Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра

Министерство общего и

профессионального образования РФ









Брянский Государственный

Технический Университет







кафедра

«Высшая математика»



Расчетно-графическая работа №1

Вариант №103













Студент группы 97ДПМ-1

Копачев Д.В.



Преподаватель

Салихов В.Х.





Брянск 1997


1. Описание изделия



	На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ). 



Дополнительные сведения:



раствор конуса   = 300

радиус цилиндра  R = 5 см

расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см

расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см



Выбор системы координат



	В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.

	Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2

		+ l = + 2 = 7.7 (см)

таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:



Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).





Аналитическое описание несущих поверхностей



Уравнение цилиндрической поверхности:



(х+2)2+(y+2)2 = R2   ( I )



Параметризация цилиндрической поверхности:



     					(II)



Определение положения шва на цилиндрической детали: 

	потребуем, чтобы параметр u. При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -.



Уравнение первой конической поверхности:



(x + 7.7)2 tg2 = y 2+ z2  					(III)




Параметризация первой конической поверхности:

					(IV)



Определение положения шва на первой конической детали: 

	потребуем, чтобы [-sin;sin]

Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.



Уравнение второй конической поверхности:



(y+7.7)2 tg2=x2+z2				(V)



Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV):



				(VI)



(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).





Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра



Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III), получаем уравнение:

(-2+Rcos+7.7)2tg2=(-2+Rsin)2+v2, которое в дальнейшем преобразуется к виду:



v = v(u) = 	(VII)



Знак «+» соответствует «верхней» половине линий отреза, Z  0 , знак «-» - «нижней» половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.







Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра



Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.





Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса



Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I), получаем уравнение:



(-7.7+cos+2)2 + (sincos+2)2 = R2 

преобразуем:



(cos-5.7)2 + (sincos+2)2 = R2 

2cos2-2*5.7*cos+32.49+2sin2cos2+4sincos+4-R2 = 0

2(cos2+sin2cos2)+2(-5.7cos+2 sincos)+36.49-R2 = 0





Отсюда

 =()=			(IX)



a()=1- sin2sin2 ;

b()=2(2sincos-5.7cos);

c=36.49-R2 .



Линия пересечения симметрична относительно луча =0; ветвь, соответствующая знаку «-» в формуле (IX), посторонняя.





Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса



Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго конуса(V), получаем уравнение:

	(sincos+7.7)2tg2=(-7.7+cos)2+2sin2sin2        квадратное уравнение относительно переменной .



После упрощения получим:

2(sin2cos2tg2- cos2-sin2sin2)+(2d(sincos tg2+cos))+d2 (tg2-1)=0



=, 			(X)




где 	а = sin2cos2tg2- cos2- sin2sin2;

	b = d(sincos tg2+cos);

	c = d2(tg2-1).





Выкройка второго конуса



Она идентична выкройке первого конуса.



Расчет выкройки цилиндрической детали



Подставляем в формулу (VII)  конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.



Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.





Расчет выкройки конических деталей



Произведем расчет по формулам (; ) по формулам (IX, X). Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3. 

Возьмем сектор  радиуса 0=26см., и, учитывая симметричность относительно луча =0, построим выкройку конической детали.







Изготовление выкроек деталей, сборка изделия



Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.