Арифметика сверхбольших натуральных чисел в параллельных вычислительных системах

1



АРИФМЕТИКА СВЕРХБОЛЬШИХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ



Макоха А.Н., Зуй Б. Ю.



В настоящее время существует необходимость проводить вычисления с очень большими целыми числами (то есть с числами, не помещающимися в разрядную сетку регистров АЛУ процессора) в таких областях как кодирование информации, криптография, физика, астрономия и т. д. 

Архитектура 32-х разрядных систем позволяет обрабатывать числа в максимальном диапазоне 0..4294967295. Но это слишком узкий диапазон натуральных чисел для решения многих прикладных задач. Для расширения диапазона разработчики программного обеспечения предлагают разнообразные методы решения данной задачи. Средства для работы с большими целыми числами имеются в таких программных пакетах как Java, Си, Perl. Эффективным способом выполнения операций над сверхбольшими целыми числами является их представление в системе остаточных классов, где нет переносов из младших разрядов в старшие [3]. Однако здесь возникает своя проблема нахождения остатков от деления сверхбольшого числа на основания системы остаточных классов. 

Диапазон представления натуральных чисел можно значительно расширить, реализовав несложные алгоритмы операций над данными на языке Ассемблера [1], увеличив при этом длину слова в десятки раз. Разработаны алгоритмы представления и хранения в памяти ЭВМ больших целых чисел в виде связанных списков [2]. Пусть () – список общего вида. Компьютерное представление списка состоит из n ячеек, связанных через их поля ссылок, вместе с предполагаемыми уже данными представлениями каждого из значений xi , являющихся в свою очередь списками.   

В настоящей работе предлагаются алгоритмы выполнения арифметических операций над сверхбольшими натуральными числами, представленными в виде списков (последовательности бит или последовательности десятичных знаков), с помощью относительного распараллеливания этих операций на многопроцессорных системах. Пусть , ,  – сверхбольшие натуральные числа. Разобьем эти числа на слова по основанию , где  - длина слова:

,

,

,

при этом коэффициенты . Так как будут рассматриваться числа без знака, то для всех рассуждений будем предполагать, что . Тогда

а) при сложении

, ;

б) при вычитании

, ;

в) при умножении

, .

Приступим к непосредственному описанию алгоритмов перечисленных операций.

Пусть имеется параллельная вычислительная система: схема процессоров или локальная сеть. Назовем элемент системы (процессор, компьютер) устройством. Имеется общее пространство ячеек памяти. Из всех устройств системы выделяется управляющее (УУ), выполняющее функции инициализации системы, анализа данных.

Инициализация системы

УУ анализирует наличие устройств системы и каждому устройству присваивает порядковый номер, выделяет ячейки памяти для каждого устройства, а также необходимое количество бит для хранения двух слов (для хранения ). После инициализации все устройства работают с отведенными для них ячейками памяти.



А. Сложение

Система инициализирует  двойных слов; -е двойное слово соответствует -ому устройству (), . В младшие байты слов УУ записывает , в старшие - , причём . Затем УУ дает команду на начало работы, после чего все устройства работают одновременно по следующему алгоритму: устройство

А1. Считывает данные из отведенных для него ячеек памяти.

А2. Выполняет сложение  (сложение данных из младших и старших байтов слов).

А3. Записывает в младшие байты слова, соответствующего устройству : .

А4. Записывает в старшие байты своего же слова: 

.

А5. Оповещает УУ о завершении работы.

Далее УУ анализирует первый бит старших байтов слов, например, с помощью логической операции дизъюнкции и, если результат этой операции  равен 0, формирует результат из младших байтов слов. Если результат этой операции равен 1, то возвращаемся к шагу А1.

Таким образом, рассмотренный алгоритм, в зависимости от чисел  и ,  может выдать результат  не более чем через n + 1 шагов, тогда как последовательные алгоритмы выдают результат строго через n + 1  шагов для таких же чисел.



Б. Вычитание

Система инициализирует  двойных слов, при этом -е двойное слово соответствует -ому устройству (), . В младшие байты слов УУ записывает , в старшие - , причём для . Затем УУ дает команду на начало работы, после чего все устройства работают одновременно по следующему алгоритму: устройство

Б1. Считывает данные из ячеек памяти.

Б2. Выполняет вычитание .

Б3. Записывает в младшие байты слова соответствующее устройству  значение 



Б4. Записывает в старшие байты слова значение :



Б5. Оповещает УУ о завершении работы.

Далее УУ анализирует первый бит старших байтов слов, например, логической операцией дизъюнкции и, если результат этой операции  равен 0, то формирует результат из младших байтов слов. Если же результат этой операции равен 1, то возвращаемся к шагу Б1.

Аналогично сложению количество шагов варьируется от 1 до n + 1.



В. Умножение

Алгоритм умножения несколько сложнее в реализации, но напоминает собой умножение в столбик. 

Система инициализирует  двойных слов. При этом распределение ячеек памяти при инициализации можно представить в виде таблицы 1:

Таблица 1. - Распределение ячеек памяти при инициализации



…



0

…



…



0

0



…



0

…



…



0

0

 ячеек

…

 ячеек



 ячеек



Сначала вычисляются одновременно числа, представляющие собой умножение  на число , по следующему алгоритму: устройство

В1. Считывает данные из ячеек памяти. 

В2. Выполняет умножение  (,  j).

В3. Записывает в младшие байты слов:, .

В4. Записывает в старшие байты слов: .

В5. Для каждой -ки  происходит сложение по алгоритму А.

После шага В5 в старших байтах слов будут содержаться (таблица 2):

Таблица 2. - Распределение ячеек памяти после операции умножения 



…





…



…





…

0

 ячеек

…

 ячеек







…







Результат умножения формируем из  сложением со сдвигом на  разрядов.

Количество шагов варьируется от 1 до , в то время как последовательное вычисление произведения займет  шагов.

Предлагаемые алгоритмы могут быть реализованы на однородных вычислительных средах, систолических структурах, нейронных сетях.


Литература



		Юров В. Assembler.  – СПб.: Издательство  «Питер», 2000.

		Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М: Мир, 1994. 

		 Макоха А.Н., Ионисян А.С. Компьютерная эмуляция арифметических операций над целыми и рациональными числами в СОК.        // Вестник СГУ. – Ставрополь: Изд-во СГУ, вып. 20, 1999.