Виды тригонометрических уравнений

Реферат



на тему:

“Виды тригонометрических уравнений”

		

		

		

		

		

	                                                                             Успенского Сергея

	

	

	

	

	

	

	

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		                                                                    

		

		

		                                                                          

		Харцызск

2001 год















                          Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:



Пример 1. 2sin(3x - /4) -1 = 0.

 Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - /4). 

sin(3x - /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим 

3х - /4 = (-1)n arcsin 1/2 + n, nZ.

Зх - /4 = (-1)n  /6 + n, nZ; 3x = (-1)n /6 + /4 + n, nZ;

x = (-1)n  /18 + /12 + n/3, nZ

Если k = 2n (четное), то х = /18 + /12 + 2n/3, nZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - /18 + /12 + ((2n + 1))/3 = 

= /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2n/3, nz.

Ответ: х1 = 5/6 + 2n/3,nZ, x2 = 13/36 + 2n/3, nZ,

или в градусах: х, = 25° + 120  n, nZ; x, = 65° + 120° n, nZ.

Пример 2. sinx + з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо з значение ctg /6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos/6)/sin/6  cosx = 1;

sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2. 

По формуле для уравнения cosx = а находим

      х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, nZ; x = ± /3 + /6 + 2n, nZ;

     x1 = /3 + /6 + 2n, nZ; x1 = /2 + 2n, nZ;

     x2 = - /3 + /6 + 2n, nZ; x2  = -/6 + 2n, nZ; 

Ответ: x1 = /2 + 2n, nZ;  x2  = -/6 + 2n, nZ.





2. Двучленные уравнения:



Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx  cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

                                sinx = 0       или   cos2x = 0.

                               x1 = n, nZ,        x2 =  /4 + n/2, nZ. 

 Ответ: x1 = n, nZ,  x2 =  /4 + n/2, nZ.



3. Разложение на множители:



Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx 

Решение. cosx  0; x  /2 + n, nZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx  cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 =  n, nZ; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4  sin(/4 - x) = -1;

2  sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/2 + n, nZ;

x2 = /4 - (-1) n+1  /4 - n, nZ; x2 = /4 + (-1) n  /4 + n, nZ.

Если n = 2n (четное), то x = /2 + n, если n = 2n + l (нечетное), то x = n.

Ответ: x1 = n, nZ; x2 = /4 + (-I)n   /4 + n, nZ.



4. Способ подстановки



Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z|  1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; Д = 5;  z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, nZ. Ответ: х = ± /3 + 2n, nZ.



5. Однородные уравнения



Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или 

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx  0, cosx  0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. 3sin2 2x - 2sin4x + 3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение 3sin22x - 4sin2xcos2x + 3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид 3 tg22x – 4tg2x + 3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда 3z2 - 4z + 3 = 0; Д = 4; Д = 2.

z1 = (4 +2)/23 = 6/23 = 3; z2 = (4 – 2)/23 = 1/3

tg2x = 3          или         tg2x = 1/3

2x = /3 + n, nZ;         2x = /6 + n, nZ;

x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.

Ответ: x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.



6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sin = 4/5; cos = 3/5; sin(x+) = 1, x +  =  /2 + 2n, nZ.

Ответ: x = /2 - arcsin 4/5 + 2n, nZ.



7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения



Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(3-tgx) – 1/(3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения 

tgx  ± 3, х  ± /8 + n, nZ и х  ± /2 + n, nZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

(3 + tgx - 3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

x1 = n, nZ

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2  = ± /4 + n, nZ.

Ответ: x1 = n, nZ; х2 = ± /4 + n, nZ.



8. Иррациональные тригонометрические уравнения



Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).



Пример 1. ( cos2x + ½) + ( sin2x  + ½) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + ½ + 2 (( cos2x + ½) ( sin2x  + ½)) + sin2x + ½ = 4

(( cos2x + ½) ( sin2x  + ½)) = 1; ( cos2x + ½) ( sin2x  + ½) = 1

( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;

1 – ¼ cos22x = 1; cos2x=0; x = /4 + n/2, nz

Ответ: x = /4 + n/2, nz.



9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция



Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + n, nZ; х2 + 5х - (6+n) = 0, nz;

Д = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4n, nZ; х1,2 =  (-5  (49 + 4n))/2, nz 

Решение имеет смысл, если 49 + 4n > 0, т.е. n  -49/4; n  -3.





Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

 А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев, 

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)