Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей



Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу ( в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида: 



 (1)



Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (yt) от выравненных, расчетных (ŷt):



 (2)



При использовании кривых роста ŷt вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени. 

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения. 

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений et от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе 1, например, критерий серий. 

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок. 

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности. 

Существует несколько приемов обнаружения авто корреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, Т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:



d =  (3)



Можно показать, что величина d приближенно равна: 

		

		d≈ 2(1-r1) 

где r1- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е1, е2, ... ,еn-1 и е2, е3,…,en).

Из последней формулы видно, что если в значениях et имеется сильная положительная авто корреляция ( r1≈1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r1≈-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r≈0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1; 2,5; и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина- Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице. В этой таблице d1 и d2 – соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина- Уотсона; k1 – число переменных в модели; n- длина ряда. 



Таблица.

Значение критерия Дарбина- Уотсона d1 и d2 при 5% уровне значимости

n

K1=1

K1=2

K1=2



d1

d2

d1

d2

d1

d2

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

1.08

1.1

1.13

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.27

1.29

1.3

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

1.37

1.38

1.49

1.4

1.41

1.36

1.37

1.38

1.39

1.4

1.41

1.42

1.43

1.44

1.45

1.45

1.46

1.47

1.48

1.48

1.49

1.5

1.5

1.51

1.51

1.52

1.52

0.95

0.98

1.02

1.05

1.08

1.1

1.13

1.15

1.17

1.19

1.21

1.22

1.24

1.26

1.27

1.28

1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.54

1.54

1.54

1.53

1.53

1.54

1.54

1.54

1.54

1.55

1.55

1.55

1.56

1.56

1.56

1.57

1.57

1.57

1.58

1.58

1.58

1.59

0.82

0.86

0.9

093

0.97

1

1.03

1.05

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

1.21

1.23

1.24

1.26

1.27

1.28

1.29

1.75

1.73

1.71

1.69

1.68

1.68

1.67

1.66

1.66

1.66

1.66

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65



Применение на практике критерия Дарбина- Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (3), с теоретическими значениями d1 и d2 , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнеии величины d с d1 и d2 возможны следующие варианты:

Если d<d1, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

Если d>d2 , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

Если d1≤d≤d2, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности" .

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. 

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в et существует отрицательная автокорреляция. 

			Для проверки отрицательной 	автокорреляции с критическими значениями dj и d2 сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d. 

		Для определения доверительных интервалов модели 	свойство 

нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса. 

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки. 



А= (4)

Э= (5)

σa= (7)



где А- выборочная характеристика асимметрии;

Э- выборочная характеристика экцесса;

σА- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

σЭ- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики экцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:



|А|<1,5σА; | |<1,5σЭ (8)



то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств



|А|≥2σА; |Э+| ≥2σ (9)


то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.



Классификация прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, их компонентный состав 



1. Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице: 

курс акции (Дол.) 



									t 	Yt 	t 	Yt 	t 	Yt 	t 	Yt 

									1 	509 	6 	515 	11 	517 	16 	510 

									2 	507 	7 	520 	12 	524 	17 	516 

									3 	508 	8 	519 	13 	526 	18 	518 

								4 	509 	9 	512 	14 	519 	19 	524 

								5 	518 	10 	511 	15 	514 	20 	521 



Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами: 

а) с помощью метода Фостера - Стюарта; 

б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки. Доверительную вероятность принять равной 0,95. 

2. Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. 

3. Годовые данные об изменении урожайности зерновых культу; представлены в таблице. С помощью критерия "восходящих и нисходящих" серий проверить утверждение о том, что в изменении урожайности имеется тенденция.


Урожайность зерновых культур (ц/га) 



t 

Yt 

t 

Yt 

t 

Yt 

t 

Yt 

1 

6,7 

6 

8,6 

11 

8,4 

16 

9,1 

2 

7,3 

7 

7,8 

12 

9,1 

17 

9,5 

3 

7,6 

8 

7,7 

13 

8,3 

18 

10,4 

4 

7,9 

9 

7,9 

14 

8,7 

19 

10,5 

5 

7,4 

10 

8,2 

15 

8,9 

20 

10,2 













21 

9,3 



Доверительную вероятность принять равной 0,95. 



Решение

1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта представлены в таблице 1. 

1) Если уровень yt больше всех предшествующих уровней, то в графе mt ставим 1, если yt меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе lt; 

2) Определяем dt=mt-1t для t=2ч20; 



3) D = =3; 



4) Значение σd для n=20 берем из таблицы 1.2. 



σd =2,279. 



Значение tкp берем из таблицы t- распределения Стьюдента: 



tкp (а=О,05; К=19)=2,093; tH ==1,316. 

TH< Tkр  нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда. 

С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует. 

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.4. 



Таблица 1

		Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта

t

Yt

Mt

Et

Dt

t

Yt

Mt

Et

Dt

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

509

507

508

509

518

515

520

519

512

511

-

0

0

0

1

0

1

0

0

0

-

1

0

0

0

0

0

0

0

0

-

-1

0

0

1

0

1

0

0

0

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

517

524

526

519

514

510

516

518

524

521

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0



Вспомогательные вычисления представлены в таблице 2

t

Yt

Y't



t

Yt

Y't



t

Yt

Y't



1

2

3

4

5

6



509

507

508

509

518

515

507

508

509

509

510

511

-

-

-

-

+

-

7

8

9

10

11

12

13

14

520

519

512

511

517

524

526

519

512

514

515

516

517

518

518

519

+

+

-

-

+

+

+

+

15

16

17

18

19

20

519

520

521

524

524

526

519

520

521

524

524

526

-

-

-

+

+

+



1) от исходного ряда yt переходим к ранжированному yt', расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2) Т.к. n=20 (четное) 



Медиана 


Ме = =516,5;



3) Значение каждого уровня исходного ряда yt сравнивается со значением медианы. Если yt >Ме, то δi принимает значение «+», если меньше, то «-»;

4) v (20)=8- число серий;

 max (20)=4- протяженность самой большой серии.

В соответствии делаем проверку:



max (20)<[3,3(lg20+1)]

v(20)>[(20+1-1.96)]



4<7

8>6

Оба неравенства выполняются. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера-Стюарта.



Таблица 3

t

Yt



t

Yt



t

Yt



1

2

3

4

5

6

6,7

7,3

7,6

7,9

7,4

8,6



+

+

+

-

+

7

8

9

10

11

12

7,8

7,7

7,9

8,2

8,4

9,1

-

-

+

+

+

+

13

14

15

16

17

18

19

20

21

8,3

8,7

8,9

9,1

9,5

10,4

10,5

10,2

9,3

-

+

+

+

+

+

+

-

-


Вспомогательные вычисления в задании

В графе δ ставим «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» - если меньше. Определим v (21)=8 – число серий.

 max (21)=6 – протяженность самой большой серии. Табличное значение 

0 (21)=5. В соответствии делаем проверку:



V(21)>[ ]

max (21)≤ 0(21)

8>10

6≤5



Т.к. оба неравенства не выполняются, то делаем выводы: во временном ряду урожайности имеется тенденции.

2