Çoxdəyişənli funksiyanın ekstremumumlarının təyini

1. Çoxdəyişənli funksiyanın ekstremumumlarının təyini.
2. Ekstremumum varlığının kafi və zəruri şərtləri.
3. Şərti ekstremum.
4. Empirik düsturlar haqqında anlayış. Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə naməlum parametrlərin təyin edilməsi
1. Çoxdəyişənli funksiyanın ekstremumumlarının təyini.
Tərif 1. nöqtəsinə kifayət qədər yaxın və ondan fərqli olan bütün (x, y) nöqtələri üçün
olduqda biz funksiyasının nöqtəsində maksimumu var – deyirik.
Tərif 2. nöqtəsinə kifayət qədər yaxın və ondan fərqli olan bütün (x, y) nöqtələrində
olarsa, onda deyirlər ki, funksiyasının nöqtəsində minimumu var.
Funksiyanın maksimum və minimumuna onun ekstremumları deyilir, yəni funksiyanın bir nöqtədə maksimumu və ya minimumu olduqda deyirlər ki, funksiyanın həmin nöqtədə ekstremumu var. İstənilən sayda dəyişəni olan funksiya üçün də bu təriflər eyni ilə verilir.
2. Ekstremumum varlığının kafi və zəruri şərtləri.
Teorem 1 (ekstremumun zəruri şərti). Əgər x = x0, y = y0 olduqda funksiyasının ekstremumu varsa, onda arqumetlərin həmin qiymətlərində z funksiyasının birinci tərtib xüsusi törəmələri varsa sıfra çevrilirlər və ya xüsusi törəmələr yoxdur.
Tutaq ki, müəyyən bir nöqtədə funksiyasının xüsusi törəmələri var və sıfra bərabərdirlər: , və ya həmin nöqtədə bu törəmələr yoxdur. Onda həmin nöqtəyə funksiyasının böhran nöqtəsi deyilir. Əgər funksiyanın hər hansı bir nöqtədə ekstremumu varsa, onda bu yalnız böhran nöqtəsində ola bilər.
Tutaq ki, nöqtəsi funksiyasının böhran nöqtəsidir. Bu nöqtədə ikinci xüsusi törəmələrin qiymətlərini ,, ilə işarə edək:
; ; .
Teorem 2 (ekstremumun kafi şərti). Tutaq ki, nöqtəsinin daxil olduğu bir oblastda funksiyasının üç tərtibə qədər (üç daxildir) bütün xüsusi törəmələri kəsilməzdir; bundan başqa, tutaq ki, nöqtəsi funksiyasının böhran nöqtəsidir, yəni
, .
Onda :
1) və olduqda funksiyasının nöqtəsində maksimumu var;
2) və olduqda funksiyasının nöqtəsində minimumu var;
3) olduqda funksiyasının nöqtəsində ekstremumu yoxdur.
4) Əgər olarsa, onda ekstremum ola da bilər, olmayada bilər (bu halda əlavə tədqiqat aparmaq lazımdır, məsələn funksiya artımının nöqtəsinin yaxın ətrafında işarəsini yoxlamalı).
Misal 1. funksiyasının ekstremumlarını tapın.
Xüsusi törəmələri tapaq:
; .
Bu törəmələri sıfra bərabər etsək, verilmiş funksiyanın böhran nöqtələrini taparıq:
Buradan , yəni və beləliklə, . Bunu birinci tənlikdə nəzərə alsaq, ; . Buradan tapırıq ki, , ,Onda , , olur.
Beləliklə, verilən funksiyanın üç böhran nöqtəsi var: , , . Kafi şərtlərin köməyi ilə bu nöqtələrdə ekstremumun varlığını yoxlayaq. Bunun üçün əvvəlcə ikinci tərtib xüsusi törəmələri tapaq:
; ; .
Burada böhran nöqtələri nəzərə alaq:
1) nöqtəsi üçün: , , ;
2) nöqtəsi üçün: , , ;
3) nöqtəsi üçün: , , .
və nöqtələrində və olduğundan funksiya minimum qiymətini alır. Bu nöqtələrdə funksiyanın qiyməti eynidir.
.
nöqtəsində olduğundan kafi şərt bu hala cavab verə bilmir. Əlavə tədqiqat nəticəsində aşkar olunur ki, koordinat başlanğıcında funksiyasının ekstremumu yoxdur. Doğrudan da, bu nöqtədə , koordinat başlanğıcının istənilən ətrafında, məsələn, oxu boyunca . tənböləni boyunca isə .
3. Şərti ekstremum.
Şərti ekstremum. funksiyasının və dəyişənləri şərtini ödədikdə alınan ekstremuma şərti ekstremum deyilir.
və kəmiyyətlərini tapmaq üçün (onlar həm funksiyası üçün şərti maksimum və ya şərti minimum nöqtəsini verə bilməlidirlər, həm də şərtini ödəməlidirlər) aşağıdakı köməkçi funksiyanı tərtib edək:
,
burada - köməkçi vuruqdur. Ekstremumun varlığı üçün zəruri şərti nəzərə almaqla aşağıdakı bərabərlikləri yazaq
Bu tənliklərdən axtarılan , məchullarını və köməkçi vuruğunu təyin etmək lazımdır.
Yuxarıda baxdığımız üsulu istənilən sayda dəyişəndən asılı funksiyaların ekstremumunu tədqiq etmək üçün də ümumiləşdirmək olar.
Misal 1. və dəyişənləri şərtini ödədikdə, funksiyasının ekstremumunu tapın.
Köməkçi funksiya düzəldək:
.
,
olduğundan aşağıdakı
tənliklər sistemindən tapırıq: , , . Asanlıqla göstərmək olar ki, funksiyası nöqtəsində ən böyük qiymət alır: .
4. Empirik düsturlar haqqında anlayış. Ən kiçik
kvadratlar üsulu ilə naməlum parametrlərin təyin edilməsi
Təbiət elmlərində (fizikada, biologiyada və s.) empirik düsturlardan tez-tez istifadə olunur. Empirik sözü yunanca – empeiria olub, təcrübə deməkdir.
Empirik düsturları almaq üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Bu metodrardan biri ən kiçik kvadratlar üsuludur.
İndi isə bu ideyanı iki dəyişən kəmiyyətin xətti asılılıq halı üçün göstərək.
Tutaq ki, iki və kəmiyyətləri aransındakı asılılığı müəyyən etmək istəyirik (məsələn, metal çubuğun xətti uzanması ilə temperatura arasındakı asılılığı tapmaq).
Təcrübə ölçü işləri apararaq nəticələri aşağıdakı cədvələ köçürək:
|