Философия математики Л. Витгенштейна Петюшко А. А., аспирант 1 г о. кафедры

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет























Реферат (перевод) по философии на тему



Философия математики Л. Витгенштейна

















Выполнил: Петюшко А.А., аспирант 1 г.о. кафедры

Математической теории интеллектуальных систем





































Москва, 2010
Введение



В данной статье из Стэнфордской философской энциклопедии последовательно рассматриваются взгляды Людвига Витгенштейна на философию математики в т.н. начальный период (прежде всего, это «Логико-философский трактат», 1922 г.), средний, или переходный, период («Философские заметки», 1929-1930 гг, и «Философская грамматика», 1931-1933 гг) и поздний период («Замечания по основаниям математики», 1937-1944 гг, и «Философские исследования», 1953). В целом, взгляды Л. Витгенштейна на философию математики остаются постоянными на протяжении всей его жизни, начиная с зачаточного состояния в ЛФТ, получая свое формирование в средний период, и развиваются в поздний, добавляя ко всему прочему важный критерий математического приложения, который нужен прежде всего для отличения математики от простых игр со знаками, к которым Витгенштейн прежде всего относил теорию множеств.

В ЛФТ Витгенштейн противопоставляет подлинные (контингенциальные, эмпирические) предложения математическим предожениям, заявляя, что элементарное контингенциальное предложение истинно тогда, когда соответствующий атомарный факт имеет место в реальном мире, и ложно в противоположном. Математические же предложения - это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. «Возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами. Т.о., математические предложения могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере. 

Формальная теория математики в ЛФТ – это теория формальных операций. В частности, общая форма натурального числа дается как , где первый член в скобках – это начало ряда форм, второй – форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, а третий член – форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду. 

Также в статье приводятся доказательства, почему, несмотря на кажущееся сходство, философия математики Витгенштейна в ЛФТ не является вариантом логицизма. 

В средний период, начало которому было положено, как считается, лекцией «Наука, математика и язык» Л. Брауэра в начале 1928 г., основными моментами являются финитизм, разрешимость и отношение Витгенштейна к иррациональным числам и теории множеств. 

В этот период Витгентейн явно следует усиленному формализму, говоря, что «мы создаем математику», а математические символы «не представляют» вещи. Единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления. Также, Витгенштейн утверждает, что внешнее приложение математики – вовсе не обязательное условие математического исчисления.

Для понимания финитизма Витгенштейна в средний период нужно ясно себе представлять различие между математическими экстенциями (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математическими интенциями (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), которые составляют всю полноту математики. Витгенштейн не принимал бесконечных экстенций, для него «математическая бесконечность» существует только в рекурсивных правилах (интенциях). Из этого следует как то, что иррациональные числа – это правила, так и то, что все математические предложения разрешимы, ибо конечны. Подобным образом он отвергал и навешивание кванторов над бесконечной областью определения. Наши же заблуждения о «бесконечности» происходят из-за того, что мы смешиваем понятия «интенция» и «экстенция».

Что же касается разрешимости, то Витгенштейн в средний период определяет математическое исчисление (и математическое предложение) в эпистемологических терминах: выражение является значащим предложением в данном исчислении если только оно уже разрешено (и т.о. доказана его истинность или ложность), или мы знаем применимую процедуру разрешимости. Неразрешимых значащих предложений в математике нет, что позволяет использовать закон исключенного третьего – математическое предложение либо истинно, либо ложно.

Интересна позиция Витгенштейна в средний период в вопросе о математической индукции. Если ранее мы использовали в качестве шага индукции « n(φ(n) →φ(n + 1))», а в качестве утверждения – « nφ(n)», то Витгенштейн предлагает использовать вместо них «n(φ(n) →φ(n + 1))» и «φ(m)», учитывая, что ‘m’ есть любое конкретное число, в то время как ‘n’ – это любое произвольное число. Это сделано из-за того, что, поскольку мы не можем навешивать кванторы над бесконечной областью определения, то изначальный шаг индукции и утверждение – не значащие математические предложения, и их необходимо подправить. Хотя индуктивное доказательство не может доказать «бесконечную возможность применения», оно позволяет нам «осознать», что прямое доказательство любого конкретного предложения может быть построено в конструктивной манере.

Несмотря на то, что Витгенштейн считал гипотезу Гольдбаха и ей подобные бессмысленными гипотезами, однако он оставлял за ними право дать математику стимул для расширения исчисления. Если, например, нам удастся доказать гипотезу Гольдбаха методом математической индукции (т.е., мы докажем “G(1)” и “G(n) →G(n + 1)”), то мы получим доказательство индуктивного шага, но поскольку индуктивный шаг не был предварительно алгоритмически разрешим, то при конструировании доказательства мы построили новое исчисление. До доказательства индуктивный шаг не является осмысленным математическим предложением (в конкретном исчислении), тогда как после доказательства шаг индукции уже является математическим предложением с новым, определенным смыслом, и в новом, только что созданном исчислении.

В средний период Витгенштейн много времени уделял вопросу действительных и иррациональных чисел. По мнению Витгенштейна, иррациональное число является экстенцией только в той мере, что оно написано знаком (например, ‘√2’ или ‘π’). По сути же оно ялвяется уникальным рекурсивным правилом, или законом – т.е., интенцией. При непрерывном движении из т. А в т. Б по числовой прямой мы должны замести не только рациональные числа, но и иррациональные. Но поскольку «множество всех рекурсивных иррациональных» все еще оставляет зазоры, то существуют еще и иррациональные, «не подчиняющиеся закону». Однако, по мнению Витгенштейна, т.к. на числовой прямой изначально нет никаких зазоров, и поскольку нет такой вещи, как математический континуум, псевдо-иррациональные не подчиняющиеся закону иррациональные и не нужны для теории действительных чисел. Также, на основании введенных им критериев действительного числа, Витгенштейн показывает, что не все рекурсивные действительные числа – подлинно действительные числа (т.е., являются псевдо-иррациональными).

Критика теории множеств Витгенштейна в средний период основывается на двух вещах. Во-первых, в теории множеств смешиваются понятия интенции и экстенции в области бесконечности. Во-вторых, Витгенштейн критикует принятую в теорию множеств идею о трактовке несчетности в качестве мощности множества.

В поздний период философия математики Витгенштейн почти полностью повторяет оную в средний период, дополняя и развивая ее. Так, если раньше Витгенштейн говорил, «мы создаем математику», то теперь он говорит «мы изобретаем математику». Изобретая новое доказательство, мы изобретаем новое математическое исчисление. В своей критике теории множеств Витгенштейн подчеркивает, что понятие «действительное число» имеет мало общего с понятием «мощность множества», однако люди зачастую смешивают эти понятия.

Принципиальное и наиболее значительное отличие от публикаций Витгенштейна в средний и поздний период – введение критерия внешнего по отношению к математике приложения, который используется для различения простых «игр со знаками» от математических языковых игр. Причинами можно назвать: во-первых, т.о. Витгенштейн подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности, а во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками. Теория множеств – неинтересна и бесполезна, по его мнению. Но, тем не менее, вопрос, является ли предложение предложением данного математического исчиления – это внутренний, синтаксический вопрос, никаким образом не связанный с внешне-математическим приложением.

Также, в конце статьи излагается взгляды Витгенштейна на теоремы Геделя, и доказывается, что Витгенштейн их неправильно толковал (и т.о. пытался опровергать рассуждения Геделя).

В заключении статьи становится понятным, что главная цель Витгенштейна в области философии математики было предоставить «философскую ясность» на многие аспекты математики. Математики будущего, по его мнению, будут стремиться к упрощению математических конструкций, и философская ясность, в итоге, позволит математикам и философам «возвратиться к неопровержимым фактам».


Философия математики Витгенштейна

Стэнфордская философская энциклопедия

Впервые опубликовано 23 февраля 2007 г.



Философия математики Людвига Витгенштейна, несомненно, наиболее неизвестная и недооцененная часть его философского творчества. На самом деле, более половины работ Витгенштейна с 1929 по 1944 было посвящено математике, что сам Витгенштейн признал в 1944, написав, что его «наибольший вклад был сделан в области философии математики» (Monk 1990, 466).



Основа математической концепции Витгенштейна была по большей части изложена в Логико-Философском трактате (1922; далее просто ЛФТ), где главной целью философа было разработать связь «язык-реальность» путем определения, что нужно для языка, или для использования языка, для того, чтобы он был о мире (отражал реальность). Витгенштейн частично отвечает на этот вопрос, утверждая, что подлинные предложения (высказывания), которые мы можем использовать для конструирования утверждений о реальности, – это только контингенциальные [1] («эмпирические») предложения, т.е. они истинны, если отражают реальность, и ложны в противоположном случае (4.022, 4.25, 4.062, 2.222). Отсюда следует, что все другие предложения являются псевдо-предложениями различных типов, и что все остальные использования слов «истина» и «истинный» значительно отклоняются от той «истины в соответствии» (или соглашении), которую имеют контингенциальные предложения в отношении к реальности. Т.о., начиная от даты выхода ЛФТ до, по крайне мере, 1944, Витгенштейн придерживается мнения, что «математические предложения» не являются реальными предложениями, и что «математическая истина» не имеет по существу связи с реальностью и чисто синтаксическая по своей природе. С точки зрения Витгенштейна, мы изобретаем математические исчисления и расширяем область математики с помощью вычисления и доказательства, и т.о. мы узнаем из доказательства, что теорема может быть выведена из аксиом путем определенных правил некоторым способом, и это не тот случай, когда этот метод доказательства уже существует до того, как мы его сами сконструировали.



Как мы увидим далее, философия математики Витгенштейна появляется в зачаточном состоянии в ЛФТ, затем развивается в финитный конструктивизм в средний период (Philosophical Remarks (1929-1930) и Philosophical Grammar (1931-1933), соответственно; далее - PR и PG, соответственно), после чего получила дальнейшее продолжение как по новым, так и по старым направлениям в MSS, использованных в Remarks on the Foundations of Mathematics (1937-1944; далее RFM). В силу того, что содержательный взгляд Витгенштейна на математику эволюционировал с 1918 по 1944, то и его работы и философские стили менялись от утвердительного, афористического стиля в ЛФТ, более ясного, аргументированного стиля в средний период, до диалектического, разговорного стиля в RFM и Philosophical Investigations (далее PI).



1. Витгенштейн о математике в Трактате

2. Финитный конструктивизм Витгенштейна в средний период

2.1 Конструктивный формализм Витгенштейна

2.2 Финитизм Витгенштейна

2.3 Финитизм Витгенштейна и алгоритмическая разрешимость

2.4 Мнение Витгенштейна о математической индукции и алгоритмической разрешимости

2.5 Мнение Витгенштейна об иррациональных числах

2.6 Критика Витгенштейна теории множеств

3. Поздний Витгенштейн о математике: некоторые предварительные положения

3.1 Математика как изобретение человека

3.2 Поздний финитный конструктивизм Витгенштейна

3.3 Поздний Витгенштейн о разрешимости вообще и об алгоритмической разрешимости.

3.4 Поздняя Критика Витгенштейна теории множеств: Не-перечислимость против не-счетности

3.5 Внешнее математическое приложение как необходимое условие математической значимости

3.6 Витгенштейн о Геделе и неразремых математических предложениях

4. Влияние философии математики на саму математику



1. Витгенштейн о математике в Трактате



Формалистская, не привязанная к реальности концепция Витгенштейна в отношении математических утверждений и терминов берет свое начало в ЛФТ [2]. Действительно, он делает набросок своей Философии математики в ЛФТ, противопоставляя математику и математические уравнения с подлинными (контингенциальными) утверждениями, смыслом, мышлением, пропозициональными знаками и их составляющими именами, и истиной-в-соответствии. 



В ЛФТ Витгенштейн утверждает, что подлинное предложение, которое опирается на общепринятые соглашения, используется нами для обозначения, что положение дел (т.е., элементарный или атомарный факт; ‘Sachverhalt’) или факт (т.е., несколько положений дел; ‘Tatsache’) имеет место только в реальном мире. Элементарное предложение изоморфно возможному положению дел, которое оно представляет: оно должно содержать столько же имен, сколько объектов в возможом положении дел. Элементарное предложение истинно тогда и только тогда, когда соответствующее возможное положение дел (т.е., смысл; ‘Sinn’) имеет место. Витгенштейн четко обозначил эту теорию соответствия истине в (4.25): «Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.» Но предложения и их языковые части мертвы – предложение имеет смысл только потому что мы, человеческие существа, снабжаем их общепринятым смыслом (5.473). Более того, пропозициональные знаки могут быть использованы для совершения любого числа вещей (например, обидеть, привлечь чье-то внимание); для обозначения того, что положение дел имеет место, человек должен «проецировать» смысл предложения – его возможного положения дел – путем «мышления» (например, воображая) этого смысла, во время разговора, письма или мыслей об этом предложении (3.11). Витгеншейн связывает использование, смысл, соответствие и истину, говоря «предложение истинно, если мы используем его для того, чтобы сказать о том, что имеет место» (4.062).



Идеи ЛФТ о подлинных (контингенциальных) предложениях и (оригинальная и) основная концепция истины используются для построения теорий логических и математических «предложений» путем противопоставления. Сформулированные отчетливо и прямо, тавтологии, противоречия и математические предложения (т.е. математические уравнения) не истинны и не ложны – мы говорим, что они истинны или ложны, но делая т.о., мы используем слова «истина» и «ложь» совершенно не в том смысле, в каком мы говорили, что контингенциальные предложения истинны или ложны. В отличие от подлинных предложений, тавтологии и противоречия «не имеют «содержания»» (?subject-matter) (6.124), “в них отсутствует смысл” и «они ничего не говорят» о мире (4.461), аналогичным образом математические уравнения являются «псевдо-предложениям» (6.2), которые, будучи «истинными» («корректными»; ‘richtig’ (6.2321)), «всего лишь означают ... эквивалентность значений [“двух выражений”]» (6.2323). С учетом того, что «тавтологии и противоречия являются предельными случаями – на самом деле, их исчезновением – сочетания знаков» (4.466), где «условия соглашения с миром – репрезентативные связи – отменяют друг друга, т.о. что они не состоят ни в какой репрезентативной связи с реальностью», тавтологии и противоречия не описывают реальность или возможные положения дел и возможные факты (4.462). Другими словами, тавтологии и противоречия не имеют смысла, что значит, что мы не можем их использовать для составления высказываний, что в свою очередь значит, что они не могут быть ни ложными, ни истинными. Аналогично, математические псевдо-предложения – это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. Действительно, мы приходим к математическим уравнениям «методом подстановки»: «начиная с некоторого числа уравнений, мы переходим к новым уравнениям путем подстановки некоторых выражений в соответствии с уравнениями» (6.24). Мы доказываем математические «предложения», полагая их «истинными»  («корректными»), «замечая», что два выражения имеют одинаковые значения, которое «должно быть ясно видно по ним самим» (6.23), и замещая одно выражение другим с тем же значением. Подобно тому как «человек может распознать, что [«логические предложения»] истинны из символа самого по себе» (6.113), «возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами (6.2321; сравните с (RFM App. III, §4)).



Разграничение между контингенциальными предложениями, которые могут использоваться для корректного или некорректного представления частей мира, и математическими предложениями, которые могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере, сохраняется у Витгенштейна вплоть до его смерти в 1951 (Zettel §701, 1947; PI II, 2001 Ed., стр. 192-193e, 1949). При данных языковых и символических соглашениях, истинное значение контингенциального предложения – это исключительно функция мира вокруг, тогда как «истинное значение» математического предложения – это целиком функция слагающих его символов и формальной системы, частью которой они являются. Т.о., второй, тесно связанный путь декларирования этого разграничения – это сказать, что математические предложения разрешаются чисто формальным способом (например, вычислениями), в то время как контингенциальные предложения, будучи предложениями о «внешнем» мире, могут быть разрешены, если это вообще можно сделать, путем определения, имеет место или нет конкретный факт (т.е., что-то внешнее для предложения и используемого языка) (2.223; 4.05).



Формальная теория математики в ЛФТ является, в частности, теорией формальных операций. За последние 10 лет теория операций Витгенштейна получила основательную проверку [(Frascolla 1994; 1997), (Marion 1998), (Potter 2000), и (Floyd 2002)], которая интересным образом связала эту теорию и теорию уравнений арифметики ЛФТ с элементами -исчисления Алонзо Черча (Alonzo Church) и исчислением уравнений Р.Л.Гудштейна (R. L. Goodstein) (Marion 1998, Главы 1, 2, и 4). Если очень кратко, то Витгенштейн определяет:



a. … знак ‘[a, x, O’x]’ как общий термин для ряда форм a, O’a, O’O’a, …. (5.2522)

b. … общую форму операции  [как]

. (6.01)

c. … общую форму предложения (“функция истинности”) [как] . (6)

d. Общую форму целого [натурального числа] [как] . (6.03)



добавляя, что «концепция числа это... общая форма числа» (6.022). Как подметил Frascolla (и Marion позднее), «общая форма предложения – это частный случай общей формы «операции»» (Marion 1998, стр. 21), и все три общие формы (т.е., операции, предложения и натурального числа) строятся на основе переменной в (5.2522) (Marion 1998, стр. 22). Определяя «операцию как выражение связи между структурами ее результатов и ее оснований» (5.22), Витгенштейн отмечает, что в связи с тем что «функция не может быть собственным аргументом,... операция может принимать один из своих результатов за свое основание» (5.251).



По описанию Витгенштейна ‘[a, x, O’x]’ (5.2522),  «первый член выражения в скобках – это начало ряда форм, второй – это форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, и третий [O’x] – это форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду». С учетом того, что «идея последовательных применений операции эклвивалентна идее «и так далее»» (5.2523), можно понять, как натуральные числа могут быть порождены повторяющимися итерациями общей формы натурального числа, а именно «». Подобным образом функционально-истинностные предложения могут быть порождены, как пишет Рассел во введении к ЛФТ (p. xv), общей формой предложения «» путем «взятия любого набора атомарных предложений [где p «обозначает все атомарные предложения»; «черта над переменной обозначает, что она принимает все свои значения» (5.501)], применения ко всем ним операции отрицания, после чего выбирается любой набор новых предложений вместе с изначальными [где x «обозначает любое множество предложений»] – и так далее до бесконечности». По мнению Frascolla (1994, 3ff), «числовое тождество «t = s» - это теорема арифметики тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение «», которое содержится в языке общей теории логических операций, может быть доказано». Доказывая «уравнение «», которому соответствует арифметическое тождество “2 × 2 = 4” в языке операций» (6.241), Витгенштейн т.о. намечает «перевод числовой арифметики в область общей теории операций» (Frascolla 1998, 135).



Несмотря на тот факт, что Витгенштейн, очевидно, не  пытается свести математику к логике в манере Рассела или Фреге, или к тавтологиям, и несмотря на то, что Витгенштейн критикует логицизм Рассела (например, теория типов, 3.31-3.32; аксиома сводимости, 6.1232, и т.д.) и логицизм Фреге (6.031, 4.1272, и т.д.) [3], значительное количество комментаторов, как ранних, так и современных, интерпретируют теорию математики Витгенштейна в ЛФТ как вариант логицизма [(Quine 1940 [1981, 55]), (Benacerraf и Putnam 1964, 14), (Black 1966, 340), (Savitt 1979 [1986], 34), (Frascolla 1994, 37; 1997, 354, 356-57, 361; 1998, 133), (Marion 1998, 26 & 29), и (Potter 2000, 164 и 182-183)]. На это есть по крайней мере четыре причины.



Витгенштейн пишет, что «математика – это метод логики» (6.234).

Витгенштейн пишет, что «логика мира, которая показана в тавтологиях предложениями логики, показана уравнениями в математике» (6.22).

По Витгенштейну, мы устанавливаем истинность как математических, так и логических предложений только лишь по одним символам (т.е., с помощью чистых формальных операций), не делая никаких («внешних», не-символьных) наблюдений положений дел или фактов в мире.

Итеративная (индуктивная) витгенштнейновская «интерпретация чисел как порядок переменной, обозначающей операцию» - это «сведение арифметики к теории операций», где «операция» истолковывается как «логическая операция» (Frascolla 1994, 37), которая показывает, что «ярлык «не-классический логицизм» согласовывается с взглядом ЛФТ на арифметику» (Frascolla 1998, 133; 1997, 354).



Хотя по крайне мере три логистические интерпретации ЛФТ появились только в последние 8 лет, следующие факторы [(Rodych 1995), (Wrigley 1998)] показывают, что ни одна из вышеперечисленных причин не является полностью убедительной.



Например, говоря, что «математика – это метод логики», Витгенштейн, возможно, всего лишь говорит, что т.к. общая форма натурального числа и общая форма предложения являются частными случаями общей формы (чисто формальной) операции, точно так же как функционально-истинностные предложения могут быть построены с использованием общей формы предложения, (истинные) математические уравнения могут быть построены с использованием общей формы натурального числа. В качестве варианта, Витгенштейн мог иметь в виду, что математические выводы (т.е., не подстановки) находятся в соответствии с, или применяют, логическими выводами, и т.к. математическое мышление есть логическое мышление, то математика есть метод логики.



Подобным образом, говоря, что «логика мира» показана тавтологиями и истинными математическими уравнениями (т.е., п. 2), Витгенштейн мог иметь в виду, что т.к. математика была изобретена, чтобы помочь нам с подсчетом и измерениями, и в той мере как она позволяет нам выводить одни контингенциальные предложения из других контингенциальных предложений (см. 6.211 ниже), она таким образом отражает контингенциальные факты и «логику мира». Хотя логика – которая присуща естественному («каждодневному») языку (4.002, 4.003, 6.124) и которая нам помогает в наших коммуникативных, исследовательских и присущих выживанию нуждах – не была изобретена подобным образом, правильный логический вывод захватывает взаимосвязь между возможными фактами, а  трезвый логический вывод захватывает взаимосвязь между существующими фактами.



Что касается п. 3, Black, Savitt, и Frascolla привели доводы, что т.к. мы устанавливаем истинность тавтологий и математических уравнений без какого бы то ни было апеллирования к «положениям дел» или «фактам», истинные математические уравнения и тавтологии настолько похожи, что мы можем «надлежащим образом» описать «философию арифметики ЛФТ... как вариант логицизма» (Frascolla, 1994, 37). Возражением на это служит то, что похожесть, которую подметили Frascolla, Black и Savitt, не делают теорию Витгенштейна «вариантом логицизма» в смысле Рассела или Фреге, потому что Витгенштейн не определяет числа «логически» так, как это делают Рассел или Фреге, и похожесть (или аналогия) между тавтологиями и истинныи математическими уравнениями не является ни тождеством, ни соотношением сводимости.



Наконец, критики приводят доводы, что проблема из п. 4 такова, что не существует доказательства того утверждения, что рассматриваемая  операция логическая в ее понимании Витгенштейном, Расселом или Фреге – она кажется чисто формальной, синтаксической операцией (Rodych 1995). «Логические операции выполняются с предложениями, арифметические операции – с числами», говорит Витгенштейн (WVC 218); «результат логической операции – это предложение, результат арифметической операции – это число». В целом, критика логистической интерпретации ЛФТ доказывает, что пп. 1-4 ни по отдельности, ни вместе взятые, не формируют убедительной почвы для логистической интерпретации ЛФТ.



Другой важный момент теории математики в ЛФТ находится в (6.211).



В жизни ведь нет таких математических предложений, в которых мы бы нуждались. Далее, мы используем математические предложения только для вывода одних предложений, не принадлежащих математике, из других предложений, также не принадлежащих математике. (В философии вопрос «для чего мы, собственно, используем это слово или это предложение» периодически приводит к ценным результатам).



