Метризуемость топологических пространств

Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет



Математический факультет



Кафедра математического анализа и МПМ



Дипломная работа



Метризуемость топологических пространств



Выполнила

студентка  5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)



Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)



Рецензент



_______________________________

(подпись)



Допущена к защите в ГАК



Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.

                                            (подпись)

                                                                                 «_____» _______________2004 г. 



Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.                                                                                        

                                            (подпись)

                                                                                 «_____» _______________2004 г.







КИРОВ

2004 



	Содержание	

	Введение	3

	Глава I.  Основные понятия и теоремы	4

	Глава II. Свойства метризуемых пространств	10

	Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств	21

	Библиографический список	24

	









































Введение

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств». 

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое  пространство нормально.

3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.

5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:

1)  сепарабельно,

2)  имеет счетную базу,

3)  финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо. 

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

      









Глава I.  Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)  элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых  и  из и удовлетворяющей трем условиям:

   (аксиома тождества);

 (аксиома симметрии);

 (аксиома треугольника).



Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в  называется любая система  его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

Само множество  и пустое множество принадлежат .

Объединение  любого (конечного или бесконечного) и пересечение  любого конечного числа множеств из  принадлежат .

Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.   

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .



Определение. Совокупность  открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в  может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая база  в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:

любая точка содержится хотя бы в одном ;

если  содержится в пересечении двух множеств  и  из , то существует такое , что .  



Определение. Открытым шаром или окрестностью точки  радиуса   в метрическом пространстве  называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом  – центр шара,  – радиус шара.



Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в  -окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве  :.

Достаточно доказать для произвольного  импликацию . Действительно, если , то 

Получаем, что , что и требовалось доказать.



Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется  для любого .

Проверим второе свойство. 

Пусть ,  и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что  Теорема доказана.



Определение. Топологическое пространство  метризуемо, если существует такая метрика  на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .



Аксиомы отделимости



Аксиома .  Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.     



Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.



Предложение.  является - пространством тогда и только тогда, когда для любого   множество  замкнуто.

Доказательство. 

Необходимость. Пусть . Так как  является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим 

Докажем, что . Применим метод двойного включения: 

Очевидно, что  по построению множества .

.

Пусть  отсюда для любого  отличного от  существует окрестность , значит , тогда .

Множество - открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность.  Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку 

Что и требовалось доказать.



 Аксиома  ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.



 Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.



Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам  () называются -пространствами (-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).



Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.



Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности  точки  найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .



Определение. Если точка  топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.



Определение. Две метрики  и  на множестве  называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости  для точек  и  определим расстояние тремя различными способами:

1. ,

	2. ,	

3. .

Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1) 



     2) так как  и , то вторая аксиома очевидна: 

     3) рассмотрим точки  ,, и докажем следующее неравенство: 

         

Возведем это неравенство в квадрат:



.

Так как  и  (поскольку ) и выражение  есть величина неотрицательная, то неравенство  является верным.

2. 1) 

    2) так как  и , то вторая аксиома очевидна: .

    3) рассмотрим точки  ,, и докажем следующее неравенство: .





Тогда и .

3. 1) 

    2) так как  и , то вторая аксиома очевидна: 

    .

    3) рассмотрим точки  ,,. 

Неравенство:  - очевидно.                                     

Введенные метрики  и  эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию. 

Пусть метрика  порождает топологию , - топологию  и - топологию . Достаточно показать два равенства. 

Покажем, что .

Рассмотрим множество,  открытое в  и покажем, что  открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда  открыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .



Глава II. Свойства метризуемых пространств



Свойство 1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что . 

Предположим, что , тогда существует , т.е.  и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, . 



Следствие. Метризуемое  пространство является   - пространством.



Определение. Расстоянием от точки  до множества  в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество  фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке  расстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция  называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного  возьмем . Тогда из неравенства  следует . Непрерывность  доказана.



Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого  расстояние от  до множества  положительно.

Доказательство.

Множество  замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка  принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то  для некоторого . Поэтому   для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.



Свойство 2. Метризуемое  пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является 

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества  и  имеют непересекающиеся окрестности.

Так как  и множество  замкнуто по условию, то для любого  по лемме . 

Обозначим  и  для произвольных  и .

Множества и  открыты как объединения открытых шаров в  и содержат соответственно множества  и .

Следовательно,  - окрестность множества ,  - окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условия  следует, что   для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем  для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно . Таким образом,  является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.



Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то  содержится в  вместе с некоторым открытым шаром, то есть  для некоторых  и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары ,  образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.



Определение. Множеством типа   или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.



Определение. Множеством типа  или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых  (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа  и  являются взаимно дополнительными друг для друга.



Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа  , называется совершенно нормальным.



Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .

Свойство   4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.

Доказательство. Пусть  - непустое замкнутое множество в . Тогда  для непрерывной функции  (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества  открыты в  как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть , тогда . Так как  для любого , то  для любого . Отсюда . 

Обратно. Пусть , тогда  для любого . Отсюда  для любого , поэтому  для любого , тогда , значит . Таким образом множество  является множеством типа .



Определение. Множество  всюду плотно в , если любое непустое открытое в  множество содержит точки из .



Определение. Топологическое пространство  называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.



Определение. Семейство γ открытых в  множеств образуют покрытие пространства , если  содержится в объединении множеств этого семейства. 



Определение. Топологическое пространство  называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.



Свойство 5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:

1)  сепарабельно,

2)  имеет счетную базу,

3)  финально компактно.

Доказательство. 

Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей  счетно. Докажем, что  - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в  множество, . Тогда  для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого   и точку , для которой . 

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного  и открытого множества  нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.

 Пусть  - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого  (- индексное множество). Для любого  существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база  счетна, то  покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.

 Для каждой точки  рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности  из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек  счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда  для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в  содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.



Определение. Диаметром непустого множества  в метрическом пространстве  называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества  и обозначается .

.

Если , то множество  называют неограниченным.



Определение. Метрика  метрического пространства  называется ограниченной, если . 



Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика  порождает топологию топологического пространства . Положим  для любых .

Докажем следующее:

-метрика на ;

метрики  и  эквивалентны; 

.

1. Проверим выполнимость аксиом.

    1) ;

    2);

    : Докажем, что . 

Известно, что . 

Если  и , то  и , тогда . Так как , то .

Если  или , то , а , тогда .

2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть - открытое множество в , докажем, что множество  открыто в . Для любого  существует  такое, что . Можно считать, что . Тогда  является окрестностью в  того же радиуса . Следовательно,  открыто в топологии . 

В обратную сторону доказательство проводится аналогично. 

Из всего выше сказанного следует, что метрики  и  эквивалентны.

3.  Из формулы  следует, что  для любых . Отсюда .

Определение.  - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств  называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где  открыто в  для любого  и  для всех индексов кроме конечного их числа.



Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

 Доказательство. Пусть  - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве  существует ограниченная метрика  соответственно.

Рассмотрим .                                                               

Покажем:

1.  является метрикой на  и  .

2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1) (так как  - метрика по условию).

2) , . 

Так как (-метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что .

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

   Теперь докажем, что .

, где  геометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число  и открытые множества , такие, что .

Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.                                                                                                      

Для  положим  и  для . 

Для каждой точки  . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где  , то . Так как  для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество  открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество  открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой . 

Требуется доказать, что для любой точки  найдется такое , что .

Так как множество  открыто в топологии произведении, то  для некоторого множества , где  - открыто в  и  для любого  и  для всех индексов  кроме конечного их числа. Поскольку  и  открыто в , то  для конечного числа индексов, для которых . Пусть  - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда  для любого . Это означает, что  для любого . Получили . Следовательно, множество  открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.




Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств



1. Дискретное топологическое пространство.

 - произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим   Для любого  множество  открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в  как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо. 

2. Двоеточия.

. Рассмотрим топологии на .

1)  - простое двоеточие.

2)  - связное двоеточие.

3)  - слипшееся двоеточие.

 - метризуемо, так как топология  - дискретная.

,  - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.



3. Стрелка ().

В  открытыми назовем  и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство  не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо. 





4. Окружности Александрова (пространство ). 

Открытые множества в :

первого рода: интервал на малой окружности  плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.





второго рода: каждая точка на большой окружности открыта.

1. Множество  замкнуто в  тогда и только тогда, когда  - конечно.

Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество  замкнуто как дополнение открытого. Пусть  и  - бесконечно. Докажем, что  - незамкнуто.

Так как  - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как  замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть  - точка, для которой  является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в  множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что  содержит бесконечно много точек множества , т.е.  является предельной точкой множества . При этом . Следовательно,  - незамкнуто. 

2. Множество  не совершенно нормально.  

Доказательство. Пусть дуга  . Множество  открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в  являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно  открыто и не является множеством типа . Таким образом множество  неметризуемо. 

































Библиографический список

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.

2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.

24