Методические указания к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (уирс) для студентов 2 курса физического факультета Иваново

Министерство образования Российской Федерации



Ивановский государственный университет



Кафедра общей физики и методики преподавания

















МАГНЕТРОН



Методические указания к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (УИРС)

для студентов 2 курса физического факультета



















Иваново

Издательство “Ивановский государственный университет”

   2004



Составитель: 

           кандидат физико-математических наук А.П. Блинов. 



Методические указания содержат постановку и анализ задач о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона, а также о вольт-амперной характеристике магнетрона.Приведены алгоритмы численного решения этих задач с использованием средств       компьютерной техники.

Для студентов 2 курса физического  факультета.



Печатается по решению методической комиссии физического факультета Ивановского государственного университета



Рецензент:

кандидат физико-математических наук Л.И. Минеев  (ИвГУ)



Составитель:

БЛИНОВ Анатолий Павлович



МАГНЕТРОН



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ (УИРС)

для студентов 2 курса физического факультета



Редактор В.А.Киселева

Лицензия ЛР № 020295 от 22.11.96. Подписано в печать .   

Формат 60 х      84 1/16

Бумага писчая. Печать Плоская. Усл.печ.л. 1,15  .

Уч .-изд. л. 1,0 .   Тираж 25 экз. 



Ивановский государственный университет

Печатно-множительный участок ИвГУ

153025, Иваново, ул.Ермака, 39



    Издательство “Ивановский государственный университет”, 2004











Введение



Настоящие методические указания предназначены для студентов 2 курса физического факультета ИвГУ, изучающих раздел «Электричество и магнетизм»  курса общей физики. 

Новый государственный стандарт физического образования предполагает глубокое усвоение основных физических понятий и законов. Этому способствует активное применение полученных знаний в процессе решения  физических задач. Указанные задачи, несомненно, способствуют закреплению изученного материала, формируют умения и навыки его практического применения.

Отметим, что самостоятельное решение указанных задач делает данную работу наиболее эффективной.

Вместе с тем целесообразно в учебный процесс вводить задачи, носящие научно-исследовательский характер (УИРС). Указанные задачи способствуют формированию умений и навыков, необходимых будущему физику-исследователю. Эти задачи более сложные и, как правило, носят комплексный характер. Такие задачи целесообразно предъявлять студентам для самостоятельной работы с возможностью консультаций с преподавателем в процессе их решения.

Решенные задачи могут обсуждаться на семинарских и лабораторных занятиях. Это способствует формированию у студентов умений и навыков выступать с краткими докладами, по форме приближенными к докладам на научных конференциях.

Одним из возможных направлений указанной деятельности является постановка и решение задач по электричеству и магнетизму. В настоящих методических указаниях в рамках лабораторного практикума рассматриваются  задачи о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона, т.е. вакуумного диода, помещенного в однородное магнитное поле соленоида (см. лабораторную работу № 12 “Определение удельного заряда электрона”). При этом электроды магнетрона могут иметь различную геометрическую форму (цилиндрическую или плоскую), а также выделяются режимы работы магнетрона в области насыщения анодного тока диода и вдали от этой области, когда выполняется “закон трех вторых”.

Наконец, в методических указаниях приводятся алгоритмы численного решения задач по нахождению траектории движения электрона в магнетроне и по нахождению вольт-амперной характеристики (ВАХ) магнетрона  с использованием средств компьютерной техники. 





При движении электрона в электрических и магнитных полях его траектория определяется конфигурацией этих полей и удельным зарядом  электрона, т.е отношением его заряда e к массе m. Для определения удельного заряда электрона можно использовать магнетрон (см. лабораторную работу № 12)

Магнетрон представляет собой вакуумный диод, помещенный в соленоид. Электродами цилиндрического магнетрона являются коаксиальные (т.е. с единой для них осью) металлические полые цилиндры (накаливаемый катод и холодный анод с радиусами  и  ,   Магнитное поле соленоида с индукцией   направлено параллельно оси цилиндров. 

Вследствие явления термоэлектронной эмиссии [1] разогретый катод испускает электроны, которые ускоряются электрическим полем с напряженностью  между электродами диода.

Анодный ток   магнетрона зависит от анодного напряжения  (разности потенциалов анода и катода), индукции B магнитного поля, а также температуры T катода. Вольт-амперная характеристика (ВАХ), т.е. зависимость   для B = 0 и T = const изображена графически на Рис. 1.























































Рис. 1







При достаточно больших значениях    анодный ток   практически не меняется и равен   (ток насыщения). При малых напряжениях   (вдали от области насыщения) выполняется “закон трёх вторых”, т.е.   [1].

Рассмотрим режим работы магнетрона: 

в области насыщения;

вдали от области насыщения (выполняется “закон трех вторых”).







Режим в области насыщения



В этом случае в пространстве между электродами отсутствуют

объемные заряды (нет электронного облака, возникающего вблизи катода), и электроны движутся от катода к аноду в вакууме под действием внешних электрического и магнитного полей.

Электрическое поле между цилиндрическими электродами имеет вид [1]



                                                             (1)



где   - радиус-вектор, отсчитываемый от оси Z  цилиндров и ей перпендикулярный.

При наличии однородного магнитного поля  , направленного вдоль оси диода (магнетрона), электроны со скоростью    подвергаются действию силы Лоренца [1]



                                                                  (2)



так что по 2 закону Ньютона



                                                                                         (3)



где   - ускорение электронов.



Используя цилиндрические координаты  зависящие от времени t , из (3) получим:



                                                                            (4)



где было учтено, что    и                     

В плоскости, перпендикулярной оси Z цилиндров, введем систему координат X0Y, в которой введем “неподвижные” орты   и   такие, что

   Введем также “подвижные” орты по правилу



                                                         (5) 



такие, что  



Далее, с учетом (5) находим:



                                        (6)



Поскольку   , то по (6)



                          (7)



Раскроем теперь в (4) векторное произведение    в “подвижной” системе ортов   (орт   направлен вдоль оси цилиндров) с помощью (7):



      =                       (8)



Подставляя (7) и (8) в (4) и проецируя векторное уравнение (4) на “подвижные” оси, связанные с ортами (5), получим:





                                          (9)



где       и   - удельный заряд электрона.

Формально можно считать, что начальная скорость электронов т.к. на практике используемые напряжения порядка 10 –100 В, а выходящие с катода тепловые электроны имеют энергию порядка 0,1 эВ. В этом случае начальные условия имеют вид:



                                 (10)



Поэтому из (9) – (10) следует, что  т.е. скорость электронов   согласно (7).



Из второго уравнения системы (9) получаем



                                                     (11)



Так как   то из (11)  следует 



                                         (12)



Интегрируя (12), будем иметь [2]:



                    

т.е.



                                                           (13)



Константа интегрирования   в (13) находится с помощью начальных условий (10), т.е.



           

откуда



                                                                                          (14)



Подставляя далее (13) и (14) в первое уравнение системы (9), получим:



                                               (15)



где  



                                                     (16)

( и   определены в (9)).

Уравнение (15) можно проинтегрировать [2], полагая   В этом случае 

               

т.е.



                                   



что после интегрирования дает



   



Следовательно, 



                                 (17)



и значит,



                  



Заметим, что выражение (17) можно представить в более общем виде, когда электрическое поле между электродами произвольно, но тем не менее радиально симметрично, т.е. напряженность поля  аналогична (1):



  .                                                  (18)



Действительно, пусть   есть разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода. Тогда, вследствие того, что , из (18) получаем



                          .                                          (19)



Из (1)  с учетом (19) вытекает, что выражение   согласно обозначениям в (9) и (16) можно заменить на , т.е. в рассматриваемом более общем случае 



                                          (20)



Заметим, что по определению U имеем:    и   Поэтому с учетом начальных условий (10) для  (20) находим



                                                                   (21)





Кроме того, на аноде



                    .                    (22)



Согласно (7), выражение (22) представляет собой радиальную (вдоль радиуса-вектора ) составляющую скорости электрона на аноде. Если эта составляющая будет равна нулю, то электроны перестанут попадать на анод, т.е анодный ток прекратится.  Тем самым определяется некоторое критическое значение индукции магнитного поля , для которого при данном значении     Используя (22), находим удельный заряд электрона



                                                                          (23)



Аналогично, согласно (13) и (14), находится значение 



                                  (24)



Выражение (24) в силу (7) представляет собой ту составляющую скорости электронов на аноде, которая перпендикулярна радиусу-вектору   т.е. направлена параллельно орту  

Пусть   - угол между скоростью  электрона и радиусом-вектором   Тогда согласно (7)    и  по (13) - (14), (20) - (24)

(25)           





Режим работы магнетрона в области действия “закона трёх вторых”



В этом случае около катода формируется электронное облако [1], влияющее на радиальный профиль электрического поля (т.е. на зависимость (18)). В отсутствие магнитного поля анодный ток  

Действительно, запишем уравнение Пуассона [1]



                                                   (26)



где   - модуль плотности заряда электронного облака (заряд электрона (-e)<0). В цилиндрических координатах уравнение (26) принимает вид



                              (27)



Вследствие цилиндрической симметрии     и    т.е.



         .                                             (28)



Пусть   - плотность тока и  - скорость дрейфа электронов. Тогда



                                            (29)



Будем считать, что радиус катода  (на практике  ) и начальная дрейфовая скорость электронов у катода   ( дрейф электронов около катода затруднен из-за высокой плотности электронного облака). Тогда



                                                    (30)



С учетом (29) и (30) из (28) имеем:



                                 (31)



где было учтено, что в каждой точке вектор   направлен вдоль   т.е.

    (- плотность тока на аноде).

Краевые условия для U = U(r) имеют вид:



                            (32)

Последнее условие в (32) связано с тем, что катод экранирован электронным облаком.

Будем искать решение уравнения (31) с краевыми условиями (32) в форме

                                                        (33)



Тогда, подставляя (33) в (31), с учетом (32) получим:



          (34)



Таким образом, с учетом площади цилиндрического анода , где   - осевая длина анода (катода), анодный ток равен



                                            (35)



где



                                                                                       (36)

        

При наличии магнитного поля с индукцией   , направленной по оси Z (вдоль катода или анода), вместо (35) – (36) будем приближенно иметь (

                (37)



где   - угол между вектором   (или дрейфовой скоростью  в (29)) и радиусом-вектором    на аноде ( в соответствии с формулой (25)  при  .

Аналогичным образом рассматривается движение электронов в магнетроне с плоскими электродами. В этом случае удобно использовать декартовые координаты x,y,z. При этом ось X направлена перпендикулярно к параллельным электродам, так что значение x = 0 отвечает положению катода, вдоль которого направлены оси Y и Z, а x = d – положению анода (d – расстояние между электродами).

Пусть магнитное поле  направлено вдоль оси Z (т.е. параллельно катоду и аноду). Тогда по аналогии с (3) – (9) имеем:



                                                                           (38)



При этом напряженность  электрического поля параллельна оси X .

Начальные условия имеют вид:



                                   (39)



Интегрируя второе уравнение системы (38), получим с учетом (39)



                                                  (40)





Подставляя далее (40) в первое уравнение системы (38), получим в соответствии с начальными условиями (39)



                                      (41)



В (41) было учтено, что разность потенциалов  произвольной точки между электродами и катода   (см. (15) – (22)).

Пусть - угол между скоростью электрона и осью X. Тогда  и следовательно по (40) – (41) на аноде (x = d)



                         (42)



где анодное напряжение .

Из (42) следует, что, во-первых, критическое значение индукции магнитного поля (когда  и электроны не попадают на анод)



 ,                                            (43)



а во-вторых, вольт-амперная характеристика (ВАХ) магнетрона с плоскими электродами вдали от режима насыщения по аналогии с (26) – (37) имеет вид:



                               (44)



где    (S – площадь анода) и . При этом из (26) вместо (31) возникает уравнение [1] (



                                                      (45)



с начальными условиями



                     (46)





Численные методы



Для нахождения траектории движения электрона в магнетроне или ВАХ магнетрона нужно использовать соответствующие дифференциальные уравнения, которые следует решать численно с использованием средств компьютерной техники [3]. Так, для цилиндрического магнетрона в режиме насыщения с начальными условиями (10) из (13) – (17) имеем:



           (47)



причем          и a, b, c  определены в (16).

