Teorema - Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

Teorema. Chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi tenglamaning biror xususiy yechimi va bu tenglamaga mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi yig`indusiga teng.
Chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama umumiy yechimini topish uchun, agar unga mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi ma‟lum deb hisoblasak, bitta xususiy yechimini aniqlash kifoya.
Quyida o`zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan
y py qy
f x
(1.32)
tenglama uchun ixtiyoriy o`zgarmasni variatsiyalash usulini ko`rib
chiqamiz.
y1, y2
funksiyalar mos chiziqli bir jinsli tenglama (1.29) ning
fundamental yechimlari bo`lsin. U holda (1.32)ning umumiy yechimini
y(x) C1xy1 C2 xy2
ko`rinishda qidiriladi, bu yerda
C1x, C2 x funksiyalar
C1xy1 C2 xy2 0
Cxy f x
C1 x y1 2 2
tenglamalar sistemasidan aniqlanadi. Sistemaning yechimi esa
1
1
2
2
C x
y2 f xdx;
C x
y1 f xdx
1
formulalardan topiladi.
W y , y 2
W y , y
misоl.
y y tgx
diffеrеnsial tеnglamani yеching.
Bеrilgan tеnglamaga mоs bir jinsli tenglamaning xaraktеristik tеnglamasi
k1,2 i
ildizlarga ega,
k 2 1 0
y C1 cos x C2 sin x
uningi umumiy yechimi.
Berilgan tenglamaning umumiy yеchimini
y C1xcos x C2 xsin x
ko`rinishda qidiramiz. C1x, C2 x funksiyalarni
C1xсosx C2 xsin x 0,
Cxsin x Cxcos x tgx
1 2
tenglamalar sistemasidan aniqlanadi. Bu sistemani yechib, so`ng uniintegrallab quyidagilarni topamiz:
sin2 x
C1 x
,
cos x
C2 x
sin x ,
sin2 x
x
C1 x
cos x dx sin x ln tg 2 4 C1,
C2 x cos x C2 .
y C cos x C
sin x cos x ln tg x
Demak, umumiy yechim: 1 2
.◄
2
4
O„ng tomoni maxsus ko„rinishdagi o„zgаrmаs kоffitsiеntli bir jinsli bo„lmagan chiziqli diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr. Ushbu
1
y(n) a y(n1) ... a
n1
y an y
f (x)
(1.33)
tenglamada
f (x) ex P xcos x Q
xsin x ko`rinishga ega bo`lsa,
n m
o`ng tomoni maxsus ko`rinishdagi o`zgarmas koeffitsientli bir jinsli
bo`lmagan chiziqli differensial tenglama deb ataymiz. Bu yerda Pn x va
Qm x lar mos ravishda n – va m – darajali ko`phadlar, va - o`zgarmaslar. (1.33) tenglama xususiy yechimni tanlash usuli(noma’lum koeffitsientlar usuli)da yechiladi. Buning uchun xususiy yechim
l
l
y xrex P xcos x Q xsin x
(1.34)
ko`rinishda qidiriladi. Bu yerda r xarakteristik tenglama
kn a kn1 ... a k a 0
ning
i
ildizining karraligi
1 n1 n
ko`rsatkichi(agar bunday ildiz bo`lmasa,
r 0 ),
Pl x va
Qm x
lar
noma‟lum koeffitsientli l – darajali ko`phadlar, bunda
l maxn, m.
Agar
f x
funksiyada
cos x
va sin x
lardan faqat bittasi ishtirok
etsa ham y da ularning ikkalasi olinadi.
y xususiy yеchimni (1.33) tenglamaga qo`yib, ayniyatdan noma‟lum
o`zgarmas koeffitsientlar topiladi.
Agar (1.33) da f x f1x
rаvishdа
f2 x
bo`lib,
y1, y2
lar mоs
1
y(n) a y(n1) ... a
vа
n1
y an y
f1(x)
1
y(n) a y(n1) ... a
n1
y an y
f2 (x)
tеnglаmаlаrning xususiy yеchimlаri bo`lsa, (1.33) tenglamaning xususiy
yechimi
y y1 y2
ko`rinishda bo`ladi.
