Основы теории вероятности

Контрольная работа



Основы теории вероятности


Задание 1



Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.

Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии  опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”

p1 = 0.7

p2 = 0.8

p3 = 0.9

p4 = 0.7

p5 = 0.8

Проверка теоремы с помощью программы:

Текст программы:



Program Cep;

Uses CRT;

Const c=5;

Var op,i,j,n,m:integer;

    a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;

    p:array[1..c] of real;

    x:array[1..c] of byte;

Begin

 ClrScr;

 Randomize;

 p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;

 Writeln('    Опытов:   Мсходы:   Вер-ть:'); Writeln;

 For op:=1 to 20 do Begin

   n:=op*100;m:=0;

   Write('    n=',n:4);

   For i:=1 to n do Begin

     For j:=1 to c do Begin

       x[j]:=0;

       a:=random;

       if a<p[j] then x[j]:=1;

     End;

     rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);

     If rab>0 then m:=m+1;

   End;

   pp:=m/n;

   writeln('    M= ',m:4,'   P*= ',pp:3:3);

 End;

 ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

 ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp:=ppp1-ppp2;

Writeln; Writeln('      Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);

Readln;

End.




Результаты работы программы


Опытов

М-сходы

Вер-ть

    n= 200

    n= 300

    n= 400

    n= 500

    n= 600

    n= 700

    n= 800

    n= 900

    n=1000

    n=1100

    n=1200

    n=1300

    n=1400

    n=1500

    n=1600

    n=1700

    n=1800

    n=1900

    n=2000

    n= 100

M=  163

M=  247

M=  337

M=  411

M=  518

M=  591

M=  695

M=  801

M=  908

M=  990

M= 1102

M= 1196

M= 1303

M= 1399

M= 1487

M= 1576

M= 1691

M= 1782

M= 1877

M=   94

P*= 0.815

P*= 0.823

P*= 0.843

P*= 0.822

P*= 0.863

P*= 0.844

P*= 0.869

P*= 0.890

P*= 0.908

P*= 0.900

P*= 0.918

P*= 0.920

P*= 0.931

P*= 0.933

P*= 0.929

P*= 0.927

P*= 0.939

P*= 0.938

P*= 0.939

P*= 0.940



Вер. в опыте: p= 0.939

Проверка в ручную:

Первый способ:





Второй способ:




Вывод: Теорема Бернулли верна



Задача № 2



Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8)

Исходы:

1-1      2-1      3-1      4-1      5-1      6-1

1-2      2-2      3-2      4-2      5-2      6-2

	1-3      2-3      3-3      4-3      5-3      6-3

	n = 36 – кол-во комбинаций

1-4      2-4      3-4      4-4      5-4      6-4

1-5      2-5      3-5      4-5      5-5      6-5

1-6      2-6      3-6      4-6      5-6      6-6



а). Сумма чисел не превосходит N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 26

Вероятность 







б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16


Вероятность 







в). Произведение числа очков делится на N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 5



Вероятность







Задача № 3



Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i - го сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4.

Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.



                                   

                                 












Задача № 4



В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

k = 11,  n = 4



а) Все на разных:



n = 114 = 14641 







б) Хотя бы два на одном:







Задача № 5



В двух партиях k1 и k2% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное. 

k1 = 86% , k2 = 32%

A1 - доброкачественные в 1-й партии

A2 - доброкачественные в 2-й партии

а). одно бракованное:







б). два бракованных:







в). Одно доброкачественное и одно бракованное:







Задача № 6



Из 1000 ламп ni принадлежат i – партии, i =  1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.



n1 = 700         n2 = 90          n3 = 210          

p1 = 0.06       p2 = 0.05       p3 = 0.04



Пусть:

H1 – взяли из 1-й партии

H2 – взяли из 2-й партии

H3 – взяли из 3-й партии 


                    



Пусть Bi – брак из i - й партии =>



                              



Так как 



 то =>





Задача № 7



В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.

k = 8, l = 7, m = 3, n = 3



Пусть:

H1 – все чистые марки

H2 – 1-чистая, 2-гашёные

H3 – 2-чистые, 1-гашёная

H4 – все гашёные





















По теореме о полной вероятности:







Задача № 8



В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет mi% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n1% первосортных. Куплено одно изделие.

Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом.



m1 = 60          m2 = 20          m3 = 20

n1 = 70           n2 = 80           n3 = 90



Пусть:

H1 – поставил первый завод

H2 – поставил второй завод

H3 – поставил третий завод



Пусть: А – первосортных изделий =>



                    



По формуле Бейсса: 



 => так как i = 3





Задача 9



Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

p = 0.3 - вероятность на 1 билет

n = 15 - кол-во купленных билетов



Формула Бернули :



 



m = 1,2,3,4,…..,n

Производная функция : 




q = 1 – p



Наивероятнейшее число выигравших билетов 







  =>

Наивероятнейшее число выигравших билетов : m0 = 4





 - соответствующая вероятность



Задача № 10



Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.

р = 0.007 - вероятность “сбоя” при вызове

n = 1000 - кол-во вызовов

m = 7 - кол-во “сбоев”



По закону Пуассона: 






=> 





Задача № 11



По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ.

Биномиальный закон: 











n = 3

p = 0.67



 => 

 => 




Литература

	

	Е.С. Венцель “Теория вероятности”

	В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР”

	Курс лекций по Теории вероятности