Дискретный анализ

Содержание

		

		Введение

		1.Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»

		2.Решить систему уравнений:

		

		

		

		3.Решить уравнение:

		

		

		

		4.Доказать тождество:

		

		Ø

		

		5.Перечислить элементы множеств AxB и BxA, если , а 

		6.Упростить выражение

		

		


Введение



Основные способы представления информации называются дискретными: это слова и конструкции языков и грамматик – природных и формализованных; табличные массивы реальных данных в технических системах и научно-природных наблюдений; данные хозяйственной, социальной, демографической, исторической статистики и т.п.

Для количественного анализа и вычисления превращений непрерывных процессов приходится их "дискретизировать". Понятно, что математические методы обработки, анализа и превращений дискретной информации необходимы во всех отраслях научной, хозяйственной и социальной сферах. Обычно эти методы изучаются на курсах дискретной математики; иногда применяется определение "конечная математика", или даже "конкретная математика".

Часто для анализа реальных систем с непрерывными конструктивными элементами строятся модели конечной или дискретной математики. Например, классическая транспортная или информационная сеть трактуется как граф с заданными пропускными способностями или массами веток, а геометрическая форма ветки между двумя пунктами-узлами сети не играет роли. Более того, "непрерывное" строение реальной ветки также не работает в сетевой модели: важно, что между двумя узлами а, b сети или нет ветки, или есть ветка с заданными ограничениями c(a, b) объема переноса веществ или информации. В модели хватит задать числа c(a, b) для каждой пары узлов a, b. Если ветки нет, то c(a, b)=0. Такая числовая модель отображения сети идеальна для записи, сохранения и превращений в компьютере.

	
1.Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»

	

	Решение

	

	Эта задача представляет собой вид классической задачи комбинаторики. Ее разрешение сводится к "правилу произведения". Исходя из которого, если М1, М2, М3, …, Мk – конечные множества и М = М1 х М2 х М3 х … х Мk – их декартовое произведение, то

	

		(1)

		

		Пусть предмет а1 можно выбрать m1 способами, предмет а2 – m2 способами, …, предмет аk – mk способами и пусть выбор предмета а1 не влияет на количество способов выбора предметов а2, …, аk; и т.д. Тогда выбор упорядоченного множества предметов (а1, а2, …, аk) в указанном порядке можно выполнить способами.

		

		 (2)

		

		Отсюда – если нам необходимо подсчитать сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова "полка", то сначала выберем гласную – это можно сделать 2 способами (так как их две), после этого каждой гласной добавим согласную (аналогично 3 способа). По правилу произведения выбор упорядоченного множества гласной и согласной букв составит:

		

		

		
Ответ. n = 6.

		

		2.Решить систему уравнений:

		

		

		

		Решение

		

		1.Найдем n из формулы дискретного соединения:

		

		 (3)

		

		Из нижеследующего доказательства следует, что:

		

		 (4)

		

		Таким образом:

		

		

		

		

		

		Следовательно .

		Подставив значение  в формулу дискретной перестановки (5),

		 (5)

		

		получим:

		

		

		

		Сократим m! и (m-2)!:

		

		

		

		

		Решив квадратное уравнение, найдем один подходящий корень .

		Проверим правильность решения:

		

		

		

		

		Ответ: , .

		

		3.Решить уравнение:

		

		

		
Решение

		

		

		

		Используя формулы дискретной перестановки (5) и соединения (3), получим:

		

		

		

		Упростим выражение:

		

		

		

		Используя сокращение, получим:

		

		

		

		

		

		Расписав факториал, получим:

		

		

		

		

		

		

		Решим квадратное уравнение:

		

		

		

		Ответ: 

		

		4.Доказать тождество:

		

		 Ø

		

		Решение

		

		

		

		Раскроем пары скобок (первое и второе пересечения, третье и четвертое):

		

		

		

		Сократим выражение:

		

		

		

		

		Раскроем скобки:

		


		

		Сократим выражение:

		

		

		

		

		

		5.Перечислить элементы множеств AxB и BxA, если , а 

		

		Решение

		

		Отношения реализуют в математических терминах на абстрактных множествах реальные связи между реальными объектами. Отношения применяют при построении компьютерных баз данных, которые организованы в виде таблиц данных. Связи между группами данных в таблицах описывают языком отношений. Именно данные обрабатываются и превращаются при помощи операций, математически точно определенных для отношений. Такие базы данных называют реляционными и широко используют для сохранения и обработки различной информации: производственной, коммерческой, статической и т.п. Отношения также часто используют в программировании. Такие составляющие структуры данных, как списки, деревья и т.п. обычно используют для описания какого либо множества данных вместе с отношением между элементами этого множества.

		Декартовым произведением множеств Х1 х Х2 х … х ХN, называется множество всех возможных упорядоченных наборов (х1, х2, …, хn) с n элементов (которые называют кортежами длины n), в которых первый элемент принадлежит множеству Х1, второй – множеству Х2, n-й – множеству Хn. Декартовое произведение Х х Х х … х Х, в котором одно и то же множество Х умножается n раз само на себя, называют декартовой степенью множества и обозначают Хn. При этом Х1 = Х. Множество Х2 называют декартовым квадратом множества Х, множество Х3 называют декартовым кубом множества Х.

		Таким образом, если , а , то:

		

		а) 

		б) .

		

		Ответ: 

		

		, .

		

		6.Упростить выражение

		

		

		

		Решение

		

		

		а) упростим левую часть выражения:

		

		

		

		

		б) упростим правую часть выражения:

		

		

		

		

		в) объединив полученный результат, получим:

		

		

		

		

		Ответ: .





1