«Расчет электрических фильтров» выполняется студентам

УЗБЕКСКОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 





Кафедра «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ  ЦЕПЕЙ»











ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 

К ВЫПОЛНЕНИЮ  КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ 

«ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

для студентов специального  заочного образования, 

обучающихся по направлениям 5222200  «Телекоммуникация» и 

5140900 «Профессиональное образование (Телекоммуникация)».







                                              





Ташкент 2008



Белова Л.Н., Козлов В.А. Задания и методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Теория электрических цепей»  для студентов специального  заочного образования, обучающихся по направлениям 5522200  «Телекоммуникация» и 5140900 «Профессиональное образование (Телекоммуникация)». - Ташкент: ТУИТ, 2008. - 50 с.

В пособии приведены 100 вариантов заданий на курсовую работу по дисциплине «Теория электрических цепей». 

       Методические указания включают в себя основы теории фильтров, порядок расчета полиномиальных пассивных LC- и активных RC-фильтров. Приведены примеры расчетов фильтров Баттерворта и Чебышева.

      Для облегчения выполнения курсовой работы в приложении  приводятся рекомендации - шаблоны  по расчёту  и построению графиков частотных  характеристик рабочего ослабления электрических фильтров с помощью табличного процессора Excel.



Рассмотрены  на заседании кафедры ТЭЦ и рекомендованы к печати

Протокол №  22 от  11.02.2008



 



		

	                                               Предисловие



Курсовая работа по дисциплине «Теория электрических цепей» (ТЭЦ) по теме «Расчет электрических фильтров» выполняется студентами на третьем курсе в пятом семестре.

При защите курсовой работы одновременно проводится опрос по всему разделу курса ТЭЦ «Электрические фильтры». Эти вопросы могут быть изучены по основному учебнику [1], задачнику [2] и другой литературе, указанной в списке [1…9].

В основной учебной литературе вопросы теории и расчета фильтров освещены достаточно кратко. В связи с этим, в методические указания включены основные теоретические положения и понятия, известные из теории формулы, а также приведены примеры расчетов различных фильтров.

При выполнении курсовой работы следует руководствоваться следующим.

Требуемые расчеты в работе должны приводиться достаточно подробно, с кратким словесным пояснением при расчете каждой величины. При этом должны приводиться промежуточные числовые значения.

Курсовые работы, в которых вычисления производятся крайне сокращенно, к защите не допускаются и возвращаются студентам на переработку.

Работа должна быть написана аккуратно, чернилами или шариковой ручкой на одной стороне листа формата  А4 (размером 296x204 мм). Листы должны быть сшиты и пронумерованы. В конце курсовой работы необходимо указать использованную литературу, поставить дату и подпись. Курсовая работа регистрируется в деканате заочного факультета и передается на кафедру ТЭЦ для проверки не позднее, чем за неделю до срока защиты.

Опрос при защите курсовой работы проводится по вопросам для подготовки к защите курсовой работы, которые приведены на 48 c. 



































1. Задание на курсовую работу

Задание на курсовую работу составлено по 100-вариантной системе. Вариант задания определяется двумя последними цифрами в номере зачетной книжки студента. Курсовая работа включает в себя три задачи:

1. Расчет пассивного LC-фильтра верхних частот (ФВЧ) Баттерворта или Чебышева c использованием таблиц.

2. Расчет симметричного полосового  LC фильтра (ПФ) Баттерворта или Чебышева с использованием таблиц.

3. Расчет активного RC-фильтра нижних частот (ФНЧ) Баттерворта или Чебышева аналитическим методом.



Задача 1. Рассчитать двухсторонне нагруженный LC ФВЧ Баттерворта или Чебышева по данным: в полосе пропускания (ПП)  ослабление не должно превышать , а в полосе задерживания (ПЗ)  ослабление должно быть не менее . Сопротивления генератора и нагрузки одинаковы, . Данные вариантов приведены в таблице 1. Для вариантов 01-25 и 51-75   кОм, для вариантов 26-50 и 76-100   Ом.

Tребуется

Определить порядок ФНЧ – прототипа (ФНЧП).

По таблицам определить нормированные значения параметров элементов ФНЧП.

Начертить схему LC ФНЧП и схему рассчитываемого LC ФВЧ.

Вычислить номинальные (истинные) значения парметров  элементов ФВЧ. 

Рассчитать ослабление A(f) ФВЧ на частотах: 0,2, 0,5,,, , где  - частота, соответствующая ослаблению 3 дБ фильтра Баттерворта.

Начертить график зависимости ослабления от частоты . По графику  выполнить проверку правильности расчета фильтра. 



3адача 2. Рассчитать симметричный LC ПФ Баттерворта или Чебышева, нагруженный двусторонне по данным: границы ПП нижняя , верхняя  (или  или ширина ПП ), ослабление в этой полосе должно быть не более , а при частоте  ослабление должно быть не менее . Сопротивления генератора и нагрузки фильтра . Для вариантов 01-25 и 51-75 сопротивления  кОм, для вариантов, 26-50 и 76-100  Ом. Данные всех вариантов приведены в табл. 2.

Tребуется

Определить порядок n ФНЧП. 

По таблицам определить нормированные значения элементов ФНЧП.

Начертить схему LC ФНЧП и ПФ.

Вычислить номинальные значения элементов ПФ.

Рассчитать ослабление A(f) на частотах ,,, , , 1,5, 2.

Начертить график зависимости ослабления от частоты . По графику  выполнить проверку правильности расчета фильтра. 



Задача 3. Рассчитать ARC ФНЧ Баттерворта или Чебышева по данным: в ПП   ослабление не должно превышать , а при частоте  и более высоких ослабление должно быть не менее . Значения емкости равны , при этом =0,1 мкФ и  для вариантов 01-50,  и =0,08 мкФ для вариантов 51-100. Данные всех вариантов приведены в таблице 3.



Tребуется



Рассчитать порядок  n ФНЧП, число звеньев первого и второго порядков;

Определить нормированные значения «нулей» знаменателя передаточной функции фильтра.

Найти выражения нормированных трехчленов каждого звена второго порядка.

Определить выражение нормированной передаточной функции  всего фильтра.

Найти выражение операторной передаточной функции для каждого звена .

Определить значения сопротивлений и коэффициента усиления K для каждого звена второго порядка.

Начертить полную схему фильтра.

Рассчитать ослабление фильтра  на частотах , , , 1,5, 2.

Начертить график  и выполнить проверку правильности расчета фильтра.


Таблица 1

Требования  к частотной характеристике A(f) LC-ФВЧ

Вари-анты

Фильтр Баттерворта

Вари-анты

Фильтр Чебышева

	

S , 

кГц

А, 

дБ

1,

 кГц

АS,

 дБ



S , 

кГц

А, 

дБ

1,

 кГц

АS, 

дБ

	01 и 26

1

0,5

1,75

15

51 и 76

1

0,5

1,75

14

	02 и 27

2

0,5

3,5

20

52 и 77

2

0,5

4,0

18

	03 и 28

3

0,5

6,0

30

53 и 78

3

0,5

6,0

32

	04 и 29

0,5

0,5

1,0

25

54 и 79

0,5

0,5

1,25

25

	05 и 30

0,3

0,5

0,6

15

55 и 80

0,3

0,5

0,7

20

	06 и 31

1

0,5

2,5

30

56 и 81

1

1,0

1,5

23

	07 и 32

2

1

5,0

25

57 и 82

2

1,0

3,0

25

	08 и 33

3

1

7,5

20

58 и 83

3

1,0

5,0

16

	09 и 34

0,5

1

1,0

25

59 и 84

0,5

1,0

0,8

26

	10 и 35

0,3

1

0,6

15

60 и 85

0,3

1,0

0,5

30

	11 и 36

1

1

1,5

15

61 и 86

1

1,0

1,75

30

	12 и 37

2

1

3,2

15

62 и 87

2

1,0

4,0

36

	13 и 38

3

2

4,8

20

63 и 88

3

1,0

6,0

20

	14 и 39

0,5

2

0,9

20

64 и 89

0,5

1,0

1,25

25

	15 и 40

0,3

2

0,54

25

65 и 90

0,3

1,0

0,75

25

	16 и 41

1

2

2,0

25

66 и 91

1

2,0

1,5

15

	17 и 42

2

2

4,0

20

67 и 92

2

2,0

3,0

13

	18 и 43

3

2

7,5

30

68 и 93

3

2,0

4,8

30

	19 и 44

0,5

    3

1,25

25

69 и 94

0,5

2,0

0,8

18

	20 и 45

0,3

3

0,68

20

70 и 95

0,3

2,0

0,5

20

	21 и 46

1

3

1,5

20

71 и 96

1

2,0

1,75

35

	22 и 47

2

3

4,0

15

72 и 97

2

2,0

4,0

40

	23 и 48

3

3

4,8

15

73 и 98

3

2,0

6,0

20

	24 и 49

0,5

3

0,8

20

74 и 99

0,5

3,0

1,25

23

	25 и 50

0,3

3

0,54

25

75 и 100

0,3

3,0

0,75

25




Таблица 2

Требования к частотной характеристике ослабления A(f) LC-ПФ

Вари-

анты

Фильтр Чебышева

Вари-

анты

Фильтр Баттерворта



-1,

кГц

1, кГц

, кГц

0, кГц

S2, кГц

AS2, дБ

A, дБ



-1,

кГц

1, кГц

, кГц

0, кГц

S2, кГц

AS2,

 дБ

A, 

дБ

01 и 26

8

12,5

-

-

16

16

0,5

51 и 76

10

14,4

-

-

16

14

1

02 и 27

-

12,5

-

10

16

20

0,5

52 и 77

10

-

4,4

-

16

13

1

03 и 28

8

-

4,5

-

16

36

0,5

53 и 78

-

14,4

-

12

16

12

1

04 и 29

10

14,4

-

-

16

26

0,5

54 и 79

10

14,4

-

-

16

12

0,5

05 и 30

10

-

-

12

16

22

0,5

55 и 80

10

-

4,4

-

16

13

0,5

06 и 31

10

-

4,4

-

16

28

0,5

56 и 81

-

14,4



12

16

14

0,5

07 и 32

9

16

-

-

18

20

0,5

57 и 82

10

-

4,4

-

16

13

2

08 и 33

-

16

-

12

18

22

0,5

58 и 83

-

14,4

-

12

16

15

2

09 и 34

8

12,5

-



16

18

1

59 и 84

8

12,5

-

-

18

15

0,5

10 и 35

-

12,5

-

10

16

22

1

60 и 85

8

-

4,5

-

18

19

0,5

11 и 36

10

14,4

-

-

16

26

1

61 и 86

-

12,5

-

10

18

19

1

12 и 37

-

16

-

12

20

36

1

62 и 87

8

12,5

-

-

18

22

1

13 и 38

9

16

-

-

20

32

1

63 и 88

8

12,5

-

-

18

22

2

14 и 39

9

-

-

12

20

40

1

64 и 89

-

12,5

-

10

18

28

2

15 и 40

9

-

7

-

20

35

2

65 и 90

8

12,5

-

-

18

28

3

16 и 41

8

12,5

-

-

16

20

2

66 и 91

9

16

-

-

20

20

0,5

17 и 42

8

-

4,5

-

16

24

2

67 и 92

9

16

-

-

20

20

1

18 и 43

-

12,5

-

10

16

28

2

68 и 93

9

16

-

-

20

20

2

19 и 44

9

16

-

-

18

28

2

69 и 94

9

16

-

-

20

20

3

20 и 45

16

25

-

-

30

22

2

70 и 95

9

-

12

-

20

20

0,5

21 и 46

-

25

-

20

30

20

2

71 и 96

16

25

-

-

30

25

0,5

22 и 47

16

-

-

20

30

36

2

72 и 97

16

25

-

-

30

25

1

23 и 48

8

12,5

-

-

16

25

3

73 и 98

-

25

-

20

30

25

2

24 и 49

9

16

-

-

20

22

3

74 и 99

16

-

20

-

30

22

2

25 и 50

10

14,4

-

-

16

25

0,5

75 и 100

16

25

-

-

30

23

3




Таблица 3

 Требования к частотной характеристике ослабления A(f) ARC-ФНЧ

	Вари-анты

Фильтр Чебышева

Вари-анты

Фильтр Баттерворта

	

S , Гц

А, дБ

1, Гц

АS, дБ



S ,Гц

А, дБ

1, Гц

АS, дБ

	01 и 51

70

0,25

30

17

26 и 76

240

2

120

15

	02 и 52

230

0,25

100

20

27 и 77

150

3

75

14

	03 и 53

80

0,5

40

18

28 и 78

120

3

60

16

	04 и 54

110

0,5

50

16

29 и 79

300

3

150

15

	05 и 55

90

0,5

40

15

30 и 80

160

2

80

13

	06 и 56

180

1

100

20

31 и 81

90

2

50

15

	07 и 57

200

1

100

18

32 и 82

180

3

90

14

	08 и 58

200

1

80

16

33 и 83

120

2

60

18

	09 и 59

140

1

50

13

34 и 84

100

2

40

15

	10 и 60

90

1

40

15

35 и 85

180

1

100

13

	11 и 61

90

1

30

22

36 и 86

100

2

40

13

	12 и 62

360

2

200

20

37 и 87

150

3

70

15

	13 и 63

110

2

50

22

38 и 88

140

0,5

60

18

	14 и 64

100

2

40

19

39 и 89

120

0,5

50

16

	15 и 65

200

3

100

25

40 и 90

90

0,5

40

14

	16 и 66

150

3

60

30

41 и 91

100

3

50

14

	17 и 67

100

3

50

23

42 и 92

100

3

40

15

	18 и 68

100

3

40

20

43 и 93

70

3

30

17

	19 и 69

140

3

70

19

44 и 94

110

2

50

14

	20 и 70

120

3

60

15

45 и 95

110

2

60

16

	21 и 71

160

0,1

80

16

46 и 96

140

1

70

13

	22 и 72

120

0,1

50

17

47 и 97

140

1

60

14

	23 и 73

100

0,1

60

14

48 и 98

140

1

50

12

	24 и 74

100

0,1

40

18

49 и 99

200

3

100

13

	25 и 75

90

0,1

30

14

50 и 100

130

3

60

15





2. Методические указания к расчету фильтров

2.1. Основы теории фильтров

Электрические фильтры (ЭФ) - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами. Они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания, подведенного к его входу, частотных составляющих определенного спектра частот в заданной полосе частот с небольшим ослаблением (полоса пропускания - ПП) и подавления тех составляющих, которые расположены в других, также заданных полосах частот (полоса задерживания - ПЗ).

2.1.1. Частотная классификация фильтров

Вся область частот от  f = 0 до f =  подразделяется на: а) области, где ослабление не превышает некоторое заданное значение ослабления  (полосы пропускания - ПП); б) области, где ослабление не менее некоторого заданного значения  (полосы задерживания - ПЗ); в) переходные области (ПО) между ПП и ПЗ, где требования к частотной характеристике ослабления не задаются.

По взаимному расположению ПП и ПЗ различают 4 типа фильтров: а) фильтры нижних частот (ФНЧ); б) фильтры верхних частот (ФВЧ); в) полосовые фильтры (ПФ); г) режекторные фильтры (РФ). Амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров приведены на рис. 1 (а - ФНЧ, б - ФВЧ, в - ПФ, г - РФ). Требования по ослаблению для всех четырех типов фильтров показаны на рис. 2.

     

  H(f)	        H(f)		       H(f)		     H(f)   

         ФНЧ	       ФВЧ		ПФ			         РФ

         f	      f			         f			      f

        0     	     0       		      0      	 0      

    а)                     б)                               в)                        г)

Рис. 1. Амплитудно-частотные передаточные характеристики 

идеальных фильтров

На этих рисунках  и  - граничные частоты полос пропускания,  и  - граничные частоты ПЗ, А - неравномерность характеристики ослабления фильтра в ПП.





































0

0  

0   

0    

	

ФВЧ

ФНЧ



РФ

ПФ











    a)                        б)		           в)		          г)

Рис. 2. Частотные характеристики ослабления идеальных фильтров

2.1.2. Нагрузка фильтров



Фильтры могут быть нагружены двухсторонне (рис. 3 а) и односторонне (рис. 3 б,в).



E

E

RН

Rг

Rг

E

	

                    U     RH					  	         	              

а)	б)				     в)

Рис. 3. Виды нагрузок фильтров

   (1,a)

Операторная передаточная функция для схемы (рис.3,а) определяется выражением

Для схем рис.3,б,в                .					       (1,б)

Ослабление фильтра для всех трех схем вычисляется по формуле



			            (2)

2.1.3. Нормирование



При синтезе фильтров широко используется нормирование по сопротивлению и частоте :

– нормированное сопротивление;

 - нормированная комплексная частота;





 = ω / ω0 – нор мированная вещественная частота.

Нормирование по сопротивлению и частоте

(3)



В этих формулах  и  - нормирующие сопротивление и частота. 

ФПНЧ - это фильтр-прототип нижних частот с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице.

Нормированные сопротивления r, индуктивности l, емкости c вычисляются по формулам

;   ;   .			(4)









2.1.4. Денормирование

Денормирование - это переход от нормированных величин к действительным (номинальным). Коэффициенты денормирования сопротивлений, индуктивностей и емкостей определяются по формулам

; ; .				(5)

Действительные номинальные сопротивления, индуктивности и емкости вычисляют через коэффициенты денормирования по формулам

; ; .				(6)

2.1.5. Полиномиальные фильтры



 Это такие фильтры, операторная передаточная функция которых определяется выражением

,						(7)

здесь  - полином Гурвица порядка n, постоянный множитель  определяет величину ослабления ФНЧП на частоте  =0.

По расположению полос частот пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ) фильтры разделяются на ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.

 Ослабление полиномиального фильтра (т.е. его АЧХ) является 

четной функцией нормированной частоты вида

Здесь |H(j)| -   модуль    передаточной    функции   фильтра.  

 Если  An-1=An-2=…=A1=0, а A0=An=1, то

 (8)

где .

2.1.5.1. Фильтры Баттерворта

Для полиномиальных фильтров с характеристикой Баттерворта принято частоту  нормировать по частоте , при которой  уменьшается до 1/2 = 0,707 относительно максимального значения Н(0)=1, т.е. когда ослабление составляет 3 дБ. При этом А0=1 и

(9)

Такие фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой ослабления в ПП или фильтрами с характеристиками Баттерворта.

Передаточные функции этих фильтров определяются по формуле

(10)







H

A(дБ)	

1

0,707			  n=2				   n=4

n=4	n=2

А

0               1           	 0			   

a)	б)

Рис.4. Зависимость модуля передаточной функции H(Ω) и ослабления A(Ω) от порядка фильтра Баттерворта



На рис.4а приведены графики частотной зависимости модуля передаточной функции  таких фильтров для двух значений n при ослаблении  на границе полосы пропускания  А=3 дБ на уровне =1, а на рис.4,б - кривые ослабления для тех же n.

Ослабление в этом случае определяется по формуле (9).

Если по условиям задачи ослабление в ПП на его граничной частоте  не должно превышать некоторой величины  А, не равной 3 дБ, то нормирующая частота  вычисляется по формуле







для ФНЧ	   (11,а)

для ФВЧ	  (11,б)

          а ослабление рассчитывается по формуле

.				(12)

Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид 

,                                              (13)

где              – полином Гурвица, а .

Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам

  при n - четных ;	                               (13,а)

  при n - нечетных .	                                           (13,б)

В этих формулах k = 1, 2, ... 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений,  которые для  имеют отрицательные вещественные части. Произведение сомножителей (), соответствующих всем  с отрицательными вещественными частями, образует полином             .		 (14)

2.1.5.2. Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебательную характеристику в ПП и монотонное возрастание в ПЗ. Для таких фильтров квадрат модуля передаточной функции

            ,		                                      (15)

где  – полином Чебышева степени n, он является четным или нечетным.

Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид

 (16)

Здесь произведение всех  также полином Гурвица.

Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам



(17)

Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к ПЗ.

Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают существенной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки.

Зависимости модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для n нечетного и четного приведены на рис. 5.

Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле

,			(18)

где  - полином Чебышева степени n, 

ε – коэффициент неравномерности, который связан с -коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением  

                                       (19)

                        

                        

                                                            H(f)

                         1	                  1

                        n=5	                 n=6

                         0                           	   0	       	     



Рис. 5. Зависимость модуля передаточной функции от порядка фильтра



Так, например, для  = 0,1 A = 0,044дБ; для  = 0,15  A = 0,099дБ.

На рис. 6,а,б приведены соответствующие кривые ослабления ФНЧ для n нечетного и четного; на рис. 6в - для ПФ при n = 3.

A	A			       A

n=5	n=6

A	A

0         1          	  0                 1      	0  -1   0     1   

а)	б)			в)           

Рис. 6. Кривые ослабления для четного и нечетного порядков фильтра

2.2. Порядок расчета полиномиальных LC-фильтров табличным методом

1. Определяется нормированная граничная частота S ПЗ ФНЧП, т.е. исходные данные рассчитываемого фильтра преобразуются в низкочастотный прототип в соответствии с формулами табл. 4.

Таблица 4

Определение нормированной граничной частоты ПЗ ФНЧП

Тип фильтра

ФНЧ

ФВЧ

ПФ

РФ

S









В таблице 4 обозначены:

         – граничные частоты ПП ФНЧ и ФВЧ;

 и  – граничные частоты ПП ПФ и РФ;

  - среднегеометрическая частота ПФ и РФ;         (20)

  - коэффициент преобразования ширины ПП ПФ и РФ в      ФНЧП;                                                                                                                      (21)

  - ширина ПП ПФ и РФ.                                                            (22)



2. Определяется порядок n ФНЧП по одной из следующих формул:

(23)

а) для фильтра с плоской характеристикой в ПП (фильтра Баттерворта)

 (24)

б) для фильтра с равномерно-колебательной характеристикой в ПП (фильтр Чебышева) по одной из формул

здесь A – максимально допустимое ослабление в ПП,

          AS – минимально допустимое ослабление в ПЗ.

Гиперболический ареа-косинус Arch S при S>1 вычисляется по формуле

(25)

Значения  n, полученные по этим формулам, должны быть округлены до ближайшего большего целого числа. 

3. По известному порядку n по табл. П2.1 и рис. 7 определяются схема и параметры элементов ФНЧП Баттерворта; по значениям n и A по табл.П2.2 и рис. 7 определяются схема и параметры элементов ФНЧП Чебышева. Обычно выбирается схема, содержащая меньшее количество индуктивных элементов.

ПРИМЕЧАНИЕ. В табл.П2.2 для ФНЧП Чебышева  приведены значения параметров  только для нечетных значений n, в ней нет соответствующих значений для четных n. Это обьясняется тем, что для этих случаев при rг = rн и всех значений неравномерности A диапазон значений элементов слишком велик, чтобы фильтр можно было физически осуществить.



 	 		    			            	         

rг		 c 2 		    c n - 1		         c1	 с3	         сn

   rн	  J         gг		                       gн

E Г	

 



Рис. 7. Схемы ФНЧ - прототипа

4. Определяются по формуле (5) коэффициенты денормирования. Для ФНЧ и ФВЧ .

5. В соответствии с табл. 5 осуществляется преобразование нормированных элементов ФНЧП в элементы рассчитываемого фильтра.

Таблица 5

Преобразование схемы ФНЧ-прототипа в схему проектируемого фильтра.



ФНЧП

ФНЧ



ФВЧ



ПФ



РФ



k L 

k C / 

      kLk 



            kC/kli

k L / k





k C k / 

c i

k C c i

k L / c i



   k L / k c i



     k C k c i

kLk/ci



          kCci/k

№ формулы

(26,а)

(26,б)

(26,в)

(26,г)

В формулах (26,в,г) k определяется по формуле (21). Из табл. 5 видно, что преобразование ФНЧП в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т.е. B = 1/H.  Отсюда вытекает связь между любой частотой  fн  ФНЧ и соответствующей частотой  ФВЧ

,						(26)

где  - граничная частота ПП ФВЧ (см. примеры расчета LC ФВЧ).

Преобразование ФНЧП в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкостные - в параллельное соединение индуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧП в РФ происходит замена индуктивности параллельным соединением индуктивности и емкости, а емкости - последовательным соединением индуктивности и емкости (см. примеры расчета LC полосовых фильтров).

Для определения любой частоты  ФНЧП по заданным частотам  и  полосового фильтра используется следующая формула

.						(27)

Для обратного перехода  от ФНЧП к ПФ существуют формулы



,

.                                            (28)





2.3. Полиномиальные ARC-фильтры на базе ИНУН

В устройствах техники связи наряду с пассивными LC-фильтрами используются активные RC(ARC)-фильтры. Это такие фильтры, которые содержат пассивные (резисторы и конденсаторы) и активные элементы (транзисторы, операционные усилители (ОУ))

В ряде случаев разработчику приходится отказываться от пассивных LC-фильтров из-за больших размеров катушек индуктивности и связанною с этим невозможность микроминиатюризации.

Тенденция к микроминиатюризации  аппаратуры связи привела к широкому использованию ARC-фильтров, в которых используются известные преимущества технологии гибридных и интегральных схем.

Из числа активных фильтров в курсовой работе рассматриваются ARC-фильтры, выполненные на базе источников напряжения, управляемых напряжением (ИНУН) с конечным коэффициентом усиления, построенные на базе ОУ. Достоинством ARC-фильтров, построенных на базе ИНУН с ограниченным коэффициентом усиления, является их экономичность, достаточная стабильность при не слишком сложных требованиях, предъявляемых к избирательности, возможность получить фильтр с достаточно низкой частотой среза, что совершенно нереализуемо в пассивных LC-фильтрах из-за весьма больших значений индуктивностей..

2.4. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка

В качестве исходной рассмотрим ARC-цепь, представленную на рис. 8, у которой коэффициент усиления К0 – неинвертирующий идеальный усилитель с высоким входным и малым выходным сопротивлением.

Найдем в операторной форме передаточную функцию цепи (рис. 8). Составим уравнение по методу узловых потенциалов (потенциал точки 1 равен нулю).

Узел а:      				              (26)



UВЫХ(p)

UВХ(p)

Va(p)

Vв(p)

c1 1

c2 1

R1

R2Узел в:             (27)

                                               























Рис. 8. Схема ARC-ФНЧ второго порядка

Коэффициент усиления k усилителя связан с его входным и выходным напряжениями соотношением

.

Подставляя выражение Vа(p)  в (26) и (27) в результате совместного решения, получим выражение  операторной передаточной функции

.     (28)

Если обозначить

,    (29)

то                                   .                                                   (30)

В ряде случаев формулу (28) удобно представить в ином виде, если вместо сопротивлений и емкостей ввести их отношение

.

Тогда 

           .                         (32)

При                                                    (33)

операторная передаточная функция равна

.                              (34)



2.4.1. Синтез ARC звена ФНЧ второго порядка по Баттерворту



Передаточная функция ФНЧ второго порядка с плоской характеристикой в нормированной форме имеет вид 

.                                           (35,а)

Передаточная функция цепи  (рис.8) второго порядка в операторной форме выражается формулой (28) или (32).

Для перехода от нормированных величин s к  реальным p следует осуществить замену . Тогда формула (35) примет вид 

.                                (35,б)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной  p знаменателей функции (35) и (32) , будем иметь систему уравнений:



 ,                                     (36,а)

или

,                                      (36,б) 

.                           (37)

Эта система содержит пять неизвестных R2, C2, mR, nC, k. Задаваясь значениями трех из них, находим  R2 и k.



2.4.2. Синтез ARC звена  ФНЧ второго порядка по Чебышеву



Передаточная функция ФНЧ второго порядка (n=2) c равноколебательной характеристикой зависит от ослабления  в полосе пропускания и полюсов ослабления передаточной функции. Последние зависят от  и порядка фильтра n. Передаточная функция по Чебышеву для n = 2 в нормированных величинах имеет вид                   

  .                                   (38)

При n - четном  и  являются комплексно-сопряженными величинами     

 и передаточная функция будет иметь вид

.   (39)



Преобразуем выражение (39) так, чтобы свободный член в знаменателе был равен единице, и получим

.                                (40)

Заменив в (40)  на , где для фильтра Чебышева , и введя для сокращения обозначения

                                     ,                                                    (41,а)

                                     ,                                                       (41,b)

                                   ,                                            (41,с)

получим передаточную функцию 

           (42)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p знаменателей выражений (42) и (32), получим два компонентных уравнения

   ;                                     (43)

.                             (44)

Эта система содержит пять неизвестных величин R2, С2, mR, nC, k, а уравнений имеется только два. Задаваясь тремя дополнительными условиями, находим остальные две неизвестные величины.



2.5. Каскадный синтез полиномиальных ARC ФНЧ 

высокого порядка на базе ИНУН



При реализации фильтров высокого порядка наибольшее применение имеют каскадно-развязанное соединение звеньев второго порядка. Такое соединение обеспечивается при весьма высоких входных и малых выходных сопротивлениях. Важным преимуществом каскадно-развязывающей реализации является возможность проводить независимую подстройку каждого звена фильтра. Кроме того, это почти всегда приводит к фильтровым структурам, обладающим меньшей чувствительностью к изменениям параметров по сравнению с фильтрами непосредственной реализации.



Порядок расчетов фильтра



1. Определяется нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП по формуле .

2. По формуле (23) для фильтра Баттерворта и по формуле (24) для фильтра Чебышева определяется порядок n ФНЧП.

3. Нормированная передаточная функция  рассматривается в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев второго и первого порядков. Если n - четное число, то фильтр состоит из  звеньев второго порядка. При n - нечетном в составе фильтра будет  звеньев второго порядка и одно звено первого порядка, которое  обычно включают на выходе фильтра.                         ,                               (45)

где  - передаточные функции отдельных звеньев.

4. Определяются нормированные значения полюсов   передаточных функций второго порядка:

- для фильтра Баттерворта по формуле (13,а) или (13,б);

- для фильтра Чебышева по формуле (17).

5. Для каждой пары комплексно-сопряженных полюсов  и  вычисляются выражения квадратного трехчлена

                                  (46)

и соответствующее выражение передаточной функции звена второго порядка                                                                               .                                                                       (47)

       6. Путем замены  на  выполняется денормирование передаточной функции звена второго порядка

.                                  (48)

7. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменного p знаменателей передаточных функций (28) или (33) и (48), соответствующей схеме рис. 8 ARC-фильтра. Эта система из двух уравнений содержит пять неизвестных. Это означает, что она не имеет однозначного решения. Для их определения обычно задаются дополнительные условия. С учетом этого вычисляют остальные неизвестные.

Если порядок фильтра n - нечетный, то схема будет содержать одно звено первого порядка. Для него передаточная функция будет иметь вид

.                                                 (49)

Заменяя  на , получим      .     (50)           

Схема звена ФНЧ первого порядка реализуется пассивной RC цепью (рис. 9). Ее передаточная функция равна

.                                                (51)



C

RСравнивая свободные члены знаменателей в (50) и (51), получаем значения .                       



                                                                 



Рис. 9. Схема звена ФНЧ первого порядка.

3. Примеры расчетов электрических фильтров

3.1. Расчет ФВЧ Баттерворта

Рассчитать с использованием таблиц фильтр верхних частот Баттерворта, нагруженный двухсторонне по данным: граничная частота ПП  = 60 Гц, неравномерность характеристики ослабления в ПП не должна превышать =2 дБ, а при частотах = 30 Гц ослабление фильтра должно быть не менее =15 дБ, =75 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: 0,2; 0,5; ; ; .

Решение

Вычисляем нормированную граничную частоту полосы задерживания ФНЧП       = 60/30 = 2. По формуле (23)  или по программе Exel (см. приложение П.2.3.1) определяем  порядок ФНЧП

.

Округляем полученный результат до большего целого числа. Принимаем n=3. По найденному значению порядка фильтра n = 3 по табл. П.1.1 определяем нормированные значения параметров  элементов ФНЧП .

Схемы ФНЧ прототипа при n = 3 приведены на рис.10.

	 						               



rг

                 с2	                                   J                                    



E1 



а)	б)

Рис. 10. Схемы ФНЧ прототипа при n=3

Выберем для дальнейшего расчета схему рис.10,а.

C1 	  C3



RГ

                                               

                                                           

                                                               L 2                   R H



EГ

Рис. 11. Схема ФВЧ Баттерворта



Преобразуем полученную схему ФНЧП (рис.10,а) в схему требуемого ФВЧ (рис.11). Вычислим частоту, на которой ослабление фильтра равно 3 дБ.



Определяем коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей

,

.

Рассчитаем номинальные значения элементов ФВЧ (табл. 5) по формулам

,

.

Расчет частотной характеристики ослабления А(f) проводим по формуле 

(9,а) или по программе Excel (см. приложение П.2.3, П.2.4) 

                                                                                              Таблица 6

Результаты расчета A(f) LC ФВЧ Баттерворта  прядка n=3



0,2

0,5







, кГц

6

15

30

54.8

60



10

4

2

1.1

1

A, дБ

57,6

33,7

15,8

3

2

График зависимости ослабления от частоты А(f) приведен на рис.12.

                А,дБ 



50

40

30

20

15                                       ПП

10	ПЗ

                      0   10 20 30 40       60         80  , Гц

Рис. 12. Частотная характеристика ослабления ФВЧ

= 30 Гц	   = 60 Гц



Из графика рис. 12  и табл. 6  видно, что  = 15,8 дБ  = 15 дБ, 

 = 2 дБ =, что удовлетворяет заданным требованиям.



3.2. Расчет ФВЧ Чебышева



Рассчитать с использованием таблиц ФВЧ Чебышева, удовлетворяющий требованиям: граничная частота ПП = 5 кГц, максимальное ослабление в этой полосе не должно превосходить =1 дБ, а ослабление в ПЗ = 2,5 кГц должно быть не менее = 37 дБ. Нагрузочные сопротивления: =75 Ом. Рассчитать ослабление фильтра на частотах: 0,2; 0,5; ;  и построить кривую ослабления A(f).

Решение

 Определяем нормированную граничную частоту ПЗ ФНЧП

=5/2,5=2.

По формуле (24) определяем порядок фильтра

.

Так как порядок фильтра должен быть целым числом, округляем полученный результат до большего целого числа n = 5. По таблице П.1.2 определяем значения элементов ФНЧП при n = 5 и =1 дБ

c1 ()=2,135;c3()=3; c5()=2,135; (с2) = 1,091; (с4)=1,091.

Схемы ФНЧП при n = 5 приведены на рис. 13.

rг        ℓ1          ℓ3             ℓ5	       rг           ℓ2            ℓ4

eг                        с2            c4              rн	       eг         с1            c3             c5     rн



а)                                      б)

Рис. 13. Варианты схем ФНЧП Чебышева при n = 5

Выберем для дальнейшего расчета схему рис.13,а. Преобразуем схему ФНЧП в схему ФВЧ путем замены индуктивного элемента емкостным, и наоборот (табл. 5).     Rг              C1                C3                   C5

eг 	       L2                 L4                           RH



Рис. 14. Схема ФВЧ Чебышева при n = 5

Определим коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей

                  ;

                 .

Рассчитаем номинальные значения элементов ФВЧ (табл. 5)

C1 = C5 = kС/ℓ1= 0,425/2,135 = 0,199 мкФ;

                               L2 = L4 = kL/c2=2,39/1,091 = 2,19 мГн;

                                     C3 =kС/ℓ3= 0,425/3 =0,142 мкФ.

Рассчитаем ослабление фильтра по формуле (18) . Результаты расчета сведем в табл. 7.

Таблица 7



0,2

0,5





, кГц

0,5

1,25

2,5

5



10

4

2

1

A, Дб

118

77,7

45,3

1



А,дБ 

f,Гц 

ПП

ПЗ

70

80

60

30

20

10

40

50

1



































7,5

5

2,5

0





Рис. 15. График ослабления LC  ФВЧ Чебышева

Для проверки правильности расчета фильтра сравним значения ослабления, рассчитанные и требуемые на частотах  и . 45,3 дБ >=37 дБ; 1 дБ = A, что подтверждает правильность расчета.





3.3. Расчет ПФ Баттерворта

Рассчитать параметры симметричного двусторонне нагруженного LC ПФ Баттерворта по данным: граничные частоты ПП = 4 кГц, = 9 кГц, в этой полосе ослабление должно быть не более A = 3 дБ, а  на частоте 

= 12 кГц ослабление должно быть не менее As=20 дБ. Сопротивление генератора и нагрузки фильтра Rг = RН = R = 600 Ом. Рассчитать ослабление фильтра при частотах , , , , , 1,5, 2. Начертить график зависимости .

Решение

Определяем среднюю геометрическую частоту ПФ

	Из этого выражения определяем нижнюю граничную частоту ПЗ

.

Нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП 

.

По формуле (23) определяем порядок ФНЧП

Полученный результат округляем до большего целого n = 4. По таблице П.1.2 определяем нормированные значения элементов ФНЧП при n = 4

c1(ℓ1’)=0,7654; ℓ1(c1’)=1,8478; c3(ℓ3’)=1,8478; ℓ4(c4’)=0,7654. 

rг’         ℓ1‘      ℓ3‘	              ℓ2        ℓ4

 ег                        c2’          c4’                          j      gг    c1          c3             gн

а)	б)

Рис. 16. Схемы ФНЧП при n = 4

Выберем для дальнейшего расчета схему рис. 16,а. Преобразуем схему ФНЧП в схему ПФ, заменив каждую индуктивность на последовательный колебательный контур, а каждую емкость – на параллельный колебательный контур (табл. 5). В результате преобразования получим схему ПФ (рис. 17).



   Rг        L1    C1         L3    C3

   eг                        C2       L2       C4          L4      Rн





                                Рис. 17. Схема ПФ Баттерворта

Коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей равны

;

.

Коэффициент преобразования ширины полосы пропускания ПФ в ФНЧП   равен                      .

По формулам табл.5 вычисляем номинальные значения параметров элементов ПФ                        ;

;

;

;

;

;

;

.

При расчете ослабления ПФ следует иметь в виду, что его надо вести на соответствующих частотах ФНЧП. В табл.8 приведены пары частот  и  ПФ, связанные соотношением , и соответствующая им нормированная частота Ω ФНЧП, определяемая по формуле . Расчет ослабления ведется по формуле (9,а). Расчёт A(f)  существенно упрощается при использовании программы Excel (см. приложение П.2.4.4 и П.2.5) Результаты расчета сведены в табл. 8.

   Таблица 8





 и 

 и 

 и 1,5

 и 2

,кГц

6

4 и 9

3 и 12

2 и 18

1,5 и 24



0

1

1,8

3,4

4,5

A, дБ

0

3

20,44

42,5

52,24



А,дБ 

f,кГц ккГц 

2  4  6  8 10 12 14    18   20    22    24    26     28    30    32

0

60

30

20

10

40

50

3

ПП





  

















ПЗ









Рис. 18. График зависимости ослабления от частоты ПФ Баттерворта

Для проверки правильности расчета фильтра сравним расчетные и заданные ослабления на граничных частотах ПП и ПЗ:  = 20,44 дБ > As = 20 дБ;  = 3 дБ = A, что подтверждает правильность расчета.



3.4. Расчет LC ПФ Чебышева

Рассчитать параметры симметричного двусторонне нагруженного LC ПФ Чебышева по данным: ширина ПП= 4,5 кГц, верхняя граничная частота ПП

=12,5 кГц, в этой полосе ослабление должно быть не более A=1 дБ, а при частоте = 16 кГц и более ослабление должно быть не менее As=18 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра Rг= RН = R = 600 Ом. Рассчитать ослабление фильтра при частотах ,, , f, , 1,5, 2. Начертить кривую ослабления в зависимости от частоты .

Решение

Определим нижнюю граничную частоту ПП

=12,5 - 4,5=8 кГц.

Средняя геометрическая частота ПФ равна

Из этого выражения определяем нижнюю граничную частоту ПЗ

.

Определяем нормированную граничную частоту ПЗ ФНЧ - прототипа

, где .

По формуле (24) определяем порядок ФНЧП

Округлив результат до ближайшего большего целого, принимаем n = 3.

По табл. П.1.2 для A =1 дБ и n = 3 нормированные элементы ФНЧП имеют значения        c1(ℓ1)=2,024;	ℓ2(c2)=0,994;	c3(ℓ3)=2,024.

Схемы  ФНЧП  третьего порядка представлены на рис. 19.

                          	                  ℓ2

 Eг                                                    Jг      gг    c1          c3              gн



а)					б)

Рис. 19. Варианты схем ФНЧП Чебышева третьего порядка

Выберем для дальнейшего расчета схему рис. 19,а. От схемы ФНЧП перейдем к схеме ПФ, воспользовавшись таблицей П.1.2.

                           Rг        L1   C1         L3   C3



Eг	C2             L2                Rн 

Рис. 20. Схема ПФ Чебышева при n=3

          Коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей равны

                        ,

                          .

По формулам таблицы 5 вычисляем номинальные значения элементов ПФ

                  ;

                  ;

                  ;

                          .

Расчет ослабления проводим по формуле (18). Нормированная частота определяется по формуле . Расчёт существенно упрощается при использовании программы Excel (см. приложение П.2.7). Результаты расчета сведены в табл. 9.

Таблица 9





 и 

 и 

 и 1,5

 и 2

,кГц

10

8 и 12,5

6,25 и 16

4,1 и 24

3,1 и 32



0

1

2,167

4,4

6,4

A, дБ

0

1

24,8

44,4

54,4



А, дБ

60

50

40

30

20

10

3

0   2  4   6   8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32   , кГц

Рис. 21. График зависимости ослабления от частоты ПФ Чебышева при n = 3

     Из выше приведенного расчета видно, что =24,8дБ>As=20дБ и =1 дБ = A, что подтверждает правильность расчета.



3.5. Расчет ARC ФНЧ Баттерворта



Рассчитать активный RC фильтр нижних частот Баттерворта, удовлетворяющий требованиям: =175 Гц; =2,5 дБ; =350 Гц; 

= 21 дБ; C1 = C2 = C10 = 70 нФ; R1 = R2 = R10. Рассчитать частотную характеристику ослабления на частотах: , , , 1,5, 2.

Решение

Определяем нормированную граничную частоту ПЗ .

Порядок ФНЧП определяется по формуле (23) .

Полученное значение округляем до ближайшего большего целого числа, т.е. принимаем n = 4.

Рассчитаем нули полинома знаменателя передаточной функции Баттерворта при n = 4 по формуле (13,а)

при n=4, k=1; =0,9238+j0,3827;

при n=4, k=2; =0,3827+j0,9238;

при n=4, k=3; =-0,3827+j0,9238;

при n=4, k=4; =-0,9238+j0,3827;

при n=4, k=5; =-0,9238-j0,3827;

при n=4, k=6; =-0,3827-j0,9238.

Выберем те sk, у которых вещественные части отрицательные. Вычислим квадратные трехчлены:

(s - s3) (s - s6) = (s + 0,3827 –j 0,9238) (s + 0,3827 + j0,9238) = s2 + 0,7654s + 1;



(s - s4) (s - s5) = (s + 0,9238 - j0,3827) (s + 0,9238 + j0,3827) = s2 + 1,8476s +1.

Передаточная функция ФНЧ - прототипа имеет вид



    Таким образом, схема фильтра будет состоять из двух звеньев 2-го порядка.

