Доказательство великой теоремы Ферма

Автор инженер-механик

Козий Николай Михайлович



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА



Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:



Аn + Вn = Сn, (1)



где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:



Аn = Сn - Вn (2)



Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).

ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:



Nn = U2 – V2 (3)



Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn и неизвестными переменными U и V. Уравнение (3) запишем следующим образом:



Nn = U2 – V2 = (U-V)∙(U+V) (4)

Пусть: U – V=M (5)

Тогда: U = V + M (6)



Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:



Nn=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M2 (7)



Из уравнения (7) имеем:



Nn - M2=2V∙M (8)

Отсюда: V = (9)



Из уравнений (6) и (9) имеем: 



U = (10)



Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является одинаковая четность чисел Nn и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа U и V были целыми, является делимость числа Nn на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn. Следовательно, должно быть:



Nn =D·M (11)



где D - натуральное простое или составное число.

С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа U и V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).

Отсюда следует:

Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.

Следствие 2-е: Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:







Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:







Доказательство теоремы Ферма

С учетом доказанной леммы можно записать:



Nn = Аn = U2 – V2 (12)



Допустим, что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:



Nn = D·M =Аn = Сn - Вn = U2 – V2 (13)

Вn = V2 (14)

Cn = U2 = (15)

В (16)

C (17)



В соответствии с формулами (13) и (14) число Вn равно:



Вn =  (18)



Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:



Cn =  (19)



Из уравнений (18) и (19) имеем:



В (20)

C (21)



Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.