Методы анализа электромеханических устройств

2



























Методы анализа электромеханических устройств


Введение



Электроакустическая аппаратура состоит из механических элементов: пластин, мембран, труб и т.п., которые обладают массой m, гибкостью СМ, потерями энергии на трение, и электрических элементов: катушек, конденсаторов, трансформаторов, резисторов. В процессе работы устройства эти элементы взаимодействуют.д.ля описания этого процесса приходится составлять и решать систему уравнений, содержащую уравнения механики и теории электричества. Решение системы уравнений получается громоздким.

Для упрощения решения таких задач был разработан метод электромеханических аналогий, который позволил свести анализ механических устройств к анализу эквивалентных электрических схем. Математический аппарат для анализа электрических цепей хорошо разработан и известен радиоинженерам.


1. Метод электромеханических аналогий



Рассмотрим механическую систему, состоящую из груза, масса которого , подвешенного на пружине с гибкостью  к неподвижному основанию. Под действием силы  груз может перемещаться в направляющих, испытывая силу трения, определяемую коэффициентом трения . Требуется описать движение груза.

В любой момент времени сила, действующая на груз, должна уравновешиваться силой инерции:



,



где  - скорость колебаний,  - сила трения,  - сила упругости пружины. Полагая, что сила трения пропорциональна скорости, а сила упругости - величине деформации х, получим:



. (1)



Напишем уравнение для последовательного электрического контура:



,

т.к , то:

. (2)



Сравнивая (1) и (2), видим, что это - одинаковые уравнения, отличающиеся только обозначениями. Зная решение одного из уравнений, можно написать решение другого, просто изменив обозначения на эквивалентные в соответствии с таблицей 1.



Таблица 1. 

Электрические величины

Механические величины

Величина

Ед. изм. 

Обозначение

Величина

Ед. изм. 

Обозначение

Э. д. с., напряжение

Вольт



Сила

Ньютон



Сила тока

Ампер



Скорость

м/с



Заряд

Кулон



Смещение

м



Индуктивность

Генри



Масса

кг



Ёмкость

Фарада



Гибкость

м/Н



Активное сопротивление

Ом



Коэффициент трения

мехом



Энергия магн. поля

Дж



Кинет. энергия

Дж



Энергия электр. поля

Дж



Потенц. энерг. 

Дж





По аналогии можно написать "закон Ома" для механической цепи:



 (3)



Величину  можно рассматривать, как полное сопротивление механической цепи. Единица измерения механического сопротивления получила название "мехом" и имеет размерность кг/с.

Для того, чтобы упростить процедуру построения электрических схем, эквивалентных механическим устройствам, разработаны правила (алгоритм) построения таких схем. Рассмотрим один из возможных алгоритмов.

Дана конструкция устройства (см. рис.1 а).




СМ

F(t)

r

m

а)

m

m

r

F(t)

CM

b)

r

m

CM

F(t)

c)Рисунок 1



Строим кинематическую схему устройства, используя обозначения, приведенные в таблице 1 (см. рис.1 b).

Строим структурную схему устройства. Для этого заменяем все условные обозначения прямоугольниками, силу F (t) изображаем, как двухполюсник (см. рис.1 с).

Соединяем все прямоугольники линией другого типа (например, пунктирной) или другого цвета так, чтобы она не пересекала линии связи и не охватывала неподвижные элементы схемы (см. рис.1. с).

Рассматриваем пунктирную (или цветную) линию как проводник эквивалентной электрической схемы, а прямоугольники заменяем обозначениями соответствующих элементов электрической схемы (см. рис.2). Получаем эквивалентную электрическую схему.



R

L

С

Е(t)

Рисунок 2. Эквивалентная электрическая схема груза, подвешенного на пружине.



Заметим ещё, что электрическим эквивалентом рычага является трансформатор, коэффициент трансформации которого .

Используя методы теории цепей, находим токи и напряжения на элементах схемы. Они определят скорости и силы в механическом устройстве.

