Контрольная работа по Высшей математике

4





федеральное агентство по образованию

ростовский институт (филиал)

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

"российский государственный торгово-экономический университет"



Кафедра высшей и прикладной математики





Контрольная работа № 1



по дисциплине «Высшая математика»





Вариант № 0





Выполнил:  Афонин В.П.



студент 2-го курса, группы УТ,

заочной формы обучения.                                                        

                                                      

Преподаватель:______________   











Ростов-на-Дону

2006 г.



План работы

	План работы	2

	Задача 1.	2

	Задача 2.	2

	Задача 3.	2

	Задача 4.	2

	Задача 5.	2

	Задача 6.	2

	Задача 7.	2

	Задача 8.	2

	Задача 9.	2

	Задача10.	2

	Использованная литература	2




Задача 1.

Вычислить пределы функций а) - е):



а) ;      б) ;



в)  ;            г) ;



д) ;      е) ;



Решение



а) =  Мы имеем дело с неопределенностью вида  . Приводим выражение к общему знаменателю: 

 

Тогда вынесем х в старшей степени за скобку в числителе и знаменателе 1-й дроби и знаменателе второй дроби после чего - сократим. Получим:





Устремим х к ∞, получим|





Ответ:  



б)   Так как  функция    непрерывна на (0;∞) , то      Мы имеем дело с неопределенностью вида  . Тогда вынесем х2 скобку в числителе и знаменателе и сократим. Получим: 



Ответ:  



в) ;  В данном случаем мы имеем дело с неопределенностью вида  . Выражение  является сопряженным по отношению к выражению , а   к выражению  соответственно. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений, и используя формулу , получим:



    Ответ: 



 г)  

Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределённость 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Уравнение   тождественно уравнению  где x1 и x2 корни квадратного уравнения   Исходя из этого получаем: =





,аналогично





Таким образом:





Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя



так как функция непрерывна в точке х=6, подставляем х=6







Ответ: 



д)  

Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования:



2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя



Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя:



Ответ: 



е) 

Решение. 

замена переменной ; так как =0, то y→0, следовательно:



используем второй замечательный предел 

 



Ответ: 




Задача 2.

Вычислить производные функции а)-г).



а) ;			б)



в) у = (sinx) • e2x• ln(sinx); 	г) у =(sinx)lnx.





Решение



а) ,Используем формулу производной дроби: 

и формулу производной степенной функции: 

Ответ: 

.б),Найдём сначала производную функции , используя формулу производной степенной функции:



Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу подставляя , получаем 



Ответ: 



в) у = (sinx) • e2x• ln(sinx);



Функция у(х) представляет собой произведение трёх функций u(х)= (sinx), v(x)= e2x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

(u·v·w) '=u'·(vw)+u· (vw)'=u'vw+u· (v'·w+v·w')

Следовательно,

(uvw)'=u'· v·w+u·v'·w+u·v·w'

Далее используя формулу производной сложной функции 

Получаем:





Ответ: 

	

г) у =(sinx)lnx

Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=elny, представим y(x) в виде y(x)=(eln(sinx))lnx . Так как (ab)c=abc, то  y(x)= e lnx ln(sinx). и поэтому 





В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой у =(sinx)lnx= e lnx ln(sinx).

 

Ответ: 




Задача 3.

а). Исследовать функцию у(х)=2x3 - 9x2 + 12x - 5.



Решение



1). Так как 2x3 - 9x2 + 12x - 5— многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся — числовая прямая: D(y)=(–∞;+∞).



2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку

y(1)=0; y(–1)=–28; у(–1)≠у(1); y(1)≠y(-1).



3). Заметим, что при х→+∞ и при х→–∞  поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 2х3, который неограниченно возрастает при х→+∞ и неограниченно убывает при х→–∞. Поэтому

y(x)= +∞, 	 l y(x)=–∞, 

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.



4). у(0) = -5 → A(0; -5) — точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Оx решим уравнение

у(х)=0 ↔ 2x3 - 9x2 + 12x - 5=0  ↔ x•(2х2 + 15x + 24) = 0;

	Методом подбора определяем корень уравнения х1=1.

	Разделим многочлен на многочлен  x -1

	2x3 - 9x2 + 12x – 5 	x -1

	2x3 - 2x2			2x2 - 7x + 5

	      - 7x2 +12х

      - 7x2 +7х

	       5x – 5

	       5x – 5

		      0



2x2 - 7x + 5= 0, 

D=b2–4ac=-72–4•2•5=49- 40=9





Точки пересечения с осью Ох: B(1;0), С(5/2;0),



5). Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции у(х): 

у'(х)=(2x3 - 9x2 + 12x - 5)´,

у'(х)=6x2 - 18x + 12 ,

у'(х)=x2 - 3x + 2 ,

и решаем уравнение у'(х)=0:

x2 - 3x + 2 = 0, критические точки х1= 1, x2= 2.

Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:



x

(–∞;1)

1

(1;2)

2

(2; +∞)

y'

+

0

–

0

+

y



Максимум



Минимум





Итак, функция возрастает при х[–∞; 1] и при х[2; +∞] и убывает при х[1; 2]; локальный минимум — у(2)=–1, локальный максимум — у(1)=0.



6). Используя пункт 3), получаем, что множество значений функции Е(y) — вся числовая прямая, Е(у) = (—∞; +∞).



7). Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем её к нулю:

у''(х)= (у'(х))'=(x2 - 3x + 2)'=2х-3

у"(х)=0 ↔ 2х - 3= 0 ↔ х=3/2=1,5.

Для определения знаков второй производной подставляем в неё числа из промежутков  и : 	у"(0)=–3; у"(2)=1.





x

(–∞;)



(; +∞;)

y''

–

0

–

y

Выпуклость вверх

Перегиб 

Выпуклость вниз



Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: 
у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgα=1,5. Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D.

8). На этом исследование функции закончено и остаётся лишь вычислить её значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.






б). Исследовать функцию .



Решение



1). Так как D 2(х - 6)2 = R и D()=М, то функция g(х) определена и непрерывна на

всей числовой прямой.

2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку 

g(1)= ;

g(-1) = и g(–1)≠g(1)

3) 



Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и   функция имеет левую горизонтальную асимптоту y =0.



4). Так как g(0)=2(0-6)2•=72≈3,58, то А(0;72) — точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2•(x-6)2•=0. Так как любая степень числа е положительна, мы можем разделить на 2 обе части уравнения:

(x-6)2 = 0; D=144-144=0; x=6.

График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т.к.  и 2•(x-6)2>0. Отсюда вытекает, что g(х)>0 для всех действительных чисел x.

5). Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

 

Для определения критических точек функции решим уравнение 



g(х)=0 ↔ –(х2 + 5х + 4) • е-1/2(x+3)=0 ↔ х2 + 5х + 4 = 0;

критичαеские точки — х1 = 6, x2 = 2.



x

(–∞;2)

2

(2;6)

6

(6; +∞)

g'

+

0

–

0

+

g



32/e2

Максимум



0

Минимум



Локальный максимум— g(2)= 2•(2-6)2•≈32/e2, локальный минимум — 
g(6)= 2•(6-6)2•=0•=0.

6). Используя пункты 3) - 5), получаем, что Е(у)=(0;+∞). ´ββ

7). Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.

		



x

(–∞;)

()

(;)



(; +∞)

g'

+

0

–

0

+

g

Выпуклость вниз 

Перегиб

Выпуклость вверх 

Перегиб 

Выпуклость вниз 



Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:

	Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек:





9). Строим график функции.






Задача 4.

Вычислить неопределённые интегралы а) - г):

а) 			б) 

в) 			г) 





Решение





Сделаем подстановку  Тогда

, памятуя что получаем



Ответ:  

б)  

Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям по формуле:  (1)

В этой формуле принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда и  (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем). Подставим найденные u',v', u,v' в формулу интегрирования по частям b используя  получаем:

	

Ответ:  



в) 

Найдем корни уравнения . Так как корнями уравнения является х1=-7 и х2=5, то по формуле ах2+bх+с=а(х+7)(x—5), знаменатель раскладываются на множители

.

Представим дробь в виде следующей суммы:



и найдём коэффициенты А и В. Приведём дроби в правой равенства части к общему знаменателю:









Приравняв числители, получим

			

Подставляя в последнее равенство х = 5, находим, что

5 = А(5 – 5) +B(5+7) ↔ 5 = B • (12) ↔ B= 5/12. 

Подставляя х=-7 в равенство (2), находим, что 

-7 = A(-7–5) +B(-7+7) ↔ -7=A • (-12) ↔ А = 7/12.

Таким образом, 



Итак,  



Ответ:  



г) 

Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного ах2 + bх + с двучлена отрицателен, D=b2—4ас<0, справедливо равенство:



Для вычисления интеграла  найдем дискриминант знаменателя D=182—4•9•10=324-360=-36<0 и рассмотрим функцию у=9х2-18x+10. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя у'=(9х2-18x+10)'=18x-18 и заметим, что 18х-3=(18x-18)+15.

Отсюда, 



Вычислим получившиеся интегралы по отдельности. 

1) 



2) 

Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:



Ответ: 




Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций g(х)=3х+4 и f(х) = -3х2+21x-11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости.



Решение



Графиком функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= - 6х+21 и находим координаты вершины параболы С:

 

Графиком функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0).

Найдём точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

-3х2+21x-11= 3x+4 ↔ -3х2+ 18х -15 = 0 ↔ х2- 6х + 5 = 0 

Заметим, что g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19. 

Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х  [1;5], то







Ответ: 32 кв.ед




Задача 6.

Найти общее решение дифференциального уравнения  . Построить графики двух частных решений этого уравнения.



Решение.



1). Преобразуем уравнение к виду .

2) , где  - const.





