ma’ruza: EYLER TENGLAMALARI. EYLER BURCHAKLARI

ma’ruza: EYLER TENGLAMALARI. EYLER BURCHAKLARI.
REJA
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Eyler tenglamalari, Eyler burchaklari, qattiq jismning harakat tenglamasi, simmetrik pirildoq harakati, inersiya kuchlari.
Qattiq dism harakatini ifodalash uchun uning inersiya markaziga uchta
koordinatalar va
X ,Y , Z
qo’zg’almas sistemaga nisbatan qo’zg’aluvchi sistemaning
x1, x2 , x3 o’qlarining burilishi Bilan bog’liq bo’lgan qandaydir uchta burchaklar
bilan foydalanish mumkin. Bu burchaklar sifatida Eyler burchaklari ishlatish ancha qulaydir.
Bizni hozir koordinatalar o’qlari orasidagi burchaklar qiziqtirgani uchun
ikala sistemaning koordinata boshini bita nuqtada deb olamiz.
x1 , x2
quzg’aluvchi
tekislik
X ,Y
quzg’almas tekislikni tugunlari.
Bu chiziq Z o’qiga nisbatan perpendikulyar bo’lganligi uchun x3 o’qiga ham
perpendikulyardir, uning musbat yo’nalishini shunday tanlab olamizki, bu
yo’nalish →→ vektorli ko’paytimaning yo’nalishiga mos kelsin (bu yerda → → - z
va x3
Zx3
o’qlari yo’nalishlardagi ortlari).
Z , x3
sifatida quyidagi burchaklarni olamiz. Z va
x3 o’qlari orasidagi burchak, X va
o’qlari orasidagi burchak, va burchaklari gavdalanish yo’nalishiga mos
ravishda Z va
x3 o’qlar atrofida parma qoidasi bo’yicha aniqlanadi. burchak 0
dan gacha, va burchaklar 0 dan 2 gacha qiymatlar qabul qiladi.
Burchak tezlik komponentalari.
,,
burchak tezliklarining
x1, x2 , x3
o’qlariga proyeksiyasini olaylik. Burchak tezlik ON tugunlar chizig’i bo’yicha
yo’nalgan va uning
x1, x2 , x3
o’qlari bilan tashkil etuvchilari:
1 cos , 2 sin , 3 0 . Burchak tezlik Z o’qi bo’yicha yo’nalgan, uning
x3 o’qiga proyeksiyasi
3 cos
ga teng.
x1, x2
proyeksiyasi esa
sin
ga teng. Oxirgi ifodani
x1 va x2
o’qlar bo’yicha yoysak:
Va nihoyat burchak tezlik
1 sin sin
2 sin cos
x3 o’qi bo’yicha yo’nalgan.
Bu tashkil etuvchilarni har bir o’qlar uchun olsak, nihoyat
1 sin sin cos
2 cos cos sin
(1)
cos
Simmetrik pildiroq uchun aylanishdagi kinetik energiya. Pildiroqning momenti.
Agar
x1, x2 , x3
o’qlar qattiq jism inersiya bosh o’qlari orqali tanlangan bo’lsa,
Eyler burchaklar orqali aniqlangan aylanma kinetik enerniyani (1) ni
T 1 I 2 I 2 I 2
ayl 2 1 1 2 21 3 3
formula quyidagi bilan topiladi.
Simmetrik pildiroq uchun I I2 I3 , u holda
T I1 2 sin 2 2 I3 cos 2 .
ayl 2 2
Qattiq jismning harakat tenglamasi
Keltirilgan harakat tenglamalari koorditanalari qo’zg’aluch sistema uchun yozilgan:
dP va dM dt dt
hosilalar
→ va → vektorlarning anna shunday sistemaga nisbatan o’qsharishini
P M →
aks ettiriladi. Vaholanki, qattiq jismning M aylanma moment komponentlari
orasidagi bog’lanishining eng sodda ko’rinishi o’qlari inersiya bosh o’qlari bo’ylab yo’naltirilgan qo’zg’aluvchi sistemada o’rinli bo’ladi. Ushbu bog’lanishda
foydalanish uchun dastavval harakat tenglamalari
koordinatalarga moslab olish kerak.
x1 , x2 x3
qo’zg’aluvchan
Faraz qilaylik,
→
dA ,
A
A
dt
→ vektorning qo’zg’almas sistemaga nisbatan o’zgarish
tezligi bo’lsin. Agar
→ vektor aylanma sistemaga nisbatan o’zgarmas bo’lsa, u
holda qo’zg’almas sistemaga nisbanat kuzatilayotgan o’zgarishi faqatgina
aylanishga bog’liq bo’ladi va
→ → →
dA A
dt
Bunday tenglama istalgan vektor uchun o’rinlidir. Umumiy holda bu
tenglamaning o’ng tomoniga → vektorning qo’zg’aluvchan sistemaga nisbatan
A
o’zgarishi tezligini qo’shish kerak. Bu tezlikni
→
d ' A
deb belgilasak, u holda
→ → dt
A
dA d ' A → →
(2)
dt dt
→
Ushbu umumiy formula yordamida qattiq jismning harakat tenglamalarini
→ dP dt
Quyidagicha aks ettirish mumkin:
→ va
F
→
dM →
K
dt
P
F
d ' P → → →
dt
→
(3)
M
K
d ' M →
dt
→ →
Bunda vaqt bo’yicha hosila koorditalarning qo’zg’aluvchi sistemasida oliganligi uchun tenglamalarni o’qlarga bo’lgan proyeksiyalari bo’yicha yozib chiqish mumkin:
→ → → →
d ' P
dP1 ,...
d ' M
dM1 ,...
dt 1 dt dt 1 dt
Bu yerda 1,2,3 indekslar
x1 , x2 , x3
o’qlar bo’yicha komponetalarini bildiradi.
