Manfiy bo‘lmagan butun sonlarni ayirish va uning xossalari

|
Manfiy bo‘lmagan butun sonlarni ayirish va uning xossalari
|
bet | 55/67 | Sana | 05.01.2024 | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрManfiy bo‘lmagan butun sonlarni ayirish va uning xossalari.
O‘zimizga, ikki qo‘shiluvchi yig’indisi a va shu qo‘shiluvchilarning birortasi в sonlari ma’lum bo‘lganda ikkinchi qo‘shiluvchini topish masalasini qo‘yaylik. Bu masalaning berilishidan bevosita ko‘rish mumkinki, bu qo‘shish amaliga teskari masala. Bu qo‘shiluvchilardan izlanadiganni x deb, 2-qo‘shiluvchini в deb olsak, u holda a=в+x o‘rinli bo‘ladi. X ni topish uchun bizga a va в sonlari ayirmasi ta’rifini berishimiz kerak.
Ta’rif: a va в sonlarning ayirmasi deb, a=в+x shartni qanoatlantiruvchi x soniga aytiladi. Bunda: a- kamayuvchi: в- ayriluvchi: x- ayirma. а va в sonlarning ayirmasi a-в deb belgilanadi: (-ayirish amali).
Ikki son ayirmasini topish amaliga ayirish amali deb aytiladi.
Ayirish amali qo‘shish amaliga teskari amal. Ikki son ayirmasi qachon mavjud, qachon bajariladi? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
2.1-teorema: a) в-a ayirma mavjud bo‘lishi uchun а ayriluvchining kamayuvchidan oshmasligi zarur va yetarlidir.
b) Agar в-a ayirma mavjud bo‘lsa, bu yagonadir;
Isbot: Teoremani isbotlash uchun
1.
2.
3.
ekanliklarini ko‘rsatamiz.
Ta’rifga asosan; х = в – а в= х + а
Agar a) x=0 bo‘lsa, a=в bo‘ladi
b) x>0 bo‘lsa в=х+а в>а (а<в)
demak, х 0 bo‘lsa а в bo‘ladi. 1) o‘rinli
ав ( )[в-а=х] – ni ko‘rsatamiz
Agar a=в bo‘lsa, u holda в= a+o ayirish ta'rifiga asosan 0=в-a ya'ni agar a<в bo‘lsa, u holda «kichik» munosabati ta'rifiga asosan
2) hol ham o‘rinli
3) Faraz qilamizki, . Ayirish amali ta'rifiga ko‘ra в=x1+a va в= x2+a sonli tenglikning tranzitivlik xossasiga ko‘ra
x1+a= x2+a bundan x1= x2 bu esa х1 х2 ga zid.
Bu ziddiyatlik farazimizga asosan hosil bo‘ldi. Demak, ayirma mavjud bo‘lsa, bu ayirma doim bir qiymatlidir.
3. Quyida ayirish amali bajaruvchan deb qarab, qator xossalarini qarab chiqamiz.
1-xossa: Agar ayirmaga ayiruvchini qo‘shsak, u holda kamayuvchi hosil bo‘ladi.
(a-в )+в=a. Haqiqatdan ham a-в=с bo‘lsin, ta’rifga ko‘ra,
a=в+с yoki с+в=a, lekin с=a-в (a-в)+в=a bo‘ladi.
2-xossa: Agar ikki son yig'indisidan bitta qo‘shiluvchini ayirsak, ikkinchi qo‘shiluvchi kelib chiqadi.
(a+в)-в=a. Haqiqatdan ham (a+в)-в=x bo‘lsin, ta'rifga ko‘ra
a+в= x+в а=х
3-xossa: Berilgan songa ikki son ayirmasini qo‘shish uchun, songa dastlab kamayuvchini qo‘shib, ayiriluvchini ayirish kifoya.
Ya'ni: a+ (в-с)=a+в-с
Isbot: a+(в-с)=x bo‘lsin. Tenglikning ikkala tomoniga с ni qo‘shamiz. a+(в-a )+с=x+с (в-с)+с=в ekanligi a+в=x+c. Ayirish amali ta’rifiga ko‘ra a+в-с=x. U holda a+(в-с)=a+в-с bo‘ladi.
4- xossa: Sondan ikki son ayirmasini ayirish uchun, shu sondan qo‘shiluvchilarni ketma- ket ayirish kifoya.
a-(в+с) =a-в-с bunda ав+с
Isbot: a-(в+с)=x bo‘lsin. Ayirish amali ta'rifiga ko‘ra a=x+(в+с) yoki qo‘shish amalining o‘rin almashtirish xossasiga ko‘ra a=x+(с+в), qo‘shish amalining guruhlash xossasiga ko‘ra a=(x+с)+в, ta'rifga ko‘ra, a-в=с+x a-в=x+с, yana ayirish amali ta'rifiga ko‘ra a-в-с=x.
Demak, a-(в+с)=a-в-c
5-xossa: Sondan ayirmani ayirish uchun sondan kamayuvchini ayirib, ayriluvchini qo‘shish kifoya.
Ya'ni: a-(в-с)=a-в+с, bunda в с; а в-с
Isbot: a-(в-с)=x bo‘lsin. Ta'rifga ko‘ra a=x+(в-с) tenglikni ikkala tomoniga с ni qo‘shamiz.
a+с=х+[(в-с)+с] а+с=х+в
Ta’rifga ko‘ra x=a+с-в yoki x=a-в+с. Demak, a-(в-с)=a-в+с
6-xossa: Ko‘paytirish amali ayirish amaliga ko‘ra tarqatish (distributlik) qonuniga ega. ( a –в ) c= ac – вc.
Isbot: Haqiqatdan ham ( a – в) c + в c =[ (a – в) + в] c = ac.
Yoki. ( a- в) c + в c= a с. Ta’rifga ko‘ra ( a – в) c = a c –вс.
7 – xossa (a – в )+ ( c – d )= ( a + c) – ( в + d). Ayirmalar yig’indisi kamayuvchilar yig’indisi bilan ayriluvchilar yig’indilarining ayirmasiga teng.
Isbot: ( a – в) + ( c –d) + ( в+d). Yig’indini qaraymiz. Qo‘shish amalining assosativlik, kommutativlik xossalarga asosan
(a – в ) + ( c – d) + ( в + d) = [ (a – в) + в ] + [ ( c – d ) + d ]= a + c.
Demak, ( a- в) + ( c- d) + ( в +d) = a + c. Ta’rifga ko‘ra.
( a- в ) + ( c- d) = ( a + c) – ( в+d).
8-xossa: Yig’indidan sonni ayirish uchun, ayriluvchi sonni qo‘shiluvchilarning birortasidan ayirish kifoya.
( a + в ) – с = (a – с) + в= a + ( в- с), agar a >c в > c:
Isbot: ( a + в ) – c= x bo‘lsin ta’rifga asosan. a + в= x + c Tenglikning ikkala tomondan bir xil son в ni ayirib, а = х + c – в а= c + ( х –в), х в. Ta'rifga asosan а –c = х – в yoki ( а- c )+ в = х. Demak, ( а+ в) – c = ( а – c) +в.
9-xossa: Ayirmadan sonni ayirish uchun, sonli ayiruvchiga qo‘shib, yigindini kamayuvchidan ayirish kifoya.
( a- в )- c =a –( в + c) a –в >c;
Isbot: (a – в )- c = x bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra. a –в= x+ c bo‘ladi. Ya’ni, ta’rifga asosan. a = x + ( в + c) yoki
x =a – ( в + c ) Demak, ( a – в) – c= a – ( в + c).
Har bir xossa bayonidan so‘ng misollar, qolaversa boshlangich sinf darsligidan misollar keltirilib, nazariy tushuncha mustahkamlanadi.
Shunday qilib, xulosa qilsak, ayirish amali qo‘shish amaliga teskari amal bo‘lib, ayirma faqat va faqat ayriluvchi kamayuvchidan katta bo‘lmagan holda mavjud bo‘lib u bir qiymatli bo‘ladi.
|
| |