Сопряженная однородная задача

Сопряженная однородная задача



План.



		Сопряженный оператор.

		Сопряженная однородная задача. 

		Условия разрешимости.



Сопряженный оператор.



Обозначим через  дифференциальный оператор второго порядка, т.е. 

		(1)

где  представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если  и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:

		(2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:

	(3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через , т.е. 	(4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

	(5)

Оператор  называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на  и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы  и  взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

(6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

(7)

Если же , то оператор  и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что  тогда и только, когда:



Таким образом, оператор   будем  самосопряженным тогда и только тогда, когда . 

При этом: 



Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию . 

Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа:

	(8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

		(9)

где 

		 (10)

Отметим, что:

 и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

(11)



Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование  в вектор :

(12),

где 

		

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить: 

.

При этом (11) можно переписать как:



или 

 (13),

где 	(14)

Билинейная форма  в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13) 

и и получим:

 (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:

	(16)



	(17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

	(18)

При ненулевом векторе  последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты  и  принимали любые требуемые значения, лишь бы  и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)

имеет вид:

 (20)

где  и  связаны с компонентами  вектора  соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент  и  является линейной комбинацией  и , т.е. пропорциональна .

Один из определителей:  



матриц-блоков



должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы. 

Например, положим и . 

При этом матрица А примет вид:

   		(21). 

Из формулы (19) следует, что . 

Тогда 

	(22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

 (22)

   (23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы  и чтобы каждая из компонент  и  являлась линейной комбинацией  и . Как указывалось выше,  тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20)  принимают вид:

	(24)

Разрешая равенства относительно  и  при  и заменяя  на , получаем: 

		(25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

			(26)

Краевая задача при  самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .



Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

	(27)

, 

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:



		(27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь  и  с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:

	(28)

При этом соотношение (27) принимает вид:



Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.