Вычисление наибольшего, наименьшего значения функции в ограниченной области

Практическая работа

На тему: «Вычисление наибольшего, наименьшего значения функции в ограниченной области»




Цель



1. Ознакомление и приобретение навыков вычисления наибольшего, наибольшего значения функции в ограниченной области.



Основные вопросы:



1.Наибольшее и наименьшее значение функции.

2.Ограниченная область.

3.Равномерно непрерывная функция.




Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется, по крайней мере, одна точка 

N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство



f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)



а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство



f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)



тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка 

N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль. 

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство 

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство







Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то это точки локального экстремума функции z = f ( x , y ) . Таким образом точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо локальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x , y ) в ограниченной замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Если граница задана уравнением ϕ ( x , y ) = 0 , то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границе области D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D - ϕ ( x , y ) = 0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить уравнение ϕ ( x , y ) = 0 относительно одной из переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их в уравнение z = f ( x , y ) , то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной. Если уравнение ϕ ( x , y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из переменных или невозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится к отысканию условного экстремума.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее.



Задачи:



1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5 







Решение: Здесь z'x=2ху+у2+у, z'y=х2+2ху+х.

Находим все критические точки: 







Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D . 

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА 

На участке АВ:





 



Значения функции z(-1) = -1,







На участке ВС:









Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5. 



На участке СЕ:





z'y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2. 



Значения функции







На участке АЕ:









Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5. 

3. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 . 

Решение

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху. 





Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0). 



Граница Г области D состоит из трёх частей: 








Примеры:



1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: х = 1, х = 2, у = 1,5

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в замкнутой области D, ограниченной осью OY, прямой y = 2 и параболой y = x 2 при x ≥ 0 .

3. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в треугольнике, ограниченном прямыми , , .