TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
MUSTAQIL ISH 2
Kvant kriptografiyasiga asoslangan kalitlarni taqsimlash protokollari
Bajardi: 070-20-guruh talabasi
Meliboyev Davron Elshodovich
Tekshirdi: Karimov A.A
Toshkent
2024
Reja:
1. Kvant axborotlari nazariyasining asosiy tushunchalari
2. Kvant holatlar
3. Protokollar
Axborotning kvant nazariyasi XX asrning eng muhim ikki nazariyasining kesishmasidir: Bular kvantmexanikasi va axborot nazariyasi. Kvantmexanika axborotni uzatish va qayta ishlashda ishtirok etish imkoniyatlari va holatlari bilan shug'ullanadi va ko'rib chiqadi. Ushbu nazariya XX asrning 60-yillarda kompyuter texnologiyasini tezkor rivojlantirishda paydo bo‘ldi, natijada hisoblash qurilmalari hajmining doimiy ravishda pasayib borishi muqarrar ravishda vaqtni axborot resursi sifatida yagona kvant holatidan foydalanishga majbur bo‘ladi. Bu yangi qiyinchiliklarni, birinchi navbatda kvant shovqinining kuchli ta’sirini anglatadi, bu hal qiluvchi omil deb hisoblandi. Biroq, ushbu hodisani batafsil o'rganish natijasida, kvant shovqinlari axborotni uzatish va qayta ishlashda yordam berishi mumkinligi aniqlandi: shunday qilib, hodisa bir zarrachaning kvantli "tarqalishi", ammo bir nechta kosmik nuqtalar aralashuvlar xususiyatiga ega, bu esa juda ko‘p holatlarda ishlatilishi mumkin. Kvant axborot nazariyasi yangi fan sifatida kvant fenomenlari bilan ishlaydi, ularning xususiyatlarini belgilaydi va ularni qo‘llaydigan texnologiyalarni o‘rganadi. Ayniqsa, kvant holatini qo‘llash, kvant kompyuterning g‘oyasi hisobiga hisoblash tezligini yangi darajaga olib chiqishi mumkin, shuningdek, kvant kriptografiyasida kalitlarning taqsimlanishining mutlaq maxfiyligini kafolatlaydi.
Boshlang‘ich zarralar bo‘yicha dastlabki tajribalar paytida, ularning harakatlari ayni paytda mavjud bo‘lgan jismoniy hodisalar g‘oyalari bilan murosaga kelishi juda qiyin bo‘lgan. Bu elementar zarrachalarning xatti-harakatini tasvirlaydigan yangi qonunlar shakllangach, fizikaning bu qismi kvant nazariyasi deb atala boshlandi va o‘sha paytda dunyodagi jismoniy rasmi - klassik edi.
To‘lqin funksiyasi va sof holatlar
Kvant nazariyasi va klassikasi o‘rtasida bir-biridan muhim farqlar mavjud va uning bunday asosiy farqlardan biri kvant zarrachasining ta’rifi va uning holati. Bunday zarrachaning ma’lum koordinatalari, o‘lchamlari va massasiga ega bo'lgan qismi kabi g'oyasi aslida noto'g'ri bo'lib chiqdi, chunki ba'zi bir zarralar uchun, aslida qayerda bo'lishidan qat'iy nazar, ularni tushunish mumkin emas edi. Lekin bunday zarralarning xatti-harakatlarini oldindan aytish mumkin edi. Shu bilan birga, bu xatti-xarakatlarni faqat tizimning barcha "an'anaviy" jismoniy xususiyatlarini hisoblashga urinishdan voz kechganidan keyin tushuntirish mumkin edi.Bu esa, har qanday elementar zarracha (yoki zarracha tizimi bir necha bo'lsa) ning "to'lqin funktsiyasi" deb atalishi - dunyoning kvant rasmidagi tubdan yangi narsa bo'lganligiga olib keldi. Avvalo sof kvant holatining tushunchasini tanishtiramiz. Bunday holat Gilbert tipidagi ℋ ning birligi normasi bilan vektordir. Vektorning normasi uning skalyar maydonining ildizidir:
Ushbu ish doirasida faqat son o'lchamli Gilbert bo'shliqlari hisobga olinadi va skalyar mahsulotning mavjudligi ularning xususiyatlaridan eng muhimi bo'ladi. Shunday qilib, vektor uchun , birlik normasining xususiyati shunga o'xshash tarzda yozilishi mumkin * =1.
