Глава Способы активизации познавательной деятельности младших школьников 5.

2



ОГЛАВЛЕНИЕ

	

	ВВЕДЕНИЕ	3

	Глава 1. Способы активизации познавательной деятельности младших школьников	5

	1.1. Понятие деятельности	5

	1.2. Понятие познавательной деятельности	10

	1.3. Пути, формы и методы активизации познавательной деятельности младших школьников	16

	Глава 2. Арифметические действия на уроках математики в младших классах	23

	2.1. Содержание курса математики в начальных классах	23

	2.2. Вычислительные приёмы на уроках математики в начальных классах	29

	2.3. Признаки и этапы формирования вычислительных навыков	32

	2.4. Способы активизации познавательной деятельности при изучении вычислительных приёмов в 1 классе	34

	ЗАКЛЮЧЕНИЕ	40

	ЛИТЕРАТУРА	41




ВВЕДЕНИЕ



В последние годы большое внимание уделяется проблеме формирования у детей младшего школьного возраста элементарных математических представлений и структур мышления, подготовке их к дальнейшему изучению математики. 

Психологи доказали, что возрастной период 6 – 10 лет – наиболее важный в формировании структур мышления детей. Поэтому задача методики начального обучения вообще, и начального обучения математике в частности, состоит в обеспечении высокого развивающего эффекта обучения, интенсивного его влияния на умственное развитие детей. Известно, что эти результаты не могут быть достигнуты за счет увеличения объема знаний, усваиваемых школьниками. Встречаются, например, дети, знающие таблицу умножения и усвоившие алгоритм арифметических действий над многозначными числами, но не достигшие в результате обучения необходимого уровня умственного развития, не владеющие простейшими способами рассуждений. 

Школа призвана готовить не носителей знаний, а активных членов общества с развитым творческим мышлением. Математике принадлежит особая роль в развитии логики мышления. Великий М.В. Ломоносов говорил: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Однако реализация этих возможностей, присущих математике, в значительной степени зависит от методики обучения. Это отметил Н.И. Лобачевский: «В математике важнее всего способ преподавания».

Изучение математики младшими школьниками открывает широкие возможности для развития их творческого мышления.

Обучение счету, выполнению арифметических действий и решению задач остается главной задачей начального обучения. Однако когда-то эта задача была единственной, в настоящее же время она становится лишь важной составной частью более обширной и разнообразной подготовки детей к изучению математики. Обучение должно обеспечивать подготовку мышления детей к овладению способами рассуждений, применяемыми в математике и готовить их к усвоению важнейших математических понятий, таких, как число, геометрическая фигура, функция, величина.

Целью данной работы является изучение способов активизации познавательной деятельности младших школьников при отработке вычислительных навыков. Данная цель позволила сформулировать следующие задачи данного исследования:

Рассмотреть понятие деятельности в педагогике и психологии.

Рассмотреть понятие познавательной деятельности.

Показать методы и формы активизации познавательной деятельности младших школьников.

Изучить особенности содержания курса математики в начальных классах.

Проанализировать способы изучения вычислительных приёмов в начальных классах и выявить способы активизации познавательной деятельности при их изучении.

Актуальность данного исследования заключается в том, что решение задач, поставленных реформой школы в области начального обучения математике, требует значительного улучшения методико-математической подготовки учителя начальных классов. В современных условиях курс математики настоятельно требует обогащения учащихся общими математическими идеями, методами, существенного повышения идейно-теоретического уровня математического образования. Это может быть достигнуто только при введении в методику обучения математики различных способов активизации познавательной деятельности. 

В ходе написания работы использовались труды таких исследователей как А.Н. Леонтьев, И.Я. Лернер, С.Л. Рубинштейн, Н.А. Семёнов, А.В. Петровский, А.А. Столяр, В.Л. Дрозд, С.Н. Лысенкова, Л.Н. Скаткин, М.А. Данилов, М.А. Бантова, Я.И. Груденов, Л.Ш. Левенберг, Г.И. Щукина и многие другие.










Глава 1. Способы активизации познавательной деятельности младших школьников



1.1. Понятие деятельности



Кардинальной проблемой, определяющей сущность формирования личности, является деятельность, ее место в общественной жизни, ее влияние на развитие новых поколений, ее роль в онтогенезе.

Проблема деятельности – одна из фундаментальных научных абстракций философии. Это – предмет изучения всех наук о человеке и обществе. Это – важнейшая основа развития человека, становления его как личности. Научно-теоретическая разработка этой проблемы в педагогике может составить важнейший фундамент для множества педагогических исследований и ценнейшую основу практической деятельности учителей и воспитателей. Многие философы говорят о том, что многие недостатки современной педагогической теории связаны с тем, что педагогика до сих пор не сумела найти эффективных способов предметной интерпретации понятия «деятельность».

Современная отечественная философия и психология выделяют в качестве важнейшей категории деятельности ее предметность. Деятельность субъекта лишается ее мистической неуловимости, бессодержательности. Наоборот, в ней отражается предметный материальный мир и активная преобразующая роль субъекта. Конечный эффект любой деятельности – преобразование действительности.

Философы нашего времени актуализируют взаимообусловленность в деятельности ее предметности и осмысленности. В продуктах деятельности отражается не только их предметность, но и духовность (В.П. Зинченко, В.М. Мунипов). Эти два свойства имеют разные источники, и идут они как бы навстречу друг другу. Их встреча и рождает деятельность. Но если они не соотнесутся, то деятельность не состоится, она подменится только реакцией.

Потенциальные возможности деятельности для развития человека, по мнению В.С. Шевырева исключительно велики. Они шире, богаче, чем любые ее проявления. Богатство деятельности, как утверждают философы, неисчерпаемо. Его невозможно исчерпать никакой программой, никаким специальным конструированием.

Теоретическая разработка проблемы деятельности в психологии углубила понимание ее объективно-субъективного характера, привела к вычленению такого фундаментального в науке понятия, как «интериоризация». Это открыло большие перспективы в проблеме развития личности, в комплексе процессов обучения и воспитания.

Понятие «интериоризация» определяется как переход внешнего плана действия во внутренние процессы, в план сознания. Эти процессы «подвергаются специфической трансформации – обобщаются, вербализуются, сокращаются и, главное, становятся способными к дальнейшему развитию, которое переходит границы возможностей внешней деятельности».

Переходя к вопросу о роли деятельности в развитии школьника, следует выяснить, в какой деятельности происходит наиболее интенсивное его развитие как личности. По этому поводу существуют различные точки зрения. Десятилетие назад почти общепризнанным считалось, что генетически более ранней формой развития ребенка является игра, затем учение, а затем уже труд. Для каждого возраста выделялась ведущая деятельность: в дошкольном – приоритет отдавался игре, в школьном – учению.

Однако в последние десятилетия это единодушие нарушилось, что явилось следствием изменения условий жизни, обстоятельств нового времени и развития научной мысли. Зафиксированные возрастной физиологией факты ускоренного физического развития подростков, юношей и девушек дают основания говорить о возможности более раннего вовлечения молодых в производительный труд. К тому же стремление к взрослости, обнаруженное психологическими исследованиями Т.В. Драгуновой и Д.Б. Эльконина, у подростка можно считать субъективным выражением объективного факта его более быстрого развития в последние десятилетия, его расположенности к занятиям «серьезной» деятельностью.

Высказанные обстоятельства уже с 60-х гг. нарушили единство научных взглядов на основную и ведущую деятельность в развитии молодых поколений.

В своей последней монографии, а также в ряде других работ крупнейший советский психолог В.Г. Ананьев высказал мысль о том, что труд является не только более ранней формой развития человека в филогенезе, но и самой необходимой деятельностью в онтогенезе. Не умаляя значения игры в развитии ребенка (и не только ребенка, но и взрослого), он утверждает, что реальная жизнь уже маленького ребенка осуществляется не посредством игры, а в трудовых действиях, пусть даже и элементарных. С того времени, когда взрослые перестают кормить ребенка с ложечки (по настоянию самого же ребенка – «Я сам!»), ни одна потребность малыша практически не удовлетворяется без трудовой деятельности. Все действия самообслуживания: кормление, одевание, обувание, уход за собой, за своей комнатой, участие в труде взрослых – составляют важные стороны его повседневной жизни. Ущербом для личности, для развития ребенка является выполнение за него трудовых действий взрослыми, и никакая игра не восполнит этого необходимого фактора для развития его личности. В сенсомоторных действиях, в нервно-психическом и физическом напряжении, в трудовых процессах вырабатывается система навыков и умений, которые лежат в основе трудоспособности – свойства человека как субъекта труда и главной производительной силы общества.

К этой идее приходят и другие психологи и педагоги нашего времени, исследующие процессы деятельности и развития ребенка (Д.И. Фельдштейн).

При этом, конечно, следует помнить, что развитие личности ребенка требует организации самых различных видов деятельности, способных всесторонне охватить своим влиянием развитие личности. Каждая деятельность для этого несет в себе объективно богатые возможности. Игра, учение, труд, общественная, художественная спортивная и другие виды деятельности не заменяют одна другую. Каждая из них имеет неисчерпаемое богатство для развития личности подрастающего человека. Но в этом многообразие имеется и единство, что характеризует деятельность как сложный социально-психологический феномен.

Единство всех видов деятельности состоит не только в ее свойствах предметности и осмысленности, очерченных выше, но и в построении любой из них.

Современная психология, определяя построение деятельности, выделяет в качестве ее структурных компонентов мотив – цель – действия и операции. При этом в результате психологического анализа деятельности ученые приходят к выводу о необходимости ее дальнейшего дробления, дифференциации с целью более тонкого выделения внутри деятельности причинных отношений и функциональных и генетических связей (В.П. Зинченко, В.М. Мунипов).

Опираясь на достижения советской психологии с целью выявления возможностей деятельности для формирования личности в педагогическом процессе, необходимо подвергнуть структуру деятельности педагогическому анализу. Дело в том, что главным назначением педагогического процесса – преднамеренного обучения и воспитания – является организация деятельности детей учителем-воспитателем. В этих условиях целенаправленное построение деятельности – феномена, имеющего объективно-субъективную основу, – своеобразно. Проанализируем эти возможности деятельности и ее влияние на процесс развития ребенка через ее построение (структуру).

Цель деятельности – важнейший компонент ее сложной структуры. В педагогическом процессе она обычно задается извне и соответствует общественно необходимым требованиям. Это соответствие деятельности детей общественной пользе, необходимости является важнейшим фактором социального развития школьника, его общественной направленности. Объективно ценный смысл деятельности столь же необходим, как и оперирование предметным содержанием. Поэтому раскрытие цели, понимание ее общественной пользы – особо значимая задача для воспитателя.

Если цель деятельности не имеет смысла для личности ребенка, если ее общественная необходимость не осознана, то и деятельность ребенка может быть нейтральной для его развития. Поэтому в ее организации совершенно необходим перевод, трансформация поставленных целей в побуждения самой личности, в ее внутренние устремления – в мотивы, которые и побуждают деятельность, и умножают ценность ее для развития. Именно этот первоначальный компонент часто решает успех конечных результатов деятельности.

Мотивы деятельности многообразны, а подчас и противоречивы. Они выражают внутренние побуждения личности, ее потребности, ее интересы. Соответствие их целям деятельности, ее общественной пользе благоприятствует развитию школьника. Противоречие целей и мотивов создает сложные условия деятельности и, как следствие, сложность развития личности деятеля.

Психолого-педагогические исследования вскрывают печальные последствия этого разрыва. Даже труд школьника может иметь отрицательное влияние на личность, если он руководствуется в нем не мотивом долга, общественной пользы, а мотивом скопидомства, соблюдением своих частнособственнических интересов. В игре могут развиваться не духовные и физические силы, а эгоистические склонности ребенка, его честолюбие, тщеславие, если главным мотивом игры будет стремление к личному лидерству, только к своей победе. Мотивы учения хороших учеников также далеко не одинаковы: для одного учение – это необходимый труд, в котором он испытывает потребность, для другого – радость общения с товарищами, третий учится только потому, что его заставляют, принуждают. Естественно, что и результаты учения по-иному скажутся на детях с различной мотивацией.

В организованном педагогическом процессе одной из основных задач выступает необходимость создания ценной мотивации деятельности.

Содержание любой деятельности: трудовой, познавательной, общественной, художественной и т.д. – необходимый компонент структуры. Оно расширяет соприкосновение ребенка с внешним миром, содействует обогащению его знаний, приобретению опыта. Если содержание новое, малознакомое воспитаннику – развитие его кругозора бесспорно; если содержание уже знакомо, то постановка новых задач способствует углублению деятельности, более свободному, умелому оперированию своими достижениями. Содержание деятельности в педагогическом процессе часто определяется рамками программы, определенными требованиями, в которые закладываются цели деятельности. Однако назначением любой деятельности является «присвоение» ее содержания субъектом, результатом чего и является преобразование действительности. Отобрать необходимое содержание, соответствующее поставленным целям и возрасту, обеспечить условия для успешного овладения им воспитанниками – такова задача педагогического процесса.

Предметные действия, которые предвосхищаются частными задачами, не менее значимый компонент деятельности. В зависимости от того, какова задача данного действия, кем она ставится, ориентирует ли она на повторение прежнего опыта или требует нового действия на более сложной основе, эффект каждого действия может быть и менее и более значительным для развития. Назначение обучения и воспитания в том и состоит, чтобы содействовать оптимальному развитию личности при помощи усложнения задач, переводить предметные действия учащихся на ступень более высокую, включать в них возможно более широкий план использования сенсомоторных, интеллектуальных, эмоционально-волевых процессов.

При этом нельзя забывать, что каждое предметное действие тоже требует наличия положительной мотивации, без чего оно может и не принести желаемого эффекта и не решить поставленной задачи.

Способы, операции, умения. Операционная сторона деятельности не исчерпывается предметными действиями. Обязательный компонент ее составляет инструментарий, при помощи которого совершаются предметные действия. Эти «инструменты» предметных действий носят различные названия (в психологии – способы, операции, в педагогике – умения). Наличие операций–умений совершенно необходимо для того, чтобы деятельность; состоялась, без них невозможно ни решать поставленные задачи, ни совершать предметные действия.

Чтобы обточить деталь, сделать ножку для табуретки, посадить растение, убрать комнату, решить математическую задачу, написать сочинение, нужно оперировать целым рядом умений. Им обучают, они формируются и развиваются в деятельности. Это происходит и с помощью специальных процессов обучения и в самостоятельной деятельности ученика. Наличие операций и умений достаточно сильно сказывается не только на эффекте предметных действий, но и на их мотивации, как и на мотивах деятельности в целом. Совершенствование умений приводит к успеху, а успех, как известно, стимулирует потребность продолжения деятельности, интерес к ней.

Завершается деятельность результатом. Это – показатель развития, знаний, умений личности не только для окружающих, но и для нее самой, что, пожалуй, более для нее значимо. В результате материализованы цели, предметные действия, операции, способности и возможности личности. С результатом сопряжена оценка и самооценка личности, ее статус в коллективе, среди близких, которые радуются, печалятся или негодуют. Все это оставляет большой след в развитии личности, ее побуждений, устремлений, ее действий, ее умений и способностей. 

Таким образом, деятельность – это подлинный источник развития личности. Ее объективно-субъективные основы богаты возможностями для развития.



1.2. Понятие познавательной деятельности



Всестороннее развитие личности подрастающего человека происходит благодаря участию его в учении, труде, игре, спорте, в общественной, художественной и других разнообразных видах деятельности.

Для всех видов деятельности закономерности их построении и протекания едины. Различные виды деятельности, в которые включается школьник и где происходит процесс его развития, – это не сумма слагаемого и не механический конгломерат отдельных частностей. Это единый комплекс необходимых социальных основ, в котором формируется активная личность.

Особенное и специфичное для различных видов деятельности составляет их предметность, их объективная предметная содержательная основа, благодаря которой окружающий мир отражается в сознании субъекта во всем своем многообразии.

Некоторое своеобразие можно видеть и в психологических особенностях деятельности. Так, игру, например, называют школой воображения; труд и спорт актуализируют сенсомоторные процессы; учение опирается на интеллект; художественная деятельность – в значительной мере на эмоциональные процессы.

Было бы, однако, ошибкой, если бы, разложив духовные силы личности на отдельные блоки, мы предоставили развитие воображения – игре, интеллекта – познанию, развитие моторики – спорту и труду и т.д.

Педагогический процесс должен учитывать богатейшие психологические основы деятельности в каждом ее виде. Игра действительно школа воображения, и эти особенности следует развивать и в ролевых и в сюжетных играх, но этим не исчерпывается развитие ребенка в игре. Ее возможности для развития не только ребенка, но и взрослого человека неисчерпаемы. Это и путь развития воли (например, игры с правилами), это и способ развития мысли (интеллектуальные игры сопровождают человека всю жизнь), это и средство развития двигательной сферы, и еще многое иное. Подобно этому труд развивает человека всесторонне, и развивает именно личность, поскольку главной основой трудовой деятельности является ее социальное назначение. И вместе с сенсорно-двигательным развитием, как показал еще К.Д. Ушинский, труд развивает все психические процессы, все духовные силы человека. Было бы большой ошибкой утверждать интеллектуализацию учения как единственный выход его в развитие личности. Без опоры на эмоциональные процессы, без развития творческих сил, требующих комплекса мысли, воображения, волевых усилий в преодолении трудностей, учение не обеспечит нужных результатов.

Для художественной деятельности, развивающей сферу эмоций, чувств, вызывающей сильные переживания, не менее необходимо обобщение, позволяющее более глубоко проникать в сущность образа, в сферу искусства, отражающего предметный мир.

Таким образом, специфика каждого вида деятельности не определяет полного развития какой-либо одной стороны. Деятельность как феномен и как реальная практика в своих общих основах (социальных, психологических, педагогических) едина, и это единство, благодаря многообразию различных видов деятельности, становится значительно богаче. Деятельность как единство в многообразии качественно изменяет духовные и физические силы ребенка. При этом результатом развития личности ребенка следует считать изменение деятельности при активном влиянии его самого – такова диалектика.

Стремительное движение научно-технического прогресса, век технического оснащения общественного производства выдвинул на передний край научных исследований проблему человека – основной производительной силы общества. Острейшими стали сейчас проблемы «Человек и общество», «Личность и коллектив», «Индивид и общность».

В современной теории обучения главным центром, в котором сходятся исследования всех дидактических вопросов, также является человек, формирование личности обучающегося. И это закономерно. Готовить человека, который смог бы обеспечить не только сегодняшний, но и, главным образом, завтрашний день развития общества, необходимо прежде всего в условиях систематического, повседневного, целеустремленного приобщения молодых поколений к опыту человечества, обобщенному в научных знаниях.

Но как это сделать в трудных условиях быстрого обновлении научной информации? Это вопрос наисложнейший, он затрагивает не только проблему обучаемости и обученности молодого человека. Если обучение в школе в современную эпоху призвано формировать личность, то оно должно не только обучать, но еще и воспитывать и развивать, т. е. осуществлять единство взаимообусловленных функций образования, развития и воспитания. Это становится возможным лишь на основе глубокого научного анализа существа и особенностей познавательной деятельности учащихся, предметом которой является познание мира при помощи обобщенного знания о его различных областях.

Познавательная деятельность учащихся в школе – необходимый этап подготовки молодых поколений к жизни. Деятельность эта особого склада, хотя структурно и выражает единство с любой другой деятельностью. Человек, лишенный систематического учения в школьные годы, – обедненный человек, он лишен полноценного развития своего сознания, восприятия мира, освоения духовных ценностей народа.

В чем же состоят особенности познавательной деятельности учащихся в школе?

Как сказано выше, структура учения школьника по своим компонентам отражает построение любой деятельности. Своеобразие же ее состоит в том, какое место и какой характер в ее протекании имеет каждый из них.

Цели деятельности, ее целеполагания, которые определяют длительный процесс учения, объективно выражают ее социальную направленность и обуславливают конечные ее результаты. Вместе с тем исследованиями доказано, что субъективно эти сложные и далекие от непосредственного опыта школьника цели им не всегда осознаются и сам школьник как субъект деятельности не является их непосредственным носителем. Социальная направленность учения обусловлена деятельностью учителя тем в большей мере, чем моложе школьник.

Для ученика цели обучения трансформируются в мотивы учебной деятельности. Вот почему смыслообразующим началом деятельности ученика являются его внутренние побуждения, которые, однако, отнюдь не спонтанны, а являются результатом связей и отношений школьника с предметной средой, возникающих в его деятельности.

Мотивам учения посвящен ряд исследований в советской психологии и педагогике (С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, Л.И. Божович, Л.С. Славина, Н.Г. Морозова, М.А. Данилов, В.С. Ильин, Г.И. Щукина и др.). Исследования в этой области утверждают, что учение школьника побуждается не одним, а множеством мотивов. В общей структуре мотивации одни из них играют доминирующую роль, преобладают, другие – подчиненную, иные – слабо заметную. В зависимости от того, какие мотивы преобладают, в зависимости от их силы, их значимости для личности и учение школьника принимает меру значимости для него (Н.Ф. Добрынин).

Научная классификация мотивов учения полностью еще не сложилась, однако практически принято различать их следующие группы.

Социальные мотивы – широкие, отдаленные, перспективные. Словесные обозначения их у школьников проявляются разно, уже в начальных классах («хочу быть образованным», «приносить пользу Родине»). Однако смыслообразующая их роль в учении получает реальное воплощение лишь в старших классах, когда юноша строит жизненные планы, проникает в самосознание, стремится к самопознанию. Вместе с тем тот факт, что все школьники вербально оперируют знанием этих мотивов-целей, позволяет ожидать, что внешние проявления их при благоприятных условиях станут внутренним достоянием личности современного школьника.

Познавательные мотивы – составляют другую группу мотивации учения. Это наиболее характерная группа, поскольку она выражает прямое отношение к познанию – предмету учения. Наиболее значимыми мотивами в ней являются познавательные интересы и потребности. Ученику «интересно узнавать новое», «видеть свое продвижение в познании», «проникать в науку», в теоретические основы той предметной области, которая их привлекает. Переоценить реальное значение этих мотивов в учении невозможно, именно они делают самого ученика «открытым» для учения. Познавательные интересы лежат у основания активности, самостоятельности школьника в учении, они формируют и ревностное отношение к школе в целом.

Моральные мотивы – иная и очень важная группа. В них выражены существенные стороны формирования личности – ее нравственные отношения прежде всего к людям, к деятельности, к своему месту в обществе и в коллективе. Когда школьник побуждается в учении чувством долга перед родителями, обществом, перед коллективом, он готов преодолевать и трудности и выполнять неинтересное задание. Ответственность, долг, честь коллектива – если все это есть в составе мотивации учения, его социальное назначение в значительной мере осмысливается школьником.

Мы назвали лишь основные группы мотивов, их можно дифференцировать и далее. 

Сила и значимость мотивации в структуре учения школьника становится еще более ясной, если обратиться к такому компоненту познавательной деятельности, как предметные действия. Именно в предметных действиях заключена процессуальная основа учения. Вся его длинная последовательная цепь состоит из решения познавательных и практических задач, которые выражены в предметных действиях ученика. Ученик пишет, читает, считает, решает, моделирует, конструирует, чертит схемы, контурные карты, чертежи, рисует, наблюдает явление, слушает и фиксирует это либо графически, либо в письменной речи, отвечает, участвует в ответах товарищей и т.д. Каждый учебный предмет выдвигает перед учеником множество задач и определяет множество предметных действий учащихся в виде серии самостоятельных работ caмого различного характера, требующих оперирования приобретенными навыками, специальными практическими и познавательными обобщенными умениями.

В совершении предметных действий и осуществляется сложнейшая, напряженнейшая работа мысли, памяти, воображения, творчества, всех процессов сознания.

В выполнении предметных действий происходит не простой факт «делания» но совершается акт познания, который находится в прямой зависимости от мотива, с одной стороны, и от степени владения умениями, с другой.

Успех решения любой задачи зависит, прежде всего, от того, принята она самим школьником или нет, составляет ли она для ученика смысл его учения, видит ли он необходимость ее ocyществления, представляет ли она для его личности интерес, наконец, испытывает ли он потребность в совершении данных предметных действий. Подобно тому, как общая цель учения трансформируется в мотивах его, и познавательная задача, предвосхищающая предметное действие, трансформируется в мотивы данного учебного действия. Различение мотивации деятельности и предметных действий, которое осуществили С.Л. Рубинштейн и А.Н. Леонтьев, необходимо и с точки зрения теоретической и особенно для практики.

Мотив деятельности, по утверждению А.Н. Леонтьева, опредмечен, предметный мир является источником внутренних побуждений личности, которая отбирает из окружающего мира то, что отвечает ее потребностям. Но именно внутренние побуждения личности, ее мотивы характеризуют и действия, и ее поступки. От соответствия предметных действий школьника мотивам их выполнения зависит результат познавательного акта в учении. 

«Не умея проникнуть во внутреннее содержание действий и поступков ребенка, в мотивы его действий и внутреннее отношение к задачам, которые перед ним ставятся, воспитатель-учитель по существу работает вслепую», – писал С.Л. Рубинштейн. Основным инструментом, посредством которого направляется и организуется деятельность ребенка, он считает задания: «Для их эффективности нужно, чтобы они были внутренне приняты ребенком. Для этого необходима надлежащая их мотивация. От нас зависит внутреннее содержание и смысл задания для ребенка». Негативная мотивация может нарушить любые самые ценные, самые значительные замыслы учителя. «Вопрос мотивации заданий – различный на разных уровнях развития – заслуживает большего внимания, чем то, которое ему обычно уделяется»,— писал С.Л. Рубинштейн еще в 50-е годы. Выделяя вопрос о побуждениях к учению, видный советский дидакт М.А. Данилов при анализе условий выдвижения познавательных задач утверждал, что любая познавательная задача, которая ставится перед учеником помимо ряда важных дидактических условий (ее посильности, ее актуальности для овладения логикой учебного предмета и др.), должна быть поставлена перед учеником так, чтобы он захотел ее реализовать, решить, чтобы она привлекала бы его и мысли, и чувства, и внутренние стремления. 

Помимо мотивов предметных действий, для осуществления их на должном уровне необходим еще и тот набор действенного инструментария, который называют способами, операциями, навыками и умениями, непосредственно поставленный на службу учебным действиям.

Навык — это стереотипная, автоматизированная операция, необходимая в учении при выполнении тех элементов предметных действий, в которых нужна точность, закрепленность связей, стереотипных действий, которые могут происходить без непосредственного контроля сознания (быстрота беглого чтения, письма, элементарного счета, сосчитывания, проведения точных линий при черчении и др.).

Умение — это операция интеллектуального свойства. Умения часто называют знаниями в действии, что свидетельствует о том, что умение всегда оперирует приобретениями знаний. Существенным свойством умений является их обобщенность, вследствие чего они с успехом реализуются в измененных и разнообразных ситуациях. «При изменении внешних обстоятельств, когда человеку приходится вступать в новые отношения со средой, решать новые задачи, ведущим видом деятельности являются умения. При постоянстве среды и стабилизации условий деятельности на первый план выступают навыки».

И те и другие операции (способы) представляют для деятельности большую ценность. Собственно, процессуальный аспект учения без наличия прочных, стабильных навыков и мобильно действующих умений и невозможен, и безуспешен.



1.3. Пути, формы и методы активизации познавательной деятельности младших школьников



В обучении фигурирует особый вид интереса – интерес к познанию, или, как его принято теперь называть, познавательный интерес. Его область – познавательная деятельность, в процессе которой происходит овладение содержанием учебных предметов и необходимыми способами или умениями и навыками, при помощи которых ученик получает образование.

Что же конкретно способствует формированию познавательного интереса в учебном процессе и как мотива отдельных учебных действий ученика и как прочного мотива его познавательной деятельности?

Стимуляция познавательных интересов школьников поступает из различных источников. Она поступает из содержания учебного материала, которое несет учащимся новую, неизвестную еще ранее информацию, вызывающую чувство удивления перед тем, как богат мир и как мало он еще открыт ему, ученику, и как заманчиво, и увлекательно познавать это новое на каждом уроке и вне его. 

Содержание знаний заключает в себе и возможности по-новому проникнуть в уже известное, открывать в имеющихся знаниях новые грани, рассматривать их под новым углом зрения и испытывать при этом глубочайшее чувство удовлетворения того, что теперь ты знаешь предмет лучше, глубже и основательней.

Содержание знаний позволяет проникать в тайники науки от момента ее зарождения до современных научных достижений, открытий, переворачивающих весь арсенал научных знаний, добытый ранее. Осознание этого укрепляет интерес: перед учеником открывается диалектика явлений, ощутимое действие законов отрицания отрицания, единства и борьбы противоположностей, бесконечность и вечность познавательного процесса, в котором он, ученик, уже поднялся на известный уровень.

Содержание знании несет в себе и такой важный стимул познавательного интереса, как осознание и понимание практической роли познания. Роль науки в переделке действительности, значение ее для общественной и личной практики, возможность пользоваться научным багажом в жизни, в общечеловеческой и личной практике, изобретение микроскопа, телескопа, использование электрической энергии, энергии атома, открытие радио, телевидения, выведение новых сортов продуктивного животноводства, использование гидроресурсов в экономике страны – все это и многое другое, представляющее выход науки в жизнь, в практику человеческой деятельности, необычайно поднимает престиж науки, знаний, собственного познания в глазах школьника и укрепляет его интерес.

Содержание знаний не единственный источник стимуляции познавательного интереса в учебном процессе. Масса разнообразных стимулов укрепления и формирования интереса к учению поступает из самой деятельности ученика, рождающей интеллектуальные и эмоциональные удовлетворения.

Формирование познавательной активности и самостоятельности учащихся в учебном процессе – одно из таких направлений стимуляции. Это одна из определяющих линий деятельности учителя, а сформированность активности и самостоятельности – важнейший показатель плодотворности учения. В дидактике в последние годы этой проблеме посвящено много исследований.

Познавательную активность школьника, если она достаточно устойчива, следует рассматривать как личностное образование, которое выражает интеллектуальный отклик на процесс познания, живое участие, мыслительно-эмоциональную отзывчивость ученика в познавательном процессе. Она характеризуется:

- поисковой направленностью в учении;

- познавательным интересом, стремлением удовлетворить его при помощи различных источников как в учении, так и во внеучебной деятельности;

- эмоциональным подъемом, благополучием протекания деятельности.

Эти особенности характерны для высокого уровня учения; в жизни и деятельности школьника они могут проявлять и приглушенней и ярче, однако наличие этой ценной черты, формирующейся в учебном процессе, значительно сказывается на становлении личности учащегося, на его отношении к миру, к жизни.

В свою очередь познавательная самостоятельность, формирующаяся на базе активности, характеризуется многими учеными как качество личности. Известный советский дидакт М.А. Данилов раскрывает эту ценную для ученика черту при помощи следующих признаков:

- стремление и умение самостоятельно мыслить;

- способность ориентироваться в новой ситуации, найти свой подход к новой задаче;

- желание не только понять усваиваемые знания, но и способы их добывания;

- критический подход к суждению других;

- независимость собственных суждений.

Последующая разработка проблемы познавательной самостоятельности умножает количество указанных признаков. Отмечается роль самостоятельности как на первичной ступени познавательного акта (способность активно и творчески воспринимать материал), так и на заключительном этапе познания (умение и способность использовать усвоенные теоретические знания на практике).

Как видим, в познавательной самостоятельности в единстве выступают мотивационная и операционная стороны учения (хотеть, стремиться, уметь, быть способным осуществить). В этом ценном для личности ученика качестве происходит взаимное обогащение мотивов учения – потребностей, интересов, стремлений и способов самостоятельного отыскания истины.

В учении осуществляются подготовленные учителем разнообразнейшие самостоятельные работы учащихся, вызывающие их многообразные познавательные и практические действия.

В своем исследовании и созданном на этой основе рукоеодстве известный дидакт Б.П. Есипов показал, что самостоятельные работы учащихся могут и должны отвечать различным дидактическим задачам: одни из них направлены на отыскание знаний, другие – на упрочение умений и навыков, на использование знаний в новых условиях, на практическое применение, а могут быть самостоятельные работы и контролирующего свойства и т.д. Главную же ценность самостоятельных работ составляет то, что они учат самих учащихся не только решать задачи, но и ставить задачи, планировать действия и способы их выполнения, отыскивать новые, объективно ценные способы в различных вариантах.

Таким образом, самостоятельные работы являются формой совместной, единой деятельности учителя и учащихся. Учитель закладывает в них программу действий ученика в соответствии с определенной дидактической задачей. Отбирая содержание самостоятельных работ, он предвосхищает процессы, которые будут происходить при их выполнении в практических действиях и в познании учащихся.

Ученик же, выполняя самостоятельную работу, активно оперирует приобретенными знаниями, умениями, навыками, совершает ту поисковую, творческую, активную деятельность, на которую рассчитывает учитель, и поднимается на новый уровень познания, укрепляя познавательную активность, самостоятельность и интерес.

Любая форма самостоятельной деятельности ученика при педагогически ценной ее организации сопутствует познавательному интересу.

В первую очередь этому содействуют разнообразные самостоятельные работы, к которым прибегают опытные учителя. Каким другим путем можно развить ум ученика, расположить его к познанию, заставить мобильно действовать, догадываться, творить? Самостоятельные работы учащихся, которые стали предметом психолого-педагогических исследований и активного внедрения их в практику учебного процесса, являются главной магистралью развивающего обучения, развития активности и самостоятельности познавательных сил, способностей и интересов учащихся.

Поиск науки и практики в области высокого эффекта самостоятельных работ учащихся показал, что их стимулирующая роль в развитии интереса к знаниям бесспорна и обеспечивается она не только фактом введения их в учебный процесс (что само по себе тоже важно), но и соблюдением ряда необходимых требований в целях развития познавательной самостоятельности.

Именно в самостоятельных работах необходимо последовательное усложнение содержания, формы, способов учения, требуемых для их выполнения.

Работа с таблицами, схемами, картами, диаграммами, творческие сочинения требуют умения анализировать и обобщать.

Любая самостоятельная работа ученика должна преследовать ясные дидактические цели обучения.

Очень важно, чтобы весь строй предлагаемых ученику самостоятельных работ опирался на активные познавательные процессы учащихся. При этом важно именно то, чтобы сам учитель видел и понимал, какие внутренние психические процессы он вызывает предлагаемой самостоятельной работой, какие из работ развивают гибкость мыслительных операций, что побуждает работать воображение, какие работы опираются на чисто репродуктивную, а какие – на творческую деятельность. При этом следует помнить, что, выполняя функции научения, развития, воспитания, самостоятельные работы обязательно решают и задачи репродуктивного плана, и поисковые, и творческие.

Незаменимость самостоятельных работ как стимулятора познавательного интереса состоит еще и в том, что, предназначенные для каждого возраста учащихся, в своей совокупности они могут решать задачи вербального, сенсорного и двигательного развития учащихся.

Реализация этого условия в полной мере позволит формировать познавательный интерес как частицу целостного и всестороннего развития личности растущего человека.

Влияние самостоятельных работ на познавательные интересы учащихся не всегда действует безотказно, а, как сказано выше, лишь при условии педагогически целесообразного их отбора и подачи в учебном процессе. Своевременное их введение в учебный процесс, слаженная структура их взаимодействия на уроке являются немаловажным фактором, усиливающим их влияние на интерес к знаниям. И дело здесь не только в расположении самостоятельных работ по возрастающей сложности. Нужно видеть еще их объективно интересный смысл для учащихся, силу эмоционального воздействия.

Иными словами, проблема самостоятельной работы учащихся на уроке как главного стимулятора познавательного интереса, активности и развития личности ученика требует от учителя очень тонкой и глубокой работы по отбору содержания самостоятельных работ, их формы, соответствия дидактическим назначениям и психологическим особенностям познавательных процессов, а также определения их места в общей структуре учебного процесса.

Коснемся еще одного вопроса стимуляции познавательного интереса, связанного с организацией деятельности ученика.

Речь идет о проблемности и элементах поиска и исследования в учении.

Современный анализ учебного процесса и исследования, изучающие протекание и характер деятельности в нем ученика, показали, что особенно поддерживает и укрепляет положительные мотивы учения, интерес к знаниям поисковая деятельность, основанная на проблемности, исследовании, элементах творчества.

Исследования (Ю.Н. Кулюткин), посвященные изучению познавательных структур, которые лежат в основе поисковой, исследовательской деятельности человека, составляющих важное звено в развитии творческого мышления, установили, что решение стереотипных и нестереотипных задач имеет различные педагогические основания. Процесс решения задач поискового, исследовательского и творческого плана оперирует более сложными психологическими структурами, связанными с единством более сложных операционной и мотивационной стороной деятельности. Например, располагая готовым алгоритмом решения стереотипной задачи, ученик совершает в соответствии с жестким предписанием ряд последовательных операций и не испытывает того интеллектуального напряжения и эмоционального подъема, какой происходит в деятельности поисковой, исследовательской, при разрешении проблемных ситуаций.

Этот процесс протекает индивидуально, но общим для него является то, что ученик ставится перед необходимостью прежде всего разобраться в материале, т. е. представить себе его общую схему, которая по мере дальнейшей работы ученика конкретизируется и обогащается содержанием. Далее, конкретизируя свою общую гипотезу из многих вариантов, которые могут быть на пути ее решений, ученик выбирает одно («условно истинное»), не переставая держать в уме, что это только предварительная прикидка, одно из предполагаемых возможных, но что могут быть и другие варианты. И чтобы прийти к заключению о его достоверности, следует самостоятельно отобрать соответствующую информацию, найти доказательства, сопоставить их с избранной возможностью решения. Именно этот процесс напряженной мыслительной деятельности – «прикидки», «догадки», сопоставления, поиски доказательства, самостоятельные наблюдения причинных зависимостей – и является процессом, по выражению К.Д. Ушинского, «полным мысли», составляющим ядро интереса к познанию.

Исследования показали, что, проводя весь учебный процесс на уровне только проблемного обучения, учитель встает перед фактом снижения интереса к знаниям. И дело здесь, очевидно, состоит не только в том, что, чередуя различные подходы в учебном процессе, учитель использует стимул новизны (что, конечно, тоже очень важно). Главное состоит в том, что каждый из названных (и не названных сейчас) подходов вносит свой необходимый элемент в формирование познавательной активности, интересов. 

Таковы данные современных исследований, утверждающих роль поисковой познавательной деятельности как активного фактора учения и познавательного интереса.




Глава 2. Арифметические действия на уроках математики в младших классах



2.1. Содержание курса математики в начальных классах



Содержание начального курса математики определяется целями обучения. С этой точки зрения рассмотрим его важнейшие элементы. Курс математики для младших школьников должен обеспечивать преемственность в изучении математики в средних и старших классах. Это может достигаться по следующим направлениям.

1.	Некоторые математические знания и умения (с учетом особенностей механизма запоминания, характерных для детей младшего школьного возраста) могут быть качественно усвоены именно в начальных классах. Здесь в первую очередь имеются в виду табличные случаи сложения (вычитания), умножения (деления), а также умения, в основе которых лежат несложные алгоритмы.

Одним из важнейших классов алгоритмизируемых умений являются устные и письменные вычисления. Отработанные в младшем школьном возрасте навыки вычислений на множестве натуральных чисел позволяют учащимся в дальнейшем достаточно легко овладеть более сложными алгоритмами вычислений на множестве рациональных и действительных чисел. Поэтому приемы устных и письменных вычислений (сложение, вычитание, умножение и деление) являются естественными элементами программы по математике для начальных классов.

2.	С некоторыми базовыми математическими понятиями средней школы учащихся начальных классов можно легко ознакомить на пропедевтическом уровне, используя житейский опыт учащихся, их наглядно-образные представления.

Так, манипулирование множествами хорошо известных учащимся предметов служит основой для формирования у них понятия числа, арифметической операции. Наблюдения за окружающим миром дают возможность выделить наиболее часто встречающиеся в действительности формы. Таким образом, целый ряд геометрических фигур становится предметом изучения в начальной школе.

3.	Важным условием полноценного обучения математике является формирование у учащихся навыков математической деятельности.

В методике под термином «математическая деятельность» понимают деятельность, сходную по своей сути с математическим познанием. Выделяют три вида математической деятельности, выступающих в органическом единстве: математическую организацию эмпирического материала, логическую организацию математического материала, применение математических теорий.

В начальных классах возможно целенаправленное формирование у учащихся навыков математической организации эмпирического материала. Однако при этом учебный материал должен удовлетворять определенным условиям.

Существуют два подхода к формированию математических понятий: генетический и аксиоматический. Аксиоматический подход предполагает, в частности, высокий уровень владения учащимися языком, на котором ведется преподавание. Естественно, что языковая культура младших школьников только формируется, поэтому аксиоматический подход в начальных классах нереален.

Генетический подход заключается в том, что житейские, эмпирические понятия и представления учащихся «переводятся» на язык математики и закрепляются в форме математических понятий. Такой процесс называется математизацией эмпирического материала (математизацией) и соответствует возможностям младших школьников.

В практике обучения организация деятельности учащихся по математизации и управление ею осуществляются учителем. Однако при рациональной методике учащиеся в состоянии не только усваивать результаты математизации, но и накапливать опыт ее осуществления. Понятно, что такая методика требует, чтобы вопросы, включенные в программу по математике, имели многочисленные (исходя из жизненного опыта детей) интерпретации в реальном мире. Исходя из этих позиций, в программу для начальной школы может быть включен весьма необычный с точки зрения традиций этой школы математический материал. Примером может служить содержание программы, по которой обучались воспитанники одного из детских садов Бельгии, математический материал для занятий с детьми 6 – 10 лет, разработанный Р.Ф. Соболевским.

4. Программа по математике должна предусматривать также овладение учащимися математическим языком – средством математизации. Математический язык учащихся начальных классов с синтаксической точки зрения не должен отличаться от языка старшеклассников. Например, предложение  +  = 3 («к одному яблоку прибавить два яблока...») не является математическим ни для математика, ни для старшеклассника, ни для ученика I класса. Что же касается смыслового значения математических терминов, знаков, используемых в младших классах, то оно, конечно, беднее соответствующих языковых средств учащихся старших классов, однако не противоречит ему.

Остановимся на более характерных особенностях действующей программы по математике для начальной школы. В содержании программы можно выделить арифметический, геометрический и алгебраический материал, а также материал, связанный с изучением величин. Такое разделение условно, поскольку в младших классах в отличие от средних и старших ни арифметика, ни геометрия, ни алгебра не являются систематическими курсами. Соответствующие понятия не образуют строгой логической системы.

Рассмотрим особенности арифметического материала. Этот материал занимает в программе центральное место. Целью его изучения является знакомство учащихся с понятием числа – целыми неотрицательными числами и обыкновенными дробями. В средних и старших классах это важнейшее понятие последовательно расширяется.

Из курса математики для факультета педагогики и методики начального обучения (в дальнейшем для краткости будем называть его вузовским курсом математики) известно, что существуют два подхода к определению целых неотрицательных чисел – количественный и аксиоматический. В начальных классах реален первый из названных. Понятие натурального числа вводится через рассмотрение свойств конечных множеств. Множества служат основой для формирования у учащихся представлений об упорядоченности целых неотрицательных чисел, арифметических операциях.

Важное место в курсе математики начальных классов занимают законы арифметических операций: коммутативности и ассоциативности сложения и умножения, дистрибутивности умножения относительно сложения.

Арифметический материал изучается концентрически. Поскольку он составляет основу программы по математике, то элементы геометрии и алгебры распределены по соответствующим концентрам. Необходимость знакомства учащихся с понятием числа по концентрам выявляется при логико-дидактическом анализе арифметического материала. В нем можно выделить два основных элемента – нумерацию и арифметические операции.

Рассмотрим сначала логическую последовательность изучения нумерации целых неотрицательных чисел. При этом будем исходить из того, что нумерация изучается в десятичной позиционной системе счисления.

1.	Нумерация чисел первого десятка (О, 1, ..., 9). Изучается «алфавит» десятичной системы счисления – написание и название цифр.

2.	Нумерация чисел второго десятка (11, 12, ..., 19). Названия этих чисел образуются по особому правилу: 11 – «один-на-дцать», 12 – «две-на-дцать»,  ...,   19 – «девять-на-дцать». При  изучении нумерации используются понятие «десяток» и знания, полученные в концентре 1.

3.	Нумерация круглых десятков (20, 30, ..., 90). Названия этих чисел имеют сходство: «два-дцать», «три-дцать» (вместе с тем «сорок», «девяносто»). Для их нумерации используются понятие «десяток» и знания, полученные в концентре 1.

4.	Нумерация остальных двузначных чисел (21, 22, ..., 99). Названия этих чисел образуются из двух слов – сначала называется число десятков, а затем число единиц. Для их нумерации используются знания, полученные в концентрах 1 и 3.

Порядок изучения концентров 1, 3, 4 должен строго соблюдаться – сначала 1, затем 3, затем 4. Изучать концентры 2 и 3 можно в разной последовательности.

5.	Нумерация круглых сотен (100, 200, ..., 900). Названия этих чисел имеют сходство: «сто», «две-сти», «три-ста», ..., «девять-сот».

Для изучения нумерации этих чисел используются понятие «сотня» (разряд сотен) и знания, полученные в концентре 1.

6.	Нумерация остальных трехзначных чисел (101, 102, ... 213, ..., 999). Здесь используются знания, полученные в концентрах 1 – 5.

7.	Нумерация чисел класса тысяч (1000 – 999999). Вводятся понятия «класс» и «тысяча». Обобщаются знания о разрядах.

Используются знания, полученные во всех предыдущих концентрах.

8.	Нумерация чисел свыше 999999. Сообщаются названия новых классов (миллион, миллиард, триллион и т. д.). Устная и письменная нумерации этих чисел производятся по уже известным правилам.

Итак, логика изучения нумерации целых неотрицательных чисел определена. Однако учащиеся должны усваивать нумерацию в органической связи с изучением арифметических операций. Поэтому с методической точки зрения концентры 1 – 8 далеко не равноценны. В самом деле, при изучении нумерации чисел в пределах десяти, например, учащиеся знакомятся с операцией сложения на множестве чисел первого десятка. Процесс усвоения табличного сложения (в пределах 10) весьма сложный и длительный. Однако знание учащимися таблицы сложения существенно облегчает изучение операции сложения в концентрах 3 и 5: эти суммы – 20 + 30, 200 + 300 рассматриваются как 2 дес. + 3 дес., 2 сот. + 3 сот., т. е. как суммы однозначных чисел. Поэтому на изучение нумерации круглых десятков и сотен отводятся считанные уроки.

Таким образом, в программе по математике выделяются более крупные концентры, чем 1 – 8.

Рассмотрим несколько примеров концентрического построения программ по математике для начальной школы.

В дореволюционной программе по математике для начальной школы (конец XIX в.) выделялись три концентра: числа первого десятка, числа первой сотни, многозначные числа. В первом концентре усваивалась нумерация и смысл всех четырех арифметических операций. Запоминались табличные случаи сложения и умножения (вычитания и деления) в пределах десяти. Во втором концентре учащиеся получали знания о нумерации чисел в пределах ста. Здесь же усваивались таблицы сложения и умножения, приемы устного внетабличного сложения и вычитания, умножения и деления в пределах ста. В третьем – вместе с нумерацией многозначных чисел (больших ста, меньших миллиарда) изучались приемы письменного сложения, вычитания, умножения (в столбик) и деления (углом).

В советской послевоенной программе (1945 г.) учебный материал по математике был распределен по пяти концентрам: числа первого десятка, числа второго десятка, числа в пределах ста, тысячи, многозначные числа. В первом концентре параллельно с нумерацией изучались табличные случаи сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах десяти. Во втором концентре завершалось усвоение учащимися таблицы сложения и начиналась работа над таблицей умножения и соответствующими случаями деления в пределах 20. В третьем концентре завершалось изучение таблицы умножения. Отрабатывались приемы устного сложения и вычитания, умножения и деления в пределах ста. В четвертом концентре учащиеся усваивали приемы письменного выполнения всех четырех арифметических действий. В последнем концентре эти приемы отрабатывались при выполнении действий над многозначными числами (до триллиона).

В программе, утвержденной МП РСФСР в 1968 г., арифметический материал группировался по четырем концентрам: «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа».

В концентре «Десяток» учащиеся усваивали табличные случаи сложения (соответствующие случаи вычитания); в концентре «Сотня» – таблицу сложения в целом, таблицу умножения (соответствующие случаи деления), приемы устного сложения, вычитания, умножения и деления в пределах ста; в концентре «Тысяча» – приемы письменного сложения и вычитания; в концентре «Многозначные числа» – приемы письменного умножения и деления на множестве чисел до миллиарда.

В программе для четырехлетней начальной школы, утвержденной МП РСФСР в 1986 г., по существу выделено пять концентров: числа первого десятка, числа второго десятка, числа в пределах ста, числа в пределах тысячи, многозначные числа.

В первом концентре параллельно с изучением нумерации раскрывается смысл операций сложения и вычитания, учащиеся запоминают таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах десяти. Во втором концентре завершается усвоение учащимися таблицы сложения, в третьем — отрабатываются приемы устного сложения и вычитания. Наряду с этим учащиеся должны овладеть приемами письменного выполнения этих действий (в столбик). Вычисления в столбик они выполняют в наиболее сложных случаях. Здесь же учащиеся знакомятся с умножением и делением, усваивают таблицу умножения, приемы устного внетабличного умножения и деления. При изучении чисел в пределах тысячи вводятся приемы письменного умножения (в столбик) и деления (углом). В последнем концентре навыки устных и письменных вычислений обобщаются для действий над многозначными числами (до миллиона).

Несмотря на различное построение рассмотренных программ, нумерация в каждой из них изучается в соответствии с выделенной выше последовательностью этапов 1 – 8. Различие программ обусловлено разными позициями авторов относительно изучения арифметических операций. Так, составители дореволюционной программы и программы 1945 г. считали необходимым начинать изучение всех четырех арифметических действий уже в концентре «Десяток»; в программе 1986 г. в отличие от всех предыдущих предусмотрено письменное (в столбик) сложение и вычитание уже на множестве чисел первой сотни. Мы не будем здесь обсуждать достоинства и недостатки рассмотренных программ. Отметим только, что многие вопросы, касающиеся арифметического содержания программы по математике, еще не нашли в методике полного решения. Таким образом, процесс совершенствования программы по математике для начальных классов продолжается.

Геометрический, алгебраический материал и величины, изучаемые в начальных классах, имеют важное образовательное значение. Однако при включении этого материала в программу по математике исходят из того, что он должен быть тесно связан с арифметикой. Например, изучение многоугольников начинается тогда, когда учащиеся знакомятся с числами первого десятка: наряду с различными множествами бытовых предметов для иллюстрации используются геометрические фигуры. Так, число 4 ставится в соответствие множествам, содержащим 4 яблока, 4 автомашины и т. д., и четырехугольнику – фигуре, имеющей 4 стороны, 4 вершины, 4 угла. С понятием длины учащиеся знакомятся при изучении темы «Десяток». Линейка при этом используется для иллюстрации упорядоченности натуральных чисел, операций сложения и вычитания. Дециметр, например, интерпретируется как десяток (счетная единица), метр – как сотня.



2.2. Вычислительные приёмы на уроках математики в начальных классах



Вычислительный приём – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия. Различают операции основные и вспомогательные. Основными называют операции, сразу дающие результат. Вспомогательными называют операции, которые лишь готовят к выполнению действия.

Раскроем суть вычислительного приёма. Пусть надо сложить числа 8 и 6. Приём вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций: 

1.	замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4;

2.	прибавление к числу 8 слагаемого 2;

3.	прибавление к полученному результату, к числу 10, слагаемого 4.

Здесь выбор операций и порядок их выполнения определяется соответствующей теоретической основой приёма – применением свойства прибавления к числу суммы (сочетательное свойство): замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка: 10=8+2 и 6=2+4.

Таким образом, можно сказать, что приём вычисления над данными числами складывается из ряда последовательных операций, выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве теоретической основы.

В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений.

Например:

156=15+15+15+15+15+15=90;

156=(10+5)6=106+56=90;

156=15(23)=(152)3=90.

Теоретической основой для выбора операций, составляющих первый из приведённых приёмов, является конкретный смысл действия умножения; теоретической основой второго приёма – свойство умножения суммы на число, а третьего приёма – свойство умножения числа на произведение. Операции, составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играю особую роль в процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в свёрнутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными. Например, для случая 164 основными будут операции: 104=40, 64=24, 40+24=64. Все другие операции – вспомогательные.

Число операций составляющих прием, определяется прежде всего выбором теоретической основы вычислительного приема. Например, при сложении чисел 57 и 25 в качестве теоретической основы может выступать свойство прибавления суммы к числу, тогда прием будет включать три операции: замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, прибавление к числу 57 слагаемого 20 и прибавление к результату, к 77, слагаемого 5; если же теоретической основой является свойство прибавления суммы к сумме, то прием для того же случая будет включать пять операций: замена числа 75 суммой разрядных слагаемых 50 и 7, замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, сложение чисел 7 и 5, сложение полученных результатов 70 и 12. Число операций зависит также от чисел, над которыми выполняются арифметические действия.

Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом. Например, для случаев вида 8+2 на начальной стадии формирования навыка ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой 1 и 1, прибавление числа 1 к 8 , прибавление числа 1 к результату, к 9.  Однако после заучивания таблицы сложения ученик выполняет одну операцию – он сразу связывает числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь прием как бы перерастает в другой.

Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приёмов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приёмов в соответствии с их общей теоретической основой. 

Классификация вычислительных приёмов.

1. Вычислительные приёмы, основанные на знании нумерации:

- на знании последовательности натурального ряда чисел; (например, 5 + 1; 600 - 1);

- на знании разрядного состава; (например, 54 - 50; 600 + 50);

- на понятиях увеличить или уменьшить в 10; 100; 1000 и т. д. раз. (например, 5 × 10; 900 : 100).

2. Вычислительные приёмы, основанные на знании конкретного смысла арифметических действий:

- сложение и вычитание по частям однозначных чисел; (например,5 + 2; 7 - 3);

- сложение и вычитание с переходом через десяток; (например, 8 + 7; 12 - 5);

- составление первого столбика таблицы умножения; (например, 8 × 8; 8 × 9). Конкретный смысл деления раскрывается на решении простых задач.

3. Вычислительные приёмы, основанные на знании взаимосвязей между результатом и компонентами арифметических действий:

- вычитание вида «9 – а, 8 – а, 7 – а, 6 – а»; (например, 9 – 6; 8 – 5); 

- вычитание вида «12 - 5»;

- составление третьего столбика на деление таблицы умножения; (например, 54 : б; 49 : 7); 

- деление двузначного числа на двузначное; (например, 51 : 17; 54 : 27).

4. Вычислительные приёмы, основанные на знании свойств арифметических действий:

- переместительного закона сложения; (вида «а + 5, а + б, а + 7, а + 8, а + 9». Например, 8 + 6); 

-прибавления числа к сумме; (например, 34 + 2; 34 + 20);

- прибавления суммы к числу; (например, 48 + 9; 42 + 15);

- вычитания числа из суммы; (например, 34 – 2; 34 – 20);

-  вычитания суммы из числа; (например, 62 – 9; 95 – 12);

-переместительного закона умножения; (например, 4 × 6; 5 × 9);

- умножение суммы на число; (например, 27 × 3; 24 × 4);

- деление суммы на число; (например, 54 : 3; 96 : 2);

- умножение числа на сумму; (например, 54 × 12);

- умножение числа на произведение; ( например. 38 × 20; 42 × 30); 

- деление числа на произведение; (например,620 : 20; 840 : 30).

5. Вычислительные приёмы, основанные на знании частных случаев выполнения арифметических действий с числами 1 и 0; (например, 84 : 1; 62 × 0).



2.3. Признаки и этапы формирования вычислительных навыков



В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе.

Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами, это вычислительный приём, доведенный до автоматизма. Приобрести вычислительный навык – значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии: 

- правильность; 

- осознанность; 

- рациональность; 

- обобщённость; 

- автоматизм;

- прочность. 

О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению.

Формирование всякого вычислительного навыка включает в себя ряд этапов:

I – подготовительный этап;

II – ознакомление с новым вычислительным приемом;

III – усвоение вычислительного приема и формирование вычислительного умения и навыка.

Рассмотрим особенности каждого из этапов.

1. Подготовка к введению нового приема.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается теоретический прием. Центральное же звено при подготовке к введению нового приема – овладение учеником основными операциями, которые войдут в новый прием.

2. Ознакомление с вычислительным приемом.

На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. Степень самостоятельности учащихся должна увеличиваться при переходе от приема к приему другой группы.

3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка.

На данном этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих вычислительный прием, и предельно быстро выполнять эти операции, то есть овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы важно предусмотреть ряд стадий в формировании у учащихся вычислительных навыков.

На первой стадии закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. На второй стадии происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции,  обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, то есть промежуточных вычислений. На третьей стадии происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, то есть здесь происходит свертывание и основных операций. Четвертая стадия характеризуется предельным свертыванием выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане предельно быстро, то есть они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.

Названные стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую.



2.4. Способы активизации познавательной деятельности при изучении вычислительных приёмов в 1 классе



Данная практика обучения арифметике в начальных классах связана с сохранением дошкольного образовательного интереса детей и привлечением их личного опыта для понимания собственных действий. Основанием для осуществления такой практики стал методический опыт Л.Н. Толстого в Яснополянской школе, отображенный в его педагогических статьях и учебнике "Арифметика", а также идеи Л.С. Выгодского о взаимодействии учителя и ученика по поводу учебного материала, как освоение форм культурного поведения.

Первоклассники, которые учатся математике по традиционной методике, затрудняются с пониманием позиционности числа, смысла арифметических операций и состава числа. Например, дети при записи путают числа 41 и 14, а при вычитании и сложении больших чисел с трудом переводят единицы одного разряда в единицы другого. На наш взгляд, это связано с тем, что в традиционной методике преподавания математики не выделяется момент перехода от непосредственной работы с количеством к отвлеченным операциям над знаками. Поэтому мы видим необходимость перехода от натуральной арифметики к культурной.

6 - 7 летний ребенок представляет себе число натурально. Если его спрашивают: "Сколько будет (7+2)? ", он начинает считать на пальцах, рисовать кружки и т.д. Ребенок ищет подкрепление своим представлениям в реальном мире, ему еще трудно абстрагироваться от конкретных предметов. Он жил до школы в мире вещей, действуя ими, объединял в играх в количество, выстраивал отношения между этими конкретными количествами. Поэтому, когда мы в школе говорим: "Пять", то дети это связывают с определенным количеством вещей.

Затруднения в осуществлении арифметических операций возникают, если нет возможности овеществить количество и операции. Здесь становится видной сущность культурного развития, состоящая "... в столкновении развитых культурных форм поведения, с которыми встречается ребенок, с примитивными (натуральными) формами, которые характеризуют его собственное поведение". По мнению Л.С.Выготского "...Момент, когда ребенок от непосредственной реакции на количество переходит к отвлеченным операциям над знаками, является моментом конфликтным". Для ребенка этот переход всегда будет кризисным, т.к. ему приходится психологически настраиваться на другое и еще это "другое" понять.

Задачей 1-го класса будет выстраивание перехода от натуральной арифметики к абстрактной. Причем выстроить этот переход необходимо так, чтобы момент конфликта был представлен ребенку и вместе с ним найдено средство по его преодолению. Чтобы осуществить этот переход, надо пройти цепочку "вещь - количество - значок- знак", где значок станет знаком только тогда, когда наполнится значением.

"Очевидно, ребенок усваивает в первую очередь не внутреннее отношение между знаком и значением, - писал Л.С. Выготский, - а внешнюю связь между словом и предметом". В нашем случае словом становятся значки разных записей чисел, а предметом те количества, которые они обозначают. И когда произошло наполнение каждого значка смыслом, ребенок может начать усваивать внутренние отношения между знаком и значением. На сравнении разных систем записи чисел обостряется противоречие между позиционностью и непозиционностью числа.

Любой культурный навык содержит в себе две стороны: операционно-техническую (умение "означивать" определенное количество) и смысло-содержательную (осмысление навыка - ЧТО стоит за данным значком, КАК произошло свертывание количества в знак). Л. Толстой называл операционно-техническую работу "механической", а смысловую - "понимательной".

В нашей практике методика перехода от натурального к абстрактному в 1 классе предусматривает:

• натуральное сосчитывание;

• римская запись чисел;

• славянская запись чисел;

• счеты;

• арабская запись чисел.

На каждом из этапов смысловая и техническая стороны пересекаются, и объект изучения видится ребенку более объемно и наполняется для него смыслом. Следует особо отметить, что здесь мы имеем дело с личным смыслом. Ребенок видит, что он умеет это делать, понял свои "шаги" к овладению навыком, сам применяет его для решения других задач.

Введя в пространство представлений о математике разные записи чисел, ребенок видит многообразие вариантов означивания количества, в котором каждый элемент имеет свою работу и цель. И ребенок может сам определить границы своего понимания, выбирая то или другое задание, а также познавать "плюсы" и" минусы" каждой записи чисел, применяя их к конкретным задачам. Например, если ребенку трудно решить пример 7+8 в арабской записи, то он переводит в римскую VII+VIII и быстро решает, т.к. римская запись более натурально означивает количество. Или кто-то из учеников начинает записывать 52 как VII в римской, путая закономерности разных записей, тогда остальные ребята начинают объяснять ему, где он сделал ошибку, тем самым делая попытку рассказать о принципах записи в каждой системе.

Только в многообразии знаковой представленности числа ребенок может определить, в какой из записи чисел он может и хочет работать, может вернуться к пройденному, может попробовать новое. Тогда многообразие знаковых представленностей числа становится пространством проб ребенка и пространством видения учителем ритма, темпа, стиля работы и мест непонимания ученика.

Выделение в каждом этапе одной из двух сторон работы, позволяет ребенку органично войти в сложный для него мир - мир математики, самому увидеть место собственного непонимания, попытаться вычленить способы преодоления трудностей. Такой опыт ребенка и есть опыт неотчужденного отношения к предмету изучения.

1 этап «Натуральное сосчитывание, счет группами».

Многие дети, придя в школу, имеют натуральный опыт переливания, пересыпания, конструирования из кубиков, но бывают и такие, которые до школы не проживают этот опыт. Учителю в своей работе нужно учитывать разноподготовленность детей. Поэтому на первом этапе мы актуализируем дошкольный опыт для одних детей и формируем его для других детей. Этот опыт нам важен. Ведь, поняв значимость своего дошкольного опыта в школе и увидев другое - "идеальное математическое", ребенок вместе с учителем начинает выстраивать переход от натуральной арифметики к опосредованной.

Затем начинается работа с множествами:

- множества выделяются по заданному признаку из совокупности разных предметов. Например, "найдите все лапы у разных животных" или "Найдите все круги из разных фигур";

- устанавливаются взаимно-однозначные и бинарные отношения (например: "покажи его сестру", "один больше другого");

- пересчитываются элементы разных множеств, причем дети сами выбирают объекты для пересчитывания (столы, карандаши, пальцы, уши и т.д.);

- сравниваются количества элементов множеств между собой, которые затем объединяются в одно множество и убираются из множества.

Такое искусственное "затягивание" линии натуральной арифметики нам необходимо для обострения конфликта и создания условий для перехода к опосредованному счету. "Мышление ребенка переводится из стадии предметности в стадию действия и затем в стадию качеств и отношений", писал Выготский.

Происходит переход от восприятия количеств к числовому ряду. Дальше переход манипулятивных действий с предметами усложняется:

- мы считаем предметы группами (по 2, 3, 5, 7, 10 и т.д.), выделяя более рациональный способ счета;

- делим количество предметов на части;

- раскладываем предметы по группам, упорядочиваем разные формы. 

По Выготскому, "...Первая стадия развития ребенка - упорядочение формы и восприятие количества". Мы предполагаем, что это поможет перейти от пересчитывания количества элементов к присчитыванию, что позволяет представить ребенку количество - как единое. Например, складывая 6+3, ребенок не пересчитывает элементы первого множества заново, а начинает присчитывать к 6-ти.

Учитывая желание ребенка научиться цифрам (значкам) и оперированию с ними, мы пытаемся записать результаты счета или сам процесс, используя известные значки - цифры и знаки (+-, -, <, >, =). Так, например, раскладывая камни по 10 в мешочек, заняв 3 мешочка и имея остаток 6 камней, мы с учениками записываем "3 меш. и 6 камн.", что соответствует записи числа "36".

2 этап «Работа с римскими числами»

Дальше дети пытаются обозначить свои считаемые количества каким-нибудь значком. Чаще всего дети сами вводят арабские значки - цифры, т.к. они уже им встречались. Но арабская запись числа - наиболее абстрактная из всего представленного нами ряда. Она не только натурально не содержит в себе состав числа, например "8". Каждая цифра имеет отличное обозначение от других. А так же арабская запись - это позиционная система что является высокой абстракцией. Поэтому работы с римскими числами помогают ребенку вступить в мир Числа. Фиксируя определенное количество римской цифрой, ребенок непроизвольно включается в усвоение состава числа, например, семь - II - это V и II (5 и 2), V и I (6 и 1). Записывая по-римски число 23, ребенок может полунатурально "ощутить" десятки и единицы XXIII. Оперируя этими числами, ребенок вынужден объединить определенное количество в особый значок, например, IIIII=V, а также видеть более легкие способы решения, например, (VI+VII) - ребенок сначала складывает V и V, а затем палочки. На этом же примере видно, что ребенку не составляют трудности примеры с переходом через десяток. На римских примерах дети научатся объединять десятки с десятком, сотни с сотнями и т.д., вычислять и объединять до круглого разряда, например, L + L (50+50), V + V (5+5). Дети научаться без прямой подсказки учителя решать примеры более легким способом, например, (5+6+15+4).

Римская запись более натуральна, т.к. количество и запись (значок) почти дублируют друг друга, следовательно это более близко ребенку и будет, вероятно, актуально. А это "почти" позволяет сделать шаг к абстрагированию, в мир математики.

3 этап «Славянская запись числа»

Этот этап является следующим шагом к позиционности счисления, т.к. славянская запись числа более абстрактная, чем римская. На них хорошо понимается сложение единиц разных разрядов, например, К+А+КА (20+1=21), и ход к арабской, т.к. цифры каждого разряда отличны друг от друга, они не содержат в себе натурально, т.е. видимо, предыдущие числа, например, А+Д=Е (1+4=5). В славянской записи чисел начинает закрепляться место разряда (КГ - 23 или АТКА - 1321). Дети, расшифровывая славянские числа, начинают уяснять себе это. А в случае выпадения разрядов заставляют задуматься над позиционностью арабской записи чисел (например, РА=101, РI=110). Поэтому здесь позиционность понимается как место разряда в записи.

4 этап «Счеты»

Косточки счет внешне похожи на предметы-заместители, но еще более абстрактны, т.к. культурное пользование ими построено позиционно. Ребенок, узнав устройство счет, может увидеть, понял ли он позиционное абстрагирование или нет. Если ребенок начинает пересчитывать все косточки и откладывает число, например, 26, как 10 косточек на одной проволоке, 10 на второй и еще 6 на третьей, то это диагностика непрожитости этапа "натурального сосчитывания", значит с этим ребенком лучше вернуться обратно на предыдущие этапы. Если же ребенок отложил на первой проволоке 6 косточек, на второй - 2, значит, он уже понял, как работают счеты, а значит, как записывается число в арабской записи, а если он еще и решает примеры с переходом через десяток, значит, он вплотную подошел к абстрактному уровню понимания. При работе на счетах мы учим записывать арабские числа, помещая рядом со счетами лист бумаги.

5 этап «Арабская запись числа»

Переходя к ней, мы сначала выполняем арифметические действия сложения и вычитания поразрядно, затем до круглого числа и только потом переходы через разряд, которые мы расписываем как, например, 98+56=140+14=154. В итоге дети могут любое число назвать с учетом его разрядов, например, 132 - это 13 десятков и 2; 1 сотня, 3 десятка, 2; 1 сотня, 32.

Так, используя разные системы записи чисел, мы выстраиваем переход от натурального представления о числе к абстрактному (культурному опосредованному).

Любой культурный навык формируется долго, его нельзя торопить, т.к. у каждого ребенка индивидуальный темп усвоения, понимания, обобщения. Пройдя такой длинный путь через записывание количества и сложение-вычитание римскими, славянскими цифрами, имея опыт работы со счетами, дети в арабской записи понимают каждый разряд и значение каждой цифры в записи числа, они "прочувствовали", что за каждой записью стоит они умеют действовать с математическим знаком.






ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Сознательность усвоения предполагает активность учащихся в процессе обучения. Без активной мыслительной деятельности не может быть достигнуто сознательного усвоения знаний. Различают активность в широком и узком смысле. Активность в широком смысле при обучении математике существенно не отличается от активности учащихся в процессе обучения их другим предметам, т. е. она не затрагивает специфику учебного предмета. Активность же в узком смысле можно понимать как проявление специфической мыслительной деятельности, характерной для ученого-математика и называемой потому «математической» деятельностью.

На первый взгляд сама постановка проблемы обучения математической деятельности может показаться неправомерной. Действительно, способен ли ученик младших классов школы к математической деятельности? Очевидно, что к математической деятельности на высоком логическом уровне не способен ни ученик III, ни ученик X класса. Но к какой-то математической деятельности, адекватной уровню мышления, способен и первоклассник. Все зависит от того, что мы понимаем под «математической деятельностью». 

Когда первоклассник (или дошкольник) образует пары элементов из двух множеств и приходит к выводу, что в одном множестве больше предметов, чем в другом, он уже осуществляет некоторую, хотя и весьма примитивную, математическую деятельность. Усваивая понятие арифметической операции, ученик переходит от действий над множествами конкретных предметов к операциям над соответствующими числами (числами элементов этих множеств), отвлекаясь при этом от природы предметов. Это тоже математическая деятельность, но на более высоком уровне. Открывая законы действий над числами, отвлекаясь при этом от конкретных чисел, заменяя их буквами (или пустыми окошками различной формы), он осуществляет математическую деятельность на еще более высоком уровне.

Обучение математике может и должно строиться так, чтобы начиная с первого класса ученик последовательно переходил от одного уровня математической деятельности к другому, более высокому.

Известный математик-педагог Д. Пойа так формулирует принцип активного учения: лучший способ изучить что-нибудь – это открыть самому. Хотя ученик третьего класса «открывает» то, что уже давно открыто, он мыслит при этом как первооткрыватель. Важная задача методики преподавания – стимулировать открытия учащихся.


ЛИТЕРАТУРА



Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Полевщикова А.М. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1984. – 192 с.

Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. – М.: Педагогика, 1968. – 275 с.

Возрастная и педагогическая психология / Под ред. А.В. Петровского. – М.: Педагогика, 1989. – 351 с. 

Выготский Л.С. Собрание сочинений: В 6 т. Т. 3: История развития высших психических функций. – М.: Педагогика, 1983. – 483 с.

Герцен А.И. С того берега // Избранная философская проза. Т. II. – М.: Политиздат, 1985. – С. 120 – 197.

Гиппенрейтер Ю.Б. Деятельность и внимание // А.Н. Леонтьев и современная психология / Под ред. А.В. Запорожца и др. – М.: Психология, 1983. – С. 28 – 39.

Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987. – 160 с.

Данилов М.А. Теоретические основы обучения и проблема воспитания познавательной активности и самостоятельности учащихся // Вопросы воспитания познавательной активности и самостоятельности школьников. – Казань, 1972. – С. 43 – 57.

Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. – М.: Педагогика, 1961. – 175 с.

Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. – М.: Педагогика, 1982. – 160 с.

Изучение трудных тем по математике в I – III классах: Из опыта работы учителей г. Москвы. – М.: Просвещение, 1982. – 160 с.

Костюк Г.С. Развитие и воспитание // Общие основы педагогики / Под ред. Ф.Ф. Королёва и В.Е. Гмурмана. – М.: Высшая школа, 1967. – С. 47 – 59.

Левенберг Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. – М.: Просвещение, 1979. – 126 с.

Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М.: Наука, 1975. – 421 с.

Лернер И.Я. Познавательные задачи в обучении гуманитарным предметам. – М.: Педагогика, 1987. – 85 с.

Лысенкова С.Н. Когда легко учиться. – М.: Педагогика, 1985. – 174 с.

Методика начального обучения математики / Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Мн.: Выш. шк., 1988. – 254 с.

Методика начального обучения математики / Под ред. Л.Н. Скаткина. – М.: Просвещение, 1972. – 320 с.

Милерян Е.А. Психология формирования общетрудовых политехнических умений. – М.: Просвещение, 1973. – 285 с.

Минскин Е.Н. От игры к знаниям. – М.: Просвещение, 1982. – 34 с.

Моро Н.И., Пышкало А.М. Методика обучения математики в I – III классах. – М.: Просвещение, 1978. – 336 с.

Папи Ф., Папи Ж. Дети и графы. – М.: Педагогика, 1974. – 247 с.

Пономарёв Я.А. Психология творчества и педагогика. – М.: Педагогика, 1976. – 275 с.

Практикум по методике начального обучения математики / В.Л. Дрозд, А.Т. Катасонова, Л.В. Савицкая, А.А. Столяр. – Мн.: Выш. шк., 1984 – 100 с.

Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1976. – 429 с.

Семенов Н.А. Стимулирование развития познавательной самостоятельности в процессе обучения // Проблемы стимулирования активности учащихся в процессе нравственного воспитания и обучения. – Йошкар-Ола, 1974. – С. 112 – 123.

Соболевский Р.Ф. Логические и математические игры. – Мн.: Выш. шк., 1977. – 265 с.

Столяр А.А. Педагогика математики. – Мн.: Выш. шк., 1986. – 416 с.

Толстой Л.Н. Яснополянинская школа за ноябрь-декабрь // ПСС: В 90 т. Т. 8. – М.: Худож. лит-ра, 1963. – С. 136 – 155.

Хекхаузен Х. Мотивация и деятельность. – М.: Педагогика, 1982. – 310 с.

Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе: Учеб. пос. – М.: Просвещение, 1979. – 160 с.

Щукина Г.И. Воспитание и развитие // Педагогика: Курс лекций / Под ред. Г.И. Щукиной и др. – М.: Педагогика, 1994. – С. 36 – 45.