Az első alaptörvény térfogati töltéseloszlás esetén

Az első alaptörvény térfogati töltéseloszlás esetén
Eddigi vizsgálataink során a polarizációs töltés mindig mint felületi töltés jelent meg. Vajjon ez egy általános érvényű szabály, avagy lehetne másként is? Másszóval van-e olyan szituáció, amelyben a polarizációs töltés, mint térfogati polarizációs töltéssűrűség jelentkezik egy szigetelőanyag belsejében? És ha a válasz - mint sejthető – igen, miért nem találkoztunk eddig evvel az általánosabb esettel? E két kérdés közül a másodikkal kezdjünk. A megoldás kulcsa az, hogy egészen eddig homogén szigetelőket vizsgáltunk. Ez azt jelenti, hogy P, a dielektromos polarizáció vektora a szigetelő belsejében mindenütt ugyanaz, vagyis a helytől független állandó volt. Ha arra a demonstrációra gondolunk, ahol a szigetelő anyag pozitív és negatív töltését sárga és kék műanyag fóliákkal reprezentáltuk - a polarizációt pedig e fóliák elcsúsztatása hozta létre - akkor ott a töltésfelhők sűrűsége ugyancsak homogén volt. Továbbá a műanyag fóliák mint merev testek mozdultak el, tehát nem deformálódtak. Ennek eredményeként a szigetelő belseje elektroneutrális maradt, csak a szigetelő peremein jelentkeztek olyan kék és sárga zónák, amelyek az ott megjelenő polarizációs töltést mutatták. Más a helyzet egy inhomogén szigetelőnél, ahol pl. a kék és sárga fóliák „színmélysége” pontról pontra változik. Ha a fóliák az eredeti helyükön vannak, akkor a sötétebb kék tartományok felett elhelyezkedő ugyancsak sötétebb sárga zónák mindenütt elektroneutralitást biztosítanak, és sem felületi, sem térfogati poalrizációs töltés nem jelentkezhet. Ha azonban elcsúsztatjuk ezeket az inhomogén fóliákat, akkor már nem csak felületi, de térfogati polarizációs töltéssűrűség is létrejöhet, mivel eltérő színmélységű tartományok kerülhetnek fedésbe egymással. Ebben a példában a polarizáció iránya állandó (mivel a fóliák relatív elmozdulása mindenütt ugyanolyan irányú), csak a nagysága függ a helytől. Egy általánosabb lehetőség, ha például a kezdetben egymást fedő homogén sárga és kék fóliák közül a kék fólia kicsit összezsugorodik (ekkor már a lokális elmozdulások és így a polarizáció iránya is függ a helytől). Ezután a perem körbe-körbe sárga lesz–azaz felületi pozitív töltés jön létre – a térfogatban azonban már a kék szín fog dominálni, vagyis térfogati negatív töltéssűrűség jön létre. Fontos hangsúlyozni, hogy a pozitív és negatív polarizációs töltések összegének még a „legvadabb” deformációk után is nullának kell maradnia, hiszen eredetileg töltetlen, azaz elektromosan semleges szigetelő anyagból indultunk ki.
E kis bevezető után írjuk fel az elektrosztatika első alaptörvényét lokális alakban térfogati polarizációs töltéssűrűség esetére. Ismét az alaptörvénynek a vákuumra érvényes globális formájából indulunk ki, amely szerint
A z alapgondolat megint az, hogy feltételezzük, hogy a fenti formula szigetelőkre is érvényes, csak ebben az esetben a Q töltés két részre bontható: az A felület által körülölelt veztési (más testre átvihető) és ugyanezen térfogat belsejében található polarizációs (más tesre nem átvihető) töltésre
(Vagyis a szigetelő anyag hatását polarizációs töltései révén fejti ki, az anyagnak más hatása nincs az elektrosztatikus térre. Ez azt jelenti, hogy amennyiben vákuumban lennénk, és az eredeti töltésekhez még egy olyan töltéseloszlást vennénk hozzá, mint amilyen a szigetelő anyag polarizációs töltéseloszlása, akkor ez ugyanolyan teret hozna létre a vákuumban, mint amilyet polarizációs töltés a szigetelő anyagban.) Ennek alapján
A V térfogatban lévő polarizációs töltést mint tudjuk az A felületen lévő polarizációs töltés éppen kompenzálja mivel a szigetelő eredetileg elektroneutrális volt:
I nnen a térfogati polarizációs töltés kifejezhető:
M ár korábbról tudjuk, hogy
Pol =
|