Последняя цифра степени

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»



































Тема: « Последняя цифра степени.»



















Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.





р.п. Шербакуль



2010 – 2011 уч. год

Содержание:









Введение.



Цели работы.



Последняя цифра степени. 



Закономерности возведения в степень



Две последних цифры степени.



Задачи.



Заключение.



 Использованная литература .









































Введение.



     Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы 

11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989.

     Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…











Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?









Цели работы:



Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

Найти закономерность в них.

Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.































Последняя цифра степени.



    Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:



21 = 2

25 = 32

29 = 512

22 = 4

26 = 64

210 = 1024

23 = 8

27 = 128

211 = 2048

24 = 16

28 = 256

212 = 4096



    Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n.

    В самом деле, возьмем число 2100. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24, 28, 212, показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

    Возьмем к примеру, 222, если проверить, просто посчитав, то получится  4194304 – последняя цифра 4.

    Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

    А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.



Закономерности возведения в степень:



Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.





Две последних цифры степени.



    Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень

02

03

04

05

06

07

08

09

10

Х2

04

09

16

25

36

49

64

81

00

Х3

08

27

64

25

16

43

12

29

00

Х4

16

81

56

25

96

01

96

61



Х5

32

43

24



76

07

68

49



Х6

64

29

96



56



44

41



Х7

28

87

84



36



52

69



Х8

56

61

36







16

21



Х9

12

83

44







28

89



Х10

24

49

76







24

01



Х11

48

47

04







92

09



Х12

96

41









36





Х13

92

23









88





Х14

84

69









04





Х15

68

07









32





Х16

36

21









56





Х17

72

63









48





Х18

44

89









84





Х20

88

67









72





Х21

76

01









76





Х22

52

03









08





Х23

04

















Повтор

20

20

10

1

5

4

20

10

1

   (Красным кругом выделен период)

    Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

    К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Х2

21

44

69

96

25

56

89

24

61

00

Х3

31

28

97

44

75

96

13

32

59

00

Х4

41

36

61

16

25

36

21

76

21



Х5

51

32

93

24



76

57

68

99



Х6

61

84

09

36



16

69

24

81



Х7

71

08

17

04





73



39



Х8

81

96

21

56





41



41



Х9

91

52

73

84





97



79



Х10

01

24

49

76





49



01



Х11

11

88

37

64





33



19



Х12



56

81

96





61







Х13



72

53







37







Х14



64

89







29







Х15



68

57







93







Х16



16

41







81







Х17



92

33







77







Х18



04

29







09







Х20



48

77







53







Х21



76

01







01







Х22



12

13







17







Х23





















Повтор

10

20

20

10

2

5

20

4

10

1

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.

















Степень

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Х2

41

84

29

76

25

76

29

84

41

00

Х3

61

48

67

24

25

76

83

52

89

00

Х4

81

56

41







41

56

81



Х5

01

32

43







07

68

49



Х6

21

04

89







89

04

21



Х7



88

47







03

12

09



Х8



36

81







81

36

61



Х9



92

63







87

08

69



Х10



24

49







49

24

01



Х11



28

27







23

72

29



Х12



16

21







21

16





Х13



52

83







67

48





Х14



44

09







09

44





Х15



68

07







43

32





Х16



96

61







61

96





Х17



12

03







47

88





Х18



64

69







69

64





Х20



08

87







63

92





Х21



76

01







01

76





Х22



72

23







27

28





Х23



84

















Повтор

5

20

20

2

1

1

20

20

10

1































Степень

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

Х2

61

24

89

56

25

96

69

44

21

00

Х3

91

68

37

04

75

56

53

72

19

00

Х4

21

76

21

36

25

16

61

36

41



Х5

51

32

93

24



76

57

68

99



Х6

81



69

16



36

09

84

41



Х7

11



77

44



96

33

92

99



Х8

41



41

96



56

21

96

61



Х9

71



53

64





77

48

79



Х10

01



49

76





49

24

81



Х11

31



17

84





13

12

59



Х12





61

56





81

56

01



Х13





13







97

28

39



Х14





29







89

64





Х15





57







93

32





Х16





81







41

16





Х17





73







17

08





Х18





09







29

04





Х20





97







73

52





Х21





01







01

76





Х22





33







37

88





Х23















44





Повтор

10

4

20

10

2

5

20

20

10

1































Степень

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Х2

81

64

49

36

25

16

09

04

01

00

Х3

21

88

07

84

25

36

23

92

49

00

Х4

61

96

01

96



56

81

16





Х5

01

32

43

24



76

07

68





Х6

41

44



56



96

29

64





Х7



48



64



16

63

72





Х8



16



16





61

56





Х9



72



04





67

88





Х10



24



76





49

24





Х11



08



44





03

52





Х12



36









41

96





Х13



12









27

08





Х14



04









69

84





Х15



68









43

32





Х16



56









21

36





Х17



52









87

28





Х18



84









89

44





Х20



28









83

12





Х21



76









01

76





Х22



92









47

48





Х23



64

















Повтор

5

20

4

10

1

5

20

20

2

1

























Степень

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Х2

01

04

09

16

25

36

49

64

81

00

Х3

51

08

77

64

75

16

93

12

79

00

Х4



16

81

56

25

96

01

96

61



Х5



32

93

24



76

57

68

99



Х6



64

29

96



56



44

41



Х7



28

37

84







52

19



Х8



56

61

36







16

21



Х9



12

33

44







28

39



Х10



24

49

76







24

01



Х11



48

97

04







92

59



Х12



96

41

16







36





Х13



92

73









88





Х14



84

69









04





Х15



68

57









32





Х16



36

21









56





Х17



72

13









48





Х18



44

89









84





Х20



88

17









72





Х21



76

01









76





Х22



52

53









08





Х23















64





Повтор

2

20

20

10

2

5

20

20

10

1























Степень

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

Х2

21

44

69

96

25

56

89

24

61

00

Х3

81

28

47

44

25

96

63

32

09

00

Х4

41

36

61

16



36

21

76

21



Х5

01

32

43

24



76

07

68

49



Х6

61

84

09

36



16

69



81



Х7



08

67

04



56

23



89



Х8



96

21

56





41



41



Х9



52

23

84





47



29



Х10



24

49

76





49



01



Х11



88

87

64





83



69



Х12



56

81







61







Х13



72

03







87







Х14



64

89







29







Х15



68

07







43







Х16



16

41







81







Х17



92

83







27







Х18



04

29







09







Х20



48

27







03







Х21



76

01







01







Х22



12

63







67







Х23



44

















Повтор

5

20

20

10

1

5

20

4

10

1

























Степень

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

Х2

41

84

29

76

25

76

29

84

41

00

Х3

11

48

17

24

25

76

33

52

39

00

Х4

81

56

41

76





41

56

81



Х5

51

32

93







57

68

99



Х6

21

04

89







89

04

21



Х7

91

88

97







53

12

59



Х8

61

36

81







81

36

61



Х9

31

92

13







37

08

19



Х10

01

24

49







49

24

01



Х11

71

28

77







73

72

79



Х12



16

21







21

16





Х13



52

33







17

48





Х14



44

09







09

44





Х15



68

57







93

32





Х16



96

61







61

96





Х17



12

53







97

88





Х18



64

69







69

64





Х20



08

37







13

92





Х21



76

01







01

76





Х22



72

73







77

28





Х23















84





Повтор

5

20

20

2

2

1

20

20

10

1

























Степень

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

Х2

61

24

89

56

25

96

69

44

21

00

Х3

41

68

87

04

25

56

03

72

69

00

Х4

21

76

21

36



16

61

36

41



Х5

01

32

43

24



76

07

68

49



Х6

81

24

69

16



36

09

84

61



Х7





27

44



96

83

92

29



Х8





41

96





21

96

81



Х9





03

64





27

48

09



Х10





49

76





49

24

01



Х11





67

84





63

12

89



Х12





61







81

56





Х13





63







47

28





Х14





29







89

64





Х15





07







43

32





Х16





81







41

16





Х17





23







67

08





Х18





09







29

04





Х20





47







23

52





Х21





01







01

76





Х22





83







87

88





Х23





















Повтор

5

4

20

10

1

5

20

20

10

1

























Степень

91

92

93

94

95

96

97

98

99

		100

Х2

81

64

49

36

25

16

09

04

01

00

Х3

71

88

57

84

75

36

73

92

99

00

Х4

61

96

01

96

25

56

81

16





Х5

51

32

93

24



76

57

68





Х6

41

44



56



96

29

64





Х7

31

48



64





13

72





Х8

21

16



16





61

56





Х9

11

72



04





17

88





Х10

01

24



76





49

24





Х11

91

08



44





53

52





Х12



36



36





41

96





Х13



12









77

08





Х14



04









69

84





Х15



68









93

32





Х16



56









21

36





Х17



52









37

28





Х18



84









89

44





Х20



28









33

12





Х21



76









01

76





Х22



92









97

48





Х23















04





Повтор

10

20

4

10

2

5

20

20

10

1

    Думаю, что таблицу с 3-мя последними цифрами составлять нет смысла, потому что я хочу найти рациональные способы, где не надо много вычислять, а в этой таблице, у чисел, которых раньше был период 20 чисел будет по 100, поэтому я буду составлять их только по необходимости у таких чисел как 4, 5, 6, 7 и 9.















Задачи.



Задача 1.

            Найдите 2 последние цифры числа 81989.

            В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, из показателя степени отнимаем 19800, именно столько раз, период пройдет полностью и остановиться на 1989 – 1980 = 9, а на девятом числе, а 9-ое число это 28.

             Ответ: последние 2 цифры числа 81989 – 28.     

           



            Задача 2.

           На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

             Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий.

              Ответ: перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым. 





               Задача 3.

             Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

               У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12…   102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов.

              Ответ: через 102938475 часы будут показывать 13:00. 

           









































































Заключение.



      Я поняла как можно пользоваться этим признаком, составила таблицы, с помощью которых можно определять не только 1-ну но и 2 последние цифры и научилась решать подобные задачи. Думаю что я добилась того что хотела.