Теория игр 4

Курсовая работа по курсу математики





Содержание





Введение



1. Понятие об игровых моделях



2. Платёжная матрица. Нижняя и верхняя цена игры



3. Решение игр в смешанных стратегиях



4. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования



Заключение



Список литературы



Введение





В нашей жизни часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.п., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнёров.



В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.



Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.



В первой главе «Понятие об игровых моделях» раскрываются основные понятия теории игр.



Во второй главе «Платёжная матрица. Нижняя и верхняя цена игры» описано как при помощи платёжной матрицы можно найти нижнюю и верхнюю цену игры.



В третьей главе «Решение игр в смешанных стратегиях» рассмотрено решение задачи.



В последней, четвёртой главе, «Приведение матричной игры к задаче линейного программирования» показано как платёжную матрицу можно решить при помощи линейного программирования.



Целью данной работы является - Понять теорию игр, для чего она нужна.



Для выполнения поставленной цели выявлены следующие задачи:



1. понятие «игровые модели»;



2. как используется линейное программирование.



1. Понятие об игровых моделях





Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:



1) варианты действий игроков;



2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров;



3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.



Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно. Например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш - единицей, а ничью .



Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.



Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b- выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.



Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем будем рассматривать только личные ходы игроков.



Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.



Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т. е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.



Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.



Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические.



2. Платёжная матрица. Нижняя и верхняя цена игры





Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А1, А2, …,Аm. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их В1,В2, …, Вn. Говорят, что игра имен размерность mn. В результате выбора игроками любой пары стратегий



Ai и Bi (I = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)



однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш aij игрока A (положительный или отрицательный) и проигрыш (- aij) игрока В. Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai, Bj). Матрица Р = (аij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В. 



Составим платёжную матрицу для следующей игры.



Таблица 1



Аj Bi	

B1	

B2	

…	

Bn	



A1	

a11	

a12	

…	

a1n	



A2	

a21	

a22	

…	

a2n	



…	

…	

…	

…	

…	



Am	

am1	

am2	

…	

amn	









1. Игра «поиск».



Игрок А может спрятаться в одном из убежищ ( I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдёт, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платёжную матрицу игры.



Решение. Для составления платёжной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через А1 или в убежище II - стратегия А2.



Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия В1, либо в убежище II - стратегия В2. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (А1, В1), то игрок А платит штраф, т.е. а11 = -1. аналогично получаем а22 = -1 (А2, В2). Очевидно, что стратегии (А1, В1) и (А2, В2) дают игроку А выигрыш 1, поэтому а12 = а21 = 1. 



- начало условия задачи; - окончание решения задачи.



Таким образом, для игры «поиск» размера 2 2 получаем платежную матрицу



Р =( ).



Рассмотрим игру m n с матрицей Р = (аij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n и определим наилучшую среди стратегий А1, А2, …, Аm. Выбирая стратегию Ai , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий Bj, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А).



Обозначим через аi наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Ai для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-ой строке платёжной матрицы), т.е. 



аij = i. (1.1)



среди всех чисел ?i (i = 1, 2, …, m) выберем наибольшее: ? = ?i. Назовем ? нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно, 



? = aij. (1.2)



Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию Bj , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим 



?j = aij (1.3)



Среди всех чисел ?j выберем наименьшее ? = ?j и назовем ? верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,



? = aij. (1.4)



Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.



Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 1. Рассмотрим платёжную матрицу



Р = ( ).



из задачи 1. При выборе стратегии А1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен ?1 = min(-1;1) = -1 и соответствует стратегии ?1 игрока В. При выборе стратегии А2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен ?2 = min(1;-1) = -1, он достигается при стратегии В2.



Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В, т.е. нижнюю цену игры ? = max(?1, ?2) = max(-1;-1) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: А1 или А2, т.е. любая его стратегия является максиминной.



Выбирая стратегию В1 (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А ответит стратегией А2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В1 равен ?1 = max(-1;1) = 1.



Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А) при выборе им стратегии В2 (столбец 2) равен ?2 = max(1;-1) = 1.



Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен ? = min (?1; ?2) = min(1;1) = 1 - верхней цене игры.



Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 1 строкой ?j и столбцом ?i , получим табл. 2. На пресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.



Таблица 2.



Аj Bi	

В1	

В2	

?i	



А1	

-1	

1	

-1	



А2	

1	

-1	

-1	



?j	

1	

1	

?=1 ?=-1	







В задаче 1, рассмотренной выше, верхняя и нижняя цены игры различны ? ? ?.



Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры ? = ? = v называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность - оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклонятся от своей оптимальной стратегии.



Пара чистых стратегий Аj и Bi даёт оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий элемент aij является одновременно наибольшим в своём столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если оан существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).



Обозначим А* и B* - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введём функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: Р(Аi , Bj) = aij. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: Р(Аi , B*) ? Р(А*, B* ) ? Р(А*, Bj), которое справедливо для всех i = 1, …, m; j = 1, …, n . действительно, выбор стратегии А* первым игроком при оптимальной стратегии B* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р(А*, B* ) ? Р(А*, B).



2. определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платёжной матрицей



0,5 0,6 0,8



Р = 0,9 0,7 0,8



0,7 0,6 0,6 



Таблица 3.



Аi Bj	

B1	

B2	

B3	

?i	



А1	

0,5	

0,6	

0,8	

0,5	



А2	

0,9	

0,7	

0,8	

0,7	



А3	

0,7	

0,6	

0,6	

0,6	



?j	

0,9	

0,7	

0,8	

? = ? = 0,7	







Имеет ли игра седловую точку? 



Решение. Все расчёты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец ?i и строка ?j (табл. 3). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец ?i : ?1 = 0,5, ?2 = 0,7, ?3 = 0,6 - минимальные числа в строках 1, 2, 3. Аналогично ?1 = 0,9, ?2 = 0,7, ?3 = 0,8 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. 



Нижняя цена игры ? = ?i = max (0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольшее число в столбце ?i) и верхняя цена игры ? = ?j = min(0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьшее число в строке ?j). Эти значения равны, т.е. ? = ?, и достигаются на одной и той же паре стратегий (А2, В2). Следовательно, игра имеет седловую точку (А2, В2) и цена игры = 0,7. 



3. Решение игр в смешанных стратегиях





Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не даёт оптимального решения игры. Так, в задаче 1 ? ? ?, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.



Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2, …,Аi, …, Аm с вероятностями р1, р2, …,рi, …, рm, причём сумма вероятностей равна 1: рi = 1. Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы



SA = А1 А2 … Аi … Аm



р1 р2 … рi … рm



или в виде строки SA = (р1, р2, …, рi, …, рm). Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:



SВ = В1 В2 … Вi … Вn , или SВ = (q1, q2, …, qj, qn),



р1 р2 … рj … рn 



где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: qj = 1.



Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S* A, S* В в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:



? ? v ? ?, (1.5)



где ? и ? - нижняя и верхняя цены игры.



Справедлива следующая основная теорема теории игр - теорема Неймана ( 1903-1957гг., американский математик). Каждая конечная игра имеет, по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.



Пусть S* A = (р1*, р2*, …, рm) и S* В = (q1*, q2*, …, qn*) - пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.



Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.



Эта теорема имеет большое практическое значение - она даёт конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.



Рассмотрим игру размера 2 2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.



Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S* A = (р1*, р2*) и S* В = (q1*, q2*).



Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S* A, то его средний выигрыш будет равен цене игры , какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2 2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) - случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен и для 1-ой, и для 2-ой стратегии противника.



Пусть игра задана платёжной матрицей



P = a11 a12



a21 a22



Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию S* A = ( ), а игрок В - чистую стратегию В1 (это соответствует 1-му столбцу платёжной матрицы P), равен цене игры :



a11 р1* + a21 р2* =.



Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-ой игрок применяет стратегию В2, т.е. a12 р1* + a22 р2* = . Учитывая, что р1* + р2* = 1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S* A и цены :



a11 р1* + a21 р2* =,



a12 р1* + a22 р2* =,



р1* + р2* = 1. (1.6)



Решая эту систему, получим оптимальную стратегию



p1* =,



р2*= . (1.7)



и цену игры



= . (1.8)



Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S* B - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры , т.е. 



a11 q1* + a12 q2* =,



a21 q1* + a22 q2* =,



q1* + q2*=1. (1.9)



Тогда оптимальная стратегия S* B (q1*, q2*) определяется формулами:



q1* = ,



q2* = . (1.10)



Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной в задаче 1.



3. Найти оптимальные стратегии игры, приведённой в задаче 1.



Решение. Игра поиск задана платёжной матрицей без Седловой точки:



Р = ( ), ? = -1, ? = 1.



Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средний выигрыш равен цене игры (при В1 и В2); для игрока В средний проигрыш равен цене игры (при А1 и А2). Системы уравнений (1.6) и (1.9) в данном случае имеют вид:



(-1) р1* + 1 р2*= , (-1) q1* + 1q2* = ,



1р1* - 1р2*=, 1q1* - 1 q2* = ,



р1* + p2*=1, q1*+ q2* = 1,



Решая эти системы, получаем р1* = р2* = q1* = q2* = , = 0.



Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью , при этом средний выигрыш равен 0.



4. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования





Игра m n в общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Её решение достаточно трудоёмко при больших m n, однако принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задачи линейного программирования. Покажем это. Пусть игра m n задана платёжной матрицей p = (aij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. Игрок А обладает стратегиями А1, А2, …, Аm, игрок В - стратегиями В1, В2, …, Вn. Необходимо определить оптимальные стратегии S* A = (р1*, р2*, …, рm*) и S* B = (q1*, q2*, …, qn*), где рi*, qj* - вероятности применения соответствующих чистых стратегий Аi, Вj,



р1*+ р2*+…+ рm*=1, q1*+q2*+…+ qn*=1.



Оптимальная стратегия S* A удовлетворяет следующему требованию. Она обеспечивает игроку А средний выигрыш, не меньший, чем цена игры , при любой стратегии игрока В и выигрыш, равный цене игры , при оптимальной стратегии игрока В. Без ограничения общности полагаем 0; этого можно добиться, сделав все элементы aij 0. если игрок А применяет смешанную стратегию S* A = (р1*, р2*, …, рm*) против любой чистой стратегии Вj игрока В, то он получает средний выигрыш, или математическое ожидание выигрыша ai = a1j р1+ a2j р2+…+ amj рm, j = 1, 2, …, n (т.е. элементы j-го столбца платёжной матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегий А1, А2, …, Аm и результаты складываются).



Для оптимальной стратегии S* A все средние выигрыши не меньше цены игры , поэтому получаем систему неравенств:



a11 р1 + a21 р2 +…+ am1 рm,



a12 р1 + a22 р2 +…+ am2 рm, (1.11)



a1n р1 + a2n р2 +…+amn рm.



Каждое из неравенств можно разделить на число 0. Введём новые переменные:



x1 = p1, x2 = р2, …, xm = рm. (1.12)



Тогда система (1.11) примет вид:



a11 x1 + a21 x2 +…+ am1 xm 1,



a12 x1 + a22 x2 +…+ am2 xm 1, (1.13)



a1n x1 + a2n x2 +…+ amn xm 1.



Цель игрока А - максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры .



Разделив на 0 равенство р1 + р2 +…+ рm = 1, получаем, что переменные xi (i = 1, 2, …, m) удовлетворяют условию: x1 + x2 +…+ xm = 1 . Максимизация цены игры эквивалентна минимизации величины 1 , поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных xi 0, i = 1, 2, …, m, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (1.13) и при этом линейная функция





Z = x1 + x2 +…+ xm (1.14)



Обращалась в минимум. Это задача линейного программирования. Решая задачу (1.13) - (1.14), получаем оптимальное решение р1*, р2*, …, рm и оптимальную стратегию S* A.



Для определения оптимальной стратегии S* B = (q1*, q2*, …, qn*) следует учесть, что игрок В стремится минимизировать гарантированный выигрыш, т.е. найти max . Переменные q1, q2, …, qn удовлетворяют неравенствам



a11 q1 + a12 q2 +…+ an1 qn ,



a21 q1 + a22 q2 +…+ a2n qn , (1.15)



am1 q1 + am2 q2 +…+ amn qn .



которые следуют из того что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры, какую бы чистую стратегию не применял игрок А. 



Если обозначить 



yj = qj , j = 1, 2, …, n, (1.16)



то получим систему неравенств:



a11 y1 + a12 y2 +…+ a1n yn 1,



a21 y1 + a22 y2 +…+ a2n yn 1, (1.17)



am1 y1 + am y2 +…+ amn yn 1.



Переменные yj (j = 1, 2, …, n) удовлетворяют условию y1 + y2 +…+ yn = 1.



Игра свелась к следующей задаче.



Определить значения переменных yj 0, j = 1, 2, …, n, которые удовлетворяют системе неравенств (1.17) и максимизируют линейную функцию



Z' = y1 + y2 +…+ yn, (1.18)



Решение задачи линейного программирования (1.16), (1.17) определяет оптимальную стратегию S* B = (q1*, q2*, …, qn*). При этом цена игры



= 1/max Z' = 1/min Z. (1.19)



Составив расширенные матрицы для задач (1.13), (1.14) и (1.17), (1.18), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспортированием:



a11 a21 … am1 1



a12 a22 … am2 1



... … … … …



a1n a2n … amn 1



a11 a12 … a1n 1



a21 a22 … a2n 1



… … … … …



am1 am2 … amn 1



Таким образом, задачи линейного программирования (1.13), (1.14) и (1.17), (1.18) являются взаимно - двойственными. Очевидно, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать ту из взаимно - двойственных задач, решение которой менее трудоёмко, а решение другой задачи найти с помощью теорем двойственности.



Приведём примеры экономических задач, которые описываются игровыми моделями m n и могут быть решены методами линейного программирования.



4. Предприятие может выпускать три вида продукции (А1, А2 и А3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырёх состояний (В1, В2, В3 и В4). Дана матрица (табл. 4.), её элементы аij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i -ой продукции с j - ым состоянием спроса.



Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределённым.



Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платёжной матрицей (см. табл. 4).



Таблица 4.

	

В1	

В2	

В3	

В4	



А1	

3	

3	

6	

8	



А2	

9	

10	

4	

2	



А3	

7	

7	

5	

4	







Прежде чем решать задачу, можно попытаться упростить игру, проведя анализ платёжной матрицы и отбросив стратегии, заведомо не выгодные или дублирующие. Так, вторая стратегия (второй столбец матрицы (табл. 4)) является явно не выгодной для игрока В по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока В - уменьшить выигрыш игрока А. поэтому второй столбец можно отбросить. Получим матрицу P размера 3 3:



3 6 8



Р = 9 4 2 



7 5 4



Таблица 5.



Вид продукции	

Спрос	

В1	

В3	

В4	

?i	



А1	

3	

6	

8	

3	



А2	

9	

4	

2	

2	



А3	

7	

5	

4	

4	



?j	

9	

6	

8	

6	

4	







Определим нижнюю верхнюю цены игры в табл. 5.



Так как , то седловая точка отсутствует, и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков:



S* A = (р1, р2, р3) и S* B = (q1, q2, q3).



обозначив x1 = p1, i = 1, 2, 3 и yj = qj , j = 1, 2, 3, составив две взаимно - двойственные задачи линейного программирования (см. (1.13) - (1.14) и (1.17) - (1.18)).



Задача 1



3x1 + 9x2 + 7x3 1,



6x1 + 4x2 + 5x3 1,



8x1 + 2x2 + 4x3 1,



xi 0, i = 1, 2, 3



Задача 2



3y1 + 6y2 + 8y3 1,



9y1 + 4y2 + 2y3 1,



7y1 + 5y2 + 4y3 1,



yj 0, j = 1, 2, 3,Z = x1 + x2 + x3 min 



Z = y1 + y2 + y3 max



Решаем симплексным методом одну из задач, например, задачу 2, поскольку для неё первое базисное решение будет допустимым. Введём добавочные переменные и перейдём к уравнениям:



3y1 + 6y2 + 8y3 + y4 = 1,



9y1 + 4y2 + 2y3 + y5 = 1,



7y1 + 5y2 + 4y3 + y6 = 1,



yj 0, j = 1, 2, …, 6.



I шаг. Основные переменные - y4, y5, y6; неосновные переменные - y1, y2, y3.



y4 = 1 - 3y1 - 6y2 - 8y3,



y5 = 1 - 9y1 - 4y2 - 2y3,



y6 = 1 - 7y1 - 5y2 - 4y3,



Z' = y1 + y2 + y3.



Базисное решение Y1 = (0; 0; 0; 1; 1; 1) допустимое; переводим y2 в основные; y2 = min ;; =; переводим y4 в неосновные переменные.



II шаг. Основные переменные - y2, y5, y6; неосновные переменные - y1, y3, y4.



Получим после преобразований:



y2 = - y1 - y3 - y4,



y5 = - 7 y1 - y3 - y4,



y6 = - y1 - y3 - y4,



Z' = + y1 - y3 - y4.



Базисное решение: Y2 = (0; ; 0; 0; ; ). Переводим y1 в основные; y1 = min ; ; = . Переводим y6 в неосновные переменные.



III шаг. Основные переменные - y1, y2, y5; неосновные переменные - y3, y4, y6;



y1 = - y3 + y4 - y6, 



y2 = - y3 - y4 + y6,



y5 = + y3 - y4 + y6, 



Z' = - y3 - y4 - y6. 



Базисное решение Y3 = (;; 0; 0; ; 0).



Так как отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то критерий оптимальности выполнен, max Z' = и базисное решение Y3 = (;; 0; 0; ; 0) является оптимальным.



Установим соответствие между переменными взаимно - двойственных задач и определим оптимальное базисное решение задачи 1 с помощью теорем двойственности:



x1 x2 x3 x4 x5 x6





y4 y5 y6 y1 y2 y3



0 0 



Оптимальное базисное решение задачи 1: (; 0; ; ; 0; ), при чём min Z = max Z' = . Из соотношений (1.19) находим цену игры = = == = 5,4. оптимальную стратегию S* A = (р1*; р2*; р3*) находим, используя (1.12): рi* = xi , i = 1, 2, 3, т.е.



р1* = 5,4= 0,4, р2* = 5,4 0 = 0,



р3* = 5,4= 0,6; S* A = (0,4; 0; 0,6).



Следовательно, предприятие должно выпустить 40% продукции А1 и 60% продукции А3, а продукцию А2 не выпускать.



Оптимальная стратегия спроса S* B определяется аналогично: qj* = yj, j = 1, 2, 3, т.е. S* B = (0,2; 0; 0,8; 0) (здесь учтено, что второй столбец исходной матрицы был отброшен как невыгодный). Таким образом, оптимальный спрос в 20% находится в состоянии В1 и в 80% - в состоянии В3.



При решении произвольной конечной игры размера m n рекомендуется придерживаться следующей схемы:



1. Исключить из платёжной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для игрока А (игрока В) являются те, которым соответствуют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).



2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадает с верхней (нижней) ценой.



3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Для игр размера m n рекомендуется симплексный метод, для игр размера 2 2, 2 n, n 2 возможно геометрическое решение.



На практике реализация оптимального решения S* = А1 … Аm 



p1 … р2





в смешанных стратегиях может происходить несколькими путями. Первый состоит в физическом смешении чистых стратегий Аi в пропорциях, заданных вероятностями рi.



Другой путь - при многократном повторении игры - в каждой партии чистые стратегии применяются в виде случайной последовательности, причём каждая из них - с частотой, равной её вероятности в оптимальном решении.



Рассмотрим ещё одну экономическую задачу, сводящуюся к игровой модели.



5. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу отправить потребителю (стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия А2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия А3) для длительного хранения. 



Потребитель может приобрести продукцию: немедленно (стратегия В1), в течение небольшого времени (В2), после длительного периода времени (В3).



В случае стратегий А2 и А3 предприятие несёт дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для А1, однако при А2 следует учесть возможные убытки из -за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии В2 или В3.



Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А1, А2, А3, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка) при матрице затрат, представленной в табл. 6.



Таблица 6.



Аj Bi	

B1	

B2	

B3	



А1	

2	

5	

8	



А2	

7	

6	

10	



А3	

12	

10	

8	







Решение. Получаем игру с платёжной матрицей 2 5 8



Р = 7 6 10.



12 10 8



В этой матрице первую строку можно отбросить как невыгодную (её элементы меньше соответствующих элементов второй строки). Матрица примет вид



7 6 10



Р = 12 10 8.



Элементы первого столбца больше соответствующих элементов второго столбца, поэтому его можно отбросить.



Игра упростилась:



Р =6 10



10 8.



По формулам (1.7) и (1.8) находим:



Р2* = = ; р3* = 1 - = ;



= = = 8.



Вывод: оптимальная стратегия производителя продукции S* A = (0; ; ), т.е. стратегия А1 не применяется, продукции отправляется на склад (стратегия А2), продукции дополнительно обрабатывается (стратегия А3), при этом цена игры = 8. 



Заключение





При рассматривании задач, попыталась раскрыть суть теории игр.



Теория игр рассматривает разные методы для решения конфликтных ситуаций, такие методы разработаны математической теорией этих ситуаций.



Теория игры состоит из игровой модели (игра, проигрыш и выигрыш, парная и множественная игра, личный и случайный ход и т.п.), т.е. всё то, из чего может состоять сама игра. Теорию игры можно решить с помощью линейного программирования (когда существует система линейных функций).



С помощью линейного программирования можно рассматривать такие модели как: симплексный и распределительный метод решения задач, теория двойственности, а также некоторые модели «конфликтных» ситуаций (элементы теории игр), которые были рассмотрены в данной работе.



Таким образом, теория игр существует, для того чтобы грамотно решать конфликтные ситуации с помощью математических моделей, возникшие между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом и другими лицами.



Список литературы





1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов. /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ , 2004. - 407с.



2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 543с.



3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1998. - 576с.