Булевы функции и теория графов

Задание



Дано:

Универсум 

Множества , , 

Бинарные отношения 

Функция 



Требуется:

1. Найти 



2. Решить уравнение 

3. Построить графы и матрицы отношений P и Q, указать , , 

4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).

5. Построить граф и матрицу отношения , указать , .

6. Построить граф и матрицу отношения , указать , .

7. Построить графы и матрицы замыканий отношения Р:

. Для каждого из замыканий указать и.

8. Найти, построить естественную проекцию :.

9. Построить таблицу значений, граф и матрицу функции f. Указать .

10. Построить граф и матрицу отношения .

11. Найти , построить индуцированное отображение : .

12. Построить граф и матрицу отношения М. Указать , .

13. Доказать, что отношение М есть отношение строгого порядка в А.

14. Исследовать М на линейность (полноту).

15. Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве А относительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы (если таковые существуют).

Решение

1. Найти 








2. Решить уравнение 





3. Построить графы и матрицы отношений P и Q, указать , , 

рефлексивность симметричность граф матрица













4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).

По матрице отношения Р определяем его свойства:

Не рефлексивно, т.к. на главной диагонали имеются нули.

Не антисимметрично, т.к. на главной диагонали имеются единицы.

Не симметрично

Не антисимметрично

Для определения является ли отношение транзитивным, возведем его матрицу в квадрат:



По полученной матрице видно, что отношение Р не транзитивно.

5. Построить граф и матрицу отношения , указать , .










6. Построить граф и матрицу отношения , указать , .










7. Построить графы и матрицы замыканий отношения Р: . Для каждого из замыканий указать и.

































8. Найти, построить естественную проекцию :.





9. Построить таблицу значений, граф и матрицу функции f. Указать .



x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x)

5

7

1

2

2

4

3

2

1

1











10. Построить граф и матрицу отношения .

 или в матричной форме 








11. Найти , построить индуцированное отображение : .





12. Построить граф и матрицу отношения М. Указать , .











13. Доказать, что отношение М есть отношение строгого порядка в А.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. По матрице отношении М:

1. Отношение антирефлексивно, т.к. на главной диагонали нет 1.

2. Отношение антисимметрично, т. к. при aRb и bRa a=b.

3. Для проверки на транзитивность возведем матрицу отношения в квадрат:



Сравнивая полученную матрицу с исходной видим, что отношение транзитивно.

Следовательно, отношение М является отношением строгого порядка.

14. Исследовать М на линейность (полноту).

Рассмотрим отношения связности:



На основе этого строим ранжированный граф:







Граф представляет собой прямую линию, т.е. в нем нет параллельных вершин, следовательно, отношение М линейно.

15. Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве А относительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы (если таковые существуют).

Рассмотрим ранжированный граф.







В графе нет параллельных вершин, поэтому минимальный элемент является наименьшим, а максимальный – наибольшим. Наименьший элемент – 3, наибольший элемент – 7.