Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

33





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии















Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа





Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31 

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры алгебры и геометрии

Монахов В.С.









Гомель 2005


Содержание



Введение

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Заключение

Список литературы




Введение



Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть  - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе  все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)  - 2-группа;

2)  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

1.  - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы  также принадлежит .

2. , то ----свободна.

3.  и  не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева или типа .

4.  - разрешимая группа и , то 2-длина группы  не превосходит 1.

5.  - разрешимая группа и . Если  и силовская 2-подгруппа  из  неабелева, то центр  совпадает с центром .

6.  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7.  и  - простая неабелева группа, то .

8.  и , то .

9.  для .

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8.  - подгруппа примарного индекса  конечной группы , то .

9.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда  либо -группа, либо группа Шмидта , где  - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа  либо -группа, либо изоморфна  и  делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс  замкнут относительно прямых произведений и  разрешим. Если в конечной неразрешимой группе  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  изоморфна одной из следующих групп:  и  - простое число или 9;  или  и .

1. конечная неразрешимая группа  принадлежит , то , где , а  и .

2. класс  замкнут относительно прямых произведений, и  - неразрешимая группа, принадлежащая . Если  - минимальная нормальная в  подгруппа, то либо , либо  - простая неабелева группа,  и , где .

3. класс  разрешим и  - простая неабелева группа из , то:

1) , ,  и  или  - простое число;

2) ,  и  - простое число;

3) , , ;

4) ,  или ,  или  соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.


1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса



Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

A. Пусть  - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе  все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)  - 2-группа;

2)  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

Здесь  - центр группы ,  - наибольшая нормальная в  подгруппа нечетного порядка. Через  обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1.  - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы  также принадлежит  осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа, но  не содержится в . Поэтому  не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через  обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа  называется -свободной, если в ней нет подгрупп  и  таких, что  нормальна в  и  изоморфна .

2. , то ----свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа  индекса 2 в  и  изоморфна . Так как  несверхразрешима, то  - несверхразрешимая подгруппа четного в  индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы  обозначается через .

3.  и  не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева или типа .

Если  не 2-нильпотентна, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , см. , с. 192. Так как  несверхразрешима, то индекс  в группе  нечетен, и  - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что  элементарная абелева или типа .

4.  - разрешимая группа и , то 2-длина группы  не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5.  - разрешимая группа и . Если  и силовская 2-подгруппа  из  неабелева, то центр  совпадает с центром .

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть  не 2-группа. По лемме 4 подгруппа  нормальна в . Через  обозначим -холловскую подгруппу из . Так как  имеет четный индекс, то  сверхразрешима и . Теперь  содержится в центре , а поскольку , то  - 2-группа. Группа  не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку  не 2-нильпотентна, то индекс  нечетен и  - силовская 2-подгруппа из . Следовательно,  содержится в  и по лемме 2.2  получаем, что  содержится в . Лемма доказана.

6.  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Пусть  - разрешимая группа,  и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа  нормальна в  и является элементарной абелевой подгруппой. Так как  - не 2-группа, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа  несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и  силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что  - минимальная нормальная в  подгруппа порядка , и  - показатель 2 по модулю , где  делит . Поэтому  - минимальная нормальная в  подгруппа.

Централизатор  содержит  и нормален в , поэтому  и . Значит  самоцентрализуема.

Пусть  - -холловская подгруппа в . Тогда  - максимальная в  подгруппа и  совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент  в  такой, что  не содержится в . Так как  и  содержится в , то  и . Пусть . Тогда , а по теореме Машке в  существует подгруппа  такая, что  и  допустима относительно , т.е. . Но индекс подгруппы  четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и . Теперь  централизует всю силовскую подгруппу , противоречие.

Следовательно,  содержится в  для всех неединичных элементов  из  и  - группа Фробениуса с ядром , см. , с.630.

Пусть  - произвольный нечетный делитель порядка группы , и пусть  - -холловская подгруппа из . Так как  самоцентрализуема, то  не 2-нильпотентна и в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку  не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и  - элементарная абелева подгруппа порядка . Из свойств групп Шмидта следует, что  - показатель 2 по модулю . Необходимость доказана.

Обратно, пусть  - группа Фробениуса, ядро которой  - минимальная нормальная в  подгруппа порядка  где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка . Пусть  - произвольная подгруппа из . Тогда либо , либо , либо , либо  - группа Фробениуса с ядром . Если , то индекс  нечетен. Если  или , то  2-нильпотентна. Пусть  - группа Фробениуса и  не содержится в . Поскольку  не 2-нильпотентна, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная в  силовская подгруппа порядка , а  - циклическая -подгруппа. Так как  - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что  - показатель 2 по модулю , значит  и , т.е. . Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда каждая подгруппа из  четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть  - элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов  существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа  порядка  см. , с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе  существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7.  и  - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в  типа  то  по теореме из . Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу , где  и . Если , то  - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В  силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам  и .

Рассмотрим . Если  не простое, то  содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит,  - простое. Несверхразрешимыми в  являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера  следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через  обозначим разрешимый радикал группы .

8.  и , то .

Пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа. Тогда . Если , то индекс  в  четен и  должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому  - простая подгруппа и  изоморфна  или . Теперь  нечетен,  и  - подгруппа из .

Если , то , поэтому .

Пусть ,  - простое. Так как  - циклическая группа порядка , то  либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть  и  - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм  группы  централизует , см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе  группы  есть подгруппа  индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в  и  не принадлежит .

9.  для .

Пусть  - подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть  - центральная инволюция в . Если , то  - подгруппа в  четного индекса. Так как , то  сверхразрешима, поэтому и  сверхразрешима.

Пусть  не принадлежит . Тогда . Допустим, что  несверхразрешима. Так как  - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что  изоморфна  или . Но теперь силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале  - разрешимая группа,  и . Если  - не 2-группа, то легко проверить, что  и по лемме 6 группа  из пункта 2 теоремы.

Пусть  неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если  разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа  имеет четный индекс в группе . Так как  сверхразрешима и , то  - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть  - централизатор подгруппы  в группе .

Для каждого нечетного простого  подгруппа  имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому  для всех нечетных  и индекс  в группе  четен или равен 1. Если , то в  есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит,  и  содержится в центре .

Если , то  - квазипростая группа и  не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа  изоморфна  или . Теперь по теореме из , с.646 группа  изоморфна  или .

Пусть  - собственная в  подгруппа. Тогда  имеет нечетный индекс и . Так как  - собственная в  подгруппа, то из леммы 8 получаем, что  изоморфна , a  изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.


2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса



Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если , то



и  делит . Если , то



группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь  - наибольшая нормальная в  -подгруппа;  - подгруппа Фиттинга группы ;  - циклическая группа порядка .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

Если  - собственная подгруппа в группе , то  удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа  -нильпотентна. Теперь группа  либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. , с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как  - главный фактор, то







Определения дисперсивных групп см. в , с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе  все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и  - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому  -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в  дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть  - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как  бипримарна, а индекс  в группе  по условию леммы примарен, то группа  либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

Пусть  - рассматриваемая группа. Так как  сверхразрешима и , то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку  не делит , то силовская -подгруппа  из  содержится в . Теперь  лежит в центре . Факторгруппа  нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть  - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа  - циклическая. Поскольку  не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где  - простое число. Теперь  для силовской -подгруппы из  и  является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1  подгруппа  содержит нормальную в группе  подгруппу  такую, что факторгруппа  изоморфна









В факторгруппе  по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В  и  имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе  степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В  внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в  имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно:  (см. , с.73). Поэтому  - 5-группа,  изоморфна  и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна







Где







Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции







Теперь . Подгруппа  характеристична в , a  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 20 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  или  по , c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции







Так как







то . По свойству коммутантов . Следовательно,







Случай  рассмотрен полностью.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому  - 5-группа,  изоморфна , и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа, и пусть  - центр . По индукции фактор-группа  изоморфна







Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции







Теперь







Подгруппа  характеристична в , а подгруппа  нормальна в , поэтому  нормальна в . Кроме того,







Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как  имеет индекс 40 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и  нормальная в  подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит,  и  лежит в центре . Теперь







и для инволюции  подгруппа  нормальна в . Следовательно,







и факторгруппа  проста.

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции , где  изоморфна  или , а







Так как







то . По свойству коммутантов , значит,







Так как , то подгруппа  изоморфна  и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай . Группа  допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому  - 3-группа,  изоморфна  и  - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна , где







Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции







Теперь







Подгруппа  характеристична, в  а подгруппа  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где  - подгруппа порядка 7, а  - 3-группа. Отсюда следует, что  нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. В этом случае .

Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции







Где







Так как







По свойству коммутантов . Следовательно,







где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть  - разрешимая группа порядка , где  - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из  сверхразрешима. Предположим, что  -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа  нормальна в . Если  сверхразрешима, то  дисперсивна. Если  несверхразрешима, то все собственные подгруппы из  имеют в группе  непримарные индексы. Поэтому  - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь  дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа  содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где  - холловская -подгруппа. Так как  дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа  не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из  не нормальна в . Предположим, что . Так как  не -нильпотентна, то в  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где  - некоторая -группа, и  или . Из минимальности  по лемме 3 получаем, что  несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где  - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7  подгруппу  можно выбрать так, что  - холловская -подгруппа в группе . Если  нормальна в , то  - нормальная в  холловская подгруппа. Так как  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то  - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.

Следовательно,  не нормальна в  и подгруппа  не -нильпотентна. Так как  дисперсивна, то  нормальна в . По лемме 2 в группе  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но  циклическая, поэтому  - простое число и по лемме 3 подгруппа  сверхразрешима и  есть -группа. Значит, , где  - силовская -подгруппа в , a  - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу . Она дисперсивна. Если  нормальна в , то  дисперсивна. Противоречие. Значит,  нормальна в .

Итак, в группе  холловские подгруппы имеют строение:  сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ;  с силовской -подгруппой шмидтовского типа;  - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе  имеется нормальная подгруппа  простого индекса. Пусть . Если  бипримарна или примарна, то  дисперсивна. Пусть  трипримарна. По индукции  дисперсивна, а так как в  нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если  и , то  нильпотентна как подгруппа группы Шмидта  и  нормальна в . Если  и , то







также нильпотентна, и  нормальна в .

Итак, при  в  имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть . Если , то







нильпотентна и  нормальна в . Пусть . Тогда







Теперь  нормальна, в . Если , то  и  нормальна в . Если , то  - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому  нильпотентна, и







т.е.  нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай . Так как  нормальна в , и  циклическая, то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  - абелева группа порядка, делящего . и в случае  в группе  имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе  применима индукция, по которой  дисперсивна. Так как  - подгруппа из центра , то и вся группа  дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8.  - подгруппа примарного индекса  конечной группы , то .

Пусть  - силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем





и  - -группа.



9.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда  либо -группа, либо группа Шмидта , где  - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть  не является силовской в  подгруппой и  - силовская в  -подгруппа. Тогда  - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в  подгруппы . По условию  сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и







т.е.  и  абелева. Итак, в силовской -подгруппе из  все собственные подгруппы абелевы.

Так как  не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа  в  циклическая, а так как , то  нормальна в . Противоречие.

Следовательно,







По лемме 8 подгруппа  максимальна в .

Если  - абелева, то  - элементарная абелева группа порядка  и  - показатель числа  по модулю .

Пусть  - неабелева группа. Так как  сопряжена , то все собственные в  подгруппы абелевы, т.е.  - группа Миллера-Морено. Если  - неабелева группа, порядка  и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что  делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно,  - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа  - q-замкнута по лемме 3.2 , поэтому в  каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из  следует, что  имеет простой порядок, а так как  не входит в , то







есть группа Шмидта.

10.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа  либо -группа, либо изоморфна  и  делит .

Так как , то группа  не -нильпотентна, поэтому в ней существует -замкнутая подгруппа Шмидта . По лемме 3 подгруппа  несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если , то  - силовская -подгруппа группы , и  нормальна в  по лемме 3.2 . Поэтому  и  - -группа.

Пусть . Тогда  - циклическая силовская -подгруппа группы . Будем считать, что  не -замкнута, т.е.  не является силовской в  подгруппой. Для максимальной в  подгруппы  индекс подгруппы , бипримарен, поэтому  сверхразрешима. Так как , то  нормальна в  и







Таким образом,  и  группа порядка, .

Теперь факторгруппа  обладает нормальной силовской -подгруппой  порядка . Итак, , где  - силовская -подгруппа в . Так как  нормальна в , а в  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  и  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы  порядка . Поэтому  - циклическая группа порядка  и  делит .

теоремы C. Пусть  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа  бипримарна. Пусть , где  и  - простые числа и . Если  - примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что  - дисперсивная группа порядка .

Пусть  - бипримарная группа. Так как группа  не -нильпотентна, то в  существует -замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку , то подгруппа  несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в  примарный индекс. Если , то  - циклическая силовская -подгруппа группы , и группа  имеет единичную -длину. Поэтому  -замкнута, а значит -замкнута и . Для максимальной подгруппы  из  подгруппа  имеет в  непримарный индекс, поэтому  сверхразрешима, а поскольку , то  нормальна в







Из -замкнутости  следует, что  нормальна в , поскольку  - циклическая подгруппа, то  нормальна в . Так как  не нормальна в , то , и  имеет порядок .

Пусть теперь . Тогда  - силовская -подгруппа группы , и группа  имеет единичную -длину по лемме 3.2 . Поэтому  -замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа  из  содержится в . Так как , то по свойствам групп Шмидта







Первое исключается тем, что  недисперсивна. Теперь  - -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть . Так как в  имеется группа Шмидта , то  ненильпотентна, и  не является силовской в . Значит, подгруппа  имеет в  непримарный индекс, и по условию теоремы  сверхразрешима. Так как  нормальна в , то  нормальна в , поэтому  содержится в . Следовательно,  и в . Теперь из  следует, что силовская -подгруппа в  имеет простой порядок.

Итак, в любом случае  - дисперсивная группа порядка . Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.


3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса



Пусть  - некоторый класс конечных групп. Через  обозначается совокупность минимальных не -групп, а через  - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит . Ясно, что  наследственный класс и . В настоящей заметке доказывается следующая

D. класс  замкнут относительно прямых произведений и  разрешим. Если в конечной неразрешимой группе  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  изоморфна одной из следующих групп:  и  - простое число или 9;  или  и .

Формации  и  нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс  разрешим , а для класса  теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа  принадлежит , то , где , а  и .

Если , то в качестве подгруппы  можно выбрать всю группу , а подгруппа  будет единичной. Пусть  и пусть  - собственная в  подгруппа, которая является минимальной не -группой. По условию ,  - простое число. Теперь для силовской -подгруппы  из  получаем, что . Из неразрешимости  следует, что  непримарна и .

2. класс  замкнут относительно прямых произведений, и  - неразрешимая группа, принадлежащая . Если  - минимальная нормальная в  подгруппа, то либо , либо  - простая неабелева группа,  и , где .

Пусть минимальная нормальная в  подгруппа  не принадлежит . Так как , то индекс ,  - простое число. Теперь  неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп:  Поскольку  замкнут относительно прямых произведений, то  не принадлежит  и индекс  в группе  должен быть примарным. Поэтому  - простая неабелева группа.

Централизатор  нормален в  и . Поэтому , а так как индекс  непримарен, то .

3. класс  разрешим и  - простая неабелева группа из , то:

1) , ,  и  или  - простое число;

2) ,  и  - простое число;

3) , , ;

4) ,  или ,  или  соответственно.

Здесь  и  - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. , ,  - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка ,  - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа , где , а . Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник  перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы  из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа. По лемме 2 подгруппа  простая,  и 

Так как  не принадлежит , то существует подгруппа , . Теперь , где ,  и . Так как  разрешима, то по лемме 3 подгруппа  изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть  и  простое число или 9. Предположим, что  - собственная в  подгруппа. Так как  - циклическая группа порядка , то  делит . Кроме того, индекс  в  должен быть примарным, а поскольку



,



то при  простое число  должно делить , что невозможно. Для  числа  и  взаимно просты. При  группа  удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если , то либо , либо , a .

Пусть  и  - простое число, где . Так как , то индекс  в  равен  и  или .

Пусть , где . Поскольку , то подгруппа  имеет в  непримарный индекс. Поэтому в этом случае .

Поскольку случай  рассмотрен при , где , то теорема доказана полностью.


Заключение



В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.


Список литературы



1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. - 1973. - Т.14, N 2. - С.217-222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. - 1975. - С.70-100.

5. Старостин А.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5. - С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. - 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир,-1985. - 352 С.

8. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. - Киев, 1975. - С.173-196.

9. Сидоров А.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. - Минск. - 19S7. - Вып.3. - С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. - Berlin: Springer, 19 (37. - 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. - С.70-100.

13. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. - С. 197-217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. - С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. - Vol.81. - P.304-311.