Elektron mozgása homogén elektromos mezőben

Elektron mozgása homogén elektromos mezőben
A gondolkodásfejlesztés lehetőségei: analógiás gondolkodás, arányossági gondolkodás, a fizika tantárgy különböző területei közötti koordináció, számítások elvégzése adott törvények felhasználásával, kapcsolat az informatika tantárggyal
A feladat a 10. évfolyam számára készült.
Homogénnek tekinthető, 50 V/m térerősségű elektromos mezőbe a térerősséggel 30°-os szögben 106 m/s nagyságú kezdősebességgel egy elektront lövünk be.
a) Hogyan, milyen pályán fog mozogni az elektron?
b) Mekkora távolságot tesz meg, míg visszakerül a kiindulási nívófelületre?
c) Ábrázoljuk az elektron pályáját a mozgás során!
Megoldás
A mozgás teljes mértékben analóg a ferde hajítással, tehát az elektron parabola pályán fog mozogni.
Gyorsulásának iránya a nívólapra merőleges lesz: ay = e.E/m = -8,78∙1012 m/s2 .
A kezdeti sebesség x és y irányú komponensei: v0x = v0 ∙ sin = 5∙105 m/s,
v0y = v0 ∙ cos = 8,66∙105 m/s.
(A szög az y tengelyhez, mely a térerősség iránya, képest van megadva, ezért van mintegy „fordítva” a gravitációs ferde hajításban megszokotthoz képest, ahol az x tengelyhez képesti szöget szoktuk megadni.)
xmax = tösszes ∙v0 . sin, tehát a mozgás idejét kell még meghatároznunk.
Ehhez a függőleges irányú mozgást használjuk fel.
A legmesszebbi ponton, a parabola csúcsánál éppen 0 lesz a függőleges irányú sebesség.
vy = 0 = v0 ∙ cos - a∙t1/2
t1/2 = 8,66∙105/8,78.1012 = 9,8∙10-8 s a mozgás ideje a parabola csúcsának eléréséhez.
Ennek kell a 2-szeresét venni, ami a tösszes lesz.
xmax = 2∙ 9,8∙10-8 ∙ 5.105 = 9,8∙10-2 m = 9,8 cm = 0,098 m.
c) Az elektron pályáját is meg lehet határozni és ki lehet rajzoltatni Excel program segítségével:
y = v0y∙t – a∙t2/2 és x = t∙ v0x ahonnan ki kell fejezni az időt és y –hoz beírni. A gyorsulás fentebb található.
behelyettesítve: y = x/0,577 – 17,56.x2 .
Számoltassuk a programot például cm-enként!
Galvánelemből kivehető maximális teljesítmény meghatározása
A gondolkodásfejlesztés lehetőségei: arányossági gondolkodás, számítások elvégzése adott törvények felhasználásával, kapcsolat az informatika tantárggyal
„Galvánelemünk elektromotoros ereje 1 V, belső ellenállása 100 ohm.” 3
Mekkora külső ellenállást kapcsoljunk hozzá, ha maximális teljesítményt szeretnénk belőle kivenni?
Mekkora ez a teljesítmény?
Ábrázoljuk a következő függvényeket:
áramerősség – a külső ellenállás függvényében,
kapocsfeszültség - a külső ellenállás függvényében,
a fogyasztóra eső teljesítmény - a külső ellenállás függvényében!
Megoldás:
Mielőtt elkezdjük az összefüggéseket felírni, gondoljuk végig, hogy milyen függvényekre számítunk az egyes esetekben!
Áramerősség – a külső ellenállás függvényében: minél nagyobb a külső ellenállás, annál kisebbnek kell lennie az áramerősségnek. Tehát a függvény tart a nullához.
Kapocsfeszültség - a külső ellenállás függvényében: a kapocsfeszültség a külső ellenálláson eső feszültséget jelenti. Ennek annál nagyobbnak kell lennie, minél nagyobb a külső ellenállás, hiszen a teljes feszültség (az 1 V) arányosan egyre nagyobb része esik azon. A görbének az 1 V maximális értéhez kell tartania. Tehát egy úgynevezett telítésbe menő görbe kell, hogy legyen.
A fogyasztóra eső teljesítmény - a külső ellenállás (mely a fogyasztó) függvényében: a külső ellenálláson leadott teljesítményt az előző két függvény szorzataként számítjuk ki. Az egyik monoton csökkenő, a másik pedig monoton növekvő függvény. A kettő szorzata minden bizonnyal maximumhellyel fog rendelkezni.
A függvények megrajzolásához alkalmazzuk az Excel programot!
Célszerű a számolást sok esetben (sok ellenállás értéknél) elvégeztetni a programmal, mintegy ráhúzni a megfelelő képletet a megfelelő cellákra. A maximum érték közelében érdemes több tizedes-jeggyel számoltatni. A számítások eredményei az alábbi táblázatban láthatók. A grafikonok elkészítéséhez ebből kell kivenni a megfelelő oszlopokat.
A két függvény szorzata:
Lehet egy grafikonban is ábrázolni a három függvényt.
A teljesítmény - ellenállás függvényből látható, hogy a külső ellenálláson kivehető teljesítménynek maximuma van, ahogy az az előzetes meggondolásokból adódik. Ez az ellenállás érték éppen megegyezik a telep belső ellenállásával, tehát 100 ohm. A maximális teljesítmény értéke pedig 2,5 mW.
Ennek pontos megállapításához érdemes a 100 ohm „környékén” többtizedessel számoltatni a programot, hogy ez egyértelműen látható legyen.
A maximum helye a függvény deriválásával, majd a derivált 0-val való egyenlővé tételével is meghatározható. Ez persze nem egyszerű feladat, mivel hányados függvényről van szó.
deriválás
A függvény zérushelyét keressük, mely a szélsőérték helyét megadja:
P, = 0, mely az egyszerűsítések után
100 +R – 2.R = 0 , innen R = 100 ohm.
Vagyis az elem egy olyan ellenálláson ad le legnagyobb teljesítményt, mely azonos a belső ellenállásával. A grafikus megoldás esetében is ezt kaptuk.
A feladat grafikus megoldása során az Excel használatával némileg interaktív is lehet, ha változtatjuk a telep elektromotoros erejét és belső ellenállását. Ehhez az előbbi két értéket tartalmazó cellára kell hivatkoztatni az áramerősség számítását.
A honlapon a kiadványhoz mellékelt Excel file-ban található grafikonok esetében lehet változtatni az elem feszültségét és belső ellenállását is. Meg lehet figyelni, hogy a fenti tétel bármilyen értékek mellett igaz.
************************************************************************
|