Переходные процессы в линейных цепях

5



МЭИ



















Типовой расчет по Электротехнике.

(Переходные процессы в линейных цепях.)









          Студент                                                     Ухачёв Р.С.



          Группа                                                         Ф-9-94 



          Преподаватель                                           Кузнецов Э.В.



          Вариант                                                      14



































Москва 1996

Типовой расчет по дисциплине 

Основы теории цепей для студентов гр. Ф-9-94



Содержание работы 



В коммутируемой цепи содержатся источники постоянных э.д.с. E или тока J, источники гармонической э.д.с. e=Em sin(wt +j) или тока j=Jm sin(wt +j) c частотой w =1000 c-1 или источник с заданной линейной зависимостью напряжения или тока от времени, три коммутируемых в заданные моменты времени ключа . Непосредственно перед первой коммутацией в цепи имеется установившийся режим. 

Рассчитать:

1. Классическим методом ток, указанный на схеме, на трех интервалах, соответствующих коммутациям ключей, при наличии в цепи постоянных и синусоидальных источников .

2. Операторным методом тот же ток.

3. Любым методом на четвертом интервале ток i1=(t) после замены синусоидального источника источником с заданной зависимостью напряжения или тока от времени.

Задание 

1. Схема замещения анализируемой цепи и значения параметров выбираются на рис. 1 и в таблице 1 в соответствии с номером варианта N-номером в списке учебной группы. Остальные параметры рассчитываются по формулам E=10N (В), Em=10N (В), J=0,4N (А), Jm=0,4N (А), j =30N (°). Для всех вариантов L=20 мГн, C=100 мкФ. Зависимости токов и напряжений источников, включаемых в начале четвертого интервала, приведены на рис. 2.

2. Ключи коммутируются по порядку их номеров через одинаковые интервалы времени Dt=T/6, где T=2|p|/wсв -период свободных колебаний. Для апериодического процесса Dt =1/|p|, где p -наименьший по модулю корень характеристического уравнения. Четвертый интервал начинается также через Dt после коммутации последнего ключа.

Указания 

1. Для каждого интервала времени сначала рекомендуется провести расчет классическим методом, а затем-операторным. При совпадении результатов расчета обоими методами можно приступать к расчету переходного процесса на следующем интервале времени.

2. Результаты расчетов следует оформить с помощью ПЭВМ в отчете, содержащем описание задания, формулы, числовые значения, графики искомых функций.































Типовой расчёт по Элекротехнике вариант №14 

                                                                                   

Исходные данные:                        

R1=95 Ом  R2=5 Ом  R3=4 Ом     

C=100 мкФ  L=20 мГн

e=140sin(1000t+4200) В



E

K3

R3

L

R2

C

R1

K2

K1

i2























1. Расчёт ПП для первой коммутации:

Ucпр=E=140В  iCпр=0 А  i1пр=i2пр=E/(R1+R2)=1,4 A  



i21.2 Расчёт классическим методом:

Замкнули К1 t=0  i2(0)=0  Uc(0)=E=140В 

 { i1R1=Uc



E

L

C

R1

R2 { i2=0             (1.2.1)

 { CU'c+i1=i2

решив (1.2.1) получим i1=1,47A i2=0A U'c=-14700B/c



Составим характеристическое ур-е: Zвх(р)=0



=0 или 0,000019p2+0,0675p+100=0  



p1=-177,632+703.394j p2=-177,632-703.394j



Т.к. Uc(t)=Ucсв(t)+Ucпр(t) (1.2.2)

Ucсв=A1ep1t+A2ep2t   Ucпр=ER1/(R1+R2)=133B 

найдём константы A1 и A2 из системы

Uc(0)=A1+A2+133=0  или  A1+A2=7                       A1=3,5+9,565j

U'c(0)=A1p1+A2p2=0          A1p1+A2p2=-14700        A2=3,5-9,565j  





Подставив данные в (1.2.2) получим Uc(t)=e-177,632t(7cos(703.394t)-19.14sin(703.394t))+133 B



ic(t)=CU'c(t)=-e-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A



i1(t)=Uc/R1=  A



i2(t)=ic(t)+i1(t)=  A



1.2 Расчёт операторным методом:



{ I2(pL+R2)+Ic/pC=Li2(0)+E/p-Uc(0)/p

{ I2-Ic-I1=0                                           

{ I1R1=Ic/pC-Uc(0)/p

решив систему для I2,Ic,I1  имеем вектор решений   



E/p

pL

1/pC

R1

i2

R2

LiL(0)

Uc(0)/p

далее используя обратные преобразования  Лапласа получим окончательно

ic(t)=CU'c(t)=-e-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A

i1(t)=Uc/R1=  A

i2(t)=ic(t)+i1(t)=  A



E

C

R1

i22. Расчёт ПП для второй коммутации:

Возьмём интервал времени Dt=T/6=|p|/3wсв=0,001с

тогда Uc(Dt)=133,939 В

2.2 Расчёт классическим методом:



R2Составим характеристическое ур-е: Zвх(р)=0 



=0  p=-2105,63 

Ucпр(t)=133 В Ucсв(Dt)=Ae-2106,63t 

Uc(Dt)=A=0.939 В

Uc(t)=0.939e-2106,63t+133 В 

ic(t)=CU'c(t)=-0,198e-2106,63t A

i1(t)=Uc(t)/R1=0,0099e-2106,63t+1,4 A

i2(t)=ic(t)+i1(t)=-0,188e-2106,63t+1,4 A

                                                                                          

2.3 Расчёт операторным методом:                               



i2

E/p

1/pC

R1

R2

Uc(0)/p{ I1R1=Ic/pC+Uc(Dt)/p

{ I2=I1+Ic

{ I1R1+I2R2=E/p

решив систему для I1,I2,Iс  имеем вектор решений

    





Обратные преобразования Лапласа дают окончательно

ic(t)=CU'c(t)=-0,198e-2106,63t A

i1(t)=Uc(t)/R1=0,0099e-2106,63t+1,4 A     

i2(t)=ic(t)+i1(t)=-0,188e-2106,63t+1,4 A



3 . Расчёт ПП для третьей коммутации:

3.1 Расчёт классическим методом:



e

E

R3

R2

C

R1

i2Принуждённые составляющие токов

рассчитаем как суперпозицию от

постоянного и синусоидального источника







3.2 Расчёт на постоянном токе:









E

R3

R2

R1

i2                                                                                      | i1R1+i2R2=E

                                                                                     { i2R2+i3R3=0  ---> i1=1.44sin(1000t)                                                                                                 

                                                                                      | i1+i3=i2

                                                                                        















3.3 Расчёт на синусоидальном токе:

                                                                                                                { I1R2+I3R3=E=140ej 73,27   

                                                                                                                                                     { I2R2-jXcIc=0                       

                                                                                                                { I1R1+jXcIc=0                       



R1

e

R3

R2

C

i2                                                                                                                { I2-I1-I3-Ic=0                         

                                                                                           i2=14.85sin(1000t+0.83)A   

                                                                                           i1=0.02sin(1000t+0.29) A















Суперпозиция даёт для  i1пр= 

Ucпр(t)=i1пр/R1

Uc(t)= Ucпр(t)+Aept

Составим характеристическое ур-е: Zвх(р)=0 



p= 

Dt=1/|p|=0.00022 c

Uc(Dt)=133.6 В

A=3.2

i2(t)=(E-Uc(t))/R2 

2(t)=  A



E/p

1/pC

R1

i2

R2

Uc(0)/p

R3

E(p)

3.4 Расчёт операторным методом: 

 e=140sin(1000t+4200)





{ I1R1=Ic/pC+Uc(0)/p

{ I2R2+I3R3=E(p)      =>I1,I2,I3,Ic

{ I1R1+I2R2=E/p

{ I2-I3-I1-Ic=0





I2(p)= 

Используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно



i2(t)=  A



4. Расчёт ПП после замены синусоидального источника источником с заданной линейной



e   зависимостью ЭДС от времени.





140

 70

t

     t            























e=1

R3

R2

C

i2

R1





1/pC

R1

i2

R2

Uc(0)/p

R3

E(p)Начальные условия Uc(0)=0                                                

Для расчёта воспользуемся операторным методом



{ I2R2+I3R3=1/p

{ I1R1=Ic/pC+Uc(0)/p =>I1,I2,I3,Ic

{ I1R1+I2R2=0

{ I2-I3-I1-Ic=0                                       

   



Обратные преобразования Лапласа  дают i2(t)=h(t)=  A



Запишем интеграл Дюамеля:



fв(t)=140-140t/t

f’в(t)=-140/t









                                                           



Графики тока i2(t) для 1-й,2-й и 3-ей коммутации: