Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел

IX математический симпозиум. 

Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. 

г. Волжский. 







05-11 октября 2008 года. 











Белотелов В.А. 

Нижегородская обл. 

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru


Простые числа? – Это просто!? 

Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже. 

Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом. 

Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле: 

(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ. 

Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2. 

Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ. 

Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные 

числа, а d – разность этой прогрессии. 

Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d). 

Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии. 

Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум. 

В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2. 

Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц. 

В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии. 

В формулах индексы  и  обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же  и  дополнительными индексами не отягощаю. Без  и  описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают. 

Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена. 

Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6. 

Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9. 

Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины. 

Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все. 

Обобщающий вывод: 

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ. 





1



7



11



13



17



19



23



29



31



37



41



43



47



49



53



59





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

61



67



71



73



77



79



83



89



91



97



101



103



107



109



113



119





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

121



127



131



133



137



139



143



149



151



157



161



163



167



169



173



179





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

181



187



191



193



197



199



203



209



211



217



221



223



227



229



233



239





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

241



247



251



253



257



259



263



269



271



277



281



283



287



289



293



299





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

301



307



311



313



317



319



323



329



331



337



341



343



347



349



353



359





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

361



367



371



373



377



379



383



389



391



397



401



403



407



409



413



419





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

421



427



431



433



437



439



443



449



451



457



461



463



467



469



473



479





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

481



487



491



493



497



499



503



509



511



517



521



523



527



529



533



539





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

541



547



551



553



557



559



563



569



571



577



581



583



587



589



593



599





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

601



607



611



613



617



619



623



629



631



637



641



643



647



649



653



659





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

661



667



671



673



677



679



683



689



691



697



701



703



707



709



713



719





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2

721



727



731



733



737



739



743



749



751



757



761



763



767



769



773



779





6



4



2



4



2



4



6



2



6



4



2



4



2



4



6



2














7х13

11х11











7х43



19х19

17х23



11х41

13х37

7х73





1

31

61

91

121

151

181

211

241

271

301

331

361

391

421

451

481

511

541

571















11х17

7х31

13х19











7х61





11х47





7

37

67

97

127

157

187

217

247

277

307

337

367

397

427

457

487

517

547

577













7х23



13х17







11х31

7х53











19х29

7х83

11

41

71

101

131

161

191

221

251

281

311

341

371

401

431

461

491

521

551

581











7х19







11х23





7х49



13х31





17х29



7х79

11х53

13

43

73

103

133

163

193

223

253

283

313

343

373

403

433

463

493

523

553

583







7х11













7х41





13х29

11х37

19х23



7х71

17х31





17

47

77

107

137

167

197

227

257

287

317

347

377

407

437

467

497

527

557

587





7х7







13х13





7х37

17х17

11х29









7х67



23х23

13х43

19х31

19

49

79

109

139

169

199

229

259

289

319

349

379

409

439

469

499

529

559

589











11х13



7х29







17х19





7х59



11х43



13х41





23

53

83

113

143

173

203

233

263

293

323

353

383

413

443

473

503

533

563

593









7х17





11х19





13х23

7х47













11х49

7х77





29

59

89

119

149

179

209

239

269

299

329

359

389

419

449

479

509

539

569

599






R1

R7

R11

R13

R17

R19

R23

R29











7х103



11х71



29х29

13х67

17х53

19х49

7х133

31х31







23х47

11х101

7х163



601

631

661

691

721

751

781

811

841

871

901

931

961

991

1021

1051

1081

1111

1141

1171





13х49

7х91

23х29

17х41







19х43

11х77

7х121











13х79

7х151





31х37

11х107

607

637

667

697

727

757

787

817

847

877

907

937

967

997

1027

1057

1087

1117

1147

1177



13х47



11х61



17х43



7х113



23х37









13х77

11х91

7х143







19х59





611

641

671

701

731

761

791

821

851

881

911

941

971

1001

1031

1061

1091

1121

1151

1181









19х37



7х109

13х61







11х83

23х41

7х139

17х59











13х91

7х169

613

643

673

703

733

763

793

823

853

883

913

943

973

1003

1033

1063

1093

1123

1153

1183









7х101

11х67

13х59









7х131





19х53

17х61

11х97



23х49

7х161

13х89



617

647

677

707

737

767

797

827

857

887

917

947

977

1007

1037

1067

1097

1127

1157

1187





11х59

7х97







17х47





7х127



13х73

11х89







7х157



19х61

29х41

619

649

679

709

739

769

799

829

859

889

919

949

979

1009

1039

1069

1099

1129

1159

1189



7х89





23х31





11х73

17х49

7х119



19х47

13х71







7х149

29х37



11х103





623

653

683

713

743

773

803

833

863

893

923

953

983

1013

1043

1073

1103

1133

1163

1193



17х37



13х53



7х107

19х41





11х79

29х31



7х137

23х43





13х83



17х67

7х167

11х109

629

659

689

719

749

779

809

839

869

899

929

959

989

1019

1049

1079

1109

1139

1169

1199












































 +13

 +13

  4



+7

11



   +7

   18



+7

25



+7

32



  39



46



53



60



67

…



 +13





 +43





      +73





 +103





+133





  +163





 +193





 +223





 +253





+283



17



+37

54



   +37

    91



+37

 128



 165



   202



 239



   276



313



350

…









 +43





      +73





 +103



























30



+67

97



   +67

    164



+67

 231



 298



   365



 432



   499



566



633

…



 +13





 +43





      +73





 +103



























43



+97

140



+97

    237



+97

 334



 431



   528



 625



   722



819



916

…



    







































56



+127

183



    310



 437



 564



   691



 818



   945



1072



1199

…









































69



+157

226



    383



 540



 697



   854



 1011



 1168



1325



1482

…











































82

+187 

269



    456



 643



 830



 1017



 1204



 1391



1578



1765

…









































95



+217 

312



    529



 746



 963



 1180



 1397



 1614



1831



2048

…









































108



+247 

355



    602



 849



 1096



 1343



 1590



 1837



2084



2331

…









































121



+277

398



    675



 952



 1229



 1506



 1783



 2060



2337



2614

…

…



…



…



…



…



…



…



…



…



…














3х7





3х17





9х9

3х27

7х13



3х37

11х11



3х47



7х23

9х19

3х57





3х67

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

111

121

131

141

151

161

171

181

191

201







3х11





7х9

3х21





3х31





3х41

7х19

11х13

9х17

3х51





3х61



7х29

3

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

113

123

133

143

153

163

173

183

193

203





3х9





3х19



7х11

3х29





9х13

3х39





7х21

3х49





3х59

11х17



9х23

3х69

7

17

27

37

47

57

67

77

87

97

107

117

127

137

147

157

167

177

187

197

207

3х3





3х13

7х7



3х23





9х11

3х33



7х17

3х43





3х53

13х13



9х21

7х27

3х63



11х19

9

19

29

39

49

59

69

79

89

99

109

119

129

139

149

159

169

179

189

199

209





























R1

R1

R3

R7

R9

R3

R9

R7



R1

13х17

11х21

7х33

3х77





9х29

3х87





3х97

7х43



3х107



11х31

9х39

13х27

3х117

19х19

7х53

3х127

17х23

211

221

231

241

251

261

271

281

291

301

311

321

331

341

351

361

371

381

391





R39х27

3х71





9х27

3х81

11х23



7х39

3х91





3х101



17х19

9х37

3х111

7х49



11х33

3х121





3х131

213

223

233

243

253

263

273

283

293

303

313

323

333

343

353

363

373

383

393

9х27

11х27





R79х33

7х31



3х79

13х19



3х89



7х41

11х27

9х33

3х99





3х109





17х21

7х51

3х119



13х29

9х43

3х129



217

227

237

247

257

267

277

287

297

307

317

327

337

347

357

367

377

387

397

9х27





R93х73





3х83

7х37



9х31

3х93

17х17

13х23

3х103

11х29

7х47

19х21

3х113





9х41

3х123





7х57

3х133

219

229

239

249

259

269

279

289

299

309

319

329

339

349

359

369

379

389

399


































R1

R3

R9

R7



R1

3х137





9х49

21х21

7х63

3х147

11х41



3х157

13х37



3х167

7х73



9х59

3х177



19х29

11х51

17х33

3х187



7х83

401

411

421

431

441

451

461

471

481

491

501

511

521

531

541

551

561

571

581





R3

7х59

9х47

3х141





3х151



11х43

7х69

21х23

3х161

17х29



19х27

9х57

3х171





3х181

7х79



3х191

11х53

403

413

423

433

443

453

463

473

483

493

503

513

523

533

543

553

563

573

583

7х81

9х63





R711х37

3х139

7х61

19х23

3х149





9х53

3х159



7х71

3х169

11х47

17х31

3х179





7х81

9х63

3х189





407

417

427

437

447

457

467

477

487

497

507

517

527

537

547

557

567

577

587





R9



11х39

3х143





9х51

17х27

3х153

7х67



3х163





3х173

23х23

11х49

7х77

9х61

3х183





3х193

19х31

409

419

429

439

449

459

469

479

489

499

509

519

529

539

549

559

569

579

589
















  3



+3

6



   +3

   9



+3

12



+3

15



  18



21



24



27



30

…



 +7





 +17





      +27





 +37





+47





  +57





 +67





 +77





 +87





+97



10



+13

23



   +13

    36



+13

 49



 62



   75



 88



  101



114



127

…





 +7





 +17





      +27





 +37





+47























17



+23

40



   +23

    63



+23

 86



 109



   132



 155



   178



201



224

…



 +7





 +17





      +27





 +37





+47























24



+33

57



+33

    90



+33

 123



 156



   189



 222



   255



288



321

…





 +7    







































31



+43

74



    117



 160



 203



   246



 289



   332



375



418

…









































38



+53

91



    144



 197



 250



   303



 356



 409



462



515

…











































45

+63 

108



    171



 234



 297



 360



 423



 486



549



612

…









































52



+73 

125



    198



 271



 344



 417



 490



 563



636



709

…









































59



+83 

142



    225



 308



 391



 474



 557



 640



723



806

…









































66



+93

159



    252



 345



 438



 531



 624



 717



810



903

…

…



…



…



…



…



…



…



…



…



…





		
				            3х3



ani  =2n - 1            1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61 …



5

+3

8

+3

11

+3

14

+3

17

+3

20

+3

23

+3

26

+3

29

…



+3





 +5





+7





+9





+11





+13





+15





+17





+19



8

+5

13



18



23



28



33



38



43



48

…





 +3

 +6



 +6           



 



































11

+7



18



25





32



39



46



53



60



67

…

 

+3



 

































14

+9

23





32





41



50



59



68



77



86

…



 +3

 +6



 +7   





































n ≠

n ≠17

+11

28



39



50



61



72



83



94



105

…



+3



































20

+13

33



46



59



72



85



98



111



124

…



+3



































23

+15

38



53



68



83



98



113



128



143

…



+3



































26

+17

43



60



77



94



111



128



145



162

…



+3



































29

+19

48



67



86



105



124



143



162



181

…

…



…



…



…



…



…



…



…



…





				
			  2х2

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ,45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56. 57, 58, 59, 60, 61 …



  ani  = n

4

  +2

6

  +2

8

  +2

10

   +2

12

  +2

14

  +2

16

   +2

18

…



 +2





 +3





 +4





 +5





 +6





 +7





 +8





 +9



 

6

+3

9

+3

12

+3

15

+3

18

+3

21

+3

24

+3

27

…



 +2

 +6



 +6           



 

 





 























8

+4



12



16





20



24



28



32



36

…

 

 +2



 































  n ≠10

+5

15



20





 25



30



35



40



45

…



 +2

 +6



  n ≠

 +7   































12

+6

18



 24



 30



 36



42



48



54

…



 +2































14

+7

21



 28



 35



 42



 49



56



63

…



 +2































16

+8

24



32



40



48



56



64



72

…



 +2































18

+9

27



36



45



54



63



72



81

…

…



…



…



…



…



…



…



…





															
			               5х5	 7х7   5х11	               5х17 7х13	5х23   11х11 	    7х19	 5х29

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145, 

									5х7	5х13	7х11	 5х19	 7х17    5х25

5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71 , 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113, 119, 125, 131, 137, 143. 149 …

5

  +5

10

  +5

15

  +5

20

   +5

25

…



 +5





 +11





 +17





 +23 





 +29



 

10

+11

21

+11

32

+11

43

+11

54

…

 

 +5   



 

 

+11





 













15

+17



32



49





66



83

…

 



 +5



 



+11















20

+23

43



66





89



112

…



 +5







+11















25

+29

54



 83



112



141

…

…



…



…



…



…





 an1i =1+ 6 (n1-1)

 an2j =5+ 6 (n2-1)

  n1 ≠





























Закономерность распределения простых чисел (дополнение). 

Белотелов В.А. 

Нижегородская обл. 

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6….  . 

Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности. 

И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и  - столбцы и строки матриц. 

Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I - 17) (30j - 23). 

Аналогично для таблицы 7 - (10I - 3) (10 j - 7). 

Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1). 

Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1). 

Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество. 

Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы. 



 





















 

 

 

 



и  - столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю. 

И уж больно симпатичная система из 2-х уравнений с разностью арифметических прогрессий d=6. 











5х5







7х7

5х11









5х17

7х13



1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97











5х7









5х13



7х11





5х19



5

11

17

23

29

35

41

47

53

59

65

71

77

83

89

95

101



Напишу только формулы составных чисел 

1 – для верхнего ряда (6I - 1) (6 j - 1), (6k + 1) (6e +1). 

2 – для нижнего ряда (6I + 1) (6 j - 1). 

А написал с единственной целью сравнить формулы разных систем простых чисел. 

В системе c d = 30 число 91 – это (30 - 17) (30 - 23), при = 1, = 1. 

В системе c d = 10 это же число – (10 - 3) (10 - 7), при = 2, = 1. 

В системе c d = 6 ……………… – (6+ 1) (6+ 1), при = 1, = 2. 

В системе c d = 4 ……………… – (4 - 1) (4+ 1), при = 2, = 3. 

В системе c d = 2 ……………… – (2+ 1) (2+ 1), при = 3, = 6. 

В системе c d = 1 ……………… – (+ 1) (+1), при = 6, = 12. 





6

  +5

11

  +5

16

  +5

21

   +5

26

…



 +7





 +13





 +19





 +25 





 +31



 

13

+11

24

+11

35

+11

46

+11

57

…

 

 +7   



 

 

+13





 

+19











20

+17



37



54





71



88

…

 



 +7



 



+13















27

+23

50



73





 96



119

…



 +7







+13















34

+29

63



 92



121



150

…

…



…



…



…



…



9

  +7

16

  +7

23

  +7

30

   +7

37

…



 +7





 +13





 +19





 +25 





 +31



 

16

+13

29

+11

42

+11

55

+11

68

…

 

 +7   



 

 

+11





 













27

+19



42



61





80



99

…

 



 +7



 



+11















30

+25

55



80



105



130

…



 +7







+11















37

+31

68



 99



130



161

…

…



…



…



…



…





  n2 ≠

  n1 ≠