Математическое моделирование

Постановка задачи и анализ исходных данных



Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.

Данный курсовой проект ставит перед собой цель выяснить насколько эффективна деятельность фирмы в долгосрочном периоде при выборе вектора х=(х1,х2) затрат из пространства затрат.

Поэтому задача максимизации прибыли в долговременном промежутке имеет следующий вид;

PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2)        max (х1,х2  > 0),где 

p(х1,х2) - функция спроса;

f(х1,х2) - производственная функция выпуска;

с(х1,х2) - функция затрат.





Будут использоваться данные:



КАПИТАЛ

ТРУД

ВЫПУСК

ЦЕНА

ЗАТРАТЫ

1,05

1,03

1,50

25,44

5,10

2,00

2,90

4,20

15,11

10,20

3,00

6,00

7,43

10,60

19,40

4,00

9,00

9,60

8,57

27,00

5,00

12,00

12,15

7,34

36,00

6,00

15,30

15,75

6,45

42,60

7,00

18,00

18,45

5,87

50,00

8,00

21,00

21,45

5,39

58,00

9,00

24,00

24,30

5,00

66,00

10,00

27,00

26,85

4,67

74,00

11,00

30,00

30,15

4,40

82,00

12,00

33,00

33,00

4,17

90,00

13,00

36,00

36,75

3,97

99,00

14,00

39,00

41,28

3,79

107,00

15,00

42,00

42,30

3,63

120,00



Зависимые переменные : выпуск, цена, затраты.

Независимые переменные: капитал (х1) и труд (х2), которые удовлетворяют выше приведенным условиям.



Исходя из заданных данных необходимо определить вид и параметры функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.


 




Определение вида и параметров функции спроса, достоверности параметров, качества регрессии.





















                 Функция спроса - функция цены выпускаемой продукции в зависимости от       объемов затрачиваемых ресурсов.





































КАПИТАЛ

ТРУД

ЦЕНА



LN x1

LN x2

LN y





1,05

1,03

25,44



0,05

0,03

3,24





2,00

2,90

15,11



0,69

1,06

2,72





3,00

6,00

10,60



1,10

1,79

2,36





4,00

9,00

8,57



1,39

2,20

2,15





5,00

12,00

7,34



1,61

2,48

1,99





6,00

15,30

6,45



1,79

2,73

1,86





7,00

18,00

5,87



1,95

2,89

1,77





8,00

21,00

5,39



2,08

3,04

1,68





9,00

24,00

5,00



2,20

3,18

1,61





10,00

27,00

4,67



2,30

3,30

1,54





11,00

30,00

4,40



2,40

3,40

1,48





12,00

33,00

4,17



2,48

3,50

1,43





13,00

36,00

3,97



2,56

3,58

1,38





14,00

39,00

3,79



2,64

3,66

1,33





15,00

42,00

3,63



2,71

3,74

1,29























12,62

-38,59

50,48



-0,36

-0,23

3,26

26,00



3,19

9,51

8,90



0,00

0,00

0,00

1,00



0,83

2,60

#Н/Д



1,00

0,00

#Н/Д





29,14

12,00

#Н/Д



8736032,75

12,00

#Н/Д





393,61

81,06

#Н/Д



4,35

0,00

#Н/Д























значение распределения Стьюдента





значение распределения Стьюдента





3,95

-4,06

5,67



-280,59

-132,26

7866,80

25,99



Критическое значение Стьюдента







критич. Знач. Стьюдента=стьюдраспобр









2,18







2,18









Достоверен

достоверен

достоверен



достоверен

достоверен



достоверен





















Критическое распределение Фишера







критическое распределение Фишера



























0,00002







1,04959E-37









29,14>0,00002







8736032,75>1,04959Е-37









R2-достоверен







R2-достоверен



























Выбираем степенную ф-ю т.к. у степенной ф-ции три достоверных параметра. Коэф. Детерминации равен 1 (1>0,83), Fстатистика больше, чем у линейной (8736032,75>29,14).





















































p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2







Параметры:

b0

b1

b2













26,00

-0,23

-0,36



 




Определение вида и параметров функции затрат, достоверности параметров, качества регрессии.































Функция затрат - функция от двух переменных - факторов производства - капитала и труда.

















































КАПИТАЛ

ТРУД

ЗАТРАТЫ











1,05

1,03

5,10











2,00

2,90

10,20











3,00

6,00

19,40











4,00

9,00

27,00











5,00

12,00

36,00











6,00

15,30

42,60











7,00

18,00

50,00











8,00

21,00

58,00











9,00

24,00

66,00











10,00

27,00

74,00











11,00

30,00

82,00











12,00

33,00

90,00











13,00

36,00

99,00











14,00

39,00

107,00











15,00

42,00

120,00



























1,96

2,21

0,00











0,30

0,82

#Н/Д











1,00

1,54

#Н/Д











3818,56

13,00

#Н/Д











18116,82

30,84

#Н/Д



























значение распределения Стьюдента















6,54

2,70

#Н/Д











критическое значение Стьюдента















2,16















достоверен

достоверен





























критическое распределение Фишера































9,92626E-19















3818,56>9,92626Е-19















R2-достоверен































Функция затрат имеет вид линейной функции.









c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2





















Параметры:

c1

c2













2,21

1,96









 




Оптимизация

















Общая постановка задачи:

















Определив вид и параметры функций спроса, производственной функции и функции затрат ,мы можем преобразовать уравнение прибыли соответственно с нашим решением.





















































a0

1,54

b0

26,00





КАПИТАЛ

ТРУД

f(x1,x2)=F

a1

0,43

b1

-0,23

c1

2,21

1,05

1,03

1,60

a2

0,57

b2

-0,36

c2

1,96

2,00

2,90

3,81













3,00

6,00

6,86

PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2)





прибыль (1)





4,00

9,00

9,78

Найденные уравнения регрессии:











5,00

12,00

12,68

p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2





ф-я спроса (5)





6,00

15,30

15,75

f(x1,x2)=F=a0*x1a1*x2a2





произв. ф-я (6)





7,00

18,00

18,47

c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2





ф-я затрат (7)





8,00

21,00

21,36

из этого следует, что











9,00

24,00

24,24

PR=a0*b0*x1(a1+b1)*x2(a2+b2)-c1x1-c2x2











10,00

27,00

27,13

далее решим систему уравнений











11,00

30,00

30,01

qPR/qx1=0

(2)









12,00

33,00

32,89

qPR/qx2=0











13,00

36,00

35,78













14,00

39,00

38,66

Решение :











15,00

42,00

41,54



















a0*b0*(а1+в1)*x1(a1+b1-1)*x2(a2+b2)-c1=0

















a0*b0*x1(a1+b1)*(а2+в2)*x2(a2+b2-1)-c2=0



































При упрощении выражения получается уравнение вида:



































x2/x1=(c1*(a2+b2))/(c2(a1+b1))



































Обозначим правую часть уравнения через коэффициент К:





































x2/x1=K



К=

1,18



























Cледовательно:



















x2/x1=1,18





х1=х2/1,18 , х2=х1*1,18



























Выразив х1 через х2 и решив систему уравнений получаем оптимальные значения х1опт  и х2опт







































x1o=

9,48















x2o=

11,20











Для проверки правильности нахождения экстремума необходимо произвести расчет по формулам ( 3) и ( 4 ):























































q2PR(x1,x2)/qx12<0





для оптимальных значений х1,х2





( 3 )





















Подставив свои значения получаю формулу:



















а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2)<0











-0,19

<0





















(q2PR(x1,x2)/qx12)*(q2PR(x1,x2)/qx22)-(q2PR(x1,x2)/qx1х2)2>0













( 4 )



















Представим формулу в виде:







А*В-D2>0



























А=а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2)

















В=а0*в0*(а2+в2)*(а2+в2-1)*х1(а1+в1)*х2(а2+в2-2)

















D=а0*в0*(а1+в1)*(а2+в2)*х1(а1+в1-1)*х2(а2+в2-1)



































Найдем значения А,В и D:



































А =

-0,19















B =

-0,14















D =

0,04

































Подставим эти значения в формулу:







0,024

>0

























Вывод:

Найденные значения х1опт и х2опт являются оптимальным решением системы уравнений .

































При подстановке этих значений мы получим максимум прибыли(1)  и максимум выпуска (5)













61,37

















6,50





















График прибыли от двух переменных







































PR=f(х1,х2)













 




Построение графиков изоквант и изокост.

































Капитал

Труд

Изокванта 

Изоклиналь

Изокоста 

Параметры







1,05

1,03

58,90

1,24

20,71









2,00

2,90

36,23

2,36

19,63

а0

1,54





3,00

6,00

26,68

3,54

18,51

а1

0,43





4,00

9,00

21,47

4,73

17,38

а2

0,57





5,00

12,00

18,15

5,91

16,25

с1

2,21





6,00

15,30

15,82

7,09

15,12

с2

1,96





7,00

18,00

14,08

8,27

14,00

yо

16,05





8,00

21,00

12,73

9,45

12,87









9,00

24,00

11,65

10,63

11,74

g опт

0,89





10,00

27,00

10,76

11,81

10,61









11,00

30,00

10,01

13,00

9,49

с0

42,90





12,00

33,00

9,38

14,18

8,36









13,00

36,00

8,83

15,36

7,23

х1опт

9,48





14,00

39,00

8,35

16,54

6,10

х2 опт

11,20





15,00

42,00

7,92

17,72

4,98

в0

26,00















в1

-0,23















в2

-0,36







Для построения графиков используются расчеты по следующим формулам:

















Изокванта



х2(х1)=(у0/(а0*х1a1)^(1/a2)













Изоклиналь



x2(x1)=gопт.*(a2/a1)*x1













Изокоста



x2(x1)=(c0-c1*x1)/c2













а также:

















Оптимальный выпуск



у0=а0*х1опт.a1*x2опт.a2













Предельная норма замещения 



gопт.=(a1*x2опт)/(а2*х1опт)













Затраты оптимального варианта



 с0=с1*х1опт.+с2*х2опт.












 


Анализ свойств производственной функции и возможности замещения ресурсов.

































































a0

1,54



Капитал x1

Труд x2

ПЭ по х1

ПЭ по х2

F

Е х1

Е х2

ПНЗ g

a1

0,43



1,05

1,03

0,65

0,89

1,60

0,43

0,57

0,74

a2

0,57



2,00

2,90

0,82

0,75

3,81

0,43

0,57

1,09

b0

26,00



3,00

6,00

0,98

0,65

6,86

0,43

0,57

1,51

b1

-0,23



4,00

9,00

1,05

0,62

9,78

0,43

0,57

1,70

b2

-0,36



5,00

12,00

1,09

0,60

12,68

0,43

0,57

1,81

c1

2,21



6,00

15,30

1,13

0,59

15,75

0,43

0,57

1,92

c2

1,96



7,00

18,00

1,13

0,58

18,47

0,43

0,57

1,94







8,00

21,00

1,15

0,58

21,36

0,43

0,57

1,98

x1o=

9,48



9,00

24,00

1,16

0,58

24,24

0,43

0,57

2,01

x2o=

11,20



10,00

27,00

1,17

0,57

27,13

0,43

0,57

2,04







11,00

30,00

1,17

0,57

30,01

0,43

0,57

2,06







12,00

33,00

1,18

0,57

32,89

0,43

0,57

2,07







13,00

36,00

1,18

0,57

35,78

0,43

0,57

2,09







14,00

39,00

1,19

0,57

38,66

0,43

0,57

2,10







15,00

42,00

1,19

0,56

41,54

0,43

0,57

2,11

оптима





9,48

11,20

0,73

0,82

16,05

0,43

0,57

0,89

Оптимальное расчитано для оптимальных значений х1,х2





















Предельная эффективность характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества производственного ресурса .





































































ПЭ1-Предельная эффективность ресурса х1









qf/qx1>=0





















ПЭ1=а0*а1*х1(а1-1)*х2а2











ПЭ2-Предельная эффективность ресурса х2









qf/qx2>=0





















ПЭ2=а0*а2*х1а1*х2(а2-1)





























Вывод: Проанализировав расчеты в таблице можно увидеть , что малый прирост капитала ведет к увеличению прироста выпуска , а прирост труда ведет к его уменьшению .





































































F-Функция выпуска









F=а0*х1а1*х2а2









Помимо предельной эффективности в качестве характеристики изменения выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов используют также отношение этих величин , которое принято называть эластичностью выпуска по отношению изменения затрат i-го ресурса.





















































































Эластичность выпуска  показывает на сколько процентов возрастет объем продукции при увеличении затрат ресурсов на 1 % по отношению к изменению затрат.





































































Еi -Эластичность выпуска по ресурсу хi









Ei(x)=xi/f(x)*qf/qxi











Е1-Эластичность выпуска по ресурсу х1









E1=(х1/F)*а0*а1*х1(а1-1)*х2а2











Е2-Эластичность выпуска по ресурсу х2









E2=(х2/F)*а0*а2*х1а1*х2(а2-1)































Вывод:Наша производственная функция характеризуется постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменению ресурсов.

































































Предельная норма замещения одного ресурса другим ( величина g) показывает сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса , если выпуск продукции остается неизменным.

























































































g-Предельная норма замещения 









g=qx2/qx1=(qf/qx1)/(qf/qx2)











































g=(а1*х2)/(а2*х1)































Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства.Последняя характеризует изменение выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов и выражена математически в умножении всех компонентов вектора х на скаляр t.Скалярная функция f(x) является однородной функцией степени d ,если для любого вектора х и любого скаляра t она удовлетворяет соотношению :









































































































































0<t<1





f(tx)=tdf(x)































f(x)=а0*х1а1*х2а2





f(tx)=а0*(t*х1)а1*(t*х2)а2=t(a1+a2)*а0*х1а1*х2а2









d=a1+a2































d=

1,00

, т.е. d=1



































Вывод:Функция характеризуется постоянной отдачей от расширения масштаба производства.

































































Для характеристики последствий изменения масштаба производства вводят показатель Е(х) , называемый эластичностью производства и определяемый следующим образом:



































































































E(x)=

lim     

t

qf(tx)

















t     1

f(tx)

qt























Этот показатель характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов х.











































































т.к. f(tx)=tdf(x),то



 Е(х)=d=1