Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini qo’llasak

|
Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini qo’llasakBog'liq TENGSIZLIKLAR-I. ISBOTLASHNING KLASSIK USULLARI 30.
Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini qo’llasak,
32
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
{
}
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
1
4(
)
2max , ,
2min , ,
a b
a c
a
b
c
b c
b
c
a
b
c
a
a
b
c
a b
b c
a c
a b c
a b c
a
b
c
a b
b d
c d
a b c
a b
a b c
a b c
a b c
a b c
−
−
−
− +
− +
− =
+
+
=
⎛
⎞
−
−
−
=
+
+
+ + ≥
⎜
⎟
⎜
⎟
+ + ⎝
⎠
− + − + −
=
+ +
−
=
−
≥
+ +
+ +
31.
Umumiylikni chegaralamasdan
1
2
1
1
...
0
....
i
i
i
n
a
a
a
a
a
a
−
+
≤
≤ ≤
≤ ≤ ≤
≤
≤
deb
olamiz va
(
1,2,...,
1),
0
k
k
k
a
b
k
i
b
= −
=
−
>
deb belgilaymiz, u holda
1
...
i
i
n
a
a
a
+
≤
≤ ≤
va
1
2
1
...
i
b
b
b
−
≥ ≥ ≥
,
1
2
1
1
..
..
i
i
i
n
b
b
b
a
a
a
−
+
+ + +
= +
+ +
bo’ladi.
1
1
n
n
na a
nb a
= −
ekanligidan
2
1
1
n
i
n
i
a
nb a
=
≤
∑
ko’rsatish yetarli.
1
1
1
1
1
1
1
( 1)
(
1 )
...
...
n
n
n
n
n
n
n
i
та
n
i
та
nb a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
− −
+ − −
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
=
+
+ +
+
+
+ +
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
.
n
n
n
n
i
i
n
n
i
i
i
n
i
i
n
n
i
i
i
n
i
i
b a
a
a
a b
b
b
b a
a
a
a b
b
b
b b
b
b
a a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
+
−
−
+
−
+
=
=
+
+ +
+
+ + +
≥
+
+ +
+
+
+ + +
=
+ + +
+
+
+ +
≥
≥
+
+ +
+
+
+ +
=
∑
32.
T
engsizlikni
1
2
1
1
1
...
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
x
−
−
−
+
+ +
≤ −
− +
− +
− +
shaklda yozib, undan
1
2
1
1
1
...
1
1
1
1
n
x
x
x
n
x
n
x
n
x
+
+ +
≥
− +
− +
− +
tengsizlikni xosil kilamiz.
(*)
1
i
i
i
x
y
n
x
=
− +
belgilash kiritsak, u holda
33
1
2
...
1
n
S
y
y
y
= +
+ +
≥
tengsizlikni isbotlash yetarli. O’rta arifmetik va o’rta
geometrik miqdorlar o’rtasidagi munosabatga ko’ra,
1 2
1
1
1
1 2
1
2
2
1 2
1
....
(
1)
,
....
(
1)
,
....
(
1)
n
n
n
n
n
n
n
n
y y
y
S
y
n
y
y y
y
S
y
n
y
y y
y
S
y
n
y
−
−
−
− ≥
−
−
≥
−
−
≥
−
…………………
tengsizliklar o’rinli. Bu tengsizliklarning mos kismlarini kupaytirib
1
2
1 2
(
)(
)...(
) (
1)
... ;
n
n
n
S y S y
S y
n
y y
y
−
−
−
≥
−
tengsizlikni va (*) ko’ra
(
1)
1
i
i
i
n
y
x
y
−
=
−
yoki
1 2
1
2
(
1)
...
(1
)(1
)...(1
)
n
n
n
n
y y
y
y
y
y
−
= −
−
−
bulardan
1
2
1
2
(
)(
)...(
) (1
)(1
)...(1
)
n
n
S y S y
S y
y
y
y
−
−
−
≥ −
−
−
(**) munosabatni xosil
kilamiz. Agar 0
1
S
< <
bo’lsa,
1
i
i
S
y
y
− < −
yoki
1
1
(
)
(1
)
n
n
i
i
i
i
S
y
y
=
=
−
≤
−
Π
Π
. Bu
(**) ga ziddir. Demak
1
S
≥
ekan.
33.
Masalaning shartidan
2
2
2
x
y
z
=
−
−
va
1
yz
≤
ekanligini ko’rish mumkin.
Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizliginidan quyidagi usulda foydalanib,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2 2
(1
)
1
2
1
2
1
1
2 2
2 2
x y z xyz x
yz
y z
x
yz
y z
y
z
yz
y z
y
z
y z
yz
yz
yz y z
+ + −
=
−
+ + ≤ ⋅ −
+ + =
=
−
−
−
+ + ≤
−
−
+
+
−
+ =
=
+
−
+
munosabatni hosil qilamiz. Endi
(
)
2 2
1
(2 2
) 2
yz
yz y z
+
−
+
≤
ekanligini ko’rsatish
yetarli. Bu tengsizlikning chap tomonidagi qavslarni ochib ixchamlash natijasida
3 3
2 2
y z
y z
≤
yoki 1
yz
≤
ni xosil qilamiz, bundan esa
2
x y z xyz
+ + −
≤
tengsizlik
isbotlandi.
34
34.
1
1
1
,
,
2
2
3
a
b
c
z
x
y
=
=
=
deb belgilash kiritsak, u holda
2
2
2
( , , ) 2
6
12
Q a b c
a
b
c
=
+
+
ifodaning eng katta qiymatini topsak masala yechiladi.
, ,
a b c
musbat sonlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
{ }
1
max , ,
2
a b
c
< ≤
(1)
2
3 2 6
c
a
ac
+
≥
(2)
2
5 2 10
c
b
bc
+
≥
(3)
(2) dan
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
1
2
3
2 6
12
2
6
a
a
a
c
a
c
a
c
⎛
⎞
+
≥
⇒
+
≥
⇒
+
≥
⎜
⎟
⎝
⎠
,
Bundan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
5
2
1
1
6
6
2
6
a
a
a
c
a
c
a
a
c
a
a
c
c
a
c
c
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
+
=
+
−
≤
+
+
−
≤
+
+
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Xuddi shunday (1) va (3) dan
2
2
7
10
b
c
+
≤
ekanligini topamiz.
Shunday qilib,
2
2
2
2
2
118
( , , ,) 2(
) 6(
) 4
15
Q a b c
a
c
b
c
c
=
+
+
+
+
≤
Tenglik
1
1
1
118
( , , )
,
,
15
3
5
2
Q a b c
Q
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
bajariladi va
1
1
1
,
,
3
5
2
a
b
c
=
=
=
qiymatlar (1)-(2)-(3) shartlarni qanoatlantiradi.
Bundan
118
max ( , , ) max ( , , )
15
P x y z
Q a b c
=
=
.
35.
,
,
a b x b c y c a t
+ =
+ =
+ =
belgilash kiritsak yuqoridagi tengsizlik
quyidagi ko’rinishga keladi:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2(
)
2(
)
2(
)
8 (*)
(
)
2
(
)
2
(
)
2
x t
y t
x y
x t y
y
y t x
x
x y t
t
+
+
+
+
+
≤
+ −
+
+ −
+
+ −
+
Ushbu
2
2
2
2(
) (
)
t
p
t
p
+
≥ +
tengsizlikdan foydalansak,
35
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4(
)
(2(
)
2 ) 2
(2(
)
2 ) 2
(2(
)
2 ) 2
4
4
4
(
)
2
(
)
2
(
)
2
4
4
4
4
4
4
2
2
1
1 2
1 2
1
1
1
(
)
(
)
(
)
y t
x y
x t
x t y
y
y
y t x
x
x
x y t
t
t
x t
y t
x y
x t
y
y t
x
x y
t
y
x
t
y
x
t
x t
y t
x y
x
t
y
t
x
y
+
+
+
+
+
≤
+ −
+
+
+ −
+
+
+ −
+
+
+
+
+
≤
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
≤
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
8.
x
t
y
t
x
y
x
y
t
x
y
t
x
y
t
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
Bundan (*) isbotlandi.
|
| |