N ə t i c ə - Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

N ə t i c ə. ∆ 0 olduqda
a11x + a12y = 0,
a21 x + a22 y = 0 (13)
bircinsli xətti tənliklət sisteminin yeganə x=0, y=0 həlli (sıfır həlli) var. =0 olduqda isə (13) sisteminin sonsuz sayda sıfır olmayan həlli olar.
3. Üçməchullu üç xətti tənliklər sistemi.
Üçməchullu üç xətti tənlik sistemi
a11x + a12y + a13z = b1,
a21 x + a22 y + a23 = b2, (1)
a31x + a32y + a33 = b3
şəklində yazıla bilər. b1 = b2 = b3 = 0 olduqda (1) sistemindən bircinsli xətti tənliklər sistemi alınır. b1, b2, b3 ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərgli olduqda (1) sisteminə bircinsli olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir.
(1) sisteminin hər bir tənliyini doğru ədədi bərabərliyə (eyniliyə) çevirən x=0, y=0, z=0 qiymətlər çoxluğu həmin sistemin həlli adlanır. Sistemin həlli varsa, ona uyuşan, heç bir həlli olmadıqda isə ona uyuşmayan (uyuşan olmayan) sistem deyilir.
Verilmiş (1) sistemini həll etmək üçün həmin sistemin determinantını
ilə, determinantın aik elementinin cəbri tamamlayıcısını isə Aik ilə işarə edək. (1) sisteminin birinci tənliyini A11-ə ikinci tənliyini A21-ə, üçüncü tənliyini A31-ə vurub, alınan bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq
(a11A11 + a21A21 + a31A31) · x + (a12A11 + a22A21 + a32A31) · y + (a13A11 +
+a23A21 + a33A31) · z = b1A11 + b2A21 + b3A31 (2)
bərabərliyini aliriq. Determinantların sətir və sütun elementləri üzrə ayrılması xassəsinə görə:
∆ = a11A11 + a21A21 + a31A31,
0 = a12A11 + a22A21 + a32A31,
0 = a13A11 + a23A21 + a33A31.
Onda (2) bərabərliyi
∆ · x = b1A11 + b2A21 + b3A31
şəklində yazılar.
Eyni qayda ilə də (1) sisteminin tənliklərini əvvəlcə uyğun olaraq A12, A22, A32 ədədlərinə, sonra da A13, A23, A33 ədədlərini vurub alınan bərabərlikləri tərəf-tərəfə toplasaq
∆ · y = b1A12 + b2A22 + b3A32
və
∆ · z = b1A13 + b2A23 + b3A33
Bərabərliklərini aliriq. Beləliklə, (1) sistemi əvəzinə
∆x = b1A11 + b2A21 + b3A31 ,
∆y = b1A12 + b2A22 + b3A32 , (3)
∆z = b1A13 + b2A23 + b3A33
sistemi alınır.
Mövzu 3
Hauss üsulu. Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində
yazılması və həlli.
1.Qauss üsulunun mahiyyəti.
2. Matris üsulunun mahiyyəti.
1.Qauss üsulunun mahiyyəti.
Tutaq ki, xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . (1)
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,
Bu sistemin determinantı sıfırdan fərgli olduqda onu Kramer qaydası ilə həll etmək olar. Lakin bu halda n+1 sayda n-tərtibli determinant hesablamaq lazım gəlir ki, bu da bğyük hesablama işi tələb edir.
Verilmiş xətti tənliklər sistemində məchulların sayı tənliklərin sayına bərabər olmaqda, yəni sistem
a11x1 + a12x2 + ... + a1mxm = b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2mxm = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . (2)
an1x1 + an2x2 + ... + anmxm = bn,
şəklində olduqda isə onun həllinə Kramer qaydasına bilavasitə tətbiq etmək olmur.
Buna görə də, (2) (və həm də (1) ) şəklində xətti tənliklər sistemini çox zaman məchulların ardıcıl yox edilməsi üsulu və ya Hauss üsulu ilə həll edirlər. Bu üsulun məzmunu belədir: tutaq ki, a110. Onda sistemin birinci tənliyini hər iki tərəfini ədədinə vuraraq, alınan
a21x1 + x2 + ... + xm = b1
tənliyini sistemin ikinci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxırıq. Aldığımız tənlikdə x1 məchullu iətirak etmir:
aꞌ22x2 + aꞌ23x3 + ... + aꞌ2mxm = bꞌ2
Sonra sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vuraraq tənliyi sistemin üçüncü tənliyindən tərəf tərəfə çıxırıq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (2) sistemini
a11x1 + a12x2 + ... + a1mxm = b1
aꞌ22x2 +... + aꞌ2mxm = bꞌ2
. . . . . . . . . . . . . (3)
aꞌn2x2 +... + aꞌnmxm = bꞌn
şəklində sistemə götürmək olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cü və s. tənliklərindən istifadə etməklə yuxarıda gğstərdiyimiz üsulla x2 məchulunu da çox etmək olar. Bu mühakiməni ardıcıl olaraq tətbiq etməklə (2) sistemini ona ekvivalent olan
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1mxm = b1
aꞌꞌ22x2 + aꞌꞌ23x3 + ... + aꞌꞌ2mxm = bꞌꞌ2
aꞌꞌ33x3 + ... + aꞌꞌ3mxm = bꞌꞌ3 (4)
. . . . . . . . . . . . . .
şəklində sistemə gətirmək mümkündür.
(4) sisteminə pilləvarı (və ya pillələr çəklində) sistem, a11, aꞌꞌ22, aꞌꞌ33 və s. əmsallarına isə sistemin baş elementləri deyilir. Aydındır ki, sistemə Hauss üsülunun tətbiq oluna bilməsi üçün sistemin baş elementlərinin sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.
Qeyd edək ki , (2) sisteminin çevrilməsi nəticəsində alınan (4) sistemi uyuşan və ya uyuşmayan ola bilər. Birinci halda (4) sistemini həll edərək (2) sisteminin axtarılan həlləri tapılır. (4) sistemi uyuşmayan olduqda(məsələn, sistemdə sol tərəfdəki bütün əmsalları sıfır olan, lakin sağ tərəfi sıfır olmayan 0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · xm = b, (b 0) şəklndə tənlik alındıqda ) (2) sistemi də uyuşmayan olar.
Qeyd edək ki, (4) sistemi uyuşan olduqda iki haldan ancaq biri mümkündür: həmin sistemin ya yeganə həlli var, ya da sonsuz sayda həlli var. Hesablama zamanı heç bir yuvarlaqlaşdırma aparılmayıbsa, onda Hauss üsülu ilə tapılmış həll dəqiq olur.
(2) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən tənliklər üzərində aparılan əməllər bəzən onların əmsallarından düzəlmiş
a11 a12 ... a1m b1
a21 a22 ... a2m b2
. . . . . . . . . .
an1 an2 ... anm bn
matrisi üzərində aparmaq daha münasib olur.
Qauss üsulunu tətbiq etməklə aşağıdakı tənliklər sistemini həll edək:
x1 + 2x2 – 3x3 + 2x4 = 1,
2x1 - x2 – 2x3 - 3x4 = 2,
3x1 + 2x2 – x3 + 2x4 = -5, (5)
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11.
Sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini 2-yə vuraraq alınan bərabərliyi uyğun olaraq ikinci və dördüncü tənlikdən tərəf-tərəfə çıxaq; sonra da birinci tənliyin hər iki tərəfini 3-ə vuraraq alınan tənliyi 3-cü tənlikdən tərəf-tərəfə çıxaq;
x1 + 2x2 – 3x3 + 2x4 = 1,
-5x2 + 4x3 - 7x4 = 0,
-4x2 + 8x3 + 4x4 = -8, (6)
-7x2 + 8x3 - 3x4 = 9.
tənliklər sistemini alırıq. Bu sistemin ikinci tənliyindən üçüncü tənliyini tərəf-tərəfə çıxsaq və alınan bərabərliyin hər iki tərəfini -1-rə vursaq, nəticədə (6) sistemini
x1 + 2x2 – 3x3 + 2x4 = 1,
x2 + 4x3 + 3x4 = -8,
-4x2 + 8x3 - 4x4 = -8 (7)
-7x2 + 8x3 - 3x4 = 9.
tənliklər sistemi ilə əvəz etmiş oluruq. (7) sisteminin ikinci tənliyinin hər iki tərəfini əvvəlcə (+4)-ə, sonra da (+7)–yə vurub alınan bərabərlikləri uyğun olaraq üçüncü və dördüncü tənliklərlə toplasaq
x1 + 2x2 – 3x3 + 2x4 = 1,
x2 + 4x3 + 3x4 = -8,
24x3 + 8x4 = -40,
36x3 + 18x4 = -47.
tənliklər sistemini alırıq. Həmin üsulla bu sistemi də
x1 + 2x2 – 3x3 + 2x4 = 1,
x2 + 4x3 + 3x4 = -8,
24x3 + 8x4 = -40 (8)
6x4 =13
şəklində gətirmək olar.
Aydındır ki, (5) xətti tənliklər sistemi ilə (8) pilləvarı xətti tənliklər sistemi ekvivalentdir. (8) sistemini həll edərək, sistemin yeganə
x1 = - , x2 = - , x3 = - , x4 =
həllini (əvvəlcə axırıncı tənlikdən x4, sonra üçüncü tənlikdən x3 və s. tapılır)
Qeyd edək ki, (5) sistemini Kramer qaydası ilə həll etmək üçün dördtərtibli 5 determinant hesablamaq lazım idi.
2. Matris üsulunun mahiyyəti.
Tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . (1)
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,
və məchulların əmsallarından düzəlmiş əsas matrisin
a11 a12 ... a1n
A = a21 a22 ... a2n (2)
. . . . . . . .
an1 a2n ... ann
determinantı sıfırdan fərglidir.
(1) sistemini ona ekvivalent olan matris tənliyi ilə əvəz edək.
AX = B , (3)
Burada A – sistemin əsas matrisi, X və B osə sütun-matrislərdir.
x1 b1
X = x2 , B = b2 .
... ...
xn bn
A matrisinin ∆ determinantı sıfırdan fərgli olduğu üçün onun A-1 tərs matrisi var. Tutaq ki, (1) sistemin həlli var, yəni (3) matris tənliyini eyniliyə çevirən X sütunu vardır. Bu halda (3) tənliyinin hər iki tərəfini soldan A-1 matrisinə vursaq, alarıq
A-1(AX) = A-1B (4)
Buradan üç matrisin hasilinin xassəsini və A-1A = I (burada I vahid matrisdir) olduğunu nəzərə alsaq onda
A-1(AX) = (A-1A)X = IX = X
Nəticədə, (4) düsturundan alırıq ki,
X = A-1B (5)
Beləliklə, isbat etdik ki, (3) matris tənliyinin həlli varsa, onda o (5) münasibəti ilə birqiymətli təyin edilir.
Asanliqla yoxlamaq olar ki, (5) münasibəti ilə təyin edilən X sütunu doğrudan da (3) matris tənliyinin həllidir, yəni bu tənliyi eyniliyə çevirir. Doğrudan da, əgər X matrisi (5) münasibəti ilə təyin edilirsə, onda
AX = A(A-1B) = AA-1B = IB = B.
Deməli, əgər A matrisinin determinantı sıfırdan fərgli olarsa, onda (5) münasibəti ilə təyin edilən (3) matris tənliyinin yeganə həlli vardır.
Mövzu 4
|