Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА























РЕФЕРАТ







по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)





















Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета 

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.





















Москва 2002 год





2



Содержание



 Введение                                                                                                         3

2.   Нахождение асимптоты                                                                                 4

   2.1 Геометрический смысл асимптоты                                                               5

   2.2 Общий метод нахождения асимптоты                                                          6

   3.   Виды                                                                                                                 8

    3.1 Горизонтальная асимптота                                                                            8

   3.2 Вертикальная асимптота                                                                                9

   3.3 Наклонная асимптота                                                                                   10                            

         Использованная литература                                                                        12

































































































3



Введение



Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. 

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).











































































4



2. Нахождение асимптоты



  Пусть функция f (x) определена для всех x  а (соответственно для всех 

x  а). Если существуют такие числа k и l, что f(x)  kx  l = 0 при х    (соответственно при х   ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x    (соответственно при х   ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х  +  

(или х   ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.                          

                                                                                          x 3x  2 

Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,  

                                      2                         2

получим y = x  4 +  x + 1   Так как   x + 1   = 0 при х   , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х  + , 

так и при х   .























































5



2.1 Геометрический смысл асимптоты



Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота, 

 - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох,  ,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).



                             (рис.1)



Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM  QM = f (x) – (kx +l), 

MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ  0 и MP  0 при х    (соответственно при х   ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0, 

то и lim MP = 0, и наоборот.                                           х   

       х                                                                                                    

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х    или, соответственно, х   ).



































6



2.2 Общий метод отыскания асимптоты



Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х    (при х    рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х   . Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х   . Тогда

lim  = k.

                                                        х    

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

                                    х    

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является 

                                                 х           

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

                                                                                             х             

lim f (x)  (kx + l) = 0,

                                              х   



то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

                                 х                    х              

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует 





представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

                  х                    х              

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно. 

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:



7







то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты 

y = x – 4, как при х   , так и при х  - .

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

































































8



3. Виды 

3.1 Горизонтальная асимптота



Пусть  lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x  +) (рис.2)



                                                               (рис.2)





хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)







                             (рис.3)



























9



3.2 Вертикальная асимптота

                         

                                (рис.4)





Пусть при x  a  0 lim f (x) =  . Тогда говорят, что прямая x = a является 

                                   х  

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в +  или  .

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

. 

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

   







































10



3.3 Наклонная асимптота



                        (рис.5)



Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть  d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х   

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x  

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина   

Но тогда мы имеем 

и так как последний предел равен нулю, то 



Зная а, можно найти и b из исходного соотношения 





Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.



Пример





то есть асимптота при x  + имеет уравнение y=x.

11



Аналогично можно показать, что при x  -  асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции  выглядит так (рис.6)



                                 (рис.6) 

























































12



Использованная литература



Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

Лекции по математике