Многочлены над кольцом классов вычетов

Многочлены над кольцом классов вычетов 

Курсовая работа по математике

Ставропольский государственный институт

Ставрополь, 2004 г.

1. Определение многочлена.

В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида , где a - некоторое число, x - буква, m - целое неотрицательное число. Одночлен  отождествляется с числом a, так что числа рассматриваются как одночлены. Далее, одночлены называются подобными, если показатели при букве x одинаковы. Подобные одночлены складываются по правилу , называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. В полиноме порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединить, согласно приведению подобных членов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме , с расположением членов в порядке убывания показателей. Иногда оказывается удобным записывать члены полинома в порядке возрастания показателей.

Буква x обычно обозначает произвольное число. Иногда x считают переменной, тогда полином задает функцию от x, называемую целой рациональной функцией.

Два полинома называются формально равными, если они, в канонической записи, составлены из одинаковых одночленов. Ясно, что формально равные полиномы равны тождественно, т.е. принимают одинаковые значения при каждом значении буквы x. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Наша задача сейчас состоит в том, чтобы несколько расширить понятие полинома. Пусть K - некоторое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и пусть x - буква, посторонняя для кольца K. Одночленом от буквы x с коэффициентом из K называется выражение , где , m - целое неотрицательное число. Считается, что , так что элементы кольца K являются одночленами частного вида. Выражение  рассматривается как формальная запись. Для одночленов естественным образом определяются действие приведения подобных членов  и действия умножения . Формальное выражение, состоящее из нескольких одночленов, соединенных знаком +, называется многочленом или полиномом от x с коэффициентами из K. Предполагается, что порядок следования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять, а также вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами. Без нарушения общности можно считать полином записанным в канонической форме  (т.е. в порядке убывания степеней) или в порядке возрастания степеней .

2. Операции над многочленами.

Два полинома считаются равными, если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е.  в том и только в том случае, если .

Суммой двух полиномов называется полином, получающийся посредством объединения одночленов, составляющих слагаемые. Разумеется, после объединения следует привести подобные члены. Таким образом,   , где . (Если многочлены f(x) и g(x) имеют разное число одночленов, то, подписав необходимое число одночленов с нулевыми коэффициентами к одному из них, в котором число одночленов меньше, можно добиться их равенства в обоих многочленах). Поэтому складывать можно многочлены с разным числом одночленов. Например, , , преобразуем g(x) к виду  добавив два нулевых одночлена, суммой f(x) и g(x) будет многочлен  ) Из соотношения 

                                         (1)

легко видеть, что операция суммирования (сложения) многочленов обладает такими же свойствами, что и операция сложения элементов кольца K, т.е. ассоциативна, коммутативна; полином, все коэффициенты которого нули, является нейтральным элементом сложения полиномов; для каждого полинома существует ему противоположный, противоположный к полиному  является полином . Итак, множество полиномов с операцией сложения образует коммутативную группу.

Произведением двух полиномов называется полином, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. Здесь снова возможно приведение подобных членов. Таким образом,  . Коэффициент  при  равен , если условиться считать, что  при  и  при . Принцип вычисления коэффициента  прост: приводятся такие подобные слагаемые при произведении одночленов  и , которые дают в результате одночлены вида ,  т.е. - сумма всевозможных произведений  и  при . Поэтому верно равенство 

.                                                     (2)

Умножение многочленов ассоциативно. Это доказывается следующим образом: если помимо многочленов  и  дан еще многочлен , , то коэффициентом при ,  в произведении  будет служить элемент , а в произведении  - равное ему число .

Умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения, это вытекает из равенства , так как левая часть этого равенства является коэффициентом при  в многочлене , а правая часть - коэффициентом при той же степени переменной  в многочлене .

Нетрудно видеть, что многочлен  (где 1 - единица кольца K) играет роль единицы при умножении многочленов. Таким образом, множество полиномов от буквы x с коэффициентами из кольца составляет кольцо по отношению к выше определенным операциям сложения и умножения полиномов (относительно сложения - это коммутативная группа; умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения; существует единичный многочлен). Кольцо это коммутативно и ассоциативно. Оно называется кольцом полиномов от буквы x над кольцом K и обозначается K[x].

В данном выше определении одночлена и полинома имеется одно сомнительное место. Именно, было сказано, что x есть буква, посторонняя для кольца K, и не было объяснено, что это значит. Сказать, что x не принадлежит кольцу K - это сказать слишком мало, так как при этом не исключаются нежелательные возможности  или  и т.д. Однако мы можем избавиться от "сомнительной" буквы x. Для этого рассмотрим бесконечные последовательности  элементов кольца K, в которых все элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Вводим теперь определения равенства и основных действий.

