Анализ дифференциальных уравнений

3





























Лекция: Анализ дифференциальных уравнений


Содержание



1. Основные понятия

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

2.2 Геометрические задачи

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными




1. Основные понятия



Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y (n) F (x, y, y', y’’,.y (n)) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Например, уравнение y’’=y’ представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C1ex + C2 являются его решениями при любых постоянных C1 и C2.

Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а графики его решений - интегральными кривыми.

Всякое дифференциальное уравнение порядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n произвольных постоянных y =φ (x,C1,C2.Cn). Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C1,C2.Cn.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY, а частное решение - конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения yy x 0 является функция y . То есть, общее решение уравнения - это семейство окружностей x 2 + y2 = C2, а

Начальными условиями для дифференциального уравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производных порядка n-1 включительно y (x), y (x),.y (n1) (x) в некоторой точке x0.

Задачей Коши называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y, y,.y (n)) 0, удовлетворяющего заданным начальным условиям:



y (x0) = y0, y’ (x0) = y1, y’’ (x0) =y2,.y (n-1) (x0) =yn-1 .



Геометрически это означает, что в общем решении уравнения

y  (x,C1,C2.Cn) необходимо так подобрать константы C1,C2.Cn, чтобы соответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x0, y0) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных до порядка n-1. Например, решением задачи Коши yy x 0, y (0) 2 является окружность x 2 + y2 = 4. Чтобы получить это решение необходимо в общее решение уравнения x 2 + y2 = C2 подставить заданные начальные условия x=0 и у=2 и из него найти требуемое значение постоянной C=2.

Приведем без доказательства одну из основополагающих теорем теории ДУ.

Теорема 1. (существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция F (x, y, y, y,.y (n)) непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей точку (x0, y0), то в этой области существует и притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, y, y,.y (n)) = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям:



y (x0) = y0, y’ (x0) = y1, y’’ (x0) =y2,.y (n-1) (x0) =yn-1 .


2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям



2.1 Равноускоренное движение



Пусть в начальный момент времени t=0 материальная точка имеет начальное положение S (0) =0, начальную скорость V (0) = V0 и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a (t) =a. Если S (t) и V (t) - соответственно путь, пройденный точкой за время t, и ее скорость в момент времени t, то, как известно S (t) V (t) и V (t) a (t) a.

То есть, функция перемещения S (t) является решением дифференциального уравнения S (t) a. Это решение будем искать, интегрируя уравнение дважды.



V (t) S (t) S' (t) dt adt at C, V (0) V0 C V0  V (t) V0 at.





2.2 Геометрические задачи



Пусть, например, требуется найти линию, проходящую через точку А (1,2) и обладающую следующим свойством: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат, в точке касания делится пополам. 

Для решения этой задачи обозначим через y (x) уравнение искомой линии и пусть M (x0, y0) - ее произвольная фиксированная точка. 

Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y - y (x0) = y' (x0) (x - x0)

Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат.







Ясно, что xB = 0 и yC = 0. Тогда:







Так как x0 - произвольная точка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению первого порядка







Для произвольной постоянной С функция  удовлетворяет этому уравнению. Поскольку кривая должна проходить через точку А (1,2), то подставив в это решение x=1 и y=2, получим С=2. Решением задачи является гипербола .


3. Дифференциальные уравнения первого порядка



Дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида



F (x, y, y) 0.



Далее мы будем полагать, что это уравнение разрешено относительно производной: yf (x, y). Это уравнение так же можно записать в дифференциальной форме:



P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.



Общих методов решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функций f (x,y) такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотрим некоторые из этих классов.



3.1 Уравнения с разделяющимися переменными



Так называется уравнение, правая часть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х, и функции, зависящей только от у.







Для поиска решения такого уравнения выразим входящую в него производную через дифференциалы  и перейдем к уравнению в дифференциалах






Теперь разделим переменные







(В последнем уравнении переменные х и у разделяет знак равенства).

Проинтегрировав обе части последнего равенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции:





G (y) =F (x) +C.



Рассмотрим практический пример: Найти общее решение уравнения



y' = y cos x.



Решение. Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х, а другая от у. Следовательно - это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные:







Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения:






Пример 2. Решить задачу Коши 

Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения.







В полученное общее решение подставим заданные начальные условия x=1 и у=1: 0=ln1=acrtg1+С=π /4+С. Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получается из его общего решения при значении постоянной С=-π/4. Решением задачи Коши является функция lny=acrtgx-π/4, или y = e arctg x - π / 4.

Однородные уравнения.

Так называются уравнение вида . С помощью замены переменной z (x) =y (x) /x это уравнение может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, тогда



y x z,y (x z) yz xz



и для функции z (x) получаем уравнение с разделяющимися переменными






Решив это уравнение, найдем функцию z (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения 

Решение. Разрешим уравнение относительно производной







и обозначим . Тогда  и для функции z (x) получаем уравнение:







Это уравнение с разделяющимися переменными.







Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные






Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения







Отсюда







Подставив в последнее равенство z=y/x, найдем общее решение исходного уравнения







Пример 2. Решить задачу Коши






Отсюда z = 2arctg (Cx) и, значит, y = 2x × arctg (Cx). Подставив в это

равенство начальные условия x=1 и y = π / 2, получим arctg (C) = π / 4,то есть С=1. Решением задачи Коши является функция y = 2x × arctgx.

Линейные уравнения.

Так называются дифференциальные уравнения вида



yp (x) y q (x).



Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда yuv uv и относительно функций u и v уравнение примет вид



uv u (vp (x) v) q (x).



Вместо одной неизвестной функции y (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v, поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными



vp (x) v 0.



Разделяя переменные и интегрируя, получим






Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию







При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v для функции u получаем уравнение



, или 



Интегрируя последнее уравнение, получим







Когда функции u и v найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.

Уравнение Бернулли.

Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли


yp (x) y q (x) y.



Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения.