Решение систем линейных уравнений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КЕМЕРОВСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Кафедра высшей и прикладной математики

















Контрольная работа по дисциплине

«Математика»



Выполнил:

студент группы ПИс-061

(сокращенная форма обучения)

Жилкова Ольга Анатольевна











г. Кемерово 2007 г.


Содержание



Задача №1

Задача №2

Задача №3




Задача №1



Условия задачи

Решить систему линейных уравнений:

методом Крамера,

методом Гаусса,





x + y + z = 6,

- x + y - z = 0,

x + 2y - 3z=1.



матричным методом.

Решение

Методом Крамера:

Первое условие – матрица квадратная 





 1   1    1

-1   1   -1

 1   2   -3



Второе условие .





 1   1    1

-1   1   -1

 1   2   -3= = - 3 – 1 – 1 – 1 – 3 + 2 = - 8




 6   1    1

 0   1   -1

 1   2   -3



Вывод: СЛУ можно решить методом Крамера.



 = - 18 – 1 – 1 + 12 = - 8





 1   6    1

-1   0   -1

 1   1   -3 = 0 – 6 – 1 – 18 + 1 = - 24



 1   1    6

-1   1    0

 1   2    1 = 1 – 12 – 6 + 1 = - 16

;	;	;





1 + 3 + 2 = 6,

- 1 + 3 - 2 = 0,

1 + 6 – 6 = 1.;	;	;



Проверка: 

Ответ: x = 1; y = 3; z = 2.



Метод Гаусса.



x + y + z = 6,

- x + y - z = 0,

x + 2y - 3z=1.

 1   1    1	6

-1   1   -1	0

 1   2   -3	1



	(- 1)

x + y + z = 6,

- x + y - z = 0,

x + 2y - 3z=1.





Матрица треугольная. Следовательно, существует единственное решение.





1 + 3 + 2 = 6,

- 1 + 3 - 2 = 0,

1 + 6 – 6 = 1.

z = 2

y = - 5 + 8

y = 3

x + 3 + 2 = 6

x = 1

Ответ: x = 1; y = 3; z = 2.



Матричный метод.

Первое условие - матрица квадратная;

Второе условие .





         -1    5  -2

A*=  -4   -4    0

         -3   -1   2Вывод: решение есть и оно единственное.













        6

B=   0

        1

          x

X =    y

          z



               1  2	_  1  2		    1  1

    -1 -3	    1 -3	    1 -1

	

A* =  _   -1  1	    1  1		_  1 -1

              -1 -3	    1 -3	    1 -1



	    -1  1	_  1  1		     1 -1

	     1  2	    1  2		     1  1

          1   -1   1

Aт =   1    1    2

          1   -1  -3

          1   1   1

A =   -1   1  -1

          1   2  -3

Проверка: 





               -1    5  -2

A-1=  -4   -4   0

               -3   -1   2



               -1    5  -2	      1   1   1		   -1-4-3   5-4-1  -2+2

E =   -4   -4   0	     -1   1  -1    =   1-4+3  -5-4+1  2-2    =

               -3   -1   2	     1    2  -3 		   -1-8+9  5-8+3  -2-6



     x                  -1    5  -2	      6		   - 8		1

     y       =   -4   -4   0	      0     =  - 24    =     3

     z                  -3   -1   2	      1 		   -16		2

          -8    0   0	     1   0   0

=   0   -8   0     =    0   1   0

           0    0  -8	     0   0   1



Ответ: x = 1, y = 3, z = 2.



Задача №2



Условия задачи

В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них "Жигулевское". Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только пиво сорта "Жигулевское"; б) ровно одна бутылка этого сорта.

Решение задачи

Вариант 1

m - число благоприятствующих исходов;

n - общее число всех возможных исходов;



;

;

;



Ответ: вероятность того, что среди выбранных бутылок будут только бутылки пива сорта "Жигулевское", равна 0,025.

Вариант 2



;

;





Ответ: вероятность того, что среди выбранных бутылок будет одна бутылка пива сорта "Жигулевское", равна 0,485.



Задача №3



Условие задачи

Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

Составление уравнений Колмогорова:






















0,1

0,4

0,3

0,3

0

1

2

0,2



Решение системы линейных уравнений:



















Решение СЛУ методом Гаусса:





 1   1    1	 1

 0   1   -8	-3

 0   0  -39  -16



 1   1    1	1

 0   4    7	4

 0  -5    1   -1

 0   1   -8   -3

 1   1    1	1

-4   0    3	0

 1  -4    2	0

 3   4   -5    0

(4)   (-1)   (-3)

 1   1    1	1

 0   1   -8   -3

 0  -5    1   -1

 0   4    7    4



(5)   (-4)

 1   1    1	1

 0   1   -8   -3

 0   0  -39 -16

 0   0   39   16





Есть единственное решение, т. к. матрица треугольная.
















Ответ: предельные вероятности состояний системы равны , , .