Обусловленность матрицы

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный технический университет

Бердский филиал





















Расчетно-графическая работа

по курсу: «Вычислительная математика»





Выполнила:

Студентка II курса

Булгакова Н.

Группы ВТБ-81

Проверил:

Преподаватель

Голубева Елена Николаевна







г. 362964Бердск,

2010


Задание 1 Обусловленность матрицы



Задание: Дана система  уравнений ax=b порядка n. Исследовать зависимость погрешности решения x от погрешностей правой части системы b.





погрешность уравнение координата интерполяция дифференциальный

Задать матрицу системы A и вектор правой части b, найти решение x системы Ax=b с помощью метода Гаусса.

Принимая решение x, полученное в п.1, за точное,  вычислить вектор 







относительных погрешностей решений  систем ,где компоненты векторов  вычисляются по формулам:







(-произвольная величина погрешности).

На основе вычисленного вектора d  построить гистограмму. По гистограмме определить компоненту  , вектора b, которая оказывает наибольшее влияние на погрешность решения. 

Вычислить число обусловленности cond(A) матрицы A.

Оценить теоретически погрешность решения  по формуле: 






Сравнить значение  со значением практической погрешности  Объяснить полученные результаты.



Решение

Задаём матрицу А.







Для заполнения используем код программы zapolnenie.cpp (см. приложение)



#include <iostream.h>

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <windows.h>

#include <dos.h>

main()

{

	double matr[100][100];



	for (int i=1;i<7;i++)

{

            for (int j=1;j<7;j++)

	   matr[i][j]= 1000/(3*(pow(0.1*21*i*j,2))+pow(0.1*21*i*j,3));

}

	for ( int j=1;j<7;j++)

{ 

			for ( int i=1;i<7;i++)



printf("%10.4f",matr[j][i]);

printf("\n");

}

	

   getchar();

}



Результат работы zapolnenie:



       



Найдем решение полученной матрицы используя программу gauss.cpp (см приложение)

Исходный  код   gauss.cpp:



#include <iostream.h>

#include <stdio.h>

#include <windows.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>



const int sz=6;




double A[sz][sz]={

            {44.4622,    7.8735,    2.7092,    1.2432,    0.6719,     0.4038},

             {7.8735,    1.2432,    0.4038,    0.1789,    0.0945,     0.0558},

             {2.7092,    0.4038,    0.1278,    0.0558,    0.0292,     0.0172},

             {1.2432,    0.1789,    0.0558,    0.0242,    0.0126,     0.0074},

             {0.6719,    0.0945,    0.0292,    0.0126,    0.0065,     0.0038},

             {0.4038,    0.0558,    0.0172,    0.0074,    0.0038,     0.0022}

			   }    ;

double  F[sz]={21.00,21.00,21.00,21.00,21.00,21.00} ;

double  X[sz];

double  b[sz+1],par;



//   функция вывода матрицы на экран

void Viv(double A[sz][sz])

{

int i,j;

for( i=0;i<sz; i++)

{

	for( j=0;j<sz; j++)

   printf(" %.4f  ",A[i][j]); //вывод на экрам исходной матрицы с заданным количеством знаков после запятой (5f)

   printf(" %.4f  ",F[i]);

   cout<<endl;

}

 system("pause");

}



///////////////  функция решения методом Гаусса  

void Resh(double A[sz][sz],double F[sz],double X[sz])

{

int i,j,k;

 for (k=0;k<sz;k++)

 	{

		// проверяем первый элемент

			if (A[k][k]==0) //проверка на неноль

				{

   				for (i=k;A[i][k]==0;i++);      // находим ненулевой 1й элемент

   				for(j=k;j<sz;j++)               // меняем строки  в матрице

     					{

      					par=A[k][j];    //смена строк в матрице

      					A[k][j]=A[i][j]; //путем записи в par и извлечения из него

                     A[i][j]=par;

     					}

                par=F[k]; // смена строк  в ответе

                F[k]=F[i];

                F[i]=par;



   			}



		// получаем 1й элемент единицу   (делим всю первую строку на a1,1  )

			par=A[k][k]; //пишем в par первый элемент

 			for(int i=k;i<sz;i++)

         A[k][i]=A[k][i]/par;

         F[k]=F[k]/par;      // делим ответ на 1й




      // нулевой столбец

			for(int j=k+1;j<sz;j++)

				{

					for(int i=k;i<sz;i++)

               b[i]=A[k][i]*A[j][k];

               b[sz]= F[k]*A[j][k];



             	for(int i=k;i<sz;i++)

               A[j][i]-=b[i];

               F[j]-=b[sz];

				}

	}

 for(i=sz-1;i>=0;i--) //обратка

	{

		par=0;

		for	(j=0;j<sz-1-i;j++)

      par+=A[i][sz-j-1]*X[sz-1-j];

		X[i]=F[i]-par;

	}

}



//функция - точка входа в программу

void main()

{

  Viv(A);  		// выводим матрицу

  Resh(A,F,X);   // решаем матрицу A методом Гаусса

  for(int i=0;i<sz;i++)  printf("\nX[%d]= %.5f \n\r",i,X[i]);   // вывод результата




 system("pause");

}



Результат работы gauss:

====================================================

точное

====================================================

44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



X[0]= 872.15582



X[1]= -16329.24792



X[2]= 10011.59140



X[3]= 111650.80126



X[4]= -26697.87796



X[5]= -144076.29603



Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================




Вычисляем вектор  d.

Величина погрешности, вносимой в правую часть системы –  1%.

Сформируем векторы b (по заданному закону)



b1

b2

b3

b4

b5

b6

20,79

21

21

21

21

21

21

20,79

21

21

21

21

21

21

20,79

21

21

21

21

21

21

20,79

21

21

21

21

21

21

20,79

21

21

21

21

21

21

20,79



Для каждого из них найдем решение матрицы, используя gauss



С погрешностью в …. компоненте

======================================================

в первой

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   20.7900

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



X[0]= 872.07580



X[1]= -16327.25169




X[2]= 10005.24500



X[3]= 111652.84781



X[4]= -26679.82743



X[5]= -144100.68447

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

во второй

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   20.7900

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



X[0]= 874.15205



X[1]= -16398.19981



X[2]= 10378.69292



X[3]= 111250.49388



X[4]= -27254.14851




X[5]= -143256.57148

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в третьей

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   20.7900

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



X[0]= 865.80942



X[1]= -15962.14640



X[2]= 7652.50187



X[3]= 114149.98680



X[4]= -23271.06118



X[5]= -148104.07985

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в четвёртой

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   20.7900

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



X[0]= 874.20237



X[1]= -16729.55530



X[2]= 12510.77695



X[3]= 111600.37766



X[4]= -35532.05319



X[5]= -138409.12992

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в пятой

======================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   20.7900

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   21.0000

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .




X[0]= 890.20635



X[1]= -16885.51847



X[2]= 13438.40819



X[3]= 102816.62603



X[4]= -16375.93145



X[5]= -148185.68530

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

======================================================

в шестой

=====================================================

 44.4622   7.8735   2.7092   1.2432   0.6719   0.4038   21.0000

 7.8735   1.2432   0.4038   0.1789   0.0945   0.0558   21.0000

 2.7092   0.4038   0.1278   0.0558   0.0292   0.0172   21.0000

 1.2432   0.1789   0.0558   0.0242   0.0126   0.0074   21.0000

 0.6719   0.0945   0.0292   0.0126   0.0065   0.0038   21.0000

 0.4038   0.0558   0.0172   0.0074   0.0038   0.0022   20.7900

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



X[0]= 847.76738



X[1]= -15509.52337



X[2]= 5983.80758




X[3]= 117317.96737



X[4]= -30807.26724



X[5]= -140960.86219

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .



На основе полученных значений сформируем вектор d





РЕШЕНИЯ С ПОГРЕШНОСТЯМИ















точное

в первой

во втророй

в третьей

в четвёртой

в пятой

в шестой

872,1558

872,0758

874,1521

865,8094

874,2024

890,2064

847,7674

-16329,2479

-16327,2517

-16398,1998

-15962,1464

-16729,5553

-16885,5185

-15509,5234

10011,5914

10005,2450

10378,6929

7652,5019

12510,7770

13438,4082

5983,8076

111650,8013

111652,8478

111250,4939

114149,9868

111600,3777

102816,6260

117317,9674

-26697,8780

-26679,8274

-27254,1485

-23271,0612

-35532,0532

-16375,9315

-30807,2672

-144076,2960

-144100,6845

-143256,5715

-148104,0799

-138409,1299

-148185,6853

-140960,8622







x-xi







||x||

0,0800

1,9962

6,3464

2,0466

18,0505

24,3884

111650,8013

1,9962

68,9519

367,1015

400,3074

556,2705

819,7245



6,3464

367,1015

2359,0895

2499,1856

3426,8168

4027,7838



2,0466

400,3074

2499,1855

50,4236

8834,1752

5667,1661



18,0505

556,2705

3426,8168

8834,1752

10321,9465

4109,3893



24,3884

819,7245

4027,7838

5667,1661

4109,3893

3115,4338

















||x-xi||    i:1…6



d









24,3884



0,000218435









819,7245



0,00734186









4027,7838



0,036074831









8834,1752



0,079123259









10321,9465



0,092448477









5667,1661



0,050757953







(см. файл «Вектор и гистограмма.xls»)




