Пропускная способность канала

2



	Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева

	Кафедра Радиоуправления

	

	

	

	

	

	Пояснительная записка к курсовой 

	работе по курсу 

	

	ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

	на тему 

	                                         

	Пропускная способность канала.

	

	

	

	

	

	

	

	

	Выполнил студент гр.5313

	Алмазов А.И.

	Руководитель: _____________

	Оценка _____________

	Комиссия 	________ ( _______ )

			________ ( _________ )

			________ ( _________ )

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	




Казань 2002


Оглавление.

Задание…………………………………………………………………..3стр.

Введение…………………………………………...……………………4стр.

Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.

Практическая часть………………………………..…………………..11стр.

Заключение………………………………………………..…………...14стр.

Литература…………………………………………….……………… 15стр.

	
                                                  Задание.
       В канале  действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк=8*103 сим/с.

	

	Рассчитать:

	Изменение пропускной способности канала.

	Изменение избыточности κ двоичного кода, необходимой для сведения ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.

	Построить графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и κ= f(Pc/Pш).

	
Введение.

	

Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно определить пропускную способность  С канала в расчете на один символ 

Ссимвол=maxI(A,B),бит/символ
или в расчете на единицу времени (например, на секунду):

С=maxI’(A,B)= Ссимвол , биит/с.

	В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицу времени.

	С=Fklog2(1+Pc/Pш),

	А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации воспользуемся  теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет выполняться, то  избыточность κ будет равняться 0, значит информация передаётся без потерь. Если нет, то κ будет больше нуля (κ>0). Т.е. чем меньше величина κ, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.

	
Теоретическая часть.

	Пропускная способность канала связи.

	В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:

	I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А).                                                       (1)

Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.





Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами



Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.

Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации. 

Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени  символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации



I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A),                                                                 (2)



где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала  и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.

 Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:

бит/символ,

где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).

Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:

	бит/с,	(3)

где v - количество символов, переданное в секунду.

В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода - p.



Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти



Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов - m*(m-1). Отсюда следует, что:

.

Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения  вероятности в ансамбле А,  а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.

Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:

	.	(4)

Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:

.	                                                  (5)

	Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени 

	С=[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)]                                                                       (6)

	Зависимость  С/ от р согласно (6) показана на рис.3

	

	рис.3 Зависимость  пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

	

	При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала. 

	

Пропускная способность непрерывного канала связи.



Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала. Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:

	,	(7)

где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на него шумами; N - шум; Z=U+N. 

Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]: 

.

Отсюда следует:

.

ПС в расчете на секунду будет равна:

	,	(8)

поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.

Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному закону.

Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и отношения мощности сигнала к мощности шума.

Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральную мощность N0. Имеем Рш=N0F; поэтому 



С=F*log(1+ Pc/N0*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F)                                                 (9)



При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:



C∞=Lim(Pc/N0)*loge                                                                                        (10)



 Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при ||<<1 ln(1+). Зависимость С и F показана на рис.4. 

F N0/Pc

рис.4 Зависимость нормированной пропускной способности                  гауссовского канала от его полосы пропускания.  



Теорема кодирования для канала с помехами.  



 Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируется так:

Теорема. Если производительность источника сообщений H’(A) меньше пропускной способности канала С: H’(A)<С, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H(A|A*) могут быть сколь угодно малы. Если же H’(A)>С, то таких способов кодирования и декодирования не существует.

Модель:



КАНАЛ

КОДЕР

ИС Н(А)                        Н’(В)







Н’(А)<с



Если же Н’(А)>с, то такого кода не существует.

Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.

Н’(А)< Н’(В)

Н’(В)=VkH

Декодер выдаёт на код каналов Vk  символов в секунду. Если в канале потерь нет, то Vk=с.

При Н<1 будет тратится больше одного бита на символ, значит появляется избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.

Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при H’(A)>С невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине. Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной передачи информации по каналу



Практическая часть.



	Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр.118]:

	.

	Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1 дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в формуле отношение С/Ш - Pc/Pш - дано в разах, поэтому данные в дБ необходимо пересчитать в разы: ; отсюда .

	С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:

	С1=1,246*104  бит/с

	С2=1,197*104 бит/с

	С3=1,147*104 бит/с

	С4=1,098*104 бит/с

	С5=1,048*104 бит/с

	С6=9,987*103 бит/с

	С7=9,495*103 бит/с

	С8=9,003*103 бит/с

	С9=8,514*103 бит/с

	С10=8,026*103 бит/с

	С11=7,542*103 бит/с

	

	Производительность кодера H’(B)=vк*H(B) должна быть меньше пропускной способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале. Максимальное значение энтропии двоичного кодера Hmax=H(B)=log2=1 бит. Если С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H(B) так, чтобы H’(B) оставалась все время меньше С. Если же H(B)<1, это означает, что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е. используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода вычисляется по формуле:

	                .                                                               (11)

	Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение производительности кодера H’(B): H’(B)<C. Отсюда находим предельное значение энтропии кодера:



По условию Vk=8*103 сим/с

В численном виде это выглядит так:

         С/Vk1=1,558 бит/сим

С/Vk 2=1,496 бит/сим

С/Vk 3=1,434 бит/сим

С/Vk 4=1,372 бит/сим

С/Vk 5=1,31 бит/сим

С/Vk 6=1,248 бит/сим

С/Vk 7=1,187 бит/сим

С/Vk 8=1,125 бит/сим

С/Vk 9=1,064 бит/сим

С/Vk 10=1,003 бит/сим

В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной (Hmax=1 бит/сим).

С/Vk 11=0,943 бит/сим



Т.к. в 11-ом случае условие H’(B)<C не выполняется, то теорема Шеннона так же не выполняется. Для того чтобы избежать потерь информации, вводим избыточные символы. 

Следующим шагом будет вычисление избыточности κ кода, по формуле (11):

 κ=0,057



Чтобы было более наглядно, построим графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и κ= f(Pc/Pш). 



График зависимости с=f(Pc/Pш) :

 

График зависимости κ= f(Pc/Pш). 




Заключение.

	В результате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с уменьшением отношения сигнал/шум пропускная способность канала также уменьшается, что приводит к потери информации. Для того чтобы избежать возникновение ошибок, мы вводили избыточные символы. Избыточность этого кода κ=0,057.

	Сделаем вывод, что в результате проведенного расчета поставленная задача была полностью решена.

	

	

	
Литература.

	Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и Связь, 1986.

Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.

	Методическое пособие по курсовой работе ТЭС.