Функция плотности распределения

Задание

	

номер интервала

границы интервалов t

частота m



свыше

до(включительно)



1

57,997

57,999

2

2

57,999

58,001

2

3

58,001

58,003

8

4

58,003

58,005

25

5

58,005

58,007

33

6

58,007

58,009

50

7

58,009

58,011

65

8

58,011

58,013

71

9

58,013

58,015

32

10

58,015

58,017

37

11

58,017

58,019

26

12

58,019

58,021

6

13

58,021

58,023

3






Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений

плотность распределение доверительный математический ожидание

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.

Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки– соответственно эмпирическое среднее  и эмпирическую дисперсию S2, характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений.  и S2 определяются из выражений:







Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:



,

где .



Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h



.




Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:





Середина интервала xi

Эмпирич. частости P’i

mixi

xi-

zi

mixi2

φi(z)

Pi





















57,998

0,006

115,996

-0,01285

2,874965

6727,536

0,006399

0,002863



58

0,006

116

-0,01085

2,4275

6728

0,020956

0,009377



58,002

0,022

464,016

-0,00885

1,980034

26913,86

0,056179

0,025138



58,004

0,069

1450,1

-0,00685

1,532569

84111,6

0,123277

0,055162



58,006

0,092

1914,198

-0,00485

1,085103

111035

0,221427

0,099081



58,008

0,139

2900,4

-0,00285

0,637638

168246,4

0,325553

0,145674



58,01

0,181

3770,65

-0,00085

0,190173

218735,4

0,391793

0,175314



58,012

0,197

4118,852

0,00115

0,257293

238942,8

0,385954

0,172701



58,014

0,089

1856,448

0,00315

0,704758

107700

0,311212

0,139257



58,016

0,103

2146,592

0,00515

1,152223

124536,7

0,20541

0,091914



58,018

0,072

1508,468

0,00715

1,599689

87518,3

0,110976

0,049658



58,02

0,017

348,12

0,00915

2,047154

20197,92

0,049077

0,02196



58,022

0,008

174,066

0,01115

2,494619

10099,66

0,017765

0,007949

Сумма





20883,91





1211493







=

58,01085

S2=

1,99775E-05

S=

0,00446962








Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений



Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - ) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:



,



где N – объем выборки.

Вычисление эмпирических F’i и теоретических Fi значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’i и Pi. Результаты вычислений сведены в таблицу:



Номер интервала

Pi

P’i

Fi

F’i

Fi-Fi'

1

0,002863

0,005556

0,002863

0,005556

0,002692

2

0,009377

0,005556

0,01224

0,011111

-0,00113

3

0,025138

0,022222

0,037379

0,033333

-0,00405

4

0,055162

0,069444

0,092541

0,102778

0,010237

5

0,099081

0,091667

0,191622

0,194444

0,002823

6

0,145674

0,138889

0,337295

0,333333

-0,00396

7

0,175314

0,180556

0,512609

0,513889

0,00128

8

0,172701

0,197222

0,68531

0,711111

0,025801

9

0,139257

0,088889

0,824566

0,8

-0,02457

10

0,091914

0,102778

0,91648

0,902778

-0,0137

11

0,049658

0,072222

0,966138

0,975

0,008862

12

0,02196

0,016667

0,988098

0,991667

0,003568

13

0,007949

0,008333

0,996048

1

0,003952



DN= F'8 – F 8= 0,025801,

N=mi=360,




Тогда получаем:



λ= 0,48953

Для N=0,52   0,05  (1 – 0,05)=0,95 >0,1.



Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.



Определение доверительных интервалов



В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.

Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:

интегральный доверительный интервал математический ожидание





Значения tγ табулированы и равняется tγ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.



		58,00814756 <M< 58,01355244



Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:










Значения χ12, χ22 табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ1, γ2:







Значение χ12 определяем при вероятности (1- γ1), χ22 – при γ2.



χ12=24,1	χ22=4,18



И тогда



0,003024897

<σ<

0,008194587



4. Определение диапазона рассеивания значений



Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .



М  =58,01085

 S =0,00446962

М-3 57.997442

М+3 58.024258



Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001



М±σ





=0,4995 при этом =3,29 (по справочнику)

М-3,29=57,996146

М+3,29=58,025554






Список использованной литературы



Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.