Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по критерию Пирсона

2



1. Случайная выборка объема 



Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин , не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.



Таблица 1

42,7; 

37,6; 

45,1; 

55,4; 

50,7; 

30,7; 

31,9; 

43,8; 

47,5; 

42,1; 

57,7; 

21,3; 

45,5; 

45,3; 

46,2; 

50,9; 

33,2; 

40,4; 

40,0; 

59,6; 

46,0; 

44,0; 

37,0; 

44,7; 

64,6; 

58,9; 

31,3; 

59,2; 

45,5; 

53,3; 

43,6; 

37,5; 

33,0; 

42,6; 

39,6; 

51,5; 

47,4; 

48,6; 

33,8; 

29,2; 

33,7; 

48,5; 

44,4; 

37,6; 

45,1; 

36,0; 

26,4; 

38,0; 

49,7; 

52,1; 

42,7; 

49,0; 

31,9; 

52,2; 

60,6; 

44,6; 

43,9; 

59,4; 

53,7; 

45,9. 











2. Упорядоченная выборка



Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания 



Таблица 2

21,3; 

26,4; 

29,2; 

30,7; 

31,3; 

31,9

31,9; 

33,0; 

33,2; 

33,7; 

33,8; 

36,0; 

37,0; 

37,5

37,6; 

37,6; 

38,0; 

39,6; 

40,0; 

40,4; 

42,1; 

42,6

42,7; 

42,7; 

43,6; 

43,8; 

43,9; 

44,0; 

44,4; 

44,6

44,7; 

45,1; 

45,1; 

45,3; 

45,5; 

45,5; 

45,9; 

46,0

46,2; 

47,4; 

47,5; 

48,5; 

48,6; 

49,0; 

49,7; 

50,7

50,9; 

51,5; 

52,1; 

52,2; 

53,3; 

53,7; 

55,4; 

57,7

58,9; 

59,2; 

59,4; 

59,6; 

60,6; 

64,6. 











.

Определим шаг или длину интервала, по формуле Стерджесса



, (1)

.



Таблица 3











 [18; 25) 

21,5

1

0,0167

0,0024

 [25; 32) 

28,5

6

0,1

0,0142

 [32; 39) 

35,5

10

0,1667

0,0238

 [39; 46) 

42,5

20

0,3333

0,0476

 [46; 53) 

49,5

13

0,2167

0,0309

 [53; 60) 

56,5

8

0,1333

0,0190

 [60; 67) 

63,5

2

0,0333

0,0048





60

1





где ,

,

,



 - частота;

 - относительная частота;

 - плотности относительных частот.




18

25

32

39





46

53

60

67

Рис. 1. Гистограмма плотности относительных частот



По построенной гистограмме (рис.1) можно предположить, что данное распределение подчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. Ожидания



, (2)

.



для несмещенной оценки дисперсии



, (3)





Функция плотности имеет вид



, (4)

где ,

.



Пользуясь приложением 3 в учебнике Вентцель Е.С. - "Теория вероятностей" - М.: Высшая школа, 1998., получим значения 



 (5)

 (6)





. (7)



Полученные значения занесем в таблицу 4



Таблица 4





21.5

0.0025

28.5

0.0114

35.5

0.0291

42.5

0.0425

49.5

0.0351

56.5

0.0165

63.5

0.0044



3. Критерий согласия  (Пирсона)



Найду соответствующие вероятности для каждого разряда

Из ТВ для нормальной случайной величины 



 (8)



Значения функции Лапласа, находим в приложении 2, учебника Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., теория вероятностей и её инженерные приложения. Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2000.









Таблица 5 















7

10

20

13

10



0,12567

0, 20289

0,29017

0,24263

0,15245



7,5402

12,1734

17,4102

14,5578

9,1470



-0,5402

-2,1734

2,5898

-1,5578

0,8530



0,2918

4,7237

6,7071

2,4267

0,7276



0,0387

0,3880

0,3852

0,1667

0,079



. (9)

 - расчетное



Найдем число степеней свобод



 (10)

Где k=5; s=3;

r=2

Для 



Получили:



.



Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой сформирована выборка, не противоречит экспериментальным данным.



4. Нахождение доверительного интервала



4.1 Оценка математического ожидания 

4.2 Оценка дисперсии .

4.3 Среднеквадратичное отклонение оценки


, (11)

.



4.4 По функции Лапласа, определим t



;

 (12)

где

.



4.5 Точность оценки



 (13)





4.6 Доверительный интервал 







При достаточно большом числе выборок,  из них имеет такие доверительные интервалы. А в 5% оценив параметры математического может выходить за пределы доверительного интервала.