Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Вычисление радиальных функций матье-ханкеля



Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ



Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.

Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца: 



, (1)



где - некоторая вещественная положительная константа и - оператор Лапласа.



Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: , .

Полагая  в методе разделения переменных, получаем уравнения:



, ,



где  - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.

Дифференциальное уравнения Матье имеет вид



, (2)



где обычно переменная  имеет вещественное значение, а  - заданный вещественный ненулевой параметр. 

Собственные значения  и граничные условия 



 (3)



соответствуют чётным функциям Матье , а собственные значения  и граничные условия 



 (4)



нечётным функциям Матье







В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: , , , .

Собственные значения , отвечающие функциям , , , , обозначаются через , , , .

Модифицированное уравнение Матье

 (5)



получается из уравнения Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5) или , это уравнение имеет либо решение , либо решение , которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.

Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).

Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: , , , .



Вычисление функций Матье I рода



Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка



,  (6)



удовлетворяющие в нуле условию



, если  (7)

, если 



И на бесконечности условию



~,  (8)

где - задано, а  () - собственные значения задачи (2), (3), (4),







Параметр  используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:







Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.

Введём замену переменных:



 (9)

 (10)



Здесь  - "масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию  при , её выбор находится в нашем распоряжении.

Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для  и :

 (11)

 (12)



где  и .



Для совместного решения задач Коши для  и  используется следующий приём. Функцию ищем в точках . На каждом из отрезков  вспомогательные функции  находятся, как решение задач Коши



 (13)



где .



Поскольку для любых решений  и , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления , ,


, , (14)



причём .

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка  величины , , ;

Полагая , по формуле (14) вычисляем , ;

По формуле (10) вычисляем функции , ;

Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции 



. 



В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция 



, где .



Вычисление функций Матье III рода



Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:



, . (15)



Условие на бесконечности

~, . (16)



Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:



,



и при достаточно больших  линейному соотношению:



, .

 (17)



Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших  представимо асимптотическим рядом .

Рассмотрим алгоритм нахождения функций . Для их вычисления нужно перенести граничное условие 



,



где , справа налево от точки  до точки .



Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку  переносим соотношение

,



потребовав выполнение условия для всех , , где  и  удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка



.



Функции Матье 3-его рода ищем по формуле:



,



где .



Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле: 



.

функция матье дифференциальное уравнение

Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.


Литература



		Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4.

		Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.

		Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М. – 1979. – 832 с.:ил.