*-Алгебры и их применение

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО



ФАКУЛЬТЕТ  МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА  АЛГЕБРЫ  И  ФУНКЦИОНАЛЬНОГО  АНАЛИЗА





*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста





студент 5 курса специальности математика

_________________________________



НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ассистент каф. алгебры и функционального анализа

_________________________________



профессор, доктор физико-математических наук

_________________________________



РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: 

зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.

_________________________________









СИМФЕРОПОЛЬ

2003





СОДЕРЖАНИЕ



	Введение……………………………………………………………………………..4

	Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

	§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

		1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

		1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

		1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

		1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

		1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

			§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

			2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

		2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

		2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

		2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

		2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

		§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

		3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

		3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

	Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

	§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

		1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

		1.2. Одномерные *-представления *-алгебры  P2 ……………………………….31

		1.3. Двумерные *-представления *-алгебры  P2   ……………………………….32

		1.4. n-мерные *-представления *-алгебры  P2   …………………………………35

		1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

			§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

			2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры  P2   …………………………...39

		2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

	Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

	§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

		1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

		1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

		1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

		1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

		1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

		1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

			§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном 

			гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

			2.1. Спектр оператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52

		2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2 (0<а<b) ……………………..53

		Заключение………………………………………………………………………..55

		Литература ………………………………………………………………………..56

	


ВВЕДЕНИЕ



Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P2

P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1,   p22 = p2* = p2 >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:

4 одномерных:   π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;

π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные:      ,       τ  (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.  

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов). 




Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

Определение - алгебры.

Определение 1.1.  Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

		А есть линейное пространство;

		в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

α (x y) = (α x) y,

x (α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz  для любых x, y, z  А и любых чисел α.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что

(x*)* = x;

(x + y)* = x* + y*;

(α x)* =  x*;

(x y)* = y*x*   для любых x, y  С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.



1.2. Примеры

		На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

		Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT: |f (t)|  ε} компактно, f (t)  А. Снабжая А отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

		Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

		Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

		Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить .   ()



1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х   для всех хА								      (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то

е΄х = хе΄ = х, для всех хА								       (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄  и  е΄е = ее΄ =е,  следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),

(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2					        (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄  представляется единственным образом в виде 

х΄ = αе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.

Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх),     (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),

(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2),                                                            (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.



1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC  , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

,                                                                                  (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что               хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),

хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2  перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то  е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив  при хА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄  станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1  существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1  = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА1  следует, что х*А1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.



1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

I ≠ A;

Из х, yI следует x + y I;

Из хI,  а  αА  следует  α хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1  становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов  х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть  *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I  *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х]  каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.




§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y),     π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y),     π (x*) = π (x)*

для любых х, y  А   и α   С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π. 

Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого хА, то есть

U π1(х) = π2(х) U     для всех х  А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н1Н называется инвариантным, относительно представления π, если        π (А)Н1Н1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА    (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)gН1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и fН1, но также π(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН 

π(х)Р1f Н1

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также 

Р1π(х)Р1 = Р1π(х).

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида 

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.



2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)iI   - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

|| πi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i. 

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi    и обозначаемое πi   или π1…..πn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)iI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления πi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором  f0  есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н=Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}Н0М, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.



2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При fН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство 

{α f | α C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда

В=λ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2= также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т* 

Отсюда получаем, что

                                        Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т                                     (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

               Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T|                        (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

                                        Uπ(х) = π΄(х)U                                                    (2.3.)

Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄  и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄  соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π,  π΄ эквивалентны.



2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1…..πn , где πi  неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄  π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1…..πn  не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп-
пировав πi , получаем, что π = ν1…..νm, где каждое  νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄…..ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄  определяются единственным образом, как и пространства представлений.



2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ØВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) 	Г – векторное подпространство    Н(t);

		существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

		для любого хГ функция t→||x(t)||  μ – измерима;

		пусть х – векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ.

