Аппроксимация функций 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ



ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ





Кафедра «Авиа- и ракетостроение»

Специальность 160801- «Ракетостроение»

















Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Основы САПР»

Аппроксимация функций



















Омск 2006


Введение



Цель работы: Ознакомиться с методами интерполяции и аппроксимации функций

Задания:

Задание 1. Построить таблицу конечных разностей. Выполнить экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы. 

Задание 2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найти

значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы.

Задание 3. Найти значение f(x) с помощью формул Ньютона интерполирования вперед и назад. 

Задание 4. Выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию (по 6 узлам). Проконтролировать полученные оценки для промежуточных узлов.

Задание 5. Считая выбранную таблицу заданной для диапазона от 0 до 2, выполнить среднеквадратическую аппроксимацию тригонометрическим многочленом (отрезком ряда Фурье) третьей степени.

Исходные данные:



x=[11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12];

y=[-0.00023,1.080087,2.064282,2.854531,3.37121,3.560925,3.402017,2.90698,2.121544,1.120452,0.000357];




1. Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции



Массив конечных разностей рассчитываем по формуле:



.

for i=1:10

    for j=1:11-i

        y(i+1,j)=y(i,j+1)-y(i,j);

    end

end



Результат расчёта:

























11,0

11,1

11,2

11,3

11,4

11,5

11,6

11,7

11,8

11,9

11,0

-0,0002

1,0801

2,0643

2.8545

3.3712

3.5609

3.4020

2.9070

2.1215

1.1205

0.0004

1.0803    0.9842    0.7902    0.5167    0.1897   -0.1589   -0.4950   -0.7854   -1.0011   -1.1201

-

-0.0961   -0.1939   -0.2736   -0.3270   -0.3486   -0.3361   -0.2904   -0.2157   -0.1190         -

-

-0.0978   -0.0796   -0.0534   -0.0217    0.0125    0.0457    0.0747    0.0967

-

-

-

0.0182    0.0262    0.0317    0.0342    0.0332    0.0290    0.0219

-

-

-

-

0.0080    0.0055    0.0024   -0.0009   -0.0042   -0.0071

-

-

-

-

-

-0.0025   -0.0031   -0.0033   -0.0033   -0.0029

-

-

-

-

-

-

-0.0006   -0.0002    0.0000    0.0004

-

-

-

-

-

-

-

0.0003    0.0003    0.0004

-

-

-

-

-

-

-

-

-0.0000    0.0001

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0.0002

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-


Экстраполяция на два узла от начала и конца таблицы с помощью многочлена Лагранжа. 



n=11; % Степень многочлена

i=0;

for p=10.8:0.1:12.2

    i=i+1;

    x1(i)=p;

    ff(i)=Lagrange(x,y,p,n);

end



for j=1:11

    yy(j)=y(1,j);

end



subplot(2,1,1); plot(x,yy,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Первоначальные данные') 

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Экстраполяция')



Получим:



х

10.8

10.9

12.1

12.2

f(х)

-2,0234

-1,0701

-1,1291

-2,1535




Рис. 1. Экстраполяция на два узла многочленом Лагранжа



2. Нахождение значения приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа



Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа:

,



где	х – произвольная координата на заданном интервале.

_____________________________________________________________

function [x]=Lagrange(x,y,a,n)

for i=1:n

    for j=1:n

        s(i,j)=1;

    end

end

    ss=1;

for j=1:n

    for i=1:n

        if  j~=i

            s(j,i)=(a-x(i))/(x(j)-x(i));

        end

    end

end

ss=prod(s,2);

L=0;

for k=1:n

   L=L+y(1,k)*ss(k);

end

x=L;

_____________________________________________________________



i=0;

for p=11:0.01:12

    i=i+1;

    x1(i)=p;

    ff(i)=Lagrange(x,y,x1(i),n);

end

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Интерполяция многочленом Лагранжа')




Рис. 2. Интерполяция многочленом Лагранжа



3. Определение значения функции с помощью формул Ньютона



а) Интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперёд:





где	 - промежуток между последовательными узлами интерполирования, (в рассматриваемом случае промежуток постоянен);

n – степень многочлена;



.

