Решение задач по высшей математике

Размещено на http://www.

Размещено на http://www.































КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение задач по высшей математике


Задача 1



Вычислить определители: 



; 

.



Решение



,





Задача 2



Вычислить определитель: 



.


Решение



Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца 



.



Задача 3



Найти матрицу, обратную к матрице .







Решение



Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :



; 	

;

;	

;

;

;

; 

; 

; 

.



Ответ: Обратная матрица имеет вид:



.



Задача 4



С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы



.


Решение



Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим



.



Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем





 .



Ответ: Ранг матрицы равен двум.



Задача 5



Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

;



Решение



Вычислим главный определитель системы  и вспомогательные определители , ,.



.

;

;

.



По формуле Крамера, получим



;

; .

Задача 6



Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.







Решение



Матрица  и  имеют вид



,

.



Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему 







Считая  и  известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

;	 ,



где ,  - могут принимать произвольные значения. Пусть  , где  Тогда ответом будет служить множество



 





Задача 7



Даны начало  и конец  вектора . Найти вектор  и его длину.



Решение



Имеем , откуда  или . 

Далее , т.е. .



Задача 8



Даны вершины треугольника ,  и . Найти с точность до  угол  при вершине .


Решение



Задача сводится к нахождению угла между векторами  и : 



, ; . Тогда , .



Задача 9



Даны вершины треугольника ,  и . Вычислить площадь этого треугольника.



Решение



Так как площадь треугольника  равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы  и : 



; ; .



Вычислим их векторное произведение:



,

,



Откуда



. Следовательно,  (кв. ед.). 



Задача 10



Даны вершины треугольной пирамиды , ,  и . Найти ее объем.



Решение



Имеем ,  и . Найдем векторное произведение



,

.



Этот вектор скалярно умножим на вектор :



.



Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:



.



Следовательно, объем:



,  (куб. ед.).



Задача 11



Составить уравнение прямой, проходящей через точки  и . 



Решение



За первую вершину примем  (на результат это не влияет); следовательно,



,

, 

,

.



Имеем 



, , ,



Ответ:  - общее уравнение искомой прямой.

Задача 12



Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно и перпендикулярно прямой . 



Решение



Найдем угловой коэффициент данной прямой: . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен , а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых: 

1) параллельной: ,  - общее уравнение прямой, параллельной данной;

2) перпендикулярной: ,  - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.



Задача 13



Найти расстояние между двумя параллельными прямыми   и  .



Решение



Выберем на одной из данных прямых точку . Пусть . Для определения координат точки  на прямой  одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём ; тогда ,  и . По формуле расстояния от точки до прямой находим:



; .



Задача 14



Исследовать на абсолютную и условную сходимость



.



Решение



Проверим выполнение условий теоремы Лейбница 



а) 

б) 



(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Имеем: 





Тогда по признаку Даламбера:



, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд  сходится абсолютно. 



а) 

б) ,



следовательно ряд  - сходится.



2) Пусть . Тогда . Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом . Имеем 



.



Таким образом, ряд  - расходится.

Ответ

Область сходимости ряда  есть интервал .



Задача 15



Вычислить предел .



Решение



Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной , т.е. на :



, 

так как  при .



Задача 16



Вычислить придел 


Решение



Так как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители



, где  - его корни. 



Тогда



.



Задача 17



Вычислить предел .



Решение



Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

.



Задача 18



Вычислить предел .



Решение



Легко убедиться, что  и  при .



Поэтому



.



Задача 19



Вычислить предел 

Решение



Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим 

.



Задача 20



Найти предел .



Решение



.



Задача 21

Продифференцировать функцию .



Решение



.



Задача 22



Вычислить при помощи дифференциала .


Решение



Пусть . Тогда . Обозначим: ; . Отсюда . Находим  и .

.

Итак, .



Задача 23



Найти .



Решение



Подстановка в заданную функцию значения  приводит к неопределенности вида . Применив правило Лопиталя, получим: 



.



Задача 24



Исследовать на экстремум функцию



.

Решение



1. Находим область определения функции:.

2. Находим производную функции: .

3. Находим критические точки, решая уравнение  или . Критические точки , .

4. Область определения функции разбиваем критическими точками  и  на интервалы, в каждом из которых определяем знак , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.

















+

0

—

0

+



Возрастает

Max

убывает

Min

Возрастает



При переходе через критическую точку  производная  меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум: 



.



Аналогично устанавливаем, что 



.


Задача 25



Найти наибольшее и наименьшее значения функции



 на отрезке .



Решение



1. Находим критические точки заданной функции:



; ; .



2. Убеждаемся в том, что точка  принадлежит отрезку.

3. Вычисляем: ; ;.

4. Сравниваем числа ; ;  и находим:

; .



Задача 26



Найти общее решение уравнения



.


Решение



Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде , тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получим



 или .	(1)



Задача 27



Исследовать функцию .



Решение



1. Функция определена и непрерывна на интервале . Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.

2. Функция нечетная, поскольку . Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.

3. Положив , получим , т.е. кривая проходит через начало координат.

4. Функция не периодична.

5. Находим первую производную . Производная  для всех . Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.

6. Находим вторую производную  и приравниваем её к нулю: . Точка  будет критической точкой. Точкой  разбиваем область определения функции на интервалы  и , являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.













—



+



выпуклая



вогнутая

Поскольку при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка  будет точкой перегиба искомой кривой.

7. Выясним наличие наклонных асимптот:



;

;

; .



Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые: 



 и .



Задача 28



Найти частные производные функции 

.



Решение



; ; .



Задача 29



Найти производную функции  в точке  в направлении вектора .



Решение



; ; ; ; ; ; .



Задача 30



Даны функция  и точки  и . Вычислить:

точное значение  функции в точке ;

приближенное значение  функции в точке, исходя из её значения в точке , заменив приращение  при переходе от точки  к точке  дифференциалом ; 

относительную погрешность, возникающую при замене  на .



Решение



По условию , , , . Поэтому , . Находим точное значение функции в точке :

.



Находим приближенное значение :



;

; .



Вычисляем относительную погрешность:



.



Задача 31



Найти экстремумы функции



.


Решение



Находим критические точки:



; ;

				



откуда  и  - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий



;

; 

;

;

. Поэтому экстремума в точке  функция не имеет. 

, . Поэтому функция в точке  имеет минимум: .


Задача 32



Вычислить неопределенный интеграл 



.



Решение



Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:



.



Задача 33



Вычислить неопределенный интеграл



.



Решение



Принимая в подынтегральном выражении , , получим , . Поэтому 



.

Проверка. .



Задача 34



Вычислить неопределенный интеграл



.



Решение



Сделав замену переменной







Получим





.



Задача 35



Вычислить .

Решение



Полагаем , ; тогда , .



Интегрируя по частям, находим



.



Задача 36



Вычислить



.



Решение



Положим . Подстановка значений  и  в уравнение дает  и . Таким образом, 





.


Задача 37



Найти .



Решение



По определению 

.



Задача 40



Найти общее решение уравнения .



Решение



Так как



,



то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении , получим уравнение  или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим 

, 

.



Проинтегрировав последнее уравнение, найдем 

 или 	.



Подставив , общее решение исходного уравнения запишем в виде , а после преобразования .



Задача 38



Найти область сходимости степенного ряда 



.



Решение



Составим ряд из абсолютных величин 



,



По признаку Даламбера имеем: 

, 



следовательно , , , и на интервале  ряд сходится.

Проверим его сходимость на концах интервала:

1) Пусть . Тогда  - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:



Задача 14



Вычислить  с точностью до .



Решение



Разложив в ряд  и поделив почленно на , получим:







.

Выбираем функцию  такой, чтобы .

Тогда .

Интегрируем и находим  или .

Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение 



, 	,	 ;	 .



Следовательно,  - общее решение заданного уравнения.



Задача 42



Найти общее решение дифференциального уравнения: 



.



Решение



Составим характеристическое уравнение 



. Так как  и , то общим решением будет 



.



Частное решение неоднородного уравнения  подбирается в зависимости от вида функции .

	Пусть , , представляет собой многочлен степени  с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:



,

где  - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а  - число корней характеристического уравнения, равных нулю.



Задача 43



Найти общее решение уравнения .



Решение



Ищем общее решение в виде , где  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - частное решение неоднородного уравнения. Так как  - многочлен первой степени  и один корень характеристического уравнения  , то частное решение надо искать в виде 



.



Подберем коэффициенты  и  так, чтобы решение  удовлетворяло данному уравнению 


,

,

.



Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим





Следовательно, , а  - искомое общее решение.

Пусть . Тогда частное решение неоднородного уравнения , где  - число корней характеристического уравнения, равных .



Задача 44



Найти общее решение уравнения .



Решение



Ищем решение в виде . Решим однородное уравнение . Корни характеристического уравнения  равны и . Следовательно, . Частное решение ищем в виде  (так как , ). Найдем , а . Подставляя ,  и  в исходное уравнение, получим 



,

, , .

Значит, - частное решение, а  - общее решение.

	Правая часть , где , ,  - заданные действительные числа. В этом случае частное решение ищется в виде 



, 

где:  и - неизвестные коэффициенты;

	 - число корней характеристического уравнения, равных . 

	

Задача 45



Найти общее решение уравнения .



Решение



Ищем общее решение в виде . Имеем:

, , , ,

значит, . Функция , поэтому  не совпадает с корнями характеристического уравнения . Следовательно, 



,



.



Подставив ,  и  в данное уравнение, получим 



.



Приравняв коэффициенты при  и , найдем







Значит,  - частное решение, а 

 - общее решение уравнения.



Задача 46



Исследовать сходимость ряда .


Решение



Найдем :



,

следовательно, исходя из необходимого признака, ряд расходится.



Задача 47



Исследовать сходимость ряда







Решение



Применим признак Даламбера: 



, 

,

,



следовательно, ряд сходится.


Задача 48



Исследовать на сходимость ряда



.



Решение



Сравним данный ряд с рядом : 



.

матрица задача алгебраическая ряд уравнение

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково. Ряд   расходится , следовательно, и данный ряд  тоже расходится.

Размещено на http://www.