Викладення теми Трикутники по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи

2



Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара

















КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни “Математика”

на тему

„ВИКЛАДЕННЯ ТЕМИ „ТРИКУТНИКИ" ПО ПРОГРАМІ КУРСА

ГЕОМЕТРІЇ В 7 КЛАСІ СЕРЕДНЬОЇ ШКОЛИ"











Виконавець: студент групи 

Перевірив:













м. Дніпропетровськ 2010 р.


Анотація



Курсова робота на 25 стор.,20 рис., 1 табл., 8 джерел літератури.

Систематизований учбовий матеріал викладення теми „Трикутники" по новій програмі геометрії для 7 класу 12 - річної школи. Наведений перелік нових підручників „Геометрія 7 клас”, які у 2008 - 2009 році створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Результати можуть бути використані в якості практичного посібника - конспекта вчителю при викладені глави „Трикутники" в курсі „Геометрія” для 7 класу середньої школи.


The summary



Course work on 25 pages,20 fig., 1 tab., 8 sources of the literature.

The educational material of a statement of a subject „Triangles” under the new program of geometry for 7 classes 12 - years schools is systematized. The list of the new tutorials „ Geometry 7 classes ” is given which in 2008 - 2009 are issued according to State standard and new programs on geometry for 7 classes of a school.

The results can be used as the practical grant - abstract to the teacher at a statement of the chapter „Triangles” in a rate „Geometry" for 7 classes of a school.


Зміст



Вступ

1. Трикутник і його елементи

2. Ознаки рівності трикутників

3. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки

4. Висота, бісектриса і медіана трикутника

5. Сума кутів трикутника

6. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

7. Зовнішній кут трикутника та його властивості

8. Нерівність трикутника

Висновки

Список використаної літератури


Вступ



В курсовій роботі конспективно викладений теоретичний матеріал теми „Трикутники" в курсі геометрії 7 класу, який згідно “Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-12 класи" (видавництво “Перун”, Київ, 2005р. - у науково-методичному журналі “Математика в школі" №2, 2006 р) розподілений на 3 частини в новій програмі курсу „Геометрія” у 7 (введено в 2007/2008 навч. році), 8 (введено в 2008/2009 навчальному році), 9 (введено в 2009/2010 рр.) класах 12 річної школи.

У 2007 - 2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи.

Нова програма з геометрії для 7го класу містить такі теми: найпростіші геометричні фігури та їх властивості; взаємне розташування прямих на площині; трикутники; коло і круг (геометричні побудови).

В курсовій роботі систематизований матеріал викладення теми „Трикутники" по новій програмі геометрії для 7 класу 12 - річної школи згідно підходу, викладеному в підручниках:

“Геометрія.7 клас” (автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;

“Геометрія.7 клас” (автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;

“Геометрія.7 клас” (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.

Ці підручники створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

В роботі використаний графічний матеріал з посібників:

Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов. - 2е изд. - М.: Просвещение, 2001.;

Дергачов В.А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів 7-11 класів. - X.: Веста: Видавництво „Ранок”, 2006.


1. Трикутник і його елементи



Трикутником називається фігура, що складається із трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника.

На рисунку 1.1 наведений трикутник з вершинами  й сторонами .





Рис.1.1 Визначення основних елементів трикутника [5]



Трикутник позначається вказівкою його вершин. Замість слова „трикутник ” іноді вживають знак . Наприклад, трикутник на рисунку 1.2 позначається так: .





Рис.1.2 Трикутник  та визначення кутів , ,  при його вершинах А, В, С [5]



Кутом трикутника  при вершині  називається кут , утворений напівпрямими  й  (див. рис.1.2). Так само визначаються кути трикутника при вершинах  і .

Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину. Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.

Трикутники називаються рівними, якщо в них відповідні сторони й відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути повинні лежати проти відповідних сторін.

На рисунку 1.3 два рівних трикутники  й .





Рис. 1.3 До визначення рівності трикутників [8]



У них







На кресленні відрізки звичайно відзначають однією, двома або трьома рисками, а рівні кути - однієї, двома або трьома дужками (див. рис.1.3).

Для позначення рівності трикутників використовується звичайний знак рівності: =. Запис : = читається так: „Трикутник  дорівнює трикутнику ". При цьому має значення порядок, у якому записуються вершини трикутника. Рівність = означає, що

. А рівність = означає вже зовсім інше: 

Задача 1.1 Трикутники  і  рівні. Відомо, що сторона  дорівнює , а кут  дорівнює . Чому рівна сторона  й кут ?

Розв’язок. Тому що трикутники  й  рівні, то в них , C=R. Виходить,  м, R=900.



2. Ознаки рівності трикутників



Теорема 2.1 (Перша ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними). Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника рівні відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.





Рис.2.1 До теореми 2.1 (ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними) [8]



Доведення.

Нехай у трикутників  й  - дві сторони та кут між ними рівні:  (див. рис.2.1). Доведемо, що трикутники рівні.

Нехай  - трикутник, дорівнює трикутнику , з вершиною  на промені  й вершиною  в тій же напівплощині відносно прямій , де лежить вершина  (рисунок 2.2, а).





Рис.2.2, а) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]


Тому що , то вершина  збігається з вершиною  (див. рис.2.2, б).





Рис.2.2, б) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]



Тому що  то промінь  збігається із променем 

(див. рис.2.2, в).





Рис. .2.2, в) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]



Тому що =, то вершина  збігається з вершиною  (рис.2.2, г).





Рис.2.2, г) До доведення 1 признаку рівності трикутників [8]



Отже, трикутник  збігається із трикутником , виходить, дорівнює трикутнику .

Теорема доведена.

Теорема 2.2 (Друга ознака рівності трикутників по стороні й прилеглим до неї кутам).

Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника рівні відповідно стороні й прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.

Нехай  і  - два трикутники, у яких 

(рисунок 2.3).





Рис.2.3 До доведення 2ї ознаки рівності трикутників [8]



Доведемо, що трикутники рівні. 

Нехай  - трикутник, дорівнює трикутнику  з вершиною  на промені  й вершиною  в тій же напівплощині відносно прямій , де лежить вершина .

Тому що , то вершина  збігається з вершиною . Тому що  й , то промінь  збігається із променем , а промінь  збігається із променем . Звідси витікає, що вершина  збігається з вершиною .

Отже, трикутник  збігається із трикутником , а виходить, дорівнює трикутнику .

Теорема доведена.

Теорема 2.3 (Третя ознака рівності трикутників по трьох сторонах).

Якщо три сторони одного трикутника рівні відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Доведення.

Нехай  і  два трикутники, у яких . Потрібно довести, що трикутники рівні.

Допустимо, трикутники не рівні. Тоді в них . Інакше вони були б рівні по першій ознаці.

Нехай  - трикутник, дорівнює трикутнику , у якого вершина  лежить в одній напівплощині з вершиною  відносно прямій  (рисунок 2.4).





Рис.2.4 До доведення 3 признаку рівності трикутників [8]



Нехай  середина відрізка  й  - рівнобедрені із загальною основою . Тому їхні медіани  й  перпендикуляри прямої . Прямі  й  не збігаються, тому що точки не лежать на одній прямій. Але через точку  прямої  можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми прийшли до протиріччя

Теорема доведена.

Задача 2.1 Відрізки  й  перетинаються в точці , що є серединою кожного з них. Чому дорівнює відрізок , якщо відрізок  м?

Розв’язок. Трикутники  й  рівні по першій ознаці рівності трикутників (рисунок 2.5).




Рис.2.5 До задачі 2.1 [8]



У них кути  й  рівні як вертикальні, а  й  тому, що точка є серединою відрізків  і . З рівності трикутників  і  треба рівність їхніх сторін  і . А тому що за умовою задачі  м, те й  м.

Задача 2.2 У трикутників  і  . Доведіть, що .

Розв’язок. Нехай  і  дані трикутники (рисунок 2.6).





Рис.2.6 До задачі 2.2 [8]



Побудуємо трикутник , який дорівнює трикутнику , і трикутник , який дорівнює трикутнику .

Трикутники  й  рівні по третій ознаці. У них  за умовою задачі;  тому що ; , тому що . З рівності трикутників  і  треба рівність кутів . Тому що за умовою ,, а , по доведеному, то трикутники  й  рівні по першій ознаці.


3. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки



Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.

На рисунку 3.1 зображений рівнобедрений трикутник . У нього бічні сторони  й , а основа.





Рис.3.1 До визначення рівнобедреного трикутника [8]



Теорема 3.1 (властивість кутів рівнобедренного трикутника)

В рівнобедренному трикутнику кути при основі рівні.

Доведення.

Нехай  - рівнобедрений трикутник з основою  (див. рис.3.2). Доведемо, що в нього .





Рис.3.2 До доведення теореми 3.1 [8]



Трикутник  дорівнює трикутнику  по першій ознаці рівності трикутників. Дійсно, З рівності трикутника треба, що .

Теорема доведена.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім.

Теорема 3.2 (ознака рівнобедреного трикутника).

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Доведення. Нехай  - трикутник, у якому  (рисунок 3.3).





Рис. 3.3 До доведення теореми 3.2 [8]



Доведемо, що він рівнобедрений з основою .

Трикутник  дорівнює трикутнику  по другій ознаці рівності трикутників. Дійсно,  З рівності трикутників треба, що . Виходить, по визначенню трикутник  рівнобедрений.

Теорема доведена.

Теорема (3.2) називається зворотньою теоремі (3.1). Висновок теореми (3.1) є умовою теореми (3.2). А умова теореми (3.1) є висновком теореми (3.2). Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, те зворотна теорема може бути невірна.

Теорема 3.3 (властивість медіани рівнобедреного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою й висотою.

Доведення. Нехай  - даний рівнобедрений трикутник з основою й  - медіана, проведена до основи (рисунок 3.4)





Рис.3.4 До доведення теореми 3.3 [8]


Трикутники  й  рівні по першій ознаці рівності трикутників. (У них сторони  й  рівні, тому що трикутник  рівнобедрений. Кути  й  рівні як кути при підставі рівнобедреного трикутника. Сторони  й  рівні, тому що  - середина відрізка )

З рівності трикутників витікає рівність кутів: . Тому що кути  й  суміжні й рівні, те  - бісектриса. Тому що кути  й  суміжні й рівні, то вони прямі, тому  висота трикутника.

Теорема доведена.

Задача 3.1 Доведіть, що в рівностороннього трикутника всі кути рівні.

Рішення. Нехай  - даний трикутник з рівними сторонами:  (рисунок 3.5).





Рис.3.5 До задачі 3.1 [8]



Тому що , то цей трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Тому що , то трикутник  рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Таким чином, , тобто всі кути трикутника рівні.

Задача 3.2 Сформулюйте й доведіть теорему, зворотну твердженню задачі 3.1

Розв’язок. У задачі 3.1 умова полягає в тому, що трикутник рівносторонній, а висновок - у тім, що всі кути трикутника рівні. Тому зворотна теорема повинна формулюватися так: якщо в трикутника всі кути рівні, то він рівносторонній.

Доведемо цю теорему. Нехай  - трикутник з рівними кутами: . Тому що , то по теоремі 3.2 . Тому що , те по теоремі 3.2 . Таким чином, тобто всі сторони трикутника рівні. Виходить, по визначенню трикутник  рівносторонній. Задача 3.3 Доведіть, що бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, протилежній основі, є медіаною й висотою. Розв’язок. Нехай  - рівнобедрений трикутник з основою  і  його бісектрисою (рисунок 3.6).





Рис. 3.6. До задачі 3.3 [8]



Трикутники  й  рівні по першій ознаці. У них сторона  загальна, сторони  й  рівні як бічні сторони рівнобедреного трикутника, а кути при вершині  рівні, тому що  - бісектриса. З рівності трикутників витікає рівність їхніх сторін  і . Виходить,  - медіана трикутника . А по властивості медіани рівнобедреного трикутника вона є й висотою.



4. Висота, бісектриса і медіана трикутника



Визначення. Висотою трикутника, опущеної з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. (рисунок 4.1)




Рис.4.1 До визначення висоти трикутника (можливі випадки побудови висоти трикутника) [5]



Визначення. Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, яка поділяє кут при вершині на два рівні кути та з'єднує цю вершину із крапкою на протилежній стороні (рисунок 4.2).

Визначення. Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину із серединою протилежної сторони трикутника (рисунок 4.2).



 

Рис.4.2 До визначення бісектриси та медіани трикутника [5]



5. Сума кутів трикутника



Теорема 5.1. Сума кутів трикутника дорівнює .







Рис.5.1. Визначення суми кутів трикутника [5]


Доведення.

Нехай  - даний трикутник. Проведемо через вершину пряму, паралельну прямій . Відзначимо на ній точку  так, щоб точки  й  лежали по різні сторони від прямій  (рисунок 5.2).





Рис. 5.2. До доведення теореми 5.1 [8]



Кути  й  рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною  з паралельними прямими  й . Тому сума кутів трикутника при вершинах і дорівнює куту .

А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів  і . Тому що ці кути внутрішні однобічні для паралельних  і  й січній , то їхня сума дорівнює .

Теорема доведена.

З теореми 5.1 витікає, що в будь-якого трикутнику хоча б два кути гострі.

Дійсно, допустимо, що в трикутника тільки один гострий кут або взагалі немає гострих кутів. Тоді в цього трикутника є два кути, кожний з яких не менше . Сума цих двох кутів уже не менше . А це неможливо, тому що сума всіх кутів трикутника дорівнює . Що й було потрібно довести.


6. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників



Трикутник називається прямокутним, якщо в нього є прямий кут.

