Muatan Garis dan Silinder Menghantar yang Bermuatan

Muatan Garis dan Silinder Menghantar yang Bermuatan. Medan sebuah muatan garis, dan medan di luar sebuah silinder menghantar yang bermuatan, keduanya ditentukan berdasarkan
Beda potensial antara sembarang dua titik a dan b pada jarak radial ra dan rb adalah
… (26-8)
Jika titik b terletak jauh tak berhingga dan Vb = 0, maka untuk potensial Vb kita peroleh
Karena itu, titik referensial yang terletak jauh tak berhingga tidak cocok untuk medan ini. Tetapi V = 0 dapat kita tempatkan pada radius sembarang r0. Maka pada sembarang radius r,
… (26-9)
Persamaan (26-8) dan (26-9) menentukan potensial dalam medan sebuah silinder hanya untuk harga r sama dengan atau lebih besar dari radius R silinder itu. Jika r0 diumpamakan radius silinder R, demikian rupa sehingga potensial silinder dianggap nol, maka potensial di sembarang titik luar, relatif terhadap potensial silinder, ialah
-
Pelat Paralel. Intensitas listrik antara dua pelat paralel yang muatannya berlawanan tanda ialah
…(26-11)
gambar 26-5
Mari kita buat sumbu – x, seperti gambar 26-5, tegaklurus pada kedua pelat, dan titik a sebagai titik pangkal. Maka di sembarang titik x,
Atau
Karena itu potensial akan berkurang secara linier dengan x. Pada titik b, dimana x = 1 dan Vx = Vb
dan karena itu
… (26-12)
Artinya, intensitas listrik itu sama dengan beda potensial antara kedua pelat dibagi jarak yang memisahkannya. Ini merupakan ungkapan yang lebih berguna untuk E daripada persamaan (26-11), karena beda potensial Vab dapat diukur begitu saja dengan voltmeter, sedangkan alat yang langsung dapat diukur kerapatan muatan pada permukaan tidak ada.
Persamaan (26-12) juga menunjukan bahwa satuan intensitas listrik dapat dinyatakan sebagai 1 volt per meter (1 Vm-1), atau juga sebagai 1 NC-1. Dalam praktek, volt per meter lebih umum dipakai sebagai satuan E.
-
Potensial Dinyatakan dengan Distribusi Muatan
Jika intensitas listrik di semua titik sebuah medan elektrostatik diketahui, beda potensial antara dua titik dapat dicari dengan mengevaluasi integral garis E antara kedua titik tersebut. Inilah metode yang dipakai dalam bagian sebelum ini. Tetapi jika distribusi muatan yang menimbulkan medan diketahui, potensial dapat dihitung secara langsung. Untuk memahami bagaimana caranya, mari kita kembali ke persamaan untuk potensial satu muatan titik q disebuah titik dalam medan itu,
Karena potensial itu skalar, maka potensial di sembarang titik dalam medan sejumlah muatan titik tak lain adalah jumlah aljabar (bukan jumlah vektor) potensial yang dibangkitkan satu demi satu muatan. Jadi, jika sejumlah muatan q1, q2, … berjarak r1, r2, …………………… dari suatu titik, potensial di titik ini ialah
… (26-13)
Bandingkanlah integral ini dengan integral vektor yang lebih rumit untuk intensitas listrik E yang ditimbulkan muatan yang terdistribusi.
Contoh gambar 26-6 memperlihatkan dipol yang sama seperti gambar 25-5. Pada titik sembarang a potensialnya (relatif terhadap sebuah titik di jauh tak terhingga) adalah
… (26-14)
Karena r1 < r2, maka potensial itu positif.
Di titik b,
Momen dipol p = 2qa, dan jika x ⪢ a, kita dapat mengabaikan a2, dibandingkan dengan x2. Maka di titik-titik sumbu –x positif, pada jarak yang besar dibandingkan dengan jarak pemisah dipol,
dan potensial berbanding terbalik dengan kuadrat jarak x.
Titik c, atau sembarang titik lain pada sumbu –y, sama jaraknya dari muatan positif dan dari muatan negatif, dan potensial Vc = 0.
-
Gradien Potensial
Jika titik a dan titik b dalam gambar 26-1 sangat berdekatan, beda potensial Va – Vb menjadi –dV, dan integral garis E dari a ke b menjadi Es ds. Bentuk diferensial persamaan (26-4) karena itu ialah
atau
… (26-15)
Perbandingan dV/ds, atau cepat perubahan potensial dengan jarak dalam arah ds, disebut gradien potensial, dan Es adalah komponen intensitas listrik dalam arah ds. Karena itu kita memperoleh hubungan penting disembarang titik dalam sebuah medan listrik, komponen intensitas listrik dalam sembarang arah sama dengan harga negatif gradien potensial dalam arah tersebut. Terutama, jika arah ds sama dengan arah intensitas listrik, komponen E dalam arah ds sama dengan E dan intensitas listrik sama dengan harga negatif gradien potensial dalam arah medan.
Satuan gradien potensial adalah 1 volt per meter (1 V/m) dan persamaan (26-12) jelas merupakan bentuk khusus persamaan (26-15).
Contoh 1. Telah ditunjukkan bahwa potensial pada jarak radial r dari sebuah muatan titik q ialah
Berdasarkan simetri, arah intensitas listrik itu radial, sehingga
yang cocok dengan hukum Coulomb.
Contoh 2. Potensial listrik dititik b dalam gambar 26-6 ialah
Intensitas listrik di titik b karena itu ialah
cocok dengan rumus yang diperoleh sebelumnya.
Misalkan suatu medan listrik tertentu telah dipetakan dengan jaringan sejumlah garis gaya dan permukaan ekuipotensial, jarak pemisah (listrik) antara ekuipotensial sama dengan suatu perbedaan konstan ∆V, misalnya 1 V atau 100 V. Umpamakan ∆s ialah jarak tegaklurus antara dua ekuipotensial. Maka ∆s mengikuti arah medan dan karena itu
Artinya, makin besar intensitas listrik E, makin kecil jarak tegaklurus ∆s antara ekuipotensial. Ekuipotensial karena itu sangat berdekatan dalam medan yang kuat dan sangat berjauhan dalam medan yang lemah. Dalam medan yang merata, seperti terdapat antara dua pelat parallel bermuatan berlawanan tanda, Es = E = konstan sepanjang setiap garis yang tegaklurus pada kedua pelat itu. Bidang-bidang ekuipotensial karena itu terpisah oleh jarak yang seragam dan gradien potensial adalah konstan dan sama dengan beda potensial antara kedua pelat. Vab, dibagi dengan jarak pemisah l. Artinya
Gambar 26-7. (a) Diagram skematik aparat Milikan. (b) Gaya terhadap setetes minyak dalam keadaan diam. (c) Gaya terhadap setetes minyak yang jatuh dengan kecepatan akhir Vt.
-
Eksperimen Tetes Minyak Milikan
Dalam serangkaian penyelidikan di Universitas Chicago antara tahun 1909-1913, Robert Andrews Milikan bukan hanya dapat menyingkapkan secara meyakinkan sifat muatan listrik sampai yang sepelik-peliknya, tetapi juga mengukur muatan satu elektron.
Aparat yang digunakan untuk diperlihatkan secara skematis dalam gambar 26-7(a). Dua pelat logam yang sangat paralel dan horisontal, A dan B tersekat dan terpisah satu sama lain beberapa millimeter. Minyak disemprotkan dalam bentuk bintik-bintik dari sebuah ‘atomizer” (penyemprot seperti yang dipunyai tukang pangkas rambut) di atas pelat sebelah atas dan beberapa bintik dibiarkan jatuh melalui sebuah lobang kecil di pelat tersebut. Seberkas cahaya diarahkan horisontal antara kedua pelat dan sebuah teleskop dipasangkan dengan sumbunya terarah tegaklurus pada berkas cahaya. Bintik-bintik minyak tadi, karena sorotan berkas cahaya, bila diamati melalui teleskop, akan tampak seperti bintang terang kecil-kecil yang jatuh perlahan-lahan dengan kecepatan akhir yang bergantung kepada beratnya, gaya kekentalan yang melawan geraknya, dan kepada gaya ke atas.
Terbukti bahwa beberapa bintik minyak itu bermuatan listrik, mungkin karena efek gesekan. Bintik-bintik itu dapat pula memperoleh muatan jika udara di dalam aparat tersebut diionisasi oleh sinar –x atau oleh secuil benda radioaktif. Beberapa electron atau ion lalu bertubrukan dengan bintik-bintik minyak itu lalu melekat padanya. Bintik-bintik itu biasanya bermuatan negatif, tetapi kadang-kadang ada yang muatannya positif.
Metode paling sederhana, untuk mengukur muatan pada sebuah bintik adalah dalam prinsipnya, seperti berikut. Umpamakan sebuah bintik mempunyai muatan negatif dan beda potensial antara kedua pelat tersebut demikian rupa sehingga menimbulkan intensitas medan listrik E (=VAB/1) yang mengarah ke bawah. Maka gaya yang bekerja pada bintik itu adalah beratnya mg, gaya apung B, dan gaya ke atas qE. Dengan mengatur medan E, jumlah B qE dapat dibuat sama dengan mg sehinga bintik tersebut tetap dalam keadaan diam, seperti ditunjukkan gambar 26-7(b). Dala keadaan begini,
Massa bintik sama dengan perkalian kerapatannya p dengan volumnya, dan gaya apung B sama dengan perkalian volumnya dengan rapat berat ρgg gas di dalam aparat itu (biasanya udara). Karena volum sama dengan 4πr3/3, dan E = VAB/1, maka
… (26-18)
Semua besaran di sebelah kanan rumus ini mudah diukur, kecuali radius r bintik minyak, yang besarnya 10-5 cm terlalu kecil untuk dapat diukur secara langsung. Walaupun demikian, dapat juga dikalkulasi dengan cara memutuskan medan listrik lalu mengukur kecepatan akhir vt bintik waktu bergerak jatuh sejauh jarak yang diketahui d, yang ditentukan oleh garis referensi pada okuler teleskop.
Yang dimaksud dengan kecepatan akhir ialah kecepatan pada saat berat mg tepat diimbangi sejumlah gaya apung B ditambah gaya kekentalan f. Gaya kekentalan terhadap sebuah bola yang radiusnya r dan bergerak dengan kecepatan v melalui suatu cairan yang viskositasnya η menurut hukum Stokes, ialah
Jika hukum Stokes ini diterapkan, dan bintik minyak jatuh dengan kecepatan akhir vt, maka
dan
Bila persamaan untuk r disisipkan pada persamaan (26-16), kita peroleh
yang merupakan persamaan untuk muatan q yang dinyatakan dengan besaran-besaran yang dapat diukur.
-
Electron Volt, Variasi relativistik massa terhadapat kecepatan
Perubahan dalam energy potensial sebuah partikel yang muatannya q, waktu bergerak dari sebuah titik dimana potensinya Vb, ialah
Khususnya, bila muatan q itu sama dengan muatan listrik e = 1,6 x 10-19 C, dan beda potensial Vab = 1 V, maka perubahan dalam energy itu ialah
Energy sebesar ini disebut energy 1 elektron volt (1 eV)
Elektron volt merupakan satuan energi yang memudahkan bila soalnya menyangkut gerak elektron dan ion dalam medan listrik, sebab perubahan dalam energi potensial antara dua titik pada lintasan sebuah partikel yang mempunyai muatan e, bila dinyatakan dalam elektron volt, secara bilangan sama dengan beda potensial (dalam volt) antara kedua titik itu. Jika muatan itu kelipatan e, katakanlah Ne, perubahan dalam energi potensial dalam elektron volt, dalam bilangan adalah N kali beda potensial dalam volt. Umpamanya, jika sebuah partikel yang muatannya 2e bergerak antara dua titik di mana beda potensial antara keduanya 1000 V, perubahan dalam energi potensialnya ialah
Meskipun pendefinisian elektron volt yang diberikan di atas adalah dari segi energi potensial, energi dalam bentuk bagaimana pun, misalnya saja energi kinetik sebuah partikel yang bergerak, dapat dinyatakan dalam elektron volt. Jadi, kita dapat berkata tentang “elektron satu juta volt”, yang berarti sebuah elektron mempunyai energi kinetik satu juta elektron volt.
Menurut asas relativitas, massa mo sebuah partikel dalam keadaan diam, relatif terhadap pengamat, ekuivalen dengan suatu jumlah energi yang besarnya sama dengan mo c, dimana c adalah kecepatan cahaya. Massa diam sebuah elektron ialah 9,108 x 10-31 kg, dan energi yang ekuivalen dengan ini ialah
Karena 1 eV = 1,60 x 10-19 J, maka harga ini ekuivalen dengan
Andaikan sebuah elektron beroleh kecepatan dari keadaan diam melalui beda potensial sebesar di atas, yaitu 511.000 V. Elektron itu lalu memperoleh energi kinetik sebesar 511.000 eV, yang sama dengan energi massa diamnya, dan energi totalnya, yaitu energi massa diam ditambah energi kinetik, sama dengan dua kali energi massa diam.
