Эквивалентность элементарных функций

Киевский национальный университет им. Т.Г. Шевченко

Реферат

Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару



студента группы ТК

четвертого курса

Польщи М.В.























Научный руководитель: профессор Лисовик Леонид Петрович


Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L1  Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L2  Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, 2x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L3  Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L4  Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x+y 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L5  Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L1L2L3L4L1

2. L1L5

3. L5L3

Докажем, что L1L2 (для этого выразим 2x через функции L1 )



Докажем, что L2L3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L2 )



Пусть 

 тогда

 

Докажем, что L3L4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L3 )



Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.



Пусть 

 тогда



Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L4L1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L4)

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.



Где (x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.



Докажем, что L1L5 (для этого выразим x*y через функции L5 )



Докажем, что L5L3 (для этого выразим 2x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L5 )



Пусть 

 тогда



Эквивалентность классов доказана.

2



1999 р.