Математические программирование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

по мат.программированию

«Графический и симплексный методы решения ОЗЛП»



Для изготовления 2-х различных изделий А и В используется 3 вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить сырья 1-го вида а1 кг, сырья 2-го вида – а2 кг, сырья 3-го вида – а3 кг. На производство единицы изделия В требуется затратить сырья 1-го вида в1 кг, сырья 2-го вида – в2 кг, сырья 3-го вида – в3 кг. Производство обеспечено сырьём 1-го вида в количестве Р1 кг, сырьём 2-го вида в количестве Р2 кг, сырьём 3-го вида в количестве Р3 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет  ден.ед., а изделия В – ден.ед. 



№

а1

а2

а3

в1

в2

в3

Р1

Р2

Р3

 

 

8

11

7

8

10

5

6

425

450

550

2

4



Математическая модель задачи

 Обозначим количество произведенной продукции 1-го вида через х1, 2-го вида – х2. Тогда линейная функция примет вид: Z (х1, х2) =2*х1+4*х2. 

 Это есть цена произведенной продукции. Наше решение должно обеспечить максимальное значение этой функции.

Условие налагает на величины х1 и х2 ограничения следующего вида:







Построенная линейная функция называется функцией цели и совместно системой ограничений образует математическую модель рассматриваемой экономической задачи.

Графическое решение задачи

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х1Ох2 на плоскости изобразим граничные прямые



 

 





х1

0

68,75

х2

91,66

0



х1

0

64,28

х2

90

0



х1

0

38,63

х2

42,5

0



Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Многоугольником решений данной задачи является треугольник АОВ. Для построения прямой 2*х1+4*х2=0 строим радиус-вектор N=(2;4)=2.5*(2;4)=(5;10) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z =0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке А (0;42,5), где функция Z принимает максимальное значение.

Оптимальный план задачи: х1=0; х2=42,5. 

Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получаем Zmax=2*0+4*42.5=170 у.е.

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 170 у.е., необходимо запланировать производство 42,5 ед. продукции В.

Решение задачи симплексным методом

Запишем систему в векторной форме



х1*А1+х2*А2+х3*А3+х4*А4+х5*А5=Ао, где





Составляем симплексную таблицу.



i

Базис

Сбаз

Ао

С1=2

С2=4

С3=0

С4=0

С5=0

С.О.









А1

А2

А3

А4

А5



1

А3

0

425

11

10

1

0

0

42,5

2

А4

0

450

7

5

0

1

0

90

3

А5

0

550

8

6

0

0

1

91,66667

m+1

Zj-Cj

0

-2

-4

0

0

0

 



Среди полученных оценок имеются две отрицательные: Z1-C1=-2<0 и Z2-C2=-4<0. Это означает, что первоначальный опорный план не является оптимальным и его можно улучшить, включив в базис вектор, которому соответствует максимальное по модулю отрицательное число в m+1 строке. Разрешающий вектор-столбец А2. Разрешающий элемент находим по минимальному симплексному отношению. Разрешающий элемент – число 10.

Составим вторую симплексную таблицу.





i

Базис

Сбаз

Ао

С1=2

С2=4

С3=0

С4=0

С5=0









А1

А2

А3

А4

А5

1

А2

4

42,5

1,1

1

0,1

0

0

2

А4

0

237,5

1,5

0

-0,5

1

0

3

А5

0

295

1,4

0

-0,6

0

1

m+1

Zj-Cj

170

2,4

0

0,4

0

0



Просмотрев m+1 строку, убеждаемся, что опорный план – оптимален.

Оптимальный план предусматривает изготовление 42,5 ед.изделия В и не предусматривает изготовление изделий А. Изготовление изделий А привело бы к уменьшению прибыли на 2,4 у.е. Сырье 1-го вида используется полностью. Неиспользованными остается 450-237,5=212,5 тонн 2-го вида и 550-295=255 тонн 3-го вида сырья. Максимальная прибыль составляет 170 у.е.

Решение задачи на компьютере

Выполним следующие действия:

– В ячейку А1 вводим формулу для целевой функции=2*х1+4*х2

– В ячейку А3 вводим формулу для ограничения: =11*с1+10*с2.

– В ячейку А4 вводим формулу для ограничения: =7*с1+5*с2.

– В ячейку А3 вводим формулу для ограничения: =8*с1+6*с2.

– В ячейку С1:С2 вводим начальные значения переменных (0:0).

–Выполним команду Сервис > Поиск решения.














Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 42,5 изделий В является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье 1-го вида и остаётся неиспользованным 450-237,5=212,5 тонн 2-го вида и 550-295=255 тонн 3-го вида сырья, а стоимость производимой продукции равна 170 у.е. 




ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

по мат.программированию

«Транспортная задача»



Имеются 3 пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и 5 пунктов В1, В2, В3, В4, В5 потребления этого груза. На пунктах А1-А3 находится груз соответственно в количестве а1-а3 тонн. В пункты В1-В5 требуется доставить соответственно в1-в5 тонн груза. Стоимости перевозок 1 тонны груза между пунктами поставки и пунктами потребления приведены в матрице D. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.



Пункты

поставки

Пункты потребления

Запасы



В1

В2

В3

В4

В5



А1

12

10

15

12

13

350

А2

16

14

17

10

8

150

А3

15

10

13

14

15

280

Потребн.

100

120

200

160

200





Математическая модель задачи

Математическая модель транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений






при которых целевая функция



F=12*x11+10*x12+15*x13+12*x14+13*x15+16*x21+14*x22+17*x23+10*x24+8*x25+15*x31+10*x32+13*x33+14*x34+15*x35



принимает минимальное значение.

Опорный план найдем методом северо-западного угла.



Пункты поставки

Пункты потребления

Запасы



В1

В2

В3

В4

В5



А1

 

 

 

 

 

350

А2

 

 

 

 

 

150

А3

 

 

 

 

 

280

Потребн.

100

120

200

160

200

 



Для проверки плана на оптимальность необходимо построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие Ui+Vj=Cij



Пункты поставки

 

Пункты потребления

Запасы



 

В1

В2

В3

В4

В5





Потенциалы

 V1=

V2= 

V3= 

V4= 

V5= 

 

А1

 U1=

 

 

 

 

 

350

А2

 U2=

 

 

 

 

 

150

А3

 U3=

 

 

 

 

 

280

Потребн.

 

100

120

200

160

200

 



Пункты поставки

 

Пункты потребления

Запасы



 

В1

В2

В3

В4

В5





Потенциалы

 V1=

V2= 

V3= 

V4= 

V5= 

 

А1

 U1=

 

 

 

 

 

350

А2

 U2=

 

 

 

 

 

150

А3

 U3=

 

 

 

 

 

280

Потребн.

 

100

120

200

160

200

 





Пункты поставки

 

Пункты потребления

Запасы



 

В1

В2

В3

В4

В5





Потенциалы

 V1=

V2= 

V3= 

V4= 

V5= 

 

А1

 U1=

 

 

 

 

 

350

А2

 U2=

 

 

 

 

 

150

А3

 U3=

 

 

 

 

 

280

Потребн.

 

100

120

200

160

200

 



Пункты поставки

 

Пункты потребления

Запасы



 

В1

В2

В3

В4

В5





Потенциалы

 V1=

V2= 

V3= 

V4= 

V5= 

 

А1

 U1=

 

 

 

 

 

350

А2

 U2=

 

 

 

 

 

150

А3

 U3=

 

 

 

 

 

280

Потребн.

 

100

120

200

160

200

 



Пункты поставки

 

Пункты потребления

Запасы



 

В1

В2

В3

В4

В5





Потенциалы

 V1=

V2= 

V3= 

V4= 

V5= 

 

А1

 U1=

 

 

 

 

 

350

А2

 U2=

 

 

 

 

 

150

А3

 U3=

 

 

 

 

 

280

Потребн.

 

100

120

200

160

200

 



Пункты поставки

 

Пункты потребления

Запасы



 

В1

В2

В3

В4

В5





Потенциалы

 V1=7

V2=5 

V3=8 

V4=7 

V5=8 

 

А1

 U1=5

100

40



160

50

350

А2

 U2=0









150

150

А3

 U3=5



80

200





280

Потребн.

 

100

120

200

160

200

 



Все незанятые клетки удовлетворяют условию Ui+Vj<=Cij.

Общая стоимость плана составляет 

S=100*12+40*10+12*160+13*50+8*150+10*80+13*200=8770 у.е.

Решение задачи на компьютере





Объём перевозок











12

10

15

12

13





16

14

17

10

8





15

10

13

14

15





Объём перевозок







Всего поставлено

100

40

0

160

50

350



0

0

0

0

150

150



0

80

200

0

0

280



100

120

200

160

200

Всего получено

Затраты на перевозки









1200

400

0

1920

650





0

0

0

0

1200





0

800

2600

0

0



8770



Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам



Рабочий лист: [Книга1]Лист2



Отчет создан: 17.12.2004 9:44:11













Целевая ячейка (Минимум)







Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат



$G$13

 

0

8770











Изменяемые ячейки







Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат



$A$6

Объём перевозок

0

100



$B$6

 

0

40



$C$6

 

0

0



$D$6

 

0

160



$E$6

 

0

50



$A$7

Объём перевозок

0

0



$B$7

 

0

0



$C$7

 

0

0



$D$7

 

0

0



$E$7

 

0

150



$A$8

Объём перевозок

0

0



$B$8

 

0

80



$C$8

 

0

200



$D$8

 

0

0



$E$8

 

0

0