Шпаргалка по геометрии и алгебре

Т.Сумма смежных углов = 180

Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)

Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.

Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.

2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых.    Е

       А      В    В       А              А               В



С                                     Д                         Д

       Д                  С                         С

ВАС ДСА внутр. одностор. (1рис)

ВАС ДСА внутр. накрест лежащ. (2)

ЕАВ АСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ.  =, то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,прямые| |. 

Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. 1=2

Но  1=3 (вертикальные)3=2.Но 2 и 3-накрестлежщие.По Т 1 a | | b

Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. =180, то прямые | |

Для ТТ 1-3 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й

прямой, то внутр.накрестлеащие =, со-

ответств.=, сумма внутр.одност=180.

Перпедикулярные пр-е пересек-ся 90.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести  ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки ( данной прямой) можно опустить перпендикуляр на данную прямцю и только 1.

3. две прямые  3-й параллельны.

4. Если прямая  1-й из | | прямых, то она  и другой.

Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис.,  r- впис.)

R = a / 2sin(180/n);  r = a / 2 tg (180)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр.  пересек. в 1 тчке -

центр впис. Круга.

4. Все 3 , восстановленные из середин сторон , пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.

5. Средняя линия | |  и =  основания

H(опущ. на стор. a) = 2p(p-a)(p-b)(p-c)

                                                  a

M(опущ на стор a) =    2b2+2c2 -a2 

B (-‘’-)= 2 bcp(p-a)   / b+c

p - полупериметр

a=b+c-2bx, х-проекция 1-й из сторон





Признаки равенства : 2=, если = сотв.

1. 2 стороны и  между ними.

2. 2  и сторона  между ними.

3. 2  и сторона,  противолеж. 1-му из 

4. три стороны

5. 2 стороны и  , лежащий против большей из них.

Прямоугольный  C=90       a+b=c

NB!       TgA= a/b;              tgB =b/a; 

    sinA=cosB=a/c;          sinB=cosA=b/c

Равносторонний   H= 3   * a/2

S =   h a = a b sin C

Параллелограмм

d+d`=2a+ 2b

S =h a=a b sinA(между а и  b)

=  d d` sinB (между d d`)

Трапеция   S= (a+b) h/2 =uvsinZ= Mh

Ромб S=a h =asinA=  d d`

Окружность L= Rn  / 180,n-центр

Т.Впис.=  L , L-дуга,на ктрую опир

S(cектора)=  R= Rn / 360

Векторы..   Скалярное произведение

аb=|a| |b| cos (a b), 

                   |a| |b| - длина векторов  

 Скалярное произведение |a|x`; y` и |b|x``; y``, заданных своими коорди-натами, =

|a| |b| = x`   y` + x``   y``

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия  ()

3. Симм. Отн-но плоскости ()

4. Гомотетия  (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К . 

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:

- все точки оси переходят сами в себя

- любая точка А оси р АА` так, что 

А и А`  , р, АОА` = = const, О- точка пересеч.  и р.

Результвт 2-х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)(x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз

К=1 - движение.

Св-ва подобия.

1. АВС(а); A`B`C` (a`)

2. (p)  (p`); [p)[p`); `; AA`

3. Не всякое подобие- гомотетия

NB! S` = k S``;     V ` = k 3 V ``

Плоскости.

Т. Если прямая,  к.-л. плоскости  , | | к.-л. прямой,   , то она | | 

Т. (а) | | (b), через  (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)

T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й  | | двум пересек. прямым другой , то  | | .

Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.

Т. Признак  прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть .

Т. 2  к пл-сти | |.

Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых  , то и другая  плоскости.

Т. Признак  2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через  к др. п-сти, то он  этой  л-сти. 

Дано [a) ,[a) , = (p).Д-ть:   

Док-во. [a) =М. Проведем (b) через М, (b)(p). (a)(b) - линейный  двугранного угла между  и . Так как [a) (a)(b) (a)(b)=90  

Т. Если 2 пл-сти взаимно , то прямая 

1-й пл-сти  линии пересеч. пл-стей,  2-й пл-сти.

Т. О 3-х .. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была  наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была  проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн  a - прямая призма

a - боковое ребро , S пс- S -го сечения

V = S пс  а - наклонная призма

V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.

V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3  * НS осн. S=S всех .

Фигуры вращения

Цилиндр V=RH;  S= 2R (R+H)

Конус V= 1/3  * НS осн= 1/3  * RH

S= Sосн+ Sбок= R (r + L); L-образующая

Сфера «оболочка» S= 4R

Шар М= 4/3 R3





























ARCSIN a

-/2arcsin a /2  sin(arcsin a)=a

arcsin (-a)= -arcsin a

a

0

1/2

2/2

3/2

1

arcsin a

0

/6

/4

/3

/2

SIN X= A

x=(-1)n arcsin a +k

sin x=0

x=k

sin x=1

x=/2+2k

sin x=-1

x=-/2+2k

ARCCOS a

0 arccos a    cos(arccos a)=a

arccos (-a)= -arccos a

a

0

1/2

2/2

3/2

1

arccos a

/2

/3

/4

/6

0

COS X= A

x= arccos a +2k

cos x=0

x=/2+k

cos x=1

x=2k

cos x=-1

x=+2k

ARCTG  a

-/2arctg a /2   tg(arctg a)=a

arctg (-a)= -arctg a

a

0

3/3

1

3

tg a

0

/6

/4

/3

TG X= A

x= arctg a +k







sin*cos=1/2[sin(-)+sin(+)]

sin*sin=1/2[cos(-)-cos(+)]

cos*cos=1/2[cos(-)+cos(+b)]

















sin*cos=1/2[sin(-)+sin(+)]

sin*sin=1/2[cos(-)-cos(+)]

cos*cos=1/2[cos(-)+cos(+b)]

sin+sin=2sin(+)/2 * cos(-)/2 

sin-sin=2sin(-)/2 * cos(+)/2

cos+cos=2cos(+)/2 * cos(-)/2

cos-cos=-2sin(+)/2 * sin(-)/2



(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2+2ab+b2

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a2-b2=(a-b)(a+b)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2)





0

/6

/4

/3

/2



2/3

3/4

5/6

3/2



0

30

45

60

90

180

120

135

150

270

sin

0

1/2

2/2

3/2

1

0

3/2

2/2

1/2

-1

cos

1

3/2

2/2

1/2

0

-1

-1/2

-2/2

-3/2

0

tg

0

1/3

1

3



0

-3

-1

-1/3



ctg



3

1

1/3

0



-1/3

-1

-3

0

sin2+cos2=1     sin=±1-cos2	   sin(-)=-sin  tg(-)=-tg

tgctg=1           cos=±1-sin2	   cos(-)=cos	 ctg(-g)=-ctg

tg=1/ctg  ctg=1/tg        	1+tg2=1/cos2=sec2	

sin2=(1-cos)(1+cos)     	1+ctg2=1/sin2=cosec2    	sin2=2sincos

cos2=(1-sin)(1+sin)      	1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4   	cos2=cos2 -sin2 

