Задачи по Математике 2

Часть 1.

Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры.

(х0, у0) равно:

Ответ: 0

[z0, y0] равно:

Ответ: - х0

[z0, x0] равно:

Ответ: y0

(х0,z0) равно:

Ответ: 0

(y0,z0) равно:

Ответ: 0

[z0,r0] равно:

Ответ:  Ф0

[Ө0, r0] равно:

Ответ:  -Ф0

(z0,Ф0) равно:

Ответ: 0

1.9.[ Ф0, Ө0] равно:

Ответ: -r0

1.10.(х0, [y0,z0]) равно:

Ответ:1, (z0, [x0,y0])

1.11. (x0, [z0,y0]) равно:

Ответ: (y0,[x0,z0]), -1

1.12. (x0, [y0,y0]) равно:

Ответ: 0

1.13. [x0, [y0,z0]] равно:

Ответ: 0, y0(x0,z0) – z0(x0,y0)

1.14. (r0,[z0,Ф0]) равно:

Ответ:-1, (Ф0, [r0, z0])

1.15. (r0, [Ө0, Ф0]) равно:

Ответ: 1, (Ф0, [r0, Ө0])

1.16. (x0, [y0,z0]) равно:       Ответ:1

1.17. (x0,[y0, x0]) равно:

Ответ: 0

1.18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны:

Ответ: h1=1, h2=1, h3=1

1.19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны:

Ответ: h1=1, h2=r, h3=1

1.20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны:

Ответ: h1=1, h2=r, h3=rsinѲ

1.21. (a, b) скалярное произведение векторов a и  b в декартовой системе координат равно:

Ответ: axbx+ayby+azbz

1.22. [a, b] – векторное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (x0 y0 z0 ….)

1.23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b,c  в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (ax  bx  cx  …..)

1.24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно:

Ответ: А х (В х С) = В(А,С) – С(А,В)

1.25. (А,[A,B])равно:

Ответ: 0

1.26. (A,[B,B]) равно:

Ответ: 0

1.27. (A,[B,C]) равно:

Ответ: (C,[A,B]),   (B,[C,A])

1.28. A x (B x C) равно:

Ответ: B(A,C) – C(A,B)

1.29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А,В и С равен:

Ответ: |(A,[B,C])|

1.30. Угол между векторами А и В равен:

Ответ:   ф=arcsin |[A,B]|/|A| x |B|

                Ф= arccos (A,B)/|A| x |B|

1.31. Проекция вектора А на направление вектора В равна:

Ответ: (А, В) /|B|

1.32. Орт  радиус-вектора r=x0x+ y0y + z0z равен:

Ответ:длинное выражение с корнями

1.33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна:

Ответ: |ABsinф|, где |A|= A, |B| = B, ф - угол между векторами

              |[A,B]|

1.34. Если [A,B]=C, то [B,A] равно:

Ответ: -С,     -С0|C|∂





						Часть 2.

Векторный анализ:

                                   - Скалярное поле. Градиент

                                   - Векторное поле. Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона.

2.1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой  системе координат равен:

Ответ: x0 ∂ψ/∂x+y0 ∂ψ/∂y+z0∂ψ/∂z

2.2.grad r – градиент скалярной функции r = |r|, где r = x0x+y0y+z0z, равен:

Ответ: x0∂r/∂x+ y0 ∂r/∂y+ z0∂r/∂z,  r0

2.3. grad ln(r), где r =|r|, r0=r/r, r=x0x+y0y+z0z, равен:

Ответ: r0/r

2.4. grad sin r,где r=|r|=√x^2+y^2+z^2, r=x0x+y0y+z0z равен:

Ответ: d sin r/ dr  grad r,    (cos r) r0

2.5. grad 1/r, где r=|r|,r=x0x+y0y+z0z  равен:

Ответ: -r0/r^2

2.6. [gradr, r] равно:

Ответ: 0

2.7.Производная скалярной функции  U=r(r=|r|), по направлению оси OZ, где r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z0),  ∂U/∂z=z/r

2.8. Производная скалярной функции U=1/r(r=|r|), по направлению радиус вектора r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ: ∂U/∂r=(grad(1/r),r0),  ∂U/∂r=-1/r^2

2.9. Производная скалярной функции U=r, где r=|r|= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна:

Ответ: ∂U/∂x=(gradr, x0),   ∂U/∂x=x/r

2.10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=|r|) по направлению  радиус вектора r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ: ∂U/∂r=1/r,  ∂U/∂r=(grad(lnr), r0)

2.11. Производная скалярной функции U=cos r (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ: ∂U/∂r= (grad(cosr), r0),   ∂U/∂r=-sinr

2.12. divF –дивергнеция вектора F=x0Fx+y0Fy+z0Fz равна:

Ответ: ∂Fx/∂x+∂Fy/∂y+∂Fz/∂z

2.13. В поле вектора а отсутствуют источники и стоки, если:

Ответ:div a = 0 ,    (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона

2.14. div (r), где r=x0x+ y0y+z0z, равна:

Ответ:3, drx/dx+dry/dy+drz/dz

2.15. div (sin(r)r), где r=|r|, r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ: 3sin(r)+r cos(r),    sin(r)div(r)+(r,grad(sin(r)))

2.16. div ((ln r)r), где r=|r|, r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ:(lnr)div r+(grad lnr,r),   3 ln r+1/r(r/r,r)

2.17. Поток вектора F через поверхность S – это:

Ответ: Ф=∫(F,n0)ds, где n0-единичный вектор нормали n к поверхности S

2.18. Дивергенция орта радиус-вектора r0=r/r, где r=|r|, r=x0x+y0y+z0z равна:

Ответ: div r0=1/r div r + (grad1/r,r),  div r0=2/r

2.19. теорема Остроградского-Гаусса это:

Ответ: ∮Fds=∫div Fdv,где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V

2.20 rot F – ротор вектора F=x0Fx+y0Fy+z0Fz  равен:

Ответ: матрица

2.21.Поле вектора а потенциально, если

Ответ:rota=0,  a=gradψ, где ψ- скалярная функция

2.22. Ротор орта радиус- вектора r0=r/r, где r=|r|, r=x0x+y0y+z0z равен:

Ответ:rot r0=1/rrotr+[grad 1/r, r],  rot r0=0

2.23.Теорема Стокса- это:

Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L- одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L

2.24. Если циркуляция вектора F по замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то:

Ответ:Поле вектора F – потенциально,  rotF=0

2.25. Поле радиус – вектора r=x0x+y0y+z0z:

Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально

2.26. rotr, где r=x0x+y0y+z0z равен:

Ответ: 0

2.27. rot(f(r) r), где r=|r|, r=x0x+y0y+z0 z, равен:

Ответ: 0, f(r) rotr +[gradf(r),r]

2.28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x0Fx+y0Fy+z0Fz , а перевернутый треугольник- оператор Гамильтона равно:

Ответ: rot F

2.29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно:

Ответ: ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2

2.30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad ψ равен:

Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ,  0

2.31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div gradψ равна:

Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ

2.32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен:

Ответ:grad div F – перев треуг в квадрате F

2.33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что  grad(ψφ), где  ψ и φ скалярные функции, равен:

Ответ:φ grad ψ+ψ gradφ

2.34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна:

Ответ:ψdivF+(grad ψ,F)

2.35. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div rot F равна:

Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг,F])

2.36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно:

Ответ:grad ψ, x0∂ψ/∂x+y0∂ψ/∂y+z0∂ψ/∂z

2.37. Выражение перев треуг  х F=(переверн треуг,F), где F=x0Fx+y0Fy+z0Fz, а перев треуг – оператор Гамильтона рано:

Ответ: div F,   матрица