Tetapi enenrgi totalnya juga sama dengan mc2, di mana m adalah massa bergeraknya, sehingga
Artinya, massa sebuah elektron yang beroleh percepatan melalui beda potensial 511.000 Vsama dengan dua kali massa diamnya.
Hubungan massa dan kecepatan itu adalah menurut persamaan
Atau
Karena itu,
Untuk menghitung kecepatan itu berdasarkan mekanika klasik, kita lebih dulu harus menetapkan energi kinetik sebesar 511.000 eV atau 82,0 x 10-15 J sama dengan 1/2moV2. Dengan demikian
yang ternyata lebih besar dari kecepatan cahaya. Jelaslah bahwa bila menghadapi soal energi elektron pada tingkat ini haruslah dipakai ilmu mekanika relativistik.
-
Osiloskop sinar katoda
Gambar diatas adalah diagram skematis bagian – bagian sebuah tabung osiloskop sinar katoda. Ruangan didalam tabungnya sangat vakum. Katoda sebelah kiri sangat ditinggikan temperaturnya dengan alat pemanas, dan elektron – elektron menguap dari permukaannya. Anoda yang memberi percepatan, yang mempunyai lubang kecil ditengahnya, dijaga agar selalu pada potensial positif V1 yang relatif tinggi terhadap katoda, sehingga timbul medan listrik, mengarah dari kanan ke kiri antara anoda dan katoda. Medan ini hanya ada di daerah katoda-anoda dari semua elektron yang melewati lobang di anoda itu bergerak dengan kecepatan x konstan dari anoda ke layar fluoresen.
Fungsi kisi pengatur (control grid) ialah mengatur jumlah elektron yang mencapai anoda. Anoda pemusat (focusing anode) menjaga agar elektron yang meninggalkan katoda ke berbagai arah yang sedikit bebeda, semuanya sampai di titik yang sama pada layar. Rakitan katoda, kisi pengatur, anoda pemusat, dan elektroda yang memberi percepatan dinamakan pistol elektron (electron gun).
Elektron yang telah beroleh percepatan, lewat antara dua pasang pelat defleksi. Medan listrik yang ada antara pasangan pertama pelat ini mendefleksi (menyimpangkan) elektron ke kanan atau ke kiri, dan medan yang ada antara pasangan yang kedua menyimpangkan elektron ke atas atau ke bawah. Bila medan – medan tersebut tidak ada, elektron itu bergerak menurut garis lurus dari luabng anoda pemercepat ke layar fluoresen dan menerbitkan bintik terang pada layar yang terkena elektron.
Satu – satunya gaya yang bekerja terhadap pistol elektron adalah gaya kekal listrik, sehingga kita dapat menerapkan asas kekekalan (konservasi) energi. Andaikan c katoda dan a anoda. Dengan demikian maka
Walaupun saat keluar dari katoda elektron mempunyai kecepatan Vc, kecepatan awalnya ini sangat kecil dibandingkan dengan kecepatan akhirnya Va, dan dapat diabaikan. Karena itu
dalam persamaan ini beda potensial pemercepat Vca untuk singkatnya kita tulis V1.
Potensial anoda lebih tinggi daripada potensial katoda, sehingga V1 = Vca merupakan kuantitas negatif. Tetapi muatan listrik e juga negatif, sehingga suku di bawah akar menjadi positif.
Energi kinetik elektron pada anoda bergantung hanya kepada beda potensial antara anoda dan katoda, dan sama sekali bukan kepada medan di dalam perangkat pistol elektron yang ditimbulkan layar dan anoda pemusat, atau pada bentuk trayektor elektron di dalam pistol tersebut.
Jika tidak ada medan listrik antara pelat – pelat itu guna pendefleksian horizontal, elektron akan memasuki daerah antar pasangan palat yang satu lagi dengan kecepatan sama dengan Va dan dinyatakan dengan Vx. Jika ada perbedaan potensial V2 antara pasangan pelat ini, dan pelat yang sebelah atas positif, maka akan timbul medan listrik ke bawah yang intensitasnya E = V2/antara kedua pelat. Maka suatu gaya ke atas eE konstan lalu akan bekerja terhadap elektron, dan kecepatan elektron ini ke atas ialah
Kecepatan horisontal tetap konstan, sehingga waktu untuk menempuh panjang L pelat ialah
Dalam waktu ini, elektron memperoleh kecepatan ke atas yang ditentukan berdasarkan
Dan bergerak ke atas dalam jumlah
Waktu keluar dari medan yang mendefleksikannya, kecepatan v membentuk sudut dengan sumbu – x, dimana
Dan dari titik ini elektron bergerak menurut garis lurus ke layar. Tidak sulit membuktikan bahwa garis lurus ini, jika proyeksikan ke belakang, akan memotong sumbu –x di titik A, yang merupakan titik tengah antara ujung – ujung kedua pelat. Lalu, jika y adalah koordinat vertikal titik benturan dengan layar S
Bila digabungkan dengan persamaan diatas maka,
Suku dalam tanda kurung semata – mata merupakan faktor geometri. Jika tegangan pemercepat V1 dijaga konstan, defleksi y sebanding dengan tegangan V1 yang menimbulkan defleksi.
Jika ada pula medan timbul antara pelat yang mendefleksi horisontal, berkas elektron akan menyimpang baik ke arah x maupun ke arah y. Koordinat – koordinat bintik terang pada layar sebanding dengan tegangan yang meneybabkan defleksi horisontal dan vertikal.
-
Berbagai muatan antara konduktor
Bila sebuah konduktor bermuatan disinggungkan pada sebuah konduktor yang tidak bermuatan , muatan asalnya akan terbagi antara kedua konduktor. Hal ini tentulah terjadi akibat gaya tolak-menolak antara komponen muatan asal tersebut. Bila luar benda bermuatan positif bersentuhan dengan luar benda tak bermuatan, maka benda bermuatan akan kehilangan sebagian muatannya, dan potensialnya pun akan berkurang, sedangkan benda yang awalnya tak bermuatan akan memperoleh muatan dan bertambah potensialnya. Arus muatan akan terhenti bila potensial pada kedua benda itu sudah sama, akan tetapi pada benda pertama masih tesisa sedikit muatan.
Bila sebuah benda bermuatan bersentuhan dengan bagian dalam sebuah konduktor, sebagai konsekuensi hukum gauss, pada bagian dalam permukaan sebuah konduktor rongga akan timbul muatan induksi yang tandanya berlawanan, dan muatan ini tidak bergantung kepada posisi benda bermuatan itu dalam konduktor rongga tersebut. Dengan menyentuhkan benda bermuatan pada dinding rongga, benda pertama memindahkan seluruh muatan ke konduktor rongga tersebut, sekalipun permukaan dalam konduktor sudah bermuatan sebelumnya.
Untuk memahami hal ini lebih mendalam, perhatikanlah pada gambar di atas bola logam besar dan rongga B yang asalnya bermuatan positif qB dan radius dalamnya rB. Pada dinding bola besar ini terdapat lubang yang besarnya cukup untuk memasukkan sebuah bola logamkecil yang radiusnya rA dan bermuatan positif qA.
Bila A berada di tengah B dan efek kecil akibat lubang sempit pada B diabaikan, maka muatan positif pada A serta muatan negatif terinduksi pada permukaan dalam B akan terdistribusi merata, dan medan listrik antara kedua muatan ini simetris dan radial. Menurut hukum gauss, medan antara A dan B timbul hanya karena muatan pada A, dan pada jarak r dari pusat A ditentukan berdasarkan
Beda potensial antara A dan B karena itu ialah
Persamaan ini menyingkapkan dua hal penting:
-
VA – VB positif, atau potensial A lebih tinggi dari potensial B
-
VA – VB bergantung hanya kepada qA, jadi tak bergantumg kepada muatan asal yang ada pada B.
Jika A dan B ihubungkan oleh sebuah konduktor, listrik akan mengalir dari A ke B samapi VA – VB = 0, atau sampai qA = 0. Hal ini membawa kesimpulan bahwa seluruh muatan pada A berpindah ke B, tak perduli harga awal dan potesial B. Inilah yang akan menjadi prinsip generator Van de Graaff.
Bila posisi benda A tidak terdapat di tengah – tengah, muatan positif pada A dan muatan negatif sama besar yang terinduk pada permukaan dalam B tidak merata distribusinya. Medan listrik antara A dan B sama sekali tidak simetris dan tidak dapat diungkapkan dalam bentuk rumus matematika sederhana. Tetapi, perbedaan potesial VA – VB tetap positif, hanya saja lebih kecil daripada bila A berada di tengah – tengah. VA – VB tetap bergantung hanya pada qA, tak perduli muatan asal dan potensial B.
-
|