Урок по теме: "Как решать задачу"

Ведерников Анатолий Иванович



Как решать задачу.

В научно-фантастической повести «Учебники для волшебника» Г. Гуревич дает рецепт: «догадался – понял – проверил – увидел ошибку – исправил – упустил – недооценил – начал сначала – понял, как лучше».

Поучительный пример догадки приводится в книге Д. Пойа «Математическое открытие». Учитель для того, чтобы занять весь класс дает рутинное задание: сложить все цифры до 100. Каково же было его удивление, когда один из учеников сразу выдал решение, сложив все пары:

0+100

1+99

2+98

…

В задаче №14 из «Сборника избранных задач по физике» имеется в виду автомобиль, который прошел расстояние от А до В со скоростью v1=40 км/час и обратно со скоростью v2=30 км/час. Какова средняя скорость рейса? Обычно на этот вопрос отвечают так: средняя скорость рейса равна 35 км/час. Но это неверно. Так было бы, если бы автомобиль двигался одинаковые промежутки времени с каждой из скоростей. Однако из условия задачи ясно, что один и тот же путь туда и обратно автомобиль проходит за разные времена t1 и t2, так как

S=v1t1=v2t2

Поэтому S=40t1=30t2, откуда

t1=3/4t2

Средняя скорость

Vср=2S/(t1+t2)=60t2/(3/4t1+t2)=34 км/час 

Понятие средней скорости в некотором смысле содержательнее понятия мгновенной скорости, хотя мы, следуя привычному образу действий, стремимся к нахождению мгновенной скорости.

Недооценили?

Можно ли считать, что средняя скорость свободного падения есть v=gt? 

Задача выглядит слишком простой, например, при свободном падении мяча на пол и последующем отскоке выясняется: v=gt2/t=gt,

 g – ускорение свободного падения.

В задаче №1,4 можно взять много маленьких промежутков. При каких условиях средняя скорость автомобиля есть: v=at? 

а – постоянная.

Какова средняя скорость мяча, если последующий подскок его чуть меньше предыдущего? (см. №1,4) 

Эти две задачи заставляют думать, что вопрос о средней скорости свободного падения не выглядит столь формальным, как это казалось вначале. 

На рисунке летчик описывает винтовую линию. Расстояние между ближайшими витками, называемое шагом винтовой линии, равно h. Если n – число оборотов, совершаемых самолетом по окружности (ее можно увидеть, если двигаться поступательно вдоль винтовой линии), то скорость самолета вдоль винтовой линии равна v=nh.

В каком случае скорость самолета вдоль винтовой линии будет равна v=nh=gt? Как вы могли бы определить среднюю скорость поступательного движения самолета вдоль винтовой линии (имеется в виду определение как таковое)?

Учащимся большей частью нравится догадываться. Это происходит потому, что они не осознают остальные звенья схемы Гуревича – не называют их. Тем, кто интересуется подробностями можно порекомендовать книги Д. Пойа «Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения».