O‘nli sanoq sistemasida ko‘p xonali sonlarni ko‘paytirish

|
O‘nli sanoq sistemasida ko‘p xonali sonlarni ko‘paytirish
|
bet | 62/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрO‘nli sanoq sistemasida ko‘p xonali sonlarni ko‘paytirish
Agar a va в sonlari bir xonali bo‘lsa, ularning ko‘paytmasini topish uchun n(A) = a, n (В)=в bo‘lgan A va В to‘plamlarining dekart ko‘paytmasidagi elementlar sonini hisoblash yetarli. Ammo bunday sonlarni ko‘paytirishda har gal to‘plam va hisoblashlarga murojaat qilmaslik uchun ikkita bir xonali sonni ko‘paytirishda hosil bo‘lgan hamma ko‘paytmalar esda saqlanadi.
Hamma bunday ko‘paytmalar maxsus jadvalga yoziladi, bu jadval bir xonali sonlarni ko‘paytirish jadvali deyiladi.
Agar a va в sonlari ko‘p xonali bo‘lsa, ma’lumki, ular “ustun” qilib ko‘paytiriladi. Bu ko‘paytirishning nazariy asoslari nimadan iboratligini aniqlaymiz. Masalan: 426 ni 123 soniga ko‘paytiramiz. (Sonlar yozma ustun shaklida ko‘paytiriladi)
Natijani hosil qilish uchun 426 sonini 3 ga, 2 ga, 1 ga ya'ni ko‘p xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirdik, ammo 2 ga ko‘paytirganda natijani boshqacha yozdik, ya'ni 852 sonining birlarini 1278 sonining o‘nlari tagiga yozdik, sababi , biz aslida 2ta o‘nlikka ko‘paytirdik, 3- qo‘shiluvchi 426 ni esa bitta yuzlikka ko‘paytirishning natijasidar. Undan tashqari biz ko‘p xonali sonlar yig’indisini ham topdik. Shunday qilib, ko‘p xonali sonni ko‘p xonali songa ko‘paytirish uchun : ko‘p xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirishni; ko‘p xonali sonni 10 ning darajasiga ko‘paytirishni; ko‘p xonali sonlarni qo‘shishni bilish kerak .
Ko‘p xonali sonlarni o‘rganganimiz uchun ko‘p xonali sonni bir xonali songa va o‘nning darajasiga ko‘paytirishning nazariy asoslari nimadan iboratligini aniqlaymiz.
426 ni 3 ga ko‘paytirish jarayonini ko‘rib chiqamiz. O‘nli sanoq sistemasida sonlarni yozish qoidasiga ko‘ra 426 sonini bunday ko‘rinishda yozish mumkin. 4102 +210+6, u holda 4263=(4102 +210+6)3
qo‘shishga nisbatan ko‘paytirishning taqsimot qonuniga asosan oxirgi yozuvida qavslarni ochib, o‘zgartirib yozamiz:
(4102)3+(210)3+63
Ko‘paytirishning o‘rin almashtirish va guruhlash qonunlari bu yigindidagi qo‘shiluvchilarni bunday yozishga imkon beradi.
(43)102+(23)10+63
Qavs ichidagi ko‘paytmalar bir xonali sonlarni ko‘paytirish jadvalidan topiladi:
2102+6110+18
Ko‘rib turibmizki, ko‘p xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirish bir xonali sonlarni ko‘paytirishga keltirildi.
Ammo hosil bo‘lgan ifoda sonning o‘nli yozuvi emas-10 ning darajalari oldidagi koeffitsentlar 10 dan kichik bo‘lishi kerak. Shuning uchun 12 ni 10+2 ko‘rinishda ,18 ni 10+8 ko‘rinishida yozamiz:
(10+2)102+610+(10+8)
qavslarni ochamiz: 103+2102+610+10+8
qo‘shishning guruhlash qonuni va qo‘shishga nisbatan ko‘paytirishning taqsimot qonunidan foydalanamiz: 1103+2102+(6+1)10+8; 6+1 yigindi bir xonali sonlar yigindisidir va uni qo‘shish jadvalidan osongina topiladi: 1103+2102+710+8
Hosil bo‘lgan ifoda 1278 sonining unli yozuvidir. Shunday qilib, 426·3=1278
Umuman, Х=аn аn-1…а1а0 sonni bir xonali son u ga ko‘paytirish algoritmini bunday ifodalash mumkin:
1. Ikkinchi sonni birinchi sonning ostiga yozamiz.
2. Birlar xonasidagi raqamlarni “у” soniga ko‘paytiramiz. Agar ko‘paytma 10 dan kichik bo‘lsa, uni javobidagi birlar xonasiga yozamiz va keyin o‘nlar xonasiga o‘tamiz
3. Agar birlar xonasidagi raqamlarning “у” soniga ko‘paytmasi 10 dan katta yoki 10 ga teng bo‘lsa, uni 10*q1+C0 ko‘rinishda yozamiz, bunda C0 – bir xonali son: C0 ni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va q1 ni keyingi xonaga o‘tkazishni esda saqlaymiz
4.O‘nlar xonasidagi raqamni Y soniga ko‘paytiramiz, chikkan ko‘paytmaga q1 ni qo‘shamiz va 2- hamda 3- punktlardagi jarayonni takrorlaymiz.
5.Yuqori xona raqamlari ko‘paytirilgandan keyin ko‘paytirish jarayoni tugallanadi.
Ma’lumki, x sonni 10к ko‘rinishdagi songa ko‘paytirish berilgan sonning o‘nli yozuviga o‘ng tomondan k ta nolni qo‘shib yozishga keltiriladi. Haqiqatan, agar
х =аn10n+ аn-110n-1+….. а110+а0 bo‘lsa , u holda
х10k =(аn10n+аn-110n-1+….. а110+а0)10k
qo‘shishga nisbatan ko‘paytirishning taksimot qonunini va ko‘paytirishning boshka qonunlarini qo‘llab, аn10n+k+аn-110n+k-1+…+а110k+1+а010k ni hosil qilamiz. Bu ifoda
аnаn-1…а1а0 0…0 sonning o‘nli yozuvidir, chunki an·10n+k+
аn10n+k+аn-110n+k-1+…+а010kкаn10n+k+аn-110n+k-…+а010k+010k-1+….+0
Masalan, 534·103=(5·102+3·10+4)·103=5·105+3·104+4·103=534000
Endi ko‘p xonali sonni ko‘p xonali songa ko‘paytirish algoritmini qaraymiz. Yuqorida qaralgan misolga, ya’ni 426·123 ko‘paytmaga qaytamiz. 123 sonini koeffitsentli unning darajalari yigindisi ko‘rinishida yozamiz: 123=1102+210+3 va 426(1102+210+3 ko‘paytmani yozamiz. Bu ko‘paytma qo‘shishga nisbatan ko‘paytirishning taqsimot qonuniniga ko‘ra 426(1102)+426(210)+4263 ga teng. Bundan ko‘paytirishning guruhlash qonuniga asosan: (426)102+(4262)10+4263
Shunday qilib, ko‘p xonali sonni ko‘p xonali songa ko‘paytirish ko‘p xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirishga keltirildi.
Umuman, х=аnаn-1…а1а0 sonni y=bkbk-1…b1b0 songa ko‘paytirish algoritmini bunday ifodalash mumkin.
1. x ko‘paytuvchini yozamiz va uning ostiga ikkinchi ko‘paytuvchi у ni yozamiz.
2. x sonni у sonning kichik xonasi b0 ga ko‘paytiramiz va xb0 ko‘paytmani у sonning ostiga yozamiz.
3. x sonni у sonning keyingi xonasi b1 ga ko‘paytiramiz va xb1 ko‘paytmani bir xona chapga surib yozamiz. Bu xb1 ni 10 ga ko‘paytirishga mos keladi.
4. Bu jarayonni x bk hisoblaguncha davom ettiramiz.
5. Topilgan k+1 ta ko‘paytmani qo‘shamiz.
Boshlang’ich matematika kursida ko‘paytirishni o‘rganish bir necha bosqichda olib boriladi, unga bir xonali sonlarni ko‘paytirish jadvali, nol bilan tugaydigan ikki xonali sonlarni ko‘paytirish; ko‘p xonali sonlarni bir xonali, ikki xonali va uch xonali sonlarga ko‘paytirish kiradi.
“Ustun” qilib ko‘paytirish algoritmini o‘rganish uch xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirishdan boshlanadi. Undan oldin quyidagi ko‘paytma tushuntiriladi:
4263=(400+20+6)3=4003+203+63=1200+60+18=1278
Bular uch xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirish:
-sonni o‘nli sanoq sistemasida yozishga;
- qo‘shishga nisbatan ko‘paytirishni taqsimot qonuniga;
- yaxlit sonlarni bir xonali songa ko‘paytirish, ya’ni bir xonali sonlarini ko‘paytirish jadvaliga;
- ko‘p xonali sonlarni qo‘shishga asoslanishni ko‘rsatadi.
So‘ngra misollar orqali ko‘p xonali sonni ko‘p xonali songa ko‘paytirish ko‘p xonali sonni bir xonali songa ko‘paytirish va ko‘p xonali sonlarni qo‘shishga keltiriladi. Misol: 4638=46(30+8)=4630+468
4. O‘nli sanoq sistemasida ko‘p xonali sonlarni bo‘lish.
Sonlarni bo‘lish texnikasi haqida so‘z borar ekan, bu jarayonni qoldiqli bo‘lish amali kabi qaraladi. Ta’rifni eslaylik: butun nomanfiy a sonni в natural songa qoldiqli bo‘lish deb а= вq+r va 0Bir xonali va ikki xonali (89 dan katta bo‘lmagan) sonlarni bir xonali songa bo‘lganda bir xonali sonlarni ko‘paytirish jadvalidan foydalaniladi.
Masalan, 54 ni 9ga bo‘lish kerak bo‘lsin.9-ustunda (9- satrda ) 54 sonini topamiz. U 6- satrda joylashgan. Demak 54:9=6
Endi 51 ni 9 ga bo‘lamiz. 9- ustunda 51 soni yuk. Shuning uchun bu ustunda 51 dan kichik eng yaqin 45 sonini olamiz.45 soni 5- satrda bo‘lgani uchun to‘liqsiz bo‘linma 5 ga teng . Qoldiqni topish uchun 51 dan 45 ni ayiramiz: 51-45=6. Shunday qilib, 51=95+6 yoki maktab simvolikasi bilan yozsak:51:9=5(kol.6)
Endi ko‘p xonali sonni bir xonali songa bo‘lish qanday amalga oshirilishini aniqlaymiz. 238 ni 4 ga bo‘lish kerak bo‘lsin.Bu degani shunday to‘liqsiz bo‘linma q va r qoldiqni topish kerakki , ular uchun 238=4 q+r, 0r<4 bo‘lsin.
Shuni aytish kerakki, 238 va 4 sonlarining to‘liqsiz bo‘linmasi q ga bo‘lgan talabini quyidagicha yozish mumkin: 4q<238<4 (q+1)
Avval q sonining yozuvda nechta raqam bo‘lishini aniqlaymiz.
Q bir xonali son bo‘lmaydi, chunki 4 sonining bir xonali songa ko‘paytmasi plyus qoldiq 238 ga teng emas. Agar q soni 2 xonali bo‘lsa ya’ni agar 10 Bo‘linmaning 10lar raqamini topish uchun 4 ni ketma-ket 20ga, 30ga, 40ga va hokazoga ko‘paytiramiz. 4·50=200, 4·60=240 va 200<238<240 bo‘lgani uchun to‘liqsiz bo‘linma 50 va 60 sonlari orasida bo‘ladi, ya’ni q=50+ q0 u holda 238 soni haqida bunday deyish mumkin: 4(50+q0) 238<4(50+q0+1), bundan 200+4 q0 238<200+4(q0+1) va berilgan tengsizlikni qanoatlantiruvchi q0 sonini ( bo‘linmaning birlar raqamini) ko‘paytirish jadvalidan foydalanib topish mumkin. q0=9 hosil bo‘ladi va demak, to‘liqsiz bo‘linma q=50+9=59. Qoldik ayirish bilan topiladi: 238-4·59=2
Shunday qilib, 238 ni 4ga bo‘lganda to‘liqsiz bo‘linma 59 va 2 qoldiq hosil bo‘ladi. 238=4·59+2 Bo‘lishning ifodalangan bu jarayoni burchak qilib bo‘lish asosida yotadi.
238 4
20 59
38
36
2
Ko‘p xonali sonni ko‘p xonali songa bo‘lish ham xudda shunday bajaraladi. Masalan, 5658 ni 46ga bo‘laylik. Bu bo‘lishni bajarish shunday butun nomanfiy q va r sonlarni topish demakki, uning uchun 5658=46q+r,0 r<46 bajarilsin. Bundan 46q 5658<46(q+1). q bo‘linmadagi raqamlar sonini aniqlaymiz. Shubhasiz, q bo‘linma 100 va 1000 sonlari orasida yotadi(u uch xonali) chunki 4600<5658<46000.
Bo‘linmaning yuzlar raqamini topish uchun bo‘linuvchi 46ni ketma-ket 100ga, 200ga 300ga va hokazo ko‘paytiramiz. 46·100=4600, 46·200=9200 va 4600<5658<9200 , bo‘lgani uchun to‘liqsiz bo‘linma 100 va 200 sonlari orasida yotadi, ya’ni q=100+q1 , bu erda q1-ikki xonali son. U holda quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 46(100+q1) 5658<46(100+q1+1) +avslarni ochib va 4600 sonini ayirib, ushbu tengsizlikka kelamiz: 46q1 1058<46(q1+1) q1 soni ikki xonali. Shuning uchun bo‘linmadagi o‘nlar raqamini topish uchun bo‘linuvchi 46 ni ketma-ket 10ga, 20ga, 30ga va hokazo ko‘paytirimiz. 46·20=920, 46·30=1380 va 920<1058<1380 ,bo‘lgani uchun 201<30 va q1 sonini q1=20+q0 ko‘rinishda yozish mumkin. U holda 1058 soni haqida quyidagilarni aytish mumkin. 46(20+q0) 1058<46(20+q0+1), ya’ni 4620+46q0 1058<4620+46(q0+1), 46q0 138<46(q0+1)
Oxirgi tengsizlikni qanoatlantiruvchi q0 sonini 46 ni ketma-ket birga, 2ga, 3ga, 4ga, 5ga… ko‘paytirib, tanlab topamiz. 46·3=138 ni ya’ni qoldiq nolga teng bo‘lgan holni topamiz. Demak, 5658:46=123.
Bu mulohazalar burchak qilib bo‘lish asosida yotadi…
5658 46
46 123
105
92
138
138
0
Ko‘p xonali sonlarni bo‘lish haqida to‘la tasavvurga ega bo‘lish uchun bo‘linmada nollar paydo bo‘lgan holni qaraymiz. Masalan 7549 ni 37 ga bo‘lamiz, ya’ni shunday q va r sonlarni topamizki, ular uchun 7549=37·q+r, 0r1 ,bunda q-ikki xonali son va 37·(200+q1) 7549<37·(200+q1+1).
Shakl almashtirishlardan keyin 37q1149<37(q1+1) tengsizlikka kelamiz. Q1 soni ikki xonali bo‘lgani uchun uning yozuvidagi o‘nlar raqami 37ni 10ga, 20ga, 30 ga va hokazo ko‘paytirish bilan topiladi. Biroq bizning holda bu sonlarning birortasi ham tengsizlikni qanoatlantirmas ekan. Demak, q1 sonidagi o‘nlar raqami 0 ga teng ekan, ya’ni q1=0+q1 to‘liqsiz bo‘linma.
Butun nomanfiy a sonni в natural songa bo‘lishning turli usullarining umumlashmasi quyidagi burchak qilib bo‘lish algoritmi hisoblanadi:
I.Agar a=в bo‘lsa, bo‘linma q=1, qoldiq r=0 bo‘ladi.
II.Agar a>в bo‘lib, a va в sonlardagi xonalar soni bir xil bo‘lsa, в ni ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ga ko‘paytirib bo‘linma tanlab olinadi, chunki a<10в
III.Agar a>в bo‘lib, a sondagi xonalar soni в sondagi xonalar sonidan katta bo‘lsa, a bo‘linuvchini yozib, uning o‘ng tomoniga в bo‘luvchini yozamiz va oralariga burchak belgisini qo‘yib, bo‘linma hamda qoldiqni ushbu ketma-ketlikda qidiramiz:
1. в sonda nechta xona bo‘lsa, a sonida shuncha xonalarni yoki, agar zarur bo‘lsa, bitta ortik xonani shunday ajratamizki, ular в dan katta yoki o‘nga teng d1 sonni hosil qilsin. в ni ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ga ko‘paytirib, d1 va в sonlarning q1 bo‘linmasini tanlab topamiz. q1 ni burchak ostiga yozamiz.
2. d ni q1 ga ko‘paytirib, ko‘paytmani a sonining ostiga shunday yozamizki, vq1 sonning quyi xonasi ajratilgan d1 sonning quyi xonasi ostiga yozilsin.
3. в1 ning ostiga chiziqcha chizamiz va ayirmani topamiz.
r1=d1-вq1
4. r1 ayirmani вq1 sonning ostiga yozamiz, r1 ning o‘ng tomoniga a bo‘luvchining foydalanilmagan xonalaridan yuqori xonasini yozamiz va chiqqan d2 sonni в bilan taqqoslaymiz.
5. Agar chiqqan d2 son в dan katta yoki unga teng bo‘lsa, u holda d2 nisbatan I va II punktlardagidek ish tutamiz.q2 bo‘linmani q1 dan keyin yozamiz.
6.Agar chiqqan d2 son в dan kichik bo‘lsa, birinchi chiqqan d3 son в dan katta yoki o‘nga teng bo‘lishi uchun keyingi xonalardan qancha zarur bo‘lsa yana shuncha yozamiz. Bu holda q1 dan keyin shuncha nol yozamiz. Keyin d3 ga nisbatan I va II punktlardagidek ish tutamiz q2 bo‘linma nollardan keyin yoziladi. Agar a sonning kichik xonalaridan foydalanganda d3< в bo‘lsa, d3 va в sonlarning bo‘linmasi nolga teng bo‘ladi va bu nolni bo‘linmaning oxirgi xonasiga yozamiz, qoldiq r=d3 bo‘ladi.
Bo‘lish ko‘pgina matematik masalalar bilan jumladan, ko‘p xonali sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish masalasi bilan bogliq bo‘lgani uchun u boshlangich sinflarda asta-sekin o‘rganiladi. O‘quvchilar avval jadvalli bo‘lishni va nol bilan tugaydigan sonlarni bo‘lishni o‘rganadilar, so‘ngra ikki xonali sonni bir xonali va ikki xonali songa bo‘lishni (yigindini songa bo‘lish qoidasiga va ko‘paytirish jadvaliga tayanib), keyinroq qoldiqli bo‘lishni va nihoyat ko‘p xonali sonni bir xonali, ikki xonali songa bo‘lishni o‘rganadilar.
37000> 30>1380>9200>46>240>100>4>4>
|
| |