Оптимальная комбинация ресурсов

2













КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

по дисциплине

«Экономико-математические методы и модели»

на тему «Оптимальная комбинация ресурсов»











Выполнила: студентка гр. О-060500-31

Проверил: доцент

Гольман А.Ф.



















Ижевск, 2010



Оптимальная комбинация ресурсов



Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов. 

Предположим, что факторы ( x 1 , ..., x N ) могут быть закуплены по ценам ( p 1 , ..., p N ), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b  (руб.). Тогда соотношение, описывающее множество допустимых наборов факторов, имеет вид:



Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т.е.:



называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b . Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b . Таким образом, требуется найти решение задачи: 



Искомое решение находится из системы уравнений: 



где l   множитель Лагранжа. 

В частности, если число факторов N  = 2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1). 



Рис. 1. Оптимальная комбинация ресурсов 

Здесь отрезок АВ есть изокоста, кривая R   изокванта, касающаяся изокосты в точке D , которая и соответствует оптимальному набору факторов ( ). 

Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N  = 2. 

Пусть x 1 = K   капитал (основные фонды), 

x 2 = L   труд (рабочая сила); 

производственная функция 



условие ограниченности ресурса 



где r   цена использования машин и оборудования (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента; w   ставка оплаты труда. 

Условия оптимальности имеют вид:

а)  

Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача ( y / K ) равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности; 

б)  

Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда ( y / L ) равна ставке заработной платы, так как дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка на рис. 2). 



Рис. 2. Оптимальное количество занятых 

Здесь угловой коэффициент касательной в точке А равен w . 

Для ПФ типа Кобба - Дугласа задача имеет вид: 

найти 



при условии 



Получим следующее решение: 





Множитель характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину D y изменится максимальный выпуск продукции если объем средств b увеличится на малую единицу. 

Заметим, что сумма эластичностей капитала () и труда () характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов ( K и L  ) увеличивается в одинаковое число раз. Если a  + b  > 1, то отдача возрастает, если a  + b  = 1, то отдача постоянная, если a  + b  < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх. 











Литература

1.Замков О.О.,Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н.,Математические     методы в экономике.  М.: АО ДИС, 1997.

2. http://www.humanities.edu.ru/