Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari Bajardi

|
Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari Bajardi
|
bet | 1/3 | Sana | 25.12.2023 | Hajmi | 180,42 Kb. | | #128218 |
Bog'liq Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari
Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti
Mustaqil ish
Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari
Bajardi:
REJA
Gomomorfizmlar haqida Izomorfizmlar haqida Halqali Gomomorfizmlar va Izomorfizmlar Amaliyotlar va Misollar Foydanilgan adabiyotlar
Gomomorfizmlar
G gruppaning avtomorfizmlari gruppasi Aut(G)da bitta maxsus qism gruppa bor. Uni Inn(G) bilan belgilanadi va ichki avtomorfizmlar gruppasi deb ataladi. Quyidagi akslantirishlar bu gruppaning elementlari bo‘ladi:
Ia: g→aga-1. Bu yerda Ia-1= Ia-1, Ie – birlik avtomorfizm, Ia Ib= Iab , chunki (Ia Ib)(g)= Ia( Ib (g))= Ia(bgb-1)=abgb-1a-1= abg(ba)-1= Iab(g).
So‘nggi tenglik G gruppani uning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(G) ga akslantiruvchi f(a)=Ia, a G formula bilan aniqlangan akslantirish izomorf akslantirishning f(a) ∘ f(b) = f(a*b) shartini qanoatlantiradi, biroq bunda biyektivlik sharti bajarilmaydi.
Agar G Abel gruppasi bo‘lsa, u holda barcha a G uchun aga-1=g o‘rinli va
demak, Ia= Ie , ya’ni butun Inn(G) gruppa faqat bitta Ie elementdan iborat.
Agar barcha a, bG uchun f(a*b) = f(a) ∘ f(b) o‘rinli bo‘lsa, unda gruppani ∘ > gruppaga akslantiruvchi f:G G‘ akslantirish gomomorfizm deb ataladi.
Ker f={g G |f(g)=e’ – G‘ gruppaning birlik elementi} to‘plam f
gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Gruppani o‘z-o‘ziga gomomorf akslantirish endomorfizm deb ataladi. Gomomorfizmning ta’rifida f akslantirishdan biyektivlik talab qilinmaydi. Lekin shunga qaramay f gomomorfizmning izomorfizmdan asosiy farqi, unda trivial bo‘lmagan Ker f yadroning mavjudligidir.
Agar Ker f={e} bo‘lsa, u holda f:G Inn f – izomorfizm bo‘ladi.
a,b Ker f uchun f(a)=e’, f(b)=e’ f(a*b)= f(a) f(b) =e’e’=e’ va
f(a-1 )= f(a)-1 =(e)-1 =e’.
Demak, Ker f yadro G gruppaning qism gruppasi ekan.
araz qilaylik, N= Ker f G bo‘lsin. U holda hH , gG uchun f(ghg- 1)=f(g)f(h)f(g-1)=f(g)e’ f(g-1)= e’ , ya’ni ghg-1H bo‘ladi. Bu degani ghg-1H bunda g ni g-1 bilan, g-1 ni g bilan almashtirib, g-1 hgH ya’ni, H ghg-1 ekanini aniqlaymiz. Demak, gG uchun H= ghg-1 . Bu xossa ega bo‘lgan qism gruppa normal qism gruppa deb ataladi.
Izomorfizm
Agar f:G G‘ akslantirish mavjud bo‘lib, f biyektiv bo‘lsa (1-shart), barcha a, bG uchun f(a*b) = f(a) ∘ f(b) (2-shart) o‘rinli bo‘lsa, unda va ∘ > gruppalar izomorf deyiladi.Gruppalarning izomorfligi kabi belgilanadi, ya’ni G G‘.
Izomorfizmlarning eng sodda xossalari quyidagilardan iborat:
Birlik element birlik elementga o‘tadi.
Haqiqatan, agar e – G ning birlik elementi bo‘lsa, u holda e∗a=a∗e=a va demak f(e) ∘ f(a) = f(a) ∘ f(e) = f(a), bundan kelib chiqadiki f(e) = e’ – G‘ gruppaning birlik elementi. Bunda qisman bo‘lsa ham f – izomorfizmning ikkala xususiyatidan ham foydalaniladi.
f(a-1) = f(a) -1.
Haqiqatan ham f(a) ∘ f(a-1) = f(a *a-1) = f(e) = e’. e’ – G‘ gruppaning birlik elementi. Demak, f(a) -1 = f(a) -1 ∘ e’ = f(a) -1 ∘ ( f(a) ∘ f(a-1)) ==( f(a)-1 ∘ f(a)) ∘ f(a) -1 = e’ ∘ f(a) -1= f(a) -1.
Teskari akslantirish f--1:G G‘ ham izomorfizm bo‘ladi. Buning uchun f -1 da ha shart to‘g‘riligini tekshirish yetarli.
Faraz qilaylik, a’, b’G‘. U holda f ning biyektivligiga ko‘ra
a’= f(a), b’= f(b) qandaydir a,bG uchun o‘rinli. f – izomorfizm bo‘lgani uchun a’ ∘ b’ = f(a) ∘ f(b) = f(a*b). Bundan esa a*b = f--1( a’ ∘ b’) ekanligi kelib chiqadi. a= f--1 (a’) va b= f--1 (b’) ekanligini e’tiborga olsak, f--1(a’ ∘ b’) = f--1 (a’)* f--1 (b’). Demak bu xossa ham isbotlandi.
Misol. (R+,∗,1) musbat sonlarning multiplikativ gruppasini barcha haqiqiy sonlarning additiv gruppasi (R, +,0)ga izomorf akslantirish deb f=ln ni olish
mumkin. Logarifmning ln ab=ln a+ln b xossasi ta’rifidagi 2-shartni qanoatlantiradi. f ga teskari akslantirish f--1: x→ex bo‘ladi. Izomorfizm ta’rifida G= G‘ deb ϕ:G→G izomorf akslantirishni hosil qilamiz. Bu akslantirish G gruppaning avtomorfizmi deyiladi.
Misol. eg:g→g birlik akslantirish avtomorfizmdir. Odatda G trivial bo‘lmagan avtomorfizmlarga ham ega. Izomorf akslantirishlarning 3-xossasi avtomorfizmga teskari bo‘lgan akslantirish ham avtomorfizm bo‘lishini ko‘rsatadi. Agar , G gruppaning avtomorfizmlari bo‘lsa, u holda a,bG uchun ( ∘ )(ab)= ((ab))=( (a)(b))=( ∘ )(a)( ∘ )(b) o‘rinli.
Demak, G gruppaning barcha avtomorfizmlari to‘plami G G akslantiruvchi barcha biyeksiyalar to‘plami S(G) ning qism gruppasi bo‘lgan Aut(G) gruppani hosil qiladi.
Halqa. Ta’rif va umumiy xossalar
1-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:
G-to‘plam additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni a, b, c G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
a(bc) = (ab)c munosabat o‘rinli;
distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni a, b, c G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
a (b+c) = ab+ac va (a+b) c = ac+bc
munosabatlar o‘rinli shartlari bajarilgan bo‘lsa, bu <G, +, *> - algebraik tuzilma
halqa tashkil etadi deyiladi.
Bitta (tegishli xossalarga ega bo‘lgan) amal aniqlangan gruppa tashkil etuvchi to‘plamdan farqli ravishda halqa tashkil etuvchi to‘plamda uning ta’rifida keltirilgan xossalarga ega bo‘lgan ikkita amal aniqlangan.
2-ta’rif. Halqa birlik elementli deyiladi, agarda multiplikativ birlik elementga ega bo‘lsa, ya’ni shunday element 1G majud bo‘lsaki, uning uchun ushbu a1=1a=a munosabat a G elementda bajariladi.
3-ta’rif. Halqa kommutativ deyiladi, agarda ko‘paytirish amali kommutativlik xossasiga ega bo‘lsa.
4-ta’rif. Halqa butun yoki butun sohali deyiladi, agarda u e 0 -birlik elementli kommutativ halqa tashkil etib, a, bG elementlar uchun ab=0 munosabatdan a=0 yoki b=0 kelib chiqsa.
5-ta’rif. G – ixtiyoriy halqa bo‘lsin. Shunday natural son p{1,2,3,…} mavjud bo‘lsaki, har bir element gG uchun pg = 0 bajarilsa, u holda eng kichik shunday p-son G-halqaning xarakteristikasi deyiladi. Agarda shunday natural son mavjud bo‘lmasa, u holda halqa 0 (nol) xarakteristikaga ega deyiladi. Halqaning tartibi shu halqaning additiv gruppasi tartibi bilan aniqlanib, halqaning elementlari soniga teng.
Halqalarning gomomorfizmi va izomorfizmi
Ushbu mavzuda biz halqalar uchun gomomorfizm va izomorfizmlar tushuncha- larini kiritib, izomorfizm va moslik teoremalarini keltiramiz.
ta’rif. Bizga (R, +, ·) va (R′, +′, ·′) halqalar va f : R → R′ akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun
f (a + b) = f (a) +′ f (b),
f (a · b) = f (a) ·′ f (b)
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda f akslantirish R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi
gomomorfizm deb ataladi.
ta’rif. Bizga R va R′ halqalar hamda f : R → R′ gomomorfizm berilgan bo‘lsin.
Agar f syurektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish epimorfizm deyiladi;
Agar f inyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish monomorfizm deyiladi;
Agar f biyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish izomorfizm deyiladi;
R halqani o‘zini o‘ziga akslantiruvchi izomorfizm esa avtomorfizm deb ata- ladi.
