Вычисление наибольшей прибыли предприятия

Содержание



	Задача 1	2

	Задача 2	4

	Задача 3	6




Задача 1



Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль? 



Решение



Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:



,

,

.



Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .







 - не удовлетворяет условию задачи,

.




График функции прибыли представлен на рисунке 1.





Рисунок 1 - График функции прибыли 



Как видно из рисунка 1, функция прибыли  в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:



 млн. у.е.



Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.


Задача 2



Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 – объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль? 



Решение



Задача сводится к поиску максимума функции  при существовании ограничения :





при .

,

.



Найдем максимум функции графически.




Рисунок 2 – График функции 



Как видно, функция достигает максимального значения при х1=90.



,

.



Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90 и х2=60.


Задача 3



Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).



Таблица 1 – Исходные данные



х

у

1

5

70

2

11

65

3

15

55

4

17

60

5

2

50

6

22

35

7

25

40

8

27

30

9

30

25

10

35

32



Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1.

Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1.

Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X.

Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.



Решение.

Корреляционное поле случайных величин X и Y





Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации



Таблица 2 – Вспомогательные расчеты



х

у

х2

y2

xy

1

5

70

25

4900

350

2

11

65

121

4225

715

3

15

55

225

3025

825

4

17

60

289

3600

1020

5

2

50

4

2500

100

6

22

35

484

1225

770

7

25

40

625

1600

1000

8

27

30

729

900

810

9

30

25

900

625

750

10

35

32

1225

1024

1120

сумма

189

462

4627

23624

7460

средн

18,9

46,2

462,7

2362,4

746



Математическое ожидание:



,

.



Дисперсия:



,

.



Среднеквадратическое отклонение:



,

.



Размах вариации:



,

.



Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции


Ковариация:



.



Коэффициент корреляции:



.



Уравнение линейной регрессии Y на X



,

,

.



Уравнение линейной регрессии X на Y



,

,

.



Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии




Точка пересечения (18,4;46,9).



Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1



Таблица 3 – Вспомогательные расчеты



х

у

x'

y'

x-xcp

y-ycp

(x-xcp)2

(y-ycp)2

1

5

70

5,572

62,975

-13,028

16,775

169,7288

281,4006

2

11

65

8,3645

55,745

-10,2355

9,545

104,7655

91,10702

3

15

55

13,9495

50,925

-4,6505

4,725

21,62715

22,32562

4

17

60

11,157

48,515

-7,443

2,315

55,39825

5,359225

5

2

50

16,742

66,59

-1,858

20,39

3,452164

415,7521

6

22

35

25,1195

42,49

6,5195

-3,71

42,50388

13,7641

7

25

40

22,327

38,875

3,727

-7,325

13,89053

53,65563

8

27

30

27,912

36,465

9,312

-9,735

86,71334

94,77023

9

30

25

30,7045

32,85

12,1045

-13,35

146,5189

178,2225

10

35

32

26,795

26,825

8,195

-19,375

67,15803

375,3906

сумма

189

462

188,643

462,255

2,643

0,255

711,7565

1531,748

средн

18,9

46,2

18,8643

46,2255

0,2643

0,0255

71,17565

153,1748




Для линии регрессии Y на X:



,

,

.



Для линии регрессии X на Y:



,

,

.



Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1

Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31

Для линии регрессии Y на X:



, коэффициент значим,

, коэффициент значим.




Для линии регрессии X на Y:



, коэффициент значим,

, коэффициент значим.



Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X

Доверительный интервал для b0:



<a0<,

<a0<,

54,97<a0<83,03.



Доверительный интервал для b1:



<a1<,

<a1<,

-1,23<a1<-1,17.



Коэффициент детерминации R2 :



.




Коэффициент детерминации R2=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.







1