Теорема Штольца

Теорема Штольца



Содержание работы:



		Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

		Применение теоремы Штольца:

	;

	нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;

	;

	.

		Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

		Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.



Для определения пределов неопределенных выражений  типа  часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и  возрастает:  . Тогда   =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному  найдется такой номер N, что для n>N будет



или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество: 

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.



Примеры:

Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению 



(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.



		При а>1

	

	Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

	



		Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта



(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца 

Xn=a1+a2+…+an, yn=n,

Имеем:



Например, если мы знаем, что , 

то и      



		Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,

будем иметь

.

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,

так что 

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…

и

    .



Определим предел варианты

   ,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но  ,

а   ,

так что, окончательно,

.



Пример 1.

====== ===.



Пример 2.

=

	==

	==

	==

	==

	==

	=.

	

	

	Пример 3.

	

	=

	=.

	

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.



	Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.



Тогда          ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

	Доказательство:

	Допустим, что этот предел равен конечному числу k

	.

	Тогда, по определению предела 

	

	или

	.

Значит, какой бы  ни взять, все дроби 

, , …, 

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при 

	.

	Напишем тождество(которое легко проверить):

	,

	Откуда

	.

Второе слагаемое справа при  становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.



Примеры:



Найти следующие пределы:

		 очевидна неопределенность 

===2



		 неопределенность 

====0



		 неопределенность 

===





Литература:



“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.