О группах Ассура, фермах Баранова, цепях Грюблера, плоских шарнирных механизмах и об их структурном синтезе

О группах Ассура, фермах Баранова, цепях Грюблера, плоских шарнирных механизмах и об их структурном синтезе

Э.Е. Пейсах, Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна

Структурные группы (или группы Ассура), статически определимые шарнирные фермы (или фермы Баранова), замкнутые кинематические цепи Грюблера – это известные понятия, относящиеся к структуре плоских рычажных механизмов.

Центральной задачей в данной области является структурный синтез четырёх указанных объектов. Цель структурного синтеза – получение всех принципиально возможных структурных схем групп Ассура, ферм Баранова, цепей Грюблера, плоских шарнирных механизмов для заданных значений числа их звеньев. При этом предполагается, что исключаются из рассмотрения различные особые случаи, например, совмещённые шарниры, пассивные связи и другие (такие особые случаи исследуются отдельно – вне рамок указанной центральной задачи структурного синтеза). 

Что касается числа n звеньев, то это число может принимать такие значения: для групп Ассура n = 2, 4, 6, 8, …; для ферм Баранова n = 3, 5, 7, 9, …; для цепей Грюблера и плоских шарнирных механизмов n = 4, 6, 8, 10, …

В практическом плане важным результатом структурного синтеза является создание каталогов групп Ассура, ферм Баранова, цепей Грюблера, плоских шарнирных механизмов. С точки зрения хранения и использования информации наиболее удобным вариантом таких каталогов являются электронные каталоги. Но при сравнительно малом числе звеньев (до восьми для групп Ассура и шарнирных механизмов, до девяти для ферм Баранова и до десяти для цепей Грюблера) такие каталоги могут быть и на бумажных носителях.

Отметим одну важную особенность задачи структурного синтеза любого из четырёх рассматриваемых объектов при заданном значении числа его звеньев. Существует один, и только один, правильный результат решения такой задачи. Например, существуют только две четырёхзвенных группы Ассура (рис. 1,а), только одна пятизвенная ферма Баранова (рис. 1,б), только две шестизвенных цепи Грюблера (рис. 1,в) и т. д. Каждая из названных структур имеет определённую конфигурацию (в топологическом отношении). Результат решения задачи структурного синтеза (если он правильный) есть объективная реальность, достоверный факт. Он не зависит от используемых методов и алгоритмов, от разных точек зрения у разных специалистов.

Какова же на сегодняшний день ситуация в структурном синтезе четырёх рассматриваемых объектов? Какие из результатов структурного синтеза можно с полным основанием считать твёрдо установленными достоверными фактами, не нуждающимися в какой-либо дополнительной проверке? Какие результаты получены, но нуждаются в проверке рядом независимых исследователей? Какие задачи структурного синтеза пока не решены?

Известные на сегодняшний день результаты структурного синтеза приведены в таблице 1.

а)

б)

в)















Рис. 1

Таблица 1

Число звеньев

Число групп 

Ассура

Число цепей Грюблера

Число 

механизмов

Число звеньев

Число ферм Баранова

2

1

-

-

3

1

4

2

1

1

5

1

6

10

2

9

7

3

8

173

16

153

9

28

10

5442

230

4506

11

-

12

251638

6856

195816

13

-

14

-

318162

11429024

15

-

16

-

-

-

17

-

 

Анализ литературных источников по теории механизмов за период с 80-х годов XIX века до наших дней позволяет дать ответы на поставленные выше вопросы. Результаты такого анализа (отражающие точку зрения автора данной статьи) приведены в таблице 2.

Отметим, что в двух первых из четырёх случаев, указанных в таблице 2, известны не только числа соответствующих структур, но и сами структуры (их полный состав). Несмотря на то, что в третьем случае результаты синтеза нуждаются в проверке и подтверждении несколькими независимыми специалистами, всё же достаточно высока вероятность того, что эти результаты являются правильными.

III

При сравнительно малых значениях числа n звеньев поиск соответствующих структур может быть выполнен вручную, то есть без помощи компьютера. При этом важную роль играет такой фактор, как возможность визуального контроля специалистом получаемых промежуточных результатов и исключения непригодных структур. Поэтому все неучтённые в математической модели задачи условия, которым должны удовлетворять искомые структуры, восполняются использованием упомянутого фактора. 

Таблица 2

Структура

Число звеньев

Группы Ассура

2, 4, 6

8

10, 12

14, 16

-

Цепи Грюблера

-

4, 6, 8, 10

12

14

16, 18

Шарнирные механизмы

-

4, 6

8

10, 12, 14

16, 18

Фермы Баранова

-

3, 5, 7

9

11, 13, 15, 17

-

█

твёрдо установленные, достоверные и общепризнанные результаты

█

твёрдо установленные и достоверные результаты (по мнению автора статьи)

█

результаты, которые получены, но требуют дополнительной проверки 

€

до настоящего времени не получены решения

































 

По мере увеличения числа звеньев резко возрастает число соответствующих структур, и исследователь не в состоянии рассмотреть все возможные варианты при их анализе "вручную". Структурный синтез должен быть полностью автоматизирован. В связи с этим необходимо создавать такие математические модели, которые корректно отображали бы все условия – в форме уравнений и неравенств, логические условия, а также трудно формализуемые условия, которые в структурной теории механизмов обычно выражаются в словесной форме.

При разработке программ структурного синтеза возникают две группы проблем: 1) учёт всего комплекса правил, условий и ограничений, относящихся к структурной теории механизмов, их формализация и представление в виде соответствующего алгоритма; 2) алгоритмизация процедур, связанных с формированием банка данных (БД) по синтезируемым структурам с заданным числом звеньев.

Перечислим теперь некоторые проблемы, связанные с формированием БД по плоским шарнирным механизмам (а также группам Ассура, фермам Баранова и цепям Грюблера):

· создание на базе структурной схемы механизма (то есть на базе графического объекта) её адекватного формализованного символьного представления (ФСП), а также визуализация ФСП, то есть его преобразование в структурную схему механизма в привычном для человека графическом виде с целью вывода на экран или на печать; 

· идентификация структурных схем, то есть создание такого особого формализованного символьного представления, при котором обеспечивается взаимно однозначное соответствие между структурной схемой механизма и её ФСП, независимо от того, в каком порядке нумеруются звенья механизма (обычно же вид ФСП зависит от принятого порядка нумерации звеньев механизма);

· выявление изоморфных (одинаковых) структурных схем в некотором их наборе с целью их исключения из этого набора и оставления в БД только неизоморфных (неповторяющихся) структурных схем механизмов.

Все перечисленные процедуры должны выполняться в автоматическом режиме.

IV

За каждым числовым результатом, приведённым в таблице 1, скрывается своя, порою достаточна содержательная, история. Некоторые из результатов известны уже 130 лет (например, числа 1 и 2 во второй и третьей колонках таблицы 1), другие – 90 лет (например, число 16 в третьей колонке), третьи – 70 лет (например, число 10 во второй колонке), четвёртые – 55 лет (например, числа 1, 1 и 3 в шестой колонке). 

В качестве примера остановимся здесь только на синтезе кинематических цепей Грюблера с числом звеньев 10, 12 и 14. 

Рядом авторов независимо друг от друга было установлено, что число десятизвенных кинематических цепей равно 230. Первое сообщение о 230 неизоморфных десятизвенных цепях относится к 1967 г. и принадлежит L.S. Woo [1]. В работе [1] приведены схемы всех 230 цепей, каждой из них присвоен свой номер. N.I. Manolescu и I. Tempea получили такой же результат в 1970 году (ссылки на эту и ряд последующих публикаций не включены нами в список литературы). О 230 десятизвенных кинематических цепях сообщают Q. Kiper и D. Schian в 1975 году. T.S. Mruthyunjaya в 1983 году нашёл с помощью разработанной им компьютерной программы 229 десятизвенных цепей, то есть его программа не смогла обнаружить одну десятизвенную цепь (а именно: цепь № 69 из каталога L.S. Woo [1]). Позднее число 230 было подтверждено в ряде публикаций, в том числе в работе [2], выполненной в 1998 году в Германии коллективом авторов (E. Peisach, H. Dresig, J. Schönherr и S. Gerlach).

По сообщению N.I. Manolescu [7], первое упоминание о числе двенадцатизвенных цепей содержалось в докторской диссертации F. Weinhold [3] (1973): им обнаружено 6855 таких цепей. Этот же результат был подтверждён в 1975 г. авторами Q. Kiper и D. Schian. В 1988 г. E.R. Tuttle, S.W. Peterson и J.E. Titus в двух статьях представили алгоритм, основанный на теории групп, с помощью которого они нашли 6856 двенадцатизвенных кинематических цепей, т. е. на одну больше по сравнению с ранее полученным результатом. Несколько иной результат, а именно 6862 цепи, был получен авторами W.-M. Hwang и Y.-W. Hwang в 1992 году. J. Srinath и S. Krishnamurty в 1995 году нашли 6856 кинематических цепей с 12 звеньями, что совпадает с одним из полученных ранее результатов. Разница в полученных разными авторами результатах (6855, 6856 и 6862), хотя и небольшая, потребовала ещё ряда независимых экспертиз. Программа, представленная в уже упомянутой выше работе [2], выполненной в 1998 году коллективом авторов, синтезировала 6856 неизоморфных двенадцатизвенных кинематических цепей. Точно такой же результат был получен в 2005 году авторами E.A. Butcher и C. Hartman [4]. Таким образом, есть основания полагать, что найденное значение 6856 является правильным.

Что касается синтеза 14-звенных цепей Грюблера, то на сегодняшний день имеются только две посвящённые им публикации. Впервые их общее число, оказавшееся равным 318162, было получено в 1998 году и представлено в упомянутой выше работе [2]. Точно такое же значение числа 14-звенных цепей было найдено в 2005 году в статье [4]. Авторы этой статьи E.A. Butcher и C. Hartman утверждают, что они первыми решили данную задачу. Скорее всего, они получили свой результат независимо (видимо, им было не известно, что задача была решена за семь лет до выхода их статьи). Удивительное совпадение полного числа 14-звенных кинематических цепей, найденное двумя независимыми группами исследователей при помощи разных алгоритмов и программ, с большой степенью вероятности свидетельствует о правильности результата.

V

Изложенные выше соображения позволяют заключить, что в структурном синтезе четырёх рассматриваемых объектов есть зона, в пределах которой задачи синтеза решены окончательно, и нет особого смысла вновь и вновь заниматься их решением, поскольку не приходится ожидать, что может быть получен какой-либо иной результат, кроме уже известного. Если же при решении задачи, относящейся к указанной зоне, получается результат, отличный от общеизвестного, то, как правило, он является ошибочным.

Для иллюстрации сказанного обратимся к двум недавним публикациям [5] и [6]. В этих статьях утверждается, что число семизвенных ферм Баранова не 3, а 5; число восьмизвенных цепей Грюблера не 16, а 20; число шестизвенных шарнирных механизмов не 9, а 7; число восьмизвенных шарнирных механизмов не 153, а 158; число восьмизвенных групп Ассура не 173, а 160 (по данным на с. 40 статьи [5]) или 167 (по данным на с. 31 статьи [5]), число девятизвенных ферм Баранова не 28, а 26 (если судить по рис. 5 на с. 33-34 статьи [5]). 

Все перечисленные утверждения являются ошибочными. Кроме того, в статьях [5] и [6] имеется немало и других неточностей и ошибочных утверждений и выводов (о них будет кратко сказано ниже).

О семизвенных фермах Баранова и их числе. В 1952 году Г.Г. Баранов получил три таких фермы [7]. В последующие годы этот результат воспринимался как очевидный факт. Однако авторы статьи [5] считают, что число семизвенных ферм равно пяти; они приводят на рис. 3 три фермы Баранова (№1, №2 и №3), а на рис. 4 - две дополнительные фермы. Ниже на рис. 2 показаны фермы №1 и №3 Баранова и две дополнительные фермы, полученные авторами статьи [5]. 



Фермы Баранова 

(по рис. 3 из статьи [5])

"Новые" фермы 

(по рис. 4 из статьи [5])

Матрица структурной схемы













Рис. 2

Из рис. 2 видно, что первая дополнительная ферма (см. рис. 4(а) в [5]) идентична по своей структуре ферме №1 Баранова, а вторая дополнительная ферма (см. рис. 4(b) в [5]) идентична ферме №3 Баранова. В том же самом можно убедиться, если составить структурную матрицу S для каждой из четырёх указанных структур (см. на рис. 2 справа). Элемент  матрицы S равен 1, если звено номер i связано шарниром со звеном номер k, и равен 0 в противном случае (i, k = 1, 2, …, n; n = 7).

Таким образом, нет оснований для пересмотра общеизвестного факта о том, что число семизвенных ферм Баранова равно трём. 

О восьмизвенных цепях Грюблера и их числе. Как известно, число восьмизвенных цепей Грюблера равно 16. Схемы всех этих цепей приводятся во многих учебниках по теории механизмов, изданных в Германии, а также в ряде англоязычных изданий. Однако авторы статьи [5] утверждают, что в статье [6] "убедительно показано, что восьмизвенных цепей Грюблера в действительности не 16, а 20" (см. с. 31). А в статье [6] сказано, что в ней "впервые приводятся новые виды цепей Грюблера, которые ранее известны не были" (см. с. 94). В таблице 2, озаглавленной "Полный состав восьмизвенных цепей Грюблера" (см. с. 91-92 статьи [6]) приведены рисунки всех 20 полученных авторами восьмизвенных цепей, и им присвоены номера от №1 до №20. 

Анализ этой таблицы позволил установить, что среди 20 изображённых там цепей Грюблера только 16 цепей являются неизоморфными, а 4 пары цепей встречаются в таблице дважды. Так, цепи №1 и №6, №11 и №14, №12 и №17, №19 и №20 являются попарно одинаковыми по своей структуре. Четыре указанных пары кинематических цепей показаны здесь на рис. 3 (они получены сканированием соответствующих изображений из статьи [6]). 



















Рис. 3

 

Структурная идентичность цепей видна визуально и может быть подтверждена составлением структурных матриц.

Таким образом, нельзя согласиться с тем, что в статье [6] "впервые приводятся новые виды цепей Грюблера, которые ранее известны не были".

В связи с восьмизвенными цепями Грюблера коснёмся ещё одного вопроса. На с. 92 статьи [6] сказано: "Согласно приведённой выше таблице 1 профессора Пейсаха Э.Е. таких цепей должно быть 16. К сожалению, Пейсах Э.Е. нигде не опубликовал собственно восьмизвенные цепи Грюблера и никак не обосновал записанное им число 16. Это даёт основание … усомниться в достоверности данных Пейсаха Э.Е.". И далее на с. 93: "… Можно предположить, что Пейсах Э.Е. этих двух цепей Грюблера просто не обнаружил. … Какие именно ещё две цепи были Пейсахом Э.Е. пропущены, можно будет установить после публикации найденных им цепей".

Я действительно не обосновал число 16 и не опубликовал собственно восьмизвенные цепи Грюблера, поскольку это было уже сделано 90 лет назад. Это – не мои данные, у меня нет оснований усомниться в их достоверности. Я считаю эти данные твёрдо установленными, они являются общепризнанными. Поэтому я в принципе не мог "не обнаружить" или "пропустить" две цепи.

О шестизвенных шарнирных механизмах и их числе. Структурные схемы всех шестизвенных механизмов давно известны. Их можно без труда построить из двух шестизвенных цепей Грюблера или из двух- и четырёхзвенных групп Ассура. Существует всего 9 таких механизмов. Структурные схемы всех девяти шестизвенных шарнирных механизмов приведены, например, в недавно опубликованной статье автора [8]. Между тем, авторы статьи [5] считают, что существует только 7 шестизвенных механизмов (см. таблицу 2, почему-то озаглавленную "Таблица Пейсаха Э.Е.", на с. 31). 

О восьмизвенных шарнирных механизмах и их числе. Первое сообщение о числе таких механизмов было помещено в работе автора [9] в 1989 г., где указывалось, что существует всего 153 восьмизвенных механизма. Этот результат был подтверждён в упомянутой выше работе [2], выполненной в 1998 году. В качестве приложения к работе [2] был создан электронный каталог всех восьмизвенных механизмов. Атлас структурных схем всех 153 механизмов был недавно опубликован в статье автора [10], причём, каждому механизму присвоен свой индекс – от 8М1 до 8М153. 

Авторы статьи [5] утверждают, что в статье [6] "убедительно показано, что … восьмизвенных механизмов не 153, а 158" (см. с. 31). В статье [6] на с. 92-93 сказано: "Это даёт основание … усомниться в достоверности данных Пейсаха Э.Е. Более того, знакомство с "Атласом" восьмизвенных механизмов, опубликованном в … /работе [10]/ … того же автора, показало, что в нём содержатся не все возможные структуры". И далее: "Эти механизмы … должны были быть включены в "Атлас", который содержал бы тогда в действительности не 153, на чём настаивает Пейсах Э.Е., а 158 механизмов". На рис. 10 статьи [6] приведены пять восьмизвенных механизмов, которые, по мнению авторов, отсутствуют в "Атласе" [10].

Анализ пяти указанных восьмизвенных механизмов показал, что все они присутствуют в "Атласе" [10]. В этом легко убедиться, сопоставив пять указанных механизмов из статьи [6] с точно такими же по структуре пятью механизмами из "Атласа" [10]. Ниже на рис. 4 приведены слева механизмы из статьи [6] (они имеют номера 53, 54, 65, 88 и 89, присвоенные им Л.Т. Дворниковым [11]), а справа – механизмы из "Атласа" [10].

Таким образом, авторы статьи [6] ошибаются, полагая, что число восьмизвенных шарнирных механизмов равно 158, а не 153. Кстати, ранее профессор Л.Т. Дворников в статье [11], опубликованной в 2004 году, утверждал, что полное число восьмизвенных механизмов равно 90.





















Рис. 4

 

О девятизвенных фермах Баранова и их числе. В 1952 году Г.Г. Баранов синтезировал 26 таких ферм [7]. В 1971 году N.I. Manolescu и T. Erdelean [12] обнаружили две новых фермы, 27-ю и 28-ю, и доказали, что тем самым найдены все принципиально возможные девятизвенные статически определимые фермы с вращательными парами. Таким образом, общее число девятизвенных статически определимых ферм равно 28. 

Авторы статьи [5], по-видимому, не знакомы с работой [12] (во всяком случае, в [5] на неё нет ссылки). На рис. 5 статьи [5] приведены 26 девятизвенных ферм Баранова [7], то есть не представлен полный состав таких ферм. 

О восьмизвенных группах Ассура и их числе. Первое сообщение о числе восьмизвенных групп Ассура принадлежит И.И. Тартаковскому. В 1983 году в статье [13] он сообщил, что из 28 девятизвенных ферм Баранова можно получить 173 восьмизвенных группы Ассура (собственно группы Ассура в статье [13] не приводятся). В 1998 году группой авторов [2] синтезированы восьмизвенные группы, число которых тоже оказалось равным 173; причём, разработанный алгоритм синтеза не связан с использованием ферм Баранова. В качестве приложения к работе [2] был создан электронный каталог всех восьмизвенных групп Ассура. 

Авторы статьи [5] утверждают (с. 35), что "в статье приведены все, построенные по найденным Барановым девятизвенным фермам группы Ассура". На рис. 7 статьи показаны 160 групп Ассура. Но при их построении не учтены 27-я и 28-я девятизвенные фермы [12], не обнаруженные самим Г.Г. Барановым. Кроме того, среди 160 групп имеется только 154 неповторяющихся группы, так как из ферм Баранова №№ 3, 4, 10, 14 и 15 (см. рис. 5 в статье [5]) можно получить соответственно 8, 5, 8, 8 и 8 восьмизвенных групп Ассура, а не 9, 6, 9, 9 и 9, как считают авторы статьи [5]; к тому же, группа №16-3 встречается на рис. 7 два раза. Помимо значения 160, в статье [5] дано ещё одно значение для числа групп: 167 (оно приведено на с. 31 в таблице 2, почему-то названной "Таблица Пейсаха Э.Е."). Но значение 167 никак не обосновано и нигде больше не встречается в статье [5]. 

Таким образом, в статье [5] приведены не все существующие восьмизвенные группы Ассура. Поэтому материалы этой статьи не дают оснований для пересмотра известного значения 173 для числа восьмизвенных групп. 

О кинематических цепях Грюблера. Это понятие широко распространено в немецкоязычной и англоязычной литературе по теории механизмов (в публикациях на русском языке оно встречается довольно редко). В это понятие вкладывается вполне определённый смысл. Однако, авторы статьи [6] в ряде своих утверждений отклоняются от общепринятого толкования понятия "цепи Грюблера".

Например, они вводят понятие "неработоспособные цепи Грюблера" и довольно подробно его обсуждают. В частности, они приводят на рис. 8 "неработоспособную шестизвенную цепь Грюблера", а на рис. 9 две "неработоспособных восьмизвенных цепи Грюблера". Но те структуры, которые изображены на рисунках 8 и 9, вовсе не являются цепями Грюблера с 6 и 8 звеньями. Вообще, "неработоспособных" цепей Грюблера в принципе не существует. Далеко не любую систему из восьми твёрдых тел, соединённых десятью шарнирами, можно называть восьмизвенной цепью Грюблера. Так, "неработоспособная восьмизвенная цепь", показанная на рис. 9(а), есть в действительности четырёхзвенная кинематическая цепь, так как пять из восьми твёрдых тел представляют собою одно звено (эти пять тел, соединённых шарнирно, не имеют возможности перемещаться друг относительно друга). 

Авторы статьи [6] считают, что "метод Грюблера по образованию механизмов может быть расширен. Из шестизвенных цепей Грюблера, оказывается, можно создавать не только шестизвенные механизмы, но и восьмизвенные. Для этого достаточно в каждую из цепей Грюблера вводить дополнительно по одному звену и по три шарнира". После этого авторы приводят ряд примеров, иллюстрирующих подобное "расширение" (см. рисунки 6 и 7). С таким расширительным толкованием метода Грюблера и цепей Грюблера никак нельзя согласиться. При образовании n-звенного механизма из n-звенной цепи Грюблера ничего дополнительно не вводится, а просто одно из звеньев цепи считается неподвижным (стойкой), а другое звено, смежное со стойкой, считается входным (или приводным). 

По нашему мнению, при использовании понятия "цепи Грюблера" в литературе на русском языке лучше придерживаться общепринятого его толкования.

Список литературы

1. Woo L.S. Type Synthesis of Plane Linkages. – Transactions of ASME, Journal of Engineering for Industry, Vol. 89, 1967, p. 159-172.

2. Peisach E., Dresig H., Schönherr J., Gerlach S. Typ- und Masssynthese von ebenen Koppelgetrieben mit hoeheren Gliedgruppen (Zwischenbericht zum Fortsetzungsantrag) - DFG-Themennummer: Dr 234/7-1, TU Chemnitz, Professur Maschinendynamik / Schwingunglehre, Professur Getriebelehre, Chemnitz, 1998, 172 S.

3. Weinhold F. Zur rechnergestüzte Struktursynthese Kinematischer Ketten. – Doktor Thesis, Hannover, 1973.

4. Butcher E.A., Hartman C. Efficient enumeration and hierarchical classification of planar simple-jointed kinematic chains: Application to 12- and 14–bar single degree-of-freedom chains. – Mechanism and Machine Theory, Volume 40, No. 9, September 2005, p. 1030–1050.

5. Дворников Л.Т., Гудимова Л.Н. Анализ метода профессора Баранова Г.Г. по отысканию восьмизвенных плоских шарнирных групп Ассура. – Материалы шестнадцатой научно-практической конференции по проблемам механики и машиностроения / Под редакцией проф. Л.Т. Дворникова и проф. Э.Я. Живаго. – Сибирский государственный индустриальный университет, 2006, с. 27-40.

6. Дворников Л.Т., Фёдоров А.И. О сущности и возможностях метода М. Грюблера применительно к синтезу структур плоских механизмов. – Там же, с. 82-94.

7. Баранов Г.Г. Классификация, строение, кинематика и кинетостатика механизмов с парами первого рода. - Труды семинара по теории машин и механизмов, 1952, том 2, вып. 46, с. 15-39.

8. Пейсах Э.Е. К дискуссии по проблеме структурного синтеза плоских шарнирных механизмов. - Теория механизмов и машин. Научно-методический журнал. С.-Петербург: СПГТУ, 2006, № 1(7), том 4, с. 49-54. (Статья опубликована также в Internet'е на сайте: tmm.spbstu.ru).

9. Пейсах Э.Е. Атлас структурных схем восьмизвенных плоских шарнирных одноподвижных механизмов с входным звеном, присоединенным к стойке. - Сб.: Математика и механика. Часть Ш. Теоретическая и прикладная механика. - КазГУ, Алма-Ата, 1989, с. 163.

10. Пейсах Э.Е. Атлас структурных схем восьмизвенных плоских шарнирных механизмов. – Теория механизмов и машин. Научно-методический журнал. С.-Петербург: СПГТУ, 2006, № 1(7), том 4, с. 1-17. (Статья опубликована также в Internet'е на сайте: tmm.spbstu.ru).

11. Дворников Л.Т. Опыт структурного синтеза механизмов. – "Теория механизмов и машин", С.-Петербургский государственный политехнический университет, 2004, №2(4), с. 3-17.

12. Manolescu N.I., Erdelean T. La determination des fermes Baranov avec e=9 elements en utilisant la methode de graphisation inverse. - In.: Proc. of 3rd World Congress on Theory Machines and Mechanisms. Yugoslavia, IFToMM, 1971, vol. D, Paper D-12, p. 177-188.

13. Тартаковский И.И. Неразложимые статически определимые фермы и группы наслоения механизмов. – Прикладная механика, том XIX, № 11, 1983, Киев, с. 105–110.