Некоторые примеры некоммутативных алгебр

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Московский педагогический государственный университет»



математический факультет

кафедра Алгебры.









РЕФЕРАТ



По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».













Выполнила:

Студентка

группы 6 курса

Браницкая Нина Анатольевна

Научный руководитель:

Ширшова Елена Евгеньевна.







Москва, 2010


Содержание:

	Глава 1. Основные понятия и определения	4

	Глава 2.  Примеры некоммутативных алгебр	3

		Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 	3

		Свойства векторного произведения	4

		Выражение векторного произведения через координаты	4

		Множество квадратных матриц  над полем 	5

		Тело кватернионов К над полем 	5

		Основные свойства	6

		Алгебра Грассмана над полем 	9

		Следствия	10

		Список литературы	11


Основные понятия и определения.

Определение: Пусть F – поле, V  - некоторое множество, на котором заданы следующие операции:

операция сложения:



операция умножения:



Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия:

 - абелева группа;



Элементы множества V называются векторами, а элементы поля F – скалярами.

Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй, если выполняются следующие условия:



Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам  сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:

.

Определение: Алгебра  называется ассоциативной, если .

Определение: Алгебра  называется коммутативной, если .

Определение: Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей, а элемент - единицей алгебры.



Примеры некоммутативных алгебр.



Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.

Определение: Векторным произведением вектора  на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах  и  , как на сторонах, т.е. , где ;

3. векторы , и  образуют правую тройку векторов.

Обозначение: , где .



Свойства векторного произведения.



При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть 

Доказательство: Векторы  и  коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , ,  противоположной ориентации). Следовательно,  .

Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть .

Доказательство: Пусть . Вектор  перпендикулярен векторам  и . Вектор также перпендикулярен векторам  и (векторы ,  лежат в одной плоскости). Значит, векторы  и  коллинеарные, сонаправленые (), имеют одинаковую длину ()

Поэтому . Аналогично доказывается при .

Два ненулевых вектора  и  коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть.

Доказательство: . Следовательно, .

В частности, .



Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть 



Выражение векторного произведения через координаты.

Таблица векторного произведения векторов  		

Пусть заданы два вектора  и , такие, что , 

Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: .

Проверим, является ли векторное пространство  линейной алгеброй.



Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера,  - алгебра.

Проверим, является ли  ассоциативной алгеброй.



Следовательно,  не является ассоциативной алгеброй.

Проверим, является ли  коммутативной алгеброй.

, такие образом, .

Следовательно,  не является коммутативной алгеброй.

Замечание:  является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.



Множество квадратных матриц  над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц 

.

Замечание:  является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей .



Тело кватернионов К над полем . Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.

, 

где  - мнимые единицы со следующей таблицей умножения: 



Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:





Определение: Кватернион  называется сопряженным к .

Определение:  называется модулем кватерниона .

Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой. 

Рассмотрим базис: 

Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:















Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:

,

здесь  - комплексно-сопряженные числа к .



Основные свойства.

1. 	комплексному числу соответствует диагональная матрица;

	сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица .









3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы .

Докажем это свойство:



Следовательно, .

Проверим, является ли  алгеброй.

1.  - векторное пространство?

а).  - абелева группа?



1). 

2). 



3). 

4).

 

Из 1) - 4) следует, что  - абелева группа.

б). 

в). 

г). 



д).

 

Из а) - д) следует, что  - векторное пространство.

2.





Аналогично проверяется, что 

3.



Аналогично проверяется, что .

Из 1-3 следует, что  - алгебра над полем .

Замечание:  - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем .



 Алгебра Грассмана над полем .

Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов , обладающих свойствами:

(a) *свойство антикоммутативности*	  		(1)

(b) любое другое соотношение между образующими элементами  является следствием соотношения (1), в частности  

Обозначение:  - алгебра Грассмана с  образующими элементами.

Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.

Начнем с алгебры . В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры  есть .

Рассмотрим алгебру , содержащую два образующих элемента , причем . Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры  выглядит так: .

Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем  образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы  принимают значения .

Заметим теперь, что любой моном , где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей  какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры  имеет вид: 

		(2)

где . По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до  в каждом слагаемом. 

Следствия.

1. Любой моном, содержащий ровно  сомножителей, равен с точностью до знака произведению .

2. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента  некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами 

Подсчитаем число базисных элементов.

Число образующих  равно , число мономов  - числу сочетаний из  элементов по 2, то есть , число мономов  - числу сочетаний из  элементов по 3, то есть , и так далее. 

В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет 

Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности .


Список литературы.



Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.

Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.

Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.