_____________________________________________________________

function [x]=Nuton_vp(k,x,y,n);

n=round(k)+1; % Степень многочлена

if n==12

    n=11;

end

t=(k-1)/1;

t1(1)=1;

for j=2:n

    t1(j)=t-(j-2);

end

t2=cumprod(t1);

for j=1:n

    Pn(j)=y(j,1)*t2(j)/FACTORIAL(j-1);

end

x=sum(Pn,2);

_____________________________________________________________



n=11;

i=0;

for p=11:0.05:12

    i=i+1;

    a=0.5+i*0.5;

    x1(i)=p;

    ff(i)=Nuton_vp(a,x,y,n);

end

% Построение графика 

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция многочленом Ньютона вперёд')




Рис. 3. Интерполяция многочленом Ньютона вперёд



б) Формула Ньютона для интерполяции назад:







_____________________________________________________________

function [x]=Pnz(k,x,y);

n=12-round(k)+1; % Степень многочлена

if n==12

    n=11;

end

t=(k-11)/1;

t1(1)=1;

for i=2:n

    t1(i)=t+(i-2);

end

t2=cumprod(t1);

for i=1:n

    Pn(i)=y(i,12-i)*t2(i)/FACTORIAL(i-1);

end

x=sum(Pn,2);

_____________________________________________________________



i=0;

for p=11:0.05:12

    i=i+1;

    a=0.5+i*0.5;

    x1(i)=p;

    ff(i)=Nuton_nz(a,x,y);

end

% Построение графика 

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция многочленом Ньютона назад')





Рис. 4. Интерполяция многочленом Ньютона назад



4. Квадратичная сплайн-интерполяция



Для того, чтобы выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию по 6-ти узлам, необходимо задаться пятью уравнениями.




Рис. 5. К выводу коэффициентов при сплайн-интерполяции



При квадратичном сплайне уравнения будут иметь вид:



, .



На эти уравнения наложены следующие граничные условия:



,   ,    ,    .



Вычислим производную



:      , .  (1)



Определим  при :      ,   . (2)

В рассматриваемом примере . С учетом этого, а также с учетом выражения (2) и условия , запишем следующую зависимость:



,  .

Из условия  и выражения (1) получим:  .

Составим систему уравнений:







Решая эту систему, получим следующие зависимости для вычисления коэффициентов:







_____________________________________________________________

function [k]=Spl(aa,n,x,y);

c(1)=0;

b(1)=10*y(1,2)-10*y(1,1)-0.1*c(1);

for k=1:n-2    

    b(k+1)=0.2*c(k)+b(k);

    c(k+1)=100*y(1,k+2)-100*y(1,k+1)-10*b(k+1);    

end

j=floor(10*aa-109);

if j==6

    j=5;

end

k=y(1,j)+b(j)*(aa-x(j))+c(j)*(aa-x(j))^2;

_____________________________________________________________

n=6;

clear yy; clear ff; clear x1; clear x1

for i=1:11

    a=10.95+i*0.05;

    ff(i)=Spline(a,n,x,y);

    x3(i)=10.95+0.05*i;

end

for j=1:6

    yy(j)=y(1,j);

    x1(j)=x(j);

end

% Построение графика 

subplot(2,1,1);  plot(x1,yy,'o-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Первоначальные данные')

subplot(2,1,2);  plot(x3,ff,'.-');ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция сплайнами')





Рис. 6. Интерполяция квадратичным сплайном


5. Среднеквадратичная аппроксимация тригонометрическим многочленом третьей степени



Тригонометрический многочлен ищется в виде:



.



Коэффициенты вычисляются по следующим формулам:



, , , .



где	n – степень многочлена (в данном случае принимается n=3);

 - число узловых точек.



_____________________________________________________________

function [x]=Furie(aa,x,y);

for i=1:11

    xpi(i)=i*2*pi/11;

    a=(aa-10.9)*10*2*pi/11;

end

n=3;

a0=sum(y,2)/11;

for i=1:3

    for j=1:11

        ak(i,j)=y(1,j)*cos(i*xpi(j));

        bk(i,j)=y(1,j)*sin(i*xpi(j));

    end

end

aksum=2*sum(ak,2)/11;

bksum=2*sum(bk,2)/11;

Tna=a0(1)+aksum(1)*cos(a)+bksum(1)*sin(a)+aksum(2)*cos(2*a)+bksum(2)*sin(2*a)+aksum(3)*cos(3*a)+bksum(3)*sin(3*a);

x=Tna;

_____________________________________________________________

for i=1:100

    k(i)=10.99+i*0.01;

    ff(i)=Furie(k(i),x,y);

end

for j=1:11

    yy(j)=y(1,j);

end

subplot(2,1,2); 

plot(x,yy,'o-',k,ff,'.-');ylabel('y');xlabel('x');grid on;

title('Аппроксимация тригонометрическим многочленом');





Рис. 7. Аппроксимация тригонометрическим многочленом


Список использованных источников



	1. 	Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

	2. 	Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1966.

	3. 	Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

	4.	Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

	5.	Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987.

	6.	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

	7.	Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

16



16