Волны, фотоны, кванты

Волны, фотоны, кванты

Ультрафиолетовая катастрофа. 

В конце прошлого столетия у естествоиспытателей начало складываться впечатление, что изучение фундаментальных закономерностей, лежащих в основе научной картины мира, близко к завершению. Это мнение основывалось на несомненных успехах классического естествознания, “подправленного” релятивистской теорией. Учет последней хотя и приводил к несколько неожиданным результатам, но не затрагивал укоренившегося представления о том любая реально существующая система может быть в принципе рассчитана с любой точностью и ее развитие во времени может быть исчерпывающим образом прогнозировано. Вне всякого сомнения, представители точных наук конца 19 века были далеки от попыток рассчитать поведение кошки на основе классической механики и электродинамики, но склонялись к мысли, что трудности подобного расчета носят чисто технический характер.

На рубеже 19 и 20 веков в физике был сделан ряд открытий, в конечном итоге приведших к коренному пересмотру основных мировоззренческих принципов, лежащих в основе естествознания:

Открытие явления радиоактивности (превращения атомов различных элементов друг в друга) показало ошибочность представлений об атоме как о неделимом “кирпичике” вещества. Наиболее важным для последующего развития науки был не столько сам факт обнаружения нового явления (наличие сложной структуры атома и его частей не противоречило принципиальным установкам классического естествознания), сколько возникновение в результате подобных реакций “побочных продуктов” - различных частиц с высокой энергией, которые удалось использовать в качестве весьма тонкого инструмента для исследований микроструктуры вещества.

Опыты Резерфорда по рассеянию альфа - частиц в тонких пленках вещества (в фольге) показали, что основная масса атома, вопреки модели Томсона, не “размазана” по его объему, а сосредоточена в компактном положительно заряженном теле - ядре. Для объяснения гораздо больших по сравнению с ядром размеров атомов (результаты оценок по плотности конденсированного вещества) пришлось предположить, что их электроны “вынесены на периферию”. Простейшим объяснением причин, удерживающих электрон от падения на положительное ядро, было предположение об их движении в рамках предложенной Резерфордом планетарной модели атома.

Последовательное описание в рамках классической теории процессов взаимодействия света с веществом приводило к абсурдному выводу, противоречащему реальным ненаблюдаемым эффектам, о неизбежном перетекании всей энергии от вещества к электромагнитному полю, который получил название ультрафиолетовой катастрофы.. Этот результат возникал как вследствие электродинамического рассмотрения уединенного атома Резерфорда (вращающийся вокруг ядра электрон, как любой ускоренно движущийся заряд, должен излучать энергию в виде электромагнитных волн, что должно приводить к его падению на ядро через с после начала движения), так и в результате термодинамического рассмотрения условия равновесия обладающего конечным числом степеней свободы вещества с излучением, число степеней свободы которого бесконечно (принцип возрастания энтропии требует перетекания энергии из более сосредоточенного ее состояния в веществе к менее упорядоченное состояние, соответствующее равновероятному распределению по своему бесконечному набору степеней свободы системы “вещество + электромагнитное поле”). Получение одинакового неверного результата в рамках двух различных классических теорий заставляло усомниться в правильности основополагающих принципов, заложенных в из основе.

Опыты показывали, что излучение слабо взаимодействующих друг с другом атомов (газоразрядная плазма) происходит лишь на определенных дискретных частотах. В простейшем случае атомов водорода наблюдаемые частоты подчинялись очень простой, но никак не объясняемой классической физикой эмпирической закономерности:

,

где M и N - любые целые числа.

Опыты по фотоэффекту (явлению выбивания светом электронов с поверхности проводника) указывали, что свет может вести себя подобно частицам и пропорциональной частоте излучения энергией, количество которых пропорционально его интенсивности.

Теплоемкость “идеального газа электронов” в проводящих кристаллах оказывалась исчезающе малой (при нагревании тел входящие в его состав электроны не поглощали энергии на увеличение скоростей хаотического движения, оставаясь “вмороженными”).

Периодическая зависимость химических свойств элементов от зарядов ядер их атомов не могла быть удовлетворительно объяснена классической физикой.

Детерминированность фундаментальных законов классической физики явно противоречила низкой предсказуемости поведения биологических объектов.

Т.о. на рубеже веков накопилось большое количество на первый взгляд разрозненных экспериментальных результатов, не укладывающихся в рамки представлений классической физики. Постепенно возникло понимание того, что причина кроется не в ошибочности отдельных теорий, а в неполноте основополагающих принципов классического естествознания. 

Кванты.

 Первый шаг на пути к преодолению возникших проблем был сделан Максом Планком на основе детального анализа условий термодинамического равновесия излучения и модельного вещества, представляющего собой ансамбль классических атомов Томсона, имеющих всевозможные резонансные частоты. Выбор простой модели позволил до конца провести все расчеты в аналитическом виде, что существенно облегчило анализ принципиальных ошибок классического описания. Планк установил, что проблема ультрафиолетовой катастрофы может быть снята, если предположить, что энергия совершающих гармонические колебания электронов может принимать не непрерывный, а дискретный набор значений (рис.19_1):

(2) ,

где  - частота собственных колебаний квазиупругого электрона, n=0, 1, 2, 3, ...- целое число (“номер энергетического уровня”), а константа пропорциональности  получила название постоянной Планка. При этом обмен энергией между атомом Томсона и излучением оказывается возможным лишь дискретными порциями - квантами, величина которых определяется разностью энергий уровней:

(3)  .

Дискретный характер обмена энергией атомов с полем “исключал из игры” огромное число степеней свободы последнего и устранял неизбежное перетекание к ним всей энергии вещества.

Полученное на основе гипотезы (2) выражение для распределения по частотам энергии теплового равновесного излучения “спектр излучения абсолютно черного тела” (рис. 19_2):

(4) 

находится в прекрасным согласии с результатами измерений спектров, излучаемых нагретым плотным веществом (раскаленные твердые тела, поверхности звезд и т.д.). В настоящее время формула (4) широко используется для определения температур поверхностей самосветящихся разогретых тел.

Квантовая гипотеза Планка хорошо согласуется с законами фотоэффекта.

Предложенная Планком модель с современной точки зрения обладала множеством недостатков, поскольку использовала множество допущений, характерных для классической теории: электромагнитное поле в ней рассматривалось классически, на основе уравнений Максвелла; предполагалось, что распределение атомов по энергиям подчиняется классической статистике Больцмана; наконец сама формула (2) для энергия осциллятора впоследствии оказалась неточной. Несмотря на этом успех гипотезы Планка был предопределен введением ключевого понятия - кванта, дальнейшее развитие которого привело к созданию современной картины естествознания.

Фотоны. 

Рассмотрение электромагнитного поля даже в рамках классической теории позволяет приписать ему “традиционные” для частиц характеристики: энергию и импульс. Квантованный характер обмена энергией между веществом и полем и открытые законы фотоэффекта делали весьма соблазнительной идею рассмотрения поля как совокупности частиц фотонов, рождающихся и гибнущих при излучении и поглощении света соответственно. Поскольку скорость распространения электромагнитного поля в вакууме совпадает с предельным значением с, фотон является ультрарелятивистской частицей с равной нулю массой покоя: в противном случае импульс фотона был бы бесконечно большим, и процедура загорания на пляже не доставляла бы нам ни малейшего удовольствия:

(5) .

Релятивистское соотношение между энергией и импульсом

(6) , 

получающееся в результате скалярного умножения четырехвектора энергии-импульса (12_9) на себя, приводит к следующему выражению, связывающему импульс фотона с его частотой:

(7)  .

Наличие импульса у фотона позволило изящно и количественно правильно описать явление светового давления как простое следствие закона сохранения импульса при поглощении света веществом.

Концепция фотонов (корпускулярная модель) привела к большим трудностям при интерпретации экспериментов по интерференции и дифракции, доказывающих волновую природу света.

Корпускулярно-волновой дуализм. Весьма распространено мнение о том, что корпускулярные и волновые свойства света не могут проявляться одновременно: в опытах по интерференции свет ведет себя как волны, а при взаимодействии с веществом - как частицы. О такой “взаимоисключающей двойственности” принято говорить как о корпускулярно - волновом дуализме. 

Отношение к этой проблеме сильно зависит от того, какой смысл вкладывается в понятия “волна” и “частица”. Например, если называть волной любой объект, описываемый гармонической функцией типа (16_3), а частицей - соответственно объект, описываемый дельта-функцией, то всякий объект природы, допускающий описание при помощи математических функций может рассматриваться либо как совокупность волн, либо -частиц в зависимости от желания. Поскольку помимо указанных существует множество других ортогональных наборы функций, с точки зрения математики последовательный подход требует признания не двойственности, а бесконечной множественности природы как микроскопических, так и макроскопических объектов.

Традиционная же для физике проблема состоит в попытке разрешить дилемму о том, идентично ли поведение света потоку подчиняющихся механике Ньютона “небольших шариков” - корпускул или оно подобно поведению волн на поверхности воды или звуковых колебаний в воздухе. При этом вопросы о том, почему свет обязан быть похожим на привычные нам объекты макромира и почему привычные для нас законы поведения классических частиц и волн не требуют объяснения не задаются. 

Что же касается возможности опыта, в котором одновременно проявлялись бы и волновые и корпускулярные свойства света, то для его осуществления достаточно в классическом опыте Юнга уменьшить интенсивность источника света (например, до уровня излучения одного фотона в минуту), а для регистрации интерференционной картины использовать пластинку с фотоэмульсией (химическим соединением, зерна которого разрушаются при воздействии света). При такой постановке опыта видно, что каждый фотон на пластинке оставляет зачерненную точку, то есть подобно частице локализован в пространстве. Однако положение засвеченных точек на фотопластинке совершенно не соответствует классическим представлениям о поведении ньютоновских частиц: по мере накопления их количества на пластинке появляется характерная для классических волн интерференционная картина.

Принципиальное отличие в поведении фотонов от классических частиц состоит в том, что при наличии интерференции света (оба отверстия в промежуточном экране открыты) наблюдаемая на фотопластинке картина не является суммой картин, возникающих при поочередном открывании отверстий (рис. 19_3). Т.о. утверждение о том, что при наличии интерференции каждый из фотонов пролетает либо через отверстие |1>, либо через отверстие |2> промежуточного экрана не является верным, поскольку принципиально невозможно зарегистрировать прохождение фотона через одну из щелей, не поглотив его. Поглощение же фотона у одной из щелей промежуточного экрана просто означает ее закрытие, что неминуемо приводит к исчезновению интерференционной картины.

По современным представлениям на вопрос о том, в какую точку фотопластинки |x> попадет излученный источником фотон, теория в принципе не может дать ответа, позволяя лишь рассчитывать только вероятность попадания частицы в рассматриваемую точку. Эта вероятность оказывается пропорциональной классическому значению интенсивности света (квадрату модуля электрического поля), вычисляемому обычными методами решения задач интерференции:

(8) .

Энергия, переносимая интерферирующими световыми пучками равна произведению энергии одного фотона (3) и числа фотонов, попадающих в рассматриваемую точку (разумеется пропорционального вероятности P(x) ). Таким образом снимается “противоречие” между классическим и планковским выражениями для энергии электромагнитного поля.

Значение фотонной модели. Предложенная А.Эйнштейном модель фотонов (“частиц, летящих без траекторий”) завоевала большую популярность из-за своей наглядности и до сих пор широко используется при решении задач квантовой механики. Введенное для объяснения взаимодействия удаленных друг от друга зарядов электромагнитное поле наконец получило “почти зримый образ” совокупности частиц. Наглядность этого “образа” весьма обманчива: свойства фотонов существенно отличаются от привычных свойств частиц, что иногда приводит к недоразумениям даже у специалистов. Более того, может быть поставлена под сомнение целесообразность самой концепции фотонов, поскольку эти “частицы” могут быть зарегистрированы лишь как акт взаимодействия излучения с веществом, в все моменты между излучением и поглощением фотон принципиально не наблюдаем.