Haqiqiy sonlarning Veyershtrass nazariyasi

2.4. Haqiqiy sonlarning Veyershtrass nazariyasi
m,nN bo’lsin. Natural sonni natural songa bo’lish algoritimiga ko’ra, ratsional son chekli o’nli kasr yoki cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida tasvirlanadi:
Yoki,
raqamlar, manfiy bo’lmagan butun son, lar ichida nol emaslari ham bor, chekli o’nli kasrni davrida 9 bo’lgan cheksiz o’nli kasr ko’rinishida ham tasvirlashimiz mumkin:
Shunday qilib, ixtiyoriy ga cheksiz davriy o’nli kasr mos qo’yiladi, va aksincha, ixtiyoriy cheksiz o’nli kasrga bittagina musbat musbat ratsional son mos keladi, ni ga bo’lish algoritimi xuddi shu cheksiz davriy o’nli kasrni beradi. songa ga mos keluvchi cheksiz davriy o’nli kasrni minus ishora bilan olinganiga mos qo’yamiz, o’nli kasrni mos qo’yamiz, nolga ±0,000…=0,000… o’nli kasrni mos qo’yamiz. Demak, barcha ratsional sonlar to’plami Q va barcha davriy cheksiz o’nli kasrlar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud: . Bu fikrlar kitobxonga ma’lum.
Veyershtrass haqiqiy sonlar nazaryasini cheksiz o’nli kasrlarga asoslanib tuzadi.
“+” yoki “-“ ishoralar davriy bo’lmagan(davriymas) ixtiyoriy cheksiz o’nli kasr … irratsional son deyiladi; α0-manfiybo’lmagan butun son, α1, α2, α3… lar raqamlar.
Misollar. 1) 5,4344334443334444…( 4,44… lar orasiga 3,33…lar yozilgan) davriymas cheksiz o’nli kasr, demak, ta’rifiga ko’ra, irratsional sondir.
2) 3 dan kvadrat ildiz chiqarish algoritmiga ko’ra hosil qilingan cheksiz o’nli kasr ham davriymas, binobarin, irratsional sondir: . Barcha ratsional va irratsional sonlar to’plami haqiqiy sonlar to’plami deyiladi, uni biz avvalgidek R bilan belgilaymiz. Demak, Veyershtrass nazariyasi bo’yicha
…
ko’rinishida ixtiyoriy cheksiz o’nli kasr haqiqiy son deyiladi … davriy bo’lsa, ratsionla sonni; davriy bo’lmasa irratsional sonni ifodalaydi.
… kasr α haqiqiy sonni ifodalashini …kabi yozamiz. Agar … da kasr “+” (“-“) ishorali va αk raqamlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, α musbat (manfiy) haqiqiy son deyiladi va α>0 yoki α<0 kabi belgilanadi.
Haqiqiy sonlar to’plamining tartiblanganligi.
bo’lsin.Agar αk=βk , k=0,1,2,3,…,k va faqat shu holda α=β deyiladi. Agar α0<β0 bo’lsa yoki shunday k nomer mavjud bo’lsaki, αi=βi, i=0,1,2,3,…k,va αk+1<βk+1 bo’lsa, α<β (β>α) deyiladi. Agar α0>β0 bo’lsa yoki shunday nomer k mavjud bo’lsaki, αi=βi, i=0,1,2,3,…k,va αk+1<βk+1 bo’lsa, α>β (β<α) deyiladi. Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallarni ta’riflashdan avval turg’unlashuvchi ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz. k1,k2,…єZ va biror nomer l0 dan boshlab barcha l≥l0 lar uchun ki=k bo’lsa, {ki} ketma-ketlik natural son k ga turg’unlashadi deyiladi.
Misollar: 1)1,3,5,6,7,8,8,8,… ketma-ketlik 6- nomerdan boshlab 8 ga turg’unlashadi.
2) -1,-2,-3.-4,-11,-11.. ketma-ketlik 5- nomerdan boshlab -11 ga turg’unlashadi.
Agar butun sonlar ketma-ketligi kamayuvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u biror butun songa turg’unlashishini ko’rsatish oson. Haqiqiy sonlar-cheksiz o’nli kasrlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin:
(3)
Biror β=β0,β1,β2,…βn… haqiqiy sonni olaylik. Agar {αik} ixtiyoriy k=0,1,2,… uchun βk ga turg’unlashsa, {αn} ketma-ketlik β ga turg’unlashadi deymiz.
Quyidagi teorema o’rinli:
Teorema. Agar (3) kamayuvchi va yuqoridan butun son K bilan chegaralangan bo’lsa, u holda (3) biror a songa turg’unlashadi va αn≤a≤K bo’ladi, n=1,2…
Haqiqiy sonlar ustida amallar. α>0, β>0 va bo’lsin. Bu haqiqiy sonlarning n-qirqimlari x(n), y(n)єQ teoremaga ko’ra x(n)+y(n)=+=γn0,γn1,γn2,…γnn n=1,2… ketma-ketlik tayin bir λ=λ0λ1λ2…λn… songa turg’unlashadi. Bu sonni α va β sonlarning yig’indisi sifatida qabul qilamiz: α+β=λ. Shunday qilib, α va β sonlarning n-qirqimlari yig’indisi qaysi songa turg’unlashsa shu son α va β sonlarning yig’indisi deyiladi.
Xuddi shuningdek x(n)-(y(n)+10-n)=x(n)-y(n), (x(n) y(n))(n) ketma-ketliklar turg’unlashuvchi bo’ladi. va ular qaysi sonlarga turg’unlashsa, o’sha sonlar, mos ravishda, α va β sonlarning ayirmasi, ko’paytmasi deyiladi.
Bu amallarni α va β ixtiyoriy ishorali bo’lganida ham kiritish mumkin. Masalan, α,β≤0 bo’lsa, ularning yig’indisi α+β kabi aniqlanadi. Agar barcha cheksiz o’nli kasrlar to’plamida tartib munosabati (katta), qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish amallari yuqoridagidek kiritilsa, u holda bu to’plam elementlari uchun ham
I-VI talablar bajariladi.
0>
|