Высшая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»

	 











	Контрольная работа

	по дисциплине «Высшая математика»

Вариант 13.













	Выполнила студентка

	

	

	Проверил:











Красноярск, 2008г.




ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ



Задание 1



Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.

А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:

A = B + C,

где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:

B = D;

C = E,

где D, E – события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; ,  - противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Их вероятности:

P (D) = 0,8

P (E) = 0,6

P () = 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2

P () = 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4

По теоремам сложения и умножения вероятностей

P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P () + P () P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44

Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:

F = 

По теореме умножения вероятностей

P (F) = P () P () = 0,2 * 0,4 = 0,08



Задание 2



Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам

np – q ≤ k < np + p,

где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99

800 * 0,01 – 0,99 ≤ k < 800 * 0,01 + 0,01

7,01 ≤ k < 8,01

k = 8

Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:

Pn (k) = ,

где a = np = 800 * 0,01 = 8

P800 (8) =  = 0,140



Задание 3



На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.

X	0	1	2		Y	0	2

p	0,1	0,6	0,3		p	0,5	0,5

Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Величина Z может принимать значения:

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

1 + 0 = 1

1 + 2 = 3

2 + 0 = 2

2 + 2 = 4

Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):

P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05

P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3

P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2

P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3

P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15

Закон распределения:

Z	0	1	2	3	4

p	0,05	0,3	0,2	0,3	0,15

Проверка:

∑ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.

Функция распределения

F (x) = P (X < x) =  = 







Математические ожидания:

M (x) = ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2

M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1

M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2

M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2


Задание 4



Случайная величина X задана функцией распределения

F (x) = 

Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна

P (a < X < b) = F (b) – F (a)

P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) – F (1/3) = (2/3)3 – (1/3)3 = 8/27 – 1/27 = 7/27

Функция плотности

f (x) = F`(x) = 

Математическое ожидание

M (X) =  =  =  =  = ¾ (14 – 04) = ¾

Графики:







Задание 5



Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонением σ = 0,7. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины X – цены акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X – 26| окажется меньше ε = 0,5.

А) Функция плотности нормального распределения имеет вид

f (x) =  =  = 







Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α; β), равна

P (α < X < β) =  -  =  -  = Ф (1,14) – Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747

Значения функции Лапласа Ф (x) = берем из таблиц.

В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε, равна

P (|X – a| < ε) = 

P (|X – 26| < 0,5) =  = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222


СТАТИСТИКА



Задание 1



В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ = 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.):

750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550

Выборочная средняя

		=  = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс. руб.

Доверительный интервал

 -  < a <  + ,

где Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32.

1178,1 -  < a < 1178,1 +  

1178,1 – 116,3 < a < 1178,1 + 116,3

1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб.

Подсчитаем границы интервалов:

x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д.

Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки:



Интервал

Частоты

(700; 900)

1

(900; 1100)

4

(1100; 1300)

7

(1300; 1500)

3

(1500; 1700)

1



Гистограмма частот:







Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб.



Задание 2



По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.:



y\x

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ny

12

4

















4

18

6

10

2













18

24



8

13

1

1









23

30



4

7

9

3

4

2





29

36



1

2

3

12

4

8





30

42







1

3

18

24

1



47

48













7

12

3

22

54















9

18

27

nx

10

23

24

14

19

26

41

22

21

n = 200





Расчетная таблица:



X

Y

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ny

yny

y2

y2ny

∑xnxy

Усл. ср. y

12

4

















4

48

144

576

80

20,0

18

6

10

2













18

324

324

5832

500

27,8

24



8

13

1

1









23

552

576

13248

870

37,8

30



4

7

9

3

4

2





29

870

900

26100

1470

50,7

36



1

2

3

12

4

8





30

1080

1296

38880

1900

63,3

42







1

3

18

24

1



47

1974

1764

82908

3500

74,5

48













7

12

3

22

1056

2304

50688

1940

88,2

54















9

18

27

1458

2916

78732

2610

96,7

nx

10

23

24

14

19

26

41

22

21

200

7362



296964

12870



xnx

200

690

960

700

1140

1820

3280

1980

2100

12870











x2

400

900

1600

2500

3600

4900

6400

8100

10000













x2nx

4000

20700

38400

35000

68400

127400

262400

178200

210000

944500











∑ynxy

156

528

630

444

672

1020

1692

1104

1116

7362











∑xynxy

3120

15840

25200

22200

40320

71400

135360

99360

111600

524400











Усл. ср. x 

15,6

23,0

26,3

31,7

35,4

39,2

41,3

50,2

53,1

















Подсчитаем условные средние:

	x = 20 =  = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 и т.д.

	y = 12 =  = 20 * 4 / 4 = 20,0 и т.д.

Эмпирические ломаные регрессии:









Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией.

Выборочные средние:

 =  = 12870 / 200 = 64,35

	 =  = 7362 / 200 = 36,81

Выборочные средние квадратические отклонения

σx =  =  = 24,12

σy =  =  = 11,39

Выборочный коэффициент корреляции

r =  =  = 0,922

Уравнение линейной регрессии Y по X:

	x -  = r(x - )

x – 36,81 = 0,922 *  (x – 64,35)

x = 0,435x + 8,786

Уравнение линейной регрессии X по Y:

y -  = r( y - )

y – 64,35 = 0,922 *  (y – 36,81)

y = 1,951y – 7,452

Графики:







Ожидаемое среднее значение Y при X = 98:

x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. руб.

Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб.



Задание 3



Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α = 0,05. За значения параметров a и σ принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным.

В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара:



8-12

12-16

16-20

20-24

24-28

28-32

6

11

25

13

4

1



Вычислим середины интервалов дохода:



xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д.



Расчетная таблица:



№

xi

ni

xini

xi - 

(xi - )2

(xi - )2 ni

1

10

6

60

-8,067

65,071

390,4

2

14

11

154

-4,067

16,538

181,9

3

18

25

450

-0,067

0,004

0,1

4

22

13

286

3,933

15,471

201,1

5

26

4

104

7,933

62,938

251,8

6

30

1

30

11,933

142,404

142,4

Сумма



60

1084





1167,7



Выборочное среднее

		=  = 1084 / 60 = 18,067

Выборочное среднее квадратическое отклонение

s =  =  = 4,412

Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.

2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона:



i

xi

Частоты ni

ui = (xi - ) / s

φ (ui) = 

Теорет. частоты ni` = nh φ (ui) / s

ni - ni`

(ni - ni`)2

(ni - ni`)2 / ni`

1

10

6

-1,829

0,0750

4,1

1,9

3,7

0,9

2

14

11

-0,922

0,2609

14,2

-3,2

10,2

0,7

3

18

25

-0,015

0,3989

21,7

3,3

10,9

0,5

4

22

13

0,892

0,2681

14,6

-1,6

2,5

0,2

5

26

4

1,798

0,0792

4,3

-0,3

0,1

0,0

6

30

1

2,705

0,0103

0,6

0,4

0,2

0,3

Сумма



60





59,4





2,7



Наблюдаемое значение

χн2 = ∑ (ni - ni`)2 / ni` = 2,7

Критическое значение (из таблиц при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 – 3 = 3)

χкр2 = 7,8

Так как χн2 < χкр2, гипотезу о нормальном распределении принимаем.