Автор Рыбаков Д. А

Реферат

Автор Рыбаков Д.А.

dim1r@yandex.ru

Фрактальная размерность



Содержание

	   

	Введение	2

	Предыстория	3

	Фракталы	5

	Классификации фракталов	5

	Геометрические фракталы	6

	Алгебраические фракталы	7

	Стохастические фракталы	8

	Хаусдорфово расстояние между множествами	9

	Топологическая размерность	11

	Обобщение формул для объема n-мерных тел.	12

	Размерность Минковского	13

	Размерность Хаусдорфа-Безиковича	14

	Компютерные модели фракталов	15

	Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ	17

	Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи dq	22

	Фрактальная размерность d0	25

	Информационная размерность d1	25

	Корреляционная размерность d2	27

	Функция мультифрактального спектра f(a)	27

	Другие подходы к измерению размерности.	28

	Гармоническая  мера	29

	Физический смысл фрактальных величин	30







Введение

Традиционная геометрия и тополигия далеко не полно описывают природные формы. Природа демонстрирует совершенно иной уровень сложности форм, отличный от прямых линий, эллипсов и других известных форм. Естественные формы зачастую оказываются неправильными, сильно фрагментированными и имеют фрактальную структуру.  Исторически получилось так, что многие математики откладывали в сторону трудные формы, которые портили красоту их выкладок. В результате созданные ими идеализированные объекты весьмы редко встречаются  в природе в чистом виде. В природе нет прямых линий, идеальных окружностей, плоскостей и тд.. Всевозможные возмущения, которыми пренебрегают, постоянно вносят свой вклад и портят иллюзию простоты. 

К примеру, если взять кромку деревянной линейки, то она традиционно описывается с помощью отрезка прямой линии. Но современные данные говорят о том, что эта кромка далеко не идеально ровная, - в мелком масштабе существуют различные впадины и выступы. Погружаясь дальше можно обнаружить древесные волокна, которые состоят из еще более мелких волокон и пор. В более мелком масштабе все это состоит из молекул и атомов, которые постоянно вибрируют и меняются местами.

	Несмотря на эти неровности, математическая идеализация кромки линейки с помощью отрезка является наиболее подходящей. Но такие прямые объекты - большая редкость в природе. Что делать с такими формами, которые принимают облака, клубы дыма, рельеф гор, русла рек, морские побережья, молнии, пути броуновского движения, диффузионные фронты, галактические скопления, волны в океане, перколяционные кластеры, синергетические структуры и тд и тп? В этих объектах почти нет никаких классических гладких участков. Традиционная геометрия уходит в бесконечную рекурсию при попытке описать. Подходы к их описанию и количественным оценкам появились достаточно недавно. Отцом фрактальной геометрии является Бенуа Мандельброт. Его фундаментальный труд был впервые опубликован в 1977 году.

В данном реферате будут отражены недостатки классического подхода к описанию физических явлений и обзор фрактальных величин. В реферате описаны такие фрактальные величины как: различные виды рамерности и гармоническая мера. Подробно освещены вопросы, связанные с компьютерным моделированием.

Не освещеными остались вопросы: 

- фрактальные временные ряды и закон Херста, 

- соотношение между мультифрактальным спектром f(a) и показателем массы (а)

- дробные производные и интегралы

- векторные и скалярные поля с фрактальными характеристиками

- задачи перколляции, 

- является ли фрактальная математика новой парадигмой в науке?



Предыстория

Простые истины алгебры, геометрии, теории чисел и теории множеств проделали достаточно долгий путь от интуитивных догадок до строгих выкладок. Математиков, которые находили каверзные контрпримеры все это время недолюбливали, так как они вызывали кризис здравого смысла, к которому стремились остальные ученые. 

Полани писал "...в научном исследовании всегда имеются какие-то детали, который ученый не удостаивает особым вниманием в процессе верификации точной теории. Такого рода личностная избирательность является неотъемлемой чертой науки." [3]

Большинство ученых старались отстраниться от трудных линий.

