Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3



Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Объем призмы.

1.Три случая расположения прямой и плоскости. 

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку  

2.Прямая лежит в плоскости  а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е. a































2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во:  Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V  и высотой h. 

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому  объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2 т.е           V= SABD ·h+ SВСD ·h= (SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h

Д-во Возьмем  произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую 

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

                                               Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S∆=ab =>V∆= Sh ч.т.д.

























Билет №5

Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую, к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется,  проведенным из 

т А к пл α, a т Н — основанием . Отметим в пл α   какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним  АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, , проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина , проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α 

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. 



2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в 

эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы  Fn  равен Snh, где Sn- площадь  основания  призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn<Snh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом  радиус rп  цилиндра Рп стремиться  к радиусу r цилиндра Р(rп=rcos180/nr при r→∞). Поэтому V  цилиндра Рп стремиться  к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства (Vn<Snh<V) =>, что 

                                                                n→∞

limSnh=V. Но limSn=πr2 Т.о V=πr2h. т.к πr2=S  , то получим V=Sоснh.

                                                                                       n→∞                                n→∞                                                         

                                                                                        























































































Билет № 6

Расстояние  между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

Объем конуса.

Расстояние  между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую  прямую  параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми. 



Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость  параллельная другой  прямой , и при том только одна.







































2 Теорема. Объем конуса равен одной  трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус  с объемом V, радиусом  основания R, высо-той h  и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение  конуса пл. ,  к оси Ох  , является кругом  с центром в т М1  пересе-чения  этой пл. с осью Ох. Обозначим  радиус  через R1 ,а S  сечения через  S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия  прямоугольных ∆ ОМ1А1 и ОМА=> что 

ОМ1

=

R1

, или

x

=    

R1

откуда 

R=    

 xR

так как 

S(x)= R12

,то

S(x)=

R2

ОМ



R



h



R





   h









 h2

Применяя основную формулу для  вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим



h







h







             h

V=

∫

πR2

x2dx=

πR2

∫

x2dx=

πR2



x3

=

1

πR2 h





h2



h2





h2



3



3





0







0







              0

Площадь S основания  конуса равна R2, поэтому V=1/3Sh. 

Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формуле       V=1/3h(S·S1+√ S·S1).















Билет №7



Угол между скрещивающимися прямыми

Площадь боковой поверхности  цилиндра.

Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем  произвольную т. М1 пространства  и проведем  через нее прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD 

Если ∠ между прямыми А1В1 и С1D1 =φ, то  будем говорить , что ∠ между скрещивающимися  прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М1 . Действительно , возьмем любую т. М2  и проведем прямые А2В2и С2D2  соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1∥ А2D2 , С1D1∥ C2D2 , то стороны углов  с вершинами в т.М1и М2 попарно сонаправлены ( ∠А1М1С1 и ∠А2М2С2 , ∠А1М1D1 и∠А2М2D2 ) потому эти ∠  равны , ⇒  что ∠ между А2В2и С2D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD   отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол  между прямыми  A'B'и CD= φ















2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и  развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате  в пл α  получится прямоугольник  АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза  боковой поверхности  цилиндра  по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой  боковой поверхности  цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус  цилиндра , h- его высота . за  S бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к  S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для  вычисления  S бок цилиндра  радиуса к и высоты h формула 

S бок=2πrh



























Билет № 9



1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2.  Сложение векторов. Свойства сложения.



























































2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В  отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС=a+b. 

Это правило сложения векторов называется правилом  треугольника. (по этому же правилу  складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении  откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему  вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора  называются противоположными, если их длины  равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА 











Билет № 10



Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры)

Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.

1.  Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями  с общей границей  а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями. 

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла  отметим  на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр  к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. ( АОВ ) ОАCD CDОВ, то плоскость АОВ  к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных АОВ и А1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани к ОО1, поэтому они  сонаправлены. Точно так же  сонаправлены  ОВ и О1В1=>  А1О1В1 =АОВ. Градусной мерой двугранного угла  называется градусная мера его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90,  <90, >90)



















2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b , длинна которого равно ka , причем  вектор a и b сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора  на любое число нулевой вектор.  Произведение вектора а на число k обозначается  так : ak. Для любого числа k  и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b  и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н) 

(k+l)a=ka+la  ( II-ой распределительный з-н)

отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины  векторов (-1)а и а равны: (-1)a =(-1)а=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а  противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если  векторы а и b коллинеарны  и а0 , то существует число k такое,  что b= ka. 























Билет № 11



призма (формулировки , примеры)

Скалярное произведение векторов. 

1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2.., Ап и В1В2....Вп, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В1 ,А2В2, ..., АпВп, соединяющие соответственные вершины мн-

ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2B2B1, А2А3В3В2, .... AnA1B1Bn является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны.  Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An и В1В2...Вп, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов  наз призмой Мн-ки A1A2....An и B1B2...Bn наз основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1В1, А2В2 ..., АпВп наз бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A1A2....An и B1B2...Bn обозначают-A1A2 ....Аn В1В2...Вn и называют п-угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед.  , проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы  к основаниям, то призма наз пря-мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь Sосн ос-нования призмы форму Sполн = S6oк+ 2Sосн.   





2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение  их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов  а и b обозначают так :аb . Т. о. ab=ab cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда  эти векторы  ; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb= x1x2+y1y2+z1z2. Косинус   между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2} вычисляется формулой. 

соs=

x1x2+y1y2+z1z2.

В самом деле, так как а b =аb, то

cos=

   ab



√x12+y1²+z12 ⋅√ x22+y2²+z22 





 ab

Подставив сюда выражения  для ab, аиb через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:

10.а2 ) , причем а2>0 при а0

20.ab=ba(переместительный з-н)

30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа  слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)







Билет № 12



Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

Существование плоскости , проходящей  через данную прямую и данную точку. 



1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.







































2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна .

Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки  Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл . Т.к. 2 точки  прямой РиН лежат в пл  ., то по аксиоме А2 пл .проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай  через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл ., т.к по аксиоме А1через 3 точки проходит только одна плоскость. 





































Билет № 13



Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки, 

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1  к основаниям. Отсюда=>, что АА1АВ, т. е. боковая граyь АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

 да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. 







































2. Теорема: S боковой поверхности прямой  призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности  призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки  получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак Sбок=Ph



S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph





















Билет № 14



Пирамида(формулировка , примеры)

Существование прямой, параллельной данной прямой  и проходящей через данную точку.

1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник  А1А2…Аn  и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1. 

Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn  и n тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1А2…Аn назы-вается основанием, а  треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной  пирамиды , а отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный  из вершины  пирамиды  к плоскости основания , называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму  площадей её боковых граней







2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит 

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема доказана.













































Билет № 15



Цилиндр (формулировки и примеры)

Признак параллельных прямых.

1. Цилиндр. Рассмотрим  две параллельные плоскости α и β  и окружность L с центром О радиуса r , расположенную  в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных  в пл β заполним окружность 

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя  кругами с границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность  называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО1- осью цилиндра. 

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥ к оси цилиндра , то сечение  является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными  или иметь в своем основании параболу . 























Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит 

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема доказана.



















Билет №16



Конус (формулировки и примеры)

Признак параллельности прямой и плоскости 

1.Конус. Рассмотрим окружность L  с центром О  и прямую ОР , перпендикулярную  к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим  с  отрезом  в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное  конической поверхностью  и круг-ом с границей L, называется конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью  конуса, а круг - снованием конуса . Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны  друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется  Осью конуса . Ось конуса  ⊥ к плоскости  основания. Отрезок ОР называется высотой конуса. 

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При  этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось  , то сечение пред-ставляет собой  треугольник , и называется  осевым сечением. Если секущая плоскость ⊥ к оси ОР   конуса, о сечене  пред-ставляет собой круг с центром  в т.О1  , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия △РОМ∾△РО1М1

























2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости.

Д-во. Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b , расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a  не лежит в этой пл. Докажем, что  α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α . Но это невозможно , так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости.















Билет № 17



Сфера, шар( формулировки, примеры)

	Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки 

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

 



























2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости α  и β. В плоскости α лежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a1 и b\,  причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.















Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного  из них)





































































2. Определение. Прямая называется перпендикулярной  к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости. 

Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то  и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости. 

Д-во. Рассмотрим 2 ║а и а1 и пл α, такую, что аα. Докажем, что и а1α.. проведем  какую-нибудь прямую х в пл α. Так как аα, то ах. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1х. Т.о. прямая а1  к любой прямой , лежащей в пл  т.е а1α.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.

























    Билет №20



Фрмула обьема шара( формула примеры)

Теорема о трех перпендикулярах

1.  Теорема: Объем шара радиуса R равен  4/3 R3 

Д-во: Рассмотрим  шар радиуса R с центром  в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара  пл. к оси Ох  и проходящей через т М этой оси  является кругом с центром  в т М. Обозничим  радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса  т М. Выразим S(х)через  х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=OC2 –OM2 =R2x2.Так как S(x)=R2 ,то S(x)= (R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R x R. Примеряя основную формулу для вычисления  объемов тел при а= -R, b=R, получим 

V

       R                                               R              R                               R

x3

 R

4





=∫(R2-x2)dx= R2∫ dx-∫x2dx=R2x-



=



R3





3



3





   -R                                             -R              -R                               -R



-R



















2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м  к проекции НМ наклонной. Докажем , что а АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а к этой пл, т.к она    к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а  НМ по условию и а АН, т.к. АН α). Отсюда =>, что пр а  к любой прямой , лежащей  в пл АМН, в частности  аАМ

Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции