Ko‘paytirish. Ko‘paytirish amali xossalari

|
Ko‘paytirish. Ko‘paytirish amali xossalari
|
bet | 48/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрKo‘paytirish. Ko‘paytirish amali xossalari
Butun nomanfiy sonlar ko‘paytmasi tushunchasi turlicha ta’riflanishi mumkin. Dastlab yig’indi tushunchasiga asoslangan yondashishni kurib chiqamiz.
Tarif: Butun nomanfiy a va b sonlarning ko‘paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi butun nomanfiy ab songa aytiladi:
1 . b >1 bo‘lganda ab= a+a+...+a;
b ta qo‘shiluvchi
2) b=1 bo‘lganda a1= a;
3) b = 0 bo‘lganda a 0 = 0.
Bu ta’rifning nazariy- to‘plam jihatdan ma’nosi quyidagicha: Agar A1, A2, . . . , Ab to‘plamlarning har biri a tadan elementga ega bo‘lsa va ulardan hech bir ikkitasi kesishmasa, u holda ularning birlashmasi ab ta elementga ega bo‘ladi. Demak, a b ko‘paytma – bu har biri a tadan elementga ega bo‘lgan, juft- jufti bilan kesishmaydigan b ta to‘plamning kesishmasidagi elementlar sonidir.
а1 = a va a 0=0 tengliklar shartli qabul qilingan.
а va b sonlarning ko‘paytmasini topishga yordam beradigan amal ko‘paytirish amali deyiladi; ko‘paytirilayotgan sonlar ko‘paytuvchilar deb ataladi.
Ixtiyoriy butun nomanfiy sonlarning ko‘paytmasi mavjud va u yagonadir.
Berilgan ta’rif bilan o‘quvchilar boshlangich sinflarda tanishadilar. Uning ma’nosi masalalarni echishda ochiladi.
Masalan, quyidagi masalani qaraylik: “Har bir bolalar paltosiga 4 ta tugma qadash kerak. Shunday 6 ta paltoga nechta tugma qadash kerak bo‘ladi?”
Nima uchun u ko‘paytirish bilan yechiladi? Chunki unda har birida 4 tadan element bo‘lgan 6 ta to‘plamdan tashkil topgan birlashmadagi elementlar sonini aniqlash talab etiladi. Ta’rifga ko‘ra bu son ko‘paytirish bilan topiladi: 46=24 (tugma). Butun nomanfiy sonlar ko‘paytmasining boshqacha ta’rifi ham bor. U to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi bilan bog’liq;.
A= {x, у, z} va В= {n, t, r, s} to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Ularning Dekart ko‘paytmasini topamiz. Bu ko‘paytmani to‘g’ri to‘rtburchak shaklidagi jadval ko‘rinishida yozamiz:
(x, n), (x, t,) (x, r), (x, s),
(y, n), (y, t,) (y, r), (y, s),
(z, n), (z, t,) (z, r), (z, s),
Jadvalning har bir satridagi barcha juftliklar bir xil birinchi komponentlarga ega, har bir ustundagi juftliklar esa bir xil ikkinchi komponentlarga ega. Bunda hech qanday ikkita satr aqalli bitta bir juftlikka ham ega emas. Bundan AxВ Dekart ko‘paytmadagi elementlar soni 3 + 3+3 + 3= 12 ga teng ekani kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan n (A)= 3, n (В)= 4 va 34=12. Berilgan A va В to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasidagi element-lar soni n(A)n(В) ko‘paytmaga tengligini ko‘rib chiqamiz. Umuman, agar A va В – chekli to‘plamlar bo‘lsa, u holda n(AxВ)=n(A)xn(В).
Shunday qilib, butun nomanfiy a va b sonlarning ko‘paytmasini n(A) = a, n(В)= b bo‘ladigan A va В to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi elementlari soni sifatida qarash mumkin:
а b= п (А х В), bunda п (А)= а, п (В)= b.
Birinchi holda ham, ikkinchi holda ham biz ikki son ko‘paytmasini aniqladik. Bir nechta ko‘paytuvchining ko‘paytmasini qanday aniqlash kerak?
Ikkita ko‘paytuvchining ko‘paytmasi aniqlangan va n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasi ham aniqlangan bo‘lsin. U holda n + 1 ta ko‘paytuvchidan iborat ko‘paytma, ya’ni а1а2* . . . *аnаn-1 ko‘paytma (а1а2* . . . аn)аn-1
Masalan, 2759 ko‘paytmani topish uchun bu ta’rifga ko‘ra biz quyidagi almashtirishlarni ketma- ket bajarishimiz kerak:
2759= (275)9) = ((27) 5)9= (145)9= 709= 630.
Ko‘paytirish qonunlarini ko‘paytmaning to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi orqali ta’rifidan kelib chiqqan holda isbotlaymiz.
Ko‘paytirish qonuni
1.O‘rin almashtirish qonuni: ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun a · b= b· a tenglik o‘rinli.
а=n(A), b=n(В) bo‘lsin. U holda ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra
a· b= n(AxВ). Biroq AxВ va ВxA to‘plamlar teng quvvatli: AxВ to‘plamdagi har bir (a,b) juftlikka ВxA to‘plamdan yagona (b,a) juftlikni mos qo‘yish mumkin va aksincha. Demak, n(AxВ)=n(ВxA) va shuning uchun a·b=n(AxВ)=n(ВxA)=b·a.
2.Guruhlash qonuni: ixtiyoriy butun nomanfiy a, b, с sonlar uchun
(a· b) · с= a · (b · с) tenglik o‘rinli. А=n(A), b=n(В), с=n(С) bo‘lsin. U holda ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra
(a· b)· с= n((AxВ)xС), a·(b ·с) = n (Ax(ВxС)).
(Ax(ВxС)) va Ax(ВxС) to‘plamlar turlicha: birinchisi ((a,b),с) ko‘rinishdagi, ikkinchisi esa (a,( в, с)) ko‘rinishidagi juftliklardan tashkil topgan, bu erda
а А, в В, с С. Biroq (AxВ)xС va Ax(ВxС) to‘plamlar teng quvvatli, chunki bir to‘plamning ikkinchisiga o‘zaro bir qiymatli akslanishi mavjud. Shuning uchun n((AxВ)xС)= n (Ax(ВxС)) va demak, (a · b)·с= a· (b·с)
Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuni: Ixtiyoriy butun nomanfiy a, в, с sonlar uchun (a+в)·с=a·с+в·с tenglik o‘rinli.
Bu qonun quyidagi tenglikdan keltirib chiqariladi: (АВ)хС=(АхС) (ВхС) (*) а=n(А), в=n(В), с=n(С) va АВ= bo‘lsin. U holda ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra:
(a+в)·с= n(АВ)хC) bo‘ladi. Bundan (*) tenglikka asosan n((АВ)xC) = n((AxC) (ВxC )) ga , keyin esa yig'indi va ko‘paytmaning ta'rifiga ko‘ra
n((AxC) (ВxC )= n(AxC)+n(BxC)=ас+вс ga ega bo‘lamiz.
4.Ko‘paytirishning ayirishga nisbatan taqsimot qonuni: ixtiyoriy butun nomanfiy a, b, с (a>b) sonlar uchun (a-b)xс=aс-bс tenglik o‘rinli.
Bu qonun (А\В)хС=(АхС)\(ВхС tenglikdan keltirilib chiqariladi va yuqoridagi qonunga o‘xshash isbotlanadi.
Ko‘paytirishning o‘rin almashtirish va guruhlash qonunlarini ixtiyoriy sondagi ko‘paytuvchilar uchun kengaytirish mumkin. Qo‘shishdagi kabi bu qonunlar ko‘pincha birgalikda qo‘llaniladi, ya'ni agar bir nechta ko‘paytuvchining o‘rinlari ixtiyoriy usul bilan almashtirilsa, yoki agar ularning ixtiyoriy guruhsi qavsga olinsa, u holda bu ko‘paytuvchilarning ko‘paytmasi o‘zgarmaydi.
Taqsimot qonunlari ko‘paytirish bilan qo‘shish va ayirish orasida aloqa o‘rnatadi. Bu qonunlar asosida (a+b)с va (a-b)с tipidagi ifodalarda qavslarni ochish shuningdek, agar ifoda aс-bс yoki aс+bс ko‘rinishda bo‘lsa, ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish yuz beradi.
Hisoblashlarda ko‘paytirish qonunlari qanday qo‘llanilishini aniqlaymiz. Masalan, 125·15·6·8 ifodaning qiymatini topamiz.
15 va 6 ko‘paytuvchilarning o‘rinlarini almashtiramiz-buni ko‘paytirishning o‘rin almashtirish qonuniga asosan bajarish mumkin, natijada 125·6·15·8 ga ega bo‘lamiz.
Bu ko‘paytmada ikkitadan ko‘paytuvchili guruhlar ajratamiz-buni ko‘paytirishning guruhlash qonuniga ko‘ra qilish mumkin: (125·6)·(15·8)
Qavs ichidagi sonlarni ko‘paytiramiz: 750·120
Bu ko‘paytmani topish uchun 750 ni ikkita-700 va 50 sonlari yigindisi ko‘rinishida ifodalaymiz: (700+50)·120
Har bir ko‘paytuvchini 120 ga ko‘paytiramiz-buni ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuniga muvofiq qilish mumkin: 700·120+50·120=84000+6000=90000 125·15·6·8 ifodaning qiymatini boshqa usul bilan ham topish mumkin: 125·15·6·8=125·(15·6)·8=125·90·8=125·8·90=(125·8)·90=1000·90=90000
Bu holda almashtirishlarni bajarishda quyidagilardan foydalanildi:
Ko‘paytirishning guruhlash qonuni-uning asosida 15·6 ko‘paytuvchilar guruhsi ajratilib, keyinchalik 125·8 bajarilgan edi;
Ko‘paytirishning o‘rin almashtirish qonuni-uning asosida 90 va 8 ko‘paytuvchilarning o‘rinlari almashtirilgan edi.
Boshlang’ich matematika kursida ko‘paytirishning o‘rin almashtirish xossasi o‘rganiladi, u bunday ifodalanadi: “Ko‘paytuvchilarning o‘rinlari almashishi bilan ko‘paytma o‘zgarmaydi”-va bir xonali sonlarni ko‘paytirish jadvalini tuzishda keng foydalaniladi. Guruhlash qonuni boshlang’ich maktabda oshkor ko‘rinishda qaralmaydi, biroq sonni ko‘paytmaga ko‘paytirishda o‘rin almashtirish qonuni bilan birga qo‘llaniladi. Bu quyidagicha yuz beradi: o‘quvchilarga 3·(5·2) ifodaning qiymatini topishning turlicha usullarini qarab chiqish va hosil bo‘lgan natijalarni taqqoslash taklif etiladi.
Quyidagi keltiriladi:
1. 3·(5·2)=3·10=30;
2. 3·(5·2)=(3·5)·2=15·2=30;
3. 3·(5·2)=(3·2)·5=6·5=30.
Ulardan birinchisi amallarni bajarish tartibi qoidasiga, ikkinchisi ko‘paytirishning guruhlash qonuniga, uchinchisi ko‘paytirishning o‘rin almashtirish va guruhlash qonunlariga asoslangan.
Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taksimot qonuni maktabda konkret misollarda qaraladi va sonni yig’indiga va yig’indini songa ko‘paytirish qoidalari nomi bilan ataladi. Bu ikki qoidani qarash metodik mulohazalar bilan oshiriladi.
|
| |