Паралельні проекції

Лабораторна №3



Паралельні проекції



Метою разділу є ознайомлення з елементарним математичним апаратом плоских геометричних проекцій. Для простоти будемо вважати, що при центральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається з площиною z = d, а при паралельному збігається з площиною z = 0. Проекції розглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Система координат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у - вгору, а вісь z - усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея.





Рис.1 Центральна проекція



Кожну з проекцій можна описати матрицею розміром 4х4. Цей спосіб виявляється зручним, оскільки з'являється можливість об'єднати матрицю проектування з матрицею перетворення, представивши в результаті дві операції (перетворення і проектування) у виді однієї матриці. У цьому розділі ми одержимо матриці розміром 4х4 для декількох проекцій і насамперед для центральної. На рис.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат, у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані d від початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у, z) напишемо співвідношения, отримані з подібності трикутників (рис.1):







Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d, одержимо







Відстань d є в даному випадку масштабним множником, застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що на центральній проекції більш віддалені об'єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, є ділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можуть розташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і між центром проекції і проекційною площиною.

Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром 4х4:







Множачи точку  на матрицю . отримаємо загальний вираз для точки в однорідних координатах :








геометричний проекція косокутний матриця

Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотнього переходу до трьох вимірів, отримаємо







Цей результат є коректним, оскільки містить перетворену z - координату з 1, що відповідає положенню проекційної ПЛОЩИНИ ВЗДОВЖ ОСІ 2.





Рис. 2 Інша схема побудови центральної проекції



При іншому представленні центрального проектування, застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною 2 = 0, а центр проекції розташовується в точці 2 = - с (рис. 2). З подібності трикутників випливає










Звідси одержуємо







Матриця записується у виді







Цю матрицю можна одержати з матриці  шляхом переносу центра проекції в початок координат, застосування  і зворотнього переносу:







Ортографічне проектування на площину z = 0 очевидне. Напрямок проектування збігається з нормаллю до площини проекції, тобто в нашому випадку з віссю z. Таким чином, точка Р має координати:







Ця проекція описується матрицею








Рис. 3 Косокутна рівнобіжна проекція одиничного куба.



Точка Р' є проекцією точки P (0, 0, 1)

Розглянемо тепер косокутну проекцію, матриця якої може бути записана виходячи зі значень a і l (рис. 3). На рис. 3 зображений одиничний куб, спроектований на xy-площину. З малюнка видно, що проекцією точки P (0, 0, 1), що знаходиться на задній стороні' одиничного куба, є точка Р'(l соsа, l sіnа, 0), що належить площині ху. По визначенню це означає, що напрям проектування збігається з відрізком РР', що проходить через ці дві точки (рис. 4). Цей напрям є Р'-Р= (l соsа, l sina, -1). Напрям проектування складає кут р із площиною ху.

Тепер розглянемо довільну точку x, у, z і визначимо її косокутну проекцію (Хр,Ур) на площину ху. На рис. 5 показані два зображення точки і проектор, що рівнобіжний проектору, приведеному на рис.4. Рівняння для x- і y-координат проектора як функцій z мають вид у=mz+b. Вирішуючи два рівняння относительно Хр і Yр, відзначених на рис.5, одержуємо










Матриця розміром 4х4, що виконує ці дії і, отже, описує косокутну проекцію, має вигляд





Застосування матриці  приведе до зсуву і наступного проектування об'єкта: площини з постійною координатою z = z1 переносяться в напрямку х на z1*l соsa в напрямку y на z1*l sina і потім проектуються на площину z = 0. Зсув зберігає паралельність прямих, а також кути і відстані в площинах, паралельних осі z.





Рис. 4. Косокутна паралельна проекція Р'(l соsа, l sinа, 0)  проекцією точки P (0, 0, 1).





Рис. 5 Косокутна паралельна проекція (Xp, Yp, 0) точки (x, y, z).




Для проекції кавальє l=1, тому кут р, показаний на рис.4.17, складає 45°. Для проекції кабіні l=1/2, а b=агtg (2) =63,4°. У випадку ортографічної проекції l = 0 і b = 90°, тому  є окремим випадком .