Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a1 + a2 + ... + an 

n

 >

n



a1 a2 ... an

.



(1)



Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an .

(2)



Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an.

(3)



Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство



b



b – a 

b

<

∫

dt 

t

= ln

b 

a

<

b – a 

a

,



a















(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a 

b

= ln

b 

a

=

b – a 

a

.

Из (3) и (4)

Sn – a1 

Sn

+

Sn – a2 

Sn

+ ... +

Sn – ak 

Sn

≤ ln

Sn 

a1

+ ln

Sn 

a1

+ ... + ln

Sn 

ak

,



(5)



или

kSn – (a1 + a2 + ... + ak) 

Sn

≤ ln

(Sn)k 

a1 a2 ... ak

.



(6)



Опять-таки из (3) и (4)

ln

ak+1 

Sn

+ ln

ak+2 

Sn

+ ... + ln

an 

Sn

≤

ak+1 – Sn 

Sn

+

ak+2 – Sn 

Sn

+ ... +

an – Sn 

Sn

,



(7)



или

ln

ak+1 ak+2 ... an 

(Sn) n–k

≤

(ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn 

Sn

.



(8)



Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

ak+1 ak+2 ... an 

(Sn) n–k

≤ ln

(Sn)k 

a1 a2 ... ak

.



(9)



Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

ak+1 ak+2 ... an 

(Sn) n–k

< ln

(Sn)k 

a1 a2 ... ak

,



или

ak+1 ak+2 ... an 

(Sn) n–k

<

(Sn)k 

a1 a2 ... ak

,



откуда вытекает (2). 

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

a1 + a2 + ... + an 

n

 =

n



a1 a2 ... an

.