Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольная работа 

по дисциплине

Теория вероятностей

Решение задач






Задание 1



Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: 



A(4;6) = 6!/2! = 3*4*5*6 = 360



Ответ: 360 способов



Задание 2



В ожесточенном бою не менее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее 75% - одно ухо, не менее 80% - одну руку, не менее 85% - одну ногу. Какое минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногу?

Решение: Я решила данную задачу двумя способами.



1. Т(Ч+Н)=Т(Ч)+Т(Н)-Т(ЧН)б 



где X+Y означает объединение множеств X и Y, XY - пересечение, функция N - число элементов множества. Обозначим через A, B, C, D - множества бойцов, потерявших глаз, ухо, руку, ногу. В данном примере обозначим через N - процентное содержание множества. 

Тогда 



N(AB)=N(A)+N(B)-N(A+B)>=70+75-100=45 



Аналогично 






N(CD)=N(C)+N(D)-N(C+D)>=80+85-100=65. 



Окончательно имеем 



Т(ФИСВ)=Т(ФИ)+Т(СВ)-Т(ФИ+СВ)Ю=45+65-100=10ю



2. Всего 100%. Минус 30% тех, кто имеет оба глаза, минус 25% оба уха, минус 20% обе руки и 15% обе ноги. 100-30-25-20-15 = 10 процентов минимум

Ответ: минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногу составляет 10 %.



Задание 3



Двое поочередно бросают монетку. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.

Решение: 



A = {выиграл тот, кто начал бросать монетку первым} 

A = A1 + A2 + A3 + ... A1 = {у первого игрока выпал герб} 

A2 = {у первого игрока выпала решка, у второго - решка, у первого - герб} 

A3 = {у первого игрока выпала решка, у второго - решка, у первого - решка, у второго - решка, у первого - герб} и так далее 

P(A1) = 1/2 P(A2) = (1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4) P(A3) = 

(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4)*(1/4) = (1/2)*((1/4)^2)



и так далее 



P(A) = P(A1+A2+A3+...) = [события A1, A2, A3, ... несовместны] = 

P(A1) + +P(A2) + P(A3) + ... = (1/2) + (1/2)*(1/4) + (1/2)*((1/4)^2) + ... = 

[сумма геометрической прогрессии] = (1/2)/(1 - 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3 

P(A) = 2/3 B = {выиграл тот, кто начал бросать монетку вторым} B = не 

A P(B) = P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 2/3 = 1/3



Ответ: для первого 2/3, для второго 1/3.



Задание 4



В кошельке лежат 8 монет достоинством по 5 копеек и 2 монеты достоинством в 3 копейки. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет 15 очков, если "герб" принимается за "0"?

Решение:



H1 = {монета в 5 копеек} H2 = {монета в 3 копейки} P(H1) = 8/10 = 0.8 P(H2) = 2/10 = 0.2 A = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях} A

H1 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 5 копеек} = {при 5 бросаниях 3 решки и 2 герба} A

H2 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 3 копейки} = {при 5 бросаниях 5 решек} n = 5 p = 1/2 - вероятность выпадения решки q = 1 - p = 1/2 m - количество бросаний, при которых выпадет решка P(A

Р1 = З(ь=3) = С(3ж5)*((1.2):3)*((1.2):2) = 10*(1.8)*(1.4) = 10.32 =0ю3125 З(Ф/Р2) = З(ь=5) = (1.2):5 = 1.32 = 0.03125 По формуле полной вероятности З(Ф) = З(Р1)З(Ф/Р1) + З(Р2)З(Ф/Р2) = (0ю8)*(0ю3125) + (0ю2)*(0ю03125) = 0ю25+ +0ю00625 = 0ю25625



Ответ: если бросается монета в 5 копеек 0.3125

если бросается монета в 3 копейки 0.03125

полная вероятность 0.25625



Задание 5



Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес по 20 у.е. Какую максимальную выплату наследникам следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке, была не больше 0,0228?

Решение: Пусть случайная величина X - число страховых случаев за год. Xi - страховой случай для i-того клиента, 



i = 1 ... 15000 Xi = {1, если страховой случай для i-того клиента произошел

{0, иначе Случайная величина Xi имеет распределение Бернулли при p = 0.006 M(Xi) = p = 0.006 D(Xi) = p(1-p) = (0.006)*(1 - 0.006) = (0.006)*(0.994) = 0.005964 X = sum_{i=1}^{15000} Xi M(X) = M(sum_{i=1}^{15000} Xi) = sum_{i=1}^{15000} M(Xi)=sum_{i=1}^{15000} 0.006 = (0.006)*(15000) = 90 D(X) = D(sum_{i=1}^{15000} Xi) = [события Xi независимы] = sum_{i=1}^{15000} D(Xi) = sum_{i=1}^{15000} 0.005964 = =(0.005964)*(15000) = 89.46 Пусть m - выплата за страховой случай Доход страховой компании равен D = 15000*20 - mX = 300000 - mX Необходимо найти m такое, что P(D <= 0) <= 0.0228 P(D <= 0) = P(300000 - mX <= 0) = P(mX >= 300000) = P(X > 300000/m) = = P((X-M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m - M(X))/sqrt(D(X))) = = P((X - M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m - 90)/sqrt(89.46)) ~ ~ [по центральной предельной теореме] ~

~ 0.5 - Ф((300000/m - 90/sqrt(89.46))) P(D <= 0) <= 0.0228 0.5 - Ф((300000/m - 90/sqrt(89.46))) <= 0.0228 Ф((300000/m - 90/sqrt(89.46))) >= 0.4772 (300000/m - 90)/sqrt(89.46) >= 2 300000/m >= 108.9166593... m <= 2754.399574... m(max) = 2754



Ответ: максимальная выплата 2754 у.е.