Экономико-математически модели управления запасами

АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ





Минск  2003

на тему: Экономико-математические модели управления запасами.

Факультет менеджмента

Кафедра информационных технологий

Специальность государственное управление и экономика

Ясюкевич

Светлана Ивановна







Плющ

Олег Борисович

Студентка II курса, группа B1:

Руководитель:

КУРСОВАЯ РАБОТА
СОДЕРЖАНИЕ

	Введение…………………………………………………………………….	3

		Экономико-математические модели управления запасами…………6

Основные понятия теории управления запасами и ее элементы……………………………………………………………….6

Классификация моделей управления запасами………………..10

		Детерминированные модели……………………………………………14

Модель Уилсона……………………………………………………15

Модель с конечной интенсивностью поступления заказа…..18

Модель с учетом неудовлетворенных требований……………20

Модель с определением точки заказа…………………………...23

Многономенклатурные модели………………………………….24

		Заключение………………………………………………………………..28

Список используемой литературы…………………………………………...29

Приложение1……………………………………………………………………30




ВВЕДЕНИЕ



Неизбежная рассогласованность ритма производства поставщиков и потребителей, дискретность процесса поставок, возможность случайных колебаний в интенсивности потребления или длительности интервалов между поставками относительно среднего (расчетного) уровня вынуждают создавать в системах снабжения запасы. Проблема совершенствования управления во всех звеньях народного хозяйства очень важна. Хозяйственные организации представляют собой сложные системы. Эффективность систем зависит от качества организационного управления ими. Возросшая интенсивность производства и взаимозависимость большого числа предприятий увеличивают экономический ущерб от просчетов в планировании и предъявляют повышенные требования к качеству управления.

При решении широкого круга задач оптимизации управляющих решений полезны методы теории управления запасами. Управление запасами в общем случае состоит во взаимодействии на соотношение между двумя основными факторами – пополнением и расходом запасов. Ясно, что чрезмерно большой запас  приводит к избытку материальных ценностей и требует больших затрат на хранение, недостаточный запас может привести к перебоям в работе. Цель управления – оптимизация некоторого критерия, зависящего от расходов на хранение запасов, стоимости поставок, затрат, связанных с пополнением, штрафов и т. д.

Под запасами можно понимать выпускаемую некоторым предприятием продукцию (пополнение), которая поставляется потребителем определенными партиями (расход). При этом спрос на продукцию может быть детерминированным или случайным. Управление запасами здесь состоит в определении размеров необходимого выпуска продукции для удовлетворения данного спроса при условии минимизации суммарных затрат на хранение и пополнение запасов.

Под запасами можно понимать также запасы сырья или других материалов, поставляемые дискретными партиями (пополнение) и обеспечивающие непрерывное потребление в процессе производства (расход). Критерием оптимальности могут служить суммарные затраты на поставки и хранение запасов.

Запасами могут быть товары, поставляемые в торговую сеть определенными партиями и предназначенные для удовлетворения непрерывного случайного спроса. Критерий оптимизации – суммарные затраты на поставки, хранение запасов и изменение производственного ритма в связи с вариациями спроса.

Запасы – это и сезонные товары, сохраняющиеся на складе ограниченной емкости. Их можно покупать и продавать в различных количествах по ценам, меняющимся во времени. Задача состоит в определении политики покупок и продаж, обеспечивающих максимум суммарной прибыли. Капитал тоже может рассматриваться как запас, причем цена его хранения определяется темпом инфляции.

Существует несколько причин  относительно необходимости создания запасов. Согласно одной из них наличие запасов позволяет быстро удовлетворять запросы потребителей. Согласно другой наличие запасов позволяет поставщику нейтрализовать колебания спроса в условиях неравномерного потребления.

Весьма важной причиной, особенно для нашей страны, является сезонность производства многих важнейших видов продовольствия – зерна, овощей, фруктов, и связанная с этим необходимость создания весьма больших запасов этих видов продовольствия. Весомой причиной является также удаленность многих мест потребления той или иной продукции от мест ее производства. Сравнительно большие транспортные издержки на доставку этой продукции вынуждает доставлять ее большими партиями, тем самым создавать запасы. К созданию запасов вынуждает иногда необходимость отправлять произведенную продукцию (или сырье, полуфабрикаты и т. п., т. е. запасы) сравнительно большими партиями (по требованию транспортных организаций или по другим причинам).

Создание запасов требует больших затрат:

		запасы нужно где-то хранить, для этого нужно строить соответствующие складские помещения, а они довольно дороги и окупаются не очень быстро;

		значительные запасы ведут к омертвлению вложенных в них средств;

		как правило, хранение запасов ведет к ухудшению их характеристик, к их моральному старению.

Нельзя не согласиться с Ю. А. Беляевым в том, что «без запасов никто и ничто существовать не может: ни машина, ни человек, ни государство, ни вселенная. Без запаса прочности мост разрушиться, а парашют прорвется при малейшей перегрузке. Надежность технической системы создается запасом прочности конструкций, дублированием элементов, приданием запчастей. Портфель заказов редакции обеспечивает равномерную загрузку сотрудников и работу типографии. Запас мудрости руководителей позволяет им предвидеть будущие заботы и разглядеть пророков в своем отечестве; оценить неординарные идеи и справедливую критику; понять пользу плюрализма мнений и гражданских свобод. Запасы скудоумия, инерции, профессиональной неграмотности могут привести к не менее поразительным результатам».

Избыточные запасы были причиной многих неудач в бизнесе, оказывали дестабилизирующее влияние при кризисах. Излишние запасы являются тормозом на пути научно-технического прогресса. Переход на новый вид продукции обычно сдерживается требованием выработки всех именных запасов или дорогостоящим списанием их. Все эти проблемы обострились в связи с ускорением научно-технического прогресса, диверсификацией спроса и индивидуализацией производства, сокращением сроков морального старения техники. Возросли сложность решаемых задач и цена ошибочных решений. Сложившаяся ситуация вызвала необходимость разработки разнообразных моделей управлений запасами.

Целью данной курсовой работы является изучение моделей управления запасами. Для достижения данной цели были рассмотрены детерминированные модели управления запасами.


1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.

		Основные понятия теории управления запасами и ее элементы.



Одним из важнейших этапов планирования работы любой производственной единицы – цеха, предприятия или объединения предприятий – является определение рационального уровня запасов сырья, полуфабрикатов, инструментов. Основными причинами создания производственных запасов служат необходимость обеспечения бесперебойного снабжения производственного процесса, периодичность производства различных видов продукции поставщиками, осуществление транспортировки большинства видов продукции от поставщика к потребителю партиями, а также несовпадение ритма производства с ритмом потребления.

Предметом теории управления запасами является отыскание такой организации поставок или производства, при которых суммарные затраты на функционирование системы были бы минимальными. Под организацией поставок понимается определение объемов поставок и периодичность заказов, а при планировании производства нескольких видов продукции на одном и том же оборудовании – определение размера партии и периодичности запуска продукции в производство. Существует четыре основных вида затрат, которые могут оказать влияние на выбор решения по управлению запасами:

		затраты на приобретение запасов,

		затраты на организацию заказа,

		издержки хранения запасов,

		потери от дефицита.

Запасы делятся на:

		текущие (обеспечивают ритм производства на определенном интервале времени);

		страховые (на случай срыва ритма поставок).

Затраты, которые не зависят от принимаемых решений, не учитываются при анализе. Так, затраты на приобретение продукции целесообразно учитывать только, если цена единицы продукции зависит от величины партии, что обычно выражается в виде оптовых скидок.

К затратам на организацию заказа, учитываемым в анализе функционирования систем управления запасами, относят постоянные расходы по размещению заказов: расходы на разъезды и командировки, почтово-телеграфные расходы, транспортные расходы, не зависящие от размера партии.

В общем случае в стоимости поставки, кроме постоянных, входят затраты, пропорциональные объему партии и количеству заказываемых номенклатур. Однако принимаемые решения никак не влияют на величину затрат, пропорциональных размеру партии. Затраты, пропорциональные количеству номенклатур в заказе, учитываются только в многономенклатурных (многопродуктовых) моделях. Эти затраты представляют собой стоимостное выражение трудозатрат, связанных с поиском и обработкой информации по отдельным продуктам, упаковкой у поставщика, а также приемом и размещением на складе потребителя.

Если складскую систему снабжает предприятие-поставщик, то при условии серийного выпуска продукции стоимость переналадки оборудования перед выпуском очередной партии тоже попадает в эту категорию затрат. Иногда сюда относят также издержки вследствие более низкой производительности труда и более высокого процента брака в начале производственного периода. Затраты, связанные с началом выпуска очередной партии, называют затратами на подготовительно-заключительные операции.

