Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1



1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.



а) ; б).



2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:



.



а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:



.



Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:



1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).



Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:



Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).


Отсюда получено:



.



Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.





Рис.1





Рис. 2



Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:


A(s) =.



Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:



,  и .



Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:



.



Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y, x и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:



2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).



Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:



Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).



Отсюда получено:



.


Если обозначить передаточные функции объекта как



 и ,



то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.





Рис. 3



Характеристическая функция имеет вид:



,



а характеристическое уравнение:



.



Корни этого уравнения равны:



 и .



Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:


Рис. 4.



Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

Дана передаточная функция вида:







Зная, что по определению, , получим:



, тогда:

.



Раскрывая скобки:








Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:



.



Практическая работа № 2













Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

- передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

- характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

- передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

- коэффициенты усиления АСР,

- устойчивость системы.

Р - ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:



.


Определим передаточную функцию объекта:



Wоб(s).



Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:







Характеристическое выражение замкнутой системы:



;



Передаточные функции замкнутой системы:



 - по заданию;

 - по ошибке;

 - по возмущению.



По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:







Диагональные миноры матрицы равны соответственно:







Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.



Практическая работа № 3



	По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

	Xвх = 5,5 кПа; Y = 0,149 %; зап = 40 сек

	


t, мин

0

20

50

80

110

140

170

200

230

260

Y

0

0,009

0,032

0,060

0,089

0,116

0,130

0,141

0,149

0,149



Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5:





Рис. 5. Переходная характеристика.



Установившееся значение выходной величины составляет:

;

Коэффициент усиления равен:



;



Постоянная времени равна:

.

Для процесса с 20 % перерегулированием ПИД-регулятора, его настройки:



;

;

.



Практическая работа № 4



Дана одноконтурная АСР. Требуется определить:

передаточные функции регулятора и объекта управления,

передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию,

Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

коэффициенты усиления АСР,

примерный вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению,

устойчивость системы.

Структурная схема АСР:





K1



K

W1(s)

W2(s)

x

e

y

u

f







W1(s): ; W2(s): ;


K1 = 1,2; K0 = 1,0; K = 1,0

Передаточная функция регулятора:



.



Передаточная функция объекта управления:



.



Определим операторные уравнения звеньев объекта управления: для этого обозначим Y(s) и U(s) как изображения сигналов соответственно y и u, тогда операторные уравнения примут вид:



W1(s): sY(s) = 2U(s);

W2(s): 2s2Y(s)+sY(s)+4Y(s)=7U(s).



Данные уравнения можно преобразовать, вынеся Y(s) и U(s) за скобки:



W1(s): sY(s) = 2U(s);

W2(s): Y(s)·(2s2+s+4)=7U(s).



Отсюда получено:



W1(s): Y(s) = 

W2(s): Y(s) =.



Тогда:




.



Передаточная функция объекта управления:







Передаточная функция разомкнутой системы:









Характеристическое выражение замкнутой системы:





передаточные функции замкнутой системы

Ф3(s) – по заданию:







ФЕ(s) – по ошибке:






ФВ(s) – по возмущению:

При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу. Тогда:





.



По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС  (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид:







Диагональные миноры матрицы равны соответственно:





Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Определим вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению:

По заданию:







Корни знаменателя:



Изображение разбивается на сумму дробей:



.



Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:


y(t) = y0 + y1,2(t) + y 3,4(t) =

+;



где 1,2, α3,4 и 1,2, 3,4 - действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корня s0 = 0:



;



Для корней :



=;



Для корней :



;



Тогда:




Получим оригинал:









б) По ошибке:







Корни знаменателя:





Изображение разбивается на сумму дробей:



.



Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:



y(t) = y1,2(t) + y 3,4(t) =

+;



где 1,2, α3,4 и 1,2, 3,4 - действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корней :







Для корней :



;



Тогда:




Получим оригинал:









в) По возмущению:







Корни знаменателя:






Изображение разбивается на сумму дробей:



.



Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:



y(t) = y1,2(t) + y 3,4(t) =

+;



где 1,2, α3,4 и 1,2, 3,4 - действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корней :







Для корней :



;



Тогда:




Получим оригинал:











2