Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій



Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.

Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у =  неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена. 

Теорема 4. (про знак функції). Якщо функція  неперервна в точці А і f(А) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.

Дійсно, нехай  , наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого  > 0 можна знайти таке  > 0, що для всіх х  (а — , а + ) виконується нерівність f(х) > 0.

Побудуємо -окіл точки а і -окіл точки f(а) (рис. 3.75).

Якщо взяти  = min (h1 h2), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 і 2 такий, що f(х) > 0.

Теорема 5 (про корінь функції). Якщо функція  визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в яких функція набуває значень різних знаків:

f(А) < 0, f(В) > 0,

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.





Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ≤ t ≤ Т за допомогою системи функцій





неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.

Якщо точка М0 (, (t0), ,…,  збігається з точкою , то крива називається простою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями

х = х(t),  y = y(t)  (5.18)

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

Область D на площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.

Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чином: якщо у = f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента набуває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка  така, що f () = 0.

Точка  називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

Теорема 6 (про проміжне значення). Якщо функція  неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що

f(М3) = С

Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної: 

якщо у = f(х) неперервна у проміжку  і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента [а, b]   f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка , що С = f(). 

Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С. 

Для цієї функції







Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої (х)= С. Отже, до функції Н(х) застосована  теорема про корінь. Тоді  на [а, b] існує точка  така, що Н() = 0, тобто



Звідси



що й треба було довести. 

Теорема 7 (про найменше і найбільше значення). Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m ≤ f(X) ≤ M.











Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значеннями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1  D, в якій функція f(X1) набуває найменшого значення f(Х1) = т; і принаймні одна точка Х2  D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної: 

якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b]. 

m ≤ f(x) ≤ M.

На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і  такі, що



і одна точка х2, в якій f(х2) = М. 

Теорема 8 (Кантора). Якщо функція  неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D. 

Теорему наводимо без доведення.