Opća baza brojevnog sustava

Opća baza brojevnog sustava
Kao što smo definirali sustave s bazama 2, 10 i 16, moguće je definirati sustav s bilo kojom bazom B. Općenito ćemo broj iz sustava s bazom B pretvarati u dekadski brojevni sustav tako da mu znamenke množimo s rastućim potencijama broja B, idući od desna prema lijevo.
Broj X ćemo iz dekadskoga brojevnog sustava u sustav s bazom B pretvarati uzastopnim dijeljenjem brojem B i zapisivanjem ostataka cjelobrojnog dijeljenja. Ostatci pročitani unatrag daju zapis broja X u sustavu s bazom B.
Pogledajmo prvo primjere s bazom B = 8 (oktalni brojevni sustav).
Primjer
Pretvorimo sljedeće brojeve iz sustava s bazom B = 8 (oktalnog) u dekadski:
a)
b)
Rješenje
Kao što smo i rekli, brojeve ćemo iz sustava s bazom B = 8 pretvarati u dekadski tako da im znamenke množimo rastućim potencijama broja 8, počevši od krajnje desne znamenke. Dakle, .
b)
.
Primjer
Pretvorimo sljedeće brojeve iz dekadskog brojevnog sustava s bazom B = 8:
a) 15
b) 354
Rješenje
ostatak cjelobrojnog dijeljenja broja 15 s B = 8
a)
15 7
1 1
15 cjelobrojno podijeljeno s B = 8
0
Dakle, oktalni zapis dekadskoga broja 15 je .
b)
Zapis dekadskog broja 354 u sustavu s bazom 8 je .
U nastavku pogledajmo primjer s različitim bazama brojevnog sustava.
Primjer
Odredimo najmanje prirodne brojeve x i y za koje vrijedi: .
Rješenje
Primjer ćemo riješiti tako da oba broja pretvorimo u dekadski brojevni sustav. Prije pretvaranja brojeva u dekadski brojevni sustav primijetimo da x mora biti veći ili jednak od 4 dok y mora biti veći ili jednak od 5. Naime, da bi 23 mogao biti broj u sustavu s bazom x, baza x mora imati znamenke 2 i 3. Najmanja baza koja ima znamenke 2 i 3 jest baza 4, dakle, x mora biti veći od 4 ili jednak 4.
Dakle: možemo pisati kao: , iz čega slijedi: , odnosno . Budući da mora biti x ≥ 4 i y ≥ 5, slijedi da su najmanji x i y za koje vrijedi jednakost : x = 9, y = 5. Primijetimo da jednakost vrijedi i za primjerice: x = 11, y = 6 itd.
Prije prikaza negativnoga broja metodom dvojnog komplementa razmotrimo prikaz komplementa (lat. complementum – dopuna, upotpunjivanje) u dekadskom sustavu.
Komplement dekadske znamenke dobit ćemo tako da vrijednost te pojedine znamenke oduzmemo od broja 9. Tako je primjerice komplement znamenke 1 znamenka 8, komplement znamenke 2 je znamenka 7 itd. Komplement višeznamenkastog dekadskog broja dobit ćemo tako da zapišemo komplement svake znamenke.
Primjer
Odredimo komplement dekadskog broja 153.
Rješenje
Komplementi znamenaka su redom:
komplement znamenke 1 je 8
komplement znamenke 5 je 4
komplement znamenke 3 je 6
Znači, komplement broja 153 je broj 846.
Dvojni komplement dekadskog broja dobit ćemo tako da komplementu dodamo vrijednost 1.
Primjer
Odredimo dvojni komplement dekadskog broja 789.
Rješenje
Komplement broja 789 je broj 210. Dodavanjem broja 1 dobivenom komplementu dobit ćemo dvojni komplement traženog broja i on iznosi 211 (210 + 1).
Ovakav princip računanja komplementa odnosno dvojnog komplementa može se primijeniti na bilo koji brojevni sustav. Pri tome ćemo komplement neke znamenke dobiti tako da od najveće znamenke u tom brojevnom sustavu oduzmemo vrijednost dane znamenke. Tako ćemo primjerice u heksadekadskom brojevnom sustavu komplement znamenke dobiti tako da vrijednost znamenke oduzmemo od broja F (1510) i sl.
|