Прогнозирование урожайности различными методами

1



Содержание



1. Задание

2. Аналитическое выравнивание

3. Метод экспоненциального сглаживания

4. Метод скользящих средних

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье

Выводы




1. Задание



По имеющимся исходным данным урожайности озимой пшеницы в Волгоградский области провести расчеты прогнозных значений на последующие шесть лет для выявления закономерных или случайных изменений.



Исходные данные урожайности:

1947

1948

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

3,5

5,2

2,2

3,6

7,1

6,9

4,1

5,3

10,1

4,8

7,7

16,8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

9,8

14,5

13,7

19,0

5,0

12,0

11,3

17,5

13,1

17,9

9,6

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23



2. Аналитическое выравнивание



Выберем в качестве функций регрессии – линейную, параболическую, гиперболическую и показательную:



 .



Гиперболическую и показательную можно линеаризовать и применить МНК к этим функциям как к линейным. Для гиперболической функции введем новую переменную:



.



Тогда получим:

,



где



.



Для показательной функции проведем следующие преобразования. Прологарифмируем обе части уравнения: . Сделаем замены:



, , .



Получим:



,



откуда найдем: , , .

Применим ПО MS Excel 2003 и Stata 7.0. Посчитаем коэффициент корреляции:







Коэффициент корреляции значим.

Построим линейную регрессию

Регрессионная статистика











Множественный R

0,717687











R-квадрат

0,515074











Нормированный R-квадрат

0,491982











Стандартная ошибка

3,693991











Наблюдения

23

























Дисперсионный анализ











 

df

SS

MS

F

Значимость F



Регрессия

1

304,3725

304,3725

22,30559

0,000116



Остаток

21

286,557

13,64557







Итого

22

590,9296

 

 

 

















 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

3,014625

1,592152

1,893427

0,072162

-0,29644

6,325686

Переменная X 1

0,548419

0,11612

4,722879

0,000116

0,306935

0,789903



Регрессия для гиперболической функции:







Регрессия для параболической функции:






Регрессия для показательной функции:







Как видно из этих данных, коэффициент детерминации у регрессии для гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей. А константа и коэффициент при переменной  в модели параболической регрессии не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Коэффициенты детерминации для моделей линейной и показательной регрессий примерно одиноковы, причем R-квадрат больше у показательной регрессии. Сравним эти 2 модели по другим показателям. Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и информационные критерии Акейка и Шварца:



, , 

Чем меньше значение информационных критериев, тем лучше модель.

Итак, для модели линейной регрессии получим:

AIC=5,131843277



BIC=2,658769213 σ=3,694



Для модели регрессии показательной функции имеем:



AIC= 5,477785725 BIC= 2,831740437 σ=4,028



Все 3 показателя лучше в первом случае.

Применим модель линейной регрессии для аналитического выравнивания исходного ряда. Модель такова:



у=3,01+0,55t;



Значения уровней ряда, полученных по модели, и остатков представлены в следующей таблице:



Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

3,563043478

-0,063043478

2

4,111462451

1,088537549

3

4,659881423

-2,459881423

4

5,208300395

-1,608300395

5

5,756719368

1,343280632

6

6,30513834

0,59486166

7

6,853557312

-2,753557312

8

7,401976285

-2,101976285

9

7,950395257

2,149604743

10

8,498814229

-3,698814229

11

9,047233202

-1,347233202

12

9,595652174

7,204347826

13

10,14407115

-0,344071146

14

10,69249012

3,807509881

15

11,24090909

2,459090909

16

11,78932806

7,210671937

17

12,33774704

-7,337747036

18

12,88616601

-0,886166008

19

13,43458498

-2,13458498

20

13,98300395

3,516996047

21

14,53142292

-1,431422925

22

15,0798419

2,820158103

23

15,62826087

-6,02826087



Спрогнозируем урожайность озимой пшеницы на последующие 6 лет



Прогнозные значения

 t

 y

24

16,17667984

25

16,72509881

26

17,27351779

27

17,82193676

28

18,37035573

29

18,9187747



Из графика видно, что урожайность с каждым последующим годом будет возрастать и достигнет через шесть лет значения практически в 2 раза большего, чем в 1969 году. Этот результат достигнут в результате существенного роста урожайности зерновых культур.

Проверим наличие автокорреляции в данном динамическом ряду. Для этого составим следующие таблицы:



Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

Год

Фактические уровни y(t)

Уровни, сдвинутые на год y(t-1)

y(t)y(t-1)

y(t)^2

1

3,5

9,6

33,6

12,25

2

5,2

3,5

18,2

27,04

3

2,2

5,2

11,44

4,84

4

3,6

2,2

7,92

12,96

5

7,1

3,6

25,56

50,41

6

6,9

7,1

48,99

47,61

7

4,1

6,9

28,29

16,81

8

5,3

4,1

21,73

28,09

9

10,1

5,3

53,53

102,01

10

4,8

10,1

48,48

23,04

11

7,7

4,8

36,96

59,29

12

16,8

7,7

129,36

282,24

13

9,8

16,8

164,64

96,04

14

14,5

9,8

142,1

210,25

15

13,7

14,5

198,65

187,69

16

19

13,7

260,3

361

17

5

19

95

25

18

12

5

60

144

19

11,3

12

135,6

127,69

20

17,5

11,3

197,75

306,25

21

13,1

17,5

229,25

171,61

22

17,9

13,1

234,49

320,41

23

9,6

17,9

171,84

92,16

Сумма

220,7

220,7

2353,68

2708,69

Средняя

9,595652174



102,333913

117,76913



Дисперсия

25,69258979

Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,95)

Коэффициент автокорреляции

0,399234662





Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка

Год

Фактические уровни y(t)

Уровни, сдвинутые на 2 года y(t-2)

y(t)y(t-2)

y(t)^2

1

3,5

17,9

62,65

12,25

2

5,2

9,6

49,92

27,04

3

2,2

3,5

7,7

4,84

4

3,6

5,2

18,72

12,96

5

7,1

2,2

15,62

50,41

6

6,9

3,6

24,84

47,61

7

4,1

7,1

29,11

16,81

8

5,3

6,9

36,57

28,09

9

10,1

4,1

41,41

102,01

10

4,8

5,3

25,44

23,04

11

7,7

10,1

77,77

59,29

12

16,8

4,8

80,64

282,24

13

9,8

7,7

75,46

96,04

14

14,5

16,8

243,6

210,25

15

13,7

9,8

134,26

187,69

16

19

14,5

275,5

361

17

5

13,7

68,5

25

18

12

19

228

144

19

11,3

5

56,5

127,69

20

17,5

12

210

306,25

21

13,1

11,3

148,03

171,61

22

17,9

17,5

313,25

320,41

23

9,6

13,1

125,76

92,16

Сумма

220,7

220,7

2349,25

2708,69

Средняя

9,595652174



102,141304

117,76913



Дисперсия

25,69258979

Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,99)

Коэффициент автокорреляции

0,391737999





Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка

Год

Фактические уровни y(t)

Уровни, сдвинутые на 3 года y(t-3)

y(t)y(t-3)

y(t)^2

1

3,5

13,1

45,85

12,25

2

5,2

17,9

93,08

27,04

3

2,2

9,6

21,12

4,84

4

3,6

3,5

12,6

12,96

5

7,1

5,2

36,92

50,41

6

6,9

2,2

15,18

47,61

7

4,1

3,6

14,76

16,81

8

5,3

7,1

37,63

28,09

9

10,1

6,9

69,69

102,01

10

4,8

4,1

19,68

23,04

11

7,7

5,3

40,81

59,29

12

16,8

10,1

169,68

282,24

13

9,8

4,8

47,04

96,04

14

14,5

7,7

111,65

210,25

15

13,7

16,8

230,16

187,69

16

19

9,8

186,2

361

17

5

14,5

72,5

25

18

12

13,7

164,4

144

19

11,3

19

214,7

127,69

20

17,5

5

87,5

306,25

21

13,1

12

157,2

171,61

22

17,9

11,3

202,27

320,41

23

9,6

17,5

168

92,16

Сумма

220,7

220,7

2218,62

2708,69

Средняя

9,595652174

 

96,4617391

117,76913



Дисперсия

25,69258979

Автокорреляция отсутствует

Коэффициент автокорреляции

0,170679504





Как видно из таблиц, обнаружилась автокорреляция только первого и второго порядков. Это говорит о том, что значительное влияние на урожайность озимой пшеницы в данном году оказывает урожайность двух предыдущих лет.



3. Метод экспоненциального сглаживания



Выберем теперь форму зависимости (линейную или параболическую) методом экспоненциального сглаживания.

Рассчитаем начальные условия экспоненциального сглаживания для линейной тенденции:



,



где  – параметр сглаживания;.

