Haqiqiy sonlarning aksiomatik nazariyasi

2.2. Haqiqiy sonlarning aksiomatik nazariyasi
Biror R to’plam bo’lib, uning elementlari quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsin.
I. Tartib aksiomasi. Ixtiyoriy x,yєR uchun ushbu x=y, xy munosabatlardan biri va faqat biri o’rinli hamda zєR, x
II. Qo’shish amali aksiomalari. Ixtiyoriy x,yєR uchun bu elementlarning yig’indisi (x+y kabi belgilanadi) deb atalgan yagona zєR element mavjud bo’lsin va qo’shish amali uchun quyidagilar bajarilsin:
1) Qo’shishning kommutativligi: x+y=y+x;
2) Qo’shishning assotsiativligi: x,y,zєZ uchun x+(y+z)=(x+y)+z
3) R da nol deb ataladigan (0 kabi belgilanadi) shunday element mavjudki, ixtiyoriy xєR uchun x+0=x;
4) Ixtiyoriy xєR uchun x ga qarama-qarshi element deb ataluvchi
(-x kabi belgilanadi) shunday –x element mavjudki, x+(-x)=0;
5) x
III. Ko’paytirish amali aksiomalari. Ixtiyoriy x,yєR uchun bu elementlarning ko’paytmasi (x·y kabi belgilanadi) deb atalgan yagona zєR element mavjud bo’lsin va ko’paytirish amali uchun quyidagilar bajarilsin:
1) ko’paytirishning kommutativligi: x·y=y·x;
2) ko’paytirishning assotsiativligi: ixtiyoriy x,y,zєR uchun (x·y)·z=x·(y·z);
3) R da bir deb ataladigan (1 kabi belgilanadi) shunday element mavjudki, ixtiyoriy xєR uchun x·1=x;
4) noldan farqli ixtiyoriy xєR uchun R da x ga teskari element ataladigan
( kabi belgilanadi) shunday element mavjudki,
5) agar x0 bo’lsa, x·z
IV. Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan distributivlik aksiomasi. Ixtiyoriy x,y,zєR uchun (x+y)z=xz+yz bo’lsin.
I-IV aksiomalarni qanoatlantiruvchi elementlar to’plami chiziqli tartiblangan maydon deyiladi. R ning elementlarini sonlar deb ataymiz. 1+1 elementni (sonini) 2 bilan, 2+1 ni 3 bilan,… belgilaymiz. 1,2,…,n,… elementlar (sonlar) natural sonlar deyiladi.
V. Arximed aksiomasi. Ixtiyoriy xєR uchun shunday butun son n mavjudki, n>x bo’lsin. I-V aksiomalarni qanoatlantiruvchi to’plam tartiblangan Arximed maydoni deyiladi. Masalan, ratsional sonlar to’plami Q tartiblangan Arximed maydonidir.
VI. Uzluksizlik aksiomasi. Ichma-ich qo’yilgan har qanday segmentlar sistemasi
uchun bu segmentlarning hammasiga tegishli bo’lgan kamida bitta son mavjud bo’lsin.
Elementlari I-VI aksiomalarni qanoatlantiruvchi R to’plam-uzluksiz tartiblangan Arximed maydoni struktura- haqiqiy sonlar to’plami deyiladi.
Kantor nazariyasida haqiqiy son , kabi ta’riflanadi. Bunday aniqlangan sonlar to’plami I-VI xossalarga ega ekanini ko’rsatdik.
II gruppa aksiomalaridan 0 ning har bir elementga qarama-qarshi elementning yagonaligi, III gruppa aksiomalaridan esa 1 ning va noldan farqli har bir elementga teskari elementning yagonaligi kelib chiqadi.
I-VI aksiomalar sistemasini qanoatlantiruvchi to’plamning yana bir misol keltiraylik. Tekislikdagi barcha kesmalar to’plamini qaraylik. Kongruent (teng) kesmalar uchun umumiy xossa-ularning har birining uzunligi deyiladi. Uzunliklarni simvollar (harflar) bilan belgilaylik. Biror kesmani tanlab, uning uzunligini 1 ga teng deylik. kesmaning uzunligi ekanini simvolik ravishda kabi yozamiz.
Agar va kesmalarni ustma-ust qo’yganda va bo’lsa, ularning uzunliklari munosabatda deymiz.
Birlik kesmani ta teng bo’lakka bo’laylik. Biror kesma shu bo’laklardan tasining geometrik yig’indisiga teng bo’lsa, ratsional kesma (birlik kesma bilan o’lchovdosh), ratsional uzunlikka ega deymiz. Agar kesma birlik kesma bilan o’lchovdosh bo’lmasa, u irratsional uzunlikka ega deymiz. bo’lsa, bu kesmalar geometric yig’indisining (ayirmasining) uzunliklari uzunliklar yig’indisi (ayirmasi) kabi ta’riflanadi.
Maktab geometriya kursidan ma’lumki, uzunliklari ga teng bo’lgan kesmalar berilsa,uzunligi a·b, a/b ga teng kesmalarni yasay olamiz.
Son o’qida boshlang’ich nuqta –“hisob boshi” 0 dan o’ngda yotgan nuqtalarga 0 bilan shu nuqtalarni birlashtiruvchi kesmalarning uzunliklarini mos qo’yamiz. Bu moslik o’zaro bir qiymatli moslikdir. Bunday kesmalarning uzunliklarini “musbat” uzunlik, 0 nuqta bilan undan chapdagi nuqtalarni birlashtirish natijasida hosil bo’lgan kesmalarning uzunliklarini “manfiy” uzunlik deylik. 0 nuqtaga “nol” uzunlikni mos qo’yamiz. Shunday qilib, son o’qidagi barcha nuqtalar bilan “musbat”, “manfiy”, “nol” uzunliklar to’plami K-a,b,c,… belgilar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatdik. K ning elementlari I-VI aksiomalar sistemasini qanoatlantiradi.
|