Застосування подвійних інтегралів

Застосування подвійних інтегралів


Содержание



	1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

	2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

	3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки




1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах



	Нехай функція  неперервна в деякій замкненій і обмеженій області , тоді існує інтеграл

	

	.

	

	Припустимо, що за допомогою формул 

	

	 (1)

	

	ми переходимо в інтегралі  до нових змінних  та . Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити  та :

	

	. (2)

	

	Згідно з формулами (2), кожній точці  ставиться у відповідність деяка точка  на координатній площині з прямокутними координатами  і . 

	Нехай множина всіх точок  утворює обмежену замкнену область . Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

	Справедлива така теорема.

	Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область  в замкнену обмежену область  і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області  неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

	

	, (3)

	

	а функція  неперервна в області , то справедлива така формула заміни змінних

	

	. (4)

	

	Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

	Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі  за формулами (1), ми маємо елемент площі  в координатах  замінити елементом площі  в координатах  і стару область інтегрування  замінити відповідною їй областю .

	Розглянемо заміну декартових координат  полярними  за відомими формулами. Оскільки

	

	.

	

	То формула (3) набирає вигляду

	

	 (4)

	

	де область  задана в декартовій системі координат , а  - відповідна їй область в полярній системі координат.

	У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області  містить суму , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

	

	.

	

	Якщо область  (рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути  та   і кривими  та  , то полярні координати області  змінюються в межах ,  (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

	

	 (5)

	

	

	Рисунок 1 - Область: а) ; б) 

подвійний інтеграл полярна координата

	Якщо область  охоплює початок координат, тобто точка  є внутрішньою точкою області , то

	

	 (6)

	

	де  - полярне рівняння межі області .

	Приклади

	1. Обчислити інтеграл , якщо область  - паралелограм,

	обмежений прямими  (рис.1, а).

	Розв’язання

	Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі  так і в напрямі осі  область  потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

	Виконаємо таку заміну змінних: , тоді прямі  та  в системі  переходять в прямі  та  у системі  (рис.1, б), а прямі  та  відповідно в прямі  та .

	Таким чином, область  (паралелограм) переходить у системі  в прямокутник .

	

	

	Рисунок 2 - Область: а) ; б) 

	

	Далі маємо

	

	

	

	

	За формулою (3)

	

	

	

	2. У подвійному інтегралі , де  - круг, обмежений колом , перейти до полярних координат з полюсом в точці , і обчислити отриманий інтеграл.

	Розв’язання

	Область  зображена на рис.2.

	Рівняння, які пов’язують  і полярні координати  з полюсом у точці , мають вигляд , причому видно, що кут  змінюється в межах від  до .

	

	

	Рисунок 3 - Область 

	

	Підставивши вирази для  і  в рівняння кола, отримаємо , звідки  або . Ці дві криві на площині  при  обмежують область , яка є прообразом області  при відображенні. Якобіан  відображення дорівнює . Підінтегральна функція  у нових змінних дорівнює . За формулою (3) маємо

	

	.

	

	Одержаний подвійний інтеграл за областю  зводимо до повторного:

	

	

	

	і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:

	

	

	

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії



	1. Площа плоскої фігури. Якщо в площині  задана фігура, що має форму обмеженої замкненої області , то площа  цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:

	

	.

	

	2. Об'єм тіла. Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі  і яке обмежене знизу областю  площини , а зверху - поверхнею , де функція  неперервна та невід'ємна в області , знаходиться за формулою (2):

	

	

	

	3. Площа поверхні. Якщо поверхня , задана рівнянням

	

	 (7)

	

	проектується на площину  в область  (рис.3) і функції , ,  неперервні в цій області, то площу  поверхні  знаходять за формулою

	

	 (8)

	

	

	Рисунок 4 - Поверхня 

	

	Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область  на  частин , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють . У кожній частині  візьмемо точку ; на поверхні  їй відповідатиме точка , де . Через точку  проведемо дотичну площину  [3]

	

	.

	

	На площині  виділимо ту її частину, яка проектується на площину  в область . Позначимо цю частину дотичної площини через , а її площу - через . Складемо суму

	

	. (9)

	

	Границю  суми (9), коли найбільший з діаметрів  областей  прямує до нуля, назвемо площею поверхні (7), тобто за означенням покладемо

	

	. (10)

	

	Обчислимо цю границю. Оскільки область , яка має площу , проектується в область  з площею , то , де  - кут між площинами  та  (рис.3), тому .

	Але гострий кут  дорівнює куту між віссю  і нормаллю  до дотичної площини, тобто куту між векторами та . Знайдемо за формулою (4)

	

	.

	Отже,

	.

	

	Підставляючи значення  в (10), отримуємо

	

	.

	

	Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області  функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).

	

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки



	1. Маса пластини. Нехай на площині  маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією . Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):

	

	.

	

	2. Центр маси пластини. Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині  має форму області , густина пластини в точці дорівнює , де  - неперервна функція в області  Розіб'ємо область  на частини , виберемо в кожній з них довільну точку  і наближено вважатимемо, що маса  частини  дорівнює , де  - площа області . Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці , то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати  та  центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями

	

	.

	

	Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при . Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами

	

	. (11)

	

	Величини

	

	 (12)

	

	називаються статичними моментами пластини відносно осі  та .

	Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді

	

	.

	

	Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину , то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти .

	3. Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.

	Нехай матеріальна пластина має форму області  у площині , а неперервна функція  визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область  на частини , площі яких дорівнюють , і виберемо в кожній з цих частин довільну точку . Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі  та відносно  наближено визначатимуться за формулами

	

	.

	

	Перейшовши до границі в кожній із сум при , отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:

	

	. (13)

	

	Знайдемо момент інерції  пластини відносно початку координат.

	Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки  з масою  відносно початку координат дорівнює , аналогічно отримуємо, що

	

	. (14)