Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Курсовая работа

		

		"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"

		

		

		
Введение

		

		В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.

		В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.

		Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.

		В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.

		Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.

		В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

		

		

		
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

		

		Определение. Пусть  – подгруппа группы . Цепь подгрупп

		

		

		

		в которой  для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число  – длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы  в  и обозначается через .

		Определение. Пусть  – подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

		Лемма. Если  субнормальна в , и  субнормальна в , то  субнормальна в .

		 субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

		

		

		

		 субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

		

		

		

		Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

		

		

		
то есть  субнормальна в  по определению. Лемма доказана.

		Теорема. Если подгруппа  субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

		

		

		

		Доказательство. Пусть  – дефект подгруппы  в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

		

		

		

		Из того, что  не нормальна в , следует, что .  не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что  – дефект подгруппы  в группе , так как в этом случае подгруппу  в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент  такой, что . Теперь имеем

		

		

		

		Так как , то . С другой стороны,  и , откуда получаем . Теорема доказана.

		Определение. Пусть  – субнормальная подгруппа дефекта  в . Субнормальная -цепь

		

		

		

		называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

		

		


		

		имеет место , , ,…, .

		Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

		Теорема. Если  субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

		Доказательство. Пусть  – дефект подгруппы  в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .

		

		

		

		все субнормальные -цепи длины  ( – второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…,  мы имеем

		

		

		

		Таким образом, цепь

		

		

		

		является субнормальной -цепью длины  и, следовательно, не имеет повторений. Так как  при любых  и , то теорема доказана.

		Теорема. Если  субнормальна в  и  – подгруппа , то пересечение  есть субнормальная подгруппа .

		Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

		


		

		Положим . Получаем цепь

		

		

		

		Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит,  и . Тогда для любого , так как  и .

		Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

		Следствие. Пусть  и  – подгруппы группы . Если  субнормальна в  и  – подгруппа , то  субнормальна в .

		Доказательство. Пусть  и цепь

		

		

		

		является субнормальной -цепью.

		Положив , получим субнормальную -цепь

		

		

		

		что и требовалось.

		Теорема. Пусть  субнормальна в  и  субнормальна в . Тогда пересечение  есть субнормальная подгруппа в.

		Доказательство. Пусть  – наибольший из дефектов подгрупп  и  в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи

		

		

		

		

		Положим , , ,…, . Из ,  следует, что  нормальна в . Следовательно, цепь

		

		

		

		является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

		Лемма. Если  субнормальна в , а  – нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

		Доказательство.  субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

		

		

		

		Следовательно, цепь

		

		

		

		будет субнормальной.

		Действительно, так как  и , то . Лемма доказана.

		Лемма. Если подгруппы  и  субнормальны в  и , топроизведение  есть субнормальная подгруппа группы .

		Доказательство. Если  нормальна в , то результат следует по лемме 1.9.

		Предположим, что  не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если  и  субнормальны в  причем  и , то по индуктивному предположению  субнормальна в .

		Пусть  – каноническая субнормальная -цепь. Так как  нормализует подгруппу , то для любого  цепь

		

		

		

		будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит,  для любого , ,…,  (по определеделению).

		Следовательно,  содержится в  для любого . Так как  и , то по индукции  субнормальна в . По следствию 1.7.1  субнормальна в . Так как  и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме 1.9 подгруппа  субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

		Теорема. Если  и  – субнормальный подгруппы группы , то  есть также субнормальная подгруппа .

		Доказательство. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1  субнормальна в . Докажем, что  нормальна в . Предположим противное, то есть что  не нормальна в . Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент , что ,  и . Так как  субнормальна в  и , то  субнормальна в . Получается следующая ситуация:  и  субнормальны в , . По лемме 1.10  субнормальна в . Ввиду выбора  отсюда следует , что противоречит .

		Итак,  нормальна в , а значит,  и  нормализуют подгруппу . По лемме 1.10  и  субнормальны в . Так как  и , то ввиду выбора  получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

		Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.

		Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы  образует подрешетку решетки .

		Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.

		Теорема. Пусть  – некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

		1) если  и , то ;

		2) если , , , , то .

		Тогда  для любой подгруппы .

		Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу  из . Если  не нормальна в , то по теореме 1.4 найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если  не нормальна в , то найдется  такой, что , , . Тогда  и . Если  не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как  конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где  – некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

		Следствие. Если  – непустой радикальный класс, то  содержит все субнормальные -подгруппы группы .

		Доказательство. Пусть  – множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что  удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

		Следствие. Для любой субнормальной подгруппы  группы  справедливы следующие утверждения:

		1) если  – -группа, то ;

		2) если  нильпотентна, то ;

		3) если  -нильпотентна, то ;

		4) если  разрешима, то .

		

		2. Минимальные не -группы

		

		Лемма [3]. Пусть , где  – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

		1) группа  монолитична с монолитом

		

		2)  – -группа для некоторого простого ;

		3)  – -эксцентральный главный фактор ;

		4) ;

		5) если группа  неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

		6) если  абелева, то она элементарна;

		7) если , то  – экспонента ; при  экспонента  не превышает 4;

		8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы  из  имеет место

		

		

		

		9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы  сопряжены в ;

		10) если  и подгруппа  содержит , то  для любого полного локального экрана  формации ;

		11) если  – -абнормальная максимальная подгруппа группы  и  – некоторый полный локальный экран , то  – минимальная не -группа и либо , либо .

		Доказательство. 1) Пусть  – минимальная нормальная подгруппа из  такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак,  – минимальная нормальная подгруппа . Так как  – формация, то, нетрудно заметить, что  – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

		

		

		

		Отсюда следует, что

		

		

		

		2) Выше мы показали, что  – главный -фактор. Покажем, что  – -группа. Предположим противное. Пусть простое число  делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где  – содержащаяся в  силовская -подгруппа из . Тогда

		

		

		

		Отсюда и из насыщенности  получим . Но тогда , что невозможно.

		Пусть  – главный фактор группы . Ввиду 2)  является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы  является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы  покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что  -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

		Обозначим через  коммутант группы . Так как  – -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы  на участке от  до  -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности  заключаем, что . Так как

		

		

		

		то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.

		Докажем 7). Предположим, что  неабелева. Пусть  – произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

		

		

		

		для всех элементов , из . Это означает, что  имеет экспоненту . Учитывая это и то, что  содержится в , получаем для любых , из  при :

		

		

		Значит, отображение  является -эндоморфизмом группы . Так как

		

		

		
то  -гиперцентральна в . Вспоминая, что  – -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как  имеет экспоненту , то утверждение 7) при  доказано.

		Пусть . Тогда

		

		

		

		где . Рассматривая отображение  как и выше получаем, что . Значит  имеет экспоненту не больше 4.

		Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в  найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем  для любой -абнормальной максимальной подгруппы  группы . Нетрудно показать, что .

		По теореме 7.11 из [5],

		

		

		

		Так как , то

		

		

		

		Ввиду того, что  и  – главный фактор , имеем . Итак, . Пусть  – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

		


		

		Не ограничивая общности, положим . Тогда  – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что  и . Но  – -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана  имеет место

		

		

		

		

		то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы  принадлежит . Допустим, что . Тогда

		

		

		

		и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е.  – минимальная не -группа.

		Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где  и , где . Для всякого  через  обозначим подгруппу . Предположим, что все  отличны от . Так как , то  – дополнение к  в . Если  для всех различных  и , то

		

		

		
и поэтому . Противоречие. Значит  для некоторых различных  и . Из последнего вытекает

		

		

		

		что невозможно. Полученное противоречие показывает, что  для некоторого  и, следовательно, . Лемма доказана.

		Лемма [4]. Пусть  – наследственная локальная формация,  – такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда  равносильно .

		Доказательство. Пусть . Тогда , и если  – произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и  принадлежит . Следовательно, .

		Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть  – произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть  – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация  наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то  вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.

		Лемма [3]. Пусть  – локальная наследственная формация,  – некоторый ее полный экран. Группа  принадлежит  тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

		1) ;

		2) , где  – главный -фактор группы ,  – минимальная не -группа.

		Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

		Достаточность. Пусть  и  – произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если  -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

		

		

		

		Следовательно,  и по лемме 2.1  – -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

		Лемма [3]. Пусть  – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

		1)  для любого  из ;

		2)  тогда и только тогда, когда  для любого  из ,  – главный  фактор , .

		Доказательство. 1) Пусть  – произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть  – подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как  – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5]  для любого  из . Если , то из того, что  следует . Получили противоречие. Итак,  – собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

		2) Пусть . Покажем, что . Так как

		


		

		то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть  – произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что  – -группа. Так как  и  – постоянный экран, то . Пусть  – произвольная собственная подгруппа из . Так как формация  наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

		

		

		

		Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что

		

		

		

		есть главный -фактор группы .

		Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть  – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

		

		

		

		Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда  – собственная подгруппа группы . Тогда

		


		

		Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

		Лемма. Пусть  – непустая наследственная формация. Тогда:

		1) если  – подгруппа группы  и , то  -субнормальна в ;

		2) если  -субнормальна в ,  – подгруппа группы , то  -субнормальна в ;

		3) если  и  -субнормальные подгруппы , то  – -субнормальная подгруппа ;

		4) если  -субнормальна в , а  -субнормальна в , то  -субнормальна в ;

		5) если все композиционные факторы группы  принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы  является -субнормальной;

		6) если  – -субнормальная подгруппа группы , то  -субнормальна в  для любых .

		Лемма. Пусть  – непустая формация,  – подгруппа группы ,  – нормальная подгруппа из . Тогда:

		1) если  -субнормальна в , то  -субнормальна в  и  -субнормальна в ;

		2) если , то  -субнормальна в  тогда и только тогда, когда  -субнормальна в .

		

		3. Формации с решеточным свойством

		

		Лемма [1]. Пусть  – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

		1)  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

		2) группа  принадлежит , если ,  – -субнормальные -подгруппы группы ;

		3)  – формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы  содержится в -радикале этой группы.

		Установим, что из 1) следует 2).

		Пусть  – контрпример минимального порядка. В этом случае , где  -субнормальная -подгруппа группы , , и  не принадлежит . Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора  имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация  является насыщенной. Поэтому группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и .

		Если , то  – простая группа. Так как  и  – -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .

		Пусть . Рассмотрим подгруппы  и . Так как  – собственная -субнормальная подгруппа  и , то нетрудно видеть, что  – собственная подгруппа , . Покажем, что .

		Рассмотрим два случая.

		1. Пусть  – абелева группа. Тогда  – -группа,  – простое число. Так как  и подгруппа  -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .

		2. Пусть  – неабелева группа. В этом случае

		

		

		
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

		Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа  -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа  -субнормальна в группе . Пусть

		

		

		

		Ввиду леммы 2.5 подгруппа  -субнормальна в  для любого  из . Так как формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то  – -субнормальная подгруппа . Кроме того, из  следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как  нормальна в , то  нормальна в . Но

		

		

		

		где  – неабелева простая группа и  для всех . Поэтому

		

		

		

		Из  и наследственности формации  следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа  -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из  получаем что

		


		

		Пусть  – добавление к подгруппе  в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации  из

		

		

		

		и

		

		

		

		получаем, что . Итак, ,  и .

		Используя тождество Дедекинда, имеем

		

		

		

		Если предположить, что , то . В этом случае

		

		

		

		Так как , то  не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

		Так как подгруппа  -субнормальна в группе  и , то из наследственности формации  следует, что подгруппа  -субнормальна в .

		Так как формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то  – -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из  и наследственности формации  имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в  подгруппы .

		Пусть . Из , нормальности  в  и нормальности  в  следует, что  нормальна в .

		Так как

		

		

		

		то

		

		

		

		Таким образом получаем

		

		

		

		Так как , то  – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в  подгрупп  и  следует, что подгруппа

		

		

		-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

		Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где  – нормальная -подгруппа группы , . Так как

		

		

		
и , то . Из наследственности формации  получаем, что подгруппа  -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа  теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

		

		

		

		Следовательно,  – формация Фиттинга.

		Пусть  – -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа  -субнормальна в  для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

		

		

		

		Отсюда следует, что

		

		

		

		Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть  и  – -субнормальные подгруппы группы  и . Если  – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что  – -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа  -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа  -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.

		Будем далее считать, что  для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3  субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

		


		

		Это означает, что . Противоречие. Значит  и . Аналогично доказывается, что . Итак,  и .

		По условию леммы  – формация Фиттинга и , . Следовательно,

		

		

		

		Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

		

		

		

		Из наследственности формации  следует, что  – -субнормальная подгруппа группы .

		Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп  и  группы  -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5  – также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

		Лемма [1]. Пусть  – наследственная локальная формация. Если  замкнута относительно расширений, то формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

		Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

		Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации  и  обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

		Пусть  обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть  – некоторое семейство классов групп. Обозначим через  класс всех групп , представимых в виде

		

		

		

		где  и , .

		Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

		1) пусть  – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

		2) пусть  – некоторое семейство наследственных локальных формаций и  для любых . Тогда и только тогда формация

		

		

		

		обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого  формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

		Пусть формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1  и  – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что  также является формацией Фиттинга.

