на тему: «Метод математической индукции»

МОУ   ШИЛИ









 

















Реферат 

на тему:

«Метод математической индукции»

                                                       





                                              

 Выполнила:

ученица 11 «А» класса

                            Терещенко Мария







Проверила:

Ерёмина Людмила 

Александровна

     













Калининград  

2008

	   

	                                

	Содержание:

	 

	1.Введение                                                                                                                                стр.3                                                                                                                         

	

	2.Основная часть                                                                                                                      стр.4

	                                    

	-принцип математической индукции                                                                                     стр.6

	

	-метод математической индукции в решении задач на делимость                                     стр.7

	                                     

	

	-применение метода математической индукции к суммированию  рядов                         стр.8

	                                                                                                                                          

																-пример применения метода математической  индукции к доказательству  неравенств  стр.9                                                                                                                                 

																

																-метод математической индукции в применение к другим задачам                                 стр.10                                        

																

																3.Заключение                                                                                                                          стр.11             

																

																4.Список используемой литературы                                                                                    стр.12                                                                 

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	-2-               

	                             

	Введение



В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному. 



Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока.

Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

 

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно. 



Хотя и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает. 



А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно.













                         









                                                        

                                                        





                                                           

                                                                 





    -3-                  



Основная часть 

   

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения. 

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представим в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 

                       4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 

                        14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. 

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых. 

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев. 

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). 

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин. 

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи: 

1=1=1 2 

1+3=4=2 2 

1+3+5=9=3 2 

1+3+5+7=16=4 2 

1+3+5+7+9=25=5 2 





                                                      

                                                      

-4-             

    После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 

                                  1+3+5+…+(2n-1)=n 2 

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2 

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы. 

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам. 

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем. 

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n 2 ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1. 

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n. 

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип. 



















-5-



Принцип математической индукции. 

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n. 

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом. 

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) >А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p. 

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k) >A(k+1). 





















































-6-  



  Метод математической индукции в решении                                                        задач на делимость.

Пример 1

 Доказать, что при любом n , 7 n -1 делится на 6 без остатка. 

Решение: 

1)Пусть n=1, тогда Х 1 =7 1 -1=6 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утвержде-ние верно.                                                                                         2) Предположим, что при n=k ,7 k -1 делится на 6 без остатка.                                                                   3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1. 

 X k+1 =7 k+1 -1=7 

 7 k -7+6=7(7 k -1)+6. 

Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7 k -1 делится на 6 по предположению, а вторым слага-емым является 6. Значит 7 n -1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано. 

Пример 2

Доказать, что 33n+3-26n-27 при произвольном натуральном n делится на 262(676) без остатка.
Решение: Предварительно докажем, что 33n+3-1 делится на 26 без остатка.
1) При n=0 
  33-1=26 делится на 26
2) Предположим, что при n=k
  33k+3-1 делится на 26
3) Докажем, что утверждение
  верно при n=k+1.
33K+6-1=27,33k+3-1=26,33k+3+(33k+3-1) -делится на 26
Теперь проведём доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи.
1) Очевидно, что при n=1 утверждение верно 
33+3-26-27=676
2) Предположим, что при n=k 
выражение 33k+3-26k-27 делится на 262 без остатка.
3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1
33k+6-26(k+1)-27=26(33k+3-1)+(33k+3-26k-27).
Оба слагаемых делятся на 262; первое делится на 262, потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода математической индукции утверждение доказано                                                  

 -7-                 



 Применение метода математической индукции к суммированию рядов.

 Пример 3 

Доказать, что 

1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х (1) 

Решение: 

1) При n=1 получаем 

1+х=(х 2 -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1 

следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно. 

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е. 

1+х+х 2 +х 3 +…+х k =(х k+1 -1)/(х-1). 

Докажем, что тогда выполняется равенство 

1+х+х 2 +х 3 +…+х k +x k+1 =(x k+2 -1)/(х-1). 

В самом деле 

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k )+x k+1 = 

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1). 

Итак, А(k) > A(k+1). 

На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n.























  



 -8-             

 

   Пример применения метода математической       индукции к доказательству  неравенств.

                   

 Пример 4 

Доказать, что при n>2 справедливо неравенство 

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/n 2 )<1,7-(1/n). 

Решение: 

1) При n=3 неравенство верно 

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )=245/180<246/180=1,7-(1/3). 

2).Предположим, что при n=k 

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/k 2 )=1,7-(1/k). 

3) Докажем справедливость не- 

равенства при n=k+1 

(1+(1/2 2 )+…+(1/k 2 ))+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2 ). 

Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k+1) U 

(1/(k+1) 2 )+(1/k+1)<1/k  U (k+2)/(k+1) 2 <1/k U 

k(k+2)<(k+1) 2 U  k 2 +2k<k 2 +2k+1. 

Последнее очевидно, а поэтому 

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k+1). 

В силу метода математической индукции неравенство доказано. 





















     

 -9-                 



Метод математической  индукции в применение к другим задачам.

    Наиболее  естественное  применение  метода  математической  индукции  в

геометрии,



Пример 5 

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2. 

Решение: 

1) При n=3 утверждение справедливо, ибо в треугольнике 

 А 3 =3(3-3)/2=0 диагоналей; 

А 2 А(3) истинно. 

2) Предположим, что во всяком 

выпуклом k-угольнике имеет ся А k =k(k-3)/2 диагоналей. 

3)Докажем, что тогда в выпуклом 

А k+1 (k+1)-угольнике число 

диагоналей А k+1 =(k+1)(k-2)/2. 

Пусть А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ A 1 A k . Чтобы под-считать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A 1 A 2 …A k , прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А k+1 , и, кроме того, следует учесть диагональ А 1 А k . Таким образом, 

  k+1=k+(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Итак, А(k) > A(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника. 

















                                                                                                                                                                  

-10-        



Заключение     

     В частности изучив метод математической индукции, я повысила свои знания в этой области математики, а также научилась решать задачи, которые раньше были мне не под силу. 

     В основном это были логические и занимательные задачи, т.е. как раз те, которые повышают интерес к самой математике как к науке. Решение таких задач становится занимательным занятием и может привлечь в математические лабиринты всё новых любознательных. По-моему, это является основой любой науки. 

    Продолжая изучать метод математической индукции, я постараюсь научиться применять его не только в математике, но и в решении проблем физики, химии и самой жизни. 

































































                                                                  

-11-  



Список используемой литературы:





         1.  Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Математика .

         Лекции ,задачи, решения /Учебное пособие –ООО « Попурри» -1996. 

     

      2.  Зорин В.В. , Фискович Т.Т.  Пособие по математике  для  поступающих  в  ВУЗы /  

      Москва : Высшая школа – 1980.



       3.  Рубанов И.С.   Как обучать методу математической индукции  /

           Математика в школе - № 1. -   1996 . 

          







































-12-