Построение с помощью циркуля и линейки отрезка равного произведению или отношению двух других

ОГЛАВЛЕНИЕ

	

	I. Введение.

	II. Главная часть:

	Построение отрезка, равного произведению двух других с помощью циркуля и линейки:

	первый способ построения;

	второй способ построения;

	третий способ построения,

	d) четвёртый способ построения.

	2) Построение отрезка, равного отношению двух других с помощью циркуля и линейки:

	первый способ построения;

	второй способ построения.

	Заключение.

	Приложение.


Введение



Геометрические построения, или теория геометрических построений - раздел геометрии, где изучают вопросы и методы построения геометрических фигур, используя те или иные элементы построения. Геометрические построения изучаются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях, как на плоскости, так и в пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль и линейка (односторонняя математическая), однако, существуют построения другими инструментами: только одним циркулем, только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и её центр, только одной линейкой с параллельными краями и.т.д.

Все задачи на построение опираются на постулаты построения, то есть на простейшие элементарные задачи на построение, и задача считается решённой, если она сведена к конечному числу этих простейших задач-постулатов.

Естественно, каждый инструмент имеет свою конструктивную силу - свой набор постулатов. Так, известно, что разделить отрезок, пользуясь только одной линейкой, на две равные части нельзя, а пользуясь циркулем, можно.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнить, - построение окружности, касающейся трёх данных окружностей.

В школе изучают ряд простейших построений циркулем и линейкой (односторонней без делений): построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой; деление пополам заданного угла, деление отрезка на несколько равных частей, используя теорему Фалеса (по сути дела - деление отрезка на натуральное число); построение отрезка большего данного в целое число раз (по сути -умножение отрезка на натуральное число). Однако, нами нигде не встречалась задача, где надо было бы с помощью циркуля и линейки умножить отрезок на отрезок, то есть построить отрезок, равный произведению двух данных отрезков, или деление отрезка на отрезок, то есть построить отрезок, равный отношению двух других отрезков. Нам показалась данная проблема очень интересной, и мы решили её исследовать, попытаться найти решение и возможность применения найденного метода решения к решению других задач, например, в математике и физике.

При решении задач на построение традиционная методика рекомендует нам четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Однако, указанная схема решения задач на построение считается весьма академичной, и для её осуществления требуется много времени, поэтому часто отдельные этапы традиционной схемы решения задачи опускаются, например, этапы доказательства, исследования. В своей работе по возможности мы использовали все четыре этапа, да и то только там, где была в этом необходимость и целесообразность.

И последнее: найденный нами метод построения вышеназванных отрезков предполагает использование, помимо циркуля и линейки, произвольно выбранного единичного отрезка. Введение единичного отрезка диктуется ещё и тем, что он необходим хотя бы для того, чтобы подтвердить справедливость найденного нами метода нахождения отрезка на конкретных частных примерах.




ОБЩАЯ ПРОБЛЕМА І

	

	С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный произведению двух других отрезков.

	Примечание:

	предполагается: 

	Линейка - односторонняя, без делений.

	Задан отрезок единичной длины.

	Исследование.

	1.Рассмотрим прямые y=2x-22 и y=3x-32 и попробуем найти координаты точки пересечения этих прямых геометрическим и аналитическим методами:

	а) геометрический метод (Рис.1) показал, что координаты точки А пересечения этих прямых: «5»-абсцисса, «6»- ордината, т.е. АЕ=5, АД=6.

	

	
б) аналитический метод данный результат подтверждает, т.е. А (5;6) - точка пересечения прямых.

	Действительно, решив систему уравнений 

	

	y=2x-22

	y=3x-32



найдем:



x=5

		y=6	А(5;6)- точка пересечения прямых.

		

		2.Рассмотрим отрезок: ОВ=2, ОС=3, АД=6, АЕ=5.

		Можно предположить, что АД=ОВ×ОС, т.к. 6=2×3; АЕ=ОВ+ОС, т.к. 5=2+3	,где 

		2=ОВ-угловой коэффициент уравнения y=2x-22 , 3=ОС - угловой коэффициент уравнения y=3x-32, АД=уА, ОД=хА- координаты точки А пересечения наших прямых.

		Наше предположение проверим на общем примере аналитическим методом, т.е. на уравнениях прямых y=mx-m2 и y=nx-n2 (где m≠n) проверим, что точка пересечения прямых имеет координаты:

		

		x=m+n, y=m∙n :

		y=mx-m2

		y=nx-n2	nx-n2=mx-m2	x=(m2-n2)÷(m-n)=m+n и y=mx-m2=m(m+n)-m2=mn



 xA=m+n

	yA=mn	

	
координаты точки А пересечения прямых, где m и n – угловые коэффициенты этих прямых, ч.т.д.

	3. Осталось найти метод построения отрезка. АД=ОВ×ОС=m∙n=yА- ординаты точки А пересечения прямых У=mx-m2 и У=nx-n2, где m≠n и m=OB, n=OC- отрезки, отложенные на оси ох. А для этого мы должны найти метод построения прямых У=mx-m2 и У=nx-n2. из рассуждений видно, что эти прямые должны пройти через точки В и С отрезков OB=m и OC=n, которые принадлежат оси ох.

	Замечание 1. Вышеназванные обозначения отрезков соответствуют рис.1 «Приложения»

		Первый способ построения отрезка AD=mn, где m>1ед., n>1ед., m≠n.

		Дано:

		1ед

		единичный отрезок

		

		m

		произвольный отрезок, m>1eд., n>1eд.

		

		n		произвольный отрезок, где m≠n.

		

		Построение (Рис.2)

		

		Проведём прямую ОХ

		На ОХ отложим ОА1=m

		На ОХ отложим А1С1=1ед

		Построим С1В1=m, где С1В1┴ ОХ

		Проведём прямую А1В1, уравнение которой y=mx-m2 в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

		

		
Примечание:

		При желании можно легко убедиться, что во всех предлагаемых нами способах построения отрезков (m* n или k/m) длина единичного отрезка может быть любой, т.е. найденные нами методы построения вышеназванных отрезков универсальны.

		Здесь и далее каждое действие может быть выполнено либо линейкой, либо циркулем. Отсутствие следов циркуля упрощает чтение чертежей.

		

		Рис.2

		

		
Замечание 1.

		Действительно, тангенс угла наклона этой прямой tgά1= С1В1/А1С1=m/1ед=m, которая проходит через точку А1 отрезка ОА1=m.

		Анологично строим прямую, уравнение которой У=nx-n2.

		6.На оси ОХ отложим ОА2=n (точка А2 случайно совпала с точкой С1).

		7.На оси ОХ отложим А2С2=1ед.

		8.Строим В2С2=n, где В2С2┴ОХ.

		9.Проведём прямую В2А2, уравнение которой У=nx-n2.

	Замечание 2. Действительно, тангенс наклона этой прямой tg ά2=C2B2/A2C2=n/1ед=n, которая проходит через т. А2 отрезка ОА2=n.

	10. Получили т.А (m+n; mn) – точку пересечения прямых У=mx-m2 и У=nx-n2

	11. Проведем АД, перпендикулярную ох, где Д принадлежит оси ох.

	12. Отрезок АД=mn (ордината т. А), т.е. искомый отрезок.

	Замечание 3. а) действительно, если в нашем примере, n=4ед., m=3 ед., то должно быть АД=mn=3ед.∙4ед.=12ед. У нас так и получилось: АД=12ед.; б) прямая В1В2 в этом построении не использовалась. В В – тоже.

	Существует ещё, по крайней мере, три разных способа построения отрезка АД=mn.

	

	Второй способ построения отрезка АД=mn, где m>1ед, n>1ед, m и n–любые.

		Анализ

		Анализ ранее построенного чертежа (рис.2), где с помощью найденного способа построения прямых У=mx-m2 и У=nx-n2 нашли т.А (m+n; mn) (это первый способ), подсказывает, что т.А(m+n; mn) можно найти построением любой из этих прямых ( У=mx-m2 или У=nx-n2) и перпендикуляра АД, где АД – перпендикуляр к ОХ, АД=mn, Д принадлежит оси ОХ. Тогда искомая точка А (m+n; mn) является точкой пересечения любой из этих прямых и перпендикуляра АД. Достаточно найти углы наклона этих прямых, тангенсы которых, согласно угловым коэффициентам, равны m и n, т.е. tg ά1=m и tg ά2=n. Учитывая, что tg ά1=m/1ед=m и tg ά2=n/1ед=n, где 1ед-единичный отрезок, можно легко построить прямые, уравнения которых У=mx-m2 и У=nx-n2.

		

		Дано:

		1ед.

		единичный отрезок

	m	m>1eд

		

		n	n>1ед., m и n-любые числа.



Построение (Рис.3) 

	

	Рис.3

	
1.Проведём прямую ОХ.

	2.На оси ОХ откладываем отрезок ОА1=m.

	3.На оси ОХ отложим отрезок А1Д=n.

	4.На оси ОХ отложим отрезок А1С1=1ед.

	5.Строим С1В1=m, где С1В1┴ОХ.

	6.Проведём прямую А1В1, уравнение которой У=mx-m2, в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

	7.Востанавливаем перпендикуляр к ОХ в точке D.

	8.Получаем точку А (m+n; mn) - точку пересечения прямой У=mx-m2 и перпендикуляра AD

	9.Отрезок AD=mn, то есть искомый отрезок.

	Вывод: Этот второй способ универсальнее первого способа, так как позволяет найти точу А(m+n;mn) и тогда, когда m=n>1ед., тогда координаты этой точки А(2m;m2) и AD=m2. 

	Другими словами этот метод позволяет найти отрезок, равный квадрату данного, длина которого больше 1ед.

	Замечание: Действительно, если в нашем примере m=3ед., n=5ед., то должно быть AD=mn=3ед.×5ед.=15ед. У нас так и получилось: AD=15ед.

	

	Третий способ построения отрезка AD=mn, где m>1ед, n>1ед и m≠n.

	Анализ.

	Используя рисунок №2, проведём штриховой линией прямую В1В2 до пересечения с ОХ в точке Е € ОХ, и прямую В1В ┴ В2С2, тогда <ά=<B1EC1=45º. Действительно, ∆В1ВВ2, ∆ЕС1В1 и ∆ЕС2В2- прямоугольные, подобные и равнобедренные, т.к.

	В1В=С1С2=ОС2-ОС1=(n+1ед.)-(m+1ед)=n-m, а В2В=В2С2-В1С1=m-n => В1В=В2В=>∆В1ВВ2- равнобедренный, прямоугольный>∆ЕС1В1- равнобедренный, прямоугольный => ά=45º

	Т.к. ОС1=m+1ед., а ЕС1=В1С1=m, то ОЕ=ОС1-ЕС1=m+1ед.-m=1ед.

	Из рассуждений следует, что точки В1 и В2 можно найти по-другому, т.к. они являются точками пересечения прямой ЕВ1, проведённой под углом ά=45º к оси ОХ и перпендикуляров к ОХ: В1С1 и В2С2, а ОЕ=1ед.Дальше, используя уже предыдущие методы будем иметь следующий способ построения. 

	

	Дано:

	1ед.

		- единичный отрезок.

	

			m	m>1ед. 

	

	

			n	n>1ед., и m≠n.

		

	Построение (Рис.4)

	

	1.Проведём прямую ОХ.

	2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

	3.Отлтжим ЕС1=m, где С1 € ОХ.

	4.Восстановим перпендикуляр в точке С1 к оси ОХ.

	5.Построим ά=С1ЕВ1=45º, где В1 - точка пересечения перпендикуляра С1В1 со стороной ά=45º.

	6.Отложив ОА1=m, проводим прямую А1В1, уравнение которой У=mx-m2, А € ОХ.

	7.Отложим ОА2=n, где А2 € ОХ.

	8.Отложим А2С2=1ед., где С2 € ОХ.

	9.Восстановим перпендикуляр С2В2 к оси ОХ в точке С2, где В2- точка пересечения перпендикуляра с прямой ЕВ1.

	10.Проводим прямую А2В2, уравнение которой У=nx-n2, до пересечения с прямой А1В1 в точке А.

	11.Опускаем на ОХ из точки А перпендикуляр и получаем AD, равный mn, где D € ОХ, так как в координатных плоскостях осях ХОУ координаты точки А(m+n;mn).

	

	Рис.4

	Замечание: Недостаток данного способа такой же, как у первого способа построения, где построение возможно только при условии m≠n. 

	
Четвёртый способ построения отрезка AD=mn, где m и n- любые, большие единичного отрезка.

	

	Дано:

	1ед.

		- единичный отрезок.

	

			m	m>1ед. 

	

	n	n>1ед., m и n- любые.

	

	Построение (Рис.5)

	

	Рис.5

	
1.Проведём прямую ОХ.

	2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

	3.Отлтжим ЕС1=m, где С1 € ОХ.

	4.Восстановим перпендикуляр в точке С1 к оси ОХ.

	5.Построим ά=С1ЕВ1=45º, где В1 - точка пересечения перпендикуляра С1В1 со стороной ά=45º.

	6.Отложив ОА1=m, проводим прямую А1В1, уравнение которой У=mx-m2, А € ОХ.

	7.Отложим А1D=n, где D € OX.

	8.Восстановим перпендикуляр в точке D до пересечения его в точке А с прямой А1В1, уравнение которой У=mx-m2. 

	9.Отрезок перпендикуляра AD = произведению отрезков m и n, то есть AD=mn, так как А (m+n; mn).

	

	Замечание: Этот способ выгодно отличается от первого и третьего способов, где m≠n, так как имеем дело с любыми отрезками m и n, единичный отрезок может быть меньше только одного из них, участвующего в начале построения (у нас m>1ед.).

	

Общая проблема ІІ

	

	С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный отношению двух других отрезков. 

	Примечание:

	единичный отрезок меньше отрезка делителя.

	Первый способ построения отрезка n=k/m, где m>1ед.

	

	
Дано:

	1ед.

		- единичный отрезок.

	

			m	m>1ед. 

	k

	(k=mn)

	

	Построение (Рис.6)

	1.Строим координатные оси ХОУ.

	2.На ОУ отложим ОМ=k.

		3. На ОХ отложим ОА1=m.

		4.На ОХ отложим А1С1=1ед.

		5.Построим С1В1=m, где С1В1┴ ОХ.

		6. Проведём прямую А1В1, уравнение которой y=mx-m2 в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

	7.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А- точка пересечения МА с прямой А1В1 (т.е. А € А1В1).

8.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

9.Отрезок А1D= n - искомый отрезок, равный n=k/m.


Рис.6



Доказательство:

1.Уравнение прямой А1В1 действительно У=mx-m2, при У=0 имеем 0=mx-m2 => x=m=OA1, та угловой коэффициент - tg<B1A1C1=B1C1/А1С1=m/1ед.=m.

2.В ∆АDA1 tg<AA1D=AD/A1D=B1C1/A1C1=>A1D=AD×A1C1/B1C1=k×1ед./m=mn/m=n, т.е. А1D=n=k/m - искомый отрезок.

Замечание. Действительно, если в нашем примере m=3ед., k=15ед., то должно быть A1D=n=k/m=15ед./3ед.=5ед. У нас так и получилось.



Второй способ построения отрезка n=k/m, где m>1ед.



	Дано:

	1ед.

		- единичный отрезок.

	

			m	m>1ед. 

	k

	(k=mn)



Рис.7


1.Строим координатные оси ХОУ.

	2.На ОУ отложим ОМ=k.

3.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

4.Отложим ЕС1=m, где С1 € ОХ.

5.Восстановим перпендикуляр в точке С1 к оси ОХ.

6.Строим С1ЕВ1=45º, где В1 - точка пересечения перпендикуляра С1В1 со стороной угла  С1ЕВ1= 45º.

		7. На ОХ отложим ОА1=m.

		8. Проведём прямую А1В1, уравнение которой y=mx-m2 в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

	9.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А - точка пересечения МА с прямой А1В1 (т.е. А € А1В1).

10.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

11.Отрезок А1D=n - искомый отрезок, равный n=k/m.

		

Доказательство:

1.∆В1С1Е - прямоугольный и равнобедренный, так как С1ЕВ1=45º =>В1С1=ЕС1=m.

2.А1С1=ОС1- ОА1=(ОЕ+ЕС1) - ОА1=1ед+m-m=1ед.

3.Уравнение прямой А1В1 действительно У=mx-m2, при У=0 имеем 0=mx-m2 => x=m=OA1, а угловой коэффициент - tg<B1A1C1=B1C1/А1С1=m/1ед.=m.

4.В ∆АDA1 tg<AA1D=AD/A1D=B1C1/A1C1=> A1D=AD×A1C1/B1C1=k ×1ед./m=mn/m=n, т.е. А1D=n=k/m - искомый отрезок.




Заключение



В своей работе мы нашли и исследовали различные методы построения с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков, предварительно дав своё определение этим действиям с отрезками, так как ни в одной специальной литературе мы не смогли найти не только определение умножения и деления отрезков, но даже упоминания об этих действиях над отрезками.

Здесь нами было использовано практически все четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

В заключение мы бы хотели отметить возможность применения найденных методов построения отрезков в отдельных разделах физики и математики.

1. Если продлить прямые y=mx-m2 и y=nx-n2 (n>m>0) до пересечения с осью ОУ, то можно получить отрезки, равные m2, n2, n2- m2 (Рис.8), где ОК=m2, ОМ= n2, КМ= n2- m2.


Рис.8



Доказательство:

Если х=0, то y=0-m2 =>ОК=m2. 

Аналогично доказывается, что ОМ= n2=>КМ=ОМ-ОК= n2- m2.

2. Так как произведение двух отрезков есть площадь прямоугольника со сторонами, равными этим отрезкам, то, найдя отрезок, равный произведению двух других, тем самым мы представляем площадь прямоугольника в виде отрезка, длина которого численно равна этой площади.

3. В механике, термодинамике есть физические величины, например, работа (А=FS,A=PV), численно равные площадям прямоугольников, построенных в соответствующих координатных плоскостях, поэтому в задачах, где требуется, например, сравнить работы по площадям прямоугольников, очень просто это сделать, если эти площади представить в виде отрезков, численно равных площадям прямоугольников. А отрезки легко сравнить между собой.

4. Рассмотренный метод построения позволяет строить и другие отрезки, например, используя систему уравнений y=mx-m3 и y=nx-n3, можно построить отрезки, имея данные m и n такие, как m2 +mn+n2 и mn(m+n), так как точка А пересечения прямых, заданных данной системой уравнений, имеет координаты (m2 +mn+n2 ; mn(m+n), а также можно построить отрезки n3, m3, и разность n3- m3, получаемые на ОУ в отрицательной области при Х=0.

Найденный метод нахождения отрезка, равного произведению двух других, позволяет найти отрезки, являющиеся корнями квадратного уравнения. Но решение данной проблемы не входит в тему данной работы.

Данная работа основана на идеях и разработках нашего руководителя Скворцова Александра Петровича, учителя, ветерана педагогического труда.







21