Формирование вычислительной культуры учащихся 5-6 классов

Дипломная работа









По теме:





«Формирование вычислительной культуры учащихся 5–6 классов»























Москва, 2010


Введение



Очевидно, что вычислительная культура является необходимым элементом общеобразовательной подготовки учащихся, прежде всего силу своей практической значимости. [5, 64]

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Кроме того, вычисления активизируют память учащихся, их внимание, стремление к рациональной организации деятельности и прочие качества, оказывающие существенное влияние на развитие учащихся.

В повседневной жизни, в бешеном ритме города, когда дорога каждая минута, очень важным является умение быстро и рационально провести вычисления устно, не допустив при этом ошибки и не используя при этом никаких дополнительных средств (микрокалькулятор, ручка и листочек).

Школьники сталкиваются с такой проблемой повсеместно: и в школе на уроках, и в домашних условиях, в магазине и т.п. Поэтому крайне важным становится проблема формирования у них вычислительной культуры.

Всегда ли в жизни нам важна стопроцентная точность результата? Часто можно слышать высказывания типа: «Приблизительно два с половиной часа», «Взвесьте мне, пожалуйста, конфет на сто рублей». Важной задачей становится объяснить ребенку значение таких простых, казалось бы на первый взгляд, фраз. Что значит «приблизительно»? Где и когда нам нужны точные результаты, а где мы можем округлить, что значит это самое «округление» и где мы его можем применить в жизни и на уроке? Хотелось бы, чтобы школьник мог легко сообразить (прикинуть), а хватит ли ему этих самых ста рублей на то количество конфет, которое ему необходимо? И какое ориентировочно количество конфет он должен получить – это также важно, чтобы не быть обманутым вдруг ошибившимся продавцом.

Поэтому-то обучение прикидке и оценке результата в 5–6 классах является крайне актуально и близко ко многим жизненным ситуациям.

Усложнение и увеличивающееся многообразие видов практической деятельности, возникновение и развитие наук и производства, совершенствование вычислительных средств, развитие соответствующих разделов математики только пополняют список вычислительных задач, делают вычисления все более значимыми.

Бурное развитие вычислительной техники требует еще более обширного развития вычислительной культуры школьников. Так как основой множества процессов, представленных на компьютере, служит математическая модель, в которой умение быстро и рационально проводить вычисления будут основными.

В курсе 1–4 классов в основном завершена теоретическая подготовка учащихся по изучению операций над рациональными числами, представленных как в идее обыкновенных, так и в виде десятичных дробей. Однако на этом этапе у школьника еще не сложились навыки быстрых и безошибочных действий над рациональными числами. Поэтому, начиная работу с 5–6 классами, учитель должен с первых же уроков обратить серьезное внимание на дальнейшее развитие навыков вычислений, планируя на каждый урок включение какого-либо рода вычислительных упражнений как в форме письменных, так и в форме устных заданий. Эта причина также делает нашу тему актуальной.

Есть и другая причина – это требования образовательного стандарта и требования к уровню подготовки учащихся при изучении математики. В соответствии с ними учащиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для устной прикидки и оценки результата вычислений, проверки результата вычислений с использованием различных приемов.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 5- 6 классов.

Предмет исследования: приемы прикидки и оценки результата и их формирование у учащихся 5–6 классов.

Цель работы состоит в изучении существующих методов и приемов формирования вычислительной культуры у школьников 5–6 классов, в частности приемов прикидки и оценки результата вычислений и разработка своей методики обучения приемам прикидки и оценки результатов.

В соответствии с целями работы требуется решить следующие задачи:

Проанализировать учебную и научно – методическую литературу по теме исследования.

Выявить психологические особенности личности учащихся 5–6 классов.

Выбрать наиболее эффективные методы и средства повышения вычислительной культуры учащихся.

Привести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета.

Выделить состав приема прикидки как компонента вычислительной культуры учащихся 5–6 классов.

Разработка фрагментов уроков для 5–6 классов, направленных на формирование умения прикидывать и оценивать результат.

Дипломная работа состоит из двух глав, заключения и списка литературы.

учащийся вычислительный развивающий культура




1. Компоненты вычислительной культуры



Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение музыкальной культуры индивидуума или его культуры мышления, да и вообще понятие культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком культуры. Учитывая это, будем считать, что наличие у учащихся вычислительной культуры характеризуется следующей совокупность признаков:

Прочное и осознанное знание законов арифметических действий;

Уверенное владение алгоритмами основных операций над рациональными числами;

Умение эффективно сочетать устные, письменные и инструментальные вычисления;

Применение рациональных приемов вычислений;

Выработка потребности и умений осуществлять самоконтроль;

Умение по условию задачи определить, являются ли исходные данные точными или приближенными, и владение правила действия с последними

Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту, и в школьной практике. Так, нередко, может потребоваться замена числа, близким ему числом, например 57406 тыс., представление числа в эквивалентной форме, например 25% – это 0,25, то есть четверть, сравнение чисел на основе качественных оценок.

Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа её закладывается в первые 5–6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и др. предметов.

Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

Об уровне вычислительной культуры учащихся можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

Перечислим важнейшие вычислительные умения и навыки учащихся 5–6 класса:

умение находить числовое значение выражение с использованием всех действий с десятичными дробями [19, 3]:

умение выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей;

умение производить совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами;

В результате анализа учебно–методической литературы можно выделить следующие основные проблемы с вычислениями у учащихся 5- 6 классов:

Почти четверть детей, окончивших начальную школу, ошибаются при вычислении значений числовых выражений, например:



Около 40% шестиклассников не могут округлить натуральные числа и десятичные дроби; около 20% не осиливают вычислений с дробями, например:



		Учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями.

Все это говорит о том, как важно в процессе обучения математике в 5–6 классах формировать:

Опыт и сноровку в простых вычислениях наряду с отработкой навыков письменных и инструментальных вычислений, умение выбрать наиболее подходящий способ получения результата;

Умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа;

Приведение возможностей использования математических знаний для рационализации вычислений.

Все это еще больше убеждает нас в необходимости формирования у учащихся вычислительной культуры, наличие которой у школьников позволит не допускать ошибки, о которых говорилось ранее.

Рассмотрим подробнее каждый из компонентов вычислительной культуры.



1.1 Навыки вычислений с рациональными числами



В курсе 1–4 классов в основном завершена теоретическая подготовка учащихся по изучению операций над рациональными числами, представленных как в идее обыкновенных, так и в виде десятичных дробей. Однако на этом этапе у школьника еще не сложились навыки быстрых и безошибочных действий над рациональными числами. Поэтому, начиная работу с 5–6 классами, учитель должен с первых же уроков обратить серьезное внимание на дальнейшее развитие навыков вычислений, планируя на каждый урок включение какого-либо рода вычислительных упражнений как в форме письменных, так и в форме устных заданий.

В 6 классе во втором полугодии подводятся итоги многолетней работы по обучению детей вычислениям, и основная задача, стоящая перед учителем математики, наряду с изучением темы «Положительные и отрицательные числа» и продолжением формирования у учащихся навыков вычислений с обыкновенными дробями, организовать качественное повторение изученного 1–5-м классах, и особенно продолжить тренировку в вычислениях с натуральными числами, десятичными дробями и процентами: на следующих ступенях обучения практически не будет ни времени, ни возможностей для «дообучения» школьников вычислениям, без чего сколько-нибудь полноценное обучение математики в следующих классах невозможно.



1.2 Умение рационализировать вычисления



Рационализация вычислений требует от учащихся, помимо знаний всех основных свойств арифметических действий над числами, элементарного желания «упростить себе жизнь», затратить на выполнение, громоздкого по виду, задания как можно меньше времени, увидеть самый короткий, но от этого не менее правильный путь достижения результата.

Простейшие приемы рационализации вычислений появляются еще в 5 классе при ознакомлении учащихся с основными законами сложения и умножения: сочетательным, переместительным и распределительным. Все эти же законы продолжают «работать» и в 6 классе, но используются не только для множества натуральных чисел, но и для дробей, и для положительных и отрицательных чисел. Подсчитывая значение произведения или суммы, школьники, пользуясь этими законами, переставляют множители или слагаемые, таким образом могут выполнить вычисления быстрей и проще, чем при последовательном сложении или умножении.

А применение распределительного закона умножения, вообще является одной из тем при изучении умножения дробей в учебнике Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6, 1 часть», т.е. помимо основного правила умножения рассматривается еще один способ, который помогает облегчить вычисления.

Приведем примеры:



Подобный способ позволяет пропустить целых два действия, порой вызывающие затруднения у учащихся – это переведение в неправильную дробь смешанного числа и обратно – из неправильной дроби выделить целую часть.

-3,9+8,6+4,7+3,9–4,7=(-3,9+3,9)+(4,7–4,7)+8,6=8,6

В подобном задании, пользуясь переместительным законом сложения, учащиеся должны отыскать пары чисел, дающие в сумме ноль (в том числе и пары противоположных чисел). И в итоге вычисления будут максимально простыми.

Ученики должны, прежде всего, научиться не только рационально вычислять, но и в целом, так сказать, «рационально мыслить и рассуждать», т.е. искать более удобные способы не исключительно в вычислениях, но и при решении задач, при составлении уравнений, при их решении, при преобразовании различных выражений. Часто, прежде чем приступить непосредственно к вычислениям, нужно просто заметить, что то или иное выражение можно преобразовать, упростить, а лишь после этого выполнять действие.



1.3 Прикидка результата вычисления



Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата вычислений. В основе этого умения лежит умение округлять числа.

В ряде случаев бывает нужно установить, имеет ли решение некоторая задача при указанных значениях параметров, оценить порядок значения некоторого выражения, сравнить между собой значения нескольких выражений.

Умение, не производя громоздких вычислений, оценивать результат вычислений, является одним из главных критериев математической культуры учащегося, так как основывается не только на знании конкретного теоретического материала, но в первую очередь и на умении применять теоретический материал в самых разнообразных, нестандартных ситуациях. Научить этому можно, только проводя систематическую работу по выработке соответствующих умений буквально на каждом уроке. [16, 163]

В следующих параграфах будут более подробно рассмотрены приемы прикидки и оценки результата вычислений.



1.4 Устные вычисления



Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки у учащихся навыков устного счета. Не секрет, что у детей с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.

Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений.

Насыщение уроков разнообразными, интересными и полезными вычислительными заданиями при большой плотности текущего теоретического материала, задач по изучаемым темам возможно лишь через совершенствование системы устных упражнений на уроках. Устный счет – это первооснова любых вычислений. Основная функция устных упражнений – актуализация опорных для конкретной темы знаний и умений, подготовка учащихся к работе на протяжении всего урока, а также систематическое повторение изученного, поддержание и совершенствование основных специальных умений и навыков, в том числе и навыков вычислений. [15, 156]

При устных вычислениях всем учащимся в классе приходится работать самостоятельно и активно, чтобы не отстать от товарищей. Следует остановиться и на вопросе о быстроте подсчёта при устных вычислениях. Конечно, устно, как правило, можно подсчитать быстрее, экономней с точки зрения затраченного времени и затраченных умственных сил. Но не это является самым ценным. При устных вычислениях значительно важнее экономии времени то, как выполнено данное действие, в чём проявилась творческая инициатива учащихся.

Устные вычисления имеют большое практическое применение. В курсе алгебры средней школы существует немало возможностей развивать и совершенствовать навыки устного счета, приобретенные учащимися в предшествующих классах.

Польза устных вычислений огромна. Применяя законы арифметических действий к устным вычислениям, дети не только повторяют их, закрепляют, но, что самое главное, усваивают их не механически, а сознательно. Сознательное усвоение законов арифметических действий – вот первая и очень ощутимая польза устных вычислений. При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека как внимание, сосредоточенность, выдержка, самостоятельность.

При устном счёте (иногда) надо держать в уме сами числа, над которыми производятся действия, некоторые промежуточные результаты, надо помнить некоторое количество наиболее эффективных приёмов устного счёта. Следовательно, устный счёт содействует тренировке и развитию памяти.

Следует четко определить уровень трудности заданий для устного счета в соответствии с возрастными возможностями учащихся. Хотя навыки устных вычислений из года в год совершенствуются, и повышается уровень трудности таких заданий, однако было бы ошибкой считать, что всюду, где это возможно, следует предпочитать устные вычисления письменным. Очевидно, что выполнение вычислений в уме, как правило, требует большего умственного напряжения, чем письменные вычисления, и быстрей приводит к утомлению, а в итоге и к ошибкам. Поэтому учитель не должен перегружать учащихся работой, связанной с устными вычислениями достаточно громоздких значений выражений, если такие вычисления легче выполнять письменно.

Полезно время от времени проводить математические диктанты и другие виды самостоятельных работ, в которых учащиеся, выполняя вычисления в уме, записывают только полученный ответ.

Составляя тексты математических диктантов и разрабатывая тексты самостоятельных работ, предназначенных для тренировки в устном счете, следует определить примерный уровень требований, который будет предъявлен к навыкам устных вычислений. Например, в упражнениях на сложение и вычитание целых чисел и десятичных дробей можно ограничиться данными, содержащими не более двух значащих цифр; при умножении – произведением однозначного и двузначного чисел; при делении – заданиями, не приводящими к бесконечным десятичным дробям (ели не ставится задача найти приближенного значения частного), где данные имеют не более двух значащих цифр.

В действиях с обыкновенными дробями можно ограничиться заданиями на сложение и вычитание дробей, имеющих равные знаменатели или один из знаменателей, кратный другому, и несложными примерами на умножение и деление дробей, числители и знаменатели которых, главным образом, однозначные числа.

Для устного счета могут быть предложены и несложные упражнения, содержащие несколько действий. Такие упражнения включают обычно в математические диктанты, например [16, 157]:

«Число 17 умножить на 6, к полученному произведению прибавить 48 и результат разделить на 25»;

«Из квадрата дроби  вычесть 1, полученное число умножить на 8 и к полученному результату прибавить 4».

При рассмотрении компонентов вычислительной культуры были выделены особенности каждого из них, но при этом следует сказать о том, что все эти компоненты неразрывно связаны. Развивая у учащихся приемы одно из компонентов, нельзя забывать и об остальных. Так, например, устный счет приучает к рациональным вычислениям, помогает сопоставлять, сравнивать показатели, прикидывать в уме результат действий.

Кратко описав каждый из компонентов, в следующем параграфе рассмотрим как влияет на школьников развитие вычислительной культуры с точки зрения психологии и педагогики, учитывая возрастные особенности учеников 5–6 классов.






2. Психолого-педагогическая характеристика учащихся 5–6 классов



Шестой класс, 11–12 лет, – период резкого возрастания познавательной активности и любознательности, возникновения познавательных интересов.

Рассматривая особенности учебной деятельности и умственное развитие подростка, В.А. Крутецкий отмечает [8, 106], что в процессе овладения основами наук не только обогащается жизненный опыт и расширяется кругозор, но и формируются и развиваются интересы подростков. По сравнению с младшим школьным возрастом уровень интересов у подростков гораздо шире.

В этот период подростку становится интересно многое, далеко выходящее за рамки его повседневной жизни. Его начинают интересовать вопросы прошлого и будущего, проблемы войны и мира, жизни и смерти, экологические и социальные темы, возможности познания мира, инопланетяне, ведьмы и гороскопы. Многие исследователи рассматривают этот возраст как период «зенита любознательности», по сравнению с младшими и старшими детьми. Обратим внимание также на поверхностность, разбросанность этих проявлений любознательности, а также на практически полное отсутствие связи их со школьной программой. Недаром среди психологов распространена шутка, что подросток знает все и интересуется всем, что не входит в школьную программу.

Нельзя не заметить, что обучение вычислениям вносит специфический вклад в развитие основных психических функций учащихся, способствуя развитию речи, внимания, памяти. Вычисления – основа для формирования умений пользоваться алгоритмами, логическими рассуждениями.

Каждый учитель знает, как трудно дети воспринимают язык математики на слух. У учащихся 5–6 классов основным является наглядно образное мышление. Слышать и слушать учащихся нужно учить. Следовательно, школьников нужно научить слышать и понимать язык математики.

Психология много внимания уделяет проблеме механизмов формирования навыков, имеющей большое практическое значение. Доказано, что механическое заучивание гораздо менее эффективно, чем заучивание при участии сознания. Полезен практический принцип «повторение без повторения», когда при отработке навыка не затверживается одно и то же действие, но постоянно варьируется в поисках оптимальной формулы движения. При этом осознанию принадлежит очень важная роль.

Формирование вычислительных умений и навыков – это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться разнообразием (вариативностью) формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов.

Устные вычисления имеют большое образовательное, воспитательное и практическое и чисто методическое значение. Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека, умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счет всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках математики теоретических знаний.

Устный счет способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также развивающее значение, так как считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, памяти, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления, логического мышления учащихся, творческих начал и волевых качеств, наблюдательности и математической зоркости. Кроме того, устный счет способствует развитию речи учащихся, если с самого начала обучения вводить в тексты заданий и использовать при обсуждении упражнений математические термины.






3. Приемы устных вычислений



3.1 Система задач для умственного счета С.А. Рачинского



В 1891 году С.А. Рачинский издал книгу «1001 задача для умственного счёта» которая стала первым в России сборником упражнений по устному счёту.

Сергей Александрович Рачинский родился 10 июня 1833 года. Он весьма интересен как педагог – практик, поднявший в своей школе – сельской школе – преподавание арифметики на очень высокую ступень, особенно это относится к устному счету и решению задач.

С.А. Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счёту полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво. Учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.

Сергеем Александровичем было описано множество приемов устного счета, таких как:

способ возведения в квадрат любого двузначного числа

способ умножения двузначных чисел

способ умножения на число, записанное одними девятками

числа, «раздвигаемые при умножении»

признаки делимости натуральных чисел и т.п. [1]

Вот некоторые специальные приёмы устных вычислений:

1) Приёмы последовательного умножения и деления

Один из множителей раскладываем на простые множители, а затем выполняем умножение. То же самое и с делением.

Пример:

78•8=78•2•2•2=150•2•2=300•2=600

18•35=18•5•7=90•7=630

35•18=35•2•9=70•9=630

23•55=23•5•11=115•11=1150+115=1265

540:4=(540:2):2=270:2=135

960:15=(960:3):5=320:5=640:10=64

2) Приёмы, основанные на значениях некоторых свойств чисел или результатов действий (10•10+11•11+12•12+13•13+14•14):365, если знать, что в этом ряде чисел 10•10+11•11+12•12=13•13+14•14=365 (сумма квадратов трех последовательных чисел равна сумме квадратов следующих за ними двух чисел).

Замечательный русский художник Николай-Петрович Богданов-Бельский (1868–1945), ученик Рачинского написал знаменитую картину «Устный счет», которая хранится в Третьяковской галерее.

На картине изображены крестьянские дети, которые напряженно ищут в уме решение примера (как раз такого, который описан в данном приёме):



Этот необычный для учеников трехклассной сельской школы пример, можно решить быстро, если догадаться до приведенного выше решения. [1]

3) Сразу можно записать ответ, если знать, что 37•3=111

4) Зная число Шахразады 1001=7•11•13, сразу можно получить результат:7•11•13•678=678678

5) Наблюдая примеры

1+3=4=2•2				1+3+5+7=16=4•4

1+3+5=9=3•3			1+3+5+7+9=5•5

можно выявить закономерность. Если складываются натуральные нечётные последовательные числа, то сумма любого количества последовательных нечётных чисел, начиная с 1, равна произведению числа, выражающего количество слагаемых, на самого себя.

6) Можно использовать для вычислений ещё одну закономерность:

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

Впервые эту закономерность выявил итальянский математик XVI века Николо Тарталья.

7) Можно находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел заметив, что сумма крайних равна сумме двух любых других, равноудалённых от начала и конца ряда.

Например:

5+6+7+8+9+10+11=(5+11)+(6+10)+(7+9)+8=16•3+8=56



3.2 Система быстрого счёта по Я. Трахтенбергу



Профессор Цюрихского математического института Яков Трахтенберг в конце 40-х годов он организовал в Цюрихе свой Математический институт – единственное в своём роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, достигая поразительных успехов.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае по части математики), превосходно, быстро и надёжно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как в прочем и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приёмов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще. [6, с. 7–8]



Cвод правил (алгоритм)

умножение на

характер действий

11

Прибавить соседа.

1) Последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата

2) Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат

3) Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг. По системе Трахтенберга вы пишите результат по одной цифре справа налево.

Пример:

1 шаг. 6 3 3

х 1 1

3



2 шаг. 6 3 3

х 1 1

6 3

3+3=6

3 шаг. 6 3 3

х 1 1

9 6 3

6+3=9



4 шаг. 6 3 3

х 1 1

6 9 6 3



12

Удвойте цифру и прибавьте соседа

Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее соседа

Пример:

1 шаг. 4 1 3

х 1 2

6

3•2=6



2 шаг. 4 1 3

х 1 2

5 6



1•2+3=5

3 шаг. 4 1 3

х 1 2

9 5 6



4•2+1=9

4 шаг. 4 1 3

х 1 2

4 9 5 6



6

Прибавьте половину соседа и:

прибавить 5 к цифре, если она нечётная;

ничего не прибавлять, если она чётная.

1 шаг. 7 6 3

х 6

8

Т.к 3-нечетная, то добавляем 5, т.е.

3+5=8-самая

правая цифра результата.

2 шаг. 7 6 3

х 6

7 8

Т.к 6-четная цифра, то 5 не прибавляем, а складываем с половиной соседа,

т.е.с половиной от 3.

Получаем: 6+1=7 (следующая цифра результата).



3 шаг. 7 6 3

х 6

5 7 8

Т.к 7-нечетная цифра, то добавляем 5, т.е. 7+5=12.

Затем к 12

прибавляем половину от 6 (соседа):12+3=15.

Записываем

в результат цифру 5, а единицу переносим в следующий разряд (как в обычном сложении)

4 шаг. 7 6 3

х 6

4 5 7 8

Число 7 делим пополам, получаем 3 и прибавляем единичку.



7

Удвоить цифру и прибавить половину соседа. Если цифра нечётная, то прибавить еще пять.

Аналогично, как и с умножением на 6, но только на этот раз не делим на два, а умножаем.

5

Если цифра четная, то берем половину соседа.

Если цифра нечетная, то берем половину соседа и прибавляем 5.

Пример:

1 шаг. 5 1 4

х 5

0

Т.к цифра 4-четная, то пять не добавляем, а берем только половину соседа. Но «сосед» в данном случае – это ноль, поэтому половина от нуля, тоже ноль. Самая правая цифра результата – это ноль.

2 шаг. 5 1 4

х 5

7 0

Цифра 9-нечетная. Поэтому берем половину соседа, т.е. 4:2=2 и к этой половинке прибавляем пять. Получаем 5+2=7.

3 шаг. 5 1 4

х 5

5 7 0

Цифра 5-нечетная. Поэтому берем половину соседа, т.е. 1:2. Получается дробь, но дроби в подобных случаях мы отбрасываем и оставляем только целую часть. Здесь целая часть ноль. К нулю прибавляем пять и записываем в результат.

4 шаг. 5 1 4

х 5

2 5 7 0

Половина от 5-это два.



9

При умножении на 8 или 9 мы мысленно делаем еще один новый шаг. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать вычтите из 10 или 9.

1) Вычтите правую цифру множимого из 10. Это дает правую цифру результата

2) Возьмите поочередно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите ее из 9 и прибавьте соседа

3) В последнем шаге, когда вы будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед множимым, вычтите 1 из соседа и полученное число будет самой левой цифрой результата.

Пример:

1 шаг. 8 7 6 9

х 9

1

Из 10 вычитаем правую цифру числа 8769, получаем 10–9=1. Это самая правая цифра результата.

2 шаг. 8 7 6 9

х 9

2 1

Из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем

9–6=3. Затем к 3 прибавляем соседа, т.е. 3+9=12. Один в уме, поэтому следующая цифра результата – это 2.

3 шаг. 8 7 6 9

х 9

9 2 1

Из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем

9–7=2. Затем к 2 прибавляем соседа, т.е. 2+6=8.И еще добавляем единицу, т. к. 1 была в уме. Поэтому следующая цифра результата – это 9.

4 шаг. 8 7 6 9

х 9

8 9 2 1

Из 9 вычитаем следующую цифру числа, получаем

9–8=1. Затем к 1 прибавляем соседа, т.е. 1+7=8. Следующая цифра результата – это 8.

Последний шаг.

Из 8 вычитаем 1, получим 7-первую цифру результата.

Ответ: 78921

8

1) Первая цифра – вычтите из 10 и удвойте

2) Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа

3) Уменьшите самую левую цифру на 2

4

1) Вычтите самую правую цифру числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечётная

2) Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечётная, и прибавьте половину соседа

3) Возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите её на один

1 шаг. 2 1 8 7

х 4

8

10–7=3

(вычитаем из 10 самую правую цифру числа). Цифра 7-нечетная, поэтому к результату вычитания прибавляем 5:

3+5=8.

2 шаг. 2 1 8 7

х 4

4 8

9–8=1. Затем прибавляем половину соседа: 1+7:2=1+3 (т. к. дробная часть отбрасывается. Результат-4.

3 шаг. 2 1 8 7

х 4

7 4 8

9–1=8.

8+5=13

(прибавляем 5, так

как 1-нечетная)

13+8:2=13+4=17.

	

4 шаг. 2 1 8 7

х 4

8 7 4 8

9–2=7;

7+1:2=7+0=7

Но в шаге №3 у нас получилось 13, значит единица была в уме, поэтому к семи добавляем еще 1.



3

1) Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте. Прибавьте 5, если цифра нечётная

2) Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечётная

3) Самая левая цифра: разделите на два самую левую цифру большого числа и вычтите два.

1 шаг. 2 5 8 8

х 3

4

10–8=2. Затем удвоить: 2•2=4.

2 шаг. 2 5 8 8

х 3

6 4

9–8=1.

Удваиваем полученное:

1•2=2. Затем прибавляем половину соседа:

2+8:2=2+4=6

3 шаг. 2 5 8 8

х 3

7 6 4

9–5=4,

4•2=8,

8+8:2=8+4=12

Цифра пять – нечетная, поэтому прибавляем 5.

12+5=17

4 шаг. 2 5 8 8

х 3

7 7 6 4

9–2=7





2

Поочередно удвойте каждую цифру множимого, не пользуясь соседом

1

Перепишите множимое без изменений

0

Ноль, умноженный на любое число, даёт ноль



К сожалению, использование подобной системы на обычных уроках математики достаточно затруднительно, но на дополнительных или факультативных занятий школьников вполне можно ознакомить. Им важно понять, что вся система по сути своей разработана благодаря необычайной наблюдательности автора, и постараться самим проявить нечто подобное при разборе приведенных выше правил.



3.3 Общие и специальные приемы



Приёмы устного счёта очень разнообразны. При выполнении вычислений устно, порой надо проявлять творческую инициативу, смекалку и выполнять действие тем или иным способом.

Приёмов устного счёта существует огромное множество. Все приемы можно объединить в две группы:

общие (приемы, в которых используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)

специальные (для конкретных чисел, частные случаи)



Общие приемы

Краткие сведения

Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

	Прием №1

	Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий

При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:

1) Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.

2) Использование сочетательного и переместительного свойств.

3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.

Пример:

Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.

1) пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.

28=20+8		32=30+2

47=40+7		13=10+3

2) воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:

20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон)

(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) – (сочетательный закон)

3) выполняем сложение каждой группы

50+10+50+10

4) 50+50+10+10 (переместительный закон)

5) 100+10+10=120 выполняем сложение



Специальные методы

Краткие сведения

Приёмы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.

Приём №1.

Приём округления

Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.

Прием заключается в следующем:

1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа.

2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли.

Примеры:

1) 399+473=400+473=873–1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)

399+473=(399+1)+(473–1)=400+472=872

2) 56–38=(56+4–38) – 4=(60–38) – 4=22–4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц)

3) 72–15=((72–2) – 15)+2=(70–15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить)

4) 752–298=(752 – (298+2))+2=(752–300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.)

93–22=(93 – (22–2)) – 2=(93–20) – 2=73–2=71

Приём №2

Приём перестановки слагаемых или перестановки сомножителей

Суть приёма заключается в перемене мест слагаемых для того, чтобы сначала сложить те числа, которые в сумме дают «круглое» число или просто более легко складываются.

Примеры:

1) 389+567+111=389+111+567=500+567=1067 (переместительные свойства суммы)

2) 2357+1998+3055=2357+1997+(3010+45)=2357+1998+3010+43+2=2357+43+1998+2+3010=2400+2000+3010=7410 (первое и второе слагаемые дополняются за счёт третьего)

Приём №3

Приём замены одного действия другим

Замена вычитания сложением: вычитаемое сначала дополняется единицами до «круглого» числа, а затем полученное «круглое» число дополняют уже до уменьшаемого, т.е. основное действие вычитания заменилось на «двойное» сложение.

Примеры:

1) 600–289 дополняем 289 до 300: это 11 и ещё 300 до 600. Итого: 311

Вместо того, чтобы вычислять 600–289=311, мы вычисляем 289+11+300=600, при этом без записи, произнося про себя 11, 300, итого 311

2) 730–644 вычитаемое 644 дополняем до 650 (6), затем до 700 (50) и до 730 (30): 6+50+30=86

Приём №4

Приём умножения на 5,50,500

1. Множитель, который умножаем на 5,50,500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте.

Пример:



Но есть более простой способ! Если один из множителей увеличить в два раза, то и произведение увеличится в 2 раза, следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение уменьшить в два раза.

Пример:

1) 

2) 

(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза)

Умножение чисел на 50 и 500 начинается также, как и умножение на 5, с деления множимого на 2 и заканчивается умножением полученного результата на 100 или 1000, что равносильно приписыванию двух или трёх нулей справа.

Пример:



Приём №5

Приём умножения на 25, 250, 2500

При умножении числа на 25, сначала мы умножаем на 100, а полученный результат делим на 4, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100.

Пример:



Аналогично выполняется умножение на 250 и на 2500.

Приём №6

Прием умножения на 125

Для использования этого приёма надо помнить, что 125 это 1/8 часть 1000, т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала мы умножаем на 1000, а полученный результат делим на 8, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000.

Примеры:

1)



Приём №7

Приём умножения на 15

Пятнадцать состоит из одного десятка и 5 единиц, но 5 это половина 10, следовательно, мы должны число умножить на 10 и взять ещё половину полученного от умножения этого числа на десять.

Пример:

Особенно эффективен этот приём умножения на 15 чётных чисел, где действия можно выполнить так: 

А с нечётными так: 

Приём №8

Приём умножения на 9 и 99

Множители 9 и 99 на единицу меньше круглых чисел 10 и 100. Поэтому умножение числа 9 мы можем выполнить так:

умножаем число на 10 и вычитаем из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. берем число не 9, а десять раз и уменьшаем после на это же число)

Умножение числа на 99 производится аналогично.

Примеры:

1) 25•9=25•10–25•1=250–25=225

2) 35•99=35•100–35•1=3500–35=3465

Приём №9

Приём умножения на 11

Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь мы будем числа сначала умножать на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз

это же число.

Примеры:

1) 87•11=87•10+87•1=870+87=957

2) 232•11=232•10+232•1=2320+232=2552

Это общий приём умножения на 11.

Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом:

достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма

выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом (пример 2).

Примеры:

1) 54х11=594, (5+4=9)

2) 78х11=858 (7+8=15, 7+1=8).

Этот приём основан на умножении столбиком на 11:

78•11=858



В этом параграфе мы рассмотрели теоретические основы, классификацию приемов устного счета, а также приемы, которые предлагают нам такие педагоги, как С.А. Рачинский и Я. Трахтенберг.

Умение хорошо и правильно вычислять устно является одним из оснований умения прикидывать и оценивать результат вычислений, еще одного из компонентов вычислительной культуры школьников. Именно поэтому, рассмотрев приемы устного счета, переходим к приемам прикидки и оценки результатов вычислений, которые подробно описываются в четвертом параграфе.






4. Приемы прикидки и оценки результатов вычислений



Умение пользоваться микрокалькулятором стало неотъемлемой частью математической культуры современного человека. Поэтому надо определиться, какими характеристиками должны обладать вычислительные навыки.

Конкретные числа и действия машине задает человек. В некоторых ситуациях машина может дать «сбой», либо задающий ей числа и операции допускает ошибку. Школьник, используя МК, естественно, не сомневается в истинности результата, который выдает машина. Поэтому школьников надо учить давать предварительную оценку результата, т.е. выполнять «прикидку». Таким образом одной из характеристик вычислительных навыков выступает умение прогнозировать результат и оценивать его истинность, которое необходимо в дальнейшем обучении при изучении целого ряда предметов среднего и старшего звена общеобразовательной школы (алгебры, геометрии, физики, химии и др.).

В толковом психологическом словаре «прогноз – в общем смысле: предсказание хода и результата любого процесса…» [2, 118]. У Я.И. Груденова «прогнозирование – это предвидение тех результатов, к которым может привести поиск…». [3, 106]

В современной психологии считают, что человек ищет и находит решение любой задачи на основе непрерывного прогнозирования искомого, т.е. некоторого предвидения получаемого результата в процессе анализа, синтеза, обобщения. Прогнозирование является одной из основных функций психики. «Формирование умения прогнозировать, предвидеть результаты,…, является важным компонентом развития мышления учащихся».

В качестве иллюстрации можно привести пример: хороший шахматист не просто делает один ход, а предвидит на несколько ходов вперед, к чему этот ход приведет, т.е. прогнозирует направление дальнейшего развития партии. По мнению Я.И. Груденова «прогнозирование – важный элемент поиска решений и мощное средство развития навыков логического мышления». [3, 108] Таким образом, данное умение важно не только как одно из качеств осознанного вычислительного навыка, но и необходимо при решении любой задачи и в дальнейшей трудовой деятельности.

Под прогнозированием будем понимать предварительное оценивание результата арифметического(их) действия(ий) («прикидку» числа цифр результата, его последней цифры с помощью предварительного округления; на основании зависимости между результатами и компонентами арифметических действий; по алгоритму выполнения действий), позволяющее избежать очевидных ошибок в вычислениях.



4.1 Приемы прикидки и оценки результата как приемы эвристического поиска



Поиск решения той или иной задачи на вычисления можно осуществить несколькими способами. Первое, что приходит на ум, сразу приступить к вычислению, даже с виду громоздкого примера. Это так называемый метод проб и ошибок. Задача будет решена, но весь вопрос в том сколько времени и усилий уйдет на это? Не все, но многие задания направлены на то, чтобы заставить ребенка, прежде чем ринуться считать, все-таки, на минутку задуматься, а нельзя ли как-нибудь упростить себе задачу, заметить что-то, что позволит «отсеять» заведомо неверный результат. В этом заключается метод эвристического поиска, который позволяет сузить область поиска решения. Приемы прикидки, о которых мы говорим, как об одном из компонентов вычислительной культуры и являются своеобразными приемами эвристического поиска.

Эвристика (др.-греч. ехсЯукщ «отыскиваю», «открываю») – наука, изучающая творческую деятельность, методы, используемые при открытии новых концептов, идей и взаимосвязей между объектами и совокупностями объектов, а также методики процесса обучения. Эвристические приемы (другое название эвристики) позволяют ускорить процесс решения задачи.

Термин «эвристика» понимается в различных значениях [18, 106]: 1) специальные методы, используемые в процессе открытия нового (эвристические методы); 2) наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическая деятельность); 3) восходящий к Сократу метод обучения (так называемые сократические беседы). Есть и другие точки зрения на сущность эвристики. Предлагается понимать под эвристикой и любой совет – как искать решение задачи.

Эвристический прием позволяет ограничивать перебор вариантов решения, т.е. сокращать число вариантов, изучаемых перед тем, как выбрать окончательное решение.

Ту же направленность имеет обучение прикидке и оценке результата вычислений в школе. Таким образом, можно считать прикидку эвристическим приемом.

Казалось бы, что можно прикидывать на этой ступени обучения, изучаются одни правила вычисления – сначала с десятичными дробями, затем с обыкновенными… Но, именно, в этом возрасте появляется возможность заложить основу умения видеть «а нужно ли вычислять» или можно обойтись рассуждениями, заметить то, что сразу выведет нас к верному ответу.



4.2 Задания на прикидку и оценку в учебниках для 5–6 класса



Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата.

В настоящее время рекомендованы министерством образования и науки РФ следующие учебники по математике для 6 класса:

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд Математика – М.: Мнемозина, 2003. – 304 с.

И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович Математика 6 – М.:Мнемозина, 2006. – 264 с.

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин Математика 5–6

В основе умения выполнять прикидку лежит умение округлять числа. Потому-то этому вопросу в курсе математики 5–6 класса в учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева уделяется достаточное внимание. С помощью упражнений закрепляется в сознании учащихся суть употребления основных терминов: «примерно», «приближенное равенство», «округление» и т.п.

Примеры (5 кл., №139,151,153):

В городе во время переписи населения было зарегистрировано 13882 жителя. Сообщая результаты переписи, одна газета указала, что в городе примерно 13 тысяч жителей, а другая – 14 тысяч. Какое сообщение точнее?

Миша задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Миша?

В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников? 626 учеников?

При изучении темы «Округление десятичных дробей» также вначале округление осуществляется по смыслу, а затем по правилу округления. Учащимся предлагаются соответствующие группы упражнений. Среди них – задания на прикидку результата. Например, такие (6 кл., №459,469):

Выразите 1 тыс. секунд приближенно в часах. Какой из следующих ответов является лучшим приближением?

А. 2 ч. Б. 3 ч. В. 0,2 ч. Г. 0,3 ч.

Печенье, цена которого 26 руб. за 1 кг, расфасовано в пакеты. На упаковках указана их масса: 724 г., 615 г., 830 г. Какую стоимость для каждой упаковки, скорей всего, назовет продавец?

Важный класс задач, способствующих развитию вычислительных умений учащихся, базируется на использовании идеи сравнения. Например, в ряде случаев используется оценка суммы с опорой на умение сравнивать компоненты действия с некоторыми «рубежными» числами. Такие задачи и представлены в большинстве своем в учебнике Н.Я. Виленкина, но также присутствуют и в учебнике Г.В. Дорофеева.

Выделим приемы прикидки и оценки результата вычислений и соответствующие им задания в указанных выше учебниках.

В ряде случаев используется оценка суммы с опорой на умение сравнивать компоненты действия с некоторыми «рубежными» числами. В качестве таких чисел обычно выступают «круглые числа»: 10,100,1000 и т.п. Преимущественно в таких заданиях сравнивают сумму или произведение чисел с «рубежным» числом. Основная идея: сами числа, входящие в сумму или произведение заменить ближайшими к ним (например, округлить до целых десятичные дроби) «удобными» числами, которые легко можно сложить или умножить, а может быть и сразу заметить, что сумма или произведение заведомо меньше или больше «рубежного» числа. Подобные задания встречаются в учебниках Г.В. Дорофеева.

Примеры:

Пользуясь оценкой, сравните значение суммы 289+655 с 1000

Решение:

Необходимо прикинуть, что 1000 получается в результате сложения 300 и 700 (выбираем числа, которые ближе к слагаемым предложенной суммы). Заметим, что и 289<300, и 655<700, поэтому и вся сумма 289+655 меньше 1000.

Сравните с числом 10 сумму 2,901+2,809+2,999

Решение:

Замечаем, что каждое из слагаемых меньше трех, а значит их сумма заведомо меньше девяти, ну и, соответственно, меньше 10.

10>2,901+2,809+2,999

Кроме применения соответствующих правил, учащихся желательно учить сравнению чисел путем рассуждений. Это более завуалированный вариант сравнения с «рубежными» числами. Основная идея состоит в том, что это число не дано в задании, а дети его должны выявить сами. Этот прием можно использовать при сравнении обыкновенных дробей с разными знаменателями, т. к. такое сравнение можно осуществить проще и быстрее, нежели искать общий знаменатель, а потом сравнивать. Дроби удобно будет сравнивать с  и с 1. Не всегда можно использовать подобный прием, но во многих заданиях, он помогает экономить и время, и силы.

При сравнении дробей с разными знаменателями на основе рассуждений и догадок можно разобрать сравнении таких пар чисел, как  и , и ,  и ,  и :

1. Для дробей вида  и  в учебниках приводится даже вполне конкретное правило: «Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше». Поэтому, нетрудно установить, что  > 

2. Сравнить дроби  и  немного сложней, но тем не менее, так же возможно, для этого нужно сравнить каждую из дробей с единицей. Замечаем, что дроби  не достает до единицы , а дроби  не достает . А  и  сравнить проще.  > , поэтому  расположено от единицы дальше, чем .Значит,  < .

3.  и  так же необходимо сравнивать с единицей, сразу заметив. Что - неправильная дробь, которая всегда больше или равна единице, а - дробь правильная, меньше единицы. Поэтому  < .

4. Прием сравнения таких дробей, как  и , основан на сравнении каждой из дробей с половиной.

<<, т. к. =

Для отработки подобного приема можно использовать следующие задания:

1) Запишите дробь, равную ; меньшую  и большую , со знаменателем 10,12,50.

2) Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь . Какие из отмеченных чисел меньше ? Какие из отмеченных чисел больше ?

3) Выпишите дроби, которые больше :

,,,,,

4) Расположите дроби в порядке возрастания:

Прием второй «Сравнение путем рассуждений» (положительные и отрицательные числа)

При использовании такого приема сравнивают произведения чисел с нулем, с отрицательным числом, с положительным числом. Казалось бы, выполнение подобных упражнений полностью опирается на правило, ни о какой прикидке и речи не идет. Но, опять же находятся такие упражнения, которые отталкиваясь от правил, путем некоторых рассуждений, приводят нас фактически к необходимости выполнить их не вычисляя, а прикинув. Подобное задание встречается в учебнике Виленкина Н.Я и др. Этот пример будет подробнее разобран во второй главе моего диплома в одном из фрагментов урока.

Перед тем как сравнивать, нужно разобрать сравнение произведений с нулем в следующем виде:

а – положительное число, b – отрицательное, сравните с нулем произведение аb.

Опираясь на правило умножения чисел с разными знаками, замечаем, что произведение положительного числа на отрицательное дает нам отрицательное число, а отрицательное число всегда меньше нуля. Следовательно, ab<0.

а – отрицательное, b – отрицательное, сравните с нулем произведение ab.

Опираясь на правило умножение отрицательных чисел, замечаем, что произведение отрицательного числа на отрицательное дает нам положительное число, а положительное число всегда больше нуля. Следовательно, ab>0.

