Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003

Министерство образования Российской Федерации

                       НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

                               ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ





                                Кафедра «Электроника и сети ЭВМ»















                                       ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
                                
                    Методические указания к лабораторной работе





































                                       Нижний Новгород  2003

 Составитель   Н.В.Марочкин

   УДК  681.3.06


 ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. –   20 с.















     Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования. 















Редактор И.И.Морозова


















Подп. к печ. 06.06.02. Формат 60х841/16. Бумага газетная.      Печать      офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 200 экз. Заказ 434.
Нижегородский государственный технический университет.
Типография НГТУ. 603600, Н.Новгород, ул.Минина, 24.
                                                                   ©  Нижегородский государственный
                                                                         технический университет, 2003


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

      Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические  знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы.



2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

      Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x(nT) в другую последова-тельность чисел y(nT), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т это уравнение имеет следующий вид:

            (1)

где х(nТ), у(nТ) – входной и выходной дискретные сигналы в момент nТ, ,  – постоянные параметры уравнения. Как следует из уравнения для формирования выходного отсчета в текущий момент времени nТ исполь-зуются входные и выходные отсчеты, это в общем случае.

      Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f(t), которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям:

f(t)=0 , при t<0;

при t≥0 f(t) на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода;

при t→∞ f(t) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α и М = М(f, α) такие, что │f(t) │≤, для t >0.

Прямое преобразование Лапласа :

,                                                      (2)   

где p=δ+jw комплексная величина.

Переменную  следует выбирать так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции f(t), для этого полюсы функции F(p) при t≥0 находились слева от прямой , . Добавляя к этой прямой дугу бесконечного радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования с обходом пути интегрирования против часовой стрелки. Обратное преобразование Лапласа :

.                                                                  (3)

Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F(p). Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа:

,                                          (4)

представляет собой периодическую функцию частоты с периодом .

Дискретное преобразование Фурье:

,                                                          (5)

где k=0,1,2…N-1 –число выборок,, – верхняя частота в спектре сигнала, – частота повторения или интервал между соседними отсчета-ми АЧХ, рис. 1, .



                                               Рис.1

Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2.

     В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются. 



                                                    Рис.2

В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z-преобразование, получаемое заменой  на z, при этом .

Такая замена преобразует трасцендентные функции  в рациональные фун-кции от z. Периодическое повторение особых точек устраняется, сдвиг на  период Т на плоскости Р соответствует повороту на 360º на плоскости комплексной переменной z. Ось частот jω плоскости Р отображается в окружность единичного радиуса, левая полуплоскость – во внутрь, рис. 3.

                                             Рис. 3

Z – преобразование записывают так:

                   .                                                                      (6)

Здесь f(k) – отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т,2Т,…,  при замене z=  получим:

                 .                                                              (7)

Это означает, что единичная окружность Z плоскости – геометрическое место точек отсчетов частотной характеристики системы (или отсчетов спектральных составляющих), рис. 4.



                                                 Рис.4



Если Z – преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим:

                   ,                                                                                 (8)

где Н(z) – системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н(z) – есть Z преобразование импульсной характеристики ЦФ.

      Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс:

       

Z(f(nT))=1, поэтому при Х(z)=1, H(z)=Y(z).

     Системная функция H(z) характеризуется положением нулей и полюсов.

У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P=. Так как , то у устойчивого ЦФ полюсы системной функции H(z) должны располагаться внутри окружности еди-ничного радиуса. Системная функция H(z) связана с частотной характеристикой ЦФ следующим образом. Если подать на вход ЦФ дискретный гармонический сигнал , то сигнал на выходе ЦФ , где  – частотная характеристика ЦФ.

В соответствии с разностным уравнением (1):

                .                             (9)

Это выражение совпадает с H(z), если в нем заменить z-1 на , таким образом     .

Частотная характеристика периодическая функция частоты, рис. 5.



                                                  Рис.5

Если период дискретизации выбран больше чем , то это приведет к искажению частотной характеристики, рис. 6.



                		        Рис. 6

Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1   элементы задержки на один такт Т, элемент  усилитель с коэффициентом усиления а,b; x(nT) – входной дискретный сигнал, у(nT) – выходной, Т – период дискре-тизации. 





                                                              Рис.7

Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b1=b2=…=bN=0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый.

      При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой.  Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы:

синтез по аналоговому прототипу;

синтез по цифровому прототипу;

расчет численными методами на ЭВМ.

При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H(z) ЦФ. Используют следующие методы:

метод отображения дифференциалов;

инвариантное преобразование импульсной характеристики;

согласованное Z-преобразование;

метод билинейного преобразования.

В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности:



В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так:

                  .

Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости.  
     При инвариантном преобразовании импульсной характеристики импуль-сную характеристику ЦФ получают из импульсной характеристики ана-логового фильтра прототипа. Импульсную характеристику аналогового фильтра прототипа h(t) представляют в виде суммы экспонент:

               , 

где bi   комплексная величина.

Импульсную характеристику h(nT) ЦФ получают дискретизацией h(t):

.                                                                     (10)

Находят системную функцию:

    .                                           (11)

Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ.

      При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H(z) по правилу:

 b → exp(- bT),

(p+b) → (1- Z-1(exp(-bT))),

(p+a-jb)(p+a+jb)=(p+a) 2+b 2→ 1-2Z-1e- aTcosbT+2Z-2 e- 2 aT     .                              Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения.

      В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р) аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой

               .                                                                       (12)

Подставляя вместо р выражение через z, получим системную функцию H(z), однако H(z) не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с   , и при этом сохранялась бы устойчивость фильтра. Для этого используют разложение в ряд :

               ,                                                         (13)
где .

Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования:

                   .                                                                           (14)

Этот переход от плоскости Р к плоскости Z отображает ось jω в единичную окружность │z │=1, точки, расположенные левее оси р=jω оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p). Если    значение частоты характерной точки частотной характеристики аналого-вого фильтра, то этой характерной точке ЦФ будет соответствовать частота ωц в соответствии с билинейным преобразованием:

                                                                     (15)
Искажение частотного масштаба иллюстрирует рис. 8.

                                                  Рис.8

Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам  нужно поставить в соответствие характерные точки аналогового прототипа ωа в соответствии с выражением (15).

      При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1.



Цифровой фильтр

Выражение для замены

Примечание

1. Нижних   
    частот с   
    частотой   
     среза ωс



 −  частота среза ЦФ прототипа

Т −  период дискретизации



2. Верхних   
    частот с  
    частотой   
     среза ωс





3. Полосо-    
    вой с частотами среза ω2 (ω2> ω1)





4. Режекторный с частотами среза ω1 и ω2 (ω2> ω1)





Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a,b в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки:

                                            (16)

где Hдейств(ejωT), Hзадан(ejωT) – частотные характеристики действительная и заданная.

      При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания.

Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье,  можно получить отсчеты h(n) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ:

                           .                                                       (17)

Если импульсная характеристика h(n) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды:

                                                                   (18)

Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания.                           При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом:

      ,                                                     (19)

где Но(jω) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω1) и (ω2÷ω3),

Нк(jω) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω1÷ω2) в переходной полосе, 

 − интерполирующая функция. Положение отсчетов Нк в полосе ω1÷ω2  (рис. 9), нужно выбрать так, чтобы Н(jω) приближалась к заданной.



                                                        Рис.9

Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики  на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3.

Таблица 2

Окно

Выражение

Ханна



Хемминга



Блэкмана



Кайзера



Io – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка

В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N – нечетно, импульсная характеристика четная:  hnc(-n)=hnc(n), n=0,1…(N-1)/2.

фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h(n)≠0 при n<0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так:

                   (20)

где а(0)=hnc(0), a(n)=2hnc(n), n=1,…,(N-1)/2. 

Таблица 3

Окно

Ширина главного лепестка

Максимальный уровень боковых лепестков, дб.

Уровень пульсаций в полосе пропускания, дб.

Ханна



-45

0,26

Хемминга



-42,7

0,09

Блэкмана



-75

1,11

Кайзера



-30…-100 
в зависимости от α

0,1…1 в зависимости от α





Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N-1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид:

.                             (21)

Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4.