Хотя математика и математическая деятельность чисто формальные и синтаксические, в ЛФТ Витгенштейн неявно отделяет чисто формальные игры со знаками, которые не имеют никаких приложений в контингенциальных предложениях, от математических предложений, которые используются для выводов одних контингенциальных предложений из других контингенциальных предложений. Однако, Витгенштейн явным образом не говорит, как математические уравнения, которые не являются подлинными предложениями, используются для вывода одних подлинных предложений из других подлинных предложений [(Floyd 2002, 309), (Kremer 2002, 293-94)]. Как мы увидим из §3.5, поздний Витгенштейн возвращается к важности внешнего математического приложения и использует его для отличения простой «знако-игры» от подлинной математичкой языковой игры.



Это, вкратце, теория математики Витгенштейна в ЛФТ. Во введении к ЛФТ Рассел писал, что «теория числа» Витгенштейна «нуждается в огромной технической доработке», в основном из-за того, что Витгенштейн не показал, как работать с трансфинитными числами (Витгенштейн, 1922, xx). Подобным образом, в своем обзоре ЛФТ, Frank Ramsey писал, что «мнение» Витгенштейна не покрывает всю математику, частично из-за того, что теория уравнений Витгенштейна не может объяснить неравенства (Ramsey 1923, 475). И хотя сомнительно, что в 1923 Витгенштейн мог представить себе все эти проблемы, но несомненно, что теория математики в ЛФТ, по существу, только лишь набросок, особенно по сравнению с тем, что начинает Витгенштейн развивать шестью годами позднее.



После написания ЛФТ в 1918, Фитгенштейн фактически не занимался философией до 2 февраля 1929, 11 месяцев спустя после посещения лекции голландского математика Л.Э.Я. Брауэра.



2. Финитный конструктивизм Витгенштейна в средний период



Мало сомнений в том, что Витгенштейн был вдохновлен лекцией «Наука, математика и язык» (Брауэр 1929) Л.Э.Я. Брауэра 10 марта 1928, прочитанной им в Вене, которую Витгенштейн посетил с F. Waismann и H. Feigl, но это будет большим преувеличением говорить, что он вернулся к философии из-за услышанной им лекции или что его переходный интерес к философии математики главным образом был основан на влиянии Брауэра. Фактически, возврат Витгенштейна к философии математики и своей переходной работе о математике также основан на диалогах с Ramsey и членами Венского кружка, на несогласии Витгенштейна с Ramsey о тождестве, и на некоторых других факторах.



Несмотря на то, что, скорее всего, Витгенштейн не прочел ни одной работы Гильберта или Брауэра до окончания работы над ЛФТ, к началу 1929 Витгенштейн определенно прочитал работы Брауэра, Вейля, Skolem, Рамсея (и, возможно, Гильберта) и, должно быть, имел одну или более частных дискуссий с Брауэром в 1928 [(Le Roy Finch 1977, 260), (Van Dalen 2005, 566-567)]. Т.о., трактовка математики в ЛФТ, находившаяся там в достаточно зачаточном состоянии, и сформировавшаяся главным образом под влиянием Рассела и Фреге, была развита в детальной работе по математике в средний период (1929-1933), на которую большое влияние оказали работы 1920х гг Брауэра, Вейля, Гильберта и Skolem.



2.1 Конструктивный формализм Витгенштейна



Для того, чтобы лучше понять переходную философию математики Витгенштейна, нужно полностью оценить его усиленный формализм, согласно которому «мы создаем математику» (WVC 34, Ft. #1; PR §159), придумывая чисто формальные математические исчисления с «фиксированными» (?stipulated) аксиомами (PR §202), синтаксическими правилами преобразования и процедурами разрешимости, которые позволяют нам ввести в обращение «математическую истинность» и «математическую ложность» путем алгоритмической разрешимости так называемых математических «предложений» (PR §§122, 162).



Основная идея формализма Витгенштейна с 1929 (если не с 1918) по 1944 – математика по существу синтаксическая, лишенная отношений и семантики. Наиболее очевидный момент этой точки зрения, которой придерживается целый ряд комментаторов, не отосящих Витгенштейна к «формалистам» [(Kielkopf 1970, 360-38), (Klenk 1976, 5, 8, 9), (Fogelin 1968, 267), (Frascolla 1994, 40), (Marion 1998, 13-14)], состоит в том (контр Платонизм), что знаки и предложения математического исчисления не соотносятся ни с чем. Как пишет Витгенштейн в (WVC 34, Ft. #1), «числа не представлены чем-то; числа есть». Это значит, что не только используемые числа есть, это значит, что символы чисел (нумералы) есть числа, т.к. «арифметика не говорит о числах, она работает с числами» (PR §109).



То, чем занимается арифметика, есть схема | | | |. – Но говорит ли арифметика о линиях, которые я рисую карандашом на бумаге? - Арифметика не говорит о линиях, она работает с ними. (PG 333)



В том же духе Витгенштейн говорит, что (WVC 106) «математика – это всегда машина, исчисление» и «исчисление – это счеты, калькулятор, счетная машина», которая «работает с помощью штрихов (?strokes), нумералов и т.д.». «Подтвержденная сторона формализма», согласно Витгенштейну (WVC 105), состоит в том, что математические символы «теряют значение» (т.е., ‘Bedeutung’) – они не «представляют» вещи, которые «сами по себе являются значениями».



Вы могли бы сказать, что арифметика – это род геометрии; т.е. то, что в геометрии является конструкциями на бумаге, в арифметике есть вычисления (на бумаге). – Вы могли бы сказать, что это более общая форма геометрии. (PR §109; PR §111)



Это – ядро формализма Витгенштейна на протяжении все его жизни. Когда мы доказываем теорему или разрешаем предложение, мы оперируем в чисто формальной, синтаксической манере. Занимаясь математикой, мы не открываем ранее известные истины, которые были «уже и так известны до того, как их кто-то узнал» (PG 481) – мы изобретаем математику, кусочек за кусочком. «Если вы хотите знать, что значит 2 + 2 = 4», говорит Витгенштейн, «вы должны спросить, как мы это получили», потому что «мы рассматриваем процесс вычисления как существенную вещь» (PG 333). Поэтому, единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления.



Вторым значительным моментом переходного сильного формализма Витгенштейна является его точка зрения о том, что внешнее приложение математики (и/или ссылка на него) - не обязательное условие математического исчисления. Математические исчисления не требуют внешних математических приложений, аргументирует Витгенштейн, т.к. мы «можем развить арифметику полностью автономно, и ее приложение обеспечивает себя, т.к. где бы оно не было применимо, мы можем также применить его» (PR §109; ср. с PG 308, WVC 104).



Как мы скоро увидим, средний Витгенштейн был причислен к сильному формализму из-за нового интереса к вопросам разрешимости. Несомненно, под воздействием от работ Брауэра и Дэвида Гильберта, Витгенштейн использует сильный формализм для постулирования новой связи между математической значимостью и алгоритмической разрешимостью.



Уравнение – это правило синтаксиса. Разве это не объясняет, почему у нас не может быть вопросов о математике, которые принципиально  не имеют ответа? Т.к. если правила синтаксиса не могут быть охвачены, они совершенно бесполезны... [Это] делает понятными попытки формалиста видеть математику как игру со знаками. (PR §121)



В разделе 2.3, мы увидим как Витгенштейн идет дальше как Гильберта, так и Брауэра, сохраняя закон исключенного третьего таким образом, который ограничивает математические предложения до выражений, которые алгоритмически разрешимы.



2.2 Финитизм Витгенштейна



Главное отличие раннего Витгенштейна от среднего заключается в том, что в средний период он отвергает кванторы над бесконечной областью определения, заявляя, в противоположность ЛФТ, что такие «предложения» не являются бесконечными конъюнкциями и бесконечными дизъюнкциями просто потому, что такого не существует.



Принципиальные причины для развития конечной (финитной) философии математики:



Математика – это человеческая выдумка: согласно среднему Витгенштейну, мы придумываем математику, из чего следует, что математика и так называемые математические объекты не присутствуют независимо от наших измышлений. Чем бы ни была математика, на самом деле это продукт человеческой деятельности. 

Математические исчисления состоят исключительно из интенций (?intensions) и экстенций (?extensions): при условии, что мы придумали только математические экстенции (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математические интенции (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), эти экстенции и интенции, а также исчисления, которые из них состоят, составляют всю полноту математики. (Нужно заметить, что использование Витгенштейном понятий «экстенция» и «интенция» в отношении математики значительно отличается от стандартного современного их использования, в котором экстенция предиката – это множество сущностей, которые удовлетворяют предикату, а интенция – это значение предиката (или то значение, которое им выражается). Вкратце, Витгенштейн полагает, что расширение понятия «концепт-и-экстенция» из области существующих (т.е., физических) объектов в т.н. область «математических объектов» основывается на ложной аналогии и порождает понятийное заблуждение. См. #1 ниже)



Эти две причины имеют по крайней мере пять прямых следствий для философии математики Витгенштейна.



Отказ от бесконечных математических экстенций: при условии, что математическая экстенция – это символ («знак») или конечное соединение символов, простирающееся в пространстве, есть категориальная разница между математическими интенциями и (конечными) математическими экстенциями, из которой следует что «математическая бесконечность» существует только в рекурсивных правилах (т.е., интенциях). Бесконечная математическая экстенция (т.е., завершенная бесконечная математическая экстенция) – это противоречие в терминах.

Отказ от неограниченной кванторизации в математике: учитывая, что единственной бесконечностью в математике может только рекурсивное правило, и учитывая, что математическое предложение должно иметь смысл, получаем, что не может быть бесконечного математического предложения (т.е., бесконечного логического произведения или бесконечной логической суммы)

Алгоритмическая разрешимость и неразрешимость: если математиские выражения всех типов обязательно конечные, то, по существу, все математические предложения алгоритмически разрешимы, из чего следует, что «неразрешимые математические предложения» - это противоречие в терминах. Даже более, т.к. математика – это, по существу, то что мы имеем и то что мы знаем, Витгенштейн ограничил алгоритмическую разрешимость до знания каким образом устанавливать разрешимость предложения на основе известной процедуры проверки разрешимости.

Анти-фундаменталистское мнение о действительных числах: т.к. не существует бесконечных математических экстенций, иррациональные числа – это правила, а не экстенции. Учитывая, что бесконечное множество – это рекурсивное правило (или индукция), и нет такого правила, которое смогло бы породить все объекты, которые математики называют (или хотят называть) «действительными числами», получаем, что не существует множества «всех» действительных чисел, и что нет такой вещи, как математический континуум.

Отказ от различных бесконечных мощностей: учитывая, что не существует бесконечных математических экстенций, Витгенштейн отвергает стандартную интерпретацию дигонального доказательства Кантора как доказательство существования бесконечных множеств как более, так и менее мощных.



Т.к. мы изобретаем математику в ее целостности, мы не исследуем предсуществующие математические объекты или факты, или что математические объекты имеют определенные свойства, т.к. «человек не может найти какую-либо связь между частями математики или логики, которая уже существовала без знания человека о ней» (PG 481). Рассматривая математику как чисто человеческое изобретение, Витгенштейн пытается определить, что именно мы придумали и именно почему, по его мнению, мы ошибочно думаем что существуют бесконечные математические экстенции.



Если, для начала, мы рассмотрим то, что мы придумали, мы увидим, что наше изобретение – формальные исчисления, состоящие из конечных экстенций и интенциональных правил. Если, что еще более важно, мы попытаемся определить, почему мы верим, что бесконечные математические экстенции существуют (например, почему мы верим, что актуальная бесконечность присуща математике), мы увидим, что мы объединяем математические интенции и математические экстенции, ошибочно полагая, что есть «дуализм» «закона и бесконечного ряда, подчиняющегося ему» (PR §180). Например, мы думаем, что т.к. действительное число  «представляется бесконечным числом разрядов десятичной дроби» (PR §186), это есть «общность» (WVC 81-82, Ft. #1), когда на самом деле «иррациональное число – это не экстенция бесконечной десятичной дроби... это закон» (PR §181), который «порождает экстенции» (PR §186). Закон и список принципиально различны, ни один из них не может «дать» того, что может другой (WVC 102-103). Действительно, «ошибка в теоретико-множественном подходе состоит во времени и опять в трактовке законов и перечислений (списков) как существенно похожих вещей» (PG 461).



Тесно связан с этим объединением интенций и экстенций тот факт, что мы ошибочно трактуем слово «бесконечный» в качестве «слова, обозначающего число», т.к. в обычном рассуждении мы отвечаем на вопрос «как много» и так, и так (PG 463; cf. PR §142). Но ««бесконечный» - это не количество», настаивает Витгенштейн (WVC 228); слово «бесконечный» и слово, обозначающее число навроде «пяти», имеют разный синтаксис. Слова «конечный» и «бесконечный» не работают как прилагательные для слов «класс» или «множество» (WVC 228), т.к. выражения «конечный класс» и «бесконечный класс» используют слово «класс» совершенно по-разному. Бесконечный класс – это рекурсивное правило «индукции», в связи с чем символ конечного класса – это список или экстенция (PG 461). Все этого из-за того, что индукция имеет много общего с множественностью конечного класса, которое мы по ошибке называем бесконечным классом (PR §158).



В итоге, т.к. математическая экстенция – это всегда конечная последовательность символов, бесконечная математическая экстенция – это противоречие в терминах. Это – основа финитизма Витгенштейна. Т.о., когда мы говорим, например, что «есть бесконечно много четных чисел», мы не говорим «есть бесконечное число четных чисел» в том же смысле, в котором мы можем сказать «в этом доме есть 27 человек»; бесконечный ряд натуральных чисел есть ни что иное как «бесконечная возможность конечного ряда чисел» - «это бессмысленно говорить о целом бесконечном ряде, как если бы он был экстенцией» (PR §144). Бесконечность понимается правильно, если оно понимается не как количество, а как «бесконечная возможность» (PR §138).





Учитывая отказ от бесконечных математических экстенций, Витгенштейн принимает конечные, конструктивные взгляды на математическую кванторизацию, математическую разрешимость, природу действительных чисел, и диагональное доказательство Кантора существования бесконечных множеств больших мощностей.



Т.к. математическое множество – это конечная экстенция, мы не можем значимо навешивать кванторы над бесконечной математической областью определения, просто потому, что не существует такой вещи как бесконечная математическая область (например, общность, множество) и, как следствие, нет таких вещей как бесконечные конъюнкции или дизъюнкции [(Moore 1955, 2-3); cf. (AWL 6) и (PG 281)].



По-прежнему, все сейчас выглядит так, что кванторы не имеют смысла для чисел. Я имею в виду: вы не можете сказать ‘(n) φn’ именно потому, что «все натуральные числа» - это неограниченная идея. Поэтому никто не должен говорить, что общее предложение следует из предложения о природе числа.



Но в этом случае, кажется мне, что мы не можем использовать общность – все, и т.д. – вообще во всей математике. Нет такой вещи как «все числа», просто потому что их бесконечно много (PR §126; PR §129).



 «Экстенционалисты», которые утверждают, что “ε(0).ε(1).ε(2) и так далее” – это бесконечное логическое умножение (PG 452), полагают или утверждают, что конечные и бесконечные конъюнкции очень близки – а тот факт, что мы не можем написать или перечислить все элементарные конъюнкты, «содержащиеся» в бесконечной конъюнкции, это только «человеческая слабость», т.к. Бог мог бы несомненно так сделать, и несомненно он мог бы обозреть всю конъюнкцию одним взглядом и определить ее истинность. Согласно Витгенштейну, однако, это не следствие человеческой ограниченности. Т.к. мы ошибочно полагаем, что «бесконечная конъюнкция» похожа на «огромную конъюнкцию», мы ошибочно делаем вывод, что т.к. мы не можем определить истинность огромной конъюнкции вследствии отсутствии необходимого времени, мы похожим образом не можем, из-за человеческой ограниченности, определить истинность бесконечной конъюнкции (или дизъюнкции). Но различие здесь не только в степени, но и в качестве: «в смысле, в котором невозможно проверить бесконечное число предложений, так же невозможно даже попытаться сделать это» (PG 452). Это применимо, по Витгенштейну, к людям, но что более важно, это применимо также и к Богу (т.е., ко всезнающему существу), т.к. даже Бог не может написать или обозреть бесконечно много предложений, поскольку для него также ряд бесконечный или неограниченный, и поэтому эта «задача» не является настоящей задачей, потому что это не может быть сделано принципиально (т.е., «бесконечно много» - это не обозначающее число слово). Как Витгенштейн пишет в (PR 128; ср. с PG 479): ««Может ли Бог знать все знаки после запятой числа π?» мог бы быть хорошим вопросом для схоластиков», т.к. этот вопрос определенно «бессмысленен». Как мы скоро увидим, по мнению Витгенштейна, «утверждение о всех числах не представляется посредством предложения, но представляется посредством индукции» (WVC 82).



Подобным образом, также не существует такой вещи как математическое предложение о некотором числе – нет такой вещи как математическое предложение, которое существенно может быть кванторизовано над бесконечной областью определения (PR §173).



Каково значение такого математического предложения ‘( n) 4 + n = 7’? Это может быть дизъюнкцией - (4 + 0 = 7)(4 + 1 = 7) и т.д. до бесконечности. Но что это значит? Я могу понять предложение с началом и концом. Но может ли кто-нибудь также понять предложение без конца? (PR §127)



Мы в особенности соблазняемся чувством или верой, что применение бесконечной математической дизъюнкции имеет здравый смысл в случае, когда мы можем предложить рекурсивное правило для порождения каждого следующего члена бесконечной последовательности. Например, когда мы говорим «Существует нечетное идеальное число» мы полагаем, что в бесконечной последовательности нечетных чисел найдется (по крайней мере) одно нечетное число, являющееся идеальным – мы полагаем «φ(1)φ(3)φ(5) и т.д.» и мы знаем, что сделает это предложение истинным, а что – ложным (PG 451). Ошибкой здесь, согласно Витгенштейну (PG 451), является то, что мы неявно «сравниваем предложение “( n)…” с предложением «На этой странице есть два иностранных слова»», которое не имеет грамматики первого «предложения», а только показывает аналогию в их соответствующих правилах.



С точки зрения переходного финитизма Витгенштейн, выражение с кванторами над бесконечной областью определения никогда не является значащим предложением, даже тогда, когда мы доказали, например, что некоторое число n имеет некоторое свойство.



Важно, что даже если мне дано 3^2+4^2=5^2, я не должен говорить «( x, y, z, n) (x^n+y^n=z^n)” , т.к. с точки зрения экстенции это бессмысленно, а с точки зрения интенции не дает нам доказательства. Нет, в таком случае я должен отразить только первое уравнение. (PR §150)



Т.о., Витгенштейн придерживается радикальной позиции, что все выражения с навешенными кванторами над бесконечной областью определения, являются ли они «гипотезами» (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза простых чисел-близнецов) или «доказанными общими теоремами» (например, «теорема Евклида о простых числах», фундаментальная теорема алгебры), все равно они не имеют значения (т.е., «бессмысленны»; «sinnlos») по сравнению с «подлинными математическими предложениями» (PR §168). Эти выражения – не (значащие) математические предложения, согласно Витгенштейну, т.к. закон исключенного третьего не применим, что значит что «мы не имеем дело с предложениями математики» (PR §151). Принципиальный вопрос почему и в каком точно смысле закон исключенного третьего не применим к таким выражениям, будет рассмотрен в следующем разделе.



2.3 Финитизм Витгенштейна и алгоритмическая разрешимость



У среднего Витгенштейна были и другие причины для отказа от неограниченного использования кванторов в математике, т.к. по его своеобразному мнению, мы должны различать 4 категории соединения математических символов.



Доказанные математические предложения в конкретном математическом исчислении (нет нужды в «математической истине»)

Опровергнутые математические предложения в конкретном математическом исчислении (нет нужды в «математической ложности»)

Математические предложения, для которых мы знаем, что у нас есть в наличии применимая и эффективная методика определения разрешимости (т.е., мы знаем, как разрешать эти предложения)

Соединения символов, которые не являются частью какого-либо математического исчисления и которые, по этой причине, не являются математическими предложениями (т.е., это не-предложения)



В своей работе (van Atten 2004, 18), Mark van Atten пишет, что «интуиционистски, есть четыре [“возможности предложения в отношении истины”]:



Было установлено, что p – истина

Было установлено, что p – ложь

Не было установлено пока еще ни 1, ни 2, но у нас есть процедура разрешения p (т.е., процедура доказательства p или доказательства ¬p)

 Не было установлено пока еще ни 1, ни 2, и у нас нет процедуры разрешения p.”



Что сразу видно в Витгенштейновских ##1-3 и Брауэрских ##1-3 [(Brouwer 1955, 114), (Brouwer 1981, 92)], так это их поразительное сходство. А еще, несмотря на всю похожесть, отличие в #4 абсолютно принципиальное.



В первых 3х пунктах, Брауэр и Витгенштейн соглашаются в том, что пока еще неразрешенное выражение φ является математическим предложением (согласно Витгенштейну, являющегося частью конкретного математического исчисления), если у нас есть применимая процедура разрешимости. Также они соглашаются в том, что пока φ не разрешено, оно не является ни истинным, ни ложным (хотя, по Витгенштейну, «истинно» значит не больше, чем «доказано в исчислении Γ»). Противоречия у них возникает о статусе обыкновенной математической гипотезы, такой как гипотеза Гольдбаха. Брауэр принимает ее в качестве математического предложения, в то время как Витгенштейн отвергает ее по той причине, что мы не знаем, как алгоритмически разрешить ее. Подобно Брауэру (1948 [1983, 90]), Витгенштейн придерживается мнения, что в математике нет «неизвестных истин», однако в отличие от Брауэра, Витгенштейн отвергает существование «неразрешенных предложений» на тех основаниях что такое «предложение» не имело бы «смысла», «и следствие этого то, что предложения логики теряют свою общезначимость» (PR §173). В частности, если есть неразрешимые математические предложения (как полагает Брауэр), то по крайне мере некоторые математические предложения не являются предложениями в любом существующем математическом исчислении. Для Витгенштейна, однако, это свойство математического предложения по определению – быть либо уже разрешенным, либо имеющим возможность быть разрешенным известной процедурой разрешимости в математическом исчислении. Как пишет Витгенштейн в (PR §151), «там, где неприменим закон исключенного третьего, никакой другой закон логики также неприменим, потому что в таком случае мы не работаем с предложениями математики. (В отличие от Вейля и Брауэра)». Дело здесь не в том, что нам нужна истина и ложность в математике – это не так – а скорее в том, что каждое математическое предложение (включая те предложения, для которых процедура разрешимости известна) известным образом есть часть математического исчисления.



Для поддержки своей позиции Витгенштейн делает различие между (значащими, подлинными) математическими предложениями, которые имеют математический смысл, и незначащими, бессмысленными (‘sinnlos’) выражениями на том условии, что выражение - это значащее (подлинное) предложение математического исчисления тогда и только тогда, когда мы знаем доказательство, опровержение или применимую процедуру разрешимости [(PR §151), (PG 452), (PG 366), (AWL 199-200)]. «Только там, где существует метод решения [«логический метод нахождения решения»], существует [математическая] проблема», говорит нам Витгенштейн (PR §§149, 152; PG 393). «Мы можем только ставить вопрос в математике (или делать гипотезу)», добавляет он (PR §151), «где ответом на него будет: «Я должен его решить»».



