Геометрия

БИЛЕТ   6  Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

































Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями  и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями  и  по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.



 Sп.п.=2R(H+R)





                     

БИЛЕТ   5  Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.





































Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости  и  пересекаются с плоскостью . Докажем, что а  b.

Эти прямые лежат в одной плоскости () и  не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл.  и  имели бы общ. точку, что невозможно, т.к.   . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а  b.



 2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H





                     

БИЛЕТ   4   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

                                            Док-во: Рассмотрим                  

                                           две плоскости  и . В

                                           плоскости  лежат

                                           пересекающиеся в т.М

                                           прямые a и b,  а в  - 

                                           - прямые а1 и b1, 

                                           причем а  а1 и b  b1.

                                           Докажем, что плоскос.

                                           -ти  и  не параллель

                                           ны. Тогда они перес.

                                           по прямой с. Мы получили, что плоскость  проходит ч/з прямую  а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость  по прямой с. Отсюда следует, что

а  с.

   Но плоскость  проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b   с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b,   с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая   с.

Значит, наше допущение неверно  и   .   Ч.Т.Д.    

  

   -  -   -   -   -   -   -   -































                     

БИЛЕТ   3   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и  самой плоскости.

                                  Док-во: Пусть -плоскость,

                                  а - не лежащая в ней прямая

                                  и а1 - прямая в плоскости ,

                                  параллельная прямой а.

                                  Проведем плоскость 1 ч/з

                                                прямые а и а1.

                                                Она отлична от ,

                                             т.к. прямая а не ле-

                                      жит в плоскости . Плоскости  и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости .        Ч.Т.Д.

   















2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H                                            





                     

БИЛЕТ   2   ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом  только одна.

                                        Док-во:  проведем ч/з а и                

                                        М плоскость , а ч/з М в                         

                                        в плоскости  прямую

                                        b  a. Докажем, что b  a

                                        единственна.



Допустим, что существует другая прямая b2  a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести

плоскость 2, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА 

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с . По аксиоме о параллельных

прямых b2 и а совпадают.         Ч.Т.Д.



















2. Vус.кон.=1/3*H(R12+R1R2+R22)                                              



                    

 

БИЛЕТ   1   А1  Какова бы ни была  плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

                               и точки, не принадлежащие ей.

                               





А2  Если две различные плоскости имеют общую

       точку, то они пересекаются по прямой.      













А3 Если две различные прямые имеют общую

      точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

      притом только одну.





























2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.;   Sбок.=Pосн.*A









                                               

 

































































БИЛЕТ   7  Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

10 Проекция прямой есть прямая.



















20 Проекция отрезка есть отрезок.

30  Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.



Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.















 -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -

































































 





                     







БИЛЕТ   9  ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

                                             Док-во: AH - перпенд.

                                             к плоскости , AM - 

                                             наклонная, а - прямая

                                             проведенная в плоск.

                                              ч/з точку M перпенд

                                             к проекцииHM

                                             наклонной.

                                                 Рассмотрим плоск.

                                             AMH. Прямая аэтой

                                             плоскости, т.к. она 

                                             к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след.

что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM.

                              Ч.Т.Д.























  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

                    





























                     

БИЛЕТ   8  Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.



ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.













































   Sсеч.=2RH





 Sшар.сег.=2RH 





                     



















































БИЛЕТ   11   ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb.

Через какую-нибудь точку М прямой  проведем прямую 1, параллельную прямой . Докажем, что прямая 1 совпадает с прямой . Тем самым будет доказано, что  . Допустим, что прямые  и 1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые  и 1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой , по которой пересекаются плоскости  и . Но это невозможно, след-но,  .        Ч.Т.Д.































 - - - - - - - - - - - - - - -  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

























































БИЛЕТ   12     ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости  и  такие, что плоскость  проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости  и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости  и  пересекаются по прямой АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости .

  Проведем в плоскости  прямую  АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей  и . Но BAD=900 (т.к. AB). След-но, угол м/у плоскостями  и  равен 900, т.е. .      Ч.Т.Д.

















  Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)









































БИЛЕТ   10     ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

















Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а1.

 Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости .

Так как а, то ах. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а1.    Ч.Т.Д.























   Vпаралл-да=abc=Sосн.*H



                     















БИЛЕТ   13   ОПРЕДЕЛЕНИЕ:  Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.





















































 Sполн=Sбок+2Sосн        ;    Sбок=P*H(ребро)



БИЛЕТ   14     ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h.                  Ч.Т.Д.





























   - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

























































БИЛЕТ   15  Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и

DD1 параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA1..D1.

  Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.



ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник  A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1 BC и

A1D1=BC, то A1D1CB  - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B  пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.



















  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 





 

        

      

      

       

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



БИЛЕТ   18   Рассмотрим многоугольник A1A2..An

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников:  PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников, называется пирамидой



Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, ..., Pan - ее боковыми ребрами.



ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

                                   Док-во: S-вершина пирамид

                                   A - верш.основания и A1 - 

                                   точка пересечения секущей 

                                   плоскости с боковым ребр.

                                   SA. Подвергнем пирамиду

                                   преобразованию гомотетии 

                                   относительно вершины S с

                                   коэф. гомотет. k=SA1/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной.   Ч.Т.Д.



 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    





































































































БИЛЕТ   17  ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.



ТЕОРЕМА:  Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

                                                Док-во: Докажем,                                                                                             

                                                что

                                               AC12=AB2+AD2+AA12

                                                Так как ребро CC1 

                                                перпендикулярно 

                                                к основанию ABCD,

                                                то ACC1-прямой.

                                                Из прямоугольного

                                                треугольника ACC1

                                                по теореме Пифагора получаем  AC12=AC2+CC12.

  Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1.

След-но   AC12=AB2+AD2+AA12            Ч.Т.Д.



                                                          















 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 













































БИЛЕТ   16  ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

                                                























Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то ABDC и AA1DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

 Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC  соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и  м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.

равны двум смежным сторонам у  м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны









































 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



БИЛЕТ   22  ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

                                    Док-во: Рассмотрим конус                          

                                    с объемом V. Произвольн.

                                    сечение конуса плоскостью

                                    перпендикулярной к оси Ox,

                                    является кругом с центром  

                                    в т.M1 пересечения этой 

                                    плоскости с осью Ox.

                                    Обозначим радиус этого 

                                    круга ч/з R1, а площадь 

                                    сечения ч/з S(x), где x-

                                    - абсцисса точки M1. Из

                                    подобия прямоугольных

треугольников OM1A1 и OMA следует, что

OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.

  Так как S(x)=R12, то S(x)=R2x2/h2.

  Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:



Площадь S основания конуса равна R2, поэтому 

V=1/3Sh                 Ч.Т..Д.                

















 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 





















БИЛЕТ   21   За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.























Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2rh

  Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.























 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 











БИЛЕТ   20   ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1)  Рассмотрим прямую треуг. призму 

                                 ABCA1B1C1  с объемом V и

                                 высотой h. Проведем такую

                                 высоту треугольника ABC

                                 отрез.BD, которая разделяет 

                                 этот треуг. на два треуг.

                                 Плоскость BB1D разделяет

                                 данную призму на две  приз.,

                                 основаниями которых явл.

прямоугольные треуг.  ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны

Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е.  V=Sabdh+Sbdch=

=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch

              2) Докажем теорему для произвольной

                                 призмы с высотой h и площ.

                                 основания S. Такую призму

                                 можно разбить на прямые

                                 треуг. призмы с высотой h.

                                 Выразим объем каждой приз.

                                 по формуле (1) и сложим эти 

                                 объемы. Вынося за скобки

                                 множитель h, получим в                                                                                

                                 скобках сумму площадей 

оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом,  объем призмы равен Sh.           Ч.Т.Д.







 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 





























БИЛЕТ   19  ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр.                          Ч.Т.Д.





































 - - - - - - - - - - - - - - - - -  - - - - - - - - - - - - - - - - - -