Masalalar yYechish - Ызбекистон республикаси олий ва ырта махсус таълим вазирлиги

|
Ызбекистон республикаси олий ва ырта махсус таълим вазирлиги
|
bet | 41/54 | Sana | 09.01.2024 | Hajmi | 9,27 Mb. | | #133327 |
Bog'liq portal.guldu.uz-FUNKSIONAL ANALIZ3.Masalalar yYechish.
1-masala . f(x) funktsiya E to’plamda (ER1) o’lchovli.
expf(x)ef(x) funktsiya ham E to’plamda o’lchovli bo’ladimi?
Yechish. Agar a 0 son bo’lsa, u xolda E{ef(x)>a} to’plam E to’plam bilan ustma-ust tushadi. Bu xolda f(x) funktsiya E da o’lchovlidir.
Agar a0 bo’lsa, u xolda
E{ef(x)>a}E{f(x)>lna}
bo’lib, E{f(x)>lna} o’lchovli to’plam bo’lganidan, ta’rifga asosan f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi. Bu xolda ham ef(x) funktsiya E da o’lchovli. Demak ef(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
2-masala. [0,1] kesmada o’lchovli bo’lgan F(x) funktsiya faqat bitta nuqtada uzluksiz bo’lishi mumkinmi?
Yechish. Faraz qilaylik f(x)xD(x) bo’lib, bunda D(x) Dirixle funktsiyasidan iborat bo’lsin, ya’ni x[0,1] da
1, x-ratsional nuqtada
D(x)
0, x-irratsional nuqtada
U xolda f(x) funktsiya (0,1] yarimintervalning xar bir nuqtasida uzilishga ega, chunki x ratsional nuqta bulsa, f(x)x0; x irratsional nuqta bo’lsa, f(x)0. Endi xn0, (n) ixtiyoriy {xn}(0,1] ketma-ketlikni olaylik. U xolda xn0 da f(xn)f(0)0 bo’ladi, chunki f(xn)xnD(xn) edi. Demak, f(x) funktsiya Geyne ta’rifiga asosan x0 nuqtada uzluksizdir.
Shunday qilib faqat bitta nol nuqtada f(x) funktsiya uzluksiz. Endi f(x)qx×D(x) funktsiyaning o’lchovli ekanligini ko’rsatish kifoya.
f1(x)x funktsiya uzluksiz funktsiya bo’lganidan o’lchovlidir. Dirixle funktsiyasi D(x) esa chegaralangan funktsiya, ya’ni o’lchovli funktsiya. Demak, 3.2.teoremaga asosan f(x)qx×D(x) funktsiya o’lchovlidir. Shunday qilib E da o’lchovli bo’lgan funktsiya faqat bitta nuqta uzluksiz bo’lishi mumkin, qolgan barcha nuqtalarda uzilishga ega bo’ladi.
3-masala. Faraz qilaylik f(x) funktsiya [0,1] kesmada o’lchovli bo’lsin. U xolda ixtiyoriy ochiq G to’plam uchun (G[0,1]) uning asli f-1(G) o’lchovli to’plam ekanligini isbotlang.
Yechish. G to’plamni o’zaro kesishmaydigan sanoqli intervallarning birlashmasi ko’rinishda ta’svirlaymiz, ya’ni
ij
Endi (k,k) intervalni
(k,k)(-,k)(k,)
ko’rinishda qaraymiz. Berilgan f(x) funktsiya [0,1] da o’lchovli bo’lganida
to’plamlar o’lchovlidir. U xolda
bo’lganidan 2.2.teoremaga asosan sanoqli bo’lgan
to’plamlarning xar biri o’lchovli to’plamlardan iboratdir.Endi
tenglikni e’tiborga olib 2.6.teoremaga asosan f-1(G) to’plamning o’lchovli ekanligini tasdiqlaymiz.
4-masala. Agar {fn(x)} va {gn(x)} funktsiyalar ketma-ketliklar mos ravishda f(x) va g(x) funktsiyalarga E to’plamda o’lchov bo’yicha yaqinlashsa, u xolda ularning yigindisi {fn(x)gn(x)} ham E to’plamda f(x)g(x) funktsiyalar yigindisiga o’lchov bo’yicha yaqinlashishini isbotlang.
Yechish. {fn(x)} va {gn(x)} ketma-ketliklarning o’lchovi bo’yicha f(x)va g(x) yaqinlashishdan quyidagilar kelib chikadi. Xar qanday 0 uchun n da
Endi
(*)
ekanligini ko’rsatamiz.
Xaqiqatan, agar xA, u xolda
va
Bu esa xA uchun
tengsizliklarning bajarilishini ko’rsatadi. Bu oxirgi tengsizliklardan
kelib chiqadi.
Demak,
Shunday kilib (*) munosabat isbotlandi va bunday uchun n da
munosabat kelib chiqadi. Shu bilan masala to’la echildi.
5-masala.Har qanday
ketma-ketlik uchun yaqinlashish turlarini ko’rsating.
Yechish. Agar x0 bo’lsa, u xolda nN uchun f(x)0 va x0 nuqtada n da fn(x)0. Agar 00 da xn0. Shuning uchun n da fn(x)0. Agar x1 bo’lsa, u xolda nN uchun , ya’ni x1 nuqtada n da fn(x) .
Faraz kilaylik 0x<1 bulganda f0(x)0 va x1 bulganda bo’lsin. U xolda yuqoridagi muxokamalarga asosan n da fn(x)f0(x) kelib chiqadi. Ketma-ketlikning nuqtaviy yaqinlashishidan hamma joyda deyarli yaqinlashishi va o’lchov bo’yicha yaqinlashishi (3.4.teorema) kelib chiqqanligi uchun berilgan ketma-ketlik f0(x) funktsiyaga yaqinlashadi va hamma joyda deyarli yaqinlashadi hamda o’lchov bo’yicha yaqinlashadi. Lekin bu ketma-ketlik f0(x) funktsiyaga tekis yaqinlashmaydi, chunki aks holda f0(x) funktsiya uzluksiz funktsiyadan iborat bo’lishi kerak edi.
Amaliy mashg’ulot uchun kerakli adabiyotlar:
1. Ochan Yu.S. Sbornik zadach po matimaticheskomu analizu, Mos.1981 , 85-87, 679-700.
2. Sarimsoqov T.A. Xaqiqiy o’zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi. Toshkent 1982 y, 5 bob., 144-160 betlar.
III. Mustaqil topshiriqlar.
1- topshiriq.
Agar f(x) funktsiya E to’plam o’lchovli bo’lsa u holda (E) to’plam o’lchovli bo’lishi yoki bo’lmasligini aniqlang.
2- topshiriq
Quydagi masalalarni eching:
Agar f(x) o’lchovli funktsiya bo’lsa, u xolda lnf(x) o’lchovli funktsiya bo’ladimi?
Agar f(x) funktsiya kesmada o’lchovli bo’lsa va
bo’lsa, u xolda arcsinf(x) funktsiya o’lchovli buladimi?
Agar E to’plamda f(x) funktsiya o’lchovli bo’lsa, u xolda f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli buladimi?
[0,1] kesmada o’lchovli bo’lib, faqat bitta nuqtada uzilishga ega bo’lgan, hech qanday uzluksiz funktsiyaga ekvivalent bo’lmagan funktsiya bo’lishi mumkinmi?
Agar f(x) funktsiya xar qanday [](a,b) kesmada o’lchovli bo’lsa, u xolda f(x) funktsiya [a,b] kesmada ham o’lchovli bo’lishini isbotlang.
Faraz qilaylik {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi f(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va ixtiyoriy n natural son uchun fn(x)a, x[0,1] bo’lsin. U xolda [0,1] kesmaning deyarli hamma joyida
f(x)a
tengsizlikning bajarilishini isbotlang.
7*. Agar f(x) funktsiya [a,b] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega bo’lsa, u xolda [a,b] kesmada bu xosila o’lchovli funktsiyadan iboratligi isbotlansin.
IV. Mavzu bo’yicha yakuniy mashg’ulot.
1. Funktsiyalar nazariyasida o’lchovli funktsiyalar tushunchasi uzluksiz funktsiyalar, jamlanuvchi funktsiyalar kabi tushunchasining umumlashmasi bo’lib xizmat qiladi.
2. O’lchovli to’plamda berilgan ixtiyoriy chegaralangan funktsiyaning qiymatlar to’plami o’lchovli bo’lsa, u holda bunday funktsiya o’lchovli funktsiya deyiladi. Ixtiyoriy ikkita o’lchovli funktsiyaning yigindisi, ayirmasi, ko’paytmasi, bo’linmasi yana o’lchovli funktsiyadan iborat.
3. O’lchovli funktsiyalar ketma-ketligiga doir bo’lgan oddiy (uzluksiz, jamlanuvchi) funktsiyalar tegishli bo’lgan teoremalarning umumlashmasi bo’lib xisoblanadi.
Nazorat savollar:
1. O’lchovli funktsiya deb nimaga aytiladi ?
2. O’lchovli funktsiyalar qanday xossalarga ega?
3. Ekivivalent funktsiyalar deb nimaga aytiladi?
4. Deyarli uzluksiz funktsiyani tushuntiring.
5. Uzluksiz fuktsiyani tushintiring.
6. Uzluksiz funktsiya o’lchovli bo’ladimi ?
7. O’lchovli funktsiyalarning xammasi uzluksizmi?
8. Deyarli yaqinlashishni tushintiring?
9. Deyarli chetli funktsiyani tushuntiring va misol keltiring.
10. O’lchov bo’yicha yaqinlashishni izoxlang.
11. O’lchovli funktsiyalar ketma – ketligi haqidagi Lebeg teoremasini izoxlang.
12. Riss teoremasi nimadan iborat?
13. Egorov teoremasini izoxlang.
14. Luzin teoremasini mohiyatini izoxlang.
15. O’lchov bo’yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqadimi?
16. Lebeg teoremasiga teskari teorema o’rinlimi?
17. Deyali yaqinlashish o’lchov bo’yicha yaqinlashishdan qaysi ma’noda kelib chiqadi?
18. Riss teoremasi matematik analizdagi qaysi teoremaga o’xshaydi?
19. O’lchovli funktsiyalar ustida bajariladigan hamma amallar uzluksiz funktsiya uchun xam o’rinlimi? Aksinchachi?
Tavsiya etilgan adabiyotlar:
1. Sarimsoqov T.A. Xaqiqiy o’zgaruvchili funktsiyalar nazariyasi T. 1994 y.
2. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elemeto’ teorii funktsiy i funktsiyanalnogo
analiza, Mos. 1980 g.
3. Ochan.Yu.S. Sbornik zadacha po matematicheskomu analizu, Mos. 1981 g.
1>1>
|
| |