Математические модели

Содержание



1 Анализ исходных данных и разработка ТЗ

1.1 Основание и назначение разработки

1.2 Постановка задачи в предметной области. Разработка математической модели

1.3 Выбор и обоснование основного алгоритма решения задачи

1.4 Требования к функциональным характеристикам программы

2 Руководство пользователя

2.1 Назначение программы

2.2 Минимальные требования к составу и параметрам технических средств

2.3 Минимальные требования к информационной и программной совместимости

2.4 Функциональная схема 

2.5 Интерфейс пользователя

3 Руководство программиста

3.1 Логические модели. Блок-схемы алгоритмов

3.2 Тестовый пример

Использованные источники

Приложение 




1 Анализ исходных данных и разработка ТЗ



1.1 Основание и назначение разработки



Данная разработка представляет собой модель схемы метро, построенную на основе взвешенного неориентированного графа. Она позволяет находить путь от одной станции к другой через промежуточные. Основанием данной разработки является выполнение курсовой работы. Назначение разработки:

•	закрепить и углубить теоретические знания и практические навыки, связанные с программированием в среде Visual Prolog Personal Edition 5.2;

•	получить навыки в составлении текстовой конструкторской документации в соответствии с существующими стандартами.



1.2 Постановка задачи в предметной области. Разработка математической модели задачи



Математической моделью задачи является неориентированный граф. В качестве вершин графа выступают станции, а в качестве ребер – линии метро. Также с помощью математической модели вводятся следующие понятия:

1.Начальная станция – заданная вершина графа;

2.Конечная станция – одна из вершин графа; 

3.Промежуточная станция – одна из вершин графа;

4.Кольцевая линия – замкнутая линия метро;

5.Пересадка – вершина графа из которой выходят более двух ребер;

6.Линия метро–ребро графа.




1.3 Выбор и обоснование основного алгоритма решения задачи



Существуют следующие алгоритмы нахождения пути в неориентированном графе:

А)Полный нециклический перебор:

Алгоритмом нахождения пути в данной курсовой работе является метод полного нециклического перебора.

Маршрут S(l0, l1, l2,…, ln) имеет не определенное число вершин. Каждый элемент liV, где V множество вершин графа. Множество кандидатов в li т.е. Si есть множество вершин соединенных ребрами с вершиной li-1. Было бы не целесообразно искать путь из одной точки в другую, как маршрут возможно содержащий циклы. Кроме практической непригодности данного решения, возникает проблема не ограниченности числа вершин в маршруте. Поэтому, для исключения циклов, на кандидатов в li вводится дополнительное ограничение: li. l1, li. l2,…, li. li-1 т.е. ни одна вершина не должна встречаться в маршруте более одного раза.

Описанный выше алгоритм нахождения пути наиболее прост в реализации на языке Prolog, так как он наиболее близок к процедуре доказательства истинности целей, которая осуществляется путем полного перебора по базе фактов и правил. (см. Математические модели информационных процессов и управления)

Если существует несколько оптимальных маршрутов, то выбирается только один из них.

Б) Последовательный перебор(Метод полного перебора):

 В самом общем случае полагают, что решение состоит из вектора (a1, a2,…, an), конечной, но неопределенной длины, удовлетворяющего определенным ограничениям. Каждое аiAi, где Ai конечное упорядоченное множество. В качестве исходного частичного решения примем пустой вектор () и на основе имеющихся ограничений выясним, какие элементы из А1 являются кандидатами в а1. Обозначим это подмножество кандидатов через 

S1A1. В результате имеем частичное решение (a1). В общем случае для расширения частичного решения (a1,a2,…,ak-1) до (a1,a2,…, ak-1, ak) кандидаты на роль аk выбираются из SkAk. Если частичное решение (a1, a2,…, ak-1) не позволяет выбрать аk то Sk =; 

возвращаемся и выбираем новый элемент ak-1.

В) Перебор на основе заданного количества элементов в комбинациях.

Аналогично полному перебору, только с ограничениями по количеству элементов.

Рассомтренную задачу можно решить с помощью двух алгоритмов:

1)Найти все возможные пути маршрута, составить список из количесва остановок и в этом списке выбрать минимальное значение;

2)В ходе поиска маршрута проверять на минимальные значения остановки и при этом рассматривать список необходимых пересадок как подсписок найденного решения. Мы используем этот метод, так как он более удбен для риализации в среде Visual Prolog. В данной работе я рассмотрел частный случай схемы метро(без перегонов).



1.4 Требования к функциональным характеристикам программы



Пользователь вводит станции: начальный пункт, промежуточные и конечный пункт. Программа должна обеспечивать поиск пути от одной станции к другой через промежуточные станции.




2 Руководство пользователя



2.1 Назначение программы



Программа позволяет найти маршрут между двумя станциями в метро с проездом через заданные станции. При этом выбирается маршрут с минимальным числом остановок.



2.2 Минимальные требования программы к составу и параметрам технических средств



Минимальные требования программы к составу и параметрам технических средств в основном определяются требованиями операционной системы, а так как для работы программы необходима ОС Windows 95(или выше), то предъявляются следующие минимальные требования:

•	Процессор 486/66;

•	16Мб оперативной памяти;

•	Видеоадаптер SVGA;

•	SVGA монитор;

•	Дисковое пространство не менее 10 MB.

Мышь, клавиатура.



2.3 Минимальные требования к информационной и програмной совместимости



•	 На компьютере должна быть установлена операционная система Windows 95/ NT 4.0 или более поздняя версия;

•	Для запуска программы на языке Prolog необходим Visual Prolog v. 5.2 Personal Edition или выше.

•	Система должна поддерживать национальные шрифты (кириллицу).



2.4 Функциональная схема программы

		

		

		

Открыть в Viual Prolog файл маршрут.pro

				

				

		

		

Ввод нач., кон. и промежут. станций.



		

		

		

		

Поиск оптимального маршрута

		

		

		

		

Вывод результата

		

		

		

		

		

Вывод



Рис. 1




2.5 Интерфейс пользователя



Открываем Visual Prolog в самой программе находим закладку “Open”, через неё раскрываем файл маршрут.pro

После запуска маршрут.pro появится окно с вопросом:

‘Введите начальную станцию =a’

Указываете начальный пункт(например, «a»). Нажимаете «Enter»

‘ Введите конечную станцию = g’

Указываете конечный пункт назначения(«g»). Нажимаете «Enter»

‘Сколько вы хотите ввести количество промежуточных станций=2’

Указываете промежуточные станции с и j. Нажимаете «Enter»



После обработки входных данных появится 

‘Путь: ["a","s","n","c","j","f","g"]

 Число остановок: 7

 yes’ 

«Путь» показывает оптимальный маршрут с наименьшим количеством пересадок.

Если на экране появится надпись «no», значит неправильно введено название станции или невозможно найти оптимальный маршрут, не проезжая через какую-либо станцию дважды.




3 Руководство программиста



3.1 Логические модели. Блок-схемы алгоритмов



Описание станций линий метро

 линия(линия_1,[a,s,d,f,g]).

 линия(линия_2,[l,k,d,j,h]).

 линия(линия_3,[z,x,d,c,v]).

 линия(линия_4,[b,n,d,m,q]).

 линия(линия_5,[c,j,f,m,x,k,s,n,c]).



Далее определяеться принадлежность станции к линии. Т.е. станция принадлежит списку (линии), если она являеться головой этого списка; станция принадлежит списку, если она находиться в хвосте.

 принадлежит(Станция,[Станция|_]).

 принадлежит(Станция,[_|Хвост]):- принадлежит(Станция,Хвост).



Аналогично производиться проверка двух станций на соседство в списке.

 соседние(Станция1,Станция2,[Станция1,Станция2|_]).

 соседние(Станция1,Станция2,[_|Хвост]):-

 соседние(Станция1,Станция2,Хвост).



Ненаправленность графа обеспечивается в поиске смежных станций, т.е. находим ветвь Станция1, Станция2 или Станция2, Станция1.

смежные_станции(Станция1,Станция2,Линия):- линия(Линия,Список),принадлежит(Станция1,Список),

принадлежит(Станция2,Список), соседние(Станция1,Станция2,Список);

линия(Линия,Список), принадлежит(Станция1,Список),

принадлежит(Станция2,Список), соседние(Станция2,Станция1,Список).

Пересадка с линии1 на линию 2 возможна, когда станция принадлежит обеим линиям.

пересадка(Станция,Линия1,Линия2):- линия(Линия1,Список1), линия (Линия2, Список2),

принадлежит(Станция,Список1),принадлежит(Станция,Список2), Линия1<>Линия2.



Осуществляем поиск возможного пути от начальной станции к конечной.

маршрут(Станция,Станция,[Станция],1,Линия,_) :- линия(Линия,Список),принадлежит(Станция,Список).

% путь с пересадкой

маршрут(Начало,Конец,[Начало,Начало2|Хвост],Остановки1,Линия,История) :- 

линия(Линия,Список),линия(Новая_Линия,Новый_Список),

принадлежит(Начало,Список),принадлежит(Начало2,Новый_Список),

пересадка(Начало,Линия,Новая_Линия),Линия<>Новая_Линия,

смежные_станции(Начало,Начало2,_),

not(принадлежит(Начало2,История)),

маршрут(Начало2,Конец,[Начало2|Хвост],Остановки2,Новая_Линия, [Начало2|История]),

Остановки1=Остановки2+1.

% путь без пересадки 

маршрут(Начало,Конец,[Начало,Начало2|Хвост] ,Остановки1, Линия, История) :- 

линия(Линия,Список),линия(Новая_Линия,Новый_Список),

принадлежит(Начало,Список),принадлежит(Начало2,Новый_Список),

Линия=Новая_Линия,смежные_станции(Начало,Начало2,_),

not(принадлежит(Начало2,История)),

маршрут(Начало2, Конец, [Начало2|Хвост], Остановки2, Линия, [Начало2|История]),

Остановки1 = Остановки2 + 1.

/* осуществляется поиск пути через заданную остановку*/

через_станцию(Начало,Конец,Пром,Ost,List):-маршрут(Начало,Конец,List,Ost,_,[Начало]),принадлежит(Пром,List).



3.2 Тестовый пример



Из схемы метро(см.приложение А) выбираем начальную и конечную станции, а так же вводим промежуточные через которые нам надо проехать.Запускаем программу. Вводим соответствующие названия станций Например: нач-a,кон-g, пром-с,j. 

После обработки данных программа выводит на экран маршрут проезда, в виде списка станций, через которые следует ехать, и количество остановок в пути.




Список использованных источников



1.	 Братко И. Программирование на языке Prolog для искусственного интеллекта –

 Мир - Москва ,1990.

2.	Малпас Дж. Реляционный язык Prolog и его применение – Наука - Москва, 1990.

3. Математические модели информационных процессов и управления

 Сост.: С.И. Беляева и др. - Нижний Новгород, 1991.


Приложение



Код программы

/*ПРОЕЗД В МЕТРО ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ОСТАНОВКИ*/



DOMAINS

список=symbol*

список1=integer*



PREDICATES

nondeterm линия(symbol,список)

nondeterm мин_1(integer,список1)

nondeterm минимальное(integer,список1)

nondeterm принадлежит(symbol,список)

nondeterm соседние(symbol,symbol,список)

nondeterm смежные_станции(symbol,symbol,symbol)

nondeterm пересадка(symbol,symbol,symbol)

nondeterm маршрут(symbol,symbol,список,integer,symbol,список)

nondeterm через_станцию(symbol,symbol,symbol,integer,список)

nondeterm поиск

nondeterm stations(symbol,symbol,список,integer,список)

nondeterm includ(список,список)

nondeterm vvod(integer,список,список)

nondeterm vvod1(integer,список)

nondeterm vvod2(integer)

nondeterm digit(string,integer)



CLAUSES

/* ОПИИСАНИЕ ЛИНИЙ */

линия(линия_1,[a,s,d,f,g]).

линия(линия_2,[l,k,d,j,h]). 

линия(линия_3,[z,x,d,c,v]).

линия(линия_4,[b,n,d,m,q]).

линия(линия_5,[c,j,f,m,x,k,s,n,c]).



/* ПОИСК МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА В СПИСКЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ */

мин_1(_,[]).

мин_1(Мин,[X|Хвост]):- Мин<=X, мин_1(Мин,Хвост).

минимальное(Мин,[X|Хвост]):- Мин=X,мин_1(Мин,Хвост); минимальное(Мин,Хвост).



/* ПРОВЕРКА НА ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ СТАНЦИИ СПИСКУ */

принадлежит(Станция,[Станция|_]).

принадлежит(Станция,[_|Хвост]):- принадлежит(Станция,Хвост).



/*ПРОВЕРКА ДВУХ СТАНЦИЙ НА СОСЕДСТВО В СПИСКЕ */

соседние(Станция1,Станция2,[Станция1,Станция2|_]).

соседние(Станция1,Станция2,[_|Хвост]):- соседние(Станция1,Станция2,Хвост).



/* СМЕЖНЫЕ СТАНЦИИ */

смежные_станции(Станция1,Станция2,Линия):- линия(Линия,Список),принадлежит(Станция1,Список),

принадлежит(Станция2,Список), соседние(Станция1,Станция2,Список);

линия(Линия,Список), принадлежит(Станция1,Список),

принадлежит(Станция2,Список), соседние(Станция2,Станция1,Список).



/* ВОЗМОЖНОСТЬ ПЕРЕСАДКИ */

пересадка(Станция,Линия1,Линия2):- линия(Линия1,Список1), линия(Линия2,Список2),

принадлежит(Станция,Список1),принадлежит(Станция,Список2),Линия1<>Линия2.



/* ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ПОИСК ПУТИ */

маршрут(Станция,Станция,[Станция],1,Линия,_) :- линия(Линия,Список),принадлежит(Станция,Список).

% путь с пересадкой

маршрут(Начало,Конец,[Начало,Начало2|Хвост],Остановки1,Линия,История) :- 

линия(Линия,Список),линия(Новая_Линия,Новый_Список),

принадлежит(Начало,Список),принадлежит(Начало2,Новый_Список),

пересадка(Начало,Линия,Новая_Линия),Линия<>Новая_Линия,

смежные_станции(Начало,Начало2,_),

not(принадлежит(Начало2,История)),

маршрут(Начало2,Конец,[Начало2|Хвост],Остановки2,Новая_Линия,[Начало2|История]),



Остановки1=Остановки2+1.

% путь без пересадки 

маршрут(Начало,Конец,[Начало,Начало2|Хвост],Остановки1,Линия,История) :- 

линия(Линия,Список),линия(Новая_Линия,Новый_Список),

принадлежит(Начало,Список),принадлежит(Начало2,Новый_Список),

Линия=Новая_Линия,смежные_станции(Начало,Начало2,_),

not(принадлежит(Начало2,История)),

маршрут(Начало2,Конец,[Начало2|Хвост],Остановки2,Линия,[Начало2|История]),

Остановки1 = Остановки2 + 1.

/* осуществляется поиск пути через заданную остановку*/

через_станцию(Начало,Конец,Пром,Ost,List):-маршрут(Начало,Конец,List,Ost,_,[Начало]),принадлежит(Пром,List).	

поиск:-write("Выбор маршрута в метро c проездом через заданные остановки"),nl,

write("Схему метро смотрите в Приложении А пояснительной записки"),nl,nl,

write("Введите начальнаую станцию = "),readln(Начало),

write("Введите конечную станцию = "),readln(Конец),

vvod1(_,Prom),

findall(Остановки,stations(Начало,Конец,Prom,Остановки,List),Ost_Список),

минимальное(Остановки,Ost_Список),

stations(Начало,Конец,Prom,Остановки,List),

%через_станцию(Начало,Конец,Пром,Остановки,List),

write("\nПуть: ",List,"\nЧисло остановок: ",



Остановки),nl.

stations(Начало,Конец,Пром,Ost,List):-маршрут(Начало,Конец,List,Ost,_,[Начало]),

includ(Пром,List).

%проверка, чтобы элемента из списка1 входили в список2

includ([X],List):-принадлежит(X,List).

includ([X|List1],List):-принадлежит(X,List),includ(List1,List).

vvod(1,List,List1):-write("Введите последнюю промежуточную станцию: "),

readln(Str),not(принадлежит(Str,List1)),List=[Str],!.

vvod(N,List,List1):-N>1,write("Введите промежуточную станцию: "),

readln(Nomer),

not(принадлежит(Nomer,List1)),N1=N-1,

vvod(N1,List2,[Nomer|List1]),List=[Nomer|List2],!;

write("Станция с таким названием уже была введена"),nl,vvod(N,List,List1).

digit(Str,Digit):- str_int(Str,Digit).

vvod2(N):-write("Сколько вы хотите ввести промежуточных станций: "),nl,

readln(Str),digit(Str,N),!;

write("Была введена не цифра. Повторите ввод"),nl,vvod2(N).

vvod1(N,List):-vvod2(N),vvod(N,List,[]).

GOAL

поиск.