«Функции и графики»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа №6»

г. Соль-Илецка Оренбургской области

















Реферат по математике на тему

«Функции и графики».









Ученицы 9 класса

Сапожниковой Светланы Владимировны.





Руководитель: Сапожникова Лариса Венделиновна, учитель математики











г. Соль-Илецк 2011 год

Содержание:



Введение.                                                                                                             3

Историческая справка.                                                                                       6

Глава 1. Функции и их свойства.                                                                      9

Линейная функция.                                                                                  9

1.2.    Функция обратной пропорциональности.                                       10

Квадратичная функция.                                                                         11

Функция вида y=.                                                                              13

Степенные функции.                                                                             14

Зависимость вида +=.                                        17

Движение функций по осям координат.                                             17

Глава 2. Влияние модуля на функции.                                                          19

2.1.Модуль в линейной функции.                                                        19

2.2.Модуль и обратная пропорциональность.                                    20

Глава 3.  Функции вокруг нас.                                                                       21

3.1.Функции в литературе.                                                                       21

      3.2. Функции в природе.                                                                           22

      3.3.Функции в рисунках.                                                                          23

Заключение.                                                                                                     25

Список литературы.                                                                                        26

















Введение.



   Я хотела бы больше узнать о том, что такое функция и графики функций. С 7 класса мы изучаем алгебру по программе А.Г. Мордковича. Я считаю, что понятие функциональной зависимости является одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения. Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу, поэтому эта работа посвящается теме «Функции и графики» 

   Цели моего проекта можно поставить так:

Изучение истории формирования и развития понятия функции;

Систематизация знаний по определениям  функций, их графикам и свойствам;

Расширение представлений о функциях,  осуществление  связи  математики с жизнью.

В соответствии с целями можно сформулировать следующие задачи исследования:

Изучить  историю формирования понятия функции, проследить, как оно менялось на протяжении нескольких веков (от первого к современному);

Систематизировать знания из школьного курса алгебры по определениям  функций, их графикам и свойствам;

Расширить представления о функциях за рамки школьного курса математики,  рассмотреть  связь  математики с жизнью.

Тема «Функции» встречаются в практической жизни любого человека очень часто. Многие специальности связаны с чтением графика: врачи, сейсмологи, инженеры и многие, многие другие. Данная тема очень часто и в большом объёме встречается в заданиях ГОСУДАРСТВЕННОЙ  ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ 9-го и 11-го классах. Поэтому следующая задача -  изучить данную тему на очень хорошем уровне.



    Что же такое функция и что же такое графики функций?

    Прежде чем дать точное определение функции, поговорим немного об этом понятии. Описательно говоря, функция – это когда каждому значению некоторой величины, которую математики называют аргументом и обозначают обычной буквой x, отвечает значение другой величины y.

  Так, например, величина смещения земной поверхности при землетрясении в каждый момент времени имеет определенное значение – величина смещения есть функция времени. Сила тока в полупроводниковом элементе есть функция напряжения, так как каждому значению напряжения соответствует определенное значение силы тока.

   Таких примеров можно привести  много:  объем шара есть функция его радиуса, высота, на которую поднимается вертикально брошенный вверх камень, есть функция его начальной скорости и т.д.

   Еще одно существенное замечание. Когда говорят, что величина  y  есть функция величины x, то, прежде всего, указывают, какие значения может принимать x. Эти «разрешенные» значения аргумента x называют допустимыми значениями, а множество всех допустимых значений  величины называется областью определения функции y.

   Например, если мы говорим, что объем шара есть функция его радиуса, то областью определения функции будут все числа, больше нуля, поскольку величина радиуса шара может быть только положительным числом.

   Теперь мы можем более точно сказать, что такое функция.

   Функция – это зависимость y=f(x), где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y – значение функции (зависимая переменная),  x – значение аргумента (независимая переменная).

   Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.

   Функцию можно изображать геометрически с помощью графика. Чтобы построить график функции, рассмотрим допустимое значение x  и отвечающее ему значение y. Например, пусть значение  x - это число a, а соответствующее  ему значение y - b число. Эту пару чисел a и b изобразим на плоскости точкой с координатами (a;b). Посмотрим такие точки для всех допустимых значений x. Набор получившихся точек и есть график функции.

   График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.



































Историческая справка.



    Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 – 5 тыс. лет назад) пусть и несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2.         Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

    Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных — последними буквами латинского алфавита: x, y, z, известных — начальными буквами того же алфавита: a, b, c,... и т. д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

    Кроме того, у Декарта и Ферма (1601 – 1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат.

    В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл ее "флюентой").

    В "Геометрии" Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило, по существу, интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых — функция от абсцисс (x); путь и скорость — функция от времени (t) и т. п.

     Само слово "функция" (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа".

     В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".

     Наряду с этим Эйлер предлагает использовать буквы F, Y и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, jt, j (t+s).

     Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во "Введении в анализ бесконечного"): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств". Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717 – 1783), Лагранж (1736 – 1813), Фурье (1768 – 1830) и другие видные математики.

     Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807 – 1811 гг. "Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле", Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая, независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем "Курсе алгебраического анализа", опубликованном в 1721 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом.

    Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y – образы – определение  Дирихле. Синонимами термина “функция” в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.  Определение  функции Дирихле стало классическим. 

Глава 1. Функции и их свойства.



1.  Линейная функция.



   Функция y=k x + b называется линейной функцией. Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y = kx на b вверх, если b > 0, и на |b| вниз, если b < 0. Кроме того, если k ≠ 0, то значит, график функции y = kx + b получится из графика y = kx сдвигом на .

   Графики всех линейных функций, имеющих один и тот же угловой коэффициент, параллельны друг другу. Графики функций, коэффициенты k1 и k2 которых связаны соотношением k1k2 = –1, перпендикулярны друг другу.

























График линейной функции является прямой. Его можно построить несколькими способами.

По двум точкам. Выберем произвольные (удобные для построения) значения абсцисс x1 и x2, найдем соответствующие им ординаты y1 = k x1 + b, y2 = k x2 + b. Построим на координатной плоскости точки (x1; y1), (x2; y2) и проведем через них прямую. Это и будет искомый график.

По пересечениям с осями. Решим уравнение y = k x + b, подставив в него сначала x1 = 0, а затем y2 = 0. Получим две точки (0; y1), (x2; 0). Построим их на координатной плоскости и проведем через них прямую.

По угловому коэффициенту. Построим на координатной плоскости произвольную точку прямой. Проведем через эту точку прямую, образующую с осью OX угол, тангенс которого равен k – это в 10-11 классах.



1.2.Функция обратной пропорциональности.









Рис 1 Гипербола 

Рассмотрим функцию

 Она определена при x: . 

Значения функции также принадлежат промежутку E(x)=. 

Функция нечетна.

 Она не пересекает координатные оси. 

При x < 0 f (x) < 0, при x > 0 f (x) > 0. 

Функция убывает на промежутках (–∞; 0) и (0; +∞).

 Прямые y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при x → ∞ и x → 0 соответственно).  

График функции, а также графики функций вида, называются гиперболами.

Функция вид   (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной. 

Если c = 0 и d ≠ 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости y= ,  графиком которой является прямая линия. 



Квадратичная функция.



График функции f(x) = aпри a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию f(x) = a:

Областью определения этой функции являются все x  R.

Решив уравнение  a = 0  получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. 

Функция является четной (для любых  x)

  Ось OY является ее осью симметрии. 





Рис 2. График функции y = ax2, a = 1 > 0. 

При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).

При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].

График функции f (x) = ax2 + bx + c легко построить из графика функции y = x2 геометрическими преобразованиями, используя формулу 



Для этого нужно растянуть график y = x2 в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на  влево и на  вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону).





1

 Рис 3. Парабола является одним из конических сечений. 

Точка x  =  является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции.

Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции.

Функция f (x) = ax2 + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.



1.4.Функция вида y=.



y=, возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

=x, заменим x на y, и  y на x, получим:

  

y= - обратная для 

Свойство функции y=:

D(f)= ;);

Возрастает;

Ограничена  снизу, не ограничена   сверху;

=0, не существует;

Непрерывна;

E(f)=;

Выпукла вверх.



Рис 4. Функция y= и y=:



1.5.Степенные функции.



Степенная функция с натуральным показателем y= , где n N  непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция y= .Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет y= , где x ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции y=  (n – натуральное четное число) будет y= .





Рис 5.Степенная и обратная ей функции. 

Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция обратима, а обратная к ней функция обозначается как  или  . Функция  также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Свойства функции y = 

D(f)=();

Четная функция;

Убывает на луче (; возрастает на луче ;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

=0, не существует;

Непрерывна;

E(f)=;

Выпукла вниз.

Свойства функции y = 

D(f)=();

Нечетная функция;

Возрастает;

Не ограничена ни снизу, ни сверху;

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

Непрерывна;

E(f)=;

Выпукла вверх на ( выпукла вниз на [0;

Свойства функции y = 

D(f)=()  (0;);

Четная функция;

Убывает на открытом луче (0; возрастает на открытом луче ;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

Непрерывна при x и при x>0; 

E(f)=;

Выпукла вниз и при x, и при x>0.

Свойства функции y = 

D(f)=()  (0;);

Нечетная функция;

Убывает на открытом луче (0 и на открытом луче ;

Не ограничена ни снизу, ни сверху;

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

Непрерывна при x и при x>0; 

E(f)=;

Выпукла вверх при x; выпукла вниз при x>0.







1.6. Зависимость вида +=.



Графиком данного уравнения является окружность на координатной плоскости x Oy с центром в точке O(a;b) и радиусом r (r>0).

  График данного уравнения нельзя назвать графиком функции, т.к. нарушается определение функции: каждому значению x соответствует единственное значение y.



1.7. Движение функций по осям координат.



    Чтобы построить график функции y=f(x+l), где  l – заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции  y=f(x) вдоль оси x на  l  единиц масштаба влево.

    Чтобы построить график функции y=f(x-l), где  l – заданное положительное число, нужно сдвинуть график  функции  y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба вправо. 

