по Алгебре и геометрие

Федеральное агентство связи



Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики



Межрегиональный центр переподготовки специалистов





















Контрольная работа



По дисциплине: Алгебра и геометрия

                                   











Выполнил: Шевыряев А.Н.

Группа: СДТ-03

Вариант:6

     





Проверил: ___________________



















Новосибирск, 2010 г



Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.



Решение системы методом Крамера.



Формулы Крамера: 















Найдем значения неизвестных:





Выполним проверку:





Решение системы методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:



Выполним преобразования: 

умножим первую строку на (-2) и сложим со 2-й строкой матрицы;

умножим первую строку на (-3) и сложим с 3-й строкой матрицы;

умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 3-й строкой матрицы.





В результате получили матрицу системы треугольного вида.

Запишем итоговую систему:



  

Найдем значения неизвестных: 

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

длину ребра ;

угол между ребрами  и ;

площадь грани ;

уравнение плоскости .

объём пирамиды .

Решение. 



 Рисунок 1.





Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле . Подставляя в эту формулу исходные данные, получим 





Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:



В нашем случае: 

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,





Площадь грани можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае 





Уравнение плоскости   будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

;

;



Полученное уравнение является уравнением плоскости .

Объем пирамиды  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно 

Найдем смешанное произведение векторов :