Теория вероятности и математическая статистика

Федеральное агентство по образованию РФ

НОУ ВПО Международный университет бизнеса и новых технологий (академия)





















Контрольная работа по теории организации и математической статистике

Вариант № 4





Выполнила: Спицина Н. Н.

Специальность: МН - 2


Задание 1



В коробке 12 зеленых, 5 красных, 6 синих карандашей. Из коробки наудачу берут три карандаша. Какова вероятность того, что все они будут синими? Рассмотреть случаи, когда карандаши: а) не возвращают в коробку; б) возвращают в коробку.

Решение:

а) Событие А – все три вынутые без возращения в коробку карандаши синие.

Согласно классическому определению вероятность события А равна:







В коробке 12+5+6=23 карандаша.

Общее число исходов равно:







Благоприятное число способов равно:









Ответ: вероятность того, что все три вынутые без возращения в коробку карандаши синие, равна 0,011.

б) Событие В – все три вынутые с возращением в коробку карандаши синие, то есть три раза будут выниматься 1 синий шар из 23.

Вероятность извлечения одного синего карандаша р = 6/23.

Воспользуемся схемой Бернулли:





q = 1-6/23=7/23

n = 3

m=3





Ответ: вероятность того, что все три вынутые с возращения в коробку карандаши синие, равна 0,018.



Задание 2



Из колоды в 32 карты наугад вынимают 5. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно один туз.

Решение:

Событие А – из вынутых наугад 5 карт, ровно один туз.

Согласно классическому определению вероятность события А равна:







Пусть детали пронумерованы с 1 до 80, с 1 до 20 стандартные и с 21 по 80 не стандартные.

Общее число исходов равно:






Благоприятное исход состоит в том, что вынут 1 туз из 4-х возможных и 4 другие карты из оставшихся 28, таким образом, число благоприятных способов равно:









Ответ: вероятность того, что из вынутых наугад 5 карт, ровно один туз, равна 0,407.



Задание 3



Брак изделий цеха составляет 11%. Найти вероятность того, что из 250 изделий цеха окажется бракованными: а) ровно 45 изделий; б) от 145 до 155 изделий; в) не менее 101 изделий; г) не более 100 изделий.

Решение:

а) Вероятность того, что из 250 изделий цеха окажется бракованными ровно 45 изделий, найдем, используя локальную теорему Лапласа:








б) Вероятность того, что из 250 изделий цеха окажется бракованными от 145 до 155 изделий, найдем, используя интегральную теорему Лапласа:







где Ф – функция Лапласа (значения берутся из таблиц).







Подставляем:





в) Вероятность того, что из 250 изделий цеха окажется бракованными не менее 101 изделий, найдем, используя интегральную теорему Лапласа:



,



где Ф – функция Лапласа (значения берутся из таблиц).






Подставляем:







г) Вероятность того, что из 250 изделий цеха окажется бракованными не более 100 изделий, найдем, используя интегральную теорему Лапласа:







где Ф – функция Лапласа (значения берутся из таблиц).







Подставляем:






Задание 4



Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй вызов – 0,3, третий вызов 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

Решение:

Событие А - корреспондент услышал вызов.

Событие Н1 - принят первый вызов.

Событие Н2 - принят второй вызов.

Событие Н3 - принят третий вызов.



Р( Н1 ) = 0,2, Р( Н2 ) = 0,3, Р( Н3 ) = 0,4.

Р (А / Н1) = 1/3; Р (А / Н2) = 1/3; Р( А/Н2 ) = 1/3.



Используя формулу полной вероятности, получим



Р( А ) = Р( А / Н1 ) · Р( Н1 ) + Р( А / Н2 ) · Р( Н2 ) + Р( А / Н3 ) · Р( Н3 ) =





Ответ: вероятность того, что корреспондент услышал вызов, равна 0,3.



Задание 5



Случайная величина ξ имеет распределение вероятностей, представленное таблицей:

ξ

1

2

3

4

5

Р(Х)

0,1

0,15



0,2

0,3




Найти Р(3), функцию распределения F(Х). Построить многоугольник распределения.

Решение:

Найдем Р(3):











ξ

1

2

3

4

5

Р(Х)

0,1

0,15

0,25

0,2

0,3



Найдем и построим функцию распределения F(Х):











Построим многоугольник распределения:






Задание 6



Найти М(ξ), D(ξ), σ(ξ) случайной величины ξ примера 5.

Решение:

Найдем М(ξ) случайной величины ξ из примера 5:



Найдем D(ξ) случайной величины ξ из примера 5:







Найдем  случайной величины ξ из примера 5:







Задание 7



ξ- непрерывная случайная величина с плотностью распределения φ(Х), заданной следующим образом:


φ(Х)= 



Найти функцию распределения F(Х).

Решение:

Найдем функцию распределения F(Х):

При 





При 



При 







Задание 8



ξ- непрерывная случайная величина из примера 7. Найти М(ξ), D(ξ).

Решение:

Найдем М(ξ):



.

Найдем D(ξ):