Математические методы и модели

Контрольная работа

По дисциплине «Математические методы и модели»




Математическое моделирование задач коммерческой деятельности



Провести моделирование процесса выбора товара на основе следующих данных. Рассмотрим задачу выбора автомобиля. Составим таблицу множества показателей, по которым можно провести сравнение автомашин.



Таблица 1

Модель

автомобиля

Снаряженная масса, кг

Длина,

мм

Мощность двигателя, л.с.

Максимальная скорость, км/ч

Рабочий объем двигателя,см3

Расход топлива по смешанному циклу,л/100 км

Емкость топливного бака, л.

Цена, $.

HYUNDAI

Accent

1 080

4 260

102

181

1 495

7,5

45

12 920

HYUNDAI

Getz

1 108

3 825

106

180

1 599

6,0

45

15 990

HYUNDAI

Elantra

1 340

4 520

105

182

1 599

7,4

55

18 690

HYUNDAI

Sonata

1 590

4 747

133

200

1 997

9,0

65

26 650

HYUNDAI

Matrix

1 223

4 025

103

170

1 599

8,0

55

19 190

HYUNDAI

Trajet

1 731

4 695

140

179

1 975

9,1

65

25 690



Теперь необходимо сформулировать множество показателей, по которым можно провести сравнение автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее существенные показатели ( табл. 2)


Таблица 2

Показатели

Обозначение

Ед.измерения

Снаряженная масса

М

кг

Длина

Дл

мм

Мощность двигателя

МД

л.с

Максимальная скорость

Vmax

км/ч

Раб.объем двигателя

Ро

см3

Расход топлива по смеш. циклу на 100 км

РТ

л

Емкость топливного бака

Еб

л

Цена

Ц

$



Сопоставим эти показатели с помощью метода парных сравнений, а результаты запишем в табл. 3, элемент которой определяется таким образом:







После заполнения матрицы элементами сравнения найдем по строкам суммы балов по каждому показателю: 







где n – количество показателей, n=8

Правильность заполнения матрицы определяется равенством







Затем определяем коэффициенты весомости по формуле





Следует заметить, что 



Таблица 3

Показатель

М

Дл

МД

Vmax

Pо

РТ

Еб

Ц

Сумма

Мi

Ri

М

1

1

0

1

1

0

2

0

6

0,094

6

Дл

1

1

0

0

0

0

0

0

2

0,031

8

МД

2

2

1

1

2

0

1

0

9

0,141

3

Vmax

1

2

0

1

0

0

2

0

6

0,094

5

Ро

1

2

0

2

1

0

2

0

8

0,125

4

РТ

2

2

2

2

2

1

2

0

13

0,203

2

Еб

0

2

2

0

0

0

1

0

5

0,078

7

Ц

2

2

2

2

2

2

2

1

15

0,234

1

64

1





Распределим коэффициент показателей по рангу Ri. На этом основании перечень потребительских характеристик будет иметь вид:

Ц – цена, $;

Рт – расход топлива на 100 км

МД – мощность двигателя, л.с.;

Ро – рабочий объем двигателя, л.;

V мах – максимальная скорость, км/ч.;

М – снаряженная масса, кг

Еб – емкость топливного бака, л.;

Дл – длина, мм

На основании полученных результатов составим таблицу бальных оценок первых четырех показателей.


Таблица 4

Показатель

1

2

3

4

5

Mi

Ц

26 650

25 690

19 190

18 690

15 990

0,234

Рт

9,1

9,0

8,0

7,4

6,0

0,203

МД

103

105

106

133

140

0,141

Ро

1 599

1 599

1 599

1 975

1 997

0,125



На основании данных табл. 4 определим значения интегральных оценок для выбранных двух более нам подходящих автомобилей: 

HYUNDAI Sonata и HYUNDAI Trajet

F (HYUNDAI Sonata) = 0,234·1+0,203·2+0,141·4+0,125·5=1,83

F (HYUNDAI Trajet) =0,234·2+0,203·1+0,141·5+0,125·4=1,88

Поскольку F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.

Вывод: Сравнив множество показателей по которым мы сравнивали автомашины, получили, что F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.



