Нормированные пространства

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I. Нормированные пространства…………………………………..3

§1. Понятие нормированного пространства........................................3

§2. Пространства суммируемых функций…………………………...5

§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса………………………………..........7

  Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11

	    §1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11

§2.Теорема Рисса–Торина и ее применение ………………………15            

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей…..…....24

§1. Основные понятия……………………………………………….24

	§2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции  и ее нормой в …………….……………………………25

   Литература………………………………………………………………...28































Введение.



	Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века. В  работе эта теория прилагается к изучению суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа. Эти функции и последовательности образуют нормированные пространства, на которых вводятся операции сложения  и умножения  на число, а также норма. 

	Основным объектом классического функционального анализа являются операторы, действующие из одного банахова пространства в другое.

	Целью данной работы является рассмотрение линейных операторов, действующих из одного пространства суммируемых функций в другое, а также в пространство суммируемых последовательностей.

	Основные понятия нормированных пространств изложены в первой главе.

	Вторая глава посвящена интерполяции в пространствах измеримых функций. Рассмотрена теорема Марцинкевича, являющаяся одной из классических в теории интерполяции, и дано ее подробное доказательство. Приводится доказательство непрерывности оператора свертки с использованием данной теоремы. Также рассмотрена интерполяционная теорема Рисса – Торина и ее применение.

В третьей главе даны основные понятия пространства суммируемых последовательностей, доказана связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в  при помощи теоремы Марцинкевича.





Глава I. Нормированные пространства.

§1. Понятие нормированного пространства.



 Введем основные понятия теории нормированных пространств.



Определение. Непустое множество  называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Ι. Для любых двух элементов  однозначно определен элемент, называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

      2. (ассоциативность)

В  существует такой элемент 0, что   для всех  

4. Для каждого существует такой элемент   , что .

II. Для любого числа  и любого элемента  определен элемент  , причем 

     5. 

     6. 

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

      7. 

      8. 

Определение. Линейное пространство  называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

;

 для любого   и любого числа ;

 для любых  (неравенство треугольника).

	Определение. Оператором называется отображение , где - это линейные пространства.

	Определение. Оператор  называется  линейным, если для любых элементов   и любых чисел R выполняется равенство:

                                        .

	Определение. Пусть  - линейные нормированные пространства, 

 – линейный оператор,.

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что  следует, что .

		

	Определение. Линейный оператор  непрерывен, если он непрерывен в каждой точке  . 

	Определение.  Линейный оператор называется ограниченным, если   .

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

	Определение. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется .

	Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора    .

	 









§2. Пространства суммируемых функций.



   	Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства.

	Определение. Пусть  – некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством , где , называется нормированное пространство, элементами которого служат функции  , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется    

Функции, эквивалентные друг другу на , не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в  – это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.

Сложение элементов в  и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в  – это класс эквивалентных между собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах.

	Определение. Число   называется  нормой функции 

Будут выполняться все свойства нормы:

 и  почти всюду;





Первое свойство cледует из определения нормы и того, что 

Второе – из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций  



	Определение. Функция  называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число  такое, что почти всюду выполняется неравенство  .                                                        (*)                       

	Определение.  Пространством  называется  нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции .	Нормой  называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*).

Для   выполняется почти всюду неравенство .           

	Через  будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R.

	Среди линейных операторов, действующих в пространстве , рассмотрим следующие. 

	Определение. Оператор , действующий из пространства ()  в , называется оператором слабого типа (p,p), если  

   , где   - мера множества, и оператором типа (p,p), если   .

По определению оператор типа  является ограниченным, что равносильно его непрерывности.

Предложение 1. Любой оператор типа  есть оператор слабого типа .

Доказательство.

			Нужно доказать, что  .           

		Воспользуемся неравенством Чебышева: .

			Возьмем любое положительное число . По неравенству Чебышева

		. Но по условию .

Учитывая последнее соотношение, имеем , что и требовалось доказать.



§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса.



Далее понадобится понятие интеграла Лебега – Стилтьеса. Введем это понятие.

Определение. Пусть на R задана монотонно неубывающая функция , которую для определенности будем считать непрерывной слева. Определим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами



	Таким образом, функция , которая каждому сегменту ставит в соответствие меру этого сегмента, будет:

принимать действительные неотрицательные значения;

аддитивной, т.е. мера объединения есть сумма мер этих сегментов.

	Применив стандартное распространение  меры, получим меру на некоторой  - алгебре.	

	Определение. Меру , получающуюся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию  называют производящей функцией этой меры.     

	Определение. Пусть  - мера на R, порожденная монотонной функции . Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега .   

Такой интеграл, взятый по мере ,  отвечающей производящей функции , называется интегралом Лебега – Стилтьеса и обозначается .

Теперь докажем факт, который используется  при доказательстве интерполяционной теоремы. 

Предложение 2.   и для 

 и , тогда 

(1)   , и если , и , то

.                                                            (2)

Доказательство.

Равенство (1) следует из определения интегралов Лебега и Лебега – Стилтьеса:

Если  - последовательность разбиений действительной оси:

 , и , то интегралы , где , если , стремятся при .

С другой стороны:

 при .

Это и доказывает равенство (1).

Пусть теперь . По (1), учитывая, что , получаем         (2’)

При 

Следовательно, из соотношения (2’), делая замену переменных , получим первое равенство (2).

Далее, для любого  выполняется



(интегрирование по частям: ).

Для доказательства второго равенства в (2)  достаточно устремить в последнем соотношении  число  к  и использовать оценку:

 при.



Предложение 2 доказано.

Замечание. Если  функция  задана на , то,  применяя равенство (2) для функции  ,  , и учитывая, что       , получим

               (3)













































Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций.

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение.



Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.

Пусть дана функция . Положим для 

, .

Предложение 3.   Пусть , , для любого положительного числа    и  – функции, описанные выше. Тогда .

Доказательство.

                                                                                                               





g(x)

f(x)

	

t	



h(x)

                                                               

                                                                                                             

Нужно показать, что , т.е. .

	I. Для функции 

1) если 0<t , то , т.к. 

2) Пусть t>1.

	Обозначим , .

. Конечность  доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.

Покажем, что . Предположим противное, что .

, т.к. .	С другой стороны, . Но  на  , т.е. ,  а это противоречие. Получили, что  конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Тогда .

	II.для функции :

1) если  , то .

2) Пусть .

Пусть 

. Конечность  доказана в первом случае. Нужно показать, что  конечен.

	Докажем, что . Предположим противное, что .

  ().

	С другой стороны . Но , т.е.

. Пришли к противоречию.

Получили, что  конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Следовательно, . Предложение доказано.

Следствие. Для всех   справедливо включение: .

Замечание 2. Пусть оператор  задан на пространстве  и на . Тогда оператор  можно распространить  с сохранением  линейности до оператора, действующего из пространства

т.е. для любой функции 

Такое определение функции  не зависит от выбора   и  Действительно. Возьмем другое представление функции :

, где  т.е.

 Нужно доказать, что .

Из условия следует . Левая часть равенства – это функция из  правая часть - из Применим к равенству оператор T:

. Так как T линеен в пространствах  и , то . Отсюда , что и требовалось доказать.



Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор Т имеет слабый тип  и одновременно слабый тип  , то Т имеет тип  для  любого  из интервала  

Доказательство.

	Считаем, что . Фиксируем функцию  и положительное число . Оценим величину 	

Пусть  и  функции, описанные выше.

Тогда  и  по замечанию 2.

Следовательно, .

	Используя оценки слабого типа , находим, что при  положительном 



.

Из последнего неравенства и формулы (3) из замечания 1 получаем





, т.е. оператор Т имеет тип . Теорема доказана.

