Випадкова величина

ТЕМА



ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА






1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини



Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: 1 – випадання "решки" та 2 – випадання герба. Введемо до розгляду функцію = f(), що визначається за формулами: f(1)=0, f(2)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :







Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи  та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють



 і 



У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер ,,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:



Таблиця 1









...











...





У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:



Таблиця 2



0

1



1/2

1/2



Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення  і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції  складається тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція  взагалі принципово не визначена.

Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією







що називається функцією розподілу випадкової величини .





Рисунок 1



У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах







На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.





Рисунок 2



Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:







При цьому функція розподілу







графік якої зображено на рис. 3, має вигляд







Рисунок 3



Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.





Рисунок 4



За випадкову величину, що позначимо як , візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною 




,

,





При цьому закон розподілу випадкової величини  має вигляд табл. 3:



Таблиця 3



1

5

10



5/9

1/3

1/9



За цим законом розподілу випадкової величини  знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).









Рисунок 5


Властивості функції розподілу:

1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x1<x2 (рис. 6).





Рисунок 6



F(x2)=P(<x2)=P(<x1)+P(x1<<x2)>P(<x1)=F(x1); F(x1)<F(x2);

2. F(+)=1; F(-)=0; F(+)=P(<)=1;

P(-<<)=1; F(-)=0;

P(<)=P() - P()=F() - F().



Якщо функція розподілу в деякій точці =а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(=а)=р.





Рисунок 7



Дійсно, розглянемо [а, b), b a+0.



P(=а)=.



Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.




2 Дискретна випадкова величина



Випадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.

Нехай х1,х2,…,хn – можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.

Випадкові події [=x1], [=x2], …[=xn] утворять повну систему елементарних подій. При цьому



, 



Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (xi, pi); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):





Рисунок 8



Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу 




F(x)=P(<x)=

або



де





Її графік наведено на рис. 9





Рисунок 9



Як видно з рис. 9, функція розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці хi вона зростає на величину . При цьому



.



3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин



Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:



Р(А)=р; .



Як випадкову величину, яку позначимо , розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що ймовірність появи події  визначається формулою Бернуллі у вигляді



; 					(1)



де  – кількість сполучень з  елементів по  (1).

Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n (табл. 4).



Таблиця 4

n

0

1

…

k

…

n

pn

qn

npqn-1

…



…

pn



Розподіл Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість випробувань  і наслідків  дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у зв’язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.

Нехай кількість випробувань  необмежено зростає, але так, щоб її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто , залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності , отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі 







або остаточно отримати формулу Пуассона для ймовірності появи  разів дуже рідкої події A у практично нескінченних випробуваннях







Розподіл випадкової величина  за цією формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число  називається параметром розподілу. Цей закон можна подати у вигляді:



Таблиця 5



0

1

…

k

…

p

e-

e-

…



…



Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається  відмовлень.

При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:

1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).

2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.

Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:



р(А)= t+o(t), t0.



4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(t), t0.

Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних частин .

Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування





При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т







Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.

Як випадкову величину  розглядатимемо кількість проведених випробувань, необхідних для першої появи події А. Очевидно, що закон розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:



Таблиця 6



1

2

3

…

k

P

P

qp

q2p

…

qk-1p