Основная теорема алгебры

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

	САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

	ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

	Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Основная теорема алгебры

	Курсовая работа

	

		студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета

		Батура Ирина Сергеевна

		Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент

		Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор

		

	

	

	САРАТОВ

	2009 год

	
СОДЕРЖАНИЕ

	

	1. Введение

	2. Основные определения, используемые в курсовой работе

	3. Элементы теории пределов для комплексных чисел

	4. Доказательство основной теоремы

	5. Список используемой литературы

	

	
1. ВВЕДЕНИЕ

	

	Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле . Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.

	Целью моей работы является выявления, что поле  комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.

			При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".

	

	
2. Основные определения, используемые в курсовой работе

	

	Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.

	Множество комплексных чисел  можно определить как множество упорядоченных пар  действительных чисел, , , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:

	

	

	

	В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.

	Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.

	Последовательность  называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное , что =, причем Б тогда и только тогда, когда .

			Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .

			Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.

			Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие  между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).

			Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

			Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех  и всех  выполняется неравенства 

			Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого  существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.

	

	3. Элементы теории пределов для комплексных чисел

	

	В моей работе полиномы рассматриваются только над полями и  как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.

	Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел  . Число  называется ее пределом, если для любого действительного числа  существует такой номер , что при  выполняется неравенство . В этом случае пишут lim , а=lim, b=lim. Предельное соотношение lim=c равносильно соотношению , ибо

	

	
max  

	

	Последовательность такая, что  R, при некотором R, называется ограниченной.

	Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.

	Действительно, пусть ограниченная последовательность, т.е. , тогда , так что  есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей . Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .

		Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен .

		

		4. Доказательство основной теоремы

		

		Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть -полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной .Представим себе "график" функции , считая , что значения  изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения  откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной  называется непрерывной в точке , если достаточно близким к  значениями  соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .

		Непрерывность  дает основания представлять себе график  в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение  , в котором , и, тем самым, , т.е. что поверхность  доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности  существует самая низкая точка, скажем, при  . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно,  и , следовательно , т.е.  корень полинома .

		Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

		Лемма 1. Дан полином  c нулевым свободным членом. 

		Тогда для любого найдется такое , что , как только .

		Доказательство: Пусть . Тогда

		

		

		

		Положим 

		

		
Если 

		то 

		

		что и требовалось доказать.

		Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

		Доказательство: Пусть дан полином и точка . Расположим полином по степеням

		

		,

		

		Тогда так что

		

		

		

		Правая часть есть полином от  с нулевым свободным членом.

		По лемме 1 для любого  найдется такое, что как только  что и требовалось доказать.

		Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.

		Доказательство: Из неравенства  следует, что для данного  то , которое "обслуживает" , подходит и для . Действительно, при  имеем

		

		

		

		
Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если -полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M,как только .

		Это означает, что любая горизонтальная плоскость отрезает от поверхности  конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.

		Доказательство: Пусть

		

		

		

		где полином от c нулевым свободным членом.

		В силу леммы 1 для  найдется такое , что при , будет . Модуль  может быть сделан сколь угодно большим, именно, при  будет . Возьмем  Тогда при  будет

		

		 и  так что 

		

		Лемма 5. Точная нижняя грань значений  достигается, т.е. существует такое, что  при всех .

		Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань  через . Возьмем последовательностью  стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань. Поэтому найдутся  такие, что  . Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для  найдем такое , что при  будет  Отсюда следует, что  при все . Последовательностью  оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность  . Пусть ее предел равен  . Тогда  в силу непрерывности . Кроме того, . Поэтому  Итак , что и требовалось доказать.

		Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть  полином отличный от константы, и пусть . Тогда найдется такая точка, что

		

		

		

		Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности  дана точка, находящаяся выше плоскости , то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.

		Доказательство: Расположим полином  по степеням

		

		

		

		Тогда  Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от , а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть  – первое отличное от нуля слагаемое после , так что  (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как  не константа. Тогда

		

		 +

		+( +…+ ))=

		= c0 (1+ +).

		

		Здесь

		

		=

		

		есть полином от  с нулевым свободным членом. По лемме 1 для = найдется такое ,что ||<, как только ||<. Положим =() и  . Тогда 

		

		.

		

		Выберем  так, что . Для этого нужно взять . Далее, положим , т.е. возьмем . При таком выборе будет . Теперь положим

		

		 при  и . Тогда  и

		||=.

		

		
Лемма доказана.

		Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять  при  так что при k>1 (т.е. в случае, когда -корень кратности  полинома )имеется k направлений спуска по поверхности . Они разделяются  направлениями подъема при 

		Действительно, в этих направлениях

		

		 и 

		

		Так что если  есть корень производной кратности , то поверхность  в окрестности точки  "гофрирована" так, что на ней имеется  "долин" cпуска, раздельных  "хребтами" подъема.

		Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле , комплексных чисел алгебраически замкнуто).

		Доказательство: Пусть - данный полином, отличный от константы. Пусть, далее,  и - точка, в которой ; Она существует по лемме 5. Тогда  ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка  что  невозможно.

		

		
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

		

		Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.

		Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.

			А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.