Основы высшей матиматики

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Филиал Уральского государственного экономического университета в г. Березники

Кафедра математики и естественных наук

















Контрольная работа № 1

по дисциплине: "Математика"







Выполнил:

Студентка I курса,

группы ЭКПС-091

Лоскутова Ирина Петровна

Проверил:

к. ф-м. н., профессор

Кобзев Виктор Николаевич







Березники

2009


Задача 1.1 Вычислить определитель 4-го порядка







Решение. Так как элемент , то 1-ую строку нужно умножить на (– 2) и прибавить ко 2-ой строке; 1-ую строку умножаем на (– 3) и прибавляем к 3-ей строке; 1-ую строку умножаем на (– 4) и прибавляем к 4-ой строке, получаем матрицу:







Ответ: .



Задача 1.2 Решить систему матричным способом







Решение. В матричной форме система имеет вид:  (1), где



; ; .




Найдем определитель матрицы А:



.



Так как , то матрица А невырожденная и обратная матрица  существует.

Найдем матрицу , транспонированную к А:



.



Найдем алгебраические дополнения к матрице :



; 

;

;

;

;

;

;



.



Из алгебраических дополнений элементов матрицы  составим присоединенную матрицу :



.



Вычислим обратную матрицу :



.



Проверим правильность вычисления обратной матрицы:










По формуле (1) вычислим:







Ответ: 

Проверка:









 Система решена верно.



Задача 1.3 Решить систему методом Крамера







Решение. Найдем определитель системы







Так как , то по теореме Крамера система имеет единственное решение.


;

.

математический матрица невырожденный транспонированный

По формулам Крамера:



;





Ответ: решение системы .



Задача 1.4 Найти общее решение системы, используя метод Гаусса







Решение. Расширенная матрица система имеет вид:







Так как элемент , то 1-ую строку прибавляем ко 2-ой строке, 1-ую строку умножаем на (– 2) и прибавляем к 3-ей строке, 1-ую строку умножаем на 4 и прибавляем к 4ой строке, исключим элемент  из всех строк, начиная со второй. Результаты запишем в матрицу:







Так как элемент , то, прибавляем 2-ую строку к 3-ей, умножаем 2-ую строку на (– 2) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент  из 3-ей и 4ой строк. Результаты запишем в матрицу:







Так как элемент , то, умножаем 3-ю строку на (– 1) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент  из 4-ой строки. Результаты запишем в матрицу:







Система уравнений примет вид:



,


 – связные элементы,  – свободная, 











Ответ:







Проверка. Подставим все значения в первое уравнение системы.







Получим:







 система решена верно.


Задача 1.5



Даны векторы



, .



Найти: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Решение



, .

1) .

2) 

.

3) .

4) 



Т.к. , то











5) .


Ответ:



1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .