Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов

Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов 

Антон Никифоров

Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида 



(1) 

Если последовательность {} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или . Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна . 

Точки цикла, удовлетворяющие соотношению 



(2) 

называются неподвижными. 

Величина (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если <1. 

n-цикл, содержащий в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0. 

Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра , при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным , удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг: 



(3) 

Данное соотношение встречается также и в следующей записи: 

,n>>1 ([1], стр. 49), 

(3.1) 





Рис.1

Или в таком виде: 

,(см. [2], p.3), 

Расстояния от точки , где - точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению: 

, n>>1 

(4) 

Константы Фейгенбаума имеют значения , и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e. 

Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа и ) будет тем же самым. 

Алгоритм 

Интересно, что точки также можно использовать для расчета , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов: 



(a) 

Например, для цикла периода два: 





, где 





, таким образом 







(5.1) 



(б) 

Цикл периода четыре: 





, где 





, таким образом 







(5.2) 

Для произвольных же -циклов справедливо выражение: 



(6) 

Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона: 



(6.1) 

Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию . Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз. 

НА ВХОД ПОДАЕМ:

Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения: 

Итерируем производную функции начиная с 

Начальные приближения двух значений параметра R: , 

Разумное начальное приближение для постоянной : 

НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:



А весь процесс может быть описан следующими выражениями:

, n=2,3,4,…

, i=0,1,2,…











Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы. 

ПРИМЕР 1: 



При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как . Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать: 





ПРИМЕР 2: 









ПРИМЕР 3: 









Программу расчета константы вы можете найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости от шага i приводится ниже. 

i 



1 

6.9032539091... 

2 

4.7443094689... 

3 

4.6744478277... 

4 

4.6707911502... 

5 

4.6694616483... 

6 

4.6692658098... 

... 

... 

11 

4.66920173800930... 

Список литературы

 [1] Г.Шустер, "Детерминированный хаос. Введение", М:Мир, 1988

[2] K.Briggs "Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997

[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, "Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм", УМН, т.39, вып.3(237), 1984

[4] М.Фейгенбаум, "Универсальность в поведении нелинейных систем", УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983

[5] Н.Н.Калиткин, "Численные методы", М:Наука, 1978

[6] Метод Ньютона