Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра автоматизации технологических процессов







Задание на контрольную работу

По дисциплине “Автоматизированное управление дискретными процессами” для студентов заочной формы обучения специальности 21.01 — “Автоматика и управление в технических системах” на тему: “Синтез управляющего автомата модели LEGO — “транспортная тележка” и моделирование её движения вдоль трассы”







Выдано:

Аспирантом каф. АПП  06.09.99          /Напылов Р.Н./



      студенту гр. ____________        /____________/































Краснодар 1999

Исходные данные

Управляемый процесс — движение модели LEGO транспортной тележки вдоль заданной траектории в виде белой полосы. Ориентация тележки относительно трассы регулируется датчиками контраста.

Условная схема транспортной тележки приводится на рисунке 1.1. Тележка движется за счёт заднего привода, создающего постоянное тягловое усилие . Вращение переднего колеса тележки осуществляется с помощью реверсивного поворотного двигателя, отрабатывающего с постоянной угловой скоростью , где  — угол поворота переднего колеса (рисунок 1.1)

Транспортная тележка, как объект управления имеет систему дискретных входных и выходных сигналов, структурно представленную на рисунке 1.2. Кодировка указанных сигналов следующая:



Таблица 1.1 – Кодировка управляющих сигналов

Разряд сигнала

X



Управляющее действие

X0

1 – двигатель тележки включен

0 – двигатель тележки выключен

X1

	1 – поворотный двигатель отрабатывает влево

0 – двигатель влево не отрабатывает

X2

1 – поворотный двигатель отрабатывает вправо

0 – двигатель вправо не отрабатывает





Таблица 1.2 – Кодировка выходных сигналов

Разряд сигнала

Y



Событие

Y0

1 – левый датчик над светлой точкой трассы

0 – левый датчик над тёмной точкой трассы

Y1

	1 – правый датчик над светлой точкой трассы

0 – правый датчик над тёмной точкой трассы





Д

ц

Действие на трассу

Д — датчики контраста;

ц — центр масс тележки;

 — вектор тяглового усилия двигателя;

 — вектор приведенной силы трения;

 — вектор реакции трассы (опоры) на переднее колесо;

 — центростремительная реакция трассы;

 — упрощенная габаритная определяющая;

 — расстояние между датчиками контраста.





Рисунок 1.1 – Динамическая схема транспортной тележки







 — трёхразрядный управляющий сигнал;

 — двухразрядный выходной сигнал.



Рисунок 1.2 – Структурная схема управления транспортной тележкой

Тележка

Автомат

Сигналы Y используются в качестве обратной связи управляющего автомата. По изменению этих сигналов возможно судить о текущем положении тележки относительно белой полосы трассы. Сигналы X вырабатываются управляющим автоматом в зависимости от поведения во времени сигналов Y так, что бы обеспечить совпадение траекторий движения тележки и трассы.

Решение о подачи питания на задний привод тележки и, расположенный на ней, управляющий автомат принимает внешний оператор. Поэтому, исходным состоянием тележки является активность двигателя привода. В этом случае задача управляющего автомата состоит только в обеспечении движения тележки вдоль трассы.

Допущения, делаемые при рассмотрении управляемой тележки в динамике:

тягловое усилие  постоянное;

приведённая сила трения  пропорциональна линейной скорости движения тележки;

сила трения , подменяющая реакцию  в момент, когда  (переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе тележки;

сила трения , подменяющая реакцию  в момент, когда  (тележку заносит), также постоянна и пропорциональна массе тележки;

масса тележки  и её момент инерции  относительно центра масс связаны зависимостью: , как если бы вся масса тележки была сосредоточена в стержне  (рисунок 1.1).

Основное задание

Сформировать модель управляющего автомата в форме таблицы переходов и выходов автомата Милли, предварительно составив список его возможных состояний и перекодировав входной алфавит автомата во множество многозначной логики (Y - четырёхзначное);

Минимизировать, в случае возможности, таблицу переходов и выходов автомата Милли;

Составить алгебрологические выражения функции переходов и функции выходов минимизированного автомата, используя только двоичное представление входных и выходных сигналов;

Минимизировать полученные функции;

По минимизированным логическим функциям зарисовать цифровую схему управляющего автомата (стандарт условного графического изображения логических элементов — Российский).





Дополнительное задание

Вывести модель динамики транспортной тележки. Положение центра масс тележки в плоской системе координат задавать вектором положения . Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором .

Список источников

Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое управление дискретными процессами. Модели, анализ, синтез. —   М.: Машиностроение, 1987. — 176 c.

Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский Г.М. Дискретная математика для инженеров. — М.: Энергоатомиздат,   1987. — 450 c.

Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование компьютеров в регулировании и управлении: Пер. с нем.—М.: Энергоатомиздат, 1990. — 176 с.: ил.

Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования микропроцессорных устройств автоматики. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 304 c.

Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. — Пер. c французского А.П. Сизова — М.: Машиностроение, 1986.

Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства сопряжения. Контролирующее и информационно-управляющие системы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В. Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. — М.: Высш. шк., 1986. — 383 c.: ил.

Фиртич В. Применение микропроцессоров в системах управления: Пер. с нем. — М.: Мир, 1984,—464 c., ил.

Решение основного задания

Выходной алфавит транспортной тележки является входным алфавитом управляющего автомата Y. Для возможности применения теории конечных автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии с таблицей 5.1.



Таблица 5.1 – Кодировка входного алфавита управляющего автомата

Y0

Y1

Y

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

2

3





При определении возможных состояний управляющего автомата будем руководствоваться правилом: — допустимо введение избыточных состояний, которые при последующей минимизации автомата исключаются; недопустим пропуск необходимого состояния, который уменьшает адаптированность автомата к внешним ситуациям.

Перечень возможных состояний автомата, отождествлённых с ситуационными событиями транспортной тележки, приводится ниже.



Таблица 5.2 – Перечень состояний управляющего автомата транспортной тележки

Код 
состояния S

Описание состояния

0

1



2



3

Исходное состояние неуправляемого движения;

Поворот вправо (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает вправо);

Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает влево);

Конфликт поворотов.



Для возможности формирования математической модели управляющего автомата рассмотрим описательный алгоритм управления транспортной тележки по состояниям:

В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием привода. Ни один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы. Поворотный двигатель остановлен;

При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста включается поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и далее следует движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки;

Как только левый датчик контраста “сходит” с белой полосы поворотный двигатель останавливается в текущем состоянии, а привод вновь запускается;

При возникновении белой полосы под правым датчиком — поведение транспортной тележки аналогично;

Возникновение белой полосы под правым и левым датчиком свидетельствует о том, что тележка движется перпендикулярно трассе. Это сбойная ситуация, при которой следует отключение привода и блокировка управляющего автомата. Нормальный ход работы автомата может быть восстановлен только “сбросом”.



Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления модели автомата Милли необходимо построить три таблицы переходов и выходов. Указанные таблицы, эквивалентные описательному алгоритму управления, приводятся ниже.



Таблица 5.3 – Таблицы переходов и выходов управляющего автомата



Код

Si

Для X0

Для X1

Для X2



y

y

y



0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0





	

	





















Код

Si

Для X0

Для X1

Для X2



y

y

y



0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

1





	

	

















2





	

	

















3





	

	



















Как видно, состояния S0, S1, S2 явно эквивалентны, причём для каждого из выходов X. Представляется возможным эти эквивалентные состояния обозначить одним состоянием S0 – состояние управления тележкой. В этом случае, состояние блокировки S3 удобно переобозначить как S1 – состояние блокировки автомата. В результате получаем модель несократимого автомата Милли.



Таблица 5.4 – Таблицы переходов и выходов несократимого автомата



Код

Si

Для X0

Для X1

Для X2



y

y

y



0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0





	

	

















1





	

	





















Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным сигналом S, а также учитывая кодировку входных сигналов Y (табл. 5.1), составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата,  непосредственно по таблице 5.4 и введя обозначения: S[j] — текущий сигнал состояния, S[j+1] — сигнал состояний на следующем такте автомата.

Судя по таблице 5.5, минимизации поддаётся только функция переходов . Минимизируем её методом карт Карно (см. рис. 5.1).



Таблица 5.5 – Таблица истинности комбинационной схемы автомата

S[j]

0

0

0

0

1

1

1

1

Y0

0

0

1

1

0

0

1

1

Y1

0

1

0

1

0

1

0

1

S[j+1]

0

0

0

1

1

1

1

1

X0

1

0

0

0

0

0

0

0

X1

0

0

1

0

0

0

0

0

X2

0

1

0

0

0

0

0

0





Рисунок 5.1 – Минимизация функции переходов методом карт Карно






Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы автомата.

Функция переходов:

	.	(5.1)

Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:

	.	(5.2)

Для удобства реализации комбинационной схемы представим рассматриваемые функции в базисе “ИЛИ-НЕ”:

	.	(5.3)



На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации управляющего автомата транспортной тележки, представленную на рисунке 5.2.

Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит элементы памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой. Такой вариант реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно из которых является абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние блокировки есть абсолютно устойчивое состояние. Если комбинационная схема сформируем это состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается реакция выходов X на изменение входных сигналов Y. Выход из этого устойчивого состояния возможен только принудительным обнулением линии S единичным уровнем на линии “Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в рассматриваемом автомате не возникает.



1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

“Сброс”

Рисунок 5.2 – Цифровая схема управляющего автомата транспортной тележки

Решение дополнительного задания

Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к центру масс тележки  и вращающий момент , относительно того же центра масс.

Как видно из рисунка 1.1 вращающий момент определяется только силой реакции опоры переднего колеса  —

	,	(6.1)

 — угол поворота переднего колеса.



Зная из рисунка, что

	,	(6.2)

получим:

	.	(6.3)

Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки влево, отрицательные — вправо.

Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:

	.	(6.4)

Для нашего случая важно знать направление действия силы , которое зависит от направлений и величин составляющих рассматриваемой суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения габаритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором:

	,	(6.5)

 — вектор, задающий координаты центра масс тележки;

 — вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги ;

 — габаритная определяющая транспортной тележки.



Вектор  представляется в базисе вектора  следующим образом:

	,	(6.6)

 — единичный вектор, ортогональный вектору ,

	или

	.	(6.7)

Если  имеет координаты , то  имеет координаты . Тогда вектор , выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид:

	,	(6.8)

 — матрица (оператор) поворота вектора  на угол .

Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что

	.	(6.9)

Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выражения для векторов силы тяги и приведённой силы трения, а именно:

	,	(6.10)

	.	(6.11)

Центростремительная реакция трассы  определяется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс, возникающей при закруглении траектории движения:

	,	(6.12)

 — центростремительное ускорение.



Если траектория движения центра масс задаётся вектором , то

	,	(6.13)

 — вектор скорости центра масс;

 — вектор полного ускорения;

 — оператор скалярного произведения векторов.

Это физический факт. Вывод его опускаем.



Центр масс тележки смещается под действием результирующей силы , при этом справедливо:

	.	(6.14)

Точка приложения силы тяги смещается под действием вращающего момента , за счёт которого ей придаётся угловое ускорение :

	,	(6.15)

 — момент инерции тележки относительно центра масс.

Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное  в скалярной форме:

	,

	а затем и в векторной:

	,	(6.16)

 — векторная скорость изменения ориентации габаритной определяющей.

С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть выражен через полное ускорение вектора :

	,	(6.17)

 — вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяющей;

В результате имеем связь:

	.	(6.18)

Учитывая, что приведённая сила трения пропорциональна модулю скорости центра масс:

	,	(6.19)

 — коэффициент трения,

на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики транспортной тележки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.3), (6.4), (6.5), (6.9), (6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на основе: (6.3), (6.5), (6.18). Решением первого уравнения является зависимость траектории центра масс тележки от времени, решением второго — ориентация во времени вектора .

Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота  и четырёх начальных условиях типа:

	,	(6.20)

которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в начале координат, скорость тележки равна нулю (и поступательная и вращательная), тележка сориентирована вертикально по оси .

Для более детального учёта свойств транспортной тележки в динамики выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями сравнений в соответствии с допущениями, сформулированными в задании контрольной работы.