Nazorat savollari - Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Nazorat savollari
Lagranj funksiyasi ifodasini yozing.
Langrang tenglamalarini yozing
Gamilton funksiyasini yozing
Gamiltonning kanonik tenglamalari yozing
Gamilton tenglamalarini variasiya prinsipi asosida keltirib chiqaring
Sistema energiyasi nima ?
ma’ruza: KANONIK ALMASHTIRISHLAR
REJA:
Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasi
O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish
Yangi kanonik almashtirish formulasi
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Umumlashgan koordinatalar, fazo, Lagranj tenglamalari, funksiy, Gamilton tenglamalari, Kanonik almashtirishlar
Umumlashgan koordinatalarni tanlab olish biror shart bilan chegaralangan bo’lmaydi – istalgan S ta koordinatalar sistemaning fazodagi holatini bir qiymatli ravishda aniqlab beradi.
d L dt qi
L
qi
0,
i 1,2,. , S
Lagranj tenglamalari bunday tanlab olishga bog’liq bo’lmaydi, shuning uchun bu
tenglamalar
q1 , q2 ,...
koordinatalardan istalgan o’zaro bog’liq bo’lmagan
Q1 , Q2 ,...
koordinatalarga o’tishga nisbatan invariant bo’ladi. Yangi Q
koordinatalar yeski q koordinatalar funksiyasi hisoblanadi. Faraz qilaylikki, Q
koordinatalar, shuningdek vaqtning ham funksiyasi hisoblansin, ya’ni
Qi Qi q, t
(1)
Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham bu almashtirishlarga nisbatan o’z ko’rinishlarini o’zgartirmaydi. endi bu yerda (1) almashtirishlarga
o’zaro bog’liq bo’lmagan R o’zgaruvchilarni ham kiritish lozim bo’ladi:
Qi Qi q, R, t Pi Pi q, p, t
(2)
Shuni aytish kerakki, (2) almashtirishi ixtiyoriy ko’rinishida harakat teglamalarining o’z ko’rinishini o’zgartirmay qolaveradi. O’z ko’rinishlarini saqlab qolishi uchun
Q i
H ' ,
Pi
P i
H '
Qi
tengliklarning bajarilishi lozim bo’ladi. Bu yerda
H P, Q
Gamiltonning biror
yangi funksiyasi. (3) almashtirishlar kanonik almashtirishlar deyiladi. Mumkin bo’lgan (3) almashtirishlardan (4) kanonik almashtirishlarni keltirib chiqarish uchun variasiyasiga murojaat qilamiz. Bu prinsipga ko’ra Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham kelib chiqadi. Buning uchun
P
H
i
i
( pi dqi Hdt) 0
sharti bajarilgani kabi, yangi o’zgaruvchilar
' va
' lar uchun ham
( P'dQ
H 'dt) 0
i i
shartining bajarilmog’i zarur hisoblanadi. Bu ikki shart shu paytda ekvivalent bo’ladiki, agar integral ostidagi ifodalar bir-biridan biror ixtiyoriy F funksiyaning to’liq differensialiga farq qilsa, ya’ni
pi dqi Hdt Pi dQi H 'dt dF
(5)
Bu yerdagi F funksiya almashtirishning hosilaviy funksiyasi deyiladi. (5) ni quyidagicha yozamiz
dF pidqi Pi dQi (H 'H )dt
(6)
Bundan biz F funksiyani F F q, Q, t deb topamiz:
i
P F ,
qi
p F ,
i
Qi
H ' H F
t
(7)
funksiyaning berilgan qiymatida (7) formulalar yeski p, q va yangi P, Q
o’zgaruvchilar o’rtasida, shuningdek Gamilton funksiyalari o’rtasida bog’lanishni ifodalaydi.
Ayrim hollarda hosilaviy funksiyani o’zgaruvchilarda ifodalash qulay
bo’lishi mumkin. Buning uchun (6) Pi dQi hadni boshqacha qilib yozamiz:
Pi dQi d PiQi QidPi
va (6) ni qayta yozamiz:
Yangi
d (F Pi Qi ) pidqi Qi dPi (H 'H )dt
Ф( q, p, t) F Pi Qi
hosilaviy funksiya kiritib,
Pi
,
qi
Q ,
i
pi
H ' H
t
kabi kanonik almashtirishlarni olamiz. Shu yo’l bilan har xil hosilaviy funksiyalar kiritish yordamida yangidan yangi kanonik almashtirishlar olish mumkin.
Kanonik almashtirishlarga misol tariqasida garmonik ossillyatorni qaraymiz.
Ossillyator uchun m 1
L
x2 2 x2
,
2
q x,
p L
x
x,
p 2 2q 2
H
2
Yangi impuls va koordinata kiritaylik:
P iA* i p iq ;
Q A p iq
(8)
P, Q dan tashkil topgan Puasson qavsini hisoblaylik:
(P,Q) i( A*, A) P Q P Q
p q q p
(i 1
i i 1 )
2
i( i i ) i 2i 1
2
Demak,
2
A* , A i,
P, Q P, A 1
bajariladi va (8) almashtirishlar kanonik almashtirishlar bo’ladi. yangi o’zgaruvchilarda
PA i
p 2 2 q 2
i 2
i p 2 2 q 2
2
i H
Bundan
H PA iPA i(iA*, A) A* A i
Harakat tenglamalari
A* , A
lar uchun quyidagicha yoziladi:
dA* *
A*H
A*
H
( A
dt
, H )
PQ
Q
P
1 A A
i
Bu tenglamalar yechimi
dA A H A H A
( A, H )
dt P Q Q
P i
iA
hisoblanadi.
A aeit ,
A* a* e i t
(9)
Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmagani uchun bo’ladi va energiya saqlanuvchan bo’ladi.
H 0
t
p2 2 q2
H
2
A*
A a*a
(9) yechimda
a, a*
larni
A, A*
lar orqali ifodalash ham mumkin:
U holda
a* , a
a eit A , a*
lar uchun Puasson qavsi
e i t A*
(a*, a) eit eit ( A*, A) i
Ya’ni
(a*, a)
ning qiymati
( A, A* )
ning qiymati kabi bo’ladi. Lekin
a* , a
larning vaqt bo’yicha o’zgarishi Haqiqatan
A, A*
larning o’zgarishidan farq qiladi.
da a (aH ) i a a H
a H
dt t
P Q
Q P
i a (0 ei t A) i a i a 0
i
|