Элективный курс «Решение задач с параметрами»

- 2 -



Муниципальное общеобразовательное учреждение Кадетская школа 

г. Люберцы Московской области









Реферат

Элективный  курс 

«Решение  задач  с  параметрами» 





Учитель математики 

Спиридонова Ирина Петровна





 -a\4

1

-1

y=2

0

x

y

y=2x-1































Г. Люберцы, 2007 г.



Оглавление





Введение.                                                                           3 стр.

Элективный курс «Решение задач с параметрами».   

                   а) Пояснительная записка.                                                   5 стр.

              б) Структура курса планирования учебного материала.  7 стр.

              в) Краткое содержание курса.                                             8 стр. 

             г) Планирование.                                                               12 стр. 

             д) Методические рекомендации при изучении  

                   некоторых тем.                                                              13 стр. 

3.  Заключение.                                                                    27  стр. 

4.  Библиографический список.                                         28  стр. 

5.  Приложения. 



















































ВВЕДЕНИЕ. 



В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования. 

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».  

Принятая в Концепции гибкая система профильного обучения предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, осваиваемых старшеклассниками. Эта система включает в себя курсы трех типов: базовые общеобразовательные; профильные общеобразовательные; элективные. 

Единый государственный экзамен – это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник. Одной из целей проведения ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в ВУЗы. Еще одна из целей введения ЕГЭ – попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение. Теперь детей надо готовить к экзаменам по-иному, так, чтобы они сдавали их успешно, а результаты можно было сравнить. Выдерживать такие экзамены – новая задача, как для школьников, так и для педагогов. 

Можно привести один из главных выводов эксперимента с ЕГЭ: «Впервые за сто лет в России появился объективный и абсолютно прозрачный механизм оценки знаний школьников». 

На экзаменах прошлых лет в общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Решаемость таких заданий не превышала 2% для всех испытуемых. 

Каждый ВУЗ предъявляет свои требования к уровню математической подготовки будущего студента, поэтому ВУЗы с большим курсом математики включали в билеты задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. Вопрос лишь в том, насколько конкурсная задача повышенной сложности обладает диагностической ценностью. Иными словами, можно ли с помощью этой задачи проверить знание основных разделов школьной математики, уровень  математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. 

Такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами. 

Практика вступительных экзаменов в ВУЗы по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любом высшем учебном заведении. 

На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике.

Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно. 

Что же такое параметр и почему подобные задачи вызывают такие трудности? 

Параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). 

Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра. 

Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой формально присутствуют параметры («буквы»), является задачей с параметрами. 

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. 

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельной работе. 

В связи с вышесказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Решение задач с параметрами».  

Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач, рефератов учащихся.

Автор реферата долгое время занималась изучением данной темы в рамках самообразования. В 2001г. ею была разработана «Программа дополнительного образования по математике», в которой задачи с параметрами вводились в курс обучения с 7-го класса. (См. приложения к реферату). Программа была успешно отработана на двух выпусках учащихся. Сейчас это студенты соответственно третьего и второго курсов различных ВУЗов. Все ребята отмечают значимость тех дополнительных знаний, которые они получили на этих занятиях. 

Нынешний курс позволяет обобщить и систематизировать весь опыт, накопленный за эти годы; дает возможность за короткое время обучить умению решать достаточно сложные задания.  

                               

Разработанный курс направлен на решение следующих задач: 

Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету; 

Выявление и развитие их математических способностей; 

Подготовка к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе.



















Элективный курс 

«Решение задач с параметрами»

Пояснительная записка

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С) встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. 













Цель курса

		Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе. 

		Изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей.

	Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся. 

		Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы. 

В результате изучения курса учащийся должен:

усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами; 

применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр; 

проводить полное обоснование при решении задач с параметрами; 

овладеть исследовательской деятельностью. 



































Структура курса планирования учебного материала

Темы:

Первоначальные сведения. 2ч 

Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч 

Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч 

Модуль и параметр. 2ч.

Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч 

Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч 

Рациональные уравнения.  2ч 

Рациональные неравенства. 2 ч

Иррациональные уравнения. 2ч   

Иррациональные неравенства. 2ч 

Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.  4 ч  

Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры . 4ч  

Производная и ее применения. 4ч 

Тригонометрия и параметры. 4ч 

Графические приемы решения. 4ч 

Нестандартные задачи с параметрами. 6ч 

количество решений уравнений; 

уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями.

Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч 























Краткое содержание курса

		Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение систем уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра. 

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства. 
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств. 

IV. Модуль и параметр.

Определение модуля. 

Алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем. 

Раскрытие разных модулей. 

Графический способ решения. 



Цель: Выработать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр. 



V. Квадратные уравнения, содержащие параметр. 

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. 

Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений. 
Графический способ. Аналитический способ решения.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования. 

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

VI. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

	Область значений функции.	
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами, решаемых с помощью свойств квадратичной функции. 

VII. Рациональные уравнения.  

Общая схема решения целых и дробно-рациональных уравнений. 

Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Различные способы решения. 

Цель: Сформировать умение решать рациональные уравнения с параметром. 

Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр. 



VIII. Рациональные неравенства.



Общая схема решения, «метод областей».

Различные способы решений. 



Цель: Формировать умение и навыки решения рациональных неравенств с параметром. 



		Иррациональные уравнения.   



Схемы решения иррациональных уравнений. 

Область определения уравнения. 

Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Цель: Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром. 

Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр. 





Х. Иррациональные неравенства. 



Схемы решения иррациональных неравенств. 

Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.

Цель: Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром. 



XI. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.  



Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами. 


Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения с параметрами.



XII. Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры. 



Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами. 


Цель: Формировать умение и навыки решения показательных и логарифмических неравенств с параметром. 



XIII. Производная и ее применения.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.















XIV. Тригонометрия и параметры. 

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами. 



XV. Графические приемы решения. 



Использование свойств различных функций при решении заданий с параметром. 

Специфика решений графическим способом. 

Преимущества и недостатки графического способа. 


Цель: Научить графическим приемам решения задач с параметром. 



XVI. Нестандартные задачи с параметрами. 



Использование различных свойств при решении задач с параметрами. 

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения. 



Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление. 



XII. Текстовые задачи с использованием параметра. 



Использование различных свойств при решении задач с параметрами. 

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения. 



Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление. 

























Планирование   (64 часа)





№ урока

Тема

Дата проведения

1

Основные понятия уравнений с параметрами



2

Основные понятия неравенств с параметрами



3 – 4

Решение линейных уравнений с параметрами



5 – 6

Решение линейных неравенств с параметрами



7 – 8

Модуль и параметр 



9 – 12

Квадратные уравнения, содержащие параметр



13 – 15

Квадратные неравенства, содержащие параметр



16 – 19

Свойства квадратичной функции



20 – 21

Рациональные уравнения с параметром



22 – 23

Рациональные неравенства с параметрами



24 – 25

Иррациональные уравнения с параметром



26 – 27

Иррациональные неравенства с параметрами



28 – 29

Показательные уравнения с параметром



30 – 31

Логарифмические уравнения с параметром



32 – 33

Показательные неравенства с параметром



34 – 35

Логарифмические неравенства с параметром



36 – 39

Производная и ее применения



40 – 43

Параметры в тригонометрии



44 – 47

Графические приемы решения



48 – 49

Количество решений уравнений



50 – 53

Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями



54 – 57

Текстовые задачи с использованием параметра



58 – 60

Итоговая контрольная работа по курсу



62 – 64

Защита индивидуальных проектов













Методические рекомендации  

 при изучении некоторых тем 



Линейные и квадратные уравнения 



Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном. 

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

1. Если  а ≠ 0 , то  при  любой  паре  параметров  а   и  b  оно  имеет  единственное  решение  х = .

 

2. Если  а = 0, то  уравнение  принимает  вид: 0 х = b. В  этом  случае  значение  b = 0  является  особым  значением  параметра  b.  

	2.1.    При  b ≠ 0 уравнение  решений  не  имеет.

	2.2.    При  b = 0  уравнение  примет  вид: 0 х = 0. Решением  данного  уравнения  является  любое  действительное  число. 



Пример.	Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2.         (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}

и  решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:



1) а=0 ;    2) а=2 ;    3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

 

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.                                                                                   

3) При а≠0, а≠2  из уравнения (1) получаем, х =  ,

откуда х =  .



0твет:	1) Если а=0,то корней нет; 

              	 2)если а=2, то х – любое  действительное число;                                           

              	 3)  если а≠0, а≠2 , то  х = .

Пример. 	Решить уравнение 

(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0;     (2)

Решение.  В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:    1) а = l; 2) а≠1.

 

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого

         уравнения находим х = -. 

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2): 

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения  = 0 находим а = -— второе контрольное значение параметра а. При 

 

этом если а <-, то D <0; если   a≥-, то  D≥0, a ≠ 1.

                                                             

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <-  и  в  случае, когда  { a≥-,  a ≠ 1 }.

Если а <-, то  уравнение  (2)  не  имеет  действительных корней; если  же

{ a≥-,   a ≠ 1 }, то  находим  

Ответ:   	1) если  а <-, то корней  нет;  

           		2) если  а = 1,  то  х = -;

          		3) если  a≥-,  a ≠ 1, то      . 





Свойства квадратичной функции 

в задачах с параметрами 



При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для  нахождения решений задачи. Однако, на мой взгляд, для рационального подхода к поиску решения достаточно рассмотреть только расположение графиков при положительном старшем коэффициенте, но обратить внимание, что тогда  неравенства составляются в виде  аf(A)< 0 или аf(A)> 0 (а- старший коэффициент).







                    

Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 

(а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а=0

больше числа а, а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а нули квадратичной функции 

              g(х)= (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а 

лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а? 

Исходя из таблицы, имеем условие: аf(A)< 0. 

В нашем случае это условие принимает вид 

(а2-2) g(а)<0. 

Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства 

(а2-2)((а2-2)а2+(а2+а-1)а-а3+а)<0, где а2-20 (а =, а =- требованию задачи не удовлетворяют). 

Решая полученное неравенство,

находим, что а(-; -1)(1; ). 

Ответ: 	При  а(-; -1)(1; ). 





Пример. При каких значениях параметра корни уравнения

 									(1)

больше 1?



Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена



больше 1?

Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена

									(2)

были больше числа , необходимо и достаточно выполнение условий

											(3)

(см. рис. 1.1.)

Условия (3) равносильны условиям



где  - дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий 





Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при =0 уравнение (1) имеет корень , который требованиям задачи не удовлетворяет. 

Рассмотрим случай . При таких условия (3) запишутся в виде



Решая эту систему, находим, что .

Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство , где  - меньший корень уравнения (1)



Ответ:	 . 





Рациональные неравенства с параметрами 



Пример.	 Найти все значения параметра , при которых неравенство 



выполняется при всех .

Решение. Исходное неравенство является однородным неравенством второй степени относительно функции  и . Если разделить его на , то получится равносильное неравенство 



которое после замены становится квадратным неравенством относительно переменной  с параметром :

										(*)

Найдем множество значений функции  при . Имеем: , то есть  Отсюда  при ; другие значения  (отличные от нуля) найдем из условия неотрицательности дискриминанта этого квадратного уравнения: , то есть .

Итак, исходное неравенство выполняется для всех  тогда и только тогда, когда неравенство (*) выполняется  для всех .

Рассмотрим квадратный трехчлен  с абсциссой вершины  и дискриминантом . Тогда имеем следующие необходимые и достаточные условия для нахождения искомых значений параметра :

















(1) 











(2)









(3)

Последовательно преобразуя, получаем:









Объединяя решения систем (1)-(3), получаем ответ.

Ответ: 



Иррациональные уравнения с параметрами 



Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример. 

 Пример. 	В зависимости от значений параметра  решить уравнение

								(1)

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе



или системе

										(2)

Решая уравнение из системы (2), находим

                                                                                         (3)

откуда следует, что при  уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система 

,

т.е. при 

Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему



приходим к выводу, что .

Замечая теперь, что при  дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ:	если , то решений нет;

		если , то ;

		если , то ;

		если , то .



Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни. 

Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень  в исходное уравнение, придем к соотношению 

,

откуда .

Если же подставить корень  в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .

Учитывая теперь, что при  корней нет, а при  имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.



Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и  в том случае, когда корни квадратного трехчлена  не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы



Решая эту систему, находим, что .

При  уравнение (1) имеет решение .

Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При  решений нет.





Способ 4. Рассмотрим графики функций

 и 

заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).



Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При  графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.

При  графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .

При  уравнение (1) будет иметь корни  и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).



При  графики функций  и  пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение  (см. рис. 6.3)







Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде



Построив тогда в плоскости график функции  при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами. 



Ответ:	если , то решений нет;

		если , то ;

		если , то ;

		если , то . 







Показательные и логарифмические неравенства с параметрами



Пример. Найти все значения параметра , при которых неравенство



выполняется для всех действительных значений .

Решение. Исходное неравенство



равносильно следующей совокупности двух систем:

     





(1)





(2)

(1)





(2)                							

В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству



которое не может выполняться при всех действительных значениях  при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.

В системе

										(2)

из первого неравенства () так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству 

,

которое, очевидно, выполняется для всех действительных  тогда и только тогда, когда 





С учетом того, что , получаем 

Ответ:	  



Производная и ее применения 



Пример. 	Найти все значения параметра , при которых функция 



имеет хотя бы один экстремум строго между числами и .

Решение. Для вычисления экстремумов функции найдем её производную: 

откуда следует, что в точках экстремума, то есть при , значение параметра , так как . Поэтому интервал , на котором, согласно условию задачи, надо искать экстремум, целиком расположен справа от точки 0.

Дальнейшее решение задачи изложим двумя способами.



I- ый способ. Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины  и дискриминантом , положительность которого следует из того, что 

Если абсцисса  вершины параболы, являющейся графиком функции , расположена левее интервала , то есть величина , то значения  и  должны быть разных знаков, причем - отрицательно:





откуда следует, что 

Если  лежит строго между  и , то либо , либо  должно быть положительно:



Если  лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно:



Объединяя найденные значения параметра  в рассмотренных трех случаях, получает ответ: .



II – й способ.



 Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при  имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при  что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми  и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых  и  с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем:





Так как производная  при  и  при , то исходная функция  является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной).

Левая ветвь параболы  пересекается с прямыми  и  в точках  и  соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ).

Правая ветвь параболы  пересекается с прямыми  и  в точках  и  соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ).

Объединяя найденные выше интервалы  и  значений параметра , получаем ответ.

Ответ:	 .























































































Заключение 



Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики. 

Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом автор данного реферата глубоко убеждена: ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. 

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы: 

принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь; 

принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы; 

принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач; 

принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.  

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка. В нем систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.































Библиографический список. 



		Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л.  Задачи с параметрами. Справочное пособие по      математике. – 2-е изд. - Мн. ООО «Асар», 2002. – 464 с.; ил. 

	Галицкий М. Л. и др.  Сборник задач по алгебре для      учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – 4-е изд. – Просвещение, 1997. – 271 с.; ил. 

			Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С.  Задачи с параметрами. – 3-е изд. – М.; Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, - 336 с. 

	Дорофеев Г. В. и др.  Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2002. – 672 с.; ил. 

	Сканави М. И. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – 7-е изд. – М. 1996. – 528 с.; ил. 

	Мордкович и др.  Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. – 315 с; ил. 

		Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.  Алгебра: Доп. главы к шк. и кл. с углубл. изуч. матаматики. – М.: Просвещение,1997. – 224 с.; ил. 

	Саакян С. М. и др.  задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 кл. общеобразоват.учреждений. – М.: Просвещение, 1997. – 256 с.; ил. 

	Черкасов О. Ю.Якушев А. Г.  Математика для поступающих в серьезные вузы. – М.: Московский лицей, 1998. – 400 с. 

	Говоров В. М. и др.  Математика: сборник задач с решениями для поступающих в вузы. – М.: АСТ: Астрель,2005. – 829 с.; ил. 

	Шарыгин И. Ф.  Сборник задач по математике с решениями: Учеб. пособие для 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: АСТ: Астрель, 2001. – 448 с.; ил. 

	Ромашко В. Д.  Параметры. – Интернет.

	Карп. А. П.  Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа. – Санкт-Петербург: Оракул, 1998. – 284 с. 

	Бортаковский А. С., Закалюкин В. М.  Задачи повышенной сложности по математике для абитуриентов, - М.: Изд-во МАИ, 2003. – 424 с. 

	Бортаковский А. С., Закалюкин В., Шапошников В. П.  Экзаменационные задачи и варианты по математике: Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Изд-во МАИ, 2004. – 384 с. 

	Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И.  Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 кл. – М.: Экзамен, 1998. – 192 с. 

	Горнштейн П. И., Мерзляк А. Г., Полонский В. Б. Якир М. С.  Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса, Харьков:Гимназия, 1998. – 236 с. 

	Сергеев И. Н.  Математика. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в вузы. – М.:КДУ, 2005. – 3-е изд. – 360 с.; ил. 

	Приходько Л. А., Грознова С. Ю.  Математика: Пособие для поступающих в 10-ый лицейский класс. – М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2002. – 69 с. 

	Лебедев В. В.  Решения задач репетиционного экзамена по математике 2002-2004 г. М.: «Экспресс-Полиграф-Сервис»., - 2002. 

	Потапов М. К.., Олехник С. Н.,Нестеренко Ю. В. Уравнения и неравенства с параметрами. – Изд-во Московского университета, 1992. – 16 с.  

	Осколков В. А. и др.  Сборник конкурсных задач по математике с решениями и ответами. – М.: МИФИ, 2003. – 92 с. 

	Сборники  «Математика. ЕГЭ». – М.: Экзамен,2004, 2005, 2006. 

	Сборники  «Математика. ЕГЭ». – М.: АСТ: Астрель,2006, 2007. 

	Сборники  «Математика. ЕГЭ». – М.: Просвещение, 2005-2007.

	Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.  Сборник задач и контрольных работ (7-9 кл.). – Москва-Харьков: Илекса, Гимназия, 1999. 

	Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С.  Самостоятельные и контрольные работы по алгебре (7-11 кл)