Знаходження похідної функції

ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій

МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.



І Перевірка домашнього завдання



1. Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2.



1) ==

2) 





Рівняння шуканої дотичної у – у0 =. Оскільки х0 = 1, у = х2, то  і 

Отже, у – 1 = 2 (х -1) або у = 2х – 1.

2.	Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 – 17 із Запитання і завдання до розділу VII.



II. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником



На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у =  дорівнює , тобто . 



																				Якщо покласти , де С – довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.

																				Якщо у формулі  покласти, то одержимо 



	Нам уже відомо, що 

. А як знайти похідну функції у = х5, у = х20 тощо? Розглянемо функцію у= хn, де n – .

	Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді:

	

1)	

2)	

(Скориставшись формулою 

3) 

Звідси 

 де n

		

Розглянемо функцію у = хn-1, де .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді



1)	

2)	





3)	=





Отже, , де .

Таким чином виконується рівність: .

Виконання вправ

1.	Знайдіть похідну функції:

а) у = х6;			б) у = х8;		в) у = х2;		г) .

Відповідь:	а) 6х5;		б) 8х7;			в) 7х6;			г) 6х5.

2.	Знайдіть похідні функцій:

а) у = х-10;			б) у = х2;			в) ;			г).

Відповідь:	а) -10х-11;			б) -3х-4;			в) -6х-7;			г) -6х-7.



ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій



Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді:



1)	

2) 

3)	

.

	

	Отже 



Аналогічно можна довести, що 



Знайдемо похідну функції .

Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді:





.



.



Отже, 



Аналогічно можна довести, що 



Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.



VI. Підведення підсумків уроку



Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.



Таблиця

Таблиця похідних



(С) = 0;						;

(хn)=n;				;



(			;



;			.


V. Домашнє завдання



Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 – 22. вправа №4 (2, 4).


ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.



І. Перевірка домашнього завдання



1. Усне розв’язування вправ.

1) Знайдіть похідні функцій

а) у – х10;			б) ;			в) ;			г) .

Відповідь: а) 10х9;			б) -9х-10;		в) -4х-5;ё		г) 3х2.

2) Знайдіть похідні функцій:

а)  в точці ;	б)  в точці ;

в)  в точці ;	г)  в точці .

Відповідь: а) 0;	б) ;	в) 4;	г) -1.

2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.



ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції



Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і



	

	

	або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

	Доведення

Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).

Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту . Тоді





	,

.

Отже, .



Наслідки

а) 	Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси.

б)	Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто



.



Приклад. Знайдіть похідну функцій



а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання а) ;

б) .

в).



Відповідь: а) ;	б) 	в) =.

Виконання вправ

1.	Знайдіть похідні функцій:

а) у = х3 + х – х4;						б) ;

в) ;						г) .

Відповідь: а);	б);	в) ;

г) .

2.	Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь: а) 1;	б) ;	в)-1.

3.	При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:

а);	б) ;	в) .

Відповідь: а) ;	б) ;		в) .



ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку



Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції

Доведення. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді



1)	

Оскільки , , то



.

2) 



.

Отже, .



Наслідки

а)	Постійний множник можна винести за знак похідної: .

Дійсно,.

б)	Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад: 



.



Приклад.	Знайдіть похідні функцій:



а)	;

б)	;

в)	.

Розв’язування

а)	;

б) 

;

в) 



.



Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а)	;		б)	;

в)	;	г)	.

Відповідь:	а)	6х-5;		б)	;

в)	;			г)	.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)	;			б)	;

в)	;				г)	.

Відповідь:	а)	;		б)	;

в)	;	г)	.

3. Знайдіть похідні функцій:

а)	;	б)	.

Відповідь:	а)	; б)	.



IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій



Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція  диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули 







і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:



.

Отже, .



Приклад: Знайдіть похідні функцій

а)	;							б)	.

Розв’язання



а)	.

б)	.



Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а)	;		б)	;		в)	;			г)	.

Відповідь:	а)	;					б)	;

в)	;					г)	.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)	;			б)	;			в)	;			г)	

Відповідь:	а)	;				б)	;

в)	;			г)	.



V. Домашнє завдання



Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).




ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції

Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.



І. Перевірка домашнього завдання



1)	;

2) 

;

3)	;

4)	;

5)	;

6)	.



2. Самостійна робота.

Варіант 1.

1.	Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0:

а)	, х0=-1.					(2 бали)

б)	 .				(2 бали)

2.	Знайдіть похідну функцій:

а)	.				(2 бали)

б)	.						(2 бали)

в)	.					42 бали)

Варіант 2.

1.	Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0:

а)	, х0=-1.					(2 бали)

б)	 .				(2 бали)

2.	Знайдіть похідну функцій:

а)	.				(2 бали)

б)	.						(2 бали)

в)	.					42 бали)

Відповідь: В-1. 1. а) ;						б) -1

2. а) ;				б) ;				в) 

В-2. 1.	а) ;						б) 1

2. а) ;		б) ;			в) .



ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної



Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .

Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.

Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .

Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції  в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій  , де  - внутрішня функція,  - зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складні функції  і , якщо  

Розв’язання









Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а)			б) 

в)				г) 

Відповіді:	а)  	

б) 	;

в) 	

г) 		.

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ;			в) ;			в) ;

г) ;			в) ;			є) .

Відповідь: 	а) ;			б) ;

в) ;				г) ;

д) 		є) 

У складній функції  присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

 – похідна функції у по аргументі х;

 – похідна функції у по аргументі u;

 – похідна функції u по аргументі х;

Теорема.	Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція  має похідну в точці х0, а функція  має похідну в точці u0=, тобто існують границі ,  і .

Нехай, аргументу х0 надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки  одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту  і .

Подамо . Перейдемо до границі при  (при цьому ).



 або .



Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3-1)5.

Розв’язання

у = (3х3-1)5 – складена функція , де u =3х3-1, тоді , .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3-1:



.



Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:

а)	;								б)	;

в)	;									г)	.

Розв’язання



а)	;

б)	;

в)	;

г)	.

	

	Виконання вправ.

1. знайдіть похідні функцій:

а)	у = (3х+2)50;							б)	(6-7х)10;

в)	;							г)	.

Відповідь:	а)	;				б)	;

в)	;						г)	.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)	;								б)	;

в)	;								г)	.

Відповідь:	а)	;					б)	;

в)	;				г)	.



ІІІ. Підведення підсумків уроку



При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.



Таблиця диференціювання













,де 



IV. Домашнє завдання



Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).




ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій

Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.



І. Перевірка домашнього завдання



1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.



6)	;

10)	;

11)	;

22)	.



2.	Виконання усних вправ.

Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.



Таблиця



1

2

3

4

1









2









3



=





4










ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції



Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай  – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 340(рис.29), а при а = 2, =470.

		у	у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута  зростає і приймає значення від 340 до 470. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення  прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459...  0

		Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450.

		У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції  в точці х0 дорівнює =1. Отже, .

		Знайдемо тепер формулу похідної функції .

		Нехай аргумент х0 одержав приріст , тоді:

		

		1)	

		2)	

		3)	.

		

		Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції: 

		Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

		

		.

		

		Отже, 

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а)	у = 5х;			б)	у = е3-2х;			в)	;			г)	.

Розв’язання



а)	;

б)	;

в)	;

г) .

	

	Виконання вправ.

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).



ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції



Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю:  для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .

Звідси .

Отже, 



Знайдемо похідну функції . Так як , то 







.



Отже, 



	Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а)	;			б)	;

в)	;			г)	.

а)	;

б)	;

в)	;

г) 

=.

	Виконання вправ.

№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).


IV.	Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де 



Ми довели, що  для .

Розглянемо функцію , де .

Знайдемо похідну цієї функції:





.



Отже,  для всіх .




ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ

Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.



І. Перевірка домашнього завдання



1	перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.



№ 2.	3)	-е-х;	5)	;	7)	;	9)	;	11)	

13)	;		15)	;		17)	.

№ 8.	1)	100х99;		3)	;		5)	;	7)	-20х19;	9)	;

11)	.



2.	Усне розв’язування вправ.

Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.





1

2

3

4

5

1











2











3











4











5













ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій



Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.

Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.

Знайдіть похідну функції  та обчисліть її значення, якщо .



.

.



Відповідь: 4.

4)	Тіло рухається за законом .

Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).

Розв’язання



;

.



Відповідь:	.



ІІІ. Домашнє завдання



Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.

	
ТЕМА УРОКУ: Тематична контрольна робота № 1

	Мета уроку:	Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.

	

	Варіант 1

1.	Знайдіть похідну функції:

а)	.	 (2 бали)

б)	.				 (2 бали)

в)	.		 (2 бали)

г)	.				 (2 бали)

2.	Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3.	Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах).	(2бали)

Варіант 2

1.	Знайдіть похідну функції:

а)	.		 (2 бали)

б)	.						 (2 бали)

в)	.						 (2 бали)

г)	.							 (2 бали)

2.	Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3.	Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах).	(2бали)

Варіант 3

1.	Знайдіть похідну функції:

а)	.		 (2 бали)

б)	.						 (2 бали)

в)	.					 (2 бали)

г)	.						 (2 бали)

2.	Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3.	Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах).	(2бали)

Варіант 4

1.	Знайдіть похідну функції:

а)	.	 (2 бали)

б)	.			 (2 бали)

в)	.				 (2 бали)

г)	.			 (2 бали)

2.	Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо . (2 бали)

3.	обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах).	(2бали)

Відповідь: В-1. 1.	а) ;	б) ;

в) ,;		г) .

2.	, .

3.	10 

В-2 1. а) ;		б) ;

в) ,;		г) .

2.	, .

3.	9 

В-3. 1.	а) ;		б) ;

в) ,;		г) .

2.	, .

3.	35 

В-4. 1.	а) ;		б) ;

в) ,;		г) .

2.	, .

3.	20