Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Автор работы Андреева Елена Валерьевна, ученица 11 «б» класса

Общеобразовательная муниципальная средняя школа №5

Город Кузнецк, 2004 год

І. Объект  исследования

В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1)  Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2]. 

 

	О	О

	А	В

      А	В

	С	С

              Рис. 1  Тетраэдр.                           Рис. 2   Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

  А	                                                                        А

	   	    

	В                                                                                                       В





	О			    О	

                                                                                                                                                С

	Рис. 3 Схема прямого                                                 Рис. 4    Схема прямоугольного 

               трёхгранного угла,                                                                          тетраэдра.                      

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани,  катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра.   Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр,  катеты которого равны,  назовем равнокатет-ным.

Іі. Цель исследования

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы:  прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

I.  Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.     

	А

	     Дано:

        ОАВС -  прямоугольный тетраэдр           

        SОАВ= S1      SABC= S

        SOBC= S2      SOAC= S3	В

	Доказать:	О

                                                                                    	D

         S²=S1²+S2²+S3²	

		С

Доказательство.                                                           

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BCAD

SOBC=1/2 BCOD

SOAB =1/2 OAOB

SOAC=1/2OAOC                                                                                                                                 

    S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²OD²+OA²OB²+OA²OC²)=

    =1/4(BC²OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²OD²+OA²BC²), т.к. 

                    ОВ²+ОС²=ВС² (по теореме Пифагора)

    S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²AD² , т.к.

                     OD²+OA²=AD² (по теореме Пифагора)

     т.е. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

            S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать. 

II. Сумма квадратов гипотенуз равна  удвоенной сумме квадратов катетов.

     	 Дано:		А

   ОАВС- прямоугольный тетраэдр

           где  а , b , с   - катеты.	       В   

   АВ, ВС и АС- гипотенузы                                              а

                   Доказать:	b

   АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b ² +с²)		

                   Доказательство.                                                          О

           АВ² = а² + b ²                                                                                 с               С

           ВС² = b ² + с²                  (по теореме Пифагора)   		

           АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b ² +2с² , что и требовалось доказать.

III.  Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

                                                                         А

                    Дано:	

       ОАВС - прямоугольный тетраэдр		

     а , b , с  - катеты.	В

                    Доказать:                                                       а	b

        V=(1/6)  а · b · с 	

                    Доказательство.	О	              С

      	с

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн · h

Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет  а   будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

V=(1/3) SOBC· а ,   т.к.SOBC=(1/2) b ·.с  

Имеем  V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.

Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:                      

h =   (a۰b۰c)/√a²·b² + b²·c² + a²·c²

где  a, b, c – катеты тетраэдра

Дано:	А

      ОАВС- прямоугольный тетраэдр

      ОА = а,  ОВ =  b,  ОС = с    катеты	Д

      ОД =  h – перпендикуляр к грани	                

       АВС	а

	h	         В

	Доказать:	b



                        ____________	О

 h =  (a·b·c) / √a²b²+b²c²+a²c²	с	С

        Доказательство.	

   Объем тетраэдра:

          V = (1/3)SАВС·h

  C другой стороны:  V = (1/6)abc  (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).

  Следовательно,

                                h = (abc) / (2SАВС)

 Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:

                                      ___________________

                       SАВС  =  √Ѕ²ОАВ + S²ОВС   +   S² ОАС

	____________

      т.е.     SАВС  =  (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²

      Следовательно,

                 	  ____________

                   h =  (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²   , что и требовалось доказать.

Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

	             ____________

cos α  = h  / a=  (bc) / √a²b²+b²c²+a²c²

	               ____________

сos β  =  h  / b = (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²

	             ____________

cos γ  = h  /  c= (ab) / √a²b²+b²c²+a²c²

где  a, b, c – катеты тетраэдра;

α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью

γ – угол между катетом с и нормалью.

h – нормаль 

Дано: 

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

 ОА = а, ОВ = b, ОС = с  -  катеты	

 ОД  =  h – нормаль к грани АВС            А    

Доказать:	      Д

	 ____________  

cos α =  (bc) / √a²b² +b²c² +a²c²                                h

	  ____________	а		В

cos β = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c²                           α               b

	  ____________                                     β  

           cos γ = (ab) / √a²b² +b²c² +a²c²                                      γ

	С

	О	с	

Доказательство.	

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

           cos α  =  ОД/ОА  =  h/a

	  ____________

Поскольку     h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

	____________

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c²   , что и требовалось доказать.

Аналогично:

	____________

cos β = ОД/ОВ =  d/b  =  (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ =  ОД/ОС =  d/c  =  (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

                                                     ________

                                 R  =  ( ½) · √a²+b²+c²

  где   a, b, c – катеты тетраэдра

	                                                                       К                                          L

      Дано: 

      ОАВС- прямоугольный тетраэдр	А	М

   ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты

   R – радиус сферы, описывающей

   тетраэдр.

      Доказать:	а

                    _______		В		Д	

   R = (1/2)√a²+b²+c²                                                b

                                                                         О

     Доказательство.	с	С

     На базе прямоугольного тетраэдра	

 ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:               

                              _______                  _____                                ________                                 

          КС =  D = √a²+b²+c²     (ВС = √b²+c² ,   ВК = а,    КС = √ВС²+ВК² )       

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный 

тетраэдр, имеем:

                                                       _______

                        R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

    что и требовалось доказать.

VII.  Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

                                     abc

          r =         ____________                 	,

                      √a²b²+b²c²+a²c²  + ab + bc + ac

где  a, b, c  - катеты тетраэдра.	

  Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

                                                                                                                                                                                                                                                                                         

ОА = а, ОВ = b, ОС = с –  катеты.    О1 – центр вписанной сферы                                                                                                       

r -  радиус вписанной сферы

	                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             	 

Доказать:

                          r = h / (1 + cosα  + cosβ  + cosγ)

 



Доказательство:  Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О1Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1Д = r.

             _	_

Пусть do  - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо| = 1

Координаты этого единичного вектора (cos α; cos β; cos γ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

	__

 Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

            ___                                                           	__

ОК =  |ОО1|cosδ ,  где δ – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.

       ___                 __    _	  __   _

      |OO1|cosδ  =  (OO1·do) =  r·cosα + r·cosβ + r·cosγ ,  где (ОО1·dо) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда   h = OK + KH, т.е.

h  =  |OO1|cosδ  +  r,      т.к. КН = r 

 (поскольку КНДО1 является прямоугольником).

Имеем

                        h = r cosα  +  r cosβ  +  r cosγ    +   r

т.е.

                          r = h / (1 + cosα  + cosβ  + cosγ)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

          (abc)/√ a²b²+b²c²+a²c²	abc

        1 + (bc + ac + ab) / √a²b²+b²c²+a²c²            √a²b²+b²c²+a²c²  + ab + bc + ac

Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

	А

	

Дано:

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = а –	а

катеты 	В

  Доказать, что гипотенузная	а

 грань является правильным

треугольником и косинусы	О	Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными	а

гранями равны	С

                   ___

                 √1/3

Доказательство.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

	_________           __

 АС = √ ОА² +OC²     =   √2  а

	 _________            __

           АВ = √ ОА² +OB²     =   √2  а

	_________            __

           ВС = √ ОВ² + ОС²     =   √2  а

т.е.  треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

	_                 _       _            ___

АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2  а  =  √3/2  а

ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

ОД =  а/√2 

Косинус двугранного угла:

сos _ОДА  =  ОД/АД  =   1/√3 , что и требовалось доказать.

Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.

Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.

ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра

 Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.

Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.

	А

	

Дано:

ОАВС- пирамида,

основанием является прямоугольный            H

треугольник ОВС с катетами а и b	В

ОА = Н, высота.

 Найти:                                                                              b

S полн.	О	Д

                                                                                           а

	С

1) Решение по традиционной схеме:

S полн. = SАОС    +   SАОВ   +  SВОС    +  SАВС

SАОС  =   (1/2)аН;   SАОВ  =   (1/2)bН;   SВОС  =   (1/2)аb;

Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:

            ______                  ________

ВС =  √ а² +b²  ;  АД =   √ ОД² +Н²  , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.

      Поскольку ОД  _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:

                                                                                       ______

            ОД/ b  =   а/ВС   или  ОД = (аb)/ВС = (аb)/ √ а² +b²  

Следовательно,            _______________            ________________________

                          АД =  √ (аb)/( а² +b²) + Н²     =  √[(аb)² +(bH)² + (аH)²]/( а² +b²)                                                                                               

                                                              _________________

В результате получаем SАВС= (1/2) √ (аb)² +(bH)² + (аH)² 

                                                      _________________

Cледовательно,  S полн.= (1/2) [√ (аb)² +(bH)² + (аH)²   +  аН + bН + аb]              

2) Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

S полн.= SАОС    +   SАОВ   +  SВОС    +  SАВС

SАОС  =   (1/2)аН;   SАОВ  =   (1/2)bН;   SВОС  =   (1/2)аb;

              ___________________                 _________________

SАВС=  √ SАОС ² +  SАОВ² + SВОС ²   =  (1/2)√ (аb)² +(bH)² + (аH)²   

                                             _________________

Cледовательно, S полн.= (1/2)(√ (аb)² +(bH)² + (аH)²   +  аН + bН + аb)              

Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.

Ребро куба равно а.  Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его  граней 

	                                                                       К                                          L

 Дано: 

 ОВДСАКLM - куб	А	М

   ОА = а, ОВ = b, ОС = с – ребра

ΔАВС – сечение куба плоскостью, прохо-

дящей через диагонали смежных	а

граней.                    	В		Д	

 Найти:                                                                          а

SАВС	О

    	а	С

    1) Решение по традиционной схеме:

	

Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:

                                  ______        __

АС =  АВ =  ВС =  √ а² + а²   = √2 а

Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:

      _                                                       _                     _

SАВС= (√3/4)(АС)2 ,       т.е.            SАВС= (√3/4)(2а2)  = (√3/2)а2                

                                                                                             

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

SАОС  =   SАОВ  =   SВОС  =   (1/2)а2    (поскольку тетраэдр равнокатетный);

              ___________________          

SАВС=  √ SАОС ² +  SАОВ² + SВОС ²   

                                            _________            _

Cледовательно,   SАВС= (1/2) √ а² + а² + а²   =   (√3/2)а2                

Список литературы

М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.

А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз 1951.

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.