Однополостный гиперболоид

Министерство высшего образования Российской Федерации



    Московский государственный строительный университет









РЕФЕРАТ



                                          

                                           На тему:

  

      “Однополостный    гиперболоид”















                                                          







                                                   Факультет: ПГС           

                                                   Группа: №15	

                                                  Студент: Муравицкий А.С.               

                                                 Преподаватель: Ситникова Е.Г.







                                         

                                          

   

                                         Москва

                                                           2003

 Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. К ним относится однополосный гиперболоид.

 Однополосный гиперболоид.

 Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением



                     (1) 





 Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.  

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

   Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

                                 	и	





из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

   Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

                   	или	     



из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями     и  ,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании  величины a* и b* возрастают бесконечно.





Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.



Исследование поверхности методом параллельных сечений.



Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям. 

Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY. Изображения кривых представлены выше.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если a=b,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с вокруг мнимой оси 2с.

Одним из примеров такой поверхности является конструкция радиобашни построенной  по принципу сетчатых конструкций на Шаболовке (г. Москва), Владимиром Григорьевичем Шуховым в 1919 - 1922 гг. В прошедшем году исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне — символу советского телевидения 40-60-х годов.























 Список использованной литературы:



 1.Шипачёв В.С.: «Высшая математика» 

2.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»

3.И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ»