Zərrəcik sonsuz hündür divarlı potensial çuxurda

Zərrəcik sonsuz hündür divarlı potensial çuxurda
Şredinger tənliyini bir ölçülü sonsuz hündür divarlı potensial çuxurda yerləşən zərrəciyə tətbiq edək. Belə çuxur un potensial enerjisi ( sadəlik üçün qəbul edəcəyik ki, zərrəcik x oxu istiqamətində hərəkət edir) U(x) funksiyası ilə təsvir oluna bilər:
(4)
Burada l - çuxurun eni, U(x) - enerjisi çuxurun dibindən hesablanır (Şəkil 1).
Bir ölçülü stasionar hal üçün Şredinger tənliyi aşağıdakı şəkildə yazıla bilər:
Məsələnin şərtinə görə zərrəcik çuxurdan kənara çıxa bilmədiyindən, onu çuxurdan kənarda olma ehtimalı (ona görə də dalğa funksiyası da) sıfra bərabər olacaq, yəni x < l və x > l oblastında ψ(x) = 0 olar. Kəsilməzlik şərtinə görə dalğa funksiyası ψ(x) çuxurun sərhədlərində də sıfra bərabər olacaq, ψ (0) = 0, ψ (l) =0. Çuxur
daxilində stasionar hal üçün Şredinger
tənliyi aşağıdakı şəkildə yazıla bilər
Şəkil 1
və ya
burada
(5)
Bu tənliyin həllini ψ(x) ) şəklində axtaraq. Sərhəd şərtlərinə əsasən ψ 0 Asin = 0, buradan alırıq. Digər şərtə əsasən = Asinkl = 0, buradan (n=1,2,3,……) və
(6)
alınır. (5) və (6) ifadələrindən zərrəciyin enerjisi üçün
(7)
ifadəsini alırıq.
Deməli, eni l olan potensial çuxurdakı m kütləli zərrəciyin enerjisi yalnız müəjjən diskret qiymətlər ala bilər, başqa sözlə enerji kvantlanır. Enerjinin kvantlanmış En qiymətləri enerji səviyyələri, n ədədi isə zərrəciyin enerji səviyyəsini təyin etdiyindən baş kvant ədədi adlanır. Bu halda, zərrəciyin ən kiçik enerji halı n = 1, əsas hal adlanır = . Enerjinin hər bir qiymətinə, zərrəciyin halını təyin edən dalğa funksiyası uyğun gəlir.
Naməlum A sabitini normallıq şərtindən tapmaq olar:
Nəticədə
alırıq. -nın qiymətini nəzərə alsaq zərrəciyin dalğa funksiyası
(8)
şəklində alınır.
Şəkil 2-də (7) enerji səviyyələrinə uyğun (8) məxsusi funksiyalarının (n=1,2,3 halları üçün) və divardan müxtəlif uzaqlıqda zərrəciyin müşahidə oluna bilmə ehtimal sıxlığının qrafikləri təsvir edilmişdir.
Göründüyü kimi, məsələn, zərrəcik n=2 halında olduqda, onun koordinatına malik nöqtədə olması ehtimalı sıfıra yaxındır, halında zərrəciyin hərəkəti daha çox diskret xarakter alır. Bu halda zərrəciyin çuxurun
Şəkil 2
nöqtələrində tapılma ehtimalı sıfıra bərabər olur. Hərəkət zamanı zərrəcik bu vəziyyətləri sıçrayaraq qət etməlidir. Deməli, zərrəciyin hərəkətini xarakterizə etmək üçün traektoriya anlayışı yaramır. Onun hərəkəti klassik fizika qanunları ilə yox, kvant mexanikası qanunları ilə təsvir olunur.
Qeyd etmək lazımdır ki, əsas halda olan zərrəciyin minimal enerjisi sıfırdan fərqlidir. Bu nəticə qeyri-müəyyənlik münasibətilə uzlaşır. İki qonşu enerji səviyyələri arasındakı interval
(9)
ifadəsi ilə təyin olunur. (9) ifadəsindən görünür ki, enerji səviyyələri arasındakı interval zərrəciyin kütləsindən və çəpərin enindən asılıdır.
Məsələn, ölçüsü l=10-1m olan çuxurdakı elektron (metaldakı sərbəst elektronlar) üçün alınır, yəni enerji səviyyələri o qədər yaxın yerləşirlər ki, spektri kəsilməz hesab etmək olar. Əgər çuxurun ölçüləri atomun ölçüləri tərtibində olarsa, l=10-10m, onda elektron üçün , yəni enerjinin qiymətləri disktretdir (xətti spektr).
Beləliklə, aldıq ki, sonsuz hündür divarlı potensial çuxurda olan zərrəciyə Şredinger tənliyinin tətbiqi enerjinin qiymətlərinin kvantlanmasına gətirdiyi halda, klassik mexanika bu zərrəciyin enerjisinin qiymətlərinə heç bir şərt qoymur.
|