В (PG 468), Витгенштейн подчеркивает важность алгоритмической разрешимости ясно и настойчиво: «В математике все есть алгоритм и ничто есть значение [‘Bedeutung’]; даже если кажется, что это не так, потому что, кажется, мы используем слова, чтобы говорить о математических вещах. Даже эти слова используются для конструирования алгоритма». Следовательно, когда Витгенштейн говорит (PG 368), что если «предполагается, что [закон исключенного третьего] не выполняется, мы изменили концепцию предложения», он имеет в виду, что выражение является значащим математическим предложением только в том случае, если мы знаем применимую процедуру его разрешения (PG 400). Если подлинное математическое предложение пока неразрешено, закон исключенного третьего соблюдается в том смысле, что мы знаем, что мы докажем или опровергнем предложение путем применения подходящей процедуры разрешимости (PG 379, 387).



Для Витгенштейна, просто не существует разницы между синтаксисом и семантикой в математике: все есть синтаксис. Если мы хотим разграничить «математические предложения» от «математических псевдо предложений», а этого мы и хотим, то единственным способом удостовериться, что не существует такой вещи, как значащее, но неразрешимое (т.е., независимое) предложение в данном исчислении – это условиться, что выражение является значащим предложением в данном исчислении (PR §153) если только оно уже разрешено, или мы знаем применимую процедуру разрешимости. Подобным образом Витгенштейн определяет как математическое исчисление, так и математическое предложение в эпистемологических терминах. Исчисление определяется в терминах соглашений [(PR §202), (PG 369)], известных правил операций, а также известных процедур разрешимости, и выражение является математическим предложением в данном счислении (PR §155), только если это исчисление содержит (PG 379) известную (и применимую) процедуру разрешимости, т.к. «вы не можете иметь логического плана поиска смысла, которого вы не знаете» (PR §148).



Т.о., Витгенштейн в средний период отвергает неразрешимые математические предложения на двух основаниях. Во-первых, теоретико-числовые выражения с навешенными кванторами над бесконечной областью определения не являются алгоритмически разрешимыми, и поэтому они – не значащие математические предложения.



Если кто-то говорит (как Брауэр), что т.к. (x) f1x = f2x, то это, и да и нет, также случай неразрешимости, это подразумевает что ‘(x)…’ берется в экстенциональном смысле, и мы можем говорить о случае, когда все x имеют свойство. На самом деле, однако, совершенно невозможно говорить о таком случае, и ‘(x)…’ в арифметике не может рассматриваться экстенционально. (PR §174)



«Неразрешимость», говорит Витгенштейн (PR §174), «заранее предполагает… что мост не может быть построен из символов», когда, фактически, «связь между символами, которая существует, но не может быть выражена с помощью символьных преобразований, - это мысль, которую нельзя подумать», т.к. «если связь существует,… тогда должна быть возможность ее увидеть». Ссылаясь на алгоритмическую разрешимость, Витгенштейн подчеркивает (PR §174), что «мы можем утверждать все что угодно, что может быть проверено на практике», потому что «это вопрос возможности проверки».



Второй причиной для отказа Витгенштейна от неразрешимых математических предложений служит противоречие в терминах. Не может быть «неразрешимых предложений», аргументирует Витгенштейн (PR §173), т.к. выражение, которое неразрешимо в некотором конкретном исчислении, есть попросту не математическое предложение, т.к. «каждое предложение в математике должно принадлежать некоторому математическому исчислению» (PG 376).



Эта принципиальная позиция в области разрешимости отражается в различных радикальных и не интуитивно-понятных высказываниях о кванторах над неограниченной областью определения, математической индукции и, в особенности, смысле недавно доказанных математических предложений. В частности, Витгенштейн заявляет, что не вызывающие сомнений математические гипотезы, навроде гипотезы Гольдбаха (здесь и далее «ГГ»), и бывшая ранее гипотезой «последняя теорема Ферма» (здесь и далее «ПТФ»), не имеют смысла (или, может быть, не имеют определенного смысла), и что несистематическое доказательство таких гипотез придает им смысл, которого до этого они не имели (PG 374), потому что «непонятно, почему я должен согласиться, что когда у меня есть доказательство, то это доказательство точно этого предложения или индукции, подразумеваемой этим предложением» (PR §155).



Следовательно, [последняя теорема] Ферма не имеет смысла до тех пор пока я не смогу искать решение уравнения в целых числах. И «искать» всегда значит: искать систематически. Слоняться по бесконечному пространству в ожидании золотого кольца – это не значит искать.



Я говорю: так называемая «последняя теорема Ферма» - не предложение. (Даже не в смысле предложения арифметики.) Скорее, она соответствует индукции.



Чтобы узнать, почему последняя теорема Ферма не является предложением, и почему она может соответствовать индукции, обратимся к мнению Витгенштейна о математической индукции.



Мнение Витгенштейна о математической индукции и алгоритмической разрешимости



Учитывая то, что нельзя навешивать кванторы над бесконечной математической областью определения, возникает вопрос: Что, если уж на то пошло, любое теоретико-числовое доказательство посредством математической индукции на самом деле доказывает?



Обычно, доказательство методом математической индукции строится следующим хрестоматийным образом:



База индукции: φ(1)

Шаг индукции:  n(φ(n) →φ(n + 1))

Утверждение:  nφ(n)



Если, однако, « nφ(n)» - это не значащее (подлинное) математическое предложение, из чего же мы должны составить это доказательство?



Исходный ответ Витгенштейна на этот вопрос, несомненно, загадочен. «Индукция – это выражение арифметической общности», но «индукция сама по себе не предложение» (PR §129).



Мы не говорим, что когда выполняется f(1) и когда f(c + 1) следует из f(c), то, следовательно, предложение f(x) истинно для всего натурального ряда; но: «предложение f(x) выполняется для всех натуральных чисел» означает, что «оно выполняется для x = 1, и f(c + 1) следует из f(c)». (PG 406)



В доказательстве методом математической индукции, мы в действительности не доказываем «предложение» [например,  nφ(n)], которое традиционно толкуется как утверждение доказательства (PG 406, 374; PR §164), хотя скорее это псевдо-предложение или «формулировка» находится в качестве «заместителя» для «бесконечной возможности»  (т.е., «индукции»), которую мы хотим «увидеть» при помощи доказательства (WVC 135). «Я хочу сказать», заключает Витгенштейн, что «однажды получив индукцию, на этом все и кончается» (PG 407).  Поэтому, по мнению Витгенштейна, особое доказательство методом математической индукции нужно понимать следующим образом:



База индукции: φ(1)

Шаг индукции: φ(n) →φ(n + 1)

Заместитель утверждения: φ(m)



Здесь в «утверждении» индуктивного доказательства [т.е., «то, что нужно доказать» (PR §164)] используется ‘m’ вместо ‘n’ для обозначения того, что ‘m’ есть любое конкретное число, в то время как ‘n’ – это любое произвольное число. Для Витгенштейна, заместитель утверждения “φ (m)” – это не математическое предложение, которое «утверждает о своей общности» (PR §168), это элиминируемое (устранимое) псевдо-предложение, которое выступает заместителем для доказанных базы и индуктивного шага. Хотя индуктивное доказательство не может доказать «бесконечную возможность применения» (PR §163), оно позволяет нам «осознать», что прямое доказательство любого конкретного предложения может быть построено в конструктивной манере. Например, если мы доказали “φ(1)” и “φ(n) →φ(n + 1)”, то нам не нужно повторять модус поненс (modus ponens) m – 1 раз для доказательства конкретного предложения “φ(m)” (PR §164). Прямое доказательство, скажем, “φ(714)” (т.е., без 713 итераций модус поненс) «не может иметь еще лучшего доказательства, чем, скажем, мое установление вывода, поскольку это и есть само предложение» (PR §165).



Вторым очень важным моментом для Витгенштейновской радикальной конструктивной позиции по поводу математической индукции является его отказ от неразрешимых математических предложений.



Во время дискуссий о доказуемости математических предложений часто высказывается мнение, что есть существенные математические предложения, чьи истинность или ложность должны оставаться неразрешимыми. То, чего не понимают говорящие это люди, так это то, что такие предложения, если мы можем использовать их и хотим называть их «предложениями», это совсем не то же самое, что мы называем «предложениями» в других случаях; потому что доказательство меняет грамматику предложения (PG 367).



В этой цитате, Витгенштейн ссылается на Брауэра, который в 1907 и 1908 заявляет, во-первых, что «вопрос соблюдения principium tertii exclusi эквивалентен вопросу существуют ли неразрешимые математические проблемы», во-вторых, что «нет даже частицы (?shred) доказательства того убеждения, … что не существует неразрешимых математических проблем», и, в-третьих, что существует значащие предложения/«вопросы», такие как «Существует ли в десятичном разложении числа π бесконечно много пар равных цифр?», к которым закон исключенного третьего неприменим, потому что «нужно рассматривать неопределенным то, решаемы ли проблемы подобно [данной]» (Brouwer, 1908 [1975, 109-110]). «Тем более не является определенным то, что любая математическая проблема может быть решена, либо доказана ее нерешаемость», говорит Брауэр в (1907 [1975, 79]), «хотя ГИЛЬБЕРТ в “Mathematische Probleme” верит, что каждый математик глубоко в этом убежден».



Витгенштейн из тех же начальных данных делает противоположный вывод. Если, по словам Брауэра, мы не уверены, все ли или некоторые «математические проблемы» решаемы, то мы знаем, что у нас нет на данный момент применимой процедуры разрешимости, что означает, что заявленные математические предложения неразрешимы, здесь и сейчас. «То, что «математические вопросы» имеют общего с подлинными вопросами», пишет Витгенштейн в (PR §151), «так это то, что на них можно ответить». Это значит, что если мы не знаем как разрешить выражение, то мы также не знаем как его сделать ни доказанным (истинным), ни опровергнутым (ложным), что значит, что закон исключенного третьего «неприменим», и, поэтому, что наше выражение – не математическое предложение.



Как Витгенштейновский финитизм, так и его критерий алгоритмической разрешимости проливают свет на его очень спорные замечания о мнимых значимых гипотезах, таких как ПТФ и ГГ. ГГ – это не математическое предложение, потому что мы не знаем как разрешить ее, и если кто-то подобно G. H. Hardy говорит, что он «верит» в истинность ГГ (PG 381; LFM 123; PI §578), мы должны сказать, что у него/нее только «имеются догадки о возможностях расширения существующей системы» (LFM 139) – что человек может верить, что выражение «корректно» только в том случае, если он знает как доказать это. ГГ может быть быть доказана только в смысле, в котором она может «соответствовать доказательству методом математической индукции», что значит, что недоказанный индуктивный шаг (т.е., “G(n) →G(n + 1)”) и выражение «nG(n)» не являются математическими предложениями, т.к. у нас нет алгоритмического способа поиска индукции (PG 367). «Общее предложение» бессмысленно еще до индуктивного доказательства «потому что вопрос имел бы смысл только тогда, когда общий метод разрешения был бы известен до открытия конкретного доказательства» (PG 402). Недоказанные «индукции» или индуктивные шаги  - не значащие предложения, потому что закон исключенного третьего не выполняется в том смысле, что мы не знаем процедуру разрешимости, с помощью которой мы можем доказать или опровергнуть выражение (PG 400; WVC 82).



Кажется, что такая позиция, однако, лишает нас какой-либо причины искать «разрешимость» такого незначащего «выражения», как ГГ. Витгенштейн в переходный период только говорит, что «математик... руководствуется... определенными аналогиями с существовавшей ранее системой» и что нет ничего «неправильного или незаконного в том, что кто-то занимается последней теоремой Ферма» (WVC 144).



Если, например, у меня есть метод поиска целых чисел, удовлетворяющих уравнению x^2 + y^2 = z^2, то формула x^n + y^n = z^n может простимулировать меня. Я могу позволить формуле побудить меня к действию. Т.о. я скажу, что здесь имеется стимул (побудитель) – но не вопрос. Математические проблемы всегда являются такими стимулами. (WVC 144, Jan. 1, 1931)



Более точно, математик может позволить бессмысленной гипотезе, такой как ПТФ, простимулировать его/ее, если он/она желает знать, может ли исчисление быть расширено без изменения его аксиом или правил (LFM 139).



То, что здесь происходит [в попытке разрешить ГГ], - это несистематическая попытка конструирования исчисления. Если попытка успешная, то у меня снова будет исчисление, правда уже отличное от того, которое я использовал до сих пор. (WVC 174-75; Sept. 21, 1931)



Если, например, нам удастся доказать ГГ методом математической индукции (т.е., мы докажем “G(1)” и “G(n) →G(n + 1)”), то мы получим доказательство индуктивного шага, но поскольку индуктивный шаг не был предварительно алгоритмически разрешим [(PR §§148, 155, 157), (PG 380)], то при конструировании доказательства мы построили новое исчисление, новую вычислительную машину (WVC 106), в которой мы теперь знаем как использовать это новую «машино-часть» (RFM VI, §13) (т.е., несистематически доказанный индуктивный шаг). До доказательства индуктивный шаг не является осмысленным математическим предложением (в конкретном исчислении), тогда как после доказательства шаг индукции уже является математическим предложением с новым, определенным смыслом, и в новом, только что созданном исчислении. Это разграничение выражений без математического смысла и доказанных либо опровергнутых предложений, каждое из которых имеет определенный смысл в некотором исчислении, есть точка зрения Витгенштейна, которую он произносил несметное число раз с 1929 по 1944. 



Неизвестно, является ли это в конечном счете оправданным – а это абсолютно ключевой вопрос для философии математики Витгенштейна – этот сильно не-интуитивный аспект мнения Витгенштейна об алгоритмической разрешимости, доказательстве и смысле математических предложений есть часть его отказа от предопределенности в математике. Даже в том случае, если мы алгоритически разрешим математическое предложение, связи, которые возникли в результате, не существуют до алгоритмической разрешимости, что означает, что даже если у нас есть «математический вопрос», разрешенный нашей процедурой разрешимости, выражение имеет определенный смысл только как предложение, которое разрешено. Как в средний, так в поздний период Витгенштейн считал, что «новое доказательство дает предложению место для новой системы» (RFM VI, §13), оно «помещает его в целую систему исчислений», хотя оно «не приводит, полностью не описывает целую систему вычислений, которые стоят за предложением и придают ему смысл» (RFM VI, §11).



Необычная позиция Витгенштейна здесь – вариант структурализма, который частично происходит из его непринятия математической семантики. Мы ошибочно думаем, например, что ГГ имеет полностью определенный смысл, потому что, следуя «обманчивым путем, где тип выражения языка, состоящего из слов, дает смысл математических предложений» (PG 375),  мы воспроизводим в памяти ложные картины и ошибочные, ссылочные концепции математических предложений, и тем самым ГГ у нас получается о математической реальности, и т.о. имеет определенный смысл, такой как «где-то еще во Вселенной существуют разумные существа» (т.е., предложение, которое определенно является истинным или ложным, независимо от того, знали ли мы когда-нибудь его истинностное значение). Витгенштейн покончил с этой традицией, во всех ее формах, подчеркивая, что в математике, в отличие от области контингенциальных (или эмпирических) предложений, «если мне нужно знать, что говорит такое предложение, как последняя теорема Ферма», я должен знать ее критерий истины. В отличие от критерия истины для эмпирических предложений, который может быть известен до того, как предложение разрешено, мы не можем знать критерий истины для нерезрешенного математического предложения, хотя мы «знакомы с критерием истины для похожих предложений» (RFM VI, §13).



Мнение Витгенштейна об иррациональных числах



Витгенштейн в переходный период проводит достаточно времени, ломая голову над действительными и иррациональными числами. Есть две различные причины для этого.



Во-первых, реальная причина, по которой многие из нас не желают отказаться от понятия актуальной бесконечности в математике, - это превалирующая идея рассмотрения иррационального числа как заведомо бесконечной экстенции. «Путаница в идее «актуальной бесконечности» возникает», пишет Витгенштейн (PG 471), «из неясной концепции иррационального числа, т.е., из того факта что логически очень разные вещи называются «иррациональными числами» без какой-то ясной границы, задаваемой в этой концепции».



Во-вторых, и более основательно, Витгенштейн в переходный период борется с иррациональностью так тщательно, потому что он противопоставляет фундаментализм и в особенности его идею «сплошного математического континуума», идею всеобъемлющей теории действительных чисел и набор теоретических концепций и «доказательств» в качестве оснований арифметики, теорию действительных чисел, и математику в общем. На самом деле, исследование Витгенштейна иррациональных чисел объединяется с его критикой теории множеств, т.к., по его словам, «математика вся во власти пагубных идиом теории множеств», таких как «люди говорят о прямой как состоящей из точек», когда, в действительности, «прямая есть закон, и ни из чего не состоит» [(PR §173), (PR §§181, 183, & 191), (PG 373, 460, 461, & 473)].



2.5.1 Витгенштейновский анти-фундаментализм и подлинные иррациональные числа



Т.к., в терминах Витгенштейна, математика состоит исключительно из экстенций и интенций (т.е., «правил» или «законов»), иррациональное число - это только экстенция в той мере, что оно есть знак (т.е. «символ числа», такой как ‘√2’ или ‘π’). Учитывая, что нет такой вещи как бесконечная математическая экстенция, следует, что иррациональное число не является уникальным бесконечным расширением, но, скорее, уникальным рекурсивным правилом или законом (PR §181), который производит рациональные числа (PR §186; PR §180).



Правило, по которому строятся разряды √2, – это символ для иррационального числа; и причина, по которой я здесь говорю «число», - я могу оперировать с этими знаками (определенными правилами построения рациональных чисел) так же как и с самими рациональными числами (PG 484).



Однако, ввиду своего анти-фундаментализма, Витгенштейн принимает радикальную позицию, что не все рекурсивные действительные числа (т.е., вычислимые числа) являются подлинно действительными числами, и эта позиция отличает его точку зрения даже от Брауэра.



Проблема, как видит ее Витгенштейн, в том, что математики, а в особенности фундаменталисты (например, работающие с теорией множеств), пытаются согласовать физическую непрерывность с теорией, которая «описывает» математический континуум (PR §171). Когда, например, мы думаем о непрерывном движении и (простой (?mere)) плотности рациональных чисел, мы рассуждаем так: если объект двигается непрерывно из A в B, и он проходит только те расстояния, которые помечены «рациональными точками», то он должен пропустить некоторые расстояния (интервалы или точки), которые не помечены рациональными точками. Но если объект в непрерывном движении проходит расстояния, которые не могут быть соразмерно измерены одними только рациональными числами, то должны быть «зазоры» между рациональными числами (PG 460), и мы, т.о., должны заполнить их, во-первых, рекурсивными иррациональными, и, во-вторых, поскольку «множество всех рекурсивных иррациональных чисел» все еще оставляет зазоры, «не подчиняющимися закону иррациональными числами».



Загадка континуума возникает из-за того, что язык нас вводит в заблуждение, позволяя применять к нему образ, который не подходит. Теория множеств поддерживает неподходящий образ чего-то прерывного, но делает утверждения, противоречащие этому образу, под впечатлением что они сломают предрассудки; между тем как то, что действительно должно быть сделано, это указать на то, что образ не подходит... (PG 471)



Мы ничего не добавляем существенного к дифференциальному и интегральному исчислениям, «дополняя» теорию действительных чисел псевдо-иррациональными и не подчиняющимися закону иррациональными, во-первых, потому что нет зазоров на числовой прямой [(PR §§181, 183, & 191), (PG 373, 460, 461, & 473), (WVC 35)], и, во-вторых, потому что эти вышеуказанные иррациональные числа не нужны для теории «континуума» попросту потому, что не существует математического континуума. Как говорит поздний Витгенштейн (RFM V, §32), «образ числовой прямой абсолютно естественен вплоть до определенного момента; т.е., в той степени, пока он не используется для общей теории действительных чисел». Мы сбились с правильного пути, неправильно истолковывая природу геометрической прямой как непрерывное объединение точек, каждая из которых соответствует действительному числу, что увело нас очень далеко от «естественного» образа числовой прямой в поисках «общей теории действительных чисел».



Т.о., принципиальная причина, по которой Витгенштейн отвергает определенные конструктивные (вычислимые) числа, - эти числа не являются необходимыми построениями, которые к тому же порождают концептуальные спорные вопросы в математике (и особенно в теории множеств).  Одной из главных задач Витгенштейн в его многословных обсуждениях рациональных чисел и псевдо-иррациональных чисел является показать то, что псевдо-иррациональные числа, которые якобы нужны для математического континуума, не нужны вовсе.



С этой целью Витгенштейн требует: а) действительное число должно быть «сравнимо с любым рациональным числом, случайно взятым» (т.е., «должно быть установлено, больше ли оно, меньше, или равно рациональному числу» (PR §191)), и б)  «число должно быть мерой, в т.ч. самому себе», и если «число» «предоставляет это рациональным числам, нам оно не нужно» (PR §191) [(Frascolla 1980, 242-243); (Shanker 1987, 186-192); (Da Silva 1993, 93-94); (Marion 1995a, 162, 164); (Rodych 1999b, 281-291)].



Для демонстрации того факта, что некоторые рекурсивные (вычислимые) действительные числа не являются подлинными действительными числами, поскольку для них не выполняется а) и б), Витгенштейн определяет мнимое рекурсивное действительное число



5 →3

  √2



как правило «Построить десятичное разложение √2, заменяя каждое вхождение «5» на «3»» (PR §182); подобным образом он определяет π’ как



7 →3

    π



(PR §186) и, в более поздней работе, переопределяет π’ как 



777 →000

        π



(PG 475).



Хотя псевдо-иррациональные число подобное π′ (в обоих определениях) «так же однозначно как π или √2» (PG 476), оно, согласно Витгенштейну, «бездомно», потому что вместо использования «идиом арифметики» (PR §186), оно зависит от конкректной «случайной» нотации конкретной системы (т.е., в некотором конкретном основании) [(PR §188), (PR §182), and (PG 475)]. Если мы говорим о различных позиционных системах счисления, мы должны сказать, что π принадлежит всем системам, в то время как π′ принадлежит только одной, что показывает, что π′ не является подлинным иррациональным числом, потому что «не может быть иррациональных чисел разных типов» (PR §180). Более того, псевдо-иррациональные числа не служат мерой, потому что являются бездомными, искусственными конструкциями, паразитирующими на числах, которые занимают естественное место в исчислении и могут быть использованы для измерений. Нам просто не нужны эти отклонения, поскольку они не могут быть полностью сравнимы с рациональными и подлинными иррациональными числами. Они не являются иррациональными числами, согласно критерию Витгенштейна, определяющему, как интересно его провозглашает Витгенштейн, «точно то, что означало или скрывалось за словами «иррациональное число»» (PR §191).



По той же самой причине, если мы определим «не подчиняющееся закону иррациональное число» как а) не подчиняющееся правилу, непериодическое, бесконечное разложение по некоторому основанию, или как б) «последовательность свободного выбора», Витгенштейн отвергнет «не подчиняющееся закону иррациональные числа», потому что, поскольку они не подчиняющееся правилу, они не сравнимы с рациональными (или иррациональными) числами и поэтому не нужны. «Мы не можем сказать, что десятичные дроби, разработанные в соответствии с законом, все еще нуждаются в пополнении бесконечным множеством нерегулярных бесконечных десятичных дробей, которые «будут заметены под ковер» если мы договоримся себя ограничить только теми числами, которые порождены законом», аргументирует Витгенштейн, т.к. «где существует такая бесконечная десятичная дробь, которое не порождена законом», «и как бы мы заметили, что ее нет?» (PR §181; cf. PG 473, 483-84). Похожим образом, последовательность свободного выбора, подобно рецептам для «бесконечного деления пополам» или «бесконечной игры в кости», - это не бесконечно сложный математический закон (или правило), это скорее вообще не закон, т.к. после каждого индивидуального подбрасывания монеты, точка остается «бесконечно неопределенной» (PR §186). По тесно связанным причинам, Витгенштейн высмеивает аксиому мультипликативности (аксиому выбора) как в средний период (PR §146), так и в более поздний период (RFM V, §25; VII, §33).



