Determinantlarının hesablanmasını asanlaşdıran bir sıra xassələr vardır. Istənilən tərtibli determinantlara aid olan bu xassələri biz ancaq üçtərtibli determinantlar üçün burada söyləməklə kifayətləni

Determinantlarının hesablanmasını asanlaşdıran bir sıra xassələr vardır. Istənilən tərtibli determinantlara aid olan bu xassələri biz ancaq üçtərtibli determinantlar üçün burada söyləməklə kifayətlənirik.
X a s s ə 1. Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz:
a11 a12 a13 a11 a12 a13
∆ = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (3)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu bərabərliyin doğruluğunu isbat etmək üçün sol tərəfdəki determinantı ∆ ilə, sağ tərəfdəki determinantı isə ∆* ilə işarə edək. ∆ determinantının birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını və ∆* determinantının birinci sütun elementləri üzrə ayrışını yazaq:
∆ = a11A11 + a12A12 + a13A13 ,
∆*= a11A11* + a12A12* + a13A13*.
A11 = A11*, A12 = A12* və A13 = A13* olduqda ∆ = ∆* .
Determinantın bütün sətirləri ilə sütunlarının uyğun olaraq yerini dəyişməsinə onun çevrilməsi və ya transponirə edilməsi deyilir. Isbat etdiyimiz xassə göstərir ki, determinantın çevrilməsi zamanı onun qiyməti dəyişmir, yəni A matrisi ilə onun A* çevrilməsinin determinantları həmişə bərabərdir:
∆(A) = ∆(A*) (2)
N ə t i c ə. Hər bir determinantın sətirləri ilə sütunları eyni hüquqludur. Buna görə də determinantın bundan sonraki xassələrini ancaq sətirləri və ya ancaq sütunları üçün söyləmək kifayətdir.
X a s s ə 2. Determinantın iki sətrinin (və ya sütununun) bir-biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işsarəsi dəyişər:
a11 a12 a13 a11 a12 a13
a21 a22 a23 = - a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 .
Doğrudan da, sol tərəfdəki determinantın birinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆= a11A11 + a12A12 + a13A13
və sağ tərəfdəki determinantın ikinci sətir elementləri üzrə ayrılışını:
∆ꞌ= a11A11ꞌ + a12A12ꞌ + a13A13ꞌ
yazıb, A11 = - A11ꞌ, A12 = - A12ꞌ, A13 = - A13ꞌ olduğunu nəzərə alsaq, onda (3) bərabərliyinin doğruluğu aydın olar.
X a s s ə 3. Iki sətri eyni olan determinant sıfra bərabərdir:
a11 a12 a13
∆= a21 a22 a23 = 0.
a31 a32 a33
Doğrudan da, ∆ determinantında birinci və ikinci sətirlərin bir-biri ilə yerini dəyişsək, onda ∆=-∆. Buradan 2∆=0, ∆=0
X a s s ə 4. Determinantın hər hansı bir sətir elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar.
a11 a12 a13 a11 a12 a13
λ a21 a22 a23 = λ a21 a22 a23 (4)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu bərabərliyinin sol tərəfindəki determinantı ∆1=λa21A21+λa22A22+λa23A23=λ(a21A21+a22A22+a23A23) = λ∆.
N ə t i c ə 1. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri sıfır olduqda determinant sıfra bərabər olar.
Nəticənin doğruluğuna inanmaq üçün (4) bərabərliyində λ=0 götürmək kifayətdir.
N ə t i c ə 2. Determinantı bir ədədə vurmaq üçün determinantın hər hasnı bir sətrini həmin ədədə vurmaq kifayətdir.
Bu nəticənin doğruluğuna inanmaq üçün (4) bərabərliyini sağdan sola oxumaq kifayətdir.
X a s s ə 5. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar, bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinci toplananlar götürülür.
a11+aꞌ11 a12+aꞌ12 a13+aꞌ13 a11 a12 a13 aꞌ11 aꞌ12 aꞌ13
a21 a22 a23 = a21 a22 a23 + a21 a22 a23 (5)
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
Doğrudan da, bərabərliyin sol tərəfindəki determinantı ∆1, sağ tərəfdəki determinantları isə uyğun olaraq ∆ və ∆ꞌ ilə işarə edərək, ∆1 determinantını birinci sətir elementləri üzrə ayırsaq:
∆1= (a11+aꞌ11)A11+ (a12+aꞌ12) A12+ (a13+aꞌ13) A13=
=( a11A11 + a12A12 + a13A13)+(aꞌ11A11 + aꞌ12A12 + aꞌ13A13)=∆+∆ꞌ
və ya tələb olunan
∆1=∆+∆ꞌ
bərabərliyini alırıq.
X a s s ə 6. Determinantın hər hansı sətrinin bütün elementlərini bir ədədə vurub onun başqa bir sətrinin uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinant dəyişməz:
a11 a12 a13 a11+λa21 a12+λa22 a13+λa23 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 (6)
a31 a32 a33 a31 a32 a33
Bu təklifin doğruluğu 3, 4 və 5 xassələrdən aydındır.
3. Tərs matris anlayışı.
Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda
A-1-A=AA-1=I (1)
bərabərliyini ödəyən A-1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A-1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A-1 matrisinin tərsidir:
(A-1) -1=A (2)
yəni A və A-1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.
A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A-11 və A-12 kimi iki tərs matris olarsa, onda
A(A-11 - A-12)=I - I=0.
Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A-11 matrisinə vursaq:
A-11 A(A-11 - A-12)=I(A-11 - A-12)= A-11 - A-12=0
və yaxud
A-11 = A-12
A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən
∆(AA-1)= ∆(A)· ∆(A-1)=1
və yaxud
∆(A)· ∆(A-1)=1, ∆(A-1) = (3)
münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A-1 tərsi olması üçün ∆(A)0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A-1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.
Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A)0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.
Verilmiş matrisin tərsini nece tapmaq olar?
Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış
A2 = a11 a12
a21 a22
matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:
A-12 = və ya A-12=
Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A2 A-12=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.
Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A3)0)
a11 a12 a13
A3 = a21 a22 a23 (4)
a31 a32 a33
matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:
A-13 = (5)
Doğrudan da, burada Ai k ilə ai k elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:
A-13 A3 =
və yaxud tələb olunan
A-13 A3 = = I3
bərabərliyini alırıq.
Üçtərtibli (4) kvadrat matrisinin (5) tərsinin qurulma sxemi çox sadədir: (4) matrisinin ai k elementi onun uyğun Ai k cəbri tamamlayıcısının ədədinə nisbəti ilə əvəz olunur. Alınan matrisin çevrilməsi (baş diaqonala nəzərən çevrilməsi) (5) matrisinə bərabərdir. həmin qayda ilə n-tərtibli cırlaşmayan kvadrat
a11 a12 ... a1n
A = a21 a22 ... a2n (∆A)0)
. . . . . . . .
an1 an2 ... ann
matrisinin
A11 A21 ... An1
A-1= A12 A22 ... An2
. . . . . . . . .
A1n A2n ... Ann
tərs matrisini qurmaq olar.
|