Umumlashgan kvadratur formulalar

5. Umumlashgan kvadratur formulalar. Qaralayotgan oraliq yetarlicha katta bo`lib, bu oraliqda funksiya to`g`ri chiziq yoki parabolaga yetarlicha yaqin bo`lmasa, u holda to`g`ri to`rtburchak trapetsiya ва Simpson formulalari yaxshi natija bermaydi. U vaqtda f(x) ni yuqori tartibli ko`phad bilan almashtirishga to`g`ri keladi, lekin yuqori tartibli Nyuton-Kotes formulasini qo`llash ham maqsadga muvofiq emas. Bunday holda [a,b ] oraliqni qismiy oraliqlarga bo`lib, har bir qismiy oraliqda kichik n lar uchun chiqarilgan kvadratur formulalarni qo`llash yaxshi natijaga olib keladi.
Berilgan [a, b] oraliqni xk=a+kh (к = 0,N nuqtalar yordamida uzunligi
h = bo`lgan N ta bo`lakka bo`lamiz. Har bir qismiy oraliq [хқ хк+1] bo`yicha olingan integralga (2.1) formulani qo`llaymiz:
(k=0,1,…,N-1) (2.23)
Qulaylik uchun f(а + (к + )h)= y kabi belgilab (2.23) ni barcha k = 0,1,..., N- 1 lar bo`yicha yig`ib chiqsaq, natijada umumlashgan to`g`ri to`rtburchak ("katta" yoki "tarkibiy" deb ham yuritiladi) formulasiga ega bo`lamiz:
(2.24)
Bu formulaning qoldiq hadi RN(f) ni topish uchun (2.23) ning
(2..25)
qoldiq hadini barcha k = 0,1, .., N- 1 lar bo`yicha yig`amiz, natijada
R (f,k)= ( ), (x ) (2.26)
Ravshanki,
(x)
I kkinchi hosilaning uzluksizligidan, Koshi teoremasiga ko`ra shunday mavjudki,
Buni (2.29) ga olib borib qo`ysak, umumlashgan to`g`ri to`rtburchaklar formulasining qoldiq hadi hosil bo`ladi:
R (f)= ( a ) (2.27)
Shuningdek, umumlashgan trapetsiyalar formulasini ham chiqarish
mumkin. Agar f(a+kh)=y deb olsak umumlashgan trapetsiyalar
f ormulasi
bo`lib, uning qoldiq hadi esa
R (a ) (2.29)
ko`rinishga ega bo`ladi.
Umumlashgan Simpson formulasini chiqarish uchun [a, b] oraliqning uzunligi h = (b-a)/2N ga teng bo`lgan 2N ta oraliqchalarga bo`lamiz va uzunligi 2h ga teng bo`lgan har bir ikkilangan
[ х0,, х2],[х2,, х4],…..,[x2N-2,, x2N] oraliqchalarga Simpson formulasini qo`llaymiz:
B undan esa umumlashgan Simpson formulasi
kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, f(x) to`rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lganda, umumlashgan Simpson formulasining
R (f)=- (a< (2.31)
q oldiq hadini hosil qilamiz.
Misol tariqasida
integralni taqribiy hisoblaylik. Buning uchun umumlashgan
to`g`ri to`rtburchak formulasi (2.24) da N= 10 deb olaylik. Bu yerda
h=(b-a)/N= 0,1 bo`lgani uchun
у = bo`lib,
y0,5=0,95238; y1,5=0,86957;
y2,5=0,80000; y3,5=0,74074;
y4,5=0,68966; y5,5=0,64516;
y6,5=0,60606;y7,5=0,57143; y8,5=0,54054;y9,5=0,51282
B undan esa umumlashgan to`g`ri to`rtburchak formulasiga ko`ra:
I
Bu taqribiy qiymat bilan aniq qiymatning farqi
< 0,00032
Demak ln2 0,693, bu rahamlar aniqdir.
Ikkinchi misol sifatida ushbu integral sinusning
x=1 nuqtadagi qiymatini umumlashgan Simpson formulasi bilan olti xona aniqlikda topish masalasini qaraylik.
B u yerda aniqlik berilgan = 0,5 • 106 bo`lib, so`ngra unga ko`ra umumlashgan Simpson formulasi uchun tegishli N ni aniqlash mumkin. Buning uchun Si (x) ning 4-tartibli hosilasini baholash kerak. Ravshanki,
B undan
va
E ndi (2.31) formulaga ko`ra y quyidagi tengsizlikni qanoatlantirishi kerak:
va
Bundan esa N 5 ekanligini topamiz. Shuning uchun ham N= 5 uchun Si(l) ni umumlashgan Simpson formulasi bo`yicha hisoblaymiz. Jadvaldan foydalanib, quyidagilarni topamiz:
y0=1
y1=0,998330
y2=0,993345
y3=0,985067
y4=0,973545
y5=0,958852
y6=0,941070
y7=0,920311
y8=0,896695
y9=0,870363
y10=0,841471
Aslida Si(l) ning olti xona aniqlikdagi qiymati
Si(l) = 0,946083
Topilgan qiymat bilan aniq qiymat orasidagi oxirgi xona birligidagi farq yaxlitlash xatosi hisobidan kelib chiqqan.
|