2.5.2 Эссенциализм Витгенштейна в области действительных чисел и опасности теории множеств



На первый взгляд, по крайней мере, кажется, что Витгенштейн предлагает эссенциальный аргумент на то, что арифметика действительных чисел не должна быть расширена тем или иным образом. Такое эссенциальное мнение на действительные и иррациональные числа, кажется, вступает в противоречие с фактической свободой математиков в том, что они должны расширять и изобретать, с Витгенштейновским заявлением в переходный период (PG 334) о том, что «для [него] одно исчисление ничем не лучше другого», и с Витгенштейноским принятием комплексных и мнимых чисел. Фундаменталистские критики Витгенштейна (например, теоретики теории множеств) несомненно скажут, что мы расширили понятие «иррационального числа» на не подчиняющиеся закону и псевдо-иррациональные числа, потому что они необходимы для математического континуума, и потому что подобные «потенциальные числа» более похожи на подчиняющиеся правилам иррациональные, чем рациональные.



Хотя Витгенштейн подчеркивает различия там, где другие видят похожесть (LFM 15), в своей агрессивной критике псевдо-иррациональных чисел и фундаментализма, он не просто делает ударение на различия, он критикует «пагубные идиомы» теории множеств (PR §173) и ее «грубейшую вообразимую неправильную интерпретацию своего собственного исчисления» (PG 469-70) в попытке ликвидировать «недоразумения, без которых [теория множеств] никогда не была бы изобретена», т.к. она «бесполезна для всего остального» (LFM 16-17). Комплексные и мнимые развивались параллельно с самой математикой, и они доказали свою нужность в научных приложениях, а псевдо-иррациональные числа – чуждые образования, придуманные исключительно ради ошибочных фундаменталистских целей. Главным моментом для Витгенштейна является не то, что мы не можем  создавать новые рекурсивные действительные числа – на самом деле, мы можем создавать так много, как хотим – а то, что мы можем говорить только о различных системах (множествах) действительных чисел (RFM II, §33), которые могут быть перечислены правилом, и любая попытка говорить о «множестве всех действительных чисел» или любая постепенная попытка добавить или рассмотреть новые рекурсивные действительные числа (например, диагональные числа) бесполезные и/или тщетные усилия, основанные на фундаменталистских заблуждениях. Действительно, в 1930 MS и TS разговорах об иррациональных числах и диагонали Кантора, которые не были включены в PR или PG, Витгенштейн говорит: «Идея «иррационального числа» - опасная псевдо-концепция» (MS 108, 176; 1930; TS 210, 29; 1930). Как мы увидим в следующем разделе, по мнению Витгенштейна, если мы не понимаем иррациональные числа правильным образом, мы не сможем сделать ничего, кроме как породить ошибки, которые составляют теорию множеств.



Критика Витгенштейна теории множеств



Критика Витгенштейна теории множеств берет свое начало - в достаточно мягкой манере - в ЛФТ, где он осуждает логицизм и говорит (6.031), что «теория классов в математике совершенно излишняя», т.к., по крайней мере отчасти, «в математике требуется не несистематическая общность». В средний период, Витгенштейн начинает наступление на полную мощность на теорию множеств, которое никогда впоследствии не ослабевало. Теория множеств, по его словам, это «совершеннейшая глупость» (PR §§145, 174; WVC 102; PG 464, 470), «ошибочная» (PR §174) и «смехотворная» (PG 464); ее «губительные идиомы» (PR §173) вводят нас в заблуждение, и грубейшая из возможных неправильная интерпретация является основным толчком к ее изобретению (Hintikka 1993, 24, 27).



Переходная критика Витгенштейна трансфинитной теории множеств (далее просто «теории множеств») состоит из двух основных моментов: (1) его рассуждения о разграничении интенция-экстенция, и (2) его критика несчетности как мощности множества. Под конец среднего периода, Витгенштейн, кажется, начинает все больше осознавать невыносимый конфликт между своим сильным формализмом (PG 334) и своей клеветой теории множеств как чисто формальным, не-математическим исчислением (Rodych 1997, 217-219), что, как мы увидим в разделе 3.5, приведет к использованию критерия экстра-математической (внешней по отношению к математике) применимости для разграничения трансфинитной теории множеств (и других чисто формальных знаковых игр) и математических исчислений.



2.6.1 Интенции, экстенции и фиктивный символизм теории множеств



Поиск универсальной теории действительных чисел и математической непрерывности привел к «фиктивному символизму» (PR §174).



Теория множеств пытается осмыслить бесконечность на более общем уровне, чем изучение законов действительных чисел. Она говорит, что вы никак не можете постичь актуальную бесконечность через математический символизм в принципе, и поэтому она может быть только описана, но не представлена. ... Кто-то может сказать об этой теории, что она покупает кота в мешке. Пусть бесконечность сама приспосабливается в этой коробке наилучшим образом. (PG 468; см. также PR §170)



По заявлению Витгенштейна в (PG 461), «ошибка в теоретико-множественном подходе состоит во времени и опять в трактовке законов и перечислений (списков) как существенно похожих вещей и выстраивании их в параллельные ряды т.о., что один заполняет зазоры, оставленные другим». Это ошибка, потому что «бессмысленно» говорить, что «мы не можем пронумеровать все числа множества, но мы можем дать описание», т.к. «одно не заменяет другого» (WVC 102; 19 июня, 1930); «не существует дуализма закона и бесконечного ряда, подчиняющегося ему» (PR §180).



«Теория множеств ошибочна» и абсурдна (PR §174), говорит Витгенштейн, поскольку она заранее предполагает фиктивный символизм бесконечных знаков (PG 469) вместо фактического символизма конечных знаков. Грандиозное объявление теории множеств, которое начинается с «Концепции функции Дирихле» (WVC 102-03), состоит в том что мы можем в принципе представить бесконечное множество путем нумерации, но из-за человеческих или физических ограничений, вместо этого мы опишем его интенционально. Но, говорит Витгенштейн, «не может быть вероятности и реальности в математике», поскольку математика – это действительное исчисление, которое «занимается только со знаками, которыми оно фактически оперирует» (PG 469). Как Витгенштейн заявляет в (PR §159), тот факт, что «мы не можем описать математику, мы можем только работать с ней» и «внутри нее, отменяет любую «теорию множеств»».



Возможно, лучший пример этого феномена – это Дедекинд, который в своем «определении» «бесконечного класса» как «класса, который аналогичен соответственному подклассу себя самого» (PG 464) «пытался описать бесконечный класс» (PG 463). Однако, если мы попытаемся применить это «определение» к конкретному классу с целью установить, является ли он конечным или бесконечным, то эта попытка будет «смехотворной», если мы будем применять к конечному классу, такому как «определенный ряд деревьев», и «бессмысленной», если мы применим к «бесконечному классу», т.к. мы не можем даже пытаться «согласовать его» (PG 464), потому что «соотношение m = 2n [не] соотносит класс всех чисел с одним из его подклассов» (PR §141), это «бесконечный процесс», который «соотносит любое произвольное число с другим». Т.о., хотя мы и можем использовать m = 2n в качестве правила для построения всех натуральных чисел (т.е., нашей области определения) и тем самым сконструировать пары (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), и т.д., но в таких построениях мы не соотносим два бесконечных множества, или экстенции (WVC 103). Если мы попытаемся применить определение Дедекинда в качестве критерия для определения бесконечности данного множества путем установления биективного соответствия между двумя индуктивными правилами построения «бесконечных экстенций», одна из которых есть «экстенциональное подмножество» другой, возможно, мы не сможем узнать ничего из того, чего мы уже не знали, когда применяли этот «критерий» к двум индуктивным правилам. Если Дедекинд или кто-либо еще настаивает на обозначении индуктивного правила «бесконечным множеством», он и мы должны просто отметить категорийное различие между подобным множеством и конечным множеством с детерминированной, конечной мощностью.



На самом деле, по мнению Витгенштейна, неспособность в правильном разграничении математических экстенций и интенций – это основная причина ошибочной интерпретации Канторовского диагонального доказательства как доказательства существования бесконечных множеств как меньших, так и больших мощностей.



2.6.2 Против несчетности



Критика Витгенштейна несчетности в средний период в основном является неявной. Только после 1937 г. он предоставляет конкретные аргументы с целью показать, например, что диагональ Кантора не может доказать, что некоторые бесконечные множества имеют большую «множественность»  чем другие.



Тем не менее, Витгенштейн в переходный период ясно отвергает тот принцип, что несчетное бесконечное множество имеет большую мощность, чем счетное бесконечное множество.



Когда люди говорят «Множество всех трансцендентных чисел более мощно, чем множество алгебраических чисел», то это бессмысленно. Первое множество другого рода. Оно не «более не» счетно, оно попросту несчетно! (PR §174)



Как и в случае со своими переходными взглядами на подлинные иррациональные числа и аксиому мультипликативности, Витгенштейн здесь рассматривает диагональное доказательство несчетности «множества трансцендентных чисел» как показывающее только то, что трансцендентные числа не могут быть рекурсивно пронумерованы. Это бессмысленно, говорит он, от оправданного заключения о том, что эти числа, в принципе, не могут быть пронумерованы приходить к заключения о том, что множество трансцендентных чисел более мощно, чем множество алгебраических чисел, которые могут быть рекурсивно пронумерованы. Здесь мы имеем две очень разных концепции число-типа. В случае с алгебраическими числами, мы имеем процедуру разрешимости для определения, является ли любое данное число алгебраическим или нет, и у нас есть метод нумерации алгебраических чисел, такой что мы можем видеть, что «каждое» алгебраическое число «будет» пронумеровано. В случае трансцендентных чисел, с другой стороны, у нас есть доказательства, что некоторые числа являются трансцендентными (т.е., не алгебраическими), и у нас есть доказательство, что мы не можем рекурсивно пронумеровать любую и каждую вещь, которую мы бы назвали «трансцендентным числом».



В (PG 461), Витгенштейн подобным образом говорит о том, что «математические псевдо-концепции» теории множеств ведут к фундаментальной сложности, которая начинается, когда мы бессознательно заранее предполагаем, что есть смысл в идее упорядочивания рациональных чисел по величине – «что такая попытка мыслима» - и достигает зенита в подобном размышлении, что возможно пронумеровать все действительные числа, хотя мы в дальнейшем поймем, что это невозможно.



Хотя Витгенштейн в переходный период определенно кажется настроенным крайне критически к подозрительному доказательству того, что некоторые бесконечные множества (например, действительные числа) имеют большую мощность, чем другие бесконечные множества, и хотя он обсуждает «диагональную процедуру» в феврале 1929 и июне 1930 гг. (MS 106, 266; MS 108, 180), наряду с диагональной диаграммой, эти и другие размышления раннего среднего периода не были опубликованы ни в PR, на в PG. Как мы увидим в разделе 3.4, поздний Витгенштейн анализирует диагональ Кантора и утверждения о несчетности довольно подробно.



3. Поздний Витгенштейн о математике: некоторые предварительные положения

(краткое содержание)



Несмотря на то, что поначалу некоторые комментаторы не принимали преемственность взглядов Витгенштейна в средний и поздний период (под поздним периодом будем понимать в основном RFM и LFM) [(Frascolla 1994), (Gerrard 1991, 127, 131-32), (Floyd 2005, 105-106)], другие утверждали, что, по большей части, философия математики Витгенштейна эволюционировала из среднего периода в поздний без каких-либо значительных изменений. В данной статье будем придерживаться второй точки зрения, истолковывая философию математики в поздний период как преемственную среднему, за исключением важного введения в критерий внешнего приложения математики.

