Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

СОДЕРЖАНИЕ



Введение

			Многочлены Лежандра

			Многочлены Чебышева

			Преобразование Лапласа

				Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

		4.1 Постановка задачи

		4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра

		4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.

		Заключение

преобразование смещенный многочлен исчисление


ВВЕДЕНИЕ



Математический анализ – раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.

Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и (около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).

Операционное исчисление – раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования). 

Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.

Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования.



. 



Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах.








В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая f(u) = 0 для u < 0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач. 







Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования



 



если существует производная , для которой 







существует и f(0) = 0, то 



.



Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой



, (1)



где функции  называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства , при этом функция  называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:



 (2)



Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. 

преобразование смещенный многочлен исчисление


1. Многочлены Лежандра



Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)



 (3)



часто записываемой в виде:



 (4)



Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:







, если ;

, если .




Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:







Первые многочлены Лежандра равны:

























	
Многочлены Чебышева



Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов Tn(x) и Un(x), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода Tn(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n - 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышева первого рода Tn(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:











Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:







или, что почти эквивалентно,







Несколько первых многочленов Чебышева первого рода


























Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

	Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).

	Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [ − 1,1] если , то , где tk — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, ak — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.

	Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.

	

	
Преобразование Лапласа



Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

	Интеграл Лапласа имеет вид: 

	

	 (5)

	

где интегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.

В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа 



, (6)



называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа




  (7)



Преобразование Лапласа –  частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции , одностороннее преобразование Лапласа (6) - как преобразование Фурье функции j(t) равной  при 0 < t < ∞ и равной нулю при -∞ < t < 0.

Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности. 

Априори возможны три случая: 

1) существует действительное число  такое, что интеграл (6) сходится при , а при  –  расходится; это число σс называется абсциссой (условной) сходимости; 

2) интеграл (6) сходится при всех р, в этом случае полагают ; 

3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают  

Если , то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости .  Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл  , называется абсциссой абсолютной сходимости   

Если а – есть нижняя грань тех s, для которых  число а иногда называют показателем роста оригинала f(t).

При некоторых дополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своему F(p). Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t0 или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:



 (8)



Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.

В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:



 (9)



где t = (t1, ……, tn)

-точка re-мерного евклидова пространства



Rn, p = (p1, ……, pn) = σ + iτ = (σ1, ……, σn) + (τ1, ……, τn)



-точка комплексного пространства



Cn, n≥1, (p,t) = (σ,t)+i(τ,t) = p1t1 + … +pntn




-скалярное произведение, dt = dt1…dtn - элемент объема в Rn. Комплексная функция f(t) в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования 







-положительном координатном угле пространства Rn. Если функция f(t) ограничена в C*, то интеграл (9) существует во всех точках  удовлетворяющих условию Re(p,t)>0, , которое определяет снова положительный координатный угол



 



Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p = (p1 ,- pn) в трубчатой области пространства с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем  - положительная полуось и   - правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f(t), 0<t<∞ в изображение F(p),, а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Проблема обращения преобразования Лапласа,  как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):



 



где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L2(β(t), 0, ∞).По изображению F(р).функции β(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого ak вычисляются по формуле.





где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде   

Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).




4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке



	 Постановка задачи



Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].

Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):



 (10)



Где f(t) – искомая функция, а β(t) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,∞) функция. Предположим, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L2(β(t), 0, ∞):



 (11)



Требуется по изображению F(р) функции β(t)f(t), построить функцию f(t). 

В интеграле (10) введем замену переменной x=e-t; тогда он приведется к виду 




 (12)



где



 



В силу условий, которые наложены на функции f(t) и β(t), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re p≥,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции 



 (13)



После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию   по ее «взвешенным моментам» , или, что тоже самое, найти функцию f(t) по значениям изображения функции β(t)f(t) в целочисленных точках p = k (k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен , такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства



 (14)



4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра



Рассмотрим частный случай весовой функции



 (15)

 или  .



Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом , будут смещены многочлены Лежандра 

Они задаются формулой 



 при  



или же формулой 







Величина rn в этом случае равна







и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид



 (16)

Величины αk  вычисляются по формуле



 (17)


в которой  - коэффициенты  смещенного многочлена Лежандра 



4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.



Положим теперь  Весовая функция имеет вид 



 и 



Смещенные многочлены Чебышева первого рода  являются ортогональной системой на [0,1] по весу 

Многочлены Якоби  отличаются от  только численным множителем, а именно



,

где



Многочлены    имеют вид







Значения rn вычисляются по формулам






а разложение функции  f(t) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид



 (18)



Коэффициенты ak (k=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой   - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода .

В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов , а именно:

Сделав замену переменной 2x – 1 = cosθ (0≤θ≤π)  и учитывая, что  разложение (18) можно переписать в виде:








ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.

Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

	Интеграл Лапласа имеет вид: 

	

	 



где интегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования




, 



переводящего оригинал f(t), 0<t<∞ в изображение F(p),, а также численное обращение преобразования Лапласа.

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции  β(t)f(t):



  



где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.




СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



	Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.

	Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

	Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.

	Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.