Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Муниципальное общеобразовательное учреждение

	средняя общеобразовательная школа № 8

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Реферат по геометрии на тему:

	Окружности в треугольниках и четырехугольниках

	

	

	

	

	

	Работу выполнил ученик 9 «А» класса

	МОУ СОШ № 8 Петров Игорь

	

	

	Руководитель: учитель математики МОУ СОШ № 8

	Смирнова Надежда Анатольевна

	

	

	




	Содержание:

	

	Введение

	Теоретическая часть:

	2.1 Вписанная окружность

	2.2 Описанная окружность

	2.3 Взаимное расположение прямой и окружности

	2.4 Площади фигур

	2.5 Свойства прямоугольного треугольника

	Практическая часть:

	3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника

	3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

	3.3 Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

	3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

	Заключение

	Список литературы:

	

	




	1. Введение

	

	Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

	Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.

	Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

	Цель:

	Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»

	Задачи:

	Систематизировать знания по этой теме 

	Подготовиться к решению задач повышенной сложности ЕГЭ

	




	2.Теоретическая часть

	

	2.1 Вписанная окружность

	

	Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

	

	

	

	

	

	

	Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

	Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.

	Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

	Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

	

	2.2 Описанная окружность

	

	Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

	Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

	Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

	

	

	

	

	

	Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

	Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.

	

	2.3 Взаимное расположение прямой и окружности:

	

	AB – касательная, если OH = r

	Свойство касательной:

	AB ┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H) 

	Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:

	AB = AC

	ﮮ BAO = ﮮ CAO

	

r

O

H

A

B

r

	

O

C

A

B

	

	

	

Свойство хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM ∙ MB = CM ∙ MD.






	

	

	

	

	

	Медиана

	Медиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

		

		

		

		

		

		Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

	Теорема: сумма углов треугольника равна 180°

	Основное тригонометрическое тождество: sin2 A + cos2 A = 1

	Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cos A

	

	2.4 Площади фигур

	

A

B

C

D

H

	

	

	

	

	Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:


	

	

	Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ​на синус угла между ними:

	

	

		

		Площадь треугольника

	Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

	

	

	

A

B

C

	

	

	

	

	Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

	

	

	

H

A

B

C

	

	

	

	

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:




	

	

a

b

c

	

	

	

	Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

	

	Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:



	

		

A (A1)

B1

C1

B

C

	

	

	

	

	

	

		

		Площадь трапеции

		Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

		

	

	

	Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

	

	

А

В

С

D

H

	

	

	

	

	

	2.5 Прямоугольный треугольник

	

	Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:

	

	

	

A

B

C

D

	

A

B

C

30°

	

	

	

	

	

	Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

	

	Теорема Пифагора:

		В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2




	

a

b

c

	

	




	3. Практическая часть

	

	3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника

	

	Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

	

B

C

A

H

O

E

F

	

			

		

	

	

	

	Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

	площадь ∆ BOC равна 16 

	Найти: радиус описанной окружности

		Решение:

		Проведем медианы AF, CE, BH

		∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

		ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚

		BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

		ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

		S =  ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC =  ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ =  ∙ R ∙ R ∙  =  ∙ R2 ;  ∙ R2 = 16; R2 = 16 :  = 64; R =  = 8

		Ответ: R = 8




	Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

	

B

M

P

C

O

K 

	

	

	

	

	

	

	

		Решение:

		ﮮ MOP = 2 ﮮMBP

		ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный

		MP2 = OM2 + OP2

		MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2

		MP = 

		MK = KP = 0,5 ∙ MP

		MK = KP = 0,5 ∙  = 

		MK ∙ KP = BK ∙ KC

		 = BK ∙ 3

	BK ∙ 3 = 9 ∙ 2

	BK ∙ 3 = 18

	BK = 6

	Ответ: BK = 6

	




	Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

	

B

C

D

O

K

H

	

	

	

	

	

		Решение:

	∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8

	∆ DOH – прямоугольный

	По теореме Пифагора:

	OH2 = 102 – 82

	OH2 = 100 – 64 = 36

	OH = 6

	BH = BO + OH = 10 + 6 =16

	По теореме Пифагора:

	BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320

	BC = 

	∆ KBO ~ ∆ HBC

	

	SBHC =  

	

	SBOK = 20

	SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40

	Ответ: SBOC = 40




	3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

	

	Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

	

A

B

C

M

K

L

	

	

	

	

		Решение:

	AC = 2r = 10 м

	Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

	По теореме Пифагора:

	x + y = 10

	(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2 

	y = 10 – x

	(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2 

	(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100

	x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100

	2x2 – 20x + 148 = 100

	2x2 – 20x + 48 = 0

	x2 – 10x + 24 = 0

	x1 = 6, x2 = 4

	 y = 10 – x

		x = 6	x = 4

		y = 4	y = 6

	3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6

	BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м


	Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

		

D

C

E

A

K

B

	

	

	

	

	

	

	

	Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

		Найти: KA

		Решение:

	CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

	CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

	BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

	∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

	Ответ: KA = 12

	

	BC = x + y

	BC = 18 + 12 = 30 (м)

	Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности

	




	3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

	

	Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

	

A

B

C

D

O

K

H

	

	

	

	

	

		Решение:

	Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

	 АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

	АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;

	так как ОА2=ОВ2, получим:

	АК2 + КО2 = ВН2 + НО2

	

	

	

	

	

	90 + 64 – 16x = 0

	16x = 154

	

	

	ОВ2 = ВН2 + НО2

	

	

	

	Ответ: OB = 10,625

	

	3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

	

	Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

		Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD  r в 4 раза

		Найти: 

		

O

A

B

C

D

E

		

		

		

		

		

		Решение:

	Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

	

	

	 

	Ответ:

	

	Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

		Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

		Найти: 

		

A

B

C

D

E

F

O

		

		

		

		

		Решение:

		AB = CD = 10 по условию

		AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности

		AD + BC = 10 + 10 = 20

		FE = 2r = 2 · 4 = 8

		

	Ответ:

	

	Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

	

A

E

D

B

C

K

O1

O2

O3

	

	

	




		Решение:

		Пусть AB = BC = AC = a.

		Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .

		AO1 – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда .

		4.  

	Ответ: 

	

	Задача 10: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

	

A

B

C

D

E

K

L

M

O

	

		

O

		

		

		Решение:

		Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°

		

		

		

		Ответ: 

	

	Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.

	

А

В

С

Н

	

	

	

		Решение:

		202 = 122 + 162 

		400 = 144 + 256

		400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)

		

		

		

		96 = 10 · ВН

		ВН = 9,6

		Ответ: ВН = 9,6

		

		Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

		Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10

		Найти: 




	

A

B

C

D

E







F

		

		

		

		

		Решение:

	∆ ADE ~ ∆ ACB (ﮮ A – общий, ﮮ ADE = ﮮ ACB = 90°)

	Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X

	

	

	15 · X = 10(15 – X)

	15 · X = 150 – 10 · X

	25 · X = 150

	X = 6

	DE = DC = 6

	S кв. = 6 · 6 = 36

	Ответ: S кв. = 36

	

	Задача 13: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

	

A

B

C

D

H

K

	

	

		

		

		Решение:

	HK = BC = 10 м

	Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 – y

	По теореме Пифагора:

	x2 + y2 = 132

	x2 + (21 – y)2 = 202

	 x2 + y2 = 169

	x2 + 441 – 42y + y2 = 400

	441 – 42y = 231

	42y = 210

	y = 5

	AH = 5 м

	По теореме Пифагора:

	BH2 = AB2 – AH2

	BH2 = 132 – 52

	BH2 = 169 – 25

	BH2 = 144

	BH = 12

	Ответ: BH = 12

	




	4. Заключение

	

	В процессе работы я расширил знания по теме «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках», научился решать задачи, казавшиеся ранее недоступными, систематизировал знания по этой теме, и закрепил методы решения этих задач на практике.

	Так как геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы, то в дальнейшем мне будет намного легче справиться с ними на ЕГЭ.

	




	Список литературы:



		 «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»

		Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

		Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

		Т. А. Корешкова, Ю. А. Глазков, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева «Математика. Единый государственный экзамен 2006. Типовые тестовые задания»



2009 год