В электроакустических устройствах часто встречаются трубопроводы различного сечения. В этом случае использование скорости колебаний как аналога электрического тока неудобно, т.к при изменении площади сечения трубопровода скорость изменяется скачком. В этом случае удобно ввести понятие объёмной скорости vоб = , где S - площадь сечения трубопровода. Вместо силы, как аналог напряжения, принимают давление р. Тогда:







и акустическое сопротивление: 







Эти соотношения лежат в основе метода электроакустических аналогий.

В акустических устройствах наряду с механическими встречаются акустические колебательные системы. Примером может служить резонатор Гельмгольца. Он представляет собой полость, соединенную с окружающим пространством через горловину. Если размеры резонатора меньше длины волны, то его можно рассматривать как систему с сосредоточенными параметрами. Воздух в горловине - сосредоточенная масса, упругость воздуха в полости подобна пружине. Определим гибкость этой "пружины". Процесс в резонаторе протекает адиабатически (без теплообмена с окружающей средой), тогда:





Или





Представим правую часть выражения в виде ряда и, ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим:





или





где S - площадь сечения горловины, ξ - смещение. Далее, умножив правую и левую часть равенства на S, получим:



 (4)



И, наконец, заметим, что труба, площадь сечения которой изменяется скачком с S1 на S2, является трансформатором с коэффициентом трансформации 


2. Электромеханические преобразователи



Электроакустические устройства содержат как электрические, так и механические элементы. Составив эквивалентную схему механической (акустической) части устройства, её нельзя подключить непосредственно к электрической схеме, т.к. в этих схемах фигурируют физически разнородные величины (в одной - токи и напряжения, а в другой силы и скорости). Схемы нужно соединять при помощи четырехполюсника, который осуществляет преобразование механической энергии в электрическую или наоборот. Такой четырехполюсник называют электромеханическим преобразователем (см. рис.3).



К

Z11

Z22

K

F или U

I или v

v или I

Е

U или F

Рисунок 3



Если в электрическую цепь четырехполюсника включить э. д. с., то в этой цепи появится ток, который вызовет появление механической силы и механическая часть устройства начнет двигаться.

Наоборот, если к механической части приложить силу, то система приходит в движение и в электрической цепи возникает э. д. с. Мощность , затраченная в электрической части системы, создаёт в механической части мощность .

Механическая мощность , приложенная к системе, создаст электрическую мощность . (Здесь под ZH и zH понимается либо сопротивление нагрузки, либо внутреннее сопротивление источника, в зависимости от того, к какому входу четырехполюсника подключен источник)

Если затраченные мощности одинаковы, то и полученные на выходе мощности будут равны, т.е.



,

.



Разделив второе равенство на первое, получим:



.



После сокращения и извлечения корня окончательно имеем:



, (5)



где М - коэффициент электромеханической связи.

Определим входное сопротивление электромеханического преобразователя.



,



Или



, (6)



где . Из (6) следует, что действие противоэлектродвижущей силы Е эквивалентно включению добавочного сопротивления  - сопротивления реакции механической системы.



3. Основные системы электромеханических преобразователей



Преобразователи электродинамической системы. Представим себе, что проводник, длина которого l, находится в однородном магнитном поле постоянного магнита. Вектор магнитной индукции поля равен В и угол между векторами В и l равен 900. Если по проводнику пропустить переменный ток с амплитудой Im, то на проводник будет действовать переменная по величине сила с амплитудой , которая вызовет колебания проводника. Этот принцип положен в основу работы преобразователей электродинамической системы. Описанный режим работы преобразователя называют моторным.

Если заставить проводник совершать колебания с амплитудой скорости, то на концах проводника появится э. д. с. . Такой режим работы преобразователя называют генераторным.

Коэффициент электромеханического преобразования такого преобразователя:



 (7)



Преобразователи электромагнитной системы. Преобразователь электромагнитной системы состоит из постоянного магнита, магнитопровода, якоря - упругой пластины и катушки, надетой на магнитопровод (см. рис.4). Постоянный магнит создаёт в зазоре между якорем и магнитопроводом магнитный поток , где а - величина зазора, S - площадь сечения магнитопровода в звзоре. Переменный ток, протекающий по катушке, создаёт переменный магнитный поток . Для упрощения выкладок полагаем, что магнитное сопротивление определяется только сопротивлением воздушного зазора. Натяжение (т.е. сила, приложенная к единице поверхности), создаваемое магнитным полем равно . Тогда сила, приложенная к якорю, равна  или:





а

1

2

3

4.



1 - постоянный магнит, 2 - магнитопровод, 3 - якорь, 4 - катушка.

Рисунок 4.



Таким образом, сила, действующая на якорь, содержит постоянную составляющую, составляющую с частотой тока и составляющую с удвоенной частотой (т.к . Следовательно, такой преобразователь создаёт нелинейные искажения сигнала. Чтобы уменьшить нелинейные искажения, необходимо, чтобы . Переменная составляющая силы:







Откуда коэффициент преобразования электромагнитной системы:



 (8)





2

R

U=

U~

3

1Преобразователи электростатической системы. Преобразователь электростатической системы состоит из мембраны, расположенной на небольшом расстоянии d от основания, изготовленного из проводящего материала. Между мембраной и основанием через большое сопротивление включен источник постоянного напряжения (см. рис.5).



1 - мембрана, 2 - основание, 3 - изолирующая прокладка.

Рисунок 5.



Рассмотрим работу преобразователя в двигательном режиме. Если к резистору R подвести переменное напряжение, то к мембране будет приложено напряжение U= + U. Сила, действующая на мембрану:



,



где d - расстояние между мембраной и основанием, S - площадь мембраны, D - электрическое смещение, E - напряженность электрического поля. Первое слагаемое - постоянная составляющая силы - создаёт прогиб мембраны. Второе слагаемое - составляющая силы, изменяющаяся пропорционально приложенному переменному напряжению - полезный результат преобразования. Третье слагаемое - составляющая силы, пропорциональная квадрату приложенного напряжения - определяет нелинейные искажения сигнала. В выражении полезной составляющей силы выразим переменное напряжение через силу тока:



,



где С - ёмкость пластин преобразователя. Из этого выражения получим:



.



Преобразователь может работать и в генераторном режиме. Колебания мембраны вызывают изменение ёмкости преобразователя и, следовательно, полного сопротивления цепи. Изменения сопротивления вызывает изменение силы тока в цепи и падения напряжения на резисторе R. Это напряжение является полезным результатом преобразования.

Пьезоэлектрические преобразователи. Пьезоэлектрический эффект был открыт в 1880 г. братьями Кюри. Суть эффекта состоит в том, что некоторые кристаллы поляризуются при деформации. При приложении силы к граням кристалла изменяются расстояния между атомами и расположение зарядов - происходит сдвиг электронной решетки относительно решетки положительных зарядов, вследствие чего на гранях кристалла появляются электрические заряды. Такой сдвиг возможен лишь при определенных видах симметрии кристаллической решетки. Поэтому пьезоэлектрический эффект проявляется не у всех веществ. Наиболее известными веществами, обладающими пьезоэлектрическим эффектом являются: кварц, сегнетова соль, дифосфат аммония, дифосфат калия, сульфат лития и т.д. Пьезоэффектом могут обладать и некоторые поликристаллические вещества. Созданы пьезокерамики на основе титаната бария, титаната бария-кальция, титаната бария-свинца и т.п.

Конструктивно преобразователи выполняют в виде пластин, трубок, биморфных элементов и т.п. Коэффициент преобразования таких элементов:



,



где П - пьезоэлектрическая постоянная кристалла (пьезомодуль), А - коэффициент, зависящий от формы и размеров кристалла (например, для прямоугольной пластины с однородной деформацией А = ).

Пьезоэлектрические преобразователи находят применение при создании миниатюрных излучателей для мобильных телефонов и т.п., а также в ультразвуковой аппаратуре.