Уравнения смешанного типа

Содержание



Введение

	1. Нелокальная граничная задача Ι рода

2. Нелокальная граничная задача II рода

Литература

уравнение спектральный нелокальный дифференциальный




Введение



В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучаться систематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа были найдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, в частности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга, М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими и их последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г. Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б. Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И. Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11], А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.

Особо выделим работу А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.

Первые фундаментальные исследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикоми в начале прошлого столетия. Для уравнения



 (0.1)



он поставил следующую задачу: пусть  область, ограниченная при  гладкой кривой  с концами в точках  и  оси  а при характеристиками  уравнения (0.1). Требуется найти функцию  (отрезок оси ), удовлетворяющую уравнению (0.1) в  и принимающую заданные значения на  Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при определённых дополнительных требованиях относительно поведения  в  гладкости граничных данных и характера дуги . Эта краевая задача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.

М.А. Лаврентьев с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложил новое модельное уравнение



 (0.2)



Подробное исследование задачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В. Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.

Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области .

В работах Сабитова К.Б. исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа







в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обосновании корректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения следующих задач:

Рассмотрим вырождающееся уравнение

	

	(0.3)

	

	где  в прямоугольной области 

	заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

	Задача 1. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

	

	; (0.4)

	 ; (0.5)

	 (0.6)

	 (0.7)




	где и  заданные достаточно гладкие функции, причём 

	Для того же уравнения исследована и следующая задача:

	Задача 2. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

	

	 (0.8)

	 ; (0.9)

	 (0.10)

		 (0.11)

		

		где  и – заданные достаточно гладкие функции, причём

		

		,  , 

		

		Для указанных задач установлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующих рядов.






1. Нелокальная граничная задача Ι рода



Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа

	

	(1)

	

	где  в прямоугольной области заданные положительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.

	Задача 1. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

	

	; (2)

	 ; (3)

	 (4)

	 (5)

	

	где и  заданные достаточно гладкие функции, причём 

	Пусть решение задачи (2) Рассмотрим функции

	

 (6)

 (7)

(8)



Дифференцируя дважды равенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальное уравнение




 (9)



с граничными условиями



, (10)

(11)



Общее решение уравнения (9) имеет вид



 

	

	где  и  функции Бесселя первого и второго рода соответственно,модифицированные функции Бесселя,  и  произвольные постоянные, 

	Подберём постоянные  и  так, чтобы выполнялись равенства

	

	 (13)

	

	Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя

	

	 

	

	и модифицированных функций Бесселя




	 

	

	в окрестности нуля, первое из равенств (13) выполнено при  и любых  и , а второе равенство выполнено при

	

	 

	

	Подставим полученные выражения для постоянных  и  в (12), тогда функции примут вид

	

	 

	 

	

	Отметим, что для функций (14) выполнено равенство

	

	 



Отсюда и из равенств (13) вытекает, что является продолжением решения  на промежуток  и,наоборот,  является продолжением решения  на промежуток . Следовательно, функции (14) принадлежат классу  и удовлетворяет уравнению (9) всюду на . Теперь на основании (10) и (11) получим систему для нахождения  и :






 (15)



Если определитель системы (15):



 (16)

	

	то данная система имеет единственное решение

	

	 (17)

	 . (18)

	

	С учётом (17) и (18) из (14) найдём окончательный вид функций

	

	 (19)

	

	Где

	

	 (20)

	 (21)

	 (22)

 (23)




Дифференцируя дважды равенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции , получим однородное дифференциальное уравнение



 (24)



с граничными условиями



(25)



Решение задачи (24) и (25) будет иметь вид



 (26)

 

 

 

 



Аналогично для функции  получаем неоднородное уравнение



 (27)



с граничными условиями




 (28)

(29)



Общее решение уравнения (27) имеет вид



 



Равенства  будут выполняться при следующих значениях постоянных



, 



при любых и  Подставим выражения для постоянных  и  в (30), тогда функции примут вид



	 	(31)

	

	Для нахождения  и  на основании (28) и (29) получим систем

	

	 (32)

	




	Если выполнено условие (16), то  и  определяются по формулам:

	

	 (33)

	, (34)

	

	Найденные значения  и  по формулам (33) и (34) подставим в (31), тогда функции  будут однозначно построены в явном виде:

	

	 (35)

	

	Из формул (19), (26), (35) следует единственность решения задачи (2)так как если   на , то ,  для на  Тогда из (6) имеем:

	

	 

	 

	

	Отсюда в силу полноты системы

	

	 

	




	в пространстве  следует, что функция  почти всюду на  при любом .

	Таким образом, нами доказана следующая

	Теорема 1. Если существует решение  задачи (2)то оно единственно только тогда, когда  при всех 

	Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых  и  нарушено условие (16), т. е.  Тогда однородная задача (2) (где  имеет нетривиальное решение

	

	 

	

	Выражение для  на основании следующих формул

	

	 

	

	приводим к виду

	

	 

	 

	 

	 

	

	Поскольку при любом  и 




	 

	

	где  и положительные постоянные, то функция

	

	 

	

	где  в силу теоремы Хилби  имеет счётное множество положительных нулей.

	Следовательно, при некоторых  может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку  любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям  Поэтому при больших n выражение может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема  Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование  и  таких, что при любом  и больших  справедлива оценка

	

	 

	

	Представим (16) в следующем виде

	

	 (36)

	

	где

	

	 




	Как известно  функция  строго убывает, функция  строго возрастающая по , поэтому величина

	

	 

	

	есть бесконечно малая более высокого порядка, чем  при больших . Поэтому рассмотрим только выражение

	

	 

	

	Используя асимптотическую формулу функции  при 

	

	 

	

	Получаем

	

	 

	 

	

	Где

	

	 




		Отсюда видно, что если, например,где  то при 

		

		 

		

		Тем самым справедлива следующая

		Лемма 1. Существует  и постоянная  такие, что при всех  и больших  справедлива оценка

		

	 (37)

	

	Рассмотрим следующие отношения:

	

		 

		, 

			

			Лемма 2. При любом  для достаточно больших n справедливы оценки:

			

			 

			;

			;

			 

			

			где ,  здесь и в дальнейшем, положительные постоянные.

			Доказательство. С учётом (36) функция  примет вид




			 

			

			Оценим функцию  при  и больших  :

			

			 

			.

			

			На основании поведений функций в окрестности бесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим

			

			 (38)

			

			где здесь и далее произвольные постоянные.

			При 0 и n>>1 в силу асимптотических формул имеем

			

			 

			 (39)

			

			Сравнивая (38) и (39) при любом  получим

			

			 

			

			Далее вычислим производную




			 

			 

			

			Оценим эту функцию при  и больших :

			

			 

			 (41)

			

			При  и больших фиксированных  имеем

			

			 

			 (42)

			

			Из оценок (41) и (42) следует, что при всех 

			

			 

			

			Вторую производную функции  вычислим следующим образом:

			

			 

			 




			 

			

			Используя формулы ([1], стр. 90)

			

			 

			

			Получаем

			

			 

			

			Зная оценку (40) для  из последнего равенства при всех  имеем

			

			 

			

			Функция  с учётом (36) примет вид:

			

			 .

			

			Оценим её, используя лемму 1 при 0 и больших n:

			

			

			 (43)




			При  и больших фиксированных :

			

			 

			 (44)

			

			Из оценок (43) и (44) имеем:

			

			 (45)

			

			Вычислим производную :

			

			 

			.

			

			Оценим функцию  при  и :

			

			 

			 (46)

			

			При  и  имеем:

			




			 

			 (47)

			

			Сравнивая (46) и (47) при всех , получим

			

			 

			

			Теперь вычислим вторую производную функции

			

			 

			 

			 

			

			Используя формулы

			

			 

			

			Получим

			

			 

			

			Отсюда на основании оценки (45) будем иметь

			




			 (48)

			

			Аналогично получаем оценку для функции  и :

			

			

			 

			

			Лемма 3. При любом  для достаточно больших  справедливы оценки:

			

			 

			 

			

			 

			

			Доказательство. Используя    и  функцию , определяемую формулой (19), представим в следующем виде:

			

	 (49)

	

	Из (49) в силу леммы 2 получим оценки для функций   и  Аналогичные оценки справедливы и для функций   и  Лемма доказана.

