Некоторые понятия высшей матаматики

Высшая математика



Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич

Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.



Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы. 

Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. . . 

Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.

Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0. 

Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.

Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.

При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.

Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.

Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения. 



Системы уравнений с матрицами



Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицыnm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.



.



Замечание: 1) Нет решения

2)  . n-число неизвестных

а) r=n – одно решение 

б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.



Векторная алгебра



Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой. 



, 

.



Скалярное произведение векторов



.  



Признак перпендикулярности .

Векторное произведение векторов



; ; 



Объем пирамиды ; 

Смешанное произведение векторов



 



Если  - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует 











Условие коллинеарности  

ab=0 – перпендикулярность

 - коллинеарность

abc=0 – компланарность



Аналитическая геометрия



Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.



 - 



каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости



, где , 



где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку  перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид 







Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде






Уравнение плоскости в отрезках 

Нормальное уравнение плоскости , где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель 

Расстояние от точки до плоскости







Угол между плоскостями 

Условия параллельности и перпендикулярности ; 

Уравнение пучка плоскостей:  

Прямые линии в пространстве.



-уравнение прямой

 - параметрическое уравнение прямой.

 - каноническое уравнение прямой.



Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки 






Угол между 2 прямыми 







Взаимное расположение 2 прямых.

1.  (могут лежать и на одной прямой)

2.  (могут скрещиваться)

3. . Если (3) , то скрещиваются.



Взаимное расположение прямой и плоскости



1. 

2. 

3. Угол между прямой и плоскостью 

4. 



Аналитическая геометрия на плоскости.



Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками .

Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. , то .

Уравнение прямой на плоскости



Ax+By+C=0;



Уравнение прямой в отрезках .

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки . 

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох (): 

Расстояние от точки до прямой 



1. 

2. 

3. 



Окружность



Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R 

Уравнение окружности с центром в начале координат 


Эллипс



Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a – большая полуось эллипса).  - малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид . 

Число  называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.



Гипербола



Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы.  - мнимая полуось гиперболы. 

Каноническое уравнение гиперболы .

Гипербола пересекает ось Ох в точках  и , с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . 

Эксцентриситет гиперболы . 



Парабола



Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид . 

Эксцентриситет параболы  - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.



Общее уравнение второго порядка



 - общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос: .

Поворот осей: 







 - инварианты.  - дискриминант

Если >0, то уравнение эллиптического вида 

Если <0, то уравнение гиперболического типа

Если =0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда 





(1)  (B=0) 



1. . Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в 



(1)+ 







(2) (3)



а) >0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде , где 

б) <0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0

A`=, , , тогда . 

Если F0=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.

Если F0>0, то  (гипербола)

Если F0<0, то  (гипербола, где оси поменялись местами)

в)  (параболический тип) A`C`=0



 (5)

а) D`=E`=0, пусть 



б)  

** в (5)



, где 2р=, если p>0, то парабола .



Теория пределов



Число а называется пределом последовательности xn для любого () сколь угодно малого положительного числа  найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на .

Предел последовательности

Под числовой последовательностью понимают функцию , заданную на множестве натуральных чисел т.е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности xn (x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N(), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .

1) ,  - натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.

2) , где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)

xn+1=xn+d – рекуррентная формула.

3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и .



 (*);

 

 - эпсилон – окрестность числа а.

1. .  



2. 

Основные теоремы пределах

О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.

Предельный переход в неравенстве. 

О трех последовательностях. О сжатой последовательности.