Высшая математика

Задача 1



Провести полное исследование функций и построить их графики







Решение:

	1) Область определения ,функция общего вида, т.к.

	

	 y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

	2)  =>x=-4 

	

	точка разрыва 2-го рода

	3) Нули функции 

	4) Интервалы монотонности

	

	

	

	 возможные точки экстремума

	не существует при 

	





-12



4



0







0



-



0







-27



-



0






Функция возрастает при



.



Функция убывает при .

– точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.



	

	

	 при 

	не существует при 

	при  кривая выпукла

	при  кривая вогнута

	 тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:



	, =>

	

	

	 – наклонная асимптота

	
7) График функции

	

y

x





Задача 2



Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны СП, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в СХ. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.



Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

№

S

СП

СХ

12

62000

1650

68




Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП(q), издержек хранения ИХ(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо, период между поставками То, издержки пополнения ИПо, издержки хранения ИХо , суммарные издержки Ио);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки СП.



ИП = N * СП



Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:



N = 



Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:



ИП(q) = СП * 




Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить как произведение стоимости хранения единицы СХ на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:



ИХ(q) = CX *  = CX * 



Запишем функцию суммарных издержек:



И(q) = ИП(q) + ИХ(q) = СП *  + CX * 



Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.



И’(q) = (СП *  + CX * )’= –  + 



Составим и решим уравнение:



–  +  = 0 ;	 =  ;	q2 =  ;	q = .


Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:



q =  =   1735 шт.



Найдем число поставок в год:



Nо = S / q = 62000 / 1735 = 35,7  36 раз



Найдем период между поставками:



То = 360 / 36 = 10 дней



Найдем издержки пополнения:



ИПо = СП * N = 1650 * 36 = 59400 руб.



Найдем издержки хранения:



ИХо = CX *  = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.



Найдем суммарные издержки



Ио = ИПо + ИХо = 59400 + 58990 = 118390 руб.




Построим график запасов:





Рис. 1



Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов ИП(q) = СП *  являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения ИХ(q) = CX *  являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:



Рис..2



Задача 3



Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi) за 6 последних месяцев (Xi =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj =7, 8).



Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы

№

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

12

14

13

11

14

13

16



Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0x + a1;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.



Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1









2









3









4









5









6









Сумма











5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках Xi = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией



у = a0x + a1



Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a1 и a0 , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a0 , a1) =  или F(a0 , a1) = 


Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:



= 

= 



Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a1 и a0:







Решим данную систему методом Крамера:











Тогда можно вывести формулы расчета параметров:










Построим расчетную таблицу



Таблица 3 – Расчетная таблица 

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1

1

14

1

14

2

2

13

4

26

3

3

11

9

33

4

4

14

16

56

5

5

13

25

65

6

6

16

36

96

Сумма

21

81

91

290



Найдем значения параметров:









Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна



 = 0,3714·Xi + 12,2



Найдем значения аппроксимирующей функции:



Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

i

Xi



1

1

12,5714

2

2

12,9428

3

3

13,3142

4

4

13,6856

5

5

14,057

6

6

14,4284

7

7

14,7998

8

8

15,1712



Построим график аппроксимирующей функции



Рис.1



Задача 4



Найти приращение и дифференциал функции y=a0x3+a1x2+a2x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.

Решение:



y=4x3–2x2–3x



Приращение функции



y(x+Δx)–y(x)= 4(x+Δx)3–2(x+Δx)2–3(x+Δx) – (4x3–2x2–3x)=

=4(x3+3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3) –2(x2+2 xΔx +Δx2)–3x–3Δx –4x3+2x2+3x=

=4x3+12x2Δx + 12xΔx2 + 4Δx3 –2x2–4 xΔx –2Δx2–3Δx –4x3+2x2=

=12x2Δx + 12xΔx2 + 4Δx3–4 xΔx –2Δx2–3Δx =

=(12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)



Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x2–4 x–3)Δx или заменяя Δx на dx получим dy=(12x2–4 x–3)dx 

Абсолютное отклонение:



Δy– dy = (12x2–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx2 + 4Δx3)– (12x2–4 x–3)Δx =(12x–2)Δx2 + 4Δx3



Относительное отклонение:







Задача 5



Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции , оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.



n=3, x=63



Решение:







Возьмем



=64



=>

Тогда 







Относительная погрешность







Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.



Решение:



1) 

2) 



Задача 7



Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.



Решение:



1) 2)



Задача 8



Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.



Решение:



1) 

2) 



Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.



Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:






y

x

b

а

0



 => 



Тогда площадь треугольника равна:







Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А1(а1,0), А2(а2,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.



Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:








А1В:  => 

А2В:  => 



Тогда площадь треугольника равна:







Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x2+y2=R2)



Решение:





0

R

y

x

R



Из уравнения окружности:







Тогда четверти круга равна:








Тогда площадь круга равна:







Задача 12



Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

	Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>, тогда искомая площадь:

	

	

	

	


Задача 13



Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x2. Нарисуйте чертеж.

 Решение:

Найдем точки пересечения y= x2 =3–2x => x2 +2x–3=0 =>, тогда искомая площадь:



	

	



Задача 14



Вычислить площадь между кривой y=1/x2 и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

	Искомая площадь:

	

	

	




	Вычислить приближенное значение интеграла  по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид







Длина интервала







Для удобства вычислений составим таблицу:

N





0

1

1,0000

1

2

0,2500

2

3

0,1111

3

4

0,0625

4

5

0,0400

5

6

0,0278




Тогда по формуле трапеций имеем:







Точное значение



 



Относительная погрешность







Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала







Для удобства вычислений составим таблицу:

N





0

1

1,0000

1

1,5

0,4444

2

2

0,2500

3

2,5

0,1600

4

3

0,1111

5

3,5

0,0816

6

4

0,0625

7

4,5

0,0494

8

5

0,0400

9

5,5

0,0331

10

6

0,0278



Тогда по формуле трапеций имеем:





Относительная погрешность







Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.



Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.



Решение:



	1) 

	

Разделим переменные





	
2) 



Разделим переменные







Задача 16



Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида . Выполнить замену y/x и решить.

Решение:



	1) 

	

	Разделим обе части на xy

	

	

	2) 

	
Разделим обе части на x

	

	

	

или 



Задача 17



Привести линейное дифференциальное уравнение к виду  и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:



	1) 

	

	Преобразуем

	

	 => 

	

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,



=> => , ,





	2) 

	

	Преобразуем

	

	 => 

	

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,



=> => , ,



	2) 

	

	Разделим обе части на x

	

	

	

	или 



Задача 18



Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:



	1) 

	

Запишем характеристическое уравнение:



λ2–λ–6=0 => λ1,2=3;-2 =>



Тогда общее решение дифференциального уравнения:


 y = C1e3x + C2e–2x

	2)

	

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:







запишем характеристическое уравнение



: λ2–6λ+9=0 => λ1,2= 3 =>

y0 = (C1+ C2x)e3x



Запишем частное решение по виду правой части:



 ŷ = C3x2+ C4x+ C5



Найдем



 ŷ ′ = 2C3x–C4

ŷ ′′ = 2C3



Подставим в исходное уравнение, получим:



2C3 – 6(2C3x–C4)+9(C3x2+ C4x+ C5) =9C3x2+(9C4–12C3)x+(2C3 + 6C4+9C5)= x2

=> C3 = 1/9, => C4 = 4/27, => C5 = –10/81	



y = y0 + ŷ = (C1+ C2x)e3x +