Комбинаторика

Реферат на тему:























			







Выполнил ученик 10 класса «В»

средней школы №53

Глухов Михаил Александрович































г. Набережные Челны 

2002 г.
Содержание

Из истории комбинаторики_________________________________________

3

Правило суммы___________________________________________________

4

Примеры задач____________________________________________________

-

Правило произведения_____________________________________________

4

Примеры задач____________________________________________________

-

Пересекающиеся множества________________________________________

5

Примеры задач____________________________________________________

-

Круги Эйлера_____________________________________________________

-

Размещения без повторений________________________________________

6

Примеры задач____________________________________________________

-

Перестановки без повторений_______________________________________

7

Примеры задач____________________________________________________

-

Сочетания без повторений__________________________________________

8

Примеры задач____________________________________________________

-

Размещения и сочетания без повторений______________________________

9

Примеры задач____________________________________________________

-

Перестановки с повторениями_______________________________________

9

Примеры задач____________________________________________________

-

Задачи для самостоятельного решения________________________________

10

Список используемой литературы___________________________________

11






Из истории комбинаторики

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.




Правило суммы



Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.



Примеры задач



Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?



Решение: X=17, Y=13

По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.



Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?



Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов.

Правило произведения



Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.



Примеры задач



Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.


Пересекающиеся множества



Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой, где X и Y - множества, а  - область пересечения.





Если множеств больше, например 5 языков, то также складывается количество человек знающих английский, немецкий, французский и т.д., отнимается количество человек, знающих 2 языка одновременно, прибавляется по 3, отнимаются по 4 и т.д.

Примеры задач



20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего?

Ответ: 10+20-5=25 человек.

Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? 

 Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий. 

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. 

Аналогично получаем, что только английским и немецким  владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части. 

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. 

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков. 






Размещения без повторений.

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.



Количество всех размещений из n элементов по m обозначают 



n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*...*n	0!=1

Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет



Задача

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

 

Возможно 360 вариантов.


Перестановки без повторений

В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m  называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn.

Pn=n!

Действительно при n=m:



Примеры задач

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P6=6!=720

0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P5=5!=120. 

P6-P5=720-120=600



Квартет

Проказница Мартышка

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! – 

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?



Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно

P4=4!=24 варианта перестановок.


Сочетания без повторений

Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.

Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается .

.



Примеры задач



Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр. 

Решение:

Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно вариантов.

У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

Решение:

Так как надо  порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги  способами. Второй человек может выбрать 2 книги . Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.

При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

	Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно .
Размещения и сочетания с повторениями

	Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула , а для сочетаний .

	Примеры задач

	Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

	Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно .

	

	В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных.

	Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь - .

	Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет?

	Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть  вариантов.

	

	Перестановки с повторениями

	, где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов.

	

	Примеры задач

	Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

	Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно .

	


	Задачи для самостоятельного решения

	

	Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи».

Ответ: 2520 

  Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

Ответ: 16807

На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?

Ответ: 49, 220

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?

Ответ: 40320

Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

Ответ:200

Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре                 «Верю  не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).

Ответ: .

В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода.

Ответ: 15

На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

Ответ: 480, 437

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

Ответ: 9

Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?

Ответ: 25000

В книжный магазин  поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?

Ответ:: 2985
Список используемой литературы

Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г 

Халамайзер А. Я. «Математика? – Забавно!» издание автора 1989г 

Интернет

http:\www.mathclub.zala.ru/0921.html





2