Методы и модели линейного программирования.



Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка " Колокольчик" и "Буратино". Для производства 1 л. " Колокольчика требуется 0, 002 ч работы оборудования, а для " Буратино" – 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0, 04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л 

" Колокольчика" составляет 0,25 руб., а " Буратино" – 0,35 руб.

 Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.


Решение:

Составим математическую модель данной задачи:

Пусть X1  – количество " Колокольчиков";

Х2 – количество " Буратино", тогда как необходимо определить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи, то целевая функция: 



F(Х1,Х2) = 0,25Х1+ 0,35Х2 мах



Система ограничений:





xj



Графическое решение задачи:

Представим каждое неравенство в виде равенства, т.е имеем уравнения прямых. Построим их, тогда система ограничений запишется в виде:

0,02х1+0,04х2=24

0,01х1+0,04х2=16

х1=0

х2=0

Преобразуем систему неравенств ( выразим Х2 через Х1)

    

Построим на плоскости ( х1,х2) область допустимых значений согласно системе неравенств 


x2=24-0,5x1              

х1

0

20

х2

24

14



х2=16-4х1   

х1

0

4

х2

16

0

    

Многоугольником допустимых решений является треугольник АВС. Построим вектор  N = 







Перемещаем линию уровня перпендикулярно вектору N в направлении вектора N до опорного положения. 

Вершина в которой целевая функция принимает максимальное значение это вершина 

С (20;13). Следовательно, ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет: 

f(х1;х2)= 0,25*20+0,35*13=9,55

Классификация математической модели:

По общему целевому назначению: прикладная модель;

По степени агрегирования объектов: микроэкономическая модель;

По конкретному предназначению: оптимизированная модель;

По типу информации: идентифицированная модель;

По учету фактора времени: статистическая модель;

По учету фактора неопределенности: детерминированная модель;

По типам математического аппарата: линейная модель;

По типу подхода к изучаемым социально- экономическим системам: нормативная модель.

Вывод: Ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет 9,55 л.



3. Методы и модели теории игр



Определите максимальные стратегии игроков и седловую точку игры

Игрок

В1

В2

В3

В4

В5

А1

5

8

7

6

3

А2

10

12

4

7

2

А3

15

10

8

7

4

А4

10

7

8

12

6

А5

7

10

11

3

5

А6

7

2

3

12

4



Решение: Строки матрицы соответствуют стратегиям Аi (i=1,2,…,m), то есть стратегиям, которые выбирает игрок А. Столбцы – стратегии Вi,то есть стратегии, которые выбирает игрок В.

Игрок А выбирает такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш : 


,



где а – нижняя цена игры (гарантированный выигрыш игрока А)

Игрок В выбирает такую стратегию, при которой его максимальный проигрыш 

- минимизируется:



, 



где  - верхняя цена игры. 

Составим расчетную таблицу.

коммерческий математический моделирование линейный программирование

1             2

В1

В2

В3

В4

В5



А1

5

8

7

6

3

3

А2

10

12

4

7

2

2

А3

15

10

8

7

4

4

А4

10

7

8

12

6

6

А5

7

10

11

3

5

3

А6

7

2

3

12

4

2





12

11

12

6

6

6







Этот выигрыш  гарантирован игроку 1, как бы ни играл второй игрок.

Нижняя цена игры составляет 6



Минимальный проигрыш второго игрока 

Получили, что первый игрок (А) должен выбрать пятую (А4) стратегию, а второй игрок (В) должен выбрать четвертую (В5) стратегию.

Итак, нижняя цена игры, или максимальный выигрыш: , верхняя цена игры, или минимальный выигрыш: 

Нижняя и верхняя цена игры равны и достигаются на одной и той же паре стратегий 

(А4;В5). Следовательно, игра имеет седловую точку (А4;В5).

Вывод: Игрок А должен выбрать четвертую стратегию, а игрок В пятую стратегию при этом выигрыш первого игрока будет максимальным из максимальных как бы ни играл второй игрок, а второй игрок минимально проиграет. Игра имеет седловую точку (А4;В5).







2