A{x(t)C[0,1]: x(0)0} - Ызбекистон республикаси олий ва ырта махсус таълим вазирлиги

|
Ызбекистон республикаси олий ва ырта махсус таълим вазирлиги
|
bet | 33/54 | Sana | 09.01.2024 | Hajmi | 9,27 Mb. | | #133327 |
Bog'liq portal.guldu.uz-FUNKSIONAL ANALIZA{x(t)C[0,1]: x(0)0}
bo’lsa, A to’plamning quvvati nimaga teng?
Yechish. Faraz qilaylik
A1{x(t)C[0,1]: x(t)t, 0<1}
bo’lsin. U holda A1A va m(A1)cm(A) bo’lishi ko’rinib turibdi. Ikkinchi tomondan AS[0,1] va m(C)s bo’lganidan
m(A)m(C)
AA1 dan m(A)m(A1)c. Demak, m(A)s
1.3.-masala.
to’plam quvvati nimaga teng?
Yechish. Faraz qilaylik
bo’lsin. U holda A1A va m(A1)cm(A) ekanligi ravshan.
Ikkinchi tomondan A1S[0,1] va m(A)m(S)c
Demak,
m(A)c
1.4.-masala. Butun koeffitsientli darajasi n dan oshmaydigan algebraik ko’pxadlar to’plamining quvvati nimaga teng?
Yechish. Faraz qilaylik R masala shartidagi algebraik ko’pxadlar to’plami bo’lsin. Agar R(t)R bo’lsa, u holda
ko’pxad (n1)-ta ko’rinishdagi parametr bilan aniqlangan bo’lib bularning har biri boshqasiga bog’liq bo’lmagan holda butun sonlarni qabul qiladi, ya’ni
m{ak}a, k0,1,2,…,n
Shuning uchun 1.3.teoremaga asosan m(P)=a
1.5.-masala. Butun koeffitsioentli hamma algebraik ko’phadlar to’plamining quvvati nimaga teng?
Yechish. Pn orqali 1.4.teoremadagi algebraik ko’phadlar to’plamini va R orqali hamma butun koeffitsientli ko’phadlar to’plamini belgilaylik. U holda
Endi 1.2.teoremaga asosan m(P)qa ekanini ko’ramiz.
1.6.-masala. 6 raqami qatnashmaydigan o’nli kasr bilan ifodalanuvchi [0,1] kesmadagi nuqtalar to’plamining quvvati nimaga teng?
Yechish. Masala shartidagi [0,1] kesmadagi nuqtalar to’plamini A deb va [0,1] kesmadagi sonlarni to’qqizli kasrga yoyilmasi to’plami B bo’lsin.
Bu A va B to’plam orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish mumkin. Buning uchun A to’plamdagi har bir kasrda 9 raqamni oltinchi o’ringa yozamiz. U holda A va B to’plam elementlari orasidagi moslik bir xil to’qqiz raqamli yoyilma bilan ta’minlangan bo’ladi.
Demak, m(A)qs
Eslatma. Agar x[0,1] bo’lsa, u holda x0,1,2,3,… bunda har bir k boshqasiga bog’liq bo’lmagan holda o’nli yoyilmada mumkin bo’lgan
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
qiymatlardan qabul qiladi va to’qqiz raqamli yoyilmada mumkin bo’lgan
0,1,2,3,4,5,6,7,8
qiymatlardan qabul qiladi.
1.7.-masala.
A{(x,y)R2: xxyy, x2y21}
to’plamning quvvati nimaga teng?
Yechish. Markazi koordinat boshida va radiusi birga teng bo’lgan doiraning nuqtalar to’plamini A1 deb belgilaylik. Tekislikning uchinchi chorakdagi nuqtalar to’plamini (chegarasidagilar bilan birgalikda) va ux, x0 nurda yotuvchi nuqtalar to’plamini A2 deb belgilaylik. U holda
AA1A2
A1{(x,y)R2: x2y21}
A2{(x,y)R2: xxyy}
bo’ladi. (shaklga qarang)
AR2 bo’lganda m(A)m(R2)c
Endi
B{(x,y)R2: yx, x0, x2y21}
bo’lsin.
U holda VA va m(B)s ekanligi ko’rinib turibdi.
Shunday qilib,
sm(V)m(A)
Endi sm(A) va m(A)c tengsizliklardan
m(A)c
kelib chiqadi.
1.8.-masala. A[0,1], BQ[0,1] bo’lsa, u holda DAxV to’plam quvvatini toping. Bunda+ratsional sonlar to’plami.
Yechish. A va B to’plamlarning Dekart ko’paytmasi (x,u) juftlar to’plamidan iborat bo’lib xA, uV lardan iboratdir. Shuning uchun D to’plam quyidagicha ifodalanadi.
D{(x,y)R2: 0x1, y, B}
Endi DR2 bo’lganidan m(D)m(R2)c
Ikkinchi tomondan [0,1]D bo’lganidan
m([0,1])cm(D)
Demak, m(D)c
1.9.-masala. «Agar A sanoqli to’plam bo’lsa, u holda to’plam ham sanoqli» deb tasdiqlash mumkinmi? esa A ning tutashmasi.
Yechish. Faraz qilaylik+ratsional sonlar to’plami bo’lsin, ya’ni
QR(-,)
U holda
Endi R bo’lganidan va m(R)c bo’lganidan
m( )c
hosil bo’ladi. Demak, masaladagi tasdiq o’rinli emas.
1.10.-masala. Kompleks tekislikda sinz funktsiya faqat mavhum qiymatga ega bo’ladigan nuqtalar to’plamining quvvatini toping.
Yechish. Izlanayotgan to’plamni A deb belgilaylik
bo’lganidan A to’plamda faqat
sin
|
| |