Уравнение Дирака

Уравнение Дирака

Спин.

 Спин является важнейшей характеристикой микрообъектов, которая не имеет сколько-нибудь близкого аналога в макроскопическом мире. 

Первыми экспериментами, в которых проявлялось это необычное свойство, были опыты Штерна и Герлаха по взаимодействию обладающих спином объектов с пространственно неоднородным магнитным полем (рис. 27_1). Пучок предварительно никак не ориентированных в пространстве атомов пропускался между полюсами магнита, в результате чего атомы испытывали отклонения в направлении магнитного поля, что было очень похоже на поведении в сходной ситуации небольших макроскопических магнитиков. Наличие внутри атома движущихся зарядов, способных взаимодействовать с магнитным полем, в принципе могло объяснить такое поведение даже на языке классической физики. Несколько странным выглядело лишь то, что исходный пучок не “размывался” в непрерывную полосу (чего следовало ожидать в случае потока произвольно ориентированных относительно поля намагниченных макроскопических частиц), а разделялся на несколько дискретных составляющих, что на классическом языке означало бы наличие дискретного набора разрешенных ориентаций частиц. Нерелятивистская квантовая механика объяснила наблюдаемое явление как результат квантования момента импульса и его проекции на направление магнитного поля. Каждая из возникающих в магнитном поле компонент пучка соответствует определенному значению магнитного квантового числа m, количество которых определяется величиной момента импульса и равно 2l+1. Аналогичное по природе явление наблюдалось в спектрах излучения атомов, помещенных в магнитное поле: спектральные линии расщеплялись на такое же число компонент, соответствующих определенному значению m (эффект Зеемана - снятие вырождения энергий при помещении системы в обладающее весьма низкой симметрией магнитное поле). Описанные закономерности не выполнялись для атомов с нечетным числом электронов : например, пучки из атомов первой группы в наинизшем s-состоянии расцеплялись на две компоненты, хотя и не обладали вообще никаким моментом.

Для разрешение возникшего противоречия была высказана гипотеза о существовании у электрона собственного момента количества движения, названного спином. Очень грубая классическая аналогия позволяет сравнить обладающий спином электрон с планетой, совершающей помимо орбитального движения вокруг звезды, вращение вокруг своей оси. Вращающийся электрически заряженный шарик, в принципе, может участвовать в магнитных взаимодействиях, однако классические оценки показывают, что для количественного объяснения наблюдаемых эффектов скорость движения его поверхности должна превышать скорость света. Т.о. в нерелятивистскую квантовую механику спин был введен как дополнительное свойство бесструктурных частиц, объяснение природы возникновения которого не могло быть получено на основании принципов теории.

Уравнение Паули.

 Формальное описание поведения электрона во внешнем магнитном поле, обусловленное наличием у него спина, было достигнуто в рамках модификации нерелятивистского уравнения Шредингера, предложенной Паули. Идея состояла в замене шредингеровской воновой функции двухкомпонентным вектором

(1) ,

удовлетворяющему несколько видоизмененному уравнению:

(2)  ,

где  - оператор спина, действие которого переводит компоненты волновой функции друг в друга, конкретный вид которого был установлен исходя из анализа результатов опытов Штерна - Герлаха и достаточно общих соображений о поведении системы с двумя базисными состояниями при вращениях в пространстве системы координат. Нахождение электрона в одном из возможных спиновых состояний (при обсуждении концепции классической квантовой механики для них использовались обозначения ) отождествляется с описанием его при помощи одной из двух компонент волновой функции. 

Уравнение Паули правильно описывает поведение нерелятивистского электрона во внешнем магнитном поле.

Уравнение Дирака. 

Предложенное П.Дираком уравнение является обобщением уравнения Паули на случай движения заряженных частиц со спином 1/2 с релятивистскими скоростями. К его конкретному виду можно прийти на основе сопоставления уравнений Шредингера, Клайна-Гордона и Паули:



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

********* Спин не учитывается    Учет наличия спина

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Нерелятивистская теория  

   

(уравнение Шредингера)     (Уравнение Паули)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Релятивистская теория  

 

(уравнение Клейна-Гордона)     (Уравнение Дирака) 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Для сокращения записи уравнения приведены в операторном виде: сами волновые функции отсутствуют (напомним, что содержащие оператор спина уравнения в правом столбце таблицы подразумевают наличие двух компонент у волновых функций).

С точки зрения математики уравнение Дирака является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Чисто тождественными преобразованиями оно может быть сведено к системе из двух уравнений первого порядка. Последние можно объединить в одно уравнение первого порядка, связывающее четырехкомпонентные волновые функции. Релятивистское обобщение уравнения Паули приводит к необходимости допустить существование четырех допустимых внутренних состояний электрона вместо двух, постулируемых в классической теории.

Уравнение Дирака дает правильное количественное описание таких “тонких” эффектов атомно-молекулярной физики, как спин-орбитальное взаимодействие и позволяет верно рассчитывать поправки к энергиям атомных уровней, обусловленные релятивистской зависимостью массы от скорости. Написанные по аналогии с решением задачи для электрона выражения для описания магнитного взаимодействия ядра с электронами (изначально ниоткуда не следует, что тяжелые частицы, составляющие ядро должны подчиняться тем же уравнения, что и электроны) дают правильное описание сверх тонкой структуры спектральных линий. Уравнение Дирака подчиняется принципу соответствия: его разложение в ряд по малому параметру

(3) 

(“постоянная тонкой структуры”) в нулевом приближении приводит к уравнению Шредингера, а в первом - к уравнению Паули.

Помимо успешного объяснения известных из экспериментов фактов уравнение Дирака предсказывало ряд неизвестных в то время эффектов, весьма странных даже с точки зрения квантовой механики.

Дираковский вакуум. Наличие четырехкомпонентной волновой функции в уравнении Дирака означало возможность четырех различных состояний свободного электрона в заданной точке пространства, два из которых интерпретировались как различные ориентации спина. С другой стороны, записанное для свободной частицы уравнение предсказывало возможность двух отличающихся знаком значений энергии:

(4)  .

Отрицательные энергии возникали и в неквантовой теории, но отбрасывались как физически бессмысленные решения. После того, как в решении уравнения Дирака эти состояния появились “наравне” с экспериментально зарегистрированными спиновыми, идея их простого отбрасывания стала непривлекательной.

Если в случае свободной частицы разрешенные по Дираку энергии представляли собой две полубесконечные непрерывные полосы, разделенные интервалом , то для частиц в ограниченном пространстве возникали дискретные энергетические уровни (рис. 27_2). Признание наличия нижних состояний ставило вопрос о причинах, запрещающих “падение” на них реально существующих электронов. Такой процесс должен был бы сопровождаться выделением колоссальной по масштабам микромира энергии, превосходящей .

Дирак высказал предположение, что бесконечная группа уровней с отрицательными энергиями полностью заполнена электронами, существование которых нами никак не регистрируется. Это означало превращение “пустого” вакуума Ньютона в весьма сложную систему, содержащую “половину всего сущего” - в вакуум Дирака.

Антивещество. При передаче находящемуся на “отрицательном уровне” электрону достаточной энергии (например, от электромагнитного поля) он может перейти в состояние с положительной энергией и стать наблюдаемым. При этом на нижнем уровне останется незаполненное вакантное место - “дырка”, поведение которой должно быть сходно с обладающей положительным зарядом частицей (аналогом дырки может служить пузырек в бокале шампанского, движущийся против действия силы тяжести: на самом деле при этом жидкость опускается вниз, а место, где ее нет - перемещается наверх). 

Первоначально предполагалось, что дырками в дираковском вакууме являются протоны, единственные известные в то время элементарные частицы с противоположным электронному зарядом и спином 1/2. Различие масс объяснялось сильным взаимодействием между заполняющими нижние уровни электронами. Этой соблазнительной модели (еще одно “великое объединение”) не суждено было выжить: на эксперименте процесс перехода электрона на нижний уровень, воспринимаемый как взаимное уничтожение (аннигиляция) электрона с протоном

(5) 

ни кем никогда не наблюдался.

Спустя небольшой промежуток времени после того, как был поставлен вопрос реальном существовании и физическом смысле дырок К.Андерсон, занимавшийся фотографированием треков приходящих из космоса частиц в магнитном поле обнаружил след неизвестной ранее частицы, по всем параметрам тождественной электрону, но имеющей заряд противоположного знака. Частица была названа позитроном. При сближении с электроном позитрон аннигилирует с ним на два фотона высокой энергии (гамма-кванта), необходимость возникновения которых обусловлена законами сохранения энергии и импульса:

(6)  .

Впоследствии оказалось, что практически все элементарные частицы (даже не имеющие электрического заряда) имеют своих “зеркальных” двойников - античастицы, способные аннигилировать с ними. Исключение составляют лишь немногие истинно нейтральные частицы, например фотоны, которые тождественны своим античастицам.

Интерпретация Фейнмана. Изящная интерпретация античастиц была предложена Р.Фейнманом, по-новому взглянувшим на хорошо известный факт гармонической зависимости стационарных состояний системы от времени:

(7)  .

В случае античастиц стоящий в выражении для энергии знак минус может быть перенесен на время. Это позволяет рассматривать позитроны как обыкновенные электроны, перемещающиеся во времени в противоположную сторону. На рис. 27_3 изображены мировые линии аннигилирующих на два фотона электрона и позитрона в пространстве Минковского. Поскольку рождение электрон-позитронных пар и их аннигиляция могут происходить параллельно в сразу нескольких точках пространства - времени, возникает соблазнительная возможность объединить их всех одной мировой линией (рис. 27_4), что означает рассмотрение всего множества существующих в данный момент частиц как одной частицы с “изломанной мировой линией”. Каждое пересечение горизонтальной прямой с такой мировой линией соответствует либо электрону, либо позитрону. Модель Фейнмана удачно подчеркивает замечательный факт абсолютной эквивалентности всех электронов в мире: все они являются одной и той же элементарной частицей.

Космологический аспект проблемы антивещества. В связи с полной физической симметрией между частицами и античастицами возникает космологическая проблема объяснения причин неравномерной плотности вещества и антивещества во Вселенной. С одной стороны, наличие равных концентраций частиц и античастиц означал бы невозможность устойчивого существования вещества из-за аннигиляции. С другой, остается неясным, “куда делись” соответствующие “непарным” электронам позитроны. Справедливости ради следует отметить, что на сегодняшний день мы не обладаем достоверной информацией о том, из чего состоят другие звезды: излучаемый атомами вещества и антивещества одинаков. 

По-видимому все до сих пор прилетающие из космоса метеориты состояли из “нормального” вещества, поскольку процессы выделения энергии, соответствующей аннигиляции макроскопического тела, к счастью не наблюдались. Из этого не следует вывод о том, что во всем космосе преобладает нормальное вещество: большинство метеоритов приходит к нам из ближнего космоса и имеют родственное происхождение с объектами солнечной системы.