Шпора 2

Билет №1

  Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1…n, возмём произвольную точку обл. (I;I)  Рi ,  - наиболь-ший диаметр чатичных обл. 

   Построим частичную сумму – сумму Римена.



Определение:



Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (I;I) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:



В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:



Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.

Св-ва двойного интеграла:

1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) – ограниченная.

2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема.

3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р.

4.Сумма Дарбу:

        

Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:



5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р1иР2  не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям.



6.Линейность:



7.Если f(x;y)  g(x;y) для (x;y)P и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство:



9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам  m  f(x;y)  M, то справедливо следующее неравенство:



10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) – ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во   m  f(x;y)  M, где 



то существует число  такое, что справедливо равенство:



В случае непрырывности ф-ции:





Вопрос №3  

Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=1(x) a  x  a – снизу;

y=2(x) a  x  b – сверху;  x = a – слева; x = b – справа;

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл



для любого фиксированного x [a ; b] существует одно- мерный интеграл



то тогда существует повторный интеграл



Доказательство:



Обозначим c=inf 1(x)  a  x  b; d=max 1(x)  a  x  b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]Д.  P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию



Рассмотрим



Получаем следующее равенство:



Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями:



x=1(y) c  y  d – слева; x=2(y) c  y  d – справа;

x = c – сверху; x = d – снизу.  И пусть



Тогда аналогично предыдущему можно показать, что существует повторный интеграл и



Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из них.



Вопрос №5  

Формула Грина.



Теорема: Пусть задана область Д огран. след. кривыми: 

y=1(x)    a  x  b

y=2(x)    a  x  b

x=a   ,   x=b, где ф-ции 1 и 2 непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся функция P(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:





Доказательство:

Рассмотрим двойной интеграл, стоящий справа в формуле(1). Т.к. под интегралом стоит непрер. функция, то такой двойной интеграл существует, также существует одномерный интеграл и его можно вычислить через повторный:



 Теорема: Пусть задана область Д огран.: 



y=1(x)    с  x  d

y=2(x)    c  x  d

x=c   ,   x=d. И пусть в этой области задаётся функция Q(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:





Cкладываем формулы (1) и (2) и получаем следующую формулу Грина для области Д:



D    P(x,y), Q(x,y) , 



Вычисление площадей через крив интеграл





Применим ф. Грина, т.е. выразим его через криволинейный интеграл по границе области.

1. Q = x  P = 0

2. Q = 0   P = -y

Суммируем  1 и 2 :      

Пример: Вычислить площадь эллипса

.

Сделаем замену переменных              0  t  2



Вопрос №6  

Неприрывную кривую назыв. простой кривой (жордановой), если она не имеет точек самопересечения.



Областью называется всякое открытое связаное мн-во, т.е. такое мн-во всякая точка кот. явл. внутренней и любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки кот. принадлежат данному мн-ву.



Область называется односвязной областью, если внутренность всякой замкнутой кривой содержит только точки данного мн-ва.  

Теорема 1. Пусть Д  ограниченная односвязная область пл-ти x и y, тогда для того чтобы криволинейный интеграл



был равен нулю по любой замкнутой кривой ГД, (где P(x,y)  и Q(x,y) непрерыв. И имеет непрерыв. Частные производ.  и  ) необходимо и достаточно чтобы вып. Такое равенство

=          (2)

f(x,y)Д.

Док-во:  Пусть во всей области Д вып. Равенство (2) и Г произвольная простая замкнутая кривая принадлеж. области Д. Обознач. Через обл. Д1 кот. огранич. Эта кривая Г. Применим к этой области формулу Грина:





Предположим, что интеграл равен нулю, а равенство (2) не вып. По крайней мере в одной точке (x0 ,y0)  Д







F(x0,y0)0 , т.к. частные произв. Непрерывны в обл. Д, то ф-ция F(x,y) непрывна в этой обл. , а из этого вытекает , т.к. F(x0,y0)0, то существует окрестность этой точки такая, что F(x,y)0 для всех точек лежащих в нутри окр.  кот. явл. Границей нашей окружности.

Множество точек леж. В этой окр. обознач. Д1 и применим к области Д1 ф-лу Грина:



это показывает, что не сущ. ни одной точки, где бы (2) не выполнялось.  



Вопрос №4

Пусть заданы 2 плоскости с введенными в прямоугольник декартовыми системами координат



 XOY и UOV. Пусть в плоскисти XOY задана область DV ограниченная кривой Г, а в плоскости  UOV задана область G ограниченная кривой L 

Пусть функция отображает область G в области D, где т.(u,v) G, а т.(x,y)D.     

Будем предпологать , что функции x и y такие, что каждой точке области G соответствует точка области D и причем это соответствие такое, что различным точкам области D соответствуют различные области точки G. Причем всякая точка области D имеет единственный прообраз (u,v) в области G.

Тогда существует обратная функции  

 которая взаимноодназначно отображает область D в области G. Т.к. заданием двух точек U,V одназначно определяют т.(x,y) в области D, то числа U и V принято называть координатами точек в облати D, но уже криволинейными.

Будем предпологать, что функции x(U,V) и y(U,V) имеют непрерывные частные производные по своим переменным x’y и y’x, x’v и y’v, тогда определитель функции имеет вид:                             

Принято называть якобианом для функций x(U,V) и  y(U,V).

