Решение задач по эконометрике

21





СОДЕРЖАНИЕ



Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Список использованной литературы




Задание 1



Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры (тыс. у.е.), x – размер общей площади (м2)). Данные приведены в табл. 1.4.



Таблица 1

Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

у

22,5

25,8

20,8

15,2

25,8

19,4

18,2

21,0

16,4

23,5

18,8

17,5

х

29,0

36,2

28,9

32,4

49,7

38,1

30,0

32,6

27,5

39,0

27,5

31,2



Задание:

		Рассчитайте параметры уравнений регрессий 



 и .



		Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

		Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

		Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

		С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

		Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

		Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.




Решение



Составим таблицу расчетов 2.

Все расчеты в таблице велись по формулам



.



Таблица 2



х

х2

у

ху

у2















А(%)



29,0

841,0

22,5

652,5

506,3

2,1

-4,5

4,38

20,33

18,93

3,57

12,75

15,871



36,2

1310,4

25,8

934,0

665,6

5,4

2,7

29,07

7,25

21,28

4,52

20,40

17,506



28,9

835,2

20,8

601,1

432,6

0,4

-4,6

0,15

21,24

18,90

1,90

3,62

9,152



32,4

1049,8

15,2

492,5

231,0

-5,2

-1,1

27,13

1,23

20,04

-4,84

23,43

31,847



49,7

2470,1

25,8

1282,3

665,6

5,4

16,2

29,07

262,17

25,70

0,10

0,01

0,396



38,1

1451,6

19,4

739,1

376,4

-1,0

4,6

1,02

21,08

21,90

-2,50

6,27

12,911



30,0

900,0

18,2

546,0

331,2

-2,2

-3,5

4,88

12,31

19,26

-1,06

1,12

5,802



32,6

1062,8

21,0

684,6

441,0

0,6

-0,9

0,35

0,83

20,11

0,89

0,80

4,256



27,5

756,3

16,4

451,0

269,0

-4,0

-6,0

16,07

36,10

18,44

-2,04

4,16

12,430



39,0

1521,0

23,5

916,5

552,3

3,1

5,5

9,56

30,16

22,20

1,30

1,69

5,536



27,5

756,3

18,8

517,0

353,4

-1,6

-6,0

2,59

36,10

18,44

0,36

0,13

1,923



31,2

973,4

17,5

546,0

306,3

-2,9

-2,3

8,46

5,33

19,65

-2,15

4,62

12,277



402,1

13927,8

244,9

8362,6

5130,7

0,0

0,0

132,7

454,1

-

-

79,0

129,9

Среднее значение

33,5

1160,7

20,4

696,9

427,6

-

-

-

-

-

-

6,6

10,8



6,43

-

3,47

-

-







41,28

-

12,06

-

-







Тогда 



, 

 


и линейное уравнение регрессии примет вид: .

Рассчитаем коэффициент корреляции:



.



Связь между признаком  и фактором  заметная.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.



R2 = 0,6062 = 0,367



Средний коэффициент эластичности  позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.







Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:



, 



допустимые значения которой 8 - 10 %.

Вычислим значение -критерия Фишера.



,

где 

 – число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной ); 

 – объем совокупности.



.



По таблице распределения Фишера находим 



.



Так как , то гипотеза  о статистической незначимости параметра  уравнения регрессии отклоняется.

Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

	Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии .

Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3. 



Таблица 3







y

yU

y2















А(%)



5,385

29,0

22,5

121,17

506,25

1,640

-0,452

2,69

0,20

13,74

8,76

76,7

38,92



6,017

36,2

25,8

155,23

665,64

4,940

0,180

24,40

0,03

14,01

11,79

139,0

45,70



5,376

28,9

20,8

111,82

432,64

-0,060

-0,461

0,004

0,21

13,74

7,06

49,9

33,95



5,692

32,4

15,2

86,52

231,04

-5,660

-0,145

32,04

0,02

13,87

1,33

1,8

8,72



7,050

49,7

25,8

181,89

665,64

4,940

1,213

24,40

1,47

14,42

11,38

129,5

44,11



6,173

38,1

19,4

119,75

376,36

-1,460

0,336

2,13

0,11

14,07

5,33

28,4

27,45



5,477

30,0

18,2

99,69

331,24

-2,660

-0,360

7,08

0,13

13,78

4,42

19,5

24,27



5,710

32,6

21,0

119,90

441

0,140

-0,127

0,02

0,02

13,88

7,12

50,7

33,89



5,244

27,5

16,4

86,00

268,96

-4,460

-0,593

19,89

0,35

13,68

2,72

7,4

16,58



6,245

39,0

23,5

146,76

552,25

2,640

0,408

6,97

0,17

14,10

9,40

88,3

39,98



58,368

343,4

208,600

1228,71

4471,02

-

-

-

-

-

-

-

313,567

Среднее значение

5,837

34,34

20,860

122,871

447,10

-

-

-

-

-

-

-

31,357



0,549

-

3,646

-

-

-

-



0,302

-

13,292

-

-

-

-



Рассчитаем параметры уравнения:



,

,

.



Коэффициент корреляции



.



Коэффициент детерминации



,

следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .


,



,



следовательно, гипотеза  о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.



11Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии 



.



Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу  о статистической незначимости параметров, т.е. 



.

.



Определим ошибки .



,

,

, 

,

, 

.



Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем 



. 



Тогда 



.



Средняя ошибка прогноза



, 



где



,

.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью : 


,

,

.



Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии 



.



Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу  о статистической незначимости параметров, т.е. 



.

.



Определим ошибки .



,

,

, ,

, .



Следовательно,  и  не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.

		 , следовательно, качество модели не очень хорошее.

	 Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем . Тогда .

		Средняя ошибка прогноза



, 



где

,

.



Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью : 



,

,

.

	

	Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .




Задание 2



Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.

Известны – чистый доход (у), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд у.е. 



Таблица 4

у

х1

х2

1,5

5,9

5,9

5,5

53,1

27,1

2,4

18,8

11,2

3,0

35,3

16,4

4,2

71,9

32,5

2,7

93,6

25,4

1,6

10,0

6,4

2,4

31,5

12,5

3,3

36,7

14,3

1,8

13,8

6,5

2,4

64,8

22,7

1,6

30,4

15,8



Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.



Решение

Результаты расчетов приведены в табл. 5.



Таблица 5



y

x1

x2

yx1

yx2

x1x2

x12

x22

y2



1,5

5,9

5,9

8,85

8,85

34,81

34,81

34,81

2,25



5,5

53,1

27,1

292,05

149,05

1439,01

2819,61

734,41

30,25



2,4

18,8

11,2

45,12

26,88

210,56

353,44

125,44

5,76



3

35,3

16,4

105,90

49,20

578,92

1246,09

268,96

9



4,2

71,9

32,5

301,98

136,50

2336,75

5169,61

1056,25

17,64



2,7

93,6

25,4

252,72

68,58

2377,44

8760,96

645,16

7,29



1,6

10

6,4

16,00

10,24

64,00

100,00

40,96

2,56



2,4

31,5

12,5

75,60

30,00

393,75

992,25

156,25

5,76



3,3

36,7

14,3

121,11

47,19

524,81

1346,89

204,49

10,89



1,8

13,8

6,5

24,84

11,70

89,70

190,44

42,25

3,24



2,4

64,8

22,7

155,52

54,48

1470,96

4199,04

515,29

5,76



1,6

30,4

15,8

48,64

25,28

480,32

924,16

249,64

2,56



32,4

465,8

196,7

1448,33

617,95

10001,03

26137,30

4073,91

102,96

Средн.

2,7

38,8

16,4

120,69

51,50

833,42

-

-

65,80



1,2

27,1

8,8

-

-

-

-

-

-



1,4

732,4

77,2

-

-

-

-

-

-



Рассматриваем уравнение вида:



.



Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:





Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:


, где 

 – стандартизированные переменные, 

 – стандартизированные коэффициенты:





Коэффициенты  определяются из системы уравнений:





, ;

 ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

.



Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:



.


Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:



.



Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:



,

, 

.



Следовательно, при увеличении оборота капитала (x1) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня.

Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:



,

.



Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле


.



Коэффициент множественной детерминации .



, 



где 

 - объем выборки, 

 - число факторов модели. 

В нашем случае



.



Так как , то  и потому уравнение незначимо.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.



.



Так как , то  и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора  после фактора .



.

Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора  после фактора .

Результаты расчетов позволяют сделать вывод :

				о незначимости фактора  и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;

			о незначимости фактора  и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.



Задание 3



1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Модель денежного и товарного рынков:



Rt = a1+b12Yt+b14Mt+1,

Yt = a2+b21Rt+ b23It+ b25Gt+2,

It = a3+b31Rt+3,



где

R – процентные ставки;

Y – реальный ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции;

G – реальные государственные расходы.

Решение

1. Модель имеет три эндогенные (RtYtIt) и две экзогенные переменные (MtGt).

Проверим необходимое условие идентификации:

1-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.

2-е уравнение: D=1, H=1, D+1=2 - уравнение сверхидентифицировано.

3-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное условие:

В первом уравнении нет переменных It, Gt

Строим матрицу: 





It

Gt

2 ур.

b23

b23

3 ур.

0

0



det M = det , rank M =2.



Во втором уравнении нет переменных Mt

det M  0

В третьем уравнении нет переменных Yt, Mt, Gt

Строим матрицу: 

det M /

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2. Найдем структурные коэффициенты модели.

Для этого:

Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:


Rt-b12Yt=a1+b12Mt

Yt-b21Rt-b23It=a2+b25Gt

It-b31Rt=a3



откуда 



, и , , , .



Решаем систему относительно : . Найдем 



, где  – 



алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы ,  – минор, т.е. определитель, полученный из матрицы  вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.



,

,

,

.



Поэтому






В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим  из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда  , . Из третьего уравнения системы находим  и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением  и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая  из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим .



Задание 4



Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.




Таблица 6

День

	Глазное отделение

1

30

2

22

3

19

4

28

5

24

6

18

7

35

8

29

9

40

10

34

11

31

12

29

13

35

14

23

15

27



Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.



Решение

Определим коэффициент корреляции между рядами  и . Ррасчеты приведены в таблице 7:











год





























1

30

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-



2

22

30

-

-6,14

1,64

37,73

2,70

-

-

-

-

10,09

-



3

19

22

30

-9,14

-6,36

83,59

40,41

-9,36

1,23

87,56

1,51

58,12

11,52



4

28

19

22

-0,14

-9,36

0,02

87,56

-0,36

-6,77

0,13

45,82

1,34

2,42



5

24

28

19

-4,14

-0,36

17,16

0,13

-4,36

-9,77

18,98

95,44

1,48

42,57



6

18

24

28

-10,14

-4,36

102,88

18,98

-10,36

-0,77

107,27

0,59

44,19

7,97



7

35

18

24

6,86

-10,36

47,02

107,27

6,64

-4,77

44,13

22,75

71,02

31,68



8

29

35

18

0,86

6,64

0,73

44,13

0,64

-10,77

0,41

115,98

5,69

6,92



9

40

29

35

11,86

0,64

140,59

0,41

11,64

6,23

135,56

38,82

7,62

72,54



10

34

40

29

5,86

11,64

34,31

135,56

5,64

0,23

31,84

0,05

68,19

1,30



11

31

34

40

2,86

5,64

8,16

31,84

2,64

11,23

6,98

126,13

16,12

29,68



12

29

31

34

0,86

2,64

0,73

6,98

0,64

5,23

0,41

27,36

2,27

3,36



13

35

29

31

6,86

0,64

47,02

0,41

6,64

2,23

44,13

4,98

4,41

14,82



14

23

35

29

-5,14

6,64

26,45

44,13

-5,36

0,23

28,70

0,05

34,16

1,24



15

27

23

35

-1,14

-5,36

1,31

28,70

-1,36

6,23

1,84

38,82

6,12

8,46



120

-

-

-

0,00

0,00

547,71

549,21

3,36

0,00

507,94

518,31

330,84

234,47

Средн.

8

28,14

28,36

28,36

28,77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:



 , 



Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .

Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.




Таблица 8

























1

30

1

900

30

-7,00

49









2

22

4

484

44

-6,00

36









3

19

9

361

57

-5,00

25









4

28

16

784

112

-4,00

16









5

24

25

576

120

-3,00

9









6

18

36

324

108

-2,00

4









7

35

49

1225

245

-1,00

1









8

29

64

841

232

0,00

0









9

40

81

1600

360

1,00

1









10

34

100

1156

340

2,00

4









11

31

121

961

341

3,00

9









12

29

144

841

348

4,00

16









13

35

169

1225

455

5,00

25









14

23

196

529

322

6,00

36









15

27

225

729

405

7,00

49









120

424

1240

12536

3519

0

280







Средн.

8,00

28,27

82,67

835,73

234,6

-

-









.



Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции 



.



Расчетное значение критерия Фишера равно , 



, 



уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.


Список использованной литературы



Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.

 Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.

Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.

Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.