Экзаменационные билеты по методам оптимизации за весенний семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов

методы оптимизации





	Сформулируйте понятие  «оптимизации». Приведите примеры сфер деятельности, где можно использовать методы оптимизации.

	Когда были впервые заложены математические основы оптимизации? Причины, обусловившие развитие методов оптимизации в ХХ веке.

	Постановка задачи оптимизации. Условия необходимые для постановки задачи оптимизации.

	Сущность системного подхода при постановке задачи оптимизации.

	Основные этапы проектирования любой управляемой системы.

	Задача оптимизации программирования. На какие подзадачи в общем случае она разбивается?

	Понятие «локального» и «глобального минимума функции одной переменной». Приведите примеры.

	Классические методы поиска точек экстремума функции одной переменной. Приведите примеры.

	Необходимые и достаточные условия существования у функции локального экстремума.

	Понятие «функции нескольких переменных». Необходимое условие существования экстремума у функции нескольких переменных.

	Понятие «функционала» и «вариационного исчисления».

	Классическая постановка задачи вариационного исчисления.

	Постановка задачи вариационного исчисления при наличии ограничений на искомую функцию.

	Понятие «условного» и «абсолютного экстремума» в задаче вариационного исчисления.

	Понятие «критерия оптимизации». Условия, которым должен удовлетворять критерий оптимизации.

	Классификация критериев оптимизации. Приведите примеры выбора критериев оптимизации.

	Классификаци методов оптимизации. Возможные подходы.

	Понятие «аналитических методов» в задачах оптимизации.

	Специфика дискретной задачи оптимизации. Методы, используемые для решения дискретных задач оптимизации.

	Понятие «системного анализа» в задаче оптимизации.

	Понятие «математической модели процесса». Возможная классификация математических моделей.

	Определение классического вариационного исчисления. Классы функций, используемых в вариационном исчислении.

	Понятие «гладкой» и «разрывной функции». Классификация точек разрыва функции. Привести примеры.

	Уравнение Эйлера в задаче вариационного исчисления.

	Необходимое и достаточное условие существования экстремума функционала. Условие Лежандра.

	Понятие «вариационной задачи с незакрепленными, или подвижными концами».

	Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример.

	Метод неопределенных множителей Лагранжа в вариационной задаче с ограничениями.

	Постановка задачи Лагранжа в вариационном исчислении.

	Каноническая форма уравнений Эйлера.

	Метод Ритца решения уравнения Эйлера.

	Возникновение и развитие теории управления.

	Связь задач теории регулирования с задачами теории устойчивости.

	Специфика вариационнных задач возникающих в теории регулирования.

	Принцип максимума Понтрягина для задач с непрерывным временем.

	Понятие «динамического программирования».

	Принцип оптимальности Беллмана.

Понятие «одномерного поиска экстремума». Сведение задачи поиска экстремума к задаче нахождения нулей функции

Классификация методов поиска одномерного экстремума.

Понятие «унимодальной функции». Основное свойство унимодальности, используемое при одномерном поиске экстремума.

Опишите возможные варианты выбора интервала неопределенности при одномерном, пассивном поиске в случае трех экспериментов.

Сущность оптимальной стратегии при пассивном одномерном поиске. Формула для длины интервала неопределенности при пассивном поиске после N экспериментов.

Понятие «последовательного, или активного поиска». Сравните эффективности методов активного и пассивного поиска.

Опишите стратегию поиска экстремума методом дихотомии. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом дихотомии после N экспериментов.

Опишите стратегию поиска экстремума методом Фибоначчи. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом Фибоначчи после N экспериментов и формулу длины исходного интервала неопределенности

Оцените эффективность метода дихотомии и сравните ее с эффективностью метода пассивного поиска.

Опишите стратегию выбора интервалов неопределенности при поиске методом золотого сечения. 

Приведите сравнительные характеристики методов дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения и метода пассивного поиска

Понятие «метода рандомизации поиска точек экстремума».

Многомерный поиск экстремума. Классификация методов многомерного поиска экстремума.

Градиентный метод поиска экстремума для функции нескольких переменных.

Метод покоординатного спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.

Метод наискорейшего спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.

Метод Ньютона поиска нулей функции. Запишите итерационную формулу метода Ньютона. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.

Метод секущих поиска нулей функции. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.

Овражный метод поиска экстремума. В каких случаях он применяется?

Специфика задач по отысканию экстремума функции в условиях помех.

Метод стохастической аппроксимации нахождения экстремума в условиях помех. Выбор коэффициента коррекции.

Математическая формулировка задачи линейного программирования.

Приведите примеры (не менее 3) задач линейного программирования.

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Понятие «симплекс-метода решения задач линейного программирования».

Понятие «выпуклой области» в задачах линейного программирования. Проиллюстрируйте понятие «выпуклости» графически.

Каковы свойства экстремума в задачах линейного программирования? В каких точках может достигаться экстремум в задачах линейного программирования? 

Дайте геометрическую интерпретацию симплекс-метода поиска экстремума в задачах линейного программирования для случая двух переменных.

Использование симплекс-таблицы в задаче линейного программирования.

Понятие «прямой» и «двойственной задачи линейного программирования».

Теорема двойственности в задачах линейного программирования.

Понятие «двойственного симплекс-метода или метода последовательного улучшения оценок» в задачах линейного программирования.

Постановка задачи нелинейного программирования.

Классификация методов решения задач нелинейного программирования.

Постановка задачи квадратичного программирования. Необходимое условие выпуклости квадратичной формы.

Классификация методов квадратичного программирования.

Сравнительные характеристики задач линейного и нелинейного программирования.

Функциональное уравнение Беллмана.

Оптимизация дискретных процессов управления.

Постановка задачи о кратчайшем пути.

Постановка задачи о критическом пути.

Постановка задачи распределения ресурсов.

Математическая постановка задачи динамического программирования.

Принцип оптимальности Беллмана для дискретных процессов управления.

Необходимое условие существования экстремума функции многих переменных. Понятие «стационарной точки».

Математическая формулировка задач целочисленного программирования.

Классификация методов решения задач целочисленного программирования.

Специфика задачи целочисленного программирования. Понятие «регулярности».

Сведение задачи нелинейного программирования к задаче целочисленного программирования

Понятие «метода отсечения» в задачах целочисленного программирования.

Использование динамических методов в задачах целочисленного программирования.

Метод ветвей и границ в задачах целочисленного программирования.

Решение задач целочисленного программирования с помощью лингвистических моделей.

Понятие «линейной формы» и виды ограничений в задачах линейного программирования. Сведение ограничений в форме неравенств к условиям в форме равенств.

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от y.

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от x.

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F зависит только от y’.

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция Fy’y’=0

Рассмотрите задачу о нахождении кривой наименьшей длины, соединяющей заданные две точки.

Классификация методов отыскания экстремумов функционалов.

Понятие «интегрального критерия» в задачах оптимизации.

Понятие «критерия максимального быстродействия» в задачах оптимизации.

Критерий минимума стоимости в единицу времени в задачах оптимизации.

Критерий минимума критического времени выполнения работы в задачах оптимизации.

Минимаксный критерий в задачах оптимизации.

Транспортная задача как пример задачи линейного программирования.

Задача о рациональном питании как пример задачи линейного программирования.

Задача об использовании ресурсов как пример задачи линейного программирования.

Задача о загрузке транспорта как пример задачи линейного программирования.

Понятие «переходного процесса». В связи с чем возникла проблема переходных процессов в задачах теории регулирования?

Условия транверсальности в вариационных задачах. Когда они возникают и что характеризуют?

Специфика задач на условный экстремум функционала при ограничивающих условиях, заданных на замкнутой области.

Сформулируйте и докажите лемму Лагранжа о непрерывных функциях.

Получите и решите уравнение для величины золотого сечения.

Найти точку максимума и минимума функции f(x)=x*(x-1)2 и определить значения функции в этих точках.

При каких x функция f(x)=(x-1/4)2+1 принимает максимальное и минимальное значение на отрезке [0,1] и чему равны эти значения?

Известно, что расстояние от земли в метрах брошенного вертикально вверх камня меняется по закону S=4*t - t2, где t – время. Определите, на какую максимальную высоту поднимется камень.

Найти точки экстремума функции f(x)=x3+x2-x+1.

Определите, чему равно минимальное значение функции f(x)=x4-x2+1.

Определите, чему равно максимальное значение, которого достигает функция f(x)=3x3-2x2+1 на отрезке [0,1].

При каком значении х функция f(x)=-3x3+2x2-1 достигает минимального значения на отрезке [0,1]?