Примером может служить история с кривой  Хельге фон Коха описанная в 1904 году. [9]

[10,С.61] Чуть ли не единодушно ученые провозгласили кривую Коха чудовищной! За подробностями обратимся к работе Хана «Кризис здравого смысла» [1]. Хан пишет: «Характер неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную совершенно не укладывается в рамки того, что мы можем понять интуитивно. В самом деле, всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования образующаяся фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить. Только с помощью разума, применяя логический анализ, мы можем до конца проследить эволюцию этого странного объекта. Если бы мы положились в данном случае на здравый смысл, то составленное нами представление оказалось бы в корне ошибочшным, поскольку здравый смысл неизбежно привел бы нас к заключению, что кривых, не имеющих касательной ни в одной своей точке, попросту не бывает; Этот первый пример неадекватности интуитивного подхода затрагивает самые фундаментальные концепции дифференцирования».

[10 C,91] Подобное, единогласное недоумение математического сообщества вызвала кривая Джузеппе Пеано. Эта кривая может заполнить всю плоскость без остататка и при этом она не содержит самопересечений. Свой вклад в построение подобных множеств внес Госпер.

 Кроме Пеано и Коха, свой вклад в кризис внесли Георг Кантор с его множеством, называемым «фрактальной канторовой пылью». Также Жанн Перен и Норберт Винер нашли нестандартные математические свойства в давно известном броуновском движении. Серпиньский и Менгер построили свои известные множества. Босман построил Дерево Пифагора. Дирихле привел пример разрывной в каждой точке функции.



Фракталы

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный) — термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. Свой фундаментальный труд Мандельброт выполнил в жанре эссе, как бы давая читателям простор для фантазии и позволив им соучаствовать в процессе разработки теории и её приложений. Заслуга Мандельброта в том, что он смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Он открыл для нас удивительный мир фракталов, красота и глубина которых порой поражают воображение, вызывают восторг у ученых, хужожников, философов… Работа Мандельброта была стимулирована передовыми компьютерными технологиями, которые позволили генерировать, визуализировать и исследовать различные множества. Ни одна работа по фраталам не обходится без красивых иллюстраций.

 Классификации фракталов




Фрактальная форма подвида цветной капусты Brassica cauliflora

В основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. При определенных условиях стохостические фракталы могут называться мультифракталы.

Однако существуют и другие классификации:

 Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

- Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).



Геометрические фракталы 

[9] История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона; 

кривая Коха; 

кривая Леви; 

кривая Минковского; 

кривая Пеано. 

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

множество Кантора; 

треугольник Серпиньского; 

коврик Серпиньского; 

кладбище Серпиньского; 

губка Менгера; 

дерево Пифагора. 

Алгебраические фракталы

[9] Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдет. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении:

zi + 1 = F(zi), 

где F(z) — какая-либо функция комплексной переменной.

Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз zi + 1 = F(zi), каждый раз находя абсолютное значение z. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:

С течением времени | z | стремится к бесконечности; 

| z | стремится к 0; 

| z | принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы; 

Поведение | z | хаотично, без каких-либо тенденций. 

Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение | z | с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой | z | достиг «бесконечности», или чёрному в противном случае.

Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:

Действительная часть z меньше определённого числа; 

Мнимая часть z меньше определённого числа; 

И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа; 

Другие способы. 

И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того, как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.

Примеры алгебраических фракталов:

множество Мандельброта; 

множество Жюлиа; 

бассейны Ньютона; 

биоморфы. 

Стохастические фракталы

Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Эти фракталы наиболее интересны для физиков, так как находят свое отражение в физических процессах. Соотношение случайности и закономерности может быть разным. 

Хаусдорфово расстояние между множествами 

[6] Хаусдорф придумал оригинальню метрику, которая пременима к множествам из n.  Она играет важную роль в математике фракталов.
Мы будем руководствоваться интуитивно понятным определением. Так же здесь не будет приведено доказательство, что расстояние Хаусдорфа обладает всеми свойствами метрики.

Пусть Е и F – это 2 непустых компактных подмножества n

Пусть число r>0. 

Пусть Br – замкнутый шар с центром в начале координат.

Определение: дилатация E радиуса r (обозначается E + r) называется векторная сумма E + Br 



Определение: Расстояние Хаусдорфа  

H(F,E) = min{>0 :  E  F +   и F  E + }



Пример:  Пусть А и В – эллипсы  



Наименьшее , при котором А   B + и  B   А + составляет 3.5, то есть H(A,B)=3.5.









Размерность

Существуют разные размерности для множеств. Привычные со школьной скамьи представления о трехмерном пространстве, двухмерной плоскости, одномерной линии и тд имеют весьма поверхностный и упрощенных взгляд на все многообразие, которое скрывает в себе термин размерность. Далее мы рассмотрим строгие алгебраические теории , филосовские и практические концепции размерности. Зачастую концепции размерности строятся через обнаружение параметров, которые относятся покрывающим множествам. Но это не единственный способ.  
Так же будут рассмотрены дробные размерности, практическая значимость которых была показана Мадельбротом в 1970x годах.

[4] Размерность сильно зависит от того как ее измерять. Это означает, что кроме формул для подсчета размерности необходимо точно задать и некий операциональный набор способа измерения и интерпретации размерности. Традиционно с размерностью связывают количество независимых параметров, необходимых что бы задать положение точки в пространстве. Положение точки области плоскости, ограниченной квадратом можно задать двумя измерениями, и тогда ее размерность будет равна двум. А можно исхитриться, и представить себе эту область в виде ломаной с очень сильно прижатыми друг к другу звеньями, сложенными наподобие столярного метра, например кривой Пеано. Тогда, для задания положения точки хватит и одного измерения, и размерность будет равна единице. Далее мы постораемся привести различные размерности и способы их измерений а так же дать информацию об их практическом применении.



Топологическая размерность

Топологическая размерность - это обычная геометрическая размерность. Она принимает исключительно целые значения. 

Топологическая размерность отрезка линии равна 1, квадрата - 2, куба - 3. В простых явлениях она характеризует зачастую (но не всегда!) количество степеней свободы или количество параметров, необходимых для однозначного задания любой точки множества. 

Теория топологической размерности – это развитая область математики. Строгое математическое определение для метрических и топологических пространств пренадлежит Лебегу и иногда этот вид размерности называется размерность Лебега.  Так же свой вклад внесли Урысон и  Брауэр. 

Топологическая размерность определяется индуктивным способом, поэтому её еще иногда нызавют индуктивной размерностью.

Приведем краткое определение для метрических пространств [9]

Определение: Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие X, имеющее кратность ;

При этом -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия. 

Премеры топологически одномерных пространств: окружность, салфетка Серпиньского, коврик Серпиньского, губка Менгера.



Обобщение формул для объема n-мерных тел.

Одной из предпосылок для введения дробных размерностей служат формулы объемов n-мерных тел, которые плавным образом зависят от n.

Например объем n-мерного куба Vкуба = Ln, nN. Для евклидовых пространств n принимает только неотрицательные целые значения. Формула легко обобщается. Для пространств, задаваемых фрактальными множествами n может принимать вещественные неотрицательные значения. Vкуба = LD  где D  R+.

Соответствующее обобщение можно сделать для шара [6]

Точный объем шара Vшара = rD (D)
Где (D) = Г(1/2)D / Г(1+D/2)

Где Г – непрерывная функция.  Для целых чисел Г(n+1)=n!

Для рациональных - Г(x) = o exp(-t) tx-1dt, 


    Размерность Минковского 

[6] Предыдущее обобщение служит поводом для обобщение рамерности для компактного множества Аn. Приведем краткое определение. Для этого аппроксимируем А объединением шаров и просуммируем их объемы (или меры в общем случае).



Пусть N() — минимальное число шаров радиса , необходимых для покрытия компактного множества А. Их суммарный объем V пропорционален N()D.  При 0 , N()const / D . Логарифмируем и получаем   ln N()ln const   - D ln() .

Находим  



 D

ln ln const   -  ln N() 

               

При 0  значение ln(const) пренебрежимо мало по сравнению с ln(N())

Таким образом приходим к определению размерности Минковского



ln N()



ln 

0dimM (A)  = D = - lim





Путем подмены метрики доказывается, что вместо шаров могут быть использованы кубы.

Следует отметить, что нахождение минимального числа шаров -  не тривиальная задача.

Рассмотрим пример: пусть А есть единичный отрезок  в пространстве n  . Его можно покрыть N шарами радиуса 0.5/N.





0

ln 0.5/N()

ln N()  D = - lim                        =  1









Размерность Хаусдорфа-Безиковича 

Эта размерность имеет сходство с размерностью Минковского. Разница в том, что шары берутся произвольного радиуса 0 < r   и множество не обязательно  компактное.



[6,C137] Пусть А  является произвольным множеством Аn. Рассмотрим последовательность шаров  ri <  , i=1,2,3…..  , которые покрывают А.

Используя обобщеную формулу объема (или меры в общем случае) шара запишем

 



Феликс Хаусдорф смог доказать, что существует единственное вещественное число d, для которго S  0 и S   при 0 . Свой вклад в строгое доказательства теоремы внес Абрам Безикович, поэтому размерность d называется размерность Хаусдорфа-Безиковича. 

В начале эта величина не вызывала большого интереса у ученых. Но в последующем она сыгарала важную роль в математике фракталов. В математическов литературе она обозначается как dimH(A).





Компютерные модели фракталов

Для большинства физических приложений исследуются одно, двух и трех – мерные множества. Наиболее удобными являются покрытия с помощью отрезков, квадратов или кубов в виде ломанной линии, сетки или решетки соответственно. С помощью ЭВМ невозможно представить фрактал полностью во всех его деталях. Обычно точность вычислений не превышает несколько десятков знаков после запятой, что не позволяет представить мелкие или очень крупные части. Фрактал в ЭВМ можно представить как минимум тремя способами. Приведенное ниже описание легко обобщается на случаи большей размерности.

Клеточный, решетчатый или растровый способ. В этом способе пространство представлено в виде програмного массива чисел. Например : var space : array [1..L,1..L] of boolean; Если space[i,j] = true значит элемент принадлежит фракталу и наоборот. i,j – целые числа.

Векторный способ. Это более точный способ. Элементы фрактала представлены в виде элементарных фигур, которые задаются векторно. В этом случае для того, что бы определить, принадлежит ли точка (x,y) необходимо перебрать элементы фрактала и вычислить, попадает эта точка хоть в один элемент. x и y – числа с плавающей точкой.

Функциональный способ. В данном способе что бы определить принадлежит ли точка (x,y) необходимо вычислить функцию F(x,y) и проанализировать полученное значение. На самом деле все способы сводятся к функциональному способу. Просто, некоторые функции могут вычислятся аналитически, а некоторые обращаться к массивам данных для  получения результата. Мы будем ссылаться на этот метод имея ввиду, что исползуются аналитические функции.



Большинство задач на момент написания реферата использует клеточный (растровый) метод №1 для моделирования множеств. Этот метод обладает несколькими недостатками. Для детального моделирования требуется Ln  клеток. Где L – количество клеток в одном измерении n-количество измерений. Современная мощность компьютеров позволяет беспрепятственно моделировать 2х-мерные множетва. Для них L~ 103 . Для моделирования 3х мерных множеств требования к ОЗУ резко возрастают. Для таких задач L ~ 100, что явно недостаточно для полноценного моделирования. Альтернативой клеточной модели может служить векторная модель.



Для моделирования 3х-мерных физических стохастических фракталов применим векторный метод. Растровый метод вообще мало применим для 3х мерного моделирования. А аналитические функции, описывающие что-либо физическое стохастическое достаточно редки. Можно придумать пример, основанный на алгоритмах генерации случайных чисей, которые при одних и тех же (х,у,z) возвращают одинаковые значения. Например: F(x,y,z) = f(x,y,z) + MD5(x,y,z, r), где f – аналитическая функция, r – константый случайный параметр, MD5 – функция вычисления MD5 суммы. Но этот способ требует тщательного вероятностного анализа получаемых значений что бы результат был близок к какой-нибудь физической задаче.

Применимость методов моделирования.



Растровый метод

Векторный метод

Функциональный метод

Геометрические фракталы

В основном 2х мерные задачи

применим

применим

Алгебраические
фракталы

В основном 2х мерные задачи

применим

применим

Стохастические
фракталы

В основном 2х мерные задачи

применим

мало применим



Так же кратко стоит упомянуть о методах постоения фрактала. Для постоения геометрических фракталов используется Система Итерируемых Функций. Для алгебраических используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Для стохастических, все зависит от природы фрактала и сотношения закономерности и случайностей.



Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ

Следует отметить, что описанным ниже способом вычисляется не только размерность Минковского, но и Хаусдорфа, хотя для некоторых множеств(например для счетных множеств) эти размерности, вычисленные аналитически могут отличаться [КОН 135]. Но в большинсте важных случаев эти размерности совпадают. 

За основу берется формула зависимости количества кубов N от длины грани куба  при малых  в покрываещем множестве.

 	ln  const – ln N()    d ln   

Как видно из формулы, если построить график зависимости ln N  от ln  , то получится прямая с наколном d.



Разберём алгоритм на примере 2х мерного случая. Эта процедура используется для анализа изображений. Большинство изображений  представлены в растровом виде, то есть в виде двухмерного массива [6].





Итерация 2

N2 2

Итерация 1

N1 1

Исходное изображение  







Построив сетки для разных  получаем таблицу:





N

1

917

2

354

3

206

4

141

5

102

6

82

7

66

8

56





ln N

ln 



График получается не идеально ровным. Наклон этого графика вычисляется методом наименьших квадратов. В данном примере наклон равен -1.346 , то есть d=1.346



Еще одним недостатком этого метода является то, что используемое покрытие неминимально. Поск минимально покрытия – нетривиальная задача. Затраты на его вычисление могут оказаться огромными,  а полученное улучшение небольшим. 

Одним из эффектов вычислений может служить следующее ступенчатое поведение графика.



Этот эффект проявляется при плавном изменении  между итерациями. На приведенном рисунке разница  между соседними точками составляет 1%. Эффект проявляется для всех типов фракталов и зависит от алгорима подсчета размерности.



Для наглядности рассмотрим простой случай, когда покрытие состоит из одноги и двух кваратов.





=10N=1

=8N=1

=6N=1

=5N=2

=4N=2

=3N=2

Первая полочка
на графике

вторая полочка
на графике



Для клеточных моделей существуют естественные ограниения 1L. Для векторных моделей ограничение менее строгое  0>L.  Это означает, что  можно достаочно близко приближать к 0, эта близость ограничена только точностью вычислений конкретной ЭВМ. Это приводит еще к одной проблеме. Если  модель состоит из конечного количества векторных объектов, то начиная с некоторого момента  может стать намного меньше размера любого объекта. Это приводит к тому, что наклон графика становится равным топологической размерности объектов. То есть проблема состоит в том, что бы выбрать нужный диапазон для , который имеет физический смысл. От выбора диапазона зависит получаемая величина. Интуитивно можно предположить,          что    L, где средняя  – длина объектов, составляющих множество, а L – размер всего ансамбля.  Выбор диапазона может быть договорным для разных типов явлений, пока не будет создана точная математическая теория для фракталов, задаваемых в ЭВМ.

Точечный метод.Точечный метод является альтернативой к предыдущему методу. Этот метод применим к клеточным(растровым) моделям.  [6,C143]

    [11]. Рассмотрим сетку, покрывающую весь фрактал. Ее узлы будем называть ячейками. Каждую ячейку, имеющую с фракталом непустое пересечение, будем считать за одну точку. Ясно, что именно эта схема реализуется при графическом выводе фрактала на экран как массива пикселов. В этом параграфе «подсчет числа точек в клетке» означает подсчет числа ячеек (или пикселов) в клетке. Это не то же самое, что считать действительное число геометрических точек в клетке — ведь их бесконечно много. Точечный метод принципиально отличается от клеточного; в первом подсчитывается число точек в клетке, а во втором — число клеток, необходимых для покрытия фрактала. Для упрощения вычислений будем считать клетки квадратными. Размер L клетки означает число ячеек по каждой стороне. Ограничимся нечетными значениями L; в этом случае центральная ячейка клетки будет равноудалена от всех сторон. Сначала вычислим вероятности Р(m, L) того, что клетка размера L содержит m точек (ячеек) фрактала. Для этого вокруг каждой точки фрактала, считая ее центральной, построим клетку размера L и подсчитаем число точек, попавших в нее. Предположим, что фрактал содержит М точек. Тогда P(m, L) равно числу клеток, содержащих m точек, m = 1,...,М, деленному на М. Заметим, что сумма всех вероятностей равна единице:



Как и в предыдущем алгоритме, N(L) есть число клеток размера L, необходимых для покрытия фрактала. Как подсказывает интуиция, число клеток размера L, содержащих m точек, равно (М/m)Р(m,L). Поэтому оценка числа клеток, покрывающих все изображение, равна



где К — возможное число точек в клетке. Следовательно,



также пропорционально L d и может быть использовано для оценки фрактальной размерности d.



Заключение : вычисление фрактальной размерности является развивающейся областью. Существуют разные способы ее вычисления.



Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи dq

[7] Дадим   общее определение мультифракталов. Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область A, имеющую diamA = L в евклидовом пространстве размерности n. Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество точек из N>>1, как-то распределенных в этой области. В конце концов предполагаем, что N. 

Множество точек может представлять собой некоторую популяцию, состоящую из особей одного вида распределенных по области A. Такой популяцией могут быть, например, народонаселение или сеть метеостанций. Обе популяции неравномерно распределены по поверхности Земли. Пространственное распределение энергии, распределение ошибок в канале связи, распределение примесей в жидких средах, масс в веществе - примеры таких популяций. Важно отметить, что неравномерное распределение особей остается в силе независимо от линейного масштаба. 

Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной  и объемом d соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N() число таких ячеек, оно очевидно зависит от . Пусть ni() - число точек в i-й ячейке. Тогда величина 






- есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i-м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки. По правилу нормировки вероятностей: 



Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q: 



где -  q  +. 

Определение. Спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А называется совокупность величин: 






где 








Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. То есть если dq = const, т.е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью dH. Напротив, если функция dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом. 

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией (q),определяющей поведение статистической суммы Z(q,) при 0






Следует иметь ввиду, что предельный нереход при 0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N0. 

В случае обычного фрактала функция 



т.е. является линейной. Тогда все dq=d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности dq которого совпадают, часто используется термин монофрактал. 

Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т.е. представляет из себя мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей dq, число которых, в общем случае, бесконечно. 

Так, например, при q основной вклад в обобщеннную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц ni в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения pi. Наоборот, при q - оcновной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения pi. Таким образом, функция dq показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек A. 

Фрактальная размерность d0 

[7] Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности dq для некоторых конкретных значений q. Так, при q=0 из выражения 


следует, что 


С другой стороны 






Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению N()~d0 Это означает, что величина d0 представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах. 

Информационная размерность d1 






то (1)=0 






Теперь, устремляя q1, раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки, получаем 






В результате мы приходим к следующему выражению 






С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию фрактального множества: 






Такое определение энтропии множества полностью идентично используемому в термодинамиаке, где под pi понимается вероятность обнаружить систему в квантовом состоянии i. В результате величина обобщенной фрактальной размерности d1 связана с энтропией соотношением 






В термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе. 






то величина d1 характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. В связи с этим обобщенную фрактальную размерность d1 часто называют информационной размерностью. Она показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки  к нулю. 

Корреляционная размерность d2

Не будем приводить полные выкладки. [7] При вычислении суммы Z мы можем ввести кореляционный интеграл I() и получаем зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества A лежат внутри одной ячейки с размером .  






Мы приходим к выводу, что обобщенная размерность d2 определяет зависимость корреляционного интеграла I() от . По этой причине величину d2 называют корреляционной размерностью. 

Функция мультифрактального спектра f(a)

[7] Размерности Реньи не являются фрактальными размерностями в строгом понимании, по этой причине они называются обобщенными. Существует функция мультифратального спектра, которая имеет непосредственное отношение к фрактальности. 

При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной заполненностью. Функция же мультифрактального спектра f(a) характеризует собой хаусдорфову размерность однородного фрактального подмножетва Aa   A, характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек pi ~ a . Таким образом становится более понятным термин мультифрактал – его можно понимать как объеденение однородных фракталов. 

Типичный вид функции f(a) :





Функция f(a) обладает следующими свойствами f(a)  d0, f(a)  а. Знак равенства появляется, для полностью однородного фрактала.