Пусть ε = ((H(t))tT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ  - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ  - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t)    в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +

+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях  π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = ||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dμ(t) , π1==π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,

Н1 =Н(t) dμ1(t) , π1 =π(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dμ(t)Н       в 

Ux = ρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α А. Имеем

π1(α)Ux = π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = Uπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))tT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))tT, обладающее следующими свойствами:

		для любого  tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));

		для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t)  Н1 = Н1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dμ(t),    π ==π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1,  μ1,  t1→H1(t1),  t1→ π1(t1), Н1,  π1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;

борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;

η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t1→Н1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если fL∞(T, μ)  и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)It dμ(t)  в  f1(t1) It1 dμ1(t1),  поэтому V преоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н. 

Тогда  

Vπ(α)х = Vπ(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х 

Поэтому V преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств  и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда 

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и  на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.


§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть  - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,  - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

                                                                                        (3.1.)

α = (α1,…, αn)  (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (  ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1,…, Нn = . Его векторы имеют вид:

f =  (fαC),      || f ||2 =< ∞                                            (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) =                                                                                         (3.3.)

Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)… f(n) =                                                            (3.4.)

Коэффициенты fα =  разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =                                                                                         (3.5.)

Функция Н1,…, Нn <>   линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в   - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается      α. 

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что

(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2                      (3.6.)

f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2                      (3.7.)

(λ f1) f2=λ (f1 f2)                                       (3.8.)

f1 λ (f2) = λ (f1 f2)                                     (3.9.)

f1, g1Н1;  f2, g2 Н2; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2)                                                              (3.10.)

f1, g1Н1;  f2, g2 Н2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.



3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть ,  - две последовательности гильбер-
товых пространств,  - последовательность операторов АкL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 …Аn = Ак  формулой

() f  = () =         (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор  L (,  ), причем 

                                || || = || ||                                          (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,…, Нn = (Н1,…, Нn-1)Нn общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g =  G1 G2. В качестве  f  возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα. 

Зафиксируем α2, β1  Z+ и обозначим через f(α2) Н1 вектор f(α2) =  и через g(β1)G2 – вектор g(β1) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

= 

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда  уже при произвольном  c Н1Н2 и оценка его нормы в G1G2 сверху через ||A1||  ||A2||  ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1||  ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1  f1|| ||A2 f2||   (fк Нк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1||  ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для  Ак L(Hк, Gк),  Вк L(Hк, Gк)  (к = 1,…, n) соотношения

(Вк) (Ак) = (Вк Ак)                                                                   (3.13.)

(Ак)* = Ак*                                                                                     (3.14)

(Ак) (f1 … fn) = A1  f1… An  fn                                          (3.15.)

(fк Hк;  к = 1,…, n) 

(3.15) однозначно определяет оператор Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2 

Действительно, вектору вида (3.1.)     поставим в соответствие функцию  L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.


Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2 

P2  = С <  р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2  можно задать иначе:

P2  = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.



1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С <  р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* =  Рк  (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {yH | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.



1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 .  Обозначим через Нк область значений оператора Рк  при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1Н1┴ , Н=H2Н2┴  

Введем дополнительные обозначения : 

Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2.                       (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij  нетривиально, то есть dim Hij  =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0  инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij  ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij  линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

Пусть        g1 = a11e1 + a12 e2

                  g2 = a21e1 + a22e2

                  e1 = b11g1 + b12g2

                 e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда 

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1,             || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1  e1 = h1,     Р1h2 =eil Р1  e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2}  матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22  = 0  или , тогда существует такое комплексное число r, что 

a22  = - ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 )  ортонормированный; следовательно 

a112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдем b11 и b21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2, 

b11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0        или

b11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 - b12a11 r = 0,

Тогда  b11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2, 

b21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюда находим, что b21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 = , где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1

А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = . Так как a11a12 >0, то τ(0, 1).

Тогда Р2 = .

В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = .

Найдем коммутант π(P2). Пусть Т =  оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда 

ТР1 =  = 

Р1Т =  = 

Следовательно b = c = 0.

