Вычисление обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы.



Рассмотрим квадратную матрицу



Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю. 

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение 

АВ= ВА=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А, обозначается через А-1, так что В= А-1. Для матрицы А обратная ей матрица А-1 определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

		(А-1)=(А)-1;

		(А-1)-1=А;

		(А1А2)-1=А2-1А1-1;

		(АТ)-1=(А-1)Т.

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:



Предположим, что А0. Построим следующую матрицу С следующим образом:



где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.

Чтобы получить матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на А, т.е. матрица А-1 будет иметь следующий вид:





Пусть матрица А, имеет следующий вид:



Чтобы найти матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо:

вычислить определитель матрицы (А= -3);

найти алгебраические дополнения элементов аij  в определителе матрицы А:



составить присоединённую матрицу С по формуле (2);

разделить все элементы матрицы С на А.

Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в  программе Excel найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы А.

Включите компьютер. 

Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно Microsoft Word.

Вставьте объект Microsoft Equation  3.0.

Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

		запишите  алгебраическое дополнение А12., используя шаблон нижних индексов;

		вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;

		занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12-А44 (см. рис. 8.1)

	В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel.

Откройте окно Microsoft Excel.

Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel(см. рис. 8.2).



Рис. 8.1							Рис. 8.2

Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒх, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

		активизируйте ячейку D9;

		выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒх в стандартной панели задач;

		в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;

		выделите область A6C8;

		

Рис. 8.3выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК (рис. 8.3).

Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11= -45, А12= 20, А13=1, А14=-17, А21=63, А22= -31, А23=1, А24=25, А31= -6, А32=3, А33=3,33Е-16, А34= -3, А41=12, А42= -5, А43= -1, А44=5.

Как вы видите, значение дополнения А33 записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

		активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;

		на экране компьютера появится контекстное меню;

		выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4); 



Рис. 8.5

			Рис. 8.4	

		после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

		

Рис. 8.6

выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК. После чего алгебраическое дополнение А33=0 см. рис. 8.6



Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.

Найдём в Excel матрицу А-1, обратную для А. Для этого:

		заполните ячейки А22D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).



			Рис. 8.7						Рис. 8.8

		активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28D28; А29А31 и В29D31 (рис. 8.8).

		Выделите область А28D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).



			Рис. 8.9						Рис. 8.10

Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

		выделите область F28I31;

		воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций  ƒх (категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);

		на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.



Задания для самостоятельной работы.



1)

2

2

-1

1



1

-0,5

0,5

-1

2)

3

4

1

2



6 1/3

-4 1/6

-2 1/3

2 5/6



4

3

-1

2

ответ:

1

0,5

-0,5

0



3

5

3

5

ответ:

-5

3,5

2

-2,5



8

5

-3

4



-1

1,5

-0,5

0



6

8

1

5



2

-0,5

-1

0,5



3

3

-2

2



-4

1,5

-0,5

2



3

5

3

7



0

-0,5

0

0,5









































3)

2

3

11

5



- 2/7

2/7

5/7

- 1/7

4)

2

-2

0

1



1/4

1/6

0

0



1

1

5

2

ответ:

1 2/7

-2 4/5

2/7

- 1/3



2

3

1

-3

ответ:

- 1/6

0

0

1/8



2

1

3

2



- 1/7

2/3

- 1/7

0



3

4

-1

2



3/8

- 1/2

- 1/3

1 1/7



1

1

3

4



- 1/7

1/7

- 1/7

3/7



1

3

1

-1



1/8

- 2/5

0

4/9

5)

2

-2

0

1



1/4

1/6

0

0

6)

2

5

4

1



1

- 1/3

- 1/2

1/7



2

3

1

-3

ответ:

- 1/6

0

0

1/8



1

3

2

1

ответ:

- 4/5

1 5/7

0

0



3

4

-1

2



3/8

- 1/2

- 1/3

1 1/7



2

10

9

7



5/6

-2

1/5

0



1

3

1

-1



1/8

- 2/5

0

4/9



3

8

9

20



- 1/5

2/7

0

0









































7)

1

1

-6

-4



- 1/9

1/4

0

0

8)

4

-3

1

5



1/2

0

- 3/5

1/3



3

-1

-6

-4

ответ:

2/5

- 1/4

0

0



1

-2

-2

-3

ответ:

1/2

- 2/9

- 8/9

2/5



2

3

9

2



- 1/9

0

0

0



3

-1

2

0



- 1/2

- 1/9

1

- 2/7



3

2

3

8



0

0

0

1/9



2

3

2

-8



1/5

- 1/9

- 1/4

0









































9)

7

9

4

2



1

0,6

-2

1,4

10)

2

-1

-6

3



- 2/9

3/8

0

-1 1/6



2

-2

1

1

ответ:

0

-0,2

0

0,2



7

-4

2

-15

ответ:

0

1/4

- 1/3

-1 1/6



5

6

3

2



-1

-0,6

3

-3,4



1

-2

-4

9



- 2/7

1/8

0

- 1/3



2

3

1

1



-1

0

1

1



1

-1

2

-6



- 1/8

0

0

- 2/7









































11)

6

5

-2

4



0

- 1/3

3/4

3/7

12)

3

-2

-5

1



0

1/4

2/5

0



9

-1

4

-1

ответ:

0

1/9

- 1/5

- 1/5



2

-3

1

5

ответ:

- 1/6

0

3/8

1/5



3

4

2

-2



- 1/6

1 2/7

-2 1/4

-1 1/4



1

2

0

-4



- 1/7

1/6

1/9

0



3

-9

0

2



0

1

-2

-1



1

-1

-4

9



0

0

0

1/9









































13)

2

-3

3

2



0

0

0

0

14)

1

1

-6

-4



- 1/9

1/4

0

0



6

9

-2

-1

ответ:

0

1/6

0

0



3

-1

-6

-4

ответ:

2/5

- 1/4

0

0



10

3

-3

-2



2/3

1/2

- 1/7

- 1/3



2

3

9

2



- 1/9

0

0

0



8

6

1

3



- 1/2

- 1/2

0

1/2



3

2

3

8



0

0

0

1/9









































15)

1

2

3

-2



0

1/9

1/6

1/9























2

-1

-2

-3

ответ:

1/9

0

1/9

- 1/6























3

2

-1

2



1/6

- 1/9

0

1/9























2

-3

2

1



- 1/9

- 1/6

1/9

0