Kombinatorika elementlari. Kombinatorika masalalari. Yig’indi va ko‘paytma qoidasi

|
Kombinatorika elementlari. Kombinatorika masalalari. Yig’indi va ko‘paytma qoidasi
|
bet | 20/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёр1.10. Kombinatorika elementlari. Kombinatorika masalalari. Yig’indi va ko‘paytma qoidasi
Hayotda shunday masalalar uchraydiki, unda u yoki bu to‘plamning qandaydir qism to‘plamlarini ajratishga to‘g'ri keladi. Masalan, agronomning yerlar orasidan eng mahsuldor yerni tanlash masalasi, tikuvchining sifatli mahsulotlar ishlab chiqarishi uchun yaxshi materialni tanlash masalasi, quruvchining mustahkam bino qurishi uchun qurilish materiallaridan oqilona foydalanishi, shaxmatchining yurishlardan yaxshi yurishni tanlashi , shofyorning manzilga yetishi uchun barcha yo‘llardan eng yaqinini tanlashi va hokazo . Bunday ko‘rinishdagi masalalarda yer, material, ish , yurish u yoki bu kombinatsiyalardan foydalaniladi. Bunday ko‘rinishdagi masalalarga kombinatorik masalalar deyiladi.
Matematikaning kombinatorik masalalari bilan shug'ullanuvchi bo‘limiga kombinatorika fani deyiladi. Kombinatorika masalalari birinchi marta ehtimollik nazariyasi vujudga kelishi munosabati bilan XVI - XVII asrlarda qaraldi. Kombinatorikada chekli to‘plamlar, ularni to‘plam ostilari, akslantirishlar, chekli to‘plam elementlaridan tuzilgan kortejlar o‘rganiladi. Shuning uchun kombinatorikani chekli to‘plamlar nazariyasi qismi deb tushunish mumkin. Ko‘pgina kombinatorik masalalarni yechish asosan 2 ta qoida: yig'indi va ko‘paytma qoidalariga asoslangan. Kombinatorikaning yig'indi qoidasi chekli to‘plamlar birlashmasidagi elementlar sonini, ko‘paytma qoidasi esa chekli to‘plamlar dekart ko‘paytmasidagi elementlar sonini topishdan iborat.
Chekli A to‘plam elementlari sonini n(A) deb belgilaylik. n ta elementdan iborat bo‘lgan to‘plamni n - tartibli to‘plam deb ataymiz.
Masalan, Agar A= {a,b,c,d,e,f} bo‘lsa, u holda n(A)=6 , shuning uchun A to‘plamni 6- tartibli to‘plam deymiz.
A to‘plam m ta elementdan tuzilgan bo‘lsin: B to‘plam esa n ta elementdan tuzilgan bo‘lsin . AUB to‘plami nechta elementdan tashkil topgan? Bu masalaga hech ikkilanmasdan bu to‘plamlar orasida ikki holni ko‘rish mumkin:
1) A va B to‘plamlar kesishmasi to‘plamdan iborat;
2) A va B to‘plamlar o‘zaro kesishmasi to‘plamdan iborat emas.
Agarda A va B to‘plamlar kesishmasa, u holda AUB to‘plami "m+n" ta elementga ega bo‘ladi.
Misol: 1) A= {a,b,c,d} B={e,f,k} AUB= {a,b,c,d,e,f,k}
n(A)=4 , n(B)=3 , A B= , n(AUB)=7
2) A={oq, ko‘k, qora}
B={qizil, sariq}
n(A)=3 , n(B)=2 , A B= , n(AUB) =5
4) Masala: birinci savatda 4 ta olma, ikkinchi savatda 6 ta olma bor. Hamma olmalar nechta? Birinchi savatdagi olmalarni A to‘plam deb, ikkinchi savatdagi olmalarni B to‘plam deb qarasak,
n(A)=4 , n(B)=6 , A B= , n(AUB)=10 shu qoidaga asoslanib
boshlang'ich sinflarda yig’indini topishga doir, masalalar yechishning nazariy asosni izohlash mumkin.
2. Agar A va B to‘plamlar kesishsa, (A B ) u holda to‘plamlar
birlashmasidagi elementlar soni har bir to‘plam elementlar soni
yig'indisi bilan , shu to‘plamlar kesishmasidagi elementlar sonining
ayirmasiga teng:
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A B)
Misol: 1) A={a,b,c,d,e} B={d,e,f,g} to‘plamlar berilgan bo‘lsin . Bunda:
n(A)=5 , n(B)=4 Bu to‘plamlar birlashmasini tuzsak:
AUB={a,b,c,d,e,f,g} yoki n(AUB)=7 n(A B )=2
Demak ,(5+4)-2=7
5) Ingliz va nemis tillarini o‘rganayotgan 100 o‘quvchidan ingliz tilini 85 ta , nemis tilini 45 ta o‘quvchi o‘rganadi. Qancha o‘quvchi ikkala tilni ham o‘rganadi?
n(A)=85 talaba ingliz tilini o‘rganuvchi
n(B) = 45 talaba nemis tilini o‘rganuvchi
n(AUB)=100 ta talaba, n(A B )=X ta har ikkala tilni o‘rganuvchilar soni.
n(AUB)= n(A)+n(B)- n(A B )
100= (85+45)-X
X=(85+45)-100=30 ta
Agar to‘plam 3 ta bo‘lsa , quyidagi yig'indi qoidasi o‘rinli :
n(AUBUC)= n(A) + n(B)+ n(C) - n(A B)- n(A C) - n(B C) + n(A B C )
Misol: A={a,b,c,d,e,f,g} B={a,e,g,l,k,o} C={a,b,d,f,o}
n(A)=7 , n(B)=6 , n(c)=5 , n(A B)=3 n(A C)=4 n(B C)=2
n(A B C )=1
n(AUBUC)=7+6+5-2-3-4+1=10
3. Kombinatorikaning ikkinchi qoidasi, berilgan chekli to‘plamlar elementlaridan tuzilgan kortejlar sonini topishdan iborat .
