Курсовая работа по прикладной математике

1



2



Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации



ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ





ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ







Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»









Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

Группа БуиА-6-99/2

Студент 

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

Адрес 













«   » мая 2001г.





Проверил:

____________________/                 /

«___»_______________2001г.



Москва 2001г.


Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

	4	0	8	7			316

    А=	3	2	5	1		    В=	216		С=(31, 10, 41, 29)

	5	6	3	2			199



Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1+10х2+41х3+29х4



Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х1+0х2+8х3+7х4≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

	3х1+2х2+5х3+х4≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

	5х1+6х2+3х3+2х4≤199

Имеем

	4х1+0х2+8х3+7х4≤316

	3х1+2х2+5х3+х4≤216			(1)

	5х1+6х2+3х3+2х4≤199

где по смыслу задачи

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0.		(2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х1+0х2+8х3+7х4+х5=316				(I)

3х1+2х2+5х3+	х4+х6=216				(II)	(3)

	5х1+6х2+3х3+2х4+х7=199				(III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

	х5 – остаток сырья 1-го вида,

х6 – остаток сырья 2-го вида,

х7 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

	х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0			(4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1+10х2+41х3+29х4

будет иметь наибольшее значение



Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

		bi	   316	216	199	   316

	min	-------	= -----	-----	-----	= -----

		ai3>0	      8	  5	   3	      8



Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

С

Базис

Н

31

10

41

29

0

0

0

Поясне-ния







х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7



0

х5

316

4

0

8

7

1

0

0



0

х6

216

3

2

5

1

0

1

0



0

х7

199

5

6

3

2

0

0

1



∆

z0-z

0-z

-31

-10

-41

-29

0

0

0



41

х3

39,5

1/2

0

1

7/8

1/8

0

0



0

х6

18,5

1/2

2

0

-27/8

-5/8

1

0



0

х7

80,5

7/2

6

0

-5/8

-3/8

0

1



∆

z0-z

1619,5

-21/2

-10

0

55/8

41/8

0

0



41

х3

28

0

-6/7

1

54/56

10/56

0

-1/7

Все ∆j≥0

0

х6

7

0

8/7

0

-23/7

-4/7

1

-1/7



31

х1

23

1

12/7

0

-10/56

-6/56

0

2/7



∆

z0-z

1861

0

8

0

5

4

0

3





Оптимальная производственная программа:

х1=23, х2=0, х3=28, х4=0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5=0;

Второго вида – х6=7;

Третьего вида – х7=0

Максимальная прибыль zmax=1861

Обращенный базис Q-1

	10/56	0	-1/7

Q-1=	-4/7	1	-1/7

	-6/56	0	2/7

	х5	х6	х7

Базис Q

	8	0	4

Q=	5	1	3

	3	0	5

	х3	х6	х1



Самопроверка.

	   10/56•8+0•5-1/7•3	 10/56•0+0•1-1/7•0	10/56•4+0•3-1/7•5	      1	   0	0

Q-1 •Q=   -4/7•8+1•5-1/7•3	 -4/7•0+1•1-1/7•0	-4/7•4+1•3-1/7•5	=    0	   1	0

	   -6/56•8+0•5+2/7•3	 -6/56•0+0•1+2/7•0	-6/56•4+0•3+2/7•5	      0	   0	1



	    10/56•316+0•216-1/7•199	         28

Q-1 •B=    -4/7•316+1•216-1/7•199	    =   7

	    -6/56•316+0•216+2/7•199           23


Задача №2. Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса

у2 за каждую единицу 2-го ресурса

у3 за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

	4	0	8	7			316

    А=	3	2	5	1		    В=	216		С=(31, 10, 41, 29)

	5	6	3	2			199



для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят

	4у1+3у2+5у3≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

	2у2+6у3≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

	8у1+5у2+3у3≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

	7у1+у2+2у3≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

	316у1+216у2+199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

	У=(у1, у2, у3)

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

	f=316у1+216у2+199у3

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

	4у1+3у2+5у3≥31

	2у2+6у3≥10

	8у1+5у2+3у3≥41

	7у1+у2+2у3≥29



При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1≥0, у2≥0, у3≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3)

Необходимо и достаточно выполнения условий

х1(4у1+3у2+5у3-31)=0

х2(2у2+6у3-10)=0

х3(8у1+5у2+3у3-41)=0

х4(7у1+у2+2у3-29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0

Поэтому

4у1+3у2+5у3-31=0

	8у1+5у2+3у3-41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0

Имеем систему уравнений

4у1+3у2+5у3-31=0

	8у1+5у2+3у3-41=0

Решим систему:

4у1+5у3=31

у1=(31-5у3)/4

8((31-5у3)/4)+3у3=41

-7у3=-21

у1=(31-15)/4



откуда следует

у1=4,	у3=3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов 

у1=4,	у2=0,	у3=3



Общая оценка всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

	f=1264+0+597=1861








Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3)

максимизирующий суммарный прирост прибыли

	w=4t1+3t3

28		10/56	0	-1/7	      t1		0

7	+	-4/7	1	-1/7	·    0	   ≥       0

23		-6/56	0	2/7	       t3		0



Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1	        316

0     ≤ 1/3     216

t3	        199



где t1≥0, t3≥0

10/56t1-1/7t3≥-28

-4/7t1-1/7t3≥-7

-6/56t1+2/7t3≥-23



-10/56t1+1/7t3≤28

4/7t1+1/7t3≤7

6/56t1-2/7t3≤23



t1≤316/3,	t3≤199/3

t1≥0,		t3≥0







t1

t3

I

-156,8

0

I

0

196

II

12,25

0

II

0

49

III

214,66

0

III

0

-80,5

IV

105,33

0

V

0

66,33



Программа расшивки имеет вид

t1=0, t2=0, t3=49

и прирост прибыли составляет

w=4t1+3t3=3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Сj

31

10

41

29

b

x4+i

yi

ti



aij

4

0

8

7

316

0

4

0



3

2

5

1

216

7

0

0



5

6

3

2

199

0

3

49

xj

23

0

28

0

1861





147

∆j

0

8

0

5












Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

		31	40	41	49

	45	4	5	8	6

	60	3	2	5	1

	65	5	6	3	2



Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».



b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9



a1=45

31

14





*

p1=0

a2=60



26

34





p2=-3

a3=65





7

49

9

p3=-5



q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5





Θ=9	z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535



b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9



a1=45

31

5





9

p1=0

a2=60



35

25

*



p2=-3

a3=65





16

49

9

p3=-5



q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5





Θ=25	z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490



b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9



a1=45

31

5





9

p1=0

a2=60



35



25



p2=-3

a3=65





41

24



p3=-2



q1=4

q2=5

q3=5

q4=4

q5=



z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

xj

0

100

200

300

400

500

600

700

f1(xj)

0

10

23

30

38

43

49

52

f2(xj)

0

13

25

37

48

55

61

66

f3(xj)

0

16

30

37

44

48

50

49

f4(xj)

0

10

17

23

29

34

38

41



Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».



-x2

0

100

200

300

400

500

600

700

x2



0

10

23

30

38

43

49

52

0

0

0

10

23

30

38

43

49

52

100

13

13

23

36

43

51

56

62



200

25

25

35

48

55

63

68





300

37

37

47

60

67

75







400

48

48

58

71

78









500

55

55

65

78











600

61

61

71













700

66

66



















0

100

200

300

400

500

600

700

F2(  )

0

13

25

37

48

60

71

78

x2(  )

0

100

200

300

200

300

400

500





-x3

0

100

200

300

400

500

600

700

x3



0

13

25

37

48

60

71

78

0

0

0

13

25

37

48

60

71

78

100

16

16

29

41

53

64

76

87



200

30

30

43

55

67

78

90





300

37

37

50

62

74

85







400

44

44

57

69

81









500

48

48

61

73











600

50

50

63













700

49

49



















0

100

200

300

400

500

600

700

F3(  )

0

16

30

43

55

67

78

90

x3(  )

0

100

200

200

200

200

200

200







-x4

0

100

200

300

400

500

600

700

x4



0

16

30

43

55

67

78

90

0

0

0













90

100

10













88



200

17











84





300

23









78







400

29







72









500

34





64











600

38



54













700

41

41

















x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0




Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

m0

m1

m2

1

2

2

4

6

7

8



Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

	        4		           49	0

m0=2, М=    	 ,	 V=   

	        6		           0	64



Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

		1/49	0

 V-1=

		0	1/64

далее

		4			1

  M =			    I =

		6			1



		1/49	0		4          2	     1/49	0	     2	       2/49

V-1(M-m0I)= 				       -  		=   				=

		0	1/64		6          2	      0		1/64	     4	       1/16



				   2/49

(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2  4)  	  = 65/196

				   1/16

Рисковые доли:

x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12

x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19



Безрисковая доля:

x0*=1-(mp-2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp-2) 0,31=1

mp-2=1/0,31

mp=3,21+2

mp=5,21

Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale.


Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.



(0, 1/5),	(2, 2/5),	(10, 1/5),	(28, 1/5)

(-6, 1/5),	(-5, 2/5),	(-1, 1/5),	(8, 1/5)

(0, 1/2),	(16, 1/8),	(32, 1/8),	(40, 1/4)

(-6, 1/2),	(2, 1/8),	(10, 1/8),	(14, 1/4)



Q1

0

2

10

28



1/5

2/5

1/5

1/5











Q2

-6

-5

-1

8



1/5

2/5

1/5

1/5











Q3

0

16

32

40



1/2

1/8

1/8

1/4











Q4

-6

2

10

14



1/2

1/8

1/8

¼



Q1=8,4		r1=10,4

Q2=-1,8	r2=4,7

Q3=16		r3=17,4

Q4=2		r4=8,7



(Q1)=2 Q1-r1=6,4

(Q2)=2 Q2-r2=-8,3

(Q3)=2 Q3-r3=14,6

(Q4)=2 Q4-r4=-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.