Конспект урока по математике "Производная"

Производная

Цель: познакомить учащихся с понятием производной функции, формулами производных функций y = x2 , y = x3 , y = kx+b.

Изучение нового материала.

Подготовительная работа.

           1. Дана функция f(x) = x2 

А). Вычислить: f(5), f(-3), f(0,5)

Б). Записать в виде многочлена: f(x-3), f(x+2), f(x-a), f(x+h).



2. Дана функция S(t) = 4t+1

       А). Вычислить: S(2), S(4), S(5,5)

		Б). Записать в виде многочлена разность: S(t+h) – S(t).

	

	3. Точка, двигаясь вдоль прямой, проходит за время t от начала движения путь S(t) = 3t+2. Найти S(10), S(20), S(50). Найти среднюю скорость движения на отрезках времени: [10;20], [20;50], [10;50], [t;t+h].

	

	Теоретическая часть.

	Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь S(t). Рассмотрим промежуток времени от t до t+h, где h – малое число. За это время точка прошла путь S(t+h) – S(t).

	Средняя скорость движения точки υср = 

	При уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью υ = limh→0.

	Отношение    можно рассматривать как приближенное значение мгновенной скорости υ(t).

	Если h, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность приближения становится сколь угодно малой, т.е. также стремится к нулю.

	Например, если S(t) = 3t2, то υср =  = 6t + 3h.

	S(t+h) = 3(t+h)2

	S(t+h) – S(t) = 3(t+h)2 – 3t2 = 3(t2 + 2th + h2) – 3t2 = 6th + 3h2.

	 = = 6t + 3h.

	Если h → 0, то 6t + 3h → 6t, т.е. υср→ υ(t) = 6t.

	Алгоритм нахождения мгновенной скорости:

	S(t) = 

	S(t+h) = 

	S(t+h) – S(t) =  -  =  = = 

	 =  =  = at + 

	υ(t) = limh→0 = limh→0 = at.

	

	Отношение  называется разностным отношением, а его предел при h→ 0 называется производной функции S(t) и обозначается S'(t).

	S'(t) = limh→0.

	

	Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x – точка этого промежутка и число h ≠ 0 такое, что x+h также принадлежит данному промежутку.

	Тогда предел разностного отношения  при h→ 0 называется производной функции f(x) в точке x и обозначается f '(x)

	f '(x) = limh→0.

	Число h, где h ≠ 0, может быть как положительное, так и отрицательное, при этом число x+h должно принадлежать промежутку, на котором определена функция f(x).

	Если функция f(x) имеет производную в точке x, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке.

	Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция имеет производную на этом промежутке.

	Операция нахождения производной называется дифференцированием.




	Практическая часть.

	Найти производную функции f(x) = 3x + 2, f(x) = 5x + 7, f(x) = kx + b

	Найти производную функции f(x) = x2 ,  f(x) = x3, f(x) = 3x2-5x, 

	f(x) = -3x2 + 2

	

	Домашнее задание.

	

	Итог урока.

	Как связаны между собой средняя и мгновенная скорость движения? Что называют производной функции и как ее обозначают? Какая функция называется дифференцируемой в точке?