Основные принципы построения методики изучения стохастической линии в курсе математики основной школы

Содержание.



Введение

Глава 1

 Обзор научной, методической и научно-популярной литературы по теме

  исследования

 Анализ учебников и учебных пособий

 Основные принципы построения методики изучения стохастической линии в курсе математики основной школы




Введение



В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию. Сейчас без достаточно развитых представлений  о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей, невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе самом и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Мы должны научить жить наших детей в вероятностной ситуации, а это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Именно ориентация на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует  развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения, а значит, эта задача должна быть решена уже в школьном курсе математики.

Как известно, современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых методик, изменения в требованиях  к математической подготовке учащихся. И с этой точки зрения, когда речь идет о формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей.

Одновременно с этим само знакомство школьников с этой, очень своеобразной, областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным "да" и "нет" существует еще "быть может", причем это "быть может" поддается строгой количественной оценке, способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроках математики никак не связано с окружающим  миром, с повседневной жизнью. Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям учителей математики, в среднем звене школы заметно падение интереса к математике и связано это с тем, что у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены  между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и реальным миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности.

Как известно, опыт преподавания в школе основ теории вероятностей в период реформы 60-70 гг. на формально-логическом уровне дал в основном негативные результаты, что привело к изъятию этого раздела из школьных программ: материал оказался сложным, плохо усваивался учащимися. К тому же неоднократно проводимые исследования знаний учащихся старших математических классов показали, сколь мало эти знания способствуют развитию вероятностной интуиции и статистического мышления.

Однако совсем недавно было вновь принято решение ввести этот материал в курс математики основной школы. Внедрение вероятностно-статистической линии в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению оказались не готовы буквально все – от учителей математики до авторов учебников. Удивительно, но, обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.  

Как показывает анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, существуют проблемы как в вопросах изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе, так и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ теории вероятностей и статистики и его соответствия содержанию и требованиям государственного стандарта по математике.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:

необходимостью полноценного изучения важнейших элементов теории вероятностей и математической статистики в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала;

«новизной» изучаемого материала, который долгое время отсутствовал в курсе математики основной школы;

недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала в школьном курсе математики;

существованием проблем в вопросах изложения этого материала в различных учебных пособиях.

В связи с этим  для исследования была выбрана тема «Понятие вероятности и элементы статистики в основной школе».

Проблемой исследования является  поиск путей совершенствования методики изучения вероятностно-статистической линии в основной школе.

Объект исследования – процесс изучения элементов теории вероятностей и математической статистики в курсе математики основной школы.

Основные цели работы – изучить теоретические аспекты, разработать практические рекомендации по методике изучения стохастической линии в курсе математики основной школы, применить некоторые из них при изучении этого раздела школьниками, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанных практических рекомендаций.

Гипотеза: изучение вероятностно-статистической линии школьниками на основе разработанной методики способствует  полноценному и качественному усвоению этого достаточно сложного материала, развитию правильных представлений о данном разделе математики и умений применять полученные знания в практической жизни.

Гипотеза, проблема и цели исследования определяют следующие задачи: 

изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;

на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов стохастической линии в курсе математики основной школы;

на основе применения разработанных методических рекомендаций сделать выводы об их правильности и целесообразности; 

 на основе опытного преподавания проанализировать, как воспринимается этот материал учащимися: степень заинтересованности при изучении этого материала, уровень доступности, трудности, возникающие при изучении этого материала, качество усвоения.

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:

изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;

анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме;

опытное преподавание.

Основной опытно-экспериментальной базой является  9 класс средней школы № 37 города Кирова  с углубленным изучением отдельных предметов.


Глава 1



Обзор научной, методической и научно-популярной 

литературы по теме исследования.



Проанализируем основные научные источники по теории вероятностей и математической статистике и выявим, как отражены в них вопросы, отведенные для изучения в школьном курсе.

Число различных определений математической вероятности, предложенное теми или иными авторами научной литературы, очень велико. С другой стороны, каждое из них можно отнести к одной из 4 групп определений математической вероятности:

определения, сводящие понятие вероятности к понятию «равновозможности» как к более примитивному понятию, - классическое определение вероятности.

геометрическое определение вероятности.

определения, основанные на частоте появления события в длинной серии экспериментов, - статистическое определение вероятности.

аксиоматическое определение вероятности.

В научной литературе последовательность введения понятия вероятности различна. 

 Гмурман В.Е. в книге «Теория вероятностей и математическая статистика» рассматривает сначала классическое понятие вероятности, затем указывает его недостатки и вводит статистическое понятие вероятности и геометрическую вероятность. Далее он излагает  теоремы сложения и  умножения вероятностей и их следствия. Материал, посвященный статистике, содержит все понятия, касающиеся статистического распределения выборки, также рассматриваются понятия полигона и гистограммы частот.

Гнеденко Б.В. в книге «Курс теории вероятностей» тоже начинает введение в теорию вероятностей с классического определения. Позже, указывая его ограниченность, он вводит вначале геометрическое, а затем и статистическое определение вероятности. В более позднем издании в соавторстве с Хинчиным А.Я. в книге «Элементарное введение в теорию вероятностей» он использует только статистическое понятие вероятности.

Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. в книге «Введение в теорию вероятностей»  на простых примерах вводят основные понятия теории вероятностей. Первым рассматривается  классическое определение вероятности, вторым – статистическое.

Пугачев В.С. в книге с тем же названием за основное определение берет статистическое определение вероятности и использует только его.

В. Феллер  в книге «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» определяет вероятность через сумму вероятностей элементарных событий и дает статистическое понятие вероятности.

