Методы и способы решения задач

Содержание



	Задание 1

	Задание 2

	Задание 3

	Задание 4

	Задание 5

	Список использованной литературы




Задание 1

Опишите понятия «задача» и процесс решения задачи. Назовите приемы помогающие решить задачу и оцените значимость и эффективность каждого из них.



Ответ

Задача — проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, то есть то, что требуется сделать.

Процесс решения задачи:

1. Анализ содержания задачи. Цель - Понять, выделить величины, отношения, зависимости. Приемы выполнения этапа - Разбиение на смысловые части, перефразировка (разъяснение слов, замена терминов, убрать несущественные слова). Моделирование, таблица.

2. Поиск плана решения. Цель - Установить зависимость и связь между данными и искомыми. Приемы выполнения этапа: По модели.

3. Выполнение плана решения задачи. Цель - Выполнение плана. Приемы выполнения этапа: По действиям, с вопросами, с пояснением, уравнением,…

4. Проверка. Цель - Связь с условием задачи. Приемы выполнения этапа: 

Модель – это в некотором смысле копия, она может быть упрощена и позволяет лучше, полнее изучать оригинал.

Модель строят на 1-м этапе решения задачи для того, чтобы понять задачу.

Модели бывают 3-х видов: 

Вещественные (предметные): - из оригиналов (тетради, карандаши, конфеты…); - из копий, внешне похожих на оригиналы (утята, котята, огурцы…); - из фишек без сохранения сходства с оригиналами. При вещественном моделировании выполняются конкретные действия руками.

Знаковые (схема);

Графические (рисунок и чертеж). 

Методы решения задач: арифметический, алгебраический, графический, практический, логический, смешанный, табличный.

Поиск плана решения задач

Существуют 2 вида разбора задач: синтетический (рассуждения надо вести от данных задач к ее вопросу), аналитический (от вопроса задачи - к данным).

При аналитическом способе решения задачи выясняется, что нужно предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Чтобы помочь детям вести рассуждения аналитическим способом, можно использовать прием, называемый “деревом рассуждений”. Суть его состоит в том, что по ходу рассуждений строится схема, которая помогает увидеть, какие простые задачи следует выделить и каким будет план решения данной составной задачи.

Синтетический способ характеризуется тем, что основным вопросом при поиске решения задачи является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким известным в тексте задачи числовым значениям. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищется ответ на вопрос, что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос составной задачи. Иными словами, суть этого способа состоит в вычленении простой задачи из предложенной составной и решении ее.




Задание 2

Опишите технологию обучения приемам восприятия и осмысления задачи на примере следующей задачи: Составить и решить обратные задачи, решение другим способом, методом, прикидка определенного смысла составленного выражения по ходу решения.

Для ребенка купили 3 обычных и 4 общих тетрадей на сумму 75 рублей. Сколько стоит каждая тетрадь, если общая стоит в три раза дороже? 



Ответ

1. Составление обратной задачи: Обычная тетрадь стоит в три раза дешевле, чем общая. Сколько стоит каждая тетрадь, если для ребенка купили 3 обычных и 4 общих тетрадей на сумму 75 рублей.

Необходимо найти стоимость обычной и общей тетради, для этого необходимо учесть, что обычная тетрадь стоит в 3 раза дешевле, чем общая. Поэтому, если обозначим стоимость обычной тетради через х руб., то стоимость общей тетради будет равна 3х руб.

Всего было куплено 3 обычных и 4 общих тетрадей и потрачено 75 руб., то есть: 3х+4*3х=75, отсюда х=5 руб., то есть стоимость обычной тетради 5 руб., а стоимость общей тетради 3*5=15 руб.

2. Решение другим способом. Для решения другим способом следует составить систему уравнений. Обозначаем через х стоимость обычной тетради, через у – стоимость общей. Так как общая тетрадь дороже обычной, то: 3х=у.

Необходимо составить второе уравнение системы. Всего было куплено 3 обычных и 4 общих тетрадей и потрачено 75 руб., то есть: 3х+4*3х=75.

Получаем систему уравнений:





задача решение дробь


Отсюда находим, что х=5 руб., у=15 руб.



Задание 3

Опишите технологию обучения учащихся приемам поиска и составления плана решения на примере следующей задачи:

За 24 тетради уплатили 144 рубля. Сколько нужно уплатить за 15 блокнотов, если блокнот дороже тетради на 5 рублей?



Ответ

Для того чтобы найти стоимость 15 блокнотов следует найти стоимость 1 блокнота. Так как блокнот стоит дороже тетради на 5 рублей, то нужно знать стоимость тетради. План решения задачи будет выглядеть так:

Сколько стоит 1 тетрадь? Так на 24 тетрадь потратили 144 рубля, то 1 тетрадь стоит: 144:24=6 руб.

Сколько стоит 1 блокнот? Так как 1 блокнот стоит дороже тетради в 5 раз, то его стоимость: 5х6=30 руб.

Сколько стоят 15 блокнотов? Для этого необходимо стоимость 1 блокнота умножить на 15 шт.: 30х15=450 руб.



Задание 4

Опишите методику обучения решению задач различными методами и способами на примере следующей задачи: 

От двух пристаней находящихся на расстоянии 180км вышли одновременно навстречу руг другу пассажирский теплоход и катер. Они встретились через 3 часа. Какова скорость теплохода, если катер шел со скоростью 32км/час?



Ответ

Обратимся к советам из сборника под редакцией М.И. Сканави:

1) движение считается равномерным, т.е. происходящим с постоянной скоростью, если нет специальных оговорок;

2) изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

3) постоянная скорость u, с которой рассматриваемый объект двигался бы по стоячей (неподвижной) воде, называется его собственной скоростью. Если движение происходит по реке, имеющей постоянную скорость v движения воды, то реальная скорость объекта по течению реки равна u+v, а против течения она равна u-v. При составлении уравнений в задачах, связанных с движением, пользуются формулами:

 





1-й способ:

Найдем сколько км прошел катер до встречи с теплоходом, так как он шел 3 часа со скоростью 32 км/ч, то пройденный им путь составил:

32х3=66 км.

Теперь найдем сколько прошел теплоход до встречи с катером. Вместе они прошли 180 км, значит теплоход прошел:

180 – 66=114 км.

Теперь можем рассчитать скорость теплохода. Для этого расстояние, пройденное им, разделим на время пути:

114:3=48 км/ч.

2-й способ:

Составим уравнение. Нам известно расстояние пройденное совместно теплоходом и катером, скорость катера и время до встречи. Через х обозначим скорость теплохода. Путь, пройденный катером до встречи равен 32х3=66 км, поэтому:

66+3х=180,


отсюда находим х=48 км/ч.



Задание 5 

6 Вариант Задание 5. Опишите методику изучения понятия дроби, смысла дробей, обозначением дробей и методику ознакомления учащихся с практическими способами сравнения дробей.



Ответ





Всякое понятие, в том числе математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчеркивает существенные.

Формирование математических абстракций может привести к формализму в знаниях учащихся, если оперирование ими будет бессодержательно, если за каждой абстракцией ученик не увидит наглядной мысленной картины, т. е. образа. Игнорирование практической деятельности учеников с материальными или материализованными объектами, которые несут наглядное знание и формируют образы, приводит к появлению поверхностных знаний, а иногда и к отсутствию их.

Обыкновенная дробь является, по существу, первой глубокой математической абстракцией, которая встречается в школьном курсе. Пренебрежение учителем содержательной стороной изучаемых понятий, быстрый переход к формальному оперированию дробями без достаточно надежной опоры на наглядность приводят к тому, что слабые, а то и средние ученики не понимают изучаемого материала. Порой за обозначением 3/5 ученик не видит никакого образа. Для такого ученика и операции над дробями превращаются в серию непонятных процедур, последовательность которых ему приходится просто запоминать.

Формированию верного представления о понятии "обыкновенная дробь" и умению пользоваться им способствуют практические работы с материализованными объектами. Ниже приведены некоторые из материалов, по которым целесообразно проводить такую работу.

Осваивая понятие "обыкновенная дробь", ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.

На этом этапе обучения весьма полезны карточки, образцы которых показаны ниже. Карточка № 1 — это только вариант индивидуального задания. Именно индивидуального. Каждый ученик получает свою карточку, которая отличается от карточек у других ребят. Это побуждает ученика действовать самостоятельно, а не просто наблюдать манипуляции учителя с моделями, к которым чаще всего сводится "наглядность" при изучении дробей.

В карточке 1 нужно заполнить таблицу, указывая каждую часть, если это подсказывается рисунком, в виде "разных" дробей (1/2 = 3/6). Своеобразной подсказкой являются жирные линии, делящие фигуры. Выполняя предложенные упражнения, ученик осваивает понятие дроби, подмечает основное свойство, подсчитывает дополнение дроби до единицы. Уже на этом этапе он встречается в неявном виде со сложением дробей, с приведением дроби к новому знаменателю.

По карточке учащимся приходится отвечать на следующие вопросы:

Какая часть фигуры (всего в каждой карточке по 8 фигур самых разнообразных очертаний) закрашена штриховкой определенного вида?

Какая часть фигуры закрашена штриховками обоих видов? (Этот вопрос подводит учащихся к сложению дробей, например требуется сложить 6/18 и 3/18 долей фигуры Е.)

Какая часть фигуры осталась без штриховки? (Здесь фактически требуется вычесть правильную дробь из 1, например найти, какая часть фигуры С осталась без штриховки, если заштриховано ее 5/10 частей.)

Косой штриховкой закрашены 4/12 доли фигуры О, а прямой штриховкой - 2/12 доли той же фигуры. Какая штриховка занимает больше долей фигуры С? На сколько долей больше занимает в фигуре














С косая штриховка, чем прямая? (Сравнение дробей друг с другом и вычитание дробей.)

На сколько частей жирные линии делят фигуру В? Сколько в каждой из этих частей содержится 12-х долей данной фигуры?

Рассмотрите фигуру Г, выделите в ней 1/4 долю. Выразите дробь 1/4 другими дробями, руководствуясь фигурой Г.

Основное свойство дроби закрепляется по карточке № 2. Она разделена на две части, в каждой из которых демонстрируются три способа деления одного "отрезка" на равные части: на 4 части, на 8 частей и на 16 частей (на 3 части, на 6 частей и на 12 частей). Учащиеся должны записать отсутствующие числители у двух из трех равных дробей. Для этого им придется проделать следующие действия: выделить на рисунке первый отрезок, заданный одной из трех дробей (той, у которой известны и числитель и знаменатель); найти второй отрезок, равный первому (он разделен на то число частей, которое указано знаменателем другой дроби); подсчитать число частей во втором отрезке и записать его в числителе второй дроби; мысленно разделить один из отрезков на то число частей, которое указано знаменателем третьей дроби, и сообщить, сколько потребуется набрать таких частей для третьего отрезка такой же длины, что и первые два. Как видим, такой процесс побуждает учащихся самостоятельно оперировать наглядным материалом и постепенно в ходе этого оперирования вырабатывать формальное правило.

Упражнения по карточкам № 3 и 4 взаимно обратны. Они представляют новый аспект освоения понятия дроби. Выполнение предложенных упражнений сопровождается моторными действиями, которые лучше запоминаются учениками с кинестетическим (двигательным) типом мышления.

Отметим, что в карточке № 3 исходные фигуры намеренно усложнены. Таким образом обеспечивается закрепление в сознании учащихся не геометрического образа, а последовательности арифметических действий над числом, получающимся в результате подсчета равных элементов фигуры. Аналогично и в карточке Л* 4 в ответах не получается "хороший" прямоугольник. Учащимся приходится постепенно переходить от манипуляций с геометрическими объектами к арифметическим действиям. Так, если первое задание учащиеся могут выполнить чисто геометрически (приставив к фигуре, обозначающей дробь 1/2, еще точно такую же фигуру), то в случае с дробью 2/5 так поступить уже нельзя. Приходится сначала поделить данную фигуру на 2 части. В следующем задании (дробь 3/4) такое деление не удается осуществить "безболезненно", т. е. наглядным образом. Приходится начинать с подсчета числа равных квадратиков данной фигуры.

Для усвоения способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби ученикам вновь предлагается задание по наглядному материалу, т. е. по карточкам № 5 и б. Выполняя эти задания, ребята обращаются к рисункам. При этом они отчетливо осознают суть операций нахождения дроби от числа и числа по его дроби, поскольку с этими операциями связываются наглядные картины — образы. Важно лишь в заданиях предложить ученикам достаточное количество образных вариаций, не одну-две, как часто бывает на уроках, а пять-шесть. На индивидуальной карточке такие задания предъявить легко, поскольку ученик работает один, не снижал темп изучения материала всем классом. Конечно, практика оперирования дробями не должна ограничиваться приведенными упражнениями с наглядным материалом. Учитель должен использовать и обычные задания из учебных пособий. Делать это он может дифференцированно, задерживал одних на карточках и стимулируя других более сложными упражнениями.
















При изучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможность поработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей. В данном случае используются задания, схожие с теми, что приведены в карточке № 7. Здесь тонкие линии помогают понять, каким будет наименьший общий знаменатель и что он наглядно означает. Подсказывается и то, какой будет дробь, приведенная к новому знаменателю. Попрактиковавшись в выполнении таких упражнений, ученик сможет наглядно оценивать результат сложения двух дробей, делая необходимые прикидки. Для слабого ученика такая работа полна смысла: опираясь на нее, можно вводить алгоритм сложения дробей с разными знаменателями, который теперь не будет представляться ребенку непонятной процедурой. Параллельно со сложением на наглядном уровне изучается и операция вычитания дробей. По карточке № 7 целесообразно предложить школьникам найти разность дробей:

Почти традиционно правило умножения обыкновенных дробей объясняют на примере нахождения площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются данными дробями. Получив с одного примера "заветное" правило, начинают эксплуатировать его, находя произведения дробей. Поспешность и формализм проявляются затем на качестве знаний.

Для того чтобы ученик осознал правило умножения дробей, связал его с наглядным образом, полезно предложить ему следующие упражнения:












На карточке N 8 единичные квадраты разбиты на равные прямоугольники. Найдите, какую часть от единичного составляет маленький прямоугольник. Найдите, какую часть от единичного квадрата А (Д С, Д Е, Р) составляет прямоугольник, выделенный жирной линией.

Найдите, какую часть прямоугольника, выделенного в каждой из фигур А, В, С, Д Е, Р, составляет маленький прямоугольник.

По рисункам А, В, С, Д Е, Р из карточки объясните смысл умножения дробей, записанных под каждой из фигур.

Внимание учеников следует обратить на то, что в квадрате Е жирными линиями выделены прямоугольники, содержащие по три маленьких прямоугольника. Таких прямоугольников в квадрате Е 14, а в заштрихованной фигуре — 5. Дробь ут, которая 3 5 является значением произведения у ' и > получилась 15 из дроби после сокращения на 3, о чем говорит целое число прямоугольников 3х 1, выделенных жирными линиями.

Для слабых и средних учеников окажутся полезными упражнения на запись в виде неправильной дроби числа, имеющего целую и дробную части, упражнения на деление дроби на целое число.

Таким образом, приведенные карточки позволяют при изучении математики обращаться к природе вещей, находить возможность включения ребенка в практическую деятельность, в процессе которой у него формируются образы, помогающие осваивать изучаемые абстракции.




Список использованной литературы



Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. // Математика в школе. -- №5, 2003.

Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определение в школьном курсе математики и методика работы над ними. // Математика в школе. - №4, 2004.

Волович М.Б. Обыкновенные дроби. Проценты. /Пособие для учителя, ученика и его родителей. - М.: Аквариум, 2007.

Котов А.Я. Вечера занимательной математики. Пособие для учителей. - М: Просвещение, 2000

Ситникова Т.В. Приемы активизации учащихся 5-6 классов, //Математика в школе, №2, 2003, с.24