Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова

Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова



В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів

	Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

	Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

	Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:





	Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці  . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.



	З матрицями можна здійснювати такі операції:

Множити на число

Приклад: 

Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад: 



Множити матриці:

Приклад: 

	Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме: 

	Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

	Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.

	Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо 

	Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли .

	Беспосередньо можна первірити, що для 





Визначення: Число  називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ=Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню .

	Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню , то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає . Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.



Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.



	Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:

	1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

	2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:





І тому



Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=1.

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню 1 з рівності





Тоді

, або		

Враховуючи, що



перепишемо систему у вигляді:



Але  і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x1 з першого рівняння системи 

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x1>0.

	Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb>0.

	Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А1, А2 - квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для 2х2 матриць  це означає, що  та 

Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні. 

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.



Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо

1) 

2) 



Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що  (тобто всі елементи додатні). Тоді

	1.  (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)

	2. Матриця  - має однакові рядки.

	3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де 

Запишемо її характеристичне рівняння: ,



Це квадратне рівняння з дискрімінантом:



І тому



З урахуванням  маємо , але якщо , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або  і тоді Pn містить нулі , що суперечить умові. Таким чином .

Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню  відповідає власний вектор , де x1=x2, тобто, наприклад  власний вектор. Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню .

За визначенням



Звідки



	Згадуючи, що  отримуємо 

	

	Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння:  або  звідки , але  , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тоді матриця  мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що 

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

	Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.

Позначимо . 

Оскілки , то існує S-1. Перепишемо рівняння  та  у матричній формі

 або .

Відкіля  і взагалі 

Знайдемо границю Pn:



	Твердження 1 теореми доведено.

	Доведемо тепер, що рядки матриці  однакові. Для цього обчиcлимо .

Оскільки , то Ми бачимо, що рядки матриці  - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність 

Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що  та .



Маємо

,

, тому що p>0 і q >0

Теорема доказана.



Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць 

Зауваження2 Позначимо  рядки граничної матриці . Тоді можна знайти з умови:



Доведення.

Оскільки 

Зівдки 

Або 



Звідки 

Зокрема, для 2х2 матриці 

Умовою  рядок  визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.

	 В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.

	У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

	Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.



Список літератури:



С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
МГУ. 1980

С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.
М., 1984

Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967

Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988

С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964

Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963

П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978

Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978

В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984



1