Teorem 1. Uyuşmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimalları cəminə bərabərdir:

P(A + B) = P(A) + P(B)

İsbatı

Teorem 1. Uyuşmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimalları cəminə bərabərdir:
P(A + B) = P(A) + P(B)
İsbatı. Sınaqların ümumi sayını n, A hadisəsinə uyğun gələn sınaqların sayını m1, B hadisəsinə uyğun gələn sönaqların sayını isə m2 ilə işarə etsək və
m = m1 + m2 olduğunu nəzərə alsaq alarıq:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Nəticə. A1, A2, ..., An hadisələri uyuşmayan hadisələrdirsə, onda onların cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir, yəni
P(A1, A2, ..., An ) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).
Misal 1. Qutuda 15 ağ, 20 qırmızı, 10 sarı kürəcik var. Qutudan çıxarılan bir kürəciyin qırmızı və ya sarı olmasının ehtimalını tapmalı.
Çıxarılan kürəciyin qırmızı olması hadisəsini A ilə, sarı olması hadisəsini isə B ilə, onlardan hər hansı birinin baş verməsi hadisəsini isə C ilə işarə edək.
Mümkun halların sayı 15+20+10=45 , A hadisəsi üçün əlverişli halların 20, B hadisəsi üçün əlverişli halların sayı 10 olduğundan, ehtimalın klassik tərifinə əsasən
P(A) = ; P(B) = .
Aydindir ki, A və B hadisələri uyuşmayandır və hadisələrin cəminin tərifinə görə C = A + B. Ehtimalların toplanması teoreminə əsasən
P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) = .
Teorem 2. Tam qrup əmələ gətirən hadisələrin ehtimallarının cəmi vahidə bərabərdir.
P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1.
Teorem 3. Qarşılıqlı əks hadisələrin ehtimallarının cəmi vahidə bərabərdir.
P(A) + P() = 1.
Çox vaxt hadisənin ehtimalı p hərfi ilə, onda qarşılıqlı əks olan hadisənin ehtimalını isə q hərfi ilə işarə edirlər. Onda p = 1 – q olar.
Misal 2. Günün yağışlı olması ehtimalı 0,8-ə bərabərdir. Günün yağışsız olmasının ehtimalını yapın.
Günün yağışlı və ya yağışsız olması hadisələri qarçılıqlı əks hadisələrdir. Ona görə də günün yağışlı olması hadisəsini A ilə işarə etsək, yağışsız olması olar. P(A) + P() = 1 olduğundan, alırıq ki,
P() = 1 P(A) = 1 – 0,8 = 0,2 .
►Sınaqlar nəticəsində A və B hadisələrinin eyni zamanda baş verməsi hadisəsinə bu hadisələrin hasili deyilir və AB kimi işarə edilir.
Teorem 4. Asılı olmayan hadisələrinin hasilinin ehtimalı onların ehtimalları hasilinə bərabərdir.
P(AB) = P(A) · P(B).
Nəticə. n sayda asılı olmayan A1, A2, ..., An hadisələrinin birlikdə baş verməsi hadisəsinin ehtimalı bu hadisələrin ehtimalları hasilinə bərabərdir.
P(A1, A2, ..., An) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An) .
Misal 3. Hər birində 10 detal olan 3 yeşik vardır. Birinci yeşikdə 8, ikinci yeşikdə 7 və üçüncü yeşikdə 9 ədəd standart detal vardır. Hər yeşikdən bir detal çıxarıldıqda üçünün də standart olmasının ehtimalını tapmalı.
Ehtimalın klassik tərifinə əsasən birinci, ikinci və üçüncü yeşikdən çıxarılan detalın standart olmasının (A, B, C – hadisələri) ehtimalları:
P(A) = və P(C) = 0,9
olar, çünkü şərtə görə m1 = 8; m2 = 7; m3 = 9, sınaqların ümumi sayı isə n = 10.
A, B və C hadisələrinin bir-birindən asılı olmadıqlarını nızırı alaraq axtarılan ehtimalı hesablamaq üçün ehtimalların vurulması teoremindən istifadə edirik:
P(ABC) = P(A) · P(B) · P(C) = 0,8 · 0,7 · 0,9 = 0,504.
►Tutaq ki, A və B hadisələri asılı hadisələrdir.
Tərif . A hadisəsi baş verdikdən sonra B hadisəsinin baş vermə ahtimalına deyilir və PA(B) kimi işarə olunur.
Teorem 5. İki asılı hadisənin birgə baş verməsi ehtimalı, bu hadisələrdən birinin ehtimalı ilə o birinin ehtimalı hasilinə bərabərdir:
P(AB) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A).
Nəticə. Asılı hadisələrin sayı çox olduqda onların birgə baş verməsinin ehtimalı aşağıdakı düsturla hesablanır:
P(A1, A2, ..., An) = P(A1)(A2)(A3)...(An).
Burada (An) kəmiyyəti An hadisəsinin A1, A2, ..., An-1 hadisələrinin baş verməsi şərti ilə ehtimaldır.
Misal 4. Qutuda 5 ağ, 4 qara və 3 qırmızı kürəcik var. Qutuya qaytarmamaq şərti ilə, ardıcıl olaraq üç ədəd kürəcik çıxarılır. Birinci kürəciyin ağ (A hadisəsi), ikincinin qara (B hadisəsi) və üçüncünün qırmızı (C hadisəsi) olması ehtimalını tapmalı.
Sınağa başladıqda mümkün sayı 12, A hadisəsi üçün əlverişli halların sayı 5 olduğundan, P(A) = . A hadisəsi baş verdikdən sonra 4 ağ, 4 qara və 3 qırmızı kürəcik qalır, yəni üçüncü sınağa başladıqda mümkün halların sayı 10, C hadisəsi üçün əlverişli halların sayı 3-dür, yəni PAB(C) = . Onda, ehtimalların vurulması teoreminə əsasən,
P(ABC) = P(A) · PA(B) · PAB(C) = .
Teorem 6. İki uyuşan hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsinin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəmi ilə onların birgə baş verməsi ehtimalının fərqinə bərabərdir:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Misal 5. İki topdan hədəfə mərmi atılır. Onların hədəfə dəyməsi ehtimalları uyğun olaraq P1 = 0,7 və P2 = 0,8-dir. Hər iki topdan eyni vaxtda mərmi otdıqda onların heç olmasa birinin hədəfə dəyməsi ehtimalını tapmalı.
Hər iki mərminin birgə hədəfə dəyməsinin ehtimalı
P(AB) = P(A) · P(B) = 0,7 · 0,8 = 0,56
olar, çünki birinci və ikinci topdan atılan mərmilərin hədəfə dəyməsi (A və B hadisələri) bir-birindən asılı deyildir. Eyni zamanda bu hadisələr uyuşandır, çünki birinci mərminin hədəfə dəyməsi ikinci mərminin hədəfə dəyməsini inkar etmir. Onda iki mərmindən heç birinin hədəfə dəyməsi ehtimalı
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94
olar.
Mövzu 41
Ehtimalların hesablanması üçün zəruri olan düsturlar.
1. Tam ehtimal.
2. Beyes düsturu.
3. Bernulli dürsturu.
4. Laplasın lokal və inteqral teoremləri.
1. Tam ehtimal.
Fərz edək ki, A hadisəsi tam hadisələr qrupu təşkil edən uyuşmayan B1, B2,...Bn hadisələrindən birinin baş verməsi şərtində meydana çıxa bilər. Bu hadisələrin ehtimalları P(B1), P(B2),..., P(Bn) və A hadisəsinin uyğun şərti ehtimalları - (A), (A),...(A), məlum olduqda A hadisəsinin ehtimalını tapmaq tələb olunur. Bu ehtimalı tapmaq üçün aşağıdakı teoremdən istifadə edilir.
Teorem 1. Tam qrup təşkil edən uyuşmayan B1, B2,...Bn hadisələrindən ancaq birinin meydana çıxması ilə baş verən A hadisəsinin ehtimalı bu hadisələrdən hər birinin ehtimalı ilə A hadisəsinin uyğun şərti ehtimalları hasillərinin cəminə bərabərdir
P(A) + P()(A) + P()(A) + ... + P()(A).
Bu düstur tam ehtimalın düsturu adlanır.
Misal. İdmançılar qrupunda 6 üzgüçü, 4 velosipedçi və 8 gimnast vardır. Üzgüçünün normanı doldurması ehtimalı 0,9 , velosipedçininki – 0,8 və gimnastınkı – 0,75-dir. Hər hansı bir idmançının normanı doldurması ehtimalını tapmalı.
Növlər üzrə idmançıların normanı doldurması hadisələrini uyğun olaraq B1, B2 və B3 ilə işarə edək. Bu hadisələr tam qrup əmələ gətirir və onların ehtimalları məlumdur: P(B1) = 0,9 ; P(B2) = 0,8 və P(B3) = 0,75.
Hər hansı bir idmançının normanı doldurması hadisəsini A ilə işarə etsək, onda bu hadisənin şərti ehtimalları belə olar:
(A) = ( 18 idmançıdan 6-sı üzgüçüdür ),
(A) = (18 idmançıdan 4-dü velosipedçidir ),
(A) = (18 idmançıdan 8-zi gimnastdır ).
Tam ehtimal düsturuna görə
P(A) = P()(A) + P()(A) + P(B3) (A)=
=
alırıq.
2. Beyes düsturu.
Tutaq ki, A hadisəsi tam qrup təşkil edən uyuşmayan B1, B2,...Bn hadisələrindən yalnız birinin baş verməsi şərti ilə baş verə bilər. Əgər A hadisəsi baş vermişsə, onda hipotezlərin ehtimalları aşağıdakı düstur vasitəsi ilə hesablanır:
PA(Bi ) = ( i = 1, 2, ..., n)
burada
P(A) + P(B1)(A) + P(B2)(A) + ... + P(Bn)(A).
Bu düstur Beyes düsturu adlanır.
Misal. İki avtomat ümumi konveyerə verilən eyni detalı hazırlayır. Birinci avtomatın məhsuldarlığı ikincidən iki dəfə artıqdır. Birinci avtomat orta hesabla 60%, ikinci avtomat isə 84% əla keyfiyyətli detal istehsal edir. Təsadüfi olaraq konveyerdə götürülmüş detal əla keyfiyyətli çıxır. Bu detalın birinci avtomatda istehsal olunması ehtimalı tapın.
Detalın əla keyfiyyətli ilması hadisənin A ilə işarə edək. Burada iki fərziyyə (hipotez) yürütmək olar: B1 – detal birinci avtomatda istehsal olunmuşdur, onda P(B1) = (birinci avtomat ikincidən iki dəfə çox istehsal etdiyinə görə) ;
B2 – detal ikinci avtomatda istehsal olunub, bu halda P(B2) = .
Detal birinci avtomatda istehsal olunmuşdursa, onda əla keyfiyyətli olmasının şərti ehtimalı , ikinci avtomatda istehsal
olunmuşdursa –
Tam ehtimal düsturuna əsasən götürülən detalın keyfiyyətli olması ehtimalı
P(A) = P(B1)(A) + P(B2)(A) =
Axtarılan ehtimal, yəni konveyerdən götürülmüş əla keyfiyyətli detalın birinci avtomatda istehsal olunması ehtimalı Beyas düsturuna əsasən hesablanır
PA(B1 ) = .
3. Bernulli dürsturu.
Fərz edək ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş vermə ehtimalı eynidir və p-ya bərabərdir. Onda hər bir sınaqda hadisənin baş verməməsinin ehtimalı q da sabitdir və q = q – p olar. n sayda sınaq zamanı A hadisəsinin düz k dəfə baş verməsinin, yaxud n – k dəfə baş verməməsinin ehtimalını Pn(k) ilə işarə edək və onu hesablayaq.
Asılı olmayan hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə n sınaq zamanı A hadisəsinin k dəfə baş verməsinin ehtimalı pkqn-k olar. Belə hadisəyə mürəkkəb hadisə kimi baxılır. Aydındır ki, belə mürəkkəb hadisələrin sayı -ya bərabərdir. Bu mürəkkəb hadisələr uyuşmayan oludğundan uyuşmayan hadisələrin ehtimallarının toplanması teoreminə əsasən axtarılan ehtimal bütün mümkün mürəkkəb hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir. Bu mürəkkəb hadisələrin hər birinin ehtimalları bərabər olduğundan axtarılan ehtimal bir mürəkkəb hadisənin ehtimalı (pkqn-k ) ilə mürəkkəb hadisələrin sayı ( hasilinə bərabərdir:
Pn(k) = pkqn-k
və ya
Pn(k) = pkqn-k .
Bu düstura Bernulli düsturu deyilir və bu düsturla n sınaqda A hadisəsinin k dəfə baş verməsinin ehtimalı hesablanır.
|