Шпаргалка по математике

Шпаргалка по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(ab)=a2ab+b

(ab)=a3ab+3abb

a-b=(a+b)(a-b)

ab=(ab)(a∓ab+b),

(a+b)=a+b+3ab(a+b)

(a-b)=a-b-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+axn-3+...+an-1)

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)   

где x1 и x2  корни уравнения

ax+bx+c=0 

  

Степени и корни :

apag = ap+g 

ap:ag=a p-g 

(ap)g=a pg 

ap /bp = (a/b)p

apbp = abp 

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

pa =b => bp=a

papb = pab  

a ; a  0

      ____

    /   __         _

p ga    = pga

    ___       __

pkagk =  pag 

 p  ____

   /    a            pa    

  /    =  

     b             pb

a 1/p = pa  

pag = ag/p



Квадратное уравнение

ax+bx+c=0; (a0)

x1,2= (-bD)/2a; D=b -4ac

D>0 x1x2 ;D=0 x1=x2

D<0, корней нет.              

Теорема Виета:

 x1+x2 = -b/a  

 x1 x2 = c/a  

 Приведенное кв. Уравнение:

x + px+q =0

 x1+x2 = -p

 x1x2 = q 

 Если p=2k (p-четн.)

и x+2kx+q=0, то x1,2  = -k(k-q)

Нахождение длинны отр-ка 

по его координатам 

((x2-x1)-(y2-y1))

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a0 

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga  x = b;  x = ab

loga b = 1/(log b a) 

logaxy = logax + loga y   

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x                           

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an  = a1 +d(n-1)

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n                

Геометрическая

 bn  = bn-1   q

b2n = bn-1 bn+1

bn = b1qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q) 

S= b1/(1-q)

           

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin 

sin (/2 -) =  cos 

cos (/2 -) = sin 

cos ( + 2k) = cos 

sin  ( + 2k) = sin 

tg  ( + k) = tg 

ctg ( + k) = ctg 

sin  + cos  =1

ctg  = cos / sin ,   n, nZ

tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ

1+tg = 1/cos , (2n+1)/2

1+ ctg =1/sin ,  n 

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y  /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)            

x, y, x - y  /2 + n 

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin  cos 

cos 2 = cos  - sin  = 2 cos  - 1 =

= 1-2 sin 

tg 2 = (2 tg)/ (1-tg)

1+ cos  = 2 cos /2

1-cos = 2 sin /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tg(/2)) 

 Ф-лы половинного аргумента.

sin /2 = (1 - cos )/2

cos/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin              

   + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)          

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) 

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

                      sin (x+y)

tg x + tg y = —————       

                     cos x cos y  

                    sin (x - y)             

tg x - tgy =  —————                 

                    cos x cos y         

Формулы преобр. произв. в сумму   

sin x sin y = (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))



Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)             

cos x =  (1-tg2 2/x)/ (1+ tg x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin = 1/(1+ctg) = tg/(1+tg)

cos = 1/(1+tg) = ctg / (1+ctg)

ctg2 = (ctg-1)/ 2ctg

sin3 = 3sin -4sin = 3cossin-sin

cos3 = 4cos-3 cos=  

= cos-3cossin

tg3 = (3tg-tg)/(1-3tg)

ctg3 = (ctg-3ctg)/(3ctg-1)

sin /2 = ((1-cos)/2)

cos /2 = ((1+cos)/2)

tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=

sin/(1+cos)=(1-cos)/sin

ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=

sin/(1-cos)= (1+cos)/sin



sin(arcsin ) = 

cos( arccos ) = 

tg ( arctg ) = 

ctg ( arcctg ) = 

arcsin (sin) =  ;  [-/2 ; /2]

arccos(cos ) =  ;   [0 ; ]

arctg (tg ) =  ;  [-/2 ; /2]

arcctg (ctg ) =  ;   [ 0 ; ]

arcsin(sin)=

1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]

2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]

arccos (cos) =

1) -2k ; [2k;(2k+1)]

2) 2k- ; [(2k-1); 2k]

arctg(tg)= -k

(-/2 +k;/2+k)

arcctg(ctg) =  -k

(k; (k+1)) 

arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =

= arctg /(1-)

arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =

 = arc ctg/(1-)

arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =

= arcsin /(1+)

arc ctg  = -arc cctg(-) =

= arc cos /(1-)

arctg  = arc ctg1/ =

= arcsin /(1+)= arccos1/(1+)

arcsin  + arccos = /2

arcctg  + arctg = /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m|  1

x = (-1)n arcsin m + k, k Z

sin x =1               sin x = 0 

x = /2 + 2k       x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m|  1

x =  arccos m + 2k

cos x = 1    cos x = 0

x = 2k       x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t)/(1+t) 

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

 logaf(x) >(<) log a (x)

1. a>1, то :  f(x) >0

                   (x)>0

                    f(x)>(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

                     (x)>0

                     f(x)<(x)

3. log f(x) (x) = a    

ОДЗ: (x) > 0

 f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой .... 

3.

sin x - sin 2x + 3 cos x =2

sin x - 2 sin x cos x + 3 cos  x = 2 sin x + cos x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0, 

а такое невозможно, => можно поделить на cos x



Тригонометрические нер-ва :

sin   m

2k+1    2+ 2k

2k+2   (1+2)+ 2k

Пример:

I cos (/8+x) < 3/2

  k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k

  2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;

II sin   1/2

2k +5/6  13/6 + 2k

cos  () m

2k + 1 < < 2+2 k

2k+2< < (1+2) + 2k

cos   - 2/2

2k+5/4  11/4 +2k

tg () m

k+ arctg m  arctg m + k

ctg () m

k+arcctg m < < +k



Производная:

(xn)’ = n xn-1

(ax)’ =  ax ln a

(lg ax )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos x

(ctg x)’ =  - 1/sinx

(arcsin x)’ = 1/ (1-x)

(arccos x)’ = - 1/ (1-x)

(arctg x)’ = 1/ (1+x)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+x)

Св-ва:

(u  v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v 

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х



Интегралы :

 xn dx = xn+1/(n+1) + c

 ax dx = ax/ln a + c

 ex dx = ex + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos x =  tg x + c 

 1/sin x = - ctg x + c 

 1/(1-x) dx = arcsin x +c

 1/(1-x) dx = - arccos x +c

 1/1+ x dx =  arctg x + c  

 1/1+ x dx = - arcctg x + c  



Площадь криволенейной трапеции.

  

 Геометрия

Треугольники



 +  +  =180

Теорема синусов

a = b+c - 2bc cos 

b = a+c - 2ac cos 

c = a + b - 2ab cos 

 Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит 

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=(a+b+c)

         _____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c) 

S = ab sin 

Sравн.=(a3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция. 





S = (a+b)/2 h

Круг



S=  R

Sсектора=(R)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=SоснР

Прямоугольный

 V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

       H .               _____

V =  3    (S1+S2+S1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2 

Конус

V=1/3 RH

Sбок. =Rl

Sбок.= R(R+1)

Усеченный

Sбок.= l(R1+R2)

V=1/3H(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.H

прямая: Sбок.=Pосн.H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпсa

V = Sпсa, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

 Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=RH ; Sбок.= 2RH

Sполн.=2R(H+R)

Sбок.= 2RH

Сфера и шар .

V = 4/3 R - шар

S = 4R - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 RH

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=H(R-H/3)

S=2RH



град









   0

 30

 45

 60

 90

120

135



180

   

-/2

-/3

-/4

-/6

   0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

3/6

  

sin

  -1

-3/2

-2/2

- 

   0

  

2/2

3/2

   1





  - 

  0

cos









   1

3/2

2/2

  

   0

 - 

-2/2

- 3/2

 -1

tg

  

 -3

  -1

-1/3

   0

1/3

   1

 3

   

 -3

  -1



  0

ctg









  ---

  3

   1

1/3

   0

-1/3

  -1



  --



n

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

9

16

25

36

49

64

81

3

8

27

64

125

216

343

512

729

4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

6

64

729

4096

15625

46656

7

128

2181

8

256

6561





-

-

+

/2-

/2+

3/2 - 

3/2+

sin

-sin

sin

-sin

cos

cos

-cos

-cos

cos

cos

-cos

-cos

sin

-sin

-sin

sin

tg

-tg

-tg

tg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

-ctg

ctg

tg

-tg

tg

-tg