Задачи по курсу общей физики для студентов астрономического отделения. (1)

Бычков К.В.(1), Сараева И.М.(2)

Кинематика материальной точки.

Задачи по курсу общей физики 

для студентов астрономического отделения.



(1)Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга

(2)Физический факультет МГУ, кафедра общей физики

Введение

В основе предлагаемой работы лежит опыт семинарских занятий по курсам общей физики и астрономии для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ.

При изучении механики материальной точки, в особенности её разделов, связанных с движением по криволинейной траектории, часто оказываются полезными астрономические приложения. В условиях поверхности Земли набор естественных траекторий практически сводится к параболе. В космосе, наоборот, представлены многие типы криволинейного движения: вращение по окружности, а также эллиптические, параболические и гиперболические траектории разной степени вытянутости. К тому же формы орбит космических объектов не ограничиваются одними коническими сечениями. Например, обращение звёзд вокруг центра галактики во многих случаях не описываются законами Кеплера, а в процессе сжатия вращающихся газовых туманностей имеет место постепенное приближение к центру по спирали. Параллельно с физическим содержанием задачи уместно привести и первые сведения о математическом аппарате плоских кривых линий.

Другим аспектом является соотношение между прямыми и обратными задачами. Для лабораторных условий типична прямая постановка: требуется вычислить параметры траектории тела, зная действующие на него силы. В астрономии как наблюдательной науке важен и обратный подход, когда по известному движению выясняют характер взаимодействия. Часть предлагаемого материала даёт студентам первое представление об обратных задачах. С методической точки зрения решение обратной задачи, как правило, проще и нагляднее. Поэтому имеет смысл показать одну и ту же задачу дважды: сначала в разделе «кинематика» как обратную, и затем, после приобретения студентами опыта, в разделе «динамика» выполнить решение более сложной прямой задачи. Перейдём к изложению материала, предварительно договорившись о некоторых обозначениях. Координаты точки, движущейся в плоскости, как обычно, равны x и y, время  - t, а для параметров движения оставляем буквы a, b, k, , . Векторы представляем прямыми жирными символами: r – радиус вектор частицы, v – её скорость, w – ускорение. Точка над символом описывает дифференцирование по времени.

I Определение траектории, скорости и ускорения точки из закона движения в декартовых координатах.

Во всех задачах этого раздела требуется определить форму траектории, найти векторы скорости и ускорения, а также восстановить динамический закон движения.

Задача 1. Точка движется в плоскости. Её координаты x и y зависят от времени t как

									(1)

								(2)

где a, b, ω и φ - параметры.

Если a либо b равны нулю, то имеет место прямолинейное движение вдоль той или иной координатной оси. Оно происходит внутри отрезка длиной 2a, либо 2b, центр которого расположен в начале координат. Предположим, что оба этих параметра отличны от нуля. Разделим первое уравнение на a, второе - на b и раскроем косинус суммы:

,									( 3 )

.						( 4 )

Исключим время t из уравнений движения. Сначала рассмотрим два особых случая. При  получается эллипса, ориентированный параллельно осям:

,

а значению  соответствует уравнение отрезка прямой .

В случае, когда оба этих параметра отличны от нуля, с помощью ( 3 ) выразим  и  через x/a и подставим результат в ( 4 ). После несложных преобразований получим уравнение эллипса, ориентация которого определяется величиной φ:



Рис. 1. Наклонный эллипс.

.

Роль параметра φ ясна из Рис. 1. Теперь определим кинематические характеристики траектории и попытаемся выяснить направление действующей силы. На Рис. 1 единичные векторы i и j, направлены вдоль координатных осей. Напишем выражение для радиус-вектора точки, с координатами ( 1 ) и ( 2 ):

.

Векторы скорости и ускорения получаются последовательным дифференцированием r:

,

.

Из последних двух формул вытекает связь между ускорением и радиус-вектором:

.								( 5 )

Мы получили хорошо известное уравнение пространственного осциллятора. Частица массы m движется под действием центральной притягивающей силы, по абсолютной величине равной mω2r.

Пространственный осциллятор является важным методическим инструментом в атомной физике и оптике — двух активно используемых в астрофизике разделах общей физики. Знакомство с ним на семинарах по механике облегчает в дальнейшем освоение темы поляризованного излучения, а также анализ эффектов Зеемана и Штарка.

Задача 2 Точка движется по закону



с параметрами a, b и k. Случай k=0 здесь не представляет интереса. Равенство нулю a или b означает прямолинейное перемещение вдоль одной из координатных осей. Если они оба отличны от нуля, то траектория является отрезком гиперболы y=ab/x.



Рис. 2. Гипербола y=ab/x.

Не теряя общности, мы можем считать a и b положительными. Они равны координатам точки в начальный момент времени:

,

которая в дальнейшем будет двигаться вправо. Вычислим вектор скорости

,

его абсолютную величину



и вектор ускорения



Рис. 3.Повёрнутая гипербола

.

Тело отталкивает центральная сила mk2r.

Задача 3. Точка движется в плоскости :

,			(6)

.			( 7 )

Вычтем квадраты уравнений, делённых на a и b соответственно:

.

Получилась гипербола, как и на Рис. 2, но оси координат повёрнуты на 45. Её график приведён на Рис. 3. Дифференцируя (6) и (7) по времени, получим вектор скорости



и ускорения

.

Легко убедиться, что и здесь на тело действует отталкивающая сила F=mk2r. Итак, одна и та же сила может обуславливать внешне различающиеся типы движения. На частном примере мы увидели проявление важного принципа: динамический закон является более общей характеристикой движения, чем кинематические параметры.



Рис. 4. Винтовая линия

Задача 4. Заряженная частица совершает пространственное движение в однородном и постоянном магнитном поле:



с постоянными параметрами R, vz, . Складывая квадраты первых двух уравнений, получаем винтовую линию



с шагом. Винтовая линия изображена на Рис. 4. Из закона движения вытекают следующие выражения для вектора скорости



и квадрата его модуля , а также аналогичных величин для ускорения

.

II. Движение в полярных координатах.

Задача 5. Точка A движется в плоскости (x, y), причём закон её движения задан в полярных координатах: r=r(t), φ=φ(t).

 

Определить скорость и ускорение точки. 



Рис. 5. Полярные координаты

Проведём дополнителные координатные оси ζ и η вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему как показано на Рис. 5. Обозначим посредством eζ  и eη “новые” единичные векторы вдоль осей ζ и η соответственно. Компонента любого вектора вдоль оси ξ называется радиальной, а вдоль оси η — трансверсальной. Если точка движется не по прямой линии, то векторы eζ  и eη со временем меняют своё направление. Этим они отличаются от постоянных ортов i и j. Связь между двумя базисами даётся известной формулой вращения системы координат:

.

Дифференцируя первую строчку по времени и сравнивая результат со второй строкой, приходим к следующему выражению для :

.

Радиус-вектор, по построению, коллинеарен eζ::

.

При вычислении вектора скорости в полярных координатах необходимо учитывать изменение направления орта :

.( 8 )

Проекция  называется азимутальной, а проекция  - трансверсальной скоростью. Аналогичным образом вычисляется вектор ускорения:

.			(9)

Описание движения во вращающейся системе отсчёта приобретает новые аспекты. В последней формуле  и  имеют тот же смысл, что и в декартовой системе. Член с  описывает центростремительное ускорение точки, неподвижной относительно вращающейся системы отсчёта, а слагаемое  - кориолисово ускорение.

Задача 6. Исходя из первого и второго законов Кеплера, определить ускорение планеты.

Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Угол  отсчитываем от направления перигелия. Уравнение эллипса  с эксцентриситетом  и параметром p в полярных координатах имеет вид:

, 							(10)

Второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Введём константу 

								(11)

Перепишем формулу (9) Задача 5 в виде

.						( 12 )

Легко видеть, что трансверсальная компонента вектора ускорения равна нулю. Ускорение направлено вдоль радиус–вектора Вычислим проекцию вектора w на ось ξ:

								(13)

Вводим новую переменную u=1/r и воспользуемся формулой Бинэ:

,							(14)

где введено обозначение= du/dφ. Для вычисления правой части достаточно знать функцию r(φ). Для вывода формулы Бинэ выразим скорость изменения r через :

.

Воспользовавшись определениями  и K, перепишем последнее уравнение в форме:

, 								( 15 )

а дифференцируя его по времени с учётом ( 11 ) получаем

.							( 16 )

Подставляя в ( 13 ) полученные выражения для  и  , приходим к ( 14 ). Теперь с помощью формулы Бинэ получаем окончательное выражение для wξ:

.

Итак, со стороны Солнца на планету действует притягивающая сила .

Задача 7. Планета движется по эллипсу с эксцентриситетом ε. Зная её скорость v1 в перигелии, определить скорость v2 в афелии. 

В этих двух точках орбиты ( и только в них ) скорость и радиус–вектор взаимно ортогональны. Следовательно, здесь модуль скорости v равен её трансверсальной компоненте: . Точке перигелия , согласно ( 10 ), соответствует значение φ равное нулю, а в точке афелия φ = π. Из постоянства секторной скорости вытекает равенство

.

Воспользовавшись ( 10 ), приходим к окончательному результату:

.

Задача 8. Показать, что квадрат скорости планеты равен

,

где a — длина большой полуоси. Из формулы ( 8 ) Задача 5 следует

.								( 17 )

Вычислив по формуле ( 15 ) Задача 6, получаем

.

Здесь также учтено .Уравнение траектории ( 10 ) позволяет выразить sin2 φ через r:

.

Подставив это значение в предыдущую формулу с учётом соотношения , приходим к искомому результату.

Задача 9. Частица движется к притягивающему центру по плоской траектории 

,								( 18 )

где r и φ — известные функции времени. В начальный момент времени угол φ равен  нулю, а скорость тела направлена перпендикулярно радиусвектору и по абсолютной величине равна v0. Полагаем, что сохраняется постоянной секторная скорость, то есть справедлива формула ( 11 ). Определить зависимость скорости от расстояния r до притягивающего центра, а также трансверсальную и радиальную компоненты ускорения.

Из начальных условий определим значение константы K=2av0. Согласно ( 12 ), трансверсальное ускорение равно нулю вследствие постоянства секторной скорости. Таким образом, притягивающая сила направлена вдоль радиусвектора. Радиальную компоненту вычислим двумя способами. Сначала выполним прямые расчёты по формуле ( 13 ) Задача 6. Из ( 15 ) и ( 16 ) следуют выражения для  и :



откуда 

.

Теперь с помощью ( 18 ) выражаем cosφ и sin2φ через a и r :

.

Окончательно

.

Теперь воспользуемся формулой Бинэ ( 14 ) и уравнением траектории ( 18 ):



Подставляя в ( 14 ) полученное выражение для , после простых преобразований приходим к тому же выражению для ускорения:

.

Связь между модулями скорости и радиусвектора проще всего вычислить с помощью формулы ( 17 ):

.

Задача 10. Точка движется в плоскости по закону



с параметрами r0 и a. Определить траекторию, скорость и обе компоненты ускорения.

Исключив время t, получим изображённую на Рис. 6 гиперболическую спираль



Рис. 6 Падение на центр

. По формуле ( 17 ) вычисляем модуль скорости:

.

Начальный наклон траектории на Рис. 6 определяется соотношением между двумя компонентами скорости. По формуле ( 8 ) легко найти, что для начального момента времени: . Траектория направлена противоположно оси абсцисс и наклонена к ней под углом 45˚. В рассматриваемой задаче величина секторной скорости постоянна:

. 

Следовательно, трансверсальное ускорение равно нулю; т.е. притягивающая сила направлена вдоль радиусвектора. По формуле ( 13 ) определим радиальное ускорение

.

Таким образом, частица падает на притягивающий центр под действием силы, обратно пропорциональной кубу расстояния.

III Проекция ускорения на естественные оси.

Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта.

Задача 11. Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.



Рис. 7. Касательная и нормаль

Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим eτ и en единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор eτ направлен вдоль скорости:

.

Формулапозволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим

.

Так как длина вектора  не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда 

.										( 19 )

Вектор нормали en ищем в виде

,

где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки



и ортогональности:

.

Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7:

.

Проекция ускорения на касательную wτ равна скалярному произведению

.							( 20 )

Аналогично вычисляем wn:

.							( 21 )

Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием



Рис. 8 Радиус кривизны.

, 

где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:

.

Подставляя сюда ( 21 ), приходим к

.

Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.



Рис. 9.

Задача 12. Точка описывает эллипс

.

Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9.

Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1. Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к

.

Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения



и для радиуса кривизны

.

Подставляя в них зависимость x  и y от времени, получаем для точки A:



и для точки B:

.

Задача 13. Частица движется в плоскости по траектории r=acosφ. В начальный момент времени φ=0, а скорость направлена перпендикулярно радиусвектору. Секторная скорость постоянна и равна K/2. Определить связь между модулями v и r , а также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и трансверсальную.

При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории:

.

Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя

,

приходим к следующему выражению для v2:

,

откуда

.



Рис. 10. Компоненты вектора ускорения.

В интервале углов  траектория представляет собой окружность радиусом a/2 с центром в точке x=a/2, y=0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11:

. При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле 

.

Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора  в разложении по  и . Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sinφ  соответственно. Компонента wξ равна скалярному произведению векторов w и eξ: .Подставляя сюда полученные выше выражения для wn и wτ , получаем.Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r5.

9



1