Автоматизированный корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи статистических данных в среде

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ



КАФЕДРА СТАТИСТИКИ













О Т Ч Е Т 

о результатах выполнения 

компьютерной лабораторной работы 



Автоматизированный корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи статистических данных в среде MS Excel





Вариант № 65



















Выполнил: ст. III курса  гр. 3

Широких Е.Б.



                                                          Проверил: доц. Левчегов О.Н.











Липецк 2011 г.

1. Постановка задачи статистического исследования 

Корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи признаков является составной частью проводимого статистического исследования деятельности 30-ти предприятий и частично использует результаты ЛР-1.

В ЛР-2 изучается взаимосвязь между факторным признаком Среднегодовая стоимость основных производственных фондов (признак Х) и результативным признаком Выпуск продукции (признак Y), значениями которых являются исходные данные ЛР-1 после исключения из них аномальных наблюдений.

Исходные данные

Номер предприятия

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.

Выпуск продукции, млн. руб.

5

1205,00

945,00

23

1299,50

1255,50

27

1407,50

1080,00

1

1448,00

1390,50

8

1502,00

1485,00

32

1529,00

1566,00

22

1637,00

1336,50

19

1677,50

1282,50

2

1704,50

1525,50

3

1758,50

1701,00

13

1772,00

1809,00

26

1812,50

1660,50

9

1839,50

1741,50

4

1853,00

1890,00

28

1893,50

1687,50

17

1907,00

1728,00

6

1947,50

1620,00

14

1947,50

1971,00

25

1947,50

1755,00

7

2001,50

2187,00

31

2082,50

1755,00

18

2109,50

2052,00

10

2123,00

2173,50

20

2136,50

1755,00

24

2177,00

2011,50

29

2190,50

1849,50

15

2231,00

2389,50

12

2325,50

2295,00

21

2379,50

2362,50

16

2555,00

2565,00





В процессе статистического исследования необходимо решить ряд задач.

				Установить наличие статистической связи между факторным признаком Х и результативным признаком Y графическим методом.

				Установить наличие корреляционной связи между признаками Х и Y методом аналитической группировки. 

					Оценить тесноту связи признаков Х и Y на основе эмпирического корреляционного отношения η.

				Построить однофакторную линейную регрессионную модель связи признаков Х и Y, используя инструмент Регрессия надстройки Пакет анализа, и оценить тесноту связи признаков Х и Y на основе линейного коэффициента корреляции r.

				Определить адекватность и практическую пригодность построенной линейной регрессионной модели, оценив:

			а) значимость и доверительные интервалы коэффициентов а0, а1;

			б) индекс детерминации R2 и его значимость;

			в) точность регрессионной модели.

				Дать экономическую интерпретацию:

			а) коэффициента регрессии а1;

			б) коэффициента эластичности КЭ;

			в) остаточных величин εi.

				Найти наиболее адекватное нелинейное уравнение регрессии с помощью средств инструмента Мастер диаграмм.

			
2. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы

Задача 1. Установление наличия статистической связи между факторным признаком Х и результативным признаком Y графическим методом.

Статистическая связь является разновидностью стохастической (случайной) связи, при которой с изменением факторного признака X закономерным образом изменяется какой–либо из обобщающих статистических показателей распределения результативного признака Y.

Вывод:

Точечный график  связи признаков  (диаграмма рассеяния, полученная в ЛР-1 после удаления аномальных наблюдений) позволяет сделать вывод, что имеет место статистическая связь. Предположительный вид связи – линейная прямая.

Задача 2. Установление наличия корреляционной связи между признаками Х и Y методом аналитической группировки.

Корреляционная связь – важнейший частный случай стохастической статистической связи, когда под воздействием вариации факторного признака Х закономерно изменяются от группы к группе средние групповые значения  результативного признака Y (усредняются результативные значения , полученные под воздействием фактора ). Для выявления наличия корреляционной связи используется метод аналитической группировки.

Вывод: 

Результаты выполнения аналитической группировки предприятий по факторному признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов даны в табл. 2.2 Рабочего файла, которая показывает, что с увеличением значений факторного признака Х закономерно увеличиваются средние групповые значения  результативного признака . Следовательно, между признаками Х и Y существует корреляционная связь.

Задача 3. Оценка тесноты связи признаков Х и Y на основе эмпирического корреляционного отношения.

Для анализа тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывается показатель η – эмпирическое корреляционное отношение, задаваемое формулой 

           ,

где  и  - соответственно межгрупповая и общая дисперсии результативного признака Y - Выпуск продукции (индекс х дисперсии  означает, что оценивается мера влияния признака Х на Y).

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения служит шкала Чэддока:

Значение η

0,1 – 0,3

0,3 – 0,5

0,5 – 0,7

0,7 – 0,9

0,9 – 0,99

Сила связи

Слабая

Умеренная

Заметная

Тесная

Весьма тесная

Результаты выполненных расчетов представлены в табл. 2.4 Рабочего файла.

Вывод:

Значение коэффициента η =0,56, что в соответствии с оценочной шкалой Чэддока говорит о заметной степени связи изучаемых признаков.

Задача 4. Построение однофакторной линейной регрессионной модели связи изучаемых признаков с помощью инструмента Регрессия надстройки Пакет анализа и оценка тесноты связи на основе линейного коэффициента корреляции r.

4.1. Построение регрессионной модели заключается в нахождении аналитического выражения связи между факторным признаком X и результативным признаком Y.

Инструмент Регрессия на основе исходных данных (xi , yi), производит расчет параметров а0 и а1 уравнения однофакторной линейной регрессии , а также вычисление ряда показателей, необходимых для проверки адекватности построенного уравнения исходным (фактическим) данным.

Примечание. В результате работы инструмента Регрессия получены четыре результативные таблицы (начиная с заданной ячейки А75). Эти таблицы выводятся в Рабочий файл без нумерации, поэтому необходимо присвоить им номера табл.2.5 – табл.2.8 в соответствии с их порядком.

Вывод:

Рассчитанные в табл.2.7 (ячейки В91 и В92) коэффициенты а0 и а1 позволяют построить линейную регрессионную модель связи изучаемых признаков в виде уравнения -728,665+1,089х. 

4.2. В случае линейности функции связи для оценки тесноты связи признаков X и Y, устанавливаемой по построенной модели, используется линейный коэффициент корреляции r. 

Значение коэффициента корреляции r приводится в табл.2.5 в ячейке В78 (термин "Множественный R").



Вывод:

Значение коэффициента корреляции r =0,913 , что в соответствии с оценочной шкалой Чэддока говорит о весьма тесной степени связи изучаемых признаков.

Задача 5. Анализ адекватности и практической пригодности построенной линейной регрессионной модели.

	Анализ адекватности регрессионной модели преследует цель оценить, насколько построенная теоретическая модель взаимосвязи признаков отражает фактическую зависимость между этими признаками, и тем самым оценить практическую пригодность синтезированной модели связи. 

Оценка соответствия построенной регрессионной модели исходным (фактическим) значениям признаков X и Y выполняется в 4 этапа:

		оценка статистической значимости коэффициентов уравнения а0, а1 и определение их доверительных интервалов для заданного уровня надежности;

		определение практической пригодности построенной модели на основе оценок линейного коэффициента корреляции  r  и индекса детерминации R2;

		проверка значимости уравнения регрессии в целом по F-критерию Фишера;

		оценка погрешности регрессионной модели.

Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения а0, а1 и определение их доверительных интервалов

Так как коэффициенты уравнения а0 , а1  рассчитывались, исходя из значений признаков только для 30-ти пар (xi , yi), то полученные значения коэффициентов являются лишь приближенными оценками фактических параметров связи а0 , а1. Поэтому необходимо:

		проверить значения коэффициентов на неслучайность (т.е. узнать, насколько они типичны для всей генеральной совокупности предприятий отрасли); 

		определить (с заданной доверительной вероятностью 0,95 и 0,683) пределы, в которых могут находиться значения а0, а1 для генеральной совокупности предприятий.

Для анализа коэффициентов а0, а1 линейного уравнения регрессии используется табл.2.7, в которой:

	 – значения коэффициентов а0, а1 приведены в ячейках В91 и В92 соответственно;

	 – рассчитанный уровень значимости коэффициентов уравнения приведен в ячейках Е91 и Е92;

	 – доверительные интервалы коэффициентов с уровнем надежности Р=0,95 и Р=0,683 указаны в диапазоне ячеек F91:I92.

5.1.1. Определение значимости коэффициентов уравнения

Уровень значимости – это величина α=1–Р, где Р – заданный уровень надежности (доверительная вероятность).

Режим работы инструмента Регрессия использует по умолчанию уровень надежности Р=0,95. Для этого уровня надежности уровень значимости равен α = 1 – 0,95 = 0,05. Этот уровень значимости считается заданным.

В инструменте Регрессия надстройки Пакет анализа для каждого из коэффициентов а0 и а1 вычисляется уровень его значимости αр, который указан в результативной таблице (табл.2.7 термин "Р-значение"). Если рассчитанный для коэффициентов а0, а1 уровень значимости αр, меньше заданного уровня значимости α= 0,05, то этот коэффициент признается неслучайным (т.е. типичным для генеральной совокупности), в противном случае – случайным.

Примечание. В случае, если признается случайным свободный член а0, то уравнение регрессии целесообразно построить заново без свободного члена а0. В этом случае в диалоговом окне Регрессия необходимо задать те же самые параметры за исключением лишь того, что следует активизировать флажок Константа-ноль (это означает, что модель будет строиться при условии а0=0). В лабораторной работе такой шаг не предусмотрен.

Если незначимым (случайным) является коэффициент регрессии а1, то взаимосвязь  между признаками X и Y в принципе не может аппроксимироваться  линейной моделью.

Вывод:

Для свободного члена а0 уравнения регрессии рассчитанный уровень значимости есть αр =0,1. Так как он больше заданного уровня значимости α=0,05, то коэффициент а0 признается случайным.

Для коэффициента регрессии  а1  рассчитанный  уровень  значимости есть αр = Так как он меньше заданного уровня значимости α=0,05, то коэффициент а1 признается типичным.

5.1.2. Зависимость доверительных интервалов коэффициентов уравнения от заданного уровня надежности

Доверительные интервалы коэффициентов а0, а1 построенного уравнения регрессии при уровнях надежности Р=0,95 и Р=0,683 представлены в табл.2.7, на основе которой формируется табл.2.9.

Таблица 2.9

Границы доверительных интервалов коэффициентов уравнения

Коэффициенты

Границы доверительных интервалов



Для уровня надежности Р=0,95

Для уровня надежности Р=0,683



нижняя

верхняя

нижняя

верхняя

а0

-1622,1

164,8

-1173,04

-284,3

а1

0,90

1,28

1,00

1,2

Вывод:

В  генеральной  совокупности  предприятий  значение  коэффициента  а0 следует ожидать с надежностью Р=0,95 в пределах -1622,1а0164,8 значение коэффициента а1 в пределах 0,90а11,28. Уменьшение уровня надежности ведет к сужению доверительных интервалов коэффициентов уравнения.

Определение практической пригодности построенной регрессионной модели.

Практическую пригодность построенной модели можно охарактеризовать по величине линейного коэффициента корреляции r:

		близость  к единице свидетельствует о хорошей аппроксимации исходных (фактических) данных с помощью построенной линейной функции связи ;

		близость  к нулю означает, что связь между фактическими данными Х и Y нельзя аппроксимировать как построенной, так и любой другой линейной моделью, и, следовательно, для моделирования связи следует использовать какую-либо подходящую нелинейную модель.

