AES kriptoalgoritmining matematik asosi

AES algoritmida baytlar ustida amallar bajariladi. Baytlar GF (28 ) chekli
maydon elementlari sifatida qaraladi. GF (28 ) maydon elementlarini darajasi 7 dan katta
bo‘lmagan ko‘phad sifatida tasvirlash mumkin. Agarda baytlar
{a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a1 a 0 }, ai {0,1}, i 0 ... 7
ko‘rinishda tasvirlangan bo‘lsa, u holda maydon elementlari quyidagicha ko‘phad ko‘rinishda yoziladi:
7 6 5 4 3 2 1 0
a x 7 a x 6 a x 5 a x 4 a x 3 a x 2 a x a
Misol uchun {11010101 }
baytga
x 7 x 6 x 4 x 2 a
ko‘rinishdagi ko‘phad mos keladi.
0
Chekli
GF (28 )
maydon elementlari uchun additivlik va multiplikativlik
xossalariga ega bo‘lgan qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlangan.
AES algoritmida ko‘phadlarni qo‘shish (XOR) (berilgan ko‘phadlarga mos keluvchi ikkilik sanoq sistemasidagi sonlarni mos bitlarini mod 2 bo‘yicha qo‘shish) amali orqali bajariladi. Masalan
x 7 x 6 x 4 x 2 x
hisoblanadi:
va x 7 x 5 x 3 x 1
ko‘phadlar natijasi quyidagicha
( x 7 x 6 x 4 x 2 x) ( x 7 x 5 x 3 x 1) ( x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 1)
Bu amal ikkilik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida quyidagicha ifodalanadi:
{11010110
} 2 {10101011
} 2 {01111101 } 2
va D 6 16 AB 16
7 D16
Chekli maydonda istalgan nolga teng bo‘lmagan a element uchun unga teskari
bo‘lgan a
element mavjud va
a ( a ) 0
tenglik o‘rinli, bu erda nol elementi sifatida
{00 } 16
qaraladi. GF (2 8 ) maydonda
a a 0 tenglik o‘rinli.
AES algoritmida ko‘phadlarni ko‘paytirish quyidagicha amalga oshiriladi:
ikkita ko‘phad o‘nlik sanoq sistemasida ko‘paytiriladi;
ettinchi darajadan katta bo‘lgan har qanday ko‘phadni sakkizinchi darajali
( x ) = x 8 x 4 x 3 x 1 keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘lganda qoldiqda etti
va undan kichik bo‘lgan darajadagi ko‘phadlar hosil bo‘lib, ular natija sifatida olinadi, bunda bo‘lish jarayonida bajariladigan ayirish amali ikkilik sanoq sistemasida, yuqorida keltirilgani kabi, amali asosida bajariladi.
Ana shunday qilib kiritilgan ko‘paytirish amali bilan belgilanadi.
Masalan,
( x 6 x 4 x 2 x 1)
va ( x 7 x 1)
ko‘phadlar quyidagicha ko‘paytiriladi:
bu ko‘phadlar o‘nlik sanoq sistemasida ko‘paytiriladi
( x 6 x 4 x 2 x 1) ( x 7 x 1) ( x 13 x 11 x 9 x 8 x 6 x 5 x 4 x 3 1) ;
natija ( x) x 8 x 4 x 3 x 1 keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘linadi va qoldiq
olinadi
( x 13 x 11 x 9 x 8 x 6 x 5 x 4 x 3 1) mod
( x 8 x 4 x 3 x 1) ( x 7 x 6 1) .
Haqiqatan ham
( x 13 x 11 x 9 x 8 x 6 x 5 x 4 x 3 1) ( x 5 x 3 )
( x 8 x 4 x 3 x 1) ( x 7 x 6 1) .
Har qanday nolga teng bo‘lmagan element uchun a 1 a , tenglik o‘rinli. GF (2 8 )
16
maydonda bir element sifatida {01} tushiniladi.
Kiritilgan ko‘paytirish amali umumiy holda quyidagicha bajariladi. Ixtiyoriy ettinchi darajali
a7x7+ a6 x6+ a5 x5+ a4 x4+ a3 x3+ a2 x 2+a1x+ a0
ko‘phadni x ga ko‘paytirib, quyidagiga ega bo‘lamiz
a7x8+ a6 x7+ a5 x6+ a4 x5+ a3 x4+ a2 x3+ a1x2+ a0 x.
Bu ko‘phadni x = x8+x4+x3+x+1=1{1b} modul bo‘yicha hisoblab, chekli
GF(2 8) maydonga tegishli elementni hosil qilamiz. Buning uchun a7 =1 bo‘lganda x
= x8+x4+x3+x+1 ko‘phadni yuqorida olingan sakkizinchi darajali ko‘phaddan XOR
amali bilan ayirish kifoya, ya'ni :
( a7 1) x8+ ( a6 0) x7+( a5 0) x6+( a 4 0) x5+( a3 1) x 4 +( a2 1) x3 +
+ ( a1 0) x2+ ( a0 1) x+1=( a6 0) x7+( a5 0) x6+( a 4 0) x5+
+( a3 1) x 4 +( a2 1) x3 + ( a1 0) x2+ ( a0 1) x+1,
bu erda a7 =1 bo‘lgani uchun
( a7 1) x8 =( 1 1) x8 =0.
Agarda a7 =0 bo‘lsa, u holda natija: a6 x7+…+a1x2+ a0 x ko‘phadning o‘zi bo‘ladi .
Ushbu x time ( ) funksiya yuqorida kiritilgan ko‘paytirish amaliga nisbatan berilgan ko‘phadni x ga ko‘paytirishni ifodalasin. Shu funksiyani n marta qo‘llab xn ga ko‘paytirish amali aniqlanadi. Bevosita hisoblash bilan quyidagilarni o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin:
{57} {13} = {fe},
chunki
Bundan
{57} {02}= x time ({57})={ae}
{57} {04}= x time ({ae})={47}
{57} {08}= x time ({47})={8e}
{57} {10}= x time ({8e})={07},
{57} {13}={57} ({01}{02}{10})={57}{ae}{07}={fe}.
Yuqorida ta'kidlanganidek algoritm akslantirishlari baytlar va to‘rt baytli so‘zlar bilan (ustida) bajariladi. To‘rt baytli so‘zlarni koefisentlari GF(28) chekli maydondan olingan darajasi uchdan katta bo‘lmagan ko‘phadlar ko‘rinishida ifodalash mumkin:
a(x) = a3 x3+ a2 x 2+a1x+ a0 ,
bu erda
a (a i a i a i a i a i a i a i a i ) , a i 0;1 , i=0,1,2,3; j=0, 1, …,7.
i 7 6 5 4 3 2 1 0 j
Bunday ikkita ko‘phadlarni qo‘shish o‘xshash hadlari oldidagi koeffisientlarni
amali bilan qo‘shish orqali amalga oshiriladi, ya'ni:
a( x)+ b( x)= ( a3 b3 ) x3+ ( a2 b2) x 2+( a1 b1) x+ ( a0 b0).
Ko‘paytirish amali quyidagicha amalga oshiriladi. Ikkita to‘rt baytli so‘zlar mos ko‘phadlar bilan ifodalangan bo‘lsin:
a( x) = a3 x3+ a2 x 2+a1x+ a0 i b( x) = b3 x3+ b2 x 2+b1x+b0 .
Ko‘paytirish natijasi oltinchi darajadan katta bo‘lmagan ko‘phad
a( x) b( x) = s( x)= c6 x6+ c5 x5+c4 x4+ c3 x3+ c2 x 2+c1x+ c0 ,
bo`lib bu yerda
c a b , c1=a1•b0 a0•b1 , c2=a2•b0a1•b1a0•b2 ,
0 0 0
c3=a3•b0a2•b1a1•b2 a0•b3 , c4 =a3• b1a2•b2 a1•b3 , c5=a3•b2 a2•b3 , c6=a3•b3
.
Ko‘paytirish natijasi to‘rt baytli so‘zdan iborat bo‘lishi uchun, uchinchi
darajadan katta bo‘lgan har qanday ko‘phadni to‘rtinchi darajali ( x ) = x4+1
keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘lganda qoldiqda uchinchi va undan kichik bo‘lgan darajadagi ko‘phadlar hosil bo‘lishini hisobga olgan holda, ular natija sifatida olinadi, bunda bo‘lish jarayonida bajariladigan ayirish amali ikkilik sanoq sistemasida, yuqorida keltirilgani kabi, amali asosida bajariladi.
Quyidagi ifoda o‘rinli: xi mod (x4+1)=xi mod 4 .
Shunday qilib, a(x) va b(x) ko‘phadlarni -ko`paytmasini ifodalovchi
a(x) b(x) = d(x) = d3 x3+ d2 x 2+d1x+ d0 ,
natijaviy d(x) –ko‘phadning koefisientlari quyidagicha aniqlanadi:
d0=a0•b0 a3•b1 a2•b2a1•b3, d1=a1•b0 a0•b1 a3•b2 a2•b3, d2=a2•b0 a1•b1 a0•b2 a3•b3, d3=a3•b0 a2•b1 a1•b2 a0•b3 .
Yuqorida keltirilgan amallarni matrisa ko‘rinishida quyidagicha ifodalash mumkin:
d 0 a 0 a 3 a 2 a1 b0
d a a a a b
b
a
1 1 0 3
2 1
2
a
d a a
2 1 0
2
3
d 3 a 3 a 2 a1 a 0 b3
Kvadrat arxitekturaga ega AES blokli shifrlash algoritmi o‘zgaruvchan uzunlikdagi kalitlar orqali shifrlanadi. Kalit va blok uzunliklari bir – biriga bog‘liq bo‘lmagan holda 128, 192 yoki 256 bit bo‘ladi. Biz mazkur o‘quv qo‘llanma ishida AES shifrlash algoritmini bloklar uzunligi 128 bit bo‘lgan holi uchun ko‘rib chiqamiz. Blok o‘lchami 128 bitga teng kirish , bu 16 baytli massiv 4 ta qator va 4 ta ustundan iboratdir (har bir satr va har bir ustun bu holda 32 razryadli (bitli) so‘z deb
qaraladi.)
Shifrlash uchun kirayotgan ma'lumot baytlari:
s00 , s10 , s20 , s30 , s01 , s11, s21, s31, s02 , s12 , s22 , s32 , s03 , s13 , s23 , s33 ,
ko‘rinishida belgilanadi. [4]
Kirayotgan ma'lumot quyidagi 1–jadvaldagi kvadrat massiv ko‘rinishida kiritiladi. Ya'ni, baytlarni tartib bilan ustun bo‘yicha to‘ldirib boriladi. Birinchi to‘rtta bayt (s00 , s10 , s20 , s30) birinchi ustunga mos tushadi, ikkinchi to‘rtta bayt
(s01 , s11, s21, s31) ikkinchi ustunga mos tushadi, uchinchi to‘rtta bayt (s02 , s12 , s22 , s32) uchinchi ustunga mos tushadi, to‘rtinchi to‘rtta bayt (s03 , s13 , s23 , s33) to‘rtinchi ustunga mos tushadi.
1.1-jadval
Kirayotgan ma'lumotlarning holat jadvali
s00
|
s01
|
s02
|
s03
|
s10
|
s11
|
s12
|
S13
|
s20
|
s21
|
s22
|
s23
|
s30
|
s31
|
s32
|
s33
|
Xuddi shunday tartibda shifrlash kaliti ham kvadrat jadval shaklida kiritiladi.
Ular 128 bit = 16 bayt = 4 so‘z (to‘rtta 32 bitlik blok) dan iborat:
k00 ,k10 , k20 , k30 , k01 , k11, k21, k31, k02 , k12 , k22 , k32 , k03 , k13 , k23 , k33 .
1.2- jadval
Shifrlash kaliti holat jadvali.
K00
|
k01
|
k02
|
k03
|
K10
|
k11
|
k12
|
k13
|
K20
|
k21
|
k22
|
k23
|
K30
|
k31
|
k32
|
k33
|
Shuningdek, AES shifrlash algoritmi raundlar soni Nr , kirish bloklar o‘lchami
Nb va kalit uzunligi Nk larga bog‘liq holda quyidagi 3-jadvalga mos holda qo‘llaniladi.
1.3-jadval
AES shifrlash algoritmi raundlar
Nr
|
Nb=4
128 bit
|
Nb=6
192 bit
|
Nb=8
256 bit
|
Nk=4
128 bit
|
10
|
12
|
14
|
Nk=6
192 bit
|
12
|
12
|
14
|
Nk=8
256 bit
|
14
|
14
|
14
|
|