Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

Реферат на тему:

Інтегрування і пониження порядку деяких ДР 

з вищими похідними.



ДР що містять  n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.

  	а) Розглянемо ДР (4.38)

Так як , то 



Аналогічно , ….., 

(4.39)

Остання формула дає розвязок загальний в області



	Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами 

(4.40)

Цей розвязок представляється в вігляді   (4.41)

	Ф-я 



являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами 



яким відповідають константи 

	Для обчислення  використовують ф-лу Коші

 (4.42)

Дійсно інтеграл 



можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).

Міняючи порядок інтегрування, отримаємо 



Аналогічно обчислюємо 

 ..  і. т. д.

Приходимо до ф-ли  (4.42)

Таким чином розвязок (4.41)  записується у вигляді 

	Загальний розвязок ДР (4.38) можна також записати через невизначений інтеграл



Пр. 4.4  Розвязати рівняння 

Послідовно знаходимо , 

б) Розглянемо випадок (4.43)

в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно  в елементарних ф-ях, або вирази для   будуть досить складними.

	Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію  (4.44)

(4.44), 

де та  такі, що 

Проводимо обчислення  , 

Аналогічно обчислюємо 

Остаточно маємо 

(4.45) -загальний зорвязок в параметричній формі.

Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується

I.(4.46)(частинні випадки )

II. (4.47), де  і -однорідні ф-ї відповідного 

виміру  і .

	Покладемо  (4.48)

і розвяжемо р-ня  (4.47) відносно  через : 

	Піставляючи в (4.48), отримаємо   (4.49)

Дальше вищеотриманим способом знаходимо загальний розвязок в параметричній формі.

	Пр. 4.5 Розвязати р-ня 

Зробимо заміну 





 остаточно маємо



Інтегрування ДР, які не містять шуканої ф-ї та  похідної. 

Розглянемо ДР (4.50), в якому є .

	Введемо нову змінну (4.51)

отримаємо  (4.52)

тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на одиниць.

Припустимо,  що ми розвязали ДР (4.52) і визначили (4.53)

Тоді р-ня (4.54)

інтегруємо і отримаємо загальний розвязок  (4.55)

	Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл (4.54)

то отримаємо ДР    типу  (4.43)

	Розглянемо два частичних випадка відносно  ДР (4.50) : 

а) ДР вигляду 

якщо ДР (4.51) можна розвязати відносно :

 (4.52)

то  поклавши  перейдемо до р-ня 

Якщо  - загальний розвязок останнього р-ня, то остотаточно маємо р-ня вигляду (4.38)  

	Припустимо, що ДР (4.51) не можна записати в вигляді (4.52), але воно допускає параметризацію (4.53)

то з співвідношення  знаходимо 

Звідки (4.54)

ДР (4.54) вигляду (4.44) і розвязки можна отримати в параметричній формі.

б)  ДР вигляду (4.55)

Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно 

(4.56)

Позначимо і перейдемо до ДР (4.57)

Домножимо (4.57) на : 

Звідки . Отже 

з якого визначимо

.

Останнє ДР є р-ням з відокремлюваними змінними.

Знайшовши з нього



ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).

 (4.58)

Припустимо, що ДР (4.55) не можна розвязати відносно  але для нього можлива параметризація 

Запишемо співвідношення 

Домножимо першу рівність на :





Звідки. 

Отже маємо 

Прийшовши до отсанньої рівності  ми отримаємо а) 



Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної. 

Ці ДР мають вигляд (4.59)

і його можна понизити на один порядок заміною 

При цьому  стане незалежною зміною, а - функцією 

Обчислюємо 





…..



і остаточно прийдемо до  ДР  порядку



Якщо - розвязок ДР (4.60) то 



Інтегруємо ДР (4.61) і знайдемо загальний інтеграл.

	Особливі зорвязки можуть появлятися при інтегруванні ДР (4.61). При переході до ДР (4.60) ми можимо загубити розвязки .

Для їх знаходження необхідно розвявати  р-ня . 

Якщо  - розвязок однорідного р-ня, то - розвязок ДР (4.59)

Пр. 4.6 Розвязати р-ня 

Вводимо змінну , ,

, 

звідки  , отже, , 

-загальний інтергал рівняння.

4. Однорідні ДР відносно шуканої ф-ї та її похідних.

Так називаються ДР вигляду   в якому  являється однорідною  ф-єю відносно , тобто  маємо 

Шляхом заміни  ДР (4.62) можна понизити на один порядок.

Обчислюємо 



Тому ДР (4.62) прийме вигляд 

(4.63)

Скорочуючи на  ( при  може бути розвязком ДР (4.62)), перейдемо до ДР порядку .

Якщо  – загальний розвязок останнього ДР, то 

звідки (4.64) – загальний розвязок ДР (4.62). Розвязок міститься в формулі (4.64) при .

	Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР 



 Це ДР являється однорідним відносно шуканої ф-ї і її похідних, тому .

 Маємо ДР Бернулі –  .



Інтегруючи отрімаємо , Звідки . Наше ДР має розвязок який не міститься в знайденому загальному інтергалі.

ДР, ліва частина якого є точна похідна.

	 	Припустимо, що ДР (4.62), його ліва частина, є точна похідна по  від деякої ф-ї , тобто ,

	тоді ДР (4.62) має перший інтерграл (4.64) так, що яого порядок можна понизити на одиницю.

Пр 4.8 Розвязати ДР  

Маємо , ,,  –  загальний інтеграл. Якщо ліва частина ДР (4.62) не являється точною похідною, то в деяких випадках можна знайти ф-ю , після домноження на яку р-ня (4.62), його ліва частина буде точною похідною. Ця ф-я називається інтергрувальним множником. Якщо ми знаємо ф-ю , то можна знайти не тільки перший інтеграл, а й особливі розвязки, які знаходяться з р-ня 

Пр 4.9 Знайти загальний розвязок ДР .

	Візьмемо , тоді .

При цьому ,  - розвязки нашого ДР.

Маємо .

 - перший інтерал.

, загальний інтергал.

Особливих розвязків немає, так як ДР приводіть до розвязків , які містяться в загальному.