      Можно показать,что площадь области D задана в плоскости XOY может быть выражена в криволинейных координатах следующим образом:

 - прямолинейном интеграле.

                           в криволинейных координатах.

         Замена переменных.  

Теорема: Пусть Z=f(x) – непрерывная функция заданая в области D и область D является образом области G через посредства функций , где функции x(U,V) и y(U,V) непрерывные и имеют непрер. Частные производные, тогда справедлива след. Формула замены переменных в двойном интеграле:



Док-во: Разорвем обл.G непер. Кривыми на конечное число частичных областей. Тогда согласно формулам отображающим область G в обл. D. Эти кривые обл. G отображ. В некоторые кривые обл. D, т.е. обл. D будет разбита на конечное число (такое же как и обл. G) частичных подобластей.



Di – подобласти, i=1,2,…,n.

В каждой обл. Di выберем т.(x,y)Di и составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла от функции f обл. D.



Площадь обл. Di выразим в криволинейных координатах



xi=x(Ui,Vi)

yi=y(Ui,Vi)



И того, что интеграл от функции f(x,y)dxdy сущ., то  lim n(f) и этот lim не зависит от выбора точек в обл. Di, но тогда в качестве f(xi,yi) может быть взята точка     







Мы получаем интегральную сумму Римана для  интегр., что стоит справа формулы (1), поэтому переходя к lim в следующем равенстве:

 

получим ф-лу (1),  т.к.  суммы стремятся к соответствующему интегралу.



Вопрос №2

Теорема: Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику  

Если для  X [a,b] существует одномерный интеграл



то  повторный интеграл



Доказательство: 



Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0<x1<…<xn=b, c=y0<y1<…<yn=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] mik=inf f(x,y)  Mik=sup f(x,y)

                             Rik                    Rik

На промежутке [xi;xi+1] возьмём точку . Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x = .

Получаем следующее неравенство mik f(;y) Mik yk y yk+1 Проинтегрируем его по отрезку [yk; yk+1]



Замечание: если же существует двойной интеграл и существует одномерный интеграл  



то существует повторный



Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл по области R, существуют оба од- номерных  J(y) и Ί(x), то одновременно имеют место формулы (1) и (2)



Например: если f(x;y) непрерывна в области R, то, как известно двойной интеграл, и оба одномерных существуют, а значит, справедлива формула (3) и для вычисления двойного интеграла можно пользоваться одной из формул (1) или (2), а именно выбирая ту или иную, которая даёт более простое решение.













7.Независемость криволинейного интегр. от пути интегрирования. Теор.1 и 2.

Теорема 1. Пусть D – ограниченная одно-связанная область плоскости XOY тогда что бы  криволинейный интеграл -  был равен 0 по любой замкнутой простой кривой , где P(x,y)  и Q(x,y)  -  непрерывны и имеют непрерывные частные производные  , необходимо и достаточно что бы во всех точках области D было  (2).

Док-во 

достаточность: Пусть во всех точках обл. D выполнено рав-во (2) и пусть Г  произвольная простая замкнутая кривая, принадлежащая области. Обозначим через D область кот-ю ограничивает эта кривая Г. Применим теперь к этой области ф-лу Грина. 

   

Необходимость: Криволинейный интеграл в любой замкнутой простой кривой существует область D=0. Покажем, что во всех точках области D выполняется рав-во (2). (это доказуется методом от противного). Пусть интеграл  = нулю, а рав-во (2) не выполняется, по крайней мере, в одной точке   , т.е. . Пусть,  так что разность . Пусть  тогда . Т.к. частные производные  и  непрерывны в области D, то  непрерывна в этой области, а из непрерывности функций вытекает что ф-ция , то существует окрестность этой точки, принадлежащая области D,  так что везде в этой окрестности   для любой точки лежащей внутри кривой. 

 кот-я является границей нашей окрестности  - множество чисел внутри . Применим к  ф-лу Грина: . Полученное противоречие показывает, что не существует не одной точки где бы равенство (2) не выполнялось.

Теорема 2 Пусть D есть односвязная область плоскости XOY в этой области заданы две непрерывные функции D(x,y) и Q(x,y) имеющие непрерывные частные производные  и  ; чтоб криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования . Необходимо и достаточно чтоб выполнялось равенство (2).

Док. Не обход. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точки пути интегрирования.

Возьмём в области D произвольно простую замкнутую кривую Г. На этой кривой т. А и т. В 

Т.к. по условию криво-ный интеграл не зависит от пути интегрирования, то  интеграл по кривым АmB=AnB 



 В силу 1-й теоремы должно выполнятся рав-во (2).

Док. Достат. Пусть выполняется рав-во (2) . Покажем, что криволенейный интеграл не зависит от  пути  интегрирования :

1-й  случай. Берём две произвольные точки принадлежащие области D и соединяем эти  точки непрерывными кривыми  и , кот-е не имеют точек самопересечения.

Если эти кривые образуют простой замкнутый контур без самопересечения и т.к. выполняется рав-во (2), то интеграл поэтому замкнутому контуру обязан быть равен 0.   ,  т.е. интеграл не зависит от кривой.

2-й случай. Пусть  и  имеют конечное число точек самопересечения



Будем двигаться от А к C1 в результате получили контур  и . Аналогично Для всех остальных случаев.

3-й случай. Если кривые пересекаются на счётном множестве точек то интеграл по таким кривым тоже будут равны между собой ….счётное множество эквивалентное множеству натуральных чисел.



9.Параметрические ур-я поа-ти, касательная плос-ть, нормаль, направляющие косинусы нормали.

Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями :x=x(U,V) ; y=y(U,V); z=z(U,V) и функции x,y,z непрерывны и имеют непрерывные частные произвольные. Рассмотрим матрицу



На поверхности берём точки U0(x0,y0,z0) которая является образом (U0,V0) . Можно показать, что в этом случае уравнение касательной к плоскости поверхности имеет вид А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 .Уравнение нормали поверхности . Далее введём направляющую. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями и 

	- угол образованный нормалью с направлением осью X 

		- угол  образованный нормалью с направлением осью Y

		- угол  образованный нормалью с направлением осью Z,

	cos   cos  cos  - называют направляющими косинусами нормали. Для направляющих косинусов нормали имеет место формула: 

	, , . В знаменатели стоит двойной знак    и всякий раз выбирают один из знаков в зависимости от направления нормали. В случае явного задания поверхности направляющие вычисляются  ,  , .





                     Билет 12

                            Задача о вычислении  массы  пространств-го тела.

Пусть в трехмерном пространстве задано тело D, причем  в  точках этого тела определены некоторые массы и известна плотность распределения массы, кот. явл-ся  ф-цией трех переменных U=(x,y,z).	Разобьем это прост-ное тело некоторыми гладкими пов-ми на конечное число областей D1,  D2,…,Dn. В каждой области Di произвол. выберем некот. точку () Di. Плотность массы в этой точке – это iii.  Будем считать, что ф-ция  явл-ся непрерывной, а разбиение достат. мелким так, что значения ф-ции внутри области Di не слишком отличаються от значений ф-ции  в выбранной точке. Т.е. будем считать, что в области Di  плотность массы одна и та же и равна числу iii. Тогда очевидно масса, заключенная в обл. Di , будет равняться iiiV. Тогда приближенное значение массы для всей области равна  iiiVi Пусть  - наибольший из диаметров Di – тых областей, а тогда масса , заключенная в области равна  m=lim( iiiVi 

Пусть теперь задано пространств. тело D. В точках этого тела определена ф-ция U=f(x,y,z). Разобьем это тело на конечное число Di –тых (i=1,2,3,…). В каждой области Di выберем произвол. точку (xi,yi,zi) и составим интегральную 

n= (xi,yi,zi) * Vi Если сущ. предел и он конечный и он не зависит от способа деления обл. D на части и выбора точек (xi,yi,zi) , то этот предел называют тройным интегралом по обл.D от ф-ции f(x,y,z)				lim(n= f(x,y,z)dx dy dz Следовательно	m=(x,y,z)dxdydz			

Св-ва  тройного интеграла аналогично св-м двойного интеграла 1) Всякая интегрируемая в обл. D ф-ция ограничена в этой области.

2) Могут быть построены суммы Дарбу

    верх  S= Mi  * Vi                 низ  s= mi * Vi

3) Необходимо и достаточное условие сущ. интеграла 

                      lim( S-s)=0

4) Как и в случае двойного интеграла сущ. тройной интеграл от любой непрерывной ф-ции, заданной в обл. D. Однако тройной интеграл сущ. и в случае, когда ф-ция f(x,y,z) имеет разрывы 1-го рода на конечном числе пов-тей данного тела D.

5)Тройной интеграл обладает св-вами линейности и аддетивности

      Dfdx = D1fdx + D2 , где D=D1D2

6)Если сущ. тройной интеграл от ф-ции  f, то сущ. интеграл по модулю

и существует  равенство

               fdv

Если функция fв области D ограничена какими-то числами m  f  М , то для тройного интеграла справидливо  неравенство   

                          mVd  dvM VD    

7) Имеет место теорема о среднем , т.е. если функция (x,y,z) не-прерывная в области D , то справедливо равенство 

                       dv   (X0 , Yo  , Z0)                     (X0 , Yo , Z0)D

             Ввычесление тройного интеграла по параллепипеду .

1. Пусть  функция (x , y ,z)  задана  на параллепипеде  R a ,b ; c , d; e, f.

  Обозначим  через Gи D прямоугольника D c , d; e, f и a,b;c,d . Тогда если существует  тройной интеграл по параллепипеду от функции (x,y,z) и существует для любого x из a,b двойной  интеграл по прямоугольнику D

       (x,y,z)dydz то существует 

dv =dx(x,y,z)dydz

Если для  ze,f   (x,y,z)dxdy,то  dv = dx(x,y,z)dydz = dxdy(x,y,z) . Если функция (x,y,z) непрерывна в области D,т.е. на параллепипеде , то все указаные ранее интеграмы существует и имеет 

место вся большая формула и в последнемравенстве можно менять местами в случае непрерывности функции.

