Шпаргалка по Высшей математике 2

Высшая Математика. (1 семестр).



Билет 1:

Вопрос 1:Прямоугольная и полярная системы координат:



Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу с общим началом координат О и одинаковой масштабной единицей составляют прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости Оху. Эти оси называются осями координат, ось Ох – осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.



  



Разместим в пространстве координатную плоскость Оху так, чтобы ось ординат Оу лежала в плоскости чертежа и была направлена вправо, а ось Ох была направлена вниз и была перпендикулярна осям Оу и Оz. Из точки О – начала координат – перпендикулярно Оху вверх проведем ось Оz – ось аппликат.  Если на всех осях взять одинаковую масштабную единицу, то получаем прямоугольную декартову систему координат в пространстве Охуz. Оси Ох, Оу, Оz называются координатными плоскостями.







Полярная система координат. 



Проведем из точки О – полюса – луч, который является полярной осью.





Положение любой точки на плоскости определяется парой чисел. Угол , на который нужно повернуть прямую О, чтобы она совпала с точкой М (поворот против чисовой стрелки).  Полярный радиус – это длина отрезка ОМ.

М (;), при этом 02П, а 0+. 

Совместим прямоугольную систему координат с полярной так, чтобы её начало совпадало с полюсом, а полярная ось - с осью абсцисс.

 

x = cos

y = sin



x2 +y2=2(cos2+sin2)



tg



Вопрос 2: Определение предела функции:



Определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ( или ), от которого зависит изменяющаяся величина ( или ). В случае условия эти множества имеют вид ; в случае  - вид ; в случае  - вид . Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний - базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, , ,и т. п. 

Таким образом, 








Итак, база предела - это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если и  - два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание , которое содержится в каждом из первых двух: . 

Определение: Пусть  - некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания базы (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний ). Число называется пределом функции по базе (или при базе ) и обозначается если для любого (сколь угодно малого) числа найдётся такое окончание базы , что при всех выполняется неравенство . Тот факт, что , записывают ещё в виде 

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости , на которой нарисован график функции , проведём горизонтальную полосу ширины вокруг горизонтальной прямой . Тот факт, что , означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы , на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании. 



Билет 2:

Вопрос 1:  Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве:



1). Если точки на плоскости:

А(x1;y1) и В(x2;y2)


AB=



2). Если точки в пространстве:

М(x1;y1;z1) и N(x2;y2;z2)

MN=



Вопрос 2: Теоремы о пределах:



Теорема 1: Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.









Распространяется на любое конечное число слагаемых и на алгебраическую сумму. Доказательство основывается на том, что если , то f(x) можно записать как сумму предела и бесконечно малой величины. f(x)=a+ α(x), α(x) →0

Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.





Теорема 3: предел произведения сомножителей равен произведению их пределов

Теорема 4: предел отношения двух функций, если предел , равен отношению их пределов:



Билет 3:

Вопрос 1: Деление отрезка в заданном отношении на плоскости и в пространстве.



1). На плоскости:



Задан отрезок MN, который требуется разделить в отношение  , при M(x1;y1), N(x2;y2), K(x;y).



=

(1+)Х = Х1+ λ Х2





2). В пространстве:

Найти координаты точки М, при М1=(x1,y1,z1), М1М=λ∙ММ2, М2=(x2,y2,z2) можно по формулам:

.

Вопрос 2: Непрерывность функции. Точки разрыва:



Непрерывность функций: 

Функция f(x), определенная в точке a, называется непрерывной в этой точке, если 







По аналогии с понятием одностороннего предела вводятся понятия функции, непрерывной в точке a слева и справа. Функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам: 

1). Функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы; 

2). Функция не определена в данной точке. 



Эта функция непрерывна в точке A и разрывна в точке B.

Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Теорема о промежуточных значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.

Точки разрыва функции

Функция является непрерывной в точке, если   =.

Определение 1. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.

Определение 2. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют односторонние конечные в этой точке.

Определение 3. Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва, если односторонние пределы в этой точке равны.

Определение 4. Скачком функции в точке разрыва первого рода называется модуль разности односторонних пределов в этой точке.

Определение 5. Точка х0  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен +(-)).

Билет 4:

Вопрос 1: Определение вектора. Действия с векторами:

Определение вектора 

        Определение: Вектором называется направленный отрезок.         

Вектор - это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора. 

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: . В двух последних случаях  - обозначение точки, являющейся началом вектора,  - концом вектора. 






Рис.10.1.Изображение векторов



        Определение: Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.         

        Определение: Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.         

        Определение:   Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.         

        Определение:   Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.         

Модуль вектора a обозначается . Вектор a называется единичным, если . 

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору. 



Действия с векторами 

        Определение: Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю (рис. 10.2).         



Рис.10.2.Сложение векторов



Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы. 



Рис.10.3.Правило треугольника



        Определение: Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .         

Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть . 

        Определение: Разностью векторов a и b называется сумма .         

Разность обозначается , то есть . 

        Определение: Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием 

1)и, если , то еще двумя условиями: 

2) вектор b коллинеарен вектору a; 

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .         

Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4). 



Рис.10.4.Умножение вектора на число



        Замечание: Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. 

        Теорема:   Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства: 
1)(свойство коммутативности операции сложения); 
2)(свойство ассоциативности операции сложения); 
3); 
4); 
5) (свойство ассоциативности по отношению к числам); 
6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число); 
7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор; 
8) .

9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ; 
10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ; 
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что . 



Вопрос 2: Бесконечно малые и бесконечно большие:



Бесконечно малые и их основные свойства:

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.















Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что . 

Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая. 

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.



Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.



Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .



Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.



СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x.

Примеры.

Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. . 

. 

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

. 

. 

, так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство. 



Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.



Билет 5:

Вопрос 1: Скалярное произведение и его свойства:



Скалярное произведение векторов 

Рассмотрим два произвольных вектора: и 

Определение: Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a. 

Определение: Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так: 

Определение: Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними: 



Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле 

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов   и и любого числа λ справедливы равенства: 

причем 

(переместительный закон).

(распределительный закон). 

(сочетательный закон). 



Вопрос 2: Свойства непрерывных функций:



Свойства функций, непрерывных в точке



Теорема (локальные свойства непрерывных функций). 

Пусть функция f:E R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a. 

Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a). 

Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a) 0 ) непрерывны в точке a. 

Если функция g(x):Y R непрерывна в точке b Y, а функция f:E Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g° f также непрерывна в точке a. 

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции. 



Глобальные свойства непрерывных функций



Определение (непрерывность функции на множестве): Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. 

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x) CX. 

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. 

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x) C[a,b]. 



Теорема (глобальные свойства непрерывных функций). 



(Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) C[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18). 



(Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) C[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19) 



(Теорема Коши) Если f(x) C[a,b] и f(a)f(b)<0, то существует c [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20). 





Замечание. 

1). Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле. 

2). Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней. 



Билет 6:

Вопрос 1: Векторное и смешанное произведение:



Векторное произведение векторов.   

Определение. Векторным произведением векторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 

1) , где  - угол между векторами и , 

2) вектор ортогонален векторам и 

3) , и  образуют правую тройку векторов. Обозначается:  или. Свойства векторного произведения векторов:

 1) ; 

2) , если  или = 0 или = 0; 

3) (m)= (m) = m(); 

4) (+ ) = +  ; 

5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то = 

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и . 

  Пример. Найти векторное произведение векторов и .  = (2, 5, 1); = (1, 2, -3) . 

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).    (ед2).



  Смешанное произведение векторов.   

Определение. Смешанным произведением векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор, равный векторному произведению векторов  и .  Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и . 

    

Свойства смешанного произведения:   

1)Смешанное произведение равно нулю, если:  а)хоть один из векторов равен нулю;  б)два из векторов коллинеарны;   в)векторы компланарны.  

2)   

3)   

4) 

  5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами ,  и , равен  

6)Если , , то 

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов: , Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.   



Вопрос 2: Первый замечательный предел:

 Определение: Первым замечательным пределом называется предел 

    

Теорема: Первый замечательный предел равен  

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме двусторонний предел также будет равняться 1. 

Итак, пусть (этот интервал - одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось. 



Рис.2.27.Тригонометрический круг 



Пусть  - площадь треугольника ,  - площадь кругового сектора , а  - площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство: 



Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная - (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде 



Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так: 



или (умножив на ) так: 



Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1. 

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству 



при , получаем, что 



(2.3)




Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем: 



(2.4)




Тем самым показано, что 



Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит, 



но ( -- нечётная функция), и поэтому 



Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.      

Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так: 



Рис.2.28.График 



Билет 7:

Вопрос 1: Уравнение плоскости. Вывод и исследование:



Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу. 

Определение 1: Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.         

Замечание 1:  Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.         

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно. 

 Теорема 1: Пусть вектор является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение 



(1)




является уравнением плоскости . 

        Доказательство.     Пусть  -- некоторая точка плоскости (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость. 






Рис.11.1.



Вектор лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства 



(2)




Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле , получим формулу (1).      

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки плоскости ,  -- радиус-вектор точки . Тогда уравнение (2) можно переписать в виде 



Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости . 

Раскроем скобки в уравнении (1). Так как точка  - фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение  принимает вид 



(3)




Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, так как . 

Верно и обратное утверждение: 

        Теорема 2:   Всякое уравнение (3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору . 

        Доказательство: Условие означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение (3) следующим образом: 



По теореме 1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку .      

Теорема 3: позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача. 



Вопрос 2: Второй замечательный предел:



Определение: Вторым замечательным пределом называется предел 



Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов. 

Теорема: Второй замечательный предел существует. Его значение  - число, лежащее между и .     

Лемма: Пусть и  - натуральное число. Тогда имеет место формула 



Заметим, что в дроби очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом -равный , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают. 

Доказательство. Оказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула, очевидно, верна: 



Заметим, что при и  ормула также хорошо известна: 



и 



Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при . Действительно, 



При этом в квадратных скобках получается: 



   



   



   

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при .      

Доказательство теоремы. Рассмотрим последовательность и применим к формулу бинома Ньютона при и . Получим 



Покажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , , ..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы увеличится: 



Далее, заменим все числа в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим: 



В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна 



Поэтому 



что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3. 

Покажем теперь, что последовательность не убывает. Действительно, запишем формулу в виде 



В аналогичной формуле, написанной для вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое 



Следовательно, при росте номера члены последовательности строго возрастают: при всех . 

Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности теорему о пределе монотонной ограниченной функции и получим, что существует предел 



причём число не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что . Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве, не меньше числа , что и завершает доказательство теоремы.      

        Замечание:  Можно также показать, что 



однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем. 

В формуле можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим 



Билет 8:

Вопрос 1: Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:  





  

 

 

 




 











Угол между двумя плоскостями в пространстве   связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением:

 = 1  или  = 1800 - 1, т.е. cos  = cos1.



Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями: 

, где

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

 

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: //.Это условие выполняется, если: .



Вопрос 2: Неопределенности и способы их раскрытия:



Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

,

 , 

0 / 0,

00,

 ,

 ,

 

По таким выражениям сложно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.



Правило Лопиталя: раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем





(1) 



Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует. 



Билет 9:

Вопрос 1: Общее уравнение прямой на плоскости. Различные способы задания прямой:

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. 

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0. Уравнение прямой, проходящей через две точки.  Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:  Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.  На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: если х1  х2 и х = х1, еслих1 = х2. Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Применяя записанную выше формулу, получаем: 

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.  Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. 

Вопрос 2: Определение производной. Геометрический и экономический смысл:



Определение: Рассмотрим y=f(x): производной  функцией в фиксированной точке называется lim отношения приращения этой функцией в данной точке к бесконечно малому приращению аргумента. 

  (y’; ;)



Рассмотрим приращение функции y=f(x). Зафиксируем x=x0





Геометрический смысл производной состоит в том, что производная вычисляет в абсциссе точку касания, численно равную k.

y’==k

Экономический смысл производной: производная в экономическом смысле характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.



Билет 10:

Вопрос 1: Условие параллельности и перпендикулярности прямых  на плоскости:



Из общего уравнения прямой на плоскости Оху Ax+By+C=0 получаем частные случаи, из двух таких случаев: 

1). A0, B=0. Ax+C=0, или x=a, a=: эта прямая параллельна оси Оу и отсекает на оси Ох отрезок, имеющий величину а. При С=0 прямая совпадает с осью Оу

2). А=0, В0. Ву+С=О, параллельна оси Ох, или у=b, b=, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Следуют признаки параллельности и перпендикулярности прямых:



A1A2+B1B2=0



	Если прямые заданны в форме у=kx+b с угловыми коэффициентами k1 и k2 , то угол между ними вычисляется по формуле:

	

	В этом случае условие параллельности прямых на плоскости будет k1=k2, а перпендикулярности k1=.

	

Вопрос 2: Уравнение касательной и нормали: 



Уравнение касательной:



Уравнение нормали:

Уравнение нормали к поверхности F(x;y;z)=0 в точке M0(x0;y0;z0) имеет вид:













Билет 11:

Вопрос 1: Каноническое уравнение прямой в пространстве:



Замечание 1: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения. 

Замечание 2: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.

Замечание 3: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.

Вопрос 2: Правило дифференцирования:

Если функции f и g дифференцируемы в точке  то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем 













Доказательство:

а) 

По свойству предела суммы получаем 

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: 



В частности, 



б) Функцию f · g можно записать в виде Но 

По свойству предела произведения получаем 

Используя доказанное равенство, получим, что 

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу 

   в) Для доказательства этой формулы заметим, что 

Воспользовавшись свойством предела частного, получим 

После этого представим как произведение функций f и откуда и следует доказываемая формула.

Если f дифференцируема, то  где также дифференцируема, причем 



Доказательство этой формулы предоставляем читателю.

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки  причем то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y0 = f (x0), причем 



Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x0 и y0 = f (x0) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x0, причем 



Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если f (x) – четная функция, то  – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то  – четная.

Пусть в окрестности точки t0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные и Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем 





Билет 12:

Вопрос 1: Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве:

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

 Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.





Вопрос 2: Производная от сложной функции. Доказательство:



Теорема. Пусть сложная функция y=f((x)) такова, что функция y=f(х0) определена на промежутке T, а функция t=(x) определена на промежутке X и множество всех ее значений входит в промежуток T. Пусть функция t=(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка X, а функция y=f(t) имеет производную в каждой точке промежутка T. Тогда функция y=f((x)) имеет производную в каждой точке внутри промежутка, вычисляемую по формуле .



Доказательство:

Так как функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то приращение этой функции в точке х0 может быть записано в виде:



Где .

Поделив равенство (1) на , получим:



Равенство (2) справедливо для любых достаточно малых х.

Возьмём равное приращению функции x=, соответствующего приращению аргумента t в точке t0, и устремим в этом равенстве .

Так как по условию функция x= имеет в точке t0 производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывной функции в точке, при . Но тогда и  также стремится к 0, то есть имеем



В силу соотношения (3) существует предел правой части равенства (2) при , равный.  Значит существует предел при    и левые части равенства (2), который по определению производной равно производной сложной функции y=f[]  в точке t0, тем самым доказывается дифференцируемость сложной функции и устанавливается формула .



Билет 13:

Вопрос 1: Условия параллельности и  перпендикулярности прямой и плоскости:



Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.



            Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

                                                

Вопрос 2: Производная от неявной и параметрически заданной функции:



Производная функции, заданной неявно:

Уравнение вида , содержащее переменные и , иногда можно разрешить относительно и получить в явном виде зависимость . Например, если дано уравнение , то из него можно получить зависимость . Однако такое явное выражение через , использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида  (даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). 

Покажем, как, используя уравнение , найти производную , не выражая через в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной , считая промежуточным аргументом, а потом выразим из получающегося равенства. 



Производные функции, заданной параметрически:

Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до : 



Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически. 

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то 



где  - значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение . 

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений - то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра .



Билет 14:

Вопрос 1: Определение окружности. Вывод уравнения:



Определение: Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.         

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус. 

Теорема: Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение 



(1)

Доказательство. Пусть -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (рис. 12.1) 






Рис.12.1.Окружность



По формуле  для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению 



Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (1).      

Если в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (1). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и . 

Вопрос 2: Логарифмическое дифференцирование:

Если требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,

.

в) заменить его выражением через х

.



Билет 15:

Вопрос 1: Определение эллипса. Вывод уравнения:



Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.         

эллипс - это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью . 

В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым. 

Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось  - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 1). 

        Теорема 1: Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение 



(1)

где 



(2)

        Доказательство.     Пусть  -- текущая точка эллипса. По определению эллипса . Из треугольника (рис. 12.3) видно, что , то есть , , и поэтому число существует. 




Рис.1.

Фокусами в выбранной системе координат являются точки , . По формуле для плоского случая находим 



Тогда по определению эллипса 



Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат: 



После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению 



Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат 



Раскроем скобку и приведем подобные члены 



Учитывая, что , имеем равенство 



Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (3).      

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса. 





Рис.2. Эллипс



Вопрос 2: Теорема Ферма:

Теорема: Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует. 





Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума 

Геометрический смысл: Заметим, что условие означает, что тангенс угла наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0. Отсюда , то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     



 Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная существует. Рассмотрим два случая. 

Пусть функция имеет в точке максимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . При вычислении производной мы переходим к пределу при в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа: 



Аналогично, при , , и поэтому . Отсюда, вычисляя предел слева, получаем: 



Итак, выполняются два неравенства: и , что возможно лишь при . 

Пусть теперь функция имеет в точке минимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . Переходя к пределу при в разностном отношении, получаем: 



Аналогично, при , , и поэтому . Вычисляя предел слева, получаем: 



Из неравенств и получаем, что .      





Билет 16:

Вопрос 1:Определение гиперболы. Вывод  уравнения:



Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

.  

y  M(x, y)  b  r1  r2  x  F1 a F2  c  По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c. 

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: 

















Обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) =

Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.  Ось 2а называется действительной осью гиперболы. 

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых 



 Вопрос 2: Теорема Ролля:

Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и  и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .

 

Замечание:  Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями и  дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной (то есть точка , такая что ). Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально. 

Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень  - единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.     





Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной 



Геометрический смысл:



Если крайние ординаты равны, то внутри   найдется точка, в которой касательная будет параллельна оси абсцисс.

Доказательство теоремы Ролля. Так как при наших предположениях функция непрерывна на отрезке , то она принимает своё максимальное значение и минимальное значение в некоторых точках и этого отрезка. 

Рассмотрим два случая. Если , то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке : . Значит, при всех , и в качестве в этом случае можно взять любую точку интервала . 

Если же , то либо , либо отлично от 0 и, следовательно, либо точка , либо точка не совпадает с концами отрезка и , то есть лежит внутри интервала . Пусть, для определённости,  - внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, , поскольку по предположению доказываемой теоремы, имеет производную во всех точках интервала и, следовательно, в точке . Итак, в этом случае точку можно взять в качестве искомой точки : тогда .      



Билет 17:

Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:



Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.



    Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

  у

 А М(х, у) 

  О F x



  


  p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

  Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

 

 Уравнение директрисы: x = -p/2.



Вопрос 2: Теорема Коши:

Теорема: Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что 





Геометрический смысл: Данные теоремы состоят в том, что внутри есть точка t0, угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:



Доказательство.     Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений: 

при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля. 

Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию 



Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и : 



Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что . 

Вычислим теперь производную функции : 



Получаем, что 



откуда получаем утверждение теоремы: 



Замечание: Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой .(Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия .) 



Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой 



Отношение , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь  - это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка такая, что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это - то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью , а в теореме Коши - зависимостью, заданной в параметрической форме. 



Билет 18:

Вопрос 1: Понятие матрицы. Классификация матриц:



Определение. Матрицей  размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А = 



Классификация матриц:. 



 Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. 

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. 

Определение.  Матрица вида: = E, называется единичной матрицей. 

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица 

Определение. Квадратная матрица вида  называется диагональной матрицей.  



Вопрос 2: Теорема Лагранжа:

Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что 


Геометрический смысл: Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и  - это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда. 



Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде 



Отношение конечных приращений и  - это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной ( ) будет равен углу наклона хорды ( ). Но наличие такой касательной геометрически очевидно. 

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки и  - это график линейной функции . Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, , то 



Доказательство теоремы Лагранжа. Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию , то есть 



Заметим, что и (по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех , то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что . 

Заметим теперь, что 



Значит, равенство можно переписать в виде 



Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно: 

Следствие: Пусть на интервале функция имеет производную , тождественно равную 0: . Тогда на интервале . 

Доказательство. Заметим для начала, что непрерывность функции в любой точке интервала следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции на любом отрезке . 

Возьмём любые две точки , такие что , и выпишем для функции на отрезке формулу конечных приращений: , при некотором . Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе . Отсюда , или . Обозначим это общее значение через . Выбирая произвольно точку , получим, что при всех ; выбирая произвольно точку , - что при всех . Но это означает, что при всех .      



Билет 19:

Вопрос 1: Действия с матрицами:

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij  bij С = А + В = В + А.  Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.  (А+В) =А  В А() = А  А Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. 2А = , 2А + В = . 

Элементарные преобразования

 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 

 2) прибавление к одной строке другой строки; 

 3) перестановка строк;   

 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 

 5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).  



Вопрос 2: Правило Лопиталя:

Теорема: (Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших).   Пусть и при и в некоторой проколотой окрестности , , существуют производные и . Тогда, если существует предел отношения этих производных то существует и предел отношения самих функций, равный тому же числу: 



Доказательство.    Докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть 



где  - некоторое число. Докажем, что тогда . 

Рассмотрим вспомогательные функции

 

и 

Тогда функции и  - бесконечно малые при , непрерывные при ; их производные таковы: 



Заметим теперь, что при 


и 


Из равенства получаем, что . Переходя к пределу в равенстве, получаем: 



С другой стороны, применяя правило Лопиталя к бесконечно малым функциям и , получим: 



откуда 



Из этого равенства следует, что , что и требовалось доказать.      

Замечание: Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах и ); сделав замену , выведем, что оно верно для пределов при базах , и 

Замечание: Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при , все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин.     



Билет 20:

Вопрос 1: Нахождение обратной матрицы:



Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению. 

 Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.  Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.   Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать: AX = E  , i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i  j, eij = 1, i = j . Таким образом, получаем систему уравнений: , Решив эту систему, находим элементы матрицы Х. 



 Пример. Дана матрица А = , найти А-1.   Таким образом, А-1=. Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу: , где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А. 

 Пример. Дана матрица А = , найти А-1. det A = 4 - 6 = -2. M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1  x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2 Таким образом, А-1=. 



Вопрос 2: Производные высших порядков:

Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной : 



если эта производная существует. -я производная называется также производной -го порядка, а её номер называется порядком производной. 

При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих  - числом в скобках в верхнем индексе: или . 

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная задаёт мгновенную скорость изменения значений в момент времени , то вторая производная, то есть производная от , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений . Следовательно, третья производная - это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, ). 

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции. 



Билет 21:

Вопрос 1: Определители второго и третьего порядка:



Определитель квадратной матрицы будем обозначать или . 

Определение:  Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число . Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число 



где  - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .         

Замечание 1:   Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам.         

Замечание 2:  определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.         

Замечание 3:   В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение .      





Вопрос 2: Исследование участков монотонности функции:



Признак монотонности функции: Функция f(x) не убывает и не возоастает на промежутке X, если для любых X1, X2X  из условия X1 < X2 следует неравенство 

f(x1)≤f(x2) или f(x1)≥f(x2).

Если для тех же X из условия X1 < X2 следует неравенство f(x1)<f(x2) или f(x1)>f(x2), то функция f(x) называется возрастающей или убывающей на промежутке Х.

Теорема: Если функция дифференцируема на (a;b) и f’(x)≥0 или f’(x)≤0 на (a;b), то функция f(х) не убывает или не возрастает на (a;b).

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией. 

Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция. 

Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа. 

Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает. 

Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает. 

Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает. 

Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает. 



Билет 22:

Вопрос 1: Основные свойства определителей:



Свойство1: При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .      

Свойство 2:   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .      

Свойство 3:   Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.      

Свойство 4:   Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. 

Свойство 5: Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число. 

Свойство 6: Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. 

Свойство 7: Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю. 

Свойство 8: Пусть в матрице -ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой -ой строки на строку , а матрица  -- заменой -ой строки на строку . 

Свойство 9: Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится. 

Свойство 10:  Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю. 

Свойство 11: Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где  -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.         

Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается . 

Свойство 12: Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула 



Свойство 13: Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение 



(1)



Свойство 14: Все свойства определителя, сформулированные для строк справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу 



(2)



и равенство 

при . 

        Свойство 15: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали. 



Вопрос 2: Определение точек перегиба. Достаточное условие перегиба:

Точка перегиба функции  внутренняя точка x0 области определения функции такая, что функция непрерывна в этой точке, и x0 является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз.

В этом случае точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции, т. е. график функции f в точке (x0;f(x0)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке: 

при x<x0 касательная лежит под графиком f, а при x > x0 — над графиком функции (или наоборот).

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то f''(x0) = 0.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и     f(n) = 0 при n = 2,3,...,k − 1, а , то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.





Билет 23:

Вопрос 1: Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа:



Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.   



Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения. 



Вопрос 2: Асимптоты графиков функции:

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные. 

Определение: Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .     

Определение: Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия: 
1) некоторый луч целиком содержится в ; 
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при : 




Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если: 
1) некоторый луч целиком содержится в ; 
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при : 





Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при 



В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если или соответственно. 

Определение: Линия называется асимптотической линией графика функции при (или при ), если обе эти функции определены на некотором луче (или луче ) и разность ординат графиков стремится к 0 при (или при , соответственно).     

Если функция  - линейная, то есть график  - наклонная прямая, то асимптотическая линия - это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических. 

        

Замечание: Функции и входят в определение асимптотической линии симметрично: если график  - асимптотическая линия для графика , то и  - асимптотическая линия для . На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.     

Вернёмся к наклонным асимптотам - прямым линиям с уравнением . Для их нахождения в тех случаях, когда значения и не очевидны, можно применять следующую теорему. 

 Теорема: Прямая служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда и 


(соответственно, если и 

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится ) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты. 

        Доказательство теоремы. Докажем теорему в случае ; доказательство при проводится совершенно аналогично. 

Условие, задающее асимптоту, в виде 



Так как первый множитель , то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть 



Но и , так что 

откуда следует равенство. Теперь число уже известно. 

Подставляя это число в формулу, находим, что 



откуда следует равенство.      

Замечание: Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при и при для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.     

Замечание: Если график имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной: 



то . Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17. 

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.



Билет 24:

Вопрос 1: Собственные числа и собственные векторы матрицы:



Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:

A.

 При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n уравнения:



Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами: 

; 

в некотором базисе .

  Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А.

 или 

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.



Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением , где  - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения .

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением  . 

Вопрос 2: Общая схема исследования функции:

Пусть дана функция f(x). Для её исследования нужно: 

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.) 

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической. 

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. 

4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно. 

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней19 помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва. 

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной . 

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках. 

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. 

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой. 

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график. 



Билет 25:

Вопрос 1: Система линейных уравнений. Матричная форма записи:



Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:   , (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.   

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.     

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного. 

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А =  называется матрицей системы, а матрица А*=  называется расширенной матрицей системы  

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна. 



Вопрос 2: Определение функции нескольких переменных. Линии уровня. Область определения:

Определение: Пусть X, Y, Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называет множество f упорядоченных троек чисел (x;y;z), таких, что х принадлежит Х, у принадлежит У, z принадлежит Z и каждая упорядоченная пара чисел (х;у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит по крайней мере в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (х;у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f(x;y). Число z называется значением функции f в точке (х;у). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные х и у – независимыми переменными (аргументами); множество {(x;y)} – областью определения функции, а множество Z – множеством значений функции.



Примеры функций двух переменных: 

z=x2+y2. Область определения этой функции – множество {M} всех пар чисел (х;у), то есть вся плоскость Оху, а множество значений – промежуток Z=[0,).

. Область определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение  определенно, то есть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству x2+y2-1>0 или x2+y2>1. Это множество точек, лежащих вне круга радиуса R=1 с центром в начале координат, а множество значений функции представляет собой промежуток Z=([0,).

Аналогично можно дать определение функции трёх переменных u=f(x;y;z), четырех переменных u=f(x;y;z;t) и вообще n переменных u=f(x1;x2;...;xn).

Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y), то есть сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.

Определение: назовем линии уровня функции z=f(x;y) множество точек (х;у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Очевидно, при различных с получаются различные линии уровня для данной функции.





Билет 26:

Вопрос 1: Формула Крамера:



Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A  0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю. 

Теорема. (Правило Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i/, где  = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. i = 

Вопрос 2: Частные производные первого порядка для функции нескольких переменных:



Частные производные первого порядка



Пусть задана функция Z = f(x,y). Для простоты будем предполагать существование функции в некоторой окрестности рассматриваемой точки M(х,у).

Рассмотрим отношение частного приращения xZ = f(x+x,y)-f(x,y) по переменной х к приращению х, т.е. 

			                                           (13.1)

Теперь устремим  х  0. Если предел в (13.1) существует, то назовем его частной производной (первого порядка) функции Z = f(x,y) по х и будем обозначать

			, 

т.е.

.

Аналогично 

.



Определение: Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю.

Заметим, что если от функции Z =  f(x,y) берется производная , то у считается постоянным; если же находится , то х - постоянной. Поэтому частная производная функции нескольких переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными, т.е. 

, где у - const и т. д.

		      Тогда  ;    ;   .



Геометрический смысл частных производных



Пусть Z =  f(x,y); ;  .

Изобразим Z = f(x,y) - получим некоторую поверхность.





Рис. 13.1.



Возьмем точки М(х,у,z), N(x,y,0) - проекция точки М на плоскость ХоУ. Полагая у - const, мы получаем плоскую кривую Гx , представляющую собой сечение поверхности  соответствующей плоскостью, параллельной Оxz. Пусть МК - касательная к кривой Гx в точке М(х,у,z) и  - угол, образованный с положительным направлением оси Ох. Так как

 ,

 на основании смысла обычной производной имеем   ,  аналогично  .



