Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Оценивание параметров и проверка гипотез  о нормальном распределении

		Расчетная работа

		Выполнил Шеломанов Р.Б.

		Кафедра математической статистики и эконометрики

		Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

				Москва 1999

ЗАДАНИЕ № 23

Продолжительность горения электролампочек  (ч) следующая:



750

750

756

769

757

767

760

743

745

759

750

750

739

751

746

758

750

758

753

747

751

762

748

750

752

763

739

744

764

755

751

750

733

752

750

763

749

754

745

747

762

751

738

766

757

769

739

746

750

753

738

735

760

738

747

752

747

750

746

748

742

742

758

751

752

762

740

753

758

754

737

743

748

747

754

754

750

753

754

760

740

756

741

752

747

749

745

757

755

764

756

764

751

759

754

745

752

755

765

762



По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:

1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;

Построение интервального вариационного ряда  распределения

Max: 769

Min:  733

R=769-733=36

H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712

A1= x min - h/2=730,644

B1=A1+h; B2=A2+h





2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:

среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);



Вычисление выборочных характеристик распределения



 i=(xi- xср)

 xср = xi mi/ mi

 xср  =  751,7539   



Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов





Выборочный центральный момент К-го порядка равен 



                            M k =                     ( xi - x)^k mi/        mi   

        

В нашем примере:

Центр момент 1

0,00

Центр момент 2

63,94

Центр момент 3

-2,85

Центр момент 4

12123,03

 

Выборочная дисперсия S^2  равна центральному моменту второго порядка:

В нашем примере:

S^2= 63,94

Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:

В нашем примере:

S=  7,996

Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса   Fk   по формулам

Ac = m3/ S^3;

В нашем примере:

Ас =-0,00557 

Ek = m4/ S^4 -3;

В нашем примере:

Ek = -0,03442

Медиана Ме - значение признака  x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений  ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l)  медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:          Me=( x(e) + x( e+1) /2 

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле

Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me

где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.

В нашем примере:

Me=751,646

Мода Мо  для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.

Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле 

Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)

где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В нашем примере:

Mo = 751,49476

Так как  Хср, Mo  Me  почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации       Vs = S/ x * 100 %= 3.06%

В нашем примере:

Vs= 1,06%



3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.



Графическое изображение вариационных рядов

        

Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.

Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)    

Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4.



Интервалы          xi           Wi            Whi          Wi/h

                     Ai-bi

                          1                  2             3              4               5

                  4,97-5,08         5,03         0,02         0.02          0,18  

                  5,08-5,19         5,14         0,03         0,05          0,27

                  5,19-5,30         5,25         0.12         0,17          1,09

                  5,30-5,41         5,36         0,19         0,36          1,73

                  5,41-5,52         5,47         0,29         0,65          2,64

                  5,52-5,63         5,58         0,18         0,83          1,64

                  5,63-5,74         5,69         0,13         0,96          1,18

                  5,74-5,85         5,80         0,04         1,00          0,36

                           -            1,00           -            

    



Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте  Wi  данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.

Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.



4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.

4 Анализ графиков и выводы

Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.

Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака  xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Примечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.

5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.

Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.

При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания  (мю) и среднего квадратического отклонения G  нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.

Теоретические частоты находят по формуле:        M^i=npi, 

где  n – объем; Pi – величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.

Вероятность Pi  определяется по формуле



                   Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],



Где Ф(t)=2\   2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx       - интегральная функция Лапласа – находится по таблице для 

                    T2i=bi-x ср.\ S

                     T1i=ai-x ср.\S



Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения

Интервалы

Mi

T1

T2

1/2Ф(T1)

1/2Ф(T2)

Pi

a(i)

b(i)













730,644

735,356

2

-2,640

-2,051

0,4958

0,4798

-0,0080

735,356

740,068

8

-2,051

-1,461

0,4798

0,4279

-0,0260

740,068

744,780

6

-1,461

-0,872

0,4279

0,3078

-0,0601

744,780

749,492

18

-0,872

-0,283

0,3078

1,1103

0,4013

749,492

754,204

35

-0,283

0,306

0,0300

0,6619

0,3160

754,204

758,916

12

0,306

0,896

0,1179

0,3133

0,0977

758,916

763,628

11

0,896

1,485

0,3133

0,4306

0,0587

763,628

768,340

6

1,485

2,074

0,4306

0,4808

0,0251

768,340

773,052

2

2,074

2,664

0,4808

0,4960

0,0076

















































Pi*n

Mi(теор)

Mi(теор)/h

Mi(теор)накоп







-0,8000

1

0,002

0,0080









-2,5950

3

0,006

0,0340









-6,0050

6

0,013

0,0940









40,1250

40

0,085

0,4953









31,5950

32

0,068

0,8153









9,7700

10

0,021

0,9130









5,8650

6

0,012

0,9716









2,5100

3

0,005

0,9967









0,7600

1

0,002

1,0000











100















Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.

Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.



6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).

Проверка гипотез о нормальном законе распределения

Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.

Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно

                                         к                                      

                     F^2набл.=        (mi-m^тi)

                                         I=1     m^i

Где   к – число интервалов (после объединения).  M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.



                                                                                      Таблица 1.6.

Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности  продолжительности горения электролампочек



Интервалы

Mi(Практ)

Mi(теор)

(Mi-Mi(теор))^2

…../Mi(теор)

a(i)

b(i)









730,644

735,356

2

2

9

1,29

735,356

740,068

8

5





740,068

744,780

6

13

49

3,88

744,780

749,492

18

21

9

0,43

749,492

754,204

35

25

100

4,01

754,204

758,916

12

21

81

3,89

758,916

763,628

11

12

1

0,08

763,628

768,340

6

5

1

0,14

768,340

773,052

2

2













X^2набл

13,71



Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.



Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается  (не противоречит опытным данным).

Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки .

Для нашего примера X^2набл.=13,71, =0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9

Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек  является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.