-misol - 1-mavzu. Elеmеntar hоdisalar fazоsi. Tasоdifiy hodisalar va ehtimоlning turli ta`riflari. Reja

2-misol.
100 ta lotoreya biletlarlaridan bittasi yutuqli bo‗lsin. Tavakkaliga olingan 10
lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo‗lishi ehtimolligini toping.
100 ta lotoreya biletlaridan 10
tasini
usul bilan tanlash mumkin.
={10 lotoreya biletlari
ichida
yutuqlisi
bo‗lishi
}
hodisasi
bo‗lsa,
va
.
2.3-misol.
Pochta bo‗limida 6 xildagi otkritka bor. Sotilgan 4 ta otkritkadan: a) 4 tasi bir
xilda; b) 4 tasi turli xilda bo‗lishi ehtimolliklarini toping.
6 xil otkritkadan 4 tasini
usul bilan tanlash mumkin. a)
A
={4 ta bir xildagi otkritka
sotilgan} hodisasi bo‗lsin.
A
hodisaning elementar hodisalari soni otkritkalar xillari soniga teng,
ya‘ni
N(A)
=6. Klassik ta‘rifga ko‗ra
bo‗ladi. b) B={4 ta
har xil otkritka sotilgan} hodisasi bo‗lsin, u
holda
ga
teng va
}
,...,
,
{
2
1
n
a
a
a
A
}
,...,
,
{
2
1
m
b
b
b
B
A
B
B
A
A
B
B
A
A
B
)
,
(
j
i
b
a
}
,
1
,
,
1
:
)
,
{(
m
j
n
i
b
a
C
j
i
n
m
0
2
10
A
011
.
0
90
1
9
10
1
1
)
(
)
(
)
(
2
10
A
N
A
N
A
P
10
100
C
B
9
99
1
1
)
(
C
C
B
N
1
.
0
10
1
)
(
)
(
)
(
10
100
9
99
1
1
C
C
C
N
B
N
B
P
4
6
C
21
1
126
6
6
)
(
)
(
)
(
4
6
C
N
A
N
A
P
4
6
N(B)
C
.
42
5
126
15
)
(
)
(
)
(
4
6
4
6
C
C
N
B
N
B
P
Klassik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
Agar
bo‗lsa, u holda
;
5.
uchun
Isboti
. 1)
bo‗lgani uchun klassik ta‘rifga ko‗ra
.
2) Klassik ta‘rifga ko‗ra
.
3) Ihtiyoriy
hodisa uchun
ekanligidan
bo‗ladi.
4)
Agar
bo‗lsa,
u
holda
va
.
5)
va
hodisalarni birgalikda bo‗lmagan ikki hodisalar yig‗ndisi shaklida yozib olamiz:
, u holda 4-xossaga
ko‗ra
va
. Bu ikki tenglikdan
kelib chiqadi.
7. Ehtimolning statistik ta’rifi.
hodisa n ta bog‗liqsiz tajribalarda
n
A
marta ro‗y bersin.
n
A
son
hodisaning
chastotasi,
munosabat esa
hodisaning nisbiy chastotasi deyiladi.
Nisbiy chastotaning statistik turg‗unlik xossasi
deb ataluvchi xossasi mavjud, ya‘ni
tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi ma‘lum qonuniyatga ega bo‗ladi va biror son
atrofida tebranib turadi.
Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Tanga
A
={Gerb} tomoni bilan tushishi
hodisasini qaraylik. Byuffon va K.Pirsonlar tomonidan o‗tkazilgan tajribalar
natijasi quyidagi
jadvalda keltirilgan:
Tajriba o‗tkazuvchi
Tajribalar soni,
n
Tushgan gerblar soni,
n
A
Nisbiy chastota,
n
A
/n
Byuffon
4040
2048
0.5080
K.Pirson
12000
6019
0.5016
0
)
(
P
1
)
(
P
1
)
(
0
A
P
B
A
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
B
A
,
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
0
)
(
N
0
)
(
)
(
)
(
N
N
P
1
)
(
)
(
)
(
N
N
P
A
A
1
)
(
0
A
P
B
A
)
(
)
(
)
(
B
N
A
N
B
A
N
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
N
B
N
N
A
N
N
B
N
A
N
N
B
A
N
B
A
P
B
A
B
A
B
B
A
A
A
B
B
B
misol
A
B
A
B
A
)
(
),
3
.
1
(
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
A
P
)
(
)
(
)
(
A
B
P
B
A
P
B
P
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
A
A
n
n
A
A
K.Pirson
24000
12012
0.5005
Jadvaldan ko‗rinadiki,
n
ortgani sari
n
A
/n
nisbiy chastota
0.5 ga yaqinlashar ekan.
Agar tajribalar soni etarlicha ko‗p bo‗lsa va shu tajribalarda biror hodisaning nisbiy chastotasi
biror o‗zgarmas son atrofida tebransa, bu songa hodisaning
statistik ehtimolligi
deyiladi.
hodisaning ehtimolligi
simvol bilan belgilanadi. Demak,
yoki yetarlicha katta
n
lar uchun
.
Statistik ehtimollikning kamchiligi shundan iboratki, bu yerda statistik ehtimollik yagona
emas. Masalan, tanga tashlash tajribasida ehtimollik sifatida nafaqat 0.5, balki 0.49 yoki 0.51 ni
ham olishimiz mumkin. Ehtimollikni aniq hisoblash uchun katta sondagi tajribalar o‗tkazishni
talab qiladi, bu esa amaliyotda ko‗p vaqt va xarajatlarni talab qiladi.
Statistik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
bo‗lsa, u holda
;
Isboti. 1) Ihtiyoriy
hodisaning chastotasi uchun
. Etarlicha katta
n
lar uchun
bo‗lgani uchun
bo‗ladi.
2) Mumkin bo‗lmagan hodisa uchun
n
A
=0.
3) Muqarrar
hodisaning chastotasi
n
A
=
n.
4) Agar
bo‗lsa, u holda
va
.
8. Ehtimolning geometrik ta’rifi.
Ehtimolning klassik ta‘rifiga ko‗ra
- elementar hodisalar fazosi chekli bo‗lgandagina
hisoblashimiz mumkin. Agar
cheksiz teng imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan
bo‗lsa, geometrik ehtimollikdan foydalanamiz.
O‗lchovli biror
soha berilgan bo‗lib, u
D
sohani o‗z ichiga olsin.
sohaga
tavakkaliga tashlangan X nuqtani
D
sohaga tushishi ehtimolligini hisoblash masalasini ko‗ramiz.
Bu yerda X nuqtaning
sohaga
tushishi muqarrar va
D
sohaga tushishi tasodifiy hodisa
bo‗ladi.
-X nuqtaning D sohaga
2
1
A
A
A
P(A)
)
(
lim
A
P
n
n
A
n
)
(
A
P
n
n
A
1
)
(
0
A
P
0
)
(
P
1
)
(
P
B
A
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
A
1
0
0
n
n
n
n
A
A
)
(
A
P
n
n
A
1
)
(
0
A
P
B
A
B
A
B
A
n
n
n
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
B
A
P
B
A
B
A
B
A
G
G
G
}
{
D
X
A
tushishi hodisasi bo‗lsin.
6-rasm
hodisaning geometrik ehtimolligi deb,
D
soha o‗lchovini
soha o‗lchoviga
nisbatiga
aytiladi, ya‘ni
,
bu yerda
mes
orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.
2.3-misol.
(Uchrashuv haqida)
Ikki do‗st soat 9 bilan 10 orasida uchrashishga kelishishdi. Birinchi kelgan kishi do‗stini
15 daqiqa davomida kutishini, agar shu vaqt mobaynida do‗sti kelmasa u ketishi mumkinligini
shartlashib olishdi. Agar ular soat 9 bilan 10 orasida ixtiyoriy momentda kelishlari mumkin
bo‗lsa, bu ikki do‗stning uchrashishi ehtimolini toping.
Birinchi
kishi
kelgan
momentni
x
,
ikkinchisinikini
y
bo‗lsin:
,
U holda ularning uchrashishlari uchun
tengsizlik bajarilishi kerak.
Demak,
,
.
x
va
y
larni Dekart
koordinatalar tekisligida tasvirlaymiz (1-rasm).
U holda
.
1-rasm.
A
G
}
{
}
{
)
(
G
mes
D
mes
A
P
60
0
x
60
0
y
15
y
x
}
60
0
,
60
0
:
)
,
{(
y
x
y
x
}
15
:
)
,
{(
y
x
y
x
A
16
7
60
45
45
2
1
2
60
}
{
}
{
)
(
2
2
G
mes
A
mes
A
P
15
60
A