После выполнения такого задания рассматриваем сравнение в нулем конкретных произведений, уже не в общем виде:

Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное равенство:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ;

Учитель предлагает выполнить это упражнение, не вычисляя. При выполнении пунктов а), б), д) полностью полагаемся на только что разобранные в общем виде случаи сравнения с нулем:

а) произведение отрицательного и положительного чисел дает нам отрицательное число, которое всегда меньше нуля;

б) произведение двух отрицательных чисел дает нам положительное число, которое всегда больше нуля;

д) аналогично, как и в пункте а), не смотря на то, что умножаем на дробь;

В пунктах в), г) и е) уже сравниваем с числом, но если в пункте в) такое сравнение осуществить совсем просто, не выполняя вычислений, то в пунктах г) и е) рассуждения будут немного сложней:

в) произведение положительного и отрицательного чисел дает нам отрицательное число, которое всегда меньше любого положительного;

г) Заметив, что в правой части произведение дает нам отрицательное число, знак все равно еще не можем поставить, т. к. в правой части тоже отрицательное число. Но есть одна особенность – сравним правую и левую часть, что общего можно отметить? «-8» есть и в правой, и в левой частях. Но, если в левой части оно взято всего один раз, то в правой целых 7,3 раза. Значит, на координатной прямой это число лежит левее числа -8. Поэтому .

е) Случай, казалось бы, аналогичен пункту г) (проводятся аналогичные рассуждения), но особенность заключается в умножении дробей. Необходимо вспомнить, что при умножении двух обыкновенных дробей мы получаем дробь, меньшую каждого из множителей (можно включить умножение дробей в устный счет в начале урока, чтобы затем освежить в памяти эти сведения). Поэтому, дробь, полученная при умножении  на  будет меньше, чем  или . Получаем .

Этот прием больше используется в младшей школе при умножении многозначных чисел на однозначное или двузначное, но задания легко изменить таким образом, чтобы появилась возможность продолжить работать с таким приемом и в 5–6 классах. Достаточно натуральные числа заменить десятичными дробями, отчего суть приема не изменится.

В основе этого приема лежит знание таблицы умножения и навыки устного счета, а также используется округление чисел.

Главное, догадаться, что произведение чисел, не вычисляя можно определить по последней цифре числа, либо оценив произведение, округлив каждое из чисел до целых.

Примеры:

1) Догадайся! Как, не вычисляя значений произведений, выбрать из чисел, записанных справа, правильные ответы:

20,78 · 7	 648,4

19,76 · 4	 79,04

81,05 · 8	273,49

39,07 · 7	145,46

Школьники сначала умножают числа, стоящие в разряде сотых

(20,78 Ч 7 =?, 8 Ч7 = 56, результат 145,46), что дает основание предположить, какое из чисел второго столбика является значением данного произведения. Для последних двух выражений, значение произведения которых оканчивается цифрой 9 (7 Ч 7 = 49 и 1Ч9=9), во втором столбике есть два числа, имеющие в разряде сотых 9, в этом случае в качестве «прикидки» можно использовать прием округления (до целых).

2) Найди ошибки, не производя вычислений, способом «прикидки»:

80,04 Ч 9 = 72,36

99,8 Ч 8 = 7988,4

45,67 Ч 8 = 365,42

8,352 Ч 7 = 58,464

234,5 Ч 3 = 703,4



4.3 Задания на прикидку в ЕГЭ и ГИА



Умение быстро и правильно оценить результат вычислений, затратив на это минимум времени и сил необходимо, чтобы выполнению более трудных заданий уделить больше внимания, делать их спокойно, а не в суматохе.

Поэтому уже 5–6 классах необходимо начать готовить школьников к возможности выполнения некоторых заданий практически устно, прикинув возможный результат и отбросив заведомо неверный или же округлив результат до целых. Это важно потому, что подобные задания присутствуют как в ГИА, так и в ЕГЭ.

Задания на прикидку и оценку в ГИА [7, 22–25]:

Округление натуральных чисел и десятичных дробей:

Задание 1.В одной столовой ложке – 25 г. риса, а в один стакан входит 235 г. риса. Сколько целых ложек риса помещается в одном стакане?

Решение:

1 способ. В 10 ложках содержится 10*25=250 г. риса. Это много для одного стакана. Если возьмем 9 ложек риса, то получим 9*25=225 г. риса, значит, в одном стакане помещается 9 целых ложек риса.

2 способ. В один стакан входит 235:25=9,4 ложек риса. Получается, что в один стакан входит 9 целых ложек риса.

Прикидка и оценка результата вычислений

Задание 1. Оцените значение выражения 3х+2у, если 1 < x < 2, 3 < у < 4

	A. (3,4) Б. (9,14) В. (6,10) Г. (4,8)

	Решение:

	Можно просто посчитать сумму при х=1, у=3 и х=2 и у=4. Понятно, что сумма будет больше 9, но меньше 14. Варианты А), В) и Г) отбрасываются автоматически, исходя из условия, сумма уже не может быть меньше 9.

	Задание 2. На упаковке пачки сливочного масла есть информация: «Масса 5007 г». Укажите, сколько масла не может быть в этой пачке.

	А. 502 г. Б. 507 г. В. 492 г. Г. 497 г.

	Решение:

	Запись «5007 г» означает, что в пачке не больше, чем 500–7=493 г., но и не меньше, чем 500+7=507 г. . В этот промежуток не входит ответ В) 492 г.

	Задание 3. Билет на аттракцион для взрослого стоит 50 рублей, а для детей дешевле. Достаточно ли 250 рублей, для посещения аттракциона двум взрослым и трем детям?

	А.достаточно В.недостаточно данных

	Б.недостаточно Г.лишние данные

	Задание 4. Вес среднего куриного яйца 43 г., в том числе 23 г. белка и 20 г. желтка. Найдите отношение веса желтка к весу белка и укажите в какой промежуток оно входит.

	А. (0,3; 0,4) В. (0,5; 0,6)

	Б. (0,4; 0,5) Г. (0,8; 0,9)

	Задания на прикидку в ЕГЭ [23]:

В 1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на сто рублей после повышения цены билет на 20%?

В 1. Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 500 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

В 1. Шариковая ручка стоит 10 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 10%?

В 5. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.



Поставщик

Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3)

Стоимость доставки (руб.)

Дополнительные условия доставки

1

2600

10000

2

2800

8000

При заказе товара на сумму свыше 150000 рублей доставка бес – платная.

3

2700

8000

При заказе товара на сумму свыше 200000 рублей доставка бесплатная.



Как видно, что выполняя задания из ЕГЭ и ГИА, мы пользуемся теми же приемами, что и при изучении основных тем в 5–6 классах. Основой являются рассуждения, попытка по внешнему виду задания определить ответ, который будет заведомо ложным. Поэтому очень важно, чтобы школьники усвоили их вовремя, чтобы затем с успехом применять на экзаменах.

В этом параграфе были рассмотрены приемы обучения прикидке и оценке результатов вычислений. Вся следующая глава посвящена разработке методических рекомендаций по использованию этих приемов на уроках математики, а также в ней представлены фрагменты таких уроков.






5. Формирование вычислительной культуры учащихся 5–6 классов



5.1 Методические рекомендации по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в 5–6 классах



Очевидно, что вычислительная культура является необходимым элементом общеобразовательной подготовки учащихся прежде всего силу своей практической значимости. Умение предвидеть результат, осуществить его проверку входит в учебно-интеллектуальную группу общеучебных умений, которые создают необходимую основу для самостоятельно приобретенных знаний, дальнейшего образования.

Безошибочное выполнение вычислений является необходимой базой для обучения другим школьным дисциплинам. Причем, существуют определенные требования к уровню сформированности вычислительных навыков по годам обучения (таблица 1) [5, 67]:



Таблица 1

Класс

Скорость арифметического счета (операций в минуту)

Количество предложений с логическими союзами или связками в речи



Сложение четырехзначных чисел

Вычитание четырехзначных чисел

Умножение трехзначных чисел



5

3–4

2–3

1

3–5

6

3–5

2–4

1–2

4–6

7

4–5

3–4

1–3

5–7

8

5–6

3–5

2–3

6–8

9

6–7

4–5

2–4

7–9

10

7–8

5–6

3–4

8–9

11

8–9

6–7

3–5

Не менее 10



Кроме того, следует отметить большие потенциальные возможности для развития интуиции, сообразительности, «здравого смысла», которые таятся в правильно организованной работе с числами. Вычислительную культуру в школьной математической подготовке нельзя рассматривать изолированно, так как, с одной стороны, без сформированных вычислительных навыков невозможно решать уравнения, неравенства, исследовать свойства функции, строить графики, решать практические задачи, с другой стороны ее формирование при правильно организованной методике обучения может осуществляться в процессе изучения любого раздела школьного курса математики.

В программе по математике отведено большое место вопросам формирования навыков вычислений. В начальной школе (1–4 классы) предусматривается овладение алгоритмами вычислений с многозначными числами, в младшем звене основной школы (5–6 классы) с обыкновенными и десятичными дробями, а позднее с приближенными значениями величин.

На протяжении всех лет обучения обращается особое внимание учащихся на необходимость предварительного планирования вычислительной работы, а лишь затем ее безошибочное осуществление.

Специфика математических алгоритмов состоит в том, что многие из них базируются на сложных навыках. Например, алгоритм сложения двух дробей с разными знаменателями основан на умении находить наибольшее общее кратное двух чисел, навыке применения основного свойства дроби для приведения дробей к общему знаменателю, навыке сложения двух дробей с одинаковыми знаменателями. В свою очередь каждый из них имеет сложную структуру, и несформированность какого-либо одного звена в этой системе является причиной несформированности более общего навыка сложения дробей с разными знаменателями. Учитывая сложную структуру многих математических алгоритмов, учителю следует с особым вниманием относиться к соблюдению основных методических требований к их формированию. Известно, что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формировать на сознательной основе, а поэтому желательно, чтобы формированию алгоритма, выработке соответствующего навыка предшествовало понимание сути выполняемого действия. Например, умножению десятичных дробей может предшествовать умножение на , где n – натуральное число, после чего умножение десятичных дробей сводится к умножению натуральных чисел.



Согласно одной из психологических теорий, формирование навыков происходит поэтапно, на первом этапе – овладение умением, а затем – доведение его до автоматизма. С учетом этого и должна строиться методика обучения. Для успешного овладения умением необходимо четкое выделение алгоритма действия, его структуры, осознание каждого шага. При выполнении упражнений на овладение умением необходимо требовать подробную запись и полное пояснение. Например, при овладении умением деления рациональных чисел следует подробно объяснять каждый шаг алгоритма: определение знака произведения, обращение модулей множителей в неправильные дроби, замену деления умножением на обратное делителю число, умножение дробей. Причем таких упражнений должно быть достаточно много, лишь после этого можно переходить к автоматизации умения. Автоматизация умения происходит, когда ученик в состоянии исключить промежуточные операции, при этом сложные ассоциации (А-В-С) заменяются простым (А-С).

На языке методики это означает, что, что после достаточного числа упражнений, выполняемых в развернутой форме, постепенно, с учетом индивидуальных особенностей обучаемых, необходимо учить их свертыванию промежуточных операций. При этом часть преобразований выполняется мысленно. Одной из основных причин ошибок учащихся является преждевременный переход к этому этапу формирования соответствующего умения. Например, учащиеся часто допускают ошибки при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, забывая сменить знак перед каждым слагаемым, заключенным в нее. Это объяснятся тем, что выделение (-1) в качестве множителя, стоящего перед скобкой, слишком рано было исключено из обязательного этапа соответствующего тождественного преобразования и заменено свернутой операцией – раскрытием скобок со сменой знака каждого слагаемого. [5, 68–69]

2а – 3b – (a+b+3) = 2a – 3b – 1a – 1b+3 = a – 4b+3

Специфика формирования алгоритмических навыков, а именно к ним относятся вычислительные навыки, такова, что формирование нового навыка идет на фоне старых, при этом часто используется перенос старых навыков на новые. Например, прочные навыки действий с натуральными числами облегчают усвоение алгоритмов действий с десятичными дробями. К сожалению, довольно часто старые навыки тормозят или даже мешают выработке новых. В психологии отрицательное воздействие одного навыка на другой называют интерференцией. Примеров интерференций (влияний старого навыка на новый) в математике много: решение уравнений с использованием зависимостей между компонентами и результатом арифметических действий после того, как уже известно правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, отбрасывание нулей в произведении натуральных чисел после изучения действий над десятичными дробями и т.д. Наиболее значимыми причинами интерференции являются большая прочность ранее образованных связей и сходство в условиях, способах реализации старых и новых действий. Возможными средствами ослабления интерференции являются: акцентирование внимания на различиях между старым и новым действием, разнесением во времени изучение сходных алгоритмов, недопущение длительных перерывов в использовании важных навыков.

Как следует из определения, важным компонентом вычислительной культуры является умение рационально выполнять вычисления. Если ввести уровни сформированности вычислительной культуры, то можно сказать, что умение выполнять вычисления по алгоритму, знание законов действий характеризуют нижнюю, обязательную ее ступень или первый уровень. Порой, более высокий уровень определяется умением выполнять некоторые преобразования для более рационального вычисления и, наконец, третий уровень можно охарактеризовать наличием умения привести к виду, допускающему преобразования. Очевидно, что каждый из выделенных уровней характеризуется разной долей ориентировочной деятельности, в результате которой вырабатывается план вычислений.

Рассмотрим три способа вычисления одного и того же выражения, соответствующего трем указанным уровням.



Первый способ вычисления состоит из вычисления суммы в скобке и получения результата в виде обыкновенной дроби, перевода первого множителя, также в обыкновенную дробь и умножение этих двух дробей по известному правилу.

1)

2)

Второй способ вычисления заключается в применении распределительного закона умножения.



Третий способ предусматривает не только применение распределительного закона умножения, но и представление второго слагаемого в виде суммы, т.е. предварительного преобразования.



Преобразование выражений – один из способов рационализации вычислений, при этом основное внимание уделяется не механической работе, а творческой, что существенно важно не только для устных вычислений, но и для инструментального счета с микрокалькулятором. Без сформированных на достаточном уровне умений приводить выражения к наиболее удобному для инструментальных вычислений виду трудно говорить о грамотном использовании вычислительной техники. [5, 70–72]

Прежде всего, формируя навыки рациональных вычислений, необходимо учащимся «во всей красе» показывать удобство того или иного способа вычислений. Для этого необходимо использовать при составлении заданий «неудобные» числа, давать громоздкие с виду примеры, либо в самом задание должна звучать фраза типа «упростить», «как проще?», «как удобней, короче?» Все это способствует проявлению у школьника желания упростить себе задачу, отыскав более рациональный способ вычисления.

Элемент соревновательности на уроке позволяет более наглядно показать удобство использования тех или иных приемов рационализации вычислений.

Арифметические вычисления, с одной стороны, предусматривают проверку полученного результата или хотя бы его прикидку в качестве необходимого этапа, а с другой – представляют широкие возможности для выработки соответствующих навыков. Одной из особенностей современных учебников математики для 5–6 классов основной школы является наличие в системе упражнений заданий на проверку правильности полученного результата выполнением обратного действия, на прикидку результата. Конечно, сегодня наиболее эффективным средством проверки правильности вычислений является калькулятор.

Пользование калькулятором повышает значение счета «в уме» для прикидки результата, ученики должны следить за разумной точностью вычислений, ощущать ее необходимость и контролировать каждый свой шаг. Верные вычисления не всегда соответствуют правильному решению задачи. Именно поэтому во многих случаях ученикам очень важно уметь прикинуть и оценить результат вычислений. Например, что при вычислении части от числа мы никогда не сможем получить результат, больший, чем само число, от которого искали часть.

Приемы, используемые в следующем параграфе, при составлении фрагментов уроков обучения прикидке и оценке результата вычислений, основаны на составлении некой системы вопросов, которую учитель должен тщательно продумать. Такую беседу лучше проводить не при выполнении непосредственно самого задания на прикидку, а на этапе актуализации знаний или устного счета, чтобы ученик подходил к самому заданию более подготовленным, что обеспечит большую эффективность подобного рода упражнений.

На примере конкретных уроков, в следующем параграфе номер два подробно разобраны приемы обучения прикидке и оценке результата вычислений при изучении различных тем, а также два конспекта посвящены рациональным вычислениям.



5.2 Реализация методических рекомендаций по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в 5- 6 классах



Фрагмент урока №1

Класс: шестой

Тема: «Умножение положительных и отрицательных чисел»

Тип урока: закрепление нового материала

Цель фрагмента: на основе правил сравнения и умножения положительных и отрицательных чисел без вычислений, путем рассуждений (экономя тем самым время), выполнять задания

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [11]

На данную тему отводится три часа. Этот урок второй по теме: «Умножение положительных и отрицательных чисел». На первом уроке были рассмотрены два основных правила умножения положительных и отрицательных чисел и первично закреплены путем выполнения пробных и тренировочных упражнений.

На следующем уроке (этап которого и рассматривается) учитель, проводя необходимую актуализацию знаний, предлагает ученикам такое задание.

Пример:

Число a – положительное, а число b – отрицательное. Сравните с нулем произведение этих чисел.

Числа m и n – отрицательные. Сравните с нулем произведение этих чисел.

Еще раз вспомнив правило, ребята пытаются ответить, какому числу равно произведение положительного и отрицательного числа. Ответ: отрицательному числу.

Учитель. Всегда ли так?

Ученик. Дети приводят несколько примеров и делают вывод, что всегда. Учитель. А что больше ноль или отрицательное число?

Ученик. Конечно, отрицательное число меньше нуля. Поэтому, если а – положительное, а b – отрицательное, то произведение  будет отрицательным числом, а значит меньше нуля: <0.

Составим произведение m и n ().

Учитель. Какими числами являются m и n?

Ученик. Отрицательными числами.

Вспомнив правило умножения отрицательных чисел, делаем вывод, что произведение отрицательных чисел всегда является положительным числом, а значит оно больше нуля. Поэтому произведение >0.

После актуализации знаний, проведенной в подобной форме, учитель предлагает выполнить №1124.

№1124.

Поставьте вместо знака * знак < или > так, чтобы получилось верное равенство:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ;

Но учитель добавляет к заданию, что его нужно выполнить не вычисляя.

Учитель. Нужно ли выполнять вычисления, или вы, все-таки, вы заметили, как сразу сравнить?

Буквы а), б) и д) легко сделать, так как только что разобрали эти же случаи в «общем виде». В буквах а) и д) произведение чисел с разными знаками – оно всегда отрицательно, в букве б) произведение отрицательных чисел – оно всегда положительно. Все это дети должны заметить, основываясь на разобранных случаях.

Учитель. Можем ли мы точно так же, не выполняя вычислений, сразу поставить знак в букве в)?

Ученик. Слева вновь мы видим произведение чисел с разными знаками (которое, как мы не раз уже повторили, всегда отрицательно).

Учитель. А какое же число на это раз стоит справа?

Ученик. Положительное число. Теперь мы сравниваем не с нулем, а с положительным числом. А положительное число, всегда больше отрицательного.

Разобрать задание под буквой г) можно в виде такого диалога:

Учитель. Что общего между правой и левой частями в задании под буквой г)?

Ученик. Число -8.

Учитель. Какое это число?

Ученик. Отрицательное.

Учитель. Сколько раз берется число (-8) в правой части?

Ученик. Один

Учитель. А в левой?

Ученик. семь целых и три десятых раза

Учитель. Как вы думаете какое из чисел расположено левее на числовой прямой: (-8) взятое один раз или (-8) взятое 7,3 раза?

Ученик. Второе

Вывод: 

В пункте е) отличие от г) лишь в том, что при умножении обыкновенных дробей, мы всегда получаем число по модулю меньшее, чем сами множители.

Таким образом, еще раз видим, на примере данного упражнения, что не всегда необходимы вычисления, так как порой к правильному ответу можно прийти и путем рассуждений, пользуясь лишь правилами сравнения и умножения положительных и отрицательных чисел.

Фрагмент урока №2

Класс: шестой

Тема урока: «Умножение дробей»

Тип урока: применения знаний и умений

Цель фрагмента: повторив правила умножения дробей, но при этом не делая акцента на правилах сравнения дробей, выполнять сравнение произведения с дробью, не прибегая к вычислениям

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [10]

Всего на данную тему отводится 4 часа. Это третий урок по теме: «Умножение дробей».

На первых двух уроках были разобраны три основных правила:

Умножение дроби на число;

Умножение обыкновенных дробей;

Умножение смешанных чисел;

А также рассмотрена возможность использования сокращения при умножении дробей, закреплялись эти правила путем выполнения различных упражнений.

На этом уроке на этапе устного счета учителю с учениками необходимо повторить все правила умножения.

1); 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

Школьники отвечают развернутым ответом: «Для того, чтобы умножить  на 7, нужно числитель умножить на число 7, а знаменатель оставить прежним. Заметим, что числитель и знаменатель можно сократить на 7, получаем, что в числителе остается 1, и в знаменателе – один».



В таком ключе каждый из примеров.

После выполнения всех заданий учитель задает следующие вопросы:

Учитель. Обратите внимание на пример первый. Какие числа мы умножаем?

Ученик.  на 7, то есть дробь на натуральное число

Учитель. -это какая дробь?

Ученик. Это правильная дробь!

Учитель. Какой результат получился при умножении?

Ученик. Единица.

Учитель. Скажите, а этот результат больше или меньше каждого из множителей?

Ученик. , но 

Учитель. То есть в результате умножения дроби на натуральное число мы получили результат, меньший самого этого числа?

Учитель. В каком еще примере мы получим результат, меньший, чем натуральное число, на которое умножали?

Ученик. Во втором примере.

Учитель. Верно! А как вы думаете, всегда ли так будет получаться?

Ученик. Да всегда!

Учитель. Почему же? Когда мы умножаем дробь на натуральное число, как вы думаете, какую операцию мы выполняем?

Ученик. Находим дробь от числа. Находим часть от числа, а часть не может получиться больше, чем само число.

Учитель. Молодцы! Поэтому при умножении дроби на натуральное число, всегда получаем число, меньшее, чем само число, на которое умножали.

Учитель. Разберем примеры 3) – 5)

Учитель. Какие числа умножали?

Ученик. Обыкновенны дроби.

Учитель. При умножении получили . Выберите из трех дробей  самую меньшую («Что меньше: третья часть хлеба, шестая или восемнадцатая?»

Ученик. - самая меньшая. . Получили результат меньше каждого из множителей.

Точно так же сравниваем результат с каждым из множителей в примерах 4) и 5) и убеждаемся, что всегда результат умножения двух правильных дробей меньше каждой дроби. Вывод: при умножении двух правильных дробей всегда получим еще меньшую дробь.

После этого этапа учитель предлагает выполнить задание №624 (а, б, в)

№624. Не выполняя умножения, сравните:

а) и 3; б)и ; в)) и .

Учитель. Посмотрите внимательно на задание и скажите, что мы будем сравнивать в каждом из пунктов? Есть ли что-то общее во всех пунктах задания?

Ученик. Да! В каждом из пунктов сравниваются произведения чисел с одним из множителей.

Пункт а).

Учитель. Какие числа умножаем в пункте а)?

Ученик. Натуральное число на правильную дробь. И мы уже знаем, что результат такого умножения меньше самого натурального числа, на которое умножали, поэтому 

Пункт в)

Учитель. В этом пункте какие числа умножаем?

Ученик. Обыкновенные дроби. А при умножении дробей получаем дробь меньшую, чем каждая из дробей, которые умножаем. Поэтому .

Пункт б)

Учитель. А какие числа умножаем в этом пункте?

Ученик. Смешанное число и обыкновенную дробь.

Учитель. Какое действие такое умножение нам напоминает?

Ученик. Нахождение дроби от числа. Поэтому результат умножения будет меньше самого смешанного числа, но больше дроби, на которую умножали!

Учитель. Верно! 

Таким образом, ученики твердо усваивают для себя, что при нахождении части от числа, мы всегда получим ответ меньший, чем само число. Это поможет им легко находить ошибки в вычислениях, оценив полученный ответ. А также легко выполнять сравнения, подобные тем, что представлены в номере 624, экономя время на вычислениях. Для большей наглядности учитель может дать аналогичные задания, но содержащие дроби, вычисление произведения которых действительно громоздко и долго.

Например:

Сравните, не выполняя вычислений  и 361;

и 


Фрагмент урока №3

Класс: шестой

Тема урока: «Сложение отрицательных чисел»

Тип урока: применения знаний и умений

Цель фрагмента: повторить правило сложения отрицательных числе и, не выполняя вычислений, сравнивать сумму отрицательных чисел с одним из слагаемых

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [11]

Всего на данную тему отводится 2 часа. Это второй урок по теме: «Сложение отрицательных чисел».

На первом уроке, с опорой на умение складывать отрицательные числа с помощью координатной прямой и знание определения модуля числа, выводится правило сложения отрицательных чисел и основной факт, заключающийся в том, что результатом сложения двух отрицательных чисел является также отрицательное число, вне зависимости от того какие числа складываем (дробные ли, целые ли).

На втором уроке после проведения необходимой актуализации знаний (на конкретных примерах устно повторяется правило сложения отрицательных чисел), учитель проводит с учениками беседу такого характера:

Учитель. Сложим (-6) и (-3).

Ученик. -6+(-3)=-9

Учитель. Изобразим результат сложения на координатной прямой

Ученик.

Учитель. Посмотрите на рисунок, как по отношению к каждому из слагаемых расположена сумма?

Ученик. Сумма на координатной прямой лежит левее каждого из слагаемых.

Учитель. (-9) меньше или больше каждого из слагаемых?

Ученик. -9<-6, – 9<-3

Учитель. Когда мы к отрицательному числу прибавляем отрицательное число, мы в результате получаем большее или меньшее число?

Ученик. Меньшее.

Затем учитель задает ребятам выполнить номер 1046, добавляя, что его нужно выполнить не вычисляя.

№1046. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство:

а) – 17+(-31)* – 17; б) – 22+(-35)* – 35

Пункт а)

Учитель. Какое число встречается и в левой, и в правой части выражения?

Ученик. (-17)

Учитель. Какое (положительное или отрицательное) число прибавляем к (-17)

Ученик. Прибавляем отрицательное число. Значит сумма будет отрицательным числом, еще меньшим, чем каждое из слагаемых.

-17+(-31)<-17.

Сумма (-17) и (-31) меньше, чем само число (-17).

Аналогично разбирается пункт б)

Опять же подобное задание, можно более «эффектно» продемонстрировать, взяв числа, сумму которых вычислять либо долго, либо неудобно.

Фрагмент урока №4

Класс: пятый

Тема урока: «Деление на десятичную дробь»

Тип урока: применения знаний и умений

Цели фрагмента: вспомнить правила деления и умножения на десятичную дробь, а также связать умножение на десятичную дробь с правилом нахождения дроби от числа, выполнив задание, не прибегая к вычислениям

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [13]

Всего на данную тему отводится 7 часов. Это третий 4 урок по теме: «Деление на десятичную дробь».

На первых трех уроках были разобраны правила деления на десятичную дробь и деление на 0,1; 0,01; 0,001, а также закреплялись эти правила путем выполнения вводных, тренировочных упражнений. Была написана самостоятельная работа на проверку навыка применения этих правил.

На этом уроке решаются задачи с применением правила деления на десятичную дробь, а также задачи на повторение.

На этапе решения задач учащимся предложено решить задачу на повторение нахождения числа по его дроби и дроби от числа.

№1481. Первое число равно 6,3 и составляет  второго числа. Третье число составляет  второго. Найдите второе и третье числа.

Решая данную задачу, вспоминаем как находить число по его дроби и дробь от числа. Последнее нужно для выполнения следующего задания.

Учитель. Как найти дробь от числа?

Ученик. Число умножить на числитель дроби и разделить на знаменатель.

Учитель. А как найти 0,5 числа 91?

Ученик. Сначала представить число 0,5 в виде обыкновенной дроби .

А затем =45,5

Учитель. А попробуйте умножить 0,5 на 91, какой ответ получим?

Ученик.  Такой же!

Учитель. Делаем вывод: число умножить на десятичную дробь – это тоже самое, что умножить его на числитель и разделить на знаменатель (10,100,1000 и т.п.)

=После этого учитель предлагает выполнить номер 1472.

№1472. Сравните, не вычисляя, значений выражений:

а)  и ; б) и 

Пункт а)

Учитель. Мы только что с вами сказали, что для того, чтобы число умножить на десятичную дробь что нужно сделать?

Ученик. Умножить число на числитель и разделить на знаменатель.

. Ставим знак равенства.

Пункт б)

Учитель. Для того чтобы нам разобраться с пунктом б), нам необходимо вспомнить какое правило?

Ученик. Правило умножения десятичных дробей.

Для того, чтобы умножить десятичные дроби нужно:

1) умножить, не обращая внимания на запятую;

Учитель. Смотрим на выражение, стоящее справа, соответствует ли оно первому пункту правила умножения?

Ученик. Да, так как, чтобы умножить 0,084 на 0,5, нужно сначала умножить 84 на 5.

Учитель. А дальше что необходимо сделать по правилу?

Ученик. 2) Отделить столько знаков, сколько в обоих множителях вместе.

Учитель. Сколько знаков будем отделять в данном случае?

Ученик. Четыре.

Учитель. В какую сторону будем двигать запятую?

Ученик. Влево на 4 знака

Учитель. А какое действие позволяет нам передвинуть запятую влево?

Ученик. Деление на 10, 100, 100, 10000,…

Учитель. В данном случае на сколько надо делить?

Ученик. На число с четырьмя нулями, то есть на 10000.

Учитель. Значит между выражениями в пункте б) какой знак можно поставить?

Ученик. Знак равенства



Выводы: Пункт а) очень пригодится при изучении темы проценты, дети на основе уже разобранного таким образом материала, легко смогут заметить, что найти процент от числа – это тоже самое, что умножить число на десятичную дробь, соответствующую этому проценту.

Фрагмент урока №5

Класс: шестой

Тема урока: «Деление дробей»

Тип урока: применения знаний и умений

Цель фрагмента: повторив правила деления дробей, но при этом не делая акцента на правилах сравнения дробей, выполнять сравнение частного с дробью, не прибегая к вычислениям

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [10]

Всего на тему «Деление дробей» отводится 5 часов. Это третий урок по данной теме. На прошлых двух уроках учащиеся познакомились с правилом деления, были разобраны основные случаи деления:

Деление дроби на натуральное число;

Деление натурального числа на дробь;

Деление обыкновенных дробей;

Деление смешанных чисел;

На этом уроке планируется приступить к решению задач, но прежде выполнить номер из учебника на прикидку и оценку результата вычислений

На этапе устного счета вспоминаем правило деления и проводим следующую беседу:

1); 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

Школьники отвечают развернутым ответом: «Для того, чтобы разделить  на 2, нужно  умножить на число, взаимно обратное 2, то есть на , а затем применить правило умножения дробей . Заметим, что числитель и знаменатель можно сократить на 2, получаем, что в числителе остается 1, и в знаменателе – три».

Когда устный счет закончен, учитель проводит следующую беседу:

Учитель. При делении целого числа на правильную дробь, мы получаем результат меньший или больший, чем само это число?

Ученик. Больший (в номере 2 устного счета получается 18, а число которое делили 16<18)

Учитель. Какое действие напоминает деление числа на дробь?

Ученик. Нахождение числа по его дроби (или по его части)

Учитель. А что больше число или его часть?

Ученик. Число, конечно. Значит при делении натурального числа на дробь всегда получаем число большее, чем само число, которое делим.

Учитель. Следующий пример 3 из устного счета. Какие числа делим?

Ученик. Натуральное число на неправильную дробь.

Учитель. Результат получается больше или меньше самого числа?

Ученик. Меньше.

Учитель. Как вы думаете почему?

Ученик. Потому что при делении на неправильную дробь, применив правило и умножив число на взаимно обратное делителю, мы число умножаем на правильную дробь. Или находим часть от числа, а часть всегда меньше самого числа.

Учитель. Вывод: при делении числа на правильную дробь всегда получаем число большее самого числа, которое делим, а при делении на неправильную дробь, наоборот – меньшее.

Учитель. Попробуйте сами, глядя на результаты сформулировать подобные выводы для деления дроби на дробь (если не получается, то используя аналогичную систему вопросов, вместе с учителем делают вывод)

Ученик. При делении обыкновенных дробей результат получается больше, чем та дробь, которую делим.

Учитель. А случай деления смешанного числа схож с каким случаем?

Ученик. С делением натурального числа!

Учитель. Верно!

Затем учитель предлагает, используя только что полученные знания, решить номер 668.

№668. Не выполняя деления, сравните:

а)  и 9; б)  и 6; в) и ; г)  и 

Пункты а) и б)

Учитель. В этих пунктах какие числа делим?

