Boshlang’ich va chegaraviy shartlar

|
Boshlang’ich va chegaraviy shartlar
|
bet | 2/5 | Sana | 22.12.2023 | Hajmi | 0,57 Mb. | | #126651 |
Bog'liq matematik modellashtirish (2)2.1. Boshlang’ich va chegaraviy shartlar.
1. Masalaning qo’yilishi uchun tadqiqot sohasini berib qo’yish, koordinata sistemasini hamda vaqt hisobining boshini tanlash, chegaraviy va boshlang’ich shartlarni berib qo’yish kerak. Vaqt hisobining boshida ko’chish, tezliklar, temperatura va zichlikning qiymatlari belgilab qo’yiladi. Qattiq jismlarda qoldiqli deformatsiya, kuchlanish kattaliklari va anizotropiya darajasi belgilab qo’yiladi.
Chegaraviy shartlar quyidagicha tanlanadi:
1)ko’chish:
siqilish:
2) tezlik:
yopishish:
qamrab olish:
3) kuchlanish:
4) quvvat:
Tutash muhit mexanikasi (TTM) ning bo’limlarida, masalan, filtratsiya nazariyasida chegaraviy shartlar bosimga nisbatan yozib olinadi. Shunday qilib, agar chegaralar o’tkazmas bo’lib, tashqi sirt bilan almashinuv bo’lmasa, u holda
(n – tashqi normal; -D filtratsiya sohasining chegarasi). O’tkazuvchan chegara holida vaqt o’tishi bilan bosimning sirtdagi o’zgarishi berib quyiladi, ya‘ni
Oxirgi formulada g=0 bo’lib qolsa, o’tkazmas chegara sharti kelib
chiqadi.
Qatlam yuzasi bilan atrof muhit o’rtasidagi konvektiv massa almashinish qonuni
ko’rinishda yozib olinadi.
Masalalarni ko’rib chiqishda, boshlang’ich va chetki shartlardan tashqari, quvurlar ishining texnologik rejimini xarakterlovchi ichki manbalardagi (stoklardagi) shartlarni berib qo’yish kerak. Quvurlarda qo’yiladigan shartlar har xil: to’planib qolgan bosimlarning doimiy qiymatlari, quvurlarning debiti, bosimlarning domiy gradienti, stvoldagi harakat tezligi va h.k.
Eng xarakterlisi berilgan debit rejimidir:
( -i-quvurning debiti; qatlamning quvvati). Berilgan shartga quvurlarni ishga tushirishning boshqa texnologik rejimlari ham keltirilishi mumkin.
Harakat jarayonida tizimda kuchli va sust uzilishlar, ya’ni sathning ko’chish, tezlik va ularning hosilalari uzilishga duch keladigan chiziqlari vujudga kelishi mumkin. Uzilishlardagi shartlar chegaraviy o’tish natijasida saqlanish qonunlarining integral shaklidan keltirib chiqariladi.
Agar uzilish sirti
f (x, y, z, t) 0
funksiya bilan ifodalansa, u holda bu sath bo’yicha harakat tezligi
formula bo’yicha aniqlanadi, bu yerda sathga o’tkazilgan normaldir.
Endilikda uzilish sathidagi chegaraviy shartlarni yozib olamiz:
( , W, -S tashqi kuchga, energiya tushuviga va mos ravishda entropiyaga taqsimlanuvchi sirtiy zichliklar). Bu munosabatlar massa, impuls, energiya va entropiya balansi tenglamalaridan keltirib chiqarilgan.
2. TTM ning muqobil masalalari
,
cheklanishi F(x) maqsad funksiyasi ekstremumga erishadigan muqobillashtiruvchi o'zgaruvchilarning qiymatini aniqlovchi matematik dasturlashtirish masalalariga keltiriladi. Agar F(x) ekstremumi minimum bo’lsa, u holda
F(x) va ko’rinishiga qarab, bu masalani yechish uchun chiziqli va nochiziqli dasturlashtirish (kvadratik, qavariq, diskret, dinamik) hamda tasodifiy qidirish usullari ko’laniladi.
Chegaraviy tizimlarni sanab o’tamiz:
1. Mustahkamlik:
( - mavjud kuchlanish; - invariant).
2. Mustahkamlik:
( - kritik kuchlanish).
3. Qattiqlik:
( -berilgan nuqtalarning ko’chishlari ).
4. Tezlik:
( - ruxsat berilgan tezlik).
5. Rezonans:
( va - tizimning xususiy va majburiy tebranishlar chastotasi)
6. Temperatura:
( -ruxsat berilgan temperatura).
Aniq tuzilishlarni o’rganganda shuningdek tarkibiy va texnologik
cheklanishlar hisobga olinadi.
Maqsad funksiyasi sifatida:
obyekt og’irligi G min;
hajm V min;
narx C min lar olinadi.
Muhit nuqtalarida turli vaqt momentidagi temperatura taqsimoti xususiy hosilali tenglamalardan (issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalari) aniqlanadi. Temperatura maydoni T(x,y,z,t) ni so’zsiz aniqlash uchun issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasidan tashqari qo’shimcha (xulosalovchi) munosabatlarni shakllantirish kerak, chunki xususiy hosilali tenglamaning yechimi ixtiyoriy funksiyagacha bo’lgan aniqlikda topiladi. Bunday ixtiyoriylikni bartaraf etish uchun qo’shimcha munosabatlar kiritiladi: ayrim nuqtalarda yechimning o’zi, ayrim yo’nalishlarda yechimdan olingan hosilalar ma‘lum bo’ladi.
Temperatura maydoni fazoning ma‘lum bir sohasida hisoblanadi. Soddalik maqsadida doimiy hisoblash sohasi bilan cheklanib qolamiz, aynan unda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining yechimi qidiriladi.
Aniqlik maqsadida, t=0 vaqt momentidan boshlab, ma‘lum bir vaqt momentigacha bo’lgan issiqlik uzatish jarayoni o’rganilmoqda deb faraz qilamiz. Shuning uchun issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi tsilindrda, ya‘ni
, (2.1.1)
da qidiriladi.
Bu tenglamada ham fazo bo’yicha, ham vaqt bo’yicha olingan xususiy hosilalar ishtirok etadi. Shuning uchun qo’shimcha munosabatlar fazoviy sohaning nuqtalar to’plamida va (0, t)vaqt oralig’ida, Q tsilindrning ayrim nuqtalari to’plamida berilishi kerak.
Issiqlik o’tkazuvchanlik uchun odatda chegaraviy masalalar qo’yiladi. Bizning holimizda qo’shimcha munosabtlar Q chegarasida qo’yiladi va chegaraviy shartlar deb nomlanadi. Q tsilindrning yon sathidagi shartlar boshlang’ich shartlarning qo’yilishiga to’g’ri keladi.
Yanada murakkabroq shartlarni qo‗yish ham mumkin. Masalan, t=0 dagi boshlang’ich shartlarning o’rniga Q silindrning boshqa bir kesimida, masalan ma‘lum bir t t* dagi qo’shimcha shartlar berilishi mumkin. Boshqa so’z bilan aytganda, qo’shimcha shartlar berilgan nuqtalar to’plami Q ichida ham yotishi mumkin. Ushbu yo’nalishdagi ayrim imkoniyatlar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalari uchun asosiy masala turlarini ajratib ko’rsatganda muhokama etiladi.
Odatda, temperatura maydoni boshlang’ich vaqt momentida, ya‘ni
, (2.1.2)
da berilgan deb olinadi. Yuqori jadallikka ega bo’lgan temperature jarayonlarini issiqlik o’tkazuvchanlikning giperbolik tenglamalari asosida ko’rib chiqayotganda vaqt bo’yicha ikkita shart qo’yish kerak. Bu (2.1.2) shartdan tashqari:
, t=0 (2.1.3)
Shartni qo’yishga imkon yaratadi.
(2.1.2) turdagi shartning qo’yilishi amaliy modellashtirishda belgilangan vaqt momentida temperaturani to’g’ridan-to’g’ri o’lchashni talab etadi. Bunday o’lchovlarni har doim ham o’tkazib bo’lmaydi. Shuning uchun boshqa yondashuvlar ham ishlatilishi mumkin. Masalan, (2.1.1) tenglama uchun chekli vaqt momentidagi shartlar, ya‘ni (2.1.2) shartning o’rniga
(2.1.4)
shart ishlatilishi mumkin. Bunday holatda (8.40) shartga ko’ra, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi asosida oldingi vaqt momentidagi temperatura maydonini tiklash kerak. Shunday qilib, biz issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun retrospektiv masalani hosil qilib olamiz.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tnglamasini chegaraviy shartlari ichidan asosiy chegaraviy shartlar sifatida birinchi, ikkinchi va uchinchi turlari ajratiladi. Eng oson vaziyat tempratura maydonining chegarada (birinchi tur chegaraviy shartlari) berilishi bilan harakterlanadi:
. (2.1.5)
Bu yerda G – ning yon sirti: . (2.1.5) birinchi tur shartlari, shuningdek, Dirixle shartlari deb nomlanadi.
Ikkinchi tur chegaraviy shartlari (Neyman shartlari) chegarada issiqlik oqimining berilishiga mos keladi. Izotrop muhitdagi issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi (2.1.1) uning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(2.1.5)
orqali sathga nisbatan satrga o’tkazilgan tashqi normal belgilangan.
Anizotrop muhitlarda issiqlik o’tkazuvchanlikning ikkinchi tur chegaraviy shartlarining qo’yilishi qiyin masaladir. cos (n, x), cos (n, y), cos (n, z) - tashqi normalning yo’naltiruvchi kosinuslari bo’lsin. Oqim
(2.1.6)
ifoda bilan aniqlanib, u normal bo’yicha differensiallashga mos keladi.
Ikkinchi tur chegaraviy sharti
(2.1.7)
ko’rinishida yozib olinib, (2.1.4) shartni anizotrop muhit holi uchun umumlashtiradi ( deb olgan holda).
Uchinchi tur chegaraviy sharti qattiq jism sirti bilan T temperaturali atrof muhit o’rtasidagi konvektiv issiqlik almashinuvini modellashtiradi. Odatda issiqlik oqimi sirt bilan atrof muhit temperaturalarining ayirmasiga proportsional deb olinadi, shuning uchun izotrop muhit uchun
, (2.1.8)
ga ega bo’lamiz, bu yerda - issiqlik almashinuvi koeffisienti. Anizotrop muhit holida ham mos shart shu kabi sharhlanadi.
Uchinchi tur chegaraviy shartlari yuqorida keltirilganlarga nisbatan umumiyroq deb olinadi. Bu shartlarni
, (2.1.9)
ko’rinishida yozib olish mumkin.
U holda (2.1.1) aksincha, da (2.1.4) birinchi tur shartiga ega bo’lamiz.
|
| |