I.6. Binar moslik tushunchasi. Moslik graf va grafigi

I.6. Binar moslik tushunchasi. Moslik graf va grafigi
To‘plamdagi munosabatlardan tashqari ko‘pincha ikki to‘plam elementlari orasidagi munosabatlarni qarashga to‘g'ri keladi. Hayotda turlicha to‘plam elementlari orasida turli xildagi munosabatlarni o‘rnatish mumkin. Bunday munosabatlar m o s l i k l a r deb aytiladi. Masalan, kesmalarning uzunliklarini o‘lchash jarayonida kesmalar va haqiqiy sonlar orasida moslik o‘rnatiladi; koordinata tekisligi yordamida tekislik nuqtalari va haqiqiy sonlar juftliklari orasida moslik o‘rnatiladi; harbiy xizmatchilar va rotalar orasida "a soldat b rotada xizmat qiladi"; talabalar to‘plami va oliygohlar to‘plami orasida quyidagi moslikni aytish mumkin: "a talaba b oliygohda o‘qiydi"; shuningdek talabalar bilan tumanlar o‘rtasida quyidagi moslikni yasash mumkin "a talaba b tumandan" va hokazo".
X va Y to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Bu to‘plam elementlari orasida berilgan moslikka b i n a r m o s l i k deb aytiladi.
Binar so‘zi lotincha "bus" so‘zidan olingan bo‘lib, ikki to‘plam orasidagi moslik ma'nosini bildiradi.
X - transportlar to‘plami;
Y - haydovchilar to‘plami bo‘lsin.
18- rasm
R (x; y) : " x transportni y haydovchi haydaydi" .
G = { ( yengil mashina; shofyor) ; ( yuk mashinasi; shofyor) ; ( poezd; mashinist); (samolyot; uchuvchi); (kosmik kema; kosmonavt); (samolyot; kosmonavt) }
G X*Y
O‘z mohiyatiga ko‘ra ikki X va Y to‘plam elementlari orasidagi moslik, to‘plamdagi munosabat kabi juftliklar to‘plamini ifodalaydi, hamda X va Y to‘plamlar Dekart ko‘paytmasining qism to‘plami bo‘ladi. Bu jumlaga dalil sifatida yuqorida yozilgan misolni keltirish mumkin.
Binar moslikda ishtirok etuvchi X to‘plamga yo‘naltiruvchi soha, Y esa qabul qiluvchi soha deyiladi. Moslikda ishtirok etuvchi tartiblangan juftliklar to‘plami G X*Y ga moslik grafigi deyiladi. To‘plamlar orasidagi moslikni rasmda berish esa m o s l i k g r a f i deyiladi. Moslik grafi turli xil shakllarda ifodalanishi mumkin. Quyidagi 2-misolni ko‘rib chiqamiz.
X = { 6 ; 8 ; 10 ; 12 }
Y = { 7 ; 9 ; 13 }
R (x ;y) : "x soni y dan katta".
Moslik grafigini yasaymiz.
G = { (8 ; 7) (10 ; 7) (12 ; 7) (10 ; 9) (12 ; 9)} - moslik grafigi.
X * Y={(6 ; 7) (6 ; 9) (6 ; 13) (8 ; 7) (8 ; 9) (8 ; 13) (10 ; 7) (10 ; 9)
(10 ; 13) (12 ; 7) (12 ; 13)} -Dekart ko‘paytmasi.
G X * Y
Moslik grafi quyidagicha bo‘lishi mumkin.
· · 19-rasm 20-rasm
Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali ifodalanadi. Masalan, X = {3, 5, 7, 9,} va Y={4,6} to‘plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligining grafini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va X to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan Y to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz, bunda "katta" mosligi bajarilishi kerak. Masalan, strelka 5 nuqtadan 4 nuqtaga borishi kerak, chunki 5 soni 4 dan katta. 7 nuqtadan 4 va 6 nuqtalarga boruvchi strelkalar bo‘lishi kerak va hokazo. Natijada X va Y to‘plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligiga ega bo‘lamiz.
21-rasm
X va Y sonli to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun R moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun R moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘lgan figura R moslikning grafi bo‘ladi. Aksincha, koordinata tekisligi nuqtalarining ixtiyoriy qism to‘plami biror moslikning grafi hisoblanadi.
Masalan, X={3,5,7,9} va Y={4,6} to‘plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligining grafini yasaymiz. Berilgan moslikda bo‘lgan sonlar juftini yozamiz: (5;4), (7;6), (7;4) , (9;4), (9;6) . X to‘plam elementlarini OX o‘qda, U to‘plam elementlarini OY o‘qda tasvirlaymiz , hosil b o‘lgan har bir juftlikning esa koordinata tekisligida nuqta bilan tasvirlab, X va Y to‘plam elementlari orasidagi "katta" mosligining grafini hosil qilamiz.
22-rasm
Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti bo‘lgan vaziyatda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan, X=R va Y= {4,6} to‘plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligini qaraylik va uning grafini yasaylik.
Bu holda X to‘plam elementlari abtsissalar o‘qini butunlay to‘ldirdi, Y to‘plam esa ikkita elementdan iborat:4 va 6 . X va Y to‘plam elementlari uchun "katta" mosligi berilgani uchun X to‘plamdagi qanday sonlar 4 dan katta ekanini aniqlaymiz. 4 dan katta hamma sonlar OX o‘qida 4 sonini tasvirlovchi nuqtadan o‘ng tomonda joylashadi. Demak, abtsissasi (4;∞) oraliqdan olinuvchi, , ordinatasi esa 4 ga teng bo‘lgan barcha nuqtalar AB nurni hosil qiladi.
23-rasm
Bu nur boshlang'ich nuqtaga ega emas, chunki (4;4) nuqta berilgan moslikning grafiga tegishli emas. Shunga o‘xshash , abtsissasi (6;∞) oraliqdan olinuvchi , ordinatasi esa 6 ga teng bo‘lgan barcha nuqtalar CD nurni hosil qiladi.
Shunday qilib, X=R va Y={4;6} to‘plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligi grafigi AB va CD nurlari bo‘lib : bunda A va C nuqtalar grafikka kirmaydi.
Ayni bir "katta" mosligining grafiklari turli to‘plamlarda turlicha bo‘lishini aytib o‘tamiz. Bunga yana bir marta ishonch hosil qilish uchun R haqiqiy sonlar to‘plamida berilgan , ya'ni X=Y=R holdagi "katta" (x,y) mosligining grafigini yasaymiz
Absitssasi ordinatasiga teng bo‘lgan hamma sonlar 1- va 3- koordinata burchaklari bissektrisada joylashadi.
24-rasm
Abtsissasi ordinatasidan katta bo‘lgan hamma nuqtalar bissektrisa ostida joylashgan. Bunga ishonch hosil qilish uchun bu sohadan nuqta , masalan A (3;0) nuqtani olish etarli.
Shunday qilib , R haqiqiy sonlar to‘plamida berilgan "katta" mosligining grafigi 1- va 3- koordinata burchaklari bissektrisasining o‘zi bu yarim tekislikka tegishli bo‘lmaydi.
Ta'rif: X va Y to‘plamlar orasida berilgan R moslik grafigi G shu to‘plamlar Dekart ko‘paytmasi bilan ustma- ust tushsa, u holda bunday moslikka to‘la moslik deyiladi.
Masalan, X= {1;2;3} Y= {4;5} R: "x soni y dan kichik"
G= {(1;4) (1;5) (2;4) (2;5) (3;4) (3;5)}
X·Y= {(1;4) (1;5) (2;4) (2;5) (3;4) (3;5)}
Moslik turlarining ikkinchisi - bo‘sh moslik. X va Y to‘plam ustida berilgan. R - moslikka bo‘sh moslik deyiladi, agar G= bo‘lsa.
Masalan , X= {1;2;3} Y={4;5}
R= "x soni y dan katta yoki teng" G=
Agar X va Y to‘plamlar orasida berilgan R moslik grafigi G bo‘sh bo‘lmasa , to‘plamlar Dekart ko‘paytmasiga teng bo‘lmasa, unda mosliklar noto‘ladir.Masalan, X= {1;2;3} Y={4;5} R: "x soni y dan 2 ta kam"
G={(2;4) (3;5)}
R:X={3;5;7} va Y={4;6} to‘plamlar elementlari orasidagi "katta" mosligi bo‘lsin. U holda R={(5;4) (7;4) (7;6)} va bu moslikning grafigi quyidagicha bo‘ladi.
Bu grafning strelkalari yo‘nalishini teskariga almashtiramiz. X va Y to‘plamlar orasida qaraladigan hamda (4;5) (4;7) (6;7) juftliklar bilan aniqlanadigan yangi "kichik" munosabati grafigiga ega bo‘lamiz. (b-rasm). Grafi b- rasmda tasvirlangan moslik berilgan R moslikka teskari moslik deb ataladi va R simvoli bilan belgilanadi . Berilgan R moslikka teskari moslik umumiy ko‘rinishda quyidagicha ta'riflanadi:
Ta'rif: R X va Y to‘plamlar elementlari orasidagi moslik bo‘lsin, Agar xRy bo‘lganda va faqat shu holda yR-1x bo‘lsa , X va Y to‘plamlar elementlari orasidagi R-1 moslik berilgan moslikka teskari moslik deb ataladi.
Binar moslik to‘plamlar ustida berilganligi uchun to‘plamlar ustida bajariladigan amallar mosliklar ustida ham bajariladi, ya'ni mosliklar ustida kesishmasa, birlashma amallar o‘rinli.
X va Y to‘plamlar orasida R va S mosliklar berilgan bo‘lsin. Bu mosliklarning birlashmasi deb shunday P moslikka aytiladiki, P= R S
R- moslik grafigi G1
S - moslik grafigi G2
P- moslik grafigi G= G1 G2
Masalan , X={3;4;5;6;7}
Y={5;6;8;10}
R:" x soni y dan 2 ta kam"
S: " x soni y dan 2 marta kichik"
G1 = {(3;5) (4;6) (6;8)}
G2 = {(3;6) (4;8) (5;10)}
P: "x soni y dan 2 ta kam yoki 2 marta kichik"
G= G1 G2 = {(3;5) (4;6) (6;8) (3;6) (4;8) (5;10)}
Ikki X va Y to‘plam elementlari orasida o‘rnatish mumkin bo‘lgan barcha mosliklardan bizni birinchi navbatda X to‘plamning har bir elementiga Y to‘plamning yagona elementi mos keladigan va Y to‘plamning har bir elementiga X to‘plamning faqat birgina elementiga mos keladigan mosliklar juda qiziqtiradi. Bunday mosliklar o‘zaro bir qiymatli mosliklar deb ataladi.
X- koordinata to‘g'ri chizig'i nuqtalari to‘plami, Y=R bo‘lsin. Koordinata kiritilishi bilan to‘g'ri chiziqdagi har bir nuqtaga yagona son (shu nuqtaning koordinatasi) mos qo‘yilishi va har bir haqiqiy son shu to‘g'ri chiziqning yagona nuqtasiga (o‘z koordinatasiga shu songa ega bo‘lgan) mos qo‘yilishi sababli , o‘rnatilgan moslik o‘zaro bir qiymatli moslik bo‘ladi.
X -koordinata tekisligi nuqtalar to‘plami, Y haqiqiy sonlar juftliklari to‘plami bo‘lsin . Agar tekislikning har bir nuqtasiga haqiqiy sonlarning yagona juftligi (shu nuqtaning koordinatalari) mos qo‘yilsa va haqiqiy sonlarning har bir juftligi (o‘z koordinatasida shu sonlar juftiga ega bo‘lgan) shu tekislikning yagona nuqtasiga mos qo‘yilsa, u holda koordinata tekisligi nuqtalari to‘plami va haqiqiy sonlar juftliklari orasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli moslik bo‘ladi.
Tabiatda mosliklarni juda ko‘plab kuzatish mumkin. Moslik tushunchasi keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, boshlang'ich sinf matematika kursida mosliklarga katta o‘rin beriladi. Masalan, "katta", "kichik", "teng" munosabatlarini o‘rnatishda ham mosliklar katta ahamiyatga ega. Kundalik hayotda ham juda ko‘plab mosliklar uchraydi. Masalan, yotoqxonada yashovchi bolalarning xona bo‘yicha navbatchilik qilishi kabi mosligini o‘rnatish mumkin. "x soni y dan 3 ta kam", "x soni y dan 2 marta ko‘p", "x soni y dan 2 marta kichik" kabi jumlalarni boshlang'ich sinflarda ko‘plab uchratish mumkin.
Boshlang'ich matematikani o‘qitishda o‘zaro teskari munosabatlarga katta e'tibor beriladi. O‘quvchilar agar 5>3 bo‘lsa, 3<5 bo‘lishini, agar AB kesma CD kesmadan qisqa bo‘lsa, u holda CD kesma AB kesmadan uzun bo‘lishini yaxshi tushunishlari kerak. Matnli masalalarni yechishda munosabatlar orasidagi o‘zaro bog'lanishni bilish alohida rol o‘ynaydi. Masalan, o‘quvchi "stoli 1500 so‘m turadi, bu shkafdan 10 marta arzon". Stol va shkaf birga qancha turadi, degan masalani faqat agar stol shkafdan 10 marta arzon bo‘lsa, u holda shkaf stoldan 10 marta qimmat turish ma’lumligiini tushungandagina to‘g'ri yechadi".
Boshlang'ich matematika kursida o‘zaro bir qiymatli moslik tushunchasidan oshkormas ko‘rinishda foydalaniladi; unga sanash jarayoni va sonlarni taqqoslash asoslangan.
Masalan, 3=3 yozuvni tushuntirish uchun uchta qizil va uchta yashil kvadrat olinadi va har bir qizil kvadratga yagona yashil kvadrat mos qo‘yiladi ya'ni kvadratlar to‘plami ustida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi. 3<4 ekanini ko‘rsatish uchun uchta elementli to‘plam va to‘rtta elementni o‘z ichiga oluvchi to‘plamning uchta elementli qism to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.
4>5>
|