Ученик. Натуральные числа на дробь: в пункте а) – на правильную дробь, в пункте б) – на неправильную.

Учитель. А с чем необходимо сравнить частное?

Ученик. С самим натуральным числом.

Учитель. Что можно сказать о результате деления в пункте а)?

Ученик. Что он всегда больше самого натурального числа самого, а пункте б) – всегда меньше. Поэтому ; 

Пункт в)

Учитель. В этом пункте какие числа делим?

Ученик. Обыкновенные дроби.

Учитель. С чем сравниваем?

Ученик. С делимым.

Учитель. А мы с вами выяснили, что результат такого деления всегда больше или меньше делимого?

Ученик. Всегда больше! Поэтому 

Пункт г)

Учитель. Какие числа делим?

Ученик. Смешанное число на правильную дробь.

Учитель. Такой случай аналогичен…

Ученик. Случаю деления натурального числа на правильную дробь, значит результат будет больше делимого, то есть больше, чем само смешанное число



Таким образом при дальнейшем решении задач ученикам будет легче заметить ошибку, так как они сумеют оценить правильность своего ответа, прикинув каким будет результат, зная что должно получатся в том или ином случае деления.

Фрагмент урока №6

Класс: шестой

Тема: «Свойства действий с рациональными числами»

Тип урока: закрепление нового материала

Цель фрагмента: формирования умения отыскания наиболее короткого и удобного пути вычисления, основываясь на свойствах рациональных чисел

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [11]

На тему «Свойства действий с рациональными числами» отводится три часа. Этот второй урок по данной теме. На первом уроке были освещены основные свойства действий с рациональными числами и выполнены вводные упражнения на применение этих свойств. На втором уроке планируется выполнение тренировочных упражнений, некоторые из которых позволяют формировать вычислительную культуру рациональных вычислений, пользуясь уже известными свойствами.

После повторения свойств действий с рациональными числами и определения рационального числа вспоминаем, что эти свойств призваны прежде всего «упростить нам жизнь», делать наши вычисления на порядок проще. Но для этого нужно быть очень внимательным, и перед тем как приступать к вычислениям, посмотреть, а нельзя ли что-нибудь упростить.

Среди номеров, выбранных для классной работы, учитель предлагает выполнить номер 1206.

№1206. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значения выражений:

а)

б)

в) 

Учитель. В каждом из пунктов встречаются вперемешку действия с десятичными, обыкновенными дробями и смешанными числами. Удобно ли нам будет выполнять действия «в лоб», последовательно складывать или вычитать, находя при этом общий знаменатель и т.п.?

Ученик. Нет! Применив распределительное свойство, можно поменять местами пары чисел таким образом, чтобы в одно скобке оказались десятичные дроби, а далее следовали обыкновенные дроби или смешанные числа с одинаковыми знаменателями (или наоборот).

Пункт а)

Это самый простой пример, школьники без затруднений находят пары «удобных чисел» и выполняют необходимые действия.



Пункт б)

В этом примере на первый взгляд только одна «удобная пара», но в процессе решения можно заметить появление еще одной.




Пункт в)

Учитель. Как проще выполнять действия в этом примере?

Ученик. Все дроби со знаменателем 14 запишем сначала, а затем – все дроби со знаменателем 12.



Таким образом на протяжении всей темы, ученики учатся максимально (насколько это возможно) упрощать сначала числовые, а затем буквенные выражения, что приводит к упрощению вычислений и меньшим затратам времени и сил.

Фрагмент урока №7

Класс: пятый

Тема урока: «Проценты»

Тип урока: комбинированный урок

Цели урока: наглядно, используя соревновательный момент, показать более короткий способ нахождения «красивого процента» от числа

Учебник: Виленкин Н.Я и другие [13]

Всего на данную тему отводится 5–6 часов. Это второй урок по теме: «Проценты».

На первом уроке было введено понятие процента и представление его в виде десятичной дроби и, наоборот, представление дроби в виде процента, находили 1% от числа и число по его одному проценту.

На этом уроке после этапа актуализации знаний и объяснения решение задачи на нахождение процента от числа (задачи первого типа) учитель выписывает на доске так называемые «красивые проценты», нахождение которых наиболее простое и быстрое: 5%, 10%, 20%, 25%, 50%, 100%

Переводим проценты сначала в десятичную, а затем в обыкновенную дробь.



Учитель. Для того, чтобы найти 5,10,20,25,50 процентов, достаточно (судя по тем обыкновенным дробям, которые этим процентам соответствуют), число разделить на…

Ученик. 20, 10, 5, 4, 2 части

Далее при выполнении классной работы будем решать задачи первого типа (на нахождение процента от числа). Необходимо дать несколько задач, где встречаются «красивые проценты».

Задача. Миша съел 75% всех конфет. Всего конфет было 56. Сколько конфет осталось?

Учитель, проходя по классу замечает того, кто уже начал решать задачу только что изученным «классическим» способом: число делим на сто, находим 1% и т.д. Ученик идет к доске и оформляет задачу.

Съел? шт. – 75%

Всего 56 шт. – 100%

Ост? шт. – ?%

Учитель. А можно ли эту же задачу решить проще?

Другой ученик. Да, узнаем, что осталось 100–75=25%, а 25% – это «красивый процент», поэтому число всех конфет достаточно поделить на 4.

Учитель. Иди к доске, посмотрим, кто решит задачу быстрее.

1 вариант

1) 56:100 = 0,56 – 1%

2)конфет осталось

2 вариант

1) 56:4=14 конфет осталось

Второй ученик справится быстрей.

Таким образом школьникам при помощи мини – соревнования наглядно показана быстрота, красота и удобство использования рационального способа решения задачи.






Заключение



Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе.

В ходе анализа научно–методической литературы были выделены различные приемы быстрого счета, приведено разделение этих приемов на общие и специальные, а также рассмотрены приемы, описанные различными математиками (С.А. Рачинским, Я. Трахтенбергом).

Помимо приемов устного счета в дипломной работе выделены приемы прикидки и оценки результата вычислений. Нами были обозначены лишь те приемы, которые доступны для понимания и усвоения учащихся 5–6 классов, а также связаны с теоретическим содержанием курса математики 5-6 классов и соответствуют идее, которая прослеживается в учебнике Виленикина Н.Я и др., который был использован при составлении фрагментов уроков.

В 5–6 классе для учеников самым трудным является этап самоконтроля. Выполнение контрольной работы быстрее всех, даже не задумываясь о возможности ошибки, является психологической особенностью школьников этого возраста. А обучение прикидке и оценке результата вычислений помогает ученикам найти неточности, благодаря тому, что они учатся видеть заведомо неверный ответ.

Формируя каждый из компонентов, мы формируем вычислительную культуру ученика в целом.

Эффективное формирование вычислительной культуры учащихся зависит от правильного сочетания форм и методов обучения учащихся, в основе которого лежит и учет психологических особенностей.

На основе анализа существующих методов, форм и средств обучения для формирования вычислительной культуры школьников, а в частности формирования прикидки и оценки результата вычислений, был выделен в качестве основного эвристический метод, и в параграфе четвертом подробно описано сходство этого приема с приемами прикидки.

При осуществлении обучения учащихся в 5–6 классах в соответствии с темой дипломной работы используются общие и специальные приемы устного счета, приемы рассуждений, приемы угадывания при обучении прикидке и оценке результата вычислений, полезны также будут наглядность и соревновательность.

В дипломной работе представлены разработанные автором 7 фрагментов уроков. В каждом фрагменте указан этап применения того или иного приема, обычно он следует после актуализации знаний или этапа устного счета.

Было установлено, что задачи на прикидку и оценку результатов вычислений встречаются не только в рассмотренных в работе учебниках математики для 5–6 классов, но и, что является наиболее важным, в заданиях итоговой государственной аттестации и единого государственного экзамена. Были приведены примеры таких заданий и способы их решения. А также, неотъемлемой частью является то, что обучение прикидке и оценке результатов вычислений считается обязательным, в соответствии с государственным стандартом.

Таким образом, задачи, поставленные в данной дипломной работе, были выполнены, тем самым цель работы была достигнута.






Библиография



1. Баврин, И.И. Сельский учитель Рачинский и его задачи для умственного счета [Текст]. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 112 с. – Б-ка физ.-мат. лит. для школьников и учителей.

2. Большой толковый психологический словарь / Ребер Артур (Penguin). Т.2. Пер. с англ. – М.: Вече, АСТ, 2000. – 560 с.

3. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст]. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.

4. Емельяненко, М.В. Система развивающих заданий по теме «Умножение многозначного числа на однозначное» // Начальная школа, 1996. – №12. – с. 47–51.

5. Избранные лекции по методики преподавания математики / Московский педагогический государственный университет (МПГУ) им. В.И. Ленина, составитель Т.В. Малкова – М.:Пометей, 1993. – 177 с.

6. Катлер, Э. Система быстрого счета по Трахтенбергу. Перевод П.Г. Каминского и Я.О. Хаскина [Текст] / Катлер, Э., Мак–Шейн. – М.: Просвещение, 1967. – 134 с.

Кочагина, М.Н. ГИА 2009. Математика [Текст]: Сборник заданий: 9 класс / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. – М.: Эксмо, 2008. – 240 с. – (Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс). Пособие для выпускников 9-го класса

8. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников [Текст]. – М.: Просвещение, 1976.

9. Ларина, Л.Н. Роль учителя в формировании вычислительной культуры учащихся: [Электронный документ]. – (http://www.gym5cheb.ru/lessons/index.php–numb_artic=412071.htm.) 13.04.2010

10. Математика [Текст]: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1: Обыкновенные дроби / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 153 с.: ил.

11. Математика [Текст]: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2: Рациональные числа / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 142 с.: ил.

12. Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1: Натуральные числа / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 18-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 153 с.: ил.

13. Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2: Дробные числа / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – 18-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 157 с.: ил.

14. Математика. 6 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 5-е изд. – М.:Мнемозина, 2006. – 264 с.: ил.

15. Математика. 5 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 8-е изд. – М.:Мнемозина, 2008. – 270 с.: ил.

16. Муравин, К.С. Воспитание вычислительной культуры на уроках алгебры [Текст] // Преподавание алгебры в 6–8 классах / cост.: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 1980. – С. 150–167.

17. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Г.М. Кузнецова и др. – М.: Дрофа, 2000. – 80 с.: ил.

18. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе [Текст]: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун–тов / Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

19. Минаева, С. Формирование вычислительных умений в основной школе / Математика: прил. к газ. «Первое сентября». – 2006. – 16–31 янв. (№2). – с. 3–6.

20. Федотова, Л.Н. Повышение вычислительной культуры учащихся [Электронный документ]. – (http://festival.1september.ru/articles/210122.) 16.01.2010

21. Шейнина, О.С. Математика. Занятия школьного кружка [Текст]: 5–6 кл.: портфель учителя / О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева. – М.: из-во НЦ ЭНАС, 2002. – 208 с.