Ekvivalent to’plamlar - Reja Kirish I bob. To’plamlar nazariyasi

|
Reja Kirish I bob. To’plamlar nazariyasi
|
bet | 3/7 | Sana | 13.01.2024 | Hajmi | 253,23 Kb. | | #136510 |
Bog'liq AsilbekEkvivalent to’plamlar
Ko`pgina masalalarda berilgan to`plamni elementlarining ba'zi bir belgilari- ga qarab o`zaro kesishmaydigan qism to`plamlarga ajratiladi. Masalan, fazoni markazi koordinata boshida va radiusi r bo`lgan har xil sferalarga ajratish mumkin. Bu sferalar o`zaro kesishmaydi. Yoki bir shahar aholisini bir yilda tug`ilganlik belgisiga ko`ra qism to`plamlarga ajratish mumkin. Bunday misol- larning har biri to`plamni o`zaro kesishmaydigan sin arga ajratish deyiladi.
To`plamlarni o`zaro kesishmaydigan sin arga ajratish belgilari har xil bo`li- shi mumkin. Ammo bu belgilar ixtiyoriy emas. Masalan, tekislikda ikki a va b nuqtalar orasidagi masofa 1 dan kichik bo`lsa, ularni bitta sinfga kiritsak, bu belgi tekislikni o`zaro kesishmaydigan sin arga ajratmaydi, chunki a va b nuqtalar orasidagi masofa 1 dan kichik, b va c nuqtalar orasidagi masofa ham 1 dan kichik bo`lib, a va c nuqtalar orasidagi masofa 1 dan katta bo`lishi mumkin. Ko`rinyaptiki, a va b nuqtalar bir sinfda, b va c ham bir sinfda. U holda bir sinfga orasidagi masofa 1 dan katta bo`lgan a va c nuqtalar tegishli bo`ladi. Hosil qilingan xulosa sin larning tashkil qilinishiga zid, ya'ni tekislik bu belgi yordamida o`zaro kesishmaydigan sin arga ajralmaydi.
Endi to`plam elementlari qanday shartlarni qanoatlantiruvchi belgilar yor- damida o`zaro kesishmaydigan sin arga ajralishini qarab chiqamiz.
Biror M to`plam va uning o`zini-o`ziga dekart ko`paytmasi M ×M berilgan bo`lsin va K ⊂ M × M qism to`pam bo`lsin. Agar (a, b) ∈ K bo`lsa, a element b element bilan ϕ munosabatda deyiladi va a ∼ϕ b shaklda belgilanadi.
2.1-ta'rif. Agar M to`plam elementlari orasidagi ϕ munosabat quyidagi
shartlarni qanoatlantirsa, unga ekvivalentlik munosabati deyiladi:
Ixtiyoriy a ∈ M element uchun a ∼ϕ b (re eksivlik);
Agar a ∼ϕ b bo`lsa, u holda b ∼ϕ a (simmetriklik);
Agar a ∼ϕ b va b ∼ϕ c bo`lsa, u holda a ∼ϕ c (tranzitivlik).
2.4-teorema. M to`plamda kiritilgan ϕ munosabat M ni o`zaro ke- sishmaydigan sin arga ajratishi uchun uning ekvivalentlik munosabati bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. Agar M da kiritilgan ϕ munosabat uni o`zaro kesish- maydigan sin arga ajratsa, a ∼ϕ b dan a va b ning bir sinfga tegishliligi kelib chiqadi. U holda a ∼ϕ a va b ∼ϕ a ekanligi kelib chiqadi. Agar a ∼ϕ b va b ∼ϕ c bo`lsa, a, b va c lar bir sinfga tegishli bo`ladi, ya'ni a ∼ϕ c . Demak, bu muno- sabat re eksiv, simmetrik va tranzitiv bo`ladi.
Yetarliligi. M to`plam elementlari orasida biror ϕ ekvivalentlik munos- abati o`rnatilgan bo`lsin. Ka orqali a element bilan ϕ munosabatda bo`lgan elementlar to`plamini belgilasak, re eksivlikka ko`ra a ∼ϕ a dan a ∈ Ka bo`ladi. Agar Ka va Kb sin arni olsak, ular yoki teng yoki Ka ∩ Kb = ∅ bo`ladi. Haqiqatan ham, c ∈ Ka ∩ Kb desak, c ∼ϕ a va c ∼ϕ b bo`ladi. Simmetriklik xossasiga ko`ra a ∼ϕ c u holda tranzitivlik xossasiga ko`ra
a ∼ϕ b. (2.6)
Endi x − Ka sinfdan olingan ixtiyoriy element bo`lsin, ya'ni x ∼ϕ a , u holda (2.6) va tranzitivlik xossasiga ko`ra x ∼ϕ b , ya'ni x ∈ Kb. Demak, Ka ⊂ Kb. Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, Kb sinfning ixtiyoriy y elementi Ka sinfga ham qarashli bo`ladi. Shunday qilib, agar ikki Ka va Kb sin ar hech bo`lmaganda bitta umumiy elementga ega bo`lsa, ular ustma-ust tushadi. ∆ To`plamni sin arga ajratish tushunchasi akslantirish tushunchasi bilan uz- viy bog`liq. Aytaylik, A to`plamni B to`plamga akslantiruvchi f akslantirish berilgan bo`lsin. A to`plamda aniqlangan f akslantirishda, B to`plamda tasvirlari ustma-ust tushuvchi elementlarni bir sinfga yig`sak, ya'ni har bir b ∈ B uchun {x ∈ A : f (x) = b} to`plamni bir sinf desak, natijada A ni sinf- larga ajratishga ega bo`lamiz. Teskarisi, A ixtiyoriy to`plam va uning biror bir sin arga ajralishini qaraylik. B orqali A to`plam ajralgan sin ar to`plamini belgilaymiz. Har bir a ∈ A elementga o`zi tegishli bo`lgan sinfni ( B to`plam elementini) mos qo`yish bilan A ni B ga akslantirishga ega bo`lamiz.
Ortogonal proyeksiyalash akslantirishi P : R2 → R, P (x, y) = x
ni qaraymiz. Bunda OX o`qidagi har bir a ∈ R nuqtaning asli P −1(a) =
{(a, y): y ∈ R} , OX o`qiga perpendikulyar bo`lgan vertikal chiziqdan iborat. Shunday ekan, P proyeksiyalash akslantirishiga tekislikni parallel to`g`ri chiziqlardan iborat sin arga ajratish mos keladi.
2.13 Uch o`lchamli R3 fazoni uning koordinatalar boshidan bir xil uzoq- likda joylashgan nuqtalarini bir sinfga yig`ish bilan sin arga ajratamiz. Har bir sinf markazi koordinatalar boshida bo`lgan r ≥ 0 radiusli sferadan iborat bo`ladi. Demak, R3 fazoni konsentrik sferalarga ajratishga bu fazoni [0, ∞) yarim o`qqa akslantiruvchi
sferik akslantirish mos keladi.
|
| |