Конспект урока по Математике "ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ"

Тема: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цели:

	Сформировать у обучающихся понятие перпендикулярности прямых в пространстве, прямой перпендикулярной плоскости; изучить лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей; теоремы в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

	Продолжить формирование навыков самостоятельности у обучающихся в процессе самоконтроля и при изучении нового материала.

	Воспитывать познавательный интерес к предмету.

	

Методическая цель:

Активизация познавательной деятельности обучающихся на уроке математики.

КМО:

		Рисунки к теоремам

		Справочный материал

		Рисунки к задачам (подготовленные обучающимися)

		учебник

		карта отметок

Тип урока: 

Изучение нового материала.

Вид урока:

Комбинированный.

Ход урока.

Орг. момент.

Подготовка обучающихся к занятию.

Сообщение темы и цели занятия. Мотивация.

Формирование новых знаний.

Работа с обучающимися получившими опережающее задание.

	1 обучающийся: Две прямые в   пространстве   называются   перпендикулярными    (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: аb. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть 

	скрещивающимися. На рисунке1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся.

2 обучающийся: Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть а||b и ac. Докажем, что bс. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как ac, то AMC = 90°.



Рисунок 1



Рисунок 2

По условию леммы b||а, а по построению а||МA, поэтому b||МА. Таким образом, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. bc. Лемма доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

а||b, ac

Доказать:

bс

Доказательство:

1. Через точку М , МА|| a, МС|| c, a  c МАМСAMC=90°.

2. b||а, а||МA b||МА bc.

	3 обучающийся: 	Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой а и плоскости  обозначается так: a. Говорят также, что плоскость , перпендикулярна к прямой а.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости  имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость .

На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости .

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.



Рисунок 3

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости,



Рисунок 4

Доказательство. Рассмотрим две параллельные прямые а и a1 и плоскость , такую, что a. Докажем, что и  a1. 

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости  (рис. 4). Так как a, то ax. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей a1x. Таким образом, прямая a1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т. е. a1. Теорема доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

а|| a1, a

Доказать:

a1

Доказательство:

Проведём х , т.к. a, то a х a1 х (лемма)  a1..



Докажем обратную теорему.

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.



Рисунок 5

Доказательство. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости  (рис. 5,а). Докажем, что а  b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b1. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а  b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости  и (рис. 5, б). Но это невозможно, следовательно, аb. Теорема доказана.


Оформление в тетради:

Дано:

a, b

Доказать:

а  b 

Доказательство:

1.Предположим, что а  b тогда, через М b, b1 ||a a  b1. 

2. через точку М в плоскости ,   b и b1 с  а  b

Закрепление нового материала.



Чтение теорем устанавливающих связь между параллельностью и перпендикулярностью.

Попарная проверка теорем.



Применение знаний и умений обучающихся.

Заранее выбираются консультанты, которые разбирают задачи и выполняют рисунки к ним.

Группа делится на подгруппы, где вместе с консультантами разбираются задачи. От каждой группы представитель записывает решение задачи у доски. Все обучающиеся записывают решения задач в тетрадь.

подгруппа №116(а).

подгруппа №116 (б).

подгруппа №117

Подгруппа №118

Подгруппа №117



Домашнее задание.

Подведение итогов занятия(выставление отметок).




Приложение

№ 116 (а)



А

D

C

B

А1

D1

C1

B1

А

D

C

B

А1

D1

C1

B1

Дано: - параллелепипед,  

Доказать:  , 

Доказательство: A1D1AD  AB A1D1 (лемма);

ABDC, B1C1AD  DCB1C1 (лемма).

№ 116 (б)



А

D

C

B

А1

D1

C1

B1

А

D

C

B

А1

D1

C1

B1

Дано: - параллелепипед,  ABDD1

Доказать:  , 

Доказательство: ABA1B1, ABDD1  A1B1 DD1 (лемма);

ABDD1, DD1CC1  ABCC1 (лемма).





№ 117



А

D 

B 

C 

N 

M 

А

D 

B 

C 

N 

M 

Дано: DABC - тетраэдр,  BCAD, MAB, AM = MB, NAC, AN = NC

Доказать: ADMN 

Доказательство: MNBC, (как средняя линия  ABC);

BCAD  MNAD (лемма).





№ 118



А

D 

B 

C 

M 

O 

a 

 

А

D 

B 

C 

M 

O 

a 

 

Дано: a, A,M, O  a, O,B,C,D  

Найти: прямые углы

Решение: a   aCO, a DO, aBO (по определению перпендикулярности прямой и плоскости)  AOB = 90º, 

MOC = 90º, DOA = 90º