Математические методы исследования экономики системы массового обслуживания

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ



Кафедра "Высшей математики"





 

Расчётно-графическая работа по теме:

Математические методы исследования экономики.

(системы массового обслуживания)

 







 

Выполнила: ХХХХХХХХ.                                      Проверил: ХХХХХХ                                                                                         Дата

Студент  групп ХХХХ                                         Оценка:

                             


 

 







Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу.

	Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).

При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.































































Визитная карточка организации Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО).







Наименование организации: 

Род деятельности: продуктовый магазин

Место расположения: 

Время работы: с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных





Необходимые данные для анализа системы:



Рассматриваемый промежуток времени:

Рассматриваемое количество обслуживающих приборов:

2

Рассматриваемые дни:

       дни с понедельника по воскресенье включительно.

Рассматриваемый промежуток времени:

17.00 – 19.00

            (период наибольшей загруженности  системы)





Рассматриваемая единица времени: t = 7,1 минут

























X1, X2, …, Xn – число поступивших клиентов в единицу времени.

Y1, Y2, …, Yn – количество обслуженных клиентов в течение единицы времени.

X

Y

10

6

7

4

5

4

8

6

7

5

5

4

6

5

8

6

7

4

5

4

5

4

8

6

4

4

7

6

5

5

9

6

5

4

7

6

8

5

5

5

8

6

5

5

7

5

8

6

6

4

6

4

8

6

7

6

5

5

7

6



Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается. 





Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:



<М│М│2> (с очередью).



где: <М│ - функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);

│М│ - функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);

│2>  – число приборов в системе;

 (с очередью) – дисциплина обслуживания.







λк = λ



kμ, если k = 1,2

mμ, если k >2

μк = 

λк = 6,6



5,1k, если k = 1,2

10,2, если k >2

μк = 









λ

λ

λ

λ







3

2

1

0









2μ

2μ

2μ

μ







6,6

2

3

1

0



6,6

6,6

6,6















10,2

10,2

10,2

5,1









Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона. 



Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками: 





                                    



      

Где λk – интенсивность поступления клиентов:

 - среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени.



       µk – интенсивность обслуживания клиентов:

 - характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени.



Следовательно:



 - интенсивность поступления клиентов в систему.



 - интенсивность обслуживания клиентов.

Определим основные характеристики системы:

Определим коэффициент загруженности системы :

 , следовательно, условие стационарности выполняется, так как 



В условиях существования стационарного режима 

























S = 3.3

 - доля времени простоя



               (1.29k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2

Pk=        (1.29k/ 2*2k-2) * 0.23, к > 2



 - вероятность того, что в системе k клиентов



Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,292/( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545



- вероятность, что все приборы заняты



 Eq = Рз / µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени,



 т.е 0,151*7,1 =1,072  минуты в среднем клиент проводит в очереди



Ev = Eq +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.  

т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе



Ex = λ* Ev = 6,6*0,229 = 1,51  - среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут).



Для того чтобы  система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:



P0 ≤ 0,1

Для рассматриваемой системы P0 = 0,23  >  0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.

Следующее условие, которое должно выполняться:



  ,



То есть должно выполняться:   Eq ≤ 0,392, а в нашем случае   Eq = 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется.



Рассчитаем  значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.

; ; ; ; µ ( 3,3; 4,02]

Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство 

µ ( -оо;4,02][4,02;+оо)

 и посмотрим пересечение интервалов значения , при фиксированном значении. Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.

Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02.



р = 6,6/4,02 = 1,64



   S = 15.1



P0 = 1/1+S = 0.061 доля времени простоя 



               (1.64k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2

Pk=        (1.64k/ 2*2k-2) * 0.061, к > 2



 - вероятность того, что в системе k клиентов



Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,642/( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46





- вероятность, что все приборы заняты



Eq = Рз / µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени

 т.е 0,32*7,1 =2,25  минуты в среднем клиент проводит в очереди



Ev = Eq +1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени.  



т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе



Ex = λ* Ev = 6,6*0,569 = 3,75  



- среднее число клиентов в системе.

Теперь поставленные условия выполняются:

P0 ≤ 0,1 ( Р0 = 0,061)

 ( Eq =0,32< 2/4,02; Eq = 0,32<0,497

Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.

Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.  































































2



9