Методичний матеріал по викладанню алгебри

ЗМІСТ



Урок – 1. Поняття про вектори. Абсолютна величина вектора і напрям

Урок – 2. Рівність векторів. Розв’язування вправ

Урок – 3. Координати вектора

Урок – 4. Розв’язування вправ. Самостійна робота

Урок – 5. Додавання векторів

Урок – 6. Додавання векторів (продовження)

Урок – 7. Додавання векторів (продовження)

Список використаної літератури


УРОК – 1 Тема уроку. ПОНЯТТЯ ПРО ВЕКТОР. АБСОЛЮТНА ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА І НАПРЯМ



Мета уроку. Увести поняття вектора, абсолютна величина й напрям вектора, а також розв’язати вправи.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань. 

Навчальні посібники і ТЗН. 1)кодоскоп; 2)кодопозитиви; 2)діапроек- тор; 4) фрагменти з діафільму ” Вектор ”.

ХІД УРОКУ

І. Повторення вивченого матеріалу (фронтальне опитування на кодоскопі).

1). Які відображення площини на себе називається рухом (перемі- щенням)? Перерахувати відомі вам види переміщення.

[симетрія відносно точки, симетрія відносно прямої, поворот, паралельне перенесення].

2). Дати означення напряму на площині.

[Наочно паралельне перенесення означають як перетворення, при якому точки зміщуються в одному і тому самому напряму на одну і ту саму відстань, або точки зміщуються вздовж паралельних прямих ( або прямих які збігаються) на одну й ту саму відстань].

3). Яке відображення площини на себе називається паралельним пере- несенням?

4). Яке відображення площини на себе називається паралельним пере- несенням?

[Паралельне перенесення задається формулами:



x'=x+a, y'=y+b ].


5). Скільки різних паралельних перенесень задають дві різні точки? [A(x1;y1), B(x2;y2) переходять при паралельному перенесенні у точки A'(x1+a;y1+b), B'(x2+a;y2+b)].

Розв’язати задачу на тотожне відображення.

Дано відрізок AB. Побудувати образ цього відрізка

а) При паралельному перенесенні, який переводить точку A у точку В.



AB].      [AB AB].



б) При повороті на 0o навколо вибраної поза відрізком AB точки. [AB 

в) Чи являється довільне переміщення тотожнім відображенням, якщо відомо,що воно переводить точку А в точку В, а також В в точку В, тобто АВ АВ? [Ні, бо при будь-якому розміщенні осі симетрії з віссю AB на площині знайдуться точки, які не переходять самі в себе, а тотожне відображення є перетворення всієї площини на себе, яка будь-яку точку площини відображає на себе].

Паралельне перенесення задано формулами x=x+2, y=y+3. Знайдіть координати точок N' і M', в які переходять точки N(1;2), M(2;1) при паралельному перенесенні. Побудувати точки N і N ', M і M'; кожну пару точок з’єднайте відрізком.

Демонструю на кодоскопу мал. 1, який складається з кодоплівок: система координат, із двох пар точок N і N', M і M'. Одержаний малюнок показує, що при даному паралельному перенесенні точки змістилися за паралельними прямими на однакову відстань. Пропоную учням цю властивість довести, тобто, що чотирикутник NN'M'M – паралелограм. Для доведення вправи необхідно згадати з учнями означення й властивість паралелограма, формули координат середини відрізка.

Пропоную учням знайти середину відрізка NM' і N'M і переконатися, що ці точки співпадають. Учні роблять висновок, що діагоналі чотирикутника NN'M'M перетинаються і в точці перетину діляться навпіл, це означає, що NN'M'M – паралелограм. Таким чином доведено, точки N і M змістили на одну і ту ж відстань.

Потім я доводжу це твердження в загальному вигляді ( тобто для будь-якого паралельного перенесення і довільних точок N і M ), показую на кодоскопі мал. 1.

Алгоритм доведення демонструю на кодоскопі.

Нехай O1 – середина відрізка NM', а O2 – середина відрізка N'M. Знайти координати точок і.

Для O1:



x = (x1+x2+a)/2, y = (y1+ y2 b)/2;



для O2 :



x = (x1+a+x2)/2, y = (y1 +y2+b)/2.



Точки О1=О2 – співпадають (одна і та ж точка).

Отже, діагональ чотирикутника N'NM'M перетинаються і точкою перетину є точка О (середина ); звідки слідує, що чотирикутник NN'M'M – паралелограм (мал. 2), тобто NN' || MM' і NN'=MM'.



y

N(x1+a;y1+b)

5 

M(x2+a;y2+b)

o

2 N

M                           0 1 2 3 4 x

Мал. 2



Звертаю увагу учням на те, що ми довели наступне:

а) NM=N'M', тобто, що паралельне перенесення зберігає відстань між точками, а це означає – рух;

б) пряма переходить у паралельну пряму.

Пригадати з учнями теорему 9.4 (про існування і єдиності паралельного перенесення).

	Підвести підсумок фронтального опитування й оголосити оцінки.

ІІ. Вивчення нового матеріалу. 

Звертаю увагу учням на те, що ми повторили паралельне перенесення, яке тепер буде називатися по новому – вектор.

Після таких міркувань переходимо до означення вектора, яке подано у підручнику (п. 91).

Вектором називається напрямлений відрізок (за підручником мал. 215 демонструю на кодоскопу).





 B

 a

 

 

 A

мал. 3 (за підручником мал. 211)



Звертаю увагу на те, що учні вже зустрічалися із вектором у курсі фізики при вивченні величин, які характеризуються числом і напрямом (такі, як сила, швидкість і т. д.).

На мал. 3 напрям вектора визначається його початком і кінцем (стрілка). Для позначення вектора використовуються малі букви латинського алфавіту a, b, c

Можна також позначати вектор, вказавши його початок і кінець великими буквами латинського алфавіту. При такому способі позначення

вектора на перше місце ставлять його початок (перша буква), а кінцем є друга буква. Зверху над буквою (буквами) ставлять риску (стрілку). Повідомляю, що вектор на мал. 3 позначають так: a і AB.



 B C





A D

Мал. 4



На кодоскопу демонструю наступні завдання:

1. Виписати всі вектори, зображені на мал. 4.

2. Дано точки A,B,C,D (мал. 5):

а) зобразити вектори, DA, BA,DB,BC;



B



C



A D

Мал. 5



б) накреслити вектор, початок якого співпадає із 

початком вектора DB, а кінець – з кінцем вектора DC.

Після розв’язування цих вправ увожу поняття однаково напрямлених векторів. Показую на кодоскопу мал. 6 і пояснюю учням, яке паралельне перенесення суміщається, а) пів прямі AB і DE; б) пів прямі AB і BC.




A B C

 

D E



Мал. 6



[а) паралельне перенесення, переводить точку в точку A у точку B; б) паралельне перенесення, переводить точку А в точку В ].

Звертаю увагу учням на те, що згідно означенню однаково напрямленні пів прямі лежать або на паралельних прямих, або на одній і тій же прямій.



B C





A N D

Мал. 7

	

	На кодоскопу демонструю мал. 7 і умову завдання:” ABCD – трапеція. Пояснити, чому пів прямі BC і AD однаково напрямлені ” [Пів прямі BC і AD лежать на паралельних прямих ВС і AD по одну сторону від січної AB].

	Увожу означення протилежно напрямленні пів прямі. Демонструю мал. 8 на кодоскопу.

Пояснити, чому пів прямі BC і DA протилежно напрямлені.[Пів прямі BC і DA лежать на паралельних прямих по одну сторону від січної AB ].

	Звертаю увагу на те, що протилежно напрямленні пів прямі (подібно до однаково напрямлених ) лежать або на паралельних прямих, або на одній й тій же прямій.




 K M N

 

F E

Мал. 8



Означення однаково напрямлених векторів показую на прикладах. За допомогою кодоскопу демонструю мал. 7 і умову завдання.

Дано трапецію ABCD (мал. 7):

а) Знайти всі можливі пари одинаково напрямлених векторів.

б) Чи являються ВА CD однаково напрямленні? (Відповідь поясніть)

Ввожу поняття протилежно ( ) напрямленні вектори :”CB і AD (мал. 7) називаються протилежно напрямленими, якщо пів прямі CB і AD протилежно напрямлені”. Після цього демонструю задаю ще одне запитання:

”Вкажіть які-небудь пари протилежно напрямлених векторів”.

[Наприклад, BC і DA, AD і NA, BC і CB].

Підсумок. Вектори CB AD називаються однаково напрямленими, якщо однаково напрямлені й пів прямі CB і AD. Вектори CB AD називаються протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені й пів прямі CB і AD.

Для введення поняття абсолютної величини (модуля) пропоную учням такі вправи.

Нехай ABCD – квадрат із стороною рівною 3. 

Чому дорівнюють абсолютні величини (модулі) векторів AB, BA, AC ?

Підсумовую разом з учнями: ” Абсолютною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає вектор. Абсолютна величина вектора а позначається | a | ”.

Далі знайомлю учнів із нульовим вектором, тобто, коли початок вектора збігається з кінцем. Показую як позначається нульовий вектор і учні записують це позначення в зошиті ( 0 ). А також зауважую, що про напрям нульового вектора не говорять і абсолютна величина нульового вектора дорівнює нулю. Операції над нульовими векторами відіграють ту саму роль, що й число нуль в операціях числа.

ІІІ. Тренувальні вправи (на кодопозитиві, напівсні ).

Вектори AB і DC однаково ( ) чи протилежно ( ) напрямленні

Два вектори AB і DC рівні. Порівняйте їхні абсолютні величини й напрям.

Вектори AB і CB рівні за абсолютною величиною. Чи рівні ці вектори?

IV. Підсумок уроку.

Пригадую з учнями як позначається вектор.

2) Звертаю увагу на поняття одинакові ( ) і протилежно ( ) напрямленні вектори і ,що такі вектори називаються колінеарними.

3) Учні пригадують, що вектор має довжину, тобто нове поняття, абсолютна величина вектора.

4) Ще раз пригадую учням, про нульовий вектор і операції над ним. На кінець звертаю увагу, що вектор і операції над ним використовуються у фізиці.

IV. Домашнє завдання. § 10 (п. 91); №1; за. 1 – 4.



B C



O

A D

Мал. 9



Додаткове завдання. 

1) Довести, що для справедливості рівності AB = CD необхідної і достатньо, щоб середина відрізка AD збігалася із серединою відрізка BC.

2) Позначте на мал.9 вектори AB,CB,OA, OC, BD, AD, DC, OB . Записати співнапрямлені і протилежно напрямлені вектори.



УРОК – 2. Тема уроку. РІВНІСТЬ ВЕКТОРІВ. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ВПРАВ



Мета уроку. Ознайомлення учнів із поняттям рівні вектори і закріпити на прикладах.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань; застосування знань і формування вмінь.

Знання, вміння, навички. Знати формулювання рівності векторів, уміти відкладати від довільної точки вектор, який дорівнює даному.

Наочні посібники і ТЗН. 1) Кодоскоп; 2) кодопозитиви із зразками алгоритму розв’язку вправ.

ХІД УРОКУ

І. Фронтальне опитування.

В – 1 [ В – 2]

1) Вектором називається ... 1) Абсолютною величиною вектора називається

а) напрямлений відрізок; а) довжина відрізка;

б) відрізок певної довжини; б) довжина вектора;

в) стрілка з напрямом; в) довжина променя;

г) промінь. г) довжина відрізка, що зображає вектор. (1 бал)

2) Які вектори спів напрямлені: 2) Які вектори протилежно напрямлені:



M A N



K B L

Мал. 10


а)BK і BL; б) NA і AN; а) LB і BK; б) NA NM. в) MN і AN; г) KM і NL; в) MK і LN; г) NM і LK. (2бали)

3) Вектор AB=3. Яка довжина вектора 3) Вектор NK=5. Яка довжина 

MN, коли вектор AB= MN? вектора DC, коли NK= DC?

а) MN=6; б) MN=3; в) MN=0;г) MN=5. а) AB=5;б)AB=3;в)AB=10; г)AB=0. (3 бали)

4) Нехай ABCD– квадрат O–точка перетину діагоналей, |AC|= 6см. нього Δ ABC із стороною 8 см

4) DE–середня лінія

Чому дорівнює |OA|?



B C

 



 O

A D



а) |OA|= 6см ; редина BC). Знайти |AD|.

B



 D E

AC



б) |OA|=3см; а)|AD|=3см; 

в) |OA|=6см; б)|AD|=6см;

г) |OA|=3см. в)|AD|=4см;

г)|AD|=8см. (3бали)

5) Паралельне перенесення задається формулами x'=x+2[x'=x+3], y'=y–1

[y'=y–2]. У які точки при цьому паралельному перенесенні переходить

початок і кінець вектора AB [MN], що мають відповідні координати (1;2) і (2;3) [ (2;4) і (1;3) ]. 

а) (2;3) і (4;2); б) (1;3) і (2;4); а) (5;1) і (4;0); б) (5;2) і (4;1);

	в) (-3;1) і (4;-2); г) (2;1) і (-4;2). в) (-5;-2) і (-4;-1); г) (4;1) і (2;5). (3 бали)

Після цього демонструю на екран правильні відповіді. Учні виставляють оцінки за бальною системою, яка демонструється на екран (або таблицю). Звертається увага на 4-те завдання, до якого ми ще повернемося в наступних уроках.

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

Пропоную учням порівняти вектори (4-те завдання із тестів фронтального опитування) BC і AD, AO і OC. Назвати пару векторів, які однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Учні знаходять правильну відповідь, пропонують свої версії означення рівності векторів. Після цього ввожу означення рівних векторі:

Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.



1



 D

C B

A

2



Показую на екрані мал. 213 (за підручником) і за допомогою двох кодоплівок (плівка-1, плівка-2) демонструю динаміку паралельного перенесення. З екрана учні бачать, що існує паралельне перенесення, яке переводить початок (С) і кінець (D) одного вектора відповідно у початок (А) і кінець (В) другого вектора.

Підсумовую необхідну і достатню умову рівності векторів: ”рівні вектори однаково напрямлені й рівні між за абсолютною величиною”.

Повертаючись до екрану звертаю увагу учням, що вектори AB і CD –одинаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Паралельне перенесення, яке переводить точку C у точку A, суміщає (учні дивляться на екран) роблять висновок: AB = CD (відрізки) і тому точка D збігається з точкою B, тобто паралельне перенесення переводить вектор CD у вектор AB. Отже, вектори AB і CD рівні, що й треба було довести.

	ІІІ. Закріплення матеріалу (демонструю на кодоскопі).

	Вектори AB і DC однаково напрямлені й мають рівну абсолютну величину. Чи рівні ці вектори?

	Два вектори AB = BC. Порівняйте їхні абсолютні величини і напрям.

	Дано паралелограм ABCD. Які векторні рівності можна скласти, використовуючи малюнок 11?

	5. OA, OB, OC – радіуси одного кола. Що можна сказати про вектори OA, OB, OC?

	6. Розглянути розв’язок (за підручником мал. 214) задачі.

	Після ознайомлення учнів із розв’язком задачі 2 і з можливістю й однозначністю відкладання від будь-якої точки площини вектора, що дорівнює даному(за підручником с. 142), пропоную розв’язати таку задачу: Дано вектор АВ і точку D. Побудувати точку С так, щоб вектор DC= АВ

	Скільки розв’язків має задача?

В

 а

 А С

а΄ 

О 



	План побудови записую на кодоплівці. Учні коментують і записують цей план у зошиті, а також виконують побудову:

	1) будуємо пів пряму з початком у точці D, паралельно пів прямій АВ (за допомогою косинця й лінійки);

		2) на цій пів прямій будуємо точку С, яку одержимо суміщенням з точкою В (існує паралельне перенесення, при якому початок вектора АВ переходить у точку D, а кінець точки В точку С).

		Таким чином від точки D площини відкладаємо один і тільки один вектор a΄, що дорівнює a.

		IV. Підсумок уроку.

		Звертаю увагу учнів на необхідну й достатню умову рівності векторів, а також на те, що рівність векторів істотно відрізняється від рівності відрізків (учні самі роблять висновок).

		V. Завдання додому. §10 (п. 92); №3; зап.5 – 7.

		Додаткова вправа.

		1) ABCD – квадрат, О – точка перетину його діагоналей. Чи рівні вектори?

		AB і CD, AD і OC, AO і OB, BO і OD?



УРОК – 3. Тема уроку. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА



Мета уроку. Сформулювати поняття координати вектора, ознайомити із знаходженням координати вектора через координати пари чисел (координата кінців вектора).

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Наочні посібники і ТЗН. 1) кодоскоп; 2) кодопозитиви.

Знання, вміння, навички. Знати, що таке координати вектора; формулювання прямої і оберненої теореми про рівність векторів; вміти знаходити координати вектора за його початку і кінця; обчислювати абсолютну величину за його координатами; набути навичок при виконанні вправ на обчислення рівності векторів і їх, координат.

ХІД УРОКУ

І. Повторення вивченого матеріалу.

Перевірку домашнього завдання проводжу за допомогою кодоскопу. На екран демонструю алгоритм розв’язку вправи № 3 (§10) і додаткову вправу (квадрат).

До даних вправ задаю запитання 5 – 7 (за підручником). Один учень розповідає доведення запитання 6, а інший за допомогою кодоскопу розповідає доведення запитання 7.

Після цього активним учням виголошую оцінки (бали).

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

Демонструю на екран мал. 12 (з коментуванням). 

y

y1 B(x2;y2)







y1 A(x1;y1)





O x1 x2 x

Мал. 12



Задаю запитання:

Назвати координати точок А і В.

Показати на екрані АВ вісі абсцис і ординат.

Записати довжини проекцій на осі Ox і Oy.

Пояснюю, що числа a1 = x2 – x1 і a2 = y2 – y1 є довжини проекцій вектора на осі координат і тим самим ми знайшли координати вектора.

Корисно сформулювати правило знаходження вектора:

	” Щоб знайти координати вектора, потрібно з координат його кінця відняти відповідні координати його початку ”.

	Підсумовую: координати векторів (OA,OC) із початком в точці O(0;0) співпадають з координатами, їх кінців.

	Пропоную учням обчислити координати кінця (початку) вектора за його координатами й координатами його початку (кінця):

	Знайти координати кінця вектора (2;5), початок якого в точці: а) (2;3); б) (-1;5), в) (0;0).

	Знайти координати початку вектора (5;-3), кінець якого в точці: 

	а) (-3;1), б) (0;0), в) (5;-3).

	

	Для усних обчислень використовую таблицю (на кодопозитиві).

	A1

	A2

	 A1A2 = a

	x1

	y1

	x2

	y2

	a1

	a2

	2.

	3

	4

	8

	2

	5

	

	2. Формулу для обчислення абсолютної величини вектора за його координатами виводжу під час розв’язування вправ (учні по черзі на дошці записують розв’язок):

	1) Дано точки А(3;1) і В(5;3). Знайдіть абсолютну величину вектора АВ.

	2) Вектор а має початком точку А(x1;y1) ,а кінцем точку B(x2;y2).Знайдіть абсолютну величину вектора а.

	Розв’язування.

	

	| a | = | AB | =  = .

	

	Пропоную учням обчислити модулі векторів, заданих: а) координатами; 

	б) початку й кінця (самостійно на кодопозитиві).

	3. Для доведення теореми про рівні вектори користуюся мал.13 і розпо відаю сам процес доведення.

y A2(x2; y2)





A1(x1; y2)



A2'(x2; y2)

A1'(x1'; y1')

O x

Мал. 13

	

	Формулюю пряму і обернену теорему:

	” Рівні вектори мають рівні відповідні координати ”.

	І навпаки: 

	”Якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні ”.

На кодоскопу або на таблицях демонструю доведення прямої, і оберненої теореми про рівність векторів. Учні беруть участь в обговоренні доведення.

Пряма теорема: Обернена теорема: 

		Дано: а = а΄. Дано: x2 – x1 = x2΄ – x1΄, (1) 

Довести: x2 – x1 = x2΄ – x1΄, y2 – y1 = y2΄ – y1΄. (2)

		y2 – y1 = y2΄ – y1΄. Довести: а = а'. 

		Доведення. Нехай паралельне пере- Доведення. Знайдеться паралельне, яке перенесення водить точку А1 в точку А1΄. Тоді , підставляємо

		

		 x΄ = x + c, d = y1΄ – y1.

		 y΄ = y + d; І 

		

		тому А΄1 переходить в А΄1 за допомогою паралельного перенесення:

		переводить а в а΄, тобто x΄= x + x1΄ –x1, y΄= y1΄– y1.

		x΄ = x1 + c, y1΄ = y1 + d, Ці рівності задовольняють координати точок А2 і А2΄ x΄2 = x2 + c΄, y2΄= y2 + d, звідси x2΄=x2+x1΄ –x1 , y2΄=y2 + y1΄– y1.З умови випливає що

		x2΄ – x2΄ = x2 – x1, існує паралельне перенесення: А1 А1΄ і А2 А2,΄

		y2΄ – y΄2 = y2 – y1, що й, т. б. д. тобто вектори а й а рівні, що й т. б. д.

		За допомогою кодоскопу (таблиці) показую скорочений запис прямої, і оберненої теореми:

		

 a = a, де

 a(x2 – x1; y2 – y1) 

 a΄ (x΄2 – x΄1; y΄2 – y΄1)

 x2΄ – x1΄ = x2 – x1

 y2΄ – y1΄ = y2 – y1

		

		

		

		



Після знайомства з доведенням учні можуть самі зробити висновок:

” Паралельне перенесення, що задається (1) або (2), переводить точку А1 в точку А΄1, а точку А2 – у точку А΄2, тобто вектори а і а΄ рівні. ”

Учням задаю запитання:

При якій умові вектори рівні? (Об’єднати пряме й обернене твердження).

Учні відповідають?

” Вектори рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати”

ІІІ. Тренувальні вправи.

Учні самостійно розв’язують вправу 6 і 7 (§ 10 ), Розв’язки демонструю на кодоскопу. Учні звіряють і виправляють помилки.

IV. Підсумок уроку (закріплення).

Звертаю увагу учням на зв’язок координатної й геометричної форми завдання вектора, а також застосування формули абсолютної величини 

|a|=



Показую на кодоскопу побудову вектора заданого коорди- натами, вибираючи при цьому його початок у різних точках.

Звертаю увагу ще раз учням на те, якщо вектор відкладений від точки О (початок координат), то його координати обов’язково співпадають із координатами його кінця. На кодоскопу демонструю завдання такого змісту:

Відкласти вектор b (-1;3) від точки



а)(2;3); б)(-1;0); в)(0;0).



2 . Відкласти від початку координат вектори:



n(1;4) a(-2;-5) k(2;0) q(0;-3).



V. Завдання додому. п. 93; зап. 8,9. № 4;5*.



УРОК – 4. Тема уроку. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ВПРАВ. САМОСТІЙНА РОБОТА



Мета уроку. Закріпити знання про вектори, які задані своїми коор- динатами у процесі розв’язування вправ.

Тип уроку. Урок творчого застосування знань і вдосконалення вмінь.

Знання, вміння, навички. Вміти застосовувати теоретичні знання і вміння при розв’язуванні вправ і набуті навичок для їх, практичного застосування.

Наочні посібники і ТЗН. 1) Кодоскоп; 2) кодопозитиви; 3) магнітна дошка з набором векторів.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

Пропоную учням звернути увагу на екран, на якому зображено алгоритм розв’язку вправ 6 і 7(§10). Домашнє завдання перевіряю за допомогою кодопозитивів. Учні виправляють помилки.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Демонструю на екран умови задач, які учні усно розв’язують.

Знайти координати вектора KM, якщо M(3;4), K(8;6).

Чому дорівнює абсолютна величина вектора a(-4;3)?

Дано точки A(5;-1), B(4;3), C(1;0), M(9;4) та М(0;4). Чи рівні вектори AB і CM ?

Абсолютна величина вектора m(3;a) дорівнює 5. Знайти а.



[ 52 = 32 + a2 a2 = 25 – 9 = 16; | a | = 4; a1 = -4, a2 = 4 ]



ІІІ. Розв’язування задач.

Умови вправ можуть бути записані на кодоплівці або у вигляді таблиці.

Використовуючи означення координат вектора, доведіть, що чотирикутник з вершинами A(-2;5), B(2;3), C(8;6) D(4;8) – пара- лелограм.

Дано трикутник ABC: A(0;-1), B(3;1), C(1;-2), AA1, BB1, CC1 – його медіани. Обчисліть координати векторів AA1, BB1, CC1.



[AA1(2;1/2), BB1(-5/2;-5/2), CC1(1/2;2)].



На екран демонструю алгоритм розв’язування вправи 2.

Шукаємо координати векторів AA, BB, CC



A1, B1,C1:

A1  A1 2; ;

B1  B1  ;

C1  C1  ; 



2) Обчислюємо за формулами координати векторів AA1, BB1, CC1:



AA1 = 2 – 0;  = 2;  ;

BB1 =  =  ;

CC1 =  =  ;



3) Дано точки A(1;2), B(2;1), C(2;3), D(3;2) Знайдіть таку точку C(x;y), щоб вектори CA і AB були рівними.



CA = AB; AB(1;3);

 1 – x = 1; x = 0,

-3 – y = 3, y = - 6.



IV. Самостійна робота.

В – 1

1. Дано точки A(2;3), B(2;1), C(2;3), D(3;2).

 Доведіть рівність векторів AB і CD. (4 б)

2. *Абсолютна величина вектора a(8;m) дорівнює 10. Знайдіть m.(5б)

В – 2

Дано три точки A(2;2) B(0;1) C(1;2). Знайдіть таку точку (x;y), щоб вектори AB і СВ були рівними. (4б)

*Абсолютна величина b(n;8) дорівнює 15. Знайдіть n . (5б)

Розв’язок самостійної роботи учні перевіряють через кодоскоп (сильнішим учням даю виконувати роботу на кодоплівці) Перевіряю роботу на кодоплівці. За цей час йде взаємоперевірка: учні звіряють відповіді, можуть посперечатися, звертаються до мене зі спірними запитаннями. Після цього перевірка закінчується. На екран демонструється алгоритм розв’язку завдань двох варіантів розв’язаними сильнішими учнями. Учні виправляють помилки (перед цим обмінюються варіантами). Виставляють бали. Я роботи збираю уточнюю перевірку, яку робили учні і виставляю оцінки в в свій журнал. Учні, які не справилися з роботою або хочуть покращити оцінку можуть після уроків (або на наступному уроці) перездати.

Підсумовую роботу учнів.

V. Завдання додому. п. 93 (§10).



y



 B C



O x

A D

Мал. 14



1. На мал. 14 ABCD – квадрат, сторона якого дорівнює 6. Знайдіть координати векторів: AB, BC, DA, AD, AC ,BD, OC, AD.

