Фактор группы Cмежные классы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Математический факультет

Кафедра алгебры и методики преподавания математики





















Курсовая работа
































СОДЕРЖАНИЕ



Ведение

1.Основные определения и теоремы

2.Смежные классы

					2.1. Правые и левые смежные классы

		2.2 Двойные смежные классы

3. Нормальные подгруппы и фактор-группы

	3.1 Нормальные подгруппы

	3.2 Фактор-группы

	Заключение

	Список использованных источников




ВВЕДЕНИЕ

		

		Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини (1799) и Абеля (1825).

	В 1830–1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы. С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки, формулировали и доказывали теоремы.

Теория групп – один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Мозыря.

Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.

Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной математикой вообще.

	Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы, доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.

	

	
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

	

	Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором определена бинарная алгебраическая операция.

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:

	1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c G выполняется

	

	a*(b*c)=(a*b)*c;

	

	2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е. для любого a  G найдется такой элемент e ,что выполняется

	

	a*e=e*a=a

	

	3) для любого элемента G существует симметричный элемент относительно, т.е. для любых a, b G выполняется

	

	a*b=b*a=e;

	

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается а.

	ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то G называют циклической группой.

	

	
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аG имеет конечный порядок k.

	

	Тогда

	

	а ={e, a, a, … , a}

	

	Кроме того, а= e в точности тогда, когда k делит m.

	

	ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = а исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами  а для каждого натурального m.

	ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы а порядка n исчерпываются циклическими подгруппами  а порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.

ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда hhH и hH.

		

		
2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

	

	2.1 Правые и левые смежные классы

	

Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gG.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.

Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hH}.

ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:

1) H=He;

2) gHg для каждого gG;

3) если a  H, то Ha=H; если b Ha , то Hb=Ha;

4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда abH;

5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;

6) если H – конечная подгруппа, то | Hg | = | H | для всех gG.

Доказательство

Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса



	(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hH и ab= hH. Обратно, если abH, то aHb и Ha=Hb по утверждению 3.

	(5) Пусть Ha  Hb ≠ и c  Ha  Hb. Тогда c=a=b и ab=H. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).

	(6) Для каждого gG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H | = | Hg |

Ч.т.д.

	Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы G по подгруппе H .Итак, если T = { | aI} –правая трансверсаль подгруппы H в группе G, то G = , H при .

Таким образом, справедлива теорема.



ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппой непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.

	Если G – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе H также будет конечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G : H|. Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в правой трансверсали T подгруппы H, т.е.



|G : H|=|T|=|G|/|H|

	

	ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G : H |. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.

Доказательство.

	Пусть индекс H в группе G равен n . По теореме 2.1.1. имеем разложение

	

	G=HgHgHg, HgHg при i ≠ j.


Так как



| Hg| = |H| для всех i, то | G | = | H || G : H |



	СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядок всей группы.

Доказательство

	Порядок элемента a совпадает с порядком циклической подгруппы а, порожденный этим элементом, см. теорему 1.1. Поэтому, |  а | = | a | делит | G |.

	Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы H в группе G. Если L={ l | a J } – левая трансверсаль подгруппы H в группе G, то

	

	G=lH, lH  lH= при .



Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G : H |=| L |. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1 .Поэтому из теоремы Лагранжа имеем

СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечной группы G по подгруппе H совпадают.

ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядка нет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.

Доказательство.

	Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит | G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе G и рассмотрим циклическую подгруппу а, порожденную этим элементом. Так как a ≠ e ,то  а ≠ E, поэтому а = G и G – циклическая группа.

	

	ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤ G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в группе K, а S – правая трансверсаль подгруппы K в группе G, то TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. В частности, | G : H | = | G : K || K : H |.

Доказательство

Пусть



T={t, … ,t}, S={s, … , s}



Тогда



K=Ht. . . Ht, HtHt, i ≠j;

G=Ks. . . Ks, KsKs, i ≠j.



Теперь



G =( Ht. . . Ht)s. . .  ( Ht. . .  Ht)s. (2.1.1)



Предположим, что HtsHts для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда



ts(ts) = tsstH ≤ K,



поэтому

ss tKt = K, K s=Ks

	
Но s и s– элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s= s и b = d. Теперь



ts(ts) = ttH, H t=Ht



и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то



|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |



Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.



2.3. Двойные смежные классы

	

	Пусть H и K – подгруппы группы G и g  G. Множество

	

	HgK ={ hgk | h  H, k  K}

	

	называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K

ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Каждый элемент g G содержится в единственном двойном смежном классе HgK;

2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;

3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;

4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;

5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит

| K: H K | правых смежных классов по H и | H : H K| левых смежных классов по К.

Доказательство.

	(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то



g=ege  HgK



Допустим, что gHxK. Тогда g=hxk для некоторых hH, kK и



HgK=H(hxk)K=HxK.



(2) и (3) следуют из (1)

(4)Так как



HgK= =,



то утверждение (4) доказано.

Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK= по подгруппе H. Допустим, что Hgk=Hgk. Тогда



Hg kk = Hg и kk  gHgK=HK


Справедливо и обратное, т.е. если kk HK, то



kk gHg, g kkHg, g kHgk



и Hg k= Hgk. Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе HK.

Аналогично,



Hgk= и hgK=hgK



тогда и только тогда, когда hhHK. Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс

|H : H  K|



	Произведение подгрупп. При g = e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hH , kK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.

Пример:

	Найдем разложение симметрической группы S в левые смежные классы по подгруппе .

	Для этого найдем все левые смежные классы группы

	

	S={,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H=={,(12)}

H = {, (12)} = {, (12)} = H,

(12)H = (12) {, (12)} = {(12), } = H,

(13)H = (13) {, (12)} = {(13), (123)},

(23)H = (23) {, (12)} = {(23), (132)},

(123)H = (123){,(12)} = {(123),(13)} = (13)H,

(132)H = (132){,(12)} = {(132),(23)} = (23)

Искомое разложение принимает вид



S=H (13) H (23) H.




3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

	

	3.1 Нормальные подгруппы



Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xG. Запись H  G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента hH существует элемент h H такой, что xh= hx.

ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:

1) H – нормальная подгруппа группы G;

2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. hH для всех hH и всех xG;

3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H для всех xG.

Доказательство.

Доказательство проведем по схеме (1)  (2) (3)(4)

(1)  (2). Пусть H  G, т.е. xH=Hx для всех xG. Если h — произвольный элемент из H, то hx  Hx = xH. Поэтому существует элемент hH такой, что hx = x h.Теперь xhx = h H.

(2)  (3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H = {h | h H}   H для всех x G. В частности, Hx  H, т.е. xHx H. Теперь

H  xHx =H и H = H для всех x  G.

(3)  (1). Если H= H для всех x  G, то xHx = H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.

Ч.т.д.

	СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.

Если HG и h H, то h H. Обратно, если h H для всех h H, то HG.

Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H  K  G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x  K.

Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.



3.2 Фактор-группы

	

	Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x  G}. Положим



(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

	

	Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = xH, yH = yH для некоторых x, y  G, то x = xh, y = =yg, h и g  H. Поэтому



(xH)(yH) = xyH = (xh)(yg)H = xy(yhy)gH = xyH,



т.к. yhy H по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на  и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент aH — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

	

	ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность  = {xH | x  G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией



(xH)(yH) = xyH



образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = aH.

	Группа  называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

	Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.



|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

	

	ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

	Пусть G/Z(G) =  gZ(G) циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = gz, b = gz, z, z Z(G), k, l  Z

и

ab = gzgz = ggzz = ggzz = gzgz = ba


ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы  а исчерпываются бесконечной циклической группой  а / E   а  и конечными циклическими группами aа  порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

	По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = а исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M =  а, m  N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

	Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a | k  Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов aM, k  Z. Если два смежных класса совпадут aM = aM, то aM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, aM, . , aM попарно различны. Кроме того, для любого aM  A/M имеем:



t = mq + r, 0 ≤ r < m и aM = aaM = aM.



Таким образом,



A/M = {M, aM, aM, . . . , aM} = aM,



т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

	

	ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы a порядка n исчерпываются конечными циклическими группами aа  порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство.

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = a порядка n исчерпываются циклическими подгруппами M =  а порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что



A/M = aM = {aM, aM, . . . , aM,M},



т.е. A/M=aа  будет циклической группой порядка m.

	Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.



ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то  = U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы  = G/H имеет вид  = V/H, где V— подгруппа группы G и H V ;

3) отображение  : U →  является биекцией множества S(G,H) на множество S();

4) если N  S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U  S(G,H) и пусть  ={uH | u  U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если uH, uH  , то u, u  U, а так как U — подгруппа, то uu U и u U. Поэтому,




(uH)(uH) = uuH  , (uH)= u H  



и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность – подгруппа группы .

	(2) Пусть  — произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие  , т.е. V = {x  G | xH   }. Если v, v  V, то vH, vH   , а так как  — подгруппа, то



(vH)( vH) = v vH   и (vH) = v H  



Следовательно, v v  V и v  V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ

(3) Отображение  : U →  будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что  – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы  = {uH | u  U} и  = { vH | v  V } совпадают. Тогда для любого элемента u  U существует элемент v  V такой, что uH = vH. Поэтому vu  H ≤ V ∩ U. Теперь u  V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и  — инъекция.

	

	(4) Если N  G, N  S(G,H), то

(gH) (nH)(gH) = gngH  N/H



для всех g  G, n  N. Поэтому  = N/H  . Обратно, если   , то


gngH = (gH) (nH)(gH) 

и gngH N, значит N G.



Пример: Найдем все фактор-группы группы S.

Среди подгрупп группы S со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S, H= (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S. Ясно, что S/ S– единичная группа, а S/ E изоморфна S.Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S/ H равен 2. Поэтому S/ H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S/ H S, S/ SE, S/ H={H,(12)H}=.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



	Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.




СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.

2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая школа, 2006.





22