Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

29



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»



Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений



Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.



КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ



Дипломная работа



Исполнитель: студентка группы М-51 

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н. 

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н. 

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.







Гомель 2003


Реферат



Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. 

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.




Содержание



Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18) 

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости 

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости 

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре 

Заключение 

Список использованных источников 

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1) 




Введение



Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений



 (0.1)



с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.



 (0.2)


Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений



 (0.3)



В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:



x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0, (0.4)

	mx+ny+p=0 (0.5)

	

	в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные. 

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.


1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ



1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка



Рассмотрим систему дифференциальных уравнений



 (1.1)



Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида: 



, (1.2) 



где Fk(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:



. (1.3) 



Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид: 



F(x,y)x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0 (1.4) 



Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:


(3x2+21xy+1y2+22x+2y+3)(ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+(1x2+

	21xy+31y2+2x+22y+3)(cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)=(x3+1x2y+1xy2+ (1.5)

1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+)(fx+gy+k).



Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):



3a1+1a2-f=0, (1.61)

(2a1+2b2-f)1+2a21-g+6b1=0, (1.62)

21c1+(2b1+2c2-g)1+(6b2-f)1=0, (1.63)

	(4b1+c2-g)1+(a1+4b2-f)1+3a21+3c1=0, (1.64)

	c11+(3c2-g)1=0; (1.65)



c1+(2a1-f)2+a22-k+3a=0, (1.71) 

(2a+d-k)1+2c1+(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+2a22+3b=0, (1.72) 

2b1+(a+2d-k)1+3c1+2c12+(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.73) 

	b1+(3d-k)1+c12+(2c2-g)2=0; (1.74)



(2a-k)2+c2+(a1-f)3+a23=0, (1.81) 

2b2+(a+d-k)2+2c2+(2b1-g)3+(2b2-f)3=0, (1.82) 

b2+(2d-k)2+c13+(c2-g)3=0; (1.83)



	(a-k)3+c3-f=0, (1.91)

	b3+(d-k)3-g=0, (1.92)

k=0. (1.93)


Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда =0. Согласно (1.93) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2=c1=0, а коэффициенты 1, 1, 1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.61) – (1.93) при этих предположениях будут иметь вид:



3a1-f=0, (1.101)

g+6b1=0; (1.102)



(2a1-f)2+3a=0, (1.111) 

(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+3b=0, (1.112) 

(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.113) 

	(2c2-g)2=0; (1.114)



2a2+c2+(a1-f)3=0, (1.121) 

2b2+(a+d)2+2c2+(2b1-g)3+(2b2-f)3=0, (1.122) 

b2+2d2+(c2-g)3=0; (1.123)



	a3+c3-f=0, (1.131)

	b3+d3-g=0. (1.132)



		Из условий (1.101) и (1.102) получаем, что 

	f = 2a1, g = 6b1.

		Из условия (1.114) имеем 

		(2c2-g)2=0.

	Пусть 2, тогда 

	2c2-g=0 и g=2c2,

	с другой стороны g = 6b1, значит 

	c2=3b1.

Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2=3b1, из соотношений (1.111) – (1.113), (1.121), (1.123) и (1.131) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде: 



2 =  , 2 = , 

2 =  , 3 =  , 

	3 =  ,(1.15)

 = .



Равенства (1.122) и (1.132) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2:



(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0, (1.16)



(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0. (1.17)



Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c1=a2= 0, c2= 3b1.


1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка



Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:



mx+ny+p=0. (1.18)



В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа 



	a2=c1=0, c2=3b1. (1.19) 



Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= x+y+, , ,  – постоянные:



	m(ax+by+a1x2+2b1xy)+n(cx+dy+2b2xy+3b1y2)=

	=(mx+ny+p)( x+y+). (1.20)



Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):



(a1-)m= 0, (1.211)

(2b1-)m+(2b2-)n=0, (1.212)

(3b1-)n=0; (1.213)



(a-)m+cn-p=0, (1.221)

bm+(d-)n-p= 0, (1.222)

p= 0. (1.223)


Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p0. Тогда из условия (1.223) получаем, что =0.

Условия (1.221), (1.222) запишутся в виде:



am+cn-p=0, (1.231)

bm+dn-p= 0. (1.232)

		

Из условий (1.211) и (1.213) имеем: 



	(a1-)m= 0,

	(3b1-)n=0.

	

Пусть m0, тогда a1-=0 и

	=a1, (1.24)

	а при n0, получаем, что 3b1-=0 и

	

	=3b1. (1.25) 

	

	Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212) находим выражение коэффициента m:

	

	m=, (1.26)

	

а соотношение (1.231) даст значение коэффициента p: 



p=. (1.27) 




Из равенства (1.232), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):



[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0. (1.28)



Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1=a2= 0, c2= 3b1.



1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)



В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:



(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0, 

(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0, 

[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0. 



Причем b10, a10, 2b1a-ba10.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты 



a1=, b1=1, b2=0.


Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:



a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a2+d2+ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)



Выразим из условия (1.30) коэффициент c 



c=a-b+d, (1.33)



подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d



	d=(-21a+b). (1.34)

	

	Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

	

	b=a.

	

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:



b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

	a1=, b1=1, a2=0, c1=0, b2=0, c2=3b1=3.

	

	Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18): 

	

	2=12a, 2= -a,

	2=a, 3=a2,

						3= -a2,=a3, (1.36)

	m= -n, p= -an.

	

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).




2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ



2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости



Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:



 (2.1)



Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:



x3+12ax2-axy+ay2+a2x-a2y+a3=0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3) 



Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:



8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)



Из (2.4) получаем, что



y0=0, y1=a, y2=a, y3=a. (2.5)


Абсциссы точек покоя имеют вид:



x0=0, x1= -a, x2= -a, x3= -a. (2.6) 



Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765] 





	

Отсюда 



 (2.7)







Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:




==0.

,



Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут



.



Корни  - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка  - седло.



Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:







,

,



то есть 



, .


Корни  - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a0, то точка  - устойчивый узел, если a0, то точка -неустойчивый узел.



Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:



 



, .



Корни  - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .



Исследуем точку  .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:



 

,



Характеристическими числами для точки  системы (2.1) будут



 ,



Корни  - действительные и одного знака.Следовательно точка  - устойчивый узел, если a0 и неустойчивый узел, если a<0 .



2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости



Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:



, (2.8)



которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY. 

Имеем 



 

 



Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:



 (2.9) 



Введем новое время . Система (2.9) примет вид:



 (2.10)



Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем 



 (2.11) 



Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем 



 



Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,). 

Исследуем характер точек N1, N2.

1. Исследуем точку N1(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:



	 (2.12)



Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:







Получим, что 



 



Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N2(0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:









соответственно характеристическими числами будут являться







Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2(0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]



 



Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:



 (2.14)



Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:



 (2.15)



При z=0, получаем:

 (2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем 



 



	Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).

	Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:

	

	

	

	

	

соответственно характеристическими числами будут являться

	

	

	

	Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3(0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.



Таблица 1. 

a

О

А

В

С

∞











 N1

 N2

N3

(-∞;0)

с

У+

с

У-

У+

с

У+

(0;+∞)

с

У-

с

У+

У+

с

У+








Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).





а) (a>0)





б) (a<0)

Рис.1



2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре



Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 -сепаратрисы примыкают к точке А и N1,  - сепаратрисы – к точке С и N3.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256 

Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения  , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.




ПРИЛОЖЕНИЕ 



Поведение траекторий системы (2.1)





а) (а>0)







	б) (а<0)



                                                                                   Рис. 2