Теорія подібностей

Теорія подібностей

Реферат з курсу «Експериментальні методи в механіці деформованого твердого тіла»

Виконав студент групи МД-2000-1 Куров Євген Валерійович

Дніпропетровський національний університет, Механіко-математичний факультет

Дніпропетровськ 2004

Историческое введение.

Около ста пятидесяти лет назад возникла новая область научного знания – учение о подобии явлений.

Гениальное предвидение этой науки было высказано Ньютоном в 1686 г. Но только в 1848 г. Член французской академии наук Жозеф Бертран впервые установил основное свойство подобных явлений, сформулировав первую теорему подобия, теорему о существовании инвариантов подобия.

Подобными называются явления, происходящие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноимённых величин есть постоянные числа. Эти отношения, так называемые константы подобия, не могут быть выбираемы произвольно, так как величины, характеризующие явление, вообще говоря, не независимы друг от друга, а находятся в определённой связи, обусловленной законами природы. Во многих случаях эта связь может быть выражена в виде уравнения. Для подобных между собой явлений оно должно иметь одинаковый вид. Наличие такого «уравнения связи» между физическими величинами, характеризующими явление, налагает определённое ограничение на выбор констант подобия.

Эти отношения, так называемые константы подобия, не могут быть выбираемы произвольно, так как величины, характеризующие явления, вообще говоря, не независимы друг от друга, а находятся в определенной связи, обусловленной законами природы. Во многих случаях эта связь может быть выражена математически в виде уравнения. Для подобных между собой явлений оно должно иметь одинаковый вид. Наличие такого «уравнения связи» между физическими величинами, характеризующими явление, налагает определенное ограничение на выбор констант подобия.

Бертран вывел первую теорему подобия для случая подобия механических явлений.

Исходя из существования математической связи между силой, массой и ускорением, устанавливаемой вторым законом Ньютона, Бертран показал, что у подобных явлений комплекс величин: «сила*длина/масса*скорость в квадрате» имеет одно и то же значение в сходственных точках подобных явлений. Этот комплекс называется инвариантом, или критерием механического подобия. В природе существуют только те подобные явления, у которых критерии одинаковы.

Если бы физическое уравнение связи можно было бы преобразить так, чтобы оно было составлено из инвариантов подобия, то это было бы общее уравнение, численно одинаковое для всех подобных явлений.

Вторая история подобия устанавливает возможность такого преобразования физических уравнений.

Она была выведена русским ученым А. Федерманом в 1911 г. и несколькими годами позже, в 1914 г., американским ученым Букингэмом.

В 1925 г. Т.А. Афанасьева-Эренфест вывела обе теоремы для случая подобия любых явлений природы и показала, что критериальное уравнение содержит, кроме критериев-комплексов, составленных из переменных величин, еще критерии краевых величин и симплексы – отношения одноименных величин (например, отношения двух скоростей, характеризующих явление). Тем самым учение о свойствах подобных явлений в основном было завершено.

Тотчас после вывода первой теоремы она начала находить практическое применение для обработки опытных данях в критериях подобия. Осборн Рейнольдс выразил закон движения жидкости по трубам одной общей формулой, через критерий подобия, названой в последствии его именем. Оказалось возможным объединить таким путем все численные данные опытов по гидравлическому сопротивлению, проведенных различными исследователями на воде, воздухе, паре, различных маслах и т.д. Фруд, изучая мореходные качества судов на моделях, представил результаты опытов над ними в виде критериального уравнения, которое можно было распространить на суда, подобные по своей геометрической конфигурации испытанным моделям. Наш выдающийся ученый Н.Е. Жуковский положил теорию подобия в основу критериальной обработки опытов над моделями самолетов, продуваемых в аэродинамической трубе, для того, чтобы результаты опытов можно было перевести на подобные моделям самолеты.

Вторая теорема узаконила эту практику.

Критерии подобия выводятся из уравнения связи. Поэтому для получения критериального уравнения надо знать уравнение, связывающее между собой величины, характеризующие рассматриваемое явление.

Для большинства физических явлений уравнения связи найдены в форме дифференциальных уравнений, однако получить интегральные решения их удается только для отдельных частных случаев. Поэтому критерии подобия, как правило, выводятся из дифференциальных уравнений связи, и требовалось еще подтвердить, что критерии, выведенные из проинтегрированных уравнений, остаются те же. Это было сделано П.К.Конаковым.

Таким образом, оказалось возможным результаты опытом над явлениями выражать в критериях подобия, полученных из дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых не удалось найти.

Для того чтобы иметь право переносить данные опытов, произведенных на одном объекте, на другие, ему подобные, в выводах теории подобия не хватало еще одного важного звена.

Первая и вторая теоремы были выведены на основе предположения, что речь идет о явлениях, подобие которых заранее известно. Обе теоремы устанавливают свойства подобных явлений, но они не указывают способа для определения того, подобны ли два каких-нибудь, сравниваемых между собой, явления. Возникает вопрос, по каким признакам можно узнать, что явления подобны друг другу.

Ответ дается третьей теоремой подобия.

Третья теорема устанавливает условия, необходимые и достаточные для того, чтобы явления оказались подобными друг другу. Формулировка ее была дана М.В. Кирпичевым и А.А. Гухманом, а доказательство теоремы – М.В.Кирпичевым в 1930 г. (8).

Единичное явление выделяется из группы явлений, подчиняющихся одному и тому же уравнению связи, присоединением к нему условий однозначности, или моновалентности. В подобных явлениях входящие в условия однозначности величины, моноваленты, очевидно, должны быть подобны. Далее, согласно первой теореме, реально существующие подобные явления должны иметь одинаковые критерии, в том числе и составленные моновалентов.

Третья теорема доказывает, что два эти признака достаточны для того, чтобы иметь право считать явления подобными.

Сделанный исторический отбор показывает, что учение о подобии, состоящее первоначально в изучении свойств подобных явлений, постепенно сделалось учением о методах обработки физических опытов. Экспериментатор ставит перед собой следующие вопросы: какие величины надо измерять в опыте, как следует обрабатывать результаты опыта и на какие явления их можно распространять.

Теория подобия дает ответ на все три вопроса.

Измерить надо все величины, которые входят в состав критериев подобия.

Обрабатывать результаты опыта надо в виде зависимости между критериями подобия для того, чтобы можно было распространить их на все подобные явления.

Подобие же их можно узнать по подобию моновалентов и одинаковости моновалентных критериев.

Применение теории подобия к эксперименту развивалось в двух направлениях.

С одной стороны, теория подобия проникла в физику и стала научной основой физического эксперимента. С другой стороны, она нашла приложение в технике, открыв возможность изучать различные технические устройства на моделях.

Между обоими направлениями нельзя провести резкую границу, так как эксперимент в физике часто ставится над процессами, протекающими в различных частях технических устройств, модели же могут охватывать также не только целые технические объекты, но и отдельные части их. Таким образом, теория подобия сделалась научной основой одновременно как физического, так и технического эксперимента.

Осуществить все условия подобия, налагаемые третьей теоремой, часто бывает очень трудно.

Поэтому развитию моделирования весьма способствовал разработанный в СССР метод не точного, а приближенного моделирования, когда соблюдаются не все условия подобия и в модели получается с достаточной для практики точностью приближенное подобие.

Экспериментальная проверка приближенного метода моделирования проведена была в широких пределах М.А.Михеевым и рядом других советских ученых. 

Иногда исследователю приходится встречаться с явлениями, настолько сложными и неизученными, что их не удается выразить посредством математических формул и составить уравнение связи между физическими величинами. Для случаев, когда оказывается возможным установить те физические величины, которые должны были бы войти в уравнение связи, Ж.Бертран в 1878 г. предложил метод, позволяющий из соображений о размеренности отдельных членов физического уравнения отгадать вид критериев подобия и подобрать эмпирическое уравнение связи для них. Этот путь менее надежен, и его следует применять только при невозможности вывести уравнения связи.

Так как учение о размерности лежат в основе физических уравнений, то с него мы и начнем изложение учения о подобии.

Математическое и физическое подобие.

Всякое явление природы представляет собой систему материальных тел, которая претерпевает определенное изменение состояния, поскольку в ней протекают различные процессы.

Явлениями, подобными друг другу, называются системы тел, геометрически подобные друг другу, в которых протекают процессы одинаковой природы и в которых одноименные величины, характеризующие явления, относятся между собой как постоянные числа.

Иными словами, можно определить подобие явления так: явление, подобное заданному, может быть получен путем такого его преобразования, когда размер каждой ее величины изменяется в определенное число раз.

Такое преобразование называется подобным преобразованием явления.

Понятие подобного преобразования первоначально возникло в геометрии, где таким путем получаются подобные фигуры и тела; отношение любых сходных отрезков в них равно одному и тому же постоянному числу сl, так что можно сказать, что тело, подобное первоначальному получено путем изображения его в ином геометрическом масштабе.

Понятие «механическое подобие» прежде всего включает в себя геометрическое подобие систем, затем – кинематическое подобие: подразумевается, что в любых сходных точках систем скорости движущихся тел параллельны и пропорциональны друг другу, т.е. что отношения между их скоростями одинаково во всех точках системы. Если система состоит из отдельных дискретных частиц, то у подобных явлений массы тоже относятся между собой как постоянное число; если же имеет место течение сплошного тела, капельной или газообразной жидкости, то плотности и коэффициенты вязкости во всех сходных точках подобных систем имеют постоянное отношение.

Далее понятие механического подобия включает в себя динамическое подобие, т.е. параллельность и пропорциональность сил в сходственных точках.

Тепловое подобие подразумевает пропорциональность друг другу всех характеризующих тепловые явления величин: температур, тепловых потоков, теплоемкостей, коэффициентов теплопроводности и т.д.

Обозначая отношение расстояний между геометрически подобными точками, т.е. сходственных отрезков длин двух подобных систем, через сl, скоростей – сw, масс – сm, сил – сf и т.д., можно дать математическую формулировку понятия подобия в виде следующей системы равенств: 

и т.д., где одним и двумя штрихами обозначены первое и второе подобные явления.

Коэффициенты пропорциональности cl, cw и т.д., называются константами подобия. Для каждого рода величин они имеют свою особую численную величину; поэтому константы подобия имеют соответственные подстрочные значки, показывающие, к какого рода величинам они относятся.

Обобщая сказанное, можно подобие явлений определить, как пропорциональность друг другу всех величин, характеризующих явление, причем коэффициент пропорциональности сохраняет постоянное значение во всех точках системы для определенного наименования величин, но является различным для величин разного наименования.

В общем виде переход от  величин одного явления к  величинам другого, ему подобного, может быть выражен уравнением 

.

Это первое основное уравнение теории подобия.

Константы подобия сохраняют свое значение для любых случаев отношения сходственных величин. Например, если  и – сходственные отрезки двух подобных систем, имеют место равенства:

,

и, следовательно, отношение величин  можно заменить отношением любых других отрезков при условии, что замена эта для любых подобных явлений делается одинаковым образом. Это так называемое правило замещения одних величин другими того же наименования.

Такую замену можно делать для всех других величин, например  и.т.д.

В дальнейшем часто будет встречаться дифференциация величин.

На них также можно распространять правило замещения величин. Это правило можно применять, когда рассматриваемая среда предполагается сплошным телом, т.е. когда наблюдатель имеет дело с такими размерами тела, которые в очень большое число раз превосходят расстояния между молекулами δ, так что дискретное строение тела незаметно и может не приниматься во внимание.

По определению, дифференциал функции dy равен производной, помноженной дифференциал независимой переменной dx:

.

Здесь dx – произвольная величина, которая в физике должна лежать в пределах

,

т.е. быть значительно больше расстояний между молекулами, для того, чтобы можно было рассматривать тело сплошным, как континуум, и одновременно настолько малым, чтобы к нему с достаточной степенью точности можно было применять формулы дифференциального, а не разностного исчисления. Таким образом, в физике dx есть хотя и очень малая, но конечная величина и, следовательно, должна рассматриваться, как разность x2-x1. Поэтому

.

Подобным же образом dy=y2-y1 и, следовательно, к нему применимо .

Вообще говоря, подобных друг другу явлений бывает не два, а значительное количество. Мы будем говорить, что они составляют группу подобных явлений.

Сравнивая все члены группы с одним явлением, которое служит образцом для них, замечаем, что при переходе от одного, подобного образца явления к другому, к третьему и т.д. константы подобия каждый раз получают другое значение, сохраняя в то же время свое свойство – быть постоянными во всех точках каждой системы, подобной образцу.

Объединяя переход от явления образца ко всем подобным ему, мы можем рассматривать его выражение  как групповое преобразование явления, подразумевая под константой  последовательно ее значения для всей группы подобных образцу величин.

Подобие явлений можно выразить и другим способом: не константами подобия, а посредством так называемых инвариантов подобия.

Перейдем от абсолютной системы единиц, общей для всех явлений данного класса, к относительной системе, пригодной только для одного явления этого класса. Для этого выберем за единицы измерения величин рассматриваемой системы значения этих величин в каких-нибудь точках самой системы. Отметим их подстрочным индексом (0). Тогда все величины  и другие для первого явления получат численные значения:



и т.д.

Если во втором явлении за единицы измерения величин выбрать их значения в сходственных первой системе точках, то их значения в относительных единицах будут



и.т.д.

Очевидно,  и т. д. будут те же, что и в первой системе.

В самом деле легко видеть, что 

и. т. д.

Переставляя члены пропорции, получим

.

То же самое получится для любых других величин, характеризующих подобные явления.

Поэтому значки, отмечающие, к какому из явлений относятся величины L, W и т. д., можно отбросить, так как при переходе от одного явления к другому, ему подобному, все величины, выраженные в относительных единицах измерения, останутся численно прежними.

Иными словами, они являются инвариантами подобия. Будем обозначать это свойство их словами іnv. (инвариант) или іdem (то же самое).

Следовательно, L=idem, W=idem или для общего случая .

Следует уметь хорошо отличить понятия «константа подобия» и «инвариант подобия».

Константа сохраняет постоянное значение во всех точках системы, но она делается другой, когда одна пара подобных явлений заменяется другой.

Инвариант подобия, наоборот, различен для разных точек системы, поскольку он изображает одну из величин этой системы, имеющую разное численное значение в разных точках системы; но он не меняется при переходе от одного явления к любому другому, подобному ему. Иначе говоря, он сохраняет одно и то же значение в сходственных точках всей группы подобных явлений.

В дальнейшем мы будем пользоваться определением подобия и через константы, и через инварианты в зависимости от того, какое определение при рассмотрении различных вопросов оказывается удобнее в смысле простоты изложения.

Возвращаясь к определению подобия через константы подобия, отметим, что на первый взгляд выбор всех констант подобия может казаться произвольным. На самом деле это не так. Величины, характеризующие различные явления, не являются независимыми друг от друга. Часто между ними существует определенная связь. Эта связь, называемая законом природы, во многих случаях может быть выражена в математической форме в виде уравнения.

Наличие такого уравнения, делающего одни величины зависимыми от других, налагает и на константы подобия определенные ограничения.

Нахождение зависимости между константами подобия, вызываемой существованием уравнения, связывающего между собой характеризующие явление величины, составляет содержание теоремы подобия, которая будет изложена в следующей главе.

Уравнения, описывающие различные явления природы, можно рассматривать, как имеющие различную степень общности.

Наиболее общие уравнения, выражающие общие законы природы, такие, как общие законы механики, закон сохранения энергии, можно назвать уравнениями, охватывающими целый класс явлений. Таковы были уравнения, представляющие второй закон Ньютона и первый закон термодинамики. Эти общие уравнения могут получать различные частные виды в зависимости от того, к каким частным видам явлений данного класса они будут прилагаться. Так общие уравнения механики принимают вид уравнения Навье-Стокса в применении к течению жидкости, вид уравнения колебаний упругой среды и т. п. Эти виды явлений содержат отдельные свойства однотипных явлений, отличающихся друг от друга только заданием различных условий однозначности явлений. И, наконец, единичные явления выделяются из семейства численным заданием условий однозначности, которые для каждого единичного явления семейства буквенно одинаковы, но численно отличны друг от друга.

В дальнейшем свойство уравнений связи, которое налагает на них подобие явлений, будет излагаться сперва для самых общих знаков природы и для них будут выводиться теоремы подобия. Однако не меньшее значение будет иметь приложение общей теории подобия к частным случаям и к единичным явлениям, так как только таким путем окажется возможным скрыть наиболее важные стороны учения о подобии. 

Теоремы подобия.

Для обеспечения максимальной эффективности (в широком смысле слова) любых экспериментальных исследований эти исследования необходимо организовать так, чтобы можно было определить критерии подобия и представить полученные результаты критериальной функциональной зависимость. Такой подход позволяет при ограниченном числе экспериментов дать оценку хода процесса или поведения системы при разнообразных сочетаниях параметров, их характеризующих, и, следовательно, получить ответы на те дополнительные вопросы, которые обычно возникают уже после окончания экспериментально-исследовательских и испытательных работ.

Рассмотренные положения, однако, относятся к случаю заведомо подобных процессов, т.е. определяют необходимые условия существования подобия. В связи с этим возникает естественный вопрос относительно того, как распознать подобие или специально обеспечить его при построении модели, т. е. вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточных для существования подобия. Такие условия включают в себя наряду с требованием равенства критериев подобия сопоставляемых процессов также и определенные дополнительные требования к условиям однозначности — требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов (а при соблюдении геометрического подобия — и подобия геометрических характеристик соответствующих пространственных областей).

Изложенные выше положения относительно необходимых и достаточных условий подобия обычно систематизируются в виде первой, второй и третьей теорем о подобии; первые две теоремы определяют необходимые, третья — необходимые и достаточные условия подобия (Высказываются соображения, что только вторая теорема подобия может рассматриваться как теорема в том смысле, в каком это понятие употребляется в математике, а первая и третья теоремы являются правилами выявления и обеспечения подобия. В данном изложении сохраняется наиболее распространенная терминология — введенное еще И. Ньютоном название первой теоремы и предложенное М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом название третьей теоремы).

Первая теорема подобия. В основной современной формулировке, учитывающей возможность существования различных видов подобия, первая теорема имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, математически и т. д.), имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений. Первая теорема подобия называется также теоремой Ньютона или Ньютона—Бертрана.

Первая теорема подобия утверждает, что для явлений (объектов, процессов), подобных в том или ином смысле, существуют одинаковые критерии подобия — идентичные по форме алгебраической записи и равные численно безразмерные степенные комплексы (произведения или отношения) определенных групп физических факторов, характеризующих эти явления. Формулируя необходимые условия существования подобия (одинаковые критерии подобия у подобных явлений), первая теорема, однако, не указывает способы установления подобия и способы его реализации при построении моделей.

Вторая теорема подобия. В основной формулировке эта теорема, чаще встречающаяся под названием π-теоремы, имеет следующий вид: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено функциональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определённой системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т. е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров. Так же как и первая, вторая теорема подобия основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен, и устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. При этом выражения для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров (факторов), участвующих в рассматриваемом процессе, но неизвестно его математическое описание. Теорема эта, однако, также как и первая, не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

Вторая теорема устанавливает возможность представления интеграла дифференциального уравнения физического процесса не как функции параметров процесса и системы, в которой протекают эти процессы, а как функция соответствующим образом построенных некоторых безразмерных величин — критериев подобия. Если исходное дифференциальное уравнение проинтегрировано, то функциональные связи между критериями подобия будут однозначно определены в соответствии с теми допущениями, которые были приняты при составлении и интегрировании данного уравнения. Если же дифференциальное уравнение отсутствовало или не интегрировалось, то вид функциональных связей между критериями подобия не будет выявлен.

Вторая теорема основывается на исследованиях Букингема, Федермана и Эренфест-Афанасьевой. Возможность представления интеграла как функции от критериев подобия, найденных из дифференциального уравнения, была строго доказана для частного случая Букингемом. В более общем виде это положение как математическая теорема было доказано Федерманом. Эренфест-Афанасье-ва привела доказательство в общем виде, показав условия, при которых интеграл можно представить как функцию критериев подобия. Одновременно было показано, что из соотношений, указывающих на однородность уравнения, связывающего физические величины (одинаковая размерность всех членов уравнения), и из возможности получения безразмерных соотношений после деления этого уравнения на любой из его членов следует важный вывод о существовании определенных соотношений между размерностями физических параметров. Эренфест-Афанасьевой было показано, что критерии подобия можно найти при отсутствии дифференциального уравнения процесса на основе анализа размерностей физических величин, участвующих в этом процессе. Эта возможность была сформулирована и строго доказана в виде теоремы, названной л-теоремой, поскольку упомянутые выше безразмерные параметры (критерии подобия) обозначались буквой л.

Третья теорема подобия. В наиболее распространенной формулировке третья теорема имеет следующий вид: необходимыми и достаточными условиями для создания подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева—Гухмана.

Напомним понятия условий однозначности. Известно, что дифференциальное уравнение в общем виде описывает бесконечное множество процессов, относящихся к данному классу. Так, например, дифференциальное уравнение u=iR+Ldi/dt описывает изменение тока во времени в цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L при включении ее на u=const. Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление, называются условиями однозначности. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:

геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

физические параметры среды и тел, образующих систему;

начальное состояние системы (начальные условия);

условия на границах системы (граничне или краевые условия);

взаимодействие объекта и внешней среды.

Очевидно, нельзя математически формулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравнения. Так, для выделения определенного процесса из совокупности процессов, описываемых приведенным уравнением, достаточно знать параметры u, R, L и начальные условия, например, i=i0 при t=t0. В большинстве задач, связанных с исследованием полей, однозначность процессов определяется не только начальными условиями, но и свойствами среды, геометрическими свойствами системы и граничными условиями.

Вторая формулировка третьей теоремы подобия. Практически более удачная формулировка третьей теоремы, предложенная в последнее время, имеет вид, отвечающий реальным задачам создания различных моделей. Эта формулировка состоит из трёх положений.

Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.

Положение 2. В созданной, согласно положению 1, модели осуществление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначности и в том числе начальные условия (параметры исходного режима, возмущений и отклонений), в модели и оригинале соответственно одинаковы.

Положение 3. Осуществление модели согласно формулировкам 1 и 2 возможно в сколь угодно сложных анизотропных, нелинейных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положениях, сформулированных ниже.

Дополнительные положения теории подобия. Эти положения, предложенные авторами, распространяют три основные теоремы подобия на системы сложные, системы с нелинейными или переменными параметрами, анизотропные системы (с различными свойствами по различным координатам) и системы, заданные вероятностно-статистическими характеристиками; этими же положениями охватываются геометрически неподобные системы, а также системы, для которых понятие подобия интерпретируется шире, чем постоянство масштабных коэффициентов в сходственных точках пространства параметров в сходственные моменты времени.

В общем случае дополнительные положения теории подобия формулируются следующим образом:

— подобие сложных геометрически подобных и изотропных систем с детерминированно определенными линейными или постоянными параметрами, образованных несколькими соответственно подобными по отдельности подсистемами, обеспечивается, если выполняется дополнительное условие подобия всех сходственных элементов, являющихся общими для этих подсистем;

— условия подобия сложных геометрически подобных и изотропных систем с детерминированно определенными линейными и постоянными параметрами могут быть распространены на сложные системы с нелинейными или переменными параметрами, заданными детерминированно, если выполняется дополнительное условие совпадения относительных характеристик сходственных параметров, являющихся нелинейными или переменными;

— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных изотропных сложных систем могут быть распространены на анизотропные геометрически подобные сложные системы, заданные детерминированно, если выполняется дополнительное условие обеспечения одинаковой относительной анизотропии в сопоставляемых системах;

— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных анизотропных сложных систем с переменными или нелинейными параметрами могут быть распространены на геометрически неподобные сложные системы с детерминированно определенными параметрами, если выполняется дополнительное условие обеспечения такого нелинейного подобия пространства параметров, при котором существуют подобные изменения параметров процесса в сходственных точках этого пространства;

— условия подобия сложных геометрически неподобных анизотропных систем с детерминированно определенными нелинейными или переменными параметрами могут быть распространены, на системы с вероятностно (статистически) определенными параметрами, если выполняются дополнительные условия совпадения плотностей вероятностей сходственных параметров и пропорциональности их статистических моментов, степени масштабных коэффициентов при которых совпадают с порядками соответствующих моментов.

Моделирование.

Подобие физических процессов и систем широко используется в технике для исследования методом моделирования. В тех случаях когда математическое решение задачи затруднено, а то и попросту невозможно, вполне естественным является обращение к экспериментальному исследованию на моделях с последующим перерасчетом полученных результатов на натуру, которая явилась прототипом модели. При этом модель и натура должны находиться между собой в отношениях подобия.

Исследование на моделях позволяет ускорить или замедлить процессы, которые в натурных условиях развиваются со скоростью, затрудняющих вести наблюдение. При проведении эксперимента непосредственно на натуре почти всегда приходится отказываться от активного поиска оптимальных конструктивных решений, ибо это связано со значительными денежными затратами, а не редко и просто не возможно.

Теория моделирования базируется на принципах, вытекающих из теории подобия. Эти принципы заключаются в соблюдении условий, которые определяют соотношения между параметрами модели и натуры, а так же правила пересчета исследуемых величин с модели на натуру и обратно. Однако, известно, что ни одна модель не может с абсолютной полнотой воспроизвести изучаемый оригинал – для этого должно быть полное их тождество. Поэтому при моделировании стараются соблюсти в модели по крайней мере те характеристики натуры, которые являются наиболее существенными в общей картине физического процесса, обеспечивая заданную точность результатов (например при расчете стержневых конструкций пренебрегают собственным весом, а при проектировании плотины насыпи рассматривают как распределенную нагрузку).

Методы подобия в механике.

Движение математического маятника

В качестве первого примера мы рассмотрим классический пример о движении математического маятника.

Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая закреплена другим своим концом неподвижно. Совокупность возможных движений мы ограничим условием, что движения маятника плоские.



Рис. 1. Математический маятник.

Введем обозначения: l — длина маятника, φ — угол между нитью и вертикалью, t — время, m — масса груза и N — натяжение нити. Если пренебречь силами сопротивления, то задача о движении маятника приводится к решению уравнений

, (1)

 (2)

с начальным условием

при t=0 φ=φ0 и ,

т. е. за начальный момент времени принят тот момент, когда маятник отклонен на угол φ0, а скорость равна нулю. 

Из уравнений (1), (2) и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему:

t, l, g, m, φ0.

Числовые значения всех остальных величин определяются полностью значениями этих параметров. Следовательно, мы можем написать

φ = φ (t, φ0, l, g, m), N=mgf(t, φ0, l, g, m) (3)

где φ и f – безразмерные величины.

