Yechish - Sh. A. Saipnazarov biznes matematika

Yechish
.
To`lov matrisasining egar nuqtasini aniqlaymiz. Buning uchun
o`yinning quyi va yuqori chegaralarini aniqlaymiz.
max min
max 0, 5
5
ij
j
i
i
dan ko`rinadiki,
2
A
maksimal sof strategiya ekan.
min max
min 8, 8, 5, 10
5
ij
j
j
i
a
dan ko`rinadiki
3
B
minimal sof strategiya ekan. O`yinning egar nuqtasi
2
3
,
A B
iborat bo`lib, unig narxi
5
ekan.
5.2. Aralash strategiyadagi o’yinning yechimi
Agar o`yin matrisasida,
bajarilsa egar nuqta mavjud emas. Bunday
holda, sof strategiyalarda optimal yechim mavjud bo`lmaydi. Lekin, sof
strategiyalarni, aralash strategiyalar bilan kengaytirsak, aniqmas o`yin
masalalarining ham optimal yechimini aniqlash algoritmini topish mumkin.
Bunday hollarda, antagonistik o`yinlarning optimal yechimini topish uchun,
statistik (ehtimollarga asoslangan) usullarni qo`llash tavsiya etiladi. Bunda, har bir
o`yinchining, mumkin bo`lgan strategiyalar to`plami bilan birga, noma`lum
bo`lgan ehtimollik vektorlari (nisbiy chastotalar) orasidagi munosabat kiritiladi.
A
o`yinchining berilgan strategiyalarini, tanlash ehtimollik vektorlari (nisbiy
chastotalar) quyidagicha belgilanadi:
1
2
,
,...,
m
P
p
p
p
, bunda
1
1,
0,
1,
m
i
i
i
p
p
i
m
.
56
i
p
miqdor,
i
A
strategiyani qo`llash
ehtimoli
(
nisbiy chastota
) deyiladi.
A
o`yinchining,
A
S
aralash strategiyasi deb,
1
2
,
,
,
m
A A
A
sof strategiyalarni
1
2
,
,
,
m
P
p p
p
ehtimollar bilan tadbiq etishga aytiladi, bunda
1
1
m
i
i
p
.
A
o`yinchining aralash strategiyasi ushbu matrisa ko`rinishda yoziladi.
1
2
1
2
i
m
A
i
m
A
A
A
A
S
p
p
p
p
yoki
1
2
,
,
,
,
,
A
i
m
S
p
p
p
p
ko`rinishda yozish ham mumkin.
Shu kabi,
B
o`yinchining, noma`lum ehtimollik vektorlari (nisbiy
chastotalar) quyidagicha belgilanadi:
1
2
,
,...,
n
Q
q q
q
, bunda
1
1,
0,
1,
n
j
j
j
q
q
j
n
.
j
q
miqdor,
j
B
strategiyani qo`llash
ehtimoli
(
nisbiy chastota
) deyiladi.
Shunga o`xshash
B
o`yinchi uchun aralash strategiya quyidagicha yoziladi:
1
2
1
2
j
n
B
j
n
B
B
B
B
S
q
q
q
q
, yoki
1
2
,
,
,
,
,
B
j
n
S
q
q
q
q
,
1
1
n
j
j
q
1
2
,
,...,
m
A A
A
va
1
2
,
,...,
n
B B
B
sof
strategiyalar
to`plami,
mos
ravishda
1
2
,
,
,
m
P
p p
p
va
1
2
,
,...,
n
Q
q q
q
ehtimollik vektorlari bilan birgalikda,
aralash strategiyalar
deyiladi.
Sof strategiyalar, aralash strategiyalarning xususiy holi bo`lib, vektor
ehtimolning birga teng bo`lishidan, sof strategiyalar kelib chiqadi.
Ixtiyoriy matrisali o`yinning optimal strategiyasi va o`yin narxini, aralash
strategiyalarda topish mumkin.
Teorema
. Aralash strategiyalarda, ixtiyoriy chekli matrisali o`yin egar
nuqtaga ega.
Aralash strategiyalarda o`yinning optimal yechimi -
,
P Q
juft optimal
strategiyalar bo`lib, u quyidagiga asoslanadi: agar bir o`yinchi o`zining optimal
strategiyasida muqim tursa, ikkinchisining o`z optimal strategiyasidan chetlanishi,
unga zararli bo`ladi. Optimal yechimga mos bo`lgan yutuq, o`yinning
narxi
deyiladi. O`yinning narxi ushbu shartni qanoatlantiradi:
.
O`yinlar nazariyasining quyidagi asosiy teoremasi o`rinlidir.
Teorema (Neyman teoremasi)
. Har qanday nol yig`indili chekli o`yin,
aralash strategiyalarda yechimga ega.
1
2
,
,...,
m
P
p p
p
va
1
2
,
,...,
n
Q
q q
q
- optimal juft strategiyalar bo`lsin.
Agar sof strategiya, aralash strategiyaning optimal yechimida, noldan farqli
ehtimollik bilan qatnashsa, u
aktiv
strategiya deyiladi.
Teorema
(
Aktiv strategiya to`g`risida
). Agar o`yinchilardan biri aktiv
strategiyalar chegarasidan chiqmasa va, boshqa o`yinchi o`zining optimal aralash
strategiyasida qolsa, u holda yutuq o`zgarmas bo`lib, o`yin narxi
ga teng bo`ladi.
Bu teorema katta amaliy ahamiyatga ega, chunki agar egar nuqta mavjud
bo`lmasa, u optimal strategiyalarni topishning aniq modelini beradi.
|