Методы решения уравнений линейной регрессии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФИЛИАЛ В Г. ЛИПЕЦКЕ



















Контрольная работа

по эконометрике























Липецк, 2009 г.




Задача



По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)



Y

31

23

38

47

46

49

20

32

46

24

Х

38

26

40

45

51

49

34

35

42

24



Требуется:

	Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

	Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

	Проверить выполнение предпосылок МНК.

	Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

	Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.

	Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

	Представить графически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

	Составить уравнения нелинейной регрессии:

	Гиперболической;

	Степенной;

	Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

	Уравнение линейной регрессии имеет вид: 



= а0 + а1x.



Построим линейную модель.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные => Сортировка). ( рис. 1).





Рис.1



Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели (рис.2)





Рис.2




Коэффициенты модели содержатся в таблице 3 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена и ее уравнение имеет вид

Yт = 12,70755+0,721698Х.

Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн руб. объем выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 0,721698 млн руб.

	Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков SІe; построить график остатков.

Остатки содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 2).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

	Вызвать Матер Диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

	Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1);значения Y - остатки (таблица 4).





Рис.3 График остатков



3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

	В уравнении линейной модели Y=a+b*X+ε слагаемое ε - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

	Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

	Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

	Распределение случайного члена является нормальными.

1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.

Количество повторных точек определим по графику остатков: p=5

Вычислим критическое значение по формуле:



. 



При  найдем 

Схема критерия:







Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

	Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда–Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных () выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов .



Дисперсионный анализ















df

SS

MS

F

Значимость F



Регрессия

1

107,7894737

107,7894737

15,67347

0,15751



Остаток

1

6,877192982

6,877192982







Итого

2

114,6666667











С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .



Дисперсионный анализ















df

SS

MS

F

Значимость F



Регрессия

1

4,166666667

4,166666667

0,186916

0,707647



Остаток

2

44,58333333

22,29166667







Итого

3

48,75











Рассчитаем статистику критерия: 



.



Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы  составляет .

Схема критерия:







Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

	Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина–Уотсона



.



Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты .

Таким образом,



Схема критерия:







Полученное значение d=2,375, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62 и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88 и d2=1,32.

D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.







С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков , следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение n и составляет для данной задачи 

Сравнения показывает, что r(1)= 1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью критерия:



.



С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим , . Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет . Тогда:



Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения  и при  составляет (2,67; 3,57).

Схема критерия:








2,995  (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерия Стьюдента ().

t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента  определена статистика .

Для коэффициента регрессии  определена статистика .

Критическое значение  найдено для уравнения значимости  и числа степеней свободы  с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Схема критерия:







Сравнение показывает:

, следовательно, свободный коэффициент a является значимым.

, значит, коэффициент регрессии b является значимым.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет .

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия Фишера.

F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет .

Критическое значение  найдено для уровня значимости  и чисел степеней свободы , .

Схема критерия:







Сравнение показывает: ; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле 



 



с помощью функции ABS (таблица 5).







ВЫВОД ОСТАТКА





Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

Отн. Погр-ти

1

27,14150943

6,858490566

20,17%

2

29,30660377

-3,306603774

12,72%

3

30,02830189

-6,028301887

25,12%

4

35,08018868

2,919811321

7,68%

5

35,80188679

-0,801886792

2,29%

6

40,13207547

-0,132075472

0,33%

7

45,90566038

-3,905660377

9,30%

8

45,90566038

5,094339623

9,99%

9

46,62735849

-1,627358491

3,62%

10

48,07075472

0,929245283

1,90%





















По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение  (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:







Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:







Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели  (Таблица 2);

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение  (функция СРЗНАЧ) и определим  (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:



При  размах доверительного интервала для среднего значения







Границами прогнозного интервала будут









Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.

7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:



тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.



Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:



Имя → прогноз; значения ; значения ;

Имя → нижняя граница; значения ; значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения 







8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции:


= a + b/x.



Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение 



= a + bX.



Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.



b = =



а =  =38,4+704,48*0,03=60,25.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

 = 60,25-704,48/х.

8.2 Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид: =аxb

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: 



lg = lg a + b lg x.



Обозначим через 



Y=lg , X=lg x, A=lg a.



Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.


b =  =

A =  = 1,57-0,64*1,53=0,59



Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,59+0,64* Х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

= 100,59* х0,64.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

= 3,87* х0,64.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательной кривой: =abx.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: 



lg  = lg a + x lg b.



Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.



В = =



А = = 1,57-0,01*35,6=1,27

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,27+0,01х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

=101,27* ( 100,01)х = 18,55*1,02х.


Графики построенных моделей:



Рис.3. Гиперболическая





Рис.4. Степенная





Рис.5. Показательная



9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации: 




=



Вариация результата Y на 70,9% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:



 = = 0,05.

Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель изменится на 0,05 %.

Бета-коэффициент:



Sx==0,01 Sy==8,5 60,25*0,01/8,5=0,07.



Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07 среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

отн = 109,7/ 10= 10,97 %.

В среднем расчетные значения  для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 10,97%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации: 




=



Вариация результата Y на 73,6% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:



 = = 0,57.



Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,57%.

Бета-коэффициент:



, Sy= и Sx=.



Sx==0,14 Sy==0,10 0,59*0,14/0,1=0,78.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,78 среднеквадратического отклонения этого показателя.



отн=  = 93,77/10 = 9,34%.



В среднем расчетные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 9,34%.

9.3 Показательная модель

Коэффициент детерминации: 


=



Вариация результата Y на 75,7% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:



  = 28,71.



Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 28,71 %.

Бета-коэффициент:

Sx==10,5 Sy==0,10 1,27*10,5/0,10=129,10.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 129,1 среднеквадратического отклонения этого показателя.

отн= 91,9/ 10 = 9,19%.

В среднем расчетные значения  для показательной модели отличаются от фактических значений на 9,19%.




Вывод



Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является показательная: выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка. Модель можно использовать для прогнозирования.