarini yaxlitlashda ham xatolikka yo`l qo`yiladi, bunga hisoblash xatoliklari deyiladi.
Taqribiy sonlar bilan ish kurilayotganda quyidagilarga amal qilish lozim:
taqribiy sonlarning aniqligi xaqida ma`lumotga ega bo`lish;
boshlang’ich qiymatlarning aniqlik darajasini bilgan xolda natijaning aniqligini baxolash;
boshlangich qiymatlarning aniqlik darajasini shunday tanlash kerakki, natija belgilangan aniqlikda bo`lsin.
3.XATOLIKLAR NAZARIYASINING ASOSIY MASALASI
Ko`pincha matematik masalalarni sonli yechishda biz doimo aniq yechimga ega bo’la olmasdan, balki yechimni u yoki bu darajadagi aniqlikda topamiz. Demak, aniq echim bilan taqribiy echim orasidagi xatolik qanday kilib kelib koladi degan savol tugilishi tabiiydir. Bu savolga javob berish uchun xatoliklarning hosil bo`lish sabablarini o`rganish lozim.
Matematikada tabiat xodisalarining miqdoriy nisbati u yoki bu funktsiyalarni bir-birlari bilan boglaydigan tenglamalar yordamida tasvirlanadi va bu funktsiyalarning bir qismi ma`lum bo`lib (dastlabki ma`lumotlar), boshqalarni topishga to`g’ri keladi. Tabiiyki, topilishi kerak bo`lgan miqdorlar (masalaning echimi) dastlabki ma`lumotlarning funktsiyasi bo`ladi. Kerakli echimni ajratib olish uchun dastlabki ma`lumotlarga konkret qiymatlar berish kerak. Bu dastlabki ma`lumotlar, odatda, tajribadan olinadi (masalan, yorug’lik tezligi, Plank doimiysi, Avogadro soni va h.k.) yoki boshqa biror masalani echishdan hosil bo`ladi. Har ikkala xolda ham biz dastlabki ma`lumotlarning aniq qiymatiga emas, balki uning taqribiy qiymatiga ega bo`lamiz. Shuning uchun agar dastlabki ma`lumotlarning har bir qiymati uchun tenglamani aniq yechganimizda ham baribir (dastlabki ma`lumotlardagi qiymatlar taqribiy bo`lganligi uchun) taqribiy natijaga ega bo`lamiz va natijaning aniqligi dastlabki ma`lumotlarning aniqligiga bog’liq bo`ladi.
Aniq yechim bilan taqribiy yechim orasidagi farq xato deyiladi. Dastlabki ma`lumotlarning noaniqligi natijasida hosil bo`lgan xato yo`qotilmas xato deyiladi. Bu xato masalani echayotgan matematikga bog’liq. bo`lmasdan, unga berilgan ma`lumotlarning aniqligiga bog’liqdir. Lekin matematik dastlabki ma`lumotlar xatosining kattaligini bilishi va shunga qarab natijaning yo`qotilmas xatosini baxolashi kerak. Agar dastlabki ma`lumotlarning aniqligi katta bo`lmasa, aniqligi juda katta bo`lgan metodni qo`llash o’rinsizdir. CHunki aniqligi katta bo`lgan metod ko`p mehnatni (hisoblashni) talab kiladi, lekin natijaning xatosi bari bir yo’qotilmas xatodan kam bo’lmaydi.
Ba’zi matematik ifodalar tabiat xodisasining ideallashtirilgan modelini tasvirlaydi. Shuning uchun tabiat xodisalarining aniq matematik ifodasini (formulasini, tenglamasini) berib bo`lmaydi, buning natijasida xato kelib chikadi. Yoki biror masala aniq matematik formada yozilgan bo`lsa va uni shu ko`rinishda echish mumkin bo`lmasa, bunday xolda bu masala unga yaqinrok va echish mumkin bo`lgan masalaga almashtirilishi kerak. Buning natijasida kelib chiqadigan xato metod xatosi deyiladi.
Biz doimo shunga o`xshash irratsional sonlarning taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida oraliq natijalarda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi, bularni yaxlitlab olishga to`g’ri keladi. Ya`ni masalalarni echishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yo`l qo’yamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.
Shunday qilib, to’liq xato yuqorida aytilgan yo`qotilmas xato, metod xatosi va hisoblash xatolarining yig’indisidan iboratdir. Ravshanki, biror konkret masalani yechayotganda yuqorida aytilgan xatolarning ayrimlari qatnashmasligi yoki uning ta’siri deyarli bo’lmasligi mumkin. Lekin, umuman olganda, xato to’lik analiz qilinishi uchun bu xatolarning xammasi hisobga olinishi kerak.
HISOBLASH XATOSI.
Masalani EHMda yechish jarayonida muayyan xatoliklarga yo‘l qo‘yish mumkin. Quyida ulardan ayrimlarini kеltirib o‘tamiz.
Bartaraf qilish mumkin bo‘lmagan xatoliklar. Bu xildagi xatoliklar masalani yechishda tuzilgan matеmatik modеlda yo‘l qo‘yilgan taxminlar, farazlar va shuning oqibatida modеlda paydo bo‘lgan ayrim kamchiliklar va qusurlar bilan aniqlanadi. Masalan, matеmatik modеl unga kiruvchi o‘zgaruvchilar va paramеtrlarning o‘zgarish sohasining ma`lum bir qismida yaxshi natijalar bеrib, boshqa bir qismida esa yaroqsiz yechim bеrishi mumkin. Shuning uchun, matеmatik modеlning "ishlash" sohasini topish masalani yechish bosqichlaridagi hal qilinishi lozim bo‘lgan asosiy vazifalardan biridir. Bartaraf qilish mumkin bo‘lmagan xatoliklarga matеmatik modеllarda ishlatiluvchi paramеtrlarning dastlabki bеrilgan qiymatlarining xatoliklari ham kiradi. Paramеtrlarning bu qiymatlarini har xil fizik, tеxnik, kimyoviy tajribalar, muhandislik izlanishlari asosida topiladi. Ayrim paramеtrlar esa dastlabki hisob-kitoblar orqali asoslanadiki, shu bosqichning o‘zidayoq ularga hisoblash xatoliklari qo‘shiladi. Tajribalar aniqligini oshirib bu xatoliklarni kamaytirish mumkin, lеkin ularni batamom bartaraf etib bo‘lmaydi. Hisoblashlarda matеmatik modеlda qatnashuvchi paramеtrlarning dastlabki qiymatlari bir-biriga yaqin tartibdagi xatoliklarga ega bo‘lishiga erishish zarur. Chunki ma`lum paramеtrlarning juda yuqori tartibdagi aniqlik bilan olinishi yakuniy natijalarni ham shunday aniqlikda olishga hamma vaqt imkoniyat yaratmaydi.
2. Matеmatik usullarning xatoliklari. Matеmatik modеldagi tеnglamalarni hamma vaqt ham aniq usullar bilan yechib bo‘lmaydi. Faqat, ayrim hususiy hollardagina buning imkoniyati mavjud. Lеkin, olingan yechim ko‘pincha juda murakkab ko‘rinishda bo‘ladi, ular asosida topilgan ko‘rsatkichlarning son qiymatlarini EHMda hisoblash o‘z navbatida oson masala emas. Bunday hollarda masala taqribiy usullar yordamida yechiladi. Tabiiyki, bunda aniq yechim emas, balki taqribiy yechim hosil qilinadi. Taqribiy usullarning asosini sonli usullar tashkil qiladi. Sonli usullarning aniqligini ma`lum darajada oshirish mumkin, lеkin, bu usulning EHMda ishlashiga kеtadigan vaqt miqdorini kеskin ko‘paytirib yuboradi. Sonli usul aniqligini o‘ta oshirish hamma vaqt ham natijalarning aniqligini oshiravеrmaydi. Shuning uchun, sonli usullarning aniqligini matеmatik modеlga kiruvchi paramеtrlar aniqligidan bir-ikki tartib yuqoriroq olish bilan chеklanish mumkin.
Masalani qo’lda yoki hisoblash mashinasida yechayotganda biz barcha haqiqiy sonlar bilan ish ko’rmasdan, sonlarning ma`lum diskret to`plami bilan ish ko`ramizki, u yoki bu sanok sistemasida ma`lum miqdordagi xonalar bilan olingan sonlar shu to`plamda yotadi. Bu to`plam
ko`rinishdagi sonlardan iborat bo`lib, bu yerda natural son q - sanoq sistemasining asosidir; - butun sonlar bo`lib, 0 ≤ ≤q -1 shartni kanoatlantiradi; t bu to`plamdagi sonlar xonasining miqdori, butun p son esa | n |≤ n0 shartni kanoatlantiradi. Qo’lda hisoblayotganda, asosan, o’nlik sanok sistemasi (q = 10) bilan ish ko’riladi. Ko’p EHM larda esa ikkilik sanok sistemasi (q = 2) va ayrimlari uchun uchlik sanok, sistemasi (q = 3) ishlatiladi.
EHM larning ko`pchiligi shunday tuzilganki, ularda q = 2, m =35, n0 =63 bo`ladi.
Odatda, arifmetik amallarni bajarayotganda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi (masalan, ko`paytirishda xonalarning soni ikkilanadi, bo`lishda esa xonalarning soni nixoyatda kattalashib ketishi ham mumkin). Natijada hosil bo`lgan son karalayotgan to`plamdan chikib ketmasligi uchun t - xonasigacha yaxlitlanadi, ya`ni shu to`plamdagi boshqa son bilan almashtiriladi, tabiiyki yaxlitlanadigan son unga eng yaqin son bilan almashtirilishi, ya`ni yaxlitlash xatosi eng kichik bo`lishi kerak.
Agar biz juft raqam qoidasini qo`llab 5,780475 sonini ketma-ket yaxlitlasak, quyidagi 5,78048; 5,7805; 5,780; 5,78; 5,8; 6 sonlar kelib chikadi. Ko`pincha biror natijani olish uchun berilgan metodda ko`rsatilgan bir kator amallarni bajarishga to`g’ri keladi. Agar natijani katta aniqlik bilan topish talab kilinsa, bu qator yanada ozayib ketadi.
Mashina hisobi xatoligi. Masalani ShEHM da yechishning xatoliklari uch turga bo‘linadi:
kesish xatoligi;
tarqatish xatoligi;
yaxlitlash xatoligi.
Kesish xatoligi boshlang‘ich ma’lumotlarni aniqlash sababida yuzaga keladi. Masalan, masalaning shartida qaysidir parametrlar berilgan bo‘lsa, amaliyotda haqiqiy obyekt uchun bu parametrlar biror aniqlik bilan aniqlangan bo‘lishi mumkin. Xuddi shunday, ixtiyoriy fizik parametrlar, hisob formulasi va ularga kiruvchi sonli koeffisiyentlarning noaniqligi ham. Tarqatish xatoligi masalani yechish uslubini qo‘llashdagi hisoblashlar natijasida (arifmetik amallarning xarakteri va sonidan bog‘liq yig‘ilgan xatoliklar) yuzaga keladi. Masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss yoki Kramer usuli bilan yechsak, nazariy jihatdan har ikkala usul ham aniq javobni beradi, ammo tenglamalar sistemasi kattalashganda Gauss usuli Kramer usuliga qaraganda kamroq xatolik beradi (hisoblashlar hajmi kamroq bo‘lganligi sababli). Yaxlitlash xatoligi sonning haqiqiy qiynatini kompyuter xotirasida aniq saqlab qolishning imkoniyati yo‘qligidan yuzaga keladi. Butun sonning mashina xotirasida saqlanishini quyidagicha izohlaylik: masalan, 5 + 7 = 12; 8 – 27 = - 19; 27 3 = 81; 1 / 3 = 0; 4 / 2 = 2; 7 / (-3) = -2 (butun sonlarni bo‘lishda natijaning butun qismi olinadi, qoldiq tashlab yuboriladi) va hokazo. Agar butun sonlar ustida bajarilgan amallarning natijasi juda ham katta yoki juda ham kichik bo‘lsa, u holda kompyuter xotirasidagi natijaning oqibatini oldindan aytib bo‘lmaydi. Bunday holda kompyuter ba’zan xato haqida ma’lumot beradi va hisoblashni to‘xtatadi, ba’zan esa siklik qoidaga ko‘ra natija biror songa almashtirib ketiladi va xatoni ko‘rsatmasdan hisoblashlar davom etaveradi. Agar hisoblash natijasi kompyuter xoturasining sonli chegarasidan chiqib ketsa, u holda bunday natijaga ishonib bo‘lmaydi. Bu qoidalar ikkilik arifmetikada ham o‘rinli. Butun son modulining 32 razryadli (ulardan bittasi ishoraga ajratiladi) kompyuterdagi standart formatda yozilishining eng yuqori chegarasi 231 – 1 2109 2147483647 va eng quyi chegarasi –2 31. Demak, hisoblashlar natijasi ana shu chegaradan oshmasa uni aniq deb hisoblash mumkin. Agar hisob natijasi moduli shu chegaradan oshsa, u holda mashina moduli shu chegaradan kichik biror sonni olib, keyingi hisoblashlarni davom ettiradi. Haqiqiy sonning mashina xotirasida saqlanishini quyidagicha izohlaylik: masalan, π = 3,14159... va e = 2,71828... irratsional sonlarning ma’noli raqamlari soni mantissaga ajratilgan razryadlar sonidan oshib ketadi, bu kompyuter xotirasida berilgan sonlar ma’lum ma’noda aniq ifodalanmaydi, ya’ni oxirgi ma’noli raqam yaxlitlanib yoziladi yoki son cheksiz emas, balki chekli ratsional shaklga keltiriladi, degani. Shuning uchun ShEHMda yechilayotgan har qanday masalaning kiruvchi 23 parametrlari, oraliq natijalari va oxirgi javobi har doim kompyuterning xotirasi doirasida yaxlitlanadi. Ana shu hol sonning ShEHMda ifodalanish diapazoni tushunchasi bilan bog‘liq.
ABSOLYUT VA NISBIY XATOLAR. ULARNING TAQRIBIY YECHIMLARI
Kompyuterda sonlar qo‘zg’almas va suzuvchi vеrgul shaklida tasvirlanadi. Haqiqiy sonlar chеksiz o‘nli kasrlardan iborat, lеkin kompyuterning xotirasida chеkli xonalarga ega bo‘lgan sonlargina yozilishi mumkin. Shuning uchun, haqiqiy sonlar monitorda taqribiy tarzda tasvirlanadi. Taqribiy sonlar ustida amallar bajarilganda xatolikni baholash katta ahamiyatga ega. Xatolik ikki xil bo‘ladi:
absolyut
nisbiy xato.
Absolyut xato - sonning aniq va taqribiy qiymatlari orasidagi farqdan iboratdir, ya`ni agar A-biror sonning aniq, a esa uning taqribiy qiymati bo’lsin.Taqribiy sonning xatoligi uning aniq va taqribiy qiymatlari orasidagi ayirmaga teng:
Taqribiy soning absolyut xatolikning aniq va taqribiy qiymatlari orasidagi ayirmaning moduliga teng:
|
Biz o’lchashni oddiy chizg’ich bilan bajarsak, absolyut xatolik, odatda 0,5 mm dan oshmaydi, agarda shu ishni shtangensirkulda bajarsak, absolut xatolik 0,1 mm dan oshmaydi.
Absolyut xatodan kichik bo’lmagan har qanday songa taqribiy a sonning absolut limit deb aytiladi. Bu ta'rifdan < , bundan esa
a+
bundan kelib chiqadi.
Absolut xato va limit absolut xato hisoblash xatoligini baholash uchun yetarli emas. Misol uchun, ikkita og'irlik o’lchanganda m=501,3±0,3 g va n=90,4±0,4g natijalar hosil bo’lsin, bu yerda har ikkalasida limit absolut xatolik bir xil bo’lishidan qati nazar birinchi o’lchash ikkinchi o’lchashdan ancha aniqdir.
A– aniq qiymat hamma vaqt ham ma‘lum bo’lmaydi, shuning uchun absolyut xatolik o’rniga absolyut xatolik chegarasi tushunchasi ishlatiladi:
Ko’rinib turibdiki, soni absolyut xatolikka teng yoki uning qiymatidan oshadi va bu son chegaraviy absolyut xatolik deb ataladi. Shunga ko’ra ko’pincha ushbu A= a+ yoki A= a ( ) yozuvdan foydalaniladi, boshqacha aytganda – aniq qiymat ushbu a- < A < a+ intervalda yotadi. Masalan, A= 3,921 0,001) yoki A= 3,921( ) yoki yozuvni 3,921-0,001 < A < 3,921+0,001 yoki
3,920 < A < 3,922 deb tushunish kerak.
Nisbiy xatolik –bu sonning absolyut xatoligiga aniq qiymatining nisbati:
.
