Elektrodinamika - bet 5

Ives mérése a relativisztikus képlet helyességét erősítette meg.
2. A K'-beli megfigyelő a hullámterjedés irányára merőlegesen mozog: nx = 0. (71,7) szerint ekkor is fellép frekvenciaváltozás:
((71,10). egyenlet).
Ezt nevezzük transzverzális Doppler-effektusnak. A klasszikus fizika ezt a jelenséget nem ismeri, ez teljesen relativisztikus effektus. (71,10) sorba fejtésével látszik, hogy β-ban másodrendű effektusról van szó:
.
Kísérleti kimutatása az effektus kicsi volta miatt csak rendkívül érzékeny módszerrel lehetséges, és ezért csupán néhány évvel ezelőtt sikerült.
Ezek után foglalkozzunk a négyes vektor első három komponensének transzformációjával.
.
A behelyettesítésével:
.
A frekvencia (71,7) transzformációs képletét felhasználva, adódik:
((71,11). egyenlet).
Hasonló eljárással kapjuk az ny és nz transzformációs képleteit:
((71,12). egyenlet).
A (71,11), (71,12) kifejezések azt jelentik, hogy a K inerciarendszerről a K' rendszerre való áttérésnél megváltozik a hullám terjedési iránya is. E képletek éppen az iránycosinusok megváltozását fejezik ki. A jelenséget aberrációnak nevezzük, és I. Bradley felfedezése (1727) óta ismerjük. Ő jött rá először, hogy az állócsillagok fényének terjedési iránya a Földről nézve, a Föld mozgása következtében megváltozik. Ennek eredményeként az állócsillagok látszólagos évi elliptikus mozgást végeznek, amely ellenképe a Föld Nap körüli mozgásának.
A Doppler-effektust kifejező (71,7) képletben a frekvencia kifejezésében a K rendszerbeli iránycosinus szerepel. A (71,11) összefüggés alapján ezt kifejezhetjük -vel, és így a -re olyan képletet kapunk, amelyben már a K' rendszerben mért iránycosinus szerepel. (71,11)-ből adódik:
((71,13). egyenlet).
Ezt (71,7)-be beírva, a Doppler-effektus végleges relativisztikus kifejezését kapjuk:
((71,14). egyenlet).
5. Az erősűrűség relativisztikus kifejezése
Az elektromágneses tér a v sebességgel mozgó töltésrendszer térfogategységére (27,11) és (39,7) alapján
((72,1). egyenlet)
erőt fejt ki. (72,1)-et Lorentz-erősűrűségnek nevezzük.
A (68,4) négyes áramsűrűség-vektor és a (68,5) térerősségtenzor bevezetésével az erősűrűség x komponense a következőképpen írható:
.
Mivel , a jobb oldal kiegészíthető az taggal. Így
((72,2). egyenlet).
Hasonlóképpen írható az f erősűrűség másik két komponense is. A szokásos , , jelöléssel:
((72,3). egyenlet),
((72,4). egyenlet).
A négyes vektorokról és tenzorokról tanultak értelmében (72,2)–(72,4) egy négyes vektor első három komponensét jelentik. Ez a vektor az ún. négyes erősűrűség-vektor:
((72,5). egyenlet).
A négyes erősűrűség negyedik komponensének jelentése (72,5)-bőI határozható meg:
((72,6). egyenlet).
f 4 (72,6) kifejezése (72,1) alapján a következőképpen írható:
((72,7). egyenlet).
Mivel (v, f) azt a munkát jelenti, amelyet az elektromágneses tér a térfogategységben levő töltés 1 s alatti elmozgatásakor végez, f4 az effektussűrűség -szeresével egyenlő. Ha az effektussűrűséget w-vel jelöljük, akkor
((72,8). egyenlet).
Abban az inerciarendszerben, amelyben a töltés nyugalomban van (v = 0), az erősűrűség negyedik komponense zérus: . Nyugvó töltésen a tér munkát nem végez.
Ez az eredmény (72,5)-ből közvetlenül is levezethető. A töltés nyugalmi rendszerében:
,
mert (k = 1, 2, 3), és csak . Az -nak negyedik komponense az F44 = 0 miatt eltűnik.
Az erősűrűség (72,5) kifejezéséből következik, hogy
((72,9). egyenlet).
Ugyanis:
((72,10). egyenlet).
A jobb oldalon az Fir antiszimmetrikus tenzornak és az sisr szimmetrikus tenzornak az i és r indexekre összegezett szorzata áll. Az i és r indexek felcserélésével a jobb oldalon Fir antiszimmetrikus volta miatt előjelváltozás áll elő. Másrészt a jobb oldal értéke nem változik meg az összegező indexek felcserélésekor. Ez csak úgy lehetséges, hogy a kettős összeg azonosan zérus. Ezzel igazoltuk a (72,9) egyenlet fennállását.
6. Az elektromágneses tér energia-impulzus tenzora
A 9. és 56. pontban foglalkoztunk az elektromágneses tér energiájával, illetve impulzusával. Megállapítottuk, hogy az energia-, illetve impulzusmegmaradás tétele akkor áll fenn, ha az elektromágneses térnek is tulajdonítunk energiát és impulzust. Mindkét dinamikai mennyiség folytonosan oszlik el a térben, vákuum esetén
((73,1). egyenlet),
illetve
((73,2). egyenlet)
sűrűséggel.
A két megmaradási tétel a klasszikus elektrodinamikában egymástól teljesen elkülönülten szerepel. A négydimenziós megfogalmazásból kiderül, hogy az energia- és az impulzusmegmaradás tétele szorosan összefügg egymással. A megmaradási tételek relativisztikus felírásából az energia- és impulzussűrűség transzformációs sajátsága is megállapítható.
Induljunk ki az fi erősűrűség (72,5) kifejezéséből:
((73,3). egyenlet).
Megmutatjuk, hogy fi egy szimmetrikus Tik tenzor négyes divergenciájaként állítható elő. E célból átalakítjuk (73,3) jobb oldalát a Maxwell-egyenletek felhasználásával. Írjuk be sk helyére a (68,6) egyenletből adódó kifejezést:
.
Figyelembe véve az
((73,4). egyenlet)
átalakítást, fi így írható:
((73,5). egyenlet).
A jobb oldal második tagja az összegező indexek felcserélésével és a térerősségtenzor antiszimmetrikus voltának figyelembevételével a következőképpen átalakítható:
.
Az utolsó zárójel a (68,7) Maxwell-egyenletek alapján -vel egyenlő. Ennélfogva:
.
Ezt (73,5)-be visszahelyettesítve, adódik:
((73,6). egyenlet).
Az első tagban hajtsuk végre a , , a másodikban a indexcserét, amely megtehető, mert összegező indexről van szó. A jobb oldal a
((73,7). egyenlet)
szimmetrikus tenzornak a négyes divergenciája:
((73,8). egyenlet).
(73,7)-ben a Weierstrass-féle szimbólum, amely 0 vagy 1, aszerint, hogy , vagy i = k. A Tik szimmetrikus tenzort az elektromágneses tér energia-impulzus tenzorának nevezzük.
Most megmutatjuk, hogy Tik térszerű elemei (i, k = l, 2, 3) az (56,6) Maxwell-féle feszültségtenzor elemeivel egyeznek meg. Erről a térerősségtenzor (68,5) alakjának felhasználásával győződhetünk meg. E célból először kiszámítjuk a (73,7) második tagjában szereplő kettős összeget.
((73,9). egyenlet)
Ezek után írjuk fel részletesen a T11 elemet:
((73,10). egyenlet)
Ez pedig megegyezik az (56,6) feszültségtenzor „11” elemével, miként állítottuk. Hasonlóképpen belátható, hogy Tik térszerű elemei valóban a Maxwell-féle feszültségtenzor megfelelő elemeivel egyeznek meg.
Az energia-impulzus tenzor T4i (i = 1, 2, 3, 4) elemeinek fizikai jelentéséhez a következőképpen juthatunk. Integráljuk (73,8) mindkét oldalát i = 4 esetén egy rögzített V térfogatra:
.
Mivel a térfogat rögzített, a jobb oldali második integrálból az idő szerinti differenciálás az integrál elé emelhető. Ekkor az , , , jelöléssel írható:
.
Szorozzuk végig az egyenletet ic-vel, és vegyük figyelembe, hogy (72,7) alapján . Így egyenletünk a következő alakot veszi fel:
((73,11). egyenlet).
A bal oldalon annak az effektusnak (–1)-szerese áll, amelyet az elektromágneses tér végez, midőn a V térfogatban levő töltésrendszert v sebességgel mozgatja. Ha feltételezzük, hogy vezetők nincsenek a térben (j = 0), akkor (9,6) szerint a jobb oldalon az S Poynting-vektor felületi integráljának és a V térfogatban levő elektromágneses térenergia idő szerinti differenciálhányadosának kell állnia. Erre az eredményre akkor jutunk, ha a T4i elemeknek a következő fizikai jelentést tulajdonítjuk:
((73,12). egyenlet),
((73,13). egyenlet),
ahol Sx, Sy, Sz az
energia-áramsűrűség három komponense, és
az elektromágneses tér energiasűrűsége. Ekkor (73,11) valóban a (9,6) energiaegyenlettel azonos:
((73,14). egyenlet).
Képezzük most a (73,8) négyes vektor i = 1 komponensének térfogati integrálját:
((73,15). egyenlet).
A bal oldalon a töltésrendszerre kifejtett erő x komponense áll. A jobb oldali első integrál integrandusza a Tx(T11, T12, T13) segédvektor hármas divergenciája, amely Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható:
((73,16). egyenlet).
Az (56,12) egyenlettel való összehasonlításból következik, hogy a jobb oldali második integrál (–1)-szerese az elektromágneses térimpulzus x komponensének idő szerinti differenciálhányadosával egyezik meg. Eszerint
((73,17). egyenlet),
ahol gx, gy, gz az elektromágneses tér
impulzussűrűségének három komponense. Ekkor (73,15) és az i = 2, 3-ra vonatkozó megfelelő egyenletek valóban az impulzustételt kifejező (56,12)–(56,14) egyenletekkel egyeznek meg:
((73,18). egyenlet)
A (73,7) energia-impulzus tenzor szimmetrikus voltából egy alapvető összefüggés következik. Nevezetesen:
((73,19). egyenlet).
Szavakkal kifejezve: a c2-tel osztott energia-áramsűrűség az impulzussűrűséggel egyezik meg. Ez az összefüggés az energia tehetetlenségének általános érvényű tételét fejezi ki. Mély fizikai tartalmával majd a relativisztikus mechanika keretei között foglalkozunk részletesebben.
Az előző fejtegetésekből kitűnt, hogy az erősűrűség (73,8) alakja az energia- és impulzustételt fejezi ki differenciális formában. A relativisztikus tárgyalás tehát megmutatja, hogy e két tétel igen szorosan összefügg egymással.
Ha a Tik energia-impulzus tenzor divergenciamentes, vagyis
((73,20). egyenlet),
akkor a tér energiája és impulzusa állandó, tehát zárt fizikai rendszerről van szó.
4. fejezet - RELATIVISZTIKUS MECHANIKA
1. Négyes impulzus. Relativisztikus mozgásegyenletek
A relativitás elve szerint az egzakt természettörvények invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. Tudjuk, hogy a klasszikus mechanika mozgásegyenletei a Galilei-féle relativitási elvnek engedelmeskednek, miszerint a Galilei-féle transzformációval szemben invariánsak. A Lorentz-transzformáció megváltoztatja alakjukat, ezért a relativitáselmélet szerint nem tekinthetők egzakt természettörvényeknek. Érvényességük nem általános, hanem közelítő jellegű. Jó közelítéssel írják le a mechanikai folyamatokat abban az esetben, ha a mozgás sebessége kicsi a fény vákuumbeli sebességéhez képest.
Feladatul tűzzük ki a newtoni mechanika olyan általánosítását, amely eleget tesz a relativitáselmélet követelményének, de a kis sebességek határesetében a Newton-félébe megy át.
A klasszikus mechanika
((74,1). egyenlet)
mozgásegyenletéből indulunk ki. A (74,1) egyenlet egy anyagi pontra vonatkozik, benne p a tömegpont impulzusát, F a rá ható erőt jelenti. A p impulzus az anyagi pont m tehetetlen tömegének és v sebességének a szorzatával egyenlő:
((74,2). egyenlet).
A (74,1) egyenlet nem Lorentz-invariáns egyenlet, hiszen mindkét oldalán hármas vektor áll. Arra törekszünk, hogy a pontos mozgásegyenletet négyes vektor alakjában írjuk fel, mert ez eleve biztosítja annak Lorentz-invarianciáját. Először a hármas impulzust általánosítjuk négyes impulzussá, megtartva a „tömeg szorozva sebességgel” definíciót, de azt a négyes sebesség komponenseivel arányosnak tekintjük.
((74,3). egyenlet).
E három komponenshez negyediknek hozzávesszük az mennyiséget. Mivel ui (i = l, 2, 3, 4) négyes vektor, a
((74,4). egyenlet)
négykomponensű mennyiség akkor lesz négyes vektor, ha α skalár. α jelentéséből következik, hogy az valóban invariáns skalár, ugyanis (74,3)-ból adódik:
.
A négyes sebességek (65,5) kifejezéseit beírva, kapjuk:
((74,5). egyenlet).
Ebből viszont α fizikai jelentése leolvasható. α az anyagi pont tömegét jelenti abban a koordináta-rendszerben, amelyben az nyugalomban van (v = 0). Az α tehát a részecske nyugalmi tömege. Mivel mindig a részecskével együtt mozgó koordináta-rendszerre vonatkozik, definíciójánál fogva invariáns skalár. A nyugalmi tömeget a továbbiakban jelöljük α helyett m0-val.
A (74,4) egyenlettel definiált négyes vektort nevezzük az anyagi pont négyes impulzusának. A szokásos jelöléssel írva:
((74,6). egyenlet).
Mivel , érvényes a következő összefüggés:
((74,7). egyenlet).
(74,5)-ből egy új felismerésre jutunk:
((74,8). egyenlet).
Eszerint a részecske m tehetetlen tömege – a klasszikus mechanikával ellentétben – nem állandó, hanem függ a részecske sebességétől. (74,8)-ból egyúttal látszik, hogy a esetben a nevező gyakorlatilag 1-nek vehető, és ekkor a tehetetlen tömeg a nyugalmi tömeggel egyezik meg. Ha a részecske sebessége a határsebességet jelentő c-hez tart, az m tehetetlen tömeg tart végtelenhez.
Ezek után természetesen adódik a (74,1) mozgásegyenlet relativisztikus általánosítása. Megtartjuk az eredeti Newton-féle alapgondolatot: az impulzus idő szerinti differenciálhányadosa egyenlő a tömegpontra ható erővel, de impulzuson a (74,6) négyes impulzust értjük:
((74,9). egyenlet).
Klasszikus megfelelője tulajdonképpen csak az első három komponensnek van. A négyes sebesség első három komponensét (65,5) alapján beírva, a következőt kapjuk:
((74,10). egyenlet).
Ez az egyenlet a (74,1) klasszikus mozgásegyenlet relativisztikus általánosítása. Ebből szintén látszik, hogy c a határsebesség szerepét játssza, amelyet véges nyugalmi tömegű test nem érhet el, még kevésbé léphet túl. Ugyanis esetén , és így a további sebességnövelést csak végtelen nagy erővel lehetne elérni.
A (74,9) egyenlet i = 4 esetén új összefüggést ad. Vele definiáljuk az erő negyedik komponensét:
((74,11). egyenlet).
Egyszerű számítással belátható, hogy a jobb oldal -vel egyenlő. Az erő negyedik komponense tehát a teljesítmény -szerese:
((74,12). egyenlet).
A (74,9) mozgásegyenletek még nem relativisztikus vektoregyenletek. A bal oldalról látszik, hogy nem négyes vektor. négyes vektor ugyan, de a dt nem invariáns. Lorentz-invariáns egyenletet kapunk, ha a bal oldalon t helyett a τ sajátidő szerinti differenciálhányadost vesszük. E célból elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát -tel, és figyelembe vesszük a
összefüggést, ekkor:
((74,13). egyenlet).
Ez az egyenlet már teljesíti az egzakt természettörvényekkel szemben támasztott követelményt, nevezetesen: négyes vektoregyenlet, tehát Lorentz-invariáns. A határesetben a klasszikus mechanika Newton-féle egyenleteibe megy át.
Az négyes vektort Minkowski-féle erőnek nevezzük, és Ki-vel jelöljük. Tehát:
((74,14). egyenlet).
Ez az egyenlet a relativisztikus mechanika mozgásegyenlete. Az első három egyenletből ismert erőhatás esetén meghatározható a részecske sebessége mint a τ sajátidő függvénye, majd abból egyszerű integrálással az függvények, vagyis a mozgás pályája. A negyedik egyenlet az m0 nyugalmi tömeg időfüggését határozza meg. m0 ugyanis általában nem állandó. Ez könnyen belátható, ha (74,14)-ben elvégezzük a differenciálást:
.
Szorozzuk végig az egyenletet ui-vel, majd összegezzünk i-re 1-től 4-ig:
((74,15). egyenlet).
A (65,6) szerint . Ennélfogva . (74,15) tehát a következő alakra hozható:
((74,16). egyenlet).
Az m0 nyugalmi tömeg tehát csak abban az esetben állandó, ha , vagyis ha a Minkowski-erő időegység alatt végzett négyes munkája zérus.
Példaként írjuk fel a pontszerű, elektromosan töltött részecske relativisztikus mozgásegyenletét, ha a részecskére elektromos és mágneses tér hat. Az F erő ebben az esetben az ún. Lorentz-erő:
.
Képezzük a Minkowski-erő első komponensét:
.
A térerősség-komponenseket az Fik tenzor megfelelő elemeivel kifejezve, (68,5) alapján írható:
.
