Метод конечных разностей или метод сеток

Метод конечных разностей, или метод сеток



Рассмотрим линейную краевую задачу



   (2.24)

    (2.25)

,



где , , и  непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага



.



Точки разбиения 



,  



называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции  и ее производных   обозначим соответственно через



.

Введем обозначения







Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:



(2.26)



Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим



.    (2.27)



Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений



  (2.28)


Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:



.  (2.29)



Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции  в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):



. (2.30)



Введя обозначения







получим

, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)



Краевые условия по-прежнему запишем в виде



. (2.32)



Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :



.   (2.33)



Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде



,    (2.34)



где  и  должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что





Исключая из этих двух уравнений , найдем



.



Выразим теперь отсюда :



 (2.35)



Но, согласно формуле (2.34),



     (2.36)



Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что



   (2.37)


Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая  по формуле (2.34), получим:



.



Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь



.



Разрешая полученное уравнение относительно, находим



, или

.  (2.38)



Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов  и  рекуррентные формулы:

 

    (2.39)

Так как  и  уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты  и  до  и  включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем







Разрешая эту систему относительно, будем иметь



.    (2.40)



Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:



    (2.41)

Для простейших краевых условий  

формулы для  и  упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь







Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид







причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая


Теорема



Если  и  дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой







равномерно сходится к точному с погрешностью  при 



Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной 



 



имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации







Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:



,     (2.42)

,    (2.43)

i=1, 2,..., n.



Погрешность формулы (2.42) выражается так:







то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:



 (2.44)



Где .



Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

    (2.45)



Затем определяют коэффициенты  по следующим рекуррентным формулам:



   (2.46)



Обратный ход начинается с нахождения :



    (2.47)



После этого находим  по формулам:



,  (2.48)

.     (2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при



 и , 



и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место



Теорема



Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия



, , 



то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью .



Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.