Аналитическая геометрия в решении экономических задач

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Тюменский государственный нефтегазовый университет"

Филиал ТЮМГНГУ г. Салехард

Кафедра "Автомобили и автомобильное хозяйство"









Реферат

По дисциплине "Математика"

На тему: "Аналитическая геометрия в решении экономических задач"







	Выполнил:

	студент группы АТХ-08

Кузнецов И. В.

Проверил:

Попова В. Р







	

	Салехард 2009г.




			Содержание

			

1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ). Пример балансового анализа

2. Линейная модель обмена. Пример торговли трёх стран






1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)



Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в микроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объём производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворять все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой стороны как потребитель продукции и своей, и произведённой другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым. Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идёт на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Введём некоторые обозначения:  – общий (валовой) объём продукции i-й отрасли (i=1,2,…,n);

- объём продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j=1,2,…,n);

- объём конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объём продукции любой i-й отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то








Уравнения (2.14) называются соотношениями баланса .Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (2.14), имеют стоимостное выражение.



 



показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты  будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.



 



вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса (2.14) примут вид:



 



Обозначим



 , , ,



Где X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта, A – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему (2.14) можно записать в матричном виде:



 



Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. 

Перепишем уравнение (2.18) в виде:



 



Если матрица невырожденная, т.е.  то по

формуле (2.7)



 



Матрица называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы  будем задаваться единичными векторами конечного продукта







Тогда по формуле (2.20) соответствующие векторы валового выпуска будут








Следовательно, каждый элемент  матрицы S есть величена валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли 

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения  должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях 

Матрица  называется продуктивной, если для любого вектора  существует решение  уравнение (2.19). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A.Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица A продуктивна, если  для любых 

Пример балансового анализа

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчётный период, усл. ден. ед.:



Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск



энергетика

машиностроение





Производство

Энергетика

Машиностроение

7

21

72

100





12

15

123

150



Вычислить необходимый объём валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохраниться на прежнем уровне.

Решение: Имеем










По формуле (2.15) находим коэффициенты прямых затрат: 







т.е. матрица прямых затрат  имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:



 



Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объём валового выпуска X по формуле (2.20):



 



Найдём матрицу полных затрат



 :

 



Так как  по формуле (1.14)



 






По условию вектор конечного продукта  Тогда по формуле (2.17) получаем вектор валового выпуска:



 



т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл. ед. 



2. Линейная модель обмена



В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена(модель международной торговли).

Пусть имеется n стран  национальный доход каждой из которых равен соответственно  Обозначим коэффициентами  долю национального дохода, которую страна  тратит на покупку товаров у страны . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.



 



Рассмотрим матрицу



,




которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементов любого столбца матрицы A равна 1.

Для любой страны  (i=1,2,…,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит :



 



Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли каждой странны должна быть не меньше её национального дохода :



 



Если считать, что  то получаем систему неравенств:



 (3.33)



Сложив все неравенства системы (3.33), получим после группировки



 



Учитывая (3.32), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству






 



Таким образом, неравенство  невозможно, и условие принимает вид  С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.

Вводя вектор  национальных доходов стран, получим матричное уравнение



 (3.34)



В котором вектор x записан в виде вектор столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению 

Пример структурная матрица торговли трёх стран.

Структурная матрица торговли трёх стран  имеет вид :



.



Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение. Находим собственный вектор x, отвечающий собственному значению , решив уравнение  или систему



 






Методом Гаусса. Найдём  ,  т.е. 

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трёх стран достигается при векторе национальных доходов  т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2 : 2 : 1 или 3 : 4 : 2.