Численные методы

ЛЕКЦИЯ № 12



ТИПОВЫЕСПОСОБЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МНК НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНЫЕ



Подавляющее большинство процессов реального мира  носит линейный характер, поэтому область, использования линейных моделей весьма ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Рассмотрим некоторое преобразование, позволяющее при построении нелинейными функциями воспользоваться методом МНК для линейной функции.



Аппроксимируемая                     Линейная                    Замена

функция                                         функция

                                                



Вообще полиномы выше 6-ой степени при помощи МНК никогда не строят, т.к. появляются серьёзные ошибки округлений и раскачивания. На практике ограничиваются квадратической зависимостью.



МНК для системы линейно- независимых функций.

Пусть задана система линейно-независимых  функций одной переменной . Под линейно-независимой функцией понимаем такую систему, в которой ни одна из функций не может быть представлена в виде линейной комбинации остальных функций.

Задана f(x) таблично на [a;b] по системе  узлов xj ,yj=f(xj)

Рассмотрим приближение f(x) при помощи обобщенного многочлена:

                                                             (12.1)

Необходимо найти неизвестные коэффициенты из (12.1)

                                                            (12.2)

Критерий (12.2) представляет собой квадратичную функцию относительно параметров bi.



Запишем

                                                                            (12.3)

Получим

                                         (12.4)

Система (12.4) представляет собой СЛАУ относительно параметров bi и может быть решена одним из известных методов.

Рассмотрим один из частных случаев этой системы, когда функции  являются ортогональными.

Введем понятие скалярного произведения функции.

                                                                        (12.5)

Линейно-независимая система функций  является ортогональной если



Для системы ортогональных функций решение системы (12.4) получается элементарно.

                                                                                                (12.6)

Коэффициенты (12.6) называются коэффициентами Фурье, а многочлен (12.1) называется обобщенным многочленом Фурье.



Тригонометрические ряды и полиномы Фурье в использовании МНК

Для приближения тригонометрических функций в анализе используют тригонометрические ряды Фурье.

Периодической называется функция, для которой выполняется равенство:

f(x+KP)=f(x)

P-наименьший положительный период.

Пусть g(x) имеет P, тогда f(x)=g(Px/2π) будет иметь период 2π.

Пусть f(x) –функция, имеющая период 2π, тогда она может быть представлена рядом:

                                                                (12.7)

                                                                             (12.8)



(12.8) тригонометрический ряд Фурье.

                                                                  (12.9)

Коэффициенты Фурье могут быть получены также методом МНК для системы ортогональных линейно-независимых функций. 

Пусть значения таблично-заданной функции известны в точках

 

Тригонометрические полиномы используются для тригонометрических процессов.


ЛЕКЦИЯ №13



ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФИРИНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

 

Численное дифференцирование

Расчет производных аналитически заданной  функции

Нахождение производных таблично заданной функции

Численное интегрирование 

2.1   Формулы прямоугольников

2.2   Формулы Ньютона - Котеса

        Формулы Симпсона и Ньютона

Формулы Чебышева и Гаусса



Численное дифференцирование применяется в случаях, когда аналитическое нахождение производных приводит к громоздким вычислениям, (особенно при необходимости иметь одинаковый алгоритм для вычисления производных заданных функций, а также тогда, когда функция задана таблично).

§1.1 Для аналитически заданных функций рассмотрим следующие способы численного дифференцирования:

предел отношения приращений;

при помощи центрированных разностях;



Предел отношения приращений

   



Строим последовательности {hk}так, чтобы hk→0 вычисляем предел последовательности {Dk}, где 



	Dk= 	k=1,2..n



Вычисления проводят до некоторого n, при котором выполняется условие:



|Dn+1-Dn|≥|Dn-Dn-1|

Шаг выбираем сами (обосновать).



Центрированные разности



Пусть наша функция трижды непрерывно дифференцируема на [a;b]:

fc3[a;b] x-h, h, x[a;b]

тогда  

Эта приближенная формула имеет 2-ой порядок точности.

Ошибка: 0(h2). Разложим функцию в ряд Тейлора:











Вычтем из первого равенства второе:

f(x+h)-f(x-h)


ЛЕКЦИЯ №14



В случае, когда нельзя выразить , либо функция задана таблично , нахождение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно.

Используют приближенные формулы, которые называют квадратурными, либо формулами численного интегрирования.

Формулы прямоугольника

Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b].  Требуется вычислить   .

Разобьем отрезок интегрирования на  n равных частей, точками xi, i=0,n



x0 x1 x2 x3 		xn



xi=a-i*h

                           шаг разбиения









 На отрезке [xi-1;xi] возьмем произвольную точку i . Из определения наш интеграл равен                                		(14.1)

общая форма прямоугольника. 

Геометрическая интерпритация формулы прямоугольника.



Площадь ограничена графиком функции y=f(x) на отрезке осью абцис и заменяется площадью прямоугольника с высотой  равной f(i). Отметим частный случай формулы прямоугольника.

Пусть i  это xi. Из формулы 14.1 видно .

Точность 0(h) порядка один. Формула левых прямоугольников 

2) i=xi.  формула правых прямоугольников 0(h).









3) i=1/2 (xi-1+ xi). Получилась формула средних прямоугольников. . Точность порядка два 0(h2).


2)Формула Ньютона-Котеса

-общая формула



Н-коэффициент Котеса.

xk=a+b*h    k=0,n

Пусть n=1 значит 

Пусть n=2 значит 

Применение формулы Ньютона-Котеса высоких порядков может быть оправдана при достаточно высокой гладкости подинтегральной функции, поэтому промежуток интегрирования будем дробить на мелкие части, на каждой из которых можно применить  формулу Н-К невысокого порядка. Выведем формулу трапеции Симсона-Ньютона.





xi-1

xi

yi-1

yiyi=f(xi), i=0,n. Точность порядка два 0(h2). Эта формула точна для многочленов первой степени.

Геометрическая интерпритация

На элементарном отрезке [xi-1;xi] площадь под кривой полагают равной площади трапеции с основаниями yi-1 и yi  и высотой h. h= xi-xi-1







Формула Симсона



x2i-2	         x2i-1        x2iПусть n=2m. Число разбиения отрезков четное. Тогда точна для многочлена в третьей степени.

Геометрическая интерпритация 

На отрезке [x2i-2;x2i] длиной 2h

Cтроится парабола, проходящая через три точки. Площадь под параболой, заключення между осью абцисс и прямыми x2i-2  и x2i и принимает равный интеграл.



Формула Ньютона – это формула Симсона 3/8.

Пусть n=3m. Количество отрезков разбиения нечетное.

точна для полиномов третьей степени.

Формула Чебышева- Гаусса

Квадратуры Гаусса используют, если интегрируемая функция задана аналитически. Подинтегральную функцию апроксимируют полиномами различных степеней. Общий вид линейно-квадративной формулы , где Ai- весовые функции.

Формула Гаусса: точна для многочленов N=2n-1 степени. Ai и ti вычислены и табулированы



Формула Чебышева: точна для многочлена степени n.

Точки ti вычислены и табулированы для n=2,3…7,9. Для n=8  и больше 10 ti не сушествуют.

n=2   -ti=t2=0.577350

n=3   -ti=t3=0.707107                     t2=0

n=4   -ti=t4=0.794654                    -t2=t3=0.187592

Для вычисления интеграла по формулам 4 и 5 следует сделать замену переменных 

Тогда наш интеграл равен 

Замечание: правило Рунге используется для оценки погрешности.

Вычисляют интеграл по выбранной квадративной формуледважды, сначала с шагом h, затем h/2. Затем ,если полученное значение , то полагают, что наш интеграл равен I=I2n ,иначе шаг h/4.

|In-I2n|<


ЛЕКЦИЯ № 16



МЕТОД РУНГЕ-КУТТА (четвертого порядка)



Пусть поставлена задача Коши, где функция f(x,y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x0,b], xk=x0+k*h, k=0,n; h=(b-x0)/n.

                                                           (16.1)



Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке xk+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках xk-1 , xk-2….общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все m –шаговые методы можно описать формулами:

                               16.2

При 0=0 мы получаем явные методы, при 0 – неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на  шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у(х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у(х0)-определяется из условия задачи Коши

у(х1),у(х2),у(х3)…у(хm-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x0,b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у(х) на [x0,b] в т.xk

[x0,b] xk=x0+k*h    k=0,n;   h=(b-x0)/n

 16.3

Локальная точность

Известно, что на  шаге точное значение функции в т.хк у̃(хк) отличается от приближенного значения хк на величину.

                                                   16.4

                                                                16.5

 где ε заданная точность

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений 

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

                                                         16.6

В векторном виде система 16.6 записывается так:



Начальные условия системы 16.6 имеют вид:

                                                                               16.7

В общем виде система 16.6 имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственное решение.

Задачей Коши для системы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

Пример:

Пусть есть некоторый продукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность). Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво продукции и общие затраты предприятия на ее изготовление и хранение. Пусть V-объем.





Метод Эйлера. Решение задач Коши для систем дифференциальных уравнений.

	

	Пусть поставлена задача 16.6,16.7.

Необходимо найти значение функций у1…уn на отрезке [x0,b], xk=x0+k*h, k=0,m



                                   16.8

В векторном виде :

Локальная точность порядка h2

Общая точность порядка h.



Метод Рунге-Кутта решения задач Коши для систем дифференциальных уравнений.



Пусть поставлена задача Коши 16.6,16.7. Необходимо найти значение функции на отрезке [x0,b] в т.хк…..

С этой целью исползуется рекурентная формула

                          16.9

Решение дифференциальных уравнений высших порядков.

y(n) = f(x,y,y’,…y(n-1)                                                                   16.10



Для уравнения 16.10 можно задать следующее начальное условие:

                                                                 16.11

Решение 16.10 и 16.11 осуществляется путем перехода к эквивалентной задачи Коши для систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Замена имеет вид:

z1 (x)=y’(x)

z2 (x)=y’’(x)

zn-1 (x)=y(n-1)(x)