Teorema - Qo’shma operatorlar

|
Qo’shma operatorlar
|
bet | 4/7 | Sana | 09.01.2024 | Hajmi | 1,14 Mb. | | #132793 |
Bog'liq QO\'SHMA OPERATORLARTeorema. Agar F – Banax fazosi bo’lsa, u holda normallangan E fazoni F ga akslantiradigan barcha chiziqli va chegaralangan operatorlar to’plami L(E,F) ham Banax fazosi bo’ladi.
Isbot. L(E,F) fazodagi normaga nisbatan fundamental bo’lgan {An} operatorlar berilgan bo’lsin, ya’ni n,m®¥ da U holda ixtiyoriy xÎE element uchun n,m®¥ da .
Demak, har bir xÎE uchun {Anx} ketma – ketlik fundamentaldir. F fazoning to’la ekanligidan bu {Anx} ketma – ketlik biror eÎF elementga intiladi. Shunday qilib, har bir x elementga F bitta elementi mos qo’yilmoqda, bu moslikni A bilan belgilaymiz, ya’ni bo’lsa, y=Ax deb olamiz.
U holda bu A:E®F operator additiv bo’ladi, chunki munosabatlar o’rinli. Endi A operatorni chegaralanganligini kuzatamiz. Shartga asosan, {An} ketma – ketlik normaga nisbatan fundamentaldir. Bundan va tengsizlikdan sonli ketma – ketlikni fundamentalligi kelib chiыadi. Demak, bu ketma – ketlik chegaralangan hamdir, ya’ni shunday K son mavjudki, barcha n lar uchun o’rinli bo’ladi. Shuning uchun va bajariladi. Oxirgi munosabat chegaralanganligi ifodalaydi. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir. Bu operator {An} operatorning norma ma’nosidagi yaqinlashishga nisbatan limiti ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun shunday n0 nomer topiladiki, bo’lganda tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x elementlar uchun
16
tengsizlik bo’lganda o’rinli bo’ladi. Demak, . Isbot. L(E,F) fazodagi normaga nisbatan fundamental bo’lgan {An} operatorlar berilgan bo’lsin, ya’ni n,m®¥ da U holda ixtiyoriy xÎE element uchun n,m®¥ da .
Demak, har bir xÎE uchun {Anx} ketma – ketlik fundamentaldir. F fazoning to’la ekanligidan bu {Anx} ketma – ketlik biror eÎF elementga intiladi. Shunday qilib, har bir x elementga F bitta elementi mos qo’yilmoqda, bu moslikni A bilan belgilaymiz, ya’ni bo’lsa, y=Ax deb olamiz. U holda bu A:E®F operator additiv bo’ladi, chunki
munosabatlar o’rinli. Endi A operatorni chegaralanganligini kuzatamiz. Shartga asosan, {An} ketma – ketlik normaga nisbatan fundamentaldir. Bundan va tengsizlikdan sonli ketma – ketlikni fundamentalligi kelib chiыadi. Demak, bu ketma – ketlik chegaralangan hamdir, ya’ni shunday K son mavjudki, barcha n lar uchun o’rinli bo’ladi. Shuning uchun va bajariladi. Oxirgi munosabat chegaralanganligi ifodalaydi. Demak, A chiziqli chegaralangan operatordir. Bu operator {An} operatorning norma ma’nosidagi yaqinlashishga nisbatan limiti ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun shunday n0 nomer topiladiki, bo’lganda tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x elementlar uchun tengsizlik bajariladi. Agar oxirgi tengsizlikda da limitga o’tsak tengsizlik barcha va shartni qanoatlantiruvchilar uchun bajariladi. Shuning uchun tengsizlik bo’lganda o’rinli bo’ladi.
17
Cheksiz o’lchamli V vektor fazoda ham bazis tushunchasini kiritish mumkin G=x chiziqli erkli sistema bo’lib, Vning ixtiyoriy xV elementi uchun shunday x1, x2, ..., xkG vektorlar sitemasi va x1, x2, ,xk sonlar topilsaki, ular uchun tenglik bajarilsa, u holda G fazoning Hamel (Gamel) bazisi deyiladi. Ixtiyoriy vektor fazoda Hamel bazisi mavjudligini ko’rsatish mumkin. Agar L to’plam V vektor fazoning qism to’plami bo’lib, L to’plamning o’zi ham V fazodagi vektorlarni qo’shish va R maydoning elementi bilan V fazoning vektorini ko’paytirish amallariga nisbatan vektor fazo tashkil etsa, u holda L to’plamni V fazoning qism fazosi deyiladi. V to’plam R maydoni ustida chiziqli fazo bo’lib, SV, S0 shartlar bajarilsin. U holda S to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazo L ni S ning chiziqli qobig’i deyiladi. Bunday holda, L=[S] ko’rinishda belgilanadi va L ni S bilan hosil qilingan qism fazo deyiladi. Ba’zi hollarda [S]=V bo’lishi ham mumkin. Agar S chiziqli erkli vektorlar sistemasidan iborat bo’lib, [S]=V tenglik bajarilsa, u holda S Hamel bazisi bo’ladi. Agar V1 to’plam V fazoning qism fazosi bo’lsa, V fazodan olingan x va u vektorlar uchun x-uV1 shart bajarilganda bu x, u elementlarning ekvivalent deb atasak, u holda bu munosabat ekvivalentlik munosabatini tashkil etadi. Bu ekvivalentlik munosabati bo’yicha qurilgan barcha ekvivalentlik sinflari to’plamini V / V1 ko’rinishda belgilanadi V/V1 to’plamga tegishli bo’lgan 2 ta A va V sinflarning yig’indisini aniqlaymiz. Buning uchun A va V sinflardan ixtiyoriy , elementlarni olib ularning yig’indisi x+u elementni o’z ichiga olgan sinf S ni A va V sinflarning yig’indisi deb qabul qilamiz. Bu amal A va V sinflardan olingan x va u elementlarning tanlanishiga bog’liq emasligini isbotlash mumkin. Xuddi shuningdek, A sinfdan olingan ixtiyoriy x element bilan R sonning ko’paytmasi x elementni o’z ichiga oluvchi sinfni A sinfni ga ko’paytmasi deb qabul qilamiz. U holda V/V1 to’plam aniqlangan amallarga nisbatan vektor fazo tashkil etadi. Bu fazoni V ning V1 qism fazosi bo’yicha vektor fazosi deyiladi va uning o’lami V1 fazoning o’lchami (qo’shimcha o’lchami) deyiladi.
|
| |