Кратные интегралы

29



Министерство образования и науки Российской Федерации













Курсовая работа



По дисциплине: Высшая математика

(Основы линейного программирования)



На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ







Выполнил: ______________

Преподаватель:___________

Дата ___________________

Оценка _________________

Подпись ________________















ВОРОНЕЖ 2008


Содержание



1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

1.2 Тройной интеграл

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

2.2 Поверхностные интегралы

2.3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы


1 Кратные интегралы



Двойной интеграл



Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части  точку Рi.

		Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi:

		

		, (1)

		

		называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

		Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при  и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

		

		. (2)

		

		Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями  x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

		

		Рис. 1

		

 =  (3) 



Тройной интеграл



		Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

		Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида

		

		, (4)

		

		Предел при  интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

		

		 . (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:



. (6)



1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах



Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).



   

Рис. 2 Рис. 3



Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении. 

		Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда , tg.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).





Рис. 4



Тогда



 (7)



В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).



 

Рис.5 			Рис.6



Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом







Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым: 

x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:



, (10)



где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.



1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов



1) Площадь плоской области S: (11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями 

у = 2, у = 5.

Решение.





х

у

у = 5

у = 2

у = 5/х

у = 4ех



Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями  и







где  вычисляется с помощью интегрирования по частям:







Следовательно,





2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:



(12)



3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:



 (13)



где D – проекция S на плоскость Оху.

4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:



 (14)



Пример 2.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки 

(x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.



х

у

а

b

C(a,b)

a + 2b

a – 2b



Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид









Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I1 сделаем замену: 



 при x = a – 2b  при x = a + 2b 





Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:





Тогда





Следовательно, 

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:



 (15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):



 (16)



Пример 3.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если 

Решение.





х

у

2

0

2







Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):



 (17)

Пример 4.

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и 

Решение.

Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.





х

у







а

D



Тогда 



Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:



Соответственно







6) Объем тела V:



 (18)



Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями 







Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость  проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):



х

у

х + у = 2

у = х2

1



Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:

 посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:







	7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

	

(19)



8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:



	

	 (20)

	

 (21)



	где γ (х, y, z) – плотность вещества.

	Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

	

	 (22)

	

	9) Координаты центра масс тела:

	

	

	 

	
II. Криволинейные и поверхностные интегралы

	

Криволинейные интегралы



Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:



 (24)



Если кривую L можно задать параметрически:



x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,



то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой



(25)



В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:

. (26)

Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi. 

Если существует конечный предел при  интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается



. (27)



Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида







Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы



,



тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

. 



Если кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то



. (28)



Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:



 (29)



где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.

		Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

		

		

		

		от пути интегрирования являются:

		

. (30)



		При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

		

		

		При этом функцию и можно найти по формуле

		

		 (31)

		

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.



Поверхностные интегралы



	Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку 

	Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму

	

	

	

	Если существует конечный предел при  этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

	

	. (32)

	Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла:

	

 (33)



где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы



,



	не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

	

(34)



	Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

	

 и .



	Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:

	

(35)



Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то



 (36)



Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:



 (37)



где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

		Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:

		 (38)

		

		2.3 Геометрические и физические приложения



1) Длина кривой.

	Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

	

	 (39)

	

	2) Масса кривой.

	Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

	

		(40)

		

		Пример 6.

		Найти массу кривой с линейной плотностью  заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где 

		Решение.

		Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

		

		

		

	3) Моменты кривой l: 

	

	 - (41)

		статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;



	 - (42)

	

		момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;



	  - (43)

	

		моменты инерции кривой относительно координатных осей.

	4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

	

	 . (44) 

	5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

	

	, (45)

	

	Пример 7.

	Вычислить работу векторного поля  вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

	Решение.

	Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

	

	

	

Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой 

z = f(x, y), можно найти в виде:



	 (46)

	

	(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности



	 (47)

	

	Пример 8.

	Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

	Решение.

	

	

y

z

х

G

	

	На рассматриваемой поверхности 

	

	 Тогда 

	

	Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

	

	

х

у

4

3

D

	

	Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

	

	

	

8) Моменты поверхности:

	 (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

	

	 (49)

		моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

	 - (50)

	

		моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;



	 - (51)

	

		момент инерции поверхности относительно начала координат

Координаты центра масс поверхности:

	. (52)

	
Список используемой литературы



		Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.

		Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.

		Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

		Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.

		Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.

		Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.

		Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004.

		Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.

		Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.