Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Магнитогорский Государственный Технический Университет имени Г.И.Носова









Кафедра математики











Реферат



Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными 

матрицами коэффициентов











Выполнил:	студент группы ЭА-04-2

Романенко Н.А.



Проверил:	Королева В.В.



























Магнитогорск 2004


Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:



			bixi-1+cixi+dixi=ri						(1)



где i=1,2,...,n; b1=0, dn=0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:



				

			c1  d1 0  0  ...  0   0   0                   x1                    r1 

			b2  c2 d2 0  ...  0   0   0                   x2                    r2  

			0  b3  c3  d3 ...  0   0   0                   x3                             r3         

			.   .   .    .    ...   .   .   .            *       ...          =        ...     

			0  0  0  0    ...  bn-1cn-1 dn-1                   xn-1                            rn-1

			0  0  0  0    ...  0   bn   cn                         xn                               rn





	Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δi и λi (i=1,2,...,n), при которых 



				xi= δixi+1+ λi							(2)



т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение xi-1= δi-1xi+ λi-1 подставим в данное уравнение (1):



				biδi-1 xi+ bi λi-1+ cixi+ dixi+1= ri       

откуда

				xi= -((di /( ci+ biδi-1)) xi-1+(ri - bi λi-1)/( ci - bi δi-1)).



Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i=1,2,…,n выполняются рекуррентные соотношения 



				δi = - di /( ci+ biδi-1) ,   λ i=(ri - bi λi-1)/( ci - bi δi-1)		(3)



Легко видеть, что, в силу условия b1=0, процесс вычисления δi , λi  может быть начат со значений

	

				δ1 = - d1/ c1 ,	λ1 = r1/ c1



и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i=2,3,...,n, причем при i=n, в силу dn=0, получим δn=0.Следовательно, полагая в (2) i=n,будем иметь



				xn = λn = (rn – bn λn-1)/( cn – bn δn-1)



(где λn-1 , δn-1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся xn-1 , xn-2 ,…, x1 при i=n-1, n-2,...,1 соответственно.

	Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δi , λi  по формулам (3) при i=1,2,…,n (прямая прогонка) и затем неизвестных xi по формуле (2) при i=n-1, n-2,...,1 (обратная прогонка).

	Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой, если |δi|<1 при всех i€{1,2,...,n }.

Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.



Теорема

	

Пусть коэффициенты bi и di  уравнения (1) при i=2,3,...,n-1 отличны от нуля и пусть

		|ci|>|bi|+|di|		i=1,2,…,n.				(4)



Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. сi+biδi-1≠0, |δi|<1).



Д о к а з а т е л ь с т в о.  Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

При i=1, в силу (4), имеем:	



|c1|>|d1|≥0



	- неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же



				|δ1|=|- d1/ c1|<1    

		

		Предположим, что знаменатель (i-1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δi-1|<1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем:



			|сi+biδi-1|≥|ci| - |biδi-1|>|bi|+|di| - |bi|*|δi-1|= |di|+|bi|(1 - | δi-1|)> |di|>0

а с учетом этого 

				|δi|=|- di/ сi+biδi-1|=|δi|/| сi+biδi-1|<|δi|/|δi|=1    



Следовательно, сi+biδi-1 ≠0 и |δi|<1 при всех i€{1,2,...,n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.

	Пусть А – матрица коэффициентов данной системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть 

			

			

δ1= - d1/ c1  ,  δi=|- di/ ci+biδi-1    (i=2,3,...,n-1),   δn=0 

- прогоночные коэффициенты, определяемые первой из формул (3), а 

			∆i= сi+biδi-1		(i=2,3,...,n)

- знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно утверждению теоремы). Непосредственной проверкой легко убедится, что имеет место представление A=LU, где 

		

			c1   0  0   0  ...  0    0    0               

			b2   ∆2 0  0  ...  0    0    0                   

		   L=	0  b3  ∆3   0  ...  0    0    0                   

			…………………………       

			0   0   0   0    ...  bn-1 ∆n-1 0               

			0   0   0   0    ...  0   bn   ∆n                     











		            1  -δ1  0   0  ...  0    0    0               

			0   1   δ2  0  ...  0    0    0                   

		   U=	0   0   1   δ3  ...  0    0    0                   

			…………………………       

			0   0   0   0   ...  0   1  -δn-1       

			0   0   0   0   ...  0   0     1                   











Единственное в силу утверждение теоремы LU-разложения матриц. Как видим, LU-разложение трехдиагональной матрицы А может быть выполнено очень простым алгоритмом, вычисляющем  ∆i δi при возрастающих значениях i. При необходимости попутно может быть вычислен 

		                              n

det A = c1 ∏ ∆i .

                 i=2



В заключение этого пункта заметим, что, во-первых, имеются более слабые условия корректности и устойчивости прогонки, чем требуется в теореме условие строгого диагонального преобладания в матрице А. Во-вторых, применяется ряд других, отличных от рассмотрения нами правой прогонки, методов подобного типа, решающих как поставленную здесь задачу (1) для систем с трехдиагональными матрицами (левая прогонка, встречная прогонка, немонотонная, циклическая, ортогональная прогонки и т.д.), так и для более сложных систем с матрицами ленточной структуры или блочно-матричной структуры (например, матричная прогонка).


Список используемой литературы





В.М. Вержбитский «Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения», Москава «Высшая школа 2000».