U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika - bet 10

22
TURSUN ABDURAHIMOVICH AZLAROV
1938-yilda Toshkent shahrida tug„ilgan. 1955-yilda
o„rta maktabni a‟lo baholarga tamomlab, 1955-yili
ToshDUga (hozirgi O„zMU) matematika ixtisosligi
bo„yicha o„qishga qabul qilindi va 1960-yili oliygohni
imtiyozli diplom bilan tamomladi. 1960‒1963-yillarda
ToshDU da akademik S.H.Sirojiddinov rahbarligida
aspiranturani
o„tadi va 1963-yili “Lokal limit
teoremalarda tekis baholash” mavzusida nomzodlik dissertatsiyasini
himoya qildi. 1963‒1970-yillarda ToshDU da katta o„qituvchi, dotsent,
1970‒1972-yillarda O„zRFA matematika institutida katta ilmiy xodim,
1972‒1985-yillarda shu institutning bo„lim mudiri, 1985-yildan ToshDU
amaliy matematika va mexanika fakulteti umumiy matematika kafed-
rasining mudiri vazifalarida xizmat qildi. 1973-yil S.H.Sirojiddinov
rahbarligida “Ommaviy xizmat ko„rsatishning matematik nazariyasi
bo„yicha tadqiqotlar” mavzusida doktorlik dissertatsiyasini yoqladi va
1974-yilda unga professor unvoni berildi. T.A.Azlarov ehtimollar na-
zariyasining limitik teoremalariga, ommaviy xizmat ko„rsatishning ma-
tematik nazariyasi va uzluksiz funksiyalarni chiziqli musbat operatorlar
bilan yaqinlashtirish nazariyasiga bag„ishlangan salmoqli ilmiy tadqiqot-
larini olib bordi. Markov zanjirlari uchun statistik masalalar va shunga
bog„liq amaliy masalalar bo„yicha katta natijalarni qo„lga kiritdi.
T.A.Azlarov, ilm-fanning rivojlanishiga va tatbiqlanishiga qo„shgan kat-
ta hissasi hamda yuqori malakali matematik mutaxassislarni tayyor-
lashdagi beminnat xizmatlari, samarali ilmiy faoliyati uchun, Abu
Rayxon Beruniy nomli davlat mukofotiga (1973-y.) sazovor bo„ldi.
SHOKIR QOSIMOVICH FARMONOV
Taniqli matematik olim, f.m.f.d, professor, O„zbekiston
Respublikasi FA akademigi, Abu Rayxon Beruniy
nomli
O„zbekiston
Davlat
Mukofoti
laureati.
Sh.Q.Farmonov – O„zbekistonda matematikaning aso-
siy yo„nalishlaridan biri bo„lgan ehtimollar nazariyasi
va matematik statistika sohasida dunyo miqyosida tan
olingan
mutaxassis.
Sh.Q.Farmonov
akademik
S.H.Sirojiddinovning shogirdlaridan biri bo„lib, hozirda ustozi tomoni-
dan tashkil etilgan ehtimollar nazariyasi va matematik statistika ilmiy
23
maktabining rahbaridir. Sh.Q.Farmonov 1941-yil 20-fevralda Farg„ona
viloyatining Dang„ara tumanida tug„ildi. 1958-yilda Farg„ona davlat
pedagogika instituti (hozirgi Farg„ona davlat universiteti)ning fizika-
matematika fakultetiga o„qishga kirdi. Ikkinchi kurs oxirida Sh.Q.Far-
monov o„zining dastlabki ilmiy ishini differensial tenglamalar bo„yicha
professor J.X.Karimov (1909-1993) rahbarligida bajardi. 1961-yilning
boshida Farg„ona davlat pedagogika institutiga akademik S.H.Sirojid-
dinov tashrif buyuradi va fizika-matematika fakultetining eng faol tala-
balari bilan suhbat o„tkazadi. Bu uchrashuvda keyin Sh.Q.Farmonov
akademik S.H.Sirojiddinov tavsiyasi va ko„magi bilan Toshkent Davlat
universiteti (hozirgi Mirzo Ulug„bek nomli O„zbekiston Milliy uni-
versiteti) mexanika-matematika fakultetining II kursiga qabul qilindi.
1963-yilning aprel oyida V kurs talabasi Sh.Q.Farmonov Bishkek shah-
rida Xalqaro talabalar konferensiyasida qatnashdi va uning “Lokal limit
teoremada qoldiq hadining baholari” nomli ilmiy ishi I darajali
mukofotga sazovor bo„ldi. Sh.Q.Farmonovga, 1963-yilda ToshDU ni
bitirgach, O„zbekiston Fanlar Akademiyasining V.I.Romanovskiy nomli
Matematika ilmiy tadqiqot institutiga yo„llanma berildi. Shu davrdan
boshlab uning ilmiy va pedagogik faoliyati shu institut va Mirzo
Ulug„bek nomli O„zMU bilan chambarchas bog„liq. 1966-yilda
Sh.Q.Farmonov ustozi akademik S.H.Sirojiddinov ilmiy rahbarligida
“Markov zanjirlari uchun ba‟zi limitik teoremalar” mavzusida nom-
zodlik, 1973-yilda esa “Markovning bir jinsli zanjiriga bog„langan taso-
difiy vektorlar va miqdorlar yig„indilari uchun limitik teoremalar bo„yi-
cha tadqiqotlar” mavzusida doktorlik dissertatsiyasini himoya qildi.
Sh.Q.Farmonovning asosiy ilmiy izlanishlari zamonaviy ehtimollar
nazariyasi va matematik statistikaning quyidagi yo„nalishlariga bag„ish-
langan:
‒ bog„liqsiz va kuchsiz bog„langan tasodifiy miqdorlar va vek-
torlarni qo„shish nazariyasi;
‒ tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlar;
‒ tayyor mahsulotni statistik qabul nazoratining matematik usullari;
‒ tasodifiy joylashuvlar (Diskret matematikaning ehtimollik usul-
lari).
XX asrning 30‒40-yillarida yetuk matematiklar P.Levi, A.N.Kol-
mogorov, A.Ya.Xinchin va B.V.Gnedenkolar harakatlari evaziga bog„-
liqsiz tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasi yaratildi. Bu nazariyani
bog„liq tasodifiy miqdorlar uchun umumlashtirish qiyin matematik
muammo edi. Sh.Q.Farmonovning ilk izlanishlari obyekti ‒ holatlar
24
to„plami ixtiyoriy (abstrakt) bo„lgan bir jinsli Markov zanjiriga
bog„langan tasodifiy miqdorlar yig„indilarining limit taqsimotlarini
o„rganishdan iborat bo„ldi. U markaziy limit teorema o„rinli bo„lishining
sodda yetarli shartlarini topdi. Uning yana bir salmoqli natijasi tekis
ergodiklik (tekis qorishmalilik) shartini qanoatlantiruvchi Markov zanjiri
uchun Berri-Esseenning klassik tengsizligining analogini isbotlashdan
iborat. Shuni ta‟kidlash lozimki, bu natijalarning olinishi Sirojiddinov-
Nagaev metodini takomillashtirish bilan bog„liq. Bu takomillashtirish
Sh.Q.Farmonov tomonidan xarakteristik funksiyalarning analitik usuli
va chegaralangan funksiyalarning Banax fazosida aniqlangan chiziqli
operatorlar spektral nazariyasini birlashtirish natijasida ishlab chiqildi.
Keyinchalik olim tomonidan, birinchi bo„lib, holatlari ixtiyoriy to„p-
lamdan iborat bir jinsli Markov zanjirlari uchun Donsker-Proxorovning
invariantlik prinsipi va Shtrassen formasidagi (funksional limit teorema)
takroriy logarifm qonuni o„rinliligi isbotlandi. Mazkur natijalar
mutaxassislar e‟tirofiga sazovor bo„ldi va ularni o„z ichiga olgan
maqolalar A.N.Kolmogorov va Yu.V.Proxorov kabi akademiklar
tomonidan nashrga tavsiya etildi. Akademik Sh.Q.Farmonov 1973-yilda
“Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari va ularning tatbiqlari”
turkumidagi ishlari uchun Abu Rayxon Beruniy nomli O„zbekiston
Davlat mukofotiga sazovor bo„ldi (S.H.Sirojiddinov, T.A.Azlarov,
M.Mamatov bilan birgalikda). Akademik Sh.Q.Farmonovning ilmiy
izlanishlarida “Tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlar” alohida o„rin
tutadi. Uning ishlarida bunday jarayonlarning nisbatan murakkab
bo„lgan modeli, ya‟ni migratsion komponentalarga ega bo„lgan modeli
o„rganilgan. Oddiy tasodifiy jarayonlardan, ya‟ni evolyutsiyasini hosil
qilish funksiyasining analitik usuli yordamida o„rganish muammo bo„l-
magan jarayonlardan farqli o„laroq, bunday model “bog„liqsiz tarmoq-
lanish” xossasiga ega bo„lmaydi. Shuning uchun ushbu jarayonlar
holatlarining taqsimotlarini asimptotik tahlil qilish izlanishlarning yangi
usullarini qo„llashni talab etdi. Sh.Q.Farmonov o„zi tomonidan klassik
“momentlar usuli” ning takomillashtirilgan variantidan va sanoqli
Markov zanjirlarining umumiy nazariyasidan foydalanib, holatga bog„-
liq migratsiyali tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlarning yetarli darajada
keng sinfi uchun limit xossalarini aniqladi. Tayyor mahsulotning
statistik qabul nazorati bilan bog„liq masalalar amaliy matematik
statistikaning aktual yo„nalishlaridan biri hisoblanadi. Statistik qabul
nazoratining matematik usullari A.N.Kolmogorov, S.H.Sirojiddinov va
gollandiyalik matematiklar F.Vander-Varden, A.Xaldlar tomonidan
25
ishlab chiqilgan (o„z vaqtida S.H.Sirojiddinov Xalqaro statistika
instituti (Gollandiya) a‟zosi va birinchilar qatorida, bu institut qoshida
tashkil etilgan Bernulli Jamiyatining a‟zosi bo„lgan). Sh.Q.Farmonov va
uning shogirdlari ishlarida “Risk” funksiyasini minimallashtirish
ma‟nosida optimallik xossalariga ega bo„lgan statistik qabul nazorati
rejalarining yetarlicha keng sinfining tuzilishi o„rganildi. Bunda, boshqa
mutaxassislardan farqli o„laroq, mos “Risk” funksiyalari ularga kiruvchi
iqtisodiy parametrga nisbatan chiziqli bo„lmagan hol o„rganildi. Bu
izlanishlarda zamonaviy bog„liqsiz tasodifiy miqdorlarni qo„shish naza-
riyasining usullari va natijalari keng qo„llanildi (markaziy limit teore-
mada yaqinlashish tezligining baholari, bog„liqsiz tasodifiy miqdorlar
yig„indilari uchun asimptotik yoyilmalar). “Tasodifiy joylashuvlar”
(Diskret matematikaning ehtimollik usullari) XX asrning 60‒70-yilla-
rida zamonaviy ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning
alohida yo„nalishi sifatida shakllandi. Bu yo„nalish masalalari va usullari
mumkin bo„lgan natijalari diskret to„plamli turli stoxastik modellarda
paydo bo„ladigan tasodifiy jarayonlarni talqin etishda muhim
ahamiyatga ega. Sh.Q.Farmonov va uning shogirdlari ishlarida mos
“tasodifiy joylashuvlar” chekli yoki sanoqli polinomial sxemani tashkil
etgan holda, “bo„sh qutilar” klassik statistik kriteriysi qo„llanilishini
asoslash bilan bog„liq muammolar o„rganildi. Bunda diskret bog„liq
tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasiga qarashli “shartli lokal limit
teoremalar”dan unumli foydalanildi. Ushbu yo„nalish bo„yicha olib
borilgan izlanishlar natijalari va usullari diskret matematikaning ehti-
mollik usullari bo„yicha Petrozavodskda o„tkaziladigan an‟anaviy
konferensiyalarda ma‟ruza qilindi (1982, 1996, 2004, 2008 yillar). XX
asr oxiri va XXI asr boshlariga kelib, Sh.Q.Farmonovning izlanishlari
“noklassik limit teoremalar” bilan bog„liqdir. Bu teoremalar “klassik”
teoremalardan bog„liqsiz tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasida
muhim rol o„ynaydigan “yig„indilarning tekis cheksiz kichiklik sharti”ni
qatnashmasligi bilan farq qiladi. Xususan, Lindeberg-Feller markaziy
limit teoremasining noklassik varianti isbotlandi. Ushbu natijani isbot-
lash jarayonida Sh.Q.Farmonov yaxshi ma‟lum bo„lgan Steyn usulining
yangi takomillashgan variantini taklif etdi, bu usul yordamida kuchsiz
bog„langan tasodifiy miqdorlar yig„indilarining taqsimoti o„rganildi. O„z
ilmiy izlanishlari natijalari haqida Sh.Q.Farmonov Rossiya, AQSH,
Yaponiya, Ukraina, Litva, Vengriya, Polsha, Malayziya, Mongoliya,
JAR, Kanada ilmiy markazlarida va Fransiya, Shvetsiya, Singapur va
boshqa davlatlarda bo„lib o„tgan xalqaro konferensiyalarda ma‟ruza
26
qildi. Sh.Q.Farmonov unumli ilmiy faoliyat bilan birgalikda, doimo
ilmiy va pedagogik kadrlar tayyorlash masalasi bilan ham shug„ullanib
kelmoqda. Hozirgi vaqtga kelib u tomonidan o„ttizdan ortiq fan nom-
zodlari va o„ndan ortiq fan doktorlari tayyorlandi. Milliy universitetdan,
tashqari, u respublikamizning ko„plab oliy o„quv yurtlarida, o„qituv-
chilar malakasini oshirish institutlarida ma‟ruzalar o„qiydi, shu bilan
birga, barcha darajadagi maktab matematika olimpiadalarini tashkil etish
va o„tkazishda faol ishtirok etadi. Hozirgi vaqtda u O„zMU professori va
O„zR FA, V.I.Romanovskiy nomli Matematika ilmiy tadqiqot institu-
tining “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” bo„limi mudiri
sifatida O„zbekistonda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
maktabini boshqarib kelmoqda va xorij davlatlari mutaxassislari bilan
faol hamkorlik olib bormoqda. U ko„plab konferensiyalar va forumlarda
ishtirok etib, yangi g„oyalar va usullarni yetkazib bermoqda, bu esa, o„z
navbatida, O„zbekistonda ushbu ilmiy yo„nalishning rivojlanishini ta‟-
minlab kelmoqda. Hozirda u rahbarlik qilayotgan O„zbekiston ehti-
molliklar nazariyasi va matematik statistika maktabida, jumladan:
• tasodifiy va tarmoqlanuvchi jarayonlar nazariyasi;
• tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasi va uning tatbiqlari;
• Markov zanjirlari, ommaviy xizmat ko„rsatish nazariyasi va
boshqalar;
• taqsimotlarning noma‟lum bo„lgan parametrlarini statistik baho-
lash nazariyasi;
• matematik statistikaning noparametrik masalalari yo„nalishida
katta ilmiy tadqiqotlar olib borilmoqda.
|