Вентцель Е.С. в книге «Теория вероятностей»  вначале вводит классическое определение вероятности. Далее, указывая недостаток такого толкования вероятности, вводится понятие частоты случайного события и на его основе дается статистическое определение вероятности. Также книга содержит сведения из области статистики. В частности, рассмотрены такие понятия, как статистическая совокупность, статистический (интервальный ряд), гистограмма.

Нетрудно заметить, что большинство авторов научной литературы, начинает излагать теорию вероятностей с классического определения вероятности. Я считаю, что это наиболее удобный путь введения понятия вероятности в высшей школе, так как он соответствует истории развития этого понятия и  наиболее прост. 

Завершая анализ научной литературы, хотелось бы отметить, что учебников для высшей школы, содержащих интересующий нас материал, существует достаточно много, но они не пригодны для среднего школьника, в силу сложности изложения темы. Поэтому главная проблема, стоящая перед учителями и авторами будущих учебников, состоит в том, что следует отобрать и сделать понятным для ученика обширный материал по теории вероятностей, которая преподается в вузе. 



Обратимся теперь к методическим источникам.

Поскольку вероятностно-статистическая линия была введена в школьный курс математики не так давно, то в настоящее время существуют проблемы не только с реализацией этого материала в школьных учебниках, но и с готовностью самих учителей математики преподавать этот материал. Об этом и говорит в статье  «О подготовке учителей к обучению школьников стохастике» Селютин В. Д. Автор считает, что школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей, поэтому учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся. Главным при изучении этой темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому начинать обучение желательно с тех задач, в которых статистические сведения заданы изначально и требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.

Пример. Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности (ц\га) картофеля в двух селах таковы: 

Село А: 180, 50, 60, 100, 170, 60, 150, 90, 120, 70, 60, 160, 90, 170, 90, 180, 160.

Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.

Какому из мест он отдаст предпочтение?

В условиях этой задачи критерием принятия решения должен служить разброс значений урожайности. В селе А разброс больше, чем в селе Б. В селе А размах – разность между самым наибольшим и самым наименьшим значениями урожайности равен 180-50=30, в селе Б эта разность равна 30. Средняя урожайность картофеля в первом селе немного выше, чем во втором. Но несмотря на это, в селе А климатические условия таковы, что высокоурожайные для картофеля годы сменяются низкоурожайными. Видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей её стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, ещё не имеющего опыта ведения приусадебного хозяйства. 

Владение искусством стохастических рассуждений – непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов, утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа не должен вызывать растерянности учителя. Особенность стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретации результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации.

Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковывать статистическую информацию. В конкретных ситуациях ему предстоит показать, что  определенно подобранные статистические показатели могут служить основой для получения ложных выводов о происходящих событиях в политической и экономической жизни общества. Развитие у будущих взрослых граждан критического мышления, умений понимать скрытый смысл того или иного сообщения является важнейшей задачей учителя при изучении стохастики.

Приступая к обучению школьников стохастике, учитель должен ясно представлять себе, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе,  видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастике в ряду других тем, знание итоговых требований с стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Еще одна статья этого автора «О формировании первоначальных стохастических представлений»  посвящена проблемам развития вероятностно-статистического мышления на первых этапах обучения. Селютин В. Д.  рассматривает трудности изучения и восприятия учащимися  этого материала и ставит вопрос о том, как, с помощью каких средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений у школьников. Автор предлагает стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование и рассматривает примеры их использования.

Пример. Учащиеся проводят в классе исследование на тему «Самый популярный певец». Для чего каждый ученик класса записывает на листочке бумаги фамилию эстрадного певца (певицы), который больше ему нравится, а кто-либо один собирает все эти листочки. Листочки раскладываются по группам, и подсчитывается их количество  в каждой группе. Полученные сведения оформляются в виде таблицы. А по ней естественно задать учащимся вопрос: «Можно ли судить по таблице, кто самый популярный певец?» Возможно, учащиеся ответят, что в разных странах свои популярные певцы. Тогда возникает другой вопрос: «Можно ли по этой таблице судить, кто самый популярный певец в нашей стране?» Выясняется, что и об этом по данной выборке бесспорного ответа дать нельзя. Таким образом, в сознание учащихся внедряется идея о том, что  вывод, сделанный на основе опыта, должен соответствовать выборке. 

В статье Бунимовича Е. А. «Вероятностно-статистическая линия в базовом курсе математики»  обоснована необходимость внедрения этой линии в школьный курс математики, ее значимость и важность для современного образования. Автор пишет о результатах проведенной экспериментальной работы по изучению вероятностных представлений школьников, на основании которых можно сделать вывод о том, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления и не избавляет даже от тривиальных вероятностных заблуждений и предрассудков. Поэтому нужен особый подход при изучении этой темы, который, в первую очередь, будет направлен на формирование жизненно необходимых представлений о вероятности и статистике.

Федосеев В. Н. в статье «Элементы теории вероятностей для 7-8 классов средней школы» излагает фрагменты курса «Элементы теории вероятностей», в котором рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В начале курса вводятся следующие понятия: испытание, единичное испытание, исходы испытаний, случайные исходы испытаний, множество исходов испытания. Примеры и задачи, используемые в курсе, касаются испытаний с небольшим числом случайных исходов. Множества исходов таких испытаний можно определить простым перебором или построить с помощью таблиц и деревьев исходов. Автор статьи соглашается с мнением известного американского математика В. Феллера о том, что изучение дискретных пространств элементарных событий позволяет без использования сложного математического аппарата ввести ученика  в круг основных идей теории вероятностей и её приложений, и на этой основе пытается построить изучение курса.

Гольдфаин И. И. в статье «Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии » пишет о противоречии между задачами школьного курса теории вероятностей, решать которые научить школьников нетрудно, и вероятностными представлениями, сформировать которые у тех же школьников весьма непросто. Это противоречие обусловлено в значительной степени тем,, что изучение основ теории вероятностей начинают, как правило, с ее простейшего классического варианта, основанного на понятии равновозможных исходов. В этом и заключается  принципиальный недостаток классической вероятности – определение нового понятия «вероятность» через неопределенное понятие «равновозможный исход опыта». Если ученик уже приобрел соответствующие интуитивные представления, то такое определение вполне приемлемо. Но если нужных интуитивных представлений нет, то такое определение вероятности повисает в воздухе. По существу, именно  с этим связано предложение начинать изучение теории вероятностей со значительно более сложного статистического определения. Поэтому, автор считает, что учителю математики следует обратить пристальное внимание на современную школьную программу по биологии, которая содержит элементы генетики. А некоторые механизмы передачи наследственной информации, которые изучает эта наука, полностью укладываются в схему классической вероятности. Поэтому изучение биологии будет способствовать развитию и укреплению вероятностных представлений у учащихся, более глубокому и осознанному восприятию этого довольно непростого материала.

В статье  Булычева В. А. «Вероятность вокруг нас и в школьном учебнике математики» рассмотрены задачи последнего раздела «Вероятность вокруг нас» учебника «Математика – 6» под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. Главная особенность этих задач – их проблемность. Это не задачи-упражнения, а задачи-проблемы. Именно поэтому многие их них имеют не совсем «математические» формулировки, оставляя ученику возможность самостоятельно сделать постановку, точно описать условие и сформулировать вопрос.

Таким образом, авторы всей вышеперечисленной методической литературы признают сложность и новизну этого материала и сходятся во мнении, что процесс обучения стохастике должен быть организован таким образом, чтобы изучаемые явления и закономерности не просто усваивались и запоминались учащимися, но и способствовали формированию правильных стохастических представлений, пониманию тесных взаимосвязей между вероятностно-статистической линией и деятельностью любого человека, развитию умений применять полученные знания в повседневной жизни .



1.2 Анализ учебников и учебных пособий.



Согласно требованиям государственного стандарта по математике содержание материала, обязательного изучаемого по данной теме в курсе основной школы, должно включать:

Понятие и примеры случайных событий;

Понятия частоты события и вероятности;

Равновозможные события и подсчет их вероятности;

Представление о геометрической вероятности;

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков;

Средние результаты измерений;

Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Согласно требованиям стандарта по математике после изучения данной темы учащиеся должны уметь:

Находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

Находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

Вычислять средние значения результатов измерений;

и использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

Сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией;

Понимания статистических рассуждений;

Анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц.

     Попытаемся проанализировать ныне действующие учебники и учебные пособия с позиции требований государственного стандарта по математике по данной теме.

Попытка построения полноправной вероятностно-статистической линии предпринята в рамках учебных комплектов: "Математика 5", "Математика 6" под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, а также "Математика 7", "Математика 8" и "Математика 9" под редакцией Г.В. Дорофеева.

В учебнике для 5 класса представлены начальные сведения из области статистики, в частности, представление данных в виде таблиц и диаграмм. Материал выделен в отдельную главу, которая так и называется – "Таблицы и диаграммы". В этой главе авторы учат школьников извлекать и анализировать информацию, представленную на диаграмме или в виде таблицы. Задачный материал, представленный в учебнике, особым разнообразием не отличается. В основном, школьники учатся работать с готовыми таблицами и диаграммами,  сравнительно немного заданий на самостоятельное составление таблиц и диаграмм по представленной информации. Также немного заданий, подчеркивающих удобство использования таблиц и диаграмм для представления разнообразной информации, что является, на мой взгляд, существенным недостатком, поскольку таблицы и диаграммы значительно структурируют информацию, помещаемую в них, делают ее более наглядной, а на это в учебнике не сделан соответствующий упор.

В 6 классе авторы снова возвращаются к этому материалу, где знакомят учащихся с уже более сложными таблицами, а также указывают на различия в применении столбчатых и круговых диаграмм. Задания более сложные по сравнению с 5 классом, но их недостаточно. Авторы вновь делают упор на работу школьников с готовыми таблицами и диаграммами, забывая о необходимости научить детей самостоятельному составлению таблиц и диаграмм.

 Также в конце 6 класса школьникам предлагается начать изучение основ теории вероятностей. Этому посвящена отдельная 8 глава «Вероятность случайных событий». Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. В параграфе «Частота и вероятность случайного события» учащиеся знакомятся с понятиями частоты события как отношения числа наступления события к числу экспериментов, на конкретном примере показано, что же такое вероятность случайного события, прослежена её связь с частотой, введено обозначение вероятности, но пока авторы не дают строгого определения вероятности с использованием частоты события, а говорят лишь об "оценке вероятности случайного события по его частоте" на конкретном примере. Вероятности достоверных и невозможных событий авторы вводят как определения, со словами “естественно считать” без использования понятия частоты. Становиться непонятным, для чего вообще нужна частота: я считаю, дети вполне способны самостоятельно прийти к выводам о вероятности этих событий, опираясь на предыдущий материал и их определения. Аналогичным образом авторы подводят учащихся к классическому определению вероятности, показывая способ подсчета вероятности равновозможных событий на конкретном примере. Изложение материала в учебнике, в целом, логично  и последовательно, но, несмотря на это, можно сделать несколько существенных замечаний.

 Во-первых, в начале главы, говоря о случайных событиях, авторы не вводят обозначения для события, принятое в математике, однако в заданиях оно уже присутствует. Целесообразно, сразу после определения случайного события ввести и обозначение для него, как это всегда принято  в математике при введении нового понятия.

Во-вторых,  понятие равновозможных событий автор характеризует так: "Вы бросаете монету. Может выпасть "орел", а может – "решка". Возможности наступления этих событий одинаковы. Такие события называются равновозможными или равновероятными". Такое объяснение не только нельзя считать определением, но и оно вряд ли будет понятно школьникам. Равновозможность или равновероятность наступления этих событий целесообразнее попытаться объяснить следующим образом: "Вы бросаете монету. Может выпасть "орел", а может – "решка", но с математической точки зрения обе стороны монеты одинаковы, и ни одна из них не лучше и не хуже другой оставшейся, поэтому мы можем утверждать, что возможности наступления этих событий – выпадение "орла" или выпадение "решки" одинаковы, а значит события "выпадет "орел" и "выпадет "решка" равновозможны или равновероятны.

В-третьих, система задач, предлагаемых автором для закрепления и усвоения знаний, не всегда полна, поэтому учителю просто необходимо использовать дополнительную литературу для подготовки к уроку.

Учебник для 7 класса призван углублять, конкретизировать и уточнять знания по основам теории вероятностей, полученные учениками в 6 классе: дается строгое определение относительной частоты случайного события, вводится статистическое определение вероятности. Большинство заданий практической части направлены на формирование правильного понимания частоты случайного события и умений находить вероятность события по его частоте. Очень мало заданий, в которых требуется провести статистическое оценивание и прогноз, что является существенным недостатком, поскольку именно такие задания помогают развитию у школьников статистического мышления и интуиции.

 В 8 классе предполагается изучение статистических характеристик ряда: моды, медианы, размаха и среднего арифметического. Задачи, предлагаемые авторами для решения, немногочисленны и не обладают практической направленностью. В большинстве своем, это задачи на нахождение статистических характеристик для имеющихся данных и на построение ряда по готовым статистическим характеристикам. Несомненно, такие задания нужны для отработки определений статистических характеристик и для их качественного и полноценного усвоения, но главный недостаток таких задач – их абсолютная бесполезность с практической точки зрения. Решая такие задачи, школьник просто оперирует с набором новых для него понятий, усваивая их и запоминая, не вдумываясь в то, что  в каждом конкретном примере эти статистические характеристики несут в себе огромный практический смысл, опираясь на который, можно спрогнозировать, оценить и сделать важные выводы, полезные в этой ситуации. Поэтому задачи такого типа не должны занимать главенствующего места в учебнике. 

В этом же классе изучение вероятностно-статистической линии продолжается рассмотрением классического определения вероятности и геометрической вероятности.

В учебнике для 9 класса интересующий нас материал изложен в главе «Статистические исследования». Глава «Статистические исследования» является завершающим фрагментом вероятностно-статистической линии курса. Здесь осуществляется переход от описательной статистики, которой учащиеся занимались с 5 по 8 класс, к начальному знакомству с математической статистикой. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются  полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках, а также вводятся некоторые новые понятия, отражающие специфику данного исследования.

Для того чтобы сформировать у учащихся представление о статистическом исследовании, в учебнике рассмотрено 3 примера, близкие жизненному опыту школьников, соответствующие названиям параграфов в главе. Первый из них - исследование качества математической подготовки школьников.

В тексте отражены основные этапы этого исследования: обсуждается проблема построения репрезентативной выборки, демонстрируются приемы сбора данных и их наглядного представления, проводится анализ полученных результатов. По сути в учебнике представлен алгоритм, который используют статистики при проведении подобных исследований. Основная цель состоит в том, чтобы, опираясь на представленный образец, учащиеся при решении задач смогли воспроизвести его полностью или частично. При описании исследования используются уже известные учащимся вероятностно-статистические понятия, а также вводятся некоторые новые. Новые понятия возникают естественным путем, когда этого требует логика изложения. Это касается таких понятий, как генеральная совокупность, выборочное обследование, репрезентативная выборка, ранжирование ряда данных, полигон частот, интервальный ряд и гистограмма. Но авторы в тексте учебника не обращают внимание школьников на неоднозначность  при построении интервального ряда, из-за которой при решении одной задачи могут получаться разные гистограммы, а также различные средние арифметические, что является, на мой взгляд, существенным недостатком.

Анализируя весь учебный комплект в целом, необходимо отметить соответствие содержания учебников требованиям государственного стандарта по математике. Но с методической точки зрения важно отметить некоторые недостатки данного учебного комплекта.

Во-первых, авторы рассматривают в учебниках, как того требует стандарт, все 3 определения вероятности: статистическое, классическое и геометрическое, но все определения разнесены по времени, то есть изучаются в разных классах и между ними не прослеживается никакая взаимосвязь. Не указаны недостатки и достоинства того или иного определения, области их применений, особенности каждого из определений вероятности. Изучение стохастической линии завершается статистическим материалом, но отсутствует подведение итогов изучения этой линии в основной школе, в конце обучения авторы словно забывают о вероятности вовсе. Следствием всего этого может быть неверное представление учащихся о вероятности случайного события: в каждом конкретном случае учащимся будет затруднительно выяснить, какое из понятий вероятности здесь применять и почему.

Во-вторых, задачный материал, предлагаемый в учебниках, как уже отмечалось выше, неполон и недостаточен. Задания, в основном, однотипные и для качественного усвоения учебного материала учителю просто необходимо использовать дополнительную литературу. Среди задач, представленных в учебниках, сравнительно немного задач, ценных с практической стороны, действительно служащих для формирования вероятностно-статистического мышления у учеников, иллюстрирующих тесную взаимосвязь изучаемого материала с действительностью. 

Рассмотрим еще несколько учебных пособий, призванных восполнить отсутствие вероятностно – статистической линии в основном учебнике:

Мордкович А. Г., Семенов П. В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к  курсу алгебры 7-9 кл.

Характеризуя данное учебное пособие, следует отметить, что дополнительные параграфы ориентированы на курс алгебры 7 – 9 классов А. Г. Мордковича. Они предназначены для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистики. Из основ теории вероятностей учебное пособие содержит только классическую вероятностную схему, не рассмотрены 2 оставшихся подхода к понятию вероятности: статистический и геометрический. Статистический материал собран в один параграф и рассмотрен поверхностно, авторы не обращают внимания школьников на практическую значимость многих статистических понятий и характеристик. Упражнения, представленные после каждого параграфа, в основном, направлены на усвоение новых понятий и алгоритмов, нет задач исследовательского характера, задач-проблем. Создается впечатление, что, это пособие написано наспех, так как содержит недостаточно сведений и задач для полноценного изучения школьниками вероятностно-статистической линии, соответствует далеко не всем требованиям стандарта и вряд ли может быть использовано учителем при проведении уроков как самостоятельная единица.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений.

Данное учебное пособие содержит две главы посвященные теории вероятностей и математической статистике. В первой главе авторы рассматривают последовательно одно за другим все 3 определения вероятности случайного события: классическое, геометрическое и статистическое. Такая последовательность изложения ничем не обоснована, и, на мой взгляд, неверна, поскольку может послужить поводом для ошибок учащихся при решении задач. Между этими определениями не установлена взаимосвязь, не указаны их достоинства и недостатки, возможности использования определений в каждом конкретном случае, что тоже может привести к неверному представлению учащихся о вероятности. Статистический материал представлен неполностью, зато пособие содержит излишние факты и понятия: дискретные и случайные непрерывные величины, отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, правило трех сигм не должны изучаться в основной школе ввиду их сложности. Как и в предыдущем случае, это пособие вряд ли претендует на право полноценно знакомства школьников с вероятностно-статистической линией с его помощью.



Основные принципы построения методики изучения 

стохастической линии в курсе математики основной школы.



Исходя из анализа всей вышеперечисленной литературы, при построении методики изучения стохастической линии в основной школе необходимо учитывать следующие важные моменты:

Содержание материала, обязательно изучаемого в рамках данной линии в средней школе, определяется  требованиями государственного стандарта по математике.

Изучение стохастической линии целесообразно начать со статистического материала и излагать весь последующий материал индуктивно.

С учащимися необходимо рассмотреть различные понятия вероятности: классическое, статистическое и геометрическое. В противном случае происходит неполное представление о нем.

Последовательность изучения понятия вероятности должна быть такова: вначале необходимо ввести и сформировать представление о статистической вероятности, затем, отмечая неудобство использования такого определения и его явную неточность, перейти к изучению классической вероятности и в завершении рассмотреть геометрическую вероятность как один из способов решения проблемы конечности числа исходов в классической вероятностной схеме. Такая последовательность изучения не соответствует историческому развитию науки, но помогает избежать типичных ошибок и неверных представлений о вероятности, способствует развитию вероятностного мышления и интуиции.

При введении каждого из определений вероятности необходимо обращать внимание учащихся на его недостатки и области возможного применения. 

Поскольку основным средством обучения математике являются задачи, то при изучении вероятностно-статистической линии необходимо рассматривать с учащимися разнообразные задачи и примеры, особо выделяя среди них задачи практического характера, устанавливающие взаимосвязь изучаемых фактов и явлений с жизнью, опытом учащихся.

Для полноценного и качественного усвоения данного материала необходимо максимально учитывать принципы дидактики. Поэтому необходимо:

Максимально использовать средства наглядности, опытную работу с учащимися.

Сопроводить изучение иллюстративными задачами и примерами.

Рекомендовать учащимся дополнительную литературу по данной теме, доступную для их понимания.

Предусмотреть задачи для самостоятельной работы учащихся.

Учитывать индивидуальные особенности школьника при решении различных задач и примеров.

Добиваться прочности знаний с помощью решения задач, опирающихся на ранее изученный материал.


Глава 2.



В этой главе предпринята попытка построения методики изучения стохастической линии в основной школе.

Представим методику изучения по классам.



5 класс.

В 5 классе целесообразно начать изучение вероятностно-статистической линии с рассмотрения таблиц и диаграмм. Причем необходимо обратить внимание учащихся на то, что таблицы и диаграммы это не какие-либо геометрические объекты или фигуры, а один из способов представления информации в удобной и наглядной форме. Для решения этого вопроса можно в начале самого первого урока, посвященного данной теме, в качестве небольшой игры разделить класс на 2 команды и предложить этим командам решить одну и ту же задачу, предлагаемую на карточке, победившей будет считаться команда быстрее справившаяся с заданием. Суть игры в том, что для одной команды задача представлена в текстовом виде, а для другой – в виде таблицы.

Задача 1. Оля провела опрос среди одноклассников и выяснила, сколько времени  в день каждый из них проводит перед телевизором. Оказалось, что пятеро из ее одноклассников вообще не смотрят телевизор, 4 человека смотрят телевизор около четверти часа в день, 3 человека находятся у телевизора  не более получаса, семь человек смотрят телевизор около одного часа в день, остальные же 12 человек проводят у телевизора по два часа в день и более. Используя данные сведения, ответьте на следующие вопросы:

Сколько учеников в классе Оли?

Сколько Олиных одноклассников проводят у телевизора около 1 часа в день?

Сколько учеников из класса Оли смотрят  телевизор  по часу в день и меньше?

Какое наибольшее количество часов проводят у телевизоров Олины одноклассники?

 Для второй команды задача может быть сформулирована так: Оля провела опрос среди одноклассников с целью выяснить, сколько времени в день они проводят у телевизора. Полученные результаты она представила в виде таблицы:



Количество часов,0 проводимых у телевизора.

Число учеников.

0

5



4



5

1

7

2 и более

12



Используя эти сведения, ответьте на вопросы:

Сколько учеников в классе Оли?

Сколько Олиных одноклассников проводят у телевизора около 1 часа в день?

Сколько учеников из класса Оли смотрят  телевизор  по часу в день и меньше?

Какое наибольшее количество часов проводят у телевизоров Олины одноклассники?

Понятно, что та команда, которая отвечала на вопросы, используя таблицу, справится намного быстрее. После соревнования необходимо обсудить с учащимися результат игры и сделать вывод о том, что данные, помещенные в таблицу более удобны для использования, работа с таблицей осуществляется гораздо быстрее и эффективнее, чем со сплошным текстом,  а значит, таблица – это способ структурирования информации, ее представление в более наглядном виде.

Далее необходимо на примере у доски пояснить учащимся, что в самом простом случае таблица делится  на строки и столбцы (иногда их называют колонками). Чаще всего каждый столбец имеет название, которое указывается в первой строке таблицы. После этих объяснений важно проиллюстрировать учащимся разнообразные примеры таблиц и попросить привести примеры самих учащихся. Самыми распространенными примерами  в этом случае могут служить: страницы классного журнала, календарь на текущий год, расписание уроков в школе и т. д. Цель рассмотрения этих примеров – формирование у учащихся верных представлений о том, что в жизни очень часто приходится сталкиваться  с разнообразными таблицами, поэтому научиться пользоваться информацией помещенной в них и составлять их самим, очень важно. 

В особую группу  можно выделить таблицы спортивных состязаний. Важно отметить для учащихся, что для правильного понимания, информации помещенной в такую таблицу, необходимо хотя бы минимальное представление о соответствующем виде спорта и действующих в нем правилах. Необходимо подробно рассмотреть с учащимися пример такой таблицы и провести тщательный анализ помещенной в ней информации.

Система задач по этой теме обязательно должна включать задания, формирующие умения извлекать и анализировать информацию, представленную в таблице, а также умения представлять необходимую информацию в виде таблицы. Большинство учебников содержат лишь готовые таблицы для работы, и не хватает заданий на составление таблиц по имеющимся данным. Поэтому в качестве домашнего задания можно предложить учащимся самим провести небольшой опрос среди одноклассников и друзей на разнообразные темы и полученные сведения представить в виде таблицы. Например, можно выяснить, как добираются до школы ученики вашего класса, какие кружки или секции посещают ваши одноклассники, какие домашние животные есть у них дома и т. д. Также для формирования умений представлять необходимую информацию в виде таблицы можно предложить учащимся следующие задачи:

Задача 2. Редакция заключила на шесть месяцев договор с несколькими разносчиками газет. Данные о количестве проданных газет таковы: разносчик Галкин в январе и феврале продал одинаковое число газет – 194. В марте  продажи у Галкина упали, и он продал на 47 газет меньше, чем в предыдущие месяцы. Его напарник Малкин был более успешен в январе и продал 221 газету, но в феврале его дела ухудшились, и он сумел продать всего 103 газеты. В марте же он продал столько же газет, сколько Галкин в феврале. Третий разносчик-Палкин превзошел своих коллег и в январе, феврале и марте продал столько газет, сколько в сумме продали Галкин и Малкин за эти же месяцы. Разносчик Рвалкин работал хуже всех и за все 3 месяца продал всего 141 газету, продавая одинаковое количество газет каждый месяц. Произведите необходимые расчеты и представьте эти сведения в более удобной и наглядной форме.

С помощью таких заданий школьники учатся не только самостоятельно конструировать таблицу, но и выполняют несложные арифметические подсчеты. Задачи такого типа подчеркивают удобство использования таблиц по сравнению с громоздким текстом, и на это стоит обратить внимание школьников при решении этой задачи.  

Постепенно необходимо увеличивать трудность заданий: предлагать уже более обширные таблицы данных, по которым сложнее ориентироваться и, используя их, заполнить новую таблицу:

Задача 3. В журнале регистрировались наблюдения за погодой в течение 3 летних месяцев. Заполните по представленным данным таблицу, содержащую данные о том, сколько каких дней было в каждом из трех летних месяцев и за все лето:




Месяц

Ясно

Облачно

Дождь

Июнь







Июль







Август







ИТОГО

















Число

Погода

Число

Погода

Число

Погода

01 июня

☼

01 июля

☼

01 августа

☼

02 июня

◘

02 июля

☼

02 августа

☼

03 июня

☼

03 июля

☼

03 августа

☼

04 июня

☼

04 июля

☼

04 августа

☼

05 июня

◘

05 июля

☼

05 августа

☼

06 июня

◙

06 июля

☼

06 августа

◘

07 июня

☼

07 июля

☼

07 августа

☼

08 июня

◘

08 июля

☼

08 августа

◙

09 июня

☼

09 июля

☼

09 августа

☼

10 июня

☼

10 июля

☼

10 августа

◘

11 июня

☼

11 июля

☼

11 августа

◘

12 июня

     ◙

12 июля

☼

12 августа

◘

13 июня

☼

13 июля

◘

13 августа

◙

14 июня

◘

14 июля

◘

14 августа

◙

15 июня

◘

15 июля

◘

15 августа

◙

16 июня

◙

16 июля

◘

16 августа

☼

17 июня

◙

17 июля

◙

17 августа

☼

18 июня

    ☼

18 июля

◙

18 августа

☼

19 июня

     ◙

19 июля

◙

19 августа

☼

20 июня

☼

20 июля

◙

20 августа

☼

21 июня

◙

21 июля

◙

21 августа

☼

22 июня

☼

22 июля

◘

22 августа

☼

23 июня

☼

23 июля

◘

23 августа

☼

24 июня

◙

24 июля

☼

24 августа

◙

25 июня

◘

25 июля

☼

25 августа

◙

26 июня

◘

26 июля

☼

26 августа

◙

27 июня

     ◘

27 июля

☼

27 августа

☼

28 июня

    ☼

28 июля

☼

28 августа

☼

29 июня

☼

29 июля

☼

29 августа

☼

30 июня

☼

30 июля

☼

30 августа

◘





31 июля

☼

31 августа

◘



☼  — ясно, ◘ — облачно, ◙ — дождь



 

































После того, как ребята научились работать с таблицами, можно перейти к рассмотрению диаграмм.

Начать знакомство учащихся с диаграммами разумнее с конкретного примера, иллюстрирующего, что такое диаграмма и для чего она нужна. Если с таблицами пятиклассники встречались ранее, то понятие диаграммы может оказаться для них совершенно новым и неясным. Для этого  можно рассмотреть у доски такую задачу:

Задача 4. Завод принял заказ на изготовление партии из 2000 деталей. Каждая из деталей по плану должна весить 40 г. Но контрольное взвешивание изготовленной партии деталей дало следующие результаты:



Вес (г)

38

39

40

41

42

43

44

45

46

Число деталей

40

80

220

360

610

430

200

40

20



Результаты взвешивания представлены в виде таблицы.

  Итак, мы убедились, что таблицы позволяют представить необходимую информацию в более удобной для восприятия форме. Еще более удобным для человека способом представления информации является графический, т.е. на рисунках. Давайте внимательно посмотрим на рисунок, построенный по нашей таблице:



























Этот рисунок и называется диаграммой. После этого нужно организовать работу учащихся с  диаграммой для того, чтобы они смогли оценить достоинства представления данных таким способом. Для этого можно задать им несколько вопросов, например:

Деталей какого веса завод выпустил больше всего?

Сколько деталей весом 39 г. выпустил завод?

Деталей какого веса завод выпустил меньше всего?

 Сколько деталей весом меньше 41 г. произвел завод?

Пользуясь рисунком, учащиеся быстро и правильно ответят на поставленные вопросы, после чего учителем должен быть четко сформулирован алгоритм построения диаграммы (он может быть выписан на доске):

Построить прямой угол.

На горизонтальной стороне угла записать значения какого-либо признака (в нашем случае – вес детали в граммах)

Над каждым значением нарисовать столбик, высота которого равна соответствующей величине.

Диаграмма, построенная таким способом, называется столбчатой диаграммой, но если вместо столбиков мы нарисуем линии той же высоты, получим новый вид диаграммы – линейную диаграмму.

Далее необходимо предложить учащимся построить несколько диаграмм для отработки всех шагов алгоритма с подробным разбором у доски:

Задача 5.  Перед вами страница из книги регистрации новорожденных детей

Дата рождения

Имя ребенка

03.03.2005

Татьяна

03.03.2005

Сергей

04.03.2005

Ольга

06.03.2005

Василий

06.03.2005

Евгений

07.03.2005

Василий

07.03.2005

Николай

07.03.2005

Наталья

08.03.2005

Татьяна

09.03.2005

Василий



















Постройте по таблице:

Столбчатую диаграмму

Линейную диаграмму.



Задача 6. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по математике: одну «двойку», три «тройки», четыре «четверки» и две «пятерки». Представьте эти сведения в виде таблицы и по полученной таблице постройте  столбчатую диаграмму. Ответьте на следующие вопросы:

Сколько контрольных по математике написала Лена за год? (ответьте на этот вопрос с помощью таблицы).

Сколько положительных оценок получила Лена за контрольные по математике?

Задача 7. Учитель на уроке спросил, сколько книг школьники прочитали за лето. Оказалось, что Аня прочитала 8 книг, а Саша – в 2 раза меньше. Петя не прочитал ни одной книги, Витя прочитал 10 книг, Лена  - 7, Игорь – на 4 книги больше, чем Лена. Катя и Оля прочитали по 3 книги. Постройте линейную диаграмму, показывающую, сколько книг каждый из учеников прочитал за лето.

Необходимо научить школьников не только правильно строить диаграммы, но и анализировать информацию на диаграмме. Это можно сделать, используя учебник по математике для 5 класса под редакцией Г. В. Дорофеева и  И.Ф. Шарыгина (№№1232-1240).



6 класс.

Материал 6 класса призван углублять знания, полученные учениками в 5 классе, а именно: необходимо продолжить работу учащихся с таблицами и диаграммами, познакомить учащихся с еще одним видом диаграмм – круговыми диаграммами, обратить внимание учащихся на возможность взаимозаменяемости различных видов диаграмм и с помощью задач прочно закрепить умения работать с ними. Также можно начать изучение основных статистических характеристик и примеров статистических исследований.

Поскольку этот материал изучается чаще всего  в самом конце учебного года, то вначале занятий нужно организовать повторение изученного в 5 классе, чтобы ученики вспомнили, как работать с таблицами и диаграммами.

Повторение можно организовать с помощью следующей системы задач и вопросов:

Для чего используются таблицы и диаграммы?

Вот пример таблицы, учитывающей расходы (в рублях) семьи Кузнецовых на коммунальные услуги за первую половину года:



Месяц

Квартплата

Газ

Свет

Телефон

ВСЕГО

Январь

320

88

122

98

?

Февраль

426

?

118

128

760

Март

426

92

110

204

832

Апрель

426

92

?

120

736

Май

530

92

92

166

880

Июнь

?

92

?

124

842

ИТОГО

2658

544

636

840

4678



Заполните недостающие ячейки таблицы. Объясните, как вы это сделали.

Объясните, как можно получить итоговую сумму 4678 р. двумя способами?

Перед вами страница из книги регистрации новорожденных детей:



Дата рождения

Имя ребенка

Пол ребенка

03.03.2005

Татьяна

Женский

03.03.2005

Сергей

Мужской

04.03.2005

Ольга

Женский

06.03.2005

Василий

Мужской

06.03.2005

Евгений

Мужской

07.03.2005

Василий

Мужской

07.03.2005

Николай

Мужской

07.03.2005

Наталья

Женский

08.03.2005

Татьяна

Женский

09.03.2005

Василий

Мужской

















Используя эту таблицу, заполните  4 других таблицы и ответьте на следующие вопросы:

	а)	Какое имя за этот период было самым популярным?

	б)	Сколько всего разных имен было использовано?

	в)	Какого числа родилось больше всего детей?

Пол

Количество новорожденных

Мужской



Женский



	г)	Какой процент составляют среди новорожденных мальчики?

	

Дата

Количество новорожденных

03.03.2005



04.03.2005



05.03.2005



06.03.2005



07.03.2005



08.03.2005



09.03.2005



















Таблица 2

Имя

Количество новорожденных

Татьяна



Сергей



Ольга



Василий



Евгений



Николай



Наталья





















4.Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. На диаграмме показано, сколько кусков пиццы съел каждый из них. Ответьте на следующие вопросы:

Кто из ребят съел пиццы больше всех?

Кто из ребят съел меньше всех?

Кто из ребят съел поровну пиццы?

Сколько кусков пиццы вместе съели ребята?

Сколько кусков пиццы съели вместе Маша, Лена и Катя?



























5. Объясните, используя предыдущий пример, как построить диаграмму. Какие виды диаграмм вы знаете?

6. В таблице приведены данные о среднесуточной температуре первой недели мая: 

 

День

понедельник

вторник

среда

четверг

пятница

суббота

воскресенье

Температура (по Цельсию)

6,9

6,5

6,7

6,7

7,1

7,0

7,1



Постройте по этим данным:  а) столбчатую диаграмму,

                                                    b) линейную диаграмму.

После того, как учащиеся справятся с этими заданиями, можно перейти к изучению круговых диаграмм. 

 В 5 классе вы строили столбчатые и линейные диаграммы, но существует еще один вид диаграмм – круговые диаграммы. Необходимо продемонстрировать учащимся пример круговой диаграммы, которая может быть построена по таблице 2: 



Такая диаграмма представляет круг, разрезанный на дольки, каждая из долек соответствует одному из значений изучаемого признака (в нашем случае — пол ребенка), а ее размер пропорционален интересующей нас величине (количеству новорожденных данного пола).

Как и в 5 классе у учащихся должен быть сформирован четкий алгоритм построения круговых диаграмм:

Построить круг.

Разделить его на доли. Каждая из долей представляет собой одно из значений рассматриваемого признака, а ее размер пропорционален соответствующей величине.

Необходимо предложить учащимся  задания на построение круговых диаграмм по таблицам данных.

Далее  важно обратить внимание школьников на возможность взаимозаменяемости различных видов диаграмм. На вопрос учителя «Можно ли, глядя на столбчатую диаграмму, построить по ней линейную?» учащиеся без труда должны ответить «да», поскольку надо всего заменить столбики линиями соответствующей высоты. Значит, используя столбчатую диаграмму, можно построить линейную и наоборот. Аналогично, из столбчатой или линейной диаграммы можно построить круговую, и наоборот. Для  закрепления этих сведений нужно предложить школьникам задания, требующие построить диаграмму другого вида по имеющейся, которые целесообразно рассмотреть с полным решением у доски.

Задача 1.  На автотранспортном предприятии произвели учет расхода бензина машинами марок ЗИЛ-112, ВАЗ-1011, КАМАЗ. Полученные данные представили в виде столбчатой диаграммы

 

Постройте по этим сведениям линейную и круговую диаграмму.

Задача 2. На круговой диаграмме показан вес перевезенного груза (в тоннах) машинами марок ЗИЛ-112, ВАЗ-1011, КАМАЗ. Постройте столбчатую и линейную диаграммы. 



Для формирования умений анализировать информацию, представленную на диаграмме, можно использовать учебник по математике для 6 класса под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина (№№                        ).

Заканчивая изучение таблиц и диаграмм, необходимо подвести итог. Важно отметить, что таблицы и диаграммы – средство удобного и наглядного представления разнообразных данных и сведений, они часто используются в жизни. Но еще более необходимы и нужны они в статистике. После этого можно перейти к рассмотрению основных статистических характеристик и примеров простейших исследований.

Необходимо сказать и несколько слов учащимся о науке статистике.





6