Funksional yopik sinflar - Лаборатория2

|
Лаборатория2
|
bet | 2/5 | Sana | 04.01.2024 | Hajmi | 0,86 Mb. | | #129980 |
Bog'liq mustaqil ish DT (1)1.1 Funksional yopik sinflar. Mantik algebrasining funksiyalar sistemasi berilgan bulsin.
1-ta’rif. Agar mantik algebrasining istalgan funksiyasini sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orkali ifodalash mumkin bulsa, u xolda F ga tulik funksiyalar sistemasi deb aytiladi.
Istalgan funksiyani MKNSh yoki MDNSh kurinishida ifodalash mumkinligidan funksiyalar sistemasining tulikligi kelib chikadi. funksiyalar sistemasi xam tulik buladi, chunki istalgan funksiyani Jegalkin kupxadi kurinishiga keltirish mumkin.
Kuyidagi funksiyalar sistemasining tulikligini isbotlang:
a) ; b) ; v) ;
g) ; d) ; i) ;
j) ; z) ; ye) .
Isbot. a). = , ya’ni diz’yunksiya amalini kon’yunksiya va inkor amallari orkali ifodalash mumkin. Demak, { , } funksiyalar sistemasi tulik buladi.
b). = = ekanligi ma’lum. Demak, istalgan mantikiy funksiyani diz’yunksiya va inkor amallari orkali ifodalasa buladi. Shuning uchun { } funksiyalar sistemasi tulikdir.
v). Ixtiyoriy mantik algebrasining funksiyasini yagona Jegalkin kupxadi kurinishiga keltirish mumkinligidan { } funksiyalar sistemasining tulikligi kelib chikadi.
g) va d). Mantik algebrasidagi istalgan funksiyani va Sheffer funksiyalari orkali ifodalash mumkin. Xakikatan xam,
va
,
asosiy mantikiy amallarni Sheffer funksiyasi orkali ifodalash mumkin. Demak, { } va { } funksiyalar sistemasi tulik buladi.
i). bulganligi uchun buladi. { } tulik sistema ekanligi v) punktida isbot kilingan edi, demak, { } cistema tulikdir.
Xuddi shunday boshka funksiyalar sistemasining tulikli-gini isbot kilish mumkin.
1-teorema. Agar funksiyalar sistemasi tulik bulsa, u xolda unga ikkitaraflama bulgan funksiyalar sistemasi xam tulik buladi.
Isbot. sistemaning tulikligini isbotlash uchun istalgan funksiyani sistemasidagi funksiyalar superpozitsiyasi orkali ifodalash mumkinligini kursatishimiz kerak. Buning uchun avval funksiyani cistemasidagi funksiyalar orkali ifodalaymiz ( sistema tulik bulganligi uchun bu protsedurani bajarish mumkin). Keyin ikkitaraflama konunga asosan ikkitaraflama funksiyalar superpozitsiyasi orkali funksiyani xosil kilamiz.
Misol. Kuyidagi funksiyalar sistemasining tulik emasligini isbotlaylik:
a) , ; b) ; v) ;
g) ; d) .
a). ga teng. Demak, { } sistemasidagi funksiyalar bir argumentli funksiyalar buladi. Bizga ma’lumki, bir argumentli funksiyalarning superpozitsiyasi natijasida xosil kilingan funksiya yana bir argumentli funksiya buladi. Natijada, bu sistemadagi funksiyalar orkali kup argumentli funksiyalarni ifodalab bulmaydi. Shuning uchun { } tulik sistema emas.
b). { } sistemasidagi funksiyalarning ikkalasi xam monotondir. Monoton funksiyalarning superpozitsiyasi orkali xosil kilingan funksiya yana monoton bulishini isbot kilgan edik. Demak, bu ikkala funksiyaning superpozitsiyasi orkali monoton bulmagan funksiyalarni ifodalash mumkin emas va natijada, { } sistema tulikmas sistema buladi.
v). { } cistemasidagi funksiyalar chizikli funksiyalardir. Shuning uchun bu funksiyalar orkali chiziklimas funksiyalarni ifodalab bulmaydi. Demak, { } funksiyalar sistemasi tulik emas.
g). { } sistemasidagi funksiyalar uz-uziga ikkitaraflama funksiyalardir. Bu funksiyalarning superpozitsiyasidan xosil kilingan xar kanday funksiya xam uz-uziga ikkitaraflama funksiya buladi.
Demak, { } funksiyalar sistemasi tulik emas.
d). { } sistemadagi funksiyalarning xammasi monoton funksiyalar buladi. Monoton emas funksiyalar bu sistemadagi funksiyalar orkali ifodalanmaydi. Demak, { } sistema tulik emas.
Shunday kilib, yukorida keltirilgan masala yechimining analizidan kuyidagi xulosa kelib chikadi.
Berilgan funksiyalar sistemasining tulik emasligini isbotlash uchun sistemadagi funksiyalarning shunday umumiy xususiyatini topish kerakki, bu xususiyat funksiyalar superpozitsiyasi natijasida saklansin.
Xakikatan xam, u vaktda bunday xususiyatga ega bulmagan funksiyani sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orkali xosil kilib bulmaydi.
Funksiyalarning bu ma’lum xususiyatlarini tekshirish uchun odatda funksional yopik sinflar tushunchasidan foydalanadilar.
2-ta’rif. Agar sictemadagi funksiyalar superpozitsiyasidan xosil bulgan funksiya yana shu sistemaning elementi bulsa, u xolda bunday sistemaga superpozitsiyaga nisbatan yopik sistema deb aytiladi.
3-ta’rif. Superpozitsiyaga nisbatan yopik bulgan xar kanday mantik algebrasining funksiyalar sistemasiga funksional yopik sinf deb aytiladi.
Ravshanki, ma’lum bir xil xususiyatga ega bulgan funksiyalar sistemasi funksional yopik sinfni tashkil etadi va, aksincha, ma’lum funksional yopik sinfga kiruvchi funksiyalar bir xil xususiyatga ega bulgan funksiyalardir. Kuyidagi funksiyalar sistemasi funksional yopik sinflarga misol bula oladi:
a) bir argumentli funksiyalar;
b) xamma mantik algebrasining funksiyalari;
v) - chizikli funksiyalar;
g) - uz-uziga ikkitaraflama funksiyalar;
d) - monoton funksiyalar;
ye) - nul kiymatni saklovchi funksiyalar;
j) - bir kiymatni saklovchi funksiyalar.
4-ta’rif. Bush sinfdan va mantik algebrasining xamma funksiyalari tuplamidan fark kiluvchi funksional yopik sinfga xususiy funksional yopik sinf deb aytiladi.
Shunday kilib, funksiyalar sistemasining tulikligi uchun bu sistemada xar kanday xususiy funksional yopik sinfga kirmovchi funksiya topilishi yetarli va zarurdir.
5-ta’rif. Uz-uzidan va mantik algebrasining xamma funksiyalari sinfi dan fark kiluvchi funksional yopik sinflarga kirmovchi xususiy funksional yopik sinfga maksimal funksional yopik sinf deb aytiladi.
Mantik algebrasida xammasi bulib beshta maksimal funksional yopik sinf mavjud:
- nol saklovchi funksiyalar sinfi, - bir saklovchi funksiyalar sinfi, - uz-uziga ikkitaraflama funksiyalar sinfi, - chizikli funksiyalar sinfi.
|
| |