Yechish - 1-mavzu. Matrisa va ular ustida amallar

Yechish.Firmaning ishlab chiqarish uskunalarini yangilamasdan oldingi ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini quyidagi matritsa koʻrinishda yozish mumkin:
122 130 145 162 152
P 139 160 205 340 430.
Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini topish uchun, bu ishlab chiqarish matritsasini 1,17 ga koʻpaytirish zarur boʻladi:
122 130 145 162 152
1,17 P 1,17 139 160 205 340 430
.
162,63 187, 2 239,85 397,8 503,1
142,74 152,1 169,65 189,54 177,84
Matritsalarni qoʻshish, ayirish, ya’ni algebraik qoʻshish va matritsani songa koʻpaytirish amallariga matritsalar ustida chiziqli amallardeyiladi.
Matritsalarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidagi xossalarga
boʻysinadi:
A B B A;
2) A (B C) ( A B) C;
k( A B) kA kB;
k(nA) (kn) A;
5)(k n) A kA nA;
6) A A;
7) A A ; 8)1 A A.
Bu еrda
A, B,С bir xil o‘lchamli matritsalar, matritsa
A, B,С matritsalar bilan
bir xil o‘lchamli nol matritsa,
k, n ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Faqat va faqat zanjirlangan matritsalar ustida koʻpaytirish amali bajariladi. m p
oʻlchamli
A (aij )
matritsaning p n
oʻlchamli
B (bjk )
matritsaga koʻpaytmasideb
elementlari
cik ai1b1k ai2b2k ... aipbpk
kabi aniqlanadigan m n
oʻlchamli
С (cik )
matritsaga aytiladi. Bu formuladan koʻrish mumkinki, A va B matritsalarning
elementni B matritsaning k ustunida joylashgan mos oʻrindagi elementga koʻpaytirish va hosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish natijasida aniqlanadi.
a11 a12
b b
Masalan, bizga umumiy holda
A a a va B
11 12
koʻrinishdagi
21 22
b b
a a
21 22
31 32
matritsalar berilgan boʻlsin. Bu matritsalarni koʻpaytirish quyidagicha amalga oshiriladi:
a11 a12 b b
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22
AB a a
11 12
a b a b a b
21 22 b b
21 11 22 21 21 12 22 22
31 32 31 11 32 21 31 12 32 22
Endi buni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.
Misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring:
3 1 1 1 1 -1
A 2 1 2 , B 2 -1 1 .
1 2 3 1 0 1
Yechish. 1.Izlanayotgan C AB
matritsaning
c11 elementi A matritsaning birinchi
satr elementlarini B matritsaning birinchi ustun mos elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni
1
c11 3 1 1 2 3 1 1 2 11 6 .
1
Izlanayotgan C AB matritsaning birinchi satr va ikkinchi ustunining elementi
A matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning ikkinchi ustun elementlari bilan mos ravishda koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng:
1
c12
(3 1 1) 1 3 1 1(1) 1 0 2 .
0
Birinchi satr va uchinchi ustun elementi
1
c (3 1 1) 1 3 (1) 11 11 1
13
1
kabi aniqlanadi.
Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari A matritsaning ikkinchi satr elementlarining B matritsaning mos ravishda 1-,2-,3-ustun elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisi sifatida topiladi:
c21
2 1 1 2 2 1 6;
c22 2 1 1 (1) 2 0 1;
c23 2 (1) 11 2 1 1.
C matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga oʻxshash topiladi:
c31 11 2 2 3 1 8;
c32 11 2 (1) 3 0 1;
c33 1 (1) 2 1 3 1 4.
Shunday qilib,
6 2 1
C AB 6 1 1 .
8 1 4
Misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring:
1
2
A 1 2 3 4 , B .
3
4
Yechish. Bu matritsalar zanjirlangan boʻlganligi sababli ular ustida koʻpaytirish amali bajariladi.
1
2
AB 1 2 3 4 1 4 9 16 30.
3
4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
BA 1 2 3 4 .
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16
Keltirilgan misoldan koʻrinib turibdiki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi kommutativlik (oʻrin almashtirish) xossasiga ega emas, ya’ni AB BA. Agar A va B bir xil tartibli kvadrat matritsalar boʻlsa, AB va BA koʻpaytmalarini topish mumkin. Agar
A va B matritsalar uchun
AB BA AB BA munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda A va B
matritsalar kommutativ (antikommutativ) matritsalar deyiladi. Masalan, E birlik matritsa ixtiyoriy A kvadrat matritsa bilan kommutativdir. Haqiqatan ham
AE EA A .
Matritsalarni koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega:
1) ( kA) B k( AB) AkB;
2)( A B) C AC BC;
A(B C) AB AC;
A(BC) ( AB)C.
Keltirilgan xossalardan toʻrtinchisini quyidagi misol yordamida tekshiramiz.
Misol.
A 1 2 ,
B 3 4 va C 3 0 2 matritsalar berilgan boʻlsin:
2 1
5 1 0
2 1
1. AB 1 2 3 4 7 6,
5 1 0
( AB)C 7 6 3 0 2 51 6 14,
2 1 5 1 0 11 1 4
2. BC 3 4 3 0 2 29 4 6 ,
11 1 4
A(BC) 1 2 29 4 6 51 6 14.
Koʻrinib turibdiki, ikki xil hisoblash usulida ham natija bir xil.
A kvadrat matritsani
m m 1butun musbat darajaga ko‘tarish quyidagicha
amalga oshiriladi:
Am
Agar A matritsada barcha satrlari matritsaning mos ustunlari bilan almashtirilsa, u
holda hosil boʻlgan AT matritsa A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi.
Transponirlangan matritsalar quyidagi xossalarga ega:
1) AT T
2)(kA)T
A,
kAT ,
4( AB) T BT AT .
2
1
Masalan, A 3 4 boʻlsa, AT
2 3 5 boʻladi.
5 0
Agar A kvadrat matritsa uchun matritsaga simmetrik matritsadeyiladi.
4 5 2
1 4 0
A AT munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda bu
Masalan,
A 5 8 3
2 3 7
simmetrik matritsaning elementlari bosh diagonalga
nisbatan simmetrik joylashgan.
n tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan teng, bunda n natural son.
n(n 1)
2 ga
qiya simmetrik matritsa deb ataladi. Masalan,
0 5 2
A 5 0 3 .
2 3 0
n tartibli qiya simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan formula yordamida topiladi, bunda n natural son.
n2 n 1
1 0 2 3 5
Masalan, A 0 0 4 0 1
matritsapog‘onasimon matritsadir.
0 0 0 7 0
Iqtisodiy masalalarni matematik modellashtirishda, ya’ni, iqtisodiy muammoni matematik ifodalar yordamidagi ifodasida, matritsalardan keng foydalaniladi. Bunda muhim tushunchalardan biri texnologik matritsa tushunchasidir. Bu matritsa, masalan, bir nechta turdagi resurslardan bir nechta mahsulot turlarini ishlab chiqarishni rejalashtirish (programmalashtirish), tarmoqlararo balansni modellashtirish kabi muhim iqtisodiy masalalarda asosiy rolni oʻynaydi.
Faraz qilaylik oʻrganilayotgan iqtisodiy jarayonda n хil mаhsulоt ishlаb chiqаrish uchun m хil ishlаb chiqаrish fаktоrlаri (resurslar) zаrur boʻlsin. i mahsulotning bir
birligini ishlab chiqarish uchun j turdagi resursdan
aij
miqdori sarflansin.
aij
elementlardan tuzilgan m n oʻlchamli A matritsa texnologik matritsa deb ataladi.
1-turdagi mahsulotdan
x1 miqdorda, 2-turdagi mahsulotdan
x2 miqdorda, ..., n
turdagi mahsulotdan
x1
xn birlik miqdorda ishlab chiqarilishi talab qilinsin. Bu rejani
x
X 2
ustun vektor ( n 1
oʻlchamli matritsa) shaklida ifodalaymiz. U holda 1-
...
x
n
turdagi resurs sarfi
a11 x1 ... a1n xn
ga, ikkinchi turdagi resurs sarfi
a21 x1 ... a2n xn ga
teng. Umumlashtiradigan boʻlsak, ishlab chiqarish rejasini bajarish uchun zarur boʻlgan
j turdagi resurs sarfi
aj1 x1 ... ajn xn
birlikka teng. Bu miqdorlarni ustun vektor
sifatida yozsak aynan AX koʻpaytmani hosil qilamiz.
j mahsulotning bir birligining narxi c j
boʻlsin. Narxlar vektorini
C ( c1,..., cn )
koʻrinishda ifodalaymiz. U holda CX koʻpaytma, matritsalarni koʻpaytirish qoidasiga koʻra, skalyar miqdor, ya’ni sondan iborat. Bu son ishlab chiqarishdan olingan daromadni ifodalaydi.
i turdagi resurs zahirasi miqdori bi
birlikka teng boʻlsin. Resurs zahiralari
b1
b
vektorini ustun vektor shaklida ifodalaymiz:
B 2 . U holda AX B
tengsizlik
...
b
m
ishlab chiqarishda resurs zahiralari hisobga olinishi zarurligini bildiradi. Bu vektor tengsizlik AX vektorning har bir elementi B vektorning mos elementidan katta
emasligini bildiradi. AX B
shartni qanoatlantiruvchi X rejani joiz reja, deb ataymiz.
Ma’nosidan kelib chiqadigan boʻlsak, har qanday X rejaning elementlari musbat sonlardan iborat boʻlishi zarur.
Misol. Korxona ikki turdagi transformatorlar ishlab chiqaradi. 1-turdagi transformator ishlab chiqarish uchun 5 kg temir va 3 kg sim, 2-turdagi transformator ishlab chiqarish uchun 3 kg temir va 2 kg sim sarflanadi. Bir birlik transformatorlarni sotishdan mos ravishda 6 va 5 sh.p.b. miqdorida daromad olinadi. Korxonaning omborida 4,5 tonna temir va 3 tonna sim mavjud. Texnologik matritsa, narxlar vektori va resurs
zahirasini ifodalovchi vektorni tuzing. 500 ,
600
rejalar joiz reja boʻla oladimi?
600 600
|