Билет 27:

Вопрос 1: Метод Жордана - Гаусса:



Метод Жордана - Гаусса является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана

Применяется для систем любого вида.

Система называется с базисом, если в каждом её уравнении присутствует неизвестное с коэффициентом +1, и она не присутствовала в других уравнениях (k=0), остальные переменные называются свободными.

Метод Жордана - Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований, в результате чего получается эквивалентная система базисов.



АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

Записываем все данные в таблицу, слева коэффициенты, а справа правые части. И выбираем ключевой элемент. Его можно выбирать только из коэффициентов неизвестных неравных 0.

Преобразуем ключевую строку. Для этого все числа строки делим на выбранный ключевой1 элемент.

Преобразуем не ключевые строки. Из каждого числа проводи два перпендикуляра, числа на концах перпендикуляров умножаем и полученное произведение вычитаем из выбранного числа.

Появление нулевой строки. Что говорит о том, что данное уравнение было следствием других, и нулевую строку вычеркиваем.

Окончание преобразования. Возможны случаи:

Если количество выбранных ключевых элементов равно числу строк, то есть числу уравнений, то данное уравнение имеет единственное решение.

Если число ключевых элементов меньше числа переменных, то данная система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Если в результате преобразований получилась строка, на месте коэффициентов 0, а в правой части число, то это говорит о том, что система решений не имеет, то есть несовместна.



Рассмотрим пример:

 



X1

X2

X3

bi

1

1

1

0

4

2

1

1

9

3

1

3

1

1

1

0

3

1

0

1

8

2

0

2

-2

0

1

-1

3

1

0

1

2

0

0

0

/2

0

0

1

-1

0

1

0

1

1

0

0

0



Ответ:

X1=-1 

X2=1 

X3=0



Вопрос 2: Частные производные высших порядков:

Пусть функция z=f(M) имеет частные производные fx’(x;y) и fy’(x;y) (они называются частными производными первого порядка) в каждой точке некоторой окрестности точки М. Если fx’(x;y) и fy’(x;y) имеют в точке М частные производные по переменным х и у, то они называются частными производными второго порядка от функции f(M) в этой точке и обозначаются следующими символами:









Частные производные второго порядка вида,  называются смешанными частными производными.

Частные производные третье порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и так далее.



Билет 28:

Вопрос 1: Линейная балансовая модель:



Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
Линейная балансовая модель: 
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление конечный продукт, а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции первый столбец таблицы 1 и как ее потребитель первая строка таблицы 1 .
Обозначим через xi валовый выпуск продукции iй отрасли за планируемый период и через yi конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. .
Таким образом, разность xi yi составляет часть продукции iй отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
Обозначим через xik часть продукции iй отрасли, которая потребляется kй отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Таблица 1
потребление итого на конечный валовый
отрас. внутре продукт выпуск
производ. уi хi
1 2 k n потребление
отрас. хik
1 х11 х12 х1k х1n х1k у1 х1
2 х21 х22 х2k х2n х2k у2



Вопрос 2: Градиент:

Определение: Градиентом функции z=(M) в точке М(х;у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным  и , взятым в точке М(х;у).

	Обозначение: gradz=.

	

	Для трех переменных функции u=f(x;y;z) градиент будет: gradu(ux’(M0);uy’(M0);uz’(M0))

	

	Градиенты используются в задачах оптимизации, так как градиент направление наискорейшего роста функции.



Билет 29:

Вопрос 1: Определение ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли:



 Определение: Пусть дана матрица размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .         

        Пример: Пусть . 

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, -5,-4 - миноры первого порядка. 



	Миноры второго порядка: 	

возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ; 

возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ; 

возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор 



Миноры третьего порядка: строки здесь можно выбрать только одним способом, возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ; 

возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор . 

        

Свойство 1:Если все миноры матрицы порядка равны нулю, то все миноры порядка , если такие существуют, тоже равны нулю.    

Свойство 2: При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть . 

Свойство 3: Пусть ранг матрицы равен . Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.         

Свойство 4: Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.         

Свойство 5: Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.         

Свойство 6: Предложение 14.25   Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.     

Свойство 7: Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему.          

Свойство 8: Ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему. 

Свойство 9: Если определитель матрицы равен нулю, то один из его столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк). 

Свойство 10: При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. 



Теорема Кронекера – Капели: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

 

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:



 

A = 

 

~ .                            RgA = 2.

A* =           RgA* = 3.

            Система несовместна.







	Вопрос 2: Производная по направлению:

	Пусть z=f(M) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(х;у); ={соs;cos) – единичный вектор; L – направленная прямая, проходящая через точку М; М1(х+;у+) -  точка на прямой L; - величина отрезка ММ1; - f(x;y) – приращение функции f(M) в точке М(х;у).

	

	Определение: Предел отношения  при (М1М), если он существует, называется производной функции z=f(M) в точке М(х;у) по направлению вектора и обозначается , то есть.

	Если функция f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то в точке М(х;у) существует производная по любому направлению, исходящему из М; вычисляется по следующей формуле:

	, где соs и cos- направляющей косинусы вектора .



Билет 30:

Вопрос 1: Определение функции. Способы задания функции:

Отображе́ние или фу́нкция (лат. functio — исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.



Способы задания функции:

Словесный

у равен целой части от х. ()

Аналитический



Графический

С помощью графика.

Табличный

Функция задается таблицей значений



Вопрос 2: Экстремумы функции нескольких переменных:



Максимум и минимум функции нескольких переменных



Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).         

В пространстве это будет произвольный параллелепипед, содержащий эту точку за вычетом самой точки.

Определение: Максимумом (строгим) функции  f (x,y)  называется такое значение f(x1,y1)     этой функции, которое больше всех ее значений  f(x,y),  принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки  О(х1, у1). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Определение: Минимумом (строгим) функции  f (x,y)  называется такое значение  f (x2,y2), которое меньше всех ее значений  f (x,y),  принимаемых данной функцией в  точках некоторой окрестности  О (х2, у2).

Максимум или минимум функции f (x,y)  называется экстремумом этой функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (точка минимума, точка максимума).

Аналогично определяется экстремум функции  f (x,y,z)  и т.д.

Теорема: (Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных). В точке экстремума функции  нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть  u = f (x,y)  и f (xo,yo) - ее максимум (для минимума  рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например,  у,  полагая  у = уо,  тогда получим функцию одной переменной   U1 = f (x, yo),  которая, очевидно, будет иметь максимум   при  х = хо.  Отсюда,  на основании теории экстремума одной переменной,                                  получаем, что            или        не существует.

Пусть теперь у=уо, а хо- фиксируем, тогда     или не существует.

Следствие: В точке экстремума  Мо (хо, уо)  дифференцируемой функции  f (x, y)  выполнены  равенства      

Для  U = f(x, y, z)    в точке  Мо (хо ,уо, zо) будет выполнено условие .

Замечание: Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо  равны нулю, называют критической.

Т.е.  экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.



Абсолютный экстремум



Определение: Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции. (Соответственно, абсолютный минимум, абсолютный максимум).

Теорема: (Вайерштрасс)  Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значения. 

Теорема: Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Билет 31:

Вопрос 1: Преобразование графиков функции:

Преобразования графиков функций — термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или её аргумента вида y = αf(γx + δ) + β. Применяется также для обозначений операций с использованием модуля.

Общий вид функции

Преобразования

y = f(x − a)

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | a | единиц 

вправо, если a > 0; 

влево, если a < 0. 

y = f(x) + a

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | a | единиц 

вверх, если a > 0, 

вниз, если a < 0. 

y = f( − x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = − f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

y = f(kx)

При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, 

при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз. 

y = kf(x)

При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, 

при 0 < k < 1 — сжатие графика к оси абсцисс в k раз. 

y = | f(x) |

При y > 0 — график остаётся без изменений, 

при y < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс. 

y = f( | x | )

При — график остаётся без изменений, 

при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат. 



Вопрос 2: Метод наименьших квадратов:



В различных исследованиях по данным результатов исследований, часто возникает необходимость построения эмпирических формул, составленных по этим наблюдениям.

Одним из наилучших способов получения таких формул является метод  наименьших квадратов.

Пусть по результатам опыта нам нужно установить зависимость между двумя величинами   х  и  у, где, например, 

	х - стоимость строительства объекта;

	у - накладные расходы.

По результатам наблюдения составим таблицу:



Xi

x1

x2

x3

...

xn

Уi

y1

y2

y3

...

yn



Нужно теперь установить функциональную зависимость  у = f(x).

Нанесем результаты наблюдений на координатную плоскость.



	































В данном случае естественно предположить, что зависимость линейная (т.е. все точки расположены около прямой).

     Т.е.    у = ах + b  (*)

где  а  и  b - некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Представим  (*)  в виде     ах + b - y = 0     (**)

Так как точки лежат приблизительно на этой прямой, то эта зависимость приближенная. И, если подставить точки наблюдений в (**), то получим равенства:



  (15.2),



 где  числа   i (i=1n)  называются погрешностями и, вообще говоря, не равные нулю.

	Способ наименьших квадратов состоит в том, что нужно подобрать  а  и  b  таким образом, чтобы  i  были бы по возможности малыми по абсолютной величине, а лучше сказать, чтобы сумма квадратов погрешностей была бы минимальной. Т.е. потребуем, чтобы

                                        (15.3),



тогда  S(a,в)  можно рассматривать как функцию двух переменных по  а  и  b и можно ее исследовать на экстремум  ( определить минимум), т.е.

                             .

				            (15.4)



Приравняем эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными  а  и  b :



				              (15.5)



Система  (15.5)  называется нормальной системой способа наименьших квадратов.

Решая эту систему относительно  а  и  b, находим числа  а  и  b и затем подставляем их в (*).



Пример: 

	Пусть имеем результаты наблюдений:



Xi

-2

0

1

2

4

Уi

0.5

1

1.5

2

3



Определим а и b в уравнении  у = ах +b







Нормальная система



             .  

Тогда     у = 0,425х + 1,175.