Інтегральні перетворення Лапласа

Вступ



В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.




1. Означення перетворення Лапласа. Оригінал і зображення.



Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при t<0. Якщо ця функція при t>0 задовольняє оцінці:



  (1.1)



то можна розглянути інтеграл



(1.2)

	

Дійсно справджується оцінка



	(1.3)



При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що . Функція  є аналітичною функцією комплексної змінної  в півплощині . Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:



	(1.4)

	
Як і при виведенні (1.3), знаходимо

	

(1.5)



Останнє означає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна існує при , і формула (1.4) справедлива при .

Інтеграл (1.2) називається перетворенням Лапласа функції  і позначається -. В цьому випадку функція  називається оригіналом, а функція  – зображенням.

Перетворення Лапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:







Де  (Перетворення Фур’є із знаком «-»)



	2. Властивості перетворення Лапласа L

	

	Лінійність.

	

	

	

	Доведення:

	В силу властивостей інтеграла:

	

	

	Диференціювання зображення 

	

	

	

	Для m=1 властивість вже встановлено. Для довільного m властивість доводиться аналогічно.

	Перетворення Лапласа похідних.

	

	

	

	Для m=1 за допомогою інтегрування частинами знаходимо

	

	

	

	При цьому ми врахували, що виконуються наступні оцінки: 

	

	



При  и . Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією

Зсув перетворення Лапласа.






Доведення властивості 2.4 очевидно.

Перетворення Лапласа і його подібності.









Зсув оригінала в перетворенні Лапласа.







Доведення. Позначимо







Очевидно, що g’[t]=f[t], g[+0]=0

Тому за допомогою інтегрування частинами знаходимо








При цьому ми врахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)







при , , .







при , , .

Звідси знаходимо







Перетворення Лапласа дробу f[t]/t.







Доведення. Позначив Ф[p]=£[f[t]\t][p] . Знайдемо







Останню рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=∞ 








Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[∞]=0. І отримаємо потрібну властивість (2.8).

Перетворення Лапласа згортки f*g.







Доведення. Позначимо







Очевидно, що  при t→∞







При довільному έ>0. Для доведення останньої нерівності ми використовуємо також оцінку.







Звідси при 








Таким чином, при Rep>a







Тут ми скористалися теоремою Фуббіні і змінили порядок інтегрування.



3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій



1. f[t]=e. Rep>Reλ, λ



2. f[t]=Sin[ωt], ωR



За формулами Ейлера маємо



Sin[ωt]=



Тому за допомогою 1 маємо:



3. f[t]=cos[ωt], ω L[cos[ωt]][p]=



Доведення аналогічне.



4. f[t]=Sh[ωt], ωR

За означенням гіперболічних функцій Sh[ωt]= /2





5. 





Доведення аналогічне.



6. 



За властивістю 2.2 маємо:








Зокрема 





7. 





Як і у прикладі 6, знаходимо для функції 







Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.




(3.1)

	(3.2)

	

4. Обернене перетворення Лапласа



Теорема 4.1 (основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:



(4.1)



Доведення

Розглянемо функцію . Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є. 







Після множення останньої рівності на отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■ 

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:

При будь-якому  існує інтеграл:







Для 







 - дуги кола радіуса R з центром в точці (,0)



, при 



Тоді,  - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ()

Доведення

Розглянемо прямокутний контур  (мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[σ1, σ2, р] при р→∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору .

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка 







Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по  збігається.

Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл по замкненому контуру  в півплощині , що складається з дуги кола  радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :







В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій , дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q( ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при  



■



При виведенні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром , так як



 при R→∞



Лема Жордана. Нехай t>0 і  - півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція  задовольняє умовам:

 функція  неперервна при  , ,

 

Тоді  при R→∞

Доведення

Зробимо заміну змінної інтегрування



z=R.



Тоді справедлива оцінка інтеграла







Як відомо, при  . Продовжимо оцінку інтеграла








При R→∞. Лему доведено■

Задача Знайти перетворення Лапласа функції 



 (5.1)



Введена гамма-функція 







Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо 







Нехай далі  і  . Для визначеності будемо вважати , (випадок  розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t – додатне число.

Далі маємо:




	(5.2)



	де - відрізок променя . Побудуємо замкнений контур  (мал. 5.1). За теоремою Коши:

	

	

	

	Оцінимо інтеграл по дузі  і кола радіуса R 

	

	

	

	

	при R→∞.

	Перейдемо до границі при R→∞, →0 в рівності (5.3), отримуємо

	

	

	

	


	Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).



5. Приклади розв’язання базових задач



Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам:

1°. f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована).

2°.Для усіх від’ємних t







3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі  і , що для усіх t 

Задача1. Показати що функція є функцією-оригіналом.


























Розв’язання

Дійсно, функція f(t)локально інтегрована







існує для будь-яких скінчених  і . Умова 2° виконана в силу завдання функції. 

І врешті решт, для будь-яких дійсних 



,



Тобто в якості М в умові 3° можна вибрати довільне число >1 

Задача2. Користуючись означенням, знайти означення функції



Розв’язання

Для функції  маємо . Тому зображення буде в усякому разі визначене і аналітичне на півплощині . Маємо:






Тобто, . Ця функція аналітична при , і крім того вона аналітична всюди, за виключенням точки . Це не суперечить означенню, так як останнє гарантує аналітичність  при , але не стверджує, що якщо , тоді функція буде всюди аналітична.

Задача3. Знайти зображення функції 

Розв’язання

Маємо . За теоремою про інтегрування оригінала 







Задача4.   

Розв’язання

 





Знаходимо оригінал для функції 



Для знаходження оригіналу для функції  скористаємось, наприклад. Теоремою про диференціювання зображення.



Отже, 

Тобто, 




Висновок



Застосування методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в розв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення розв’язання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами задовільнє алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже може бути легко знайдено.




Список літератури



Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров-М.:Наука, 1988.-512 с.

Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1970. – 304с.

3. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного переменного / Ю.В. Сидоров М.В. Федорюк М.И. Шабунин; под ред. Ю.В. Сидорова. – М.: Наука, 1982. -488с