Normal taqsimot parametrlari uchun ishonchlilik intervallari

|
Normal taqsimot parametrlari uchun ishonchlilik intervallari
|
bet | 10/11 | Sana | 17.11.2023 | Hajmi | 0,82 Mb. | | #100395 |
Bog'liq Rescue41Normal taqsimot parametrlari uchun ishonchlilik intervallari
a) model ( - ma’lum )- Noma’lum parametr uchun ishonchlilik intervalini tuzamiz. Normal taqsimotning xarakterizatsion xo ssasiga ko‘ ra: agar , va bo‘lsa, tasodifiy miqdor ham normal taqsim otga ega va uning parametrlati -boladi. Ushbu xarakterizatsion xossadan foydalanamiz:
- statistikaning taqsimoti
- statistikaning taqsimoti
- statistikaning taqsim oti
Demak, standart normal taqsimotga ega, ya’ni taqsimotnoma’lum parametrga bogliq emas. Markaziy statistika sifatida aynan shu statistikani olamiz:
Bu yerda lar shartni qanoatlantiruvchi normal taqsimot kvantillari. va larni interval uzunligi minimal boladigan qilib tanlash kerak: . Buning uchun Lagranj funksiyasini koramiz:
funksiyaning statsionar nuqtalarini aniqlaymiz:
bu yerda standart normal taqsimot zichlik funksiyasi. Bundan
ekanligi kelib chiqadi. Barcha da
o‘rinliligidan yoki boladi. Lekin dan boladi. va tengliklardan foydalanib, tengliknihosil qilam iz. Demak, kvantillarni (1 ) ga qo‘ysak.quyidagi tenglikni hosil qilam iz:
Demak, modelda ( - m a’ lum) noma’ lum parametr uchun
ishonchlilik intervali boladi.
b) model (a- m a’lum). Noma’lum dispersiya uchun ishonchlilik intervalini tuzamiz. M a’lumki, agar - bo‘lsa, , bo'ladi.Demak, markaziy statistika sifatida ni olamiz. Bu yerda va lar ozodlik darajasi n bo‘lgan xikvadrat taqsimot kvantillari. va kvantillarni ( — xi-kvadrat taqsimot zichligi) shartdan aniqlaymiz:
Demak, ,
Yuqoridagilarni inobatga olib,
tenglikni hosil qilamiz. Demak, (a - ma’lum) modelda noma’lum dispersiya uchun ishonchlilik intervali
bo‘lar ekan.
Yuqoridagilar va qolgan modellar uchun markaziy statistika,
uning taqsimoti va ishonchlilik intervalining chegaralari quyidagi jadvalda keltirilgan.
Model
|
Nomálum parametr
|
Markaziy statistika va unung taqsimoti
|
ishonvhlilik intervali
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Misol va masalalar
1-misol. [ a, b ] intervalda ([a, b ]⊂ R ) tasodifiy nuqta olinganda, ya'ni [a, b]
ga tegishli qanday bir toplamning tushish ehtimolligi bu toplamning Lebeg o'lchamiga proportsional bo'lsin. Bu misol uchun Ω = [a, b] va ℑ bo'lsa [a, b ] daǵi
Borel toplamdan iborat, σ -algebrası bo'lib, ξ tasodifiy miqdorning quyidagicha
aniqlaymiz :
ξ (𝜔) = 𝜔𝜔 =∈ [𝑎, 𝑏]
ya'ni ξ tasodifiy miqdorning nuqtaning [ a, b] intervaldagi ma'nosiga teng bo'lib,
o'lchamli funkciya bo'ladi. Agar x < a bo'lsa,
𝐹 (𝑥) = 𝑃 (ξ < x) = 0
bo'ladi. Endi [ x∈a, b ] bo'lsin.
Bunday holatda (ξ < x) yuz berganda nuqta [a, x ) intervalga tushadi.
Bu intervalga tushish ehtimolligi uning uzunligiga proportsional, ya'ni
Agar x >b bo'lsa, F (x) = 1 bo'ladi. Demak, F (x) taqsimlash funksiyası quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi :
Yuqoridagi taqsimot funkciyası bilan aniqlangan ξ tasodifiy miqdori [a, b ]
Intervalda tekis taqsimlangan deyiladi.
Endi taqsimlot funkciyası xususiyatlarin keltiramiz. ξtasodifiy miqdorining
taqsimot funkciyası F (x) bolsin . Bunday holatda F (x) quyidagi hususiyatlarga
ega :
F1. Eger bolsa bunday, jag’dayda (monotonlıq hususiyati );
F2. (chegaralanganlik hususiyati );
F3. (chapdan uzliksizlik hususiyati ).
Isbot.x1 ≤ x2 uchun {ξ <𝑥1} ⊆ {ξ <𝑥2}
bo'lganligi sababli F1 hususiyatining ehtimolligi 3) hususiyatidan kelib chiqadı. F2 hususiyatin isbotlash uchun quyidagi {xn} ham {yn} sonli ketma -ketliklarni kiritamiz :
{ xn} kamayuvchi ketma-ketlik bo'lib, xnva { yn } osuvchi ketma-ketlik bo'lib, yn→+∞ bo'lsin.
𝐴n = {ξ <𝑥n}, 𝐵n = {ξ <𝑦n}
ko'pliklarni kiritamiz. Xn ∞ ekanliginen An koplikler ketma-ketligi monoton
kamayuvchi va ∩An =∅ bo'ladi. Ehtimollikning uzliksizlik aksiomasıga asoslanib
n→∞ ham Pn(A) → 0. Bunday holatda
Bundan F (x) funkciya monotonlıgidan
ekanligi kelib chiqadı. {yn} ketma-ketlik n→∞ ham +∞ ge monoton yaqinlashmoqchi bo'lganlıgi uchun Bnko'pliklar ketma ketligi da o'suvchi bo'lib, UBn=Ω bo'ladi.
Ehtimolliktıń hususiyatine asoslanib n→∞ ham P ( Bn) → 1 bo'ladi. Bunnan
munosabatlar kelib chiqadı.
F3 hususiyatin isbotlash uchun𝐴 = {𝜉<𝑥0 }, 𝐴n −= {𝜉<𝑥n} qubılıslardı kiritamiz. {xn } ketma - ketlik o'suvchi bo'lib, U An=A bo'ladi.
𝑃 (𝐴n) → 𝑃 (𝐴)
Bundan
teńlik kelip shıǵadı. Shuni aytıb ótish kerak , taqsimot funkciyasın
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝜉 ≤ 𝑥)
deb olsak, bunday holatda u unnan uzliksizlik xossasiga ega bolar edi. Lekin,
yuqoridagidek tańlangan F(x ) undan uzliksiz bola olmaydı, sababi uzliksizlik aksiomasıga kóra
(𝑥 + 0) − 𝐹(𝑥)=
Bu bolsa, óz navbatida , F(x ) nıng uzliksiz bolishi uchun hohlagan x lar uchun
(ξ = x) = 0
Bajarilishi zárur va yetkilikli ekanligin kórsatadi. Keltirilgen munosabatlardan shu kelip chıqadı :
(𝑥 ≤ ξ ≤ y) = 𝑃([𝑥, 𝑦]) = 𝐹(𝑦 + 0) − 𝐹(𝑥)
|
| |