Решение нелинейных уравнений

Задание №1



Отделить корни уравнения 







графически и уточнить один из них:

методом половинного деления;

методом хорд;

методом касательных; 

методом секущих; 

методом простой итерации; 

с точностью ε=0,001.

Создать функции, реализующие указанные методы, построить графическую иллюстрацию методов, результаты проверить с помощью встроенных функций, оценить точность полученных значений.







1. Метод бисекции (деления отрезка пополам)



Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Предполагается только непрерывность функции F(x).




Графическое представление метода бисекций

















Решим задание в пакете Маткад:






2. Метод хорд (метод линейной интерполяции) 



Идея метода состоит в том, что по двум точкам и построить прямую  (то есть хорду, соединяющую две точки графика) и взять в качестве следующего приближения  абсциссу точки пересечения этой прямой с осью Ox.



Графическое представление метода хорд











Решим задание в пакете Маткад:








3. Метод касательных (Ньютона)



Графическое представление метода касательных










Решим задание в пакете Маткад:







4. Метод секущих



Графическое представление метода секущих












Решим задание в пакете Маткад:







5. Метод простой итерации



Введем функцию:








Графическое представление метода простой итерации

















Решим задание в пакете Маткад:








Задание №2



Решить задачу Коши для дифференциального уравнения  на отрезке [a,b] при начальном заданном условии  и шаге интегрирования h:

методом Эйлера;

методом Рунге – Кутта 4 – го порядка точности.

проверить решение с помощью встроенных функций пакета MathCAD.



В решении оставлять 5 цифр после запятой.

№ вари-анта

Функция

Интервал

y0

Шаг

23



[0;0,5]

y(0)=0,3

0,05



1. Метод Эйлера



Решим задание в пакете Маткад:








2. Метод Рунге – Кутта 4 – го порядка точности










Проверим решение с помощью встроенных функций пакета MathCAD