Математические последовательности Предел функции

Задание 1



Вычислите  и  последовательности .

Решение.

Рассмотрим последовательность .

 для любого натурального 

Следовательно, множество  является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность  имеет верхнюю точную грань: .







Следовательно, множество  не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань  последовательности  не существует.

Ответ.   не существует




Задание 2



Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что .

Доказательство.

Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  существует номер  такой, что при  выполняется неравенство .

Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Возьмем любое число .





Если взять , то для всех  будет выполняться неравенство . Следовательно, .

Доказано


Задание 3



Пользуясь определением предела функции, докажите, что .

Доказательство

Число  называется пределом функции  при , если для любого числа  существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции, докажем, что .

Возьмем любое .











Положим .

Если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .

Доказано.


Задание 4



Вычислите предел .

Решение.







Ответ. 



Задание 5



Вычислите предел .

Решение.









Ответ. 


Задание 6



Вычислить предел .

Решение.



Ответ. 



Задание 7



Вычислить предел .

Решение.







Ответ. 



Задание 8



Вычислить предел .

Решение











Ответ. 



Задание 9



Вычислить предел .

Решение.







Ответ. 




Задание 10



Вычислить предел .

Решение.













Ответ. 



Задание 11



Вычислить предел .

Решение.












Ответ. 



Задание 12



Вычислить предел .

Решение.








Ответ. 



Задание 13



Вычислить предел .

Решение.







Ответ. 



Задание 14



Вычислить предел .

Решение.







 при  функция  является бесконечно малой

 для любого  функция  является ограниченной.

Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция  является бесконечно малой при . Это означает, что .








Ответ.