Шпаргалка по высшей математике

-для любого, для каждого      -для любого, для каждого          -для любого, для каждого

-векторное умножение,   -скалярное умножение                                         -векторное умножение,   -скалярное умножение                                                       -векторное умножение,   -скалярное умножение 

1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель- число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11)  является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса:  определитель 3-го порядка (3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-». 

2. Свойства определителей.

1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то  этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: А = А’ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и  этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её  равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то  этой матрицы может быть представлен в виде суммы   2-х определителей.

3. Минор.

Минором Мij   квадратной матрицы n-го порядка для элемента аij  называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и    j-ого столбца.

4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением Аij для элемента квадратной матрицы аij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j . 

5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n-ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)r(j), где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения. 

6.  Матрицы. Основные определения.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей     n-ого порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.  Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то  матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все  элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей. 

7. Операции над матрицами.

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число  называется матрица В, равная А, каждый элемент которой находится по формуле:    bij = x aij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле Сij=aij+bij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы   j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А-1  называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы):  обратная матрица А-1  сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной, если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А (на месте каждого эл-та Ат  его алгебраич.доп-я). 5) А-1= 1/А . 6) ПроверкаА-1  А=Е. 

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы rang A=r(A). Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования: 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.  

10. Системы линейных алгебраических  уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.

Линейным ур-ем относительно неизвестных x1,x2,…,xn  называется выражение вида  a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an и  b- простые числа, причём a1,a1,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел  k1,k2,…,kn называется решением ур-я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система  уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений множество. Неизвестное x1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x1  не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными. Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей. 

11. Правило Крамера.

Правило Крамера: пусть А-определитель матрицы системы, а j-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если А0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле  Xj= j/ A.

12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 

13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.

Метод Гаусса: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX1+OX2+...+OXn=b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестное x1 называют разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестное x1 не входит. 

14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А-1); 3) Умножить А-1  на матрицу свободных коэффициентов (В)  X=A-1B. 

15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A  n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.







1 (16).  Скалярные и векторные величины. Основные определения.

В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор ax2+y2(+z2). Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0. ( направление 0 произвольно, не определено). Для каждого а, отличного от 0, существует противоположный -а, который имеет модуль, равный а, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону. 

2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

1)Сложение 2-х векторов: (правило треугольников) суммой 2-х векторов а ив называют вектор с =а +в, начало которого совпадает с началом а, а конец- с концом в при условии, что начало в совпадает с концома. 2) Сложение нескольких векторов: (правило многоугольника) сумма 4-х векторов а,в,с,d есть векторе =а +в +с +d, начало которого совпадает с началом а, а конец- с концомd. (правило параллелепипеда) сумма 3-х векторов а,в,с определяется как d =а +в +с. 3)Вычитание 2-х векторов: разностью 2-х векторов а и в называется сумма а и -в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент   слагаемых вектора:   = x +y, i=xi + yi   i.                          5) Произведением x на действительное число а называется     в = аx, каждая компонента которого равна аxi.  Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное);  3)ассоциативное относительно числового множителя:     ; 4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что   ; 6)для любого  существует такой противоположный  - , что ; 7)для любого  справедливо: .                                                                                                                                                                                                         

3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса. 

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: x =y, если xi=yi i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством.  Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не  1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.                                                                                                                                                                                                               

4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.

7 (22). Проекция вектора а на вектор b. Направляющие косинусы вектора.

8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением 2-х векторов а ив называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а ва в Cos, где -угола междув. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: а в =а  пр.а в =в пр.в а скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения: 1)Переместительное (ав=в а); 2)Сочетательное относительно числового множителя ((а в)=а в); 3)Распорядительное ( (а +в )с=а с вс); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны.  Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля. 

9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

10 (25). Определение угла между двумя векторами.

11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

12 (27). Векторное произведение.

Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор с, который определяется следующим образом: 1) модуль с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах с=ав Sin. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки. Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по формуле: а в = i    j   k

                                   ax  ay  az

                                  bx   by  bz. 

13 (28). Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: а в =в) а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: ававав. 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). Для того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.

14 (29). Векторное произведение ортов.



15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения. 

Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (а в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на с скалярно. (а в) с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Оно  представляет собой некоторое число.  Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.  Смешанное произведение равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов. 









Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (а в) с = - (в а) с;  (а в) с =  с  (а в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (а в) с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.  Геометрич. смысл смешанного произведения: состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины. Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется абсцисса.  Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки. Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс) равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезков.             

Деление отрезков в данном отношении: даны 2 точки М1 и М2. Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами ;, такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М1М/М2М=. Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству. Решение: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =. X-X1=(X2-X), X-X1=X2-X. X+X=X1+X2X (1+) =X1+X2, X=X1+X2/1+.

2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.

Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax+By+C=0, в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А2+В2 0. 1)Пусть В0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 можно записать в виде y= -Ax/B – C/B. Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А0, С0, то получим y=kx+b (ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С0, то y=b (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)Пусть В=0, А0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 примет вид x= - C/A. Если С0, то получим x=a (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax+By+C=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy. Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное  в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината b= - C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0    /(-C)

                                         -Ax/C-By/C=1

                                          a= - C/A; b= - C/B.

3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) перпендикулярно нормальному вектору n (A, B).

4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) параллельно направляющему вектору q (l, m).

5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки         М 1(x1, y1)  М2 (x2, y2).

Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя  лежащими на ней точками М1 (x1;y1)  и M2(x2;y2), x1x2, y1y2(при равенстве - применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. точка  M2(x2;y2) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k=y2-y1/x2-x1. 

Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-x1)  y2-y1/x2-x1 y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.

(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tg =M2N/M1N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1 tg =K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-y1=(x-x1)y2-y1/

/x2-x1     ( y2-y1) y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. ) 





6 (37). Уравнение прямой в отрезках.

Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а0 и b0, отсекаемым на осях координат. Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) - y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид: y-0/b-0= x-a/0-a  или:    -ay= b(x-a),                              -ay-bx+ab=0  ab; -y/b-x/a+1=0   (-1);   

x/a+y/b=1.  А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точкамиA(a;b) на осиOx и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.

7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается , отсчитываемый от оси Оx против движения  часовой стрелки до этой прямой); tg угла наклона этой прямой к оси Оx. Если k, то  -острый; если  =0, то k=0, прямая параллельна оси Оx; если =90, то прямая параллельна оси Оy, k-не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оy и k этой прямой.  Возьмём произвольную точку М (;). Тогда tg угла  наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN: tg  = MN/NB= y-b/x. Введём угловой коэффициент прямой k=tg ; получим k=y-b/x. y=kx+b  -  ур-е прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от величин k и b возможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в0, прямая пересекает ось Оx выше начала координат; при в0, прямая   Оx ниже начала координат. 2)при k0, прямая образует острый угол  с Оx; при k0,-тупой угол; при k=0-параллельна оси Оx; при k=-перпендикулярна Оx.

8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку   М (x, y) с данным угловым коэффициентом k.

9 (40). Нормальное уравнение плоскости.

Нормальное ур-е плоскости: x(Cos ) +y(Cos )+z(Cos )+=0, где Cos , Cos , Cos -направляющие Cos –сы нормального вектора; -расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.

10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

	

2)1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если  k1= k2, то углы наклона прямых  к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. 2)Формула tg=k2-k1/1+k1k2 определяет угол  между пересекающимися прямыми через tg. Если =90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то 2=1+90, откуда tg2= tg (1+90)= -Сtg1. tg2= - 1/ tg1. Заменяя tg1 и Сtg2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0. Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tg2= -1/tg1 откуда получаем 2=1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:  k2= -1/ k1.

	11 (42). Угол между прямыми.

	Угол  между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tg=0; с другой стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что k1- k2=0 и по формуле tg=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися прямыми-получаем:  k1-k2/1+k1k2=0.

	12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.

	Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости: Ax+By+Cz+D=0, где n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/c=1, где  a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos ) +y(Cos )+z(Cos )+=0, где Cos , Cos , Cos -направляющие Cos –сы нормального вектора; -расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3). 

	x-x1      y-y1      z-z1

	x2-x1   y2-y1   z2-z1 =0.

	x3-x1   y3-y1   z3-z1

	13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.

Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,

x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где q 1(L1;m1;n1), q2 (L2;m2;n2)- направляющие векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:q1 q2  L1/L2=m1/m2=n1/n2.  б) пусть прямые заданы аналогично случаю а). Две прямые  тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (q1q2).

L1L2+m1m2+n1n2=0.  Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей. 

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2. 

2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости): 

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1. 

3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору q (l;m;n)): 

x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n.

4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М0(x0;y0;z0), q (l;m;n).   x=x0+lt

                                                        y=y0+mt

                                                         z=z0+nt, t-параметр.

5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их направляющими векторами:

Cos=L1L2+m1m2+n1n2/ L12 +m12+n12   L22+m22+n22 .

15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости.

1)Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: Cos=Al+Bm+CnA2+B2+C2  l2+m2+n2. Где l, m, n- координаты направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты n. В этом случае прямая может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно 0. n(A,B,C)q (l;m;n) Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости); x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n. Т.к. n q=0 Al+Bm+Cn=0. 3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные (параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. n q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости: а)скалярное произведениеn q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается верное равенство Ax0+By0+Cz0+D=0 

                                  x=x0+lt,

                                  y=y0+mt,

                                  z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).

5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому:                                      x=x0+lt,

y=y0+mt,

z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой)

 Ax+By+Cz+D=0.

16 (47). Кривые второго порядка. Окружность.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел 0. Окружность-множество точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности, то исходя из этого определения :

      

Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ= R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ = (x-x0)2+(y-y0)2  = R R2=(x-x0)2+(y-y0)2  -ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е называется нормальным ур-ем окружности. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0-ур-е второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax2++Cy2 =-кривая второго порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А2+В2+С20. x2+y2-2x0x-2y0y+x02+y02-R2=0; B=0, A/1=C/1A=C0 (т.к. A2+B2+C20, B=0). Получаем ур-е: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0- общее ур-е оркужности. Поделим обе части этого ур-я на А0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем: (x+(D/2A))2+(y+(E/2A))2=(D2+E2-4AF)/4A2. Cравнивая это ур-е с нормальным ур-ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D2+E2-4AF0. При выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(-D/2A;-E/2A), а её радиус R=D2+E2-4AF/2A.

17 (48). Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел 0. Эллипс (кривая эллиптического типа) - кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки. 









18 (49). Кривые второго порядка. Гипербола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел 0. Кривая 2-го порядка называется гиперболой (или кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС0. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где 



а) Каноническое ур-е параболы: y2=2px или y=ax2



19 (50). Кривые второго порядка. Парабола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел 0.



-существует, найдётся   -существует, найдётся       -существует, найдётся