Высшая математика в экономике

2

План



Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задача 7

Задание 8

Литература




Задание 1



Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице: 



Наименование составных частей 

Виды комплектов корпусной мебели



1

2

3

4

Книжный шкаф

1

1

1

1

Шифоньер 

1

1

1

1

Пенал

0

0

1

1

Тумба 

0

1

0

1



В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице:



Вид сырья

Составные элементы



Кн. шкаф

Шифоньер

Пенал

Тумба

Стекло

0,9

0

0,2

1,2

ДСП

6

6,5

6

2,5

ДВП

2,9

1,7

1,4

0,6



Требуется:

1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;

2) провести подсчеты для значений x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4=80.

Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n1, n2, n3 и n4 - число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно. 

Тогда условия будут выглядеть следующим образом:



n1 = x1 + x2

n2 = x1 + x2 + x4

n3 = x1 + x2 + x3

n4 = x1 + x2 + x3 + x4



Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:



y1 = 0,9n1 + 0,2n3 + 1,2n4

y2 = 6n1 + 6,5n2 + 6n3 + 2,5n4

y3 = 2,9n1 + 1,7n2 + 1,4n3 + 0,6n4



Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.



y1 = 0,9· (x1 + x2) + 0,2· (x1 + x2 + x3) + 1,2· (x1 + x2 + x3 + x4)

y2 = 6· (x1 + x2) + 6,5· (x1 + x2 + x4) + 6· (x1 + x2 + x3) + 2,5· (x1 + x2 + x3 + x4)

y3 = 2,9· (x1 + x2) + 1,7· (x1 + x2 + x4) + 1,4· (x1 + x2 + x3) + 0,6· (x1 + x2 + x3 + x4)



Приведем подобные



y1 = 2,3x1 + 2,3x2 + 1,4x3 + 1,2x4, y2 = 21x1 + 21x2 + 8,5x3 + 9x4

y3 = 6,6x1 + 6,6x2 + 2x3 + 2,3x4



Проведем подсчеты для значений 



x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4 = 80

y1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.

y2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.

y3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.


Задание 2



Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).



, 



Решение:

Составим систему уравнений:







Матричное уравнение выглядит следующим образом:



A · X = B



Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1



A-1 · A · X = A-1 · B;

E · X = A-1 · B;

X = A-1 · B



Найдем обратную матрицу A-1



Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374

; 





X =· =  = 



Решим систему методом Крамера



Δ = 374

Δ1 = = 97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 * 4 - 97 * 7 * 13 = 1870

Δ2 = = 4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 - 4 * 7 * 109 = 1496

Δ3 = = 4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 * 109 - 4 * 129 * 13 = 1122

x1 = Δ1/Δ = 1870/374 = 5, x2 = Δ2/Δ = 1496/374 = 4

x3 = Δ3/Δ = 1122/374 = 3



Решим систему методом Гаусса



 =>  => 

  => 

=> => 



Задание 3



Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:







Решение:















Задание 4



Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно. 

Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. 

В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.







Решение:

Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:







эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.







эластичность отрицательная.

Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.



Задание 5



В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы. 



Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Товарооборот, (тыс. р) 

22

4,4

37

57,4

55,4

72

91,6

78,4

58

59

42

37,6



Решение:

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):







По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2. 



t

y

x

yx

x2

y2



1

22,0

1

22,0

1

484,00

36,688

2

4,4

2

8,8

4

19,36

39,332

3

37,0

3

111,0

9

1369,00

41,976

4

57,4

4

229,6

16

3294,76

44,62

5

55,4

5

277,0

25

3069,16

47,264

6

72,0

6

432,0

36

5184,00

49,908

7

91,6

7

641,2

49

8390,56

52,552

8

78,4

8

627,2

64

6146,56

55, 196

9

58,0

9

522,0

81

3364,00

57,84

10

59,0

10

590,0

100

3481,00

60,484

11

42,0

11

462,0

121

1764,00

63,128

12

37,6

12

451,2

144

1413,76

65,772

Итого

614,8

78

4374

650

37980,16

614,76



; ; ;

; 



Уравнение регрессии: = 34,06 + 2,642 · х



Рассчитаем по данному уравнению значения для  и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.  Найдем прогноз на полгода вперед:



= 34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.



Найдем прогноз на год вперед:



= 34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.







Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.



Задание 6



Исследовать на экстремум следующую функцию:



;



Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).



= 2x + y - 4; = 4y + x - 2;

; ; ; ; 



Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)



= 2 = А, = 1 = B

= 4 = C, Δ = AC - B2 = 2 * 4 - 1 = 7



Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.

Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.



Задача 7



Пусть функция полезности задана как







где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.

Решение:

Полезность максимальна при равенстве первых производных:



= ; = ;  = ;  = 



Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140



Составим систему.



; ; ; 



Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.



Задание 8



Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q:  и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.



 и ,



Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:



D (Q) = S (Q);  = ; ; - t2 - 10t + 200 = 0

t1 = - 34,685 и t2 = 12,685, t1 - не удовлетворяет условию

=12,685; Q = 160,9 ед.

При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.



Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:



Sпотр = - 126,85 · 160,9 = - 20410,165 =

= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.



Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:



Sпроизв = 126,85 · 160,9 -  = 20410,165 - =

= 20410,165 - 5 * 12,6853 = 10204,5 ден. ед.


Литература



Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.

Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.