О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет



















Курсовая работа

О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП





Исполнитель:

Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.













Гомель 2006


Содержание



Введение

1. Определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Основные результаты

Заключение

Литература




Введение



Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].

При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или -критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация , называется минимальной насыщенной не -формацией, если все собственные насыщенные подформации  содержатся в классе групп . Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].

В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не -формаций ( – формация всех разрешимых групп нильпотентной длины ). В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.

Теорема 1 [10]. Пусть  и  – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;


3) , 



где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и 







где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

 Теорема 2 [10]. Пусть  и  – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда  удовлетворяет одному из следующих условий:

1) , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что справедливо включение , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;



2) ,



где  и ;



3) , 



где , а  – такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что  совпадает с -корадикалом группы ,  и .

В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций .




1. Определения и обозначения



Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При  формацию  называют -кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого – -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного  называют тотально насыщенной.

 Подгрупповым функтором [2] называют отображение  сопоставляющее каждой группе  такую систему ее подгрупп , что: 1) ; 2) для любых групп  и  и любого эпиморфизма  имеет место  и 

Тотально насыщенную формацию  называют -замкнутой, если  для любой группы . -Замкнутую тотально насыщенную формацию  называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией (или, иначе, -критической), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из  содержатся в классе групп .

Пусть  – -замкнутая формация. Группа  называется -минимальной не -группой, если , но  для любой собственной подгруппы  из .

Для всякой совокупности групп  через  обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп , т.е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если , то  называют однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций  и  полагают . Частично упорядоченное по включению  множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций  с операциями  и  образует полную решетку. Формации из  называют -формациями. Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным. Если  – -формация, то через  обозначают её минимальный -значный локальный экран.

Для произвольной последовательности простых чисел  и всякой совокупности групп  класс групп  определяют следующим образом:



1) ; 2) .



Последовательность простых чисел  называют подходящей для , если  и для любого  число . Множество всех подходящих для  последовательностей обозначают через . Символом  обозначают совокупность всех таких последовательностей  из , у которых  при всех .

Пусть  – некоторая подходящая для  последовательность. Тогда -значный локальный экран  определяют следующим образом:



1) ; 2) .



В дальнейшем через  будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.



2. Используемые результаты



Лемма 2.1 [9]. Пусть  – монолитическая группа,  – неабелева группа. Тогда  имеет единственную максимальную -подформацию , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы . В частности, .

Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть , где  – непустой класс групп. Тогда если  – минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:



1) ;

2)  



при всех простых числах ;

3) если  – произвольный -значный экран формации , то при любом  имеет место 

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].

Лемма 2.3. Пусть ,  – -замкнутые тотально насыщенные формации, ,  – канонический экран формации . Тогда  является -критической формацией в том и только в том случае, когда , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех  формация  -критична.



3. Основные результаты



Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.

Напомним, что группу  называют -разрешимой, если  для каждого ее главного -фактора . Пусть  – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что  и группа  -разрешима.

Доказательство. Необходимость. Пусть  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где  – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;



3) , 



где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и 






где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то  – неабелева группа и . Таким образом, группа  удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность. Пусть , где  – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация  имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку  и , то . Следовательно,  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что  и группа  -разрешима.

Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где  – монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа  разрешима.

Если  – тривиальный подгрупповой функтор, т.е.  из теоремы 3.1 вытекает

Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что  и группа  -разрешима.

Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где  – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа  разрешима.

В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы  из теоремы 3.1 получаем

Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда  – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда  – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда  – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где  – простая неабелева минимальная неразрешимая группа.

Если  – совокупность всех нормальных подгрупп группы  имеем

Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда  – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда  – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где  – простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда  – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где  – простая неабелева группа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -нильпотентные формации.

Группа  называется -нильпотентной, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу для каждого . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением  и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.2. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где  – не -нильпотентная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть  формацию всех -нильпотентных групп.

Необходимость. Пусть  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место , где  – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;



3) , 



где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и 







где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то первые два случая невозможны. Поэтому  – абелева -группа, где . По лемме 2.2 имеем . Поэтому , где  – группа простого порядка. Таким образом,  – не -нильпотентная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где  – не -нильпотентная группа Шмидта. Поскольку  насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где  – минимальная нормальная -подгруппа группы ,  а – группа простого порядка . Так как группа  и все собственные подгруппы из  нильпотентны, а следовательно, и -нильпотентны, то  – -минимальная не -нильпотентная группа и  – -нильпотентный корадикал группы . Используя теперь теорему 1 заключаем, что  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.

Используя теорему 2, получим

Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где  и  – различные простые числа, .

В случае, когда  из теорем 3.2 и 2 вытекают

Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где  – не -нильпотентная группа Шмидта.

Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где  – отличное  простое число.

Если теперь  – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где  – некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где  и  – различные простые числа.

Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где  и  – различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.

Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением  и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.3. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где  – не -замкнутая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через  формацию всех -замкнутых групп.

Необходимость. Пусть  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где  – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;



3) , 


где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и 







где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Так как , то . Если  – неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем . Значит,  Противоречие. Поэтому  – абелева -группа, где . Значит,  для некоторой максимальной подгруппы  группы . В силу леммы 2.3 получаем, что  – -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем . Так как , то  – группа простого порядка . Таким образом,  – не -замкнутая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где  – не -замкнутая группа Шмидта. Так как  – насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что . Поэтому , где  – минимальная нормальная -подгруппа , ,  – группа простого порядка . Так как группа  и любая собственная подгруппа из  нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то  – -минимальная не -замкнутая группа и  её -замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где и . 

В случае, когда  из теоремы 3.3 вытекает

Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где  – не -замкнутая группа Шмидта.

Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где  – отличное от  простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -специальные формации.

Группа называется -специальной, если она обладает нильпотентной нормальной -холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных групп совпадает с классом  и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.4. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где  – не -специальная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть  обозначает формацию всех -специальных групп.

Необходимость. Если  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, то по теореме 1 имеет место , где  – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;



3) , 

где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и 







где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то случай 1) не имеет место и . Если  – неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем . Поэтому и . Пусть и . Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение. Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно,  – абелева -группа. Так как имеют место равенства , то , где  – группа порядка . Таким образом,  – не -специальная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где  – не -специальная группа Шмидта. Тогда . Поскольку  – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где  – минимальная нормальная -подгруппа , а  – группа простого порядка . Ввиду того, что группа  и любая собственная подгруппа из  нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то  – -минимальная не -специальная группа и  её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.

Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где  и  – различные простые числа, .

В случае, когда  из теоремы 3.4 вытекает

Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где  – не -специальная группа Шмидта.

Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где  – отличное от  простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.

Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.

Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением  и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.5. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где  – не -разложимая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через  формацию всех -разложимых групп.

Необходимость. Пусть  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где  – такая группа Шмидта, что . Таким образом,  – не - разложимая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где  – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации  можно считать, что . Значит, , где  – минимальная нормальная -подгруппа , а  – группа простого порядка. Поскольку группа  и любая собственная подгруппа из  нильпотентны, а значит, и -разложимы, то  – -минимальная не -разложимая группа и  её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где . 

В случае, когда  из теоремы 3.24 вытекает

Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где  – не -разложимая группа Шмидта.

Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где  – отличное от  простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.

Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей  совпадает с произведением  (число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.6. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где  – минимальная не -группа,  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  и  – группа простого порядка.

Доказательство. Обозначим через  формацию .

Необходимость. Пусть  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация. По теореме 1 , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;



3) , 



где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и







где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то случай 1) невозможен. Если группа  неабелева, то по лемме 2.1 , что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа  разрешима, то , где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть  – разрешимая формация. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где  – минимальная не -группа,  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  и  – группа простого порядка.

 Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда  для некоторой последовательности  из .

Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть  – разрешимая формация. Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда  для некоторой последовательности  из .

Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания -критических формаций и в случаях, когда формация  не является тотально насыщенной.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.

Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением , где  – класс всех нильпотентных, а  – класс всех абелевых групп. Формация  не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Следовательно, любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим

Теорема 3.7. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где  – некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где  и  – различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.

Пусть  формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация  не является тотально насыщенной. Однако  содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Поэтому любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место 

Теорема 3.8. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда , где  – некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда , где  и  – различные простые числа.




Заключение



В работе изучаются минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации конечных групп. При этом -замкнутую тотально насыщенную формацию  называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией или -критической, если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из  содержатся в классе групп . Получено описание -критических формаций для таких классов групп , как классы всех -разрешимых, -нильпотентных, -замкнутых, -специальных, -разложимых групп ( – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей ( – некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.




Литература



1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.

2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.

3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.

4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.

5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.

6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.

7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.

8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.

9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.

10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.