Elektrostatika

ELEKTROSTATIKA
8.NODAĻA. ELEKTROSTATISKAIS LAUKS
VAKUUMĀ.
8.1. Elektrisko lādiņu nezūdamības likums. Kulona likums.
Elektriskais lādiņš ir diskrēts, t.i., ir vesels skaits elementārā elektriskā lādiņa: . Elektrons ()
un protons () ir attiecīgi negatīvā un pozitīvā elementārlādiņa nesēji. Eksperimentāli iegūts lādiņu nezūdamības likums:
jebkuras noslēgtas sistēmas elektrisko lādiņu algebriskā
summa nemainās neatkarīgi no sistēmā notiekošiem
procesiem.
Elektriskais lādiņš ir invariants, t.i., nav atkarīgs no atskaites sistēmas, tātad, nav atkarīgs no lādiņu kustības.
Lādiņa nesēji nosaka vielas spēju vadīt elektrisko strāvu. Visas vielas dalās: 1)vadītāji – vielas, kurās elektriskie lādiņi var pārvietoties pa
visu vadītāja tilpumu,
a)pirmā veida vadītāji – lādiņu pārvietošanās nav
saistīta ar ķīmiskiem procesiem (metāli),
b)otrā veida vadītāji – lādiņu pārvietošanās noved
pie ķīmiskām izmaiņām vielā;
2)dielektriķi – vielas, kuras nevada elektrisko strāvu;
3)pusvadītāji – starpstāvoklis, pie kam elektrovadāmība spēcīgi
atkarīga no temperatūras.
Šāds sadalījums ir nosacīts, tomēr lielā atšķirība elektrovadāmībā nosaka būtiskas atšķirības to īpašībās un atļauj šādu sadalījumu izdarīt.
Elektriskā lādiņa mērvienība SI sistēmā ir C (kulons).
Kulons ir elektriskais lādiņš, kāds izplūst caur šķērsgriezuma laukumu, plūstot 1A strāvai 1sekundi.
Kulona likums attiecās uz punktveida lādiņiem.
Par punktveida lādiņu sauc tādu, kurš koncentrēts ķermenī, kura lineāros izmērus var neņemt vērā salīdzinot ar attālumu līdz citiem lādētiem ķermeņiem, ar kuriem tas mijiedarbojas.
Kulona likums:
mijiedarbības spēks starp diviem punktveida
lādiņiem, kuri atrodas vakuumā, proporcionāls
lādiņiem un apgriezti proporcionāls attāluma
kvadrātam starp tiem.
, vektoriāli:
Vidē , kur - vides dielektriskā
caurlaidība,
, kur 0 – elektriskā konstante,
.
8.2. Elektriskais lauks, tā intensitāte. Lauku superpozīcijas
princips.
Ja telpā, kurā atrodas elektriskais lādiņš, ievieto otru lādiņu, tas uz to darbojas Kulona spēks.
TĀTAD telpā ap elektriskajiem lādiņiem eksistē spēka lauks, t.i., elektriskais lauks, ar kura palīdzību notiek mijiedarbība starp elektriskajiem lādiņiem.
Ja lauku rada nekustīgi elektriskie lādiņi, tad to sauc par elektrostatisko lauku.
Elektrostatiskā lauka pētīšanai izmanto tā saucamo mēģinājuma lādiņu q0, t.i., tādu lādiņu, kurš ar savu klātbūtni neizkropļo pētāmo lauku.
Ja lauku rada lādiņš q un tajā ievieto q0, tad uz q0 darbojas spēks F.
Attiecība nav atkarīga no q0 un raksturo elektrostatisko lauku tajā punktā, kur ievietots q0. Šo attiecību sauc par elektrostatiskā lauka intensitāti: . Intensitātes mērvienība .
Virziens:
Punktveida lādiņa radītais elektrostatiskais lauks:
vai
Grafiski elektrostatisko lauku attēlo ar spēka (intensitātes) līnijām: tās ir līnijas, kurām pieskare katrā to punktā sakrīt ar intensitātes vektora virzienu.
Ja gan skaitliski gan vektoriāli, spēka līnijas ir paralēlas un elektrostatisko lauku sauc par homogēnu.
Punktveida lādiņa gadījumā spēka līnijas ir radiālas.
Ar spēka līnijām var raksturot arī elektrostatiskā lauka intensitātes skaitlisko vērtību: līniju skaits cauri virsmas vienībai, kas perpendikulāra intensitātes vektoram ir vienāds ar intensitātes skaitlisko vērtību.
Tad cauri laukumam dS līniju
skaits būs: .