Для решения уравнения (47) выбирается малый шаг h изменения угловой переменной   , так что (по Тэйлору)



                          (48)



В (48)   выражается из уравнения (47).

Равенство (48) составляет ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (47). Этим решением является функция   описывающая в полярных координатах траекторию движения электрона.

Для численного нахождения ВАХ в цилиндрическом магнетроне с краевыми условиями



         (49)



(более общими, чем (32)) по аналогии с (31)  находим



                               (50)



где функция   согласно (25)  и по (29)   

Задавая шаг h изменения радиальной переменной r , имеем (см. (48)):



                      (51)

где   есть выражение (50).

Равенства (50) – (51) составляют ядро вычислительного алгоритма решения  уравнения (50) для фиксированных . Следовательно, из (49) вытекает, что 



                                              (52)



т.е. (52) определяет зависимость



                                                                                 (53)



Поэтому ВАХ находится с помощью (53) аналогично (37):



   (34)

что вычисляется с привлечением средств компьютерной техники и алгоритмических языков (БЕЙСИК, ФОРТРАН и т.д.)

Аналогично рассчитывается траектория движения электрона и ВАХ для магнетрона с плоскими электродами.



Справочная формула



В цилиндрических координатах









Экспериментальная часть



В лабораторной работе № 12 “Определение удельного заряда электрона” используется магнетрон цилиндрического типа (блок ФПЭ – 03). 

Индукция B магнитного поля соленоида равна





                                              (55)



где 



                          Гн/м – магнитная постоянная;

                           -  сила тока в обмотке соленоида, А;

                          N –  число витков обмотки;

                           - длина соленоида.



Поэтому ВАХ в данном случае по (36) – (37) имеет вид:



                                     (56)



где 



                                                             (57)



При малых   т.е. когда   в (56)



                                                   (58)



поэтому



                                                     (59)



Рассматривая при фиксированном значении   функцию



                                                                                    (60)



получаем, что





                                                    (61)



На Рис.2  зависимость (61) имеет вид прямой 2, касательной при  к реальной зависимости (60), которая графически изображается кривой 1. Следовательно, пользуясь обозначениями Рис.2, имеем:



                                   (62)



т.е. удельный заряд электрона по (57) и (62)



                         (63)





1

0



Рис. 2.







2















































Далее, так как



                                                                          (64)



а по (36)   то из (64) длина L анода (катода) равна



                                                                (65)



(Кстати, если L известно, то по (65) также можно определить 



В лабораторной работе № 12 снимается т.н. сбросовая характеристика

 дающая зависимость (60)  (кривая 1 на Рис.2), по которой с помощью формулы (63) можно найти удельный заряд электрона. При этом для блока ФПЭ – 03: N = 2700;   = 1 мм;   = 168 мм.











































Задания







Найти траекторию движения электрона в магнетроне с



цилиндрическими;

плоскими



электродами в режиме насыщения.







Рассчитать ВАХ магнетрона в области, далекой от насыщения (тип     магнетрона и параметры  , L  или  d, а также   выбираются по указанию преподавателя).





3. В экспериментальных условиях лабораторной работы № 12 (блок   ФПЭ – 03) снять ВАХ магнетрона и определить удельный заряд электрона вдали от режима насыщения (малые анодные напряжения) по формуле (63) в разделе Экспериментальная часть. Найти также длину L анода цилиндрического магнетрона по формуле (65) и сравнить ее с паспортным значением (см. техническое описание блока ФПЭ – 03).

          



                          СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том III. Электричество. М., 1977.

Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 

     М., 1983.

  3. “Вольт-амперная характеристика протяженного металлического                  проводника”. Методические указания к учебно-исследовательской работе (УИРС) для студентов 2 курса физического факультета. Иваново, 2001.













15