Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші

з дисципліни: „Вища математика”

Розділ 6: „Диференціальні рівняння”

 на тему:

 „Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Задача Коші.”

















                                                                                 




     1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами. 

         Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку 

                                                                                      1

дедійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де   - стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо

                                     

Оскільки то

                                                                                             2

Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається  характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.

Позначимо корені характеристичного рівняння через  можливі три випадки:

І. і дійсні і різні числа 

ІІ. і  комплексні числа);

ІІІ. і - дійсні і рівні числа ;

Розглянемо кожен випадок окремо.

І.Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції 

Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при 



                                     .

Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою                        .



ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:

                           

Підставивши значення  та  у формулу  ,знайдемо розв’язки

                             

За формулою Ейлера

                                             

маємо

     

		

	            

	Зауважимо ,що коли функція є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції   та. Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо:

	

	або

	

	Остання тотожність можлива, коли  вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає ,що функціїта -  розв’язки рівняння  1.Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції       .

	Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки 

	

	тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

	                                                          3

	ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою  дістанемо  один з розв’язків :.

	Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . знайшовши та підставивши їх у рівняння 1  дістанемо: 

	

	

	або

	

	Оскільки- корінь рівняння 2, тоі за  теоремою Вієта, тому і  звідки  де  довільні сталі. Поклавши(нас цікавить розв’язок ), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

	

	 Розв’язки  - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

	                                    .

	Приклад 1:

	Розв’язати рівняння:.

	Розв’язання :

	Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв’язок має вигляд:

	                                         .

	Приклад 2: 

	Розв’язати рівняння:

	                                       

	Розв’язання:

	Характеристичне рівняння  має комплексні корені Загальний розв’язок дістанемо за формулою  3:

	.

	Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

	Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

	                                                                                        4

	де  - задані дійсні числа, - задана функція неперервна на деякому проміжку .

	Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного 

	розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

	Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

	Розглянемо деякі з таких рівнянь.

	І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

	                                ,                                                              5

	де  - дійсне число,  - многочлен степеня  .

	Можливі такі випадки:

	а) число не є коренем характеристичного рівняння

	                                                                                               6 Тоді диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду

	                         ,                                      7 де  - невизначені коефіцієнти.

	Справді, підставляючи функцію  7 в рівняння 4, після скорочення на  дістанемо

	                                                  8 де  - многочлен степеня  - многочлен степеня  і  - многочлени степеня .Таким чином зліва і справа в тотожності 8 стоять многочлени степеня .Прирівнюючи коефіцієнти при однакових  степенях , дістанемо систему  лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо  невідомих коефіцієнтів многочлена  .

	Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв’язок рівняння 4 , залежно від виду правої частини  цього рівняння;

	б) якщо число   збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

	;                                                                                              9

	в) якщо число  є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4 шукають  у вигляді

	

	.

	Об’єднаємо випадки а)-в):  якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

	,

	де- многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен  ,а - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють . Якщо  не є коренем  характеристичного рівняння, то приймаємо .

	ІІ. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

	                       ,                                         9.1

	де  - многочлен степеня , - многочлен степеня; - дійсні числа.

	Частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

	                             ,                                   9.2                     

	де  многочлени степеня  з невизначеними  коефіцієнтами; - найвищий степінь многочленів  тобто  - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .

	Зокрема, якщо права частина рівняння 4 має вигляд

	,

	де- відомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

	,

	де  - невідомі коефіцієнти; - число коренів характеристичного рівняння 6 , які дорівнюють .

	Приклад:

	Розв’язати рівняння.

	 Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд .Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду,причому, то за формулою 7 частинний розв’язок шукаємо у вигляді,тобто, де  А і В  - знайшовши похідні  і підставивши їх   у рівняння дістанемо

	.

	Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

	,

	звідки  .Отже частинний розв’язок даного рівняння має вигляд

	, тому

	 

	шуканий загальний розв’язок.

	Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.

	Застосуємо методи знаходження  розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. 

	Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку

	                       ,                                                      10 де  - сталі дійсні числа.

	Характеристичним для рівняння 10 називається алгебраїчне рівняння n-го степеня виду

	                                                                         11

	де - невідоме дійсне чи комплексне число.

	Рівняння 11 має n коренів. Позначимо ці корені через .

	Теорема: Кожному простому коренюрівняння 11 відповідає частинний розв’язок  рівняння 10, а кожному кореню  кратності відповідає  ь частинних розв’язків виду .

	 Кожній парі  простих комплексно спряжених коренів рівняння 11 відповідає два частинних розв’язки  рівняння 10 , а кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності відповідає частинних розв’язків виду

	

	Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння 11 дорівнює , тому кількість всіх частинних розв’язків рівняння 10 , складених згідно з цією теоремою, дорівнює  .тобто збігається з порядком рівняння 10 . Позначимо ці частинні розв’язки через  Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно незалежними. І загальний розв’язок рівняння 10 знаходиться за формулою

	.                                                                            12

	Нехай задано неоднорідне рівняння -го порядку

	                                                                13 де  - сталі дійсні числа,  - неперервна на деякому проміжку функція.

	Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння 13 є функція 

	                                                                                              де  - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння 10, а  - частинний розв’язок рівняння 13.

	Побудову загального розв’язку  рівняння10 з’ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв’язку . Якщо права частина  рівняння 13 є функція спеціального виду 9.1, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою 9.2. якщо права частина  не є функцією виду 9.1, то для знаходження  застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13 суть цього методу така.

	Нехай функція 12 є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння 10. знаходимо частинний розв’язок рівняння 13 за тією ж формулою 12, вважаючи. Що величини  - функції від , тобто покладемо 

	,                                                           14 де  - невідомі функції.

	Складемо систему рівнянь

	

	розв’язуючи цю систему. Знаходимо похідні , а потім інтегруванням і самі функції . Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції  в рівність 14 то матимемо частинний розв’язок рівняння 13; якщо у рівність 14  підставити функції, де  - довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв’язок. 

	Приклад:

	Розв’язати рівняння .

	Характеристичне рівняння  має корені . Згідно з теоремою маємо частинні розв’язки: . Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо за формулою 12:

	.

	

	
ПЛАН

	

	1. Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

	

	Контрольні питання: 

	1.Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами ?

	2.Яке рівняння називається характеристичним? Як його знаходять?

	3. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні?

	4. Який вигляд  має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні рівні?

	5. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння комплексні?

	6. Для яких диференціальних рівнянь застосовується метод підбору?

	7.Як знайти загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння    -го порядку із сталими коефіцієнтами?

	8. як знайти частинний  і загальний розв’язки неоднорідного диференціального рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?

	
Література:

	Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економісті . -.,2002.

	Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.