Эконометрика 6

2





ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВОЭКОНОМИЧЕСКИЙ 
ИНСТИТУТ

Филиал в г. Брянске









КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА









ВЫПОЛНИЛ(А) 

Симонова Н.С.

СТУДЕНТ(КА)

3 курса («вечер», поток 1)

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 

Финансы и кредит

№ ЗАЧ. КНИЖКИ 

06ффд15027

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ 

Малашенко В.М.









Брянск — 2009

ЗАДАЧА 1

	По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):



№ предприятия

X

Y

1

22

26

2

48

52

3

31

43

4

36

38

5

43

54

6

52

53

7

28

35

8

26

37

9

42

47

10

59

58



	Требуется:

		Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.

		Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.

		Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов. 

		Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости =0,05). 

		Вычислить коэффициент детерминации R2; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости =0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

		Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости =0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

		Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

		Составить уравнения нелинейной регрессии:

логарифмической;

степенной;

показательной.

	Привести графики построенных уравнений регрессии.

		Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

РЕШЕНИЕ

	Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

	1. С помощью надстройки «Анализ данных» EXCEL проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии  (меню «Сервис»  «Анализ данных…»  «Регрессия»):



	(Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen.)

	В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:

 (прил. 1).

	Угловой коэффициент b1=0,785 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,785 млн. руб.



	2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии  (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов

 

(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1). 

	Стандартная ошибка линейной парной регрессии Sрег определена там же:

 млн. руб.

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1), где p=1 — число факторов в регрессионной модели.

	График остатков ei от предсказанных уравнением регрессии значений результата  (i=1, 2, …, n) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка» прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка»  «Диаграмма…»  «Точечная»:







	График остатков приведен в прил. 2.



	3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

	1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности.

	Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии , которое составляет tтаб=2,306.

	Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.

	2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b0, параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю:  (см. прил. 1).

	Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL «СУММ» и «СРЗНАЧ». 

	3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений  от предсказанных уравнением регрессии значений результата  (i=1, 2, …, n). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции  между абсолютными величинами остатков  и  (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций:

=КОРРЕЛ(ABS(«Остатки»);«Предсказанное Y»)

	Коэффициент корреляции оказался равным  (см. прил. 1).

	Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы  составляет rкр=0,632. 

	Так как коэффициент корреляции  не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости =0,05.

	4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка «» («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем dстатистику Дарбина–Уотсона

 (см. прил. 1).

	Для расчета dстатистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

	Критические значения dстатистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости =0,05 составляют: d1=0,88; d2=1,32. 

	Так как выполняется условие

,

статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости =0,05.

	Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка 

 (см. прил. 1).

(ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности).

	Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

	Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости =0,05 составляет r(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

	5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где emax=6,32; emin=(–5,19) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);  — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН») (см. прил. 1).

	Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости =0,05 имеют значения: (R/S)1=2,67 и (R/S)2=3,69.

	Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости =0,05.

	Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению. 



	4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b0 и b1 уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии  составляет tтаб=2,306.

	t-статистики коэффициентов

,

были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют следующие значения: tb03,202; tb17,288 (см. прил. 1). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b0 и b1, которые ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «PЗначение»).

	Статистическая значимость углового коэффициента b1 дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.



	5. Коэффициент детерминации R2 линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа в EXCEL:

 

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1).

	Значение R2 показывает, что линейная модель объясняет 86,9 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

	F-статистика линейной модели имеет значение



(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

	Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости =0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии)  и знаменателя (остатка)  составляет Fтаб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в том виде, в каком оно получено, составляет 8,4910-5 (см. «Значимость F» в «Дисперсионном анализе» прил. 1), что ниже допустимого уровня значимости =0,05.

	Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

,

где  млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

	Значение Еотн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,1 %. Линейная модель имеет хорошую точность. 

	По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции.



	6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных: 

максимальное значение X — xmax=59 млн. руб. (см. «Исходные данные» в прил. 1);

прогнозное значение X —  млн. руб.

	Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно

 млн. руб.

	Стандартная ошибка прогноза фактического значения объема выпускаемой продукции y0 рассчитывается по формуле

 млн. руб.,

где  млн. руб. — средний объем капиталовложений;  млн. руб. — стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций «СРЗНАЧ» и «СТАНДОТКЛОН») (см. «Исходные данные» в прил. 1).

	Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукции y0 с надежностью (доверительной вероятностью) =0,9 (уровень значимости =0,1) имеет вид:

 млн. руб.,

где tтаб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости =0,1 и числе степеней свободы .

	Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 43,2 до 58,8 млн. руб.



	7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка»  «Диаграмма…»  «Точечная»). Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма»  «Добавить линию тренда…»  «Линейная»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2:

 



	Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3).



	8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка»  «Диаграмма…»  «Точечная»). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню «Диаграмма»  «Добавить линию тренда…»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2:



 





	Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R2 приведены в прил. 4. Рассмотрим последовательно каждую модель.	



	1) Логарифмическая модель:

.

	Значение параметра b1=29,9 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на  млн. руб.

	Коэффициент детерминации R20,898 показывает, что логарифмическая модель объясняет 89,8 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

	F-статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R2 по формуле

.

	Табличное значение F-критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (Fтаб=5,32). Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии.

	Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R2 по формуле 

 млн. руб.,

где  млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

	Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

.

	Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 6,2 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность. 

	2) Степенная модель:

.

	Показатель степени b1=0,721 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,721 %. 

	Коэффициент детерминации R20,873 показывает, что степенная модель объясняет 87,3 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

	F-статистика степенной модели



также превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии.

	Стандартная ошибка степенной регрессии равна

 млн. руб.

	Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение

.

	Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,0 %. Степенная модель имеет хорошую точность. 

	3) Показательная (экспоненциальная) модель:

,

где е=2,718… — основание натуральных логарифмов;  — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»).

	Параметр b1=1,019 является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем в 1,019 раза, то есть на 1,9 %.

	Коэффициент детерминации R20,821 показывает, что показательная модель объясняет 82,1 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

	F-статистика показательной модели



превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии.

	Стандартная ошибка показательной регрессии:

 млн. руб.

	Средняя относительная ошибка аппроксимации:

.

	Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,3 %. Показательная модель имеет хорошую точность. 



	Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R2 четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R2.



ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах.

ЗАДАЧА 2

Задача 2а и 2б 

	Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.





Номер варианта

Номер уравнения

Задача 2а

Задача 2б





переменные

переменные





у1

у2

у3

х1

х2

х3

x4

у1

у2

у3

х1

х2

х3

x4

11

1

–1

b12

b13

a11

a12

0

0

–1

b12

b13

a11

a12

0

0



2

b21

–1

0

a21

a22

a23

0

b21

–1

0

0

a22

a23

0



3

b31

b32

–1

0

0

a33

a34

b31

b32

–1

a31

a32

0

a34

РЕШЕНИЕ

Задача 2а

	Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:



	Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

	В первом уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации  выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:



Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные



x3

x4

2

a23

0

3

a33

a34



	Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные — y1, y2 и y3 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

	Во втором уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x4 (D=1). Необходимое условие идентификации  выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y3 и x4, которые отсутствуют во втором уравнении:



Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные



y3

x4

1

b13

0

3

–1

a34



	Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг равен 2. Значит, достаточное условие идентификации выполнено, и второе уравнение считается идентифицируемым.

	В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x1 и x2 (D=2). Необходимое условие идентификации  выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и x2, которые отсутствуют в третьем уравнении:



Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные



x1

x2

1

a11

a12

2

a21

a22



	Определитель данной матрицы равен

,

а ее ранг — 2. Если , то это означает, что достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым.

	Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы, а значит, идентифицируема и вся система в целом.





Задача 2б

	Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:



	Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

	В первом уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации  выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:



Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные



x3

x4

2

a23

0

3

0

a34



	Определитель матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные — y1, y2 и y3. Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

	Во втором уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует экзогенные переменные x1 и x4 (D=2). Так как , то это означает, что данное уравнение сверхидентифицируемо.

	В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x3 (D=1). Так как , то это означает, что данное уравнение неидентифицируемо.

	Таким образом, первое уравнение заданной системы идентифицируемо, второе — сверхидентифицируемо, а третье — неидентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то вся система считается неидентифицируемой. Данная система является неидентифицируемой и не имеет статистического решения.



Задача 2в

	По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: 





Вариант

n

у1

у2

х1

х2

11

1

33,0

37,1

3

11



2

45,9

49,3

7

16



3

42,2

41,6

7

9



4

51,4

45,9

10

9



5

49,0

37,4

10

1



6

49,3

52,3

8

16



РЕШЕНИЕ

	С помощью табличного процессора EXCEL строим два приведенных уравнения системы одновременных уравнений регрессии (меню «Сервис»  «Анализ данных…»  «Регрессия»):



 



	Данные уравнения образуют приведенную форму системы одновременных уравнений регрессии:



	Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения: d1019,90; d112,821; d120,394; d2019,14; d211,679 и d221,181 (см. прил.).

	Таким образом, приведенная форма системы уравнений имеет вид:



	Определим коэффициенты структурной формы системы уравнений



	Структурные коэффициенты определяются по формулам:

	;

	;

	;

	;

	;

	.

	Окончательно структурная форма системы одновременных уравнений регрессии примет вид:







ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.