Название работы

2





VII зональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»





Направление: Математика

Название работы: 

«Задачи на смеси и их практическое применение»

	

	

	

	

	

	

	

	

	Автор: 	Ветошкина Юлия, ученица 9 а класса

	

	Место выполнения работы: МОУ ООШ № 21 г. Оленегорска
                                                    Мурманской области

Научный руководитель: Прокопенко Надежда Ивановна,
учитель математики МОУ ООШ №21

2008 г.


СОДЕРЖАНИЕ

	Введение	3

	Различные способы решения задач	5

	Задачи на изменение концентрации	7

	Задачи на «высушивание»	14

	Задачи на смешивание	17

	Задачи на переливание	21

	Задачи на добавление	26

	Заключение	30

	Список литературы	31


1. Введение

Цели и задачи исследования: 

		Выяснить существуют ли другие (неизвестные нам) способы решения задач на смеси, если да, то изучить и применить при решении задач.

		Исследовать, как меняются формулы для нахождения количества «чистого» вещества и процентного содержания «чистого» вещества в полученной смеси после «п» переливаний в зависимости оттого, что дано в начале: смесь или «чистое» вещество.

		Систематизировать задачи по уровню сложности.

Почему мы выбрали данную тему?

		Задачи на смеси ежегодно включают в варианты ЕГЭ 11 класса, а теперь и в 9 классе, но многие ученики не приступают к решению, так как испытывают сложности при решении этих задач.

		Тема «Задачи на смеси» имеет практическую направленность. Собираясь в школу, мы пьем чай (не задумываясь о концентрации сахара в чае, однако кладем столько сахара, чтобы не пересластить), летом мы ходим за грибами, затем их сушат и мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, и при этом количество «сухого» вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы идем в аптеку, где готовят лекарство (смесь). Когда начинается эпидемия гриппа, технички моют пол, добавляя хлорку в воду для того, чтобы «убивать» микробы (если хлорки положить больше нормы, то можно отравиться). Мы пьем воду, которую предварительно обработали (на «Водоканале» воду очищают от примесей и обеззараживают). Наши родители работают на ГОКе и их зарплата зависит от %-ного содержания железа в добытой руде. И т. д.

		Мы выбрали тему «Задачи на смеси» еще и потому, что нас заинтересовали задачи на переливание:

Из сосуда, где находится p%-ный раствор вещества, отливают а литров смеси и доливают a литров воды. Какова доля вещества после n переливаний и сколько вещества в полученной смеси?

Мы вывели формулы ; ,а затем решили проверить как изменятся (или не изменятся) формулы, если вначале в сосуде находилось «чистое» вещество (кислота, спирт и так далее), получили , . Оказалось, что в новых формулах нет 0,01р. Теперь появилась возможность быстро решить задачи данного типа с числовыми данными.



В чем практическая значимость нашей работы?

По справочникам и учебным пособиям мы выбрали задачи на смеси и, решив, распределили их по блокам. А поскольку в ходе работы мы узнали новый способ решения задач на смеси – «старинный», то, изучив его, смогли решить задачи несколькими способами. В конце каждой задачи мы указали, начиная с какого класса можно ее решать. Это позволит учителю одну и ту же задачу (или ей подобную) включать в 5 классе (или в 6 классе) при изучении темы, а потом её же включить при повторении в 9 классе. Так как задачи решены различными способами, то ученики имеют возможность сравнивать способы решения, выбирать наиболее рациональный, кроме того, ученики повторяют, как найти часть от числа и число по части, прямую и обратную пропорциональность, решение уравнений и другое.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных в ходе исследования данных для работы на уроках.


2. Различные способы решения задач

Говоря о смесях, растворах, сплавах – будем употреблять термин «смесь» – независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и примеси. Что такое чистое вещество – определяем в каждой задаче отдельно.

Долей () чистого вещества в смеси называется отношением количества чистого вещества (m) в смеси к общему количеству смеси (М).



Например. В колбе 140 мл. 10%-ного раствора марганцовки. Долили 60 мл 30%-ного раствора марганца. Определить %-ное содержание марганца в полученном растворе.







m

М



Было

0,1 140 = 14 (мл)

140 мл

0,1

Добавили

0,3  60 = 18 (мл)

60 мл

0,3

Стало

32 мл

200 мл

?

 – процентное содержание марганца в полученном растворе



Поменяем условие задачи: Сколько нужно взять 10%-ного раствора марганцовки и 30%-ного раствора, чтобы получить 200 мл. 16%-ного раствора марганца.



1 способ.



m

М



0,1  х мл

Х мл

0,1

0,3(200 – х) мл

(200 – х) мл

0,3

(0,1 + 0,3(200 – х)) мл

(200 – х) мл

0,16



0,1х + 0,3(200 – х) = 0,16  200

0,1х + 60 – 0,3х = 32

0,2х = 28	х = 140



10%-ного раствора надо взять 140 мл,

30%-ного раствора 60 мл.



2 способ.