		Пусть  – -субнормальная подгруппа группы  и . Ясно, что подгруппа  -субнормальна в  для любого . Так как  и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что  и . Следовательно,

		

		

		

		Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

		Докажем утверждение 2). Пусть формация

		

		

		

		обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация  обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

		Обратно, пусть для любого  формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

		

		

		

		Индукцией по порядку группы  покажем, что любая группа , где ,  – -субнормальные -подгруппы группы  принадлежат .

		Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как  – насыщенная формация, то  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и . Ясно, что

		


		

		Отметим также, что

		

		

		

		где  – изоморфные простые группы для .

		Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа  -субнормальна в , то . Тогда по индукции

		

		

		

		Рассмотрим пересечение . Если

		

		

		то

		

		

		Отсюда и из того факта, что  – нормальная подгруппа  и  следует, что .

		Пусть . Так как  – нормальная подгруппа из , то  – нормальная подгруппа из . А это значит, что

		

		

		

		Из наследственности формации  и  получаем, что . Но тогда .

		Из строения  и

		


		

		для любых , следует, что  для некоторого . Так как

		

		

		

		то нетрудно видеть, что группа  имеeт -холловскую подгруппу .

		Так как , то  – -субнормальная подгруппа группы . Так как ,  и ,  – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

		

		

		

		Отсюда и из  ввиду  получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

		

		

		

		Отсюда и из -субнормальности  и  в  нетрудно заметить, что ,  – -субнормальные подгруппы группы . Из  и  ввиду наследственности  следует, что  и . Так как по условию формация  обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

		

		

		
Итак,  содержит некоторую группу , где ,  – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация  обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

		Лемма [1]. Пусть  – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

		1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то  имеет вид

		

		

		

		где  для любых  из ;

		2) если  – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

		1) Покажем, что  является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что  и .

		Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

		

		

		

		где  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы ,  ( – простое число), а  – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

		Докажем, что  – циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в  найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы  и . Рассмотрим в  подгруппу , . Ясно, что  -субнормальна в , . Из ,  и  по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

		Следовательно,  – циклическая группа порядка , где  – некоторое простое число, ,  – натуральное число. Допустим, что . Обозначим через  – регулярное сплетение циклических групп  и  соответственно порядков  и .

		По теореме 6.2.8 из [2]  изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как  и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

		Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где  – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

		

		

		

		следует что .

		Рассмотрим в  подгруппы  и , где  – база сплетения . Ясно, что  -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

		

		

		

		Так как , то  по лемме 3.1. Получили противоречие.

		Следовательно,  и  – группа Шмидта. Если  и , то по лемме 1.1.6  также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12  является наследственной формацией.

		Покажем, что формация  имеет такой локальный экран , что

		


		

		p(F)p'(F)p(F) Действительно. Пусть  – локальный экран формации . Так как  для любого простого числа  из , то . Покажем обратное.

		Пусть  – группа минимального порядка из . Так как  – наследственная формация и  – насыщенная формация, то  – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

		

		

		

		где  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем  – -группа, , а  – минимальная не -группа. Как показано выше  является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

		Пусть  – группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

		Пусть  – группа Шмидта. Тогда  – группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

		

		

		

		Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .

		Итак,  и  – полный локальный экран формации .

		Покажем, что  либо  для любых простых , .

		Вначале докажем, что из  следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль  над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

		Возьмем группу . Так как  и  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль  над полем . Рассмотрим группу

		

		

		

		Так как

		

		

		

		то . Ясно, что . Так как , то найдется  такой, что . Заметим, что . Тогда

		

		

		

		Так как , то  -субнормальна в  и  -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

		Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль  над полем .

		Группа  принадлежит  ввиду  и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа  формации  не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что  для некоторого , причем подгруппы ,  -субнормальны в , причем ,  принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

		Следовательно, если , то , а значит . Более того, если

		

		

		

		где  и , то  и , а значит, .

		Таким образом, множество  можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где  для любых  из  и  для . Покажем, что

		

		

		

		Обозначим

		

		

		

		Так как для любого  имеет место , то включение  очевидно.

		Допустим, что множество  непусто, и выберем в нем группу  наименьшего порядка. Так как  – наследственная формация, то . Группа  непримарна в силу равенства  и локальности формации . Из строения

		

		

		

		

		и  нетрудно показать, что  – группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где  – элементарная абелева -группа,  – некоторые простые числа. Так как , то

		

		

		Как показано выше,  для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,

		

		

		

		где  для всех .

		Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.

		Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация  тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда

		

		

		

		
Заключение

		

		В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.

		В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.

		

		

		
Список использованных источников

		

		1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.

		2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.

		3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.

		4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.

		5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.

		6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.

		7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.

		8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.

		9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.

		10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.