Теория вероятностей

Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов. 

Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?



Р= число близких иходов     =  15….14…….- 6    = 15 !                              -2

     Число элемент. исходов       15*15*15…15          5 !            1,88 * 1е 

                                                               10 раз                    50     

                                                                                         15            _____________________________________

2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие 

независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны   1       49      1 .  

Найти вероятность того, что тока не будет?                50  ;  50  ;   4

 

-- - -

А –ток есть

Аi – i-й прибор не исправен

Р (А) = 49   Р (А2)=   1   Р ( А3) = 3 

               50 ;                50 ;               4

     _ 

Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 )  = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1- 3  = 9,753

                                                                                                         50  50  4     10,000

____________________________________________________________________________________________

3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно  41 .

Найдите вер-ть попадания при одном выстреле?                                       50 

Аi – успешный  i – выстрел

                           _________

Р =  41   = 1-Р (  А1 …..А12) – не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =

       50

             __              __                     _   12                                  12

= 1 – Р (А1) …..Р (А12)  = 1 – Р (А1)     ; 41  = 1-Р (А1)              

                                                                    50

Найти  Р (А1)

     _   12

Р (А1)     = 1- 41 =  9 

                       50    50

     _        12__

Р (А1)  =  9

                  50

                       _            12__

Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 -  9   0,133

                                         50                                       ___________________________________________

Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких 

задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 – задачи по теории 

вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность 

того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.



Аi –студенту достанется задача по теории вероятности

А – всем достанется задача по теор. вероят.

А = А1 А2 А3

А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.

     _

Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 – Р       *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р       *(А3) * Р    *

                      А1А2                                                 А1А2                      А1

 *(А2)*Р (А1)= 1 – 15 * 14 *  13  = 0,265

                                28   27     26                       

























 

В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе 

и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19 , 19  и  59

                                                                                                          20   50     100

Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.

Н1 – деталь с 1-го завода

Н2 -  деталь со 2-го завода

Н3 -  деталь с 3-го завода.

Р(Н1) = 6  =   1 ; Р(Н2) = 2 =  1 ; Р(Н3) =  4   =   1

             12      2                12    6                 12       3

А - извлеченная  деталь качественная

     _                _                             _                              _

Р (А) = Р    *(А) * Р (Н1) + Р   *(А) * Р (Н2) + Р   *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1 + 59 *1=147= 

               Н1      _                           Н2                                   Н3                              20      2      50      6     100   3     200

Р (А) = 1 – Р (А) =  53/200

				__________________________________________________________________________________________

				

		Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения 

		Х: от 1 до 16 с вер-ю  1 

		                                    16

		У: от 1 до 23 с вер-ю    1 

		                                      23

		Р ( Х+У = 32)

		        Х   У          Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) =  1  *   1  

		        9   23                                                                             16     23    

		       10  22           

		                           P ( X+y=32 )=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=

		       16  16          = 8* 1 * 1 = 1   

		23  46

		_________________________________________________________________________________________

		

		Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения.

		Х: от 1 до 14 с вероятностью   1           

		                                                   14

		У: от  1 до 7 с вероятностью   1 

		                                                    7

		Найти вероятность того, что Р (Х   У)

		Если У = 7, то 1  Х  6            1   *   6

		 14

		Если У = 6 то  1 Х  5             1   *   5

		                                                     7      14 

		Если У = 5 то  1 Х  4             1   *   4

		14

		Если У = 4 то  1 Х  3             1   *    3

		14

		Если У = 3 то  1 Х  2             1   *    2

		14

		Если У = 2 то  1 = Х                  1   *    1

		                                                    7        14

		Р (ХУ) = 1 *  6  +  1  *  5  +  1  *  1  =  1+2+3+4+5+6  = 21  =    3

		                  7    14     7     14      7     4              7 * 14           714      14

		_________________________________________________________________________________________

		Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от

		 0 до 10 с вероятностью   1

		                                           11 

		Найти вероятность того , что  Р(Х1…….Х7) = 0

		Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7  0) = 1- Р( Х10….Х7   )=1-Р( Х10 )*Р (Х20)

		                                                                        7       

		*….* Р(Х70) = 1 – 10   *   10  =  1  -   10

		                                          11…….  11                   11         

		         

		                                                 7 раз

		

		

		

		

		

		

		

		Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения 

		Х: от 1 до 13 с вероятн-ю   1

		                                              13                                                                                                                                                                               

		У: от 1 до 12 _____/_____   1

		                                              12

		Z  от  1 до  9 _____/_____   1

		                                               9

		Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?

		Пусть “Z” приняло какое-то  значение “а”.  Р (Уа) =  11  

		                                                                                             12

		Пусть при этом  У= в

		Р (Z  a;  Z  в) =  11 ;  Р = 11  *  11 

		                               13           12      13.

		_______________________________________________________________________________________

		10.

		Х

		1

		4

		7

		Р

		0,1

		0,4

		0,5

		м = М (Х) - ?      М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2

		Р ( Х  м) - ?      Р ( Х  5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5

		___________________________________________________________________________________________

		11. 

		Х

		2

		3

		5

		Р

		0,2

		0,3

		0,5

		

		

		        2

		Х

		

		4

		

		9

		

		25

		Р

		0,2

		0,3

		0,5

		

		Д (Х) - ?

		М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8

		         2

		М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16

		                      2          2                            2

		Д (Х) = М (Х ) – М  (Х) = 16 - 3,8     =  1,56

		______________________________________________________________________________________________________________

		12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение – 8, - 7,…..,5,6 

		с вероятностью   1

		                            15                                                                                               9                                      

		Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9)

		М (Х1) =  8 * 1  – 7 * 1 *  6 * 1  - … + 5 * 1  +  6 * 1  =  1   (-8-7-5….+5+6) = -1  

		                        15          15         15                 15          15     15

		

		                                                   9              9

		                                  =  М (Х1)     =  ( -1)   = -1

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		13. 

		Х

		8

		10

		12

		14

		16

		Р

		0,25

		0,2

		0,2

		0,2

		0,25

		

		м= М (Х)-?                         М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12

		д(Х) -?                                                                      2                          2

		Р ( (Х-м)  )                     Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12)

		

		Х-12

		-4

		-2

		0

		2

		4

		Р

		0,25

		0,2

		0,1

		0,2

		0,25

		

		          2

		(Х-12)

		

		1

		

		4

		

		0

		Р

		0,5

		0,4

		0,1

		              2

		М (Х-Р)    = 8+1,6

		                  _____

		 (Х)  =    (Х)  3,1

		Р (  Х –12    3,1 ) = Р (-3,1Х –12  3,1) = Р (8,9Х15,1) = 

		= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5

		___________________________________________________________________________________________________________

		

		14. Х, У – неизвестные случайные величины

		М (Х) = 3                                          8 2         2                           2                     2                                        2

		М (У) =2             Д(ХУ) = М( ХУ   ) – М   (ХУ) = М (Х   ) * М (У   ) – [ М (Х)*М (Х)]   =   

		Д(Х) = 4                                 2            2                         2                              2

		Д(У) = 8             Д (Х)=М(Х   ) – М   (Х) = М (Х   ) = Д (Х) + М   (Х) =  4 + 9 = 13

		Д (Х У)                          2                              2

		                              М (У   ) = Д (Х) + М    (У)  = 8 + 4 = 12 

		                                                      2 

		                          = 12*13 – (2 * 3)    = 156 – 36 = 120

		

		__________________________________________________________________________

		15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.

		Р (Х=0) = 0,3                            2                 2                    2                   2                                                         2

Р (У=0) = 0,6             М(Х+У)    + М (Х   + 2ху +у   ) = М (Х   ) +2М (Х) * М (У) + М (У   )  =

		               2                

М (Х+У)                 

   2 

Х ,  Х



    0



      1

      Р

   0,3

    0,7



            2 

Х ,  Х



    0



      1

      Р

   0,6

    0,4

		                                 2

		М (Х) = 0,7 = М (Х  ) 

		                                  2

		М (У) = 0,4 = М ( У   )

		 =  0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1. 

		(задание как в 15).

		

		 



      Х



    0



      1

      Р

   0,3

    0,7





      У



    0



      1

      Р

   0,5

    0,5

		        х - у                              

		М (3       )   -  ?

		           х-у                   х         -у                х                  -у 

		М (3      )  = М (3    * 3   ) =М (3  ) * М (3   )   = 2,4 *  2  = 1,6

		                                                                                         3

           х

      3



    1



      3

      Р

   0,3

    0,7



         -у   

      3



    1

      1

        3   

      Р

   0,5

    0,5

		          Х                                                                                -у

		М (3   ) = 0,3 + 2,1 = 2,4                           М (3   ) = 0,5 + 0,5  = 4  * 0,5 = 1 

		                                                                                              3        3             3

		_____________________________________________________________________________________________________________

		17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что 

		подбрасываются 9 монет

		Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба

		М (Х) -?

		1-испт.   -   9 монет            

		                   9 испытаний  Р =  1 

		                                                  2    

		                     3             3                6          3               9

		Р(Г = 3) = С9  * ( 1 )   *  ( 1 )    = С9   *  ( 1 ) = 84 *   1    -   21  = …

		                             2           2                       2               512     128

		n = 10240 испытаний

		

		Р = 21 ;  М (Х) = np = 21 * 10240  = 1680

		128

		18. В серии независимых испытаний  (одно испытание за ед.времени) 

		вероятность наступления А равна 1

		                                                           8.

		Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1  Д (Т).

		Х1 – время ожидания до первого наступления А

		Х2 – время ожидания от первого наступления А до 2-го  

		Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14

		Хi   Р =  1                                                           

		               8                                                          7/8

		М (Хi) =  1 = 8 ; d = 7             Д (Хi) = d  =           = 56

		                 8               8                              2            2

		                                                                p        1/8

		                                                                                                 

		                                                                         

		М (Т) = 14М  * (Х1) 14 * 8 = 112

		Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784





























19. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами   

п =4, р =  3 Найти М (Х1 + Х2  + …+ Х320)=?

                8 

            2                 2                             2

М (Х1  + …..+Х  320) = 320М (Х1  )   =               Х1 – биноминальное

            2                         2                                М (Х1) = пр =  3 

= М(Х1  )  = Д(Х1) + М   (Х1) =                                             2

                      2                                                 Д (Х1 ) = nрq = 3 *  5    =  5

 =  15 +  3      = 15 + 9  = 51                                                      2     8       16

     16     2          16    4     16     

=  320 * 51  =  1020

              16

_____________________________________________________________________________________________________________________

20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым  

мат. ожиданиям равным  8.

                     2                  2

Найти М (Х1  +…+ Х18   ) - ?

   M (Х) = Д (Х) =    =  8

          2                 2                           2                                       2  

М (Х1  +…+ Х18 ) = 18 М (Х1  ) = 18 (Д (Х1) + М  (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296

_________________________________________________________________________________________________________

21.   Х – равномерно распределён на отр.  - 8,2  

Р ( 1 )5 = Р (0 Х 1 )  =   (0 Х 0,5)  =

     Х                          5 



1 – 5 0 ; 1 – 5Х   0;   Х –1/5  0  (0 Х 0,5)      

Х                 Х                  Х

                                   

1 – 5Х   0;   Х – 1/5  0 

    Х                   Х

 х, в 

            0,Ха                                         0; Х а

		f (Х)=     1    ;  а  Х  в      F (Х) =     х – а ; а  Х  а   0 Х  1/5   

             в –о                                            в –а                                    

              0,Х  в                                     1, Х B                                  

                                                                                                                          



F (Х) = Х + 8 = F (1/5)  - F ( 0 ) =1/5  + 8  -   8  =   1    

         5                                                10          10     50

_______________________________________________________________________________________________________________________

22. Х – равномерно распределена на отр.  -17; 10  

          2                                 2 

Р ( Х    64) = 1- Р ( Х    64) = 1 – 16 

                                                           27      

        2

Р (Х   64 ) = Р (-8  Х 8)  =



                    0; Х  -17

  F(Х) =       Х + 17 , -17  Х   10    

                        27

                    1, Х  10



=  F (8) – F (-8) = 8 + 17  - -8 + 17  =   16

                                27            27           27

______________________________________________________________________________________________________________

23. Х – равномерно распределена на отр.  -1; 1   

           8/9           X [a,b] ; f (x)                             

М ( Х     )                     a                                                 0; x <-1

                        M(x)= ∫  x f(x) dx          f (x)=       -1<x<1

                                     b                                                 0; x>1            

                                          a

                        M((x))=∫  (x) f (x) dx

		                                          b

		        8/9         1         8/9                     17/9   1   

		M(X     ) = ∫  ½* X     DX = ½ * X            = 9/17        

		                   -1                             17/9      -1

		

		

		24. Х – равномерно распределена на отр.  0.1  

		             9/10                       9/10

		Д ( 19Х      )  = 361 (Х       )

		         9/10                      9/10   2              2     9/10                  9/4            2      9/10          9/10 * 2

		Д (Х       ) = М ( (Х       )  )  - М  (Х     )  = М (Х   )  -  М  (Х      )    Х      

		__________________________________________________________________________________________________________

		25. Х – равномерно распределена на отр.  5; 8  * Д (24x+ 36) - ?

		Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3  = 432

		                         2                                                              4

		Д (Х) = ( в – а )

		                  12

		                      2

		Д (Х) = 8 – 5  =   9   =   3

		               12         12       4

		_______________________________________________________________________________________________________________

		26. Х1,……Х2  –   Независимые и распределенные по показательному закону. 

		                                                        2

		Найти  М  (Х1 + Х2  + …..+ Х10)   , если  М (Хi ) = 4.

		М (Х) =   1 

		                

		Д (Х)  =    1 

		                         2             

		                 

		M (Хi ) =  Д (Хi)  = 16

		                                 2                                                    2                                                                                 2                       

		М  (Х1  +….+ Х10)  =Д(Х1  +…+ Х10) + М   (Х1  +….+ Х10) =10Д (Х1)+ 10М (Х1) =

		                           2  

		= 160 + ( 10 * 4)    = 1760

		_________________________________________________________________________________________________________________

		                                          2

		М(Х) =1/  ;  Д(Х) =  1/

		27.  Х –распределен по показательному признаку 

		                                       2

		Найти  М [ (Х + 8)  ] , если Д (Х) = 36                     М (Х)=6

		                    2                2                                          2                                                                        2

		М (Х + 8)   = M(Х   + 16х + 64) = М (Х   ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М  (Х) + 

		+ 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232

		____________________________________________________________________________________________________________

		 28. Х –показательное распределение; Х – показательный закон

		

		                 0, Х < 0

		 F (Х) =            -2х                                                                                                                                         

		                 1 – е     , Х >0,  Найти Ln  (1 – Р ( Х < 6) )  = Ln (1 – F (6)  ) = 

		                      -6/7                                      -6/7                    -6/7

		=  F (6) = 1 – е      =   Ln  ( 1 – (1 – е    ) ) = Ln е       =  -   6/7

		 

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		29.  (Х) -  случайная величина  

		

		

		                    0, Х < 10

		

		ƒ (Х) =         С   ; Х  ≥ 10

		                             5

		                    Х

		С - ? ;   М (Х) - ? 

		                                                              опр.                B                                               -5                                 

		∫    ƒ  (Х)dх = 1 = ∫      с    dх =    lim     ∫   = cdx  = C lim    ∫  X   dx  = 

		 10                              10       5             b->     10             5             b->    10 

		                                           Х                                       X

		                                  b 

		                           -4                            -4           4                   4                        4     

		= C *  lim       X       = C lim      -  b     +  10       = C *  10   =  1  = C  10    = 

		           b->      -4              b->          4           4                   4                       4

		                                10

		                             4

		=  C = 4 * 10  

		

		                     0; Х  10

		ƒ (Х) =                    4

		                      4 * 10  ,   Х   10

		                             5 

		                         Х      

		

		                                                                             4

		М (Х)  =  ∫   Х ƒ (Х) dx  =  ∫     4 * 10 dx 

		              10                            10           4

		                                                             Х

		_________________________________________________________________________________

		30. Х – нормальная случайная величина

		

		М (Х) = 16

		Д (Х)  = 25

		? – Р (Х10,5)

		

		=    1   -       10,5 – 16   =  0,5  +   (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864

		5

		________________________________________________________________________________________

		

		

		Р (d  X   b )  =    b – m     -    d - m

		                                                                      

		

		

		2.     P ( X  b  )  =   1   +       b – m 

		         

		

		3. P ( X  b  )  =  1    -       b – m

		                         2