10% взяли х мл, 30% - y мл; получили 200 мл, где 200  0,16 = 32 (мл) марганца, то



	



Получили: х = 140, y = 60


Решим эту задачу «старинным» способом:

	Друг под другом пишут содержания веществ (в задаче это %-ное содержание марганца) имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание вещества в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединим записанные числа черточками, получим схему

	Теперь из большего числа вычитаем меньшее, т.е. 16 – 10 = 6;		30 – 16 = 14



			10		14

Получаем:	16

6



Из схемы делается заключение, что 10%-ного раствора надо взять 14 частей, а 30%-ного раствора – 6 частей.

Значит, в 200 мл: 	14 + 6 = 20 (частей)



200 : 20  14 = 140 (мл) – 10%-ного раствора

200 : 20  6 = 60 (мл) – 30%-ного раствора


3. Задачи на изменение концентрации

3.1. Имеется бутылка 20%-ного раствора кислоты и бутылка 40%-ного раствора кислоты.

1) Смешали 200 г из I бутылки и 300 г из II. Сколько «чистой» кислоты содержится в смеси? Определить % - ное содержание кислоты в полученном растворе.

m

M



0,2  200 = 40 (г)

200

0,2

0,4  300 = 120 (г)

300

0,4

160 г

500

160

500



160 г чистой кислоты в смеси

 - процентное содержание кислоты.

2) Взяли 300 г из I бутылки. Сколько надо долить из II, чтобы получить 32%-ный раствор?

m

M



0,2  300 = 60 (г)

300

0,2

0,4  х = 120 (г)

Х

0,4

(60 + 0,4х) г

(300 + х) г

0,32



60 + 0,4х = 0,32(300 + х)

60 + 0,4 х = 96 + 0,32х

0,08х = 36	х = 450



Надо долить 450 г II-го раствора.



3) Верно ли, что если из II бутылки берут на 50% больше, чем из I, то смесь всегда оказывается 32%-ным раствором кислоты?

m

M



0,2х л

х л

0,2

0,4  1,5х л = 0,6х (л)

1,5х л

0,4

0,8х л

2,5х л

0,8х

2,5х







3.2. Вода содержит 18% сахара. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг сладкой воды, чтобы содержание сахара составило 15%? (с 5 кл.)

1 способ.

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.

            m                                                M                                                     



0,18 · 40=7,2 кг                                 40кг                                                   0,18

0,15 · (40+х)                                      (40+х)кг                                            0,15



Так как количество сахара не изменилось, то

0,15 · (40+х)=7,2

6 + 0,15х = 7,2

0,15х = 1,2

х = 8

Значит, нужно добавить 8кг пресной воды.

Ответ: 8 кг пресной воды



2 способ.

		18		15	

15

		0		3		в 40 кг 15 частей

40 : 15  3 = 8 (кг)



3.3. Сколько граммов раствора марганцовки, концентрация которой 35%, надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация составила 10%? (с 6 кл.)

Решение:

                                                m                                     M                                              

исходный раствор               0,35х                                х г                                             0,35

вода                                                                              325г

полученный раствор           0,35х                             (х+325)г                                       0,1

    Получили уравнение:

0,1·(х+325)=0,35х			0,1х+32,5=0,35х

0,1х – 0,35х= -32,5			-0,25х= - 32,5

х = 32,5:0,25				х = 130



Значит, 130г надо добавить.

Ответ: 130г.

2 способ

		35		10

10

		0		25		325 : 25  10 = 130 (г)



3.4 Сколько граммов воды нужно добавить к 5% - ой йодной настойке массой 100г, чтобы ее концентрация уменьшилось до 1%?(С 5 кл)

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.



                                                m                                     M                                              

I раствор                                 5г                                   100г                                         0,05           

вода                                                                                 х г

II раствор                               5г                                   (х+100)г                                  0,01

    Получили уравнение:

0,01·(х+100) = 5

0,01х + 1 = 5

0,01х = 4

х = 400

Значит, 400 г воды надо добавить.

Ответ: 400 г.




2 способ



		5		1

1

		0		4		100 : 1  4 = 400 (г) 



3 способ



1) 100  0,05 = 5 (г) йода

2) 5 г это 1%

3) 500 – 100 = 400 (г)



3.5 Кусок сплава массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60%?( с 6 кл)

Решение:

45 = 45%

36 · 0,45 = 16,2

Пусть масса меди, которую надо добавить в сплав х кг, тогда (36 + х) кг – масса сплава после добавления меди, (16,2 + х) кг – масса меди в сплаве после добавки.

Зная, что медь в сплаве после добавки составила 60%, составим и решим уравнение:



 16,2 + х

———— = 0,6

  36 + х



16,2 + х = (36 + х)·0,6

16,2 + х = 21,6 + 0,6х

х – 0,6х = 21,6 -16,2

0,4х = 5,4

х=13,5

Ответ: 13,5 кг меди нужно добавить.



