Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.



                  1                                   C00

                1   1                               C10 C11

              1   2   1                           C20 C21 C22

            1   3   3   1                       C30 C31 C32 C33

          1   4   6   4   1                   C40 C41 C42 C43 C44

        1   5   10  10  5   1               C50 C51 C52 C53 C54 C55

      1   6   15  20  15  6   1           C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66

    1   7   21  35  35  21  7   1

  1   8   28  56  70  56  28  8   1

1   9   36  84  126 126 84  36  9   1



1. Свойства треугольника Паскаля:



     1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно

сумме двух соседних в предыдущей строке.

     2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-

лам.

     3) Сумма  чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-

дыдущей сроке.

     4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.

     Сmn=Cmm-n



2. Бином Ньютона.

     (a+b) - двучлен (бином)

     (a+b)0=1

     (a+b)1=a+b

     (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2

     и т.д. ;)



  Свойства бинома Ньютона:

     1) Бином ньютона содержит n+1  слагаемых.

     2) Биноминальные  коэффициетнты,  равноудаленные  от концов равны

между собой.

     3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:

                n

     (a + b)n = S Cnk.an-k.bk

               k=0

     4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk

     5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.



                     Метод математической индукции.

     Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:

     1) Оно верно при n=1;

     2) Предположим,  что  оно верно при n=k и докажем,  что оно верно

при n=k+1.



              Комбинаторика: Размещения и перестановки.

     Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-

щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются  сое-

динениями.

     3 рода соединений:

     1) Размещения

     2) Перестеновки

     3) Сочетания

     Дано: (a,b,c) - 3 элемента.

     по одному: a, b, c.

     по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.

     по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.



1). Соединения,  которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-

ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m

     ------------¬

     ¦       m!  ¦

     ¦Amn= ------+

     ¦     (m-n)!¦

     L------------

2). Соединения,  которые отличаются только только порядком  называются

перестановками.

    ------¬

    ¦Pm=m!¦

    L------

2). Сочетания,  которые отличаются по крайней мере одним элементом на-

зываются сочетениями.

    --------------¬ Свойства числа сочетний:

    ¦        m!   ¦ 1) Сmn=Cmm-n

    ¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1

    ¦     (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1

    L-------------- 4) C00=0!=1







                       Дифференцирование функций.



                         Производная функции



     h=x-a - приращение аргумента



     f(a+h) - f(a) - приращение функции

     --------------------------------------¬

     ¦      f(a+h) - f(a)                  -

     ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-

     ¦  h->0      h                        -

     +--------------------------------------

     ¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-

     L--------------------



     df = f'(x).dx - дифференциал функции.



             Примеры:

             1                1/(h+x)-1/x       -h/(x(x+h))

     1) f(x)=- ;  f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =

             x           h->0      h        h->0     h

              1       1

     = lim ------- = ---

            x(x+h)    h2

                                        |\\      1

     2) (x2)' = 2x;   (ax+b)' = a;    (? a )' = ---

                                                2?x

     (ax2 + bx + c)' = 2ax + b;   (x3)' = 3x2

    ----------------¬

    ¦(axn)' = n.xn-1¦

    L----------------



                      Техника дифференцирования.



     (fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-

     (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-

     ( f )'  f'g + fg' ке.

     ¦ - ¦ = ---------

     9 g 0       g2    1) Функция монотонно убывает, там где произ-

                       водная отрицательна.

     (fn)' = nfn-1f    2) Функция монотонно возрастает, там где про-

     n|\\      1       изводная положительна.

     ? f = --------    3) Если производная равна нулю или не сущес-

           n. n? f     твует то в этих точках функция имеет локальные

экстремумы.

     4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:

     а) Значение функции на краях промежутка;

     б) Экстремумы функции на данном промежутке;

     в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.



            Дифференцирование тригонометрических функций.

   ---------------¬   ----------¬

   ¦     Sin x    ¦   ¦    tg x ¦

   ¦ Lim ----- = 1¦   ¦Lim ---- ¦

   ¦x->0   x      ¦   ¦x->0  x  ¦

   L---------------   L----------



     (Sin x)' = Cos x

     (Cos x)' = -Sin x

                 1                      1

     (tg x)' = -----   ;   (Ctg x)' = -----

               Cos2x                  Sin2x

         Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".



                " Исследование квадратного трехчлена "







     Теорема 1.          ---

     ---------           ¦   а > 0,

                         ¦   D . 0,

                         ¦   x0 > M,            ( a7f(M) > 0,

    M < x1 , x2   <=>    ¦   f(M) > 0,     <=>  Б D . 0,

    ===========          ¦   a < 0,             9 x0 > M.

                         ¦   D . 0,

                         ¦   x0 > M,

                         ¦   f(M) < 0

                         L--





     Теорема 2.          ---

     ----------          ¦   а > 0,

                         ¦   D . 0,

                         ¦   x0 < b,            ( a7f(b) > 0,

     x1 , x2 < b  <=>    ¦   f(b) > 0,     <=>  Б D . 0,

     ===========         ¦   a < 0,             9 x0 < b.

                         ¦   D . 0,

                         ¦   x0 < b,

                         ¦   f(b) < 0

                         L--





     Теорема 3.          ---

     ---------           ¦ ( а > 0,

                         ¦ 2 D . 0,               a7f(b) > 0

                         ¦ Б M < x0 < b,          a7f(M) > 0,

   M < x1 , x2 < b  <=>  ¦ 2 f(M) > 0,     <=>    D . 0,

   ===============       ¦ 9 f(b) > 0,            M < x0 < b

                         ¦ ( a < 0,

                         ¦ 2 D . 0,

                         ¦ Б M < x0 < b,

                         ¦ 2 f(b) < 0,

                         ¦ 9 f(M) < 0

                         L--





     Теорема 4.          ---

     ---------           ¦ ( а > 0,

                         ¦ Б f(M) > 0,

                         ¦ 9 f(b) < 0,             a7f(b) < 0

   M < x1 < b < x2  <=>  ¦ ( a < 0,       <=>      a7f(M) > 0,

   ===============       ¦ Б f(b) > 0,

                         ¦ 9 f(M) < 0

                         L--





     Теорема 5.          ---

     ---------           ¦ ( а > 0,

                         ¦ Б f(M) < 0,

                         ¦ 9 f(b) > 0,             a7f(b) > 0

    x1 < M < x2 < b <=>  ¦ ( a < 0,       <=>      a7f(M) < 0,

    ===============      ¦ Б f(b) < 0,

                         ¦ 9 f(M) > 0

                         L--





     Теорема 6.          ---

     ----------          ¦ ( а > 0,

                         ¦ Б f(M) < 0,

                         ¦ 9 f(b) < 0,              a7f(b) < 0

    x1 < M < b < x2 <=>  ¦ (  a < 0,       <=>      a7f(M) < 0,

    ===============      ¦ Б f(b) > 0,

                         ¦ 9 f(M) > 0

                         L--





     Теорема 7.          ---

     ---------           ¦   а > 0,

                         ¦   f(M) < 0,

    x1 < M < x2   <=>    ¦   a < 0,       <=>      a7f(M) < 0,

    ===========          ¦   f(M) > 0

                         L--



                      Числовая последовательность.



1).  Числовая последовательность - такой ряд чисел,  который занумеро-

ван с помощью  натуральных  чисел  и  обозначается  {an}  или  (an)  -

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an

     f(n) - закон,  по которому каждому номеру соответствует свой член

последовательности.                            |\\           |\     |\

     Последовательность называют возрастающей, если каждый член после-

довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%.

     Последовательность называется убывающей,  если каждый член после-

довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1<an, то (an)^.



     an , M => (an) - ограниченная сверху.

     an . M => (an) - ограниченная снизу.



2).  Арифметическая прогессия [_]

     Арифметической прогрессией называют такой ряд  чисел,  в  котором

каждый член,  начиная  со второго,  равен предыдущему плюс одно и тоже

число, которое называется разностью прогрессий.

     _ a1,a2,a3,a4...an

     a2=a1+d;    d - разность прогрессий

     -------------¬

     ¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии...

     L--------------



     Свойства членов арифметической прогресии:

     1. Каждый член арифметической прогрессии есть  среднее  арифмети-

ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2

     2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между

собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2

     3. Каждый член арифметической прогрессии есть  среднее  арифмети-

ческое равноудаленных от него членов.

     ------------¬   ----------------¬

     ¦   (a1+an)n¦-  ¦   2a1+(n-1)d  ¦

     ¦S_=--------+-  ¦S_=----------.n¦

     ¦      2    ¦-  ¦        2      ¦

     L-------------  L----------------



3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел,  в  котором

каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно

и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q)

    b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д.

    -------------¬

    ¦bn=b1.q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии.

    L--------------



     Свойства членов геометрической прогрессии:

            |\\\\\\\\\\

     1. bn=? bn-k.bn+k

     2. b1.bn=bk.bn-k+1

     2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно:

     --------------------------¬

     ¦   |\\\\\\\    |\\\\\\\\\¦

     ¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦

     L--------------------------

     4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна:



       bnq-b1   b1(qn-1)

     S=------ = --------

        q-1       q-1

  1

 lq9m.pdr 2 1



          Основные формулы сокращенного умножения.



     a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

     a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab

     a2 - b2 = (a - b)(a + b)

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

     a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

     a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

     an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1)

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

    (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

 a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

    (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

    (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5



                |\\\\\\\\\      |\\\\\\\\\

               / A + ?A-B      / A + ?A-B

     A + B =  /----------  +  /----------

             ?     2         ?     2



               |\\   |\\   |\\   |\\

     a - b = (? a - ? b )(? a + ? b )



                |\\   |\\  3|\\    |\\\  3|\\

     a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)



      |\\       --> a, если a . 0!

     ? a2 = ¦a¦-+

                L->-a, если a < 0!



     Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2)

     Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c)

     Правильный многоугольник:

     an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n)

     Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n)

     --------------------------

     Sквадрата = a.b                         abc

     Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = ---

                                              4R

                                  d1.d2

     Sпараллелограма = ab.Sin a = ----- = a.ha

                                    2

     Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия)



                     Преобразования на плоскости.

     Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние.

     Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l)

     Центральная симметрия - движение относительно точки,

     при котором сохраняется расстояние

     ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О)

     Параллельный перенос (П[вектор]

     Поворот - R[угол][точка]

     Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка]





Правила действия над тригонометрическими функциями.

г==============================T==============================¬

¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦

¦                 + ¦ +        ¦                    - ¦ +     ¦

¦-1 , Sin a , 1 ----+----      ¦-1 , Cos a , 1    ----+----   ¦

¦                 - ¦ -        ¦                    - ¦ +     ¦

¦==============================¦==============================¦

¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции                     ¦

¦                         - ¦ +                               ¦

¦                       ----+----                             ¦

¦                         + ¦ -                               ¦

L=============================================================-

360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению

     p          p           p   её радианного измерения на ра-

60 = -   ; 45 = -    ; 30 = -   диус

     3          4           6

Cокружности = 2pR

             Основные тригонометрические тождества:

q            1.Sin2a + Cos2a = 1

                      Sin a           Cos a

             2.tg a = ----- ; Ctg a = -----

                      Cos a           Sin a

             3.tg a * Ctg a = 1

                            1                   1

             4.1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = -----

                          Cos2a               Sin2a



                      Правило формул превидения

Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти.

Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то

функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра

то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a)

----------------------------------T---------------------------------¬

¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦

+---------------------------------+---------------------------------+

¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦

+-----------------------T---------+--------------T-------------------

¦          tg a - tg b  ¦            tg a + tg b ¦

¦tg(a-b) = -----------  ¦  tg(a+b) = ----------- ¦

¦          1 + tga*tgb  ¦            1 - tga*tgb ¦

+-----------------------+-T----------------------+----¬

¦           Ctga*ctgb + 1 ¦            Ctga*ctgb - 1  ¦

¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = -------------  ¦

¦           Ctg a - ctg b ¦            Ctg a + ctg b  ¦

+-----------------------T-+---------------------T------

¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦

+-----------------T-----+--------------T---------

¦         2*tg a  ¦          Ctg2a - 1 ¦

¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦

¦        1 - tg2a ¦           2*Ctg a  ¦

L-----------------+---------------------

Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)]

Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)

Sin x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)

Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)

Cos x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)

Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)]

Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)]

---------------------------T---------------------------------¬

¦               Sin(x-y)   ¦                Sin(x+y)         ¦

¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = -----------       ¦

¦              Cos x Cos y ¦               Cos x Cos y       ¦

+--------------------------+--T------------------------------+

¦                  Sin(x-y)   ¦                   Sin(x+y)   ¦

¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦  Ctg x + Ctg y = ----------- ¦

¦                 Sin x Sin y ¦                  Sin x Sin y ¦

L-----------------------------+-------------------------------



     Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x                2tg x

     Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x     Sin 2x = ---------

                 /1 + Cos 2x               2tg2x + 1

     ¦Cos x¦ =  / ----------

               ?      2    .               1 + tg2x

                 /1 - Cos 2x      Cos 2x = --------

     ¦Sin x¦ =  / ----------               1 - tg2x

               ?      2    .

                / 1 - Cos 2x                2tg x

     ¦tg x¦ =  / -----------      tg 2x = --------

              ?   1 + Cos 2x              1 - tg2x

                1. Решение тригонометрических уравнений.





        Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z.

        Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.

        tg x  = m ==> x = arctg m + pn, n Z.

        ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.



                   2. Равенство одноименных  функций.



        Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z.

        Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.

         tg t = tg a  ==> t = a + kp, k Z.



                      3. Универсальная  подcтaновка.



                      t                             t

                 2tg ---                  1 - tg2  ---

                      2                             2          t

        Sin t = ------------ ;  Cos t =  -------------  ;  tg --- = Z.

                          t                        t           2

                 1 + tg2 ---              1 + tg2 ---

                          2                        2





                    4. Функции  кратных  аргументов.





                              --

                              ¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x.

        (a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦

                              ¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx.

                              L-



                                    --

                                    ¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x.

        (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦

                                    ¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x.

                                    L-



                                          --

                                          ¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x.

        (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦

                                          ¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x.

                                          L-





                          5. Дополнительно.



        Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x.



             Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina.



             Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina =

                    = Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).