Решение математических уравнений и функций

Вариант 1



Задание 1



Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол А с точностью до градуса;

уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

точку пересечения высот;

уравнение медианы, проведенной из вершины С;

систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Сделать чертеж. 





A

B

C

K

H

P

M



Решение:

Найдем координаты вектора :



.


Длина стороны АВ равна



.



Внутренний угол А будем искать как угол между векторами  и :



.



Тогда угол .

Прямая  проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .

По формуле  получим уравнение высоты:

, ,

 - уравнение СК.

Длину высоты  будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле  получим



, ,



 - уравнение прямой АВ.

Воспользуемся формулой .


.



Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .

, .

Координаты точки Р найдем как решение системы:



, , .



Р(4;6).

Координаты основания медианы будут:



, ,

М(3.5;2).



Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.



, , ,



 - уравнение медианы СМ.

Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.

Найдем уравнения ВС и АС по формуле .



, , ,

 - уравнение ВС.

, , ,

 - уравнение АС.

 - уравнение АВ.



Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:

 4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.

Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .

Аналогично для прямых ВС и АС.

; .

; .

Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:



.



Ответ003A 

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) Р(4;6);

5) ;

6) .



Задание 2



Даны векторы . Доказать, что векторы  образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение:

 - система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.

Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :

	

	.



Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:



.



Определитель Δ≠0, следовательно  - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .

Для нахождения координат вектора  в этом базисе, разложим вектор  по базису :



 .3



Найдем  - координаты вектора  в этом базисе.



.



Решим эту систему методом Гаусса.

Поменяем местами первое и третье уравнение: 







Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:







Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:






Прибавим к третьему уравнению второе:







Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:



 



Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:







Вектор  в базисе  имеет координаты .



Задание 3



Найти производные функций:


а)  

 

  и 



 

.

б)  

 

  и 

.

в)  

  

.

г)  



 



   

 ,  

. 



Задание 4







Область определения .

На концах области определения: .

 - значит  - вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты, если они есть:









У функции есть горизонтальная асимптота .

3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.

4. Функция периодичностью не обладает.

5. Найдем первую производную функции:



. 



Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .



Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:



x

(-∞;-2)

-2

(-2;0)

0

(0;1)

1

(1;+∞)

y’

-

0

+

0

-

Не существует

-

y

Убывает

-80/27

min

Возрастает

0

max

Убывает

Не существует

Убывает



6. Находим вторую производную функции:







Решая уравнение , получим , 

 - это критические точки. Еще одна критическая точка .



Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:




x











1

(1;+∞)

y”

-

0

+

0

-

Не существует

+

y

Выпукла

-2.63

перегиб

Вогнута

-0.71 перегиб

Выпукла

Не существует

Вогнута



7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).

8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.

9. Необходимости в дополнительных точках нет.







Задание 5



Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.







Произведем замену переменной: , тогда 








Проверка:









Произведем замену переменной: , тогда







Проверка:







Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.







Возьмем 

Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:







Проверка:







Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.







Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.







Следовательно: 

Разложим многочлен .


, тогда



. 



Умножим обе части этого тождества на , получим





, тогда

. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.



Таким образом:







Проверка:



 



Ответ: ; ; ; 

.


Задание 6



Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций 

Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:

 . Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).

, поэтому



 кв. ед.



Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций 

Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:

. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).

, поэтому



 кв. ед.

1