Моделирование макроэкономических процессов и систем

Оглавление



Введение

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса

Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

Нелинейная динамическая модель Кейнса

Заключение

Литература


Введение



В настоящее время математическое моделирование все настойчивее вторгается в область социально-экономических наук. И дело здесь совсем не в том, что математизация является идеалом строгости для всякой науки.

Возможность использования математического моделирования связана с существованием устойчивых тенденций, которые характеризуют многие социально-экономические процессы. В наибольшей степени сказанное относится к экономике, где математические методы активно применяются с прошлого века. 

Значение моделирования как метода исследований определяется тем, что модель представляет собой концептуальный инструмент, ориентированный на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Именно поэтому, например, в современных курсах по экономической теории наряду с содержательным анализом широко применяется метод математического моделирования. 

Следует, однако, иметь в виду, что возможности метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов достаточно ограничены. 

В данной курсовой работе будут рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.


Задание 1



Национальная экономика страны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида: 



,



 где [P]=у.д.е. – объём ВВП страны, [K]=у.д.е – объём национальных производственных фондов (капитал), [L]=чел. – численность населения страны, занятого в производственной сфере (труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средства идут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределении инвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с целью максимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическим методом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляет S1, единицы труда – S2, а связь между ними носит линейный характер и может быть  описана уравнением S=S1·K+S2·L.

Исходные данные:



α1 = 0.4; α2 = 0.6; S = 50000; S1 = 5; S2 = 15.



Решение:



P = α0 · K0.4 · L0.6

5 · K + 15 · L = 50000



Наиболее рациональным способом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.


P (K, L, λ):

   









Т.к. K ≠ 0 и L ≠ 0, следовательно:









Графическая иллюстрация решения задачи:





Если в экономику страны, развитие которой описывается функцией P = α0 K0.4 ·L0.6  инвестировать S = 50000 у.д.е, то для получения максимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создать дополнительных L = 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K = 4000 у.д.е. производственных фондов, при условии что известны стоимости единицы труда S2 = 15 и единицы капитала S1 = 5.

Задание 2



Распределение доходов населения страны может быть описано функцией распределения доходов:







где C – минимально возможный уровень дохода; F(x) – доля населения страны с уровнем дохода, меньшим, чем Х (распределение Парето).

Учитывая, что средний относительный доход тех, чей уровень дохода меньше Х, может быть задан функцией:







Построить кривую Лоренца в системе координат, показывающей неравномерность в распределении доходов населения страны.

Значениями x принять равными:

а) при с<х≤3с       с шагом Δх=0,2С

б) при 3с<х≤6с     с шагом Δх=0,5С

Исходные данные:



α = 1.6; c = 3500.



Решение:

3500<x≤10500, шаг Δх = 700

F(x)

L(x)

x

0,00

0,00

3500

0,25

0,10

4200

0,42

0,18

4900

0,53

0,25

5600

0,61

0,30

6300

0,67

0,34

7000

0,72

0,38

7700

0,75

0,41

8400

0,78

0,44

9100

0,81

0,46

9800

0,83

0,48

10500





10500<x≤21000, шаг Δх = 1750

F(x)

L(x)

x

0,83

0,48

10500

0,87

0,53

12250

0,89

0,56

14000

0,91

0,59

15750

0,92

0,62

17500

0,93

0,64

19250

0,94

0,66

21000






Задание 3



Первоначальный банковский вклад S0 размещен на n лет под р1% годовых с начислением процента m1 раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, если условия договора изменятся на р2% и m2 раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставку процента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.

Найти величину разового платежа для погашения долгосрочного кредита на сумму Sn, данного банком под р% на n лет.

Исходные данные:



S0 = 3500; n = 6; p1 = 16; m1 = 3; p2 = 14; m2 = 2; p = 25; Sn = 200000.



Решение:

Конечная сумма вклада 



 



Эффективная ставка процента



 



Дисконт 







Дисконт-фактор 



 

а) =8917,70

 = 0.1687 

 = 0.1379 %

 = 0.8621

б) = 7882,67

 = 0.1449 

 = 0.1228 %

 = 0.8772



Сравнив полученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента и количества начислений в год – конечная сумма вклада увеличивается.



в) 

= 127156,58


Задание 4



В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).

Отрасли

потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск



Машиностроение

Металлургия

Энергетика





производство

Машиностроение

25

15

10

60

100



Металлургия

10

15

20

120

200



Энергетика

15

5

10

150

240



Решить задачу межотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось, второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.

С учетом изменений строим новый вектор конечного потребления:













Находим матрицу прямых затрат в условиях взаимодействия трех отраслей:













Т.к. aij  ≥ 0,  = 0.5 ≤ 1,  = 0.175 ≤ 1,  = 0.167 ≤ 1 – 



матрица A продуктивна, следовательно, продуктивна и сама модель.

Находим матрицу  E-A, представляющую собой матрицу полных затрат, каждый элемент которой выражает стоимостные затраты той части валового выпуска которая необходима для выпуска единицы конечного продукта.













Определитель матрицы: 









Вычислим матрицу C составленную из алгебраических дополнений матрицы  E-A:













И транспонируем ее:













Находим новый вектор валового выпуска продукции тремя отраслями:



















Чтобы машиностроение дало 60 у.д.е., металлургия 120 у.д.е., энергетика 150 у.д.е. конечного продукта идущего на непроизводственное потребление необходимо обеспечить следующие объемы валового выпуска отраслей: Машиностроение - 109,772 у.д.е. 

Металлургия – 212,934 у.д.е.

Энергетика – 140,269 у.д.е. 


Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса



Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

В этой модели предполагается, что ВВП  в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (C) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года:







При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению







где  - минимальный объем фонда потребления;



 – склонность к потреблению.



Соотношение, действующее при дискретности времени в один год, при дискретности Δt примет форму:







где (1 – с) – склонность к накоплению.  

При t → 0 приходим к уравнению инертного звена (роль постоянной времени выполняет величина , обратная склонности к накоплению):







Последнее уравнение имеет равновесное (стационарное) решение







Если в начальный момент спрос на инвестиционные товары изменился с величины I0 до I (I > I0), то в экономике будет происходить переходный процесс от значения ВВП 



 



до значения yE (см. рис.1). При этом 



.



Нелинейная динамическая модель Кейнса

Рассмотрим нелинейную модель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:







т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае 

 



Поскольку y(y>0) – ВВП, а x=I(I>0) – инвестиции, то из экономических соображений следует, что







т.е с увеличением ВВП скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций – возрастает.

Пусть при t=0 инвестиции были равны I0 и система находилась в некотором равновесном состоянии (y0,I0), первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции I0 считаются известными)







При увеличении инвестиций с I0 до I=I0+ΔI (ΔI>0) система будет удовлетворять уравнению







Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:







Переменная часть η(t) удовлетворяет уравнению






Если приращение инвестиций ΔI сравнительно мало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть η(t) также сравнительно мала. Поэтому правую часть можно разложить в окрестности точки (y0,I0) в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:







После перенесения члена, содержащего η, в левую часть и деления обеих частей на 



 



получаем уравнение инерционного звена:







где 







 – обобщенная предельная склонность к сбережению в начальном состоянии;






Из вышеописанного вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:







а ВВП в целом будет изменяться как функция 







При этом новое равновесное состояние ВВП






Заключение



В данной курсовой работе были рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Как можно было заключить из вышеизложенного,  математические методы имеют большую степень универсальности. Основой  этой  универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же  проблеме  совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык  сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать  уже  практически готовое решение, полученное ранее где-то в  другой  отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.

	
Литература

	

	Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2005. 368 с.

	Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006 287 с. 

	Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономических процессов и систем. М.: ЮНИТИ, 2005 295 с. 

	Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2005. 399 с.

	Найденков В.И. Прогнозирование и моделирование национальной экономики: Конспект лекций. М.: ПРИОР, 2004. 156 с. 

	Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А., Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ, 2004. 302 с. 

	Просветов Г.И. Математические модели в экономике. Спб.: РДЛ, 2006. 151 с. 

	Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2005 391 с. 

	Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Спб.: Волтерс Клувер, 2005. 132 с. 

	Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2005. 286 с.

1