Двойной интеграл в полярных координатах

Двойной интеграл в полярных координатах



Пусть в двойном интеграле 

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos ,		y = r sin .	(2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:



rj = rj+1 - rj, 

i = i+1 - i











Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

Si = rj i rj	(3)

Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i,		yij = rj sin i.

И следовательно, 

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i)		(3')



Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым 

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

	(4)

где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции 

f(r cos, r sin)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно 

	(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

	(6)

Выражение 

dS = r d dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

	

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами 

Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).

Имеем







	(8)



Где

F(r,) = rf(r cos, r sin)















Пример 1.

Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как 

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена 

Неравенствами 

Поэтому на основании формулы (8) имеем



Пример 2.

В интеграле

	(9)

перейти к полярным координатам.



Область  интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения 

этих прямых записываются 

следующим образом: =0,

 =/4, r cos=1 и, 

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

имеем