Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44  = 0  (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.



1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид 

a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0         (2)

Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 • a33 , то коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи :

1. Коэффициенты a11 ,а22 , a33  одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа



 положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:



Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

2. Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа

 

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:



Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

3. Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда : 



Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:



Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

4. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a11 , а22 , a33  одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим 



соответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде



Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка. 

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I3 равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид 

a´11х´2 + а´22у´2 + a´33z´2 + 2а´14 x´ + 2а´24у´+2а´34z´ +а´44  = 0              (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I3 = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно 

a´11 • а´22 • a´33 , то один или два из коэффициентов a´11 , а´22 , a´33  равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи. 

1. Один из коэффициентов a´11 , а´22 , a´33   равен нулю. Ради определенности будем считать, что a´33 = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем 

a´11  на  a11 , а´22  на а22 , а´34 на p и  а´44 на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :

a11х2 + а22у2 + 2pz + q = 0                   (9) 

1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22  одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22 различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a11х2 + а22у2 + q = 0                   (10) 

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a11 , а22 , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a11 , а22 , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a11 и а22  имеют  одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины положительны.

 

Обозначая их соответственно через а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к виду



Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a11 и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду



3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами



(0, 0,         ). 

При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

 



Получим следующее уравнение:

a11х2 + а22у2 + 2pz = 0             (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a11 и а22 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:



Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11 и а22 имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид 





Это уравнение также легко может быть получено из (13).

  2°. Два из коэффициентов a´11 , а´22 , a´33  равны нулю. Ради определенности будем считать, что  a´11 = 0  и  а´22 = 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :



Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´33  на a33  ,  a´14   на р , a´24  на  q и a´44 на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :

a33 z2 + 2px + 2qy + r = 0        (17)



1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a33 и r одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a33 z2 + 2q´y = 0                (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям



1. Эллипсоид. 

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линии Lh пересечения эллипсоида с плоскостями

z = h                              (20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции L*h  линии Lh на плоскость Оху получается из уравнения (3), если положить в нем z = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид



Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде



т. е. L*h  представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как Lh получается «подъемом» L*h на высоту h по оси Оz (см. (20)), то и Lh представляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят от h (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мы получим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида. 

(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид .

2. Гиперболоиды.

1. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому уравнению (4) однополостного гиперболоида



Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

2. Двуполостный гиперболоид.





             





Из канонического уравнения (5) двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его центром симметрии.



3. Параболоиды.

1. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида



мы видим, что для него Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида. 

2. Гиперболический параболоид.  Из  канонического уравнения (15)  гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического пaраболоида.

Прим.: получение «карты высот» для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линии z=h пересечения гиперболического параболоида плоскостями z=h представляют собой при h>0 гиперболы



с полуосями



а при h < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

 с полуосями





Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).

Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Oxz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Oyz (Oxz).

Прим.: Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический параболоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

 1°. Конус второго порядка





Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку 

М0(х0, у0, z0) конуса (6) и начало координат О , целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М0(х0, у0, z0) лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответственно tx0 , ty0 , tz0 , где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем t2 за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют собой эллипсы с полуосями :



 2°. Эллиптический цилиндр.



Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

3. Гиперболический цилиндр.





Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

4. Параболический цилиндр.

a33 z2 + 2q´y = 0                (19)

Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.



Список литературы.

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Аналитическая геометрия»