Lielumu sauc
par intensitātes vektora
plūsmu.
Patvaļīgai slēgtai virsmai: .
virzienu izvēlas patvaļīgi. Slēgtām virsmām par pozitīvu uzskata to ārējo normāli.
Ja elektrostatisko lauku rada lādiņu sistēma q1,q2,q3,..qn, tad kopējo spēku var izteikt kā atsevišķo lādiņu radīto spēku ģeometrisko summu: . Šādi var rakstīt, jo eksistē spēku darbības neatkarības princips. Bet no tā izriet, ka . Šī izteiksme izsaka elektrostatisko lauku superpozīcijas principu.
Šis princips ļauj atrast jebkuras nekustīgu lādiņu sistēmas elektrostatisko lauku.
8.3. Gausa teorēma elektrostatiskam laukam vakuumā.
Elektrostatiskā lauka aprēķinu ar superpozīcijas principu var vienkāršot, izmantojot teorēmu, kas nosaka intensitātes vektora plūsmu cauri noslēgtai virsmai. Uzraksta plūsmu caur sfēru, kura aptver punktveida lādiņu:
.
Šis rezultāts spēkā jebkurai noslēgtai virsmai:.
Ja virsma ietver n lādiņus, tad saskaņā ar superpozīcijas principu:
.
Šī formula ir Gausa teorēma: elektrostatiskā lauka intensitātes vektora plūsma vakuumā caur jebkuru noslēgtu virsmu ir vienāda ar šajā virsmā ietverto elektrisko lādiņu summu, dalītu ar 0.
8.4. Gausa teorēmas pielietojumi.
1)Vienmērīgi uzlādētas bezgalīgas plāksnes elektrostatiskais lauks.
Plāksne uzlādēta ar virsmas lādiņa blīvumu .
E caur cilindra sānu virsmām ir nulle, jo lauka intensitātes vektors perpendikulārs plāksnei.
Plūsma caur cilindra pamata
laukumiem:
tad
E nav atkarīgs no cilindra garuma, tātad lauka intensitāte visos punktos vienāda. Tāds lauks ir homogēns.
2)Divu paralēlu vienmērīgi lādētu pretēju zīmju lādiņiem bezgalīgu plākšņu elektrostatiskais lauks.
tad
Elektrostatiskais lauks ir
homogēns.
3)Vienmērīgi lādētas sfēriskas virsmas elektrostatiskais lauks.
Tā kā lādiņš vienmērīgi
sadalīts pa sfērisko
virsmu, tad elekto-
statiskajam laukam ir
sfēriska simetrija.
Tāpēc vērsts
radiāli. Ja , tad
un
. Ja , tad noslēgtā virsma lādiņu nesatur un E=0.Sfēriskas lādētas virsmas elektrostatiskais lauks ir tāds pats, kādu radītu punktveida lādiņš, kurš novietots sfēras centrā.
4)Tilpumā lādētas lodes elektrostatiskais lauks.
Lode uzlādēta ar tilpuma lādiņa blīvumu
Lodes ārpusē, kur r>R, tās lauku aprēķina tāpat kā sfēriskai virsmai
. Ja r/
. Uzraksta Gausa teorēmu:
; izsaka un tad lodes iekšpusē
5)Vienmērīgi lādēta bezgalīgi gara cilindra elektrostatiskais lauks.
Cilindrs vienmērīgi uzlādēts ar lineāro lādiņa blīvumu
Elektrostatiskā lauka
intensitātes vektors
radiāls, pie kam E
perpendikulārs
aptverošai virsmai
un E=0 caur pamat-
laukumiem. Ja r>R
, tad . Ja r8.5. Elektrostatiskā lauka intensitātes vektora
cirkulācija.
Ja punktveida lādiņa q radītajā elektrostatiskajā laukā pārvietosies otrs punktveida lādiņš q0, tad spēks, kurš pielikts lādiņam q0, veic darbu. Noejot ceļu dl, tiek veikts darbs:
, tā kā ,
tad .
.
K
+q
ā redzams, darbs nav atkarīgs no trajektorijas.
To raksturo tikai punkta stāvokļi 1 un 2.
Tas nozīmē, ka elektrostatiskais lauks punktveida lādiņam ir potenciāls, bet elektrostatiskie spēki – konservatīvi.
No formulas redzams, ka darbs pa noslēgtu trajektoriju:
. Ja q0 pieņem vienu vienību lielu pozitīvu lādiņu, tad
.
Šo integrāli
sauc par intensitātes vektora cirkulāciju.
Kā redzams, elektrostatiskam laukam cirkulācija vienāda ar nulli.
ir spēkā tikai elektrostatiskajam laukam. Kustīgiem lādiņiem elektrostatiskais lauks vairs nav potenciāls un intensitātes vektora cirkulācija nav vienāda ar nulli.
8.6. Elektrostatiskā lauka potenciāls.
Tā kā ķermenim, kurš atrodas potenciālā laukā, piemīt potenciālā enerģija, tad elektrostatiskajam laukam arī jābūt potenciālai enerģijai un darbs tiek veikts uz potenciālās enerģijas samazināšanās rēķina.
, tas ir, lādiņa q0 potenciālā enerģija lādiņa q elektrostatiskajā laukā ir:
. Ja izvēlas, ka U=0, kad r, tad C=0 un . Vienas zīmes lādiņiem qq0>0 un W>0,
pretēju zīmju lādiņiem qq0<0 un W<0.
Ja lauku rada n lādiņi ,tad .
No abām pēdējām formulām izriet, ka nav atkarīgs no q0 un var kalpot par elektrostatiskā lauka enerģētisko raksturotāju, ko sauc par potenciālu: .
Potenciāls jebkurā elektrostatiskā lauka punktā ir fizikāls lielums, kurš vienāds ar tāda vienības lādiņa potenciālo enerģiju, kurš novietots šajā punktā.
Tā kā , tad punktveida lādiņa potenciāls:
. , bet A12 ir arī
un
, kur integrēt var pa jebkuru līniju, kura savieno divus telpas punktus. Ja q0 pārvieto no dotā telpas punkta uz
bezgalību, tad
un . Potenciāls vienāds ar darbu pozitīva vienības lādiņa pārvietošanai no dotā punkta uz bezgalību.
No redzams, ka potenciāla mērvienība volts (V). Viens volts ir potenciāls tādā elektrostatiskā lauka punktā, kurā vienu kulonu lielam lādiņam ir vienu džoulu liela potenciālā enerģija.
No formulām un izriet, ka, ja lauku rada n lādiņi, tad šādas lādiņu sistēmas potenciāls ir visu n lādiņu potenciālu algebriskā summa. Šajā faktā ir potenciāla kā skalāra lauka enerģētiskā raksturotāja priekšrocība salīdzinot ar , kas ir ģeometriskā summa.
8.7. Intensitāte kā potenciāla gradients. Ekvipotenciālās
virsmas.
Intensitāte elektrostatiskā lauka spēka raksturotājs, bet potenciāls ir elektrostatiskā lauka enerģētisks raksturotājs.
Tā kā abi lielumi raksturo vienu un to pašu elektrostatisko lauku, tad starp tiem jābūt kādai sakarībai. To meklē kā vienības lādiņa q0 pārvietošanas darbu X ass virzienā par attālumu x: .
Tas pats darbs būs . Tātad un
. Parciālatvasinājuma simbols parāda, ka atvasināšana ir notikusi tikai pēc x. Varētu rakstīt analogas izteiksmes y un z asu virzienos. Tādā gadījumā: . Šādu izteiksmi sauc par gradientu, t.i.,
“-“ zīme norāda, ka intensitātes vektors vērsts potenciāla samazināšanās virzienā.
Lai elektrostatiskā lauka potenciālu attēlotu grafiski, izmanto ekvipotenciālas virsmas: virsmas , kuru visos punktos potenciāls ir vienāds. Ja elektrostatisko lauku rada punktveida lādiņš, tad ekvipotenciālās virsmas ir koncentriskas sfēras, bet spēka (intensitātes) līnijas – radiālas taisnes. Tātad punktveida lādiņa elektrostatiskā lauka intensitātes vektors vērsts perpendikulāri ekvipotenciālajām virsmām. Šo secinājumu var vispārināt uz jebkuru elektrostatisko lauku. vienmēr ir perpendikulārs ekvipotenciālajām virsmām. Tas ir tāpēc, ka potenciāls visos ekvipotenciālās virsmas punktos ir vienāds, un darbs lādiņa pārvietošanai pa virsmu ir 0, t.i., spēks, kas darbojas uz lādiņu, vienmēr perpendikulārs virsmai.
Ap lādiņu sistēmu var uzzīmēt neierobežotu skaitu ekvipotenciālo virsmu, tomēr parasti šīs virsmas zīmē tā, lai potenciālu starpība starp jebkurām divām blakus virsmām būtu vienāda. Tādā gadījumā ekvipotenciālo virsmu blīvums uzskatāmi parāda elektrostatiskā lauka intensitāti dažādos punktos.0>
|