Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ















Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Реферат





Исполнитель:

Студентка группы М-42 Головачева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.









Гомель 2007




Содержание



Введение

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 0° до 180°

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению

Заключение

Литература






Введение



Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".




1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества



Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия ,  и  острых углов треугольника вводится для углов от  до , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.







Назовите катеты в ABC, APN. Назовите гипотенузы в LKM и EFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?

Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.

Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.

С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin , tg 







Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.

Для синуса это доказывается так:



=,



так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.

Из определений ,  и  получаем следующие правила:

Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;

Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;

Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=, LM=, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий ,  и  рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A, B, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A, B, b.

Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти A, b, c.

Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти A, b, c.

Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти B, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:



, , , .



В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:



, .



Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла  и  возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:







, , тогда , .

,



тогда из равенства правых частей получаем:



.

, тогда .



Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:







Пусть  и - острые углы,  и , и она пересекает стороны углов и  в точках  и  соответственно.

Так как , то точка  лежит между точками  и , тогда . А значит, по свойству наклонных, (через сравнение их проекций). Так как , , то косинус убывает. А так как , то синус возрастает.



2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от  до 



Расширение области определения тригонометрических функций от  до  происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".







Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость  угол . Пусть точка  имеет координаты  и . , , то из треугольника : , .

 Определяются значения  и  этими формулами для любого угла α (для 0-исключается).








Можно найти значения этих функций для углов 900, 00, 1800. Доказывается, что для любого угла α , 00<α<1800,  .



yповернем подвижный радиус на угол 1800-α=



1800-α

А1(x1, y1) по гипотенузе и острому углу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=>





O

B1

α

R



Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".

Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:

построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;

обозначить величину острого угла А буквой α;

измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;

вычислить отношение 

записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);

измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:



  

  

  



Определение cos, sin, tg углов от 00 до 1800 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.

В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 00 до 1800. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"

Сравним доказательства основного тригонометрического тождества:  для острых углов и для углов от 00 до 1800:



00<α<900

00≤α≤1800

1 

1   

2 

2 

3 

3 



В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.

Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.



3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры



Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

	затем введенные понятия обобщаются для углов от  до ;

	тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

Утверждение функциональной точки зрения на , , и  (трактовка , , и  как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;

Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

В курсе "Алгебра 9" учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения  и определимы при , т.к  угла поворота можно найти соответствующее значение дробей  и  . Выражение  имеет смысл при , кроме углов поворота , , …, т.к. имеет смысл дробь .

Каждому допустимому значению  соответствует единственное значение , ,  и . Поэтому , ,  и  являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

область значения  и - , для  и - множество всех действительных чисел

промежутки знакопостоянства: , то значит  зависит от знака  и т.д.

,  и  являются нечетными функциями, а  является четной функцией

при изменении угла на целое число оборотов значение , , ,  не изменится (под обратным понимаем поворот на ).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если  положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:



1 четверть: , ; 

2 четверть: , ;  и т.д.



	Определение тригонометрической функции  выглядит так:

	Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

	окружностью. Пусть точка  единичной окружности получена при повороте точки  на угол в  радиан. Ордината точки  - это синус угла . Числовая функция, заданная формулой , называется синусом числа, каждому числу  ставится в соответствие число .

	Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:

	

	; .

	

Построим график функции на .







Делим единичную окружность и отрезок  на 16 равных частей.

Через точку  проводим прямую, параллельную . Проводим прямую  до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой.

	Отрезок оси  , с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.

Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида , где , значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .

Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке  равно значению синуса в точке . Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние  в отрицательном направлении оси . Поэтому график функции  также является синусоидой.

	Для функций  и  определяется аналогично. Область определения - множество всех чисел, где .

Построение графика: проведем касательную  к единичной окружности в точке .







Пусть  произвольное число, для которого . Тогда точка  не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая  пересекает  в некоторой точке  с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая  проходит через точки  и . Поэтому она имеет уравнение .

Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой находим, что ордината точки равна . Итак, ордината точки пересечения прямых и  равна . Поэтому прямую  называют линией тангенсов.















Нетрудно доказать, что абсцисса точки  пересечения прямой с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку , равна  при .








Поэтому прямую m называют линией котангенсов.

Область значений  - вся числовая прямая. Докажем это для функции . Пусть  - произвольное действительное число. Рассмотрим точку . Как только что было показано,  равен . Следовательно, функция  принимает любое действительное значение , ч.т.д.

Построение графика аналогично построению .

Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:

Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).

Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.

По окружности находим соответствующее число значений этих функций.

Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.

	


4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению



Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.

Функции тригонометрических функций для углов от до 

(прямоугольный треугольник, планиметрия);

Тригонометрические функции для углов от до  (тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");

Тригонометрические функции для любого действительного числа.

Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.

К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.

Например:

В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .

В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.





В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, . Определите .

В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.



Найдите угол B.






Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.



Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:



;

;

;

;

.

;

, ч.т.д.

;  .








С другой стороны:





 



   

 - теорема сложения.





и по доказанной формуле.

Для доказательства  суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:







, , , .



Проведём радиус , длина которого равна , на угол : и получили радиус , где  и на угол  и получим радиус , где .



, : , .




 - прямоугольник. Повернём его на угол  вокруг точки :



; ; , т.е.

; , т.е:

; , по  



Аналогично:



 



Тогда:











и т.д.







К функциям от углов  можно прийти и из геометрических соображений.

Формулы приведения для и выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:



{определяем четность, в которой оканчивается угол  - II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти – " - ". Изменяется ли название функции – нет, поэтому:}  = - cos .

Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.

,



а затем применяется уже известная формула.

Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив .

Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:



={ , }=

=, 



но:








Таким образом:







Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):

1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;

2) основные тригонометрические тождества:







Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;

3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;

4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество:







Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:



8cos4+sin8=2sin8cos4+2sin4cos4=2cos4(sin8+sin4)=4cos4sin6cos2, и т.д.



Задачи №2.

Упростить выражение



а) 



Можно применить формулы понижения степени:



=

{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: } =



б)




Задача №3

Преобразовать в произведение:



а) cos5+sin8+cos9+cos12=(cos5+cos12)+(cos8+cos9)=

=2cos17/2cos7/2+2cos17/2cos/2=2cos17/2(cos7/2+cos/2)=

=4cos17/2cos2cos3/2=4cos3/2cos2cos17/2

б) 3+4cos4+cos8=3(1+cos4)+(cos4+cos8)=6cos22+

+2cos6cos2=2 cos2(3cos2+cos6)=2cos2((cos2+|cos6)+

+2cos2)=2cos2(2cos4cos2+2cos2)=4cos22(cos4+cos2)=

=4cos22cos22=8cos42



Задача №4

Найти sin4+cos4, если известно, что:



sin-cos=1/2

sin4+cos4=(sin2 +cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=

=1-1/2sin22={sin4-cos=1/2(sin-cos)2=

=1-2sincos=1/4sin2=3/4}=



Задача №5

Вычислить:





sin=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу  и получим}= 


Заключение



Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.




Литература



1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.