VZŤAH NEURČITOSTI - 1 elementárna kvantová mechanika

1.13 VZŤAH NEURČITOSTI
V klasickej mechanike je stav častice v istom okamihu daný jej polohou
a rýchlosťou, alebo, čo je to isté, jej polohou a hybnosťou. Ukážeme si teraz, že
v tomto bode sa kvantová mechanika od klasickej podstatne líši: neexistuje totiž kvantovomechanický stav častice, v ktorom by bola súčasne určená aj poloha aj hybnosť tejto častice. Presnejšia matematická formulácia tohto tvrdenia je obsiahnutá v Heisenbergovom vzťahu neurčitostí. Formálne odvodenie tohto vzťahu si ukážeme až v nasledujúcej kapitole, tu sa obmedzíme len na kvalitatívnu diskusiu a uvedieme niekoľko ilustrácií. Ukážeme si, že neexistuje vlnová funkcia, o ktorej by sme mohli predpokladať, že by bola priradená takému stavu, v ktorom je poloha i hybnosť častice súčasne určená. Usúdime z toho potom, že takýto stav vôbec neexistuje.
Uvažujme voľnú časticu v jednorozmernom prípade. Vieme už, že stavu v ktorom je striktne určená hybnosť častice odpovedá rovinná vlna typu exp (ikx). Príslušná hustota pravdepodobnosti |exp (ikx)|2 je však konštantná na celej priamke x. To istotne neodpovedá stavu, v ktorom je poloha častice presne určená. Môžeme sa však pokúsiť na základe princípu superpozície skonštruovať vlnovú funkciu
(1)
takú aby príslušná hustota pravdepodobnosti |ψ(x)|2 bola od nuly rôzna len v nejakom malom intervale dĺžky x. Hodnota x potom zrejme reprezentuje neurčitosť polohy častice v stave, ktorému je priradená vlnová funkcia (1). Vlnové funkcie, ktoré sú v uvedenom zmysle lokalizované do nejakej malej priestorovej oblasti sa niekedy nazývajú vlnovými balíkmi. Príklad21 takého vlnového balíka je na obr. 1.14a. Na obrázku je znázornená len reálna časť vlnovej funkcie, predpokladáme však, že aj jej imaginárna časť je nenulová len v úzkom intervale dĺžky x. Reálna časť funkcie c(k), odpovedajúca balíku z obrázka 1.14a je znázornená na obr. 1.14b. Vidíme, že funkcia c(k) je nenulová v istom intervale k-priestoru
o dĺžke k. Znamená to, že vlnočet prislúchajúci vlnovej funkcii (1) nie je presne
Obr. 1.14
určený, hodnota k reprezentuje mieru jeho neurčitosti. Podľa de Broglieho hypotézy o súvise vlnočtu a hybnosti (k = p/ħ) potom usudzujeme, že v stave, ktorému odpovedá vlnová funkcia (1) nie je hybnosť častice presne určená, jej neurčitosť je p = k/ħ. Ak by sa nám podarilo skonštruovať vlnovú funkciu, pre ktorú by neurčitosti x aj k mohli byť ľubovoľne malé, potom by sme mohli povedať, že takáto vlnová funkcia prislúcha stavu s určenou polohou aj hybnosťou častice.
Podrobná analýza rozkladov vlnových balíkov do rovinných vĺn však ukazuje, že rozmer balíka v x-priestore (daný veličinou x) a rozmer balíka v k-priestore (daný veličinou k) sú viazané podmienkou
x k ≥ ħ/2 (2)
Neurčitosti polohy a hybnosti častice v stave, ktorému prislúcha vlnová funkcia (1), sú potom viazané podmienkou
x p ≥ ħ/2 (3)
Neurčitosti x a k teda nemôžu byť súčasne ľubovoľne malé. Usudzujeme
z toho, že stav častice, v ktorom by bola súčasne určená jej poloha i hybnosť, neexistuje.
Ukážeme si teraz kvalitatívne prečo platí vzťah (2). Ak si vlnový balík s rozmerom x predstavíme ako superpozíciu rovinných vĺn s rôznymi vlnovými dĺžkami , potom vidíme, že superpozícia musí byť taká, aby sa vlny mimo intervalu
(x0 − x/2, x0 + x/2) interferenciou zrušili. Ak to má byť možné, potom v balíku musia byť vlny s dĺžkami , ' takými, aby tieto vlny boli v protifáze pri okraji balíka (v bode x0 + x/2), ak v jeho strede (v bode x0) sú vo fáze. Ak teda na interval x/2 pripadá n vĺn s dĺžkou , potom naň bude pripadať (n + 1/2) vĺn '. Takto máme podmienky (obr. 1.15)
|