Сходимость рядов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.




Найти область сходимости указанных рядов



9.3.1.

а)







По признаку Лейбница для знакопеременных рядов  ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

.



б)





Отсюда следует, что при  ряд сходится, т.е. при . При  ряд расходится.

Рассмотрим случай 





Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов  Ряд сходится условно, т.к. ряд 

При  аналогично получим ряд , ряд сходится условно.

Ответ: 



9.3.2.

а) 

. По признаку Даламбера ряд сходится, если .





Ряд будет сходится при 

Первый случай  или 







В промежутке  ряд сходится.

Второй случай







В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы интервала.

При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+… 

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При  получим ряд  т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к. 





б)







Ряд будет сходиться при .


1)



 



в интервале  ряд сходится.



2)





в интервале 3<x<8 ряд сходится.

Общий интервал сходимости –2<x<8.

На концах интервала х=-2, имеем ряд:



 



— расходящийся гармонический ряд.



 



в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]




9.3.3.

а) 







Ряд сходится при условии 



1) 



Решим неравенство:



 



корней нет, следовательно:  — всегда.





 



Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала:  Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1) . Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .



2)







б)



.



Ряд сходится при .

1)  интервал сходимости .

2)  интервал сходимости .

Исследуем границы интервала.


1)







По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд  — расходится.



2) . 



Сравним с рядом  по второму признаку сравнения 



 



расходится, то расходится и ряд .





3.9.4.

а) 








Ряд сходится при 

1)  тогда 



  



корней нет, .

Решаем неравенство:



.



Решаем полученное неравенство:







В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)







Ряд расходится, т.к. .

2)





б)







Ряд сходится при условии  или







Интервал сходимости .

На концах интервала.

1)







— ряд расходится, т.к. расходится ряд .

2)





Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.





9.3.5.

а)







Ряд сходится при условии .

1) 







2)







Исследуем концы интервала:

1) 








2)







б) 







Ряд сходится при условии  откуда 






9.3.6.

а)





Ряд сходится при 





 



и корней нет, следовательно, имеет условие







Интервал сходимости .

Исследуем концы интервалов:

1)






Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница

 — выполняется







Ряд сходится при 



 



Получим такой же ряд.





б) 



Проверяем признак Даламбера:







Условие сходимости 



На концах интервала имеем:


1)







Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.

Ряд сходится условно при .

Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.

.



9.3.7.

а)







Проверяем концы интервалов

1)







Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.

При  получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).



б)







9.3.8.

а)







Условие сходимости .

Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид







Интервал сходимости .

На концах интервала





Получаем один и тот же ряд



.



Члены этого ряда не меньше членов ряда , следовательно, ряд расходится.



б) 







Условие сходимости 







На краях интервалов:

1) . Получается ряд:





Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.



2)







9.3.9.

а)







1. Если , т.е.  и необходимо решить неравенство: . Получается интервал .

2. 







Интервал с учетом .

На концах интервала:

1)







Ряд сходится. Аналогично при .

.

б)







Интервал сходимости определяется неравенством








9.3.10.

а)







Найдем дискриминант числителя








б)





1)







2)








1.







2.