Задача по Экономико-математическое моделирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  Вариант №  .



Нефтеперерабатывающий завод производит в месяц 1500000 л алкилата, 1200000 л крекинг - бензина и 1300000 л изопентола. В результате смешения этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 и 120 усл. ед.. Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, приносящий предприятию максимальную прибыль. 

Решите задачу графическим и симплекс-методом. Выполните постановку и найдите решение двойственной задачи.





































































1. Графический метод решения



Характеристика

Бензин

Ограничения



А

Б



Алкилат

1

3

1500

Крекинг – бензина

1

1

1200

Изопентол

1

2

1300

Прибыль (за 1000л)

90

120



План

х1

х2





х1 + 3х2 < 1500,     

х1 + х2 < 1200,   

х1 + 2х2 < 1300,          

х1 > 0, х2 > 0.



Целевая функция: 

f = 90х1 + 120х2 → max.



Строим прямые

х1 + 3х2 = 1500,     1

х1 + х2 = 1200,       2

х1 +2 х2 = 1300.     3

                   



Строим направляющий вектор  q {90, 120}.



Строим прямую, перпендикулярную направляющему вектору и проходящую через область допустимых решений.



Находим оптимальный план:



х1 + х2 = 1200,           х1 = 1100,

х1 +2 х2 = 1300.         х2 = 100.



Максимальная прибыль допускается при выпуске 1100 бензина А и 100  бензина Б.



Оптимальное значение целевой функции: 

f = 90х1 + 120х2, f = 90∙1100 + 120∙100 = 111000.

























































































2. Симплекс-метод.





Характеристика

Бензин

Ограничения



А

Б



Алкилат

1

3

1500

Крекинг – бензина

1

1

1200

Изопентол

1

2

1300

Прибыль (за 1000л)

90

120



План

х1

х2





Ограничения:

х1 + 3х2 < 1500,     

х1 + х2 < 1200,   

х1 + 2х2 < 1300,          

х1 > 0, х2 > 0.



Целевая функция: f = 90х1 + 120х2 → max,



Введем дополнительные переменные у1, у2, у3. 

1х1 + 3х2 + у1 = 1500,     

1х1 + 1х2 + у2 = 1200,       

1х1 + 2х2 + у3 = 1300,

х1 > 0, х2 > 0,

у1 > 0, у2 > 0, у3 > 0.



у1 = 1500 – (1х1 + 3х2),     

у2 = 1200 – (1х1 + 1х2),       

у3 = 1300 – (1х1 + 2х2),

х1 > 0, х2 > 0,

у1 > 0, у2 > 0, у3 > 0.

f = 0 – (-90х1 – 120х2) → max.


Составим симплекс таблицу: 

Базисные
переменные

Свободные
члены

x1

x2

у1

1500

1

3

у2

1200

1

1

у3

1300

1

2

Индексная строка

0

-90

-120

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке  есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-120). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу 

Базисные
переменные

Свободные
члены

x1

у1

x2

500

1/3

1/3

у2

700

2/3

-1/3

у3

300

1/3

-2/3

Индексная строка

60000

-50

40

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-50). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.



Пересчитаем таблицу 

Базисные
переменные

Свободные
члены

у3

у1

X2

200

-1

1

у2

100

-2

1

X1

900

3

-2

Индексная строка

105000

150

-60

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в индексной строке есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в индексной строке (-60). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.





Пересчитаем таблицу 

Базисные
переменные

Свободные
члены

у3

у2

x2

100

1

-1

у1

100

-2

1

x1

1100

-1

2

Индексная строка

111000

30

60

Найдено оптимальное решение.

		


3. Постановка и решение двойственной задачи.



Основная задача:



х1 + 3х2 < 1500,     

х1 + х2 < 1200,   

х1 + 2х2 < 1300,          

х1 > 0, х2 > 0.



Целевая функция: 

f = 90х1 + 120х2 → max.



Целевая функция двойственной задачи: 

g = 1500y1 + 1200y2 + 1300y3 → min. 



                         у1

 1    1    1    ∙     у2 

 3    1    2          у3

                                  



1у1+ 1у2 + 1у3  > 90,

3у1+ 1у2 + 2у3  > 120.



Переход от неравенства к равенству:



х1 + 3х2 + х3 = 1500,     

х1 + х2 + х4 = 1200,   

х1 + 2х2 + х5 = 1300,          

хi > 0.





1у1+ 1у2 + 1у3 - у4 = 90,

3у1+ 1у2 + 2у3 - у5 = 120.

уi > 0.



Осн.

Осн.

Доп.



х1

х2

х3

х4

х5



1100

100

100

0

0

Двойст.

0

0

0

60

30



у4

у5

у1

у2

у3



Доп.

Осн.