Контрольная работа по Математике 3

0



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ











Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»







Контрольная работа 



по дисциплине: «Математика»



Вариант 1

































Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5

Проверил:___________________________







Тюмень 2007 год




Содержание

 

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного 

переменного……………………………………………………………………2

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6

«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11




«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»

1. Вычислить предел: .

Решение. 

При  имеем



Следовательно,



.



2. Найти асимптоты функции: .

Решение. 

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что



Следовательно,  – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

.



Следовательно,  – горизонтальная асимптота при .



3. Определить глобальные экстремумы:  при .

Решение. 

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .



А затем находим критические точки.

.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

.

Сравнивая значения, получаем: 





4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .

Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.

.



x



0



1



3





+

0

+

0

–

0

+



возрастает

нет экстр.

возрастает

max 

убывает

min

возрастает



Отсюда следует, что функция возрастает при , убывает при .

Точка  – локальный максимум. 

Точка  – локальный минимум.





5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .

Решение.

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

. 

.

.

x



2





–

0

+



выпуклая

перегиб

вогнутая



Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при . 

Точка  – точка перегиба.




«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»



1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Поскольку , функция не является четной или нечетной.

3) Точки пересечения с осями: 

а) с оx:  

б) с oy .

4) Асимптоты.

а) .

Следовательно,  – вертикальная асимптота.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты 





Отсюда получаем, что

 – наклонная асимптота при .

5) Критические точки





К тому же  не существует при .

6) 



К тому же  не существует при 

x



0



2



	4





+

0

–

Не сущ.

–

0

+



–

–

–

Не сущ.

+

+

+

y

возрастает

выпуклая

max



убывает

выпуклая

не сущ.

убывает

вогнутая

min



возрастает

вогнутая

Эскиз графика функции 

		



2. Найти локальные экстремумы функции .



Решение.

Сначала найдем частные производные



Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.



То есть мы получили две критические точки

. Далее проведем исследование этих точек.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка 





Для точки :



. 

Следовательно, точка  не является точкой экстремума.



Для точки :



.

Следовательно, точка  не является точкой экстремума.

Вывод – локальных экстремумов у функции нет.



3. Определить экстремумы функции , если .

Решение.

			Сначала запишем функцию Лагранжа 

			

			И исследуем ее

			

			

То есть мы получили две критические точки: .

В силу условия  нам подходит только точка .

Поэтому будем исследовать эту точку

Вычислим частные производные второго порядка:



Отсюда получаем, что 



Теперь продифференцируем уравнение связи

			

Для точки получаем .

Следовательно, 

То есть мы  получили положительно определенную квадратичную форму.

Следовательно,  является точкой условного локального минимума. 








«Интегральное исчисление функции одного переменного»



1–3. Найти неопределенный интеграл



1. .

Решение.











2. .

Решение.









3. .

Решение.







4. Вычислить .

Решение.







5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

.

Решение.





.