Shturm teoremasi - Amaliy matematika va informatika

Shturm teoremasi. ko’phadning ildizlaridan farqli va sonlarni olib, ni dan gacha o’zgartirganda uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, ning oraliqda xuddi shunday haqiqiy ildizlari mavjud bo’ladi. Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to’la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish bilan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.
Shturm teoremasining qo’llanishi quyidagichadir. Avval tenglamaning barcha ildizlari yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan oraliq nuqtalar bilan kichik oraliqchalarga bo’linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning oraliqdagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu oraliqlar ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa, oraliq ikkiga bo’linadi va har bir oraliq uchun Shturm teoremasi qo’llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki xar bir oraliqchalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o’tish kerakki, Shturm qatoridagi funksiyalarni musbat sonlarga ko’paytirish yoki bo’lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi.
2.1 Algebraik va transsendent tenglamalar va ularni yechish usullari
Noma’lum qatnashgan tenglikka tenglama deyiladi. f(x)=g(x) tenglikdan noma’lum x ni qiymatini topish, tenglamani yechish deyiladi.
Tenglama - bu ikki funksiyaning qiymatlari f (x, y, ...) = g (x, y, ...) ga teng bo’lganda, argumentlarning qiymatlarini topish muammosining analitik yozuvidir. Bu funksiyalarga bog’liq bo’lgan argumentlar odatda noma’lum deb ataladi va funksiyalar qiymatlari teng bo’lgan noma’lum qiymatlari yechimlar yoki ildizlar deb ataladi.
Algebraik tenglama quyidagi ko’rinishga ega: bu yerda va – ratsional sonli koeffitsentlar bilan berilgan ko’phadlar. Chiziqli tenglama – noma’lumning birinchi darajasi qatnashgan tenglamadir. Chiziqli tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lishi mumkin. . Bu yerda berilgan sonlar.
Ko’pgina amaliy hollarda murakkab shaklda berilgan tenglamalarni algebraik yechish usullari mavjud emas va ularni analitik yechib bo’lmaydi. Transendent tenglamalar uchun aniq yechim bir necha xususiy holatda bo’lishi mumkin. Agar tenglamalarni yechishda aniq yechim topilmasa taqribiy usullar qo’llaniladi. Masalan, takrorlanadigan yondashuvlar usullari bilan taqribiy yechimni olish mumkin. Amaliyotda, ba’zi masalalarda ko’rinishdagi bir noma’lumli chiziqsiz tenglamalarni yechishga to’g’ri keladi. Agar funksiya ko’phadlardan iborat bo’lsa, u algebraik, agar tenglama trigonometrik, algebraik va logarifmik ko’rinishlarda bo’lsa, transsendent tenglamalar deyiladi. Bunda oraliqda aniqlangan funksiya bo’lib, bo’lsa, ni tenglamaning yechimi (ildizi) deyiladi. Agar algebraik yoki transsendent tenglamaning ko’rinishi yetarlicha murakkab bo’lsa, uning ildizlarini aniq topishning har doim ham iloji bo’lavermaydi. Bundan tashqari, uning ba’zi koeffitsiyentlarining taqribiyligi ma’lum bo’lsa, ildizlarini aniq topish masalasi o’z ma’nosini yo’qotadi. Shuning uchun ildizlarni taqribiy topish metodlari va ularning aniqlik darajasini baholash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalaming ildizlarini taqribiy topish uchun qo’llaniladigan usullarda uning ildizlari ajratilgan, ya’ni shunday yetarli kichik oraliqlar topilganki, bu oraliqda tenglamaning bittagina ildizi joylashgan, deb faraz qilinadi.
Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni qaysi tipga tegishliligiga qarab yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda aniqlash mumkin. Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani analitik yechimlarini formulalar yordamida aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy chiziqsiz tenglamani yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonli-taqribiy usullariga e’tibor kuchayib bormokda.
Bu usullar jumlasiga quyidagilarni kiritish mumkin:
oddiy iteratsiya;
oraliqni teng ikkiga bo’lish;
urinmalar (Nyuton);
vatarlar (xord) va boshqalar.
Bu metodlardan qisqacha Nyuton metodiga to’xtaladigan bo’lsak, faraz qilaylik, vektor tenglamaning izolyatsiyalangan ildizlaridan bittasi bo’lgan ushbu k -chi yaqinlashish topilgan bo’lsin. U holda vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu , ko’rinishda ifodalash mumkin, bu yerda xatolikni tuzatuvchi had (ildizning xatoligi). Ushbu ifodani veлtor tenglamaga qo’yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: .
Faraz qilaylik, bu va larni o’z ichiga olgan biror qavariq D sohada uzluksiz differensiallanuvchan funksiya bo’lsin. Bu tenglamaning o’ng tarafini kichik vektor darajalari bo’yicha qatorga yoyamiz va bu qatorning chiziqli hadlari bilangina cheklanamiz: .
Yuqoridagi formuladan kelib chiqadiki, hosila deb o’zgaruvchilarga nisbatan funksiyalar sistemasining quyidagi Yakob matritsasi tushuniladi:
,
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak, , .
Bu sistema bu xatolikni tuzatuvchi had larga nisbatan matritsali chiziqli sistema. Bundan formulani quyidagicha yozish mumkin:
. Bu yerdan, maxsus bo’lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga ega bo’lamiz: . Natijada ushbu , Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda nolinchi yaqinlashish sifatida izlanayotgan ildizning qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda algebraik tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar so’nggi formula bo’yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi: .
Nyuton metodida hisoblashlarning soddalashgan ko’rinishlaridan biri bu vatarlar metodidir. Nyuton metodida mehnatning asosiy qismi f(x) va f׳(x) larni hisoblash uchun sarflanadi. Shularning birortasi, masalan, f׳(x) ni hisoblashdan qutulish mumkin emasmi degan savol tug’iladi. Bu bizni vatarlar usuliga olib keladi, ya’ni agar f׳(x) ni taqribiy ravishda almashtirsak: f׳(x) U holda navbatdagi almashtirish qoidasi quyidagicha bo’ladi:
Endi oraliqni teng ikkiga bo’lish usulini blok-sxemasini qisqacha ko’rib chiqamiz:
Sanab o’tilgan usullardan oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri tanlangan oraliqlarda ko’tilgan natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham aniqlab beradi. Urinmalar va oddiy ketma-ketlik usullari esa mos ravishda to’g’ri tanlangan boshlang’ich qiymat va shartda o’ta tezlik bilan taqribiy yechimni zarur aniqlikda topish imkoniyatini yaratadi.
Ko’plab amaliy masalalar algebraik tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda noma’limli ta algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
. (2.1)
Ushbu (2.1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
. (2.1)
bu yerda – argumentlarning vektor ustuni; – funksiyalarning vektor ustuni.
Algebraik tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta algebraik tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo’llanilgan usullarni algebraik tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish juda ko’p hisoblashlarni talab qiladi yoki uni amaliyotda qo’llab bo’lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo’lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan algebraik tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini algebraik tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish mumkin.
|