2 способ

		45		40

60

		100		15		36 кг : 40  15 = 13,5 (кг)



3.6. Какую массу воды надо добавить к раствору сода + вода массой 90кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды?(с 5кл)

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.



                                                m                                     M                                             

вода                                                                              х кг

вода+сода                           4,5 кг                               90 кг                                         0,05

сода                                     4,5 кг                              (90 + х) кг                                 0,03



Получили уравнение:

(90 + х)· 0,03 = 4,5

2,7 + 0,03х = 4,5

0,03х = 1,8

х = 60

Значит, 60 кг воды нужно добавить.

Ответ:60 кг воды нужно добавить.



2 способ

		5		3

3

		0		2		90 г : 3  2 = 60 (г)



3 способ

1) 90  0,05 = 4,5 (кг)

2) 4,5 кг это 3%

4,5 : 0,03 = 150 (кг)

3) 150 – 90 = 60 (кг)



3.7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание соли в полученной воде составило 2%?(с 5 кл)

Решение:

В 40 кг. морской воды 40· 0,05 = 2(кг) соли и в полученном растворе 2 кг соли. То 2 : 0,02 =100(кг).



            m                                                M                                                     

          2 кг                                           40 кг                                                  0,05

          2 кг                                         100 кг                                                  0,02



100 – 40 = 60 (кг) пресной воды нужно добавить.

Ответ: 60 кг.



2 способ

		5		2

2

		0		3		40 кг : 2  3 = 60 (кг)



3 способ

m

М



40  0,05 = 2 (кг)

40 кг

0,05



х кг

0

2 кг

(40 + х) кг

0,02





2 = 0,02  (40 + х)

2 = 0,8 + 0,02х

0,02х = 1,2	х = 60



3.8. В морской воде содержится 5% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 55 кг морской для получения 4% раствора. ( с 5 кл)

Ответ: 13,75 кг.



3.9. Было 12 кг воды. В нее добавили несколько кг сахара и получили 4% раствор. Какое количество сахара было добавлено в воду?( с 6 кл)

Решение:

Пусть х – количество сахара, которое добавили.


            m                                                M                                                      

                                                             12кг

+

           х кг                                           х кг

  ———————————————————————————————

          х кг                                        (12 + х)кг                                           0,04



(12 + х)· 0,04 = х

0,48 + 0,04х = х

0,96х = 0,48

х = 0,5

Значит, 0,5 кг сахара добавили.

Ответ: 0,5кг 



2 способ

		0		96

4

		100		4		12 кг : 96  4 = 0,5 (кг)



3.10. В апельсиновом соке содержится 12% сахара. Сколько воды нужно добавить к 5л сока, чтобы содержание сахара стало 8%? ( с 5 кл)

Решение:

Пусть х – количество воды, которую надо добавить.



            m                                                M                                                      

5·0,12 = 0,6 кг                                       5л                                                    0,12

0,6 кг                                                  (5+х)                                                  0,08

Получили уравнение:

0,08·(5+х) = 0,6

5+х = 0,6:0,08

5+х = 7,5

х = 7,5 – 5

х =2,5

Значит, 2,5 л воды надо добавить.

Ответ: 2,5л.



2 способ

		12		8

8

		0		4		5 л : 8  2 = 2,5 (л)



3 способ

1) 5 л  0,12 = 0,6 (л)

2) 0,6 л это 8%

0,6 : 0,08 = 7,5 (л)

3) 7,5 л – 5 л = 2,5 (л)



3.11. Соляная кислота содержит 16% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 60 кг соляной кислоты, чтобы содержание соли стало 10%? (с 5 кл)

Ответ: 3,6кг.



3.12. К 15л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор соли. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

(с 6 кл)

Решение:

Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х)л, в котором содержится 0,8·(15 + х)л соли. В 15л 10%-ного раствора содержится 15·0,1 = 1,5л соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0, 05х л соли. Составим и решим уравнение:

1,5 + 0,05х = 0,08· (15 + х)

1,5 + 0,05х = 1,2 + 0,08х

0,05х – 0,08х = 1,2 – 1,5

0, 03х = 0,3

х = 10

Значит, 10л 5%-ного раствора добавили.

Ответ: 10л.



2 способ

m

М



0,1  15 = 1,5 (л)

15 л

0,1

0,05х л

Х л

0,05

(1,5 + 0,05х) л

(15 + х) л

0,08



1,5 + 0,05х = 0,08 (15 + х)

х = 10



3 способ

		10		3

8

		5		2		15 л : 3  2 = 10 (л)



3.13. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? ( с 5 кл)

Решение:

Т.к масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, то можно записать след. уравнение:

(12 + х ) 0,4 =12·0,45                       



Решив его, получим х = 1,5.

Значит, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Ответ:1,5кг.





2 способ



		55		40

60

		100		5		12 : 40  5 = 1,5 (кг)



3 способ

1) Определим, сколько меди в 12 кг.

2) 5,4 кг это 40%

5,4 : 0.4 = 13,5 (кг) вес нового сплава

3) 13,5 – 12 = 1,5 (кг)



3.14 В 5%-ный раствор соли добавили 55г соли, после этого раствор стал 10%-ным. Сколько грамм 5%-ного раствора было?( с 6 кл.)

             m                                                M                                                                                                             0,05 х г                                                   х г                                                    0,05

 (0,05х+55)г                                          (х+55)г                                             0,1

Получили уравнение:

0,05х+55=0,1·(х+55)

0,05х+55=0,1х+5,5

0,1х-0,05х=55-5,5 

0,05х=49,5

х=990

Значит, было 990г 5%-ного раствора.



2 способ

		5		90

10

5



5% раствора 90 частей

в 55 г 5 частей, то

	55 : 5  90 = 990 (г) 	Ответ: 990г.



3.15.Имеется творог двух сортов: « жирный» содержит 20%  жира, «нежирный» содержит 5% жира. Определить процент жирности полученного творога, если смешали: 

а) 2 кг «жирного» и 3 кг «нежирного» творога.

б) 3 кг «жирного» и 2 кг «нежирного» творога. (с 5кл)



1 способ











40 – 2х = 3х – 15

5х = 55

Х = 11





60 – 3х = 2х – 10

5х = 70

х = 14



2 способ

	m		М		

2  0,2 = 0,4 (кг)	2 кг		0,2

3  0,05 = 0,15 (кг)	3 кг		0,2

0,4+0,15=0,55 (кг)	5 кг		?





	m		М		

	0,6		3		0,2

	0,1		2		0,05

	0,7		5		?







3 способ







4. Задачи на «высушивание»

4.1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили их влажность стала составлять 20%. Чему равна масса цветков после сушки?(с 5кл)

Решение:

Так как сухого вещества в 8 кг равно 15%, то сухого вещества 0,15х8=1,2кг. После сушки сухое вещество равно 80%, т.е. 1,2:0,8=1,5 кг.

Ответ: 1,5 кг.

4.2. Из 22кг свежих грибов получается 2,5кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (с 5кл)

Решение:

Свежие грибы         всего 22кг              % - ?

Сухие грибы            всего 2,5кг            12% воды      88% сухого вещества



2,5 0,88 = 2,2кг – сухое вещество

2,2 : 22  100% = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах.

	100% - 10% = 90% воды в свежих грибах 

	Ответ: 90%

4.3.Свежие яблоки содержат 80% воды, а сухие 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить из них 6кг сухих? (с 5кл)



Если в сухих яблоках  10% воды, то сухое вещество составляет 90%. Найдем сколько кг сухого вещества содержится в 6кг сухих яблоках.

6  0,9 = 5,4 кг

Такое же количество сухого вещества было в свежих яблоках, причем оно составляет 20% от количества свежих яблок.

То есть 5,4 это 20%

	5,4 : 0,2 = 27кг	Ответ: 27кг.

4.4.Если из 10кг абрикос получается 8кг кураги, содержащей 12% воды, то сколько процентов воды содержат свежие абрикосы? (с 5кл)

Решение:

42% = 0,42

100% - 42% = 58%

58%= 0,58

0,58  8 = 4,64(кг) – сухое вещество

4,64 : 10 100% = 46,4 %

	100% - 46,4% = 53,6%	Ответ:53,6%

4.5.Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели пролежал на воздухе?(с 5кл)

		Решение:

		Только что добытый уголь                 2% воды               98% сухого вещества

		Уголь после 2-х недель                       12% воды             88% сухого вещества

		1т = 1000кг

		1000  0,98= 980 кг- сухого вещество в добытом угле

		980 кг это 88%

		980 : 0,88 1114(кг) – масса угля после 2-х недель

		1114-1000=114 (кг)- увеличилась масса 

		Ответ: на 114 кг

4.6 В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (с 5кл)

		Решение:

		m                                                             M                                                λ

		

27кг                                                        30кг                                            0,9 сухие

27кг                                                        27: 0,3=90кг                               0,3 свежие

(остается)                                               90кг

Ответ: 90кг свежих грибов надо для того, чтобы получить 30кг сушеных.

4.7.Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 1,2% воды. Сколько получится сухих грибов из 22кг свежих грибов? (с 5кл)

Решение:

В 22кг свежих грибов содержится 10% сухого вещества, т.е. 

0,1  22 = 2,2кг

Когда грибы подсушили, то сухое вещество стало составлять 88%

2,2 кг это 0,88

2,2  0,88 = 2,5кг

Ответ: из 22кг свежих грибов получится 2,5 кг сухих.

4.8 Трава при высыхании теряет около 28% своего веса. Сколько было накошено травы, если из неё было получено 1,44 т сена? (с 5кл)

Решение:

Х кг – 100%

1,44 кг – 72%

0,72Х = 1,44

Х = 2

Значит, было накошено 2т травы

Ответ: 2 тонны.

4.9. Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15%. Какова стала масса зерна, если при первоначальной влажности она была равна 51т? (с 5кл)

Решение:

            m                                                M                                                      

        51 ·0,8=40,8 т                                  51т                                                0,8 (100%-20%)

        40,8 т                                               ?                                                 0,85    (100%-15%)

                                  

Значит, масса зерна стала 40,8:0,85 = 48т.    Ответ:48т.

2 способ

m

М



51  0,8 m

51 m

0,8 m

0,85  x m

X m

0,85

51  0,8 = 0,85  x

x = 48

4.10 .Сколько кг воды надо выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 25% целлюлозы? (с 6кл)

Решение:

             m                                                M                                                      

 0,5·15=0,75т                                       0,5т                                                 0,15

0,25(0,5 - х)                                       (0,5 - х)т                                            0,25

Получили уравнение:

0,5·0,15 = 0,25·(0,5 - х)

0,015 = 0,125 – 0,25х

0,25х = 0,05

х = 0,2

Значит, 0,2 т воды надо выпарить.

2 способ

0,5 m = 500 кг

1) В 500 кг целлюлозной массы

500  0,15 = 75 (кг)

2) 75 кг это 25%

75 : 0,25 = 300 (кг) вес полученной массы

3) 500 – 300 = 200 (кг)

Ответ:200 кг.

4.11. Из 60%-ного водного раствора спирта испарилась половина воды и 2/3 спирта. Каково % содержание спирта в получившемся растворе? (с 6кл)

Пусть вес раствора был х гр, в нем 60% спирта, т.е. (0,6·х) г и 40% воды, т.е. 0,4х г. Осталось 0,6х·1/3=0,2х(г) спирта и 0,4х·1/2=0,2х(г)-воды

    0,2х

————     ·100%= 2/4·100%=50%

0,2х+0,2х

Ответ:50%.

4.12. Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мед – только 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения одного килограмма меда? (с 5кл)

Решение:

В 1 кг меда 80% «чистого вещества», то есть 1·0,8=0,8(кг)

0,8 кг составляет 100%-84%=16% «чистого вещества», которое находится в нектаре, значит надо переработать 0,8:0,16=5(кг) 

Ответ: 5 кг.


5. Задачи на смешивание

5.1 При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140г 30%-ного раствора. Сколько грамм каждого раствора было взято?

(с 6кл)

Решение:

I способ  m                                                    M                                                      

              0,05х                                                 х                                                   0,05х

              0,4(140-х)                                    140–х                                                  0,4

  0,05х + 0,4(140-х)                                    140                                                    0,3

Получили уравнение:

0,05х+0,4(140-х)=140·0,3

0,35х=14,  х=40

Ответ :40г и 100г.

II способ

Пусть взяли х г 5%-ного раствора , в котором находится 0,05х г кислоты и у г 40%-ного раствора, где находится 0,4у г кислоты.

В 140г нового раствора содержится 30% кислоты, т. е. 140·0,3=42 г

Получили  {х+у=140      

                    0,05х+0,4у =42

    х=140 –у

 0,05(140-у)+0,4у=42,      7-0,05у+0,4у=42   у=100      х=40

III способ

Смешали 5%-ный раствор кислоты и 40%-ный раствор.



                           5                            

                                                    40-30=10

30

                                                    30-5=25

                         40 



Получили: 5%-ного раствора надо взять 10 частей; 40%-ного – 25 частей.

Значит, 140г это 35 частей

140:35·10=40г – 5%-ного

140:25·10=100г – 40%-ного

(140-40=100г)

Ответ: 40г и 100г.

5.2.Один раствор содержит 20% соли, а второй – 70%. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-ного соляного раствора? (с 5кл.)

             m                                                M                                                      

           0,2х л                                           х л                                                   0,2

     0,7(100-х)л                                     (100-х)л                                             0,7

(0,2х+0,7(100-х))л                              100кг                                                  0,5

Получили уравнение:

0,2х+0,7(100-х)=100·0,5

0,2х+70-0,7х=50

-0,5х=-20

х=40

Значит, I раствора взяли 40кг, II-60кг.

Ответ: 40кг и 60кг


2 способ







100 л : (30 + 20) = 2л

2  30 = 60 (л) – надо взять 20%-ного 

2  20 = 40 (л) надо взять 70%-ного

5.3. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? (с 6кл)

Решение:

Состояние смеси     m(г)                                     M (г)                                             

           I                      0,3x                                         x                                               0,3

          II                    0,1(600-x)                              600-x                                          0,1

      I+II                   0,3x+0,1(600-x)                        600                                            0,15 

Получили уравнение:

 0,3x+0,1(600-x)= 600·0,15

 х=150

Значит, 150г 30%-ного раствора и 600-150=400г 10%-ного раствора.

Ответ:150г и 450г.

