Ряды и интеграл Фурье

ГЛАВА 1

РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ



Основные сведения



Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т  называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1)	Сумма,  разность,  произведение  и  частное  периодических функций периода Т  есть периодическая функция периода Т.

2)	Если функция f(x)  период Т , то функция f(ax) имеет период .

3)	Если   f(x) - периодическая  функция  периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .



Тригонометрический ряд. Ряд Фурье



Если f(x) разлагается на отрезке  в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

 (1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:





 , где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а   коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье



Точка  разрыва функции  называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле).    Если  периодическая с периодом  функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).



ТЕОРЕМА 2.    Если f(x) периодическая функция с периодом  , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).





Ряды Фурье для четных и нечетных функций



Пусть f(x)  - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . .



Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:



     Пусть  теперь   f(x)  - нечетная  функция   с   периодом 2L,  удовлетворяющая   условию   f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

 , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:



Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то 

, где ,

          ,

           ,

Если f(x)  разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x)  соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.



Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций



Последовательность функций  непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

  

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие 



Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:



коэффициенты которого определяются равенством:

  n=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи 



 где n=1,2,...



Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке 

по ортогональной системе называется ряд:

,



Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).



Комплексная форма ряда Фурье



Выражение  называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если  определяется равенством 

, где  

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:



              (n=1,2, . . .)



Задача о колебании струны



Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной  l  с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости. 



При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

    (1)    , где а - положительное число.

Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

    (2)

и начальных условиях:

  (3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t),    (4) , где , .

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:



Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:



Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что  отрицательное число, разобрав все случаи.

a)	Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:





откуда  и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть . Тогда решив уравнение 





получим , и, подчинив, найдем, что 

в)  Если  то 



Уравнения имеют корни :



получим:





где  -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:



откуда  , т. е.

    (n=1,2,...)

  (n=1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

 (n=1,2,...).

и,  следовательно 

, (n=1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

, (n=1,2,...),



где  и  произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем  и  так , чтобы выполнялись условия





Эти равенства являются соответственно разложениями функций  и  на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой



где

 (n=1,2,...)





Интеграл Фурье





Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1)	абсолютной интегрируемости на 



(т.е. интеграл сходится)



2)	на  любом  конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой



3)	в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:





, где  ,

.



Интеграл Фурье для четной и нечетной функции



Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям  представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что ,  а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

  (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

 ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции  f(x) :

   (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

 ,

где b(u) определяется равенством (4).





Комплексная форма интеграла Фурье



 ,   (5)

где

.

Выражение  в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом 

Фуpье в  комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу 



в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:









Формулы дискретного преобразования Фурье



Обратное преобразование Фурье.





где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор 



при этом,    .


ГЛАВА 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ







Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье



Исходные данные :

 

  (Рис. 1)





     Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) )  Функция имеет на промежутке  конечное число точек разрыва первого рода.

     Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.









Рис. 1





     Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.



     1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .

     2) F(x) - кусочно-монотонна.



     Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.









Представление функции рядом Фурье.















     Из разложения видим, что при n нечетном   принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.



Поэтому формулу для  можно записать в виде:









( так как  ).



     Отдельно рассмотрим случай когда n=1:



.



     Подставим найденные коэффициенты в  получим:





и вообще

.



     Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:





1-ая гармоника ,









2-ая гармоника ,























3-ая гармоника ,













4-ая гармоника ,



























5-ая гармоника ,











и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.











Запишем комплексную форму полученного ряда





     Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)



,



но при   не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :



(т.к.  см. разложение выше)



и случай когда n=-1:



 (т.к. )



     И вообще комплексная форма:









или







или