teorema (izomorfizm - Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu:...

|
Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari Bajardi
|
bet | 3/3 | Sana | 25.12.2023 | Hajmi | 180,42 Kb. | | #128218 |
Bog'liq Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlariteorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish
R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda R/Kerf ∼= f (R)
bo‘ladi.
teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). R halqaning I va
J ideallari uchun I/(I ∩ J) ∼= (I + J)/J munosabat o‘rinli.
teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). R halqaning I va
J ideallari uchun I ⊆ J bo‘lsa, u holda
(R/I)/(J/I) ∼= R/J.
Quyidagi teoremada esa gruppalar nazariyasidagi kabi halqalar uchun moslik teoremasini keltiramiz.
⊆
teorema (moslik teoremasi). Aytaylik, R halqani R′ halqaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsin. U holda R halqaning Kerf I shartni qanoatlantiruvchi ideallari to‘plami bilan R′ halqaning ideallari to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud.
Endi ixtiyoriy halqani biri bor halqaga kengaytirish mumkinligini, ya’ni ixtiy- oriy halqa uchun shunday biri bor halqa topilib, bu halqalar orasida monomorfizm mavjudligini ko‘rsatamiz.
Bizga R halqa berilgan bo‘lsin. R′ = R × Z to‘plamda
( x, a) + ( y, b) = ( x + y, a + b) , ( x, a) · ( y, b) = ( xy + ay + bx, ab)
amallarni qarasak, R′ to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa tashkil qiladi. Ushbu halqa biri bor halqa bo‘lib, (0 , 1) element uning birlik elementi bo‘ladi. Bundan tashqari, f ( x) = ( x, 0) kabi aniqlangan f : R → R × Z akslantirish monomorfizm bo‘ladi.
tasdiq. Agar R halqadan birlik elementli S halqaga ϕ gomomorfizm berilgan bo‘lsa, u holda ϕ = ψ ◦ f shartni qanoatlantiruvchi ψ : R × Z → S gomomorfizm mavjud, bu yerda f : R → R × Z bo‘lib, f ( x) = ( x, 0) .
Isbot. ψ : R × Z → S akslantirishni ψ( x, a) = ϕ( x) + a1 S kabi aniqlaymiz, bu yerda 1 S element S halqaning birlik elementi. U holda ixtiyoriy x ∈ R uchun
( ψ ◦ f )( x) = ψ( f ( x)) = ψ( x, 0) = ϕ( x)
tenglik o‘rinli, ya’ni ϕ = ψ ◦ f. Bundan tashqari ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki
ψ ( x, a) + ( y, b) = ψ( x + y, a + b) = ϕ( x + y) + ( a + b)1 S =
= ϕ( x) + ϕ( y) + a1 S + b1 S = ψ( x, a) + ψ( y, b) ,
ψ ( x, a) · ( y, b) = ψ( xy + ay + bx, ab) = ϕ( xy + ay + bx) + ( ab)1 S =
ϕ( x) ϕ( y) + aϕ( y) + bϕ( x) + ab1 S = ( ϕ( x) + a1 S) · ( ϕ( y) + b1 S) = ψ( x, a) · ψ( y,b) .
misol. Xarakteristikasi nolga teng birlik elementli ixtiyoriy halqaning Z bu- tun sonlar halqasiga izomorf qism halqasi mavjud ekanligini isbotlang.
Yechich. Aytaylik, R xarakteristikasi noldan farqli birlik elementli halqa bo‘lsin. T = { n1 | n ∈ Z} to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi. Chunki, a, b ∈ T elementlar uchun a = n1 va b = m1 bo‘lib,
a − b = n1 − m1 = ( n − m)1 , ab = ( n1)( m1) = ( nm)1 .
Ya’ni a − b, ab ∈ T. Endi Z butun sonlar halqasidan T to‘plamga f ( n) = n1 kabi aniqlangan f : Z → T akslantirishni qaraymiz. Bu akslantirish gomomorfiz bo‘lib, u syurektivdir. Bundan tashqari R halqaning xarakteristikasi nolga teng ekanligini hisobga olsak,
f ( n) = f ( m) ⇒ n1 = m1 ⇒ ( n − m)1 = 0 ⇒ n = m
munosabatlardan bu gomomorfizmning inyektivligi kelib chiqadi.
b2 = m2a2 = m2na = ma = b
munosabatga ega bo‘lamiz. Ya’ni R halqada b2 = b shartni qanoatlantiruvchi noldan farqli element mavjud. U holda f ( n) = nb kabi aniqlangan f : Z p → R akslantirish (Z p, + p, Ⓢ 2) halqadan ( R, + , ·) halqaga bo‘lgan izomorfizm bo‘ladi. Chunki,
f ( n + m) = ( n + m) b = nb + mb = f ( n) + f ( m) ,
f ( n Ⓢ 2 m) = f ( nm) = ( nm) b = ( nm) b2 = ( nb) · ( mb) = f ( m) · f ( n) .
:
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
Axmedova Oydin Po‘latovna, Xolimtayeva Iqbol Ubaydullayevna “Kriptografiyaning matematik asoslari”. O‘quv qo‘llanma. – Toshkent. TATU. 2018 – 208 bet
Ўзбекистон Республикасини янада ривожлантириш бўйича ҳаракатлар стратегияси тўғрисида. Ўзбекистон Республикаси Президентининг ПФ-4947- сон фармони. Тошкент, 2017 йил 7 феврал.
Хасанов П.Ф., Исаев Р.И., Хасанов Х.П., Назарова М.Х. Ахмедова О.П. Ахборотнинг криптографик муҳофазаси тарихи (Дастлабки ва формал криптография даври) // Aloqa dunyosi. – Тошкент, 2005, №1 (4). – 32-37 -бетлар.
Ахмедова О.П. Параметрлар алгебраси асосида носимметрик криптотизимлар яратиш усули ва алгоритмлари // Номзодлик диссертация иши, Тошкент-2007.
Бабаш А.В., Шанкин Г.П. История криптографии. Часть I. – Москва: Лори Гелиос АРВ, 2002. – 240 с.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari Bajardi
|