atural son va nol tushunchasining nazariy to‘plam ma’nosi

|
atural son va nol tushunchasining nazariy to‘plam ma’nosi
|
bet | 43/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрatural son va nol tushunchasining nazariy to‘plam ma’nosi
Natural son tushunchasining vujudga kelish tarixi va uni turlicha usullarda talqin qilinishi to‘g’risida oldingi mavzularda to‘xtaldik. Bu mavzuga natural sonning nazariy to‘plam nuqtai nazarida talqini bilan tanishib o‘tamiz. Masalan, beshta buyumdan iborat guruhning sanog’i haqida “qo‘lda qancha barmoq bo‘lsa, shuncha, yigirma buyumdan iborat to‘plamning sanogi haqida odamda qancha barmoq bo‘lsa o‘shancha” deb atashgan. Bizga ma’lumki, natural sonlar deb buyumlarni sanashda qo‘llaniladigan sonlarga aytiladi. Sanash jarayoni nimani ifodalaydi? Masalan: biz to‘plam elementlarini sanashni qanday olib borishimiz kerak? Bu to‘plamning har bir elementini ko‘rsatib, biz “birinchi”, “ikkinchi”, “uchinchi”, “to‘rtinchi” deymiz va shu bilan sanash jarayoni tugaydi, chunki A to‘plamning hamma elementlari foydalanildi. Sanab borib biz qator qoidalarga amal qilamiz. A to‘plamning ixtiyoriy elementi sanashda birinchi ko‘rsatilishi mumkin, biroq birorta ham element tushirib qoldirilmasligi va ikki marta sanalmasligi kerak.
A to‘plam elementlarining sanab biz A to‘plamda to‘rtta element bor deymiz, ya’ni bu to‘plamning miqdoriy xarakteristikasiga ega bo‘lamiz. Biroq buni hosil qilish uchun tartibiy natural sonlar “birinchi”, “ikkinchi”, “uchinchi”, “to‘rtinchi” dan foydalandik. Boshqacha aytganda, biz natural qator kesmasi deb ataluvchi {1,2,3,4} to‘plamdan foydalandik.
Ta’rif: Natural qatorning Na kesmasi deb, a natural sondan katta bo‘lmagan natural sonlar to‘plamiga aytiladi. Masalan: N4 kesma 1,2,3,4 natural sonlar to‘plamining o‘zidir.
Ta’rifdan kelib chiqadiki, natural qatorning Na kesmasi x1 da 1 ni o‘z ichiga oladi.
Natural qator kesmasining kiritilgan ta’rifi to‘plam elementlari sanog’i tushunchasini aniqlashtirish imkonini beradi. Biroq avval shuni eslatib o‘tamizki to‘plam elementlarini sanash jarayonida bu to‘plamning har bir elementiga N4 kesmadan yagona son qo‘yilgan edi, ya’ni A to‘plam bilan natural qatorning N4 kesmasi orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan edi.
Ta’rif: A to‘plam elementlarini sanash deb, A to‘plam bilan natural qatorning Na kesmasi orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatishga aytiladi.
а soni deb A to‘plamdagi elementlar soniga aytiladi va n(A) kabi yoziladi. Bu a soni yagona va u miqdoriy natural sondir.
Shunday qilib, qayta sanashda chekli A to‘plam elementlari nafaqat ma’lum tartibda joylashtiriladi, balki, shuningdek A to‘plam nechta elementni o‘z ichiga olishi aniqlanadi. (Bunda “bir”, “ikki”, “uch”, va hokazo sonlar bilan ifodalanuvchi miqdoriy natural sonlardan foydalaniladi.)
Sanoqning tahlili shuni ko‘rsatadiki, sanash uchun avvaldan etarli sonlar zapasiga ega bo‘lish zarur, bunda, sonlar bir qator xossalarga ega bo‘lishi kerak: ma’lum tartibda joylashishi, birinchi son mavjud bo‘lishi kerak va hokazo.
Boshlang’ich matematika o‘qitishda ham tartibiy va miqdoriy sonlarning uzviy bog’lanishi o‘z ifodasini topgan. Sonlarning bunday tomonlari bilan o‘quvchilar birinchi o‘nlikdagi sonlarni o‘rganishdayoq tanishadilar. Bu turli-tuman elementlarni sanashda yuz beradi.
“Mazkur to‘plam nechta elementga ega?” degan savolga javob miqdoriy natural son bilan ifodalanadi; tartibiy son esa sanoqda u yoki bu predmet qaysi o‘rinni egallashini ko‘rsatadi va “Sanoqda berilgan predmet nechanchi o‘rinda bo‘ldi?” degan savolga javob beradi?
2.Miqdoriy son ma’nosini to‘plamlarning teng quvvatliligi tushunchasidan foydalanib, nazariy to‘plam nuqtai nazaridan boshqacha talqin qilish mumkin.
Biror bir chekli A to‘plamni olamiz va unga teng quvvatli barcha to‘plamlarni bir sinfga kiritamiz. Masalan, agar A uchburchakning uchlari to‘plami bo‘lsa u holda u bilan birga bir sinfga quyidagi to‘plamlar kiradi: uchburchak tomonlari to‘plami, “til” so‘zidan harflar to‘plami va hokazo.
A ga teng quvvatli bo‘lmagan biror bir chekli В to‘plamni olib В to‘plamga teng quvvatli bo‘lgan barcha to‘plamlarni ajratamiz. Natijada chekli to‘plamlarning yangi sinfini hosil qilamiz. Agar bu jarayon davom ettirilsa, u holda teng quvvatlilik munosabati ekvivalentlik munosabati ekanidan hamma chekli to‘plamlar ekvivalentlik sinflari bo‘yicha bo‘lingan bo‘lib qoladi. Bunda bir sinfning ixtiyoriy ikkita to‘plami teng quvvatli bo‘lmaydi, turli sinflarga tegishli ikkita to‘plam teng quvvatli bo‘lmaydi.
Ayni bir sinfning barcha to‘plamlarida qanday umumiylik bor? Ular bir xil quvvatga ega. Ekvivalentlilikning bitta sinfidagi barcha to‘plamlar uchun bu umumiy xossadir va u natural son hisoblanadi. Masalan: to‘rtburchakning uchlari to‘plamiga teng quvvatli to‘plamlar uchun umumiy xossa “uch” natural sonidir, to‘g’ri to‘rtburchakning tomonlari to‘plamiga teng quvvatli to‘plamlar uchun umumiy xossa “to‘rt” natural sonidir.
Shunday qilib, nazariy to‘plam nuqtai nazaridan miqdoriy natural songa chekli teng quvvatli to‘plamlar sinfining umumiy xossasidir.
Har bir sinfga birgina va faqat birgina natural son mos keladi, har bir natural songa teng quvvatli chekli to‘plamlarning birgina va faqat birgina sinfi mos keladi.
Ma’lumki, ekvivalentlikning har bir sinfi unga tegishli ixtiyoriy elementini bu sinfning vakilini berish bilan bir qiymati aniqlanadi. Demak, teng quvvatli to‘plamning har bir sinfini uning vakilini ko‘rsatish bilan berish mumkin. Masalan , to‘rtburchakning uchlari to‘plamini teng quvvatli bo‘lgan va “to‘rt” natural sonni aniqlovchi to‘plamlar sinfini В= {a, b,c,d} to‘plamni ko‘rsatish bilan berishi mumkin. Demak В to‘plam “to‘rt” natural sonni aniqlaydi.
Umuman har bir chekli A to‘plamga bitta va faqat bitta natural son a=n(A) mos keladi, biroq har bir a natural songa bir ekivivalentlik sinfining teng quvvatli turli to‘plamlari mos keladi.
Shuning uchun “besh” soniga beshburchak tomonlari to‘plami ham uning uchlari to‘plami ham, “kitob” so‘zidagi harflar to‘plami ham mos keladi.
Nol soni ham nazariy to‘plam talqiniga ega va u bo‘sh to‘plamga mos qo‘yiladi: 0=n()
Boshlang’ich matematika kursida miqdoriy natural son teng quvvatli chekli to‘plamlar sinfining umumiy xossasi sifatida qaraladi. Shuning uchun o‘quvchilar “bir” sonini o‘rganayotganda darslikning betida bitta buyumning tasviri keltiriladi: bitta chelak, bitta qiz va hokazo. “Uch” sonini o‘rganayotganda darslikning betida uchta elementga ega turli to‘plamlar tasviri keltiriladi: uchta kub, uchta tosh, uchta tayoqcha va hokazo.
|
| |