Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного

Санкт-Петербургский Государственный Университет

Факультет прикладной математики – процессов управления

Кафедра диагностики функциональных систем









Варламова Александра Александровна







Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита







Заведующий кафедрой

доктор медицинских наук, профессор  Шишкин В.И.

Научный руководитель

доктор медицинских наук, профессор  Шишкин В.И.













Санкт-Петербург

2008




Содержание



	Введение

	1 Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних

	2 Множественная линейная регрессия

	3 Дисперсионный анализ

	4 Линейная регрессия

	Заключение




Введение



Артриты реактивные - термин, принятый для обозначения артритов, развивающихся после инфекций, но не обусловленных попаданием инфекционного агента в полость сустава. Обычно реактивные артриты носят иммунокомплексный характер, т. е. возникают вследствие нарушений иммунитета у генетически предрасположенных лиц из-за недостаточной утилизации комплексов антиген - антитела макрофагальной системой. Реактивные артриты могут развиваться после многих инфекций (бактериальных, вирусных и др. ) независимо от их тяжести, но чаще - после энтероколитов, вызванных иерсиниями, и инфекций мочевых путей, обусловленных хламидиями.

В настоящее время реактивный артрит (РеА) является одним из наиболее частых ревматологических диагнозов. Обычно реактивным считают артрит, который не удовлетворяет диагностическим критериям ревматоидного или подагрического артрита и не сопровождается специфической для системных ревматических заболеваний внесуставной симптоматикой.

Этиология РеА неизвестна. Предположительно, в основе РеА лежит генетически детерминированная аномалия иммунной системы, которая реализуется при инфицировании некоторыми микроорганизмами.

Клиническая картина РеА может включать:

• характерный суставной синдром;

• клинику урогенитальной инфекции;

• внесуставные поражения (кожи и слизистых оболочек);

• поражения позвоночника (обычно сакроилеит);

• висцеральные поражения;

• системную воспалительную реакцию

Суставной синдром (обязательное проявление заболевания) характеризуется:

– асимметричным олигоартритом (воспалением 2-3 суставов или суставных групп) с поражением суставов ног (коленных, голеностопных, плюснефаланговых и межфаланговых) и тендовагинитом (ахиллобурситом);

– началом первого эпизода артрита в период до 30 дней после полового контакта, со средним интервалом в 14 дней между появлением урогенитальных симптомов и артритом;

– болью и ригидностью с отеком или без него в области прикрепления мышц, сухожилий и связок, особенно ахиллова сухожилия и плантарной фасции, к пяточной кости, что часто ведет к затруднениям при ходьбе

Клинические признаки артрита :

1. Боль в суставе/суставах:

• ощущается во всем суставе;

• связана с движениями и суточным ритмом (при любых движениях, усиливается в покое и ночью);

• сопряжена с амплитудой движений в суставе (при движениях во всех плоскостях, нарастающая с увеличением амплитуды движений);

• обычно тупая, ноющая, выкручивающая.

2. Скованность – субъективное ощущение препятствия движению, которое, как правило, наиболее выражено сразу после пробуждения, периода отдыха или неактивности. Скованность обусловлена нарушением оттока жидкости из воспаленного сустава в покое, уменьшается или проходит при возобновлении движений в суставе. Продолжительность и выраженность скованности отражают степень местного воспаления.

3. Припухлость – преходящее увеличение в размерах и изменение контура сустава, обусловленные как накоплением экссудата в полости сустава, так и отеком периартикулярных тканей. Наиболее отчетливо припухлость выявляется на разгибательных (тыльных) поверхностях локтевых и лучезапястных суставов, на кисти, коленных и голеностопных суставах и стопе.

4. Повышение температуры суставов также является признаком воспаления. Определяется проведением тыльной стороной ладони по поверхности сустава.

5. Болезненность сустава при пальпации подтверждает, что боль в суставе обусловлена именно его поражением, а не является отраженной.

Системная воспалительная реакция

Системные симптомы недомогания, усталости, потеря веса и лихорадка встречаются примерно у 10% пациентов. Практические у всех больных в клиническом анализе крови повышена скорость оседания эритроцитов (СОЭ).

Объект, предмет, цель и задача исследования

В качестве исходных данных для исследования даны выборки численных значений медико-биологических показателей человеческого организма, а именно, показатели активности заболевания : СОЭ, наличие С-реактивного белка, уровня фибриногена и гемоглобина в крови больных реактивным артритом. А также выборка значений болевого синдрома оцененного в баллах по визуальной аналоговой шкале (ВАШБП) и синдрома припухлости (ВАШСП). 

В целях полноты изложения приведем необходимые определения :

СОЭ (скорость оседания эритроцитов) - свойство эритроцитов оседать при помещении несвернувшейся крови в вертикально поставленную пробирку. Ускорение наблюдается при большинстве воспалительных, инфекционных и др. заболеваниях.

С-реактивный белок (СРБ) очень чувствительный элемент крови, быстрее других реагирующий на повреждения тканей. Наличие реактивного белка в сыворотке крови – признак воспалительного процесса, травмы, проникновения в организм чужеродных микроорганизмов – бактерий, паразитов, грибов. С-реактивный белок стимулирует защитные реакции, активизирует иммунитет. Определение СБР используется для диагностики острых инфекционных заболеваний и опухолей. Также анализ СРБ используется для контроля над процессом лечения, эффективности антибактериальной терапии и т.д.

Гемоглобин (от гемо... и латинское globus - шар), красный дыхательный пигмент крови человека, позвоночных и некоторых беспозвоночных животных. Состоит из белка (глобина) и железопорфирина - гема. Переносит кислород от органов дыхания к тканям и диоксид углерода от тканей к дыхательным органам. Многие заболевания крови (анемии) связаны с нарушениями строения глобина, в том числе наследственными (гемоглобинопатии - серповидноклеточная анемия, талассемия и др.).

Фибриноген (от фибрин и ...ген), растворимый белок плазмы крови, относящийся к группе глобулинов; фактор I свёртывания крови, способный под действием фермента тромбина превращаться в фибрин. Молекула имеет форму глобулы диаметром около 22 нм. Синтез фибриногена в организме происходит в паренхиматозных клетках печени. Содержание фибриногена в плазме крови здорового человека 300- 500 мг%. При недостаточности фибриногена в организме или при образовании молекул с аномальным строением наблюдается кровоточивость.

ВАШБП - оценка интенсивности боли, для характеристики которой используют простые визуальные аналоговые шкалы.

ВАШСП – оценка припухлости суставов, для характеристики которой используют простые визуальные аналоговые шкалы






Визуально аналоговые шкалы важный компонент большинства современных клинических методов, применяемых при обследовании пациентов. Специальные опросники позволяют дать более полную характеристику болевого синдрома, выявить связь между выраженностью боли и нарушением функционального состояния больных.

Объект исследования

Объектом нашего исследования являются выборочные данные результатов измерений СОЭ, СРБ, Гемоглобина, Фибриногена, ВАШБП и ВАШСП, причем изучаемые данные разделены на 4 группы. В первой группе представлены данные при болезни, вызванной моче половыми инфекциями, во второй группе - неизвестной этиологии, в третьей – ОРВИ, в четвертой – желудочно-кишечными инфекциями.

Предмет исследования

Предмет исследования определяем, как нахождение зависимости между показателями активности заболевания (СОЭ, СРБ, Фибриноген, Гемоглобин), болевым синдромом оцененным по визуально аналоговой шкале (ВАШБП) и синдромом припухлости оцененным также по визуально аналоговой шкале (ВАШСП).

Используемые методы

1.Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ, Фибриноген, гемоглобин, ВАШБП и ВАШСП. Научное обоснованное решение подобной задачи при некоторых предположениях составляет предмет дисперсионного анализа.

Статистическая модель

Выборки производятся из нормальных совокупностей. Первая выборка производиться из совокупности со средним, вторая - со средним  , k-я из совокупности со средним . Все наблюдения независимы. 

Критическая область.

Если значение p0, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т.е. хотя бы одно среднее арифметическое отличается от остальных значений. Выберем критический уровень значимости pKP для условия принятия нулевой гипотезы pкр=0,05

p>pкр

 Гипотезы №1.

 Н0 : =  =…= 

 Н1: не все средние равны.

Так как данный метод работает только для нормальных совокупностей то сначала построим графики функций распределения для каждой выборки.

Для экономии времени и упрощения расчетов воспользуемся Matlab.







График функции распределения для значений Hb в 1 группе



График функции распределения для значений Hb в 2 группе



График функции распределения для значений Hb в 3 группе



График функции распределения для значений Hb в 4 группе



График функции распределения для значений СРБ в 1 группе



График функции распределения для значений СРБ в 2 группе



График функции распределения для значений СРБ в 3 группе



График функции распределения для значений СРБ в 4 группе



График функции распределения для значений СОЭ в 1 группе



График функции распределения для значений СОЭ в 2 группе



График функции распределения для значений СОЭ в 3 группе



График функции распределения для значений СОЭ в 4 группе



График функции распределения для значений Фибриногена в 1 группе



График функции распределения для значений Фибриногена в 2 группе



График функции распределения для значений Фибриногена в 3 группе



График функции распределения для значений Фибриногена в 4 группе



График функции распределения для значений ВАШБП в 1 группе



График функции распределения для значений ВАШБП в 2 группе



График функции распределения для значений ВАШБП в 3 группе



График функции распределения для значений ВАШБП в 4 группе



График функции распределения для значений ВАШСП в 1 группе



График функции распределения для значений ВАШСП в 2 группе



График функции распределения для значений ВАШСП в 3 группе



График функции распределения для значений ВАШСП в 4 группе


Исходя из вида графиков можно сделать вывод о том что все выборки имеют нормальное распределение и следовательно мы можем использовать выбранный нами параметрический метод дисперсионного анализа.



I) Рассмотрим сначала влияние фактора на уровень Hb (гемоглобин):



Таблица1.1.1.Зависимость уровня Hb от инфекции вызвавшей заболевание

1группа

2группа

3 группа

4группа

124

114

140

124

124

142

121

130

110

156

136

127

93

170

125

130

133

119

138

138

129

128

150

122

149

163

154

160

122

135

127

104

145

120

153

121

124

120

120

131

99

106

171

127

125

130

128

109

137

156

154

158

156

114

140

132

148

137

110

134

138

142

151

164

144

121

142

116

133

121

144

136

145

144

120

122

121

160



150

126

140



112

128

110



124

120

135



137

150

106



130

123

126



160

150

136



150

160

142



107

139

118



114

152

126



124

146

140



120

142

101



115

137

123





148

117





130







152







126







118







140







166







128







165







143







132







130







126







166







168







128







126







125







115







118







117







114







123







150







125







103







142







150







140







94







129







156







141







148







140







141







135







150







150







127







158







131







150







162







134







104







130







136







150







136







105







146







146







138







158







154







141







134







150







150







114







109







157







161







133







166







168









Здесь и далее для экономии времени и упрощения вычислительн6ой работы воспользуемся Matlab для проведения однофакторного дисперсионного анализа для сравнения средних арифметических значений выборок. Будем использовать функцию p = anova1(X) - функция позволяет провести однофакторный дисперсионный анализ для сравнения средних арифметических значений одной или нескольких выборок одинакового объема. Выборки определяются входным аргументом Х. Х задается как матрица с размерностью mxn, где m - число наблюдений в выборке (число строк Х), n - количество выборок (число столбцов матрицы Х). Выходным аргументом функции является уровень значимости p нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза состоит в том, что все выборки в матрице Х взяты из одной генеральной совокупности или из разных генеральных совокупностей с равными средними арифметическими. p является вероятностью ошибки первого рода, или вероятностью необоснованно отвергнуть нулевую гипотезу. Если значение p0, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т.е. хотя бы одно среднее арифметическое отличается от остальных значений. Выбор критического уровня значимости pKP для условия принятия нулевой гипотезы







предоставлен исследователю. Здесь и далее примем pKP равным 0,05.

После выполнения вычислений мы получаем:

p = 0.3001

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №1.1.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов

Степень свободы

Средний квадрат

Между выборками

1012,4

3

337,451

Остаточная

30577,2

112

273,011

Полная

31589,5

115

-----



p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень гемоглобина в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

II) Влияние фактора на наличие СРБ в крови

Таблица1.2.1.Зависимость уровня СРБ от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

0

6

0

0

6

0

0

0

96

48

0

0

192

0

0

0

0

6

12

96

0

6

12

0

0

0

6

0

0

12

0

0

0

0

0

48

0

0

48

0

48

192

0

384

0

0

0

48

12

6

0

0

0

48

0

0

384

6

12

0

192

0

0

0

12

0

0

0

48

0

48

0

0

0

0

0

96

0



0

0

0



0

48

0



96

0

0



96

12

48



48

6

0



0

6

0



0

0

0



0

96

0



0

48

0



48

6

0



48

0

12



0

0

96





0

0





0







0







0







768







96







0







0







0







0







0







12







0







0







6







0







6







0







0







0







0







6







0







0







192







48







0







0







192







768







6







0







96







24







0







6







0







0







0







0







0







0







0







0







0







0







0







0







0







96







48







0







0







48







0







0







6







0







0







0







0







0







0







0







0







0







0









После выполнения вычислений мы получаем:

p =0.4677

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №1.2.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

23192,8

3

7730,92

Остаточная

1616980,7

178

9084,16

Полная

1640173,5

181

-----



p>pкр


Вывод:

Следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень СРБ в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.



III) Влияние фактора на СОЭ 



Таблица1.3.1.Зависимость СОЭ от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

18

34

10

10

19

4

21

26

42

24

3

6

66

1

7

4

25

35

22

12

10

16

26

25

13

1

12

4

28

36

6

40

3

22

1

52

26

34

18

18

28

50

1

62

38

28

2

40

28

14

4

7

1

64

10

5

52

30

23

3

48

9

2

8

26

32

10

12

14

10

17

5

12

2

15

12

48

2



12

19

12



10

28

37



30

25

18



24

6

58



40

11

10



2

26

15



2

2

2



8

51

10



5

24

10



10

13

10



35

6

34



39

10

38





2

25





30







2







3







46







56







3







11







4







4







24







11







7







1







7







9







20







14







4







12







17







14







5







2







40







30







6







3







26







69







25







3







35







6







8







3







5







1







5







5







7







6







3







3







5







10







15







3







3







38







49







5







3







19







2







3







10







5







3







5







16







5







4







4







10







1







4









После вычислений получаем:

p = 0.0810



Таблица №1.3.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

1658,2

3

552,744

Остаточная

43145,7

178

242,391

Полная

44803,9

181

-----

p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости СОЭ не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.



IV) Влияние фактора на уровень Фибриногена в крови 



Таблица1.4.1.Зависимость уровня фибриногена от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

3.00

5.25

6.75

2.80

4.50

2.00

2.50

3.75

3.50

5.75

3.10

2.50

7.25

2.50

3.00

3.00

4.00

5.50

6.75

3.25

3.25

3.50

4.50

3.50

5.50

3.25

3.50

3.75

4.00

7.25

2.50

5.25

3.25

3.75

2.50

5.10

5.00

3.00

4.50

4.50

3.60

7.00

3.00

12.20

4.25

5.50

2.15

5.75

4.25

4.00

2.00

5.50

3.00

7.50

3.25

3.00

10.20

3.50

4.25

2.50

4.75

4.00

2.25

3.00

4.50

5.50

2.10

3.50

5.00

3.25

4.75

3.00

5.50

2.50

3.50

2.00

5.50

3.00



3.50

3.75

3.50



4.00

3.75

5.00



3.50

4.50

3.30



3.00

5.75

5.00



2.75

3.00

4.25



3.00

4.25

3.00



2.75

3.75

2.00



3.00

5.25

3.25



2.00

6.25

2.50



1.75

2.25

3.25



4.25

3.25

4.30



3.00

2.50

4.25





2.75

4.00





4.00







2.75







4.00







4.50







6.75







3.25







3.75







3.25







4.00







4.25







3.50







2.60







2.75







4.25







2.00







3.75







4.00







4.00







3.00







4.00







3.00







3.20







2.00







8.75







4.00







4.00







5.00







5.00







7.50







4.00







3.25







2.90







3.25







2.90







3.00







2.00







3.00







2.00







2.75







3.00







2.93







4.25







3.00







3.75







4.00







3.00







2.75







2.00







6.00







3.50







3.00







2.50







4.75







3.00







2.75







3.25







2.50







2.00







3.10







2.00







3.25







3.25







3.00







3.25







3.25







4.00









После вычислений получаем:

p =0.5494




Таблица №1.4.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

4.733

3

1.57754

Остаточная

397.546

178

2.2334

Полная

402.278

181

-----



p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень фибриногена в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.



V) Влияние фактора на показатель ВАШБП



Таблица 1.5.1.Зависимость ВАШБП от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

15

25

45

67

28

25

57

65

63

35

40

50

45

33

33

45

40

65

55

55

80

45

50

27

20

50

55

58

48

25

40

45

75

45

0

30

35

44

45

50

55

100

48

35

85

65

30

20

45

55

25

78

43

64

20

50

45

15

40

60

50

15

20

75

50

40

13

75

56

28

30

30

10

15

5

55

55

25



15

45

17



30

95

70



20

32

45



40

25

55



35

70

40



35

45

10



15

28

5



55

27

25



30

75

10



25

45

2



16

55

35



30

35

60





33

45





5







45







35







73







55







56







43







55







20







53







30







55







55







15







70







60







36







20







38







15







53







12







23







40







52







25







0







70







95







25







10







27







40







20







45







15







17







25







25







10







35







70







12







5







38







5







0







5







65







57







5







0







25







5







20







21







5







10







15







15







23







35







3







10







37







После вычислений получаем:

p = 0.4569



Таблица №1.5.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

1210.5

3

403.498

Остаточная

82391

178

462.871

Полная

83601.5

181

-----



p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШБП не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.



VI) Влияние фактора на показатель ВАШСП



Таблица 1.6.1.Зависимость ВАШСП от инфекции вызвавшей заболевание

1 группа

2группа

3группа

4группа

20

35

62

70

53

32

70

78

68

28

40

41

55

40

50

30

43

65

60

60

75

25

56

40

12

70

68

60

40

38

20

42

67

52

10

83

38

40

40

53

80

100

70

70

80

55

50

51

41

50

34

70

65

78

30

80

50

15

32

70

48

38

25

80

45

50

20

75

50

28

39

30

25

30

10

19

40

35



10

55

29



31

89

68



60

60

45



45

25

70



45

70

50



39

50

10



15

50

20



50

55

35



20

55

20



20

60

2



50

55

37



40

40

55





32

50





40







54







47







80







78







65







50







62







25







52







50







30







60







19







70







70







41







30







43







17







60







15







20







41







43







40







5







80







95







35







20







35







40







48







18







18







40







60







10







20







12







10







50







3







0







5







63







58







10







0







80







10







30







20







5







9







10







40







20







33







5







18







40







15









После вычислений получаем:

p = 0.3222



Таблица №1.6.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

1701.7

3

567.223

Остаточная

85230.9

176

484.266

Полная

86932.5

179

-----



p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШСП не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.

В связи с тем что не один из показателей активности заболевания а также показатели ВАШ не зависят от инфекции предшествующей реактивному артриту дальнейшее разделение данных на группы можно считать не целесообразным.



2 Множественная линейная регрессия



Общее назначение множественной регрессии (этот термин был впервые использован в работе Пирсона - Pearson. 1908) состоит в анализе связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами) и зависимой переменной.

В общественных и естественных науках процедуры множественной регрессии чрезвычайно широко используются в исследованиях. В общем. множественная регрессия позволяет исследователю задать вопрос (и. вероятно. получить ответ) о том. "что является лучшим предиктором для...".

Общая вычислительная задача. которую требуется решать при анализе методом множественной регрессии. состоит в подгонке прямой линии к некоторому набору точек.В многомерном случае. когда имеется более одной независимой переменной. линия регрессии не может быть отображена в двумерном пространстве. однако она также может быть легко оценена. В общем случае. процедуры множественной регрессии будут оценивать параметры линейного уравнения вида:



Y = a + b1*X1 + b2*X2 + ... + bp*Xp 



Регрессионные коэффициенты (или B-коэффициенты) представляют независимые вклады каждой независимой переменной в предсказание зависимой переменной.

Линия регрессии выражает наилучшее предсказание зависимой переменной (Y) по независимым переменным (X). Однако обычно имеется существенный разброс наблюдаемых точек относительно подогнанной прямой. Отклонение отдельной точки от линии регрессии (от предсказанного значения) называется остатком.

Чем меньше разброс значений остатков около линии регрессии по отношению к общему разбросу значений. тем. очевидно. лучше прогноз. Например. если связь между переменными X и Y отсутствует. то отношение остаточной изменчивости переменной Y к исходной дисперсии равно 1.0. Если X и Y жестко связаны. то остаточная изменчивость отсутствует. и отношение дисперсий будет равно 0.0. В большинстве случаев отношение будет лежать где-то между этими экстремальными значениями. т.е. между 0.0 и 1.0. 1.0 минус это отношение называется R-квадратом или коэффициентом детерминации. Это значение непосредственно интерпретируется следующим образом. Значение R-квадрата является индикатором степени подгонки модели к данным (значение R-квадрата близкое к 1.0 показывает. что модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных).

Обычно. степень зависимости двух или более предикторов (независимых переменных или переменных X) с зависимой переменной (Y) выражается с помощью коэффициента множественной корреляции R. По определению он равен корню квадратному из коэффициента детерминации. Это неотрицательная величина. принимающая значения между 0 и 1. Для интерпретации направления связи между переменными смотрят на знаки (плюс или минус) регрессионных коэффициентов или B-коэффициентов. Если B-коэффициент положителен. то связь этой переменной с зависимой переменной положительна; если B-коэффициент отрицателен. то и связь носит отрицательный характер. Конечно. если B-коэффициент равен 0. связь между переменными отсутствует.

Прежде всего. как это видно уже из названия множественной линейной регрессии. предполагается. что связь между переменными является линейной. На практике это предположение. в сущности. никогда не может быть подтверждено; к счастью. процедуры множественного регрессионного анализы в незначительной степени подвержены воздействию малых отклонений от этого предположения.

Основное концептуальное ограничение всех методов регрессионного анализа состоит в том. что они позволяют обнаружить только числовые зависимости. а не лежащие в их основе причинные связи.

Важность анализа остатков. Хотя большинство предположений множественной регрессии нельзя в точности проверить. исследователь может обнаружить отклонения от этих предположений. В частности. выбросы (т.е. экстремальные наблюдения) могут вызвать серьезное смещение оценок. "сдвигая" линию регрессии в определенном направлении и тем самым. вызывая смещение регрессионных коэффициентов. Часто исключение всего одного экстремального наблюдения приводит к совершенно другому результату.

Используя Matlab найдем уравнение множественной регрессии для нахождения зависимости ВАШБП и ВАШСП от других показателей а также найдем коэффициент корреляции для определения зависимости между данными выборками и критерий Фишера для определения уровня доверия к полученному уравнению.

Аппарат множественной линейной регрессии реализуется в Matlab при помощи функции regress. Анализ основывается на нахождении коэффициентов b уравнения вида:



y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn



Методом наименьших квадратов.

Входными данными для программы будут:

Матрица X по одному измерению равная длине вектора Y (ВАШБП, ВАШСП), а по другому количеству переменных, по которым должна предсказываться переменная “Y” плюс один. Ещё один столбик нам понадобиться для того, чтобы matlab мог по нему рассчитать свободный член уравнения b0, расположен он должен быть первым и заполнен единицами. Т.е. 2-й столбец матрицы X это значения Hb, 3-й столбец значения СОЭ, 4-й значения СРБ и 5-й Фибриноген.

Y – значения ВАШ (ВАШБП, ВАШСП)

Функция regress задается следующим образом:

[b.bint.r.rint.stats] = regress(y.X.0.01)

regress(y.X.0.01) – означает что мы будем искать зависимость Y от Х и с вероятностью 99% коэффициенты b будут принадлежать рассчитанным нами доверительным интервалам.

Выходные данные:

Вектор коэффициентов b.

Матрица bint. содержащая 99% доверительные интервалы для b.

Вектор r (длина которого равна длине Y). содержащий остатки. т.е. разницу между исходными значениями Y. и рассчитанными по полученному уравнению регрессии.

Матрицу rint. содержащую значения 99% доверительного интервала для r

Вектор stats. состоящий из следующих 4 характеристик:

первое значение – коэффициент множественной корреляции R2. показывающий связь исходных данных y и рассчитанных по полученному уравнению. другими словами – это коэффициент. показывающий на сколько хорошо «работает» полученное уравнение. Чем ближе это значение к единице. тем лучше. 

второе значение – F-статистика (её ещё называют критерием Фишера). 

третье значение – p. табличное значение критерия Фишера при данных степенях свободы. Если критерий Фишера выше этого значения. то уравнению можно верить. 

четвёртое значение – оценка дисперсии ошибок

I) рассчитаем уравнение множественной линейной регрессии для ВАШБП

После выполнения расчетов для ВАШБП получили следующие переменные:



b

bint

r

rint

42.1283

1.8780

82.3786

-21.9027

-73.5518

29.7465

-0.1015

-0.3855

0.1824

-10.4547

-62.2125

41.3031

0.2908

-0.1418

0.7233

14.2154

-36.8404

65.2711

0.0326

-0.0177

0.0829

-18.2805

-68.5417

31.9806

0.7105

-3.0313

4.4524

1.2654

-50.5643

53.0951







45.7534

-5.3326

96.8394







-14.6868

-66.0309

36.6572







7.2762

-44.4701

59.0225







44.4133

-6.6808

95.5074







-5.6498

-57.3639

46.0644







10.6615

-40.5673

61.8902







41.4956

-9.2270

92.2183







5.2307

-46.4949

56.9564







14.2893

-37.3388

65.9175







-16.9757

-64.8977

30.9463







-1.7014

-52.3459

48.9432







11.3454

-40.2887

62.9794







18.1895

-33.3589

69.7380







-24.8022

-75.9894

26.3849







4.1667

-47.1548

55.4881







7.4767

-44.4040

59.3575







53.4995

2.7606

104.2384







-8.4099

-60.1502

43.3304







-8.1185

-59.1222

42.8851







34.8356

-16.4892

86.1604







7.3277

-44.1261

58.7815







-1.1282

-52.7224

50.4660







-22.7002

-73.0690

27.6685







35.3231

-15.4605

86.1067







12.1224

-39.4234

63.6682







23.2364

-28.4547

74.9275







2.0986

-49.7444

53.9416







3.3639

-48.4351

55.1629







-35.4930

-86.7043

15.7183







15.7701

-35.8987

67.4389







1.9511

-49.4156

53.3179







1.2643

-37.9653

40.4940







2.8817

-47.4120

53.1755







27.5456

-23.6290

78.7202







8.0058

-43.8027

59.8144







26.1533

-25.0770

77.3836







-11.6135

-63.2959

40.0690







14.2769

-37.5125

66.0664







-5.0043

-56.8847

46.8760







21.7829

-29.7810

73.3468







27.4824

-23.6602

78.6249







-15.3203

-66.5536

35.9129







36.8308

-14.3416

88.0032







21.9905

-29.7372

73.7183







-0.3487

-52.1580

51.4607







-14.4565

-65.3638

36.4507







2.2326

-49.4426

53.9079







-23.0332

-74.5239

28.4574







16.0495

-35.4532

67.5522







-21.3666

-72.7803

30.0472







-5.9001

-57.5397

45.7395







-13.5376

-63.5547

36.4796







7.2019

-44.2296

58.6334







-7.2965

-59.0702

44.4772







-31.3225

-82.2665

19.6215







24.7206

-26.5090

75.9502







12.0085

-29.4721

53.4890







-14.3362

-66.1232

37.4507







-19.4698

-71.0521

32.1125







-16.1754

-66.8306

34.4799







8.0639

-43.7532

59.8809







-12.2995

-64.1466

39.5476







13.9893

-37.7707

65.7493







-16.2954

-67.9216

35.3308







-12.3199

-64.0425

39.4027







-4.7723

-56.3885

46.8438







-7.6406

-59.3361

44.0548







-20.2521

-71.7464

31.2422







2.3469

-49.4690

54.1627







39.2104

-11.8405

90.2614







-16.6829

-68.1490

34.7832







-27.6404

-79.0945

23.8136







0.6820

-50.1330

51.4970







-30.4212

-81.9717

21.1294







-31.1453

-82.5884

20.2978







-24.1908

-75.6191

27.2374







18.2420

-33.1537

69.6377







7.2360

-43.3212

57.7931







-25.8891

-77.5028

25.7247







-29.9523

-81.4193

21.5148







-13.5789

-65.3925

38.2347







-23.7983

-75.2594

27.6627







-9.3176

-61.0193

42.3841







-12.2236

-64.0984

39.6512







-26.7522

-78.2955

24.7910







-19.1908

-70.7002

32.3185







-15.5540

-67.2924

36.1844







-21.6260

-72.8683

29.6163







-11.8236

-62.7620

39.1148







5.3410

-46.3573

57.0393







-26.0752

-77.4141

25.2636







-23.8405

-75.5436

27.8627







9.1271

-42.3050

60.5592







-22.0750

-73.2466

29.0966







-19.3643

-70.7356

32.0071







-5.2939

-57.0079

46.4201







-3.9155

-55.2281

47.3971







6.0662

-45.1461

57.2784







20.6750

-30.6746

72.0246







8.5343

-43.3618

60.4303







21.8225

-29.5504

73.1954







-19.4300

-70.1039

31.2439







5.9953

-45.8101

57.8006







2.0391

-49.2100

53.2883







42.8692

-7.4532

93.1915







24.0227

-27.3822

75.4275







21.6036

-29.8883

73.0954







7.9463

-42.0260

57.9186







-24.6224

-75.8610

26.6162







-18.1688

-69.9114

33.5739







-3.0542

-54.5917

48.4834







-7.0589

-58.7440

44.6261







-14.8646

-66.5830

36.8538







-3.5953

-55.2165

48.0260







-16.8888

-68.7256

34.9480







24.7304

-26.4446

75.9054







9.0011

-42.8700

60.8722







1.6549

-48.7937

52.1035







4.7382

-46.8959

56.3724







-24.8120

-76.4793

26.8554







-24.7124

-76.2026

26.7778







-10.3635

-61.9389

41.2118







-24.0183

-75.5760

27.5393







-31.1297

-82.7024

20.4430







-10.2047

-61.4757

41.0663







13.1655

-38.3588

64.6897







4.6407

-47.1058

56.3873







9.3834

-40.9519

59.7187







19.2757

-32.2076

70.7590







8.6060

-43.1614

60.3735







-0.6029

-52.3315

51.1257







15.3004

-35.5974

66.1982







11.9546

-39.5044

63.4137







22.3373

-29.2132

73.8877







7.2462

-44.4642

58.9567







-28.6600

-80.0657

22.7457







5.0618

-46.6397

56.7633







20.8124

-30.2927

71.9175







-1.2405

-52.8524

50.3713







-4.0754

-55.6256

47.4747







-13.1297

-64.9991

38.7397







-1.0570

-52.6293

50.5152







-8.9762

-60.6462

42.6938







-19.1095

-70.6665

32.4476







-7.3882

-59.1979

44.4216







-31.7918

-83.1929

19.6092







32.5654

-18.8114

83.9423







25.8476

-25.6974

77.3926







17.2462

-34.3729

68.8654







12.7771

-38.9022

64.4564







17.9586

-33.6785

69.5957







-12.4963

-64.2189

39.2263







28.2903

-23.0283

79.6090







-1.9287

-53.1104

49.2530







-20.1486

-70.8255

30.5284







12.7423

-39.0574

64.5419







-33.4366

-79.4435

12.5702







-28.3399

-79.4332

22.7535







45.9715

-4.3766

96.3197







17.6894

-33.9998

69.3786







28.8293

-22.6317

80.2902







45.0664

-5.5918

95.7246







38.6743

-12.3544

89.7029







-1.9044

-53.7565

49.9477







20.3493

-31.0914

71.7901







-17.8734

-69.5782

33.8313







-6.5057

-57.7216

44.7103







-23.8741

-75.3281

27.5800







-0.4543

-52.0199

51.1113







-9.0759

-59.6117

41.4599







6.4047

-45.2060

58.0155







-14.4330

-66.1409

37.2749







19.2787

-31.6829

70.2403







-3.4277

-54.6947

47.8392







-10.2520

-61.6535

41.1494







-28.7033

-80.0804

22.6737







-13.9223

-64.7794

36.9348



stats = 0.1569; 8.2341; 0.0000; 398.2227;



Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШБП= 42.1283 – 0.1015 Hb + 0.2908 СОЭ + 0.0326 СРБ +0.7105 Фибриноген

R2=0.1569 - 15.69% от исходной изменчивости могут быть объяснены. а 84.31% остаточной изменчивости остаются необъясненными.

F=8.2341 

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить с вероятностью в 99%

Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения. а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.

После вычислений получаем новые переменные и новое уравнение:



b

bint

r

rint

68.6128

42.6275

94.5981

-9.0527

-37.3058

19.2004

-0.3179

-0.4996

-0.1362

12.6863

-14.9838

40.3564

0.2660

0.0000

0.5319

4.7180

-23.6375

33.0735

0.0363

0.0073

0.0653

-7.8665

-35.8002

20.0673

0.5753

-1.9305

3.0812

8.4230

-19.8230

36.6691







-3.9845

-32.2508

24.2819







6.5985

-21.2655

34.4624







9.6122

-18.6033

37.8276







-10.2044

-35.0328

14.6240







2.7871

-24.8193

30.3934







17.2257

-10.7195

45.1709







5.4367

-22.5254

33.3988







9.2325

-19.0964

37.5614







-7.7024

-35.9560

20.5512







-1.2661

-28.9378

26.4056







14.4948

-13.4018

42.3914







7.5633

-20.5114

35.6379







-17.4951

-44.6647

9.6746







17.8317

-9.9962 

45.6596







5.8425

-22.4781

34.1631







9.3237

-18.9007

37.5480







3.3445

-24.6908

31.3798







-0.8088

-21.5731

19.9554







8.6299

-18.5165

35.7762







9.9962

-18.2684

38.2609







-6.5170

-34.7503

21.7163







17.5223

-10.5451

45.5896







-2.6598

-31.0639

25.7443







-4.7289

-32.6182

23.1603







1.1007

-27.2539

29.4553







-15.4184

-42.9371

12.1002







1.9826

-26.2594

30.2246







14.9612

-12.9779

42.9002







0.3910

-27.7965

28.5784







-11.5190

-38.0908

15.0528







4.1080

-23.9282

32.1441







-2.3669

-30.6874

25.9536







5.7176

-16.0196

27.4548







-11.7715

-40.0204

16.4775







-11.6867

-39.7871

16.4137







-11.2514

-38.7594

16.2566







14.1006

-14.0387

42.2399







-7.9019

-36.2419

20.4382







18.4706

-9.5140 

46.4553







-13.1757

-41.2401

14.8888







-5.9183

-34.1797

22.3430







1.5930

-26.5748

29.7608







-6.1504

-34.3885

22.0877







-11.9710

-40.0136

16.0715







4.7517

-23.5772

33.0805







-7.6354

-35.6957

20.4249







-2.5114

-30.1466

25.1238







-17.8750

-45.7099

9.9598







4.9776

-22.4033

32.3584







-9.2707

-37.5638

19.0224







-15.6411

-43.5795

12.2973







-2.0349

-30.2891

26.2193







-7.5352

-35.9057

20.8354







-12.8750

-40.8787

15.1286







-9.0399

-37.2915

19.2118







-14.1604

-41.7111

13.3903







13.3652

-14.6783

41.4087







-17.2193

-45.0403

10.6016







19.0244

-8.6055 

46.6542







-11.5693

-39.3592

16.2207







-19.6532

-47.3414

8.0351







-0.6843

-28.9330

27.5644







4.5464

-23.3429

32.4356







16.7275

-10.8084

44.2634







10.5922

-17.7215

38.9060







-14.8775

-42.1330

12.3780







6.5270

-21.7825

34.8365







2.7666

-25.1568

30.6900







8.5476

-18.2907

35.3860







-13.1649

-41.3581

15.0284







-1.8218

-29.9553

26.3117







-6.6755

-34.9033

21.5523







-9.8041

-38.0180

18.4097







4.9947

-23.1450

33.1345







-12.3110

-40.5921

15.9700







12.6185

-15.6296

40.8666







0.0386

-27.2984

27.3755







6.3388

-21.8537

34.5312







-10.6292

-38.7183

17.4599







-13.4573

-41.1993

14.2847







14.4516

-13.5325

42.4357







4.6315

-23.6516

32.9145







14.3512

-12.5735

41.2759







12.0414

-16.1382

40.2210







0.5380

-27.7541

28.8300







20.0878

-7.0899 

47.2654







19.1331

-8.6111 

46.8774







8.7274

-19.4685

36.9234







5.4167

-22.8281

33.6615







0.3107

-27.8741

28.4954







3.1306

-24.9738

31.2350







-8.6352

-36.9898

19.7193







-2.6414

-30.7999

25.5171







-2.4350

-30.6568

25.7869







-14.3378

-42.3473

13.6717







-1.8313

-30.1660

26.5034







18.7274

-9.1685 

46.6234







14.9255

-13.1336

42.9846







-11.4913

-39.6756

16.6930







-4.2104

-32.0433

23.6225







-18.6544

-45.9305

8.6218







15.6565

-12.4643

43.7773







1.5669

-26.8071

29.9410







-11.1319

-39.3470

17.0832







-7.9681

-35.8440

19.9077







3.3454

-24.8477

31.5384







-6.2493

-33.6830

21.1844







14.9947

-12.9265

42.9160







-8.0405

-36.2726

20.1915







16.5496

-10.9807

44.0799







-4.8517

-32.7475

23.0440







-9.6016

-37.5465

18.3433







-14.1529

-41.6157

13.3098

	

stats = 0.5231; 30.9919; 0; 118.0091;

ВАШБП= 68.6128 – 0.3179 Hb + 0.2660 СОЭ + 0.0363 СРБ +0.5753 Фибриноген

R2=0.5231 - 52.31% от исходной изменчивости могут быть объяснены. а 47.69% остаточной изменчивости остаются необъясненными.

F=30.9919 

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Исключая и далее экстремальные наблюдения. возможно построить уравнение объясняющее еще больший процент изменчивости переменной Y (ВАШБП).

Построенное уравнение показывает что наилучшим предсказывающим фактором (предиктором) для ВАШБП является Фибриноген.



II) рассчитаем уравнение множественной линейной регрессии для ВАШСП



После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:



b

bint

r

rint

34.4446

-5.3696

74.2588

-22.0047

-73.0438

29.0343

-0.0248

-0.3063

0.2567

9.4034

-41.7566

60.5635

0.4860

0.0556

0.9164

11.0867

-39.4013

61.5746

0.0269

-0.0230

0.0768

-18.9427

-68.5986

30.7132

0.6296

-3.0822

4.3415

-2.8132

-54.0347

48.4083







36.8501

-13.8945

87.5948







-28.5283

-79.0411

21.9845







-7.5443

-58.6841

43.5956







32.6494

-18.1678

83.4666







-9.1522

-60.2423

41.9378







30.8460

-19.4622

81.1541







27.5125

-22.9630

77.9879







-6.6522

-57.7655

44.4612







32.0518

-18.6502

82.7538







-22.7943

-70.0647

24.4762







-14.5034

-64.4720

35.4653







-1.6638

-52.7402

49.4126







7.6126

-43.4318

58.6569







-15.1416

-65.8714

35.5883







-20.8158

-71.3764

29.7448







12.0866

-39.1543

63.3276







40.4712

-10.1110

91.0534







13.5493

-37.5432

64.6418







-12.5814

-62.9502

37.7874







31.2113

-19.5904

82.0130







3.8039

-47.0594

54.6671







16.1928

-34.6959

67.0816







-6.6698

-56.6177

43.2782







7.4368

-43.2022

58.0757







21.2822

-29.5356

72.1001







19.1169

-32.0283

70.2620







2.5209

-48.7140

53.7558







-1.4753

-52.6685

49.7179







-8.3178

-59.3686

42.7330







20.6240

-30.3657

71.6137







11.7056

-39.0037

62.4150







2.6396

-36.0613

41.3405







12.9805

-36.6568

62.6177







31.1705

-19.3079

81.6490







11.0245

-40.1560

62.2050







27.6597

-22.9260

78.2454







-10.3585

-61.4439

40.7269







6.4906

-44.7533

57.7345







10.9088

-40.3295

62.1471







-6.3570

-57.4778

44.7639







27.4574

-23.0693

77.9842







-17.5149

-68.1171

33.0872







33.0984

-17.5583

83.7551







26.4393

-24.5970

77.4755







0.3345

-50.8698

51.5388







-6.0534

-56.4208

44.3141







3.7625

-47.3066

54.8317







-25.3221

-76.1620

25.5178







19.5298

-31.3220

70.3816







-20.8371

-71.6505

29.9762







-12.9534

-63.9315

38.0246







-20.4564

-69.7872

28.8745







-7.2787

-58.1104

43.5530







3.6446

-47.5376

54.8268







-30.3284

-80.6854

20.0286







28.0814

-22.4730

78.6359







3.9765

-37.0488

45.0017







-11.0738

-62.2851

40.1374







-14.0776

-65.1176

36.9624







-17.3640

-67.3964

32.6683







3.6203

-47.6074

54.8481







13.6091

-37.5453

64.7636







-17.4134

-68.5347

33.7079







-14.4674

-65.4316

36.4968







4.9588

-46.2466

56.1643







25.0177

-25.7733

75.8087







-25.8147

-76.5983

24.9690







-15.9546

-67.0693

35.1600







-22.5584

-73.2294

28.1126







-25.9105

-76.7866

24.9657







10.7575

-39.4114

60.9264







-37.3978

-88.1530

13.3575







-34.2591

-85.0080

16.4898







-28.4395

-79.1662

22.2873







7.1019

-43.8000

58.0038







-1.1487

-51.1280

48.8305







-25.1404

-76.1545

25.8736







-33.8536

-84.6079

16.9008







35.4639

-15.3332

86.2611







-23.3846

-74.2392

27.4701







-3.8124

-54.9315

47.3066







-18.0134

-69.2128

33.1859







-30.1234

-80.9801

20.7333







-24.4395

-75.2474

26.3685







-25.1041

-76.0837

25.8755







-0.6512

-51.4711

50.1687







-16.2161

-66.5045

34.0724







-1.5388

-52.6389

49.5613







-29.2822

-79.9380

21.3737







-20.0506

-71.2057

31.1045







7.1426

-43.6939

57.9791







-19.7381

-70.3403

30.8641







-16.6074

-67.4100

34.1953







-2.1240

-53.2381

48.9901







-19.1491

-69.7304

31.4321







7.7141

-42.8786

58.3068







12.8733

-37.9695

63.7160







-16.4096

-67.6248

34.8056







37.0681

-13.3471

87.4834







-15.4789

-65.6088

34.6509







7.4797

-43.7139

58.6732







-9.8804

-60.4900

40.7292







34.3137

-15.6535

84.2810







6.7098

-44.2910

57.7105







9.9425

-41.0808

60.9658







9.2656

-40.0972

58.6285







-32.9906

-83.4306

17.4494







0.1865

-51.0727

51.4458







-0.4577

-51.3953

50.4799







-10.3484

-61.4071

40.7103







-3.4172

-54.6044

47.7701







1.6651

-49.3512

52.6814







-10.0063

-61.3041

41.2914







15.1540

-35.5594

65.8675







3.0794

-48.2116

54.3703







5.5574

-44.2786

55.3934







11.1460

-39.8436

62.1357







-30.2489

-81.1894

20.6917







-13.1520

-64.1954

37.8915







-3.4228

-54.4306

47.5849







-17.7521

-68.8004

33.2962







-35.8769

-86.7118

14.9581







-14.4932

-65.1229

36.1365







-0.1188

-51.1060

50.8683







3.7897

-47.3559

54.9354







21.9194

-27.6652

71.5039







26.7776

-23.9676

77.5227







5.5205

-45.6555

56.6965







13.3664

-37.6893

64.4221







13.7147

-36.6026

64.0320







9.4851

-41.3890

60.3592







29.1797

-21.6240

79.9835







-15.7831

-66.8133

35.2470







-22.7078

-73.6132

28.1977







-4.3393

-55.4381

46.7594







37.4241

-12.6945

87.5427







16.4062

-34.4985

67.3108







0.1738

-50.7715

51.1190







-7.8769

-59.1793

43.4256







-13.8921

-64.7886

37.0044







-8.0860

-59.1509

42.9788







-17.1031

-68.0762

33.8699







-4.4151

-55.6334

46.8032







-30.9607

-81.7690

19.8475







32.0094

-18.7677

82.7865







31.7837

-19.0185

82.5860







5.2169

-45.8980

56.3317







-5.0515

-56.1756

46.0727







18.5197

-32.4990

69.5385







-5.7714

-56.9352

45.3925







25.2208

-25.5482

75.9898







-12.6104

-63.1297

37.9090







21.7828

-28.2603

71.8259







10.2245

-40.9908

61.4398







-9.4350

-55.3153

36.4453







-5.0919

-55.8748

45.6909







32.6112

-17.5312

82.7536







44.5121

-5.9272

94.9515







35.8486

-14.8237

86.5210







43.8482

-6.2251

93.9214







35.3981

-15.1079

85.9040







-5.3886

-56.6237

45.8465







-19.5086

-70.3569

31.3398







-28.7582

-79.6589

22.1426







-8.0440

-58.6477

42.5597







9.2664

-41.7655

60.2984







-2.1800

-53.1386

48.7786







-8.6818

-58.6147

41.2510







5.6651

-45.3400

56.6702







-18.4257

-69.4724

32.6210







12.4336

-38.0096

62.8769







-15.3049

-65.8878

35.2780







-17.3295

-68.1602

33.5013







-2.4444

-53.5238

48.6351







-13.7255

-64.1018

36.6508



stats = 0.2171 12.1355 0.0000 388.8866

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 34.4446 – 0.0248 Hb + 0.4860 СОЭ + 0.0269 СРБ +0.6 296Фибриноген

R2=0.2171 - 21.71% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=12.1355 

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения. а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.

Новое уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 32.6943 – 0.0638 Hb + 0.4418 СОЭ + 0.0269 СРБ +1.9637 Фибриноген

stats =0.5550; 34.9170; 0; 111.2369;

R2=0.5550 - 55.50% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=34.9170 

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Вывод: исходя из полученного уравнения, можно сделать вывод о том, что наилучшим предсказывающим фактором для ВАШСП является фибриноген.

Зависимость ВАШБП и ВАШСП от показателей активности в динамике

Разобьем наши данные на три группы. В первую группу войдут данные полученные до лечения. во вторую данные после 2 месяцев лечения а в третью после трех месяцев.

Так как ранее мы уже проводили исследование на проверку распределения выборок то мы можем воспользоваться параметрическим методом дисперсионного анализа для проверки различий средних. Проверка необходима для подтверждения целесообразности разделения данных, если это подтвердится, то затем мы рассчитаем для каждой группы уравнение зависимости ВАШСП и ВАШБП от показателей активности заболевания.


3 Дисперсионный анализ



Таблица 2.1.1. Зависимость Hb от стадии лечения

1 группа

2 группа

3 группа

124

125

134

124

115

104

110

118

130

93

117

136

133

114

150

129

123

136

149

150

105

122

125

146

145

103

146

124

142

138

99

150

158

125

140

154

137

94

141

156

129

134

148

156

150

138

141

150

144

148

114

133

141

109

145

135

157

121

150

161

126

150

133

128

127

166

120

158

168

150

131

136

123

162

142

150

121

118

160

144

126

139

160

140

152

140

101

146

110

123

142

135

117

137

106

151

148

126

142

130

154

144

152

140

120

126

110

107

118

116

114

140

136

124

166

122

120

128

150

115

165

112



143

124



132

137



130

130



126

160



166

150



168





128





126





114





142





156





170





119





128





163





135





120





120





106





130





156





114





137





142





121





140





121





136





125





138





150





154





127





153





120





171





128





124





130





127





130





138





122





160





104





121





131





127





109





158





132





134





164







После вычислений получаем:

p =0.7913

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №2.1.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

136,7

2

68,326

Остаточная

51587,5

177

291,455

Полная

51724,2

179

-----



p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень гемоглобина в крови не зависит от стадии лечения.

Таблица 2.2.1. Зависимость СОЭ от стадии лечения

1 группа

2 группа

3 группа

18

14

5

19

4

10

42

12

15

66

17

3

25

14

3

10

5

38

13

2

49

28

40

5

3

30

3

26

6

19

28

3

2

38

26

3

28

69

10

1

25

5

52

3

3

48

35

5

26

6

16

14

3

5

12

5

4

48

1

4

19

5

10

28

5

1

25

7

4

6

6

15

11

3

2

26

10

10

2

2

10

51

2

10

24

12

34

13

37

38

6

18

25

10

58

2

2

10

10

30

4

17

2

10

15

3

23

8

46

12

5

56

5

10

3

12

35

11

12

39

4

10



4

30



24

24



11

40



7

2



1

2



7





9





20





34





4





24





1





35





16





1





36





22





34





50





28





14





64





30





9





32





10





21





3





7





22





26





12





6





1





18





1





2





10





26





6





4





12





25





4





40





52





18





62





40





7





5





3





8







После вычислений получаем:

p = 0.0219

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №2.2.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

136,7

2

68,326

Остаточная

51587,5

177

291,455

Полная

51724,2

179

-----



p<pкр



Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости СОЭ зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие. Для проверки такой параметрической гипотезы используется процедура множественного сравнения. При проверке простой параметрической гипотезы (нулевой гипотезы) о равенстве средних одной группы выборок по отношению к другой по статистике t необходимо задать уровень значимости , определяющий критическое значение статистики. Примем равным 0,05. Это означает, что в 5% случаев будет неверно отвергнута нулевая гипотеза. 

При увеличении групп выборок, увеличивается число проверяемых гипотез. 

При использовании простой параметрической гипотезы по статистике t, уровень значимости будет применяться к каждой гипотезе отдельно, что повлечет к росту вероятности неверно отвергнуть нулевую гипотезу пропорционально количеству выполненных проверок. Т.е., неверно определить значимое отличие выборочных средних. Процедура множественного сравнения обеспечивает заданный уровень значимости для каждой проверки.

Выходной параметр с представляет результаты множественного сравнения в виде матрицы из 5 столбцов. Срока матрицы с соответствуют результатам проверки одной параметрической гипотезы. Таким образом, каждая строка с соответствует одной паре выборок. Первые два значения в строке с показывают номера сравниваемых выборок, пятый - величину разности средних арифметических сравниваемых выборок, четвертый и третий столбцы - 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических.



Таблица 2.2.3 Различия между средними для СОЭ

№ группы

№ группы

Нижняя граница доверительного интервала

Разница средних арифметических

Верхняя граница доверительного интервала

1 группа

2 группа

-1.2331

5.3127

11.8585

1 группа

3 группа

0.5745

7.4420

14.3096

2 группа

3 группа

-5.7354

2.1293

9.9941

Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 3 группой, величина их разности равна 7.4420, 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических составил [0,5745, 14.3096]. Различия считаются значимыми, если в доверительный интервал не попало нулевое значение. Т.е. средние арифметические выборок статистически значимо отличаются друг от друга, для .

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов. Два выборочных средних значимо отличаются, если их доверительные интервалы не пересекаются на графике. При наложении границ доверительных интервалов двух средних арифметических, различие между ними можно считать статистически незначимым.







Таблица 2.3.1. Зависимость СРБ от стадии лечения

1 группа

2 группа

3 группа

0

0

0

6

0

0

96

0

0

192

0

0

0

6

0

0

0

96

0

0

48

0

192

0

0

48

0

0

0

48

48

0

0

0

192

0

12

768

6

0

6

0

384

0

0

192

96

0

12

24

0

48

6

0

0

0

0

96

0

0

0

0

0

48

0

0

0

0

0

12

0

0

6

0

0

6

0

0

0

0

0

96

0

0

48

0

12

6

0

96

0

0

0

0

48

0

0

0

0

0

0

48

0

0

0

0

12

0

768

0

0

96

0

0

0

0

48

0

0

48

0

0



0

96



0

96



12

48



0

0



0

0



6





0





6





6





0





48





0





6





6





0





12





0





0





192





0





6





48





6





0





0





0





0





0





0





12





12





6





0





0





48





0





0





0





0





0





0





96





0





0





0





48





0





384





48





0





0





0





0







После вычислений:

p = 0.4019

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №2.3.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

16791,5

2

8395,73

Остаточная

1621687,7

177

9162,08

Полная

1638479,2

179

-----



p>pкр



Вывод:

Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень СРБ в крови не зависит от стадии лечения.



Таблица 2.4.1. Зависимость фибриногена от стадии лечения

1 группа

2 группа

3 группа

3,00

4,00

3,75

4,50

4,00

4,00

3,50

3,00

3,00

7,25

4,00

2,75

4,00

3,00

2,00

3,25

3,20

6,00

5,50

2,00

3,50

4,00

8,75

3,00

3,25

4,00

2,50

5,00

4,00

4,75

3,60

5,00

3,00

4,25

5,00

2,75

4,25

7,50

3,25

3,00

4,00

2,50

10,20

3,25

2,00

4,75

2,90

3,10

4,50

3,25

2,00

5,00

2,90

3,25

5,50

3,00

3,25

5,50

2,00

3,00

3,75

3,00

3,25

3,75

2,00

3,25

4,50

3,00

4,00

5,75

2,93

3,00

3,00

4,25

2,00

4,25

3,25

3,25

3,75

2,50

2,50

5,25

3,00

3,25

6,25

3,50

4,30

2,25

5,00

4,25

3,25

3,30

4,00

2,50

5,00

2,25

2,75

4,25

2,10

4,00

2,00

4,75

2,75

3,25

3,50

4,00

4,25

3,00

4,50

3,50

2,00

6,75

3,00

1,75

3,25

2,00

4,25

3,75

3,50

3,00

3,25

4,00



4,00

3,50



4,25

3,00



3,50

2,75



2,60

3,00



2,75

2,75



4,25





2,00





3,75





5,25





2,00





5,75





2,50





5,50





3,50





3,25





7,25





3,75





3,00





7,00





5,50





4,00





7,50





3,50





4,00





5,50





6,75





2,50





3,10





3,00





6,75





4,50





3,50





2,50





2,50





4,50





3,00





2,15





2,80





3,75





2,50





3,00





3,25





3,50





3,75





5,25





5,10





4,50





12,20





5,75





5,50





3,00





2,50





3,00







p = 0.0003

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №2.4.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

34,806

2

17,4029

Остаточная

365,662

177

2,0659

Полная

400,467

179

-----



p<pкр



Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости фибриноген зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.



Таблица 2.4.3 Различия между средними для фибриногена

№ группы

№ группы

Нижняя граница доверительно интервала

Разница средних арифметических

Верхняя граница доверительного интервала

1 группа

2 группа

-0.1003

0.6532

1.4067

1 группа

3 группа

0.2579

1.0484

1.8389

2 группа

3 группа

-0.5101

0.3952

1.3005

Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 3 группой, величина их разности равна 1.0484, 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических составил [0,2579, 1.8389]. Т.е. средние арифметические выборок статистически значимо отличаются друг от друга, для .

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов.







Таблица 2.5.1. Зависимость ВАШБП от стадии лечения

1 группа

2 группа

3 группа

15

36

5

28

20

38

63

38

5

45

15

0

40

53

5

80

12

65

20

23

57

48

40

5

75

52

0

35

25

25

55

0

5

85

70

20

45

95

21

43

25

5

45

10

10

50

27

15

50

40

15

56

45

23

10

15

35

55

17

3

45

25

10

95

25

37

32

10

7

25

35

10

70

12

5

45

28

25

28

15

10

27

25

2

75

17

35

45

70

60

55

45

45

35

55

20

33

40

13

5

25

30

45

20

5

35

40

55

73

75

30

55

30

25

56

55

16

43

15

30

55

30



20

20



53

40



30

35



55

35



55

15



15





70





60





25





25





35





33





65





45





50





25





45





44





100





65





55





64





15





15





40





45





57





40





33





55





50





55





40





0





45





48





30





67





65





50





45





55





27





58





45





30





50





35





20





78





50





60





75







После вычислений получаем:

p = 4.8659e-011

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа



Таблица №2.5.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

19350,2

2

9675,1

Остаточная

62873,6

177

355,22

Полная

82223,8

179

-----



p<pкр



Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШБП зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.



Таблица 2.5.3 Различия между средними для ВАШБП

№ группы

№ группы

Нижняя граница доверительно интервала

Разница средних арифметических

Верхняя граница доверительного интервала

1 группа

2 группа

3,7045

13,5851

23,4657

1 группа

3 группа

15,0439

25,4101

35,7763

2 группа

3 группа

-0.0464

11,8250

23,6964



Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 2 группой и 1 и 3 группой.

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов.







Таблица 2.6.1. Зависимость ВАШСП от стадии лечения

1 группа

2 группа

3 группа

20

41

10

53

30

50

68

43

3

55

17

0

43

60

5

75

15

63

12

20

58

40

41

10

67

43

0

38

40

80

80

5

10

80

80

30

41

95

20

65

35

5

50

20

9

48

35

10

45

40

40

50

48

20

25

18

33

40

18

5

55

40

18

89

60

40

60

10

15

25

20

10

70

12

20

50

28

35

50

30

20

55

35

2

55

29

37

60

68

55

55

45

50

40

70

25

32

50

20

40

34

39

54

30

10

47

32

50

80

75

20

78

30

20

65

19

50

50

10

40

62

31



25

60



52

45



50

45



30

39



60

15



19





70





70





35





32





28





40





65





25





70





38





52





40





100





55





50





78





15





38





50





62





70





40





50





60





56





68





20





10





40





70





50





70





78





41





30





60





40





60





42





83





53





70





51





70





80





70





80







После вычислений получаем:

p =1.0573e-011

Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа

Таблица №2.6.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.

Компонента дисперсии

Сумма квадратов



Степень свободы



Средний квадрат

Между выборками

21595,1

2

10797,6

Остаточная

65337,4

177

369,1

Полная

86932,6

179

-----



p<pкр



Вывод:

Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШСП зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.



Таблица 2.6.3 Различия между средними для ВАШСП

№ группы

№ группы

Нижняя граница доверительно интервала

Разница средних арифметических

Верхняя граница доверительного интервала

1 группа

2 группа

5,2663

15,3386

25,4109

1 группа

3 группа

15,9332

26,5005

37,0679

2 группа

3 группа

-0.9398

11,1620

23,2637



Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 2 группой и 1 и 3 группой.

Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов.






4 Линейная регрессия



1. Построим уравнение зависимости ВАШБП и ВАШСП для первой группы



После выполнения расчетов для ВАШБП получаем:

