Интеграл Пуассона

Интеграл Пуассона.





Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -,  , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через   fg(x)  будем обозначать свертку

                  fg(x)  =dt   

Из теоремы  Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и

                    cn ( fg ) = cn ( f ) cn ( g ) ,                  n = 0, 1 , 2 , ...             ( 1 )



где  cn ( f ) -- коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :

                             cn = -i n tdt ,                          n = 0,         

Пусть   L1 (-) . Рассмотрим при    r   функцию

                   r ( x ) = n ( f ) rn  ei n x   ,            x   ,                  ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного  r ,   r  . Коэффициенты Фурье функции r х равны 

cn ( fr ) = cn  r n  ,    n = 0 , , а это согласно (1) значит, что r  x  можно представить в виде свертки :

                          r ( x ) =  ,                                                       ( 3 ) 

где 

                           ,                                   t                    ( 4 )

          Функция двух переменных  Рr (t) ,   0 r ,  t   , называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  --  интегралом Пуассона . 



Следовательно,

                     Pr ( t ) =      ,    0r   ,   t  .                     ( 5 )   

Если   L ( -  )   действительная функция , то , учитывая , что 

c-n  ( f ) =  cn( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :



fr ( x ) = 



=  ,                                                                      ( 6 )

где

                          F ( z ) = c0 ( f ) + 2             ( z = reix  )                     ( 7 )

аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L1( -,  ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

                  u ( z ) = r (eix )  , z = reix    ,  0  r 1  ,   x  [ -,  ] .

При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v (0) = 0  задается формулой

                  v (z) = Im F (z) =    .                                     ( 8 )

Утверждение1.

Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге    z     функция  и  (x) = u (eix) , x,   . Тогда

                  u (z) =                 ( z = reix  ,     z    )              ( 10 ).



Так как  ядро Пуассона  Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

                                              =,           z   +  .

Но тогда

                                       

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).



Прежде чем перейти к изучению  поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а)  ;

б)  ;

в) для любого >0

      

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)   х  .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -,  ) , 1  p <  , имеет место равенство

                                            ;

если же  (x) непрерывна на  [ -,  ]  и   (-) =  () , то

                                          .





Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

                                                         ( 12 )

Для любой функции  , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим





.

Следовательно,

                            .

Для данного     найдем   =  () такое, что  . Тогда для  r  , достаточно близких к единице, мы получим  оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

                            .

Теорема 1 доказана.



Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция  суммируема на любом интервале (-А, А),  А > 0 . Максимальной функцией для функции   называется функция 

                          

где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор  называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

  .











Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из  . Тогда

                                            для  п.в.  .

Доказательство.

Покажем, что  для   и  

                                                       ,                                                ( 13 )

где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для  f (x) . Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку

              

(К - абсолютная константа).

Пусть  -  такое число, что

.

Тогда  для  







.



Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора  , найдем такую последовательность функций  ,что 

,

                                                  ( 14 )

   для п.в. .



Согласно (13) при   x (-2)





Учитывая , что по теореме 1   для каждого x [- ]  и (14)

Из последней оценки  получим 



  при  n.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ]   ,  когда точка reit  стремится к  eix  по некасательному к окружности    пути.