Системы счисления

Системы счисления



Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали ранее и существуют теперь, можно разделить на позиционные и непозиционные. Знаки, которые используются при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:



I	V	X	L	C	D	M

1	5	10	50	100	500	1000



Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум. 

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Пример 2. 



VI=5+1=6, а IV=5-1=4



Пример 3.



MCMXCVIII =1000+ (1000-100) + (-10+100) +5+1+1+1=1998

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:



0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9.



Позиционный характер этой системы легко понять при наличии любого многозначного числа. Например, в числе 333первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, а третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:



Основание 

Название 

Алфавит 

n=2

двоичная

0 1

n=3

троичная

0 1 2

n=8

восьмеричная

0 1 2 3 4 5 6 7

n=16

шестнадцатеричная

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F



Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:



	 	



В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0,1,…,q-1. запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10. 

Развернутой формулой записи числа называется запись в виде 



 



Здесь  – само число, q – основание системы счисления,  - цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Пример 4. получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.









Пример 5. получит развернутую форму чисел 



,	,	,	



	







Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10. 

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему. 



 









Задачи



№1

Какие числа записаны с помощью римских цифр:



MMMD,	IV,	XIX,	MCXCIVII?



№2

Запишите год, месяц и число вашего рождения с помощью римских цифр.



№3

В старину на Руси широко применялась система счисления, отдаленно напоминающая римскую. С ее помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате податей. Для записи чисел употреблялись следующие знаки:

Звезда – тысяча рублей, колесо – сто рублей, квадрат – десять рублей, 

Х – один рубль, I I I I I I I I I I – десять копеек, I – копейка. 

Запишите при помощи старинной русской системы счисления сумму 3452 рубля 43 копейки.


№4

Какая сумма записана при помощи старинной русской системы счисления



 Х Х Х I I I I I I I I I I I I I



№5 

Придумайте свою непозиционную систему счисления и запишите в ней числа 45, 769, 1001.



№6

В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометрических фигур. На рисунке приведены некоторые числа, записанные этой системе счисления:



 - 4			 -190



 - 6			 - 1900



 -19



Какому числу соответствует следующая запись:



 



№7

Выполните действия и запишите результат римскими цифрами:


XXII-V;	CV-LII;	IC+XIX;	MCM+VIII;

XX/V;		X*IV;		LXVI/XI;	XXIV*VII.



№8

Какое количество обозначает цифра 8 в десятичных числах 



6538, 8356, 87 и 831?



№9 

Что вы можете сказать о числах 111 и I I I?



№10

Выпишите алфавит в 5-ричной, 7-ричной и 12-ричной системах счисления. 



№11

Запишите первые 20 чисел натурального числового ряда в двоичной, 5-ричной, 8-ричной, 16-ричной системах счисления. 



№12

Запишите в развернутом виде числа:



1)  ; 2)  



№13

Запишите в развернутом виде числа:



1)  ; 2) 


№14

Запишите в развернутой форме числа:



1)  ; 2)  



№15 

Запишите десятичной системе счисления числа:



1)  ; 2)  



№16 

Запишите в десятичной системе счисления числа:



1)  ; 2)  



№17



Запишите десятичный эквивалент числа 110101, если считать его написанным во всех системах счисления – от двоичной до девятеричной включительно.



№18

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201, 1201?



№19

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 403, 561, 666, 125?


№20

Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 22, 964, 1010, А219?



№21

В каких системах счисления 10 – число нечетное?



№21

В каких системах счисления справедливы неравенства:



2*2=10,	2*3=11,	3*3=13?



Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.

Перевод целых чисел

		основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

		последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частых на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

		полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

		составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1. Перевести число  в двоичную систему. Для обозначения цифр используем символику: 



Перевод дробных чисел.

		основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

		последовательно умножать данное число и полученные дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

		полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

		составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой). 

Пример 4. Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. 

Из рассмотренных выше примеров следует:



. 

Задачи



№23

Перевести целые числа из десятичной системы счисления в троичную:



		523; 65; 7000; 2307; 325

		12; 524; 76; 121; 56.



№24

Перевести целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:



856; 664; 5012; 6435; 78;

214; 89; 998; 653; 111.



№25

Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить шесть знаков.



0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876;

0,55; 0,333; 0,1213; 0,453.



№26

Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. В новой записи дроби сохранить шесть знаков



0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451;

0,8455; 0,225; 01234; 0,455



№27

Перевести смешанные десятичные числа в троичную и пятеричную системы счисления, оставить пять знаков в дробной части нового числа:



40,5; 34,25; 124,44;

78,333; 225,52; 90,99.



№28

Перевести смешанные десятичные числа в двоичную и восьмеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа:


21,5; 432,54; 678,333;

12,25; 97,444; 7896,2.



№29

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:



345 - , 0,125 - , 45,65 - ;

675 - , 0,333 - , 23,15. 



№30

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:



1,25 - , 675 - , 0,355 - ;

890 - , 0,675 - , 12,35 - 



№31

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:



425 - , 0,425 - , 98,45 - ;

0,55 - , 765 - , 765,75 - .



№32

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:



98 - , 0,545 - , 87,325 - ;

0,775 - , 907 - , 566,225 - 



Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием )

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием  (4,8,16 и т.д.), нужно:

данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием .

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием , нужно:

данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием .

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием , нужно:

данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их нужно дополнить нулями до нужного числа разрядов;

 рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой системе счисления с основанием .

Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием , перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы счисления с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная).

Пример 5. Перевести число  в двоичную систему.

Для решения задачи воспользуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.

Двоично-шестнадцатеричная таблица



16

2

16

2

0

0000

8

1000

1

0001

9

1001

2

0010

A

1010

3

0011

B

1011

4

0100

C

1100

5

0101

D

1101

6

0110

E

1110

7

0111

F

1111



В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные цифры, напротив, в соседнем столбце – равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде (там, где знаков меньше четырех, слева добавлены нули).

А теперь проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в таблице четверку двоичных знаков. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:



0001	0101	1111	1100



Если отбросить нули слева (в любой системе счисления они не влияют на значения числа), то получим искомое двоичное число. Таким образом:





В справедливости этого равенства можно убедиться, производя тот же перевод через десятичную систему.

Пример 6. Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему.

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.



0011	0111	1010	1110	1111



А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру.



3	7	А	E	F



Следовательно:







Пример 7. Перевести смешанное число  в шестнадцатеричную систему.

Решение 

Перевод дробных чисел производится аналогично. Группы по четыре двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо. Поэтому:



 = 0101 1101, 1011 1000 = .



Связь между двоичной и восьмеричной системами устанавливается аналогично. В этом случае используется двоично-восьмеричная таблица, приведенная ниже. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных цифр.



Двоично-восьмеричная таблица

8

2

0

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111



Пример 8. Перевести смешанное число  в восьмеричную систему.

Решение

Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо. Затем производится перекодировка по таблице:



 = 001 011 101, 101 110 = .



Задачи



№33

Перевести двоичные числа в восьмеричную систему счисления:



110000110101; 1010101; 0,1010011100100; 0,1111110001;

0,1001111100000; 0,1100010; 11100001011001; 1000010101.



№34

Перевести двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:


11011010001; 111111111000001; 0,0110101; 0,11100110101;

10001111010; 100011111011; 0,101010101; 01100110011.



№35

Перевести смешанные двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:



		100010,011101; 1111000000,101; 101010,111001; 100011,111;

		101111,01100; 100000111,001110; 101010,0010; 1100011,11.



№36

Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления:



256; 0,345; 24,025; 0,25;

657; 76,025; 0,344; 345,77.



№37

Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:



1АС7; 0,2D1; 2F,D8C; F0C,FF;

FACC; 0,FFD; FDA,12F; DDFF,A/



№38

Перевести числа из шестнадцатеричной системы в восьмеричную:



A45; 24A,9F; 0,FDD5; F12,0457$

A24,F9; 54A; 0,DFD3; 12D,567/



№39

Перевести числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:



774; 765,25; 0,5432; 654,763;

665; 546,76; 0,7654; 432,347.



№40

Перевести следующие числа:



		; ; ; ;

		; ; ;  



№41

Перевести следующие числа:



; ; 

; 

; ;

; 



№42

Перевести следующие числа:



1. ; ;

2.	; ;

3.	; ;

4.	; ;


№43

Опишите четверичную систему. Постройте двоично-четверичную таблицу.



№44

Перевести следующие числа:



1.	; ; ; ;

2.	;  ; ; .



№45

Перевести следующие числа:



1.	; ; ; ;

2.	; ; ; .



Арифметика в позиционных системах счисления.

Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел. Например, таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления выглядят так:

Пятеричная таблица сложения	пятеричная таблица умножения

+

0

1

2

3

4

 0

0

1

2

3

4

1

1

2

3

4

10

2

2

3

4

10

11

3

3

4

10

11

12

4

4

10

11

12

13

	

	1

	2

	3

	4

	1

	1

	2

	3

	4

	2

	2

	4

	11

	13

	3

	3

	11

	14

	22

	4

	4

	16

	22

	31