Sh. A. Saipnazarov biznes matematika - bet 42

9.2.
Vaqt bo’yicha hadlari bir xil absolyut o’zgaradigan rentalar
Rentaning birinchi hadi
R
va ayirmasi
a
bo„lgan arifmetik progressiya
bo„yicha o„zgaradigan bo„lsin, ya‟ni
a
n
R
a
R
a
R
R
1
,
,
2
,
,
.
Rentaning
t-
hadi
a
t
R
1
ga teng. Bu rentaning yig„indisi (joriy qiymati) yillik
postnumerando renta uchun
i
nav
a
i
a
R
S
n
i
n
|
0
(9.1.1)
Isbot. Yuqoridagi ketma – ketlikning joriy qiymatini topamiz:
n
v
a
n
R
v
n
R
Rv
S
1
0
2
(*)
(*) ning har ikkala qismini
i
1
ga ko„paytirib hosil bo„lgan tenglikdan (*) ning
unga mos qismlarini ayiramiz, natijada
.
1
1
1
0
|
1
1
1
2
n
i
n
n
n
n
n
t
n
n
n
nav
aa
v
R
av
nav
v
a
v
R
v
a
n
R
av
av
av
R
iS
Bundan
i
nav
aa
i
v
R
S
n
i
n
n
|
1
0
115
i
n
n
a
i
v
|
1
ekanligini hisobga olib,
i
nav
a
i
a
R
S
n
i
n
|
0
ni hosil qilamiz.
(9.1.1) formulani
n
i
1
ga ko„paytirib, jamg„arilgan mablag„ qiymati formulasini
yozamiz:
i
na
S
i
a
R
n
S
i
n
|
(9.1.2)
Endi to„lovlar absolyut o„sishi rentaning joriy qiymatiga qanday ta‟sir qilishini
ko„raylik. Buning uchun (9.1.1) formulani quyidagicha yozamiz.
a
i
nv
a
Ra
S
n
i
n
i
n
|
|
)
0
(
(9.1.3)
Bu formula
0
S
ni
a
ga chiziqli bog„langanligini ko„rsatadi. Shunga o„xshash
(9.1.2) formula asosida
t
S
ni
a
ga chiziqli bog„liqligini ko„ramiz.
a
i
n
S
R
n
S
i
n
S
i
n
|
|
(9.1.4)
(9.1.1) va (9.1.2) formulalarni almashtirish natijasida hosil bo„lgan (9.1.3) va
(9.1.4) formulalar postnumerando renta uchun hosil qilinadi. O„z navbatida
prenumerando renta uchun
i
nav
a
i
a
R
i
i
nav
a
i
a
R
S
n
i
n
n
i
n
1
|
|
1
0
(9.1.5)
i
i
na
S
i
a
R
n
S
i
n
1
|
(9.1.6)
1-misol
. Postnumerando to„lovlari vaqt bo„yicha bir xil oqimni tashkil etib
uning birinchi hadi 15 mln. so„m. Har bir keyingi to„lovlar har doim 2 mln. so„mga
oshadi. Yillik foiz stavkasi 20% ni tashkil etib, to„lovlar muddati 10 yil. Shu
ma‟lumotlar asosida joriy va jamg„arilgan pul mablag„lari topilsin.
Yechish. Masalaning shartiga ko„ra,
10
%,
20
,
2
,
15
n
i
a
R
. Jadvaldan
161505
,
0
,
192472
,
4
10
20
10
v
a
larni topamiz.
(9.1.1) formulani tatbiq etib,
661
,
88
2
,
0
161505
,
0
2
10
192472
,
4
2
,
0
2
15
0
S
mln. so„m.
ni topamiz. (9.1.3) va (9.1.4) formulalarni tatbiq etib ham shu natijalarga ega
bo„lish mumkin.
661
,
88
774
,
25
887
,
62
2
2
,
0
2
,
1
10
15
0
10
20
|
10
20
|
10
a
a
S
mln. so„m,
116
965
,
548
585
,
159
380
,
389
2
2
,
0
10
15
20
|
10
20
|
10
S
S
n
S
mln. so„m.
Ba‟zan o„zgaruvchi rentalarni tahlil qilishda teskari masalani yechishga to„g„ri
keladi, ya‟ni rentaning birinchi hadi
R
yoki uning
a
o„sishini boshqa parametrlar
bo„yicha aniqlashga to„g„ri keladi.
Yillik postnumerando renta uchun (9.1.1) va (9.1.2) lardan
R
ni topamiz.
,
0
|
i
a
a
i
nav
S
R
i
n
n
(9.1.7)
,
|
i
a
S
i
na
n
S
R
i
n
(9.1.8)
O„z navbatida
R
berilgan holda
a
ni topamiz:
,
0
|
|
n
i
n
i
n
nv
a
i
Ra
S
a
(9.1.9)
n
S
i
RS
n
S
a
i
n
i
n
|
|
(9.1.10)
9.3. O’zgarmas uzluksiz rentalar. Rentalar konversiyasi
Yuqorida qaralgan rentalarda to„lovlar oqimining hadlari fiksirlangan vaqt
oralig„ida, ya‟ni to„lovlar diskret holda o„zgarishini ko„rdik. To„lovlarning tez-tez
amalga oshishini uzluksiz jarayon deb hisoblash mumkin. O„zgarmas uzluksiz
rentalarning joriy va jamg„arilgan qiymatlarini hisoblaymiz. Uzluksiz rentaning
ta‟rifiga ko„ra to„lovlar soni yiliga
m
. Bunday rentaning diskontirlash
koeffitsiyentini
i
n
a
|
deb belgilaymiz. Buni hisoblash uchun
m
limitga
o„tamiz.
]
1
)
1
[(
)
1
(
1
lim
lim
/
1
)
(
|
|
m
n
m
m
i
n
m
i
n
i
m
i
a
a
Lopital qoidasini tatbiq etib, quyidagini hosil qilamiz:
i
i
i
m
i
n
m
n
m
1
ln
1
1
1
1
1
1
lim
/
1
Demak,
i
i
a
n
i
n
1
ln
1
1
|
. (9.3.1)
Uzluksiz rentaning jamg„arma koeffitsiyentini ham shunga o„xshash aniqlaymiz.
117
i
i
S
n
i
n
1
ln
1
1
|
(9.3.2)
Ravshanki, diskret to„lovlar postnumerando rentadan uzluksiz rentaga
o„tganda diskontirlash va jamg„arma koeffitsiyentlari
i
i
1
ln
marta ortadi.
Shunday qilib,
i
n
i
n
a
i
i
a
|
|
1
ln
;
i
n
i
n
S
i
i
S
|
|
1
ln
.
(9.3.1) va (9.3.2) formulalar uzluksiz pul tushishini va diskret ustama foiz
qo„shilishini bildiridi. Aslida, har ikkala jarayon (pul tushishi va ustama foiz
qo„shilishi) ham uzluksiz bo„lgan hol tabiiyroq bo„ladi. Bu koeffitsiyentlarga mos
formulalarni hosil qilish uchun uzluksiz va diskret stavkalarning ekvivalentligidan
foydalanamiz.
),
1
ln(
i
,
1
e
i
bunda
-o„sish kuchi.
Bularni hisobga olib, (9.3.1) va (9.3.2) formulalarni quyidagicha yozamiz:
n
i
n
e
a
1
|
(9.3.3)
1
|
n
i
n
e
S
(9.3.4)
(9.3.1), (9.3.2) va (9.3.3), (9.3.4) formulalar bir xil natijani berishi uchun uzluksiz
va diskret stavkalar ekvivalent bo„lishi kerakligini sezamiz.
3-misol
. Qazilma boylik chiqadigan joyni ekspluatatsiya qilishdan keladigan
daromad yiliga 1 mlrd. so„m, ekspluatatsiya davri 10 yil, qazib olgan mahsulotni
ortish va ularni sotish uzluksiz bo„lsin deb faraz qilaylik. Daromadning
jamg„arilgan narxi 10% stavka bo„yicha diskontirlangandagi joriy qiymat
quyidagiga teng bo„ladi.
91
,
6446
1
,
1
ln
1
,
1
1
10
0
10
9
S
mln.so„m.
Agar diskontirlash o„sish kuchi 10% bo„lgan holda amalga oshsa, u holda
21
,
6321
1
,
0
1
10
0
10
1
,
0
9
|
e
a
R
S
i
n
mln.so„m.
Ekvivalent diskret stavka 10% bo„lsa, o„sish kuchi
09531
,
0
1
,
1
ln
yoki
9,531% bo„ladi. Bundan
91
,
6446
09531
,
0
1
10
0
10
09553
,
0
9
e
S
mln. so„m
(9.3.3) va (9.3.4) formulalarni integral amali yordamida ham hosil qilish mumkin.
Masalan, diskontirlash koeffitsiyentini quyidagicha topamiz:
118
.
1
1
0
0
|
n
n
n
t
t
i
n
e
e
dt
e
a
Endi bir muhim xususiy holni qaraymiz. Vaqtning bir yillik intervali uchun
uzluksiz rentaning jamg„arma koeffitsiyentini topamiz.
m
marta to„lanadigan
rentaning shu interval uchun jamg„arma koeffitsiyentini
t
S
bilan belgilaymiz.
Uning
m
limiti
i
i
S
t
1
ln
.
Bu funksiyani dastlabki uchta hadi bilan chegaralangan holda darajali qatorga
yoyamiz:
2
1
12
1
2
1
1
i
i
S
.
Bu natijaga binom yoyilmasining dastlabki uchta hadi yaqinroq bo„ladi:
2
8
1
2
1
1
1
2
1
i
i
i
Natijada
2
/
1
1
)
1
(
i
S
ga ega bo„lamiz.
Shunga o„xshash yillik davr uchun uzluksiz rentaning diskontirlash
koeffitsiyentini topamiz:
2
1
1
1
i
a
Endi o„zgarmas uzluksiz renta uchun stavka muddati va o„lchovini topamiz.
i
n
a
R
S
|
0
ni hisobga olib, (9.3.1) ni
n
ga nisbatan yechamiz:
R
S
n
)
0
(
1
ln
(9.3.5)
Demak, dastlabki qiymat jamg„arma qiymatidan iborat bo„lgan hol uchun
1
ln
R
n
S
n
(9.3.6)
Endi uzluksiz o„zgaruvchi to„lovlar oqimi haqida gaplashamiz. Uzluksiz
o„zgarmas to„lovlarda yillik pul miqdori
R
uzluksiz va tekis taqsimlangan deb
qaralar edi. Amalda, ayniqsa ishlab chiqarish investitsiyalarni tahlil qilishda
to„lovlar oqimi vaqt bo„yicha qandaydir qonunga ko„ra o„zgaradi.
Agar to„lovlar oqimi uzluksiz va qandaydir
)
(
t
f
R
t
funksiya bo„yicha
aniqlanadigan bo„lsa, u holda
n
vaqt mobaynida umumiy pul miqdorining tushimi
119
n
dt
t
f
0
)
(
ga teng. Bunday holda jamg„arilgan pul miqdori
n
t
n
dt
e
t
f
S
0
)
(
formuladan topiladi. Bunday to„lovlar oqimining joriy qiymati
n
t
dt
e
t
f
S
0
0
S
va
0
S
larning qiymatlarini topish uchun
t
f
funksiyaning ko„rinishini
aniqlash lozim. Bu funksiyaning chiziqli va eksponensial bo„lgan hollarida joriy
qiymat hisoblashni ko„ramiz.
Oqimlar funksiyasi chiziqli
at
R
R
t
0
(9.3.7)
ko„rinishda bo„lsin, bunda
0
R
to„lovning boshlang„ich qiymati.
Joriy qiymatni topamiz:
n
n
n
n
n
n
n
t
t
n
t
ne
a
a
a
R
a
ne
a
a
R
te
a
dt
e
R
dt
e
at
R
S
|
0
|
|
0
0
0
0
0
0
1
0
(9.3.8)
bunda
|
n
a
uzluksiz rentaning diskontirlash koeffitsiyenti. Endi to„lovlar
eksponensial o„sgan holni qaraylik:
qt
t
R
Re
, (9.3.9)
bu yerda
q
to„lovlarning uzluksiz o„sish tezligi.
Bunday rentalarning joriy qiymati:
q
e
R
q
e
R
dt
e
R
dt
е
e
R
S
n
q
n
t
q
n
n
t
q
t
qt
1
0
0
0
0
, (9.3.10)
q
ayirmani quyidagi formuladan topamiz:
i
k
q
1
1
ln
bu yerda k – diskret o„sish tezligi.
4-misol
. Daromadning o„sishi yiliga 5%. Agar
,
100
R
%,
7
i
3
n
yil
bo„lsa, u holda joriy va jamg„arma qiymat topilsin. Masala shartiga ko„ra,
120
.
1
,
357
07
,
1
5
,
291
1
0
5
,
291
01887
,
0
1
100
0
01887
,
0
07
,
0
1
05
,
0
1
ln
3
3
3
01887
,
0
i
S
n
S
e
S
q
|