Конспект урока по Математике "Численные методы интегрирования"

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Пермский политехнический колледж имени Н.Г. Славянова













Учебное занятие

Численные методы интегрирования





















Пермь 2015



Цели занятия:

образовательные:  

способствовать развитию мыслительных операций: аналогия, систематизация, обобщение, наблюдение;

формировать умения применять математические знания в практических задачах;

способствовать поддержанию интереса к предметам математики;

формировать умения трудиться;

помочь осознать роль знаний в жизни и обучении;

стимулировать самостоятельность;

работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.



воспитательные:

научиться работать в микрогруппе;

научиться принимать чужую точку зрения и отстаивать свою;

научиться слушать своих товарищей;

научиться защищать решение задачи.



Задачи занятия:

познакомить с различными способами расчёта 

выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач








Ход учебного занятия



Организационный момент

Основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция , требуется найти ее производную. При этом если производная существует в каждой точке   некоторого промежутка  , то это также некоторая функция   на   такая, что . Однако часто приходится решать и обратную задачу. Для решения обратной задачи служит операция интегрирования.

Проект носит прикладной характер (практико-ориентированный). 



Объяснение нового материала

Постановка целей и задач занятия

Постановка проблемы

Как вычислить определенный интеграл от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально? Как решать прикладные задачи, используя правила приближенного численного интегрирования, в которых необходимо находить интегралы не только от функций, заданных формулами, но и от функций, заданных табличным способом?

Итогом работы будет сравнение результатов вычисления определенных интегралов различными способами и оценка погрешности этих вычислений.

Гипотеза: предположим, что различными методами численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы сравнительно легко и решать прикладные задачи с небольшой погрешностью .

Организация деятельности



Предполагается, проводить работу 3-мя группами.



1-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования - формулой прямоугольников

виды работ

Подобрать и изучить литературу по данной теме

Проконсультироваться с преподавателями по данным вопросам

Составить математическую модель прикладной задачи



2-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой трапеций

виды работ

Подобрать и изучить литературу по данной теме 

Проконсультироваться с преподавателями по данным вопросам

Составить математическую модель прикладной задачи



3-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой параболических трапеций ( формула Симпсона)

виды работ

Подобрать и изучить литературу по данной теме

Проконсультироваться с преподавателями по данным вопросам

Составить математическую модель прикладной задачи

Описание 

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Но вычислить интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.

Вычислить интеграл точно по формуле Ньютона – Лейбница с целью оценки погрешности при приближенном вычислении этого же интеграла.



Все три группы одновременно вычисляют интеграл : 

Пример 1 



  =  .



Блок  1





Разделим интервал интегрирования   на    равных частей (частичных интервалов) и заменим данную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из   прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции   в начальных или конечных точках частичных интервалов. Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла    . 

Если обозначить значения функции   в точках деления через   , то будем иметь следующую формулу - формулу прямоугольников :







   или





Блок 2



Оставим разбиение интервала   прежним, но заменим теперь каждую дугу линии   , соответствующую частичному интервалу . хордой, соединяющей конечные точки этой дуги. Таким образом, заменяем данную криволинейную трапецию    прямолинейными. Площадь каждой трапеции, построенной на частичном интервале, равна полусумме  площадей , соответствующих этому интервалу прямоугольников. Суммируя все эти площади, получим  формулу трапеций :









Блок 3



Разобьем  интервал   на    равных частей , но предположим, что  – четное число: . Заменим дугу линии , соответствующую интервалу  , дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки дуги: начальную точку дуги   , среднюю точку    , конечную точку  . Площадь данной трапеции приближенно равна сумме площадей получающихся параболических трапеций и выражается формулой :









1 группа



Решает  пример 1  по формуле прямоугольников : при  

Таблица расчетов :  









0

1

2

3

4

5



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



1

0,9615

0,8621

0,7353

0,6098

0,5



             


                             



 2 группа 



Решает  пример 1  по формуле трапеций : при  

Таблица расчетов :  









0

1

2

3

4

5



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



1

0,9615

0,8621

0,7353

0,6098

0,5











3 группа



Решает  пример 1  по формуле параболических трапеций : при  

Таблица расчетов :  









   



0

1

2

3

4



0













1











                                                                      

                                                       

 




Занесем итоги расчета в таблицу и сравним:





значение интеграла

абсолютная погрешность

относительная погрешность

 формула Н-Л

0,7854





 фор-ла прям-ков

0,8337



6,1 %

фор-ла трапеций 

0,7837





фор-ла Симпсона

0,7854

0

0



        =  6,1 %        



         



Вывод :  гипотеза о том, что с помощью формул численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы подтвердилась. Однако, при одном и том же значении   формула Симпсона  дает лучшее приближение.                                                                                                                            







Пример 2  

Вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001







1 группа   вычисляет интеграл  при  



Вычислить шаг :  



Расчетная таблица :    

  



0

1

2



-0,8

-0,4

0



0,61172

0,57833

0,57735









2 группа   вычисляет интеграл  при  



Вычислить шаг :  



Расчетная таблица :    





0

1

2

3

4



-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0



0,611724

0,584981

0,578338

0,577381

0,57735





Оценим погрешность :

= 



3 группа  


Вычислить шаг :    



Расчетная таблица :    















0

-0,8

0,611724

5

-0,3

0,577584

1

-0,7

0,594236

6

-0,2

0,577381

2

-0,6

0.584981

7

-0,1

0,577351

3

-0,5

0,589381

8

0

0,577350

4

-0,4

0,578338













Оценим погрешность :

= 

Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность.

Формула Симпсона дает практически точное вычисление определенного интеграла.

Приведенные правила численного интегрирования помогают решать прикладные задачи.

Прикладная задача 

Ширина реки равна 20м; промеры глубины в некотором поперечном ее сечении через каждые 2м дали следующую таблицу :





0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



0.2

0,5

0,9

1,1

1,3

1,7

2,1

1,5

1,1

0,6

0,2



Расстояние (в метрах) от одного из берегов обозначено через   , соответствующая глубина реки ( также в метрах) – через 
Требуется найти площадь   поперечного сечения реки.





По формуле Симпсона находим :











Представление результатов и их оценка

Самостоятельная работа студентов:

Вариант 1







Вариант 2          

                                     





Вариант 3

   




Вариант 4

                                              




Вариант 5







                                


      



Литература

Пахомова Н.Ю. Метод учебного проекта в образовательном  учреждении : Пособие для учителей  и студентов пед.вузов, - М:АРКТИ, 2005г.

Чечель И.Д Исследовательский проекты в практике обучения. «Практика административной работы в школе» , 6/2003 г. 

Богомолов Н.В. практические задания по математике. М.:Высшая школа 1990.

Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов. - М.: Наука, 1967.