1 elementárna kvantová mechanika - bet 14

Obr. 1. 13
Zaujímajme sa teraz o časovú závislosť vlnovej funkcie. Pýtame sa ako bude v čase t ≠ 0 vyzerať vlnová funkcia, ktorá v čase t = 0 má tvar (1). Podľa intuitívnych argumentov z článku 1.7 očakávame nejakú harmonickú závislosť od času, s frekvenciou odpovedajúcou energii základného stavu, teda
(5)
V naivnej analógii s mechanickými kmitmi struny by sme predpokladali závislosť
ψ1(x, t) = A cos (1t) sin (x/L) (6)
Vzťah (6) ale nemôže byť konzistentný s Bornovou pravdepodobnostnou interpretáciou: napríklad v čase t = /(21) by vlnová funkcia bola identicky rovná nule. To by znamenalo nulovú pravdepodobnosť nájsť elektrón na úsečke, preto hypotézu (6) musíme odmietnuť. V obore reálnych funkcií by sa nám nepodarilo nájsť vlnovú funkciu konzistentnú so všetkými fyzikálnymi požiadavkami. Ak však pripustíme komplexné vlnové funkcie, potom ako prijateľnú hypotézu možno vziať
(7)
Funkcia (7) je normovaná v každom čase podľa vzťahu (2), je „monochromatická“ (t. j. časová závislosť je určená jedinou frekvenciou), čo znamená, že energia elektrónu je striktne určená. Navyše vlnová funkcia (7) vyhovuje i intuitívnej predstave o stacionárnosti základného stavu: hustota pravdepodobnosti |ψ1(x, t)|2 nezávisí od času a je rovná (3). Obdobné úvahy by sme mohli použiť i pri diskusii excitovaných stavov. Ako výsledok uveďme teda všeobecne, že vlnové funkcie stacionárnych stavov častice viazanej na úsečku sú
(8)
kde
(9)
Intuitívnou argumentáciou sme teda prišli k záveru, že Bornova pravdepodobnostná interpretácia vyžaduje, aby vlnové funkcie boli vo všeobecnosti komplexné. Naše argumenty, samozrejme, nemohli mať presvedčivosť deduktívneho postupu. Pri deduktívnom spôsobe výstavby formalizmu kvantovej mechaniky (presnejšie vlnovej mechaniky) predstavuje požiadavka komplexnosti vlnových funkcií jeden z jej dôležitých postulátov.
Ako druhý príklad teraz uvažujme voľnú časticu v jednorozmernom prípade. Ak hybnosť a energia elektrónu sú p a E = p2/(2m) potom – podľa de Broglieho vzťahov – príslušná vlnová funkcia má mať tvar postupnej rovinnej vlny s vlnovou dĺžkou a frekvenciou danou vzťahmi podľa (6.1)
= 2/k = 2ħ/p, = E/ħ = p2/(2mħ)
Energia častice v uvažovanom stave je presne určená. V prípade elektrónu viazaného na úsečku stavy s presne určenou energiou mali dôležitú vlastnosť: boli stacionárne, príslušná hustota pravdepodobnosti v x-priestore nezávisela od času. Ak predpokladáme, že to je všeobecná vlastnosť stavov s presne určenou energiou, potom musíme aj hľadanú rovinnú vlnu vyjadriť tak, aby jej prislúchajúca hustota pravdepodobnosti nezávisela od času. Nemôžeme teda voliť reálnu vlnovú funkciu napríklad C sin (kx − t). Požiadavke stacionárnosti vyhovuje komplexná rovinná vlna
ψ(x, t) = Ce−iteikx (10)
Poznamenajme, že vlnová funkcia je definovaná na celej priamke x, ale nemôže pri žiadnej voľbe konštanty C spĺňať podmienku normovanosti
Neskoršie si ukážeme, že tento fakt nepredstavuje podstatnú ale len formálnu komplikáciu. Nateraz nám stačí, že stacionárnym stavom voľnej častice odpovedajú vlnové funkcie typu (10).
V našich doterajších úvahách sme sa zaoberali len stacionárnymi stavmi kvantovomechanických sústav. Odpovedala im určitá energia a vlnová funkcia, ktorú sme im priraďovali, mala časovú závislosť danú vzťahom typu
(x, t) = exp(−iEt/ħ)(x) (11)
kde (x) už nezávisela od času.
Stacionárne stavy však nie sú jediné možné stavy sústavy. So stavmi všeobecnejšieho typu sa oboznámime v nasledujúcom článku. Aj všeobecným stavom budeme priraďovať vlnové funkcie a vysvetľovať ich v zmysle Bornovej pravdepodobnostnej interpretácie.
Upozornime však na to, že tak ako v klasickej mechanike aj v kvantovej mechanike pojem „stav sústavy“ sa týka určitého zvoleného okamihu. V klasickej mechanike napríklad stav jednej častice v čase t0 je určený jej polohou r(t0) a hybnosťou p(t0). Ak zadáme polohu a hybnosť častice ako funkciu času, zadávame tým vlastne postupnosť stavov, ktorými častica prechádza. Pojem stav v kvantovej mechanike nemáme zatiaľ presne definovaný, používame ho iba intuitívne. Ak ale hovoríme, že stavu je priradená nejaká vlnová funkcia, potom pri starostlivejšej formulácii by sme mali hovoriť, že stavu častice v okamihu t0 je priradená vlnová funkcia ψ(r, t0) (t. j. funkcia súradníc definovaná v okamihu t0). Ak sústava behom časového vývoja prechádza rôznymi stavmi, potom týmto stavom sú v jednotlivých okamihoch priradené rôzne vlnové funkcie, čo môžeme vyjadriť ako časovú závislosť vlnovej funkcie ψ(r, t). Na miestach kde by mohlo prísť k nedorozumeniu, budeme preto ψ(r, t0) nazývať presnejšie stavovou vlnovou funkciou a ψ(r, t) časovou závislosťou vlnovej funkcie. Tam, kde bude význam zrejmý z kontextu, budeme v obidvoch prípadoch hovoriť jednoducho o vlnovej funkcii.
|