Структура сходящихся последовательностей

1





Удмуртский государственный университет



		

		Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

		

		Определение: 	Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность  {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.

		

		В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

		

		Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа  можно указать номер N такой, что при nN все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

				|xn-a|<.

		
При этом число а называется пределом последовательности.

		

		Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

		

		ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

		

		Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+n, xn=b+n, где n и n – элементы бесконечно малых последовательностей {n} и {n}.

		Вычитая данные соотношения, найдем n-n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {n-n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

		

		ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

		

		Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

		

				xn=а+n,

		
где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |n|А. Поэтому | xn |  |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

		

		Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей  {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

		

		ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.

		

		Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

		

				xn=а+n,	yn=b+n,

		
где {n} и {n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =n+n. 

		Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

		

		ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.

		
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

		

				xn=а+n,	yn=b+n,

		
где {n} и {n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b) =n-n. 

		Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

		

		ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.

		

		Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+n,	yn=b+n и xnyn=ab+an+bn+nn. Следовательно,

		

				xnyn-аb=an+bn+nn.

		
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {an+bn+nn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xnyn-аb} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xnyn} сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана.

		

		ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

		

		Доказательство: Пусть . Так как b0, то >0. Пусть N – номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство: 

				|yn-b|< или |yn-b|<

		
из этого неравенства следует, что при nN выполняется неравенство |yn|>. Поэтому при nN имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

		

		ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

		

		Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля  и последовательность  ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность  бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+n,	yn=b+n, то

				.
Так как последовательность  ограничена, а последовательность  бесконечно мала, то последовательность  бесконечно малая. Теорема доказана.

		

		Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

		

		ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xnb (xnb), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аb (ab).

		

		Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {xn}, то для положительного =b-a можно указать номер N такой, что при nN выполняется неравенство 

		

				|xn-a|<b-a.

		

		Это неравенство эквивалентно

		

				-(b-a)<xn-a<b-a

		

		Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b, а это противоречит условию теоремы. Случай xnb рассматривается аналогично. Теорема доказана.

		

		Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако .

		Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn  уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству 

				.

		Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

				.

		

		Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

		Это выполняется, так как аxnb, то acb.

		

		ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xnynzn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

		

		Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn-а  yn-а  zn-а. Отсюда следует, что при nN’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству

		

				|yn-a|  max {|xn-a|, |zn-a|}.

		
Так как  и , то для любого >0 можно указать номера N1  и N2 такие, что при nN1  |xn-a|<, а при nN2  |zn-a|<. Итак последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

		 

		Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

		

		ПРИМЕРЫ

		Последовательность  сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было >0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n, что n>. Поэтому  для всех nn, а это означает, что .

		

		Последовательность  сходится и , что следует из того, что

		, и того, что .

		

		ЗАДАЧИ

		

		ЗАДАЧА № 1 

		

		Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию 

			

							(m, n = 1, 2, 3, … ),

			

			тогда последовательность

			

						,…

			

			должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

			

			РЕШЕНИЕ:

			

			Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань  конечна. Пусть >0 и +. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0, имеем:

			

			an=aqm+ram+am+…+am+ar=qam+ar,

			,

			

			

		ЗАДАЧА № 2 

		

		Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию 

		

						

			

			тогда существует конечный предел

			

						,

			

			причем

			

							(n = 1, 2, 3, … ).

			РЕШЕНИЕ:

		

		Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1 получаем:

		

												(*)

		Ряд

		

		сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

		

					|a1|+2-1+2-2+2-3+…

		

		запишем целое число n по двоичной системе:

		

				n=2m+12m-1+22m-2+…+m		(1, 2, …, m = 0 или 1)

		

		согласно предположению

		

					

		

				.

		

		Применяя теорему (1) для данных:

				

				s0=0, 	s1=,	sm-1=,	sm=, …,	pn0=0,	pn1=, …, pn, m-1=,	

		,	pn, m+1=0, …,

		

		заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

		

		.

		

		

		ЗАДАЧА № 3 

		

		Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

		

		РЕШЕНИЕ:

		

		Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn, … ограничены. Пусть , , l -  целое положительное число, l>2 и .

		Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

		

				-, m+, m+2, …, M-2, M-, +.

		

		Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<. Пусть, далее, sn1 (n1>N)  лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности  не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной . Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

		

		ЗАДАЧА № 4

		

		Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n

			

							.

Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

			

			РЕШЕНИЕ:

			

			Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

			

		ЗАДАЧА № 5 

		

		Пусть v1, v2, … , vn, … - положительные числа, v1  v2  v3 … Совокупность предельных точек последовательности

			

						, …

			

			заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

			

			РЕШЕНИЕ:

			

						

			

		ЗАДАЧА № 6 

		

		Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

		

		РЕШЕНИЕ:

		

			Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

			

		ЗАДАЧА № 7 

		

		Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

		

		РЕШЕНИЕ:

		

		При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

		

		ЗАДАЧА № 8 

		

		Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … , ln-1.

		

		РЕШЕНИЕ:

		

		Пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел l1, l2, l3, … , lm; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности  существуют члены, меньше чем . Пусть n – наименьший номер, для которого ln<. Тогда:

			

					n>m;  ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.

		

		ЗАДАЧА № 9 

		

		Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…

		

		ЗАДАЧА № 10 

		

		Пусть числовые последовательности 

			

						l1, l2, l3, … , lm, … (lm>0),

						s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)

			

			обладают тем свойством, что

			

						, .

			

			Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

			

						ln>ln+1, 	ln>ln+2, 	ln>ln+3, …

						lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

		

		РЕШЕНИЕ:

		

		Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

		

					,…   

		

		Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1<v<nr. Имеем последовательно:

		

					,

		

		значит 

		

														(*)

		

		отсюда заключаем, что

		

					

		

		Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность 
l1s1, l2s2, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел ,… ; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности  существуют члены, меньше чем . Пусть k – наименьший номер, для которого <. Тогда:

			

					k>m;  .

		

		ЗАДАЧА № 11 

		

		Если числовая последовательность ,… стремится к  и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n1, что n отношений

			

							
все не больше А, а бесконечное множество отношений

			

							,…
все не меньше А.

			

			РЕШЕНИЕ:

			

			Имеем . Пусть минимум последовательности 

			

							L0-0,  L1-A,  L2-2A, L3-3A, …

			

			Будет Ln-nA; тогда

			

							Ln-u-(n-u)A Ln-nA;		Ln+v-(n+v)A Ln-nA,

			

			u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

		

		ЗАДАЧА № 12 

		

		Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, … предполагается лишь, что

			

							.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства

			

							

										

									.
Если А, то также n.

			

			РЕШЕНИЕ:

			

			Пусть 

			

						l1+l2+l3+…+lm=Lm,	m=1, 2, 3, …; L0=0.

			

			Так как L1-A<0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1A; поэтому ln+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

		

		ЗАДАЧА № 13 

		

		Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … , lm, … удовлетворяет условиям

			

							,	

			
Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства

			

						

														.
Если А0, то также n0.

			

			РЕШЕНИЕ:

			

			Положим

			

						l1+l2+l3+…+lm=Lm,	m=1, 2, 3, …; L0=0.

			

			Тогда . Последовательность

			

						L0-0,  L1-A,  L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

			

			стремится к -. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n. 

			В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:

			

						

			

			все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.

1