Формации конечных групп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет 

имени Франциска Скорины»



Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии



Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2007 г.



Об одной проблеме теории

Формации конечных групп

Курсовая работа 





Исполнитель:

студент группы М-51 А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов















Гомель 2007 


Оглавление



Введение

Вспомогательные факты

Основные результаты

Заключение

ЛИТЕРАТУРА




Введение



Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].

Пусть  – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел;  – дополнение к  во множестве всех простых чисел. Формация  называется -насыщенной, если ей принадлежит всякая группа , удовлетворяющая условию , где . Всякая формация считается 0-кратно -насыщенной. При  формация  называется -кратно -насыщенной [4], если , где все непустые значения -локального спутника  являются -кратно -насыщенными формациями.

Для любых двух -кратно -насыщенных формаций  и  полагают , а , где  – пересечение всех -кратно -насыщенных формаций, содержащих . Через  обозначают решетку -кратно -насыщенных формаций, заключенных между  и . Длину решетки  обозначают  и называют -дефектом формации . -Кратно -насыщенную формацию  называют -приводимой, если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных -кратно -насыщенных подформаций в решетке . В противном случае формацию  называют -неприводимой.

Группа  называют критической, если  – группа минимального порядка из  для некоторых формаций и . Критическая группа  называется -базисной, если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация , причем .

В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта  (вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3 завершают описание -кратно -насыщенных формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать -приводимые -кратно -насыщенные формации, имеющие -дефект , а в теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2 (). Отметим, что при  решение данной задачи получено в работе [5]. 


Вспомогательные факты



Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является 

Лемма 1. Пусть  – -кратно -насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в  имеется по крайней мере одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация.

Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].

Лемма 2. Пусть ,   и  – -кратно -насыщенные формации, причем . Тогда если   и  соответственно -дефекты формаций   и  и  , то . 

Лемма 3 [4]. Для всех  решетка  модулярна.

Аналогично лемме 14 [7] доказывается 

Лемма 4. Пусть , где  – некоторая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации ,  – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации . Тогда в формации  не существует минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формаций, отличных от .

Лемма 5. Пусть ,  и  – -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство аналогично лемме 20.3 [2]. 

Лемма 6 [8]. При  всякая -кратно насыщенная формация, имеющая -дефект 2, приводима.

Лемма 7 [4]. Пусть – -кратно -насыщенная формация . Тогда спутник  является -значным.

Лемма 8 [9]. Пусть  – такая полная решетка формаций, что . Пусть  – -локальная формация с каноническим -локальным спутником ,  – -локальная формация с минимальным -локальным -значным спутником . Тогда в том и только в том случае  – -критическая формация, когда , где  – такая монолитическая группа с монолитом , что либо ,  и  – -критическая формация для всех , либо  и  – -критическая формация. 

Лемма 9 [4]. Пусть , где , и пусть  – минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2)  для всех ; 3) , спутник  является -значным и  – некоторый фиксированный элемент из , то , где  для всех ,  и, кроме того, ; 4) , где  и  для всех .

Лемма 10 [4]. Пусть  такой внутренний -кратно -локальный спутник формации , что , . Тогда , где . 

Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда  является минимальной -кратно -насыщенной ненильпотентной формацией, когда , где  – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо  и выполняется одно из следующих условий: 

1)  – группа Шмидта с , где  – абелева -группа,  и  – простое число; 

 2)  – неабелева -группа, , где , причем, если , то  и  – простая неабелева группа.

Лемма 12 [6]. Пусть  – монолитическая группа с неабелевым монолитом . Тогда если простое число  делит порядок группы , то .

Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть  – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы  -корадикал  не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда если  – монолитическая группа из , то .

Лемма 14 [2, с.168]. Пусть  и  – формации, причем  – локальна и  – группа минимального порядка из . Тогда  монолитична, ее монолит совпадает с  и если  – -группа, то .

Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе  имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и  ( – некоторое простое число), то существует точный неприводимый -модуль, где  – поле из  элементов. 

Лемма 16 [4]. Пусть  – -насыщенная формация и  – ее -локальный спутник. Если , то .

Лемма 17 [4]. Пусть  и  – минимальные -локальные -значные спутники формаций  и  соответственно. Тогда  в том и только в том случае, когда .

Лемма 18 [10]. Пусть  (), где  – такая монолитическая группа с неабелевым монолитом , что  и . Тогда  имеет единственную максимальную -кратно -насыщенную подформацию , причем .



Основные результаты



Теорема 1. Пусть  – -кратно -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -дефект формации  равен 1, когда , где  – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации ,  – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из  входит в ; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация  из  имеет вид 

		Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации  равен 1. Так как  не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в  входит некоторая минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . По условию  – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .

		Достаточность. Пусть , где  – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации ,  – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций ,  и  равны соответственно ,  и . Поскольку  – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , то . Так как  – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект  равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то  – нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким образом, -дефект формации  равен 1.

		Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как  – максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм 

		

		 

		 

		

		Следовательно,  – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из  входит в .

		Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации  нет минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от .

		Пусть теперь  – произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя лемму 3, получаем . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть  – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации  равен 2, когда  удовлетворяет одному из следующих условий: 1) , где ,  и  – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации; 2) , где ,  – -неприводимая формация -дефекта 2, , причем если , то . 

		Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что .

		Необходимость. Пусть -дефект формации  равен 2,  – такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , что -дефект формации  равен 1. По теореме 1 получаем , где  – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, а . Если в формации  имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, . Значит, 

		

		

		

		и выполнено условие 1).

		Пусть теперь в формации  нет отличных от  минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку  – -приводимая формация, то в  найдется такая группа , что . Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект формации  меньше или равен 2. Поскольку  и -дефект формации  равен 1, то -дефект формации  не равен 0. Допустим, что -дефект формации  равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности  получаем, что , где . Значит,  где . Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации  равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации  равен 2. Тогда , так как иначе , что противоречит максимальности формации  в формации . Таким образом, 

		Предположим, что  – -неприводимая формация. Заметим, что если  и  – -насыщенная формация, то  является насыщенной формацией. Действительно, из -насыщенности формации  получаем, что для любой группы  из условия  следует, что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия  следует, что . Таким образом,  является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае  – приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому . Тогда получаем, что формация  удовлетворяет условию 2).

		Пусть теперь  – -приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых -кратно -насыщенных подформаций однопорожденной формации .

		Обозначим через  максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект, равный 1. Так как  – -приводимая формация, то в  существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации  в формации  справедливо . По теореме 1 и предположению единственности  получаем, что , где  – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . 

		Тогда . Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для , получаем, что либо формация  (где ) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация  является -приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что , так как иначе , что противоречит максимальности формации  в .

		Поскольку  – собственная -кратно -насыщенная подформация формации , то число разрешимых подформаций формации  меньше чем у . Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации  имеется лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация  (где ) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо , где  – -приводимая формация -дефекта 2,  – наименьшая неединичная разрешимая подформация формации , такая что .

		Обозначим через  максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как  – -приводимая формация, то в  существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации  в формации  справедливо . По теореме 1 и предположению единственности  получаем, что , где  – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда 

		 

		Но  по предположению индукции. Следовательно, формация  не может быть -приводимой формацией. Значит, , где ,  – -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость доказана.

		Достаточность. Пусть , где ,  и  – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации. Пусть , ,  и  -дефекты формаций , ,  и  соответственно. Тогда по лемме 2 -дефект формации не превосходит. С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект формации  равен 2.

		Аналогично рассматривается случай, когда , где ,  – -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть  – -кратно -насыщенная формация . Тогда и только тогда формации  – -неприводимая формация -дефекта 2, когда , где  – такая монолитическая группа с цоколем , что выполняется одно из следующих условий:

1) , где  – -группа, , а  – группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:

 1.1) циклическая примарная группа порядка ;

 1.2) неабелева группа порядка  простой нечетной экспоненты;

 1.3) монолитическая группа с цоколем и  – -группа;

2)  – неабелева группа, , а группа удовлетворяет одному из следующих условий:

2.1) -группа, где ;

2.2) элементарная абелева -группа, ;

 2.3) подпрямое произведение групп изоморфных , где  – такая монолитическая группа с цоколем , что  – неабелева группа, ; 

3)  – -группа, формация  имеет -дефект 1,  – -базисная группа, где , , а  – такая монолитическая группа с цоколем , что выполнено одно из следующих условий:

 3.1)  – группа Шмидта с , где  – абелева -группа,  и  – простое число,;

 3.2)  – неабелева группа, причем ;

 3.3)  – -группа.



		Доказательство. Необходимость. Пусть  – -неприводимая формация -дефекта 2,  – максимальная -кратно -насыщенная подформация формации  с каноническим спутником . Заметим, что ввиду леммы 7 спутник  является -кратно -локальным. Тогда  является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Пусть  и  – минимальные -кратно -локальные спутники формаций  и  соответственно. В силу замечания 2 [4] имеем , для всех .

		Применяя лемму 8, получим, что , где  – такая монолитическая группа с цоколем , что либо (,  и  – -критическая формация для всех , либо  и  – -критическая формация. По теореме 1 , где  – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , .

		Предположим, что . Тогда найдется простое число . Пусть  – группа порядка . Тогда . Так как  – максимальная -кратно -насыщенная подформация формации  и , то . Но формация  является -неприводимой по условию теоремы. Противоречие. Следовательно, .

		Пусть  и  – минимальные -кратно -локальные спутники формаций  и  соответственно. По лемме 9 формации  и  имеют такие внутренние -кратно -локальные спутники  и , принимающие соответственно значения , при , , при , , при , и , при , , при , , при . Ввиду леммы 10 справедливо равенство . 

		В силу леммы 11 , где  – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо  и выполняется одно из следующих условий:

		(1)  –группа Шмидта с , где  – абелева -группа,  и  – простое число;

		(2)  – неабелева -группа , где .

		Заметим, что если , то любая -насыщенная подформация из  является насыщенной. Следовательно, любая -кратно -насыщенная подформация формации  является -кратно насыщенной. По лемме 6 при  всякая -кратно насыщенная формация с -дефектом 2 приводима. Поэтому при  формация  не может быть -неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом, .

		Допустим, что  – неабелев цоколь группы . Пусть  и . Тогда по лемме 12 имеем . Значит, 	

		Пусть для формации  выполнено условие (1). Предположим, что . Так как , то имеем . Тогда  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, , и -дефект формации  равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому . Используя лемму 9, имеем

		.

		Следовательно, . 

		Покажем, что . Действительно, если , то найдется такое , что . Поскольку , то . Тогда . Так как  делит порядок , то по лемме 12 имеем . Тогда  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку и , то . Так как при этом  и , то . Но . Противоречие. Поэтому .

		По лемме 9 имеем  Следовательно,  и  является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией.

		Ясно также, что , поскольку в противном случае -дефект формации  равен 1 в силу леммы 11.

		Если , то . Значит,  является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Поэтому . Значит, , и формация  удовлетворяет условию 2.1) теоремы.

		Если , то . Тогда . Так как , то , т.е.  является элементарной абелевой -группой, и формация  удовлетворяет условию 2.2) теоремы.

		Пусть для формации  выполнено условие (2). Покажем, что . Предположим, что существует . Тогда . Значит,  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Последнее невозможно, так как . Поэтому . Но . Следовательно, .

		Ввиду леммы 12, . Так как , то  – минимальная не -формация. Значит, . Но, как нетрудно показать, . Если , то по лемме 11 -дефект формации  равен 1. Противоречие. Следовательно,  и . Но тогда  Так как при этом группа  является монолитической группой с неабелевым цоколем , то применяя лемму 13 получим, что  – подпрямое произведение групп изоморфных группе . Таким образом, группа  удовлетворяет условию 2.3) теоремы.

		Пусть теперь  – такая формация, что  – монолитическая группа с цоколем , . Так как , то . Но тогда  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит,  и по лемме 11 получаем, что -дефект формации  равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.

		Пусть  – абелева -группа, . Тогда по лемме 14 имеем . Пусть формация  удовлетворяет условию (1).

		Предположим, что . Тогда . Значит,  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть  – группа минимального порядка из . Тогда  является монолитической группой с цоколем . Ясно, что  и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Поскольку  и формация  разрешима, то  – абелева -группа для некоторого простого числа . Но . Если , то группа  нильпотентна. Поскольку , то  – группа простого порядка . Но тогда по лемме 11 получаем, что -дефект формации  равен 1. Противоречие. Поэтому . Так как при этом , то , что невозможно. Поэтому . 

		Но тогда  и  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация.

		Рассмотрим группу . Тогда  является монолитической группой с цоколем . Поскольку  и формация  разрешима, то  – абелева -группа для некоторого простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Но . Значит, . Но  – монолитическая группа. Значит,  – -группа. Если , то , что невозможно. Значит, . Если , то по лемме 11 -дефект формации  равен 1. Противоречие. Следовательно, . Поскольку , то . Таким образом,  и . Тогда  – минимальная не -формация. Поскольку группа  нильпотентна, то любая собственная подгруппа из  принадлежит . Таким образом,  – минимальная не -группа. Так как при этом  – -группа, то  либо циклическая примарная группа порядка , либо неабелева группа порядка  простой нечетной экспоненты . Но тогда группа  удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.

		Пусть для формации  выполнено условие (2). Допустим, что . Тогда . Значит,  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку , то . Так как при этом , то . Если , то , что невозможно. Значит, . Но . Следовательно, . Противоречие. Таким образом, .

		Тогда  и  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Выберем в  группу  минимального порядка. Тогда  – монолитическая группа с цоколем  и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Предположим, что  – неабелев цоколь группы . Ввиду того, что  и 

			то . Следовательно, по лемме 13 имеем . Поскольку  и , то группа  изоморфна группе . Но тогда . Однако . Поэтому  и -дефект формации  равен 1. Противоречие. Следовательно,  – абелева -группа, для некоторого простого числа . Допустим, что . Пусть  – группа порядка . Тогда . Пусть  – точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация  имеет -дефект 1. Поскольку  и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Поскольку  и

		 	 то . Следовательно, по лемме 13 имеем  Так как  и , то группа  изоморфна группе . Но  – неабелева -группа. Противоречие. Следовательно, данный случай невозможен.

		Пусть формация  такая, что . Так как , то . Но тогда  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть  – группа минимального порядка из . Тогда  является монолитической группой с цоколем . Понятно, что  и . Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то .

		Пусть  – абелева -группа для некоторого простого числа . Если , то . Противоречие. Значит, . Кроме того, понятно, что . Так как в противном случае  и по лемме 11 формация  имеет -дефект 1, что невозможно. Поскольку  и 	, то . Тогда по лемме 13 получим, что . Так как  и , то группа  изоморфна группе .

		Пусть  – неабелев цоколь группы . Тогда так как  и , то . Применяя теперь лемму 13, заключаем, что . Так как  и  получаем, ввиду монолитичности , что группы  и  изоморфны.

		Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется группа  простого порядка , такая, что . Пусть  – точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация  имеет -дефект 1. Поскольку  и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Таким образом, группа  удовлетворяет условию 1.3) теоремы.

		Пусть теперь  – -группа и пусть формация  удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда  или, соответственно,. Если , то  или . Но  – -группа. Значит, . Противоречие. Поэтому . Но тогда  – единственная максимальная подформация  и  – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация  имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации  равен 1. Значит,  удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы. 

		Пусть теперь для формации  выполняется условие . Тогда по лемме 8  – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Снова применяя лемму 8, получим, что  – -критическая формация, …,  – минимальная не -формация и  – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация  имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации  равен 1. Таким образом, группа  удовлетворяет условию 3.3) теоремы. 

		Достаточность. Пусть для формации  выполнено условие 1) теоремы и  – циклическая примарная группа порядка , . Пусть  – минимальный -кратно -локальный спутник формации . По лемме 14 имеем . Так как , то . Заметим, что  является единственной максимальной подформацией формации , где  – группа порядка .

		Построим -кратно -локальный спутник , принимающий следующие значения , при , , при . Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию . Пусть  – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

		Пусть  – произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации . И пусть  – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Если , то так как , получаем . Следовательно, . Противоречие. Значит, . Тогда, так как  – единственная максимальная подформация , то  и  для , т.е. . По лемме 17 получаем, что . Таким образом,  – единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е.  является -неприводимой формацией.

		Поскольку , то ввиду леммы 15 существует точный неприводимый -модуль , где  – поле из  элементов. Пусть . Тогда, так как , то, ввиду леммы 16, . Если предположить, что , то по лемме 17 получаем , где  – минимальный -кратно -насыщенный спутник формации . Но тогда . Противоречие. Значит, , т.е. формация  порождается группой Шмидта и имеет нильпотентный -дефект 1. Но тогда -дефект формации  равен 2.

		Случаи, когда  – неабелева группа порядка  простой нечетной экспоненты , и  – монолитическая группа с цоколем , где  – -группа, рассматриваются аналогично.

		Пусть для формации  выполнено условие 2) теоремы. Построим -значный -локальный спутник , принимающий следующие значения: , при , , при . Ясно, что .

		Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию , порожденную спутником . Пусть  – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

		Пусть  – произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации ,  – ее минимальный -значный -локальный спутник. Тогда  для любого . Кроме того, как нетрудно показать, имеет место включение

		

		Поэтому . Таким образом,  – единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е.  является -неприводимой формацией.

		В силу леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации  равен 1. Но тогда -дефект -неприводимой формации  равен 2.

		Пусть для формации  выполнено условие 3). Построим -локальный спутник  – такой, что  и  для любого . Так как группа  является -базисной, то всякая подформация из  содержится в . Следовательно, формация  по лемме 8 является -критической. Пусть теперь  – такой -значный -локальный спутник, что  и  для любого . Снова применяя лемму 8, получаем, что формация  является -критической и т.д. Построим -значный -локальный спутник  такой, что  и  для любого . Опять применяя лемму 8, получим, что формация  является -критической. Заметим также, что ввиду леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации  равен 1. Следовательно, -дефект -неприводимой формации  равен 2. Теорема доказана.

Заключение 



Дано решение проблемы описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта 2, поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. – С. 114-147, проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение -приводимых формаций -дефекта 2; получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2. 


ЛИТЕРАТУРА



Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.

Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.

Скиба А.Н. Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.

Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. – С. 114–147.

Частично локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР (заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель, 2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.

Шаблина И.П. Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.

Рябченко А. И О частично насыщенных формациях с -дефектом 1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.

Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не -формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8. – С. 109–138.

Селькин В.М., Скиба А.Н. О -критических формациях // Вопросы алгебры. – Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.

Рябченко А. И. О минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формациях // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. – 2008. – №5. – C. 41–46.

Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008. – №6(51). Ч.2.– С. 153–160. 







1