Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»



Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»















Расчётно–графическое задание

по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»

































Харьков – 2005


Исходные данные:

Вариант №

y0

y1

y2

y3

y4

y5

h

x0

64

-0.02

0.604

0.292

-0.512

-1.284

-2.04

0.5

0.3



Задача 1



Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, …, yn) по рекуррентным формулам:





,

;

,

.

Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:



с := 0; i := 0;

while i < n + 1 do c := c + xi · yi;



и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.



Решение

Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то

x0 = x0(1+δ)

y0 = y0(1+δ)

C0 = x0y0(1+δ)




При i = 1

При i = 2



x2 = x03(1+δ)5

y2 = y0(1+δ)3

C2 = x0y0(1+δ)5 + x02(1+δ)7 + x03y0(1+δ)10



При i = 3



x3 = x04(1+δ)7

y3 = (1+δ)5

C3 = x0y0(1+δ)6 + x02(1+δ)8 + x03y0(1+δ)11 + x04(1+δ)14



При i = 4



x4 = x05(1+δ)9

y4 = y0(1+δ)7

C4 = x0y0(1+δ)7 + x02(1+δ)9 + x03y0(1+δ)12 + x04(1+δ)15 + x05y0(1+δ)18



Выявим закономерность изменения Ci: 

При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим 

Обозначим эту сумму как S1.

Тогда абсолютная погрешность S2



а относительная погрешность 





Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10



S1 = 0.0923071

S2 = 1.45914·10-6

S3 = 1.58075·10-5



Задача 2



Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.



Решение

Составим таблицу всех повторных разностей:



k

x

y

Δy

Δ2y

Δ3y

Δ4y

Δ5y

0

0.3

0.02

-1.576

0.044

-0.136

0.66

-0.54

1

1.1

-1.556

-1.532

-0.092

0.524

0.12

—

2

1.9

-3.088

-1.624

0.432

0.644

—

—

3

2.7

-4.712

-1.192

1.076

—

—

—

4

3.5

-5.904

-0.116

—

—

—

—

5

4.3

-6.02

—

—

—

—

—





Найдем формулу перехода от x к   k:

Выполним проверку, вычислив аналитически конечную разность 

Δng(x)= ΔnG(k) для n = 5:





Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.



Задача 3



Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).



Решение

Представим функцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:



Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):







Выполним проверку при k = 1:



0.604=0.604



Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:





Проверим вычисления при x = 0.8:





0.6045128 ≈ 0.604

Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.



Задача 4



Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).



Решение.

Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:





где

Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:

-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96

- 2.96 = - 2.96



Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.



Задача 5



Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0; x1; x2; x3] по формуле ее аналитического представления.



Решение

Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):



xi

g(xi)

[xi; xi+1]

[xi; xi+1; xi+2]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5]

0.3

-0.02

1.248

-1.872

0.592

0.0533333

-0.1567999

0.8

0.604

-0.624

-0.984

0.6986666

-0.3386666

—

1.3

0.292

-1.608

0.064

-0.0213333

—

—

1.8

  -0.512

-1.544

0.032

—

—

—

2.3

-1.284

-1.512

—

—

—

—

2.8

-2.04

—

—

—

—

—



Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:






Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.



Задача 6



Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.



Решение

Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу



 где n = 3.







Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1=0.604

Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:



ln(x) = g0 + (x-x0)[x0;x1] + (x-x0)(x-x1)[x0;x1;x2] + … +

+(x-x0)(x-x1)∙ …∙(x-xn-1)[x0;x1;x2;…;xn]



Подставив в формулу gi и xi получим:





Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y1=0.604 





Задача 7.



Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x3 в виде функций:





где ∆ng(0) и g(xn) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x0 и ординаты g(xn) = gn из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):







Решение

Для вычисления производной воспользуемся оператором дифференцирования:



Выражение для вычисления производной в точке x0 имеет вид:

Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x3, применим оператор сдвига:





Для того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой: 

Получим выражения для ∆2y0:



∆5y0 = -y0 + 5y1 – 10y2 + 10y3 – 5y4 + y5

∆4y0 = y0 - 4y1 + 6y2 - 4y3 + y4

∆3y0 = -y0 + 3y1 – 3y2 + y3

∆2y0 = y0 - 2y1 + y2





Подставим эти значения в функцию:

Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x3 = 1.8





Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.


Задача 8



Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (Pi(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.



Решение.

Составим таблицу степеней x и xy

i

x

y

x2

x3

x4

x5

x6

xy

x2y

x3y

1

0.3

-0.02

0.09

0.027

0.0081

0.00243

0.000728999

-0.006

-0.0018

-0.00054

1

0.8

0.604

0.64

0.512

0.4096

0.32768

0.262144

0.4832

0.38656

0.309247

1

1.3

0.292

1.69

2.197

2.8561

3.71293

4.8268

0.3796

0.493479

0.641523

1

1.8

-0.512

3.24

5.832

10.4976

18.8956

34.0122

-0.9216

-1.65888

-2.98598

1

2.3

-1.284

5.29

12.167

27.9840

64.3634

148.035

-2.9532

-6.79236

-15.6224

1

2.8

-2.04

7.84

21.952

61.4656

172.103

481.89

-5.712

-15.9936

-44.782

6

9.3

-2.96

18.79

42.687

103.22

259.405

669.026

-8.73

-23.5666

-62.4401





Составим системы уравнений:

Откуда a0 = -0.93621; a1 = 3.89576; a2 = -2.8954; a3 = 0.488001

Аппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:



P3(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2 + 0.488001x3

Откуда a0 = -0.0710314; a1 = 0.989486; a2 = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:





P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Откуда a0 = 0.974118; a1 = -0.946742;



Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:



P1(x) = 0.974118 – 0.946742x 

6a0 = -2.96

Откуда a0 = -0.493333;



Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:



P0(x) = -0.0493333

Изобразим полученные полиномы на графике:






Задача 9



Для аппроксимирующего полинома третьей степени P3(x) получить аналитические выражения ΔnP3(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.



Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:



P3(x)

Δ2P3(x)

ΔP3(x)



Δ4P3(x)

Δ3P3(x)


Задача 10



Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций: 

в) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.



Решение



Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:









где w1, w2 — некоторые коэффициенты 

t1, t2 — точки, плавающие внутри интервала интегрирования.

Составим систему уравнений






w(t) = (t-t1)(t-t2) = C0 + C1t + C2t2 = 0

C2 = 1





Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:



2C0 + 2/3 = w1 (C0 + C1t1 + t12) + w2 (C0 + C1t1 + t22)

2C0+ 2/3 = 0 

C0 = -1/3



Подставляя полученные значения в первую систему, получим:


















Квадратурная формула: 







Задача 11



С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x0 до x0 +3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.



Решение

Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6 







Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.



 


Составим систему уравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:



L (t) = 0.24975t3 - 0.80325t2 - 0.49575t + 0.537253



Учитывая, что dx = βdt, получим: 

Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10

Для сравнения вычислим аналитически значение интеграла:





Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.



Задача 12



Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.


Решение

Перейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= α + βt . Составить систему









Учитывая, что dx = βdt, получим:





Применим квадратурную формулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешность вычисления:

Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):







Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:






Учитывая, что dx = βdt, получим

Применим квадратурную формулу, получим









Найдем погрешность вычисления



Задача 14



Степенными полиномами Чебышева Ti относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка: 



Ti+2 - 2x Ti+1 + Ti = 0, 



с начальными условиями T0 = 1 и T1 = x.

Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если  и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.

Решение.



Исходя из того, что 

xi = |yi|  надо найти T4 т.е. для i = 4

Из Ti+2 - 2xTi+1 + Ti = 0 следует, что

T2 = 2xT1 - T0

T3 = 2xT2 - T1 = 2x(2xT1 - T0) - T1

T4 = 2xT3 - T2 = 2x(2x(2xT1 - T0) - T1) - 2xT1 + T0 = 8x3T1 - 4x2T0 - 4xT1 + T0

Подставим значение T0 = 1 и T1 = x



T4 = 8x4 - 4x2 - 4x2 + 1 = 8x4 - 8x2 + 1



Найдем значения x:



T4 = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле: 



T2 = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T3 = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T4 = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980



Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:



8x4 - 8x2 + 1 = 0, где

x1 = 0.9238795

x2 = -0.9238795

x3 = 0.3826834

x4 = -0.3826834





Чтобы найти экстремумы найдем 



Задача 16



Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.





T(x0, 0) = T0,   T(x1, 0) = T1,   …,   T(x5, 0) = T5;    (Ti = 100·yi ˚C).



На концах стержня в точках x-1 и x6 удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.


Решение.





Получаем систему диф. уравнений:






Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:



Задача 17.



Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева Ti(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять







В качестве xi берутся |yi| из таблицы исходных данных.



Решение.

Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T4 = 8x4 - 8x2 + 1. В качестве начального приближения к корню возьмем xнач, вычисленное по формуле 






Т.к. 8x4 - 8x2 + 1 = 0, то можем сказать, что f(xнач + α) = 0



Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:







получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.



Задача 19



Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P2(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1  в интервале [0, 0.5].



Решение

P2(x) =  -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2 = f(x)



Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем 





Т.к. x = F(t), то:







Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:



t = 0       x = 0

t = 0.1    x = -0.0622648

t = 0.2    x = -0.137833

t = 0.3    x = -0.230872

t = 0.4    x = -0.347464

t = 0.5    x = -0.496850



Задача 20



Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:



dx/dt = a + bx + cx2, 

x(0) = 0


Коэффициенты a, b, c взять из P2(x), полученного в задаче 8.



Решение

y = P2(x)

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2



Общая формула для решения 



x = x0 + h·P2(x0, t0)

x1 = 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x2 = -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1 –

-0.624589· (-0.03551562) = -0.053854

x3 = -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1 –

- 0.624589 (-0.053854)2) = -0.0636315

x4 = -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1 –

-0.624589 (-0.0636315)2) = -0.0689304

x5 = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1 –

-0. 0.624589 (-0.0689304)2) =--0.071827



Задача 23



Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:



x1 = (y0,y1,y2); x2=(y3,y4,y5);  x3=(h,x0,0).

На базе линейно независимой системы векторов x1, x2, x3 методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:



y1 = (y11,y21,y31); y2=(y12,y22,y32);  y3=(y13,y23,y33).



На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y1,y2, y3). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T-1 и транспонированную T’. Найти произведение T-1 · T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.



Решение

Исходные векторы x1 = (-0.02,0.604,0.292); x2=(-0.512,-1.284,-2.04);  

x3=(0.5,0.3,0).





Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·AT) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима. 

Найдем векторы v1, v2, v3



v1 = x1

v2 = x2 + a21·v1

v3 = x3 + a32·v2 + a31·v1







v1 = (-0.02, 0.604, 0.292); 

v2 = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).







Матрица T:











det(T) = -1





Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T-1. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.



Задача 24



Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у1, у2, у3 из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р1, Р2, Р3), саму матрицу А и ей обратную А-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.



Решение

 



	Найдем проекторы матрицы А:

	

	



Найдем обратную матрицу А-1:



Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:



-x3-6x2-11x-6=0;



Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы 



x1= -1;   x2= -2;    x3= -3



Задача 25



Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.



Решение