Fazodagi vektorlar - bet 5

A=( - ) = cos ,
bunda — va vektorlar yo'nalishlari orasidagi burchakdir.
Agar (x1; y1; z1) va (x2; y2; z2) vektorlarning koordinatalari ma'lum bo'lsa, ularning yoyilmalari
= x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2
ko'rinishni oladi.
( ) skalar ko'paytmani hisoblashdan oldin, birlik vektorlarning skalar ko'paytmalarini topamiz:
( ) = ( ) = ( ) =1, ( ) - ( ) - ( ) = 0.
( ) skalar ko'paytma vektorlar yoyilmalari orqali
( )= (x1 + y1 + z1 )( x2 + y2 + z2 )
ko'rinishda yoziladi.
Skalar ko'paytmaning taqsimot xossasidan foydalanib, oxirgi ifodaning o'ng tomonini ko'phadlar kabi ko'paytiramiz:
( )= x1x2 2+ y1y2 2+ z1z2 2+x1y2( )+x1z2( )+x2y1( )+y2z1( )+x2z1( )+y1z2( )
yoki
( ) = x1x2+ y1y2+ z1z2
Shunday qilib, ikki vektorning skalar ko'paytmasi ko'paytiriluvchi vektorlar mos koordinatalari ko'paytmalari yig'indisiga teng ekan.
vektorning skalar kvadrati
=x12+y12 + z12
bo'ladi. bo'lganligidan, vektorning uzunligini topish formulasi
(8)
ko'rinishda yoziladi, ya'ni vektorning uzunligi vektor koordinatalari kvadratlari yig'indisidan olingan kvadrat ildizga teng.
Ikki vektorning skalar ko'paytmasi formulasidan foydalanib, va vektorlar orasidagi burchakni hisoblashimiz mumkin:
(9)
yoki
(10)
Ikkita va vektorning perpendikularlik sharti
( ) = x1x2+ y1y2+ z1z2=0
ko'rinishda yoziladi.
Endi mavzu bo'yicha ba'zi masalalarni qaraymiz.
1 – m a s a l a. ABCD kvadrat berilgan va O —uning diagonallari kesishish nuqtasi bo'lsin. Kvadratning B uchidan diagonalga parallel va DA to'g'ri chiziq bilan F nuqtada kesishadigan to'g'ri chiziq o'tkazilgan. vektorni va vektorlar orqali ifodalang.
Y e c h i 1 i s h i. Vektorlarni qo'shishning uchburchak qoidasi bo'yicha OCD dan (10-chizma)
+ =
deb yozish mumkin, bundan
= + .
Modomiki, shartga ko'ra, BF to'g'ri chiziq CA diagonalga parallel ekan, va vektorlar kollinear bo'ladi. Bu vektorlarning uzunliklari, parallel to'g'ri chiziqlarning parallel BC va AD to'g'ri chiziqlar orasida joylashgan BF va CA kesmalari sifatida, o'zaro teng bo'ladi.
Kvadratning diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi va shuning uchun =2 bo'ladi. Endi va vektorlar yo'nalishdosh bo'lgan ligidan,
=2( - )
ifodanihosi! qilamiz.
Javob: =2( - )
10 - chizma.
11 - chizma
|
2 – m a s a l a. ABC uchburchak berilgan va O — uning medianalari kesishish nuqtasi bo'lsin. vektorni va vektorlar bo'yicha yoying Y e c h i 1 i s h i. CK— uchburchakning medianasi bo'lsin (11-chizma). Ikki vektorni qo'shishning uchburchak qoidasidan foydalanib, AKC dan
= +
deb yozish mumkin. K nuqta AB kesmaningo'rtasi hamda va vektorlar qarama-qarshi yo'nalgan. Shuning uchun = va = + . Uchburchakning medianalari kesishish nuqtasida, uchdan hisoblaganda, 2:1 kabi nisbatda bo'linadi. Shu sababli
= yoki = . Demak, = .
Javob: .
|
3 – m a s a l a. Ushbu = 2 + 3 - 4 va = - - +2 vektorlar berilgan bo'lsa:
1) 2 - vektorning koordinatalarini;
2) + vektorning uzunligini toping.
Y e c h i 1 i s h i. Vektorlarning yoyilmalaridan ularning koordinatalarini yozamiz:
(2; 3; -4), (-l; -l; 2)
1) 2 vektorning koordinatalari (4; 6; -8) bo'ladi. Vektorlar ayirilganda ularning mos koordinatalari ham ayiriladi. Agar izlanayotgan vektorning koordinatalarini (x; y; z) deb belgilasak, x = 4+ 1=5; y = 6+ 1=7; z = - 8 - 2 = -10 bo'ladi. Shunday qilib, 2 - vektorning koordinatalari (2 - )(5; 7; -10) bo'ladi;
2) + vektorning koordinatalarini topamiz: x = 2 – 1=1; y = 3 – 1=2; z = -4+2 = -2.
=(x; y; z) vektorning uzunligi
formula bo'yicha hisobianganligidan, + vektorning uzunligi:
J a v o b : 1) (5; 7; -10)
2) 3.
4 – m a s a l a. va vektorlar berilgan bolib, = , =2 hamda va vektorlar orasidagi burchak 30° ga teng bo'lsin. (2 + 3 )( -2 + ) skalar ko'paytmani hisoblang.
Y e c h i 1 i s h i. Vektorlar skalar ko'paytmasining taqsimot xossasiga ko'ra, berilgan vektorlar ifodalarini ko'phadni ko'phadga ko'paytirish kabi ko'paytiramiz:
|