Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения.

Дадим вначале определение закону Всемирного тяготения Ньютона и основным величинам в нем применяемым, а в последствии рассмотрим что именно привело к открытию этого закона, и действительно ли яблоку мы обязану появлению этого величайшего открытия.

1. Между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними

F12 =  (m1m2/R2) R12/R

где F12 - сила тяготения, действующая на точку с массой m1, R12 - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку, обладающую массой m2, R = |R12| - расстояние между точками. Коэффициент  называется гравитационной постоянной (постоянной тяготения). Он численно равен силе взаимного притяжения между двумя материальными точками, которые обладают одинаковыми массами, равными единице массы, и находятся друг от друга на расстоянии, равном единице длины. Гравитационная постоянная определяется опытным путем. Ее численное значение зависит только от выбора системы единиц измерения:

 = 6.67*10-11 Н*м2/кг2 = g = 6.67*10-8 дин*см2/г2 

По третьему закону Ньютона сила F21 действующая па материальную точку с массой m2 численно равна силе F12, но направлена в противоположную сторону:

F12 = - F21

2. Весом тела называется сила Р, с которой неподвижное относительно Земли тело давит на опору вследствие притяжения его к Земле. Вес тела равен векторной разности силы F тяготения тела к Земле и центростремительной силы Fц обусловливающей участие тела в суточном вращении Земли:

P = F - FЦ

причем

Fц = m2 Rcos ,

где m - масса тела,  - угловая скорость суточного вращения Земли, R - радиус Земли, а  - географическая широта места наблюдения А.

На географических полюсах (  = 90°) FЦ = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что радиус Земли и центростремительная сила зависят от географической широты, вес тел максимален на полюсах и минимален на экваторе. Однако это различие не превышает 0,55%. Поэтому во многих технических задачах можно пренебречь влиянием на вес тела суточного вращения Земли и отличием ее формы от сферической.

Центром тяжести тела называется точка приложения равнодействующей сил веса всех частиц этого тела. Центр тяжести тела совпадает с его центром инерции.

3. Свободным падением называется движение тела под действием единственной силы, равной его весу. Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и так же, как их вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для барометрических расчетов и при построении систем единиц, равно 9.80665 м/сек2.

Закон всемирного тяготения был открыт англичанином И. Ньютоном в 1666г. Закон звучит следующим образом: сила гравитационного притяжения двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. 

Закон справедлив и для протяженных тел со сферически-симметричным распределением массы, при этом r - расстояние между центрами симметрии тел. Для несферических тел закон соблюдается приближенно, причем тем точнее, чем больше расстояние между телами (между их центрами масс) по отношению к размерам тел. 

Все это нам хорошо известно, и кажется без математических выкладок добавить больше нечего нужно. Но это не так. В Астрономии, например, очень важно проследить некоторые явления и сделать определенные выводы и следствия из этого закона.

Согласно формуле F = G*m1*m2/r2 

где r - расстояние между телами, а G - гравитационная постоянная, сила притяжения пропорциональна массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Но масса пропорциональна кубу линейного размера тела. Это означает, что если размеры тел и расстояния между ними (при сохранении их плотностей) пропорционально увеличить, например, в 10 раз, то их массы возрастут в 1000 раз, а квадрат расстояния - только в 100, поэтому сила притяжения увеличится в 10 раз! То есть при увеличении масштаба масса растет на порядок быстрее, чем квадрат расстояния! Из-за ничтожного значения гравитационной постоянной силы притяжения между отдельными предметами на поверхности Земли крайне малы по сравнению с силой притяжения самой Земли, но уже в межпланетных масштабах (сотни миллионов километров) увеличение масс компенсирует G и гравитация становится главной силой. 

При уменьшении масштабов проявляется обратный эффект, хоть это уже из биологии. Если, к примеру, уменьшить человека до размеров муравья, т.е. примерно в 100 раз, то его масса уменьшится в 1 000 000 раз. А поскольку сила мышц примерно пропорциональна их поперечному сечению, т.е. квадрату линейного размера, то она уменьшится только в 10 000 раз, т.е. будет 100-кратный выигрыш в силе! Нетрудно догадаться, что фактически насекомые обитают в условиях сильно пониженной по сравнению с более крупными животными гравитации. Поэтому вопрос о том, какой вес смог бы поднять муравей, если бы был размером со слона, просто не имеет смысла. Строение тела насекомых и вообще всех мелких животных оптимально именно для пониженного тяготения, и ноги у муравья просто не выдержат веса тела, не говоря уже о каком-то дополнительном грузе. Так сила тяжести накладывает ограничения на размеры наземных животных, и самые крупные из них (например, динозавры), по-видимому, существенную часть времени проводили в воде. 

Летательные способности в животном мире также ограничены массой тела. Не только сила мышц, но и площадь крыльев растет пропорционально квадрату линейных размеров, т.е. для при некоторой предельной массе тела полеты становятся невозможными. Эта критическая масса составляет примерно 15-20 кг, что соответствует весу самых тяжелых из земных птиц. Поэтому очень сомнительно, что древние гиганские ящеры действительно могли летать; скорее всего, их крылья позволяли им только планировать с дерева на дерево. 

И замечание не совсем по теме. Достаточно распространено мнение, что занятия тяжелой атлетикой замедляют рост спортсменов, поэтому, мол, среди тяжелоатлетов так много низкорослых. На самом деле низкорослость штангистов действительно наблюдается, но только в ограниченных весовых категориях, особенно среди легковесов. В одной книжке по атлетизму приводится даже пояснение, что низкорослые побеждают чаще оттого, что им приходится поднимать штангу на меньшую высоту. На мой взгляд, такой довод совершенно неубедителен. Но предлагается и следующее объяснение. Каждый тип ткани (мышцы, кости, кожа, жировая прослойка и т.д.), из которых состоит тело, составляет определенный процент от его общего веса. И если предположить, что эти пропорции одинаковы для двух человек разного роста, то более низкий человек, естественно, будет весить меньше. Однако если он за счет мышц наберет такую же массу тела, что и высокий, то это будет означать, что абсолютная мышечная масса у него больше (поскольку немышечной ткани у него просто меньше по определению). А больше мышечная масса - больше сечения мышц, и, следовательно, в этих условиях при равной массе тела низкий тяжелоатлет действительно сильнее высокого, поэтому последние просто отсеиваются. 

Рис. 1 Приливные силы.

Однако вернемся к астрономии. Если рассмотреть действие силы тяготения тела О (условно изобразим его точкой) на протяженное тело с центром Q (рис. 1), то можно заметить, что на разные части тела действуют разные силы. Так, самая близкая точка В будет притягиваться сильнее, чем самая далекая А (из-за различия в расстояниях), поэтому вдоль линии QO, соединяющей центры тяжестей обеих тел, тело О будет стремиться растянуть отрезок АВ. На точки С и D, удаленные от линии OQ, сила притяжения будет действовать под углом к линии QO, и эту силу можно разложить на две компоненты: одна направлена параллельно направлению QO, а другая - перпендикулярно к нему - по направлению к центру тела Q. То есть на точки, не лежащие на оси OQ, действует сила, стремящаяся сжать тело в направлении, перпендикулярном направлению на притягивающее тело О. Эти силы растяжения и сжатия называются приливными силами. Их действие на Землю со стороны Луны и Солнца вызывает (как нетрудно догадаться по названию) приливы и отливы. 

Чтобы оценить высоту приливной волны на Земле, можно произвести вычисления, подобные оценке сжатия Земли. Для простоты забудем о суточном вращении Земли и предположим, что вся ее несферичность вызвана притяжением Луны. Приравнивая вес каждого элементарного объема, находящегося на расстоянии r от центра Земли на ее радиусе, перпендикулярном направлению на Луну и направленном на Луну, получим: 

m*gп(r) = m*gл(r) - G*m*Mл/b2 

где gп(r) - ускорение свободного падения на радиусе, перпендикулярном направлению на Луну, gл(r) - ускорение на радиусе, направленном на Луну, Mл - масса Луны, b - расстояние до Луны, равное разности большой полуоси a орбиты Луны и радиус-вектора r. Зависимость ускорения свободного падения на обеих радиусах одинакова: gп(r) = gл(r) = GM/r2, где М - масса, заключенная внутри радиуса r : M(r) = *4**r3/3, где  - плотность вещества. Если все это подставить в уравнение, сократить на m и G и принтегрировать по всему радиусу Земли, то получится: 

Rп2 = Rл2 - Mл/2//*(1/a - 1/(a-Rл)). Если подставить сюда значения радиуса Земли, массы и большой полуоси Луны, получится Rл - Rп ~ 7.3 м, что намного больше высоты реальной приливной волны, однако можно предположить, что в действительности из-за вращения твердая оболочка Земли не успевает изменять свою форму, и реально приливную волну образуют в основном водная и воздушная оболочка, а полная амплитуда колебания твердой коры не превышает одного метра. 

Для планет приливные силы ограничивают минимальное расстояние, на которое к ним может приблизиться достаточно крупное тело, например, спутник. Очень эффектно это проявились при недавнем падении кометы Шумейкеров-Леви на Юпитер, когда ядро кометы разорвало на множество частей, падение которых вызвало столько откликов в научном мире. Минимальный радиус круговой орбиты, на которой спутник не разрушается под действием приливных сил центрального тела, называется пределом Роша. Если масса спутника намного меньше массы планеты, то зависимость предела Роша aR от радиуса планеты R, плотностей спутника s и планеты p выглядит следующим образом: 

aR = 2.46*(s/p)1/3*R (5) 

Внутри сферы с радиусом aR невозможна также гравитационная конденсация вещества с образованием единого тела. Такова, вероятно, причина образования колец планет-гигантов.

Теперь обратимся к истрии, и рассмотрим события тех далеких времен на заре науки. Закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном в 1682 г. Еще в 1665 г. 23-х летний И. Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс. У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара. В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения. 

На фоне впечатляющих успехов современной физики, гравитация остается самым загадочным природным явлением. Величие гравитации заключается в том, что ей подчиняется все существующее на свете, начиная от самой вселенной и кончая ее составляющими элементами. Впервые наиболее полно это и было осознанно великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643...1727). В 1687 г. Ньютон опубликовал свой знаменитый труд «Математические начала натуральной философии», раскрывший человечеству впервые теории движения планет и основы гравитации. Закон всемирного тяготения Ньютона, который стал первым научным законом, действующий во всей Вселенной гласит: каждые две частицы материи притягивают взаимно друг друга, или тяготеют друг другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

(1)

Современники Ньютона не сразу осознали величие гравитации. Христиан Гюйгенс, которого сам Ньютон называл великим ученым писал: «Мысль Ньютона о взаимном притяжении, я считаю нелепой и удивляюсь, как человек подобно Ньютона, мог сделать столь трудных исследований вычислений, не имеющих в основании ничего лучшего, чем эта мысль».

Мысль о том, что небесные тела обладают свойством притягивать, высказывали ранее до Ньютона Николай Кузанский, Леонардо да Винчи, Коперник и Кеплер. «Тяжесть есть взаимная склонность между родственными телами, стремящими слиться, соединиться воедино... В какое место мы ни поместили бы Землю, тяжелые тела вследствие природной им способности будут всегда двигаться к ней... Если бы в каком-нибудь месте мира находились два камня на близком расстоянии друг от друга и вне сферы действия какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам...» – писал в своей книге «Новая астрономия» Кеплер. Гениальные высказывания Кеплера были лишь только началом большого пути, которое стоило еще преодолеть. Из множества исследователей этот трудный путь суждено было пройти Ньютону.

Триумфальному шествию закона всемирного тяготения предшествовал нелегкий период его становления. К идее всемирного тяготения несколько раньше Ньютона пришел Роберт Гук (1635...1703). Между Гуком и Ньютоном шел долгий спор о приоритете в открытии закона всемирного тяготения. В отличие от высказываний Гука, Ньютон разработал математическую теорию тяготения и доказал численными методами действие закона тяготения. Взгляды на гравитацию своих предшественников Ньютон отобразил одной формулой (1), которая является математической моделью гравитационного взаимодействия двух материальных тел.

После смерти Исаака Ньютона (1727 г.) закон всемирного тяготения подвергся новым испытаниям. Последним серьезным возражением против закона всемирного тяготения считают публикацию французского математика и астронома Алексиса-Клода Клеро в 1745 г. Некоторые детали вычисленной им орбиты Луны, по его мнению, требуют исправления закона всемирного тяготения.

Одной из важнейших проблем А. Клеро считал теорию движения Луны на основе закона всемирного тяготения Ньютона, точнее – исследование того неравенства, «которое получило у Ньютона наиболее темное развитие, именно, движение лунного перигея». Оригинальный самостоятельный путь исследований А. Клеро приводит к тому же значению, которое получил в свое время сам Ньютон, расходившееся с наблюдаемыми данными почти в два раза. К таким же выводам пришел независимо другой исследователь Жан Лерон Даламбер (1717...1783). Он, как и А. Клеро пришел к выводу, что под действием ньютонова притяжения перигей орбиты Луны должен был завершать одно обращение за 18 лет, а не за 9 лет, как происходит в действительности.

Независимо друг от друга А. Клеро и Ж. Даламбер, занимающиеся исследованием в области ньютоновской механики и теории тяготения, пришли к одинаковому выводу о том, что теория Ньютона не способна объяснить движение перигея Луны и требует внесения поправок. Такой путь подсказал еще сам Ньютон.

Небольшая поправка А. Клеро формы всемирного закона тяготения Ньютона была представлена в следующем виде:



(2)

где M и m – массы двух тел;

R – расстояние между ними;

γ – гравитационная постоянная;

n – n > 2 (например, n = 3, n = 4);

α – малая величина, подбираемая опытным путем.

Высказывание Ж. Даламбера также свидетельствует о необходимости дополнительного члена: «Луна притягивается к Земле еще другой, небольшой по величине силой, действующей не по закону обратной пропорциональности квадратам расстояний».

Против вывода А. Клеро и Ж. Даламбера выступил известный французский естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707...1783). Он своим авторитетом спас формулу Ньютона от коррекции, заявив, что нам предлагают нечто произвольное, вместо того, чтобы воспроизводить истину». По его мнению после первого изменения впоследствии могли бы беспрепятственно возникнуть и последующие члены. «Всякий физический закон лишь потому является законом, что его выражение обладает единственностью и простотой» – заявил Ж. Бюффон.

До настоящего времени считают, что Клеро перепроверил свои результаты и обнаружил ошибку. С этой точкой зрения мы не можем согласиться. В рамках своей чисто аналитической модели он действительно исправил противоречия в своей модели, и нетронутой оставил несовершенство в законе всемирного тяготения Ньютона. На наш взгляд А. Клеро не стал противопоставлять себя авторитету самого Ньютона, его последователям и вышел на самостоятельный путь исследования. Он не стал уточнять формулу закона всемирного тяготения и тем самым избежал ожидавших его в будущем возможных острых дискуссий. Как покажет история, данная стратегия оправдала себя. А. Клеро выиграет конкурс объявленный в 1750 г. Петербургской академией, получит восторженные отзывы современников, издаст книгу «Теория движения Луны, выведенная из единственного принципа притяжения, обратно пропорционально квадратам расстояний» в 1752 г. и будет избран член-корреспондентом Петербургской академии наук в 1754 г.

Все силы А. Клеро были сосредоточены на выполнение собственной программы исследований: «После долгих размышлений над теорией Ньютона и не достигнув той степени убежденности, которой я ожидал, я решил больше ничего у него не заимствовать и самостоятельно искать определения движения небесных тел, при единственном допущении об их взаимном притяжении». Данный подход позволил ему построить чисто аналитическую модель гравитационного взаимодействия.

С тех пор прошло 350 лет. Закон всемирного тяготения  в первозданном виде благополучно встретил 2 тысячелите. Сомнения А. Клеро и Ж. Даламбера относительно закона всемирного тяготения Ньютона, на наш взгляд, так и не рассеялись. Последовательность следующих рассуждений приводит нас к неожиданным результатам. 

Рассмотрим так назыаемый Уточненный закон всемирного тяготения.

Два материальных тела М и m притягивают друг друга с одинаковой силой F. Гравитационное поле массы М вызывает ускорение m:

g = γ · (M / R2). 

Соответственно масса m вызывает ускорение М:

g = γ · (m / R2).

Относительное ускорение двух тел М и m gот равное разности gM – gm, а так как gM и gm направлены в противоположные стороны, то gот равно сумме ускорений gM и gm:

(3)

Следовательно, ускорение при относительном движении двух притягивающихся материальных тел M и m мы можем считать, что сила исходит из неподвижного центра и можно исследовать движение только одного тела.

Поясним это на следующем примере и на практике проверим адекватность формулы (3) окружающей действительности. На поверхности Земли, то есть на расстоянии 6371,032 км от ее центра, ускорение gЗем = 9,81 м/с2. Ускорение, вызываемое притяжением Земли на расстоянии r = 384400 км до Луны должно уменьшится в 3844002 / 6371,0322 = 3640,38 раз. Ускорение Луны, вызываемое притяжением Земли равно:

gЗемля-Луна = 9,81 м/с2 / 3640,38 = 0,2695 см/с2.

Соответственно на поверхности Луны, на расстоянии r = 1738 км от ее центра, ускорение gЛуна = 1,62 м/с2. Это ускорение, вызываемое притяжением Луны на расстоянии r = 384400 км до Земли должно уменьшится в 3844002 / 17382 = 48917,83 раз.

Ускорение Земли, вызываемое притяжением Луны равно:

gЛуна-Земля = 1,62 м/с2 / 48917,83 = 0,0033 см/с2.

Относительное ускорение Луны gот будет равно сумме ускорений

gот = gЗемля-Луна + gЛуна-Земля = 0,2695 см/с2 + 0,0033 см/с2 = 0,2728 см/с2.

Полученное значение относительного ускорения Луны gот можно проверить следующим способом. Предполагая, что Луна движется по окружности вычислим ее действительное ускорение по формуле:

Gот = V2 / r ,

где V – скорость движения Луны по орбите;

r – расстояние от Земли до Луны.

Скорость движения Луны по орбите V можно вычислить по формуле:

V = (2πr) / T ,

где T – звездный период обращения Луны, Т = 27,3 суток;

r – расстояние от Земли до Луны (r = 384400 км).

Вычислим значение V и Gот:

V = (2 · 3,14 · 384400 км) / 2358720 сек = 1,02345 км/сек

Gот = (1,02345 км/сек)2 / 384400 км = 0,2725 см/сек2.

Расчеты показывают, что Gот = gот и относительная погрешность этих двух показателей составляет Gот – gот = 0,2728 см/сек2 – 0,2725 см/сек2 = 0,0003 см/сек2 или 0,12%.

Численные расчеты gот на реальных данных Земли и Луны подтверждают адекватность формулы (3) окружающему миру.

Рассмотрим теперь движение тела m относительно M. Величина силы F действующая между m и M равна произведению массы m на относительное ускорение gот:

(4)

Формулу (4) можно представить в виде суммы двух членов:

(5)

Первый член совпадает с формулой (1) – закона всемирного тяготения, а в целом формула (5) напоминает формулу (2), которую в свое время предложил А. Клеро с целью корректировки всемирного закона Ньютона.

Если m значительно меньше чем M, т.е. m << M, то значение второго члена относительно первого несущественна. Как известно, Ж. Бюффон в свое время отверг формулу (2) из-за того, что А. Клеро добавил второй член произвольно, то в нашем случае в формуле (5) первый и второй член выведены из окружающего нас мира. Поэтому мы вправе сказать о том, что закон всемирного тяготения Ньютона является частным случаем формулы (4) и (5).

Первое слагаемое формулы (5) не вызывает вопросов. Это закон всемирного закон тяготения Ньютона. Перейдем к анализу второго слагаемого. Почему в числителе второго слагаемого произведение m · m, а не M · M? Действие М уже проявилось в первом слагаемом, оно породило гравитационный потенциал (γ · М) / R2 и на этом ее роль закончилась. Второе слагаемое раскрывает сущность гравитационного потенциала второго тела m и оно равно (γ · m) / R2. Теперь осталось вычислить силу во втором слагаемом и для этого по традиционной схеме необходимо (γ · m) / R2 умножить на М, т.е. мы получим (γ · m · М) / R2 опять всемирный закон тяготения Ньютона! Но это противоречит формуле (4), который был получен нами аналитически из расчетов ускорений между Землей и Луной. На самом деле реальная сила будет равна (γ · m · m) / R2. Здесь мы подходим к факту, гравитационный потенциал порождаемый телом m вызывает ускоренное движение самого тела m в сторону М. И это не противоречит третьему закону Ньютона. Тело m движется равноускоренно в сторону М и соответственной М движется равноускоренно в сторону m. Но так как m значительно меньше М сила выраженная в форме (γ · m · m) / R2 объективно отражает силу, которая порождается массой m. Массу М можно охарактеризовать как центральное тело, вокруг которого движется тело m. То тело, которое движется относительно центрального тела будет являться критерием выбора его во второе слагаемое.

Теперь сформулируем новый уточненный закон всемирного тяготения:

каждые две частицы материи притягивают взаимно друг друга, или тяготеют друг другу, с силой, прямо пропорциональной произведению суммы двух масс на массу тела, движущуюся относительно центральной массы и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (4).

С точки зрения теории и методологии изучения закона гравитации переход от формулы (1) к (4) наиболее полно раскрывает сущность закона всемирного тяготения. Из формулы (1) мы видим только гравитационное действие одного тела M либо m, в то же время формула (4) отражает взаимное гравитационное действие двух тел M и m одновременно.

Небольшая поправка к закону всемирного тяготения Ньютона ведет к интересным последствиям. Что следует из формулы (4)? Для этого нам следует поспешить на знаменитую Пизанскую башню, пока она не упала и повторить опыт Галилея. Результат будет следующий – вопреки общепринятому мнению, более тяжелое тело достигнет Земли быстрее! Опыт осуществить несложно, только хлопоты будут создавать толпы туристов, которых не было в XVI веке.

Эта поправка еще более ярко проявляется при m = M. Значение силы F вычисленное по формуле (4) F = γ · 2М2 / r2 больше в два раза чем значение силы рассчитанной по формуле (1) F = γ · М2 / r2.

Прав был Аристотель, утверждая, что падение массы золота или свинца, или какого-нибудь другого тела происходит тем быстрее, чем больше его размер! К этому выводу пришел и Леонардо да Винчи. Великий художник и ученный бросал тела разного веса и пришел к такому же результату: скорость падения тела зависит от веса тела.

Из формулы (4) следует неаддитивность силы тяжести. Рассмотрим это на примере силы тяжести двух тел m1 и m2 относительно земли. Тело m1 действует на землю силой F1 и второе тело m2 действует соответственно с силой F2. Складывая массы двух тел m1 и m2 получим третье тело m3, где m3 = m1 + m2. Оно также действует на землю силой равной F3. Для нашего примера нарушение аддитивности силы тяжести означает:

F1 + F2 < F3 

(6)

Если придерживаться традиционной формулы (1), то аддитивность не нарушается и для сил тяжести выполняется условие:

F1 + F2 = F3

(7)

С появлением формулы (4) равенство (7) уступает место неравенству (6), как следствие нового научного факта.

Гениальный физик Эйнштейн придавал исключительное значение свойству тяготения следуя за Галилеем и утверждая, что все тела в данной точке пространства падают в поле тяготения с одинаковым ускорением. Это утверждение в классической физике являлось одним из фактов – в некотором смысле даже случайным и не играл высокой роли в том, что составляло идейную основу механики Галилея – Ньютона. Однако этому свойству Эйнштейн придает исключительно важное и самое общее значение, отводит ему место среди «принципиальных вещей» новейшей физики и ставит его рядом с принципом относительности.

Интерес Эйнштейна к тяготению не случаен, ибо он связан непосредственно с принципом эквивалентности. Как известно массы в физике рассматриваются в двух формах: инертной и гравитационной. Падение всех тел с одинаковым ускорением является достаточным условием равенства гравитационной и инертной массы. Данное равенство возведено Эйнштейном в ранг фундаментального принципа его теории. Совпадение – эквивалентность этих масс составляет содержание эйнштейновского принципа эквивалентности.

Это предположение с нашей точки зрения ошибочно. Из формул (4) и (7) следует, что разные тела в данной точке пространства падают в поле тяготения с разным ускорением и соответственно нарушается принцип эквивалентности.

Чтобы внести ясность в наши утверждения воспользуемся мысленными экспериментами самого Эйнштейна. Поместим нашу испытательную лабораторию в кабину лифта. Представим себе, следуя Эйнштейну «огромный лифт в башне небоскреба... Внезапно канат, поддерживающий лифт, обрывается, и лифт свободно падает по направлению к земле. Экспериментатор в свой лаборатории проводит следующий опыт: «вынимает из своего кармана платок и часы и выпускает их из рук». Относительно небоскреба падает лифт с лабораторией, экспериментатор, часы и платок.

Посмотрим, каким путем оба наблюдателя, внутренний и внешний, описывают то, что происходит в лифте.

Внутренний наблюдатель – экспериментатор. Пол лифта медленно начинает уходить из-под ног. Часы с платком медленно движутся вверх относительно экспериментатора. Платок движется вверх быстрее чем часы. Экспериментатор делает вывод: все тела к земле движутся с разным ускорением. Самое большее ускорение у лифта, затем у него самого, после следуют часы и медленнее всех падает платок. Вывод – система неинерциальная.

Внешний наблюдатель. Все четыре тела: лифт, экспериментатор, часы и платок падают с различным ускорением к земле. Его вывод также совпадает с мнением внутреннего наблюдателя – система неинерциальная.

Внутренний и внешний наблюдатель Эйнштейна рассуждает иначе: «Внешний наблюдатель замечает движение лифта и всех тел в нем, и находит его соответствующим закону тяготения Ньютона. Для него движение является не равномерным, а ускоренным, вследствие поля тяготения земли.

Однако, поколение физиков, рожденное и воспитанное в лифте, рассуждало бы совершенно иначе. Оно было бы уверено в том, что оно обладает инерциальной системой, и относило бы все законы природы к своему лифту, заявляя с уверенностью, что законы принимают особенно простую форму в их системе координат. Для них было бы естественным считать свой лифт покоящимся и свою систему координат инерциальной.

Невозможно установить принципиальное различие между внешним и внутренним наблюдателем. Каждый из них мог бы претендовать на право отнести все события к своей системе координат. Оба описания событий можно было бы сделать одинаково последовательными. Из этого примера мы видим, что последовательное описание физических явлений в двух различных системах координат возможно, даже если они не движутся прямолинейно и равномерно друг относительно друга. Но для такого описания мы должны принять во внимание тяготение, создающее, так сказать «мост» позволяющий перейти от одной системы координат к другой. Поле тяготения существует для внешнего наблюдателя, для внутреннего наблюдателя оно не существует. Ускоренное движение лифта в поле тяготения существует для внешнего наблюдателя, для внутреннего же наблюдателя – покой и отсутствие поля тяготения. Но «мост», т.е. поле тяготения, делающее описание в обеих системах координат возможным, покоится на очень важной опоре: эквивалентности тяжелой и инертной масс. Без этой руководящей идеи, оставшейся незамеченной в классической механике, наши теперешние рассуждения полностью отпали бы». Но из формулы (4) следует нарушение принципа эквивалентности тяжелой и инертной масс и следовательно рушится как ни печально «мост» Эйнштейна, ведущий в прекрасный замок общей теории относительности.

Этот вывод можно также подтвердить следующим мысленным экспериментом. Из классической механики следует, что тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не воздействуют внешние силы.

Рассмотрим тело m, которое находится в состоянии покоя. Это тело является образцом инерциальной массы по определению. Тело m можно считать и гравитационной массой, т.е. массой обладающей гравитационным полем и находящимся в состоянии покоя.

Теперь рассмотрим тело M, которое находится в состоянии покоя на расстоянии R от m. Проведем аналогичные рассуждения и придем к такому же выводу: тело M является гравитационной и инертной массой. Пока мы рассматривали каждое тело в отдельности в наших рассуждениях не возникало противоречий.

При рассмотрении двух тел M и m одновременно реальная картина изменится. Тела M и m, которые мы считали находящимися в покое, находятся на самом деле в ускоренном движении навстречу друг к другу вследствие их гравитационного взаимодействия. Они являются как и прежде гравитационными массами, но уже не являются инерционными массами, т.к. движутся ускоренно.

Чтобы снять возникшее противоречие необходимо сделать следующие выводы. Во-первых, физическая картина мира состоит из множества гравитационных масс, которые не могут находиться в состоянии покоя и движутся, как правило, равноускоренно. Во-вторых, нет в природе реальных инерциальных масс. Инерциальная масса в физике – это идеальная модель – абстракция.

Любая масса является гравитационной и находится постоянно во взаимодействии с окружающим миром. Только мысленным экспериментом мы можем снять гравитационное поле у массы и после этого ее можно считать инерциальной массой, которая могла бы покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно.

С этих позиций все усилия как теоретического, так и практического характера обоснования принципа эквивалентности сводятся к тщетной попытке установления эквивалентности реальной гравитационной и идеальной несуществующей в природе инерциальной массы.

Как известно, с помощью метода Кавендиша была числено определена постоянная γ, входящая в формулу (1) – закона всемирного тяготения. Сегодня эта постоянная известна до четвертого знака. В.Д. Ляховец статье «Проблемы метрологического обеспечения измерений гравитационной постоянной» приводит таблицу:

Таблица 1

Страна

Год

Значение γ, 10–11 м3 (кг·с2)

СССР

1977

6,6745 ± 0,0008

Франция

1972

6,6714 ± 0,0006

США

1982

6,6726 ± 0,0005

Как считает В.Д. Ляховец, гравитационная постоянная γ остается до сих пор одной из наименее точно измеренных фундаментальных констант. Из таблицы следует, что хотя относительная погрешность отдельных измерений по странам составляет 10–4, само значение гравитационной определено с погрешностью 10–3. Задача о более точном определении γ еще далеко не снята с повестки дня. Такое положение заставляет задуматься о возможных факторах, влияющих на измеряемое значение гравитационной постоянной. На взгляд многих ученых, одной из них является поправка (4) к формуле (1) – закона всемирного тяготения.

Но действует ли закон всемирного тяготения на субмиллиметровых расстояниях? 

Несколько лет назад в физике элементарных частиц появился ряд теоретических конструкций, которые предсказывали аномальные гравитационные эффекты на расстояниях порядка долей миллиметра. Причины таких аномалий могли быть различными: начиная от дополнительных пространственных измерений, компактифицированных на масштабе порядка миллиметра, и заканчивая дилатонными взаимодействиями на тех же масштабах в некоторых струнных теориях. Так или иначе, все эти теории неизбежно предсказывали отклонения от 1/r2 закона всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе. 

До настоящего момента закон всемирного тяготения был подтвержден лишь на расстояниях порядка 1 см и больше. Поэтому для проверки необычных предсказаний теорий требовался новый, миниатюрный эксперимент, который бы проверил 1/r2 зависимость силы гравитационного притяжения на субмиллиметровых расстояниях. Такой эксперимент был поставлен в Университете Вашингтона в Сиэттле.

Сила гравитационного взаимодействия измерялась с помощью крутильного маятника: металлического кольца, подвешенного на тонкой нити над притягивающей пластиной ("аттрактором"). Распределение масс по поверхности пластины и по кольцу было неоднородным из-за 10 симметрично расположенных отверстий, благодаря чему вращение нижней притягивающей пластины приводило к появлению вращательного момента, действующего на крутильный маятник, а значит, и к его отклонению. Изучая зависимость угла отклонения от времени при различных зазорах между кольцом и пластиной, экспериментаторы могли, таким образом, измерять то, как меняется сила гравитационного притяжения от величины зазора, то есть, от расстояния между притягивающимися поверхностями. 

Результаты эксперимента показали, что при толщине зазора вплоть до 218 мкм измеренная зависимость силы от расстояния полностью воспроизводится законом всемирного тяготения. Таким образом, новые гравитационные эффекты на субмиллиметровом масштабе не обнаружены. Кроме того, получены серьезные ограничения на параметры, присутствующие в упомянутых выше теориях. 

Список литературы

А. Эйнштейн, А. Инфельд. Эволюция физики. – М.: Наука, 1965. 

О.А. Быковский. Проблемы современной физики. – Алма-Ата: Гылым. 1995. 

П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. – М.: Наука, 1966. 

Ю.А. Рябов. Движение небесных тел. – М.: Наука, 1988. 

Периодические издания и в частности «Новости науки»