Непрерывная, но не дифференцируемая функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Физико–математический факультет



Курсовая работа по математическому анализу

Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»







  Выполнила: Пляшешник Ксения

                  студентка 131 группы                                           

                     Руководитель: Делюкова Я.В.











Уссурийск – 2011г.


Содержание

Введение	3

Историческая справка	4

Основные определения и теоремы	5

Пример непрерывной функции без производной	10

 Решение упражнений	13

Заключение	21

Список литературы	22


Введение

 Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

Изучить учебную литературу;

Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;

Прорешать систему упражнений.




 Историческая справка

 Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) — голландский математик.

Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

Основные работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод  1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.



















Основные определения и теоремы

Предел функции в точке. Левые и правые пределы

Определение (предел по Коши, на языке  Число  называется пределом функции  в точке , если   

Определение (на языке окрестности) Число  называется пределом функции  в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует  - окрестность точки  такая, что как только  

Определение (по Гейне) Число  называется пределом функции           в точке , если для любой последовательности , сходящейся к  ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу 

Определение Число  называется левым пределом функции  в точке , если  

Определение Число  называется правым пределом функции  в точке , если  

Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)

Для того чтобы в точке  существовал предел функции  необходимо и достаточно,  чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.

Понятие производной. Односторонние производные.

Рассмотрим функцию   заданную на множестве  

Возьмем   возьмем приращение . Дадим точке  приращение  Получим . 

Вычислим значение функции в точках  .  и 

Найдем приращение функции в точке .

 

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента   .





причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке  и обозначают . Он может быть и бесконечным.



 левой (левосторонней) производной функции  в  точке , а если 

существует конечный предел  то его называют правосторонней производной функции  в  точке .

Функция  имеет в точке  тогда и только тогда, когда в точке  совпадают ее левая и правая производные:

((. 

Рассмотрим функцию  Найдем односторонние производные в точке 











Следовательно, (=-1;(=1 и   ((, то есть в точке  функция производной не имеет.

Различные определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (основное) Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции при  равен значению функции в этой точке.   



Определение 2 (на языке Функция  называется непрерывной в точке , если ε,  δ>0, такое что .

Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция  называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке  соответствующая последовательность значений функции сходится к .

 

Определение 4  (на языке приращений) Функция  называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Понятие дифференцируемой функции

Определение 1 Функция , заданная на множестве (называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке  можно представить как  (*), где A-const, независящая от  , - бесконечно малая при 

Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

Теорема. Если функция дифференцируема  в точке , то она непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть задана функция  Функция дифференцируема в точке , где 



При 

Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

Обратная теорема неверна.

 в - не дифференцируема, хотя непрерывна.

Классификация точек разрыва

Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке  является разрывной в точке , а саму точку  называют точкой разрыва.

Существуют две классификации точек разрыва: I  и II рода.

Определение Точка  называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

Определение Точка  называется точкой устранимого разрыва, если , но они не равны значению функции в точке . 

Определение Точка  называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны  или один из односторонних пределов бесконечен или в точке  не существует предела.

 – бесконечные;

– бесконечный или – бесконечный;



Признаки равномерной сходимости рядов

         Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда  (1) удовлетворяют в области  неравенствам   где  - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в  равнмерно.

Теорема 1 Пусть функции   определены в промежутке  и все непрерывны в некоторой точке  этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке  сходится равномерно, то и сумма ряда  в точке  также будет непрерывна.













































Пример непрерывной функции без производной

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

,

где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cosωχ заменены колеблющимися ломаными.

Итак, обозначим через  абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему  целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные  звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.





Положим, затем, для к=1,2,3,…:



Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны  ±1.

Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством



Так как, очевидно, 0≤  (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция  всюду непрерывна.

Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до  (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

≤ , где -целое.

 (n=0,1,2,…).

Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки  равно половине длины промежутка.

=;

Ясно, что с возрастанием n варианта .

Составим теперь отношение приращений

=

Но при k>n, число  есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k≤n, то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем

   (k=0,1,…,n).

Таким образом, имеем окончательно  иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при  отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при  конечной производной не имеет.























 













Решение упражнений

Упражнение 1 ([2], №909)

Функция  определена следующим образом:  . Исследовать непрерывность  и выяснить существование 

Решение



На    непрерывна как многочлен;

На (0;1)     непрерывна как многочлен;

На (1;2)   непрерывна как многочлен;

На (2; непрерывна как элементарная функция.

 - точки подозрительные на разрыв

 









Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .

 











Так как левый предел равен правому пределу и  равен значению функции в точке  функция непрерывна в точке 















Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке . 



1 способ. В точке  не существует конечной производной функции   Действительно, предположим противное. Пусть в точке  существует конечная производная функции  непрерывна в точке  (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.

2 способ. Найдем односторонние пределы функции  в точке x=0. 





























Упражнение 2 ([1], №991)

Показать, что функция имеет разрывную производную.

Решение.

Найдем производную функции.

 При 



 При  





Предел  не существует разрывна в точке  



Так как  – бесконечно малая функция,  - ограниченная.

Докажем, что функция  в точке  предела не имеет.

Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что  не сходится к  

 

 

 





 

 

 



 

 

Вывод: функция  в точке  предела не имеет.

Упражнение 3 ([1], №995)

Показать, что функция  где - непрерывная функция и  не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные 

Решение.











Односторонние пределы не равны  функция  не имеет производной в точке . 



Упражнение 4 ([1], №996)

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках: 

Решение.

Рассмотрим функцию  в точках 

Найдем односторонние пределы 







 

=









          =



Односторонние пределы не равны  функция  не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках 

Упражнение 5 ([4], №125)

Показать, что функция  не имеет производной в точке  .

Решение

Возьмем приращение  Дадим точке   приращение  Получим   

Найдем значение функции в точках  и 





Найдем приращение функции в точке 



Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента



Перейдем к пределу



Вывод: не имеет конечной производной в точке .

Упражнение 6 ([4], №128)

Показать, что функция  не имеет производной в точке .

Решение

Возьмем приращение  Дадим точке   приращение  Получим   

Найдем значение функции в точках  и 





Найдем приращение функции в точке 



Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента



Перейдем к пределу











 Вывод: не имеет конечной производной в  точке .



Упражнение 7 ([4], №131)

Исследовать функцию на непрерывность



Решение.

На  

На  

 – точка подозрительная на разрыв









Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна  в точке  существует разрыв Iрода.





























Заключение

В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием «Непрерывная, но не дифференцируемая функции», цели данной работы достигнуты, задачи решены.



















































Список литературы

Б. П. Демидович,  / Сборник задач  по курсу математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.

Г. Н. Берман,  / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.

Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.

И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу  ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.

Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

Ресурс Интернет  \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.











































		

	



	







13