Собственные интегралы, зависящие от параметра

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра

Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция  будет определена на некотором множестве, где  и , то есть в результате получится множество . Если функция  непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл , где x  принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.

На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.

Определение. 

Интеграл  называется интегралом, зависящим от параметра, если  интегрируема на промежутке при любом фиксированным  , где .

Следовательно,  представляет собой функцию   переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .

Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении  несобственных интегралов.

Пример. Найти интеграл  от функции , 

Функция  непрерывна на отрезке  при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда

.


Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра



Определение.

Пусть  - это предельная точка множества .Функция  называется равномерно сходящейся к функции  при  по переменной , если выполняются следующие условия:

для  при  существует конечная предельная функция ;

.       (1)



Замечание 1.

В цепочки (1)  зависит только от  и не зависит от , а неравенство  выполняется при любых  одновременно.

Замечание 2.

Если , то в цепочке (1) неравенство  следует заменить на  ().

Теорема 1 (признак сходимости). Если функция  определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы  выполнялась цепочка



Докажем теорема так.

Необходимость. Пусть функция  равномерно сходится. Если заменим в определении  на  и выберем соответственно , а затем возьмем два значения  и  из  так, чтобы выполнялись условия  и . В результате получим   и  откуда следует последнее неравенство в цепочке .

Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции  к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве  при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость  к функции .


Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция  при любом фиксированном  непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции  по переменной  при , то функция  также непрерывна на .

Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного  на  и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то  сходится к  равномерно.

Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция  непрерывна при постоянном значении  на и сходится равномерно по переменной  к предельной функции  при , то тогда имеет место равенство 

         (2)

Доказательство.

Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости  к  выполняется . Тогда при тех же  и  имеем:

 откуда следует , что  доказывает формулу (2).

Замечание 3.

Равенство (2) можно записать и в другом виде

.              (2`)

Следствие 1.

Если функция  при постоянном  непрерывна по  и при возрастании  стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).

В предположении, что область  представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .

Пример (№3713 (в)).  Найти .

функция  непрерывная функция на . Функции  и  также непрерывны на .

  непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит 

.


Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция  определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл  будет непрерывной функцией от параметра  в промежутке .

Доказательство.

Так как  непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое  и зафиксируем . Тогда нашему значению  будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств  и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим 

. Это означает, что функция  равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .

Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .

Следствие 2. Если  непрерывна на прямоугольнике , то .

Пример. Найти .

  непрерывна на 

тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем




Пункт 3. Дифференцирование под знаком интеграла



При изучении свойств функции  важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле , которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.

Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра). Пусть функция  определена и непрерывна в прямоугольнике  и имеет там непрерывную частную производную . Пусть , . Тогда:

функция  имеет в промежутке производную ;

, то есть , .

Доказательство.

Возьмем любую точку  и зафиксируем ее. Придадим  приращение  и точка . Тогда , ,

       (1)

По теореме Лагранжа  . Следовательно, 

.                   (2)

Переходя в (2) к пределу при , приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

.



Из этого следует, что  существует, причем . Так как - любое , то  существует для любого , причем .

Пример. Найти производную  функции .

1.  непрерывна на 

2. . Эта функция также непрерывна на .

3.



4. 





Пункт 4. Интегрирование  по параметру под знаком интеграла



Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру  функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.

Теорема. Если  непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то  интегрируемая на промежутке  функция и справедливо равенство , то есть .

Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом .

Докажем более общее равенство.

 для любого .            (1)

В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t. Вычислим их производные по t. Так как , то  (т.4 п.2), а следовательно  есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:

, .                        (2)

В правой части стоит интеграл , где . Действительно функция  удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.


Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

, .        (3)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке  совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. .

.                  (4)

Положив в (4) t=c , получим . Значит, будем иметь вместо (4) для любого 

.                              (5)

Пусть в (5) t=d, получим

.

Что и требовалось получить.




Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра



Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра 



При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция  определена и непрерывна на некотором прямоугольнике  и при любом фиксированном  существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен

.

В этом случае  называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1). 

Утверждение о том, что  сходится при каждом  означает следующее: при каждом фиксированном  

.

Следовательно,

 или .

Это значит, что для каждого  по любому  можно указать число  такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от :. Если же для любого  можно указать число , зависящее только от , такое, что при  выполняется  для, то в этом случае  называется равномерно сходящимся относительно параметра . 

Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:

Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1). Для того чтобы интеграл  сходился равномерно по переменной  на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

, .

Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.

Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1). Пусть функция  определена и непрерывна на прямоугольнике  и удовлетворяет условиям:

непрерывна по переменной ,

существует функция , что ,

- сходится.

Из этого следует, что  сходится равномерно по . 

Доказательство.

В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:

       (1)

Тогда при тех же , что и в цепочке, получаем 

.

А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла .

Ч. т. д.

Замечание. 

При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция  имеет интегрируемую мажоранту  или что интеграл  мажорируется сходящимся интегралом .

Следствие. 

Пусть выполняются следующие условия:

функция  определена и непрерывна по ;

функция ограничена на прямоугольнике  ;

интеграл  сходится, тогда следует, что 

сходится равномерно по .

Обозначим через  и возьмем в качестве , а в качестве функции . Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция  определена в области  (a,b,c – конечные числа). Пусть при  несобственный интеграл  сходится. В этом случае  будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл  сходится при , означает следующее. При каждом фиксированном  интеграл

(здесь ). Это значит, что для каждого  из  по любому можно указать  такое, что при  условии  выполняется . Важно отметить, что число  выбирается по , и для каждого  оно будет своим, другими словами,  зависит и от , и от : . Если же можно указать такое , зависящее только от , такое, что при выполнении условия  будет верно  сразу для всех , несобственный интеграл  называется равномерно сходящимся относительно параметра. Короче говорят, интеграл  называется равномерно сходящимся по переменной на , если он сходится при  и выполняется цепочка .

Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.

Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2). Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по  необходимо и достаточно, чтобы:

, .

Теорема 4. Пусть функция  определена в области  и удовлетворяет следующим условиям:

функция  непрерывна по , при ;

существует такая функция , что ,  и .

 - сходится 

НИЗП-2  сходится равномерно по на .

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Пример. Исследовать на равномерную сходимость интеграл .

Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.

 определена и непрерывна в области ;

существует функция , , для любого ;

, то есть сходится.

Так как все условия выполнены, то интеграл  сходится равномерно относительно на любом промежутке .


Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.

В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:

Теорема 1.  Пусть функция , определенная на прямоугольнике , удовлетворяет условиям:

функция  по  на промежутке ;

 равномерно стремится к  при  по , где ;

интеграл  сходится равномерно по  на .

В результате справедливо равенство 

                   (1)

Доказательство.

Функция будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого  найдется такое , что , для , но только . Переходя к пределу при  под знаком интеграла, получим . Значит  интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем

.

Если взять произвольное число , зафиксировать число  так, чтобы второе и третье слагаемые справа стали меньше , а затем приблизить  к , чтобы первое слагаемое стало меньше . Тогда получим , что приводит к равенству (1).

Ч.т.д.

Следствие.

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна по , при , и монотонно возрастая, стремится к  с возрастанием . Если функция  непрерывна и интегрируема на промежутке , то справедлива формула (1).

Простым следствием из теоремы 1 является теорема о непрерывности интеграла по параметру.

Теорема 2. Пусть функция  определена и непрерывна для значений  и значений . Если сходится равномерно относительно  на , тогда  - непрерывная функция от параметра  в этом промежутке.

Доказательство (аналогично теореме для собственных интегралов).

По теореме Кантора при  и  функция  равномерно непрерывна, а значит если - это любое фиксированное из  значение, то наша функция равномерно, относительно , стремится к  при . Так как  сходится равномерно, то по т.1 следует

,

значит интеграл  - непрерывная функция.

Пункт 3. Интегрирование по параметру НИЗП

Чтобы выяснить интегрируема ли функция  по параметру, необходимо рассмотреть следующую теорему.

Теорема 1. Пусть функция  определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в множестве  Если интеграл  сходится равномерно по  на , то справедлива формула

.                 (1)

Доказательство.

При любом  выполняется равенство

.                  (2)

Так как функция  непрерывна при  и , по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что

                                     (3)

Тогда из (2) .

Так как  сходится равномерно, то при произвольном  будет . В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:



в силу (3) . Последнее означает, что

.

Так как левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная . То есть справедлива формула (1).

Ч.т.д.

Следствие.

Если непрерывная функция  неотрицательная при  и интеграл  непрерывен по  на , то имеет смысл формула (1).

Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле .

Чаще всего такую перестановку сложно проделать.

Теоремы 2. Пусть функция неотрицательна и непрерывна при , , интегралы  и  (*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.

Замечание.

Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по  и  соответственно.


Пример. Проинтегрируем функцию .

Имеем . Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим , где  - любое конечное  число. По теореме т. 1 п. 3

.

Следовательно, интегрируя обе части равенства по  от 0 до , будем иметь

.

Но  (это равенство установлено для ; оно верно и при , если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного  примет вид:

.


Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру

Теорема 1. Пусть функция  определена и непрерывна по на промежутке , . Она имеет там непрерывную частную производную , интеграл  сходится при каждом  на , а  сходится равномерно. Тогда справедлива формула

.                     (*)

Доказательство.

Так как  непрерывна и  сходится равномерно относительно  на , то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1)  и получим:



Откуда . Производная правой части последнего равенства существует и равна , значит существует производная и у левой части, причем . Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).

Ч.т.д.