Tomáš Matoušek

Fyzikální interakce, především elektromagnetická
Tomáš Matoušek
19.12.2001
Fyzikální pole, kvantový a klasický popis interakcí
Na začátek uveďme příklad. Když bychom vyslali dva vzdálené elektrony stejnými rychlostmi proti sobě, pozorovali bychom, že se stále zpomalují, až se zastaví a začnou se od sebe vzdalovat. Nastal jev, kterému fyzikové říkají pružný rozptyl. Elektrony se při něm nijak vnitřně nezmění. Jak můžeme fyzikálně vysvětlit toto chování? Mezi elektrony dochází k výměně fotonů, což velmi precizně popisuje kvantová elektrodynamika. Zjišťuje pravděpodobnosti všech možných způsobů, jak si elektrony mohou pohybovat časoprostorem, k jakým výměnám fotonů může docházet a dokonce, chce-li dosáhnou fyzik ještě přesnějších předpovědí, musí započítat i pravděpodobnost toho, že se z fotonů během výměny mohou vznikat páry elektron-pozitron, které zase vzájemně anihilují apod. Složením všech těchto pravděpodobností dostane pravděpodobnost toho, že se na konci experimentu budou elektrony nacházet v nějakém daném stavu. Fyzikální teorie popisující chování fotonů a elektronů tímto způsobem se nazývá kvantová elektrodynamika a jedním z jejích hlavních představitelů byl americký fyzik R. P. Feynman, který za práci v této oblasti získal i Nobelovu cenu.
Kvantově elektrodynamický popis našeho experimentu je založen na zajímavém principu, který se výrazně uplatňuje, pokud je prostor, kde se elektrony pohybují malý. Máme-li počáteční stav a koncový stav experimentu, nemá smysl zjišťovat, jak se částice přesně chovají někde mezi těmito stavy, ale můžeme jen spočítat pravděpodobnost, že systém přejde z daného počátečního stavu do koncového. Do této pravděpodobnosti pak musíme započítat všechny možné způsoby, jak k přechodu může dojít, přičemž elementární změnou stavu je přemístění fotonu či elektronu z jednoho bodu časoprostoru do druhého a pohlcení či vyzáření fotonu elektronem. Pravděpodobnost každého z těchto jevů se spočítá podle jistých pravidel. Pokud bychom z nějakého důvodu chtěli zjistit, jak se vlastně elektrony a fotony během experimentu pohybují, např. bychom umístili na nějakém místě detektor, který by zjistil, zda jím prošel foton, již bychom vlastně dostali jiný experiment než ten původní, přesněji dostali bychom jiný koncový stav a neměřili bychom již to, co prvně. Je třeba říci, že výsledky této metody velice přesně odpovídají všem provedeným experimentům, takže tato teorie je ve velmi dobré shodě s chováním přírody, ačkoliv některé úvahy vyžadují přijmutí “absurdních” možností jako např. nenulovou pravděpodobnost, že se fotony pohybují rychlostí větší než c či že se částice pohybuje se proti toku času.
Tento přístup je velice zajímavý, ale také velmi komplikovaný, má-li se provést důkladně. Jak popsat tento jev jednodušeji? Pokud budeme uvažovat velké vzdálenosti, dává kvantová elektrodynamika stejné výsledky, jako klasická fyzika, pomocí které je zjištění stavu, v jakém se elektrony budou nacházet po provedení experimentu mnohem jednodušší. Dokonce můžeme zjišťovat, v jakém místě se elektrony nacházejí i během experimentu. Toto místo však principiálně nikdy neurčíme úplně přesně, protož jakmile se pokusíme zjišťovat polohu elektronů přesněji, uplatní se již zmiňovaná kvantová teorie a experiment pak může dopadnou úplně jinak, než kdybychom se o toto měření nepokoušeli. Jinými slovy příliš přesným měřením můžeme významně ovlivnit experiment. Jde o Heisenbergův princip neurčitosti.
Vždy tedy musíme rozlišovat, zda se v experimentu jedná o velké či malé vzdálenosti. Uvažujme tedy v našem experimentu velké vzdálenosti. Chování každého elektronu můžeme popsat tak, že se na děj díváme ze soustavy spojené s těžištěm uvažované dvojice elektronů a elektrony budeme idealizovat a nahradíme je hmotnými body s nábojem (na jejich rozměrech nezáleží, uvažujeme řádově mnohem větší vzdálenosti). Podívejme se na jeden z elektronů. Ten vytváří elektrické pole v němž se pohybuje ten druhý. Na něj toto pole působí a tento účinek se jeví jako odpudivá elektrická síla. (Tato síla je vlastně projevem probíhajících výměn fotonů). Čím blíže je druhý elektron k prvnímu, tím větší na něj působí síla. Proto se elektron zpomaluje, až se zastaví (vůči uvažované soustavě) a poté se zase urychluje na svou původní rychlost, ale nyní opačného směru. Toto vše se dá vyjádřit relativně jednoduchými vztahy, vybereme-li si z matematiky vhodné objekty, které nám popíší elektromagnetické pole (viz dále). (Protože se elektrické pole elektronů mění v čase, vzniká také magnetické pole, ale toto zanedbejme).
Na tomto příkladu, který byl relativně jednoduchý (uvažovali jsme pouze dva elektrony!), lze ilustrovat, že je vždy výhodné dívat se na fyzikální děje z mnoha různých pohledů pomocí takového přiblížení, které je zrovna vhodné pro náš účel – pro naši předpověď, jak vlastně pokus dopadne. Zatím jsme mluvili jen o elektromagnetismu. Popis gravitační interakce lze získat ze speciální teorie relativity (z Einsteinovy rovnice gravitačního pole), ale nebudeme-li uvažovat velké rychlosti a hmotnosti či obrovské vzdálenosti, můžeme ke stejným výsledkům dospět i pomocí klasické fyziky. Naproti tomu slabou a silnou interakci nelze bez kvantové teorie popsat, jelikož tyto interakce mají dosah pouze řádově 10-15 m a proto se nemůžeme omezit jen na “normální” vzdálenosti. Spokojíme se jen s některými zajímavými poznámkami. Slabá interakce je původcem – rozpadu a silná jaderná interakce drží pohromadě jádro každého atomu. Děje se tak opět výměnou částic, jako tomu bylo u elektromagnetické interakce, kde se vyměňovali fotony.
Klasický popis elektrického, magnetického a gravitační pole
Zajímá nás především, jak se bude částice chovat v nějakém poli. To záleží na silách působících na uvažovanou částici. Experimentálně můžeme ověřit, že tyto síly nezáleží jen na vlastnostech samotného pole, ale i na některých vlastnostech částice. To však přináší komplikaci: popíšeme-li pole pomocí sil, budou odvozené vztahy platné jen pro jeden typ částic. Proto byly zavedeny vektorové a skalární funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor resp. skalár (ty závisí už jen na zdrojích pole):
E intenzita elektrického pole
D elektrická indukce
H intenzita magnetického pole
B magnetická indukce
K intenzita gravitačního pole
φ potenciál elektrického pole (skalární funkce)
A vektorový potenciál magnetického pole
Částečně lze popsat pole popsáním jeho význačných oblastí (myšlených objektů, nikoliv skutečných):
siločáry pole – křivky, jejichž tečnou je v každém jejich bodě vektor intenzity pole příslušející tomuto bodu
ekvipotenciální plochy – ve všech bodech ekvipotenciální plochy je stejný potenciál; vektor intenzity je jejich normálou
Popis pole pomocí těchto křivek a ploch není úplný, ale mnohdy dává jistou představu o vlastnostech pole.
Jednoduchá pole se speciálními vlastnostmi:
Homogenní pole má ve všech bodech stejný vektor intenzity. Ekvipotenciální plochy jsou navzájem rovnoběžné.
Radiální pole je tvořené bodovým zdrojem. Nevzniká u magnetického pole. Ekvipotenciální plochy tvoří soustředné koule.
Radiální elektrické pole vytváří elektron v našem příkladu s rozptylem elektronů. V tomto poli pak uvažujeme pohyb druhého elektronu v tomto poli. Pole vytváří samozřejmě oba elektrony, ale nám stačí popsat pohyb jednoho elektronu v poli toho druhého, protože ten druhý se pohybuje v poli toho prvního symetricky.
Rovnice polí
Popis vektorových polí udávají u elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice.
Obecný tvar Maxwellových rovnic pro elektromagnetické pole ve vakuu v diferenciálním tvaru je následující:
kde
je prostorová hustota náboje, tj. jaký je náboj částic v daném objemu,
i je vektor proudové hustoty (dI = idS),
c = 299792458 ms-1 je rychlost světla ve vakuu.
Pokud se magnetické a elektrické pole s časem nebude měnit a proud bude konstantní, přejdou tyto rovnice do rovnic statického elektrického a na něm nezávislého magnetického pole:
Gravitační pole můžeme klasicky popsat Newtonovým zákonem:
Vlastnosti polí
Už jen z Maxwellových rovnic plyne mnoho vlastností elektromagnetického pole.
Například z (2) je vidět, že mění-li se elektrická intenzita pole s časem, vzniká pole magnetické a naopak z (1). Rovnice jsou lineární, platí tedy princip superpozice. Rovnice platí i v relativistické fyzice, jelikož jsou invariantní vůči Lorentzově transformacím. Plyne z nich také zákon zachování náboje, Coulombův i Biotův-Savartův-Laplaceův zákon. Dále můžeme postupnou úpravou za použití některých matematických triků pro počítání s rotacemi a divergencemi ukázat, že existuje elektromagnetické vlnění. Tyto rovnice přesto nepopisují vše, co se týká elektromagnetismu. Neplyne z nich např. vztah pro Lorentzovu sílu, neplyne z nich ani kvantování náboje a ani to, jak se v poli chovají dielektrické či paramagnetické látky.
(Abychom dostali vztahy pro elektromagnetické pole v látkách musíme trochu poupravit tyto rovnice a přidat k nim také výpočty z kvantové a statistické fyziky).
Zákony polí
1. elektrické pole
Zákon zachování náboje (vyplývá z Maxwellových rovnic)
V izolované soustavě se celkové množství náboje nemění.
Kvantování náboje (neplyne z Maxwellových rovnic)
Elektrický náboj je kvantován, elementární velikost náboje je e = 1,602210-19 C.
Zákon invariantnosti náboje
Náboj je invariantní vůči Lorentzovým transformacím.
Princip superpozice (plyne z linearity Maxwellových rovnic):
Vektorové pole vyvolané několika zdroji, je vektorovým součtem polí, které by vyvolal každý zvlášť.
Coulombův zákon (speciální případ první Maxwellovy rovnice):
kde ρ je jednotkový vektor ve směru od náboje q k náboji Q.
Síla působící na náboj q v elektrickém poli náboje Q je úměrná součinu těchto nábojů a klesá se čtvercem vzdálenosti.
Gaussova věta (první Maxwellova rovnice v integrálním tvaru – převedeno pomocí Gaussovy věty):
kde Φ je tok intenzity elektrického pole, S je uzavřená plocha, V je objem touto plochou ohraničený a ρ je funkce hustoty náboje v tomto objemu.
Celkový tok intenzity elektrického pole libovolnou uzavřenou plochou se rovná náboji v prostoru, který tato plocha uzavírá.
Definice elektrického potenciálu:
Potenciál je práce, potřebná k přemístění jednotkového náboje z místa, kde potenciál zjišťujeme, do místa, kde je potenciál nulový. Absolutní potenciál je potenciál vzhledem k nekonečnu (r0 ∞).
V radiálním poli bodového náboje Q:
2. magnetické pole:
Biotův-Savartův-Laplaceův zákon (ze čtvrté Maxwellovy rovnice):
, kde ds je elementární část vodiče orientovaná ve směru proudu a r je polohový vektor místa, kde zjišťujeme intenzitu, vůči této elementární části.
Intenzita magnetického pole tvořeného konstantním proudem I klesá s druhou mocninou vzdálenosti.
Ampérův zákon (speciální případ BSL):
Dosazením do BSL zákona:
Tento vztah vyjadřuje sílu kterou na sebe působí dva vodiče, kterými protékají proudy I1 a I2.
Síla působící na volnou nabitou částici pohybující se v magnetickém poli rychlostí v:
Elektromagnetické pole působí na částici Lorentzovou silou:
2. gravitační pole
Newtonův gravitační zákon:
Je vidět, že rovnice pro intenzitu (a tedy i sílu) elektrického pole a pole gravitačního jsou formálně stejné (až na znaménko – gravitační síly jsou pouze přitažlivé, elektrické mohou být odpudivé i přitažlivé).
V gravitačním poli taktéž platí princip superpozice.
Zdroje informací:
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Feynman Lectures on Physics (3)
R. P. Feynmann: Neobyčejná teorie světla a látky
Vladimír Hajko: Fyzika v príkladoch
Bohumil Vybíral: Elektrostatika (studijní materiál pro přípravu na fyzikální olympiádu)
Josef Fuka, Bedřich Havelka: Elektřina a magnetismus
Martin Macháček: Encyklopedie fyziky
|