Отсюда видим, что 







Строим гистограмму элементов вектора относительных погрешностей d. (см. файл «Вектор и гистограмма»)







По гистограмме видно, что наибольшее влияние на погрешность решения оказывает компонента  вектора .

Найдем число обусловленности  матрицы A

Число обусловленности   матрицы A вычисляется по формуле 







Норма матрицы A: 	=57,3638

Норма обратной матрицы :	=129841,19


7448184,055



Теоретическая оценка погрешности













	Так как   то матрица плохо обусловлена, это значит, что незначительные изменения в правой части приведут к большой погрешности в решении.



Задача 2 Метод хорд



Методом хорд найти корень уравнения  с точностью .



Решение

Найдем интервал, в котором находится корень:







Корнем уравнения является точка пересечения этих функций








Из графика видно, что корень лежит в интервале .

Найдем неподвижный конец:









Для определения используем  horda.xls(см. приложение)



y(a)

-0,5

y(b)

0,493147



непод

y'(a)

1,5

y'(b)

0,66



1

y''(a)

-1,75

y''(b)

-0,426







Неподвижный конец -1

Выполняем приближение, используя horda.xls



Х

х0



1

2





















xi

F(xi)

sigma

1,50345005

0,1010481

else

1,41881012

0,0179259

else

1,40431471

0,0030870

else

1,40183381

0,0005288

else

1,40140927

0,0000905

else

1,40133662

0,0000155

else

1,40132419

0,0000027

and



Окончание процесса – при  ,это и есть наш корень.



Задача 3 Решение СЛАУ



Решить систему уравнений ax=b, где 







Вычислить точностные оценки методов по координатам: , - координаты численного решения,  - координаты точного решения.







Метод простых итераций

Сделаем расчет, используя SLAU.xls



х1

0,7500

-0,7500

-0,3333

-0,4375

-0,7708

0,7500



х2

1,0000

-0,3750

-0,4444

-0,5833

-0,4028

1,0000

1

х3

0,6667

-0,2500

-0,6667

-0,8750

-1,1250

0,6667



х4

1,7500

-0,1875

-0,5000

-0,5000

0,5625

1,7500





х1

0,7500

0,3021

0,5625

-0,1406

1,4740

-0,7708



х2

1,0000

0,3854

0,7500

-0,1875

1,9479

-0,4028

2

х3

0,6667

0,2569

0,2685

-0,2813

0,9109

-1,1250



х4

1,7500

0,1927

0,2014

0,8438

2,9879

0,5625





х1

0,7500

-1,4609

-0,4555

-0,7470

-1,9134

1,4740



х2

1,0000

-0,7370

-0,6073

-0,9960

-1,3402

1,9479

3

х3

0,6667

-0,4913

-1,2986

-1,4940

-2,6172

0,9109



х4

1,7500

-0,3685

-0,9740

-0,6832

-0,2756

2,9879





х1

0,7500

1,0052

1,3086

0,0689

3,1327

-1,9134



х2

1,0000

0,9567

1,7448

0,0919

3,7934

-1,3402

4

х3

0,6667

0,6378

0,8935

0,1378

2,3357

-2,6172



х4

1,7500

0,4784

0,6701

1,9629

4,8614

-0,2756





Решение, наиболее  близкое к точному, получено из таблицы 3



Х1=1,4740

Х2=1,9479

Х3=0,9109

Х4=2,9879



Найдём:



xi



xi*



|xi-xi*|

0



1,474



1,474

1



1,9479



0,9479

-1



0,9109



1,9109

2



2,9879



0,9879

















max

1,9109


(МПИ)=1,9109



Метод Зейделя

Сделаем расчет, используя SLAU.xls



х1

0,7500

0,0000

0,0000

0,0000

0,7500

0,0000



х2

1,0000

-0,3750

0,0000

0,0000

0,6250

0,0000

1

х3

0,6667

-0,2500

0,0000

0,0000

0,4167

0,0000



х4

1,7500

-0,1875

-0,3125

-0,3125

0,9375

0,0000





х1

0,7500

-0,4688

-0,2084

-0,2344

-0,1615

0,7500



х2

1,0000

0,0807

-0,2778

-0,3125

0,4904

0,6250

2

х3

0,6667

0,0538

-0,4167

-0,4688

-0,1649

0,4167



х4

1,7500

0,0404

-0,2452

0,1237

1,6688

0,9375





х1

0,7500

-0,7499

0,5000

-0,5000

0,0000

0,0000



х2

1,0000

0,0000

0,6666

-0,6667

0,9999

0,9999

30

х3

0,6667

0,0000

-0,6666

-1,0000

-0,9999

-0,9999



х4

1,7500

0,0000

-0,5000

0,7500

2,0000

2,0000





Решение, наиболее близкое к точному, получено на 30 шаге вычислений



Х1=0

Х2=0,9999

Х3=0,9999

Х4=2



Найдём:



xi



xi*



|xi-xi*|

0



0,0000



0,0000

1



0,9999



-0,0001

-1



-0,9999



0,0001

2



2,0000



0,0000







max

0,0001



=0,0001



Вывод: МПИ - быстрее сходится, но обладает меньшей точностью, чем метод Зейделя, который  дольше сходится.



Задача 4 Сплайн интерполяция



Х

У

-2,00

-3,00

0,00

2,00

1,00

0,00

3,00

2,00

4,00

1,00

5,00

0,00



Для вычислений используем splain.xls

Найдем :



hi=xi  -  xi-1

h0

2,00

h1

1,00

h2

2,00

h3

1,00

h4

1,00



Для вычисления q будем использовать метод прогонки.

Вычислим массивы коэффициентов a,b,c и правой части d:



 

a

b

c

d

0

0,0000

1,0000

0,1667

-4,50

1

0,1667

1,0000

0,3333

3,00

2

0,3333

1,0000

0,1667

-2,00

3

0,1667

0,6667

0,0000

0,00



Вычисление прогоночных коэффициентов:



A[  ]

 

B[  ]

0,00



0,00

-0,16667



-4,5

-0,34286



3,857143

-0,18817



-3,70968

0

 

0,973202



Теперь вычисляем 



x

y

 -2

-3

-1,9

-2,62093

-1,8

-2,24381

-1,7

-1,87056

-1,6

-1,50314

-1,5

-1,14348

-1,4

-0,79353

-1,3

-0,45522

-1,2

-0,13049

-1,1

0,178702

-1

0,47043

-0,9

0,74275

-0,8

0,99372

-0,7

1,221401

-0,6

1,423849

-0,5

1,599126

-0,4

1,74529

-0,3

1,860401

-0,2

1,942516

-0,1

1,989696

0

2

0,1

1,852492

0,2

1,673571

0,3

1,470644

0,4

1,251116

0,5

1,02239

0,6

0,791874

0,7

0,566972

0,8

0,355088

0,9

0,163629

1

0

1,1

0,005772

1,2

0,043163

1,3

0,108555

1,4

0,198332

1,5

0,308877

1,6

0,436575

1,7

0,577807

1,8

0,728958

1,9

0,886412

2

1,046551

2,1

1,205759

2,2

1,360419

2,3

1,506916

2,4

1,641631

2,5

1,760949

2,6

1,861253

2,7

1,938927

2,8

1,990354

2,9

2,011917

3

2

3,1

1,989668

3,2

1,946922

3,3

1,876445

3,4

1,78292

3,5

1,67103

3,6

1,545457

3,7

1,410885

3,8

1,271996

3,9

1,133473

4

1

4,1

0,872264

4,2

0,753286

4,3

0,642094

4,4

0,537715

4,5

0,439175

4,6

0,345501

4,7

0,255719

4,8

0,168858

4,9

0,083942

5

0







Задача 5 Решение дифференциального уравнения







Для расчета использован файл diffur.xls

Мы выбираем шаг h, рассчитываем значения для точки  х+2h с шагом h  и 2h, если проверка на окончание процесса показала < δ, то берем шаг h и считаем с ним остальные точки, если же нет – берем новое h  и снова делаем проверку 



{1,2}

x

y

k1

0,00004000

k2

0,00004000

k3

0,00004000

k4

0,00004000

y(1)=1

1

1



















1,00001

1,00002

∆y

0,00004000



y1

1,00004000









1,00001

1,00002



















1,00002

1,00004

















0,00002























x

y

k1

0,00004018

k2

0,00004018

k3

0,00004018

k4

0,00004018



1,1

1,00004



















1,10001

1,00006

∆y

0,00004018



y2

1,00008018









1,10001

1,00006



















1,10002

1,00008

















0,00002























x

y

k1

0,00004066

k2

0,00004066

k3

0,00004066

k4

0,00004066



1,2

1,00008



















1,20001

1,000101

∆y

0,00004066



y2

1,00012084









1,20001

1,000101



















1,20002

1,000121























{1,2}

x

y

k1

0,000080000

k2

0,000079997

k3

0,000079997

k4

0,000079994

y(1)=1

1

1



















1,00002

1,00004

∆y

0,000079997



y1

1,000079997









1,00002

1,00004



















1,00004

1,00008

















0,00004























x

y

k1

0,000081327

k2

0,000081324

k3

0,000081324

k4

0,000081321



1,2

1,00008



















1,20002

1,000121

∆y

0,000081324



y2

1,000161321









1,20002

1,000121



















1,20004

1,000161

















0,00004























x

y

k1

0,000084558

k2

0,000084555

k3

0,000084555

k4

0,000084551



1,4

1,000161



















1,40002

1,000204

∆y

0,000084555



y2

1,000245875









1,40002

1,000204



















1,40004

1,000246



















R=0,000008 <0,00001Процесс закончен – шаг = 0,00004 Для наглядности возьмем шаг = 0,01



xk1

xk2

xk3

xk4

y

k1

yk2

k2

yk3

k3

yk4

k4

∆y

y

1

1,005

1,005

1,01

1

0,02

1,01

0,019802

1,009901

0,019804

1,019804

0,019613

0,019804

1,019804

1,01

1,015

1,015

1,02

1,019804

0,019613

1,029611

0,019427

1,029518

0,019429

1,039233

0,019249

0,019429

1,039233

1,02

1,025

1,025

1,03

1,039233

0,019249

1,048857

0,019074

1,04877

0,019076

1,058309

0,018906

0,019076

1,058309

1,03

1,035

1,035

1,04

1,058309

0,018906

1,067762

0,018742

1,06768

0,018743

1,077052

0,018583

0,018743

1,077052

1,04

1,045

1,045

1,05

1,077052

0,018583

1,086344

0,018428

1,086266

0,01843

1,095482

0,018279

0,01843

1,095482

1,05

1,055

1,055

1,06

1,095482

0,018279

1,104621

0,018132

1,104548

0,018133

1,113615

0,01799

0,018133

1,113615

1,06

1,065

1,065

1,07

1,113615

0,01799

1,12261

0,017851

1,12254

0,017852

1,131467

0,017717

0,017852

1,131467

1,07

1,075

1,075

1,08

1,131467

0,017717

1,140325

0,017585

1,140259

0,017586

1,149053

0,017457

0,017586

1,149053

1,08

1,085

1,085

1,09

1,149053

0,017457

1,157781

0,017332

1,157719

0,017333

1,166386

0,017211

0,017333

1,166386

1,09

1,095

1,095

1,1

1,166386

0,017211

1,174991

0,017092

1,174931

0,017092

1,183478

0,016976

0,017092

1,183478

1,1

1,105

1,105

1,11

1,183478

0,016976

1,191966

0,016863

1,191909

0,016864

1,200342

0,016753

0,016864

1,200342

1,11

1,115

1,115

1,12

1,200342

0,016753

1,208718

0,016645

1,208664

0,016645

1,216987

0,01654

0,016645

1,216987

1,12

1,125

1,125

1,13

1,216987

0,01654

1,225257

0,016436

1,225205

0,016437

1,233424

0,016336

0,016437

1,233424

1,13

1,135

1,135

1,14

1,233424

0,016336

1,241592

0,016238

1,241543

0,016238

1,249663

0,016142

0,016238

1,249663

1,14

1,145

1,145

1,15

1,249663

0,016142

1,257734

0,016048

1,257686

0,016048

1,265711

0,015956

0,016048

1,265711

1,15

1,155

1,155

1,16

1,265711

0,015956

1,273689

0,015866

1,273644

0,015866

1,281577

0,015778

0,015866

1,281577

1,16

1,165

1,165

1,17

1,281577

0,015778

1,289466

0,015692

1,289423

0,015692

1,297269

0,015607

0,015692

1,297269

1,17

1,175

1,175

1,18

1,297269

0,015607

1,305073

0,015525

1,305032

0,015525

1,312794

0,015444

0,015525

1,312794

1,18

1,185

1,185

1,19

1,312794

0,015444

1,320516

0,015364

1,320476

0,015365

1,328159

0,015287

0,015365

1,328159

1,19

1,195

1,195

1,2

1,328159

0,015287

1,335803

0,01521

1,335764

0,015211

1,34337

0,015136

0,015211

1,34337

1,2

1,205

1,205

1,21

1,34337

0,015136

1,350938

0,015063

1,350901

0,015063

1,358433

0,014991

0,015063

1,358433

1,21

1,215

1,215

1,22

1,358433

0,014991

1,365929

0,014921

1,365893

0,014921

1,373354

0,014852

0,014921

1,373354

1,22

1,225

1,225

1,23

1,373354

0,014852

1,38078

0,014784

1,380746

0,014784

1,388138

0,014718

0,014784

1,388138

1,23

1,235

1,235

1,24

1,388138

0,014718

1,395497

0,014652

1,395465

0,014653

1,402791

0,014588

0,014653

1,402791

1,24

1,245

1,245

1,25

1,402791

0,014588

1,410085

0,014525

1,410054

0,014526

1,417317

0,014464

0,014526

1,417317

1,25

1,255

1,255

1,26

1,417317

0,014464

1,424549

0,014403

1,424518

0,014404

1,43172

0,014344

0,014404

1,43172

1,26

1,265

1,265

1,27

1,43172

0,014344

1,438892

0,014285

1,438863

0,014286

1,446006

0,014228

0,014286

1,446006

1,27

1,275

1,275

1,28

1,446006

0,014228

1,45312

0,014172

1,453092

0,014172

1,460178

0,014116

0,014172

1,460178

1,28

1,285

1,285

1,29

1,460178

0,014116

1,467236

0,014062

1,467209

0,014062

1,47424

0,014009

0,014062

1,47424

1,29

1,295

1,295

1,3

1,47424

0,014009

1,481245

0,013956

1,481218

0,013956

1,488196

0,013904

0,013956

1,488196

1,3

1,305

1,305

1,31

1,488196

0,013904

1,495149

0,013853

1,495123

0,013854

1,50205

0,013804

0,013854

1,50205

1,31

1,315

1,315

1,32

1,50205

0,013804

1,508952

0,013754

1,508927

0,013755

1,515805

0,013706

0,013755

1,515805

1,32

1,325

1,325

1,33

1,515805

0,013706

1,522658

0,013658

1,522634

0,013659

1,529463

0,013612

0,013659

1,529463

1,33

1,335

1,335

1,34

1,529463

0,013612

1,536269

0,013566

1,536246

0,013566

1,543029

0,013521

0,013566

1,543029

1,34

1,345

1,345

1,35

1,543029

0,013521

1,54979

0,013476

1,549767

0,013476

1,556505

0,013432

0,013476

1,556505

1,35

1,355

1,355

1,36

1,556505

0,013432

1,563222

0,013389

1,5632

0,013389

1,569895

0,013347

0,013389

1,569895

1,36

1,365

1,365

1,37

1,569895

0,013347

1,576568

0,013305

1,576547

0,013305

1,5832

0,013264

0,013305

1,5832

1,37

1,375

1,375

1,38

1,5832

0,013264

1,589832

0,013223

1,589811

0,013223

1,596423

0,013183

0,013223

1,596423

1,38

1,385

1,385

1,39

1,596423

0,013183

1,603015

0,013144

1,602995

0,013144

1,609567

0,013106

0,013144

1,609567

1,39

1,395

1,395

1,4

1,609567

0,013106

1,61612

0,013067

1,616101

0,013068

1,622635

0,01303

0,013068

1,622635

1,4

1,405

1,405

1,41

1,622635

0,01303

1,62915

0,012993

1,629132

0,012993

1,635628

0,012957

0,012993

1,635628

1,41

1,415

1,415

1,42

1,635628

0,012957

1,642106

0,012921

1,642088

0,012921

1,648549

0,012885

0,012921

1,648549

1,42

1,425

1,425

1,43

1,648549

0,012885

1,654992

0,012851

1,654974

0,012851

1,6614

0,012816

0,012851

1,6614

1,43

1,435

1,435

1,44

1,6614

0,012816

1,667808

0,012782

1,667791

0,012783

1,674182

0,012749

0,012783

1,674182

1,44

1,445

1,445

1,45

1,674182

0,012749

1,680557

0,012716

1,68054

0,012716

1,686899

0,012684

0,012716

1,686899

1,45

1,455

1,455

1,46

1,686899

0,012684

1,693241

0,012652

1,693225

0,012652

1,699551

0,012621

0,012652

1,699551

1,46

1,465

1,465

1,47

1,699551

0,012621

1,705861

0,01259

1,705846

0,01259

1,71214

0,012559

0,01259

1,71214

1,47

1,475

1,475

1,48

1,71214

0,012559

1,71842

0,012529

1,718405

0,012529

1,724669

0,012499

0,012529

1,724669

1,48

1,485

1,485

1,49

1,724669

0,012499

1,730919

0,01247

1,730904

0,01247

1,737139

0,012441

0,01247

1,737139

1,49

1,495

1,495

1,5

1,737139

0,012441

1,743359

0,012412

1,743345

0,012412

1,749551

0,012384

0,012412

1,749551

1,5

1,505

1,505

1,51

1,749551

0,012384

1,755743

0,012356

1,75573

0,012356

1,761908

0,012329

0,012356

1,761908

1,51

1,515

1,515

1,52

1,761908

0,012329

1,768072

0,012302

1,768059

0,012302

1,77421

0,012275

0,012302

1,77421

1,52

1,525

1,525

1,53

1,77421

0,012275

1,780348

0,012249

1,780334

0,012249

1,786459

0,012223

0,012249

1,786459

1,53

1,535

1,535

1,54

1,786459

0,012223

1,79257

0,012197

1,792558

0,012197

1,798656

0,012172

0,012197

1,798656

1,54

1,545

1,545

1,55

1,798656

0,012172

1,804742

0,012147

1,80473

0,012147

1,810804

0,012123

0,012147

1,810804

1,55

1,555

1,555

1,56

1,810804

0,012123

1,816865

0,012098

1,816853

0,012098

1,822902

0,012074

0,012098

1,822902

1,56

1,565

1,565

1,57

1,822902

0,012074

1,828939

0,012051

1,828927

0,012051

1,834953

0,012027

0,012051

1,834953

1,57

1,575

1,575

1,58

1,834953

0,012027

1,840966

0,012004

1,840955

0,012004

1,846957

0,011981

0,012004

1,846957

1,58

1,585

1,585

1,59

1,846957

0,011981

1,852948

0,011959

1,852936

0,011959

1,858916

0,011937

0,011959

1,858916

1,59

1,595

1,595

1,6

1,858916

0,011937

1,864884

0,011915

1,864873

0,011915

1,870831

0,011893

0,011915

1,870831

1,6

1,605

1,605

1,61

1,870831

0,011893

1,876777

0,011872

1,876766

0,011872

1,882702

0,011851

0,011872

1,882702

1,61

1,615

1,615

1,62

1,882702

0,011851

1,888628

0,01183

1,888617

0,01183

1,894532

0,011809

0,01183

1,894532

1,62

1,625

1,625

1,63

1,894532

0,011809

1,900437

0,011789

1,900427

0,011789

1,906321

0,011769

0,011789

1,906321

1,63

1,635

1,635

1,64

1,906321

0,011769

1,912205

0,011749

1,912195

0,011749

1,91807

0,011729

0,011749

1,91807

1,64

1,645

1,645

1,65

1,91807

0,011729

1,923935

0,01171

1,923925

0,01171

1,92978

0,011691

0,01171

1,92978

1,65

1,655

1,655

1,66

1,92978

0,011691

1,935625

0,011672

1,935616

0,011672

1,941452

0,011653

0,011672

1,941452

1,66

1,665

1,665

1,67

1,941452

0,011653

1,947278

0,011635

1,947269

0,011635

1,953087

0,011616

0,011635

1,953087

1,67

1,675

1,675

1,68

1,953087

0,011616

1,958895

0,011598

1,958886

0,011599

1,964685

0,011581

0,011599

1,964685

1,68

1,685

1,685

1,69

1,964685

0,011581

1,970475

0,011563

1,970467

0,011563

1,976248

0,011546

0,011563

1,976248

1,69

1,695

1,695

1,7

1,976248

0,011546

1,982021

0,011528

1,982012

0,011529

1,987777

0,011512

0,011529

1,987777

1,7

1,705

1,705

1,71

1,987777

0,011512

1,993533

0,011495

1,993524

0,011495

1,999272

0,011478

0,011495

1,999272

1,71

1,715

1,715

1,72

1,999272

0,011478

2,005011

0,011462

2,005002

0,011462

2,010733

0,011446

0,011462

2,010733

1,72

1,725

1,725

1,73

2,010733

0,011446

2,016456

0,01143

2,016448

0,01143

2,022163

0,011414

0,01143

2,022163

1,73

1,735

1,735

1,74

2,022163

0,011414

2,02787

0,011398

2,027862

0,011398

2,033561

0,011383

0,011398

2,033561

1,74

1,745

1,745

1,75

2,033561

0,011383

2,039252

0,011367

2,039245

0,011367

2,044928

0,011352

0,011367

2,044928

1,75

1,755

1,755

1,76

2,044928

0,011352

2,050604

0,011337

2,050597

0,011337

2,056265

0,011322

0,011337

2,056265

1,76

1,765

1,765

1,77

2,056265

0,011322

2,061927

0,011308

2,061919

0,011308

2,067573

0,011293

0,011308

2,067573

1,77

1,775

1,775

1,78

2,067573

0,011293

2,07322

0,011279

2,073213

0,011279

2,078852

0,011265

0,011279

2,078852

1,78

1,785

1,785

1,79

2,078852

0,011265

2,084485

0,011251

2,084478

0,011251

2,090103

0,011237

0,011251

2,090103

1,79

1,795

1,795

1,8

2,090103

0,011237

2,095722

0,011223

2,095715

0,011223

2,101327

0,01121

0,011223

2,101327

1,8

1,805

1,805

1,81

2,101327

0,01121

2,106931

0,011196

2,106925

0,011196

2,112523

0,011183

0,011196

2,112523

1,81

1,815

1,815

1,82

2,112523

0,011183

2,118115

0,01117

2,118108

0,01117

2,123693

0,011157

0,01117

2,123693

1,82

1,825

1,825

1,83

2,123693

0,011157

2,129272

0,011144

2,129265

0,011144

2,134838

0,011132

0,011144

2,134838

1,83

1,835

1,835

1,84

2,134838

0,011132

2,140404

0,011119

2,140397

0,011119

2,145957

0,011107

0,011119

2,145957

1,84

1,845

1,845

1,85

2,145957

0,011107

2,15151

0,011095

2,151504

0,011095

2,157052

0,011082

0,011095

2,157052

1,85

1,855

1,855

1,86

2,157052

0,011082

2,162593

0,01107

2,162587

0,01107

2,168122

0,011059

0,01107

2,168122

1,86

1,865

1,865

1,87

2,168122

0,011059

2,173651

0,011047

2,173645

0,011047

2,179169

0,011035

0,011047

2,179169

1,87

1,875

1,875

1,88

2,179169

0,011035

2,184686

0,011024

2,184681

0,011024

2,190193

0,011012

0,011024

2,190193

1,88

1,885

1,885

1,89

2,190193

0,011012

2,195699

0,011001

2,195693

0,011001

2,201194

0,01099

0,011001

2,201194

1,89

1,895

1,895

1,9

2,201194

0,01099

2,206689

0,010979

2,206683

0,010979

2,212173

0,010968

0,010979

2,212173

1,9

1,905

1,905

1,91

2,212173

0,010968

2,217657

0,010957

2,217651

0,010957

2,22313

0,010947

0,010957

2,22313

1,91

1,915

1,915

1,92

2,22313

0,010947

2,228603

0,010936

2,228598

0,010936

2,234066

0,010926

0,010936

2,234066

1,92

1,925

1,925

1,93

2,234066

0,010926

2,239529

0,010915

2,239523

0,010915

2,244981

0,010905

0,010915

2,244981

1,93

1,935

1,935

1,94

2,244981

0,010905

2,250434

0,010895

2,250428

0,010895

2,255876

0,010885

0,010895

2,255876

1,94

1,945

1,945

1,95

2,255876

0,010885

2,261318

0,010875

2,261313

0,010875

2,266751

0,010865

0,010875

2,266751

1,95

1,955

1,955

1,96

2,266751

0,010865

2,272183

0,010855

2,272178

0,010855

2,277606

0,010846

0,010855

2,277606

1,96

1,965

1,965

1,97

2,277606

0,010846

2,283029

0,010836

2,283024

0,010836

2,288442

0,010827

0,010836

2,288442

1,97

1,975

1,975

1,98

2,288442

0,010827

2,293855

0,010817

2,293851

0,010817

2,299259

0,010808

0,010817

2,299259

1,98

1,985

1,985

1,99

2,299259

0,010808

2,304663

0,010799

2,304659

0,010799

2,310058

0,01079

0,010799

2,310058

1,99

1,995

1,995

2

2,310058

0,01079

2,315453

0,010781

2,315449

0,010781

2,320839

0,010772

0,010781

2,320839

2

2,005

2,005

2,01

2,320839

0,010772

2,326225

0,010763

2,326221

0,010763

2,331602

0,010754

0,010763

2,331602