MÜHAZİRƏ №10 - Model anlayışı. Modelləşdirmənin mahiyyəti

MÜHAZİRƏ №10
Fiziki proseslərin kompüter modelləri
Fizika elmi İsaak Nyutonun dövründən (XVII-XVIII əsrlər) başlayaraq riyazi modelləşdirmə ilə qırılmaz surətdə bağlıdır. İ.Nyuton mexanikanın təməl qanunlarını, ümumdünya cazibə qanununu kəşf edərək onları riyazi dildə təsvir etdi. O, fizikanın riyazi aparatının əsasına çevrilən diferensial və inteqral hesabını (Q.Leybnislə yanaşı olaraq) işləyib-hazırladı. Termodinamika, elektrodinamika, atom fizikası və başqa sahələrə aid bütün sonrakı fiziki kəşflər riyazi dildə, yəni riyazi modellər formasında təsvir olunan qanunlar və prinsiplər şəklində təqdim edildi.
Havanın müqavimətini nəzərə almadan üfüqlə müəyyən bucaq altında atılmış cismin hərəkət modelini quraq və kompüter eksperimenti aparaq. Öncə riyazi modeli quraq. Üfüqlə α bucağı altında atılmış və başlanğıc sürəti v0 olan cisim havanın müqaviməti nəzərə alınmazsa, parabola üzrə uçur və müəyyən zamandan sonra yerə düşür.
|
v0 sürətini üfüqi və şaquli tərkib hissələrinə ayıraq:
v0x = v0cosa, v0y = v0sinα
Şaquli istiqamətə hərəkət müntəzəm hərəkət deyil. O, trayektoriyanm ən yuxarı nöqtəsinə çatanadək bərabəryavaşıyan, ondan sonra isə bərabəryeyinləşən hərəkətdir. Üfüqi istiqamətə hərəkət müntəzəm hərəkətdir. Sürətin şaquli komponenti üçün düstur belə olacaq:
vy = v0y - gt
Onda ən yuxan nöqtəyə çatma zamanı aşağıdakı düsturla hesablanacaq:
t= v0sinα\g
Bu nöqtənin h hündürlüyü belə hesablanır:
h = v022gsin2α
Cismin hərəkət trayektoriyası isə aşağıdakı düsturla müəyyən olunacaq:
y = tgα ⋅ x - g
2v02cos 2α ⋅ x 2
Göründüyü kimi, uçuş trayektoriyası parabola şəklindədir.
İndi başlanğıc sürətin (v0) və atış bucağının (a) müxtəlif qiymətlərində cismin uçuş məsafəsini (l) və trayektoriyasının ən yuxan nöqtəsinin yüksəkliyini (h) hesablamaq üçün kompüter modeli quraq. l(a) və h(a) asılılıqlarını həm də qrafik şəkildə göstərək. Qeyd edək ki, atış bucağının kəmiyyəti radianla göstəriləcək.
Müəyyən bucaq altında atılmış cismin uçuş məsafəsinin və trayektoriyasının ən yuxarı nöqtəsinin yüksəkliyinin hesablanması
Excel proqramını başladın.
B3 xanasına cismin başlanğıc sürətinin qiymətini (məsələn: 40) daxil edin.
A7:A16 xanalar diapazonuna atış bucağının qiymətlərini 0-dan başlayaraq hər növbətini 10 artırmaqla daxil edin.
B4 xanasına sərbəstdüşmə təcilinin qiymətini (9,8) daxil edin.
B7 xanasına =$B$3*$B$3/$B$4*SIN(2*PI()*A7/180) düsturunu yazın.
B7 xanasındakı düsturu B8: B16 xanalar diapazonuna tətbiq edin.
C7 xanasına =$B$3*$B$3/(2*$B$4)*(SIN(A7*PI()/180))∧2 düsturunu yazın.
C7 xanasındakı düsturu C8:C16 xanalar diapazonuna tətbiq edin.
A7:B16 xanalar diapazonunu seçdirin və Insert menyusundan istifadə etməklə nöqtəli diaqram qurun.
Eyni qayda ilə A7:C16 xanalar diapozonunu seçdirib ikinci qrafiki qurun.
Birinci qrafikdən göründüyü kimi, cisim maksimal uçuş məsafəsinə atış bucağının 45° qiymətində çatır. Atış bucağının sonrakı artımlarında uçuş məsafəsi azalır. Cismi şaquli olaraq yuxan atdıqda o, demək olar ki, atıldığı yerə düşəcək. Bunu qrafikdə a = 90° qiymətində uçuş məsafəsinin 0 olmasından da görmək olur.
İkinci qrafikdən belə bir nəticə çıxır ki, atış bucağı nə qədər böyük olursa, cismin hərəkət trayektoriyasının ən yuxarı nöqtəsinin yüksəkliyi də ən böyük olur.
MÜHAZİRƏ №11
Statik verilənlər əsasında proseslərin modelləşdirilməsi
Statistika böyük miqdarda kəmiyyət və keyfiyyət verilənlərinin toplanması, ölçülməsi və təhlili ilə bağlı elm sahəsidir. Onun tibbi statistika, iqtisadi statistika, təhsil statistikası və başqa istiqamətləri vardır. Statistikanın riyazi aparatının işlənib-hazırlanması ilə riyazi statistika elmi məşğul olur.
Statistika, sadəcə, verilənlərin toplanması və onların cədvəl və diaqramlar şəklində nizamlanması deyil, bundan çox-çox geniş anlayışdır. İstər təbiət, istərsə də sosial elmlərdə bir çox istiqamətlər üzrə proqnozlaşdırma üçün statistika əvəzsiz alətdir. Proqnoz müəyyən bir hadisənin gələcək inkişafı və nəticəsi haqqında öncədən verilən məlumatdır. Yeni bir bilik kimi proqnoz bir tərəfdən gerçəkdə mövcud olan, proqnozlaşdırma müddətində müşahidə edilən və ya edilməyən obyektlərin xassələri haqqında bilikləri, digər tərəfdən proqnozlaşdırma müddətində gerçəkdə mövcud olmayan obyektlərin xassələri haqqında bilikləri əhatə edir. Proqnoz ehtimallı proseslərin, hadisələrin ideal modelini, obrazını, təsvirini yaradır.
Statistik verilənlər həmişə təxmini, orta qiymətlərdir. Ona görə də onlar qiymətləndirmə məqsədi daşıyır, ancaq kəmiyyətlərin asılılıq xüsusiyyətini düzgün əks etdirir. Statistik verilənlərin təhlil edilməsi yolu ilə alınmış nəticələrin dəqiqliyi üçün həmin verilənlərin çox olması da vacib şərtdir.
Nümunə.
|
Azərbaycan Respublikası Dövlət Statistika Komitəsinin rəsmi saytından (www.stat.gov.az) götürülmüş verilənlər əsasında respublikamızda əhalinin sayının illər üzrə necə dəyişdiyini izləmək olar. Bunun üçün həmin göstəriciləri həm cədvəl, həm də nöqtəli diaqram şəklində təqdim edək (yerə qənaət məqsədilə bəzi illərin göstəriciləri verilib).
|
Alınmış verilənlərdən belə bir nəticəyə gəlmək olar ki, göstərilmiş dövrdə Azərbaycanın əhalisi daim artmış və bu artım 1960-cı illərdən başlayaraq daha yüksək olmuşdur. Belə bir sual yarana bilər: əhalinin sayının dəyişmə dinamikasını düstur şəklində göstərmək olarmı, yəni bu prosesin riyazi modelini qurmaq olarmı? Dərhal qeyd etmək lazımdır ki, əhalinin sayının yaşayış ilindən asılılığını əks etdirən hazır funksiya yoxdur!
Bunun səbəbi əhalinin sayı kimi parametrlərin çoxlu sayda müxtəlif amillərdən asılı olmasındadır: doğum səviyyəsi, ölüm səviyyəsi, əhalinin miqrasiyası, təbii kataklizmlər və s. Başqa sözlə, belə bir funksiyanın növü məlum deyil, onu cədvəlin verilmiş göstəriciləri üzrə seçim aparmaqla axtarmaq olar.
Excel cədvəl prosessorunda funksiyanın qrafikini seçmək və onun əsasında prosesin parametrləri arasında asılılıq düsturunun, yəni funksiyanın özünü yaratmaq imkanı vardır. Bu funksiya yetərincə sadə olmalıdır ki, onunla hesablamalar aparmaq mümkün olsun. Digər tərəfdən onun qrafiki mümkün qədər eksperimental nöqtələrin yaxınlığından keçməlidir, yəni sapmalar (uzaqlaşmalar) minimal olmalıdır. Bu yolla alınan funksiyaya prosesin reqressiya modeli deyilir. Reqressiya modelinin qrafikini isə trend adlandırırlar.
Reqressiya modeli üzrə proqnozlaşdırmanın iki üsulu vardır. Əgər proqnoz asılı olmayan dəyişənin eksperimental qiymətləri çərçivəsində edilirsə, onda buna qiymətin bərpası deyilir. Eksperimental qiymətlərin çərçivəsi xaricindəki proqnozlaşdırmanı isə ekstrapolyasiya adlandırırlar.
Reqressiya modeli olarsa, elektron cədvəl vasitəsilə hesablamalar aparmaqla proqnozlaşdırmanı asanca yerinə yetirmək mümkündür; məsələn, ölkə əhalisinin sayını proqnozlaşdırmaqla əmək resursları, qida məhsulları, mənzil və ya təhsillə bağlı düzgün idarəetmə qərarları qəbul etmək mümkündür.
Qrafikin üzərində trendin qurulması nəticəsində alınan daha bir kəmiyyəti görmək olar. R2 kimi işarə olunan bu kəmiyyətə statistikada determinantlıq əmsalı və ya yaxınlaşma kəmiyyəti deyilir. Məhz bu kəmiyyət alınmış reqressiya modelinin nə qədər uğurlu olmasını göstərir. Determinantlıq əmsalı həmişə 0 ilə 1 aralığında olur. Əgər o, 1-ə bərabərdirsə, onda funksiya dəqiq olaraq cədvəldəki qiymətlərdən keçir. Əmsalın 0 olması isə reqressiya modelinin seçilmiş növünün son dərəcə uğursuz olması deməkdir. Beləliklə, əmsal 1-ə nə qədər çox yaxınlaşırsa, reqressiya modeli də bir o qədər uğurlu hesab edilir. Yuxarıdakı polinomial funksiya misalında R2 = 0.9957.
Göründüyü kimi, reqressiya modelinə y = -0,0002x4 + 1,1 868x3 - 3480,9x2 + 5-106x - 2-109 funksiyası uyğundur. Deməli, sonrakı illər üçün proqnozlaşdırma aparmaq üçün bu funksiyadan yararlanmaq olar.
MÜHAZİRƏ №12
Proqramlaşdırma dillərinin köməyilə riyazi məsələlərin modelləşdirilməsi
Verilmiş detalın öndən görünüşünün cizgisini proqramlaşdırma dilində (ALPLogo, Python) çəkən və onun sahəsini hesablayan proqram yazın. a, b, d giriş verilənlərinin qiymətləri klaviaturadan daxil edilir. Bir damanı 20 piksel götürün. Çıxışa detalın öndən görünüşünün cizgisi və onun sahəsi (S) verilir.
|
|