)
∠
AOD
=
∠
BOD
shartga ko‘ra; 
2)

137
9.
AOB
burchak ichida
N
nuqta olingan. Agar
AN=BN
,
OA
⊥
AN
va
OB
⊥
BN
bo‘lsa,
N
nuqta
AOB
burchak
bissektrisasida yotishini isbotlang.
10*
.
7-rasmda katakli qog‘ozga chizilgan burchakning
bir qismi tasvirlangan. Qog‘ozning
burchak uchi
joylashgan qismi yirtilib ketgan.
A
va
B
nuqtalar
bur chak tomonlaridan teng uzoqlashgani ma’lum.
Burchak bissektrisasini qanday yasash mumkin.
11.
8-rasmda tasvirlangan beshburchak burchaklari
yig‘indisini toping.
12.
9-rasmda tasvirlangan kub sirtida joylashgan uch
-
burchakning raqamlangan burchaklari yig‘indisini
toping.
13.
ABC
to‘g‘ri burchakli uchburchakda
C
to‘g‘ri bur
-
chak va
AB
=12 va
CD
=
DB
bo‘lsa,
CD
ni toping
(10-rasm)
.
14
. To‘g‘ri burchakli
uchburchakning gipotenuzaga
tushirilgan medianasi 8
cm
. Agar uchburchakning
bir burchagi 60° ga teng bo‘lsa, bu burchakka yo
-
pishgan tomonlarni toping.
15*.
Uchburchakning ikkita bissektrisasi kesishgan
nuqta uchburchak uchala tomonidan teng uzoqlikda
bo‘lishini isbotlang.
16*.
Teng yonli
ABC
va
A
1
B
1
C
1
uchburchaklarning
AC
va
A
1
C
1
asoslari
va asoslarga tushirilgan
BD
va
B
1
D
1
balandliklari teng.
∆
ABC
=
∆
A
1
B
1
C
1
tenglikni
isbotlang.
17*
.
Teng yonli
ABC
uchburchakda
AC
asos va
AD
hamda
BE
balandliklar 50° li burchak ostida kesi-
shadi. Uchburchakning burchaklarini toping.
18*.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning bittadan ka
-
teti va gipotenuzaga tushirilgan balandligi bo‘yicha
tengligini isbotlang.
19*
.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning bittadan kateti
va gipotenuzaga tushirilgan bissektrisasi bo‘yicha
tengligini isbotlang. Ma’lumki, matematik jumla aniq,
yetarlicha to‘la va shu bilan birga qisqa, ortiqcha
so‘zlarsiz bo‘lishi lozim. Quyidagi jumlalardagi or
-
tiqcha so‘zlarni aniqlab ko‘ring-chi?
Geometriyada aniqlik va qisqalik
1. To‘g‘ri burchakli uchburchakning ikki o‘tkir burchak
-
lari yig‘indisi 90° ga teng.
2. Agar to‘g‘ri burchakli uchburchakda katet gipotenuzaning yarmiga teng bo‘lsa, uning
qarshisida yotuvchi o‘tkir burchak 30° ga teng bo‘ladi.
3. Eng kam tomonli ko‘pburchak: a) aylana markazidan o‘tuvchi vatar; b) asosi yon tomo
-
niga teng bo‘lgan teng yonli uchburchak.
8
9
10
A
C
B
D
B
A
7
138
21
??
?
?
Teorema.
Uchburchakning katta tomoni qarshisida katta burchak yotadi.
∆
ABC
,
AB
>
AC
(1-rasm)
∠
C
>
∠
B
Isbot.
AB
kesmani chizamiz va unga
AC
tomonga teng
AD
kesmani qo‘yamiz.
AB>AD
bo‘lgani uchun
D
nuqta
AB
kesmaga tegishli
bo‘ladi. Demak,
CD
kesma
C
burchakning ichki
sohasida
yotadi va
C
burchakni ikki burchakka
ajratadi.
Shunga ko‘ra
,
∠
C
>
∠
1.
ACD
uchburchakni teng yonli qilib yasaganimiz
uchun
∠
1 =
∠
2
.
∠
2
CDB
uchburchakning tashqi burchagi bo‘lgani uchun
∠
2
>
∠
B
.
Bu ajratib ko‘rsatilgan uchta munosabatdan
∠
C
>
∠
1 =
∠
2
>
∠
B
, ya’ni
∠
C
>
∠
B
ekanini hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi.
Shuningdek, bu teoremaga teskari teorema ham o‘rinli.
?
?
?
?
Teskari teorema.
Uchburchakning katta burchagi qarshisida katta tomon
yotadi.
Bu teoremaning isbotini mustaqil bajaring.
1natija.
Teng yonli uchburchakda teng
tomonlar qarshisida teng burchaklar yotadi.
Uning to‘g‘riligini oldin ham isbotlagan edik.
1-masala.
2-rasmda berilgan ma’lumotlardan
foydalanib
∠
1 >
∠
3
ekanini isbotlang.
Yechish.
∠
2 >
∠
3 ekanligi ravshan, chunki
∠
2
BDC
uchburchakning tashqi burchagi bo‘lib, tash qi
burchak xossasiga ko‘ra,
∠
2 =
∠
3 +
∠
4 va
∠
4 > 0.
ACD
teng yonli uchburchak bo‘lgani uchun
∠
1 =
∠
2. Demak,
∠
1 >
∠
3 bo‘ladi.
2-masala.
3-rasmda berilganlardan foydalanib
AB
<
AC
ekanini ko‘rsating.
Yechish.
BDC
– teng yonli uchburchak (chunki
BD
=
DC
). Demak,
∠
1 =
∠
2 bo‘ladi.
∠
1 <
∠
ABC
bo‘lgani uchun
∠
2 <
∠
ABC
.
Katta burchak qarshi
-
sida katta tomon yotgani uchun
AB
<
AC
bo‘ladi.
1
A
B
D
C
1
2
2
A
B
D
C
1
2
3
4
3
A
B
D
C
1
2
21.1. Uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlar
UCHBURCHAKNING TOMONLARI VA
BURCHAKLARI ORASIDAGI MUNOSABATLAR
139
21.2. Uchburchak tengsizligi
Uchburchakning istalgan bir tomoni qolgan ikki tomoni yig‘indisidan kichik.
?
?
?
?
∆
ABC
(1-rasm)
AC <
AB + BC
Isbot.
AB
to‘g‘ri chiziqqa
BC
kesmaga teng
BD
kesmani qo‘yamiz va
C
va
D
nuqtalarni
tutashtiramiz
(5-rasm)
. Natijada
BCD
teng yonli uchburchak hosil bo‘ladi. Unda
∠
1 =
∠
2,
chunki
BC
=
BD
.
Shakldan ravshanki,
∠
ACD
>
∠
1.
U holda
∠
ACD
>
∠
2
, chunki
∠
1 =
∠
2.
Bu burchaklar
ACD
uchburchakka tegishli.
Endi katta burchak
qarshisida katta tomon
yotishini hisobga olsak,
AC
< AD
tengsizlikka
ega bo‘lamiz. U holda
AC
< AB
+
BD,
chunki
AD
=
AB
+
BD
.
Undan
BD=BC
ekanini hisobga
olsak,
AC
< AB
+
BC
ni hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
2natija.
Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan ixtiyoriy uchta –
A
,
B