Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről - bet 4

|
Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről
|
bet | 4/4 | Sana | 31.12.2019 | Hajmi | 411 Kb. | | #7603 |
Kulcsfogalmak/
fogalmak
|
Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat.
|
Tematikai egység/ Fejlesztési cél
|
4. Geometria
|
Órakeret
42 óra
|
Előzetes tudás
|
Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata.
|
A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai
|
Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.
|
Ismeretek
|
Fejlesztési követelmények
|
Kapcsolódási pontok
|
Szinusztétel, koszinusztétel.
|
Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).
|
Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre.
Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.
|
Síkidomok kerületének és területének számítása.
|
Ismeretek alkalmazása.
|
Földrajz: felszínszámítás.
|
Pitagoraszi összefüggés egy szög szinusza és koszinusza között. Összefüggés a szög és a mellékszöge szinusza, illetve koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként.
|
A trigonometrikus azonosságok megértése, használata.
Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában.
|
|
Egyszerű trigonometrikus egyenletek. Trigonometrikus egyenletre vezető, háromszöggel kapcsolatos valós problémák. Azonosság alkalmazását igénylő egyszerű trigonometrikus egyenlet.
|
A problémához hasonló egyszerű probléma keresése.
|
Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.
|
Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele.
|
A művelet újszerűségének felfedezése.
A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése.
|
Fizika: mechanikai munka, mágneses fluxus.
|
Helyvektor.
|
Emlékezés: jelek, jelölések, megállapodások.
|
Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.
|
Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.
|
A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése.
|
Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram).
|
A helyvektor koordinátái.
Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái.
|
Képletek értelmezése, alkalmazása.
|
Fizika: hely megadása.
|
Két pont távolsága, a szakasz hossza.
|
Képletek értelmezése, alkalmazása.
|
|
A kör egyenlete.
|
Geometria és algebra összekapcsolása.
|
Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).
|
Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.
|
Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.
|
Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).
|
Iránytangens és az egyenes meredeksége.
|
|
Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.
|
A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.
|
Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.
|
|
Az egyenes egyenlete.
Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele.
|
Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.
|
Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).
|
Két egyenes metszéspontja.
Kör és egyenes kölcsönös helyzete.
|
Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).
|
Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).
|
A kör adott pontjában húzott érintője.
|
A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása.
|
Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).
|
A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.
|
Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.
|
Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata).
Fizika: égitestek pályája.
|
Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek), kúpszerű testek (gúlák és kúpok), csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb.
|
A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).
|
Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).
Kémia: kristályok.
|
A tanult testek felszínének, térfogatának kiszámítása. Gyakorlati feladatok.
|
A valós problémákhoz modell alkotása: geometriai modell. Ismeretek megfelelő csoportosítása.
|
Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).
|
Kulcsfogalmak/ fogalmak
|
Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz. Felszín, térfogat.
|
Tematikai egység/ Fejlesztési cél
|
5. Valószínűség, statisztika
|
Órakeret
20 óra
|
Előzetes tudás
|
A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.
|
A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai
|
Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek értelmezése az események között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének megértése.
|
Ismeretek
|
Fejlesztési követelmények
|
Kapcsolódási pontok
|
Eseményekkel végzett műveletek. Példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre.
Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre.
|
A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása. Logikai műveletek, halmazműveletek és események közötti műveletek összekapcsolása.
|
Informatika: folyamatok, kapcsolatok leírása logikai áramkörökkel.
|
Véletlen esemény, valószínűség.
A valószínűség matematikai definíciójának bemutatása példákon keresztül.
|
A véletlen kísérletekből számított relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.
|
|
A valószínűség klasszikus modellje.
Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.
|
A modell és a valóság kapcsolata.
|
|
Egyszerű valószínűség-számítási problémák.
|
Ismeretek mozgósítása, tanult kombinatorikai módszerek alkalmazása.
|
Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.
|
Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén. Visszatevés nélküli mintavétel.
|
Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.
|
Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.
|
Adathalmazok jellemzői: átlag, medián, módusz, terjedelem, szórás. Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal.
|
A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése.
Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése.
Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.
|
|
Kulcsfogalmak/ fogalmak
|
Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. Szórás.
|
Tematikai egység/ Fejlesztési cél
|
Rendszerező összefoglalás
|
Órakeret
40 óra
|
Előzetes tudás
|
A középiskolai matematika anyaga.
|
A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai
|
A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás.
Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.
|
Ismeretek
|
Fejlesztési követelmények
|
Kapcsolódási pontok
|
Gondolkodási és megismerési módszerek
|
Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.
|
A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer).
|
|
Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.
|
Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.
|
Filozófia: logika ‑ a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez.
Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése.
Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.
|
A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.
|
Halmazok eszközjellegű használata.
|
|
Definíció és tétel. A tétel bizonyítása. A tétel megfordítása.
|
Emlékezés a tanult definíciókra és tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során.
|
|
Bizonyítási módszerek.
|
Direkt és indirekt bizonyítás közötti különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése.
|
Filozófia: szillogizmusok.
|
Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal.
|
Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése.
Gondolatmenet szemléltetése gráffal.
|
|
Műveletek értelmezése és műveleti tulajdonságok.
|
Absztrakt fogalom és annak konkrét megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.
|
|
Számtan, algebra
|
Gyakorlati számítások.
|
Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.
|
Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.
|
Egyenletek és egyenlőtlenségek.
|
Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével.
|
|
Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.
|
Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.
|
Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata
|
Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.
|
Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása.
Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.
|
|
Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.
|
Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.
|
|
Elsőfokú és egyszerű másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.
|
A tanult megoldási módszerek biztos alkalmazása.
|
|
Egyenletekre, egyenlőtlenségekre vezető gyakorlati életből vett és szöveges feladatok.
|
Matematikai modell (egyenlet, egyenlőtlenség) megalkotása, vizsgálatok a modellben, ellenőrzés.
|
Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.
|
Összefüggések, függvények, sorozatok
|
A függvény megadása. A függvények tulajdonságai.
|
Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete.
Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban.
Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.
|
|
A tanult alapfüggvények ismerete.
|
Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).
|
|
Függvénytranszformációk: , ; ; . Eltolás, nyújtás és összenyomás a tengelyre merőlegesen.
|
Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és geometriai transzformációk.
|
|
Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint.
|
Emlékezés, ismeretek mozgósítása.
|
|
|
Függvények használata valós folyamatok elemzésében.
Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.
|
Fizika, kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.
|
Geometria
|
Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.
|
|
|
Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge.
Távolságok és szögek kiszámítása.
|
Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.
|
|
Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál.
|
|
|
Egybevágóság, hasonlóság. Szimmetriák.
|
Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.
|
|
Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.
A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között.
A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések.
|
Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.
A problémának megfelelő összefüggések felismerése, alkalmazása.
|
|
Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.
Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.
|
Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.
|
|
Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.
Számítási feladatok.
|
|
|
Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer.
Matematikatörténet:
a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig.
|
|
|
Vektorok alkalmazásai.
|
|
|
Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két alakzat közös pontja.
Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák.
|
Geometria és algebra összekapcsolása.
|
|
Valószínűség-számítás, statisztika
|
Diagramok. Statisztikai mutatók: módusz, medián, átlag, szórás.
|
Adathalmazok jellemzése önállóan választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése.
|
Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése.
|
Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége.
A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján.
A véletlen törvényszerűségei.
|
A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban.
A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.
|
Technika, életvitel és gyakorlat; biológia-egészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.
|
Kulcsfogalmak/
fogalmak
|
Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.
|
A fejlesztés várt eredményei a két évfolyamos ciklus végén
|
Gondolkodási és megismerési módszerek
A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.
A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában.
Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.
Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.
A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából.
A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.
A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani
A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is.
Számtan, algebra
A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete.
A logaritmus fogalmának ismerete.
A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából.
Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése.
A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával.
Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban.
Összefüggések, függvények, sorozatok
Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása.
Függvénytranszformációk végrehajtása.
Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete.
Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése.
A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások.
Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.
Geometria
Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében.
A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban.
A valós problémákhoz geometriai modell alkotása.
Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása.
Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása.
Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása.
A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.
Valószínűség, statisztika
Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.
A valószínűség matematikai fogalma.
A valószínűség klasszikus kiszámítási módja.
Mintavétel és valószínűség.
A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni.
Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét.
Összességében
A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat.
Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat.
Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.
Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket.
Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni.
A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket.
A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére.
A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége.
A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.
|
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről
|