Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

33



Введение



Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это всё так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В элементарной математике выделяют два вида уравнений: алгебраические и трансцендентные. К алгебраическим уравнениям относятся:

 линейное; 

 квадратное;

 кубическое;

 биквадратное;

уравнение четвертой степени общего вида;

 двучленное алгебраическое уравнение n-й степени;

степенное алгебраическое;

– возвратное (алгебраическое);

 – алгебраическое уравнение ой степени общего вида;

дробные алгебраические уравнения, т.е. уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида , где  и  – многочлены);

иррациональные уравнения, т.е. уравнения, содержащие радикалы, под которыми располагаются многочлены и алгебраические дроби;

уравнения, содержащие модуль, под модулем которых содержатся многочлены и алгебраические дроби.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. В нашей работе рассмотрим подробнее алгебраические уравнения.

В учебной и методической литературе традиционно рассматриваются специальные приёмы решения уравнений. Между тем специфика решения уравнений каждого раздела – дело второстепенное. По существу, применяются четыре основных метода:

• замена уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x);

• метод замены переменной;

• метод разложения на множители;

• функционально-графический метод и их различные модификации.

Самый распространённый из них – метод замены переменной.

Исходя из этого, мы формулируем цель своей работы: изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях. Для того, чтобы достичь поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Раскрыть содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений: решение уравнения, равносильность и следствие, общие методы решения уравнений.

Выявить возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.

Осуществить типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений и выявить критерии их применимости

Составить комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений, и продемонстрировать их решение.






1. Основные понятия и утверждения, относящиеся к теории решения уравнений



В первой главе нашей работы раскроем содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений.

С понятием «уравнение» на уроках математики мы знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся задача. Тем не менее дать точное определение понятия «уравнение», точно определить, что значит «решить уравнение», не выходя далеко за рамки курса элементарной математики, мы не можем. Для этого необходимо привлекать весьма серьёзные логические и даже философские категории. Нам вполне достаточно знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла».

Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же неизвестным. Мы будем говорить, что уравнение В является следствием уравнения А, если любой корень уравнения А является корнем уравнения В.

Уравнения называются равносильными, если любой корень одного из них является корнем другого и наоборот. Таким образом, уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Из данных определений следует, например, что два уравнения, не имеющие решений, равносильны. Если А не имеет решений, то В является следствием А, каково бы ни было уравнение В.

Определим понятие «решить уравнение». Решить уравнение – значит найти все такие значения входящих в него неизвестных, которые обращают уравнение в тождество. Эти значения называются корнями уравнения.

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Как было ранее сказано, выделяют четыре наиболее общих метода, используемых при решении уравнений любых видов. Остановимся подробнее на каждом методе.

Метод замены уравнения h (f(x))=h (g(x)) уравнением f(x)=g(x) можно применять только в том случае, когда - монотонная функция, которая каждое своё значение принимает по одному разу. Если данная функция немонотонная, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.

Суть метода разложения на множители заключается в следующем: уравнение  можно заменить:







Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Идея графического метода решения уравнения такова: нужно построить графики функций ,  и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые, а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не о графическом, а о функционально-графическом методе решения уравнений). Если, например, одна из функций  возрастает, а другая – убывает, то уравнение  либо не имеет корней, либо имеет один корень. Упомянем ещё одну довольно красивую разновидность функционально-графического метода: если на промежутке  наибольшее значение одной из функций ,  равно  и наименьшее значение другой функции тоже равно , то уравнение  равносильно на промежутке  системе уравнений.






Раскроем суть метода замены переменной: если уравнение  удалось преобразовать к виду  то нужно ввести новую переменную , решить уравнение , а затем решить совокупность уравнений







где корни уравнения .

Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы.



2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений



В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях. Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.

Пример 1. Решить иррациональное уравнение 

Замена: 










Обратная замена: /

Ответ: 

Пример2. Рассмотрим уравнение, содержащее знак модуля:







Замена: 







Обратная замена: корней нет,







Ответ: 


Пример 3. Решить уравнение: 7

Замена: 







Обратная замена: 

, , корней нет.







Ответ: 

Пример 4. Решим биквадратное уравнение:  при помощи замены: 

 или посторонний корень.

Обратная замена: 







Ответ: 


Обращаем внимание на то, что биквадратное уравнение имеет четыре корня, если соответствующее ему квадратное имеет два положительных корня.

Пример 5. Рассмотрим другое простейшее уравнение, сводящееся к квадратному:



Попытка перемножить скобки в левой части исходного уравнения приведёт нас к уравнению четвёртой степени, решение которого приведёт к трудоёмким вычислениям.

Обозначим через  выражение .В переменных  исходное уравнение имеет вид:



Раскрыв скобки, получим:

Обратная замена: = или = -

= 

 корней нет







Ответ:.

Мы продемонстрировали примеры, где замена очевидна. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Тем самым мы выявим возможность применения метода замены неизвестного в нестандартных ситуациях.

Пример 1. Решить уравнение






Решение. Очевидно, что х=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х0, запишем







и, сделав замену  получим 

Вернёмся к «старой» переменной:







Ответ: 

Пример 2. Решить уравнение







Решение. Выделим полный квадрат суммы:







Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:



, или






Введём замену получим 

Вернёмся к «старой» переменной:







Ответ: 



Пример 3. Решить уравнение



Решение. Положим,

  (1)

Тогда исходное уравнение запишется так:  Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные  и . Для этого возведём оба равенства (1) в куб и заметим, что  Итак, надо решить систему:














Ответ: 

Пример 4. Решить уравнение



Решение. Введём замены:

  (2)

Тогда исходное уравнение примет вид 

Попробуем составить ещё одно уравнение, зависящее от переменных  и . Для этого найдём сумму:



Итак, надо решить систему







Ответ: 

Пример 5. Решить уравнение



Решение. Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвёртой, в первой и третьей скобках, равны, т.е. -7+2=-1–4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению



Введём замену:  получим  Решив квадратное уравнение , находим, что  или .

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:







Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение



Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвёртой скобках, равны, т.е.  Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение



Поскольку  – не корень, разделим обе части уравнения на  Получим:








Введя замену:  запишем исходное уравнение в следующем виде:

 т.е. 

Отсюда  . Вернёмся к исходной переменной:







Первое уравнение совокупности имеет корни . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: 

Пример 7. Решить уравнение



Решение. Вид уравнения совсем не подсказывает, что его можно свести к однородному. Преобразуем первый множитель, выделив из него выражение, равное второму множителю, т.е.



Подставляя последнее выражение в исходное уравнение, запишем, что



и далее:



Введя замену:  и  приведём последнее уравнение к виду . Это однородное уравнение второй степени относительно  и . В нём . В самом деле, если , то уравнение приводится к виду , или  Но система  решений не имеет.

Разделив обе части уравнения  на  , запишем. Что










Отсюда  

Ответ: 

Пример 8. Решить уравнение



Решение. Поскольку функция  существует при любых значениях , найдём область определения функции 



значит, . Ясно, что можно ввести замену  или  Пусть . Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция синус принимает все свои значения, например отрезок 

Подставив замену в уравнение, получим:
















Вернёмся к «старой» переменной:



 







Ответ:   

Пример 9. Решить уравнение







Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение  и упростим левую часть исходного уравнения:



 (1)


Введём замену  тогда уравнение (3) примет вид:



, или ,



При дальнейших упрощениях получим







Применим основное свойство дроби к левой части уравнения, разделив на : 

Введём вторую замену  и решим уравнение:







Возвращаясь к исходной переменной, придём к совокупности:







Второе уравнение совокупности не имеет решений, а первое даёт два решения, которые и выносятся в ответ.

Ответ: 

3. Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений



В третьей части курсовой работы осуществим типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений.

Введение новых переменных может быть как явным, так и неявным. Классифицируем наши уравнения по способам неявной реализации метода замены переменной:

Использование основного свойства дроби.

Использование основного свойства дроби применяется в уравнениях следующего вида:















где постоянные, .

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли  корнем уравнения, и производят замену .

Выделение квадрата.

Выделение квадрата двучлена чаще всего встречается при решении уравнений, которые можно привести к такому виду, чтобы одна часть уравнения представляла собой сумму квадратов двучлена.

Переход к системе уравнений.

Этот приём целесообразен при решении уравнений вида






где коэффициенты  и  равны, противоположны по знаку или отличаются на постоянный множитель.

Раскрытие скобок парами.

Такой метод даёт хороший эффект в уравнениях вида







Где  или  или 

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения.

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения целесообразно применять в случаях, когда перед нами уравнение вида







где , или  или .

Сведение к однородному уравнению.

Преобразовав один из множителей и выделив из него выражение, равное второму множителю и подставляя полученное выражение в исходное уравнение, удаётся прийти к однородному уравнению второй степени, т.е. к уравнению вида







где - постоянные, отличные от нуля, а , - многочлены.

Тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.



4. Комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений



Исходя из четвёртой задачи курсовой работы, составим комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Пример 1. 

Решение. ОДЗ уравнения есть все действительные . Сделаем замену неизвестной , где . Тогда исходное уравнение запишется в виде

 (1)

, то уравнение (1)







Из решения этих уравнений промежутку  принадлежат только . Поэтому 

Ответ: 

Пример 2. 

Решение. Если сделать замену  уравнение упрощается, но остаётся иррациональным. Существенного продвижения можно достичь, если ввести новую переменную: 

 или посторонний корень

 

Ответ: 

Пример 3. 

Решение. Видим, что к данному уравнению можно применить ранее указанный нами приём – «раскрытие скобок парами». Суммы чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е. 1+5=2+4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению:



Введём замену: , получим Решив квадратное уравнение  находим, что  или 

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:







В первом уравнении совокупности  корней нет.

Перепишем второе уравнение: 

Ответ: 



Пример 4. 

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е.  Перемножим указанные пары скобок, запишем уравнение



Так как  не есть решение данного уравнения, то, разделив обе части на , получим равносильное исходному уравнение 

Делая замену переменных  получаем квадратное уравнение 







Обратная замена: 





Решения первого уравнения этой совокупности есть



,

.



Второе уравнение этой совокупности решений не имеет.

Ответ: 

Пример 5. 

Решение. Обозначим через . Данное уравнение перепишем в виде . Поскольку  не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению 



Сделаем обратную замену: 



Ответ: 



Пример 6. 

Прежде, чем решить заданное уравнение, продемонстрирую алгоритм решения возвратного уравнения:

– разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, т. к.  не является корнем исходного уравнения при 

– группировкой привести полученное уравнение к виду 

– ввести новую переменную , тогда выполнено  т.е.  в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным 

– решить его относительно , возвратиться к исходной переменной.

Решение. Исходя из алгоритма решения таких уравнений, разделим левую и правую части уравнения на , получим равносильное ему уравнение

.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде



или в виде



Положив  получим уравнение







Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений








Ответ: 

Пример 7. 

Решение. Обозначим  



Таким образом, для  и  имеем симметричную систему:



Обозначим  тогда 



Таким образом,







Ответ: 

Пример 8. 

Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаменателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение четвёртой степени является возвратным. Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части, на . Получим




Положим , тогда 

Обратная замена: 

 или 

  корней нет.

Ответ: 

Пример 9. 

Решение. Так как  не является корнем данного уравнения, то, разделив обе его части на , получим уравнение



Сделав замену неизвестной  последнее уравнение перепишем в виде





Вернёмся к исходной переменной: 




Ответ: 

Пример 10. 

Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух квадратов, естественно попытаться дополнить её до квадрата суммы или разности. Во втором случае получим











Введём замену:  получим







Вернёмся к «старой» переменной:







Ответ: 

Пример 11. 

Решение. Обозначим  тогда получим 



 



Обратная замена: 

Ответ: 

Пример 12. 

Решение. Так как  не является решением уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на , перепишем его в виде







Сделав замену переменных  перепишем уравнение в виде







Решения этого уравнения есть 

Обратная замена: 

Ответ: .

Пример 13. 

Решение. Обозначим  через , т.е. сделаем замену переменных  или  Тогда первоначальное уравнение можно переписать в виде  или, применяя формулу  в виде



Поскольку корни квадратного уравнения  есть , то решения биквадратного уравнения есть

Следовательно, решения исходного уравнения таковы 

Ответ:

Пример 14. 

Решение. Представляя это уравнение в виде  вводим новое неизвестное  Уравнение примет вид 

Обратная замена: 







Ответ: 

Пример 15. 

Решение. Умножив обе части уравнения на 12 и обозначив  через , получим уравнение . Перепишем это уравнение в виде

 (1)

Замена: .Перепишем уравнение в виде . Уравнение (1).



Обратная замена: 



Ответ: 

Пример 16. 

Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести новые переменные  и , то получим уравнение , являющееся однородным уравнением степени 3 относительно и .

Однородные уравнения относительно  и  обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, например , если  не является корнем уравнения, то оно превращается в уравнение с одной переменной .

Решим уравнение . Разделим многочлен  на , перейдём к равносильному уравнению





Ответ: . 




Заключение



В последнее время алгебраические уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основные методы решения таких уравнений были отмечены в нашей работе. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях.

Исходя из третьей задачи курсовой работы, мы осуществили типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений. Выделили, что новая переменная может вводиться как явно, так и неявно.

В данной работе был составлен и решён комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Итак, нам удалось изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях, т.е. цель курсовой работы достигнута.




Список литературы



		Черкасов, О.Ю. Математика для поступающих в вузы / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. – Оформление «Московский лицей», 1996. – 348 с.

		Фирстова, Н.И. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений / Н.И. Фирстова // Математика в школе – 2002. – №5. – С. 68 – 71.

		Олехник, С.Н. Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств: Справочник / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 144 с.

		Шарыгин, И.Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.

		Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в втузы: Учеб.пособие / В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; под ред. М.И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1993. – 528 с.

		Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2005.

		Гусев, В.А. Справочник по математике / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1995. – 448 с.

		Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. Учеб. пособие для студентов пед. инст-ов по матем-ой специальности / В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1984. – 288 с.

		Виленкин, Н.Я. Алгебра: Учеб.пособие для уч-ся 9 кл. с углублен. изучением матем-ки / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев; под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 2001. – 384 с.

		Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1986. – 320 с.