DAVLAT ATTESTASIYASINI TASHKIL QILUVCHI

DAVLAT ATTESTASIYASINI TASHKIL QILUVCHI
FANLAR MAZMUNI
“Algebra va sonlar nazariyasi” va “Geometriya” fanlarining mazmuni
Mantiq amallari: diz’yunksiya, kon’yunksiya, inkor, implikatsiya, ekvivalensiya; aynan
rost, aynan yolg’on, bajariluvchi, teng kuchli formulalar;
1,2,3 o ’rinli predikatlar,
predikatlarning qiymatlar va rostlik sohalari, kvantorlar yordamida predikatlardan mulohazalar
hosil qilish.
To’plamlar birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi, simmetrik ayirmasi; Dekart ko ’paytma,
refleksiv, simmetrik, tranzitiv munosabatlar; funksiyalar kompozitsiyasi; ekvivalentlik, tartib
munosabatlari.
Binar algebraik amallarning xossalari, neytral, simmetrik elementlar, kongruensiya;
algebra,
algebralar
gomomorfizmi,
algebraosti,
faktor-algebra;
gruppa,
gruppalar
gomomorfizmi; halqa, halqalar gomomorfizmi; butunlik sohasi, jism, maydon, maydonlar
gomomorfizmi.
Matematik induksiya prinsipi; butun sonlar halqasi; ratsional sonlar maydoni; haqiqiy
sonlar maydoni; kompleks sonlar maydoni; kompleks son moduli, k o ’shmasi; kompleks sonni
trigonometrik shaklga keltirish; Muavr formulalari; kompleks sondan ildiz chiqarish; algebraik
sistemalar gomomorfizmi.
Vektorlar chekli sistemalarini chiziqli bog’liq, chiziqli erkliligi; vektorlarning chekli
sistemalarining ekvivalentligi; vektorlar chekli sistemasining bazisi va rangi;
Chiziqli tenglamalar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi, natijasi, teng kuchli
sistemalar; Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini tahlil
qilish; bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining fundamental sistemasi;
nom a’lumlarni ketma-ket yo ’qotish.
Matritsalarni qo’shish, skalyarni matritsaga k o ’paytirish, matritsalarni ko ’paytirish,
transponirlash; teskari matritsani topish; n ta nom a’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini
matritsali tenglamaga keltirish va yechish.
O ’rniga qo’yishlar gruppasi; juft-toqligi, ishorasi; determinantni hisoblash; minorlar va
algebraik to ’ldiruvchilar yordamida teskari matritsani, matritsa rangini topish; Kramer
formulalari yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
Vektorlar to ’plamining chiziqli qobig’i; fazoostilar va ularning kesishmasi, yig’indisi,
to ’g ’ri yig’indisi; vektor fazo bazisi va o ’lchovi; vektor fazolar izomorfizmi; skalyar
ko ’paytmali vektor fazolar; vektorlarning ortogonal sistemasi; fazoostining ortogonal
to ’ldiruvchisi; vektor normasi, Yevklid fazosining ortonormal bazisi; Yevklid fazolar
izomorfizmi.
Chiziqli akslantirish va chiziqli operatorlar; chiziqli akslantirishlar ustida amallar;
chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi); chiziqli operator matritsasi; x va
ф(
x ) vektorlar
ustun koordinatalari orasidagi bog’lanish; vektorning turli bazislarga nisbatan ustun
koordinatalari orasidagi bog’lanish; teskarilanuvchi chiziqli operatorlar; chiziqli operatorlar va
matritsalar chiziqli algebralari orasida izomorfizm; chiziqli operatorning xos vektorlari va xos
qiymatlari.
Chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish usullari; teng kuchli tengsizliklar sistemasi;
qavariq konus; chiziqli tengsizliklar sistemasining natijasi.