Yuqoridagi ta’rifni to‘lqin funksiyalarining an’anaviy shakllanishiga osonlik bilan bog‘lash mumkin: har bir to‘lqin funksiyasiga ko‘ra vektorga to‘g‘ri keladi, bu i-koordinatasi fazoda i -nuqtada zarralarni topish ehtimoli amplitudasiga teng. Shunday qilib, muammoning shartlariga eng mos bo‘lgan joyni topish muhim ahamiyatga ega.
Shtatning normallashuvi talabi, zarrachani aniqlashning umumiy ehtimoli birligini anglatadi. Holatlar va operatorlar uchun kvant axborot nazariyasida Dirak tomonidan kiritilgan yozuvdan foydalanish odatiy holdir. Holat ' ), va skalyar mahsulotda kabi ishlatiladigan holati *. Keyin vektorlar ( ) skalyar 143 mahsuloti ( | ) sifatida yoziladi.Har bir sof kvant holatiga muvofiq operatori = zichlik operatori deb ataladi. Bu operator 1-darajaga ega, uning izi bir xil va u sof holatda proyektor vazifasini bajaradi ).
Aralash holatlar
Zichlik operatorlari yordamida kvant holatining umumiy kontseptsiyasi kiritiladi. Qo'shma kvant holati bir nechta sof holatlarning statistik aralashmasidir (ya’ni, mos keladigan ehtimolliklarga ega sof holatlar to‘plami):
Aralash holatning izi birga teng. Uning ijobiy ta‘rifini ko'rsatish osonroq:
Bundan tashqari, har qanday ermit A operatori siyrak holatga ega ekanligi ma’lum
bu yerda i o'zliklari haqiqiydir va o'z vektorlari | i ) normalizatsiya qilinadi va ortogonaldir. Bu operator bilan atalgan bo'lishi mumkin, iz bilan har qanday ijobiy ermit operatori bir kvant holati zichligi, degan ma'noni anglatadi: (ehtimol og'irligi sifatida qabul qilinadi) quyidagi ijobiy barcha vektorlar ijobiy ta`rifidir va bir iz holatidan - vektorlar yig'indisi birga teng deb. Shuning uchun ularning shunga o'xshash birikmasi statistik aralashma sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. Bu kvant holatining umumiy ta'rifiga olib keladi:
Ta’rif: Kvant holati H -Gilbert tekisligidagi ijobiy operatori ya’ni bir izli.
Kvantli vaziyatlar H ustidan operatorlar bo'shlig'ida konveksni hosil qiladi. Kvant holatlarining to'plami odatda S H bilan belgilanadi. Ushbu to'siqning qirra nuqtalari 1-darajali operatorlar tomonidan baholangan sof kvant holatidir.
Vaqti-vaqti bilan holat o‘zgarishlari
Kvant mexanikasining asosiy qonunlaridan biri - kvant holatini vaqtdagi 144 o‘zgarishlarni tavsiflovchi Shryodingger tenglamasi, kvant mexanikasining an’anaviy kurslarida
bu yerda h-doimiy koeffitsienti va taxminan 1.054*10(34) ga teng Ermitlik operator H sistemadagi Gamiltoni deb ataladi va uning evolyutsiyasiga ta’sir qiladi. Ermit va unitar operatorlar o‘rtasidagi yozishmalar tufayli
Shryodinger tenglamasi shaklda qayta yozilishi mumkin
Keyingi hisob-kitoblar uchun bu Shryodinger tenglamasining eng qulay usuli hisoblanadi, chunki u kvant tizimining har qanday evolyutsiyasi unitar transformatsiyalarning harakati sifatida ifodalanishi mumkinligini anglatadi. Unitar operator operatorni qoniqtiruvchi holat deb hisoblaydi
Kubitlar
Noyob kvant obyektining eng oddiy misoli – ikki asosiy holatga ega bo'lgan tizimdir. Bunday tizimlarning fizik misollari polyarizatsiya (vertikal | ) va gorizontal | mos keladigan yo'nalishli fotonlar bo'lishi mumkin )) yoki elektronning yo'nalishi (| yuqoriga va pastga | ). Bu holatda tegishli Gilbert fazosi ikki o'lchamli bo'ladi va odatda "H2 " deb ataladi. Odatda, agar ikki darajali tizimning o'ziga xos jismoniy tabiati ahamiyatga ega bo‘lmasa, uning holatlari | 0 va | 1 ) deb ko'rsatilgan. Klassik bit bilan taqqoslaganda bunday tizim kubit, deyiladi, ya'ni "miqdoriy bit" degan ma’noni anglatadi.
Kubitningixtiyoriy sof holati quyidagicha yozilishi mumkin
Zichlik operatorining p darajasi 1 ga teng bo'lishi mumkin (sof holda | |) uchun) yoki 2 –L 2holatida har doim ikkita sof holatlarning statistik aralashmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan aralash holat:
Norasmiy ravishda kvant kriptografiyasining barcha protokollarining ishlash printsipi quyidagicha ta'riflanishi mumkin: har bir bosqichda uzatuvchi tomon (Alisa) har bir bosqichda holatlardan birining ortik bo'lmagan to'plamlaridan birini yuboradi va qabul qiluvchi tomon (Bob) bunday o'lchovni amalga oshiradi, keyinchalik tomonlar o'rtasida klassik ma'lumot almashishdan so'ng, chiziqli, ideal kanalning holati va interseptorning yo'qligi bilan to'liq mos keladi. Ushbu chiziqlardagi xatolar ideal bo'lmagan ikkita kanalni va kollektorning harakatlarini ham gapirishga qodir.Xato muayyan cheklovdan oshib ketgan bo'lsa, protokolning ishlashi to'xtatiladi, aks holda qonuniy foydalanuvchilar barcha maxfiy kalitlarni (qisman mos keladigan) bittadan ajratib olishlari mumkin. Ushbu bo'limda BB84 protokoli va kalitlarning kvant taqsimotida qonuniy foydalanuvchilarning umumiy sxemasi tasvirlanadi.
Signal holatining uzatilishi
BB84 protokolida ikkita bazadan foydalaniladi:
Ushbu bazalarning xolislik holatiga mos kelishini tekshirish oson
bu holatning asosiy nuqtai nazaridan simmetrik joylashuvga ega bo'lganligini norasmiy ravishda kamaytiradi.
Holatlarni tayyorlash bosqichida Alisa tasodifiy shu asoslardan birini tanlaydi va keyin tasodifiy bit qiymatini tanlaydi: 0 yoki 1 va bu tanlovga ko'ra to'rtta signaldan birini yuboradi:
Ushbu signallarning har birini yuborganida, Alisa o'zining tanlovi va bitning tanlovini eslab qoladi, bu esa uning yonida ikki tasodifiy bittasining paydo bo'lishiga olib keladi. Alisa tomonidan yuborilgan har bir signalni olgan Bob, har bir Alisa asosidagi holatlarning ortogonalligi tufayli ishonchli natija berishga qodir ikkita o'lchovlardan birini tasodifiy amalga oshiradi:
•Natijada, u ikkita qatorga ega bo`ladi: ularning qaysi biridir o'lchash uchun tanlangan va bu o'lchovlarning natijalari bilan.