К издержкам хранения запасов, учитываемым в моделях управления запасами относятся лишь издержки, зависящие от величины запасов. К ним относятся издержки физического присутствия материальных ценностей на складе (естественная убыль, плата за производственные фонды) и потери от иммобилизации средств в запасах. Если рассматривать средства, вложенные в запасы как банковскую ссуду, то издержки задаются процентной ставкой.

Потери от дефицита на промышленных предприятиях исчисляются как суммарные потери прибыли в расчете на одну денежную единицу стоимости дефицитных материалов. Прибыль предприятия при дефиците может снизиться за счет простоя производственных мощностей и  рабочих, переналадки производственного процесса, замены дефицитных материалов другими, более дорогими, выпуск продукции в сверхурочное время после ликвидации причины простоя, штраф за нарушение сроков поставки.

Элементами задачи управления запасами являются:

		система снабжения;

		спрос на предметы снабжения;

		возможность восполнения запасов;

		функции затрат;

		ограничения;

		стратегия управления запасами.

Из параметров управления запасами принято выделять:

		управляемые параметры

		объем и номенклатура необходимого сырья (ресурсов);

		момент (время) выдачи заказа на пополнение ресурса;

		неуправляемые параметры

		затраты на организацию снабжения;

		ограничение на запасы поставщика;

		выбор системы снабжения (централизованная, децентрализованная).

Многообразие реальных ситуаций вызвало необходимость разработки разнообразных моделей управления запасами. Основным фактором, влияющим на тип модели, является характер спроса или потребности в материальных ресурсах. Спрос может быть детерминированным или вероятностным. В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, неизменным во времени, или динамическим, изменяющимся во времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, с неизменной во времени плотностью вероятности, и нестационарным с изменяющейся во времени плотностью вероятности.

Другим важным фактором, учитывающимся при построении модели, является срок выполнения заказа, т. е. интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой. Если этот фактор учитывается, то модель называется моделью с запаздыванием поставок.

В модели может быть учтена интенсивность поставок. При пополнении запасов из внешнего источника обычно доставляется вся партия одновременно. Пополнение запаса с некоторой интенсивностью чаще осуществляется самим предприятием, когда продукция одного цеха используется другим.

Число видов продукции учитывается в модели при условии наличия взаимосвязи между ними. Связь может возникать до поставки и после нее. Взаимодействие до поставки проявляется в снабжении из одного источника (заказ на несколько партий различных видов продукции подается одновременно), в требовании комплектности, в ограниченной мощности оборудования. Взаимодействие после поставки имеет место, когда несколько видов продукции хранится в одном складском помещении или ограничена величина оборотных средств, вложенных в запасы.

В работе системы может допускаться дефицит или наоборот выдвигаться требование бездефицитной работы.

Системы управления запасами классифицировать по многим признакам:

		вид запасов (сырье, полуфабрикаты, готовая продукция, инструменты, запчасти);

		место хранения (производитель, потребитель, снабженческая база или другие элементы товаропроводящей сети;

		структура системы (изолированный склад, последовательная система складов, иерархическая система, с ремонтными возможностями или без них);

		свойства запасов (одно- или многономенклатурные запасы, их взаимозаменяемость, ограниченность срока годности, порча при хранении);

		статистические характеристики процессов спроса и поставок (стационарность, коррелированность спроса, управляемость, случайность поставок);

		цели системы (стоимостные вероятностные критерии, многокритериальность);

		ограничения (на объем и номенклатуру запасов, размеры партий, надежность и экономические характеристики процесса снабжения);

		информационные характеристики (периодичность сброса данных, наблюдаемость спроса, полнота знаний о коэффициентах потерь).

Стратегия управления запасами.

Оптимальное управление запасами – выбор таких объемов и моментов поставок, когда суммарные издержки на функционирование системы снабжения будут минимальными.

Простейшие стратегии:

		периодические (со временем контроля Т);

		по критическим уровням (H, h, yi – текущий уровень запаса q).

		Стратегия постоянного уровня.



H

h

0

T3

t

T2

T1

y1

y2

q2

q1

q3В данном случае через каждый интервал контроля Т запас пополняется до верхнего уровня.



	q1  q2  q3  const

	q* опт = H – yтек

	y1,2 – текущие уровни

	

2.    Стратегия фиксированного объема поставок.

	

H

h

0

T3

t

T2

T1

y1

y2

q2

q1

q3

	Q* = const

	q1 = q2 = q3 = const





3.    Стратегия с контролем за текущим уровнем.

	если y  h, то: - y  h  q* = const

	- y  h  q* = 0 (не заказываем сырье)

	если y  h, то: - y  h  q* = H – yтек

	- y  h  q* = 0


1.2. Классификация моделей управления запасами.



Многообразие реальных ситуаций вызвало необходимость в рассмотрении огромного числа вариантов задачи управления запасами, которые систематизированы лишь частично. Использование богатейшего материала, накопленного теорией управления запасами, немыслимо без его упорядочения в рамках единой классификации. Попытки такой классификации и введения унифицированных обозначений предпринимались неоднократно, но оказались малопродуктивными.

В некоторых источниках классификация моделей проводится уже по 45 элементам. Укрупненно она различает модели по:

		числу номенклатур;

		числу складов;

		характеру восполнения;

		характеру спроса;

		способу рассмотрения динамики;

		целевой функции;

		стратегии восполнения;

		способу контроля уровня запаса;

		учету недостач;

		задержки поставок.

Детальная классификация моделей управления запасами имеет реальную полезность лишь при создании для последних компьютерной базы знаний. Тогда можно построить диалоговую систему, опрашивающую пользователя и последовательно формирующую код нужной модели – или ближайшей к ней. По коду модели можно войти в базу знаний, найти библиографический источник, посмотреть подробности, лучше уяснить допущения и метод получения результата, при необходимости и способности – модифицировать модель. Затем можно ввести релевантную задаче количественную информацию.

Классификация моделей управления запасами может исходить из основных элементов данной модели, которые упоминались выше. Под системой снабжения понимается совокупность источников заявок и складов, между которыми в ходе операций снабжения осуществляются перевозки хранимого имущества. В состав системы могут входить звенья, обеспечивающие восстановление отказавших у пользователей устройств. В простейшем случае система сводиться к единственному складу. Функция затрат составляется и минимизируется для системы в целом.

Обобщенная модель управления запасами, выглядит довольно простой. Чем же тогда объясняется столь большое разнообразие моделей этого класса и методов решения соответствующих задач, базирующихся на различном математическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегрального исчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математического программирования? Ответ на этот вопрос определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остается неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и не стационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени. 

Типичными примерами не стационарных ситуаций являются торговля сезонными и модными товарами, а также периоды пикового (предпраздничного) спроса.

В случае дискретного спроса каждое отдельное требование дополнительно характеризуется своим объемом (числом заказанных единиц). Нестационарный спрос в очередной период может быть зависимым или независимым в смысле связи с предысторией процесса. Детали с зависимым спросом нельзя планировать независимо, поскольку спрос на них будет иметь сильную положительную корреляцию. В случае взаимозаменяемых изделий имеется отрицательная корреляция.



















запаса

Спрос   В реальных условиях случай детерминированного статистического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Так, например, хотя спрос на такие продукты массового потребления, как хлеб, может меняться от одного дня к другому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположение статичности спроса несущественно искажает действительность. 

   Наиболее точно характер спроса может быть, возможно, описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении рассматриваемого периода времени. При переходе от детерминированного статического спроса к вероятностному стационарному спросу происходит возрастание математической сложности модели управления запасами. По существу, классификацию можно считать представлением различных уровней абстракции описания спроса.

   На первом уровне предполагается, что распределение вероятности спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.

   На втором уровне абстракции учитывается изменение спроса от одного периода к другому. Однако при этом функции распределения не меняются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые вследствие аналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели. Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, с одной стороны, стационарные распределения вероятностей, а с другой – переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости».

   На третьем уровне упрощения исключаются как элементы риска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.

Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:

1.  Задержка поставок может увеличиваться в период низкого спроса, когда поставщик накапливает заказы перед запуском производства. Тот же эффект может наблюдаться и при очень высоком спросе, создающем очередь заявок. В некоторых моделях с задержкой, кроме обычной, вводится экспертная поставка, которая, как правило, принимается мгновенной. Возможность такой поставки исключает отрицательные уровни запаса. Может существовать различие в объеме поставок: поставка равна требуемому количеству; поставка равна случайной величине с характеристиками законом распределения, в общем случае зависимыми от величины заказа. Если случайность является следствием плохой организации снабжения, необходимо организованными мерами добиваться своевременного и полного выполнения заказов.

		Пополнение запасов всегда происходит с некоторой случайной задержкой относительно момента выдачи требования. Однако роль и длина этой задержки сильно зависят от конкретных условий, что позволяет в ряде случаев упростить задачу. Степень возможного упрощения определяет один из следующих вариантов:

		мгновенная поставка;

		задержка поставок на фиксированный срок (в частности, кратный длине периода);

		случайная задержка с известным распределением длительности.

		Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.

		Число пунктов накопления запаса. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованны таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт – потребитель одного уровня может стать пунктом – поставщиком на другом. В таком случае принято говорить о системе управления запасами с разветвленной структурой.

		Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Это фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды.

Функция затрат образует показатель эффективности принятой стратегии и учитывает следующие издержки:

		расходы на хранение;

		транспортные расходы и затраты, связанные с заказом каждой новой партии;

		затраты на штрафы.

Иногда в минимизируемую функцию включаются доходы, полученные от продажи остатков запаса в конце каждого периода. В некоторых случаях ставится задача максимизации доходов.

Ограничения в задачах управления запасами могут быть различного характера. Известны следующие виды ограничений:

		по максимальному объему (весу, стоимости) запасов;

		по средней стоимости;

		по числу поставок в заданном интервале времени;

		по максимальному объему (весу, стоимости) поставки или кратности этого объема некоторой минимальной величине (целое число стандартных «упаковок» - вагонов, бочек, коробок);

		по доле требований, удовлетворяемых из наличного запаса (без дополнительных задержек).

Необходимо отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. Под запасами можно подразумевать: наличие товара; рабочую силу, планируемую для выполнения конкретного задания; объем информации в базе данных; численность персонала данной квалификации и т.д. Таким образом, при переосмысливании элементов модели методами теории управления запасами может быть решен широкий круг задач оптимального планирования.


2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ.



Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам  управления запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.

   В этом разделе обсуждается пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, и только в одной из них учитывается влияние нескольких «конкурирующих» видов продукции. Основное различие между моделями определяется допущением о  характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является  также вид функции затрат. Используются различные методы решения. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации.   


2.1. Модель Уилсона.



Рассмотрение моделей управления запасами начнем с простейшего случая.

Модель Уилсона, в определенном смысле классическая, основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, который минимизирует расходы на оформление заказа, доставку и хранение товара.

Экономическая партия товара вычисляется при следующих упрощениях реальной ситуации:

		уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, и в тот момент, когда все запасы товара исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии;

		выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения равного q;

		накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине;

		ежедневная стоимость хранения единицы товара равна постоянной величине.

Данная политика проводимая складом характерна для тех случаев, когда интенсивность потребления запасов близка к постоянной величине, а поставки производятся регулярно.

Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предложениях: спрос v в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты K на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рис. 2.1. показана динамика изменения уровня  I запасов.



I





q













t

3r

2r

r

0

Рис. 2.1



Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной r между поставками называется циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из стоимости заказа K и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса I1 = q/2 и длине цикла r = q/v,





(2.1)Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени



Оптимальный размер партии определяется из уравнения





(2.2)(необходимый признак экстремума). Отсюда находим оптимальный размер q* партии:



Так как d2L/dq2 >0 (достаточный признак экстремума), то для всех q>0 выражение (2.2) является минимумом функции затрат (2.1). Уравнение (2.2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, поставляем значение q* в соответствующие выражение. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые



единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени





Пример 1.

Жидкие продукты нескольких видов разливаются в пакеты на одной линии упаковки. Затраты на подготовительно-заключительные операции составляют 700 ден. ед., потребность в продуктах составляет 140000 л в месяц, стоимость хранения 1 л в течение месяца – 4 ден. ед. Определить оптимальные параметры системы. Сравнить минимальные затраты с затратами при действующей системе разлива одного продукта в течение трех дней.

Решение. Оптимальные параметры модели Уилсона:



При действующей системе rд = 3 (дня) = 0,1 (месяца), qд = rд v = 14000 (литров). Величину затрат при действующей системе найдем по формуле (2.1): 


2.2. Модель с конечной интенсивностью поступления заказа.





IПусть заказанная  партия поступает с интенсивностью u единиц в единицу времени. Очевидно система может работать без дефицита, если интенсивность поставок u превосходит интенсивность потребления v. Таким образом рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется в производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рис. 2.2. В течение времени r1 запас одновременно и поступает и расходуется, это время накопления запаса. В течение r2 запас только расходуется. Длина цикла r = r1 + r2 . Учитывая, что максимальный наличный запас Iм = q(1-v/u) издержки системы в единицу времени составят













t

0



Рис. 2.2



r2

r1





(2.3)Оптимальные параметры работы системы определяются обычным образом. Величины оптимальной партии





(2.4)оптимальный период возобновления заказа



и его составляющие



минимальные издержки в единицу времени





(2.5)

В случае, когда интенсивность поставки значительно больше интенсивности потребления v/u    0, а (2.3), (2.4), (2.5) становятся параметрами обычной системы Уилсона.




2.3. Модель с учетом неудовлетворенных требований.



В некоторых случаях, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефицит допускается. Пусть требования, поступающие в момент отсутствия запаса, берутся на учет. Обозначим через y максимальную величину задолженного спроса рис. 2.3. Максимальная величина наличного запаса Y = q-y расходуется за время r1 (время существования наличного запаса), а затем поступающие требования ставятся на учет в течение времени r2 (время дефицита). При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженый спрос, а затем пополняется запас. Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени, составляют d. Затраты на хранение продукции пропорциональны средней величине запаса (q-y)/2 и времени его существования (q-y)/v; аналогично убытки от дефицита пропорциональны средней величине дефицита y/2 и времени его существования y/v. Средние издержки работы системы в течение цикла, включающие затраты на размещение заказа, содержание запаса и потери от дефицита



I



		



q-y



r2



r1



Рис. 2.3

t



y







Разделим издержки цикла на его величину r = q/v и получим издержки работы системы в единицу времени



Откуда обычным способом находим







Подставив значения q* и y* в соответствующие выражения, найдем другие оптимальные параметры системы





В более сложных моделях управления запасами сохраняется общий подход: строится функция затрат на приобретение запаса, строится функция потерь при хранении запаса и при его нехватке, находится уравнение запасами, при котором минимизируются затраты и потери.

Возможно также решение задач управления запасами, в которых на переменные величины накладываются определенные ограничения. В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации режима производства и хранения, которая относится к комбинированным задачам: задачам составления календарных расписаний и задачам управления запасами.

Задача выравнивания графика производства при неравномерной потребности в производимой продукции возникает на многих предприятиях. Для расчета графика производства решается следующая задача. Известна потребность в деталях определенного вида - at, где t=1,2,…, T – планируемый отрезок времени. Выпуск деталей за этот отрезок времени xt является искомой величиной. Неизвестен и запас изготовленных деталей на конец отрезка времени t-st. Известен лишь начальный запас s0 . Очевидно, что запас на начало t-го периода st-1 вместе с производством за этот период xt должен быть равным потребности at, плюс запас на конец периода st, т. е. xt+ st-1- st= at.

Одним из условий задачи является равномерность составляемого графика производства. Поэтому чем меньше по абсолютной величине разница в выпуске деталей за каждые два последовательных периода (xt+1- xt), тем стабильнее график выпуска. Представим эту разность как разность двух других независимых: xt+1- xt = yt-zt. Неотрицательные переменные yt и zt показывают: yt - прирост, а zt – снижение производства при переходе от t-к (t+1)-й декаде. Целевая функция данной задачи имеет вид



где p – дополнительные затраты при изменении объема выпуска продукции; q – затраты, связанные с содержанием запасов.

В простейшем случае, когда неравномерность графика и увеличение запасов является одинаково нежелательными, задача заключается в минимизации



при соблюдении условий:

xt + st-1 - st = at;

xt+1 - xt - yt + zt = 0;



Рассмотрим указанную задачу на конкретном примере. (Приложение1).


2.4. Модель с определением точки заказа.



В реальных ситуациях следует учитывать время выполнения заказа Q.  Для обеспечения бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа и обозначается j. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна



где [.] – целая часть числа (.).

Для обеспечения бездефицитной работы необходим минимальный начальный запас I0, величина которого I0 = Qv. Пусть I – фактический начальный запас. Для непрерывной работы необходимо, чтобы I >= Qv. Время потребления начального запаса равно I/v. Чтобы заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее нужно разместить в момент T0 =  I/v – Q. В общем случае заказы нужно размещать в моменты



В системе с конечной интенсивностью поступления заказа при определении оптимальной точки рассматриваются два случая:



Для системы с учетом неудовлетворенных требований точка заказа определяется по формуле



и может быть отрицательной величиной. Это означает, что заявки на пополнение запаса должны посылаться, когда величина дефицита составляет [j].


Многономенклатурные модели.



До сих пор мы считали, что каждый вид товара хранится на складе независимо от остальных. Это допущение будет справедливым, если не налагаются ограничений на размер капиталовложений в запасы, на емкость складских помещений и т. п. Однако для многих случаев на практике имеют место указанные ограничения, и необходимы изменения размеров заказов по сравнению с какой-либо индивидуальной политикой, чтобы имелось соответствие наличным ресурсам. Кроме того, могут быть наложены ограничения на пропускную способность путей доставки и отпуска товаров со склада.

Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами. Многие специалисты придерживаются мнения, что оптимизация должна проводиться лишь по 5-10% номенклатур, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70%.



(2.6)Раздельная оптимизация. При отсутствии взаимодействия между запасами различных видов продукции затраты L в единицу времени для системы, включающей N видов хранимой продукции вычисляются по формуле

Откуда, используя необходимый признак экстремума, находим

Минимальные издержки в единицу времени составляют



(2.7)Пусть общая складская площадь ограничена величиной f. Ограничение на складские площади имеет вид:

где fi – площадь, необходимая для хранения единицы i-го вида продукции, qi – величина партии i –го вида продукции.

В выражении (2.7) обычно вводится нормировочный множитель h для учета того фактора, что запасы отдельных номенклатур могут поступать независимо друг от друга. Если запасы всех номенклатур пополняются одновременно, то в это время запас и занятая им площадь оказываются максимальными и h=1. Полагая h=1/2, допускаем, что запасы всех видов продукции пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь является средней. Маловероятно, что занятая площадь окажется много меньше половины имеющейся, поэтому 



(2.8)С учетом сказанного ограничение (2.7) запишется так:

Для определения экстремума функции (2.6) при наличии ограничения (2.8) применим метод множителей Лагранжа. Составим дополнительную функцию Лагранжа, которая состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – это функция, экстремальное (максимальное или минимальное) значение которой необходимо определить. В нашей задаче – это суммарные издержки в единицу времени, которые надо минимизировать. Второе слагаемое – это разность между левой и правой частью ограничивающего условия. Умноженная на неопределенный множитель  u, которому можно придать любое произвольное значение. Если ограничение является несущественным, 





то о                    - отрицательная величина, а u = 0. возможны два случая

	Это обеспечивает возможность составления функции Лагранжа. 

	



	Поскольку выражение                         в любом случае равно нулю, то функция 

	

	суммарных затрат в единицу времени будет иметь вид

	Продифференцируем эту функцию по неизвестным параметрам qi и u и приравняем частные производные к нулю

	Откуда выводим систему из N+1 уравнения с N+1 неизвестной q1,…qn, u

	

(2.9)Неопределенный множитель Лагранжа в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу.

	Аналогично решается задача, если ограничения накладываются на величину оборотных средств A, вложенных в запасы. Пусть ai - стоимость единицы материала i – го вида, тогда ограничение имеет вид:

	Запишем систему для решения задачи

	Неопределенный множитель Лагранжа в этой модели показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу.

	

Полное совмещение заказов. При пополнении запасов из одного источника часто несколько заказов объединяются. Суммарные издержки размещения N заказов считаются равными                      где K0 – 

	





	фиксированные издержки, не зависящие от числа номенклатур, а 

	- доля издержек заказа, связанных с размещением его на каждой номенклатуре. Период размещения заказа по всем номенклатурам будет общим. Обозначим его через r . Издержки размещения заказов и содержание запасов в единицу времени

	

(2.10)Отсюда

	
Часто необходимо бывает минимизировать суммарные издержки при различных ограничениях. Пусть, например площадь склада равна f , а единица i-го вида продукции требует для хранения                     квадратных 

	



	

(2.11)метров. С учетом того, что qi = rui , ограничение по складским площадям имеет вид

	

(2.12)Ограничение по оборотным средствам

	В случае одного ограничения задача решается по следующей схеме. Определяется r0 по формуле (2.10). Если r0 удовлетворяет ограничению, то r*= r0 . Если r0 не удовлетворяет ограничению, то r* должно превратить ограничение (2.11) или (2.12) в строгое равенство, тогда оптимальный период возобновления поставок для ограничения по площади

	для ограничения по оборотным средствам

	Оптимальный поставочный комплект


ЗАКЛЮЧЕНИЕ



   В любой задаче управления запасами решается вопросы выбора размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию. К сожалению, общее решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическим детерминированным. 

