Mavzu: Funksiyalarini Nyuton formulalari yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

Reja: Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi
Mavzu: Funksiyalarini Nyuton formulalari yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash
Reja:
Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi
Interpolyatsiyalash xatoligi
Nyuton birinchi va ikkinchi interpolyatsion formulasi
Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi
Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida qatnashadigan funksiyalarni unga biror muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo'lgan funksiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan.
Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik y=f(x) funksiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin:
Yo=f(x0), y 1=f(x1) ..... ,yn=f(xn)
Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan P(x)*Pn{x) ko'phad topish kerakki, P(xi) berilgan xi=(i=0,1, .... n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiy- matlarni qabul qilsin, ya’ni P(xi)=yi.
Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi n dan ortmaydigan shunday
у=Рn(х)=a0xn+ a1xn-1 ...+ аn (1)
ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan M(xi, уi ) (i=0,1,… n) nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi xi (i=0,1,2,.. n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.
1-rasm. у=Рn(х) grafigi asosida ko’phad qurish
Interpolyatsiyalash xatoligi
Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funksiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. Agar xϵ (a, b) bo'lsa interpolyatsiyalash x ϵ[a, b] bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi).Biz f(x) funksiyani interpolyatsion Ln(x) ko‘phadga almashtirganimizda
ωn(x) = f(x)- Ln(x),
xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. [a ,b ] ga tegishli ixtiyoriy x nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:
(1)
bu yerda zϵ[a,b],K- o‘zgarmas va
(2)
(1)dagi o ‘zgarmas K ni λ(x) = 0 shartdan topamiz:
(3)
f(z) funksiya [a ,b] da n + 1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin deymiz. λ (z) funksiya [a ,b] da n + 2 ta nuqtada nolga teng,ular x ,x 0,x1,...,xn. Roll teoremasiga asosan, λ '(z) [a ,b ] ga tegishli n + 1 ta, λ”(z) n ta nolga ega bo`ladi va hokazo.λ(n+1)(z) [a,b] da kamida bitta nolga ega bo'ladi, ya'ni λ(n+1)() = 0, €[a ,b ] (1) dan n + 1 marta hosila olib, z = , desak, quyidagiga ega b o ‘lamiz:
(4)
(3) va (4) dan
(5)
kelib chiqadi.Bundan
(6)
bunga ega bo`lamiz,b u yerda
Mn+1=sup|f(n+1)(x)|
Bizga [a ,b] da aniqlangan f(x) funksiyaning [a ,b ] ga tegishli turli { xk }k=0n nuqtalarda qiymatlari ma’lum bo‘lsin.
Quyidagicha aniqlangan
miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi, ular yordamida aniqlangan
miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi.
Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan, k-tartibli f(xi,xi+1,…,xi+k) va f(xi+1,xi+2,…,xi+k+1) ayirmalar nisbati m a’lum bo ‘lsa, (k + 1) -tartibli ayirmalar nisbati
aniqlanadi, i = 0 ,1 ,...,n-k-1
Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega.
1- xossa. Algebraik yig'indidan olingan ayirmalar nisbati qo‘shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig‘indisiga teng.
2- xossa. O ‘zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
3- xossa. Ayirmalar nisbati o ‘z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir.
4- xossa. m-darajali algebraik ko ‘phaddan olingan k-tartibli ayirmalar nisbati, agar k>m b o ‘lsa nolga, k = m da o'zgarmasga va k< m b o ‘lsa argumentlariga nisbatan
(m - k )-darajali simmetrik birjinsli k o ‘phadga teng.
Nyuton birinchi va ikkinchi interpolyatsion formulasi
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya uchun y1= f(x) qiymatlar berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo'lsin, ya’ni xi=x0+ih (i=0,1,2,.... h) (h- interpolyatsiya qadami). Argumentning mos qiymatlarida darajasi h dan oshmaydigan mos qiymatlar oladigan ko'phad tuzish lozim bo'lsin va bu ko'phad quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+..+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) (7)
Bu n-tartibli ko'phad. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko'ra
Pn(x) ko'phad x0, x1 ..., xn interpolyasiya tugunlarida Pn(x0)=y0,Pn(x 1)=y 1, Pn(x2)=y2 .... , Pn(xn)=yn qiymatlarni qabul qiladi, x=x0 deb tasavvur etsak, (7) formuladan y0=Pn(x0)=a0, ya’ni a0=u0, so'ngra x ga x1 va x2 larning qiymatlarini berib, ketma-ket quyidagiga ega bo'lamiz:
ya`ni
Yoki y2-2y1+y0=2h2a2,bundan
Bu jarayonni davom ettirib, x=xn uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
Topilgan a0,a1,a2,…,an koeffitsientlarning qiymatlarini (7) formulaga qo'ysak,
(8)
ko'rinishga ega bolamiz. Bu formulada
ya`ni x=x0+hq belgilash kiritilsa, u holda
Natijada Nyutonning 1-interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz:
(9)
Nyutonning 1- interpolyatsion formulasini [a, b] ning boshlangich nuqtalarida qollash qulay.
Agar n=1 bo'lsa, u holda P1(x) = y 0 +qy0ko`rinishidagi chiziqli interpolyatsion formulaga, n=2bo'lganda esa
ko'rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo'lamiz.
Nyutonning 1- formuiasini oldinga qarab inierpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi.
(9) formulaning qoldiq hadi
(10)
bu yerda ϵ[x0,xn].
Funksiyaning analitik ko'rinishi har doim ham ma’lum bo'lavermaydi. Bunday hollarda chekli ayirmalar tuzilib,
deb olinadi. U holda Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik
(11)
formula orqali topiladi.
Nyutonning birínchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bolsín,ya’ni argumentning
n= 1 x0, x1,x2,...xn qiymatlarida funksiyaning qiymatlari y0,y1, ...yn bo`lsin. Tugunlar orasidagi masofa h o'zgarmas bo’lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni
quramiz:
(12)
Bunda qatnashayotgan a0, a1 .... an noma’lum koeffitsientlarni topishni x=xn bo’lgan holdan boshlash kerak. So'ngra argumentga xn-1,xn-2, ... qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.
Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (12) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a1, a2 , ....an larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:
Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga qo‘ysak,
(13)
ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada q={x-xn)/h belgilash kiritsak,
(14)
hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (14) formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.
Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha boladi:
bu yerda q=(x-xn)/h,ϵ [x0, xn].
Agar funksiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,
deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi
bo`ladi.
http://fayllar.org
|