Математическая статистика

СОДЕРЖАНИЕ



Задание 1 

Задание 2 

Задание 3 

Задание 4 

Задание 5 

Задание 6 

Задание 7

Задание 8 

Задание 9 

Задание 10

Задание 11

Задание 12 

Задание 13 

Задание 14 

Литература




Задание 1. Исследовать сходимость рядов:



а) 



Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера







Ряд сходится.



б) 



Решение:

Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:



p ===

== =5



Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.


Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:







Решение:

Рассмотрим ряд из модулей:







Сравним его с рядом 

Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения:







Ряд  исследуем при помощи интегрального признака:







т.е. ряд  расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теореме Лейбница 



|= 

Задание 3. Найти область сходимости ряда:







Решение:

Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :







Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:









Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором 



 



Следовательно, полученный ряд расходится.









Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:









Значит, полученный ряд сходится.

Областью сходимости заданного ряда является промежуток . 



Задание 4. Вычислить с точностью



ε = 0,001  .



Решение:

Так как 83 является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых: 



520 = 83 + 8. 



Тогда 



 =  = 8 = 8(1+0,001562)1/3 =

=8 =

= 8+ 0,0416-0,0002272+…

Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,



  8 + 0,0416  8,0416



Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла  дифференциального уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию: 







Решение: 

Воспользуемся разложением







Так как по условию х = 0, то будем иметь







Найдем коэффициенты при х:



 ;

 ,  .

Подставляя найденные значения в формулу, получим








Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.



Решение:

Определимся с событием:

А – среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных.

Вероятность этого события: 

Число всех элементарных исходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числу сочетаний:







Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию А :







Тогда, искомая вероятность равна:



 




Задание 7. В двух партиях 38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное?



Решение:

Определимся с событиями:

А1 – выбор доброкачественного изделия из первой партии, 

выбор бракованного изделия из первой партии,

А2 – выбор доброкачественного изделия из второй партии,

выбор бракованного изделия из второй партии.

Тогда 





.



а) А – хотя бы одно изделие бракованное.







б) В – оба изделия бракованные.



.



в) С – одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное.




.



Задание 9. Из 1000 ламп пi принадлежит i-ой партии, i = 1, 2, 3,  В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная. 







Решение:

Так как , то 



 



Определимся с событиями:

А – выбрана бракованная лампа;

выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.

Найдем вероятности событий Вi :



п = 90 + 690 + 220 = 1000 ,





Найдем вероятности события А при условии, что события Bi ( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдем вероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой, 2-ой, 3-ей партий :








По формуле полной вероятности найдем искомую вероятность:







Задание 9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет тi % изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-ым заводом.



.



Решение:

Определимся с событиями:

А – купленное изделие первосортное;

изделие выпущено i-ым заводом, .

Запишем вероятности событий Вi :







Запишем условные вероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом:






Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса:









Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:



 



k1 = 75;

k2 = 90

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа :







где Ф(х) – функция Лапласа,







Найдем х1 и х2 :








Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , получим 



.



По таблице найдем :







Искомая вероятность



 



Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х1 и х2 , причем . Известна вероятность р1 = 0,7 возможного значения х1, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.



Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х2 равна 



р2 = 1 – р1 = 1 – 0,7 = 0,3.



Запишем закон распределения ДСВ Х :



Х

х1

х2

р

0,7

0,3



Для нахождения значений х1 и х2 составим систему уравнений и решим ее:

 или ;



 или 





7x12+  =19 (x 3) 

70x12-182x1+112 = 0









По условию задачи . Следовательно, задаче удовлетворяет только решение , и искомый закон распределения будет иметь вид:



Х

1

2

р

0,7

0,3




Задание 12. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Требуется найти:

а) функцию плотности распределения ;

б) математическое ожидание ;

в) дисперсию ;

г) среднее квадратическое отклонение .

Построить графики функций  и .



 



Решение:

а) Найдем функцию плотности распределения НСВ Х :







б) Найдем математическое ожидание НСВ Х :







в) Найдем дисперсию НСВ Х :





г) Найдем среднее квадратическое отклонение НСВ Х :







График функции распределения:







График функции плотности распределения:








Задание 13. Задано статистическое распределение выборки. Требуется:

а) найти распределение относительных частот;

б) построить полигон относительных частот;

в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности. 



xi

1

3

4

6

7

ni

20

10

14

6

10





Решение:



а) Найдем объем выборки:







Относительные частоты определяем по формуле : 







Запишем распределение относительных частот :

xi

1

3

4

6

7

wi

0,33

0,17

0,23

0,1

0,17



Контроль: 




б) Построим полигон относительных частот:







в) Эмпирическая функция







где  число вариант, меньших х ; 

п – объем выборки, может быть представлена в виде:







Тогда, искомая эмпирическая функция будет иметь вид :






Строим график функции 







г) Несмещенной оценкой математического ожидания в генеральной совокупности является выборочная средняя:







Найдем эту оценку:



xв =  (1∙20+3∙10+4∙14+6∙6+7∙10) = = 3,53;



Несмещенной оценкой дисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия:



 



где DB – выборочная дисперсия. 

Найдем выборочную DВ :




= 





=  (400+300+784+216+700) – 12,46 = 27,54;



Найдем исправленную дисперсию, т.е несмещенную оценку генеральной дисперсии:







Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служит исправленное среднее квадратическое отклонение:



.



Найдем эту оценку:



.




Задание 14. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице 



Х

Y

7

14

21

28

35

42

10

5

1

-

-

-

-

15

-

6

5

-

-

-

20

-

-

6

35

9

-

25

-

-

8

9

2

-

30

-

-

-

7

1

6















Решение:

□ Определим частоты , т.е. суммы частот появления значений у в каждой строке таблицы. Аналогично, найдем частоты . Очевидно, что , т.е. суммы частот равны объему выборки. В результате получим таблицу:



Х

Y

7

14

21

28

35

42

ny

10

5

1

-

-

-

-

6

15

-

6

5

-

-

-

11

20

-

-

6

35

9

-

50

25

-

-

8

9

2

-

19

30

-

-

-

7

1

6

14

nx

5

7

19

51

12

6

n=100

















Уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:



,




где выборочный коэффициент корреляции.

Найдем значения параметров выборочного уравнения линии регрессии:





;



;

;



;



;

;







;

.



Подставляем полученные значения параметров в выборочное уравнение регрессии:




.



Тогда выборочное уравнение регрессии примет окончательный вид:



.




ЛИТЕРАТУРА



1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 506с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1986. – 415с.

3. Доценко А.Д., Нагулин Н.И. Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика” (Ряды). Харьков: ХИРЭ, 1992. – 38с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с. 





23