Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

	СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

кафедра інформатики

















КОНТРОЛЬНА РОБОТА

ПО КУРСУ: Чисельні методи

на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»




Зміст



Постановка задачі

Вступ

1 Теоретична частина

2 Програмна реалізація

Список використаної літератури




Постановка задачі



Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння






Вступ



Нехай потрібно чисельно розв’язати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв’язок диференціального рівняння  y=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x)=y.Чисельне розв’язання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y,y,y,...,y-розв’язку рівняння y=(x ) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки .





                        y                                                         



                       yn                                                                                   *



                       y3                                      *

                       y2                                        *

                       y1                             *

                       y0                 *

                       O            x0     x1    x2     x3                   xn              x



На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x =x + ih (i=1,2,..,n) , де h - крок сітки 

( h > 0 ) .




1 Теоретична частина



Методи Рунге-Кутта

Різні представники цієї категорії методів  потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.

Якщо  неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:







  (); 







Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних. 

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів

 оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних  кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді


 .



За формулою Рунге 



 



Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:



 



де yi  – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i  – із кроком h/2; p  - порядок методу; y(x2i)  - точний розв’язок задачі.



Метод прогнозу і корекції 

Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу 



, 



де наближене значення . Цю формулу використовувати не можна ,оскільки схема прогнозу нестійка . Тому використовує-мо схему корекції 



 



Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо 

  -   похибка корекції, 

  - похибка прогнозу .



Істинне значення лежить між прогнозом і корекцією .На будь-якому кроці можна оцінити точність рішення . При заданому =0,0000001, наприклад, .

Віднімаючи з  співвідношення  , маємо 

  .

Уточнюємо розв’язання, виходячи з формули :



 



Ця формула  завершає схеми прогнозу і корекції .



Метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач

Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку



, 



що задовольняє такі крайові умови:

  



Виберемо рівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n... Нехай Апроксимуємо  і  у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями ,  і на кінцях відрізка – односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями , .

Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:



 

Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.

Введемо позначення:



   



Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:



  



Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:



Таким чином, завдання зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.



2 Програмна реалізація 



Реалізація пакетом Maple



> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;



dsolve[interactive]( ss );







Список використаної літератури



	Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.

	Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.

	Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.  

Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.