Tayanch soʻzlar va iboralar

|
Tayanch soʻzlar va iboralar
|
bet | 2/5 | Sana | 11.12.2023 | Hajmi | 0,57 Mb. | | #116058 |
Bog'liq Sonli usullar Kurs ishi NargizaTayanch soʻzlar va iboralar. Differensiallash, sonli differensiallsh, sonli differensiallshda hatoliklar, hatoliklar, interpolyatsiya, Interpolyatsion koʻphad, hatoliklarning baholanishi. Amaliy masalalarni yechishda, koʻpgina hollarda y f (x) funksiyaning berilgan nuqtalardagi koʻrsatilgan tartibli hosilasini topish talab etiladi. Keltirilgan talablarda f (x) funksiyaning berilgan nuqtalardagi differensialini analitik yoʻl bilan hisoblash bir qancha qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Bunday hollarda odatda sonli differensiallash usulidan foydalaniladi. Sonli differensiallash formulasini kiritish uchun, berilgan f (x) funksiyaning [a, b] oraliqdagi interpolyasiyasi P(x) koʻphad bilan almashtiriladi va quyidagicha hisoblanadi:
(0.1)
Shu tarzda f (x) funksiyaning yuqori tartibli hosilasini topishga oʻtiladi. Agar P(x) interpolyatsion funksiya uchun hatolik
ekanligi ma‘lum boʻlsa, u holda interpolyatsion funksiya hosilasi P(x) ham quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(0.2)
Shuni ta’kidlab oʻtish joizki sonli differensiallash amali, interpolyasiyalashdan koʻra kamroq aniqlikni beradi. Haqiqatdan ham [a, b] oraliqdagi bir-birga yaqin
egri chiziqlar, shu oraliqdagi funksiyalarning hosilasi
yaqinlashishini ta’minlash kafolatini bermasligi mumkin, ya’ni ikkita urinmaning bir nuqtadagi burchak koeffisiyentlari kamroq yaqinlashadi (Chizma.1). Sonli differensiallashning Logranj, Nyuton, Stirling va boshqa usullari mavjud boʻlib, biz ulardan ayrimlarini koʻrib oʻtamiz.
Nyutonning birinchi interpolyatsion koʻphadi asosida sonli differensiallash formulasi.
Bizga y(x) funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan xi(i=0,1,2,…,n) nuqtalarda yi=f(xi) qiymatlari bilan berilgan boʻlsin. Berilgan [a, b] oraliqda funksiyaning y =f (x), y” =f” (x)… hosilalarini topish uchun, y(x) funksiyani nuqtalardagi Nuyoton interpolyatsion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega boʻlamiz:
(0.3)
bu yerda
Binom koʻpaytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:
(0.4)
Shunday qilib
U holda
(0.5)
Shu tarzda
Ekanligidan
(0.6)
Kelib chiqadi
Shu usul bilan y(x) funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga ega boʻlamiz. E‘tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi hosilalarini topishda x0 sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga toʻgʻri keladi. Ba‘zan, y(x) funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan xi nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlangʻich nuqta deb faraz qilib olsak, unda x=x0 , q=0 koʻrinishda yozsa boʻladi va quyidagiga ega boʻlamiz:
(0.7)
(0.8)
Agar Pk(x) - Nyuton interpolyatsion koʻphadining chekli ayirmalari va mos ravishda hatoligi boʻlsa, unda hosilasining hatoligi
bo‘ladi.
Oldingi ma‘ruza mashgʻulotlarimizdan ma‘lumki
Bu yerda orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli koʻzlasak u holda quyidagiga ega boʻlamiz:
Shu yerdan xx0 , va q0 hamda ekanligini bilib quyidagiga ega boʻlamiz:
(0.9)
Shunday qilib koʻpgina hollarda baholash qiyinchilik tug‘diradi, lekin h ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:
demak
(0.10)
|
| |