Применение свойств функций для решения уравнений

Применение свойств функций для решения  уравнений

Т.С. Кармакова,  доцент кафедры алгебры ХГПУ

В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение.  Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у  учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.

В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:

Разложение на множители,

Замена переменных,

Использование свойств функций.

Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к  тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x)  - любые элементарные функции.

Использование области определения и области значения функций

Решить уравнение 

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции . Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени  с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел.

Ответ: x>0.

Решить уравнение  sinxctgx=cosx.

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=k, где kZ.

Ответ: xk, где kZ.

Решить уравнение .

Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции  при x1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения.

Решить уравнения:

а) 

б) 

в) 

г) 

д) 

е) 

Ответы: а) x>0, x1; б) x1; в) x0; г) x0; д) Нет корней; е)  x0.

Использование экстремальных значений функций

Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений: 

Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:

в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;

в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;

в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число.

Рассмотрим конкретные примеры.

2.1 Решить уравнение 

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе  



Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:



Ответ: х=-2.

2.2 Решить уравнение    

Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно  системе:



Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.

Ответ: х=0.

2.3 Решить уравнение 

Решение: Оценим левую часть уравнения: , следовательно, . Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

2.4 Решить уравнения:

а) 

б) 

в)  

г) 

д) 

е) 

Ответы: а) ; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.

Использование монотонности функций

Этот способ основан на следующих теоретических фактах: 

Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;

Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.

Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения.

Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:

уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;

уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции;

уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Рассмотрим примеры.

3.1 Решить уравнение 

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Ответ: х=3.

3.2 Решить уравнение 

Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение 

,

,

поэтому  при всех значениях хR., следовательно, функция f(x)- возрастающая.

Теперь исследуем функцию . Как легко установить, она убывает при всех значениях хR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.

Ответ: х=2

3.3 Решить уравнение 

Решение: Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения – возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду . Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция. Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень.

Ответ: х=1

3.4 Решить уравнения:

а) 2x3+9x2+150x-161=0

б) 13x+7x=2

в) 2x+5x=2-tgx

г) 

д) 

е) x+2=76-x

Ответы: а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5.

В конце приведем список литературы, по которому читатели смогут самостоятельно изучить, как использовать различные свойства функций при решении уравнений. 

Список литературы

Аксенов А.А. Решение задач методом оценки.//Математика в школе, 1999, №3, с. 30

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в Вузы. М.: Наука, 1976

Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: алгебра, тригонометрия. М.: Просвещение, 1991

Шарыгин И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995