Математический анализ

ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.



     §1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,

        НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.



     ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий

     эту точку.

     ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо,

     из которой выброшена сама точка.

     ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-

     бесконечный промежуток вида (а;+  ).

     ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу-

     бесконечный промежуток вида (-  ;b).

     ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух

     любых окрестностей +   и -  .

     Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности

     т.Хо,если для любого числа  >0 существует проколотая

     окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего

     прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .

                   >0  U    U  => ¦f(x)¦<

     Число А называется пределом ф-ции f(х) в т.Хо,если

     в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно

     представить в виде f(х)=А+ (х),где  (х)-бесконечно

     малое в окрестности т.Хо.

                       limf(x)=А



     Ф-ция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой

     окр.т.Хо эту ф-цию можно представить  в  виде:f(х)=f(х )+ (х),

     где  (х)-б.м. в окр.т.Хо.

     Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке

     имеет предел и он равен значению ф-ции.

     ТЕОРЕМА:Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке

     области определения.

        Схема:1.ф-я элементарна

              2. определена

              3. непрерывна

              4. предел равен значению ф-ции

              5. значение ф-ции равно 0

              6. можно представить в виде б.м.

     СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:

     Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б.м.-0

     Теорема#2:Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их

     сумма тоже б.м. в этой окр.

     Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ.

     проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М

     в каждой точке прок.окр.т.Хо.

                  U     M>0: ¦f(x)¦<M x U

     Теорема#3:Если  (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена

     в этой окр.

     Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:

     Если ф-ция  (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то

      (х)*f(х) -б.м. в окр.т.Хо.

     Теорема#5:О промежуточной б.м.:

     Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо и  (х)< (х)< (х)

     в окр.т.Хо U ,то  (х) -б.м. в окр.т.Хо.

     Две б.м. называются сравнимыми,если существует предел их

     отношения.

     Б.м.  (х) и  (х) в окр.т.Хо называются одного порядка,

     если предел их отношений есть число не равное 0.

     Две б.м. в окр.т.Хо называются эквивалентными,если

     предел их отношения равен 1.

     Теорема#1:Если   и   -эквивалентные б.м.,то их разность

     есть б.м. более высокого порядка,чем   и чем   .

     Теорема#2:Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого

     порядка,чем   и чем   ,то   и   есть эквивалентные б.м.

     Таблица основных эквивалентов б.м.:

     Х_0

     sinх  х

     е-1  х

     ln(1+х)  х

     (1+х) -1   х

     Асимптотические представления:

     Х_0

     sinx=x+0(x)

     e =1+x+0(x)

     ln(1+x)=х+0(x)

     (1+x) =1+ x+0(x)

     Св-во экв.б.м.:

     Если  (х) и  (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а  (х) и  (х) -экв.б.м.

     в окр.т.Хо и сущ. lim    =А,то тогда сущ. lim    и он равен А.



     §2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.



     Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim   =0,то  (х)

     называется бесконечно  малой  более  высокого порядка,чем

      (х).   (х)=о( (х)).

     Замечание:Если  (х)-более высокого порядка,чем  (х),

     то  (х)=о(k (х)),k=0

     Теорема БЕЗУ:Если  -корень многочлена,то многночлен

     делится без остатка на (х- ).



     §3 ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.



     ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля:

     Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то

     А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.

     Замечание:Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.

     ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции,

               имеющей предел:

     Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена

     в окрестности этой точки.

     ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями,

               имеющих предел.

     Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:

                      lim f(х)=А



                      lim f(х)=B,то



     тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.

           2.сущ.предел их произведения и он равен

             произведению пределов.

           3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен

             отношению пределов.

ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:

       Т.1:Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,

           то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.

           Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,

           то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.

       Т.2:Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в

           некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.

       Т.3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:

                        lim f(х)=А



                        lim f(х)=В и



           f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и

           пределы А<В.

       Т.4 о пределе промежуточной ф-ции:

           Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел

           А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.

           окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.

     ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной

               ф-ции:

     Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет

     предел в т.Хо,и предел ф-ции  (х) равен Uо,то тогда

     сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел

     равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции

     от предела  .f[ (х)]=flim (х).



     §4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.



     ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется ф-ция,область

     определения которой -натуральные числа.

     Формула НЬЮТОНА-бинома:

                           (a+b)=  с a b

     c=n!/k!(n-k)!

     c -кол-во сочетаний из n по k.

     n!=1*2*3*...*n

     СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного

     множества,в частности рассматривают сочетания множества

     из n-элементов по k-элементов.

     Замечание: 0!=1

     Таблица биномиальных коэффициентов:

     n=1           1   1

     n=2         1   2   1

     n=3       1   3   3   1

     n=4     1   4   6   4   1

     n=5    1  5   10  10  5  1

     n=6   1  6  15  20  15  6  1



     lim(1+x) =e



     §5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В

       БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.

     Ф-ция f(х) называется бесконечно большой в окр.т.Хо,если

     1/f(х) будет б.м.

     Асимтоты:

     Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от

     т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда

т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда

     растояние от  т.М до фиксированной т.О стремится в беско-

     нечность.

     Асимтоты графиков ф-ции:

     Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при

     х_+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при

     х_+ .

     Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка

     ф-ции f(х) при х_+ ,необходимо и достаточно существование

     предела при х_+  f(х)/х=k и сущ.предела при х_+

     [f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то

     ас-ты нет.

     Исследование поведения ф-ции в окр.точки

     разрыва.Классификация точек разрыва:

     0:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА-точка, в которой ф-ция имеет

     предел,но не является непрерывной.

     1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА-точка,в которой ф-ция имеет

     предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.

     2:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА-точка,которая не является

     точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.



     §6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.



     ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,

     т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,

     имеющих предел,распространяются на непрерывные.

     Свойства:если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше

     нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.

     в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.

     ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:

     Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она

     непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в

     т.А справа и в т.В слева.

                    lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)



     ТЕОРЕМЫ КОШИ:

     Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах

     отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),

     то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.

     Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.

     принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого

     числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.

     [a;b],такая что f(С)=Q.



     ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:

     Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.

     числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я

     ограничена)

     Теорема#2:Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.

     точки x и x  [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой

     точке этого отрезка.



ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.



     §1.ПОНЯТИЕ  ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ  ОПЕРАЦИИ  НАД  ВЕКТОРАМИ И СВ-ВА.



Отрезок AB называется направленным,если указана,какая из

     точек A и B явл.началом,а какая концом.

     Два направленных отрезка называются равными,если они лежат

     на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют

     одинаковые длины,т.е.если один получается из другого  парал.

     переносом.

     Вектором называется направленный отрезок.

     Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой

     или на парал. прямых.

     Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или

     парал. пл-тях.

     Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало

     которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b,

     при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.

     Произведением а на число   называется вектор,обозначенный

      а,такой что:

                  1.¦ a¦=¦ ¦*¦a¦

                     a=0,если  =0

                  2. а¦¦а

                     а¦¦а,если  >0

                     а¦¦а,если  <0

     СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:



     1.Коммутативность:

       Для любых а и b:а+b=b+a

     замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить

     как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,

     причем начало всех трех векторов совмещены.

     2.Ассоциативность:

       Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)

     замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а

     нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора

     с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая.

     3.Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а:

       а+0=а.

     4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.-а,

     такой что а+(-а)=0

     5.Для всех а:1*а=а

     6.Для любого а и любых чисел   и   :( * )*а= ( а)= ( а)

     7.Для любого а и любых чисел   и   :( + )*а= а+ а

     8.Для любых а и b и любого числа  : *(а+b)= а+ b

     Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b))

     Если даны векторы а ,а ,...,а  и числа   ,  ,...,  ,то вектор

       а +  а +...+  а  -называется линейной комбинацией векторов

     а ,а ,...,а  с коэффициентами   ,  ,...,  .

     Множество,для элементов которого определены операции (сложения

     и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в

     (аксиом) называется линейным пространством.



     §2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.



Система векторов а ,а ,...,а  называется линейно зависимой,если

     хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация

     остальных векторов этой системы.

       ИЛИ

     Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а  была линейно  зависи-

     мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа   ,  ,...,  ,

     не равные 0,такие что линейная комбинация   а +  а +...+  а

     равнялась нуль-вектору.

     Система векторов называется линейно не зависимой,если она не  яв-

     ляется линейно зависимой,т.е.  ни один вектор этой системы не яв-

     ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-

     бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда

     все коэффициенты равны 0.

     Размерностью линейного пространства называется максимальное число

     линейно не зависимых векторов.

     Базисом называется  линейно  независимая  система  векторов,такая,

     при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может

     быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

     Теорема единственности:

     Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому

     базису единственно:

                        а=  е +  е +  е

     Если дан  базис  е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по

     этому базису называются координатами.

                        а=(  ,  ,  )

     замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные

     координаты.

     Условие коллинеарности:

                              /  =  /  =  /

     замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство

     нужно понимать так,что в числителе тоже 0.

     Каноническое ур-е прямой:

                       x x /m=y-y /p=z-z /q



     §3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ  ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

        СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.



     Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший

     угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в

     направлениях этих векторов.

     Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число

     равное произведению модуля а на cos угла между ними.

                      Пр а=¦а¦*cos a,b

           Св-ва:     Пр (а+b)=Пр а+Пр b

                      Пр (ka)=kПр а

     Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между

     основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.

     Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту

     точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.

     Скалярным произведением а и b называется число равное произведению

     длин этих векторов на cos угла между ними.



     CВ-ВА:

     1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b

     2.коммутативность: (а,b)=(b,а)

     3.билинейность:

                    3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)

                         (а,b +b )=(а,b )+(а,b )

                    3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)

     Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений

             соответствующих координат.

                         (а,b)=x x +y y +z z

     Приложения:

1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)

     2.(а,b)=0<=>а_b

     3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦

     4.Пр а=(а,b)/¦b¦



     Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые

     вектор образует с векторами базиса i,j,k.

                          cos  =x/¦a¦

                          cos  =y/¦a¦

                          cos  =z/¦a¦



     cos  +cos  +cos  =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1.



     §4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.

     Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,

     содержащая m строк и n столбцов.

     Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой

     число строк равно числу столбцов и равно n.

     Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое

     определителем матрицы.

     Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное

     алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов

     матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,

     причем перед каждым произведением по определенному правилу

     ставится знак "+" или "-".

     Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то

     ставится "+",а где-то "-".

     Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца

     образуют главную диагональ матрицы.

     Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими

     номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица-

     транспортированной.



     СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

     1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.

     2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее

      определитель умножится на -1.

     3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов

      какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

     4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы

      умножить на число k, то ее определитель умножится на k.

     5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы

      представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы

      равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки

      стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки

      у всех трех определителей одинаковы.

     6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке

      (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

     7.Если элементы одной строки умножить на  соответствующие

       алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.

     8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-

       нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки

       стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные

       строки совпадают со строками данного определителя.



     Минором,соответствующим элементу матрицы а  ,называется определитель

     матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку

     и столбец,в которых стоит а  .

     Алгебраическим дополнением элемента а   называется число равное

                               А  =М  *(-1)



     Достаточные признаки

     равенства нулю

     определителя:

     1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно

      нулю,то определитель равен 0.

     2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее

      определитель равен 0.

     3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы

      которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.



     Необходимое и достаточное

     условие равенства нулю

     определителя:

     Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и

     достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.



     §5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.



     Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены,

     называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору

     b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В

     противном случае тройка называется левой.

     СВ-ВА ориентированных троек векторв:

     1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.

       Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при

       цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.

     2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если

       поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки

       изменится.

     Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:

       1.если а и b коллинеарны (а¦¦b),то их векторное произведение

         с=[a,b]=0.

       2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,

         т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую

         сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного

         произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,

         построенного на векторах а и b.

     СВ-ВО векторного произведения:

       1.[a,b]=0 <=>a¦¦b.

       2.Антикоммутативность:

           [a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].

       3.Билинейность:

           3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]

               [a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].

           3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].



                                 ¦i j k¦

                           [a,b]=¦x y z¦

                                 ¦x y z¦



     Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти.

                   Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)



     Углом между  двумя  пл-тями называется угол между их нормальными

     векторами.

     Углом между  прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее

     проекцией на пл-ть,sin этого угла   равен cos  ,где   -угол между

     направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.

     Смешанным произведением векторов a ,b ,c  называется число,равное

     скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на

     вектор с.

                         ([a,b],c)

     Геометрический смысл

     смешанного произведения:

     1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение

     равно 0.

     2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе-

     ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,

     причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-

     вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.



     СВ-ВА смешанного

     произведения:

     1.([a,b],c)=(a,[b,c])

       ([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.

       (a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.

     Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же

     и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-

     ция троек не меняется).

     Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить:

                         (a,b,c)=([a,b],c)

     2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)

     3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0

     4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0

     5.Трилинейность:

                  5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)

                  5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)

     Вычисление смешанного

     произведения:

                  a=(x ,y ,z )

                  b=(x ,y ,z )

                  c=(x ,y ,z )

                            ¦x y z¦

                  ([a,b],c)=¦x y z¦

                            ¦x y z¦

     §6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

     

     Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.

     У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.

     Угловым коэффициентом прямой,  не парал-ной оси y называ-

     ется число k,  равное tg угла, на который нужно повернуть

     против часовой  стрелки положительную часть оси х,  чтобы

     она стала парал-ной данной прямой.

                             tg =(k -k )/1+k k

     Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0

     Для параллельных прямых:k =k



ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.

     

     §1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

     

     Ф-ция f(х)  называется  дифференцируемой в т.Хо,  если ее

     приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде

     Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м.,  не зависящая от х,  Q( х)

     -б.м. более высокого порядка, чем  х.

                         Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х

     Этот предел называется производной ф-цией в точке  и  обозначается

     f'(х ).

     Производной ф-цией f(х) в т.Хо называется предел  отноше-

     ния приращения  ф-ции  к  приращению  аргумента х,  когда

     х_0.

     (х )'= х

     (a )'=a lna, ((e )'=e )

     (log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)

     sin'x=cosx

     cos'x=-sinx

     tg'x=1/cos x

     ctg'x=-1/sin x

     arcsin'x=1/ 1-x

     arccos'x=-1/ 1-x

     arctg'x=1/1+x

     arcctg'x=-1/1+x

     sh'x=chx      (shx=e -e /2)

     ch'x=shx      (chx=e +e /2)

     th'x=1/ch x   (thx=shx/chx)

     cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)

     

     f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),

     слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от  х,  и  если

     f'(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с  х.

     Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно

     называется дифференциалом ф-ции в т.Хо.

     Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в  т.Хо  называется

     главная часть приращения, линейно зависящая от  х.

                          df=f'(x ) x

     Асимтотическое представление:

                                f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)

     f(x + x)=f(x )+df

     

     §2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

     1. Если ф-ция f(x) тождественна const,  то ее производная

     тождественна 0.

                    (C)'=0

     2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то:

        1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и

           ( u+ v)'= u'+ v'

        2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)'=u'v+uv'

                           (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

        3) если кроме того v(x )=0, то отношение

                           (u/v)'=u'v-uv'/v

     3. Правило дифф. сложной ф-ции.

        f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u =>

        f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )