Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

Кафедра высшей математики































Курсовая работа

по теории вероятностей и математической статистике



на тему:

« Зависимость потребления бензина от количества автомобилей »









































Дубна, 2003


Оглавление



ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ДИАГРАММА РАССЕИВАНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ Y=AX+B, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI)В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ Y=PX2+QX+R, НАИМЕНЕЕ ОТКЛОНЯЮЩЕЙСЯ ОТ ТОЧЕК (XI;YI) В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ

АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОД О ЗАВИСИМОСТИ XI И YI

ВЫВОД

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Введение



		В данной работе исследуется зависимость потребления бензина в городе от количества автомобилей с помощью методов математической статистики. 

	Бензин – смесь легких углеводородов с tкип 30-205 °C; прозрачная жидкость, плотность 0,70-0,78 г/см3. Получают главным образом перегонкой или крекингом нефти. Топливо для карбюраторных авто- и авиадвигателей; экстрагент и растворитель для жиров, смол, каучуков.

	Автомобиль – транспортная безрельсовая машина главным образом на колесном ходу, приводимая в движение собственным двигателем (внутреннего сгорания, электрическим или паровым). Различают автомобили пассажирские (легковые и автобусы), грузовые, специальные (пожарные, санитарные и др.) и гоночные. Скорость легковых автомобилей до 300 км/ч, гоночных до 1020 км/ч (1993), грузоподъемность грузовых автомобилей до 180 т.

Обычно в любой области науки при изучении двух величин проводятся эксперименты, и задача состоит в том, чтобы на основании экспериментальных точек выявить функциональную зависимость.

Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, что Y зависит не только от X, но и от других параметров.

В этом случае, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом была бы близка к экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.

Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.

	 
Постановка задачи



	Даны выборки 

 – количество автомобилей,  – потребление бензина.

	Задача состоит в изучении характера зависимости 

	1. Изобразить точки () на плоскости (на миллиметровой бумаге и в виде точечного графика на компьютере)

	2. Методом наименьших квадратов определить числа  такие, что прямая  наименее уклоняется от точек () в среднем квадратичном.

	3. Методом наименьших квадратов определить числа  такие, что парабола наименее уклоняется от точек () в среднем квадратичном.

4. Сравнить между собой результаты пунктов 2. и 3.

5. С помощью сравнения статистик 



где   объем выборки, ответить на вопросы:

1) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между  и  близка к линейной ?

2) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и 

близка к квадратичной?

3) Какая из двух кривых - прямая или парабола - меньше отклоняется от точек выборки () ?


Диаграмма рассеивания



		Даны выборки  и , которые можно интерпретировать следующим образом: — потребление бензина,  — количество автомобилей. Задача состоит в изучении характера зависимости между  и . Исходные выборки представлены в таблице:

	

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

8,64558

116,76

22,2483

112,8

35,3723

113,328

48,6586

125,396

9,30954

115,72

22,38

114,03

35,8685

119,397

49,2468

126,783

9,54538

109,996

22,743

114,952

36,0494

124,624

49,0515

125,652

9,91695

126,634

23,0127

117,027

36,5302

118,734

49,7645

119,88

10,3459

112,28

23,9216

110,664

36,7256

126,531

50,6983

129,604

11,1794

115,564

24,7213

120,474

37,2568

125,601

50,4538

125,877

12,0403

116,048

25,2151

120,749

38,6184

121,974

51,7368

124,935

12,4383

114,524

25,5633

125,365

38,669

123,196

52,3859

121,572

12,8887

114,716

26,5224

117,494

39,2617

119,925

52,932

127,416

13,3673

107,328

26,654

112,982

40,1783

122,293

53,1557

123,507

13,5643

114,422

26,7975

112,34

40,239

120,465

54,0261

128,29

14,4435

118,925

27,6272

127,172

41,1804

122,419

54,4972

136,727

14,4909

123,297

28,2653

121,229

40,8874

127,014

54,3892

125,732

15,3408

119,606

28,6799

119,246

42,0704

133,402

55,475

124,107

15,5866

116,443

28,9424

113,728

42,7372

136,142

55,7691

128,79

16,9966

119,384

29,8652

124,189

42,8423

123,36

55,912

139,417

17,4323

116,428

30,2303

131,775

43,6994

128,363

56,6281

127,151

17,2341

123,058

30,6092

113,164

44,4041

118,225

57,6097

130,697

17,7988

116,349

31,6162

122,517

45,0372

126,604

57,3441

142,839

18,5831

116,665

32,1788

117,256

45,1258

127,831

58,699

134,079

19,4722

118,844

32,7243

114,794

45,4427

122,39

59,0407

130,316

19,8208

123,205

32,7933

130,624

46,3461

129,182

59,3109

129,148

20,6594

109,789

33,1236

133,529

46,5863

127,344

59,8175

135,398

20,8651

118,634

34,0453

123,582

47,3429

124,694

60,3217

131,061

21,0348

110,347

34,9061

135,169

47,7225

117,103

61,2562

126,388



Изобразим эти точки в виде точечного графика с соответствующими координатами (, ); для этого надо найти размах выборки по X и Y и выбрать соответствующий масштаб. Сначала находим  и , затем размах выборки по X, которая вычисляется по формуле  и в результате равна 52,61062. Аналогично  и , а размах выборки поY получим равный 35,511. Глядя на размах выборок по X и по Y, выбираем масштаб диаграммы рассеивания и строим её. 





рис.1. Диаграмма рассеивания



По формуле  где 



можно найти коэффициент корреляции:







Он не равен нулю, следовательно, зависимость между X и Y существует.


Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi)в среднем квадратичном



Для построения прямой y = ax + b, наименее отклоняющейся от точек  в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных  принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:



. 



Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений :



, 



Данная система может быть представлена в виде:



,

где 



В результате получим что:





Докажем теперь, что в точке  функция  имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:



.



Для доказательства введем следующие обозначения:







Составим дискриминант . Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.

То есть точка  действительно является точкой минимума.

Следовательно, функция  при данных значениях  имеет следующий график: 




рис.2. График уравнения линейной регрессии



Построение кривой y=px2+qx+r, наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi) в среднем квадратичном



Для построения кривой , наименее отклоняющейся от точек  в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа ,  и  такие, что функция трех переменных  принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:







Аналогично нахождению значений  для прямой  составляем систему трех линейных уравнений, которая является необходимым условием минимума функции:






Данная система является системой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера и зная, что:









составляем определители, состоящие из коэффициентов при  и столбца свободных членов.

 Значения  находим делением соответствующих определителей. 

= = = 

Докажем теперь, что в точке  функция  имеет минимум. Достаточным условием существования минимума функции трех переменных является следующее неравенство:



d.

 Получаем следующее уравнение:







Воспользуемся критерием Сильвестра, т.е. найдем миноры 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков и докажем, что они положительные. 



==



Найдем миноры первого, второго и третьего порядков для этого определителя:







Так как все миноры положительны, то по критерию Сильвестра d, и функция  имеет минимум в точке .

Таким образом, парабола  имеет следующий график:




рис.3. График уравнения параболической регрессии



Анализ полученных результатов и вывод о зависимости Xi и Yi





рис.4. Сравнение линейной и параболической регрессий



Для сравнения полученных результатов построения кривых  и  определим значения статистик:





Поскольку  и , можно говорить о том, что зависимость между  и  близка и к линейной, и к квадратичной. При этом парабола  меньше отклоняется от точек  и , чем прямая  


Вывод



Зависимость потребления бензина от количества автомобилей близка к линейной и к квадратичной. Однако видно, что разница между значениями статистик  небольшая. Следовательно, с практической точки зрения удобнее приближать точки выборки  и  к прямой . Выявление зависимости между потреблением бензина и количеством автомобилей пригодится для понимания ситуации, которая складывается у нас на дорогах и влияет на природу, поскольку потребление бензина всегда сопровождается вредными выбросами.


Список литературы



	Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа 1998.

	Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике — М.: Высшая школа 1998.

	Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Наука 1979.

	Мазный Г.Л., Прогулова Т.Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по ВМ и информатике. — Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.





2