Математический анализ 2

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят дифференциальное и интегральное исчисление; теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов; векторный анализ.

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.

Программа курса анализа, читаемого в университетах РФ, примерно соответствует программе англо-американского курса «Calculus» 

Исторический очерк

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.[2]

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…»[3]. Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением

.

Лейбниц и его ученики

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник[4], излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M — подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x влечёт изменение y. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d.[5] … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом.[6]



Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой. Отсюда получается x + dx = x, далее



dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx



и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.[8]

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.[9] Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.[10]

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x2, тогда в силу первого требования

2xdx + dx2 = 2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0.[11]. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx[10].

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла[12]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.



Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница[13], однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция — это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение.[14]

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.[15]

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением».[16] Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа [17]. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты [18].

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

а отсюда

Полагая  и z = nx, он получает

,отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

.Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне).[19] В XIX веке с подачи Казорати[20] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона — формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди.[21]

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ-функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).



Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций[22] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа[23] в несколько эклектической манере. Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остаётся назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), то есть и т. д.[24]

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.[25]

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.[26] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм[27] доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение



Дальнешее развитие



В XVIII веке были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции. На фундаменте анализа возникла математическая физика, аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел.

В XIX веке Коши первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел. В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.



Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)»j(х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

Какие узлы мы будем использовать?

Какой класс приближающих функций мы будем использовать?

Какой критерий согласия мы применим?

Какую точность мы хотим?

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos aix, sin aix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e-az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.



Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.

Интерполяция многочленами

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функція является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=xj и 0, когда x=xi, i¹j. Многочлен Lj(x)×yj принимает значения yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что  есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi).

Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x):



P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+



(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn);



    — разделённая разность 1-го порядка;



    — разделённая разность 2-го порядка и т.д.



Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x)



Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения.

Сплайн-аппроксимация

Другой метод аппроксимации — сплайн-аппроксимация — отличается от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [xi, xi+1] в отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени. В настоящее время применяют кубический сплайн, то есть на каждом локальном интервале функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудности такой аппроксимации связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохо аппроксимируется с большой первой производной. Сплайновая интерполяция напоминает лагранжевую тем, что требует только значения в узлах, но не её производных.

Метод наименьших квадратов

Предположим, что требуется заменить некоторую величину и делается n измерений, результаты которых равны xi=x+ei (i=1, 2, …, n), где ei — это ошибки (или шум) измерений, а х — истинное значение.Один из наиболее общих случаев применения этого метода состоит в том, что имеющиеся n наблюдений (xi, yi) (i=1, 2, …, n) требуется приблизить многочленом степени m



В научном исследовании Экспериме́нт (от лат. experimentum — проба, опыт) — метод исследования причинных связей среди переменных значений объектов. Эксперимент - краеугольный камень эмпирического подхода в приобретении данных о мире и используется как в естественных науках, а также и в общественных. Спланированный эксперимент может также использоваться как подготовительное средство для решения практических проблем, помогает поддерОсновная масса людей в науке, технике, медицине и др. областях в положении учёного, инжененра, и, вообще, человека испытателя могут поставить эксперимент или проверить результат при использовании разных методов эксперимента: например, научного, чисто практического и т.д. Шаги — делают наблюдение, задают вопрос, формируют гипотезу, проверяют гипотезу, анализируют результаты, делают вывод, и результаты comunicate. Причина одна: вы проверяете гипотезу, так вы можете доказать ваше право в 100 % вопроса или определить недостоверность, неправоту. В конечном итоге полученный любой результат одинаково полезен. 

Наиболее широко используются управляемые эксперименты в области социального эксперимента. Он звключается в целенаправленных изменениях сложившейся обстаовки с целью, например, повышения производительности труда. Для проведения эксперимента выбирается трудовой коллектив, у которого сложилась определённая система труда, а также определённые трудовые отношения. 

Cоциальный эксперимент представляет метод, при котором возможно получить инфрмацию количественных и качественных показателей трудовой деятельности управляемого социального объекта при помощи вводимых экспериментатором или используемых видоизменяемых существующих и контролируемых им новых компонентов. 

Чтобы демонстрировать причину и гипотезу эффекта, эксперимент должен часто показывать, что, например, явление происходит после того, как определенная обработка дается предмету, и что явление не происходит в отсутствии обработки. (См. Бэконовский метод.) 

Стандартная кривая[править]

 Эксперимент, которым управляют, как правило сравнивает результаты, полученные от экспериментального образца с образцом контроля, который является фактически идентичным экспериментальному образцу. Как исключение, расматривается один аспект, когда ставится эксперимент с исключением одной независимой переменной. Хорошим примером может быть испытание препарата (см.Рис.1). 

Надежное управление подтверждает, что основные условия эксперимента были в состоянии произвести положительный результат, даже если ни один из фактических экспериментальных образцов не производит положительный результат. Отрицательный контроль демонстрирует полученный результат сути, когда тест не показывает измеряемый положительный результат; часто ценность отрицательного контроля рассматривают как «второстепенная» ценность, которая будет вычтена из испытательных типовых результатов. Иногда надежное управление поддверждает вид стандартной кривой.[3] 

Социальные эксперименты[править]

Основная статья: Эксперимент (социальный)

Классический пример социального эксперимента[править]

Показательным примером проведенного социального эксперимента в области повышения эффективности управления послужило проведение под руководством известного американского социолога Э. Мэйо широко известных исследований в 1924-1932 гг. на Хоуторнских предприятиях в пригороде Чикаго (США). 



Учёный поставил своей изначальной целью определить зависимость между изменениями интенсивности освещения производственных помещений и производительностью труда (что получило название как Хоуторнский эксперимент ). В результате первого этапа проведенного эксперимента оказалось много неожиданных результатов. Так с усилением освещенности производительность труда повышалась у рабочих экспериментальной группы, трудившихся в более освещенном помещении, однако, то в контрольной группе, где освещенность оставалась прежней, был отмечен тот же эффект. Со снижением освещенности выработка все равно продолжала расти как в экспериментальной, так и в контрольной группе. 

На этой стадии эксперимента были сделаны два важных вывода: 

Не существует прямой механической связи между одной переменной в условиях труда и производительностью; 

Следует искать более важные, скрытые факторы от исследователей, влияющие на трудовое поведение людей, включая производительность их труда. 

На последующих этапах проведения данного эксперимента в качестве независимой переменной (экспериментального фактора) применялись различные условия: 

температура помещения; 

влажность; 

увеличение материальных стимулов и т.п., вплоть до групповой сплоченности людей, включенных в эксперимент. 

В дальнейшем выявились еще два фактора: 

во-первых, условия труда воздействуют на трудовое поведение индивидов не непосредственно, а опосредовано, через так называемый "групповой дух", т.е. через их ощущения, восприятия, установки, через групповую сплоченность; 

во-вторых, оказалось, что межличностные отношения и групповая сплоченность в условиях производственной деятельности оказывают благотворное влияние на эффективность труда. 

Огромная теоретическая и методологическая значимость Хоуторнского эксперимента для дальнейшего развития социологии привела к необходимости: 

Пересмотра роли и значимости материально-вещественных и субъективных, человеческих факторов в развитии производства; 

Определения возможности выявить не только открытые функции и их роль в производстве (в частности, роль материальных условий трудовой деятельности), но и скрытые функции, ранее ускользавшие от внимания исследователей и организаторов производства — это роль «группового духа»); 

Понимания значимости неформальной организации (групповая сплоченность коллектива работающих) в социально-экономической жизнедеятельности производственной системы; 

Начала развития одного из важнейших направлений западной социологии — так называемой «теории человеческих отношений», сыгравшей большую роль в развитии социологии управления. 

Данный классический социальный эксперимент лёг в основу методов дальнейших социальных исследований производственных отношений в трудовых коллективах во всём мире. 

Естественные эксперименты[править]

Когда управляемые эксперименты предельно трудны или невозможны, то в этом случае исследователи обращаются к естественным экспериментам, также названными квазиэкспериментами. Естественные эксперименты базируются исключительно на наблюдении переменных системы при исследовании, где нет манипуляциий одной или нескольких переменных как происходит в управляемых экспериментах. В данном случае пытаются собрать данные для системы таким способом, что вклад от всех переменных мог быть определен, и где эффекты изменения в принятых переменных оставался приблизительно постоянными в отличие от эффектов других переменных и что бы они могли различиться. Реальность такого подхода, гле это является возможным, зависит от наблюдаемой корреляции между доказанными переменными в наблюдаемых данных. Когда эти переменные не хорошо скоррелированы, естественные эксперименты могут скатиться к форме экспериментов, которыми управляют, т.е. не к естественным экспериментам. Однако, между этими переменными всегда имеется некоторая корреляция, которая уменьшает надежность естественных экспериментов в связи с запланированным и возможен вариант невыполнимости эксперимента, которым управляют. В силу того,что естественные эксперименты обычно имеют место в быстротекущих окружающих средах, переменные из необнаруженных источников не могут быть измерены, и они не считаются постоянными, и могут произвести иллюзорные корреляции в переменных при исследовании. 

Объёмные исследования в важных дисциплинах науки, как в экономике, в общесвенных науках, геологии, палеонтологии, экологии, метеорологии и астрономии, полагаются на квазиэксперименты. Например, в астрономии это точно невозможно. Проверяя гипотезу «солнце — разрушенные облака водорода», и отправиться с гигантским облаком водорода, затем, чтобы для этого выполнить эксперимент ожидания в несколько миллиардов лет для получения солнца, задача не реальная. Тем не менеие, наблюдая различные облака водорода в различных местах его исчезновения, получение других значений гипотезы (например, присутствие различной спектральной эмиссии от света звезд), мы можем собрать данные, которые требуются для поддержки гипотезы. Ранним примером такого типа эксперимента была первая проверка в 1600-ых, по которой свет не путешествует с места на место мгновенно, а имеет измеряемую скорость. Наблюдение появления лун Юпитера было специально отсрочено (на определённое время) до момента нахождения Юпитера на самом близком расстоянии до Земли. Это явление было использовано, чтобы показать, что различие во времени появления лун было обусловоено с соизмеримой скоростью (например, света). 

Эксперименты наблюдательные[править]

Основная статья: Наблюдательное исследование

Наблюдательные исследования очень походят на эксперименты, которыми управляют, но в отличие от того, что они испытывают недостаток в вероятностной эквивалентности между группами. Эти типы экспериментов часто проводят в области медицины, где, по этическим причинам не возможно создать группу, которой действительно управляют. Например, можно было бы принять, что все формы проведения эксперимента болезни, опасной для жизни одной группы пациентов этично оценивать эффективность этой же болезни применительно для другой группы пациентов. Результаты наблюдательных исследований оцениваются намного меньшим количеством заключений, чем такие же из разработанных экспериментов, поскольку они являются намного более склонными кукловодству выбора. Исследователи пытаются дать компенсацию в этой связи с более сложными статистическими методами, с учётом принадлежности к соответствующим методам (см. иерархию свидетельства, а также квазиэмпирические методы). 

Полевые эксперименты

Основная статья: Полевой эксперимент

Полевые эксперименты так называют, чтобы протвопоставить их лабораторным экспериментам. Часто используемый в общественных науках, и особенно в экономических исследованиях, в области образования и вмешательств в области здоровья, полевые эксперименты имеют преимущество. В этих условиях результаты получают в естественном урегулировании, а не в изобретенной лабораторной форме по типу окружающей среды. Однако, естественные эксперименты как и полевые эксперименты страдают от возможности загрязнения: экспериментальными условиями можно управлять с большим количеством точности и уверенности среде лаборатории. 

Математический эксперимент

«Мы должны узнать снова, что наука без контакта с экспериментами — предприятие, которое, вероятно, пойдет полностью заблудившись в воображаемой догадке.» — Hannes Alfven[4] 

«Сегодняшние ученые заменили математикой эксперименты, и они блуждают прочь через уравнение после уравнения, и в конечном счете строят структуру, которая не имеет никакого отношения к действительности.» — Тесла Niko Существует несколько моделей эксперимента: Безупречный эксперимент — невоплотимая на практике модель эксперимента, используемая психологами-экспериментаторами в качестве эталона. В экспериментальную психологию данный термин ввёл Роберт Готтсданкер, автор известной книги «Основы психологического эксперимента», считавший, что использование подобного образца для сравнения приведёт к более эффективному совершенствованию экспериментальных методик и выявлению возможных ошибок в планировании и проведении психологического эксперимента.

Случайный эксперимент (случайное испытание, случайный опыт) — математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям: она должна быть адекватна и адекватно описывать эксперимент; должна быть определена совокупность множества наблюдаемых результатов в рамках рассматриваемой математической модели при строго определенных фиксированных начальных данных, описываемых в рамках математической модели; должна существовать принципиальная возможность осуществления эксперимента со случайным исходом сколь угодное количество раз при неизменных входных данных, (где — количество произведённых экспериментов); должно быть доказано требование или априори принята гипотеза о стохастической устойчивости относительной частоты для любого наблюдаемого результата, определённого в рамках математической модели.

Эксперимент не всегда реализуется так, как задумывалось, поэтому было придумано математическое уравнение относительной частоты реализаций эксперимента:

Пусть имеется некоторый реальный эксперимент и пусть через A обозначен наблюдаемый в рамках этого эксперимента результат. Пусть произведено n экспериментов, в которых результат A может реализоваться или нет. И пусть k — это число реализаций наблюдаемого результата A в n произведенных испытаниях, считая что произведенные испытания являются независимыми.



Виды экспериментов:

Физический эксперимент

Основная статья: Физическое моделирование

Физический эксперимент — способ познания природы, заключающийся в изучении природных явлений в специально созданных условиях. В отличие от теоретической физики, которая исследует математические модели природы, физический эксперимент призван исследовать саму природу.Именно несогласие с результатом физического эксперимента является критерием ошибочности физической теории, или более точно, неприменимости теории к окружающему нас миру. Обратное утверждение не верно: согласие с экспериментом не может быть доказательством правильности (применимости) теории. То есть главным критерием жизнеспособности физической теории является проверка экспериментом.

В идеале, экспериментальная физика должна давать только описание результатов эксперимента, без какой-либо их интерпретации. Однако на практике это недостижимо. Интерпретация результатов более-менее сложного физического эксперимента неизбежно опирается на то, что у нас есть понимание, как ведут себя все элементы экспериментальной установки. Такое понимание, в свою очередь, не может не опираться на какие-либо теории.



Компьютерный эксперимент

Компьютерный (численный) эксперимент — это эксперимент над математической моделью объекта исследования на ЭВМ, который состоит в том что, по одним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах объекта, описываемого математической моделью. Данный вид эксперимента можно лишь условно отнести к эксперименту, потому как он не отражает природные явления, а лишь является численной реализацией созданной человеком математической модели. Действительно, при некорректности в мат. модели — ее численное решение может быть строго расходящимся с физическим экспериментом.



Психологический эксперимент

Основная статья: Эксперимент (психология)

Психологический эксперимент — проводимый в специальных условиях опыт для получения новых научных знаний посредством целенаправленного вмешательства исследователя в жизнедеятельность испытуемого.



Мысленный эксперимент

Основная статья: Мысленный эксперимент

Мы́сленный экспериме́нт в философии, физике и некоторых других областях знания — вид познавательной деятельности, в которой структура реального эксперимента воспроизводится в воображении. Как правило, мысленный эксперимент проводится в рамках некоторой модели (теории) для проверки её непротиворечивости. При проведении мысленного эксперимента могут обнаружиться противоречия внутренних постулатов модели либо их несовместимость с внешними (по отношению к данной модели) принципами, которые считаются безусловно истинными (например, с законом сохранения энергии, принципом причинности и т. д.).



Критический эксперимент

Основная статья: Критический эксперимент

Критический эксперимент — эксперимент, исход которого однозначно определяет, является ли конкретная теория или гипотеза верной. Этот эксперимент должен дать предсказанный результат, который не может быть выведен из других, общепринятых гипотез и теорий.

Література:





Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.



Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 



Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984.



В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ 



Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005



Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах



 Э. Баумана: Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.



Смирнов В. И. Курс высшей математики, в 5 томах. М.: Наука, 1981 (6-е издание)



Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной1999. 



Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. 1999



Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. 



Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы, 2001. 



Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, 2003: Часть 1. Функции одной переменной, Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.



Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа (в трех томах).



Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). — Минск: 



Визгин В.П. Герметизм, эксперимент, чудо: три аспекта генезиса науки нового времени // Философско-религиозные истоки науки. М., 1997. С.88-141.



Министерство образования и науки Украины

Одесский национальный политехнический университет







Кафедра ТУЛП













Расчетно-графическая работа

по дисциплине : «Металургическия гидравлика и гидромашины» 

на тему : «Виды литниковых систем»















Выполнил : ст. гр. МЛ – 081

Домашин В,М.

                                                                            Проверил : Бондарь А. А .







Одесса 2010