Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностные схемы для уравнений параболического типа



1. Решение задачи Коши



Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности



, , ,  (3.5)



с условием на прямой t=0



, .   (3.6)



Требуется найти функцию , которая при  и  удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при  выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение , непрерывное вместе со своими производными



, i=1, 2 и , k=1, 2, 3, 4.



Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положить







Будем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае



, 



Г − объединение прямых t=0 и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область  сеточной областью . К области  отнесем совокупность узлов , где

 

, , ,

, , , .



Заменим задачу  разностной схемой вида . Обозначим через  точное значение решения задачи  в узле , а через  – соответствующее приближенное решение. Имеем

 







Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:



, (3.7)



, (3.8)



,  (3.9)



 (3.10)



Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи  в узле , разностной схемой  , шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:





 



Рис. 3. Явный и неявный шаблоны



Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него



(3.11)



Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили



.



Введем обозначение 

     (3.12)



Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :



,     (3.13)



где разностный оператор определяется по правилу







Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:



,     (3.14)



где








На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать



,



где 



Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим



,



.



Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве  возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций



. 



Норму в  определим правилом






Пусть , где r и s – некоторые положительные числа.

Предположим, что для  и  верны оценки



, .



Тогда легко получить



, (3.15)



. (3.16)



Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу  с погрешностью порядка S относительно h.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям  вычислить значения на первом слое  . Для этого достаточно в (3.13) положить n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям  можно аналогично при n = 1 вычислить значения  и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений , в правой части будут значения известной функции  и . Для вычисления значений на первом слое  в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.



2. Устойчивость двухслойных разностных схем



Определим норму в пространстве  по правилу



.



Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r,  возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых



, 



имеет место оценка ,

где М – постоянная, не зависящая от  и  и .

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу  в виде



, , (3.17)



.



Пусть выполнено условие



 или .    (3.18)



Тогда из (3.17) получим:



,

или

.   (3.19)



Неравенство (3.19) означает, что при ,  не превосходит , то есть  не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3.19) . Это даст


,

,

.



Заметим, что  есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим



  (3.20)



где обозначено







На основании (3.20) можно записать



 или .



Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на  и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

.      (3.21)



Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени  приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,





Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон



и перепишем ее в виде

 (3.22)



Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения  на первом временном слое со значениями  на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0, получим:


   (3.23)



Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных  .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть , а на прямых x=a и x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение , то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях .

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия , , то вид системы (3.23) существенно изменится:



 (3.24)



Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно . Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения



 



число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка  и устойчива при . Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .