Алгебра и начало анализа

Алгебра и начала анализа.

1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.

Ответ 

2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график.

Ответ 

3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).

Ответ 

4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.

Ответ 

5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график.

Ответ 

6. Функция y = sin(x), её свойства и график.

Ответ 

7. Функция y = cos(x), её свойства и график.

Ответ 

8. Функция y = tg(x), её свойства и график.

Ответ 

9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.

Ответ 

10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.

Ответ 

11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ 

12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.

Ответ 

13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.

Ответ 

14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.

Ответ 

15. Формулы приведения (с выводом).

Ответ 

16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).

Ответ 

17. Тригонометрические функции двойного аргумента.

Ответ 

18. Тригонометрические функции половинного аргумента.

Ответ 

19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).

Ответ 

20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.

Ответ 

21. Логарифм произведения, степени, частного.

Ответ 

22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.

Ответ 

23. Правила вычисления производной.

Ответ 

Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной. 

Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х. 

График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0. 

Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох. 

График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx. 





Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).

Свойства функции y = ax2 при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.



Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной пропорциональности. 

Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. . 

Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях. 

Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается. 





№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = ax при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х < 0, то 0< ax <1;

2. Функция y = ax при 0< а <1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< ax <1;
е) если х < 0, то ax > 1.



№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0<x<1, то loga x < 0;
е) если x > 1, то loga x > 0.
Свойства функции y = loga x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 < x < 1, то loga x > 0;
е) если x > 1, то loga x < 0.



 №6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).

область определения - множество всех действительных чисел; 

множество значений - [-1; 1]; 

функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ; 

функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; 

sin(x) = 0 при x = ; 

sin(x) > 0 для всех ; 

sin(x) < 0 для всех ; 

функция возрастает на ; 

функция убывает на .



№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )

область определения - множество всех действительных чисел; 

множество значений - [-1; 1]; 

функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ; 

функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; 

cos(x) = 0 при ; 

cos(x) > 0 для всех ; 

cos(x) > 0 для всех ; 

функция возрастает на ; 

функция убывает на 



№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ). 

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида; 

множество значений - вся числовая прямая; 

функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения; 

функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; 

tg(x) = 0 при х = ; 

tg(x) > 0 для всех ; 

tg(x) < 0 для всех ; 

функция возрастает на . 



№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg ) 

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ; 

множество значений - вся числовая прямая; 

функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения; 

функция периодическая с наименьшим положительным периодом ; 

ctg(x) = 0 при x = ; 

ctg(x) > 0 для всех ; 

ctg(x) < 0 для всех ; 

функция убывает на . 



Ответ № 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. 

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d. 

Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d. 

Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. 

Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1) 

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2) 

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3) 

Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение 

Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная. 

Ответ № 11

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. 

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. 

Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. 

Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. 

Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1) 

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2) 

Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3) 

Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4) 

Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная. 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при 

Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при . 

Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула . 

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a 

формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид: 
Частные случаи: 

sin(x) = 0, x = 

sin(x) = 1, x = 

sin(x) = -1, x = 

формула для корней уравнения sin2(x) = a, где , имеет вид: x= 

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. 

При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства. 

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х = ;
sin(x) = -1, если x = >; 
sin(x) > 0, если ;
sin(x) < 0, если . 

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: . 

Частные случаи:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x = 

Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где , имеет вид: . 

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x); 

Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если ;
cos(x) = -1, если x = ;
cos(x) = 1, если x = ;
cos(x) > 0, если ;
cos(x) > 0, если . 

№ 14                              

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: . 

Частные случаи:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, . 

Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где , имеет вид: 

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x). 

Важно знать, что:
tg(x) > 0, если ;
tg(x) < 0, если ;
Тангенс не существует, если . 

№ 15

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg . 

Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу: 

Функция 

Аргумент 



















sin 

cos 

cos 

sin 

-sin 

-cos 

-cos 

-sin 

sin 

cos 

sin 

-sin 

-cos 

-cos 

-sin 

sin 

cos 

cos 

tg 

ctg 

-ctg 

-tg 

tg 

ctg 

-ctg 

-tg 

tg 

ctg 

tg 

-tg 

-ctg 

ctg 

tg 

-tg 

-ctg 

ctg 

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют;
б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , . 

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны. 

№ 16

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

           Рис.1                         Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения векторов:
= х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin .
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
= R2cos cos + R2sin sin = R2(cos cos + sin sin).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= cos BOC = R2cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому
= R2 cos ( - ).
Т.к. равно также R2(cos cos + sin sin), то 
cos( - ) = cos cos + sin sin.

cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin. 
Значит, 
cos( + ) = cos cos - sin sin. 

Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin.
Значит, 
sin( + ) = sin cos + cos sin.

sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.
Значит, 
sin( - ) = sin cos - cos sin. 

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; . 



№ 18



Формулы половинного аргумента

Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2 - sin2 через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2 = 1 - sin2 , cos 2 = 2 cos2 - 1.
Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1) 

Из формул (1) следует, что 
  (2),   (3). 

Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
  (4). 

В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2. 

Полезно знать следующую формулу: 
. 

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

   Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
   Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
   Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно, 
      sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
      sin -sin = 2 cos sin ;
      cos + cos = 2 cos cos ;
      cos + cos = -2 sin sin . 

№ 20



Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду . 
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.



№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
   Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
   Свойства логарифмов:

; 

; 

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y = .
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = = .
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан. 

Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством. 

№ 22

Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: . 

Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку. 

Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке. 

Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной. 

Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс. 

№ 23

Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
. 

Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и
. 

Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
. 

Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и
.