Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку

Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку.



1. Властивості лінійного диференціального оператору.

     Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

     (5.1)

де  Pi(x),   i =1,2,…, n ,   f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

     При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

y=y(x), який задовільняє початковим умовам .

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

     Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при  стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.

     Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним

      (5.2)

     Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

     (5.3)

Властивості оператора L : 

L (xy)=k *L (y),   k = const; 

L ()=L () + L ();

L  .

Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x)  , L (y) = 0   .

Означення 5.1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y)  f (x)  (для диференціального рівняння (5.2)

 L (y(x))  0).

     Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної   .

     Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції .     (5.4)



2. Властивості розв’язків лінійного однорідного   диференціального рівняння n–го порядку.

     Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння     (5.5)

     Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.

Означення 5.2  Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).

Приклад 5.1.   Показати справедливість формул ,  .    (5.6) 

Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює .     (5.7)

Приведемо формули для обчислення похідної : 

а) ;     (5.8)

Дійсно       

б) Для дійсного к і будь-якого  справедлива формула 

 ;     (5.9)

в)  Використовуючи (5.9) можна показати ,    (5.10)

      де  - поліноми степеня n ;

г) При будь-якому  (дійсному або комплексному) справедлива формула 

    .     (5.11)

     Формула (5.11) доводиться шляхом представлення  і використання формули (5.8).

Означення 5.3.  Комплексна функція y (x) = (x) + i(x)     (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо

L (y(x)) 0,  a < x < b .

Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки (x), (x).

Дійсно L (y(x)) = L ((x) + i(x)) = L((x)) + iL((x)) = 0 .

Звідки  L((x)) = 0, L((x)) = 0.



Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).

а) Якщо (x) – розв’язок , тобто  L()  0, то  y=c(x), де с – довільна константа , теж  розв’язок  диференціального рівняння (5.5) 

L(с) = сL()  = 0.



б) Якщо  (x), (x) - розв’язки  диференціального рівняння (5.5) , то 

у= (x)+(x) теж розв’язок . Дійсно L (+) = L ()+L () = 0.



в)  Якщо (x), (x), ... , ) - розв’язки  диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком 

L = 0.

Приклад 5.2.   Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.

, =cos(x), =sin(x) - розв’язки, тоді y = ccos(x)+csin(x) - розв’язок .



3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.

Означення 5.4.  Функції (x), (x), ... ,  називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду 

(x) + (x) + ... +  0 , a < x < b ,     (5.13)

де , ... ,  - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції  (x), (x), ... ,  називають лінійно залежними на (a,b).

      Для  двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій  ,    не було постійним на (a,b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3.   Функції =1, =x, ... ,  - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) .  Дійсно співвідношення 

		+x +  ... + x=0 , в якому не всі  дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.

	Приклад 5.4.  Функції ,  - лінійно незалежні, так як співвідношення , де  не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з =.

	Приклад 5.5.   Функції =sinx , =cosx , =1 – лінійно залежні на  , так як для будь-якого х справджується співвідношення

	sinx  + cosx – 1 = 0 .

	Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .

	

	Теорема 5.1.    Якщо функції (x), (x), ... ,  - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут

	W (x) =      (5.14)

	Доведення.   Згідно умови теореми 

			(x) + (x) + ... +  0 , a < x < b , де не всі  одночасно рівні нулю . Нехай  , тоді 

		    (5.15)

		Диференціюємо  (5.15) (n-1)-раз і підставляємо в (5.14) 

		W (x) =  (5.16)

Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже 

W (x) 0 , a < x < b. Теорема доведена.



Нехай кожна з функцій (x), (x), ... ,  - розв’язок  диференціального рівняння (5.5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих

розв’язків  даються теоремою 5.1. і слідуючою теоремою .

Теорема 5.2.  Якщо функції (x), (x), ... ,  - суть лінійно незалежні  розв’язки  диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .

Доведення.    Припустимо протилежне , що в точці (a,b)  . Складемо систему рівнянь

    (5.17)

Так як визначник системи (5.17)  , то вона має ненульовий розв’язок

. Розглянемо функцію y =  ,   (5.18)

яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5).

Система (5.17) показує , що в точці  розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) =  , a < x < b, де не всі  дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки (x), (x), ... ,  - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.

     З теорем 5.1. і 5.2. випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.

     Виявляється , для вияснення лінійної незалежності  n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5.5):

а)  Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b)  і  всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними , то  на (a,b).

     Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2. функції (x), (x), ... ,  - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 5.1.  на (a,b);

б)  якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b)  , то  на (a,b) .

Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а)  на (a,b) , в тому числі і в точці (a,b)  , що протирічить умові.

Звідси випливає , якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b) , то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b) .



4. Формула Остроградського – Ліувілля.

   Ця формула має вигляд      (5.19)



Доведення .   Розглянемо вронскіан W (x) =  і обчислимо його похідну 

+  + .

Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на  і складемо всі  n стрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо = ,

Звідки маємо формулу (5.19) .



5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.

Означення 5.5.   Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .

     З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5)  була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .

Теорема 5.3.   (про існування ФСР)  Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a,b) , то існує  фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

Доведення .   Візьмемо точку (a,b)  і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :

 з початковими умовами  ;

		------------- // ---------------  ;

	 ...       ------------- // ---------------    ...              ...           ...       ....

	 ------------- // ---------------   .

	Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .

	Теорема доведена .

	     З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.

	     Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .

	     Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту  .

	

	6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

	Теорема 5.4.  Якщо (x), (x), ... ,  - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5) , то  формула 

	y = ,     (5.20)   де , , ... ,  - довільні константи, дає загальний  розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b,

	 ,  , ... ,      (5.21) , тобто в області визначення

	диференціального рівняння (5.5).

	Доведення.   Якщо (x), (x), ... ,  - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок . 

	Систему      (5.22) можна розв’язати відносно , , ... , 

	в області (5.21) , так як  . Згідно визначення (5.20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5) .

	Теорема доведена .

	

	    Для знаходження частинного розв’язку такого , що       (5.23) 

	необхідно все підставити в (5.22) і визначити  , i=1,2,…,n .

	Тоді   - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці  , то  , тобто 

	     (5.24)  загальний розв’язок в формі Коші .

	    Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .

	Твердження 5.1.   Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.

	Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як 

	,   a < x < b, де всі  не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок , в тому числі і  виражається через , , ... ,  , тобто =. Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .

	     Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... ,  , які  n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких  , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1) 

	 = 0

	і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .

	    Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною 

	 , або      (5.25)

	Тоді    

	і  диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді

	 

	Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) . 

	     Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць .