Основы расчёта оболочек

Омский государственный технический университет



Кафедра “Авиа- и ракетостроение”

Специальность 160801 - “Ракетостроение”











Курсовая работа

по дисциплине

“Строительная механика летательных аппаратов”







Основы расчёта оболочек

























Омск 2005

	
Содержание



		Расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами

		Исследование напряжённо-деформированного состояния полусферической оболочки, заполненной жидкостью

		Исследование напряжённо-деформированного состояния 	сферической оболочки, заполненной жидкостью	

		Расчёт сферического топливного бака с опорой по экватору

	5.	Расчёт бака на прочность

	Список литературы

	


1. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ ШПАНГОУТАМИ



Условие задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочку постоянной толщины , радиуса , подкрепленную шпангоутами, равномерно расположенными по её длине. Сечение шпангоута: . Оболочка нагружена избыточным давлением  (рис.1).

Цель расчета. Определить минимальное расстояние между шпангоутами , которое позволяет исключить взаимное влияние на оболочку двух соседних шпангоутов.













 







Рис.1. Расчетная схема



Исходные данные

Погонная нагрузка	 МПа;

Радиус оболочки	  м;

Толщина оболочки	  м;

Ширина шпангоута	 , м;

Толщина шпангоута	 , м;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

коэффициент Пуассона ;

модуль Юнга 



Выполнение расчёта



Расчётная схема 1. Шпангоуты абсолютно жёсткие

Определим цилиндрическую жёсткость оболочки  по формуле:



;





Вычислим коэффициент затухания  гармонической функции по формуле:



;





Определим силу взаимодействия  между шпангоутами и оболочкой:









Определим перерезывающую силу  на краю оболочки:


 





Определим погонный изгибающий момент  в месте установки шпангоута:



 





Погонный изгибающий момент  по длине оболочки, затухающий по периодическому закону, вычислим по следующей формуле:









где - число расчётных точек на всей области существования функции . 

Принимаем .

Так как область существования гармонической функции  определяется условием , то находим шаг вычислений  момента  из выражения:



;



Результаты расчёта заносим в таблицу 1 и вычерчиваем график функции  (рис.2, рис.3).

С использованием графика  определяем координату  второй точки пересечения графика функции  с осью абсцисс и находим минимальное расстояние между шпангоутами :



 







Расчётная схема 2. Расчёт подкреплённой оболочки с податливыми (упругими) шпангоутами

Найдём площадь поперечного сечения шпангоута :









Определим коэффициент податливости шпангоута :









Погонный изгибающий момент по длине оболочки  с учётом податливости шпангоута:






Результаты вычислений заносим в таблицу 1 и строим график функции , совмещённый с графиком  (рис.2, рис.3).











Определим в процентах снижение величины изгибающего момента  при учёте податливости шпангоута: 



; 




Таблица 1





2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ



Условие задачи: Тонкостенный сосуд (рис.1), выполненный в виде полусферы, частично заполнен жидкостью. Закрепление оболочки по диаметру окружности – свободное. 


Цель расчета: 

1. Построить эпюры погонных меридиональных  и кольцевых усилий.

2. Определить толщину стенки оболочки, без учёта её собственного веса.





Исходные данные:



Радиус сферы:  м;

Угол зеркала жидкости: ;

Плотность жидкости (горючее):;

Коэффициент безопасности ;

Материал оболочки:

Марка 	ВТ6С (О);

предел прочности .


Выполнение расчёта



1. Расчёт участка оболочки над уровнем жидкости 

Рассмотрим участок оболочки  (рис. 1). На расстоянии  от полюса  отсекаем часть оболочки нормальным коническим сечением с углом широты  (рис. 2).

1.1 Определяем границы участка BC: .

1.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:



,



где - вес жидкости, заполняющей полусферу;  - координаты расчётного сечения; - меридиональная погонная сила.



 

1.3 Определяем высоту столба жидкости в полусферической оболочке:







1.4 Находим объём шарового сегмента, заполненного жидкостью:






1.5 Вычисляем вес жидкости по формуле:







1.6 Определяем текущий радиус кольцевого сечения оболочки:







1.7 Находим погонное меридиональное усилие  из уравнения равновесия отсечённой части оболочки:



.

	

	1.8 Определяем погонное кольцевое усилие  для участка , используя уравнение Лапласа:

	

	,

	где ,  – главные радиусы кривизны расчётного сечения оболочки;

	 – интенсивность внешней нагрузки на стенку в расчётном сечении оболочки.

	Для сферы R1 = R2 и для участка   = -.

	Результаты расчёта заносим в таблицу 1 при условии .


Таблица 1

	№ точки

	, град. 

	, Н/м

	, Н/м

	1

	90

	1035

	-1035

	2

	87

	1037

	-1037

	3

	84

	1046

	-1046

	4

	81

	1061

	-1061

	5

	78

	1081

	-1081

	6

	75

	1109

	-1109

	7

	72

	1144

	-1144

	8

	69

	1187

	-1187

	9

	66

	1240

	-1240

	10

	63

	1303

	-1303

	11

	60

	1380

	-1380






2. Расчёт участка оболочки под уровнем жидкости

	Рассмотрим участок оболочки  (рис.1). Построим нормальное коническое сечение на расстоянии  от полюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты 

	

	

	

	2.1 Определим границы участка : .

2.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:

,

	

	где - вес жидкости, заключённой в шаровом сегменте высотой ; - давление жидкости в расчётном сечении; - площадь поперечного сечения оболочки на уровне ; - радиус поперечного сечения оболочки на уровне .

2.3 Определяем составляющие уравнения равновесия:



Объём шарового сегмента: 



,



где .

Вес жидкости: .

	Давление жидкости на уровне  от зеркала жидкости:

	.



Площадь поперечного сечения 



, 



где .

Значения составляющих уравнения равновесия заносим в таблицу 2.



Таблица 2

	№ точки

	, град.

	Vшс, м3

	G, Н

	q, Па

	S, м2

	r, м

	1

	60

	0,932

	7313

	0

	3,443

	0,974

	2

	54

	0,656

	5145

	775,06

	3,217

	0,910

	3

	48

	0,436

	3419

	1493

	2,955

	0,836

	4

	42

	0,270

	2118

	2147

	2,661

	0,753

	5

	36

	0,153

	1199

	2728

	2,337

	0,661

	6

	30

	0,077

	601,96

	3232

	1,988

	0,563

	7

	24

	0,032

	254,83

	3651

	1,617

	0,458

	8

	18

	0,011

	82,72

	3982

	1,229

	0,348

	9

	12

	0,00212

	16,64

	4222

	0,827

	0,234

	10

	6

	0,000134

	1,05

	4366

	0,416

	0,118

	11

	0

	0

	0

	4415

	0

	0

	

	2.4 Подставим найденные значения  в уравнение равновесия и определим меридиональное  усилие 

	

	: .

	

	2.5 Получим выражение для погонного кольцевого усилия  из уравнения Лапласа при 

	

	R1 = R2 = R,

	.

	

	Результаты расчёта заносим в таблицу 3 при условии .



Таблица 3

	№ точки

	φ, град.

	, Н/м

	,Н/м

	1

	60

	1380

	-1380

	2

	54

	1548

	-676,2

	3

	48

	1716

	-35,93

	4

	42

	1877

	538,4

	5

	36

	2026

	1,044

	6

	30

	2158

	1477

	7

	24

	2272

	1836

	8

	18

	2363

	2118

	9

	12

	2429

	2320

	10

	6

	2470

	2442

	11

	0

	2483

	2483



По данным таблиц строим эпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4.

	С помощью эпюры определяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия 

	

	.



3. Определение толщины стенки оболочки

	3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки:

	

	



3.2 Определим толщину стенки:



,

	

	




3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ



Условие задачи: Построить эпюры безмоментных напряжений  и  для сферического сосуда (рис. 1), полностью заполненного жидкостью.

Исходные данные:

Радиус оболочки:  м;

Плотность жидкости (окислитель):	 

;



Толщина стенки оболочки: 



.


 

Рис. 1. Схема оболочки



Выполнение расчёта



1. Выводы расчётных зависимостей для верхней полусферы

В верхней полусфере отсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом  при вершине конуса и составим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2):



,



где  – равнодействующая сил давления жидкости  на стенку оболочки в проекции на 

вертикальную ось.

Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось определим по формуле:



,



где – объём цилиндра; – объём шарового сегмента, рис. 2.

 

,



где - высота столба жидкости в расчётном сечении.



 

Рис. 2. Расчётная схема



Получаем:



.



Из уравнения равновесия после подстановки выражения для силы  имеем:

.



Отсюда меридиональное напряжение:



.


Определим кольцевое напряжение . Для этого обратимся к уравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R1=R2=R::



,



где  - давление жидкости в рассматриваемом сечении оболочки.

После подстановки в уравнение Лапласа  получаем:



.



Принимая угол  в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1. 



Таблица 1

, град.

л, м3

, м3

, Н

, Па

, Па

, Па

0

0

0

0

0

0

0

10

0,002049

0,001027

11,445

191,409

2,442

7,350

20

0,032

0,016

174,869

759,818

9,616

2,925

30

0,15

0,077

818,854

1688

2,107

6,528

40

0,432

0,226

2314

2948

3,603

1,148

50

0,938

0,503

4870

4501

5,338

1,768

60

1,677

0,932

8349

6300

7,161

2,506

70

2,599

1,512

12170

8290

8,869

3,354

80

3,585

2,213

15360

10410

1,019

4,307

90

4,473

2,982

16700

12600

1,074

5,371


2. Выводы расчётных зависимостей для нижней полусферы





Рис. 3. Расчётная схема



Отсечём нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шарового сегмента  и равнодействующая от гидростатического давления жидкости , находящейся выше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры N и результирующим меридиональным усилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контуру шарового сегмента в сечении . Отсюда получим следующее уравнение равновесия:



,



где  - реакция опоры, равная весу жидкости в объёме шара.



Н;



 - гидростатическое давление жидкости;

 - площадь поперечного сечения;

 - вес жидкости в объёме шарового сегмента.

После подстановки получим:





Отсюда имеем:



.



Для нижней части полусферы  определяем из уравнения Лапласа:



, где .



Отсюда:



.



Принимая угол  в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2. 



Таблица 2

, град.

, Па

S, м2

, Н

, Па

, Па

90

12600

3,976

33410

1,074

5,371

80

14790

3,856

24790

9,958

6,568

70

16910

3,511

16940

6,922

7,957

60

18910

2,982

10440

-1,908

9,667

50

20700

2,333

5633

-1,411

1,2

40

22260

1,643

2529

-4,314

1,57

30

23520

0,994

859,303

-1,095

2,298

20

24450

0,465

178,593

-3,038

4,288

10

25020

0,12

11,508

-1,361

1,489

0

25210

0

0

-1,362

1,362



Выводы



В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения . В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме.




Рис. 4. Эпюра напряжений  и 



4. РАСЧЁТ СФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ



Условие задачи: Сферический топливный бак с опорой по экватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис. 2).

Цель расчёта: Определить толщину стенки и массу конструкции бака при заданных размерах и нагрузке.






Исходные данные:

Радиус оболочки:  м;

Плотность жидкости (горючее):	;

Давление наддува: ;

Уровень жидкости: ;

Коэффициент осевой перегрузки: ;

Коэффициент безопасности: ;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

предел прочности ;

плотность .

Примечание: Для упрощения принимаем: . 

Выполнение расчёта

1. Расчёт оболочки над опорой 

Формулы для расчёта погонных меридиональных  и кольцевых  усилий над опорой  от действия давления жидкости и давления наддува имеют вид:


; 

	,

	

	где  – угол, отсчитываемый в плоскости меридиана от верхнего полюса;

	 – ускорение свободного падения.



Принимая угол  в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1. 



Таблица 1

	, град

	, Н/м

	, Н/м

	0

	140600

	140600

	10

	140800

	141000

	20

	141100

	142200

	30

	141800

	144100

	40

	142600

	146800

	50

	143500

	150200

	60

	144500

	154100

	70

	145400

	158700

	80

	146100

	163900

	90

	146400

	169600



2. Расчёт оболочки под опорой

	Выведем расчётные формулы для погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости и давления наддува под опорой топливного бака . Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сечения оболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось . Получим:

	
,

	

	где  – давление в рассматриваемом сечении; S – площадь расчётного поперечного сечения; 

	– вес жидкости в шаровом сегменте, отсечённом нормальным коническим сечением с углом ; 

	– равнодействующая погонных меридиональных усилий  в проекции на ось .

	Давление  в произвольном сечении оболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости над рассматриваемым сечением:

	

	,

	

	где h – высота столба жидкости от зеркала жидкости до расчётного сечения.

	

	,

	,

	

	где  - радиус рассматриваемого сечения.

	Определим вес жидкости в шаровом сегменте: ,

	где – объём шарового сегмента, отсечённого нормальным коническим сечением с углом .

	

	.

	

	Спроектируем погонные меридиональные усилия  в расчётном сечении на вертикальную ось : .

	Величина равнодействующей  от распределённых по кольцу радиуса r меридиональных сил  определяется по формуле:

	

	.

	

	Окончательно получаем .

Принимая угол  в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2. 

Таблица 2

	, град

	, МПа

	S, м2

	,

	, Н

	90

	0,2809

	3,976

	2,982

	81910

	80

	0,2863

	3,856

	2,213

	60790

	70

	0,2915

	3,511

	1,512

	41530

	60

	0,2964

	2,982

	0,932

	25600

	50

	0,3008

	2,333

	0,503

	13810

	40

	0,3046

	1,643

	0,226

	6201

	30

	0,3077

	0,994

	0,077

	2107

	20

	0,3099

	0,465

	0,016

	437,881

	10

	0,3113

	0,120

	0,001027

	28,215

	0

	0,3118

	0

	0

	0

 



















	

	Подставляем полученные выражения , S, ,  в уравнение равновесия и преобразовываем.

	Получаем формулу для вычисления погонных меридиональных усилий: 

	

	.

	
Подставляя полученное выражение  в уравнение Лапласа, определим погонные кольцевые усилия . Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид:

	

	,

	

	где , – главные радиусы кривизны оболочки; – давление в рассматриваемом сечении.

	Для сферического бака R1 = R2 = R, поэтому уравнение Лапласа принимает вид:

	

	.

	

	Подставив выражение  в уравнение Лапласа и проведя преобразования, получим формулу для вычисления :

	

	.

	

Принимая угол  в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 3. 



	Таблица 3

	, град

	, Н/м

	, Н/м

	90

	169600

	146400

	80

	169900

	152200

	70

	170600

	157300

	60

	171500

	161900

	50

	172500

	165900

	40

	173400

	169200

	30

	174300

	171900

	20

	174900

	173800

	10

	175300

	175000

	0

	175400

	175400

	

	Погонные усилия в сферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, в нижнем полюсе  = . Сравнивая результаты вычислений значений ,  на экваторе для участков над опорой и под опорой, делаем вывод: усилия ,  терпят разрыв.

	

	Определение толщины стенки бака

	

	Расчёт на прочность производим по максимальным погонным усилиям.

	Определяем напряжения в нижнем полюсе бака: , 

	где – толщина стенки бака.

	

	Подставив в эти формулы выражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим: 

	

	.

	

	Минимальную толщину оболочки можно получить по формуле:

	

	,

	

	где  – допускаемые напряжения.

	Определяем массу оболочки бака:

	,

	

	где  – площадь поверхности оболочки;

	– плотность материала оболочки.

	Построим эпюру погонных усилий , (рис. 3):

	

	

Рис. 3. Эпюра погонных усилий ,



5. РАСЧЁТ БАКА НА ПРОЧНОСТЬ



Условие задачи: Цилиндрический бак с верхним полуэллиптическим и нижним полусферическими днищами (рис.1) находится под действием давления наддува  и заполнен жидкостью до уровня H.

Цель расчёта: 

1. Определить величину безмоментных напряжений ;

2. Определить толщину обечайки и днищ бака.

Исходные данные:

Радиус бака: 		 м;

Размеры эллиптического днища: 	

 



Высота столба жидкости: 	; 

Плотность жидкости (окислитель):	 ;

Давление наддува: 	;

Коэффициент безопасности: 	;

Материал оболочки:

марка 		ВТ6С (О);

предел прочности 	;



.



Выполнение расчёта



Участок верхнего эллиптического днища



	

Рис. 2. Схема эллиптического днища



В днище нормальным коническим сечением I – I отсечём верхнюю часть оболочки и составим для неё уравнение равновесия. Выбираем оси координат так, как показано на рис. 2. Из уравнения равновесия и уравнения Лапласа получаем выражения для  в расчётном сечении эллиптического днища в виде:



 ,



где , – радиусы кривизны рассматриваемого сечения оболочки,



,

,



где x, y – координаты точки в рассматриваемом сечении оболочки.

Для построения эпюр задаёмся значениями x. Координату y определяем из уравнения эллипса . Отсюда получаем 



.



Меньшую полуось b разбиваем на 5 равных частей, для каждого сечения производим расчёты, результаты расчётов заносим в таблицу 1.


Таблица 1

№ сечения

x, м

y, м

R1, м

R2, м

, МПа

, МПа

1

0

1,125

0,18

1,125





2

0,09

1,102

0,24

1,238





3

0,18

1,031

0,449

1,526





4

0,27

0,9

0,884

1,913





5

0,36

0,675

1,639

2,349





6

0,45

0

2,813

2,813







Участок цилиндра над зеркалом жидкости



 

Рис. 3. Сечение II – II



Нормальным сечением к оси бака II – II отсечём часть цилиндра, расположенную над зеркалом жидкости (рис. 3). Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной части оболочки в проекции на вертикальную ось:



.


Отсюда меридиональное напряжение: 



 Па.

Для цилиндра ; , поэтому из уравнения Лапласа получаем кольцевое напряжение: 



 Па.



Участок цилиндра под зеркалом жидкости





Рис. 4. Сечение III – III



Для сечения III – III расчётная схема (рис. 4) будет отличаться от показанной на рис. 3 тем, что здесь необходимо дополнительно учесть давление на стенку цилиндрической части бака со стороны жидкости.

Уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось бака остаётся без изменений:



.

Поэтому меридиональное напряжение не меняется:



Па.



Окружное напряжение определяем из уравнения Лапласа



,



где Па.

	Отсюда  Па.

	

Участок нижнего полусферического днища



	 

Рис. 5. Сечение IV – IV

	

Для нижнего днища нормальным коническим сечением IV – IV с углом  при вершине отсечём нижнюю часть сферической оболочки (рис. 5). Составим для неё уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось оболочки:

,

где r – радиус кольцевого сечения оболочки, ;

S – площадь поперечного сечения, ;

 - давление в расчётном сечении оболочки, ;

G – вес жидкости в объёме шарового сегмента, ;

Vc – объём шарового сегмента, .

Подставляя значения r, S, , G в уравнение равновесия определяем меридиональное напряжение :







Уравнение Лапласа для сферической оболочки имеет вид:



.



Подставляя в уравнение Лапласа , находим кольцевое напряжение  в сечении IV – IV:



.



Построим таблицу 2 значений  и в зависимости от угла  в диапазоне от 0˚ до 90˚ с шагом в 15˚: 


Таблица 2

, град

, МПа

, МПа

0





15





30





45





60





75





90





	

По полученным напряжениям в характерных сечениях бака строим эпюры напряжений  и  (рис. 6).

	

Определение толщины стенок бака



Для определения толщины днищ и обечайки бака используем следующее условие:



σmax ≤ [σ], где [σ] = Па



Толщина стенки .

Получаем: для верхнего днища  м;

для обечайки бака м;

для нижнего днища м.

Из расчётов видно, что δmax = δ2 = 0,518 мм – окончательная толщина стенки бака. По расчётной толщине стенки подбираем толщину листа согласно ГОСТ 22178 – 76:

	

	.

	

	

	Рис.6. Эпюры безмоментных напряжений  и 


Список литературы



1. Расчёт безмоментных оболочек: Методические указания по дисциплине “Основы расчёта оболочек” для специальностей: 130600-Ракетостроение, 130400-Ракетные двигатели/ Сост. Л.И. Гречух, И. Н. Гречух.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002.- 32 с.