Конспект по дискретной математики

Дискретная математика



Введение



Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. 

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

Язык дискретной математики;

Логические функции и автоматы;

Теория алгоритмов;

Графы и дискретные экстремальные задачи.



Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.



Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.



Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи. 



Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.





Множества и операции над ними



Одно из основных понятий математики – множество.



Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.



Множество обозначают: M,N …..

m1, m2, mn – элементы множества.



Символика

A  M – принадлежность элемента к множеству;

А  М – непринадлежность элемента к множеству.



Примеры числовых множеств:

	1,2,3,… множество натуральных чисел N;

	…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

           множество рациональных чисел а.

	I – множество иррациональных чисел.

	R – множество действительных чисел.

	K – множество комплексных чисел.



Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А  В – А подмножество В (нестрогое включение)



Множества А и В равны, если их элементы совпадают.



A = B



Если А  В и А  В то А  В (строгое включение).



Множества бывают конечные и бесконечные.



|М| - мощность множества (число его элементов).



Конечное множество имеет конечное количество элементов.



Пустое множество не содержит элементов: M = .



Пример: пустое множество:



1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = .

2) множество , сумма углов которого  1800 пустое: M = .



Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.



Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …



Если универсальное множество  состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.



Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.



Множество можно задать:

Списком элементов {a,b,c,d,e};

Интервалом 1<x<5;

Порождающей процедурой: xk=k  sinx=0;



Операции над множествами



Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.



А  В



Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.



Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.



Объединение двух множеств



А

ВОбъединение системы множеств можно записать

   - объединение системы n множеств.



Пример:   объединение    множеств,   когда   они

заданы списком.



A = {a,b,d}  B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}













AUB		AUB



Объединение трех множеств:	



A

B

B

C

A2) Пересечением множеств А и В  называется множество, состоящие из элементов принадлежащих   одновременно множествам А и В.



A B



А



А



С







В

В













Пересечение прямой и плоскости

если прямые  ||  пл., то множество пересечений – единственная точка;

если прямые II пл., то M ;

если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.



Пересечение системы множеств: 

Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.



С = А \ В



















A \ B

             A \ B   



А         А \ В



B

A

В

А

В 















A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.



В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

							  2) не коммутативна, т.е. A\B  B\A.



4) дополнение  

E – универсальное множество.

-- дополнение



Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.



Основные законы операций над множествами.



Некоторые свойства ,  похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.



Основные свойства



AUB=BUA; AB=BA – переместительный закон объединения и пересечения.

(АUB)UC = AU(BUC); (AB)C=A(BC) – сочетательный закон.

АU=A, A=, A \ =A, A \ A= 

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а)    \ A =  - нет аналога.

; E \ A =; A \ E=; AUA=A; AA=A; AUE=E; AE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

A(BUC)=(AB)(AC) – есть аналогичный распределительный закон  относительно U.



Прямые произведения и функции



Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аА, bB.



С=AхВ, если А=В то С=А2.



Прямыми «х» n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an)  таких, что a1A1,…, AnAn.



Через теорию множеств введем понятие функции.



Подмножество FMx x My называется функцией, если для каждого элемента хMx найдется yМу не более одного.

(x;y)F,    y=F(x).



Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:



My

Мх











а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)





   Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хMX  соответствует 1 элемент yMY и обратное справедливо.

Пример:   1)  (х,у) в круге





X

y

     2        3         4

2

x=2  y=2



y=2  x=2..4









не взаимнооднозначное соответствие.	 2) x = sinx



-/2

/2	     R R                                                



Пусть даны две функции  f: AB и g: BC, то функция y:AC называется композицией функций  f и g.



Y=f o g        o – композиция.



Способы задания функций:



таблицы, определены для конечных множеств;

формула;

графики;



Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.



Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!



Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.



Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.



Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.        



Множество N2 – счетно.

Доказательство



Разобьем N2 на классы

К 1-ому классу отнесем N1 (1;   1)

		     



1-ый элемент 

2-го множества

1-ый элемент          1-го множества







Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}

К i-му классу Ni    {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар. 



Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.



Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.



Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.



Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.



Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.



}



11-я   0, a11, a12 ….

2-я   0, а21, a22 ….

………………….



Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3



1b1  a11, b2  a22, …

Эта дробь не может выйти в последовательность         т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.



Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.



Отношение

Пусть дано RMn – n местное отношение на множество М.



Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b. 



Проведем отношение на множество N:

А) отношение  выполняется для пар (7,9)  (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.



Пример отношения на множество R



А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар    (3; 4) и  (2; 21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.



Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.



Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна







С=



1

2

3

4



1

1

1

1

1



2

0

1

1

1



3

0

0

1

1



4

0

0

0

1



101

010

001







С=



Отношение Е заданные единичной матрицей                                 называется отношением равенства.





Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1.



Свойства отношений

Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули 

Пр. отношнний

			 рефлексивное

			< антирефлексивное

2.   Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы     

      сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

      Пр. Если а  b и b  a ==> a=b

Если дано  a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E



5.   Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,   

      антисимметрично  и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,   

      если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

      Пр.      а) отношение  u  для чисел отношение нестрогого

		б) отношение < u > для чисел отношение строгого



Лекция: Элементы общей алгебры 

Р. Операции на множествах



Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций  = {1,…, m}, т.е. система     А = {М1;1,…, m} называется алгеброй.  - сигнатура.



Если M1M и если значения ( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;1,…, m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и 

поэтому тип этой алгебры (2;2)

B=(Б;;) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций 

     запись ab.

1.  (ab)c=a(bc) – ассоциативная операция

     Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2.  ab = ba – коммутативная операция

     Пр. +,x – коммутат.

            –; : – некоммут.

	умножение мат AB  BA – некоммутативно.

3.   a(bc) = (ab) (ac) –дистрибутивность слева

      (ab)c) = (aс) (bc) –дистрибутивность справа.  

      Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа 

      но не abc  abac



Р. Гомоморфизм и изоморфизм





Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; I) и B=(M; I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KM при условии Г(I)= I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение I в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует  взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1. 

Мощности изоморфных алгебр равны.

	Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически  …. на изоморфные алгебры.