Движение в центральном симметричном поле

Реферат





            

             На тему «Движение в центральном симметричном поле»





















Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея













































                                                                    Минск 2001





Немного теории.

Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению  отсюда следует, что L = const.

(где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение  получается из уравнения  L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем







Так как  - есть скорость v частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная  - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом, .)

Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:







где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде







Величина  называется секториальной скоростью.



Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю: 



m1v1+m2v2=0,



где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц 



v = v1-v2.



Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы 



   



выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим







где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим

,           

где m обозначает величину







называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью  в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.







Постановка задачи.

Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.





, представим  (скорость) в полярных координатах



Рассмотрим треугольник ABD:

 ds~AB, следовательно                    

 

	,

откуда получаем



                                  	



Выразим 	



                             	        (*)

Осталось выразить характер траектории



	

                                                (**)



Подставим выражение (*) в (**)



                     



Проинтегрируем







Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.







Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.

, где 





Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену 





Сделаем замену        , 

тогда







Далее применим формулу 







В итоге получаем

                                      ,  

где ; 





                                     

Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.

При  e >1 – гипербола;

         e =1 – парабола;

    0< e <1 – эллипс;

         e =0 – окружность;





Литература:

1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г.

2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.