Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va - bet 29

Li ri miVi ri Ri
(16)
4.3 – rasm.
Mos xolda, qo’zg’almas O nuqtaga nisbatan mexanik sistemaning impuls momenti deb, sistemaning barcha moddiy nuqtalarining shu nuqtaga nisbatan impulc momentlarining geometrik yigindisiga teng bo’lgan vektorga aytiladi:
L Li
i1
ri pi
n
i1
(17)
n
ifodani t vaqt bo’yicha differensiyalaymiz:
dt
dt
dL d n
r P
d r P
n r
dpi
i i
i1
i1
i i i
i1
dt ,
chunki,
dri
P V P 0 .
dt
dt
i i i
(2.13) va (2.14) ifodalardan
dL n r F таш
n r n F
dt i i
i ik
(18)
i1
bo’lishi kelib chiqadi.
i1 k 1
Mexanik sistemaga ta’cir etuvchi xamma tashqi kuchlarning O nuktaga nisbatan momentlarning geometrik yigindisiga teng bulgan vektor O nuqtaga nisbatan tashqi kuchlarning bosh momenti deyiladi.
n
M таш
r F таш
i i
i1
(19)
tenglamaning o’ng tomonidagi O nuqtaga nisbatan barcha ichki kuchlarning yig’indisini ko’rsatuvchi ikkinchi summa nolga teng ekanini kursatamiz. Bu
summada
Fir
va Fri
kuchlarning juft momentlari ishtirok etadi:
M ik
ri Fik va
M ki
rk Fki .
Nyutonning uchinchi qonunidan
M ik
ri Fik rk Fki ri Fik rk Fik ri
bo’lishi kelib chiqadi.
4.3- rasmdan ko’rinadiki, ri
Fir
vektorlar kollinear. Shuning
uchun ularning vektor ko’paytmalari nolga teng. Demak,
n n n
Mik ri Fik 0 , (19)
bo’ladi.
i1 k1
dL M таш
dt
i1
(20)
(20)- tenglama impuls momentining o’zgarish qonunini ifodalaydi:
Qo’zg’almas nuqtaga nisbatan mexanik sistemaning impuls momentidan vaqt buyicha olingan xosila, sistemaga ta’sir kiluvchi barcha tashqi kuchlarning o’sha nuqtaga nisbatan bosh momentiga teng.
Noinersial sanoq sistemasidagi harakat
Shu vaqtga qadar ko’rilgan barcha mexanikaviy sistemalar harakatini inersial sanoq sistemasiga mansub deb hisobladik. Masalan, bir zarraning tashqi maydondagi Lagranj funksiyasi faqat inersial sanoq sistemasidagina
mv2
ko’rnishga ega va mos holda
L0 U
2
(1)
m dv0
dt
U
r
harakat tenglamasini beradi. (nol indeksli hadlar inersial sanoq sistemasiga tegishli). Endi zarraning noinersial sanoq sistemasidagi harakat tenglamalari qanday bo’lishligini ko’rib chiqaylik. Bu masalani yechishda ishni yana sanoq sistemasining qandayligiga bog’liq bo’lmagan eng kichik ta’sir prinsipidan boshlaymiz; u bilan birga Lagranj tenglamalari ham o’z kuchini saqlab qoladi:
d L L
(2)
dt v r
Ammo Lagranj funksiyasi endi (1) ko’rinishga ega emas va uni topish uchun L0
funksiyasini mos holda almashtirish lozim.
Almashtirishni ikki bosqichda amalga oshiramiz, Dastlab, K 0 inrersial
sistemaga nisbatan
V t
tezlikda ilgarilanma harakatlanayotgan K sanoq
o
sistemasini olamiz. Zarraning o’zaro
K 0 va K sistemalarga nisbatan
v→ va v'
tezliklari
vo v'V (t)
(3)
munosabatda bog’langan. Bu ifodani (1) ga qo’yib K sistema uchun quyidagi ko’rinishdagi Lagranj funksiyasini olamiz:
Biroq
V 2 (t )
vaqtning ma’lum funksiyasi; u birorta boshqa funksiyaning t
bo’yicha to’la hosilasi sifatida olinishi mumkin, shunga ko’ra mazkur ifodaning
uchinchi hadi tushirib qoldirilishi mumkin.
K koordinata sistemasidagi radius-vektori):
v→ ' dr'
dt
ekanligidan ( r zarraning
mV (tv)' mV dr'
dt
d (mVr') mr' dV dt dt
Buni Lagranj funksiyasiga qo’yib va yana vaqt bo’yicha to’la hosilani tushirib qoldirgandan so’ng
mv'2 →
ifodani olamiz, bu yerda harakatining tezlanishi.
W dV / dt
kattalik K sanoq sistemasi ilgarilanma
yoradamida Lagranj tenglamasini tuzamiz:
m dv' U
→
mW ( t)
(5)
dt r'
Shunday qilib, o’zining zarra harakat tenglamasiga ta’siri ma’nosida sanoq sistemasining tezlanuvchan ilgarilanma harakati bir jinsli kuch maydonining paydo
bo’lishiga ekvivalentdir: bu maydonda ta’sir etuvchi kuch zarra m massasining W
tezlanishiga ko’paytmasiga teng va shu tezlanishga teskari yo’nalgan.
Yana bir sanoq sistemasi K ni kiritamiz. U K sistema bilan umumiy
koordinata boshiga ega, lekin unga nisbatan
t
burchakda tezlikda aylanadi;
K 0
sistema
qiladi.
K 0 inersial sistemaga nisbatan ham ilgarilanma, ham aylanma harakat
Zarraning K sistemaga nisbatan
v→'
tezligi uning K sistemaga nisbatan v→
tezligi va K sistema bilan birgalikdagi aylanish tezligi r
iborat:
ning yig’indisidan
v→' v→ [r→]
→→
(zarraning K va K sistemalardagi r va r radius-vektorlari ustma-ust tushadi) Bu ifodani (4) Lagranj funksiyasiga qo’ysak,
hosil bo’ladi.
mv2
L
2
mv→[ r] 2
mWr U
(6)
Bu ifoda zarraning ixtiyoriy noinersial sanoq sistemasidagi Lagranj funksiyasi uchun umumiy ifodadir. Sanoq sistemasining aylanishi Lagranj funksiyasida o’ziga xos bo’lgan zarra tezligi bo’yicha chiziqli had hosil qiladi.
Lagranj tenglamalariga kiruvchi hosilalarni hisoblash uchun quyidagi to’la differensialni yozamiz.
L m v→d v md v[ r→] m v→[
dr] m[r→][dr→] mWd r→ U dr→
→
r
m v→dv→ mdv→[ r→] mdr→[v→ ]
m[[ r→]] d r→ mW
d r→ U d r→
r
dv va
dr→ li hadlarni yig’ib, quyidagilarni topamiz;
L mv→ m[r→]
v
L m[v→] m[[r→]]
→ U
r mW
r→
Bu ifodalarni (2) ga qo’yib, izlanayotgan harakat tenglamasini tuzamiz:
dv→ U
m
→ m[r→ ] 2m[v→] m[[r→]]
dt r mW
(7)
Demak, sanoq sistemasining aylanishiga bog’liq bo’lgan “inersiya kuchlari”
uch qismdan tashkil topadi,
m[r→]
kuch aylanishning notekisligiga aloqador,
qolgan ikkitasi esa tekis aylanishda ham qatnashadi,
2m[v→]
kuchi Koriolis kuchi
deyiladi; u zarraning tezligiga bog’liqligi bilan ilgari ko’rib o’tilgan barcha
nodissipativ kuchlardan farq qiladi.
m[[r→ ]]
kuch markazdan qochma kuch
deyiladi. U aylanish o’qiga (ya’ni yo’nalishiga) perpendikulyar holda r va
orqali o’tgan tekislikda yotadi va o’qdan tashqariga qarab yo’nalgan; markazdan
qochma kuch kattalik jihatdan bo’lgan masofa).
m 2
ga teng ( aylanish o’qidan zarragacha
Ilgarilanma tezlanishsiz tekis aylanayotgan koordinatalar sistemasini alohida
ko’rib o’taylik,
const , W 0
qiymatlarni (6) va (7) larga qo’yib,
mv2 → → m → 2
L
Lagranj funksiyasini va
mv[ r ]
2
[ r ] U
2
(8)
dv→ U
m
2m[v→] m[[r→]]
dt r
harakat tenglamasini olamiz.
Shuningdek, zarraning shu holdagi energiyasini hisoblaymiz.
(9)
E p→v→ L ga
ni qo’yib, energiyani topamiz:
p→ L mv→ m[ r→]
v
(10)
mv2
E
2
m [ r] 2 U
2
(11)
Energiya ifodasida tezlik bo’yicha chiziqli bo’lgan had yo’q. Sanoq sistemasi aylanishining ta’siri energiya ifodasiga faqat zarra koordinatalariga bog’liq va
burchak tezlik kvadratiga proporsional bo’lgan had kiritadi. Bu qo’shimcha
m [r]2
potensial energiya
2
markazdan qochma energiya deyiladi.
Zarraning tekis aylanuvchi sistemasiga nisbatan v tezligi uning K 0 inersial
sistemaga nisbatan tezligi v0
bilan
o
v v [r→]
(12)
orqali bog’langan. Shuning uchun zaraning K sistemadagi (10) impulsi r uning
→→
→ →→
→
uning
K 0 sistemadagi
po mvo
impulsiga mos tushadi. Shuningdek, impulslar
bilan birga
Mo [ rpo ] va
[rp]
impuls momentlari ham bir-biriga mos keladi.
Zarraning K va K 0 sistemalardagi energiyalari esa bir-biridan farq qiladi. (12)
dagi v ni (11) ga qo’yib,
mv2
→ mv2
E o mvo [r ] U
2
o U m[rvo ] 2
ifodani olamiz. Bundagi birinchi ikki had K 0
ko’rsatadi. Oxirgi hadga impuls momenti kiritib,
E Eo M
sistemadagi
Ye0
energiyani
(13)
munosabatni olamiz.
Tekis aylanayotgan koordinatalar sistemasiga o’tishda energetik almashtirish qonuni (13) formula orqali ifodalanadi. Mazkur qonunni biz bir zarra uchun keltirib chiqargan bo’lsakda, bu ta’rif bevosita istalgan zarralar sistemasi uchun umumiy almashtirilishi mumkin va natijada baribir shu (13) formulaga kelamiz.
|