Математические уравнения и функции

Варивант №2



Задание 1 



Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:

Длину стороны АВ;

Внутренний угол А с точностью до градуса;

Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

Точку пересечения высот;

Уравнение медианы, опущенной из вершины С;

Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;

Сделать чертеж;

Решение:

Найдем координаты вектора АВ:







Длина стороны АВ равна:







Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)







Тогда 

Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:







Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:



Координаты основания медианы будут:



;



Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М









Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0

Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору 






Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:





х=11 у=23



Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .









Теперь воспользовавшись формулой







Подставляя в нее координаты точки С(0,3)






Задание 2 



Даны векторы  Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.







Решение: 

Докажем, что подсистема линейно независима:









Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.

Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .

Очевидно, 






Найдем представление  через .









Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три







Получили , что данная система векторов не может называться базисом!



Задание 3



Найти производные функций:








Задание 4. 



Исследовать функцию и построить ее график






Область определения: 

, то есть 

2. Кривая  имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как 







Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.

Функция общего вида, так как  и 

Функция периодичностью не обладает

Находим производную функции 







Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.

Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы



х





1



5



y’

-

-

0

+

0

-

y

убывает

убывыает

0

min

возрастает

0,074

убывает



Находим вторую производную функции 





Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11

Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.



х





0.22



6.11



y”

-

+

0

+

0

-

y

выпукла

вогнута

0,335

перегиб

вогнута

0,072

выпукла



Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу

 получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)

При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166

Строим график в соответствии с результатами исследований:






Задание 5



Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.



а) ; б) ; в) ; г) 



Решение:

а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:







Проверка:







б) сделаем подстановку 







Проверка:








в) Воспользуемся способом интегрирования по частям







Проверка:







г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей












Проверка:







Задание 6



Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: 







Решение:

находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:

приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение

корни этого квадратного уравнения 

следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем: 

т.к получаем: