Дифференциальное исчисление функций

10







Содержание



1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

3. Интегральное исчисление функции одного переменного




1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 



1. Вычислить предел: .



Решение.

При  имеем







Следовательно,









2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что






Следовательно,  – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.









Следовательно,  – наклонная асимптота при .



3. Определить глобальные экстремумы:  при .



Решение. 

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .



.



А затем находим критические точки.










Теперь найдем значение функции на концах отрезка.



.



Сравниваем значения и получаем: 







4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .



Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.





x



–3



0





–

0

+

0

+



убывает

min

возрастает

возрастает

возрастает


Отсюда следует, что функция

возрастает при ,

убывает при .

Точка  – локальный минимум.







5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .



Решение 

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.



. 

. 

.




x



–2



1





–

0

–

0

+



вогнутая

перегиб

выпуклая

перегиб

вогнутая



Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точки ,  – точки перегиба.




2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»



1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .



Решение.

1) Область определения функции



.



2) Функция не является четной или нечетной, так как 



.



3) Теперь найдем точки пересечения с осями: 



а) с оx: , б) с oy .



4) Теперь найдем асимптоты.



а) 



А значит,  является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты 








Отсюда следует, что

 является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки







 не существует при .



6) 



 не существует при 



x



0



2



	4





+

0

–

Не сущ.

–

0

+



–

–

–

Не сущ.

+

+

+

y

возрастает

выпуклая

max



убывает

выпуклая

не сущ.

убывает

вогнутая

min



возрастает

вогнутая



Построим эскиз графика функции 






2. Найти локальные экстремумы функции .



Решение.

Сначала найдем частные производные







Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.







То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.

Далее проведем исследование этой точки. 

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка 







Для точки :





.



Следовательно, точка  не является точкой экстремума.

Это означает, что точек экстремума у функции 



 нет.



3. Определить экстремумы функции , если .



Решение.

			Сначала запишем функцию Лагранжа 

			

			.

			

			И исследуем ее

			

			

			

			(Учитываем, что по условию )

			

			

			



То есть мы получили четыре критические точки.

В силу условия  нам подходит только первая .

Исследуем эту точку.

Вычислим частные производные второго порядка:






Отсюда получаем, что 





			Теперь продифференцируем уравнение связи 

			.

Для точки  



Далее получаем













То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.

Следовательно,  – точка условного локального максимума.



.




3. Интегральное исчисление функции одного переменного



1–3. Найти неопределенный интеграл



1. .



Решение.











.



2. .



Решение.













.



3. 



Решение.



.



4. Вычислить .



Решение.



.



5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми



.


Решение.













.