Особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы

"Московский городской педагогический университет"



Математический факультет



Кафедра алгебры и геометрии и методики их преподавания











ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме: «Особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе»

По специальности 050201.65 «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»







Студентки 5 курса очной формы обучения

Семеняченко Е.С.

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук,

Доцент Глизбург В.И.







Москва, 2010


Содержание



Введение

Глава 1. Психолого-педагогические особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах

§1.1 Возрастные особенности учащихся в 5-6 классах

§1.2 Роль пропедевтики геометрии в 5-6 классах

§1.3 Особенности восприятия геометрического материала

Выводы по главе 1

Глава 2. Существующие подходы к преподаванию элементов геометрии с позиций пропедевтики дальнейшего обучения курсу геометрии

§2.1 Основные подходы к пропедевтике геометрических знаний

§2.2 Сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках математики 5-6 классов

Выводы по главе 2

Глава 3. Методические особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах

§3.1 Методические особенности изучения темы «Треугольники и четырехугольники»

§3.2 Система упражнений

Выводы по главе 3

Библиография

Литература




Введение



В настоящее время одним из приоритетных направлений политики развития нашего государства является воспитание и образование российского общества. Решение проблемы обеспечения высокого качества образования во все времена стоит перед школой. Одним из путей повышения качества образования является развитие познавательных, интеллектуальных и творческих способностей школьников. В этом процессе неоценимую роль играет изучение математики и в частности элементов геометрии на ранних этапах обучения.

Геометрия как школьный учебный предмет всегда считался одним из самых сложных в школьном курсе математики (среди всего школьного курса). Российская учительская общественность непрерывно обсуждает, как учить геометрии, чему учить на уроках геометрии, с чего начинать и в каком возрасте начинать изучение геометрии (когда это нужно делать).

Вопрос о необходимости введения в начальную школу самостоятельного пропедевтического курса рассматривается давно. На сегодняшний день разработаны подобные курсы, но в современной школе, как правило, по тем или иным причинам подобные курсы не ведутся. Учителя вынуждены рассматривать геометрические задачи и теорию с ними связанную в рамках традиционных уроков математики.

Возникает вопрос: нужно ли вообще рассматривать какие-либо геометрические задачи и связанный с ними теоретический материал до начала систематического изучения геометрии, которое в нашей Российской школе начинается с 7-го класса? Ответ на этот вопрос положительный, и вот какие аргументы в подтверждение данного мнения можно указать:

1. Традиционный для нашей основной школы систематический курс геометрии носит дедуктивный характер, что сложилось исторически. Обще известно, что при дедуктивном построении геометрии, доказывая те или иные теоремы, можно опираться только на аксиомы (факты принимаемые без доказательства), на ранее доказанные теоремы, на понятия и представления, которым получены путем наблюдений и личного опыта ребенка. Ссылки на очевидные факты, следующие непосредственно из чертежа или простого рисунка, ни в какой форме в научно–дедуктивной системе изложения геометрии недопустимы. Таким образом, очевидные, простейшие, непосредственно рассматриваемые факты и свойства геометрических фигур, следующие из рисунков и наблюдений должны быть знакомы школьникам еще до того, как началось изучения систематического курса геометрии.

2. Знакомство с геометрическими задачами в начальной школе и младших классах средней школы позволяет выполнить задачи развития математического и пространственного мышления учащихся, позволит подготовить их к восприятию более сложных идей изучаемых в систематическом курсе геометрии.

	3. Наглядность и практичность обучения геометрии являются необходимыми условиями успешного ее изучения. Геометрия, как и любой другой учебный предмет, не может обходиться без наглядности. Формирование отвлеченного (абстрактного) мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями, образами. Именно эти задачи решает геометрическая составляющая курса математики начальной школы. При этом удачное и умелое применение наглядности рождает у школьников желание самостоятельного познания и повышает их интерес к предмету математики в целом, является важнейшим условием успеха обучения не только математике, но и по другим учебным предметам.

Таким образом, можно говорить, что введение геометрического материала в курс математики 1-6 классов чрезвычайно важно для дальнейшего успешного обучения школьников, их вовлечения в познание окружающего мира, развития их мыслительных способностей. Все это делает актуальным вопрос правильной организации обучения математике и элементам геометрии в частности.

Цель исследования: изучение особенностей обучения элементам геометрии в 5-6 классах и разработка системы упражнений с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе.

Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

Изучение психолого-педагогической и методической литературы по заданной теме диплома;

Изучение особенностей восприятия геометрического материала детьми возраста 11-12 лет;

Анализ учебников для учащихся 5-6 классов с точки зрения содержания в них геометрического материала.

Определение существующих подходов к преподаванию элементов геометрии с позиции пропедевтики;

Разработка системы упражнений на тему «Треугольники и четырехугольники» к учебнику Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.

Диплом состоит из 3-х глав. В первой главе рассмотрены вопросы общей и возрастной психологии: выявлены особенности развития психолого-педагогических процессов при изучении элементов геометрии у детей данного возраста. А также, освещены особенности восприятия геометрического материала школьниками и роль пропедевтики геометрии.

Во второй главе дан анализ методической литературы, раскрывающий существующие подходы преподавания элементов геометрии и проведен анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках математики 5-6 классов.

В третьей главе выделены методические особенности изучения темы «Треугольники и четырехугольники» для 5-го класса и разработать комплекс упражнений по данной теме.




Глава 1. Психолого-педагогические особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах



§1.1 Возрастные особенности учащихся в 5-6 классах



Исследования Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, Д.Б. Эльконина позволили систематизировать огромный фактический материал, накопленный в области детской психологии. Л.С. Выготский ввел новую единицу анализа детского развития. Ею являются не отдельные психические процессы, которые изучает общая, генетическая психология. Детская психология имеет дело с особыми единицами. Это возрастные периоды. Именно поэтому детскую психологию называют возрастной психологией. Л.С. Выготский первый понял, что возраст имеет свою структуру и динамику. «Возраст, — писал он, представляет собой такое целостное динамическое образование, такую структуру, которая определяет роль и удельный вес каждой частичной линии развития» [5].

Каждый возраст характеризуется, согласно взглядам Л.С. Выготского, своей своеобразной, специфической для него, единственной и неповторимой социальной ситуацией развития, которая есть не что иное, как отношение между ребенком и его средой. «Социальная ситуация развития данного возраста, — подчеркивал Л.С. Выготский, — представляет собой исходный момент для всех динамических изменений, происходящих в развитии в течении данного периода. Она определяет целиком и полностью те формы и тот путь, следуя по которому ребенок приобретает новые и новые свойства своей личности, черпая их из среды, как из основного источника своего развития, тот путь, по которому социальное становится индивидуальным» [6]. Из жизни ребенка в данной социальной ситуации возникает основной, или ведущий (по определению А. Н. Леонтьева) тип деятельности. В ней развиваются новообразования, свойственному данному возрасту. По словам Л.С. Выгодского, они служат не предпосылкой, а результатом, или продуктом возрастного развития. Возникшие новообразования в развитии ребенка приходят в противоречие со старой социальной ситуацией развития, ведут к ее слому и построению новой социальной ситуации, которая открывает новые возможности для психического развития ребенка уже в следующем возрастном периоде. Такая перестройка социальной ситуации развития и составляет, по Выгодскому, главное содержание критических возрастов.

Как известно, человек в своем развитии проходит несколько возрастных периодов, каждому их которых соответствует расцвет определенных психических функций и свойств личности. Последовательное формирование интеллекта, логической памяти, произвольного внимания, высших эмоций – все это преображает не только внешний облик человека, но и весь рисунок его поведения. Изучением закономерностей психического развития в каждом возрасте и занимается возрастная психология. Смягчение возрастных кризисов, оптимальное использование наилучших периодов для развития тех или иных способностей, т.е. понимание того, чему и как надо учить и какой стиль общения лучше воспринимается в каждом возрасте, — вот кратко ряд проблем, которыми она занимается.

Считается, что десять лет — это возраст, когда ребенок уравновешен, легко воспринимает жизнь, доверчив, ровен с родителями, еще мало заботится о своей внешности. Кроме того, это возраст перехода школьника из начальной школы в среднюю. Учитывая опыт предыдущих школьных лет, ученик еще высоко ценит авторитет учителя, испытывает интерес при обучении, сложившийся в начальной школе. В одиннадцать лет (с началом полового созревания) меняется поведение, подросток становится более импульсивным, демонстрируя частую смену настроения, он нередко ссорится со сверстниками. Поскольку именно в этом возрасте наблюдается развитие волевой сферы, поскольку авторитарность со стороны родителей и педагогов воспринимается уже иначе, чем в детстве. Если взрослые не хотят обсуждать с подростком своих указаний, а прямым нажимом требуют их исполнения, то это может привести к некоторому негативизму. В этом возрасте особенно болезненно переносится стиль воспитания, подавляющий активность и инициативу, однако и излишняя свобода тоже еще непосильный груз. Безапелляционная требовательность и неуважение родителей к своим детям приводят к нежеланию общаться с ними и порождают у подростков замкнутость и лживость, способствуя формированию забитого, пассивного, не уверенного в своих силах человека. Подросток, воспитанный в атмосфере жесткого контроля и непрерывной опеки, вырвавшись из-под родительского крыла, оказывается беспомощным и чрезвычайно зависимым от постороннего влияния. Чрезмерная регламентация со стороны взрослых в этом возрасте приводит к тому, что он становится несамостоятельным, у него повышается агрессивность, а чрезмерная свобода порождает у него асоциальные, эгоистические тенденции в поведении, бессистемность и беспорядочность.

С возрастом усиливается понятийная упорядоченность знаний, интеллектуальные способности также увеличиваются. Благодаря этому совершенствуются когнитивные предпосылки учебной деятельности, то есть когнитивные операции и стратегии учения, решения задач, преодоления трудностей, способов действия, доказавшие свою пригодность в определенных ситуациях, все более эффективно переносятся на аналогичные ситуации (с возрастом потенциально усиливается и настойчивость в учении). Это значит, что старшие дети способны к более длительному занятию учебой, чем младшие. Но на сколько эта способность реализуется, во многом зависит от установок, планов и интересов детей.

Остановимся на возрастных особенностях детей младшего подросткового возраста (10-13 лет). В частности в работах Р.С. Немова [25] говорится о том, что характерной особенностью младшего подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в этом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением всё самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту.

Младший подростковый возраст отличается повышением интеллектуальной активности, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью, но и желанием развить и продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. При выполнении самостоятельных работ учащиеся чаще выбирают наиболее сложный вариант, как правило, не сопоставив свои возможности с уровнем сложности задач. В этом возрасте подростки решают много дополнительных задач, которые с удовольствием объясняют своим одноклассникам, тем самым, показывая им свои способности. С удовольствием участвуют в различных конкурсах, викторинах, турнирах, которые частично удовлетворяют их возрастную любознательность и очередной раз предоставляют им возможность продемонстрировать свои способности.

Младшие подростки начинают формулировать гипотезы, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе и учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности – стремление к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Успешной является работа в группах, где ученикам предоставляется возможность выдвигать гипотезы и отстаивать свои идеи среди одноклассников. Заметим, что чаще они считают свою идею правильной и с трудом соглашаются с гипотезами сверстников.

Наглядно-образный способ мышления – ведущий способ мышления детей 10-12 лет. Исследования психологов и физиологов показали, что правое (образное) полушарие наиболее интенсивно развивается у детей младшего школьного возраста. Конечно, следует понимать условность изолированной деятельности обоих полушарий головного мозга. Оба полушария взаимосвязаны и участвуют в деятельности мышления с самого начала развития ребенка, но в определенные периоды становления личности, роль полушарий различна в зависимости от деятельности ребенка и, конечно, от его психического развития. Психологи утверждают, что если не учитывать естественный путь познания через последовательное прохождение его этапов: чувственное, чувственно-инструментальное, образно-ассоциативное, абстрактно-ассоциативное, а сразу формировать знания только при помощи словесных описаний (то есть, на абстрактно-ассоциативном уровне), то понимание будет затруднено, так как познание сущности вещей требует знакомства со свойствами объектов во всей их полноте. Чтобы словесное описание объектов было наполнено содержанием, необходимо иметь запас различных образов объектов, их отношений с другими объектами, а это возможно при эмпирическом (наблюдение и описание объектов и их свойств) и экспериментальном (конструирование, моделирование, измерение, построение, изображение объектов) исследовании объектов окружающей действительности. А далее, в результате накопления фактов, полученных эмпирическим и экспериментальным путем, необходимо подводить учащихся к потребности в их логическом обосновании. Таким образом, необходимо так организовать деятельность учащихся по изучению математического и геометрического материалов, чтобы гармонично развивались оба полушария головного мозга. Левое полушарие «отвечает» за логическое, рациональное мышление, а правое – за образное, эмоциональное. Дети возраста 10-12 лет физиологически и психологически готовы к этому.

Итак, основные возрастные особенности школьника 10-12 лет:

			«Чувство взрослости», не подкрепленное еще реальной ответственностью, - особая форма самосознания, возникающая в переходный период и определяющая основные отношения младших подростков с миром. "Чувство взрослости" появляется в потребности равноправия, уважения и самостоятельности, в требовании серьезного, доверительного отношения со стороны взрослых. Пренебрежение этими требованиями, неудовлетворенность этой потребности обостряет негативные черты подросткового кризиса. Если школа не предлагает учениками средств реализации их чувства взрослости, оно все равно проявится, но самым невыгодным образом - уверенности подростка в учительской несправедливости и необъективности.

			Склонность к фантазированию, к некритическому планированию своего будущего. Результат действия становится второстепенным, на первый план выступает свой собственный авторский замысел. Если учитель контролирует только качество «продуктов» учебной работы школьников и не находит места для оценки детского творчества, инициативы, самостоятельности, то процесс учения теряет для ученика свою актуальность и привлекательность [6].

			Стремление экспериментировать, используя свои возможности – едва ли не самая яркая характеристика младших подростков. Если школа не предоставляет ученикам культурных форм такого экспериментирования, то оно реализуется лишь в самой поверхностной и примитивной форме – в экспериментах со своей внешностью.




§1.2 Роль пропедевтики геометрии в 5-6 классах



Прежде чем говорить о подходах к преподаванию элементов геометрии, необходимо понять, что же такое пропедевтика.

Пропедевтика (от греч. propaideuo - предварительно обучаю) - введение в какую-либо науку, предварительный, вводный курс, систематически изложенный в сжатой и элементарной форме [35].

Вопрос о пропедевтике возникает тогда, когда обнаруживаются серьезные трудности при формировании некоторого понятия или при слишком концентрированном изложении некоторой темы.

Школьные предметы представляют собой пропедевтические курсы различных наук, или их разделов, фрагменты теорий, методы исследования и поэтому должны получить в школе завершенный характер. В связи с чем, обучение в школе должно состоять из двух этапов: пропедевтического знакомства и систематического изучения понятий, фрагментов теорий и некоторых их приложений.

Задачами пропедевтики является подготовка учащихся к систематическому изучению некоторых важных абстрактных понятий, фрагментов теории. На пропедевтическом уровне обучения не вводится определение сложного понятия, или строгая формулировка утверждения; терминология и символика, связанные с этим понятием, или совсем не вводится, или вводится, частично (в зависимости от степени пропедевтики); однако учитель на конкретном материале доступными средствами подготавливает введение понятия, утверждения. Содержание пропедевтики понятия или фрагмента теории, зависит от того, какое место занимает это понятие, фрагмент теории в науке, в данном предмете, в других некоторых предметах, от системы внутренних взаимосвязей с другими понятиями, утверждениями предмета, от их практической значимости, а также от того, какой уровень завершенности должны получить данные понятия, фрагмент теории в школе.

Геометрический материал в 5-6 классах распределён по всему курсу математики. Он составляет содержание так называемого пропедевтического курса геометрии. Пропедевтический этап по количеству часов, отведенных на него, и по объему сведений, получаемых учащимися, небольшой, но строго последовательный и содержательный. Основная роль этого курса – подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии, а также к изучению таких смежных дисциплин как география, физика и др. Отметим, что механический перенос материала из учебника старших классов в учебник для младших, не может являться пропедевтикой, так как здесь не учитываются возрастные особенности учащихся и уровень математической подготовки. В пропедевтике геометрии можно выделить три составляющие: фигуры, логика и применение знаний на практике. Все это помогает развить познавательную и исследовательскую деятельность учащихся. При изучении начальных геометрических сведений необходимо учитывать следующие позиции:

мотивация материала;

форма изложения (диалог, беседа и проч.);

наглядность, доступность;

активная познавательная деятельность.

Основная цель пропедевтики геометрического материала в 5-6 классах – знакомство с геометрическими фигурами и их свойствами. Но не менее важна задача интеллектуального и умственного развития детей: это определенный запас знаний, умение применять различные приемы умственной деятельности, такие, как анализ, обобщение, абстрагирование; развитие качеств мыслительной деятельности (гибкость и глубина мышления, концентрация).

Главное при изучении пропедевтического курса – это показать красоту геометрии, её уникальность в системе обучения школьников. Систематический курс геометрии начинают изучать в школе позднее психологически благоприятного периода для её изучения. Наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста. Всестороннее развитие геометрического мышления учащихся 5-6 классов с помощью методов геометрической наглядности является целью изучения пропедевтического курса геометрии.

Роль изучения геометрии в школе заключается:

в развитии логического мышления учащихся;

в формировании элементарных навыков определения простейших геометрических понятий, навыков чёткой формулировки выводов на основе наблюдений;

в развитии пространственных представлений у учащихся;

в ознакомлении учащихся с простейшими дедуктивными обоснованиями;

в формировании умений и навыков выполнения построений с помощью основных геометрических инструментов – циркуля, линейки, угольника, транспортира;

в формировании умений и навыков измерения геометрических величин;

в развитии творческой активности и самостоятельности учащихся.

		Роль пропедевтического курса геометрии определяет его содержание, которое включает ряд вопросов, изучаемых в систематическом курсе геометрии.

В начальной школе ведётся накопление и развитие геометрических представлений у школьников. Это достигается систематическим проведением практических работ. Основную роль на этой ступени обучения играет изготовление учащимися моделей геометрических фигур, вырезание, вычерчивание и т.п.

Учащиеся получают некоторые представления об определениях. Однако самостоятельная задача формулировки определений перед ними не ставится.

Таким образом, к 5 классу у учащихся накапливается значительный запас конкретных геометрических знаний и представлений, которые нуждаются в дальнейшем их обобщении и систематизации.

Важной компонентой обучения геометрии учащихся 5-6 классов является знакомство школьников с основными геометрическими понятиями и формирование прочных навыков выполнения геометрических построений с помощью линейки, угольника, циркуля и транспортира.

В этих классах в процессе обучения:

уточняются и углубляются представления о геометрических объектах и их свойствах, приобретённые при обучении в младших классах;

вводятся новые геометрические фигуры (луч, параллельные прямые, биссектриса угла и т.д.), некоторые преобразования фигур;

изучают новые величины, носителями которых являются знакомые фигуры (длина окружности, величина угла);

проводится чёткое различие величин и фигур (отрезок и длина отрезка, угол и градусная мера угла);

расширяется круг геометрических построений и используемых при этом инструментов.

Для школьников характерно восприятие геометрических фигур как целого чертежа, модели, которая пока ещё не отделима от воспринимаемого объекта. Знакомство школьников 5-6 классов с геометрическими фигурами, соотношениями между ними в большинстве случаев может быть доведено до уровня представлений. Эти представления отличаются друг от друга степенью обобщения. Многие из них несут в себе черты понятий, но это ещё не понятие. Например, школьники получают наглядное представление об отрезке – умеют выделить концы отрезка, отметить точки на отрезке и подсчитать при этом все образовавшиеся отрезки, учатся измерить длину отрезка, знакомятся с отрезком как носителем величины. Всё это создаёт хорошие предпосылки для формирования понятия отрезка.

Подготовительный курс геометрии в 5-6 классах знакомит учащихся с геометрической технологией и символикой, которые используются и в систематическом курсе. Ознакомление с некоторыми видами отображения фигур готовит учащихся к сознательному усвоению идей геометрических преобразований.

В 5 классе учащиеся имеют дело с такими геометрическими величинами, как длина, площадь, объём (длина отрезка, площадь прямоугольника, объём прямоугольного параллелепипеда). Знакомятся с величинами угла.

В 6 классе вводятся формулы длины окружности и площади круга, учащиеся знакомятся с понятиями параллельных и перпендикулярных прямых, координатной плоскости.

В курсе геометрии большое внимание уделяется выработке у учащихся умений и навыков в выполнении построений с помощью основных геометрических инструментов, а также формированию у них рациональных приёмов построения геометрических фигур. Это умение будет необходимо как при изучении систематического курса геометрии, так и при изучении курса черчения. В подготовительном курсе геометрии осуществляется связь теории с практикой. Теоретические положения раскрываются при решении задач бытового характера. Уроки геометрии в 5-6 классах включают задачи, позволяющие развивать у учащихся пространственные представления. Наиболее интересными и полезными для учеников 5-6 классов является задачи на развёртки (сделать развёртки, склеить модель), т.к. при решении этих задач ученики оперируют пространственными образами; происходит развитие практических, в том числе и графических умений учащихся; появляются навыки самоконтроля, а также осуществляются внутрипредметные и межпредметные связи. Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе.

Роль пропедевтики геометрических знаний становится еще более важной, поскольку в федеральных государственных образовательных стандартах общего образования второго поколения отмечено, что система математического образования в основной школе должна стать более динамичной за счет вариативной составляющей на всем протяжении второй ступени общего образования. В примерной программе по математике предусмотрено значительное увеличение активных форм работы, направленных на вовлечение учащихся в математическую деятельность, на обеспечение понимания ими математического материала и развития интеллекта, приобретения практических навыков, умения проводить рассуждения, доказательства. [28]. Изучению элементов геометрии в 5-6 классах в новых стандартах отводится большее количество часов и, соответственно, вводится больше новых понятий, что позволит углубить и расширить начальные геометрические знания учащихся.

	Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрии. В этом заключается основная роль изучения элементов геометрии на уроках математики 5-6 классов.



§1.3 Особенности восприятия геометрического материала



Долгие годы геометрия как учебный предмет в школе строилась на дедуктивной (аксиоматической) основе и требовала для своего усвоения хорошо развитого теоретического (понятийного) мышления.

Вместе с тем основной целью изучения геометрии признавалось и развитие пространственных представлений (воображения) учащихся. Но наглядные представления о пространственных свойствах и отношениях являлись в аксиоматической геометрии лишь своеобразной иллюстрацией ее теоретических постулатов (аксиом, определений, теорем, понятий) и выполняли в этом смысле вспомогательную роль.

Такое построение содержания математического образования отвечало закономерностям математики как науки, но не соответствовало природе детского мышления, которое целостно, многомерно, креативно опирается на образное восприятие предметного мира, организованного определенным образом в пространстве. В курсе школьной геометрии пространственное мышление должно выполнять не вспомогательную, а основополагающую функцию, реализующую возможность человека ориентироваться в окружающем его реальном пространстве, в котором нет ни одного плоского объекта, изучаемого в планиметрии [8].

Следует отметить, что, по мнению психологов, в раннем подростковом возрасте происходит перестройка психики школьника, существенно изменяется характер учебной деятельности. Постепенно нарастающая взрослость подростка делает неприемлемыми для него привычные старые формы и методы обучения. Особенно актуальным в этом плане стоит вопрос о математическом образовании (в частности, геометрическом). Математика как наука и как школьный предмет имеет важную специфику: именно в математике самые конкретные объекты изучения являются абстрактными, скорее теоретическими, чем эмпирическими [15]. Так что при обучении математике в школе очень короток период перехода от эмпирического мышления к теоретическому, и учение идёт через передачу теоретических способов мышления, как раз через диалектическое «восхождение от абстрактного к конкретному».

Преподавание геометрического материала в средней школе предоставляет широкие возможности школьникам для более комфортного перехода от эмпирического вида мышления к теоретическому.

В этом плане рассмотрим вопрос о роли геометрического материала в обучении школьников 5-6-х классов в контексте понятий, введённых В. Ротенбергом, – однозначный и многозначный контекст мышления.

Под однозначным контекстом Ротенберг понимает характер мыслительной деятельности, при котором в процессе активного взаимодействия с миром для представления различных отношений в виде упорядоченной и стройной системы из всех бесчисленных связей между многогранными предметами и явлениями отбираются только немногие: определённые и внутренне непротиворечивые, важные для упорядоченного анализа.

В противовес этому многозначный контекст мышления подразумевает одновременное «схватывание» всех имеющихся связей. Отдельные элементы реальности, грани образов взаимодействуют друг с другом сразу во многих смысловых плоскостях [36].

В 1990-х гг. В. Ротенбергом (в рамках учения о функциональной асимметрии головного мозга) была выдвинута гипотеза о том, что левое полушарие головного мозга оперирует с информацией, сводящейся к однозначному контексту – отвечает за вербальное поведение, логическое мышление. Правое же полушарие способно целиком воспринимать многозначный контекст, интегрируя все многочисленные и даже противоречивые связи между объектами окружающего мира. Правое полушарие отвечает также за формирование многозначного «образа Я», соединяющего в себе всё огромное множество представлений человека о самом себе и о своих отношениях к окружающему – миру, социуму [32].

Если организация однозначного контекста необходима для взаимопонимания между людьми, анализа и закрепления знания, то организация многозначного контекста столь же необходима для целостного постижения и проникновения в суть внутренних связей между предметами и явлениями. По мнению Ротенберга, последняя и лежит в основе любого творчества, в котором действительность надо воспринимать во всей ее сложности и многогранности, во всем богатстве внутренних взаимосвязей [32].

Итак, правое полушарие является носителем неосознаваемых творческих потенций человека. Но важнейшая роль «правополушарной» способности к улавливанию множества связей, к организации многозначного контекста отнюдь не умаляет роли «левополушарного» мышления в творческой деятельности. Творческий процесс состоит из несколько тесно связанных между собой этапов, и нарушение любого из них отрицательно сказывается на конечном результате. Самое богатое воображение останется «вещью в себе», лишенной социального значения, если не пройдет очистительного этапа критической доработки, и плоды его не предстанут в том хорошо упорядоченном виде, который свойствен подлинным достижениям в науке и искусстве.

Разумеется, мозг функционирует как единое целое, объединяя оба способа организации контекста как взаимодополняющие компоненты мышления. Поэтому чрезвычайно важно развивать оба полушария головного мозга для воспитания гармоничного человека, способного к решению любых самых сложных задач.

Между тем в условиях нашей цивилизации все более доминирует однозначно понимаемый контекст.

Исследования различных учёных (в частности, Д.А. Фарбера) показывают возрастную динамику в доминировании левого или правого полушарий. Так, у детей от 3 до 7 лет в ситуации как непроизвольного, так и произвольного внимания активизируется преимущественно правое полушарие, и только начиная с 10-летнего возраста – левое. Сдвиг асимметрии в сторону относительного преобладания левого полушария становится особенно выраженным к концу подросткового периода. Особый интерес представляет тот факт, что у детей-правшей 8-9 лет даже при решении арифметических задач активизированным является правое полушарие, и только между 10 и 14 годами существенно возрастает активизированность левого полушария [19].

Таким образом, младший подростковый возраст (соответствующий 5-6 классам средней школы) является переломным в психическом развитии ребёнка. Одной из причин этого является то, что «вся современная система образования нацелена на развитие формально-логического мышления, на овладение способами построения однозначного контекста. Но чем больше усилий приложено в процессе воспитания для того, чтобы добиться доминирования логико-знакового мышления, тем больше усилий потребуется в дальнейшем для преодоления его ограниченности» [19]. По мнению А.Н. Землякова, «многозначность и образность мышления по сути своей входят в противоречие с традиционной парадигмой математического образования», «вся западная цивилизация способствует развитию левого полушария в ущерб правому и недостаточному формированию образного мышления» [15].

То есть сдвиг межполушарной асимметрии в сторону абсолютного господства «левополушарной» стратегии мышления в большей степени зависит от внешних посылок - социальных влияний и обучения.

Вполне логичным в этой ситуации выглядит вопрос: а не может ли «сам предмет» математики в школе способствовать развитию у учащихся образного мышления, правого полушария, креативных способностей?

Взять хотя бы формирование геометрического воображения и пространственных представлений, привитие эвристических способов решения задач, интуитивных и ассоциативных подходов, даже показ «иррациональных» приёмов мышления (работа интуиции, инсайта…).

Поскольку в 5-6-х классах происходит переход от наглядного, конкретного образа мыслительной деятельности к образному мышлению на абстрактном формализованном уровне, то геометрия как один из самых абстрактных разделов математики способствует развитию «правополушарной» способности к улавливанию множества связей предметов и явлений, и в частности, развитию пространственного мышления.

Обучение элементам геометрии младших школьников является необходимым условием развития пространственного мышления, которое, по мнению доктора психологических наук профессора И.С. Якиманской, и «составляет основу успешности образования на всех ступенях обучения, является важным условием овладения математическим аппаратом, применяемым во многих науках, характеризует общую умственную культуру человека» [37].

Необходимость формирования у младших школьников пространственного мышления обусловлена тремя причинами: математической, физиологической и психологической.

С математической точки зрения, обучение младших школьников элементам геометрии является пропедевтикой к изучению систематического курса геометрии в средней школе. Пространственное мышление – вид умственной деятельности, обеспечивающий создание и оперирование пространственными образами в процессе решения различных практических и теоретических задач. Результаты исследований ученых показали, что многие учащиеся, оканчивающие среднюю школу, не обладают пространственным мышлением, необходимым для продолжения образования и применения своих знаний на практике. В качестве одной из причин этого ученые указывают недостаточность пропедевтической работы в начальных классах.

С точки зрения физиологии, изучение геометрии способствует развитию правого полушария головного мозга, отвечающего за способность человека оперировать образами.

Так как для детей 6 – 10 лет характерно наглядно – образное мышление, то этот возраст наиболее благоприятен для развития пространственного воображения, для обучения правого полушария. В настоящее время школьные методики обучения развивают, главным образом, левое полушарие, тем самым, переоценивая логическое мышление в становлении мыслительной деятельности ребенка. И. Соньер считает, что обучая левое полушарие, мы обучаем только левое полушарие; а обучая правое полушарие, мы обучаем весь мозг! Именно правое полушарие связано с развитием творческого мышления, интуиции, с умением ориентироваться в пространстве – необходимым компонентом любого вида учебной деятельности.

Психологическая причина заключается в том, что с самого рождения нас окружает трехмерный геометрический мир. Дети накапливают достаточно большой запас пространственных представлений. Игрушки различной формы, а также дома, растения и т.п., являющиеся, по сути, моделями геометрических тел позволяют детям воспринимать и получать сведения об объемных телах и их свойствах из окружающего нас мира. Многим приходилось наблюдать, как ребенок, рассматривая себя впервые в зеркало, пытается заглянуть за него, или хочет взять нарисованное на плоскости объемное тело. Таким образом, у дошкольников сформированы некоторые пространственные представления и умения ориентироваться в трехмерном окружающим мире. В курсе математики 1 – 6 классов почти не содержится сведений о пространственных фигурах. Поэтому ученики начальных классов должны быстро перестроить свою структуру психических операций и учиться мыслить в плоскости, а не в привычном трехмерном пространстве. И только в старших классах переходят к изучению стереометрии. Разрыв между дошкольным «пространственным» опытом и приобретаемым в старших классах – «плоскостным» приводит к затруднениям в обучении, создается ситуация дискомфорта. Между тем, «геометрия на плоскости» - искусственное образование, по существу абстракция от трехмерной геометрии, поскольку в мире вообще не существует двумерных предметов, не имеющих толщины. Планиметрия произошла от стереометрии. Объекты планиметрии – продукты мыслительной деятельности человека, результаты абстрагирования, которое недостаточно развито у детей 6-8 лет.

Если проанализировать существующие программы по математике для 5-6 классов, то мы увидим, что геометрического материала здесь очень мало, он не систематизирован, отсутствует стройность и логичность его изложения, недостаточно ясно определены цели изучения геометрии на данном этапе.

В связи с эти мы выдвигаем первый тезис: математический материал в 5-6-х классах нуждается в большей геометризации, нежели чем мы наблюдаем сегодня.

Кроме содержания геометрического материала необходимо отметить характер его преподнесения учащимся. Сегодня ведущим в преподавании геометрии – и в школе, и в вузах – на протяжении, можно сказать, веков является формально-дедуктивный подход. Смысл его в том, что учащимся без особых оснований или объяснений (без специальной мотивации) предъявляется некоторый список исходных понятий и положений (определений, аксиом, правил). Вслед за тем – опять-таки без мотивации – формируются и доказываются свойства «объектов изучения», связи между ними. Таким образом, изучаемая математическая теория представляется как некий свод правил, определений, постулатов, теорем. Такова общая традиция изучения математики [16].

По словам Я.И. Перельмана, «какой интерес может представлять для учащегося изучение формальной геометрии? Почти никакого – главным образом потому, что ему непонятна цель её изучения. …Пока в глазах ученика единственное применение свойств геометрических фигур состоит лишь в том, что с помощью их выводятся другие геометрические свойства, нельзя ожидать, чтобы такая неуловимая цель могла поддерживать интерес к изучению предмета» [17].

Главный и очевидный недостаток формально-дедуктивного стиля преподавания математики состоит в том, что полностью игнорируются вопросы «Почему?», «Зачем?». То есть оказывается изъятым существенный в воспитательном отношении момент мотивации.

Мотивацию здесь имеет смысл рассматривать внутреннюю, именно психическую по отношению к субъекту – обучающемуся, а не внешнюю (оценка или материальный стимул). Главным рычагом такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен в таких его качествах, как интересность содержания и процесса учения.

По-другому, обучение должно обладать привлекательностью для учащихся. Привлекательность процесса учения во многом зависит от успешности достижений учащихся, которые должны испытывать чувство удовлетворения по изучении того или иного фрагмента предмета. Для этого у учащихся должны быть понятные цели как результаты их учебной деятельности, и это достигается ориентацией процесса учения от зоны актуального до зоны ближайшего развития.

Что касается объективных предпосылок развития мотивации, то можно выделить две: историчность и прикладная направленность учебного повествования. Первая реализуется посредством введения на уроках культурно-исторического дискурса.

Под ним будем понимать практику постоянного и систематического вовлечения в процесс изучения собственно математики сведений культурно-исторического ряда (А.Н. Земляков [16]):

- привлечение конкретно-исторического материала, связанного с возникновением тех или иных конкретных математических содержаний (задач, понятий и определений, моделей, конструкций, подходов и идей);

- использование относящихся к математическому содержанию сведений, касающихся конкретно-исторических общеобразовательных, культурных обстоятельств, оказавших прямое или опосредованное влияние на развитие математики;

- привлечение материалов историографического и биографического характера, показывающего роль личностных факторов и межличностных отношений.

Раскрывая вторую объективную предпосылку формирования мотивации, обратимся к словам того же Я.И. Перельмана: «…Когда учащиеся почти на каждом шагу убеждаются, что знание свойств геометрических фигур с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в действительной жизни – в обиходе, в технике, в естествознании…, тогда и только тогда изучение геометрии с первых же уроков приобретает живой интерес для учеников. …И ещё желательно, чтобы преподавание геометрии не было в глазах учащихся бесцельным занятием. …Необходимо поставить обучение так, чтобы ученик приучался широко и уверенно распоряжаться приобретаемыми геометрическими знаниями для решения разнообразных реальных задач» [17].

Особую значимость эти слова приобретают в связи с тем, что в 5-6-х классах происходит переход от наглядно-образного, конкретного, индуктивного характера изложения предмета геометрии к дедуктивному изложению на абстрактном формализованном уровне, что создаёт известные трудности у учащихся в усвоении геометрии как одного из самых абстрактных разделов математики.

Поэтому наш второй тезис заключается в следующем: необходимо поставить обучение элементам геометрии в 5-6-х классах так, чтобы заинтересовать учащихся, создать объективные предпосылки для формирования внутренней мотивации к изучению предмета.

Анализ современных подходов к определению целей обучения геометрии (А.Н. Земляков, В.А. Гусев, В.А. Крутецкий, И.Ф. Шарыгин, Н.Г. Подаева и др.) позволяет выделить два основных аспекта: адекватная мотивация к обучению и ориентация на развитие способностей, в том числе на психическое развитие таких качеств личности, как поисковая активность, креативность, теоретическое мышление и др. Первый компонент был раскрыт нами выше. Обратимся ко второму.

Ф. Клейн в начале XX в. писал, что ученика “нужно не только услаждать и поучать, но что в нём надо будить силы, которые вели бы его дальше, побуждать его к самостоятельной деятельности”. По существу здесь содержится призыв к усилению внимания к поисковой активности, которая понимается так: эта активность есть активность субъекта, направленная на изменение ситуации, расцениваемой как неприемлемая, при отсутствии определённого прогноза результатов своей активности, но при постоянном учёте этих результатов (Аршавский, Ротенберг).

Идеальная ситуация, в которой нужна поисковая активность, – решение любой новой (для субъекта – обучаемого) задачи.

Идея поисковой активности, важности поискового поведения восходит к Выготскому, который утверждал, что жизнь в педагогике будущего «раскрывается как система творчества, постоянного напряжения и преодоления, постоянного комбинирования и создания новых форм поведения. Таким образом, каждая наша мысль, каждое наше движение и переживание является стремлением к созданию новой действительности, прорывом вперёд к чему-то новому» [7].

Через посредство геометрии проявляется уникальная возможность развивать поисковую активность на идеальных, абстрактных моделях. Поисковая активность способствует процессу усвоения теоретических, но применяемых на практике знаний. Поисковая, творческая, исследовательская активность, мышление предполагают многозначность, образность, целостность восприятия проблемной ситуации [15].

Данный подход целесообразно реализовывать и при построении курса геометрии 5-6-го классов через подбор соответствующей системы задач, манеры преподнесения и характер изучаемого материала.

Ясно, что в условиях современной модернизации образования, вступления в Болонский процесс и вытекающих отсюда последствий (уход от фундаментальности образования, введение единой итоговой аттестации – ЕГЭ, ориентация на формирование компетенций) чрезмерно трудно поставить обучение школьников математике (геометрии в частности) в полное соответствие с описанными выше принципами, то есть способствовать формированию интереса к предмету, развитию поисковой активности, образного мышления и пространственного воображения. Но также вполне понятна мысль, что без всего этого способствовать формированию гармонично развитой личности проблематично.


Выводы по главе 1



Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволяет сделать выводы, касающиеся особенностей обучения элементам геометрии в 5-6 классах:

1. Основными возрастными особенностями школьников 10-12 лет являются: желание считать себя уже взрослым, не подкрепленное реальной ответственностью; склонность к фантазированию, к некритическому планированию своего будущего; стремление экспериментировать, используя свои возможности; повышение интеллектуальной активности, стимулируемое возрастной любознательностью; готовность и способность ко многим видам обучения.

2. Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрии, поэтому роль пропедевтики этой дисциплины представляется чрезвычайно важной.

3. Изучению элементов геометрии в 5-6 классах в новых стандартах отводится большее количество часов и, соответственно, вводится больше новых понятий, что позволит углубить и расширить начальные геометрические знания учащихся.

4. Главное при изучении пропедевтического курса – это показать красоту геометрии, её уникальность в системе обучения школьников.

5. Важной компонентой обучения геометрии учащихся 5-6 классов является знакомство школьников с основными геометрическими понятиями и формирование прочных навыков выполнения геометрических построений с помощью линейки, угольника, циркуля и транспортира.

6. В процессе обучения элементам геометрии с позиций пропедевтики:

уточняются и углубляются представления о геометрических объектах и их свойствах, приобретённые при обучении в младших классах;

вводятся новые геометрические фигуры (луч, параллельные прямые, биссектриса угла и т.д.), некоторые преобразования фигур;

изучают новые величины, носителями которых являются знакомые фигуры (длина окружности, величина угла);

проводится чёткое различие величин и фигур (отрезок и длина отрезка, угол и градусная мера угла);

расширяется круг геометрических построений и используемых при этом инструментов.

7. Поскольку в 5-6-х классах происходит переход от наглядного, конкретного образа мыслительной деятельности к образному мышлению на абстрактном формализованном уровне, то геометрия как один из самых абстрактных разделов математики способствует развитию «правополушарной» способности к улавливанию множества связей предметов и явлений, и в частности, развитию пространственного мышления.

8. Математический материал в 5-6-х классах нуждается в большей геометризации.

9. Возникает необходимость организовать обучение элементам геометрии так, чтобы заинтересовать учащихся, создать объективные предпосылки для формирования внутренней мотивации к изучению предмета.

10. Через посредство геометрии проявляется уникальная возможность развивать поисковую активность на идеальных, абстрактных моделях, а следовательно, такой подход целесообразно реализовывать и при построении курса геометрии 5-6-го классов путем подбора соответствующей системы задач, манеры преподнесения и характера изучаемого материала.




Глава 2. Существующие подходы к преподаванию элементов геометрии с позиций пропедевтики дальнейшего обучения курсу геометрии



§2.1 Основные подходы к пропедевтике геометрических знаний



Рассмотрим основные подходы к пропедевтике геометрии в 5-6 классах основной школы. Первая постановка вопроса о необходимости начального этапа обучения геометрии принадлежит Ж. Даламбергу. В России о необходимости пропедевтического курса геометрии впервые заговорил С.Е. Гурьев в конце 18 века. Мысли о необходимости предварительного, до начала изучения систематического курса, ознакомления учащихся с геометрическими объектами и их свойствами высказывались Н.И. Лобачевским.

Еще в середине 60-х годов в работах А.М. Пышкало отмечалось, что обучение в школе приводит к нарушению гармонии в развитии мышления. С началом школьного обучения левое («логическое») полушарие компонентов мышления еще больше подавляет образные компоненты. Система обучения ориентирована на интенсивную работу левого полушария, что приводит к нарушению гармонии умственного мышления. Геометрия же, как самая «гуманитарная» среди математических дисциплин, могла бы сыграть важную роль в восстановлении необходимого баланса.

А.М. Пышкало [30] выделяет следующие аспекты обучения геометрии, актуальные и для учащихся 5-6 классов.

Желательно, чтобы обучение геометрии носило развивающий характер, вся методическая система изучения геометрической составляющей курса математики должна подчиняться этой цели.

Геометрическую линию курса необходимо строить так, чтобы она составляла нечто целое, законченное и играть самостоятельную роль, обеспечивая формирование системы пространственных представлений и пространственного воображения учащихся.

Вся система обучения геометрии должна носить практическую направленность, обеспечивающую более рациональное продвижение в учении и служащую надежным средством для самообразования учащихся.

Необходимо, чтобы процесс геометрического развития был непрерывным, равномерным и разнообразным.

Ознакомление с геометрическими объектами желательно строить в направлении от формирования качественных геометрических операций к количественным.

Ознакомление с двумерной и трехмерной геометрией должно происходить одновременно.

Необходимо, чтобы учебные материалы обеспечивали возможность дифференцированного обучения, учета индивидуальных особенностей учащихся.

Систематическое внимание должно уделяться изучению терминологии и развитию учащихся.

При отборе содержания геометрического материала необходимо заботиться не только о накоплении запаса геометрических представлений и навыков, но и о достижении учащимися соответствующего развития.

Изучению вопросов пропедевтики геометрических знаний в 5-6 классах посвящены труды Г.А. Клековкина. Он отмечал, что имеется целый ряд причин, по которым необходимо введение специального курса, знакомящего учащихся с геометрическими объектами и их свойствами. Вот некоторые из них:

		трудности, которые возникают у учащихся 7-х классов, приступающих к изучению систематического курса геометрии ( от несформированных навыков работы с чертежными и измерительными инструментами до отсутствия потребности в элементарных логических обоснованиях своей деятельности );

		«уплощенность» естественного пространственного опыта у десятиклассников, дождавшихся после трехлетнего изучения планиметрии наконец – то «выхода в пространство»;

		недоучет возрастных особенностей и сензитивных периодов в развитии перцептивных и концептуальных пространственных представлений ребенка [17].

Г.А. Клековкин подчеркивает, что геометрия как никакой другой школьный предмет позволяет в явном виде демонстрировать наиболее адекватное психологической сущности учащихся 5-6 классов единство предметно – практической и умственной деятельности. Восприятие, память и мышление не существуют независимо друг от друга: мышление совершается не только в форме речи, но и в форме образов, функционирующих в нем в качестве носителей смыслового содержания. Поэтому важно, чтобы при первоначальном знакомстве с учебным предметом восприятие было естественным образом слито с речью, а посредством ее с абстрактным мышлением. На этом этапе основным носителем информации является образ, слово же служит закреплению созданного образа в термине, описанию наблюдаемых или найденных в предметно-практической деятельности свойств.

Развивая сказанное, можно говорить о принципе наглядно -теоретического единства изложения геометрии на данном этапе обучения. Первоначально геометрический факт рассматривается в рамках наглядной ситуации с помощью модели или образа – представления. Затем процесс динамических операций или наглядно-образных преобразований вторично считывается на языке геометрических понятий и отношений с помощью символики и логических рассуждений. Тем самым обеспечивается единство внешней (предметной) и внутренней (умственной) деятельности, а во внутреннем плане – единство слова и образа.

В соответствии с классификацией А.М. Пышкало А.Г. Клековкин выделяет пять уровней развития геометрического мышления.

На первом уровне геометрические фигуры воспринимаются детьми как единое целое. Они не видят частей фигуры, отношений между ее элементами; не могут порой сравнивать между собой близкие родственные фигуры. С точки зрения психологии это объясняется тем, что с рождения до младшего школьного возраста у ребенка правое полушарие головного мозга, дающее целостное восприятие предметов, изображений, ситуаций и обеспечивающее функционирование механизмов конкретного образного мышления, является доминирующим. В то же время дети этого возраста достаточно легко узнают знакомые фигуры и сравнительно быстро запоминают их названия. Поэтому генетическая способность детей к восприятию формы и размеров окружающих предметов служит основой формирования начальных геометрических представлений, а в основе познавательной геометрической деятельности лежат наблюдение, рисование, лепка, конструирование.

Достигнув второго уровня, ребенок начинает различать элементы фигур и устанавливать отношения между ними, может указать сходство и определенные видовые различия родственных фигур. Это объясняется тем, что начинается сдвиг асимметрии полушарий мозга в сторону левого полушария, посредством которого воспринимаются отдельные части, детали, элементы и обеспечивается функционирование механизмов абстрактного мышления. Обучение новой, пока еще индуктивной, наглядно-эмпирической геометрической деятельности происходит с помощью наблюдений, вычерчивания и измерения фигур, конструирования и моделирования, в ходе которых начинают формироваться такие приемы умственной деятельности, как сравнение, отождествление, анализ и синтез, классификация, аналогия, обобщение.

На третьем уровне учащиеся начинают устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. Осознается возможность определения вида фигуры по ее свойствам, выведения одного свойства из другого; уясняется роль определений. Однако значение индукции в целом учащимися еще не понимается, логический порядок изложения изучаемого материала задается учебником или учителем, и оно носит смешанный наглядно-теоретический и индуктивно-дедуктивный характер. Основная учебная деятельность направляется на формирование устойчивого интереса к изучению геометрии и потребности к логическим обоснованиям.

Учащиеся, достигшие четвертого уровня, понимают значение дедукции как способа построения геометрической теории, т.е. осознают роль и сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств. Обучение геометрии на этом уровне ведется на основе содержательной модели евклидова типа, в которой основным геометрическим понятиям и отношениям придается сформированный ранее конкретно – эмпирический смысл.

Наконец, пятый уровень геометрического мышления характеризуется осознанием возможности построения геометрической теории на основе полуформальной аксиоматики, где развитие теории строится вне всякой конкретной интерпретации [17].

Основываясь на детальном анализе возможностей обучения геометрии школьников 11-13 лет, Г.А. Клековкиным была разработана и успешно внедрена программа экспериментального пропедевтического курса по геометрии для 5-6 классов. Также издан целый ряд методических и учебных пособий, посвященных этой тематике. В своей программе автор выделяет следующие обязательные результаты обучения. Вот некоторые из них:



1. Основные геометрические понятия.

Знания

Умения

Навыки

1.

2.

3.

Понятия: Пространство, точка, геометрическая

Фигура, линия, поверхность, тело, отрезок, луч, прямая; лежать на (в), проходить через, пересекаться в (по), и др.

Основные свойства принадлежности точек, прямых и плоскостей.

Расположение точек:

На прямой, на плоскости относительно прямой.

Обозначения: точек, прямых, отрезков, лучей, плоскостей.

Знаки: 

Строить с помощью линейки по заданным условиям прямые, лучи, отрезки.

Обозначать знакомые фигуры с помощью букв.

Читать простейшие тексты, в которых встречаются буквенные обозначения знакомых фигур.

Выделять изученные фигуры и отношения в окружающих предметах, на моделях, на готовых чертежах.

Строить линии по описанию ( замкнутая, незамкнутая и т.д.)

Работа с линейкой как инструментом построения.

Выяснение равенства (неравенства) фигур с помощью наложения.

Использование буквенных обозначений для изученных фигур и знаков 



2. Измерение длин. Расстояние между двумя точками

1.

2.

3.

Понятия: Середина отрезка, длина отрезка, единица измерения длины; ломаная, длина ломаной; треугольник, многоугольник, периметр многоугольника; длина дуги; расстояние между двумя точками.

Свойства измерения длины отрезка.

Соотношения между длинами сторон треугольника.

Сравнивать отрезки различными способами.

Измерять с помощью измерительной линейки и бытовых измерительных инструментов.

Решать задачи: с использованием свойств измерения длины отрезков; на выделение, изображение и измерение новых фигур; на выяснение существования треугольника с заданными сторонами.

Сравнение отрезков с помощью циркуля.

Сравнение отрезков с помощью измерения их длин. Работа с линейкой как инструментом измерения.

Сравнение длин и арифметические действия с ними, выражение заданной величины в различных единицах измерения. Соизмерение реальных размеров объектов с соответствующими единицами измерения.



3. Окружность, круг. Сфера, шар.

1.

2.

3.

Понятия: Окружность и ее элементы (центр, радиус, хорда, диаметр); внутренние и внешние относительно окружности точки; дуга окружности и стягивающая ее хорда; круг; сфера и ее элементы; шар. Равные окружности и равные дуги. Концентрические окружности.

Строить окружность, зная ее центр и радиус (диаметр).

Находить с помощью измерительной линейки радиус (диаметр) окружности, если известен ее центр.

Делить окружность на: 6 равных частей, на 3 равные части.

Работа с циркулем как инструментом для построения окружности (дуги окружности).

Построение окружности: по точкам на клетчатой бумаге, от руки.


4. Углы и их измерение

1.

2.

3.

Понятия: Определение; угол и его элементы (вершина, сторона); развернутый, прямой, острый и тупой углы; плоский угол; двугранный угол и его элементы; внутренний луч угла; смежные углы; биссектриса угла; центральный угол окружности и соответствующая ему дуга; градусная мера угла.

Находить в тексте учебника определения. С помощью угольника определять вид угла. С помощью транспортира: измерять величину угла; строить угол заданной величины; строить угол заной величины; строить биссектрису данного угла; делить угол на равные части.

Находить: величину угла, смежного с данным углом; градусную меру дуги, дополнительной к данной.

Решать задачи с использованием свойств измерения величины углов. 

Измерение величины угла с помощью транспортира.

Построение с помощью транспортира угла заданной величины.

Построение с помощью чертежного угольника прямого угла.



5. Треугольник и тетраэдр

1.

2.

3.

Понятия: Разносторонний, равнобедренный, равносторонний, остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники; периметр треугольника; боковая сторона и основание равнобедренного треугольника; катет и гипотенуза прямоугольного треугольника; соответственные элементы равных треугольников; биссектриса и медиана треугольников; вертикальные углы; тетраэдр и его элементы; развертка тетраэдра.

Теорема и ее структура; теорема- признак.

Теоремы: признаки равенства треугольников; о равенстве вертикальных углов; о свойствах равнобедренного треугольника.

Выделять треугольники в заданной фигуре. С помощью заданного набора инструментов определять вид данного треугольника.

Строить треугольники с помощью измерительной линейки и транспортира:

по двум сторонам и углу между ними;

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Строить с помощью измерительной линейки и циркуля треугольник по трем сторонам.

Применять признаки равенства треугольника при решении простейших задач.

Выделение соответственных элементов в равных треугольниках.

Построение с помощью линейки и циркуля:

1) отрезка, равного данному;

2) угла, равного данному;

3) биссектрисы данного угла.


6. Перпендикулярные и параллельные прямые и плоскости.

1.

2.

3.

Понятия: Перпендикулярные прямые на плоскости; серединный перпендикуляр к отрезку; перпендикуляр и наклонная, опущенные из точки на прямую; расстояние от точки до прямой; окружность: вписанная в треугольник, описанная около треугольника.

Параллельные прямые; секущая; накрест лежащие, соответственные и односторонние углы; угол треугольника; диагональ многоугольника.

Элементы четырехугольника; параллелограмм; прямоугольник; квадрат; ромб; трапеция и ее элементы; расстояние между параллельными прямыми. Параллельные прямые в пространстве; скрещивающиеся прямые; параллельные прямая и плоскость; параллельные плоскости и другие.

Строить: перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки; серединный перпендикуляр к отрезку с помощью линейки и циркуля; параллельные прямые с помощью угольника и линейки; высоту треугольника с помощью угольника; перпендикулярные и параллельные прямые с помощью клетчатой бумаги.

Строить четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапецию.

Выделять в окружающих предметах, на моделях и готовых чертежах: перпендикулярные, параллельные, скрещивающиеся прямые; параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные прямые и плоскости; параллельные и перпендикулярные плоскости.

Находить на готовых чертежах, используя признаки: параллельные прямые; параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости; перпендикулярные плоскости. 

Построение перпендикулярных и параллельных прямых с использованием: линий клетчатой бумаги, линейки и угольника.

Деление данного отрезка пополам с помощью линейки и циркуля.

Нахождение с помощью угольника и измерительной линейки: расстояния от точки до прямой, расстояния между параллельными прямыми, высоты данного треугольника.



7. Многогранники и круглые тела

1.

2.

3.

Понятия: геометрическое тело; многогранник и его элементы (вершины, ребра, грани, диагонали); выпуклый многогранник.

Пирамида; основание, боковые ребра и грани, высота, развертка пирамиды.

Параллелепипед; основание, боковые ребра и грани, высота, развертка параллелепипеда; Прямоугольный параллелепипед; измерения, развертка. Куб.

Призма; основание, боковые ребра и грани, высота призмы; прямая и наклонная призмы.

Длина окружности.

Цилиндр; основания, радиус, образующая, ось, высота, боковая поверхность, развертка цилиндра.

Конус; основание, вершина, радиус, образующая, ось, высота, боковая поверхность, развертка.

Сфера как фигура вращения.

Основные свойства параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда.

Выделять: модели многогранников и круглых тел в окружающей обстановке, узнавать многогранники и круглые тела по их изображению на чертежах.

Находить и называть нужные элементы многогранников и круглых тел на их моделях и изображениях.

Находить параллельные и перпендикулярные ребра и грани на моделях и изображениях многогранников.

Строить: изображения пирамиды, параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса, шара; развертки многогранника, цилиндра и конуса по заданным условиям.

Обозначать многогранники и круглые тела, их элементы на чертежах.

Изготовлять модели многогранников, цилиндра и конуса.

Изображение пирамиды, параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса, шара.

Построение нужного многогранника по заданным условиям.

Чтение чертежа пространственной фигуры.

Обозначение многогранников и круглых тел, их элементов.



Кроме Г.А. Клековкина есть ряд авторов, которые предлагали свои пропедевтические курсы по геометрии для 5-6 классов. Рассмотрим некоторых из них. Курс наглядной геометрии, предложенный П.А. Карасевым для начальной школы, сохраняющие значение и актуальность для современной школы [17].

В качестве целей изучения курса автор выделяет:

Развитие геометрических представлений учащихся посредством рисования геометрических фигур и тел изготовления их моделей.

Усвоение начальных приемов черчения с помощью линейки, угольника и циркуля.

Ознакомление со способами прямого и косвенного измерения длин, углов, площадей и объемов.

Усвоение некоторых элементарных сведений по геометрии, полезных в практической жизни и необходимых при изучении других предметов.

Активизация мышления путем постановки и решения геометрических задач.

Введение элементов логического мышления в степени и форме, доступных возрасту учащихся.

Развитие речи – письменной и устной – в области, относящейся к пространственным представлениям детей.

Автор считает необходимым познакомить учащихся с плоскими фигурами, например, среди них есть трапеция и параллелограмм, с их важнейшими свойствами и с пространными телами. Он не ограничивается лишь измерением длин, площадей и объемов этих геометрических объектов – это одна из линий предлагаемого им курса. Рассматриваются понятия равносоставленности и равновеликости, вычисляются площади трапеции, ромба, треугольника, причем не по выведенному правилу или формуле, а путем перекраивания этих фигур в равновеликие прямоугольники.

В предложенной методике активно и интересно используются свойства клетчатой бумаги для перерисовывания фигур, их построения, перекраивания, измерения длины и площади и др. Помимо построений на клетчатой бумаге, учащиеся знакомятся и с построениями на гладкой бумаге с использованием чертежных инструментов. Одним из основных типов задач здесь является построение фигур путем перегибания листа бумаги.

Отбор содержания и методика его изучения происходят в соответствии со следующими принципами [17].

1. Процесс обучения должен строиться не только в зависимости от содержания самого геометрического материала, но и от психологических особенностей детского возраста, и от общих целей образования.