Shunday masalani qaraylik.
A={a1, a2 ,…,am }va B= {b1, b2, …,bn} to‘plamlaridan nechta (ak;bl) ko‘rinishdagi juftlik elementlarini tuzish mumkin?
Bu elementlarni jadval ko‘rinishida yozamiz:
(a1 b1), (a1 b2), (a1 b3) ,…,(a1 bn)
(a2 b1), (a2 b2), (a2 b3),…,(a2 bn)
(a3 b1), (a3 b2), (a3 b3),…,(a3 bn)
…………………………………………
(am b1), (am b2), (am b3),…,(am bn)
bu erdan shu narsa ko‘rinadiki , bu juftliklar m ta qator , har bir qator n ta elementdan iborat bo‘ladi. Demak, umumiy juftliklar sonini m·n ga teng .
Shunday qilib , m- tartibli A to‘plam , n - tartibli B to‘plam elementlaridan m·n ta tartiblangan juftlikni tuzish mumkin.
Bunday tartiblangan juftliklar to‘plamini A va B to‘plamlar dekart ko‘paytmasi deb aytgan edik. Shuning uchun quyidagi yozuv o‘rinli:
n(AxB)=n(A)xn(B) (1)
Ko‘paytma qoidasining umumiy holi :
n(A1xA2xA3x……xAn)=n(A1)xn(A2)x……xn(An) (2)
ni ham isbotlash mumkin.
Kombinatorikada (1) ni quyidagicha ta'riflash mumkin:
Agar a elementni m usulda, b elementni n usulda tanlash mumkin bo‘lsa, u holda (a;b) tartiblangan juftlikni m·n usulda tanlash mumkin.
Masala: A qishloqdan B qishloqqa 3 ta yo‘l olib boradi. B qishloqdan C qishloqqa esa 2 ta yo‘l olib boradi.A qishloqdan B qishloqni bosib o‘tib C ga necha usulda borish mumkin?
Yechish: A va B orasidagi yo‘lni 1,2,3 sonlari bilan belgilaymiz. B va C qishloqlar orasidagi yo‘lni a,b deb belgilaymiz.
2 a
A 1 B C 41-rasm
3 b
U holda ko‘paytma qoidasiga asosan 3 x 2=6 usulda A dan C ga B ni bosib o‘tish mumkin: (1;a), (1;b), (2;a), (2;b), (3;a), (3;b)
Misol: A={a,b,c,d} B={m,f} to‘plamlar berilgan. Berilgan to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi n (AxB)=n(A)xn(B) qancha elementni o‘z ichiga oladi? Bu masalani quyidagicha ishlaymiz: n(AxB)=n(A)xn(B) n(A)=4 n(B)=2 n(A)xn(B)=4·2=8
1. Boshlang'ich sinf matematikasida kombinatorika fani asosiy o‘rin tutadi, chunki ayrim kombinatorik misollar boshlang'ich sinfdanoq yechiladi
1- sinf darsligidagi quyidagi misolga qaraymiz: Bog'da 5 tup olma bor edi, yana 3 tup olma ekishdi. Bog'dagi olmalar necha tup bo‘ldi?
Bu masalani o‘quvchi 5+3=8 tarzida yechadi.
Ushbu masalani kombinatorik masalalarni echish , ya'ni yig'indi qoidasi tarzida bajarsak, quyidagicha bo‘ladi.
A- bog'dagi 5 tup olma
B-yana ekilgan 3 tup olma
AUB- bog'dagi olmalarning necha tupligi
Misol: 10 m chit va 10 m satin sotib olishdi. 12 m matoni ishlatishdi. Necha metr mato qoldi?
Bu masalani yig'indi qoidasiga oid ekanligini tekshiramiz.
A-10m chit
B-10 m satin
C-12 m mato ishlatilgani
(AUB)\C necha metr mato qoldi?
Boshlang'ich sinf o‘quvchisiga bu tarzda tushuntirish ancha murakkab bo‘lganligi uchun , buni ularga ushbu misol tarzida o‘rgatamiz:
(10+10)-12=8 (m) – mato qoldi.
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, hayotdagi juda ko‘p masalalar u yoki bu variantlar (kombinatsiyalar)ni qo‘llab yechiladi, boshqacha qilib aytganda, qulay imkoniyatlardan foydalanib yechilar ekan , kombinatorika fani keng qo‘llanishga ega. Bu fanning dastlabki tushunchalari boshlang'ich sinflardanoq o‘rganiladi, shu sababli, bo‘lajak boshlang'ich sinf o‘qituvchilari kombinatorika bo‘yicha ma'lum bilim , malaka va ko‘nikmalarga ega bo‘lishi kerak.
|
| |