2. Пусть (x,y,z) задана в пространстве области G причем область G                                                                        сверху ограниченная  плоскостью  z=z2(x,y) снизу z=z1(x,y),a c боков ограничена цилиндрической поверхностью образующая которой OZ. И пусть проекция этого тела на плоскость XOY есть некотокая область D .Тогда можно показать ,что тройной интеграл по пространственной области  G может быть вычеслен по такой формуле



Продолжение №12

Если теперь обл. D будет иметь следующее строение. Пусть обл. D, кот. явл. проэкцией тела на пл-ть XOY, ограничена следующими линиями: отрезками прямых x=a и x=b , и кривыми y=1 (x) и  y=2(x). Тогда тройной интеграл:									                  	





Вопрос №10



Пусть  в  пространстве  задана  поверхность Q, которая   является   гладкой  и  задана  явным  уравнением  z = f(x;y), где (x;y)ЄD.

D  является  проэкцией  поверхности  Q  на  плоскость  xoy. Будем считать f(x,y) – непрерывная   со   своими  частными  производными 



Требуется  вычислить  площадь   S  заданной   поверхности. Разобьем  область  D  непрерывными  кривыми  на  конечное  число  частичных  областей  D1,D2,…,Dn. Возьмем  в  области  Di  т.(xi;yi)  и  построим  цилиндрическое  тело,  в  основании  которого  лежит  область  Di , а  образующие  параллельны  оси  oz. Это  цилиндрическое  тело  вырежет  на  нашей  поверхности  Q  некоторую  i-тую  площадку. Обозначим  через  Mi (xi;yi;zi)  точку  на  i-той  частичной  поверхности  такую, что  zi=f(xi;yi), т.е.  Mi(xi;yi;z (xi;yi)). Так как  частные производные  p,q-непрерывны,  то поверхность  является  гладкой  и  в  каждой  точке  этой поверхности  существует  касательная  плоскость. Проведем  теперь  касательную  плоскость  к  поверхности  в точке  Mi. Построенное  тело  на  обл.  Di  на  этой  плоскости  Т вырежит  некоторую  площадку Ti. Eе  площадь  STi   дает  некоторое  приближение  для  площади  куска  поверхности,  который  вырезается  этом  цилиндрическим  телом.  Аналогичным  образом  поступим  с  остальными  областями  D1,D2,…,Dn.  В  результате  мы  получим  некоторое  приближение  для  площади  всей  заданной  поверхности. Пусть

        n      

  n= STi    

      i=1    

 А  тогда  принято  считать, что  площадью  поверхности  является

                                n

     S=lim  n=lim     STi ,    

              i=1  

где   - наибольший  из  диаметров  площадей  Di.

Нетрудно  показать, что  такой  предел  будет  равен

    S=lim n= (1/cos )dx dy,

        0      D

где   - угол, образованный  нормалью  к  поверхности  с  осью  oz.

Доказательство:



Через  i  обозначим  угол,  который  образует  касательную  плоскость  с  плоскостью  xoy.  В точке Mi  проводим  нормаль  к  поверхности.  Получаем, что  угол, образованный  касательной  плоскостью  с  плоскостью  xoy  равен  углу,  образованному  нормалью  к  поверхности  с осью  oz.  Площадь Di  есть  проекция  плоскости  Ti , которая  лежит  на  касательной  плоскости.  А  тогда  SDi=STi*cos i .

А  тогда  получаем, что

       n        n                         n  

 n= STi= SDi / cos  i = (1/cos i)*SDi  .

      i=1     i=1                      i=1  

 Получили, что   данная  сумма   является   суммой   Римена   для   такого  двойного интеграла:

   (1/cos )dx dy.

 D 

Получили , что  площадь  поверхности  Q , заданной  явным  уравнением ,  вычисляется  по  такой  формуле :

  SQ= (1/cos )dx dy.

        D

Если   поверхность  задана  явным  уравнением , то

  cos =1/ (1+p2+q2 n)=1/(1+zx'2+zy'2 ).

В  случае  явного задания  поверхности

  SQ=(1+zx'2+zy'2)dx dy =(1+p2+q2)dx dy

        D                                 D

Если  теперь  поверхность  Q  задана  параметрическими  уравнениями      

     x=x(u,v)

     y=y(u,v)     (u,v)єG ,

     z=z(u,v) 

  где  функции  x,y,z непрерывны  со  своими  частными  производными, то  в  этом  случае  площадь  поверхности  вычисляется  по  следующей  формуле 

 SQ=(A2+B2+C2) du dv,

где  А,B,C-есть  раннее  введенные  функциональные  определители.





8.Касательная пл-ть к пов-ти и её ур-е в случае явного и не явного задания пов-ти.

1) не явное. Пусть поверхность задаётся не явным уравнением  F(x,y,z)=0. Эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные.







Здесь рисунок.





Зафиксируем любую точку M0(x0,y0,z0). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет  x=x(t) y=y(t) z=z(t) где . Предположим что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по t . Пусть т. M0 соответствует значению параметра t=t0 x0=x(t0) y0=y(t0) z0=z(t0). Т.е. M0(x(t0),y(t0),z(t0))=M0(x0,y0,z0) , т.к. кривая Г лежит на пов-ти, то она удовлетворяет уравнению поверхности т.е. F(x(t),y(t),z(t)) 0, берём производную . Посмотрим это рав-во в т.M0 т.е. t=t0 получим ; Введём обозначение через  , а через , а так как  то  проведём через точку М0 любую кривую. из рассмотренных равенств заметим, что любые кривые на пов-ти, кот-е являются непрерывными , всегда будет выполнятся рав-во  , а это рав-во показывает что вектор  будет ортогонален к любому касательному вектору , кот-й проходит через эту точку М0, значить все касательные s лежат в одной плос-ти перпендикулярно к . Эту плос-ть состоящую из касательных векторов называют касательной плоскостью к поверхности в т. М0, а вектор  наз нормальным вектором плоскости в т. М0.  в случае не явно. Прямая проходящая через т. М0 и перпендикулярная к касательной плоскости поверхности называют нормалью поверхности. Но тогда ур-е прямой поверхности проходящую через т. М0:  .

2) явно. пусть пов-ть задаётся явным ур-ем z=f(x,y), где (x,y)D  f - ф-ция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. ; ;

z-f(x,y)=0; F(x,y,z); 

 ;; 

; 

; ;



 это ур-е пов-ти.





Вопрос№11

Если пов-ть Р задана параметрич. ур-ями

             (u,v) G

ф-ии x,y,z непрерывны с частными производными то   поверхностный интеграл  1-го рода вычисл. С помощью интеграла двойного рода,взятого по обл. G по ф-ле:



Если пов-ть Р задается явным урав. Z=F(x,y)=z(x,y) 

Где (x,y),причем ф-ия F-непрерыв. Со своими

Часными произв.,то поверхностный интегр.1-го рода 

Вычисл.по ф-ле :



где P и Q соотв.часные произв.

     Поверхн.интеграл 2-го рода 



Криволин.интеграл 2-го рода:



Пусть задана двусторонняя пов-ть S и на верхн.

Стороне задана ф-ция U=F(x,y,z).Разобьем задан.

Повер.S непрерывн.кривыми на конечное число 

Частичных поверх. S1,S2….Sn.Проэктир.эти поверх.

На XOY , -площадь прэкции повер.Si:

 

Если сущ.предел  Lim   n  при  не зависит 

От способа дел.области на части и выбора точек Mi,

То его наз.повер.интегалом 2-го рода по поверхн.и 

Обознач. :



Если же проэктировать пов-ть на другие плоскости ,то

Получится:





Пусть на пов-ти заданы три ф-ции P(x,y,z), Q(x,y,z)

R(x,y,z) тогда повер.интегр.2-го рода общего вида наз.

Пусть пов-ть S явл.гладкой поверхн.,такой что в каждой точке ее 

Сущ. Пл-ть такая что в каждой т.пов-ти сущ.нормаль.Обозначим

Через ,,-углы ,которые образуют углы с осями OX,OY,OZ.

Тогда,как и для криволин.интеграла имеет место форма между повер.Интегр.1 и 2 рода:

Имеет место следующ.ф-ла замены перем.в пов.интегр.2-го.

Пусть пов-ть S задается своими парам.ур-ми:



ф-ции x,y,z –непрерыв.и имеют непрер.частн. произв.Тогда:



 Имеет место ф-ла Стакса ,связывающ.криволин.интеграл по контуру 

Пов-ти с повер.интегралом 2-го по задан.пов-ти.

 Пусть задана некоторая гладкая повер.S на верхн.стороне этой повер.

Заданы три ф-ии P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) непрерыв.и имеющ.непрер.

Частн.произв.по своим аргументам и L-контур повер.,проходящий в

Полож.направления.Тогда:









Билет №14

Поток вектора через поверхность

Пусть задана некоторая область(тело) ДR3 Пусть над этой областью определено поле вектора (М), МД ,   Аx ,Ay ,Az 



Возьмем в области Д некоторую поверхность S обозначим через - нормальный вектор поверхности   -единичный вектор , данного нормального вектора   

 где ,, -углы , которые образует нормаль с осями координат

Потоком вектора  через заданную поверхность S (во внешнюю поверхность) называют следующий поверхностный интеграл 1-го рода 



Проекция вектора на ось 



Ап – проекция вектора  на вектор  Ап =пр

А тогда поток вектора будет равен





Вопрос №16

Общий вид диф уравнения F(x, y, y’)=0  y’=f(x,y) (1).

Решением дифференциальное уравнение первого порядка называется всякая функция  y=(x), которая будучи подставлена в данное уравнение обращает его в тождество. 

’(x)= f (x, (x)); 

  


Задача Коши для диф. уравнения 1 порядка.

Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию  (2).

Теорема Коши.

Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и  некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т.

принимает значение , т.е. удовлетворяющая заданному начальному условию  .

 

Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений бесконечное множество.

График функции являющийся решением диф. ур-я принято называть интегральной кривой, процесс решение принято называть интегрированием.

Точкув плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество.

Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой.

Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка:

Функция y=(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия:

Функция y=(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С;

Какова бы ни была т.  Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=(x,) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. 

Частным решением данного диф. ур-я называется решение этого ур-я которое может быть получено из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной константы С.

Определение:

Если решение диф. ур-я (1) может быть получено в виде, причём это ур-е не может быть явно разрешено относительно y, то функцию принято называть общим интегралом диф. ур-я (1), где С – произвольная константа. Если решение получено в виде , где - явная константа – частным интегралом диф. ур-я.

Особое решение данного диф. ур-я (1) ни при каком значении константы С не может быть получено из общего решения..

                     Вопрос №17

Диф. ур-ем с разделёнными перемеными принято называть ур-е вида (1):

 (1)

Если y=y(x) является решением ур-я (1), то и правая и левая части этого ур-я представляют собой дифференциалы от переменной x, т.е. имеем равенство двух дифференциалов, то тогда неопределённые интегралы отличается разве лишь на константу. Т.е. интегрируя равенство (1), получаем общее решение данного диф. ур-я:



Уравнения с разделяющимися переменными:

 

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделёнными переменными.

докажем, что это ур-е можно привести к ур-ю с разделёнными переменными.



Т.е. 

Если 

т.е. 





Пример:





Билет №15

                            Дивергенция , циркуляция ротор вектора

Пусть задана некоторая пространственная область Д над которой определенно поле вектора  и S –некоторая поверхность в данной поверхности Д

Рассмотрим интеграл , выражающий поток вектора через поверхность S

Обозначим Аx = P(x,y,z) , Ay =Q(x,y,z) , Az = R(x,y,z)





поверхность S ограничивает тело Д1  



  - расходимость (дивергенция ) вектора 



 - уравнение Остроградского-Гаусса

Ап – проекция вектора  на нормаль поверхности 

                     Циркуляция , вихрь и ротор вектора

Пусть в пространстве задано некоторое тело Д  и пусть в теле Д рассматривается некоторая кривая L , которая гладкая , имеет непрерывно изменяющуюся касательную 

Обозначим через ,, углы , образует касательная к кривой L с осями координат 

Пусть над этим телом определенно поле вектора 

Тогда криволинейный интеграл по кривой L 



Рассуждая как и прежде можно показать , что 

L0 - единичный вектор касательной L1  

L1  - касательный вектор к кривой L

Если кривая L является замкнутой кривой , то такой интеграл принято называть циркуляцией вектора  вдоль замкнутого контура L   - циркуляция  

Пусть теперь в некоторой области Д задана поверхность S , контур которой обозначим через L



 

 - формула Стокса



Ротором векторного поля  называется вектором (или вихрем) , имеющий следующие координаты и обозначающиеся 



 Циркуляцией вектора  вдоль поверхности S равна потоку вектора  через заданную поверхность S

   -  формула Стокса



Билет №13

Криволинейные интегралы в пространстве и объем тела в криволинейных координатах

Пусть в пространстве OXYZзадано тело G.И пусть в другом пространстве OUVW задано тело Д

И пусть заданы 3 функции



взаимно однозначно отображающие область Д в области G

Будем считать функции x,y,z –непрерывными и имеющие непрерывные частные производные 

Рассмотрим Якобиан 



Можно показать , что в случае взаимно однозначного отображения области Д и G якобиан ни в одной точке области Д не обращается в 0

А значит в области Д сохраняет один и тот же знак Координаты (U,V,W) принято называть криволинейными координатами точек области G 

И тогда можно показать , что объем области G в криволинейных координатах выражается по следующей формуле



Если теперь в области G будет задана функция f(x,y,z) –непрерывная в этой области, то справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле



При замене переменных в тройном интеграле наиболее часто используются цилиндрические и сферические координаты

Под цилиндрическими координатами следует понимать объединение полярных координат на плоскости XOY и аппликаты z      ,,z



-расстояние от начала координат до проекции тМ на плоскость 

-угол , образованный радиус вектором ОМ , в пол направлении 

    циллиндрические координаты  

0  < + , 0  < 2 , -< z < +

Подсчитаем якобиан в случае цилиндрических координат  





- угол , образованный проекцией радиус-вектора тМ

-угол, образованный радиус-вектором тМ 

- радиус-вектор тМ, равный ОМ

Сферическими координатами принято называть ,,

Где - расстояние от начала координат до тМ

- угол , образованный радиус-вектора с осью Z

- угол, образованный проекции радиус-вектора с осью X 

=(ОМ)     0  < + , 0  <  ,  0 <  < 2

Найдем якобиан для сферических координат

   

=cos[2 cos2 cos sin + 2 sin2  sin cos] + sin [ sin2  cos2  +  sin2  sin2 ] =2 cos2  sin + 2 sin3 =2 sin  I(,,)=2sin





Вопрос №18 

 Пусть задана функция в области Д, полкости XOY, функцию  называют однородной функцией m-той степени относительно переменных x и y, если каково бы ни было число t>0, выполняется равенство:





Пример: 

Определение: диф. ур-е 1 порядка разрешённое относительно производной называется однородным диф. ур-ем 1 порядка, если его правая чаcть (функция f(x,y)) является однородной функцией 0-й степени.

Метод решения: Пусть (1) является однородным уравнением (1).

 Пусть 



2) если то 

т.е. 





Билет№20 Линейные диф. 

Уравнения1- порядка. Метод подстановки.

Линейным уравнением 1-го порядка называют 

уравнения вида: 

y’+yP(x)=Q(x) – где P(x) и Q(x) некоторые 

функции переменной х , а y’ и y входят в уравнение 

в 1 степени.

