Высшая математика

Контрольная работа



Высшая математика








ЗАДАЧА 1.



 В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды .

Найдите:

	а) длину ребра ;   

	б) косинус угла между векторами  и ;

в) уравнение ребра ;

г) уравнение грани С1; если А1 (-2,2,2),В1(1,-3.0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1).



Решение.



а) Найдем координаты вектора А1В1 по формуле

 где  - координаты точки А1, -координаты точки В1.

Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = =.

Итак, длина отрезка, (или длина векторе) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами и вычислим по формуле

cos φ =        (А1В1, А1С1)

	А1В1· А1С1

где скалярое произведение векторов А1В1  и А1С1  равно (,)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20, 

 =,  ==.

	Итак, cos φ =      20	=       10

	         ·	

в) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0 = 2, а координаты точки В1(1,-3,0) через X1 = 1, У1 = -3, Z1 = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

			.

			Следовательно, уравнение ребра имеет вид

			

				.

				г) Обозначим координаты векторов, и через Х1=3, У1= -5, Z1= -2 и  Х2=8, У2= 0, Z2=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

·A1C1 = {Y1·Z2-Y2·Z1;Z1·X2-Z2·X1;X1·Y2-X2·Y2} = 

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный вектор перпендикулярен грани С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0 У0, Z0) перпендикулярно вектору {А;В;С}, которое имеет вид A·(X-X0)+B·(Y-Y0)+С·(Z-Z0)=0.

Подставим координаты точки А1 (Хо= -2, У0=2, Z0=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 ( X + 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани,C1 имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0.






ЗАДАЧА 2.



Решите систему линейных уравнений

	  а) методом Крамера;

	  б) методом Гаусса;







Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:





Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268).



Тогда , где





Так как  Δx= -60; Δy= -60; Δz=60; Δ= -120, то x=; y=; z=.

6) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

	

-4  4   -6   3

1    0  -1    1

3    8    7   2

	

	



Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.





1    0  -1    1

-4  4   -6   3

3    8    7   2







Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.



1  0    -1    1

0  4    -10  7

3  8      7   2

      1		0	 -1	      1

1·4+(-4)     0·4+4   (-1)·4-6	  1·4+3

      3		8	  7	      2



=  



Умножим каждый элемент первой строки матрицы на -3. и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:



1   0   -1     1

0   4   -10   7

0   8    10   -1

      1		0	     -1		  1

      0		4	     -10		  7

1·(-3)+3   0·(-3)+8   (-1)·(-3)+7    1·(-3)+2

=   





Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.



1   0      -1     1

0   1       

0   8       10   -1









Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:



      1		0	       -1	                   1

      0		1	    	       

0·(-8)+0  1·(-8)+8  ·(-8)+10     ·(-8)-1

1   0    -1          1

0   1         

0   0     30      -15



=



Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начинай с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как z== и yz=, то y ·

Отсюда, y-===. Из x-z=1 имеем =z+1=+1=

Ответ: x=, y=, z=.



Элементы теории вероятности и математической статистики

Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1—5.




ЗАДАЧА 3.



На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

А) нет упаковок с бумагой более низкого качества,

Б) есть одна упаковка такой бумаги.



Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть



====13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3.

а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

====11·23·8=2024

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P1==≈0,62

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: ====276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: ===4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно ·=276·4=1104

	Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов p2==≈0,34

Ответ: а) p1 =0,62; б) р2 =0,34.



		ЗАДАЧА 4.



Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?



Решение: Обозначим через А событие - «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H1-лампочка поступила с первого завода, H2-лампочка поступила со второго завода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно p(H1)==0,25; p(H2)==0,75.

Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – p(A/H1)==0,05, вторым заводом - p(A/H2)==0,10 искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности 

р(А) = P(H1)· p(A/H1)+P(H2)·(A/H2)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решения задачи 5 см. [5]глава 6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава 8 § J—3.



ЗАДАЧА 5.



Задан закон распределения дискретной случайной величены X:



X

-4

-2

0

2

4

6

8

p

0,05

p

0,12

0,23

0,32

0,14

0,04





Найти:

	а)	неизвестную вероятность р.

	б)	математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величены;



Решение:

	а)	так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение

	0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

	Отсюда р+0,9 = 1 и р=0,1.

	б)	Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.





7Дисперсия D=∑(x1)2·p1-M2=



i=1

=(-4)·0.05+(-2)2·0,1+02·0,12+22·0,23+42·0,32+62·0,14+82·0,04-(2,5)2=

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ =  =  ≈2,9





ЗАДАЧА 6.

Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств



x1-x2 ≥  2;

x1-3x2 ≥  10,

x1+2 x2 ≥4,

x1 ≤8,

x2≥0.



Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы

L=2x1+x2

Решение. Построим прямоугольную систему координат x1Ox2.  Если в этой системе построить прямую ax1 + bx2 = c, то она разобьет плоскость x1Ох2 на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах1+bx2≤c, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости,— неравенству. ах1+bx2≥c. Построим в плоскости x1Ox2 граничные прямые x1-x2=-2(AB), x1-3x2=-10(BC), x1+2 x2=4(AE), x1=8(CD) и x2=0(ED).

В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 12). Значения x1 и x2, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.

x2



E

 D х1



l10

Рис. 1

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения x1 и x2, при которых линейная форма, L (2) имеет минимум, и те значения x1 и х2, при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 1 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения x1 и х2 больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости x1Ox2 линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает значение L1, есть прямая 2x1+х2=L1(l1), которая перпендикулярна вектору N = 2i+j. Если прямую l1 передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора N, то линейная форма L будет возрастать, а если прямую передвигать в противоположном направлении — убывать. Построим прямую (l1) для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую 2x1+х2=0. Как видно из рис. 1 , при передвижении прямой l1 в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольника ABCDE. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно, Lmin=2·0+1·2=2, При дальнейшем передвижении прямой l1 параллельно самой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы L будет возрастать, и оно достигнет максимального значения в точке С(8; 6). Таким образом, Lmax=2·8+1·6=22.



1