Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7



	



Задание:



Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.







		Вводим новые переменные x  Ax, y  By, t  Tt и переписываем систему:

	













		Нахождение неподвижных точек преобразованной системы



2.1    x=0,y=0      ==>   O(0,0)



P



Q





		Характеристики неподвижных точек

		Запишем Якобиан нашей системы

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .

		

		а) точка О – сток, как было показано выше;

		б) точка Р:

			

			Область 1:   

			Область 2:    

					Точка Р – исток (неуст. узел)

		      Область 3: 

					Точка Р – седло 

			       в) точка Q:

					Область 1: 	

					Область 2: 

			            Область 3:    

						         	

							Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

			             Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение 

	

				Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении  были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

		

			

		

		Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

		

		          \Область

		Точка

		1

		2

		3

		3 – 3’

		O

		сток

		сток

		сток

		сток

		P

		не сущ.

		исток

		седло

		седло

		Q

		не сущ.

		не сущ.

		исток

		неуст. фокус

		



4.1  Параметрические области системы













































Область 1: 





4.3   Область 2: 











Область 3’ : 





4.5   Область 3 – 3’  : 











5. Биологическая интерпретация модели.



     



			Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).