2.Дано три точки A(5;1), B(4;5), C(0;2). Знайдіть координати такої точки D, щоб вектори BC і AD були рівними.



УРОК – 5. Тема уроку. ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ



Мета уроку. Сформулювати поняття суми векторів, ознайомитися з ” правилом трикутника ” при додаванні векторів.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань, Знання, вміння, навички. Знати означення суми двох векторів, уміти знаходити координати суми й різниці двох векторів заданих координатами, довести теорему 10.1, уміти розпізнавати на рисунку і будувати суму двох векторів за правилом трикутника заданих геометрично.

Наочні посібники і ТЗН. 1) Таблиця ” Суми векторів ”; 2) кодо- скоп; 3) кодопозитиви; 4) ” Вектори на площині ”.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка засвоєння вивченого матеріалу.

За допомогою кодоскопу учні перевіряють домашнє завдання (впр. 1,2– урок 4).

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Розв’язати задачі (усно). Демонструю поступово задачі й запитання на екран.

Знайти координати вектора АВ, якщо А(2;4), В(2;7).

Чому дорівнює абсолютна величина вектора (-6;8)?

Які вектори називаються рівними?

Що таке нульовий вектор?

Що таке координати вектора?



y



 b

 а 



c

O x

Мал. 15



Демонструю на екран (мал. 15) координатну площину.

Пропоную учням намалювати координатну площину. Після цього на окремих плівках (учні бачать динаміку малюнка) демонструю побудову. Учні в зошиті зображують ці вектори.

Демонструю мал. 16.

Ставлю запитання: 

Назвати координати векторів a, b, c (мал. 16).

Учні роблять висновок: координати вектора с дорівнюють сумі однойменних координат векторів a і b.



 y

 b

 c

 a 





O x

Мал. 16



Учні в зошиті виконують мал. 16 і записують рівність:



a (1;2) + b (3;1) = c(1+3;2+1).



Пропоную учням сформулювати означення додавання векторів:

	”Сумою векторів a і b з координатами a1,a2 і b1,b2 називається вектор c з координатами a1+b1, a2+b2 , тобто



a(a1;a2) + b(b1;b2) = c(a1+b1;a2+b2) ”.



Після ознайомлення з означенням векторів пропоную учням таке 

завдання:

Нехай a(5;3), b(4;1). Який вектор є сумою цих двох векторів?

Розповідаю учням, що на практиці векторне додавання зустрічається досить часто. Наприклад, під вектором a(1;2) можна розуміти групу зошитів, яка складається з 1 зошита у лінійку і 2–у клітку, під вектором 

b(3;4) – групу зошитів, яка складається з 3 зошитів у лінійку і 4 – у клітку. Загальна кількість зошитів складатиметься з 4 зошитів у лінійку і

6 – у клітку. Тоді учні записують суму у вигляді:



a(5;3) + b(4;1) = c(9;4).



Увівши поняття суми векторів, задаю запитання учням:

Чи зміниться сума векторів:



b + a і a + b ?



Учні перевіряють і формулюють переставну властивість додавання векторів (аналогічно до алгебри), а також переконуються в тому, що координати їхні рівні.

Слід нагадати, що два вектори називаються протилежними, коли їхня сума дорівнює нульовому вектору: 

a + (-a) =0.

 IV. Закріплення матеріалу.

Пропоную декілька вправ:

1) Дано вектори a(2;3), b(-1;0),c(-2,-3).Знайдіть суму векторів a і b, a і c, b і c.

Можливий запис:



a + b = (2;3) + (-1;0) = (1;3).



Звертаю увагу учням на те, що сума векторів є вектор. Зауважую, що сумою векторів може бути і нульовий вектор, наприклад,

a(2;3) + c(-2;-3) = 0.



Дано вектори a(-2;3), b(-1;-4), c(5;1). Перевірити властивості (самостійно з перевіркою): 



а) a + b = b +a; б) a + (b + c ) = ( a +b ) + c.



Учні переконуються у правильності рівностей і в тому , що це випливає з необхідної і достатньої умови рівності векторів 



a + b і b +a , a + (b +c) і (a +b) + c.



3) Знайдіть абсолютну величину векторів 



a + b, a(1;-4), b(-4;8),

 a(10;7), b(2;-2).



VI. Підсумок уроку.

Підсумовуючи урок, наголошую учням, що ми навчилися додавати вектори за їхніми координатами, а також із властивостями векторів (аналогічно до алгебри). Повідомляю, що ці властивості мають відповідно іншу назву: комутативну й асоціативну.

VI. Завдання додому. п. 94(§10); зап.10 – 13; № 8(2);збираю зошити для перевірки.


УРОК 6. Тема уроку. ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ (продовження)



Мета уроку. Сформулювати й довести теорему 10.1, а також ознайомити з ” правилом трикутника ” при додаванні векторів.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

	Знання, вміння, навички. Знати формулювання теореми 10.1; уміти будувати суму двох векторів за ”правилом трикутника” і ”правилом паралелограма” і застосовувати нові знання до розв’язування завдань.

	Наочні посібники і ТЗН. 1) Кодоскоп; 2) кодопозитиви; 3) діафільм ”Вектори на площині”; 4) картки для проведення самостійної роботи.

	ХІД УРОКУ

	І. Перевірка завдання вивченого матеріалу.

	Викликаю учнів (4 – 6) до дошки і даю їм картки із завданням, наприклад, такого змісту.

	Дано вектори m (2;3), n(1;-1), k(2;-1). Знайти m + n; б) | m + k |; в) m + n = n + m; г) m + ( n + k ) = ( m + n ) +k.

	ІІ. Актуалізація опорних знань.

	Решта учні розв’язують задачі (на пів усно) на кодоскопу. Поступово демонструю завдання на дошку-екран:

	Координати точок А(1;-3), В(2:3). Знайти координати вектора АВ.

	Знайти координати вектора с і абсолютну, якщо a(0;3), b(-4;0).

	Сформулювати правило додавання векторів.

	Сформулювати властивості додавання векторів.

	Які вектори називаються рівними?

	ІІ. Вивчення нового матеріалу.

	1. На дошку-екран демонструю мал. 18, за допомогою якого разом з учнями доводжу теорему.

	
y



A(x1;y1)



C(x3;y3)

B(x1;y1)

O x

Мал.18

	

	Учні записують.

	Дано: A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) – довільні точки площини.

	Довести: AB + BC = AC (мал. 18).

	Доведення. У процесі доведення задаю учням такі запитання:

	1) Знайти координати векторів AB, BC, AC.

	Учні записують в зошитах ( інший учень на дошці або на кодоскопу):

	

	AB ( x2 – x1; y2 – y1);

	BC ( x3 – x2; y3 - y2 );

	AC ( x3 – x1; y2 – y1).

	

	Знайти кординати вектора AB + BC.

	2) Пропоную учням порівняти кординати векторів AB + BC і AC та

	зробити висновок. Учні роблять висновок і записують в зошиті рівність: AB + BC = AC, що й треба було довести.

	На закріплення пропоную учням перевірити, що теорема справедливадля таких випадків: 1) дані точки A, B, C лежать на прямій, що паралельна осі Ox і осі Oy; 2) дані точки мають кординати a(1;1); B(3;5), C(7;4).Учні самостійно виконують завдання і роблять висновок.

	
N





M K P

Мал.19

	

	2. Записати і відмітити (мал. 19 вектор, який дорівнює: а) MN + NP;б) MP+PN, в) NP+PM; 

	

	г) PK+KM; д) PM=MK.

	

	Учні виконують відповідні малюнки і використовують ”правило трикутника”.

	Демонструю мал. 215, 216 (за підручником).

	

p

q k

l

n c d

m

Мал. 20

	

	Потім демонструю мал. 20 і пропоную виконати таке завдання : m+n, c+d k+l, p+q.

	3. Розглядаю вправу №16 (§10, мал. 221, підручник) 

	Учні пригадують уроки фізики і коментують дії сил і розв’язуванні вправи які зображено на мал. 21.

	

	[AOP=      OPB = α, тому OB = OC sin α, отже, | F| = |P |sin α ]. 

F

 O

B 

A

α C

Мал. 21



4. Демонструю побудову суми двох векторів за ”правилом паралелограма”.

План побудови.

1) Відкладаю від початку вектора а вектор b΄, яикй дорівнює вектору b.



 b

 

 a 

 d 



 b

Мал. 22



2) На векторах а і b΄, як на сторонах будуємо паралелограм.

3) Провести із спільного початку векторів а і b΄ вектор d (діагональ паралелограма).d=a+b.

5. На закріплення виконую таку вправу:

Знайдіть геометричну суму векторів: а(1;-2) і b(3;-2).

Розв’язок демонструю на екран (мал. 23).Учні виконують побудову самостійно.




y

O b x

a

c



Мал. 23



Доцільно запропонувати учням з’ясувати, як знайти суму трьох і більше векторів, використовуючи властивості додавання векторів. Повідомляю учням, якщо треба побудувати суму трьох і більше векторів, застосовують ”правило многокутника”, застосовуючи поступово ”правило трикутника ”.

ІІІ. Підсумок уроку.

Учні повторюють правила додавання векторів і що вони мають практичне застосування на уроках фізики у розділі ”Механіка”.

IV. Завдання додому. п.п. 94, 95(§10); зап. 14, 15; №№ 9,14,15.



УРОК – 7. Тема уроку. ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ (продовження)



Мета уроку. Закріпити поняття суми векторів за допомогою “правила паралелограма ”, а також властивості додавання. Ознайомити учнів із поняттям різниці векторів.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань та застосування й формування вмінь.

Знання, вміння, навички. Знати правила й властивості додавання векторів уміти будувати суму двох векторів за правилами додаванням векторів і застосовувати нові знання для розв’язування вправ.

Наочні посібники і ТЗН. 1) Кодоскоп; 2)кодопозитиви; 3) таблиці із умовами та алгоритмом їх, розв’язування.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка засвоєння вивченого матеріалу.

1. Перевіряю домашнє завдання за допомогою кодоскопа.

2. Задаю декілька запитань до класу:

Сформулювати правила додавання векторів і показати їх на на малюнку (підручника).

При якій умові два вектори рівні ?

Які закони застосовуються для додавання векторів?

Яке правило застосовується для трьох і більше векторів векторів

Знайдіть суму a(2;1) і b(-2;-1) і як називають цю суму векторів? 

Демонструю зображення додавання векторів за допомогою кодос- копа.

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

Звертаю увагу на запис c = a – b і задаю запитання:

1) Що ми розуміємо під різницею, вивчали числа?

Тому різницею c = a – b векторів a і b називається такий c, який в сумі з числом a - b є таке число c , який в сумі з числом b дає вектор a.

Підсумовую: інакше кажучи, з різниці c = a – b за означенням випливає правильність співвідношення b + c = a. Ставлю різні запитання і завдання, демонструючи на екран відповідні записи і малюнки. Даю само- стійні завдання на знаходження різниці і суми векторів.

Формулюємо разом з учнями означення різниці векторів a(a1;a2), b(b1;b2 



 B C

 a+b

 a a-b 



А 	b D

Мал. 24


Різницею векторів a(a1;a2), b(b1;b2 ) називається такий вектор с(с1;c2), який в сумі з вектором b має вектор a : b + c = a. Звідси знаходимо координати вектора c = a – b: c1 = a1 – b1 c2 = a2 – b2.

За мал. 24 учні знаходимо різницю і суму векторів OA і OB .

Запропоновую учням використати правила додавання і віднімання векторів.

2. Властивості додавання (переставна і сполучна) учні записують в зошиті у вигляді:



 a + b = b + a



Розглядаю випадки, коли три точки А, В, С лежать на одній прямій.

3) Сполучну властивість векторів записується у вигляді:



(a + b) + c = a + (b + c) (1)

 B b C





 a a+b



 A (a + b) + c D

a)

 b

 a b+c c

 a + (b + c)

ь)

Мал. 25



На екран демонструю мал. 25 і разом з учнями коментую сполучну власти – вість додавання (1).

4. Після повторення властивостей додавання демонструю алгоритм побудови різниці двох векторів a і b. Для цього демонструю мал. 24 і алгоритм подови.

ІІІ. Тренувальні вправи.



1) № 10(2)§10 [ c = a – b = (1–(-4);- 4–8) = =(5;-12), отже, e(5;-12),

| c | = | a – b | =  =  =13].



y

O x

b

 a

 c



Мал. 26



Додаткове завдання. Відкласти дані вектори від початку координат і знайти їх різницю (геометрично, мал. 26). Демонструю побудову на кодоскопу або на магнітній дошці.



2. №13(а).

Дано:

a c

b

 

 b 

 a 

Мал. 27



Побудувати: a – b + c.

Розв’язування.

Перепишемо умову в такому вигляді: a – b + c = ( a – b ) + c.



d = a – b + c

 a – b c

 b

 a



Мал.28



Це означає, що спочатку знайдемо різницю векторів a і b, а потім їх суму за правилом трикутника або паралело- грама.

Алгоритм побудови.

1) від початку вектора a відкладемо век- тор b΄ = b; 

 2) відкласти вектор c΄ = c від кінця 



a – b΄ = a – b;



		відкласти вектор d від початку вектора a – b до кінця вектора c΄ = c.

Отримуємо вектор d, який є сумою векторів a – b + c (мал. 28).

IV. Самостійна робота (з перевіркою на кодоскопу).

В – 1.

1. Дано: m(4;-3) і n(-2;1).

Знайти координати вектора: а) m + n; б)| m – n |; в)| m + n |. 

2. Дано Δ KLM. Побудувати вектори a = LK + LM, b = KM + LM.

В – 2.

1. Дано: p(-3;2) і q(1;6)

Знайти вектори: а) p + q; б) p – q; в) | p – q |. 

2. Дано Δ PQR. Побудувати вектори m = PQ + PQ, n = QR – RP .

Після цього на екран (або таблицю) демонструю розв’язки. Учні обмінюються варіантами перевіряють і обговорюють між собою розв’язки. Потім сильніші учні або ті, які швидше справилися з роботою допомагають іншим. Учні, які не справилися із самостійною роботою опрацьовують дану тему і здають її повторно.

V. Підсумок уроку.

Звертаю учням увагу на те, що різниця векторів аналогічна до різниці чисел. Учням слід запам’ятати, що напрям різниці векторів завжди напрямлений до зменшуваного (до першого вектора) у векторній рівності. Слід нагадати, що два вектори називаються протилежними, якщо їх сума дорівнює нулю.

VI. Завдання додому. п. 94(§ 10), зап. 16; № 10(2); 13(1,3).

	
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

	

	Болтянський В.Г., Яглом І.М. Вектори в курсі геометрії середньої школи // ”Радянська школа”. – Київ, 1964 – С.6 – 8.

	Возняк Г.М., Гринчишин Я.Т., Янченко Г.Н. Диференційовані дидактичні матеріали з геометрії для 8 класу // Тернопіль ”Підручники & посібники”. 1996 – с. – 19 – 23. Письмова робота 3. Застосування координат і векторів.

	Гадунський. Урок. Методики аналізу // Львів ”Каменяр”. 1996. – с. – 19 – 21.

	Гусев В.А., Колягін Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе // Москва ”Просвещение”. – 1976. с.6 – 19.

	Коваленко В.Г., Тесленко І.Ф. Проблемний підхід до навчання математики // ”Радянська школа”. – Київ, 1985. – с.10 – 11,с. 69 – 70.

	Лопатюк Л.М. Виховна робота на уроках геометрії в 6 – 8 класах // ”Радянська школа”. – Київ, 186. – с.79 – 83.

	”Математека в школе” № 3 –1984р.– с.13 –22; № 4 – 1984р. с.29 – 36; № 5 – 1984р. – с. 42 – 43; № 3 – 1986р. – с.26 – 27; № 5 – 1986р. – с.54 – 57; № 1987р. – с. 17; № 91 – 19991р. – с.59. 

	Погорєлов О.В. Геометрія // Київ. Освіта 1992 – с.141 – 155.

1



1