Перпендикуляр

Ход урока.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

– Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? 

   



















– Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве?





– Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 











– В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии.











– Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. 

– Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? 









– А какие задачи решали?







– Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?





– А что значит привести знания в систему?







– Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока? 



– Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему.  



–Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.



– Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. 











– Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.



– Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения.





– Перпендикулярность прямых и плоскостей.



– Перпендикулярность каких объектов мы изучили?



– Будем работать с таблицей. 

< Открывает заголовок таблицы 1>

– Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?





– Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок>



– Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали?





– Сформулируйте ее. < Открывает рисунок>

– Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.



< Открывает рисунок>

– В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте  и формулируйте их.





<Открывает соответствующие рисунки>











– В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. 

А как вы думаете почему?





–Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?





–Какие факты можно отнести в эту часть?



– Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей»   появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости».  Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7.





–Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». 





















<Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев>





























– Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

















– Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 .







– Они могут пересекаться и скрещиваться.





– Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.

<Формулируют>





– Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.





– Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>.

– Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>.

– Теорема о связи  между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>.





– Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости.





– Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 .







–Признак перпендикулярности двух плоскостей.







































 Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.







Две прямые в пространстве перпендикулярны, если

 одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна;

 одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости;

 одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой.



<Ученики формулируют следующие эвристики:

Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если

 прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;

 прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости;

 данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. >





–Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства.

– Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут.

–  Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик>





















–Хорошо. Послушаем теперь второй ряд.









–Третий ряд, пожалуйста.













































<Работают>

< Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали>

– DOAB (DOABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости ,  DO, в частности, перпендикулярно АВ)

– DOAC, DOBC (аналогично)

– DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).





–DOABC(по условию).

–ABCOD,COADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).



–DABABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

–DOCABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

–DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).



– Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними. 



Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»>

<Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице>

–Что называется расстоянием от точки до прямой?





–Какие еще расстояния можете назвать?



































– Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. 





– То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице.

– Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»> 

– Опишите это понятие.

<Открывает соответствующий рисунок>













– Какие еще углы вы знаете?



















– Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников. 













– Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой.

– От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости.

– Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой.

– Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

– Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой.

– Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой.









– Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем  включали его в треугольник. 









– Угол между прямыми.

– Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними.

– Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

– И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении.



– Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем  использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление. 

– Начнем с первого задания.











– Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай.











–Второй ряд, пожалуйста.





–И последний угол?



–Дорешаете  дома.



–Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку.









–Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.

Эту задачу будем решать на новом рисунке.

–Итак, начнем.



–Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его. 

– Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? 

– Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости?

– То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?

– А через какую точку пройдет проекция наклонной?

– Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать?































– А если бы мы и о  треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС?



– Как найти DК?











– Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске.



– Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7. 

– Назовите их и докажите.

















–Как их найти?

















– Так как ОDАВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО – угол между DА и АВС.



– Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ.

–Угол между DВ и АВС – это DВО.

–Угол между DС и АВС – это DСО.







– Так как DО – перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние. 

– Мы доказывали, что СОDАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ.

–АВDОС, то АО–расстояние от А до DОС.



Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ.













–АВС.

– Наклонной.

– Она должна быть перпендикулярной к проекции.

– Через точку О, так как она проекция точки D.

– Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОКВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DКВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС.





– Произвольно.

– Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ.



– Аналогично, причем DL равно DК.

– Они уже построены.



– DКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, DLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС.



– Например, DКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО.







– Это все задания, которые мы планировали решить на уроке.

– А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. 

– Какие типы задач нами были рассмотрены?











–Как вы думаете какое значение имеет данная тема  в курсе стереометрии? 



















–на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями.







–позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами.













– Что вы теперь умеете делать?















– Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления.

– Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями.

Дома оформить решение последней задачи  и подготовиться к контрольной работе.







Расстояния в пространстве                      (Таблица 1)

От точки до прямой

Между параллельными прямыми

От точки до плоскости

Между парал–лельными прямой и плоскостью

Между параллельными плоскостями

Между скрещивающимися прямыми









AM  α



AM  α



AM  β



AM  β

Решение   треугольников

Углы в пространстве

Между прямыми

Между наклонной к плоскости и плоскостью

Между плоскостями





0 < φ ≤ 90



0 < φ < 90



0 < φ ≤ 90

Решение   треугольников


Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные 

прямые

Перпендикулярные прямая и плоскость

Перпендикулярные

плоскости





Записи на доске и в тетрадях

Перпендикулярность прямых и плоскостей





Дано:    ∆АВС  равносторонний,

           О  середина АВ,

           ОD  АВС.

           АВ=6см, ОD=3см.

1. Найти пары перпендикулярных прямых.

Решение. 

а) DOAB, DOAC, DOBC (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

б) DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).





2. Найти пары перпендикулярных прямой и плоскости.

Решение. 

а) DOABC(по условию).

б)ABCOD, COADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).



3. Найти пары двух плоскостей.

Решение.

DABABC, DOCАВС, DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).



4.Найти углы между DA, DB, DC и плоскостью ABC.

Решение.

Так как ОDАВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО – угол между DА и АВС.



5. Найдите расстояния от т. D до плоскости АВС, от С до АDВ, от А до DОС.

6. Найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.























2