To‘plamlar birlashmasi va uning xossalari

|
To‘plamlar birlashmasi va uning xossalari
|
bet | 8/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрTo‘plamlar birlashmasi va uning xossalari. Ikki to‘plamdan yangi to‘plam hosil qilishning yana bir usulini ko‘rib chiqamiz.
Ta'rif: A va B to‘plamlarning barcha elementlaridan tuzilgan to‘plamga to‘plamlarning birlashmasi deb aytiladi . A va B to‘plamlar birlashmasi A B kabi belgilanadi, bu erda simvoli birlashma belgisidir.
Masalan: 1) A={m,n,p,k,l} va B={p,r,s,n} to‘plamlarning birlashmasi A B={m,n,p,k,l,r,s} dan iborat.
2) A- biror sinfdagi voleybol to‘garagiga qatnashuvchi o‘quvchilar to‘plami: B- shu sinfdagi matematika to‘garagiga qatnashuvchi o‘quvchilar to‘plami. A B to‘plamga voleybol yoki matematika to‘garagiga qatnashuvchi o‘quvchilar kiradi. Bular orasida faqat matematika to‘garagiga qatnashuvchi, yoki faqat voleybol to‘garagiga qatnashuvchi, yo bo‘lmasa, ham voleybol, ham matematika to‘garagiga qatnashuvchi o‘quvchilar bo‘lishi mumkin.
A B to‘plamning ixtiyoriy x elementi "x A yoki x B" xossaga ega. Ta'rifga asosan to‘plamlar birlashmasini quyidagicha yozish mumkin:
A B={x/x A yoki x B}
Eyler-Venn diagrammalarida A B quyidagicha tasvirlanadi:
12-rasm
Birlashma amalining xossalari:
1-xossa: To‘plamlarning birlashmasi kommutativlik xossasiga ega:
A B=B A
2-xossa: Ixtiyoriy A,B,C to‘plamlarning birlashmasi assotsiativlik xossasiga ega :
(A B) C= A (B C)
Bu xossa ham kesishma amaliga o‘xshash (A B) C ifodani qavssiz yozish mumkinligini ko‘rsatadi, ya'ni A B C shaklda yozish mumkin.
Isbot: x (A B) C bo‘lsin, ta'rifga asosan, x A B yoki x C, bu yerdan x A, yoki x B yoki x C. To‘plamlar birlashmasi ta’rifiga ko‘ra x A (B C)
Demak, (A B) C to‘plamining har bir elementi A (B C)to‘plamining ham elementi bo‘lyapti, to‘plam osti munosabati ta'rifiga ko‘ra
(A B) C A (B C) (1)
Xuddi shunday teskarisini ham isbotlash mumkin , ya'ni
A (B C) (A B) C (2)
Bu (1) va (2) munosabatlarga to‘plam ostining 1-xossasini qo‘llasak, to‘plamlarning tengligi kelib chiqadi, ya'ni (A B) C= A (B C)
3-xossa: Agar B A bo‘lsa, unda A B=A bo‘ladi.
Misol: 1) A=Z ; B=N; Z N=Z
2)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B={2,4,6,8}, B A , A B=A
4-xossa: Istalgan A, B va C to‘plamlar uchun quyidagi tengliklar o‘rinlidir:
A (B C)=(A B) (A C)
A (B C)=(A B) (A C).
Bu xossalar distributivlik xossasi deb aytiladi.
Isbot: x A (B C)bo‘lsin. To‘plamlar kesishmasi ta’rifiga ko‘ra x A va x B C. To‘plamlar birlashmasi ta’rifini qo‘llab x A va x B yoki x A va x C hosil bo‘ladi. To‘plamlar kesishmasi ta’rifiga ko‘ra x A B yoki x A C. To‘plamlar birlashmasi ta’rifini qo‘llab x (A B) (A C). To‘plam osti munosabati ta’rifiga ko‘ra
A (B C) (A B) (A C). (1)
Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki,
(A B) (A C) A (B C). (2)
To‘plam osti munosabatining 1-xossasiga ko‘ra A (B C)=(A B) (A C) bo‘ladi.
5-xossa: Ixtiyoriy A to‘plam uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
A A=A; A =A; A J=J; J =J.
To‘plamlarning ayirmasi va uning xossalari.
Ta'rif: A va B toplamlarning ayirmasi deb, A to‘plamning B to‘plamga kirmaydigan elementlar to‘plamiga aytiladi.
To‘plamlar ayirmasi A\B simvoli bilan belgilanadi, ayrim kitoblarda A-B kabi belgilanadi.
Misol: A={a,b,c,d} B={c,d,e,f} To‘plamlar ayirmasi A\B={a,b} A\B to‘plamining istalgan x elementi "x tegishli A va x tegishli emas B" xossasiga ega bo‘lgani uchun A va B to‘plamlar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin:
A\B={x/x A va x B}
Eyler - Venn diagrammalarida to‘plamlarning ayirmasi quyidagicha tasvirlanadi:
13-rasm
Misol:A={a,b,c,d,e} va B={c,d,e,f} bo‘lsin. A/B={a,b} ekanligi ma'lum. B va A to‘plamlar ayirmasini topamiz: B/A={f} A/B va B/A to‘plamlar birlashmasi (A/B ) ( B/A) = {a,b,f} (1)
ko‘rinishda bo‘ladi. Endi A B va A B ni topamiz.
A B ={a,b,c,d,e,f} A B ={c,d,e} bu to‘plamlar ayirmasini topamiz :
(A B)/(A B )={a,b,f} (2)
(1) va (2) ni solishtirib quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
(A/B) (B/A)= (A B)/(A B )
Ta'rif: Ikkita A va B hamda B va A to‘plamlar ayirmalarining birlashmasiga simmetrik ayirma deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: A B=(A/B) (B/A)
A,B,C to‘plamlar uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
a) A/ (B C) = (A/B) (A/C)
b) A/ (B C) = (A/B) (A/C) = (A/B)/C
|
| |