		Лемма 4. Пусть   то справедливы оценки:




		 

		 (50)

		 

		 

		

		При получении оценок (50) дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурье функции, удовлетворяющей на условию Гёльдера с показателем 

		Теорема 2. Пусть   и выполнены условия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решение определяется рядом

		

		 (51)

		

		где функции ,  определены соответственно по формулам (26), (35), (19).

		Доказательство. Поскольку системы функций

		

		 

		 

		

		образуют базис Рисса, то если , тогда функцию  можно представить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в  при любом . В силу лемм 3 и 4 ряд (51) при любом  из  мажорируется сходящимся рядом

		




		 

		

		поэтому ряд (51) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области . Следовательно, функция  непрерывна на  как сумма равномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в  мажорируются также сходящимся числовым рядом

		

		 

		

		Поэтому сумма  ряда (51) принадлежит пространству  и удовлетворяет уравнению (1) в . Следствие 1. Построенное решение  задачи (2)-(5) принадлежит классу  и функция  всюду в  является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа  уравнения (1) как особая линия устраняется.

		

		2. Нелокальная граничная задача II рода

		

		Рассмотрим уравнение (1) в прямоугольной области  и исследуем сопряжённую относительно задачи 1 задачу.

		Задача 2. Найти в области  функцию , удовлетворяющую условиям:

		

	 (52)

	 ; (53)

	 (54)

		 (55)




		где  и – заданные достаточно гладкие функции, причём ,  , 

		Пусть решение задачи (52)- (55). Вновь воспользуемся системами

		

		 

		 

		

		Рассмотрим функции

		

		 , (56)  (57)

		 (58)

		

		Дифференцируя дважды равенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение

		

		 (59)

		

		с граничными условиями

		

 (60)

		(61)

		

		Следуя §1 решение задачи (59)-(61) построим в виде




		 (62)

		

		C учётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим для функции  однородное дифференциальное уравнение

		

		 (63)

		

		с граничными условиями

		

 (64)



Решение задачи (63) и (64) имеет вид



 (65)



Дифференцируя дважды равенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородное уравнение для функции 



 (66)



с граничными условиями






, (67)

. (68)



Решение этой задачи определяется по формуле



 (69)



Из формул (62), (65), (69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если  на то , ,  для на Тогда из (56)-(58) имеем:



, ,

 



Отсюда в силу полноты системы



 



в пространстве  следует, что функция  почти всюду на  при любом .

Теорема 3. Если существует решение  задачи (52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех n выполняется условие (16).

Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых  и  нарушено условие (16), т. е. . Тогда однородная задача (52)-(55) (где  ) имеет нетривиальное решение



	 

	

	Теорема 4. Если   ,  и выполнены условия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и оно представимо в виде суммы ряда

	

	 

	 

	

	где функции ,  определены соответственно по формулам (65), (62), (69).

	Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2.

	Следствие 2. Построенное решение  задачи (52)-(55) принадлежит классу  и функция  всюду в  является решением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа  уравнения (1) как особая линия устраняется.

		




			Литература

			

		Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.М.: Наука, 1966. Т.

		Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 

		Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 185. – № 4. – С. 739 – 740.

		Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /

		А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981.– 448 с.

		Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.I./ Г.Н. Ватсон.–М.: ИЛ, 1940.– 421 с.

		Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. – М.: ИЛ, 1960. – 421 с.

		Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д. Джураев – М.: ИЛ, 1961. – 208 с.

		Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. – С.172 с.

		Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. – М.: МГУ, 1988. – 150 с.

		Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. – С. 176 – 184 с.

		Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой – полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. – 1996. – Т. 32, №4. – С. 565 – 567 с.

		Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова – Уфа.: Гилем, 2006. – 150 с.

		Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа – М.С. Салахитдинов. – Ташкент: Фан, 1974. – 156 с.

		Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. – М.: Высшая школа, 1985. – 304 с.

		Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. – 1956. – Т. 20. – №2. – с. 196 –202 с.