по Математике 2

Содержание

1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного	2

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение	5

3. Интегральное исчисление функции одного переменного	8




1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного





Вычислить предел









Найти асимптоты функции



Отметим, что данная функция не существует при .

Исследуем прямую на вертикальную асимптотичность:



Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой.

Проверим функцию на существование горизонтальных асимптот:



Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Проверим функцию на существование наклонной асимптоты:



Отсюда следует, что функция имеет наклонную асимптоту 

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту  и наклонную асимптоту 













Определить глобальные экстремумы

   при х[-2,0]

Для определения глобальных экстремумов, вычислим производную 1-го порядка для данной функции:



Найдем значения аргумента, при которых данная производная будет равна 0:



Отсюда имеем ;

Продолжая решение: 

По теореме Виета, получим:



По условию задания глобальные экстремумы определяются на отрезке х[-2,0]. Таким образом, имеем, что на отрезке [-2, -1] значение производной отрицательно, на отрезке 
[-1, 0] – положительно. Таким образом, при , функция принимает минимальное значение на заданном отрезке: 

Исследуем значения функции на концах заданного отрезка: , 

Таким образом, при  функция принимает максимальное значение на заданном отрезке.

Ответ: 



		Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции



Для исследования функции на монотонность, найдем производную 1-го порядка:

, Определим значения аргумента, при которых производная равна 0



На промежутке - функция монотонно убывает

На промежутке  - функция монотонно убывает

На промежутке - функция монотонно возрастает

То есть при х=0, функция принимает минимальное значение у=0

Таким образом, эскиз графика функции, выполненный по условию задания, выглядит следующим образом:



Х

Y





		Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции





По теореме Виета:



Далее определим промежутки выпуклости функции

На промежутке  ; - выпуклость вверх

На промежутке  ; - выпуклость вниз

На промежутке  - выпуклость вверх

Значения функции в точках перегиба: 

Тогда точки перегиба функции:  и N 

















2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение



Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции



Функция не является четной, не является нечетной. Функция не периодична.

Функция  не существует при . Проверим гипотезу об асимптоте :


Таким образом является вертикальной асимптотой данной функции 

Проверим гипотезу о существовании горизонтальной асимптоты:

Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Проверим гипотезу о существовании наклонной асимптоты:

аналогично при 
Таким образом, наклонная асимптота имеет вид: 

 единственно при , и не существует при  Исследуем знаки постоянства функции: 
на промежутке   
 на промежутке  

Исследуем функцию на монотонность:
;
 при 
На интервале  - функция возрастает
На интервале - функция убывает
На интервале- функция убывает
На интервале- функция убывает
На интервале-функция возрастает
Точки экстремума: - локальный максимум
- локальный минимум

Исследуем функцию на выпуклость:

 данное уравнение корней не имеет;

Производная второго порядка не существует при 
На промежутке  - функция выпукла вверх
На промежутке  - функция выпукла вниз


Таким образом, учитывая все вышеуказанное, эскиз графика функции будет выглядеть следующим образом:



y=x+2

x=2

0

4

8

y = f(x)

y = f(x)

X

Y





Найти локальные экстремумы функции

Найдем первые производные:

Составим систему:



Найдем вторые производные:





Поскольку производные 2-го порядка для данной функции не существуют, то вопрос о локальных экстремумах остается открытым.



Определить экстремумы функции

,   если у2+2х2=12, х>0, у>0

Составляем функцию Лагранжа:



Найдем первые частные производные функции Лагранжа:


Составим систему уравнений:

По условию: х>0, у>0
Таким образом: х =  у


Определи вторые производные функции Лагранжа:




Учитывая значения переменных, полученные в п.3, имеем:


Найдем производные условной функции:


Таким образом:

Видим, что в точке (2,2) исходная функция  при условии у2+2х2=12, х>0, у>0,  будет иметь строгий условный максимум, при этом 




3. Интегральное исчисление функции одного переменного



1-3 Найти неопределенный интеграл:
а. 


б. 




в. 



4 Вычислить 


Таким образом:




5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми 












1