Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда



Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма


Содержание



Общее утверждение 

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3» 

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература


Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число,  и  - целые числа, , ,  - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения  и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где  - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

Судить о возможности существования частного решения уравнения  при (или b = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2. 

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , где а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где  - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).



**********



Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения». 



≥


ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма



1. Уравнение  (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и  может быть либо , либо .



***********



Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть 2 случая

для показателя q: 

1)  при  - натуральном;

2)  при  - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .



Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя 



Часть 1

Уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.


Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .



**********



Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила. 



*********



Часть первая (Утверждения 1)



Уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



Доказательство



Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для  - простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение  разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и  не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо. 

Из уравнения (1) следует:


 (2),



где  - четное целое число, т.к. и - нечетные; 

≠ 0, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных,  - простом.



********



Примечание



То, что  - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел. 

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома 

Ньютона , , , … и тогда получим для :

 - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу. 

Для : 

 - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу. 

Для степени  - простой можно доказать, что при и  нечетных

(3)  - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******



Пусть  (4),



где  - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:



 (5),



где  - четное число, которое можно представить в виде 



 (6),



где  - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),



 (4) – нечетное число.



Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем: 

, т.е.  (7), где  - целое число (),  - натуральное число. 

 Сумму же нечетных чисел  и  обозначим через , т.е.



 (8),



где  - целое число (, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

 =>  =>  



Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и  - четном, т.к. , причем (12)  (явно) при .



********



Вывод: 

На основании (8) и (11) имеем: (13)  - нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)  (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.



*******



Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:







Таким образом, получили следующее уравнение:



 (15), 


где  - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом: 

 

(16)  - нечетное число при  - нечетном;

(17)  - нечетное число при  - нечетном;

(18)  - нечетное число при  - нечетном;

(19)  - четное число.



Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению). 



*******



Примечание.



Общий вид уравнения (15) следующий:



(20) , 



целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются: 



(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где  - целые числа.


То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.



*******



Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.



= С

= В

 = N

 = К,



и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.



Условие1 (начало).



с = С

b = B

n = N





Случай «+».

(16+) = С - нечетное число при  - нечетном;

(17+) = В - нечетное число при  - нечетном;

(18+) = N - нечетное число при  - нечетном;

(19+)  = К - четное число.


Казалось бы, все в порядке: четность  в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями. 

Однако не все так просто. 

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

 

,



т.е.  пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !



Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном. 

Однако, если  - четное, то  (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений. 



Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 


*******



Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15)  есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :



Случаи «+» и «-».

(16±) ; 

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .



Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)



****** 



Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .



Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном. 

Однако, если  - четное, то  (в (16-) и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. 



*******



Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



*******



Примечание. 

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.



********



Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки. 

Условие 2 (начало)



с = B

b = С

n = N





«Новые» случаи «+» и «-».



(16´±) c =± В 

(17´±) b =±С 

(18±) =± N

(19±) =±К



И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном. 

Однако, если  - четное, то  (в ((16´±) и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. 


*******



Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



*******



Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.



********



Уравнение (15) симметрично и для n и для  (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и  меняются своими выражениями (N и К )).



Условие 3



c = C

b = B

n = К

N


« Похожие» случаи «+» и «-». 



(16±) с = ± С = ± ()

(17±) b = ± В =± ()

(18´±) n = ± К = ± ()

(19´±)  = ± N= ± ()



Согласно одному из Выводов (формула (14))  (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±)  = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



*******



В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть. 

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



********


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



********



Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »). 



Запишем Условия (1, …, 3).



Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3



с = С с = B c = C c = B

b = B b = С b = B => b = C

n = N n = N n = К n = К

   



Если теперь поменять обозначения между собой в Условии 2+3 с на b, а b на c 

в верхних двух строчках и n на , а  на n в нижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца: 



Условие 2+3 Условие 1 



c = B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К  n = N

 n = N 

Вывод.

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,

Уравнение (1)  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 

2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.



*********



Часть вторая (Утверждения1)



Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила) 



Доказательство



Условие 1 (продолжение).

Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.



Пояснение.

Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):







********



Случай 1. 

 

 (16)

 (17′)

 (18)

	 (19)



Тогда сумма имеет вид:



  



Учитывая (14) и (19), можно получить разность : 



 => .



Выразим из (25) и (26) : 

 

 => 

 => .


По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



 , , а их сумма . 



Т.к. из (8) , то  => .

Из (19) с учетом (29) выразим :



, т.е. .



Т.о., , , т.е.





, 



выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму : 





т.к. , т.е. . 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b: 



 , т.к. из (29) вытекает .

Итак, .



Учитывая (35), получим  => . 

Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):



, т.е. .

 

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:



, ,

, , 



где - взаимно простые нечетные целые числа. 



*******



Случай 2



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е. 



, ,

, ,


где - взаимно простые нечетные целые числа.



*******



Случай 3



 (16)

 (17′)

 (18)

 (19′).



 Тогда сумма имеет вид:



 



Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :



- =>  (26′).



Выразим из (25) и (26′) : 



 => 

 => .



По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 


  (30′), (31′), а их сумма . 



Т.к. из (8) , то  => .



Из (19´) с учетом (29) выразим :



, т.е.  (33´).

Т.о., , , 



где ,

т.е.  (34´),  (35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму : 





т.к. , т.е. . 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).



Теперь, учитывая (32), получим значение для b: 

, т.к. из (29) вытекает .



Итак, .

Учитывая (35´), получим  =>  ().

Теперь, с учетом (), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):

, т.е.  (39´´).



Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:



 (39´´),  (38´´), где - взаимно простые нечетные 

,  (33´), целые числа. 



********



Случай 4



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е. 



 (39´´´),  (38´´´),  (37´),  (33), 



где - взаимно простые нечетные целые числа.



*******



Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е 



= С

= В 

 = N 

 = К 



Тогда эти первые 4 случая следующие:



1. (16)  2. (16´)  (39´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (18´)  (38´)

(19)  (33) (19´)  (33´)



3. (16)  (39´´) 4. (16´)  (39´´´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (38´´) (18´)  (38´´´)

(19´)  (33´) (19)  (33)



*********



Рассмотрим еще 10 случаев.



5. с = С 6. с = - С 7. c = C 8. c = - C 

b = - B b = B b = - B b = B

n= - N n = N n = - N n = N

   



9. с = С. 10. с = -С	 11. с = С 12. с = -С

b = B b = -B b = B b = -B 

n =- N n = N n = N n =- N 

   


13. с = С 14. с = -С

b = B b =- B 

n =- N n = N 

 



*******



Итак, рассмотрим случай 5.



Случай 5



 (16)

 (17´)

 (18´)

 (19).



Тогда сумма имеет вид:



 



Учитывая (14) и (19), можно получить разность : 



 => .



Выразим из (25) и (26) : 



 => 

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



, , а их сумма . 

Т.к. из (8) , то  => .



Из (19) с учетом (29) выразим :



, т.е. .



Т.о., , , т.е.



, 



выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность : 

 



т.к. , т.е.  (36´). 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n: 



где .

Т.к. b + c =2n, то b-2n = b - (b + c) = - c = -1 => c = 1 (40).

Учитывая (34), получим  =>  (38´). 

Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):



, т.е.  (41).



Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:



 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа



*******



Случай 6



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е. 



 (40´),  (38),

 (41´),  (33´), где - взаимно простые целые нечетные числа.



*******


Случай7



 (16)

 (17´)

 (18´)

 (19´)



Тогда сумма имеет вид:



 



Учитывая (14) и (19´), можно получить разность : 



 =>  (26´).



Выразим из (25) и (26´) : 



 => 

 => .



По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель . 

Т.о.,  имеют вид: 



 (30´),  (31´), а их сумма . 

Т.к. из (8) , то  => .


Из (19´), с учетом (29), выразим :



, т.е.  (33´).

Т.о., , , т.е.

 (34´),

 (35´), 



выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность : 

 



т.к. , т.е.  (36´). 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n: 



где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c = 1 (40).



Учитывая (34´), получим  =>  (38´´´). 



Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):



, т.е.  (41´´).


Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:



 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.



*******



Случай 8



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е. 



 (40´),  (38´´),

 ,  (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.



*******



Вывод



Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:


а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .



А это в свою очередь означает, что и уравнение  при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .



Случай 9



 (16)

 (17)

 (18´)

 (19)



Из (16) и (17) имеем:







Учитывая (14) и (19), можно получить разность  другим способом: 



  => .



Следовательно, 



==> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.


Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. 



 *********



Случай 10



 (16´)

 (17´)

 (18)

 (19´),



т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:



 



Учитывая (14) и (19´), можно получить разность  другим способом: 



 -  => .



Следовательно, -=-=> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16´) и (17´) c и b – четные, чего не должно быть.


Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



********



Случай 11



 (16)

 (17)

 (18)

 (19´)



Из (16) и (17) имеем:







Учитывая (14) и (19´), можно получить разность  другим способом: 



 -  => .



Следовательно, =-=> 2t = - 4r (  ≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.



Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.


Случай 12



 (16´)

 (17´)

 (18´)

 (19),



т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:







Учитывая (14) и (19), можно получить разность  другим способом: 



  => .



Следовательно, -==> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.



Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



*******


Случай 13



 (16)

 (17)

 (18´)

 (19´)



Из (16) и (17) имеем:







Учитывая (14) и (19´), можно получить разность  другим способом: 



 -  => .



Следовательно, =-=> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.



Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



********



Случай 14



 (16´)

 (17´)

 (18)

 (19),



т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:







Учитывая (14) и (19), можно получить разность  другим способом: 



  => .



Следовательно, -==> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) =>  t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.



Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



***********



Вывод.



1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.

**********



Условие 2 (продолжение).



Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ». 

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). 



******** 



«Новый» случай 15



(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, K)



с = - В (16-B),

b= С (17+C),

n= N (18),



K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.



 (40´),  (38´´),

 ,  (33), 

где - взаимно простые нечетные целые числа. 



Доказательство



Сумма имеет вид:







Учитывая (14) и (19), можно получить разность : 



 => .



Выразим из (25) и (26) : 



 => 

 => .



По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



, , а их сумма . 



Т.к. из (8) , то  => .

Из (19) с учетом (29) выразим :



 , т.е. .


Т.о., , , т.е.



, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с: 





т.к. , т.е. . 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с: 



, 



т.к. из (29) вытекает .

Итак, .



Учитывая (34), получим  => . 

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):



, т.е. .



Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

 

 , где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.



*********



Примечание



То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).



Случай 15. Случай 8



с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).



У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи. 



Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.



«Общие свойства для с и b»:



сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К 

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем: 



с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.



Отсюда получаем квадратное уравнение 



- 2К+ С В = 0 => X1,2 = К , 



где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть 



Х1 = -b = К +=+= += + = -В => b = В,



где на основании   и Х1 = - b= -  



Х2= с = К-= -= -= - = -С => с = - С, 



где на основании (40´) и Х2 =  Таким образом, мы получили случай 8:



Случай 8



с = - С (16´),

b= В (17),

n= N (18),

K (19),



где

 

 , а - взаимно простые нечетные целые числа.



Теперь обозначим Х1 = с, а Х2 = - b. Тогда получим: 



Х1 = с = К+=+= += + = -В => с = -В, 



где на основании (40´) и Х1 = с = -1.



Х2 = - b = К-= -= -= - = -С => - b= -С => b = С,



где на основании   и Х2 = - 



Таким образом, мы получили случай 15:



Случай 15



с = -В (16-B), 

b= С (17+C), 

n= N (18), 

K (19), 



где

 

 , а - взаимно простые нечетные целые числа.



Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К+ С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К  (X1(2) =- Х2(1) = -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения: 



 

 , а - взаимно простые нечетные целые числа.



В этом мы непосредственно и убедились. 

Следовательно, «Общие свойства для с и b» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.



*********



Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» ( сb = const´, с – b = const´´, с – b = const´´´ ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид. 

 

*********



«Новый» случай 16



(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)

Случай 16. Случай 7.



с = В с = С

b= -С b= -В

n = -N n = -N

-K -K



Окончательные решения в случае 7: 



 (40),  (38´´´),

 (41´),  (33´),



где - взаимно простые нечетные целые числа. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.



 (40),  (38´´´),

 (41´),  (33´), 



где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.



********



«Новый» случай 17



(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)

Случай 17. Случай 6.



с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19´), -K (19´). 



Окончательные решения в случае 6: 



  (40´),  (38),

  (41´),  (33´), 



где - взаимно простые нечетные целые числа. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.


 (40´),  (38),

 (41´),  (33´), 



где - взаимно простые целые нечетные числа.



*********



«Новый» случай 18



(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)



Случай 18. Случай 5.



с = В (16+B), с = С (16),

b=- С (17-C), b= -В (17´),

n=- N (18´), n= -N (18´),

K (19), K (19).



Окончательные решения в случае 5: 



 (40),  (38´),

 (41), , 



где - взаимно простые нечетные целые числа. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. 

 (41), , 



где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа.



********



«Новый» случай 19



(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)

Случай 19. Случай 4.



с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18´), n= -N (18´),

K (19), K (19)



Окончательные решения в случае 4: 



 (39´´´),  (38´´´), 

 (37´),  (33),



где - взаимно простые нечетные целые числа. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= -С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. 


 (39´´´),  (38´´´),

 (37´),  (33),



где - взаимно простые нечетные целые числа.



********



«Новый» случай 20



(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)

Случай 20. Случай 3.



с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b= -В (17´),

n= N (18), n= N (18),

-K (19´), -K (19´). 



Окончательные решения в случае 3: 



 (39´´),  (38´´),

,  (33´),



 где - взаимно простые нечетные целые числа. 



Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. 

 (39´´),  (38´´), где - взаимно простые нечетные 

,  (33´), целые числа.



********



«Новый» случай 21



(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)

Случай 21. Случай 2.



с = -В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18´), n= -N (18´),

-K (19´), -K (19´).



Окончательные решения в случае 2:



, 

,  



где - взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= - С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. 



, ,

, , 

где - взаимно простые нечетные целые числа.



*********



«Новый» случай 22



(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В, n = N, K)

Случай 22. Случай 1.



с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b=- В (17´),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19)



Окончательные решения в случае 1: 



 , ,

 , 



где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. 



, ,

, , 


где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

**********



Вывод



Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.



********* 



«Новый» случай 23



(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n = -N, K)

Случай 23. Случай 12.



с = В (16+B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= - В (17´),

n= - N (18´), n= - N (18´),

K (19), K (19)



 Окончательный вывод в случае 12:  c и b – четные, чего не должно быть. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



********



«Новый» случай 24



(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В, n = N, -K)



Случай 24. Случай 11.



с = -В (16-B), с = С (16),

b=-С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19´), -K (19´).



Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.


*******



«Новый» случай 25



(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В, n = N, -K)

Случай 25. Случай 10. 



с = В (16+B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= - В (17´),

n= N (18), n= N (18),

-K (19´), -K (19´).



Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



*********


«Новый» случай 26



(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В, n = -N,K)

Случай 26. Случай 9. 



с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= - N (18´), n= - N (18´),

K (19), K (19).



Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



********



«Новый» случай 27



(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В, n = -N,-K)

Случай 27. Случай «-». 

с = В (16+B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= - В (17´),

n= - N (18´), n= - N (18´),

-K (19´), -K (19´).



Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



********



«Новый» случай 28



(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = - С, b= -В, n = N,K)

Случай 28. Случай «+». 



с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).


Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть. 

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом». 

Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.



********



Вывод



1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.



*********



Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:



а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .


А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .



************



Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.



В результате исследования уравнения (1) мы имеем:



Вывод 1. Уравнение (1)  (, - натуральные числа,  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



Возможны случаи: либо , либо .



 ******* 



В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.



Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение  (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах). 

При  «Исключением» являются , или .

(При  «Исключением» являются, например,  или , при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43) являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения: 



a = α2 – δ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α3 + 3αδ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2δ + δ3 - четное число при α и δ – нечетных или четных.



(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения 



 (42), где  - натуральное.)



Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 - b2.

«Исключением» являются следующие его решения:



1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),



при которых получаем соответственно тождества:



1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2

2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2 


**********



Примечание. 

Великая теорема Ферма для  доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

Для степени p = 2 в уравнении  такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при  простом. Имея дело с уравнением (44) , где  простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма. 

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).



Вывод: Великая теорема Ферма для степени простом доказана. 



********



Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение  ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.



********** 



Часть первая (Утверждения 2)



Уравнение  ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



Доказательство



Итак, имеем уравнение  (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:  =>  (2).

 Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b- нечетных.


*********



Примечание



То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:



b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, 



где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда



b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],



где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.



*******



Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):



= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е. 

 (5), 



где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое число k - четное число, т.к.  пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k – четное число при).

Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:

 =>  => 



Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном. 

	

	*********

	

	Вывод:

	

	Из соотношения (4) имеем:

	

(9) - нечетное число.



Из соотношения (5) имеем:



(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.



Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.



*******



Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:


 ,



т.е.  (11),



где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом: 



(12)  - нечетное число при  - нечетном;

(13)  - нечетное число при  - нечетном;

(14)  - нечетное число при  - нечетном;

(15)  - четное число.



Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). . 



*******



Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.



= С

= В

 = N

 = К,


и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.



********



Условие1 (начало)



с2 = С

b2 = B

 = N





Случай «+».

(12+)  - нечетное число при  - нечетном;

(13+)  - нечетное число при  - нечетном;

(14+)  - нечетное число при  - нечетном;

(15+)  - четное число.



Казалось бы, все нормально: четность чисел  в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями. 

Однако не все так просто. 

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+): 

 
,



т.е.  => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36), 



! 



Т.е., вопреки «Выводу»,  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном. 

Однако, если  - четное, то  (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2)  и (1)  числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений. 



********



Вывод. Следовательно, это уравнение (1)  в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.



********



Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы». 

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)



********



Примечание



Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.



********



Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки. 



 Условие 2 (начало) 



с2 = В

b2 = С

 = N





«Новые» случаи «+» и «-».



(12´±) c2 =± В

(13´±) b2=±С

(14±) =± N

(15±) =±К.



И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном. 

Однако, если  - четное, то  (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. 



*******



Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



*******


Примечание



Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). 

Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.



********



Уравнение (11) симметрично и для  и для  (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством  и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых  и  меняются своими выражениями (N и К)).



Условие 3. 



с2 = С

b2 = B

 = К





« Похожие» случаи «+» и «-». 



(12±) c2 = ± () = ± С

(13±) b2 = ± () = ± В

(14´±) =  = ±К

(15´±)  = ± N


Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)  = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



*******



В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть. 

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



********



Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



 *******


Вывод



1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)  (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 

2. 1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.



*********



Часть вторая (Утверждения 2)



Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.



Доказательство



Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо  (из ), либо  (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1. 

Условие 1 (продолжение).



Случай 1. 



 (12)

 (13′)

 (14)

 (15) ,



которые также являются решениями уравнения (11)



.



Тогда сумма имеет вид:



 



Учитывая (10) и (15), можно получить разность : 



  => .



Выразим из (17) и (16) :



 => 

 => .



По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



, , а их сумма . 

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то  => .

Из (15) с учетом (20) выразим :



, т.е. .

Т.о., , , т.е.



,



выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями







Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму : 



 т.к. , т.е. . 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: 



 , т.к. из (20) получается 



(20′).

Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо. 

Этот случай нас не интересует. 

********



Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим 



 => . 



Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):



, т.е. .



Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:



, ,

 (28), ,



где - взаимно простые нечетные целые числа.



*******



Случай 2



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е. 



(30´), => c =  (30´),  (29´)

 (28´), => b = 1 (28´),  (24´), где 



- взаимно простые нечетные целые числа. 



Случай 3

 

 (12)

 (13′)

 (14)

 (15′) ,



 которые также являются решениями уравнения 



  (11).



Тогда сумма имеет вид:



 



Учитывая (10) и (15), можно получить разность : 



- => . 


Выразим из (31) и (16) : 



 =>  (32)

 => (33).



По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



 (34), (35), а их сумма . 



Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то  и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :



, т.е.  (24´).



Т.о., , ,



где, т.е. 

, 

, 



выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями







Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму : 

 

т.к. , т.е. . 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: 



,т.к. из (20) получается

.



Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо. 

Этот случай нас не интересует. 



*******



Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим  => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):



, т.е.  (30´´).



Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:



(30´´), , 

  (28),  (24´), 



где  - взаимно простые нечетные целые числа.

 

***********



Случай 4



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е. 



 (30´´´), =>  (30´´´),  (29´´´),  (28´), => b =  (28´),  (24), 



где - взаимно простые нечетные целые числа. 



*******



Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:



= С

= В 

 = N 

 = К. 



Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´) 



3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).



Рассмотрим еще 4 случая.



5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B 

 = - N  = N  = - N  = N

   



*******



Итак, рассмотрим случай 5. 



Случай 5.



 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15) , которые также являются решениями уравнения 



 (11)

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): 



 (41), , где - взаимно простые нечетные целые  (40),  (38´), числа.



Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:



 (32) => b  (32), (24)

 (31) => с =  (31),  (29´) , 



где  взаимно простые целые нечетные числа.



*******



Случай 6



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е. 



 (31´),  (29),

  (32´),  (24´), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.



*******


Случай 7



 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15´), которые также являются решениями уравнения 

  (11).



Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): 



 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´), 



где - взаимно простые нечетные целые числа.



Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:



 (31) => с =  (31),  (29´´´) , 

 (32´) => b  (32´´),  (24´), 



где - взаимно простые целые нечетные числа.



*******


Случай 8



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е. 



 (31´),  (29´´),

 ,  (24), где - взаимно простые целые нечетные числа. 

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом. 



********



Вывод



Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:



а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; . 



********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом. 

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):



1. (16)  2. (16´)  (39´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (18´)  (38´)

(19)  (33) (19´)  (33´)



3. (16)  (39´´) 4. (16´)  (39´´´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (38´´) (18´)  (38´´´)

(19´)  (33´) (19)  (33).



А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):



1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)



3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).



Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11) 

с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях. 



********



Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть. 



********



Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)  (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .



*******



Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения  (где , q=2 q) - показатели четные при  ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в уравнении  целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:



 || > 2, | | > 2, | c| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1, 


т.е. в уравнении a2+ b4 = c4 b  и c  => в уравнении (1) при  - четном числе b и c, 

т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.



********



Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.



*******



В результате исследования уравнения (1) мы имеем:



Вывод: 

1. Уравнение (1) , где ≥2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.



*******



Примечание



Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2m при m>2 – натуральном.

Если уравнение al+ b4 = c4, где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, и c, то и уравнение a4+ b4 = c4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).



Вывод : Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4 доказана.



3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении al+ b4 = c4 (≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод. 

 

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.



********



Утверждение 3



Часть 1

Уравнение  ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



Часть 2

Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.



*********


Часть первая (Утверждения 3)



Уравнение  ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 



Доказательство



Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение  (1), где  ≥ 3 – нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует: 



 =>  (2).



Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.



******



Примечание



То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b и c в виде:


b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда



b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],



где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать



*******



Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):



= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е. 

 (5), 



где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа. 



Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:



 =>  => 



Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном, т.к.  ≥ 3 – нечетное натуральное число. 



Вывод:



1. Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.



2. Из соотношения (5) имеем:



(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.



Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.



*******



Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:



 ,

 т.е.  (11),



где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом: 



(12)  - нечетное число при  - нечетном;

(13)  - нечетное число при  - нечетном;

(14)  - нечетное число при  - нечетном;

(15)  - четное число.


Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). 

Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.



= С

= В

 = N

 = К ,



и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.



Условие1 (начало).



с2 = С

b2 = B

 = N





Случай «+».



(12+)  - нечетное число при  - нечетном;

(13+)  - нечетное число при  - нечетном;

(14+)  - нечетное число при  - нечетном;

(15+)  - четное число.



Казалось бы, все нормально: четность чисел  в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями. 

Однако не все так просто. 

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+): 



,



т.е.  => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36), 



! 



Т.е., вопреки «Выводу»,  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном. 

Однако, если  - четное, то  (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях  (2)  и (1)  числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. 



*******


Вывод. Следовательно, это уравнение (1)  в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.



********



Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы». 

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)



*********



Примечание



Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.



********



Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки. 


Условие 2 (начало). 



с2 = В

b2 = С

 = N



«Новые» случаи «+» и «-».



(12´±) c2 =± В

(13´±) b2=±С

(14±) =± N

(15±) =±К.



И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном. 

Однако, если  - четное, то  (в ((12´±) и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами. 

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. 



********


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



*******



Примечание 



Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). 

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.



********



Уравнение (11) симметрично и для  и для  (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством  и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых  и  меняются своими выражениями (N и К)).

 

Условие 3. 



с2 = С

b2 = B

 = К





«Похожие» случаи «+» и «-». 

(12±) c2 = ± () = ± С

(13±) b2 = ± () = ± В

(14´±) =  = ±К

(15´±)  = ± N.



Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)  = ±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



*******



В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для  проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть. 

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.



********


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 



*******



Вывод



1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1)  (1), где  ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах. 

2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.



*********



Часть вторая (Утверждения3)



Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила) 



Доказательство



Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо  (из ), либо  (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1. 

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.



Случай 1. 



 (12)

 (13′)

 (14)

 (15) , которые также являются решениями уравнения



(11) .



Тогда сумма имеет вид:



 



Учитывая (10) и (15), можно получить разность : 



 => .



Выразим из (17) и (16) :



 => 

 => .



По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



, , а их сумма . 



Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то  => .

Из (15) с учетом (20) выразим :



, т.е. .

Т.о., , , т.е.



,



выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями







Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму : 



 т.к. , т.е. . 


(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: 



, т.к. из (20) получается 

(20′).



Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо. 

Этот случай нас не интересует. 



********



Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим  => . 

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):



, т.е. .



Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:



, ,

 (28), ,



где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******



Случай 2



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е. 



(30´), => c =  (30´),  (29´)

 (28´), => b = 1 (28´),  (24´), где 



- взаимно простые нечетные целые числа. 



**********



Случай 3.



 (12)

 (13′)

 (14)

 (15′) , которые также являются решениями уравнения



 (11).



Тогда сумма имеет вид:



 

Учитывая (10) и (15), можно получить разность : 



- => . 



Выразим из (31) и (16)  : 



 =>  (32)

 => (33)



По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид: 



 (34), (35), а их сумма . 

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то  и .



Из (15´) с учетом (20) выразим :



 , т.е.  (24´).

Т.о. , , где, т.е. 

, 

, 



выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями






Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму : 



 

т.к. , т.е. . 



(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)



Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: 



,т.к. из (20) получается

.



Итак,  (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует. 



*******



Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим  => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):



, т.е.  (30´´).

Таким образом, уравнение  (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:



(30´´), , 

  (28),  (24´), 



где  - взаимно простые нечетные целые числа.

 

***********



Случай 4



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е. 



 (30´´´), =>  (30´´´),  (29´´´),  (28´), => b =  (28´),  (24), где 



- взаимно простые нечетные целые числа.



*******



Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:


= С

= В 

 = N 

 = К 



Тогда эти первые 4 случая следующие:



1. (12)  2. (12´)  (30´)

 (13´)  (28) (13)  (28´)

 (14)  (29) (14´)  (29´)

 (15)  (24) (15´)  (24´) 



3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

 (13´)  (28) (13)  (28´)

 (14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

 (15´)  (24´) (15)  (24).



Рассмотрим еще 4 случая.



5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C

 b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B 

  = - N  = N  = - N  = N

    



*******



Итак, рассмотрим случай 5. 


Случай 5.



 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15) , которые также являются решениями уравнения 

 

 (11).



Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): 



 (41), , где - взаимно простые нечетные целые   (40),  (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:



 (32) => b  (32), (24)

 (31) => с =  (31),  (29´) , 



где - взаимно простые целые нечетные числа.



*******



Случай 6



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е. 



 (31´),  (29),

 (32´),  (24´), 



где - взаимно простые целые нечетные числа. 

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.



*******



Случай 7.



 (12),

 (13´),

 (14´),

 (15´), которые также являются решениями уравнения 

 

 (11).



Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): 



 (40),  (38´´´),

 (41´´),  (33´), 



где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

 (31) => с =  (31),  (29´´´) , 

 (32´´) => b  (32´´),  (24´), где - 



взаимно простые целые нечетные числа.



*********



Случай 8



Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е. 



 (31´),  (29´´),

 ,  (24), 



где - взаимно простые целые нечетные числа. 

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом. 

Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:



а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .



**********


Вывод



Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:



а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .



********



Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом. 

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):



1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)



3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).


А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):



1. (12)  2. (12´)  (30´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29) (14´)  (29´)

(15)  (24) (15´)  (24´)



3. (12)  (30´´) 4. (12´)  (30´´´)

(13´)  (28) (13)  (28´)

(14)  (29´´) (14´)  (29´´´)

(15´)  (24´) (15)  (24).



Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях. 



*********



Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

 

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа , чего не должно быть. 



********


Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1)  (1), где - нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.

 

******* 



Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.



В результате исследования уравнения (1), мы имеем:



Вывод: 



1. Уравнение (1)  ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 

Возможны случаи: либо , либо .

2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.

 

*******



Примечание



Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4 при ≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m , где m > 2 – натуральном.


**********



На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения». 



ОБЩИЙ ВЫВОД



1. Уравнение  (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами. 

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и может быть либо , либо .



Таким образом, «Общее утверждение» доказано. 


ЛИТЕРАТУРА:



1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.





Май 2009 г., Скворцов А.П.


Уважаемые любители математики и специалисты!



Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе. 

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике:

Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков.

Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков.

Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение уравнения  в целых числах при - натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р1+ р2 = р3, где произведение р1 р2 р3 = R3, R – рациональное число (или рациональная функция), р1, р2 и р3 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы



р1+р2+р3 =р4 

р1 р2 р3 р4 =  ,



где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р1, р2 , р3 и р4 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru



Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,

 м/р-н Геолог, д.18, кв.11

 тел.: 8 (38 254) 5 79 59.



С уважением, А.П. Скворцов.







2