Impulsning saqlanish qonuni

Impulsning saqlanish qonuni
N’yutonning ikkinchi qonuni
p mv
impuls (harakat miqdori) ning
o’zgarishi haqidagi teorema deb ham yuritiladi
dP F .
dt
Zarra impulsining vaqt bo’yicha hosilasi unga ta’sir etuvchi natijaviy kuchga teng. Agar zarracha ta’sir etuvchi natijaviy kuchga bo’lsa-yu, kuch nolga teng bo’lsa F 0.
P P0 const,
v v0 const
mv mv0
Bu formula harakat integralidan yana biri impuls integrali bo’lib, impulsning saqlanish qonunini ifodalaydi. Zarraga ta’sir etuvchi natijaviy kuch nolga teng bo’lsa, uning impulsi o’zgarishsiz saqlanadi, bunda zarra doimiy chiziqli tezlik bilan hisoblanadi.
Fazoning bir jinsligidan inersiya saqlanish qonuni kelib chiqdi. Parallel sistemaning barcha nuqtalari bir xil masofada siljiydi. Ya’ni nuqtalarning radius-
vektori o’zgaradi.
ra ra c
koordinatalarning cheksiz kichik o’zgaruvchan L
funksiyasini quyidagicha o’zgartiradi.
a
L L r
L
ra ra
L 0
ning ixtiyoriy qiymatida L 0
ra
Lagranj tenglamalariga ko’ra
d L d L 0
dt va dt va
Shunday qilib, yopiq mexanikaviy sistema harakatida
P L
a va
p ma va a
pa mava
impuls L 0
ra
formulada
L
ra
U
ra
hosila zarraga ta’sir etuvchi
Fa kuchni ifodalaydi. Bu tenglik sistemaning barcha zarralariga ta’sir qiluvchi
kuchlar yig’indisi nolga tengligini bildiradi.
Fa
a
0 .
Ikkita moddiy nuqtadan iborat sistema
F1 F2
0 . Ikki zarra o’rtasidagi o’zaro
ta’sir etadigan kuchlar kattalik jihatdan teng bo’lib bir-birlariga qarama-qarshi yo’nalgan. Bu xulosa ta’sir va aks ta’sirining tenglik qonuni nomi bilan ma’lum.
Lagranj funksiyasi va impuls momentining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi.
M
Impuls va energiya saqlanish qonunlarida ko’rganimizdek, yopiq sistema
uchun
→ ning M , M , M komponentalari saqlanuvchan bo’ladi. Agar sistema
x y z
tashqi biror maydonda joylashsa va berilgan maydon qaysi o’qqa nisbatan simmetrik bo’lsa, shu o’q atrofida aylanishga nisbatan sistemaning mexanik xossasi o’zgarmaydi, demak shu o’q bo’yicha impuls momentining qiymati o’zgarmas bo’ladi. Misol tariqasida, markaziy simmetriyaga ega bo’lgan maydonni qaraylik. Bu maydonda potensial energiya faqat biror kuch markazigacha bo’lgan masofaning funksiyasi bo’ladi. Harakat biror tekislikda, masalan, xy tekisligida sodir bo’lsin. Qutb koordinatalari
x r cos, y r sin
kiritib tezliklar uchun qo’yidagilarni topamiz:
x r cos r sin
y r sin r cos
Impuls momentining bu tekislikka tik bo’lgan komponentasi
z
z
M r→ p→ mxy yx mr 2 const
(9)
Berilgan sistema uchun Lagranj funksiyasi
L m x 2 y 2 U ( r) m r 2 r 2 2 U ( r)
(10)
2 2
Ifodasidan ham (9) tenglikni chiqarish mumkin. Impuls momentining z o’qiga proyeksiyasi Lagranj funksiyasi bilan
M L
z
ko’rinishda bog’langani uchun (10)dan bo’yicha hosila olib
z
M mr 2 const
Ekanligini topamiz. Chunki Lagranj tenglamasidagi
L xosila (10) da L
funksiyaning burchakka oshkor bog’liq bo’lmaganidan nolga teng bo’ladi. Misol. Impuls momenti komponentalarini va uning absolyut qiymatini silindrik, sferik koordinatalarda ifodalang.
Silindrik koordinatalarda ifodalaymiz.
x r cos , y r sin , z z
M x m yz zy m sin ( rz zr) mrz cos
M y m zx xz m cos( zr rz) mrz sin
z
M m xy yx mr 2
x
y
z
M 2 M 2 M 2 M 2 m2r 2 2 r 2 z 2 m2 rz zr 2
Sferik koordinatalarda ifodalaymiz.
x r sin cos,
y r sin sin ,
z r cos
x r sin cos r cos cos r sin sin y r sin sin r cos sin r sin cos z r cos r sin
x
M mr 2 ( sin sin cos cos)
x
M mr 2 ( cos sin cos sin )
z
M mr 2 sin 2
x
M mr 2 ( sin sin cos cos) M 2 m2r 4 ( 2 sin 2 2 )
Nazorat savollari
Energiyaning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
Impul’sning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
Lagranj funksiyasi va impuls momentining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi yozing.
ma’ruza: SAQLANISH QONUNLARI. IMPULS MOMENTINING SAQLANISHI
REJA
Fazoning izotropik xossasi
Impuls momentining saqlanishi
Radius-vektorning koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liqligi.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Lagranj funksiyasi, hosila, vaqt, koordinata, tenglama, sistema, energiya, harakat, kattalik, tezlik, tezlanish, qonun, teorema, kinetik energiya, potensial energiya, impuls, impuls momenti
Fazoning izotropik xossasi va impuls momentining saqlanishi
Mexanik sistema impuls momentining saqlanishi fazoning izotropligi bilan bog’langandir.
Fazoning izotropligi yopiq sistema mexanik xossalarining fazoda bu sistemani (yaxlit) biror uq atrofida burilishga nisbatan o’zgarmasligini ko’rsatadi. Shunga asosan sistemani biror cheksiz kichik burchakka buraylikki, uning Lagranj funksiyasi bu holda o’zgarmay qolsin.
→
Cheksiz kichik burilish burchagi vektorini
→ deylik. Uning absolyut qiymati
bo’lsin, yo’nalishi esa burish o’qi yo’nalishida o’ng vint qoidasi bilan aniqlansin. Dastlab bunday burilishda koordinat boshidan o’tkazilgan radius- vektor orttirmasining nimaga tengligini topaylik. Radius-vektor uchining chiziqli
siljishi
O
r→
r sin
Bu orttirma yo’nalishi
→, r→
vektorlar
tekisligiga perpendikulyar bo’ladi. Shuning
uchun
r→ → r→
(1)
Sistemani burganimizda faqat radius-vektorning yo’nalishi o’zgarib qolmasdan shuningdek barcha zarralar tezliklar yo’nalishi ham o’zgaradi. Bu paytda, albatta barcha vektorlar bir hil qonun asoida almashtiriladi. Demak, (1) almashtirishni
v→ iuchun ham yozishimiz mumkin:
Lagranj funksiyasining orttirmasi
v→ → v→
(2)
L → L →
L r→ ri v→ vi
(3)
i i i
i
Shartga ko’ra, asosida
L 0 . U holda (1), (2) larni (3) ga qo’yib, Lagranj tenglamasi
L
i
v→
p→ ,
L p→
→r
i
i
almashtirishlarini o’tkazib topamiz:
p→ i → r→ p→i → v→ 0
(4)
i i
i
Bu yerda siklik almashtirish o’tkazish yo’li bilan → ni qavsdan tashqari chiqarib
yoza olamiz:
→r→ p→ v→ p→ → d r→ p→ 0
i i i i
i
dt i
Oldin ko’rganimizdek, → ixtiyoriy bo’lgani uchun
i i
d r→ p→ 0
dt i
bo’ladi. Demak, yopiq sistema harakatida
→ r→ p→ const
(5)
M i i
i
Vektor kattalik saqlanuvchan bo’ladi. Bu kattalik sistema impuls momenti deyiladi. Impuls momentining additivligi (5) dan yaqqol ko’rinadi hamda u sistema zarralari o’rtasida o’zaro ta’sirining mavjudligiga yoki mavjud emasligiga bog’liq bo’lmaydi. Impuls momenti ifodasiga zarralar radius-vektorlari kiradi.
|