Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования ( 9 классов )

КГБОУ СПО

 «Сосновоборский автомеханический техникум»

























МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ



и контрольные задания для студентов заочной формы обучения

на базе основного общего образования ( 9 классов )





















































2008



СОГЛАСОВАНО                                                                  УТВЕРЖДАЮ

                                                                                                 ЗАМ.директора по УМР

Протокол №____от                                                                ____________ Л.С.Корсакова

     «___»________2008                                                               «___»____________2008













Методические указания составлены

в соответствии с примерной  программой по математике,                                       

Государственными требованиями к минимуму 

содержания и уровню подготовки выпускников

на базе среднего (полного) общего

образования.























Составитель : Петрова Н.Г.



































СОДЕРЖАНИЕ :











1. Пояснительная записка.

2. Программа.

3. Методические указания .

4. Контрольные задания.

5. Литература

6. Экзаменационный материал ( тесты ).





































































ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Настоящее методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования (9 классов ) по дисциплине математика .

Данное методическое пособие ставит своей целью оказание  помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей программы по математики на базе среднего (полного) общего образования. Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной , формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин. 

В результате изучения дисциплины студент должен :

иметь представления :

- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений ;

знать и уметь:

-использовать математические методы при решении прикладных задач.

Рабочая программа по математике рассчитана на 312 часов из них 93,6 час. на теоретические занятия и 218,4 час. на самостоятельную учебную нагрузку студенту. Программа по математике состоит из 14 разделов.



Раздел 1  «Действительные числа»

 Раздел 2  «Тригонометрические выражения»

         Раздел 3  «Тригонометрические функции»

         Раздел 4  «Тригонометрические уравнения»

         Раздел 5  «Производная»

         Раздел 6 «Применение производной»

         Раздел 7 «Показательная и логарифмическая функции»

         Раздел 8 «Интеграл»

         Раздел 9 «Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства»

         Раздел 10 «Параллельность прямых и плоскостей»

         Раздел 11 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

         Раздел 12 «Декартовы координаты»

         Раздел 13 «Многогранники, объем многогранников»

         Раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения, площади поверхности тел вращения»

Основной формой учебного процесса является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературой

Изучать дисциплину математика необходимо в логической последовательности:

1. Усвоить учебные материалы , согласно программы.

2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.

3. Выполнить контрольную работу.

4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена.

Все непонятные вопросы студент может выяснить в индивидуальной консультации у преподавателя.

В соответствии с учебным планом студент должен в семестре выполнить одну контрольную работу , которая охватывает все разделы семестра , промежуточная аттестация в виде экзамена. Для проведения промежуточной аттестации по дисциплине математика составлены экзаменационные тесты , которые охватывают раздел материала за 1 семестр обучения. Экзамен по математике проводится на ПВЭМ.             Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Содержание каждого вопроса и условие задачи необходимо переписывать полностью, из задания непосредственно перед ответом. Ответы должны быть полными , конкретными, по существу заданного вопроса. Решение задач должны быть подробно расписаны с пояснением . ответами и выводами. Доказательство теорем должно быть оформлено подробно , выделены разделы : что дано, что доказать , чертеж к теореме и доказательство самой теоремы с пояснением ( т.е. объяснение всех пунктов доказательства ).





































































РАЗДЕЛ 1   ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА



Студент должен :

Знать:

Определение действительного числа

Способы решений линейных уравнений и неравенств

Способы решений квадратных уравнений и неравенств

Уметь: 

Выполнять арифметические действия на множестве действительных чисел

Решать линейные и квадратные уравнения

Решать линейные и квадратные неравенства

Решать системы линейных уравнений и неравенств

Решать простейшие иррациональные уравнения



РАЗДЕЛ 2   ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ



Студент должен :

Знать:

определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь :

вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;

применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.



РАЗДЕЛ  3  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ



Студент должен :



Знать:

определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь :



вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;

применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.



РАЗДЕЛ  4  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ



Студент должен :



Знать:

понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств

Уметь :

решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.





РАЗДЕЛ  5  ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ



Студент должен :



Знать:

понятие степени с действительным показателем и ее свойства; определение логарифма числа, свойства логарифмов; свойства и графики показательной, логарифмической и степенной функции; способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств; 



Уметь :

строить графики показательных,  логарифмических функций при различных основаниях и на них иллюстрировать свойства функций; преобразовывать эти графики путем сдвига и деформации; вычислять значения показательных и логарифмических выражений с помощью основных тождеств









РАЗДЕЛ 6 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА



Студент должен :



Знать :

основные понятия стереометрии; аксиомы стереометрии и следствия из них

Уметь :

в ходе решения задач проводить доказательные рассуждения , ссылаясь на аксиомы





РАЗДЕЛ 7 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ



Студент должен :

Знать :

взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве; основные теоремы о параллельности прямой к плоскости, параллельности двух плоскостей; свойства параллельного проектирования и их применение для изображения фигур в стереометрии;

Уметь :

устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы о параллельности;





РАЗДЕЛ 8 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ



Студент должен :



Знать :

понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями; основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей; 

Уметь :

применять признак перпендикулярности прямой и плоскости,

теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве.



РАЗДЕЛ 9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ В ТОЧКЕ



Студент должен :



Знать :

определение производной, ее геометрический и механический смысл; правила и формулы дифференцирования функции; определение дифференциала функции; определение второй производной, ее физический смысл;

Уметь :

дифференцировать функции, использую таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций вида f (ax + b); вычислять значения производной функции в указанной точке



РАЗДЕЛ 10 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 

Студент должен :

Знать:

определение второй производной, ее физический смысл; достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремума; общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

Уметь:

находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке; применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождение скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.); находить производные второго порядка, 



РАЗДЕЛ 11 ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ



Студент должен :



Знать:

определение первообразной; определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования; способы вычисления неопределенного интеграла; определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства; способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;

Уметь:

находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований; выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям; восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.; 





РАЗДЕЛ 12 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Студент должен :

Знать :

понятие декартовых координат в пространстве, понятие вектора , действие над векторами;

Уметь :

выполнять действия над векторами



РАЗДЕЛ 13 МНОГОГРАННИКИ, ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ



Студент должен 

Знать :

понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника; определения призмы, параллелепипеда; виды призм; определения пирамиды, правильной пирамиды; понятие тела вращения и поверхности вращения; определения цилиндра, конуса, шара, сферы; свойства геометрических тел;

Уметь :

вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид, прямых круговых цилиндра и конуса, шара; строить простейшие сечения многогранников и круглых тел; вычислять площади этих сечений.





РАЗДЕЛ 14 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ , ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 



Студент должен :

Знать :

понятие тел вращения и поверхности вращения; определения цилиндра , конуса , шара , сферы; свойства геометрических тел ;понятие объема и площади поверхности геометрического тела ; формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей геометрических тел ;

Уметь :

вычислять и изображать основные элементы прямых круговых цилиндров и конусов , шара ; строить простейшие сечения круглых тел; вычислять площади; находить объем прямого кругового цилиндра и конуса , шара





































Контрольные задания



Домашней контрольной работы

(для первой экзаменационной сессии)



















































ВАРИАНТ 1



1.Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.



2.Докажите , что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и притом только одну.



3.Какие прямые в пространстве называются параллельными?



4.Какие прямые называются скрещивающимися ?



5.Докажите признак параллельности прямых.



6.Свойства и графики тригонометрических функций.



7.Корень п-ой степени , его свойства.



8.Решите уравнения :



2sin x +  = 0

sin 2x =

3х – 3х+3 = - 78

5х * 2х = 0,1-3

0,3х * 3х = 

log x  = - 3

log 0.1 ( x2 +4x -20 ) = 0



9. Решите неравенство :



log 0.6 ( 6x – x2 )  log 0.6 ( -8 –x )

log 2.5 ( 6 – x )  log 2.5 ( 4- 3x )

 





















ВАРИАНТ  2



1.Докажите , что через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом только одну.



2. .Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.



3.Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну.



4.Что значит : прямая и плоскость параллельны ?



5.Докажите признак параллельности прямых.



6.Степень с рациональным и действительным показателем.



7.Понятие синуса, косинуса , тангенса произвольного угла.



8. Решите уравнения :



2 cos x -1 = 0

cos  = - 

0,1х-0,5 *  = 0,001

52х-1 -52х-3 = 4,8

log4 5x = log4 35 - log4 7



log 7 ( x2 -12x +36 ) = 0



log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )



9. Решите неравенство :



log 2 ( 5x – 9 )  log 2 ( 3x + 1 )

log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x



















ВАРИАНТ  3



1.Докажите признак параллельности прямой и плоскости.



2.Какие плоскости называются параллельными ?



3.Докажите признак параллельности плоскостей.



4. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.



5.Перечислите свойства параллельного проектирования.



6.Понятие логарифмической функции, свойства , графики.



7.Действительные числа, действия над множеством действительных чисел.



8. Решите уравнения :



2 sin x +  = 0

sin  = 

0,3х * 3х = 

2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49

log4 5x = log4 35 - log4 7

log 2 ( x2 +7x -5 ) = log 2 ( 4x -1 )



9. Решите неравенство :



log 0.6 ( 6x – x2 )  log 0.6 ( -8 –x )

log 2.5 ( 6 – x )  log 2.5 ( 4- 3x )









 

















ВАРИАНТ  4



1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?



2. .Какие прямые называются скрещивающимися ?



3.Докажите признак параллельности прямых.



4.Докажите , что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.



5.Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.



6.Понятие показательной функции, свойства , график.



7.Целые и рациональные числа.



8. Решите уравнения :



sin (-2x ) = 

3sin2 x – 5sin x-2 =0

3х – 3х+3 = - 78

5х * 2х = 0,1-3

log2 3x = log24 +log26

log 12 ( x2 -8x + 16 ) = 0

log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )



9. Решите неравенство :



log 2 ( 5x – 9 )  log 2 ( 3x + 1 )

log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x























ВАРИАНТ  5



1.Докажите , что если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.



2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?



3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?



4. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.



5.Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости.



6.Основные формулы тригонометрии. Формулы двойного аргумента.



7.Свойства и графики тригонометрических функций.



8. Решите уравнения :



tg ( -4x )  = 

3 sin 22x +10 sin 2x+3 =0

0,1х-0,5 *  = 0,001

52х-1 -52х-3 = 4,8

0,3х * 3х = 

log x  = - 3

log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )



9. Решите неравенство :



log 0.6 ( 6x – x2 )  log 0.6 ( -8 –x )

log 2.5 ( 6 – x )  log 2.5 ( 4- 3x )























ВАРИАНТ  6





1. Какие прямые называются скрещивающимися ?



2. Докажите признак параллельности плоскостей.



3. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.



4. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.



5. Перечислите свойства параллельного проектирования.



6.Определения обратных тригонометрических функций.



7.Формулы сложения и следствия из них.



8. Решите уравнения :



cos ( -2x) = 

4 sin 2x +11sin x -3 = 0

0,3х * 3х = 

2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49

log2 3x = log24 +log26

log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :



log 2 ( 5x – 9 )  log 2 ( 3x + 1 )

log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x



























ВАРИАНТ  7



1.Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.



2.Точки А. В. С лежат в каждой из  двух различных плоскостей . Докажите , что точки лежат на одной прямой.



3. Какие прямые называются скрещивающимися ?



4. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?



5. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.



6.Тригонометрические функции числового аргумента.



7.Свойства тригонометрических функций числового аргумента и их графики.



8. Решите уравнения :



6cos 2 x + cos x -1 =0

ctg ( -  ) = 1

32х -6 * 3х – 27 = 0

0,44-5х = 0,16 * 

log4 5x = log4 35 - log4 7



log 12 ( x2 -8x + 16 ) = 0

log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )



9. Решите неравенство :



log 0.6 ( 6x – x2 )  log 0.6 ( -8 –x )

log 2.5 ( 6 – x )  log 2.5 ( 4- 3x )























ВАРИАНТ  8



1. Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости.



2. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.



3. Перечислите свойства параллельного проектирования.



4. Какие прямые называются скрещивающимися ?



5. Докажите признак параллельности плоскостей.



6.Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.



7.Формулы приведения.



8. Решите уравнения :



2 cos 2 x – cos x -3 =0

2 sin x – 1 =0



2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49

log4 5x = log4 35 - log4 7



log 7 ( x2 -12x +36 ) = 0

log 2 ( x2 +7x -5 ) = log 2 ( 4x -1 )

9. Решите неравенство :



log 2 ( 5x – 9 )  log 2 ( 3x + 1 )

log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x























ВАРИАНТ  9



1. Докажите признак параллельности плоскостей.



2. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.



3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?



4. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.



5.Докажите признак параллельности прямых.



6.Формулы сложения и следствия из них ( докажите одну из них ).



7.Понятие обратных тригонометрических функций.



8. Решите уравнения :



2cos 2 3x -5 cos 3x – 3 =0

ctg ( -  ) = 1



2 *( 3х+7 – 7* ( 3х+8 = 49

0,3х * 3х = 

log4 5x = log4 35 - log4 7



log 7 ( x2 -12x +36 ) = 0

log 0.3 ( -x2 + 5x +7 ) = log 0.3 ( 10x -7 )



9. Решите неравенство :



log 0.6 ( 6x – x2 )  log 0.6 ( -8 –x )

log 2.5 ( 6 – x )  log 2.5 ( 4- 3x )



















ВАРИАНТ  10





1. Докажите признак параллельности прямых.



2.  Докажите признак параллельности плоскостей.



3. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.



4. Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну.



5. Какие прямые называются скрещивающимися ?



6.Радианное измерение углов



7.Понятие синуса ,косинуса ,тангенса произвольного  угла.



8. Решите уравнения :



2 sin 2 x + 3 cos x = 0

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 =0



32х -6 * 3х – 27 = 0

0,44-5х = 0,16 * 

log4 5x = log4 35 - log4 7



log 0.1 ( x2 +4x -20 ) = 0



9. Решите неравенство :



log 2 ( 5x – 9 )  log 2 ( 3x + 1 )

log 3 ( x2 +6 ) log 3 5x





































МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ



















































Раздел 1 Действительные числа.



Первые представления  о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей , животных , плодов ,различных изделий человека и других предметов. Эти числа называются теперь натуральными , а в арифметике их называют целыми числами.

В результате выполнения арифметических действий появились дробные числа , затем иррациональные числа , отрицательные числа и комплексные числа , позднее к ним присоединился нуль. Все эти числа вместе образуют множество действительных чисел.

Над множеством действительных чисел производятся следующие операции (действия ): сложение , вычитание ,умножение , деление , возведение в степень ,вычисление значений корня. Выполняя действия мы не забываем , что действия первой ступени ( деление ,умножение, возведение в степень, вычисление корня ) выполняются первыми , а затем действия второй ступени ( сложение и вычитание ).

Обыкновенной дробью называется часть единицы или несколько равных частей единицы. Число , показывающее ,  на сколько долей разделена единица , называется знаменателем дроби ; число, показывающее количество взятых долей ,- числитель дроби. Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной :  - правильная дробь. Если числитель больше знаменателя , то дробь называется неправильной :  - неправильная дробь. Число , содержащее целую и дробную часть ( например 9 , называется смешанным.

Вычисления с обыкновенными дробями иногда становятся громоздкими, если их знаменатели достаточно велики. Поэтому в древности пришли к мысли выбирать не произвольно , а систематически доли единицы. Так пришли к понятию десятичной дроби, над множеством которой производятся все основные операции.



Раздел 2 Тригонометрические выражения.



Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180 0 =  радиан ; угол в п0 равен  радиан.

Если в прямоугольном треугольнике , один из острых углов обозначить через  ,катеты соответственно а и в , гипотенузу через с , то отношение а : с есть синус острого угла (отношение противолежащего угла катета к гипотенузе) ; отношение в : с есть косинус острого угла  ( отношение прилежащего катета угла к гипотенузе ) ; отношение а : в есть тангенс острого угла ( отношение противолежащего катета угла к прилежащему катету ).



Из определений синуса ,косинуса, тангенса, котангенса следуют основные формулы тригонометрии :

Sin 2x  + Cos2 x = 1                                                        tg x * ctg x =1

tg 2 x +1 =                                                             ctg2 x + 1 = 

	

tg x =                                                                     ctg x = 

	

Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения :



Cos (a –b) =cos a*cos b + sin a *sin b

Cos (a+ b) =cos a * cos b – sin a * sin b

Sin ( a+ b ) = sin a * cos b +cos a * sin b

Sin ( a –b ) = sin a * cos b – cos a * sin b

tg ( a + b ) =

tg ( a – b) =

Из формул сложения путем вывода получаем формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.

Для запоминания формул приведения удобно пользоваться мнемоническим правилом :

перед приведенной функцией ставится тот знак , который имеет исходная функция, если 0а;

если функция меняется на «кофункцию» ,если п нечетно ; функция не меняется, если п четно.( Кофункциями синуса, косинуса, тангенса, котангенса называются соответственно косинус , синус, котангенс , тангенс.)

Ответьте на контрольные вопросы:



1.Запишите формулы приведения , формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.

2.Запишите знаки тригонометрических функций по четвертям.

3.Выразите  в радианную меру величины углов :

450 ; 36 0; 1800 ; 1500 ; 3100 ; 360 0; 720 ; 270 0



РАЗДЕЛ 3 .ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ



Мы считаем , что все углы измерены  в радианной мере , и поэтому обозначение рад., как правило , опускается. Договорившись считать единицу измерения углов ( 1 радиан ) фиксированной , определяем , тригонометрические функции тригонометрического аргумента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :  Числовые функции , заданные формулами у = sin x  и  у = cos x называются  соответственно синусом и косинусом ( и обозначаются sin . cos )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :  Числовые функции, заданные формулами  у = tg  x и у = ctg x , называются соответственно тангенсом и котангенсом ( и обозначаются  tg x и ctg x)

На основании теоремы (о корне) и свойств монотонности тригонометрических функций определены понятия обратных тригонометрических функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка  , косинус которого равен числу а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка тангенс которого равен числу а.

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ  :Арккотангенсом числа а называется такое число их отрезка  котангенс которого равен числу а.

	ПРИМЕР : вычислите значения обратных тригонометрических функций 

	

	arcsin 1 = , так как sin =1

	arcos  , так как cos =

	arcos(-0.5)+arcsin ( -0.5) = - ==

	2arcsin( - = 2(- 

	arcsin(-1)-+3arccos(-





Выполните упражнение самостоятельно :

1.Вычислите :

arctg(-

3arcsin

arctg(-

arccos







РАЗДЕЛ  4  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ



	Решение простейших тригонометрических уравнений.

	

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Уравнения вида cos x =a sin x =a tg x = a ctg x = a называются простейшими тригонометрическими , при условии а уравнения sin x = a . cos x = a имеют корень, два других уравнения имеют корень при любом а.

	Для решения тригонометрических уравнений существуют формулы корней.

	

	№

	Вид уравнения

	Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

	1

	sin x = a

	X=(-1)narcsin a +n  , nR

	2

	cos x = a

	X = -+arсcos a +2n  , n R

	3

	tg x = a

	X = arctg a + n  , n R

	4

	ctg x = a

	X = arcctg a +n  , n R

	

	1.Решить тригонометрические уравнения : ( образец )

	а) cos x = -

	x = -+ arcos (-.nR

	x = -+

	b)  cos 

	nR

	2.Решите уравнения : ( самостоятельно )

	cos x= 

	2 cos x + = 0

	

	Sin 2x =

	2 cos (

	2sin2 x+ sin x -1 = 0

	2 cos 2 x + sin x + 1 =0

	При решении тригонометрических уравнений нужно знать определение обратных тригонометрических функций , знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений ,уметь пользоваться таблицей элементарных значений тригонометрических функций.

	

РАЗДЕЛ  5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ



ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция , заданная формулой У= ах ( где а > 0, а≠1) ,называется показательной функцией с основанием а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Логарифмом числа в по основанию а называется показатель , в которую нужно возвести основание а , чтобы получить число в.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Функция ,заданную формулой У = Logxa , называется логарифмической функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции ( их доказательство выходит за рамки общеобразовательной подготовки )



1.Область определения показательной функции есть множество всех действительных чисел.

2.Область значения показательной функции есть множество всех  положительных действительных чисел.

3.При любых действительных значениях Х и У справедливы равенства :

ахау = ах+у

 =ах-у

(ав )х  =ах вх

(= 

(ах)у= аху



Решение простейших показательных , логарифмических уравнений и неравенств.



При решении простейших показательных уравнений используется определение показательной функции и ее основные свойства.



Решим уравнение :

7х-2 =

Приведем основание показательной функции правой части уравнения к числу 7, в результате преобразований получаем 7, данное уравнение после преобразований имеет вид 7х-2 = 7, на основании свойства показательной функции имеем , что х-2 =  , следовательно х = 2.

5х-2х-1 =25

Перепишем его в виде 5х-2х-1 = 52 на основании свойства показательной функции имеем , что х2 -2х-1 = 2. Приходим к квадратному уравнению , решаем его и получаем два действительных корня х =3 и х= -1 , следовательно корнями показательного уравнения являются числа  3 и   -1.

При решении простейших логарифмических уравнений используются определения логарифма числа , понятие логарифмической функции , ее области определения и основные свойства логарифмической функции .



Решим уравнение :

Log 2 (x2+4x+3 ) =3

По определению логарифма числа имеем х2+4х+3 = 23 , получаем , что х2+4х+3 = 8 , или х2+4х +3 -8 = 0 , приводим подобные , получаем квадратное уравнение , решаем его и получаем два  два действительных корня х =1 , х = -5 , следовательно корни логарифмического уравнения числа 1 и  -5 .

Log (2x+3)=Log(x+1)

По свойству логарифмической функции имеем , что 2х+3=х+1 , решаем линейное уравнение и получаем , что х = -2 , которое не обращает данное уравнение в верное равенство.

При решении показательных неравенств используется понятие показательной функции . свойство монотонности показательной функции, свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.



Решим неравенство :



0,57-3х , представим основание показательной функции в правой части неравенства в виде числа 0,5-2 , перепишем неравенство с новым основанием

0,5 7-3х , исходя из того , что основание показательной функции число равное 0,5 следовательно показательная функция убывающая и это значит , что 7-3х решаем  неравенство первой степени и получаем , что -3х  -9 и х .Значит множество ( - ; 3 ) есть решением данного неравенства.



2.  Решим неравенство : 



62 при данном основании а =6 показательная функция возрастает ,а это значит, что х2+2х 2 или х2 +2х -2  решая неравенство 2 степени , вычисляя нули функции получаем х =- 3 и х = 1, а это значит множество чисел ( -; -3 ) и ( 1; ) есть решение данного неравенства.

При решении логарифмических неравенств всегда используются свойство монотонности функции , свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.



3.  Решим неравенство :



1.log  (5-2x) 2  число -2 представим в виде логарифма числа -2 = log 1/39 .Поэтому данное неравенство можно записать в виде log 1/3( 5-2x )   log 1/3 9 .Логарифмическая функция с основанием 1/3 определена и убывает на множестве R+ .Следовательно составляя систему из двух неравенств получаем : 5-2х  и 5-2х , решаем данную систему и получаем , что х принадлежит множеству ( -2 ; 2,5 ).



РАЗДЕЛ 6 . Аксиомы и их простейшие следствия.



СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии , в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии , так же как и в планиметрии , свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем, При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в стереометрии являются точка , прямая и плоскость.

Группа аксиом состоит  из трех аксиом.



С1 Какова бы ни была плоскость , существуют точки принадлежащие этой плоскости, и точки , не принадлежащие ей. 

С2  Если две различные плоскости имеют общую точку , то они пересекаются по прямой , проходящей через эту точку.

С3  Если две различные прямые имеют общую точку , то через них можно провести плоскость , и притом только одну.



Существует группа теорем , которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

ТЕОРЕМА15.3 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и при том только одну.

ТЕОРЕМА 15.2 Если две точки прямой принадлежат плоскости , то вся прямая принадлежит этой плоскости .

ТЕОРЕМА 15.3  Через три точки, не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну .



При изучении данного раздела вы должны знать аксиомы стереометрии и уметь доказывать теоремы ( следствия из аксиом стереометрии).



РАЗДЕЛ 7 . ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.



В пространстве существует несколько видов расположения прямых : пересекающие , параллельные , скрещивающиеся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямые , которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости , называются скрещивающимися.

Теорема 16.1 доказывает свойства параллельности прямых :

Через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом одну.

Так же существует признак параллельности прямых .

ТЕОРЕМА 16.2 Две прямые , параллельные третьей прямой , параллельны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются.

А теорема 16.3 является признаком параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, не принадлежащая плоскости , параллельна какой–нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА 16.4 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

На ряду с этим вы должны уметь доказывать теоремы о существовании плоскости , параллельной данной плоскости.

ТЕОРЕМА 16.5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.

Нужно так же отметить о существовании свойств параллельных плоскостей это следующие утверждения :

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых , заключенные между двумя параллельными плоскостями ,равны.

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками.

































                                                     ЛИТЕРАТУРА

Основная

Атанасян Л.С. Геометрия (10-11) – М., Просвещение, 1994.

Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Гуткин И.И., Павлов АЛ. Cборник задач по математике для 

техникумов. – М.: Наука, 1987.

Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.

Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. и др. Алгебра и начала анализа (10 – 11) – М., Просвещение, 1995

Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.1. – М., Наука, 1987.

Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.2. – М., Наука, 1988.

Математика для техникумов. Геометрия./ под ред. Яковлева Г.Н. – М., Наука, 1989.

Погорелов А.В. Геометрия (7 – 11) – М. Просвещение, 1997.

Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Подольский В.А., Суходольский А.М. и др.– 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999.

Дополнительная



Афанасьева О.Н., Бродский Я.С. , Павлов А.Л.  Математика для техникумов. – М.: Наука, 1991

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 1997.















































1 Упростите выражение  4 sin2α + 5 – 4cos2α



1) 1

2) 9

3) 5 + 4cos2α

*4) 5 - 4cos2α





2 Решите неравенство: 

1) [3:+)

2) (-: 1]

*3) [1 : +)

4) R





3 Найдите корень уравнения 



*1) 5

2) 1/3

3) ø

4) -2





4 Решите уравнение tg x = 1



1) +n

*2) n

3) ø

4) R





5 Упростите выражение (2а 0,3) 3 + 3а 0,9



*1) 11а 0,9

2) 5а 2,7

3) 5а 0,9

4) 11а 2,7





6 Найдите область определения функции у=log2х2



*1) (-: + )

2) (0: 1)

3) (-:1)

4 ) (1: + )





7 Найдите значение выражения log236 – log2144



1) -4

2) 4

*3) -2

4) 2





8 Найдите значение выражения log1/22 + log1/216



*1) -5

2) 5

3) 0

4) 





9 Найдите корень уравнения log2(х-1)=4



*1) 17

2) - 

3) -17

4) ø





10 Найдите значение выражения 



*1) 

2) 

3) 7

4) -7





11 Найдите корень уравнения 2sinх – 1 =0



*1) 

2) n

3) 

4) 



12 Найдите корень уравнения lg(3x-2) = lg4



1)  - ½ 

*2) 2

3) ø

4) R



13 Решите неравенство 

1) R

*2) (- : ½)

3) ( ½ : +)

4) (0 : ½)





14 Формула sin2α



1) sin α ∙ cos α

2) 2sin α

*3) 2sin α ∙ cos α

4) cos2 α





15 Стереометрия –это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются на 

1) плоскости

2) прямой

*3) пространстве

4) треугольнике





16 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести …, и притом только одну

*1) плоскость

2) прямую

3) треугольник

4) окружность



17 Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются 

*1) скрещивающиеся

2) параллельными

3) перпендикулярными

4) пересекающимися



18 Две прямые, параллельные третьей прямой, …

1) равны

*2) параллельны

3) перпендикулярны

4) не пересекаются



19 Упростите выражение 1 – sin2t



*1) cos2t

2) sin2t

3) cos2t

4) tg2t





20 Вычислите 



1) 7

*2) 10

3) -10

4) 1/10





21Вычислите log224



1) ¼

2) -2

3) 2

*4) 4





22 Найдите значение числового выражения 



1) -32

*2) 32

4) 4

4) -4



23 Какая из перечисленных функций показательная



*1) 2х

2) х4

3) sin x

4) log2x



24 Какая функция четная



1) sin x

*2) cos x

3) a x

4) logax



25 Упростите выражение 6-6sin 2+6cos2



1) 6

2) 12cos2

*3) 6+6cos2

4) 0



26 Решите неравенство:   

1)[3:+)

*2)(- :+3] 

3)[9:+ ) 

4)R

 



27 Найдите корень уравнения: =3-х



*1) 2,5 

2) -2,5 

3) ø 

4) 2 





28 Решите уравнение:ctg x=1



*1) 

2) 

3) ø 

4) - + 



29 Найдите значения выражения : в 2,5: в -0,5 при в=

           1) 

2)  

3) 36 

*4) 6 





30 Найдите область определения функции у=log(х-1) 



R 

*2) 

(-2;3) 

4)







31 Найдите значения выражения 5sin2+2,2-5cos2.если10 sin2=3 



4

3

2,8

*4) 0,2 





32 Найдите значения выражения : log3+ log27

*1) – 4

2) 4

3) 1/4

-1/4 





33 Найдите корень уравнения log(х-2)= -4 

*1) 18 

–18 

 

ø 





34 Найдите  значение выражения  9log9 

*1)  

2) 

3) 9 

–9 





35 Найдите корень уравнения 2cos х-1=0 

*1) +2n 

2) 2n 

3) ø 

(-1)n + 





36 Найдите корень уравнения lg(3х-2)=1



*1) 4

2) -

3) -4

4) ø

37 Решите неравенство 

1) 

2) 

*3)  

4) R 





38 Формула cos, есть выражение



*1) 

  2)  

  3)  

  4)         

39 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести..., и притом только одну.

1) прямую

2) угол 

3) трапецию

          *4) плоскость



40 Две прямые в пространстве называются ..., если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

1) перпендикулярными

*2) параллельными

3) пересекающимися

4) скрещивающимися





41 Через точку вне данной прямой можно провести …, параллельную этой прямой, и притом только одну

1) плоскость

2) угол

*3) прямую

4) многоугольник 





42 Две прямые называются перпендикулярными если, они пересекаются под углом

1) 180

2) 45

*3) 90

4) 270



43 Упростите выражение 

1) 

*2) 2

3) 

4) -1



44 Вычислите 

*1) 8

2) 

3) 5

4) 3



45 Вычислите 88-2

1) -8

2) 8

3) 2

*4) -2



46 Найдите значения числового выражения  

1) -7

*2) 7

3) 

4) -



47 Какая из перечисленных функций степенная 

1) 

2) 

3) sin2х

*4) 



48 Какая функция нечетная

*1) tgх

2) х2

3) х2+2

4) 2х2+4











































 





















ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