Краткое доказательство великой теоремы Ферма

1







		Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

		Свидетельство Украины № 27312

		о регистрации авторского права

















КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА


Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):



Аn+ Вn = Сn*				/1/



где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:



Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/



Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

	Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

	

	Сn = An + Bn =(A+B)n∙ Dn , /3/

	

	где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

	Из уравнения /3/ следует:

	

	 /4/

	

	Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn = An + Bn] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:

	

	An + Bn < (A+B)n /5/

	

	Следовательно:

	

	- дробное число, меньшее единицы. /6/

	

	- дробное число.

	

	Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

	При нечетных показателях степени n >2 число:

	< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

	

	Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

	

	Сn = Аn + Вn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1]

	

	состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

	Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:



An = Cn - Bn /7/



В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:



An = Cn - Bn = (С+B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B + Cn-3∙ B2 +…+ C ∙ Bn-2 + Bn-1 ). /8/



Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.

	Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

	
Аn = Сn - Bn =(С+B)n∙ Dn , /9/

	

	где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

	Из уравнения /9/ следует:

	

	 /10/

	

	Из уравнения /9/ также следует, что число [Аn = Сn - Bn] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+B)n . Однако известно, что:

	

	Сn - Bn < (С+B)n /11/

	

	Следовательно:

	

	- дробное число, меньшее единицы. /12/

	

	- дробное число.

	

	Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

	При четных показателях степени n >2 число:

	

	< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

	
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

	Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

	

	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

	

	В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cn - Bn) раскладывается на алгебраические множители:

	

	C2 – B2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/

	

	C4 – B4 = (C-B) ∙ (C+B) (C2 + B2); /14/

	

	C6 – B6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C2 –CB + B2) ∙ (C2 +CB+ B2); /15/

	

	C8 – B8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C2 + B2) ∙ (C4 + B4). /16/

	

	Приведем примеры в числах.

	ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

	

	C2 – B2 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24 · 3 · 23;

	

	C4 – B4 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673;

	

	C6 – B6 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577;

	

	C8 – B8 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

	ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

	

	C2 – B2 = (32) ∙ (41) = 32 ∙ 41;

	

	C4 – B4 = (32) ∙ (41) · (881) =32 ∙ 41 · 881;

	

	C6 – B6 = (32) ∙ (41) ∙ (22 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

	

	C8 – B8 = (32) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

	

	Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

	- при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аn = Сn - Bn раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

	- при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn - Bn) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);

	- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

	- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

	- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

	- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

	- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

	ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru