Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)























КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

























Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г.С.

















Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.





Постановка задачи:



Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался  минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.



Порядок решения задачи:



Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.









А					1					Б









4					В					2









Д					3					Г





Найдем кратчайшие расстояния до пункта  А.



пункт i

А

Б

В

Д

1

4

yi

0















28

13

17

8,32

9





16,64















Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij  yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.



yA + l4A=0+9=9  y4=    y4=9

yA + lBA=0+13=13  yB=    yB=13

yA + l1A=0+8,32=8,32  y1=    y1=8,32



Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.



y4 + lB4=9+7=16  yB=13  

y4 + lД4=9+8=17  уД=    yД=17



yВ + lДВ=13+12=25  yД=17

yВ + lБВ=13+15=28  уБ=    yБ=28

yВ + l1В=13+9=22  у1=8,32  



y1 + lВ1=8,32+10=18,32  yВ=13

y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64  уБ=28    yБ=16,64



yД + l4Д=8,32+17=25,32  y4=9

yД + lВД=17+12,32=29,32  yВ=13



yБ + lВБ=16,64+15,32=31  yВ=13

yБ + l1Б=16,64+8=24,64  y1=8,32



Теперь проверим условие lij  yi - yj  для всех дуг сети.



l4A = у4 - уА 	 9=9-0

l4Д  у4 – уД 	 8,329-17

lД4 = уД – у4	 8=17-9 	 

lДВ  уД – уВ	 1217-13

lBA = yB - yA       13=13-0

lBД  yB – yД       12,3213-17

lBБ  yB – yБ       15,3213-16,64

lB4  yB – y4       713-9

lB1  yB – y1       1013-8,32

lБВ  уБ - уВ         1516,64-13

lБ1 = уБ – у1         8,32=16,64-8,32

l1А = у1 – уА         8,32=8,32-0

l1В  у1 – уВ         98,32-13

l1Б  у1 – уБ         88,32-16,64



Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij = yi - yj



Таковыми являются:

l4A = у4 - уА 	   9=9-0

lД4 = уД – у4	   8=17-9 	 

lBA = yB - yA        13=13-0

lБ1 = уБ – у1         8,32=16,64-8,32

l1А = у1 – уА         8,32=8,32-0



Кратчайшие расстояния до пункта А равны:



 пункт

4

Д

Б

1

В

расстояние до А

9

17

16,64

8,32

13





Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.





Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.







А

Б

В

Г

Д

А

---

16

13,32

---

17,64

Б

16,64

---

15

21

---

В

13

15,32

---

15

12,32

Г

---

21,64

15,32

---

16

Д

17

---

12

16,32

---





Математическая модель задачи коммивояжера:



Найти минимальное  значение целевой функции z 

										

              n+1  n+1 					

min z =     lij * xij

                 i=1   j=1



при следующих ограничениях:





из каждого города i нужно уехать только один раз 



n+1

 xij = 1       i=1, ......, n+1

j=1



в каждый город j нужно приехать только один раз:



n+1

  xij = 1        j=1, ......, n+1  

i=1



переменные xij могуть принимать одно из двух значений:  0 или 1, 

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае



решение есть простой цикл





Решение задачи:





А

Б

В

Г

Д

А

---

16

13,32

---

17,64

Б

16,64

---

15

21

---

В

13

15,32

---

15

12,32

Г

---

21,64

15,32

---

16

Д

17

---

12

16,32

---



Б – Г,    Д – В,   В – А,   А – Б,   Г – Д



Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок.  (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы  в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие  элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим.  Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:



А – Б – Г – Д – В – А 



min z = 16+21+16+12+13 = 78







Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий  (на примере АБЗ).





Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части,  потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т



Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.





Затраты на приготовление аб, руб



мощность АБЗ

Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте,  руб, Cpi + E*Kpi уд

т/час

тыс. т/год

1

2

3

4

10

18

484

489

495

481

25

45

423

428

435

420

50

90

405

410

416

401







Затраты на транспортировку 1т  аб потребителям, Сij,  руб



Пункт размещения

Зона-потребитель

1

28,3

60,3

45,3

90,3

2

61,3

30,3

93,3

48,3

3

50,3

95,3

33,3

62,3

4

99,3

54,3

65,3

36,3





Математическая модель транспортной задачи:



                  m     n

min z =    Cij * xij

                 i=1   j=1



Ограничения:



       n

 xij = ai        i=1, ......, m

j=1

	

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.



         m

 xij = bj        j=1, ......, n

i=1

	

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен



xij  0           i=1, ...., m;      j=1, ...., n

xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю





Транспортная таблица:



Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=135

Ui

Ki



433,3

440,3  465,3

449,3  450,3

437,3  495,3

0





X1=90

50







40

0

5/9



433,3  471,3

440,3

449,3  503,3

437,3  458,3

0





X2=90



60





30

0

6/9



433,3  466,3

440,3  511,3

449,3

437,3  478,3

0





X3=90





45



45

0

½



433,3  500,3

440,3  455,3

449,3  466,3

437,3 

0





X4=90







70

20

0

7/9

Vj

433,3

440,3

449,3

437,3

0









Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф= аi  -  bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год



В верхний правый угол клеток вносится суммарная  величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб,  Сpi + E*Kpi + Cij

 

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.



Проверяем план на вырожденность:

m + n  - 1 = 8  =  8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.



Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).



Проверяем план на оптимальность:

число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj  Сpi + E*Kpi + Cij



Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.



Определяем значения коэффициентов интенсивности.



Ki =  xij / xi



 xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xi – мощность i-го АБЗ



Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.



Отыскиваем  смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка. 



Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.



Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=90

Ui

Ki



433,3

424,3  465,3

450,3

421,3  495,3

-16  0





X1=90

50



40





-16

1



449,3  471,3

440,3

466,3  503,3

437,3  458,3

0





X2=90



60





30

0

6/9



449,3  485,3

440,3  530,3

466,3  468,3

437,3  497,3

0





X3=45









45

0

0



449,3  500,3

440,3  455,3

 466,3

437,3 

0





X4=90





5

70

15

0

15/18

Vj

449,3

440,3

466,3

437,3

0







Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.



Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki



433,3

     439,3  465,3

450,3

421,3  495,3

-18  0





X1=90

50



40





-16





452,3  489,3

 458,3

 469,3 521,3

440,3  476,3

1  0





X2=45



   45  _





   +

3





451,3  485,3

 457,3  530,3

  468,3

439,3   497,3

0





X3=45





      0   +



   _   45

2





449,3  500,3

  455,3

 466,3

437,3 

 -2  0





X4=90



   15   +

     5      _

70



0



Vj

449,3

455,3

466,3

437,3

-2









Для одной свободной клетки не выполняется условие                                          Ui + Vj  Сpi + E*Kpi + Cij  поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.





Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki



433,3

     440,3  465,3

450,3

422,3  495,3

-18   0





X1=90

50



40





-18

1



 451,3  489,3

 458,3

  468,3  521,3

440,3  476,3

  0





X2=45



40





5

0

8/9



  451,3  485,3

 458,3  530,3

  468,3

 440,3   497,3

0





X3=45





5



40

0

1/9



 448,3  500,3

  455,3

465,3  466,3

437,3 

-3  0





X4=90



20



70



-3

1

Vj

451,3

458,3

468,3

440,3

0







План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.





 









Мощность АБЗ

Спрос зон-потребителей, тыс.т/год

тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=18

Ui

Ki



433,3

     439,3  465,3

450,3

421,3  495,3

-78  0





X1=90

50



40





-16

1



 452,3  489,3

 458,3

 469,3   521,3

440,3  476,3

-59  0





X2=45



45







3

1



  511,3  545,3

 517,3  590,3

 528,3

  499,3  557,3

0





X3=18





0



18

62

0



 449,3  500,3

  455,3

 466,3

437,3 

 -62  0





X4=90



15

5

70



0

1

Vj

449,3

455,3

466,3

437,3

-62







План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.





Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.



Вариант размещения

Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год

Значение целевой функции, zi, тыс.руб.



М1

М2

М3

М4



1

50

60

45

70

98912,5

2

90

60

0

75

99037,5

3

90

40

5

90

100067,5

4 -наилучший

90

45

0

90

100072,5



















1



10