Ratsional kasrlar - Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti matematika va informatika ta

Ratsional kasrlar.Ushbu mavzuda haqiqiy yoki kompleks sonlar maydoni ustida berilgan ratsional kasrlar haqida gap boradi. Biror maydon ustida berilgan f (x) va
g(x), g(x) ≠ 0 ko‘phadlarning 𝑓(𝑥) nisbatiga ratsional kasrli funksiya yoki qisqacha
𝑔(𝑥)
ratsional kasr deyiladi.
Ta’rif. Agar 𝑓1(𝑥)
va 𝑓2(𝑥)
ratsional kasrlar uchun 𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔 (𝑥)=𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔
(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
1 2 2 1
tenglik o‘rinli bo‘lsa, bu ratsional kasrlar teng deyiladi. Masalan, 1 va
𝑥−1
𝑥+1
𝑥2−1
ratsional kasrlar tengdir.
Ratsional kasrlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:
1. 𝑓1(𝑥)
𝑔1(𝑥)
+ 𝑓2(𝑥)
𝑔2(𝑥)
= 𝑓1(𝑥)∙𝑔2(𝑥)+𝑓2(𝑥)∙𝑔1(𝑥);
𝑔1(𝑥)∙𝑔2(𝑥)
1 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) = 𝑥 − 1 + 𝑥2 + 1 .
Bu tenglikni ikkala tomonini (𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) ko’phadga ko’paytirsak,1=A(𝑥2 +
1) +( 𝐵𝑥 + 𝐶)( 𝑥 − 1) tenglik hosil bo’ladi.Bu yerdan A=1,B=− 1 va
2 2
C=− 1 ekanligini topishimiz mumkin.
2
Ratsional va irratsional tenglama va tengsizliklar haqida umumiy tushuncha.
Dastavval tenglama tushunchasi bilan yaqindan tanishadigan bo’lsak,f(x)=g(x) ko’rinishidagi tenglik bir noma’lumli tenglama deyiladi,(bu yerda f(x) va g(x) lar x noma’lumli funksiyalardir).Agar tenglamada x ning o’rniga shunday x=a qiymat qo’yilganda f(a)=g(a) tenglik hosil bo’lsa,x=a qiymat f(x)=g(x) tenglamaning ildizi deyiladi.
Tenglamani yechish deganda –uning barcha ildizlarini topish yoki uning ildizi mavjud emasligini isbotlash tushuniladi.Agar tenglamaning ildizlari 𝑎1, 𝑎2, , 𝑎𝑛
sonlar bo’lsa,ular {𝑎1, 𝑎2, , 𝑎𝑛} to’plam ko’rinishida ,yoki
𝑥1=𝑎1, 𝑥2=𝑎2, … , 𝑥𝑛=𝑎𝑛 kabi yoziladi.Tenglamaning barcha ildizlari to’plami tenglamaning yechimi deyiladi.Tenglamaning ildizi mavjud bo’lmagan holda “Tenglamaning ildizi yo’q’’ yoki “Tenglamaning yechimi- bo’sh to’plam’’ iborasi ishlatiladi.
misol.(x+3)(2x-1)(x-2)=0 tenglamani yeching.
Bu tenglamaning o‘ng tarafi nolga teng, chap tarafi esa 3 ta ifodaning ko‘paytmasidan iborat.Ko‘paytuvchilaridan hech bo‘lmaganda bittasi nolga teng bo‘lgandagina ko‘paytma nolga teng bo‘lganligi uchun, har bir ko‘paytuvchi ifodani nolga tenglashtirib olamiz:x+3=0, 2x-1=0, x-2=0 .Hosil bo‘lgan ushbu tenglamalardan tenglamaning ildizlari
1misol. Ildizlari 0, -1 va 2 ga teng bo‘lgan tenglama tuzing.
Turli ko‘rinishdagi tenglamalar javob tariqasida berilishi mumkin. Eng soda tenglama x(x+1)(x-√2)=0 ko‘rinishida bo‘lishini eslatib o‘tamiz.
Bu sonlar yana quyidagi tenglamaning ham ildizi boʻla oladi:
(𝑥2 + 𝑥3)(𝑥 − √2)(𝑥2 + 3) = 0
Ta‘rif: Agar f(x)=g(x) tenglamaning barcha ildizlari 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥)tenglamaning ildizlari bo‘lsa, va aksincha, 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) tenglamaning barcha ildizlari f(x)=g(x) tenglamaning ildizlari bo‘lsa, ya‘ni ularning yechimlari ustma-ust tushsa, bunday tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi.
misol. 3x-6=0 va 2x-1=3 tenglamalarni teng kuchliligini tekshiring.
3x-6=0 va 2x-1=3 tenglamalar teng kuchli, chunki har birining ildizi x = 2 ga teng. Yechimi bo‘sh to‘plam bo‘lgan har qanday ikkita tenglama ham teng kuchli bo‘ladi Teng kuchli tenglamalar quyidagicha belgilanadi: 3x-6=0↔2x-1=3 Tenglama quyidagi holatlarda o‘ziga teng kuchli bo‘lgan teglamaga o‘tadi:
Tenglamaning biror-bir hadi tenglikning bir qismidan ikkinchi qismiga qarama- qarshi ishora bilan o‘tkazilganda.
Masalan, f(x)=g(x)+t(x) ↔f(x)-g(x)=t(x)
Tenglamaning ikkala tarafini noldan farqli songa ko‘paytirilganda yoki bo‘lganda.
Teng kuchli tenglamalar haqidagi tasdiqlar.
f (x) = g(x) va f (x) - g(x) = 0 tenglamalar teng kuchli.
f (x)=g(x) va f (x)+a= g(x)+a tenglamalar ixtiyoriy a haqiqiy son uchun teng kuchli.
f (x)=g(x) va a f (x)=a g(x) tenglamalar ixtiyoriy noldan farqli a haqiqiy son uchun teng kuchli.
Aytaylik 𝜑(𝑥) funksiya f (x)=g(x) tenglamaning aniqlanish sohasida aniqlangan bo’lsin. U holda f (x)=g(x) va f (x)+ 𝜑(𝑥) = g(x)+ 𝜑(𝑥) tenglamalar teng kuchli.
Aytaylik y=f(x) va y=g(x) funksiyalar A to’plamda nomanfiy bo’lsin. U holda A to’plamda f (x)=g(x) va fn (x)=gn(x) tenglamalar teng kuchli.
Aytaylik 𝜑(𝑥) funksiya f (x)=g(x) tenglamaning aniqlanish sohasida aniqlangan va hech bir nuqtada nol qiymat qabul qilmasin. U holda f (x)=g(x) va f (x)∙ 𝜑(𝑥) = g(x)∙ 𝜑(𝑥) tenglamalar teng kuchli.
|