Контрольная работа

№385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.



По определению несобственного интеграла имеем:

	



Интеграл сходится.



№301. Найти неопределенный интеграл.



Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых











№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.



Понизим порядок дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию 	, тогда

	 и получаем уравнение



Это линейное уравнение первого порядка.

Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).

Пусть		   , тогда		, т.е.



					(1)



Предположим, что функция		  такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е., что она является решением дифференциального уравнения.



 

это уравнение с разделяющимися переменными































Здесь 

Подставляем значение v в уравнение (1), получаем

















Следовательно,

а т.к. 		, то





















решим отдельно интеграл

								, тогда



общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных условиях







Т.к.		    , то





								

Т.к.		  , то









					- частное решение при заданных условиях.



№543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

















Составим характеристическое уравнение















Т.к. 		, то общее решение запишется в виде

Найдем частное решение т.к. в правой части стоит	, то







Найдем 	и









Подставим значение	     и	   в данное уравнение, получим:













Общее решение данного дифференциального уравнения.

Найдем частное решение при заданных начальных условиях

		, т.к. 		, то



			, т.к.		, то 



решаем систему



			и

















			- частное решение при заданных начальных условиях.