Fazodagi vektorlar - bet 2

|
Fazodagi vektorlar
|
bet | 2/7 | Sana | 21.11.2023 | Hajmi | 1,83 Mb. | | #102591 |
Bog'liq Amaliy. Vektorlar va ular ustida amallarKo'pburchak qoidasi. Bir nechta vektorni qo'shish uchun bar bir keyingi vektorning boshini undan oldingi vektorning oxiriga keltirib qo'yamiz (4-chizma). U holda birinchi vektorning A boshini oxirgi vektorning oxiri bilan tutashtiruvchi vektor berilgan vektorlarning yig'indisidan iborat bo'ladi:
=
Vektorlarni qo'shish amali quyidagi xossalarga ega:
1. Qo'shishning o'rin almashtirish xossasi:
2. Qo'shishning guruhlash xossasi:
2. Vektorlarni ayirish. Ikkita va vektorning ayirmasi deb, shartni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi va u kabi yoziladi.
Shunday qilib, va vektorlarning ayirmasini topish uchun vektorning oxiriga vektorning oxirini ko'chirish lozim (5-chizma). U holda birinchi vektorning boshini ikkinchi vektorning boshi bilan tutashtiruvchi vector va vektorlarning ayirmasidan iborat bo'ladi:
4 - chizma. . 5 - chizma.
va vektorlarning ayirmasini
6 - chizma.
tenglikdan topish mumkin. Buning uchun va vektorlarni A nuqtaga keltirib, ularda ABCD parallelogramm yasaymiz (6-chizma). So'ngra vektorni yasaymiz va va vektorlarda ABC1D1 parallelogramm yasaymiz. U holda deb yozish mumkin. Nihoyat vektorni o'ziga parallel ravishda D nuqtaga ko'chiramiz. Bundan bo'ladi.
Shunday qilib, agar va vektorlarda ABCD parallelogramm yasalgan bo'lsa, uning bitta diagonalida ular yig'indisining vektori, ikkinchisida esa ular ayirmasining vektori yotadi:
3. Vektorni songa ko'paytirish.
5 – t a' r i f. vektorning songa ko'paytmasi deb: 1) va 2) bo'lganda bo'lganda shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi.
Vektorning songa ko'paytmasi quyidagi xossalarga ega:
1. 1* 2.
3. 4.
Bu xossalarning isbotlari planimetriyadagi shu kabi xossalarning isbotiga o'xshash.
tenglikni va vektorlar kollinearligining zaruriy va yetarli sharti sifatida qarash mumkin.
2 – m a s a l a. ABCD parallelogramm va vektorlarda yasalgan va O – parallelogramm AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo'lsin. , , va vektorlarni va vektorlar orqali ifodalang.
Y e c h i 1 i s h i. ABCD parallelogrammning AC va BD diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi (7 - chizma). Shu sababli
7 - chizma.
|
,
Modomiki, va vektorlar yo'nalishdosh, , vektorlar qarama-qarshi yo'nalishda bo'lganligidan, ;
|
ekanligini olamiz. va vektorlar uchun
;
bo'ladi.
Biz tekislikdagi bazisni kollinear bo'lmagan vektorlar jufti shaklida kiritgan edik. Sunday holda bar qanday uchinchi vektorni bazisning ikkita vektori orqali ifodalash mumkin bo'lgan edi.
Fazodagi vektorlarning yuqoridagiga o'xshash xossasini qarab chiqamiz, Fazoda uchta komplanar bo'lmagan vektor berilgan bo'lsin. Bunda ixtiyoriy to'rtinchi vektorni va vektorlar orqali ifodalash mumkinligini isbotlaymiz.
vektorlarni umumiy A nuqtaga keltiramiz (8-chizma). vektorlar komplanar bo'lmaganligidan vektorlar juftining har biri tekislikni aniqlaydi. C1 uch orqali mos ravishda (ABCD), (ABB1A1) va (ADD1A1) tekisliklarga parallel tekisliklar o'tkazamiz. Natijada ABCDA1B1C1D1 prizmani hosil qilamiz. Vektorlarni qo'shish qoidasi bo’yicha
8 - chizma.
|
deb yozish mumkin. bo'lganligidan, ikki vektorning kollinearlik shartiga ko'ra, deb yozish mumkin. Shunga o'xshash, va munosabatlardan
va bo'lishi kelib chiqadi. Bu ifodalarni o'rniga keltirib qo'yib, vektor uchun = x + y + z (1)
tenglikni hosil qilamiz
|
.
(1) tenglik vektorning uchta komplanar bo'lmagan vektorlar bo'yicha yoyilmasi deyiladi. Bu holda vektorlar fazoda bazis hosil qiladi, deyiladi, x, y, z koeffitsiyentlar esa vektorning bu bazisdagi koordinatalari deyiladi va u (x; y; z)kabi yoziladi. (1) yoyilmadagi x , y , z qo'shiluvchilar vektorning (1) yoyilmasini tashkil etuvchilar deyiladi.
Berilgan bazisda vektor yoyilmasining yagonaligini isbotlaymiz. vektorning (1) yoyilmasidan farqli, yana koeffitsiyentlari boshqa bo'lgan
= x1 + y1 + z1 (2)
yoyilmasi ham mumkin bo'lsin.
Modomiki, yoyilmalar har xil ekan, ularning koeffitsiyentlari uchun
, ,
shartlardan hech bo'lmaganda bittasi bajariladi. (1) tenglikdan (2) tenglikni ayirib,
|
| |