Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел


Зміст



Введення

Розділ 1.Вихідні визначення

§1. Порядкові визначення

§2. Топологічні визначення

Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості

§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи

§3. Порядковий тип

§4. Властивості ординальних чисел

§5. Простір ординальних чисел W( 1) і його властивості

Висновок

Список літератури


ВВЕДЕННЯ

ординарний число упорядкований множина

Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).

Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.

Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.

Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.


РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми



§1. ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.



Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку , що:



рефлексивно: а  a;

транзитивне: a  b  c  a  c;

антисиметричне: a  b  a  a = b ( для будь-яких a, b, c X ).

Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо



а < b, a = b або b < a.



Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a  b і a  b.

Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.

Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А Х, якщо а А и а  х

(х  а) для будь-якого х А.

Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х  а (а  х) для деякого х , те х = а.

Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.

Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).

Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.

Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.

Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.

Визначення 1.10. Нехай <X, > - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо

(a, b) = {x X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина [a, b] = { x X : a  x  b} називається відрізком у Х.

Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.

Визначення 1.12. Нехай М и М1 – упорядковані множини й нехай f – взаємно однозначне відображення М на М1. Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a  b ( a, b M ), треба, що f (a)  f (b) (у М1). Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщо співвідношення f (a)  f (b) виконано в тім і тільки в тому випадку, якщо a  b. При цьому множини М и М1 називаються ізоморфними між собою.



§2. ТОПОЛОГІЧНІ ВИЗНАЧЕННЯ



Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х, ), що складається із множини Х и деякого сімейства  підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:

множина Х и  належать  ;

перетинання кінцевого числа множин з  належать ;

об'єднання будь-якого числа множин з  належить .

Умови 1 – 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству , називаються відкритими в Х. Сімейство  відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.

Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.

Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.

Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.

Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.

Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).

Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.

Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.

Визначення 1.20. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне його нескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.

Визначення 1.19 і 1.20 рівносильні ([5]).

Визначення 1.21. Простір  називається компактификацією топологічного простору Х, якщо:

1)  компактно;

2) Х – підпростір ;

3) Х щільно в.

Визначення 1.22. Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різних крапок х1, х2 існує відкрита множина , таке, що х1 і х2 .

Визначення 1.23. Якщо будь-які дві різні крапки х и в топологічного простору Х мають непересічні околиці, то простір Х називається хаусдорфовим простором або Т 2-простором.

Визначення 1.24. Топологічний простір Х називається регулярним простором, або Т 3-простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого  й кожного замкнутої множини , такого, що , існують відкриті множини U1 і U2, такі, що 1, 2 і U1 U2 = .

Визначення 1.25. Топологічний простір Х називається тихоновським простором, або Т3 - простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого  й будь-якого замкнутої множини , такого, що , існує безперервна функція f: , така, що f(x)=0 і f(y)=1 для .

Визначення 1.26. Топологічний простір Х називається нормальним, або Т 4-простором, якщо для кожної пари непересічних замкнутих множин А и В існують непересічні відкриті множини U і V такі, що А U, B V.


РОЗДІЛ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел



§1. ЦІЛКОМ УПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ І ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ



Розглянемо цілком упорядковані множини і їхні властивості.

Пропозиція 1.1. Усяка підмножина цілком упорядкованої множини саме є цілком упорядкована множина (очевидно).

Пропозиція 1.2. Якщо f – ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в себе, то для будь-якого елемента х А виконується нерівність f (x) x. (1)

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в А є елементи х, не задовольняючій нерівності (1). Тоді серед цих елементів є найменший, тому що А є цілком упорядкованим. Позначимо його через х1 : f (x1)<x1. Позначимо f (x1) = x0 і перепишемо нерівність: х0<х1. Тому що f – ізоморфізм, то виконується нерівність: f(x0)<f (x1) = x0.

Таким чином, одержали наступні нерівності: х0 < x1 і f (x0) < x0 . Ці нерівності суперечать визначенню елемента х1, як найменшого з елементів х множини А, не задовольняючій умові f (x) < x. :

Визначення 2.1. Початковим відрізком, що відтинається елементом а А від лінійно впорядкованої множини А, називається множина Аа = {x | x  A, x < a}.

Пропозиція 1.3. Нехай А’ – довільна підмножина цілком упорядкованої множини А. Тоді множина А не ізоморфно ніякому відрізку множини А’.

Доказ:

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що існує ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в деякий відрізок Ах’ підмножини А’ А. Тоді f (x)  Ax’. Отже, f (x) < x – протиріччя із пропозицією 1.2. ■

Наслідок 1.4. Два різних відрізки цілком упорядкованої множини не можуть бути ізоморфні між собою.

Доказ.

Нехай Ах і Агов – два різних відрізки цілком упорядкованої множини А. Тому що Ах і Агов різні, а множина А – цілком упорядкована, те х и в порівнянні, при цьому х в. Нехай для визначеності x < y. Тоді Ах – відрізок множини Агов і за пропозицією 1.3 Ах і Агов не можуть бути ізоморфними. :

Пропозиція 1.5. Існує не більше одного ізоморфізму однієї цілком упорядкованої множини на інше.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що f і g – два різних ізоморфізми цілком упорядкованої множини А на цілком упорядковану множину В. Тому що f і g різні, то існує а А: b = f (a)  b’ = g (a). Нехай для визначеності b < b’. При всякому ізоморфізмі f множини А на множину У відрізок Ах  А переходить у відрізок Ву  В, де в = f (х). Тому відрізок Аа А подібний до відрізків

Вb  У и Вb’  B, тобто Bb ізоморфний Aa і Аа ізоморфний Вb’. Отже, відрізок Вb ізоморфний відрізку Bb’ , але це суперечить наслідку 1.4. ■

Визначення 2.2. Якщо для елемента а  А існує елемент а' =

= inf {x | a < x, x  A}, те а' називається безпосередньо наступним за а.

Пропозиція 1.6. Якщо А – цілком упорядкована множина, то в кожного елемента множини А, крім найбільшого, є безпосередньо наступний за ним елемент.

Доказ.

Візьмемо деякий елемент а А, нехай а не є найбільшим елементом. Розглянемо множину {x | x  A, x > а}. За пропозицією 1.1 воно має найменший елемент а', що є точною нижньою гранню розглянутої множини. Отже, а' треба за а. :


§2. КІНЦЕВІ ЛАНЦЮГИ І ЇХНІ ПОРЯДКОВІ ТИПИ



Пропозиція 2.1. Множина з n елементів можна лінійно впорядкувати n! способами.

Доказ.

Для доказу досить застосувати формулу числа перестановок для n-елементної множини: Рn=n! :

Пропозиція 2.2. Будь-яке кінцеве лінійно впорядкована множина є цілком упорядкованою множиною.

Доказ.

Нехай є множина А – кінцеве лінійно впорядкована множина. Треба довести, що А є цілком упорядкованим, тобто будь-яку його підмножину має найменший елемент. Розглянемо довільну множину В, що є підмножиною множини А. Припустимо, що воно не має найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то в ньому є елемент b2, такий, що b2 < b1. Елемент b2 не є найменшим елементом в В, тому є елемент b3<b2. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного натурального n елемент bn+1  B, причому bn+1 < bn.

Таким чином, одержали нескінченну множину {b1, b2, . . . ,bn, . . } , але це суперечить тому, що В – підмножину кінцевої множини А и, отже, саме є кінцевим. :

Пропозиція 2.3. Будь-які два кінцеві ланцюги, що складаються з n елементів, ізоморфні.

Доказ.

нехай є два кінцеві ланцюги з n елементів:

a1 < a2 <…<an,

b1<b2<…<bn.....

Для кожного аi покладемо f (ai) = bi. Очевидно, що відображення f є ізоморфізмом. :

Зауваження: нескінченні лінійно впорядковані множини однакової потужності можуть і не бути ізоморфними. Наприклад, множина натуральних чисел і множина цілих чисел із природними порядками. Потужності цих множин рівні, але вони не є ізоморфними, тому що в N є найменший елемент, а в Z найменшого елемента немає.

Визначення 2.3. Порядковим типом лінійно впорядкованої множини А називається клас всіх лінійно впорядкованих множин, ізоморфних множині А.

Будемо вважати, що порядковий тип порожньої множини є 0.

Позначимо через n порядковий тип n - елементної множини

Nn = {0, 1, 2,…,n-1}с порядком 0 < 1 < 2 <...< n-1.



§3. ПОРЯДКОВИЙ ТИП 



Визначення 2.4. Множина натуральних чисел із природним порядком і всі ізоморфні йому лінійно впорядковані множини називаються множинами порядкового типу .

Пропозиція 3.1. Нескінченне лінійно впорядкована множина А має порядковий тип  тоді й тільки тоді, коли воно задовольняє наступним умовам:

у множині А є найменший елемент a0;

для будь-якого а А існує точна нижня грань а' у множині {x | a < x, x  A};

3) для будь-якої підмножини Х множини А з того, що а0 Х и Х

містить разом з кожним своїм елементом безпосередньо наступний за ним елемент, треба, що Х = А.

Доказ.

 Нехай лінійно впорядкована множина А задовольняє умовам 1)- 3). Доведемо, що А має порядковий тип , тобто А ізоморфно множині N.

З умови (1) треба існування в множині А найменшому елементі а0.

Розглянемо відображення f: N  A, задане в такий спосіб: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))’, де n = 0, 1, 2,…Існування (f (n))’ для кожного n забезпечується умовою (2). Тоді внаслідок умови (3) f(N)=A. Таким чином, f інвективне й сюрективне, отже, взаємно однозначно.  Доведемо, що f зберігає порядок: візьмемо n, m  N, нехай для визначеності n < m . З умови (2) треба, що f (n) < (f (n))’  f (m),

тобто f (n) < f (m). Отже, f зберігає порядок.

Таким чином, f – взаємно однозначне відображення N  A, що зберігає порядок. Отже, множина А має порядковий тип .

 Нехай є нескінченне лінійно впорядкована множина А, що має порядковий тип . Множина N задовольняє умовам 1) – 3), а множина А ізоморфно йому, тому й множина А задовольняє умовам 1) – 3). :

Визначення 2.5. Порядковим типом * називається клас лінійно впорядкованих множин, еквівалентних множині N із двоїстим порядком: 1 > 2 > 3 >…

Пропозиція 3.2. упорядкована множина є цілком упорядкованим тоді й тільки тоді, коли воно не містить підмножину типу *.

Доказ.

 Припустимо, що цілком упорядкована множина А містить підмножину Х типу *. Тоді в Х немає найменшого елемента, що суперечить цілком упорядкованості множини А. Отже, в А немає підмножин типу *.

 Нехай множина А не містить підмножина типу *. Доведемо, що А є цілком упорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А містить підмножина В, у якому немає найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В, позначимо його b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то існує елемент b2 , для якого b2 < b1. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного n N елемент bn+1  B, причому:

bn+1 < bn.

Одержали множину {b1, b2, … , bn, ... . .} яке є підмножиною множини А и має тип * - протиріччя. :



§4. ВЛАСТИВОСТІ ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ



Про ізоморфні між собою лінійно впорядковані множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковий тип.

Із часів Кантора порядкові типи цілком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами (ординалами). Порядкові типи нескінченних цілком упорядкованих множин називаються трансфинитными числами (трансфинитами).

Визначення 2.6. Порядкове число  менше порядкового числа  ( ), якщо яке-небудь цілком упорядкована множина типу  ізоморфно деякому відрізку якого-небудь цілком упорядкованої множини типу .

Нехай  - деяке ординальне число. Позначимо W( ) – множина всіх ординальних чисел, менших .

Теорема 4.1. Відношення  < , установлене для ординальних чисел, перетворює множина W( ) всіх ординальних чисел, менших даного ординального числа , у цілком упорядковану множину типу .

Доказ.

З визначення 2.6 треба, що множина W ( ) перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною всіх відрізків Ах довільно обраної множини А типу ; тому що відрізки Ах взаємно однозначно відповідають елементам х  А, те маємо взаємно однозначна відповідність  = f (х), х  А,   W( ) між множиною W( ) і множиною А типу . При цьому відповідності з х < x’ в А треба, що Ах є відрізок множини Ах’ , виходить,  = f (x) <  = f (x’) в W ( ), і обернено. :

Визначення 2.7. Пари (А, В) непустих підмножин лінійно впорядкованої множини Х називається перетином множини Х, якщо:

А  В = Х;

2) А  В = ;

3) для будь-яких х  А и в  У виконується нерівність х < в.

Теорема 4.2. Для будь-яких двох ординальних чисел  і  завжди здійснюється одне й тільки одне із трьох випадків: або  < , або  = , або  > .

Доказ.

Нехай дані два ординальних числа  й . З визначення 2.6 і пропозиції 1.4 треба, що  й  можуть задовольняти не більш, ніж одному із трьох відносин:  = ,  < ,  > .

Позначимо через D множина W ( )  W ( ). Ця множина є цілком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через . Доведемо нерівності , . Досить довести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маємо D  W ( ). Якщо D = W ( ), тобто  порядковий тип множини W ( ), тобто  = . Нехай D  W ( ). Розбивка W ( ) = D (W( )\D) є перетин у цілком упорядкованій множині W ( ). Справді, нехай х  D, в  W ( )\D. Тому що W ( ) лінійно впорядковане, те або х < y, або в < х. Покажемо, що другий випадок неможливий. Дійсно, тому що х W ( ), х W ( ), те одночасно х <  і х < . Якби було в < х, то було б в < , в < , тобто в  D. Отже, доведено, що х < у для будь-яких х  D, в  W ( )\D, а це й означає, що (D, W ( )\D) є перетин в W ( ). Нехай  <  є перший елемент в W ( )\D. Тоді відрізок, що відтинається в W ( ) елементом , збігається з D, тобто  є порядковий тип множини D,  =  і  < .

Аналогічно доводиться, що .

Однак, нерівності  <  і  <  не можуть бути виконані одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б D, так що  було б типом відрізка множини D і не могло б бути типом усього D.

Таким чином, є лише наступні можливості:

1)  = ,  =  і, виходить,  = ;

2)  = ,  =  і, виходить,  < ;

3)  < ,  =  і, виходить,  < . :



Теорема 4.3. Будь-яка множина А, що складається з ординальних чисел, цілком упорядковано.

Доказ.

Лінійна впорядкованість множини А треба з теореми 4.2. Залишається довести, що будь-яка непуста множина A’  А має найменший елемент.

Візьмемо який-небудь елемент а'  A’. Якщо а' – найменший із чисел

х  А’, те все доведено. Якщо ж ні, то перетинання W (a’)  A’ непорожньо й, будучи підмножиною цілком упорядкованої множини W (a’), містить перший елемент а. Ординальне число а і є найменшим елементом в A’. :

Визначення 2.8. Нехай є дві впорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементів. Розглянемо множину А В, що складається із всіх елементів а А и b B. Перетворимо множину А В у впорядкована множина А+В, увівши в нього порядок у такий спосіб: якщо а<a’ в A або b<b’ в В, те ті ж відносини зберігаються в А+В; якщо ж а А, b В, те покладемо a<b в А+В. Упорядковане в такий спосіб множина А+У називається порядковою сумою впорядкованих множин А и В. Якщо  і  є порядкові типи множин А и В, то порядковий тип множини А+У називається сумою + порядкових типів  і .

Теорема 4.4. Нехай  - яке-небудь ординальне число. Тоді +1 є ординальне число, що безпосередньо випливає за .

Доказ.

Нехай А – яке-небудь цілком упорядкована множина типу . По визначенню додавання порядкових типів множина А’ типу +1 одержимо, якщо приєднаємо до А новий елемент а', що випливає за всіма елементами а А. Тоді A = A’a’, тобто  < +1.

Усяке ординальне число ’< +1 є типом деякого відрізка Аx’ множини A’. Але якщо х = а', те Аx’ = A’a’ = A і ’ = ; якщо ж x = a < a’, те Ax’ = Aa і ’ < . :

Теорема 4.5. Нехай А и В – цілком упорядковані множини. Нехай  і  - їхні порядкові типи. Якщо А  В, то .

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що  < . Тоді множина В ізоморфно відрізку своєї підмножини А, а це суперечить пропозиції 1.3. ■

Теорема 4.6. Сума будь-яких ординальних чисел х (даних у будь-якому порядку) є ординальне число , не менше, чим кожне з даних що складаються х .

Доказ.

Нехай дане деяке ординальне число  й кожному  <  поставлене у відповідність ординальне число х . Нехай  - сума по типі  всіх ординальних чисел х ; позначимо її через  = .

Якщо Х - яка-небудь множина, упорядкована по типі х , то сума цілком упорядкованого (по типі W ( )) множини множин Х є цілком упорядковану множину Х, типом якого є . Тому що множина Х містить як своя підмножина кожне із множин Х , то на підставі теореми 4.5 для будь-якого х маємо х .:

Теорема 4.7. Для будь-якої множини ординальних чисел можна побудувати ординальне число, більше кожного із чисел цієї множини.

Доказ.

Нехай є множина ординальних чисел Х. На підставі теореми 4.6 сума всіх елементів х множини Х є ординальне число, більше, ніж кожне з даних х 


§5. ПРОСТІР ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ W ( 1) І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ



Потужністю ординального числа називається потужність відповідні йому цілком упорядкованої множини. Так, числа 1, 2, 3, … є кінцевими ординальними числами,  - рахункове ординальне число, тому що є порядковим типом множини N.

Позначимо 1 – перше незліченне ординальне число. Розглянемо W( 1) – множина всіх ординальних чисел, менших 1. По теоремі 4.1 множина W( 1) є цілком упорядкованим і має тип 1, тобто |W( 1)| = 1 – перша незліченна потужність.

Визначення 2.9. Ординальне число називається граничним, якщо воно не має попереднього.

Пропозиція 5.1. 1 – граничне ординальне число.

Доказ.

Якщо 1, то  - розрахункове або звичайно. Тоді таким буде й число . Отже, 1. Таким чином, ніяке число 1 не є попередньої 1. :

Пропозиція 5.2. Серед чисел множини W( 1) нескінченно багато граничних ординальних чисел.

Доказ.

Нехай 1, тоді  - звичайно або розрахункове. Тоді  - розрахункове, отже, 1, тому 1).■

W( 1) – лінійно впорядкована множина, тому що будь-які його два елементи порівнянні (по теоремі 4.2). Отже, на ньому можна ввести порядкову топологію, при цьому W( 1) стає лінійно впорядкованим простором. Для нього виконуються загальні топологічні властивості лінійно впорядкованих просторів:

1. Хаусдорфовость. Простір W( 1) є хаусдорфовим простором ([1]).

2. Нормальність. Простір W( 1) є нормальним простором ([1]) і, отже, тихоновским простором ([3]).

3. Фундаментальна система околиць довільної крапки з W( 1).

Визначення 2.10. Множина  околиць крапки х утворить фундаментальну систему околиць цієї крапки, якщо для будь-якої околиці U(x) крапки х найдеться околиця ПРО(х) , для якої х .

Будь-яка крапка простору W( 1) має фундаментальну систему околиць, що складає з відкрито-замкнутих множин, тобто для будь-якого > 0 множина всіх відкрита-замкнутих інтервалів [ +1; ] = ={x: < x < +1}, де  утворить фундаментальну систему околиць крапки .

4. Локальна компактність.

Лема 5.3. W( ) компактно тоді й тільки тоді, коли  не є граничним ординальним числом.

Доказ.

Необхідність. Будемо доводити методом від противного й припустимо, що  - граничне ординальне число. Розглянемо множину «хвостів», тобто множина виду W( )\W( ) = {x W( ):

x }, де – деяке ординальне число: . Це замкнуті множини. Очевидно, що перетинання кінцевого числа «хвостів» є «хвостом», тобто не порожньо. Таким чином, «хвости» утворять центровану систему замкнутих множин. Тому що  - граничне ординальне число, то перетинання всіх множин цього сімейства порожньо й, отже, W( ) не компактно - протиріччя. Отже,  - не є граничним ординальним числом.

Достатність. Проведемо доказ по індукції:

1.W(0) = ( - очевидно компактно.

2. Індукційне припущення: нехай ’ = +1 – не граничне ординальне число. Припустимо, що W( ) компактно для будь-якого < +1.

Нехай  - сімейство відкритих множин, що утворять покриття простору W( +1). Тому що крапка  покрита, то існує U , < : [ +1; ] U . По індукційному припущенню простір W( +1), що є підпростором W( +1), компактно, тому що +1< +1. Тому кінцева підродина F з  покриває W( +1). Тоді F {U} – це кінцеве підпокриття з , що покриває W( +1). Отже, W( +1) компактно. :

Із цієї леми треба, що простір W( 1) не є компактним, тому що 1 - граничне ординальне число.

Пропозиція 5.4. Простір W( 1) локально компактно.

Доказ.

Візьмемо довільну крапку  з W( 1). Тому що W( 1), те < 1 і +1< 1 (тому що 1 – граничне ординальне число). Отже, +1 не є граничним ординальним числом. Як околиця крапки  візьмемо відкрито-замкнуту множину U( ) = { |

 < +1} = { | } = W( +1) – компактно (по лемі 5.3) і містить крапку . Отже, W( 1) локально компактно. :

5. Рахункові множини в W( 1).

Визначення 2.11. Множина А називається кофинальним в W( ), якщо воно не обмежено зверху, тобто ( ) ( ).

Пропозиція 5.5. Жодне рахункова множина в W( 1) не кофинальне.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в W( 1) існує рахункове кофинальна множина S.

Доведемо, що W( 1) = :

 Очевидно, що W( ) W( 1) для будь-якого S W( 1).

 Доведемо, що W( 1) .

Нехай W( 1). Тому що S кофинальне, то існує S: . Отже, W( ) .

Таким чином, W( 1) = .

Помітимо, що |W( 1)| = 1. Тоді 1 |S| 0. Отже, |S|= 1, чого бути не може, тому що S – рахункова множина. :

6. Рахункова компактність.

Пропозиція 5.6. Будь-яка рахункова множина з W( 1) утримується в компактному підпросторі простору W( 1).

Доказ.

Нехай А - рахункова підмножина в W( 1). За пропозицією 5.5 воно не є кофинальним, тобто А обмежено зверху в W( 1). Нехай = supA. Тоді W( 1) і А W( +1), де W( +1) на підставі леми 5.3 компактно, тому що +1 не граничне ординальне число. Таким чином, найшовся компактний підпростір простору W( 1), у якому втримується множина А. ■

Наслідок 5.7. Будь-яка рахункова замкнута множина в W( 1) компактно.

Доказ.

Нехай А – рахункова замкнута множина в W( 1). Тому що замкнута підмножина компактного простору компактно ([8]), а множина А за умовою замкнуто, і за пропозицією 5.6 воно втримується в компактному підпросторі простору W( 1), те А компактно. :

Пропозиція 5.8. Простір W( 1) розрахункове компактно.

Доказ.

Нехай S – довільна нескінченна підмножина в W( 1), а ( n) – його строго зростаюча послідовність. За пропозицією 5.5 множина { n} не є кофинальним, тобто воно обмежено зверху. Нехай =sup n. У будь-якій околиці ( ) крапки , де , є крапки послідовності n множини S. Тоді  - гранична крапка множини S. :

7. Простір W( 1) не метризуемо, тому що воно не компактно, але розрахункове компактно, а в метричних просторах будь-яке розрахункове компактний простір компактно.

8. Компактификації.

Лема 5.9. З будь-яких двох не пересічних замкнутих множин в W( 1) хоча б одне обмежене.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що H і K – кофинальні замкнуті не пересічні множини. Ми можемо вибрати зростаючу послідовність ( n), n N, де n H для n – непарних, і n До для n – парних. Тому що множини Н и К замкнуті, те граничні крапки їм належать, тобто  = sup n , чого бути не може, оскільки множини Н и К не перетинаються. :

Пропозиція 5.10. Будь-яка функція f З (W( 1)) постійна на «хвості» W( 1)\W( ) ( залежить від f ).

Доказ.

Помітимо, що будь-який «хвіст» W( 1)\W( ), де W( 1), розрахункове компактний, тому що він є замкнутим підпростором розрахункове компактного простору W( 1) ([3]). Отже, кожна множина образів f [W( 1)\W( )] – це розрахункове компактна підмножина R (оскільки функція f безперервна, а безперервний образ розрахункове компактної множини розрахункове компактний ([3]) ) і, отже, компактно, тому перетинання [W( 1)\W( )] центрованого сімейства замкнутих множин не порожньо. Виберемо довільне число r із цього перетинання. Доведемо, що f -1(r) кофинальне в W( 1). Тому що r [W( 1)\W( )], те r f [W( 1)\W( )] для будь-якого W( 1). Отже, f –1(r) W( 1)\W( ) для кожного .

Розглянемо для кожного n N замкнута множина Аn = {x W( 1):

| f (x) – r |  }. Воно не перетинається з f –1(r), а f –1(r) кофинальне, тому по лемі 5.9 Аn має точну верхню грань в W( 1). Позначимо n = sup An. Візьмемо довільне ординальне число >sup n. Нехай  W( 1)\W( ), тоді > . Припустимо, що f ( ) r, тоді |f ( ) - r| для деякого n. Отже, Аn і n< , тобто , але > - протиріччя.

Таким чином, f ( ) = r для будь-якого  W( 1)\W( ), > . :

Визначення 2.12. Нехай сХ – довільна компактификация тихоновського простору Х. Множина сХ\Х, тобто множина всіх крапок, який сХ відрізняється від Х, називається наростом компактификації сХ.

Визначимо впорядкування на сімействі ζ(Х) всіх компактификацій простору Х.

Визначення 2.13. Нехай з1Х и с2Х – компактификації простору Х. Покладемо з2Х с1Х, якщо існує безперервне відображення f: з1Х с2Х таке, що f (х) = х для всіх х з1Х.

Відомо, що кожне некомпактне локально компактне хаусдорфово простір Х володіє компактификацією Х с однокрапковим наростом. Ця компактификація є найменшим елементом сімейства ζ(Х) всіх компактификацій простору Х стосовно впорядкування  й називається однокрапкової компактификацією (александровськой компактификацієй) ([3]). Звідси треба, що простір W( 1) { 1} є александровськой компактификацією простору W( 1).

Визначення 2.14. Нехай Х. - довільний тихоновський простір. Найбільший елемент сімейства ζ(Х) всіх компактификаций простору Х називається стоун-чеховської компактификацією (або стоун-чеховським розширенням) простору Х.

Пропозиція 5.12. Простір W( 1) має єдине компактне хаусдорфово розширення (а саме W( 1) { 1}).

Доказ.

Доведемо, що W( 1) { 1} є стоун-чеховської компактификацією простору W( 1). Відомо, що якщо кожне безперервне відображення тихоновского простору Х у компактний хаусдорфовий простір можна безупинно продовжити на деяку компактификацію Х простору Х, те Х є стоун-чеховської компактификацією простору Х ([3]). Таким чином, досить довести, що будь-яка безперервна функція, певна на W( 1), триває по безперервності на W( 1) { 1}.

Кожна безперервна речовинна функція, фінальне постійна, тобто для деякого а W( 1) і всіх х, в > a маємо f (x) = f (y) (за пропозицією 5.10). Отже, якщо f продовжити на простір W( 1) { 1}, що є однокрапкової компактификацією простору W( 1), поклавши  ( 1) = f (х), де х >a, |W( 1) = f , то ми одержимо безперервну функцію  на W( 1) { 1}. Виходить, W( 1) { 1} – розширення Стоуна-Чеховського простору W( 1). :


Висновок



Метою курсової роботи було дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей. У першому розділі були дані основні поняття теорії множин і загальної топології, а в другому розділі було уведене поняття порядкового типу, установлені властивості порядкових чисел, а також проведене дослідження простору ординальних чисел, що має важливе значення для даної роботи. Були доведені хаусдорфовость, нормальність, локальна компактність, рахункова компактність і деякі інші властивості лінійно впорядкованого простору ординальних чисел.


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ



1. Чиркова Н. В. Випускна кваліфікаційна робота «Лінійно впорядковані простори. - К., 2002.

2. Александров П. С. Введення в теорію множин і загальну топологію. К., 2007

3. Енгелькинг Р. Загальна топологія. – К., 2003

4. Келли Дж. Л. Загальна топологія. – К., 2001

5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомін Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 2007.

6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова Задачі по теорії множин, математичній логіці й теорії алгоритмів. – К., 2004