-teorema - Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi uchun koshi masalasi mundarija kirish

2.1.1-teorema.
Doimiy koeffisientli operator quyidagi Adamar shartini:
(i=1,2,…)
Bu yerda (𝛏) (i=1,2,….m) quyidagi
xarakteristik tenglama ildizlarini qanoatlantirsin.Agar
u vaqtda quyidagi
funksiya fazoda tenglama va da vektorga mos boshlang’ich sharlarni qanoatlantiradi ushbu teoremadan quyidagi lemma kelib chiqadi.
2.1.1-lemma Agar 2.1.1-teoremaning sharti bajarilsa va bo’lsa u holda quyidagi
funksiya E fazoga tegishli bo’lib, tenglama uchun boshlang’ich shartli Koshi masalasining yechimi bo’ladi.
teoremaga asosan. bo’lsa u holda quyidagi formula
tenglamaning quyidagi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi
Yechimi bo’ladi.
Quyidagi tenglik o’rinli
2.1.10.tenglamaning quyidagi shartni qanoatlantiruvchi yechimi
Ushbu natijadan foydalanib quyidagi teoremani isbotlash mumkin.
2.1.2-teorema . Ixtiyoriy boshlang’ich shartda
(2.1.12) tenglamaning ixtiyoriy o’ng tomoni uchun (2.1.12) tenglamaning yagona yechimi mavjud:
Bu yerda (2.1.13) formula bilan aniqlanib taqsimot. Aniqrog’i t>0 da, bu taqsimot quyidagi ko’rinishga ega:
Agar n=1 bo’lsa u holda
Agar n=2 bo’lsa, u holda
Agar n=3 bo’lsa, u holda
Isbot. ni isbotlaymiz
Ushbu
tenglikdan quyidagini olamiz.
a= bo’lganda 2 o’lchovli Furye obrazining xususiy holi bo’ladi. Endi ni isbotlaymiz.
Bunda ekanligini inobatga olamiz. U vaqtda
2-qo’shiluvchi da 0 ga intiladi. 1- qo’shiluvchi esa va t>0 ga intiladi. Shu sababli
tengliklardan foydalanib, (2.1.13) yechimini t>0 da oshkor ko’rinishda ifodalash mumkin (bir jinsli tenglama uchun).
Endi formuladan ko’p o’lchov bo’lgan holda oshkor ifodasini topamiz. Bu holda taqsimot bo’ladi.
Haqiqatan n – toq son bo’lsin, . U holda
Bu ifodani aniqroq quyidagi ko’rinishda yozamiz:
Shunga o’xshash agar n- juft son bo’lsa, n=2p quyidagini hosil qila olamiz:
Bu yerda max(a,0) p1 Adamar ma’nosida chekli qism.Biz quyidagini olamiz:
2.1.1-teoremaning natijasiga asosan umumiy holda doimiy koeffisientli giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini yechimini topishda R0,…Rm-1 funksiyalarni topish yetarli R0,…Rm-2larni tenglikdan osongina topish mumkin. Ex(t) funksiya tenglama uchun Koshi masalasining fundamental(yoki elementar ) yechimi deyiladi, agar Ex(t) (t>0) funksiya to’lqin tenglamasini va quyidagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsa:
Fundamental yechimni topishda 2.1.1-teoremadan foydalandik.
2.2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi.
Quyidagi Koshi masalasini qarab chiqaylik:
sohada shunday chegaralangan funksiyani topingki, u issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini
(2.2.1)
va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:
. (2.2.2)
Ushbu masalaning trivial bo‘lmagan yechimini quyidagi ko‘paytma ko‘rinishida qidiramiz:
(2.2.3)
(2.2.3) ni (2.2.1) ga keltirib qo‘yib:
ifodani olamiz.
Bu yerda - ajratish parametri. Bundan:
, (2.2.4)
, (2.2.5)
(2.2.4) va (2.2.5) ni yechib, (2.2.1) tenglamaning quyidagi ko‘rinishdagi xususiy yechimlarini topamiz;
, (2.2.6)
Bu funksiyalar chegaralanganlik shartini qanoatlantiradi. Bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy son, shuning uchun biz “+” ishorasini olib, quyidagi funksiyani hosil qilamiz:
(2.2.7)
t=0 da boshlang’ich shartning bajarilishini talab qilamiz:
(2.2.8)
Endi Furye integralini teskari almashtirish formulasidan foydalanamiz:
(2.2.9)
(2.2.9) ni (2.2.7) ga qo‘yib va integrallash tartibini o’zgartirib quyidagi ifodani olamiz:
(2.2.10)
(2.2.10) ifodadagi ichki integral
(2.2.11)
(2.2.11) ni (2.2.10) ga qo‘yib qidirilayotgan yechimning integral ko‘rinishini olamiz:
(2.2.12)
bu yerda
. (2.2.13)
(2.2.13) formula bilan aniqlanadigan funksiyani ko‘pincha issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi ham deydilar.
Ushbu funksiya
1) issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiradi. (tekshiramiz)
2) Har qanday va t>0 o‘zgaruvchilar uchun
(2.2.12) fomulaga Puasson integrali yoki Puasson formulasi ham deyiladi.
Bir jinsli bo‘lmagan tenglama
va quyidagi nol boshlang‘ich shartni
.
qanoatlantiradigan yechim quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(2.2.14)
|