Логарифмические уравнения

1

Введение



Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.




Логарифмические уравнения и неравенства



1. Логарифмические уравнения



Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. 

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида 

	

	loga x = b. 	(1)



Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab. 

Пример 1. Решить уравнения: 



a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c) 



Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1. 

Приведем основные свойства логарифма. 

Р1. Основное логарифмическое тождество: 







где a > 0, a ≠ 1 и b > 0. 

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: 



loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0). 




Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид 



loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0). 



Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя 



 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0). 



Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид 



 (a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0). 



P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: 



loga N k = k loga N (a > 0, a ≠ 1, N > 0). 



Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то 



loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0). 



P5. Формула перехода к другому основанию: 



 (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0), 




в частности, если N = b, получим 



	 	(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). 	(2)



Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства 



	 	(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), 	(3)

	 	(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), 	(4)

	 	(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), 	(5)



и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место 

	

	 	(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). 	(6)



Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x: 

Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. 

Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. 

При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2). 

loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1). 

Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞). 

Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз. 

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений. 

Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще) 





f(x) = g(x),

 



f(x) = g(x),



f(x) > 0,





g(x) > 0.



Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем 





f(x) = g(x),

 



f(x) = g(x),



h(x) > 0,





h(x) > 0,



h(x) ≠ 1,





h(x) ≠ 1,



f(x) > 0,





g(x) > 0.



Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения 



f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x) 



или 



loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b 




вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже). 

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней. 



2. Использование определения логарифма



Пример 1. Решить уравнения 



a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3, 

c) log(x - 2)9 = 2,

b) 

d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.



Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно, 



5 + 3log2(x - 3) = 23 



или 



3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1. 



Опять используя определение, получим 



x - 3 = 21, x = 5. 




Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения: 



log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3. 



Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения. 

b) Аналогично примеру a), получим уравнение 







откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения. 

c) Аналогично примеру a), получим уравнение 



(x - 2)2 = 9. 



Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5. 

d) Используя определение логарифма, получим уравнение 



(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2 



или, после элементарных преобразований, 



x2 + 6x-7 = 0, 

откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1. 




3. Использование свойств логарифма 



Пример 3. Решить уравнения 



a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

c) log2x + log3x = 1







Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения) 





x > 0,



x+3 > 0,



x+24 > 0.



Используя свойство P2 и утверждение 1, получим 



log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)  





log3x(x + 3) = log3(x + 24),



x > 0,



  

 

x(x + 3) = x + 24,



x > 0,



 

x2 + 2x - 24 = 0,



x > 0,



 



x1 = -6,





x2 = 4,





x > 0,



 x = 4.






b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения 







откуда, используя определение логарифма, получим 







или 



x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5), 



откуда получаем уравнение 



x2 - 2x - 3 = 0 



с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1. 

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение 







log2x(1 + log32) = 1, 



откуда или  или log2x = log63. Следовательно, 






Логарифмические неравенства



Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции. 

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств 





f(x) > g(x),



g(x) > 0.



Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств 





f(x) < g(x),



f(x) > 0.



Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств 







h(x) > 1,





f(x) > g(x) > 0,





0 < h(x) < 1,





0 < f(x) < g(x).






Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются. 

Пример 1. Решить неравенства 



a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);



b)  



c) 





Решение. a) Используя утверждение 1 , получим 



log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8) 

x2 - x ≥ x + 8,

 

x2 - 2x - 8 ≥ 0,





x+8 > 0,



x > -8,





 



x ≤ -2,







x ≥ 4,

 x  (-8;-2][4;+∞).





x > -8,





b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим 













c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим 







Запишем и, используя утверждение 2, получим 










Показательные уравнения и неравенства



Показательные уравнения



Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида







Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению







Пример 1. Решить уравнение



.



Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: 



. 



Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению: 








Если после введения новой переменной  показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения. 



Показательные неравенства



Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения: 

A.1. Если a > 1, неравенство 



a f(x) > a g(x) 



равносильно неравенству 



f(x) > g(x). 

Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x). 



A.2. Если 0 < a < 1, неравенство 



a f(x) > a g(x) 



равносильно неравенству 



f(x) < g(x). 

Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x). 




A.3. Неравенство 



[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x) 

(1)



равносильно совокупности систем неравенств 







h(x) > 1,





f(x) > g(x),





0 < h(x) < 1,





f(x) < g(x).



Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай 





h(x) = 1,



x  D(f); D(g), 



где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g). 

A.4. Если b ≥ 0, неравенство 



af(x) < b 



не имеет решений (следует из свойств показательной функции). 

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f). 

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство 



af(x) > b 




равносильно неравенству 



f(x) > logab. 

Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab. 



A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство 



a f(x) > b 



равносильно неравенству 



f(x) < logab. 

Аналогично, a f(x) < b ; f(x) > logab. 



Упражнение 1. Решить неравенства: 



a)  



b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|, 



c)  









Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство 







которое решается методом интервалов, 










b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство 



|2x-3| > |3x+4|, 



которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b|  (a-b)(a+b) > 0): 



|2x-3| > |3x+4|  ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0 



Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-1/5). 

c) Используя утверждение A.3, получим 





 



4x2+2x+1 > 1,





x2-x > 0,





4x2+2x+1 < 1,





4x2+2x+1 > 0,





x2-x < 0



 





x > 0,







x < -12,







x > 1,







x < 0,







x (-12;0),







x R,







x(0;1).












 



x  (-; -12) (1;+),

x  



x (-;- 12) (1;+). 








Заключение



Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях. 






Список литературы



	Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

	Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

	М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998. 

	Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

	Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970