Кривые и поверхности второго порядка 2

Конспект по математике.



Тема: Кривые и поверхности второго порядка.





































Выполнила

 Ерасова Екатерина

ГМУ 11

Окружность.



Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.



Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус. 

Теорема1. Окружность радиуса  с центром в точке  имеет уравнение (2)



Доказательство. Пусть  - текущая точка окружности. По определению окружности расстояние  равно  (1)

(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению 



Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2). 



Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным  и  .









































Сфера (частный случай эллипсоида)

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. 

Теорема 13.1 Сфера радиуса  с центром в точке  имеет уравнение 	(13.2)





Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)













































ЭЛЛИПС.





Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2.

Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же как и длины этих отрезков) называются  фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1М + F2М = 2а.

Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F1, F2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r1 + r2 = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.

Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:



Заменяя r1 и r2, получаем:



Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки 

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, получим:



или             



Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2  ,

откуда

(а2—с2)х2 + а2у2 = а2(а2—с2).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

 ;

а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна. 

b2 = a2—c2, 

тогда

b2x2 + a2y2 = a2b2 ,

или                   

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с<a, то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c2 = a2— b2; поэтому

;

отсюда

    и  

Следовательно,  эксцентриситет  определяется  отношением  осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ε=0. 

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением



Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следовательно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид



  и  .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса  расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х2 + у2 = R2.

 







































ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними—через 2с.



Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2.  Отрезки F1М и F2М (так же, как и длины этих отрезков)  называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r1 и r2  (r1= F1М, r2= F2М).  По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть   постоянная   величина; эту постоянную принято обозначать через 2а. 

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1М и F2М через r1 и r2. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда 

r1— r2= ±2а.

 Так как F1 F2=2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:

   ,  .

Заменяя r1 и r2, получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе. 

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:



,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 ,

откуда                   

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

  ;

с>a, следовательно, с2—а2>0 и величина b—вещественна.

b2= с2—а2,

тогда

b2x2 — a2y2 = a2b2  ,

или                           

 .

Уравнение

 ,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим:

.

Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c2 = a2+ b2, находим:



;

отсюда

    и    .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а отношение  в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы. 

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε2—1, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиперболы a=b и ε=√2.

Рассмотрим какую-нибудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

 .

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнения директрис в выбранной   системе  координат имеют вид

  и  .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую —правой.

Так как для гиперболы ε >1, то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.













































ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы. 

	Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r=d.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d  их выражениями через текущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты  отсюда, получаем:





число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .

Заменяя r и d, найдем



Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют координаты точки 

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе. 

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:



или

у2=2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

























































Эллипсоид



a, b, c — полуоси



Однополостный гиперболоид



c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси





















Двухполостный гиперболоид



c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси



Конус



Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат

























Эллиптический параболоид





Гиперболический параболоид



























Эллиптический цилиндр



a и b — полуоси





Гиперболический цилиндр







Параболический цилиндр



p — фокальный параметр