Теория устойчивости

Введение



Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский. 











1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений



x’ = f ( t ,  x ) 





                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                		       (1) 



с начальными условиями         x ( t0 ) = x0                                                          (2)  

где   x  =  ( x1, x2, ... , xn ) - 	n - мерный вектор; t    I = [t0, +     [  - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;



f ( t, x ) = ( f1 ( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

        Комментарии к задаче  Коши  (1),  (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида    x’= f ( t , x ) с начальным условием  x ( t0 ) = x0. С целью упрощения  все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1. 

    

          x

















        0                                                     t

                               Рис.1                                    

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию  x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2)  удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t0 , x0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные (  t0 , x0 )  изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) =  x ( t ; t0 , x0 ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t0 , x0 ) приводят к существенному изменению решения    x ( t ; t0 , x0 )  , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные  ( t0 , x0 )  получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных. 

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) =  x ( t ; t0 , x0 ) , вызванное отклонением    x0 начального значения x0 , будем записывать следующим образом: 

| x ( t ; t0 , x0 +   x0 ) - x ( t ) |  = | x ( t ; t0 , x0 +   x0 ) - x ( t ; t0 , x0 ) |.



Определение 1.   Решение  x ( t ) =  x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по  x0  на интервале           I = = [ t0, +     [ , т.е.      > 0        > 0 такое, что        x0 

|    x0 |              | x ( t ; t0 , x0 +   x0 ) - x ( t ) |                 t    t0.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t      +      для достаточно малых     x0 , т.е.       > 0       x0.

|    x0 |               | x ( t ; t0 , x0 +   x0 ) - x ( t ) |       0 , t      +      .           (3)

то решение  x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении. 

Комментарий к определению  1.  1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение  х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t0 , x0 +   x0 ) , близкие в начальный момент t0 к решению x ( t )  (т.е. начинающиеся в пределах   - трубки ) , не выходят за пределы     - трубки при всех значениях t   t0 . 

     

          x

















        0                                                     t

                               Рис.2                                    



2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x1 ( t ) , начинающееся в момент t0 в    - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t )  (рис.2). Трубка радиуса    называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x2 ( t ), начинающееся при t = t0  за пределами области притяжения, но в пределах   - трубки, не покидает     - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).



Определение 2.   Решение x ( t )  =  x ( t ; t0 , x0 )  системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении. 

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы     - трубки (рис.3). 

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1. 

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол    ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия. 



    

          x

















        0                                                     t

                               Рис.3                                        			Рис.4



Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе  (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

                                               y’  = F ( t, y ).                                         (4)

где  F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) ,  F (t, 0)     0         t    t0.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t)    0 системы (4). 

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0        t    t0, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения    x ( t )     0  системы (1). 



Определение 3.   Нулевое решение x ( t )    0  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если       > 0         =    (    )  > 0 такое, что     x0

         |    x0 |              | x ( t ; t0 , x0  ) |                 t    t0.

Если кроме того, 

       > 0           x0        |    x0 |               | x ( t ; t0 , x0  )  |       0 , t      +      ,

то решение  x ( t )     0  системы (1)  называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) . 

Определение 4.     Нулевое решение   x ( t )     0  системы  (1)  называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е. 

       > 0        t1 > t0         > 0    x0     0     |  x0 |              | x ( t ; t0 , x0  ) |   >     .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения  x ( t )     0 системы (1)  дана соответственно на рис.5-7. 



 









      x









                                                          t

     0









Рис.5

      x









                                                          t

     0









Рис.6









      x









                                                          t

     0









Рис.7













































2.  Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.  

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

			dx / dt = f ( x ).						   (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая     , которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t )      ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1 , ... , xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде  t = t , x1 = x1 ( t ), ... , xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n  = 2 , т.е. когда Rn+1  - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn  - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б -  ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

       

                              x2					 		         x2

                               















		0			                                 t	    	         0		    x1









            x1              

                	 	а) 		                	Рис.8			б)

                     

Определение 5.  Точка ( a1, a2 , ... , an ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2 , ... , fn  системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где  a = ( a1 , a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) . 

Если ( a1 , ... , an ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t )     0 , т.е. f ( 0 )  = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот. 

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями    - трубки и     -  трубки являются окружности с радиусами     и    . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах      - окружности, не покидают      - окружность       t    t0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения     , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой      - окружности и всех     > 0  существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11). 

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

				dx / dt =  A x, 					   (6)

где  A - постоянная матрица размера n    n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах. 

     

                          x2









                           0                        x1  













                         Рис.9

     

                          x2









                           0                        x1  













                        Рис.10



     

                          x2









                           0                        x1  













                         Рис.11













































3. Простейшие типы точек покоя. 

 Пусть имеем систему дифференциальных уравнений 

     dx / dt = P ( x , y ), 

   											(A)

     dy / dt = Q ( x , y ).



Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0. 

Рассмотрим систему

     dx / dt = a11 x + a12 y, 

   											(7)

     dy / dt = a21 x + a22 y.



где  aij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

			 x =    1  e k t   ,    y =     2 e k t  .					(8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение 

				a11 - k		a12

								=   0.				(9)

				a21		a22 - k



Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1  >  0, k2  > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел). 

3) k1  > 0, k2  <  0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1  = 0,  k2  >  0. Точка покоя неустойчива.

5) k1  = 0,  k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные :           k1 = p + q i, k2 = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q     0.  Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус). 

2) p > 0 , q     0.  Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q     0.  Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет. 

III. Корни кратные: k1  = k2 . Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел). 

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел). 

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя. 

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

		dxi		  n

			=	     ai j xj      		( i = 1 , 2 , ... , n )			(10)

		dt		 i=1



характеристическим уравнением будет 

		a11 - k		a12		a13	...	a1n

		a21		a22 - k		a23 	...	a2n		=  0. 		(11)

 		.	.	.	.	.	.	.	.			

		an1		an2		an3 	...	ann - k



1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t )     0   ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива. 

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi ( t )     0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива. 

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t )     0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами   

      .

     x  = a11 x + a12 y, 

      .											(12)

     y  = a21 x + a22 y



характеристическое уравнение (9) приводится к виду 

k2 + a1 k + a2  = 0.

1) Если a1 > 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво. 

2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2  > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически. 



 4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе. 

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия. 

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

	D (     ) =       n  + a1      n-1 + a2      n-2  + ... + an  = 0. 		(13)

Зная его корни     1 ,    2 , ... ,     n ,  характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

	D (     ) =  (    -     1 ) (    -     2 ) ... (    -     n ).			(14)

    



	          Im			       Im















		 0	Re		           0		      Re









		а)				б)



Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней     и    i  ;      

б - для четырех корней     1 ,   ‘1 ,    2 ,   ‘2





Графически каждый комплексный корень      можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов  (    -     i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что       = j      ; тогда определяющей является точка     на мнимой оси (рис.12,б). При изменении       от  -     до +      векторы j    -      1 и j       -     ‘1   комплексных корней       и       ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно +     ,  а векторы   j       -     2   и j       -     ‘2 повернутся  по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно  -     . Таким образом, приращение аргумента   arg( j       -     i )  для корня характеристического уравнения     i , находящегося в левой полуплоскости, составит +      , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, -      . Приращение результирующего аргумента      arg D( j     ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит   

    arg D( j     )  = ( n - m )     - m          = ( n - 2m )     .   		(15)

   -     <      <           для левой 	для правой

                           полуплоскости    полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена 

D ( j     ) = ( j     )n + a1 ( j     )n-1 + a2 ( j     )n-2 + ... + an 		(16)

содержит лишь четные степени      , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

			arg D ( j     ) = - arg D ( -j     ), 				(17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале      от 0 до      . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена 

		    arg D( j     )  =  ( n - 2m )    / 2 .	   			(18)

		                0        <   

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента 

		    arg D( j     )  =   n     / 2 .	   				(19)

		                0        <   

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n  квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы). 

   

   		         j V’					    j V’













	

			 0			     U’		        0 			        U’













			  а)					          б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ;  б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах



Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.