Методические указания по изучению дисциплины «Специальные главы математики (Исследование операций)»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт)





Шахтинский институт (филиал) ЮРГТУ (НПИ)























Методические указания

по изучению дисциплины

«Специальные главы математики

 (Исследование операций)»

































Новочеркасск 2007







УДК  519 (07)

Рецензент – канд. тех. наук А.М. Безуглов

























Составитель Бреславцева И.В.

	Методические указания по изучению дисциплины «Специальные главы математики (Исследование операций)» /Сост. И.В. Бреславцева; Шахтинский ин-т (филиал) ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007.-11с.  - 50 экз.





Рассматривается перечень тем дисциплины «Специальные главы математики (Исследование операций)». Приведена краткая характеристика каждой темы с указанием необходимой литературы. Даны вопросы, на которые должен ответить студент для самооценки своих знаний. 

	  Предназначена для студентов специальности  230201 Информационные системы и технологии, 080801«Прикладная информатика (в экономике)».











УДК 519 (07)

© Шахтинский институт ЮРГТУ, 2007

© Бреславцева И.В., 2007









Содержание



	Введение……………………………………………………..4

		Тема 1. Предмет, задачи исследования операций ……..5

		Тема 2. Потоки требований……………………….  ……7

		Тема 3. Марковские случайные процессы……….............9

		Тема 4.  Теория массового обслуживаниияния……….10

		Список литературы……………………………………..12

		Глоссарий………………………………………………....13

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

	Введение

	

В дисциплине рассматриваются основные принципы и методы построения математических моделей массового обслуживания для анализа экономических процессов; Изучаются методология и технология моделирования систем, формализация и алгоритмизация процессов функционирования элементов экономических систем. Рассмотрены экономические критерии работы системы, определение оптимальных параметров системы обслуживания, изложены математические методы анализа различных моделей систем массового обслуживания. 



Цель, которую преследуют в процессе исследования операций, заключается в том, чтобы выявить наилучший (оптимальный) способ действия при решении той или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера, а также в изучении современных математических методов анализа структуры и характеристик систем массового обслуживания.   

	Задачи. Повышение     эффективности     функционирования объекта экономики (фирмы) в настоящее время практически невозможно без анализа или прогнозирования работы систем массового обслуживания. Основными инструментами, позволяющими сравнивать эти способы действий, являются математические модели. Задача курса состоит в изучении методов математического моделирования экономических процессов.

	Сфера профессионального использования дисциплины

Математическая модель позволяет сравнительно быстро дать ответ на вопросы: "А что будет, если..." и оценить различные риски: рост рыночных цен, невыполнения заказа в договорные сроки и др. Математическое моделирование операций используется, если	проведение натурных экспериментов нежелательно или невозможно.

	Для изучения данной дисциплины студент должен знать

основы теории вероятностей;

основы экономической теории.



Перечень основных тем 



Тема 1. Предмет, задачи исследования операций



Исследование операций как наука и искусство. Основные понятия и принципы исследования операций. Математические модели операций. Прямые и обратные задачи исследования операций. Этапы исследования операций. Случайные функции и их основные числовые характеристики. Случайные функции и их классы.  Задачи линейного программирования и их графическое решение. Свойства решений задач линейного программирования. Транспортная задача линейного программирования. Сетевые модели.

Изучив данную тему, студент должен:

	знать  определение  математической модели операций; основные задачи и этапы исследования операций, определение случайных функций, их числовые характеристики и классы; 

	уметь решать основные задачи линейного программирования. 

	При изучении темы необходимо:

читать следующую литературу  [10] Таха Х. Введение в исследование операций. т.1, 2 – М.: Мир, 1985; [11] Вентцель Е. С. Исследование операций.-М.: Высшая школа, 2001; [12] Общий курс высшей математики для экономистов: /учебник/ под ред. В. И. Ермакова. – М.:ИНФРА– М, 2001. 656 с. (серия «Высшее образование»). [13] Красс М.С., Чупрынов Б.П.. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учеб. – 2-е издание, исправленное – М.: Дело, 2001. – 688с; 

	акцентировать внимание на следующих понятиях: система, объект, процесс, модель, вероятностная  модель, динамическая модель, математическая модель, плотность  вероятности  случайной  величины,  функция  распределения,  плотность  распределения  случайной  величины;

	выполнить задание: привести примеры случайных процессов, описываемых изученными законами распределения.

	

	Контрольные вопросы и задания

	

	Исследование операций как наука и искусство. Основные понятия и принципы исследования операций. Математические модели операций.

	Что мы понимаем под операцией?

	Какие операции являются объектами исследования операций?

	Какие существуют основные принципы исследования операций?

	 Что  такое  модель?

	В  чем  заключается  процесс  моделирования?

	Что  должно  быть  основой успешной методики моделирования?

	Укажите типовые группы моделей, которые могут быть положены в основу системы классификации.

	Дайте  классификацию математических моделей.

	Как  делятся  математические  модели  в зависимости от характера отображаемых свойств объекта?

	Как  различают  математические модели  по  способам  получения?

	Почему различна степень полезности моделей, применяемых в технике и в социальных науках?

	Прямые и обратные задачи исследования операций. Этапы исследования операций.

	Сформулируйте прямую и обратную задачи исследования операций.

	В чем заключаются основные этапы исследования операций?

	Случайные функции и их основные числовые характеристики. Случайные функции и их классы.  

			Дайте определение случайной функции

	Назовите основные числовые характеристики случайных функций

	Перечислите основные классы случайных функций 

	Основные задачи линейного  программирования.

			Назовите основные составляющие математической модели задач линейного программирования

	Дайте определение целевой функции

	Какие виды ограничений используются при составлении математической модели задач линейного программирования?

	Какие ограничения называются связывающими?

	Сформулируйте основы анализа модели на чувствительность

	Сетевые модели.

	Дайте определение сети?

		Перечислите основные задачи, которые можно решать методами сетевого планирования

	

Тема 2. Потоки требований



Понятие потока. Основные свойства и характеристики потоков требований. Пуассоновские потоки требований. Простейшие потоки различных типов. Преобразование пуассоновских потоков. Регулярные потоки требований. 



Изучив данную тему, студент должен:

	знать основные  свойства, характеристики и методы преобразования потоков требований;

	уметь  применять теоретический материал к решению задач на данную тему.

	При изучении темы необходимо:

читать следующую литературу  [10] Таха Х. Введение в исследование операций. т.1, 2 – М.: Мир, 1985; [12] Общий курс высшей математики для экономистов: /учебник/ под ред. В. И. Ермакова. – М.:ИНФРА– М, 2001. 656 с. (серия «Высшее образование»); [13] Красс М.С., Чупрынов Б.П.. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учеб. – 2-е издание, исправленное – М.: Дело, 2001. – 688с; 

	акцентировать     внимание     на     следующих     понятиях: поток требований, простейший поток, пуассоновский поток, интенсивность потока, параметр потока, случайное разрежение, стационарность, ординарность, регулярный поток.

	
Контрольные вопросы и задания

	

	Понятие потока. Основные свойства и характеристики потоков требований.

		Дайте определение потока требований

			Сформулируйте основные свойства потоков требований

			Что является параметром потока?

			Что необходимо задать, чтобы определить поток требований?

		Дайте определение пуассоновского потока требований.      Приведите примеры.

		Как определить интервалы между требованиями в пуассоновских потоках?

		Какие преобразования потоков вы знаете?

 Простейшие потоки различных типов. Преобразование пуассоновских потоков. Регулярные потоки требований. 

	Дайте определение потока требований с возможной неординарностью

	Дайте определение потока требований с возможной нестационарностью

	Дайте определение потока требований с возможным последействием

	Какой поток называется регулярным?

	

Тема 3. Марковские случайные процессы. 



Цепи Маркова. Вероятности переходов и состояний. Классификация состояний. Эргодическая теорема. Финальные вероятности. Понятие о Марковском процессе. Уравнения Колмогорова. Процессы гибели и рождения.

Изучив данную тему, студент должен:

	знать  основные методы определения вероятностей перехода системы из одного состояния в другое в процессе функционирования системы;   

	уметь описывать функционирование системы с помощью Марковских цепей и процессов.

	При изучении темы необходимо:

читать пособия:[10] Таха Х. Введение в исследование операций. т.1, 2 – М.: Мир, 1985; [12] Общий курс высшей математики для экономистов: /учебник/ под ред. В. И. Ермакова. – М.:ИНФРА– М, 2001. 656 с. (серия «Высшее образование»); [13] Красс М.С., Чупрынов Б.П.. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учеб. – 2-е издание, исправленное – М.: Дело, 2001. – 688с, Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1980;

	акцентировать внимание на следующих понятиях: вероятности переходов и состояний, стохастическая матрица, цепь Маркова, существенное состояние, достижимое состояний, сообщающееся состояния, финальные вероятности, процесс гибели и рождения. 

	

	Контрольные вопросы и задания

	

	Цепи Маркова. Вероятности переходов и состояний.

	Дайте определение цепи Маркова.

	Какая матрица называется стохастической?

		Приведите пример функционирования системы, которое может быть описано с помощью цепей Маркова.

		Запишите формулу для определения вероятности перехода из одного состояния в другое за 3 шага.

			Что определяет начальное состояние системы?

		Запишите формулу для определения вероятности перехода из одного состояния в другое за 3 шага с учетом начального состояния системы.

 Классификация состояний. Эргодическая теорема. Финальные вероятности.

	Дайте определение существенных состояний.

	Какая цепь называется называется неразложимой?

	Приведите пример графа и матрицы Марковской цепи, все состояния которой несущественны.

	Сформулируйте эргодическую теорему Маркова.

	Сформулируйте определение Марковского процесса.

 Понятие о Марковском процессе. Уравнения Колмогорова. Процессы гибели и рождения.

	Чем отличается Марковская цепь от Марковского процесса?

		Сформулируйте основные свойства стохастической матрицы, описывающей марковский процесс функционирования некоторой системы.

		Что называется процессом гибели и рождения?

		Какой процесс называется процессом чистого рождения?

		Запишите формулу для определения вероятности состояний для процессов гибели и рождения.

		Каким свойством обладает процесс, описывающий явление типа «взрыва»?

		Запишите формулу определения финальных вероятностей в случае, когда множество состояний конечно.

	

 Тема 4. Теория массового обслуживания



Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания. Вероятности состояний. Простейшие схемы массового обслуживания и их характеристики. Системы массового обслуживания с приоритетами. Тандем очередей. Анализ очередей с помощью цепей Маркова.  

Изучив данную тему, студент должен:

	знать основные способы описания функционирования различных систем массового обслуживания;

	уметь  строить математические модели  массового обслуживания  и определять основные характеристики функционирования различных систем массового обслуживания.

	При изучении темы необходимо:

читать [14]В. П. Чернов и в. Б. Ивановский «Теория массового обслуживания», высшееобразование, уч. пособие, 2000г. [11] Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Высшая школа, 2001. 

	акцентировать внимание на следующих понятиях:  узел обслуживания, накопитель, входящий и выходящий потоки требований, загрузка системы, многофазные системы массового обслуживания.

Контрольные вопросы и задания

	

	 Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания. Вероятности состояний. Простейшие схемы массового обслуживания и их характеристики.

	Дайте определение системы массового обслуживания с накопителем.

	Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с накопителем.

	Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с накопителем.

	Дайте определение системы массового обслуживания с отказами.

	Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с отказами.

	Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с отказами.

	Докажите, что поток требований, выходящий из системы массового обслуживания с ожиданием, при условии постоянной занятости всех узлов является пуассоновским.

	Дайте определение системы массового обслуживания с ограниченным накопителем.

	Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с ограниченным  накопителем.

	Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с ограниченным  накопителем.

	Обоснуйте утверждение, что функционирование системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания является Марковским процессом.

	

	Список литературы

Основная

Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980, 1984, 1988.

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1984.

Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров Ю.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: Наука, 1987.

Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1986.

Кудрявцев  Л.Д. Курс математического анализа. - М.: Наука, Высшая школа, 1981. - Т. 1, 2.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1987.

Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. /Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981, 1986.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. /Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. - М.: Наука, 1981, 1986.

Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1980.

Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1, 2–М.: Мир, 1985.

Вентцель Е. С. Исследование операций.-М.: Высшая школа, 2001. 

Общий курс высшей математики для экономистов. (учебник/ под ред. В. И. Ермакова. – М.:ИНФРА– М,2001. – 656 с. (серия «Высшее образование»). 

Красс М.С., Чупрынов Б.П.. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учеб. – 2-е издание, исправленное – М.: Дело, 2001. – 688 с. 



Дополнительная



Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. Высшая математика в     упражнениях и задачах: 2 ч. - М.: Высшая школа, 1986 - Ч. 1, 2.



Печатные рукописные указания, рекомендации, инструкции по изучению высшей математики к практическим занятиям



20. Бреславцева И.В., Романенко Г.Н. Задания к самостоятельной работе по теме «Производная и ее приложения». - НГТУ, 1998.1/2 (обеспеченность студентов).

	21. Безуглов А.М., Бреславцева И.В., Лукьянова Г.В..Задачи по высшей математике к типовому расчету «Теория вероятностей». - НГТУ, 1994. 



 Глоссарий

Аналогия - суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов.

Гипотеза - определенные предсказания, предположения, основанные на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок.

Граф модели - структурная схема модели, представляющая собой направленный граф.

Заявка - требование какого-либо обслуживания, выполняемого в течение некоторого промежутка времени.

Модель - условный образ объекта исследования, конструируемый исследователем так, чтобы отобразить характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, параметры), существенные для исследования. 

Моделирование - метод исследования объектов, процессов или явлений на их моделях, построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений и конструируемых объектов для определения или улучшения их характеристик, рационализации способов их построения, управления ими и т.п. 

Обслуживающий прибор - устройство, реализующее процесс обслуживания заявки.

            Объект (лат. objectum - предмет) - все то, на что направлена человеческая деятельность.

Очередь - узел, предназначенный для моделирования очередей заявок.

Параметр состояния узла - числовое поле узла модели, несущее информацию о текущем состоянии узла.

Поток заявок - процесс перемещения заявок от одного обслуживающего прибора к другому.

Процесс – это  устойчивая,  целенаправленная  совокупность  взаимосвязанных  видов  деятельности,  которая  по  определенной  технологии  преобразует  входы  в  выходы,  представляющие  ценность  для  потребителя.

Ресурс - исчисляемые в целых единицах объекты, необходимые транзакту для дальнейшего обслуживания в модели.

             Система — это совокупность объектов, например людей или механизмов, функционирующих и взаимодействующих друг с другом для достижения определенной цели.

Система массового обслуживания - система, в составе которой можно выделить обслуживающие приборы и потоки заявок.

Узел - центр обслуживания транзактов.

Эксперимент - процедура организации наблюдений каких-то явлений, которые осуществляют в условиях, близких к естественным, либо имитируют их.







Учебно-методическое издание 



Методические указания 

по изучению дисциплины

«Специальные главы математики

 (Исследование операций)»





Составитель: Бреславцева И.В.



Редактор   Т.П. Дмитриева 

Темплан 2007 г. Подписано в печать _____(дата). 

Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Ризография.

Усл.-печ.л.        Уч.-изд. л. 0.75  Тираж  50



Южно-Российский государственный технический университет

Адрес ун-та: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132

Шахтинский институт (филиал) ЮРГТУ (НПИ)

Адрес ин-та: 346500, г. Шахты, пл. Ленина, 1.

















17