Коллинеарность и компланарность векторов. Канонические уравнения прямой

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Кафедра: Функциональный анализ и его приложения



















Самостоятельная работа по математике

















	

	

	

	

	

Владимир 2009

	
Задача 1. Коллинеарность векторов

	

	а = { 2; -1; 6 }	в = { -1; 3; 8 }

	c1=5a – 2b = {5*2 – 2*(-1); 5*(-1) – 2*3; 5*6-2*8 } = {12; -11; 14 }

	с2=2а – 5в = {2*2 – 5*(-1); 2*(-1) – 5*3; 2*6-5*8 } = {9; -17; -28 }

	 ≠  ≠-

	12/9 ≠ 11/17 ≠ -14/28

	

	Ответ: не коллинеарны.

	

	Задача 2. Косинус угла между векторами АВ и АС

	

	А (3; 3; -1 ) B (5; 1; -2 ) C (4; 1; -3 )

	 = {2; -2; -1 } || = = 

	 = {1; -2; -2 } || =  = 

	cos (ˆ) = = 

	

	Задача 3. Площадь параллелограмма построенного на векторах а и в.

	

	а=5p-q	b=p+q	|p|=5	|q|=3	(pˆq) = 5

	S=|5p - q|*|p + q|=|5p*p + 5p*q - q*p - q*q|=|5p*q + p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin(pˆq)=

	=6*5*3*sin5

	sin5=	90*=45

	

	
Задача 4. Компланарность векторов а, в, с.

	

	а = { 1; -1; 4 } в = { 1; 0; 3 } с = { 1; -3; 8 }

	

	1*(0*8 - 3*(-3)) - (-1)*(1*8 - 1*3)+4(1*(-3) - 1*0)=9 + 5 - 12=2

	2≠0 - не компланарны.

	

	Задача 5. Объем тетраэдра с вершинами в точках А1 А2 А3 А4 и его высоту, опущенную из вершины А4на грань А1 А2 А3.

	

	А1 = { 0; -3; 1 } А2 = { -4; 1; 2 } А3 = { 2; -1; 5 } А4 = { 3; 1; -4 }

	= { -4; 4; 1 }

	= { 2; 2; 4 }

	= { 3; 4; -5 }

	

	= * |(-4)*(2*(-5) - 4*4) - 4*(2*(-5) - 3*4) + 1*(2*4 - 3*2)=

	=|40 + 64 + 40 + 48 + 8 - 6|=194=32,33

	

	= |i*(4*4 - 1*2) - j*((-4)*4 - 2*1)+k*((-4)*2 - 2*4)= |14i + 18j - 16k|=

	=√142+182-162=√264=*16,25=8,125

	h==11,94

	

	Задача 6. Расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через три точки

	

	.

	М1 (1; 2; 0 ) М2 (3; 0; -3 ) М3 (5; 2; 6 ) М0 (-13; -8; 16 )

	

	(х-1) * ((-2)*6 - 0*(-3)) - (у-2)*(2*6 - 4*(-3)) + (z - 0)*(2*0 - 4*(-2))=0

	(-12)*(х - 1) - 24*(у - 2) + 8*(z - 0) = 0

	(-3)*(х - 1) - 6*(у - 2) + 2*(z - 0)=0

	-3х - 6у + 2Z + 15 = 0

	d==

	

	Задача 7. Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору .

	

	А (-3; -1; 7 ) B (0; 2; -6 ) C (2; 3; -5 )

	={2; 1; 1}

	2*(х + 3) + 1*(у + 1) + 1*(z - 7)=0

	2х + у + z = 0

	

	Задача 8. Угол между плоскостями

	

	2у + z - 9=0

	х - у + 2z - 1=0

	п1={0; 2; 1 }

	п2={1; -1; 2 }

	cosφ===90

	

	Задача 9. Координаты точки А, равноудаленной от точек В и С.

	

	А (х; 0; 0 ) B (4; 5; -2 ) C (2; 3; 4 )

	АВ===

	АС===

	=

	=х2 - 4х+29

	х2 - х2 - 8х + 4х=29 – 45

	-4х=-16

	х=4

	А (4; 0; 0 )

	

	Задача 10. Канонические уравнения прямой

	

	х - 3у + z + 2 = 0

	х + 3у + 2z + 14 = 0

	

	= i*((-3)*2 - 3*1)-j*(1*2 - 1*1)+k*(1*3 - 1*(-3) = -9i -j + 6k=

	= { -9; -1; 6}

	

	 (-8; 0; 0 )	 =  = 

	

	Задача 11. Точка пересечения прямой и плоскости

	

	 =  = 

	3х – 2у + 5z – 3 = 0

	 =  =  = t

	

	3*(1 + 6t) - 2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) – 3 = 0

	3 + 18t – 6 - 2t – 25 + 15t – 3 = 0

	31t – 31 = 0

	31t = 31

	t = 1

	х = 1 + 6*1	у = 3 + 1	z = (-5) + 3*1

	х = 7	у = 4	z = -2

	( 7; 4; -2 )