Kompleks sonlar maydonini qurish. Kompleks sonlar ustida amallar

|
Kompleks sonlar maydonini qurish. Kompleks sonlar ustida amallar
|
bet | 1/7 | Sana | 19.02.2024 | Hajmi | 469,16 Kb. | | #158743 |
Bog'liq Esap paninen oz betinshe jumısı
KOMPLEKS SONLAR MAYDONINI QURISh. KOMPLEKS SONLAR USTIDA AMALLAR
Bizga haqiqiy sonlar maydoni berilgan bo’lsin. dekart ko’paytmali to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallarini kiritamiz. uchun
Osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki,qo’shish amaliga nisbatan abel gruppasini tashkil etadi. Bunda element gruppaning nol elementi bo’ladi.
Ko’payttirishgning kommutativligi
tengligidan kelib chiqadi. Assosiativlikgi esa quyidagi tengliklardan kelib chiqadi
Endi qo’shish va ko’paytirish amallarini bog’lovchi distributivlik qonunini o’rinli bo’lishini esa quydigani tengliklardan kelib chiqadi:
Shunday qilib, biz to’plamni kiritilgan amallarga gnisbatan kommutativ xalq bo’lishligini ko’rsatadi.
Bu xalqada qo’paytirish amaliga nisbatan birltk element vazifasini ejlementbajaradi,chunki uchun
Endi biz xalqani maydonga tekshiramiz.Buning uchunbiz ning noldan farqli ixtiyoriy elementni teskarilanuvchi bo’lishligigi tekshirish kerak.
tenglama
bo’lganda yechimga ega bo’lishligini.ya’ni mvjudligini ko’rsatamiz:
Bu quyidagi ikki noma’lumli tenglamalar sistemasiga teng kuchlidir.
Sistemaning birinchi tenglamasini ga, ikkinchi tenglamasini ga ko’paytirib qo’shsak
noma’lumli tenglamadan dan
topiladi.Xuddi shunday
topiladi va demak, teskari element
Shunday qilib. biz kommutiitv birlik xalqani maydon bo’lishligini ko’rsatdik. Bu maydonni orqali belgilymiz va uni kompleks sonlar maydoni deb ataymiz.Shuni ta’kidlaymizki S kompleks sonlar maydoninol xarakteristikali maydondir.Bu maydon
barcha elementlar to’plamini orqali belgilaymiz.
da kiritilgan qo’shish va ko’paytirish amallarini da qaraymiz:
Bu kirtilgan amallarga nisbatan to’plam maydon ekanligi bevosita kelib chiqadi va demak maydon mayjdoning kengaytmasi.
va to’plamlarning elementlari orasida quyidagi moslikni kiritiamiz:
Bu moslik akslantirish bo’lib,u gomemorf va diyektiv ham bo’ladi (tekshiring!) va demak
Izomorf maydonlarni algebraik nuqtai nazardan bir xil deb hisobga olganimiz uchun S maydondagi maydonni maydon ayniylashtiramiz va shunga asosan o’rniga yozamiz
Agar ni bilan belgilab olsak
bo’ladi, elementga mavhum birlik element deyiladi
Ixtiyoriy uchun
tenglikni yozishimiz mumkin. Shunday qilib, S kompleks sonlar maydonining ixtiyoriy elementini shaklda yozishimiz mumkin. Bu shaklga kompleks sonning algebraik shakli deyiladi. Kompleks sonnning algebraik shaklidagi songa kompleks sonnning haqiqiy qismi deyiladi va orqali belgilanadi. Undagi soni esa kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va org’ali belilanadi. Shunday qilib,haqiqiy sonlar mavhum qismi nol bo’dlgan kompleks sonlardir. Haqiqiy qismi nol bo’lgan kompleks sonlar mavhum kompleks sonlar deyiladi. Ushbu kompleks va kompleks sonlar bir-biriga qo’shma kompleks sonlar deyiladi(chunki ) Qo’shma kompleks sonlar uchun
tengliklar o’rinli bo’lati, ya’ni kompleks sonning o’z qo’shmasi yiqindisi va ko’paytmasi haqiqiy son bo’ladi.
Kompleks sonlarning qo’shmasi quyidagi xossalarga ega
1)
2)
3)
4)
(tekshiring!)
Kompleks sonning teskarisi topishda uni qo’shmasidan foydalanish juda qulay hisoblanadi:
(
akslantirish gomomorf bo’lib, izomorf ham bo’ladi. Bu akslantirishga S maydonning avtomorfizmi deyiladi.
Misollar.
1.
2)
3)
4)
|
| |