На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов.	 При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B(ω) необходимо подобрать коэффициенты Со,…, Ск частотной характеристики цифрового фильтра Ф(ω, Со, С1,…, Ск) так,чтобы  выполнялось приближенное равенство  Ф(ω, Со, С1,…, Ск)≈ B(ω). Для реше-ния  используют критерии оценки приближения.  Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω1÷ ω2:

     .                                     (22)

       Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий):

          .                               (23)

                                          



                                                    Рис.10







Таблица 4

Тип симметрии

Частотная характеристика

Фильтр вида 1

N - нечетно, симметричная импульсная характеристика h(n)=h(N-1-n)



Фильтр вида 2 

N - четное, симметричная импульсная характеристика



Фильтр вида 3

N – нечетное, антисимметрич-ная импульсная характеристика        

h(n)= - h(N-1-n)



Фильтр вида 4

N – четное, антисимметрич-ная импульсная характеристика 



Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со, С1,…, Ск) в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со,…, Ск. Для функций Ф(ω, Со, С1,…, Ск) двух видов:

             ,                                      (24)
                                                        (25)

коэффициент  определяется следующим образом:

             ,                                                           (26)

где − нормированная частота,  − частота дискретизации; D=2 при l=0; D=4 при l≠0 ; и для выражений (24) и (25) соответственно.
Пусть требуется найти  для ФНЧ с частотной характеристикой:

.                                                                (27)

Пользуясь формулой (3), получим:

                                        (28)

Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так:



, l=0,1,…,k-1;, k=(N-1/2), N – нечетное,

, так как импульсная характеристика симметричная.

Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11.





			Рис. 11



     Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g(l), тогда  вместо коэффициентов  получим , l=0,…,(N-1)/2. 

      Найдем коэффициенты  для преобразователя Гильберта, идеали-зированная частотная характеристика которого имеет вид:

                 ,

где  Ω –  нормированная частота. Выберем В(ω)=-1 в диапазоне при интегрировании в соответствии (3) и , получим:

              .

Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра :

, l=1,…,k;  k=(N-1)/2, коэффициенты h(0), h(1), h(k) антисимметричны коэффициентам h(2k),…,h(2k-l):  h(l)=-h(2k-l).

Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное.







                                3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ



1. Выберите в качестве аналогового фильтра прототипа  цепь, схема кото-рой показана рис.12.

	Рис. 12

Ее передаточная функция , где Т*=RC. Заданы величины Т* и Т (Т– период дискретизации). Используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Постройте структурную схему ЦФ, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.

2. В задании 1  используйте метод билинейного  преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.

3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза , 3дб, затухание на частоте , А дБ; частота дискретиации , аналоговый  прототип –  фильтр Баттерворта с частотной характерис-тикой:

, где n – порядок фильтра,.

Расчет выполняйте следующим образом.

определите аналоговые частоты, соответствующие требуемым   и в соответствии с выражением:

,
 этим корректируется искажение частотного масштаба;

из условия затухания А дб на частоте  в сравнении с сигналом на нулевой частоте определите порядок фильтра n:
;

из справочника [4 ] найдите передаточную функцию прототипа или        используйте табл.5;

сделайте замену в соответствии с билинейным преобразованием:

, получите  К(p)→Н(z);

по системной функции H(z) постройте структурную схему ЦФ, АЧХ и ФЧХ.

4. Постройте структурную схему ЦФ  преобразователя Гильберта,  
    АЧХ, ФЧХ. 

          Исходные данные для расчетов по п.1-4 получите у преподавателя.



       5. Полученные результаты по п.1-4 сравните с результатами работы 
           моделирующей программы





Таблица 5

n

K(p)

1



2



3





                              5. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

Каковы назначение и принцип работы ЦФ?

Что такое системная функция ЦФ?

Какова структурная схема ЦФ?

В чем отличие КИХ и БИХ ЦФ.

В чем заключается метод частотной выборки ?

Виды КИХ фильтров с линейной фазовой характеристикой.

В чем заключается метод инвариантного преобразования импульсной характеристики ?

Методы синтеза КИХ фильтров.

Как найти частотную характеристику ЦФ?



                       6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА



1. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера 
    и А.Д. Константинидиса. –  М.: Мир, 1976. – 216с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки 
    сигналов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. – 848с.

3. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ. Под 
    ред. Г. Темеша и С. Митра. – М.: Мир 1977. – 560с.

4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир. 
    1984. – 320с.

5. Чернега В.С., Василенко В.А., Бондарев В.Н. Расчет и 
    проектирование технических средств обмена и передачи 
    информации. М.: Высшая школа, 1990. – 223с.











2