C = k A - 1. Tenzorning umumiy aniqlanishi Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish Tenzor zichliklari

|
1. Tenzorning umumiy aniqlanishi Tenzor indekslarini ko’tarish va tushirish Tenzor zichliklari
|
bet | 4/4 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 167,79 Kb. | | #136290 |
Bog'liq 18 Tuychiyev UMIDJON C = k A
ob‘yekt ham tenzordir.
Tenzor indekslarining soni shu tenzorning rangini aniqlaydi. Tenzor indekslarining qaysilari kovariant va qaysilari kontravariant bo’lishiga qarab tenzorning tuzilishi aniqlanadi, lekin berilgan tenzorning rangini o’zgartmasdan metrik tenzor yordamida uni turlicha ifodalash mumkin. Metrik tenzor koponentlarini almashtirish formulalarini yozaylik:
g’ij= gpq1.1
g’ij = gpq 1.2
gij , gjk tenzorlar bilan Kroheker simvoli δki ning bog’lanishi bizga ma’lum:
gij gjk = δki1.3
yoki
gkj gji = δki 1.4
kontravariat gij tenzor bilan kovariant an ko’paytmasi gl m an ni j = k debxisoblab, yig’ishtirish natijasida hosil bo’lgan kovariant vektorni al orqali belgilaylik:
ai = gij aj1.5
kovariant g l m tenzor bilan kovariant anvector ko’paytmasi g ni m=n deb hisoblab yig’ishtirish natijasida hosil bo’lgan kovariant vektorni a orqali belgilaylik:
a = glm am1.6
So’ngi ikki ifoda bir-biriga ekvivalentdir, ya’ni ularning biridan ikkinchisini keltirib chiqarish mumkin.Xaqiqatan ning ikki tomonini gkl ga ko’paytiraylik, so’ngra l=i deb hisoblab, yig’ishtirsak 1.3 ga binoan:
Gki ai = gki gij aj = δjk aj
Yoki
ak = gkl ai
endi1.6 ning ikki tomonini gij ga ko’paytiraylik so’ngra j=l deb hisoblab yig’ishtirsak 1.4ga binoan:
gil al = gil gil glm am = δim am = ai
yoki
ai = gil al
biz ai miqdorlarni kontravariant vector komponentlari, ai miqdorlarni esa kovariant vector komonentlari deb kelgan edik. Lekin hozircha 1.5va 1.6 formulalarning ekvivalentligi haqida aytilganlardan ai va ai miqdorlar bir vektorning turlicha olingan komponentlari deb qaralishi mumkinligini ko’rdik. Vektorning kontravariant komponentlari ai bo’lsa osha vektorning kovariant komponentlari ai bo’ladi. Kontrvariant metric tenzor vositasida vektorning kovariant komponentlaridan hosil qilish mumkin, ya’ni kontravariant metrik tenzor vositasidan vector komponentlarining kovariant indeksini ko’tarib, kontravariant indeks hosil qilinadi. Vektorning indeksi avval ko’tarilsa va so’ngra tushirilsa yoki avval tushirilsa va so’ngra ko’tarilsa natijasida dastlabki vektorning o’zi hosil bo’ladi. Ozod indeksi berilgan tenzorning yangidan hosil qilingan indeksi bo’ladi. Ikkinchi rangli kontravariant tenzor l = i deb hisoblab, so’ngra yig’ishtirsak natijasida Tjk tenzor vujudga keladi:
gki Tij = T.jk.
kontravariant Tij tenzorning birinchi kontravariant indeksi tushirilib, unga mos aralash Tik tenzor yaratiladi. Metrik tenzorning indekslarini ko’tarish va tushirish masalasining ko’rib chiqaylik. Metrik tenzorning simmetrikligining nazarda tutsak, bilan 1.5 ga binoan bunday yozishimiz mumkin;
gjk = gki gij = gik gji = gj..k
hosil bo’ladi. Aralash metrik tenzor vositasida biror tenzorning indeksini ko’tarmasdan yoki tushirmasdan, ya’ni tenzor tuzilishini o’zgartmasdan qoldirib, uning indeksini boshqa harf bilan almashtirish mumkin bo’ladi, masalan:
gij Tikl = Tjkl
gij Tkj = Tki
gij ═
aralash metrik tenzor gij shuningdek kroneker tenzori δij ham ba’zan o’rniga qo’yishi tenzori yoki substitusiya tenzori deyiladi.
Ikki vektorning Dekart komponentlari orqali ularning skalyar ko’paytmasi hamda orasidagi burchagini qanday ifodalash ham mumkin, masalan a vektorning modulini olsak u holda;
a=
ikki a, b vektor orasidagi burchak kosinusi quyidagicha bo’ladi:
cosᵠ =
TENZOR ZICHLIKLARI
Dastlabki x1, x2, . . . , xn koordinatalarni yangi x’1, x’2, . . . ,x’n koordinatalarga almashtirsak qonuni berilgan bo’lsin:
X’ i = x’ i (xj ). 1.1
Koordinatalarni almashtrish yakobiani nolga teng emas deb hisoblanadi:
≠ 0 1.2
To’gri almashtirish va teskari almashtirish yakobianlari orasidagi bo’glanish bizga ma’lum:
* = 1 1.3
Demak:
≠ 0 1.4
r marta kontravariant va s marta kovariant bo’lgan demak ( r+s ) rangli tenzorni ifodalovchi formulasini eslaylik:
= λ … … 1.5
Vazminligi bir xil va kovariant ham kontravariant indekslarining tuzilishi bir xil bo’lgan tenzor zichliklar yig’indisi yoki ayirmasi o’sha vazminlik bilan o’sha tuzilishiga ega tenzor zichlik hosil qiladi :
= 1.6
Tenzor zichliklar ko’paytmasini ifadolovchi tenzor zichlikning vazminligi ko’paytiriluvchi tenzor zichliklarning vazminliklari yig’indisiga teng, esa o’shalarning ranglari yig’indisiga tengdir.
= 1.7
Determinant ta’rifiga muvofik, almashtirish yakobiani quyidagicha yoziladi:
= = ∑ … 1.8
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1.Mallin R.H.Maydon nazariyasi,T.Oqituvchi 1965.102-bet.
2.Internet tarmog’i.
3.Borisenko A.I., Tarasov I.YE. Vektorniy analiz i nachala tenzornogo ischisleniya, M., 1963
4.Kochin N.YE. Vektorniy analiz i nachala tenzornogo ischisleniya, M., 1961
|
| |