Графиком частных решений данного уравнения является множество парабол с общей вершиной в точке А(-1;0)

Положив С1=1, и С2=-1 построим графики двух частных решений

y1=(x+1)2,

y2= -(x+1)2,



Ответ: 





Задача 7.

Найти частное уч.(х) решение дифференциального уравнения у'cosx+уsinx=2, удовлетворяющее (начальному) условию:  уч()=2. 

Решение.



1). Разделим обе части уравнения на cosx:



Подставляя вместо у произведение двух функций  y=uv,	y'=u'v+uv'

получаем уравнение: 



 (1)

2). Найдём теперь какую-нибудь функцию u для которой выполняется равенство



Для этого найдём частное решение дифференциального уравнения



Если функции равны, то и неопределённые интегралы от них равны:



Так как нам нужно найти частное решение, полагаем С=0, т.е. приравниваем первообразные подынтегральных функций:

ln u= ln cos x ↔ u= cos x.

3). Подставляя у = cos x в уравнение (1), получим

 

Так как всякая функция с точностью до константы равна неопределённому интегралу от собственной производной, то

у=u•v =cosx•(2•tgx + C) = cosx•=2•sinx+C•cosx.

Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид 
у=2•sinx+C•cosx.

4). Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределённой постоянной С по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что уч=2 при , получаем равенство:

2=2•sinπ+C•cosπ; памятуя, что sinπ=0 и cosπ=-1, получаем:

2=2•0-C;

Отсюда С=-2. Подставляя найденное значение неопределённой постоянной, получаем частное решение уч.=2(sinx-cosx), удовлетворяющее условию, данному в задаче.

Ответ:	у=2•sinx+C•cosx – общее решение,

уч.=2(sinx-cosx) – частное решение



Задача 8.

Найти частное решение дифференциального уравнения y''–у'–6y =2sin2x–10cos2x, удовлетворяющее начальным условиям	у(0)=2, 	у'(0) = 3.

Решение.

1). Уравнение вида у" + bу' + су =0, где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уоo.(x) этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта D = b2 — 4aс характеристического уравнения 	k2 + bk + с =0

В нашем случае характеристическое уравнение: k2 —k — 6=0.

D=1+24=25>0

Так как D>0 используем формулу уо.о.=С1еαх + С2еβх, , где k=α, k=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения. В нашем случае: α=3, β=-2. Общее решение однородного уравнения:



уoo (х)= С1е3х + С2е-2х



2). Так как правая часть f(х)= 2sin2x–10cos2x и k2+22≠ k2 —k — 6 частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

уч(х) = Аcos2x + Вsin2x + С, 

у'ч.(x) = -2Аsin2х + 2Вcos2x, 

у"ч.(х) =-4Аcos2х -4Вsin2x,. 

Подставляя у = уч.(x) в данное в задаче уравнение, получаем:

-4Аcos2х - 4Вsin2x + 2Аsin2х - 2Вcos2x - 6Аcos2x - 6Вsin2x = 2sin2x–10cos2x



cos2х(-4А - 2В - 6А) +sin2x(- 4В + 2А- 6В) = 2sin2x–10cos2x,

cos2х(-10А - 2В) +sin2x(2А- 10В) = 2sin2x–10cos2x,

Сравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, находим:

	



Отсюда уч.(x)=cos2x, поэтому так, как  уо.н.(х) = уoo (х) + уч.(x), общее решение неоднородного уравнения имеет вид уо.н.(х) = С1е3х + С2е-2х + cos2x.

3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:

у(0) = 2 → C1e0 + С2е0 + cos 0 = 2 => С1 • 1 + С2 • 1 = 1, => С1 + С2 = 1,

у'(x) = 3С1е3х -2С2е-2х – 2sin2x.

у'(0) = 3C1 е0 -2C2 е0 -2sin 0= 3 → 3C1 - 2C2 - 0= 3 => 3C1 - 2C2=3. 

Ответ: у (х) = ех cos 2x + ½ еx sin2x + х2.





Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(х) = 1 • е3х + 0 • е-2х + cos2x= е3х + cos2x.

Ответ: у(х) = е3х + cos2x.




Задача 9.

Исследовать сходимость ряда 



Решение.

Используем признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд  сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

В нашем случае и . Вычисляем предел:



так как q = ∞ > 1, то ряд расходится.



Ответ: Так как q > 1, то ряд расходится.

Задача10.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда 



Решение.

Каждый степенной ряд  сходится внутри интервала (с —R; с + R), где R≥0 — радиус сходимости, определяемый по формуле .



Определяем радиус сходимости:



Так как с = -2; с–R=–2–1,5=–3,5; с+R==–2+1,5=–0,5, находим интервал сходимости: (–3,5; –0,5). 

Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид:



При x=-0,5 ряд имеет вид:

.

Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5

Ответ:  R = 1,5; (-3,5;-0,5].




Использованная литература



Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть 1. М.: изд. МГУК, 1998.

Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982.

Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1986.

Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.