Chiziqli bir - Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar yechimining tuzilishi. (1.26) tenglamalarning umumiy yechimlarini topishda ularning
y1(x), y2 (x),..., yn (x)
xususiy yechimlarining chiziqli bog`liq va chiziqli
erkliligi asosiy rol o`ynaydi.
Agar bir vaqtda nol bo`lmagan shunday
n
1,2,...,n
o`zgarmas
sonlar mavjud bo`lsaki, i yi ( x) 0 ,
i 1
x a, b
ayniyat o`rinli bo`lsa,
y1(x), y2
(x),..., yn
(x)
funksiyalar sistemasi
x a, b da chiziqli bog‘liq
sistema deyiladi. Agar bu ayniyat barcha
i 0 bo`lgandagina bajarilsa,
y1(x), y2 (x),..., yn (x) funksiyalar sistemasi
x a, b da chiziqli erkli
sistema deyiladi.
Agar x a, b da (n-1) –tartibligacha hosilalari uzluksiz bo`lgan
y1(x), y2 (x),..., yn (x)
W x Wy1, y2 ,. , yn
funksiyalar sistemasining Vrоnskiy determinanti
x a,bda aynan nolga teng bo`lsa, ya‟ni
W ( x)
y1 y1
.
y
( n 1) 1
y2 y2
.
y
n 1
2
...
...
.
...
yn
yn 0
.
y
n 1
n
bo`lsa,
y1(x), y2 (x),..., yn (x)
funksiyalar sistemasi a,b da chiziqli bog„liq
sistema bo`ladi. Agar a, b
oraliqning hech bir nuqtasida
W x Wy1, y2 ,. , yn 0
bo`lsa,
y1(x), y2 (x),..., yn (x)
funksiyalar
sistemasia,bda chiziqli erkli sistema bo`ladi.
n- tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning nta chiziqli erkli yechimlari sistemasi uning fundamental yechimlari sistemasi deyiladi.
Teorema. Agar
y1(x), y2 (x),..., yn (x)
funksiyalar chiziqli bir jinsli
differensial tenglama yechimlarining fundamental sistemasi bo„lsa, u holda
bu tenglamaning umumiy yechimi
y1(x), y2 (x),..., yn (x) yechimlarining
y C1 y1x C2 y2 x... Cn yn x,
chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo„ladi, bu yerda o„zgarmaslar.
C1,C2 ,...,Cn lar ixtiyoriy
O`zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ushbu
y(n) a y(n1) ... a y a
y 0
(1.27)
1 n1 n
tenglama o`zgarmas koeffitsientlin - tartiblichiziqli bir jinsli differensial
tenglama deyiladi. Bu yerda
a0 , a1,..., an
koeffitsientlar - biror haqiqiy
sonlar. (1.27) tenglamaning fundamental yechimlari sistemasini topish uchun uning
kn a kn1 ... a k a 0
(1.28)
1 n1 n
xarakteristik tenglamasi tuziladi. (1.28) tenglama n - tartibli bo`lgani uchun uning n ta ildizi mavjud, ular haqiqiy yoki kompleks, orasida karralilari ham bo`lishi mumkin.
(1.27) tenglamaning umumiy yechimi (1.28) tenglama yechimlarining xarakteriga bog`liq quyidagicha tuziladi:
har bir k sodda haqiqiy yechimga umumiy yechimda qo`shiluvchi mos keladi;
Сekx
ko`rinishdagi
har bir m karrali k haqiqiy yechimga umumiy yechimda
С С x ... C
xm1 ekx
ko`rinishdagi qo`shiluvchi mos keladi;
1 2 m
har bir juft
k1,2 i
qo`shma kompleks sodda yechimga umumiy
yechimda
ex С
cos x С2
sin x ko`rinishdagi qo`shiluvchi mos keladi;
1
har bir juft m karrali k1,2 i qo`shma kompleks yechimga umumiy
yechimda ex С С x ... C xm1cos x С С x ... C
xm1sin x
1 2 m 1 2 m
ko`rinishdagi qo`shiluvchi mos keladi.
Xususan, ushbu
y py qy 0
(1.29)
o`zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning
k 2 pk q 0
xarakteristik tenglamasi ildizlari uchun uch hol:
(1.30)
haqiqiy va har xil
k1 k2 ;
haqiqiy va teng
k1 k2 k ;
qo`shma-kompleks
k1,2 i
bo`lishi mumkin.
Bu hollarga (1.29) tenglamaning quyidagi fundamental yechimlari va umumiy yechimi mos keladi:
y
ek1 x , y
ek2 x , y C ek1 x C ek2 x .
1
y1
2
2
ek1 x , y
1 2
1
2
1
xek2 x , y C C xek1 x .
y1
ex cos x, y
ex sin x, y ex C
cos x C2
sin x.
2
misol.
yеchimini tоping.
y 5 y 6 y 0
diffеrеnsial tеnglamaning umumiy
Bеrilgan tеnglamaga mоs xaraktеristik tеnglamani tuzamiz:
k 2 5 k 6 0.
Xaraktеristik tеnglamaning ildizlari umumiy yеchim:
k1 2,
k2 3
bo`lgani uchun
y С e2x С e3x .◄
misоl.
1 2
y 6y 9 y 0 diffеrеnsial tеnglamaning umumiy
yеchimini tоping.
k3 6 k2 9 k 0
xaraktеristik tеnglamasi
k1 0 sodda va
k2 k3 3 ikki karrali haqiqiy
ildizlarga ega. Shuning uchun bеrilgan tеnglamaning umumiy yеchimi:
y С1 С2 С xe .◄
3
3x
misоl.
y 4 y 13 y 0
diffеrеnsial tеnglamaning umumiy
yеchimini tоping.
Bеrilgan tеnglamaning xaraktеristik tеnglamasi
k1,2 2 3i
k2 4k 13 0
qo`shma-kompleks ildizga ega. Shuning uchun bеrilgan
tеnglamaning umumiy yеchimi:
1
y e2x С
cos x С2
sin x.◄
misоl. y y 2y 0
diffеrеnsial tеnglamaning
x 0
bo`lganda
y 8,
y 7
bo`ladigan xususiy yеchimini tоping.
Bеrilgan tеnglamaga mоs xaraktеristik tеnglama va ildizlari
k 2 k 2 0 , k1 1,
k2 2
Dеmak, umumiy yechim:
y C ex C
e2 x
. U holda
1
2
y C1ex 2C2e2x .
x 0
bo`lganda
y 8,
y 7
bоshlang`ich shartlarga asоsan,
C1 C2 8
C 2C 7
1 2
tеnglamalar sistеmasi hоsil bo`ladi. Оxirgi tеnglamalar sistеmasidan
C1 3,
yеchim:
C2 5
larni aniqlaymiz. Shunday qilib, izlanayotgan xususiy
y 3ex 5e2x .◄
O`zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar. Ushbu
1
y(n) a y(n1) ... a
n1
y an y
f (x)
(1.31)
tenglama o`zgarmas koeffitsientli n – tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama deyiladi.
|