→ →
Eyler_tenglamalari'>Eyler tenglamalari
O’qlar bo’yicha yozish paytida birinchi tenglamada P o’rniga V
ni olamiz:
dV1 V
V
F
dt
2 3 3 2 1
dV2 V
V
F
(4)
dt
3 1 1 3 2
dV3 V V F
dt
1 2 2 1 3
Agar
x1 , x2 , x3
o’qlar inersiya bosh o’qlari bo’yicha tanlangan deb hisoblasak, (3)
ning ikkinchi tenglamalariga tenglamalarni hosil qilamiz:
M 1 I11
va hokazo bo’ladi va qo’yidagi
I d1 I
1 dt 3
2 3
K1
I d 2 I
2 dt 1
3 1
K 2
I d3 I
3 dt 2
1 2
K3
Bu tenglamalar Eyler tenglamalari deb ataladi.
Erkin aylanish paytida keltirish mumkin:
K 0 , demak, bu tenglamalarni quyidagi ko’rishiga
I d1 I
1 dt 3
2 3 0
I d2 I
I 0
2 dt 1
I d3 I
3 dt 2
3 3 1
I1 12 0
Nazorat savollari
Eyler tenglamalarini yozing
Eyler burchaklari ayting
Qattiq jismning harakat tenglamasi yozing
Simmetrik pirildoq harakati qanday bo’ladi ?
Inersiya kuchlari nima ?
ma’ruza: TUTASH MUHITLAR MEXANIKASI TUSHUNCHASI.
REJA:
Tutash muhit - ko’p zarrali sistemaning modeli sifatida.
Deformasiya tenzori
Hajm o’zgarishiga nisbatan deformasiya tenzorining komponentalari.
Kuchlanish tenzori.
Kuch momenti
Simmetrik tenzor.
Bir jinsli deformasiya.
Ozod energiya.
Kuchlanish tenzori va uning komponentalari.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: muhit, qattiq jism, elastik, nazariya, kuch, deformasiya, sistema, koordinata, komponentlar, radius-vektor, masofa , hajm, tenzor
Tutash muhit kabi qarab chiqiluvchi qattik jismlar mexanikasi elastiklik nazariyasi deb ataluvchi nazariyaning mazmun-mohiyatini tashkil etadi.
Tashqi kuchlar ta’siri ostida qattiq jismlar u yoki bu darajada deformasiyalanadi, ya’ni o’zining shakli va hajmini o’zgartiradi. Qattiq jismning har bir nuqtasi qandaydir koordinata sistemasida r radius-vektor
(x1 x,
x2 y,
x3 z)
komponentlari bilan aniqlanadi. Jism
deformasiyalanganda uning har bir nuqtasi, umuman olganda bir-biriga siljiydi. Jismning qandaydir bir nuqtasini qarab chiqaylik. Deformasiyalanishdan oldingi
uning radius-vektori r , deformasiyala-nishdan keyingi komponentlari x'i bo’lgan
r→ radius-vektorga ega bo’lsin. Deformasiyalanish natijasida jism nuqtalarining
siljishi vektor ko’rinishida
r→ r yoki ui x'1 xi
ifodalanadi.
ui - vektori deformasiya (yoki siljish vektori) vektori deyiladi.
xi kordinatalrning funksiyasi bo’ladi. Demak, deformasiya vektori ui ham xi
koordinatalarning funksiyasidan iborat bo’ladi.
Jism deformasiyalanganda uning nuqtalari orasidagi masofa o’zgaradi. Ikkita cheksiz yaqin nuqtalar orasidagi radius-vektor Deformasiyalangunga qadar
d `x1
bo’lsa, deformasiyalangan jismda bu ikki nuqtalar orasidagi radius-vektor
dx'i dxi dui
Deformasiyalangunga qadar bu ikki nuqtalar orasidagi masofa
dl (1)
Deformasiyalangandan keyin
dl'
Summalar yozilishining umumiy qotdasiga ko’ra
i
dl 2 dx2
dl' 2 dx' 2 ( dx
U holda
dui
i
ui
xk
i i
dxk
dl' 2 ( dx
) 2 dl 2 2 ui dx dx
ui dx dx
i
k
xk
xk
xk
xi
i k
k l
O’ng tomondagi ikkinchi hadda summa I va k indekslar bo’yicha olinganligi uchun
deb yozish mumkin.
ui
xk
dxi dxk
uk
xi
dxi dxk
Uchinchi haddagi i va l indekslar o’rni almashtirilsa, u holda
i k
dl' 2 dl 2 ui dx dx
ul dx dx
xk
xi
xk
xi
(2)
i k
k l
dl 2 2u
dx dx
uik
tenzor
ik i k
1 ui
uk
ul
ul
i
i
uik
2 xk
x
x
xk
(3)
Bu ifodalar jism deformasiyalanganda uzunlik elementining o’zgarishini aniqlaydi.
uik
tenzor deformasiya tenzori deyiladi. Uning ta’rifidan ma’lumki, deformasiya
tenzori simmetrikdir, ya’ni
uik
uki
|