Теорема Безу

Теорема Безу

  Этьен   Безу–



 французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

    С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

    Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре,  они  посвящены  созданию  теории  решения  алгебраических  уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения  неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал  теорему  (впервые  сформулированную       К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка  m  и  n   пересекаются не более чем в   mn   точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.









Теорема    Безу.



       Остаток  от  деления  полинома Pn(x) 

      на двучлен  (x-a)  равен  значению  

      этого полинома  при   x = a.



Пусть : 

            Pn(x) – данный многочлен степени   n ,

            двучлен  (x-a)  -   его делитель,

            Qn-1(x) – частное от деления  Pn(x)  на  x-a   (многочлен  степени  n-1 ) ,

            R – остаток от деления ( R  не  содержит  переменной x  как делитель первой степени  относительно x ).



Доказательство :



    Согласно правилу деления многочленов с остатком  можно записать :

                        Pn (x)  = (x-a)Qn-1(x) + R . 

Отсюда  при    x = a  :

                       Pn (a)  = (a-a)Qn-1 (a) + R  =0*Qn-1(a)+R=

                                 =0+R=R .

            

Значит ,  R =  Pn  (a) ,  т.е.  остаток  от  деления  полинома      на     (x-a)    равен       значению     этого 

полинома   при   x=a ,    что   и    требовалось  доказать .











Следствия  из  теоремы .





Следствие 1 :



         Остаток  от деления  полинома Pn (x)  

        на   двучлен   ax+b  равен    значению   

        этого    полинома    при        x = -b/a , 

       т. е.     R=Pn (-b/a) .





Доказательство :



   Согласно  правилу  деления  многочленов :  

             Pn  (x)= (ax + b)* Qn-1  (x) + R .   

При  x= -b/a :   

             Pn  (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R.   Значит ,    R = Pn (-b/a) , что  и  требовалось доказать.





Следствие 2:



          Если   число   a   является  корнем 

        многочлена     P (x) ,     то     этот  

        многочлен  делится  на    (x-a)   без  

       остатка .



Доказательство :



    По  теореме  Безу  остаток  от  деления   многочлена  P (x)  на      x-a    равен   P (a) ,  а  по  условию  a  является  корнем P (x) ,  а  это  значит ,  что  P (a) = 0 ,   что  и  требовалось  доказать .  

 

   Из  данного  следствия  теоремы   Безу  видно ,  что  задача   решения  уравнения  P (x) = 0  равносильна   задаче выделения  делителей  многочлена    P ,     имеющих        первую       степень  ( линейных  делителей ) .





Следствие 3 :



           Если      многочлен    P (x)     имеет  

          попарно       различные        корни 

          a1 , a2 , … , an ,   то он делится  на  

          произведение          (x-a1) … (x-an)

          без     остатка .



Доказательство :



    Проведём  доказательство  с  помощью  математической  индукции  по  числу  корней .  При   n=1  утверждение  доказано  в  следствии 2  .    Пусть  оно  уже  доказано  для  случая , когда  число  корней  равно  k ,  это  значит ,  что  P(x)     делится   без    остатка     на    (x-a1)(x-a2) … (x-ak) , где

 a1 , a2 , … , ak  -  его корни .

     Пусть  P(x)  имеет     k+1    попарно  различных  корней .По  предположению  индукции  a1 ,  a2 ,  ak , … , ak+1     являются  корнями многочлена,  а , значит, многочлен  делится  на произедение   (x-a1) … (x-ak) ,  откуда выходит ,      что      

                       P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).

При  этом  ak+1 – корень  многочлена   P(x) ,  т. е.                                                                                                                                                                                                 P(ak+1) = 0 . 

Значит ,   подставляя   вместо   x    ak+1  ,  получаем  верное  равенство :        

                        P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =

                                    =0 .

Но  ak+1  отлично  от  чисел   a1 , … , ak ,  и  потому   ни  одно  из  чисел    ak+1-a1 , … ,  ak+1-ak   не  равно  0 .  Следовательно ,  нулю  равно   Q(ak+1) ,  т. е.  ak+1 – корень  многочлена   Q(x) . А  из  следствия 2   выходит ,   что    Q(x)   делится  на     x-ak+1   без остатка .     

             Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) ,     и  потому     

             P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) = 

                    =(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .

    Это    и    означает ,    что    P(x)     делится     на   (x-a1) … (x-ak+1)    без  остатка .  

   Итак,   доказано ,  что  теорема  верна  при     k =1 ,   а  из  её   справедливости   при    n = k   вытекает ,  что   она  верна  и  при  n = k+1.  Таким  образом,  теорема  верна  при   любом  числе   корней ,  что  и   требовалось  доказать .



     





Следствие 4 :



           Многочлен  степени   n   имеет   не  более

           n   различных корней .





Доказательство :



   Воспользуемся методом от противного: если  бы  многочлен    Pn(x)   степени   n   имел  бы   более  n  корней   -  n+k  (a1 , a2  , … , an+k    -  его   корни ) ,  тогда  бы по  ранее  доказанному      следствию 3    он   

бы   делился  на произведение      (x-a1) … (x-an+k) ,    имеющее   степень  n+k , что  невозможно . 

  Мы  пришли  к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и   многочлен  степени  n  не  может  иметь  более ,  чем    n  корней ,  что   и  требовалось  доказать . 







Следствие 5 : 



         Для      любого    многочлена     P(x)  

        и      числа      a       разность  

        (P(x)-P(a))        делится       без   

        остатка    на   двучлен    (x-a) .





Доказательство :



   Пусть   P(x) – данный  многочлен  степени  n  ,   a  -  любое число .

    Многочлен   Pn(x)   можно   представить   в   виде :                                                                                                                                                          Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+R ,    

       где    Qn-1(x) – многочлен ,  частное  при   делении  Pn(x)  на  (x-a) ,   

                      R – остаток   от   деления   Pn(x)   на   (x-a) .

    Причём  по  теореме  Безу :   

                      R = Pn(a) ,  т.е.

                  Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .   

Отсюда  

      Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) , 

а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) )

на  (x-a) ,   что   и   требовалось   доказать .







Следствие 6 :



          Число     a      является    корнем  

           многочлена       P(x)       степени 

           не    ниже    первой    тогда     и  

           только       тогда ,         когда  

           P(x)       делится       на       (x-a)   

           без      остатка .





Доказательство :



  Чтобы  доказать  данную  теорему  требуется  рассмотреть необходимость и достаточность   сформулированного   условия .



 1.Необходимость .



     Пусть  a – корень  многочлена    P(x) ,    тогда  по  следствию  2     P(x)     делится   на      (x-a)      без    остатка . 

      Таким   образом   делимость     P(x)    на     (x-a)    является   необходимым   условием   для   того ,  чтобы   a  являлось  корнем  P(x) ,   т.к.   является   следствием  из  этого .





2.Достаточность .



    Пусть   многочлен   P(x)    делится   без   остатка  на  (x-a),

тогда      R = 0 ,   где  R – остаток   от   деления     P(x)    на  (x-a) ,   но  по  теореме  Безу   R = P(a) ,  откуда  выходит ,  что    P(a) = 0 ,   а  это  означает ,              что    a    является   корнем P(x) .

    Таким  образом  делимость    P(x)    на    (x-a)   является и достаточным  условием  для  того ,   чтобы   a   являлось  корнем    P(x) .



     Делимость   P(x)  на  (x-a)   является  необходимым  и  достаточным   условием   для   того,  чтобы   a   являлось  корнем  P(x) ,   что  и  требовалось  доказать .







Следствие 7(авторское):



         Многочлен ,  не   имеющийй    действи-

       тельных       корней ,     в      разложении  

       на  множители линейных  множителей  

       не  содержит .



Доказательство :



   Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при  разложении   на   множители  содержит   линейный множитель  (x – a):

                          P(x) = (x – a)Q(x), 

тогда бы он  делился  на   (x – a) ,  но  по следствию 6    a    являлось  бы   корнем   P(x) ,  а  по  условию  он  корней  не содержит . Мы  пришли  к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и  многочлен ,

не  имеющий   действительных  корней , в разложении  на  множители  линейных  множителей не содержит ,  что  и  требовалось  доказать .





	   На     основании     теоремы   Безу  и  следствия 5 можно   доказать  следующие  утверждения:

	

	1. Разность    одинаковых   натуральных  степеней   на  разность  их  оснований  делится  без  остатка :

	

	 Пусть           P(x) = xn ,     P(a) = an ,

	тогда   xn – an     –   разность  одинаковых  натуральных   степеней .

	   По  следствию 5

	                         P(x) -  P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) ,  

	а  это значит ,  что  

	                           (xn–an)/(x–a)=Q(x),                         т.е.  разность  одинаковых  натуральных  степеней на     разность их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

	 Итак   

	 (xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.

	

	

	2. Разность  одинаковых  чётных  степеней  на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка .

	

	   Пусть           P(x) = x2k ,  тогда   P(a) = a2k .

	Разность  одинаковых        чётных    степеней x2k - a2k равна   P(x) – P(a) .

	P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a).

	   По  следствию 5

	                       P(x) -  P(-a) =  (x –(- a))Q(x)=

	                                            = (x + a)Q(x)  

	а  это значит ,  что 

	                            x2k – a2k = (x + a)Q(x)  или

	                           (x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) ,

	т.е.   разность  одинаковых  чётных  степеней    на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

	 Итак ,   

	 (x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.

	

	

	3. Разность  одинаковых  нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится .

	

	   Пусть   P(x) = x2k+1 - a2k+1 –   разность  одинаковых        нечётных    степеней .

	   По   теореме  Безу    при    делении     x2k+1 - a2k+1  на     x + a = x – (-a)     остаток  равен

	                              R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1

	Т. к.  остаток  при  делении  не  равен  0 ,   то  разность  одинаковых нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится ,  что и   требовалось  доказать .

	

	

	4. Сумма  одинаковых  нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований   делится   без  остатка .

	

	Пусть           P(x) = x2л+1 ,     P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 ,

	тогда      P(x) – P(-a) =  x2k+1 + a2k+1       –   сумма  одинаковых  нечётных натуральных   степеней .

	   По  следствию 5

	                 P(x) -  P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)=                                                                              

	                                    = (x + a)Q(x),     

	а  это значит ,  что  

	                           (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) ,

	т.е.   сумма  одинаковых  нечётных  натуральных  степеней    на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

	 Итак ,   

	 (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.

	

	

	5. Сумма  одинаковых  чётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится .

	

	   Пусть   P(x) = x2k + a2k –   сумма  одинаковых        чётных    степеней .

	   По   теореме  Безу    при    делении     x2k + a2k  на     x + a = x – (-a)     остаток  равен

	                              R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k.

	Т. к. остаток  при  делении  не  равен   0 , то сумма  одинаковых  чётных  натуральных степеней  на сумму

	их оснований не делится, что и требовалось  доказать.





    Остановимся  на  рассмотрении  некоторых  случаев   применения   теоремы   Безу  к  решению  практических   задач .





Пример 1.



   Найти  остаток  от  деления  многочлена

               x3  – 3x2 + 6x – 5 

на  двучлен   x – 2 .



    По  теореме  Безу  

                         R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3 .

Ответ:  R = 3 .



Пример 2.



    Найти  остаток  от   деления  многочлена

                32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4

на  двучлен  2x – 1 .



   Согласно  следствию 1  из  теоремы  Безу

         R=P4(1/2)=32*1/24–64*1/23 + 8*1/22+36*1/2+4=    

= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .

Ответ:  R = 18 .





Пример 3.



   При  каком  значении  a  многочлен  

                    x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4

делится  без  остатка  на  двучлен  x – 2 ?



  По теореме Безу  

                   R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.                                          

Но  по  условию     R = 0 ,    значит

            8a + 16 = 0 ,

отсюда

            a = -2 .

Ответ: a = -2 .

Пример 4.



   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен

                      ax3 + bx2 – 73x + 102

делится  на  трёхчлен  

                      x2 – 5x + 6       без  остатка ?



Разложим  делитель  на  множители :

                                  x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) .

Поскольку  двучлены    x – 2   и   x – 3    взаимно  просты ,  то  данный   многочлен   делится   на   x – 2     и     на     x – 3 ,   а    это     значит ,    что  

по  теореме  Безу

    

      R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 = 

           = 8a + 4b – 44 = 0 

   

      R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 = 

           = 27a +9b -117 =0



Решим систему уравнений :



     8a + 4b – 44 = 0

     27a + 9b – 117 = 0

 

     2a + b = 11

     3a + b = 13     



Отсюда  получаем :

                               a = 2 , b = 7 .



Ответ:  a = 2 ,  b = 7 .

Пример 5.



   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен

                                  x4 + ax3 – 9x2 + 11x + b

делится  без  остатка  на  трёхчлен  

                                  x2 – 2x + 1     ?



  Представим  делитель  так :

                                    x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 

Данный  многочлен  делится  на    x – 1  без  остатка ,

если  по  теореме  Безу 



   R1 = P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0. 

   

Найдём  частное  от  деления  этого  многочлена  на x – 1 :

     

_  x4 + ax3–9x2 + 11x–a –3  x – 1 

    x4 – x3                                           x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)                                

    _(a + 1)x3 – 9x2

      (a + 1)x3 – (a + 1)x2

                      _(a – 8)x2 + 11x

                        (a – 8)x2 – (a –8)x

                                        _(a + 3)x – a – 3

                                          (a + 3)x – a – 3

                                                      0

   Частное      

                 x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)     

                                                      делится   на   (x – 1)  без  остатка ,  откуда

     R2 = P3 (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =  

                     =3a – 3 = 0 .

        

        a + b + 3 = 0

	        3a – 3 = 0

	

	        a + b =-3

	        a = 1

	Из  системы :  a = 1 ,   b = -4

	Ответ:  a = 1 ,  b = -4 . 

	

	

	Пример 6.

	

	   Разложить на множители многочлен                            P(x) = x4 + 4x2 – 5 . 

	

	  Среди  делителей  свободного  члена число 1   является   корнем  данного  многочлена   P(x) ,  а это  значит ,   что  по   следствию 2  из  теоремы  Безу   P(x)   делится  на  (x – 1)   без  остатка :

	

	

	           _x4 + 4x2 – 5  x – 1   

	             x4 – x3          x3 + x2 + 5x + 5

	             _x3 + 4x2 – 5

	               x3 – x2 

	              _5x2 – 5 

	                5x2 – 5x

	                _5x – 5

	                  5x – 5

	                           0

	

	

	      P(x)/(x – 1) = x3 + x2 + 5x + 5 ,  значит

	                                     P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + 5x + 5).

	

	  Среди  делителей  свободного  члена многочлена       x3 + x2 + 5x + 5       x = -1   является  его  корнем ,  а это  значит ,   что  по   следствию 2  из  теоремы  Безу      x3 + x2 + 5x + 5    делится  на  (x + 1)   без  остатка :

	

	      

	           _x3 + x2 +5x + 5 x + 1

	             x3 + x2             x2 +5

	                         _5x + 5

	                           5x + 5

	                                  0

	

	     (x3 + x2 +5x + 5)/(x + 1) = x2 +5 ,  

	                           значит

	                                     x3 + x2 +5x + 5 = (x +1)(x2 +5).

	Отсюда

	            P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .

	

	По  следствию 7    (x2 + 5)  на  множители  не  раскладывается ,  т.к.  действительных  корней  не  имеет ,  поэтому  P(x) далее  на  множители  не  раскладывается .

	

	Ответ :    x4 + 4x2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .

	

	

	Пример 7.

	

	   Разложить на множители многочлен                                                                                    P(x) = x4 + 324 .

	

	   P(x)   корней  не  имеет , т.к.   x4  не может быть равен  -324 , значит ,  по  следствию 7   P(x)  на  множители  не  раскладывается .

	

	Ответ :  многочлен на множители не раскладывается .

	

	

	

	Пример 8.

	

	  Какую   кратность   имеет   корень   2      для   многочлена

	               P(x) = x5  - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 .

	

	

	Определение:  Если многочлен  P(x) делится  без  остатка на (x – a)k ,  но  не делится на   (x – a)k+1 , то  говорят ,  что  число  a  является  корнем  кратности  k  для P(x).

	

	

	

	              _x5  - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8  x – 2 

	                x5  - 2x4                                x4 – 3x3 + x2 + 4

	                     _-3x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8

	                       -3x4 + 6x3 

	                                  _x3 – 2x2 + 4x – 8 

	                                    x3 – 2x2 

	                                                 _4x – 8 

	                                                   4x – 8 

	                                                          0

	

	

	               _x4 – 3x3 + x2 + 4  x – 2

	                 x4 – 2x3               x3 – x2 – x – 2 

	                       _-x3 + x2 + 4

	                         -x3 +2x2 

	                               _-x2 + 4

	                                 -x2 + 2x

	                                  _-2x + 4

	                                    -2x + 4

	                                           0

	

	                  _ x3 – x2 – x – 2  x – 2

	                     x3 – 2x2           x2 + x + 1

	                   _x2 – x – 2

	                     x2 – 2x

	                           _x – 2

	                             x – 2  

	                                 0

	

	   x2 + x + 1  на  x – 2  не  делится ,  т.к. R=22 + 2 + 1=  

	                                                                                =7.

	  Значит ,  P(x)/(x – 2)3 = x2 + x + 1 ,  т.е.  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P(x) .

	

	Ответ:  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P(x) .

	

	 

	Пример 9.

	

	   Составить  кубический  многочлен ,  имеющий  корень  4  кратности  2  и  корень  -2 .

	

	   По  следствию 3 ,  если  многочлен  P(x) имеет  корень  4  кратности  2  и корень –2 ,  то  он  делится  без  остатка  на   (x – 4)2(x + 2) , значит  

	                                           P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x) ,

	т.е.     P(x) = (x – 4)2(x + 2)Q(x) =

	                  = (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

	                  = (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) =

	                  = (x3 – 6x2 + 32)Q(x).

	

	(x3 – 6x2 + 32)  -  кубический многочлен , но  по условию P(x) – также кубический многочлен,  следовательно ,  Q(x) – некоторое действительное  число .

	Пусть   Q(x) = 1 ,   тогда  P(x) = x3 – 6x2 + 32 .

	

	Ответ:  x3 – 6x2 + 32 .

	

	

	

	Пример 10.

	

	   Определите  a  и  b  так ,  чтобы  -2  было корнем  многочлена   P(x) = x5  + ax2 + bx + 1,  имеющим  по  крайней  мере  кратность  два .

	

	   Если  -2  –  корень  многочлена  P(x)  кратности  два ,  то  по  следствию 3  P(x)  делится  на  (x + 2)2 без  остатка (R = 0) 

	          (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

	

	               _x5  + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4

	                  x5  + 4x4 + 4x3       x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)

	                _-4x4–4x3–ax2+bx+1

	                  -4x4 – 16x3 – 16x2 

	                     _12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1

	                       12x3 +48x2 + 48x

	                       _-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1

	                         -(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

	                                                  

	                                     (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

	

	R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 = 

	                                           = (4a +b + 80)x + 4a + 129

	Но  R = 0 ,  значит

	                       (4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0   при  любых  x .

	      Это  возможно  при  условии ,  что

	                                                           4a +b + 80 = 0 ,

	                                                           4a + 129 = 0

	   Решим  систему  двух  уравнений :

	

	          4a +b + 80 = 0            a = -32,25

	          4a + 129 = 0               b = 49

	

	Ответ:    a = -32,25 ,   b = 49 .

	

	

	   Из  рассмотренных  примеров  видно ,  что  теорема   Безу   находит   применение   при    решении   задач ,  связанных  с делимостью  многочленов   (нахождение  остатка  при  делении  многочленов ,  определение  кратности  многочленов  и  т.д. ) ,   с   разложением   многочленов  на  множители ,   с   определением   кратности  корней  и многих  других . 

	    Теорема  Безу  находит   применение  при   рассмотрении  одной  из  важнейших  задач  математики – решении   уравнений .

	

	

	









Литература.



 Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический  словарь деятелей в области            математики.

                                                       

 Математическая энциклопедия.



 Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.

 Алгебра и элементарные функции.



  Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С.,  Шварц-                                                                                                                         бурд С.И.

Алгебра и математический анализ.

                                   

  Курош А.Г.

Курс высшей алгебры.