Примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности

1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию



РЕШЕНИЕ



Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.

Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.



а) Рвсем изделиям= Р(А)*Р(В)*Р(С)

Рвсем изделиям=0,7*0,9*0,8=0,504.

в) Ртолько одному=Р(А,В,С или А,В,С или А,В,С)

Ртолько.одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+

+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092

с) Рхотя бы одному=1 - Рни одному=1-Р(А)*Р(В)*Р(С) 

Рхотя бы одному=1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.



11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.



РЕШЕНИЕ

Обозначим событие А – поступила заявка

По условию р=Р(А)=0,5



q=P(A)=1-0,5=0,5

n= 9 к=6



а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.





Р9(6)=*

б) К1=5, К2=7

Р9(5≤m≤7)=P9(5)+P9(6)+P9(7)

Р9(5)=*

Р9(7)=*

Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762

в) Рn(событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qn

Р9=1-0,59=1-0,001953=0,998

г) np-q≤K0≤np+p

9*0.5-0.5≤K0≤9*0.5+0.5

4≤K0≤5    K0=5

K9(5)=*0.55*0.59-5=

Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K0=5 Р(K0)=0,246.



21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:



Х

8

4

6

5

Р

0,2

0,5

0,2

0,1



Решение

а) Найдем математическое ожидание Х:



М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.



б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х2:



Х2

64

16

36

25

Р

0,2

0,5

0,2

0,1



Найдем математическое ожидание Х2:



М(Х2)=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5



Найдем искомую дисперсию:



D(X)=M(X2)-[M(X)]2

D(X)=30.5-(5.3)2=2.41



в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:







Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55

31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).

Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.





F(X



	

	Решение:



а) = F(X

	

б) М(х)=.



М(х2)=.

D(x)=M(x2)-[M(x)]2=2-





в) построить графики функций F(x) и f(x):







41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3



Решение



а) воспользуемся формулой:







по условию задачи α=9 β=19 а=15 б=2 следовательно,







По таблице приложения 2: 0,4772;  

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:



0,4772+0,49865=0,976065



б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3, равна



Р(

Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664.

Ответ: а)0,976065; б) Р(|х-а|<3)= 0,8664.

51. Даны выборочные варианты х1 и соответствующие им частоты ni количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99



хi

10,2

15,2

20,2

25,2

30,2

35,2

40,2

ni

3

15

26

54

12

5

3



Решение



1. Объем выборки



n=



Средняя выборочная:



=



Выборочная дисперсия:



Dв=2 – 2, где =23,76

Средняя выборочная квадратов значений признака γ 

=



Тогда  Dв=598,87-(23,76)2=34,33

Среднее квадратичное отклонение:

σв=   σв=5,86



пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой



; ),



покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.

В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.

По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=Dв и, следовательно, σ=σв=5,86. ранее найдены значения n=118, и Хв=23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:





(23,76-1,39; 23,76+1,39)

(22,37; 25,15).

Ответ: Хв=23,76; Dв=34,33; σв=5,86; а(22,37; 25,15).



61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Yx и Xy. Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.



Y\X

5

10

15

20

25

30

Ny

35

4

2









6

45



5

3







8

55





5

45

5



55

65





2

8

7



17

75







4

7

3

14

Nx

4

7

10

57

19

3

n=100



Найдем условные средние воспользовавшись формулами:



Үx=                                                Xy=

Yx=5=                                        Xy=35=

Yx=10=                         Xy=45=

Yx=15=                      Xy=55=

Yx=20=               Xy=65=

Yx=25                   Xy=75=

Yx=30



Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:







Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1.

Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r>0 связь прямая, то есть с ростом х растет у. 

При r<0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения σх и σу. Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние.



Значение коэффициента линейной корреляции

Х

nx

x*nx

x2*nx

yx

x*nx*yx

5

4

20

100

35

700

10

7

70

700

42.14

2949.8

15

10

150

2250

54

8100

20

57

1140

22800

57.8

65892

25

19

475

11875

66.05

31373.75

30

3

90

2700

75

6750



100

1945

40425

-

115765.55



Y

ny

y*ny

y2*ny

xy

y*ny*xy

35

6

210

7350

6.67

1400.7

45

8

360

16200

11.875

4275

55

55

3025

166375

20

60500

65

17

1105

71825

21.47

23724.35

75

14

1050

78750

24.64

25872



100

5750

340500

-

115772.05



С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения:



Х=

X2=5

XY=

Y=57.5

Y2=

σx===

σy===9.94



Отсюда коэффициент корреляции равен:



r=



т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.

т.к | r | > 0,78 то линейная связь высокая.



Находим линейное уравнение регрессии Y по X:





Yx-57.5=0.78*

Yx=1.52x+27.94



Аналогично находим уравнение регрессии X поY:





Xy-19.45=0.78*

Xy=0.4y-3.55



Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Yx для каждого значения x и аналогично среднее значение признака Xy  для каждого значения y.

Изобразим полученные результаты графически.

Нанесем на график точки (х;ух) отметив их звездочками(  ). Нанесем на график точки (ху;у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам:



х

5

30

у

35,54

73,54



Yx=1.52x+27.94

х

10,45

26,45

у

35

75







Xy=0.4y-3.55

















Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х;у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5).

Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y:



ηух=



Дисперсия   называемые внутригрупповыми, определены ранее.

Величины называются межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам:







Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче:







бх=

бу=



Тогда корреляционные отношения равны:



ηух=

ηху=



Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями:



Yx=1.52x+27.94,

Xy=0.4y-3.55.