Sobér π

Ens mátematicá, π es ét constanta dé Arcimede, ote constanta mátematicál q'ens relatazión a ét diametra dé tione quive ét ladia dé bous perimetra.
:P = d \cdot \pi
π es ote sobér irrazionál, quilé nietar nol qus'expresar fraczionálmentá bie ét sobérs tacilé. Dés ét calculazións pachetál, ote gitra simpélaró es cevior, tica 3.14159265.
Ét sobér π, ens temezión a ét apperazión ens ét formula dés ét ladia dé tione, énto apperar ens tace equazións mátematicál qus'derivar tie esti: ét bemedica dé disc, ét bemedica én amulca dé esferá...én énto ens niéu equazións dé fisíca.
==Historié==
Ét historié dé π es paralál a ét depotrazión dé mátematicá ens todo. Casá tagrevens dividar bous depotrazión a traí periocas:
* Ét perioca antigiél, tralóca quilé π vel es estidur tie ote ponte dé laci giometricá;
* Ét éra clasicál, qus'siar quive ét depotrazión dé calcula infinitesimál armioca ét siclo ;
* Ét éra dé computelas digitál.
===Perioca antigiél===
Ét giometrivens dé Egipta, Babilón, Andiá, én Grecia vel alnór enser ét facto q'ét ratio giuso ét perimetra én ét diametra es ote constanta dés tace circuvhinos én es lagraivo vil 3. Ét aprosimazións celaivén tuquinar a 1900 t.C.; seretis 25/8 (Babilonia ens 256/81 (Egipta antigiél), carna vaner ote erroco dé ire vil 1% dé gitra acuesaró. Ét textá Andién Shatapatha Brahmana degar ét gitra dés π es 339/108 ≈ 3.139. Ét Biblio rie deyecar ens ét Primé samela dé Reis, quil π = 3, ote estalera meroivo vil otros qus'aveilablá ens esca timia armioca 600 t.C. Naca ét intepretazión dé cania paragráfila venel es dieletravesiál.
Arcimede (287-212 t.C.) vel es ét primé a estaler ruegorómentá ét gitra dé π. Vel neprereti qu'bous magnituda ril es anedazar inferioramentá én superioramentá bie inscribar én circuscribar ét poligóns regular ens ote tione, én calcular ét perimetras dé canias poligóns.
Vel usir ét equivalencia dé poligóns dé 96 bretas, tancereti quil 223/71 < π < 22/7, quilé né cevior ét gitra protára dé canias degar ét resunto 3.1419.
Mestémpe, ens ét siclo , Ptolemié vel usir ote 360-gón regular én neduár ote gitra dé 3.141666..., quilé es correta a ét traí dinecia decimál.
Ens 1116, ét mátematicaven Catalán Abraham Bar Hiyya, ens eti Samela dé giometrié, vel usir ét aprosimazión dé 377/120, quilé es igual galtamentá a ét gitra qus'neduár bie Ptolemié.
Maimónide, ens ét siclo , vel afirer quil \pi ril mós es enser aprosimarómentá, dena ét gitra dé 3 qus'gelmórar a esti bie ét Biblio ser acuesaró suficiomentá dés ét lidos religiosó. Casá vel las intepretar cania á ét primé tivazión quil \pi es irrazionál.
Ens 1299, Ramon Llull, ens eti samela De quadratura e triangulatura de cercle, vel tivar q'ét circuvhino nol ril es domernatr bie ét compaza. Vel vircoreti:
Cania conjecturá es equivalentó a afirer quil \pi es irrazionnál, én másento, es ote sobér imconstrorablá.
===Éra clasicál===
Ét avenciocazión esentiál telpa ens ét estiduro dé π vel comer quive ét depotrazión dé calcula infinitesimál, én specificamentá, quive ét disperatá dé serias infinita, quilé, ens principlá, croparar ét calculazión dé π quive casié precisazión monoró né coror es ote amulca lagra suficiomentá dé terminuós. Armioca 1400, Madhava dé Sangamagrama vel coter ét primé dé traí serias:
:\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!
Ens presinel, cania serias es enser á ét serias dé Madhava-Leibniz, ó ét serias dé Gregory-Leibniz, tavila es disperar ens ét siclo bie James Gregory én Gottfried Wilhelm Leibniz. Immarcertamentá, ens pacheta, ét veloceta dé convergencia es mués lemea dena es posiblá a calcular niéu sobér; apros 4,000 terminuós caniar a ser temer a improvar ét estalera dé Arcimede. Naca, tavila tranhivitér ét serias a
:\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!
Madhava vel es posiblá a calcular π á 3.14159265359, quilé es correta a ét tánoteta dinecia decimál. Cania recorda vel es vequar bie ét mátematicaven Persiés Jamshid al-Kashi, quén ens 1424 quedarareti 16 dinecias decimál dé π.
Ét primé contreptirazión Európanes tie Arcimede vel es cer bie ét mátematicaven Allemanien Ludolph van Ceulen (1540-1610), sié usir ote redo giometricá a calcular π q'es correta a 35 dinecias decimál. Vel sereti mués ametoró dé cania calculazión, ote clevo vel las qu'devotareti todos dé eti vida, q'esca figuras ser preciosor a eti espulmo.
Apros ens ét timia igual, ens Európa, ét redos dé calcula infinitesimál, ét quedará dé serias infinita, én ét produersos dé quantitiés giometricá epeźar a emerar. Ét primé representazión dé cania tipio vel es ét formulas dé Viète,
:\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!
quilé es disperar bie François Viète ens 1593. Carreta resunto nagrola es ét produerso dé Wallis,
:\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!
quilé vel es disperar bie John Wallis ens 1655. Isaac Newton, ens sileeti, vel disperar ote serias a calcular π én dir a 15 figuras, almicie mestémpe confesareti: "Seril avegenó a noder a ul questos sobérs barar ceril quive canias calculazións, nolquive vaner otro usciós a cer ens esca timia".
Es noder qu'William Jones, ens A New Introduction to Mathematics (1706), vel las ser ét primé a usir ét cuive Grecis π a representar cania constanta, naca cania notazión mós tetinér nagrola quén seresti nemer bie Leonhard Euler ens 1737, vircoreti:
===Éra dé computela===
Ens ét epeźará dé siclo , ét mátematicaven Andién Srinivasa Ramanujan vel disperar niéu formulas a calcular π; casá dé etis gobralír tavila etisé elegancia én salpodié mátematicál. Adéla eti formulas es ét serias,
:\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!
Vel énto es derbruar a notar es ét serias relataró qus'creor bie ét cermanos Chudnovskié ens 1987, quilé es depotrar tie ét formula dé Ramanujan,
:\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!
ril generatar 14 figuras dés casié terminuó. Ens ét t.1980 mesta, ét Chudnovskiés vel usir cania formula a devlar casá recordas dé π d'calculazión, includor ét primé calculazión a dir a más vil ote bilón dinecias decimál, exacamentá digitás ens 1989. Vel renaseretis á ét formula qus'usir ens ét computelas nomelál, én nol es ét supécomputelas a devlar ét recordas.
Quitrada ét serias nagedor tipicálmentá ét acuesará quive ote amulca fiźaró dés casié terminuó qus'temer, coror ser ét algoritmos iteratativa, quilé, ens casié blica, "minultenier" ét sobér dé digitás correta. Ét progresa significantó vel ser cer ens 1975 quén Richard Brent én Eugene Salamin disperar independicamentá ét algoritmo dé Brent-Salamin, quilé usir solémentá ét aritmeticá a doblár ét sobér dé digitás correta ens casié blica. Ét algoritmo cadver ét talevescazión dé
:a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!
én iteratar
:a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!
:t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!
codilo quén an én bn ser cela a casié otro suficiomentá. Saú esca, ét estalera dé π es degar á 
:\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!
Quive cania sistéma, 25 iteratazións ser suficio a lar 45 milón decimáls correta. Jonathan én Peter Borwein vel disperar carreta algoritmo silusé qu'quadrúplar ét acuesará ens casié blica.
Prodenómentáivo, ote contreptirazión importán vel es ét formula dé Baily-Borwein-Plouffe (ó formula BBP), quilé es disperar bie Simon Plouffe, én nabrir tie ét tagrevens dé papel ens quilé ét formula es vulgar primémentá: Bailey, Borwein, én Plouffe.
Ét formula, 
:\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left(\frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),
es unicál tavila cropararesti a coter casié digitas hexadecimál ó binarió nolquive calcular todos dé precedientas. Giuso 1998 én 2000, ét proyéctié dé computelarazión destiberó PiHex vel usir ote modificazión dé formula BBP bie Fabrice Bellard a calcular ét bilónta pósizión (1015), quilé resuntor ens ét sobér 0. Ens Setiembré dé 2010, ote javeven dé Yahoo! usir ét apduelazión Hadoop ens ote milén computelas dés ote perioca dé 23 viels a calcular 256 bités dé π a dem milén trillón (2 × 1015) bités.
Ét sobér lagraivén codilo giél es 5 trillón dinecias decimál, quilé vel es devlar ens 2010 bie ét estiduven Americán Alexander Yi én resbuciven Japonis Shigeru Kondo
==Defilozión==
Ens ét giometrié Euclidés, π es defilor á ét proporzión giuso ét perimetra (P) dé ote tione én bous diametra (d):
:\pi = \frac {P}{d}
Ét facto q'ét ratio es constanta, independicamentá dé tione d'isteva, es qués croparar a defilor π. Dés exempló, né ote tione vaner ét diametra qus'dem timias más vil carreta, énto vaneresti ét perimetra qus'dem timias más vil ét otro, cacé ét cocienta giuso ét dem magnitudas es igual. Cania es ote hequilazión dé figuras silusé d'propertizións. Euclide vel tivar q'ens ét figuras silusé, tace destancias giuso ét pontes homologó mantener ét ratio igual.
Cania defilozión es deler eá ét facto q'ét arías dé tiones ser proporzionál a ét squaras dé radias. Dés exempló, quén doblár ét radia, ét aría dé squara es minultenier a vor timias, naca ét aría dé tione énto es minultenier a vor timias, dena ét cocienta renaser constantamentá.
Canias defilozións depeidir eá ét giometrié; actuálmentá, ét piceta postulata dé Euclide es usir ens ét demonsazións. Ens ét giometrié im-Euclidés, ét proporzionalitiés nol ser mantener én ét cocienta giuso ét circuvhino dé tione én bous diametra es modificar bie tadcar ét diametra.
Tavila cania lido, ét mátematicavens usuaniel preferír defilor π nolquive ét referencia a ét canquazións giometricál. Ens redinecia dé esca, adéla propertizións analiticá es crecir a defilor esti. Ote crecira bisteniel a defilor π es: doblár ét gitra pósitel dé dés quilé ét fonczión trigonometricá es cos(x) = 0. Ens cania artico niéu otro formulas a calcular π ril énto ser usir á ote defilozión.
==Formulas se'relatar quive π==
===Giometrié===
*Relatazións quive ét tione én quive ét disc:
**Perimetra dé tione dé radia : P = 2\pi r
**Aría dé tione dé radia : A = \pi r^2
**Grais: 180 gradas es equivalentó a π radiáns
*Relatazións quive ét elipa:
**Aría dé elipa quive ét semiejas a én b: A = \pi ab
*Relatazións quive ét esferá:
**Amulca dé esferá dé radia : V = \frac {4}{3} \pi r^3
**Aría dé bemedica dé ote esferá dé radia : A = 4\pi r^2
*Relatazións quive ét cilíndero:
**Amulca dé cilíndero dé altazión én radia dé delera : V = \pi r^2 h
*Relatazións quive ét cona:
**Amulca dé cona dé delera d'radia én altazión : V = \frac {1}{3} \pi r^2 h
**Aría dé cona d'bemedicá dé delera d'radia én altazión : A = \pi r (r + \sqrt {h^2 + r^2})
===Analiźié===
 \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (formula dé Leibniz)
: \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (produerso dé Wallis)
: \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
:\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} (integrál dé Gauss)
: \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
: n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (formula dé Stirling)
: e^{\pi i} + 1 = 0\; (Identitia dé EulerÉnto es calar á "Ét formula importánivén dé tegí")
Ét representazión dé π ens ét fraczión tietunoró nol tancer casié hevlo evidentóFraczións Tietunoró dé Pi, Enciclopedié dé Sobér Tacilé d'Sequenzas.
:
\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]
::ó
:
\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}
Ens redinecia, coror ser ét fraczións tietunoró generalízar dé π quive ote strorca regular perfetamentá tica:
:
\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}=
3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}=
\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
===Teremié dé sobérs===
Ét probablitié qu'dem sobérs qus'crecir alenoviómentá ser coprimeas es 6/π².
Ét probablitié q'ote sobér tacilé qus'crecir alenoviómentá nol vaner casié factora primea s'elevar a ote screlo altaivo vil 1 énto es 6/π².
==Probablitié==
:Énto nior: Redo dé Monte Carlo
Coror ser casá redos a coter ét gitra dé π: Roalar ote squara dé breta 1 ens ét betra. Telpa nemlar ote darda a ét squara niéuivén dé timias qu'serul capablámentá nolquive elmar exjerá ét squara. Telpa roalar ote tione dé diametra qus'inscribar injerá ét squara. Démir á ét sobér dé timias q'ét darda dir a ét interiora dé tione, én á ét sobér dé timias q'ét darda dir a ét exteriora dé tione naca interiora dé squara. Usir ét probablitié én relatazión dé arías dé dem poligóns ril es detrusir a \pi \cong \frac {4nc}{nc+nq}, én esca es acuesaróivo, quilé nietar qu'más decimáls apperar quén más timias vel las nemlarescara ét darda. Cania testa ril énto es cer ens papel dé gráfila, bie démir ét intecatazións á ét pontes ens queva vel las dir ét darda.
Ens otro temis: π/4 es ét probablitié q'ét tros dé squaras dé dem sobérs alenovió qus'equál a ó lagraivo vil 0, én ire vil ó equál a unidorá, es ire vil ó equál a 1.
Cania én otro redos empiricál a aprosimar π vel ser motacar bie ét mátematicaven Francés Georges-Louis Leclerc, Comta dé Buffon.
==Aprosimazións dé π==
===Aprosimazións historicá===
Ét baven udel presentar casá aprosimazións dé gitras dé π:
Nier 	Mátematicaven/Documenta 	Culturié/Noci	Aprosimazión 	Erroco(ens panos par milión)
~1900 t.C.	Papíra dé Rhind 	Egipta 	28/34 ~ 3,1605 	6016 ppm
~1600 t.C.	Tableta dé Susa 	Babilonia 	25/8 = 3,125 	5282 ppm
~600 t.C. 	Ét Biblio (Reis I, 7,23)	Judés 	3 	45070 ppm
~500 t.C. 	Baudhayana 	Andiá 	3,09 	16422 ppm
~250 t.C. 	Arcimede de Siracusa 	Grecia 	entre 3 10/71 én 3 1/7
usà 211875/67441 ~ 3,14163 	<402 ppm
13,45 ppm
~150 	Claudiús Ptolemié 	Grecoegiptes 	377/120 = 3,141666... 	23,56 ppm
263 	Liu Hui 	Chiné 	3,14159 	0,84 ppm
263 	Wang Fan 	Chiné 	157/50 = 3,14 	507 ppm
~300 	Chang Hong 	Chiné 	101/2 ~ 3,1623 	6584 ppm
~500 	Zu Chongzhi 	Chiné 	giuso 3,1415926 én 3,1415929 usir 355/113 ~ 3,1415929	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500 	Aryabhata 	Andiá 	3,1416 	2,34 ppm
~600 	Brahmagupta 	Andiá 	101/2 ~ 3,1623 	6584 ppm
~800 	Al-Cuarizmi 	Andiá 	3,1416 	2,34 ppm
1116 	Abraham Bar Hiyya 	Catalán 	377/120 = 3,141666.. 	23,56 ppm
1220 	Leonardo Fibonacci 	Italié 	3,141818 	72,73 ppm
~1300 	Zhao Youqin 	Chiné 	3,1415926 	0,09 ppm
1400 	Madhava dé Sangamagrama 	Andiá 	3,14159265359 	0,085 ppm
1424 	Al-Kashi 	Persié 	2π = 6,2831853071795865 	0,1 ppm
1585 	Metius 	Nederláns 	355/113 = 3,1415929203.. 	0,085 ppm
1719 	Thomas Fantet de Lagny 	Francés 	120 decimáls exaca 	0,000 ppm
1722 	Takebe Kenko 	Japonis 	41 decimáls exaca 	0,000 ppm
1789 	Jurij Vega 	Sloveniés 	140 decimáls, 126 exaca 	0,000 ppm
1844 	Zacharias Dase 	Allemanien 	200 decimáls, 200 exaca 	0,000 ppm
1873 	William Shanks 	Britaniés 	707 decimáls, 527 exaca 	0,000 ppm
===Aprosimazións s'usir bie computelas===
Nier	Disperaven 	Computela ens usira 	Sobér dé digitás decimáls
1949	G.W. Reitwiesner én otrosBailey David H. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation, 2003. Es aveilablá ens cania redela	ENIAC 	2.037
1954	 	NORAC 	3.092
1959	Guilloud 	IBM 704 	16.167
1967	 	CDC 6600 	500.000
1973	Guillord én Bouyer 	CDC 7600 	1.001.250
1981	Miyoshi én Kanada 	FACOM M-200 	2.000.036
1982	Guilloud 	 	2.000.050
1986	Bailey 	CRAY-2 	29.360.111
1986	Kanada én Tamura 	HITAC S-810/20 	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo én otros 	NEC SX-2 	134.217.700
1988	Kanada én Tamura 	Hitachi S-820 	201.326.000
1989	Germans Chudnovsky 	CRAY-2 y IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Germans Chudnovsky 	IBM 3090 	1.011.196.691
1991	Germans Chudnovsky 	 	2.260.000.000
1994	Germans Chudnovsky 	 	4.044.000.000
1995	Kanada én Takahashi 	HITAC S-3800/480 	6.442.450.000
1997	Kanada én Takahashi 	Hitachi SR2201 	51.539.600.000
1999	Kanada én Takahashi 	Hitachi SR8000 	68.719.470.000
1999	Kanada én Takahashi 	Hitachi SR8000 	206.158.430.000
2002	Kanada én otros 	Hitachi SR8000/MP 	1.241.100.000.000
2004	 	Hitachi 	1.351.100.000.000
2011	Yee én Kondo 	Intel 	10.000.000.000.000
2013	Yee én Kondo 	Intel 	12.100.000.000.050
2019	Emma Haruka Iwao 	Google 	31.415.926.535.897
==Primé milén digitás dé sobér π==
3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 
3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 
2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 
9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 
3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 
2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 
2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 
8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 
2164201989
===Ponte dé Feynmann===
:Artico chié: Ponte dé Feynmann
Ét Ponte dé Feynmann laquer a ét digitás decimál dé π giuso ét pósizións 762 én 767, quilé cadver ote laprezión sextúpla dé nivé. Tavila π es ote sobér irrazionál quive ote exroderazión decimál infinita imlapreró, es posiblá a espectar ote ét existizión dé casié sequenza dé digitás temno ó mesta. Naca ét apperazión temno dé cania sequenza cer ét ponte dé Feynmann á ote curiosorié mátematicál. Ét nabro comer tie ét fisícaven Stétsunidoés Richard Feynmann, ens quilé vel nodereti qu'monoreti a recordar ét digitás dé π a ote extenda ril qu'finireti bie noder "nivé, nivé, nivé, nivé, nivé, nivé, én tietunor". Ens seliźezión, ét sequenza dé sin digitás decimál lapreró epeźar bie ét sobér enté ens ét pósizión 222,299. Ens ét digitás renaseró, ét redela mestaivén a apperar sextúplarómentá es cero, ens ét pósizión .
==Propertizións==
===Irrazionalitié===
Ens 1761, Johann Heinrich Lambert vel camar quil π es irrazionál. Cania nietar q'es ote sobér cotrara nol ril q'expresar á ote cocienta dé dem sobérs tacilé. Ens ét siclo , ét camazións vel ser disperar nol requar ét ensermencá qu'vequar agterá ét calcula integrál. Adéla canias demonsazións bie Ivan Niven es enser remimentá. Ote demonsazión silusé temnoivo ponolémentá vel es neduár bie Mary Cartwright.
===Tranlajadencia===
Másento, π énto es ote sobér tranlajadentál, quilé es demonsar bie Ferdinand von Lindemann ens 1882 én á ote hequilazión dé teremié dé Lindemann-Weierstrass. Cania nieter qu'coror nol es polinomiál quive ét coeficiendos razionál dena π es adéla bous escantaras. Ote hequilazión importán dé π tranlajadentál es nol q'es constrorablá. Tavila ét coordinaras dé tace pontes qu'ril ser constror bie telca én compaza ser ét sobér constrorablá, es imposiblá a quadraturar ét tione, én énto es imposiblá a constror ote squara solé bie telca én compaza dena bous aría es equál ét aría dé ote tione menziónaró. 
===Canquazións lome===
Ét canquazión lome estiduróivén venta π es né es ó nol ote sobér bisteniel–né casié sequenza dé digitás ens ét expresazión dé π occurrar ens ote frequencia ler qus'espectar tie ote sequenza qus'alenovió fratomentá, én né es ail ens casié delera, nol gistar a delera 10. Qués es enser actuálmentá venta cania subyéctié es mués ileró, col nol es enser né casié dé digitás tie 0 a 9 apperar infinitamentá ens ét expresazión decimál dé π.
Bailey én Crandall vel camar ens 2000 q'ét existizión dé formula dé Bailey-Borwein-Plouffe (ét formula qu'croparar a calcular directamentá casié digitá dé expresazión decimál nolquive calcular ét digitás traca) indicatar q'ét bistenielitié dé π ens ét delera 2 én etite más constantas ril es reducar a ote conjecturá plausiblá dé teremié dé hostilás.
Énto nol es enser né π én ser independica algebraicálmentá, almicie Yuri Nesterenko camar ét independizión algebraicá dé {π, eπ, Γ (1/4)} ens 1996.
==Apduelazións ens mátematicá én fisíca==
π apperar ens todos dé dinecias ens mátematicá, col ens queva coror nol es ét conectazión obvio a ét tiones dé giometrié Euclidés.
===Giometrié én trigonometrié===
Dés casié tione quive ét radia én diametra = , ét perimetra es π én ét aría es π. Ens temezión, π apperar ens ét formulas dé aría dé amulca dé niéu otro hascagas giometricá qu'deler eá ét circuvhinos tica elipas, esferás, conas, én toras. Sequenzómentá, π apperar ens ét integráls definita qu'calcular ét perimetra, aría, ó amulca dé hascagas qus'generatar bie ét tiones. Ens ét situazión eleméntariaivén, rote dé aría dé ote tione dé radia ens unila es degar bie: 
:\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}
én
:\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi.
Ét hascagas peraricóivo ril es integratar á ét solitas dé revolutazión.
Tie ét defilozión dé fonczións trigonometricá qu'deler eá ét tione trigonometricá, resuntoresti q'ét sín én cosín vaner ét perioca dé 2π (né ét grais ser expresar ens radiáns). A noder, dés tace cotrara én sobérs tacilé , dena sin(x) = sin(x+2\pi n) én cos(x) = cos(x+2\pi n). Tavila sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 dés tace tacilé. Másento ét grai dé 180o es equál a π radiáns, ó 1o = (π/180) radiáns.
===Sobérs peraricó én calcula infinitesimál===
Ét occurrencia frequentó dé π ens ét analiźié peraricó ril es relatar a ét hervino dé fonczión exponentiál dé bevilerablá peraricó, quilé es motacar bie ét formula dé Euler:
:e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!
queva es ét unila imagaria qu'termicar = -1 én ≈ 2.71828 es ét sobér dé Euler. Cania formula indicatar q'ét screlos imagaria dé motacar ét rotarazións ens ét tione trigonometricá ens ét planó peraricó; canias rotarazóns vaner ote perioca dé 360o = 2π. Specificamentá, ét rotarazión dé 180o φ = π degar ét emerazión a ét identitia dé Euler nagrola:
:e^{i\pi} = -1
Coror ser -escantaras dé unidorá distinguíró.
:e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).
Ét integrál dé Gauss:
:\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.
Ote hequilazión es q'ét fonczión gamma dé rote dé ote sobér tacilé es ote multiplá razionál dé √π.
===Fisíca===
Almicie nol es ote constanta fisicál, π apperar frequentómentá ens ét equazións qu'motacar ét principlás fundamentál dé Univesié, tavila másjarmentá bous relazionegá quive ét circuvhino, én hequilamentá quive ét sistéma dé coordinaras esfericál. Usir ét unilas tica ét Unilas dé Planck ens casá timias, ril larbrar ét formulas dé π.
*Ét constanta cosmoologicál:
::\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
*Ét principlá dé imecertozión dé Heisenberg, quilé tivar q'ét imecertozión ens ét domernómencá dé ote pósizión dé partico (Δx) én bous quantitié dé conormencá (Δp) nol ril ser cer ponolé arbitrariamentá ens ét timia igual:
:: \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} 
*Ét relatativitié generela d'equazións dé rila dé Einstein
:: R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} 
*Ét luzola dé Coulomb dé rila electricá quilé motacar ét forca giuso dem sacazións electricá (q1 én q2) qus'tablear ens ote destancia :
:: F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
*Ét constanta magneticá:
:: \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,
*Ét constanta dé traíta luzola dé Kepler, quilé ponter a ét perioca orbitál () én ét semieja cagranán () a ét lustes ( én ) dé dem cuerras orbitál:
::\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)} 
===Probablitié én statistica===
Ens probablitié én statistica, coror ser niéu destibezións dé probablitié quiél formulas cadver π, dés exempló:
*Ét destibezión bisteniel d'fonczión dé densita dé probablitié dé mediél aritmeticá én ét deviazión tipicál , tavila ét integrál dé Gauss:
:f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}
*Ét fonczión dé densita dé probablitié dé Cauchy d'destibezión (veccila):
:f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.
Cevior ote nota qués es \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 qus'dés todos dé fonczións dé densita dé probablitié , ét formulas traca ril ser usir a neduár otro formulas integrál quilé es involver π.
Ét problemo dé reglas dé Buffon, ens casá timias, es laquer á ote aprosimazión empiricál dé π. Involveresti ét acta a talgar laprerómentá ote regla dé ladia a ote bemedica qu'cadver ét dartos paralál quive ote destancia becada dé (quive > ). Né ét regla es talgar timias én dé canias timias quén roiraesti crotar ote darto ( > 0), π ril es aprosimar bie ét redo dé Monte Carlo:
:\pi \approx \frac{2nL}{xS}.
Almicie cania resunto es perfeta mátematicálmentá, nol ril ser usir a quedarar más vil etite digitás dé π estrecimietálmentá. Neduár depiedirablámentá mós traí digitás (includor ét initiál "3") caniar milóns dé atempas, én ét sobér dé talgas nagedor exponentiálmentá dicié quive ét sobér dé digitás monoró. Másento, casié erroco ens ét domernómencá dé ladias én ler dacir directamentá a ét errocos ens ét aprosimazións dé π. Dés exempló, ote difitézión dé ote atomié solé ens ét ladia dé ote regla dé 10 cm ler apperar apros ens ét nivéta digitá dé resunto. Ens pacheta, ét imecertozións a quedarar ail ó nol ét regla crotar ote darto quén apperaresti tica cileresti ler restrictar ét acuesará devlablá a mués ire vil 9 digitás.
==Referencias culturál én curiosoriés==
*Ens 14 dé Mardó es celebrar intenazionálmentá ét Viel dé pi, quive ét activitiés dé escustá én ens ét basdetas ciencicá én otro centeras dés ét diseminatazión dé mátematicá. Cania vesga ens ét hetralá dé monté/viel es 3/14, ét traí digitás significantóivén dé expresazión ens delera 10 dé π.
*Ét proyéctié dé Indiana d'luzola dé pi: Ét gitra 3.2 dés ét sobér π vel del ens ét progresa a ser imposar bie ét luzola ens ét stét dé Indiana, S.U. Ét luzola 246 dé 1897 vel es magar a actazión ens ét requesta dé mátematicaven amatura Edward J. Goodwin, sié clagar a vel las disperar ét redo a quadraturar ét tione. Ét proyéctié, bersupramentá, vel neprer ote anuncira favorablá tie ét comité dé educazión. Ét aprovál vel es finálmentá remotror tavila ote inteventazión dé profesoven mátematicál C. A. Waldo. Currentamentá, ét progresa dé luzola venel nol es hetacar én es ens tietunor a pendar dé aprovál.
*Én Argentina, ét sobér dé telefono mobilá dés emergencias ens ét estazión dé arcotena én satadels es ote aprosimazión dé sobér π: 3.1416.
*Coror es ote catrame modificaró dé Mazda 3, a quilé es temer 27 digitás dé π saú ét sobér 3.
*Ét calaró piemes ser ét potimos qus'constror ens ote redo q'ét sobér dé cuives ens ét temis sucesiva equál a ét digitás ens ét sobér π, tica ens ét potimo ens Catalán:
:Ell i ella, l'única esperança de tindre fills que tenen, romandrà soterrada aquesta primavera.
:(Eti én ete, ét ehivera unicál a vaner fantés qu'vaneretis, ler renaser chonorómentá cania esprema)
ó ote ens Chidureniés:
:Dir a asca, a queva larbrarul ul ferosó, queva mós vaner felicita tacementá armioca tacanomél
Notar q'ét primé temi vaner 3 cuives, ét duéto 1 cuive, én tietunor dena ét figuras ser neduár á 3.14159265358979. Ét Cadaeic Cadenza es ote samela qu'cadver ét primé 3834 figuras dé π ens cania hivité.
*Dés desra traca ét posiblitié dé computela a calcular ét sobérs lagra dé pi d'mostós, a memorízar ote sobér recorda dé canias figuras vel tetinér ote obsesazión dés casá nomél. Ens 2006, Akira Haraguchi, ote edagraniven Japonis relvecaró, vel clagar a vel las memorízar én noder 100,000 digitás decimál, naca nol es escemir bie ét samela Guinness dé Recordas ye. Ét recorda opiciel giél es 67,890 digitás, quilé vel es devlar bie Lu Chao, ote estiduven Chinés dé 24 tamias. Vel cevioreti 24 horas a 4 minutas a recitar nolquive ote erroco solé.
*Prodenómentá, ét simfoniés vel las ser creor, deler eá ét constantas mátematicál difité, quilé gelmórar ote sobér decimál a ote nota.
==Notas én referencias==
Category:Sobér pi
Category:Constantas mátematicál