Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда

Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала; 

- ρ = ± ∞ - как записать уравнение Пуассона? 

- поле точечного заряда (): пытаемся посчитать div, а получается ноль - где же заряд? 

- невозможность наличия каких-либо диэлектриков: если , то любой диэлектрик пробивается. 

Преодолеть математическую часть описанных сложностей можно путем записи ρ через δ-функцию. В частности, 

ρ(x, y, z)

 = 



(20)

ρ(x, y, z)

 = 

λ(z)·δ(x)δ(y) –бесконечная нить по оси z (заряд λ(z))



ρ(x, y, z)

 = 

σ(y, z)·δ(x) –бесконечная плоскость yz (заряд σ(y, z))



Мы не будем применять такой подход. Вместо этого, мы далее считаем ρ конечной величиной, в то время как заряженные бесконечно тонкие поверхности, нити и точечные заряды рассматриваем отдельно. 

Смежная проблема: бесконечный суммарный заряд и - как следствие - некорректное поведение потенциала на ∞. Такое происходит в декартовой системе при ρ = ρ(x) и в цилиндрической (ρ = ρ(r)). В реальной задаче этого быть не может, т.к. есть ограничение и по другим координатам. В учебных примерах либо должно быть обеспечен нулевой суммарный заряд (), или же, понимая некорректность ситуации, необходимо задать φ = 0 в какой-либо точке не на бесконечности. Примером такой задачи является нахождение потенциала равномерно заряженного цилиндра. 

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.