2. Основными методическими принципами построения курса наглядной геометрии являются наглядность и максимальное количество практических упражнений конструктивного и изобразительного характера.

3. Отказ от дедуктивно-логического метода доказательства геометрических положений. В основу преподавания должен быть положен индуктивный метод, основанный на наглядном и практическом изучении конкретных фактов и последующем их обобщении.

4. Движение – важнейший фактор, как создания геометрических форм, так и уяснения их свойств.

5. Построение курса и метод его преподавания должны идти в развитии геометрического мышления от простого к сложному, от конкретного к отвлеченному.

6. В учебной работе необходимо задействовать все виды памяти: зрительную, моторную, слуховую.

7. Необходимо отказаться от заучивания определений, правил и др. Вместо этого необходимо вводить «живое описание» детьми своих наблюдений, подмеченных геометрических свойств.

К недостаткам рассмотренного подхода можно отнести отсутствие в курсе пространственных геометрических объектов.

Следует отметить, что многие идеи, высказанные П.А. Карасевым, остались нереализованными на том уровне развития теории обучения, так как школа тех лет ориентировалась в основном на репродуктивные методы обучения и не была готова к организации самостоятельной исследовательской деятельности учащихся по изучению геометрических объектов. Переориентация современной методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения потребовала, во-первых, пересмотра содержания геометрического образования и, во-вторых, нового структурирования всей геометрической линии.

Следующий автор – В.А. Гусев. В своей программе автор реализует идею фузионизма. Отличительной чертой данной программы является параллельное изучение планиметрии и стереометрии - плоские фигуры и их свойства чаще всего изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. Курс геометрии в 5-6 классах направлен на всестороннее индивидуальное развитие учащихся с учетом их способностей и возможностей. В процессе изучения геометрии целенаправленно реализуется формирование умственного развития учащихся через отработку конкретных приемов мыслительной деятельности: прежде всего синтеза и анализа, затем абстрагирования, сравнения, обобщения и аналогии. Логика выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости. Наглядность в изложении курса является приоритетной. Автор предлагает множество геометрических задач на развитие пространственного воображения, задач творческого и творческо-поискового, исследовательского характера, что должно способствовать развитию геометрического мышления учащихся.

Богатый теоретический и задачный материал по каждой теме курса позволяет формировать у учащихся не только интуитивно-геометрические представления, но и учит серьезному теоретическому обоснованию решений.

И еще один автор, чей подход наиболее интересен, разработанный в отделе математического образования ИОСО РАО (И.Ф. Шарыгин, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Л.В. Кузнецова и др.), который предполагает три основных концентрата изучения геометрии в школе: наглядно-эмпирическая геометрия (1-6 классы), систематический курс планиметрии (7-9 классы), систематический курс стереометрии (10-11 классы). Важным отличием такой структуры школьного геометрического образования от предшествующей является возможность овладения содержанием на двух уровнях – наглядно-эмпирическом (1-6 классы) и систематическом (7-11 классы). В качестве основной цели этапа, связанного с младшим подростковым возрастом, выдвигается развитие пространственных представлений и воображения, геометрическая интуиция, изобразительно-графических навыков, глазомера, изобразительности.

Так, И.Ф. Шарыгин обсуждает цели, задачи, особенности наглядно-эмпирического подхода к изучению геометрии в 5-6 классах и реализует их в пособии «Наглядная геометрия», написанном в соавторстве с Л.Н. Ерганжиевой [40].

По мнению И.Ф. Шарыгина, логикой изложения содержания должно стать сочетание индуктивного подхода, основанного на интеллектуально-практическом опыте учащихся, и начал дедукции. В такой курс могут быть включены наглядные доказательства. И.Ф. Шарыгин высказывает положение об отличии курса геометрии 5-6 классов от курса 1-4 классов, которое заключается в том, что, несмотря на значимость геометрического материала в начальной школе, он выполняет вспомогательную роль по отношению к арифметическому материалу. Здесь целью является выработка прочных ассоциативных связей в парах «фигура-число» и «фигура-слово»: учитывается объем изучаемых геометрических объектов и отношений, вводятся различные классификации, увеличивается доля графических упражнений и заданий, выполняемых в визуальном плане, вводятся новые методы исследования. Одной из отличительных особенностей курса геометрии 5-6 классов является задача заинтересовать, привлечь внимание учащихся к математике, показав многогранность и разнообразие ее проявлений. Это связано с тенденцией к снижению на рубеже перехода в основную школу интереса к учению.



§2.2 Сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках



В данном параграфе проведем сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в следующих учебно-методических комплектах по математике:

Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007

Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000

Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997.

Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2007.

Все учебники и по содержанию, и по стилю выстроены так, чтобы обеспечить школьникам достаточно мягкий и безболезненный переход к систематическому изучению в 7 классе курса геометрии. Содержание учебников полностью отвечает требованиям стандарта математического образования 2004 года и опирается на тот минимум содержания, который предлагают учебники для начальной школы, что дает возможность их использования в качестве продолжения любого курса начальной школы, как традиционного, так и развивающего направлений. Остановимся подробно на каждом комплекте.

1. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007

Учебно-методический комплект: Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007 соответствует современным тенденциям и способствует формированию математического мышления. Каждое пособие, входящее в комплект для 5 класса, имеет свои функции и особенности. Учебник — центральная книга комплекта. Весь материал в нем разбит на небольшие по объему главы, каждая из которых включает от трех до семи пунктов. В каждом пункте выделяется учебный (объяснительный) текст, в нем содержатся все необходимые понятия и термины, разбираются способы решения задач. Многие пункты написаны достаточно развернуто и содержат материал для чтения, который не требуется ни запоминать, ни воспроизводить. Это, например, исторические фрагменты, объяснение возникновения того или иного термина, обозначения. Это делает текст интересным, повышает привлекательность и доступность материала для детей, способствует возникновению прочных ассоциаций, что, в конечном счете, помогает пониманию и запоминанию собственно математических фактов. Система упражнений по каждому пункту разделена на группы А и Б. Упражнения первой группы направлены в основном на формирование и отработку умений на уровне обязательной подготовки, упражнения второй группы — на развитие более высоких уровней усвоения. Диапазон сложности самых первых заданий (из группы А) и последних заданий (из группы Б) всегда значителен. Каждая глава учебника завершается двумя самостоятельными разделами. Первый из них — «Для тех, кому интересно». Это необязательный материал, углубляющий или чаще расширяющий знания учащихся. Его название полностью отражает его назначение. Он содержит небольшой объяснительный текст и интересные задачи, в большинстве своем доступные детям с разными способностями. Предполагается, что этот материал может использоваться самыми разными способами: для индивидуальной работы учащихся в классе и дома, для совместной работы детей с родителями, для фронтальной работы с классом, — все зависит от конкретных условий и желаний. Второй, завершающий раздел — «Задания для самопроверки». Он содержит обязательные результаты обучения по данной главе. В конце учебника помещен раздел «Задания для итогового повторения». В нем задания сгруппированы в восемь работ, по две дублирующие, направленные на компактное, эффективное, систематизирующее повторение всего материала за год.

В данном комплекте имеется отдельная рабочая тетрадь с геометрическим материалом - пособие для работы непосредственно на содержащихся в нем заготовках с геометрическими упражнениями. Такое пособие делает разнообразным объем и содержание работы учеников и увеличивает объем их практической деятельности.

Геометрический материал учебника представлен в следующих главах:

Глава 1. Линии

Глава 5. Многоугольники

Глава 7. Треугольники и четырехугольники

Глава 10. Многогранники

В главе «Линии» формируются некоторые общие представления о линии (замкнутость, самопересечение, внутренняя область и др.). Целью главы является обучение учащихся осмысленному, грамотному и адекватному восприятию геометрических объектов. Учащимся предлагаются задания на распознавание линий и их изображение. При этом задачи на изображение подразделяются на два вида: вычерчивание некоторой конфигурации по описанию и воспроизведение заданной конфигурации. Особое внимание уделяется прямой и окружности. Выполняя упражнения, учащиеся встречаются с конфигурациями, содержащими две и более прямых, две и более окружностей, прямые и окружности. В данной главе представления о фигурах, связанных с прямой, дополняются и расширяются после изучения в начальной школе: вводятся понятия «луч» и «ломаная». Теперь учащиеся находят длину ломаной, расстояние между двумя точками, и, кроме того, они встречаются с задачей определения длины кривой.

Цель следующей главы «Многоугольники» - познакомить учащихся с новой геометрической фигурой — углом и развить представление о многоугольнике.

В этой главе материал содержит два смысловых блока. Первый из них связан с введением новой для учащихся геометрической фигуры, которой является угол, и связанных с ней понятий (виды углов, измерение углов). Одним из важнейших умений, которым они должны овладеть на этой стадии обучения, является сравнение углов. Второй блок содержания связан с многоугольниками и содержит материал, частично знакомый учащимся из начальной школы. Теперь им предстоит расширить свои представления об уже знакомых фигурах, усвоить связанную с ними терминологию (вершина, сторона, угол многоугольника, диагональ), научиться «видеть» их в более сложных конфигурациях.

В главе «Треугольники и четырехугольники» учащиеся углубят свои знания о треугольниках и четырехугольниках: они познакомятся с классификациями треугольников по сторонам и углам, со свойствами равнобедренного треугольника, а также со свойствами прямоугольника. Целью данной главы является развитие представления учащихся о прямоугольнике; сформировать понятие равных фигур, площади фигуры, научить находить площади прямоугольников и фигур, составленных из прямоугольников; познакомить с единицами измерения площадей.

В главе «Многогранники» важнейшей целью изучения данного раздела является развитие пространственного воображения учащихся. В данной главе учащиеся знакомятся с такими геометрическими телами, как цилиндр, конус и шар, объектом же более детального исследования являются многогранники (параллелепипед и пирамида). Кроме того, знакомятся со способами изображения геометрических тел на листе бумаги (рисунок сплошной или прозрачной модели, проекционный чертеж) и учатся «читать» эти изображения, отмечая основные конструктивные особенности геометрического тела: число вершин, ребер, граней, их расположение.

Таким образом, геометрический материал в учебнике для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007 может быть охарактеризован как наглядно-деятельностный. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства геометрических фигур, как плоских, так и пространственных.

2. Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000

Учебно-методический комплект Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000 также способствует формированию математического мышления школьников. Он также содержит учебник, рабочие тетради, дидактические материалы. Материал учебника содержит учебный (объяснительный) текст, в нем выделяются все необходимые понятия и термины, разбираются способы решения задач. Имеются также исторические факты, повышающие привлекательность материала, и разделы «Для тех, кому интересно». Система упражнений по каждому пункту разделена на две группы. Упражнения первой группы, как и в учебнике 5 класса, нацелены на формирование и отработку умений на уровне обязательной подготовки, а упражнения второй группы — на развитие более высокого уровня сложности. Диапазон сложности самых первых заданий (из группы А) и последних заданий (из группы Б) всегда значителен. В конце учебника также имеется раздел «Задания для итогового повторения».

И в этом комплекте представлена отдельная рабочая тетрадь с геометрическим материалом, которая позволяет расширять пространственные представления учащихся о геометрических объектах и увеличивает практическую деятельность учеников.

Геометрический материал учебника дается в следующих главах:

Глава 2. Прямые и окружности.

Глава 4. Симметрия.

Глава 6. Фигуры на плоскости и в пространстве.

Материал главы «Прямые и окружности» знакомит учащихся со всеми случаями взаимного расположения на плоскости двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей. Основной целью главы является создание у учащихся зрительного образа основных конфигураций, связанных с взаимным расположением прямых и окружностей. Важно, что при изучении материала данной главы происходит дальнейшее развитие пространственных представлений и воображения учащихся. Учащимся предлагаются упражнения направленные на расширение понятия «расстояние» за счет введения понятия «расстояние от точки до фигуры» и его частного случая – расстояния от точки до прямой, а также расстояния между параллельными прямыми. Кроме того, усложняются задачи, связанные с расстоянием между двумя точками.

В главе «Симметрия» рассматриваются осевая, центральная и зеркальная симметрии. В отдельный пункт выделен вопрос о применении симметрии к решению некоторых геометрических задач, где рассматривается традиционная для занимательной математики задача о пауке и мухе. Цель главы – сформировать представление о симметрии в окружающем мире; познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве; расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанными с симметрией; также показать возможности использования симметрии при решении различных задач и построениях.

Данная глава «Фигуры на плоскости и в пространстве» является обобщающим, собирательным разделом в геометрической линии курса 5-6 классов. Здесь происходит новый виток в изучении вопросов, рассмотренных ранее. А именно, расширяются представления учащихся о многоугольниках: они знакомятся с новым видом четырехугольников - параллелограммом; знакомятся с новыми свойствами треугольников; приобретают новые графические умения по построению многоугольников и более сложные конструктивные умения. Расширяются представления учащихся о площади - они учатся находить площади различных фигур путем их перекраивания; впервые вводится понятие объема. Целью главы является обобщить и расширить знания о треугольниках и четырехугольниках; познакомить с понятием объема, единицами объема и правилом вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, обучение по комплекту Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000 продолжает, так же как и в комплекте 5 класса, организовываться как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства геометрических фигур, как плоских, так и пространственных.

После рассмотрения комплектов учебников 5-6 классов под редакцией Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. можно сделать следующие выводы. Структура комплектов, четкая функциональная направленность каждого пособия, компоновка материала удобны для подбора материала и организации урока и в то же время не предполагают жесткой регламентации обучающей схемы. Обеспечивается уровневая дифференциация. Комплект в целом содержит достаточный объем материала для работы с учащимися разного уровня способностей и подготовленности и позволяет учителю строить учебный процесс с учетом реального уровня класса, группы учащихся, конкретного ученика; упражнения разделены на группы А и Б и представлены в широком диапазоне сложности; в учебник и дидактические материалы включается богатый и разнообразный материал, позволяющий выйти за рамки круга обязательных вопросов, применить полученные знания в различных ситуациях.

Методические особенности учебника заключаются в том, что выдвигается приоритет развития в обучении, меняются акценты в преподавании, явно выдвигается задача формирования интеллектуальной восприимчивости, гибкости и независимости мышления.

Введение новых понятий позволяет создать у учащихся запас содержательных представлений, служащих основой для последующей формализации, способствует пониманию, даёт возможность школьникам самостоятельно открывать новые знания. Широко используется диалог и обращение к ученику, опора на опыт учащихся, привлечение современных сюжетов при изложении теоретического материала и в задачах. Содержатся интересные для учащихся формы заданий: задания с выбором ответа, задачи-исследования, задания нестандартной формы, нестандартная форма вопроса. Учебники ориентированы как на сильного ученика, так и на слабого, так как задания по всем темам варьированы по степени трудности.

Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997.

Материал учебника разбит на две главы, каждая из которых содержит по четыре параграфа. Параграфы разбиты на небольшие пункты, посвященные отдельной теме. Материал каждого пункта изложен простым доступным для понимания 5-классников языком. В каждом пункте выделяются основные понятия, правила и теоретические сведения, которые следует либо запомнить, либо выучить наизусть. Кроме того, после объяснительного текста учебника имеются вопросы, позволяющие закрепить пройденный материал как на уроке всем классом, так и самостоятельно каждому ученику дома. Про текст хотелось отметить следующее. Для облегчения работы с объяснительным текстом, в учебнике новые термины не только выделены в тексте, но и продублированы на полях учебника, что дополнительно фиксирует внимание на каждом из этих слов и позволяет в дальнейшем внимание на каждом из этих слов и позволяет в дальнейшем легко находить в тексте новые понятия и их объяснение.

Следует отметить, что упражнения разбиты на рубрики. Отдельно выделены упражнения для работы в классе по теме данного пункта, упражнения для домашней работы. Все упражнения построены по принципу от простого к сложному. Задачи в каждом пункте учебника разбиты на три большие группы: 1-я – для работы в классе; 2-я – для решения дома; 3-я – повторительные упражнения. Для учащихся со средней математической подготовкой число упражнений в учебнике несколько избыточно. Это сделано для того, чтобы дать учителю возможность, исходя из особенностей конкретного класса, выбрать более легкие или, наоборот, более сложные задания, уделять большее внимание тому или иному виду задач, т.е. для успешного усвоения курса нет необходимости стремиться прорешать с детьми все задачи учебника.

Особенности упражнений для классной работы в том, что они расположены по степени их «обязательности», важности для формирования основных знаний и умений.

В упражнениях для домашней работы даны два вида задач: 1) упражнения, непосредственно связанные с изучаемой темой; они, как правило, по трудности соответствуют основным задачам раздела классных упражнений; 2) упражнения для систематического повторения ранее изученных разделов курса математики.

И наиболее сложная и многоцелевая группа задач, предусматривает:

задания для устного решения;

подготовительные задания для работы над новой темой;

задачи для непрерывного повторения ранее изученного;

задачи повышенной трудности;

упражнения, специально рассчитанные на развитие мышления детей, их памяти, внимания.

В этой же группе помещены задачи, которых сообщаются дополнительные сведения, расширяющие кругозор учащихся, готовящие их к глубокому усвоению курсов алгебры и геометрии в следующих классах, а также позволяющие учителю, «отталкиваясь» от задач, приведенных в учебнике, строить собственную систему внеклассной работы: занятий кружка и т.д.

Также имеются рубрики, включающие рассказы об истории возникновения и развития математики; рубрики, позволяющие учиться говорить правильно; и рубрика, включающая игры и упражнения, нацеленные на то, чтобы изучение математики было успешным, интересным. Следует отметить красочные иллюстрации, яркие цветные плашки, широкие свободные поля, дающие возможность отдохнуть глазам, цветные обрамления, цветной текст в некоторых разделах призваны (на уровне подсознания) создавать радостный настрой, заинтересованность привлекать и располагать к себе детей.

Геометрический материал не выделен в отдельные главы, он представлен отдельными пунктами:

П.2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

П.3. Плоскость. Прямая. Луч

П.4. Шкалы и координаты

П.18. Площадь. Формула площади прямоугольника

П.19. Единицы измерения площадей

П.20. Прямоугольный параллелепипед

П.21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

П.41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

П.42. Измерение углов. Транспортир

Второй пункт «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» позволяет учащимся актуализировать свои знания, полученные в начальной школе. А именно, чертить, измерять отрезки, распознавать и показывать на чертежах элементы треугольника. Изучая этот пункт, школьники вспоминают единицы измерения длины.

Пункт «Плоскость. Прямая. Луч» нацелен на введение понятий плоскость, прямая, луч. Упражнения этого пункта содержат задания на распознавание отличий между отрезком, прямой и лучом.

В пункте «Шкалы и координаты» учащиеся знакомятся с понятиями координатного луча, единичного отрезка и координатной точки. Одна из целей данного пункта – это научить учащихся пользоваться различными шкалами, определять и записывать координаты точек, находить место точки на координатном луче по данной координате.

Пункт «Площадь. Формула площади прямоугольника» нацелен на актуализацию учащихся имеющихся знаний из начальной школы о площади. Вводится понятие равных фигур, площадь треугольника.

геометрия пропедевтика преподавание

«Единицы измерения площадей». Данный пункт также не является новым для учащихся. Происходит актуализация знаний учеников о единицах площадей, полученные в начальной школе. Происходит ознакомление с новыми единицами площадей, с соотношениями между ними. Имеются упражнения, предполагающие выражение одних единиц площади через другие.

«Прямоугольный параллелепипед». Целью данного пункта является знакомство с геометрическим телом на примере прямоугольного параллелепипеда; и учить решать задачи на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Вводятся такие понятия как: грань параллелепипеда, ребро параллелепипеда, вершина параллелепипеда, куб.

В пункте «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда» учащиеся знакомятся с понятием объем. Учатся находить объем прямоугольного параллелепипеда.

«Угол. Прямой и развернутый угол». Чертежный треугольник. В данном пункте вводится понятие угла, обозначаются правила чтения и записи углов; вводятся понятия прямого, развернутого угла, тупого, острого угла.

В пункте «Измерение углов. Транспортир» целью является ознакомление учащихся с транспортиром, научить измерять и строить углы.

Таким образом, геометрический материал в учебнике Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997. может быть охарактеризован как наглядно-образный. Многие понятия даются лишь на ознакомительном уровне. Обучение организуется как образовательный процесс, направленный на знакомство с плоскими и пространственными геометрическими фигурами, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства этих фигур, а также ознакомление с тем, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности.

4. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2007.

Материал этого учебника также разбит на две главы, каждая из которых содержит параграфы. А параграфы в свою очередь разбиты на небольшие пункты, посвященные отдельной теме. Деление упражнений на рубрики продолжается, и добавляется еще одна рубрика, в которой помещены задачи, помогающие учиться думать, рассуждать, делать наблюдения и выводы, расширяющие круг математических знаний и представлений. Сначала даются простые упражнения, направленные на отработку отдельных умений. Затем уровень сложности повышается.

Геометрический материал в этом учебнике дополняет и расширяет сведения о фигурах, полученные учащимися в 5 классе, и представлен отдельными пунктами:

П.24. Длина окружности и площадь круга.

П.25. Шар.

П.43. Перпендикулярные прямые.

П.44. Параллельные прямые.

В пункте «Длина окружности и площадь круга» школьники знакомятся с новым для них числом  как отношением длины окружности к длине ее диаметра. Даются формулы длины окружности и площади круга. Задачи можно условно поделить на два типа: упражнения на измерение элементов окружности и упражнения на вычисление неизвестных компонентов по формулам.

В пункте «Шар» само понятие шара дается образно, связывается с предметами из окружающего мира (мяч, глобус, арбуз). Количество задач весьма ограничено. Они посвящены отношению радиуса и диаметра шара.

Пункт «Перпендикулярные прямые» посвящен усвоению понятия таких прямых. Учащиеся должны научиться строить перпендикулярные прямые с помощью чертежных инструментов, распознавать эти прямые, а также знакомятся с перпендикулярными отрезками и лучами.

Пункт «Параллельные прямые» нацелен на усвоение понятия параллельных прямых и дается ответ на вопрос: сколько прямых, параллельных данной, можно провести через одну точку. Кроме того, показывается, как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую, параллельную данной. Задачный материал направлен на отработку умения построить прямую, параллельную заданной.

Итак, обучение по учебнику Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд продолжает, так же как и в учебнике для 5 класса, организовываться как образовательный процесс, направленный на развитие плоских геометрических представлений, чертежных умений, расширение пространственных образов. Часть понятий дана на ознакомительном уровне, а для других понятий имеется четкое определение. Хочется отметить, что количество задач и упражнений, направленных на закрепление умений и навыков, связанных с геометрическими объектами, ограничено, что не дает возможности учесть уровневую дифференциацию. Однако имеются задания, связанные с объектами окружающего мира, что позволяет школьникам научиться использовать свойства геометрических фигур в практической деятельности.

Проведя анализ четырех учебно-методических комплектов по математике для 5-6 классов можно сделать следующие выводы:

Тема «Линии» представлена только в комплекте Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, достаточно упражнений для закрепления изучаемых понятий, предлагаются контрольно-измерительные задания и содержательная часть этой темы достаточно широко представлена.

Тема «Углы» в одинаковом объеме представлена во всех учебниках. Разница лишь в том, что в учебнике Дорофеева Г.В. дается понятие биссектрисы угла и предложены упражнения на закрепление данного понятия.

Тема «Многоугольники» представлена только в комплекте Дорофеева Г.В. К сожалению, авторы предлагают мало упражнений по данной теме.

Тема «Треугольники и их виды» наиболее полно отражена в учебнике Дорофеева Г.В., а в учебнике Виленкина Н.Я. вводится только понятие, без классификации треугольников.

Тема «Прямоугольники» одинаково представлена в двух учебниках математики. Предлагается разнообразный дидактический материал по теме.

Тема «Многогранники» изучается во всех учебниках, с разницей, что в первом изучается такой многогранник, как «Пирамида», а во втором отсутствует такая тема.

Тема «Симметрия» в большем объеме изучается в УМК Г.В. Дорофеева. Это и изучение понятия осевой и центральной симметрий, и симметричных и центрально-симметричных фигур. В учебнике Виленкина Н.Я. данная тема не представлена совсем.

Тема «Длина окружности и площадь круга. Шар, сфера» имеет место и в том и другом учебнике.

С позиции пропедевтики элементов геометрии в 5-6 классах геометрическая линия наиболее полно представлена в УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Подробнее рассматриваются многие темы. Особенно такие, как: «Линии», «Треугольник», «Симметрия». Изучение происходит не только на ознакомительном уровне. Изучаются свойства фигур. Многие задания имеют практическую направленность, что еще раз подтверждает эффективность курса. Авторы показывают учащимся возможности применения геометрических знаний в реальной жизни.

Особое внимание хочется уделить дидактической составляющей. К каждой теме подобрано достаточно много заданий по изучаемому материалу. Предлагаются задания двух уровней сложности. Задания второго уровня чаще носят исследовательский характер.

Предлагаются задания в рабочих тетрадях. Это задания такого характера как: построить, начертить, измерить, вычислить. Некоторые задание предлагаются для развития глазомера. В дидактических материалах есть обучающие и проверочные задания по всем темам курса. Заметим, что авторы отдельное внимание уделяют интеллектуальному развитию ребенка. На это направлены знания представленные в дополнительных разделах. Авторы, познавательный материал предлагают для дополнительного изучения, тем самым, подталкивая учащегося к самостоятельной деятельности.



Выводы по главе 2



Анализируя существующие подходы к преподаванию элементов геометрии с позиций пропедевтики дальнейшего обучения курсу геометрии, можно подвести следующие итоги:

	Имеется ряд причин, по которым необходимо введение специального курса, знакомящего учащихся с геометрическими объектами и их свойствами:

		трудности, возникающие у школьников 7-х классов, приступающих к изучению систематического курса геометрии;

	«уплощенность» естественного пространственного опыта у десятиклассников, дождавшихся после трехлетнего изучения планиметрии наконец-то «выхода в пространство»;

	недоучет возрастных особенностей и сензитивных периодов в развитии перцептивных и концептуальных пространственных представлений ребенка.

	По мнению Г.А. Клековкина, геометрия как никакой другой школьный предмет позволяет в явном виде демонстрировать наиболее адекватное психологической сущности учащихся 5-6 классов единство предметно-практической и умственной деятельности.

3. При составлении пропедевтического курса геометрии необходимо учитывать:

чтобы геометрическая линия обеспечивала формирование пространственного воображения учащихся, а также развитие логического и творческого мышления;

желательно, чтобы система обучения носила практический характер, а также ближе знакомила с предметами окружающего мира;

чтобы процесс геометрического развития был непрерывным, равномерным и разнообразным;

более глубокое внимание систематическому изучению терминологии.

4. Сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в четырех учебно-методических комплектах по математике для 5-6 классов, позволяет сделать вывод, что с позиции пропедевтики элементов геометрии геометрическая линия наиболее полно представлена в учебно-методическом комплекте авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др., так как подробнее рассматриваются темы: «Линии», «Треугольник», «Симметрия»; изучение происходит не только на ознакомительном уровне; многие задания имеют практическую направленность; более подробно изучаются свойства фигур.




Глава 3. Методические особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах



§3.1 Методические особенности изучения темы «Треугольники и четырехугольники»



Основная задача образования – создание личностью целостной картины мира, и, соответственно, процесс обучения, ориентированный на развитие личности, должен обеспечивать ребенка такими знаниями и в такой организации, чтобы он мог на их основе постепенно формировать целостное представление о мире.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет достаточно рано устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах с их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать возрастные и индивидуальные особенности развития отдельных психических функций и протекания умственной деятельности в целом. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного изучения данного предмета; вся же система обучения геометрии должна быть целостной и многоуровневой. С одной стороны, сама система геометрических знаний, подлежащих изучению и усвоению, на каждом этапе обучения также должна представлять целостную систему, обеспечивающую определенное отражение окружающей действительности. С другой стороны, каждый уровень обучения призван сформировать основы учебно-познавательной деятельности в области геометрии, необходимые для ее дальнейшего изучения, и обеспечить определенное, адекватное возрасту, интеллектуальное и личностное развитие ребенка.

Согласно федеральным государственным стандартам общего образования второго поколения изучение геометрии в основной школе дает возможность обучающимся достичь в предметном направлении следующих результатов:

использовать геометрический язык для описания предметов окружающего мира; выполнять чертежи, делать рисунки, схемы по условию задачи;

измерять длины отрезков, величины углов, использовать формулы для нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур;

применять знания о геометрических фигурах и их свойствах для решения геометрических и практических задач.

Для того чтобы обучение младших школьников основам геометрии проходило наиболее успешно, за исходный пункт геометрии следует признать тот факт, что мы всюду вокруг себя видим различные границы: вот облако на синем небе – мы видим границу между небом и облаком; вот линия горизонта – она нам представляется границею между небом и землею; вот стена – и мы видим границу между нею и внутренностью комнаты и т. д. Ориентируясь на этом факте, можно прийти к заключению, что все наблюдаемые границы делятся на три категории: в одних случаях придется делать движение всей ладонью руки, как бы мазать, в других – делать движения лишь пальцем – обводить, и в третьих случаях придется лишь указывать. Далее можно прийти к убеждению, что отделить эти границы от предметов нельзя, и эти предметы мы называем поверхностями, линиями и точками. Эти объекты являются тем материалом, над которым работает геометрия. Возникает потребность разобраться в этом материале. [19].

Проводя комбинационную работу, благодаря которой развивается и углубляется содержание геометрии, мы приходим к таким понятиям как луч, отрезок, угол, треугольник, четырехугольник и др.

Основываясь на таком построении содержания геометрического материала, пропедевтический курс геометрии должен представлять собой нечто цельное и стройное, чтобы учащиеся получили ряд ценных, полезных и систематизированных знаний, способствующих более легкому изучению основного курса геометрии. Содержание пропедевтического курса должны составлять плоские и пространственные геометрические образы или фигуры. Учащиеся наблюдают окружающий их мир и выделяют предметы определенной формы: прямоугольный параллелепипед (классная комната, шкаф), призма (граненый карандаш), цилиндр (железная труба), шар (мяч). При внимательном и подробном рассмотрении пространственных образов выделяются плоские геометрические образы: линии – прямая, кривая и ломаная (кромка стола, край стула); углы (угол стола, парты); треугольники, четырехугольники и т.д. При изучении этих фигур выявляются их свойства (равенство, равновеликость, возможность измерения). Таким образом, построение пропедевтического курса геометрии должно быть основано на процессе познания школьниками предметов окружающего мира.

У детей 11-12 лет осознанные побудительные мотивы к изучению геометрии еще, как правило, не сформировались. Поэтому формирование непосредственного интереса к содержанию этого предмета должно быть обусловлено интересными заданиями, связанными с практической деятельностью. С учетом особенностей развития детей указанного возраста геометрические понятия и факты необходимо вводить на основе имеющегося у них жизненного опыта, новых наблюдений, экспериментов, конструирования и моделирования. Ведь геометрические фигуры – это основные «кирпичики» геометрических знаний, они напоминают детали конструктора: из самых простых деталей с простейшими или изученными свойствами конструируются новые фигуры с более сложными свойствами. Поэтому изучаемый материал желательно наполнить многочисленными рисунками и чертежами, значительную часть которых могут сопровождать нарисованные учениками наглядные геометрические фигуры. Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования у учащихся умений подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, сопоставлений. Они способствуют в большей степени лучшему усвоению свойств и понятий, развивают мышление, помогают в запоминании наиболее трудного для восприятия материала, упрощают решение задач, приводят к открытию какого-то факта. То есть ученики на конкретном примере могут сами увидеть те свойства, которыми обладает данный изучаемый объект, вычленить из предложенного готового чертежа самое главное, что заключает максимум информации.

Обучение младших школьников теме «Треугольники и четырехугольники» должно быть также подчинено всем особенностям построения пропедевтического курса геометрии, которые перечислены выше.

При изучении в 5 классе темы «Треугольники и четырехугольники» (по учебнику математики авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.) ставятся следующие основные методические цели: познакомить учащихся с классификацией треугольников по сторонам и углам; развить представления о прямоугольнике; сформировать понятие равных фигур, площади фигуры, научить находить площади прямоугольников и фигур, составленных из прямоугольников; познакомить с единицами измерения площадей. Учащиеся углубляют свои знания о треугольниках и четырехугольниках, они знакомятся со свойствами равнобедренного треугольника, а также со свойствами прямоугольника, изучают понятие равных фигур. Заметим, что у учащихся уже есть интуитивное представление о равных фигурах. Оно сформировалось в ходе выполнения таких заданий, как вырезание фигур из бумаги, перечерчивание фигуры по клеткам квадратной сетки и др. При этом речь шла о построении «такой же» фигуры, как данная, о вырезании «одинаковых» фигур. Теперь интуитивные представления учащихся обобщаются и систематизируются. Вводится термин «равные фигуры» и разъясняется, что так называют фигуры, которые могут быть совмещены друг с другом путем наложения. Это понятие конкретизируется по отношению к уже известным фигурам: отрезкам, углам, окружностям и др. Линия измерения геометрических величин продолжается темой «Площадь фигуры». Из начальной школы учащимся известно, как найти площадь прямоугольника. Здесь эти знания актуализируются, отрабатываются и расширяются: формируется представление о площади фигуры как о числе единичных квадратов, составляющих данную фигуру; о свойстве аддитивности площади (без соответствующей терминологии); правило вычисления площади квадрата формулируется через понятие «квадрат числа»; вводятся новые единицы площади (гектар, ар); выявляются зависимости между единицами площади, объясняется, как можно приближенно вычислить площадь круга.

Все вышеописанное дает возможность поставить следующие задачи при изучении темы «Треугольники и четырехугольники» в 5 классе:

широкое ознакомление с основными понятиями данной темы, а именно понятиями: равные фигуры, виды треугольников;

наблюдение изученных геометрических форм в окружающих предметах и формирование на этой основе абстрактных геометрических фигур и отношений;

усвоение геометрической терминологии и символики по данной теме;

осмысленное запоминание и воспроизведение достаточно большого числа определений и свойств изученных геометрических фигур;

сравнение и измерение геометрических величин:

решение специально подобранных упражнений и задач, по заданной теме, направленных на формирование приемов мыслительной деятельности;

формирование потребности к логическим обоснованиям и рассуждениям при изучении треугольников и четырехугольников

специальное обучение математическому моделированию как методу решения практических задач.

В результате изучения темы учащиеся должны получить представления и овладеть следующими знаниями, умениями и навыками, составляющими обязательный минимум:

знать определения одних основных геометрических понятий (треугольник, четырехугольник) и получить представления о других (прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, квадрат);

выделять известные фигуры (треугольники, четырехугольники) и отношения на чертежах, моделях и в окружающих предметах;

иметь навыки работы с измерительными и чертежными инструментами;

изображать геометрические величины; выражать одни единицы измерения (длин, площадей) через другие;

вычислять значения геометрических величин (площадей, длин), применяя изученные свойства и формулы;

проводить несложные рассуждения и обоснования в процессе решения задач, предусмотренных содержанием темы;

пользоваться геометрической символикой (при изображении треугольников, четырехугольников);

устанавливать связь геометрических фигур и их свойств с окружающими предметами.

Для того чтобы у учителя, работающего по указанному выше учебнику, были широкие возможности сформировать у школьников перечисленные знания, умения и навыки, нами была составлена система упражнений, которую они могут использовать в своей работе.

Исходя из анализа особенностей изучения геометрического материала в 5-6 классах, нами были разработаны методические принципы для составления системы упражнений по теме «Треугольники и четырехугольники». Основой для их составления были:

		учет возрастных особенностей учащихся 5-6 классов;

		особенности восприятия геометрического материала школьниками данного возраста;

		анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках по математике для 5-6 классов;

		ориентация на преемственность учебного материала начальной и средней школы.

Методические принципы состоят в следующем.

		Принцип наглядно-деятельностной геометрии.

	Задания должны носить наглядно-деятельностный характер, т.е. содержать много наглядных, образных элементов и побуждать к мыслительной и практической деятельности с геометрическими фигурами.

		Принцип познания законов природы средствами геометрии.

	Упражнения должны быть соотнесены с объектами окружающего мира, их свойствами, т.е. позволяющие научиться измерять, сравнивать, вычислять, распознавать геометрические свойства в объектах природы.

		Принцип развития образного мышления и изобразительных умений.

	Задания должны содержать достаточное количество геометрических образов и включать в себя элементы изображений и построений.

	Составленная и приведенная в следующем параграфе система упражнений базируется на этих принципах и ориентирована на учебник по математике для 5 класса общеобразовательных учебных заведений авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.



§3.2 Система упражнений по теме «Треугольники и четырехугольники»



Данная система упражнений основывается на принципах:

Принцип наглядно-деятельностной геометрии.

Принцип познания законов природы средствами геометрии.

Принцип развития образного мышления и изобразительных умений.

Согласно учебнику по математике для 5 класса общеобразовательных учебных заведений Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. тема «Треугольники и четырехугольники» содержит следующие разделы:

Треугольники и их виды (2 урока).

Прямоугольники (2 урока).

Равенство фигур (2 урока).

Площадь прямоугольника (2 урока).

Единицы измерения (1 урок).

К каждой теме приведен методический комментарий об умениях и навыках, которые должны приобрести ученики в ходе решения предложенных задач. Далее приведены задачи к каждой теме.

Тема 1. Треугольники и их виды.

Основным результатом изучения данного пункта следует считать умение распознать и изобразить прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный треугольники; знание терминологии, связанной с равнобедренным треугольником.

В процессе практической деятельности учащиеся должны понять: в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла, равнобедренный треугольник может быть и прямоугольным, и остроугольным, и тупоугольным, а вот равносторонний треугольник только остроугольным.

Задачи по теме 1.

1. Ученикам раздается комплект разноцветных треугольников, выполненных из цветного картона: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные, равнобедренные, равносторонние.

Назовите:

а) остроугольные треугольники;

б) тупоугольные треугольники;

в) прямоугольные треугольники;

г) равнобедренные треугольники;

д) равносторонние треугольники;

е) у равнобедренного треугольника покажите боковые стороны, основание.

2. Раздаются произвольные вырезанные треугольники на каждую парту. На треугольниках углы обозначены: 1, 2, 3. Учащимся предлагается отрезать эти углы, затем проложить сторона к стороне. Сделайте выводы о сумме углов треугольника.

3. Определите вид треугольника, если дано:

а) угол А равен 132º, угол В равен 15º, сторона ВС=4 см;

б) угол К равен 90º, сторона АК=18 см, КВ=18 см;

в) угол М равен 30º, угол N равен 60º, угол B равен 85º;

г) угол S равен 20º, угол O равен 55º, угол P равен 95º.

4. Возьмите 5 спичек и постройте из них какой-нибудь треугольник. Сравните длины сторон этого треугольника.

5. Отметьте какие-нибудь точки А, В, D, так чтобы они не лежали на одной прямой и соедините их попарно. Назовите треугольник, который построили. Перечислите его вершины и стороны. Сравните на глаз стороны треугольника. Проверьте свой глазомер с помощью циркуля и линейки.

		6.                           В

			

			А 		    С



	



На окружности с центром в точке О, взяты точки А, В и С. Известно, что ОАС= 25º,ОВС=75º. Вычислите величину угла ВСА.

7. Периметр треугольника 20 см, одна сторона 7 см, другая 9 см. Найдите третью сторону.

8. Как из проволоки длиной 20 см сделать два треугольника, у которых каждая сторона равна 4 см?

9. Периметр равнобедренного треугольника 25 см. Боковая сторона 10 см. Найдите длину основания.

10. Периметр равнобедренного треугольника 30 см. Одна из его сторон 12 см. Какой длины может быть его боковая сторона?

11. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна а, а основание b. Чему равен периметр треугольника? Вычислите периметр треугольника, если а=10 см, b=2 см.

12. В равностороннем треугольнике сторона на 16 см меньше периметра. Найдите сторону треугольника и его периметр.

13. Проверьте свою геометрическую наблюдательность: сосчитайте, сколько треугольников на рисунке.













Тема 2. Прямоугольники.

Прямоугольник является для учащихся, пожалуй, самой известной фигурой. Однако из-за недостаточной геометрической подготовки учащихся в начальной школе многие из них воспринимают его как единую фигуру и не видят составляющие его элементы. По этой причине квадрат и прямоугольник для них две различные фигуры, две различные формы: квадратная и прямоугольная. Восполнить этот пробел не удастся, лишь сообщив им, что квадрат тоже прямоугольник. К этой мысли они должны привыкнуть при выполнении упражнений: учащиеся смогут понять, что если некоторое свойство имеет место для прямоугольника общего вида, то оно имеет место и для квадрата, а вот обратное неверно: то, что выполняется для квадрата, может и не выполняться для прямоугольника общего вида. Учащиеся должны научиться изображать квадрат и прямоугольник с заданными сторонами на клетчатой и нелинованной бумаге от руки и с использованием инструментов, моделировать их из бумаги. Новые для учащихся свойства прямоугольника связаны в основном с его диагоналями. При изучении этой темы они узнают, что диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. При изучении следующих тем, где речь идет о равенстве фигур, им предстоит узнать, что диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, а две диагонали - на две пары равных равнобедренных треугольников.

Задачи по теме 2.

		Ученикам раздается комплект разноцветных четырехугольников, среди которых есть прямоугольники, квадраты, неправильные четырехугольники. Назовите:

а) квадраты и обоснуйте, что это квадраты;

б) прямоугольники и обоснуйте, что это прямоугольники;

в) проведите диагонали у прямоугольника, у квадрата; измерьте диагонали прямоугольника и сделайте вывод; какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?

С помощью прямоугольного листа бумаги докажите, что диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам (можно использовать дополнительные построения диагоналей).

С помощью квадратного листа бумаги доказать, что диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

а) Какой длины забор нужно купить, чтобы огородить садовый участок со стороной 5 м?

Постройте прямоугольник, площадь которого равна 12 дм2, четырьмя различными способами.

Постройте прямоугольник, периметр которого равен 18 дм, четырьмя различными способами.

Постройте четырехугольник, такой, что его площадь и периметр выражаются натуральными числами, одно из которых в 2 раза больше другого. Найдите 2 решения.

Какой длины закупить забор, чтобы оградить садовый участок прямоугольной формы, если его ширина равна 3 м, а длина 10 м?

Найдите периметр прямоугольника со сторонами 22 м и 14 м.

Периметр прямоугольника равен 18 см. Одна сторона больше другой на 1 см. Начертите в тетради такой прямоугольник.

Определите на глаз периметр вашей комнаты. Проведите необходимые измерения и проверьте, насколько вы были точны.

Постройте два квадрата, площадью по 25 дм2 каждый, таким образом, чтобы в общей части этих квадратов и их внутренних областей образовался прямоугольный треугольник.

Тема 3. Равенство фигур.

Интуитивное понимание учащимися равенства как одинаковости, идентичности использовалось нами при различных видах копирования геометрических фигур. Здесь это интуитивное представление осмысливается и формулируется в виде определения понятия равенства.

Одна из задач при изучении этой темы — научить учащихся находить в равных фигурах соответственно равные элементы, а также записывать необходимые равенства. Помимо этого, учащиеся должны увидеть и запомнить, что диаметр разбивает круг на два равных полукруга; диагональ разбивает прямоугольник на два равных треугольника. Заметим, что в ходе изучения этой темы опосредованно формируется чрезвычайно важное умение — делить фигуру на равные доли. Это умение, а также соответствующие образы составляют наглядную опору для изучения обыкновенных дробей. Учащиеся должны научиться делить на равные части, в том числе и без инструментов, отрезок, прямоугольник, квадрат, круг.

	Задачи по теме 3.

	Под каждым многоугольником начертите равный ему многоугольник.

	

	

	

	



2.Начертите какой-нибудь отрезок. Разделите его от руки на 2, 4, 8 равных частей.

3. Начертите какой-нибудь угол. Проведите на глаз биссектрису угла. Проведите биссектрисы каждого из получившихся углов. На сколько равных частей вы разделили исходный угол?

4. Начертите круг. Разделите его на 2, 4, 8 равных частей. Сколько диаметров вы провели? Сколько диаметров нужно провести, чтобы разбить круг на 16 равных частей? на 32 равные части?

5. Начертите квадрат и разделите его на 8 равных частей разными способами.

6. Начертите прямоугольник и разделите его на 16 равных частей.

7. Возьмите квадрат и проведите его диагонали. Разрежьте квадрат по его диагоналям. Какие фигуры вы получили? Равны ли они? Сложите из частей квадрата следующие фигуры и зарисуйте их:

а) два квадрата;

б) прямоугольник;

в) треугольник;

г) четырехугольник, не являющийся прямоугольником;

д) шестиугольник.

8. Опровергните утверждение, сделав чертеж.

а) Два прямоугольника равны, если у них есть по одной равной стороне.

б) Два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника.

9. Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники. Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

		Разделите отрезком каждый многоугольник на два равных. Предложите несколько способов, если это возможно.











Тема 4. Площадь прямоугольника.

Несмотря на то, что понятие «площадь фигуры» и правило вычисления площади прямоугольника известны учащимся из начальной школы, говорить о сформированности этого сложного понятия преждевременно. Поэтому целесообразно снова вернуться к рассмотрению этого вопроса. Новым для учащихся будет то, что первоначально площадь находится в абстрактных единицах — вводятся понятия «единица длины» и «квадратная единица».

Учащиеся должны научиться понимать, что подразумевается под квадратными единицами(1 кв. см, 1 кв. м, 1 кв. дм) и научиться использовать степенную форму записи (см2 , дм2, м2). Основным результатом изучения данной темы следует считать умение находить площадь прямоугольника по правилу, при этом должно быть сформировано понимание понятия площади фигуры и его практического применения.

Задачи по теме 4.

1. Вырежьте из листа бумаги в клетку 8 одинаковых квадратов со стороной, равной 4 клеткам.

а) сложите из этих квадратов какой-нибудь многоугольник; чему равна его площадь, если один квадрат принять за квадратную единицу?

б) сложите прямоугольник, площадь которого была бы равна 8 кв. единиц; сколько таких прямоугольников можно сложить? каковы длины сторон каждого из этих прямоугольников?

Начертите прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см 5 мм. Найдите его площадь: а) в квадратных сантиметрах; б) в клеточках разлиновки листа тетради; в) в квадратных миллиметрах.

Используя клетки тетради, нарисуйте какую-нибудь фигуру, площадь которой равна: а) 6 см2; б) 11 см2; в) 7 см2.

Площадь квадрата равна 64 см2. Чему равна его сторона?

а) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в 3 раза?

б) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить вдвое?

Вычислите площадь данных фигур.



 6 см

	5 см

	9см 4 см



 12 см

Покажите, что площадь фигуры равна 13 клеткам.







8. Сторона квадрата равна 18 см. Периметр прямоугольника равен периметру квадрата. Длина прямоугольника в 11 раз больше ширины.

а) Найдите площадь прямоугольника в квадратных миллиметрах.

б) Найдите площадь квадрата.

в) Сравните площади геометрических фигур.

9. Можно ли поместить в прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см: а) два прямоугольника со сторонами 2 см и 4 см; б) квадрат со стороной 3 см и прямоугольник со стороной 1 см и 3 см; в) квадрат со стороной 3 см и прямоугольник со сторонами 4 см и 17 мм? Объясните свое мнение.
10. Сторона одного квадрата в 2 раза больше, чем сторона другого квадрата. Нарисуйте такие квадраты. Во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого?

Тема 5. Единицы измерения.

С единицами площади учащиеся знакомятся уже в начальной школе, но, несмотря на это, многие не имеют о них реальных, наглядных представлений: не могут выбрать единицу площади в конкретном случае, затрудняются оценить на глаз площадь фигуры и т. д. Основным результатом изучения этой темы будем считать умение учащихся переводить одни единицы измерения в другие, причем использовать всевозможные единицы измерения.

Измерьте длину своего письменного стола, приняв за единицу длины: а) ширину тетради по математике; б) длину учебника по геометрии.

Каков в сантиметрах диаметр 12-дюймового оружия? Сколько дюймов имеет 42-сантиметровая пушка?

Известно, что расстояние между Петербургом и Москвой 609 верст. Сколько столбов пришлось добавить на пути из Петербурга в Москву при замене верстовых столбов на километровые?

Сосчитайте, сколько (приблизительно) твоих шагов содержится в 10 м. Используя полученный результат, измерьте: а) длину и ширину класса; б) внешние размеры школы.

Определите свой рост в аршинах с помощью линейки, на которой за единицу измерения взят 1 вершок.

Выводы по главе 3.

В ходе изучения методических особенностей темы «Треугольники и четырехугольники» выявляется следующее:

1. Учитывая возрастные особенности детей 10-12 лет, геометрические понятия и факты необходимо вводить на основе имеющегося у них жизненного опыта, новых наблюдений, экспериментов, конструирования и моделирования.

2. Изучаемый материал желательно наполнить многочисленными рисунками и чертежами, значительную часть которых могут сопровождать нарисованные учениками наглядные геометрические фигуры.

3. Обучение теме «Треугольники и четырехугольники» обеспечивает знаниями, умениями и навыками, составляющими обязательный минимум:

знание определения одних основных геометрических понятий (треугольник, четырехугольник) и получение представления о других (прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, квадрат);

выделение известных фигур (треугольников, четырехугольников) и умение переносить на чертежи и модели;

владение навыками работы с измерительными и чертежными инструментами;

изображение геометрических величин; выражение одних единиц измерения (длин, площадей) через другие;

вычисление значения геометрических величин (площадей, длин), с применением изученных свойств и формул;

проведение несложных рассуждений и обоснование в процессе решения задач, предусмотренных содержанием темы;

использование геометрической символики (при изображении треугольников, четырехугольников);

установление связи геометрических фигур и их свойств с окружающими предметами.

4. Обоснованное увеличение содержания геометрического материала по данной теме основывается на:

		учете возрастных особенностей учащихся 5-6 классов;

		особенностях восприятия геометрического материала школьниками данного возраста;

		анализе геометрического материала, содержащегося в учебниках по математике для 5-6 классов;

		ориентации на преемственность учебного материала начальной и средней школы.

	5. Составленная нами система упражнений по теме «Треугольники и четырехугольники» базируется на методических принципах:

принцип наглядно-деятельностный геометрии,

принцип познания законов природы средствами геометрии,

принцип развития образного мышления и изобразительных умений.

	6. Разработанная система упражнений ориентирована на учебник по математике для 5 класса общеобразовательных учебных заведений авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. и может быть использована как дополнительный материал при проведении уроков, а также для проведения занятий по указанной теме в факультативном курсе.




Заключение



В ряду учебных дисциплин, составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира. Геометрия, являясь неотъемлемой частью математического образования, имеет целью интеллектуальное и общекультурное развитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования – целостного развития и становления личности средствами математики.

Геометрический материал, представленный для изучения в 5-6 классах, должен представлять собой курс, органично включающийся в структуру непрерывного геометрического образования, с одной стороны, позволяющий углубить и расширить представления детей об известных им геометрических фигурах – с другой, и имеющий основной целью подготовку учащихся к систематическому изучению геометрии в 7-9 классах.

Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрии, поэтому роль пропедевтики этой дисциплины представляется чрезвычайно важной.

Цель данной дипломной работы, состоящая в изучении особенностей обучения элементам геометрии в 5-6 классах и разработке системы упражнений с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе, была достигнута в результате решения следующих задач:

Изучены, описаны и проанализированы возрастные особенности школьников 10-12 лет, а также особенности восприятия ими геометрического материала.

Описаны основные существующие подходы к преподаванию элементов геометрии с позиции пропедевтики.

Проведен сравнительный анализ учебников для учащихся 5-6 классов с точки зрения содержания в них геометрического материала.

		Разработаны методические принципы, являющиеся основой для отбора содержания по теме «Треугольники и четырехугольники», состоящие в следующем: принцип наглядно-деятельностный геометрии, принцип познания законов природы средствами геометрии, принцип развития образного мышления и изобразительных умений.

		Составлена система упражнений по теме «Треугольники и четырехугольники», ориентированная на учебник по математике для 5 класса общеобразовательных учебных заведений авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.

Разработанная нами система упражнений снабжена методическими комментариями о знаниях, умениях и навыках, приобретаемых в ходе решения предложенных задач, содержит разделы с указанием часов, отведенных на каждый раздел, и имеет достаточное количество разнообразных задач по указанной теме. Такая система может быть использована учителями при обучении школьников 5 классов теме «Треугольники и четырехугольники» как дополнительный материал, а также при проведении факультативного курса или математического кружка.




Библиография



Астряб, А.М. Наглядная геометрия [Текст] / А.М. Астряб.- М.: Гос. изд-во, 1923.

Ананьева, Б.Г. Проблемы восприятия пространства и пространственных представлений [Текст] / Б.Г. Ананьева, Б.Ф. Ломова.- М.: Педагогика, 1961.

Богоявленский, Д.Н. Психология усвоения знаний в школе [Текст] / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская.- М.: Педагогика, 1959.

Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение [Текст] / А.В. Брушлинский.- М.: Знание, 1983.

Выгодский, Л.С. Детская психология [Текст] / Л.С. Выгодский // Собрание сочинений : в 4 т. / под ред. Д.Б. Эльконина.- М.: Педагогика, 1984. – т. 4.

Выгодский, Л.С. Проблемы развития психики [Текст] / Л. С. Выгодский. – Собрание сочинений.- М., 1983. – т. 3.

Выгодский, Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте [Текст] / Л.С. Выгодский.- М., 1991.

Глейзер, Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии [Текст] / Г.Д. Глейзер.- М.: Педагогика, 1978.

Депман, И.Я. За страницами учебника математики [Текст]: пособие для учащихся 5-6 кл. средней шк. / И.Я. Делман, Н.Я. Виленкин.- М: Просвещение, 1989.

Зайкин, М.И. Развивай геометрическую интуицию [Текст]: Книга для учащихся 5-9 классов общеобразовательных учреждений / М.И. Зайкин.- М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995.

Зак, А.З. Различия в мышлении детей [Текст] / А.З. Зак.- М.: Рос. открытый ун-т, 1992.

Зетель, С.И. Геометрия циркуля и геометрия линейки [Текст] / С.И. Зетель.- М.: Учпедгид, 1957.

Зильберберг, Н.И. Урок математики, подготовка и проведение [Текст]
/ Н.И. Зильберберг.- М.: Просвещение, 1996.

Зыкова, В.И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний [Текст] / В.И. Зыкова.- М.: Учпедгиз, 1955.

Коксетер, Г.С.М. Новые встречи с геометрией [Текст] / Г.С.М. Коксетер, С.Л.М. Грейтуер.- М.: Наука, 1978.

Клековкин, Г.А. Геометрия. 5-6 класс [Текст]: Программа экспериментального пропедевтического курса / Г.А. Клековкин, Л.Н. Евелина.- М.: Русское слово – РС,2005. – 46 с.

Клековкин, Г.А. Геометрия. 5 класс [Текст]: Учебное пособие / Г.А. Клековкин, Л.Н. Евелина.- М.: Русское слово – РС, 2001.

Литвиненко, В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений [Текст] / В.Н. Литвиненко.- М.: Просвещение, 1991.

Математика, 5-6 [Текст]: кн. для учителя / С.Б. Суворова, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.- М.: Просвещение, 2006.

Математика [Текст]: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.- М.: Просвещение, 2007

Математика. 6 класс [Текст]: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000

Математика [Текст]: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений 
/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Мнемозина, 1997.

Математика [Текст]: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений 
/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чеснокови др. – М.: Мнемозина, 2007.

Методика обучения геометрии [Текст]: учебное пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчишина и др.; под ред. В.А.Гусева. – М.: Академия, 2004.

Немов, Р.С. Психология [Текст]: в 3 кн.: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: ВЛАДОС, 2005. - Кн.2: Психология образования.

Строгий мир геометрии [Текст]: Книга для учителя / А.А. Окунев, В.А. Панчищина, Э.Г. Гельфман и др. - М.: МИРОС, 1994.

Педагогика [Текст]: Учебное пособие для ст-тов пед. вузов и пед. колледжей / под ред. П.И. Пидкасистого.- М.: Пед. о-во России, 1998.

Земляков, А.Н. Психодидактические аспекты углубленного изучения математики в старших классах общеобразовательной средней школы [Текст] / А.Н. Земляков. // Математика: прил. к газ. "Первое сентября". –– 2005. – 03-04 (№ 6). – С. 17-21.

Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы [Текст]: проект. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – (Стандарты второго поколения).

Подходова, Н.С. Геометрия в развитии пространственного мышления младших школьников [Текст] / Н.С. Подходова // Начальная школа.- 1999.- № 1.- С. 90.

Пышкало, А.М. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах [Текст] / А.М. Пышкало.- М., 1977.

Расташанская, Т.В. Особенности развития воображения школьников при изучении геометрии и дидактика математики [Текст]: сегодня и завтра. [Текст] / Т.В. Расташанская.- Томск, 2000.

Ротенберг В. Мозг. Обучение. Здоровье[Текст]: Кн. для учителя / В.С. Ротенберг, С.М. Бондаренко.- М.: Просвещение, 1989.

Советский энциклопедический словарь / под ред. Ф.Н. Петрова.- М.: Сов. энциклопедия, 1980.

Цукарь, А.Я. Развитие пространственного воображения. Задания для учащихся [Текст] / А.Я. Цукарь.– СПб: СОЮЗ, 2000.

Шарыгин, И.Ф. Наглядная геометрия [Текст]: Учебное пособие для учащихся V-VI кл / И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева.- М.: МИРОС, 1995.

Шарыгин, И.Ф. Наглядная геометрия [Текст] / И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Егранжиева.- М.: Дрофа, 1998.

Якиманская, И.С. Развитие пространственного мышления школьников[Текст] / И.С. Якиманская.- М.: Педагогика, 1980.