Основы математического анализа

1. Множества и операции над множествами



Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Запись означает, что есть множество с элементами , которые связаны между собой какой-то функцией .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

Принадлежность элемента множеству:







где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству  ).

Непринадлежность элемента множеству:








где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству  ).

Объединение множеств: .

Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.



 или 



Пересечение множеств: .

Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.



 и 



Разность множеств: .

Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.



 и 



Симметрическая разность множеств:



.




Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.







Дополнение множества: .

Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:



 и



Вхождение одного множества в другое множество: .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

Не вхождение одного множества в другое множество: .

Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).



2. Первая и вторая теорема Вейерштрасса



Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk , сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk) , которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)) . С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x). ϕ(x)на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x)на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.



3. Теорема Ферма и Ролля



Пусть функция f(x) имеет на множестве E точку экстремума x₀?E, причём множество E содержит некоторую β- окрестность, что E=(x- β;x+ β) точки x. Тогда либо f(x) имеет в точке x производную, равную 0, то есть f´(x)=0 , либо производная в точке x не существует. Теорема Ролля Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b), дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль, [f(a)=f(b)=0], то внутри отрезка (a;b) существует п окрпйней мере одна тоска x=c, a<c<b, в которой производная f´(x) обращается в нуль, т.е. f´(c)=0

Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

P(1) является истинным предложением (утверждением);

P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).

Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

Пусть m - натуральное число, m > 1 и P(n) - предложение, зависящее от n, n ≥ m.

Если

P(m) справедливо;

P(n) будучи истинным предложением, влечет истинность предложения P(n + 1) для любого натурального n, n ≥ m, тогда P(n) - истинное предложение для любого натурального n, n ≥ m.

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства







g) формула бинома Ньютона:







где n  N.

Решение. a) При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место



.



Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть








истинно. Поскольку (используется предположение индукции)







получим







то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Замечание 2. Этот пример можно было решить и иначе. Действительно, сумма 1 + 2 + 3 + ... + n есть сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом a1 = 1 и разностью d = 1. В силу известной формулы , получим







b) При n = 1 равенство примет вид: 2·1 - 1 = 12 или 1=1, то есть, P(1) истинно. Допустим, что имеет место равенство



1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2



и докажем, что имеет место P(n + 1):



1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n + 1)2






или



1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.



Используя предположение индукции, получим



1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2.



Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.

c) При n = 1 равенство истинно: 1=1. Допустим, что истинно равенство







и покажем, что







то есть истинность P(n) влечет истинность P(n + 1). Действительно,







и, так как 2n2 + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2), получим








и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

d) При n = 1 равенство справедливо: 1=1. Допустим, что имеет место







и докажем, что







Действительно,







e) Утверждение P(1) справедливо: 2=2. Допустим, что равенство







справедливо, и докажем, что оно влечет равенство










Действительно,







Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f) P(1) справедливо: 1/3 = 1/3. Пусть имеет место равенство P(n):



.



Покажем, что последнее равенство влечет следующее:







Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим







Таким образом, равенство доказано.

g) При n = 1 имеем a + b = b + a и, следовательно, равенство справедливо.




Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть,







Тогда







Используя равенство получим







Пример 2. Доказать неравенства

a) неравенство Бернулли: (1 + )n ≥ 1 + n,  > -1, n  N.



b) x1 + x2 + ... + xn ≥ n, если x1x2· ... ·xn = 1 и xi > 0, .



c) неравенство Коши относительно среднего арифемтического и среднего геометрического



 где xi > 0, , n ≥ 2.

d) sin2n + cos2n ≤ 1, n  N.

e) 

f) 2n > n3, n  N, n ≥ 10.



Решение. a) При n = 1 получаем истинное неравенство






1 +  ≥ 1 + .



Предположим, что имеет место неравенство



	(1 + )n ≥ 1 + n (1)

	

и покажем, что тогда имеет место и



≥







≥







≥



≥,



≥≥



Таким образом, если P(n) истинно, то и P(n + 1) истинно, следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

b) При n = 1 получим x1 = 1 и, следовательно, x1 ≥ 1 то есть P(1) - справедливое утверждение. Предположим, что P(n) истинно, то есть, если adica, x1,x2,...,xn - n положительных чисел, произведение которых равно единице, x1x2·...·xn = 1, и x1 + x2 + ... + xn ≥ n.

Покажем, что это предложение влечет истинность следующего: если x1,x2,...,xn,xn+1 - (n + 1) положительных чисел, таких, что x1x2·...·xn·xn+1 = 1, тогда x1 + x2 + ... + xn + xn + 1 ≥ n + 1.

Рассмотрим следующие два случая:

1) x1 = x2 = ... = xn = xn+1 = 1. Тогда сумма этих чисел равна (n + 1), и требуемое неравество выполняется;

2) хотя бы одно число отлично от единицы, пусть, например, больше единицы. Тогда, поскольку x1x2· ... ·xn·xn + 1 = 1, существует еще хотя бы одно число, отличное от единицы (точнее, меньше единицы). Пусть xn + 1 > 1 и xn < 1. Рассмотрим n положительных чисел



x1,x2,...,xn-1,(xn·xn+1).



Произведение этих чисел равно единице, и, согласно гипотезе,



x1 + x2 + ... + xn-1 + xnxn + 1 ≥ n.



Последнее неравенство переписывается следующим образом:



x1 + x2 + ... + xn-1 + xnxn+1 + xn + xn+1 ≥ n + xn + xn+1



или



x1 + x2 + ... + xn-1 + xn + xn+1 ≥ n + xn + xn+1 - xnxn+1.