Известно, что производительность труда работника меняется в зависимости от его зарплаты по закону f(x)=5000x-10x2+500, где х – зарплата в $. Определите, сколько нужно платить работнику, чтобы производительность его труда была максимальной.

Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x4-3x3+x2+3x+1. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в январе месяце менялась по закону f(x)=x2/20-x-15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была минимальной и чему она равнялась.

Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в июле месяце менялась по закону f(x)=-x2/30+x+15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была максимальной и чему она равнялась.

Количество выпавших (в мм) осадков в Москве в январе месяце менялось по закону  f(x)=20*sin(πx/30) где х –день месяца. Определите, в какой день количество осадков было максимальным и чему оно равнялось.

Найти точки экстремума функции f(x)=x3-x2-x+1.

Найти минимальное значение функции f(x)=x-sin(2x) на интервале [0,1].

Известно, что точка х =1 является точкой экстремума функции f(x)=-2x-x2+2x3-0.5x4. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

Чему равно максимальное значение функции f(x)=2x2-x-5-x3 на интервале [0,2]?

Найти точки локального и глобального минимума функции f(x)=2x2-2x+5-x3 на отрезке [0,2].

Найти минимальное значение функции f(x)=2x2-2x+1-x3 на отрезке [0,2].

Курс доллара в течение месяца менялся по закону f(x)=0.16x-0.005x2+28 где х – день месяца. Определите день, когда курс доллара был максимален и чему он был равен.

Прибыль предприятия в течение 9 лет менялась по закону f(x)=x3/3-7x2+45x+100 где х – номер года. Определите, в каком году прибыль была наибольшей.

. Средний балл студента-выпускника СГУ в течение последних 10 лет с момента открытия менялся по закону f(x)=-x3/90-0.2x2-0.9x+4. Определите, в каком году успеваемость была наилучшей, а в каком наихудшей.

Количество студентов-учащихся СГУ в течение последних 8 лет менялось по закону f(x)=-x3/3+9x2/2-14x+1000  где х – номер года. В каком году прием студентов был наибольший, а в каком наименьший.

Чему равно максимальное и чему равно минимальное значение функции  f(x)=x3+x2+x+1  на отрезке [0,1].

Найти стационарные точки функции f(x)=x3/3-2x2+3x+1 на отрезке [0,5].

Найти все точки локального экстремума функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1 на отрезке [0,3].

Найти минимальное значение функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1  на отрезке [0,3].

Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x6/6-x5/5+x2/2-x. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

Показать, что точка х=1 является точкой перегиба (седловой точкой) функции f(x)=x3/3-x2+x+5.

Определите минимальное значение функции f(x)=x2-4x+3.

Определите максимальное значение функции f(x)=-x2+6x-8.

Производство автомобилей в стране (в тыс. штук) последние 10 лет менялось по закону f(x)=-x3/6+3x2/2+8x где х – номер года. Определите, в каком году было выпущено больше всего автомобилей.

Спрос на автомобили меняется в зависимости от месяца по следующему закону f(x)=x3/3-7x2+33x (х - номер месяца). Определите, в каком месяце года спрос на автомобили минимальный, а в каком  максимальный.

Определите, максимальное и минимальное значение функции f(x)=-3x+5 на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.

Определите максимальное и минимальное значение функции f(x)=(x-2)(x-3) на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.

Найти минимальное значение функции f(x)=x + 1/x на отрезке [1,3] и определить, при каком х оно достигается.

Найти при каких значениях х функция f(x)=x/(x2+1) достигает своего максимального и своего минимального значения.

Средняя продолжительность светлого времени суток меняется в зависимости от номера месяца по следующему закону f(x)=12-5cos(2πx/12). Определите номер самого светлого и самого темного месяца в году.

Найти максимальное значение функции двух переменных f(x,y)=29-x2-8x-y2-6y , при каких значениях переменных оно достигается.

Найти минимальное значение функции двух переменных f(x,y)=x2-2x+y2-2y+6 , при каких значениях переменных оно достигается.

Решите следующую задачу линейного программирования (найти максимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x+2y≤5
3x+y≤8
x,y≥0
z=x+y→max

Решите следующую задачу линейного программирования (найти минимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x-y≥3
3x-y≤-3
x,y≤0
z=x+y→min

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y – функция
x+y=1 - условие

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y+x – функция
x-2y=1  -  условие

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(xy’+(y’)2)dx.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(1+(y’)2)dx.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫((y’)2+2yy’)dx.

Записать первые 5 чисел ряда Фибоначчи.

Известно, что уравнение Эйлера для некоторого функционала имеет вид:
y’’=0;   y(0)=0,  y(1)=1. Найти уравнение экстремали.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+y .

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+2x.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2+x.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2.

Исследовать функцию f(x)=5x2-4xy+y2-2x+1  на безусловный экстремум.

Исследовать функцию f(x)=2x2-2xy+y2-2x+2  на безусловный экстремум.

Минимизировать функцию F=4x+3y при ограничениях:
4x+y-3≥0
x+5y-15≥0
x,y≥0

Минимизировать функцию F=2x+3y при ограничениях:
4x+y-2≥0
x+2y-4≥0
x,y≥0

Максимизировать функцию F=x+3y при ограничениях:
x-2≤0
y-2≤0
x,y≥0

Максимизировать функцию F=x+2y при ограничениях:
y-2≤0
5x-y≤8
x,y≥0

В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
x+y≥2
x,y≥0

В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
y-x≤2
y ≥0
x≤0

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫x*(y’)2dx.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫y*y’dx.

Прибыль фирмы менялась в зависимости от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом:
F(x)=50-x2+10x-y2+10y.
Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной.

Фирма выпускает два вида товаров а и б. Цена товара а - 2$  за штуку и цена товара б - 1$ за штуку. Какое количество товара а (х) и товара б (y) надо выпускать ежедневно, чтобы выручка была максимальной. При этом надо учитывать, что за день может быть произведено не более 10 штук товара б (y≤10) и количество y не менее чем на 3 должно превышать количество х [(y-x)≥3]. Определить величину максимальной ежедневной выручки.

Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$  и  y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 10 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤10 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем на 2 т.е. (y-x) ≤2. Определите, какова величина максимальной прибыли.

Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$  и  y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 9 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤9 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем в 2 раза т.е. y ≤2x. Определите, какова величина максимальной прибыли.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=2xy+y2-x2+2x.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)= xy-y2-x2+y.

В плоскости (x,y) указать область определяемую неравенствами:
(x2+y2) ≤1
(x-y) ≤0

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 – функция
y=x+1  -  условие

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +2y2 – функция
y=x+1  -  условие

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 +x– функция
y=x+1  -  условие

Найти минимальное значение функции f(x)=x2+y2-2x-y+5/4 и при каких значениях х и y оно достигается.

При каких значениях х и y функция f(x)=x2-xy+y2-y  достигает минимума?









Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 1



	Сформулируйте понятие  «оптимизации». Приведите примеры сфер деятельности, где можно использовать методы оптимизации.

Сущность оптимальной стратегии при пассивном одномерном поиске. Формула для длины интервала неопределенности при пассивном поиске после N экспериментов.

Решение задач целочисленного программирования с помощью лингвистических моделей.

Средняя продолжительность светлого времени суток меняется в зависимости от номера месяца по следующему закону f(x)=12-5cos(2πx/12). Определите номер самого светлого и самого темного месяца в году.

Максимизировать функцию F=x+2y при ограничениях:
y-2≤0
5x-y≤8
x,y≥0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 2



	Понятие «динамического программирования».

Метод стохастической аппроксимации нахождения экстремума в условиях помех. Выбор коэффициента коррекции.

Задача о загрузке транспорта как пример задачи линейного программирования.

Найти точки экстремума функции f(x)=x3-x2-x+1.

В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
x+y≥2
x,y≥0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 3



	Понятие «вариационной задачи с незакрепленными, или подвижными концами».

Многомерный поиск экстремума. Классификация методов многомерного поиска экстремума.

Сведение задачи нелинейного программирования к задаче целочисленного программирования

Определите максимальное и минимальное значение функции f(x)=(x-2)(x-3) на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.

Решите следующую задачу линейного программирования (найти максимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x+2y≤5
3x+y≤8
x,y≥0
z=x+y→max



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 4



	Понятие «условного» и «абсолютного экстремума» в задаче вариационного исчисления.

Понятие «унимодальной функции». Основное свойство унимодальности, используемое при одномерном поиске экстремума.

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F зависит только от y’.

Производство автомобилей в стране (в тыс. штук) последние 10 лет менялось по закону f(x)=-x3/6+3x2/2+8x где х – номер года. Определите, в каком году было выпущено больше всего автомобилей.

Исследовать функцию f(x)=2x2-2xy+y2-2x+2  на безусловный экстремум.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 5



	Понятие «математической модели процесса». Возможная классификация математических моделей.

Теорема двойственности в задачах линейного программирования.

Понятие «интегрального критерия» в задачах оптимизации.

Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в июле месяце менялась по закону f(x)=-x2/30+x+15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была максимальной и чему она равнялась.

Известно, что уравнение Эйлера для некоторого функционала имеет вид:
y’’=0;   y(0)=0,  y(1)=1. Найти уравнение экстремали.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 6



	Специфика вариационнных задач возникающих в теории регулирования.

Понятие «двойственного симплекс-метода или метода последовательного улучшения оценок» в задачах линейного программирования.

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от x.

Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в январе месяце менялась по закону f(x)=x2/20-x-15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была минимальной и чему она равнялась.

Записать первые 5 чисел ряда Фибоначчи.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 7



	Задача оптимизации программирования. На какие подзадачи в общем случае она разбивается?

Понятие «прямой» и «двойственной задачи линейного программирования».

Постановка задачи о критическом пути.

Спрос на автомобили меняется в зависимости от месяца по следующему закону f(x)=x3/3-7x2+33x (х - номер месяца). Определите, в каком месяце года спрос на автомобили минимальный, а в каком  максимальный.

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y+x – функция
x-2y=1  -  условие



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 8



	Определение классического вариационного исчисления. Классы функций, используемых в вариационном исчислении.

Опишите стратегию выбора интервалов неопределенности при поиске методом золотого сечения. 

Транспортная задача как пример задачи линейного программирования.

Найти минимальное значение функции f(x)=2x2-2x+1-x3 на отрезке [0,2].

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 – функция
y=x+1  -  условие



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 9



	Понятие «гладкой» и «разрывной функции». Классификация точек разрыва функции. Привести примеры.

Метод покоординатного спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.

Условия транверсальности в вариационных задачах. Когда они возникают и что характеризуют?

Определите максимальное значение функции f(x)=-x2+6x-8.

Найти максимальное значение функции двух переменных f(x,y)=29-x2-8x-y2-6y , при каких значениях переменных оно достигается.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 10



	Принцип оптимальности Беллмана.

Специфика задач по отысканию экстремума функции в условиях помех.

Принцип оптимальности Беллмана для дискретных процессов управления.

Количество выпавших (в мм) осадков в Москве в январе месяце менялось по закону  f(x)=20*sin(πx/30) где х –день месяца. Определите, в какой день количество осадков было максимальным и чему оно равнялось.

При каких значениях х и y функция f(x)=x2-xy+y2-y  достигает минимума?



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 11



	Постановка задачи вариационного исчисления при наличии ограничений на искомую функцию.

Метод секущих поиска нулей функции. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.

Задача о рациональном питании как пример задачи линейного программирования.

Найти при каких значениях х функция f(x)=x/(x2+1) достигает своего максимального и своего минимального значения.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)= xy-y2-x2+y.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 12



	Специфика дискретной задачи оптимизации. Методы, используемые для решения дискретных задач оптимизации.

Классификация методов квадратичного программирования.

Критерий минимума критического времени выполнения работы в задачах оптимизации.

Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x4-3x3+x2+3x+1. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫x*(y’)2dx.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 13



	Необходимые и достаточные условия существования у функции локального экстремума.

Опишите возможные варианты выбора интервала неопределенности при одномерном, пассивном поиске в случае трех экспериментов.

Специфика задач на условный экстремум функционала при ограничивающих условиях, заданных на замкнутой области.

Определите минимальное значение функции f(x)=x2-4x+3.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(1+(y’)2)dx.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 14



	Каноническая форма уравнений Эйлера.

Каковы свойства экстремума в задачах линейного программирования? В каких точках может достигаться экстремум в задачах линейного программирования? 

Рассмотрите задачу о нахождении кривой наименьшей длины, соединяющей заданные две точки.

Определите, чему равно минимальное значение функции f(x)=x4-x2+1.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(xy’+(y’)2)dx.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 15



	Основные этапы проектирования любой управляемой системы.

Понятие «симплекс-метода решения задач линейного программирования».

Понятие «метода отсечения» в задачах целочисленного программирования.

Найти точки экстремума функции f(x)=x3+x2-x+1.

