Мода, медиана, квартили

Мода, медиана, квартили. 

С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук

Очень часто исследователю приходится иметь дело с достаточно длинным вариационным рядом или с целой серией таковых. Это могут быть экономические показатели, результаты тестирования различных групп, медико-физиологические замеры и т.п. При их анализе зачастую недостаточно выделения средних арифметических и дисперсий. В подобных случаях хорошую службу могут сослужить приемы выделения моды и медианы, а также перцентильный анализ. 

Суть данного метода заключается в том, что объектом анализа являются не частоты сами по себе, а их распределение относительно жестко структурированных вариант. Значимость метода заключается не в том, что при его помощи мы анализируем конкретный вариационый ряд. Понятия моды и медианы являются важной составляющей частью так называемого нормального распределения, являющегося основой для расчетов выборки, доказательства или опровержения выдвигаемых гипотез.

Мода. Мода представляет из себя наиболее часто встречающиеся значения распределения. При этом следует помнить о различиях модального значения для дисперсных и непрерывных характеристик. В первом случае модой является варианта с наибольшей частотой - скажем, максимальный процент выборов в вопросе с номинальной шкалой. Если же речь идет об интервальном ряде, представляющем собой непрерывную характеристику признака, то модальным значением будет являться группа с наибольшим числом наблюдений.

Дискретный ряд (номи-нальная шкала). Каждая варианта ряда - отдельное явление. В группе учащихся, указавших на стремление к получению высшего образования, выделены желаемые профессии (Сумма№ 100%, т.к. имелась возможность нескольких выборов)

Непрерывный ряд (шкала отношений). Каждая варианта ряда - сгруппированные значения одного класса явлений.

Результаты испытаний по тесту, в котром минимально возможное значение - 0 баллов, максимальное - 100

 

1.

врач

15%

1.

до 10 баллов

0 чел.

2.

инженер-строитель

18%

2.

11-20 баллов

0 чел.

3.

агроном

11%

3.

21-30 баллов

4 чел.

4.

военнослужащий

9%

4.

31-40 баллов

11 чел.

5.

банкир

4%

5.

41-50 баллов

23 чел.

6.

менеджер

9%

6.

51-60 баллов

34 чел.

7.

педагог

13%

7.

61-70 баллов

19 чел

8.

переводчик

15%

8.

71-80 баллов

14 чел.

9.

бухгалтер-экономист

31,2%

9.

81-90 баллов

7 чел







10.

91-100 баллов

1 чел.

(Модальные значения выделены жирным шрифтом)

При всей практической полезности понятия моды, необходимо отметить, что ей присущ ряд недостатков. Она не может служить четким выражением центральной тенденции. Максимальная частота может преврсходить остальные на порядок (например, 60% в одном пункте при 3-5% в 9 остальных). Кроме того, возможно встретить ряд, в котором имеется 2 или более численно значимых частоты при малых значениях остальных позиций. В этом случае подобные ряды относятся к бимодальным или полимодальным распределениям( см. рис.1 и 2).

Рис.1 Бимодальное распределение Рис.2 Полимодальное распределение



Помимо этого при работе со шкалой отношений мода будет не только “кочевать” из одной группы в другую в зависимости от размера интервала (это вполне естественно), но при этом изменится, зачастую весьма значительно, ее величина.

Эти недостатки моды обуславливают то обстоятельство, что в анализе эта измерительная процедура практически не используется. что впрочем не исключает ее применеия в описательных целях, в основном в виде фраз типа “модальное значение признака лежит в интервале...”.

Медиана. Медианой именуется центральное (серединное) наблюдение в ряду распределения. Так, в ряду из 203 наблюдений медианным будет являться 102. При четном числе наблюдений медианой является среднее арифметическое из тех двух наблюдений, которые делят ряд на две равные части (при n=202, это были бы №№ 101 и 102). Для ряда логических процедур требуется более дробное деление ряда, поэтому кроме медианы выделяются по мере необходимости децили (1/10 ряда), квинтили (1/5) и квартили (1/4). Таким образом, любой ряд может быть разбит на 2 части медианой, на 4 - квартилями, на 5 - квинтилями, на 10 - децилями. Продемонстрируем эти значения, а также ряд осуществляемых с ними процедур на гипотетическом примере. Допустим, при опросе родителей учащихся был использован традиционный вопрос о размере душевого дохода в семье(см. таб1). 

Таблица 1. Распределение по уровню душевого дохода семей учащихся станицы Н-ской

1

33000

21

50000

41

69000

61

91000

81

107000

2

33400

22

52000

42

71000

62

91100

82

120000

3

34000

23

53000

43

73000

63

91300

83

120400

4

35000

24

53800

44

73000

64

91900

84

122000

5

35500

25

55000

45

75000

65

94000

85

124000

6

36000

26

57000

46

77000

66

95000

86

126000

7

37000

27

57000

47

78000

67

96000

87

127000

8

38000

28

58500

48

78100

68

96500

88

133000

9

39700

29

59000

49

79000

69

96600

89

135000

10

41000

30

59000

50

80000

70

96700

90

139000

11

42000

31

60000

51

80000

71

97000

91

141000

12

42000

32

62000

52

81200

72

99000

92

155000

13

43000

33

62000

53

82000

73

99000

93

170000

14

44000

34

62400

54

83000

74

99100

94

172000

15

45000

35

63000

55

84000

75

99600

95

175000

16

45000

36

64000

56

85000

76

100000

96

177000

17

46000

37

65000

57

85000

77

100000

97

200000

18

47000

38

65700

58

86000

78

100000

98

205000

19

47000

39

65800

59

88000

79

101000

99

210000

20

49000

40

66000

60

90000

80

105000

100

250000

















101

1750000















Всего:



10398300

Оставим пока в стороне проблему обснования результата (вероятность ошибки, сложность учета двух и более источников дохода, перевод в денежные суммы неденежных поступлений и т.п.). Естественно, что приведенные в таблице данные отражают не только социально-экономическое расслоение (хотя его нельзя сбрасывать со счетов). Первые два десятка наблюдений будут состоять как из низкооплачеваемых работников, так и многодетных семей, для которых естественен низкий уровень душевого дохода даже при высоких заработках. Аналогично для последних 10-20 человек будет характерна противоположная тенденция - признак относительной высокой зарплаты в этой группе будет сочетаться с незначительным числом детей - фактором, сильно повышающим признак душевого дохода в семье.

Приведенный выше график наглядно демонстрирует как работают меры центральной тенденции. При среднем арифметическом в примере 103000 руб. медиана рассекла ряд как раз на уровне почти в два раза меньшем (т.е. 50% в группе имеют душевой доход в 60000 и ниже, вторые 50% - более 60000). И таблица, и график наглядно демонстрируют, каким образом несколько численно значимых членов ряда могут резко повысить значение средней арифметической. (В нашем примере 3 квартиля, т.е. 3/4 семей имеют доход менее ).

Этот прием весьма удобен для официальной статистики, и государственными органами в различных странах широко используется в целях дезинформации общественности. Поэтому во избежание недоразумений при работе с экономическими показателями обычно используются так называемый децильный коэффициент. Чаще всего он употребляется при анализе распределения уровня дохода и выражает соотношения денежного дохода 10% наиболее высокооплачиваемых и 10% лиц , имеющих наименьший доход (т.е. соотношение верхнего и нижнего децилей). Этот коэффициент, по сравнению с другими формами расчетов, более удобен для произведения каких либо выводов относительно социально-экономической неоднородности общества, дисперсии оплаты труда в помеченных группах или внутри одной отрасли и т.п. В нашем случае это значение просчитать довольно просто - отношение доходов в семьях №№ 92-101 к семьям №№ 1-10 составит 3454000/362600, т.е. 9,55 к 1.