Выполнение домашнего задания №2 по курсу теории автоматического управления линейные системы с применением программы

Рубцов В. И.













ВЫПОЛНЕНИЕ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №2 ПО КУРСУ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОГРАММЫ MATLAB




















ВВЕДЕНИЕ



При выполнении сложных расчетных заданий в курсе теории автоматического управления не обойтись без применения специализированных компьютерных программ. Одной из таких программ является Matlab и его приложения Control System Toolbox, Simulink и Symbolic Toolbox. В данном пособии, на примере выполнения типового домашнего задания, приведены основные методы работы с указанными приложениями. Также приведены основные теоретические положения для определения передаточные функций, для расчета переходной, импульсно переходной функций, определения установившееся и начальное значения переходной функции.



СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ



Для системы автоматического управления, структурная схема которой представлена следующее:

1. Найти передаточные функции разомкнутой системы, замкнутой системы и передаточную функцию замкнутой системы по ошибке.

2. Написать дифференциальное уравнение замкнутой системы для переменных x(t) и ε(t).

3. Построить ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Определить запасы устойчивости системы по модулю и по фазе.

а) ассимптотические амплитудные и приближенные фазочастотные характеритики с помощью средств ручного счета.

б) точные характеристики рассчитать с помощью ЭВМ.

4. Определить установившееся значение ошибки при входном воздействии

а) g(t)=g0=const

б) g(t)=g0+g1×t

5. Определить устойчивость замкнутой системы используя критерии Гурвица и Найквиста (в последнем случае по ЛАЧХ и ЛФЧХ).

6. С помощью ЭВМ найти переходную функцию системы. Построить график этой функции

7. С помощью ЭВМ найти импульсную переходную функцию системы. Построить график этой функции.



ПРИМЕНЕНИЯ ПРОГРАММЫ MATLAB ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 



При анализе и проектировании современных систем автоматического управления не обойтись без использования специализированных компьютерных программ. Одной из таких программ является Matlab, содержащей ряд специализированных приложений, облегчающие анализ и синтез систем автоматического регулирования. Control System Toolbox является одним из таких приложений. Это приложение предназначено для описания непрерывных и дискретных систем управления с постоянными параметрами. При реализации этого пакета использованы принципы объектно-ориентированного программирования. Введен новый класс объектов: линейные системы с постоянными параметрами. Этот класс включает линейные непрерывные и и дискретные, одномерные с одним входом и одним выходом и многомерные со многими входами и (или) многими выходами. Дополнительные параметры позволяют указать, является ли данная система непрерывной или дискретной, имеет ли запаздывание на входе системы. В пакете прикладных программ Control System Toolbox введен ряд функций, позволяющих определять динамические параметры системы: нули и полюса, динамические параметры системы, собственные частоты, коэффициенты демпфирования, и.т.д. В пакете введен ряд функций позволяющих осуществлять синтез регулятора на основе задания желаемого расположения полюсов или минимального значения квадратического критерия качества.

Другим, не менее полезным приложением Matlab, является Symbolic Toolbox. Данное приложение позволяет решать обыкновенные и дифференциальные уравнения, системы уравнений. Применять прямое и обратное преобразования Фурье и Лапласа, что позволяет получать переходные и импульсно переходные функции систем автоматического управления.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ



При описании выполнения домашнего задания №2 для вариантов 1-16 и 17-32, будет различаться только выполнение пункта 1. При выполнении пунктов со 2 по 7  мы будем пользоваться полностью идентичными командами. 



ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ: ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 1-16

Пункт 1



Структурная схема изображена на Рис. 1.

Для выполнения первого пункта задания воспользуемся приложением Control System Toolbox. Зададим передаточные функции отдельных звеньев. Для этого воспользуемся командой tf (transfer function)

W1=tf([τ 1],[T 1]);

W2=tf([k1],[T1 1 0]).

W3=tf([k2],[1 0])

Для упрощения схемы воспользуемся правилами структурного преобразования.

Для этого применим правило структурного преобразования для систем с местной обратной связью и команду feedback.

W4=feedback(W2,1).

Полученная упрощенная схема приведена на рис. 2. Далее воспользуемся правилом упрощения для последовательно соединенных звеньев:








W1(S)



W2(S)



W3(S)

g

x

ε                                        







Рис. 1





W1(S)



W4(S)



W3(S)

g

x

ε

          







						Рис. 2





g

ε

x



                                              









Рис. 3









g

x

ε

Рис. 3

 WW=series(W1,W4,W3)

И получим следующую эквивалентную схему, изображенную на рис. 3. Как видно из рис. 3, мы получили передаточную функцию разомкнутой системы. Для вычисления передаточной функции замкнутой системы по управляющему воздействию используем команду feedback.

Fx=feedback(W,1)

Для вычисления передаточной функции замкнутой системы по ошибке воспользуемся соотношением: Fε=1-Fx

Fe=1-Fx.



ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ: ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ 17-32

Пункт 1



Структурная схема изображена на Рис. 4.

Для выполнения первого пункта задания воспользуемся приложением Control System Toolbox. Зададим передаточные функции отдельных звеньев. Для этого воспользуемся командой tf (transfer function)

W1=tf([τ 1],[T 1]);

W2=tf([k1],[T1 1 0]).

W3=tf([k2],[1 0])

W4=tf(1,[1 0])

Для упрощения схемы воспользуемся правилами структурного преобразования.

Для этого применим правило структурного преобразования для систем с местной обратной связью и команду feedback.

W24=feedback(W2,W4).

Полученная упрощенная схема приведена на рис. 5. Далее воспользуемся правилом упрощения для последовательно соединенных звеньев:

W=series(W1,W24,W3)

И получим следующую эквивалентную схему, изображенную на рис. 3. Как видно из рис. 6, мы получили передаточную функцию разомкнутой системы. Для вычисления передаточной функции замкнутой системы по управляющему воздействию используем команду feedback.

Fx=feedback(W,1)

Для вычисления передаточной функции замкнутой системы по ошибке воспользуемся соотношением: Fε=1-Fx

Fe=1-Fx.



Пункт 2

Пункт 2 сложности не представляет и для его выполнения компьютер не требуется



Пункт 3 б)

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с разомкнутой главной обратной связи воспользуемся следующими командами:

bode(W)                – данная команда позволяет построить ЛАЧХ и ЛФЧХ произвольной передаточной функции

margin(W)-            данная команда позволяет построить ЛАЧХ и ЛФЧХ произвольной передаточной функции и оценить запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.



Пункт 4 а)

Для выполнения данного пункта воспользуемся приложением Symbolyc Toolbox.

Сначала определим символьные переменные.

Syms s

Зададим передаточную функцию системы по ошибке в символьном виде:

Fe=(a0*s^4+a1*s^3+a2*s^2+a3*s+a4)/(b0*s^4+b1*s^3+b2*s^2+b3*s+b4)






ε

x

g



W3(S)



W2(S)



W1(S)                                          





W4(S)







Рис. 4







W1(S)



W4(S)



W3(S)

g

x

ε









Рис. 5



g

ε

x









Рис. 6








Где a0,a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3,b4 – соответствующие коэффициенты при степенях числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы по ошибке.

Для определения установившегося значения ошибки системы воспользуемся формулой

εуст=g(t)*C0  - где  - C0 –коэффициент ошибки.

На основе этой формулы получим искомую команду:

C0= limit(fe,s,0)

e0=go*C0

Данная команда вычисляет предел передаточной функции замкнутой системы по ошибке при s=0.



Пункт 4 б)



Для определения установившегося значения ошибки системы воспользуемся формулой

 - где С1 и C0 –коэффициенты ошибки.

Для определения коэффициента С1 необходимо определить производную от передаточной функции от ошибки при s=0:

dfe=diff(fe,s,0)

Теперь можно рассчитать значение ошибки:

e1=g0*C0+dfe*g1



Пункт 5



Для определения устойчивости системы, используя критерий Гурвица необходимо вычислить определители Гурвица. Для составляем матрицы размера 2×2, 3×3 и 4×4.

A2=(a1 a3;a0 a2)

A3=(a1 a3 0; a0 a2 a4; 0 a1 a3)

A4=(a1 a3 0 0; a0 a2 a4 0; 0 a1 a3 0; 0 a0 a2 a4)

Чтобы определить устойчивость системы необходимо вычислить определители полученных матриц. 

D2=det(A2)

D3=det(A3)

D4=det(A4)

При выполнении условия  D2>0, D3>0, D4>0 система будет устойчива.



Пункт 6



Для получения уравнения переходной функции воспользуемся формулой:





Передаточная функция замкнутой системы получена нами в пункте 1, переменную s мы задали как символьную переменную в пункте 4. Запишем передаточную функцию замкнутой системы в формате zpk.

F=zpk(F)

Далее задаем функцию ff=, используя Ф(s) в формате zpk. Затем вычисляем переходную функцию, используя обратное преобразование Лапласа.

H=ilaplase(ff)

Для построения графика переходной функции воспользуемся командой:

Step(F)

Пункт 7



Продиффиренцируем переходную функцию и получим импульсную переходную функцию:

k=diff(h)

Для построения графика импульсной переходной функции воспользуемся командой:

Impulse(F)


ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение

2

Содержание задания

2

Применения программы MATLAB для выполнения домашнего задания

3

Выполнение задания: варианты задания 1-16. Пункт 1

4

Выполнение задания: варианты задания 17-32. Пункт 1

6

Выполнение задания: варианты задания. Пункт 2

7

Выполнение задания: варианты задания. Пункт 3

7

Выполнение задания: варианты задания. Пункт 4

7

Выполнение задания: варианты задания. Пункт 5

8

Выполнение задания: варианты задания. Пункт 6

10

Выполнение задания: варианты задания. Пункт 7

10









1