Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) , задано некоторое распределение с функцией распределения и  —  произвольная с. в., имеющая распределение . 

Определение. 

Говорят, что последовательность с. в. при сходится слабо  или по распределению  к с. в.  и пишут:   ,  или   ,  или  , 
если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость    при  . 

Иначе говоря, слабая сходимость  —  это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 1. 

Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то 

   и т.д. (продолжить ряд). 

Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями. 

Свойство 2. 

1. Если , то . 

2. Если , то . 

Свойство 3. 

1. Если и , то . 

2. Если и , то . 

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм  независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. 

Центральная предельная теорема. 

Пусть  —  независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых случайных величин: . 

Тогда последовательность случайных величин  слабо сходится к стандартному нормальному распределению. 

Доказательство.

Пусть  —  последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через  —  дисперсию . Требуется доказать, что 



Введем стандартизированные случайные величины  —  независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что 

  						

Характеристическая функция величины равна 



Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим 



Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:



В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :

     

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ. 

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на , утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие. 

Пусть  —  независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ. 

Для любых вещественных при имеет место сходимость 



Для любых вещественных при имеет место сходимость 



Для любых вещественных при имеет место сходимость 



Если  —  произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то 





Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра  —  Лапласа. 

Пусть  —  событие, которое может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью . Пусть  —  число осуществлений события в испытаниях. Тогда . 

Иначе говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость 



Доказательство.

По-прежнему есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха : 





Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1. 

З а д а ч а.       Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую. 

Р е ш е н и е.   Требуется найти , где ,  —  число выпадений герба, а  —  независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии одного слагаемого. 



Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра  —  Лапласа, последовательность 



слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение . 



Пример 2.

Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы  распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как <Z> = <N><Q>

- где <N>, <Q> - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr: 

Тr = [(Т0)/(<N><Q>)](<N>DQ + <Q>2DN) 0.5

- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев.

В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем:

Тr = (Т0)/N0.5

Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня страховых выплат значительно меньше единицы.

При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.