Метод касательных решения нелинейных уравнений

Пензенский приборостроительный колледж





























на тему:

Метод касательных решения нелинейных уравнений



















Выполнил: 	Ст-т 22п группы  ЛЯПИН  Р.Н.





Проверила:	______________











Ковылкино – 1999 г.


ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ





студент Ляпин Р.Н. группа 22п









		Тема: "Метод касательных решения нелинейных уравнений".

		Изучить теоретический материал по заданной  теме.

		Составить блок схему алгоритма решения задачи .

		Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.

		Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных.  

		Определить корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х – 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных

		Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.

		Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.





Руководитель курсовой работы: Кривозубова С.А.



Задание принял к исполнению:  Ляпин Р.Н.






РЕФЕРАТ



Курсовая работа содержит:  страниц, 1 график, 5 источников.

Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.

Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.

Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.

Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0

Область применения: в работе инженера.




































СОДЕРЖАНИЕ





стр.





ВВЕДЕНИЕ........................................	5



1. Краткое описание сущности метода касательных 

   ( метода секущих Ньютона)....................	7



2. Решение нелинейного уравнения аналитически ..	9



3. Блок схема программы ........................	11



4. Программа на языке PASCAL 7.0 ...............	12



5. Результаты выполнения программы .............	13



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ...............	14
















ВВЕДЕНИЕ







	Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий  из следующих этапов:

Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем   или получается им  в виде задания).

Математическая формулировка задачи.

Разработка алгоритма решения задачи.

Написание программы на языке программирования.

Подготовка исходных данных .

Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.

Отладка программы.

Тестирование программы. 

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.

В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже  результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.

Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.

Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.

На этапе  4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.

Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.

В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.

Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.

Задание при обработке на  ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.

Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.                        






1. Краткое описание сущности метода касательных 

( метода секущих Ньютона)



Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале  ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x)  0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :

		x = x – ( f (x) / f ’(x))					(1)

Решая его методом итераций можем записать :

		xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n))				(2)

Если на отрезке [a;b]   f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x)  0, решаем его относительно x. Получим :

x = b – (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :

x1 = b – (f (b) – f ’ (b))





















Проведем  касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox : 

x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))

Вообще :

xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k))					(3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке         b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня  c  [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной  из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или    x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу  ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие  f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x k-1 |  | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] .

На практике проще пользоваться другим правилом : 

Если на отрезке [a;b] выполняется условие  0 < m <  | f (x)|  и заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k|   влечет выполнение неравенства       |c-x k-1|  

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x k-1|  











2. Решение нелинейного уравнения аналитически 





Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : 				f  (x) =  х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 

			f ‘ (x) =  3х2 + 0,1х + 0,4 



f (–1)   = –2,5 < 0		f (0)   = –1,2 < 0		f (+1)   = 0,3 > 0



x

- 

-1

0

+1

+ 

sign f (x)

-

-

-

+

+





Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x =   (x) , так , чтобы |  ‘ (x) | <1 при 0 x  +1.

Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.

Тогда   (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2 – 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х3 – 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.

Пусть х0 = 0 , тогда х n+1 =  (х n). 

Вычисления расположим в таблице.       



		n

		хn

		х2n

		х3n

		 (хn).

		f (x)

		1

1

1

1

0,85

-0,17363

		2

0,85

0,7225

0,614125

0,9368125

0,08465

		3

0,9368125

0,87761766

0,822163194

0,89448752

-0,04651

		4

0,89448752

0,800107923

0,715686552

0,917741344

0,024288

		5

0,917741344

0,842249174

0,772966889

0,905597172

-0,01306

		6

0,905597172

0,820106238

0,74268589

0,912129481

0,006923

		7

0,912129481

0,83198019

0,758873659

0,908667746

-0,0037

		8

0,908667746

0,825677072

0,750266124

0,910517281

0,001968

		9

0,910517281

0,829041719

0,754856812

0,909533333

-0,00105

		10

0,909533333

0,827250884

0,752412253

0,910057995

0,000559

		11

0,910057995

0,828205555

0,753715087

0,909778575

-0,0003

		12

0,909778575

0,827697055

0,753021048

0,909927483

0,000159

		13

0,909927483

0,827968025

0,753390861

0,909848155

-8,5E-05

		14

0,909848155

0,827823665

0,753193834

0,909890424

4,5E-05

		15

0,909890424

0,827900583

0,753298812

0,909867904

-2,4E-05

		16

0,909867904

0,827859602

0,753242881

0,909879902

1,28E-05

		17

0,909879902

0,827881437

0,753272681

0,90987351

-6,8E-06

		18

0,90987351

0,827869803

0,753256804

0,909876916

3,63E-06

19

0,909876916

0,827876002

0,753265263

0,909875101

-1,9E-06

20

0,909875101

0,827872699

0,753260756

0,909876068

1,03E-06

		



График функции  y =  х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 




























3. Блок схема программы



Начало

a:=0;

b:=1;

c:=0.00000001;



y0:= f(b);

х n:= b;

нет

да

Конец



y0>c

х n:= х n+1;

х n+1:= (х n);

y0:= f(х n+1);

		

Печать на дисплей промежуточных

х n+1, f(х n+1)



Печать на дисплей конечных значений 

х n+1, f(х n+1)





















































4. Программа на языке PASCAL 7.0



program metod_kasatel;{Название программы}

 uses Crt;  {Модуль дисплейных функций}

var  {Блок описаний переменных}

 xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 :real;



function f1(x1:Real): Real; {Основная функция}

 begin

  f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;

 end;



function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}

 begin

  f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2;

 end;



begin {Начало основного тела программы}

  Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}



 a:=0;b:=1;c:=0.00000001;



 Writeln(' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран}

 Writeln(' Погрешность с=',c);



Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}



 xn:=b;

 xn1:= f1(xn);

 y0:=f2(b);



while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}



 begin {Тело цикла}

  xn:=xn1;

  xn1:=f1(xn);

  y0:= f2(xn1);



   {Печать промежуточного результата}

   Writeln('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0); 



  Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

end; {Конец тела цикла}



Writeln('Конечные значения'); {Печать полученного результата}

Writeln(' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);



 Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

end. {Конец основного тела программы}
5. Результаты выполнения программы

		



От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

 Погрешность с= 1.0000000000E-08

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

 Погрешность с= 1.0000000000E-08



xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02

xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02

xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02

xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02

xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03

xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03

xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03 

xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03

xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04

xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04

xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04

xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05

xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05

xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05

xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05

xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06

xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06

xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06

xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06

xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07

xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07

xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07

xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08

xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08

xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08

xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08

xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09



Конечные значения

xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 







Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. – Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/ –М.: Высш. шк. , 1991. – 400 с.

Абрамов С.А., Зима Е.В. – Начала программирования на языке Паскаль. – М.: Наука, 1987. –112 с.

Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. – М.: Высш. шк., 1990 – 479 с.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. – Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.

Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.