Tərif 2 - Mühazirəçi : R. F. D. dosent Orucova Rəna Üzeyir qızı Ədəbiyyat

Tərif 2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin meylin kvadratının riyazi gözləməsinə bu kəmiyyətin dispersiyası(səpələnməsi) deyilir və D(X) ilə işarə edilir:
D(X) = 2.
Aydındır ki, təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası sabitdir, yəni o həmin kəmiyyətin ədədi xarakteristikasıdır. Əgər X təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu məlumdursa, onda dispersiya aşağıdakı kimi hesablanır
D(X) = 2 =
=2 22 .
Dispersiyanı aşağıdakı teoremdən istifadə etməklə hesablamaq daha əlverişlidir.
Teorem 2. Dispersiya təsadüfi kəmiyyətin kvadratının riyazi gözləməsi ilə onun riyazi gözləməsinin kvadratı fərqinə bərabərdir.
Dispersiyanın aşağıdakı əsas xassələri vardır.
1. Sabit kəmiyyətin dispersiyası sıfra bərabərdir
D(C) = 0.
2. Sabit vuruğu kvadrata yüksəldərək dispersiya işarəsini qarşısına çixarmaq olar
D(CX) = C2D(X).
3. İki asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası bu kəmiyyətlərin dispersiyaları cəminə bərabərdir
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
4. İki asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətin fərqinin dispersiyası bu kəmiyyətlərin cəminə bərabərdir
D(X – Y) = D(X) + D(Y).
►Orta kvadratik meyl. Təsadüfi kəmiyyətin mümkün qiymətlərinin onun ətrafında səpələnməsinin öyrənmək üçün dispersiyası ilə yanaşı bir söra başqa xarakteristikaları da öyrənmək lazım gəlir. Bu xarakteristikaların ən vaciblərindən biri orta kvadratik meyldir.
Tərif 3. Təsadüfi kəmiyyətin dispersiyanın kvadrat kökünə onun orta kvadratik meyli deyilir və ilə işarə edilir:
Teorem 3. Qarşılıqlı asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin orta kvadratik meyllərinin kvadratları cəminin kvadrat kökünə bərabərdir:
Misal. İki asılı olmayan X və Y diskret təsadüfi kəmiyyətləri öz paylanma qanunları ilə verilmişdir. Z = 3X – 2Y təsadüfi kəmiyyəti üçün riyazi gözləməni və dispersiyanı hesablayın.
X
|
-6
|
8
|
9
|
10
|
P
|
0,1
|
0,1
|
0,6
|
0,2
|
X və Y diskret təsadüfi kəmiyyətləri üçün riyazi gözləməni və dispersiyanı hesablayaq:
X2 və Y2 diskret təsadüfi kəmiyyətləri üçün paylanma qanunu yazaq:
X2
|
36
|
64
|
81
|
100
|
P
|
0,1
|
0,1
|
0,6
|
0,2
|
X2 və Y2 təsadüfi kəmiyyətləri üçün riyazi gözləməni hesablayaq:
M(X2) =
M(Y2) =
Buradan
D(X) = M(X2) – M2(X) = 78,6 – (7,6)2 = 20,84;
D(Y) = M(Y2) - M2(Y) = 28 – (-2)2 = 24.
Nəhayət, riyazi gözləmənin və dispersiyanın xassələrini və həmçinin X və Y təsadüfi kəmiyyətlərin asılı olmadıqları şərtindən istifadə edərək, alırıq
M(Z) = M(3X – 2Y) = 3M(X) – 2M(Y) = 3 · 7,6 – 2 · (-2) = 26,8;
D(Z) = D(3X – 2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 · 20,84 + 4 · 24 = 283,56.
3. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin ehtimallarının
paylanması və ədədi xarakteristikaları.
Diskret təsadüfi kəmiyyətin cədvəl şəklində verilmiş paylanma qanununda onun bütün mümkün qiymətləri və bu qiymətlərin ehtimalları verilir. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma qanunu isə bu şəkildə vermək olmaz, çünki kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin baxılan aralıqdakı qiymətlərinin sayı sonlu deyildir. Odur ki, bütün təsadüfi kəmiyyətlərinin paylanma qanununu vermək üçün inteqral paylanma funksiyası daxil edilmişdir.
Tərif 1. Hət bir x ədədi üçün X təsadüfi kəmiyyətinin x-dən kiçik qiymət alması ehtimalını təyin edən F(x) funksiyasına inteqral paylanma funksiyası deyilir, yəni
F(x) = P(Xx).
Çox vaxt “inteqral paylanma funksiyası” termini əvəzinə “paylanma funksiyası” termini eşlədilir.
Paylanma funksiyasının qiymətləri parçasında yerləşir:
2. Paylanma funksiyası azalmayandır, yəni x2x1 olarsa,
F(x2) F(x1).
Nəticə 1. X təsadüfi kəmiyyətinin (a,b) intervalında qiymət alması ehtimalı həmin intervalda paylanma funksiyasının artımına bərabərdir:
P(aXb) = F(b) – F(a).
Nəticə 2. X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin müəyyən bir qiymət, məsələn x1, qiymətini alması ehtimalı sıfra bərabərdir:
P(X = x1) = 0.
3. Əgər X təsadüfi kəmiyyətinin bütün mümkün qiymətləri (a,b) intervalına daxildirsə, onda
xa olduqda F(x) = 0 ; x0 olduqda F(x) = 1.
Nəticə 3. A.ağıdakı limit münasibətləri doğrudur:
,
4. Paylanma funksiyası soldan kəsilməzdir:
Yuxarıda biz kəsilməz təsadüfi kəmiyyəti inteqral paylanma funksiyasının köməyi ilə verdik. Qeyd edək ki, bu yeganə verilmə üsulu deyil. Kesilməz təsadüfi kəmiyyət həmçinin ehtimalların diferensial paylanma funksiyasının köməyi ilə də verilə bilər.
Tərif 2. Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin inteqral paylanma funksiyasının birinci tərtib törəməsinə ehtimalların diferensial paylanma funksiyası deyilir:
f (x) = Fꞌ(x).
Çox vaxt “diferensial funksiya” termini əvəzinə “paylanma sıxlığı” termini işlədilir.
X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin (a,b) intervalında qiymət alması ehtimalı aşağıdakı bərabərliklə təyin olunur:
P(aXb) = .
Diferensial funksiya məlum olduqda, inteqral funksiyanı aşağıdakı düstur vasitəsilə tapmaq olar
F(x) = .
Diferensial funksiya aşağıdakı xassələrə malikdir:
1. Diferensial funksiyası mənfi deyil, yəni f(x)0;
2. Diferensial funksiyanın qeyri-məxsusi inteqralı vahidə bərabərdir
Tərif 3. Bütün ədəd oxunda qiymət ala bilən X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləməsi aşağıdakı bərabərliklə təyin olunur:
M(x) = ,
burada f (x) funksiyası X təsadüfi kəmiyyətin diferensial funksiyasıdır.
Xüsusi halda, əgər təsadüfi kəmiyyətin bütün mümkün qiymətləri (a,b) intervalına daxildirsə, onda
M(x) =
Diskret təsadüfi kəmiyyət üçün riyazi gözləmənin yuxarıda göstərilən bütün xassələri kəsilməz təsadüfi kəmiyyət üçün də doğrudur.
Tərif 4. Bütün ədəd oxunda qiymət ala bilən X kəsilməz təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası
D(X) = 2 f(x)dx,
və ya eynigüclü
D(X) = 2 f(x)dx - 2
bərabərliyi ilə təyin olunur.
Xüsusi halda, əgər X təsadüfi kəmiyyətinin bütün mümkün qiymətləri (a,b) intervalına daxildirsə, onda
D(X) = 2 f(x)dx,
və ya
D(X) = 2 f(x)dx - 2.
Diskret təsadüfi kəmiyyət üçün dispersiyanın yuxarıda göstərilən bütün xassələri kəsilməz kəmiyyətlər üçün də doğrudur.
Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin orta kvadratik meyli diskret halda olduğu kimi təyin edilir:
|