Radius-vektorning koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liqligi

Radius-vektorning koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liqligi.
Radius-vektorlar o’z navbatida koordinata boshining tanlab olinishiga
bog’liqdir. Bir-biridan koordinata boshlari а masofaga farq qiluvchi sistemalarga nisbatan birgina zarra radius-vektorlari o’zaro
i
i
r
→ r→ a→
Munosabat bilan bog’langanligi bizga ma’lum. Shuning uchun ularga tegishli
impuls momentlari ham
M
i
i
i
i
i
i
M
i
M
aP
→ r→ p→ r→ a→p→ r→p→ a→p→
→ a→ p→ → → → (6)
i i i i
i →
Bo’ladi. (6) dan ko’rinadiki, agar sistema yaxlit tinch holatda bo’lsa, ya’ni P 0
bo’lsa, uning momenti koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liq bo’lmaydi. Agar bir-biriga nisbatan v→ tezlik bilan harakatlanayotgan S va S inersial
sistemalarda impuls momentlarini qarasak, tezliklar
i
i
V
v
→ v→ →
almashtirishlari bilan bog’langani uchun
→ m r→ v→ m r→ v→
→ →
→
→ →
(7)
M i i i
i
i i i
i
mi riV
i
M m RV
Bu yerda
m mi
R
i
sistemadagi barcha zarralar massalar yig’indisi,
→ esa
m r→
R i i i
i mi
→
Sistema inersiya markazi deyiladi. (7) bir inersial sistemadan ikkinchi bir inersial sistemaga impuls momentini almashtiruvchi formula hisoblanadi. Agar mexanik
S sistemaga nisbatan yaxlit tinch tursa, S ga nisbatan esa qilayotsa, u holda
V tezlik bilan harakat
→ →
P mV
Sistemaning to’liq impulsi bo’ladi. U holada (7)
M
M
RP
→ → → →
(8)
Ko’rinishda yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, sistema impuls momenti
→ S
M
sistemadagi «xususiy impuls momenti» va zarralar sistemasining S ga nisbatan
RP
yaxlit harakati bilan bog’liq bo’lgan → → impuls momenti yig’indisidan iborat
bo’ladi.
Nazorat savollari
Energiyaning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
Impul’sning saqlanish qonuni keltirib chiqaring
Lagranj funksiyasi va impuls momentining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi yozing.
Fazoning izotropik xossasi ko’rsating
Impuls momentining saqlanishi keltirib chiqaring
Radius-vektorning koordinata boshining tanlab olinishiga bog’liqligini ko’rasting.
9 ma’ruza. HARAKAT TENGLAMALARINI INTEGRALLASH. BIR O’LCHAMLI HARAKATNI INTEGRALLASH.
REJA:
Bir o’lchovli harakat tenglamalarini integrallash
Ayrim xususiy hollardagi harakat tenglamalarini integrallash
Markaziy maydondagi harakat.
Markaziy kuch maydoni
Effektiv potensial energiya va to’la energiyalarning radius vektordan bog’liqligi
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: moddiy nuqta, Lagranj funksiyasi,markaziy maydon, effiktiv potinsial energiya, to’la enargiya, markaziy kuch maydoni, infinit va finit xarakatlar
Eyler-Lagranj tenglamasi, kinetik energiya, potensial energiya, kuch
d L L
q
dt qi i
(1)
qi
d q
dt i
(2)
Ushbu (1) ko’rinishdagi Eyler-Lagranj tenglamasi ixtiyoriy koordinatalar sistemasida ifodalanuvchi barcha hollar uchun o’rinli. Masalani soddalashtirish maqsadida dastlab, faqat bir o’lchovli harakatlanuvchi moddiy nuqtaning harakat tenglamasini keltirib chiqaramiz. Bir o’lchovli sistema uchun (1) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
d L L
dt x x
(3)
Bu holda Lagranj funksiyasi
L L(x, x) ko’rinishda.
Buni N’yutonning ikkinchi qonuni bilan taqqoslasak,
d (mv dt x
) Fx ;
d
dt px
Fx
(4)
(3) va (4) tenglamani taqqoslash shuni ko’rsatadiki ular ayni bir moddiy nuqtaning harakat tenglamasini xarakterlashi uchun quyidagi shartlarni bajarishi kerak.
L p ,
L F
(5)
x x
px mvx mx,
x x
F U
x x
(6)
L mx, L ( x) m x 2
x 1 2
L U
(7)
x x ,
L2 ( x) U (x)
(7) munosabatdan ko’rinib turibdiki bu holda Lagranj funksiyasini uning additivlik xossasidan foydalanib quyidagi ikki hadning yig’indisi ko’rinishida yozish mumkin.
(7) ni e’tiborga olsak
L( x, x) L1 ( x) L2 ( x)
mx 2
(8)
(9)
L U (x)
2
Bu munosabat bir o’lchovli harakat holi uchun moddiy nuqtaning klassik Lagranj funksiyasi. Demak, ixtiyoriy uch o’lchovli harakatga qatnashuvchi moddiy nuqtaning Lagranj funksiyasini uning kinetik va potensial energiyalarining ayirmasi sifatida ifodalash mumkin.
L T U
Bu yerda T - kinetik energiya; U -potensial energiya.
(10)
Lagranj funksiyasini Dekart koordinatalar sistemasi uchun quyidagicha ifodalash mumkin
2
L m (x 2 y 2 z 2 ) U (x, y, z)
(11)
Topilgan natijalardan foydalanib Eyler-Lagranj tenglamasini quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin
d (mx) F
(12)
mx F (x, x, t)
(13)
dt x
(13) nuqtaning bir o’lchovli xarakat tenglamasi. Demak bir o’lchovli harakat tenglamasini integrallash uchun ya’ni uning ixtiyoriy vaqt momentidagi koordinatasini aniqlash uchun (13) harakat tenglamasini yechish lozim.
Xususiy hollarni ko’rib chiqamiz.
mx 0 bu holda jism tezlanishi nolga teng bo’lib x 0 , jism tezligi
o’zgarmaydi
x const .
xt x0 v0 xt
mx F const . Bu holda jismning tezlanishi vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydi.
Boshqacha aytganda jism tekis o’zgaruvchan harakat qiladi.
a t 2 F 2
x( t) x0 v0 xt x x0 v0 xt t
2 2 m
Bir o’lchovli harakat tenglamasini umumiy holda integrallash imkoni yo’q. Chunki
moddiy nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch uning koordinatasiga, tezligiga va vaqtdan bog’liq. Bu fikrni tushuntirish uchun quyidagi misollarni ko’rib chiqamiz.
0
1. F x kx k 0
mx kx,
mx kx 0
0
x 2 x 0
k / m 2
-xususiy tebranishlar chastotasi.
(A)
bu tenglama garmonik tebranishlarni tavsiflaydi.
2. F ( x, x) kx rx k , r 0
bu munosabatdagi ikkinchi had qarshilik kuchi hisoblanib, moddiy nuqta bilan u harakatlanayotgan muhit orasidagi qarshilikni inobatga oladi. Qarshilik kuchi
doimo tezlikka qarama-qarshi yo’naladi. Bu holda xarakat tenglamasi quyidagi ko’rinishni oladi:
mx kx rx 0
(B)
bu tenglama so’nuvchi tebranishlarni ifodalaydi, ya’ni vaqt o’tishi bilan so’nuvchi erkin tebranishlarni tavsiflaydi.
3. F (x, x, t) kx rx F0 cos t
Bu munosabatda tenglikning o’ng tomonidagi uchinchi had davriy ravishda ta’sir
etuvchi majburiy kuch ifodasidir. Bu yerda dastlabki ikki had
k 0,
r 0
bo’lsa
jism bu kuch ta’sirida quyidagi qonunniyat bo’yicha o’zgaruvchi tezlanishga yega bo’ladi:
m
x F0 cos t
Shunday qilib, oxirgi holda tenglama quyidagi ko’rinishga yega bo’ladi
mx kx rx F0 cos t
(C)
Yuqorida ko’rib o’tilgan uchala holda bir o’lchovli harakat tenglamalarini aniq yechish mumkin.
|