Евклідова і неевклідова геометрії

Размещено на http://www.

Зміст



Введення

Глава I. Розвиток геометрії

1.1 Історія геометрії

1.2 Постулати Евкліда

1.3 Аксіоматика Гильберта

1.4 Інші системи аксіом геометрії

Глава II. Неевклідові геометрії в системі Вейля 

2.1 Елементи сферичної геометрії 

2.2 Еліптична геометрія на площині

2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля 

2.4 Різні моделі площини Лобачевского. Незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта

Висновок

Список літератури


Введення



Будь-яка теорія сучасної науки вважається єдино вірної, поки не створена наступна. Це своєрідна аксіома розвитку науки.

Цей факт багаторазово підтверджувався. Фізика Ньютона переросла в релятивістську фізику, а та у квантову. Теорія флогістону стала хімією, а самозародження мишей із бруду обернулося біологією. Така доля всіх наук, і не можна сказати, що сьогоднішнє відкриття через двадцять років не виявиться грандіозною помилкою. Але це теж нормально - ще Ломоносов говорив: «Алхімія - мати хімії: дочка не винувата, що її мати дурнувата».

Доля ця не обійшла й геометрію. Традиційна Евклідова геометрія переросла в неевклідову, геометрію Лобачевского. Саме цьому розділу математики, його історії й особливостям і присвячений цей проект.

У даній дипломній роботі я хочу показати, що крім геометрії, що вивчають у школі (Геометрії Евкліда або вживаної геометрії), існує ще одна геометрія, геометрія Лобачевского. Ця геометрія істотно відрізняється від евклідової, наприклад, у ній затверджується, що через дану крапку можна провести нескінченно багато прямих, паралельних даній прямій, що сума кутів трикутника менше 180?? У геометрії Лобачевского не існує прямокутників, подібних трикутників і так далі.

Я вибрав дану тему з кількох причин: теорія геометрії Лобачевского допомагає глянути по-іншому на навколишній нас мир, це цікавий, незвичайний і прогресивний розділ сучасної геометрії, вона дає матеріал для міркувань - у ній не все просто, не все ясно з першого погляду, щоб неї зрозуміти, потрібно мати фантазію й просторову уяву. Ситуація з геометрією Лобачевского й геометрією Евкліда багато в чому схожа на ситуацію з Теорією відносності Ейнштейна й класичною фізикою. Геометрія Лобачевского й Ейнштейна це прогресивні взаємозалежні теорії, що виконуються на величезних величинах і відстанях, і, що залишаються вірними на наближеннях до нуля. У просторовій моделі використовується не звичайна евклідова площина, а скривлений простір, на якому вірна теорія Лобачевского.

евклідова геометрія аксіома площа


Глава I. Розвиток геометрії



1.1 Історія геометрії



Геометрія - це одна з найдавніших наук. Досліджувати різні просторові форми здавна спонукувало людей їхня практична діяльність. Давньогрецький учений Едем Родоський в IV столітті до нашої ери писала: «Геометрія була відкрита єгиптянами, і виникла при вимірі Землі. Цей вимір було їм необхідно внаслідок розлиття ріки Нил, що постійно змивала границі. Немає нічого дивного, що ця наука, як і інші, виникла з потреби людини».

Уважається, що геометрія почалася в так званої Їонийської школі. Її засновником уважається Фалес Милетський (640-540 (546?) рр. до н.е.). Він уважався одним із семи мудреців Греції, першим математиком, астрономом і філософом. Він довів, що кути при підставі рівнобедреного трикутника рівні, що вертикальні кути рівні, що діаметр ділить окружність навпіл і ще множина теорем. Пророкування затьмарення сонця в 585 році також приписується йому.

Величезний імпульс розвитку цій школі дав Піфагор (569-470 р. до н.е.). В основному про його особисті якості пишуть те ж саме, що й про Фалесе. Але до цього ще можна додати титул чемпіона з боксу на олімпійських іграх - звання, серед математиків рідке.

Незважаючи на всі його досягнення, думку сучасників добре виразив Геракліт: «Багато знання без розуму». Що ж, це було цілком заслужене: Піфагор засекречував відкриття й приписував собі роботи учнів. Піфагор також змушував своїх вихованців виконувати цілий звід дуже дивних правил: наприклад, не доторкатися до білого півня.

Але факт є факт - і одна з теорем Піфагора тепер відома кожному – це теорема про рівність квадрата гіпотенузи сумі квадратів катетів. Ця теорема настільки популярна у світі математиків, що одних тільки доказів нагромадилося 39 штук. 

Платон (428-348) знаменитий введенням принципу дедуктивності в математику, або принципу розвитку від простого до складного. Він також знаменитий постановкою трьох задач на побудову. Використовуючи тільки циркуль і лінійку, треба було:

Розділити кут на три частини (задача про трисекцію кута).

Побудувати квадрат, рівний по площі даному колу (задача про квадратуру кола).

Побудувати куб, рівний по об'єму даному (задача про подвоєння куба).

Не можливість вирішення цих задач була доведена тільки в 19 столітті, але перед цим вони встигли викликати справжню буру: наприклад, задача №2 викликала появу інтегрального вирахування. 

Багато первісних геометричних відомостей одержали також шумеро-вавилонські, китайські й інші вчені найдавніших часів. Установлювалися вони сНачало тільки досвідченим шляхом, без логічних доказів.

Як наука, геометрія вперше сформувалася в Древній Греції, коли геометричні закономірності й залежності, знайдені раніше досвідченим шляхом, були наведені в належну систему й доведені.

Закінчився розвиток традиційної геометрії Евклідом. В III столітті до нашої ери грецький учений привело в систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Начало». 

Його книга «Начало» тільки до 1880 року витримала 460 видань, поступившись тільки Біблії. Спосіб побудови став єдино вірним для всіх наукових праць: Перерахування основних, природних понять (Перерахування основних аксіом (Перерахування основних визначень (Формулювання теорем (тверджень) і їхній доказ.

Метод доказу від противного – теж його заслуга. Він же сформулював п'ять постулатів геометрії:

Через дві крапки можна провести одну й тільки одну пряму.

Пряма триває нескінченно.

З будь-якого центра можна провести окружність будь-яким радіусом.

Всі прямі кути рівні між собою.

П'ятий постулат є своєрідним філософським каменем геометрії.

Неевклідова геометрія з'явилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда, аксіому паралельності. Ця геометрія багато в чому дивна, незвичайна й багато в чому не відповідає нашим звичним уявленням про реальний світ. Але в логічному відношенні дана геометрія не уступає геометрії Евкліда. 



1.2 Постулати Евкліда



Евклід - автор першого логічної побудови, що дійшло до нас строгого, геометрії. У ньому виклад настільки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч років з моменту появи його праці «Начало» воно було єдиним керівництвом для вивчаючу геометрію.

«Начало» складаються з 13 книг, присвячених геометрії й арифметиці в геометричному викладі.

Кожна книга «Начало» починається визначенням понять, які зустрічаються вперше. Так, наприклад, першій книзі подані 23 визначення. Зокрема,

Визначення 1. Крапка є те, що не має частин.

Визначення 2. Лінія є довжини без ширини

Визначення 3. Границі лінії суть крапки.

Слідом за визначеннями Евклід приводить постулати й аксіоми, тобто твердження, прийняті без доказу.

Постулати

I. Потрібно, щоб від кожної крапки до всякої іншої крапки можна було провести пряму лінію.

II . І щоб кожну пряму можна було невиразно продовжити.

III. І щоб з будь-якого центра можна було описати окружність будь-яким радіусом.

IV. І щоб всі прямі кути були рівні.

V. І щоб щораз, коли пряма при перетинанні із двома іншими прямими утворить із ними однобічні внутрішні кути, сума яких менше двох прямих, ці прямі перетиналися з тієї сторони, з якої ця сума менше двох прямих.

Аксіоми

I. Рівні порізно третьому рівні між собою.

II. І якщо до них додамо рівні, то одержимо рівні.

III. І якщо від рівних віднімемо рівні, то одержимо рівні.

IV. І якщо до нерівного додамо рівні, то одержимо нерівні.

V. І якщо подвоїмо рівні, то одержимо рівні.

VI. І половини рівних рівні між собою.

VII. І сумісні рівні.

VIII. І ціле більше частини.

IX. І дві прямі не можуть містити простори.

Іноді IV і V постулати відносять до числа аксіом. Тому п'ятий постулат іноді називають XI аксіомою. По якому принципі одні твердження ставляться до постулатів, а інші до аксіом, невідомо.

Ніхто не сумнівався в істинності постулатів Евкліда, що стосується й V постулату. Тим часом уже зі стародавності саме постулат про паралельні залучив до себе особлива увага ряду геометрів, що вважали неприродним приміщення його серед постулатів. Імовірно, це було пов'язане з відносно меншою очевидністю й наочністю V постулату: у неявному виді він припускає досяжність будь-яких, як завгодно далеких частин площини, виражаючи властивість, що виявляється тільки при нескінченному продовженні прямих.

Можливо, що вже сам Евклід намагався довести постулат про паралельні. На користь цього говорить та обставина, що перші 28 пропозицій «Начало» не опираються на V постулат. Евклід як би намагався відсунути застосування цього постулату доти, поки використання його не стане настійно необхідним.

Одні математики намагалися довести постулат про паралельний, застосовуючи тільки інші постулати й ті теореми, які можна вивести з останніх, не використовуючи сам V постулат. Всі такі спроби виявилися невдалими. Їхній загальний недолік у тім, що в доказі неявно застосовувалося яке-небудь припущення, рівносильне доказуваному постулату.

Інші пропонували по-новому визначити паралельні прямі або ж замінити V постулат яким-небудь, на їхню думку, більше очевидною пропозицією. Так, наприклад, в XI столітті Омар Хайям увело замість V постулату «принцип», відповідно до якого дві лежачі в одній площині збіжні прямі перетинаються й не можуть розходитися в напрямку сходження. За допомогою цього принципу Хайям доводить, що в чотирикутнику ABCD, у якому кути при підставі А и В - прямі й сторони АС, ВD рівні, кути С и D так само прямі, а із цієї пропозиції про існування прямокутника виводиться V постулат. Міркування Хайяма одержали оригінальний розвиток в XIII столітті в Насиредина ат-туси, роботи якого у свою чергу стимулювали дослідження Д. Валлиса. В 1663 році Валлис довів постулат про паралельний, виходячи з явного допущення, що для кожної фігури існує подібна їй фігура довільної величини. Це допущення він уважав, що випливає з істоти просторових відносин.

З логічної точки зору результати Хайяма або Валлиса лише виявляли рівносиль V постулату й деяких інших пропозицій геометрії. Так, Хайям, по суті, установив еквівалентність постулату й пропозиції про суму кутів трикутника, а Валлис показав, що не тільки з V постулату можна вивести вчення про подобу, але й обернено - їх Евклідова вчення про подобу треба V постулат.

Один з підбадьорюючих способів підходу до доказу п'ятого постулату, яким користувалися багато геометрів XVIII і першої половини XIX століть, полягає в тому, що п'ятий постулат заміняється його запереченням або яким-небудь твердженням, еквівалентним запереченню. Опираючись на змінену в такий спосіб систему постулатів і аксіом, доводяться всілякі пропозиції, логічно з її що випливають. Якщо п'ятий постулат дійсно випливає з інших постулатів і аксіом, то змінена зазначеним образом система постулатів мі аксіом суперечлива. Тому рано або пізно ми прийдемо у двом взаємно, що виключають висновкам. Цим і буде доведений п'ятий постулат.

Саме таким шляхом намагалися довести п'ятий постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777) і А.М. Лежандр (1752-1833).

Дослідження Саккери були опубліковані в 1733 році за назвою «Евклід, очищений від усяких плям, або досвід, що встановлює найперші принципи універсальної геометрії».

Саккери виходив з розгляду чотирикутника  із двома прямими кутами при підставі й із двома рівними бічними сторонами  й . Із симетрії фігури щодо перпендикуляра  до середини підстави треба, що кути при вершинах  і  рівні. Якщо прийняти п'ятий постулат і, отже, Евклідову теорію паралельних, то можна встановити, що кути  й  прямі й  - прямокутник. Обернено, як доводить Саккери, якщо хоча б в одному чотирикутнику зазначеного виду кути при верхній підставі виявляться прямими, то буде мати місце Евклідов постулат про паралельні. Бажаючи довести цей постулат Саккери робить три можливих припущення: або кути  й  прямі, або тупі, або гострі (гіпотези прямого, гострого й тупого кута). Для доказу п'ятого постулату необхідно спростувати гіпотези гострого й тупого кута. Зовсім точними міркуваннями Саккери приводить до протиріччя гіпотезу тупого кута. Слідом за тим, прийнявши гіпотезу гострого кута, він виводить досить що далеко йдуть її наслідки для того, щоб і тут одержати протиріччя. Розвиваючи ці наслідки Саккери будує складну геометричну систему, не містячи про протиріччя тільки тому, що отримані їм висновки не відповідають звичним уявленням про розташування прямих. У результаті він «знаходить» логічне протиріччя, але в результаті обчислювальної помилки.

Ідеї Ламберта, розвинені їм у творі «теорія паралельних ліній» (1766р.), близько примикають до міркувань Саккери.

Він розглядає чотирикутник із трьома прямими кутами. Щодо четвертого кута так само виникають три гіпотези: цей кут прямий, тупий або гострий. Довівши еквівалентність п'ятого постулату гіпотезі прямого кута й звівши до протиріччя гіпотезу тупого кута, Ламберт, подібно Саккери, змушений займатися гіпотезою гострого кута. Вона приводить Ламберта до складної геометричної системи, у якій йому не вдалося зустріти логічного протиріччя. Ламберт ніде у своєму творі не затверджує, що V постулат їм доведений, і приходить до твердого висновку, що й всі інші спроби в цьому напрямку не привели до мети.

«Доказом Евклідова постулату, - пише Ламберт, - можуть бути доведені настільки далеко, що залишається, очевидно, незначний дріб'язок. Але при ретельному аналізі виявляється, що в цьому гаданому дріб'язку й полягає вся суть питання; звичайно вона містить або доказувану пропозицію, або рівносильний йому постулат».

Більше того, розвиваючи систему гіпотези гострого кута, Ламберт виявляє аналогію цієї системи зі сферичною геометрією й у цьому вбачає можливість її існування.

«Я схильний навіть думати, що третя гіпотеза справедлива на якій-небудь мнимій сфері. Повинна ж бути причина, внаслідок якої вона на площині далеко не піддається спростуванню, як це легко може бути зроблене із другою гіпотезою».

Лежандр у своєму доказі п'ятого постулату розглядає три гіпотези щодо суми кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим.

Сума кутів трикутника більше двох прямих.

Сума кутів трикутника менше двох прямих.

Він довів, що перша гіпотеза еквівалентна п'ятому постулату, друга гіпотеза неможлива; і прийнявши третю гіпотезу приходить до протиріччя, неявно скориставшись у доказі п'ятим постулатом через один з його еквівалентів.

У результаті проблема паралельних залишалася до Начало XIX століття недозволеної й положення здавалося безвихідним. Великий знавець питання угорський математик Фаркаш Бояи в 1820 році писав своєму синові Яношу: «Молю тебе, не роби тільки й ти спроб здолати теорію паралельних ліній: ти затратиш на це увесь свій час, а пропозиції цього ви не доведете всі разом. Не намагайся здолати теорію паралельних ліній ні тим способом, що ти повідомляєш мене, ні яким-небудь іншим. Я вивчив всі шляхи до кінця: я не зустрів ні однієї ідеї, який би я не розробляв. Я пройшов весь безпросвітний морок цієї ночі, і всякий світоч, усяку радість життя я в ній поховав... Цей безпросвітний морок... ніколи не проясниться на землі, і ніколи нещасний рід людський не буде володіти чим-небудь зробленим навіть у геометрії. Це більша й вічна рана в моїй душі...». Безпросвітний морок, про яке з гіркотою писав старший Бойяи, розсіяв Лобачевский і, трохи пізніше, Я. Бояи.

Але багатовікові спроби доказу п'ятого постулату Евкліда привели зрештою до появи нової геометрії, що відрізняється від евклідової тем, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідової, а в Росії має ім'я Лобачевского, що вперше опублікував роботу з її викладом.

І однієї з передумов геометричних відкриттів Н. И. Лобачевского (1792-1856) був саме його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевский Він був твердо впевнений в об'єктивному й не залежному від людської свідомості існуванні матеріального світу й у можливості його пізнання. У мові «Про найважливіші предмети виховання» (Казань, 1828) Лобачевский співчутливо наводить слова Ф. Бекона: «залишіть трудитися дарма, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає всі істини й на всі питання ваші буде відповідати вам неодмінно й задовільно». У своєму творі «Про початки геометрії», що є першою публікацією відкритої їм геометрії, Лобачевский писав: «перші поняття, з яких починається яка-небудь наука, повинні бути ясні й наведені до найменшого числа. Тоді тільки вони можуть служити міцною й достатньою підставою навчання. Такі поняття здобуваються почуттями; уродженим - не повинне вірити». Тим самим Лобачевский відкидав ідею про апріорний характер геометричних понять, що підтримувалася И. Кантом.

Перші спроби Лобачевского довести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року він переконався в тім, що V постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евкліда й 11(23) лютого 1826 року зробив на засіданні факультету казанського університету доповідь «Стислий виклад Начало геометрії зі строгим доказом теореми про паралельний», у якому були викладені початки відкритої їм «уявлюваної геометрії», як він називав систему, що пізніше одержала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826р. увійшов до складу першої публікації Лобачевского по неевклідовій геометрії - статті «Про початки геометрії», надрукованої в журналі Казанського університету «Казанський вісник» в 1829-1820р. подальшому розвитку й додаткам відкритої їм геометрії були присвячені мемуари «Уявлювана геометрія», «Застосування уявлюваної геометрії до деяких інтегралів» і «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних», опубліковані в «Учених записках» відповідно в 1835, 1836 і 1835-1838 р. Перероблений текст «Уявлюваної геометрії» з'явився у французькому перекладі в Берліні, там же в 1840р. вийшли окремою книгою німецькою мовою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній» Лобачевского. Нарешті, в 1855 і 1856 р. він видав у Казані на російській і французькій мовах «Пангеометрію».

Високо оцінив «Геометричні дослідження» Гаусс, що провів Лобачевского (1842) у члени-кореспонденти Геттингенського вченого суспільства, що було по суті Академією наук гановерського королівства. Однак у пресі в оцінкою нової геометричної системи Гаусс не виступив.

Висока оцінка гауссом відкриття Лобачевского була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х років XVIII в. займався теорією паралельності ліній, прийшов до тих же висновкам, що й Лобачевский. Свої погляди по цьому питанню Гаусс не публікував, вони збереглися тільки в його чорнових записках і в деяких листам до друзів. В 1818 р. у листі до австрійського астронома Герлингу (1788-1864) він писав: «Я радуюся, що ви маєте мужність висловитися так, ніби Ви визнавали хибність нашої теорії паралельних, а разом з тим і всієї нашої геометрії. Але оси, гніздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову»; очевидно, під «потривоженими осами» Гаусс мав на увазі прихильників традиційних поглядів на геометрію, а також апріорізму математичних понять.

Незалежно від Лобачевского й Гаусса до відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояи (1802-1860), син Ф. Бояи.

Коли Я. Бояи прийшов до тих же ідеям, що Лобачевский і Гаусс, батько не зрозумів його, однак запропонував надрукувати короткий виклад його відкриття у вигляді додатка до свого посібника з математики, що вышли в 1832р. Повна назва праці Я. Бояи - «Додаток, що містить науку про простір, абсолютно щиру, що не залежить від істинності або хибності XI аксіоми Евкліда (що a priori ніколи вирішено бути не може)» і його звичайно коротко називають просто «Апендикс». Відкриття Я. Бояи не було визнано при його житті; Гаусс, якому Ф. Бояи послав "Апендикс", зрозумів його, але ніяк не сприяв визнанню відкриття Я. Бояи.



1.3 Аксіоматика Гильберта



Хоча в сучасному аксіоматичному викладі геометрії Евкліда не завжди користуються аксіоматикою Гильберта, приведемо її, як першу повну, незалежну й несуперечливу систему аксіом.

Всі двадцять аксіом системи Гильберта підрозділені на п'ять груп.

Група I містить вісім аксіом приналежності.

Група II містить чотири аксіоми порядку.

Група III містить п'ять аксіом конгруентності.

Група IV містить дві аксіоми безперервності.

Група V містить одну аксіому паралельності.

Переходимо до формулювання аксіом по групах. Одночасно будемо вказувати деякі твердження, що випливають із аксіом.

I. Аксіоми приналежності

I, 1. Які б не були дві крапки A і B, існує пряма a, що належать ці крапки.

I, 2. Які б не були дві крапки A і B, існує не більше одній прямій, який належать ці крапки.

I, 3. Кожній прямій a належать принаймні дві крапки. Існують принаймні три крапки, що не належать одній прямій.

Зазначені три аксіоми вичерпують список аксіом приналежності планіметрії. Наступні п'ять аксіом разом із зазначеними трьома завершують список аксіом приналежності стереометрії.

I, 4. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує площина ?, що належать ці три крапки. Кожної площини належить хоча б одна крапка.

I, 5. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, який належать ці крапки.

I, 6. Якщо дві приналежні прямі a різні крапки A і B належать деякій площині ?, те кожна приналежній прямій a крапка належить зазначеній площині.

I, 7. Якщо існує одна крапка A, що належить двом площинам ? і ?, те існує принаймні ще одна крапка B, що належить обом цим площинам.

I, 8. Існують принаймні чотири крапки, що не належать однієї площини.

З метою використання звичної для нас геометричної лексики домовимося ототожнювати між собою наступні вираження: 1) «крапка А належить прямій a (площини α)», 2) «пряма а (площина α) проходить через крапку А» 3) «крапка А лежить на прямій а (площини α)» 4) «крапка А є крапкою прямій а (площини α)» і тому подібні.

Теорема 1. Дві різні прямі не можуть мати більше однієї загальної крапки.

Теорема 2. Дві площини або зовсім не мають загальних крапок, або мають загальну пряму, на якій лежать всі їхні загальні крапки.

Теорема 3. Площина й не лежача на ній пряма не можуть мати більше однієї загальної крапки.

Теорема 4. Через пряму й не лежачу на ній крапку, або через дві різні прямі із загальною крапкою проходить одна й тільки одна площина.

Теорема 5. Кожна площина містить принаймні три крапки.

II. Аксіоми порядку

II, 1. Якщо крапка B прямій а лежить між крапками А и С тієї ж прямої, то А, У и С - різні крапки зазначеної прямої, причому В лежить також і між С и А.

II, 2. Які б не були дві різні крапки А и С, на обумовленій ними прямій існує принаймні вона крапка В така, що З лежить між А и В.

II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать на одній прямій існує не більше однієї крапки, що лежить між двома іншими.

Сформульовані три аксіоми ставляться до розташування об'єктів на прямій і тому називаються лінійними аксіомами порядку. Нижче остання аксіома порядку ставиться до розташування геометричних об'єктів на площині. Для того, щоб сформулювати цю аксіому, уведемо поняття відрізка.

Пари різних крапок А и В назвемо відрізком і будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямій, обумовленої А и В, що лежать між ними, будемо називати внутрішніми крапками, або просто крапками відрізка АВ. Інші крапки зазначеної прямої будемо називати зовнішніми крапками відрізка АВ.

II, 4 (Аксіома Паша). Якщо А, У и С - три крапки, що не лежать на одній прямій, і а - якась пряма в площині, обумовленої цими крапками, не утримуюча ні однієї із зазначених крапок і минаюча через деяку крапку відрізка АВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку відрізка АС, або через деяку крапку відрізка ВР.

Підкреслимо, що з одних аксіом порядку II, 1 - 4 ще не випливає, що будь-який відрізок має внутрішні крапки. Однак залучаючи ще аксіоми приналежності I, 1 - 3 можна довести наступне твердження:

Теорема 6. Які б не були дві різні крапки А и В на прямій, ними обумовленої, існує принаймні одна крапка С, що лежить між А и В.

Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однієї прямої завжди існує одна крапка, що лежить між двома іншими.

Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать одній прямій і якщо деяка пряма а перетинає які-небудь два з відрізків АВ, ВР і АС, то ця пряма не перетинає третій із зазначених відрізків.

Теорема 9. Якщо В лежить на відрізку АС, і С - на відрізку ВD, то В и С лежать на відрізку АD.

Теорема 10. Якщо З лежить на відрізку АD, а В - на відрізку АС, то В лежить також на відрізку АD, а С - на відрізку BD.

Теорема 11. Між будь-якими двома крапками прямої існує нескінченно багато інших її крапок.

Теорема 12. Нехай кожна із крапок С и D лежить між крапками А и В. Тоді якщо М лежить між С и D, те М лежить і між А и В.

Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать між крапками А и В, то всі крапки відрізка СD належать відрізку АВ (у цьому випадку ми будемо говорити, що відрізок СD лежить усередині відрізка АВ).

Теорема 14. Якщо крапка З лежить між крапками А и В, то 1) ніяка крапка відрізка АС не може бути крапкою відрізка CВ, 2) кожна відмінна від Із крапка відрізка АВ належить або відрізку АС, або відрізку СВ.

Зазначені твердження дозволяють упорядкувати множину крапок будь-якій прямій і вибрати на цій прямій напрямок.

Будемо говорити, що дві різні крапки А и В прямій a лежать по різні сторони (по одну сторону) від третьої крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) між А и В.

Із зазначених вище тверджень випливає наступна теорема.

Теорема 15. Довільна крапка Про кожну пряму а розбиває всі інші крапки цієї прямої на два непустих класи так, що будь-які дві крапки прямій а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону від ПРО, а будь-які дві крапки, що належать різним класам, лежать по різні сторони від О.

Таким чином, завдання на будь-якій прямій двох різних крапок О и Е визначає на цієї прямий промінь або напівпряму ОЕ, що володіє тим властивістю, що будь-яка її крапка й крапка Е лежать по одну сторону від О.

Вибравши на прямій а дві різні крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок на прямій за наступним правилом: 1) якщо А и В – будь-які крапки променя ОЕ, то будемо говорити, що А передує В, якщо А лежить між О и В, 2) будемо говорити, що крапка Про передує будь-якій крапці променя ОЕ, 3) будемо говорити, що будь-яка крапка, що належить тій же прямій і не приналежна лучу ОЕ, передує як крапці ПРО, так і будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В - будь-які крапки, що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передує В, якщо В лежить між А и О.

Легко перевірити, що для обраного нами порядку проходження крапок прямій а справедлива властивість транзитивності: якщо А передує В, а В передує З, те А передує С.

Аксіоми, наведені вище, дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довільної площини ?.

Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини α, розділяє не лежачі на ній крапки цієї площини на два непустих класи так, що будь-які дві крапки А и В з різних класів визначають відрізок АВ, що містить крапку прямій а, а будь-які дві крапки А и А’ з одного класу визначають відрізок АА’, усередині якого не лежить жодна крапка прямій а.

У відповідність із твердженням цієї теореми ми можемо говорити, що крапки А и А’ (одного класу) лежать у площині α по одну сторону від прямій а, а крапки А и В (різних класів) лежать у площині α по різні сторони від прямій а.

III. Аксіоми конгруентності

III, 1. Якщо А и В – дві крапки на прямій а, А’ – крапка на тій же прямій або на іншій прямій а', то по дану від крапки А’ сторону прямій а' найдеться, і притім тільки одна, крапка В’ така, що відрізок А'’ конгруентний відрізку АВ. Кожний відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.

III, 2. Якщо відрізки А'' і А”B” конгруентні тому самому відрізку АВ, то вони конгруентні й між собою.

III, 3. Нехай АВ і ВР - два відрізки прямій а, що не мають загальних внутрішніх крапок, А'' і B'' - два відрізки тій же прямій, або іншій прямій а', що також не мають загальних внутрішніх крапок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'', а відрізок ВР конгруентний відрізку B'', те відрізок АС конгруентний відрізку А''.

Сформульовані три аксіоми ставляться до конгруентності відрізків. Для формулювання наступних аксіом нам знадобляться поняття кута і його внутрішніх крапок.

Пари напівпрямих h і k, що виходять із однієї й тієї ж крапки О и не лежачих на одній прямій, називається кутом і позначається символом  або .

Якщо напівпрямі задаються двома своїми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом  або . У силу теореми 4 будь-які два промені h і k, тридцятилітні кут , визначають, і притім єдину, площина α.

Внутрішніми крапками  будемо називати ті крапки площини α, які, по-перше, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь h, що й будь-яка крапка променя k, і, по-друге, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь k, що й будь-яка крапка променя h.

III, 4. Нехай дані  на площині α, пряма а' на цій же або на якій-небудь іншій площині α’ і задана певна сторона площини α’ відносно прямій а'. Нехай h’ – промінь прямій а', що виходить із деякої крапки О’. Тоді на площині α’ існує один і тільки один промінь k’ такий, що  конгруентний , і при цьому всі внутрішні крапки  лежать по задану сторону від прямій а'. Кожний кут конгруентний самому собі.

III, 5. Нехай А, У и С – три крапки, що не лежать на одній прямій, А’, B’ і С’ – інші три крапки, що також не лежать на одній прямій. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'’, відрізок АС конгруентний відрізку А'’ і  конгруентний , те  конгруентний  і  конгруентний 

Домовимося тепер про порівняння неконгруентних відрізків і кутів.

Будемо говорити, що відрізок АВ більше відрізка А'', якщо на прямій, обумовленої крапками А и В, найдеться лежача між цими крапками крапка З така, що відрізок АС конгруентний відрізку А'В'. Будемо говорити, що відрізок АВ менше відрізка А'', якщо відрізок А'' більше відрізка АВ.

Символічно той факт, що відрізок АВ менше відрізка А'' (конгруентний відрізку А'') будемо записувати так:



АВ<A'' (AB=A'').



Будемо говорити, що  більше , якщо в площині, обумовленої , найдеться промінь ОС, всі крапки якого є внутрішніми крапками , такий, що  конгруентний . Будемо говорити, що  менше , якщо  більше .

За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності можна довести цілий ряд теорем елементарної геометрії. Сюди ставляться: 1) три широко відомі теореми про конгруентність (рівності) двох трикутників, 2) теорема про конгруентність вертикальних кутів, 3) теорема про конгруентність всіх прямих кутів, 4) теорема про одиничність перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму, 5) теорема про одиничність перпендикуляра, проведеного до даної крапки прямій, 6) теорема про зовнішній кут трикутника, 7) теорема про порівняння перпендикуляра й похилої.

IV. Аксіоми безперервності

За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності ми зробили порівняння відрізків, що дозволяє укласти, яким із трьох знаків <, = або > зв'язані ці відрізки.

Зазначених аксіом, однак, недостатньо 1) для обґрунтування можливості виміру відрізків, що дозволяє поставити у відповідність кожному відрізку певне речовинне число, 2) для обґрунтування того, що зазначена відповідність є взаємно однозначним.

Для проведення такого обґрунтування варто приєднати до аксіом I, II і III дві аксіоми безперервності.

IV, 1 (аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD – довільні відрізки. Тоді на прямій, обумовленої крапками А и В існує кінцеве число крапок А1, А2, ..., Аn, розташованих так, що крапка А1 лежить між А и А2, крапка А2 лежить між А1 і А3, ..., крапка Аn-1 лежить між Аn-2 і Аn, причому відрізки АА1, А1А2, ..., Аn-1An конгруентні відрізку CD і крапка В лежить між А и Аn.

IV, 2 (аксіома лінійної повноти). Сукупність всіх крапок довільної прямої а не можна поповнити новими об'єктами (крапками) так, щоб 1) на поповненій прямій були визначені співвідношення «лежить між» і «конгруентний», визначений порядок проходження крапок і справедливі аксіоми конгруентності III, 1 - 3 і аксіома Архімеда IV, 1, 2) стосовно колишніх крапок прямій певні на поповненій прямій співвідношення «лежить між» і «конгруентний» зберігали старий зміст.

Приєднання до аксіом I, 1 – 3, II і III, 1- 3 аксіоми Архімеда дозволяє поставити у відповідність кожній крапці довільної прямої а певне речовинне число х, називане координатою цієї крапки, а приєднання ще й аксіоми лінійної повноти дозволяє затверджувати, що координати всіх крапок прямій а вичерпують множину всіх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обґрунтувати метод координат.

V. Аксіома паралельності

Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії.

У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так.

V. Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и прямої а існує не більше одній прямій, що проходить через А и не перетинає а.

Довгий час геометри намагалися з'ясувати, чи не є аксіома паралельності наслідком всіх інших аксіом. Це питання було вирішено Миколою Івановичем Лобачевским, що довів незалежність аксіоми V від аксіом I - IV.

По-іншому результат Лобачевского можна сформулювати так: якщо до аксіом I – IV приєднати твердження, що заперечує справедливість аксіоми V, те наслідку всіх цих положень будуть становити логічно несуперечливу систему (неевклідову геометрію Лобачевского).

Систему наслідків, що випливають із одних тільки аксіом I - IV звичайно називають абсолютною геометрією. Абсолютна геометрія є загальною частиною як евклідової, так і неевклідової геометрий, тому що всі пропозиції, які можуть бути доведені тільки за допомогою аксіом I - IV, вірні як у геометрії Евкліда, так і в геометрії Лобачевского. 

Доказ несуперечності аксіоматики Гильберта

Щоб довести несуперечність якоїсь теорії Х, необхідно з матеріалу інший, свідомо несуперечливої, теорії А побудувати така модель, у котрої виконуються всі аксіоми теорії Х. Якщо ц удасться, теорію Х можна вважати несуперечливої. Отже, для того, щоб довести несуперечність гильбертовой системи, необхідно побудувати таку модель евклідової геометрії, у якій виконувалися б всі аксіоми, запропоновані Гильбертом. 

Для побудови такої моделі, необхідна вищезгадана свідомо несуперечлива теорія. У моделі, побудованої Гильбертом, такою теорією служить теорія дійсних чисел. Ідея побудови моделі складалася в розгляді системи координат на площині. У такій системі кожній крапці М площини відповідають два числа х и в – її координати. Щоб зрозуміти суть побудови моделі забудемо про площину й наявної на ній координатній системі, «крапками» будемо називати впорядковані пари дійсних чисел (х; у) тобто пари (х; у) і (в; х) з різними х и в будемо вважати різними. Тепер спробуємо визначити «пряму». Згадаємо, що кожна пряма описується в координатах лінійним рівнянням виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Наприклад, рівняння прямій, не паралельної осі ординат, має вигляд в = kx + l, або, що те ж саме, ax + by + c = 0, де a = k, b = -1, c = l. Якщо ж пряма паралельна осі ординат, їй відповідає рівняння x = p (тобто рівняння ax + by + c = 0, де a = 1, b = 0, c = -p;). При цьому якщо всі коефіцієнти рівняння ax + by + c = 0 помножити на те саме число k ≠ 0, те отримане рівняння буде описувати ту ж пряму. Ми ж у своїй моделі будемо називати «прямій» будь-яке лінійне рівняння виду ax + by + c = 0, у якому хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля, причому коефіцієнти розглядаються з точністю до ненульового множника пропорційності (при k ≠ 0 рівняння ax + by + c = 0 і (ak)x + (bk)y + kc = 0 уважаються однієї й тій же прямій).

Далі, «крапка» (х1; в1) лежить на «прямій», якщо числа х1 і в1 задовольняють зазначеному рівнянню. Як бачимо, для визначення «прямих», «крапок» і розташування «крапок» на «прямій» досить обпертися на теорію дійсних чисел. Легко перевірити, що в зазначеній моделі виконуються, наприклад, такі аксіоми:

1. Через дві різні «крапки» проходить «пряма»

2. На «прямій» є не менш двох «крапок»

Легко визначити випадок, при якому одна із трьох «крапок» лежить на «прямій» «між» двома іншими. Коли A(x1; y1), B(x2; y2) і C(x3; y3) – три «крапки», що лежать на одній «прямій», «крапка» B уважається розташованої «між» A і C за умови, що число x2 укладено між числами x1 і x3 (якщо x1 = x2 = x3, то y2 укладено між y1 і y3). Тоді очевидно, що

3. Із трьох «крапок», що лежать на одній «прямій», одна й тільки одна розташована між двома іншими.

Виконуються й інші аксіоми порядку (зокрема, аксіома Паша). Помітимо, що ми спеціально не ілюструємо зміст аксіом кресленнями, оскільки при чисто аксіоматичному викладі не слід використовувати звичні геометричні подання.

Будемо говорити, що дві «прямі» a1x + b1y + c1 = 0 і a2x + b2y + c2 = 0 «паралельні», якщо коефіцієнти a1, b1 і a2, b2 пропорційні. Це можна коротко записати рівністю a1b2 – a2b1 = 0. Неважко перевірити, що дві «паралельні» «прямі» або не мають ні однієї загальної «крапки», або збігаються (у звичайній геометрії теж часто приймають, що пряма паралельна самої собі). Більше того,

4. Через будь-яку «крапку» A1(x1; y1) проходить одна й тільки одна «пряма», паралельна даної «прямій» Ax + By + C = 0.

Інакше кажучи, у зазначеній моделі виконується аксіома паралельності. Можна тут говорити й про довжини відрізків, і про величини кутів. Наприклад, «відстанню» між двома «крапками» A1(x1; y1) і A2(x2; y2) називається число



A1A2 = 



Далі, у звичній евклідовій геометрії справедлива теорема косинусів:



cos C = 



(величина кута З дорівнює арккосинусу правої частини рівності. Можна заперечити, що тригонометричні функції (і, зокрема, косинус) визначаються геометрично й обійтися без звичайної евклідової геометрії в цьому випадку неможливо. 


Однак це невірно. У математичному аналізі доводиться, що функція cos x задається нескінченним рядом



cos x = ,



який сходиться для будь-якого дійсного x. Таким чином, у розглянутій моделі припустимо говорити й про відстані, і про величини кутів.

Так само легко перевірити, що в ній виконуються й аксіоми конгруентності (зокрема, перша й друга ознаки рівності трикутників). У підсумку всі гильбертови аксіоми (які виявляють собою розвиток і уточнення аксіом Евкліда) у розглянутій моделі виконуються. Це й означає, що система аксіом евклідової геометрії умовно несуперечлива. Інакше кажучи, вона несуперечлива, якщо несуперечливо теорію дійсних чисел.



1.4 Інші системи аксіом геометрії



Повернемося, однак, до евклідової геометрії. У цей час систему аксіом Гильберта часто заміняють еквівалентної їй системою. Ми приведемо ті групи аксіом однієї такої системи, по яких вона відрізняється від вищевикладеної системи (групи аксіом порядку й руху, що заміняє в цій системі групу аксіом конгруентності).

Перевага цієї системи полягає в тім, що вона дозволяє простіше й швидше одержати первісні геометричні факти, краще, як здається, описує властивості основних геометричних об'єктів з погляду звичних уявлень.

II. Аксіоми порядку

Будемо думати, що на прямій є два напрямки, взаємно протилежних один одному, і по відношенню кожному з них кожна пара крапок А и В перебуває у відомому відношенні, що виражається словом «передувати». Це відношення позначається знаком <, так що вираження «А передує В» можна символічно записати так:


А < B.



Потрібно, щоб зазначене відношення для крапок на прямій задовольняло нижченаведеним п'яти аксіомам.

II, 1. Якщо А < У в одному напрямку, то В < А в протилежному напрямку.

II, 2. В одному із двох напрямків А < У виключає В < А.

II, 3. В одному із двох напрямків якщо А < У и В < З, те А < С.

II, 4. В одному із двох напрямків для кожної крапки В найдуться крапки А и С такі, що А < B < C.

Кожне із тверджень аксіом II, 2 - 4 ставиться до одному із двох напрямків на прямій. По аксіомі II, 1 воно вірно також і для протилежного напрямку.

Перш ніж сформулювати останню аксіому, визначимо деякі поняття. Нехай а – пряма й А – крапка на ній. При фіксованому напрямку на прямій крапка А розбиває її на дві частини (напівпрямі), для кожної крапки Х однієї з них Х < А, а для кожної крапки Х іншій напівпрямій А < X. Очевидно, ця розбивка прямої на частині не залежить від обраного на ній напрямку (аксіома II, 1).

Нехай А и В – дві крапки прямій а. Якщо для крапки Із прямої а виконується умова А < C < В або В < C < А, то ми будемо говорити, що крапка З лежить між крапками А и В. Очевидно, властивість крапки лежати між двома даними не залежить від напрямку на прямій. Частина прямій а, всі крапки якої лежать між А и В, ми будемо називати відрізком АВ, а крапки А и В – кінцями відрізка.

II, 5. Пряма а, що лежить у площині ?, розбиває цю площину на дві напівплощини так, що якщо X і Y - дві крапки однієї напівплощини, то відрізок XY не перетинається із прямій а, якщо ж X і Y належать різним напівплощинам, то відрізок XY перетинається із прямій а.

З аксіом приналежності (зв'язку), які в цій системі аксіом аналогічні аксіомам приналежності Гильберта, і аксіом порядку виводяться наступні наслідки.

Теорема 1. Серед крапок А, В, З на прямій а одна й тільки одна лежить між двома іншими.

Теорема 2. Кожний відрізок містить принаймні одну крапку.

Теорема 3. Якщо В - крапка відрізка АС, то відрізки АВ і ВР належать АС, тобто кожна крапка відрізка АС і кожна крапка відрізка ВР належить відрізку АС.

Теорема 4. Якщо В - крапка відрізка АС і X - крапка того ж відрізка, відмінна від В, то вона належить або відрізку АВ, або ВР.

Теорема 5. Нехай α – площина, і а – лежача на ній пряма, b – інша пряма, або напівпряма, або відрізок у тій же площині α.

Тоді, якщо b не перетинає а, те всі крапки b лежать по одну сторону від а, тобто в одній з напівплощин, обумовлених прямій а.

Нехай А, У и С - три крапки, що не лежать на одній прямій. Фігура, складена із трьох відрізків АВ, ВР і АС називається трикутником, крапки А, У и С - вершинами трикутника, а відрізки АВ, ВР і АС - сторонами трикутника.

Теорема 9. Нехай АВС – трикутник у площині α і а - пряма в цій площині, не минаюча ні через одну із крапок А, В, С. Тоді якщо ця пряма перетинає сторону АВ, те вона перетинає й притім тільки одну із двох інших сторін ВР або АС.

Не можна не помітити, що остання наведена теорема майже аналогічна аксіомі Паша, що входить у систему Гильберта (див. сторінку 9), і відрізняється від її тільки тим, що в аксіомі не затверджується одиничність другої пересічної сторони трикутника.

III. Аксіоми руху

У даній системі група аксіом конгруентності замінена цією групою аксіом. Втім, треті групи аксіом обох систем в остаточному підсумку виконують ту саму задачу, визначаючи різними способами ті самі явища (група аксіом конгруентності в Гильберта визначає відносини конгруентності прямо, аксіоми руху - через свої наслідки).

Отже, будемо вимагати, щоб існували такі відбиття крапок, прямих і площин на крапки, прямі й площини, іменовані рухами, що задовольняють наступним аксіомам.

III, 1. Кожний рух Н зберігає відношення приналежності.

Тобто, якщо крапка А належить прямій а (площини α), те її образ при русі Н (позначуваний НА) належить образу прямої На (відповідно образу площини Нα).

III, 2. Кожний рух Н зберігає відношення порядку на прямій.

Це означає, як, напевно, уже догадався читач, що кожному із двох напрямків на прямій а можна зіставити такий напрямок на прямій На, що щораз, коли для крапок X і Y прямій а має місце X < Y, для відповідних їм крапок прямої На має місце HX < HY.

Із цих двох аксіом треба, що кожний рух переводить напівпряму в напівпряму, напівплощина в напівплощину.

III, 3. Руху утворять групу.

Це значить:

а) Зіставлення Н0 кожному елементу х (крапці, прямій, площини) його самого є рух. Цей рух називається тотожним.

б) Якщо рух Н1 зіставляє довільному елементу х елемент y, а рух Н2 зіставляє y елемент z, те зіставлення елементу х елемента z є рух. Воно позначається Н2Н1 і називається добутком рухів.

в) Для кожного руху Н існує рух Н-1 таке, що Н-1Н=Н0. Рух Н-1 будемо називати зворотним.

III, 4. Якщо при русі Н пряма h, як ціле, і її початкова крапка А залишаються нерухливими, то всі крапки напівпрямій h залишаються нерухливими.

III, 5. Для кожної пари крапок А и В існує рух Н, котре переставляє їх місцями: НА=В, НВ=А

III, 6. Для кожної пари променів h, k (напівпрямих), що виходять із однієї крапки, існує рух Н, їх що переставляє: Нh=k, Hk=h.

III, 7. Нехай α і β – будь-які площини, а й b – прямі в цих площинах, А и В – крапки на прямих а й b. Тоді існує рух, що переводить крапку А в У, задану напівпряму прямій а, обумовлену крапкою А, - у задану напівпряму прямій b, обумовлену крапкою В, задану напівплощину площини α, обумовлену прямій а, – у задану напівплощину площини β, обумовлену прямій b.

Теорема 10. Нехай α – площина, і а – приналежна їй пряма. Тоді якщо рух Н переводить кожну з напівплощин площини α, обумовлених прямій а, у себе й залишає нерухливими крапки прямій а, те воно є тотожним.

Дійсно, тотожний рух Н0 має зазначеними в теоремі властивостями Н, а отже, по аксіомі III, 7 збігається з ним.

Визначимо тепер поняття конгруентності. Фігуру F1 ми будемо називати конгруентній фігурі F2, якщо існує рух Н, що переводить F1 в F2: HF1=F2. Із групових властивостей руху (аксіома III, 3) випливають наступні властивості відносини конгруентності:

Кожна фігура F конгруентна сама собі.

Дійсно, тотожний рух Н0 переводить F в F.

Якщо фігура F1 конгруентна F2, то фігура F2 конгруентна F1.

Справді, якщо Н – рух, що переводить фігуру F1 в F2, то рух Н-1 переводить фігуру F2 у фігуру F1.

Якщо фігура F1 конгруентна F2, а фігура F2 конгруентна фігурі F3, то фігура F1 конгруентна F3.

Дійсно, якщо Н' – рух, що переводить фігуру F1 в F2, а Н'' – рух, що переводить фігуру F2 в F3, то рух Н''Н' переводить F1 в F3.

Уперше подібну систему запропонував через десять після появи гильбертовой аксіоматики Фрідріх Шур.

Через ще десять років німецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюріх) створив векторну аксіоматику геометрії. У Вейля первісними є поняття «крапка» і «вектор», а пряма й відрізок визначаються з їхньою допомогою. Є аксіоми додавання векторів (означаючі, що вектори утворять комутативну групу), аксіоми множення вектора на дійсне число, аксіоми відкладання векторів (зокрема, аксіома трикутника: ), аксіоми скалярного добутку векторів і аксіома розмірності (для планіметрії в ній затверджується: якщо дані три ненульових вектори ,  і , те який-небудь із них виражається у вигляді комбінації двох інших: ). При заданих крапці А и ненульовому векторі  пряма (А, ) визначається як множина всіх крапок М, для яких вектор пропорційний , тобто найдеться таке дійсне число t, що . Далі визначаються відрізки, кути, багатокутники, окружність і інші фігури: наприклад, відстань між А и В – як квадратний корінь зі скалярного квадрата вектора , тобто . Теорема Піфагора легко доводиться за допомогою скалярного добутку, а аксіома паралельності - за допомогою векторного визначення прямої й аксіоми рівномірності.

На закінчення відзначимо, що гильбертова аксіоматика повністю уточнила не цілком зроблену систему аксіом, створену Евклідом більше двох тисяч років тому. Аксіоматика Фрідріха Шура й аксіоматика Германа Вейля зв'язали геометрію з поняттями групи перетворень і векторного простору, які відіграють найважливішу роль у багатьох розділах сучасної математики, фізики, економіки, хімії, біології й інших областей знання.




Глава II. Неевклідові геометрії в системі Вейля



2.1 Елементи сферичної геометрії



У цьому пункті розглянуті елементи так званої сферичної геометрії - геометрії сфери Евклідова простору. Найкоротшими (геодезичними) або прямими лініями на сфері є більші окружності, тобто такі окружності, площини яких проходять через центр даної сфери.

Тому що будь-які два більших кола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда, ні аксіома паралельності Лобачевского. У цій геометрії не виконується також ряд інших фактів абсолютної геометрії.

Наприклад, прямі в сферичній геометрії замкнуті й на них неможливо встановити поняття крапки, що лежить «між» для трьох крапок, тому що кожну із цих крапок на окружності можна вважати крапкою, що лежить між двома іншими. Дві крапки на великому колі визначають два відрізки й прямі мають кінцеву довжину. Таким чином, аксіоми порядку в сферичній геометрії повинні описувати властивості циклічного розташування крапок на прямій. І все-таки, незважаючи на зазначені розходження в сферичній геометрії є багато властивостей, аналогічних відповідним властивостям в евклідовій геометрії й геометрії Лобачевского. Ці геометрії, включаючи й геометрію досить малих шматків сфери, в основних питаннях не протиставляються між собою, а копіюють один одного.

Візьмемо на сфері три крапки А, В, З, що не лежать в одній площині із центром Про дану сферу. Сукупність цих крапок і дуг АВ, ВР і АС більших окружностей, менших півоберту, називається сферичним трикутником АВС. Крапки А, В, С називаються вершинами сферичного трикутника, а дуги, АВ, ВР, АС — його сторонами. Кутом А сферичним трикутником АВС називається, кут між дотичними, проведеними до дуг АВ і АС у крапці їхнього перетинання А. Очевидно, цей кут є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами більших окружностей АВ і АС. Ясно, що сферичний трикутник можна одержати за допомогою тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якої буде збігатися з вершиною даного кута. Справді, у перетинанні сфери із гранями даного тригранного кута одержимо сферичний трикутник. 

Зі шкільного курсу геометрії відомо, що в тригранному куті будь-який його плоский кут менше суми двох інших плоских кутів і більше їхньої різниці. У геометрії сфери цій пропозиції відповідає наступна теорема. У всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох інших його сторін і більше їхньої різниці.

На підставі цієї теореми, як і у звичайній планіметрії, доводиться, що в сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і, обернено, проти більшого кута лежить більша сторона.

У цій геометрії є сферичні двукутники - фігури більше прості, чим сферичні трикутники. Сферичний двукутник по визначенню, представляє частину сфери, обмежену двома більшими півколами, що перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках.

Симетрія сфери щодо діаметральної площини й поворот її навколо діаметра на даний кут, мабуть, являють собою приклади перетворень сфери, при яких відстані між будь-якими двома крапками дорівнює відстані між їхніми образами. Приведемо загальне визначення.

Перетворення сфери, при яких зберігаються відстані між будь-якими двома її крапками, називаються рухами. Сферична геометрія вивчає властивості фігур, що зберігаються при будь-яких рухах сфери.

Полярні трикутники

Усяка площина , що проходить через центр сфери, перетинає цю сферу по великій окружності. Кінці А, А' діаметра, перпендикулярного площини , називаються полюсами цієї окружності. У цьому випадку більша окружність називається полярою крапок А и А'.

Очевидно, всі крапки поляри вилучені від свого полюса на відстань, рівне R/2, де R позначає радіус даної сфери. Ясно також, що якщо дана крапка вилучена від двох крапок великої окружності на відстань R/2, то вона є полюсом цієї великої окружності. Перейдемо тепер до визначення полярного трикутника.

Якщо вершини трикутника АВС є полюсами сторін іншого сферичного трикутника А1У1С1, то цей останній називається полярним трикутником стосовно даного.

Таким чином, радіус-вектор  перпендикулярний векторам  і , тобто







Аналогічно будемо мати







Звідси треба, що якщо трикутник А1У1С1 буде полярним до трикутника АВС, то трикутник АВС у свою чергу буде полярним стосовно трикутника А1У1С1.

Таким чином, сферичні трикутники АВС і А1У1С1, взаємно полярні один одному.

Будемо позначати вершини й кути сферичного трикутника більшими буквами латинського алфавіту А, В, С, а протилежні їм сторони — відповідними малими буквами того ж алфавіту а, Ь, с. Вершини й протилежні їм сторони полярного трикутника будемо позначати тими ж буквами з індексами А1, В1, С1, відповідно a1, b1, c1.

Лінійні елементи трикутника тут і в подальших формулах входять у вигляді відносин до радіуса сфери, тому доцільно ввести наступне поняття наведеної довжини. Відстань між двома крапками на сфері, віднесене до її радіуса, будемо називати наведеною відстанню.

Доведемо наступну пропозицію про взаємно полярні трикутники.

Теорема. Кут одного сферичного трикутника й відповідна йому наведена сторона взаємно полярного трикутника доповнюють один одного до , тобто







і т.д. Тому що



 (*)



Те з (*) треба, що







Таким чином, виводимо







Аналогічно доводяться інші рівності:








Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії.

Формули прямокутного трикутника в сферичній геометрії

Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії. Нехай в евклідовому просторі нам дана сфера радіуса R. Візьмемо на ній прямокутний трикутник AВС зі сторонами a, b, з, які будуть дугами більших кіл відповідно ВР, СА й АВ, причому вмовимося вважати (мал. 2). Останнє означає, що дотичні в крапці З, проведені до більших дуг СА, СВ, перпендикулярні. З'ясуємо зв'язок між лінійними й кутовими елементами даного прямокутного трикутника.

Опустимо із крапки В перпендикуляри ВР1, і ВА1 на прямі ОС і ОА Евклідова простору. Із трикутника ОВС1, маємо



 (*)



Аналогічно із трикутників OBA1 і BA1C1 треба, що



 (**)



Крім із цих трьох співвідношень BC1 і BA1, одержимо



 (1.1)



Формула (1.1) показує, що синус наведеного катета рівняється синусу наведеної гіпотенузи, помноженому на синус протилежного кута трикутника.

У попереднім міркуванні підстава С1, перпендикуляра ВР1, може збігатися із центром сфери або бути лівіше його на діаметрі ОС. Але можна переконатися, що одержувані нижче формули, як і формула (1.1), будуть завжди справедливі. До речі відзначу ще раз, що розглядаються тільки такі сферичні трикутники, які визначаються його вершинами й найменшими дугами більших окружностей, попарно їх з'єднуючими.

З'ясуємо зв'язок гіпотенузи c з катетами а й b. Із трикутника ОВС1, маємо



 (1.2)



Далі із трикутника ОВА1 і ОС1А1 треба, що







Крім із отриманих трьох рівностей ОС1 і ОА1 будемо мати

. (1.3)



Ця формула виражає теорему Піфагора: косинус наведеної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів наведених катетів. Аналогічним образом виводяться інші формули. Наприклад, із прямокутного трикутника А1ВР1 треба, що



 (1.4)



Далі, тому що






те з (1.2) маємо



 (1.5)



З іншого боку,



 (1.6)



З (*, 1.4- 1.6) випливає, що



 (1.7)



Поряд із цією формулою справедлива також парна формула



 (1.7')



Перемножуючи останні два співвідношення, одержимо







Відкидаючи ненульові співмножники й застосовуючи теорему Піфагора, остаточно будемо мати



 (1.8)


Візьмемо тепер інше вираження А1С1 через соs A. Тому що







те з (**) і (1.5-1.6), маємо







Звідси треба, що



 (1.9)



З (1.1) випливає також, що







Останні дві рівності дають







Або



 (1.10)




Доведені формули прямокутного трикутника можна виписати, користуючись так званим правилом Непера. Щоб сформулювати це правило, умовимося розташовувати елемент прямокутного трикутника а, В, з, А, b у зазначеному на циклічному порядку.

Для кожного із цих елементів попередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи — протилежними. Для катета b, наприклад, елементи a, А будуть прилеглими, а елементи з, В — протилежними. Прилеглими елементами для гіпотенузи є кути A і В, а протилежними — катети а й b.

Сформулюємо тепер правило Непера. Косинус будь-якого елемента сферичного прямокутного трикутника рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів. Якщо під знаком функції коштує катет, то тригонометрична функція міняється на суміжну - синус а косинус, тангенс на котангенс і навпаки. Помітимо також, що у всіх формулах довжини катетів і гіпотенузи діляться на радіус сфери R.

Формули косокутного трикутника в сферичній геометрії

Одержимо сНачало теорему косинусів. Нехай АВС довільний сферичний трикутник. Опустимо з вершини У висоту ВD. Застосовуючи до трикутника ВDС теорему Пифагора, одержимо



,



де d=AD, a=BC, b=BC, AB=c.

Перепишемо попередню рівність, другий множник формули косинуса різниці:



.(1.11)


Перший і третій множники в першому члені правої частини по теоремі Піфагора дають . Спростимо другий член у правій частині. Тому що



,



те заміняючи  по формулі (1.9) на , одержимо







Таким чином, з (1.11) треба, що



 (1.12)



Ця залежність, що виражає сторону сферичного трикутника через дві інші сторони в косинус протилежного кута, називається теоремою косинусів.

Доведемо тепер теорему синусів. Із прямокутного трикутника АВ і ВDС (мал. 6) одержуємо







Звідси треба, що






Якщо опустити тепер висоту з вершини А, то будемо мати







Отже



 (1.13)



Ці залежності сторін і синусів протилежних кутів становлять теорему синусів сферичного трикутника АВС.

Друга теорема косинусів

Припустимо, що сферичний трикутник А1У1С1, є полярним до даного трикутника АВС. Застосовуючи до нього теорему косинусів, одержимо







Але в силу формул (див. Полярні трикутники), маємо







Заміняючи в попередній рівності сторони й кути тільки що виписаними вираженнями, одержимо






Або



 (*)



Формула й становить зміст 2-й теореми косинусів: Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, узятому зі зворотним знаком, і складеному з добутком синусів тих же кутів на косинус наведеної протилежної сторони. Аналогічні дві формули можна одержати круговою заміною лінійних і кутових елементів даного трикутника АВС.

Із другої теореми косинусів треба, що в сферичній геометрії не існує нерівних трикутників з відповідно рівними кутами. Інакше кажучи, якщо кути, одного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутники рівні.

На закінчення встановимо лише збіг формул сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами з відповідними формулами евклідової геометрії.

Про сферичну геометрію в малому

Нехай лінійні розміри а, b, зі сферичного трикутника малі в порівнянні з радіусом сфери R. Очевидно, ці умови можна здійснити за рахунок малості зазначених лінійних розмірів або за рахунок вибору досить великого значення R. З формули, що виражає теорему косинусів, треба







З огляду на в цій рівності члени до другого порядку малості включно, одержимо теорему косинусів евклідової геометрії:


 (1.14)



У випадку прямокутного сферичного трикутника з кутом маємо cos A=0 і формула (1.12) у межі приводить до співвідношення



,



тридцятимільйонну теорему Піфагора в геометрії Евкліда. Це рівність треба також з (1.14) при .

Тому що при малих розмірах наведених сторін їхні синуси в першому наближенні пропорційні аргументам, то з (1.13) випливають два зв'язки



,



теорему синусів в евклідовій геометрії.

Отже, формули сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами в порівнянні з радіусом сфери збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії. Аналогічний результат одержимо нижче при розгляді формул геометрії Лобачевского.



2.2 Еліптична геометрія на площині



Були показані найпростіші факти сферичної геометрії, у якій усякі дві прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках. Для того, щоб звільнитися від зазначеного недоліку й прийти до нової геометрії, у якій прямі мали б не більше однієї загальної крапки, умовимося вважати всяку пару діаметрально протилежних крапок сфери за одну крапку. Отриману нову поверхню після такого ототожнення пар крапок сфери будемо називати еліптичною площиною й позначати символом S2.

Ясно, що одержимо ту ж площину, якщо будемо будувати множини векторів Евклідова простору відношенню еквівалентності в якій   тоді й тільки тоді, коли вектори  й  непропорційні.

Прямі еліптичної площини виходять із більших кіл у результаті зазначеного ототожнення пара крапок і будуть як і раніше замкнутими лініями. Але побудована площина S2 стала принципово новим об'єктом математичного дослідження.

Залишаючись замкнутою поверхнею, вона втратила властивість двобічності. Еліптична площина є однобічною поверхнею, тобто, розфарбовуючи яку-небудь одну сторону цієї поверхні, розфарбуємо її по обидва боки. В еліптичній геометрії відсутнє поняття крапки, що лежить між двома іншими, якщо вони інцідентні прямій, тому що дві крапки на прямій визначають два взаємно додаткових відрізки. У цій геометрії можна встановити поняття поділу двох пар крапок А, У и М, N, інцідентних прямій. Пари A, B розділяє пари М, N, якщо крапки М, N лежать у різних відрізках, певних на даній прямій крапками А и В. Можна переконатися, що пари крапок A, У розділяє пари М, N тоді й тільки тоді, коли подвійне відношення



 (АВМ) = АМ/ВМ:АN/ВN



чотирьох крапок А, В, М, N негативно.

Зрозуміло, еліптичну площину можна уявити собі також у вигляді півсфери, у якої діаметрально протилежні крапки екватора вважаються за одну крапку. Об'єкти нової моделі перебувають у певних зіставленнях з об'єктами відомої моделі на сфері. Завдяки цьому без звертання до аксіом виводимо, що ці дві моделі реалізують ту саму геометрію.

Проектування із центра о Евклідова простору на площину, дотичну до сфери в крапці З, де ОС , переводить прямі еліптичної площини в прямі евклідової площини . Якщо до крапок дотичної площини приєднати невласні крапки, то побудоване центральне проектування буде взаємно однозначним відображенням всіх крапок еліптичної площини на всі крапки розширеної евклідової (проективної) площини. Не будемо виписувати систему аксіом еліптичної геометрії й помітимо лише, що її можна одержати з аксіом проективної геометрії й аксіом конгруентності.

Всі поняття площини S2 переводяться по відображенню в деякі поняття двомірної проективної геометрії. Зіставлення відповідних геометричних образів отриманої проективної моделі характеризується наступною таблицею:



«крапка»

крапка проективної площини

«пряма»

пряма проективної площини

«рівність відрізків»

рівність прообразів відрізків



Велике достоїнство проективної моделі полягає в тому, що крапки й прямі в ній зображуються звичними для нас образами. Однак, при вивченні властивостей конгруентних фігур сферична модель стає більше зручною.

Помітимо також, що прямі й площини зв'язування о Евклідова простору визначають нову модель площини S2, що відповідають геометричні образи якої представляються наступною таблицею:



S2

Зв'язування прямих і площин в Е3

«крапка»

Площина зв'язування

«поділ двох пар крапок»

Поділ двох пар прямих того самого пучка прямих

«відстань між двома крапками»

Величина, пропорційна куту, між двома прямими зв'язування



Реалізація еліптичної площини у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені, дозволяє на цій площині ввести координати (х, в, z), зв'язані співвідношенням



x2+y2+z2=R2;


де R називається радіусом кривизни, а зворотна величина квадрата радіуса — кривизною. У цих координатах відстань а між двома крапками А (х1, в1, z1) і В(х2, в2, z2 ) визначається по формулі



. (2.1)



Відношення відстані між крапками до радіуса кривизни називається наведеною відстанню. Дві крапки площини S2 називаються полярними, якщо відповідним цим крапкам прямі тривимірного Евклідова простору ортогональні. Інакше кажучи, полярні крапки характеризуються тим, що наведена відстань між ними рівняється . Відрізок прямій, обмежений полярно сполученими крапками, називається напівпрямій. Пряма складається із двох напівпрямих і має довжину, рівну . Очевидно, геометричне місце крапок, полярних даній крапці А (х1, в1, z1), утворить пряму



 (2.1')



Ця пряма називається полярою крапки A, а крапка А - полюсом прямій (2.1').

Прямі, перпендикулярні прямій, перетинаються в її полюсі. Обернено, усяка пряма, що проходить через полюс даної прямої, буде перпендикулярної до цієї прямої. Звідси треба, що через кожну крапку площини, відмінну від полюса даної прямої, можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення полюсів і поляр.

У геометрії S2 можна побудувати взаємно однозначне відображення між крапками й прямими, при якому кожній крапці відповідає її полярна пряма, а кожній прямій - її полюс. Таке відображення називається полярним відображенням. В еліптичній площині одиничної кривизни полярне відображення переводить дві прямі а, b у такі крапки А, В, що відстань між цими крапками рівняється куту між даними прямими. Звідси випливає так званий принцип подвійності в еліптичній планіметрії: якщо в якій-небудь теоремі еліптичної геометрії замінити слова «крапка», «пряма», «відстань» і «кут» відповідно на слова «пряма», «крапка», «кут» і «відстань», те в результаті одержимо також справедливу пропозицію в цій геометрії. Прикладом двоїстих пропозицій, тобто пропозицій, що виходять одне з іншого, зазначеного правила є наступне: будь-які дві крапки визначають пряму, їм інцідентну; будь-які дві прямі визначають крапку, їм інцідентну.

Знайдемо тепер відстані між двома нескінченно близькими крапками М (х, в, z) і M’ (х + dх, в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що



. (2.2)



Звідки з точністю до нескінченно малих другого порядку включно маємо



ds=-2(xdx+ydy+zdz).



З огляду на, що координати крапки (х + dх, в + dу, z + dz) задовольняють рівності



(х + dх)2 +(в + dу)2+ (z + dz)2 =R2,



будемо мати



2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.

ds2 = dx2 + dу2 + dz2. (2.2')




Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігається зі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теорему косинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показує також, що руху еліптичної площини S2 представляються обертаннями й відбиттями Евклідова простору E3 навколо Начало координат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняється одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю. Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичній площині, то група рухів останньої зв'язана.

Площа трикутників в еліптичній геометрії

Нехай в еліптичній площині даний трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на даній площині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутники позначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площина кінцева й має площу, рівну 2 R2 , то площа частини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I, рівняється







Аналогічно, площа частин еліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рівні 2R2B, 2R2С. З іншого боку, сума всіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданою подвоєною площею SАВС даного трикутника АВС. У результаті одержуємо



.


Звідси випливає, що



SАВС = R2(A + B + C - ). (2.3)



Ця формула показує, що площа трикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевского площа трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),



SАВС = k2( - A - B - C ),



де k — радіус кривизни.

Окружність

Окружністю називається геометричне місце крапок М(х, в, z), що відстоять від даної крапки А(х1,в1,z1) на дану відстань r. Крапка A називається центром окружності, r - її радіусом.

До поняття окружності можна прийти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок на прямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як у геометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A, називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини, перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучки двоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямих другого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осі пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать відповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаються відповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути із прямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як у планіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, що відповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такий спосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса r із центром у крапці А и еквидистантой з висотою r' = R/2 — r. Можна встановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.

З (2.1) треба, що рівняння окружності із центром у крапці А(х1,в1,z1) і радіусом r < R/2 приводиться до виду:



 . (2.4)



Наявність подвійного знака пояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення різних знаків.

Помітимо, що множина крапок, віддалених від двох крапок A, В, складається із двох взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної даними крапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша - додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності, описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можна провести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступними трійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.

Розглянемо коротенько властивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії дві окружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивості пара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що еліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площини представляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать у паралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, дві окружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центра площинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зроблені зауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двох окружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією. 



2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля



Про псевдоевклідові планіметрії

а) В евклідовій площині, як відомо, формула квадрата відстані між двома крапками М(х1, х2) і N(в1, в2) у декартовой, прямокутній системі координат представляється у вигляді



d(M,N)2=(y1 - x1)2+(y2 - x2)2. (3.1)



Кут  між векторами ОМ і ОN обчислюється зі співвідношення



. (3.2)



Перша формула по суті виражає теорему Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, рівними абсолютним величинам  і гіпотенузою МN. Друга ж формула представляє собою формулу косинуса різниці кутів, утворених відповідно ОМ і ON c координатним вектором .

Тепер змінимо формули (3.1) і (3.2) і будемо визначати відстань між зазначеними двома крапками й величини даних кутів по формулах відповідно


d(M,N)=(y1 - x1)2 - (y2 - x2)2 (3.3)

 (3.4)



Колишні пари крапок тепер будуть мати інші відстані» а колишні кути - інші величини. Це по суті нова своєрідна двомірна геометрія.

Щоб підкреслити наявність іншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимося називати координатну площину (x1, x2) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовою площиною.

б) Для більшої аналогії з евклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторів відрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому що довжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинус кута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.

Не будемо далі перераховувати наслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідової геометрії. Робиться це в такий спосіб.

Замість аксіоми IV, 3 вейлевської аксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3' про існування ненульових векторів першого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповідно позитивні, негативні й дорівнюють нулю.

Всі інші аксіоми Вейля зберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, що аксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде про площину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі три вектори лінійно залежні.

Сукупність крапок називається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари (вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, вектори псевдоевклідової площини задовольняють аксіомам /--///- IV - 1, 2, 3' і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.

У псевдоевклідової геометрії афінна частина повністю  збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але в метричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг  від друга, метрика простору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед них важливу роль грає саме аксіома IV, 3'.

в) Скалярний добуток двох векторів ,  у змісті псевдоевклідової геометрії будемо позначати символом П. Вектори ,  називаються перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Як і раніше число П називається скалярним квадратом вектора ; корінь квадратний з П якого називається довжиною вектора й позначається через | |.Таким чином,



,



Ясно, що довжина вектора буде позитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат П >0, П <0 або П =0. Вектори позитивної й чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими й тимчасовими.

Ненульові вектори, довжини яких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.

Уведемо поняття прямокутної декартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається така афінна система координат, вектори  якої одиничні або взаємно перпендикулярні.

Отже, один з координатних векторів псевдоевклідової площини, наприклад,  буде одиничним, а іншої – мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторів прямокутної системи координат визначаються рівностями



. (3.5)



Очевидно, скалярний добуток двох векторів







і квадрат довжини вектора  в прямокутній системі координат обчислюються по формулах виду



 (3.6)

 (3.7)



За відстань між двома крапками M(х1, х2) і N(y1, y2) визначенню приймається довжина вектора :



d(M,N)2=(y1 - x1) - (y2 - x2)2.



Величиною кута між векторами  й  називається число, певне по формулі



 (3.8)


У правій частині (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах ,  може бути позитивним і негативним.

Якщо вектори ,  однієї природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те, якщо ж один з векторів просторовий, а інший тимчасовий, то .

Неважко далі довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів  і  будуть відповідно (х1, х2) і (в1, в2) у деякій прямокутній системі координат, те



.



Отже, якщо вектори ,  одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те



. (3.9)



Думаючи в цьому випадку , одержимо



. (3.10)



У псевдоевклідової площини існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називається відповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.

г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружності.

Окружністю в псевдоевклідової площини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаної центром на те саме відстань r; величина r називається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х1, х2) даної окружності задовольняють рівнянню



.



У цій геометрії існує три типи окружностей - окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів. На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евклідової геометрії бісектрисами координатних кутів, окружності речовинного радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох1 і окружність чисто мнимого радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох2.

д) На закінчення розглянемо коротенько руху в псевдоевклідової площини. Рух визначається як перетворення, що відповідають крапки якого мають ті самі координати щодо вихідної й довільно заданої прямокутних систем координат. Як і в евклідовій геометрії доводиться, що рух є ізометрією й, обернено, усяка ізометрія є рухом. Ізометрія визначається як перетворення, що зберігає відстань між двома довільними крапками. Як і в геометрії евклідової площини, руху можна розділити 

на власні рухи - руху з визначником  = 1 і невласні - руху з визначником  = - 1. Але тепер кожну із цих сукупностей у свою чергу можна розділити на дві сукупності. Щоб переконатися в цьому, відзначимо попередньо наступні два зауваження.

По-перше, ясно, що просторові, тимчасові й ізотропні вектори при рухах залишаються відповідно просторовими, тимчасовими й ізотропними.

По-друге, при безперервних обертаннях навколо даної крапки вектори ізотропного конуса відокремлюють у цій крапці тимчасові вектори від просторових.


Перейдемо тепер до подальшого поділу на частині рухів псевдоевклідової площини. Неважко бачити, що у формулах 



 (3.11)



визначальне обертання, величина  не звертається в нуль. Справді, припустимо, що в (3.11) коефіцієнт  рівняється нулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертанні (3.11), перейшов би у вектор {0, }, що є тимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змінах координатних векторів , викликуваних безперервними обертаннями, коефіцієнт  буде постійним.

Отже, всі рухи діляться на чотири типи залежно від значення визначника перетворення  = 1 або  = - 1 і знака  > 0 або  < 0.

Представниками цих чотирьох типів будуть, наприклад, руху з матрицями:







Псевдоевклідовий тривимірний простір

а) узагальнимо побудови псевдоевклідової площини на тривимірні простори. Аксіоми псевдоевклідового тривимірного простору збігаються з аксіомами Вейля псевдоевклідової площини, за винятком аксіом розмірності III. Тепер в аксіомі III-I мова йде про існування трьох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 - усякі чотири вектори лінійно залежні.

Скалярний добуток двох векторів ,  у псевдоевклідовом просторі будемо позначати, як і у випадку псевдоевклідової площини, символом . Вектори ,  - перпендикулярні, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Число  називається скалярним квадратом вектора. Довжиною вектора  називається корінь квадратний зі скалярного квадрата цього вектора й позначається через :



.



Підкореневе вираження може бути >0, <0, і  = 0. Довжини векторів відповідно до цим випадкам будуть речовинні, чисто мнимі й нульові. Вектори речовинної довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимої довжини - тимчасовими й вектори нульової довжини - ізотропними.

У псевдоевклідовом просторі вводиться прямокутна система координат. По визначенню так називається афінна система координат, вектори якої  одиничні й взаємно перпендикулярні. Будемо розглядати так званий простір Минковського, у якому із трьох координатних векторів прямокутної системи координат два одиничні, а третій — мнимо одиничний. Будемо вважати, що



 (3.12)



У цій системі координат скалярний добуток двох векторів і квадрат довжини вектора, мабуть, обчислюються по формулах виду








І квадрат довжини вектора, мабуть, обчислюються по формулах виду



, (3.13)

. (3.14)



За відстань між двома крапками М(x1, x2, x3) і N(y1, y2, y3) по визначенню приймається довжина вектора , тобто



. (3.15)



Величиною кута між векторами  й  називається число, певне по формулі



.



Якщо вектори ,  однієї природи, тобто обоє просторові або тимчасові, то . Більше того, , якщо для х, у виконується нерівність Коші й , якщо нерівність це не виконується. Думаючи в останньому випадку , одержимо .

б) У псевдоевклідовом просторі існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора. Тут існують також три види площин залежно від природи її нормального вектора.

в) Докладніше розглянемо питання про сфери. Сферою псевдоевклідова простору П3 називається множина крапок цього простору, що відстоять від даної крапки А, називаної центром сфери, на те саме відстань r. Величина r називається радіусом сфери.

Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі сфери, переконаємося в тім, що координати х1, х2, х3 поточні крапки сфери радіуса r задовольняють рівнянню



. (3.17')



Ясно, що перші два координатних вектори прямокутної системи тут передбачаються одиничними, а третій вектор - мнимо одиничним.

У псевдоевклідовом просторі існують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радіуса.

Рівняння сфери речовинного радіуса r збігається (3.17'), у якому величина r речовинна. Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, де k речовинне, то рівняння (3.17') приводиться до виду



 (3.17)



Якщо ж сфера буде нульового радіуса, то з (3.15) треба, що



. (3.18)



Рівняння (3.18) в евклідовому просторі є рівнянням конуса, а попередні два - рівняння гіперболоїдів.

Ясно, що конус (3,18) складається з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат. Очевидно, асимптотичеський конус сфери збігається з ізотропним конусом її центра. З рівняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклідова простори є прямолінійні утворюючі - прямі цілком лежачі на сфері.

Очевидно, лінією перетинання сфери із площиною є  окружність. Якщо січна площина проходить через Начало  Координат, то радіус окружності приймає значення, рівне  радіусу сфери. Одержувані в такий спосіб окружності сфери називаються більшими окружностями.

За сферичну відстань  між двома крапками М ( ), N ( ) сфери приймаємо відстань по великій окружності, що з'єднує дані крапки. Очевидно, ця відстань рівняється добутку радіуса сфери на значення кута, утвореного радіусами векторами , . Отже, сферична відстань  визначається по формулі



. (3.19)



Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду



.



Геометрія Лобачевского

Переконаємося тепер, що геометрія сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі є Двомірною геометрією Лобачевского. Обмежуючись лише однієї, наприклад, верхньої порожньої сфери, покажемо, що в множині її крапок і більших окружностей здійснюється планіметрія Лобачевского. Для простоти ці крапки можна спроектувати із центра сфери на дотичну до неї площина в крапці N. Криву перетинання дотичної площини з ізотропним конусом будемо називати абсолютом.

При проектуванні крапки півсфери перейдуть у внутрішні крапки кола, обмеженого абсолютом, а більші окружності - у хорди абсолюту. Очевидно, останні є лініями перетинання площин більших окружностей із внутрішністю абсолюту. Інцідентність крапок і прямих розуміється у звичайному змісті. Ясно, що в системі крапок внутрішності абсолюту і його хорд аксіоми 1,1 - 3 виконуються. Аналогічно аксіоми II порядку й IV безперервності переходять у щирі пропозиції геометрії дотичної площини. Що стосується аксіом III групи - аксіом конгруентності, те вони також переходять у щирі пропозиції тривимірної псевдоевклідової геометрії. При цьому вважаємо конгруентними ті відрізки (кути), яким на сфері чисто мнимого радіуса відповідають сфери дуги більших окружностей, що сполучаються при деяких, обертаннях (кути між більшими окружностями).

З'ясуємо тепер, яка виконується аксіома паралельності: V або V'.

Припустимо, що нам дана на верхній півсфері більша окружність і не лежача на ній крапка. У зв'язуванні прямих і площин, центр якого збігається із центром сфери, цієї великої окружності й крапці відповідають відповідно площина й пряма a зв'язування.

Очевидно, що через пряму а можна провести незліченну множину площин зв'язування, що розсікають півсферу по більших окружностях, що не перетинаються з даною великою окружністю. У такий спосіб у розглянутій моделі виконується аксіома паралельності Лобачевского. Інакше кажучи, площинна геометрія Лобачевского збігається з геометрією сфери чисто мнимого радіуса.

Ці міркування дозволяють прийняти наступне загальне визначення n-мірних неевклідових геометрій.

Неевклідовими геометріями n-вимірів називаються геометрії, які породжуються на n-мірних сферах, Sn речовинного або чисто мнимого радіуса в (n+1)-мірному евклідовому відповідно псевдоевклідовом просторі. Передбачається також» що діаметрально протилежні крапки цих сфер ототожнені, тобто такі пари крапок уважаються за одну крапку.

Із цього визначення треба, що при зростанні n число типів неевклідових просторів також росте. Неевклідові геометрії є геометриями найпростіших римановых просторів певної й невизначеної метрики, що становлять так званий клас просторів постійної ненульової кривизни. Кожне з таких n-мірних просторів допускає сукупність рухів, що залежить від n(n+1)/2 параметрів.

Очевидно, при n=2 одержимо еліптичну площину й площину Лобачевского. Геометрія, цих площин буде відповідно геометрією сфери Евклідова простору й геометрією сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі. 

Наше найближче завдання — вивести основні формули сферичного трикутника (так називаються трикутник на сфері, утворений трьома дугами більших окружностей). Ці формули виражають основні математичні співвідношень у трикутниках геометрії Лобачевского.

а) СНачало доведемо так звану теорему косинусів. Припустимо, що нам даний сферичний трикутник з вершинами А( ), В ( ), З ( ), кутами A, В, С и протилежними сторонами відповідно а, b, с.

Очевидно, ці сторони пов'язані з радіус-векторами вершин сферичного трикутника наступними рівностями



 (3.21)



Припустимо далі, що дотична площина до сфери в крапці З перетинає радіуси ОА й ОВ у крапках  і . Ці числові множники , радіусів векторів крапок A1 і B1 визначаються зовсім просто, якщо врахувати ортогональність векторів ,  і ,  Дійсно,





.



Звідси на підставі (3.21) треба, що




. (3.22)



Повторюючи наведені міркування для іншої пари  й  ортогональних векторів, одержимо



. (3.23)



Знайдемо тепер скалярний добуток векторів  і . З одного боку, маємо



,



Де







Отже, на підставі (3.22, 3.23) маємо







Тому



.




З іншого боку,



.



Застосовуючи потім (3.21), (3.22), (3.23), одержимо



 (3.25)



Порівнюючи (3.24) і (3.25), містимо







Або



. (3.26)



Формула (3.26) не залежить від нашого припущення про крапки перетинання А1 і В1. Ця формула виражає теорему косинусів сферичного трикутника сфери чисто мнимого радіуса: косинус гіперболічної сторони сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів гіперболічних двох інших сторін без добутку синусів гіперболічних цих же сторін на косинус кута між ними.

б) Переходимо тепер до висновку теореми синусів. Обчислимо для цього квадрат відносини . На підставі (3.26), маємо


. (*)



Бачимо, що чисельник правої частини є симетричним вираженням щодо змінних а, b, с. Неважко переконатися, що такою ж симетричністю щодо цих змінних володіє й знаменник. Справді



 (3.27)



Таким чином, квадрат шуканого відношення симетричний щодо сторін а, b, с. Це означає, що заміняючи позначення сторін а, b, з і кутів А, В, С у круговому порядку в (*) одержимо відносини , , рівні . Витягаючи із цих відносин квадратних корінь, одержимо формули



, (3.28)



теорему, що виражає, синусів сферичного трикутника в геометрії сфери чисто мнимого радіуса: синуси гіперболічних сторін сферичного трикутника ставляться як синуси протилежних кутів.


в) Помітимо, що формули (3.26) і (3.28) геометрії сфери чисто мнимого радіуса r = ki у псевдоевклідовому просторі можна одержати з відповідних формул сферичного трикутника в евклідовому просторі, заміняючи  на ,  на ,  на .

Застосовуючи це правило, одержимо другу теорему косинусів для сферичного трикутника у випадку сфери мнимого радіуса:



 (3.29)



Інакше, косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку синусів двох інших кутів на косинус гіперболічної сторони між цими кутами без добутку косинусів двох інших кутів.

Звідси треба, що якщо кути одного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутники рівні.

Формули прямокутного трикутника

Припустимо, кут Із трикутника AВС є прямим. Застосовуючи теорему косинусів (3.26), одержимо



. (3.30)



Ця рівність виражає теорему Піфагора в геометрії Лобачевского: косинус гіперболічної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів гіперболічних катетів. Застосовуючи формулу (3.28) будемо мати:




, (3.31)

. (3.32)



Отримані формули можна виписати за мнемонічним правилом, аналогічному правилу Непера в сферичній геометрії.

У цих формулах зв'язуються п'ять елементів прямокутного трикутника, які можна розглядати в циклічному порядку . Для кожного елемента попередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи - протилежними елементами. Мнемонічне правило формулюється в такий спосіб.

Косинус елемента прямокутного трикутника в геометрії Лобачевского рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів.

Якщо під знаком функції входить кут, то функція розуміється в тригонометричному змісті. Якщо ж входить довжина, то вона ділиться на радіус кривизни і їхня функція розуміється в гіперболічному змісті. Нарешті, у випадку, коли під знаком функції коштує катет, функція міняється на суміжну: синус - на косинус, тангенс - на котангенс і навпаки.

Користуючись наведеним правилом, одержимо для кожного елемента відповідні вираження через прилеглі й протилежні елементи прямокутного трикутника:


 (3.33)



Основна формула Лобачевского

Нехай дана на площині Лобачевского пряма a і крапка A, не інцідентна їй. Опустимо із крапки А перпендикуляр АВ на пряму а (мал. 19). Проведемо також через крапку А пряму АТ, паралельну прямій а в якому-небудь напрямку. Кут , як указували вище, називається кутом паралельності, а відрізку АВ. Для одержання основний формул Лобачевского, що зв'язує кут паралельності ВАО = П(p) з відрізком p=АВ, візьмемо на промені В яку-небудь крапку С. Для прямокутного трикутника AВС, маємо







Будемо видаляти тепер крапку З по промені нескінченно, прагне при цьому до 1 і в межі, одержимо







Звідси треба, що






Вставляючи в останню рівність







остаточно одержимо







Ця формула, що зв'язує кут паралельності П(р) з відповідним відрізком р, називається основною формулою Лобачевского. З її треба, що кут паралельності є монотонно убутною функцією. Якщо відрізок паралельності р прагне до нуля, то кут паралельності прагне до прямого кута, якщо ж р прагне до нескінченності, то кут П(р) прагнути до нуля.

Геометрія сфери простору Лобачевского

Візьмемо в тривимірному просторі Лобачевского сферу радіуса R із центром у деякій крапці О. На цій сфері індуцирується деяка сферична геометрія. сукупність, Що Виходить, пропозицій називається геометрією сфери в просторі Лобачевского. Розглянемо в цій геометрії прямокутний трикутник AВС, утворений з дуг АВ = з, АС = b, ВР = a більших кіл. Дуги більших кіл тут, як і в сферичній геометрії звичайного простору є найкоротшими для досить близьких крапок на сфері. Кути між більшими колами розуміються як лінійні кути двогранних кутів, утворених площинами більших кіл. Припустимо, що кут З даного трикутника прямої. Опустимо далі із крапки В перпендикуляри ВА1 і ВР1 на радіуси ОА й ОС відповідно. Застосовуючи відомі формули до прямокутного трикутника ОВС1 (мал. 20), одержимо







Аналогічно із трикутників ОВА1 і А1ВР1 треба, що









Крім із цих трьох співвідношень ВР1 і ВA1, одержимо формулу







співпадаючу з відповідною формулою для прямокутного сферичного трикутника в евклідовому просторі. Виведемо тепер теорему Піфагора для прямокутного трикутника ABС у геометрії сфери в просторі Лобачевского. Із трикутника ОВС1 маємо







Аналогічно із трикутників ОВА1 і OA1C1 відповідно треба, що






Крім із отриманих трьох рівностей відрізки ОС1 і OA1 виводимо







Ця формула збігається з відповідною формулою для прямокутного трикутника звичайної сферичної геометрії. Зазначеним способом можна переконатися, що в цілому геометрія сфери простору Лобачевского збігається з геометрією сфери Евклідова простору.

Про геометрію Лобачевского в малому

Припустимо тепер, що в трикутнику лінійні розміри a, b, c малі в порівнянні з радіусом кривизни k простору. Це припущення свідомо виконується для трикутників з малими лінійними розмірами або в просторі досить малої кривизни 1/k2. Розкладаючи в статечні ряди гіперболічні функції у формулі (3.26), що виражає теорему косинусів у геометрії Лобачевского, одержимо







З огляду на тут члени до другого порядку малості включно, будемо мати



a2 = b2 + c2 – 2 bc cosA.




Ця залежність між елементами трикутника виражає теорему косинусів в евклідовій геометрії. У випадку прямокутного трикутника cosA=0; отже,



a2 = b2 + c2



т. е. справедлива теорема Пифагора. Далі при наших припущеннях синуси гіперболічні у формулі (3.28) у першому наближенні пропорційні аргументам, тому







т. е. сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Останні три рівності дозволяють затверджувати, що формули геометрії Лобачевского для фігур з малими лінійними розмірами збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії.



2.4 Різні моделі площини Лобачевского. Незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта



У попередньому параграфі познайомилися з основними формулами двомірної геометрії Лобачевского, які в той же час були формулами геометрії сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі. 

Ця сфера, по суті, є одна з можливих моделей площини Лобачевского. Інша модель - модель Бельтрами-Клейна. Вона вийшла з першої моделі шляхом центрального проектування крапок сфери на яку-небудь її дотичну площину. Остання, мабуть, буде евклідовою площиною.

Площина Лобачевского в моделі Бельтрами-Клейна зображується у вигляді внутрішності кола, причому прямі зображуються хордами. Пересічні прямі зображуються пересічними хордами. Якщо загальна крапка буде прагнути по одній із прямих до нескінченності, то паралельні прямі будуть зображуватися хордами, загальна крапка яких належить абсолюту (обмежуючої внутрішність кола окружності). Нарешті, зверхпаралельні прямі в розглянутій моделі зображуються хордами, які, будучи продовжені, перетнуться в крапці, що належить зовнішньої області абсолюту.

Неважко переконатися, що пучок прямих першого роду при Даному відображенні переходить у сукупність хорд, що перетинаються в загальній крапці, що належить внутрішності абсолюту. Пучок прямих другого роду, тобто прямих, паралельних один одному в даному напрямку, переходить у сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці абсолюту. Нарешті, пучок прямих третього роду відображається в сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці поза абсолютом. Крапки абсолюту називаються нескінченно вилученими крапками й крапки поза абсолютом - ідеальними крапками площини Лобачевского. Тому пучки прямих другого й третього родів називаються іноді пучками з нескінченно вилученими або відповідно ідеальними центрами.

Неважко переконатися також, що вісь пучка прямих третього роду є полярою полюса - свого ідеального центра. Справді, допустимо, що вісь пучка не є полярою ідеального центра. Припустимо, наприклад, що вона не проходить через крапку перетинання поляри крапки Р с абсолютом. Тоді на площині Лобачевского буде існувати пряма СС1 одночасно перпендикулярна й паралельна до прямій СВ, що неможливо. 

Переносячи по відображенню у внутрішність абсолюту основні поняття відображуваної площини Лобачевского, у підсумку одержимо так звану модель Бельтрами-Клейна.

Ясно, що до моделі Бельтрами-Клейна можна прийти безпосередньою перевіркою аксіом Гильберта I-IV і аксіоми паралельності Лобачевского в множині крапок внутрішності кола і його хорд, уводячи між ними відповідним чином основні відносини. Крапками й прямими в цій моделі є внутрішні крапки абсолюту і його хорди без кінців. „інцідентність" крапок і прямих, а також „между" для трьох крапок, що належать одній прямій, розуміються у звичайному змісті. Два відрізки (кута) уважаються конгруентними, якщо вони будуть відповідними при деякому взаємно однозначному крапковому відображенні розширеної (за рахунок додавання невласної прямої) евклідової площини, при якому абсолют залишається незмінними „прямі" переходять в „прямі".

У моделі Бельтрами-Клейна довжини й кути спотворюються, якщо малюнки 23, 24 розуміти в евклідовому змісті. 

У розглянутій моделі через крапку А, дану поза прямій а, можна провести прямі, які перетинають пряму а; прямі АU, АV, паралельні а й, нарешті, прямі b – зверх паралельні, що розташовуються у внутрішності заштрихованих вертикальних кутів. У цій моделі виконуються всі аксіоми Гильберта, у тому числі й аксіома Лобачевского. Відстань d(А, В) між двома крапками A, У в моделі Бельтрами-Клейна виражаються за допомогою проективних понять. Якщо хорда АВ перетинає абсолют у крапках М, N, то







де (ABMN) позначає подвійне відношення зазначених чотирьох крапок (АМ: ВМ): (АN: BN). У самому діді, припустимо, що



 (4.1)



є рівнянням абсолюту в однорідних координатах. Крім того, за умовою нам дані крапки А(аi) і В(bi). Становлячи рівняння прямій АВ, одержимо



 (4.2)




Щоб знайти крапки перетинання М, N, прямій АВ з абсолютом, вирішимо спільно систему рівнянь (4.1) і (4.2) щодо невідомих . Вставляючи  з рівності (4.2) у рівняння (4.1), одержимо



. (4.3)



Розгортаючи більш докладно ліву частину (4.3), будемо мати



.



Тому що крапка А (аi) не належить абсолюту, тобто , те вирішуючи квадратне рівняння







знайдемо наступних значень відносини , для шуканих крапок:







З іншого боку, як відомо, подвійне відношення чотирьох крапок А, B, М, N дорівнює подвійному відношенню, складеному з відповідних значень параметра , тому






Але ця рівність можна переписати у вигляді



 (4.4)

Вставляючи в праву частину (4.4) знайдені вираження ,  і з огляду на (3.21), одержимо







Тому що по визначенню







те попередня рівність можна переписати так:







Логарифмуючи цю рівність, маємо остаточно



 (4.5)




Ця формула показує, що відстань між двома крапками А и В рівняється з точністю до множника подвійному відношенню даних крапок А, У и крапок М, N перетинання прямій АВ з абсолютом.

Кут  між двома променями а, b, що виходять із крапки З, також виражається через проективні поняття комплексної геометрії, Нехай т, n позначають дотичні до абсолюту, що проходять через крапку С. Помітимо, що прямі m, n необхідно комплексно сполучені. Аналогічно попередній формулі маємо







Модель Бельтрами-Клейна примітна тим, що прямі площини Лобачевского в ній зображуються у вигляді відкритих відрізків прямих евклідової площини. Вона здійснює геодезичне відображення площини Лобачевского на внутрішність кола евклідової площини.

Перш ніж перейти до інших моделей площини Лобачевского потрібно зробити наступні два важливих зауваження. По-перше, до моделі Бельтрами-Клейна можна прийти на основі відображення площини Лобачевского на граничну поверхню, на якій здійснюється Евклідова геометрія. Тому аксіоми геометрії Лобачевского тут виконуються автоматично по відображенню. Але наведене тут опис по відображенню основних понять дозволяє у свою чергу прийти до цієї моделі самостійним образом, на основі доказу выполнимости послідовно кожної аксіоми I - IV, V.

По-друге, до цієї ж моделі Бельтрами-Клейна можна прийти, мабуть, проектуванням у просторі Минковского сфери чисто мнимого радіуса з її центра на дотичну до неї площина, наприклад, у північному полюсі.

Припустимо тепер, що абсолют із центром Про модель Бельтрами-Клейна є більшим колом сфери. Ортогональне проектування внутрішності абсолюту на одну з отриманих півсфер дозволяє одержати нову модель площини Лобачевского на півсфері. Потім стереографическое проектування цієї півсфери на вихідну площину з полюса S, розташованого в іншій півсфері, де відрізок OS перпендикулярний площини абсолюту, приводить до моделі Пуанкаре усередині кола. Отже, у колишньому абсолюті прямими тепер є дуги окружностей, що ортогональне перетинають абсолют і діаметри абсолюту. Відносини інцидентності, лежати між і конгруентності кутів мають звичайний сенс. Поняття конгруентності відрізків також відповідним чином переноситься з моделі Бельтрами-Клейна.

Застосовуючи потім дрібно-лінійне відображення комплексного змінного до внутрішньої області абсолюту, одержимо відому модель Пуанкаре на напівплощині. У цій моделі «крапками» є крапки верхньої напівплощини, «прямими» - півкола із центром на граничній прямій - абсолюті. До «прямих» зараховуються також, напівпрямі верхньої напівплощини, перпендикулярні до абсолютної прямої. Відносини інцідентності й лежати між розуміємо у звичайному змісті. Конгруентність кутів у цій моделі збігається з евклідової конгруентностью. Модель Пуанкаре представляє собою конформне відображення площини Лобачевского на Евклідову напівплощина.

Що стосується поняття конгруентності відрізків, то воно визначається через рухи або відстань між двома крапками А и В, причому поняття відстані між крапками в останньому випадку не припускає виміру відрізків. По визначенню воно означає число.



(*)



якщо крапки A, У лежать на півкола або число



(**)


якщо крапки лежать на напівпрямій, перпендикулярній граничній прямій XX. У цих формулах кути ,  і ординати в1 , в2 мають звичайний сенс, ясний з малюнка 29,буд.

Очевидно, завжди можемо припускати, що позначення кутів символами ,  і ординат в1, в2 для даних крапок A, У здійснено так, що праві частини в (*), (**) позитивні. Тепер неважко визначається конгруентність відрізків. Відрізки АВ і СD конгруентні, якщо відстань між кінцями A, В одного відрізка дорівнює відстані між кінцями З, D іншого відрізка.

Підкреслимо ще раз, що до моделі Пуанкаре на напівплощині ми прийшли в результаті відображення першої моделі Пуанкаре у внутрішності кола. Тому аксіоми Гильберта геометрії Лобачевского виконуються автоматично по відображенню.

Опису основних образів, що приводяться тут, і відносин інцидентності, лежати між, конгруентності відрізків і кутів дозволяють прийти до цієї моделі Пуанкаре на напівплощині самостійним образом, шляхом доказу кожної аксіоми гильбертовської аксіоматики.

На закінчення зупинимося на питанні незалежності 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта. Відповідно до загальної установки, викладеної в главі 1, досить побудувати яку-небудь модель, на якій би виконувалися всі аксіоми Гильберта I - V за винятком аксіоми паралельності V. Аксіома ця, еквівалентна щодо аксіом I - IV твердженню 5-го постулату, полягає в наступному. Через крапку А, не приналежній прямій а, можна провести в площині, обумовленою цією крапкою А и прямій а, не більше одній прямій, що не перетинається з даній прямій a.

Очевидно, будь-яка модель геометрії Лобачевского, наприклад, Бельтрами-Клейна дозволяє довести незалежність аксіоми паралельності від попередніх аксіом I - IV. Дійсно, на цій моделі виконуються всі 19 аксіом I - IV, а аксіома V не виконується. Звідси містимо, що за допомогою аксіом I - IV, Гильберта неможливо довести аксіому паралельності V. Інакше кажучи, 5-й постулат Евкліда не можна вивести як теорему з попередніх аксіом I - IV.




Висновок



Відкриття неевклідової геометрії, Начало якому поклав Лобачевский, не тільки зіграло величезну роль у розвитку нових ідей і методів у математиці природознавства, але має й філософське значення. Панування до Лобачевского думки про непорушність геометрії Евкліда значною мірою ґрунтувалося на навчанні відомого німецького філософа І. Канта (1724-1804), родоначальника німецького класичного ідеалізму. Кант затверджував, що людина впорядковує явища реального миру відповідно до апріорних уявлень, а геометричні подання й ідеї нібито апріорні (латинське слово aprior означає - споконвічно, заздалегідь), тобто, не відбивають явищ дійсного миру, не залежать від практики, від досвіду, а є вродженими людському миру, раз і назавжди зафіксованому, властивими людському розуму, його духу. Тому, Кант уважав, що Евклідова геометрія непохитна, незмінна, і є вічною істиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушної, як єдино можливе вчення про реальний простір.

Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютувати уявлення про простір, що «уживана» (як назвав Лобачевский геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, однак це не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Отже, в основі геометрії Евкліда лежать не апріорному, уроджені розуму поняття й аксіоми, а такі поняття, які пов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія вірніше викладає властивості фізичного простору. Відкриття неевклідової геометрії дало вирішальний поштовх грандіозному розвитку науки, сприяло й понині сприяє більше глибокому розумінню матеріального світу.


Список літератури



1. Глейзер Г.І. Історія математики в школі IX - X класи. – К., 2004

2. Даан Дальмедино А., Пейффер І. Шляхи й лабіринти. Нариси по історії математики. – К., 2003

3. Егоров І.П. Лекції по аксіоматиці Вейля й неевклідовим геометріям. – К., 2003

4. Егоров І. П. Основи геометрії. – К., 2003

5. Клайн М., Математика. Втрата визначеності. – К., 2004

6. Лаптєв Б.Л. М.І. Лобачевский і його геометрія. – К., 2006

7. Неевклідові простори й нові проблеми фізики. – К., 2003

8. Розенфельд Б.А. Неевклідові простори. – К., 2005

9. Широков П.А. Короткий нарис основ геометрії Лобачевского. – К., 1999.

10. Яглам І.М. Принцип відносності Галілея й неевклідова геометрія. – К., 2000

Евклідова і неевклідова геометрії