-
chakli uchburchakning kateti va unga yopish

133
6
A
B(B
1
)
A
1
C(C
1
)
U holda
∠
C
va
∠
C
1
to‘g‘ri burchak bo‘lganligi
uchun
CA
va
C
1
A
1
nurlar yoyiq bur chakni tashkil
qiladi, ya’ni
A
,
C
,
C
1
va
A
1
nuqtalar bir to‘g‘ri chi
-
ziqda yotadi.
Natijada
ABA
1
teng yonli uchburchak bo‘ladi.
Lekin teng yonli uchburchakda asosga tushirilgan
balandlik bissektrisa ham bo‘ladi (83-betdagi teo
-
rema xulosasiga ko‘ra).
Demak,
∠
ABC
=
∠
A
1
B
1
C
1
.
Teorema isbotlandi.
?
?
?
?
Mavzuga doir savollar
1. To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari qanday nomlanadi?
2. To‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklari yig‘indisi nimaga teng?
3. To‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklaridan birortasi o‘tmas bo‘lishi mum-
kinmi?
4. To‘g‘ri burchakli uchburchakning nechta balandligi bor?
5. To‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklari yig‘indisi 120°ga teng bo‘lishi
mumkinmi? Nega?
6. To‘g‘ri burchakli uchburchakning 30° li burchak qarshisidagi kateti bilan
gipotenuzasi orasida qanday munosabat bor?
7. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar xossalarini ayting va izohlang.
8. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining alomatlarini ayting va izohlang.
9. To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning bir kateti va bir burchagi mos ravishda teng
bo‘lsa, bu uchburchaklar teng bo‘ladimi?
10. To‘g‘ri burchakli
ABC
uchburchakda
∠
A +
∠
B =
∠
C
bo‘lsa, uning katetlari va
gipotenuzasini ayting.
1.
7
a
-rasmdagi
ACB
to‘g‘ri
burchakli uchbur-
chakning gipotenuzasi va katetlarini yozing. Bu
uchburchakning qaysi tomoni uzun:
a)
AB
yoki
BC
; b) AB
yoki
AC
?
2.
7
b
-rasmdagi
PQR
to‘g‘ri burchakli uchbur-
chakning gipotenuzasi va katetlarini yozing. Bu
uchburchakning qaysi tomoni uzun:
a)
PR
yoki
PQ; b)
PR
yoki
QR?
3.
To‘g‘ri burchakli uchburchakning bitta o‘tkir bur
-
chagi 23° ga teng. Bu uchburchakning uchinchi burchagini toping.
?
?
?
?
Amaliy mashq va tatbiq
7
A
B
C
P
R
Q
b)
a)
135
20
ABC
to‘g‘ri burchakli uchburchakda
AB
–
gipotenuza va
CD
– mediana, ya’ni
AD=DB
bo‘lsin
(1-rasm).
CD
=
2
AB
ekanini isbotlaymiz.
Isbot.
Qo‘shimcha yasashlarni amalga oshiramiz:
CB
tomonning
B
nuqtasidan perpen-
dikulyar chiqaramiz. Unda
E
nuqtani
AC=EB
qilib
belgilaymiz va
CE
kesmani yasaymiz.
ABC
va
EBC
to‘g‘ri
burchakli uchburchaklarga
qaraymiz. Ularda
CB
katet umumiy va yasashga ko‘ra
AC=EB
.
Unda to‘g‘ri burchakli uchburchaklarning KK
alomatiga ko‘ra, bu uchburchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
Xususan,
∠
ABC
=
∠
ECB
bo‘ladi.
Bu
CDB
uchburchak teng yonli va
CD=DB
ekanini bildiradi.
Lekin shartga ko‘ra,
DB
=
2
AB
.
Bundan
CD
=
2
AB
ekanligi kelib chiqadi.
Teorema isbotlandi
.
Masala.
2-rasmdagi
ABC
uchburchak teng yonli
ekanini isbotlang.
Yechish.
∆
AED
=
∆
BFD
,
chunki ularning
gipotenuzalari va bittadan o‘tkir burchaklari teng.
CED
va
CFD
– to‘g‘ri burchakli uchburchaklar.
ED
=
FD
hamda
CD
gipotenuza umumiy bo‘lgani uchun to‘g‘ri
burchakli uchburchaklar tengligining
GK
alomatiga
ko‘ra,
∆
CED
=
∆
CFD
.
Demak,
∆
ADC
=
∆
BDC
, ya’ni
AC
=
BC
va
∆
ABC
teng yonli.
Burchak bissektrisasining xossasi
Yodingizda bo‘lsa, nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa deb nuqtadan to‘g‘ri
chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligiga aytilgan edi.
?
?
?
?
Teorema.
Burchak bissektrisasining
ixtiyoriy nuqtasidan burchak tomonlarigacha
bo‘lgan masofalar o‘zaro teng.
Isbot.
Aytaylik,
O
burchak va uning bissektrisasi
OC
berilgan bo‘lsin
(3-rasm)
.
OC
bissektrisada
ixtiyoriy
D
nuqta olamiz va berilgan burchak
tomonlariga
DA
va
DB
perpendikulyarlar tushiramiz.
OAD
va
OBD
to‘g‘ri burchakli uchburchaklarda:
?
?
?
?
Teorema.
To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushirilgan
medianasi gipotenuzaning yarmiga teng.
1
A
C
B
D
E
BURCHAK BISSEKTRISASINING XOSSASI
3
A
B
C
D
O
2
A
D
B
F
E
C
α
α