Абель Нильс Хенрик - величайший математик

АБЕЛЬ Нильс Хенрик
Abel Niels Henrik
(1802-1829)





Абель родился в 1802 году на северо-западном побережье Норвегии в небольшом рыбацком городке Финней (Finnоy), где не было ни математиков, ни нужных ему книг. О первых годах его детства почти ничего не известно. Тринадцати лет он поступил в школу в Осло. Пастор Абель, видимо, неплохо подготовил сына. Первое время он занимался без труда и получал хорошие отметки, а по математике иногда отличные. Любил играть в шахматы, посещать театр. Но среди первых учеников он не значился. Однако через три года школьной жизни у шестнадцатилетнего Нильса наступил перелом.



Вместо жестокого учителя математики, избивавшего учеников, в школу приехал новый учитель Хольмбое, хорошо знавший свой предмет и умевший заинтересовать учеников. Хольмбое предоставил каждому ученику действовать самостоятельно и поощрял тех, кто делал первые шаги в овладении математикой. Очень скоро Абель не только искренне увлекся этой наукой, но и обнаружил, что в состоянии оправиться с такими задачами, которые другим не под силу.



Хольмбое всячески поддерживал его рвение, давал специальные задачи, разрешал брать учебники из собственной библиотечки. В основном это были "Руководства" Эйлера. Абель со всем пылом отдался занятиям математикой и продвигался вперед с быстротой, которая отличает гения, - писал позднее Хольмбое. Через короткий срок он совершенно освоился с элементарной математикой и попросил меня заняться с ним высшей. По собственной инициативе он глотал одну за другой книги Лакруа, Пуассона, Гаусса и с особым интересом работа Лагранжа.



В последние два школьных года Абель начинает всерьез пробовать свои силы в самостоятельном исследовании, Со свойственной юности оптимизмом он берется за наиболее сложные задачи. Одна из них в особенности привлекала всеобщее внимание. Речь идет о решении уравнений пятой степей или уравнений даже более высоких степеней. Формулы для решения уравнений низших степеней известны: второй степени - с незапамятных времен, третьей степени - благодаря работам Тартальяи Кардано. Правило решения уравнений четвертой степени в радикалах дал юный ученик Кардано - Феррари. Это случилось в XVI веке. Но дальше дело застопорилось: никому не удавалось вывести формулу для решения уравнений пятой степени. 



В том, что такая формула существует, математики в то время не сомневались. Всем казалось, что дело лишь в том, чтобы найти эту формулу, составить, волшебную комбинацию из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действий и радикалов, по которой можно будет решить любое уравнение пятой степени. Но проходили столетия, а такую комбинацию никому не удавалось составить, хотя многие этому посвятили всю жизнь.



Абель поступил в университет в 1821 году. Отец его умер, и у него не было средств к существованию. Он подал прошение о стипендии, но университет не располагал средствами для этого. Тогда некоторые профессора университета, "дабы сохранить для науки редкое дарование", стали выплачивать ему стипендию из своих средств. Этого было недостаточно для содержания семьи, и Абель стал подрабатывать уроками. Но он так и не избавился от нищеты.По его окончании получил степень кандидата философии. Зимой 1822–23 выполнил большую научную работу, посвященную интегрируемости дифференциальных уравнений, и в качестве премии ему была назначена государственная стипендия.



Статья "Доказательство невозможности решения в радикалах общего уравнения выше четвертой степени" была опубликована в 1826 году, и это сразу поставило Абеля в первый ряд математиков мира. Но его следующий мемуар, представленный Парижской академии наук и переданный Коши для рецензирования и представления в печать, затерялся среди бумаг ученого. Коши разыскал его лишь после смерти Абеля. Этот труд Абеля, совместно с трудом Якоби, был удостоен большой премии Академии. Если бы эта премия досталась Абелю при жизни... Но этого не произошло, и все последние годы Абель провел в крайней нужде. Он умер 6 апреля 1829 года.





Теорема Абеля. Ни для какого натурального n, большего четырех, нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов.





ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ



За свою короткую жизнь Абель сделал важнейшее для дальнейшего развития математике открытие. Пытаясь решить в радикалах общее уравнений 5-й степени, он выдвинул такую общую идею: вместо того, чтобы искать зависимость, само существование которой остается не досказанным, следует поставить вопрос, возможна ли в действительности такая зависимость. Руководствуясь этой идеей, Абель выяснил, почему уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах. Абель также обнаружил ряд алгебраических функций, которые не интегрируются с помощью элементарных функций; их интегрирование приводит к новым трансцендентным функциям. Эти исследования привели Абеля к созданию теории эллиптических гиперэллиптических функций, в которую он внес большой вклад независимо от К. Якоби. Абель - основатель общей теории интегралов алгебраических функций. Другие важные работы Абеля относятся к теории рядов. Его именем названа теорема о непрерывности функций во всем круге сходимости соответствующего ряда.







Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм 
(Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm)
(1815–1897)



"Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом."

Карл Вейерштрасс



В 1834 по настоянию отца Вейерштрасс отправился в Бонн изучать юридические науки и финансы, чтобы затем поступить на государственную службу. Однако четыре года пребывания в Боннском университете были потрачены им в основном на развлечения - фехтование и дружеские попойки. 



Казалось бы, ничто не подталкивало его к занятиям математикой, и все же известно, что в это время он самостоятельно, не обладая никакими предварительными знаниями, проработал труд Якоби Fundamenta nova, посвященный эллиптическим функциям, и решил углубленно заняться этой проблемой. Узнав, что Гудерман в Мюнстере ведет исследования по эллиптическим функциям, Вейерштрасс в 1839 поступил в Академию Мюнстера. В течение двух лет учился у Гудермана, а затем прошел годичный испытательный срок на звание преподавателя. Получив диплом, 14 лет преподавал математику в прусских гимназиях - в Дойч-Кроне (1842-1848) и Брауншвейге (1848-1855). Упорно занимался проблемой обращения гиперэллиптических интегралов, продолжив исследования, начатые Абелем. В 1843 в годовом отчете гимназии Дойч-Кроне были напечатаны его Замечания об аналитических факториалах (Bemerkungen ber die analytischen Fakultten) - то, что теперь называется основами вейерштрассовой теории функций, а в 1854 в "Журнале" Крелля появилась статья К теории абелевых функций (Zur Theorie der Abelschen Funktionen), принесшая Вейерштрассу известность. На эту статью обратил внимание математик Ф.Ришело, профессор университета Кёнигсберга. Ришело убедил руководство университета присудить Вейерштрассу почетную докторскую степень и сам поехал в маленький городок, где тот преподавал, чтобы лично сообщить ему об этом. В 1856 Вейерштрасс был приглашен сначала в Королевскую политехническую школу в Берлине, а в 1864 - в Берлинский университет.



Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Вейерштрасс разработал систему логического обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел. Он систематически использовал понятия верхней и нижней грани и предельной точки числовых множеств, дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, и ввёл во всеобщее употребление понятие равномерной сходимости функционального ряда. К вариационному исчислению относятся: исследование достаточных условий экстремума интеграла (условие Вейерштрасса), построение вариационного исчисления для случая параметрического задания функций, изучение "разрывных" решений в задачах вариационного исчисления и др. 



Джон фон Нейман 
(von Neumann) 
(1903 — 1957)





Нейман не мог себе представить, что математика кому-то может казаться сложной:" Если люди не полагают, что математика проста, то только потому, что они не понимают, как на самом деле сложна жизнь." 

Приступая к работе с ЭВМ фон Нейман понимал, что компьютер — это не больше, чем простой калькулятор, что — по крайней мере, потенциально — он представляет собой универсальный инструмент для научных исследований. В июле 1954 г., меньше чем через год после того, как он присоединился к группе Моучли и Эккерта, фон Нейман подготовил отчет на 101 странице, в котором обобщил планы работы над машиной EDVAC. Этот отчет, озаглавленный "Предварительный доклад о машине EDVAC" представлял собой прекрасное описание не только самой машины, но и ее логических свойств. Присутствовавший на докладе военный представитель Голдстейн размножил доклад и разослал ученым, как США, так и Великобритании. 

Благодаря этому "Предварительный доклад" фон Неймана стал первой работой по цифровым электронным компьютерам, с которым познакомились широкие круги научной общественности. Доклад передавали из рук в руки, из лаборатории в лабораторию, из университета в университет, из одной страны в другую. Эта работа обратила на себя особое внимание, поскольку фон Нейман пользовался широкой известностью в ученом мире. С того момента компьютер был признан объектом, представлявшим научный интерес. В самом деле, и по сей день ученые иногда называют компьютер "машиной фон Неймана". 



Еще в 1928 году Нейман написал статью "К теории стратегических игр". В ней он доказал знаменитую теорему о минимаксе, которая послужила одной из основ созданной позднее теории игр. Эта статья получилась в результате исследования игры в покер двух партнеров и обсуждения оптимальной стратегии для каждого из игроков. Однако эта работа мало помогла самому Нейману при игре в покер. Так в 1944 году в Лос-Аламосе он проиграл 10 долларов Н. Метрополису сразу же после того, как разъяснил ему эту теорию. Получив выигрыш, Метрополис купил за 5 долларов книгу Неймана и Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение", наклеил на нее другие 5 долларов и заставил автора расписаться об истории этого проигрыша на книге. 



Фон Нейман настолько легко и непринужденно чувствовал себя в любой обстановке, как на работе, так и в обществе, без всяких усилий переключаясь от математических теорий к компонентам вычислительной техники, что некоторые коллеги считали его "ученым среди ученых" , своего рода "новым человеком" 

Ал-Хорезми Мухаммед бен-Муса
Хорезми Мухаммед бен Мусса
al-Khwarizmi, Muhammad ibn Musa
(783-850)





Имя ал-Хорезми указывает на его родину - среднеазиатское государство Хорезм (ныне территория Узбекистана), бен Муса - значит "сын Мусы", а одно из прозвищ ученого - ал-Маджуси - говорит о его происхождении из рода магов по-арабски "маджусь"). 



Ал-Хваризми родился в Средней Азии, г.Хива, территория современного Узбекистана. Сведений о жизни и деятельности ал-Хорезми, к сожалению, почти не сохранилось. Известно лишь, что он возглавлял в Багдаде библиотеку Дома мудрости, своего рода Багдадской академии, при халифе ал-Мамуне. А при другом халифе ал-Васике, преемнике ал-Мамуна, он возглавлял экспедицию к хазарам.



В 975-997 он написал Mafatih al-'Ulum ("Ключ к Наукам"), первая арабская энциклопедия знаний, которая была организована на научных принципах. Ее содержание было классифицировано:



местные знания - юриспруденция, схоластическая философия, грамматика, секретарские обязанности, просодия и поэтическое искусство, история; 

иностранные знания - философия, логика, медицина, арифметика, геометрия, астрономия, музыка, механика, алхимия. 



Как ученый Ал-Хваризми становится известным из его достижений в математике. Его работа над арифметикой была переведена на латинский в 12-ом столетии, и хотя оригинал потерян, латинский перевод Algoritmi de numero Indorum ("Ал-Хваризми о индийских числах") все еще существует. Его название давало начало математическому термину "арифметика".



Другая работа Ал-Хваризми, Kitab al-jabr wa l-muqabala ("Книга Интеграции и Уравнения, " буквально "сокращение и сравнение"), был синтез индийской алгебры и греческой геометрии и имел самый глубокий эффект на развитие науки. Латинские переводы, резюме и комментарии были написаны в 12 столетии. Математический термин "алгебра" был получен из ее названия.







Ал-Хваризми также издал астрономические и тригонометрические таблицы, базируемые главным образом на арабском переводе индийской астрономической работы Brahma-siddhanta, которая была написана приблизительно за 100 лет до этого. В течение 10-ого столетия Maslama al-Majrti пересмотрел таблицы и добавил его собственный таблицы тангенса, Ал-Хваризми добавил табулирование функции синуса. В той версии таблицы были переведены на латинский в 1126 Adelard of Bath.



Имя ал-Хорезми в видоизмененной форме Algorithmus превратилось в нарицательное слово "алгоритм" и сначала означало всю систему десятичной позиционной арифметики. Впоследствии этот термин приобрел более широкий смысл в математике как правило выполнения операций в определенном порядке. Вспомним, к примеру, алгоритм Евклида или алгоритм решения квадратного уравнения.



О записи числа:



Используя примечания абаки, Ал-Хваризми развивал систему рукописного десятичного числа. 

Основанный на углах, он определил номер 1, 2, 3 и 4. 

Арабские 1-2-3-4 числа форматируют на наличии углов: 

Номер один (1) имеет один угол. 

Номер два (2) имеет два угла.

Номер три (3) имеет три угла. 

Номер четыре (4) имеет четыре совокупных угла. 

Номер четыре закрыт из-за рукописной руки, пишут.







И используя его знание о примечаниях рукописи абаки, он определил номер 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Круг - символ закрытой руки, которая имеет пять пальцев. 

Номер пять записан под линией.

Номер десять (2-ая рука) записан над линий. 

Теоретически, круг над линей приобретает двойную ценность (десять ценностей).

Фигура абаки и рукописные круги: 

круги - символы: пять, шесть и семь были помещены ниже пишущейся линии. 

круги -символы : десять, девять и восемь были помещены выше пишущейся линии 

к кругу пять добавлен штрих с одним совокупным углом, получается номер шесть. 

к кругу пять были добавлены два штриха, с двумя совокупными углами, делающими номер семь 

к кругу десять был добавлен штрих вниз с одним углом, получается девять. 

к кругу десять были добавлены два штриха вниз, с двумя углами, уменьшающие до номера восемь