Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов

Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов



Содержание:



	Введение

1. Спектральный анализ и спектральный синтез  периодических сигналов 

	1.1 Синтез периодических сигналов

	1.2 Анализ периодических сигналов

	2.Численные методы  расчетов спектральных и временных характеристик   периодических сигналов 

	2.1  Численные методы  расчетов временных характеристик

	2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик

	Выводы

	Литература



Введение:



Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие .

Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:

                  

где f(t)-функция, раскладываемая в ряд, , а   -  частота следования импульсов.



Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями:

       (1)

где =1,2,3…M

соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4)

Здесь А - постоянная составляющая , An  и  Bn  - амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник,

n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду:

                   (2)

Здесь -постоянная составляющая, -амплитуда n-ой гармоники,-фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов. 



1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов



1.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:



Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: Cn – амплитуда,- частота,

начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,…,M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной области U(t)

 Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.



1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:



Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) . Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных Cn=f(w) и  фазочастотных  =f(w)  характеристик. 

      Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала. 



2.Численные методы  расчетов спектральных и временных  характеристик   периодических сигналов



Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем  численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу

Дан сигнал:





Дана таблица параметров данного сигнала



U, mv

M

  t0,mks

T,mks

r

2.8

10

459

1499

2



U(t) – функция времени, описывающая сигнал;

M – число учитываемых гармоник;

U- амплитуда;

T - текущее время;

t0 – время задержки сигнала;

T – период частоты повторения первой гармоники;

r – постоянный коэффициент



2.1  ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.

 Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД<T/(к * M),где k=5(т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов)

Интервал времени Тс равен Tmax и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98



M=10

K=5

t0=459

U0=2,8

T=1499



Исходя из полученных данных, строим таблицу

t

u(1)

u(2)

u(3)

u(4)

u(5)

u(6)

u(7)

u(8)

u(9)

u(10)

SUM

0

0,965808

0,812595

0,549919

0,250406

-0,00868

-0,17017

-0,21345

-0,15715

-0,0481

0,058467

2,039651

29,98

0,62897

0,586654

0,507145

0,399954

0,277617

0,15392

0,041996

-0,04743

-0,10736

-0,13529

2,306171

59,96

0,282224

0,278401

0,270848

0,259749

0,245373

0,228066

0,208243

0,186371

0,162963

0,138557

2,260794

89,94

-0,06897

-0,06891

-0,0688

-0,06863

-0,06841

-0,06814

-0,0678

-0,06742

-0,06698

-0,06649

-0,68055

119,92

-0,41908

-0,40656

-0,3822

-0,3473

-0,3037

-0,25369

-0,19984

-0,14483

-0,09131

-0,04174

-2,59023

149,9

-0,76258

-0,68716

-0,54975

-0,37435

-0,19052

-0,02729

0,092569

0,156662

0,164662

0,127265

-2,0505

179,88

-1,09407

-0,87135

-0,50752

-0,1302

0,141263

0,24343

0,188368

0,04829

-0,08485

-0,1436

-2,21024

209,86

-1,40832

-0,93328

-0,27163

0,208272

0,310962

0,118853

-0,11591

-0,18642

-0,07389

0,081852

-2,26951

239,84

-1,70039

-0,86427

0,067917

0,395863

0,123862

-0,19872

-0,174

0,066585

0,163896

0,024397

-2,09487

269,82

-1,96566

-0,674

0,381545

0,296665

-0,20536

-0,1936

0,137477

0,145388

-0,10145

-0,11738

-2,29638

299,8

-2,19997

-0,38916

0,549579

-0,01746

-0,29895

0,125904

0,156966

-0,15618

-0,05536

0,146543

-2,13808

329,78

-2,39962

-0,04971

0,507898

-0,31893

-0,04953

0,240959

-0,15693

-0,04915

0,160677

-0,09603

-2,21036

359,76

-2,56146

0,296704

0,272408

-0,38935

0,256724

-0,03527

-0,13752

0,186463

-0,11654

-0,0067

-2,23455

389,74

-2,68295

0,601491

-0,06703

-0,1777

0,268408

-0,25422

0,173972

-0,06575

-0,036

0,105786

-2,13401

419,72

-2,76217

0,821886

-0,38089

0,162689

-0,02788

-0,06035

0,115958

-0,14595

0,155054

-0,14735

-2,26901

449,7

-2,79788

0,926965

-0,54941

0,385215

-0,29218

0,231523

-0,18834

0,155685

-0,12988

0,108799

-2,14949

479,68

-2,7895

0,901985

-0,50827

0,328667

-0,22123

0,147439

-0,09262

0,05001

-0,01611

-0,01109

-2,21071

509,66

-2,73717

0,75045

-0,27319

0,034011

0,10356

-0,17607

0,19982

-0,1865

0,14711

-0,09265

-2,23063

539,64

-2,64173

0,493623

0,066146

-0,28528

0,309524

-0,21366

0,067854

0,064915

-0,14127

0,146013

-2,13387

569,62

-2,50466

0,167537

0,380238

-0,3979

0,160339

0,095698

-0,20823

0,1465

0,004029

-0,11999

-2,27643

599,6

-2,32813

-0,18206

0,549234

-0,22225

-0,17282

0,24966

-0,04205

-0,15519

0,136964

0,028721

-2,13792

629,58

-2,11493

-0,5061

0,508647

0,11441

-0,30768

-0,00179

0,21344

-0,05087

-0,15056

0,078161

-2,21727

659,56

-1,8684

-0,75914

0,273965

0,368187

-0,08951

-0,25033

0,015597

0,186538

0,024105

-0,14254

-2,24154

689,54

-1,59244

-0,90567

-0,06526

0,355225

0,231368

-0,09237

-0,21537

-0,06408

0,124769

0,129424

-2,0944

719,52

-1,29139

-0,92513

-0,37958

0,084915

0,286774

0,21559

0,011093

-0,14705

-0,15759

-0,04593

-2,34829

749,5

-0,96999

-0,81478

-0,54906

-0,24691

0,013135

0,173461

0,213998

0,154694

0,04382

-0,06253

-2,04417

779,48

-0,63332

-0,59012

-0,50902

-0,39986

-0,27558

-0,15034

-0,03761

0,051727

0,110706

0,136999

-2,29641

809,46

-0,28666

-0,28265

-0,27474

-0,26312

-0,24809

-0,23001

-0,20934

-0,18657

-0,16226

-0,13698

-2,28042

839,44

0,064511

0,064465

0,064374

0,064237

0,064055

0,063828

0,063556

0,06324

0,06288

0,062476

0,637623

869,42

0,414666

0,40254

0,378926

0,345061

0,302703

0,25402

0,20146

0,147599

0,094986

0,045993

2,587955

899,4

0,758288

0,684135

0,548883

0,3759

0,194028

0,031719

-0,08852

-0,15419

-0,1645

-0,12945

2,056285

929,38

1,089963

0,869742

0,509391

0,134413

-0,13728

-0,24209

-0,19049

-0,05258

0,080998

0,142529

2,204598

959,36

1,404466

0,933319

0,275519

-0,20445

-0,31107

-0,12278

0,11213

0,186595

0,077844

-0,07811

2,273469

989,34

1,696843

0,865945

-0,06349

-0,3952

-0,12794

0,195908

0,176594

-0,0624

-0,16428

-0,02878

2,093202

1019,32

1,962486

0,677074

-0,37827

-0,29964

0,201987

0,196467

-0,13401

-0,14814

0,097904

0,120023

2,295876

1049,3

2,197212

0,393204

-0,54871

0,013

0,300154

-0,12201

-0,15999

0,153688

0,059538

-0,146

2,140091

1079,28

2,39732

0,054166

-0,50976

0,31622

0,053923

-0,24236

0,153841

0,053438

-0,1616

0,0926

2,20779

1109,26

2,55966

-0,29247

-0,2763

0,390349

-0,25418

0,030848

0,14092

-0,18662

0,113344

0,011153

2,236711

1139,24

2,681674

-0,59807

0,062602

0,181684

-0,27063

0,253962

-0,17131

0,061559

0,04034

-0,10884

2,132964

1169,22

2,761439

-0,81976

0,377611

-0,1586

0,023437

0,064677

-0,11969

0,148684

-0,1565

0,147351

2,268639

1199,2

2,797698

-0,92643

0,548527

-0,38399

0,290617

-0,22963

0,186138

-0,15318

0,127089

-0,10574

2,151087

1229,18

2,78988

-0,90312

0,510129

-0,33119

0,224342

-0,15105

0,096623

-0,05429

0,020539

0,006639

2,2085

1259,16

2,738109

-0,75309

0,277071

-0,03845

-0,09934

0,172818

-0,19811

0,186636

-0,14906

0,096074

2,232645

1289,14

2,6432

-0,4974

-0,06172

0,282141

-0,30904

0,216055

-0,07207

-0,06072

0,138931

-0,14655

2,132831

1319,12

2,506649

-0,17192

-0,37695

0,398333

-0,16414

-0,09155

0,207044

-0,14922

0,00043

0,117343

2,276008

1349,1

2,330606

0,177679

-0,54835

0,225947

0,169094

-0,25049

0,046413

0,152669

-0,13939

-0,02433

2,139844

1379,08

2,117845

0,502351

-0,5105

-0,11013

0,308313

-0,00267

-0,2128

0,055145

0,148694

-0,0819

2,214352

1409,06

1,871719

0,75654

-0,27785

-0,36642

0,093773

0,249488

-0,02004

-0,18665

-0,01969

0,143611

2,244486

1439,04

1,596104

0,904582

0,060829

-0,35725

-0,22836

0,09651

0,21528

0,059872

-0,12763

-0,12723

2,092694

1469,02

1,295343

0,925705

0,376292

-0,08927

-0,28847

-0,21319

-0,00664

0,149756

0,156231

0,041675

2,347436

1499

0,974174

0,816945

0,548165

0,24339

-0,01759

-0,1767

-0,21446

-0,15215

-0,03951

0,066542

2,048811



После расчета строим временную диаграмму сигнала



2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье (2). Коэффициенты ряда Аn и Bn определяются по формулам (1) .  Для того чтобы вычислить An и Bn  преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию U(t) представим как дискретную (t1) , где tI=i*TД (ТД – интервал дискретизации).

Представим непрерывную  функцию U(t) как дискретную, сделав замену  t    i * ТД  и  di       ТД, преобразуем выражения An ,Bn и запишем ряд Фурье в окончательном виде:





            ( 5)





где k=T/ТД – число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации ТД выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице



i

Wn

U(ti)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

0

0

2,03965

0,81586

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

4189,46

-2,1380

-0,0394

-0,0374

-0,0232

0,0230

0,03747

0,00013

-0,0374

-0,0233

0,0229

0,0375

0,00025

2

8378,92

-2,1379

-0,89454

-0,52672

0,851458

-0,8496

0,522101

0,005699

-0,53131

0,85318

-0,84789

0,51746

0,011397

3

12568,4

2,05628

-0,07202

0,042223

-0,06841

0,06862

-0,04278

0,000688

0,04166

-0,06819

0,06883

-0,04333

0,001376

4

16757,8

2,15108

0,788411

-0,75044

-0,46016

0,46827

0,747301

-0,01005

-0,75346

-0,45197

0,47632

0,74403

-0,02009

5

20947,3

2,04881

1,607935

-0,00512

-0,01024

-0,0153

-0,02049

-0,02561

-0,03073

-0,03585

-0,04097

-0,04609

-0,05121



i

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

-0,0122

0,03182

0,0319

-0,0121

-0,0394

-0,0123

0,03175

0,03197

-0,012

-0,0394

2

0,723026

-0,27426

-0,27968

0,726367

-0,89452

0,719656

-0,26883

-0,28508

0,729678

-0,89447

3

0,058349

-0,02252

-0,02186

0,057943

-0,07202

0,05875

-0,02317

-0,02121

0,057532

-0,07201

4

0,241721

-0,64019

-0,63428

0,251263

0,788347

0,23214

-0,646

-0,62826

0,260763

0,788155

5

1,607927

1,607903

1,607862

1,607805

1,607732

1,607642

1,607536

1,607413

1,607275

1,60712



An

Bn

Cn

Fn

-1,27749

2,618833

2,913808

1,116948

0,28946

0,702756

0,760035

-1,18008

-0,30507

0,70394

0,767204

1,161849

1,243611

2,631307

2,910385

-1,12929

-0,02914

1,390168

1,390474

1,549838

-1,31124

2,605878

2,91718

1,104605

0,273895

0,701282

0,752871

-1,19845

-0,32073

0,704832

0,774375

1,143753

1,209595

2,643297

2,906912

-1,14163

-0,05827

1,389429

1,390651

1,528881



Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ 

  

ВЫВОДЫ:



Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем:

1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым (дискретным)   спектром.

2 Спектральные линии в периодических сигналах  находятся на одинаковом расстоянии  друг от друга, то есть частоты  гармоник находятся в простых кратных отношениях.



Использование рядов Фурье, при расчете спектральных и временных характеристик  периодических сигналов, имеет следующие преимущества:

1 Простое математическое описание

2 Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое       колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание.  

3 Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность

4 Техника генерирования гармонических функций достаточна проста.





ЛИТЕРАТУРА:



С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988

И.С.Гоноровский-“ Радиотехнические цепи и сигналы”- М.:Р. и С.,1986

1