cos/(1-sin)=1+sin/cos	1/(tg+ctg)=sincos	tg2=2tg/1-tg

cos(+)=coscos-sinsin		sin3=3sin-4sin3

cos(-)=coscos+sinsin	 	cos3=4cos3-3cos

sin(+)=sincos+cossin   	 	tg(+)=tg+tg

sin(-)=sincos-cossin  	     	     	1-tgtg

2cos2/2=1+cos		2sin2/2=1-cos















0

/6

/4

/3

/2



2/3

3/4

5/6

3/2



0

30

45

60

90

180

120

135

150

270

sin

0

1/2

2/2

3/2

1

0

3/2

2/2

1/2

-1



2cos2/2=1+cos

2sin2/2=1-coscos

1

3/2

2/2

1/2

0

-1

-1/2

-2/2

-3/2

0

tg

0

1/3

1

3



0

-3

-1

-1/3



ctg



3

1

1/3

0



-1/3

-1

-3

0

sin2+cos2=1     sin=±1-cos2	   sin(-)=-sin  tg(-)=-tg

tgctg=1           cos=±1-sin2	   cos(-)=cos	 ctg(-g)=-ctg

tg=1/ctg  ctg=1/tg        1+tg2=1/cos2=sec2	

sin2=(1-cos)(1+cos)     1+ctg2=1/sin2=cosec2    sin2=2sincos

cos2=(1-sin)(1+sin)      1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4   cos2=cos2 -sin2 

cos/(1-sin)=1+sin/cos	1/(tg+ctg)=sincos	 tg2=2tg/1-tg

cos(+)=coscos-sinsin		sin3=3sin-4sin3

cos(-)=coscos+sinsin	 	cos3=4cos3-3cos

sin(+)=sincos+cossin   	 	tg(+)=tg+tg

sin(-)=sincos-cossin  	     	     	 1-tgtg























sin(2-)=-sin	sin(3/2-)=-cos

cos(2-)=cos	cos(3/2-)=-sin

tg(2-)=-tg		tg(3/2-)=ctg

sin(-)=sin		ctg(3/2-)=tg

cos(-)=-cos	sin(3/2+)=-cos

sin(+)=-sin	cos(3/2+)=sin

cos(+)=-cos	tg(/2+)=-ctg

sin(/2-)=cos	ctg(/2+)=-tg

cos(/2-)=sin	sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2

tg(/2-)=ctg		sin-sin=2sin(-)/2*cos(+)/2

ctg(/2-)=tg 	cos+cos=2cos(+b)/2cos(-)/2

sin(/2+)=cos  	cos-cos=-2sin(+b)/2sin(-)/2

cos(/2+)=-sin















Y = S I N  x

1).ООФ  D(y)=R	      2).ОДЗ  E(y)=[-1;1]

3).Периодическая с периодом 2 

4).Нечётная; sin (-x)=-sin x

5).Возрастает на отрезках [-/2+2k;/2+2k], kZ

  Убывает на отрезках [/2+2k;3/2+2k], kZ

6).Наибольшее значение=1 при х=/2+2k, kZ

Наименьшее значение=-1 при х=-/2+2k, kZ

7).Ноли функции х=k, kZ

8).MAX значение=1  х=/2+2k, kZ

  MIN значение=-1  х=-/2++2k, kZ

9).x>0 на отрезках [2k;+2k], kZ

 x<0 на отрезках [+2k;2+2k], kZ









  Y = C O S  x

1).ООФ  D(y)=R	      2).ОДЗ  E(y)=[-1;1]

3).Периодическая с периодом 2

4).Чётная; cos (-x)=cos x

5).Возрастает на отрезках [-+2k;2k], kZ

  Убывает на отрезках [2k;+2k], kZ

6).Наибольшее значение=1 при х=2k, kZ

Наименьшее значение=-1 при х==2k, kZ

7).Ноли функции х=/2+k, kZ

8).MAX значение=1 х=2k, kZ

  MIN значение=-1 х=+2k, kZ

9).x>0 на отрезках [-/2+2k;/2+2k], kZ

 x<0 на отрезках [-/2+2k;/2+2k], kZ







Y = T G  x

1).ООФ  D(y)все, кроме х=/2+k kZ

2).ОДЗ  E(y)=R

3).Периодическая с периодом  

4).Нечётная; tg (-x)=-tg x

5).Возрастает на отрезках (-/2+k;/2+k), kZ

6). Ноли функции х=k, kZ

7). x>0 на отрезках (k;/2+k), kZ

 x<0 на отрезках (-/2+k;k), kZ