Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал

2

























Контрольная работа по дисциплине:

Теория вероятностей и математическая статистика

Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал


Задача 1



Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.

Решение:



, 



где  - функция Лапласа, значения которой находятся из таблиц.



;

.



Здесь: .

.



Ответ: 0,49.



Задача 2



Среднее число вызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) не менее 3-х вызовов; в) менее 3-х вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший. 

а) Вероятность события «за 4 минуты поступило 3 вызова равна:

, 



где

 - среднее число вызовов в минуту; ;

t – время, за которое может поступить 3 вызова; t=4 мин.;

k – число возможных вызовов за время t; k=3.

.

 - находим из таблицы значений функции распределения Пуассона для k=3 и a==8.

в) События «поступило менее 3-х вызовов» и «поступило не менее 3-х вызовов» являются противоположными. Поэтому найдем сначала вероятность первого события:



.



Здесь: вероятности  находятся из таблиц распределения Пуассона соответственно для значений k=0, k=1, k=2 и для a==8.

б) Данное событие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше), поэтому: .

Ответ: а) 0,03; б) 0,99; в) 0,01.



Задание 3



Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) f(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности); б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построить графики функций f(x) и f(x).






Решение:



а)  - плотность вероятности.



б) Математическое ожидание:



.



Дисперсия величины Х:






в) График функции f(x):







х



1

2

f(х)





1



; ; .



График функции 







х

1

2

f(х)



1




; .



Задание 4



Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания Q нормального распределения с надежностью , зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение .

; ; n=225.

Решение:



.



Здесь:  находится из таблицы распределения Стьюдента для n=225 и .



.



;

.

Ответ: (73,12; 77,04).