Методические указания к решению задач по атомной физике для студентов физического факультета Ростов-на-Дону

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования 



«РОСТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

















«КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА»



МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ

к решению задач по атомной физике

 для студентов физического факультета











































 Ростов-на-Дону 

2006

























Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.









Ответственный редактор                   канд. физ.-мат. наук  И.Н. Леонтьев





Компьютерный набор и верстка       инженер  Г.А. Колесников 





Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол № 21 от   25  апреля 2006 г.                  

















ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ



		Закон Стефана - Больцмана

,

где Rе – энергетическая светимость черного тела; Т – термодинамическая температура;  - постоянная Стефана – Больцмана.

		Энергетическая светимость серого тела в классическом приближении

,

где  – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

		Закон смещения Вина 

,

где m – длина  волны,  на которую приходится максимум энергии излучения;    b -постоянная закона смещения Вина.

		Энергия фотона

   или   ,

где h – постоянная Планка; ;  – частота излучения;  – циклическая частота;  – длина волны.

		Формула Планка для спектральной плотности энергии

,

где  – спектральная плотность энергетической светимости черного тела;  – круговая частота; с – скорость света  в вакууме; к – постоянная Больцмана;  – постоянная Планка.

		Формула Эйнштейна для фотоэффекта

,

где  – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Еmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

		Коротковолновая граница min сплошного рентгеновского спектра

,

где  – постоянная Планка;    с – скорость света в вакууме; е – заряд электрона;   U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.

		Давление производимое светом при нормальном падении,

  или  ,

где Ee – облученность поверхности; с – скорость электромагнитного излучения в вакууме; w – объемная плотность энергии излучения;  – коэффициент отражения.

		Изменение длины волны  фотона при рассеянии его на свободном электроне на угол  

,

где m – масса покоя электрона отдачи; с – скорость света в вакууме;  – комптоновская длина волны.

















Задача №1



Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны  = 500 нм. Принимая Солнце за черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.



Энергетическая светимость R черного тела выражается формулой Стефана – Больцмана

.

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина

.

Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана – Больцмана, получим

.

Произведя вычисления по этой формуле, получим Re = 64 МВт/м2.

Поток энергии Фе, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости R на площадь поверхности солнца S

,

где RC = радиус Солнца. Подставляя в последнюю формулу численные значения, получим Фе = 3,91026 Вт.

Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии 

.

С другой стороны, энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Фе (мощности излучения) на время

.

Отсюда 

.

Произведя вычисления, получим m = 4,3109 кг.



Задача №2



Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:

,

где а = 7,6410-12 Кс. Найти с помощью этой формулы при Т = 2000 К: а) наиболее вероятную частоту вер длину вер излучения; б) средние значения частоты <>.



Наиболее вероятную частоту излучения ω найдем из условия 

.

Отсюда

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения ω = 0 , ω = ∞ соответствуют минимумам функции . Значение , обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения вер

.

Откуда =7,81014 с-1.

2. Поскольку связь функций  и  имеет следующий вид:

,

то в нашем случае

.

Наиболее вероятную длину волны излучения найдем из условия

.

Тогда



                                     .

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 , λ = ∞ соответствуют минимумам функции . Значение λ, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения λ вер.

                                                =>      =2,40 мкм.

Среднее значение частоты излучения определяется следующим выражением

.

Интегралы, стоящие как в числителе последней дроби, так и в знаменателе сводятся к следующему табличному интегралу:

.



Тогда

=1,051014 с-1.



Задача №3



Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению: а) по линейным частотам; б) по длинам волн.



Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется следующим выражением:

 ,						 (1)

где  – функция спектрального распределения энергии излучения, определяемая формулой Планка

.					(2)

Чтобы получить распределение по линейным частотам произведем в (1) замену переменных с учетом того, что 

.

Тогда

,

,

отсюда

.

Аналогичным образом поступим, чтобы найти распределение по длинам волн. Поскольку

,

то

,

,

отсюда

.



Задача №4



Получить  приближенные  выражения  формулы Планка при <<  и  >> .



Рассмотрим первый случай, когда  << . Отсюда  

 << 1.

Тогда мы можем воспользоваться следующим тождеством

,

откуда

.

Подставляя полученное выражение в формулу Планка, получим

.

Полученное выражение представляет собой закон Рэлея – Джинса.

Рассмотрим теперь случай, когда  >> . В этом случае единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь т.к.

>> 1.

Отсюда

.

Полученное выражение совпадает с законом Вина (см. задачу №2). Здесь 

,      .



Задача №5



Определить максимальную скорость фотоэлектронов vmax, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны 1 = 0,155 мкм; 2)  – излучением с длиной волны 2 = 2,47 пм. 



Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

.					(3)

Энергия фотона вычисляется по формуле

. 

Работа выхода электрона для серебра равна А = 4,7 эВ.

Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле

					(4)

или по релятивистской

.				(5)

Если энергия фотона  много меньше энергии покоя электрона Е0, то может быть применена формула (4); если же  сравнима по размеру с Е0, то вычисление по формуле (4) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо вычислять по формуле (5).

Для ультрафиолетового излучения с длиной волны 1 = 0,155 мкм энергия фотона равна 1 = 8 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (0,511 МэВ). Следовательно, в данном случае формула (4) справедлива, откуда

= 1,08106 м/c.

В  случае   – излучения  с   длиной  волны   2 = 2,47 пм  энергия  фотона  равна 1 = 0,502 МэВ, тогда работой выхода электрона  (А = 4,7 эВ) можно пренебречь и можно принять, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна энергии фотона. Т.к. в данном случае энергия покоя электрона сопоставима с энергией фотона, то для вычисления скорости фотоэлектрона необходимо воспользоваться релятивистской формулой для кинетической энергии

,

где . Произведя математические преобразования, получим

.

Тогда максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых  – излучением равна

 = 226106  м/c.

Задача №6



До какого потенциала можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны  = 200 нм. 

При облучении шарика ультрафиолетовым излучением с длиной волны , из него будут выбиваться электроны с максимальной кинетической энергией Еmax, причём электроны будут покидать шарик до тех пор, пока энергия электростатического взаимодействия (притяжения) W не станет равной максимальной кинетической энергии фотоэлектронов Еmax,т. е. 

W = Еmax.

Максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов найдем из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

,

где AZn – работа выхода электрона для цинка. Отсюда

.

Поскольку 

,

где е – заряд электрона,  – потенциал шарика, то

.

Отсюда 

=2,74 В.



Задача №7



Определить  красную  границу кр фотоэффекта для цезия, если при облучении   его  поверхности  фиолетовым  светом  с   длиной  волны  = 400 нм максимальная скорость vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.. 

При облучении светом, длина волны которого кр соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна в этом случае будет иметь вид

 или ,

где АCs – работа выхода электрона из цезия. Отсюда 

.						(6)

Чтобы получить работу выхода электрона из цезия воспользуемся уравнением Эйнштейна в виде

.				(7)

Подставляя (7) в (6), получим

.= 651 нм.



Задача №8



После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в  = 2,0 раза первоначальная длина волны 0 коротковолновой границы сплошного  рентгеновского спектра изменилась на  = 50пм. Найти 0.



Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется выражением:

,

где V – напряжение на рентгеновской трубке; а – некоторая постоянная, то при увеличении напряжения  на рентгеновской трубке длина волны рентгеновского излучения будет уменьшаться. Тогда

    и    .

Разделив второе равенство на первое, получим

.

Отсюда находим

.



Задача №9



Определить напряжение на рентгеновской трубке, если известно, что зеркальное отражение узкого пучка ее излучения от естественной грани  монокристалла  NaCl  наблюдается  при уменьшении угла скольжения вплоть до  = 4,1.  Соответствующее  межплоскостное  расстояние d = 281 пм.





Согласно закону Вульфа – Брэгга

,					(8)

где d – межплоскостное расстояние,  – угол дифракции (брэгговский угол или угол, под которым наблюдается максимум отраженного от кристалла рентгеновского пучка),  – длина волны падающего рентгеновского излучения, n – порядок дифракции (в данном случае n = 1).

Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется следующим выражением:

,

где V – напряжение на рентгеновской трубке. Подставляя последнее выражение в (8), получим

.

Отсюда

.

Подставляя в последнее выражение численные значения, получим V = 31 кВ.



Задача №10



Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ падает на рассеивающее вещество. Найти λ, если длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами 1 = 60° и 2 = 120°, отличаются друг от друга в  = 2,0 раза.



Изменение длины волны фотона при его рассеивании на свободном электроне равно

,					(9)

где  – комптоновская длина волны электрона. Тогда формула (9) для случаев рассеяния на углы 1 и 2  примет соответственно следующий вид:

	,

	.

	По условию задачи 

	,

	отсюда

	.

	Используя тригонометрическое тождество , получим 

.

Отсюда 



.

Подставляя в последнее выражение численные значения получим  = 1,2 пм.



Задача №11



Фотон с энергией Е = 0,75 Мэв рассеялся на свободном электроне под углом  = 60. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить : а) энергию Е рассеянного фотона; б) кинетическую энергию электрона отдачи; в) направление его движения. 



Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

.

Выразив длины волн  и   через энергии Е и Е соответствующих фотонов, получим 

.

Разделив обе части полученного равенства на , получим 

.				(10)

Отсюда 

.

Подставив численные значения величин, получим Е = 0,43 МэВ.

Кинетическая энергия электрона отдачи Ек, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона Е и энергией рассеянного фотона Е:

МэВ.

Направление движения электрона отдачи можно определить воспользовавшись законом сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона  равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона и электрона отдачи :

.

Векторная диаграмма импульсов показана на  рис.1.  Все векторы  проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол  определяет направление движения электрона отдачи.

Из треугольника OCD находим

                            Рис.1                                        

                                                                   Или



Так как  и , то

	.					(11)

Из (10) следует, что

.					(12)

Заменяя в (11) отношение Е/E по формуле (12), получим

.

Учитывая, что 

 и ,

получим

.

Подставив численные значения, получаем , откуда  = 35



Задача №12



Пучок  монохроматического  света с  длиной  волны  = 663 нм  падает нормально    на   плоскую зеркальную поверхность.   Поток   энергии      Фе = 0,6 Вт. Определите силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов N, падающих на нее за время t =5с.



Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:

.

Световое давление может быть найдено по формуле

.

Тогда 

.					(13)

Поскольку произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то (13) можно переписать в виде 

.

После подстановки численных значений и с учетом того, что  = 1 (поверхность зеркальная), получим F = 4 нН.

Число фотонов, падающих за время t на поверхность, определяется по формуле

,

где W – энергия получаемая поверхностью за время t,  – энергия одного фотона. Отсюда

=1019 фотонов.



Задача №13



Параллельный пучок света с длиной волны  = 500 нм падает нормально на зачерненную плоскую поверхность, производя давление p = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число n1 фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с.





Концентрация фотонов в пучке n может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию одного фотона  

.						(14)

Из формулы, определяющей давления света 

,

выразим w и, подставив в (14), получим



Поскольку энергия одного фотона определяется выражением

,

то



Коэффициент отражения  для зачерненной поверхности равен нулю. Тогда подставляя численные значения, получаем n = 2,521013 м-3.

Число фотонов n1, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с найдем из соотношения 

,

где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но так как

,

следовательно

.

После подстановки численных значений, получаем = 7,561021 м-2с-1.



Задача №14



Лазер излучает в импульсе длительностью  = 0,13 мс узкий пучок света с энергией Е = 10 Дж. Найти среднее за время  давление такого пучка света,  если  его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10мкм на поверхности,  перпендикулярной  пучку,  с коэффициентом отражения  = 0,5.



Так как давление света определяется выражением

,

а произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то

.

Поток Фе энергии излучения, падающего на поверхность равен

,

тогда с учетом того, что 

,

получим

.

Подставляя численные значения, получим р = 5 МПа  50 атм.

























ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Постоянная Планка



Скорость света в вакууме

с = 2,998108 м/c

Масса электрона



Заряд электрона



Электрическая постоянная

o = 8,8510-12 Ф/м 

1/4o=9109 м / Ф 

Постоянная Стефана - Больцмана

 = 5,6710-8 Вт/(м2 К4)

Постоянная закона смещения Вина

b = 2,9010-3 мК

Постоянная Больцмана

























ЛИТЕРАТУРА

		Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.

	Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.

	Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями: Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк., 2006. – 591с.

	Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.

	Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.

	Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с.

	Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. –271с.





24