Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

2





















Контрольная работа

по высшей математике

по теме:

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа







Выполнила:

Студентка II курса

Экономического факультета

Очного отделения















2007г


I. у″ - 4y′ + 4y = соs4х

у = U + _у - общ. реш. н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k2 - 4k + 4 = 0

k1; 2 = 2

1) U =?

U = C1e2x + С2е2х ∙ х

2) _у =? _у = Acos4x + Bsin4x_y′ = - 4Asin4x + 4Bcos4x

y″ = - 16Acos4x - 16Bsin4x

16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =

= cos4x + 0 ∙ sin4x

12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x

12A + 16A = 016B - 12B = 0

4A = 04B = 0

A = 4 B = 4

_y = 4cos4x + 4sin4x

y = C1e2x + C2e2x · x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.



Найдем частное решение при условии:



у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С1e2x + 2C2e2x · x - 16sin4x + 16cos4x

1 = C1 + C2 + 4С1 + С2 = 3 С1 + 13 = 3

0 = 2C1 + 2C2 + 162С1 + 2С2 = 16

С1 + С2 = 13

С1 = - 10С2 = 13

у = - 10е2х + 13е2х · x + 4cos4x + 4sin4x - частное решение при заданных условиях

II. у″ - 4y′ + 4y = 5х2 + 3х + 1

у = U + _у - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k2 - 4k + 4 = 0

k1; 2 = 2

1) U =?

U = C1e2x + С2е2х ∙ х

2) _у =? _у = Ах2 + Вх + С_y′ = 2Ах + В

у″ = 2А

2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х2 + 3х + 1

4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4

8А + 4В = 3

2А - 4В + 4С = 1

_у = 5/4х2 + 3 + 1/4

у = C1e2x + С2е2х ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.



Найдем частное решение при условии:



у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С1e2x + 2C2e2x + 5/2х - 1/8

1 = C1 + C2 + 5/4 C1 + C2 = 1/4

0 = 2C1 + 2C2 + 5/22C1 + 2C2 = 5/2

C1 + С2 = 9/4

C1 = - 2С2 = 9/4

у = - 2e2x + 9/4е2х ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.

III. у″ - 4у′ + 4у = 2е5х

у = U + _у - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k2 - 4k + 4 = 0

k1; 2 = 2

1) U =?

U = C1e2x + С2е2х ∙ х

2) _у =? _у = Ае5х _y′ = 5А5х

у″ = 25Ае5х

25Ае5х - 20Ае5х + 4А5х = 2е5х

9А5х = 2е5х

А = 2/9 _у = 2/9е5х

у = C1e2x + С2е2х ∙ х + 2/9е5х - общее решение н. д. у.



Найдем частное решение при условии:



у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2C1e2x + 2С2е2х ∙ х + 10/9е5х

1 = C1 + С2 + 2/9C1 + С2 = 7/9

0 = 2C1+ 2С2+ 10/92C1+ 2С2 = 10/9

C1 + С2 = 1/3

C1 + 1/3 = 7/9

С1 = 4/9 С2 = 1/3

у = 4/9e2x + 1/3е2х ∙ х + 2/9е5х - частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа



 - 1 = i - мнимое число

 ( - 1) 2 = i 2 i 2 = - 1

i 3 = i 2 ∙ i = - 1 ∙ i = - i

i 4 = i 2 ∙ i 2 = ( - 1) ∙ ( - 1) = 1



а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

 в                 

                .  (а; в)            

      ρ         в                             ρ =   а 2 + в 2       = а + вi

        ) d              а  	

             а                                   d = arctg  в/а    – 



аргумент комплексного числа  

 (находится с учетом четверти)



                          tg       

                нет                                                            

d

0 0

П/6

П/4

П/3

П/2

tg

0

 3/ 3

1

 3

---

                  -     +       

      0                                0

                  +     -	

                        нет




	

cosd = a / ρ a = ρcosd

sind = в / ρ в = ρsind

а + вi = ρcosd + i ρsind

а + вi = ρ (cosd + i sind) – 



комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Сложение:


а1 + в1i + а2 + в2i = а1 + а2 + (в1 + в2) i



Умножение:



(а1 + в1i) (а2 + в2i) = а1а2 +в1в2i 2 + а1в2i

а1а2 - в1в2 + (в1а2 + а2в2) i



Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:



е iу = cosу + isinу z = ρе i φ



Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:



1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2 + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) =  58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ln  58  е arctg 3/7 = е ln  58 + i arctg 3/7

ρ1 =  58

φ1 = arctg 3/ 7

(3 + 7i) =  58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ln  58  е arctg 7/ 3 = е ln  58 + i arctg 7/ 3

ρ2 =  58

φ2 = arctg 7/ 3

 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7)  58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ln 58  е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)



При решении примера использовали формулу:



ρ1 (cosφ1 + isinφ1) ρ2 (cosφ2 + isinφ2) = ρ1 ρ2 (cos (φ1 + φ2) + i (sin (φ1 + φ2))



Проверка:

е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58  е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ ( 1 + tg2 (arctg 3/ 7)) = 1/  1 + (9/49) = 7/ 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/ 58

sin (arctg 3/ 7) =  1 - cos2arctg 3/ 7 =  1 - (7/ 58) 2 =  9/ 58 = 3/ 58 sin (arctg 7/3) =  1 - cos2arctg 7/ 3 = 7/ 58

cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/ 58  3/ 58 - 3/ 58  7/ 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/ 58 3/ 58  3/ 58 3/ 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) =  58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ln  58 + i arctg 3/7

(7 + 3i) 2 = 49 + 42i + 9i2 = 40 + 42i

 ( 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ln  58 + i arctg 3/7



Проверка:



е ln  58 + i arctg 3/7 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos2arctg 3/7 - 1 = 2  (7/ 58) 2 - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin2arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/ 58) ∙ (7/ 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58  i) = 40 + 42i



При решении примера применяли следующие формулы:



(ρ (cosd + i sind)) п = ρ п (cosпd + i sinпd) п є N

е х + iу = е х (cosу + isinу)

2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2 + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ln 5  е arctg 4/ 3 = е ln 5 + i arctg 4/ 3

ρ1 =  25 = 5

φ1 = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ln 5  е arctg 3/ 4 = е ln 5 + i arctg 3/ 4

ρ2 = 5

φ2 = arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ln 25 е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)



При решении примера использовали формулу:



ρ1 (cosφ1 + isinφ1) ρ2 (cosφ2 + isinφ2) = ρ1 ρ2 (cos (φ1 + φ2) + i (sin (φ1 + φ2))



Проверка:



е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25  е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = 25 (cos (arctg 4/ 3 +

+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))

cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -

sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)

cos (arctg 4/ 3) = 1/ ( 1 + tg2 (arctg 4/ 3)) = 1/  1 + (16/ 9) = 3/ 5

cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5

sin (arctg 4/ 3) =  1 - cos2arctg 4/ 3 =  1 - 9/ 5 = 4/5

sin (arctg 3/ 4) =  1 - cos2arctg 3/ 4 = 3/ 5

cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5  4/5 - 3/ 5  4/5 = 0

sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5  3/5 - 4/ 5  3/5 = 0



Извлечение корня третий степени из комплексного числа:

Применяем формулу:



 п ρ (cosd + i sind) = п ρ (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)

3 3 +4i = 3 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)

z1 = 6 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0

z2 = 6 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1

z3 = 6 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2