Sferik koordinatalar usuli

Sferik koordinatalar usuli
Sferik koordinatalar sistemasida M moddiy nuqtaning holati koordinatalar orqali (3-rasm) uning harakat qonunlari esa
r, ,
r r(t), (t), (t )
(13)
tenglamalar bilan beriladi. Sferik va Dekart koordinatalar orasidagi bog’lanish quyidagi formulalar orqali ifodalanadi (rasm):
x r sin cos , y r sin sin , r r cos
r
arctg r' ,
r
arctg y
x
(14)
Bu yerda
r' . Sferik sistemaning
e→ , e→ , e→
ortlari bilan
→ , → , →
Dekart
r
i j k
ortlari orasidagi bog’lanishlarni rasmdan foydalnib topish mumkin:
k
r
e
→ i→ sin cos →j sin sin → cos
k
e
→ i→ cos cos →j cos sin → sin
(15)
e
r
→ i→ sin →j cos, r→ re→
rasm
Sferik koordinatalar sistemsining barcha ortlari M nuqta harakatlanganda o’z yo’nalishlarini o’zgartiradi, shuning uchun ulardan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosilalar olamiz:
r
e→ e→ sin e→
r
e→
e→ cos e→
(16)
e→
sin e→
cos e→
r
Sferik koordinatalar orqali ifodalangan r→ radius-vektordan birinchi tartibli hosila
olib, (16) ni e’tiborga olsak, quyidagi munosabatlarni olamiz
r
v→ r→ re→
v
r e→
r sin e→
(17)
vr r,
v r,
v r sin
Ma’lumki, tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosila tezlanish vektorini beradi:
w→ w e→ w e→ w e→
(18)
r
w r r(2 2 sin 2 )
w 1 d
(r 22 ) r 2 sin cos
w
r dt
1
r sin
d (r 2 2 sin 2 )
dt
(18-1)
wr , w va w mos holda radial, meridional va azimutal tezlanishlar deb yuritiladi.
Nazorat savollari
Moddiy nuqtaning Dekart koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
Moddiy nuqtaning silindrik koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
Moddiy nuqtaning qutb koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
Moddiy nuqtaning sferik koordinatalar sistemasidagi xolati, tezligi va, tezlanishi ifodasini yozing
Maydon tushunchasi va Nyuton tenglamalarining qo’llanish chegarasi ayting.
ma’ruza: LANGRAJ FUNKSIYASI VA TENGLAMALARI.
REJA:
Ixtiyoriy koordinatalar sistemasida jismlarning harakatini tahlil qilish.
Umumlashgan koordinatalar.
Eng kichik ta’sir prinsipi
Lagranj funksiyasi
Eyler-Lagranj tenglamasini keltirb chiqarish
Lagranj funksiyasining ayrim muhim xossalari
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: harakat, koordinata, vector, jism, tezlik, ixtiyoriy sistema, vaqt, moment, radius-vektor, kuch, zarracha, maydon, induksiya, nuqta
Oldingi mavzuda turli xil koordinatalar sistemasida jismlarning vaziyatlari va tezlik va tezlanish vayektorlari orasidagi bog’lanishlarni tahlil qilgan edik. Mazkur masalani hal qilish uchun umumlashgan koordinatalar va umumlashgan tezliklar tushunchasidan foydalanish mumkin. Jismlarning boshlang’ich vaqt momentidagi koordinatalari va tezliklari ma’lum bo’lsin, Ushbu masala birinchi bor Lagranj tomonidan kiritilgan. Lagranj metodiga ko’ra ixtiyoriy sistema holatini uning umumlashgan koordinatalari va umumlashagan tezliklari orqali tavsiflanadi va uning mulohazasiga ko’ra jismning ixtiyoriy vaqt momentidagi
tezlanishi unga shu vaqt davaomida ta’sir qilayotgan kuch orqali aniqlanadi.
→ dv→ d 2r→
1 → → dr→
(1)
a dt dt 2
F (r ,
m dt
, t )
(1) munosabat N’yutonning ikkinchi qonunining matematik ifodasidir. Bu yerda
F – moddiy nuqta yoki zarrachaga ta’sir etayotgan kuch bo’lib, u umumiy holda zarrachaning tezligi v , uning radius-vektori r va vaqtdan bog’liq, bo’lishi
mumkin.
Fgr
G mM
r
2
12
→
r
12
r12
(2)
F qvB sin
→ → q[ dr→ →
Lor
q[vB]
, B]
dt
(3)
Ko’rinib turibdiki B -magnit maydon induksiyasi vaqt o’tishi bilan o’zgarsa, u holda Lorens kuchi vaqtga ham bog’liq bo’lib qoladi. Bundan tashqari, magnit maydon induksiyasi turli nuqtalarda har xil bo’lsa, ya’ni maydon bir jinsli bo’lmasa u holda Lorens kuchi ham radius-vektor, ham tezlikdan ham vaqtan bog’liq bo’ladi.
Nazariy mexanikaning asosiy tushunchalaridan biri bu moddiy nuqta. Moddiy nuqtalar sistemasi va orqali absolyut qattiq jism tushunchasi. Material nuqtaning fazodagi vaziyati uning r radius-vektori orqali aniqlanadi. R radius
vektor Dekart koordinatlar sistemasi bilan quyidagi munosabatda bog’langan
k
r→ xi→ y→j z →
(4)
Radius-vektordan vaqt bo’yicha olingan to’la hosilalar mos ravishda tezlik va tezlanish vektorlarini berishi nuqta kinematikasidan bizga ma’lum.
N- ta material nuqtadan iborat sistemaning holatini aniqlash uchun N-ta r
radius vektorni topmoq zarur bo’ladi, ya’ni 3N ta koordinatalar.
Mexanik sistemaning fazodagi holatini bir qiymatli ravishda aniqlovchi har qanday o’zaro bog’lanmagan skalyar kattaliklar soni sistemaning erkinlik darajalari soni deyiladi. Bu kattalaiklar doimo Dekart koordinatlari bo’lishi shart yemas. Qo’yilgan masalaning shartiga ko’ra sferik, silindrik, uzunlik, burchak, yuz
va h.k. Shuning uchun har qanday S ta
q1 , q2 ,...qs
kattaliklar umumlashgan
koordinatalar uning hosilalari umumlashgan tezliklar deyiladi. Umumlashgant koordinatlar soni mexanik sistemaning erkinlik darajalari soniga teng bo’ladi. Umumlashgan koordinatalar tushunchasi umumiy bo’lib har qanday mexanik sistema uchun qo’llanilishi mumkin.
S 3n mexanik sistema uchun umumlashgan koordinatalar soni 3n ta
xi , yi , zi
dekart, i ,i , zi
silindrik, ri ,i ,i
sferik umumlashgan
koordinatalarda olinishi mumkin.
q {x, y, z}
x
f (x, y, z, x, y, z,t)
q {x, y, z}
q {x, y, z}
(5-1)
y
z
f (x, y, z, x, y, z,t)
f (x, y, z, x, y, z,t)
(5-2)
Umumiy ko’rinishdagi harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin
q
f (q, q,t )
(6)
Umumlashgan koordinatalar sistemaning erkinlik darajalar soniga teng bo’lishi lozim. (6) umumiy harakat tenglamasi qanday ko’rinishga ega bo’lishi mumkin degan masalani keyingi mavzularda hal qilamiz.
Umumiy ko’rinishdagi harakat tenglamasini quyidagi ko’rinishda ifodalangan edi
q
f (q, q,t )
(1)
Ushbu umumiy harakat tenglamasi qanday ko’rinishga ega bo’lishi mumkin degan masalani hal qilamiz. Ya’ni umumlashgan kuchni aniqlashga kirishamiz. Bu masalani hal qilish uchun qaralayotgan fizikaviy sistemaning biror boshlang’ich va oxirgi holatlardagi koordinatalari va umumlashgan tezliklari ma’lum bo’lgan sistema qanday real trayektoriya bo’ylab boshlang’ich holatdan oxirgi holatga o’tadi degan masalani hal qilish lozim. Boshqacha aytganda harakat trayektoriyasi jismning harakat tenglamasi bilan chambarchas bog’liq. Masalani dastlab bir jinsli muhitda tarqalayotgan yoruglik to’lqinlari kabi qaraymiz. Geometrik optika qonunlariga asosan yorug’lik ikki nuqtani tutashtiruvchi to’g’ri chiziq bo’ylab tarqaladi. Ya’ni bo’lishi mumkin bo’lgan trayektoriyalar ichidan eng qisqasini tanlaydi. Bu nuqtai nazardan xam har doim ham o’rinli bo’lavermaydi. Masalan, kosmanavt sferik ko’rinishga yega bo’lgan planetaga borgan bo’lsin. Ayonki kosmanavt A nuqtadan B nuqtaga borishi uchun egri chiziqli trayektoriya bo’ylab harakatlanishga majbur va bu holda u eng kichik uzunlikka yega bo’lgan va sfera sirtida joylashgan egri chiziqli trayektoriya bo’ylab harakatlanishga majbur. Biz yuqorida yorug’likning bir jinsli muhitda tarqalishini ko’rdik. Endi yorug’lik bir jinsli bo’lmagan muhitda tarqalishini
qarasak, bu holda yorug’lik, to’g’ri chizik bo’ylab tarqalmaydi. Aksincha u A nuqtadan B nuqtaga o’tishi uchun, eng qisqa vaqt sarflovchi yo’lni tanlaydi. Bunga sabab yorug’lik tarqalish yo’nalishini o’zgartiradi. Bu ikki misoldan ko’rinib turibdiki fizikaviy sistema A nuqtadan B nuqtaga yoki eng qisqa trayektoriya bo’ylab yoki eng qisqa vaqt sarflab o’tadi. Bu masalani umumiy holda ko’rib chiqish uchun ayrim masalalarni kiritamiz.
Ta’rif. Ixtiyoriy fizikaviy sistemaning umumlashgan koordinatalari, umumlashgan
tezliklari, va umumiy holda vaqtga bog’lik bo’lgan funksiyasi Lagranj funksiyasi deyiladi va u quyidagi ko’rinishda yoziladi:
L Lq, q', t
(2)
Biz hozirga qadar umumlashgan koordinata va umumlashgan tezliklarga bog’liq bo’lgan quyidagi kattaliklarni bilamiz.
Ek
mv2
2
mq 2
f
2
(q, q)
Ep
kx2
2
kq2
2
f2 (q)
ET
mq 2
2
2
f ( q, q)
Endi maqsadimiz itiyoriy fizikaviy sistema uchun Lagranj funksiyasini aniqlashdan iborat. Buning uchun Lagranj quyidagi prinsipni taklif etdi va u quyidagicha ta’riflanadi.
Ta’rif. Har qanday sistema uning Lagranj funsiyasi orqali aniqlanuvchi quyidagi ta’sir kattaligi bilan xarakterlanadi.
t2
S L(q, q,t)dt
t1
(3)
|