Выберем =0,3



На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Формулы расчета оценок коэффициентов:






Формулы расчета характеристик сглаживания динамического ряда:







Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по линейной форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:





S1

S2

a0

a1

 

 

3,5

3,692

4,2548

3,1292

-0,3752

2,754

0,556516

5,2

4,2952

4,27096

4,31944

0,01616

4,3356

0,74718736

2,2

3,45712

3,945424

2,968816

-0,325536

2,64328

0,196497158

3,6

3,514272

3,772963

3,255581

-0,1724608

3,08312

0,267164934

7,1

4,9485632

4,243203

5,653923

0,47024

6,1241632

0,95225746

6,9

5,7291379

4,837577

6,620699

0,594373888

7,21507264

0,099270768

4,1

5,0774828

4,933539

5,221426

0,095962266

5,31738842

1,482034555

5,3

5,1664897

5,026719

5,30626

0,093180119

5,39943995

0,009888303

10,1

7,1398938

5,871989

8,407798

0,845269727

9,25306811

0,717293628

4,8

6,2039363

6,004768

6,403105

0,13277883

6,53588335

3,013291001

7,7

6,8023618

6,323806

7,280918

0,319037494

7,5999555

0,010008902

16,8

10,801417

8,11485

13,48798

1,791044614

15,2790286

2,313354018

9,8

10,40085

9,02925

11,77245

0,914400039

12,6868503

8,333904844

14,5

12,04051

10,23375

13,84727

1,204503986

15,0517701

0,304450249

13,7

12,704306

11,22197

14,18664

0,988220769

15,174858

2,17520614

19

15,222584

12,82222

17,62295

1,600243488

19,2231924

0,049814834

5

11,13355

12,14675

10,12035

-0,67546729

9,44488196

19,75697565

12

11,48013

11,8801

11,08016

-0,26664841

10,8135091

1,407760654

11,3

11,408078

11,69129

11,12486

-0,18880986

10,9360534

0,132457117

17,5

13,844847

12,55271

15,13698

0,861421592

15,9984008

2,254800093

13,1

13,546908

12,95039

14,14342

0,397677461

14,5411018

2,076774272

17,9

15,288145

13,88549

16,6908

0,93510118

17,6258978

0,075132009

9,6

13,012887

13,53645

12,48932

-0,34904247

12,1402807

6,453026248













53,38506621



Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:











Выберем 

Соответственно: = -3,5166014; =-8,3384654; =-13,4803294

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания и квадратов ошибок сведем в таблицу:





yi

Характеристики

Оценки коэффициентов







S1

S2

S3

a0

a1

a2





3,5

-2,1132811

-7,09343

-12,2029

2,737493

1,176307311

-0,00808583

3,91383304

0,171257789

5,2

-0,6506249

-5,80487

-10,9233

4,539396

1,307567679

0,002236112

5,84696599

0,41856499

2,2

-0,0804999

-4,65999

-9,67067

4,067818

0,915810984

-0,02694854

4,98399185

7,7506106

3,6

0,6556001

-3,59688

-8,45591

4,301519

0,740885761

-0,03790978

5,04312342

2,082605212

7,1

1,9444801

-2,4886

-7,26245

6,036806

0,927243389

-0,02129738

6,96427656

0,018420853

6,9

2,935584

-1,40377

-6,09071

6,927341

0,900178696

-0,02172458

7,82775603

0,860731248

4,1

3,1684672

-0,48932

-4,97043

6,002929

0,477055074

-0,05145785

6,4813078

5,670626841

5,3

3,5947738

0,327499

-3,91085

5,890979

0,300937696

-0,06069189

6,19375797

0,798803306

10,1

4,895819

1,241163

-2,88044

8,083524

0,66559622

-0,02918445

8,74954607

1,823725828

4,8

4,8766552

1,968261

-1,9107

6,814478

0,21148275

-0,06066067

7,02780093

4,963096995

7,7

5,4413242

2,662874

-0,99599

7,339363

0,226893959

-0,05502572

7,56777081

0,017484558

16,8

7,7130593

3,672911

-0,06221

12,05824

1,172083885

0,01906433

13,2305026

12,741312

9,8

8,1304475

4,564418

0,863117

11,5612

0,819644091

-0,00845449

12,3808846

6,660965133

14,5

9,404358

5,532406

1,796975

13,41283

1,040514466

0,008532533

14,4533811

0,00217332

13,7

10,263486

6,478622

2,733304

14,0879

0,967225013

0,002471645

15,0551249

1,836363466

19

12,010789

7,585056

3,703655

16,98086

1,395610031

0,034020784

18,3770439

0,388074354

5

10,608631

8,189771

4,600878

11,85746

-0,01686454

-0,07312702

11,8432687

46,83032672

12

10,886905

8,729198

5,426542

11,89966

-0,06882696

-0,07155927

11,8333975

0,027756394

11,3

10,969524

9,177263

6,176686

11,55347

-0,19385244

-0,07551973

11,3624686

0,003902328

17,5

12,275619

9,796934

6,900736

14,33679

0,397867259

-0,02609459

14,7349986

7,645232881

13,1

12,440495

10,32565

7,585718

13,93026

0,196638702

-0,03906748

14,1276666

1,056098587

17,9

13,532396

10,967

8,261974

15,95817

0,567175299

-0,00872643

16,5253867

1,88956183

9,6

12,745917

11,32278

8,874135

13,14354

-0,18901755

-0,06409432

12,956581

11,26663598

















114,9243312



Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:









Выберем 

Соответственно:

= 1,91758335

=-1,2595453

=-4,60049885

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:





yi

Характеристики

Оценки коэффициентов









S1

S2

S3

a0

a1

a2





3,5

4,0123083

0,322011

-3,12375

7,947147

1,813620275

0,04491565

9,76177562

0,742657215

5,2

5,7486158

1,949992

-1,60162

9,794246

1,862385849

0,045368582

11,6576611

3,450904714

2,2

5,9440311

3,148204

-0,17668

8,210805

0,696151358

-0,09717296

8,91167811

6,308526949

3,6

5,9308218

3,982989

1,071224

6,914721

-0,07996759

-0,17704896

6,8504266

0,903310726

7,1

7,9915752

5,185565

2,305526

10,72356

1,132323907

-0,01359714

11,8559729

0,891187203

6,9

8,6841027

6,235126

3,484406

10,83134

0,76321248

-0,05542235

11,5960834

1,679832129

4,1

8,6888719

6,97125

4,530459

9,683325

0,049851182

-0,13282693

9,74199756

1,085758914

5,3

9,0822103

7,604538

5,452683

9,8857

-0,00649776

-0,12382952

9,88686868

0,012798695

10,1

10,857547

8,580441

6,39101

13,22233

1,059105338

0,01610373

14,2815645

0,516149625

4,8

9,910283

8,979393

7,167525

9,960194

-0,43707812

-0,16181241

9,53620743

3,371657732

7,7

12,007198

9,887735

7,983588

14,34198

1,112672366

0,039547931

15,4554323

2,086775904

16,8

13,055039

10,83793

8,83989

15,49123

1,158089937

0,040238477

16,650127

1,322792148

9,8

14,238527

11,85811

9,745355

16,88662

1,274192695

0,049163686

18,162018

1,35028586

14,5

15,666969

13,00077

10,72198

18,72059

1,510309073

0,07115812

20,23343

1,521349651

13,7

17,026878

14,2086

11,76796

20,2228

1,56621064

0,069363232

21,791418

2,532611258

19

17,978815

15,33966

12,83947

20,75693

1,262936101

0,025523494

22,0201889

3,313087501

5

15,34517

15,34132

13,59003

13,60159

-1,65662782

-0,32095738

11,9964693

7,820240766

12

16,531619

15,69841

14,22254

16,72218

-0,25277423

-0,11803844

16,4763703

7,972884921

11,3

16,612133

15,97252

14,74754

16,66636

-0,28139592

-0,10751882

16,3907461

0,167488742

17,5

18,018493

16,58632

15,29917

19,5957

0,751423356

0,0266386

20,347482

0,907290518

13,1

16,092945

16,4383

15,64091

14,60483

-1,23246052

-0,20989346

13,3944003

3,219872312

17,9

16,845062

16,56033

15,91674

16,77093

-0,21852822

-0,06591395

16,5545712

4,183779005

9,6

16,321543

16,4887

16,08832

15,58687

-0,61020409

-0,10423889

14,9820974

0,013901034

















55,37514352



Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:









Выберем 

Соответственно:

= 3,0313761

=1,06416203

=-0,970755225

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:





yi

Характеристики

Оценки коэффициентов







S1

S2

S3

a0

a1

a2





3,5

5,3788257

2,790027

0,533558

8,299952

2,24282099

0,147701582

10,5536813

2,734661735

5,2

7,1472954

4,532935

2,133309

9,976391

2,076938886

0,095437634

12,0578839

5,098039615

2,2

6,8483772

5,459112

3,46363

7,631426

-0,01682611

-0,26942947

7,65089649

1,564742023

3,6

6,4690263

5,863078

4,423409

6,241255

-0,89293167

-0,37054215

5,41697437

0,233313758

7,1

9,0014158

7,118413

5,50141

11,15042

1,669114

0,118222485

12,8265216

0,000703397

6,9

9,5208495

8,079388

6,532601

10,85699

0,797136961

-0,04681077

11,6552198

1,836620752

4,1

9,1925097

8,524636

7,329415

9,333035

-0,37506983

-0,23437677

8,98543167

0,081471237

5,3

9,5155058

8,920984

7,966043

9,749608

-0,16430499

-0,1601865

9,59813271

0,161497319

10,1

11,709303

10,03631

8,79415

13,81313

1,78550802

0,191480082

15,6169656

0,380646557

4,8

10,105582

10,06402

9,302098

9,426785

-1,09285126

-0,32015981

8,38518453

0,469477846

7,7

12,823349

11,16775

10,04836

15,01515

1,937829195

0,238313566

16,9813782

0,006622415

16,8

13,89401

12,25825

10,93232

15,83958

1,572441642

0,137696713

17,4215037

3,692176522

9,8

15,136406

13,40952

11,9232

17,10387

1,525483554

0,106920913

18,6350679

2,673447105

14,5

16,681843

14,71845

13,0413

18,93149

1,75420453

0,127220923

20,6937846

2,86890619

13,7

18,089106

16,06671

14,25146

20,31865

1,67049331

0,092065566

21,9933807

3,216214243

19

18,933464

17,21341

15,43624

20,5964

1,057851513

-0,02538566

21,6545716

2,115778599

5

15,040078

16,34408

15,79938

11,88738

-3,74509187

-0,82164528

8,47983483

0,518637869

12

16,744047

16,50407

16,08125

16,8012

-0,12441845

-0,08125883

16,6800788

6,863987211

11,3

16,766428

16,60901

16,29236

16,76461

-0,14275806

-0,07077229

16,6243542

0,030851434

17,5

18,579857

17,39735

16,73435

20,28188

1,596467573

0,230894027

21,9049998

0,366024715

13,1

15,787914

16,75358

16,74204

13,84506

-2,16385405

-0,43430858

11,7755167

0,030806121

17,9

16,912748

16,81724

16,77212

17,05863

0,142041992

0,022392189

17,2009276

1,957403589

9,6

16,187649

16,56541

16,68944

15,55616

-0,64652505

-0,11276768

14,9159978

0,033856812

















36,93588706



Постоим соответственно графики значений  по исходным данным линейной и параболической формы сглаживания.

Линейная форма:







Параболическая форма:

1) =0,2







2) =0,3






3) =0,4







Видно,что параболическая форма зафисимости экспоненциального сглаживания лучше подогнана к исходным данным.Следовательно, параболическая форма более подходит для прогноза. Сделаем прогноз на 6 лет и представим графической формой.



t

24

25

26

27

28

29



14,916

14,28855

13,67381

13,0718

12,4825

11,90591




4. Метод скользящих средних



Выберем в качестве параметров скольжения 3, 5, 9. Причем при параметре, равном 5, используем весовые коэффициенты для расчета скользящей средней. Для определения этих весовых коэффициентов применим треугольник Паскаля. Таким образом, весовыми коэффициенты будут следующие числа: 1, 2, 4, 2, 1.

Для начала проведем расчеты при параметре скольжения 3. Данные приведем в следующей таблице:



t

y

Скользящая сумма

Скользящая средняя

Прирост

Ускорения

1

3,5

 

 

 

 

2

5,2

25,1

8,367

 

 

3

2,2

22,1

7,367

-1

 

4

3,6

25,1

8,367

1

2

5

7,1

29

9,667

1,3

0,3

6

6,9

31,8

10,6

0,933

-0,367

7

4,1

29

9,667

-0,933

-1,867

8

5,3

33,7

11,233

1,567

2,500

9

10,1

32,7

10,9

-0,333

-1,900

10

4,8

39,6

13,2

2,300

2,633

11

7,7

40,1

13,367

0,167

-2,133

12

16,8

49,4

16,467

3,100

2,933

13

9,8

51,5

17,167

0,700

-2,400

14

14,5

56,2

18,733

1,567

0,867

15

13,7

59,4

19,8

1,067

-0,500

16

19

49,6

16,533

-3,267

-4,333

17

5

48,7

16,233

-0,300

2,967

18

12

45,3

15,1

-1,133

-0,833

19

11,3

57,4

19,133

4,033

5,167

20

17,5

49,7

16,567

-2,567

-6,600

21

13,1

51,5

17,167

0,600

3,167

22

17,9

45,3

15,1

-2,067

-2,667

23

9,6

 

 

 

 


Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:







Выберем модель параболической регрессии на основании лучших коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации у этой модели. Получим следующую модель:



y=1.4+1.03t-0.02 



Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:



t



23

16,4389

24

16,0816

25

15,6469

26

15,1348

27

14,5454

28

13,8786



Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:







и приведем в следующей таблице:



Значения скользящих средних, полученные по модели

t

Значения у



1

3,5

8,51976912

2

5,2

9,052236652

3

2,2

9,584704185

4

3,6

10,11717172

5

7,1

10,64963925

6

6,9

11,18210678

7

4,1

11,71457431

8

5,3

12,24704185

9

10,1

12,77950938

10

4,8

13,31197691

11

7,7

13,84444444

12

16,8

14,37691198

13

9,8

14,90937951

14

14,5

15,44184704

15

13,7

15,97431457

16

19

16,50678211

17

5

17,03924964

18

12

17,57171717

19

11,3

18,1041847

20

17,5

18,63665224

21

13,1

19,16911977

22

17,9

16,3222

23

9,6

Прогноз на будущее

16,9218

24

21,47

17,5214

25

19,70

18,1209

26

11,40

18,7205

27

23,27

19,3201

28

21,50



29

13,20



Значения урожайности по годам вместе с прогнозными значениями представим на графике:

Проведем расчеты для параметра 5 с применением треугольника Паскаля.



t

y

Скользящая сумма

Скользящая средняя

Прирост

Ускорения

1

3,5









2

5,2









3

2,2

37

3,700





4

3,6

45,1

4,510

0,81



5

7,1

55,7

5,570

1,06

0,25

6

6,9

58,9

5,890

0,320

-0,740

7

4,1

58

5,800

-0,090

-0,410

8

5,3

61,3

6,130

0,330

0,420

9

10,1

72,4

7,240

1,110

0,780

10

4,8

76,9

7,690

0,450

-0,660

11

7,7

93,9

9,390

1,700

1,250

12

16,8

121,5

12,150

2,760

1,060

13

9,8

123,2

12,320

0,170

-2,590

14

14,5

140,8

14,080

1,760

1,590

15

13,7

136,6

13,660

-0,420

-2,180

16

19

139,9

13,990

0,330

0,750

17

5

107

10,700

-3,290

-3,620

18

12

117,1

11,710

1,010

4,300

19

11,3

122,3

12,230

0,520

-0,490

20

17,5

148,7

14,870

2,640

2,120

21

13,1

144,1

14,410

-0,460

-3,100

22

17,9









23

9,6











Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:






Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:



y=1.88+1.11t-0.02



Отобразим ее на графике:

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:



t



23

17,1962

24

17,8133

25

18,4303

26

19,0474

27

19,6644

28

20,2815


Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:







и приведем в следующей таблице:



Значения скользящих средних, полученные по модели

t

Значения у

 

1

3,5

 

2

5,2

8,8125

3

2,2

9,3924

4

3,6

9,9723

5

7,1

10,5522

6

6,9

11,1321

7

4,1

11,7120

8

5,3

12,2919

9

10,1

12,8718

10

4,8

13,4517

11

7,7

14,0316

12

16,8

14,6115

13

9,8

15,1914

14

14,5

15,7713

15

13,7

16,3512

16

19

16,9311

17

5

17,5109

18

12

18,0908

19

11,3

18,6707

20

17,5

19,2506

21

13,1

15,9621

22

17,9

16,5792

23

9,6

Прогноз на будущее

17,1962

24

25,12

17,8133

25

28,25

18,4303

26

-22,12

19,0474

27

49,53

 

28

92,10

 

29

-175,87



Из таблицы видно, что при t=29 значение урожайности отрицательное, чего не может быть в принципе. Этот факт объясняется тем, что исходный ряд плохо аппроксимируется нормальным распределением.

Проведем расчеты при параметре скольжения 9. Данные приведем в следующей таблице:



t

y

Скользящая сумма

Скользящая средняя

Прирост

Ускорения

1

3,5









2

5,2









3

2,2









4

3,6









5

7,1

48

5,333





6

6,9

49,3

5,478

0,144



7

4,1

51,8

5,756

0,278

0,133

8

5,3

66,4

7,378

1,622

1,344

9

10,1

72,6

8,067

0,689

-0,933

10

4,8

80

8,889

0,822

0,133

11

7,7

86,8

9,644

0,756

-0,067

12

16,8

101,7

11,300

1,656

0,900

13

9,8

101,4

11,267

-0,033

-1,689

14

14,5

103,3

11,478

0,211

0,244

15

13,7

109,8

12,200

0,722

0,511

16

19

119,6

13,289

1,089

0,367

17

5

115,9

12,878

-0,411

-1,500

18

12

124

13,778

0,900

1,311

19

11,3

119,1

13,233

-0,544

-1,444

20

17,5









21

13,1









22

17,9









23

9,6











Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:










Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:



y=3.49+1.1t-3.49



Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:



t



23

17,8644

24

18,5200

25

19,1756

26

19,8311

27

20,4867

28

21,1422


Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:







и приведем в следующей таблице:



Значения скользящих средних, полученные по модели

t

Значения у

 

1

3,5

 

2

5,2

 

3

2,2

 

4

3,6

9,9721

5

7,1

10,5981

6

6,9

11,2241

7

4,1

11,8501

8

5,3

12,4761

9

10,1

13,1021

10

4,8

13,7281

11

7,7

14,3541

12

16,8

14,9801

13

9,8

15,6061

14

14,5

16,2321

15

13,7

16,8580

16

19

17,4840

17

5

18,1100

18

12

18,7360

19

11,3

15,2422

20

17,5

15,8978

21

13,1

16,5533

22

17,9

17,2089

23

9,6

Прогноз на будущее

16,6847

24

51,99

16,2773

25

18,31

 

26

3,56

 

27

9,82

 

28

8,38

 

29

13,83

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье



Пусть ряд содержит циклическую составляющую, выраженную некоторой функцией от времени y(t) c известными периодами, нацело делящими n. То есть периоды y(t) задаются числами n/kj, j=1, …, m, где (k1, …,km) – подмножество последовательности целых чисел 1, …, (n-1)/2, если n нечетное. Представим y(t) в виде ряда Фурье – линейной комбинации синусов и косинусов для n нечетного:







Рассмотрим теперь задачу гармонического анализа ряда, состоящую в оценивании параметров a0, ak, bk:







Последовательные значения t определяются 0 с увеличением, равным .

Расчет показателей, необходимых для выравнивания с помощью ряда Фурье, представлен в следующей таблице:







Год

t

y

y cos t

y sin t





y cos 2t

y sin 2t





1

0

3,5

3,5

0

7,765

18,192

3,5

0

8,132

21,456

2

0,273

5,2

5,007

1,403

6,611

1,992

4,443

2,702

6,252

1,107

3

0,546

2,2

1,880

1,143

5,679

12,103

1,012

1,953

4,698

6,242

4

0,820

3,6

2,457

2,631

5,037

2,065

-0,246

3,592

3,721

0,015

5

1,093

7,1

3,266

6,304

4,733

5,602

-4,094

5,800

3,464

13,220

6

1,366

6,9

1,403846

6,756

4,790

4,452

-6,329

2,749

3,938

8,775

7

1,639

4,1

-0,280

4,090

5,203

1,217

-4,062

-0,558

5,016

0,839

8

1,912

5,3

-1,775

4,994

5,942

0,412

-4,111

-3,345

6,474

1,379

9

2,185

10,1

-5,824

8,251

6,952

9,910

-3,382

-9,517

8,049

4,207

10

2,459

4,8

-3,723

3,029

8,158

11,276

0,977

-4,700

9,500

22,090

11

2,732

7,7

-7,06253

3,068

9,471

3,135

5,256

-5,627

10,667

8,803

12

3,005

16,8

-16,644

2,288

10,792

36,090

16,177

-4,533

11,495

28,143

13

3,278

9,8

-9,709

-1,334

12,026

4,953

9,437

2,644

12,030

4,971

14

3,551

14,5

-13,300

-5,777

13,0785

2,021

9,897

10,597

12,383

4,482

15

3,825

13,7

-10,627

-8,646

13,873

0,030

2,787

13,413

12,680

1,040

16

4,098

19

-10,9569

-15,522

14,350

21,618

-6,363

17,903

13,008

35,905

17

4,371

5

-1,674

-4,711

14,475

89,779

-3,879

3,155

13,374

70,119

18

4,644

12

-0,819

-11,972

14,238

5,009

-11,888

1,634

13,698

2,884

19

4,917

11,3

2,299

-11,064

13,657

5,553

-10,364

-4,502

13,836

6,430

20

5,190

17,5

8,051

-15,538

12,774

22,336

-10,092

-14,297

13,620

15,056

21

5,464

13,1

8,941446

-9,574

11,656

2,087

-0,894

-13,069

12,922

0,032

22

5,737

17,9

15,294

-9,301

10,3844

56,485

8,235

-15,893

11,702

38,410

23

6,010

9,6

9,244

-2,590

9,055

0,297

8,202

-4,988

10,041

0,194

n=23

∑

220,7

-21,050

-52,072

220,7

316,615

4,219

-14,886

220,700

295,799





Год

t

y

y cos 3t

y sin 3t

 

(yi-yi2) 

1

0

3,5

3,5

0

6,496

8,976

2

0,273

5,2

3,549

3,800

3,47017

2,992

3

0,546

2,2

-0,150

2,195

2,5366

0,113

4

0,820

3,6

-2,793

2,272

3,55156

0,002

5

1,093

7,1

-7,034

-0,967

5,39523

2,906

6

1,366

6,9

-3,979

-5,637

6,74298

0,025

7

1,639

4,1

0,834

-4,014

6,91425

7,920

8

1,912

5,3

4,528

-2,754

6,26056

0,923

9

2,185

10,1

9,725

2,725

5,85861

17,989

10

2,459

4,8

2,208

4,262

6,72393

3,702

11

2,732

7,7

-2,579

7,255

9,06763

1,870

12

3,005

16,8

-15,409

6,693

12,0877

22,206

13

3,278

9,8

-8,989

-3,904

14,4381

21,512

14

3,551

14,5

-4,856

-13,663

15,0781

0,334

15

3,825

13,7

6,303

-12,164

13,9511

0,063

16

4,098

19

18,295

-5,126

12,0474

48,339

17

4,371

5

4,272

2,598

10,7918

33,545

18

4,644

12

2,441

11,749

11,1343

0,749

19

4,917

11,3

-6,516

9,232

12,9175

2,616

20

5,190

17,5

-17,337

2,383

14,9303

6,603

21

5,464

13,1

-10,162

-8,267

15,6291

6,396

22

5,737

17,9

-1,222

-17,858

14,0876

14,534

23

6,010

9,6

6,553

-7,016

10,5895

0,979

n=23

∑

220,7

-18,815

-26,207

220,7

205,297



Рассчитаем параметры:

a0

a1

b1

a2

b2

a3

b3

9,596

-1,830

-4,528

0,367

-1,294

-1,636

-2,279



Таким образом, получили модели:

- для гармоники первого порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t

- для гармоники второго порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t

- для гармоники третьего порядка =9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t-1.636 cos3t-2.279 sin 3t

Исследуем модель с гармоникой первого порядка



Прогнозные значения

Год

t



24

6,283

7,765199

25

6,556

6,611

26

6,830

5,679

27

7,103

5,037

28

7,376

4,733

29

7,649

4,790



Изучим модель с гармоникой второго порядка



Прогнозные значения



Год

t



24

6,283

8,132054

25

6,556

6,252

26

6,830

4,698

27

7,103

3,721

28

7,376

3,464

29

7,649

3,938



Исследуем модель с гармоникой третьего порядка



Прогнозные значения



Год

t



24

6,283

6,496

25

6,556

3,470

26

6,830

2,537

27

7,103

3,552

28

7,376

5,395

29

7,649

6,743


Выводы



Были рассмотрены четыре метода прогнозирования – аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов, метод экспоненциального сглаживания, метод скользящих средних, и выравнивание при помощи рядов Фурье. Выберем наиболее подходящий метод, который дает наиболее правдоподобный прогноз.

Выравнивание с помощью рядов Фурье дает сумму квадратов ошибок от 200 до 300 (в зависимости от гармоники). Метод экспоненциального сглаживания дает результат получше: для параболического тренда сумма квадратов ошибок колеблется от 36 до 115 (при  сумма квадратов ошибок равна 115; при =0,4 сумма квадратов ошибок 36);Для линейной тенденции сумма квадратов ошибок равна 55. Аналитическое выравнивание МНК дает сумму квадратов ошибок, равную 272. Лучше всего описывает тренд метод скользящих средних с параметром n=3. Он дает сумму квадратов ошибок, равную 63.