Funksiyaning limiti va uzluksizligi

|
Funksiyaning limiti va uzluksizligi
|
bet | 7/9 | Sana | 23.01.2024 | Hajmi | 3 Mb. | | #143972 |
Funksiyaning limiti va uzluksizligi
Eng avval limit tushunchasi haqida to‘xtalamiz:agar biror ning istalgan atrofida G ga tegishli ( dan boshqa) aqalli bir nuqta bo‘lsa shu nuqta G uchun limit nuqta bo‘ladi. Umuman nuqta G ga tegishli bo‘lmasligi ham mumkin.
Tekislikdagi biror G sohada aniqlangan bir qiymatli funksiya berilgan bo‘lib, nuqta G ning limit nuqtasi bo‘lsin. Biz mana shu funksiyaning o‘zgaruvchi (qo‘zg‘almas) nuqtaga intilgandagi limiti bilan tanishamiz.
Ta’rif. Agar tayin A kompleks son va istalgancha kichik musbat son uchun shunday sonni toppish mumkin bo‘lsaki, sonni toppish mumkin bo‘lsaki, tengsizlikni qanoatlantiradigan xamma lar uchun tengsizlik bajarilsa, A son funksiyaning o‘zgaruvchi nuqtaga intilgandagi limiti atalib quyidagicha yoziladi:
Ya’ni: har qanday kichik son uchun shunday musbat sonni topish mumkin bo‘lsaki, nuqtaning -atrofi ichidan olingan G ga tegishli ( dan farqli ) barcha nuqtalarga mos bo‘lgan G1 ga tegishli nuqtalar A nuqtaning atrofi ichida joylashgan bo‘lsa, A son ning o‘zgaruvchi ga intilgandagi limiti deyiladi (27-chizma) .
va bo‘lsin. U holda (7) komleks munosabatning quyidagi ikki haqiqiy munosabatlarga ekvivalent ekanligini ko‘rish qiyin emas:
Bu izohdan haqiqiy argumentli funksiyalarning limitlari ustidagi eng soda amallarni hech o‘zgarishsiz kompleks argumentli funksiyalarning limitlariga ham ko‘chirish mumkinligi kelib chiqadi. Masalan, va funksiyalar G sohada aniqlangan bo‘lib,
,
bo‘lsin. U vaqtda:
, ,
.
yoki , yoki bu sonlarning ikkalasi ham cheksiz katta sonlar bo‘lsa, bu hol ham xuddi yuqoridagidek ta’riflanadi. Masalan,
(A-chekli son) tenglik shu narsani bildiradiki, musbat son qanday kichik bo‘lmasin, uning uchun yetarlicha katta shunday musbat M son tanlash mumkinki,
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha G ga tegshli qiymatlari uchun funksiya tengsizlikni qanoatlantiradi, bo‘lgan hol ham shunga o‘xshash ta’riflanadi.
Yuqorida aytganimizdek, funksiya G sohada aniqlangan bir qiymatli funksiya bo‘lsin. Undan tashqari nuqta z ninganiqlanish sohasiga tegishli bo‘lishi kerak.
Ta’rif:Agar har qanday kichik musbat son uchun shunday musbat sonni topish mumkin bo‘lsaki tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha z lar uchun tengsizlik bajarilsa,ya’ni
(8)
bo‘lsa, u holda nuqtada uzluksiz deyiladi.
(7)bilan(8 )ni solishtirsak, funksiyaning da uzluksiz bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak ekanini ko‘ramiz. Boshqacha aytganda, funksiya bir tomondan, nuqtada chekli A limitga ega bo‘lishi va ikkinchi tomondan o‘sha limit funksiyaning nuqtadagi xususiy limitga teng bo‘lishi shart ekan.
Buni geometrik til bilan qisqaroq qilib shunday aytish mumkin. Agar atrof ichidagi z nuqtalarga mos bo‘lgan nuqtalar atrof ichida joylashgan bo‘lsa, da uzluksiz deyiladi.
Uzluksizlikni qisqaroq ta;riflash maqsadida matematik analiz kabi quyidagilarni kiritamiz:
(9)
Uholda f(z) funksiyaning uzluksizligini quyidagicha ta’riflash mumkin.
Agar har qanday kichik uchun har qanday kichik ni ko‘rsatish mumkin bo‘lsa-ki, bo‘lganda yani (10)
Bo‘lsa,f(z)funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Xaqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalaridek yuqorida keltirilgan ikkita ta’rif o‘zaro ekvivalent. Ko‘pincha ning nuqtadagi uzluksizligini aniqlash(10) uchun qo‘llaniladi.
Uzluksizlikni ta’rifidan ning qanday usul bilan 0 ga aylanishi mutlaqo ixtiyoriy ekani ko‘rinadi,ya’ni funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa z nuqta ga har qanday chiziq bo‘ylab intilib borishi mumkin. Qisqacha qilib aytganda, z nuqta ga ixtiyoriy qonun bilan yaqinlashishi mumkin.
b) Endi berilgan funksiyaning haqiqy va mavhum qismlarini ajratib so‘ng uzluksizligini tekshiramiz:Agar
desak u holda
Hamda
Mana shularga asosan (10)dan
(11)
Bundan esa
(11) tengliklar
(12)
Funksiyalarning nuqtada uzluksizligini bildiradi.
Shunday qilib kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligidan uning haqiqiy u(x,y) va v(x,y) qismlarining nuqtada uzluksizligi kelib chiqadi.
Agar berilgan funksiya G sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa u holda funksiya G sohada uzluksiz bo‘ladi.
1-misol: ixtiyoriy o‘zgarmas nuqta.
Demak, funksiya tekislikning har qanday z nuqtasida uzluksizdir.
2-misol: bo‘lsa,
Demak,bu ham tengsizlikning hamma chekli nuqtalarida uzluksizdir.
3-misol:
Agar bo‘lsao‘ng tomondagi kasr nolga intiladi,ya’ni
Demak funksiya tengsizlikning dan boshqa barcha nuqtalarida uzluksiz.
|
| |