Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

2



Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования



Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение



(С*d (Q) /СC*dt) + Q= 2*I0*R*I/ СC*F (1)



I/I = XВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а Q/ Q0 = Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:



Q = Q0 *Хвых и I = I *XВХ



Тогда



С* Q0* d Хвых / СC* F* dt + Q0 Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F



Разделив обе части уравнения на Q0, получим:



С* d Хвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F* Q0



Обозначим:



С / СC* F= Т 2* I02* R/ СC*F* Q0 = R



Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,



Сдж/град / СCвт/см2*град* F см = С / СC* Fдж*см2*град/град*вт*см2



Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:



2* I02А2* RОм/ СC вт/см2*град *F см * Q0град =

= 2* I02* R/ СC*F* Q0А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град =

= 2* I02* R/ СC*F* Q00 = К



Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:



Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2)



Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:



Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх



Будем искать решение этого уравнения в виде



Х вых = С*еrt + K* Х вх 0



Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х/ вых в уравнение (2). Получим



Т* С*r*еrt + С*еrt = 0



Сокращая на С*еrt будем иметь:



Т* r + 1 = 0



Откуда r = - 1/Т и решение примет вид



Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)



При t = 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх 0. тогда уравнение кривой разгона будет:



Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)



График кривой разгона:

При t =  выходная величина Х вых достигает предельного значения



Х вых. уст = К* Х вх 0



Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:



К = Х вых. уст/ Х вх 0



Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.

Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.