Butun sonning tub k o ’paytuvchilarga yoyilmasi; qoldiqli bo ’lish; natural son natural
b o ’luvchilarining soni va yig’indisi; Yevklid algoritmi; eng katta umumiy bo ’luvchi va eng
kichik umumiy b o ’linuvchini 2 usul bilan topish; chekli zanjir kasrlar, munosib kasrlar.
Chegirmalarning to ’la va keltirilgan sistemalari; berilgan sonning Eyler funksiyasi;
birinchi darajali taqqoslamalarni yechish usullari; tub modul bo ’yicha yuqori darajali
2
taqqoslamalar va ularni soddalashtirish; berilgan sonning ko ’rsatkichini topish; tub modul
bo ’yicha boshlang’ich ildizlar; tub modul b o ’yicha indekslar, ularning tatbiqlari; ikki hadli
taqqoslamalarni yechish.
K o’phad darajasini aniqlash; k o ’phadlar ustida amallar; ko ’phadni
x-c
ikkihadga bo ’lish;
k o ’phadni qoldiqli bo ’lish; Gorner sxemasi; k o ’phadni keltirilmaydigan k o ’phadlar
k o ’paytmasiga yoyish; karrali ildizlarni aniqlash; ko ’phadlar eng katta umumiy b o ’luvchi va
eng kichik umumiy b o ’linuvchisini topish; Yevklid algoritmi; ko ’phadni
x-c
ikkihad darajalari
b o ’yicha yoyish.
Viyet formulasi yordamida tenglamalarni yechish; haqiqiy sonlar maydoni ustida
keltirilmaydigan ko ’phadlar; uchinchi darajali tenglamalarni yechish; haqiqiy koeffitsientli
k o ’phad mavhum ildizining qo’shmaligi; Shturm ko ’phadlar sistemasi.
K o’phadning butun va ratsional ildizlarini topish; Eyzenshteynning keltirilmaslik
kriteriyasi; maydonning oddiy kengaytmasini qurish; algebraik elementning minimal
k o ’phadini aniqlash; maydonning oddiy algebraik kengaytmasini qurish; maydonning chekli
va murakkab kengaytmalari; uchinchi darajali tenglamalarning kvadrat radikallarda yechilishi.
Halqaning karali kengaytmasini qurish.
K o’phadlar halqalarining izomorfizmi.
K o’phadning normal ifodasi. K o’phad darajasi va uning xossalari. K o’p o ’zgaruvchili
k o ’phadlarni keltirilmaydigan ko ’phadlar ko ’paytmasiga yoyish.
Berilgan ko ’p o ’zgaruvchili ko ’phadni simmetrik ko ’phadga aylantirish.
Simmetrik k o ’phadni elementar simmetrik ko ’phadlar yordamida ifodalash.
Ikki ko ’phad rezultanti. K o’phad rezultanti. Yuqori darajali tenglamalar sistemasini
rezultant yordamida yechish.
Mulohazalar ustida mantiq amallari. Formula turini aniqlash. Formulaning rostlik
qiymati. Formulalarning teng kuchliligini isbotlash. Ikki qiymatli funksiyalarni mulohazalar
algebrasining formulalari orqali ifodalash. Normal forma, mukammal diz’yunktiv normal
forma (MDNF) va mukammal kon’yunktiv normal forma (MKNF)ni hosil qilish. Ikkilik
prinsipi va ikkilik qonuni yordamida qo’shma formulalarni hosil qilish. Funksiyalarning to ’liq
sistemasi.
Aksiomalar va keltirib
chiqarish qoidalari yordamida formulalarning keltirib
chiqariluvchiligini isbotlash. Gipotezalardan keltirib chiqarish. Deduksiya teoremasini
qo’llash. Formulalarda teng kuchli almashtirishlar bajarish. Teng kuchli formulalarni isbotlash.
Formulani normal formaga keltirish.
Predikatning rostlik sohasi. Matematik tasdiqlarni predikatlar algebrasining tilida
ifodalash. Predikatli formulalarning teng kuchliligini isbotlash. Keltirilgan formani hosil qilish.
Predikatlar algebrasining formulasini umumqiymatli, bajariluvchiligini aniqlash.
Aksiomalardan keltirib chiqarish qoidalari. Predikatlar hisobi uchun hosilaviy keltirib
chiqarish qoidalari. B a’zi tavtologiyalarning isboti. Algoritmga misollar. Algoritmning
xossalarini tekshirish. Qismiy rekursiv funksiyalar. Qismiy rekursiv funksiyalarni Tyuring
mashinalarida hisoblash. Umumrekursiv funksiyalar.
Algebra, algebraik sistema kengaytmasini qurish. Berilgan algebra, algebraik sistemalar
orasida gomomorfizm va izomorfizm o ’rnatish. Natural sonlar aksiomatik nazariyasi
aksiomalari yordamida natural sonlarni qo’shish va ko ’paytirishning xossalarini isbotlash.
Butun sonlar, ratsional sonlar, haqiqiy, kompleks sonlar xossalarini isbotlash. Chekli rangli
chiziqli algebralarga doir misollar tuzish. Kvaternionlar to ’plamining chiziqli algebra tashkil
etishini isbotlash.
Vektorlar va ular ustidagi amallar, vektorlarning chiziqli boqliqligi.
Tekislikdagi
koordinata metodi. Tekislikdagi to ’g ’ri chiziq.
To’g ’ri chiziqning turli berilish usullari. Tekislikning almashtirishlari. Tekislikdagi
xarakatlar. O ’xshash almashtirishlar. Gomotetiya. Tekislikdagi affin almashtirishlar. Ikkinchi
tartibli chiziqlar. Ellips, giperbola, parabolani kanonik tenglamasi yordamida taqlil qilish.
3
Fazodagi koordinatalar metodi. Fazoda tekislik va to ’g ’ri chiziqlaming berilish usullari.
Ikkinchi tartibli sirtlarni kanonik tenglamalari bo ’yicha o ’rganish. Ikkinchi tartibli silindrik va
konus sirtlar, aylanma sirtlarda kesimlar yasash.
Ellipsoid, giperboloidlar, paraboloidlar. Ikkinchi tartibli sirtlarning to ’g ’ri chiziqli
yasovchilari. Sirkul va chizg’ich yordamida yasash postulatlari. Yasashga doir masalalarni
yechishdagi bosqichlar. Tekislikdagi geometrik yasashlarni turli metodlari.
n-o’lchovli vektor fazo. n-o’lchovli affin fazo. n-o’lchovli affin fazolarning izomorfligi.
k-o’lchovli tekisliklar va ularning o ’zaro vaziyati. Affin almashtirishlar. Affin almashtirishlar
gruppasi va uning qism gruppalari. n-o’lchovli Yevklid fazosi. En fazoda o ’xshash
almashtirishlar va uning gruppasi. En fazoda o ’xshash almashtirishlar va uning gruppasi. En
fazoda harakatlar. Chiziqli va kvadratik formalar. Kvadratik formani kanonik ko ’rinishga
keltirish. Normal k o ’rinishdagi kvadratik forma. Musbat aniqlangan kvadratik forma. Affin
fazosidagi kvadrikalar. Kvadrika tenglamasini kanonik ko ’rinishga keltirish. Kvadrikaning
markazi va tasnifi. Uch o ’lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar tasnifini.
Sirkul va chizg'ich yordamida yasashga doir eng sodda masalalar. Yasashga doir
masalalarni echish bosqichlari. Tekislikdagi geometrik yasashlarning turli metodlari. Yasashga
doir masalalrni yechishdagi algebraik metod. Yasashga doir masalalarni sirkul va chizg'ich
yordamida yechish kriteriysi. Sirkul va chizg'ich yordamida yechilmaydigan klassik masalalar.
Markaziy, parallel proeksiyalash va ularning xossalari. Parallel proeksiyalash usuli bilan
yassi figuralarning tasvirini yasash. Aksonometriya. Polke-Shvarts teoremasi. Fazoviy
figuralarning tasvirini yasash. Pozitsion va metrik masalalar. T o l a va t o l a bo'lm agan tasvirlar
va ularni stereometriyani o'rganishga tatbiqlari. Qavariq ko'pyoqlarning kesimlarini yasashga
doir masalalar. Proektiv fazo. Proektiv geometriyaning asosiy faktlari. Proektiv tekislik.
Proektiv fazo aksiomalari. Proektiv fazo modellari. Proektiv koordinatalar. Ikkilik prinsipi.
Dezarg teoremasi. Bir to 'g 'ri chiziqda yotuvchi to'rtta nuqtaning murakkab nisbati. Proektiv
almashtirishlar va ularning gruppasi. Proektiv geometriya predmeti. Nuqtalarning garmonik
to'rtligi. To'liq to 'rt uchlikning garmonik xossalari. Qutb va qutb to 'g 'ri chizig'i. Proektiv
tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning klassifikatsiyasi. Shteyner, Paskal va
Brianshon teoremalari va ularni maktab geometriya kursidagi masalalarni echishga tadbig'i.
Geometriya asoslari. Geometriya asoslarining tarixiy sharhi. Evklidga qadar bo'lgan
geometriya. Evklidning “negizlar” asari. Evklidning v pastuloti va uni isbotlashga urinishlar.
N. I. Lobachevskiy va uning geometriyasi. Gilbert aksiomalar sistemasi sharhi. Gilbert
aksiomalaridan kelib chiqadigan b a’zi natijalar. Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomalar
sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar. Parallel to 'g 'ri chiziqlar va ularning xossalari.
Uchburchak, to'rtburchak. Uzoqlashuvchi to 'g 'ri chiziqlar va ularning xossalari. Parallellik
burchagi. Lobechevskiy funksiyasi. Aylana, ekvidistanta va orisikl. Aksiomalar sistemasini
izohlash haqida (interpretatsiyalash). Gilbert aksiomalar sistemasiga beriladigan analitik
interpretatsiya. Uch o'lchovli Evklid fazosining Veyl aksiomalar
sistemasi. Aksiomalar
sistemasining zidsizligi, erkinligi va to'liqligi. Kesma uzunligi. Mavjudlik va yagonalik
teoremasi. Tengdosh va teng tuzilgan ko'pburchaklar haqida. Ko'pyoqning hajmi haqida.
Lobachevskiy tekisligining turli modellari. Parallellik aksiomasining Evklid geometriyasidagi
qolgan aksiomalarga bog'liq emasligi. Sferik geometriya va Rimanning elliptik geometriyalari
haqida tushuncha. Riman geometriyasining aksiomalar sistemasi. Topologik fazo va uni
kiritish usullari. Ochiq va yopiq to'plamlar. Ichki, chegaraviy va urinish nuqtalari.
To'plamning yopig’i. Ajrimlilik aksiomalari. Topologiya bazasi. Bog’lanishli va chiziqli
bog’lanishli to'plamlar. Kompakt to'plamlar. Uzluksiz akslantirishlar va gomeomorfizm.
Skalyar argumentli vektor funksiyalar. Egri chiziqning berilish usullari. Regulyar chiziqlar.
Urinma va normal tekislik. Egri chiziq uzunligi. Egri chiziqning egriligi va buralishi. Frene
formulalari. Ikki skalyar argumentli vektor funksiyalar. Silliq sirt haqida tushuncha. Sirtning
birinchi kvadratik formasi. Sirt ustidagi chiziqning uzunligi. Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi
burchak. Sirt ustidagi sohaning yuzasi. Sirt ustidagi chiziqning egriligi. Sirtning ikkinchi
4
kvadratik formasi. Bosh egriliklar. Sirtning to 'la va o'rtacha egriligi.
Sirtning ichki
geometriyasi.
|