1.Метод подстановки:

   Будем искать решение уравнения 1 в виде 

произведения y=U(x)V(x) при чём так, что мы 

можем подобрать одну из функций по желанию, 

а вторую так, чтобы удовлетворяла (1) :

y’=U’V+UV’ ; U’V+UV’+UV*P(x)=Q(x) ; 

U’V+U(V’+V*P(x))=Q(x)

 Найдём V ,чтобы V’+VP(x)=0 :

    

  Тогда  U’V=Q(x) 

    

   

    

y’+y cos(x)=1/2 sin(2x)    y=UV     

U’V+UV’+UVcos(x)=sin(x)cos(x)     

V’+Vcos(x)=0    dV/V=-cos(x)dx        

ln(V)= -sin(x)    V=e-sin(x) 

   

sin(x)=t 





Билет №22

Уравнение Бернулли и Рикотти и их решение.

Уравнение Бернулли – это диф. Ур-е следующего вида :



где P(x) и Q(x) – непрерывные функции  m – действительное число 0 и 1

разделим уравнение на  ym :

 - приведем его к линейному

Обозначим через  а теперь диференциируем



теперь подставим в уравнение 



получили линейное уравнение .



Уравнение Рикотти – это диф.  следующего вида 

Где P(x),q(x),r(x) – некоторые непрерывные функции

Рассмотрим несколько случаев

1) если ф-ции P(x) , Q(x) и r(x) – явл. Константами  то в этом случае сущ. решением ур-я Рикотти т.к. в этом случае ур-е явл. Ур-ем с разделенными переменными .



2) если q(x)=0 имеем лин. Ур-ние 

3) если r(x)=0 то имеем ур-е Бернулли 

Если не выполяется ни одно из этих 3 условий , то ур-е Рикотти решить нельзя , неразрешимо в квыадратурах . Однако если эти три случая  , но возможно найти  хотя бы одно частное решение этого ур-я  то ур-е решается в квадратуре .

Установим это : пусть - явл. Часным решением  ур-я Рикотти т.е.



тогда введем новую функцию z=z(x)

Положем  ,  

Подставив в уравнение получим 



а это ур-е Бернулли





























Билет №23

Уравнение в полных дифференциалах и их решение

Пусть задано диф. ур-е  ел. Вида:



где P(x,y) и Q(x,y) – непрер. Функции  имеющие непрерыв часн. Производную 2 порядка включительно.

Диф. ур. Назыв. Ур-ем в полных диф-лах , если  такое что 



т.е. ур. В этом случае имеет вид :

это уравнение явл полным диф. функции U как ф-ции двух переменных:



если выполняется равенство тогда то левая часть  а тогда его решение 

 - общий интеграл диф. Ур.



Теорема о необходимости и достаточности условия того что Ур было ур-ем в полных дифференциалах 

Теорема : Для того чтобы ур было ур-ем в полных диф.  в некоторой   Д  принадл ХОУ

Необх. И дост. Чтобы во всех точках обл. Д выполн равенство  если условие выполняется можно найти ф-цию  что будет выполняться рав-во след. Образом. 



найдем 



Билет№21.

Метод вариации производной постоянной при решении линейного диф. уравнения  1-го порядка.



y’+P(x)y=Q(x)   (1)   -задано линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим  соотв. ему однородное уравнение  y’=P(x)y=0   (2).  Найдём общее решение:

      

                     

 Будем искать решение в том же виде, что и однородного, только считая с не произвольной константой ,а функцией от х : 





Билет№19  Уравнения, приводящиеся к однородным.

К таким уравнениям относят уравнения вида:

      где a,в,с - const

1)Введём: чтобы исчезли с1 и с2                      После нахождения конкретных k и h и подстановки их в наше уравнение, с учётом того, что  получаем : Это уравнение является однородным и решается подстановкой 

2).  Тогда:         Подставим : Сделаем замену:                                

1). Допустим                                  φ(z)=x+c           φ(a2x+b2y)=x+c



2).  Теперь допустим Тогда получим z=c.









































Билет №24

Интегральный множитель и его нахождение

Пусть задано  диф. ур-ние в диф. форме вида :



не всякое такое уравнение явл. Уравнением в полных виференциалах однако доказано что для всякого такого ур-я может быть подобрана ф-ция такая что после умножения  левого и правого ур-я на эту функцию данное уравнение стан ур-ем в полных диф. Ф-цияю назыв интегральным множителем данного уравнения 

Найдем функцию определяющую интегр. Множитель данного уравнения:



тогда должно выполн. Рав-во:



имеем уравнение в частных производных относит неизв функции Мю.Общего метода нахожения которой не существует

Найдем интегр множитель в случае если он явл ф-цией от одной из перемен.

1)Найдем условие при которых  функция должна удовлетв равенству

 ;будет зависеть только от Х если правая часть ур будет зависеть только от Х

2) Аналогично и =(У)

 ;будет зависеть только от Х если правая часть ур будет зависеть только от У





		Вопрос №26.

		    Уравнение вида: f(x,y)=0.

		1) Предположим, что данное уравнение можно разрешить относительно y; y=fk(x), k=1,2,…

		  Получим совокупность таких решений. Она является общим решением данного уравнения.

		

		

		……………………………….

		

		2) Пусть оно не разрешается относительно y и разрешается относительно x. Пусть оно эквивал. Такому x=(y). Будем искать  решение данного уровнение в параметрической форме. y=p=p(x).

		Пусть x=(p),       А y ищем так:

		      dx=(p)dp       dy=ydx=p(p)dl.

		Отсюда    

		Тогда общее решение 

		3) Предположим, что ур-ние не разрешено не относ. х, не относ. y, но оно может быть представлено в виде с-мы двух ур-ний, эквивалентных данному ур-нию:   t  

		                               dy=ydx          dx =(x)dt

		                               dy=(t)* (t)dt

		Тогда парметрическое решение данное ур-я





Билет 28.

Ур-ние Логранжа

Ур. Лог.имеет следующий вид 

где ф-цияи непрерывная и 

сменная производная по своему аргументу.

Покажем что путём  диф-ния и введения 

параметра можно получить общее решение 

в параметрической форме.Пусть у`=p=p(x) 

Подставляем в ур. 

   (1)

Продиф-ем на х





Рассмотрим два случая:







Будем смотреть на это ур-ние как наур-ние

 от неизв. Ф-ции х, которая в свою очередь явл. 

Ф-цией параметра р.Тогда имеем обычное 

инт.ур.относительно неизв.ф-ции, которую 

можем найти.

Пусть общим интегралом этого ур.будут

    F(p,е,c)=0  (2)

Объеденим (2) и (1)             





А это и есть общее решение ,представленое

 через параметр Р.

2) ,тогда Р=0,но такая constanta,

что удовлет. решению ур. :

Пусть РI(I=1,2,..) будут решением этого ур. 

Тогда решением  первоначального ур.А.

будут ф-ции ,

которые явл. Особыми решениями ур. А.

 И не могут быть получены общим решением. 

     Ур.Клеро.

Ур.Клеро имеет вид 

где 

-непрер. и симетр.произв.по своему 

аргументу. Вводим параметр .

Тогда    (3)

 Диф-ем по Х 

Если ,то р=е, а тогда

 подставляем в (3)и получаем:

явл. общим решением ур. Клеро

тогда имеем параметрическое ур. 

общее реш.

    

Пример 

Замена 







общее решение:











Билет 27. 

Уравнение вида F(y,y`)=0

1)Пусть ур-ние разрешимо относ.

y`,тогда y`=fk(y) Разрешим относ. y, где к=1,2….

k(y) .

Пустьfk(y)0 тогда  

Считаем х-функцией от у. .  

-это общий интеграл данного ур-я .

     общее решен.х.

Пусть fk(y)=0 . Тогда решен.данного ур-я 

могут  быть ф-ции ,где- консты, причём 

такие,которые удовлнтв.условиюF

2)Пусть ур-ние не разр.относ.у,, но разреш. отн. y, т.е. пусть 

наше ур-е эквивал. Ур-ниюТогда общее реш.розыскивается в парометрич. форме.Вводят параметры таким образом 



а)пусть тогда

,

а тогда:

- общее решение в пар-ой форме



б) пусть у’=0, тогда у=const

Решением ур-ния будут ф-ции у=к ,

какие удовлет.ур-ние F(k,0)=0

Пример: решить ур.   

Разреш. относ. У .тогда





; 





Билет 25.

Рассмотрим несколько случаев:

1.Пусть задано следющее диф. ур-ние:



Это диф. ур-е 1-го порядка n-ой степени, где I (x;y) – некото- рые непрырывные ф-ции двух переменных в некоторой обл. Q  R2 (i=0,…,n). Мы имеем ур-е n-ой степени относительно 1-ой производной, а известно, что всякое ур-е n-ой степени имеет вточности n-корней, среди которых есть как действительные так и комплексные. Пусть например это ур-е имеет какоето количество m  n действительных корней. Т.к. коэффициенты этого ур-я являются ф-циями двух переменных, то ясно, что корни тоже будут ф-циями двух переменных. Пусть это будут решения   y1=fk(x;y), k=1,2…m.

Ур-е (1) свелось к m - ур-ий  1-го порядка. Пусть это ур-я, имеющие общий интеграл  Fk=(x;y;c)=0, k=1,2…n. Тогда совокупность всех этих общих интегралов 



и будет общим решением данного диф. ур-я (1).

Пример:



Пусть x=0,а ур-ние разделим на x

      

      

              

        

     

Ур-я вида:   F(y!)=0

  Пусть заданное диф. ур-е явно зависит только от y! и не зависит явно от x и y. Тогда мы имеем некоторое алгебраическое ур-е относительно производных. А такое алгебраическое ур-е пусть имеет конечное или бесконечное множество действительных решений относительно производных. Т.е. y! = ki , i= 1,2… , где ki – некоторые действительные числа. У нас выполняется условие F(ki)0. Решим ур-е y!=ki; y=kix+c; ki=(y-c)/x. Общий интеграл заданного диф. ур-я 



Пример:  

(y!)4-4(y!)2+1=0

k4-4k2+1=0  действительные корни есть

Значит сразу получаем общее решение







4