Методические рекомендации по организации математических

Методические рекомендации по организации математических

факультативов в средней общеобразовательной школе



1. Преемственность в области содержания, методов и форм организации занятий по математике должна определяться целями обучения математике, всестороннего развития и воспитания учащихся. 

2. Взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математике не должно противоречить общим дидактическим принципам. 

3. Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения урока, внеклассных и факультативных занятий по математике должна быть результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников. 

4. Поскольку результативность учебно-воспитательного процесса зависит главным образом от “массовости” занятий, то преемственность и взаимосвязь уроков и факультативных занятий должны рассматриваться в такой последовательности: уроки математики – внеклассные занятия – факультативные занятия. Самая массовая форма обучения – уроки – главное звено этой цепи. Факультативные занятия (в отличие от отдельных внеклассных мероприятий – таких, как, например, математические вечера) не могут охватить всех учащихся. Поэтому внеклассные занятия по степени массовости занимают второе место. Следует отметить, что каждое последующее звено работы должно рассматриваться с учетом завершения задач, возложенных на предыдущее звено (на предыдущие звенья – для факультативных занятий). 

5. Каждая из форм обучения – уроки и факультативные занятия – обладает собственной ценностью, имеет свои специфические задачи. Именно эти задачи должны определять “обратные” требования к каждому предыдущему звену цепи “уроки – внеклассная работа – факультативные занятия”, например, с учетом пропедевтики, с учетом выполнения задач последующего звена (последующих звеньев – для уроков математики). 

  Существенную роль на факультативных занятиях играет самостоятельная работа учащихся. Для формирования устойчивого интереса учащихся к изучению математики учителя считают важным обеспечить взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приемов в этом плане и одна из целей факультативных курсов – непосредственное знакомство учащихся с новыми идеями и методами в действии, с их применением к задачам, которые “программными” методами решаются гораздо сложнее. 

  Активная самостоятельная работа учащихся присуща урокам математики вообще. Очевидно, эта их особенность может быть спроецирована и на факультативные занятия. Здесь можно использовать такие виды самостоятельной работы, как доклады учащихся и их обсуждение, подготовка рефератов, изготовление наглядных пособий, чтение математической литературы. В условиях занятий с группой учащихся большое значение приобретает умение учителя активизировать самостоятельную деятельность учащихся, рационально сочетать свои вопросы, задания и объяснения с индивидуальной и коллективной работой учащихся. 

  Таким образом, активизация самостоятельной работы учащихся – необходимое комплексное условие повышения эффективности факультативов. 

Самостоятельная работа может быть продуктивной при осуществлении ее контроля со стороны учителя, самоконтроля и своевременной помощи отстающим, что является одним из элементарных требований преемственности в обучении. 

Опыт показывает, что на факультативных занятиях можно применять такие современные средства обучения, как предметные модели, литературу по предмету (на уроках это, прежде всего, учебники), дидактические материалы с печатной основой и т.п., такие технические средства, как кодоскопы, тренажеры и другие обучающие устройства. Преимущества использования таблиц, плакатов, других обучающих материалов перед “меловым” способом обучения, когда все графические изображения даются учителем на доске в ходе урока путем весьма нерационального использования учебного времени, по-видимому, не нуждаются в пространной аргументации. 

Требования преемственности методов и средств обучения позволяют говорить о необходимости активной самостоятельной работы учащихся вообще на всех занятиях по математике. Главное – учителю следует стремиться, чтобы работа учащихся не ограничивалась лишь решением типовых задач и выполнением обычных упражнений, так как основная цель этих занятий заключается в развитии творческой инициативы школьников, их познавательных способностей, математического мышления. 

Так, в самостоятельную работу учащихся на факультативных занятиях (с учетом преемственности) может и должно быть включено изучение нового материала: 

а) по составленному учителем плану; 

б) путем чтения текста книги; 

в) путем проведения индивидуальных экспериментов и получения коллективного правдоподобного предположения (гипотезы); 

г) при помощи поисков решения нового типа задач и т.п. 

Еще одна важная рекомендация: процесс обучения должен строиться как совместная исследовательская деятельность учащихся: математическая истина (определенное правило, теорема, свойство) не сообщается ученикам в «готовом» виде, а открывается ими самими. Процесс этот начинается с наблюдений, предположений, суждений (о возможном способе решения, о возможном содержании теоремы, правила), после чего следует проверка, поиски дедуктивного обоснования выводов, обобщение, анализ прикладных возможностей. Исследовательская или проблемная структура изучения математики удачно сочетается с развивающими целями обучения в ходе именно факультативных занятий. Не случайно эта структура органически сочетается с одновременным выполнением ряда “развивающих” требований – требований использования историко-математического материала, использования материала “занимательной” математики и других им подобных областей. 

Интерес учащихся к изучению математики, базируясь на занимательности (в узком смысле слова), должен поддерживаться и другими средствами: привлечением историко-математического материала (с целью знакомства с прошлым и настоящим науки, а также ее перспективами), решением жизненных задач, связью с потребностями, выдвигаемыми практической деятельностью человека.

   Без определенной подготовки надеяться включить учащихся в успешную многоэтапную творческую поисковую деятельность нереально – успех надо готовить. Полезны специальные логические упражнения. Для освоения методов научного познания учитель может дать ученикам задание на применение этих методов, не называя их: например, сравнить (сопоставить или противопоставить) объект или явление, сделать вывод по аналогии, обобщить информацию, что-то конкретизировать, осуществить классификацию и т.п. Благодаря таким упражнениям, представляющим логические задания на программном материале математики, учебная работа школьников превращается в школу логического мышления. При этом достигается углубление полученных знаний, интенсивно формируется интерес учащихся к изучению школьного курса математики. Как правило, большой интерес учащихся вызывает исследование возможностей обобщения способов решения данной задачи, решение целого ряда родственных ей задач. 

Итак, из всего сказанного можно выделить методические рекомендации по организации математических факультативов: 



1. Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий;

2. Соблюдать принцип единства в содержании факультативных занятий и различных разделов математики; 

3. Активизировать самостоятельную работу учащихся; 

4. Строить учебный процесс как совместную исследовательскую деятельность учащихся; 

5. Использовать на факультативных занятиях системы ключевых задач по темам; 

6. Использовать на факультативных занятиях историко-математический материал; 

7. Соблюдать принципы занимательности занятий; 

8. Организовывать проблемное изучение материала. 

    Работая в системе традиционного обучения, я постоянно стремлюсь сделать процесс обучения максимально развивающим. Достижению этих целей служат специально подобранные развивающие геометрические задачи. Систематические упражнения в решении таких задач помогают обеспечивать действенность знаний. На факультативных занятиях рассматриваются задачи, решение которых не требует знаний сверх предусмотренных программой основного курса. Знания эти используются лишь в новых ситуациях. При решении отдельных задач требуется углубленное знание некоторых теоретических вопросов, рассмотрение различных тонкостей, которые нецелесообразно рассматривать на уроках. На факультативных занятиях учащиеся имеют дело с задачами поискового характера, решение которых сопровождается моделированием реальных ситуаций, предполагает интерпретацию результатов, а также с задачами, работа с которыми требует не столько углубления материала школьного курса геометрии, сколько сообразительности и логического мышления. 

Структура материала факультатива по геометрии такова, что учащиеся имеют возможность решать задачи теми способами и средствами, которыми к этому времени располагают в результате изучения материала основного курса. Естественно, 

- 10 - 

многие задания допускают несколько способов решения, которые рассматриваются и разбираются на факультативных занятиях. Предпочтение отдается наиболее доступным, естественным способам, которые помогут учащимся в практике решения разнообразных задач. 

Данный материал предназначен в помощь учителю, стремящемуся сознательно и целеустремленно вырабатывать у учащихся навыки умственного труда и прививать им интерес к решению геометрических задач. 

 



	Факультативный курс по геометрии для 7 класса.

	Факультативный курс геометрии для учащихся 7 класса состоит из двух разделов: 

	I раздел – «Задачи на разрезание». 

	II раздел – «Решение задач повышенной сложности по основным темам курса геометрии 7 класса». 

	При решении задач первого раздела знание планиметрии учащимся не понадобится, но будет нужна смекалка, геометрическое воображение, знание достаточно простых и общеизвестных геометрических сведений. 

	Задачами на разрезание с древнейших времен увлекались многие ученые. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками и китайцами, но первое систематизированное сочинение (трактат) на эту тему принадлежит перу знаменитого персидского астронома Х века Абул-Вефа, жившего в Багдаде. А всерьез геометры занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.  Особенно большое число существовавших ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он и является ведущим специалистом в области разрезания фигур. 

	В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание, прежде всего, потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способности к творческому мышлению. А поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков. 

	Вместе с тем задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач. Из задач на разрезание родилась, например, теорема Бойаи – Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно), а затем и третья проблема Гильберта: верно ли аналогичное утверждение для многогранников? 

	Задачи на разрезание помогают довольно рано сформировать у школьников геометрические представления. При решении таких задач у тех, кто имеет с ними дело, возникает ощущение красоты и порядка в природе.

	При решении задач из второго раздела учащимся уже понадобится знание основных геометрических сведений о фигурах, их свойствах и признаках, а также знание некоторых теорем. 

	

	                     Тематическое планирование

№

п/п

Содержание 

Кол – во часов



Вводное занятие. 

1 

I.

Задачи на разрезание

19 

1-4 

Задачи на клетчатой бумаге. 

4 

5-6 

Пентамино. 

2 

7-8 

Трудные задачи на разрезание. 

2 

9-11 

Разбиение плоскости. 

3 

12 

Танграм. 

1 

13-15 

Задачи на раскраску. 

3 

16-18 

Задачи с раскраской в условии. 

3 

19 

Итоговое занятие. 

1 

II.

Решение задач

14 

20 

«Измерительные инструменты всегда при тебе». 

1 

21 

Не отрывая карандаша… 

1 

22 

Задачи со спичками. 

1 

23 

Задачи на рисунках. 

1 

24-25 

Основные геометрические понятия. 

2 

26-27 

Построение углов. 

2 

28 

Упражнения с листом бумаги. 

1 

29 

Перпендикулярные прямые. Практические задания. 

1 

30-32 

Задачи на построение. 

3 

33-34 

Итоговое занятие. Игра «Геометрический лабиринт». 

2 

Всего часов: 

34 



Вводное занятие



1. Немного из истории. 

2. Как строится изложение геометрии? 

3. Решение простейших геометрических задач. 

Цель: познакомить учащихся с историей возникновения геометрии и ролью Евклида в ее создании; привлечь внимание учащихся к важной фразе первого абзаца из учебного материала: «Чтобы успешно изучать школьный курс геометрии, надо понять, как строится его изложение». 



1. Немного из истории.



     Геометрия, как и другие науки, возникла из практических потребностей людей. В повседневной жизни человеку приходилось размышлять о форме окружающих его предметов, производить вычисления, связанные с измерением земельных участков, строительным делом, с нахождением объемов различных тел. Такими задачами в разные времена приходилось заниматься всем народам, населяющим землю, что и способствовало возникновению и накоплению геометрических знаний. 

   Так, имеются сведения о значительном развитии этих знаний в Египте более чем за 2 тысячи лет до начала нашей эры. Известно, что при разливе Нила вода смывала границы земельных участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды эти границы приходилось восстанавливать, для чего нужны были знания об измерении земли. 

   Историк того далекого времени рассказывает: «Если Нил заливал чей-либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров): они измеряли, насколько уменьшился участок, и сообразно этому понижали налог». 

   Благодаря мореплаванию и торговле с Египтом греки не только усваивали знания египтян, но и продолжали их накапливать и обобщать. Не случайно поэтому «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». 

   Греки сумели привести разрозненные геометрические сведения в систему и придать геометрии вид науки. Попытку создать такую науку в V в. до н.э. предпринимает греческий ученый Гиппократ, а позднее – Леон, но к этому времени накопленных геометрических знаний было еще мало. Поэтому труды названных ученых хотя и были шагом вперед в создании геометрической науки, но широкого распространения не получили. 

  Геометрия как наука о свойствах геометрических фигур наиболее удачно была изложена греческим ученым Евклидом (III в. до н.э.). В своих тринадцати книгах под общим названием «Начала» Евклид не только систематизировал тот материал, который был известен до него, но и дополнил его собственными изысканиями и открытиями. 

   Главная же заслуга Евклида состоит в том, что он показал способ изложения геометрического материала, которым пользуются при написании учебников по геометрии и теперь. 

   В течение долгих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которой изучалась геометрия. И не потому, что других книг по геометрии не было. Книги эти были. Но лучшими признавались «Начала» Евклида. 

   И в настоящее время школьные учебники на всех языках мира написаны под большим влиянием «Начал» Евклида. 

   Практическая деятельность людей ставила перед ними все новые и новые задачи, решение которых способствовало дальнейшему развитию и совершенствованию геометрических знаний, относящихся не только к измерению земли, но и к другим сферам деятельности. Геометрия и теперь обогащается новыми знаниями, необходимыми людям. 



2. Как строится изложение геометрии



   В построении геометрии есть некоторое сходство с игрой. Рассмотрим какую-нибудь известную игру, например, игру в футбол. Если смысл этой игры вы будете объяснять товарищу, который хочет научиться играть, то, выйдя с ним на поле, вы сначала покажете ему поле, назовете мяч, ворота, расскажете о роли участников игры, разделенных на две команды, то есть познакомите своего «ученика» со всеми составляющими элементами и предметами игры. 

   Сможет ли этот товарищ, усвоив вашу информацию, приступить к игре? Конечно, нет. Что же он должен усвоить еще? 

  Этот товарищ не сможет играть, потому что он не знает, как с этими предметами поступать, как строить отношения с играющими, по каким правилам играть. Значит, он должен усвоить правила игры. Какие же это правила? Перечислим их и запишем все сказанное в таблицу (левый столбец): 







Игра



Геометрия

Предметы игры: 

поле, мяч, ворота, участники игры (игроки). 

Правила игры: 



а) Игру ведут две команды; 



б) У каждой команды свои ворота; 





в) Игроки каждой команды ударами мяча ногой гонят мяч в ворота противника; 

г) Игрокам нельзя брать мяч рукой, им требуется соблюдать еще целый ряд других правил. 

Основные понятия: 

точка, прямая, плоскость, расстояние от одной точки до другой. 

Правила действий с основными понятиями: 



а) Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну; 

б) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все остальные точки этой прямой принадлежат этой плоскости; 

в) Какую бы прямую на плоскости мы ни взяли, имеются точки плоскости, не лежащие на ней. 



  Только после усвоения правил товарищ, который хочет научиться играть, сможет начать игру.





3. Решение простейших геометрических задач.



    Решим такую задачу: «Даны семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько можно провести прямых, которым принадлежат две данные точки?». 

Решение. По условию задачи никакие три точки не лежат на одной прямой. По аксиоме прямой  через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Проведем прямую через какую-нибудь из данных точек и каждую из шести остальных. Таких прямых будет шесть. Если выполнить такое построение для каждой точки, то получим 7 · 6 = 42 прямые, но одна и та же прямая считалась здесь дважды, поэтому на самом деле число всех прямых будет (7· 6):2 = 21. 

   По поводу решенной задачи можно сказать следующее. Для семи данных точек еще возможно начертить и пересчитать прямые. Но если точек, удовлетворяющих условиям, будет 100, то провести прямые и сосчитать их число окажется практически невозможным. Лишь рассуждения, основанные на аксиомах и других верных утверждениях, приведут нас к правильному ответу. 

  Смысл изучения геометрии состоит не в том, чтобы обнаружить верность утверждений, исходя из восприятия наглядных образов, а в том, чтобы ответить на вопрос: возможно ли, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы, установить истинность новых утверждений. 

Занятие 12. Танграм 

Цель: познакомить учащихся с китайской головоломкой «Танграм». Попрактиковаться в геометрическом исследовании, конструировании. Развивать комбинаторные навыки. 



Говоря о задачах на разрезание, нельзя не упомянуть о древней китайской головоломке «Танграм», возникшей 4 тыс. лет назад. В Китае ее называют «чи тао ту», то есть «умственная головоломка из семи частей». 



Рис.1

Методические рекомендации. Для проведения этого урока желательно иметь раздаточный материал: головоломку (которую могут изготовить сами школьники), рисунки фигур, которые нужно будет сложить. Разрезав квадрат так, как показано на рисунке, и соблюдая два правила: 1) при складывании фигурок использовать все 7 частей-«танов»; 2) «таны» нельзя накладывать друг на друга (они могут только касаться друг друга) можно сложить немало занимательных фигурок. 

1. Изготовьте головоломку сами: переведите на плотную бумагу квадрат, разделенный на семь частей (рис.1), и разрежьте его. 

2. Используя все семь частей головоломки, составьте фигурки, изображенные на рис. 





         

Рис. 2 

Методические рекомендации. Детям можно раздать рисунки фигур (рис. 2) в натуральную величину. Поэтому школьник может решать задачу, накладывая части головоломок на рисунок фигуры, таким образом подбирая нужные части, что упрощает задачу. 

3. На рис.3 также даны фигурки для самостоятельного составления. Попробуйте придумать свою фигурку, используя все семь частей танграма. 

4. В танграме среди его семи частей уже есть треугольники разных размеров. Но из его частей можно и еще сложить различные треугольники. Сложите треугольник, используя четыре части танграма: 

а) один большой треугольник, два маленьких треугольника и квадрат; 

б) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм; 

в) один большой треугольник, один средний треугольник и два маленьких 

 треугольника.  









      





                  

Рис.3





Чтобы сложить фигурку, нужно быть внимательным и проявить и настойчивость, аккуратность и терпение. Предлагаемые фигуры-задачи можно объединить по темам и сюжетам. Этого количества задач достаточно, чтобы сформировать у учащихся устойчивые навыки решения задач на разбиение и складывание. 







Животные Африки 









                      















Занятие 21. Не отрывая карандаша… 



Цель: научить учащихся определять, изображать и составлять геометрические фигуры,  

          которые можно вычерчивать без отрыва карандаша от бумаги;

          сформулировать признаки вычерчивания фигур одним росчерком; 

          привлечь учащихся к различным видам деятельности: наблюдению, иследованию,    

          умению делать выводы. 



 Ход урока. 

I. Вступительное слово учителя: 

– Многие люди ставят свою подпись непрерывной линией, причем для каждого человека она специфична. Есть ли среди вас такие? (Покажите образец своей подписи). 

 

1. Из истории известно, что Магомет (Мухаммед – основатель мусульманской религии) вместо подписи описывал одним росчерком знак, состоящий из двух рогов луны: Я надеюсь, что в конце нашего урока вы тоже сможете это сделать. 

2. Приведите примеры геометрических фигур и букв нашего алфавита, которые можно изобразить, не отрывая карандаша (круг, квадрат, треугольник; Г, Л, М, П, С). Изобразите треугольник. Для решения таких задач существуют признаки, по которым можно проверить, можно ли эту фигуру построить, не отрывая карандаша от бумаги. Если можно, то с какой точки это вычерчивание надо начинать? 

В математике есть раздел, который изучает свойства таких фигур (найдите ответ, разгадав ключевое слово кроссворда). 



Я надеюсь, что в конце нашего урока вы тоже сможете это сделать. 

2. Приведите примеры геометрических фигур и букв нашего алфавита, которые можно изобразить, не отрывая карандаша (круг, квадрат, треугольник; Г, Л, М, П, С). Изобразите треугольник. Для решения таких задач существуют признаки, по которым можно проверить, можно ли эту фигуру построить, не отрывая карандаша от бумаги. Если можно, то с какой точки это вычерчивание надо начинать? 

В математике есть раздел, который изучает свойства таких фигур (найдите ответ, разгадав ключевое слово кроссворда). 



 Я надеюсь, что в конце нашего урока вы тоже сможете это сделать. 

2. Приведите примеры геометрических фигур и букв нашего алфавита, которые можно изобразить, не отрывая карандаша (круг, квадрат, треугольник; Г, Л, М, П, С). Изобразите треугольник. Для решения таких задач существуют признаки, по которым можно проверить, можно ли эту фигуру построить, не отрывая карандаша от бумаги. Если можно, то с какой точки это вычерчивание надо начинать? 

В математике есть раздел, который изучает свойства таких фигур (найдите ответ, разгадав ключевое слово кроссворда). 



 



1.Часть прямой (отрезок). 

2. Фигура, состоящая из двух одинаковых квадратов (домино). 

3. Сумма длин всех сторон треугольника (периметр). 

4. Прибор для измерения углов (транспортир). 

5. Углы 1 и 2 _______ (вертикальные). 







6. Окончанием данных слов служит математический термин из 5 букв. 

ЛАС 

ФОР (…..) (точка). 

ЛЕН 

7. Единица измерения углов (градус). 

8. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (медиана). 

9. Автор учебника «Геометрия 7-9 класс» (Атанасян). 

Топология – одна из математических наук, возникшая во второй половине 19 в. Она изучает свойства геометрических фигур, которые можно изобразить непрерывной линией. Современная топология имеет применение в других разделах мате-матики (комбинаторика, графы), в физике (электротехника), в теории жидких кристаллов, в молекулярной биологии. 1234 5 678 9 1 2

   Топология – раздел математики, изучающий такие свойства фигур, которые не меняются при деформации фигур, производимой без разрывов и склеивания. 

Например, с точки зрения топологии, круг, эллипс, квадрат и треугольник об-ладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой, так как мож-но трансформировать одну в другую. А вот кольцо к подобным не относится: чтобы превратить его в круг, необходима склейка. 

3. а) Договоримся называть точку, в которой сходится четное число линий, словом «четная», а точку, в которой сходится нечетное число линий, – «нечетная». 

А С (ч) 

(ч) 

В(ч) D (ч) 

Вывод: если в фигуре нет нечетных точек, то ее можно начертить, не отрывая карандаша. 

б) На доске изображены два конверта, один открытый, другой закрытый. 

E 

M(н/ч) N(н/ч) 

B C 

A D P(н/ч) K(н/ч) 

Задание: перерисовать в тетрадь конверты и обрисовать их другим цветом, придерживаясь правила, – не отрывать карандаш от бумаги и не проходить им два-жды ни по одной линии. 

А-В-E-C-D-B-C-A-D 

Если нечетных точек не более двух, то можно начертить фигуру, причем на-чать надо в одной из нечетных точек и закончить в другой (если фигура имеет одну нечетную точку, то имеет и вторую). 

4. На рисунке изображены окружности, в которых проведены линии. Устано-вите, какие фигуры можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, а какие нет. 

а) б) в) 

г) д) е) 

Можно: а, в, г, д; нельзя: б, е. 

5. Установите, какие фигуры тоже так можно нарисовать, а какие нет. 

а) б) в) 

да нет 







Программа факультативного курса

«Развивающие задачи по геометрии».

8 класс

Пояснительная записка 

Факультатив является одной из основных форм работы с наиболее способными учащимися. Только здесь можно рассмотреть особые типы задач, которые называют олимпиадными. 

Основные цели и задачи курса: 

– дать учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике, возможность углубленного изучения курса геометрии путем рассмотрения задач, требующих нестандартного подхода к их решению; 

– формировать у учащихся интерес к предмету, развивать логическое мышление, интуицию, творческие способности; 

– развивать инициативу, настойчивость и сообразительность, прививать навыки строгости суждений и математического вкуса; 

– привить навыки практического применения приобретенных знаний. 

В данный курс входят задачи, решение которых не требует дополнительных сверх предусмотренных программой основного курса знаний, но эти знания используются в новых ситуациях. 

При решении отдельных задач требуются углубленные знания некоторых теоретических вопросов, рассмотрение различных тонкостей, которые нецелесообразно рассматривать на обычных уроках. В курсе имеются задачи развивающего и поискового характера, предусматривающие математическое моделирование реальных ситуаций. 

