Измерение геометрических величин в курсе средней школы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ



















Реферат

Измерение геометрических величин в курсе средней школы



Исполнитель: студентка 

группы Горошко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, 

доцент Лебедева М.Т.













Гомель 2007


Содержание



Введение

1. Образовательные цели изучения темы в школьном курсе математики. Общее понятие величины. Пример построения теории величин

2. Методика изучения геометрических величин. Теория измерения длин отрезков

Заключение

Литература


Введение



Измерение геометрических величин – одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии. Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала – сочетание различных математических идей и методов, например, в теме «Площади фигур» используется традиционно-синтетический и аналитический методы. 


1. Образовательные цели изучения темы в школьном курсе математики. Общее понятие величины. Пример построения теории величин



Программа 1981г. (базисная) следующим образом определяет содержание темы по классам:

-начальная школа: примеры величин (длина, площадь, масса, стоимость); единицы их измерения; примеры зависимостей между величинами(путем, скоростью и временем; площадью и длинами сторон прямоугольника и т. д.);

-в 5-6 классах: примеры величин(длина, площадь, объем, градусная мера угла); единицы измерения длин, площадей, объемов и углов; массу тел; площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника, объем прямоугольного параллелепипеда, формулы длины окружности и площади круга.

-в 7-9 классах: понятие о площади, основные свойства площади, площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, отношение площадей подобных фигур, площадь круга и его частей, решение задач на вычисление неизвестных длин, углов и площадей;

-в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади сферы.

В этой же программе предъявляются следующие требования к подготовке учащихся в области геометрических величин:

-учащиеся начальной школы должны научится измерять простейшие величины и выполнять над ними соответствующие действия. Программа рекомендует основное внимание сосредоточить на выработке прочных навыков измерения величин, на овладение наиболее распространенными на практике единицами измерения величин;

-учащимся 5-6 классов необходимо приобрести навыки измерения геометрических величин, научиться решать простейшие задачи на нахождение длин, площадей и объемов;

-учащиеся 7-9 классов должны приобрести навыки измерения и вычисления длин, углов и площадей, применяемые для решения разнообразных геометрических и практических задач. Учащиеся должны также решать несложные задачи на нахождение величин, не сводящиеся к непосредственному применению одной формулы или теоремы.

-учащиеся 10-11 классов должны уметь решать несложные задачи на нахождение длин, углов, площадей и объемов(в том числе задачи с практическим содержанием). При этом требуется не только умение довести решение до желаемого результата, но и умен7ие перевести практическую задачу на язык геометрии и решить ее, приводя достаточно полное обоснование. 

Величина – одно из основных понятий математики, возникшее в древности и подвергшееся в процессе развития математики ряду обобщений.

Общее понятие величины – непосредственное обобщение конкретных величин (длинны, площади, объема, массы и т.д.),свойства которых сформулированы еще в «началах» Евклида. Впоследствии эта величина получила название «положительной скалярной величины», чтобы отличить ее от более общих понятий величины (векторной и др.).

Интуитивно мы представляем себе, что величина может быть больше или меньше, две однородные величины могут складываться, ее можно измерить, понимая под этим сравнение данной величины с однородной, принятой за единицу измерения. Однако сформулировать это понятие в математических терминах не так то просто.

В обучении школьников используются … величины, изучение которых хорошо иллюстрирует общее понятии величины при соответствующей постановке обучения.

Рассмотрим пример построения теории величины.

Пусть имеем бесконечное множество В с введенным в нем отношением < (меньше) и операцией + (сложение), которые назовем системой однородных величин, элементы этого множества – однородные величины. Эта система характеризуется свойствами, которые можно принять за аксиомы:

a, b: a < b a = b b < a, причем имеет место одно из трех соотношений;

a, b, с: a < b b < с a < с - транзитивность ”<”

a, b: с: a + b = с – замкнутость B относительно сложения;

a, b: a + b = b + a – коммутативность;

a, b, с: a + (b + с) = (a + b)+с – ассоциативность сложения;

a, b: a + b > a – монотонность сложения;

a, b ^ a > b =>!С: b + с = a – возможность вычисления: a – b = c;

а n b: nb = a – возможность деления величины на натуральное число: a:n = b;

a, b n N: a < nb – аксиома Архимеда;

пусть даны две последовательности величин из В:

a1<a2<…<…; и …<…<b2<b1 причем для любой величины «с» при достаточно большом номере n:

bn-an<c,

т.е. члены последовательности {an} и {bn} неограниченно приближаются друг к другу. В таком случае существует единственная величина х € В, к4оторая больше всех an и меньше всех bn – аксиома непрерывности.

Если какую – либо величину с € В принять за единицу измерения, то всякая величина системы В однозначно представима в виде: a = άc, где ά – положительное действительное число: ά € R, (ά>0).

Меру а при единице измерения “с” обозначим через m(a), т.е. если a = άc, то m(a) = ά.

Мера обладает следующими свойствами:

m – функция с областью определения В и областью значения R, т.е. “m” отображает В на R;

монотонность меры;

аддитивность меры;

мера единицы измерения равна 1.

Перечисленные свойства полностью характеризуют меру “m”, существует единственная функция: В -> R, обладающее этими свойствами, а именно мера m(a) величины а при единице измерения с.

Если с заменить через с’, то получается новая мера: m’(a) = a’, причем так как m(a) = ά, то связь между двумя мерами выразиться так: m’(a) = a-1m(a).

Перечисленные свойства общего понятия величины и меры величины находят применения (в явном или не явном виде) при изучении конкретных геометрических величин (длины, площади и объема) в школе.



2. Методика изучения геометрических величин. Теория измерения длин отрезков



Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях.

На первом, экспериментальном, уровне в начальных классах учатся измерять длины отрезков, площади простейших плоских фигур и объёмы простейших пространственных тел.На этом уровне не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия.

Методика изучения геометрической величины на этом уровне достаточно широко освещена в литературе.

Остановимся на некоторых вопросах методики изучения геометрической величины на втором уровне.

‘Школьная’ теория измерения геометрических величин должна строиться с сохранением некоторой общей схемы. Это относится прежде всего к определения понятий: «длины», «площадь», «объем».Повторение одной и той же схемы определения способствует обобщению, формирования такого представления: из аналогии вытекает, что эти понятия относятся к одному более общему понятию, связывающему их. Раскрытие этой связи в процессе обучения способствует более глубокому пониманию и прочности знаний. Каждое из трёх понятий определятся как вещественное число, удовлетворяющее условиям, которые характеризуют общие понятия меры множества.

Например, теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:

Определение длины отрезка как вещественного числа, удовлетворяющего условиям 1)-4) понятия меры;

Описание процедуры измерения отрезка;

Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда;

Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения ровна любому, наперед заданному положительному числу(с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности).

Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет особых трудностей. Это можно сделать именно в связи с установлением свойства 4.

Случай, когда на перед заданное число рационально, аксиома Кантора применяется, а используется элементарное построение. Если это число иррационально, например х=2,313113111311113…, то поступаем так: введем на прямой систему координат(начало 0, направления единицу измерения).Мы можем построить точки А1 и B1, где А1 = 2,3; B1 = 2,4 – приближения с точностью 0,1. Если существует точка М, то ОА1<OM<OB1, т.е. точка М лежит между А1 и B1, т. е. внутри отрезка А1B1. Мы можем найти A2 = 2,31 и B2 = 2,32 и т.д.

Неограниченно продолжая этот процесс, мы получаем, что если точка М существует, то она лежит внутри каждого из отрезков бесконечной последовательности: A1B1, A2B2,…,AnBn,…, обладающей следующими свойствами: 

Каждый отрезок, кроме первого, лежит внутри предыдущего.

Длины отрезков стремятся к 0(или нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности). 

Существование точки лежащей внутри всех отрезков этой последовательности, и постулируется аксиомой Кантора.

Приняв аксиому Кантора, мы находим искомую точку М, а следовательно и отрезок ОМ, длина которого равна наперед заданному числу х.	

Тема: «Методика изучения площадей фигур и объемов тел в курсе геометрии средней школы».

Темы «Площади фигур» и «Объемы тел» по действующему учебнику «Геометрия 7-11 кл.» под редакцией Погорелова завершают ознакомление учащихся с курсом планиметрии и стереометрии соответственно.

Измерение геометрических величин – одна из основных содержательных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии. Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. При изучении данного вопроса учащиеся знакомятся с целым рядом формул, с помощью которых расширяются возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Сочетание различных математических идей и методов – главная особенность в изложении данного учебного материала.

В теме «Площади фигур» наблюдается синтез традиционно-синтетического и аналитического методов. Изучаемые здесь факты носят аналитический характер (например площадь треугольника), а доказательства основаны на применении традиционно-синтетического метода.

При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:

простая фигура – площадь фигуры как величина – площадь прямоугольника – площадь параллелограмма – площадь трапеции – площадь подобных фигур.

В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело – объем тела как величина – объем прямоугольного параллелепипеда – объем треугольной призмы – объем призмы – тела, имеющие равные объемы – объем полной треугольной пирамиды – объем произвольной полной пирамиды – объем усеченной треугольной пирамиды – объем произвольной усеченной пирамиды – объемы подобных тел – объем тел вращения.

Рассмотрим более подробно методику изложения темы «Площади фигур»

Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую ломаную, замкнутую ломаную, простую замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский пятиугольник. Напомним, что из определения треугольника как фигуры состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки следует, что он должен представляться как «скелет», «каркас»! Плоский треугольник – конечная часть плоскости, ограниченная треугольником. Выпуклый многоугольник – многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. После этого дается определение:

Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Примером простой фигуры может служить плоский выпуклый многоугольник, который разбивается на плоские треугольники диагоналями, выходящими из одной вершины.

«Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

равные фигуры имеют равные площади;

если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;

В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно.

С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Измеряя площади при помощи памятки, школьники познакомились с оценкой ее по недостатку и по избытку. И таким образом они уже подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника.

Первоначально доказываем следующее свойство: площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.

а) Прямоугольники ABCD и AB1C1D имеют равное основание AD. Пусть S и S1 – их площади. Разобьем сторону АВ на n равных частей, длина одной части равна АВ/n. Пусть m – число точек деления, лежащих на стороне АВ1. Тогда:


(АВ*n)/m ≤ AB1/AB ≤ AB/n



Разделив это неравенство почленно на АВ, получим:



m/n ≤ AB1 ≤ m/n + 1/n



б) Проводим через точки деления прямые, параллельные АД. Получим n равных треугольников со сторонами АД и АВ*1/n, площади которых (по св-ву 1) равны и принимают значение S*1/n. Поэтому, площадь АВСД выражается неравенством: 



(S/n)*m<=S1<=(S/n)(m+1).



Разделив почленно на S, получаем: 



m/n<=S1/S<=m/n +1/n



в) Отношение АВ1/АВ и S1/S удовлетворяют одним и тем же неравенствам, причем числа m/n и m/n+ 1/n отличаются на величину 1\n. При сколь угодно больших n значение 1/n становится очень малым, а это возможно только тогда, когда числа равны. Итак:



S1/S=AB1/AB, ч. т. д.




Для вывода формулы площади прямоугольника воспользуемся только что доказанным свойством по отношению к квадрату, со стороной 1 и прямоугольником со сторонами 1 и а и а и в. Получаем: 



S1/1=a/1; S/S1=в/1 => S1=а, S=S1в.



Следовательно:



S=а*в.



VII.Площади подобных фигур.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

При доказательстве этого утверждения используют понятие простой фигуры, определение подобных фигур. Если фигура  разбивается на простые треугольники, площади которых обозначим через , а фигура - на треугольники, площади которых  и фигуры и  подобны с коэффициентом , то линейные размеры треугольников  в  раз изменены, по отношению к размерам треугольников , то: и т. д., поэтому:







VIII. Площадь круга.



Круг – плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь , если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от .

При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев. 

Задача 1.

а) Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.



B



A   B1  D   B2   C



 



б) Разделите данный параллелограмм на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.


B 				C



                                     

                         B2                

                                                                       



гнонон









 

A	 K 	   B1         D	











Аналогично:  Поэтому точки и  делят соответственно отрезки  и  в отношении 2:1 от вершин  и  соответственно.

Задача 2.

Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, то есть:








. Так как получаем:



что требовалось доказать.



Задача 3.

Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.



M B                           C



              O

              



гнонон











A       K                     D



1-ый способ.



 







Если - ромб, то , то есть . Наибольшее значение произведения зависит от наибольшего значения , которое достигается при , если , то . Следовательно, площадь ромба наибольшая среди всех площадей параллелограммов с данными диагоналями.

2-ой способ.

Составим функцию, выражающую площадь параллелограмма:







при  . 



Так как - наименьший угол, образуемый диагоналями при пересечении, то  и будет точкой максимума, следовательно: ;  и этот параллелограмм – ромб.

Задача 4.

Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна .



B



M   O   N  

A          D           C


- трапеция, то есть подобен 



 



Так как для подобных треугольников их площади относятся как квадраты соответствующих линейных размеров, то:







Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии.

Для вывода формулы объема, могут быть использованы:

Принцип Кавальери: объемы (или площади) двух тел (фигур) равны, если равны между собой площади (длины) соответствующих сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (прямой).

Формула Симпсона:



. 

Пусть промежуток [a,b] разбит на n частейных промежутков [xi, xi+1] длины , при этом n считается чётным числом, и для вычисления интеграла по промежутку [x2k, x2k+2] используется приведенная формула:





.


Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.

Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:

устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;

устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;

сравнение полученных значений отношений;

вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями: a,1,1; a,b,1; a,b,c.

При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:

проанализировать эмпирический материал;

математизировать эмпирический материал – построить определение;

составить алгоритм распознавания понятия;

включить понятие в систему понятий.


Задача № 5.

Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом 600. Найдите объем параллелепипеда.



.



∆ AA1O: ; Из ∆ AA1K: .



Из ∆ AOK: ;  Из ∆ AA1O: ;



Из ∆ KA1O: 



  



   

		.

	

	Ответ: .




Заключение



Построение строгой теории измерения геометрической величины в школьном обучении наталкивается на серьезные трудности. Это не означает отказа в школьном курсе от всякой теории измерения геометрических величин. Главное – стремление к строгости не должно быть самоцелью, но не следует скрывать от учащихся вынужденных логических пробелов. Например, площадь многоугольника определяется как сумма площадей треугольников, на которые его можно разбить. Естественно возникает вопрос, получим ли то же самое число, если разобьем данный многоугольник на треугольники другим способом и сложим площади треугольников разбиения. В школе не изучается теорема о независимости суммы площадей треугольников разбиения от способа разбиения, но об её существовании следует сообщить учащимся о существовании такого факта.


Литература



1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.