Диофант. Диофантовы уравнения

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лицей №10» г.Перми





















Диофант. Диофантовы уравнения

















Выполнила работу 

Ильина Яна, 

ученица 11 б класса



Руководитель

Золотухина Л. В, 

учитель математики 

высшей категории



Пермь, 2010




Содержание

Введение…………………………………………………………………….3

1. Диофант………………………………………………………………..…4

2. Числа и символы…………………………………………………………6

3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8

4. Способы решения………………………………………………………..12

Заключение…………………………………………………………………15

Список литературы…………………………………………………………16





















































	                                                                

	
Введение

	

		Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ  встречается  интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике. 

			Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	1. Диофант

	

	

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.  Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет! 

Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира. 

Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку: 

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.



Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э. 

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов. 

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач. 



































2. Числа и символы

Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять. 

В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριμός — «аритмос» или «арифмос»; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта. 

Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριμός — «аритмос»). 

Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко . Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы. 

Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн» или άφαιρει̃ν — «афайрейн», которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις». 

Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное». 

Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков: 

	«отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть — перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».

Далее он пишет: 

	«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные».

Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами. 

Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики. 

	











	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	3. Диофантово уравнение

	

	Определение - алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. 

	

	ax + by = 1 

	

	где а и b — целые взаимно простые числа

	

	Взаимно простые числа, несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и - 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению. 

	

	имеет бесконечно много решений:

	если x0 и у0 — одно решение, то числа 

	

	    х = x0 + bn 

	

	у = y0-an 

	

	(n — любое целое число) тоже будут решениями. 

	Другой пример Д. у.

	x2 + у2 = z2 

	Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. 

	тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. 

	Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам 

	     х = m2 - n2 

	у = 2mn 

	     z = m2 + n2

	

	 где m и n — целые числа (m> n > 0). 

	

Это уравнение определяет на плоскости R2 алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью. 

Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам. 

Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена  f (x, y), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные  и  «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x2 + y2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x2 – y2 = 1 и прямая y=x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x=1 имеет одну общую точку кратности 2. 

Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.


Рис. 1.



Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C: x2 + y2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L: y=0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A(0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B' окружности C, лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B' будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны. 

Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ. 

Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен  f (x, y) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P(x0, y0) будет

y – y0 = k(x – x0),

где 

 k = –

 fx' (x0, y0) 

 fy' (x0, y0)

.

Если в точке P производная  fx' или  fy' отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если  fy' (x0, y0) = 0, a  fx' (x0, y0) ≠ 0, то k=∞ и касательная в P будет вертикальной). 

Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,

 fx' (x0, y0) = 0     и    fy' (x0, y0) = 0,



то точка P называется особой. 

Например, у кривой y2 = x2 + x3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней  fx' = –2x – 3x2 и  fy' = 2y обращаются в нуль.


Рис. 2.



Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных  fxx'',  fxy'' и  fyy'' отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.


Рис. 3.



































































4. Способы решения

Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с. 

Решить в целых числах (х,у) уравнение

5х - 8у = 19 … (1)

Решение.

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.

Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1). 

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)

Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) =0.

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде: 

n Z.

Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 0, то х = =.

Если у =1, то х = =.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Если у =3, то х = =.

Если у = 4 то х = =. 

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.

План решения: 

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

8 = 5 1 + 3.

5 = 3 

3 = 2 . 

Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2 = 3 – (5 - 3 ) = 

= 3 - 5 = 3 = (8 - 5 - 5 82 -5

= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.

2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.

Отсюда получим: Хо =19; уо =19 .

Пара (-57; -38)- частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Четвертый способ. Геометрический.

План решения. 

1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.

2. Запишем частное решение уравнения (1).

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1 



Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие 

-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов. 

На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли - ю часть окружности, так что х = у + .

Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19 уо =19 

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

	

	                                                    Заключение

		Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений.

		Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Список литературы

	

	1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.

2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959.

3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932

4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919

5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО,  2010

	

	

	

	

	

	

	





15