Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Вариант 1



№ 1



Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.



а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.

в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда 



Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.



№ 11



Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом, 



№ 21



По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).



 хі

 1 

 2

 3 

 4

 5

 рі 

 0,05

 0,18

 0,23

 0,41 

 0,13



Последовательно получаем:



5

М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.

i=1

5

D(X) = ∑ xi²pi – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1

1,1579.



σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.


№ 31



Случайная величина Х задана интегральной функцией







а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу 

;



г) построить графики функций F(x) и f(x).



Последовательно получаем: 



а)  ;



в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a)  P= F(1) – F= – 0 = .

Графики функций поданы далее.











№ 41



Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.



Используем формулу Р(α < x < β) = 

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф– Ф(–2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать: 



Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.



№ 51



По данному статистическому распределению выборки



 хі

4

5,8 

7,6

9,4

11,2

13

14,8

16,6

 mі

5

8 

12 

25

30

20 

18 

6



Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.



Для решения задачи введём условную переменную

, где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8). 

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:



xi

mi

xi´

 ximi

 (xi´)²mi

4 

5

– 4

 – 20

 80

5,8

8

– 3

 – 24

 72

7,6

12 

– 2

 – 24

 48

9,4

25

 – 1

 – 25

 25

11,2

30

 0

 0

 0

13

20

 1

 20

 20

14,8

18

 2

 36

 72

16,6

6

 3

 18

 54



∑ = 124



 ∑ = – 19

 ∑ = 371

Используя таблицу, найдём ;

D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² =  – (– 0,1532)² = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

_

x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;



σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.



№ 61



По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.



у х

6

9

12

15

18

21

ny

5

4

2









6

15



5

23







28

25





18

44

5



67

35





1

8

4



13

45









4

2

6

 nx

4

7

42

52

13

2

n = 120



Для упрощения расчетов введем условные переменные



u = , v = . Составим таблицу:



v u 

– 3

– 2

– 1

0

1

2

nv

nuvuv

– 2

4 6

2 4









6

32

– 1



5 2

23 1







28

33

0





18 0

44 0

5 0



67

0

1





1 –1

8 0

4 1



13

3

2









4 2

2 4

6

16

 nu

4

7

42

52

13

2

n = 120

∑ = 84



Последовательно получаем:



;

;

;

;

σu² = – (u)² = 1,058 – (– 0,425)² = 0,878; σu = √0,878 = 0,937;

σv² = – (v)² = 0,742 – (– 0,125)² = 0,726; σv = √0,726 = 0,8521;



По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции: 







Далее последовательно находим:



x = u∙h1 + C1 = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2 + C2 = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;

σx = σu∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521.



Уравнение регрессии в общем виде:  Таким образом,

 упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии: 

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем 







по уравнению: 



ух=12 = 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; ε1 = 19,762 – 19,516 = 0,246;



2) при х = 18 по таблице имеем 







по уравнению: 



ух=18 = 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; ε2 = 34,258 – 34,231 = 0,027.



Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.


Вариант 2



№ 2



Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.



Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда



а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.



№ 12



В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: . 

Таким образом, 



№ 22



По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).



хі

2 

3

4

5

8

 рі 

 0,25

 0,15

 0,27

0,08

0,25



Последовательно получаем:



5

М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.

i=1

5

D(X) = ∑ xi²pi – M² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 – 4,43²  і=1

= 5,0451.

σ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246.


№ 32



Случайная величина Х задана интегральной функцией 







а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу 



;



г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем: 

а)  ;



в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a)  P= F(1) – F= 



Графики функций приводятся далее.



























	


№ 42



Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.

Используя формулу  имеем







Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать: 







№ 52



По данному статистическому распределению выборки 



 хі

7,6

8 

8,4

8,8

9,2

9,6

10

10,4

 mі

6

8 

16 

50

30

15 

7 

5



Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную 

где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4). 

Пусть С = 8,8. Тогда 

Заполним таблицу:



xi

mi

xi´

ximi

(xi´)²mi

7,6 

6

– 3

– 18

54

8

8

– 2

– 16

32

8,4

16 

– 1

– 16

16

8,8

50

0

0

0

9,2

30

1

30

30

9,6

15

2

30

60

10

7

3

21

63

10,4

5

4

20

80



∑ = 137



∑ = 51

∑ = 335



Используя таблицу, найдём 



;

D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² =  – 0,3723² = 2,3067.



Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):





x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;



σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.



№ 62



По данной корреляционной таблице 



 у х

4

8

12

16

20

24

ny

10

2

5









7

20



6

8

4





18

30



8

46

10





64

40





5

20

4



29

50





3

14

2

5

22

nx

2

19

62

48

6

3

n = 140



найти выборочное уравнение регрессии.



Для упрощения расчетов введём условные переменные



 Составим таблицу.



v u

– 2

– 1

0

1

2

3

nv

nuvuv

– 2

2 4

5 2









7

18

– 1



6 1

8 0

4 –1





18

2

0



8 0

46 0

10 0





64

0

1





5 0

20 1

4 2



29

28

2





3 0

14 2

2 4

5 6

22

66

nu

2

19

62

48

6

3

n = 140

∑ = 114



Последовательно получаем:



;

;

;

;

σu² = – (u)² = 0,9 – 0,329² = 0,792; σu = √0,792 = 0,89;

σv² = – (v)² = 1,164 – 0,293² = 1,079; σv = √1,079 = 1,0385;


По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 114.

Находим выборочный коэффициент корреляции: 







Далее последовательно находим:



x = u∙h1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;

σx = σu∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385.



Уравнение регрессии в общем виде:  Таким образом,

 упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии: 

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем 



по уравнению: ух=12 = 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 – 29,944 = 0,54;

2) при х = 16 по таблице имеем 

по уравнению: ух=16 = 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 – 39,008 = 0,159.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

2