► İstənilən rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətindən ibarət rasional kəsr şəklində olur. Mühakimənin ümumiliyini azaltmadan, bu çoxhədlərinin ortaq vuruqlarının olmadığını fərz edə bilərik

► İstənilən rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətindən ibarət rasional kəsr şəklində olur. Mühakimənin ümumiliyini azaltmadan, bu çoxhədlərinin ortaq vuruqlarının olmadığını fərz edə bilərik.
Surətinin dərəcəsi məxrəcinin dərəcəsindən kiçik olan kəsrlər düzgün, əks halda isə düzgün olmayan kəsrlər adlanır.
Düzgün olmayan kəsrin surətini məxrəcinə bölərək (çoxhədlilərin bölünməsi qaydasına əsasən) onu müəyyən bir çoxhədli ilə düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:
,
burada – çoxhədli, isə düzgün kəsrdir.
Tərif. Aşağıdakı şəkildə olan düzgün kəsrlərə uyğun olaraq I, II, III və IV növ sadə kəsr deyilir:
I.
II. (k müsbət tam ədəddir və k≥2),
III. (məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, yəni ),
IV. (k müsbət tam ədəddir və k≥2,məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir).
I, II və III növ sadə kəsrlərin inteqrallanması çətin olmadığından onları izah etmədən verə bilərik:
I.
II.
III.
(bax §5).
IV.
Burada birinci inteqral əvəzləməsi tətbiq edilməklə hesablanır. Doğrudan da
İkinci inteqralı ilə işarə edək və aşağıdakı kimi çevirək:
burada
qəbul edilmişdir (şərtə əsasən məxrəcin kökləri kompleks ədədlərdir, deməli, ). Sonra isə hesablamanı belə aparırıq:
(1)
Axırıncı inteqralı aşağıdakı kimi çevirək:
Alınmış inteqralı hissə-hissə inteqrallayaraq:
Bu ifadəni (1) bərabərliyində yerinə yazaq:
Sağ tərəfdə də şəklində inteqralı var, lakin inteqralaltı funksiyanın məxrəcinin dərəcəsi bir vahid kiçikdir, yəni k-1-dir. Beləliklə, inteqralını inteqralı ilə ifadə etdik.
Bu qayda ilə davam etməklə, məlum inteqrala gəlib çıxarıq:
t və m-in yerinə onların ifadələrini yazsaq IV inteqralının x və verilmiş A, B, p, q ədədləri vasitəsi ilə ifadəsini alarıq.
2. Rasional kəsrin sadə kəsrlərə ayırması.
Tutaq ki, düzgün rasional kəsri verilmişdir. Fərz edək ki, surət və məxrəcdəki çoxhədlilərin əmsalları həqiqi ədədlərdir və kəsr ixtisar olunmayandır (yəni surət və məxrəcin ortaq kökləri yoxdur).
Teorem__1'>Teorem 1. Tutaq ki, məxrəcin k dəfə təkrarlanan köküdür, yəni . Onda verilmiş düzgün kəsrini aşağıdakı kimi digər iki düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:
burada A sıfra bərabər olmayan sabit, isə dərəcəsi məxrəcinin dərəcəsindən kiçik olan çoxhədlidir.
Teorem 2. Tutaq ki, və burada çoxhədlisi ifadəsinə bölünmür. Onda düzgün kəsrini aşağıdakı kimi digər iki düzgün kəsrin cəmi şəklində göstərmək olar:
burada çoxhədlisinin dərəcəsi çoxhədlisinin dərəcəsindən kiçikdir.
İndi isə düzgün kəsrinə 1 və 2 teoremlərini tətbiq edərək məxrəcinin bütün köklərinə uyğun sadə kəsrləri ardıcıl olaraq ayıraq. Beləliklə, aşağıdakı nəticəni alarıq.
Əgər
olarsa, onda düzgün rasional kəsrini aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Buradakı əmsallarını belə bir mülahizəyə görə təyin etmək olar: yazılmış bərabərlik eynilikdir, ona görə də sağ tərəfdəki kəsrləri ümumi məxrəcə gətirdikdən sonra sağ və sol tərəflərin surətlərində eyni çoxhədlilər alarıq. x-lərin eyni dərəcələrinin qarşısındakı əmsallarını bərabərləşdirərək məchul əmsallarını tapmaq üçün tənliklər sistemini alarıq. Əmsalların tapılmasının bu üsülu naməlum əmsallar üsulu adlanır.
Beləliklə, göstərdik ki, istənilən düzgün rasional kəsr sadə rasional kəsrlərin cəmi şəklində göstərilə bilər.
3. Sadə irrasionallıqların inteqrallanması.
|