Решение задачи линейного программирования симплексным методом

2



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

Камышинский технологический институт (филиал) 

Волгоградского государственного технического университета

Кафедра «Высшей математики»







Типовой расчет

Часть II

по дисциплине: «Экономико-математические методы»

на тему: «Решение задачи линейного программирования

симплексным методом»







Выполнила: 

студентка гр. КБА-081(вво) 

Титова Мария Дмитриевна

Проверила: 

Старший преподаватель каф. ВМ

Мягкова Светлана Васильевна









Камышин - 2009 г. 


Задача II



Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют три вида сырья S1, S2, S3. На изготовление единицы продукции P1 используют сырье S1 = 4ед., S2 = 5ед., S3 = 4ед. На изготовление единицы продукции P2 используют сырье S1 = 3ед., S2 = 4ед., S3 = 3ед. Запасы сырья S1 составляют не более чем 320 ед., S2 не более чем 318 ед., S3 не более чем 415 ед. Прибыль от единицы продукции P1 составляет 4 рубля, от P2 составляет 5 рублей. 

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль. 

Решение: 



Таблица данных: 

Вид сырья

Запас сырья, ед. 

Количество единиц продукции





P1

P2

S1

320

4

3

S2

318

5

4

S3

415

4

3

Прибыль от единицы продукции, руб. 

4

5



Пусть х1 - количество единиц продукции P1, а х2 - количество единиц продукции P2, тогда целевая функция: max Z=4х1+5х2

Ограничения: 



4х1 + 3х2 ≤ 320; 

5х1 + 4х2 ≤ 318; 

4х1 + 3х2 ≤ 415; 

х1, х2 ≥ 0. 




Приведем систему ограничений к каноническому виду: 



4х1 + 3х2 + х3 = 320; 

5х1 + 4х2 + х4 = 318; 

4х1 + 3х2 + х5 = 415; 

хj ≥ 0 (j = 1,…,5) 



Тогда целевая функция: max Z=4х1+5х2+0х3+0х4+0х5

Составим симплексную таблицу: 



№

БП

СБ

В

х1

х2

х3

х4

х5

Θ

min Θ









4

5

0

0

0





0

х3

0

320

4

3

1

0

0

320/3





х4

0

318

5

4

0

1

0

318/4

318/4▲



х5

0

415

4

3

0

0

1

415/3





Zj-cj

0

-4

-5▲

0

0

0







Δ0 = 320Ч0 + 318Ч0 + 415Ч0 = 0; Δ1 = 4Ч0 + 5Ч0 + 4Ч0 - 4 = -4; 

Δ2 = 3Ч0 + 4Ч0 + 3Ч0 - 5 = -5; Δ3 = Δ4 = Δ5 = 0. 



Начальный опорный план Х = {0; 0; 320; 318; 415} не оптимальный. 

Так как │-5│>│-4│, то второй столбец - разрешающий. Минимальное симплексное отношение min Θ = 318/4, значит вторая строка разрешающая и а22 = 4 - разрешающий элемент. 

1-ая итерация: переменная х2 записывается в столбец базисных переменных вместо х4. Элементы 2-ой строки делятся на а22 = 4, а второй столбец заполняется нулями, все другие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника. 



№

БП

СБ

В

х1

х2

х3

х4

х5









4

5

0

0

0

1

х3



326/4

1/4

0

1

-3/4

0



х2



318/4

5/4

1

0

1/4

0



х5



706/4

1/4

0

0

-3/4

1



Zj-cj

1590/4

9/4

0

0

5/4

0



После заполнения таблицы видим, что все Δj ≥ 0, поэтому опорный план Х* = {0; 318/4} = {0; 79,5} является оптимальным, а максимальное значение целевой функции равно max Z = 4Ч0 + 5Ч79,5 = 397,5

Из симплексной таблицы max Z = 1590/4 = 397,5, значит решение верное. 

Ответ: max Z = 1590/4 = 397,5, при х1 = 0; х2 = 318/4 = 79,5

Вывод: Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, в размере 397,5 рублей, необходимо запланировать производство 79,5 единиц продукции P2, а производство продукции P1 экономически не целесообразно.