где 
𝑡
зуб.
- температуру зубьев, 
0
С. 
Рис.1. Расчетная схема

37
𝑑𝑄 = 𝑄
𝑥
− 𝑄
𝑥+𝑑𝑥
=
−𝑆
зуб
𝜆
𝑑𝜖
сж
𝑑𝑥
− [
−𝑆
зуб
𝜆
𝑑
𝑑𝑥
(𝜖
сж
+
𝑑𝜖
сж
𝑑𝑥
𝑑𝑥)
] =
𝑆
зуб
𝜆
𝑑
2
𝜖
сж
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
,
(3)
где
𝑑𝑄
– количество тепла, отводимого от элемента
𝑑𝑥
в окружающую среду, Вт;
𝑄
𝑥
–
количество тепла, поступающего на элемент
𝑑𝑥
, Вт;
𝑄
𝑥+𝑑𝑥
– количество
тепла, выходящего из противоположной стороны элемента
𝑑𝑥
, Вт;
𝜆
–
теплопроводность зуба долота,
Вт
м·℃
.
По закону Ньютона-Рихмана
𝑑𝑄 = 𝛼𝑄
зуб
П
зуб
𝑑𝑥
.
(4)
Приравняв правые части уравнений (3) и (4)
𝑆
зуб
𝜆
𝑑
2
𝜖
сж
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝛼𝑄
зуб
П
зуб
𝑑𝑥
,
получаем дифференциальное уравнение изменения температуры зуба:
𝑑
2
∈
сж
𝑑𝑥
2
=
𝛼П
зуб
𝜆𝑆
зуб
∈
сж
= 𝜍
2
∈
сж
,
(5)
где
𝜍
– условное обозначение,
𝜍 = √
𝛼П
зуб
𝜆𝑆
зуб
.
Полученное дифференциальное уравнение (5) показывает, что при условии
𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
и
𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
для рассматриваемого интервала температуры
𝜍 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
.
Аналогичным образом получаем дифференциальные
уравнения для
изменения температуры матрицы и лапы долота:
𝑑
2
∈
мат
𝑑𝑥
2
= 𝜙
2
∈
мат
;
𝑑
2
∈
л
𝑑𝑥
2
= 𝜚
2
∈
л
,
(6)
где
𝜙
– условное обозначение,
𝜙 = √
𝛼П
мат
𝜆𝑆
мат
;
𝜚
– условное обозначение,
𝜚 = √
𝛼П
л
𝜆𝑆
л
;
∈
мат
и
∈
л
– прирост температуры, соответственно, для матрицы и лапы долота,
0
С;
П
мат
и
П
л
– периметр матрицы и лапы долота соответственно, м;
𝑆
мат
и
𝑆
л
– площадь поперечного сечения матрицы и лапы долота
соответственно, м
2
;
𝜆
– теплопроводность матрицы и лапы долота
соответственно,
Вт
м∙
0
С
.
Выразим тепловой поток, проходящий через зуб:
𝑄 = −𝜆𝑆
зуб
𝑑
𝑑𝑥
[𝜖(𝑥)]
𝑥=0
.
(7)
Подставив в уравнение (7) значение градиента температуры
𝑑
𝑑𝑥
[𝜖(𝑥)]
𝑥=0
и
проведя соответствующие преобразования, получим:
𝑄 = 𝜆𝑆
зуб
{𝜍𝜖
зуб
−
𝜆
мат
𝜆
[𝜙𝜖
тор
− 2
𝜙𝜖
тор
𝑒
𝜙ℎ
+
𝑒
𝜙(ℎ−ℎзуб)+
…
+𝜚
𝜆л𝑆л
𝜆мат𝑆мат
𝜖
мк
𝑒
−𝜙(ℎ−ℎзуб)
]}
. (8)
Решая (8) относительно
𝜖
зуб
,
получим выражение для тепла,
способствующего приросту температуры зуба
𝑄
зуб
=
𝑄−𝑆
зуб
𝜆
мат
𝜖
тор
[2
𝜙𝑒
𝜙ℎ+𝜚𝜉
𝜆л𝑆л
𝜆мат𝑆мат
𝑒
𝜙(ℎ−ℎзуб)+𝑒−𝜙(ℎ−ℎзуб)
−𝜙]
𝜆𝑆
зуб
𝜍
.
(9)
Учитывая теплообмен потока сжатого воздуха с нагретой поверхностью
долота и его трения о стенки каналов, запишем температуру сжатого воздуха на
забое скважины
𝑡
в.з.
в следующей форме:
38
𝑡
в.з.
=
𝑄
2𝐺𝑐
𝑐ж.в.
+ 𝜑
𝜇𝜗
2
2𝑔𝑐
𝑐ж.в.
+ 𝑡
𝑐ж.в.
0
,
(10)
где
𝐺 −
массовый расход сжатого воздуха, кг/с;
𝜇 −
коэффициент
восстановления температуры, учитывает степень превращения кинетической
энергии в тепловую, при очистке воздуха продувкой принимают турбулентный
поток,
𝜇 = 0,89
;
𝜑
– тепловой эквивалент работы.
Соответственно, температуру нагрева зуба
при воздействии теплового
потока, можно определить по формуле:
𝑡
зуб
= 𝑡
в.з.
+
𝑄
п
{
1−
𝑆зуб
𝑆мат
2𝜚𝜉
𝜆л𝑆л
𝜆мат𝑆мат
+2𝜙𝑒𝜙ℎ−𝜙[𝑒
𝜙(ℎ−ℎзуб)+𝑒
−𝜙(ℎ−ℎзуб)
]
2𝜚𝜉
𝜆л𝑆л
𝜆мат𝑆мат
+𝜙[𝑒𝜙ℎ−𝜙[𝑒
𝜙(ℎ−ℎзуб)−𝑒
−𝜙(ℎ−ℎзуб)
]
}
𝜆𝑆
зуб
𝜍𝜏
.
(11)
Из анализа вышеприведенной математической модели нагрева долота
следует, что путем непосредственного охлаждения очистного воздуха в
призабойной зоне имеется возможность нормализации температурного фактора,
и как следствие, повышение эффективности бурения.
Температура сжатого воздуха на выходе из компрессора составляет
50÷60℃, кроме того, поступающий по бурильным трубам в буровой снаряд,
включающий вихревую трубу, воздух нагревается за
счет теплового потока,
направляющегося в устье скважины. Подача нагретого воздуха в вихревой
охладитель на забое снижает эффективность температурного разделения потоков
воздуха, поэтому предлагается охладить продувочный воздух на поверхности до
отрицательных температур, и применить теплоизолированные
трубы для
предотвращения теплообмена подаваемого воздуха в
скважину с
поднимающемся потоком в кольцевом зазоре скважины и породы. Для этого
разработана усовершенствованная конструкция бурового инструмента,
представленная на рис. 2.
1 – компрессор;
2 – влагоотделитель;
3 – вихревой охлади-
тель; 4 – теплоизо-
лированный гибкий
шланг; 5 – вертлюг;
6 – теплоизолированная
буровая труба;
7 – вихревой охладитель;
8 – долото;
9 – герметизатор;
10 – шламоуловитель