5.4. Смешали клубничный сироп, содержащий 40% сахара, и содержащий 20% сахара малиновый сироп. В итоге получили сироп из смеси ягод, содержащий 25% сахара. Какое количество каждого сиропа было изначально, если масса ягодного сиропа 360г. (с 6кл)

	

	

			m(сахар)

	M

	

	Клубничный сироп

	0,4х г

	Х г

	0,4

	Малиновый сироп

	0,2(360-х)

	(360-х) г

	0,2

	Ягодный сироп

	0,4+0,2(360-х) г

	360 г

	0,25

0,4х+0,2(360-х)=3600,25

0,4х+72-0,2х=90

0,2х+72=90

0,2х=18

х=90

90 г-масса клубничного сиропа

360-90=270 (г) – масса малинового сиропа

Ответ: изначально было 90 г клубничного и 270 г малинового сиропа

5.5 Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» получить 20т с содержанием меди 8%?(с 6кл)

	Решение:

	1способ

	

	m

	M

	

	1

	0,06х

	х

	0,06

	2

	2,2-0,11х

	20-х

	0,11

	

	2,2-0,05х

	20

	0,08

	2,2-0,05х=200,08

	2,2-0,05х=1,6

	0,6=0,05х

	х=12. Значит, 12т «бедной» руды надо взять.

	2способ

	11%=0,11

	8%=0,08

	6%=0,06

	Пусть х т «бедной» руды содержит 0,06хт меди, то 0,11(20-х) т меди – «богатой» руды

	20 т содержит 200,08 т меди

	Составим и решим уравнение:

	0,06х+0,11(20-х)=200,08

	0,06х+2,2-0,11х=1,6

	-0,05х+2,2=1,6

	-0,05х=-0,6

	х=12 	Ответ: 12т

5.6. Имеется 36 л раствора 3% азотной кислоты. Сколько литров раствора 6% азотной кислоты надо влить в сосуд, чтобы после добавления воды получить 54 л раствора 5% азотной кислоты?

Решение:

Пусть х литров надо влить в сосуд



m

М

λ

было

1,08л

36

0,03

прибавили

0,06 х

х

0,06

стало

1,08 +0,06 х

36 +х



Стало, после прибавления воды

2,7л

54л

0,05



	Т.к. после прибавления воды чистое вещество в растворе не изменилось, то:

	1,08 + 0,06 х = 2,7л

	0,06 х = 2,7 – 1,08

	0,06 х = 1,62

	х = 27

	Значит 27л 6%-ной азотной кислоты надо влить в сосуд.

	Ответ: 27л

5.7. Требуется приготовить 1кг 15%-ного раствора аммиака из 25%-ного раствора. Сколько необходимо для этого взять граммов 25%-ного раствора аммиака и воды?

		Решение:

	m

	M

	

	0,15

	1кг

	0,15

	0,15

	0,6кг

	0,25

	

	Значит, нужно взять 0,6 кг=600 г раствора, и 1000 г-600 г=400 г воды.

	

	Ответ: 600г раствора, 400г воды.

	

	2 способ

	

	

	1000 : (15 + 10) – 15 = 600 (г) – аммиака

	1000 : 25  10 = 400 (г) – воды


6. На переливание

6.1. В сосуде, объем которого А л, находится p%-ый раствор соли. Из сосуда выливают а л воды, после чего раствор перемешивают. Эта процедура повторяется n раз. Какова доля соли после n перемешиваний?

m

M



0,01р  А

А

0,01р

1) 



A – a + a



2) 









A – a + a





3) 



A – a + a = A





Следовательно, после n перемешиваний доля соли станет ,

а соли станет .

6.2. Проверим как изменится формула, если в сосуде А л чистого раствора спирта. Отливают а л и доливают а л воды. Какова доля спирта после n переливаний?



m

M



А л

А л

1

1) А л – а л

А л – а л + а л



2) 





(А – а + а) л



3) 



Спирта после трех переливаний





(А – а + а) л

для спирта после трех переливаний 



Значит, после n переливаний будет  спирта,	 – доля спирта.

6.3. Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л и дополняют сосуд водой, потом отливают 1л смеси и опять дополняют сосуд водой; так поступают в третий, в четвертый и т.д. раз. Сколько спирта в сосуде после 10 отливаний?

Применим формулу: , где n =10		А = 20		а = 1



6.4. Из полного бака, содержащего 729 л кислоты, отлили а л и долили бак водой. После перемешивания отлили а л раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была повторена 6 раз, раствор в баке содержал 64 л кислоты. Найти а.

;	(729 – а)6 = 26  (36)5;		(729 – а)6 = (2  35)6

			729 – а = 2  35;		729 – а = 486;		а = 243

6.5. Сколько литров чистого спирта останется в сосуде, если из 50 л 80%-ного его раствора 20 раз отлили по 1 л раствора, каждый раз добавляя 1 л воды? (с 8 кл)

Применим формулу , где А = 50, Р = 80, n = 20



6.6 В сосуде объёмом 10 литров содержится 20 % раствор соли. Из сосуда вылили 2 л смеси и долили воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется 2 раза. Определить концентрацию соли после первой процедуры и после второй процедуры. (с 7 кл)

Решение:

Первоначальное количество соли рассчитывается по формуле  pV:100 ,

где  p – первоначальный % (в нашем случае – 20%)

        V – объём(10 л )

2010:100=2 кг соли первоначально было в растворе.

После того, как вылили 2 л смеси, соли осталось Vp:100-ap:100, где а – объём вылитого (2 л)

1020:100-220:100=2-0,4=1,6 кг соли, а её концентрация после добавления воды стала равной 16 %.

Вторая процедура:

	10(16:100)-2(16:100)=1,6 – 0,32=1,28 (кг соли, оставшейся в растворе)

	После добавления воды концентрация стала 12,8% х=1,28100:10=12,8%

	Ответ: после первой процедуры соли было 16%, после второй процедуры соли стало 12,8%

2 способ 

Воспользуемся формулой:

 –  соли

если n = 1, то 

если n = 2, то 

6.7. В первый сосуд, вместимостью 6 л налито 4 л 70%-ного раствора спирта, во второй сосуд той же вместимости налито 3 л 90%-ного раствора спирта. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом сосуде получился p%-ный раствор спирта? При каких p задача имеет решение? (с 8 кл.)

Решение:

           m                                                    M                                                      

I    0,7·4=2,8(л)                                  4л(из 6л)                                               0,7

II   0,9·3=2,7(л)                                  3л(из 6л)                                               0,9

Из II перелили в I p% раствор

Пусть перелили а л раствора из II сосуда в I сосуд, причем 0a2

Тогда в I сосуде стало (a+4)л смеси, где чистого вещества (спирта) станет 2,8л+0,9·а л

2,8+0,9а

 ————   ·  100%=p%

   а+4

2,8+0,9а            р

————  =   —— ; 280+90а=ар+4р; 90а-ар=4р-280;

    а+4              100

а(90-р)=4р-280

      4р-280

а = ——— - столько литров раствора перелили

       90-р

      4р-280

0 ————  2

       90-р

По смыслу задачи р<90, то 90-р>0. Тогда получим, что 04р-2802(90-р)

	4р-280>0

	4p-2802(90-p)

	4p>280

	4p-280180-2p

	p>70

	6p460

	p>70

			p76 2/3	70p76 2/3

6.8 Из сосуда ёмкостью 54 л наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? (с 8 кл.)

Решение:

I способ

Пусть в I раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54-х)л кислоты. Значит, в 1л смеси содержится (54-х):54 кислоты (концентрация раствора)

Во II раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве содержится (54-х):54·х л кислоты.

Таким образом, в I раз было вылито х л кислоты, во II – (54-х):54·х л кислоты, а всего за два раза вылито 54-24=30(л) кислоты.

х+(54-х):54·х=30

х1=18         х2=90 не удовлетворяет условию задачи

Значит, в I раз вылито 18л кислоты.

II способ

             m                                                M                                                      было   54л                                             54л                                                     1

1 раз  (54-х)л                                    (54-х+хH2O)л                                     (54-х):54

2 раз  (54-х)л-(54-х):54·х л              (54-х+хH2O)л   

Получили уравнение:

(54-х)л-(54-х):54·х=24

(54-х) (54-х)=24

       54



(54-х)²=54·24

(54-х)²=1296

|54-х |=36

54-х=36 или 54-х=-36

х=18 или х=90 (не удовлетворяет условию задачи)

	Значит, в I раз вылито 18л кислоты. 	Ответ:18л

6.9. Сосуд ёмкостью 8л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% емкости сосуда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси, дополняют сосуд азотом и вновь выпускают такое же количество смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате кислорода в сосуде стало 9%. Сколько литров смеси выпустили из сосуда в первый раз? (с 8кл)

Решение:

Предположим, что каждый раз выпускали х л азота и выпускали х л азота. После первого выпуска в сосуде осталось (8-х)·0,16л кислорода, которые растворились в 8л смеси (после второго выпуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна



(8-х)·0,16

       8         , т.е. (8-х)·0,02.

После второго выпуска х л смеси в сосуде осталось (8-х)л смеси с концентрацией кислорода, равной (8-х)·0,02, т.е. (8-х)·(8-х)·0,02 л кислорода, которые растворились в 8л смеси(после второго впуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна (8-х)²·0,02:8, а процентное содержание (8-х)²·0,02:8·100.

Получили уравнение:

(8-х)²·0,02:8·100=9

х=14                                                    или    х=2

не удовлетворяет условию задачи  

Значит, в первый раз выпустили 2 л смеси.

Ответ: 2 л.


7. Задачи на добавление

7.1. 40кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2кг больше, чем в I сосуде. Если во II сосуд добавить 1кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в I сосуде. Найти массу раствора, находящегося в I сосуде.(с 7кл.)