Тому що сума кутів трикутника дорівнює , то в прямокутного трикутника тільки один прямий кут.д.ва інших кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює .

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами (рисунок 6.1).





Рис.6.1. До визначення прямокутного трикутника [5]



Відзначимо наступну ознаку рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі й катету. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (див. рисунок 6.2).





Рис.6.2. До визначення рівності прямокутних трикутників [8]


Задача 6.1. Доведіть, що в прямокутному трикутнику з кутом  катет, протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.

Рішення. Нехай  - прямокутний трикутник із прямим кутом  і кутом , рівним  (рисунок 6.3).





Рис.6.3. До задачі 6.3 [8]



Побудуємо трикутник , який дорівнює трикутнику , як показано на Рис.6.3.

У трикутника  всі кути рівні , тому він рівносторонній. Тому що , а , то . Що й було потрібно довести.



7. Зовнішній кут трикутника та його властивості



Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині (рисунок 7.1).





Рис.7.1. До визначення зовнішнього кута трикутника [5]



Щоб не плутати кут трикутника при даній вершині із зовнішнім кутом при цій же вершині, його іноді називають внутрішнім кутом.

Теорема 7.1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних з ним.

Доведення.

Нехай  - даний трикутник (рисунок 7.2).







Рис.7.2. До теореми 7.1 [5]



По теоремі про суму кутів трикутника



.



Звідси витікає, що



.



У правій частині цієї рівності стоїть градусна міра зовнішнього кута  трикутника.

Теорема доведена.

З теореми 7.1 витікає, що зовнішній кут трикутника більше будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. Задача 7.1. У трикутнику  проведена висота . Яка із трьох точок  лежить між двома точками, якщо кути  й  трикутника гострі? Рішення. Точка  не може лежати між точками  й  (рисунок 7.3),




Рис. .7.3. До задачі 7.1 [8]



то гострий кут  як зовнішній кут трикутника  був би більше прямого кута . Точно так само доводиться, що й точка  не може лежати між точками  й . Виходить, точка  лежить між точками й .



8. Нерівність трикутника



Якщо точки  й різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку . Якщо точки  й збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю.

Теорема 8.1 (нерівність трикутника).

Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней від них до третьої точки.

Це значить, що кожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.

Доведення.

Нехай  - три дані точки. Якщо дві точки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.

Якщо всі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, наприклад . У цьому випадку . Звідси видно, що кожне із трьох відстаней не більше суми двох інших.

Допустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).


 

Рис.8.1. До доведення нерівностей в трикутнику [8]



Доведемо, що . Опустимо перпендикуляр  на пряму . По доведеному . І тому що  й , те .

Теорема доведена.

Помітимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строга нерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.

Задача 8.1. Доведіть, що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.

Розв’язок (рисунок 8.2).





Рис.8.2. До задачі 8.1 [8]



По нерівності трикутника , причому якщо центр  не лежить на відрізку , то нерівність строга. Рівність має місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.


Висновки



У 2007-2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено, що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.

Кількість годин на вивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників і метод доведення від супротивного.

7 клас - Геометрія (1 год на тиждень у І семестр - 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі - 38 год, всього 54 год) 



№ п/п

Назва теми



Кількість годин

Кількість тематичних оцінювань

I

Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

4

діагностичне

II

Взаємне розташування прямих на площині

12

1

III

Трикутники

18

1-2

ІV

Коло і круг. Геометричні побудови

14

1

V

Повторення і систематизація навчального матеріалу

6

1



Навчання математики у 7х класах загальноосвітніх навчальних закладах з 2007/2008 навчального року здійснюється за новими підручниками:

“Геометрія. 7 клас” (автори Бурда М.І., Тарасенкова Н. А) видавництва “Освіта”;

“Геометрія. 7 клас” (автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;

“Геометрія. 7 клас” (автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;

“Геометрія. 7 клас” (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.

Ці підручники створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.


Список використаної літератури



1. Апостолова Г.В. Геометрія: 7: дворівн. підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / Г.В. Апостолова. - К.: Генеза, 2009. - 304 с.

2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г “Геометрія.7 клас” - К.: ”Видавництва “Вежа””, 2008 - 224 с.

3. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. “Геометрія.7 клас” - К: „Видавництво “Освіта”", 2008. - 198 с.

4. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 3е изд. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.

5. Дергачов В.А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів 7-11 класів. - X.: Веста: Видавництво „Ранок”, 2006. - 96 с.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. “Геометрія.7 клас” - К:, „Видавництво “Гімназія”", 2008. - 352 с.

7. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э.Г. Позняк, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 488 с.

8. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов. - 2е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.