Поскольку






(1 - xn)(xn+1 - 1) > 0,

n + xn + xn+1 - xnxn+1 = n + 1 + xn+1(1 - xn) - 1 + xn = = n + 1 + xn+1(1 - xn) - (1 - xn) = n + 1 + (1 - xn)(xn+1 - 1) ≥ n + 1.



Следовательно,



x1 + x2 + ... + xn + xn+1 ≥ n+1,



то есть, если P(n) справедливо, то и P(n + 1) справедливо. Неравенство доказано.

Замечание 4. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x1 = x2 = ... = xn = 1.

c) Пусть x1,x2,...,xn - произвольные положительные числа. Рассмотрим следующие n положительных чисел:







Поскольку их произведение равно единице:







согласно ранее доказанному неравенству b), следует, что







откуда








Замечание 5. Равенство выполняется если и только если x1 = x2 = ... = xn.



≤



≤

≤≤≤

e) При n = 1 утверждение справедливо:  1 < 3/2.

Допустим, что и докажем, что







Поскольку







учитывая P(n), получим








f) Учитывая замечание 1, проверим P(10): 210 > 103, 1024 > 1000, следовательно, для n = 10 утверждение справедливо. Предположим, что 2n > n3 (n > 10) и докажем P(n + 1), то есть 2n+1 > (n + 1)3.

Поскольку при n > 10 имеем или , следует, что



2n3 > n3 + 3n2 + 3n + 1 или n3 > 3n2 + 3n + 1.



Учитывая неравенство (2n > n3), получим



2n+1 = 2n·2 = 2n + 2n > n3 + n3 > n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n + 1)3.



Таким образом, согласно методу математической индукции, для любого ≥





a) n(2n2 - 3n + 1) делится на 6,

b) 62n-2 + 3n+1 + 3n-1 делится на 11.



Решение. a) P(1) - истинное утверждение (0 делится на 6). Пусть P(n) справедливо, то есть n(2n2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n - 1) делится на 6. Покажем, что тогда имеет место P(n + 1), то есть, (n + 1)n(2n + 1) делится на 6. Действительно, поскольку



n(n + 1)(2n + 1) = n(n - 1 + 2)(2n - 1 + 2) = (n(n - 1) + 2n)(2n - 1 + 2) =

= n(n - 1)(2n - 1) + 2n(n - 1) + 2n(2n + 1) = n(n - 1)(2n - 1) + 2n·3n =

= n(n - 1)(2n - 1) + 6n2






и, как n(n - 1)(2n - 1), так и 6n2 делятся на 6, тогда и их сумма n(n + 1)(2n + 1) делится 6.

Таким образом, P(n + 1) - справедливое утверждение, и, следовательно, n(2n2 - 3n + 1) делится на 6 для любого n  N.

b) Проверим P(1): 60 + 32 + 30 = 11, следовательно, P(1) - справедливое утверждение. Следует доказать, что если 62n-2 + 3n+1 + 3n-1 делится на 11 (P(n)), тогда и 62n + 3n+2 + 3n также делится на 11 (P(n + 1)). Действительно, поскольку



62n + 3n+2 + 3n = 62n-2+2 + 3n+1+1 + 3n-1+1 =

= 62·62n-2 + 3·3n+1 + 3·3n-1 = 3·(62n-2 + 3n+1 + 3n-1) + 33·62n-2



и, как 62n-2 + 3n+1 + 3n-1, так и 33·62n-2 делятся на 11, тогда и их сумма 62n + 3n+2 + 3n делится на 11. Утверждение доказано.



Несобственные интегралы

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и , ; кроме того







Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:










если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Пример:







Если  = 1, то







Следовательно, при  < 1 интеграл









Аналогично определяется несобственный интеграл, если







Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть :  и существует предел:








Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.







Пример:







Если  = 1, то







Следовательно, несобственный интеграл







Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: и несобственный интеграл  сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл .

Доказательство: В силу сходимости  по критерию Коши для функции , выполняется неравенство . Но тогда, ввиду неравенств:  аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.







Следовательно, по критерию Коши существует предел:



,



т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл  расходится, то расходится и несобственный интеграл




.



Эйлеровы интегралы () и (, ).

Определим функцию () равенством:



.



Покажем, что интеграл сходится при  > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:







и докажем сходимость каждого из этих интегралов при  > 0.

Обозначим



 и .



Если x(0, 1], то: . Так как интеграл , как это было доказано выше сходится при 1 - < 1, т.е. при >0, то по признаку сравнения интеграл  сходится при >0. Если x[1, + ) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: .

Заметим, что




,



т.е. этот интеграл сходится при любых R. Следовательно, функция Эйлера () = 1() + 2() определена для всех >0.

Далее, определим функцию



(, ) = 



и докажем, что эта функция определена для любых >0 и >0.

Обозначим:



 и .



Если x(0, 1/2], то . Интеграл  сходится по признаку сравнения 1 - <1, т.е. при >0 и при любых значениях . Заметим, что, если в интеграле 2(, ) сделать замену t = 1 – x, то мы 1(, ), который, как мы выяснили, сходится при >0 и при любых .

Следовательно, функция Эйлера (, ) = 1(, ) + 2(, ) определена для любых >0 и >0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:



(1) = 1

( + 1) = (), >0

(n + 1) = n!, nN

()(1 - ) =, 0<<1

(1/2) = 

(, ) = 



Пример:

Вычислить интеграл вероятности



.



В силу чётности функции  интеграл вероятности можно представить в виде:



.



Сделав в этом интеграле замену t = x2 , получим следующий интеграл: