Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi. Kepler qonunlari

Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi. Kepler qonunlari.
Trayektoriya tenglamasiga U ( r)
r
ifodani qo’yib,
u r
almashtirish
o’tkazib integrallaymiz:
2
M 0 dr
M 0 dr
r
r 2
0
arccos y 0
(5)
bu yerda
M u m
0 M
y 0
y cos 0
m
M
0
2
U y
M 0 0
M 2 / m
1 e cos 0
(6)
0
M 2 / m p
Biz yechimni (6) bu ko’rinishda yozishimizdan maqsad shuki, u qutb koordinata boshi fokusida joylashgan konus kesimi tenglamasi hisoblanadi. Bu yerda
egrilik parametri, o’lchamsiz kattalik
M 2
p 0
m
(7)
e
esa uningekssentrisiteti deyiladi.
(8)
Endi mumkin bo’lgan turli xil xususiy hollarda qarab chikaylik.
Tortishuvga oid ( 0 ) finitli harakat E 0 holini ko’raylik. Zarra energiyasi
m 2
0
2M 2
E 0
intervalda joylashgan bo’ladi. Shuning uchun (8) dan
0 e 1
qiymatlarni qabul
qiladi va trayektoriya ellips hisoblanadi. (6) ifodadan r ni topamiz qabul qilamiz:
0 0
deb
r p
1 e cos
Agar 0
bo’lsa,
r rmax p /(1 e) -perigeliy,
bo’lsa,
r rmax p /(1 e) -afeliy.
Ellipsning kichik va kata yarim o’qlari
rmin rmax 2a
tengliklardan topiladi va quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
a p , b p
1 e2
(9)
(7), (8) ifodalardan foydalansak,
Bundan ko’ramizki, ellipsning katta yarim o’qi faqat energiyaga bog’liq impuls
momentiga bog’lik bo’lmaydi. Energiyaning minimal qiymatida esa e 0 va
a b , demak , impuls momentining berilgan qiymatda ellips aylanaga o’tadi, aylana radiusi mumkin bo’lgan eng kata qiymatga ega bo’ladi.
Saqlanuvchan impuls momenti
0
M mr 2
Trayektoriyaning bir-biriga cheksiz yaqin nuqtalari o’rtasida radius-vektorning hosil qilgan sektor yuzasi
ds 1 r r d 1 r 2 d
2 2
orqali aniqlanadi. Agar bog’lasak
M 0 ni dS bilan
M 2m dS
0 dt
const
(11)
tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda dS
dt
sektoria tezlik deyiladi va u saqlanuvchan bo’ladi bir xil vaqt oralig’ida radius- vektorning chizgan yuzasi bir xil bo’ladi. (Keplerning ikkinchi qonuni hisoblanadi).
Ellips yuzasi
dan
T
dS M 0 dt
2 m
Bo’lganidan
dS ab,
dt T
0
(davr)
Yoki
T 2 m ab
M 0
T 2 2 2
m
2 E 3
4 2m 3
a
(12)
Demak, zarraning ellips bo’ylab aylanish davri to’liq energiyasiga bog’liq bo’lib, impuls momentiga bog’liq bo’lmaydi hamda davrlar va kata yarim o’qlar o’rtasida
dan
T 2 a3
1 1
a
T
2 3
2 2
Munosabatga ega bo’lamiz. (Keplerning uchinchi qonuni).
Agar
E 0
bo’lsa, harakat infinitli bo’ladi,
E 0
da ekssentrisitet
e 1,
ya’ni trayektoriya kuch markazidan o’tuvchi giperboladan iborat bo’ladi, E 0 da
esa
e 1 -paraboladan iborat bo’ladi.
Endi zarra koordinatasining vaqtga bog’lanishining parametrik ko’rinishini
topamiz. Buning uchun t va r o’rtasida bog’lanishdan foydalanamiz:
t dr
(13)
Elliptik orbitalar holini qaraymiz. (13)ni a va e kattaliklar orqali ifodalaymiz:
Agar
t m r dr
2 E
ma r dr
r a ae cos
almashtirish o’tkazsak, (14) qo’yidagi ko’rinishda yoziladi:
(15)
t 1 e cos d
e sin
const
Vaqt koordinatasi boshlanishini tanlab olish yo’li bilan const ni nolga aylantirish
mumkin. Natijada rt bog’lanishning parametrik ko’rinishini topamiz.
r a1
e cos
, t
e sin
Nazorat savollari
Bog’lanishlar xususida haqida ayting.
Konservativ va nokonservativ sistemalar haqida tushuncha bering.
Mexanik o’xshashlik usuli deganda nimani tushunasiz
Kulon maydoni qanday maydon
Kulon maydonida trayektoriya tenglamasini yozing.
Kepler qonunlari haqida ayting
12 –ma’ruza: ZARRALARNING O’Z-O’ZIDAN PARCHALANISHI VA SOCHILISHI.
REJA:
Zarralarning o’z-o’zidan parchalanishi
Zarralarning sochilishi.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: energiya, impuls, saqlanish qonunlari, zarralar, parchalanish, jarayon, musbat, sanoq tizimini
Turli mexanik jarayonlarning xossalarini ko’pchilik hollarda energiya va impul’sning saqlanish qonunlari asosida tadqiq etish mumkin. Shuni alohida ta’kidlash lozimki, bu xossalar jarayonda ishtirok etuvchi zarralar orasidagi o’zaro ta’sirning konkret tabiatiga bog’liq emas.
Biz zarraning «o’z-o’zidan» ya’ni tashqi kuchlarning ta’sirisiz parchalanish jarayonini tahlil qilishdan boshlaymiz. Bunda dastlabki zarra parchalanishdan keyin bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda harakatlanuvchi ikkita boshqa zarrachaga parchalanadi.
Bu jarayonni zarracha parchalangunga qadar tinch turgan sanoq tizimiga nisbatan qarash eng soddadir. Chunki bu sanoq tizimida zarraning parchalanishi oqibatida hosil bo’lgan zarralar impul’slarining yig’indisi impul’sning saqlanish qonuniga ko’ra nolga teng. Ya’ni bu zarralar miqdoran teng va qarama-qarshi yo’nalgan impul’slarga yega bo’ladi. Bu zarralar impul’slarining absolyut qiymati energiyaning saqlanish qonuni bilan aniqlanadi.
Eich
E1ich
p 2
0 E
2m1
2ich
p 2
0
2m2
Bu yerda
m1 , m2
hosil bo’lgan zarralarning massalari
E1ich
va E2ich
ularning ichki energiyalari va
Eich - dastlabki ya’ni parchalanuvchi zarraning ichki
energiyasi va p0 hosil bo’lgan zarralarning impul’slari. Zarra parchalanishi uchun parchalanuvchi va parchalanish oqibatida hosil bo’luvchi zarralar ichki energiyalarining ayirmasi musbat bo’lishi lozim. Odatda bu energiya farqini parchalanish energiyasi deb yuritiladi va u quyidagicha belgilanadi
Demak, yuqoridagi munosabatga ko’ra quyidagi ifodaga yega bo’lamiz:
p
2
0 ( 1
2 m1
1 ) 0
p
2
m2 2m
(2)
Bu yerda m -hosil bo’lgan zarralarning keltirilgan massasi; zarralarning tezligi esa ularning impul’si orqali aniqlanadi:
v10
p0 / m1 ,
v20
p0 / m2
endi dastlabki zarracha parchalangunga qadar v tezlik bilan harakatlanuvchi sanoq tizimiga o’tamiz. Odatda bu sanoq tizimini laboratoriya sanoq tizimi (yoki L tizim) deb yuritiladi. Zarralarning to’liq impul’slari nolga teng bo’lgan tizim esa inersiya markazi tizimi (yoki M tizim) deb yuritiladi.
Parchalanuvchi zarralardan birining tezligi L va M tizimlarga nisbatan v va
v 0 bo’lsa, u holda
v V v0
bo’lganligi uchun quyidagi natijaga ega bo’lamiz:
0
v2 V 2 2vV cos v2 , (3)
bu yerda - zarrachaning V tezlik yo’nalishiga nisbatan uchib chiqish burchagi. Bu tenglama parchalanish natijasida hosil bo’lgan zarrachaning L tizimdagi tezligini aniqlaydi. Bu munosabatni 12-rasmda ko’rasatilgan diagramma yordamida tasvirlash mumkin.
1- rasm
Bunda v tezlik aylana markazidan V masofada yotuvchi A nuqtadan radiusli aylananing biror-bir nuqtasiga o’tkazilgan vektor orqali aniqlanadi.
v0
V v0
va V . v0 bo’lgan hollarga rasmdagi A va B diagrammalar mos keladi (12 rasm).
Birinchi holda zarracha ixtiyoriy burchak ostida uchib chiqishi mumkin. Ikkinchi holda esa zarracha quyidagi tenglik bilan aniqlanuvchi burchakdan katta bo’lmagan burchak ostida faqat oldinga uchib chiqishi mumkin:
sin
max
v0 V
(4)
Demak, bu holda zarrachaning uchib chiqish burchagi 900 dan kichik bo’ladi.
va M tizimlardagi uchib chiqish burchaklari va 0
bog’lanishni ham shu diagrammalar asosida topish mumkin.
orasidagi
tg СD
AD
v0 sin0
v0 cos0 V
(5)
Agar bu tenglamani
cos 0
ga nisbatan yechsak, oddiy almashtirishlardan keyin
quyidagi ifodani hosil qilamiz:
V 2
v
cos0 sin
0
cos
(6)
1-rasmdagi A diagrammadan ko’rinib turibdiki
v0 V
bo’lsa 0
va burchaklar
orasidagi bog’lanish bir qiymatlidir. Bunda ushbu formuladagi ildiz oldida musbat
ishora olinadi (chunki 0
bo’lganda 0 0
bo’lishi lozim. Agar
v0 V
bo’lsa 0
va burchaklar orasidagi bog’lanish bir qiymatli emas: ya’ni ning har bir
qiymatiga aylana markazidan B va C nuqtalarga o’tkazilgan ikkita 0
burchak
mos keladi. Ularga (6) ifodadagi ildiz oldidagi musbat va manfiy ishoralar mos keladi.
Real fizikaviy jarayonlarda bir emas bir nechta bir xil zarralarning parchalanishi sodir bo’ladi. Bu holda parchalanish oqibatida hosil bo’luvchi zarralarning yo’nalaishlar yoki energiyalar bo’yicha taqsimotini bilish muhim ahamiyatga ega bo’ladi. Masalani soddalashtirish uchun biz dastlabki zarrachalar fazoda xaotik joylashgan deb faraz qilamiz.
tizimda bu savolga soddagina javob berish mumkin: barcha hosil bo’luvchi zarrachalar bir xil energiyaga ega bo’lishadi va ularning uchib chiqish yo’nalishlari bo’yicha taqsimoti izotrop bo’ladi. Bu xulosa dastlabki zarralarning
xaotik taqsimotga yega ekanligi bilan bog’liqdir. Bu shuni anglatadiki
d 0
fazoviy
burchak elementi ichida uchuvchi zarralarning ulushi unga proporsionaldir, ya’ni
d0 / 4
ifoda bilan aniqlanadi.
d 0 2 sin0d0
ekanligini inobatga olib,
zarralarning 0
burchaklar bo’yicha taqsimlanishini tavsiflovchi quyidagi ifodani
hosil qilamiz:
sin d
(7)
2 0 0
tizimdagi burchaklar bo’yicha taqsimot esa ushbu ifodani mos almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Masalan, L tizimda zarralarning kinetik energiyalar bo’yicha taqsimotini topaylik. Buning uchun
v2 v2 V 2 2 vV cos
0 0
Tenglikni kvadratga ko’tarib quyidagi natijani hosil qilamiz:
d cos
Endi zarraning kinetik energiyasi
d (v2 ) .
0
0 2v V
T mv 2 / 2
ekanligini inobatga olib, (7)
formuladan biz izlayotgan taqsimotni hosil qilamiz
dT
2mv0V
Ko’rinib turibdiki, zarralarning kinetik energiyalari
(8)
Tmin
m (v
2 0
V ) 2
dan
Tmax
m (v
2 0
V ) 2
gacha bo’lgan qiymatlarni qabul qila oladi.
Bu oraliqdagi energiya qiymatlarini qabul qiluvchi zarrachalar (8) ifodaga ko’ra bir jinsli taqsimlanishgandir.
Agar parchalanish oqibatida ikkitadan ortiq zarra hosil bo’lsa, energiya va impul’sning saqlanish qonuni hosil bo’luvchi zarralarning tezliklari va uchib chiqish yo’nalishlarini aniklashda ko’p ixtiyoriylikka yo’l qo’yadi. Jumladan M tizimda uchib chiquvchi zarralar energiyalari aniq bir qiymatga ega bo’lmaydi. Ammo har bir hosil bo’luvchi zarracha olishi mumkin bo’lgan kinetik energiyaning yuqori chegarasi mavjud bo’ladi.
Bu chegaraviy qiymatni aniqlash uchun parchalanish oqibatida hosil bo’lgan zarralardan birini masalan, m1 massali zarrani tanlab olamiz qolgan zarralarni esa yagona (bitta) tizim sifatida qaraymiz va uning ichki energiyasini
Eich
bilan belgilaymiz. U holda birinchi va ikkinchi formulalarga ko’ra m1
massali zarrachaning kinetik energiyasi quyidagicha topiladi
p 2 M m '
T10 0 1 (Eich E1ich Eich )
2m1 M
bu yerda M - dastlabki zarraning massasi. Ko’rinib turibdiki kinetik energiya
Eich
minimal qiymat qabul qilganda eng katta qiymatga yega bo’ladi. Buning uchun m1 massali zarrachadan tashqari barcha zarrachalar bir xil tezlik bilan
harakatlanishlari lozim. Bu holda
Eich
zarralar ichki energiyalarining yig’indisiga
teng bo’ladi. Demak, bu holda
Eich E1ich Eich
ya’ni parchalanish energiyasiga
teng. Shunday qilib, zarra qabul qilishi mumkin bo’lgan kinetik energiyaning eng katta qiymati quyidagicha aniqlanadi
(T10
)max
M m1
M
(9)
|