Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса

2





Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики



























КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»





















Брест 2009

	
СОДЕРЖАНИЕ

	

ВВЕДЕНИЕ

	1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

	2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

	3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

	ЗАКЛЮЧЕНИЕ

	СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

	ПРИЛОЖЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ

	

	Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

	Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.


1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ



Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида



.



Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом  =  называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или  - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или  подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида 



,



где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида 


,



где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида 



=,

, 



при условии, что



.



Нормированной спектральной плотностью случайного процесса  называется функция вида







где , если  и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида 


.



Смешанным моментом  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида 



, , .



Заметим, что 



,

.



Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение



.



Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера







тогда






Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса  в точках . Введем функцию 



,



которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент  го порядка, , можно также определить как 



, , .



Смешанным семиинвариантом (кумулянтом)  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида 



, , , 



которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид


,

,



где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества 



 

, , , , .



При 



,

,

.



При 







Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида 


=, ,



при условии, что







Из определения видно, что спектральная плотность  непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью  го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида 

=, , 



при условии, что



.



Теорема 1. Для смешанного семиинварианта  го порядка, , случайного процесса  справедливы представления



,.


Пусть  - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и 







- мерная функция распределения, где 

Случайный процесс  называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых  и любого , такого что  выполняется соотношение







где 

Возьмем произвольное . Пусть , тогда



В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать







Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать



 



Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП  будем обозначать


 



Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если  и 









Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и  то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида



 , 



при условии, что 







Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида






 



при условии, что 







Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП  справедливо следующее соотношение



 .



Для  эти соотношения примут вид



 .



2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ



Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений  за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке  рассмотрим статистику 



 (2.1)



где  , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция,  для , а 



 (2.2) 



s – целое число, - целая часть числа .

Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением 



 (2.3)



определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка  взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде 


 (2.4)



где некоторые действительные функции, не зависящие от T, 

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику



,



и исследуем первый момент построенной оценки. 

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее 







Использовав соотношение (2.4), получим 







где



  



Поскольку 






следовательно, оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку 











где









, то оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку 



 (2.5)



Найдем математическое ожидание построенной оценки :










где





  





Следовательно, оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов  в представлении (2.4), 

Видим, что 









Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка  взаимной спектральной плотности  стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению



,

,



 при условии, что справедливо соотношение (2.4) для 

При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида

		

		 (2.6)



где  задаются соотношением 





    


3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ



Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных». 

В соотношении (2.3) введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию 



(3.1)



 называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что

		

		



Характерное поведение функции  состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при . 

Примеры окон просмотра данных:

1 – окно Дирихле;

1- – окно Фейера;

;

 – окно Хэннинга;

 – окно Хэмминга;

 – окно Хэмминга;

, где  – окно Хэмминга;

1- – окно Рисса.

		
ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида







где  , а периодограмма задана следующим соотношением 







Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



	Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.

	Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.

	Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.

	Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.

	Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.


ПРИЛОЖЕНИЕ



Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.





Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле





Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса




Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера





Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса





Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3




Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса





Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга





Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса




Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5





Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса





Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6




Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса





Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7





Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса




Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса





Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса