Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Контрольна робота

З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика











Прізвище,ім’я, по-батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прізвище та ініціали викладача

Степахно Ірина Василівна











Київ 2009 рік


Зміст



Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Список використаної літератури


Завдання 1



В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля: 

а) жовта; б) синя.

Розв’язання:

Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:



а) Рч = 36/50 = 0,72



Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:



б) Рс = 14/50 = 0,28.



Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.



Завдання 2



Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.

n=300; p=0,05; m1=25; m2=60

n=500; p=0,05; m1=10; m2=250

Розв’язання:

Якщо випадкова величина попадає в інтервал . 

Позначимо шукану імовірність Рn (m). 

Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:







Позначимо через Вm складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис  буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те







Подія Вm можна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює  Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати  способами. Отже,











Завдання 3



Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ Х.



Х

1

3

5

7

11

p

0,10

0,15

0,42

0,25

0,08



Розв’язання.

а) Математичне сподівання величини визначається як:







Запишемо результати в таблиці. 

Х

1

3

5

7

11

P

0,10

0,15

0,42

0,25

0,08

Х*Р

0,10

0,45

2,10

1,75

0,88







б) Дисперсія визначається як: 

Х

1

3

5

7

11

Р (Х) 

0,10

0,15

0,42

0,25

0,08

Х - М (Х) 

-4,28

-2,28

-0,28

1,72

5,72

 (Х - М (Х)) 2

18,32

5, 20

0,08

2,96

32,72

P (Х) * (Х - М (Х)) 2

1,83

0,78

0,03

0,74

2,62







Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =6,00.

в) середнє квадратичне відхилення δх знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.






Завдання 4



Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ Х. n=3; p=0,5

Розв’язання.

Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:







Підставивши значення параметрів, отримаємо:







Запишемо ряд розподілу цієї величини:





Таблиця 1

m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pn (m) 























Таблиця 2

Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pn (Х) 

1.29E-01

9.68E-03

4.84E-04

1.82E-05

5.45E-07

1.36E-08

2.92E-10

5.47E-12

9.12E-14

1.37E-15





Рис.1. Графік біноміального розподілу



а) Математичне сподівання величини визначається як:







Запишемо результати в таблиці 3.



Таблиця 3

Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pn (Х) 

1.29E-01

9.68E-03

4.84E-04

1.82E-05

5.45E-07

1.36E-08

2.92E-10

5.47E-12

9.12E-14

1.37E-15

ХP (Х) 

1.29E-01

1.94E-02

1.45E-03

7.26E-05

2.72E-06

8.17E-08

2.04E-09

4.38E-11

8.21E-13

1.37E-14







б) Дисперсія визначається як:






Таблиця 4

Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Сума

Х-M (Х) 

0.850

1.850

2.850

3.850

4.850

5.850

6.850

7.850

8.850

9.850

53.500

 (Х-M (Х)) 2

0.723

3.423

8.123

14.823

23.523

34.223

46.923

61.623

78.323

97.023

368.725

Pn (Х) 

0.129

0.010

4.84E-04

1.82E-05

5.45E-07

1.36E-08

2.92E-10

5.47E-12

9.12E-14

1.37E-15

0.139

 (Х-M (Х)) 2P (m) 

0.093

0.033

3.93E-03

2.69E-04

1.28E-05

4.66E-07

1.37E-08

3.37E-10

7.14E-12

1.33E-13

0.131



Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.



D (Х) =0,131.



в) середнє квадратичне відхилення δх знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.







Завдання 5



Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.

a=5



x

1

2

4

5

f (x) 

0,033

0,081

0,081

0,033



a=2



x

0,5

1

3

3,5

f (x) 

0,13

0,24

0,24

0,13



Розв’язання.

а) М (Х) =5.

Нормальний закон розподілу описується формулою:







Знайдемо середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія визначається як:



,



де М (Х) - математичне сподівання.

Математичне сподівання обчислюється за формулою:







Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.



Таблиця 5

Допоміжні розрахунки











Сума

x

1

2

4

5

12,00

f (x) 

0,033

0,081

0,081

0,033

0,228



16,000

9,000

1,000

0,000

26,000



0,528

0,729

0,081

0,000

5,928

Отже, D (X) = 5,928







Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:







б) М (Х) =2.

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.



Таблиця 6

Допоміжні розрахунки











Сума

x

0,5

1

3

3,5

8,00

f (x) 

0,13

0,24

0,24

0,13

0,74



2,25

1

1

2,25

6,50



0,29

0,24

0,24

0,29

1,07



Отже, D (X) = 1,07.







Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:






Завдання 6



Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).

скласти варіаційний ряд вибірки.

побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.

обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Розв’язання.

Складемо варіаційний ряд.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

73

68

70

65

73

71

66

69

78

70

67

67

67

76

71

72

68

74

73

70



Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:



,



де і  - відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин.



; ; n = 4.

.


Таблиця 7

І

ІІ

ІІІ

ІV

65,00 - 68,25

68,25 - 71,50

71,50 - 74,75

74,75 - 78,00

65

66

67

67

67

68

68

69

70

70

70

71

71

72

73

73

73

74

76

78

f=7

6

5

2

S=7

13

18

20



Побудуємо гістограму розподілу.





Рис.1. Гістограма розподілу



Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів





Рис.2. Полігон частот



3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Мода Мо - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.

Мода визначається, як:



,



де хо та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;

 - частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.

З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа xo=65,00, частота fmo=7, передмодальна частота fmo-1=0, післямодальна частота fmo+1=6. Маємо:







Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:



,



де fme - частота медіанного інтервалу;

Sfme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:







В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.

Кумулятивна частота Sme3 = 13, Sme2-1 = 7, fme = 6, хо = 68,25, h=3,25.

Підставивши у (2.2), маємо:







Середнє арифметичне  обчислюється за формулою:







Дисперсія обчислюється за формулою:







Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.











Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу.



,



де  - центральний момент четвертого порядку.

У нашому випадку:







Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.

Результати обчислень наведені у табл.8.



Таблиця 8



65,00 - 68,25

68,25 - 71,50

71,50 - 74,75

74,75 - 78,00

Сума

x

66.63

69.88

73.13

76.38

286.00

x2

4 438.89

4 882.52

5 347.27

5 833.14

20 501.81

f

7

6

5

2

20.00

S

7

13

18

20

58.00

dj

0.35

0.30

0.25

0.10

1.00

xjdj

23.32

20.96

18.28

7.64

70.20

xj2dj

1 553.61

1 464.75

1 336.82

583.31

4 938.50

 (xcp-m) 3

-45.69

-0.03

25.03

235.46

214.76

 (xcp-m) 3dj

-15.99

-0.01

6.26

23.55

13.80

 (xcp-m) 4

163.34

0.01

73.20

1 453.94

1 690.50

 (xcp-m) 4dj

57.17

0.00

18.30

145.39

220.87



Завдання 7

Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:



xi

2

5

9

11

12

15

18

19

21

mi

1

2

3

8

19

18

16

13

9





Рис.1.



Нормальний розподіл задається функцією:







Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).



.



Таблиця 9.1

xi

2

5

9

11

12

15

18

19

21

Всього

mi

1

2

3

8

19

18

16

13

9

89

pі

0,01

0,02

0,03

0,09

0,21

0, 20

0,18

0,15

0,10

1,00

Σхірі

0,02

0,11

0,30

0,99

2,56

3,03

3,24

2,78

2,12

15,16

 (хі - хср) 

-13,16

-10,16

-6,16

-4,16

-3,16

-0,16

2,84

3,84

5,84

-24,42

 (хі - хср) 2

173,11

103,17

37,91

17,28

9,97

0,02

8,08

14,77

34,14

398,46



За методом χ2-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал hk від теоретичного їх числа fpk, де pk -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.

Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:



,



де -квантиль χ2-критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3;



pj=F (bk - ak) = - 



теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал

Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: .



Таблиця 9.2

Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл 

k

Значення

pk

fj

 (fj-npk) /npk

1

2

0,425

1

0,177

2

5

0, 193

2

1,077

3

9

0,092

3

2,619

4

11

0,073

8

8,971

5

12

0,067

19

22,579

6

15

0,060

18

18,997

7

18

0,066

16

12,523

8

19

0,071

13

8,651

9

21

0,088

9

3,856

Сума

112

1,134

89

79,451





Рис.1. Емпіричні дані розподілу



=== 10,48773.



Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується.


Список використаної літератури



Дідиченко М.П. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - Харків, 1996. - 208 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. для студ. вузов. - 7. изд., стереотип. - М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.

Задорожня Т.М., Коляда Ю.В., Мамонова Г.В. Збірник задач з теорії ймовірності та математичної статистики (для студентів економічних спеціальностей): Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Державна податкова адміністрація України; Академія держ. податкової служби України. - Ірпінь: Академія ДПС України, 2001. - 76 с.

Колемаев В.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. Учеб. пособие. - М.: ГУУ, 2001. - 87 с.

Малайчук В.П., Петренко О.М., Рожковський В.Ф. Основи теорії ймовірності і математичної статистики: Навч. посібник / Дніпропетровський національний ун-т. - Д.: РВВ ДНУ, 2001. - 163 с.

Салтыкова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / Восточный ин-т экономики, гуманитарных наук, управления и права. - Уфа: Восточный университет, 2001. - 77 с.

Тимченко Л.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів економічних спеціальностей. Харків: ХДПУ, 1999. - 140 с.

Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учеб. - практ. пособие / Государственный комитет РФ по статистике; Межотраслевой ин-т повышения квалификации руководящих работников и специалистов в области учета и статистики - М.: МИПК учета и статистики, 2001. - 232 с.

Фетисова Т.М., Тарасова О.Ю., Потапов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие по решению задач / Южно-Уральский гос. ун-т. Златоустовский филиал. Кафедра высшей математики №3. - Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. - 82 с.

Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. естеств. спец. вузов. - Минск: Новое знание, 2000. - 206 с.

Филиппенко В.И. Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие по курсу "Теория вероятностей" / Криворожский гос. педагогический ин-т. - Кривой Рог, 1993. - 40 с.