ТР2 =  = 

Р2Т =  = 

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда 

UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b C

UР2 (τ) =  = 

Р2 (ν) U =  = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2  →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0;  π0,0(p2) = 0;   π1,0(p1) = 1;  π1,0(p2) = 0;  π0,1(p1) = 0;  π0,1(p2) = 1;  π1,1(p1) = 1;  π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1)  ,   π(p2)  τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) =  φ (0, ).



1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1                           (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n,  n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j  линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН1 такой, что Р1Р2х = λх, где λС.

Доказательство. Пусть ,  ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

                                       

к = 1,…, n                                          к = 1,…, n

Так как хН1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2= Р1Р2= Р1= 

= Р1= = () = 

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn: 

= 

j = 1,…, n

Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х L

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =  Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n,  n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры  P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.



1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1  ((С2Нк)),                                   (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть  Рi,j: Н → Нi,j ,    Рφк: Н → С2Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(Рφк),                                                 (1.2.)

P1 = P1,0P1,1((Iк ))                                                        (1.3)

Р2 = P0,1 P1,1  (Iк ))               (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк  (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение 

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1  Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):

Н΄ = Нφк,    (l = n - )

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм 

Нφк…Нφк ≈ С2Нк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк…Нφк )=2nк dim(С2Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0  Н0,1 Н1,0 Н1,1  ((С2Нк))

Пусть πi,j – сужение π на Нi,j  ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0π0,0n0,1π0,1n1,0π1,0n1,1π1,1(nкπк)              (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0  P0,1 P1,0 P1,1  (Рφк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк )) 

Р2 = P0,1 P1,1  ( Iк ))

Причем    n1,0π1,0(р1) = P1,0 ,    n0,1π0,1(p2) = P0,1 ,   n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА  и  А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1   или    АU = U-1А        (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1LL, Р2LL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL, ВL = (2Р2 – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L = LL, Р2L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eiφ(U), то e-iφ(U).

Доказательство.

1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.)   UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf  собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.

2) Если eiφ(U), то существует последовательность единичных векторов   в Н    || fn || = 1 такая, что

||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)

Тогда eiφ(U-1), следовательно e-iφ(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1) = АU + АU-1 =  (U-1 +U)А

А (U - U-1) =  А (U2 – 2I + U-2) =  (U2 – 2I + U-2)А =  (U - U-1)2А

Таким образом             А (U + U-1) =  (U-1 +U)А             (2.2.)

                                      А (U - U-1) =  (U - U-1)2А              (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = cI

(U - U-1)2 = d2I

где c, d С. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.

		Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

		Если    d ≠ 0,   то (U)  дискретен и состоит из двух точек    eiφ= и e-iφ=        φ(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Нeiφ = {fH | Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf  инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e-iφ}  φ(0, π)  в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = ,        U = ,       В = 

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2  ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.



2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2  в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), dρк)))                (2.4.)

где ρ1 > ρ2 >… ρк   меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства 

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк ))                                                                (2.5.)

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))                         (2.6.)

Iк – единичный оператор в L2((0, ), dρк)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств 

Н = Н0,0  Н0,1 Н1,0 Н1,1  Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств. 

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2  отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2  в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство  Нξ  Н, которое получается замыканием множества векторов вида  π(х)ξ, где хА. Ограничения операторов из π(А) на Нξ  является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).

Если ηНξ, то НηНξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть Е Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

ξк+1 – максимальный вектор в (Нξi)┴, 

d (ζк, Нξi) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξк такое что ξк>ξк+1 и μк>μк+1 . 

Пусть представления πμ в L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С2L2(Т, μк)),  где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк ))                                                              

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))                     

Iк – единичный оператор в L2((0, ), dρк).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы).  Паре ортопроекторов Р1 и Р2  в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н(φ)dЕ(φ)                              (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0 P1,1  I+                                                                            (2.8.)

Р2 = P0,1 P1,1 dЕ(φ)               (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, dρк), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.


Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение  Рх - λх = y,     х, y Н,  λ С. Тогда (1 - λ) Рх = Рy . Если λ ≠ 1, то Рх = Рy. Если х ≠ 1, то х =  (Рy -  y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 р (Р). Итак,  (Р) = р (Р) = {0, 1}.



1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2  в неприводимых представлениях.



1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк  к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н   Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0  (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н   Ах = х, то есть 1  (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н   Ах = х.

4) Р1 =  Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н   Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2   (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.



1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II. 

1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0  (А).

2) х Н0,1  или х Н1,0  , тогда Ах = х и 1  (А).

3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2   (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j  ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j  Нk,l = H.  В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L, тогда Рkх = λкх    (k = 1, 2 ). Так как Рk  ортопроектор, то возможны случаи:

λ1 = 0, λ2 = 0;

λ1 = 0, λ2 = 1;

λ1 = 1, λ2 = 0;

λ1 = 1, λ2 = 1;

Но это означает, что  k,l = 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 = ,   Р2       τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 – λI) = 0.



                                                                              (1.1.)

Тогда ,              (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.



1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0,  Н1=Н0,1Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк   φк (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства 

Нφк = Н1+εк Н1-εк  ,  причем dimН1+εк = dimН1-εк  = 1                             (1.3)

Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так как εк = =cosφк  и φк (0, )). Объединим все Нφк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк Н1-εк  ,  dimН1+εк = dimН1-εк  = qk.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2  тогда и только тогда, когда 

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}),  0<εк<1, 

причем dimН1+εк = dimН1-εк  к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}),  где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть 

dimН1+εк = dimН1-εк  . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2Нк))                                                           (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе  

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2(Н1+εк Н1-εк  )))                                     (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом  

P1 = PН2((Iк ))                                                                               (1.6.)

Р2 = PН1 PН2  ( Iк ))                         (1.7.)

где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда  

Р1 + Р2 = PН1 PН2  ( Iк )) = А, при этом А = А*



1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 +  λ2 =  a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 =  a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.

Тогда ε =  > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда 

a ≤ 

≤ b – a

(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2 

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a 

Итак, 

λ1 =  ε

λ2 = a + b – ε.                                                                                  (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда 

(А) {0, a, b, a + b}({εк , a + b - εк}),  0<εк<1, и 

dimНεк = dimНa+b-εк  (Нεк , Нa+b-εк  - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н0,0, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н0,1 , то Ах = bx и b(А);

3) х Н1,0 , то Ах = ax и a(А);

4) х Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({εк , a + b - εк}), где 0<εк<1, к=1,…m. Причем числа εк, a + b - εк входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimНεк = dimНa+b-εк = qk. (с учетом кратности εк)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((С2Нк))                                 (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1  или

Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((Нεк Нa+b-εк)                                  (1.10.)

Положим 

P1 = PaPa+b ((Iк ))                                                                  (1.11.)

Р2 = Pb Pa+b  ( Iк ))                       (1.12.)

Но тогда 

aР1 + bР2 = aPabPb  (а+b)Pa+b  (a(Iк ))

(bIк )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({εк , a + b - εк}), (0<εк<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.


§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0  Н1 Н2 ((С2L2((0, ), dρк)))                                          (2.1.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2.  Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0Н0,1 , Н2=Н1,1  

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А)  [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0  Н1 Н2 ((С2L2((0, 2), dρк)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε,  0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк  (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А)  [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами

Р1΄ = P1P2((Iк ))               

Р2΄ = P2  ( Iк ))

где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄  - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.



2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b). 

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А)  [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dρк))))           (2.2.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 , Нa+b=Н1,1. Так как (А)  [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dρк)))) 

где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть (А)  [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2  следующим образом

P1 = PaPa+b ((Iк ))               

Р2 = Pb Pa+b ( Iк )) 

где Рα: Н→Нα , α = a, b, a+b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a] [b, a+b]). Тогда 

А = aР1 + bР2 = aР1 bР2(a+b)Pa+b ((Iк )) 

 ( Iк ))


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .

P2  = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.

А именно: 4 одномерных  π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные:      ,         τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2  и А = aР1 + bР2 (0<a<b). 


ЛИТЕРАТУРА

		Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

		Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

		Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

		Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

		Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

		Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

		Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

		Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

		Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

		Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

		NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

		Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.

2