Численные методы для решения нелинейных уравнений

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации



Саратовский государственный технический университет













ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ





Методические указания

к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»

для студентов всех специальностей

под контролем преподавателя





Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета













Саратов 2008


Введение



Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.

Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.

Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.

Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.

В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]


Численные методы для решения нелинейных уравнений



Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.



1. Определения и условные обозначения



	 – конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из  упорядоченных действительных чисел, например:

	

	

	

	где  – действительные числа, .

В  введена операция сложения элементов, т. е.  определено отображение ,

где 

Оно обладает следующими свойствами:



,

,

 , что  (элемент  называется нулевым),

		, что  (элемент  называется противоположным элементу ).

В  введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е.  определено отображение ,

где 

Оно обладает следующими свойствами:



,





Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:



,

.



Каждой паре элементов  поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом  и называемое скалярным произведением, где







и выполнены следующие условия:



,

,

,

, причем  – нулевой элемент.



Матрица  вида

 ,            (1)

 

где – действительные числа (,) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство  в себя, а именно, для 



,



где .

Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:



сложение операторов , при этом, если , то ,

умножение операторов на числа:  при этом, если , то ,

умножение операторов: , при этом, если , то .



Обратным к оператору  называется оператор  такой, что , где  – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно, 



.

Пусть число  и элемент , таковы, что .

Тогда число  называется собственным числом линейного оператора , а элемент  – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .

Линейный оператор  называется сопряженным к оператору , если для любых элементов  выполняется равенство .

Для всякого оператора  сопряженный оператор  существует, единствен; если , то .

Справедливы равенства:



,

,

,

, если  существует.



Каждому элементу  ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом  и называемое нормой элемента .

Введем в рассмотрение три нормы для :



,

,

.



При этом выполняются следующие неравенства:



.

Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):



, причем , лишь если ,

,

		.



Говорят, что последовательность элементов  сходится к элементу ,

	а именно, 		,

	или			,

	если 			.

Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве  называется сходимостью по норме.

Множество элементов , удовлетворяющих неравенству  называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве с центром в точке  и обозначается .

Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом  и называемое нормой линейного оператора .

Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:



, причем , лишь если  – нулевая матрица,

,

.



Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего  в :

,

,

,



где  i-ое собственное значение матрицы .

Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора)  в смысле условия .


2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в 



Общая форма систем нелинейных уравнений в  имеет вид:



         (2)



или F(x) = 0,

где  – заданные функции n переменных,  – неизвестные.

Функция  при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.

Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение системы в тождество.

Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:







или ,



где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий  в 






Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке  вида



   (2)



или ,



где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно , вычисленных точке .

Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в , а именно:



        (3)



или ,

где .

Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).

Функции  удовлетворяют тем же условиям, что и функции .


3. Отделение решений



Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.

Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.

Так, если дано скалярное уравнение , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.

Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.

Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.

Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.

Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.

Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений



   , .



В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных  и . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.


4. Методы решения нелинейных уравнений



4.1 Метод простой итерации



Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.

Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).

Затем, взяв начальное приближение , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность



     (4)



по следующим формулам



  (5)



Замечание. Для приведения системы уравнений (2) к виду (3) можно использовать прием:



где  – релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.



4.2 Метод Зейделя



Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:



        (6)



Иными словами, при вычислении  используются не , как в методе простой итерации, а .



4.3 Метод Ньютона



Этот метод (см.[1], [4]) предложен И.Ньютоном в 1669 году, однако наиболее полное обоснование было сделано советским математиком Л.В.Канторовичем в 1949 году (см.[4]), поэтому в литературе этот метод часто называют методом Ньютона-Канторовича.

Метод Ньютона является одним из итерационных методов, получаемых линеаризацией линейного оператора



,

где  из уравнения (2).

Так, для к-го приближения  к точному решению  уравнения (2) ставится в соответствие линеаризованное уравнение вида (2), а именно:







или ,



где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций,  т.е. , вычисленных в точке .

Таким образом, последовательность (4) строится по следующим правилам:



  (),



где  – обратный оператор к линейному оператору , определяемому квадратной матрицей






Трудности построения алгоритма метода Ньютона, связанные с обращением производной  (построение ), обычно преодолеваются тем, что вместо методов обращения матрицы решают алгебраическую систему уравнений (7) относительно неизвестных . Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений хорошо отработаны, для них имеются стандартные программы для ЭВМ и, кроме того, в результате решения системы одновременно с обращением матрицы получается умножение обратной матрицы на вектор .

Итерационная формула метода Ньютона при таком подходе будет иметь вид:



       (7)

 .          (8)



4.4 Модифицированный метод Ньютона



Эта разновидность метода Ньютона строится путем определения производной только в одной точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам:



, 	(9)



где  – начальное приближение к точному решению .


4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения



Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2) на основе линеаризованного уравнения (7) имеет вид:







4.6 Метод наискорейшего спуска



Методы спуска (см. [2]) сводят решение системы (2) к задаче нахождения минимума специально построенного функционала (функционал – отображение  в R), а именно:



,



где .

Функционал в конечном пространстве Rn можно рассматривать как функцию многих переменных .

Для нахождения точки , в которой функционал  принимает минимальное нулевое значение, выбирают точку , находят  и строят итерационную формулу:  с начальным приближением .

В итерационной формуле параметр hk пока не определен, выберем его таким образом, чтобы выполнилось условие: , начиная с x0, в предположении, что  – монотонный функционал.

Для выбора hk построим функционал, зависящий от параметра, который изменяется непрерывно: .

При h=0 имеем, что  (0) – линия уровня функционала, проходящая через точку xk . Для нахождения следующей линии уровня, более близкой к минимуму, будем выбирать h таким образом, чтобы для данного xk 







Это условие минимума по h будем рассматривать как уравнение для получения hk.

Решим его приближенно, т.к. ошибка в несколько процентов обычно не влияет на скорость сходимости. Отметим кстати, что число hk всегда должно быть положительным. Для этого разложим функцию  в ряд Тейлора по h в точке h=0 и возьмем только линейную часть этого разложения



.



Подстановка линейной части в условие , дает уравнение для приближенного определения



.



Решая построенное уравнение относительно h, получим:

 или .



Таким образом, итерационная формула метода наискорейшего спуска имеет вид:



 или , где производные  вычислены в точке .

Метод наискорейшего спуска требует большего количества вычислений, чем другие методы первого порядка. Однако он обладает по сравнению с другими методами важным преимуществом, заключающемся в неизбежной сходимости процесса. При этом нужно помнить, что метод наискорейшего спуска может привести не к решению системы уравнений (2), а к значениям аргумента, дающим относительный экстремум функции 



, т.е. .


5. Сходимость методов решения нелинейных уравнений



Если метод сходится, то есть , где

 – точное решение 

 – k-тое приближение к точному решению, то итерационный процесс следовало бы закончить по достижению заданной погрешности , где  – заданная точность (погрешность).

Однако практически это условие выполнить нельзя, так как  неизвестно, тогда для окончания итерационного процесса можно воспользоваться неравенствами , или , где  и  – заданные величины.

При таком окончании итераций погрешность может возрасти по сравнению с  и, поэтому, чтобы не увеличивалась, величины  и соответственно уменьшают или увеличивают число итераций.

Методы простой итерации, Зейделя, модифицированный метод Ньютона, метод наискорейшего спуска (см. [1], [2], [3], [4]) являются методами первого порядка – это значит, что имеет место неравенство , k=1, 2, . . . , где  – константа, своя у каждого метода, зависящая от выбора начального приближения , функции fi , i = 1, 2, . . . , n, и их частных производных первого и второго порядков – точнее их оценок в некоторой окрестности искомого решения, которой принадлежит начальное приближение.

Метод Ньютона является методом второго порядка, то есть для него имеет место неравенство , k=1, 2, . . . , где  – константа, зависящая от тех же величин, что и константа .

А теперь рассмотрим достаточные условия сходимости метода простой итерации и метода Ньютона.

Сходимость процесса простой итерации зависит от двух условий. Первое условие состоит в том, что какая-нибудь точка  должна оказаться близкой к исходному решению . Степень необходимой близости зависит от функций 1, 2, . . . , n . Это требование не относится к системам линейных уравнений, для которых сходимость процесса простой итерации зависит только от второго условия.

Второе условие связано с матрицей, составленной из частных производных первого порядка функций 1, 2, . . . , n – матрицей Якоби



 , 



вычисленных в точке .

В случае, когда рассматривается система линейных алгебраических уравнений, матрица M состоит из постоянных чисел – коэффициентов, стоящих при неизвестных в правой части уравнения (3). В случае нелинейных уравнений элементы  матрицы M зависят, вообще говоря, от . Для сходимости процесса простой итерации достаточно, чтобы выполнялось неравенство:  для  из некоторой окрестности точного решения , которой должно принадлежать начальное приближение .

Приведем также достаточные условия сходимости метода Ньютона для системы уравнений вида (2) по норме .

Предположим, что имеется начальное приближение к искомому решению системы (2) , функции  непрерывны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка в шаре , тогда, если выполнены условия:

Матрица Якоби  системы (2) на начальном приближении имеет обратную  и известна оценка нормы обратной матрицы ,

Для всех точек шара  выполнено неравенство 



 при i, j = 1, 2, . . . , n ,



Выполнено неравенство 



, 



где L – постоянная 0  L  1,

Числа b, N, r подчинены условию   nbNr < 0,4, тогда система уравнений (2) в шаре  имеет единственное решение, к которому сходятся последовательные приближения (8) или (7’), (9’).

Для других методов условия сходимости имеют сложный вид, и мы отсылаем читателя к специальной литературе [1], [2], [3], [4].


6. Примерный перечень возможных исследований



Сравнение различных методов на экономичность при решении конкретной задачи:

по числу операций на одной итерации;

по числу итераций, необходимых для достижения заданной точности;

		Зависимость числа итераций для достижения заданной точности:

		от выбора вида нормы;

		от выбора критерия окончания итерационного процесса по  или по невязке  ;

		от выбора начального приближения;

		от погрешности задания коэффициентов в уравнении.


7. Контрольные вопросы



		Понятие о нелинейных системах уравнений в Rn.

		Понятие приближенного и точного решения нелинейной системы уравнений.

		Сущность графического метода отделения решения для системы двух нелинейных уравнений, каковы его преимущества и недостатки?

		Сущность метода простой итерации и метода Зейделя. Каковы условия применимости метода простой итерации?

		Сущность метода Ньютона и его модификации. Какова скорость сходимости метода Ньютона?

		Сущность метода наискорейшего спуска. Как выбирается параметр спуска?


8. Порядок выполнения курсовой работы



	Получить вариант задания, индивидуальный для каждого студента, у преподавателя, а именно: 

Найти решение системы нелинейных уравнений в первой координатной четверти с номером – N1 (см. варианты заданий п.10), применив для первого этапа уточнения метод с номером – N2, а для второго этапа уточнения метод с номером – N3 , точность вычислений на первом этапе – EPS1[0.1 – 0.01], на втором этапе – EPS2  [0.1 - 0.0001], N4 – номер нормы, I – номер параметра a, J – номер параметра b, начальное приближение выбрать произвольно или графически, (0,1).

	Разработать обязательные для выполнения задания разделы данных методических указаний.