Функция и ее свойства

Русская гимназия























КОНСПЕКТ



на тему:



Функция

		

		

		

		

		

		Выполнил

		ученик 10“Ф” класса	Бурмистров Сергей

	

		Руководитель

		учитель Математики

		Юлина О.А.

	

	

	

	

	

	

	

	

		Нижний Новгород

		1997 год


Функция и её свойства



Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)



Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

 

Виды функций и их свойства



Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат                                                                                                                                      

Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

Область определения функции- множество всех действительных чисел

y=kx - нечетная функция

При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой



3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

Область определения- множество всех действительных чисел

Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.



4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

y=k/x- нечетная функция

Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

	Свойства функции y=x2:

Область определения- вся числовая прямая

y=x2 - четная функция

На промежутке [0;+) функция возрастает

На промежутке (-;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.



6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

Область определения- вся числовая прямая

y=x3 -нечетная функция

Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола



7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

  	 Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

	  Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

		Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

		Пусть n- четное число, например n=2. 

Свойства функции y=x-2:

Функция определена при всех x0

y=x-2 - четная функция

Функция убывает на (0;+) и возрастает на (-;0).

	Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.



9)Функция y=х

	Свойства функции y=х:

Область определения - луч [0;+).

Функция y=х - общего вида

Функция возрастает на луче [0;+).



10)Функция y=3х

Свойства функции y=3х:

Область определения- вся числовая прямая

Функция y=3х нечетна.

Функция возрастает на всей числовой прямой.

 

11)Функция y=nх

	При четном n  функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=nх обладает теми же свойствами, что и функция y=3х.







12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

Область определения- луч [0;+).

Функция общего вида

Функция возрастает на [0;+).

На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.

	На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1



13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

Обл. определения -промежуток (0;+)

Функция общего вида

Функция убывает на (0;+)



14)Обратная функция

	Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

		Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

		Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция. 

		Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.