В качестве применения этой теоремы рассмотрим следующий пример. 

Утверждение 2. Пусть . Тогда оператор  будет непрерывным оператором в пространстве , .

Доказательство.

	Рассмотрим два случая, когда  и . Докажем, что оператор  является оператором типа  для этих случаев. Тогда по  предложению 1  будет оператором слабого типа  для  и . Применив интерполяционную теорему Марцинкевича, получим, что   – оператор типа  для любого , а это равносильно его непрерывности.

 и . Докажем, что найдется число , такое, что 





	Учитывая последнее равенство и то, что для любого действительного числа   верно , получим 

, где .

2). 

	Нужно доказать, что 

Для  почти всюду выполняется неравенство: .      (*)

Обозначим , .

. Так как , то .

Исходя из последнего соотношения и неравенства (*), получаем



.

	Таким образом, доказали, что оператор свертки  непрерывен в пространстве  для любого р1.  



§2. Интерполяционная теорема Рисса – Торина 

и ее применение.



	Прежде чем рассмотреть теорему Рисса – Торина и ее приложение, приведем определения и докажем факты, связанные с теорией банаховых пространств, которые понадобятся для этого.

	Определение. Последовательность  метрического пространства Х называется фундаментальной, если .

	Верно следующее утверждение.

Утверждение. Если последовательность  сходится, то она фундаментальная.

	Обратно верно не всегда.

	Определение. Метрическое пространство  называется полным, если в нем любая  фундаментальная последовательность сходится.

	Определение. Если пространство , порожденное нормой, является полным, то линейное нормированное пространство называется банаховым.

	Определение. Пусть – банахово пространство, – подпространство в . называется всюду плотным в Х, если , т.е. , такая, что .

Утверждение 4 . Пусть оператор , где плотно в– банахово пространство. Тогда оператор  можно распространить на , т.е. существует оператор , такой, что  и .

Доказательство.

	Возьмем  из . По определению существует последовательность  из  такая, что  стремится к , при  стремящемся к .

Докажем, что  из  будет фундаментальной последовательностью. Тогда, т.к.  полное, последовательность  будет сходящейся.

	Возьмем произвольное положительное число . Найдем номер , для которого выполняется .Тогда 

 . Следовательно, последовательность  фундаментальная.

	Пусть  стремится к . Определим оператор  равенством .

а) Проверим корректность определения оператора .

Итак,  стремится к ,  стремится к . Возьмем другую последовательность , имеющую в пределе . Тогда  будет стремится к некоторому элементу .Составим новую последовательность  Ее пределом будет . Пусть соответствующая последовательность  стремится к  . Из последней можно выбрать две подпоследовательности  и , сходящиеся соответственно к  и .Следовательно,  и , т.е.  и  совпадают. 

б) Докажем линейность оператора А. Пусть Х;  - произвольные числа. Рассмотрим элемент . По определению существуют последовательности {xn},{yn}, такие, что . Тогда .

.

Получили , что и означает по определению линейность оператора А. При этом, т.к. если , то в качестве  можно взять  для всех  n. Тогда  и .

в) Докажем непрерывность оператора А. 

Возьмем . , .

		. По теореме о предельном переходе в неравенстве будет выполняться неравенство . Т.к. по определению  - это наименьшая из констант, удовлетворяющих данному неравенству, то . (*)                                                                                         

	С другой стороны, по определению  , . Так как , то .                                                                                       (**)

	Учитывая неравенства (*) и (**) , установили равенство . Таким образом, утверждение доказано.	 

	Определение. Функция   называется простой, если она представляет собой конечную линейную комбинацию характеристических функций попарно непересекающихся измеримых множеств , где .

Теорема Лебега. Если последовательность  на сходится к и при всех   , где  суммируема на, то предельная функция  суммируема на  и .

Предложение 4. Множество простых функций всюду плотно в , т.е.   , такая, что ,где – простая функция.