Agar R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi izomorfizm mavjud bo‘lsa, u holda ushbu halqalar izomorf deyiladi va R ∼= R′ kabi belgilanadi. R halqani o‘zini
o‘ziga o‘tkazuvchi barcha avtomorfizmlar to‘plami esa Aut( R) kabi belgilanadi. Halqalarning gomomorfizmi uchun quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lib, ushbu xossalar gruppaning gomomorfizmi xossalari kabi isbotlanadi.
1-teorema. Bizga R va R′ halqalar, hamda f : R → R′ gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar o‘rinli:
1) f (0) = 0 ′.
2) f (− a) = − f ( a) .
Agar R halqaning A qism halqasi berilgan bo‘lsa, u holda f (A) = {f (x) | x ∈
A} to‘plam R′ halqaning qism halqasi bo‘ladi.
Agar R′ halqaning B qism halqasi berilgan bo‘lsa, u holda f −1(B) = {x ∈
R | f ( x) ∈ B} to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi.
Agar R kommutativ bo‘lsa, u holda f (R) ham kommutativ bo‘ladi.
Agar R biri bor halqa bo‘lib, f epimorfizm bo‘lsa, u holda R′ ham birlik ele- mentga ega va f (1) = 1′ bo‘ladi.
∈
Agar R biri bor halqa bo‘lib, f epimorfizm va a R element teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda f (a) ham teskarilanuvchi, hamda f (a)−1 = f (a−1).
R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi f : R → R′ gomomorfizmning yadrosi deb quyidagi to‘plamga aytiladi
Ker f = { a ∈ G | f ( a) = 0 ′} .
Yuqoridagi teoremaga ko‘ra ixtiyoriy gomomorfizmining yadrosi bo‘sh emas, chunki 0 ∈ Ker f. Bundan tashqari halqa gomomorfizmining yadrosi ikki yoqlama ideal bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar a, b ∈ Ker f va x ∈ R bo‘lsa, u holda f ( a) = f ( b) = 0 ekanligidan f ( a − b) = f ( a) − f ( b) = 0 , f ( a · x) = f ( a) · f ( x) = 0 va f ( x · a) = f ( x) · f ( a) = 0 bo‘lishini hosil qilamiz. Bu esa a − b, a · x, x · a ∈ Ker f ekanligini, ya’ni halqa gomomorfizmi yadrosining ideal bo‘lishini anglatadi.
misol. • R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi f ( a) = 0 ′ kabi aniqlangan
f : R → R′ akslantirish gomomorfizm bo‘lib, Ker f = R bo‘ladi.
R halqani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi ayniy akslantirsh gomomorfizm bo‘lib, Kerf = {0} bo‘ladi. Bundan tashqari ushbu ayniy akslantirish avtomorfizm bo‘ladi.
Endi (Z , + , ·) butun sonlar halqasini (Z n, + n, · n) chegirmalar halqasiga o‘tkazuvchi gomomorfizmga misol keltiramiz.
misol. Z halqani Z n halqaga o‘tkazuvchi f (a) = a kabi aniqlangan aks- lantirish gomomorfizm bo‘lib, uning yadrosi uchun Kerf = nZ munosabat o‘rinli. Ya’ni ushbu akslantirishning yadrosi n soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
→
Quyidagi misolda biri bor R va R′ halqalar uchun f : R R′ gomo- morfizm syurektiv bo‘lmasa, u holda f (1) = 1 ′ tenglik har doim ham o‘rinli bo‘lavermasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun Z × Z to‘plamda quyidagi amallarni aniqlaymiz
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d).
U holda Z × Z to‘plam ushbu qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilib, bu halqaning nol elementi (0 , 0) , birlik elementi esa (1 , 1) bo‘ladi.
misol. Z halqadan Z ⊕ Z halqaga bo‘lgan f : Z → Z ⊕ Z akslantirishni quyidagicha aniqlaylik
f ( x) = ( x, 0) , ∀ x ∈ Z .
Ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘lib, u inyektiv, lekin syurektiv emas. Ya’ni bu akslantirish monomorfizm, lekin epimorfizm emas. Z halqaning birlik elementi uchun f (1) = (1, 0) bo‘lib, bu element Z ⊕ Z halqaning birlik elementi emas. Ya’ni birinchi halqa birlik elementining obrazi ikkinchi halqaning birlik elementi bo‘lmaydi.
B iz avvalgi mavzuda halqalarni qarab o‘tgan edik.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Muhammad Al-Xorazmiy nomida Toshkent Axborot texnologiyalari universiteti Mustaqil ish Mavzu: Halqali gomomorfizmlari va izomorfizmlari Bajardi
|