Другие подходы к измерению размерности. 

Существует зависимость поведения некоторых объектов от размерности пространства в котором они определены. Этот принцип является еще одним подходом к измерению размерности в пространстве, определяемым фракталом.

Таким примером может служить случайное броуновское движение. Можно рассмотреть броуновское движение внутри фрактала и посчитать зависимость расстояния до центра от времени.[12] В работе профессора Шломо анализируется подобное движение в клеточной 2х мерной модели фрактала и возможные экспоненты для разных величин.

Можно отметить, что одним из таких интуитивно понятнях процессов является расширение шара. Если определить понятие шара в простантве, определенным фракталом, то можно посмотреть зависимость его объема от радиуса и тем самым вычислить степенные показатели этого расширения. То же самое можно проделать и с площадью шара.  Можно отслеживать соотношения периметра и площади.[feder]

Гармоническая  мера

	При описании физических явлений бывает важно знать, эффективную площадь взаимодействия объекта со средой. Если объект фрактальный, то площадь как таковая не существует. Для такого описания существует так называемая гармоническая мера – распределение вероятности того, что частица, начав движение с бесконечности каснется определенной области объекта. [8] Эта мера моделируется с помощью компьютера.





Гармоническая мера

Исходый объект

	

	Существует проблема выбора траектории движения частиц. При разных траекториях мера может получиться разной. Так, если траектория будет изломана определенным образом, то у частиц будет больше шансов достичь малодоступные участки фрактала.





Физический смысл фрактальных величин

Для физических процессов зачастую важны такие показатели, как площадь взаимодействия. Например, при горении бензиновой смеси в двигателе внутреннего сгорания смесь поступяющая в двигатель представлена в виде набора капелек и струек безнзина разной величины. 

Большинсто описаний используют усредненное описание смеси. Скажем соотношение обема топлива к объему цилиндра ничего не говорит о пространственном распределении смеси. Она  может быть одиникова как для пара, так и для небольшой лужицы бензина, находящейся на дне цилиндра. То есть информация об площади взаимодействия смеси с возухом напрямую не используется. 

	С другой стороны, стоит вопрос какова же эта площадь, если распределение напоминает собой стохастический фрактал? Величина площади, как таковая не существует, так как она сильно зависит от точности измерения, как в случае береговой линии. Вместо площади можно измерить различные фрактальные величины. Экспериментально можно выяснить для какой размерности эффективность горения смеси максимальна. И исходя из этого строить теорию, которая будет обладать предсказатеьлной силой.

	Подобные рассуждения могут возникнуть при исследовании искрового заряда. На момент описания реферата почти все подходы к описанию разряда носят интегральный, усредняющий характер. Искровые разряды зачастую изломаны и ветвятся. Если какие-то параметры зависят от длины искры или молнии, то они могут быть вычислены через фрактальные характеристики форм каналов. На момент написания реферата подобных данных не было представлено в литературе.
Литература



[1] HAHN H. The crisis in intuition. The world of mathematics, Newman, Vol. III. New York; Simon & Schuster, 1956-1976. (Перевод с немецкого)[190]

[2] GARDNER, M. In which «monster» curves force redefinition of the word «curve». Scientific American. 1976, 235 (выпуск за декабрь), 124-133. [163]

[3] Полани М. Личностное знание М. 1985

[4] Метафизика Фрактала М 1996

[5]Циллис К. Об измерении фрактальных размерностей по физическим свойствам. // В сб. статей «Фракталы в физике». — М.: Мир, 1988.[68]

[6] Р.М Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М.2000

[7] С.В.Божокин, Д.А.Паршин Фракталы и мультифракталы. М.2001

[8] Е.Федер. Фраталы. М.1991

[9] Электронная сетевая энциклопедия «Википедия». http://ru.wikipedia.org

[10] Б.Мадельброт Фрактальная геометрия природы. М. 2002

[11] R.F. Voss, Random Fractals : Characterization and Measurement, Scaling Phenomena is Disordered Systems, Plenum Press, New York 1985. [45]

[12] Topological properties of percolation clusters  S. Havlin, R. Nossal

J. Phys. A 17, L427 (1984)