A négyes sebességek
kifejezését figyelembe véve:
.
Mivel , ez a háromtagú összeg kiegészíthető az taggal. Így a Minkowski-erő első komponensére a következő alakot kapjuk:
.
Hasonlóképpen adódik a többi komponensre is, hogy
.
Ezeket összefoglalva, a pontszerű töltött részecskére ható elektromágneses Minkowski-erőre a következő kifejezést kapjuk:
((74,17). egyenlet).
Erről szembetűnően látszik, hogy Ki valóban négyes vektor. Az elektromosan töltött pontszerű részecske relativisztikus mozgásegyenlete tehát:
((74,18). egyenlet).
Könnyen belátható, hogy a (74,17) elektromágneses négyes erőre fennáll a feltétel, amely a fentiek szerint azt jelenti, hogy (74,18)-ban m0 állandó. (74,16) és (74,17) alapján írható:
((74,19). egyenlet).
Szemeljük ki a kettős összegnek azt a két tagját, amelyben i = 1, k = 2, illetve i = 2, k = 1:
.
Mivel F12 = –F21, továbbá , e két tag kiejti egymást. A kettős összeg minden tagjának van olyan párja, amellyel együtt kiesik, ezért (74,19) jobb oldala zérus, tehát m0 valóban állandó.
A (74,18) mozgásegyenletben az állandó m0 kiemelhető a differenciálás alól, és ezért a mozgásegyenlet a következő alakban is írható:
((74,20). egyenlet).
Ha a tömegpontra pl. olyan erő hat, amely egy skalártér negatív gradiense, akkor m0 nem állandó. Nevezetesen, a erő esetén .
2. A tömeg és az energia közötti kapcsolat
Gondoljunk el m0 nyugalmi tömegű részecskét, amely az F erő hatása alatt mozog. Mozgását a (73,14) relativisztikus mozgásegyenlettel írjuk le. Az erő a részecske mozgatásakor munkát végez, és ezáltal megnöveli annak energiáját. Az időegység alatt végzett munka (F, v). A (74,11) és (74,12) egyenletek egybevetéséből következik, hogy
((75,1). egyenlet).
Az energiamegmaradás tétele miatt – a mondottak értelmében – a jobb oldalon a részecske E energiájának időegységre eső növekedése áll. Következésképpen az
((75,2). egyenlet)
mennyiség a részecske energiáját jelenti.1 A (74,8) képlet alapján E a következő alakba is írható:
((75,3). egyenlet).
Ha a részecske sebessége kicsi, azaz , akkor (75,2) jobb oldalának sorba fejtésével kapjuk, hogy
((75,4). egyenlet).
Mivel E nem válik zérussá a nyugalmi állapotban, ezért az nem a részecske kinetikai energiája. Az energia a nyugalmi állapotban is zérustól különböző érték. E-t a részecske teljes energiájának, E0-t nyugalmi energiának nevezzük. Az energiakülönbség csak akkor nem zérus, ha a részecske mozog, ezért ezt tekintjük kinetikai energiának:
((75,5). egyenlet).
E k a klasszikus mechanikai esetben az ismert kifejezésbe megy át.
A (75,3) összefüggésnek mély fizikai tartalma van. Nevezetesen, az energia tehetetlenségének a tételét fejezi ki. Az E energiához tartozó tehetetlen tömeg (75,3) alapján:
((75,6). egyenlet).
Az energiának mindig van tehetetlensége, amelynek mértéke az tömeg, és megfordítva, az m tehetetlen tömeg energiája .
A fentiek értelmében az m0 nyugalmi tömeg is képvisel energiát, éspedig az nyugalmi energiát.
A természetben lejátszódó folyamatoknál igen gyakran előfordul, hogy a rendszer energiája (vagy annak egy része) másfajta energiává alakul át. Pl. a mechanikai energia átalakulhat hőenergiává. Eközben az energiamegmaradás tétele alapján az energia mindig megmarad, csak egyik fajtából a másikba átalakul. Az átalakulás során (75,3) szerint a tömeg is megmarad, csak más alakban jelenik meg. Az energiamegmaradás tétele eszerint egyúttal kifejezi a tömegmegmaradást is. Helytelen a (75,3)-nak olyan értelmezése, mely szerint a tömeg energiává vagy fordítva: energia tömeggé alakul. A folyamatok során sohasem egyiknek a másikba, hanem egyik energiafajtának másik energiafajtává való átalakulásáról van szó, miközben mindegyiknek van (75,6) szerinti tömege, amely az energiával együtt megmaradó mennyiség.
Ezt két példával világítjuk meg. Ha elektron és pozitron találkozik egymással, kölcsönhatásuk folytán gamma-sugárzássá alakulnak. A két részecske formájában jelen levő energia itt a sugárzás energiájává alakult. A sugárzásnak is van (73,19) szerint impulzusa, az impulzus pedig az áramló energia sebességének és tehetetlen tömegének a szorzatával egyezik meg. A sugárzásnak tehát van tömege. A szétsugárzás során a részecskék tömege nem tűnt el, hanem átalakult a sugárzó energia tömegévé. A természetben a fordított folyamat is végbemegy, amikor a gamma-sugárzás elektron-pozitron párrá alakul. E folyamat csak akkor következik be, ha a sugárzás energiájának tömegértéke megegyezik vagy nagyobb az elektron-pozitron pár együttes nyugalmi tömegénél. Itt sem arról van szó, hogy az energia tömeggé alakul, hanem egyik megjelenési formából a másikba való átmenet fordul elő, miközben a tömeg és az energia változatlan marad.
A másik példát a magfizika köréből vesszük. Mai tudásunk szerint az atommagok protonokból és neutronokból épülnek fel. Gondoljunk el egy A tömegszámú atommagot, amelyben Z proton és N neutron van: . Az atommag tömegét jelöljük M-mel, a proton tömegét Mp-vel, a neutronét Mn-nel. Az A részecskéből álló rendszer együttes tömege a protonok és neutronok tömegének összegével egyenlő:
((75,7). egyenlet).
A tapasztalat azt mutatja, hogy az atommagok mért M tömege mindig kisebb, mint az alkotórészekből (75,7) szerint számított MA tömeg: . A hiányzó ún. tömegdefektus magyarázata (75,3) alapján adható meg. Amikor az atommagok alkotórészeikből felépülnek, bizonyos mennyiségű energia sugárzás alakjában eltávozik. Ez a kisugárzott energia (75,3) szerint tömeget visz magával, és ezért kisebb az atommag M tömege az alkotórészek MA együttes tömegénél. A mérések tanúsága szerint energia sugárzódik ki a mag felépülésekor. Ha a magot részeire akarjuk bontani, éppen energiát kell vele közölnünk. Ez a tapasztalat a (75,3) képlet egyik legszebb kísérleti bizonyítéka.
Az
((75,8). egyenlet)
nyugalmi energia nem valamilyen tértől származó potenciális energia, mert minden tér jelenléte nélkül is fellép, ezért a test ún. belső energiájával egyezik meg. A belső energia megváltozásakor (75,8) szerint e test nyugalmi tömege is megváltozik. Vegyünk erre is egy példát. Tekintsünk két egyenlő tömegű golyót, amelyek ellentétes irányú sebességgel mozognak egymással szemben. Együttes tömegük: . Tegyük fel, hogy a két golyó teljesen rugalmatlanul összeütközik egymással, vagyis az ütközés után mindkettő sebessége zérussá válik. Az együttes tömegük most . Mivel a folyamat során a tömeg megmarad:
((75,9). egyenlet).
Ebből látszik, hogy a rugalmatlan ütközés során a golyó nyugalmi tömege megnőtt: . A tömegnövekedés:
((75,10). egyenlet).
Ezzel a tömegnövekedéssel együtt jár a golyó belső energiájának a megnövekedése is:
((75,11). egyenlet).
A tapasztalat azt mutatja, hogy a test felmelegszik, jelezvén, hogy hőenergia képződött. Ez a hőenergia növelte meg a test belső energiáját. A (75,11) egyenlet jobb oldalán (75,5) szerint a golyó kinetikai energiájának kifejezése áll. Ez a kinetikai energia az összeütközéskor átalakult hőenergiává, és a (75,11) egyenlet szerint fedezi a test belső energiájának növekedését.
Az előző pontban láttuk, hogy egy részecske impulzusának negyedik komponense (74,6) szerint:
.
Az energia (75,2) relativisztikus kifejezésével összehasonlítva, adódik, hogy p4 az E energia -szerese:
((75,12). egyenlet).
A pi négyes impulzus tehát a részecske
((75,13). egyenlet)
hármas impulzusából és az energia -szereséből képzett négyes vektor. Éppen ezért pi-t energia-impulzus vektornak is szokás nevezni. Eszerint a részecske energiája a Lorentz-transzformációnál úgy transzformálódik, mint négyes vektor negyedik komponense.
Mivel az impulzus és energia additíve tevődik össze, N részecskéből álló pontrendszer négyes impulzusa az egyes részecskék négyes impulzusának összegével egyezik meg:
((75,14). egyenlet).
A klasszikus mechanikában tanultuk, hogy zárt rendszerre érvényes az impulzus- és az energiamegmaradás tétele. E két megmaradási tételt most a rendszer négyes impulzusának állandóságát kifejező
((75,15). egyenlet)
egyenlet foglalja magában. Az első három egyenlet az impulzustételt, a negyedik egyenlet az energiatételt fejezi ki.
A relativisztikus mechanikában a két megmaradási tétel tehát egy négyes vektoregyenletbe foglalható össze. Ugyanezt láttuk a relativisztikus elektrodinamikában is.
Befejezésül a részecske relativisztikus energiájának még egy fontos kifejezését határozzuk meg. E célból a p4 (75,12) alakját behelyettesítjük a (74,4) egyenletbe:
((75,16). egyenlet).
Ebből egyszerű átalakítással adódik:
((75,17). egyenlet),
ahol a hármas impulzus négyzete.
3. Variációs elv. A mozgásegyenletek kanonikus alakja
A klasszikus mechanikában tanultuk, hogy a mozgásegyenletek a variációs elvből is levezethetők. Ha jelöli a tömegpont koordinátáit, akkor a valóságban bekövetkező mozgást azok a függvények írják le, amelyek szélső értékké teszik az
((76,1). egyenlet)
integrált. Az a Lagrange-függvény, amely konzervatív erőtér esetén a kinetikai és a potenciális energia különbségével egyenlő. t1 a mozgás kezdetének, t2 a végének megfelelő időpont. (76,1) szélső értékének a meghatározásánál a qk koordinátákat variáljuk úgy, hogy a variációk a kezdeti és végpontban eltűnnek. Ismeretes, hogy S szélső értékéhez azok a függvények tartoznak, amelyek kielégítik a
((76,2). egyenlet)
Lagrange-féle másodfajú egyenleteket.
Megmutatható, hogy a relativisztikus mozgásegyenletek is leszármaztathatók variációs elvből. Foglalkozzunk töltött pontszerű részecskének elektromágneses térben való mozgásával. A relativisztikus mozgásegyenlet (74,10) alapján:
((76,3). egyenlet).
Egyszerű számítással meggyőződhetünk arról, hogy (76,3)-at az
((76,4). egyenlet)
Lagrange-függvény szolgáltatja. Ak az elektromágneses tér négyes potenciálja, amely a térerősségtenzorral
((76,5). egyenlet)
kapcsolatban van; .
Számítsuk ki a mozgásegyenlet első komponensét. Ezt a
((76,6). egyenlet)
egyenlet adja. (76,4) alapulvételével kapjuk:
,
.
Ezeket (76,6)-ba behelyettesítve, adódik:
.
Felhasználva a , valamint a (76,5) összefüggést, i = 1 esetén egyenletünk a következőképpen alakítható át:
((76,7). egyenlet).
Hasonlóképpen adódik a másik két mozgásegyenlet is x2, illetve x3 variációjával.
Ha (76,7)-ben a összefüggés figyelembevételével a t szerinti differenciálásról a τ szerintire térünk át, a (74,18) Lorentz-invariáns mozgásegyenlet első komponensét kapjuk:
((76,8). egyenlet).
Ezzel igazoltuk, hogy a relativisztikus mozgásegyenletek is levezethetők variációs elvből, és egyúttal meghatároztuk a (76,4) reletivisztikus Lagrange-függvényt.
A Lagrange-függvény ismeretében felírhatjuk a Hamilton-függvényt is a klasszikus mechanikában tanult
((76,9). egyenlet)
definíció alapján:
.
Mivel , ahol az elektromágneses tér skaláris potenciálja,
((76,10). egyenlet).
A mozgásegyenletek kanonikus alakban történő felírásánál a Hamilton-függvényből a sebességeket kiküszöböljük, és helyettük a
((76,11). egyenlet)
egyenlettel definiált kanonikus impulzusokat vezetjük be. (76,4)-ből (76,11) alapján kapjuk, hogy
((76,12). egyenlet).
Ebből látszik, hogy a Pk kanonikus impulzus most nem egyezik meg a részecske impulzusával.
Egyszerű számítással ellenőrizhető a következő egyenlőség fennállása:
((76,13). egyenlet).
Ezt a kifejezést (76,10)-be behelyettesítve, a Hamilton-függvényre a következő kifejezést kapjuk:
((76,14). egyenlet).
Ez a Hamilton-függvény már a Pk kanonikus impulzusoktól függ. A belőle képezett
((76,15). egyenlet)
kanonikus egyenletek megegyeznek a (76,3) relativisztikus mozgásegyenlettel.
A (76,11) kanonikus impulzusokból és a Hamilton-függvény -szereséből képezzük a Pi négyes vektort úgy, hogy első három komponense legyen P1, P2, P3, a negyedik komponens pedig . Ezekkel a (76,14) egyenlet a
((76,16). egyenlet)
Lorentz-invariáns alakba írható. A (74,7) hasonló szerkezetű egyenlettel összehasonlítva, látszik, hogy a részecske pi négyes impulzusa és a Pi négyes vektor között a
((76,17). egyenlet)
kapcsolat áll fenn. Eleketromágneses tér jelenléte nélkül
.
A. függelék - FÜGGELÉK
1. Mértékrendszerek
A fizika az élettelen természetben végbemenő fizikai jelenségek törvényszerűségeit tanulmányozza. Ezek leírására új fogalmakat, azok jellemzésére fizikai mennyiségeket értelmez. A törvények e mennyiségek között teremtenek kapcsolatot. Helyességüket a fizikai mennyiségek mérésével ellenőrizzük. A mérésnek tehát döntő szerepe van a fizikában. Minden mennyiség mérésénél valamilyen alkalmasan választott mértékegységgel hasonlítjuk össze a megmérendő mennyiséget. A mértékegységek megválasztása önkényesen történik, azonban ennél a lehető legnagyobb ökonómiára törekszünk. Ismeretes, hogy a mechanikában három mennyiség egységének a megválasztása szükséges és elegendő a mechanikai mennyiségek méréséhez. Ezek a hosszúság, az idő és a tömeg önkényesen választott egységei. A többi mechanikai mennyiség ezekkel kifejezhető. Ha további mechanikai egységeket választanánk, akkor elveszne a közöttük fennálló kapcsolat mély fizikai tartalma.
A hosszúság egységére a platina-irídium ötvözetből készített ősméter századrészét, a centimétert (cm) használjuk. Időegységül a másodpercet (s) választjuk, amelynek értelmezéséhez Földünk forgását vették alapul. Eredetileg a Föld forgásidejének 86 400-ad részét vették, de az újabb értelmezés szerint a Nap körüli keringési idő 31 556 925,9747 része. A tömeg egységeként a platina-irídium ötvözetből készített őskilogramm ezredrészét, a grammot (g) használjuk. Az így definiált mértékrendszert abszolút vagy CGS mértékrendszernek nevezzük.
Az elektromos és mágneses mennyiségek méréséhez a mechanikai egységeken kívül további egységek megválasztása szükséges. Tekintettel arra, hogy a mechanikában definiált mennyiségek, mint pl. az erő, energia, teljesítmény stb. az elektromosságtanban is szerepelnek, az elektrodinamikai mértékrendszer kiépítésénél nem függetleníthetjük magunkat a mechanikában bevezetett egységektől. Azonban attól függően, hogy az elektromágneses és a mechanikai mennyiségek közötti alapvető kapcsolatok közül melyiket választjuk kiindulópontul, többféle mértékrendszert bevezethetünk.
Az elektromos jelenségek régebbi tárgyalásánál az egyik legegyszerűbb összefüggésből, a két pontszerű elektromos töltés között ható erő kifejezéséből indultak ki. A régebbi elektrodinamika-tankönyvek elején ez a törvény, az ún. Coulomb-törvény állt:
((F 1,1). egyenlet).
E képletben F az erő nagyságát, e1, illetve e2 a két töltést, r a közöttük levő távolságot jelenti. A tapasztalatból csak arra lehetett következtetni, hogy az erő arányos a töltések szorzatával, fordítva arányos a távolság négyzetével. k1 egy arányossági tényező. A hosszúságot és az erőt a mechanikai egységekben mérjük. A távolságot tehát cm-ekben, az erőt dynekben (1 dyn= 1 cmgs–2) fejezzük ki. A töltés egységére a k1 arányossági tényező megválasztásától függően különféle egységeket definiálhatunk. A legtermészetesebb az a választás, amely szerint k1 dimenziótlan mennyiség, és számértéke vákuumban 1 (k1 = l). Eszerint (F 1,1) alapján a töltés egysége az a töltésmennyiség, amely pontszerű esetben a tőle 1 cm-re levő ugyancsak pontszerű egységnyi töltésre 1 dyn erőt fejt ki vákuumban. Ezt a töltésegységet nevezzük 1 franklinnek (jele Fr).
((F 1,2). egyenlet).
Az elektromos töltés egységének rögzítése után most már valamennyi elektromos mennyiség egységét könnyen megkaphatjuk. Pl. a térerősség egységét az
|