Решение:

                          I              40кг                          II

                        у кг                                          (40-у)кг

                       х% соли                                    х% соли

II + 1кг соли, то будет соли в 2р. больше, чем в I

у·0,01·х<(40-у)·0,01х       на 2кг

(40-у)·0,01х-0,01ху=2

(40-у)·0,01х+1=2·0,01ху

0,4х-0,01ху-0,01ху=2

0,4х-0,01ху-0,02ху=-1

0,4х-0,02ху=2

0,4х-0,03ху=-1

        0,01ху=3

         ху=300     х=300:у

4         300                  300        2          300

        ——  ·  ——  - 0,01·у · —— - —— ·у· ——  = -1

          10          у                       у         100         у

      120:у-9=-1

      120:у=8

       у=15

	Значит, 15 кг – масса раствора, находящегося в I сосуде. 	Ответ: 15 кг.

7.2 Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если бы к нему добавили некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра? (с 7кл)

Решение:

Пусть в сплаве х г серебра, то меди (х-1845)г. Значит, вес сплава (2х-1845)г.

Добавили 1/3х г серебра, масса нового сплава (21/3х-1845)г, в котором 11/3х г серебра.

Значит, в новом сплаве доля серебра:

         11/3х                 

 21/3х-1845    или  0,835



4/3х  =0,835;       х=2505

7/3х

Масса сплава 2·2505-1845=3165(г)

2505                  167

——  · 100%= —— · 100%=79,1%

	3165                 211	Ответ: 79,1.

7.3.Сплав меди и цинка содержал меди на 640г больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6:7 содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально? (с 7 кл)

Решение:

Пусть в сплаве было х г цинка и (х + 640) г меди. Так как в сплаве осталось 1/7 часть содержащейся в нём меди и 2/5 части цинка, то составим и решим уравнение:

1/7 (х + 640) + 2/5х = 200

(5/1:7х) + (913/7) + (7/2:5х) = 200

19/35х = 1084/7

Х = (76035) : (719)

Х = 200

Значит, цинка было 200г, меди 840г, то сплав весил 200г + 840г = 1040г или 1кг 40г

Ответ: 1кг 40г

7.4. Два раствора, из которых первый содержал 800 г. безводной серной кислоты, а второй -600г. безводной серной кислоты соединили и получили 10кг. нового раствора серной кислоты. Определить вес каждого из растворов вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10 больше, чем процентное содержание кислоты во втором. (с 8кл)

	m

	М

	

	0,800 кг

	Х кг

	

	0,600

	(10 – х) кг

	

	

	8(10 – х) – 6х = х(10 – х)

	80 – 8х – 6х = 10х – х2

	х2 – 24х + 80 = 0

	

	х = 12  8

х1 = 4		х2 = 20 не удовлетворяет смыслу задачи (х < 10).

Значит, I раствор весит 4 кг, а II – 6 кг.

7.5. Имелось 2 разных сплава меди. Процентное содержание меди в I сплаве на 40% меньше чем во II. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в I и во II сплавах,, если известно, что меди в I сплаве было 6 кг, а во II – 12 кг. (с 8 кл)

	1 способ

	m

	М

	

	6 кг

	

	х%

	12 кг

	

	(х + 40)%

	18 кг

	

	36%

	

	

	

	Значит, в I сплаве было 20% меди, во II – 60%.

	2 способ

	I

	II

	a кг

	b кг

	х% меди

	(х + 40)% меди

	   	

	

	 	

7.6. В сплаве олова и меди содержалось 11 меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова первоначальная масса сплава? (с 8 кл).

	Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нем 11 кг меди и (х – 11) кг олова.

	m

	М

	

	(х – 11) кг

	х кг

	

	(х – 11 + 7,5) кг = (х – 3,5) кг

	(х + 7,5) кг

	

	

	

	Значит, первоначальная масса сплава 12,5 кг. Ответ: 12,5 кг.

	
8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

	

	Выводы:

	Работа имеет практическую направленность

	Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки, т.к. есть возможность сравнить свое решение с предложенным.

	Выведенные формулы позволяют легко решить задачи на n переливаний с числовыми данными.


9. Список литературы

Практикум по решению математических задач. В. Н. Литвиненко. Издательство «Просвещение» 1984 г.

Конкурсные задачи по математике. М. К. Потапов. Москва. А. О. «Столетие» 1995 г.

Сборник конкурсных задач по математике. В. М. Говоров. Москва. «Наука» 1983 г.

Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.И.Сканави Москва .1996 г.

Сборник задач по алгебре. П. А. Ларичев. Москва «Просвещение» 1965 г.

Алгебра. Задачник. В.В.Вавилов.Москва. Издательский дом «Дрофа» 

1996 г.

Алгебра 8. Задачник. А.Г.Мордкович. Москва. «Мнемозина» 2007 г.

Интенсивный курс подготовки к тестированию и экзамену. С.В. Процко Минск. ТетраСистемс. 2005 г.

Математические олимпиады 5- 6 класс. А.В. Фарков. Издательство «ЭКЗАМЕН» Москва, 2006г.

Сборник заданий для проведения итоговой аттестации пи математике. Санкт-Петербург СМИО Пресс 2001г.

Старинные занимательные задачи. С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. Москва. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1985 г