Tengsizlik - Fizika-matematika

Tengsizlik — sonlar yoki miqdorlar orasidagi munosabat sonlardan qaysi biri
boshqasidan kattaligi yoki kichikligini koʻrsatadi. Tengsizlikda ">" va "<"
ishoralari qoʻllanilib, ularning uchi kichik son yozilgan tomonga qaratiladi.
Matematika va uning tatbiklarida oʻzgaruvchi miqdorlarning barcha qiymatlarida
toʻgʻri boʻlgan Tengsizliklar ham muhim ahamiyatga ega.
Belgining o'zi qaror
qabul qilish jarayoniga ozgina ta'sir qiladi. Tengsizlikning bir xil o'zgarishi
tenglamalarning identifikatsiyalash transformatsiyalariga juda o'xshaydi. Shunday
qilib, tengsizlikning birinchi bir xil o'zgarishi:
1. Tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil sonni yoki ifodani qo'shish (ayirish)
mumkin. Bu tengsizlik belgisini o'zgartirmaydi. Amalda, ushbu qoida
atamalarni belgining o'zgarishi bilan tengsizlikning chap tomonidan o'ng
tomonga (va aksincha) o'tkazilishi sifatida qo'llaniladi. Belgini o'zgartirish
bilan, tengsizlik emas. Yakkama-yakka qoida tenglamalar qoidalari bilan bir xil.
Ammo tengsizliklardagi quyidagi bir xil transformatsiyalar tenglamalardan
sezilarli farq qiladi.
Soddalashtirishdan keyin ax > b, ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b
koʻrinishidan biriga keltirilishi mumkin boʻlgan tengsizlik chiziqli
(birinchi darajali) tengsizlik deyilad
Soddalashtirishdan keyin ax > b, ax ≥ b,
ax < b, ax ≤ b
koʻrinishidan biriga keltirilishi mumkin boʻlgan tengsizlik chiziqli
(birinchi darajali) tengsizlik deyiladi
Misol
2𝑥−1
3
− 3 > 𝑥 −
𝑥+3
3
Yechish: Ikkala tomonini 6 ga koʻpaytirib 6x – 3 – 18 > 6x – 2x –
6 ni, bundan esa 2x > 15 ni hosil qilamiz. Ikkala tomonini 2 ga boʻlib, x
> 7,5 ni topamiz.
J:𝑥 ∈ (7,5; ∞)
Endi tengsizlik yechimiga oid grafikni, ya’ni son o‘qidagi tasvirni
keltiramiz.
3𝑥 − 3 > 6 −
𝑥
3
tengsizlikni yeching.
Yechish: Ikkala tomonini 3 ga koʻpaytirib 9x – 9 > 18 – x ni,
bundan esa 10x > 27 ni hosil qilamiz. Ikkala tomonini 10 ga boʻlib, x >2,7 ni
topamiz.
J𝑥 ∈ (2,7; ∞)
Misol.
7𝑥
6
− 3 > 4 +
5𝑥
3
tengsizlikni yeching
Yechish: Ikkala tomonini 6 ga koʻpaytirib 7x – 18 > 24 + 10x ni,
bundan esa ‒ 3x > 42 ni hosil qilamiz. Ikkala tomonini ‒3 ga boʻlib, x <‒14
ni topamiz.
J)𝑥 ∈ (−∞; −14)
Yechimga mos chizmani chizaylik:
Misol.
7−10𝑥
6
− 5 ≥ 4 −
5𝑥
3
tengsizlikni yeching.
Yechish: Bu yerda noqat’iy tengsizlik keltirilgan. Ikkala tomonini
6 ga koʻpaytirib 7 – 10x – 30 > 24 ‒ 10x ni, bundan esa 0 > 57 ni hosil
qila- miz. Bu noto‘gʻri ifodadi. Demak yechim yo‘q.
J: .
Eslatma. Agar yuqoriga o‘xshash tengsizlikda to‘gʻri tengsizlik
olinsa, yechim ixtiyoriy x da o‘rinli bo‘ladi, ya’ni𝑥 ∈ (−∞; +∞) bo‘ladi
2-BOB
2.1 CHIZIQLI TENGLAMANI O’QITISH
METODIKASI
Tenglamalar va tengsizliklar tushunchalari yordamida borliqning o’zaro bog’lanish
qonuniyatlarini o’rganish mumkin, bu esa o’quvchilarda ma’lum darajada qiziqish
o’rgatadi. Faqat bugina emas tenglama va tengsizliklarning har bir mavzusini
o’rganishda o’quvchilarning nazariy bilimlarini mustahkamlash chuqurlashtirish,
takrorlash va kengaytirish, natijda esa ularning matematik faoliyatlarini ijodiy
rivojlantirish imkoni yuzaga keladi.
Matematikaning turli bo’limlariga oid masalalarini tenglama va tengsizlik
yordamida yechish arifmetika, algebra, geometriyaning yagona matematika
fanining turli ko’rinishlardagi ifodalari ekanligini anglashga yordam beradi. Ishlab
chiqarish, xalq xo’jaligiga predmetlararo masalalarni tenglama va tengsizliklar
yordamida yechish politexnik ta’limni amalga oshirishga matematika o’qitishni
kundalik hayot bilan bog’lashga, o’qituvchilarni kasbga to’g’ri yo’naltirishga
yordam beradi. SHu sababdan ham o’rta maktabda tenglama va tengsizliklarni
o’rganish muhim o’rinni egallaydi.
Matematiklarning va metodistlarning tenglama tushunchasini yoritish yuzasidan
turli qarashlari mavjud. Ko’pchilik hollarda tenglama masalaning analitik
ko’rinishi sifatida ifodalanib, o’zgarishlarning shunday qiymatlar to’plami
izlanadiki, bunda tenglamaning chap va o’ng tomonidagi ifodalar teng qiymatlarni
qabul qiladi. Bunday yondashish tenglama tushunchasidan foydalanishni
birmuncha chegaralab qo’yadi. “Tenglama” termini ko’pincha masalani yechimiga
etibor qilmay ham ishlatamiz. Masalan, “urinmaning tenglamasi” “nuqta
harakatining tenglamasi” va hokazo.
O’rta maktabda IV-sinf matematika darsligida ishlatilgan ta’rifdan foydalanish
qulay. Tenglama noma’lumli tenglikdir. Tenglamaga misol qilib, ifodalarni
ko’rsatish mumkin. Tenglama va tengsizliklarga o’zgaruvchili jumlalarning
xususiy bir ko’rinishi sifatida qarashimiz mumkin. Bu fikrni batafsil qarab o’taylik.
. Bu tenglama va tengsizliklarning chap va o’ng tomoni sonli ifodalardan iborat
bo’lgani uchun ma’noga ega. Bularning har birini chin yoki yolg’onligi haqida
gapirish mumkin. SHu sababdan chap va o’ng tomoni sonli tenglik va
tengsizliklardan iborat bo’lgan ifoda ma’noga ega bo’lsa, jumla sifatida qarash
mumkin.
o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar jumla bo’lmaydi. Agar o’zgaruvchili
tenglama (tengsizlik) da o’zgaruvchi o’rniga shunday qiymat qo’yilsaki, unda
tenglama (tengsizlik) ning ikkala qismi ham ma’noga ega bo’lsa, u holda chin yoki
sonli tenglik (tengsizlik) hosil bo’ladi. Bu yerda o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlar
qo’yish to’g’risida bormoqda. Demak, har bir tenglama yoki tengsizlikdagi
o’zgaruvchilar o’rniga ma’lum qiymatlarni qo’yganda chin yoki yolg’on jumlalar
hosil bo’ladi.
Bir o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) ni yechimi deb uni to’g’ri sonli tenglikka
(tengsizlikka) aylantiradgan o’zgaruvchining qiymatiga aytiladi. Bir o’zgaruvchili
tenglamaning yechimini uning ildizi deyiladi. Bir necha o’zgaruvchili
tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish ham shunga o’xshash amalga oshiriladi.
Tenglama (tengsizlik) ni yechish uni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarini topish
demakdir.
BIR NOMA’LUMLI CHIZIQLI TENGLAMALAR.
Bu sinfdagi tenglamalarni o’rganishga algebra kursiga birinchi kirishiladi. SHu
sababdan bunday tenglamalarni o’rganish xarakterining muhimligi kelgusidagi
tenglama tengsizliklarni o’rganishda muhim o’rinni egallaydi. Bir noma’lumli
chiziqli tenglamalarni o’rganish borasida tenglama tushunchasini umumiy holda
shakillantirish, tenglama termnini kiritilishi singari savollarga duch kelinadi.
Tenglama tushunchasiga ta’rif berishda o’qituvchi birinchi marta metodik
izlanishga majbur bo’ladi. bunday holatda algebraik usulda yechiladigan bir
noma’lumli birinchi darajali tenglamaga keltiriladigan uncha murakkab bo’lmagan
tekstli masaladan foydalanish maqsadga muvofiq. O’quvchilarning masala yechish
mobaynida diqqatini asosiy usulm bo’lgan umumiy ko’rinishi (bu yerda va lar bir
xil noma’lumli ifodalar) bo’lgan algebraik modelga o’tkazishga qaratilmog’i kerak
bo’ladi.
So’ngra o’qituvchi aniq formula analizi orqali darslikdagi tenglama tarifini beradi
va unga tegishli terminlarni kiritadi. Birinchi darajali bir noma’lumli tenglamaga
darsliklarda turlicha ta’ris beradilar. Masalan, Makarechev Y.N. va boshqalar
“Algebra 6-sinflar uchun darslik” (S.A. Telyakovskiy taxriri ostida) kitobida
quydagi ta’rif keltirilgan : Bir noma’lumli tenglama deb ko’rinishidagi tenglamaga
aytiladi. Bu yerda noma’lum, va lar ma’lum sonlardan iborat. Tenglamaga berilgan
bunday ta’rif juda tor ma’noga ega bo’lib, xattoki eng sodda masalalarni yechishga
ham yetarli emas.
SH. A. Alimov va boshqalarning “Algebra 6-8-sinflar uchun” kitobida birinchi
darajali bir noma’lumli tenglamaga aniq ta’rif berilmay, misollar yechimlari orqali
tushuntiriladi. Kitobda asosiy e’tibor ketma-ket shakl almashtirish qoidasidan
foydalanilgan holda tenglama ko’rinishiga keltirilishi ko’rsatiladi. Bu usulda
o’quvchilar tenglama haqida yetarli hajmda tasavvurga ega bo’la olmaydi.
Tenglama ta’rifi turli ko’rinishda berilgan bo’lsa ham uni o’rganish metodikasi esa
asosan birxildir. Birinchi darajali bir noma’lumli tengalamalarn o’rganishda
o’quvchilar quydagi bilimlarni egallashlari lozim : berilgan tenglamani yechish
algoritmini bilish, tenglama yechimini tekshirish natijalarini qo’llay olish,
tenglamalar umumiy nazariyasidagi asosiy tushunchalarni bilishlari, tekstli
masalalarni yechishda shu sinfdagi tenglamalarni qo’llay olishlari lozim
IKKI NOMA’LUMLI IKKI CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI.
Bir noma’lumli chiziqli tenglamalar yordamida birgina noma’lum bo’lgan, yoki
noma’lumlari ichidan bittasini boshqaari orqali ifodalash mumkin bo’lgan
tenglamalarni yechish mumkin.
Ko’pchilik hollarda bir xil xossali birnecha parametrli hodisalar bayon etilishi
mumkin. Bunday hodisalarni o’rganish uchun yangi algebraik vosita talab etiladi.
SHunday vositalardan biri sifatida algebra kursida ikki noma’lumli ikki chiziqli
tenglamalar sistemasi olinadi. Bunday usul yuqoridagi tenglamalar sinfini
o’rganish metodikasiga asoslanadi. Mavzuni bayon etishni quydagi masalaga
oxshash masalani yechish bilan boshlash yaxshi ntija beradi.
Masala. Bir oila o’z tomorqasiga 41,4 so’mga 26 tup olma va 15 tup gilos ko’chati,
ikkinchi olia esa shu narxda 34,2 so’mga 22 tup olma, 12 tup gilos ko’chati
o’tqazdi. Har bir tub olma va gilos ko’chatini narxini aniqlang.
Bu masalani eng avval bir noma’lumli tenglama yordamida yechish maqsadga
muvofiq. Buning uchun bir tup olma ko’chatini narxini desak, 26 tup olma ko’chati
26 so’m bo’ladi, 15 tup gilos ko’chati esa so’m bo’ladi. Bir tup gilos ko’chati so’m
bo’ladi. Ikkala oila ko’chatlarini bir xil narxda olgani uchun quydagi tenglamani
tuzamiz :
Tenglamani yechib (bir tub olma ko’chat narxi topildi). Gilos ko’chatini narxini
topish uchun tenglamadagi ixtiyoriy bir ifodaga qo’yib 1,2 natijaga ega bo’lamiz.
Demak, olma ko’chati 0,9 so’m, gilos ko’chati esa 1,2 so’m ekan. SHu masalani
ikki harf – ikki noma’lum yordamida qanday yechishni ko’raylik. Olma ko’chati
narxini so’m, gilos ko’chati narxini esa so’m deb belgilasak, masalaning shartiga
asosan quydagi tenglamalarni tuzamiz.
Masalani yechish uchun ikkala tenglamani ham qanoatlantiruvchi va ni
qiymatlarini topish kerak, ikkinchi xil aytganda tenglamalarni birgalikda yechish
kerak. SHunday hollarda birinchi darajali, ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi
berilgan deyilib, ikkalasini birgalikda qavsga olinadi.
O’quvchilarga masalaning yuqorida berilgan qiymatlari sistemali javoblari bo’lish
bo’lmasligini mustaqil tekshirib ko’rish topshiriladi. Bunday masalalarni
yechgandan so’ng sistemaga ta’rif berish mumkin :
1.
Bir xil noma’lumlar bitta kattalikni ifodalovchi ikki yoki birnechta tenglama
- tenglamalar sistemasini tashkil etadi.
2.
Ikki tenglama sistemasini yechish undagi noma’lumlarni qanoatlantiruvchi
qiymatlarini topish demakdir. Noma’lumlarni qanoatlantiruvchi shunday
qiymatlar juftiga sistemaning yechimi deyiladi. Bunday tushuncha bilan ikki
noma’lumli tenglamaning yechimi ixtiyoriy son bo’lmay balki tartiblangan
juftidan iborat muxim yangi tasavvurga ega bo’ladi.
Tenglama. Harf bilan belgilangan noma’lum son qatnashgan
tenglik tenglama deyiladi.
Masalan,𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 , bu yerda 𝑎 ≠ 0 va b – ixtiyoriy haqiqiy son.
Tenglik belgisidan chap va oʻngda turgan ifodalar tenglamaning chap va
oʻng qismlari deyiladi. Tenglamaning chap yoki oʻng qismidagi har bir
oʻshiluvchi tenglamaning hadi deyiladi.
Xususan,3𝑥 + 5 = 0, 𝑥 + 5 − 7𝑥 − 3 va F=mg larni ham misol qilib
keltirish mumkin.
Tenglamarning paydo boʻlishida asosan, u yoki bu ijtimoiy yoki
texnik masalalar sabab boʻladi.
Masala. Olma nok birgalikda 17000 soʻm turadi. Olma nokdan
9000 soʻm arzon. Nokning bahosini toping.
Yechish. Nok x soʻm tursin, u holda olma 𝑥 − 90 soʻm turadi.
Masalaning shartiga koʻra(𝑥 + 𝑥 − 90) = 17000, bundan 2𝑥 = 17000 +
9000, 2𝑥 = 26000 𝑥 = 13000
Javob: Nok 13000 soʻm turadi.
Ta’rif. Tenglamaning ildizi deb, noma’lumning shu tenglamani
toʻgʻri tenglikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi.
Tenglama ikkita, uchta va hokazo ildizlarga ega boʻlishi mumkin.
Masalan,
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0tenglama ikkita ildizga ega: 5 va – 2,
chunki 𝑥 = 5 𝑣𝑎 𝑥 = −2da
tenglama toʻgʻri tenglikka aylanadi.
(𝑥 + 3)(𝑥 − 7)(𝑥 + 9) = 0tenglama esa uchta ildizga ega: – 3, 7 va – 9.
Tenglama ildizlarining soni cheksiz koʻp boʻlishi mumkin.
Masalan 4(𝑥 − 4) = 4𝑥 − 16tenglamaning ildizlari soni cheksiz
koʻp: x ning istalgan qiymati tenglamaning ildizi boʻladi, chunki har bir
x da tenglamaning chap qismi oʻng qismiga teng.
Tenglama ildizlarga ega boʻlmasligi ham mumkin. Masalan, 3𝑥 − 7 = 3𝑥 + 2
tenglamaning ildizlari yoʻq, chunki x ning istalgan qiymatida
bu tenglamaning chap qismi oʻng qismidan kichik boʻladi.
Tenglamani yechish — uning barcha ildizlarini topish yoki
ularning yoʻqligini koʻrsatish demakdir.
Koʻpgina amaliy masalalarni yechish
ax = b (1)
koʻrinishdagi tenglamaga keltiriladi, bunda a va b — berilgan
sonlar, x— noma’lum son. (1) tenglama chiziqli tenglama deb ataladi.
tenglamani yechishda tenglamaning quyidagi asosiy xossalarida foydalaniladi.
Algebraning asosiy teoremasi. Koʻphadlarning ildizlari bilan ish
koʻrilganda, har qanday koʻphad ham ildizga ega boʻlaveradimi? Degan
savol tugʻuladi. Koeffitsientlari haqiqiy boʻlib, haqiqiy ildizga ega
boʻlmagan koʻphadlar mavjudligi ma’lum,𝑥
2
+ 1 ana shunday
koʻphadlardan biridir. Koeffitsientlari ixtiyoriy kompleks (haqiqiy
koeffitsientli koʻphadlar bularning xususiy holidir) sonlardan iborat
boʻlgan koʻphadlar ichida ham ildizga ega boʻlmaganlari mavjudmi
degan savol tugʻiladi? Shunday koʻphadlar majud boʻlganda edi,
kompleks sonlar sistemasini kengaytirishga toʻgʻri kelar edi. Ushbu
kompleks sonlar algebrasining asosiy teoremasi oʻrinlidir.
Teorema. Darajasi birdan kichik boʻlmagan, istalgan son
koeffitsientli, har qanday koʻphad hech boʻlmaganda , umumiy holda
bitta kompleks ildizga ega boʻladi.
Bu teorema matematikaning eng katta yutuqlaridan biri
hisoblanadi va fanlarning xilma-xil sohalarida tatbiq qilinadi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Natija.n - darajali)(𝑛 ≥ 1) istalgan kompleks koeffitsientli koʻphad,
xuddin ta kompleks ildizga ega boʻladi. Bunda ildizlar necha karrali
boʻlsa, xuddi shuncha marta sanaladi.
Algebraning asosiy teoremasi n=0 boʻlganda ham oʻrinli, chunki
0- darajali koʻphad ildizlarga ega emas. Algebraning asosiy teoremasi
darajasi aniqlanmagan nolgʻ koʻphadgagina (nol soniga) qoʻllanishi
mumkin emas.
Tenglamalarning teng kuchliligi. Bir hil ildizlarga ega
tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi.
Ildizga ega boʻlmagan har bir tenglama ham teng kuchli
hisoblanadi. Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan
tenglamaga teng kuchli boʻlgan tenglama bilan almashtirishga harakat
qilinadi. Shuning uchun har qanday shakl almashtirishlarda berilgan
tenglama unga teng kuchli tenglamaga oʻtishini bilish muhimdir.
Teorema: Agar tenglamada birorta qoʻshiluvchini tenglamaning
bir tomonidan ikkinchi tomoniga ishorasini oʻzgartirib oʻtkazilsa,
berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.
Masalan,5𝑥 − 13 = 16𝑥 − 7 tenglama
5𝑥 − 13 − 16𝑥 + 17
ga teng kuchlidir.
Teorema: Agar tenglamaning har ikkala tomonini noldan farqli bir
songa koʻpaytirilsa yoki boʻlinsa, berilgan tenglamaga teng kuchli
tenglama hosil boʻladi.
Masalan,5𝑥 − 7 =
10𝑥−3
4
tenglama
20𝑥 − 28 = 10𝑥 − 3
tenglamaga teng kuchli (birinchi tenglamaning har ikkala tomonini
3 ga koʻpaytirildi).
Tenglamalarning asosiy xossalari. Tenglama
tarkibidagi algebraik ifodalar ustida turli amallar bajarish mumkin.
Bunda tenglamaning ildizlari oʻzgarmaydi. Keng tarqalgan amallar
quyidagilardir:
1. Tenglamaning har ikki tomoniga aynan bir xil haqiqiy
sonni qoʻshish mumkin.
2. Tenglamaning har ikki tomonidan aynan bir xil haqiqiy sonni
ayirish mumkin.
3. Tenglamaning har ikki tomonini 0 dan boshqa har qanday
haqiqiy songa boʻlish mumkin.
4. Tenglamaning har ikki tomonini har qanday haqiqiy songa
koʻpaytirish mumkin.
5. Tenglamaning istagan tomonida qavslarni ochish mumkin.
6. Tenglamaning istagan qismida oʻxshash qoʻshiluvchilarni
keltirish mumkin.
7. Tenglamaning istalgan hadini bir qismdan ikkinchi qismga
qarama-qarshi ishora bilan olib oʻtish mumkin.
8. Ba'zi hollarda har ikki tomonga ayrim
bir funksiyalarni qoʻshish mumkin.
Bunday amal bajarayotganda tenglama ildizlari yoʻqotilmasligiga
e’tibor berish kerak. Masalan 𝑦𝑥 = 𝑥tenglamasida ikki guruh yechim
bor:y=1 (har qanday x bilan) va x=0(har qanday y bilan). Ikkala
tomonni ikkinchi darajaga koʻtarish (yaʼni, ikki
tomonga 𝑓(𝑠) = 𝑠
2
funksiyasini kiritish) berilgan
tenglamani(𝑦𝑥)
2
= 𝑥
2
qilib oʻzgartiradi. Bu yangi tenglamada eski
tenglamaning barcha ildizlari bilan birga yangi ildizlar ham bor:
y=-1
va x har qanday son.
Masalan,7𝑥 + 1 = 1 − 𝑥 𝑣𝑎 𝑘𝑒𝑦𝑖𝑛𝑔𝑖 𝑞𝑎𝑑𝑎𝑚𝑑𝑎 7𝑥 = 𝑥 tenglama
olinadi, bu yerda bir soni tashlab yuborildi.
2.2 CHIZIQLI TENGSIZLIKLAR O’QITISH METODIKASI
BIR O’ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR.
va butun ifodalar bo’lganda ko’rinishdagi tengsizliklar. Sakkiz yillik maktablarda
o’ng va chap tomoni butun ifodalar bo’lgan bir o’zgaruvchili tengsizliklar qaraladi.
Tenglamalarda ko’rib o’tganimizdek, chap va o’ng tomonlari butun ifodalar
bo’lgan tengsizlikni ikki tomonga ifodani qo’shib, ayniy almashtirishlardan so’ng
berilgan tengsizlikka tengkuchli bo’lgan biror ko’phad tengsizlikni hosil qilamiz
ko’phadning darajasiga bog’liq bo’lgan quydagi ko’rinishdagi tengsizliklar hosil
bo’lishi mumkin :
Biz va singari tengsizliklarni o’rganish bilan chegaralanamiz.
ko’rinishdagi tengsizlik deyiladi. tengsizlikni yechishni ko’raylik. Bunday
tengsizlikni yrchishda va hollar bo’lishi mumkin.
bo’ganda tengsizlikning yechimi ( ) yoki oraliqlarda bo’ladi. va bo’lganda ning
yechimi oraliqda joylashgan bo’ladi.
va bo’lganda tengsizlik yechimga ega o’lmaydi.
tengsizligi ham yuqoridagi usulda yechiladi. bo’lganda bu tengsizlikning yechimi
yoki oraliqda joylashgan bo’ladi. va bo’lganda tengsizlikning yechimi mavjud
emas. bo’lganda esa yechimlari oraliqda joylashgan bo’ladi. CHiziqli tenlama va
chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmlari bir-biriga o’xshash. SHu sababdan bu
tomonlarni birgalikda o’rganish chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmini
o’rganishni osonlashtiradi. Biroq o’quvchilar bu ikki mavzuni birgalikda
o’rganishda tengsizlik ishoralarini to’g’ri baholamaydilar.
SHuning uchun o’qituvchi bu borada o’quvchilar bilan maxsus ish olib borishga
to’g’ri keladi. Ko’pchilik matematik masalalarda bir o’zgaruvchili chiziqli
tengsizliklar sistemasini yechish bilan uni to’g’ri hal qilishga to’g’ri keladi.
Masalan, ifodalarni aniqlash sohasini topish uchun sistemani yechimini topish,
yoki tengsizlikni yechish uchun esa va sistemalarni yechib, yechimlar
birlashmasini topish lozim bo’ladi. shu sababdan algebra kursida bir o’agaruvchili
chiziqli tengsizliklar sistemsini o’rganishga alohida e’tibor qilinadi. Sistemani
yechishda, undagi har bir tengsizlik alohida yechilib, sistema uchun javob
ularniing umumiy qiymatlari olinadi.
Sistemalar ikkidan ortiq tengsizlik ishtirok etsa ularga tengkuchli bo’lgan ikki
tengsizlikdan sistenaga keltiriladi.
Sakkizlik yillik maktablarda chiziqli tengsizliklardan tashqari ko’rinishdagi
tengsizliklarni yechishda funksiya grafigini abstsissa o’qiga nisbatan joylashishiga
e’tibor qilinadi. Bunda ikta shart mavjud :
kvadrat uchhadning diskriminantining qiymati musbat, nol yoki manfiy bo’lishi
mumkin
koeffisientining ishorasining belgisi qanday ?
O’ZGARUVCHISI MODULGA TEGISHLI BO’LGAN TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli bo’lgan quydagi
ko’rinishdagi tengsizliklar va uchraydi.
Bunday tengsizliklarni yechish koordinatasi to’g’ri chiziqli nuqtala orasidagi masofa
tushunchasiga asoslangan.
tengsizlikni yechish kerak bo’lsin.
ifoda koordinatalar to’g’ri chizig’ida koordinatalari va 2 ga teng bo’lgan masofani
bildiradi. Bu holda berilgan masalani boshqacha ifodalash mumkin : koordinatasi 2
son bo’lgan nuqtadan uzoqda 6 birlikdan ham bo’lgan nuqtalarning koordinatalari
to’plamini toping. Koordinatasi 2 bo’lgan nuqtadan 6 oraliq uzoqda bo’lgan
nuqtalarni koordinatalari -4 va 8 bo’ladi. shu nuqtalar orasidagi hamma nuqtalar
koordinatasi 2 nuqtadan 6 birlik kichik bo’lgan nuqtalardir. U holda tengsizlik
tengsizligiga teng kuchli bo’lib, uning yechimi (-4,8) oraliqda bo’ladi Agar tengsizlik
bo’lib, musbat son bo’lganda, bu tengsizlikning yechimini ko’rinishda yozish
qulayroq. va tengsizliklarini yuqoridagi usuldan boshqacha, ya’ni sonning moduli
ta’rifidan foydalanib yechish ham mumkin.
Masalan, tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritish mumkin. Moduli 6
kichik bo’lgan sonlar oraliqda joylashgan bo’ladi. tengsizligini quydagicha yozish
mimkin :
bundan Demak, berilgan tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqda joylashgan
bo’ladi. shuningdek tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritamiz. Modul 6
dan katta sonlar -6 dan kichik +6 dan katta sonlar hisoblanadi, uholda tengsizligiga
yoki tengsizliklar teng kuchli ulardan esa yoki kelib chiqadi. Berilgan tengsizlikning
yechimi dan iborat.
Qo’shimcha mashg’ulotlarda, ko’rib o’tilgan misollardan murakkabroq topshiriqlar
berish mumkin. masalan, tengsizligini yechish talab etilsin. Bu qo’sh tengsizlikni
rquydagi ko’rinishda yozish mumkin. hularning har birini yecib, yechimlar
to’plamning kesishmasini (umumiysini) yozamia. tengsizlikni boshqacha yozish
ham mumkin. buning uchun va bo’lgan hollarni alohida qaraymiz. Agar bo’lsa, u
holda bo’ladi. berilgan tengsizlik ko’rinishga kelib, natijani olish mumkin.
Agar bo’lsa, uholda bo’ladi. berilgan tengsizlik ko’rinishiga kelib, natija olish
mumkin. u holda tengsizligini yechimi va bo’lib, ularning birlashmasi dan iborat.
|