Начала систематического курса стереометрии в средней школе

Министерство образования Республики Беларусь

	Учреждение образования

	«Гомельский государственный университет

	им. Ф. Скорины»

	

	

	Математический факультет

	Кафедра МПМ

	

	

	РЕФЕРАТ

	

	

	Начала систематического курса стереометрии в средней школе

	

	

	Исполнитель:

	Студентка группы М-32 ____________ Кольцевая А.Ю.

	Научный руководитель:

	Канд. физ-мат. наук, доцент ____________ Лебедева М.Т.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Гомель 2007

	
Содержание

	

	Введение

	1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)

	1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

	1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей

	2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

	Заключение

	Литература

	

	
Введение

	

	При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстрагирования в действия и научились замечать его в окружающей действительности. 

	Изучая геометрические понятия “линия”, “точка”, “прямая”, “плоскость” и др., учитель акцентирует внимание учащихся на том, что каждое из них – результат абстрагирования (отвлечения) от реальных объектов. 

	Например, линия границы на карте – полоса определённой ширины (существенное свойство границы) для пограничников. 

	Как видно, в зависимости от цели рассмотрения в одном случае существенными свойствами границы являются одни свойства, а в другом – другие. В качестве примеров, позволяющих представить себе плоскость, выбираем ровную поверхность стола, гладкую поверхность озера, участок поля, простирающийся до горизонта. 

	В данном случае, как и для прямой, плоскость представления неограниченно продолженной во все стороны, т.е. абстрагируемся от свойства ограниченности каждого из перечисленных объектов.

	

	
1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)

	

	1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

	

	Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.

	Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ – плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:

	С1. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

	С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

	С3. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.

	Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.

	Методическая схема изучения аксиом стереометрии 

	Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.

	Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.

	Проиллюстрировать аксиомы на моделях.

	Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.

	Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.

	Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.

	Понятие плоскость, точка, прямая – абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.

	Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.

	В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA1B1),(D1C1C),(A1B1C1); назвать плоскости, которым принадлежат точки D1,C,B1,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA1D1) и (ABC), (DD1C1) и (BB1C1); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A1B1 и BB1, A1D1 и C1C, BC и AA1. 

	

	

	

	4. Аксиома С1: “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме? - О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках? - На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С1? Сформулируйте их по отдельности. - Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”? 

	5. На рисунке изображены две различные плоскости  и , имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости  и ?

	

	

	

	Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С2, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.

	Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

	По аксиоме С3 пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С1, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить. 

	Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.

	Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.

	Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.

	

	

	

	Утверждения

	На основании

	Прямая AB, точка С

	Аксиома I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

	ABAC=A

	Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются

	плоскость 

	Аксиома С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. 

	Единственность: -ет , проходящая через прямую AB и С.   по прямой, которой принадлежат A,B,C.

	Аксиома С2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

	A,B,C не лежат на одной прямой

	Условие задачи

	Противоречие.

	

	

	Теорема доказана.

	Т.15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

	Т.15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 

	Следствие из Т.15.2. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

	Выяснить, следствиями из каких аксиом являются сформулированные теоремы? (аксиома 1, аксиома С3).

	Учащимся необходимо объяснить, что доказательство приводится не только с целью убеждения в истинности какого-либо предположения, но и для того, чтобы свести данное предположение к ранее известным, показать, каким образом из аксиом, определений и уже доказанных теорем следует данное предположение.

	

	1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей

	

	Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.

	Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.

	Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.

	Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве

	Сообщить определения;

	проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;

	провести логический анализ формулировки определения;

	выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;

	сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.

	Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:

	прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;

	прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.

	Понятие параллельного проектирования вводится с помощью генетического определения. В соответствии с общей особенностью генетических определений используется методическая схема изучения параллельного проектирования:

	одновременно проговорить определения и произвести построения (выполняется учителем);

	одновременно проговорить определения и показать соответствующие построения на готовом рисунке (выполняется учеником); стереть имеющийся на доске рисунок;

	одновременно проговорить определение и выполнить новый рисунок (выполняется учеником).

	Методику изучения теорем и их доказательств рассмотрим на примере признака параллельности прямой и плоскости: “Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости”.

	Методическая схема:

	подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;

	выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

	сообщать общую идею теоремы;

	привести план доказательства;

	предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;

	осуществить доказательство (ученик);

	закрепить доказательство путем его воспроизведения;

	применить теорему к решению задач.

	Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а1, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а1.

	Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а и поверхности стола?

	После опыта задается вопрос: Какую теорему можно сформулировать?

	Идея доказательства: (после выполнения рисунка и краткой записи теоремы).

	Выполним доп. построение: через параллельные прямые а и а1 проведем плоскость 1.

	Док-во от противного:

	

	

	

	Учтем, что все общие точки плоскостей  и 1 должны принадлежать прямой а1.

	План доказательства: 

	проводим плоскость 1;

	делаем допущение, что а не параллельна ;

	рассмотрим точку А, точку пересечения прямой а и плоскости ;

	приходим к выводу, что прямые а и а1 пересекаются;

	противоречие;

	а//.

	После проведения доказательства решим следующую задачу:

	

	

	

	Пусть SABC тетраэдр. MKP- середины ребер SA, SB, SC

	Как располагаются прямые MK, KP, MP относительно ABC?

	MK -средняя линия ASB => MK //AB => MK//ABC. Аналогично для др. прямых.

			

	
2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

	

			Содержание: определения: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости, расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях.

			Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых то: пряма а, пересекающая плоскость , называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в плоскости , проходящей через точку пересечения прямой а с плоскостью .

			Определения, приведенные в этой теме, относятся к генетическим (конструктивным), поэтому при их изучении используют методическую схему, определенную в “2” для параллельного проектирования. Согласно определения к плоскости проводим прямую, кот. пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.

			Если эта прямая перпендикулярна к данной прямой, то ее называют перпендикулярной к плоскости. По рисунку куба попросить учащихся обозначить ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA1BB1, ABCD, D1C1CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C1D1, A1D1, BC. 

			

			


				

				Признак перпендикулярности: 

		Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна к плоскости.

				Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А1D1 перпендикулярно к плоскости DD1C1 => А1D1DD1 и А1D1D1С1 т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).

				Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

	подвести учащихся к признаку, сформулировать его;

	выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

	сообщать общую идею доказательства теоремы;

	выполнить доп. построения;

	сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;

	привести план доказательства;

	изложить доказательство ;

	закрепить доказательство по частям;

	воспроизведения доказательства полностью;

	Для того чтобы подвести учащихся к теореме можно воспользоваться и др. моделью, состоящей из листа картона и нескольких спиц. С ее помощью показать, что если прямая перпендикулярна только к одной прямой, расположенной в плоскости , то этого не достаточно, чтобы прямая а была перпендикулярна к плоскости .

	В учебнике дано слово “пересекающиеся” прямые. Здесь приведено традиционное доказательство, основанное на применении признаков равенства треугольников. Одно из первых доп. построений- проведение через точку А произвольной прямой Х, что необходимо для того чтобы доказать справедливость определения прямой, пересекающей плоскость, этой плоскости. Вторая часть доп. построений: AА1=AА2, произвольная прямая СВ, пересекающая прямые b, х, с. А1С, А1Х, А1В, А2С, А2Х, А2В - для образования треугольников, равенство которых будет доказано.

	

	

	

	План доказательства:

	А1СА2

	А1С= А2С

	А1ВА2

	А1В= А2В

	А1ВС, А2ВС

	А1ВС=А2ВС=> А1ВХ= А2ВХ

	А1ВХ, А2ВХ

	А1ВХ=А2ВХ=> А1Х= А2Х

	А1ХА2

	х  а

	

	При наличии подробного плана доказательства краткую запись делать не целесообразно. Оставшаяся часть проводится устно.

	Пункт 1 плана можно осуществить, направляя учащихся вопросами типа: Какую фигуру надо рассмотреть? Какое ее свойство нужно установить? 

	После того как доказано, что для А1СA2 выполняется равенство А1С=A2С?, Почему А1С=А2С? Почему А1В=А2В? Почему А2ВС=А2ВС? и т. п.

	
Заключение

	

	При изучении аксиом целесообразно показать, что многие из них появились в результате наблюдения и абстрагирования различных видов практической деятельности. 

	Например, при ознакомлении учащихся с аксиомой прямой линии: “Через две различные точки пространства проходит, и притом только одна, прямая” можно рассказать о способе распиловки бревна на доски вручную. 

	Эффективными для развития пространственного воображения является использование шарнирных моделей, умение учащихся моделировать условия задач с помощью подручных средств. При изучении многогранников полезны каркасные модели тел, изготовленные учащимися.

	

	
Литература

	

	1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

	2. Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

	3. Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

	4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

	5. Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

	6. А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.

	





2