Синтез системы стабилизации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального Образования

«Самарский государственный технический университет»

Кафедра электротехники, информатики

и компьютерных технологий

















Курсовая работа

СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ

по дисциплине "Теория автоматического управления"





Выполнила: студентка

Принял: к.т.н. Будин Н.И.













Сызрань 2010






Техническое Задание



Вариант задания на курсовую работу определяется номером задания и вариантом задания (задание №5, вариант 7). Задание представляет собой функциональную схему системы стабилизации автоматического управления, изображенную на рис.1, исходные данные приведены в таблице 1.

Требуется спроектировать систему стабилизации автоматического управления, удовлетворяющую заданным условиям. исходная система состоит из набора неизвестных устройств, необходимо рассчитать корректирующие устройства. 

 Техническое задание включает в себя сведения о принципе действия нескорректированной САУ, ее функциональную схему, параметры всех звеньев системы, характеристики входных и возмущающих воздействий, показатели качества проектируемой САУ.

Для систем стабилизации, как правило, приводятся максимальная относительная ошибка системы ν (в %), перерегулирование σ (в %) и время переходного процесса tп. Кроме того, могут быть предъявлены некоторые другие требования, которые вводятся для индивидуализации содержания Курсовой работы. В частности, в данной курсовой работе время tп минимизируется при заданных ν и σ с учетом ограничений на значения выходного напряжения усилителя.





Рис. 1. Функциональная схема системы стабилизации.




В данной системе объектом регулирования является гидротурбина 1, регулируемой величиной - угловая скорость ω. Она при постоянном расходе воды изменяется в зависимости от нагрузки на валу турбины, т, е. от мощности Р, которая потребляется от генератора 2 (с увеличением мощности угловая скорость снижается, с уменьшением - возрастает). Таким образом, мощность Р является внешним возмущающим воздействием на объекте регулирования. Для регулирования угловой скорости предусмотрена заслонка 3, с помощью которой изменяется расход воды через турбину. Он однозначно зависит от вертикального перемещения X заслонки. Следовательно, перемещение заслонки X можно рассматривать как регулирующее воздействие объекта регулирования. Угловая скорость ω контролируется посредством тахогенератора 4, ЭДС Е которого сравнивается с задающим напряжением U0. Сигнал рассогласования ΔU через усилитель 5 управляет посредством электродвигателя 6 и редуктора 7 заслонкой 3.



Таблица 1

Вариант

Т0

k0

k1

kт

ky

Р

Тм

Тя

kэ

ν

σ

U

ω



с









кВт

с

с



%

%

B

Рад/1

7

0,1

7

0,015

1,0

120

-75

0,014

0,002

0,02

0,25

25

110

30






Введение



Задача синтеза системы автоматического управления (САУ) заключается в выборе такой ее структуры, параметров, характеристик и способов их реализации, которые при заданных ограничениях наилучшим образом удовлетворяют требованиям, предъявляемым к системе.

Обычно определенная часть проектируемой системы задана. Она является исходной или нескорректированной САУ. Параметры ее функциональных элементов известны. В такой постановке задача проектирования сводится к определению корректирующего устройства (КУ), обеспечивающего заданные показатели качества системы.

Наиболее простым, наглядным и хорошо разработанным инженерным методом синтеза САУ является метод логарифмических амплитудных частотных характеристик (ЛАЧХ). Его идея основана на однозначной связи между переходным процессом в системе и ее ЛАЧХ. Исходя из этого, по заданным точностным и динамическим показателям сначала строится желаемая ЛАЧХ, а затем путем графического построения осуществляется приближение к ней частотных характеристик исходной системы. В результате такой процедуры определяется ЛАЧХ КУ. Корректирующее устройство может включаться в канал управления последовательно или встречно-параллельно. Вид коррекции предопределяет некоторые особенности синтеза, обусловленные методикой получения ЛАЧХ КУ.






Построение структурной схемы нескорректированной системы и определение передаточных функций ее звеньев





U0

ΔU

УУ

ЭД

ГТ1

ГТ2

ТГ

U

X

X0

PP

P

Ω

Ω

E

WY(S)

WД(S)

W0(S)

WР(S)

WТ(S)

Рис. 2 структурная схема нескорректированной системы



Динамические свойства элементов САР описываются следующей системой уравнений:



 - гидротурбина;

 - тахогенератор;

 - сравнивающий орган;

 - электронный усилитель;

 - электродвигатель совместно с редуктором и заслонкой.



Считаем, что все звенья системы линейны. Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость линеаризации и можно сразу приступить к определению передаточных функций (ПФ) динамических звеньев.

Запишем в общем виде ПФ каждого звена системы:

ПФ усилителя: 








ПФ электродвигателя совместно с редуктором и заслонкой: 







ПФ гидротурбины:







ПФ тахогенератора:







ПФ возмущения (мощности):







Подставим числовые значения из Таблицы 1 в полученные выражения ПФ:











ПФ электродвигателя совместно с редуктором и заслонкой записаны в общем виде. Для определения типа электродвигателя исследуем его на колебательность, проверив условие:







Если оно выполняется, то электродвигатель является апериодическим звеном второго порядка, если не выполняется – колебательным звеном.

Подставляя значения получим  и , получим:

4*0.002˂0.014; 0.008˂0.014

Условие выполняется, значит, электродвигатель – апериодическое звено второго порядка и его ПФ можно записать как:







Для нахождения коэффициентов  используем соотношения:







Подставив значения  и , получим систему уравнений, решив которую, найдем  и 

; ; 

Получим квадратное уравнение:



Найдем дискриминант уравнения;



Определим корни:





Окончательный вид ПФ двигателя примет вид:



Таким образом, ПФ разомкнутой системы будет равна:









Приведем систему к единичной обратной связи. Для этого используем правило структурного преобразования системы. Структурная схема системы с учетом обратной единичной связи представлена на рис. 3.





U0

ΔU

УУ

ЭД

ГТ1

ГТ2

U

X

X0

PP

P

Ω

WY(S)

WД(S)

W0(S)

WР(S)

WТ-1(S)

WТ(S)

Рис.3. Структурная схема исходной схемы, приведенной к единичной обратной связи.



ПФ замкнутой системы примет вид:










Найдем установившуюся ошибку исходной системы. Для этого нужно найти ошибку по входному сигналу и ошибку по возмущению.

Решаем выражение:







Подставим значения:







Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:










Подставив в полученное уравнение, получим:








Оценка точности и анализ качества исходной системы. Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ) исходной системы и определение ее устойчивости.



Для построения ЛАЧХ исходной системы, используем ПФ разомкнутой системы, полученную в предыдущем пункте:







Основным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения без применения вычислительной работы. Особенно когда ПФ может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклоном [20 дБ/дек].

Определим точки излома и пересечения с осями логарифмической координатной сетки нашей ПФ.

Для построения ЛАЧХ находится величина:



 



Определяем L(ω) при ω = 0;

L(ω)=20lgK=20lg16.8=20*1.225=24.5062 

Постоянные времени:







Находим точки излома исходной ЛАЧХ:







Используя полученные значения, строим ЛАЧХ исходной системы (рис. 4, Lисх). 

Используем средства математического пакета MATLAB, в частности, приложением Control System Toolbox, для определения устойчивости и частотных характеристик исходной системы.

Занесем ПФ разомкнутой системы в MATLAB, обозначив ее через W.

W=zpk([],[0,-86.36,-413.74,-10],16.8/(0.01158*0.002417*0.1))

Zero/pole/gain:

 6002388.093

----------------------------

s (s+86.36) (s+413.7) (s+10)

Строим фазовую частотную характеристику (рис. 5), которую используют для определения фазового сдвига между входными и выходными колебаниями. Используем функцию margin.

>> margin(W); grid on





Рис. 5




Для определения запаса устойчивости определяют две величины: запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза , чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема л.а.х., при котором система окажется на границе устойчивости.

По рис. 5 определим запас устойчивости по фазе и амплитуде. В нашем случае запас по фазе Δφ = 33.1, запас по амплитуде ΔL = 13.4 Дб. Данные параметры системы являются неудовлетворительными и не соответствуют рекомендуемым значениям Δφ = 40÷600, следовательно система неустойчива. 

Воспользуемся критерием Найквиста для определения устойчивости разомкнутой системы автоматического управления. Для этого построим годограф Найквиста от разомкнутой системы с помощью средств MATLAB (рис. 6). Используем функцию nyquist.





Рис.6



Увеличим область в начале координат.








Рис.7



Точка с координатой (0;-j) охватывает годограф, следовательно, исходная система неустойчива.

Для определения переходного процесса найдем ПФ замкнутой исходной системы, обозначив ее через F. Для этого используем команду feedback.

>> F=feedback(W,1)

Zero/pole/gain:

 6002388.093

-----------------------------------------

(s+413.6) (s+88.99) (s^2 + 7.48s + 163.1)

Для определения времени, через которое наступит установившийся режим после подачи единичного ступенчатого воздействия строим переходную характеристику замкнутой системы, которая представлена рис. 8. При ее построении в MATLAB использовали функцию step.

>> step(F)








Рис. 8



Из рисунка видно, что процесс является сходящимся, (гармонические колебания затухают), а значит переходный процесс замкнутой системы устойчивый. Время переходного процесса 1,4 с.

Делая вывод из всего вышеперечисленного можно сказать, что система имеет характеристики не удовлетворяющие заданным параметрам. Для их улучшения необходимо в состав системы ввести дополнительно корректирующее звено (регулятор). Для этого, необходимо построить ЛАЧХ желаемой системы, с помощью которой получить ПФ корректирующего звена. Далее исследуем ПФ желаемой системы на критерий качества и реализуем корректирующее звено.






Построение желаемой ЛАЧХ. Определение желаемых передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы. Оценка показателей качества системы с использованием пакета MATLAB



Желаемая логарифмическая частотная характеристика может быть условно разделена на три части:

- низкочастотная часть (НЧ) определяется требуемой точностью работы системы, а коэффициентом усиления системы в разомкнутом состоянии и порядок ее астатизма;

- среднечастотная часть (СЧ) желаемой ЛАЧХ является наиболее существенной частью характеристики, т.к. ее вид определяет динамические свойства системы САУ;

- высокочастотная часть (ВЧ) мало влияет на динамику системы, поэтому она выбирается исходя из простоты корректирующего устройства.



Построение низкочастотной части желаемой ЛАЧХ



Низкочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет такой же наклон, как и ЛАЧХ исходной системы, она определяет точность работы системы и зависит от коэффициента усиления. В данном случаи строим низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ параллельно и на 3 Дб выше ЛАЧХ исходной системы.

Желаемая ЛАЧХ должна пересекать ось абсцисс под наклоном -20 дБ/дек. Соединяя точки lg() и , получаем прямую.

При lg(ω) = 0, высота ЛАЧХ исходной равна:

L(ω) = 20lgK = 20lg16.8 = 24.5 Дб.

Высота ЛАЧХ желаемой = 27.5






Построение среднечастотной и высокочастотной частей желаемой ЛАЧХ



Через частоту среза проходит прямая -20 Дб/дек. Это является обязательным условием для получения качественной системы. Из-за широкой среднечастотной части, перерегулирование будет малым.

Частота среза находится графически. Отмечаем полученные точки на горизонтальной оси желаемой ЛАЧХ, проводим требуемые наклоны и получаем среднечастотную часть.

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет произвольный вид, т.к. она практически не влияет на качество САУ. Однако, для упрощения корректирующего устройства, необходимо стремиться к тому, что бы она совпадала по наклону с исходной ЛАЧХ в указанной области частот. При этом требуется, чтобы высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ не заходила в запретную зону, образованную прямой с нулевым наклоном 0 Дб/дек.

По полученным точкам достраиваем высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ и получаем желаемую логарифмическую амплитудную характеристику (рис. 3, ).

По виду получаемой желаемой ЛАЧХ записываем ПФ: 





.



Для того, чтобы правильно записать коэффициент в приведенной ПФ, осуществим переход от логарифмов:

; ;







Подставляем полученные коэффициенты в выражение для  и получаем: 



Определяем желаемую фазовую частотную характеристику. А также переходный процесс и показатели качества желаемой системы. Для этого занесем полученную ПФ  в MATLAB в zpk-форме:

>> Wzh=zpk ([],[0,-86.36,-413.74,-413.74],16.8/(0.01158*0.002417*0.002417))

 Zero/pole/gain:

 248340425.8576

-----------------------

s (s+86.36) (s+413.7)^2



Определяем желаемую фазовую частотную характеристику (рис.9):

>> margin(Wzh);grid on





Рис.9



Запас устойчивости по фазе данной системы Δφ = 74.60, запас по амплитуде ΔL = 23.4 Дб. Данная система устойчива.

Находим ПФ  замкнутой системы:

>> Fzh=feedback(Wzh,1)

Zero/pole/gain:

 248340425.8576

---------------------------------------------

(s+47.2) (s+29.76) (s^2 + 836.9s + 1.768e005)



Переходная характеристика желаемой системы представлена на рис. 10.

>> step(Fzh);grid on





Рис.10



Время переходного процесса составляет 0,3 с. Оно характеризует быстродействие системы. Перерегулирование равно 0% - не превышает заданного 25%.

Исходя из вышеперечисленного можно сделать вывод, что система устойчива, так как переходный процесс является сходящимся. Таким образом, желаемая система автоматического управления удовлетворяет установленным к ней требованиям по быстродействию, перерегулированию и запасом устойчивости.






Синтез последовательного корректирующего устройства (регулятора)



Структурная схема САУ при последовательной коррекции изображена на рис. 11, где приняты следующие обозначения: - передаточная функция исходной системы; - ПФ корректирующего устройства.





x(t)

e(t)

g(t)



WИСХ(S)

WК(S)

Рис. 11. Структурная схема системы при последовательной коррекции.



Полагая, что ПФ скорректированной системы :







Переходя к логарифмическим характеристикам, после преобразований, получим:







Таким образом, графически вычитая  из и учитывая точки излома, получим ЛАЧХ корректирующего устройства (рис. 4, ).

По форме  записываем ПФ корректирующего устройства :







Коэффициент передачи корректирующего устройства определяется:

20lg K = 3;



Подставив значения времени и коэффициента передачи в полученную ПФ корректирующего устройства:







Существует три способа реализации:

Последовательная коррекция с помощью пассивных корректирующих звеньев;

Коррекция на основе активных фильтров (операционных фильтров);

Дискретная коррекция.



Последовательная коррекция с помощью пассивных корректирующих звеньев



Схема регулятора приведена на рис. 12, ниже приведены расчеты его емкостных и резистивных элементов. ПФ корректирующего звена:









U1

U2

C

R1

R1

Рис. 12



Передаточная функция аналогового регулятора рассчитывается:




; 𝜏>T;

;

;

.



В нашем случае:

𝜏 = Т3 = 0.1 с

Т = Т2 = 0.002417с

Зададим С = 0,1*10-6Ф. Найдем сопротивление .

; 

; Ом

.

Найдем численное значение магнитного усилителя:

; .

Полученные значения:

;

;

С = 0,1*10-6Ф.

Записываем ПФ с учетом найденного значения коэффициента:





Коррекция на основе активных фильтров (операционных усилителей)



Регуляторы предназначены для формирования законов управления и часто реализуется на операционных усилителях.

Схема регулятора на ОУ приведена на рис. 13; ниже проведем расчет его емкостных элементов.





C1

R1

R2

C2

Рис. 13



;



Передаточная функция операционного усилителя рассчитывается:



;

.

.

.



Зададимся: . Найдем емкости С1 и С2 и сопротивление R2.

При этом:

𝜏 = Т3 = 0.1 с

Т = Т2 = 0.002417с

Находим значения емкостей и сопротивлений:






; 



Получаем следующие значения:

;

;

С1 = 0.1*10-6Ф.

С2 = 0.0017*10-6Ф.

Записываем ПФ с учетом найденных значений:



;



Реализация цифрового регулятора



Цифровой регулятор может быть получен из передаточной функции корректирующего устройства путем перевода ее в дискретную форму с помощью аппроксимации тастина и последующей записи разностного уравнения.

На рис. 14 изображена общая структурная схема цифрового регулятора, принцип действия которого следующий: сигнал, поступающий в АЦП (аналогово-цифровой преобразователь), преобразуется из аналоговой формы в цифровую путем квантования непрерывной величины по времени, затем сигнал поступает в D(z) (цифровая вычислительная машина), где производятся вычисления согласно разностному уравнению, после чего сигнал поступает в ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь), где и преобразуется из цифровой в аналоговую форму. 








Uскор

[ΔUскор]

[ΔU]

ΔU



ЦАП

D(z)

АЦП

Рис. 14



Чтобы найти значение периода дискретности, воспользуемся следующим неравенством:



; ; с



Период дискретности равен ТS = 0.0012 с

Данную операцию осуществим с помощью MATLAB. Заносим полученную ПФ WK в MATLAB в zpk-форме:







>> Wk=zpk([-10],[-413.74],1.41*0.1/0.002417)

Zero/pole/gain:

58.34 (s+10)

--------------

(s+413.7)

Аппроксимируем Wk(s) вышеописанным способом:

>> Wkd=c2d(Wk,0.0012,'tustin')

 Zero/pole/gain:

47.0155 (z-0.9881)

------------------

(z-0.6023)

Sampling time: 0.0012

Раскроем скобки:

;

Разделим полученное выражение на z:

;

Запишем разностное уравнение:



Полученное уравнение используем для реализации регулятора. Эта рекуррентная формула позволяет вести расчет в режиме реального времени.






Оценка точности и качества скорректированной системы



Для определения оценки качества и точности полученной скорректированной системы, воспользуемся средствами пакета MATLAB. Определим частотную и переходную характеристику скорректированной системы. Составим модель системы с помощью приложения SIMULINK пакета MATLAB.



Определение точности и расчет переходных процессов в скорректированной системе



Для определения точности и расчета переходных процессов скорректированной системы необходимо вычислить ПФ разомкнутой системы.



WCK(s) = W(s)*WK(s);





Определяем ошибку скорректированной системы:






Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:



.



Для определения фазовой и переходной характеристик, используем пакет MATLAB. Заносим WCK(s) в MATLAB:

>> Wck=W*Wk

 Zero/pole/gain:

 350160000.4591 (s+10)

------------------------------

s (s+86.36) (s+413.7)^2 (s+10)

После сокращения:





Определим фазовую частотную характеристику скорректированной системы (рис. 15):

>> margin(Wck);grid on





Рис. 15




Запас устойчивости по фазе 68.90, ΔL = 20.4 Дб, что удовлетворяет условиям.

Находим ПФ замкнутой скорректированной системы:

>> Fck=feedback(Wck,1)

 Zero/pole/gain:

 350160000.4591 (s+10)

------------------------------------------------------

(s+10) (s^2 + 73.41s + 1956) (s^2 + 840.4s + 1.79e005)

Рассмотрим переходный процесс замкнутой скорректированной системы (рис. 16).





Рис. 16






Построение и описание функциональной схемы скорректированной системы.



Изобразим функциональную схему (рис. 17) с учетом регулятора, предварительно описав параметры корректирующего устройства. Параметры регулятора приведены в таблице 2.



Таблица 2.

Тип регулятора

С1 мкФ

С2 мкФ

R1 кОм

R2 кОм

Коэффициент усиления усилителя

Пассивная коррекция

0.1

--

1

0.02476

0.02416

Активная коррекция

0.1

0.0017

1

1.41

1.41





Рис. 17 Функциональная схема с учетом корректирующего устройства.



Скорректированная система обладает следующими характеристиками:

Перерегулирование  = 0%;

Время переходного процесса tПЕР = 0.14с;

Запас устойчивости по фазе 68.90;

Запас устойчивости по амплитуде ΔL = 20.4 Дб.






Библиографический список используемой литературы



	Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во "Профессия", 2003

	Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Политехника, 2003. – 302 с.: ил.

	Синтез следящей системы автоматического управления: Метод. указания к курсовой работе. Сост. В.И. Будин, О.Б. Сигова, – Самара, СамГТУ, 2003. – 20 с.

	Медведев В.С., Потемкин В.Т. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. – М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1999. – 287 с.

	Лазарев Ю.Ф. MatLab 5. x. – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 384 с.

	Дьяконов В.П. Simulink 4. Специальный справочник. – СПб: Питер, 2002. – 528 с.: ил.