Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытны

Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики



Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»

Вариант № 15









Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто









Самара - 2002

Задание на расчетно-графическую работу

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:

№



№



№



№



1

4

31

10

61

20

91

44

2

19

32

25

62

16

92

12

3

25

33

38

63

15

93

16

4

-4

34

1

64

32

94

9

5

58

35

19

65

52

95

12

6

34

36

55

66

-5

96

40

7

32

37

9

67

21

97

17

8

36

38

11

68

30

98

10

9

37

39

6

69

27

99

31

10

4

40

31

70

12

100

49

11

24

41

17

71

19

101

25

12

3

42

-6

72

1

102

33

13

48

43

14

73

23

103

26

14

36

44

9

74

7

104

19

15

27

45

13

75

4

105

25

16

20

46

25

76

16

106

34

17

1

47

11

77

38

107

10

18

39

48

18

78

40

108

24

19

11

49

2

79

30

109

2

20

16

50

29

80

14

110

38

21

49

51

20

81

51

111

30

22

25

52

48

82

17

112

10

23

26

53

16

83

25

113

39

24

30

54

29

84

34

114

1

25

19

55

12

85

23

115

40

26

32

56

-3

86

20

116

7

27

3

57

16

87

9

117

26

28

40

58

41

88

29

118

36

29

45

59

19

89

18

119

22

30

35

60

0

90

46

120

28



Все эти протокольные значения считаются значениями выборки



некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки



другой случайной величины 

Требуется:

Построить вариационные ряды для случайных величин  и .

Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин  и .

Образец заполнения таблицы для статистического ряда.

№ пр-ка

Границы промежутка



Середина промежутка



Количество элементов выборки в промежутке



Частота для промежутка



1









2









…

…

…

…

…













Построить гистограммы распределения случайных величин  и .

Найти выборочное среднее ,  и исправленные выборочные дисперсии: ,  случайных величин  и .

Проверить, используя метод  гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин  и  при уровне значимости .

Построить график функции плотности распределения  случайной величины  в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки  и ) и вычислив значение функции  в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

Выполнить задание 6 для случайной величины .

Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин  и , соответствующие доверительной вероятности .

Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .

Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .




Решение

Построить вариационные ряды для случайных величин  и .

Вариационный ряд величины 

-6

12

22

33

-5

12

23

34

-4

12

23

34

-3

12

24

34

0

13

24

35

1

14

25

36

1

14

25

36

1

15

25

36

1

16

25

37

2

16

25

38

2

16

25

38

3

16

25

38

3

16

26

39

4

16

26

39

4

17

26

40

4

17

27

40

6

17

27

40

7

18

28

40

7

18

29

41

9

19

29

44

9

19

29

45

9

19

30

46

9

19

30

48

10

19

30

48

10

19

30

49

10

20

31

49

10

20

31

51

11

20

32

52

11

20

32

55

11

21

32

58





Вариационный ряд величины 

1

21

2

22

2

23

3

23

4

24

4

25

6

25

9

25

9

25

10

26

10

26

11

26

11

27

12

27

12

30

13

30

14

31

15

32

16

37

16

38

16

38

17

39

17

40

18

44

19

45

19

48

19

49

19

51

20

52

20

58





Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин  и .

Найдем количество элементов выборок после группировки элементов

Величина : 

Величина : 

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины 



№ пр-ка

Границы промежутка



Середина промежутка



Количество элементов выборки в промежутке



Частота для промежутка



1

-8 ; 0

-4

4

0.0333

2

-0 ; 8

4

15

0.1250

3

8 ; 16

12

19

0.1583

4

16 ; 24

20

25

0.2083

5

24 ; 32

28

24

0.2000

6

32 ; 40

36

17

0.1417

7

40 ; 48

44

8

0.0667

8

48 ; 56

52

8

0.0667



Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины 

№ пр-ка

Границы промежутка



Середина промежутка



Количество элементов выборки в промежутке



Частота для промежутка



1

0; 9

4,5

7

0.1167

2

9 ; 18

13,5

16

0.2667

3

18 ; 27

22,5

19

0.3167

4

27 ; 36

31,5

6

0.1000

5

36 ; 45

40,5

6

0.1000

6

45 ; 54

49,5

5

0.0833

7

54 ; 63

58,5

1

0.0167

	



Построить гистограммы распределения случайных величин  и .

Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.



Найти выборочное среднее ,  и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: ,  случайных величин  и .

Выборочное среднее  случайной величины  равно



Выборочное среднее случайно величины  равно



Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение  случайной величины :

=14.3632



Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение  случайной величины :

=13.5727

    

Проверить, используя метод  гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин  и  при уровне значимости .

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где   - объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами, , 









Построим вспомогательную таблицу:













1

4

-1.9169

  4.2461

0.0606

0.014

2

15

-1.3600

10.5760

19.572

1.850

3

19

-0.8030

19.3161

0.0999

0.005

4

25

-0.2460

25.8695

0.7561

0.0292

5

24

0.3110

25.4056

1.9757

0.0778

6

17

0.8680

18.2954

1.6780

0.0917

7

8

1.4249

9.6610

2.7590

0.2856

8

8

1.9819

3.7409

18.139

4.8491



В итоге получим = 7,2035

По таблице критических точек распределения  ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим







Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .



Для случайной величины :



Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где   - объем выборки,  - шаг (разность между двумя соседними вариантами, , 



















1

7

-1.4036

5.9274

1.1504

0.1941

2

16

-0.7405

12.0665

15.4725

1.2823

3

19

-0.0774

15.8248

10.0820

0.6371

4

6

0.5857

13.3702

54.3197

4.0627

5

6

1.2488

7.2775

1.6319

0.2242

6

5

1.9119

2.5519

5.9932

2.3485

7

1

2.5750

0.5765

0.1794

0.3111

		



В итоге получим = 8.1783

По таблице критических точек распределения  ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы  7 - 3=4 находим



Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .



Построить график функции плотности распределения  случайной величины  в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки  и ) и вычислив значение функции  в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.













Выполнить задание 6 для случайной величины .










Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин  и , соответствующие доверительной вероятности .

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с  степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для  выглядит следующим образом: 



Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:



То есть: (20,93721;26,12946).



Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с  степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для  выглядит следующим образом: 



Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:



То есть: (20,043;27,056).



Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности  имеет вид



Для случайной величины  найдем: 

.





Таким образом, имеем доверительный интервал:  (162,8696; 273,8515).

Для случайной величины  найдем







Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).

(Квантили распределения  найдены по таблице [3], стр. 413).



Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости .

Рассмотрим статистику 

,

где

,

которая имеет распределение Стъюдента , 

Тогда область принятия гипотезы .

Найдем s:



Найдем значение статистики :



По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391) 



Т. к. , то гипотеза  принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий   не противоречит результатам наблюдений.

Проверить статистическую гипотезу  при альтернативной гипотезе  на уровне значимости.

Рассмотрим статистику  , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы  



Найдем значение статистики :



По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза  принимается. Предположение  не противоречит результатам наблюдений.


Библиографический список

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с. 

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

Гмурман  В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.





15