Eslatma. f x
mavjud:
funksiya ko`rinishining quyidagi xususiy hollari
f x Aex , A o`zgarmas ( i ) .
f x Acos x B sin x,
A va
B o`zgarmas ( i i) .
3) f x Pn x ( i 0) .
n
4) f x P xex ( i ) .
f x Pn xcos x Qm xsin x
( i i) .
f x ex Acos x B sin x,
A va
B o`zgarmas .
n
misоl.
y 3 y'2 y e3x ( x2 x)
x
y 3y'2 y 0 bir jinsli qismining xarakteristik tenglamasi va uning
ildizlari:
k 2 3 k 2 0 k
2 , k2
1 .Dеmаk,
y C e2x
- bir
1
1
jinsli tеnglаmаning umumiy yеchimi.
=3 xаrаktеristik tеnglаmаning ildizi emаs, chunki xаrаktеristik
tеnglаmаning ildizlаri
k1 2
, k2 1. Bundan,
r 0 .
Endi berilgan tеnglаmаning y xususiy yеchimini
y ( Аx2 Вх С) e3x
ko„rinishdа izlаymiz. Bundа
P (x) Аx2 Вх С ,
n
А, B, Clаr nоmа‟lum.
y (3Аx2 3Вх 3С 2Ax B)e3x ,
y (9Аx2 9Вх 9С 12Ax 6B 2A)e3x
y, y, y
lаrni bеrilgаn tеnglаmаgа qo„yib ixchаmlаsаk,
2Ax 2 (6A 2B)x 2A 3B 2C x 2 x
x2:
x:
2 A 1
6A 2B 1
A 1 ; B 1;C 1
x0:
.
2 A 3B 2C 0 2
x2
3x
y
2
x 1e
- xususiy yеchim topildi.
Demak, umumiy yеchim:
2 x
x x2
3x
y y y C1e
x 1 e . ◄
2
misol. y y 2 y ex (cos x 7sin x)
Bir jinsli qismini yechamiz:
1
y y 2 y 0, y ex k 2 k 2 0 k
1, k2
2 ,
dеmаk, y C ex C e2x . 1, 1;
i 1 i
- xаrаktеristik
1 2
tеnglаmаning ildizi emаs.
y ex ( Acos x B sin x),
y (( A B) cos x ( B A) sin x) ex ,
y (2 Asin x 2 B cos x) ex .
Topilganlarni tenglamaga qo`yamiz:
(3A B)sin x (3B A) cos x cos x 7sin x ;
3A B 7 A 2 ,
3B A 1 B 1
bundan,
y ex (2 cos x sin x) . Demak, umumiy yеchim:
*
y y y C ex C
e2x ex (2 cos x sin x) .◄
* 1 2
misol. y y 2sin x
1,2
y C1 cos x C2 sin x - bir jinsli qismining umumiy yechimi.
i i - dеmаk, i xаrаktеristik tеnglаmаning ildizi,
r 1.
y*
xAcos x B sin x ko„rinishdа izlаymiz. А, B -?
y* Acos x B sin x х( Asin x B cos x)
y* 2Asin x 2B cos x x( Acos x B sin x).
Topilganlarni tenglamaga qo`yamiz:
2Asin x 2B cos x Ax cos x Bx sin x Ax cos x Bx sin x 2sin x,
2Asin x 2B cos x 2sin x.
2 A 2 A 1 ,
2 B 0 B 0
bundan, y* x cos x . Demak, umumiy yеchim:
y y y* C1 cos x C2 sin x x cos x .◄
Ushbu
2.1 O„zgarmas koeffitsiеntli chiziqli diffеrеnsial tеnglama va tenglamalar sistemasini yеchishning opеratsion hisob usuli
x n (t) a1x(n 1) (t) an1x(t) anx(t)
f (t)
(2.1)
differensial tenglamada
a1, a2 ,..., an1, an
o`zgarmas sonlar,
x(t), x(t),..., xn1 (t), xn (t), f (t) lar asl funksiyalar bo`lsin. Quyidagi Koshi masalasi yechimini topishning operatsion usulini qaraymiz:
𝑥(0) = 𝑥0, 𝑥'(0) = 𝑥' , … , 𝑥(𝑛−1)(0) = 𝑥(𝑛−1). (2.2)
0 0
x(t)
X ( p),
f (t)
F( p)
bo`lsin. U holda aslni differensiallash
formulasidan foydalanamiz:
x(t)
pX ( p) x(0), x (t)
p2 F( p) px(0) x(0),...
x(n) (t) pn X ( p) pn1x(0) ... px(n2) (0) x(n1) (0)..
(2.1) tenglamaga tasvirlarni qo`yib, X ( p) noma‟lumga nisbatan chiziqli
tenglamani hosil qilamiz. Uni ixcham holda yozilishi
Qn ( p) X ( p) F( p) Rn1( p) . (2.3)
(2.3) tenglamadan X ( p) topiladi va uning asli (2.1) tenglamaning
(2.2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`ladi.
misol.
x x et ,
x(0) 1 tenglamani yeching.
X ( p), et
1
p 1
, x( t)
pX ( p) 1.
pX ( p) 1 X ( p)
1 ,
p 1
X ( p)
1
p 12
1
p 1
tet et , x(t) t 1et . ◄
Agar (2.1) tenglama
x(0) x(0) ... x(n1) (0) 0
(2.4) boshlang`ich
shartlar bilan berilgan bo`lsa, Dyuamel integrali yordamida quyidagicha yechiladi. Qo`shimcha
z(n) (t) a z(n1) (t) a
z(t) a
z(t) 1
(2.5)
1
z(0) z(0) ... z(n1) (0) 0
n 1 n
(2.6)
(2.4) boshlang`ich shartlar bilan berilgan (2.5) differensial tenglama
tuziladi. Quyidagi
x(t)
X ( p),
f (t)
F ( p), z(t)
Z ( p), 1 1
p
bo`lsin.
X ( p)
F ( p) , Z ( p)
Qn ( p)
1
pQn ( p)
(2.7)
tenglamani hosil qilamiz. Bundan Dyuamel integralidan foydalanib,
X ( p) pF( p)Z( p)
t
ekani ma‟lum.
yechimni topamiz.
x(t)
f (t)z(0) f ( )zt(t )d
0
(2.8)
misol.
x x sin t,
x(0) x(0) x(0) 0
tenglamani yeching.
Qo`himcha tenglama tuzamiz:
z z 1,
z(0) z(0) z(0) 0.
z(t)
Z ( p), z(t)
pZ ( p), z (t)
p2Z ( p), 1 1 .
p
Z ( p)
1
p2 ( p2 1)
1 1
p2 p2 1
, z(t) t sin t . (2.8) formuladan va
z(0) 0, zt 1 cos t ekanidan foydalanib quyidagini topamiz:
t t t
x(t) sin (1 cos(t ))d sind sin (cos t cos sin t sin )d
0 0 0
cos t
0
cos t
2
t
sin 2 d
0
sin t t
2
(1 cos 2 ) d cos t 1
0
cos t cos 2 t
4 0
1 t sin t 1 sin t sin 2 t cost 1 1 t sin t 1 (cost cos2t sin t sin 2t)
2 4 0 2 4
1 cost cost 1 t sin t 1.◄
4 2
O`zgarmas koeffitsientli oddiy chiziqli differensial tenglamalar sistemasi ham xuddi yuqoridagi kabi operatsion hisob yordamida ikki noma‟lumli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechiladi.
misol. Koshi masalasini yeching:
x y 2
y x 1,
x(0) 1,
y(0) 0.
X ( p),
y( t) Y ( p)
bo`lsin.
x(t)
pX ( p) 1,
y(t)
pY ( p), 1
1
p dan foydalanib,
sistemani qayta yozamiz:
pX ( p) 1 Y ( p) 2
Sistemani yechib,
p
1
.
pY ( p) X ( p)
p
X ( p)
2 1
p2 1 p
p 2
Y ( p)
p2 1 p
yechimni hosil qilamiz va asl funksiyalarini topamiz. Bu esa Koshi masalasining yechimi bo`ladi:
x(t) 2sin t 1 .◄
y(t) 2cos t 2
|