Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

2

17



Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет





Кафедра математического анализа 













Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.

Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.



















К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой  к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.











Уфа 2001

Содержание

		Стр.

	 Введение 	3

	§ 1 Свойства функции .	4

	§ 2 Свойства функции  и ее производных.	5

		2.1 	5

		2.2 	6

		2.3  где >0	7

		2.4 	9

	§ 3 Поведение 	11

	3.1 	11

	3.2  	11

	3.3 	12

	3.4 	13

	§ 4 Поведение 	14

	4.1 	14

	4.2  	15

	4.3 	15

	4.4 	16

	Заключение	17

	Литература	18



	

			



Введение 

Пусть    произвольная  функция,  определенная  на  ,  и   при 

Введем в рассмотрение функцию  с помощью следующего равенства:

 				(1)

Назовем эту функцию усреднением функции  

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить 







§  2 Свойства функции .

	 Если , при , то  при 
Доказательство:
 ,  ,    N >0, :   



						(2)

	

			(3)

	Дифференцируя формулу (1) по dx  получаем 

			(4)

(5)





§ 2 Свойства функции  и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции  для случаев когда :

2.1  







2.2  

 








2.3  где >0;





Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

	

	

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как  при функция стремится к 0.

Доказательство: 



Рассматривая второй интеграл, мы получаем:









Рассматривая первый интеграл, получаем: 





Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x  эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при  становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при  

Следовательно:

 




2.4. 



Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие  не влияло на поведение функции.





Рассматривая полученное выражение можно заметить что 



становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части 

как только 		.     					Ограничение №1

В тоже время 



Становится бесконечно малым как только 	.	Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что 



должен быть очень малым при то есть 

 

так как  ограниченная функция, к 0 должен стремится  .

 



																	Ограничение №3

									Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:



Следовательно,  ограничение на  удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции . 

									
§ 3 Рассмотрим поведение  функции для случаев:

									3.1)  

									

									

									

3.2)  










3.3)   



Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

= 

= 

		

	

	

	

	рассматривая пределы при  видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член 

	

	Поведение данной функции при  эквивалентно поведению функции 

					(*)

	Вычислим интеграл в знаменателе:

	=

	

	

					(**)

	Учитывая (*)и (**) получаем

	

	

	Следовательно, по формуле (2) получаем 

	

	3.4  

	 

	Отдельно вычислим числитель и знаменатель:





По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению: 





	Вычислим знаменатель:

	

	Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

	

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при 

 Следовательно, знаменатель: 








§4. Рассмотрим поведение второй производной 

Для облегчения вычислений введем обозначения:

	

	

	

	

При этом формула для примет вид 				(6)

4.1 



















Виду того, что d(x) очень мал то  будет несравним с d(x) т.е.




4.2 













используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:



(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).

Отсюда следует что 



4.3 





Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что 





Возвращаясь к п. 3.3 находим:







Вычисляя по формуле 6, получаем:



и 



4.4 















и 




Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: