Теория вероятностей

Контрольная работа

Теория вероятностей






Задача № 1

событие вероятность задача

Опыт – Брошены 2 игральные кости. Образуют ли полную группу событий следующие наборы: А - на обеих костях шестерки, В - ни на одной кости нет шестерки, С - на одной из костей шестерка, на другой – нет. (Указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий).

Решение:

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

По определению данный опыт является полной группой событий.



Задача № 2.



На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 ки-нескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода.

Решение:



P(A) = 









P(A) = 



Задача № 3



Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий первого сорта – 1, второго сорта - 2, третьего сорта - 3, четвертого сорта - 4. Для контроля наудачу берут 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них одно изделие первосортное, одно - второго сорта, два - третьего и три - четвертого сорта.

Решение:



P(A) = 





Задача № 4



В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета.

Решение:

Вероятность вытягивания белой нити = 30/100 = 0,3,

Вероятность вытягивания красной нити = 70/100 = 0,7,

Вероятность вытягивания двух нитей одного цвета = 0,3*0,7 = 0,21.




Задача № 5



Экспедиция газеты направила газеты в два почтовых отделения. Вероят-ность своевременной доставки газет в каждое из почтовых отделений равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) оба почтовых отделения получат газеты с опозданием; в) одно отделение получит газеты вовремя, а второе - с опозданием.

Решение:

а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя:

P = 0.9 * 0.9 = 0.81;

б) оба почтовых отделения получат газеты с опозданием:

P = 0.1*0.1 = 0.01;

в) одно отделение получит газеты вовремя, а второе - с опозданием:

P = 0.9*0.1 + 0.1*0.9 = 0.18.



Задача № 6



Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Решение:

Hi – стоп произошел в i-м узле, i = 1…3;

А – стоп обнаружен.

P(H1) = 0,3

P(H2) = 0,2

P(H3) = 0,5

P(AH1) = 0,8

P(AH2) = 0,9

P(AH3) = 0,9

Формула полной вероятности:



P(A) = P(H1) * P(AH1) + P(H2) * P(AH2) + P(H3) * P(AH3) =

0,3*0,8 + 0,2*0,9 + 0,5*0,9 = 0,24+0,18 +0,45 = 0,87.



Задача № 7



Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями  где . Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

Решение:

Выдвинем гипотезы: Н1 - радиолампа из первой партии, Р(Н1) = 0.25; Н2 - радиолампа из второй партии, Р(Н2) = 0.5; Н3 - радиолампа из третьей партии, Р(Н3) = 0.25. Случайное событие А - лампа проработает заданное число часов.

P(A) = P(H1) * P(AH1) + P(H2) * P(AH2) + P(H3) * P(AH3) = 0,25*0,1 + 0,5*0,2 + 0,5*0,4 = 0,025 + 0,1 + 0,2 = 0,325.



Задача № 8



Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии. Найти вероятность этого количества нестандартных деталей.


Решение:

Вероятность изготовления нестандартной детали на автомате равна 1 – 0,95 = 0,05.

Наивероятнейшее значение k0 числа наступления события A при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле:



 или 



Проводится 50 повторных независимых испытаний с двумя исходами в каждом. Вероятность появления нестандартной детали в каждом испытании постоянна. Значит, схема Бернулли выполнятся. По формуле имеем:







Так как число деталей может быть только целым, то наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии равно 10.

Вероятность, что только первые 10 деталей из 200 будут нестандартные:

0,0510*0,95190 = 5,7*10-18

Теперь нужно посчитать общее количество комбинаций, в которых какие-либо 10 деталей из 200 будут нестандартными, а остальные 190 — стандартные. Для этого есть стандартная формула: , где n = 200 (общее количество), a = 10 (количество перебираемых элементов), b = 190 (количество остальных элементов). Итого, возможно комбинаций:

,

В результате получаем вероятность для 10 нестандартных деталей:

22451004309013280*5,7*10-18 =0,128.



Задача № 9



Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором выстреле равна 0,4, при третьем - 0,7. Предполагается произвести три выстрела. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в цель. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число попаданий не менее трех.

Решение.

Случайная величина  - число попаданий в мишень при 3-х выстрелах, распределена по биномиальному закону, ее возможные значения 0, 1, 2, 3.





где .



;

;

;

.

амнистия законодательство гуманизм




Ряд распределения случайной величины :




0

1

2

3



0,918

0,08

0,0023

0,00002



; .