Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar va ularning xossalari

(C,C′) kesim bilan aniqlanadigan γ haqiqiy son α va β haqiqiy sonlat yig’indisi deb aytiladi. Yig’indi α+β kabi belgilanadi.
Endi haqiqiy sonlarni qo’shish amalining xossalarini keltiramiz. Faraz qilaylik, αєR, βєR, δєR bo’lsin. Quyidagi tengliklar o’rinli:
10. a+β=β+α
20. (α+β)+δ=α+(β+δ)
30. Nol soni uchun
α+0=0+α=α.
Bu xossalar oson isbotlanadi. Yig’indining keying xossasini keltirishdan avval αєR songa qarama-qarshi bo’lgan sonni aniqlaymiz.
αєR soni Q to’plamda (A,A′) kesim bilan aniqlansin: α=(A,A′). Ratsional sonlarning quydagi
to’plamlarni qaraymiz. Ravshanki –A′ va –A to’plamlar Q to’plamda (-A′,-A) kesimni bajaradi.
Ta’rif. (-A′,-A) kesim bilan aniqlanadigan haqiqiy son α haqiqiy songa qarama-qarshi son deb ataladi va u –α kabi belgilanadi;
-α=(-A′,-A)
40. uchun α+(-α)=0 tenglik o’rinli.
Isbot. Α=(A, A′) bo’lsin. Unda –α=(-A′,-A) kesim bilan aniqlanadi. Yig’indi ta’rifiga ko’ra α+(-α)=(C,C′), bunda
Ammo a
α+(-α)≤0
tengsizlik kelib chiqadi. Ratsional sonlar to’plami Q da bajarilgan kesim faqat ikki tur- ratsional yoki irratsional kesim ratsional sonni, irratsional kesim esa irratsional sonni aniqlashini biz yuqorida ko’rdik.
Ta’rif. Ratsional hamda irratsional sonlar umumiy nom bilan haqiqiy sonlar deb aytiladi.
Barcha haqiqiy sonlar R harfi bilan belgilanadi. Ta’rifga ko’ra R=Q.
Shunday qilib, ratsional sonlar to’plami Q ni haqiqiy sonlar to’plami R gacha kengaytirildi. Haqiqiy sonlar to’plami R ning xossalarini qaraymiz.
1. Haqiqiy sonlar to’plamining tartiblanganligi. Avval haqiqiy sonlar to’plamida tenglik, katta va kichik tushunchalarini kiritamiz. Aytaylik x va y haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin: xєR, yєR. Ma’lumki har bir haqiqiy son ratsional sonlar to’plami Q da bajarilgan kesim bilan aniqlanadi. Binobarin, x va y larni aniqlovchi (A,A′ ) va (B,B′) kesimlar berilgan:
x=(A,A′) , y=(B,B′).
Bu kesimlarning quyi sinflari A, B lar yoki A=B (bu holda albatta, A′=B′ bo’ladi), yoki A≠B (bu holda A′≠B′ ) munosabatlardan biri o’rinli bo’ladi.
Agar A=B bo’lsa, (A,A′) va (B,B′) kesimlar bir-biriga teng deyiladi. Bu holda ular aniqlangan x va y haqiqiy sonlar ham bir-biriga teng deyiladi:x=y.
Endi A≠B bo’lsin. Ta’rifga ko’ra shunday r1єA borki, r1bo’ladi yoki shunday r2єB borki, r bo’ladi. Birinchi holda r1єA ekanligi kelib chiqadi. Kesimning tarifiga ko’ra, bu holda B A qismi. Bo’ladi. Ikkinchi holda r2єB ekenligidan A B ning qismi ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib A≠B bo’lganda, yoki A B ning qismi, yoki B A ning qismi bo’lar ekan. Agar A B ning qismi bo’lsa, (A,A′) kesim (B,B′) kesimdan kichik deyiladi. Bu holda x haqiqiy son y haqiqiy sondan kichik debaytiladi: xy.Shunday qilib, ixtiyoriy ikki x va y haqiqiy son berilgan bo’lsa, unda x=y, xy munosabatlardan bittasi va faqat bittasi o’rinli bo’ladi.
Endi xєR , yєR, zєR sonlar uchun x
bo’ladi. Ravshanki,
Bu esa x
2. Haqiqiy sonlar to’plamining zichligi. Faraz qilaylik, xєR, yєR va x0єB, r0bo’ladi: rєB. Unda rєA′ bo’ladi va demak,x≤r0 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Ikkinchi tomondan,y=(B,B′), r0єB va B to’plamning elementlari orasida eng kattasi emasligi sababli, shunday ratsional son rєB mavjudki, r00y bo’lganda ham x>r>y munosabatlarni qanoatlantiruvchi ratsional son mavjud ekanligi ko’rsatildi. Shunday qilib, ixtiyoriy ikkita bir-biriga teng bo’lmagan haqiqiy sonlar orasida kamida bitta haqiqiy son mavjud. Bundan esa ular orasida cheksiz ko’p haqiqiy son mavjudligi kelib chiqadi. Demak, R-zich to’plam.
0>