Определим частоту среза ФНЧ Баттерворта по формуле (11 а)

.

Выполним денормирование передаточной функции путем замены . Тогда передаточная функция первого звена примет вид



.

Приравнивая коэффициенты при равных степенях p знаменателей, составим систему уравнений

.

Так как                       , то ,

,



             ,



.



K2

C10

C10

R10

R10



                                                         





                                                          







Рис. 22. Схема первого звена ФНЧ Баттерворта



Выполним аналогичные действия с передаточной функцией второго звена H2(s) и получим



по формуле (34)

,

.

Так как , то .

,     .



K2

C20

C20

R20

R20

















Рис. 23. Схема второго звена ФНЧ



     При каскадном соединении звеньев схема фильтра будет иметь вид рис.24.





        R10      R10     C10   K1                R20        R20    C20    K2 





                     C10                                              C20





		      



Рис. 24. Схема ARC ФНЧ Баттерворта четвертого порядка

Расчет частотной характеристики ослабления A() фильтра производится по формулам

;



.

Расчёт частотной характеристики ослабления A(f) существенно упрощается при использовании табличного процессора Excel (см. приложение П.2.8) 

Результаты расчета сведены в табл. 10.

                                                                                    Таблица 10









1,5

2

, кГц

175

180,6

350

525

700



30

20

10

40

50

2,5

А,дБ А, дБ

2.5 

3

23

37

47



      100     200      300     400     500      600     700

0

f, Гц 

ППРис. 25. Частотная характеристика ослабления A(f) 

ARC ФНЧ Баттерворта четвертого порядка



Из таблицы 10 и графика рис.25 видно, что  = 23 дБAS = 21 дБ и  = 2,5 дБ = A, следовательно, рассчитанный фильтр удовлетворяет заданным требованиям.



3.5. Расчет ARC ФНЧ Чебышева



Рассчитать активный RC фильтр нижних частот Чебышева, удовлетворяющий требованиям: = 40 Гц; =1,5 дБ; =100 Гц; = 30 дБ; С1 = С2 = С10; R1 = R2 = R10 =10 кОм.

Рассчитать частотную характеристику ослабления на частотах , , 1,5, 2.

Решение



    Нормированная граничная частота ПЗ равна

S=/=100/40 = 2,5.

Порядок фильтра определяется по формуле (24) 

.

Принимаем n=3, т.е. необходимо синтезировать фильтр, схема которого состоит из одного звена второго порядка и одного звена первого порядка.

Расчет коэффициентов полинома знаменателя функции Чебышева проводим по формулам

;

;

.

Нормированные значения полюсов передаточной функции определяются по формуле (17)

.

При n = 3 и k = 1: ;

при n = 3 и k = 2: 

при n = 3 и k = 3: .

Вычислим выражение квадратного трехчлена, соответствующего паре сопряженных полюсов s1 и s3

(s - s1) (s - s3) = (s +0,2085 - j0,9353) (s + 0,2085 + j0,9353) = s2 + 0,417s + 0,91826.

Синтез фильтра осуществим на основе каскадного соединения двух звеньев - первого и второго порядков. Передаточная функция ФНЧ -прототипа имеет вид



Передаточная функция звена второго порядка ФНЧП равна

.

Поделим числитель и знаменатель H1(s) на 0,91826 и получим

.

Выполним денормирование передаточных функций путем замены s на  (для фильтра Чебышева =)

Передаточная функция звена второго порядка при условии R1= R2 = R10 и 

С1 = С2 = С10   имеет вид          .

Приравняем коэффициенты при равных степенях p в знаменателях двух последних выражений и получим систему двух уравнений

.

Совместное решение этих двух уравнений дает следующий результат:

                 ; R10 = 10 кОм;

;



K2

C10

C10

R10

R10        ; .





                                      



                                               







Рис. 26. Схема ARC звена ФНЧ второго порядка

Аналогично произведем расчет второго звена фильтра

.

 

Эта передаточная функция может быть реализована пассивной схемой ФНЧ первого порядка, передаточная функция которого равна

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p, получим

                                 ; ;

.



C20

R20

U2(p))

U1(p)











		                                                

Рис. 27. Схема звена ФНЧ первого порядка

Схема ФНЧ состоит из каскадного соединения рассчитанных звеньев и представлена на рис. 28.



                       R10        R10          C10                               R20     





                                    C10                                 С20  







Рис. 28. Схема ARC ФНЧ Чебышева при n=3

Расчет частотной характеристики ослабления производится по формуле (9).



Расчёт A(f) можно вырполнить с помощью программы Excel (см. прилож. П.2.9). При n =3 результаты расчета сведены в табл. 11

.                                                                                                   Таблица 11







1,5

2

, Гц

40

100

150

200

А, дБ

1,5 

31,1

42,3

50

По результатам расчета (табл.11) построим график частотной характеристики ослабления A(f) (рис.29).



А, дБ





30





             ПП                                       ПЗ



1,5 

           0           40                       100              150      , Гц

Рис.29. Частотная характеристика A(f) ARC ФНЧ Чебышева при n = 3 и К1 = 1

Из рис.29 видно, что  = 31,1 дБ>As = 30 дБ,  = 1,5 дБ = A, следовательно, рассчитанный фильтр удовлетворяет заданным требованиям. 

Приложение П.1. Таблицы  нормированных элементов ФНЧП

                                                                                            Таблица П.1.1

Нормированные LC элементы ФНЧП  Баттерворта

n

c1 или ℓ1

ℓ2 или с2

c3 или ℓ3

ℓ4 или с4

c5 или ℓ5

ℓ6 или с6

c7 или ℓ7

ℓ8 или с8

1

2,0000

—

—

—

—

—

—

—

2

1,4142

1,4142

—

—

—

—

—

—

3

1,0000

2,0000

1,0000

—

—

—

—

—

4

0,7654

1,8478

1,8478

0,7654

—

—

—

—

5

0,6180

1,6180

2,0000

1,6180

0,6180

—

—

—

6

0,5176

1.4142

1,9319

1,9319

1,4142

0,5176

—

—

7

0,4450

1,2470

1,8019

2,0000

1,8019

1,2470

0,4450

—

8

0,3902

1,1111

1,6629

1,9616

1,9616

1,6629

1,1111

0,3902

                                                                                      Таблица П.1.2

Нормированные LC элементы ФНЧП  Чебышева



A

	Порядок фильтра n

	c1 или ℓ1

	ℓ2 или с2

	c3 или ℓ3

	ℓ4 или с4

	c5 или ℓ5

		ℓ6 или с6

	c7 или ℓ7



	3

1,596

	1,097

1,596

—

	—

	—

	—

0,5

	5

1,706

	1.230

2.541

1,230

	1,706

	—

	—



	7

1,737

	1,258

2,638

1,344

	2,638

	1,258

	1,737



	3

2,024

	0,994

2,024

—

	—

	—

	—

1,0

	5

2,135

	1,091

3,001

1,091

	2,135

	—

	—



	7

2,167

	1,112

3,094

1,174

	3,094

	1,112

	2,167



	3

2,711

	0,833

2,711

—

	—

	—

	—

2,0

	5

2,831

	0,899

3,783

0,899

	2.831

	—

	—



	7

2,865

	0,912

3,877

0,954

	3.877

	0,912

	2,865



	3

3,349

	0,712

3,349

—

	—

	—

	—

3,0

	5

3,481

	0,762

4,538

0,762

	3,481

	—

	—



	7

3,519

	0,772

4,639

0,804

	4,639

	0,772

	3,519



ПРИЛОЖЕНИЕ  П.2. Применение программы Excel к расчёту ЭФ

      Табличный процессор Excel  установлен на каждом персональном компьюторе (ПК) и может с успехом использоваться  не только для экономических, но и инженерных расчётах. Особенно эффективно его использование при расчётах и построении графиков амплитудно-частоных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ) а также частотных  характеристик рабочего  ослабления А(f) электрических фильтров (ЭФ).

     После запуска программы Excel на экране монитора появляется окно программы, содержащее рабочий  лист состоящий из ячеек. Строки таблицы пронумерованы  целыми числами 1…65536, а столбцы обозначены буквами А, В,…, IV. 

     Вводя числа, формулы или текст в эти ячейки, можно произвести необходимые вычисления и получить наглядное представление  этих данных в виде графиков.

П.2.1. Ввод формул

     Все формулы в Excel начинаются со знака «=». Один из возможных способов ввода формулы в ячейки заключается в следующем:

установить курсор на ячейку, в которую необходимо ввести формулу;

ввести знак равенства «=»;

ввести нужную формулу;

нажать клавишу Enter.

Замечание.  Одну и ну же формулу можно ввести сразу в несколько ячеек. Для этого  необходимо выделить мышкой ячейки, ввести формулу, а затем одновременно нажать клавиши Ctrl-Enter.

П.2.2. Методика построения графика функции y=f(x)

     При построении «гладких» функций в Excel принята следующая терминология:

y – «значения»;

x – «подписи оси Х»;

индикатор кривой – «легенда»;

подпись индикатора кривой – «имя»;

Для построения кривой выполняется следующая последовательность действий:

Запустить Excel. Установить шрифт Times New Roman Cyr.

Представить  функцию y=f(x) в виде таблицы следующей структуры



A

B

C

D

E

F

G

1

X

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,6

2

Y

0

8

20

36

56

80

В ячейки строки Y могут быть помещены как значения, так и формулы.

Выделить при помощи мыши область значений  Y(B2:G2).

Щёлкнуть кнопку  Мастер диаграмм на стандартной панели.

В появившемся меню щелкнуть закладку Нестандартные, выдать Гладкие графики и нажать кнопку Далее.

Щёлкнуть закладку Ряд.

Щёлкнуть на правой кнопке Подписи оси Х:, выделите область определения Х(В1:G1) и снова щёлкнуть на правой кнопке. На графике появятся значения оси Х. Введите Имя, например F. Нажмите кнопку  Далее.

Выбрав закладку Заголовки, ввести Название диаграммы, т.е. графика. Подписать Ось Х и Ось Y, не забывая указать их размерности.

Щёлкнув закладку Линии сетки, установите галочки у основные линии Ось Х (категорий) и основные линии Ось Y (значений).

 Щёлкните на закладке Легенда. Если она вам не нужна, уберите флажок Добавить легенду. Нажмите клавишу Далее.

 Выберите Поместить диаграмму на листе имеющемся. Нажмите кнопку Готово.

 Растяните область диаграммы до нужных размеров с помощью мыши.

 Найдите мышкой область построения диаграммы (рис. 8). Щёлкните два раза.

 В появившемся окне Формат области построения выберите белую заливку. Нажмите ОК.

 Найдите мышкой Ось категорий. Щёлкните два раза. В появившемся окне Формат оси Вид толщина выберите  более толстую линию. Нажмите кнопку ОК.

 Найдите мышкой Ось значений и анологично увеличте толщину оси Y.

 Выделите  кривую графика и щёлкните на нём два раза. В появившемся окне Формат ряда данных Вид  выберите  желаемую толщину кривой графика. Нажмите кнопку ОК.

 Выделите мышкой внешнюю рамку графика и щёлкните  два раза. В появившемся окне Формат области диаграммы. Вид. Рамка установите галочку с тенью. Нажмите кнопку ОК.

 График готов.









П.2.3. Определение порядка n и ослабления А() ФНЧП

на фиксированных нормированных частотах 

 Порядок фильтра нижних частот прототипа (ФНЧП) Баттерворта:

n>[As - 20Lg(Lg(s)], где ^(0.1^0.5.

Порядок ФНЧП Чебышева определяется по формуле:

n>[As+6-20Lg()]/[20Lg(s+(s^2-1)^0.5)].

Для расчёта n достаточно после знака "=" в следующие справа

ячейки ввести соответствующие значения: As, A, s и нажать

клавишу "Enter"

1. Расчёт порядка  n  ФНЧП    Баттерворта

As =

20,00

A=

1,00

s=

1,50

n=

5,35

6

2. Расчёт порядка  n  ФНЧП   Чебышева













n=

3,812

4

3. Расчёт ослабления ФНЧП  Баттерворта 

Для расчёта ослабления ФНЧП на нормированной частоте 

достаточно ввести её значение в ячейку справа от ячейки

"="  и нажать клавишу "Enter".

=

2,00

A=

30,26

дБ









4. Расчёт ослабления ФНЧП  Чебышева в ПЗ  (>1)





A=

33,87

дБ









As-минимально допустимое ослабление в ПЗ, дБ

A - макс. допустиое ослабление ослабление в ПП, дБ

s= - нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП

n - порядок ФНЧП

 = - нормированная  частота ФНЧП

As-минимально допустимое ослабление в ПЗ, дБ

A -  ослабление  ФНЧП на нормированной частоте  , дБ





























П.2.4. Расчёт построение графика А(f) LC  ФВЧ Баттерворта

1. Вводятся значения f1, fs, s, A, n.

2. Вводятся частоты f, на которых необходимо

выполнить расчёт А(f).

3. Выполняется запуск программы на расчёт

путем нажатия на клавишу "Enter".

f, Гц

=f1/f

A, дБ











20

3,0000

26,308



f1=

60,00

Гц



25

2,4000

20,522



fs=

30,00

Гц



30

2,0000

15,847



s=

2,00





35

1,7143

11,999



A=

2,00

дБ



40

1,5000

8,8436



As=

15

дБ



45

1,3333

6,3208



n=

3





50

1,2000

4,3878



=

0,7648





55

1,0909

2,9794











60

1,0000

2











65

0,9231

1,3412











70

0,8571

0,9059











75

0,8000

0,6195











80

0,7500

0,4301











85

0,7059

0,3034











90

0,6667

0,2175











95

0,6316

0,1583











100

0,6000

0,1169











П.2.5. Расчёт построение графика А(f) LC  ФВЧ Чебышева

1. Вводятся значения f1, fs, s, A, n.

2. Вводятся частоты f, на которых необходимо

выполнить расчёт А(f).

3. Выполняется запуск программы на расчёт

путем нажатия на клавишу "Enter".

f, кГц

f1/f

A(f), дБ











2,50

2,0000

45,306

1).

f1=

5,00

кГц



3

1,6667

35,825

2).

fs=

2,50

кГц



3,5

1,4286

27,016



s=

2,00





4

1,2500

18,288

3).

A=

1,00

дБ



4,5

1,1111

9,0562

4).

As=

37

дБ



5

1,0000

1



n=

4,2721

5



5,5

0,9091

0,323



=

0,5088





6

0,8333

0,9598











6,5

0,7692

0,9084











7

0,7143

0,5791











7,5

0,6667

0,2574











8

0,6250

0,0601











8,5

0,5882

9E-06











9

0,5556

0,0426











9,5

0,5263

0,1448











10

0,5000

0,2724











10,5

0,4762

0,4034













П.2.6. Расчёт построение графика А(f) LC  ПФ Баттерворта

1. Вводятся значения f1, f2, fs1,fs2, A, As.

2. Вводятся частоты f, на которых необходимо выполнить расчёт А(f).

3. Выполняется запуск программы на расчёт путем нажатия

на клавишу "Enter"

f, кГц



A, дБ











3

-1,8000

20,4406



f2=

9

кГц



3,5

-1,3571

10,9529



f1=

4

кГц



4

-1,0000

3,0000



f0=

6

кГц



4,5

-0,7000

0,2423



fs1=

3

кГц



5

-0,4400

0,0061



fs2=

12

кГц



5,5

-0,2091

0,0000



k=

1,2





6

0,0000

0,0000



s=

1,80





6,5

0,1923

0,0000



A=

3,00

дБ



7

0,3714

0,0016



As=

20

дБ



7,5

0,5400

0,0311



n=

3,9214

4



8

0,7000

0,2423





0,9976





8,5

0,8529

1,0680











9

1,0000

3,0000











9,5

1,1421

5,8898











10

1,2800

9,1231











10,5

1,4143

12,2867











11

1,5455

15,2359











11,5

1,6739

17,9482











12

1,8000

20,4406











П.2.7. Расчёт и построение графикаА(f) LC-ПФ Чебышева порядка

f, кГц



A, дБ









6

-2,37

27,43









6,5

-1,97

22,07

1. Вводится диапазон частот f, в котором

7

-1,62

15,91

надо выполнить расчет в ячейки.

7,5

-1,30

8,47

2. Рассчитываются значения   нормированных

8

-1,00

1,00

частот   ФНЧП и вводятся в ячейки.

8,5

-0,73

0,45

3. Вводятся значения f1, f2,fs1, fs2, A, As

9

-0,47

0,99

в ячейки, справа после знака «=».

9,5

-0,23

0,43

4. Запускается расчёт путём нажатия на

10

0,00

0,00

клавишу «Enter»

10,5

0,22

0,40



11

0,42

0,94



Данные для расчёта A(f)

11,5

0,62

0,83



f1=

8

кГц

12

0,81

0,09



f2=

12,50

кГц

12,5

1,00

1,00



fs1=

6,25

кГц

13

1,18

5,28



fs2=

16

кГц

13,5

1,35

9,96



A

1,00

дБ

14

1,52

13,94



As=

18

дБ

14,5

1,69

17,28



Результаты расчёта

15

1,85

20,13



f0=

10

кГц

15,5

2,01

22,62



k=

2,2222



16

2,17

24,82



s=

2,1667



16,5

2,32

26,81



=

0,5088



17

2,47

28,61



n=

2,9174

3

П.2.8. Расчёт и построение графика А(f) ARC- ФНЧ Баттерворта

       1. Ввести значения f1, fs, A, As, K1, K2. 

       2. Ввести частоты f, на которых требуется выполнить расчёт

       3. Запустить программу на расчёт путём нажатия на 

клавишу "Enter". (Пунктирной линией обозначена частотная

характеристика ослабления А1(f)  при К1=К2=1, т.е. без 

учёта усиления усилителей).

f, Гц

=f/f1

A1(f), дБ

A2(f), дБ









0

0,0000

0,0000

-8,2146

f1=

175,00

Гц



25

0,1429

0,0000

-8,2146

fs=

350,00

Гц



50

0,2857

0,0002

-8,2145

s=

2,00





75

0,4286

0,0038

-8,2108

A=

2,50

дБ



100

0,5714

0,0383

-8,1763

As=

21

дБ



125

0,7143

0,2232

-7,9914

n=

3,6688

4



150

0,8571

0,8876

-7,3270

=

0,8822





175

1,0000

2,5000

-5,7146

K1=

2,235





200

1,1429

5,1389

-3,0757

K2=

1,152





225

1,2857

8,3325

0,1179

S=

8,2146





250

1,4286

11,6138

3,3992









275

1,5714

14,7625

6,5479









300

1,7143

17,7122

9,4976









325

1,8571

20,4582

12,2436









350

2,0000

23,0155

14,8009









375

2,1429

25,4033

17,1887









400

2,2857

27,6406

19,4260









П.2.9. Расчёт и построение графика А(f) ARC- ФНЧ Чебышева

1. Ввести значения f1, fs, A, As, K1, K2. 

2. Ввести частоты f, на которых требуется выполнить расчёт

3. Запустить программу на расчёт путём нажатия на 

клавишу "Enter". (Пунктирной линией обозначена частотная

характеристика ослабления А1(f)  при К1=К2=1, т.е. без 

учёта усиления усилителей).

f, Гц

=f/f1

A1, дБ

A2, дБ









0

0,0000

0,0000

-8,2146

f1=

40,00

Гц



10

0,2500

1,3604

-6,85419

fs=

100,00

Гц



20

0,5000

2,5000

-5,7146

s=

2,50





30

0,7500

0,9561

-7,25854

A=

2,50

дБ



40

1,0000

2,5000

-5,7146

As=

21

дБ



50

1,2500

11,4128

3,19822

n=

2,7754

3



60

1,5000

18,0646

9,849956

=

0,8822





70

1,7500

23,1162

14,90159

K1=

2,235





80

2,0000

27,2191

19,00447

K2=

1,152





90

2,2500

30,6945

22,47989

S=

8,2146





100

2,5000

33,7205

25,50585









110

2,7500

36,4063

28,19173









120

3,0000

38,8246

30,61003









130

3,2500

41,0262

32,81156









140

3,5000

43,0481

34,83349









150

3,7500

44,9185

36,70391









160

4,0000

46,6592

38,44465









Вопросы для подготовки к защите курсовой работы 

1. Дайте определение электрического фильтра.

2. Как классифицируются фильтры по диапазону пропускаемых ими частот?

3. На какие области разделяется весь частотный диапазон фильтров? Дайте определение каждой из них.

4. Что называется передаточной функцией фильтра? Записать ее выражение в виде дробно-рациональной функции комплексного переменного p.

5. Какие полиномы называются полиномами Гурвица?

6. Что называется порядком фильтра?

7. Что значит осуществить нормирование по частоте; по сопротивлению? В чем сущность денормирования?

8. Дайте определение, какие фильтры называются полиномиальными.

9. Какая связь между порядком фильтра и числом реактивных элементов фильтра-прототипа?

10. Начертить графики зависимостей кривой ослабления и модуля передаточной функции от нормированной частоты  для фильтра с плоской характеристикой (фильтра Баттерворта). Каково влияние на него порядка фильтра n?

11. То же для фильтра с равноволновой характеристикой (фильтра Чебышева) в полосе пропускания для n четных и нечетных.

12. В чем состоит сущность преобразования частоты? Как перейти от НЧ-прототипа к фильтру ВЧ? К полосовому фильтру?

13. Какие ПФ называются фильтрами с геометрически симметричной характеристикой?

14. Какова связь между средней и граничными частотами ПФ?

15. Как вычисляются частота среза ФНЧ-прототипа и частоты среза ПФ?

16. Начертить графики ослабления LC ПФ с плоской и с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания для фильтров Баттерворта и Чебышева.

17. Какие фильтры называются активными? Из каких элементов состоит ARC фильтр?

18. Какова методика расчета ARC-ФНЧ высокого порядка?

19. Каковы достоинства и недостатки ARC-фильтров в сравнении с пассивными LC-фильтрами?

















Литература

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Связь, 1967. - 544с.

2. Атабеков Г. И., Теоретические основы электротехники (в 3 частях). Ч.1: Линейные электрические цепи. М.: Энергия, 1978. - 592с.

3. Шебес М.Р., Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высш. шк., 1982. - 488с.

4. Альбац М.Е. Справочник по расчету фильтров и линий эадержки. - М.: Госэнергоиздат, 1963. -200 с.

5. Матханов П.Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. – М.: Высш. шк., 1976. - 208с.

6. Хьюлсман Л.П. Активные фильтры. – М.: Мир, 1972. - 516с.

7. Хьюлсман Л.П. Теория и расчет активных RC-цепей. – М.: Связь, 1973. - 240с.

8. Справочник по расчету и проектированию ARC-схем под ред. А.А.Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.

9. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. (Учебное пособие для вузов).  Сборник задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1989. - 328 с. 


Содержание



Предисловие……………………………………………………………………...3

Задания на курсовую работу…………………………………………………4

Методические указания к расчету фильтров……………………………….9

Основы теории фильтров……………………………………………….9

        2.1.1. Частотная классификация фильтров……………………………….9

        2.1.2. Нагрузка фильтров…………………………………………………10

   2.1.3. Нормирование……………………………………………………..10

        2.1.4. Денормирование…………………………………………………...11

        2.1.5. Полиномиальные фильтры………………………………………..11

           2.1.5.1. Фильтры Баттерворта………………………………………….11

           2.1.5.2. Фильтры Чебышева……………………………………………13

Порядок расчета полиномиальных LC фильтров 

табличным методом…………………………………………………14

Полиномиальные ARC - фильтры на базе ИНУН…………………..17

Синтез ARC ФНЧ второго порядка………………………………….17

Синтез ARC ФНЧ второго порядка по Баттерворту…………..18

Синтез ARC ФНЧ второго порядка по Чебышеву…………….19

Каскадный синтез полиномиальных ARC ФНЧ 

       высокого порядка……………………………………………………..20

Примеры расчета электрических фильтров………………………………21

Расчет LC ФВЧ Баттерворта………………………………………….21

Расчет LC ФВЧ Чебышева……………………………………………24

Расчет LC ПФ Баттерворта……………………………………………26

Расчет LC ПФ Чебышева……………………………………………..28

Расчет ARC ФНЧ Баттерворта……………………………………….31

Расчет ARC ФНЧ Чебышева…………………………………………34

        Приложение П.1. Таблицы  нормированных элементов ФНЧП…………….38

             Таблица П.1.1. Нормированные LC элементы ФНЧП  Баттерворта…….38

             Таблица П.1.2. Нормированные LC элементы ФНЧП  Чебышева………38

        Приложение П.2. Применение Excel для расчёта  ЭФ………………………39

              П.2.1. Ввод формул…………………………………………………………39

              П.2.2. Методика построения графиков функции y=f(x)………………….39

             П.2.3. Определение порядка n и ослабления A(Ω) ФНЧП

                        Баттерворта и Чебышева на фиксированной 

                         нормированной частоте Ω………………………………………….41

              П.2.4. Расчёт и построение графика A(f) LC ФВЧ Баттерворта…………42

              П.2.5. Расчёт и построение графика A(f) LC ФВЧ Чебышева…………...43

              П.2.6. Расчёт и построение графика A(f) LC ПФ Баттерворта…………..44

              П.2.7. Расчёт и построение графика A(f) LC ПФ Чебышева…………….45

              П.2.8. Расчёт и построение графика A(f) ARC ФНЧ Баттерворта………46

              П.2.9. Расчёт и построение графика A(f) ARC ФНЧ Чебышева………..47

Вопросы для подготовки к защите курсовой работы…………………………….48

Литература…………………………………………………………………………..49





ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 

К ВЫПОЛНЕНИЮ  КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ 

«ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

для студентов специального  заочного образования, 

обучающихся по направлениям 5222200  «Телекоммуникация» и 

5140900 «Профессиональное образование (Телекоммуникация)».





      



                     Составители: Белова Л.Н., Козлов В.А.

                     Рассмотрены и утверждены на заседании кафедры ТЭЦ

	                     Протокол №  22   от 11.02.2008

   Ответственный редактор  д.ф-м.н., профессор Арипов Х.К.

                      Корректор: Яковлева Т.М.









25



51