Доказательство.

	I.Обозначим  , где N.





g(t)



n







-n







	Ясно, что для почти всех  . Тогда  для почти всех . Следовательно, .

С другой стороны,                                                            (*)       ,т.е. . Поэтому  суммируема. Применим теорему Лебега к неравенству (*) :. Получим, что  и, значит, приблизили  функциями . Возьмем  произвольное положительное число . Найдем функцию  такую, что .

	II. Приблизим  ступенчатой функцией.

Обозначим , где . Положим .

По свойству интеграла Лебега для любого положительного  найдется , такое, что . Это означает, что .

Отрезок  разобьем на  равных частей точками  так, чтобы .

Обозначим  

.

Рассмотрим функцию . Тогда . Следовательно, , т.е. .

В результате нашлась простая функция  такая, что 

.

	III. Таким образом,  .  Предложение доказано.



	Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М.Риссом в 1926 году в виде некоторого неравенства для билинейных форм. Ее уточнение и операторная формулировка были даны Г.О.Ториным. Вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Дадим ее формулировку.

Теорема. Пусть . Оператор Т действует из пространства  в   с нормой  и одновременно из   в  с нормой .Тогда  Т будет непрерывным оператором  из пространства  в  с нормой  ,  удовлетворяющей неравенству  при условии, что 0<t<1 и ;  .



Теперь рассмотрим приложение теоремы Рисса – Торина в доказательстве следующего факта.

Теорема. Пусть  и для чисел  выполняется равенство   .Тогда свертка  .

Доказательство.

	Нужно доказать, что , т.е. . 	Зафиксируем произвольную функцию  из . Докажем сначала требуемый результат для частного случая, когда функция g простая, а затем распространим на произвольные функции g.

	I. Пусть функция  простая.

1)  Рассмотрим оператор свертки на множестве простых функций и проверим, что он типа , где  . В силу неравенства Гельдера . Учитывая геометрический смысл интеграла, получим  для любого действительного числа х. Тогда . Так как , то , т.е. равна некоторому числу . Таким образом, . Следовательно, нашлась константа , такая, что .  Это и означает, что оператор свертки Т на множестве простых функций типа .

2) Проверим, что оператор Т типа , т.е.  .

Рассмотрим случай, когда функция g имеет вид: .



.

Обозначим  .

Тогда правая часть равенства примет вид  

 по неравенству Минковского.                    (1)  

	Рассмотрим первое слагаемое 

     (2)                                       	Аналогично второе слагаемое



.                                          (3)  



	Таким образом, учитывая (1),(2),(3), получим . Найдем

, т.к. .

	Далее имеем

. В результате, ,т.к. , то  и равна некоторому числу.

	Совершенно аналогично доказывается  для случая, когда .

1) Таким образом, из пунктов I.1 и I.2 получим, что  типа  и , и,

 следовательно,  будет типа  при условии  , где .

; , т.е. , что и дано по условию.

	Таким образом, применив теорему Рисса – Торина, установили истинность доказываемого утверждения для всех простых функций .

	II. Пусть  – произвольная функция из .

По предложению 4  множество простых функций всюду плотно в .

По утверждению 4 оператор свертки можно распространить на  и тогда доказываемый факт верен для любой функции  из . Теорема доказана.

	













































Глава III. Пространства суммируемых последовательностей.

§1. Основные понятия.



Рассмотрим применение теории интерполяции для пространств .

	Пусть {z}zZ  - последовательность неотрицательных чисел.  Определим на множестве Z меру следующим образом:   для любого целого числа . Пространство суммируемых со степенью p последовательностей относительно меры  m, то есть таких, что     обозначается .

Так как мера m определена на множестве всех подмножеств множества Z, то любую последовательность можно рассматривать как измеримую функцию. Обозначим через  линейное  пространство всех  последовательностей.

	Определение. Число     называется нормой последовательности xn из lp(m,Z).

	В случае, если  для всех z, то получим классическое пространство lp(Z) последовательностей, суммируемых со степенью p .

	Определение. Оператор Т, действующий из пространства  в  называется оператором слабого типа (p,p), если   , где , и  оператором типа (p,p), если   .

	В этом случае остается справедливым следующий факт: любой оператор типа есть оператор слабого типа . Прежде чем установить его истинность, докажем утверждение, которое для этого понадобится.

Утверждение 5. Пусть дана последовательность   из   с  неотрицательными членами. Тогда .

Доказательство. 

	Обозначим . Нужно доказать, что .

. Получили, что .

	Утверждение доказано.

Предложение 5. Любой оператор типа  есть оператор слабого типа .

Доказательство.

	Дано, что  и . Доказать, что  

.

	Возьмем произвольное положительное число . По утверждению 5

. По условию . 	Тогда , что и требовалось доказать.

	Легко увидеть, что теорема  Марцинкевича будет справедлива и для операторов, действующих из пространств  в пространство .

	

	

	§2. Связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в .

	

		Теория интерполяции имеет многочисленные приложения в теории рядов Фурье.

		Определение. Пусть -периодическая функция, такая что . Нормой  в пространстве  называется число , а коэффициентами Фурье функции   называются числа .

Для функций из пространства  выполняется равенство .

В случае других значений   это, вообще говоря, не верно. Однако можно указать следующую оценку. 

	Предложение 6. Пусть периодическая функция из . Тогда для любого числа  из отрезка [1,2] существует константа , такая, что .

Доказательство.

	Рассмотрим оператор  и определим меру , т.е. оператор  действует из  в .

Докажем, что  оператор слабого типа : .

Зафиксируем произвольное положительное число .

.

Пусть . Тогда .                                 (2)

Далее имеем

.

	Учитывая равенства (1) и (2), получим, что .

В результате нашли константу , такую, что  .

2) Докажем, что  типа : . 

Уже говорилось, что для функций из пространства  выполняется равенство  .                   				              (3)

. По неравенству (3) . По предложению 5 оператор  будет слабого типа .

3) По теореме Марцинкевича  будет типа  для любого  из интервала (1,2), т.е. , что и требовалось доказать.				


Литература.



Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. «Наука», Москва, 1965.

Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. «Наука», Москва, 1984.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. «Наука», Москва, 1968.

Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.«Наука», Москва, 1978.

Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. «Наука», Москва, 1974.



































Распространим меру с сохранением свойств 1 и 2, определенную пока для сегментов, на более широкий класс множеств – так называемые элементарные множества.

	Назовем множество элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся сегментов.

	Определим теперь меру  для элементарных множеств следующим образом: если , где  - попарно непересекающиеся сегменты, то .

	Далее распространим меру и на бесконечные объединения сегментов. Для того, чтобы при этом не встречались множества «бесконечной меры», ограничимся рассмотрением множеств, целиком принадлежащих отрезку . На совокупности всех таких множеств определим две функции  и : 

	Определение. Верхней мерой  множества  называется число, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами сегментов.

	Определение. Нижней мерой  множества  называется число .

	Определение. Множество  называется измеримым, если . Их общее значение  называется  лебеговской мерой.

	Итак, распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс множеств, называемых измеримыми, замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений. Построенная мера является на этом классе множеств  - аддитивной, т.е. если  - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и , то .

	Однако, мы рассмотрели лишь те множества, которые являются подмножествами .

	Нетрудно освободиться и от этого ограничения. Представив всю числовую ось как сумму отрезков  ( - целое), будем говорить, что множество  измеримо, если его пересечение  с каждым из этих отрезков измеримо, и ряд  сходится. При этом положим по определению, .

	Причем совокупность множеств, измеримых относительно данной меры, также будет замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера будет  - аддитивна.

	Определение. Меру , получающаяся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию  называют производящей функцией этой меры.





1