Конспект урока по Математике "Вычисление пределов функции"

План урока

Тема: «Вычисление пределов функции»

Тип урока – практическая работа.

Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции.

Задачи:

Формировать умения и навыки вычисления пределов;

Познакомить учащихся со способами раскрытия неопределенностей ( ;

Сформировать у учащихся навыки вычисления предела многочлена и отношения многочленов;

Сформировать у учащихся навыки применения первого и второго замечательных пределов для раскрытия неопределенностей ( ;

Развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;

Формировать умения и навыки самостоятельно умственного труда;

Способствовать воспитанию дисциплинированности, усидчивости, навыков самостоятельности и умения работать индивидуально.

Структура занятия:

		Организационный момент (1-2 минуты)

		Проверка домашнего задания (7-10 минут)

		Сообщение темы занятия, актуализация опорных знаний (3-5 минут)

			Формирование, закрепление первичных умений и применение их в стандартных ситуациях (40-45 минут)

		Применение знаний и умений в измененных ситуациях (25минут)

		Итог урока, рефлексия (3-4 минуты)

		Задание на дом (1 минута)

Ход занятия

1. Организационный момент 

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. 

2. Проверка домашнего задания:

Выясняет, были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.

3. Сообщение темы занятия, актуализация опорных знаний

Сообщается тему урока: «Вычисление пределов». Вместе с учащимися формулирует цель урока. 

Прежде чем начать вычислять значения пределов функции, просит учащихся дать определение предела функции и вспомнить основные свойства пределов.

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для всех значений x, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.

Основные свойства пределов:

Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределов слагаемых;

Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов;

Постоянный множитель можно выносить за знак предела;

Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен 0;

Предел положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной;

Если переменные x,y,z  удовлетворяют неравенствам x<=y<=z и x->a, z->a, то и y->a.

4. Формирование, закрепление первичных умений и применение их в стандартных ситуациях:

Сначала рассмотрим примеры непосредственного нахождения предела функции  в точке.

№120. Найти 

Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент x его предельным значением:



№121. Найти 

Решение. Проверим, не обращается ли знаменатель дроби в нуль при x=2: имеем . Подставив предельное значение аргумента, находим



Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований.

№122. Найти 

Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x0 равны 0. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим



Следовательно, 

№123. Найти 

Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х-2. В результате получим



Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен 0, и, сократив дробь на этом сомножитель, найти предел частного.

№124. Найти 

Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х+2.



Здесь предел делителя равен 0. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и стремиться к 0, а числитель приближается к -1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно записывается так: .

Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.

№131. Найти 

Решение. При x->∞ имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x3.Тогда получим



№134. Найти 

Решение. Разделив числитель и знаменатель на x3 и перейдя к пределу, получим



поскольку числитель последней дроби стремиться к пределу, отличному от нуля, а знаменатель – к нулю.

№135. Найти 

Решение. При стремлении аргумента x  к бесконечности имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на x. Тогда получим



№136. Найти 

Решение. Предельный переход всегда можно заменить предельным переходом при , если положить а=1/x (способ замены переменной). Так, полагая в данном случае x=1/а, найдем, что  при  Следовательно,



№137. Найти 

Решение. 1 способ. Разделив числитель и знаменатель на x2, находим



2 способ. Положим x=1/а; тогда что  при . Значит



№142. Найти 

Решение. Здесь требуется найти предел разности двух величин, стремящихся к бесконечности (неопределенность вида ∞-∞). Умножив и разделив данное выражение на сопряженное ему, получим



Следовательно .

Рассмотрим примеры, в которых используются замечательные пределы.

№ 143. Найти 

Решение. Произведем подстановку kx=y. Отсюда следует, что  при , а x=y/k. Тогда получим



Так как 

№ 144. Найти 

Решение. Имеем



Здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на x (это можно сделать, так как  но x<>0), а затем воспользовались результатом предыдущего примера.

№ 145. Найти 

Решение. Преобразуем числитель к виду 1-cos8x=2sin24x. Далее находим 



№ 146. Найти 

Решение. 1 способ. Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Применяя известную тригонометрическую формулу и выполняя элементарные преобразования, получим



2 способ. Преобразуем числитель следующим образом:



Следовательно, 



№ 147. Найти 

Решение. Заменив tg x на sin x/cos x, получим



№ 154. Найти 

Решение. Имеем



Положим x/2=y. Тогда при неограниченном возрастании x переменная y также будет неограниченно возрастать. Поэтому, используя второй замечательный предел, получим = Итак, .

№ 155. Найти 

Решение. Запишем основание степени в виде , а показатель степени – в виде . Следовательно, 

№ 156. Найти 

Решение. Имеем 

= 

5. Применение знаний и умений в измененных ситуациях:

Предлагает учащимся выполнить самостоятельную работу (4 варианта, см. приложение).

6. Подведение итогов урока, рефлексия

Объявляет итог урока, называет оценки.

В качестве рефлексии учащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения. 

Данное занятие для меня…

Я почувствовал(а), что…

В будущем я…

Сегодня работать для меня было…

Мне бы хотелось изменить…

На следующем занятии мне бы хотелось…

7.Задание на дом

[2, стр.180], №130, №133, №140, №151, №158.






ПРИЛОЖЕНИЕ







Самостоятельная работа

Вычисление пределов

Вариант – 1











Самостоятельная работа

Вычисление пределов

Вариант – 3











Самостоятельная работа

Вычисление пределов

Вариант – 2











Самостоятельная работа

Вычисление пределов

Вариант – 4