Форма проведения занятий – практическая. 

Форма контроля – олимпиады. 

Базовые знания – программный материал курса геометрии 8 класса. 

Основные умения и навыки: 

– отработать приемы применения знаний о свойствах четырехугольников при решении практических задач; 

– научиться применять формулы площадей; 

– выработать умение применять теорему Пифагора при решении задач повышенной сложности; 

– научиться решать задачи с ограничениями. 

Содержание программы 

1. Четырехугольники (7 час.). Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Применение свойств четырехугольников при решении практических задач. 

2. Площади (7 час.). Площади треугольника, прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции. Равновеликие многоугольники. Применение формул площадей при решении практических задач. 

3. Геометрия площади в задачах (3 час.). Решение задач повышенной сложности. 

4. Теорема Пифагора (4 час.). Применение теоремы Пифагора при решении практических задач. 

5. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (4 час.). Понятие синуса, косинуса, тангенса. Другое доказательство теоремы Пифагора. 

6. Геометрические задачи с ограничениями (3 час.). Примеры решения задач с ограничениями. 

7. Решение задач повышенной сложности (5 час.). 

Олимпиады (2 час.) Всего 34 часа (один час в неделю). 





Тематическое планирование 



№/№ 

Темы 

Часы 

Формы контроля 

1 

Вводное занятие 

1 



2-8 

Четырехугольники: 

параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Решение практических задач на применение знаний о свойствах четырехугольников. 

7 



9-15 

Площади многоугольников: треугольника, прямоугольника, квадрата, параллелограмма, ромба, трапеции. Равновеликие многоугольники. Решение практических задач на применение формул площадей многоугольников. 

7 



16-18 

Геометрия площади в задачах. 

3 



19-22 

Теорема Пифагора. 

4 

Олимпиада №1 

23-26 

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 

4 



27-29 

Геометрические задачи с ограничениями. 

3 



30-34 

Решение задач повышенной сложности. 

5 

Олимпиада №2 

Итого: 

34 



Литература:



1. Березин В.Н. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1985. 175 с. 

2. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для уча-щихся. – М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 1996. 240 с. 

3. Дышинский Е.А. Игротека математического кружка: Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1972. 144 с. 

4. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. Издание второе, стереотип-ное. – М.: МЦНМО, 2005. 120 с. 

5. Карпушина Н.М. Развивающие задачи по геометрии. 8 класс. – М.: Школьная пресса, 2004. 80 с. (библиотека журнала «Математика в школе», вып. 29). 

6. Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 7 кл. средн. шк. – М.: Просвещение, 1993. 191 с. 

7. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Айрис-пресс, 2004. 176 с. 



Занятие 8. 

Применение знаний о свойствах четырехугольников при решении практических задач

Цели: 1. Развитие мыслительной деятельности при решении практических задач по теме       «Четырехугольники». 

2. Развитие творческих способностей, логического мышления. 

3. Формирование и закрепление комбинаторных навыков учащихся. 

План :

1. Кросснамбер «Многоугольники». 

2. Составьте четырехугольники. 

3. Проверка домашнего задания. 

4. Практическая работа. 

5. Решение практических задач. 

6. Сказка-вопрос. 

7. Пентамино. 

8. Подведение итога занятия.

 

Кросснамберы – один из видов числовых ребусов. В переводе с английского слово «кросснамбер» означает «кресточислица». 

При составлении кросснамберов применяется тот же принцип, что и при со-ставлении кроссвордов: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий» на горизонталь и на вертикаль. 

В каждую клетку «кресточислицы» вписывается по одной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Чтобы не было путаницы, номера заданий обозначают буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, – только целые положительные; запись таких чисел не может начинаться с нуля (т.е. 42 нельзя записывать как 042). 



Некоторые задания из кросснамберов могут показаться расплывчатыми и допускающими несколько (а иногда и очень много) ответов. Например: «Составное число, каждая цифра которого – простое число». Но таков стиль кросснамберов и кроссвордов. Если бы они всегда давали только однозначные ответы, то это не было бы игрой. Если ученик не может понять, что от него требует данное описание, пусть он посмотрит на числа, пересекающиеся с данным. Где-то обязательно найдется подсказка. 

Задание. Составьте четырехугольники 

Каждому ученику дан набор равнобедренных прямоугольных треугольников, которые между собой равны. Кто быстрее составит всевозможные четырехугольники? 

Проверка домашнего задания 

Квадрат разрезали на 7 частей. Сложите из этих частей: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) трапецию. 



Практическая работа 

Каждому ученику раздается несколько листов произвольной формы (круг, квадрат, прямоугольник). 

Задание. Путем нескольких перегибов получить известные нам четырехугольники, используя их определения, свойства. 

Решение практических задач 



1. Деревни А, В, С, D расположены в вершинах прямоугольника. В каком месте следует построить мост через реку, чтобы он был одинаково удален от всех деревень? 



2. Как провести через пункт N дорогу, чтобы расстояния по ней от этого пункта до железной дороги и до канала были равными? (рис.1)? 







                                                                       Рис. 1





3. Жители трех домов, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника с углом 120°, решили построить общий колодец. Какое место для колодца им следует выбрать, чтобы все три дома находились от него на одинаковом расстоянии? 

4. В центре площади расположен фонтан, около которого надо разбить 4 одинаковых клумбы с розами. Как рассадить 36 кустов роз – по 10 кустов на каждой клумбе – с таким расчетом, чтобы фонтан был одинаково удален от всех клумб? 

Ответы и решения (с указаниями способов решения). 



1. Используйте свойство диагоналей прямоугольника. 

2. Используйте свойство диагоналей прямоугольника. 

3. Достройте до ромба с вершинами АВСD. Тогда колодец надо строить в точке D. 

4. Фонтан находится в центре квадрата. 36 кустов роз по 10 в каждой клумбе рассаживаются на сторонах этого квадрата. 



Сказка-вопрос

Собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли прийти к единому мнению. Тогда один старый параллелограмм сказал: «Давайте отправимся все в царство четырехугольников. Кто туда первым придет, тот и будет королем». Все согласились. Рано утром отправились они в далекое путешествие. На пути путешественников повстречалась река, которая сказала: «Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам». Часть четырехугольников остались на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им встретилась высокая гора, которая сказала, что даст пройти дальше только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталось у горы, остальные продолжили путь. Дошли они до большого обрыва, через который был переброшен узкий мост. Мост сказал, что пропустит тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. По мосту прошел только один четырехугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем. 

Вопросы: 



1. Кто стал королем? 



2. Кто был его основным соперником? 



3. Кто первым выбыл из числа соперников? 

ПЕНТАМИНО 

Домино 

Тримино 

Тетрамино 

Пентамино 





Занятие 10. Площади квадрата и прямоугольника 

Цель: Практическое применение формул площади прямоугольника и квадрата при решении развивающих и практических задач. 

1. Сравните периметры прямоугольников ABCD, EFGH, KLMN. 

AB= 4 BC=4, EF=4,5 FG=3,5, LM=3 NM=5. 

Сравните площади прямоугольников. Обобщите результат задачи. 

Решение: 



P1= 2 х (4+4)= 16 

S1=4 х 4= 16 

Р2= 2 х (4,5+3,5)= 16 

S2=4.5 х 3.5= 15,75 

Р3= 2 х (5+3)= 16 

S3= 5 х 3= 15 



Вывод: Из всех прямоугольников одного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. 

2. Сравните площади данного квадрата и получившегося в результате измене-ния длин его сторон прямоугольника, если: 



a) сторону квадрата увеличили в 2 раза; 

b) одну сторону увеличили в 2 раза, а другую уменьшили в 2 раза; 

c) одну строну квадрата уменьшили на 2, другую увеличили на 2. 



Ответ: 



1) Увеличится в 4 раза S1=a2, S2= (2a)2=4a2; 



2) Не изменится 

S = a2; S= (а х 2) х (а/2)= а2; 



3) Уменьшится на 4 

S= а2; S= (а-2)(а+2)=а2-4.