Вычисления по теории вероятностей

Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

а) ровно 2 изделия;

б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:



Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

m – кол-во благоприятных исходов события А;

n – количество всех возможных исходов;











Б)

Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,



;







 – кол-во благоприятных исходов события ;

 – кол-во благоприятных исходов события ;

 – кол-во благоприятных исходов события ;

n’ – количество всех возможных исходов;















Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:






где А – взятие хорошей детали,  – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата,  – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата,  – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата,  – вероятность попадания на сборку небракованной детали.









; (т. к. ) = 1% = 0.01)

;

;









Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:






где А’ – взятие бракованной детали,  – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата,  – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата,  – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата,  – вероятность попадания на сборку бракованной детали.









; (согласно условию)

;

;









Согласно формуле Байеса:







Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.


Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:







где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.











.



Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.



Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.



Магазин №1

Магазин №2

20,35

20,01

20,60

23,55

32,94

25,36

37,56

30,68

40,01

35,34

25,45

23,20



Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

	Н1: a1 ≠ a2

	



xi

xi-a1

(xi-a1)2

yi

yi-a2

(yi-a2)2



20,35

-9,135

83,44823

20,01

-6,35

40,32



20,6

-8,885

78,94323

23,55

-2,81

7,896



32,94

3,455

11,93703

25,36

-1

1



37,56

8,075

65,20563

30,68



18,66



40,01

10,525

110,7756

35,34

4,32

80,64



25,45

-4,035

16,28123

23,20

8,98

9,98

∑

176,91



366,591

158,14

-3,16

158,496

	

a1 =  =  = 29,485, a2 =  = 

 1 =  =  73.32

 2 =  = 



n 1 = n 2 = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:



ZВ =  * = 



Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1+n2-2)= 2.228.

Следовательно, так как ZВ=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

	Построить гистограмму частот.

	Сформулировать гипотезу о виде распределения.

	Найти оценки параметров распределения.

	На уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.



Интервал

Частота случайной величины

1 – 2

5

2 – 3

8

3 – 4

19

4 – 5

42

5 – 6

68

6 -7

44

7 – 8

21

8 – 9

9

9 – 10

4

	

	
1. Гистограмма частот:

	

	

	

	2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

	3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:

	

№

Интервалы

Частота,

mi

Середина

Интервала, xi

xi*mi

xi2*mi

1

1–2

5

4,5

7,5

112,5

2

2–3

8

2,5

20

50

3

3–4

19

3,5

66,5

232,75

4

4–5

42

4,5

189

350,5

5

5–6

68

5,5

374

2057

6

6–7

44

6,5

286

1859

7

7–8

21

7,5

157,5

1181,25

8

8–9

9

8,5

76,5

650,25

9

9–10

4

9,5

38

361

∑



n=220



1215

7354,25

	

	Найдем оценки параметров распределения:

	
 =  = 5,523

	

	2=  2 = 2,925  =  = 1,71

	

	4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.

	

№

Интервалы

Частоты, mi

t1

t2

Ф(t1)

Ф(t2)

pi

1

-∞ – 2

5

-∞

-2,06

0

0,0197

0,0197

2

2–3

8

-2,06

-1,47

0,0197

0,0708

0,0511

3

3–4

19

-1,47

-0,89

0,0708

0,1867

0,1159

4

4–5

42

-0,89

-0,31

0,1867

0,3783

0,1916

5

5–6

68

-0,31

0,28

0,3783

0,6103

0,232

6

6–7

44

0,28

0,86

0,6103

0,8051

0,1948

7

7–8

21

0,86

1,45

0,8051

0,9265

0,1214

8

8–9

9

1,45

2,03

0,9265

0,9788

0,0523

9

9-∞

4

2,03

∞

0,9788

1

0,0212

	

Где: t1= , t2 = , ai, bi – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения  нормального закона.

pi = Ф(t2) – Ф(t1)

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений:



№ интервала

pi

mi

n* pi



1

2

0,0708

13

15,57

0,4242

3

0,1159

19

25,5

1,6569

4

0,1916

42

42,15

0,0005

5

0,232

68

51,04

5,6336

6

0,1948

44

42,86

0,0303

7

0,1214

21

26,71

1,2207

8

9

0,0735

13

16,17

0,6214

∑







9,5876



Согласно расчетам, =  = 9,5876

Выбираем уровень значимости  = 0,05 и вычисляем 1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.

0,95(7–2–1) = 0,95(4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

а) выборочное значение коэффициента корреляции;

б) на уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

	Н1: a1 ≠ a2

	



xi

xi-a1

(xi-a1)2

yi

yi-a2

(yi-а2)2

xi*yi



4,40

-0,476

0,2266

3,27

-0,47

0,2209

14,388



5,08

0,204

0,0416

4,15

0,41

0,1681

21,082



4,01

-0,866

0,7499

2,95

-0,79

0,6241

11,829



3,61

-1,266

1,6027

1,96

-1,78

3,1684

7,075



6,49

1,614

2,605

5,78

2,04

4,1616

37,512



4,23

-0,646

0,4173

3,06

-0,68

0,4824

12,944



5,79

0,914

0,8354

4,45

0,71

0,5041

25,765



5,52

0,644

0,4147

4,23

0,49

0,2401

23,349



4,68

-0,196

0,0384

3,54

-0,2

0,04

16,567



4,95

0,074

0,0055

4,01

0,27

0,0729

19,849

∑

48,76

-

6,9371

37,4

-

9,6626

190,36

	


a1 =  = 4,876, a2 =  = 3,74

 1 =  = 0,7708

 2 =  = 1,0736

n 1 = n 2 = n =6

а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции



=



б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

(n-2)=2,306

Вычислим величину



=



получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.



α

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

0.01

3,85

8,87

21,26

6,72

0,29

15,48

7,48

0,33

0,34

1,37


Решение

а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.



xi

mi

mixi

mixi2

3,85

1

3,85

14,822

8,87

1

8,87

78,677

21,26

1

21,26

451,987

6,72

1

6,72

45,158

0,29

1

0,29

0,0840

15,48

1

15,48

239,630

7,48

1

7,48

55,950

0,33

1

0,33

0,109

0,34

1

0,34

0,115

1,37

1

1,37

1,877

∑65,99

10

65,99

888,409



Математическое ожидание:



m==



Дисперсия:



δ2==



б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.



Определим из таблиц значение , где ; 



Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:











Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:

0,271<M<12.927

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

















Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.