Инвариантные подгруппы бипримарных групп

28



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии













Курсовая работа

Инвариантные подгруппы бипримарных групп







Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.













Гомель 2006


Содержание



Введение

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Заключение

Список литературы


Введение



В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.

Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.

Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.

В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Теорема. Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.


1. Основные обозначения



 

группа



 порядок группы 



 класс всех разрешимых групп



 класс всех нильпотентных групп



  является подгруппой группы 



  является нормальной подгруппой группы 



 прямое произведение подгрупп  и 



 подгруппа Фраттини группы 



 фактор-группа группы  по 



 множество всех простых делителей натурального числа 



 множество всех простых делителей порядка группы 



 подгруппа Фиттинга группы 



 наибольшая инвариантная -подгруппа группы 



 индекс подгруппы  в группе  



2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп



1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка ,  и  - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка  при  существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев ,  и , .

Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы  порядка  с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок ,  и в  нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе  имеется пробел.

В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в . А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является

Теорема  Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Если  и  - различные простые числа,  и  - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому теорема  распространяется па все бипримарные группы.

Теорема  Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Следствие  Если  и  - нечетные простые числа и , то любая группа порядка  обладает характеристической -подгруппой порядка .

Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел  и , являются точными и что инвариантной -подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.

Теорема  Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:



1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .



2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:







где  и  взаимно просто с . Из определения вытекает, что  есть показатель, с которым  входит в произведение . Поэтому







где  - целая часть числа  (см. ) и  - наибольшее число, при котором .

Тогда







Лемма  .

Лемма  Пусть  - показатель, которому  принадлежит по модулю , и пусть ,  не делит . Тогда и только тогда  делит , когда  кратно . Если ,  не делит , то, за исключением случая , число  есть наивысшая степень , которая делит .

Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим , используя бином Ньютона:







Заметим, что







есть целое число. Действительно,  и число  делит произведение . Учитывая, что , из леммы  получаем, что  и  делит . Теперь









где  - целое число. Так как  не делит , то выражение в скобках не делится на , за исключением случая . Лемма доказана.

Исключение , в лемме  существенно; легко заметить, что при ,  лемма  неверна. Случай  был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).

Лемма  Пусть ,  - нечетное число и  - наименьшее целое число, при котором . Пусть . Определим число  так: если, , то . если , тo   - нечетное число. Тогда

1) если  - нечетное число, то ; ;

2) если  - четное число и ,  - нечетное число, то , , где , ,  и  - нечетные числа.

Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:







Если  - нечетное число, то







 - нечетное число. Если  - четное число, то







 - нечетное число.



Пусть теперь  - нечетное число . Тогда



где





Ho  - нечетное число, поэтому  - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где  - нечетное число.

И наконец, если , .  - нечетное число, то







 - нечетное число. Лемма доказана.

Лемма  Пусть  и  - различные простые числа,  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Пусть ,  или  и  - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где  - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число  определяется как и в лемме3.

Доказательство. Порядок группы  известен (см.2):







Ясно, что  - наивысшая степень , которая делит произведение .

Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении  лишь следующие сомножители кратны :






где  определяется неравенством . Так как  есть наивысшая степень , которая делит , где ,  не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть . 

Следовательно, 



.



Пусть теперь . Тогда  и . Заметим, что







Применим индукцию по . Если , то , а так как ,  и , то утверждение для  справедливо.

Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале  есть нечетное число, т.е. ,  и . По лемме (4) ,  - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для  справедливо.

Пусть теперь  - четное число. Тогда  и . Кроме того, если ,  не делит , то по лемме  ,  - нечетное число. Значит,







Лемма доказана полностью.

Лемма  Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , , , и .



Доказательство. Пусть  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Так как  - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма  справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где  определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то  и  - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то  и . Если , то  и  - противоречие. Если , то . Кроме того, . Поэтому из условия  следует, что . Получили утверждение для  из пункта 2.

Теперь пусть . Тогда . Легко показать, что , поэтому . Если , то  и . Отсюда следует, что



получили противоречие. Значит, , т.е.  и . Поэтому . Воспользуемся неравенством , которое справедливо при . Тогда







и из  следует, что  и . Получили утверждение из пункта 3. Случай  разобран полностью.

Рассмотрим теперь случай . Тогда . Пусть  - наименьшее целое число, при котором , и пусть . Предположим, что . Тогда . Но  и , поэтому  и . Если , то ,  и . Кроме того, . Отсюда . Следовательно, при  справедливо неравенство . Так как , то  и 

Таким образом, при  всегда . Значит, надо рассмотреть лишь два случая:  и .

Пусть , тогда . Непосредственно проверяется, что  при . При  имеем , причем . Поэтому . Получили утверждение из пункта 1.

Осталось рассмотреть . Теперь . В  силовская -подгруппа имеет порядок . Так как , то  и . Но , . Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.

Доказательство теоремы . Пусть ,  - упорядоченная пара простых чисел,  - натуральное число и , ,  удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через  обозначим элементарную абелеву группу порядка , через  - силовскую -подгруппу группы . Так как  есть группа автоморфизмов группы , то группа , являющаяся расширением группы  с помощью группы , не имеет инвариантных -подгрупп . Покажем, что  - искомая группа. Вычислим порядок группы . Из леммы  следует, что  причем:

1) , если  и ;

2) , если ,  и , если , , ;

3) , если , .

В первых двух случаях непосредственно проверяется, что . Используя неравенство , которое справедливо при , в третьем случае получаем . Таким образом,  и в каждом из трех случаев . Теорема  доказана.

3. Доказательство теоремы . Допустим, что теорема неверна и группа  - контрпример минимального порядка. Пусть  - силовская -подгруппа,  - силовское -дополнение в .

Обозначим через  наибольшую инвариантную -подгруппу из . Подгруппа  характеристическая и  не имеет неединичных инвариантных -подгрупп. Предположим, что . Факторгруппа  имеет порядок . Если , то  - противоречие. Поэтому  и для  выполняется одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы. Но тогда это утверждение выполняется и для  - противоречие. Следовательно, в  нет неединичных инвариантных -подгрупп.

Пусть  - подгруппа Фиттинга группы . Так как  разрешима, то . Ясно, что . Если , то  и группа  удовлетворяет условию теоремы. Но для  не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы, иначе оно выполнялось бы и для . Поэтому группа  обладает неединичной инвариантной -подгруппой . Теперь  централизует , а это противоречит теореме о том, что в разрешимых группах подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор (см. ). Таким образом, .

Допустим, что подгруппа Фраттини  группы  неединична. Тогда факторгруппа  удовлетворяет условию теоремы. Если в  имеется неединичная инвариантная -подгруппа , то по теореме Гашюца  группа  нильпотентна и  обладает инвариантной -подгруппой  - противоречие. Но для  не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3. Следовательно,  и все силовские в  подгруппы элементарные абелевы.

Пусть ,  - силовская подгруппа группы . Тогда группа автоморфизмов  группы  является прямым произведением групп  (см. ). Так как  совпадает со своим централизатором в , то  изоморфна некоторой -подгруппе из . Но силовская -подгруппа из  имеет вид , где  - некоторая силовская -подгруппа из  (см. ). Поэтому  изоморфна некоторой подгруппе из . По условию теоремы , поэтому существует номер  такой, что .

Если , то  и , есть силовская -подгруппа группы . Применяя лемму , заключаем, что ,  и  или ,  и , или ,  и . Используя условие , нетрудно получить соответствующие оценки для числа . Теорема доказана.

4. Пример. В 1969 г.Г.Я. Мордкович на Гомельском алгебраическом семинаре С.А. Чунихина высказал предположение: в группе порядка  при  либо силовская -подгруппа инвариантна, либо существует неединичная инвариантная -подгруппа. Мы построим пример, опровергающий это предположение.

Напомним, что  означает наибольшую инвариантную -подгруппу группы . Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа инвариантна.

Лемма  Пусть , где  - подгруппа группы , . Если  для всех , то .

Доказательство проведем индукцией по . Для  лемма справедлива. Пусть утверждение верно для  и . Так как  и , то  и . Теперь . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Нам потребуется следующая конструкция Л.А. Шеметкова (см. ).

Лемма Л.А. Шеметков  Для любой упорядоченной пары ,  различных простых чисел существует группа  порядка  со следующими свойствами:

1) ,  - показатель, которому принадлежит  по модулю ;

2)  не -замкнута, силовская -подгруппа из  максимальна в  и .

Предположение  Для каждого из следующих трех случаев

1) , ;

2) , ;

3) ,  существует не -замкнутая группа  порядка , причем  и .

Доказательство. Пусть ,  - упорядоченная пара простых чисел, удовлетворяющая одному из требований предложения . Пусть  - -группа из леммы  с максимальной силовской -подгруппой,  - -группа, построенная в теореме , с инвариантной силовской -подгруппой и , где . Так как  не -замкнута, то и  не -замкнута. Кроме того,  и , . Поэтому,  по лемме . Осталось показать, что в каждом из трех случаев натуральное число  можно задать так, что группа  будет иметь порядок , причем .

Пусть , . Тогда , а . Если , то , где , . Нетрудно проверить, что .

Пусть теперь , . Предположим, что . Тогда ,  и , где , a . Если в качестве  выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству: , то . Допустим теперь, что . Тогда ,  и , где , . Так как , то существует натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Если положить , то .

Наконец, пусть , . Тогда ,  и , где , . Теперь в качестве  надо выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда . Предположение  доказано.



3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы



В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа  порядка , где  и  - различные простые числа и , либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:



1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .



Доказательство этого результата сводится к случаю, когда силовская -подгруппа из  является минимальной инвариантной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. В этом случае силовская  - подгруппа из  изоморфно вкладывается в общую линейную группу  и возникает необходимость сравнить порядок силовской -подгруппы из  с числом . В лемме 2.5 из  указывались значения ,  и нижняя граница для числа , при которых порядок силовской  - подгруппы из  больше .

Цель настоящей заметки - указать все значения чисел ,  и , при которых силовская -подгруппа из  имеет порядок больший, чем .

Теорема  Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только тогда , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .

Доказательство теоремы основывается на формуле для вычисления порядка силовской -подгруппы общей линейной группы , полученной в .

Пусть  и  - различные простые числа,  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Через  обозначим порядок силовской -подгруппы группы , а через  - показатель, с которым  входит в произведение . В  доказана следующая

Лемма  Если , то . Если , то  и число  определяется так: пусть  - наименьшее целое, при котором  и ; если , то ; если , то ,  - нечетное число.

Напомним, что  - целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее  (см. ).

Лемма  Если  - натуральное число, то






Доказательство. Пусть  - наибольшее целое число, при котором . Так как , то







С другой стороны, 



 и .



Лемма  Если  - натуральное число , то .

Доказательство проводим индукцией по . Если , то







Пусть утверждение верно для . Докажем его для .

Если  кратно , то 



. Но  - целое число, а  - 

дробное. Поэтому





Если  кратно , то .

Пусть, наконец, оба числа  и  не кратны , тогда , причем  не целое число. Так как число  целое, то , откуда . Лемма доказана.

Лемма  Если  - натуральное число, а  - наибольшее целое число, при котором , то .

Доказательство. По лемме , , поэтому . Неравенство  докажем индукцией по . Для  и  справедливость неравенства проверяется непосредственно.

Пусть  и пусть это неравенство верно для всех . Докажем его для . Разность  обозначим через . Так как , то . Поэтому если  - наибольшее целое число, при котором, , то  и по индукции имеем 

Вычислим . Так как







то





Лемма доказана.

Замечание. Границы, указанные в лемме , точные. Левая граница достигается при , правая - при .

Лемма  Если натуральное число , то  и .

Доказательство обоих неравенств легко получить индукцией по .

Доказательство теоремы 3. Сохраним все обозначения леммы . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме (5), в этом случае , где . Допустим, что . Так как , то  и . Поэтому , и, применяя лемму , получаем , что противоречит условию теоремы.

Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то  и .

Пусть . Тогда . Если  четное, то , т.е.4 делит . Противоречие. Значит,  нечетное. Поэтому , и так как число  нечетное, то . Таким образом, если , то .

Итак, если , то либо  и , либо  и .

Пусть . Тогда из леммы  следует, что







Предположим, что . Тогда  (см. лемму ), а так как при  справедливо неравенство , то . Учитывая, что  или , получаем .

Если , то  и . Кроме того, , поэтому 



 и .

Таким образом, при  выполняется неравенство . Так как , то . Противоречие с условием теоремы.

Следовательно,  или  и  или .

Итак, нам необходимо рассмотреть следующие случаи: , ; , ; , .

Случай 1. Пусть , . В этом случае







Если , то, вычисляя  для каждого значения  с помощью натуральных логарифмов, убеждаемся; что  в точности для следующих , , , , , , , , --, --.

Пусть  и  - наибольшее натуральное число, при котором . Ясно, что . С помощью индукции легко проверяется неравенство; . Используя лемму , мы получаем:







Теперь



 Таким образом, .



Случай 2. Пусть , . В этом случае , где , если  четное, и  если  нечетное, а . Если  или 3, а , то непосредственно убеждаемся, что . Если , то , а  и  т.е. . Используя лемму , получаем



 т.е.



Теперь пусть . Из леммы  имеем  или . Поэтому . Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда , поэтому, используя леммы  и , получаем:







Таким образом, при любом  имеет место неравенство .

Случай 3. Пусть , . В этом случае , где  - целая часть числа . Если , то  и . Отсюда следует, что . Противоречие. Значит,  и . Мы можем записать , .

Рассмотрим вначале случай, когда , т.е. когда . 



Тогда , .



Если , то , где  - основание натуральных логарифмов и 



, т.е. .


Если , то  и , т.е. . Найдем значения  для  и . Для  имеем:







Для  имеем:







Если , то , и при  получаем 



, т.е. .



Если , то . Определим для  и  значения , при которых . Для  имеем , т.е. , а . Для  имеем , т.е. , а .

Теперь рассмотрим случай, когда , т.е. когда .

Если , то  и . Непосредственно убеждаемся, что лишь при  или  имеет место неравенство .

Если , то  и . Непосредственно убеждаемся, что лишь только при  и  имеет место неравенство .

Пусть . Так как , a , то 


, 



так как .

Таким образом, .

Пусть теперь . Тогда . Пусть вначале . Тогда , и по лемме 3 имеем . Поэтому







Здесь мы воспользовались неравенством , которое вытекает из неравенства . Таким образом, доказано, что .

Остался случай . Так как , то







и, применяя лемму , получаем







Таким образом, .

Теорема доказана.


Заключение



Итак, в данной курсовой работе исследовано существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Теорема. Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .


Список литературы



 Burnside W., On groups of order , Proc. London Math. Soc.2, № 1 (1904), 388--392.

 Вurnside W., On groups of order  (Second paper), Proc. London Math. Soc., 2, № 2 (1905), 432--437.

 Вurnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

 Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., Наука, 1965.

 Huppert В., Endliche Gruppen. I, Berlin, Springer, 1967.

 Шеметков Л.А., К теореме Д.К. Фаддеева о конечных разрешимых группах, Матем. заметки, 5, № 6 (1969), 665--668.

 Монахов В.С., Инвариантные подгруппы бипримарных групп. Матем. заметки, 18, № 6 (1975) б 877-886.

 Burnside W., On groups of order  (second paper), Proc. London Math. Soc., 2, N 2 (1905), 432--437.

 Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., 1965.