Типовой расчет

1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:

а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.



+

1

2

3

4

5

	6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12



а).Пусть событие  А  – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:



 ,



где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:

m = 36. В результате получаем







Таким образом, искомая вероятность равна 1 .

б) Пусть событие  В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.



×

1

2

3

4

5

	6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

8

10

12

3

3

6

9

12

15

18

4

4

8

12

16

20

24

5

5

10

15

20

25

30

6

6

12

18

24

30

36



Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:



 ,



где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:







Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.

в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.

Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:




 ,



где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:







Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.

Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.

2. Имеются n изделий 4-х сортов, причём , где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где . Определить вероятность того, что среди m изделий m1 – первого сорта, m2 – второго сорта, m3 – третьего сорта, m4 – четвёртого сорта

Дано: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4, n4 = 2, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 2, m4 = 2.

Решение.

Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.

Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:



 ,




где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий  способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий  способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий  способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий  способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:







Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.

(2+1+2+2)=7 изделий из  изделий можно выбрать  способами, то есть: 

Отсюда, искомая вероятность равна:







Ответ: Р(А) = 0,0795.

3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.

Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.

Решение.

Пусть событие  А  - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:




 ,



где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать  способами, а 2 безвыигрышных билетов  из 3 билетов можно выбрать  способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:



m = ×=



Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать  способами, тогда



n = 



Отсюда, искомая вероятность равна:







Ответ: Р(А) = 0,525.

4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Дано: k = 7,  n = 4.

Решение.

а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.

Событие А1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие А2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие А3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А4 – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1, А2, А3, А4 являются зависимыми. Тогда:





где:  ,  ,  ,  .



Отсюда:



.



б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие В2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В4 – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1, В2, В3, В4 являются зависимыми. Тогда:





где:  ,  ,  ,  .



Отсюда:



.



Ответ:  а) 0,2778;  б) 0,2778.

5. В двух партиях К1 и К2 % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное.

Дано: К1 = 39%, К2 = 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,39 и р2 = 0,78.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие  - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события  находим, используя теорему умножения:



Р() = р1 · р2 = 0,39 · 0,78 = 0,3042



Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:



Р(С) = 1 - Р() = 1 – 0,3042 = 0,6958.



б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:



Р(D) = q1 · q2 = (1 - р1) · (1 - р2) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.



в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие  - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие  - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:



Е = +

или  Р(Е) = Р() + Р()



Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:



Р(Е) = р1 · q2 + q1 · р2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616




Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P1 = 0,39, а вторым стрелком  - P2 = 0,45. Первый стрелок сделал n1 = 3 выстрелов, а второй стрелок – n2 = 2 выстрелов. Определить  Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие  А  - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав  3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав  2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие  А1 – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие  А2  - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:



q1 = 1 - p1 = 1- 0,39 = 0,61,



а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2 = 1 - p2 = 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А1 и А2 находим по формуле Бернулли:







Тогда:












Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:



Р(А) = Р(А1)×Р(А2) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.



Ответ: 0,0687.

7. Из   ламп ni принадлежат i-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n1 = 620, n2 = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 – выбранная лампа принадлежит 1-й партии,

Событие Н2 – выбранная лампа принадлежит 2-й партии,

Событие Н3 – выбранная лампа принадлежит 3-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:







Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:



 ,






Для события Н1 имеем: m1 = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1 равна:







Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.

Для события Н2 имеем: m2 = 190, n =1000.







Для события Н3 имеем: m3 = 1000 - m1  – m2  = 1000 – 620 –190 = 190,  n =1000.







Контроль:







Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:







где: ki – число процентов бракованных ламп в i-й партии. Тогда












Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:



 =

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.



Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N1 белых и M1 чёрных шаров, во второй N2 белых и M2 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N1 = 20, M1 = 1, N2 = 40, M2 = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н2 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н1, Н2 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:








Определяем вероятности гипотез Н1, Н2 с помощью классического определения вероятности:



 ,



где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N1 + M1) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть



n = 



Находим вероятность гипотезы Н1. 15 белых шаров из 20 можно выбрать  способами, а 0 чёрных из 1 -  способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:



m = ×=



Отсюда, вероятность события Н1 равна:








Аналогично находим вероятности гипотез Н2.

Для события Н2 имеем:



m2=×=



Отсюда, вероятность события Н2 равна:







Контроль:







Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2 соответственно наступили, то есть вероятности ,  с помощью классического определения вероятности:



 ,



где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1 имеем:

m1 = 55, a n = 62, отсюда










При наступлении события Н2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2  имеем:



m2 = 54, a n = 62, отсюда





Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:





=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756



Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.

Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А - все 2 марки - чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н2 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н3 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н1, Н2, Н3 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:







Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:



,



где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок -   способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:



n = 



Находим вероятность гипотезы Н1 2 чистые марки из 7 можно выбрать  способами, а 0 гашенных из 5 -  способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:




m = ×=



Отсюда, вероятность события Н1 равна:







Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3:

Для события Н2 имеем:



m2=×=



Отсюда, вероятность события Н2 равна:







Для события Н3 имеем:



m3=×=



Отсюда, вероятность события Н3 равна:







Контроль:








Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и  с помощью классического определения вероятности:



 ,



где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н1 в  альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7  гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н1 имеем: m1 =  - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n =  - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда







При наступлении события Н2 в  альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6  гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н2 имеем: m2 =  - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n =  - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда







При наступлении события Н3 в  альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5  гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н3 имеем: m3 =  - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n =  - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда







Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:





= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.



Ответ: Р(А) = 0,217.

10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет mi % изделий. Среди изделий i–го завода ni % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?

Дано: m1 = 60%, m2 = 10%, m3 = 30%, n1 = 80%, n2 = 90%, n3 = 80%, j = 3.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H1 – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H2 – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H3 – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачи необходимо найти вероятность события Н3|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.

Так как события H1, H2 и H3 образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события  воспользуемся формулой Байеса:



 ,



где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:







Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:



,



где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Для события Н1 имеем: m1 = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н1 равна:







Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.

Для события Н2 имеем: m2 = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н2 равна:







Для события Н3 имеем: m3 = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н3 равна:







Контроль:







Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:








где: ki –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, mi – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда











Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:



 =

= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.



Отсюда, по формуле Байеса получим: .

Ответ: .

11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.

Дано: n = 5, m = 3.

Решение.

Испытание состоит в бросании монеты.

Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:







Отсюда, искомая вероятность равна:







Ответ: 0,2187.

12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 – мелкий выигрыш, и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов.

Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.

Дано:  n = 14,  n1 = 2, n2 = 4,   р1 = 0,2, р2 = 0,2.

Решение.

Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.

Рассмотрим события:

Событие А1 – выпал крупный выигрыш.

Событие А2 – выпал мелкий выигрыш.

Событие А3 – билет оказался без выигрыша.

Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,2,  р2 = 0,2, р3 = 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6.

Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:








Отсюда:







Ответ: .

13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .

Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k1 ≤ m.

Дано:n = 100, p = 0,8, k1 = 70.

Решение.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:



,



где: Ф(х) – функция Лапласа,



,



По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k1 = 70, k2 = 100. Вычислим х` и x``:



, 




Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим







По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.

Искомая вероятность равна:



Р100() = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.



Ответ: 0,9938.

14. Дана плотность распределения случайной величины Х.

Найти параметр γ, функцию распределения  случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0.

Решение.

	Воспользуемся свойством плотности распределения:

	

.



В данном случае:



, так как  при . Тогда:






То есть: 

Тогда получим две функции плотности распределения:







Контроль:







Функцию распределения   случайной непрерывной величины Х найдём по формуле:







где:  - функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах.

При  имеем:







При  исходный интеграл разобьем на два интеграла:










При  исходный интеграл разобьем на три интеграла:









Таким образом, функция распределения  примет вид:







б) Математическое ожидание находим по формуле:







Применяя формулу, получим:







в) Найдём дисперсию случайной величины Х :







Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле:








Тогда дисперсия







Определяем вероятность выполнения неравенства -2 < x < 0:







Ответ:

, 

М(х) = -2,  D(x) = 0,3333, .