 тогда и только тогда, когда , i = 0, 1, ..., k, ...

. Ясно, что требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого, сохраняется при сложении.

. Здесь тоже сохраняется требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого места.

Легко проверяется коммутативность и ассоциативность сложения и умножения и дистрибутивность умножения со сложением. Далее ясно, что   и , и, более общо, .

4.  отождествляется с последовательностью .

Рассмотрим теперь последовательность (0, 1, 0, ..., 0, ...), обозначив ее буквой x. Тогда x2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...) и т.д. Поэтому    . Таким образом, мы построили элементы кольца K[x] полиномов. 

Итак, при определении многочлена 

                                   (3)

существенны лишь коэффициенты , и поэтому можно было бы писать вместо (1) последовательность . Однако, в конечном счете, запись многочлена в виде выражения (3) оказывается более удобной.

Пусть , причем . Одночлен  называется высшим (старшим) членом полинома f(x) и показатель n называется степенью f(x) и обозначается deg f. Нулевой полином не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен нулю. Коэффициент  называется свободным членом. Многочлен, старший коэффициент которого равен единице, называется нормированным.

При сложении многочленов  и  по формуле (1) мы видим, что формула для суммы не содержит членов, степень которых выше, чем , а формула (2) для произведения - членов, степень которых выше, чем n + m. Отсюда следует, что

,                        (4)

.                             (5)

3. Кольцо многочленов над областью целостности.

Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально.

При произведении многочленов   степени n и  степени m старший член, как следует из формулы (2), равен  (это коэффициент при ). Так как в кольце нет делителей нуля, то  и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что 

.                                  (6)

Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть  - многочлен с коэффициентами из K. Для любого  положим

,                                         (7)

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент  называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)=  =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1)    =  , где , что и требовалось доказать.

Пусть теперь  - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что  для любого . Перемножим равенства  , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где . Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что .

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.

4. Схема Горнера и теорема Безу.

В кольце многочленов деление в обычном смысле слова, как правило, невозможно. Например, в кольце  многочлен x2 нельзя разделить на x + 1, т.е. не существует такого многочлена g(x), что x2 = g(x)(x + 1) (если бы такой многочлен существовал, то при x = -1 мы получили бы невозможное равенство ).

Если для полиномов f(x) и g(x) из K[x] существует такой полином , что f(x) = g(x)h(x), то говорят, что полином f(x) делится на полином g(x). Наша ближайшая задача заключается в выяснении вопроса о делимости  на линейный двучлен x - c при .

Прежде всего установим, что всегда осуществимо так называемое деление с остатком:  при . Здесь полином h(x) называется неполным частным, а r - остатком.

Теорема 2. Пусть  и . Найдутся полином  и элемент  такие, что . При этом .

Доказательство.  Естественно искать h(x) в форме . Сравнение коэффициентов многочлена в левой части равенства  = = с коэффициентами многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения подобных, в правой части этого равенства приводит к цепочке равенств



откуда последовательно определяют коэффициенты h(x) и остаток r:

                                                (8)

Равенство  непосредственно следует из равенства  после подстановки в последнее вместо x элемент c.

Теорема доказана. Кроме того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов h(x) и остатка r. Этот способ носит название схемы Горнера. Вычисления удобно располагать в виде таблицы:



a0

a1

a2

...

an-1

an

c

b0

b1

b2

...

bn-1

c

Элементы нижней строки вычисляются последовательно по формулам (8): b0 = a0, a каждый последующий элемент равен сумме элемента, находящегося над ним, и предыдущего элемента нижней строки, умноженного на x0.

Элемент c кольца K называется корнем полинома f(x), если .

Следствие (теорема Безу). Многочлен f(x) делится на  в кольце K[x]  тогда и только тогда, когда c - его корень.

Доказательство. Пусть f(x) делится на , т.е. . Тогда .

Пусть . Тогда в равенстве  будет , т.е. . Следствие полностью доказано.

Теорема 3. Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени.

Доказательство. Докажем это утверждение с помощью индукции по степени многочлена. Многочлен нулевой степени вообще не имеет корней, так что для него утверждение теоремы справедливо. Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо для всех многочленов степени , и докажем его для любого многочлена f(x) степени n. Предположим, рассуждая от противного, что x1, x2, ..., xm - корни многочлена f(x), причем . По теореме Безу, f(x) делится на , т.е. , где g(x) - некоторый многочлен степени . Элементы x2, ..., xm кольца K являются корнями многочлена g(x). В самом деле, при  имеем: . Так как , а кольцо K не имеет делителей нуля, то . Таким образом, многочлен g(x) имеет не менее чем  корней, что противоречит предположению индукции, поскольку . Теорема доказана.

Следствие. Многочлен степени не выше n однозначно определяется своими значениями в  точках.

Иначе говоря, существует не более одного многочлена степени не выше n, принимающего в данных (различных) точках  данные значения y1, y2, ..., yn+1.

Доказательство. Предположим, что f(x), g(x) - два многочлена степени не выше n, принимающие одинаковые значения в точках . Рассмотрим многочлен . Степень этого многочлена также не выше, чем n. Так как , то  при , т.е.  - корни многочлена h(x). Согласно теореме 3 h(x) = 0, т.е. f(x) = g(x).

Теорема 4. Если кольцо K бесконечно, то равенство функций, определяемых двумя многочленами из кольца K[x], влечет за собой равенство самих многочленов.

Доказательство. Пусть многочлены  определяют одинаковые функции. Это означает, что  для любого . Обозначим через n наивысшую из степеней многочленов f(x), g(x). Так как кольцо K бесконечно, то в нем найдутся  различных элементов . Согласно нашему предположению, многочлены f(x) и g(x) принимают одинаковые значения в каждой из точек  (как и вообще в любой точке). Следствие теоремы 3 позволяет сделать отсюда вывод, что .

Для конечного кольца K утверждение теоремы 4 неверно. Однако при некоторых дополнительных предположениях и в этом случае оказывается возможным из равенства функций, определяемых двумя многочленами, сделать вывод о равенстве самих многочленов.

6. Вычисление наибольшего общего делителя.

Наибольший общий делитель двух многочленов f и g из кольца R[x] многочленов над полем R может быть найден при помощи алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя состоит в следующем. Сначала делят с остатком многочлен f на многочлен g, затем многочлен g - на остаток от первого деления, затем остаток от первого деления - на остаток от второго деления и т.д., пока не получится нулевой остаток. Это дает следующую цепочку равенств:

                                                     (9)

причем , поэтому процесс деления конечен. Пусть , т.е. f и g принадлежат одному и тому же главному идеалу . Поэтому их разность , т.е. . Аналогично можно доказать, что ,  и т.д. Таким образом, . Из последнего равенства (21) следует, что , тогда . Поэтому . Следовательно, по теореме 14 , т.е. . Таким образом, последний ненулевой остаток (т.е. rk) и есть наибольший общий делитель многочленов f и g.

Пример. В кольце  многочленов с действительными коэффициентами найдем наибольший общий делитель многочленов ,  . Делим f на g:

                                     

                                       

                                    

                                    

                                                

Для удобства умножим полученный остаток на . При этом последующие остатки также умножатся на некоторые числа, отличные от нуля, что несущественно при нахождении наибольшего общего делителя, так как он находится с точностью до константы. Выполним второе деление:

                                        

                                             

                                             

                                             

                                                            

Полученный остаток разделим на 9 и выполним третье деление:

                                                  

                                                        

                                                      

                                                      

                                                           0

Поскольку остаток равен нулю, то .

Наибольший общий делитель нескольких многочленов f1, f2, ..., fm может быть найден индуктивным способом на основании следующей формулы:

.                           (10)

Для того чтобы найти наибольший общий делитель многочленов , следует, согласно этой формуле, найти сначала , затем  и т.д.;  и будет искомым наибольшим делителем.

Докажем формулу (10). Согласно определению наибольшего общего делителя, делители многочлена  - это в точности общие делители многочленов . Поэтому совокупность всех общих делителей многочленов  и fm совпадает с совокупностью всех общих делителей многочленов  и fm; отсюда и следует формула (10).

Наибольший общий делитель d двух многочленов  над полем R, а также всякий многочлен, кратный d, может быть представлен в виде , где . Такое представление мы называем линейным выражением данного многочлена через многочлены f и g.

Для нахождения линейного выражения наибольшего общего делителя d можно воспользоваться алгоритмом Евклида. В самом деле, первое из равенств (9) дает следующее линейное выражение многочлена r1 через f и g: . Подставляя его во второе равенство, получаем линейное выражение многочлена r2:  . Продолжая так дальше, получаем, в конце концов, линейное выражение наибольшего общего делителя .

Пример. Найдем линейное выражение наибольшего общего делителя d многочленов f и g из примера 14.

Результаты делений с остатком, выполненных при решении предыдущего примера, показывают, что , . Отсюда находим: ,   . Таким образом, , .

Линейное выражение любого многочлена h, кратного d, может быть найдено, исходя из линейного выражения d. А именно: пусть  и . Тогда .

На практике линейное выражение многочлена h удобнее искать не с помощью алгоритма Евклида, а методом неопределенных коэффициентов. Запишем искомые многочлены u и v в общем виде с неопределенными (неизвестными) коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве , получим систему уравнений для коэффициентов многочленов u и v. Легко видеть, что эти уравнения будут линейными.

7. Наименьшее общее кратное.

Наименьшим общим кратным многочленов  над полем R называется многочлен h, обладающий следующими свойствами: 1) h делится на каждый из многочленов , т.е. является их общим кратным; 2) h делит любое общее кратное многочленов .

Теорема  Для двух многочленов f и g наименьшее общее кратное [f, g] связано с наибольшим общим делителем (f, g) соотношением 

                                  (11)

Доказательство. Для доказательства формулы (23) положим , , ,  и рассмотрим многочлен

                                                (12)

Многочлен  является общим кратным многочленов f, g и, следовательно, делится на h. Теперь рассмотрим многочлен . Равенства ,  показывают, что  - общий делитель многочленов f, g; следовательно,  делит d, т.е. , где q - некоторый многочлен. Отсюда получаем: , т.е. . Стало быть, h делится на . Таким образом, h и  ассоциированы, т.е. , где , . Из (24) получаем тогда, что , что и требовалось доказать.

Из формулы (12) вытекает

Следствие. Наименьшее общее кратное двух взаимно простых многочленов равно их произведению.

8. Сравнения многочленов по многочлену.

Пусть, например,  - кольцо вычетов по простому модулю p. Два многочлена  будем называть эквивалентными, если они определяют одну и ту же функцию на . Так как в кольце  имеется p элементов, то из следствия теоремы 3 непосредственно вытекает следующее утверждение:

Теорема 6. Если многочлены , имеющие степень не выше чем , эквивалентны, то они равны.

Определение. Два многочлена  и  называются сравнимыми по многочлену , если они при делении на  дают одинаковые остатки

.

Пример. Многочлены  и  сравнимы по многочлену , так как они имеют одинаковый остаток при делении это 1.

Теорема 7. Для любых многочленов  и :

.

Доказательство. Разделим многочлены  и  с остатком на :

, , .

Если , то  и разность - делится на . Обратно, если , то из равенства

- следует, что . А так как , то по свойству отношения делимости в кольце имеем , т.е. , или .

Теорема 8.  Для многочленов , , , 

,  ,

Где  - любая из операций  (т.е. сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемножать).

Доказательство. Из условия, согласно теореме 7, имеем 

-, -, т. е. , .

Складывая, вычитая и перемножая последние равенства, получим:

,

,

.

Отсюда видно, что разность  делится на  при любой операции . Следовательно , 

Теорема 9. Если  - общий делитель многочленов  и , то

, 

т.е. обе части сравнения и многочлен можно делить и умножать на один и тот же многочлен.

Доказательство. Так как  - общий делитель многочленов , ,  то существуют многочлены , ,  такие, что: , , . Отсюда и из определения делимости многочленов, учитывая отсутствие делителей нуля в кольце, получим:

.

И теперь эта теорема следует непосредственно из теоремы 7.

9. Классы вычетов.

Определение. Класс всех многочленов, сравнимых с многочленом  по многочлену , называют классом вычетов по многочлену  и обозначают через . Множество всех классов вычетов по многочлену  обозначим 

Определим на множестве  операции сложения и умножения.

Определение. Для любых ,  положим:

+=, =.

Таким образом, чтобы сложить (перемножить) классы ,  нужно выбрать из них по одному представителю, сложить (перемножить) их как многочлены и взять класс, содержащий полученный многочлен. В определении в качестве таких представителей выбраны многочлены  и . Однако в классах ,  содержится много других многочленов, и мы заранее не уверены в том, что результат сложения (умножения) классов не зависит от выбора представителей. Если бы результат зависел от выбора представителей, то складывая одни и те же классы, мы могли бы получать разные результаты. Это бы означало, что операции определены некорректно.

Докажем, что определение корректно.

Действительно, пусть, , . Тогда ,  и по теореме 8 имеем:

, ,

т. е. .

Следовательно, результаты операций над классами не зависят от выбора представителей, т. е. операции определены корректно.