Vektor maydonning asosiy tushunchalari vektor maydoni. Vektorli chiziqlar va ularning differentsial tenglamalari vektor naychalar

|
Vektor maydonning asosiy tushunchalari vektor maydoni. Vektorli chiziqlar va ularning differentsial tenglamalari vektor naychalar
|
bet | 1/5 | Sana | 20.02.2024 | Hajmi | 291,46 Kb. | | #159566 |
Bog'liq VEKTOR MAYDON, VEKTOR CHIZIQLAR, VEKTOR NAYCHALAR. ORIENTIRLGAN VA ORIENTIRLMAGAN SIRTLAR. VEKTOR MAYDONNING SIRT BO\'YICHA OQIMI, UNING XOSSALARI, FIZIK MA\'NOSI2.
VEKTOR MAYDON, VEKTOR CHIZIQLAR, VEKTOR NAYCHALAR. ORIENTIRLGAN VA ORIENTIRLMAGAN SIRTLAR. VEKTOR MAYDONNING SIRT BO'YICHA OQIMI, UNING XOSSALARI, FIZIK MA'NOSI.
REJA:
VEKTOR MAYDONNING ASOSIY TUSHUNCHALARI
VEKTOR MAYDONI. VEKTORLI CHIZIQLAR VA ULARNING DIFFERENTSIAL TENGLAMALARI
VEKTOR NAYCHALAR
ORIENTIRLGAN VA ORIENTIRLMAGAN SIRTLAR.
VEKTOR MAYDONNING SIRT BO'YICHA OQIMI
VEKTOR KO’PAYTMANING XOSSALARI.
1.VEKTOR MAYDONNING ASOSIY TUSHUNCHALARI
Maydon tushunchasi fizika, mexanika, matematikada skalyar, vektor, tenzor maydonlarnio‘rganishda asosiy obyekt bo‘lib xizmat qiladi. Fizika, elektrotexnika, matematika, mexanika va shu kabi boshqa fanlardagi ko‘pgina masalalar skalyar va vektor maydonlarda qaraladi. Qaralayotgan kattalikning har bir nuqtasi berilgan V sohada aniqlangan bo‘lsa, bu soha maydon deyiladi.
Ta’rif. Fazodagi V sohaning har bir M nuqtasiga aniq qonun bo‘yicha biror U=U(M) son mos qo‘yilgan bo‘lsa, bu sohada U=U(M) skalyar maydon berilgan deyiladi. V soha sifatida fazoning biror bo‘lagi, sirti yoki chizig‘i olinishi mumkin. Faraz qilaylik, V soha biror jism bilan to‘ldirilgan bo‘lsin, V sohaning biror M nuqtasida jism zichligi (M) bo‘lsin. Bunday maydonni jismning zichliklar maydoni deyish mumkin. M dan boshqa nuqtada jism zichligi boshqacha bo‘lishi mumkin, ya’ni V sohada notekkis taqsimlangan bo‘lishi mumkin. Agar skalyar maydon sohaning barcha nuqtalarida bir xil bo‘lsa, bunday maydonni “bir jinsli maydon” deyiladi. Agar skalyar maydon qiymati bir nuqtadan boshqa nuqtaga ko‘chganda o‘zgarsa bunday maydon “bir jinssiz maydon” deyiladi.
Xuddi shuningdek, atmosferaning bir nuqtasiga bosimni aniq qiymatini mos qo‘yish mumkin bo‘lganligi sababli, atmosferadagi bosimlar maydoni berilgan deyish mumkin. Qizdirilgan jismning har bir ichki nuqtasiga temperaturaning aniq qiymatini mos qo‘yish mumkin bo‘lganligi tufayli, qizdirilgan jism ichida temperaturalar maydoni berilgan deb aytishimiz mumkin.
Ba’zan skalyar maydonning qiymati vaqtga qarab ham o‘zgarib borishi mumkin. Masalan, qizdirilgan jism temperaturasi tashqi muhit temperaturasiga qarab o‘zgaradi. Bunday maydonlar “nostatsionar skalyar maydon” larni tashkil qiladi. Agar skalyar maydon vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonlar “statsionar maydonlar” deyiladi. Agar fazoda Oxyz koordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir M nuqta ma’lum x,y ,z koordinatalarga ega bo‘ladi va U skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi. Bu holat skalyar maydonni ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi yordamida tekshirish ikonini beradi. Fiksirlangan O nuqta olinsa fazodagi ixtiyoriy M nuqtani radius vektori yordamida aniqlash mumkin. Bu holda U(M)skalyar maydonni vektor argumentli skalyar funksiya deb qarash mumkin. Agar skalyar maydon simmetriklik xususiyatiga ega bo‘lsa, uni tahlil qilish juda osonlashadi.
Agar koordinatalar sistemasini shunday tanlash imkoni mavjud bo‘lsaki, unda maydon funksiyasi faqat ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday maydonlarga yassi maydonlar deyiladi. Yassi maydonga bir xil isitilgan uzun aylanma trubali issiqlik trassasining atrofida joylashgan tuproq temperturasini keltirish mumkin. Bunday holatda truba o‘qiga perpendikulyar joylashgan barcha tekisliklarda tuproq harorati bir xil kechadi. Bunda tuproq temperaturasini aniqlovchi funksiya ikki o‘zgaruvchili bo‘ladi.
Skalyar maydonni silindrik kordinatalar sistemasida ham qarash mumkin, agar skalyar maydon biror silindrik koordinatalar sistemasida ga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonni o‘qqa simmetrik maydon deyiladi. Yuqorida keltirilgan issiqlik trassasi atrofidagi tuproq temperaturasi o‘qqa simmetrik bo‘ladi.
Agar yassi skalyar maydon faqat radial koordinatagagina bog‘liq bo‘lsa, bunday maydon “o‘qli maydon” deyiladi. Agar biror sferik koordinatalar sistemasida skalyar maydon faqat masofa r ga bog‘liq bo‘lsa bunday maydon “markaziy maydon” deyiladi. Misol sifatida gravitatsion patensialni keltirish mumkin:
bu yerda G garvitatsion o‘zgarmas, m0 massa. Koordinata boshida joylashtirilgan q zaryadning hosil qilgan elektrostatik potensiali ham markaziy maydon bo‘lib, uning ko‘rinishi quyidagicha ifodalanadi (albatta koordinata boshidan tashqari) Agar bo‘lsa, kelib chiqadi. Shuning uchun sferada yotgan nuqtalar uchun elektrostatik maydon patensiali o‘zgarmas bo‘ladi.
Agar biror vektor kattalikning har bir M nuqtasi V maydonda aniqlangan bo‘lsa, bu maydon vektor maydon deyiladi. Yaqqol ko‘zga tashlanadigan vektor maydonlardan biri suyuqlikning tezliklar maydonidir. Fazoning biror V qismida suyuqlik harakat qilayotgan bo‘lsin. Ixtiyoriy MV nuqtada har xil vaqtlarda ham tezligi bir xil v( M) bo‘lsin. Bunday harakatga “statsionar harakat” deyiladi. Aynan olingan bir nuqtada tezlik bir xil bo‘lgani bilan V ning boshqa boshqa nuqtalarida tezliklar har xildir. Shunday qilib, V da suyuqlikning tezliklar maydoni berilgan deyiladi. Agar uch o‘lchovli fazoda to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasi Oxyz berilgan bo‘lsa, vektor maydonni uch o‘zgaruvchili vektor funksiya sifatida ifodalash mumkin. Haqiqatdan ham, koordinatalar yordamida nuqtani va u yordamida vektor maydonni aniqlash mumkin. Oxyz koordinatalar sistemasida vektorlar ba’zis vektorlar bo‘lsin. U holda, (M) vektor maydonni(1) ko‘rinishida yozishimiz mumkin, bunda bu P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) funksiyalar biz qarayotgan vektor maydonning koordinata o‘qlaridagi prayeksiyalaridir.P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)larning har birini skalyar maydon sifatida qarash mumkin. Skalyar maydon kabi agar vektor maydon vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydonlarga “statsionar maydon”lar deyiladi. Agar vektor maydon vaqtga bog‘liq bo‘lsa, bu maydonga “nostatsionar maydon” deyiladi.
Agar biror to‘g‘ri Dekart koordinatalar sistemasi Oxyz tanlanganda vektor maydon z ga bog‘liq bo‘lmasa, bunday maydon “yassi mayon” deyiladi.
1-misol. Biror jism biror o‘q atrofida o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanayotgan bo‘lsin. Bu holda aylanayotgan jism nuqtalari tezligi ga teng bo‘ladi. Bunda ayanish o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan vektor, nuqtaning radius vektori. Shunday qilib, vektor maydon argumentli vektor funksiya orqali berilgandir Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki, unda jismning aylanish o‘qi Oz o‘qi bilan mos kelsin va shu ikki vektorning yo‘nalishlari mos kelsin. U holda, bo‘ladi. Nuqtanig radius vektori U holda, bo‘ladi. Demak, vektor maydon yassi maydon chunki maydonning uchunchi koordinatasi no‘lga teng va birinchi va ikkinchi koordinatalari esa uchunchi koordinatasiga bog‘liq emas. Silindrik koordinatalar sistemasida vektor maydon berilgan bo‘lsin. Agar vektor maydon har bir nuqtada ga bog‘liq bo‘lmasa, “o‘qqa simmetrik maydon” deyiladi. O‘qqa simmetrik maydonda vektor M nuqta va Oz o‘qidan o‘tadigan tekislikka parallel bo‘ladi. Agar berilgan vektor maydon o‘zining aniqlanish sohasining ixtiyoriy nuqtasida uzunligi faqat r=OM masofaga va yo‘nalishi O va M nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lsa, bunday maydon markaziy maydon deyiladi. Bunday maydonni, (2) ko‘rinishida ifodalash mumkin.
2-misol. Fazoda kuchni xarakterlovchi maydon kuch maydoni deyiladi. Masalan, massasi ga teng bo‘lgan material nuqtaning tortishish kuchi. Faraz qilaylik bu nuqta koordinatalar boshida joylashgan bo‘lsin. Nyuton qonuniga ko‘ra massasi m ga teng M nuqtada joylashgan radius vektori bo‘lgan nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch ga teng bo‘ladi. Bu yerda G gravitatsion o‘zgarmas. Nuqtaviy elektr zaryadlarining o‘zaro ta’siri natijasida hosil bo‘ladigan maydon ham markaziy maydon bo‘ladi. Nuqtaviy zaryad koordinatalar boshida joylashgan bo‘lsin. Kulon qonuniga ko‘ra radius vektori ga teng bo‘lgan q zaryadga ta’sir qiluvchi kuch ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda, dielektrik konstanta.
Vektor maydonlarni grafikda tasvirlash maqsadida vektor chiziqlar (yoki kuch chiziqlar ) tushunchasi kiritilgan
Ta’rif. vektor maydondagi biror L egri chiziqning har bir nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishi maydonning shu nuqtadagi yo‘nalishi bilan ustma-ust tushsa, bu holda bu L egri chiziq vektor maydonning vektor chizig‘i deyiladi. Masalan, biror o‘q atrofida aylanma harakat qilayotgan qattiq jism tezliklar maydonining vektor chiziqlari markazi aylanish o‘qida joylashgan konsentrik aylanalardan iborat. Statsionar harakatdagi suyuqlik tezliklari maydonining vektor chiziqlari esa suyuqlik zarrachalarining trayektoriyasidan iborat bo‘ladi. Agar elektr maydoni bo‘lsa, u holda elektr chiziqlari bu maydonning kuch chiziqlari bo‘ladi. Amalda vektor chiziqlarni aniqlash uchun odatda ularning differensial tenglamalari sistemalari deb ataladigan sistema tuziladi va bu sistemani yechib, integral egri chiziqlarning grafiklari yasaladi. Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sistemasi quyidagicha tuziladi: L chiziq vektor maydonning biror vektor chizig‘i bo‘lsin. Ravshanki vektor L vektor chiziq urinmasi bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Shuning uchun, va dr vektorlar kolleniar bo‘ladi. Agar bo‘lsa, proyeksiyalari berilgan ikki vektorning o‘zaro kollinearlik shartiga binoan (3) bo‘ladi. Bu sistemaga vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sistemasi deyiladi. Bu yerda, lar a vektorning koordinata o‘qlaridagi prayeksiyalari. Yassi vektor maydonlari uchun vektor chiziqlarning differensial tenglamasi, (4) ko‘rinishda bo‘ladi.
Vektor sirti undagi har bir M nuqtaga mos vektorning shu nuqtada urunuvchi tekislikda yotishi bilan xarakterlanadi. Agar qaralayotgan sohada vektor chizig‘idan farqli biror K egri chiziq olib, uning har bir nuqtasi orqali vektor chizig‘i o‘tkazilsa, bu chiziqlarning geometrik o‘rni vektor sirtni beradi. Agar olingan yo‘naltiruvchi chiziq yopiq bo‘lsa, u holda hosil bo‘lgan vektor sirt trubkasimon vektor sirt deyiladi. Uni vektor “trubkasi”deb ham atash mumkin. Vektor chiziqlarni topishga oid bir nechta misollar ko‘rib o‘taylik:
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Vektor maydonning asosiy tushunchalari vektor maydoni. Vektorli chiziqlar va ularning differentsial tenglamalari vektor naychalar
|