Конспект урока для 10 класса на тему "Правильные многогранники"

Тема урока: "Правильные многогранники".

(10 класс)



Учитель  математики  Иманова  Алена  Викторовна

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №21»

города Старый Оскол

Белгородской области



















































Тема урока: "Правильные многогранники".

Цели урока: изучение свойств правильных многогранников;

                     развитие пространственного воображения; 

                    формирование представлений о математике, как универсальном 

                    языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

                    воспитание культуры личности, отношение к математике как 

                    части общечеловеческой культуры.

Наглядные пособия: модели правильных многогранников и их развертки , 

                     изображения правильных многогранников Леонардо да Винчи, 

                     портрет И. Кеплера, космический кубок И. Кеплера.



План урока



Вступительное слово учителя. 

 Определение. 

 а)"Конструирование" правильных многогранников.

 б) Разверти правильных многогранников.

Выступления учащихся. 

 а) Многогранники и искусство. 

 б) Гармония Иоганна Кеплера.

     5.  Заключение.

     6.  Домашнее задание 

Ход урока

	1. Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников. Многогранники выделяются необычными свойствами, красивыми формами, которые находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей для реальных архитектурных сооружений. Сегодня мы познакомимся с правильными многогранниками. Начнем с определения.

	2. Определение. Правильным называется многогранник, гранями которого служат одноименные правильные многоугольники, при этом в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

3а. Вместе с учащимися "конструируем" правильные многогранники. Выясняем, почему нельзя построить правильный многогранник, гранями которого служат: а)правильные треугольники, при этом в каждой вершине сходится 6 граней;  б) правильные четырехугольники, при этом в каждой вершине сходится более 4 граней;  в) правильные пятиугольники, при этом в каждой вершине сходится более 4 граней. ( Учащиеся ссылаются на  следующее свойство : сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.)



Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. 

Первый из них – тетраэдр. В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел .





Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника







Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится многогранник с 20 треугольными гранями – икосаэдр.







Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом («Земля»).







Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – правильного пятиугольника - пентагона. Если собрать 12 правильных пятиугольников таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще один многогранник –  додекаэдр. 

Делаем вывод: можно сконструировать только пять правильных многогранников. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додэкаэдр.

В таблице представлены параметры, полностью характеризующие эти многогранники, в том числе характеристика Эйлера. 



Многогранник

Число сторон
грани, m

Число граней,
сходящихся
в каждой
вершине, n

Число
  граней, Г  

Число
  ребер, Р  

Число
  вершин, В  





  Г+В-Р  

тетраэдр

3

3

4

6

4

2

куб

4

3

6

13

8

2

октаэдр

3

4

8

12

6

2

икосаэдр

3

5

20

30

12

2

додэкаэдр

5

3

12

30

20

2

 

        3б. Рассмотреть развертки некоторых правильных многогранников.



           







                          







       

4а. Леонардо да Винчи иллюстрировал книгу его современника, математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. Он выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, используя впервые метод жестких ребер. Книга оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников. Гравюру с изображением усеченного икосаэдра (рис. 2) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые,как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней (см. рисунок ).




Изображения Леонардо да Винчи
додэкаэдра методом жестких ребер (а)
и методом сплошных граней (б) в книге
Л. Пачоли «Божественная пропорция».























 Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными. В качестве примеров приведем изображение платоновых тел (рис. а) на титульном лист изданной во Франции в 1560 г. книги Жана Кузена «Livre de Perspective» («Книга о перспективе») и надгробный памятник Сэру Томасу Джорджсу (рис. 6), установленный в 1635 г. в кафедральном соборе в Солсбери (Англия). 





Рис.4.
Художественное изображение многогранников
в разработанной Леонардо технике
жестких ребер:



а — титульный лист
книги Ж. Кузена
«Книга о перспективе»,



б — надгробный памятник
в кафедральном соборе Солсбери.





Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (1898-1972), две из которых представлены на рис. 5 (изображая многогранники в этих работах, Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и методом жестких ребер Леонардо). 

    



Рис. 5.
Графические фантазии Маурица Эшера:
а — «Звезды» (1948), б — «Рептилии» (1943).



Приведем также пример изображения многогранника, выполненного художникам Сальвадором Дали (1904-1989) в картине "Тайная вечеря".





   

Рис. 12.
Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955).

 

4б) Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). Кеплер определил классы многогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые — впервые). Еще в молодые годы им овладела идея поиска симметрии или гармонии мира. В своей первой работе "Космогоническая тайна" (1596) Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их относительные размеры и характер движения планет, т. е. проникнуть в замысел творца. Эта работа принесла ему большой успех и широкую известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому с помощью пяти правильных многогранников - так называемых платоновых тел - обьясняется число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) и относительные размеры их орбит. Геометрия Солнечной системы по Кеплеру заключалась в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой по окружности большого круга движется Меркурий, описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера,  на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; Далее идет додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем тетраэдр со сферой Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель гелиоцентрической системы мира получила название "космический кубок". Кеплер считал геометрию "прообразом красоты мира" и в отличие от пифагорейцев искал первопричины не в числовых соотношениях, а в скрытых за числами геометрических фигурах. 

     

                         

В конце концов, Кеплеру пришлось признать ошибочность этой гипотезы.  Позже, изучив долголетние тщательные наблюдения знаменитого астронома Тихо Браге над движением планеты Марс, Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и, критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришел к "законам Кеплера". Ошибочность первоначальной гипотезы, кстати, является красноречивым свидетельством того, что в науке прекрасное (с чисто эстетической точки зрения) все же не всегда оказывается правильным.	

       5. История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в историю науки о фуллеренах и технологии новых материалов на их основе  или историю современной архитектуры. История эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого — культуры, главного наследия человеческой цивилизации. 

    В качестве домашнего задания предлагается сделать модель правильного многогранника по его развертке или каркасную его модель.



Литература и web-ресурсы

1. А. В. Погорелов. Геометрия, 10-11 класс.

2. Л. С. Атанасян. Геометрия, 10-11 класс.

3. Г. И. Глейзер. История математики в школе.

4. И. М. Смирнова. В мире многогранников.  

5. Е. А. Кац. Искусство и наука – о многогранниках вообще и усеченном икосаэдре в частности, ж. "Энергия" № 10-12, 2002 год.

6. geometry2006.narod.ru/Lecture/R... ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