Пригодность построенной регрессионной модели для практического использования можно оценить и по величине индекса детерминации R2, показывающего, какая часть общей вариации признака Y объясняется в построенной модели вариацией фактора X.

В основе такой оценки лежит равенство R = r (имеющее место для линейных моделей связи), а также шкала Чэддока, устанавливающая качественную характеристику тесноты связи в зависимости от величины r.

Согласно шкале Чэддока высокая степень тесноты связи признаков достигается лишь при >0,7, т.е. при  >0,7. Для индекса детерминации R2 это означает выполнение неравенства R2 >0,5.

При недостаточно тесной связи признаков X, Y (слабой, умеренной, заметной) имеет место неравенство 0,7, а следовательно, и неравенство .

С учетом вышесказанного, практическая пригодность построенной модели связи  оценивается по величине R2 следующим образом:

		неравенство R2 >0,5 позволяет считать, что построенная модель пригодна для практического применения, т.к. в ней достигается высокая степень тесноты связи признаков X и Y, при которой более 50% вариации признака Y объясняется влиянием фактора Х;

		 неравенство  означает, что построенная модель связи практического значения не имеет ввиду недостаточной тесноты связи между признаками X и Y, при которой менее 50% вариации признака Y объясняется влиянием фактора Х, и, следовательно, фактор Х влияет на вариацию Y в значительно меньшей степени, чем другие (неучтенные в модели) факторы.

Значение индекса детерминации R2 приводится в табл.2.5 в ячейке В79 (термин "R - квадрат").

Вывод:

Значение линейного коэффициента корреляции r и значение индекса детерминации R2 согласно табл. 2.5 равны: r =0,91, R2 =0,83. Поскольку   и , то построенная линейная регрессионная модель связи  пригодна для практического использования.

Общая оценка адекватности  регрессионной модели по F-критерию Фишера

Адекватность построенной регрессионной модели фактическим данным (xi, yi) устанавливается по критерию Р.Фишера, оценивающему статистическую значимость (неслучайность) индекса детерминации R2.

Рассчитанная для уравнения регрессии оценка значимости R2 приведена в табл.2.6 в ячейке F86 (термин "Значимость F"). Если она меньше заданного уровня значимости α=0,05, то величина R2 признается неслучайной и, следовательно, построенное уравнение регрессии  может быть использовано как модель связи между признаками Х и Y для генеральной совокупности предприятий отрасли.

Вывод:

Рассчитанный уровень значимости αр индекса детерминации R2 есть αр=. Так как он меньше заданного уровня значимости α=0,05, то значение R2 признается типичным и модель связи между признаками Х и Y -728,665+1,089х. применима для генеральной совокупности предприятий отрасли в целом.

 Оценка погрешности регрессионной модели

	Погрешность регрессионной модели можно оценить по величине стандартной ошибки  построенного линейного уравнения регрессии . Величина ошибки  оценивается как среднее квадратическое отклонение по совокупности отклонений  исходных (фактических) значений yi признака Y от его теоретических значений , рассчитанных по построенной модели.

	Погрешность регрессионной модели выражается в процентах и рассчитывается как величина .100.

В адекватных моделях погрешность не должна превышать 12%-15%.

Значение  приводится в выходной таблице "Регрессионная статистика" (табл.2.5) в ячейке В81 (термин "Стандартная ошибка"), значение    – в таблице  описательных  статистик  (ЛР-1, Лист 1, табл.3, столбец 2).

Вывод:

Погрешность линейной регрессионной модели составляет что подтверждает адекватность построенной модели -728,665+1,089х

Задача 6. Дать экономическую интерпретацию:

1) коэффициента регрессии а1;

3) остаточных величин i. 

2) коэффициента эластичности КЭ;

6.1. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии а1

В случае линейного уравнения регрессии =a0+a1x величина коэффициента регрессии a1 показывает, на сколько в среднем (в абсолютном выражении) изменяется значение результативного признака Y при изменении фактора Х на единицу его измерения. Знак при a1 показывает направление этого изменения.

Вывод:

Коэффициент регрессии а1 =1,09 показывает, что при увеличении факторного признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов на 1 млн руб. значение результативного признака Выпуск продукции увеличивается в среднем на 1,09 млн. руб. 

6.2. Экономическая интерпретация коэффициента эластичности.

С целью расширения возможностей экономического анализа явления используется коэффициент эластичности , который измеряется в процентах и показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Средние значения  и  приведены в таблице описательных статистик (ЛР-1, Лист 1, табл.3).

Расчет коэффициента эластичности:



Вывод:

Значение коэффициента эластичности Кэ=1,17 показывает, что при увеличении факторного признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов на 1% значение результативного признака Выпуск продукции увеличивается в среднем на 1,17 %.

6.3. Экономическая интерпретация остаточных величин εi

Каждый их остатков  характеризует отклонение фактического значения yi от теоретического значения , рассчитанного по построенной регрессионной модели и определяющего, какого среднего значения    следует ожидать, когда фактор Х принимает значение xi.

Анализируя остатки, можно сделать ряд практических выводов, касающихся выпуска продукции на рассматриваемых предприятиях отрасли.

Значения остатков i (таблица остатков из диапазона А98:С128) имеют как положительные, так и отрицательные отклонения от ожидаемого в среднем объема выпуска продукции  (которые в итоге уравновешиваются, т.е.).

Экономический интерес представляют наибольшие расхождения между фактическим объемом выпускаемой продукции yi и ожидаемым усредненным объемом .

Вывод:

Согласно таблице остатков максимальное превышение ожидаемого среднего объема выпускаемой  продукции  имеют три предприятия - с номерами 7,14,30, а максимальные отрицательные отклонения - три предприятия с номерами 18, 19, 28. Именно эти шесть предприятий подлежат дальнейшему экономическому анализу для выяснения причин наибольших отклонений объема выпускаемой ими продукции от ожидаемого среднего объема и выявления резервов роста производства.

Задача 7. Нахождение наиболее адекватного нелинейного уравнения регрессии с помощью средств инструмента Мастер диаграмм.

Уравнения регрессии и их графики построены для 3-х видов нелинейной зависимости между признаками и представлены на диаграмме 2.1 Рабочего файла.

Уравнения регрессии и соответствующие им индексы детерминации R2 приведены в табл.2.10 (при заполнении данной таблицы коэффициенты уравнений необходимо указывать не в компьютерном формате, а в общепринятой десятичной форме чисел).

Таблица 2.10

Регрессионные модели связи

Вид уравнения

Уравнение регрессии

Индекс

детерминации R2

Полином 2-го порядка

5Е-0,5 х2 +0,670х+ 210,7

0,835

Полином 3-го порядка

7E-0,8x3 - 0,0009x2 + 5,0506x – 6265,1

0,8381

Степенная функция

0,2044x1,1789

0,8371

Выбор наиболее адекватного уравнения регрессии определяется максимальным значением индекса детерминации R2: чем ближе значение R2 к единице, тем более точно регрессионная модель соответствует фактическим данным.

Вывод:

Максимальное значение индекса детерминации R2 =0,8381. Следовательно, наиболее адекватное исходным данным нелинейное уравнение регрессии имеет вид  7E-0,8x3 - 0,0009x2 + 5,0506x – 6265,1




ПРИЛОЖЕНИЕ 

Результативные таблицы и графики

Исходные данные

Номер предприятия

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.

Выпуск продукции, млн. руб.

1

3608,00

3450,50

2

4244,50

3785,50

3

4378,50

4221,00

4

4613,00

4690,00

5

3005,00

2345,00

6

4847,50

4020,00

7

4981,50

5427,00

8

3742,00

3685,00

9

4579,50

4321,50

10

5283,00

5393,50

12

5785,50

5695,00

13

4412,00

4489,00

14

4847,50

4891,00

15

5551,00

5929,50

16

6355,00

6365,00

17

4747,00

4288,00

18

5249,50

5092,00

19

4177,50

3182,50

20

5316,50

4355,00

21

5919,50

5862,50

22

4077,00

3316,50

23

3239,50

3115,50

24

5417,00

4991,50

25

4847,50

4355,00

26

4512,50

4120,50

27

3507,50

2680,00

28

4713,50

4187,50

29

5450,50

4589,50

31

5182,50

4355,00

32

3809,00

3886,00

























Таблица 2.2

Зависимость выпуска продукции от среднегодовой стоимости основных фондов 

Номер группы

Группы предприятий по стоимости основеных фондов

Число предприятий 

Выпуск продукции







Всего

В среднем
 на одно
 предприятие

1

3005-3675

4

16147,00

4036,75

2

3675-4345

5

19798,50

3959,70

3

4345-5015

11

55543,00

5049,36

4

5015-5685

7

26766,50

3823,79

5

5685-6355

3

12830,50

4276,83

Итого

 

30

131085,50

4369,52









Таблица 2.3

Показатели внутригрупповой вариации

Номер группы

Группы предприятий по стоимости основеных фондов

Число предприятий 

Внутригрупповая дисперсия

1

3005-3675

4

216874,81

2

3675-4345

5

994044,16

3

4345-5015

11

780900,50

4

5015-5685

7

561903,70

5

5685-6355

3

85540,39

Итого

 

30

 









Таблица 2.4

Показатели дисперсии и эмпирического корреляционного отношения

Общая дисперсия

Средняя из внутригрупповых дисперсия

Межгрупповая дисперсия

Эмпирическое корреляционное отношение

903163,1081

620585,7564

282577,3517

0,559352496



Выходные таблицы











ВЫВОД ИТОГОВ



















Регрессионная статистика







Множественный R

0,91318826







R-квадрат

0,833912798







Нормированный R-квадрат

0,827981112







Стандартная ошибка

400,8969854







Наблюдения

30










Дисперсионный анализ











 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

22594778,24

22594778,24

140,5861384

1,97601E-12

Остаток

28

4500115,002

160718,3929





Итого

29

27094893,24

 

 

 





 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Y-пересечение

-728,6655802

436,1611477

-1,670633856

0,10593656

-1622,101178

Переменная X 1

1,089355181

0,09187519

11,85690257

1,97601E-12

0,901157387



 

Верхние 95%

Нижние 68,3%

Верхние 68,3%

Y-пересечение

164,7700179

-1173,045872

-284,2852881

Переменная X 1

1,277552975

0,995748668

1,182961694





ВЫВОД ОСТАТКА











Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

3201,727913

248,7720873

2

3895,102485

-109,6024854

3

4041,07608

179,9239204

4

4296,52987

393,4701305

5

2544,846739

-199,8467386

6

4551,983659

-531,9836595

7

4697,957254

729,0427463

8

3347,701507

337,2984931

9

4260,036471

61,46352902

10

5026,397841

367,1021592

11

5573,798819

121,2011808

12

4077,569478

411,4305218

13

4551,983659

339,0163405

14

5318,345029

611,1549707

15

6194,186595

170,8134052

16

4442,503464

-154,5034638

17

4989,904442

102,0955578

18

3822,115688

-639,6156882

19

5062,891239

-707,8912393

20

5719,772413

142,7275865

21

3712,635493

-396,1354926

22

2800,300529

315,1994715

23

5172,371435

-180,871435

24

4551,983659

-196,9836595

25

4187,049674

-66,54967386

26

3092,247717

-412,247717

27

4406,010065

-218,5100652

28

5208,864834

-619,3648336

29

4916,917645

-561,9176451

30

3420,688304

465,3116959








Рис. 1