Найти минимальное значение функции двух переменных f(x,y)=x2-2x+y2-2y+6 , при каких значениях переменных оно достигается.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 16



	Понятие «аналитических методов» в задачах оптимизации.

Математическая формулировка задачи линейного программирования.

Критерий минимума стоимости в единицу времени в задачах оптимизации.

Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x6/6-x5/5+x2/2-x. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y – функция
x+y=1 - условие



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 17



	Понятие «локального» и «глобального минимума функции одной переменной». Приведите примеры.

Использование симплекс-таблицы в задаче линейного программирования.

Понятие «переходного процесса». В связи с чем возникла проблема переходных процессов в задачах теории регулирования?

Найти стационарные точки функции f(x)=x3/3-2x2+3x+1 на отрезке [0,5].

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 18



	Классификация критериев оптимизации. Приведите примеры выбора критериев оптимизации.

Опишите стратегию поиска экстремума методом дихотомии. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом дихотомии после N экспериментов.

Понятие «линейной формы» и виды ограничений в задачах линейного программирования. Сведение ограничений в форме неравенств к условиям в форме равенств.

Курс доллара в течение месяца менялся по закону f(x)=0.16x-0.005x2+28 где х – день месяца. Определите день, когда курс доллара был максимален и чему он был равен.

В плоскости (x,y) указать область определяемую неравенствами:
(x2+y2) ≤1
(x-y) ≤0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 19



	Понятие «функционала» и «вариационного исчисления».

Понятие «одномерного поиска экстремума». Сведение задачи поиска экстремума к задаче нахождения нулей функции

Получите и решите уравнение для величины золотого сечения.

При каком значении х функция f(x)=-3x3+2x2-1 достигает минимального значения на отрезке [0,1]?

Решите следующую задачу линейного программирования (найти минимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x-y≥3
3x-y≤-3
x,y≤0
z=x+y→min



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 20



	Классическая постановка задачи вариационного исчисления.

Градиентный метод поиска экстремума для функции нескольких переменных.

Постановка задачи распределения ресурсов.

Количество студентов-учащихся СГУ в течение последних 8 лет менялось по закону f(x)=-x3/3+9x2/2-14x+1000  где х – номер года. В каком году прием студентов был наибольший, а в каком наименьший.

Исследовать функцию f(x)=5x2-4xy+y2-2x+1  на безусловный экстремум.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 21



	Метод неопределенных множителей Лагранжа в вариационной задаче с ограничениями.

Овражный метод поиска экстремума. В каких случаях он применяется?

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция Fy’y’=0

Найти минимальное значение функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1  на отрезке [0,3].

Прибыль фирмы менялась в зависимости от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом:
F(x)=50-x2+10x-y2+10y.
Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 22



	Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример.

Дайте геометрическую интерпретацию симплекс-метода поиска экстремума в задачах линейного программирования для случая двух переменных.

Математическая формулировка задач целочисленного программирования.

Известно, что расстояние от земли в метрах брошенного вертикально вверх камня меняется по закону S=4*t - t2, где t – время. Определите, на какую максимальную высоту поднимется камень.

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫((y’)2+2yy’)dx.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 23



	Постановка задачи оптимизации. Условия необходимые для постановки задачи оптимизации.

Классификация методов решения задач нелинейного программирования.

Минимаксный критерий в задачах оптимизации.

Известно, что производительность труда работника меняется в зависимости от его зарплаты по закону f(x)=5000x-10x2+500, где х – зарплата в $. Определите, сколько нужно платить работнику, чтобы производительность его труда была максимальной.

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +2y2 – функция
y=x+1  -  условие



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 24



	Постановка задачи Лагранжа в вариационном исчислении.

Понятие «метода рандомизации поиска точек экстремума».

Задача об использовании ресурсов как пример задачи линейного программирования.

Найти все точки локального экстремума функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1 на отрезке [0,3].

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+2x.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 25



	Метод Ритца решения уравнения Эйлера.

Оцените эффективность метода дихотомии и сравните ее с эффективностью метода пассивного поиска.

Математическая постановка задачи динамического программирования.

Найти минимальное значение функции f(x)=x + 1/x на отрезке [1,3] и определить, при каком х оно достигается.

В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
y-x≤2
y ≥0
x≤0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 26



	Уравнение Эйлера в задаче вариационного исчисления.

Приведите сравнительные характеристики методов дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения и метода пассивного поиска

Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от y.

Показать, что точка х=1 является точкой перегиба (седловой точкой) функции f(x)=x3/3-x2+x+5.

Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$  и  y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 9 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤9 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем в 2 раза т.е. y ≤2x. Определите, какова величина максимальной прибыли.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 27



	Классические методы поиска точек экстремума функции одной переменной. Приведите примеры.

Метод Ньютона поиска нулей функции. Запишите итерационную формулу метода Ньютона. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.

Функциональное уравнение Беллмана.

Чему равно максимальное значение функции f(x)=2x2-x-5-x3 на интервале [0,2]?

Минимизировать функцию F=4x+3y при ограничениях:
4x+y-3≥0
x+5y-15≥0
x,y≥0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 28



	Возникновение и развитие теории управления.

Опишите стратегию поиска экстремума методом Фибоначчи. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом Фибоначчи после N экспериментов и формулу длины исходного интервала неопределенности

Использование динамических методов в задачах целочисленного программирования.

Определите, максимальное и минимальное значение функции f(x)=-3x+5 на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.

Максимизировать функцию F=x+3y при ограничениях:
x-2≤0
y-2≤0
x,y≥0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 29



	Классификаци методов оптимизации. Возможные подходы.

Понятие «выпуклой области» в задачах линейного программирования. Проиллюстрируйте понятие «выпуклости» графически.

Сформулируйте и докажите лемму Лагранжа о непрерывных функциях.

Найти точку максимума и минимума функции f(x)=x*(x-1)2 и определить значения функции в этих точках.

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2+x.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 30



	Понятие «системного анализа» в задаче оптимизации.

Постановка задачи нелинейного программирования.

Метод ветвей и границ в задачах целочисленного программирования.

Известно, что точка х =1 является точкой экстремума функции f(x)=-2x-x2+2x3-0.5x4. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 +x– функция
y=x+1  -  условие



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 31



	Понятие «критерия оптимизации». Условия, которым должен удовлетворять критерий оптимизации.

Метод наискорейшего спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.

Классификация методов решения задач целочисленного программирования.

Найти минимальное значение функции f(x)=x-sin(2x) на интервале [0,1].

Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+y .



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 32



	Принцип максимума Понтрягина для задач с непрерывным временем.

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Специфика задачи целочисленного программирования. Понятие «регулярности».

Найти точки локального и глобального минимума функции f(x)=2x2-2x+5-x3 на отрезке [0,2].

Фирма выпускает два вида товаров а и б. Цена товара а - 2$  за штуку и цена товара б - 1$ за штуку. Какое количество товара а (х) и товара б (y) надо выпускать ежедневно, чтобы выручка была максимальной. При этом надо учитывать, что за день может быть произведено не более 10 штук товара б (y≤10) и количество y не менее чем на 3 должно превышать количество х [(y-x)≥3]. Определить величину максимальной ежедневной выручки.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 33



	Необходимое и достаточное условие существования экстремума функционала. Условие Лежандра.

Понятие «последовательного, или активного поиска». Сравните эффективности методов активного и пассивного поиска.

Понятие «критерия максимального быстродействия» в задачах оптимизации.

Определите, чему равно максимальное значение, которого достигает функция f(x)=3x3-2x2+1 на отрезке [0,1].

Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫y*y’dx.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------







Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 34



	Связь задач теории регулирования с задачами теории устойчивости.

Сравнительные характеристики задач линейного и нелинейного программирования.

Постановка задачи о кратчайшем пути.

. Средний балл студента-выпускника СГУ в течение последних 10 лет с момента открытия менялся по закону f(x)=-x3/90-0.2x2-0.9x+4. Определите, в каком году успеваемость была наилучшей, а в каком наихудшей.

Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$  и  y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 10 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤10 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем на 2 т.е. (y-x) ≤2. Определите, какова величина максимальной прибыли.



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------








Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ



Билет № 35



	Понятие «функции нескольких переменных». Необходимое условие существования экстремума у функции нескольких переменных.

Постановка задачи квадратичного программирования. Необходимое условие выпуклости квадратичной формы.

Необходимое условие существования экстремума функции многих переменных. Понятие «стационарной точки».

При каких x функция f(x)=(x-1/4)2+1 принимает максимальное и минимальное значение на отрезке [0,1] и чему равны эти значения?

Минимизировать функцию F=2x+3y при ограничениях:
4x+y-2≥0
x+2y-4≥0
x,y≥0



                





Зав. кафедрой

--------------------------------------------------