Метод Симпсона

Кафедра «Высшей математики»











Реферат:























Выполнил: Матвеев Ф.И.



Проверила: Бурлова Л.В.



































Улан-Удэ.2002

Содержание.







1.Численные методы интегрирования

 2.Вывод формулы Симпсона

     3.Геометрическая иллюстрация

     4.Выбор шага интегрирования

 5.Примеры































































1. Численные методы интегрирования



    Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла  

 посредством ряда значений подынтегральной функции .

    Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

    Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по  параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

    Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

     Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции  полиномом степени . Алгоритм этого класса  отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.

     Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции  сплайном-кусочным полиномом.

     В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

     Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер. 





                 

                                                                суммарная погрешность

                                

                                                                погрешность усечения

                                                                погрешность округления

                                                                        

     Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества 

разбиений отрезка . Однако при этом возрастает погрешность округления 

за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

      Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.



2. Вывод формулы Симпсона



  Если для каждой пары отрезков  построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию  на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с  в точках :



Проинтегрируем :



Формула:



и называется формулой Симпсона.

       Полученное для интеграла  значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми ,  и параболой, проходящей через точки 

       Оценим теперь погрешность интегрирования  по формуле Симпсона. Будем считать, что у  на отрезке  существуют непрерывные производные . Составим разность



       К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку  непрерывна  на  и функция  неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:



(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку  - непрерывная функция; ).

          Дифференцируя  дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для  другое выражение:

, где 

         Из обеих оценок для  следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

, .

Если отрезок  интегрирования слишком велик, то его разбивают на  равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , ,..., применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

    (1)



        (2)

        Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

,       (3)

     Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать     большую точность.

    Например, для функции   форма трапеции при  для  дает точный результат , тогда как по формуле Симпсона получаем 

  

3. Геометрическая иллюстрация

 

 На отрезке  длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки ,. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми, принимают равной интегралу.

       Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.

      Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.

              (4)

        Это формула Симпсона «трех восьмых».

         Для произвольного отрезка интегрирования  формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем ( точек).



, m=2,3,...         (5)

- целая часть

	Можно  получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков :	

(6)

 - количество отрезков разбиения;

 - степень используемого полинома;

- производная -го порядка в точке ;

 - шаг разбиения.

     В таблице 1 выписаны коэффициенты .  Каждая строка соответствует одному набору  промежутков  узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.



                   Таблица 1:	

k

C0

A0

a1

a2

a3

a4

a5

a6



2



1

4

1



















1

4

1



















1

4

1







1

4

2



2

4

1









Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде:    (7),

где  - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции; 

h - шаг интегрирования;

p - порядок метода.

      Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

    (8)

(8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.= +Ro (9),  уточненное значение интеграла .

   Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом , то есть:



из системы трех уравнений: 



с неизвестными I,А и p получаем :

    (10)

        Из (10) следует                       (11)

   

Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла   и, вычисляемые по методу трапеции с шагами  и , связаны соотношением: 



 (12)

Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами  и , справедливы соотношения:

, 



          (13)



 

 

4.  Выбор шага интегрирования



Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона:

.

Если  , то  .

По заданной точности  метода интегрирования из последнего неравенства определяем подходящий шаг.

	

	, .

Однако такой способ требует оценки  (что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений позволяют выбрать нужный шаг h.

Разберем один из таких приемов. Пусть



,

где  - приближенное значение интеграла с шагом . Уменьшим шаг  в два раза, разбив отрезок  на две равные части  и  ().

Тогда , 



Предположим теперь, что  меняется не слишком быстро, так что почти постоянна: . Тогда  и , откуда , то есть .

Отсюда можно сделать такой вывод: если , то есть если , , а  - требуемая точность, то шаг   подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же , то расчет повторяют с шагом  и затем сравнивают  и  и т.д. Это правило называется правилом Рунге.

Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением  абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость  от  обратно пропорциональная) и при достаточно малых  может оказаться больше погрешности метода. Если превышает , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение . 

При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что . Если имеется только таблица значений , то проверку  «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств  уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами, причем . Вычисление значений . Тогда               (14).

    За меру точности метода Симпсона принимают величину :





5. Примеры



  Пример 1. Вычислить интеграл  по формуле Симпсона, если  задана таблицей. Оценить погрешность.

Таблица 3.





0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8



1

0.995

0.98

0.955

0.921

0.878

0.825

0.765

0.697

Решение: Вычислим по формуле (1) при  и  интеграл . 

.

По правилу Рунге получаем  Принимаем . 



   Пример 2. Вычислить интеграл  .  

Решение: Имеем . Отсюда h==0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.



Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона



i







0

0



y0=1,00000

1

0.1

0,90909



2

0.2



0,83333

3

0.3

0,76923



4

0.4



0,71429

5

0.5

0,66667



6

0.6



0,62500

7

0.7

0,58824



8

0.8



0,55556

9

0,9

0,52632



10

1,0



0,50000=yn





3,45955(1)

2,72818(2)



По формуле Симпсона получим: 

 

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность  складывается из погрешностей действий  и остаточного члена . Очевидно:

= ; 

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

 = .

Оценим остаточный член. Так как , то . Отсюда max  при  и, следовательно, . Таким образом, предельная полная погрешность есть R= и, значит,.



  Пример3. Вычислить интеграл: .



Решение: 









2

-0,41613

-0,208065

1

2,05

-0,46107

-0,224912



2,1

-0,59485

-0,240405

4

2,15

-0,54736

-0,254586



2,2

-0,58850

-0,267500

2

2,25

-0,62817

-0,279187



2,3

-0,66628

-0,289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026



2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380



2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510



2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672



2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109



2,8

-0,94222

-0,336507

2

,85

-0,95779

-0,336067



2,9

-0,97096

-0,334814

4

2,95

-0,98170

-0,332780



3

-0,98999

-0,329997

1



.

Поскольку ,  при x[2,3], для производных  и  получаем: 

-1.4   1, то есть  1,

-  3, то есть  3.

Оценки для погрешности  метода Симпсона :  0.0000017 для =0.1,   0.0000002 для =0.05.

Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для формулы Симпсона, все вычисления проводились с шестью знаками после запятой.

Окончательные результаты:









0,1

-0,30335

0,0000017

0,05

-0,30335

0,0000002







2