Решение экономических задач

2



Задание 1



Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице: 



Наименование составных частей 

Виды наборов 



1

2

3

4

Шар

5

6

8

10

Колокольчик 

3

4

6

0

Мишура

0

3

5

8



В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице 



Вид сырья

Составные элементы



Шар

Колокольчик

Мишура

Стекло

5

0

0

Папье-маше

0

4

0

Фольга

3

0

75



Требуется:

1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;

2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.

Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1, n2 и n3 - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно. 

Тогда условия будут выглядеть следующим образом:



n1 = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4

n2 = 3x1 + 4x2 + 6x3

n3 = 3x2 + 5x3 + 8x4



Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:



y1 = 5n1

y2 = 4n2

y3 = 3n1 + 75n3



Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.



y1 = 5· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) = 25x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4

y2 = 4· (3x1 + 4x2 + 6x3) = 12x1 + 16x2 + 24x3

y3 = 3· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4) = 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4



Проведем подсчеты для значений 



x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.

y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.

y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.

y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.



Задание 2



Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).



, 



Решение:

Составим систему уравнений:







Матричное уравнение выглядит следующим образом:



A · X = B



Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1



A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B



Найдем обратную матрицу A-1



Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017

; 



 = 

X =· =  = 



Решим систему методом Крамера



Δ = - 1017

Δ1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153

Δ2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119

Δ3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187

x1 = Δ1/Δ = - 9153/ (- 1017) = 9

x2 = Δ2/Δ = - 7119/ (- 1017) = 7

x3 = Δ3/Δ = - 11187/ (- 1017) = 11



Решим систему методом Гаусса



 =>  =>  =>

 =>  => = >



Задание 3



Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:







Решение:










Задание 4



Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.







Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:







эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.







эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.

Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.


Задание 5



В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. 

Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. 

Проанализировав чертеж, сделайте выводы. 



Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Товарооборот, (тыс. р) 

18

5,6

30,5

59,3

59,3

42

96,4

72,6

56,8

52

38,6

33



Решение:

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):







По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2. 

t

y

x

yx

x2

y2



1

18,0

1

18

1

324,00

33,662

2

5,6

2

11,2

4

31,36

36,089

3

30,5

3

91,5

9

930,25

38,516

4

59,3

4

237,2

16

3516,49

40,943

5

59,3

5

296,5

25

3516,49

43,37

6

42,0

6

252

36

1764,00

45,797

7

96,4

7

674,8

49

9292,96

48,224

8

72,6

8

580,8

64

5270,76

50,651

9

56,8

9

511,2

81

3226,24

53,078

10

52,0

10

520

100

2704,00

55,505

11

38,6

11

424,6

121

1489,96

57,932

12

33,0

12

396

144

1089,00

60,359

Итого

564,1

78

4013,8

650

33155,51

564,13



; 

;

;

; 



Уравнение регрессии:



= 31,235 + 2,427 · х



Рассчитаем по данному уравнению значения для  и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.

Найдем прогноз на полгода вперед:



= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.



Найдем прогноз на год вперед:



= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.






Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.



Задание 6



Исследовать на экстремум следующую функцию:



;



Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.



= 4x3 + 2xy2; 4x3 + 2xy2 = 0; 2x (2x2 + y2);

2x = 0 или (2x2 + y2) = 0; точка (0, 0)

= 4y3 + 2x2y; 4y3 + 2x2y = 0; 2y (x2 + 2y2);

2y = 0 или (x2 + 2y2) = 0; точка (0, 0)



Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)



= 12x2 + 2y2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = А

= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B

= 12y2 + 2x2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = C

Δ = AC - B2 = 0



Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.

Точка (0; 0) возможный экстремум функции.



Задача 7



Пусть функция полезности задана как







где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.

Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:



= ; = ;  = ;  = 



Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140

Составим систему.



; ; ; 



Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.



Задание 8



Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q:  и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.



 и ,



Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:



D (Q) = S (Q);  = ; ; - t2 - 6t + 300 = 0

t1 = - 25,12 и t2 = 16,72, t1 - не удовлетворяет условию

; Q = 279,56 ед.

При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.



Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:



Sпотр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =

= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7



Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:



Sпроизв = 100,32 · 279,56 -  = 28045,46 - =

= 28045,46 - 4 * 16,723 = 9348,6


Литература



Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.

Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.