Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko‘paytmasi

|
Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko‘paytmasi
|
bet | 54/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрNomanfiy butun sonlar yigindisi va ko‘paytmasi.
Ta’rif: a va в natural sonlarning yig’indisi deb, Zo natural sonlar to‘plamida ta’riflangan shunday algebraik amalga aytiladiki, bu amal quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
V: -Nomanfiy butun a son uchun a+0=a (0- Zo da qo‘shishga nisbatan neytral element)
Misol: 1+0=1, 5+0=5, 10+0=10.
Boshlang’ich sinf kitoblarida ham biz bunga o‘xshagan misollarni ko‘plab uchratishimiz mumkin. Jumladan 1-sinf matematika kitobining 0 dan 10 gacha bo‘lgan sonlar ustida amallar bo‘limida shunday misollar keltirilgan.
5+0=5, 3+0=3, 6 +0 =6
VI: Ixtiyoriy a, в nomanfiy butun sonlar uchun a+в`=(a+в)`
Misol: a=5, в=2 bo‘lsin. 6-aksioma to‘g’riligini tekshiramiz.
а+в`=5+3=8 , (a+в)`=(5+2)=8
0, 0I , 0II, 0III , 0IV- ifodalarni sonlar orqali quyidagicha belgilaymiz: 0,1,2,3,4, . .
Natija: (a)[a’=a+1]
6-aksiomaga asosan в=0 deb olib, a+0`=(a+0`) ni hosil qilamiz, lekin 0` ni 1 deb olib, a+0=a-bo‘lib, a+1=a`.
1-teorema: Natural sonlarni qo‘shish amali mavjud va u amal yagonadir.
Misol: 551+320=871.
Istalgan natural sonlarni doim qo‘shish mumkin. Bu teorema isboti 2 bosqichdan iborat.
1. Natural sonlar yigindisi mavjud
2. U yagona.
1. Shu amalning yagonaligini isbot qilamiz. Zo da “qo‘shish” amali ikkita bir-biridan farqli bo‘lsin deb faraz qilamiz, ya’ni a+в=Xв , a+в= Ув.
Farazimizga asosan Хв Ув . Hozir biz ko‘rsatamizki, (в)[хв=ув] M- to‘plam Хв=Ув tenglikni qanoatlantiruvchi barcha в larni o‘z ichiga olgan bo‘lsin. M=Z 0 ekanligini isbotlaymiz.
V –aksiomaga asosan, Х0=а+0=а
У0=а+0=а bundan Хо=У0 0М.
вМ, Хв=Ув II – aksiomaga asosan (Хв)`=(Ув)` bo‘ladi.
(Хв)`=(а+в)`= а+в`= Хв`
(Ув)`=(а+в)`=а+в`=Ув bundan в`М.
1), 2) lardan IV-aksiomaga ko‘ra M=Z0.
Shunday qilib biz qo‘shish amalining yagonaligini isbotladik
2. Z0 da qo‘shishning xossalari:
Yuqorida keltirilgan qator aksiomalardan quyidagi xossalar kelib chiqadi.
1-xossa: Manfiy bo‘lmagan butun sonlar to‘plami nolni yutish xossasiga ega. (а Z0) [0+а=а].
Isbot: Р(a)- 0+a=a ni ifodalasin. Biz Р(a) ning barcha a lar uchun o‘rinli ekanligini isbot qilamiz.
1) a=0 0+a=a dan 0+0=0 (5-aksiomaga ko‘ra) Р(0)- rost.
2) Endi Р(а)Р(а`) ko‘rsatamiz. 0+a=a bo‘lsin. Bundan (0+a)`=a’ (2-aksiomaga ko‘ra). (0+а)`=0+а` а`=0+a` (6-aksiomaga ko‘ra).
Demak, (0+а=а)(0+а`=а`) 1), 2) lardan 4-aksiomaga ko‘ra(а Z0) [0+а=а].
2-xossa: Manfiy bo‘lmagan butun sonlarni qo‘shish amali o‘rin almashtirish (kommutativlik) xossasiga ega. Ya'ni (а,в) [ а+в=в+а]
Misol: 51+49=49+51=100
Isbot: Bu teoremani в ga ko‘ra induktsiya yo‘li bilan isbotlaymiz.
Р(в)- «а+в=в+а» ni ifodalasin.
1) a+0=a (V-aksiomaga asosan) a=0+a 1-xossaga asosan . Bu yerdan ko‘rinadiki a+0=0+a , ya’ni Р(0)-rost.
2) Endi Р(а)Р(а`) ni isbotlaymiz. Р(в)- rost bo‘lsin, ya’ni
a+в=в+a (а+в)`=(в+а)` (2- aksiomaga ko‘ra). 6- aksiomaga asosan
(а+в)`=а+в` а+в`=в`+а
(в+а)`= в`+а.
Demak , (а+в)=(в+а) (а+в`=в`+а) ya'ni Р(в)Р(в`).
3- xossa: Nomanfiy butun sonlarni qo‘shish amali guruhlash (assotsiativlik) xossasiga ega, ya'ni (а, в, с Z0 ) [(а+в)+с=а+(в+с)] xossaning isbotini с buyicha olib boramiz.
1) с=0 da (a+в)+0=a+в (5-aksiomaga ko‘ra).
a+(в+0)=a+в (5-aksiomaga ko‘ra) (a+в)+0=a+(в+0) Р(0)-rost.
2) Р (с)- rost bo‘lsin, ya’ni (a+в)+с=a+(в+с) –rost, bundan kelib chiqadiki, [(a+в)+с]`=[a+(в+с)]` 6-aksiomaga asosan (a+в)+с`=a+(в+с)`, yana bir marta 6-aksiomani (a+в)+с`=a+(в+с`) Р(с`)-rost. Demak, induktsiya aksiomasiga asosan 3-xossa ixtiyoriy Z0 to‘plam elementlari uchun o‘rinli.
Nomanfiy butun sonlar ko‘paytmasining mavjudligi va yagonaligi
Ta’rif: a va в natural sonlarning ko‘paytmasi deb shunday algebraik amalga aytiladiki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
VII: (аZ0) a0=0
VIII: (а, вZ0) ав`=ав+а
Shu o‘rinda bir narsani aytish lozimki, 7-aksiomaga asoslangan misollarni boshlangich sinflarning matematika darsliklaridagi ko‘pgina misollarda ko‘rishimiz mumkin. 3·0=0, 0·2=0, 4·0=0, 7·0=0
Istalgan ikkita nomanfiy butun sonning ko‘paytmasi mavjudmi? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
2-teorema. Natural sonlarni ko‘paytirish amali mavjud va u yagona.
Isbot: 1) yagonaligini isbotlaymiz, teskarisini faraz qilish yo‘li bilan isbotlaymiz, ya’ni bu amal 2 ta turlicha qiymatga ega bo‘lsin deb faraz qilaylik:
ав=хв , ав=ув Farazimizga asosan хв ув (в)
M to‘plam хв=ув tenglikni qanoatlantiruvchi barcha в larni o‘z ichiga olgan bo‘lsin.
M=Z0 ekanini isbotlaymiz. 7-aksiomaga asosan:
х0=а0=0
у0=а0=0 bundan х0=у0 ; Demak , 0М
в М bo‘lsin, ав=ав bo‘lsin, endi в`М ekanligini ko‘rsatamiz: ав`=ав+а= ав+ а= ав`; в`М. Demak, М= Z0 ( amal ikkinchi xil ko‘paytirish deb tushuniladi)
Ko‘paytirish amalining xossalari:
Yuqoridagi ta’rif va teoremalardan ko‘paytirish amalining qator xossalari kelib chiqadi.
10. 1·a=a . Har qanday sonni birga ko‘paytirsak, shu sonning o‘zi hosil bo‘ladi.
20. Ko‘paytirish amali kommutativlik xossasiga ega. а·в=в·a. Misol: 2·3=3·2
30. Ko‘paytirish amali assotsiativlik (guruhlash)xossasiga ega.
(а, в, с N0)[(ав)с=а(вс)]
a· (в+с)= a·в+ a·с . Misol: 2·17=2·10+2·7= 20+14=34
40. Nomanfiy natural sonlarni ko‘paytirish amali qo‘shishga nisbatan tarqatish xossasiga ega.
( а,в,с N0) [а (в+c)=ав+ас] .Bu xossani isbotini keltiraylik.
Isbot: a,в- ixtiyoriy natural sonlar. M-to‘plam shunday natural sonlar to‘plamiki, bu to‘plam M elementlari uchun teorema o‘rinli bo‘lsin agar с=0 bo‘lsa
а(в+0)=ав. aв+а0=ав+0=ав аМ.
сМ uchun а(в+с)= ав+ас bo‘lsin
а (в+с`)=а(в+с)`=а(в+с)+а=ав+ас+а= ав+ас` C`М.
Demak, IV aksiomaga asosan M=N0 bo‘ladi.
|
| |