О некоторых применениях алгебры матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова





Математический факультет



Кафедра геометрии и высшей алгебры





Лакунова   Залина

                          

Дипломная работа





«О некоторых применениях алгебры матриц»









Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А                                          /В.Н.Шокуев /



Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент                                                              /В.М.Казиев/



Допущена к защите                                                           2002г.



Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент                                                              /А.Х.Журтов/









Нальчик 2002



Оглавление

												стр.



Введение										3		

§1. О правиле Крамера								4



§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел	9



§3. Матричный вывод формулы Кардано					17



Литература										21									



  

                            









































Отзыв



О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.



В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом  основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.

В §3  дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»















д.ф.-м.н., проф.каф.  Г и ВА                                        /В.Н.Шокуев/      







§1. О правиле Крамера



В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем. 

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система  линейных уравнений с неизвестными 



						(1)



Определитель которой отличен от нуля:



					(2)



Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения



							(3)



где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),



								(4)



- столбец (Матрица-столбец) неизвестных



- столбец свободных членов системы (1)



Так как , то матрица  невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на  (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение)

, 

где обратная матрица  имеет вид:





(-алгебраическое дополнение элемента  в определителе )

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения  как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

	Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.

	Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при  выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):















Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через  получим формулы Крамера:



     ()

   (Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка  ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица  с определителем   получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:



					(5)



Теперь из  равенств 



  , 



где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы  столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:



, откуда ввиду  имеем



  .

(здесь  получается из , как и  из ).

Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа  (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при  имеем, используя два линейных свойства определителя:



  

	Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим:

  (),

откуда и получаются формулы Крамера.



	Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.



















§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.



Матрица вида:

  

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

 .

Прибавив первые две строки к третьей, получим:



.

Вынесем общий множитель  из последней строки:



.

Так как



,

то 

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:



Следовательно, выполняется тождество



(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Уравнение

 						(2)

не имеет решений в натуральных числах 

Доказательство: Если - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то 



					 (3)

Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа  и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа  между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

,



.				 (4)

Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).

	Пусть  и - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа  все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

	В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и , и мы имели бы:

- противоречие.

	Значит, не все три числа  равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем



,

 

откуда 

.

Таким образом, доказано что уравнение 





не имеет решений в натуральных числах .



Предложение 2. Уравнение 

					

разрешимо в натуральных числах .

Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа  между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство 





- противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что .

Поэтому получаем



.

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .



Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)





где - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство



.		 (5)



Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов. 

Доказательство: Пусть число  делится на простое число  вида :

.

Требуется доказать, что частное  имеет вид  .

Предположим, что задача уже решена, т.е.



, 					(6)

и с помощью анализа попробуем найти искомые числа  и . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.





и 



перемножив правые части этих равенств, получим:









отсюда имеем:













 						(7)



 						(8)



.    (9)



Так как - простое число и  делит , то равенство (9) показывает, что  или  делится на .

	Пусть . Тогда из тождества 

,

верного в силу (5) следует, что на  делится и число , а поскольку - простое, , так что в силу (7) - целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:





и Предложение 4 доказано.

Если же , т.е. в силу (8) - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:



;

отсюда следует, что , т.е. - целое. В этом случае 



.

































§3. Матричный вывод формулы Кардано



В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения. 

	Пусть дано любое кубическое уравнение



   .				(1)

Если - его корень, то , поэтому  

, т.е.  есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению. 



. 					(2)

Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида



, 					(3)

которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку

, 						(4)  

получим:







, т.е.

, 									(5)

где  и  определяются по заданным коэффициентам  уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через  неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида



,  					(6)

называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка имеет место тождество



 ,     (7)

где - любые числа, - один из корней третьей степени из единицы, так что  (проверка тождества опирается на равенство ). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением 

, 						(8)



т.е. положим





где и  пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему 





которая показывает (в силу теоремы Виета), что  и  являются корнями квадратного уравнения



т.е.



   

и поэтому



    				(9)

Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором  и  определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению 





и теперь получаем:

     		(10)

где  и  определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства ; если одна пара значений  и  выбрана указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного  определяются из равенства





т.е. 



 			(11)

причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих кубических радикалов.

	Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.



































ЛИТЕРАТУРА



Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.

Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.

В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.

Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М.,  1967 г.

А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.

Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.







3