Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Курсовая работа студента гр. МТ-21

Нургалиев А.З.

Павлодарский университет

Павлодар 2005 год.

1. Введение.

В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость. 

При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды. 

2. Определенный интеграл.

Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления: . Наибольшую из разностей 

 (i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через λ. 

Возьмем в каждом из частных промежутков  по произволу точку 



и составим сумму

.

Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только λ<δ (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами ), неравенство 



выполняется при любом выборе чисел .

Записывают это так: 

. (1)

Этому определению «на языке ε-δ», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [α,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений  сходится к нулю.

Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы σ, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом .

Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел.

Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом

;

в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b].

Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

3. Несобственные интегралы.

Пусть f непрерывна на луче на луче  и F(x) – первообразная для f на луче . Если существует 

,

то этот предел обозначается  и называется сходящимся несобственным интегралом.

Несобственные интеграл вида  и аналогичный интеграл получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t=t(x), непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно большой определенного знака при  (или ).

Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то  разбивается на  и , и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.

Пример.

Вычислим . 

Пусть ,









Другим видом несобственного интеграла является интеграл , если функция f не ограничена на , но непрерывна на  при любом ,  (или на ), т.е. не ограничена в окрестности точки  (точки b).

Этот интеграл существует (сходится), если существует:





Пример.

, если 

f(x) непрерывна на [0,1]. После замены  получаем

.

 не ограничена на [0,1], т.к. первообразная функция  на  при любом ,  равна: , то 

.

Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям.



,

т.е.

,

где  - первообразная для arcsinx на [0,1].

4.1.Формула Валлиса.

Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:

 (при натуральном m).

Интегрируя по частям, найдём

.

Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя  через , получим



откуда рекуррентная формула:

,

по которой интеграл  последовательно приводится к  и . Именно, при m=2n имеем 

,

если же m=2n+1, то

.

Такие же точно результаты получаются и для .

Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать



  при m  чётном.



 при m     нечетном нечётном. (1)

Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis).

Предполагая 0<x<, имеем неравенства

.

Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до :



Отсюда, в силу (1), находим



или

.

Так как разность между двумя крайними выражениями

,

очевидно, стремится к 0 при , то  является их общим пределом. Итак,



или 

.

Отсюда в свою очередь вытекает



Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа  через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления , то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение  оказывается весьма громоздким.

4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона.

Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид:

;

Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив:

 (т.к. ),

имеем соотношение:

;

отсюда заключаем:

,



что дает:

.

Установив это, замечаем, что предел отношения  при бесконечно большом n равен единице; действительно, так как  убывает при возрастании n, то мы имеем неравенство:



или:

.

Мы видим, следовательно, что  заключается между единицей и дробью , которая также равна единице при бесконечном n.

Установив это, получаем равенство:

,

которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать:

,

и, следовательно:

.

Полагая теперь  в интеграле , мы получим следующее новое выражение:

;

заменив затем z на , получаем:



и, следовательно, при бесконечном n

.

Достаточно затем положить , чтобы установить результат, к которому мы стремились:

.

4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Формула интегрирования по частям: ,

а обобщенная формула примет вид:

. (1)

Положим, что в формуле (1). Тогда , , …, , ; при x=b все функции v, v’, …,  обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’, u’’, … функциональным обозначением f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде



.

Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла

.

Заменим здесь b через x, а  через :



.

Новое выражение для дополнительного члена, не содержит никаких неизвестных чисел.

Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что множитель  подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем

,

где с содержится в промежутке . Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена.

5. Заключение.

В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа  в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты, а также вычисление интеграла Эйлера-Пуассона с помощью этой формулы. Рассмотрен способ получения формулы Тейлора с дополнительным членом в интегральной форме.

Формулой Валлиса в теоретических исследованиях пользуются и сейчас (например, при выведении формулы Стирлинга). Что касается фактического приближенного вычисления , то существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели. 

Интеграл Эйлера-Пуассона применяется при вычислении более сложных несобственных интегралов, встречается в теории вероятности.

Новое выражение для дополнительного члена в формуле Тейлора интересно тем, что оно не содержит никаких неизвестных чисел.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве лекционного и справочного материала.

Список литературы

Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»(II том) – Москва, 1970г.

Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления»(I том) - Москва, 1970г.

Эрмит Ш. «Курс анализа» - Москва, 1936г.