Конспект урока по Математике "Методы решения иррациональных уравнений" 10 класс

Конспект урока – практикума  с презентацией по теме

 «Методы решения иррациональных уравнений» 

Аннотация: 

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе физико – математического профиля.  Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме. Подготовка учащихся к ЕГЭ. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. На уроке учащиеся анализируют различные методы решения иррациональных уравнений. Этот материал можно использовать при обобщении темы "Решение иррациональных уравнений" в 10 классе, а также при повторении в 11 классе - обучение, закрепление и фактические проверки навыков в данной теме, чтобы в короткие сроки и в полном объеме повторить тему "Решение иррациональных уравнений". Это особенно ценно при подготовке к ЕГЭ.



Автор: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

Контингент: 10 класс физико-математического профиля.


Цель урока: 

Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений.

Решение более сложных типов иррациональных уравнений .

Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.

Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.


Задачи урока:

1. Расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения иррациональных уравнений.

2. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.

3. Развить интерес и положительную мотивацию изучения математики.


Тип урока: практикум.

Форма урока: мастерская (групповая работа)

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор

Продолжительность: 2 часа

Ход урока

Организационный момент

Проверка домашнего задания

Устная работа. Ставится вопрос - проблема.

Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений:

а)  

          б)  

          в)  

г) +2=0

Актуализация знаний. Презентация

1 способ. Введение новой переменной

Метод замены переменной или метод подстановки очень часто используется при решении иррациональных уравнений и неравенств. Он позволяет значительно упростить решение, разбить его на самостоятельные этапы. Решить уравнение. .

Решение.



Проверка:



Выполняем обратную подстановку 



Ответ: -5; 2.



2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение. 

Решение. Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х=1. Проверкой убеждаемся, что х=1 – решение уравнения.

Ответ: 1.

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

Решить уравнение  

Решение. Умножим обе части уравнения на .

Получим, .

Имеем, 

Отсюда, 

Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Ответ: 1.

4 способ. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

Решить уравнение  

Решение. Положим     Тогда   u+v=3. Так как u3=x-2, v2=x+1, то v2 – u3 =3. Итак, в новых переменных имеем



Значит, х=3.

Ответ: 3.

5 способ. Выделение полного квадрата

Решить уравнение  

Решение. Заметим, что

=2,

.

Следовательно, имеем уравнение





Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

или    

Решением первой системы будет х=0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству 

Ответ: [- 1: 0].

6 способ. Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение

Решить уравнение  

Решение.  

Так  как   для  то левая часть уравнения не меньше двух для , а правая часть  для  Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых 

Решая второе уравнение системы, найдем х=0. Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы. Итак, х=0 – корень уравнения.

Ответ: 0.

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение  .



yРешение. Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет решений, либо имеет единственное решение. Отсюда следует, что уравнение и(х) = v(x), где и(х) - возрастающая, a v(x) – убывающая  функции, либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.



v(x)

v(x)у



u(x)

u(x)



x

x



Функции ,  их сумма возрастающая функция на области определения уравнения. Функция  убывает на ОДЗ уравнения. Подбором находим, что х=2 и оно единственно.

Ответ: 2.

8 способ. Использование векторов.

Решить уравнение  

Решение. ОДЗ:   Пусть вектор , . Скалярное произведение векторов    - есть левая часть. Найдем произведение их длин 

 . Это есть правая часть. Получили векторы  - коллинеарны. 

Отсюда             .

Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и .

Ответ: х = 1 и .

Работа в группах

Класс делится на группы. С первой решаем вместе типичные уравнения у доски. Вторая, третья и четвертая группы выбирают себе серию уравнений по уровню сложности. При необходимости учитель отвечает на вопросы учащихся.

Первая группа:

№

Задание

Ответ

1



x=18

2



х=5

3



x = 3

4



x = 64

5



x =

6



x = 9

7



x=16

Вторая  группа:

№

Задание

Ответ

1





2



x1=1; x2= - 1. 

3



x1=-4,5; x2=3

4



x1=1; x2=0,75

5



x = 2

6







Третья группа:

№

Задание

Ответ

1



x = - 5 

2



x1=21; x2=-21 

3



x1=0; x2=1

4



x1=13; x2=-15

5



x = 7

6







Письменная самостоятельная работа с последующей проверкой

1 вариант (повышенный уровень)

2 вариант

Решите уравнение



Ответ: -5, -6, -8, -9.



Ответ: 1; 2; 10



Ответ: 1.



Ответ: 2



Ответ: 

-25

Ответ: 6561.



Итог урока

Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.

Вопросы учащимся:

Какие методы использовали при решении уравнений?

Какой из методов вам понравился больше всего и почему?

Какие еще методы решения иррациональных уравнений вы знаете?

(Функционально -  графический метод, метод равносильных преобразований, метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой)



Рефлексия

Выбери из предложенных рисунков тот, который соответствует твоему настроению после пройденного урока и отметь его.



















Домашнее задание

Решите уравнения:

Задание



Ответы







x=1





x=2



 Литература

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

Кальней С.Г., Олейник Т.А., Прокофьев А.А. Сборник задач по математике для подготовительных курсов. Часть 1. Алгебра и начала анализа. – 4-е изд. – М.: МИЭТ, 2009.

КИМы ЕГЭ 2010 – 2012 г. г.

http://rudocs.exdat.com/docs/index-18133.html 

http://dist-tutor.info/mod/lesson/view.php 

http://ru.wikibooks.org/wiki/  



Макарова Т.П., ГБОУ СОШ№618 г. МосквыСтраница 2