Урок разноуровневого обобщающего повторения «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»

Краснодарский край, Белоглинский район, село Белая Глина

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11 Белоглинского района»

Учитель М.В. Переверзева

Урок разноуровневого обобщающего повторения на тему «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» (90 мин.)

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определённые учителем места для того, чтобы удобно организовать работу в течение всего урока.

Цель: 

- обобщить теоретические знания учащихся по теме «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»;

- рассмотреть решения задач, которые связаны с темой урока, базового и повышенного уровней сложности;

- организовать работу учащихся по данной теме на том уровне, который соответствует уже сформированным у них знаниям.

Оборудование:

- мультимедийная установка, с помощью которой учитель использует презентацию «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»: при повторении теоретического материала на экране             высвечиваются повторяемые формулы, примеры, иллюстрирующие основные определения и алгоритмы решения для преобразования тригонометрических выражений; при самопроверке самостоятельной работы на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания.

- раздаточный материал, подготовленный учителем для организации самостоятельной работы.

1этап ---- организационный (2 мин.)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится у них на партах.

2 этап---- повторение теоретического материала по теме «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»; решение задач. ( 58 мин.)

На данном этапе перед решением задач учащиеся вспоминают основные теоретические факты, на основании которых учитель предлагает учащимся применять только что сформулированный материал.

Учитель просит перечислить тригонометрические функции, которые были уже изучены, дать определение каждой из этих тригонометрических функций.

Ученик: Функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx называются тригонометрическими функциями. Они определяются с помощью координат вращающейся точки.

( На экране с помощью мультимедийной техники учащимся показан слайд№1).

Слайд№1.

                        

( Ученик, опираясь на слайд№1, даёт более полное определение тригонометрических функций.)

Ученик: Рассмотрим на координатной плоскости хy единичную окружность, то есть окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Обозначим через точку  точку единичной окружности с координатами . Эту точку будем называть начальной точкой. Возьмём произвольное число t и повернём начальную точку относительно точки О на угол t, при этом t 0, то поворот осуществляется в направлении против часовой стрелки, а если t  0, то по часовой стрелке. В результате поворота получим на единичной окружности точку . Её ордината называется синусом числа t 

( или угла t ) и обозначается sint , а абсцисса – косинусом числа t и обозначается cost.

Тангенсом числа t называется отношение ординаты к абсциссе.

Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу: 

tgt = . 

Котангенсом числа t называется отношение абсциссы к ординате.

Котангенсом числа t называется отношение косинуса числа t к его синусу: 

Ctgt = .

 Учитель: Скажите пожалуйста, опираясь, на только что прозвучавшие понятия, во всех точках существуют тангенс и котангенс?

Ученик: Из определения следует, что не существует тангенс углов, косинус которых равен нулю, и котангенс углов, синус которых равен нулю.

Учитель: Так как sin x и cos x – это соответственно ордината и абсцисса точки  единичной окружности с центром в начале координат, то синус положителен для каких точек? А для каких он отрицателен?

Ученик: Синус положителен для точек, лежащих в верхней полуокружности, и отрицателен для точек нижней полуокружности.

(После ответа ученика появляется слайд№2).

Слайд№2.



Комментарии ученика к слайду№2: то есть синус положителен в 1 и 2 координатных четвертях и отрицателен в 3 и 4 координатных четвертях.

Учитель: А косинус для каких точек положителен, а для каких отрицателен?

Ученик: Косинус положителен для точек, лежащих на правой полуокружности, а отрицателен для точек левой полуокружности. 

(После ответа ученика появляется слайд№3.)

Слайд№3.



Комментарии ученика к слайду№3: то есть косинус положителен в 1 и 4 координатных четвертях, отрицателен во 2 и 3 координатных четвертях.

Учитель: А в каких координатных четвертях положительны тангенс и котангенс? Где они имеют отрицательный знак?

Ученик: По определению tg x = и ctg x =  имеем: tg x и ctg x положительны в 1 и 3 координатных четвертях, а отрицательны во 2 и 4 координатных четвертях. ( Иными словами, в тех четвертях где у синуса и косинуса знаки совпадают, там tg x и ctg x имеют положительный знак; в тех четвертях, где у синуса и косинуса знаки различны, там tg x и ctg x имеют отрицательный знак.)

( Появляется на экране слайд№4.)

Слайд№4.



Учитель: Давайте вспомним: какие из тригонометрических функций чётные, а какие нечётные?

(На экране появляется слайд№5.)

Слайд№5.



Ученик: Точки  и единичной полуокружности имеют одинаковую абсциссу и противоположные (отличающиеся друг от друга лишь знаком) ординаты. Это значит, что  = ,  = , то есть y= -чётная функция, а y= - нечётная функция. Функции y = tg x и y = ctg x – нечётные.

( Учитель предлагает учащимся найти значения выражений, которые представлены на экране. Слайд№6.)

Слайд№6.                            Вычислить:

                                 1) )

                                 2) )

                                 3) ) · )

                                 4) ) + tg ()

                                 5) 6 · ) – c t g + 2 · )

(Эти же задания лежат для учащихся на партах в конверте №1). 

Предполагаемые ответы учащихся:

1) ) = ––  = – 

2) ) = =    

3) )=   ( -  ) = -    = - 0,5

4) ) + t g (-  ) = -  - t g  = - 0,5 – 1 = - 1,5

5) 6 ·  ) – c t g  + 2 · ) = 6 ·  - c t g  - 2 ·  =6 · 0,5 – 1 – 2 · 0,5 = 3 – 1 – 1 = 1

Учащиеся, решая задачи и давая на них ответы, комментируют решения, объясняя каждый шаг.

Учитель: Повторяя понятия тригонометрических функций и свойства, которыми обладают они, необходимо вспомнить и о периодичности тригонометрических функций. Каков период каждой из этих функций?

 Ученик: Любое число вида 2πk является периодом функций  и , а число вида πk – периодом функций tg x и ctg x. При этом 2π – основной период , , а π – основной период tg x и ctg x.

( На экране слайд№7).

Слайд№7.

1) 

2) 

3) tg ( x + πk) = tg x

4) ctg ( x+ πk) = ctg x, где k – любое целое число.

Учитель: Используя свойства чётности и нечётности, периодичности вычислить значения тригонометрических выражений.

( Появляется на экране слайд№8).

Слайд№8. 

Вычислить:

1) )

2) )

3) tg (-)

4) 

5))

Эти же задания лежат для учащихся на партах в конверте №2.

Предполагаемые ответы учащихся:

1) ) =  =  + ) =  = 0,5

2) ) = -  = -   +  ) = -  = - 0,5

3) tg ( -  ) = - tg  = - tg (  ) = - tg  = - 

4)  ) =  ) =  = 

5)  ) = -  = -  ) = -  = - 

Учитель: А какие выражения называются тригонометрическими?

Ученик: Выражения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими.

Учитель: А для преобразования тригонометрических выражений обычно используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии, о которых мы сейчас с вами вспомним.

Какие формулы соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента вам известны?

Ученик: Основное тригонометрическое тождество x + x = 1  ( * ).

( Появляется формула ( * ) на слайде №9).

Из неё можно получить формулы: 1 + x =  ( ** ), 1 + x =  (***).

( Формулы (**) и (***) появляются на слайде№9).

Учитель: Эти равенства связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. А какие ещё равенства вам известны, которые связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента?

Ученик: tgx = ; ctg x = ; tg x  ctg x = 1 (****). 

(Появляются на слайде№9).

Слайд№9: 1) x + x = 1

                     2) 1 + x = 

                     3) 1 + x = 

                     4) tg x = 

                      5)  ctg x =

                       6) tg x  ctg x = 1

Учитель: Используя теоретический материал и сформулированные формулы, решить задания на слайдах№10 и №11.

Слайд№10.

Известно, что  = - , причём  . Найти , tg t, ctg t.

( Это же задание лежит у учащихся на парте в конверте №3).

(Два ученика в определённой последовательности вызываются к доске для решения задачи с комментариями, а остальные выполняют задания в тетрадях).

1 ученик: Так как t = 1 - t, то t = 1 –  =  

                                                                      cost = , но, так как по условию , то есть t , значит,  = - .

2 ученик: Так как мы знаем значения и , то tg t =  = ; ctg t =  = . 

Учитель здесь также обращает внимание учащихся на тот факт, что для нахождения tg t и ctg t можно пользоваться формулами (**), (***), (****), но рациональнее решение 2-го ученика.

Слайд№11.

Известно, что ctg t = - , причём Найти , , tg t.

( Это же задание находится в конверте№4).

( К доске вызываются три ученика в определённой последовательности).

1 ученик: Так как 1 + t = , то t =  =  = 

                                                                       sin t = . 

Но по условию t  2 четверти, значит, , то .

2 ученик: Так как t = 1 - t, то t= 1 -  = ,

                                                                     cos t =.

Но по условию t 2четверти, , значит,  = - .

3 ученик: Так как tg t =  = - .

Учитель: Но для преобразования тригонометрических выражений иногда необходимо пользоваться ещё и формулами сложения и вычитания аргумента, формулами двойного угла, формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

(Все перечисленные формулы учитель показывает на слайде№12 для учащихся по мере названия и формулировок этих формул).

Затем учащимся предлагается, используя формулы тригонометрии, комментируя у доски, решить задачи, которые представлены на слайде№13.

Слайд№13.

Вычислить:

1)  

2) 

3) 

4) 

5) Упростить выражения:

     а) ;

     б) .

6) Вычислить:

      а) ( 1 +  )  

      б)    +   

      в)   -   

      г)   +    

      д)   

      е)         

       ж)   -  

( Каждое решение ( ответ ) учащиеся комментируют, ссылаясь на формулы тригонометрии и свойства тригонометрических функций.)

Предполагаемые решения учащихся:

1) 2   =  =  

2)  =  + ) =  = - 

3)  =  ) =  = 

4)  = =  = - 1

5)      а)  =  = c t g 

   б)  =     =  = - 1

6) а) ( 1 +  )   =   = 1

  +   =  +  ) =  = 1

     в)    -   =  +  ) =  = 

     г)   +   =  ) =  =  = 

     д)    =  - )   =    =   = 



     е)      =    = 

     ж)  –  = ) =  = 

3 этап ----- Разноуровневая самостоятельная работа (20 – 25 минут ).

( Учитель выдаёт задания в конвертах учащимся и на экране появляется слайд №14 с заданиями, при этом он поясняет, что на жёлтом фоне задания базового уровня сложности, а на голубом фоне задания базового и повышенного уровня сложности, на зелёном фоне задания повышенного уровня сложности.)

Конверты с заданиями:

----- базовый уровень – конверт с наклейкой жёлтого треугольника;

----- базовый и повышенный – конверт с наклейкой голубого квадрата;

----- повышенный уровень – конверт с наклейкой зелёного круга.

Задания базового уровня в конверте с наклейкой жёлтого треугольника:

Вариант №1.

1) Вычислить: ) + 6 

                  1) 5,5               2) – 6,5                 3) 6,5             4) – 5,5

2) Найти значение выражения ) 

                   1) -               2) 0,5                     3) -              4) 

3) Известно, что  = , причём 0. Вычислить 15  + 1

                   Ответ:

Вариант №2.

1) Вычислить 8 tg  ctg 

                     1) – 8               2) 8                       3)                4) 

2) Упростить выражение  x – ( x + 1 ) x

                      1) – x     2) x           3) x       4) 0

3)Найти значение выражения   -  

                       1)         2)           3)                 4) - 

Вариант №3

1) Упростить выражение и найти его значение  + 2  + 

        1) 1,5           2)          3) – 1,5       4) 

2) Упростить выражение и найти его значение   -  

                      1) -            2) – 0,5               3)            4) 0,5

3) Найти значение выражения сtg ( -  ) tg ( -  )                                        				 1)	      2) - 	            3) - 	               4) 	      

Ответы на задания базового уровня:

Вариант №1                            1)       3             2)      4             3)       10

Вариант №2                            1)        2            2)       1             3)         3     

Вариант №3                             1)         1            2)         4             3)         3

Задания базового и повышенного уровня в конверте с наклейкой голубого квадрата:

Вариант №1

1) Вычислить   -  - 	

                     1) – 0,5               2) 0                3) – 1                   4) 1

2) Известно, что  = - , причём   t   . Найти – 26  + t ) .

             Ответ:

3) Упростить выражение и найти его значение, если sin х = 0,5:    17   - 17   .

             Ответ:

Вариант №2

1) Упростить выражение       

               1)              2) tg 2t              3) 2 sin 2 t             4) sin 2 t 

2) Упростить выражение       -2  

                 1) – 1,5           2) – 1          3) 1              4) – 0,5   

3) Упростить выражение  + 

1) 2         2) 2          3) – 2        4) – 2  

Ответы на задания базового и повышенного уровня:

Вариант №1                               1)        3                2)         - 10                 3)         0

Вариант №2                               1)         3                2)              2                  3)             1

Задания повышенного уровня в конверте с наклейкой зелёного круга:

1) Упростить выражение 

               1)          2) 1             3) – 1                4) 

2) Зная, что  = ,  = -  и   ,     , найти значение выражения – 85 .

               Ответ:

3) Вычислить .

                Ответ:

Ответы на задания повышенного уровня:

1)             2               2)             84               3) 

4 этап  -----Подведение итогов урока, комментарии к домашнему заданию ( 5- 10 минут).

Учитель ещё раз обращает внимание учащихся на те теоретические факты, которые вспоминали на уроке. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся по циклу обмениваются вариантами самостоятельной работы, проведённой на уроке.