Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

1.2. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. XX asr
matematikasining yirik namoyandalaridan biri, amerikalik olim V.Feller
(1906-1970) quyidagi fikrlarni keltirgan: “Ehtimollar nazariyasi ‒
geometriya va nazariy mexanika kabi matematik fandir. Har qanday
matematik fanda uning bir-biridan farqli uchta qirralariga e‟tibor berish
kerak:
a) uning formal (aksiomatik) moslik asoslariga;
b) undagi induktiv tasavvurlarga;
19
Kristian Kramp (1760-1826) – nemis matematigi. Asosiy ishlari kombinatorika, geometriya va
algebraga bag„ishlangan.
10
c) tatbiqiy masalalarga aloqadorligiga.
Bu uchta qirra, o„zaro bog„liqlik asosida qaralganda, matematik
fanlarning bir-biridan farqli tarmoqlarini topishga, u yoki bu fanning
qanchalik foydali ekanligini baholashga imkon beradi.
Ma‟lumki, fan aniq bir qonuniyatlarga bo„ysunadigan voqea va
jarayonlarni kashf etadi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
hozirgi zamon matematikasida yirik intensiv ravishda rivojlanib
borayotgan sohani tashkil qiladi va u aniq voqea va jarayonlar orasidagi
“tasodifiylik” qonuniyatlarini o„rganadi. Alohida qayd qilib o„tish joizki,
matematik ma‟nodagi “tasodifiylik” falsafa uchun muhim bo„lgan
“tasodifiylik va zaruriyat” kategoriyalari bilan hamohangdir.
Umuman, matematika boshqa fanlar qatorida ma‟lum qonuniyat-
larga bo„ysunadigan jarayonlarni o„rganadi. Matematika va uning
obyekti, predmeti orasidagi munosabat quyidagicha ifoda etilishi
mumkin.
Keltirilgan jadvaldagi ma‟lumot uchun Nyuton yaratgan klassik
mexanika oddiy misol bo„ladi. Nyuton mexanikaning asosiy qonunlarini
sodda (tushunarli) sxemalar ko„rinishida qabul qilib, ularga moddiy
jismlarning o„zaro tortishish qonunini qo„shib, bu aksiomalar va
deduktiv fikrlash yordamida oldin ro„y bergan yoki ro„y berishi mumkin
bo„lgan mexanik jarayonlar tafsilotini tushuntirib berish mumkin
ekanligini isbotladi. Ma‟lumki, hodisa ehtimolligini topish matematik
formulalar bilan ifodalanadi. Bu esa biror o„rganilayotgan jarayonning
(hodisaning) matematik modelidir. Haqiqatdan ham, matematika o„rga-
nilayotgan jarayonni bevosita o„rganmasdan, faqat uning matematik
modelini o„rganadi, xolos. Bu borada mashhur amerikalik olim Kay Lay
obyekt
11
Chjunga tegishli quyidagi o„xshatishni keltiramiz: agar matematik
oldida uy yonayotgan bo„lsa, u yong„inni bevosita o„chirishdan ko„ra,
ko„proq yong„inni o„chirish metodlari (usullari) haqida fikr yuritadi”.
«Ehtimollar nazariyasi» degan iborani ilk bor uchratgan kishida bu
fanga nisbatan «shubhali fikrlar» yuzaga kelishi tabiiy holga o„xshaydi,
chunki «nazariya» so„zi bu iboraning biror fanga aloqadorligini bildiradi
va o„z navbatida har qanday fan aniq jarayonlarni o„rganadi,
«ehtimollik» so„zi esa oddiy ma‟noda qandaydir noaniqlik, tasodifiylik
mavjudligini ko„rsatadi. Haqiqatdan ham, «ehtimollar nazariyasi»
tasodifiy xarakterga ega bo„lgan (oldindan ro„y berishi yoki bermasligini
bashorat qilish mumkin bo„lmagan) jarayonlar, voqealarni o„rganadi.
