Аналитическая геометрия 2

министерство образования российской федерации

		

		магнитогорский государственный

		технический университет им.  г. и. носова

		

		кафедра математики

		

		

		

		

		

		

		

		

		аналитическая геометрия

		

		

		Методическая разработка для самостоятельной

		 работы студентов по курсу «Высшая математика»

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		Магнитогорск

		2007

		    Составитель: Акуленко И. В.

		

		

		

		    Аналитическая геометрия: Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по курсу «Высшая математика» для студентов всех специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2007. 30 с.

		

		    Методическая разработка содержит перечень вопросов по изучаемому разделу, решение типовых задач по изучаемому разделу.

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		    Рецензент: старший преподаватель Коротецкая В. А.

		

		

		    

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		Введение

		    Методическая разработка предназначена для студентов всех специальностей.

		    Данная методическая разработка ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач по разделу «Аналитическая геометрия».

		    В методической разработке:

		содержится теоретическое введение;

		решение типовых задач;

		указана литература.

		    Методическая разработка предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы.

		

		Прямая на плоскости



 – общее уравнение прямой;

 – уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) перпендикулярно нормальному вектору 





х

у

М0

уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой);





х

у

М0

 















 параметрическое уравнение прямой;

уравнение прямой в отрезках, где  и - величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях  и  соответственно;

уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0), угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой  к положительному направлению оси ;

уравнение прямой с угловым коэффициентом ;  - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;

тангенс острого угла между двумя прямыми и   

 и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и   

расстояние от точки М0(х0, у0) до прямой ;

уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и 



уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2);







Пример 1. Даны вершины треугольника М1(2; 1), М2(-1; -1) и М3(3; 4). Составить уравнения его высот.

Решение.

Пусть М1N – высота треугольника М1М2М3. Рассмотрим два вектора  и  По условию эти векторы ортогональны.

Значит,Аналогично находим другие высоты треугольника.

Ответ: 



Пример 2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А(3; 2), В(5; -2), С(1; 0).

Решение.



Воспользуемся уравнением прямой, 

АВ: 



Найдем уравнение медианы АМ. Для этого найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:



М(3; -1). 

Уравнение АМ: 

уравнение медианы, проведенной из вершины А.



Найдем уравнения СВ и CN; N(x; y),                                                                  где     

          N(4; 0).

Тогда ВС: 

CN: 

Ответ: АВ:  ВС: СА:  АМ: 

СN: BF: 

Пример 3. Даны вершины треугольника А(1; -1), В(-2; 1) и С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В. 

Решение.





х

  0

  у

  К(2; 2)

  С(3; 5)

  А(1; -1)

  В(-2; 1)















По условию следовательно,  

Тогда искомое уравнение будет:  

Ответ: 

Пример 4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В(2;-7), а также уравнение высоты и медианыпроведенных из различных вершин.



Решение.

По условию  есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС.



 (ВС).

Обозначим координаты вершины А через x1, y1: A(x1; y1). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то  Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнениюКроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x1; y1) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:



Отсюда находим х1=-4, у1=1, А(-4; 1).

Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору 

          (АВ).

Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):

отсюда С(5; -6).

Уравнение  стороны  АС  как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6); (АС).

Ответ: (ВС) , (АВ) , 

(АС) .



Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми .

Решение.

Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d1 и d2  от этой точки М до данных прямых равны между собой:  d1=d2 , т.е. 

 

Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид: , а уравнение другой  или 

Ответ: 



Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми  в котором лежит точка А(2; -1).

Решение.

Подставляя координаты точки А в левые части уравнения прямых, получим 2+7(-1)+3<0, 2-1+2>0. Значит, точка А лежит в тех полуплоскостях от данных прямых, для координат точек которых Искомая биссектриса проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции  и  имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы: или 

Ответ: 































Плоскость

1) уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору 



М0

М(х; у; z)



















2) общее уравнение плоскости,  - нормальный вектор этой плоскости.

3) уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;

Пусть даны две плоскости  

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормальными векторами: или в координатной форме



Условие перпендикулярности двух плоскостей и : или в координатной форме: .

Условие параллельности двух плоскостей  и : 

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :  

        М1(х1; y1; z1), М2(х2; y2; z2), М3(х3; y3; z3): 





М1

М(х; у; z)

М2

М3

















или в координатной форме: 

Если плоскость  задана общим уравнением а  - некоторая точка пространства, то   есть формула расстояния от точки М0 до плоскости.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.

   Еслииесть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа любые не равные одновременно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор 

Решение.



М1

М(х; у; z)



                                                                       











  Для вывода уравнения плоскости  возьмем  на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими  координатами.  Получим вектор   

По условию      

Ответ:       



Пример 2. Даны две точки М1(3; -1; 2) М2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М1 перпендикулярно вектору 

Решение.

По условию вектор  является нормальным вектором искомой плоскости Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору есть или  

   

Ответ: 



Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно двум векторам и 

Решение.

  Отложим  векторы и в плоскости, проходящей через точку М1, и возьмем  на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими  координатами.  



М1

М(х; у; z)





   















Получим, что три вектора ,  лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.

      Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.

    



Ответ: 



Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору 

Решение.

    Отложим вектор и точку М(x; y; z) с текущими  координатами в плоскости, проходящей через точки М1 и М2. 



М1

М(х; у; z)



М2



                                                                                                                                                    













      Получим компланарные векторы   Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь: 

или  

Ответ:  



Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).



Решение.

        Возьмем на плоскости точку с текущими  координатами М(x; y; z), будем иметь                                                                           векторы     





М1

М(х; у; z)

М2

М3









                                                                           

                                                                          





    Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

 или 

Ответ: 



Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; -2; 7) параллельно плоскости  

Решение.

     Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим:  через данную точку М1 провести плоскость, перпендикулярно данному вектору 



 

Ответ: 

Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:  

Решение.

     Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям  и , то нормальные векторы  и и вектор (М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно,   или 

Ответ: 



Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(1; -1; -2) и  М2(3; 1; 1) перпендикулярно к  плоскости  

Решение.

       Так как искомая плоскость перпендикулярна  плоскости  , то нормальный вектор отложим в плоскости точек М1 и М2. 



М1

М(х; у; z)



М2













    Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы: 

 Три вектора  и  - компланарны, поэтому    или 

Ответ: 





Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М2(1; 4; 3).

Решение.

    Так как плоскость проходит через ось Оу, то её уравнение можно взять в виде . Плоскость  проходит через точку М2(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: ,  к=-3,  

      Ответ: 



Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(7; 2; -3) и  М2(5; 6; -4) параллельно оси Ох.

Решение.

      Уравнение плоскости, параллельной оси Ох, имеет вид: (коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так:  Так как эта плоскость проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений: 

 

Тогда  или 

Ответ: 

Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

Решение.

    Рассмотрим векторы , ,.Если они компланарны, то данные точки лежат  в  одной плоскости.





А

D

В

С















   

Тогда 

Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.



Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины. 

Решение.

    Уравнение плоскости в отрезках:  По условию а=b=c>0. Тогда уравнение плоскости можно записать  Так как точка М1(4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2=а, а=9. Следовательно, 

Ответ: 



Пример 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей    параллельно вектору 





Решение.



   Векторы  и  - нормальные векторы данных плоскостей.





М1

М(х; у; z)



















                                                                                          



 Найдем  их векторное произведение:



В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор 

      Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М1(х; у; 0), тогда 

 М1().

Так как векторы  компланарны, то  

Ответ: 









Прямая и плоскость в пространстве

1) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) параллельно направляющему вектору 



М0(x0; y0; z0)

                         













2) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2);



М(x; y; z)

М1(x1; y1; z1)

M2(x2; y2; z2)                                                                                                   













3) уравнения параметрическое уравнение прямой в пространстве.

4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

L1: ,

L2: .

 За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами  : 

, или в координатной форме

 .

5) условие перпендикулярности двух прямых L1 и L2.

6) условие параллельности двух прямых L1 и L2 в пространстве.

7) Общие уравнения прямой в пространстве

     

где коэффициенты А1, В1,  С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.



Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые: 

L1: , L2: .

Решение.

   Обозначим точки, через которые проходят прямые L1 и L2 - М1(2; -1; 3) и М2(1; 2; -3). Им соответствует вектор 



М1

М(х; у; z)



М2

L1

L2





















Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими  координатами, получим вектор . Таким образом, три вектора  и направляющий вектор прямой

 компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем или 

Ответ: 



Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости  

Решение.

, . Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости: 





Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.

Ответ: 

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 2; -3) параллельно прямым , .

Решение.

  Отложим в искомой плоскости точки М1(1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы , .











М1

М(х; у; z)



                                                                 







            







 Тогда три вектора  и будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: , т.е.   



Ответ: 



Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно прямой .

Решение.

Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы  и  будут коллинеарные, т.е. . Отсюда получаем   

Ответ:   



Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -2; 1) и прямую   

Решение.

По уравнениям данной прямой находим точку прямой М2(1; 2; -3) и направляющий вектор прямой . 







М1

М(х; у; z)



М2















Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости:  , . 

По условию компланарности трех векторов имеем: 

или 

Ответ: 

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости 

Решение.



М1

М(х; у; z)









                                                                                     











Три вектора , компланарны только  тогда, когда или  

Ответ: 



Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; -2; 1) перпендикулярно прямой 

Решение.





М1

М(х; у; z)





















   Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором  в одной плоскости. Следовательно, векторы , ,   компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем: 

или 

Ответ: 



Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 1; -1) и М2(3; 4; 1) параллельно прямой . 

Решение.

Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор .











М1

М(х; у; z)



М2

l



















  Векторы , , и  компланарны. По условию компланарности трех векторов , ,  имеем: 

или 

Ответ: 



Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М0(2; 3; 1) на плоскость 

Решение.

Нормальный вектор данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М0(2; 3; 1). Её уравнение 

Ответ: .



Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М1(3; 2; 1) на прямую .









Решение.

   1)  Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору - направляющему вектору прямой):

или 

   2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М2(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М1(3; 2; 1) и М2(0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой . Имеем . Следовательно, уравнение второй плоскости

или 

  Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения и будут уравнениями прямой l – искомого перпендикуляра.

Ответ: 



Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку      М0(-4; 3; 0)  и параллельно прямой 

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой , 

  Тогда уравнение искомой прямой есть .

Ответ: .



Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М0(-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым и .

Решение.

                     







М1

М2







                     





               

    Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой. 



    Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет: 

Ответ: 



Пример 13. Задана плоскость Р:  и прямая L: , причем LР.

Требуется найти: 

угол между прямой и плоскостью;

координаты точек пересечения прямой и плоскости.









Решение.









                                                                                              















,, ,

        

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

, или параметрически  х=1, у=2t, z=t-1.

    Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0;  t=-3.  Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х=1, у=-6, z=-4.

Ответ: а)  b) (1; -6; -4).



 Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:  

Решение. 

Найдем направляющие векторы данных прямых

 

  

, 

Ответ: 



Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость 

Решение.

Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку        А(4; -3; 1), к плоскости

Получим .

Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х=t+4, у=2t, z=-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0;  6t=6; t=1.

Подставим найденное значение параметра  t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х0=5, у0=-1, z0=0.

Ответ: (5; -1; 0).





Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .



d

M

A(-1;-2; 1)

Решение.







  

  









;  найдем             



  

Ответ: 



Пример 17.  Заданы скрещивающиеся прямые L1:   и

L2: Найти расстояние d(L1; L2) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L  к этим прямым.

Решение.





L1



M1(0; 1; -2 )

M2(-1; -1; 2)























Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L1, параллельную L2. Точка М1(0; 1; -2) лежит на прямой L1 и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор 



Уравнение плоскости Р: или в общем виде  Расстояние d(L1; L2) равно расстоянию от любой точки прямой L2, например, точки М2(-1; -1; 2), до данной плоскости Р.

 

Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L,  найдем уравнение плоскостей Р1 и Р2, проходящих через заданные L1 и L2  сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем:  М1(0; 1; -2)Р1 и  откуда Р1:  

Аналогично,  М2(-1; -1; 2)Р2 (Р) и  откуда Р2:  Так как L=P1P2, то - общее уравнение прямой L. 

Ответ: 



Пример 18: Составить уравнение прямой, проходящей через точку    М0(2; 1; 0) и пересекающей две прямые  и .

Решение.

  Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых.

    Уравнения этих плоскостей: 

,  

или - искомые уравнения прямой. 

Ответ:  

	Библиографический список

 

Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.

Соболь Б. В., Мишняков Н. Т., Поркшеян В. М. Практикум по высшей математике. – Ростов Н/ Д: изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.








         Решение:

       1) проверить, что заданные высоты не проходят через известную вершину C; 
       2) найти угловые коэффициенты данных прямых; 
       3) найти угловые коэффициенты сторон треугольника BC и AС, исходя из того, что прямые, на которых лежат эти стороны, перпендикулярны данным прямым (высотам):

,     ; 

    4) составить уравнения этих сторон, зная их угловые коэффициенты и точку С, через которую они проходят;
    5) найти остальные вершины треугольника, решая совместно уравнения соответствующих высот и сторон треугольника;
    6) найти уравнение оставшейся стороны AB треугольника по двум точкам - найденным вершинам А и В. 





 

 

 











2