Стереометрия на ЕГЭ по математике

Стереометрия на ЕГЭ по математике



Стереометрии в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике посвящены задачи B9 и C2, первые попроще, вторые посложнее. О некоторых методах решения задач C2 можно почитать в статье «Как решать задачи C2 ЕГЭ по математике — советы репетитора». В данной статье мы подробно остановимся на решении задач B9. Причем как репетитор по физике и математике постараюсь построить изложение таким образом, что через решение простых заданий B9 мы будем переходить к решению более сложных задач C2 по стереометрии из ЕГЭ, связанных с теми же пространственными фигурами и величинами. Как всегда материал будем разбирать на конкретных примерах из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с параллелепипедом

Пример 1. Найдите диагональ прямоугольного параллеле-пипеда, если она наклонена к его грани под углом  а стороны этой грани равны  и 



Чертеж к заданию

Решение. Так как  — параллелепипед, то  а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и  То есть треугольник  — прямоугольный, гипотенузой в нем будет являться искомая диагональ 

Из прямоугольного треугольника  находим гипотенузу Для прямоугольного треугольника  имеем  то есть 

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  и наклонена к плоскости его грани под углом  Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное плоскости этой грани.

Показать ответ

Пример 2. Основанием прямого параллелепипеда  является ромб , сторона которого равна  а угол  равен . Найдите расстояние от точки  до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 



Рисунок к заданию с выноской

Решение. Искомое расстояние есть высота треугольника проведенная из вершины  Ищем стороны данного треугольника. Ребро  Из прямоугольного треугольника  находим 

Далее  Из теоремы косинусов для треугольника  получаем, что  откуда  Из прямоугольного треугольника  находим 

Из теоремы косинусов для треугольника  получаем, что  откуда  Тогда  Площадь треугольника равна  С другой стороны  Следовательно, 

Здесь мы воспользовались приемом сведения задачи по стереометрии из ЕГЭ к задаче по планиметрии. Как видите, в данном случае такой способ решения нельзя назвать наиболее рациональным. И все же он не лишен права на существование. Подробнее о решении планиметрических задач из ЕГЭ по математике читайте в статье «Решение задач C4».

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №2. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник  боковая сторона которого равна  а угол  равен  Найдите расстояние от точки  до прямой  если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с пирамидой

Пример 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна  Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом  Найдите боковое ребро пирамиды.



Чертеж к заданию

Решение.  Угол наклона бокового ребра к плоскости основания есть угол между этим боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то есть угол  где  — перпендикуляр из вершины  на плоскость  (высота пирамиды). Для прямоугольного треугольника  имеем  откуда 

Задача для самостоятельного решения №3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Показать ответ

Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде  с вершиной  сторона основания равна высота  Найдите расстояние от вершины  до грани 



Чертеж к задаче

Решение.  лежит в плоскости   в этой плоскости не лежит и параллельна  следовательно,  параллельна  Ищем расстояние из точки  (середины ), оно будет равно искомому расстоянию из точки  что следует из доказанного выше.

Точка  находится в центре основания  поскольку пирамида правильная. То есть  Из прямоугольного треугольника  находим  Площадь треугольника  с одной стороны есть  а с другой стороны  Сравнивая полученные результаты, получаем, что 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №4. В правильной четырехугольной пирамиде  все ребра которой равны найдите расстояние между прямыми  и 

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные c цилиндром

Пример 5. Радиус основания цилиндра равен  Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если она наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 



Чертеж к задаче

Решение. Искомую диагональ ищем из прямоугольного треугольника  По определению косинуса получаем:  откуда находим 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №5. Образующая цилиндра равна  Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом  Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответ

Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен .



На рисунке r — радиус основания, l — образующая цилиндра

Решение. Из рисунка видно, что периметр осевого сечения цилиндра определяется по формуле:  или, что тоже самое,  Площадь осевого сечения равна  с учетом  получаем 

Полученное выражение представляет собой квадратичную функцию  от переменной . Наибольшее значение она принимает в вершине соответствующей параболы, то есть в точке  При этом образующая цилиндра равна 

Ответ:  или 

Задача для самостоятельного решения №6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с конусом

Пример 7. Диаметр основания конуса равен  Образующая наклонена к плоскости основания под углом  Найдите образующую конуса.



Рисунок к задаче

Решение. На рисунке треугольник  - равносторонний, поэтому искомая образующая равна 6.

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №7. Образующая конуса равна  и наклонена к плоскости основания под углом  Найти радиус основания конуса.

Показать ответ

Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 



Конус и развертка его боковой поверхности

Решение. Длина дуги сектора, образованного разверткой боковой поверхности конуса, равна с одной стороны  а с другой —  — длина окружности основания конуса. Откуда получаем, что Но это же отношение есть синус угла между образующей и высотой конуса. Итак, искомый угол есть 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №8. Высота конуса равна  а радиус основания равен  Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные со сферой

Пример 9. Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен  и образующая равна 



Осевое сечение описанной в задаче системы

Решение.   тогда из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора находим 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №9. Найдите диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны   

Показать ответ

Пример 10. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со стороной  Каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол  Найдите площадь поверхности и объем шара.



Иллюстрация к задаче

Решение. Из условия, что каждое ребро пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник, составляет с этим основанием один и тот же угол, с необходимостью следует, что этот прямоугольник является квадратом (докажите самостоятельно). Тогда  Из прямоугольного треугольника  находим  то есть 

Пусть радиус сферы  тогда треугольник  вписан в окружность радиуса  который находим из теоремы синусов:  откуда  Тогда площадь поверхности сферы равна  а объем шара 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №10. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом  при основании вписан шар объема  Найдите объем пирамиды.

Показать ответ

Итак, подведем итог. Что нужно для успешного решения задач постереометрии из ЕГЭ?

знание основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур;

умение проводить дополнительные построение и доказательства верности этих построений;

верно выполнять арифметические преобразования численных и буквенных выражений.

До экзамена осталось совсем мало времени и использовать его нужно максимально эффективно. К примеру, тренируйтесь в выполнении заданий, которые вызывают наибольшие затруднения. Помните, от того насколько хорошо вы сдадите выпускные экзамены в какой-то мере зависит ваша дальнейшая жизнь. Успехов вам!