O‘lchovi 
2 2

 bo`lgan o`yin

O‘lchovi
2 2
bo`lgan o`yin
. Bu o`yin chekli o`yinning sodda holidir. Agar
bu o`yin egar nuqtaga ega bo`lsa, u holda optimal yechim, bu nuqtaga mos bo`lgan
strategiyalar, sof juft strategiyalardir.
Neyman teoremasini qanoatlantiradigan, egar nuqtasi mavjud bo`lmagan,
o`yinning optimal yechimi mavjud va u, aralash strategiyalar jufti
1
2
,
P
p p
,
1
2
,
Q
q q
bilan aniqlanadi.
A
o`yinchining yutishi (
B
o`yinchining yutqazishi) – tasodifiy miqdor
bo`lib, matematik kutilishi o`yinning narxi bo`ladi. Shuning uchun
A
o`yinchi
optimal strategiyani qo`llaganda, uning o`rtacha yutug`i
: birinchi o`yinchiga
ham, ikkinchi o`yinchiga ham tegishli bo`ladi.
Masalan, to`lov matrisasi bilan berilgan bo`lsin:
11
12
21
22
a
a
A
a
a
Agar
B
o`yinchi,
1
B
sof strategiyada (to`lov matrisaning birinchi ustuni)
bo`lib,
A
o`yinchi esa
1
2
,
P
p p
optimal aralash strategiyani qo`llaganda, uning
o`rtacha yutug`i
ga teng, ya`ni
11
1
21
2
a p
a p
.
Shu kabi, qarshi tomon
2
B
strategiyani qo`llasa,
A
o`yinchining o`rtacha
yutug`i
12
1
22
2
a p
a p
ga teng bo`ladi.
1
2
1
p
p
ni hisobga olsak, quyidagi
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
11
1
21
2
12
1
22
2
1
2
1
a p
a p
a p
a p
p
p
(5.5)
(20.3.1) sistemani yechib,
P
optimal strategiyani va o`yin narxi
ni aniqlash
mumkin.
B
o`yinchining optimal strategiyasini aniqlash uchun, yuqoridagi kabi
tenglamalar sistemasi tuziladi:
11 1
12
2
21 1
22
2
1
2
1
a q
a q
a q
a q
q
q
(5.6)
Agar
A
o`yinchi
1
2
,
,...,
m
P
p p
p
aralash strategiyani,
B
o`yinchi esa
1
2
,
,...,
n
Q
q q
q
aralash strategiyani qo`llasa,
A
va
B
o`yinchilarning o`rtacha
yutug`i (matematik kutilishi) quyidagicha aniqlanadi
1
1
m
n
ij
i
j
i
j
a p q
.
Optimal strategiyani qo`llash o`yin narxiga teng bo`lgan yutuqga, ega
bo`lishga imkon beradi:
.
58
To‘lov matrisasini soddalashtirish.
Agar to`lov matrisasining o`lchami
qancha katta bo`lib, egar nuqtasi bo`lmasa, u holda masalaning aralash optimal
strategilarini aniqlash shuncha qiyinlashadi. Shuning uchun o`lchami katta to`lov
matrisasini,
qulay
bo`lmagan
strategiyalarni
tashlab
yuborish
orqali
soddalashtiriladi.
Agar
A
o`yinchining,
ij
m n
a
matrisali o`yindagi
i
A
strategiyasiga mos
i
–
satri elementlari, boshqa satrning mos elementlaridan katta bo`lmasa (kichik yoki
teng), u holda
i
A
ning
i
– strategiyasi
qulay bo`lmagan
strategiya
deyiladi va bu
satr to`lov matrisasidan chiqarib tashlanadi.
Agar
B
o`yinchining,
ij
m n
a
matrisali o`yinning biror
j
B
strategiyasiga mos
j
– ustun elementlari, boshqa ustunning mos elementlaridan kichik bo`lmasa (katta
yoki teng), u holda
j
B
ning
j
– strategiyasi
qulay bo`lmagan strategiya
deyiladi va
bu ustun to`lov matrisasidan chiqarib tashlanadi..
Misol. Ushbu to`lov matrisasini soddalashtiring:
B
1
B
2
B
3
V
4
V
5
α
i
A
1
8
6
4
5
1
1
A
2
5
4
3
2
3
2
A
3
6
7
6
3
5
3
A
4
3
3
2
1
2
1
β
j
8
7
6
5
5
;
3
}
1
;
3
;
2
;
1
max{
.
5
}
5
,
5
,
6
,
7
,
8
min{
α = 3 ≠ β = 5. Demak, to`lov matrisasi egar nuqtaga ega emas.
Ikkinchi va uchinchi satr elementlarini mos ravishda taqqoslaganimizda,
ikkinchi satr elementlarining barchasi mos ravishda, uchinchi satrning mos
elementlaridan kichik. Demak,
A
o`yinchining ikkinchi strategiyasi qulay
bo`lmagan strategiya bo`lib, uni tashlab yuborsak bo`ladi. Shu kabi,
A
3
va
A
4
ni
taqqoslab,
A
4
ni tashlab yuborib, quyidagi o`yin matrisasini hosil qilamiz:
B
1
B
2
B
3
V
4
V
5
A
1
8
6
4
5
1
A
3
6
7
6
3
5
E`tibor bersak,
V
o`yinchining 1, 2, 3 strategiyalari 5 – strategiyaga nisbatan
qulay bo`lmagan strategiyalardir, chunki
V
o`yinchi,
A
o`yinchining yutuqlarini
minimallashtiradi. Bu strategiyalarni tashlab yuborsak 2×2 o`lchamli matrisa hosil
qilamiz, bunda qulay bo`lmagan strategiyalar mavjud emas.
V
4
V
5
A
1
5
1
A
3
3
5
To`lov matrisasidagi strategiyalarni belgilab chiqamiz:
59
V
1
V
2
α
i
A
1
5
1
1
A
2
3
5
3
β
j
5
5
α
= 3,
β
= 5.
Agar soddalashtirilgan matrisada
α=β
bo`lsa, u holda soddalashtirilgan
matrisadagi
α = β = v
narx, berilgan matrisaga ham tegishlidir. Agar
α < β
bo`lsa,
soddalashtirilgan matrisa analiz qilinadi va olingan natija, berilgan matrisaga ham
tegishli bo`ladi.
Misol.
To`lov matrisasining egar nuqtasini toping
4
7
2
7
3
2
2
1
8
Yechish
. To`lov matrisaning egar nuqtasi mavjudligini tekshiramiz. I –
o`yinchi maksimal yutuq olish uchun, o`z strategiyalarini tanlaydi, II – o`yinchi
esa, I – o`yinchi yutuqlarini minimallashtirish uchun, o`z strategilarni tanlaydi.
O`yinchilar
B
1
B
2
B
3
A
1
4
7
2
A
2
7
3
2
A
3
2
1
8
A
o„yinchining,
A
1
maksimal sof strategiyasiga mos bo„lgan, kafolatlangan
yutuqni, ya`ni o„yinning
max 2, 2, 1 =2
i
quyi
narxini
aniqlaymiz.
O„yinning yuqori narxi esa
min 7, 7, 8
7
j
dan iborat. Bundan
ekanligidan, o„yinning egar nuqtasi mavjud emasligi va o„yin narxi
2
7
oraliqda o„zgarishi kelib chiqadi. O„yin yechimini aralash
strategiyalarda topamiz.
Buning sababi, o„yinchilar o„zlarining sof strategiyalarini qarshi tomondan sir
tutishidadir.
2. To„lov matrisani soddalashtiramiz. Matrisaning qulay bo„lmagan satri va
ustuni mavjud emas.
3. Aralash strategiyalarda o„yinning yechimini topamiz.
Tenglamalar sistemasini yozamiz.
I – o„yinchi uchun II – o„yinchi uchun
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4p
7p
2p
7p
3p
p
2p
2p
8p
p
p
p
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4q
7q
2q
7q
3q
2q
2q
q
8q
q
q
q
1
Bu sistemani Gauss usuli bilan yechib, quyidagilarni topamiz:
60
29
1
68
p
/
(1 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
4
2
17
p
/
(2 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
23
3
68
p
/
(3 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
I -
o`yinchining optimal aralash strategiyasi:
29
4
23
68
17
68
P
/ ; / ; /
6
1
17
q
/
(1 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
9
2
34
q
/
(2 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
13
3
34
q
/
(3 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
II -
o„yinchining optimal aralash strategiyasi:
6
9
13
17
34
34
Q
/ ; / ; /
.
O„yinning narxi:
1
34
4 /
.
Grafik usul.
2x2
o„lchamli o„yinning geometrik yechimini, tekislikda
yaqqol tasvirlash mumkin. Bunday o„lchamdagi o„yinlarni grafik usulda yechish
mumkin.
2x2
o„lchamli o„yinni grafik usulda yechish, umumiy holda, quyidagilardan
iborat.
1. Birinchi (ikkinchi) o„yinchining mos strategiyalari uchun, to„g„ri chiziqlar
quriladi.
2. Kesishish nuqtasining koordinatalari aniqlanadi, ya`ni bunda birinchi
(ikkinchi) o„yinchining optimal strategiyalari va o„yin narxi aniqlanadi.
3. Boshqa o„yinchining optimal strategiyasi, uning faol strategiyalaridan
tashkil topgan tenglamalar sistemasini yechish orqali aniqlanadi.
|