Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari

|
Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari
|
bet | 1/4 | Sana | 19.01.2024 | Hajmi | 26,19 Kb. | | #140716 |
Bog'liq Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari
Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari
1. Ushbu paragrafda biz yaqinlashmaydigan ketma-ketliklarni o’rganamiz. Ko’pgina amaliy masalalarni yechishda aynan shunday ketma-ketliklarni o’rganishga to’g’ri keladi. Ba’zan bu ketma-ketliklar biror songa yaqinlashishi uchun ularni qismlarga ajratish¿ yetarli bo’ladi. Ana shu o’rinda hosil bo’ladigan limitlarga qismiy limitlar deyiladi.
Ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi deyilar edi. Ravshanki, agar ketma-ketlik yaqinlashsa, u yagona limitga ega. Haqiqatan ham, agar u ikkita a va b limitlarga ega deb faraz qilsak,
xn = a + αn = b + βn
bo’ladi va bundan
b − a = αn − βn → 0
ni olamiz. Demak, b − a = 0, ya’ni b = a ekan.
Ammo uzoqlashuvchi ketma-ketliklarda qismiy limitlar ko’p bo’lishi mumkin. Qismiy limitga aniq ta’rif berish uchun qismiy ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz.
Ixtiyoriy qat’iy o’suvchi {kn} natural sonlar ketma-ketligini tanlaymiz, ya’ni
k1 < k2 < ... < kn < ... Ta’rif. Agar {xn} ketma-ketlik berilgan bo’lsa, ketma-ketlik {xn} ketma-
ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi.
Masalan, {x2n−1} va {x2n} ketma-ketliklar berilgan {xn} ketma-ketlikning har xil, ya’ni biri toq nomerdagi va ikkinchisi juft nomerdagi, elementlaridan tashkil topgan ikki qismiy ketma-ketliklaridir.
Ta’rif. Agar {xn} ketma-ketlikning a soniga yaqinlashuvchi {xkn} qismiy ketmaketligi mavjud bo’lsa, a son {xn} ketma-ketlikning qismiy limiti deyiladi.
2.4.1 - Misol. xn = (−1)n bo’lsin. U holda juft nomerli
x2n = (−1)2n = 1
qismiy ketma-ketlik 1 soniga yaqinlashadi, toq nomerli
x2n−1 = (−1)2n−1 = − 1
qismiy ketma-ketlik esa −1 soniga yaqinlashadi. Shuning uchun 1 va −1 sonlar {xn} ketma-ketlikning qismiy limitlari bo’ladi.
2. Endi ketma-ketlik uchun limit nuqta tushunchasini kiritamiz. Dastlab, yozuvni soddalashtirish maqsadida, quyidagi atamalashga kelishib olaylik.
Faraz qilaylik, E - sonlar o’qining ixtiyoriy qismiy to’plami va {xn} - biror ketma-ketlik bo’lsin. Agar shunday cheksiz ko’p turli nomerlar topilsaki, {xn} ketma-ketlikning bu nomerlarga mos kelgan elementlari E to’plamga tegishli bo’lsa, biz E to’plamda {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlari yotadi deymiz.
Bu kiritgan ta’rifimiz to’plamlar nazariyasida qabul qilingan an’anaviy atamadan farq qiladi. Misol uchun, agar E to’plam faqat bitta x = 1 nuqtadan iborat bo’lsa, to’plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan, u cheksiz ko’p nuqtaga ega bo’la olmaydi.
Ammo, yuqoridagi kelishuvga ko’ra, E to’plamda {(−1)n} ketma-ketlikning cheksiz ko’p, ya’ni barcha juft nomerli elementlari yotadi.
Sonlar o’qidagi a nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy intervalga aytilishini eslatamiz. Biz a nuqtaning ε-atrofi deganda (a − ε, a + ε) intervalni tushunamiz va bunda doim ε > 0 deb hisoblaymiz.
Ta’rif. Agar a nuqtaning ixtiyoriy ε-atrofida {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementi joylashsa, a nuqta berilgan ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi. Masalan, 1 va −1 nuqtalar {(−1)n} ketma-ketlikning limit nuqtalaridir. Bu ketma-ketlik uchun limit nuqtalar to’plami qismiy limitlar to’plami bilan ustma-ust tushishi tasodifiy emas. Chunonchi, quyidagi ikki tasdiq o’rinli.
2.4.1 - Tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning qismiy limiti shu ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, a nuqta {xn} ketma-ketlikning qismiy limiti bo’lsin, ya’ni, a ga yaqinlashuvchi {xkn} qismiy ketma-ketlik mavjud bo’lsin. Shunday ekan, istalgan ε > 0 uchun {xkn} ketma-ketlikning biror nomerdan boshlab barcha elementlari a nuqtaning ε- atrofida yotadi. Demak, shu ε atrofda {xn} ketmaketlikning cheksiz ko’p elementlari yotadi, ya’ni a - ketma-ketlikning limit nuqtasi ekan.
Bu tasdiqning teskarisi ham o’rinli.
2.4.2 - Tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning limit nuqtasi shu ketma-ketlikning qismiy limiti bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, a nuqta {xn} ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’lsin, ya’ni a nuqtaning istalgan ε-atrofida {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlari yotsin.
Musbat ε ga ketma-ket qiymatlarni berib, shunday
intervallarni olamizki, bu intervallarning har birida {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlari yotadi.
Birinchi (a − 1, a + 1) intervalda ketma-ketlikning k1 nomerli biror elementini tanlaymiz, ikkinchi intervalda k2 > k1 nomerli, uchinchi
intervalda k3 > k2 nomerli, ..., n- interval nomerli va hokazo elemetlarni tanlaymiz. Natijada shunday {xkn} qismiy ketma-ketlik olamizki,
bo’ladi.
Demak,
|
| |