Исследование взаимосвязей показателей финансовых рынков

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ:























В таблице представлены среднемесячные данные за 2002 - 2004 гг:































Годы

Месяцы

Курс $

Процентные ставки

Сальдо ТБ

Прирост ЗВР

ИПЦ









 

 

Y

X1

X2

X3

Х4









2002

1

30,47272

10,1

3850

284

103,1









 

2

30,8057

10

3504

-214

101,2









 

3

31,06427

10,7

4722

452

101,1









 

4

31,17359

10,7

5390

435

101,2









 

5

31,25488

11,1

4814

1860

101,7









 

6

31,40493

11,1

4265

3072

100,5









 

7

31,51499

12

4883

1352

100,7









 

8

31,55431

10,3

5863

-285

100,1









 

9

31,62666

10,5

5603

1033

100,4









 

10

31,69333

12,4

5151

1292

101,1









 

11

31,81074

12,8

4644

1148

101,6









 

12

31,83684

12

5797

1438

101,5









2003

13

31,81617

12,1

5847

-412

102,4









 

14

31,69898

11,9

5636

1481

101,6









 

15

31,45329

11,2

6671

3787

101,1









 

16

31,21179

10,9

5137

2464

101









 

17

30,90706

10,8

5614

4322

100,8









 

18

30,46863

11

6261

5035

100,8









 

19

30,36029

11,1

6087

-452

100,7









 

20

30,34903

10,6

6948

24

99,6









 

21

30,59863

9,8

6378

-1702

100,3









 

22

30,16471

10,4

7010

-679

101









 

23

29,80797

10,4

6158

2855

101









 

24

29,4337

11

7192

3241

101,1









2004

25

28,8388

10

6894

8769

101,8









 

26

28,51467

9,4

6880

7052

101









 

27

28,52926

9,2

7412

2328

100,8









 

28

28,68563

9

8742

-2920

101









 

29

28,98922

9,2

7956

-734

100,7









 

30

29,02972

8,8

8762

2948

100,8









 

31

29,08193

9

8950

2614

100,9









 

32

29,21929

9,2

10253

384

100,4









 

33

29,22208

9,5

9767

92

100,4









 

34

29,0703

9,5

10223

6380

101,1









 

35

28,59119

9,6

10393

12256

101,1









 

36

27,90403

9,6

10467

10096

101,1































Задание:





















1.Проанализировать связи между данными пятью показателями по следующей схеме:





   а) оценить тесноту и напрвление связи для каждой пары величин









   б) выделить мультиколлениарные факторы













   в) выбрать два ведущих фактора для показателя "Курс доллара"









2. Построить линейную модель регрессии с ведущими факторами, пояснить экономический смысл 



    ее параметров



















3. Оценит качественные характеристики по следующей схеме:









   а) проверить статистическую значимость уравнения и его параметров







   б) проверить предпосылки МНК, определив математическое ожидание остатков и исследовав их на



гомоскедастичность



















   в) оценить уровень точности модели на основе средней относительной ошибки







   г) оценить какая доля вариации показателя "Курс доллара" учтена в построенной модели и 



обусловлена включенными в нее факторами













4.Выполнить прогноз показптеля "Курс доллара" на январь, февраль, март 2005г, определив ошибку



   прогнозирования с доверительной вероятностью 95%.











Сравнить полученные результаты с фактическими данными за 2005:









   январь - 28,009



















   февраль - 27,995



















   март - 27,626

























































































































































































РЕШЕНИЕ:





















1. Проанализируем связь между показателями:





























   а) Оценим тесноту и напрвление связи для каждой пары величин.





Тесноту и направление связи оценим по коэффициенту парной корреляции.





Строим матрицу парных коэффициентов корреляции:































 

Y

X1

X2

X3

Х4









Y

1

 

 

 

 









X1

0,829

1

 

 

 









X2

-0,791

-0,656

1

 

 









X3

-0,443

-0,163

0,389

1

 









Х4

0,137

0,277

-0,292

0,120

1









Проанализируем связь между зависимой переменной Y и факторами:







r(Y;X1) =

0,829

 - связь очень тесная и прямая, с увеличением фактора X1, зависимая





 переменная Y увеличивается.









r(Y;X2) =

-0,791

 - связь тесная и обратная, с увеличением фактора X2, зависимая переменная





Y уменьшается.













r(Y;X3) =

-0,443

 - связь между зависимой переменной Y и фактором X3 слабая и обратная.

r(Y;X4) =

0,137

 - связи между результатом Y и фактором X4 практически нет.





ВЫВОД: Фактор x4 практически не оказывает влияния на зивисимую переменную Y, значит его следует исключить из модели.

Проанализируем связь между факторами:

r(X1;X2) = 

-0,656

- связь между факторами X1 и X2 тесная и обратная.

r(X1;X3) = 

-0,163

 - связь между факторами X1 и X3 практически отсутствует.

r(X1;X4) = 

0,277

 - связь между факторами X1 и X4 очень слабая и прямая.

r(X2;X3) = 

0,389

 - связь между факторами X2 и X3 слабая и прямая.

r(X2;X4) = 

-0,292

 - связь между факторами X2 и X4 очень слабая и обратная.

r(X3;X4) =

0,120

 - связи между факторами X3 и X4 практически нет.

ВЫВОД: Факторы x1 и x2 приближены к линейно зависимым, поэтому вместе в модель их включать не следует.

Для проверки значимости коэффициентов применяем критерий Стьюдента:

r

tr



Найдем расчетное значение t - критерия Стьюдента:

0,829

8,63

значим











-0,791

-7,55

значим







-0,443

-2,88

значим

t (

2,032



0,137

0,81

не значим







-0,656

-5,07

значим







-0,163

-0,96

не значим



Если tрасч. > tтабл.,то коэффициент парной 

0,277

1,68

не значим



корреляции значим.

0,389

2,47

значим







-0,292

-1,78

не значим







0,120

0,70

не значим











   в) Выбрать два ведущих фактора для показателя "Курс доллара"

r(Y;X1) =

0,829

r(Y;X2) =

-0,791



Т.к. зависимая переменная Y теснее связана с фактором X1, значит фактор X2 из модели исключаем.

Результаты исследования показали, что в модель следует включить факторы X1 и X3.

Переобозначим фактор X3 как фактор X2, тогда уравнение регрессии имеет вид:

Y (x1,x2) = a0 + a1*x1 + a2*x2 - уравнение множественной регрессии.

2. Строим линейную модель регрессии:



Y

X1

X2

Yрасч.

Ex

E^2

(E-Eср)^2

(Et - Et-1)^2

E/Y

(Y-Yср)^2

30,472715

10,1

284

30,14

0,33

0,11

0,104

-

0,011

0,02983

30,8057

10

-214

30,10

0,70

0,50

0,482

0,139

0,023

0,255732

31,0642667

10,7

452

30,66

0,41

0,17

0,157

0,089

0,013

0,584104

31,1735864

10,7

435

30,66

0,51

0,26

0,254

0,012

0,016

0,763153

31,2548842

11,1

1860

30,87

0,38

0,15

0,138

0,017

0,012

0,911804

31,40493

11,1

3072

30,75

0,65

0,43

0,414

0,074

0,021

1,22087

31,5149864

12

1352

31,72

-0,21

0,04

0,048

0,745

0,007

1,476192

31,5543087

10,3

-285

30,38

1,18

1,39

1,366

1,928

0,037

1,57329

31,626655

10,5

1033

30,42

1,20

1,45

1,428

0,001

0,038

1,760013

31,6933261

12,4

1292

32,09

-0,39

0,15

0,163

2,555

0,012

1,941358

31,8107429

12,8

1148

32,46

-0,65

0,42

0,431

0,064

0,020

2,282344

31,83684

12

1438

31,72

0,12

0,01

0,012

0,588

0,004

2,361877

31,816165

12,1

-412

31,99

-0,17

0,03

0,034

0,087

0,005

2,298756

31,6989789

11,9

1481

31,62

0,08

0,01

0,004

0,063

0,002

1,957142

31,45329

11,2

3787

30,77

0,68

0,47

0,454

0,370

0,022

1,330078

31,2117864

10,9

2464

30,63

0,58

0,33

0,322

0,011

0,018

0,831354

30,907055

10,8

4322

30,36

0,55

0,30

0,289

0,001

0,018

0,368516

30,4686263

11

5035

30,47

0,00

0,00

0,000

0,297

0,000

0,028435

30,360287

11,1

-452

31,10

-0,74

0,55

0,568

0,557

0,025

0,003635

30,3490273

10,6

24

30,61

-0,26

0,07

0,074

0,232

0,009

0,002404

30,5986333

9,8

-1702

30,07

0,53

0,28

0,267

0,623

0,017

0,089182

30,164713

10,4

-679

30,50

-0,34

0,12

0,122

0,749

0,011

0,018303

29,807965

10,4

2855

30,15

-0,34

0,12

0,124

0,000

0,011

0,242098

29,4337

11

3241

30,65

-1,21

1,47

1,494

0,756

0,041

0,750476

28,838795

10

8769

29,20

-0,36

0,13

0,140

0,719

0,013

2,13512

28,5146737

9,4

7052

28,84

-0,33

0,11

0,113

0,001

0,011

3,18739

28,5292619

9,2

2328

29,14

-0,61

0,37

0,379

0,078

0,021

3,135513

28,6856318

9

-2920

29,48

-0,80

0,63

0,650

0,036

0,028

2,606185

28,9892167

9,2

-734

29,44

-0,45

0,20

0,214

0,118

0,016

1,718153

29,0297238

8,8

2948

28,72

0,31

0,10

0,092

0,585

0,011

1,613602

29,0819261

9

2614

28,93

0,15

0,02

0,021

0,025

0,005

1,483704

29,2192857

9,2

384

29,33

-0,11

0,01

0,014

0,070

0,004

1,167943

29,2220818

9,5

92

29,63

-0,40

0,16

0,171

0,086

0,014

1,161908

29,0703

9,5

6380

29,00

0,07

0,01

0,004

0,228

0,003

1,512162

28,591185

9,6

12256

28,50

0,09

0,01

0,007

0,000

0,003

2,920049

27,9040273

9,6

10096

28,71

-0,81

0,66

0,673

0,816

0,029

5,740685

1090,15928

376,9

81096

1089,81

0,35

11,23

11,227

12,72

0,552

51,46

30,3

 

 

 

0,01

 

 

 

 

 





ВЫВОД ИТОГОВ



















Регрессионная статистика

 







Множественный R

0,885







R-квадрат

0,784







Нормированный R-квадрат

0,771







Стандартная ошибка

0,580







Наблюдения

36

















Дисперсионный анализ









 

df

SS

MS

F

Регрессия

2

40,33

20,17

59,86

Остаток

33

11,12

0,34

 

Итого

35

51,45

 

 



 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-п. (а0)

21,1762

1,0069

21,0320

19,1277

23,2247

X1 (а1)

0,8949

0,0944

9,4749

0,7027

1,0870

X2 (а2)

-0,0001

0,0000

-3,8556

-0,0002

-0,0001



Yрасч. = 21,18 + 0,89*x1 - 0,0001*x2 - двуфактрная линейная модель регрессии.



а1 = 0,89 - если процентные ставки увеличить на единицу измерения, то курс доллара увеличится на 0,89 единиц.



а2 = -0,0001 - если прирост ЗВР увеличить на единицу измерения, то курс доллара снизится на 0,0001 единиц.



3. Оценим качественные характеристики по следующей схеме:

   а) Проверим статистическую значимость уравнения и его параметров:



Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитаем критерий Фишера.





































=

59,86

>



F (0,05;2;33) =

3,285















































n-k-1=36-2-1 =33



Fрасч. > Fтабл. - 

значит уравнение регрессии статистически значимо, т.е. адекватно.

	

Проверка значимости параметров уравнения осуществляется по крит. Стьюдента:



Расчетные значения критерия Стьюдента для всех параметров возьмем из таллицы:





t (a0) =

21,03

>

2,03



















t (a1) =

9,47

>

2,03



t (n-m-1) = t (0,05;33) =

2,03









t (a2) = 

-3,86

>

2,03

















ВЫВОД: Все коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. значимо отличаются от нуля



с ошибкой в 5%.





























Интервальные оценки параметров:



а0 = (19,13 : 23,22) - параметр значим.



а1 = (0,7 : 1,09) - параметр значим.



а2 = (-0,0002 : -0,0001) - параметр значим.





   б) Проверим выполнение предпосылок МНК:



1) Равенство нулю математического ожидания:















































=

0,57



=

0,1

<

t (0,05;35) = 

2,03























ВЫВОД: Математическое ожидание стремитсям к нулю, свойство выполнено.

2) Случайность значений остатков (критерий поворотных точек или крит. пиков):





























m = 19 -

число поворотных точек



















































   '='     [

17,7

]       =

17



































m > 17  условие выполняется, значит колебания остаточной компоненты являются случайными.

ВЫВОД: Свойство выполнено.



График остатков

	

	











3) Отсутствие автокорреляции в ряду остатков или независимость значений остатков (критерий Дарбина-Уотсона):



=

1,13



Критические границы:

d1 = 1,29













d2 = 1,45



		

	

d расч. < d1 - остатки содержат автокорреляцию.

ВЫВОД: Свойство не выполнено.

	

4) Нормальный закон распределения остатков (R/S критерий):

Расчитаем среднеквадратическое отклонение:

	

=

0,57





Критические границы:









(3,58 : 5,04)

		

	



		= 4,27

	

3,58 < 4,27 < 5,04 - расчитанное значение R/S-критерия попадает в границы.

ВЫВОД: Свойство выполнено, остатки подчиняются нормальному закону распределения.

5) Гомоскедостичность остатков:

Ранжируем ряд в порядке возрастания фактора X1:

	

Y

X1

X2





Y

X1

X2

30,472715

10,1

284





29,0297238

8,8

2948

30,8057

10

-214





28,6856318

9

-2920

31,0642667

10,7

452





29,0819261

9

2614

31,1735864

10,7

435





28,5292619

9,2

2328

31,2548842

11,1

1860





28,9892167

9,2

-734

31,40493

11,1

3072





29,2192857

9,2

384

31,5149864

12

1352





28,5146737

9,4

7052

31,5543087

10,3

-285





29,2220818

9,5

92

31,626655

10,5

1033





29,0703

9,5

6380

31,6933261

12,4

1292





28,591185

9,6

12256

31,8107429

12,8

1148





27,9040273

9,6

10096

31,83684

12

1438





30,5986333

9,8

-1702

31,816165

12,1

-412





30,8057

10

-214

31,6989789

11,9

1481





28,838795

10

8769

31,45329

11,2

3787





30,472715

10,1

284

31,2117864

10,9

2464





31,5543087

10,3

-285

30,907055

10,8

4322





30,164713

10,4

-679

30,4686263

11

5035



ранжируем



29,807965

10,4

2855

30,360287

11,1

-452





31,626655

10,5

1033

30,3490273

10,6

24





30,3490273

10,6

24

30,5986333

9,8

-1702





31,0642667

10,7

452

30,164713

10,4

-679





31,1735864

10,7

435

29,807965

10,4

2855





30,907055

10,8

4322

29,4337

11

3241





31,2117864

10,9

2464

28,838795

10

8769





30,4686263

11

5035

28,5146737

9,4

7052





29,4337

11

3241

28,5292619

9,2

2328





31,2548842

11,1

1860

28,6856318

9

-2920





31,40493

11,1

3072

28,9892167

9,2

-734





30,360287

11,1

-452

29,0297238

8,8

2948





31,45329

11,2

3787

29,0819261

9

2614





31,6989789

11,9

1481

29,2192857

9,2

384





31,5149864

12

1352

29,2220818

9,5

92





31,83684

12

1438

29,0703

9,5

6380





31,816165

12,1

-412

28,591185

9,6

12256





31,6933261

12,4

1292

27,9040273

9,6

10096





31,8107429

12,8

1148



Ранжированный ряд делим на две группы и находим для каждой уравнение регрессии:

	Первая группа

Y

X1

X2

29,0297238

8,8

2948

28,6856318

9

-2920

29,0819261

9

2614

28,5292619

9,2

2328

28,9892167

9,2

-734

29,2192857

9,2

384

28,5146737

9,4

7052

29,2220818

9,5

92

29,0703

9,5

6380

28,591185

9,6

12256

27,9040273

9,6

10096

30,5986333

9,8

-1702

30,8057

10

-214

28,838795

10

8769

30,472715

10,1

284

31,5543087

10,3

-285

30,164713

10,4

-679

29,807965

10,4

2855

	

ВЫВОД ИТОГОВ

	

Регрессионная статистика

 

Множественный R

0,858

R-квадрат

0,735

Нормированный R-квадрат

0,700

Стандартная ошибка

0,528

Наблюдения

18

	

Дисперсионный анализ









 

df

SS

MS

F

Регрессия

2

11,62

5,81

20,85

Остаток

15

4,18

0,28

 

Итого

17

15,79

 

 

	

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение

18,0795

2,4594

7,3511

12,8374

23,3216

X1

1,2129

0,2552

4,7520

0,6689

1,7570

X2

-0,0001

0,0000

-4,2681

-0,0002

-0,0001

	

Получаем первое уравнение регрессии: Yрасч.(X) = 18,08 + 1,21*x1 - 0,0001*x2

Определим для него остаточную сумму квадратов отклонений:



S1 yрасч. =

4,18

	

	Вторая группа

Y

X1

X2

31,626655

10,5

1033

30,3490273

10,6

24

31,0642667

10,7

452

31,1735864

10,7

435

30,907055

10,8

4322

31,2117864

10,9

2464

30,4686263

11

5035

29,4337

11

3241

31,2548842

11,1

1860

31,40493

11,1

3072

30,360287

11,1

-452

31,45329

11,2

3787

31,6989789

11,9

1481

31,5149864

12

1352

31,83684

12

1438

31,816165

12,1

-412

31,6933261

12,4

1292

31,8107429

12,8

1148

ВЫВОД ИТОГОВ





















Регрессионная статистика

 









Множественный R

0,577









R-квадрат

0,333









Нормированный R-квадрат

0,244









Стандартная ошибка

0,567









Наблюдения

18





















Дисперсионный анализ









 

df

SS

MS

F



Регрессия

2

2,399

1,200

3,737



Остаток

15

4,816

0,321

 



Итого

17

7,215

 

 















 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение

25,4945

2,3486

10,8554

20,4887

30,5004

X1

0,5096

0,2040

2,4976

0,0747

0,9444

X2

-0,0001

0,0001

-0,6220

-0,0002

0,0001

	

Получаем второе уравнение регрессии: Yрасч.(X) = 25,5 + 0,51*x1 - 0,0001*x2

Определим для него остаточную сумму квадратов отклонений:



S2 yрасч. =

4,82

	

Вычислим расчетный критерий Фишера:

F расч. =

1,152

<

F (0,05;16;16) =

2,333

	

ВЫВОД: Т.к. расчетный критерий Фишера меньше табличного, значит гетероскидостичность отсутствует, остатки имеют постоянную дисперсию.

Свойство выполнено.

ВЫВОД: Т.к. рядом остатков выполняются почти все свойства, модель можно считать вполне адекватной.

   в) Оценим точность модели:

Расчитаем среднеквадратическое отклонение:

	

=

0,580

(из регрессионной статистики)

		

	

Расчитаем среднюю относительную ошибку апроксимации:





































=

1,53

%

<

7%















ВЫВОД: Модель точная.











   г) Расчитаем коэффициент детерминации:



































=

0,782

 = 78,2%













ВЫВОД: 78,2% изменения курса доллара происходит под влиянием факторов, включенных в модель.

	

4. Прогнозирование на 3 месяца вперед:



Yпрогн. = 21,18 + 0,89*x1(прогн.) - 0,0001*x2(прогн.)







k

x1(прогн)



k

x2(прогн)







1

9,59



1

10376,3

=

-0,01



2

9,57



2

10656,7

=

280,3



3

9,56



3

10937,0

	

		

	

Расчитаем прогнозное значение результата Y:



Yпрогн.(37) = 21,18 + 0,89*9,59 - 0,0001*10376,3 = 28,54

Yпрогн.(38) = 21,18 + 0,89*9,57 - 0,0001*10656,7 = 28,50

Yпрогн.(39) = 21,18 + 0,89*9,59 - 0,0001*10376,3 = 28,45



В результате получим курс доллара на 3 месяца:

Месяц

Данные



расчетн.

фактич.

январь

28,54

28,01

февраль

28,50

28,00

март

28,45

27,63



ВЫВОД: Как видно из таблицы прогнозные значения курса доллара, расчитанные по формуле, превышают значения фактических данных, но тенденция курса доллара к снижению сохраняется.