Inersiya markazi S-sistema

Inersiya markazi S-sistema
Istalgan zarralar sistemasida inersiya markazi yoki masalalar markazi deb ataluvchi ajoyib S nuqta mavjud bo’ladi. Bunday nuqta bir necha muhim
xossalarga ega bo’ladi. Berilgan sanoq sistemasi boshi O nuqtaga nisbatan
c
massalar markazi holati r→ radius-vektor bilan aniqlanadi:
m
r→ 1 N
m r→
(1)
i i
i1
Bu yerda
mi , ri
-mos ravishda i -nchi zarra massasi va radius-vektor, m -barcha
sistema massasi.
Shuni qayd qilish kerakki, sistema inersiya markazi uning og’irlik markaziga mos keladi. Inersiya markazining berilgan sistemadagi tezligi (1)ning vaqt buycha
differensiali hisoblanadi:
→ 1
→ 1 →
→
P
(2)
m
Vc miVi
i
Pi
m →i m
Agar inersiya markazi tezligi nolga teng bo’lsa,
P 0
bo’ladi, sistema yaxlit holda
tinch turadi. (2) dan → →
P mVc (3)
ya’ni sistema impulsi sistema massasining inersiya markazi tezligi ko’paytmasiga teng ekanligini topamiz. (1) va (2) lardan inersiya markazi tezligi va tezlanish xossalarini aniqlash mumkin.
v
→
c
v
v
→ →
1 2
2
m1
Rasmda ko’rsatilgandek, i -nchi zarra harakati tufayli inersiya markazining olgan
tezlik va tezlanishi mos ravishda
mi → mi →
ga teng bo’ladi. Demak, inersiya
m Vi , m Wi
markazining tezlik va tezlanishlari yo’nalishlariga i -nchi zarra tezlik va tezlanishi
yo’nalishlariga parallel, miqdor jihatdan Inersiya markazi tushunchasi
mi marta kichik bo’ladi.
m
Nyuton tenglamasiga boshqacha ko’rinishni beradi. Agar massani doimiyligini
hisobga olsak,
→
→
m dVc F
→ dt
(5)
Tenglamasini olamiz. Bu yerda F - sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar yig’indisi. Bu tenglamaga asosan istalgan zarralar sistemasi harakatida uning
→
inersiya markazi go’yo sistemasining barcha massasi shu nuqtaga to’plangandek va barcha tashqi kuchlar shu nuqtaga ta’sir etgandek harakat qiladi.
Agar (5)da
F 0
bo’lsa,
→
dVc 0
dt
bo’ladi, demak
→ const
bo’ladi. Agar
Vc
Vc
→ const
bo’lsa, (3)ga asosan sistema impulsi o’zgarmas, ya’ni
P const
bo’ladi.
→
Demak, sistema inersiya markazi tug’ri chiziqli tekis harakat qilsa, harakat davomida bu sistemaning impulsi saqlanuvchan bo’ladi. Agar bizni sistemaning yaxlit holda harakat qilishi qiziqtirmasdan, sistema ichidagi zarraning nisbiy harakati qiziqtirsa, inersiya markazi tinch turadigan sanoq sistemadan foydalanish qulay bo’ladi. Berilgan sistema inersiya markazi bilan mahkam bog’langan va inersial sistemalarga nisbatan ilgarilanma harakat qiluvchi sanoq sistemasi inersiya markazi sistemasi yoki S-sistema deyiladi. Demak, bu sistemada hamma vaqt sistema to’liq impulsi nolga teng bo’ladi, yoki boshqacha qilib aytganda, istalgan sistema o’zining S-sistemasida tinch turgan bo’ladi.
Yopiq sistema uchun S-sistemasi inersial, yopiq bo’lgan sistema uchun umumiy holda noinersial sistema hisoblanadi.
Inersial va S-sistemalarda sistema mexanik energiyasi qiymatlarining o’zaro bog’lanishini aniqlaymiz. Dastlab kinetik energiyani topaylik, S -inersial sistemada
i -inchi zarra tezligi
→ ~→ →
Bo’ladi. Bu yerda
Vi Vi Vc
Vi
~→ , S-sistemadagi tezlik,
→ - S-sistemaning S -sistemaga
Vc
→
nisbatan tezligi. U holda kinetik energiya
i
i
T
m V 2
m ~
→ 2
→
V
miVi
2 →
~→ 2
i
V
V
m V
miVc
2 2 i c 2 c i i 2
S-sistemada
→
miVc 0
bo’lgani uchun
→ 2 2
T
~
T ~ mVc
2
~ 2
T p
2m
(6)
Bu yerda
T miVc
2
, S-sistemadagi yig’indi kinetik energiya, P -zarralar
sistemasining S sistemaga nisbatan impulsi.
Shunday qilib, zarralar sistemasi kinetik energiyasi uning S-sistemadagi kinetik energiyasi va sistemaning yaxlit holda harakat bilan bog’liq bo’lgan kinetik energiyasi yig’indisidan iborat bo’ladi.
Agar zarralar sistemasining faqat S-sistemasidagi kinetik energiyasini
T
0
Vc
qarasak, → bo’lgani uchun T ~ bo’lgani, ya’ni sistema kinetik energiyasi
minimal bo’ladi. Endi sistemaning to’liq energiyasini topamiz. Agar sistema xususiy potensial energiyasi faqat uning konfigurasiyasigagina bog’liqligini, ya’ni U ning barcha sanoq sistemalarda bir xil ekanligini hisobga olsak, (6) ga asosan yoza olamiz:
~
2
E E p
E
T
2m
(7)
Bu yerda
~ ~ U
sistemaning ichki mexanik energiyasi deyiladi.
Agar zarralar sistemasi yopiq va unda to’liq mexanik energiyaning o’zgarishi bilan bog’liq prosesslar sodir bo’layotgan bo’lsa, (7) dan ko’ramizki:
Е
Е ~
Ya’ni ixtiyoriy sanoq sistemasiga nisbatan mexanik energiyasining o’zgarishi ichki mexanik energiyasining o’zgarishiga teng bo’ladi. Berilgan holda zarralar
sistemasining yahlit holda harakati→ bilan bog’liq bo’lgan kinetik energiyasi
o’zgarmaydi chunki yopiq sistemada P const bo’ladi.
Endi sistema 2 ta zarradan tashkil topgan holni qaraylik.
Ularning massalari m , m S -sistemadagi tezliklari → → bo’lsin. Bu zarralar
1 2 V1 ,V2
→
impuls iva yig’indi kinetik energiyasini S-sistemada topaylik. S-sistemada birinchi zarra impulsi
~ ~→
m v→ v→
(8)
c
P1 m1v1
1 1 c
Bu yerda yozamiz:
v→ S-sistemaning S sistemadagi tezligi, (2) dan foydalanib (8) ni
→
~ →
1 m v→
m1 m m v→
2
m1m2 ( v→
v→
) ( v→
v→ )
(9)
P1 m1 v1 m 1 1
2 2 m
1 1 2 2
m 1 2 1 2
Bu yerda
m1m2
m
m1m2 m1 m2
sistemaning keltirilgan massasi deyiladi. Xudi shu yul
bilan ikkinchi zarra uchun impulsni topamiz:
~→ (v→ v→ ) ~→
(10)
P2 2 1 P1
~
Shunday qilib, S-sistemada ikala zarraning impulslari modul jihatidan o’zaro teng, yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lar ekan. Har bir zarra impulsi molul jihatdan
P vнисб
bo’ladi, v v→ v→ zarraning nisbiy tezligi.
нисб 1 2
S-sistemada yig’indi kinetik energiya
~ 2 ~ 2 ~ 2
~ 2
T T1 T2 2m 2m
2 m m 2
yoki
1 2 1 2
~ v 2
(11)
нисб
2
Agar zarralar o’zaro ta’sirda bo’lsa, S-sistemada to’liq mexanik energiya sistemaning ichki energiyasiga teng bo’ladi.
Nazorat savollari
Harakat tenglamalarini integrallash haqida ayting.
Potentsial to’ziq nima?
Inersiya markazi S-sistemada deganda nimani tushunasiz ?
Inersial va S-sistemalarda sistema mexanik energiyasi nimaga teng.
ma’ruza: KULON MAYDONIDAGI HARAKAT, TRAYEKTORIYALARNI SINFLARGA AJRATISH.
REJA:
Bog’lanishlar xususida.
Konservativ va nokonservativ sistemalar. Mexanik o’xshashlik usuli.
Kulon maydoni.
Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi.
Kepler qonunlari.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: bog’lanishlar, konservativ va nokonservativ sistemalar. mexanik o’xshashlik usuli, Kulon maydoni, Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi, Kepler qonunlari.
Markaziy kuch maydonida harakatni tekshirganimizda zarraning bu maydondagi potensial energiyasi r masofaga teskari proporsional bo’lgan holda
muhim ahamiyatga egadir. Bunday kuchlarga Nyutoncha butun olam tortilish kuchi, Kulon qonuni bo’yicha o’zaro ta’sirlashuvchi zaryadlangan zarralar o’rtasidagi kuch misol bo’la oladi. Birinchi kuch tortishuviga oid bo’lsa, ikkinchi kuch zarralar zaryad ishorasiga bog’liq holda yoki tortishuv, yoki itarishuvga mos keladi. Potensial energiyani
U (r)
r 2
Ko’rinishda yozsak, 0 bo’lsa, tortishuvni, 0
(1)
bo’lsa itarishuvni ifodalaydi.
Dastlab biz 0 holini ko’raylik. U holda «effektiv potensial energiya
eff
r 2 2mr 2
Ko’rinishida yoziladi, uning grafigi rasmdagi ko’rinishda bo’ladi. Bu energiya
r 0
da
ka intiladi,
r
da esa manfiy qiymatlar tomonidan nolga
yaqinlashadi. Masofaning
r0 qiyma-tida
U eff
minimal qiymatga ega bo’ladi.
Bu qiymat
U eff 0
shartidan topiladi:
M 2
r
0
0
0
2 mr 3
0,
M 2
r 0
0 m
(3)
(3) ni (2) ga qo’yamiz
m 2 m 2
m 2
0
(4)
0
0
M
U eff
min
2 2M 2 2
M
Endi (2) grafigida zarra energiyasi E ning mumkin bo’lgan qiymatlarini gorizontal
chiziqlar bilan ko’rsatamiz. E 0
E (U eff )min
qiymatida zarra infinitli harakat qilsa, da finitli harakat qiladi.
|