Isbotlashga doir masalalar

|
Isbotlashga doir masalalar
|
bet | 5/7 | Sana | 11.06.2024 | Hajmi | 116,32 Kb. | | #262439 |
Bog'liq geometrik-masalalarning-turlariIsbotlashga doir masalalar.
Teskarisini faraz qilib isbotlash usulini qo ‘llash algoritmi Teorema (to‘g‘ri tasdiq)
Isbot: oremada keltirilgan tasdiqning teskarisini faraz qilamiz, ya’ni oremanig harti bajarilsin-u, lekin xulosasi o‘rinli bo‘Imasin: To‘g‘riligi oldin isbotlangan teorema yoki qabul qilingan aksiomalarga tayanib mantigqiy mulohaza yuritamiz. Ziddiyatga
To‘g‘riligi oldin isbotlangan teorema yoki qabul qilingan kelamchigaramiz:aksomalarning biriga zid bo‘lgan tasdiqqa duch kelib golamiz. Demak, farazimiz noto‘g‘ri, ya’ni berilgan teorema to‘g‘ri ekan.
Teorema isbotlandi:
misol. Agar ikki to‘g‘ri chiziqning har biri uchinchi to‘g‘ri chiziqga parallel bo‘lsa, ular o‘zaro parallel bo‘ladi.
Aytaylik, a va b to‘g‘ri chiziqlar berilgan bo‘lib, ularning har biri uchinchi c to‘g‘ri chiziqga parallel bo‘lsin. Teoremani teskarisini faraz qilish usuli bilan isbotlaymiz.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz: a va b to‘g‘ri PD, A chiziqlarning har biri uchinchi c to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsin-u, ular o‘zaro parllel bo‘lmasin, c ya’ni biror A nuqtada kesishsin .
UndaA nugtadanc to‘g‘ri chiziqqa ikkita a va b parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tmoqda. Bu parallellik aksiomasiga zid. Ziddiyat farazimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Ya’ni a va b to‘g‘ri chiziqlarning har biri uchinchi c to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsa, ular o‘zaro parallel bo‘ladi.
Mazkur usul quyidagi mantiq qonuniga asoslangan: bir-biriga zid ikki tasdiqning faqat bittasi rost, ikkinchisi esa yolg‘on bo‘ladi, uchinchi holatning bo‘lishi mumkin emas.
Endi geometrik masalalarni yechishning boshqa usullariga to‘xtalamiz. Algebraik usul Geometrik masalani algebraik usul bilan yechayotganda quyidagi algoritm asosida ish ko‘rish maqsadga muvofiq bo‘ladi:
masala mazmunini tahlil qilish va uning chizma modelini qurish;
noma’ lumni harflar bialn belgilash;
masala shartini ifodalovchi tenglama yoki tenglamalar sistemasini tuzish;
tuzilgan tenglama yoki tenglamalar sistemasini yechish;
topilgan yechimni tahlil qilish;
javobni yozish.
misol. To‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetri 36 sm ga teng. Gipotenuzaning katetga nisbati 5:3.
Uchburchak tomonlarini toping:
Aytaylik, A,B,C berilgan bo ‘lib, unda 2C= 90°, P=36, AB:AC=5:3 bo‘lsin.
Yechish. Proporsionallik koeffitsiyentini k bilan belgilaymiz. Unda AB = 5k, AC = 3k.
Pifagor teoremasiga ko‘ra:
AB? = AC? + BC yoki 25K? = 91 +BC. Bundan, BC = =V25i° — 9K?
P=AB+AC+ BC.
Shartga ko‘ra: P= 36, 5k+3k+4k=36, k=3; AB=5k=15sm, AC=3k=9sm, BC=4k=12 sm.
Javob: 15 sm, 9 sm, 12 sm. O Yuzlar usuli:
Ba’zi geometrik masalalarni yechishda yuzlarni hisoblash formulalaridan foydalanish kutilgan natijani tezda beradi. Bu holatda topish talab qilingan noma’lum masaladagi yordamchi shakllarning yuzlarini tenglashtirish natijasida hosil qilingan tenglamadan topiladi. Buni quyidagi misolda namoyish qilamiz.
misol. Uchburchakning tomonlari 13 sm, 14 sm va 15 sm.
Uzunligi 14 ga teng tomonga tushirilgan balandlikni toping.
Aytaylik, A,B,C berilgan bo‘lib, unda a= 13 sm, b= 14 sm, c= 15 sm bo‘lsin.
Yechish. a< bvabS =p (p—a) (p-b) (p-c) =V21-8-7-6=3-7:4=84(sm).
Boshga formula bo‘yicha: S= a+ b; a+ h, = 84, hy= 12 (sm). Javob: 12 sm.
Vektorlar usuli
Geometrik masalani vektorlar usuli bilan yechish uchun quyidagi algoritm asosida ish ko‘rish maqsadga muvofiq bo‘ladi:
masalani vektorlar tiliga o‘girish, ya’ni masaladagi ba’zi kattaliklarni vektor sifatida qarab, ularga doir vektorli tenglamalar tuzish;
vektorlarning ma’lum xossalaridan foydalanib, vektorli tenglamalarning shaklini almashtirish va noma’ lumni topish;
vektorlar tilidan geometriya tiliga qaytish;
javobni yozish.
Vektor usuli bilan quyidagi geometrik masalalarni yechish maqsadga muvofiq bo‘ladi:
a) to‘g‘ri chiziqlar (kesmalar)ning parallelligini aniqlash; b) kesmalarni berilgan nisbatda bo‘lish;
uchta nuqtaning bitta to‘g‘ri chiziqda yotishini ko‘rsatish;
to‘rtburchakning parallelogramm (romb, trapetsiya, kvadrat, to‘g‘ri to‘rtburchak) ekanligini ko‘rsatish.
misol. Qavarig to‘rtburchakningtomonlari o‘rtalari parallelogramm uchlari bo‘lishini isbotlang.
Aytaylik, A,B,C,D to‘rtburchak berilgan bo‘lib, unda AK = KB, BL=LC, CQ= QD, AP =PD bo‘lsin .
Isbot. 1. Berilgan kesmalarni mos AB, AC, BC, DC, AD, KL, PQ, BL, KB vektorlar bilan almashtirib, masalani vektor tiliga o‘tkazamiz.
Vektorlani qo‘shishning uchburchak qoidasidan foydalanamiz: AB+BC=AC, KB+BL=KL;@c
KB= 4 AB va BL= + BC ekanligidan
18
foydalanib, KL= KB + BL=-y 4B+ 4 BC,
KL=PO, ya’ni bu vektorlar bir xil yo‘nalgan va uzunliklari teng. Bu KLOP to‘rtburchak parallelogramm ekanligini anglatadi.
Koordinatalar usuli
Geometrik masalani koordinatalar usuli bilan yechayotganda quyidagi algoritm asosida ish ko‘rish maqsadga muvofiq bo‘ladi:
masala mazmunini tahlil qilish va uni koordinatalar tiliga o‘girish;
ifodalarning shaklini almashtirish va qiymatini hisoblash;
natijani geometriya tiliga o‘girish;
javobni yozish.
Koordinatalar usuli bilan quyidagi geometrik masalalarni yechish maqsadga muvofiq bo‘ladi:
nuqtalarning geometrik o‘rnini topish;
bco)e
geometrik shakll:arning chiziqli elementlari orasidagi
:
bog‘lanishlarni isbotlash.
Masalani koordinatalar usuli bilan yechayotganda, koordinatalar boshini to‘g‘ri tanlash muhimdir. Berilgan shaklni koordinatalar tekisligiga shunday joylashtirish kerakki, imkoni boricha nuqtalarning koordinatalari nolga teng bo‘lsin.
|
| |