    Чтобы построить график функции y=f(x)+m, где  m – заданное положительное число, надо сдвинуть график функции  y=f(x) вдоль оси  y на  m единиц масштаба вверх. 

   Чтобы построить график функции y=f(x)-m, где  m  - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции  y=f(x) вдоль оси  y на  m единиц масштаба вниз. 

Алгоритм 1 построения графика функции y=f(x+l)+m:

Построить график функции y=f(x).

Осуществить параллельный перенос графика y=f(x) вдоль оси x на  единиц масштаба влево, если l>0, и вправо, если l<0.

Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси y на   единиц масштаба вверх, если 

Алгоритм 2 построения графика функции y=f(x+l)+m:

Перейти к вспомогательной системе координат, проведя пунктиром вспомогательные прямые x=-l, y=m, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку (-l;m).

Новой системе координат привязать график функции y=f(x).



Рис 6. Функция у=1.9























Глава 2. Влияние модуля на функции.



Модуль в линейной функции.



Абсолютная величина́ или модуль, обозначается. В случае вещественного аргумента — непрерывная кусочно-линейная функция.

y=



Рис 7. Функция y=

Свойство функции y=:

D(f)=();

Четная функция;

Убывает на луче (; возрастает на луче ;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

=0, не существует;

Непрерывна;

E(f)=.











2.2.Модуль и обратная пропорциональность.



Рассмотрим функцию

 Она определена при x: . 

Значения функции E(x)=. 

Функция четная.

 Она не пересекает координатные оси. 

При x < 0   f (x)  0 и при x > 0   f (x) > 0. 

Функция возрастает на промежутке (–∞; 0) и убывает при x(0; +∞).

 Прямые y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при x → ∞ и x → 0 соответственно).  

 Функции   путем симметричного отражения относительно оси абсцисс гиперболы из третьей четверти во вторую, поэтому функция обладала свойством нечётной функции, а стала -  чётной функцией.



















Глава 3.  Функции вокруг нас.



3.1.Функции в литературе.



Функции - это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. 

Пословицы -  это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

Рассмотрим несколько примеров:

«Как аукнется, так и откликнется».

Возьмем две оси: горизонтальную - ось ауканья, а вертикальную – ось отклика.

Отклик равен ауканью. Графиком будет биссектриса координатного угла.

 «Чем скорее поедешь, тем скорее приедешь».

График будет напоминать график обратной пропорциональности.

 «Светит, но не греет»

Возьмём две оси: ось – света и ось – тепла.

Графиком данной функции будет ось света.

«Ни кола, ни двора»

Возьмём две оси: одна – кол, другая – двор.

Отсутствие одного и другого является точка О – начало координат.

"Чем дальше в лес, тем больше дров"

Горизонтальная ось графика - это лесная дорога. По вертикали будем откладывать количество топлива на данном участке дороги. График представит количество дров как функцию пути. Согласно пословице эта функция неизменно возрастает (функция возрастающая).

     







Функции в природе.



        



Рис 8.



    На рисунке 8 вы видите две кривые, начерченные сейсмографом – прибором, записывающим колебания земной коры. Верхняя кривая получена, когда земная кора спокойна, на нижней видны сигналы землетрясения.



Рис 9.

   На рисунке 9 – две кардиограммы. Верхняя показывает нормальную работу сердца, нижняя снята у больного. 



Рис 10.



   На рисунке 10 показана так называемая характеристика полупроводникового элемента  - кривая зависимости силы тока от напряжения.

   Сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности; изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Все эти люди изучают некоторые функции по графикам этих функций.



      3.3.Функции в рисунках.





Рис 11.Параболическая орбита со спутником.



Рис 12. Вращающийся сосуд с жидкостью.







Рис 13.

На рисунке 13 изображены детские работы с изображением функций.

Можно ещё раз убедиться как разнообразен мир функций и их графиков. 





















Заключение.



Работая над данной темой графики функции раскрылись мне  в необычной форме.  

Во-первых,  мне удалось систематизировать знания, умения и навыки по построению, исследованию функций, изучаемых в школе.  Я разобралась в определении функции и научилась отличать их от графиков уравнений.

Во – вторых, в моей работе видно,  что графики функций выходят далеко за пределы курса математики. Во многих профессиях пригодится умение читать графики.

Ещё мне удалось проследить за историей развития понятия функции: на протяжении многих веков учёные постепенно приходили к тому определению функции, которое мы изучаем.

И, наконец, моя работа пригодится мне для сдачи экзамена в новой форме в  9 классе.































Список литературы:



А.Г. Мордкович. Алгебра 7-9. Москва «Мнемозина». 2008.

И.М. Гельфанд. Функции и графики. Методические разработки для учащихся. Москва. 1984.

Н.А. Вирченко. Графики функций. Справочник. Киев. «Наукова Думка». 1979.



http://rcio.pnzgu.ru/personal/99/1/2/feedback.htm

 http://ru.wikipedia.org/wiki/Парабола

 http://festival.1september.ru/articles/211300/

http://www.claw.ru/a-exact/21581.htm







1