Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета

Сыктывкарский государственный университет



Кафедра математического анализа

























Методические указания по курсу “Математика” 



для студентов I курса исторического факультета



(заочное отделение)





Преподаватель  Попова Н.А.











































Сыктывкар   2001





Учебный план по курсу “Математика”

для I курса исторического факультета  (заочное отделение)

на 2001-02 уч.год  преподавателя Поповой Н.А.



I семестр.   Лекции (4 часа)

	Краткий исторический очерк развития математики. Обзор литературы.

	Множества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую логику, знакомство с графами.

     Консультация (1 час).  Методические указания к выполнению контрольной работы.

     Задания для самостоятельной работы:

Контрольная  работа  (5 задач. См. приложение 1).

Подготовка (написание) реферата по выбранной теме (список тем – приложение 2).

II семестр.    Практические занятия (12 часов).   Решение задач.

Множества. Элементы комбинаторики.

Элементы теории графов и математической логики.

Элементы теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия, их применение в математической статистике.

Функции и их графики.

                          Семинары.

5–6. Некоторые вопросы истории развития математики (основные вехи развития общества и развития математики).

       Консультации (к зачету) – 13 часов.

Зачет ставится с учетом оценок за:

контрольную работу,

реферат (по индивидуальной теме),

участие в работе практических занятий  (общая оценка за 6 занятий),

ответы на вопросы зачета по двум частям  (2 вопроса, приложение 3).

Список основной литературы:

Ловягин Ю.Н., Матвеева О.П. Математика. Учебное пособие для студентов нематематических специальностей. Ч.1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Сыкт-р. СГУ, 1998. 73 с. Ч.2. Теория вероятностей. Графы. СГУ, 1999. 64 с.

Матвеев И.В. Функции и их графики. М. МГУ, 1970. 104 с.

Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М. Просв., 1968. 230 с.

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. Просвещение, 1990. 416 с.

Шиханович Ю.А. Введение в современную математику (Начальные понятия). М. Наука, 1965. 376 с.

Головач П.А. Введение в теорию графов. Сыктывкар. СГУ, 1993.

Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982. 160 с.

Колмогоров А.Н., Журбенко И.Т., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982.

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М. Наука, 1984. 320 с.

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. Учебное пособие. М. Наука, 1989. 576 с.

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1978. 336 с.

Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. Пособие для учителя. М. Просвещение, 1987. 159 с.

Приложение 1.



Контрольная работа по математике 

для I курса исторического факультета СГУ  (заочное отделение)



Задание 1. (Множества. Комбинаторика.)



Составить множества различных букв. А – своего полного имени, В – своего отчества, С – своей фамилии.

Найти объединение и пересечение множеств А и В.

Найти дополнения к С до А и к А до С.

Проверить на диаграммах, верно ли равенство: .

Вычислить, сколько элементов имеет декартово произведение множеств А и В, изобразить их точками плоскости.

Сколько различных аббревиатур можно составить из всех букв множества С?  В каждой из аббревиатур использовать каждую букву из множества С только по  одному разу (т.е. без повторений).

Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв множества В, если слова составляются из разных букв (без повторений)?  Что собой представляют наборы букв этих слов – сочетания или размещения?

Сколько различных подмножеств (всех) имеет множество А? 



Пример решения такой задачи. Пусть автор – Пафнутий Львович Чебышёв (будем считать е и ё за одну и ту же букву). Тогда

1)  А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й},  В={Л, Ь, В, О, И, Ч},   С={Ч, Е, Б, Ы, Ш, В}.

2)  = {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, Л, Ь, В, О, Ч}.     ={И}.

Т.к. , то   и .

{П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.



П А Ф

Н У Т

        Й



И

                                                                                              

                                                                        

     Б     Е 

    

 Ч   Ш Ы 

 

                                                                    

   

                                                                                                                   





П   А  Ф   Н  У  Т Й Й



     Ч

            Б Е   Ш   Ы  

       Е Ш ВЫ





                                                                                                          

	

Л    Ь    В                 

О

     И

                                                                                                 



Л  Ь

О



        В   ЧЧ



                                                                                       

 {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.

Ответ:  Т.к. получилось одно и то же множество, то равенство верно.













5)  .            Ч

                                                             И          

                                                             О

                                                             В    

                                                             Ь

                                                             Л

                                                             

                                                                        П     А    Ф    Н     У    Т    И    Й

 6)  Так как аббревиатуры составляются из всех букв множества  С  и без повторений, то их количество равно множеству порядков на множестве С: .

7)  Т.к. при перестановке букв в слове получаются другие (новые) слова (например, ЛОВ и ВОЛ), то наборы букв для слов – это размещения, т.к. важен порядок выбора букв. Всех размещений из букв множества В по 3 -   . Но нет слов, начинающихся с буквы “ь”, поэтому такие наборы надо исключить, их количество равно . Тогда различных трехбуквенных слов  .

Ответ: 100.

8) Т.к. , то количество подмножеств -  .





Задание  2 (Графы)



Пусть множество А из предыдущего задания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множества точек V.

		Изобразить вершины графа точками, обозначить их и соединить ребрами так, чтобы получился  а) полный граф - ,  б) двудольный граф - ,  в) полный двудольный граф - ,  г) регулярный граф -  (указать его степень),  д) односвязный граф с одним “мостом” - ,  е)  непростой граф -  (т.е выполнить не менее шести рисунков).

		Найти среди изображенных графов  а) эйлеров граф,  б) полуэйлеров граф,  в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).

		Из множеств А, В и С предыдущей задачи выбрать множество с наименьшим числом букв (элементов) и, считая их вершинами графа, изобразить все возможные деревья с вершинами во всех этих точках.



Например.

                     b

                                              

        a                         c           полный граф с пятью вершинами; он же регулярный 

                                               (однородный), степень вершин  r = 4; а также он эйлеров;

            l                 d                односвязный.











                               n                 двудольный и двусвязный граф;  (двудольный -

        m                                            неполный).

                                             l



       k                                    o

        p                                       q

                                       s                                      



                t                   u             непростой, односвязный с одним “мостом”,

                                                         полуэйлеров граф.

                               x             v

             z                        w

                          y





Задание  3 (Теория вероятностей)



Возьмем множества А и В из задания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).

Вычислить вероятность того, что при выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты  а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разные буквы;  в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные варианты решения, то покажите все решения).

Например, )  А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й},   В={Л, Ь, В, О, В, И, Ч}. Тогда: а) общая буква только одна – И; вероятность ее выбора из А равна , вероятность ее выбора из В равна ;  вероятность ее выбора из А и из В –    (правило произведения);  б) т.к. во всех остальных случаях буквы будут различны, то вероятность выбора двух разных букв равна    (можно ее найти и другим способом);  в) если задумана буква “И”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 случая: “И” из А и любая другая буква из В, “И” из В и любая другая буква из А, а также “И” – из А и В; сложив вероятности, получим: .  Аналогично для других букв (2 случ.).



Внимание!  В заданиях 4 и 5 каждый студент должен выполнить свой вариант. Номер варианта соответствует Вашему номеру зачетной книжки следующим образом: а) если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число не больше тридцати, то это и есть номер Вашего варианта;  б) если две последние цифры составляют число большее тридцати, то из него следует вычесть 30 столько раз, сколько возможно; остаток и есть номер Вашего варианта; если две последние цифры номера зачетной книжки 60 ли 90, то Вы выполняете вариант 30. Например, номер зачетной книжки …41 – вариант 11, т.к. 41=30+11,  …62 – вариант 2, …97 – вариант 7; …208 – т.е. …08 – вариант 8.





Задание 4  (Математическая логика).



А. В вариантах 1 – 15 составить таблицу истинности формулы:

1.   x  y  ( y  x  y);                        2.   (x  y ) ( x  y)   y);

3.   y   x  ( y  x   x);                     4.   x  y  ( x   y  y );

5.   x  ( x   y    y   x);                   6.  (y    x  ( x  y))   x y;

7.   (x   y)  (x  y);                           8.   x  ( y   y   (x y));

9.   x  y    y  ( x   y);                    10.   x  (  y  x  y);

11. x  ( y   x ( x   y));                    12.  (x y)  ( y   x);

13. ( x y)  ( x   (y   x));               14.  x  (  y  x)  ( x  y));

15. (x   y)   (  x y)   y;



Б.  В вариантах 16-30 проверить, является ли формула тавтологией:

16.  (y  (x  y))  ( x  ( y   x));     17. ( x   y)   ( y   x);

18.  x  ( x   y )   y);                           19.  x  ( x  ( y  x ));

20.  x  (( y   x)   x);                          21. (x  y)  x y   ( x   y);

22.  x y   ( x   y);                              23. (  x y   y )  x y;

24. (  x y   x )  x   y;                        25.  (x  y)  (  y    x);

26.  (x  y)    ( y   x);                      27.  x   y  (x y   x); 

28.  x   y  ( y   x)   x;                  29. x  ( y   x    y );

30.  x  ( y  ( x    y)).



Примеры.  А. Составить таблицу истинности формулы  

                         (x   y)  (x y))  x     y.

Решение.  Порядок выполнения действий:

x                                              t



                                                 

                                      z                                                 

y                                                                                         v    

                                                                                           



x



y



 y



x  y

z

 y  (x  y)

t

(x z)

v

( x   y )

Ответ:

t  v

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

И

Л

И

Л

И

Л

И



Б. Проверить, является ли формула (x   y)  (x y))  (x   y)   тавтологией.

Решение  (аналогично решению предыдущей задачи, отличается лишь v:  x   y.



x



y



 y



x  y

z

 y  (x  y)

t

x z

v

 x  y 

Ответ:

t  v

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

И

И

И

И

И



Ответ:  да, тавтология.

Задание 5.



Построить график дробно-рациональной функции   (варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:

		найти область определения функции  (для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);

		если есть точки разрыва, то выяснить, есть ли в них вертикальные асимптоты (для этого найти в этих точках пределы функции слева и справа);

		найти наклонные или горизонтальные асимптоты (для этого преобразовать формулу функции, выделив целую часть из дроби);

		проверить, не обладает ли функция частными свойствами: а) четностью или нечетностью, б) периодичностью (если нет, то доказать, пояснить это);

		найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки пересечения с осью  легко находятся;

		найти производную и критические точки;

		по знаку производной выяснить интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критических точках;

		изобразить систему координат (в соответствии с исследованными свойствами) и отметить в ней все найденные точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика найти координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;

		если в п.5 не были найдены точки пересечения графика с осью  (нули функции), то найти их теперь по графику;

		найти область изменения функции (по графику и исследованным свойствам).



Варианты: 

;                       11)  ;                     21) ;

;               12)  ;       22) ;

;                       13)  ;                    23) ;

;              14) ;          24) ;

 ;                        15) ;                   25)  ;

;             16) ;        26) ;

;                        17) ;                  27) ;

;             18) ;       28) ;

;                        19) ;                29) ;

;               20) ;     30) .



Пример.  Исследовать функцию  .

Решение. 1) = = при    (корни квадратного трехчлена найдены по обратной теореме Виета (в уме)),

значит, .

 а)  при  слева ;                                                                           (1)



-8

-7,5

-7,1

…



-90

-159,5

-719,1

…

           

             при  справа ;                                                                      (2)



-6

-6,5

-6,9

…



52

121,5

681,1

…

       

            Значит,   - вертикальная асимптота;

        б)  при  (и слева и справа)   ;             



1,9

2,1







             асимптоты нет;   - исключенная точка  (т. разрыва).                   (3)

В    

;   т.к. при    , то  

; таким образом, прямая  - наклонная асимптота.

Исследуем на четность:   

; видим, что:   и   ,  т.е.  и , значит,  общего вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью);  не является периодической как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).

а)  при   ;  значит, 

          - точка пересечения графика с осью ординат;                                     (4)

      б)    при  , но , т.е. при  или , т.о.

           и  - точки пересечения графика  с осью абсцисс.           (5) 

С учетом точек разрыва и найденных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем:   при   ;                при   ;

      при   ;      при   .



(использована формула:   );

а) нет критических точек, где  не существует, т.к.  не имеет значе-

   ния только при , но ;

б)  при  и , т.е. при ; ; 

   значит,   и   - критические точки, а 

  ;  .

7)  





















+

0

-

нет зн.

-

0

+

+









нет зн.











выводы

от   до



max



от

до 

вертик.

асимпт

от 

до 



min

от

до 

от

до 



Т.к. прии , то преобразуем формулу ;  тогда 

; ;

;  поэтому ,  ;   ,  .

8);





-17

-14

-12

-3

3

8

13



-36

-36

-38

2,5

-2

2/3

4,5





 9)  см. 5).



10) .


                                                                                              5    y

                                                                         



                  -21         -17         -14  -12          -7                  -2     0                   7             12        x

                                                                                                                                    

                                                                                            -2







                                                                                                                    







                                                                                                   -12



























                                                                                                   



                                                                                                    





                                                                                                    -36

                                                                                                    -38

                                                                                                    

                                                                                                   -40

                                                                                                    






















Приложение 2.



Темы рефератов



Возникновение понятия числа; первые системы счисления.

Математика в Древнем Египте.

Математика в Древней Месопотамии (Шумер, Вавилон, Ассирия).

Математика в Древнем Китае.

Математика в Древней Греции (1 тысячелетие до н.э.).

Пифагор. *)

Аристотель.

Евклид.

Архимед.

Математика Древней Греции и Древнего Рима (начало новой эры – I-V века; Александрийская школа).

Средневековье. Математика в Индии.

Математика в Средней Азии (VIII-XIII века, Улугбек, Омар Хайам и др.).

Математика в древней Руси (VIII-XIII века).

Математика в эпоху Возрождения (Западная Европа; XII-XV века).

Леонардо Пизанский (Фибоначчи). XV  век.

Леонардо да Винчи. XV век.

Франсуа Виет. XVI век.

Джон Нэпер (Непер). XVI век.

Кардано и Тарталья. XVI век.

Коперник, Тихо Браге, Кеплер, Галилей. XVI век.

Рене Декарт. XVII век.

Блез Паскаль. XVII век.

Исаак Ньютон. XVII век.

Г.В.Лейбниц. XVII век.

Пьер Ферма. XVII век.

Даламбер. XVIII век.

Леонард Эйлер. XVIII век.

Ж.Л.Лагранж. XVIII век.

А.М.Лежандр. XVIII век.

Г.Монж. XVIII век.

П.С.Лаплас. XVIII век.

Математика в России XVII-XVIII веков  (Роль реформ Петра I;  Екатерина II).

М.В.Ломоносов.

Знаменитые задачи древности (об удвоении куба, о трисекции угла, о спрямлении окружности) и их разрешение (вплоть до XVIII века).

К.Ф.Гаусс.

Различные доказательства V постулата Евклида (до XIX в. н.э.).

Н.И.Лобачевский

Основные первоначальные факты геометрии Лобачевского, модели плоскости Лобачевского.

Нильс Абель. XIX век.

Эварист Галуа. XIX век.

Огюстен Коши. XIX век.

Карл Вейерштрасс. XIX век.

М.В.Остроградский. XIX век.

П.Л.Чебышёв. XIX век.

С.В.Ковалевская. XIX век.

Ф.Клейн. XIX век.

А.Пуанкаре. XIX век.

Г.Кантор. XIX век.

Б.Риман. Конец XIX века.

Д. Гильберт. Конец XIX века.

Французская математическая школа (XVII-XX в.в.).

Немецкая математическая школа (XVII-XX в.в.).

Английская математическая школа (XVII-XX в.в.).

Российская математическая школа (XVIII-началоXX в.в.).

Советская математическая школа.

Американская математическая школа (XIX-X X в.в.).

Н.Винер.

А.Н.Колмогоров.

Математика XX века; основные направления развития.

Основные стадии развития науки; основные черты современной математики и ее роль в развитии общества.



Примечание. Дополнительная литература к работе над рефератом не указана, т.к. подбор литературы входит как часть в самостоятельную работу студента (этому надо научиться). В пособии Д.Я.Стройка [11]  в конце каждой главы есть список рекомендуемой литературы. Можно использовать то, что найдется в личной библиотеке или в ближайшей общественной, в т.ч. и статьи из журналов “Квант”, “Математика в школе” и других периодических изданий, а также энциклопедические словари.


Приложение 3.



Вопросы к зачету по курсу “Математика”

для студентов I курса исторического факультета СГУ



Часть 1.  Математика.



Понятие множества; элементы множества; мощность множества; отношения принадлежности и включения. Виды множеств.

Числовые множества.

Операции над множествами, их свойства.

Соответствия между элементами множеств, их виды (в т.ч. отображения и биекция).

Функции, их исследование.

Понятие графа. Виды графов, их применение.

Понятие о комбинаторной задаче. Правила суммы и произведения.

Порядок на множестве. Количество всех порядков множества мощности . Перестановки из  элементов.

Подмножества из  элементов по . Сочетания. Количество всех подмножеств множества, содержащего  элементов.

Упорядоченные подмножества из  элементов по . Размещения. Связь размещений и сочетаний. Количество размещений и количество сочетаний из  по . Размещения с повторениями.

Свойства сочетаний, их применение.

Случайные события. Достоверные и невозможные события. Испытание, элементарный исход, полная система исходов. Относительная частота и вероятность наблюдаемого события.

Совместные и несовместные, зависимые и независимые события. Правила суммы и произведения.

Случайные величины. Функция распределения случайных величин. Математическое ожидание.

Дисперсия. Закон больших чисел.

Высказывания; высказывательные формы; кванторы общности и существования. Область отправления и множество истинности высказывания.

Логические операции над высказываниями (логические связки), порядок их выполнения в сложной формуле.

Отрицания логических связок.

Свойства дизъюнкции и конъюнкции.

Свойства импликации и эквивалентности.



Часть 2.  История математики.



Этапы развития науки; роль математики в развитии наук и особенности ее развития.

Возникновение основных математических понятий (число, фигура,…).

Обозначения чисел и системы счисления у разных народов.

Математика в древних Месопотамии и Египте. Математика в древних Китае и Индии.

Математика в Древней Греции и Древнем Риме.

Математика в Средние Века (Средняя Азия).

Математика в древней Руси.

Математика средних веков в Западной Европе.

Математика Эпохи Возрождения.

Математика Западной Европы в XVII веке.

Математика в России в XIV-XVII в. (влияние татаро-монгольского ига и отношений с Западной Европой).

Развитие математики в XVIII веке в Западной Европе.

То же – в России.

Возникновение дифференциального и интегрального исчислений; их развитие.

Геометрия – XIX  век.

23 проблемы, поставленные Гильбертом, их решение.

Основные ветви математики, их зарождение и роль в настоящее время (алгебра, теория чисел, теория вероятностей, тригонометрия,…).

Кибернетика и информатика.

Основания математики и математическая логика.

Основные черты современной математики и пути ее развития.





Сентябрь 2001 года                                                                                Н.А.Попова

1



1