Parametrik rezonans - Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Parametrik rezonans
Shunday ochiq sistemalari mavjudki, bu sistemalarda tashqi maydon ta’siri masalasi uning parametrlarining vaqt bo’yicha o’zgarish masalasiga keltiriladi. Bunday sistemalarga osilish nuqtasi vertikal holda davriy tebranib turuvchi yassi mayatnik misol bo’lishi mumkin.
Biz ko’rdikki, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksyasi
mx 2 kx2
L
2 2
ko’rinishga ega bo’lar edi va bunday sistema parametrlari bo’lib
m, k
kattaliklar
hisoblanadi. Agar bu parametrlarni vaqt bo’yicha o’zgaradi deb faraz qilsak, harakat tenglamasi quydagicha yoziladi:
d (mx) kx 0
dt
(1)
Agar o’zgaruvchi t t o’rniga yangi
d
dt m(t)
o’zgaruvchi kiritsak, (1) tenglama
d 2 x
dr 2
mkx 0
ko’rinishga keladi yoki
d 2 x 2
dt 2
(t)x 0
(2)
umumiy ko’rinishda yoziladi. Bu yerda funksiyaning ko’rinishi masala sharti
orqali aniqlanadi. Faraz qilaylikki, bu funksiya biror chastota (shuningdek,
davr) bilan aniqlanuvchi davriy funksiya bo’lsin. Demak, bu funksiya uchun
( t T ) t
T 2
bir qiymatlik sharti bajariladi, ya’ni (2) harakat tenglamasi
t t T almashtirishga nisbatan invariyant bo’ladi. Bundan agar
x(t)
(2)
tenglamaning yechimi bo’lsa,
x(t T )
ham uning yechimi hisoblanadi degan
xulosa kelib chiqadi. Boshqacha so’z bilan aytganda agar x1(t) va x2 (t)
lar (2)
tenglamaning bir-biriga bog’liq bo’lmagan ikkita integrali bo’lsa,
t t T
almashtirirish o’tkazilganda ular o’zaro chiziqli bog’lanishda bo’ladi. Bu paytda x1
va x2 larni shuday tanlab olish mumkinki
t t T
almashtirishda ular doimiy
sonlargagina o’zgarsin:
x1(t T ) 1x1(t),
x2 (t T ) 2 x2 (t)
Bunday xossalarga ega bo’lgan funksiyalarning umumiy ko’rinishi quydagicha bo’ladi:
x (t) t T
(t)
x (t) tT
(t)
(3)
1 1 1
2 2 2
Bu yerda yozsak
1 (t), 2 (t) T
davriylik funksiyalar. Agar (2) ni
x1 va x2
lar uchun
x1
2 (t)x
0, x2
2 (t)x 0
2
1
va ularni mos ravishda
x1 , x2 larga ko’paytirib ayirsak
x x x x
d (x x x x
) 0
1 2 2 1
dt 1 2 1 2
bundan
x1x2 x1x2
const
(4)
ekanligini topamiz. Agar (3) ni e’tiborga olsak, (4) dagi aralash ko’paytma
12
koeffisentlarni paydo bo’lishiga va ko’paytmaning doimiy songa teng bo’lishiga kamida
bo’lishiga olib keladi. Bundan
1 2
2 2 1
1 2 1
yoki
1 2 1
ekanligi kelib chiqadi. Boshqa tomondan, (3) dan ko’rindiki, funksiya ning vaqt bo’yicha darajasi tariqasida vaqt bo’yicha oshib boradi. Demak sistemaning muvozanati (x=0 bo’lgan holat ) turg’un bo’lmay qoladi: muvozanat holatda
cheksiz kichik chetlanish darhol vaqt bo’yicha oshib ketuvchi chetlanishga olib keladi. Bu hodisa parametrik rezonans deyiladi.
Parametrik rezanans paydo bo’lish sharti bilan tanishaylik
(t)
funksiya
ya’ni biror 0
doyimiy kattalikdan ham farq qiluvchi va davriy o’zgaruvchi
funksiya bo’lsa:
0
2 (t) 2 (1 h cost)
Bu yerda
0 h 1
bo’lgan kichik kattalik hisoblansin. Agar
(t)
funksiyaning
tebranish chastotasi ikkilangan 0
sodir bo’ladi, ya’ni
ga yaqin bo’lsa, parametrik rezonans tezroq
u holda harakat tenglamasi
2 0 , ( 0 )
0
yechimni
x 0
2 1 h cos(2
)tx 0 (5) (5)
x a(t) cos(0
)t b(t) sin( 2 0
)t 2
(6)
ko’rinishda axtarish mumkin. Bu yerda
a(t),b(t)
lar vaqtning sekin o’zgaruvchi
funksiyalari. (6) yechimni (5) ga qo’yib ning birinchi yechimi darajasidagi
hadlarni saqlab qolamiz. Bu patda, a ~ a,b ~ b
deb hisoblaymiz. Agar
cos( )t cos(2 )t 1 cos(3
3 )t 1 cos( )t
0 2 0
2 0 2 2 0 2
ekanligini hisobga olsak va 3( ) t chastotalik hadni tashlab yozsak, (5)
0 2
tenglama o’rnida
(2 a b h0 b) sin( ) t (2 b a h0 a) cos( ) t 0
2 0 0 2 2 0 0 2
tenglamani olamiz. Bu tenglikning bajarilishi uchun sin va cos funksiyalar oldidagi koeffisentlar nolga teng bo’lishi lozim.
a 1 ( h0 ) b 0
2 2
b 1 ( h0 ) a 0
Bu chiziqli tenglamalar yechimni axtaramiz. U holda
2
e t
2
(bu yerda S
) tariqasida
Sa 1 ( h0 )b 0
2 2
1 ( h0 )a Sb 0
2 2
algebraik tenglamalarga ega bo’lamiz. Parametrik rezonansning paydo bo’laishi
uchun
S 2 0
bo’lmog’i kerak, ya’ni
h0
2
h0
2
Bundan intervalda parametrik razonans paydo bo’lishini ko’ramiz.
Parametrik rezonans shuningdek kuchsiz ishqalanish mavjud bo’lganda ham
paydo bo’lishi mumkin. Ko’rdikki, bu holda tebranish ampilutudasi
et , ( )
2m
qonun bilan so’nar edi. Shuning uchun parametrik rezonansda ampilitudaning o’sib
borishi
S 0
e(S)t qonun asosida bo’ladi va turg’insizlik sohasining chegarasi shart bilan aniqlanadi. Rezonans sohasida (6) tengsizlik berilgan holda
ko’rinishda yoziladi.
Nazorat savollari
Adiabatik invariantlik nima ?
Krilov-Bogolyubov uslubini tushuntirib bering ?
Parametrik rezonans deganda nimani tushunasiz ?
Tez tebranib o’zgaruvchi maydondagi harakat haqida ayting.
ma’ruza: DINAMIKANING GAMILTON SHAKLI.
REJA
Gamilton funksiyasi.
Gamiltonning kanonik tenglamalari.
Gamilton tenglamalarini variasiya prinsipi asosida keltirib chiqarish.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: dinamikaning Gamilton shakli, Gamilton funksiyasi, Gamilton tenglamalari, energiya, impilus, Langarj tenglamalari, Langranj funksiyasi, koordinatalar sistemasi
Lagranj funksiyasi yordamida mexanika qonunlarini ta’rif etganda mexanik sistema holatini uning umumlashgan koordinatalari va tezliklari orqali ifodalagan edik. Ammo bu mexanika qonunlarini ifodalashning birdan-bir yo’li hisoblanmaydi. Mexanikaning turli umumiy masalalarini tekshirishda uning holatini umumlashgan koordinatalar va impulslar orqali ifodalash ancha qulay hisoblanar ekan. Shu munosabat bilan harakat tenglamasini topish masalasi paydo bo’ladi.
O’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilarning biror to’plamdan ikkinchi bir to’plamiga o’tishga to’g’ri keladi. Bunday o’tishda Lagranj almashtirishidan foydalanamiz. Berilgan holda bu almashtirish quyidagidan iboratdir.
Lagranj funksiyasining to’liq differensiali, oldin ko’rganimizdek quyidagicha:
dL L
qi
dqi
L
qi
dqi
Agar
L
qi
p i ,
L
qi
pi
ekanligini e’tiborga olsak,
dL p idqi pi dqi
(1)
bo’ladi. (1) ning o’ng tomonidagi ikkinchi hadni quyidagicha yozish mumkin:
pi dqi
d ( pi dqi ) qi dpi
(2)
tenglmkni (1) ga qo’yib to’liq differensialli hadlarni bir tomonga o’tkazib yozamiz:
d ( pi qi L) p idqi qidpi
(3)
Differensial belgisi ostidagi had sistema energiyasi hisoblanadi. (3) ko’ramizki, energiya sistema umumlashgan koordinatasi va impulsi orqali ifodalangan. Bu had sistemaning Gamilton funksiyasi deyiladi:
H (q, p,t) pi qi L
u holda (3) quyidagi ko’rinishni oladi:
(4)
dH p idqi qidpi
(5)
bu tenglikda o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilar bo’lib koordinata va impuls hisoblanadi va undan quyidagi tenglamalar kelib chiqadi:
qi
H ,
pi
p i
H
qi
(6)
Bu tenglamalar
q, p
o’zgaruvchilar orqali ifodalangan, biz izalayotgan
tenglamalar hisoblanadi va ular Gamilton tenglamalari deb ataladi. Agar Lagaranj tenglamalari sistema erkinlik darajasi sonidagi S – ta ikkinchi tartibli differensial
tenlamalar hisoblansa, Gamilton tenglamalari 2 S ta birinchi tartibli differensial
tenglamalar hisoblanadi. Gamilton tenglamalari sodda va simmetrik ko’rinishda bo’lganligi uchun ularni kanonik tenglamalar deb ham yuritishadi.
Gamilton fuksiyasidan vaqt bo’yicha to’liq differensial olamiz:
dH H dt t
qi
H
i
pi
p i
(7)
Agar (7) dagi
qi , ва
p i
o’rniga (6) ni qo’ysak, (7) ning o’rniga o’ng tomondagi
ikkinchi va uchinchi hadlar o’zaro qisqarishadi va
dH H dt t
tenglikni olamiz. Bundan agar Gaimlton funksiyasi vaqtning oshkor funksiyasi
dH
bo’lmasa dt 0
ko’ramiz.
bo’lishligini va natijada sistema energiyasining saqlanishligini
Bir dinamik o’zgaruvchilardan boshqa dinamik o’zgaruvchilarga o’tish.
birgalikda biror parametr ham ifodalansin. U holda Lagranj va Gamilton funksiyalarining to’liq differensiallari quyidagicha bo’ladi: (1) va (5) munosabatlar quyidagicha ko’rinishni oladi:
dL p idqi
L d
dH p dq q dp L d
i i i i
bulardan
H
L
q, p
q,q
tenglikning mavjud bo’lishligini ko’ramiz. Bu hosilalar indekslari differensial
amalining bir bor q , p lar doimiy bo’lganda, ikkinchi bor
q, q
doimiy bo’lganda
olinganligini ko’rsatadi. Agar t bo’lsa,
H L
t
t
bog’lanishni olamiz.
q, p
q, q
Agar S – erkinlik darajasiga ega bo’lgan sistema uchun koordinatalarda
diagramma tuzsak, 2S o’lchamli fazo hosil bo’ladi. Bu fazoning koordinatalari
bo’lib p va q lar hisoblanadi. Bu fazoning har bir nuqtasi sistemaning aniq bir holatiga mos keladi. Odatda bunday fazo fazali fazo deyiladi. Sistema holatining vaqt bo’yicha o’zgarishi biror egrilik bilan ifodalanadi va bu egrilik fazalik trayektoriya deyiladi.
Fazali trayektoriyaning berilishi sistemaning mumkin bo’lgan harakati to’g’risida bir qancha xulosalar beradi. Faraz qilaylikki, sistema Lagranj funksiyasi
mx 2
L T U (x)
U (x)
2
ko’rinishga ega bo’lsin. U holda Gamilton funksiyasi
p 2
H U (x) 2m
ko’rinishda yoziladi. Bu holda (7) tenglamalarning maxsus nuqtalari bo’lib,
T 0,
p
U 0
x
bajariladigan nuqtalar bo’lib hisoblanadi. Bu tenglamaning birinchisi
r 0
bo’dganda bajarilsa, ikkinchisi bu maxsus nuqtada potensial energiyaning yekstremal qiymati mavjdligini ko’rsatadi. Agar bu ekstremum minimumdan iborat bo’lsa, 0, x0 nuqta atrofida Gamilton funksiyasi
p 2 k (x x )2
H ( p, x) E
0
2m 2
ko’rinishda bo’ladi. Haqiqatan minimumga ega bo’ladi.
2 H
( x2 )
2U
( x2 ) 0
bo’ladi, potensial energiya
Energiya saqlanganligi uchun fazali trayektoriya bo’lib doimiy energiyani
ifodalovchi markazi maxsus 0, x0 nuqtada bo’lgan ellips chiziqlari bo’lib hisoblanadi.
Agar potensial energiya ekstremumi maksimum bo’lsa,
p2 k (x x )2
H ( p, x) E
0
2m 2
fazali trayektoriya bo’lib markazi 0, x0 maxsus nuqtada bo’lgan giperbolalardan iborat bo’ladi (egrilikdagi strelkalar fazali trayektoriya bo’ylab nuqta harakatining yo’nalishlarini ifodalaydi).
Endi biz esda saqlash uchun turli koordinata sistemalarida Laranj va Gamilton funksiyalarining ko’rinishini yozamiz.
Umumiy holda
L T (q, q) U (q)
Dekart koordinatalarida
H T ( q, p) U ( q)
mv2
L
2
U (r);
p 2 1 2 2 2
H 2m U (r) 2m ( px py pz ) U (x, y, z)
Silindrik koordinatalar sistemasida
2
L m ( 2 2 2 z2 ) U
H 1 ( p 2 1
p 2 p 2 ) U (r,, z)
2m
Sferik koordinatalar sistemasida
2 z
L m (r 2 r 2 2 r 2 2 sin 2 ) U
2
H 1 ( p 2 1
p 2 1 p 2 ) U (r, ,)
2m r
r 2 r 2 sin 2
|