Типовой расчет

1. Найти сумму ряда:







Решение.

Разложим знаменатель на множители.







Значит,







Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.







то есть:







, , 



Следовательно,







Тогда, исходный ряд примет вид:







Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:



= 

=  

= 

=  

= 

=  

=  

=  




Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.



.



Тогда искомая сумма равна:



.



Ответ: .



2. Найти сумму ряда:







Решение.

Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.







то есть:







, , , 



Следовательно,







Тогда, исходный ряд примет вид:







Найдём n – первых членов ряда , записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:



=  

=   

=   

=   

=   

=   

=   

=   

Сложим n – первых членов ряда 



 



и найдём их сумму.



.



Тогда искомая сумма равна:







Ответ: .

3. Исследовать ряд на сходимость







Решение.

Так как , то рассмотрим ряд



, тогда








Воспользуемся признаком Даламбера.



, 



Тогда,





Так как , то ряд  сходится. Значит, исходный ряд  сходится по теореме о сравнении рядов.

Ответ: Ряд  сходится.



4. Исследовать ряд на сходимость







Решение.

Преобразуем n – член этого ряда.








Сравним ряд  с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения:



, 



Тогда,







Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд  - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд  тоже сходится.

Ответ: ряд  сходится.

	5. Исследовать ряд на сходимость

	






Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.



, 



Находим m по формуле:







Тогда:





Так как , то ряд  расходится.

Ответ: ряд  расходится.



6. Исследовать ряд на сходимость








Решение.

Рассмотрим ряд



 .



Поскольку  при :







Воспользуемся признаком Даламбера.



, 





Находим m по формуле:







Тогда:












Так как , то ряд  сходится.

Согласно признаку сравнения сходится и ряд .

Ответ: ряд  сходится.

7. Вычислить сумму ряда с точностью α..



 α. = 0,001.



Решение.

Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.



 - числовой знакочередующейся.



Воспользуемся признаком Лейбница:




1) 



2) 





Следовательно, ряд  условно сходится.

Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд .

Воспользуемся признаком Даламбера:



, 



Находим m по формуле:







Тогда:




Следовательно, ряд



  сходится абсолютно.



Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:

а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093

Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность достигнута.

Следовательно:



.



Ответ: .

8. Найти область сходимости функционального ряда







Решение.

Рассмотрим два интервала:

1) 

Проверим необходимый признак сходимости рядов: 

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при  ряд  расходится.

2) , то есть 

Проверим необходимый признак сходимости рядов: 







Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при  ряд  расходится.

При  имеем:







то есть ряд расходится.

Окончательно, получаем ряд расходится  при любом Х

Ответ: 



9. Найти область сходимости функционального ряда








Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера:



.



В данном примере:



 ,

.





Следовательно, ряд  сходится при любом Х, т.е. 

Ответ: .

	10. Найти сумму ряда:

	






Решение.

Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:











то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

При  ряд расходится, так как .

Следовательно, .

Перепишем данный ряд:







Обозначим сумму трёх рядов через ,  и  соответственно, тогда



 .




Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:



1) :









то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

Следовательно, .



2) :









то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

Следовательно, .



3) :









то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

Следовательно, .

Найдём сумму ряда .







Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: , тогда:



.



Найдём сумму ряда .





.



Обозначим сумму ряда в скобках за  и проинтегрируем:





.




Продифференцируем :



.



Отсюда:







сумму ряда .





.



Обозначим сумму ряд в скобках за  и проинтегрируем:







.



Тогда, продифференцируем :








Отсюда:



.



Следовательно:







 для всех .



Ответ:  для всех .