Функции и их производные

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4



ВАРИАНТ 4.3



№ 1.

а) Найти производные от данных функций:







б) 



Применяем правило нахождения производной произведения функций







в)






№ 2



Дана функция 

Найти:

а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)

По определению:







б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}

По определению:





Величины  найдены в п.а)

Найдем cosб, cosв, cosг.







По формуле получаем:







№ 3.

Дана функция .

Найти y”. Вычислить y”(-1).







№ 4.

Доказать, что функция  удовлетворяет уравнению






подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.



№5



Найти  если 

Вычислить  если .

Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически






№ 6.

Функции задана неявно уравнением 





Вычислить:



а) 



Вычисления проводим по формуле






б)





№ 7.



На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.

Из геометрического смысла производной  имеем








№ 8.



Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если 

 



Для  имеем 







№ 9.



Дана функция  и точки  и 

Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно







Дифференциал функции dz равен 






№ 10.

Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем 







Приравниваем числитель к нулю при условии 







Решение  отбрасываем.

 совпадает с граничным значением.

Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.






Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.





№ 11

Дана функция .

Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .

Найдем стационарные точки из системы уравнений







Решаем систему уравнений







Сделаем чертеж

На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной







Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.

На участке у=-1 получаем







Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда .

Находим



На участке границы у=1-х получаем функцию







Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].







На границах отрезка



Сравниваем все найденные значения функции





видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).

Ответ: 23;4.



№ 12.



Провести полное исследование функции  и начертить ее график.

1. Найдем область определения функции .

Функция непериодична.

2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет.

3. Определим «поведение функции в бесконечности»







4. Точка разрыва х=-2






5. найдем пересечение кривой с осями координат

 т.А (0;2)







Корней нет, нет пересечения с осью OY.

6. Найдем точки максимума и минимума









в точке  производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке  производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.

При  первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при  производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.



7. Найдем точки перегиба



, точек перегиба нет. При  вогнутость вверх, при , вогнутость вниз.

8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где







Получили асимптоту у=х.

Найдем пересечение кривой с асимптотой



 Точек пересечения нет.



Строим график