Eylerning oshkor usuli - Mavzu : Oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun chegaraviy masalani yechishning...

|
Mavzu : Oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun chegaraviy masalani yechishning sonli usullari. Reja: Kirish I bob. Oddiy differensial tenglamalar
|
bet | 7/8 | Sana | 08.12.2023 | Hajmi | 137,09 Kb. | | #113705 |
Bog'liq DURDONA KURS ISHIEylerning oshkor usuli.
Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning universial usuli tavsiflangan:
y(x) = f(x,y(x)), x0 x x0 + L, (1)
y(x0) = . (2)
bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi.
Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u berilgan [x0, x0+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalarda (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x0 nuqtada qoʻshimcha (boshlangʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y) funksiya [x0 , x0+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x*, y*) nuqtasida aniqlangan deb kelishamiz.
N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x0, x0 + L] ni
h = L/N (3)
uzunlikli N ta boʻlakka
xi = x0 + ih, i = 0, 1, …, N (4)
nuqtalar bilan boʻlamiz. Diskret nuqtalar toʻplami (4) ni [x0, x0+L] kesmadagi toʻr, xi nuqtalarning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz.
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [xi, xi+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u toʻrning qadami deb ataladi. N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami nolga intiladi:
N da h 0, (5)
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.
Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugunlaridagi y(xi) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning xi nuqtasida y(xi) hosilaning yozilgan ushbu
y(xi) = f(xi, y(xi)) (6)
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish:
( y(xi + h)-y(xi) )/h =( y(xi+1)-y(xi))/h (7)
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.
Faraz qilaylik, i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi boʻlsin:
(y(xi+1)-y(xi))/h y(xi) i
Bu yerdan y(xi) hosilani quyidagicha
y(xi) =(y(xi+1)-y(xi))/h i
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:
y(xi) =(y(xi+1)-y(xi))/h f(xi ,y(xi))i (8)
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(xi) va y(xi+1) miqdorlar qanoatlantiradi. Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha
i = 0, 1, …, N–1
lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib boʻlmaydi, chunki bu tugunda xi+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan i xatolik hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib barcha y(xi) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x0) maʼlum. Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.
Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum y(xi) miqdorni yi deb belgilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:
(Yi+1-yi)/h =f(xi ,yi) 0, 1, …, N-1. (9)
Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning yechimini ham oʻzgartiradi.
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu
Y0 = (10)
tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum yi miqdorlarni topishning skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Ushbu
y0, y1, …, yN
ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum yi miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular toʻr yechimlar deb ataladi, bu ketma- ketlikning umumiy hadi yi esa toʻr yechimning xi tugundagi qiymati deyiladi. Dastlabki x0 tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni
y0 = = y(x0),
toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu
yi y(xi), i = 1, 2, …, N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi.
1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
Yi+1=yi+hf(xi ,yi) ,i = 0, 1, …, N–1. (11)
Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy yi lar uchun aniqlangan, shuning uchun bu tenglik oldingi xi tugundagi toʻr yechimdan foydalaib xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x0 tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y1, y2, …, yN larni biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin. 1-izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu
Y0 = , Yi+1=yi+hf(xi ,yi) , i = 0, 1, …, N–1. (11)
algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707- 1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) tenglamaning yi+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) oshkor formula oldingi xi tugundagi yi toʻr yechimdan foydalanib xi+1 tugundagi yi+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz qiliamiz, yaʼni berilgan [x0 , x0 + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy ichki (x*, y*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, boshqacha qilib aytganda, (x0 , x0 + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy x* va ixtiyoriy haqiqiy y* uchun ushbu
y(x*) = y* , y(x) = f(x, y(x))
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish yetarli.
2-izoh. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi izlanayotgan y yechimning [xi, xi+1] intervaldagi grafigini xuddi shu differensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi. Agar y yechimning xi tugundagi y(xi) yechimi aniq boʻlganda edi, u holda bunday boʻlak sifatida y yechimga xi nuqtada oʻtkazilgan urinma boʻlagini olish mumkin.
Ammo biz y(xi) miqdor oʻrniga uning yi taqribiy qiymatini bilamiz, shuning uchun izlanayotgan y yechimning grafigiga (xi, y(xi)) nuqtadan boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial tenglama y(i) - yordamchi yechimi grafigining (xi, yi) nuqtasidan oʻtuvchi urinma (5-rasm). Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan hisoblangan y+1 miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik.
Aslida esa, faraz qilaylik, x – aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasining absissasi, ỹ(x) – shu nuqtaning ordinatasi, i – bu urinmaning x oʻq bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin . U holda
ỹ(x) = (tgi)(x– xi) + yi , (13)
bu tenglama burchak koeffitsiyenti k = tgi va (xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi.
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq y(i) funksiyaning grafigiga x = xi nuqtada urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza olamiz:
tgi = (y(i) )(xi), (14)
bu yerda y (i) – quyidagi Koshi masalasining yechimi:
(y(i) )(xi) = f(x, y(i) (x)), (15)
Y(i) (xi) = yi . (16)
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
tgi = f(xi, y(i) (xi)) = f(xi, yi).
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:
ỹ(x) = f(xi, yi)(x–xi) + yi . (17)
Bu urinmaning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17) tenglamada x = xi+1 deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi miqdorga ega boʻlamiz:
ỹ(xi+1) = f(xi, yi)(xi+1–xi) + yi .
Bu miqdor (11) formula orqali
xi+1–xi = h
munosabatdan foydalanib topilgan yi+1 miqdorga teng.
1-xulosa. Xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish uchun tekislikning (xi , yi) nuqtasi orqali Koshining yordamchi masalasi (15)-(16) ning y(i) yechimi grafigiga urinma oʻtkazish lozim va yi+1 toʻr yechim sifatida bu urinmaning ordinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini olish mumkin.
Xulosa
Kurs ishida birinshi ta`rtibli oddiy differentsial tenglamalar, Koshi masalasining quyilishi, chegaraviy sha`rtlarda oddiy differentsial tenglamalarni sonli yechish usulları o`rganilgan.
Ko`p hollarda differentsial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy shartlarda yechim har doim ham analitik usılda olinamaydi. Shu boistan yechim taqriybiy usullar yordamida olinadi.
Ushbu kurs ishning maqsadi birinchi va ikkinchi ta`rtibli chiziqli va chiziqli emas differentsial tenglamalarni qo’yilgan chegaraviy shartlarda sonli yechishni o`rganish.
Kurs ish kirish, ikki bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar tizimidan iborat bo’lib birinchi bobda oddiy differentsial tenglama haqida umumiy tushinchalar, ikkinchi bobda oddiy differensial tenglamani sonli yechish usullari, oddiy differentsial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechish usullaridan kollokatsiya, keltirilgan.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Mavzu : Oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun chegaraviy masalani yechishning sonli usullari. Reja: Kirish I bob. Oddiy differensial tenglamalar
|