Математика

Канашский филиал























КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике



Вариант  3

Студента 1  курса   экономического  факультета

		Шифр:    04653033            Учебная группа:  53-06

Работа  выслана  в  Чувашский  госуниверситет

 «____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления» 

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич                              

Возвращена в деканат______________________






Математика



Вариант 3



Даны вершины А(х1;у1) ,В(х2;у2), С(х3;у3) треугольника. Требуется найти:    1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла ; 

7)угол  в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

       вариант  3:              А(5;-1),   В(1;-4),    С(-4;8).



Решение:



         1)Длина стороны ВС:

     ;

        2)Длина стороны АВ:

      ;

          Скалярное произведение векторов и



Угол  :

cos = ; =arcos 0,2462=75,75;

          3) Уравнение стороны ВС:



;  ;     ;    ;  ;

        4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

   ;    ;

         Условие перпендикулярности двух прямых:

  ;   ;

  ;    ;   ;   ;

          5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

   



         6)  

   







           Уравнение прямой АС:





            



          Уравнение биссектрисы внутреннего угла :



 

       7) Угол  в радианах с точностью до 0,01:





      8) Уравнение стороны ВС:







Уравнение стороны АС:





      Уравнение стороны АВ:



        Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.







X

Y

A (5;-1)

B (1;-4)

                C (-4;8)

Задание 13.

     Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).





Решение:

     Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:



    По условию задачи 



    Искомые прямые:



Задание 23.



    Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.



Решение:





     По условию задачи:   



       -   уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями    



  

A(x;y)

F(8;0)

X

Y

4            6                  8

2

-2





-4





-6

Задание 33.



Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой   с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:





Найдем точки пересечения окружности и прямой.





                Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид  учитывая что  найдем параметр  p



      Таким образом, уравнение параболы 

      Уравнение директрисы параболы:  



1        3         5         7          9

 8





 5

    2         4         6          8         10

Y

X

M

Y=2x

X=-4

-4

Задание 43.



Дано уравнение параболы  f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение параболы приняло вид  X2=aY или Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.







Решение:









O1

   O

y       Y

x 



X





Задание 53



Даны вершины А1(Х1;Y1;Z1),. А2(Х2;Y2;Z2), А3(Х3;Y3;Z3), А4(Х4;Y4;Z4)

пирамиды. Требуется найти:   1) длину ребра А1А2;    2)Угол между ребрами А1А2 и  А1А4;    3)угол между ребром А1А2 и гранью А1А2 А3;     4) площадь грани А1А2 А3;    5) объем пирамиды;    6)  уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3;    7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3, и вершину А1 пирамиды.

       A1 (3;5;4), А2(5;8;3),  А3(1;9;9), A4(6;4;8);



Решение:

         1)  





Длина ребра А1А2;





         2) 







Длина ребра А1А4;



        Скалярное произведение векторов А1А2 и  А1А4:







      Угол между ребрами А1А2 и  А1А4:





         3) Уравнение грани А1А2 А3:









        Угол между ребром А1А2 и гранью А1А2 А3:





        4)Площадь грани А1А2А3:  

  кв. ед.

  

        5) Объем пирамиды:

  куб. ед.



     6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3:





      7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3, и вершину А1 пирамиды.



Задание 63.

         Определить вид поверхности, заданной уравнением   f(x;y;z)=0,  и показать её расположение относительно системы координат.

        



Решение:







      Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси   по оси   





2

Y

Z

X

0

1



Задание 73.



Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.







Решение:



2

-9

-4

-3

3



-83



= >









= >



0

-47

-28

-13

7



-459

2

-7

-2

-1

-4



-57



0

-45

-26

-11

0



-433

7

-6

2

-2

0



-35



0

-139

-82

-37

-14



-1351

1

19

12

5

-2



188



1

19

12

5

-2



188







0

-47/7

-4

-13/7

1



-459/7



0

68/77

30/77

0

1



980/77

0

-45

-26

-11

0



-433



0

45/11

26/11

1

0



433/11

0

-233

-138

-63

0



-2269



0

272/11

120/11

0

0



2320/11

1

39/7

4

3/7

0



398/7



1

94/77

-190/77

0

0



481/77





0

0

0

0

1



-2900/77



0

-19/15

0

1

0



-2583/11



0

13,6

1

0

0



116



1

1574/231

0

0

0



22521/77





      Общее решение системы:





Задание 83.



       Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.





Решение:

       Составим определитель из координат векторов     и вычислим его:





        Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора  в этом базисе:






2

-10

0

-4



-42





= >

0

-20

4

-4



-88





= >

0

48

-12





252

4

-9

10

3



-43



0

-29

18

3



-135



0

-80

30





-350

2

-7

0

-1



-39



0

-17

4

-1



-85



0

17

-4





85

1

5

-2

0



23



1

5

-2

0



23



1

5

-2





23



0

-4

1

0



-21





      = >

0

0

1

0



3

0

40

0

0



240



0

1

0

0



6

0

1

0

1



1



0

0

0

1



-5

1

-3

0

0



-19



1

0

0

0



-1



         Итак 

       Проверка:

2(-1)-10*6         -4(-5)=-42;   -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43;   -43=-43;

2(-1)-7*6-           -(-5)=-39;    -39=-39;

-1+5*6-2*3                =23;       23=23.

 или 



Задание 93.



        Дана матрица А .  Требуется найти:  1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

  

        

Решение:



-1

-2

12



1

0

0



1

2

-12



-1

0

0

0

4

3



0

1

0



0

4

3



0

1

0

0

5

6



0

0

1



0

5

6



0

0

1



1

0

-13,5



-1

-0,5

0



1

0

0



-1

-8

6

0

1

0,75



0

0,25

0



0

1

0



0

6/9

-3/9

0

0

2,29



0

-1,25

1



0

0

1



0

-5/9

4/9



       Обратная матрица:





      Корни характеристического уравнения:



- собственные значения матрицы А .



       При 





     Собственный вектор:



Задание 103.



        Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.



       

Решение:



   -2П        -3/2П      -П          -П/2                      П/2          П         3/2П       2П



Y=-6/5sin(2/3x+1)



-6/5



         X



-6/5

Y=sin(2/3x+1)



1



      X



-1

Y=sin(2/3x)



1



      X



-1

Y=sin x

1



       X



-1

Y1

Сжатие вдоль оси ОХ в 2/3 раза

Сдвиг влево на 1 вдоль оси ОХ 

Растягивание в 6/5 раза и

переворот вдоль OY



Задание 113.



Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).



   





Решение:

















   Подстановка: 










Задание 123.

         Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x1,x2,x3.  Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

       



Решение:





  

        Так как ,то функция в точке Х1=-1 непрерывна.





Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.



    

          Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.



Y=3

Y

X

    -1         0                                  7

Задание 133.



      Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.



 

Решение:







      Так как  , то функция в точке х=-1 разрывна.







       Так как , то функция в точке  непрерывна.



 Y

  -1                        П/6                                                                  X



Задание 143.



Найти производные 





     a)       б)   в) 

г)   д) 



Решение.



а) 





б) 



в) 

 

г) 



д) 





Задание 153.



Найти  для функции, заданной параметрическим.





Решение.














Задание 163.



На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой 







Решение.



          Угловой коэффициент прямой:   

  или           

 

         Угловой коэффициент касательной к линии:  





      Так как касательная к линии и прямая параллельны, то  

тогда:





   Таким образом получаются две точки:

 



Задание 173.



Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?



Решение.























             B





            R



            O

           R

A                       K                  C

Задание 183.



	Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

     



Решение.



           1. область определения функции: 



     так как  то функция нечетная.



         2. Точки пересечения с осями координат:

При при 





           3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:



    При  функция возрастает.

    При  функция убывает.

    При  функция убывает.

    При   функция возрастает



     Точка точка максимума.

     Точка точка минимума.



         4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.



     При    функция выпукла;

     При    функция вогнута;

    При    функция выпукла;

    При    функция вогнута.





    Точки  - точки перегибов.



         5. Асимптот нет





Y

   X



           



                               



                                                                   	



					                    	             

					              



						            								

0





1. область определения функции: 

2.  точки пересечения с осями координат:

При 

     так как  то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

    

Точек экстремумов нет.

Так как  то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

       

При   функция вогнута;

При    функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

      

        асимптота.






0

X

Y

1

  -1

Задание 193.



Определить количество действительных корней уравнения ;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001. 







Решение.



Исследуем график функции.



    



Количество корней  К=1.



     


     Таким образом, функция принимает значения на отрезке  ,в качестве начального приближения возьмем 

     метод касательных:

     составим таблицу:

















1

2

3

-0,1

-0,398

-0,388

-0,001

-0,063

-0,586

1,499

-0,053

-0,0001

5,03

5,475

5,452

0,298

-0,0097

-0,00002

-0/3980

-0,3883

-0,3882



Искомый корень х=-03882



Задание 203.



Найти частные производные функции 







Решение.



      Частные производные:







Задание 213.



Дана функция  и две точки . Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;  2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.







Решение.



        

Вычислим частные производные в точке А.

       

  







Приближенное значение:



        



Вычислим точки значения функции:

        



Относительная погрешность вычисления:

         





Задание 223.



Даны функция  точка  и вектор а.  Требуется найти:

1) grad z в точке А;   2)производную по направлению вектора в точке А.







Решение.



1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:

        

Найдем частные производные в точке А:

         







2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.

         

     



Задание 233.



Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.







Решение.



Частные производные:







На прямой АВ: \

       



На прямой АС:  

         



На прямой ВС:  

             

   



   Z наибольшее =5;   z наименьшее =-117.





О(0;0)

Y

X














Использованная литература:



 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век,  2005 г. 

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004 	г. 





21