   В большинстве моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

   Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. Поэтому решение, получаемое на основе моделей этого класса, следует рассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.


СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

		Абчук В.А. Экономико-математические методы. СПб.: Союз, 1999 г.

		Сакович В.А. Модели управления запасами. Мн. 1986г.

		Сидин Э.Ф. Экономико-математические модели. М. 2000г.

		Экономико-математические методы и модели. \\ под общей редакцией А.В.Кузнецова. Мн. БГУ 1999г.

		Рыжиков Ю. И. «Теории очередей и управления запасами»

		Кудрявцев Б.М. Модели управления запасами – М.: 1987г.

		Модели управления запасами: учебное пособие – М.:  Московский институт управления, 1987 г.

		Беляев Ю. А. Дефицит, рынок и управление запасами – М.: Университет дружбы народов, 1991 г.

		Терехов Л. Л. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении – Киев издательское объединение «Вища школа», 1984 г.


ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Требуется составить на 1 квартал года подекадный график производства детали 005, входящей в изделия четырех видов, график выпуска которых показан в табл. 1.1. В таблице отражены также количество деталей на единицу изделий и сроки опережения. Эти данные позволяют определить график подекадной потребности в деталях. Например, изделие Б начинает выпускаться со второй декады февраля в количестве 100 шт. Выпуск детали 005 для этого изделия должен происходить с опережением на 4 декады (т. е. в первой декаде января) и в количестве 200 шт. (по 2 детали на изделие). Аналогично определяется график потребности по всем декадам планируемого периода. Принимая s0 = 0, имеем следующую модель:

	s1 + s2 +…+ s9 + y1 + y2 +…+y8          	min

	при соблюдении условий:

	x1 + s0 – s1 = 400;

	x2 + s1 – s2 = 550;

	x3 + s2 – s3 = 390;

	x4+ s3 – s4 = 740;

	x5 + s4 – s5 = 690;

	x6 + s5– s6 = 650;

	x7 + s6 – s7= 500;

	x8 + s7 – s8 = 650;

	x9 + s8 – s9 = 1050;

	x2 – x1 – y1 + z1 = 0;

	x3 – x2– y2 + z2 = 0;

	…………………

	x9 – x8 – y8 + z8 = 0.

	В табл. 1.2. приведены результаты решения: оптимальный график производства и данные об оперативном запасе деталей на конец декады. График выпуска деталей оказывается заметно выровненным по сравнению с неравномерной потребностью в этих деталях. В то же время потребность полностью обеспечивается за счет создания минимальных оперативных запасов.

	Рассмотренная задача предусматривает выравнивание графика выпуска одной детали безотносительно к тому, что в тот же период и на том же оборудовании могут обрабатываться и другие детали. Конечно, для каждой из них можно предпринять аналогичный расчет, однако совокупность частных решений обычно не дает общего оптимума.

	Таким образом, при комплексном анализе обработки нескольких видов деталей возникает задача об оптимальных размерах партий этих деталей. Иначе ее можно интерпретировать как задачу об оптимальной периодичности запуска деталей в обработку. Оптимальным считаются такие размеры партий деталей, при которых удовлетворяется потребность в них (за счет текущего производства или запасов), не превышаются 
производственные возможности оборудования и достигается минимум суммарных затрат, связанных с производством, переналадками, содержанием запасов. В общей постановке задача является довольно сложной; различные ее варианты решаются с помощью игровых и имитационных моделей.

	

	Таблица 1.2. График обеспечения потребности в детали 005

	

	Декада

	квартала

	Производство

	Потребность

	Запас на конец

	декады

	1

	2

	3

	4

	5

	6

	7

	8

	9

	475

	475

	520

	650

	650

	650

	650

	775

	775

	400

	550

	390

	740

	690

	650

	500

	650

	1050

	75

	-

	130

	40

	-

	-

	150

	275

	-

	





2