Sh. A. Saipnazarov biznes matematika - bet 59

|
Sh. A. Saipnazarov biznes matematikaBog'liq Biznes matematikax
yoshdan
n
x
yoshgacha yashash ehtimoli
x
n
x
x
l
l
nP
(15.2.1)
x
yoshdan so„ng yana bir yil yashash ehtimoli
x
x
x
x
x
x
l
l
l
d
q
P
1
1
1
.
Misol. 30 yoshli erkak kishining yana 10 yil yashash ehtimoli
9845
,
0
95265
93790
30
10
P
ni tashkil etadi.
Berilgan o„limlik jadvali bo„yicha ma‟lum yoshdagilarning o„lish ehtimolini
ham topishimiz mumkin. Masalan,
x
yoshdan
n
x
yoshgacha bo„lganlarning
o„lish ehtimoli
1
1
1
n
x
x
j
j
x
x
n
x
x
x
x
d
l
l
l
l
nP
nq
(15.2.2)
Misol. 30 yoshli erkak kishining 10 yil davomida o„lish ehtimoli
,
0155
,
0
9845
,
0
1
1
30
10
30
10
P
q
x
yoshdagi shaxsning
m
yildan so„ng o„lish ehtimoli
x
m
x
m
x
m
x
x
m
x
m
x
x
x
m
l
d
l
d
l
l
q
P
m
q
(15.2.3)
O„z navbatida,
x
yoshdagi shaxsning
m
x
yoshdan
n
m
x
yoshgacha
bo„lgan intervalda o„lish ehtimoli quyidagicha topiladi:
m
x
n
m
x
m
x
x
m
x
x
n
m
x
m
x
x
n
m
l
l
l
l
l
l
l
l
q
(15.2.4)
Oxirgi tenglikdan
.
m
x
n
x
m
x
n
m
q
P
q
Boshqacha aytganda izlangan ehtimollik
m
x
yoshgacha yashash ehtimoli va
keyingi
n
yil ichida o„lish ehtimollarining ko„paytmasiga teng.
Ba‟zi bir aktuar hisoblarda (masalan, pensiya sug„urtalarda) er-xotinlarning
yashash ehtimollari zarur bo„ladi. Bu ehtimollar ham o„limlik jadvali o„rdamida
hisoblanadi.
Faraz qilaylik,
x
va
y
yoshdagi er-xotinlarni har birining yana
n
yil yashash
ehtimollarini baholash zarur bo„lsin. Bu ehtimollarni
x
np
va
y
np
kabi belgilaymiz.
Ularni quyidagicha topamiz:
168
y
n
y
y
x
n
x
x
l
l
np
l
l
np
,
bu yerda
y
x
l
l
,
x
va
y
yoshgacha yashaydigan shaxslar soni (bu sonlar erkak
va ayollar uchun tuzilgan o„limlik jadvalidan olinadi).
Quyidagi ikkita ishchi gipotezani kiritib yana ikkita ehtimolni hisoblaymiz:
- er-xotinlarning ikkalasi ham
x
va
y
yoshga bir kunda to„ladi;
- ulardan bittasining o„limi – boshqasining o„limiga bog„liq bo„lmagan
sug„urtaviy hodisa.
Er-xotinlarning birga yana
n
yil yashash ehtimoli (er-xotin juftligini
“saqlanish” ehtimoli) ikkita erkli hodisa ehtimollarining ko„paytmasi kabi
hisoblanadi:
y
x
n
y
n
x
y
n
y
x
n
x
y
n
x
n
xy
n
l
l
l
l
l
l
l
l
P
P
P
(15.2.5)
Ushbu formuladagi ko„paytmalarni quyidagicha belgilashadi:
n
xy
n
y
n
x
xy
y
x
l
l
l
l
l
l
,
Bularni e‟tiborga olib, (15.2.5) formulani
xy
n
xy
xy
n
l
l
P
(15.2.6)
ko„rinishda yozishimiz mumkin.
Endi er (er
x
yoshda bo„lganda sug„urta qilingan, bu paytda xotini
y
yoshda
bo„lgan)
n
x
yoshgacha yashamaydigan, xotin esa
n
y
yoshgacha yashaydigan
holdagi ehtimolni hisoblaymiz.
Izlangan ehtimol (uni
y
x
n
P
deb belgilaymiz) ushbu ehtimollar
ko„paytmasiga teng.
xy
n
xy
y
n
y
y
n
x
n
y
n
x
n
x
n
y
n
x
n
y
x
n
l
l
l
l
P
P
P
P
P
P
q
P
)
1
(
(15.2.7)
Misol. Er va xotin yoshlari mos ravishda 50 va 45 bo„lsin. O„limlik
jadvalidan (SSSR aholisining o„limlik jadvali olindi) erkaklar uchun
,
77007
,
83640
55
50
l
l
ayollar uchun
.
94348
,
96261
50
45
l
l
Er va xotinni
yana 5 yil birga yashash ehtimoli
.
9024
,
0
98013
,
0
92070
,
0
96261
94348
83640
77007
45
5
50
5
45
;
50
5
P
P
P
Erni 5 yil yashamaslik, xotinini esa yana 5 yil yashash ehtimoli (15.2.7)
formuladan
.
007772
,
0
98013
,
0
)
92070
,
0
1
(
)
1
(
45
5
50
5
45
50
5
P
P
P
169
15.3. Kommutasion funksiya. Sug’urtaviy rentaning narxi
Sug„urtaviy annuitetlarni qisqa yozish va hisoblashlarni soddalashtirishda
kommutatsion funksiyalar yoki kommutatsion sonlar qo„llaniladi. Kommutatsion
sonlar yoki funksiyalarni yordamchi miqdor sifatida tushunamiz.
Standart kommutatsion funksiyalar ikki guruhga bo„linadi. Birinchisiga
ma‟lum yoshgacha yashaydiganlar soni, ikkinchisiga o„lganlar soni kiradi.
Birinchi guruhning asosiy funksiyalari
x
D
va
x
N
x
x
x
l
D
(15.3.1)
x
j
j
x
D
N
(15.3.2)
bu yerda
i
murakkab stavka bo„yicha diskont ko„paytuvchisi,
o„limlik
jadvalida hisobga olingan chegaraviy yosh. Ta‟rifga ko„ra
.
,
1
D
N
D
N
N
x
x
x
Ba‟zi aktuar hisoblarda
x
D
kommutatsion sonlar yig„indisini berilgan yosh
intervallari bo„yicha hisoblash zarur bo„ladi. Bunday holda
x
N
kommutatsion
sonlardan foydalanish mumkin:
.
1
1
1
k
x
x
k
t
t
x
N
N
D
Amaliyotda
x
N
ning yana ikkita varianti qo„llaniladi, unga to„lovlar yiliga
m
marta to„langanda murojaat qilinadi. Postnumerando to„lovlar uchun quyidagi
ifodani qo„llaymiz:
x
x
m
x
D
m
m
N
N
2
1
)
(
,
Prenumerando to„lovi uchun
x
x
m
x
D
m
m
N
N
2
1
)
(
(15.3.4)
Ikkinchi guruh kommutatsion funksiyalar
x
C
va
x
M
hisoblanadi.
1
x
x
x
d
C
(15.3.5)
x
j
j
x
C
M
(15.3.6)
Ikkala guruh kommutatsion sonlari orasida o„zaro bog„lanish mavjud:
.
)
(
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
D
l
l
l
l
d
C
Shunga o„xshash
1
1
1
1
1
)
(
x
x
x
j
j
x
j
j
x
j
j
j
j
j
x
j
j
x
j
j
x
N
N
D
D
l
l
d
C
M
170
ekanligini isbotlashimiz mumkin.
Sug„urtaviy tashkilotlar kommutatsion funksiyalar jadvalining daromad
normasini hisobga olgan holda ishlab chiqadilar.
Kommutatsion funksiyalar jadvalidan namuna (bu jadval
%
9
i
da SSSR
aholisining o„limlik jadvali asosida hisoblangan).
x
x
l
x
D
x
N
)
12
(
x
N
x
C
x
M
18
100000
21199
244593
254309
28,98
1003,6
19
99851
19420
223393
232294
30,82
974,7
20
99678
17786
203973
212125
31,98
943,8
30
96991
7310
80677
84027
25,55
648,9
35
94951
4651
49910
52042
20,78
530,3
40
92327
2940
30376
31723
19,09
431,4
50
83640
1125
10465
10981
14,54
260,7
60
68505
389
3082
3261
10,25
134,7
70
45654
110
684
734
5,72
53,1
80
19760
20
85
95
2,14
13,0
Er-xotin juftligini sug„urta qilishda ushbu kommutatsion funksiyaning zarurligi
kelib chiqadi:
2
/
)
(
y
x
xy
xy
l
D
(15.3.7)
xy
l
ning qiymati (15.2.6) formula bo„yicha
xy
n
P
ni hisoblash orqali topilgan.
(15.3.7) funksiyani
y
x
D
D
,
kommutatsion
funksiyalar
asosida
quyidagicha topiladi:
2
2
/
)
(
)
1
(
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
i
D
D
D
D
D
(15.3.8)
O„z navbatida
2
y
x
n
n
xy
n
xy
l
D
,
2
/
)
(
]
2
/
)
(
[
)
1
(
y
x
n
n
y
n
x
y
x
n
n
y
n
x
n
xy
i
D
D
D
D
D
Kommutatsion sonlar ko„paytmasi katta o„lchovga ega bo„lganligi uchun
ularni
3
10
ga ko„paytiriladi.
Misol. Er-xotin juftligi uchun
45
;
50
D
va
50
;
55
D
kommutatsion sonlarni
aniqlang.
Avval,
5
,
47
2
45
50
2
y
x
ni aniqlaymiz.
Foiz stavkasi
%
9
i
bo„lgan holdagi kommutatsion sonlar quyidagi
qiymatlarga ega (birinchi qator – erkaklar uchun, ikkinchi qator – ayollar uchun)
1
,
673
,
8
,
1124
55
50
D
D
.
8
,
1268
,
9
,
1991
50
45
D
D
171
Bulardan
,
134308
09
,
1
9
,
1991
8
,
1124
10
5
,
47
3
45
;
50
D
.
78770
09
,
1
8
,
1268
1
,
673
10
5
,
47
5
3
50
;
55
D
x
N
funksiyani topish qoidasiga asosan
xy
N
ni topamiz:
y
t
t
y
t
x
xy
D
N
0
;
(15.3.9)
|
| |