Методика введения понятия производной функции

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ

















Методика введения понятия производной функции

Реферат





Исполнитель:

Студентка группы М-33 Бондорчук А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.









Гомель 2007

		


Содержание



Введение

1. Образовательные цели изучения производной функции

2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы

3. Методическая схема изучения производной

4. Изучение приложения производной в курсе школьной математики

Заключение

Литература




Введение



Цель изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 в.в. систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для изучения геометрии и физики.

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началом анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах.




1. Образовательные цели изучения производной функции



При изучении темы "Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.

Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они не обходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.

Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.

При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.

Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.


2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы



Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке.

Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности):







2) исходя из операции предела функции в точке через окрестности (топологическое): a- предельная точка множества E, т.е.







В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной.



3. Методическая схема изучения производной



Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При , отношение  стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.

В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:

Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра  в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .

Сформулировать определение понятия производной.

Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.

Например:







После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:

Производной функции в точке  называется число, к которому стремится разностное отношение:






Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение 

при 

Закреплению определения производной способствует вопрос: "Как найти производную функции  в точке ?", ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение ; 2) находим приращение функции  в точке  ; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при 

III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)

Первый пример на выяснение производной полезно выполнить на двух уровнях: а)  задано конкретным числом; б)  берётся в общем виде.

Например: Дана функция . Найти её производную в точке: а) x=2; б)

а) Придадим приращение  в точке х=2, новое (приращённое) значение аргумента –(2+). Найдём приращение функции:







Вычислим разность отношения






Оно стремится к 2 при 

б) , приращённое значение аргумента : +



.



Составим разностные отношение: , которые при  стремится к числу .

Для конкретизации понятия производной может быть использован графический метод, суть которого в следующем:

1) На примере функции покажите, что разностное отношение  есть функция с аргументом . Охарактеризуйте эту функцию. Обратимся к рассмотренному примеру:



, , 



Наша функция возрастающая, т.е. если



 





2) Постройте график функции  и с его помощью покажите число, к которому стремится отношение  при . Пусть


  





1,5

3

2,5

2

1

2

-1







1



0



3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.

4) Рассмотреть приложение производной.



4. Изучение приложения производной в курсе школьной математики



Понятие непрерывной функции

Остановимся на понятии непрерывной функции: функция  стремится к числу  при  (), если разность  сколь угодно мала, т.е.  становится меньше любого фиксированного  при уменьшении . Нахождение числа  по функции  называется предельным переходом.

Этим названием уже пользовались, давая определения производной. Предельный переход – новая операция для нахождения неизвестных величин. Так, например, функция  называется непрерывной в точке x0, если  при  или



=.



В учебнике "Алгебры и начала анализа 10-11 класс" формулируются правила новой операции:

1) Если функция  непрерывна в точке , то  при 

2) Если функция  имеет производную в точке , то:  при 

3) Пусть ,  при.  Тогда при :



а)  ;

б) ;

в) , если .



Метод интервалов

Приложения производной начинаются с рассмотрения приложения непрерывной функции: "Если на интервале  функция  непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак! " Эта теорема применяется в решении неравенств методом интервалов. В более "сильных" классах можно заменить нахождение знака данной функции на каждом из интервалов проведением кривой знаков ", которая берет свое начало в правом верхнем углу, если знак коэффициента при старшей степени  положителен, и в правом нижнем углу в противном случае (вспомнить аналогию с расположением ветвей параболы для функции ).

Например: решить неравенство









1

3

-1

-2



Ответ: .

Исследование свойств функции с помощью производной

Рассматриваются примеры разрывной функции: , непрерывной, но не дифференцируемой в точке, функции .

При исследовании свойств функции с помощью производной опираются на такие известные теоремы математического анализа, как теоремы Лагранжа, Ферма и Вейерштрасса. Формула Лагранжа как иллюстрация геометрического смысла производной приводится в пункте 19 "Касательная к графику функции" и, немного позже, с ее применением формулируется достаточные признаки возрастания и убывания функции:



 ;  , т.к. ,



где  - формула Лагранжа.

Методическая схема изучения достаточных признаков возрастания и убывания функции:

поставить учебную проблему;

подвести учащихся к формулировке признака с помощью геометрической иллюстрации;

сформулировать признак, привести краткую запись его условия и заключения.

привести доказательство признака с помощью формулы Лагранжа;

закрепить доказательство путем выделения в нем составляющих шагов.

Например, подведение учащихся к формулировке признака возрастания функции конкретно- индуктивным методом можно осуществить следующим образом, обращаясь к учащимся, учитель говорит: "Можно ли охарактеризовать поведение функции с помощью производной? ". Рассмотрим рисунок













y

x







Как ведет себя функция ?

Здесь приведен график функции, которая в каждой точке промежутка (a,b) имеет положительную производную. Что можно сказать о поведении функции на данном промежутке? Высказывается предположение, что функция возрастает. Справедливо ли это? Для ответа на этот вопрос приводятся примеры других функций, производная которых положительна на некотором промежутке:


, ;

, .



На основе индуктивного обобщения рассмотренных примеров формулируется соответствующий признак.




Заключение



Т.о. методическая схема изучения достаточных признаков возрастания и убывания функции:

поставить учебную проблему;

подвести учащихся к формулировке признака с помощью геометрической иллюстрации;

сформулировать признак, привести краткую запись его условия и заключения.

привести доказательство признака с помощью формулы Лагранжа;

закрепить доказательство путем выделения в нем составляющих шагов.




Литература



1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.