Ряды

Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

(х-х0)+(y-y0) <.

Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой  этому множеству.

Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая  множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х0;у0) множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.



G





y

P 



x 

Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при хх0, уу0, М(х;у)М0. limхх0 (уу0)f(х;у)=A

Если для любого >0 сущ-ет  окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у) окрест-ти будет выполн нерав-во (х-х0)2+(y-y0)2 <. А-f(х;у)<,                             A-<f(х;у)<A+.

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnYn)=ab (n)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+n; lim Yn=b => Yn=b+n;

Xn  Yn = (a + n)  (b + n) = (a  b) + ( n bn) => lim(XnYn)=ab (n).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n) =>   lim Xn/Yn =    

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b. 

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+n)/(b+n) – a/b = (ab+nb–ab–an)/b(b+n) =(bn-an)/b(b+n)=n => Xn/Yn=a/b+n =>  lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n). 

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0)  обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство limхх0(уу0)f(х;у)=f(х0;у0) или limх0(у0)f(х0+х;у0+у)= f(х0;у0), где х=х0+х и у=у0+у, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.

Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность)  f(х;у)=f1(х;у)f2(х;у), произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что limхх0(уу0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limхх0(уу0)f2(х;у)=f2(х0;у0)  на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(XnYn)=ab (n), можем написать: limхх0(уу0)f(х;у)=limхх0(уу0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limхх0(уу0)f1(х;у)+limхх0(уу0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция. 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=(х0;у0), то фун y=f((х;у)) непрер-а в точке (х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limхх0(уу0)f(х;у)= f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие limх0(у0)f(х0+х;у0+у)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела limхх0(уу0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limхх0(уу0)f(х;у), но limхх0(уу0)f(х;у)f(х0;у0).

Классификация точек разрыва: 

Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 1 род.

Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х0;у0…)f(х;у) и по крайней мере одна точка N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(х0;у0…)f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа , удовл усл m<<М, найдется в обл такая точка N*(x*;y*…), что будет выполн рав-во f(x*0;y*0…)=. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением  z по x. ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y). 

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz к приращ-ю ∆x при ∆x0.

∂z/∂x=lim(∆x0)∆xz/∆x=lim(∆x0)(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y. 

∂z/∂y=lim(∆y0) ∆yz/∆y=lim(∆y0)(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: dxz(x;y)=[(z/x)*x] и dуz(x;y)=[(z/у)*у].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.

Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0,y0), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(), где =(∆x2+∆y2), т.е. lim(х0,у0,0)0()/=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем . (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.

Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0,y+∆y)f(x,y)+[f(x,y)/x]*x+[f(x,y)/y]*y.

Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0. A=∂z(х0;у0)/∂x; B=∂z(х0;у0)/∂y. 

Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.

Производные высших порядков.

∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;

∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z``xy;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx; ∂φ/∂y=∂2z/∂y2;z``yy; 

Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂yх; ∂3z/∂y∂x2; ∂3z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3.

Производная сложной ф-ии.

z=f(u,v)=F(x;y), u=(х;у) и v=(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а  u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство z/x=(∂z/∂u)(u/x)+(∂z/∂v)(v/x); z/y=(∂z/∂u)(u/y)+(∂z/∂v)(v/y).

z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х: 

dz/dx=z/x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=z/у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);

Экстремумы фун 2 переменных.

Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0,y0)<f(x,y)}   для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0,y0) и отличных от неё.

Определение max и min при предположении, что х=х0+х и у=у0+у, тогда 

f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+х;у0+у)-f(x0;y0)=f. 1)Если f<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0(х0;у0); 2)Если f>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0  или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0  или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0.

Тогда при x=x0, y=y0:

1)f(x,y) имеет максимум, если

∂2f(x0,y0)/x2*∂2f(x0,y0)/y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0   и  ∂2f(x0,y0)/x2<0

2)f(x,y) имеет максимум, если

∂2f(x0,y0)/x2*∂2f(x0,y0)/y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0   и  ∂2f(x0,y0)/x2>0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

∂2f(x0,y0)/x2*∂2 f(x0,y0)/y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0    

4)Если ∂2f(x0,y0)/x2*∂2f(x0,y0)/y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.

Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=(x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)0. Продифф. по x: F(x,y,z)0, Fx=0, F/x+(F/z)*(z/x) z/x=--[(F/x)/(F/z)]; 

Продифф. аналогично по у  z/y=--[(F/y)/(F/z)]

Двойной интеграл.

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(S1,S2,S3…Sn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)Si. Vn=ni=1f(Pi)Si – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

Опр: Предел limmax di0ni=1f(Pi)Si интегральной суммы ni=1f(Pi)Si, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на Di и от выбора точек PiDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл D, то сущ-ет предел limmax di0ni=1f(Pi)Si

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di0ni=1f(Pi)Si=D f(x;y)dxdy=(или)= =D f(x;y)dS/

Св-ва: 

1)D(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=Df1(x,y)dxdy+Df2(x,y)dxdy

2)  Da f(x,y)dxdy=a D f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D1D2, то

 Df(x,y)= D1f(x,y))+ D2f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2. 

 Df(Pi)Si= D1f(Pi)Si + D2f(Pi)Si , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок Si. Переходя в равенство 

 Df(Pi)Si= D1f(Pi)Si + D2f(Pi)Si к пределу при Si0, получаем равенство 

 Df(x,y)= D1f(x,y))+ D2f(x,y).

4) Если фун f(x,y)=1, то  D1dxdy=SD

5) Если фун в данной области f(x,y)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть       

 D f(x,y)dxdy0

6) Если f1(x,y)f2(x,y), то 

Df1(x,y)dxdyDf2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D. 

в а ( 2(x) 1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я 

mSва(2(x)1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*SMS получаем mS1/S*IDMS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)).  Пусть  f(x,y) непрерывна в области D. 

Рассмотрим ID=ваf2(x)f1(x)f(x,y)dydx=ваФ(х)dx

-это двукратный интеграл.

Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

Df(x,y)dxdy=x=pcos, y=psin , I=p= 

=Df(pcos;psin)pdpd=

=dp2()p1()(pcos ;psin)pdp.

Геометрическое приложение двойного интеграла.

Площадь плоской поверхности. 

D f(x,y)dxdy=SD 

2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую Di и найти значение функции в этой точке. Vi=f(xi,yi)*Si. Сумма 

Vi=ni=1f(xi,yi)*Si – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.      

limmax di0ni=1f(xi,yi)*Si=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда). f(x,y)dxdy=Vцил 

Площадь поверхности. 

Sпов.=[1+(z/x)2+(z/y)2dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;(х);(х)’;(х)”… (х)n)=0.

Фун вида у=(х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для любых начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=(х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида (х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=(x), кот. обращает ур. в тождество. 

Опр-е: Фун. y=(x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= (x,C0) удов. начальным усл-ям. 

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я. 

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=(x;C0), кот. получается из общего реш. y=(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур. 

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными       f1(x)y’=f2(y)  f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+1(x)2(y)dx=0 все разделим на  2(y)*f1(x) 

{f2(y)/2(y)}dy+{1(x)/f1(x)}dx=0 

∫{f2(y)/2(y)}dy+∫{1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0. 

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной; 

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx  (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx

V= C1e–∫Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e–∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x) 

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.)  n0,1. Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием. 

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим 

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е 

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е

 dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y) 

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0)f(x;y). 

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл. f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим  y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=(U) (dU/dx)*x=(U)-U, dx/x=dU/((U)-U), lnx=[∫dU/((U)-U)] + C  вместо U подст. y/x и получим общий инт. 

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая фун.y=(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;(x);’(x);’’(x))=0 

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.       

(x0;С10;С20)=y0 , 

’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.  

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е. 

y1(x)/y2(x)const, то общим решением ур (2)  y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e–∫P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной 

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий.                                                     0   y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0                 C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x)                            y1   y2

           y1’ y2’

 C1(x)=∫(--)/(--)dx

              y1    0

C2’(x)= y1’   f(x)  C2(x)=∫(--)/(--)dx

              y1   y2

              y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2 – два лин-но незав. реш.

(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx   k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1). 

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2=(-p(p2-4q))/2, k1k2 y1=ek1x, y2=ek2x. 

Т.к. y1/y2const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x. 

2. D=0 k1,2=-p/2 

y1=e-px/2, y2=y1∫(e--∫pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x). 

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=i, y1=exCosx, y2=exSinx, y1/y2const, y=ex(c1Cosx+c2Sinx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=Pn(x)ex     1)  - не явл-ся корнем хар. ур-ия 

y*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)ex. 

 - однократный корень y*=xQn(x)ex. 

3)  - двукрат. корень y*=x2Qn(x)ex. 

2. f(x)=p(x)exCosx+q(x)exSinx 

1) +i – не корень y*=U(x)exCosx+V(x)exSinx. 

2) +i – корень y*=x[U(x)exCosx+V(x)exSinx].  

3. f(x)=MCosx+NSinx  

1)i – не корень, y*=ACosx+BSinx.  

2)i – корень, y*=x(ACosx+BSinx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения. 

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом, 

U1, U2...Un – члены ряда. 

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся 

n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un. 

Если сущ-ет конечный предел limnSn=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел limnSn равен  или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится. 

Если сущ-ет предел limnSn, то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. 

Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость теоремы. 

2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS. 

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к. 

lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д. 

3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и 

S1–S2. 

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n. 

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n. 

Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=S n, тогда имеет место равенство limSn-1=S.

limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+Un+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что VnUn при nN0. 

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

 Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что  lim S2n=S. S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D =>  lim S1n=Sn1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L0, при n, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если  lim(Un+1/Un)=L(2) при n, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)<q (2’). Действительно, т.к. величина Un+1/Un стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е. 

 Un+1/Un – L<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2’) для различных значений n, начиная с номера N, получим 		    UN+1<qUN,

UN+2<qUN+1< q2UN

			  

Рассмотрим теперь два ряда:

U1+U2+...+UN+Un+1+... (1)

UN+qUN+q2UN+...       (1’). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для nN, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех nN. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1. 

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение 

 nUn–L<q–L; осюда следует, что nUn<q или Un<qn для всех nN. Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+UN+1+... (1) и qN+qN+1+qN+2+... (1’). Ряд (1’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов ряда (1’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nUn>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд n=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, х[1;] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un. 

Если не собственный интеграл 1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл 1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.







































Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося  ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n равен 0 

(Lim n Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1S.

  Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m: 

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел   LimmS2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m<U1 при  m, получим, что U1S.  Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2m+1=S2m+A2m+1; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim m S2m+1= 

=Limm S2m+ Lim m А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1+U2+U3….+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд n=1Un; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn+ и Sn-  суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус.  Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn- .  По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел   LimnSn2=S.       Последовательности Sn+ и Sn-  являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S  Sn- ≤ S ), значит существуют пределы 

LimnSn+ и LimnSn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда 

LimnSn1=Lim nSn+ -Lim n Sn- , т.е. ряд (*) сходится.

Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс. сходящимся.

 Если ряд U1+U2+U3….+Un+  сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+   наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3….+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C0+C1X+C2X2+…+CnXn..-степенной ряд  (*)

Св-ва:  1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости  LimnUn=LimnCnX0n=0. Значит последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство            |CnX0n|<M.  Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С0|+ |C1X0||Х/X0|+…+ |CnX0n||X/X0|n+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+…+М|X/X0|n+… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится.  2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда. 

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.     

4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и 

а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х.  Рассмотрим функциональный ряд  U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1)  Совокупность тех значений Х, при которых  функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е.    rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +…    В этом случае величина rn(x)  называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение                Limn→∞ rn(x)= Limn→∞[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток  rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд  U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+..      (1)  называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1(x)│≤a1,…,│Un(x)│≤an ,…  Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами. 

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора:                                                                       f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)[(x-a)2/2!]+…

…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+(x-a)], где 0<<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n остаток ряда стремился к 0, т.е. Rn(x)o. Переходя в формуле (1) к пределу при n, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора: 

f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)[x2/2!]+…

…+fn(0)[xn/n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена: 

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-;)

sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+…  (-;)

cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+…  (-;)

(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+…   (-1;1)

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+..       (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..

1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…

arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…