Числовые значения функций φ и f не должны зависеть от системы единиц измерения. Вид этих функций можно определить либо решая уравнения (1) и (2), либо экспериментальным способом.

Из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять аргументов функций φ и f можно свести только к двум аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и φ0, так как имеются три независимые единицы измерения.

Из величин t, l, g, m и φ0 можно составить две независимые безразмерные комбинации

φ0 и  (4)

Все другие безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и φ0 или вообще из любых величин, определяемых этими параметрами, будут функциями комбинаций (4). Следовательно, можно написать

, (5')

. (5")

Формулы (5), полученные с помощью метода размерности, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти выводы вытекают также непосредственно из уравнений (1) и (2). Величину  можно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц измерения, в которой длина маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.

Обозначим через Г какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периодического движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем



функция f2 представляет собой безразмерную величину, а так как из l, g и m нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция f2 не зависит от l, g и m. Следовательно,

 (6)

Формула (6) устанавливает зависимость времени Г от длины маятника. Получить вид функции f2(φ0) с помощью теории размерности нельзя. Определение f2(φ0) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1), либо экспериментально.

Формулу (6) можно получить непосредственно из соотношений (5'). В самом деле, для периода колебаний соотношение (5') дает

.

Решая это уравнение, получим формулу (6).

Если Г есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что период Г не зависит от знака φ0, т. е.

f2(φ0)= f2(-φ0).

Следовательно, функция f2 является четной функцией аргумента φ0. Предполагая, что при малых φ0 функция f2(φ0) регулярна, можно написать

f2(φ0) = c1 + c2φ02 + с3φ04 +… (7)

Для малых колебаний члены со степенями φ02 и выше можно отбросить, и для периода Г мы получаем формулу

. (8)

Решение уравнения (1) показывает, что с1 = 2π. Таким образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.

Формулы (5) и (6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1) мы возьмем уравнение

,

где f(φ) есть любая функция угла φ. Вообще справедливость формул (5) и (6) вытекает из единственного условия, которое состоит в том, что состояние движения определяется параметрами

t, l, g, m, φ0.

Для установления этой системы параметров нам послужили уравнения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравнениям движения. В самом деле, для характеристики маятника надо указать l и m. Далее необходимо указать g, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо указать φ0 и t, так как конкретное движение и состояние движения определяются углом крайнего отклонения φ0 и рассматриваемым моментом времени t.

Истечение тяжелой жидкости через водослив

Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости через водослив (рис. 2), который представляет собой вертикальную стенку с треугольным отверстием, расположенным симметрично относительно вертикали, причем угол отверстия α равен 90º. Жидкость вытекает под напором h, который равен высоте уровня жидкости над вершиной треугольника на далеких расстояниях от отверстия водослива. Для простоты мы примем, что сосуд, в котором находится жидкость, очень велик, и поэтому движение жидкости можно считать установившимся. При струйном движении жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности ρ и ускорения силы тяжести g.



Рис. 2. Перетекание тяжелой жидкости через водослив.

Установившееся течение жидкости через рассматриваемый водослив полностью определяется следующими параметрами:

ρ, g, h.

Вес жидкости Q, вытекающий через отверстие водослива в единицу времени, может быть функцией только этих параметров

Q = f(ρ, g, h).

С помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функции. В самом деле, размерность Q равняется кгс/с. Комбинация  также имеет размерность кгс/с. Поэтому отношение



является безразмерной величиной. Это отношение является функцией величин ρ, g, h, из которых нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому можно написать



или

, (9)

где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего определить из опыта. Полученная формула полностью определяет зависимость количества протекающей жидкости от напора h и от плотности ρ.

Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская водосливы с различными углами α. В этом случае система определяющих параметров дополняется углом α, и формула (9) примет вид

, (10)

т. е. коэффициент С будет зависеть от угла α.

Если водослив имеет прямоугольную форму шириной b, то система определяющих параметров будет

ρ, g, h, b.

Все безразмерные величины определяются параметром h/b. Формула (9) в этом случае заменится следующей:

. (11)

Функцию f(h/b) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины b, но с постоянным h. Определив таким способом функцию f(h/b), формулу (11) можно применять к случаям постоянной ширины b=const, но с различным напором h, т. е. к случаям, в которых опыт не производился. 

Этот пример показывает, что соображения, полученные с помощью метода размерности, могут приносить большую пользу при постановке опытов, позволяя ограничивать их количество и получать благодаря этому экономию не только в средствах, но и во времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах изменением других величин. На основе опытов, произведенных с водой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания нефти, ртути и т. д.

Заключение.

Три теоремы подобия составляют главную основу теории подобия.

Вот краткое содержание изложенной теории подобия:

1)Подобные явления протекают в геометрически подобных системах и описываются буквально одинаковыми уравнениями связи.

Эти уравнения должны быть безусловно или условно однородными.

2)Условно однородными физические уравнения делаются присоединением к ним «обусловливающих равенств», которые устанавливают равенство единице индикаторов подобия, получающихся из уравнений, или, что то же, одинаковость для подобных явлений критерием подобия.

3)Однородные уравнения могут быть представлены как функции степенных комплексов (критериев) и симплексов.

Такие «критериальные» уравнения численно одинаковы для всей группы подобных явлений.

4)Подобны те явления, уравнение связи которых буквенно одинаковы и условия однозначности которых подобны, т. е. у которых одноименные моноваленты (величины, входящие в условия однозначности) находятся в численно постоянном отношении, а одноименные моновалентные (определяющие) критерии одинаковы.

Теория подобия дает, следовательно, общие методические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, при постановке и обработке данных опыта над ним и при распространении результатов опыта на другие явления. Если же дана натура и исследовать ее хотят на модели, то теория подобия содержит методические указания по расчету и построению модели, подобной натуре.

Основные методические указание о применении теории подобия к опыту, будь то физическое экспериментирование или техническое моделирование, состоит в следующем.

При исследовании явления надо установить для него уравнения связи, дающие взаимную связь физических величин, участвующих в явлении.

Эти уравнения должны быть формулированы для того частного случая, который является объектом исследования. Присоединение к ним условий однозначности делает исследование определенным и позволяет применить теорию подобия.

Поэтому во всех случаях, когда уравнения связи могут быть найдены, метод анализу уравнений есть единственно правильный путь применения теории подобия и только тогда, когда установить математическую зависимость между величинами, характеризующими явление, не удается, надлежит обратиться к методу анализа размерности. Этот путь менее надежен и поэтому результат его необходимо проверять на опыте. Им не следует пренебрегать, так как во многих случаях анализ размерности дает при обработке опытов ценные выводы.

В настоящее время теория подобия имеет следующие направления.

Первым по времени направлением является приложение теории подобия к изучению разнообразных технических сооружений и моделей.

Моделирование стало мощным средством для обнаружения различных недостатков, имеющихся в следующих технических устройствах, и для изыскания путей к их устранению.

Далее моделирование уже стало широко применяться для проверки вновь конструируемых объектов, так что до их выполнения, в процессе проектирования, моделирование позволяет совершенствовать новые, еще не опробованные на практике конструкции.

Теория подобия нашла также применение при обобщении рабочих показателей целых групп однотипных машин и устройств, так что на основании обработки данных многочисленных испытаний оказывается возможным создавать новые, основанные на критериях подобия, способы расчета различных технических объектов, которые приводят к установлению рациональных, связанных с экономией энергии режимов.

Теория подобия стала научной основой обобщения данных физико-технических испытаний, своего рода теорией эксперимента, указывающей во всех тех случаях, когда решение дифференциальных уравнений физики наталкивается на трудности, путь к такой постановке опытов, что их результаты могут быть распространены на всю область изучаемых явлений.

В последнее время теория подобия не только использует уравнения физики для обобщения опытных данных, но и , обратно, при выводе дифференциальных уравнений она дает указания, с одной стороны, о введении в уравнения критериев подобия и безразмерных переменных и, с другой стороны, об использовании обобщения методами теории подобия опытных данных, являющихся исходными для составления уравнений. В качестве примера этого нового направления теории подобия можно привести установлении для турбулентного потока автомодельности отдельно для пограничного слоя и отдельно для турбулентного ядра, что позволяет получить более простую и точную формулу гидравлического сопротивления труб. Таким образом, теория подобия на наших глазах становится неотъемлемой частью теоретической физики.

Список литературы

Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — 10-е изд., доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 г. — 432 с.

Веников В. А., Веников Г. В. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики): Учебник для вузов по спец. «Кибернетика электр. систем». — 3-е изд., переработанное и доп. — М.: Высшая школа, 1984. — 439 с., ил.

Кирпичев М. В. Теория подобия. — Изд. АН СССР, 1953, 94с.

Веников В. А. Теория подобия и моделирования. — М.: Высшая школа, 1976. — 479 с.

Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: справочное пособие. Под ред. Б. С. Касаткина. — К., Наукова думка, 1981 г.