Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

		Учреждение образования

		"Гомельский государственный университет

		имени Франциска Скорины"

		

		Математический факультет

		Кафедра алгебры и геометрии

		

		

		

		

		Курсовая работа

		

		КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

		

		

		

		Исполнитель:

		студентка группы H.01.01.01 М-43 

		Селюкова Н.В.

		

		Научный руководитель: 

		доктор физико-математических наук,

		профессор кафедры Алгебры и геометрии 

		Монахов В. С.

		

		

		

		

		Гомель 2004

		
Содержание

		

		Введение

		1. Основные определения, обозначения и используемые результаты 

		2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр 

		3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства 

		Список литературы

		
Введение

		

		Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.

		Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.

		1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.

		2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.

		3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в  (теорема(3)).

		

		
1. Основные определения и используемые результаты

		

		Определение 1.1 Пусть  --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени  в себя, тогда  называют -арной алгебраической операцией.

		

		Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему  состоящую из некоторого множества  с заданной на нем некоторой совокупностью операций .

		

		Определение 1.3 Пусть  --- некоторая универсальная алгебра и  (), тогда  называют подалгеброй универсальной алгебры , если  замкнута относительно операций из .

		• Для любой операции , где  и . 

		• Для любой операции  элемент  фиксируемый этой операцией в  принадлежит . 

		

		Определение 1.4 Всякое подмножество  называется бинарным отношением на .

		

		Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:

		• рефлексивно 	

		• транзитивно 	   и 

		• симметрично   	

		

		Определение 1.6 Пусть  некоторая эквивалентность на , тогда через  обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности  содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через  и называют фактормножеством множества  по эквивалентности .

		Определим -арную операцию на фактормножестве  следующим образом: 

			

			

		

		Определение 1.7 Эквивалентность  на алгебре  называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:

		Для любой операции  для любых элементов  таких, что  имеет место .

		

		Определение 1.8 Если  и  --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию  на алгебре  назовем фактором на .

		 тогда и только тогда, когда .

		 или  или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

		

		Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества  содержит максимальные элементы, то и само множество  содержит максимальные элементы.

		

		Определение 1.9 Пусть  --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.

		

		Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.

		

		Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре  перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов  выполняется равенство . В этом случае оператор  называется мальцевским. 

		

		Определение 1.11 Алгебра  называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что  для любого .

		

		Определение 1.12 Подалгебра алгебры  называется собственной, если она отлична от самой алгебры .

		

		Определение 1.13 Подалгебра  универсальной алгебры  называется нормальной в , если  является смежным классом по некоторой конгруэнции  алгебры .

		

		Определение 1.14 Пусть  и  --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение  называется гомоморфизмом, если

		1)  и  имеет место ;

		2) , где  и  элементы фиксируемой операцией  в алгебрах  и  соответственно.

		

		Определение 1.15 Гомоморфизм  называется изоморфизмом между  и , если обратное к нему соответствие  также является гомоморфизмом.

		

		Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть  - гомоморфизм,  --- конгруэнция, тогда . 

		

		Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра,  --- подалгебра алгебры  и  --- конгруэнция на . Тогда  является подалгеброй алгебры ,  --- конгруэнцией на  и . 

		

		Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра и  и  --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то  является конгруэнцией на  и  индуцирует такой изоморфизм . 

		

		2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

		

		Определение 2.1 Пусть  и  --- конгруэнции на алгебре . Тогда  централизует  (записывается: ), если на  существует такая конгруэнция , что:

		1) из 	

		всегда следует 	

		2) для любого элемента 	

		всегда выполняется 	

		3) если 	

		то 	

		Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

		Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.

		Лемма 2.1  Пусть . Тогда:

		1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

		2) ;

		3) если 	

		то 	

		Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции  на алгебре  всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции  в  и обозначается .

		В частности, если , то централизатор  в  будем обозначать .

		

		Лемма 2.2  Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

		1) ;

		2) , где ;

		3) если выполняется одно из следующих отношений: 

		

			

			

			

			

		

		4) из  всегда следует 

		Доказательство:

		1) Очевидно, что  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

		2)  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 

		2.1. Значит	

		3) Пусть 	. 

		Тогда 	

			

		Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор  такой, что 	

		Тогда получим 	

		т.е. 	

		Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

		4) Пусть 	

		Тогда справедливы следующие соотношения: 

		

			

			

			

		

		Следовательно,	

		где  --- мальцевский оператор.

		Тогда 	

		то есть 	.

		Так как 	

		то .

		Таким образом . Лемма доказана.

		Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

		

		Лемма. 2.3  Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

		Доказательство:

		Пусть 	 

		Тогда из   

		следует, что 	

		Аналогичным образом из   

		получаем, что 

		Итак,  симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

		

		Лемма 2.4  Пусть . Тогда  для любой конгруэнции  на алгебре .

		Доказательство:

		Обозначим  и определим на алгебре  бинарное отношение  следующим образом: 	

		тогда и только тогда, когда 	

		где  

		Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре , причем 	

		Пусть 	

		то есть 	 

		Тогда 	

		и, значит 	

		Пусть, наконец, имеет место 	

		Тогда справедливы следующие соотношения: 

		

			

			

			

		
применяя мальцевчкий оператор  к этим трем соотношениям, получаем 

		Из леммы 2.2 следует, что 	

		Так как  то 	

		Значит, 

		Но , следовательно, .

		Итак, 

		и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

		

		Лемма 2.5  Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре ,  и  --- изоморфизм, определенный на .

		Тогда для любого элемента  отображение  определяет изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором .

		В частности, .

		Доказательство.

		Очевидно, что  --- изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором конгруэнции ,  изоморфны соответственно конгруэнциям  и .

		Так как 

		то определена конгруэнция 	

		удовлетворяющая определению 2.1.

		Изоморфизм  алгебры  на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что 

		

		

		
для любых элементов  и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что  --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

		Это и означает, что 

		Лемма доказана.

		

		Определение 2.2  Если  и  --- факторы на алгебре  такие, что  то конгруэнцию  обозначим через  и назовем централизатором фактора  в .

		

		Определение 2.3  Факторы  и  назыавются перспективными, если либо  либо 	

		

		Теорема  Пусть , , ,  --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

		1) если , то 

		2) если , то 	 

		3) если ,  и факторы ,  перспективны, то 	

		4) если  - конгруэнции на  и , то 

		где , . 

		

		 Доказательство.

		1) Так как конгруэнция  централизует любую конгруэнцию и , то 

		2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что 

		а в силу леммы 2.4 получаем, что 	

		Пусть  - изоморфизм . Обозначим 

		

		

		По лемме 2.5 , а по определению 

		Следовательно, 	

		3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции  и  на алгебре  имеет место равенство 

		Покажем вналале, что 	

		Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре  существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

		а) если , то 

		б) для любого элемента , 

		в) если  

		то 

		Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом: 

		тогда и только тогда, когда 	

		и 

		Покажем, что  --- конгруэнция на . 

		Пусть 

		для . Тогда 

		и 

		Так как  --- конгруэнция, то для любой -арной операции  имеем 

		

		

		

		Очевидно, что 

		и 

		Следовательно, 

		Очевидно, что для любой пары  	

		Значит, 

		Итак, по лемме 2.3,  - конгруэнция на . Покажем теперь, что  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует . Пусть 	

		Тогда 

		Так как , и , то . Следовательно,  удовлетворяет определению 2.1.

		Если , то 

		значит, 

		Пусть, наконец, имеет место (1) и 	

		 Тогда 

		Так как  и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит,  и поэтому 

		

			

		

		Тем самым показано, что конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует .

		Докажем обратное включение. 

		Пусть 

		Тогда на алгебре  определена конгруэнция  удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом: 

		

				

		

		тогда и только тогда, когда 

		
		

		

		и , .

		Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что  централизует .

		Так как    то 

		то есть  удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

		Если , то 	

		следовательно, 

		Пусть имеет место (3) и .

		Так как 

		то 

		Из (4) следует, что , следовательно, 

		то есть 

		На основании леммы 2.2 заключаем, что 

		Следовательно, .

		А так как , то , то есть 

		4) Обозначим . Пусть 

		и удовлоетворяет определению 2.1.

		Определим бинарное отношение  на  следующим образом 

		

			

		

		тогда и только тогда, когда 

		

			

		

		Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

		Это и означает, что 	

		Теорема доказана.

		Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

		

		3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

		 

		Определение 3.1 Конгруэнция  универсальной алгебры  называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры  из ;

		

		Определение 3.2 Собственная подалгебра  универсальной подалгебры  называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры  выполняется , всегда следует, что либо , либо .

		Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

		

		Теорема Конгруэнция  универсальной алгебры  является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры  из  имеет место равенство . 

		

		Доказательство:

		Пусть  --- фраттиниева конгруэнция алгебры  и  --- максимальная подалгебра из .

		Так как  и , то .

		Обратно. Пусть  удовлетворяет свойству  и пусть  --- любая собственная подалгебра алгебры .

		Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра  алгебры , что , но .

		Тем самым теорема доказана.

		

		Определение 3.3 Пусть  --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда  называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если  тогда и только тогда, когда существуют  такие, что .

		

		Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры  назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры  и будем обозначать .

		

		Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

		

		Доказательство:

		Из теоремы  следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где  --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что 

		Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

		Так как  и , то . Аналогичным образом получаем, что .

		Следовательно, .

		Теорема доказана.

		Напомним следующее определение из книги.

		

		Определение 3.5 Пусть  --- множество всех максимальных подалгебр алгебры ,  --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями  на , что , .

		

		Лемма 3.1  Конгруэнция  является фраттиниевой конгруэнцией на  и всякая фраттиниева конгруэнция на  входит в .

		Доказательство:

		Пусть  --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в  подалгебра , что . Значит,  и тем более . Следовательно,  фраттиниева конгруэнция на .

		Пусть теперь  --- произвольная фраттиниева алгебры ,  --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

		

		Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры  называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

		

		Теорема Пусть  --- алгебра. Тогда . 

		

		Доказательство:

		От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент  такой, что  не принадлежит . Так как , то существует  и, следовательно,  для любой максимальной подалгебры  и  --- фраттиниева. Значит,  принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.

		
Лемма 3.2 Пусть  --- максимальная подалгебра алгебры  такая, что , где , тогда .

		Доказательство:

		Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:  тогда и только тогда, когда существует элементы  и .

		Как показано в работе   --- конгруэнция на алгебре .

		Покажем, что , т.е.  является смежным классом по конгруэнции .

		Пусть  и пусть . В силу определения  найдутся такие элементы  и , что 

		Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем 	

		Следовательно, .

		Лемма доказана.

		

		Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры  является нормальной подалгеброй алгебры .

		

		Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в . 

		Доказательство:

		Пусть алгебра  --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры  алгебры  всегда найдется такой номер , что  и .

		По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

		Теорема доказана.

		Заключение

		

		В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .

		

		
Список использованной литературы

		

		 Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с. 

		 Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34 

		 Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554. 

		 Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994. 

		 Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.