Keltirilgan fikrda yuzaga kelishi mumkin bo„lgan «qarama-qarshilik»
oson tushuntirilishi mumkin. Aslida, «ehtimollar nazariyasi» tasodifiy
jarayonlar bo„ysunadigan qonuniyatlarni o„rganadi (bu qonuniyatlar
fanda stoxastik qonuniyatlar nomi bilan e‟tirof etilgan). Tasodifiy
bo„lmagan jarayonlar – deterministik hodisalar deb ataladi va ular
ma‟lum shartlar kompleksi bajarilganda, albatta ro„y beradi. Masalan,
suvning temperaturasini oshira boshlasak, u qaynay boshlaydi. Lekin
deterministik xarakterga ega bo„lgan hodisalar bilan bir vaqtda tasodifiy
hodisalar (jarayonlar) ham ko„p uchraydi. Masalan, epidemiya davrida
gripp bilan og„rigan kishilar sog„ayib ketishi, og„ir asoratga uchrashi
yoki vafot etishi mumkin. Bu jarayon (gripp bilan kasallanish) natijasida
nima bilan tugallanishini oldindan aytib berib bo„lmaydi, lekin bu
natijalar har xil «ehtimollik» darajalariga ega bo„lishi mumkin. Aytilgan
fikrlardan kelib chiqadiki, ehtimollar nazariyasining obyekti tasodifiy
hodisalardan iborat bo„lib, ular uchun yuqoridagi jadvaldagi matematik
modellar «ehtimollar» orqali bog„liqligi bilan ajralib turadi.
Ehtimollar nazariyasi fan sifatida shakllanishini XVII asrdan
boshlangan deb hisoblanadi. Bu nazariya boshlang„ich davrda (qimor)
o„yinlarida uchraydigan kombinatorika masalalarini yechishga bag„ish-
langan. Ayni shu masalalar mavjud deterministik matematik modellar
doirasidan chiqib, yangi tushunchalar kiritish va yangi g„oyalarga
asoslangan yechish usullarni talab qiladigan murakkab muammolarni
o„rganishga olib kelgan. Shu kabi yangi g„oyalar o„sha davr olimlari
Ferma, Paskal, Gyugens, keyinroq esa mashhur matematiklar Yakob
Bernulli, Laplas, Gauss nomlari bilan bog„liq.
Akademik A.A.Borovkov
20
ning e‟tirof etishicha, ehtimollar nazari-
yasiga oid birinchi traktat «Qimor o„yinlaridagi hisoblar haqida»
20
A.A.Borovkov ‒ Rossiya fanlar akademiyasining akademigi
12
mashhur fizik Gyugens tomonidan yozilgan (1657-y.). Gyugens bu
traktatda o„rganilgan masalalarning rivojini bashorat qilib quyidagilarni
yozadi: «Men ishonamanki, o„rganilgan masalalar faqat qimor
o„yinlariga tegishli bo„lmasdan, ular chuqur g„oyalarga boy qiziqarli
fanga asos bo„lishini his qilaman».
Yuqorida nomlari keltirilgan, ehtimollar nazariyasini yuzaga
kelishida muhim rol o„ynagan olimlar ro„yxatidan ko„rinadiki, ular,
asosan, fizikada katta ixtirolar kashf qilgan shaxslar bo„lgan. Mashhur
klassik matematik olimlar D.Gilbert, A.Puankare ham ehtimollar
nazariyasini fizikadagi mustaqil yo„nalish deb hisoblaganlar. Bu fikr XX
asrning 30-yillarigacha, to akademik A.N.Kolmogorov ehtimollar
nazariyasini aniq aksiomalar sistemasi asosida qurish mumkinligini
isbotlaganiga qadar davom etgan. Ehtimollar nazariyasining fan sifatida
asrlar davomida shakllanib borishini quyidagicha izohlash mumkin:
XVII asrda ehtimollar nazariyasining boshlang„ich davri bo„lib, u
qiziqarli, lekin amaliy ahamiyatga ega bo„lmagan, ko„ngilochar qimor
o„yinlariga tegishli bo„lgan masalalar majmuasidan iborat bo„lgan.
XVIII asrda ehtimollar nazariyasini amaliyotda qo„llash mumkinligini
asoslab beradigan «katta sonlar qonuni» kashf etilgan. Bu qonun
(teorema) shveytsariyalik olim Yakob Bernulli tomonidan (vafotidan
so„ng 1713 yilda) chop etilgan. Akademik A.A.Borovkovning fikricha,
Bernullining «katta sonlar qonuni» birinchi «klassik teorema»
hisoblanib, u hozirgi zamon matematika va mexanikaning asosiy
yo„nalishlaridan biri «dinamik sistemalar» nazariyasini yuzaga kelishida
ham asosiy rol o„ynagan. Bu qonunning fizik ma‟nosi quyidagi
xulosadan iborat: o„rganilayotgan sistemaning vaqt bo„yicha o„rtacha
holati (bu tasodifiy holat), uning fazoviy o„rtacha holatiga (tasodifiy
bo„lmagan deterministik holatga) yaqinlashadi. Demak, «katta sonlar
qonuni» o„rinli bo„lsa, vaqt o„tgan sari tasodifiylik yo„qolib boradi va
fizik sistemaning limitdagi holati deterministik xarakterda bo„ladi.
Aytilganlardan ko„rinadiki, agar «katta sonlar qonuni» o„rinli bo„lmasa,
vaqt o„tgani bilan tasodifiylik yo„qolmaydi va o„rganilayotgan fizik
sistema uchun turg„unlik (aniqlik, deterministik ) sifat yuzaga kelmaydi.
Umuman
aytganda,
ehtimollar
nazariyasining
amaliyotda
o„rganilayotgan sistema uchun qo„llanishi, «katta sonlar qonuni» orqali
amalga oshiriladi. Aytib o„tilganlardan tashqari, bu asrlarda ehtimollar
nazariyasining demografiya (aholishunoslik) faniga tegishli bo„lgan
amaliy masalalarini yechishga tatbiq etila boshlashi, ayniqsa, tasodifiy
voqealarga bog„liq tasodifiy – sug„urta sistemasining yuzaga kelishi
13
munosabati bilan (birinchi marta Angliyada dengiz transport
sistemasida) bu nazariyaning ahamiyati osha boshladi.
XIX asrda ehtimollar nazariyasi fan sifatida e‟tirof etildi. Bu
jarayonda mashhur matematik olimlardan Laplas va Puassonning roli
juda salmoqli hisoblanadi. Masalan, ko„p yillar davomida ehtimollar
nazariyasi bo„yicha yagona darslik hisoblangan «Analitik ehtimollar
nazariyasi» kitobi Laplas tomonidan 1826-yilda chop etilgan. XIX
asrning ikkinchi yarmida ehtimollar nizariyasining rivojlanishiga
mashhur rus matematiklaridan P.L. Chebishev, A.B. Bunyakovskiy,
A.A. Markovlar katta hissa qo„shganlar. XX asrga kelib ehtimollar
nazariyasi mustaqil matematik fan sifatida shakllandi. Ayniqsa, bu fanni
ma‟lum aksiomalar sistemasi (Kolmogorov tomonidan taklif qilingan)
asosida qurish mumkinligi, aytish mumkinki, u inqilobiy xarakterga ega
bo„ldi. Bu jarayonda mashhur matematiklar E. Borel (Fransiya), Fon
Mizes (Germaniya), S.N.Bernshteyn (Rossiya) kabi olimlarning ijodi
ham katta rol o„ynadi. Ehtimollar nazariyasi aksiomatik fan sifatida tan
olingandan so„ng, uning ravnaqi uchun keng istiqbollar ochildi. Birinchi
navbatda uning to„plamlar nazariyasi bilan aloqadorligi, XIX asr
davomida ehtimollar nazariyasini hozirgi zamon matematikasining eng
ilg„or yo„nalishlaridan biriga aylantirdi. XX asrning birinchi yarmida
ehtimollar nazariyasi bilan bir qatorda matematik statistika fani ham
ro„yobga keldi. Bunda K.Pirson (Angliya), J.Neyman (AQSH),
N.V.Smirnov (Rossiya), A.N.Kolmogorov (Rossiya) V.I.Romanovskiy
(O„zbekiston) singari fan arboblarining hissasi juda ham buyukdir.
O„zbekistonda vatandoshlarimiz akademik olimlar V.I. Romanovskiy
(1879-1954), T.A. Sarimsoqov (1915-1995), S.X. Sirojiddinov (1920-
1988) asos solgan «ehtimollar nazariyasi va matematik statistika»
maktabi tashkil topdi va bu maktabda bajarilgan ilmiy tadqiqotlar keng
jahon matematiklari jamoatchiligi tomonidan e‟tirof etilgan. Hozirgi
paytda ham O„zbekistonda «Ehtimollar nazariyasi va matematik
statistika» maktabi doirasida quyidagi:
a) Tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasi va uning tatbiqlari;
b) Tasodifiy jarayonlar nazariyasi (Markov zanjirlari, tarmoqla-
nuvchi tasodifiy jarayonlar, ommaviy xizmat ko„rsatish nazariyasi va
boshqalar);
d) Taqsimotlarning no„malum bo„lgan parametrlarini statistik
baholash nazariyasi yo„nalishlarida ilmiy tatqiqotlar olib borilmoqda.
Masalan, Markov zanjirlari nazariyasini rivojlantirishga taniqli
olimlar V.I.Romanoskiy, T.A.Sarimsoqov va S.H.Sirojiddinovlar katta
14
hissa qo„shdilar hamda limitik teoremalarni Markov zanjirlari sxemasi
bo„yicha tekshirishda muhim ilmiy natijalarni qo„lga kiritdilar.
Bu tatqiqotlar S.H.Sirojiddinov rahbarligida va bevosita ishtirokida
taniqli matematiklar S.V.Nagaev, T.A.Azlarov, T.L.Malevich,
Sh.Q.Farmonov, M.O„.G„ofurov va boshqalar tomonidan bajarildi.
Hozirda tasodifiy va shoxlanuvchi jarayonlar nazariyasi, ommaviy
xizmat ko„rsatishning matematik nazariyasi, statistikaning noparametrik
masalalari bo„yicha katta tatqiqotlar, yuqorida aytib o„tilgan yo„nalishlar
bo„yicha O„zbekistonda hozirgi zamon ehtimollar nazariyasi va
matematik statistikaning jahon standartlariga mos keluvchi ilmiy
tatqiqot ishlari olib borilmoqda. O„zbekistonda matematikaning
stoxastika yo„nalishini rivojlanishiga katta hissa qo„shgan ilmiy
dargohlardan biri hozirgi O„zbekiston Milliy universiteti va O„zbekiston
Fanlar Akademiyasi hisoblanadi. Bu yerda o„tgan asrning yigirmanchi
yillaridan boshlab respublikamizda matematika yo„nalishida dunyoga
tanilgan olimlar tarbiya topdi. Professor V.I.Romanovskiy rahbarligida
bir guruh o„zbek olimlari Qori Niyoziy, T.Sarimsoqov, S.Sirojiddinov
va boshqa olimlar o„zlarining ilmiy ishlari bilan tanila boshladilar.
Keyinchalik N.Romanov, L.Volkoviskiy, M.Sultonova, M.Sobirov,
M.Xojimullaev, M.Solahiddinov, N.Satimov, Sh.Alimov, Sh.Ayupov,
T.Jo„raev, Sh.Q.Farmonov, M.O„.G„ofurov va boshqalar O„zbekiston
matematikasini dunyoga tanitdilar.
|