Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli

|
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli
|
bet | 15/20 | Sana | 30.11.2023 | Hajmi | 1,98 Mb. | | #108188 |
Bog'liq 4-mavzu (Vek., matr., Ch.algeb)(111-155)Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. n ta no’malumli m ta tenglamalar sistemasini qaraymiz (14).
Agar chizikli tenglamar sistemasi yechimga ega bo’lsa, u birgalikda, agar yechimga ega bo’lmasa, u birgalikda emas deyiladi. Quyidagi elemyentar almashtirishlar natijasida tenglamalar sistemasi o’ziga teng kuchli sistemaga almashadi;
Istalgan ikki tenglamani o’rinlarini almashtirilsa;
Tenglamalardan istalgan birini ikkala tomonini noldan farkli songa ko’paytirilsa;
Tenglamalardan birini istalgan haqiqiy songa ko’paytirib, boshqa tenglamaga qo’shilsa.
Agar n>m bo’lsa, n - m ta bir xil noma’lumli xadlarni tengliklarning o’ng tomoniga olib o’tib, o’ng tomidagi nomalumlar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi deb, tenglamalar sistemasini n=m xolga keltirib olish mumkin. Shuni e’tiborga olib, (14) sistemani n=m xoli uchun yechamiz.
Gauss usulining moxiyati noma’lumlarni ikkinchi tenglamadan boshlab, ketma-ket yo’qotib oxirgi teglamada bitta no’malum qolguncha davom ettiriladi va oxirgi tenglamadan yuqoriga qarab no’malumlarni ketma-ket topib, yechim hosil qilinadi.
Gauss usulining algoritmi quyidagi qadamlardan iborat:
1-qadam. (14) sistemada birinchi tenglamani xar ikki tomonini a11 ga bo’lib, teng kuchli ushbu sistemani hosil qilamiz:
(18)
Birinchi tenglamani a21 ga ko’paytirib ikkinchi tenglamadan, a31 ga ko’paytirib uchinchi tenglamadan va xokazo an1 ga ko’upaytirib, n-tenglamadan ayiramiz. Natijada yana berilgan sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:
(19)
Bu sistemada quyidagicha belgilashlar kiritilgan:
a’1k = a1k/a11, a’i k = ai k - (a1k/a11)a i1 ,
b’1 = b1/a11, b’i = bi - (b1/a11)a i1.
i =2,.., n; k=2,..,n.
Agar (19) sistemada biror tenglama chap tomonnidagi barcha koeffitsyentlar nolga teng, o’ng tomoni esa noldan farqli bo’lsa, ya’ni
0x2+ 0x3 + ... + 0xn = b k (20)
ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lsa, sistema birgalikda emas bo’ladi va ishni shu yerda to’xtatamiz.
Agar (20) ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lmasa keyingi qadamga o’tiladi.
2-qadam. Ikkinchi tenglamani a22 koefitsiyentga bo’lamiz, hosil bo’lgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma-ket a’32,..., a’n2 ga ko’paytirib uchinchi, to’rtinchi va xokazo tenglamalardan ayiramiz.
Biz bu jarayonni oxirgi tenglamada xn noma’lum qolguncha davom ettirsak, dastlabki sistemaga teng kuchli
(21)
(21) ko’rinishdagi sistemaga ega bo’lamiz. xn=dn qiymatini (n-1) tenglama qo’yib xn-1 ni topamiz va xokazo, bu ishni x1 topilguncha davom ettiramiz.
Misol. Quyidagi uchta no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Birinchi tenglamaning barcha xadlarini a11=2 ga bo’lib,
sistemani hosil qilamiz. Birinchi tenglamani 3ga ko’paytirib ikkinchi tenglamadan va so’ngra uchinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayiramiz:
Ikkinchi tenglamani 0.5 ga bo’lib, so’ngra uni -1.5 ga ko’paytirib, uni uchinchi tenglamadan ayiramiz:
Natijada hosil bo’ladi.
Bundan ketma-ket x3=3, x2=-1+3=2, x1=0.5-0.5x2 +0.5x3 =1 larni topamiz. Shunday qilib, berilgan sistemani yechimlari x1=1, x2 =2, x3 =3 aniqlaymiz.
Misol. Quyidagi beshta no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Bu sistemada x4 va x5 larni o’ng tomonga olib o’tamiz:
Misol uchun, x4 =2, x5 =1 qiymatlarni qo’ysak quyidagi sistema hosil bo’ladi:
x2 =3 ekanini e’tiborga olsak
sistemaga ega bo’lamiz. Birinchi tenglamani 2ga ko’paytirib, undan ikkinchi tenglamani ayirsak
hosil bo’ladi. Bundan x3 =-3/7, x2 =3, x1 =12/7 aniqlanadi.
Tenglamalar sistemani Kramyer usulidan foydalanib echishga misol keltiramiz.
Misol. Quyidagi to’rtta no’malumli to’tta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. Sistemani Kramyer usulida yechamiz”
x1 =81, x2 = -108, x3 = -27, x4 = 27.
Demak, sistema yagona yechimga ega, chunki 0. Bu yechim esa
x1= x1/ = 3, x2= x2/ = -4, x3= x3/ = -1, x4= x4/ = 1.
bo’ladi.
(14) tenglamalar sistemasi bir jinsli, ya’ni b1 = b2 =...= bn= 0 bo’lgan xolni ko’ramiz:
(22)
(22) tenglamalar sistemasi bir jinsli, chizikli tenglamalar sistemasi deyiladi.
Ishonch hosil kilish mumkinki, x1 = x2 = ... = xn = 0 (22) ning yechimi bo’ladi va bu yechim trivial yechim deb ataladi. Agar (22) bir jinsli sistemanig asosiy determinanti noldan farqli bo’lsa, bu sistema faqat trivial yechimga ega bo’ladi, chunki bu xolda x1=x2 = ... =xn= 0 va Kramyer formulasiga asosan x1=x2=...=xn =0 bo’ladi.
Demak (22) sistemani notrivial yechimi mavjud bo’lishi uchun =0 bolishi zarur.
Misol. Quyidagi ikkita no’malumli ikkita tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
Yechish. x1=x2=0 trivial yechim ekani ravshan:
Bundan ko’rinadiki, sistemaning notrivial yechimi bolishi mumkin. Xaqiqatan xam x1=t, x2=t (t-ixtiyoriy xaqiqiy son) sistemaning notrivial yechimi bo’ladi.
Bu sistemada x4 va x5 nomalumlarga boshqa qiymatlar berib, yangi yechim hosil qilish mumkin ekanini, boshqacha aytganda n>m bo’lganda yechim yagona bo’lmay cheksiz kop bo’lishini eslatib o’tamiz.
|
| |