Экспоненциальный фильтр

Лабораторная работа № 2

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР



Цель работы

Ознакомиться с аналоговым и дискретным вариантами реализации фильтра

Общие сведения

В аналоговом варианте экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено и описывается дифференциальным уравнением

	

	,	(15)



где  и  – параметры настройки фильтра.

Уравнению (15) соответствует амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)

	

	,	(16)



где  – постоянная времени фильтра.

Из условия (3)  (математическое ожидание) для статического режима определяют оптимальное значение параметра . Коэффициент усиления

	

	.	(17)


Определение оптимального значения параметра  производится из условия (4)  (среднеквадратичная погрешность оценки). 

Для этого предварительно рассчитывают спектральную плотность  погрешности экспоненциального фильтра по формуле (7) с учётом (16) и (17).

	

	.	(18)



Дисперсия погрешности экспоненциального фильтра, согласно (6), (7), с учётом (16), равна

	

	.	(19)



При вычислении этого интеграла оба слагаемых подынтегрального выражения раскладывают на простые дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида

	

	.	(20)



После выполнения соответствующих преобразований получают следующее выражение для дисперсии погрешности фильтрации:

	

	.	(21)

	
Оптимальное значение параметра настройки  получают из необходимого условия экстремума функции :

	

	.	(22)



Откуда оптимальное значение параметра 

	

	.	(23)



Таким образом, функция  имеет единственную точку стационарности, тип которой зависит от знака второй производной при .

Можно показать, что при выполнении условия 

	

	,	(24)



особая точка является минимумом функции , а при выполнении условия

	

		(25)



в точке , функция  достигает максимума.

Таким образом, если сочетание характеристик полезного сигнала и помехи соответствуют случаю (24), то оптимальное значение параметра настройки  определяется по формуле (23).

Если это условие не выполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра .

При программной реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (15) заменяют разностным уравнением вида

	

		(26)



где i – номер цикла расчёта

Отсюда получают следующее рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения  в очередном i-том цикле расчёта:

	

		(27)



К достоинствам алгоритма экспоненциальной фильтрации относятся: малая трудоёмкость расчётов и малый объём памяти ЭВМ, в которой должны храниться величина  и обновляемая в каждом цикле расчёта величина .

Пример выполнения лабораторной работы с использованием пакета MCAD представлен в Приложении 3 к лабораторной работе №2. Здесь представлен вариант расчёта трёхкратного сглаживания экспериментальных данных, полученных от ИИК технологического процесса, построены графики. 

Общая часть заданий

1. Ознакомиться с теоретическим описанием

2. Выполнить расчёты в MCAD сглаженных значений данных полученных от ИИК. Для расчётов пользоваться формулами:


















За начало отсчёта примем следующие допущения:

Расчёт произвести для трёх значений :



 = 0,4; 0,5; 0,6



3. Провести анализ полученных зависимостей на выполнение фильтрации полезного сигнала от помехи

4. Сделать выводы и дать предложения о возможности применения сглаживающего фильтра для уменьшения помех