Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций

Федеральное агентство по образованию

  Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

    Владимирский Государственный Гуманитарный Университет

                                                       (ВГГУ)













на тему

«Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций»

(VI семестр, кафедра математического анализа)















Выполнила

 студентка ФМФ

группы МИ-32

Пантелеева Н.С.

Проверила 

Научный руководитель

Жукова А.А.



Владимир, 2008 г.

                                          Содержание



Введение………...…………………………………………………………………………..3



Глава 1	.	 Тождественные преобразования и методика преподавания математики

§1.	История развития логарифмической и показательной функции…...….4

§2.	Формирование навыков применения конкретных видов преобразований……………………………………………………………………………..6

§3. 	Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований .…….…………...……………………………..………..7



Глава 2. 	Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений   

§1. 	Обобщения понятия степени……………………….……………...……11

§2. 	Показательная функция……………………...……….………………….12

§3.	Логарифмическая функция………….…………………………………..14



Глава 3.	 Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений на практике………………………………………………………………………….16

Заключение……………………………………………………….....……………………..22

Список использованной литературы…………...……….................…………………….23























Введение

     

 Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV–V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований.

Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразований представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому – статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. 



В данной курсовой работе будут рассмотрены показательная и логарифмическая функция, их основные свойства, тождественные преобразования показательной и  логарифмической функции,  изложена методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Первая глава данной работы посвящена истории возникновения данных функций, их применению. Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований

Вторая глава содержит описание непосредственно самой показательной и логарифмической  функции, их основных свойств, используемых при тождественных преобразованиях.

Третья глава – приведены примеры решений ряда задач с использованием тождественных преобразований показательной и логарифмической функции.

    







Глава I

§1. История развития

 Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. 

Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане. Изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь ее из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Многообразие применения показательной (или как ее еще называют экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила, он написал «Оду экспоненте»:

«…Ею порождено многое из того,

Что достойно упоминания»,

Как говорили наши

Англосаксонские предки.

Могущество ее порождений

Заранее обусловлено ее

Собственной красотой и силой,

Ибо они суть физическое воплощение

Абстрактной идеи ее.

Английские моряки любят и знают ее

Под именем «Гунтер».

Две шкалы Гунтера –

Вот чудо изобретательности.

Экспонентой порождена

Логарифмическая линейка:

У инженера и астронома не было

Инструмента полезнее, чем она.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не сеть

Набор передовых логарифмов?

И таким образом абстрактно красивое

Стало предком одного из величайших

Человеческих достижений».



Степени с дробными показателями и простейшие правила действий над ними встречаются у французского математика Н. Оресма (1328-1382). Впрочем, уже у Архимеда есть упоминание об отношении, взятом в степени 3\2. Живший в XV веке французский ученый Шюке рассматривал степени с отрицательным и нулевым показателями.

Логарифмы были введены независимо друг от друга двумя учеными – английским математиком Д.Непером (1550-1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552-1632). Непер развил теорию логарифмов, указал способы их вычисления и составил подробные таблицы логарифмов. Логарифмы Непера были близки к современным натуральным логарифмам. Десятичные логарифмы были введены английским математиком Г.Бриггом (1561-1630). Появление логарифмов значительно упростило вычисления, и в течение длительного времени логарифмы были основным средством вычислений. Французский математик Лаплас говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей.

Создатели логарифмов вычисляли их с помощью различных частных приёмов. Общие способы вычисления, основанные на теории бесконечных рядов, восходят к немецкому учёному Меркатору (1620-1687), который установил также связь между логарифмами и вычислением площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми  и  кривой  .   

Свойства логарифмов впервые были точно сформулированы английским математиком Оутредом в 1648 году. Однако ещё в первой половине XVIII века логарифмирование не причислялось к алгебраическим действиям. Лишь Эйлер в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748 г.) определил логарифмирование как второе алгебраическое действие, обратное возведению в степень, и, значит, логарифм как некоторый показатель степени. Лейбниц ещё в конце XVII века применял правила логарифмирования для решения показательных уравнений.

Логарифмическая спираль

Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль. 

Уравнение этой спирали r = , где r – расстояние  от  произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, - угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, а и k - постоянные. Решая его, получим

					 ln ekφ= ln kφ = ln φ = ln 

				

				Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической.

















§2.Формирование навыков применения

конкретных видов преобразований



Система приемов и правил проведения преобразований имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. 

Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), то основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее возможности, но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.



























               §3.  Особенности организации системы заданий

при изучении тождественных преобразований



Основной принцип организации любой системы заданий – переход от простого к сложному, с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем заданий в методике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется соединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе – этапе синтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу чего повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в первую группу заданий циклов должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел. Приведем примеры таких заданий.

    

Пример 1. Вычислить:



      , если          ;

       ,  если           ;

        ,если           .



		Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могут присутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий – в освоении особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

1) найти функцию , для которой данное уравнение  представимо в виде ;

2) произвести подстановку  и решить уравнение ;

3) решить каждое из уравнений , где  – множество корней уравнения .

При использовании описанного способа зачастую 2 шаг выполняется в неявном виде, без введения обозначения для . Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.

Пример 2. Решить уравнение .

Первый способ:

    ⇔          ⇔   



Второй способ:

       



Здесь видно, что при первом способе 1 шаг сложнее, чем при втором. Первым способом «труднее начать», хотя дальнейший ход решения значительно проще. С другой стороны, у второго способа имеются достоинства, состоящие в большей легкости, большей отработанности в обучении сведения к алгебраическому уравнению.

Для школьного курса алгебры типичны задания, в которых переход к алгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данном примере. 

Основная нагрузка таких заданий относится к выделению 1 шага  как самостоятельной части процесса решения, связанного с использованием свойств изучаемой элементарной функции.

Пример 3. Решить уравнение:

1) ;     2) .

Преобразуем выражение 1), для этого заменим   на t, отсюда получим 

, решаем квадратное уравнение, получаем t=2 или t=1, делаем обратную замену:   или   .

Аналогично преобразовываем выражение 2), получаем:  или .

Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов о показательной функции: ее монотонность, область значений. Как и задание предыдущего примера, уравнения 1) и 2) можно отнести к первой группе цикла упражнений на решение квадратно-показательных уравнений.

Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и начал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Эта сторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов, поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью и строгостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами этого материала доказательства обычно менее полны, они не всегда выделяются из состава применяемых средств обоснования.

В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, используются свойства арифметических операций.

Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований может быть, направлено на развитие логического мышления, если только от учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что достигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности, самоконтроля, творческой инициативы.

Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуют формирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональных вычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются в процессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальные тренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях.

Так, если на уроке предполагается решение логарифмических уравнений с использованием основного логарифмического тождества ,>0,  то полезно в план урока включить устные упражнения на упрощение или вычисление значений выражений: , , . Цель упражнений всегда сообщается учащимся. В ходе выполнения упражнения может возникнуть необходимость потребовать от учащихся обоснований отдельных преобразований, действий или решения всей задачи, даже если это не планировалось. Там, где возможны различные способы решения задачи, желательно всегда ставить вопросы: «Каким способом решалась задача?», «Кто решил задачу другим способом?» 

Понятия тождества и тождественного преобразования  вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений. И понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.

Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: ,  где ,  – целые числа.

















































Глава 2.

§1. Тождественные преобразования и вычисления

показательных и логарифмических выражений



Обобщение понятия степени.

Определение:  Пусть , корнем -ой степени из чиста  называется такое число, -я степень которого равна .

Согласно данному определению корень -ой степени из числа  – это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит от  и . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежутке  эта функция при любом    возрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение  для любого  имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем -ой степени из числа  и обозначают ; число  называют показателем корня, а само число  – подкоренным выражением. Знак  называют так же радикалом.

Определение: Арифметическим корнем -ой степени из числа  называют неотрицательное число, -я степень которого равна .

При четных  функция  четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значениях  функция  возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение  имеет один корень при любом  и, в частности, при . Этот корень для любого значения  обозначают .

Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном  единственный. Следовательно, .

Замечание 1.   Для любого действительного 

                                           

Замечание 2.   Удобно считать, что корень первой степени из числа  равен . Корень второй степени из числа  называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.

Для любого натурального , целого  и любых неотрицательных целых чисел  и  справедливы равенства:

                      1. .

                      2. .

                     3. .

         4. 

         5. .



Перейдём к введению степени с рациональным показателем.

Выражение  определено для всех  и , , кроме случая  при . Напомним свойства таких степеней.

		Для любых чисел ,  и любых целых чисел  и  справедливы равенства:               

    











Отметим так же, что если , то  при  и  при 	

Определение: Степенью числа  с рациональным показателем , где  – целое число, а  – натуральное , называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).



§2. Показательная функция.



Это функция вида       (,). Для неё  , ,       ,  и при график имеет такой вид: 





При вид графика такой: 







		Число  называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.

		Область значения функции – множество всех положительных чисел.

		Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax) =axlna

		При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

		Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

		График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.

		График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

			При любых действительных значениях  и  справедливы равенства	          

	       

	

	

	

	

	

	

	Эти формулы называют основными свойствами степеней.

			Можно так же заметить, что функция  непрерывна на множестве действительных чисел.







§3. Логарифмическая функция.

Определение:  Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , то бы получить число .

Формулу  (где ,  и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом  () и любых положительных  и  выполнены равенства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .

Перейдём к определению логарифмической функции

Пусть  – положительное число, не равное 1.



 Это функция вида  

Число  называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(loga x) = 

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1

Логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

При любом основании  a >0,  a1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

при график имеет такой вид: 







При график получается такой: 







































Глава 3.

Тождественные преобразования показательных и

логарифмических выражений на практике.



Задание 1.

Вычислите:



1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) 



Решение:

Используя свойство степени, получим:

;

Ответ: 27

2) ;

Ответ: 9

Применяя свойства логарифмов и степени:

;

Ответ: 24

4) 

;

Ответ: 7

5)   Известно, что =1, а =0, поэтому:



.         Ответ: 0

Задание 2.

Упростите выражения:

1) ;

2) ;

3) .

Решение:

Применим свойства степени:

;

Ответ: 

2)  Откроем скобки и приведём подобные слагаемые:



	, т.к. 

	Ответ: 

3) Воспользуемся формулами перехода к новому основанию







Ответ: 

Задание 3.

Найдите значение выражений:

1) ;

2) ;

3) ;

4).



Решение:

1)  Воспользуемся свойствами логарифмов



Ответ: 2



Ответ: 2



Ответ: -3

4) 



Ответ: 1



Задание 4.

Прологарифмируйте по основанию  выражение:

1)  при ;

2)  при , , .

Решение:

1) Согласно свойствам логарифма:





Ответ: 

2) 



Ответ: .



Задание 5.

Найдите , если:

1) ;

2) .

Решение:

1) Применяя свойства логарифмов:









Ответ: 108

2) 





.

Ответ: .





Задание 6.

Известно, что . Найти .

Решение:

Домножим и разделим выражения, стоящие под знаком логарифма на сопряженные:





.

Ответ: .



Задание 7.

Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

Решение:

1) Перейдём к основанию 2 в обеих частях уравнения

 





Ответ: -2; 4

2) Число 2,25 запишем в виде обыкновенной дроби 







, так как , то , получаем, что 

Ответ: 0,25

 Применим свойства логарифмов

 



.

Ответ: .


Заключение



     В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений» мною было рассмотрено введение данного материала в обучение в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Тема тождественных преобразований, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому о преобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при изучении математики.

В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверки знаний учащихся.



















































Список использованной литературы:



	«Математический анализ» Н.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд 

Изд. «просвещение», М.:1969 г.

		Ильин «Основы Математического анализа», М.: 2004 г.

		Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Просвещение, 1991г.

	И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике (решение задач). Уч.пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г.

	Зорич В.А. «Математический анализ» для студентов физ.-мат.   Факультетов, М.: 2007 г.

	Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1985г.

	Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А.Н. Колмогорова

	«Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса» Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбург.

















2