Qavariqlikka tekshirishning Silvestr usuli

7.2.Qavariqlikka tekshirishning Silvestr usuli
Ikki marta differensiallanuvchi
n
x
x
F
x
F
,...,
1
funksiya qavariq bo„ladi
faqat va faqat
n
i
n
j
j
i
j
i
x
x
x
x
x
F
1
1
2
0
(7.4)
shart har qanday
M
X
va
j
i
x
x
,
lar uchun (bir vaqtda nolga teng bo„lmagan)
o„rinli bo„lsa.
(7.4) shart Silvester kriteriyasi deb yuritiladi. (7.4) shart bajarilishi uchun
n
x
x
F
x
F
,...,
1
funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalaridan tashkil topgan
matritsaning barcha asosiy minoralari
k
nomanfiy bo„lishi lozim, ya‟ni
n
k
x
x
x
F
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
j
i
ij
kk
k
k
k
k
k
,
1
,
,
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
(7.5)
Agar
0
k
bo„lsa, u holda (7.4) tengsizlik qat‟iy bajariladi va
F
funksiya qat‟iy
qavariq bo„ladi.
7.2-misol.
Quyidagi funksiyalarni qavariq ekanligini ko„rsating:
1)
8
6
5
2
2
1
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
F
2)
2
1
x
x
Z
Yechish.
1) Xususiy hosilalarni topamiz:
92
2
,
1
,
4
,
6
2
,
5
4
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
x
F
x
x
F
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalardan tashkil topgan matritsa
2
1
1
4
A
Uning asosiy minoralari
0
7
2
1
1
4
det
,
0
4
4
2
1
A
.
Demak, Silvester kriteriyasiga ko„ra
F
funksiya qat‟iy qavariq bo„ladi (barcha
x
larda).
2)
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
/
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
4
1
,
4
1
4
2
,
4
1
,
2
,
2
1
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
Z
x
Ikkinchi tartibli xususiy matritsasi quyidagidan iborat.
;
4
1
4
1
4
1
4
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
0
16
1
16
1
det
,
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
A
x
x
x
Shunday qilib,
Z
funksiya qavariq bo„ladi
0
,
0
2
1
x
x
, ammo qat‟iy qavariq emas.
7.3. Qavariq progrmmalsh masalasining geometrik talqini
Aytaylik,
m
i
b
x
x
x
i
n
i
,...,
2
,
1
,
,...,
,
2
1
(7.6)
Tengsizliklar sistemasi va
n
x
x
f
Z
,...,
1
funksiya berilgan bo„lsin, bunda
x
i
qandaydir
M
qavariq to„plamda qavariq,
Z
funksiya esa
M
to„plamda qavariq
yoki botiq funksiya.
Qavariq programmalashtirish masalasining quyilishi: (7.6)
shartni
qanoatlantiruvchi tengsizliklar sistemasini shunday yechimlarini topish lozimki, bu
Z
funksiya o„zining minimum qiymatiga yoki
Z
botiq funksiya o„zining maksimum
qiymatiga ega bo„lsin.
Har
qanday
chiziqli
programmalashtirish
masalasi
qavariq
programmalashtirish masalasining xususiy holi hisoblanadi. Umumiy holda
qavariq programmalashtirish masalasi chiziqsiz programmalashtirish masalasi
hisoblanadi.
Agar
Z
maqsad funksiya qat‟iy qavariq (qat‟iy botiq) va (7.6) sistemaning
yechimlar sohasi bo„sh to„plam bo„lmasa va chegaralangan bo„lsa, u holda qavariy
programmalashtirish masalasi har doim yagona yechimga ega bo„ladi.
Bunday holda qavariq funksiya minimumga (botiq funksiya maksimumga)
yechimlar sohasining ichki nuqtasida erishadi, agar ichki nuqtada statsionar nuqta
93
mavjud bo„lsa, yechimlar sohasining chetki nuqtasida ekstremumga ega bo„ladi,
agar yechimlar sohasining ichki nuqtasida stansionar nuqta mavjud bo„lmasa.
7.3-misol.
Ushbu qavariq programmalashtirish masalasini geometrik talqin
yordamida yeching.
0
,
0
,
2
,
2
,
4
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
shartlarni qanoatlantiruvchi
2
1
2
2
1
1
2
x
x
x
Z
funksiyaning minimumini
toping.
Yechish.
Masalaning joiz topamiz:
1)
4
2
2
2
1
x
x
markazi koordinata boshida radiusi
2
R
bo„lgan aylanani
yasaymiz.
4
2
2
2
1
x
x
tengsizlikning yechimlar to„plami aylananing ichki va aylana
ustidagi nuqtalardan iborat bo„ladi.
2)
2
1
2
x
x
to„g„ri chiziqni ikki nuqtasi masalan (0;0) va (2;1) orqali yasash
mumkin.
2
1
2
x
x
tengsizlikning yechimlar to„plami – bu to„g„ri chiziqni ustidagi
nuqtalar va undan yuqoridagi nuqtalar to„plamidan iborat bo„ladi.
3)
1
2
2
x
x
to„g„ri chiziqni yasaymiz, masalan (0;0) va (1;2) nuqtalar yordamida
1
2
2
x
x
tengsizlikning yechimlar to„plami bu to„g„ri chiziq ustidagi kuqtalardan
iborat bo„ladi. O„zgaruvchilarni nomanfiyligini hisobga olsak, berilgan masalaning
yechimlar sohasi
OAB
yopiq sektordan (7.2-rasm) iborat bo„ladi.
7.2-rasm.
Endi
Z
sath chizig„ini yasaymiz va
Z
funksiyaning kamayish yo„nalishini
aniqlaymiz. Sath chizig„ining tenglamasi
C
Z
, ya‟ni
3
.
2
1
1
2
2
2
1
C
C
x
x
bo„lsa
1
1
1
2
2
2
1
x
x
- bu markazi (1;1) nuqtada, radiusi
1
R
bo„lgan aylanadan
iborat. Ravshanki,
1
O
markazdan uzoqlashgan nuqtalarda sath chizig„i
Z
o„sadi,
markazga tomon sath chizig„ini ko„chirsak funksiya kamayadi. Shunday qilib,
Z
2
x
2
A
B
1
x
2
1
2
x
x
1
2
2
x
x
1
0
0
1
94
funksiyaning minimumi
1
;
1
1
O
nuqtada
2
min
Z
1
;
1
nuqta
Z
funksiyaning
stansionar nuqtasi ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin.
Mustaqil yechish uchun masalalar
1.
Quyidagi funksiyalarni qavariqlikka tekshiring:
1)
0
,
2
x
x
y
2)
2
1
2
x
x
e
Z
3)
2
2
2
1
5
x
x
Z
4)
1
2
1
2
x
x
x
Z
5)
0
,
0
,
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
Z
2.
Qavariq programmalashtirish masalasini geometrik talqin yordamida
yeching.
1)
max
2
0
,
0
1
;
4
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
Z
x
x
x
x
x
x
2)
min
2
2
3
0
,
0
15
3
16
4
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
Z
x
x
x
x
x
x
95
VIII-bob. Foizlar
8.1. Oddiiy, murakkab va uzluksiz foizlarda jamg’arish
Faraz qilaylik,
P
pul mablag„i
i
foiz stavkasi bilan
T
muddatga
investitsiya qilingan bo„lsin. Demak, investor berilgan muddat oxirida o„zining
P
miqdoridagi mablag„ini va asosiy mablag„ning
i
foiz stavkasi bo„yicha olingan
foizlaridan keladigan foydani oladi. Oddiy foizlar ushbu formula yordamida
hisoblanadi:
T
i
P
I
(8.1)
bunda
I
oddiy foizlar,
P
asosiy investitsiya mablag„i,
i
berilgan
muddatdagi foiz stavkasi,
T
foiz stavkasiga mos muddat.
Agar (8.1) formulada
i
yillik foiz stavkasini ifodalasa,
T
davr yillarda
ko„rsatilishi kerak.
1 – misol
. 300 ming so„m olti oyga kreditga ushbu stavkada berilgan: a)
oyiga 3%; b) yiliga 6%. Shu pulga nisbatan muddat oxirida oddiy foizlar topilsin.
Yechish. a)
9
03
,
0
300
I
ming so„m; b)
9
2
1
06
,
0
300
I
ming so„m.
Agar
P
asosiy mablag„ (bank omonati, kredit va boshqalar),
I
muddat
oxirida bu mablag„ga investitsiya qilingan foizlar bo„lsa, u holda,
I
P
S
(8.2)
dastlabki
P
mablag„ning jamg„arilgan qiymati deb yuritiladi.
)
1
(
iT
P
S
(8.3)
formula esa oddiy foiz formulasi deyiladi.
T
i
T
a
1
)
(
(8.4)
kattalik esa o„sish koeffitsiyenti yoki ko„paytuvchi deb nomlanadi. (1.1.3) va
(8.4) dan
)
(
T
a
P
S
(8.5)
(8.3) yoki (8.5) formuladan ko„rinib turibdiki, jamg„arilgan mablag„
S
ning
qiymati
T
davrga bog„liq, ya‟ni vaqtning funksiyasidir. Bu funksiya chiziqli
funksiya bo„lib, uning grafigi 8.1 – rasmda tasvirlangan.
8.1-rasm.
0 1 2 3 T
S
S
3
S
2
S
1
P=S
0
96
(8.1) – (8.3) formulalar oddiy foizlarning asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Ular
beshta
T
i
I
S
P
,
,
,
,
kattaliklar bilan bog„langan. Birinchi uchta kattalikdan boshqa
barcha uchta kattalikning berilishi boshqa kattaliklarni bir qiymatli aniqlaydi.
Ularning har biri (8.1) – (8.3) tenglamalarni yechish bilan amalga oshiriladi.
2-misol
. Ssuda uchun uch oyga berilgan 100 ming so„mning foizi 12 ming
so„mni tashkil etsa, yillik foiz stavkasi qanday?
Yechish:
12
I
ming so„m,
100
P
ming so„m,
,
4
/
1
12
/
3
T
(8.1)
tenglamadan
48
,
0
4
/
1
100
12
T
P
I
i
yoki
%.
48
i
3-misol
. Har bir yarim yilda bank yiliga 5% li omonat bo„yicha 50 ming
so„m to„laydi. Bankka qo„yilgan pul miqdori qancha?
Yechish.
50
I
ming so„m,
,
05
,
0
i
2
/
1
T
. (8.1) tenglamadan
000
2000
2
/
1
05
,
0
50
T
i
I
P
so„m, ya‟ni
2
P
mln. so„m.
4-misol
. Bankka qo„yilgan 200 million so„m pul uchun 20% dan to„lansa,
uning miqdori ikki marta ortishi uchun necha yil kerak bo„ladi?
Yechish:
)
1
(
iT
P
S
formuladan
5
2
,
0
200
200
400
i
P
P
S
T
yil.
|