Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь

Дипломна робота



Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь






ВВЕДЕННЯ



У стародавності тригонометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії, будівельної справи, тобто носила чисто геометричний характер і представляла головним чином <<вирахування хорд>>. Згодом у неї почали вкраплятися деякі аналітичні моменти. У першій половині 18-го століття відбувся різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла новий напрямок і змістилася убік математичного аналізу. Саме в цей час тригонометричні залежності стали розглядатися як функції.

Тригонометричні рівняння одна із самих складних тем у шкільному курсі математики. Тригонометричні рівняння виникають при рішенні задач по планіметрії, стереометрії, астрономії, фізики й в інших областях. Тригонометричні рівняння й нерівності рік у рік зустрічаються серед завдань централізованого тестування.

Найважливіша відмінність тригонометричних рівнянь від алгебраїчних полягає в тому, що в алгебраїчних рівняннях кінцеве число корінь, а в тригонометричних нескінченне, що сильно ускладнює відбір корінь. Ще одною специфікою тригонометричних рівнянь є не одиничність форми запису відповіді.

Дана дипломна робота присвячена методам рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей.

Дипломна робота складається з 6 розділів.

У першому розділі наведені основні теоретичні відомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; таблиця значень тригонометричних функцій для деяких аргументів; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули вираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції.

У другому розділі викладені основні методи рішення тригонометричних рівнянь. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, що може <<спантеличити>> при рішенні тестів, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.

У третьому розділі розглядаються нестандартні тригонометричні рівняння, рішення яких засноване на функціональному підході.

У четвертому розділі розглядаються тригонометричні нерівності. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів.

У п'ятому розділі представлені найбільш складні завдання: коли необхідно не тільки вирішити тригонометричне рівняння, але й зі знайдених корінь відібрати корінь, що задовольняють якій-небудь умові. У даному розділі наведені рішення типових завдань на відбір корінь. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корінь: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах (діафантових).

У шостому розділі представлені задачі для самостійного рішення, оформлені у вигляді тесту. В 20 завданнях тесту наведені найбільш складні завдання, які можуть зустрітися на централізованому тестуванні.




ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ



Елементарні тригонометричні рівняння



Елементарні тригонометричні рівняння - це рівняння виду







де  - одна із тригонометричних функцій



, , , .



Елементарні тригонометричні рівняння мають нескінченно багато корінь. Наприклад, рівнянню







задовольняють наступні значення



, , , 



і т.д. Загальна формула по який перебувають всі коріння рівняння



, де , така:





Тут  може приймати будь-які цілі значення, кожному з них відповідає певний корінь рівняння; у цій формулі (так само як і в інших формулах, по яких вирішуються елементарні тригонометричні рівняння)  називають параметром. Записують звичайно , підкреслюючи тим самим, що параметр  приймати будь-які цілі значення.

Рішення рівняння







де , перебувають по формулі 







Рівняння  вирішується застосовуючи формулу







а рівняння  -по формулі 







Особливо відзначимо деякі окремі випадки елементарних тригонометричних рівнянь, коли рішення може бути записане без застосування загальних формул: 





























При рішенні тригонометричних рівнянь важливу роль грає період тригонометричних функцій. Тому приведемо дві корисні теореми:



Теорема  Якщо  --- основний період функції , то число  є основним періодом функції . 

Періоди функцій  і  називаються порівнянними, якщо існують натуральні числа  й , що .

Теорема  Якщо періодичні функції  й , мають порівнянні  й , те вони мають загальний період







що є періодом функцій



, , 



У теоремі говориться про те, що  є періодом функції

, , 



і не обов'язково є основним періодом. Наприклад, основний період функцій



 і  - 



а основний період їхнього добутку - .



Введення допоміжного аргументу



Стандартним шляхом перетворення виражень виду



 є



наступний прийом: нехай  - кут, що задається рівностями 









Для будь-яких  і  такий кут існує. У такий спосіб 







Якщо



,  або , ,  в інших випадках 


Схема рішення тригонометричних рівнянь



Основна схема, який ми будемо керуватися при рішенні тригонометричних рівнянь наступна:

рішення заданого рівняння зводиться до рішення елементарних рівнянь. Засоби рішення -і- перетворення, розкладання на множники, заміна невідомих. Провідний принцип -і- не втрачати корінь. Це означає, що при переході до наступного рівняння (рівнянням) ми не побоюємося появи зайвих (сторонніх) корнів, а піклуємося лише про те, щоб кожне наступне рівняння нашої "ланцюжка" (або сукупність рівнянь у випадку розгалуження) було наслідком попередні. Одним з можливих методів відбору корнів є перевірка. Відразу помітимо, що у випадку тригонометричних рівнянь труднощі, пов'язані з відбором корнів, з перевіркою, як правило, різко зростають у порівнянні з алгебраїчними рівняннями. Адже перевіряти доводиться серії, що складаються з нескінченного числа членів.

Особливо варто сказати про заміну невідомих при рішенні тригонометричних рівнянь. У більшості випадків після потрібної заміни виходить алгебраїчне рівняння. Більше того, не так уже й рідкі рівняння, які, хоча і є тригонометричними по зовнішньому вигляді, по суті такими не є, оскільки вже після першого кроку -і- заміни змінних -і- перетворюються в алгебраїчні, а повернення до тригонометрії відбувається лише на етапі рішення елементарних тригонометричних рівнянь.

Ще раз нагадаємо: заміну невідомого варто робити з першою нагодою, що вийшла після заміни рівняння необхідно вирішити до кінця, включаючи етап відбору корнів, а потім вернеться до первісного невідомого.

Одна з особливостей тригонометричних рівнянь полягає в тім, що відповідь у багатьох випадках може бути записаний різними способами. Навіть для рішення рівняння  відповідь може бути записаний у такий спосіб:


1) у вигляді двох серій



, , 



2) у стандартній формі що представляє собою об'єднання зазначених вище серій



, 



3) оскільки 







те відповідь можна записати у вигляд



, 



(Надалі наявність параметра , ,  або  в записі відповіді автоматично означає, що цей параметр приймає всілякі цілочисленні значення. Виключення будуть обмовлятися.)

Очевидно, що трьома перерахованими випадками не вичерпуються всі можливості для запису відповіді розглянутого рівняння (їх нескінченно багато).

Наприклад, при  справедливо рівність






Отже, у двох перших випадках, якщо , ми можемо замінити



 на 



Звичайно відповідь записується на підставі пункту 2. Корисно запам'ятати наступну рекомендацію: якщо на рішенні рівняння  робота не закінчується, необхідно ще провести дослідження, відбір корнів, те найбільш зручна форма запису, зазначена в пункті 1. (Аналогічну рекомендацію варто дати й для рівняння .)

Розглянемо приклад.

Приклад  Вирішити рівняння 







Рішення. Найбільш очевидним є наступний шлях. Дане рівняння розпадається на два



 і 

Вирішуючи кожне з них і поєднуючи отримані відповіді, знайдемо







Інший шлях. Оскільки



,



те, заміняючи  й  по формулах зниження ступеня. Після невеликих перетворень одержимо 

 Звідки 



На перший погляд ніяких особливих переваг у другої формули в порівнянні з першої немає. Однак, якщо візьмемо, наприклад, 







те виявиться, що







тобто рівняння







має рішення







у той час як перший спосіб нас приводить до відповіді







Побачити" і довести рівність



 не так просто.

Відповідь. 

Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь



Будемо розглядати арифметичну прогресію, що нескінченно простирається в обидва боки. Члени цієї прогресії можна розбити на дві групи членів, що розташовуються вправо й уліво від деякого члена, називаного центральним або нульовим членом прогресії.

Фіксуючи один зі членів нескінченної прогресії нульовим номером, ми повинні будемо вести подвійну нумерацію для всіх членів, що залишилися: позитивну для членів, розташованих вправо, і негативну для членів, розташованих уліво від нульового.

У загальному випадку, якщо різниця прогресії , нульовий член , формула для кожного ( -го) члена нескінченної арифметичної прогресії представляє вид: 







Перетворення формули для будь-якого члена нескінченної арифметичної прогресії



1. Якщо до нульового члена  додати або відняти різниця прогресії , то від цього прогресія не зміниться, а тільки переміститься нульовий член, тобто зміниться нумерація членів.

2. Якщо коефіцієнт при змінній величині  помножити на , то від цього відбудеться лише перестановка правої й лівої груп членів.

3. Якщо  послідовних членів нескінченної прогресії








наприклад



, , , ..., 



зробити центральними членами  прогресій з однаковою різницею, рівної :







те прогресія  й ряд прогресій  виражають собою ті самі числа.

Приклад Ряд







може бути замінений наступними трьома рядами



, , 



4. Якщо  нескінченних прогресій з однаковою різницею  мають центральними членами числа, що утворять арифметичну прогресію з різницею , то ці  рядів можуть бути замінені одною прогресією з різницею , і із центральним членом, рівним кожному із центральних членів даних прогресій, тобто якщо






те ці  прогресій поєднуються в одну







Приклад



, , , 



обидві поєднуються в одну групу



, тому що 



Для перетворення груп, що мають загальні рішення, у групи, загальних рішень не дані групи, що мають, розкладають на групи із загальним періодом, а потім об'єднати групи, що вийшли, виключивши повторювані.



Розкладання на множники



Метод розкладання полягає в наступному: якщо






те всяке рішення рівняння







є рішення сукупності рівнянь



	



Зворотне твердження, загалом кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що рішення окремих рівнянь  можуть не входити в область визначення функції .



Приклад  Вирішити рівняння 







Рішення. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, рівняння представимо у вигляді





Відповідь.; 



Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток



Приклад  Вирішити рівняння





Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівносильне рівняння





Відповідь. 



Приклад  Вирішити рівняння







Рішення. У цьому випадку, перш ніж застосовувати формули суми тригонометричних функцій, варто використовувати формулу приведення 







У підсумку одержимо рівносильне рівняння 





Відповідь. , .



Рішення рівнянь добутку тригонометричних функцій у суму



При рішенні ряду рівнянь застосовуються формули.

Приклад  Вирішити рівняння






Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:





Відповідь. , 



Приклад Вирішити рівняння 



. 



Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:



.

Відповідь. 



Рішення рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня



При рішенні широкого кола тригонометричних рівнянь ключову роль грають формули.



Приклад  Вирішити рівнянн







Рішення. Застосовуючи формулу, одержимо рівносильне рівняння.










.

Відповідь. ; .



Рішення рівнянь із формул потрійного аргументу



Приклад Вирішити рівняння







Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівняння





Відповідь. ; .



Приклад  Вирішити рівняння



. 



Рішення



Застосуємо формули зниження ступеня одержимо





Застосовуючи  одержуємо





Відповідь. ; 



Рівність однойменних тригонометричних функцій











Приклад  Вирішити рівняння



.



Рішення





Відповідь. , .



Приклад  Вирішити рівняння 





Рішення. Перетворимо рівняння





Відповідь. .



Приклад  Відомо, що  й  задовольняють рівнянню 





Знайти суму . 



Рішення. З рівняння треба, що 







Відповідь. 



Помноження на деяку тригонометричну функцію



Розглянемо суми виду









Дані суми можна перетворити в добуток, до множив і розділивши їх на


, тоді одержимо





Зазначений прийом може бути використаний при рішенні деяких тригонометричних рівнянь, однак варто мати на увазі, що в результаті можлива поява сторонніх корінь. Приведемо узагальнення даних формул:











Приклад Вирішити рівняння







Рішення. Видно, що множина  є рішенням вихідного рівняння. Тому множення лівої й правої частини рівняння на  не приведе до появи зайвих корінь.



Маємо 

Відповідь. ; 



Приклад Вирішити рівняння







Рішення. До множимо ліву й праву частини рівняння на 







й застосувавши формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, отримаємо







Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь



 і , звідки  й 



Тому що корінь рівняння







не є коріннями рівняння, то з отриманих множин рішень варто виключити





Значить у множині 



 потрібно виключити .

Відповідь.  і , .



Приклад  Вирішити рівняння







Рішення. Перетворимо вираження









Рівняння запишеться у вигляді





Приймаючи , одержуємо . , 

Отже



Відповідь. 



Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних




Зведених до квадратних

Якщо рівняння має вигляд







те заміна  приводить його до квадратного, оскільки 



 ( ) і .



Якщо замість доданка  буде, то потрібна заміна буде







Рівняння







зводиться до квадратного рівняння 







поданням  як . Легко перевірити, що  при яких , не є коріннями рівняння, і, зробивши заміну , рівняння зводиться до квадратного.

Приклад Вирішити рівняння







Рішення. Перенесемо  в ліву частину, замінимо її на

,  і  виразимо через  і 



Після спрощень одержимо







Розділимо по членне на , зробимо заміну :







Вертаючись до , знайдемо







Рівняння, однорідні відносно , 

Розглянемо рівняння виду



					



де , , , ..., ,  --- дійсні числа. У кожному складати^ся лівої частини рівняння  ступеня одночленів рівні , тобто сума ступенів синуса й косинуса та сама й дорівнює . Таке рівняння називається однорідним відносно  й , а число  називається показником однорідності.

Ясно, що якщо , те рівняння прийме вид:






рішеннями якого є значення , при яких , тобто числа , . Друге рівняння, записане в дужках також є однорідним, але ступеня на 1 нижче.

Якщо ж , то ці числа не є коріннями рівняння .

При  одержимо: ,  і ліва частина рівняння (1) приймає значення .

Отже, при ,  і , тому можна розділити обидві частини рівняння на . У результаті одержуємо рівняння:







яке, підстановкою  легко зводиться до алгебраїчного: 







Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При  маємо рівняння .

Якщо , то це рівняння рівносильне рівнянню

, , звідки , 



Приклад  Вирішите рівняння





Рішення. Це рівняння однорідне першого ступеня . Розділимо обидві його частини на  одержимо:



, , , 

Відповідь. .



Приклад  При  одержимо однорідне рівняння виду 







Рішення



Якщо , тоді розділимо обидві частини рівняння на , одержимо рівняння , що підстановкою  легко приводиться до квадратного: . Якщо , то рівняння має дійсні коріння , . Вихідне рівняння буде мати дві групи рішень: ,  , .

Якщо , то рівняння не має рішень.



Приклад  Вирішите рівняння . 



Рішення



Це рівняння однорідне другого ступеня. Розділимо обидві честі рівняння на , одержимо


Нехай , тоді

, , . , , ;

, , 

Відповідь. 



До рівняння виду  зводиться рівняння





Для цього досить скористатися тотожністю









Зокрема, рівняння





зводиться до однорідного, якщо замінити  на



 



тоді одержимо рівносильне рівняння



 






Приклад Вирішите рівняння







Рішення. Перетворимо рівняння до однорідного









Розділимо обидві частини рівняння на , одержимо рівняння:







Нехай , тоді приходимо до квадратного рівняння



, , , , .





Відповідь. .



Приклад  Вирішите рівняння








Рішення



Зведемо обидві частини рівняння у квадрат, з огляду на, що вони мають позитивні значення:



, 







Нехай , тоді одержимо



, ,  

Відповідь. 



Рівняння, розв'язувані за допомогою тотожностей 







Корисно знати наступні формули







Приклад  Вирішити рівняння








Рішення. Використовуючи , одержуємо







Відповідь. 



Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього висновку:





отже,



Аналогічно, .



Приклад  Вирішити рівняння . 



Рішення. Перетворимо вираження



:

.



Рівняння запишеться у вигляді






Приймаючи , одержуємо



. , . Отже

Відповідь. .



Універсальна тригонометрична підстановка



Тригонометричне рівняння виду 







де  --- раціональна функція за допомогою формул  -- , а так само за допомогою формул --  можна звести до раціонального рівняння щодо аргументів , , , , після чого рівняння може бути зведене до алгебраїчного раціонального рівняння відносно 







за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки



							

								



Слід зазначити, що застосування формул  може приводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки  не визначений у крапках , тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути , коріннями вихідного рівняння.



Приклад  Вирішити рівняння







Рішення. За умовою задачі . Застосувавши формули  й зробивши заміну , одержимо 





звідки  й, отже, .



Рівняння виду







Рівняння виду







де  --- багаточлен, вирішуються за допомогою замін невідомих



						

Приклад Вирішити рівняння







Рішення. Зробивши заміну  й з огляду на, що



, одержимо



звідки , .  - сторонній корінь, тому що 







Коріннями рівняння



 є .



НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ



Використання обмеженості функцій



У практиці тестування не так вуж рідко зустрічаються рівняння, рішення яких ґрунтується на обмеженості функцій  і . Наприклад:



Приклад  Вирішити рівняння . 



Рішення. Оскільки



, 


те ліва частина не перевершує  й дорівнює , якщо







Для знаходження значень , що задовольняють обом рівнянням, надійдемо в такий спосіб. Вирішимо одне з них, потім серед знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншому

Почнемо із другого:



, 

Тоді , .

Зрозуміло, що лише для парних  буде .

Відповідь. .



Інша ідея реалізується при рішенні наступного рівняння:



Приклад  Вирішити рівняння



. 



Рішення. Скористаємося властивістю показової функції



, 



Склавши по членне ці нерівності будемо мати





Отже ліва частина даного рівняння дорівнює  тоді й тільки тоді, коли виконуються дві рівності







т. е.  може приймати значення , , , а  може приймати значення , .

Відповідь. , .



Приклад  Вирішити рівняння 







Рішення , . Отже,



Відповідь. .



Приклад  Вирішити рівняння 



							



Рішення. Позначимо , тоді з визначення зворотної тригонометричної функції  маємо  й .

Тому що , те з рівняння  треба нерівність , тобто . Оскільки  й , те  й . Однак  і тому .

Якщо  й , то . Тому що раніше було встановлено, що , те .

Відповідь. , .

Приклад  Вирішити рівняння









Рішення. Областю припустимих значень рівняння  є .

Спочатку покажемо, що функція

 при будь-яких  може приймати тільки позитивні значення.

Представимо функцію  в такий спосіб







Оскільки







те має місце , тобто .



Отже, для доказу нерівності , необхідно показати, що 





Із цією метою зведемо в куб обидві частини даної нерівності, тоді











Отримана чисельна нерівність свідчить про те, що . Якщо при цьому ще врахувати, що , то ліва частина рівняння  ненегативна.

Розглянемо тепер праву частину рівняння .



Тому що , те

.



Однак відомо, що







Звідси треба, що







тобто права частина рівняння  не перевершує . Раніше було доведено, що ліва частина рівняння  ненегативна, тому рівність у  може бути тільки в тому випадку, коли обидві його частини рівні , а це можливо лише при .



Відповідь. .


Приклад  Вирішити рівняння







Рішення. Позначимо



 й .



Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, одержуємо







Звідси треба, що 





C іншої сторони має місце







Отже, рівняння не має корінь.



Відповідь. .



Приклад  Вирішити рівняння








Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді





Відповідь. .



Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь



Не всяке рівняння  в результаті перетворень може бути зведене до рівняння того або іншого стандартного виду, для якого існує певний метод рішення. У таких випадках виявляється корисним використовувати такі властивості функцій  і , як монотонність, обмеженість, парність, періодичність і ін. Так, якщо одна з функцій убуває, а друга зростає на проміжку , то при наявності в рівняння  кореня на цьому проміжку, цей корінь єдиний, і тоді його, наприклад, можна знайти підбором. Якщо ж функція  обмежена зверху, причому , а функція  обмежена знизу, причому , то рівняння  рівносильне системі рівнянь







Приклад  Вирішити рівняння








Рішення. Перетворимо вихідне рівняння до виду







і вирішимо його як квадратне відносно . Тоді одержимо







Вирішимо перше рівняння сукупності. Урахувавши обмеженість функції , доходимо висновку, що рівняння може мати корінь тільки на відрізку . На цьому проміжку функція  зростає, а функція  убуває. Отже, якщо це рівняння має корінь, то він єдиний. Підбором знаходимо .

Відповідь. .



Приклад  Вирішити рівняння 







Рішення. Нехай 



,  і 



тоді вихідне рівняння можна записати у вигляді функціонального рівняння







Оскільки







функція непарна, те 



.



У такому випадку одержуємо рівняння





Тому що ,  і 



монотонна на







те рівняння



 рівносильне рівнянню



, тобто , що має єдиний корінь .

Відповідь. 


Приклад  Вирішити рівняння







Рішення. На підставі теореми про похідну складну функцію ясно, що функція  убутна (функція  убутна,  зростаюча,  убутна). Звідси зрозуміло, що функція  певна на , що убуває. Тому дане рівняння має не більше одного кореня. Тому що , те

Відповідь. .



Приклад  Вирішити рівняння . 



Рішення. Розглянемо рівняння на трьох проміжках.

а) Нехай . Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню . Яке на проміжку  рішень не має, тому що , , а . На проміжку  вихідне рівняння так само не має корінь, тому що , а .

б) Нехай . Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню







коріннями якого на проміжку  є числа , , , .



в) Нехай . Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню





Яке на проміжку  рішень не має, тому що , а . На проміжку  рівняння так само рішень не має, тому що



, , а 

Відповідь. , , , .



Метод симетрії



Метод симетрії зручно застосовувати, коли у формулюванні завдання присутня вимога одиничності рішення рівняння, нерівності, системи й т.п. або точна вказівка числа рішень. При цьому варто виявити яку-небудь симетрію заданих виражень.

Потрібно також ураховувати різноманіття різних можливих видів симетрії.

Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів у міркуваннях із симетрією.

Звичайно симетрія дозволяє встановити лише необхідні умови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.



Приклад  Знайти всі значення параметра , при яких рівняння 



 має єдине рішення.



Рішення. Помітимо, що  й  --- парні функції, тому ліва частина рівняння є парна функція.

Значить якщо  --- рішення рівняння, тобто  також рішення рівняння. Якщо  --- єдине рішення рівняння, те, необхідно, .

Відберемо можливі значення , зажадавши, щоб  було коренем рівняння.







Відразу ж відзначимо, що інші значення  не можуть задовольняти умові задачі.

Але поки не відомо, чи всі відібрані  в дійсності задовольняють умові задачі.

Достатність



1) , рівняння прийме вид  .

2) , рівняння прийме вид: 



Очевидно, що , для всіх  і 



Отже, останнє рівняння рівносильне системі:







Тим самим, ми довели, що при , рівняння має єдине рішення.

Відповідь. .

тригонометричний рівняння комбінований графічний


Рішення з дослідженням функції



Приклад   Доведіть, що всі рішення рівняння 







і- цілі числа.

Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює . Тому спочатку досліджуємо це рівняння на відрізку







Перетворимо рівняння до виду







За допомогою мікрокалькулятора одержуємо







Знаходимо







Якщо , то з попередніх рівностей одержуємо








Вирішивши отримане рівняння, одержимо







Виконані обчислення представляють можливість припустити, що коріннями рівняння, що належать відрізку



, є ,  і 



Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Таким чином, доведено, що коріннями рівняння є тільки цілі числа



, 



Приклад  Вирішите рівняння 



Рішення. Знайдемо основний період рівняння. У функції  основний період дорівнює . Основний період функції  дорівнює . Найменше загальне кратне чисел  і  дорівнює . Тому основний період рівняння дорівнює . Нехай .

Очевидно,  є рішенням рівняння. На інтервалі . Функція  негативна. Тому інших корінь рівняння варто шукати тільки на інтервалах


 і 



За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемо наближені значення корінь рівняння. Для цього становимо таблицю значень функції 







на інтервалах



 і ; тобто на інтервалах  і 



 







 0

0

202,5

0,85355342

3

-0,00080306

207

0,6893642

6

 -0,00119426

210

0,57635189

9

 -0,00261932

213

0,4614465

12

-0,00448897

216

0,34549155

15

-0,00667995

219

0,22934931

18

-0,00903692

222

0,1138931

21

-0,01137519

225

0,00000002

24

-0,01312438

228

-0,11145712

27

-0,01512438

231

-0,21961736

30

-0,01604446

234

-0,32363903

33

-0,01597149

237

-0,42270819

36

-0,01462203

240

-0,5160445

39

-0,01170562

243

-0,60290965

42

-0,00692866

246

-0,65261345

45

0,00000002 

249

-0,75452006

48

0,00936458 

252

-0,81805397

51

0,02143757 

255

-0,87270535

54

0,03647455 

258

-0,91803444

57

0,0547098 

261

-0,95367586

60

0,07635185 

264

-0,97934187

63

0,10157893 

267

-0,99482505

66

0,1305352 

270

-1

67,5

0,14644661







З таблиці легко вбачаються наступні гіпотези: коріннями рівняння, що належать відрізку , є числа: ; ; . Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу.



Відповідь. ; ; .



ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ



Рішення тригонометричних нерівностей за допомогою одиничної окружності

При рішенні тригонометричних нерівностей виду 







де  --- одна із тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричну окружність для того, щоб найбільше наочно представити рішення нерівності й записати відповідь. Основним методом рішення тригонометричних нерівностей є відомість їх до найпростіших нерівностей типу . Розберемо на прикладі, як вирішувати такі нерівності.



Приклад  Вирішите нерівність . 



Рішення. Намалюємо тригонометричну окружність і відзначимо на ній крапки, для яких ордината перевершує 






Для







рішенням даної нерівності будуть



.



Ясно також, що якщо деяке число  буде відрізнятися від якого-небудь числа із зазначеного інтервалу на , те  також буде не менше . Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно просто додати . Остаточно, одержуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усе 





Відповідь. 


Для рішення нерівностей з тангенсом і котангенсом корисне поняття про лінію тангенсів і котангенсів. Такими є прямі  й  відповідно (на малюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричної окружності.







Легко помітити, що якщо побудувати промінь із початком на початку координат, що становить кут  з позитивним напрямком осі абсцис, то довжина відрізка від крапки  до крапки перетинання цього променя з лінією тангенсів у точності дорівнює тангенсу кута, що становить цей промінь із віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й для котангенса.



Приклад  Вирішите нерівність







Рішення



Позначимо , тоді нерівність прийме вид найпростішого: . Розглянемо інтервал  довжиною, рівної найменшому позитивному періоду (НПП) тангенса. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів установлюємо, що . Згадуємо тепер, що необхідно додати , оскільки НПП функції  . Отже,







Вертаючись до змінного , одержуємо, що





Відповідь. 



Нерівності зі зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.



Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом



Помітимо, що якщо  --- періодична функція, то для рішення нерівності   необхідно знайти його рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції . Всі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень , а також всіх , що відрізняються від знайдених на будь-яке ціле число періодів функції .

Розглянемо рішення нерівності  ( ).

Оскільки , те при  нерівність рішень не має. Якщо , то множина рішень нерівності  --- множина всіх дійсних чисел.

Нехай . Функція синус має найменший позитивний період , тому нерівність  можна вирішити спочатку на відрізку довжиною , наприклад, на відрізку







Будуємо графіки функцій



 і  ( )







На відрізку  функція синус зростає, і рівняння , де , має один корінь . На відрізку  функція синус убуває, і рівняння  має корінь . На числовому проміжку  графік функції  розташована вище графіка функції . Тому для всіх  із проміжку ) нерівність  виконується, якщо . У силу періодичності функції синус всі рішення нерівності  задаються нерівностями виду:







Аналогічно вирішуються нерівності , , і т.п.

Приклад  Вирішимо нерівність . 



Рішення. Розглянемо графік функції 







і виберемо із проміжку  на осі  значення аргументу , яким відповідають крапки графіка, що лежать вище осі . Таким проміжком є інтервал . З огляду на періодичність функції  всі рішення нерівності  можна записати так:







Відповідь. 



Приклад  Вирішите нерівність . 



Рішення. Намалюємо графік функції . Знайдемо крапку перетинання цього графіка з горизонтальної прямої .








Це крапка з абсцисою . За графіком видно, що для всіх  графік функції лежить нижче прямій . Отже, ці  й становлять:



Відповідь. 



ВІДБІР КОРНІВ



Проблема відбору корнів, відсівання зайвих корнів при рішенні тригонометричних рівнянь досить специфічна й звичайно виявляється більше складної, чим це мало місце для рівнянь алгебраїчних. Приведемо рішення рівнянь, що ілюструють типові випадки появи сторонніх корнів і методи <<боротьби>> з ними.

Приклад  Знайти найближчий до числа  корінь рівняння 






Рішення











Підставляючи послідовно у формул







замість змінної  виписані вище серії рішень рівнянь, відшукаємо для кожної з них , а потім зрівняємо отримані мінімальні  між собою



a) 



Ясно, що  досягається при , тобто 

б)

.

в) .

г) .

.



Виберемо мінімальне із чисел , . Відразу ясно, що  й що . Залишилося зрівняти  й . Припустимо, що















Остання нерівність --- вірне, а всі зроблені переходи --- рівносильні. Тому вірно вихідна нерівність. Обґрунтуємо рівносиль переходів (*) і (**) (рівносиль інших переходів треба із загальних властивостей числових нерівностей). У випадку перетворення (*), досить помітити, що числа  й  розташований на ділянці  монотонного зростання функції . У випадку переходу (**) формула  справедлива, тому що






Відповідь. 



Приклад  Знайти корінь рівняння: . 



Рішення цього рівняння розпадається на два етапи: 1) рішення рівняння, що виходить із даного піднесенням у квадрат обох його частин; 2) відбір тих корінь, які задовольняють умові . При цьому піклується про умову  немає необхідності. Всі значення , що задовольняють зведеному у квадрат рівнянню, цій умові задовольняють.

Перший крок нас приводить до рівняння , звідки 







Тепер треба визначити, при яких  буде





Для цього досить для  розглянути значення , , , тобто <<обійти один раз коло>>, оскільки далі значення косинуса почнуть повторюватися, що вийшли кути будуть відрізнятися від уже розглянутих на величину, кратну 



Відповідь. , 



Отже, основна схема відбору корнів полягає в наступному. Перебуває найменший загальний період всіх тригонометричних функцій вхідних у рівняння. На цьому періоді відбираються коріння, а потім, що залишилися коріння, періодично тривають.

Приклад  Вирішити рівняння







Рішення. Рівняння рівносильне змішаній системі







Але  - не годиться.

Відповідь. .



Розкриваючи знак модуля одержуємо більше громохке рішення. А відповідь у цьому випадку приймає вид:



Відповідь. 



ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ



Тест по темі <<Тригонометричні рівняння>>



• Об'єднання яких множин , , ,  є рішенням рівняння 





, , 

, .

a) ,  б) ,  в) ,  г) , 



• Вирішите рівняння

a) б) в)  г) 



• Вирішите рівняння 

a) 

б) 

в) 

г) 



• Вирішите рівняння 

a) 

б) 

в) 

г) 



Вирішите рівняння 

a) 


б) 

в) 

г) 



• Серед множин ,  знайдіть рішення рівняння 







і вкажіть ті, які не є підмножинами один одного.



, , ,

, .

а)  б)  в)  г) 



• Серед множин ,  знайдіть рішення рівняння













а)  б)  в)  г)

• Вирішите рівняння





а)  б) 

в)  г) 



• Вирішите рівняння





а) 

б) 

в) 

г) 



• Вирішите рівняння



.

а)  б) 

в)  г) 

• Сума корінь рівняння  на відрізку  дорівнює:



а)  б)  в)  г) 


• Вирішите рівняння







У відповіді записати кількість корінь рівняння, що належать відрізку





а)  б)  в)  г) 



• Вирішити рівняння 

а)  б) 

в)  г) 



• Вирішите рівняння .

a)  б) 

в)  г) 



• Вирішите рівняння 

a) 

б) 

в) 

г) 



Знайдіть найбільший негативний корінь рівняння



a)  б) 

в)  г) 



• Вирішите рівняння  на множині 



a) 

б) 

в) 

г) 



• Вирішите рівняння 



a)  б) 

в)  г) 



• Вирішити рівняння 



а)  б)  в)  г) 



• Вирішите рівняння 

a) 

б)  або 

в)  або  й 

г)  або  й  



Відповіді 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в або г 14а 15в 16в 17в 18а або б 19г 20в




ВИСНОВОК



У даній роботі були розглянуті методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, як найпростіших, так і рівня олімпіади. Були розглянуті основні методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, причому, як специфічні -і- характерні тільки для тригонометричних рівнянь і нерівностей,-і- так і загальні функціональні методи рішення рівнянь і нерівностей, стосовно до тригонометричних рівнянь.

У дипломній роботі наведені основні теоретичні відомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули вираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів. Наведено рішення типових завдань на відбір корнів. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корнів: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах.

Результати даної дипломної роботи можуть бути використані як навчальний матеріал при підготовці курсових і дипломних робіт, при складанні факультативів для школярів, так само робота може застосовуватися при підготовці учнів до вступних іспитів зовнішнього оцінювання.




СПИСОК ДЖЕРЕЛ



 Вигодський Я.Я., Довідник по елементарній математиці. – К., 2003

 Ігудисман О., Математика на усному іспиті. – К., 2001. 

 Азаров А.І., Рівняння., - К., 2005

 Литвиненко В.Н., Практикум по елементарній математиці. – К., 2000

 Шаригін І.Ф., Факультативний курс по математиці: рішення задач. – К., 2000

 Бардушкин В., Тригонометричні рівняння. Відбір корнів. – К., 2005

 Василевський А.Б., Завдання для позакласної роботи з математики. – К., 2005 

Сапунів П. І., Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. – К., 2003

[9]Самусенко А.В., Математика: Типові помилки абітурієнтів. – К., 1991.