Возможно, наиболее важной постоянной составляющей философии математики Витгенштейна в средний и поздний период было то, что по его мнению математика – это человеческое изобретение, и в математике все изобретается. Подобно тому как Витгенштейн в средний период говорит «мы создаем математику», Витгенштейн в поздний период говорит, что мы «изобретаем» математику, и что «математик – не исследователь: он изобретатель». Ничто не существует в математическом смысле, пока мы не изобретем его. Критикуя метод математических исследований (открытий), Витгенштейн не только отвергает платонизм, он также отказывается от стандартного философского взгляда, согласно которому люди изобретают математические исчисления, но как только было изобретено исчисление, мы обязательно впоследствии откроем многие из бесконечного количества доказуемых и истинных теорем.

Витгенштейн подчеркивает различие между иллюзорным математическим открытием и подлинным математическим изобретением: «Я хочу отказаться от формулировки «Теперь я знаю больше об исчислении» и заменить ее на «Теперь у меня есть другое, новое исчисление»».

Витгенштейн в поздний период все так же отрицает существование актуальной бесконечности и бесконечных математических экстенций. Во-первых, он все так же придерживается мнения, что иррациональные числа – это правила для формирования конечных разложений в десятичную дробь, а не бесконечные математические экстенции. По мнению Витгенштейн в поздний период, попросту не существует ни свойства, ни правила, ни систематического способа определить каждое иррациональное число интенционально, что означает отсутствие критерия для иррациональных чисел, записанных полностью. По мнению Витгенштейна, мы дожны избегать слова «бесконечный» в математике.

Во-вторых, Витгенштейн все так же основывается на финитных взглядах в трактовке «предложений», подобных «есть три последовательных цифры 7 в десятичном разложении числа пи». Это предложение, по его мнению, не является значащим предложением вовсе, потому что мы не имеем на данный момент применимую процедуру разрешения, с помощью которой мы можем разрешить указанное предложение в некотором исчислении. Т.о., мы можем только иметь значащие предложения о конечных разложениях пи.

По одной из интерпретаций [(Goodstein 1972, 279, 282), (Anderson 1958, 487), (Klenk 1976, 13), (Frascolla 1994, 59)], Витгенштейн исключает неразрешимые математические предложения, но допускает, что существуют неразрешенные пока еще предложения, но разрешимые в принципе (в отсутствие известной применимой процедуры разрешения). Однако, есть важные свидетельства, что Витгенштейн сохраняет свою позицию в средний период о том, значащее математическое предложение определяется только в данном исчислении и только если мы заведомо знаем применимую и эффективную процедуру разрешения.

Преимущественно благодаря своим анти-фундаментализму и критике слияния интенций и экстенций, Витгенштейн в поздний период во многом придерживается своих взглядов о теории множеств в средний период. Учитывая, что математика – это «РАЗНООБРАЗИЕ техник доказательства», она не нуждается в основании. Т.к. теория множеств была изобретена для придания математике основания, она, как минимум, бесполезна.

По словам Витгенштейна, рассмотрение диагональной процедуры показывает, что понятие «действительное число» имеет мало общего с понятием «мощность множества», однако люди наоборот зачастую смешивают эти два понятия. По его мнению, не только диагональное доказательство не может доказать, что одно бесконечное множество по мощности больше другого, это вообще нельзя доказать попросту потому, что «бесконечное множество» - не экстенция, и, следовательно, не бесконечная экстенция. Но вместо того, чтобы правильно интерпретировать доказательство Кантора, мы его используем, чтобы «показать, что существуют числа больше чем бесконечность», что «дает нам приятное чувство парадокса», которое, по словам Витгенштейна, и «является возможно главной причиной изобретения теории множеств».

По мнению Витгенштейна, диагональ Кантора доказывает не-перечислимость: что для каждого определенного понятия действительного числа (например, рекурсивное действительное), никто не сможет перечислить все подобные числа, потому что всегда можно построить диагональное число, которое попадает под выбранное понятие и при этом не перечислено. Т.о. образом, мы можем построить «бесконечно много» разнообразных систем иррациональных чисел, но мы не можем построить исчерпывающую систему всех иррациональных чисел. При этом теоретики теории множеств делают вывод, что «множество иррациональных чисел» имеет большую множественность, чем любое перечисление иррациональных чисел (или множество рациональных), хотя единственный вывод отсюда такой, что не существует такой вещи как множество всех иррациональных чисел.

Принципиальное и наиболее значительное отличие от публикаций Витгенштейна в средний и поздний период – введение критерия внешнего по отношению к математике приложения, который используется для различения простых «игр со знаками» от математических языковых игр.

Как мы уже видели, этот критерий присутствовал в ЛФТ (6.211), но по существу отсутствовал в средний период. Причиной для этого отсутствия, возможно, кроется в том, что Витгенштейн в средний период хотел подчеркнуть, что в математике все есть синтаксис и ничего есть значение. 

Скорее всего, существуют две причины, по которым Витгенштейн в поздний период заново вводит внешне-математическое приложение как необходимое условие математической языковой игры. Во-первых, основываясь на своем интересе в использовании естественных и формальных языков в различных «формах жизни», он подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности (наука, техника, предсказания). Во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками.

Поскольку теория множеств не имеет внешне-математических приложений, в ней мы фокусируемся на ее собственные вычисления и доказательства, она неинтересна (например, не-перечислимость действительных чисел неинтересно и бесполезно), а весь интерес лежит в «очаровании» неправильной интерпретации доказательств теории множеств.

И все же, вопрос о том, является ли соединение знаков предложением данного математического исчисления (т.е., исчисления с внешне-математическим приложением), является вопросом внутренним, синтаксическим, ответить на который мы можем с помощью знания доказательств и процедур разрешения исчисления.

Витгенштейн ошибочно думал – возможно из-за того, что прочитал только Введение Геделя – что (a) Гедель доказывает что существуют истинные, но недоказуемые предложения в PM (Principia Mathematica) (когда, на самом деле, Гедель синтаксически доказывает, что если PM w-совместимо, то предложение Геделя неразрешимо в PM), и (b) что доказательство Геделя использует ссылающееся на себя предложение для семантического показа того, что существуют истинные, но недоказуемые предложения в PM. По этой причине, у Витгенштейна две главных цели в (RFM App. III): (1) отвергнуть или найти неточности, по его собственным словам, в сомнительном доказательстве Геделя существования истинных, но недоказуемых предложений в PM, и (2) показать, по его собственным словам, что там, где «истинно в исчислении Г» отождествляется с «доказано в исчислении Г», сама идея об истинном, но недоказуемом предложении исчисления Г бессмысленна.

Для этого Витгенштейн конструирует предложение Р в терминах символизма Рассела, т.ч. посредством некоторых определений и преобразований оно может быть интерпретировано следующим образом: «Р не доказуемо в системе Рассела». Т.о., это предложение семантически ссылается на себя, и говорит о себе, что оно не доказуемо в PM. Нетрудно заметить, что такое предложение является истинным, но не доказуемым (рассуждение от противного). (1) следует из того, что нет противоречий, если мы не будем интерпретировать Р как «Р не доказуемо в системе Рассела» - в самом деле, не учитывая эту интерпретацию, доказательство Р не дает нам доказательства не-Р, а доказательство не-Р не дает доказательства Р. Другими словами, ошибка в доказательстве состоит в ошибочном предположении, что математическое предложение Р «может быть интерпретировано как «Р не доказуемо в системе Рассела»». Рассмотрим (2). Согласно концепции Витгенштейна «математической истины», истинное предложение в PM – это либо аксиома, либо доказанное предложение, что означает, что «истинное в PM» тождественно с «доказано в PM». 

Исходя из этой (естественной) интерпретации (RFM App. III), заключение ранних комментаторов о том, что Витгенштейн неправильно понял технику аргументации Геделя, кажется правдоподобной. Во-первых, Витгенштейн ошибочно думал, что доказательство Геделя по существу семантическое и что оно использует и требует ссылающегося на себя предложения. Во-вторых, Витгенштейн говорит, что «противоречие неприменимо» для «предсказания» того, что «таковая и таковая конструкция невозможна» (т.е., что Р недоказуемо в PM), что, по крайней мере на первый взгляд, показывает, что Витгенштейн не смог оценить «предположение непротиворечивости» доказательства Геделя.



4. Влияние философии математики на саму математику

(краткое содержание)



В средний и поздний периоды, Витгенштейн верил в то, что он предоставляет философскую ясность для аспектов и частей математики, для математических концепций, и для философских концепций математики. Теряя такую ясность и не стремясь к абсолютной ясности, математики конструируют новые игры, иногда из-за неправильного понимания значения их математических предложений и математических терминов. Образование и в особенности хорошее образование в математике не поощряет ясность, а даже подавляет ее – вопросы, которые заслуживают ответа, или не задаются, или опускаются. Математики будущего, однако, будут куда более восприимчивыми, и это будет (постоянно) упрощать математические обобщения и изобретения, т.к. математики поймут, что новые обобщения и конструкции (например, предложения арифметики трансфинитных мощностей) плохо связаны с прочным ядром математики или приложениями в реальном мире. Философская ясность, в итоге, позволит математикам и философам «возвратиться к неопровержимым фактам» (PG 467).




Ссылки.

“Термин контингенция — это калька с английского и французского contingence, а также английского contingency, производных от латинского contingere — касаться, граничить, происходить, случаться. Contigent значит случайный, возможный, вероятный, неожиданный, происходящий по неизвестным причинам, неопределенный, зависимый от неизвестных обстоятельств, факторов или условий. В отечественной философии и теоретической социологии последних лет этот термин часто переводят как случайность или возможность, но оба варианта имеют недостатки. Возможное отличается прежде всего от невозможного, желаемого, уже случившегося, в то время как термин контингенция часто употребляют в контексте отличия от необходимого, закономерного, с одной стороны, и абсолютно свободного, с другой.  Возможное же вполне может быть закономерным. С этой точки зрения термин случайность лучше, но случайность часто понимается как математически определяемая вероятность, то есть опять же вписанная в рамки законов распределения. Иногда говорят о чистой случайности, неподвластной математическим расчетам, но тогда она напоминает свободу. А иногда и математическую случайность представляют как обратную сторону свободы. Иногда контингенцию переводят как зависимость, но в этом случае теряется ее смысловая связь со случайностью и возможностью. С технической точки зрения, можно было бы довольно точно говорить о не-необходимости, однако это слово слишком искусственно и неблагозвучно. Так что будем в дальнейшем называть контингенцию ее собственным именем, не отказывая себе в удовольствии узнавать ее и там, где она скрыта под маской.” - А. Е. Сериков, “Проблема двойной контингенции взаимодействия и смысловая связь событий” (Mixtura verborum`2003: возникновение, исчезновение, игра: Сб. ст. / Под общ.ред. С.А. Лишаева. – Самара: Самар. гуманит. акад., 2003. – 183 с. стр.102-119

В своей посмертно опубликованной работе (1953*, 334-335), Курт Гедель говорит, что «синтаксическая точка зрения», «комбинация номинализма и конвенционализма» была разработана «в районе 1930» «R. Carnap, H. Hahn, и M. Schlick, по большей части под влиянием Л. Витгенштейна» (т.е., «Витгенштейн 1922»)

Сторонники логистической интерпретации ЛФТ также игнорируют высказанное Витгенштейном неуважение ко второму изданию Principia Mathematica Рассела (McGuinness и von Wright, 1995*, 186: письмо F. Ramsey своей матери, 20 сентября, 1923) и его пренебрежение и критику защиты логицизма Рамзея в “The Foundations of Mathematics” [см. версию Waismann письма Витгенштейна к Рамзею, 1927 (WVC 189, сноска #1)]