Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный университет

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра информатики и математики







КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математический анализ»

на тему:

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах











Выполнила: студентка 393 гр.

Жукова И.А.

Проверил: доцент кафедры МиИ

Салтанова Т.В.











Тюмень 2010




Оглавление

	

	Введение

	Основные понятия

	Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) 

	Слабый дифференциал (дифференциал Гато) 

	Формула конечных приращений

	Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

	Дифференцируемые функционалы

	Абстрактные функции

	Интеграл

	Производные высших порядков

	Дифференциалы высших порядков

	Формула Тейлора

	Заключение1

	Список литературы: 






Введение



Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.






Основные понятия



Определение 1. Непустое множество  называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов  однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем



1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)



В  существует такой элемент 0, что для всех 

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа  и любого элемента  определен элемент , причем



5. 

6. 



III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:



7. 

8. 



Определение 2. Линейное пространство  называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:






 



для любого  и любого числа ;



 



для любых  (неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение 



, 



где - это линейные пространства.

Определение 4. Оператор  называется линейным, если для любых элементов  и любых чисел R выполняется равенство:







Определение 5. Пусть  - линейные нормированные пространства,

 – линейный оператор,







Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что 



 следует, что .



Определение 6. Линейный оператор  непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если 



  



Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется 







Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора 



 



Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)



Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке, если существует такой ограниченный линейный оператор Lxж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство






|| F(x + h)-F(x)-Lxh ||<е||h|| (1)



То же самое сокращенно записывают так:



А(ч + р)-А(ч)-Дчр = щ(р)ю(2)



Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение Lxh (представляющее собой, очевидно, при каждом hX элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор Lx называется производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство 



||L1h — L2h|| = o(h) для операторов 

Li ж (X, У), i = 1, 2, 



возможно, лишь если L1= L2.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.



Если F(x) = y0 = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х) 



в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение:






L '(x)=L (3)



Действительно, по определению имеем 



L(x + h)-L(x) = L(h).



3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х0Х, F — отображение этой окрестности в У, у0 = F(x0), V(yo) — окрестность точки у0 У и G — отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке хо, a G дифференцируемо в точке уо, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х0) дифференцируемо в точке хо и



H' (x0)=G' (y0)F' (x0) (4)



Действительно, в силу сделанных предположений



А(ч0 +о) = А(ч0) + Аэ (ч0) о +о1 (о ) и

G (уо + з) = G (уо) + G' (уо) з + о2 (з).



Но F'(x0) и G'(yo) — ограниченные линейные операторы. Поэтому



H (х0 + о) = G (уо + F' (x0) о + о1 о ) = G (уо) + G' (у0) (F' (х0) о + +о1 о)) +

+о2 (F' (x0) о + о1 (о )) = G (у0) + G' (уо) F' (х0) о + о3 (о).



Если F, G и Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть F и G — два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х0, то и отображения F + G и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем



(F + G)'(х0) = F'(х0) + G'(х0) (5)

(aF)'(x0) = aF'(x0).(6)



Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что



(F+G)(x0 + h) = F(x0 + h) + G(x0 + h) = F (х0) + G (х0) + F' (х0) h +

+G' (х0) h + o1 (h) и 

aF (x0 + h) = aF (x0) + aF' (x0) h + o2 (h),



откуда следуют равенства (5) и (6).



Слабый дифференциал (дифференциал Гато)



Пусть снова F есть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке х (при приращении h) называется предел



DF(x,h)=t=0=,



где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F в точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность имеет место, т. е. если






DF (х, h) = F'c (х) h,



где F'c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.



Формула конечных приращений



Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х0, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'c в каждой точке отрезка [х0, x]. Положив Дх = х — хо и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию



f(t) = (F(x0+t Дх)),



определенную при .Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении







можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем



F'(t) =  (F'c(x0+tДx) Дx)






Применив к функции f на отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим



f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x0))= ( F'c(x0+ и Дx) Дx)(7)



Это равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем



|(F(x)-F(x0))| || F'c(x0+ и Дx)|| || Дx|| (8)



Выберем теперь ненулевой функционал  так, что



 (F (х) - F (х0)) = ||||  || F (х) - F (хо) ||



(такой функционал  существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем



||(F (х) - F (x)||  || F'c(x0+ и Дx)||  ||Дx|| (Дx =x-x0) (9)



Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению



х —Ю А (х) — Аэс (хо) Дч



получим следующее неравенство:



||F(x-F(хо)-F'c (хо) Дx ||   || F'c(xo+иДx) -F'c(x0) |||| Дx || (10)




Связь между слабой и сильной дифференцируемостью



Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции



f(x) = f(x1,…,xn)



при n 2 из существования производной







при любом фиксированном h = (f1,...,fn) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных



(11)







Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку







Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h2=h12, то







Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем



А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и





Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:



|| F'c(xo + h)-F'c(xo) || е



Применив к отображению F формулу (10), получим:



|| F(x0 + h)-F (хо) - F'c (хо) h ||  ||F'c(xo + иh)- F'c(xo)||

||h|| е||h||




Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(xо), так и ее совпадение со слабой производной.



Дифференцируемые функционалы



Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F — принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х0 есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||2. Тогда



||x + h||2-||x||2 = 2(x, h) + || h ||2;



величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,



F' (x) = F'c(x) = 2х.



Абстрактные функции



Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.



Интеграл



Пусть F — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в банаховом пространстве У. Если F задана на отрезке [а, b], то можно определить интеграл функции F по отрезку [а,b]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм



,



отвечающих разбиениям



ф = е0Бе1Б ююю Бет = иб олхелбел+1ъб



при условии, что max(tk+1-tk) 0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом







Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.






Производные высших порядков



Пусть F — дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом xX есть элемент из о (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства о (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых из X и любых чисел имеют место равенства:



В (x1 + х2, ) =В (,)+В (х2, ),

В (x1, +) = В (,)+В(x1, );



2. существует такое положительное число М, что



||В(х, х') || M||x||||x’|| (17)



при всех х, х' X.

Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х2, У). При полноте У полно и В(Х2, У).

Каждому элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х2, У), положив



В(х, х') = (Ах)х'.(18)



Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство B(X2,Y). Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то



||y||||Ax||||x’||||A||||x||||x’||,



откуда



||B||||A||(19)



С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном xXотображение 



х'→ (Ах)х' = В(х, х')



есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому xX ставится в соответствие элемент Ах пространства о(X, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и



||Ах||=  ||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,



Откуда



||A||||B||(20)



Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X2,Y) и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х2, У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространства В(Х2, Y).

Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F, действующего из X в Y, определив п-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Хп, У) n-линейных отображений X в У.

При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x', х", ..., x(n)) между упорядоченными системами (х', х", .. . , x(n)) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хi при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию



|| N (x', х", ..., x(n)) ||М || х' || • || х" || ... || x(n) ||.



Таким образом, п-ю производную отображения F можно считать, элементом пространства N(Xn, У).



Дифференциалы высших порядков



Мы определили (сильный) дифференциал отображения F как результат применения к элементу hХ линейного оператора F'(x), т. е.



dF = F'(x)h 



Дифференциал второго порядка определяется как



d2F = F" (х) (h, h), 



т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению 



F''(х)  В(X2, У)



Аналогично дифференциалом п-го порядка называется 



dnF=F(n)(x)(h, h,   h), 



т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h)  переводится отображением F(n)(x).






Формула Тейлора



Сильная дифференцируемость отображения F означает, что разность 



F(x+h)—F(x) 



может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F — отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области ОX и такое, что F(n)(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство



f(x + h)-F(x) = F'(x)h + F"(x)(h, h)+ ...

... +F(n)(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)



где 







Доказательство будем вести по индукции. При n = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой n на n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n заменено на п-1. Тогда для отображения F' имеем



F'(x + h) = F'(x) + F"(x)h + F"'(x)(h,h) + ...

… +  F(n)(x)(h,…,h) + щ1 (х, h), (22)



где 



||щ1 (х, h)|| = o(||h||n-1)



Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим





, (21)



Где



.



из (23) получаем 



А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р + АЭ(ч)(рбр)+ ююю

…+F(n)(x)(h,…,h) + Rn, причем

||Rn||



Тем самым наше утверждение доказано.

Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.




Заключение



В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.

Некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах. 

К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.






Список литературы:



	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.

	Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. – 118стр.

	Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. – 424стр.