Интеграл дифференциального уравнения

АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ»























Контрольное задание

По дисциплине: «Математика»



























Москва 2010 г.


Контрольное задание:



Упражнения

1. Дана последовательность аn=(3n-5)/(4n+1). Установить номер n0, начиная с которого выполняется неравенство │аn-А │ < 1/500.

Отв. n0=719.

Найти:

2. lim (3-√х)/(х2-81).Отв. –1/108.

х→9

3. lim (5х2-8)/(х3-3х2+11).Отв. 0.

х→∞

Проверить непрерывность следующих функций:

4. у=5х/(х3+8).Отв. При всех х≠–2 функция непрерывна.

5. у=(х2+4)/ √(х2-36). Отв. Функция непрерывна при всех значениях

│х│>6.

6. Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2-1).

Отв. Точки х1=–1/4 и х2=1/4.



Задача 1



Найти общий интеграл дифференциального уравнения:







Решение






Выполним разделение переменных, для этого разделим обе части уравнения на :







Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:





Ответ





Задача 2



Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение:






Решение

Решение однородных дифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки:



,



С учетом этого, исходное уравнение примет вид:







Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на , получим,







Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:





Возвращаясь к переменной y, получим общий интеграл исходного уравнения:






Ответ





Задача 3



Найти общий интеграл дифференциального уравнения:







Решение

Покажем, что данное уравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, . Преобразуем правую часть уравнения:







Следовательно, данное уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,







С учетом этого, уравнение примет вид:






Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на ,







Проинтегрируем обе части уравнения,







Возвращаясь к переменной y, получим,







Ответ





Задача 4



Решить линейное дифференциальное уравнение:



Решение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:



Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то решение дифференциального уравнения будет иметь вид:







Ответ





Задача 5



Найти общее решение дифференциального уравнения:







Решение

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:



,



где  – частное решение исходного неоднородного ДУ,  – общее решение соответствующего однородного уравнения: 

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:



Так как корни характеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид:






Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде,



,



где A, B, C – неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от  и подставим полученные результаты в исходное уравнение:







Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их:







Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид:



Окончательно, общее решение исходного ДУ:



Ответ




Задача 6



Решить уравнение:



Решение

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:



,



где  – частное решение исходного неоднородного ДУ,  – общее решение соответствующего однородного уравнения: 

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:



Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид:







Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде,



,



где A, B, C – неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от  и подставим полученные результаты в исходное уравнение:




Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их:







Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид:







Окончательно, общее решение исходного ДУ:







Ответ





Комментарии к решению



В задаче №1, опечатка в предполагаемом ответе, упущен показатель степени при x.

В задаче №3, ответ следует оставить в виде, содержащем модуль , т.к. нет достаточных оснований его снять.