b

bint

r

rint

55.5897

-1.0234

112.2027

-32.5449

-81.3671

16.2774

-0.0352

-0.4366

0.3663

-16.7412

-66.1905

32.7082

0.1469

-0.4263

0.7201

9.0742

-39.3668

57.5152

0.0356

-0.0260

0.0972

-8.5563

-55.9419

38.8293

-2.1095

-6.7707

2.5517

-6.1470

-55.9481

43.6541







34.3332

-14.4218

83.0883







-20.6578

-69.6085

28.2929







1.0256

-48.6646

50.7159







30.9239

-18.0042

79.8520







-9.5008

-59.1208

40.1192







4.6638

-43.7703

53.0980







37.1898

-10.8186

85.1982







-1.3469

-51.0447

48.3509







-0.9230

-50.3921

48.5461







-5.1806

-49.4128

39.0516







-4.6042

-52.2626

43.0542







4.7203

-44.8871

54.3278







11.8687

-37.5070

61.2444







-30.6516

-79.1407

17.8375







4.7988

-44.2927

53.8902







-1.0393

-50.8820

48.8034







45.9999

-2.0349

94.0347







-13.5494

-63.0684

35.9696







-14.4945

-62.8987

33.9097







23.2344

-25.8160

72.2847







-0.3824

-49.5880

48.8231







-14.3471

-63.5227

34.8285







-23.5363

-70.7562

23.6836







32.7050

-15.5714

80.9813







-2.8328

-52.0938

46.4282







10.3778

-39.3362

60.0918







-11.9676

-61.5539

37.6187







-11.8785

-61.3934

37.6363







-41.9868

-90.1676

6.1939







0.2621

-49.2959

49.8201







-8.1621

-56.7824

40.4582







-3.0527

-28.9716

22.8662







6.9288

-40.5712

54.4287







12.6622

-36.2299

61.5544







-1.7940

-51.4348

47.8467







11.4802

-37.4851

60.4455







-22.7112

-71.8517

26.4293







7.4921

-42.3668

57.3509







-15.6784

-65.2347

33.8778







8.2972

-41.0592

57.6536







10.9012

-37.9236

59.7261







-26.9591

-75.2568

21.3387







21.8081

-27.1771

70.7933







13.6002

-36.1128

63.3132







-20.7137

-69.7056

28.2783







-21.9653

-71.0527

27.1220







-8.2091

-57.2974

40.8792







-11.4855

-59.8857

36.9147







19.8426

-29.2750

68.9603







-1.2694

-51.1186

48.5798







6.8505

-42.3175

56.0185







-16.2637

-64.7218

32.1944







-1.6909

-51.3675

47.9858







-6.0354

-54.7918

42.7211







48.7233

2.2018

95.2447







21.4711

-27.8084

70.7507







11.0636

-38.3336

60.4607







17.1311

-30.0069

64.2690







-33.0091

-81.2869

15.2687







-28.4807

-77.6532

20.6918







-4.4328

-53.8928

45.0273







7.1032

-40.3586

54.5650







7.8543

-41.4167

57.1253







-4.7090

-54.2491

44.8311







-12.8942

-62.1290

36.3406







14.8432

-33.7018

63.3881







4.9313

-44.3565

54.2190







10.2322

-39.2524

59.7168







-6.7317

-56.0897

42.6263







-45.0832

-92.8981

2.7317







-1.2306

-50.6325

48.1713







4.6044

-44.0055

53.2143







-16.8474

-65.7849

32.0901







20.2082

-28.9442

69.3606







18.0733

-31.4132

67.5598







3.2683

-46.1174

52.6539







-0.2778

-49.6871

49.1316







5.9373

-43.6017

55.4764







-20.5885

-69.9104

28.7334







15.3592

-33.8331

64.5514







-1.7328

-50.4724

47.0067







-19.9232

-67.8864

28.0400







5.8655

-43.9565

55.6874







-13.1686

-54.8756

28.5383







-27.2116

-75.7461

21.3230







38.5398

-9.0647

86.1444







4.6457

-44.8956

54.1870







13.9550

-35.3909

63.3008







30.3302

-17.8422

78.5026


stats =0.0513 1.2021 0.3156 360.6221

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШБП= 55.5897 – 0.0352 Hb + 0.1469 СОЭ + 0.0356 СРБ -2.1095Фибриноген

R2=0.0513 - 5.13% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=1.2021 

p= 0.3156

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения, а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.

Новое уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШБП= 39,5747 +0,1252 Hb + 0.3508СОЭ + 0.0253 СРБ -4,0355 Фибриноген



stats =0.2812 5.5758 0.0007 78.6334

R2=0.2812 - 28,12% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=5,5758

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить..



После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:

b

bint

r

rint

50.8776

-3.1564

104.9115

-32.7325

-79.2404

13.7754

0.0166

-0.3665

0.3998

2.5397

-44.8640

49.9434

0.2963

-0.2508

0.8434

6.0810

-40.1855

52.3475

0.0337

-0.0252

0.0925

-10.0531

-55.2500

35.1438

-1.8469

-6.2958

2.6019

-10.1094

-57.5855

37.3666







25.0166

-21.8947

71.9280







-35.0493

-81.0569

10.9584







-13.8155

-61.0841

33.4531







18.8248

-28.3079

65.9575







-13.4091

-60.6874

33.8691







24.2126

-21.5301

69.9554







23.6332

-22.7868

70.0532







-13.0071

-60.3015

34.2874







16.7728

-30.2081

63.7536







-12.8332

-54.9193

29.2530







-17.0851

-62.3357

28.1656







-8.0691

-55.3793

39.2411







0.3814

-46.8518

47.6146







-21.6864

-68.2933

24.9205







-20.1860

-66.7151

26.3432







3.3231

-44.2405

50.8868







33.0074

-13.5531

79.5680







8.0302

-39.3183

55.3788







-19.9338

-65.9570

26.0893







19.1564

-27.7641

66.0770







-3.4287

-50.3828

43.5255







2.7951

-44.2907

49.8809







-6.8360

-52.3028

38.6309







4.4110

-42.4748

51.2967







6.7961

-40.1882

53.7803







5.9857

-41.5151

53.4865







-11.5016

-58.8274

35.8241







-16.8523

-63.9817

30.2772







-14.5411

-61.7055

32.6233







5.0812

-42.1976

52.3600







0.5260

-45.9305

46.9824







-4.0088

-28.7348

20.7172







17.4362

-27.6732

62.5457







16.4756

-30.0832

63.0344







0.6604

-46.7209

48.0417







13.1959

-33.4931

59.8849







-22.0531

-68.9410

24.8349







-0.3347

-47.9643

47.2949







-0.2385

-47.7231

47.2461







-20.2450

-67.0619

26.5718







11.1447

-35.4423

57.7317







-29.0980

-75.0374

16.8415







18.0209

-28.8239

64.8657







17.8249

-29.4994

65.1491







-18.3536

-65.1590

28.4519







-18.7303

-65.6559

28.1952







-23.5790

-70.0136

22.8555







-9.3835

-55.6061

36.8390







11.7287

-35.3366

58.7939







-26.4849

-73.4803

20.5106







22.1181

-24.4339

68.6701







-12.8035

-59.1195

33.5125







-0.4660

-47.8815

46.9495







-17.4071

-63.7135

28.8994







39.0101

-5.9565

83.9767







3.8219

-43.5506

51.1945







-0.4344

-47.6739

46.8052







18.4989

-26.4261

63.4238







-40.7830

-86.2847

4.7188







-10.5180

-57.9744

36.9384







-2.2137

-49.4313

45.0039







18.2980

-26.7498

63.3459







15.5050

-31.3669

62.3769







-8.3026

-55.5452

38.9400







0.5104

-46.6079

47.6286







12.3716

-34.0022

58.7454







2.8311

-44.2230

49.8853







17.2681

-29.7928

64.3289







-30.1500

-76.5286

16.2285







-39.1008

-85.0149

6.8132







-11.5112

-58.5528

35.5305







21.5233

-24.4938

67.5404







0.3722

-46.5532

47.2975







19.2687

-27.6451

66.1824







24.1824

-22.8096

71.1744







-9.1500

-56.2240

37.9239







-18.6838

-65.5500

28.1823







6.0431

-41.2354

53.3216







-13.8500

-61.0871

33.3872







12.2025

-34.8040

59.2090







-12.7632

-59.1466

33.6201







22.5056

-23.1477

68.1590







2.9215

-44.6495

50.4926







8.2468

-31.6490

48.1426







-4.5385

-51.4144

42.3374







24.5790

-21.5012

70.6591







30.9866

-15.5081

77.4813







20.6225

-26.2676

67.5126







29.5655

-16.3814

75.5124



stats =0.0890 2.1745 0.0783 328.5125

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 50.8776 + 0.0166 Hb + 0.2963 СОЭ + 0.0337 СРБ -1.8469Фибриноген

R2=0.0890 - 8.9% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=2.1745 

p= 0.0783

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения, а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.

Новое уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 39.8065 +0,0884 Hb + 0.0029СОЭ + 0.0389 СРБ -0.4223 Фибриноген

stats = 0.2067 3.3879 0.0155 86.9531

R2=0.2067 - 20,67% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=3.3879

p= 0.0155

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.



Рассчитаем уравнение зависимости ВАШБП и ВАШСП для 2 группы



После выполнения расчетов для ВАШБП получаем:

b

bint

r

rint

90.4842

24.1462

156.8221

2.8245

-34.9728

40.6217

-0.4358

-0.8641

-0.0074

-14.6052

-49.9660

20.7557

0.2928

-0.3478

0.9334

0.6256

-36.7237

37.9750

0.0538

-0.0164

0.1239

-22.5401

-58.7748

13.6946

-1.7341

-7.8643

4.3962

12.9742

-23.6786

49.6270







-20.7990

-56.9699

15.3718







0.7644

-36.4334

37.9622







-2.8781

-30.9361

25.1800







1.9709

-34.6095

38.5513







1.5751

-36.0531

39.2034







-17.3262

-52.1622

17.5098







31.2551

-3.0712

65.5815







-3.0250

-15.1183

9.0683







-9.9760

-47.2306

27.2785







-7.7462

-44.9435

29.4512







-12.4228

-46.8670

22.0214







16.5984

-20.5358

53.7326







19.7876

-17.0973

56.6725







-12.9166

-50.4226

24.5895







-4.9428

-42.0645

32.1789







3.6200

-34.1044

41.3445







-8.1368

-44.7904

28.5168







-8.4794

-45.4469

28.4882







4.9262

-32.8340

42.6863







-1.3975

-37.3390

34.5441







-7.0479

-44.4758

30.3800







-8.9832

-46.4682

28.5018







8.8562

-28.0135

45.7259







-9.9203

-47.7456

27.9049







25.2873

-8.4246

58.9992







13.7971

-23.6589

51.2531







-0.1864

-31.3211

30.9483







8.8650

-28.3947

46.1247







3.9219

-33.0458

40.8895







-6.7682

-44.7624

31.2260







-2.5593

-39.5951

34.4765







37.6211

3.9880

71.2542







2.5192

-35.3996

40.4380







17.6346

-18.2831

53.5524







-7.5626

-44.9665

29.8413







-7.6693

-44.0037

28.6650







-24.3264

-60.2566

11.6038







2.2284

-34.9823

39.4392







-8.3589

-42.0641

25.3464







18.8562

-17.3214

55.0339







-5.9350

-43.5076

31.6375



stats =0.5157 10.9162 0.0000 199.2977

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШБП= 90,4842 -0,4358 Hb + 0.2928 СОЭ + 0.0538 СРБ -1.7341Фибриноген

R2=0.5157 - 51,57% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=10,9162 

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Так как больше половины от исходной изменчивости переменной ВАШБП могут быть объяснены данным уравнением то проводить исключение выскакивающих вариант мы не будем.



После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:

b

bint

r

rint

74.6060

3.7587

145.4533

4.5575

-35.7827

44.8976

-0.2903

-0.7478

0.1671

-4.5586

-42.8568

33.7395

0.4787

-0.2054

1.1629

3.3394

-36.5243

43.2031

0.0482

-0.0267

0.1232

-23.2016

-61.9962

15.5931

-2.1431

-8.6900

4.4039

17.9311

-20.9102

56.7724







-19.4290

-58.3313

19.4733







-7.7251

-47.3157

31.8655







-6.9728

-36.8187

22.8730







-9.8057

-48.6580

29.0465







12.3233

-27.5231

52.1697







-16.7746

-54.1278

20.5786







35.0482

-1.3264

71.4227







-6.3240

-19.0289

6.3809







-5.8368

-45.8054

34.1318







-3.7829

-43.6328

36.0670







-13.8393

-50.5864

22.9079







11.3002

-28.7849

51.3854







18.8223

-20.7830

58.4276







-13.3735

-53.4550

26.7081







-9.2464

-48.7586

30.2659







12.9817

-26.9578

52.9213







24.1607

-13.7819

62.1032







-15.6529

-54.7550

23.4491







-13.1636

-53.1599

26.8327







-7.8977

-46.1393

30.3438







-9.2963

-49.2004

30.6078







1.6043

-38.6321

41.8407







12.3215

-26.9097

51.5527







-3.2014

-43.8275

37.4247







18.3343

-18.6518

55.3204







8.0458

-32.3022

48.3939







6.8037

-26.3203

39.9276







16.2985

-23.0884

55.6855







6.4788

-32.9453

45.9029







-1.7797

-42.4667

38.9074







-13.1496

-52.3195

26.0204







35.8303

-0.9187

72.5792







-1.0831

-41.5932

39.4269







-21.6423

-59.7303

16.4457







-19.2979

-58.5368

19.9410







-7.3021

-46.1387

31.5344







9.9044

-29.8156

49.6244







0.4798

-39.2728

40.2324







-7.4326

-43.4909

28.6257







16.3215

-22.6425

55.2854







-11.1178

-51.0543

28.8187



stats = 0.4741 9.2403 0.0000 227.3133

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 74,6060 -0,2903 Hb + 0.4787 СОЭ + 0.0482 СРБ -2,1431Фибриноген

R2=0.4741 - 47,41% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=9,2403

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.

Построим уравнение зависимости ВАШБП и ВАШСП в 3 группе



После выполнения расчетов для ВАШБП получаем:

b

bint

r

rint

51.9250

-16.2666

120.1166

-14.2935

-48.4355

19.8485

-0.3334

-0.7714

0.1046

8.1518

-23.4159

39.7194

-0.0539

-1.0565

0.9488

-12.6251

-47.5751

22.3250

0.3274

-0.1187

0.7736

-15.4497

-50.1677

19.2684

3.2847

-5.2879

11.8572

-3.3181

-37.9505

31.3143







9.3268

-19.0731

37.7267







15.5114

-13.2881

44.3109







-7.8288

-43.3208

27.6632







-11.2942

-46.3668

23.7785







-11.2071

-44.5562

22.1420







-3.9892

-39.0154

31.0369







10.5521

-24.4140

45.5182







3.9876

-31.7774

39.7526







-10.1876

-45.3800

25.0047







1.6819

-32.9763

36.3400







3.1765

-32.2848

38.6378







-4.6214

-38.7327

29.4899







-2.9869

-35.5847

29.6109







24.9639

-8.0240 

57.9519







-4.8812

-39.5228

29.7604







-7.7152

-43.2511

27.8206







29.8032

-1.5126 

61.1190







-1.8318

-34.4443

30.7806







-5.6245

-40.7179

29.4690







-6.0394

-40.6636

28.5847







2.2833

-32.7475

37.3140







-7.5858

-42.9437

27.7722







-13.3812

-48.4307

21.6683







0.5296

-30.6683

31.7274







5.7404

-22.5060

33.9868







20.2943

-10.7267

51.3154







11.1403

-23.4900

45.7705







2.0630

-32.7541

36.8801







-4.3143

-37.7294

29.1009







-17.6017

-51.7051

16.5017







29.3290

-1.1442

59.8022







9.7861

-22.9731

42.5453







9.2109

-24.7332

43.1550







-23.7047

-56.2236

8.8141







-7.0506

-39.0017

24.9005



stats = 0.5009 8.7816 0.0001 173.5544

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШБП= 51,9250 -0,3334 Hb +0,3274 СОЭ - 0.0534 СРБ +3,2847Фибриноген

R2=0,5009 - 50,09% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=8,7816 

p= 0.0001

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.



После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:

b

bint

r

rint

 44.7235

 -27.8214 

117.2684

 -15.6190

 -51.9023

20.6643

 -0.3118

 -0.7778

0.1541

 13.4645

 -19.7720

46.7010

 0.0107

 -1.0559

1.0774

 -19.4484

 -56.0444

17.1477

 0.3283

 -0.1464

0.8029

 -18.9404

 -55.6121

17.7314

 6.0335

 -3.0863

15.1533

 -5.0498

 -41.8544

31.7548







 -7.4380

 -37.8063

22.9302







 8.6181

 -22.7173

39.9534







 -7.3520

 -45.1540

30.4499







 -14.3138

 -51.4481

22.8204







 33.6879

 1.4068

65.9691







 -3.5780

 -40.8555

33.6994







 16.6724

 -20.0775

53.4222







 -2.4427

 -40.5253

35.6399







 -13.0771

 -50.3597

24.2055







 -1.0498

 -37.9267

35.8271







 -6.7081

 -44.3360

30.9198







 18.5853

 -16.7246

53.8952







 -10.3977

 -44.7668

23.9713







 17.5803

 -18.7245

53.8852







 -7.6640

 -44.4229

29.0949







 -4.9677

 -42.8951

32.9598







 27.4189

 -6.7161 

61.5538







 -1.5148

 -36.2139

33.1844







 -10.5774

 -47.6882

26.5333







 7.4664

 -29.3253

44.2580







 7.3551

 -29.7707

44.4808







 -0.6253

 -38.4278

37.1772







 -18.7849

 -55.6298

18.0599







 -6.4776

 -39.5299

26.5747







 -8.9331

 -38.8279

20.9618







 17.3573

 -16.1847

50.8992







 13.7644

 -22.9312

50.4600







 6.7772

 -30.1412

43.6957







 -5.4197

 -40.9425

30.1031







 -18.5833

 -54.8797

17.7131







 20.4549

 -13.7811

54.6908







 -1.2967

 -36.4797

33.8862







 3.2762

 -33.0916

39.6440







 0.9204

 -35.6226

37.4633







 -3.1398

 -37.2792

30.9997



stats = 0.5571 11.0045 0.0000 196.4207

Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

ВАШСП= 44,7235 – 0,3118 Hb + 0.3283 СОЭ + 0.0107 СРБ +6,0335Фибриноген

R2=0.5571 - 55,71% от исходной изменчивости могут быть объяснены

F=11,0045

p= 0

F>p следовательно полученному уравнению можно верить.




Заключение



В данной дипломной работе был проведен математический анализ заболевания реактивный артрит. 

Был проведен анализ связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами), а именно показателями активности заболевания и зависимой переменной ВАШ (ВАШБП, ВАШСП).

Полученные уравнения показали, что лучшими предсказывающими факторами (предикторами) для ВАШБП являются уровень фибриногена и гемоглобина в крови, причем связь с гемоглобином носит отрицательный характер, а с фибриногеном положительный. Для ВАШСП лучшими предикторами будут уровень фибриногена в крови и СОЭ, для обоих факторов связь носит положительный характер.

Так же был проведен регрессионный анализ в динамике, в результате которого было установлено что в первой группе (начало лечения) лучшими предсказывающими факторами для ВАШСП и ВАШБП являются уровень фибриногена в крови и СОЭ, причем связь с СОЭ носит положительный характер а связь с фибриногеном отрицательный. Во второй (2 месяца лечения ) группе для ВАШБП – фибриноген и гемоглобин, для обоих факторов связь имеет отрицательный характер. Для ВАШСП – фибриноген и СОЭ, связь с фибриногеном носит отрицательный характер. В третьей (3 месяца лечения) группе для ВАШСП и ВАШБП – фибриноген, гемоглобин, СОЭ, связь носит отрицательный характер только для гемоглобина. Эти данные приведены ниже в таблице.





1 группа

(Начало лечения)

2 группа

(2 месяца)

3 группа

(3 месяца)

Общее уравнение

ВАШБП

1-й предиктор

Фибриноген

Фибриноген

Фибриноген

Фибриноген

2-й предиктор

СОЭ

Гемоглобин

Hb/СОЭ

Гемоглобин

Характер связи 

с первым предиктором



отрицательный



отрицательный



положительный



положительный

Характер связи 

со вторым предиктором



положительный



отрицательный

Отрицательный/

положительный



отрицательный

ВАШСП

1-й предиктор

Фибриноген

Фибриноген

Фибриноген

Фибриноген

2-й предиктор

Гемоглобин

СОЭ

Hb/СОЭ

СОЭ

Характер связи

 с первым предиктором



отрицательный



отрицательный



отрицательный



положительный

Характер связи 

со вторым предиктором



положительный



положительный

Отрицательный/

положительный



положительный

 

При выполнении анализа выскакивающих вариант было отмечено что большее их количество находится в первой группе, возможно, это связано с неправильной оценкой субъективного показателя ВАШ, также в этой группе наблюдается небольшой процент объяснения исходной изменчивости переменной ВАШ.

При проведении однофакторного дисперсионного анализа для сравнения средних арифметических значений выборок оказалось, что вид инфекции предшествующей реактивному артриту не влияет на показатели активности и ВАШ. На изменение показателей, а именно СОЭ, фибриногена и ВАШ влияет стадия лечения, причем значительные улучшения показателей ВАШ наступают после 2 месяцев лечения, но далее их значения остаются неизменными, а показатели СОЭ и фибриноген изменяются после 3 месяцев лечения.