Дії з векторами

1.4. Дії з векторами.

Означення 5. Сумою двох векторів  та  називають вектор , який сполучає початок вектора  з кінцем вектора  при умові, що початок вектора  вміщено в кінець вектора .

  Наприклад, задані вектори  та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів  перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора  та сполучили початок вектора  з кінцем вектора  (Мал. 6b).













          а)                                                 b)   













Мал.6

Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів. 

Зауваження. Різницю двох векторів  та  будують як суму вектора  та вектора (-).





-



-

Наприклад,   













Мал.7

Означення 6. Добутком вектора  на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж  та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.

Означення 7.  Скалярним добутком векторів  та  називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута  між ними. Скалярний добуток векторів  та  позначають   , або (,).



Отже, згідно з означенням:

   = 

                  (1) 

Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.

 Правило множення вектора на число.

Щоб помноживши вектор  на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k =     

 Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.

 Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.

Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:

, ,  

їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою

= 

 Знаходження скалярного добутку векторів  та  

Згідно з правилом множення матриць одержимо:

   = 

(2)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.

Якщо  = , тоді кут між ними  дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .

Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2) 



(3)

Із формули (1) маємо:



(4)

Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами  та  у вигляді:



(5)

Якщо   , тоді і одержимо    = 0                         (6)



Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах  = (2,1,0) та  = (0,-2,1).



А 

В 

D 

C 



 Розв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах  та  (дивись Мал.8.)















Мал.8

Позначимо цей паралелограм АВСD (  та  - довільні);



Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах  та  (довільні) будуть вектори  та  Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів  та ;

= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)

= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)

Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :



З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.