Qurilish muhandisligi

Toshkent davlat transport universiteti
“Qurilish muhandisligi” fakulteti
KQ-8 guruh talabasi
Sotiboldiyev Muxammadjonning
Oliy matematika fanidan bajargan
MUSTAQIL ISH
Reja:
1. Tekislikda va fazoda Dekart koordinatalar sistemasi.
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish, uchburchak yuzini,
og’irlik markazini topish.
2. Qutb, silindrik va sferik koordinatalar sistemasi.
3. Chiziqli dasturlashda ikkilanmalik nazariyasi.
Ikkilanmalik nazariyasining asosiy teoremalari.
1.Fazoda dekart koordinatalar sistemasi
Fazoda koordinatalar sistemasi ham tekislikdagiga o‘xshash kiritiladi. O nuqtada
kesishuvchi va koordinata boshi shu nuqtada bo‘lgan o‘zaro perpendikular uchta Ox,
Oy va Oz koordinata o‘qlarini qaraymiz. Bu to‘g‘ri chiziqlarning har bir jufti orqali
Oxy, Oxz va Oyz tekisliklar o‘tkazamiz (1- rasm). Fazoda to‘g‘ri burchakli dekart
koordinatalari sistemasi shu tariqa kiritiladi va unda O nuqta – koordinatalar boshi, Ox,
Oy va Oz to‘g‘ri chiziqlar – koordinata o‘qlari, Ox – abssissalar, Oy – ordinatalar va
Oz o‘qi – applikatalar o‘qi, Oxy, Oyz va Oxz tekisliklar – koordinatalar tekisliklari
deb ataladi
Koordinatalar tekisliklari fazoni 8 ta oktantaga (nimchorakka) bo‘ladi (1- rasm).
Fazoda ixtiyoriy A nuqta berilgan bo‘lsin. Bu nuqtadan Oxy, Oyz va Oxz koordinata
tekisliklariga perpendikular tekisliklar o‘tkazamiz (2- rasm). Bu tekisliklardan biri Ox
o‘qini Ax nuqtada kesib o‘tadi. Ax nuqtaning x o‘qidagi koordinatasi A nuqtaning x –
koordinatasi yoki abssissasi deb ataladi.\
A nuqtaning y – koordinatasi (ordinatasi) hamda z – koordinatasi (applikatasi) ham
shu tariqa aniqlanadi. A nuqtaning koordinatalari A(x; y; z) yoki qisqaroq (x; y; z)
tarzda belgilanadi. 3- rasmda tasvirlangan nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega: A(0;
5; 0), B(4; 0; 0), M (0; 5; 4), K (2; 3; 4), P (–2; 3; –4).
1- masala. Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan. Undagi A(2; 3; 4)
nuqtaning o‘rnini aniqlang. Yechish. Koordinata boshidan Ox va Oy o‘qlarining
musbat yo‘nalishida, mos ravishda, OAx = 2 va OAy = 3 kesmalarni qo‘yamiz (4-
rasm). Ax nuqtadan Oxy tekislikda yotgan va Oy o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq
o‘tkazamiz. Ay nuqtadan Oxy tekislikda yotgan va Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq
o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasini A1 bilan
belgilaymiz. A1 nuqtadan Oxy tekislikka perpendikular o‘tkazamiz va unda Oz
o‘qining musbat yo‘nalishida AA1 = 4 kesma qo‘yamiz. Hosil bo‘lgan A(2; 3; 4)
nuqta izlanayotgan nuqta bo‘ladi. Zamonaviy raqamli-dasturli boshqariladigan
stanoklar va avtomatlashtirilgan robotlar uchun koordinatalar sistemasidan foydalanib
dasturlar tuziladi va ular asosida metallarga ishlov beriladi
1.2. Ikki nuqta orasidagi masofa Ikkita A(x1; y1; z1) va B(x2; y2; z2) nuqtalar
berilgan bo‘lsin. 1. Avval AB to‘g‘ri chiziq Oz o‘qiga parallel bo‘lmagan holni
qaraymiz (6- rasm). A va B nuqtalar orqali Oz o‘qiga parallel chiziqlar o‘tkazamiz.
Ular Oxy tekislikni Az va Bz nuqtalarda kesib o‘tsin. Bu nuqtalarning z koordinatasi 0
ga teng bo‘lib, x va y koordinatalari esa mos ravishda A, B nuqtalarning x va y
koordinatalariga teng. Endi B nuqta orqali Oxy tekislikka parallel a tekislik
o‘tkazamiz. U AAz to‘g‘ri chiziqni biror C nuqtada kesib o‘tadi. Pifagor teoremasiga
ko‘ra: AB2 = AC2 + CB2 . Lekin CB = AzBz, AzBz 2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 va
AC = |z2 – z1|. Shuning uchun AB AB x x y y z z 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 - ( ) - ( ) - ( ) . 1 .
2. AB kesma Oz o‘qiga parallel, ya’ni AB= |z2 – z1| bo‘lganda ham yuqoridagi
formula o‘rinli bo‘ladi, chunki bu holda x1= x2, y1 = y2. Demak, A va B nuqtalar
orasidagi masofa: AB AB x x y y z z 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 - ( ) - ( ) - ( ) . 1 (1) Izoh. (1)
formula to‘g‘ri burchakli parallelepipedning o‘lchamlari a x - x b - y y c z - z 2 1 2 1
2 1 , , bo‘lganda, uning diagonali uzunligini ifodalaydi. Sfera va shar tenglamasi.
Ma’lumki, A(a; b; c) nuqtadan R masofada yotgan barcha M(x; y; z) nuqtalar sferani
tashkil qiladi (7- rasm). Unda (1) formulaga ko‘ra, markazi A(a; b; c) nuqtada radiusi
R ga teng bo‘lgan sferada yotgan barcha nuqtalar koordinatalari (x – a)2 + (y – b)2 +
(z – c)2 = R2 tenglikni qanoatlantiradi. Unda, ravshanki, markazi A(a; b; c) nuqtada,
radiusi R ga teng bo‘lgan shar tenglamasi (x – a)2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 ≤ R2 tarzda
ifodalanadi.
1.3. Kesma o‘rtasining koordinatalari
A(x1; y1; z1) va B(x2; y2; z2;) – ixtiyoriy nuqtalar bo‘lib, AB kesmaning o‘rtasi C(x;
y; z) bo‘lsin (8- rasm). 8 9 A, B va C nuqtalar orqali Oz o‘qiga parallel to‘g‘ri
chiziqlar o‘tkazamiz. Ular Oxy tekislikni Az(x1; y1; 0), Bz(x2; y2; 0) va Cz(x; y; 0)
nuqtalarda kesib o‘tsin. Fales teoremasiga ko‘ra Cz nuqta AzBz kesmaning o‘rtasi
bo‘ladi. Unda tekislikda kesma o‘rtasining koordinatalarini topish formulasiga ko‘ra
12 12 , 2 2 xx yy
x y . z ni topish uchun Oxy tekislik o‘rniga Oxz yoki Oyz
tekislikni olish kifoya. Bunda z uchun ham yuqoridagilarga o‘xshash formula hosil
qilinadi. 12 12 , 2 2 xx yy
x y 1 2 2 z z
z . Shunga o‘xshash, berilgan
AB kesmani λ nisbatda (AP : PB = λ) bo‘luvchi P(x1; y1; z1) nuqtaning koordinatalari
A va B nuqtalarning koordinatalari orqali , 1 1 2 λ λ + + = x x x λ λ + + = 1 1 2 y y y ,
λ λ + + = 1 1 2 z z z 117 formulalar yordamida topiladi.
|