Ma‘lumki, A– aniq qiymat ko’p hollarda noma’lum bo’ladi. Shuning uchun hisoblashlarda bu formula ushbu tenglik bilan almashtiriladi. Limit nisbiy xatolik yordamida A son quyidagicha yoziladi: A=a ( ). Bundan keyin biz limit absolut xato va limit nisbiy xatoni qisqacha absolut va nisbiy xato deymiz. Absolut xato ismli, nisbiy xatoismsiz miqdordir Nisbiy xatolik ba’zida foizlarda o’lchanadi, ya‘ni . Nisbiy xatolik uchun ham – chegaraviy nisbiy xatolik tushunchasi
yoki
kabi mavjud, chunki = . Natijaning aniqligini uning nisbiy xatoligiga
nisbatan xarakterlash ma’qul. Masalan, 1) = 2,72 ( ...) uchun yoki 0,06%. Shuning uchun tadqiqotchilar hisoblashlarda verguldan keyingi ikkita ma’noli raqam bilan cheklanishadi
Sonning ifodasidagi (yozilishidagi) chap tomondan birinchi noldan farqli raqamidan boshlab barcha raqamlar va saqlanilgan razryadlami bildiruvchi oxirgi nollar taqribiy sonning ma'noli raqamlari deyiladi. Odatda sonning, masalan, 451,13(yoki 451.13) shaklda yozilishi uning fiksirlangan vergulli (nuqtali)shakli deb ataladi.
Agar sonning absolyut xatoligi shu raqamga mos keluvchi birlik razryadidan oshmasa, u holda bu ma’noli raqam keng ma’nodagi ishonchli raqam va agar bu xatolik birlik razryadining ½ qismidan oshmasa, bu ma’noli raqam tor (qat’iy) ma’nodagi ishonchli raqam deyiladi. Agar sonning absolyut xatoligi shu sonning chegaraviy absolyut xatoligidan oshmasa, u holda bu ma’noli raqam ishonchli raqam deyiladi. Boshqacha aytganda, agar sonning yozilish tartibi ushbu
Ko’rinishda bo’lsa, uning absolyut xatoligi
kabi bo’lib, bu sonning n ta , raqamlari ishonchli, bu yerda r– sanoq sis- temasining asosi. Ba’zan verguldan keyingi ishonchli raqamlar (verguldan keyingi birinchisidan boshlab oxirgisigacha ishonchli raqamlar sanaladi) atamasi ham ishlatiladi. Agar sonning nisbiy xatoligi berilgan bo’lsa, ≤ 10 tengsizlikni qa- noatlantiruvchi n topiladi va bu sonning verguldan keying n-1 ta raqami qat‘iy ma’noda ishonchli deb aytiladi (bu raqamlarning barchasi ma’noli bo’lishi lozim) .
Taqribiy son a ning ishonchli raqamlari soni bilan uning nisbiy xatoligi orasida
bog‘lanish mavjud.
Arifmеtik amallar bajarishda absolyut va nisbiy xatolarning o’zgarishini ko’rib chiqaylik.
Sonlarni qo’shish va ayirishda ularning absolyut xatoliklari qo’ shiladi:
Umumiy holda, y= bo’lsa, u holda
Xususan hol uchun .
Agar n>10 bo’lsa, ushbu Chebotaryev formulasidan foydalaniladi.
Taqribiy sonlar ustida amallar. Arifmеtik amallarning nisbiy xatolari ( ) quyidagicha topiladi:
;
;
formulalar bo’yicha hisoblanadi.
Ikki son bir-biriga ko’paytirilganda yoki bo’linganda ularning absolyut va nisbiy xatoliklari qo’shiladi:
;
;
3)Taqribiy son darajaga oshirilganda, uning nisbiy xatoligi shu daraja
ko`rsatkichiga ko`paytiriladi:
(a n ) n (a)
Umuman olganda, sonlar ustida amallar bajarishda quyidagi qoidalarga amal qilgan ma‘qul:
1) sonlar ketma-ketligini qo’shishda va ayirishda ularni modulining oshib borishiga qarab, ularni qo’shib yoki ayirib borish kerak;
2) qiymati bir biriga juda yaqin bo’lgan sonlarni ayirishdan imkoniyati boricha qo’shish kerak;
3) ushbu a(b-c) ifodani ab–ac kabi, (b-c)/a– ifodani esa b/a– c/a kabi yozish mumkin. Agar b va c sonlar bir biriga juda yaqin bo’lsa, u holda ayirmani ko’paytma va bo’linmadan oldin bajarish zarur;
4) hisoblashlarda arifmetik amallar sonini minimal holatga keltirish tavsiya etiladi.
XATOLIKLAR VA ULARNING TURLARIGA DOIR MASALALAR-NING DASTURIY NATIJALARI.
|