Дифференциальные уравнения

Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал "Восход"

Кафедра МиПОИС











Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения







Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.





















Байконур 2005 г.


1. Теоретическая часть



Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:







Возможны три случая:

Когда C1=C2 =0







Когда










Когда







Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:







Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным




2. Практическая часть



Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:







Решение:







– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:









Проинтегрируем выражение:









Ответ: 




Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:







Решение:













Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть







Произведём замену в исходном уравнении:







 - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:






Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:







Но  





Ответ: 

Задача 3. Найти общий интеграл: 

Решение:

 - дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному







Введём новые элементы:



 ,



где h и k должны удовлетворять уравнениям:



 откуда 


Таким образом:



 откуда 



Подставляя это в исходное уравнение, получим







Или







Сделаем подстановку:











 -



дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными








Упростим левую часть выражения





1+z=A(z-1)+Bz

Z1: 1=A+B A=-1

z0: 1=-A B=2



Проинтегрируем уравнение (**)







ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C





Пропотенцируем и подставим значение z в выражение








Упрощая данное выражение, получим:







Ответ: 



Задача 4. Найти решение задачи Коши:

Решение:

– линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:









a) 



Разделим переменные:








Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:











б) 



Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:















Следовательно:







Найдём значение С2


y|п/4=1/2





Ответ: 



Задача 5. Решить задачу Коши: 

Решение:











 - линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:









Ответ: 




Задача 6. Найти решение задачи Коши: , y(0)=1

Решение:

 - уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y2):







Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:



z=y-1 



Следовательно:





 - линейное уравнение



Воспользуемся методом Бернулли:


















Откуда:







Найдём значение С2







Следовательно:

Ответ: 


Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:







Решение:







- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах









Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции 



 (*)



Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:







Дифференцируя полученное, имеем:






Но 



Откуда:











Следовательно:







Ответ:







Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.







Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:







Откуда 







В результате получим следующий график:








Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор  с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М0(6;4), a=10

Решение:























Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:






Ответ: 



Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:







Решение:

 - дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть 

Подставив в исходное уравнение, получим:









Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:







Следовательно: 

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:








Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y









Ответ: 



Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:







Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что  откуда 

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:








Разделим переменные и проинтегрируем выражение:







Но. Тогда 





Однако: . Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:









Выясним значение С2:







Следовательно: 

Ответ: 

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:








Решение:

 - НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде:



 



Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):







Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:



k4-3k3+3k2-k=0

k1=0

k3-3k2+3k-1=0

k2=1



по методу Горнера:



1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k3-2k2+1=0

k3,4=1



Общее решение будет равно:








Найдём частное решение:











6A-2Ax-B=2x





Откуда: 

Ответ: 



Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:







Решение:

 - НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение












Решение НЛДУ запишется в виде:

Общее решение:

Найдём частное решение дифференциального уравнения:









Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты







 => 



Частное решение: 

Решение дифференциального уравнения:





Ответ: 



Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения







Решение:

 - НЛДУ с постоянными коэффициентами


 



Общее решение







Найдём частное решение: 









Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:











Частное решение уравнения:





=

Ответ: =




Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения: 

Решение:

По определению гиперболического синуса:







Найдём общее решение











Найдём частное решение:





 





Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:












Ответ: 



Задача 16. Решить задачу Коши:



, , 



Решение:



 - НЛДУ



Общее решение запишем в виде







Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:










Общее решение имеет вид: 

Найдём решение частное:



,



где С1 и С2– решения системы дифференциальных уравнений













По теореме Крамера:









Интегрируя выражения, получим:
















Следовательно, решение будет выглядеть так:







Найдём значения С1 и С2














Ответ: 



Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений







Решение:

Составим матрицу системы:







Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть:






















Найдём собственные векторы



1) 











2) 















Запишем общее решение системы уравнений















Отсюда получаем:





Ответ: 


Задача 18. Найти кривые, у которых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение:







Но 



 => 



Разделим переменные:







Проинтегрируем и пропотенцируем выражение:







Ответ: