Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального  образования «Якутский государственный университет им. М.К.Аммосова»

Институт математики и информатики

Кафедра высшей математики

Сивцев Иван Иванович

Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа 



специальность 010501 «Прикладная математика и информатика»

Дипломная работа













Руководитель: к.ф.-м.н., профессор кафедры ВМ Шадрин В.Ю.

























Якутск 2010 г.


Оглавление.



Введение.

Глава 1. Температурное поле наружной ограждающей конструкции.

	1.1. Разностные схемы.

Глава 2. Расчет температурного поля.

	2.1. Математическая постановка задачи.

	2.2. Метод Зейделя.

	2.3. Метод Гаусса. 

	2.4. Двухсеточный метод.

Глава 3. Расчет тестовой задачи.

	3.1. Точное решение.

	3.2. Результаты вычислений.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложение.






Введение.



При проектировании зданий и сооружений требуется предлагать варианты наружных ограждающих конструкций на основании стационарного температурного поля, поскольку теплопотери можно рассчитывать именно по температурному полю. 

Поэтому разработка быстрых и точных методов расчета температурных полей является актуальной темой, особенно в условиях Крайнего Севера, где предъявляются большие требования к теплозащите зданий.

Нами предложен двухсеточный метод решения третей краевой задачи для расчета двумерного стационарного температурного поля наружных ограждающих конструкций. 

При решении третей краевой задачи для многомерного уравнения Лапласа возникают проблемы с нехваткой памяти и машинного времени при решении известными прямыми и итерационными методами. При достаточно большого числа узлов для решения задачи прямые методы не работают, а для итерационных методом надо очень много времени. Поэтому для быстрого решения задач используют относительно немного узлов, что в свою очередь сказывается на точность решения задачи.

Идея метода заключается в том, что на мелкой сетке задача решается обычным итерационным методом один раз, потом из полученного решения с помощью преобразования получаем решение на грубой сетке. И с помощью обычного прямого метода получаем погрешность решения на грубой сетке. Затем с помощью обратного преобразования получаем погрешность решения на мелкой сетке и прибавляем его к ранее полученному решению на мелкой сетке.

В первой главе данной работы дана определенная задача для решения температурного поля наружной ограждающей конструкции. Во второй главе содержится математическая постановка задачи и подробный алгоритм решения данной задачи. В третей главе мы проверяем свой метод путем прогонки тестовых задач с разными входными данными.


Глава 1. Температурное поле наружной ограждающей конструкции.

	

	Для нашего случая процесс распространения тепла происходит в ограждении  и описывается уравнением теплопроводности

	

	,                         (1)



где U=U(x, y) – температура в точке (x, y), - коэффициент теплопроводности. 

	Мы будем рассматривать третью краевую задачу в области . Требуется найти  в  решение  U=U(x,y)  задачи:

		          (3)

	

	

	















Рис 1.

	

	

	где  - граница области ; 

	 -  искомая температура, ;

	 - коэффициент теплопроводности, ; 

	 - производная по внешней нормали;

- температура среды (не зависит от времени),;  

	- коэффициент теплоотдачи поверхности ограждения, ;

	- начальная температура, град.


Разностные схемы.



В области  введем неравномерную, прямоугольную сетку  



с шагами  по x,   по  у. Заменяя частные производные по x , по y в узле . 



(4)             

	Где ,   . ,  

	

	По методу Зейделя получим  разностную схему во внутренних узлах 

	         (5)

с граничными условиями на границе 



	

	на границе  теплообмена нет.

	

	

	Мы будем рассмотреть явную схему  на шаблоне крест:

	                         

(i+1,j)

(i,j+1)

(i-1,j)

(i,j-1)

(i,j)

Рис 2.

	то значения на (v+1)-ой итерации внутренних узлах находятся по формуле

	           



(6)


Глава 2. Расчет температурного поля.

2.1. Математическая постановка задачи. 

		

	Расчет температурного поля ограждающих конструкций с математической точки зрения приводит к необходимости решения третьей краевой задачи для уравнения Лапласа. При этом нужно иметь в виду, что ограждающие конструкции, как правило, являются, неоднородными. Отсюда следует, что функция коэффициента теплопроводности является разрывной кусочно-постоянной функцией двух переменных.

	Хотя алгоритм решение задачи остается верным для неоднородных ограждающих конструкций, мы, для примера, будем рассматривать однородную ограждающую конструкцию из дерева размером . Считаем, что по «краям» стенок, где проведен срез конструкции, установилась стабилизация температуры вдоль стенок, то есть отсутствует поток тепла на границах Г3 и Г4.

	Наружная температура считается постоянной . Внутренняя температура в помещении считается постоянной   . Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения , коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения .

		          (3)

	

	















Рис 1.

	

	где  - граница области ; 

	 -  искомая температура, ;

	 - коэффициент теплопроводности, ; 

	 - производная по внешней нормали;

- температура среды (не зависит от времени),;  

	- коэффициент теплоотдачи поверхности ограждения, ;

- начальная температура, град.

	Решение будем искать методом Зейделя 

	                                           (1)                                                                                                                        (3)                                                                                                                                                                                                                    

	

	

	Граничные условия

	Г1:   

	

	Г2:   

	

	Г3:   

	Г4:   


2.2. Метод Зейделя.



	Прямоугольную декартову систему координат расположим, как показано на Рис.1. 

	Задачу (1) (3) будем решать конечно-разностным методом с помощью явной схемы. 

Условие устойчивости явной схемы имеет вид 



где , если h=0.004, то  

Расчет проводится до тех пор, пока температурное поле не выйдет на стационар, т.е. когда норма разности (равномерная норма) между соседними итерациями по времени не окажется меньше заданной погрешности . В численных экспериментах полагали  =0,0001.

И вместо (1) (3) получим разностные уравнения

	1 этап

	Начальное приближение 

	2 этап 

	Для последующих итераций

	2.1 (j=0)

	Сперва находим значение в точке (0,0) 

	

	

	

	

	Затем находи значение в точках (i,0), i=1..n-1

	

	

	Затем находим значение в точке (n,0) 

	

	

		

	2.2 (j=1..n-1)

	Сперва находим значение в точке (0,j)

	 

	

	

	

	

	

	Затем находи значение в точках (i,j), i=1..n-1

	

	

	Затем находим значение в точке (n,j)

	 

	

	

	2.3 (j=n)

	Сперва находим значение в точке (0,n)

	 

	

	

	

	Затем находи значение в точках (i,n), i=1..n-1

	

	

		

		Затем находим значение в точке (n,n)

	 

	

	

	3 этап

	Вычисляем , пробегая по всем i,j.

	И проверяем , если >= e, то переходим к этапу 2 до тех пор пока <e. 

		4 этап

	Получили приближенное решение уравнения Лапласа методом Зейделя.






2.3. Метод Гаусса.

		

		Для решения уравнения (1) (3)  нужна матрица А размерности , (n+1)2 неизвестных и (n+1)2 уравнений. Ax=b, где 

	Но в нашем случае , и можем использовать матрицу размерности , (n+1) неизвестных и (n+1) уравнений.













В нашем случае 





С помощью метода Гаусса находим решения системы.








2.4 Двухсеточный метод.








Алгоритм нашего метода

Этап 1.

Задается  (например =0).

Этап 2.

Вычисляется невязка .

Этап 3.

, где Рестрикция (Restriction) с мелкой сетки на грубую.



Этап 4.

Решаем  прямым методом.

Этап 5.

Вычисляем поправки с помощью пролонгации (Prolongation) 



Этап 6.

, вычисляем 

Этап 7.

Проверяем - заданная точность.

Этап 8. 

Если точность достигается, то конец счета, если же нет, то k:=k+1 и идем во 2-ой этап.


Глава 3. Расчет тестовой задачи.



















Рис 1.



Для расчета мы используем однородную наружную ограждающую конструкцию, где по вей области  . Размером 0,2×0,2 м2.  Наружная температура считается постоянной . Внутренняя температура в помещении считается постоянной   . Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения , коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения .      


3.1. Точное решение.



Для решения точного решения используем одномерную задачу с граничными условиями. Наружная температура считается постоянной . Внутренняя температура в помещении считается постоянной   . Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения , коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения .



x

T, температура

T0

T1

l = 0.2 м

0









 вычисляется однозначно.

  - точное решение (функция одной переменной).

Точное решение.






3.2. Результаты вычислений.



Данная задача нами решена двумя способами: обычным методом Зейделя и двухсеточным методом.

Результаты вычислений простым методом Зейделя. 






Результаты вычисления двухсеточным методом.








Заключение.



Разработан алгоритм расчета двумерного стационарного неоднородного поля, показывающий возможность применения данного алгоритма для расчета стационарного двумерного температурного поля наружных ограждающих конструкций при достаточно большого количества узлов сетки. 

При сравнении обычного итерационного метода Зейделя и нашего двухсеточного метода получили следующие результаты.



Метод решения



n













Кол-во итераций

Простой итерационный метод Зейделя

50

0,01

0,009993

6,045654

756





0,001

0,000999

0,616282

2167





0,0001

0,000100

0,061866

3590





0,00001

0,000010

0,006486

5012

Двухсеточный метод

50

0,01

0,009084

0,095964

35





0,001

0,000940

0,012935

61





0,0001

0,000096

0,001656

93





0,00001

0,000010

0,000471

127



Из этой таблицы очевидно видно, что двухсеточный метод в разы решает задачу быстрее и точнее чем обычные итерационные методы.