Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа

Контрольная работа 3.



1.  Прибор может работать в двух режимах  нормальном и ненормальном. Нормальный режим встречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный  в 20%. Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном  0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

Решение 





Пусть гипотезы       и        состоят в том что прибор работает:

в нормальном режиме, вероятность 

            -    в ненормальном режиме, вероятность 

Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.

Пусть событие А состоит в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления А равна

При условии что режим работы ненормальный вероятность наступления А 

По формуле полной вероятности вычислим вероятность того что прибор выйдет из строя за время t





Ответ: 0,22





2.   В лотерее каждый  десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль. Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он: 

а) не будет в проигрыше;

б) будет в выигрыше.



Решение



Вероятность выиграть по произвольному билету, по формуле классической вероятности равна p=0.1

Проводится n=10 испытаний c одинаковой вероятностью наступления события в каждом.

Для того чтобы игрок не был в проигрыше, должен выиграть хотя бы один билет то есть k>=1

Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выиграть как минимум два билета или k>1

По формуле Бернулли,



















 Теперь найдем вероятность противоположного события p(k>=1)=1-p(k<1)=1-0.349=0.651 – вероятность не оказаться в проигрыше

P(k>=1)=p(k>1)+p(k=1) – вероятность суммы несовместных событий

P(k>1)=p(k>=1)-p(k=1)=0.651-0.387=0.264 – вероятность выигрыша



Ответ: а)0,651  б)0,264





3.  Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000  посаженных семян прорастает:

а) 1600 семян;

б) не менее 1600 семян.



Решение

Мы имеем дело с серией последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойти событие А (семя прорастает)

 Количество испытаний n=2000

 Вероятность наступления события А равна p(A)=0.8=p

q=1-p=1-0.8=0.2

Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что n достаточно велико, удобно применить для вычислений локальную теорему Муавра-Лапласа. Вероятность того, что событие А наступит ровно k=1600раз, приблизительно равна













Здесь                                 - локальная функция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.

Получим









Ответ :0,0223

4. В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины --- числа исправных батареек среди извлеченных.



Решение

Пусть Х- дискретная случайная величина- число неисправных батареек. Х может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х.

Вероятность для каждой батарейки быть неисправной определяем по формуле классической вероятности.



Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0.231, q=1-p=0.769

По формуле Бернулли











Проверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00

Получаем закон распределения случайной величины Х:

Х

0

1

2

3

Р

0,455

0,410

0,123

0,012







5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем P(X>2) = 0,5, а P(1<X<3) = 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.



Решение

Для случайной величины X с нормальным распределeнием                  вероятность попадания в интервал               равна



					,где Ф(х) – интегральная функция Лапласа, 



значения которой табулированы.

По этой формуле





Отсюда следует что 



Из таблиц определяем a=2 – математическое ожидание Х

Кроме того







Значит





из таблицы определяем что				-среднеквадратическое 

отклонение 	

Дисперсия 







Ответ : Математическое ожидание  

	Дисперсия