Алгебраические группы матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

		Учреждение образования

		"Гомельский государственный университет

		имени Франциска Скорины"

		

		Математический факультет

		Кафедра алгебры и геометрии

		

		

		

		

		

		Курсовая работа

		

		АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

		

		

		

		Исполнитель:

		студентка группы H.01.01.01 М-42 

		Мариненко В.В.

		

		Научный руководитель: 

		доктор физико-математических наук,

		профессор Скиба С.В.

		

		

		

		

		Гомель 2003

		
Содержание

	

	Введение

	1. Алгебраические группы матриц

	1.1 Примеры алгебраических групп матриц

	1.2 О полугруппах

	1.3 Компоненты алгебраической группы

	1.4 О -группах

	2 Ранг матрицы

	2.1 Возвращение к уравнениям

	2.2 Ранг матрицы

	2.3 Критерий совместности

	3 Линейные отображения. Действия с матрицами

	3.1 Матрицы и отображения

	3.2 Произведение матриц

	3.3 Квадратные матрицы

	Заключение

	Список использованных источников


Введение

		

		Множество  матриц -ой степени над  будем рассматривать как аффинное пространство  с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

		Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е.  - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.


1. Алгебраические группы матриц



1.1 Примеры алгебраических групп матриц

		

		Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная: 

		

			

		

		где 

		 - единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

		Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа  (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа  (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

		Централизатор произвольного множества из  в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из  в .

		Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц  из  --- алгебраическая группа. Она обозначается  и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

		Каждую алгебраическую линейную группу из  можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из  в силу формулы 

		
	

		

		Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

		Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму  на .

		Пусть  --- алгебра над  конечной размерности  (безразлично, ассоциативная или нет),  --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в  какую-нибудь базу  и сопоставляя автоморфизмам алгебры  их матрицы в этой базе, мы получим на  строение алгебраической группы. Действительно, пусть 

		

			

		

		т. е.  --- структурные константы алгебры . Пусть далее 

		

			

		

		где . Тогда  задается в матричных координатах  очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений 

		

			

		

		Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

		В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

		

		1.1.1 Если матричная группа  содержит алгебраическую подгруппу  конечного индекса, то  сама алгебраическая.

		Доказательство. Пусть  - аннулятор группы  в ,  - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть  - смежные классы  по . Для каждого  выберем многочлен 

		

			

		

		и положим 

		

			

		

		Очевидно, , . Получили противоречие.

		Пусть  --- алгебраическая группа, ,  --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества 

		

			

		

		где , замкнуты. Если  тоже замкнуто и  --- общее поле квазиопределения для , , , то , ,  квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно  с условием  (соответственно, , ), то можно считать, что  (см. 7.1.5).

		Если на множестве  выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

		

1.2 О полугруппах

		

		Определим действие элементов из  на рациональные функции из , , полагая 

		

			

		

		Для каждого  отображение  (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение  есть изоморфизм полной линейной группы  в группу автоморфизмов расширения .

		Имеет место следующее предложение.

		

		1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из  являются группами. Более общно: замыкание  произвольной полугруппы  --- группа. Более точно: если  --- аннулятор  в , то  совпадает с 

		

			

		

		Здесь вместо  можно написать .

		Доказательство. Во-первых,  и, значит, . Действительно, если ,  и , то , т. е. . Подпространство  многочленов из  степени  отображается оператором  на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё  отображается на себя, как объединение всех .

		Во-вторых, , т. е.  для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём  с условием . Тогда .

		В-третьих, , т. е.  для всех , . Действительно, . Предложение доказано.

		Таким образом, теория алгебраических полугрупп из  исчерпывается теорией алгебраических групп.

		Отметим ещё одно полезное предложение.

		

		1.2.2 Пусть алгебраическая группа  неприводима, т. е.  --- многообразие,  --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент  является произведением двух элементов из ; в частности, если  --- подгруппа, то она совпадает с .

		Доказательство. Множества  и  тоже густые и плотные, поэтому пересечение  непусто (см. п. 8.2).

		Если  --- полугруппа из , то .

		

1.3 Компоненты алгебраической группы

		

		Пусть  --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия  называеются компонентами группы . наличие в  групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

		

		1.3.1 Теорема. Пусть  --- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы  по  (в частности, они являются связными компонентами группы  в полиномиальной топологии).  --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор  компоненты  связан с аннулятором  всей группы  следующим образом:

		 для некоторого , зависящего от  

		, где  --- аннулятор единицы в ,  --- некоторый многочлен из .

		Доказательство. а) Пусть  --- общее поле определения всех компонент  группы . Пусть ,  содержат единицу , ,  --- их независимые общие точки над  и , . Имеем специализации 

		

			

		

		над , откуда , , . Этим доказана единственность компоненты .

		б) Очевидно, что отображения 

		

			

		

		являются гомеоморфизмами пространства . Так как  инвариантна относительно них, то  --- нормальная подгруппа группы .

		в) Пусть . Тогда  при фиксированном  --- снова все компоненты группы . В частности, , . Этим доказано, что  --- смежные классы  по  и, значит, связные компоненты группы .

		г) Если  --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, . Если, кроме того,  конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .

		д) Для каждого  возьмем многочлен 

		

			

		

		Пусть  --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен 

		

			

		

		Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение 

		

			

		

		Пусть , . Имеем: 

		

			

		

		Если , то , если же , , то . В любом случае . Следовательно, . Теорема доказана.

		Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).

		Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.

		Подгруппа  алгебраической группы  тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .

		<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что 

		

			

		

		Конечная нормальная подгруппа  связной алгебраической группы  всегда лежит в центре .

		

			

		

		В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать -порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).

		

1.4. О -группах

		

		Пусть  - поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из , выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в . Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с , некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области . В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от  не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.

		В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.

		Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в ) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для -множеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в  уравнениями с коэффициентами из ).

		

		
2 Ранг матрицы

		

2.1 Возвращение к уравнениям

		

		В арифметическом линейном пространстве  столбцов высоты  рассмотрим  векторов 

		

			

		

		и их линейную оболочку . Пусть дан еще один вектор . Спрашивается, принадлежит ли  подпространству , а если принадлежит, то каким образом его координаты  выражаются через координаты векторов . В случае  вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора  в базисе . Мы берем линейную комбинацию векторов  с произвольными коэффициентами  и составляем уравнение . Наглядный вид этого уравнения 

		

				

		

		есть лишь иная запись системы из  линейных уравнений с  неизвестными: 

		

				

		 Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.

		В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму  значком . При этом  --- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила 

		

			

		

		достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы, 

		

			

		

		в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины  в прямоугольную матрицу размера : в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.

		Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.

		

2.2 Ранг матрицы



		Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы  размера  введенное выше пространство , которое мы будем обозначать теперь символом  или просто  (в --- вертикальный). Его размерность  назовем рангом по столбцам матрицы . Аналогично вводится ранг по строкам матрицы : , где  --- подпространство в , натянутое на векторы-строки ,  (г --- горизонтальный). Другими словами, 

		

			

			

		

		- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства  величины  и  определены правильно.

		Будем говорить, что матрица  получена из  при помощи элементарного преобразования типа (I), если  для какой-то пары индексов  и  для . Если же  для всех  и , , то говорим, что к  применено элементарное преобразование типа (II).

		Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из  при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в  путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.

		

		2.2.1 Лемма. Если матрица  получена из прямоугольной матрицы  путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:

		(i) 

		(ii) 

		Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда  получена из  путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).

		(i) Так как, очевидно, , то э. п. типа (I) не меняет . Далее,  и, следовательно, , так что  не меняется и при э. п. типа (II).

		(ii) Пусть  --- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что 

			

		

		Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство . Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, . Тогда, заменяя в (1)  на  и все  на 0, мы видим, что  --- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы , получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу . Так как система  кратко записывается в виде , то мы приходим к соотношению 

		Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

		

		2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы  справедливо равенство  (это число называется просто рангом матрицы  и обозначается символом ).

		Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками , матрицу  можно привести к ступенчатому виду: 

		

				

		

		с . Согласно лемме  так что нам достаточно доказать равенство .

		Столбцы матриц  и  с номерами , отвечающими главным неизвестным  линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения 

		

			

		

		связывающего векторы-столбцы , ,  матрицы (3), получим последовательно: , , , , , а так как , то . Значит,  и . Но пространство , порожденное столбцами матрицы , отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из  удалением последних  нулевых строк. Поэтому . Сопоставление двух неравенств показывает, что  (неравенство  вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы  являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

		С другой стороны, все ненулевые строки матрицы  линейно независимы: любое гипотетическое соотношение 

		

			

		

		как и в случае со столбцами, дает последовательно , , , . Откуда . Стало быть, 

		

2.3 Критерий совместности

		

		Ступенчатый вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

		Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где  --- матрица системы.

		Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы  (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы . Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств. 

		В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения  к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

		

		2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

		Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца  свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов  матрицы . Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то  и , откуда  (см. формулировку теоремы 1).

		Обратно, если ранги матриц  и  совпадают и  --- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы , то расширенная система  будет линейно зависимой, а это означает, что  --- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть, система (2) совместна.  

		
3. Линейные отображения. Действия с матрицами

		

3.1 Матрицы и отображения

		

		Пусть  и  --- арифметические линейные пространства столбцов высоты  и  соответственно. Пусть, далее,  --- матрица размера . Определим отображение , полагая для любого  

		

			

		

		где  --- столбцы матрицы . Так как они имеют высоту , то в правой части (1) стоит вектор-столбец . Более подробно (1) переписывается в виде 

		

			

		

		Если , 

		то .

		Аналогично .

		Обратно, предположим, что  --- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:

		(i)  для всех ;

		(ii)  для всех .

		Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств  и  соответственно символами  и , мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору 

		:

		

			

		

		Соотношение (2) показывает, что отображение  полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив 

		

			

		

		мы обнаруживаем, что задание  равносильно заданию прямоугольной матрицы  размера  со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить .

		 3.1.1 . Определение. Отображение , обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из  в . Часто, в особенности при , говорят о линейном преобразовании. Матрица  называется матрицей линейного отображения .

		Пусть ,  --- два линейных отображения  с матрицами  и . Тогда равенство  равносильно совпадению значений  для всех . В частности, , откуда  и .

		Резюмируем наши результаты:

		

		3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями  в  и матрицами размера  существует взаимно однозначное соответствие.

		Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях  произвольных множеств  и . Условия (i), (ii) предполагают, что  и  --- подпространства арифметических линейных пространств , .

		Обратим внимание на специальный случай , когда линейное отображение , обычно называемое линейной функцией от  переменных, задается  скалярами : 

		

			

		

		Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения  при фиксированных  и  можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть  --- два линейных отображения. Отображение 

		

			

		

		определяется своими значениями: 

		

			

		

		В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

		Так как

		

		

		

		

		то  - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером :

		


		

		Матрицу  с элементами  естественно назвать линейной комбинацией матриц  и  с коэффициентами  и :

		

			

		

			

		

		Итак, .

		Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

		

3.2 Произведение матриц

		

		Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера  и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

		Пусть ,  --- линейные отображения,  --- их композиция.

		Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что  --- линейное отображение, но это довольно ясно:

		
(i) ;

		(ii) ; 

		

		поэтому по теореме 1 с  ассоциируется вполне определенная матрица .

		Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле (): 

		

			

		

		С другой стороны, 

		

			

		

		Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что  --- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям 

		

			

		

		Будем говорить, что матрица  получается в результате умножения матрицы  на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы  размера  и прямоугольной матрицы  размера  называется прямоугольная матрица  размера  с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана

		

		3.2.1 Теорема. Произведение  двух линейных отображений с матрицами  и  является линейным отображением с матрицей . Другими словами, 

		

			

		

		Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).

		Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение  двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ  имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице  совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки  на -й столбец ", согласно которому 

		

			

		

		Число строк, матрицы  равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример:

		

			

		

		Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

		Следствие. Умножение матриц ассоциативно: 

			

		

		Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7). 

		

3.3 Квадратные матрицы

		

		Пусть  (или ) --- множество всех квадратных матриц () порядка  с вещественными коэффициентами ,

		Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец  в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица 

		

			

		

		Можно записать , где 

		

			

		

		- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить  на , показывает, что справедливы соотношения 

		

			

		

		Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений  для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .

		Как мы знаем (см. (5)), матрицы из  можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу .

		Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц: 

		

			

		

			

		

		- известная нам скалярная матрица.

		В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности  с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

		

		3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.

		Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если  --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна, 

		

			

		

		Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы 

			

		

		с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям  при  и . Меняя  и , получаем требуемое. 

		Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

		Для данной матрицы  можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие 

		

			

		

		Если матрица  существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие 

		

			

		

		означающее, что  --- преобразование, обратное к .  существует тогда и только тогда, когда  --- биективное преобразование. При этом  определено однозначно. Так как , то биективность  означает, в частности, что 

		

			

		Пусть теперь  --- какое-то биективное линейное преобразование из  в . Обратное к нему преобразование  существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы 

		

			

			

		

		и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим 

			

			

		

		Так как , то 

		

			

			

		

		откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что ,  --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где  --- некоторая матрица. Переписав условие () в виде  (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

		Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование  биективно. При этом преобразование  линейно. Биективность  равносильна условию, что любой вектор-столбец  записывается единственным образом в виде (1) 

		

			

		где  --- столбцы матрицы  (сюръективность  приводит к существованию , для которого , а инъективность  дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит,  совпадает с пространством столбцов  матрицы , так что .

		Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ()) 

		

			

		

		Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу  и линейное преобразование  называют вырожденными (или особенными).

		Резюмируем полученные нами результаты.

		

		3.3.2 Теорема. Квадратная матрица  порядка  является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).

		Следствие. Невырожденность  влечет невырожденность  и . Если  --- невырожденные  --- матрицы, то произведение  также невырождено и .

		Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия . 

		Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности: 

		

			

		

		где , ,  --- произвольные матрицы из .

		Действительно, полагая , мы получим для любых  равенство (используется дистрибутивность в ): 

		

			

		

		левая часть которого дает элемент  матрицы , а правая --- элементы  и  матриц  и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности 

		

			

		

		для линейных отображений , ,  из  в  можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто. 

		
Заключение

		

		Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы  справедливо равенство  (это число называется просто рангом матрицы  и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения  к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица  порядка  является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность  влечет невырожденность  и . Если  --- невырожденные  --- матрицы, то произведение  также невырождено и .

		
Список использованных источников

		

		Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с. 

		Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. - 120с. 

		Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с. 

		Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152 

		Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.