Исследование элементарных функций

Красноярский Государственный Педагогический Университет им. В.П. Астафьева. 











                          Реферат



На тему: «Исследование элементарных функций».















                                         Выполнила: Квашенко Д.В.





                                              Проверил: Адольф В.А. 



















                             г. Красноярск 

                                     2005г. 

                         Содержание:





Определение элементарных функций…………….3

Функция и её свойства……………………………………..3

Способы задания функции……………………………….4

Определение функции……………………………………..4

Исследование элементарных функций………....6

    а) Линейная функция…………………………….......7

    б) Степенная функция…………………………………..8

    в) Показательная функция……………………………9

    г) Логарифмическая функция……………………..10

    д) Тригонометрическая функция………………..11

Y=sin x……………………………….…11

Y=cos x…………………………………13

Y=tg x…………………………………..14

Y=ctg x…………………………………15

    е) Обратно тригонометрическая функция..16

		Y=arcsin x…………………………….16

		Y=arccos x……………………………17

		Y=arctg x……………………………..18

		Y=arcctg x…………………………….19

Список литературы………………………………………..20



























	         Определение элементарных функций.



Функции С (постоянная), xⁿ, ах, 1оgа х, sin х, соs х, tg х, ctg x, аrcsin х, аrccos х, аrctg х  называются простейшими элементарными функциями.

Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.

Например, у = sin  (xⁿ) — элементарная функция.

Элементарные функции нам известны из школьной математики.









Функция, и её свойства:



Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.    

●Переменная х - независимая переменная или аргумент.

●Переменная у - зависимая переменная.

●Значение функции - значение у, соответствующее заданному 

значению х.

●Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.

●Область значений функции (множество значений)- все значения,    которые принимает функция.

●Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).

●Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).

●Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).

●Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).





Способы задания функции:



●Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

●На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. 







Определение функции.



         Функция, прежде всего,  – это одно из основных понятий математического анализа, и чтобы далее рассматривать различные функции, следует дать определение функции.

         Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y.  Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y. 

          Независимая переменная x называется также аргументом функции. 

          В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента x (её называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями x и y (Область Y изменения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений). 

            Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше. 

          Для указания того факта, что y есть функция от x, пишут: 

y=f (x),   y=g (x),  y=F (x) и т.п.

          Буквы   f, g, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x, отвечающее заданному y. Поэтому, если  одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента x, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой. 

         Хотя именно буква f связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву  y: y=y(x). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка   при функции, например, .

       Если, рассматривая функцию y=f(x), мы хотим отметить её частное значение, которое отвечает выбранному частному значению x, равному , то для обозначения его употребляют символ f(). Например, если

F (x)=,   g (t)=,    то f(1) означает численное значение функции f(x) при x=1, т.е. попросту число , аналогично, g(5) означает число 2, и т. д. 

         Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.

          Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия  над постоянными числами и над значением x, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа. 

           Однако будет ошибочным думать, что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция E(x) – “целая часть числа x”. Например, 

E (1)=1, E (2,5)=2, E ()=3, E (-)=-4 и. т.,

хотя никакой формулы, выражающей E(x), у нас нет.

          Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C (f (x) = C).

          Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любой пары чисел и этого множества из неравенства  <  следует, что  f () < f () (f ( ) > f ( )).

          Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

           Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство  f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

            Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

        Действительно, пусть y(x)=f(x) + g(x). Тогда, если f(x) и g(x)  – четные, то  y (-x) = f(-x) + g(-x) = f (x) + g (x) = y (x). Если же f (x) и g (x) –  нечетные функции, то функция y (x) также будет нечетной, y (-x) = f (-x) + g (-x) = -f (x) – g (x) = -[f (x) + g (x)] = -y (x). (Для разности доказательство аналогичное).

            Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной  функции на нечетную  –  нечетная функция.

             В самом деле, пусть y (x) = f (x)*g (x) и f (x) и g (x) –   четные функции, тогда y (-x) = f (-x)*g (-x) = f (x)*g (x) = y (x); если f (x) и g (x) – нечетные функции, то  y (-x) = f (-x)*g(-x) = [-f (x)]*[-g(x)] = y (x); если же f (x) – четная, а g (x) – нечетная функции, то y (x) = f (x)*g (-x) = f (x)*[-g (x)] = -y (x).

       Функция f (x) называется периодической, если существует число Т 0 такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T). Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то её периодом является также число – T, так как f (x-T) = f [(x - T) +T] = f (x).

         Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=1, 2, 3; …). Действительно, f (x 2T) = f [(xT)T] = f (xT) = f (x), f (x  3T) = f [(x  2T) T] = f (x  2T) = f (x  2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.







Исследование элементарных функций .



Основные простейшие элементарные функции:



Линейная функция y=kx+b; 

Степенная функция y=xⁿ;

Квадратичная функция;

Показательная функция  (0 <a1); 

Логарифмическая функция x (0 < a1); 

Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x; 

Обратные тригонометрические функции:  arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.









Линейная функция.

y = kx + b





	1.    Областью определения линейной функции служит  множество R всех    действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x

	2.    Множеством значений линейной функции при k0 является множество R всех действительных чисел

	3.     Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

	4.     Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

	5.     Асимптоты графика функции  не существуют.

	6.     Функция возрастает при k0, функция убывает при k0.

	7.     Функция не является ограниченной.

	8.     График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно,  достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx.   Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая   y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.  

	9.    Точек перегиба не существует.

	10.   Не существует экстремальных точек.

	

	

                                                                                                



          y=kx+b (k<0)                                                                     y=kx+b (k>0)



















Степенная функция.

	

	Степенная функция с натуральным показателем  y=xn,

	где n-натуральное число.

						1.   Область определения функции: D(f)= R;

						2.   Область значений: E(f)= (0+∞);

						3.   Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

						4.   Нули функции: y=0 при x=0;

						5.   Функция убывает при x(-∞;0];

						6.   Функция возрастает при x[0;+ ∞);

	a) нет вертикальных асимптот

	          b) нет наклонных асимптот

	      

	8.    Если n-четное, то экстремум функции  x=0 

	       Если n-нечетное, то экстремумов функции нет      

	

	

	9.    Если n-четное, то точек перегиба нет

	        Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

	10.   График функции:

	 

	

	a)  Если n=2,  то графиком функции является квадратная парабола;

	b)Если   п = 3,   то функция задана формулой у = х3. Ее графиком является кубическая      парабола;

	c)Если п — нечетное натуральное   число, причем п 1, то функция обладает    свойствами теми же, что и у = х3.

	

	





[1]

n – четное

n - нечетное			           [2]			

					

                      

                                           

								

Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п1):



	1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений [0,+∞];

3.  Функция   является четной, т.е. f(-х)=f(х);

4.  Нули     функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).

6.  График функции: [1]

 

Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :



	1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений: E(f)= R;

3.  Функция   является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);

4.  Нули     функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция возрастает на всей области определения.

6.  График функции: [2]





Показательная функция.



Y = ax





		Область определения функции: -∞ < х < +∞

		Множество значений функции: 0 < y < +∞

		Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x 

		Функция не является периодической.

		Асимптоты графика функции:

	Вертикальных асимптот не существует,

	Горизонтальная асимптота у = 0

		Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);

		 если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);

		Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.

	 9. Не существует точек перегиба.

	10. Не существует экстремальных точек.







[2]







[1]







	

	

	

	

	

	

	

	Логарифмическая функция.

	

	

	Y = logax

	Область определения функции: 0 < x < ∞

	Множество значений функции: -∞ < y < +∞

	Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)

	Функция не периодическая

	Асимптоты графика функции:

                                 Вертикальные асимптоты х = 0

		Горизонтальных асимптот не существует

Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);    

	     если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);

Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями       

             координат.

      8.Не существует точек перегиба.

	                           9.Не существует экстремальных точек.

		

	[2]

	

	





		

	

	[1]

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Тригонометрические функции.

	

	Функция y=sin x

	

			
	      Свойства функции y=sin x:

			

			Область определения функции: D(f)=R;

							Область значений: E(f)=[-1;1];

							Функция  является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;

							Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;

							Нули функции: sin x = 0 при x = πk, kZ;

							Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x( 2πk π+2πk), kZ; 

							Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при x( π+2πk 2π+2πk), kZ; 

							Функция возрастает на [-1;1] при x[ -+2πk +2πk], kZ; 

							Функция убывает на [1;-1] при x[+2πk +2πk], kZ; 

							

							Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках  x=+2πk, kZ; 

							Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках  x=+2πk, kZ; 

     a) нет вертикальных асимптот

      b) нет горизонтальных асимптот

  

							

				13. Графиком функции является синусоида.

				

				

				

y=sinx		

							

							

	

	

	

	

							

							

							Функция y=cos x

							

							

				      Свойства функции y=cos x:

			

			Область определения функции: D(f)=R;

							Область значений: E(f)=[-1;1];

							Функция  является четной, т.е. cos (-x) = cos x;

							Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π;

							Нули функции: cos x = 0 при x = +πk, kZ; 

							Функция принимает положительные значения: cos x>0 при x( -+2πk; +2πk), kZ;  

							Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при x( +2πk +2πk), kZ; 

							Функция возрастает на [-1;1] при x[ -π+2πk 2πk], kZ; 

							Функция убывает на [1;-1] при x[2πk π+2πk], kZ; 

							Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках  x=2πk, kZ; 

							Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках  x=π+2πk, kZ;  

a) нет вертикальных асимптот

     

b) нет горизонтальных асимптот

  

							Графиком функции является косинусоида:                                                                                                                              

	                                                                      

	

	              

	

y=cosx            

	

	

	

	

	

	

							Функция y=tg x

							

				      Свойства функции y=tg x:

			

					Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =+πk, kZ;

									Область значений: E(f)=R;

									Функция  является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;

									Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;

									Нули функции: tg x = 0 при x = πk, kZ; 

									Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x( πk; +πk), kZ;  

									Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при x( -+πk πk), kZ; 

									Функция возрастает на (-;+∞) при x(-+πk  +πk ), kZ; 

									a) вертикальные асимптоты   x= + πn

							    b) наклонных асимптот нет 

							

						Графиком функции является тангенсоида:                                                                                                                              

			

y=tgx                                      

	

							                                

	

	

	

	

	

	

	

	

	

							                                         Функция y=ctg x

							

				      Свойства функции y=ctg x:

			

			Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где n Z;

							Область значений: E(f)=R;

							Функция  является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;

							Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;

							Нули функции: ctg x = 0 при x = +πn, nZ; 

							Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x( πn; +πn), nZ;  

							Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при x( +πn π +πn), nZ; 

							Функция убывает в каждом из промежутков (πn  π +πn), nZ; 

a) вертикальные асимптоты   x= πn и x=0

 

     b) наклонных асимптот нет



				

				

Графиком функции является котангенсоида:   y= ctgx

                                   

				

				

				

Обратно тригонометрические функции.



Функция  y=arcsin x



		   

		Свойства функции y=arcsin x:

			

				Область определения функции: D(f)=[-1;1];

								Область значений: E(f)=[-; ];

								Функция  является нечетной, т.е. arcsin (-x) = - arcsin x;

								Нули функции: arcsin x = 0 при x = 0; 

								Функция возрастает на [-1;1]; 

								Функция принимает наибольшее значение  при x=1; 

								   Функция принимает наименьшее значение  при x= -1; 

a) вертикальных асимптот нет

            b) наклонных асимптот нет

					График функции y = arcsin x: 

					

					

y=arcsinx           

					

					               

					

	Функция  y=arccos x

	

		   

			      Свойства функции y=arccos x:

			

		Область определения функции: D(f)=(-1;1);

							Область значений: E(f)=[0; π];

							Функция не является ни четной, ни нечетной;

							Нули функции: arccos x = 0 при x = 1; 

							Функция убывает на (-1;1); 

							Функция принимает наибольшее значение π при x =-1; 

							Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1; 

a)  вертикальные асимптоты x=-1 и x=1



							     b)наклонных асимптот нет

							

							 

				График функции y = arccos x:   

				              

						

y=arccosx                

						

						

						

	

	

	

	Функция y=arctg x

	

		   

			Свойства функции y=arctg x:

			

		Область определения функции: D(f)=R;

							Область значений: E(f)= (-; );

							Функция является нечетной, т.е. arctg (- x) = - arctg x;

							Нули функции: arctg x = 0 при x = 0; 

							Функция возрастает на R; 

a) нет вертикальных асимптот

наклонные асимптоты y=+ πn

				График функции y = arctg x:                

	

y=arctgx                                                                                                                              		      								 

	

	

	

	

	Функция y=arcctg x

	

		   

			      Свойства функции y=arcctg x:

			

			Область определения функции: D(f)=R;

							Область значений: E(f)= (0; π );

							Функция не является ни четной, ни нечетной;

							Нули функции: arctg x = 0 при x = ; 

							a) нет вертикальных асимптот

							          

							      b) наклонные асимптоты y= πn

							

							6.Функция убывает на R; 

							7.График функции y = arcctg x:

							

							

							

							

							                				                 	

							

							

	

	

	

	

						

							

				

				

					

				

				

				

	

	                                                       

	                                                           

		                                      

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Литература:

	

	Э.С. Маркович «Курс высшей математики»

	А.Г. Цыпкин «Справочник по математике»

	М.М. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко «Алгебра и анализ элементарных функций» 

	

	

	

	





- 1 -