Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста

2



БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра РТС















РЕФЕРАТ

На тему: 

"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"



























МИНСК, 2008


Метод статистической линеаризации



Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем. 

Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев. 

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида 

, (1) 

используется два критерия эквивалентности. 







Рис.1.

Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов. 

Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента. 

Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде: 

; (2) 

, (3) 

где─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ; 

 ─ центрированная случайная составляющая. 

Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде: 

, (4) 

где  ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию;  ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей. 

Воспользуемся первым критерием эквивалентности: 

. (5) 

Из этих уравнений находим

; 

,

где  ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента. 

 - коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию). 

По второму критерию эквивалентности: 

; 

; 

; 

; 

Для определения  и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю: 

 ;

; ; . 

При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное: 

; 

Определив величины

; . 

для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами. 

Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2) 





Рис.2. Характеристика релейного типа: 

; 

коэффициенты равны: 

; ; ; 



Метод гармонической линеаризации



Основы метода.

Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии. 

Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе. 

Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3). 





Рис.3. Модель нелинейной системы.

Уравнение линейной части: 

,(6) 

При возникновении автоколебаний процесс  на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными. 

. 

Пусть 

; .  (7) 

Представим  в виде ряда Фурье: 

; (8) 

Полагаем, что

. 

Это справедливо, если  симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только  и 

Из уравнения (7) находим: 

; . (9) 

Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим: 

 (10) 

где

 (11) 

Таким образом, нелинейное уравнение для  заменили приближенным линейным уравнением (11) для первой гармоники. 

 и  называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты  и  в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты. 

Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе. 

Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде: 

; ; 

где  ─ эквивалентная передаточная функция нелинейно - го звена. 

Частотная передаточная функция разомкнутой системы

. 

Характеристическое уравнение

.

Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена

. 

Фазочастотная характеристика

; () 

Модуль определяет отношение амплитуд, а  фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала. 

Если  симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то  и тогда

. 

Часто при анализе используется величина обратная . Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена: 

. 

Расчет автоколебаний по критерию Найквиста

В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы



Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем

. 

Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0). 







Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы.

Тогда искомое колебание

. 

При нелинейной зависимости вида  передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде

. (12) 

Это уравнение решается графическим методом (рис.5). 

Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту  определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена. 

Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды ; при этом точка на импедансе смещается влево вниз. Это будет соответствовать уменьшению, следовательно, кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами . Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении. 

Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась амплитудно-фазовой характеристикой линейной части. 

При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива. 

Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф . 


ЛИТЕРАТУРА



1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000. 

2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005. 

3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002. 

4. Цифровые системы фазовой синхронизации  Под ред. И. Жодзишского – М.: Радио, 2000.