Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigiga oʻtkazilgan urinma tekislik

|
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigiga oʻtkazilgan urinma tekislik
|
bet | 4/8 | Sana | 30.05.2024 | Hajmi | 42,08 Kb. | | #257315 |
Bog'liq OIkki oʻzgaruvchili funksiya grafigiga oʻtkazilgan urinma tekislik
Ikki oʻzgaruvchili \( f(x, y) \) funksiyaning grafigiga o‘tkazilgan urinma tekislikni tushunish va ifodalash uchun, avvalo, funksiyaning grafigi va urinma tekislik nima ekanligini bilib olishimiz kerak.
Funksiya grafigi
Ikki oʻzgaruvchili \( f(x, y) \) funksiyaning grafigi uch oʻlchovli fazoda \( (x, y, f(x, y)) \) nuqtalar toʻplami hisoblanadi. Bu grafikka qiyosan, urinma tekislik grafiga teginadigan va uni biror nuqtada yaqin atrofida eng yaxshi taqlid qiladigan tekislikdir.
Urinma tekislik
Urinma tekislikni hosil qilish uchun funksiyaning ma'lum bir nuqtadagi hosilalarini hisoblash zarur. Urinma tekislik \( (x_0, y_0) \) nuqtadagi funksiyaning hosilasiga asoslanadi va quyidagi formula bilan ifodalanadi:
Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigiga oʻtkazilgan urinma tekislikni nazariy jihatdan tushunish uchun bir qancha asosiy matematik tushunchalarni ko'rib chiqish zarur.
1. Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigi
Ikki oʻzgaruvchili funksiya \( f(x, y) \) uch oʻlchovli fazoda aniqlanadi. Funksiyaning grafigi uch oʻlchovli fazodagi \( (x, y, z) \) nuqtalar to‘plamidir, bu yerda \( z = f(x, y) \). Grafik uch oʻlchovli fazoda bir sirt hosil qiladi.
Bu hosilalar funksiya grafigining qiyaliklarini aniqlaydi. Xususiy hosilalar urinma tekislikni hosil qilishda asosiy ahamiyatga ega.
3. Urinma tekislikning aniqlanishi
Urinma tekislik ikki oʻzgaruvchili \( f(x, y) \) funksiyaning \( (x_0, y_0) \) nuqtadagi grafigiga teginadi va shu nuqtadagi grafigining eng yaxshi yaqinlashtiruvchi tekisligidir. Ushbu tekislikning tenglamasi Taylor qatorining birinchi tartibidagi kengaytmasidan kelib chiqadi:
4. Geometrik izoh
Urinma tekislik geometrik jihatdan grafiga teginadi va lokal hududda uni eng yaxshi yaqinlashtiradi. Bu tekislik grafiga nisbatan "teginish" sifatida qaraladi, chunki tekislik grafiga nisbatan kichik bir nuqtada teginib, uning yaqinidagi qiymatlarni ifodalaydi. Funksiya grafigining har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud bo‘lishi mumkin, va bu tekisliklar grafigining lokal qiyaliklarini ko‘rsatadi.
5. Taylor qatorining birinchi tartib kengaytmasi
Yuqorida keltirilgan urinma tekislik tenglamasi aslida Taylor qatorining birinchi tartib kengaytmasidan kelib chiqadi. Taylor qatorining umumiy ifodasi:
\[ f(x, y) \approx f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) + \text{higher-order terms} \]
Urinma tekislik esa faqat birinchi tartib hosilalarni o'z ichiga oladi va yuqori tartibdagi (kvadrat va undan yuqori) hosilalarni hisobga olmaydi.
6. Amaliy ahamiyati
Urinma tekisliklar matematik tahlilda va muhandislikda ko'plab qo‘llanmalarga ega:
- Optimallashtirishda: Gradientni hisoblashda va funksiyaning o‘zgarish yo‘nalishini aniqlashda.
- Differensial tenglamalarda: Funksiyaning lokal o‘zgarishini modellashda.
- Mashina o‘rganishida: Gradient asoslangan algoritmlarda, masalan, gradient pastga tushish usulida.
Yuqoridagi nazariy ma'lumotlar ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigiga oʻtkazilgan urinma tekislikni to‘liq tushunish uchun zarur bilimlarni beradi.
|
| |