Shunday qilib, barcha holatlar va o'lchovlar o'tkazilgandan keyin, Alisa va Bobning ikki bosqichlari bor. Ochiq kanal lekin Alisa va Bob bazalarini tanlash bilan bir-biriga ularning qatorlari e'loni va ular asoslari mos emas bo'lganini xabar qilishadi: mos kelmagan bazislarni tashlab yuborishadi. E`tibor berish kerakki, asosiy ideal kanal va shunday taalluqli asoslarini mos tegishli holatda o'z bit chiziqlari bir aloqa kanali natijalarini aralash javob holida, Alisa bilan Bob bir vaqtga to'g'ri keladigan bit qatorni yuborib, ishlatilgan bo'lsa, har qanday Intereptor harakat bit satrlari bo'lishi kerak. Biroq, kanal xato yoki Interseptor ularning izchil bit satrlari taxminan yarmini oshkor qilib tekshirish uchun,
Alisa va Bobda mos bo`lishi mumkin emas ya`ni axborot bit satrlari ustida bildirmay harakat bo'lsa. Markaziy oraliq teoremasiga ko'ra, ochiq bit ketmaketlikda xatto butun ketma-ketlikda bor ekanligi, to'g'ri taxminni beradi, hali u aniq qolgan holatlarda xato ehtimolini baholash mumkin. Xato qiymati ma'lum bir qiymat (protokol parametr) dan katta bo'lsa, ma'lumotlar uzatish Interseptor kaliti haqida juda ko'p ma'lumotlar bor, degan ma'noni anglatadi. Aks holda, Alisa va Bob oldidagi umumiy vazifa maxfiy kalitni olishdir. Bu vazifani ikki bosqichga bo'lish mumkin: birinchi navbatda, xato tuzatish amalga oshiriladi, natijada Alisa va Bob tasodifiy bit lentalariga ega. Ikkinchi bosqich, maxfiylik deb ataladigan, xatoliklarni tuzatishda yoki ishlatilgan kvant holatidagi xatti-harakatlar natijasida interseptorga kelishi mumkin bo'lgan kalit haqida ma'lumotni chiqarib tashlashga qaratilgan. Ushbu qadam natijasida Alisa va Bobning umumiy bit tasmasi haqida ma'lumot olmagan bo'lishi kerak.
BB84 protokoli taklif etilganda uning qarshiligi faqat intuitiv darajada namoyon bo'ldi: tashabbus Yeva orqali yuborilgan holatlarni o'lchash ularning halokatiga olib keladi, bu esa qabul qiluvchi tomonidan qo'shimcha xatoliklarga olib keladi. Ammo, faqat yuborilgan signallarni o'lchash orqali Yeva harakatlari cheklangan emas. Bundan tashqari, uning doirasida barcha mumkin bo'lgan harakatlari uchun Yevaga olish mumkin ma'lumotlarni hisoblash mumkin. Biroq, u BB84 protokoliga qarshiligini isbotladi va barcha mumkin bo'lgan hujumlar bilan Yeva uchun taxmin qiymati ma'lumotlarga murojaat mumkin emas deb paydo bo`ldi. Shunday qilib, 2000 yilda, u [15] kvant aloqa kanali xatolarini ishonchli tuzatadi, agar kvant kriptografiya yashirinligi kvant xato tuzatish kodlari xususiyatlariga kamaytirish mumkin, erishish va nozik ma'lumotlar ko'rsatilishi mumkin etildi. Bu maxfiy kalitni taqsimlash mumkin bo'lgan juda muhim xatolarni beradi.
Protokolning barqarorligini isbotlashning eng oson usuli bir nechta qo'shimcha protokollarni joriy qilishdir. Shunday qilib, dastlab taqdim etilgan 157 birinchi EPR protokoli dastlab kvant o'lchovlar nazariyasidan osonlik bilan chiqadi va qonuniy foydalanuvchilarning ayrim harakatlarining o'zgarishi oqibatida, bu haqiqiy sirni buzmasdan, yanada aniq ta'riflangan BB84 protokoliga tushirilishi mumkin.
|