Вычисление электрической энергии и электрических сил

Вычисление электрической энергии и электрических сил.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Полная энергия заряженной системы определяется как 



(24)

Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all - напротив, потенциал всех тел, кроме i-го: 

W

 = 



(25)



 = 





При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия - формально - равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия. 

В случае двух тел энергия их взаимодействия - это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1: 



(26)

Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что - с точностью до знака - то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое: 







(27)

Здесь - поле, создаваемое одним первым, а - одним вторым телом. 

Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара. 

Решение: Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле: 



 = 







 = 





Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r<R: 

φ(r)

 = 













Имея потенциал и записав dq как 

dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ







можно найти энергию шара непосредственным интегрированием: 

Wown

 = 





















Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела. 

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением. 

Ответ: , , плоскости. 





Задача. Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, и кольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия. 

Решение: Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряда нити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити: 









Мы осуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольца так, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить - вдоль оси z, занимая область координат z>0. Тогда 

dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ







Поле кольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона (Раздел 1), которое в итоге даёт: 









Поле, создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно: 









После этого проводим интегрирование с целью нахождения силы: 



 = 







 = 





Как и должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить , с точностью до знака равна силе, действующей со стороны нити на кольцо - в соответствии с третим законом Ньютона. 

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.