Матанализ

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2,   -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0)  M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные -  √2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; i²=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

   Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

   Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+          

   i(b1a2-a1b2)\a2²+b2²=(a1a2+b1b2/a2²+b2²)+i* (b1a2- 

   a1b2/a2²+b2²)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

   Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ)

   r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x.

4 Zª=rª(cos Aφ+i*sin Aφ)

5 ª√Z=ª√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a-1)

Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |¹\а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

 1,1,1,1,1…1

 1,1/2,1/3…1/N

 1,-1,1,-1…(-1)ª

  Xn,n∈N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E

  lim  Xn = A

   n→∞

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε > 0 найдётся  такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна  и ограничена, то она имеет предел (сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

                         n→∞

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B                         

            n→∞            n→∞                 lim (Xn*Yn)=A*B

                                                           lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0



если Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn

                                            n→∞        n→∞

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n∈N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |≤M; n∈N 

Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn) 

          n→∞

Св-ва БМВ:

 lim αn=0 

n→∞

 lim (αn±βn)=0

n→∞

 lim (Xn*αn)=0;  если Xn-ограничена

n→∞

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X                   eª-1 ~ a

tg X ~ X                     (1+x)ª ~ ax

1 – cos X ~ X²/2         arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X         xª-1 ~  aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом. 



Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм. 

Прим:

 при каких q сходится и расходится ?

 сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |≥1

10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.

 есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N

 тогда если ∑Bk⇒ то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже.

11 Признак Даламбера 

∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l 

                                                                       n→∞

то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.

     Признак Коши

     ∑An – знакополож. ряд  lim  ª√An=q

                                              n→∞ 

     q<1 – сходится  ; q>1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

      An>0

     Признак Лейбница:

     Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и            

     предел  Аn при n→∞ =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами  х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. х-аргумент

 y=kx+b – линейная ф-ия

 y=ax²+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная ф-ия – ф-ия x=φ(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х

 Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.

y=Xª и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих  условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε

                    lim f(x)=B

                    x→x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15                lim f(x)=B

                    x→x0

Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва :

 lim c=c

x→x0

 если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c

                                      x→x0

                                       lim (f(x)*φ(x))=b*c

                                      x→x0

                                        lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)

                                      x→x0

Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b

                                       x→x0    x→x0              x→x0 

  если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать:

  (Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0       

   непрерывны сумма, разность, произведение и       

   частное(φ(х0))≠0 этих функций

Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке

16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А∈(-∞;+∞)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k≠0 ⇒ | f(x)-f(a) |<ε      | kx-b-ka+b | <ε

              | k (x-f) | <ε

              | k |*| x-a | <ε

              | x-a | < ε/| k |=δ(ε)

y=ax²+bx+c  (-∞;+∞)

17 y=Bª (B>0)

Докажем, что y=Bª непрерывна на (-∞;+∞)

 lim Bª=1

a→0

| Bª-1 | <ε     1) B=1   

                     2) B>1

-ε < Bª-1 < ε      1-ε < Bª < ε+1 

LOGb(1-ε)<a<LOGb(1+ε)

min {-LOGa(1-ε); LOGa(1+ε)}= δε

| x | < δε

LOGaB

18 y=cos x (-∞; +∞)

     | cos x – cos a | < ε

     | 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ε

     2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε

     2 | sin (x-a)/2 | < ε

     | x-a | < ε =δ(ε)

y=sin x (-∞; +∞)

y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk

y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk

19 Первым замечательным пределом называется

  lim sin x/x=1

x→x0 

20 Второй замечательный предел

  lim(1+1/a)ª=e

a→∞

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

  lim (1+a)¹’ª=e

a→0

21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

  lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

x→x0

Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0)

у=f ‘(x0)(x - x0)

Механический смысл производной: пр-ая пути по времени       s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки





22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

   Постоянный множитель можно выносить за знак  

   производной 

   (cu)`=cu`

   Производная произведения нескольких 

   дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений 

   производной каждого из сомножителей на все остальные

   (uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0 

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/v²; v≠0

   (u/c)`=1/c*u`

   (c/u)`=-cv`/v²       c=const

24 (xª)`=axªˉ¹

25 (LNx)`=1/x

     (eª)`=eª

     Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной 

     0, производная обратной ф-ии равна обратной величине 

     производной данной ф-ии 

      X`y = 1/Y`x 

26 (sin x)`=cos x

     (cos x)`=-sin x

     (tg x)`=1/cos²x

     (ctg x)`=-1/sin²x

27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

 y=(√x+5)³ y`=?

   y=u³, где u=√x+5

   по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)²(√x+5)`=3(√x+5)²/2√x

28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх

29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность ф-ии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу 

 (3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при             

      х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой      

      f(x)

   Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.    

   горизонтальной асимптотой f(x)

      Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел  

  (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

 (4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна) 

      внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает 

      (убывает) на этом промежутке

      Если при переходе через т. х0 производная 

      дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0 

      равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или 

      максимума)

 (5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в 

      разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и 

      вверх.

      Ф-ия  y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

      (a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой 

      вверх  на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)

30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки           (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

      Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при             

      х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой      

      f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках  

      разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в – 

      конечные числа

   Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.    

   горизонтальной асимптотой f(x)

      Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел  

  (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

      Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть 

      правосторонней или левосторонней

31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xª = b0+b1x+b2x²…+baxª+… это ряд в котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда. 

Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) ∑ | bn |*| x |ª

Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)

Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R≥0 что этот ряд сходится абсолютно при | x |<R и расходится при | x |>R; R – радиус сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n→∞) сходится

                                               >1 (n→∞) расходится

32 Разложение ф-ий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)ªˉ¹

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fª(x0)(x-x0)ª/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности (х-х0)

Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f ª(0)/a!*xª

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

eª=1+x+x²/2!+x³/3!+…+xª/a!+…

sin x=1+ x-x³/3+…+(-1)ª*(x²ªˉ¹)/(2a+1)!+…

cos x=1-x²/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿ*x²ⁿ/(2n)!+…

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.∫

∫dF(x)=F(x)+C

(∫f(x)dx)`=f(x)

∫αf(x)dx=α∫f(x)dx

∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)

   ∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

   5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

∫ U·dV=UV-∫VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит другой)

∫ x²·sinx dx

   x²=U                         dU=2x dx

   sin x dx =dV             V=-cos x



∫ = x²·sin x dx=-x²·cos x -∫(-cos x)2x dx=-x²·cos x+2∫x·cos x dx

   x=U                           dU=dx

   cos x dx=dV              V=sin x

∫ = x²·sin x dx=-x²cos x +2(x·sin x-∫sin x dx)= -x²·cos x+2x·sin x +2cos x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n, в противном случае дробь неправильная. 

Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:

1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рац. дробей.

3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)



Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-    

   -A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка 

    С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

    ∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ∫

 1 Вычисление площадей (Н-Лейб)

    Если на (А,В) f(x)>0 то S=∫f(x)dx

    Если на (А,В) f(x)<0 то S=-∫f(x)dx

    Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=∫[f(x)-g(x)]dx

          (действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

 2 Вычисление объёмов тел вращения

    V=π∫f²(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

 1 Формула Н-Лейб.

 2 Метод прямоугольника

     (B-A)/n=h: ∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции  ∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

    n-чётное

    ∫f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ∫ бывают 2-х видов:

  ∫-ы вида ∫(a;+∞)f(x)dx;  ∫(-∞;b)f(x)dx;  ∫(-∞;+∞)f(x)dx

  называются несобственными ∫-и 1-го рода

Если сущ. предел (b→∞) ∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞) то интеграл сходится и наоборот.

Пусть есть числовой ряд ∑Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ∫(a;∞)f(x)dx сходятся или расходятся одновременно

Если lim (x→b)f(x)=∞ или lim(x→a)f(x)=∞ то ∫f(x)dx наз. несобственным интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел 

  lim ∫(a; b-δ)f(x)dx

δ→0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)

Если сущ-ет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.

Если сущ-ет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)

2 Определение известных параметров этой ф-ии

   Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших 

   квадратов

44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представленно в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx  → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx



f(x)

f`(x)

f(x)

f`(x)

c

0

xª

axªˉ¹

x

1

x²

2x

√x

2√x

arccos x

-1/√1-x² |x|<1

1/x

-1/x²

arctg x

1/1+x²

eⁿ

eⁿ

arcctg x

-1/1+x²

aⁿ

aⁿln a

sh x

ch x

ln x

1/x

ch x

sh x

LOGaX

1/x·ln a

th x

1/ch²x

sin x

cos x

cth x

-1/sh²x

cos x

-sinx

ln(x+√(x²+1))

1/√(1+x²)

tg x

1/cos²x

arcsin x

1/√(1-x²)

ctg x

-1/sin²x

















f(x)

F(x)+C

0

C

1

x+C

x

x²/2+C

xª

xª⁺¹/a+1+C    a≠1

1/x

ln| x |+C

1/x²

-1/x+C

1/x³

1/2x²+C

1/(1+x²)

arctg x+C

1/a²+x²

1/a·arctg x/a+C a≠0

1/1-x²

1/2·ln| (1+x)/(1-x) |+C

1/a²-x²

1/2a·ln| (a+x)/(a-x) |+C a≠0

x/x²+a

1/2·ln| x²+a |+C

1/√(1-x²)

arcsin x+C

1/√(a²-x²)

arcsin x/a+C

eⁿ

eⁿ

aⁿ

aⁿ/ln a

ln x

x ln x –x +C

sin x

-cos x+C

cos x

sin x+C

tg x

-ln | cos x |+C

ctg x

ln | sin x |+C

1/cos²x

tg x+C

1/sin²x

-ctg x+C

































Понятие числа (от натур. до комплексного)

Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Возведение в степень комплексного числа

Извлечение ª из комплексного числа

Последовательность и её предел

Св-во сходящихся последовательностей (док-во)

БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ

Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)

Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)

Признаки Даламбера и Коши

Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)

Прямая и обратная функция (примеры)

Предел ф-ии в точке

Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий

Непрерывность линейной и степенной ф-ий

Непрерывность ф-ий Вª  и LOGaX

Непрерывность тригонометрической ф-ии

1-ый замечательный предел

2-ой замечательный предел и его применение для

начисления непрерывных %

Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический

смысл призводной

Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий

Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий

Понятие пр-ой. Пр-ая от Хª

Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eª)

Пр-ая от тригонометрической ф-ии.

Пр-ая от сложной ф-ии (пример)

Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл

Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.

Понятие асимптот и их нахождение

Степенной ряд и область его сходимости

Разложение ф-ий в степенные ряды

Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов

Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)

Интегрирование по частям

Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби

Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница

Применение опр. интегралов

Приближённый метод вычисления опр. интегралов

Несобственные интегралы

Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала

Экстремум ф-ий нескольких переменных

Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

44        Понятие ДУ и методы его решения.