Формирование логико-информационных и речевых коммуникативных умений студента в процессе изучения математики

Формирование логико-информационных и речевых коммуникативных умений студента в процессе изучения математики

В.А.Кузнецова

Поскольку профессиональная деятельность педагога в основном осуществляется через общение, постольку формирование коммуникативной культуры будущего учителя должно являться одной из важных задач в педагогическом вузе. От уровня коммуникативной культуры зависит возможность человека адаптироваться на работе, в обществе; способность уменьшить влияние отрицательных факторов на его эмоциональное состояние, самосознание. Часто коммуникативная культура усваивается через метод проб и ошибок. Необходимо разрабатывать средства развития коммуникативной культуры, и в частности владения речью, в учебном процессе. Коммуникативная культура проявляется через социально-психологические коммуникативные умения, через логико-композиционные информационные коммуникативные умения, определяющие культуру мышления, и речевые коммуникативные умения, определяющие культуру речи. Компоненты взаимно влияют друг на друга и границы между ними достаточно прозрачны.

Свободное владение речью - это важнейший компонент коммуникативной культуры учителя, на формирование которой не уделяют должного внимания при подготовке учителя математики. Речь для учителя - инструмент, средство, которым он воздействует на своих учеников. "Для учителя низкий уровень коммуникативности разрушает среду профессиональной деятельности, создаёт барьеры, препятствующие взаимодействию со школьниками" [1].

Учителю математики необходимо владеть точной, чётко сформулированной, и если потребуют обстоятельства - образной речью. Он должен логично излагать свои мысли, понять мысль школьников, их доводы, суметь убеждать учеников и быстро найти нужные аргументы. Применительно к проблемам подготовки будущего учителя математики, остановимся на рассмотрении двух упомянутых видов умений: логико-информационных и речевых.

К логико-информационным можно отнести следующие умения:

вычленить в информации главное, 

сформулировать задачу, 

наметить общую стратегию и логику доказательства или решения задачи, 

представить последовательность изложения информации (по возможности, различными средствами), 

обозначить смысловые ударения и логические акценты, 

создать устный или письменный текст с учётом особенностей восприятия адресата.

Вопросы технологии формирования указанных умений будут рассмотрены ниже.

Речевые коммуникативные умения - это умения: точно и не затрудненно излагать материал, опираясь на большой словарный запас и знания в области предметного поля; владеть логикой и синтаксисом языка, правильно использовать необходимые стилистические обороты и словосочетания; различать особенности устной и письменной речи; находить и реализовывать адекватную форму изложения материала, включая образность и выразительность речи, интонацию и силу необходимого звучания.

Речевые коммуникативные умения формируются как стихийно в процессе практического освоения языка, так и целенаправленно в процессе изучения школьного курса грамматики и работы по овладению конкретными речевыми коммуникативными умениями. Необходимо заметить, что речевые коммуникативные умения формируются и в высшей школе. Например, в процессе написания рефератов, курсовых и дипломных работ развиваются умения письменного изложения материала и создания грамотных, понятных текстов.

Составной частью коммуникативной культуры является профессиональная культура, включающая в себя, в частности, профессиональную речевую культуру и профессиональную культуру мышления. Выделение профессиональной культуры как свойства некоторой совокупности людей возникло в результате обособления видов профессиональной деятельности, когда та или иная профессия требует овладения определёнными знаниями, навыками, умениями, отличными от необходимых для других профессий. Применительно к педагогической деятельности можно сказать, что учитель - это профессия (род трудовой деятельности), а математик, историк и т.д. - это специальность (вид занятий в рамках одной профессии, в данном случае определяемый предметной областью преподавания). Поэтому профессиональная культура педагога характеризуется степенью овладения приёмами и способами решения педагогических задач, начиная от проблем общения, воспитания и кончая задачами методики преподавания конкретного предмета. В контексте данной работы под профессиональными логико-информационными и речевыми коммуникативными умениями понимаем умения соответствующего вида, необходимые для успешного преподавания математических дисциплин и проявляющиеся в этом процессе. Разумеется, понятие профессиональной культуры речи учителя шире только что приведённой интерпретации профессиональных умений. Однако в дальнейшем мы будем иметь в виду только лишь указанный нами аспект. Упомянутые выше конкретные логико-информационные и речевые умения были сформулированы, как было указано, в основном применительно к деятельности преподавателя математики, то есть представлены через призму профессиональных умений.

Обычно в вузе при подготовке преподавателя среди основных целевых задач отсутствует цель развития профессиональных речевых коммуникативных умений. По умолчанию предполагается, что их развитие осуществляется стихийно через метод проб и ошибок в процессе изучения вузовских специальных, общеобразовательных и гуманитарных дисциплин. Такой подход во многом связан с тем, что профессионально-педагогическая культура речи как способность к осуществлению деятельности преподавателя в основном определяется уровнем общей культуры и знаниями в области самой математики. Поэтому распространено мнение, что достаточно хорошо знать конкретную научную область, чтобы уметь хорошо преподавать. В то же время многолетний опыт автора данной работы по руководству педагогической практикой студентов университета и специальные исследования других авторов [2] показывают, что молодой учитель, достаточно хорошо подготовленный в области математики, испытывает затруднения в последовательном изложении материала, в осмыслении понятий необходимого и достаточного условий и, в связи с этим, в построении правильной речи. Часто возникают затруднения с поиском доступных форм передачи смысла сформулированных теорем и т.д.

Язык повседневного общения (естественный язык) не всегда бывает точен, иногда допускает какие-то недосказанности, умолчания, которые, в принципе, вызывают затруднения в осмыслении получаемой студентом информации. Использование искусственного языка, в роли которого могут выступать математические обозначения, символика математической логики или графические иллюстрации, помогает избежать многие ошибки. Например, утверждение: “Корни уравнения



являются корнями уравнения

,

в действительности, предполагает наличие не одной, а трёх возможных истинных ситуаций:

первое уравнение имеет корни и они являются корнями второго уравнения; 

первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет корни; 

первое и второе уравнения не имеют корней.

В сущности, формулировка почти всякой теоремы, обратное утверждение к которой не является теоремой, в вербальном представлении несёт элемент "недосказанности", допускающий разные исходы. Примеры:

Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной. 

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Лучшему прояснению подобных ситуаций может способствовать схематическое изображение неявно сформулированной в рассматриваемых примерах конструкции импликации (схема 1):



Для теорем, имеющих обратные, возможны ситуации 1 и 3, а для теорем, не имеющих обратных, возможны все три ситуации.

Логическая символика освобождает информацию от непосредственного чувственного познания и создаёт обобщенные формы представлений при изучении математики. Действительно, последние два рассмотренных примера и такие теоремы как: любая дифференцируемая в данной точке функция непрерывна в этой точке, вертикальные углы равны и т.д., выражаются одной и той же логической конструкцией: , в отличие от теорем вида: &. К последним относятся, например, теорема Пифагора, теоремы о пересечении двух прямых третьей, теорема Дезарга о перспективных треугольниках и т.д. Так называемые "теоремы существования" в сущности, выражаются теми же указанными логическими конструкциями. Действительно, предикаты и могут не быть элементарными. Например, если имеет вид: , то получаем формулировку теоремы существования. К теоремам существования вида относится, например, следующая: из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 

Используемые в искусственном языке символы составляют аппарат знаковых систем (терминология С.И. Архангельского [3]). Необходимым является не только наличие у студентов навыка применения символических знаков, но и их использование как инструмента познания на уровне автоматизма. Например, процедура нахождения корней характеристического уравнения при решении систем линейных дифференциальных уравнений проводится на основе автоматизированных навыков, без воспроизведения обоснований проводимых действий. Об автоматизированных навыках при использовании знаковых систем С.И. Архангельский пишет: "Характерным признаком развития автоматизированных навыков в применении аппарата знаковых систем, так же как и других навыков, приобретаемых в процессе обучения, является их девербализация, т.е. уменьшение непосредственного обращения ко второй сигнальной системе, к речевому выражению. В то же время при всяком обучении, и особенно при обучении в высшей школе, весьма важно сочетание и параллельное развитие автоматизации навыков в применении знаковых систем, осмысливании и сознательная оценка существа явлений, заключенных в соответствующие формулы, правила, графики и другие выражения" [3, c.209].

Рассмотрим логико-информационные умения. Умению вычленить в информации самое главное можно учить студентов с начала первого курса. В роли главного в разных ситуациях могут выступать различные объекты: части текста; набор нескольких теорем или одна какая-то ведущая теорема раздела; основные понятия и идеи той или иной теории и даже отдельные слова. Например, при изучении основных теорем о счётных множествах необходимо обратить внимание на то, почему в отдельных теоремах за исходные берутся бесконечные множества, а в других - несчётные. Так, присоединяя к бесконечному множеству конечное или счётное, получим множество, эквивалентное исходному; а в теореме об удалении конечного или счётного множества в качестве исходного надо брать уже несчётное множество. Студенты сами должны привести пример, показывающий роль слова "несчётное" во второй теореме. Их рассуждение в простейшем случае может выглядеть следующим образом: удалим из множества чисел натурального ряда все числа, начиная с некоторого -го, т.е. из бесконечного множества удалим счётное вида , где . Останется конечное множество из элементов. Таким образом, при некоторых удалениях из бесконечного счётного множества получаем множество, не эквивалентное исходному. Здесь попутно студенты сами обнаруживают, что при удалении конечного множества из любого бесконечного получается множество, эквивалентное исходному.

Другой пример. Пусть решается следующая задача:

- выпуклый четырёхугольник, и - середины сторон и , соответственно. Доказать, что .



Рисунок 1.

При её решении выясняется, что выпуклость является лишним требованием и четырёхугольник может не быть выпуклым, а например таким, как на рисунках 2 или 3:



Рисунок 2



Рисунок 3

Построив на рисунках 2 и 3 отрезки и , получим новые выпуклые четырёхугольники и , и, переобозначив вершины четырёхугольников в естественном порядке, будем иметь две новые задачи а) и б):

а) Доказать, что вектор отрезка, соединяющего соответственно середины диагоналей и четырёхугольника , равен полусумме пар векторов сторон:



б) Вектор средней линии четырёхугольника , где , , равен полусумме векторов и , определяющих его диагонали. 

Далее можно заметить, что точки , вообще, могут не принадлежать одной плоскости. Следовательно, имеем новую задачу: - вершины тетраэдра, и - середины противоположных рёбер и , соответственно. Доказать, что . как отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер, вызывает естественные ассоциации со средней линией треугольника и, действительно, устремив точку по ребру к точке , получим, что превратится в среднюю линию треугольника и как частный случай предлагаемой задачи получаем теорему о средней линии треугольника. Так, обратив внимание на роль одного слова "выпуклость", приходим к нескольким новым задачам. Вычленение главного в теме можно проводить на заключительном занятии по ней в рамках подведения итогов, которое может осуществляться в форме коллективной мыследеятельности и, частично, проблемно-научного диалога преподавателя с аудиторией.

При изучении теорем и решении задач можно говорить о трёх аспектах представления их доказательства или решения: 

логико-символическом - запись теоремы (или задачи) и хода её доказательства (или решения) с использованием символики математической логики; 

вербальном (речевом) - инструментом выражения является язык повседневного общения - естественный язык; 

графическом - иллюстрация хода доказательства с помощью графов, блок-схем, различных рисунков.

Системы графических построений позволяют легче и точнее установить логические отношения между отдельными частями теоремы. Заметим, что вербально-логическое представление доказательства теорем является необходимым выражением представления доказательства любой теоремы. Вербальное представление в комбинации с искусственными языками обеспечивают аналитико-синтетическую работу мозга. Они помогают вычленить главную часть в теореме, определить последовательность, записав ход доказательства в виде блок-схемы, установить все логические связи и т.д., определить единообразную конструкцию, форму доказательства. Однако логическая и графическая символики в процессе обучения играют вспомогательную инструментальную роль по отношению к мыслительной деятельности студента. 

Рассмотрим в качестве конкретного примера теорему Кантора:

Пусть и - два непустых множества и множество содержит по крайней мере, два элемента. Тогда мощность множества всевозможных отображений множества во множество больше мощности множества .

Вербальное представление её доказательства можно сопроводить краткой записью этапов с использованием математической символики ( своего рода опорными сигналами), условной геометрической иллюстрацией, и наконец, блок-схемой доказательства. Три указанные вспомогательные сопровождения могут иметь следующий вид: 

I.

1.



2. Предположим:



II.







III. Блок-схема доказательства:



Подобные логические и графические иллюстрации помогают не только видеть общую стратегию доказательства, но и представить последовательность изложения с обозначением основных логических акцентов. Следует заметить, что, в силу различия индивидуальных особенностей восприятия студенты, по разному реагируют на символьно-графические сопровождения, однако, опыт показывает, что при необходимости воспроизведения доказательства геометрическая иллюстрация используется подавляющим большинством студентов.

Геометрическая иллюстрация особенно важна при изучении геометрических дисциплин. Например, решение даже простых задач по аналитической геометрии в [1] лучше сопровождать схематическими рисунками, что способствует развитию пространственного воображения, выработке умения нахождения общей стратегии решения задачи и, в целом, формированию логико-информационных умений.

К сожалению, имеющееся в математическом образовании стремление к формированию целостного мышления, умения воспринимать информацию в свёрнутом виде, к изучению материала с общих позиций, с высокой степенью абстракции, привело к предпочтительному использованию аналитических и алгебраических подходов, без обращения к геометрическим представлениям. Без должной глубины проработки и соответствующих методик такие подходы ведут к формальному усвоению информации, неумению даже в простейших ситуациях применить соответствующие математические методы и факты. О роли геометрии и её иллюстраций А.Д. Александров писал: "Особенность геометрии, выделяющая её не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга" [4]. Недостаточное внимание к использованию геометрических образов приводит к тому, что студент часто поиск решения задачи начинает с механического отыскания подходящих формул, уравнений, а отнюдь не с геометрического осмысления условий задачи. В конечном итоге при решении геометрических задач, где, как правило, отсутствуют какие-либо готовые алгоритмы, он, не найдя подходящей формулы, просто перестаёт думать.

Удобство использования алгоритмов - точных предписаний, определяющих последовательность шагов, ведущих от исходных данных к искомому результату, порождает желание применять их как можно шире. Чаще всего применяются так называемые вычислительные алгоритмы, являющиеся основными объектами численных методов. Среди многих свойств, которыми характеризуется алгоритм, имеется свойство массовости, обозначающее его применимость к целому классу задач: нахождение произведения матриц, матрицы, обратной к данной, решение системы линейных уравнений по методу Гаусса, нахождение корней квадратного уравнения и т.д.. Каждый из этих алгоритмов применим к бесконечному множеству объектов соответствующего вида. Теория разрешима, если существует алгоритм, позволяющий определять тождественно-истинные формулы. Математические теории, как правило, за редким исключением (например, исчисление высказываний) не являются разрешимыми. Тогда возникает вопрос о существовании алгоритмов для определённого класса формул или даже для отдельных формул. Последние уже не будут алгоритмами в обычно употребляемом понимании этого термина, хотя несомненно запись хода решения задачи или доказательства теоремы в виде последовательности чётко обозначенных шагов весьма полезна и способствует развитию как логико-информационных умений, выражающихся в умении представить последовательность изложения информации, так и речевых коммуникативных умений, связанных с реализацией адекватной формы изложения материала.

Далеко не для всякой теоремы легко построить геометрическую иллюстрацию доказательства. К подобным относится теорема Кантора - Бернштейна: Если два множества и таковы, что множество эквивалентно некоторому подмножеству множества , а - некоторому подмножеству множества , то множества и эквивалентны.

Для будущего преподавателя математики логико-информационные умения сформулировать задачу, вычлененить в информации главное следует понимать не как способность механического воспроизведения формулировки, а как умения передачи смысла "своими словами", такого понимания формулировки, которое позволяет видеть конкретное проявление данного математического факта. Применительно к только что сформулированной теореме это означает, что студент в состоянии привести пример двух конкретных множеств и и их конкретных подмножеств и , для которых выполняются условия теоремы.

В представленном выше перечислении логико-информационных и речевых умений были указаны важнейшие с нашей точки зрения. Однако в [5] в качестве основных логико-информационных умений обозначены следующие:

умение формулировать тезис, подбирать аргументы, строить доказательства, воспринимать их; 

располагать высказывания, планировать соразмерность частей, их логичность и последовательность; 

строить тексты, ориентируясь на тип взаимодействия, его цель, извлекать идеи и смысл.

В математических дисциплинах, оставаясь в рамках развития речевых умений, необходимо опираться на возможности, обусловленные особенностями предметного поля, и рассматривать вопросы точного выражения мысли через верно выполняемую замену кванторов, корректное построение отрицаний, правильную интерпретацию материала, его осмысление в конкретизациях, аналогиях и обобщениях.

Список литературы

Основы педагогического мастерства. Под ред. И.А.Зюзина, М., 1989. 

Ю.Л. Львова Как рождается урок. М., 1976. 

С.И. Архангельский Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М., "Высшая школа", 1980. 

Александров А.Д. О геометрии. //Математика в школе, 1980, N 3, с. 56 

В.М.Соколов, Л.Н.Захарова, В.В.Соколова, И.В.Гребнев Проектирование и диагностика качества подготовки преподавателя. М., 1994. 

Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. М., "Просвещение", 1987, 400с.