Доказательство великой теоремы Ферма

Файл: FERMA-FIN © Н. М. Козий, 2008

		Свидетельства Украины № 27312 и 28607

		о регистрации авторского права



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ





Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):



Аn+ Вn = Сn*				/1/



где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С. 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:



Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/



Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.

* Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем:



А1 + В1 = С1 

А + В = С /3/



Следовательно, число (А + В) является делителем числа С .

	Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

	

	Сn = An + Bn =(A+B)n∙ Dn , /4/

	

	где число D также должно быть целым числом.

	Из уравнения /4/ следует:

	

	 /5/

	

	Из уравнения /4/ также следует, что число [Cn = An + Bn] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:

	

	An + Bn < (A+B)n /6/ 

	

	Следовательно:

	- дробное число, меньшее единицы. /7/

	- дробное число.

	

	Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

	Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2. 



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ



Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2q, является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом:



n= pkm = 2q ∙km, /8/



где: p=2q;

q =1, 2, 3,…;

k =1,3,5,7,9,…;

m=3,5,7,9,11,…



Тогда уравнение /1/ можно записать следующим образом:



Сn = An + Bn =Apkm + Bpkm= (Apk )m + (Bpk )m /9/


Поскольку показатель степени m – нечетное число, то алгебраическое выражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом:



Cn = Cpkm = (Apk + Bpk)∙[ (Apk )m-1 - (Apk )m-2 ∙Bpk + 

+ (Apk )m-3 ∙(Bpk )2 -…- Apk ∙(Bpk )m-2 + (Bpk )m-1 ] /10/



При этом уравнения /4/ и /5/ преобразуются следующим образом:



Cn = Cpkm = (Apk + Bpk)m ∙ Dpkm /11/

Dpkm = (Apkm + Bpkm) / (Apk + Bpk )m /12/



В соответствии с уравнением /6/:



(Apkm + Bpkm) < (Apk + Bpk )m /13/



Следовательно, число Dpkm – дробное число, меньшее единицы.

Отсюда следует, что и при четном показателе степени n= 2q ∙km уравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах.

	Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном, так и при четном показателе степени n >2 и не равном n ≠2q.

	Для показателя степени n =2q существует иное доказательство великой теоремы Ферма.

	

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик