Математическая теория захватывания

Введение и краткое резюме



Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания".  Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает"  автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать   случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр  таким образом, чтобы при  = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,    с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.



§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать: 









При  = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение 





Рассмотрим случай, когда    бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:



Начальные условия  выберем так:



F2 - степенной ряд по 1 2,  начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1): 

 



Сравнивая коэффициенты при    1 2,   получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3). 







Решая задачи Коши, получим: 







Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы 







Введем обозначения  ; для остальных функций аналогично. 

Тогда (6) запишется в виде: 







Если в этой системе можно 1 2  представить в виде функции   так, чтобы 1 2,  исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых   служит неравенство 0 Якобиана. 







В нашем случае: 

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых   и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде. 













§ 2 Исследование устойчивости периодического решения



Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) +  ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени   и '.









Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:







Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде   функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и  , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что   (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по  .







будем искать в виде:    (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим: 





Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим





Для В'о и Во аналогично. Для остальных  же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:



(14)



Решение (13) можно найти при помощи квадратур:



(15)



Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:







S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). 1, 2 - характеристические показатели.

Если все     , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого  приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:  





=0 (16)  Полагаем  ;









Тогда определитель будет:



 



Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (),  или что все равно   . Если   < 1 имеет место устойчивость    = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса.  > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае  -комплексные; 2 =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй -  - действительные:  ; (21) устойчивость соответствует  p и q нетрудно получить в виде рядов по степени  из формул (19)  (12).



(22)

Если принять во внимание (15)



(22a)



(23)



Мы видим, что при достаточно малом  и n; n  Z вопрос об устойчивости решается величиной  q  и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

     (23a)



§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда о; 2 = 1+ aо , (24) (aо ,  - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо  0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид : 



 (25)



При  = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:



 (27);



Начальные условия возьмем как и раньше:







Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая  коэффициенты при 1 2,  и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F.   Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).



 (29)



Запишем условия периодичности для (27):





Делим на :



   ( 30a )



Необходимым условием существования периодического решения является:

  

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме : 







(31)



Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).







D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить  1, 2, в виде рядов по степеням . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.



(33)



P,Q-определяются формулами (31) (32).







§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса



Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33). 







Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

   

Из формул (22)     (34) , тогда   - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:







 (36)



;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить   в виде функции  P, Q и aо. 

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид: 



 ;  (37)



Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых )



1)  p2 - q < 0  

2)  p2 - q > 0  

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0. 

Во втором случае  (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а   > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0,    > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).















§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола. 

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin 1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

  (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения  .

Далее, вводя обозначения: 



Получим дифференциальное уравнение для х:

   (41)



А: (случай далекий от резонанса). 

Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:



Если  > 1, т.е. о > 1, то разность фаз равна 0, если   < 1, то разность фаз равна . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).  



(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.



В:  (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t    (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая. 







Или преобразовав их, получим следующее:







Полагая Р = R sin ; Q = R cos . Далее найдем для амплитуды R и фазы  для того исходного периодического решения,  в близости  к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :





Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,    > 0. Считаем b и  через формулы (35-37). 



(46)







Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**).  В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего    ширине захватывания для рассматриваемого случая. 



1) 

a0 - является общим корнем уравнений 

 



2) 



Сама ширина , отсчитанная от одной границы захватывания  до другой выражается следующим образом:  = aо 2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях: 

а) 2о << 1;    = о Ро/Vоg. 

б) для очень сильных сигналов   ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).











Список литературы

Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.





2