Задачи с параметром в школьном курсе математики 8-го класса

Задачи    с параметром в школьном курсе математики 8-го класса

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании  логического  мышления и математической культуры обучающихся.  Они  имеют принципиально исследовательский    характер, и с этим связаны как методическое значение таких задач, так и трудности выработки навыков их решения.                                                                                                        Важность понятия параметра связана с тем, что, как правило, именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определенным числовым множествам обучающимся 8 класса известны линейная функция и ее частный случай- прямая пропорциональность:

                                                                     Y=kx + b

(параметры k и b определяют расположение графика функции на плоскости и точки пересечения с осями), а также линейное и квадратное уравнение и соответствующие неравенства:

                                                        ax +b=0;  ax2+bx+c=0

(параметры a,b и c определяют, вообще говоря, не только существование и количество корней, но и степень уравнения).

Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами. Ниже приводится система упражнений по решению и исследованию квадратных уравнений и неравенств с одним параметром в курсе 8 класса.

Квадратные уравнения с параметром

1.При каких значениях  a уравнение  ax2-x+3=0  имеет единственное решение?

Решение.

Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя  из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:

а) a=0. При этом уравнении принимает вид –x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно.

б) a≠0, тогда ax2-x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно чтобы D=0, откуда  



ответ: a=0  или 



2. при каких значениях a уравнение (a-2)x²+(4-2a)x+3=0 имеет единственное решение?

 Решение.

1)При a=2  исходное уравнение не имеет решения.

2) a≠2, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид 



Искомые значения параметра- это корни дискриминанта, который обращается в нуль при a=5

Ответ: a=5

3. При каких значениях a  уравнение ax2-4x+a+3=0 имеет более одного корня?

Решение.

1)При a=0 уравнение имеет единственный корень 



2) При a≠0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, т.е. 16-4a2-12a>0, решая неравенство, получаем -4<a<1. Из этого промежутка следует исключить число нуль.

Ответ: -4<a<0 или 0<a<1.

4.При каких значениях a уравнения x2-a=0 и 

равносильны?

Решение.

1)При a>0; x2-a=0 имеет два различных корня, 

 имеет один корень

Равносильности  нет.

2)При a=0 решения уравнений совпадают

3)При a<0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ: a≤0

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у обучающихся при решении таких задач, и этим же объясняется справедливое включение задач с параметрами в экзаменационные работы в школе и на вступительных экзаменах в вузы.