Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

2







Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет











Курсовая работа

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов 









Исполнитель:

Студентка группы М-42 

Ларченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент 

Зверева Т.Е.









Гомель 2006


Содержание



Введение

Перечень условных обозначений

1. Общие определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

4. Решетки подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Заключение

Список использованных источников




Введение



Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу  и подгруппами из факторуппы  существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:

1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп  и  имеет место  и 

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.


Перечень условных обозначений



 - принадлежность элемента множеству;

 - знак включения множеств;

 - знак строгого включения;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 -  является субнормальной подгруппой группы ;

 -  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

 - факторгруппа группы  по подгруппе ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

Если  и  - подгруппы группы , то:

 -  и  изоморфны.

Пусть  - группа,  и , тогда:

 - правый смежный класс,

 - левый смежный класс;

 - совокупность всех нормальных подгрупп группы ;

 - группа порядка ;

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 - подгруппа, порожденная элементами  и .

 - подгрупповой  - функтор или подгрупповой функтор на , где  - некоторый класс групп;

 - совокупность всех  - подгрупп группы ;

 - тривиальный подгрупповой  - функтор;

 - единичный подгрупповой  - функтор;

 - ограничение подгруппового  - функтора  на класс групп ;

 - пересечение системы подгрупповых  - функторов ;

 - решётка всех подгрупповых  - функторов;

 - решётка всех замкнутых подгрупповых  - функторов;

Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:

 - класс всех групп;

 - класс всех абелевых групп;


1. Общие определения и обозначения



Бинарной алгебраической операцией на множестве  называют отображение декартова квадрата  во множество . Если  - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре  элементов из  соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на  обозначают одним из символов:  и т.д. Если, например, вместо  условимся писать , то вместо  пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если  для всех .

Если  для всех , то операция называется ассоциативной.

Если  для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент  называется единичным, если  для всех .

Обратным к элементу  называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

(3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если  - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число  элементов в  - порядком группы .

Также группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения ,  имеют решения для любых элементов .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись  читается так:  - подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество  конечной группы  называется подгруппой, если  для всех  и 

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть  - группа,  и . Правым смежным классом группы  по подгруппе  называется множество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс 

Если  - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе  также будет конечно, оно называется индексом подгруппы  в группе  и обозначается через .

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех . Запись  читается так:  - нормальная подгруппа группы  Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

Пусть  - нормальная подгруппа группы . Обозначим через  совокупность всех левых смежных классов группы  по подгруппе , т.е. . Группа  называется факторгруппой группы  по подгруппе  и обозначается через .

Условимся через S обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S= S - совокупность всех подгрупп группы , а S.

Каждая нормальная подгруппа  группы  определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку 

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы  называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.  для 

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа  субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа  неединичной группы  называется максимальной подгруппой, если  не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия  следует, что  или . Для максимальной подгруппы  неединичной группы  используется запись 

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы  и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов  и  называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы  и обозначается через . Таким образом, .

Для любой неединичной подгруппы  можно построить цепочку коммутантов 

Если существует номер  такой, что , то группа  называется разрешимой.

Если  - непустое подмножество группы  и , то 

Элемент  называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство  означает, что для любого элемента  существует такой элемент , что . Если элемент  перестановочен с подмножеством , то 

Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством  называется нормализатором подмножества  в группе  и обозначается через . Итак, 

Пусть  и  - мультипликативные группы. Отображение  называется гомоморфизмом группы  в группу , если  для любых  и . 

Если  - подмножество группы , то  образ  при гомоморфизме , а  - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма  также обозначают через .

Ядром гомоморфизма  называется множество где  - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении  в единичный элемент группы .

Гомоморфизм  называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм  является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение  - инъекция.

Если , то гомоморфизм  называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае  - сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.



2. Используемые результаты



Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если  - подгруппа группы  и , то  - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  - подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S на множество S;

(4) если  S, то  - нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

(1) единичный элемент  группы  переходит в единичный элемент  группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.  для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;

(5) тогда и только тогда  где  когда .

Лемма 1.3 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если подмножества  и  сопряжены в , то  и  сопряжены в .

Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если  - гомоморфизм, то .

Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы  пересечение  является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение 

является изоморфизмом групп  и .

Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если  и  - нормальные подгруппы группы , причем , то  изоморфна .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда



Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и 

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в .

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда 

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда 

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и 



3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов



Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп  и  имеет место  и 

Подгрупповой -функтор  называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп  и  имеет место ;

2) тривиальным, если для любой группы  имеет место

;

3) единичным, если для любой группы  система  состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .

Если  и  - подгрупповой -функтор, то  - такой подгрупповой -функтор, что  для всех . Такой функтор называется ограничением функтора  на классе .

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда  - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы ,   

Понятно, что  - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .

Пример 2. Пусть  - совокупность всех нормальных подгрупп группы  для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть  - произвольное натуральное число. Для каждой группы  через  обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что  - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 4. Пусть  - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы       .

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Если  - подгруппа группы , то символом  обозначается мощность множества .

Пример 5. Пусть  - простое число и пусть для любой группы  система  в  нет такой подгруппы , что ,  - натуральное число, взаимнопростое с .

Покажем, что  - подгрупповой функтор.

Действительно, пусть   и . Предположим, что 

где  - натуральное число. Тогда  - натуральное число и 

Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если 

то . Таким образом,  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если  - некоторый класс конечных групп и , то  - замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы  множество  совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что  - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Напомним, что подгруппа  группы  называется абнормальной в , если всегда из  следует, что .

Пример 7. Пусть для любой группы  множество  совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что  - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 8. Пусть  - произвольный класс групп. Подгруппа  группы  называется  - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2)  и для любых двух подгрупп  и  из , где  и  - максимальная подгруппа в  имеет место .

Легко видеть, если группа  разрешима, то ее подгруппа  абнормальна в  тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .

Сопоставляя каждой группе  множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .

Пример 9. Подгруппа  группы  называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2)  и в  имеется такая цепь подгрупп  где  - максимальная в  подгруппа, содержащая , .

Пусть  - некоторая непустая формация и для каждой группы  система  состоит из всех -субнормальных в  подгрупп.

Покажем, что  - подгрупповой функтор. Пусть  -субнормальна в . И пусть  и  - такие члены цепи (1), что , где  - нормальная в  подгруппа.

Покажем, что  - максимальная подгруппа в . Допустим, что  для некоторой подгруппы . Тогда поскольку  максимальна в , то либо , либо .

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд  таков, что в нём для любого  имеет место одно из двух условий:

1) ;

2)  - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку  то 

Итак,  - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если  - -субнормальная подгруппа в , то  - -субнормальная подгруппа в . Таким образом,  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп  называется формацией, если каждая конечная группа  обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда 

Доказательство. Пусть . Тогда 

Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку  - гомоморф, то 

Откуда получаем . Из  и  следует равенство .

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть  - некоторый класс конечных групп и  - формация. Пусть для любой группы  

Покажем, что  - подгрупповой  - функтор.

Действительно, пусть  и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем 

Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно,  - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Пример 11. Для каждой группы  через  обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .



4. Решетки подгрупповых функторов



Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Пусть  - некоторый класс групп. Будем говорить, что  - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число , что для всех  имеет место . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что  - некоторый ограниченный класс групп.

Обозначим через,  множество всех подгрупповых -функторов, а через  - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве  введем частичный порядок , полагая, что  имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы  справедливо .

Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов  определим их пересечение   для любой группы . Понятно, что  - нижняя грань для  в . Мы видим, что  - полная решетка с нулем  и единицей . Понятно, что функтор , где  для всех , является верхней гранью для  в .

Заметим, что если  - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно,  - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что  также является полной решеткой.

Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если  содержится в классе конечных групп, то решетка  является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа  класс  состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка  является цепью тогда и только тогда, когда все группы из  являются -группами. Покажем, что в общем случае  не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если  - класс всех конечных групп и ,, где  и  - различные простые числа, то функтор  не является замкнутым. Пусть , где  - группа порядка , a  - группа порядка . Понятно, что  и . Таким образом, если бы функтор  был бы замкнутым, то мы бы имели  Но, как нетрудно заметить, во множество  входят лишь такие подгруппы  из  для которых имеет место одно из двух:   или  . Это означает, что . Следовательно, функтор  не является замкнутым.


5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов



Сопоставляя классу конечных групп  решетки  и  можно изучать свойства групп из  в зависимости от свойств решеток  и .

Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Доказательство. Если  - канонический эпиморфизм  на , то 

Так как  мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть  - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа  имеет место , то наименьшее натуральное число  с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что  - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть  - простое число. Тогда группа  называется элементарно абелевой -группой, если  - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда  - бесконечная группа.

Пусть  и , где  для всех  и . Пусть  - подмножество в  такое, что . И пусть , где  и . Тогда ясно, что 

Следовательно, .

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть  - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа  группы  называется силовской -подгруппой в , если  и  - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа  в любой конечной группе  с    имеется силовская -подгруппа. Конечная группа  называется -группой, если ее порядок является степенью числа .

Обозначим через  - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и 

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в ., класс  является формацией. Обычно вместо  пишут . Подгруппа  называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если  - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то 

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем  (см. пример 20.2). Понятно, что  влечет, что . Для доказательства того, что  является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора  со свойством  найдется кардинальное число  такое, что 

Предположим, что  для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп  из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа  в группе  такая, что 

Но , и поэтому . Если  - канонический эпиморфизм, который отображает  на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа  имеем место .

Так как  и так как каждая группа в  - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число  такое, что . Пусть  - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что  и пусть  - группа из  такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа  такая, что  для некоторой подгруппы  из  с . Пусть  - подгруппа в  такая, что  и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно  Значит, .

Теперь мы предположим, что решетка  является цепью. Пусть  и  - конечная группа. Предположим, что порядок  группы  делится по крайней мере на два простых числа  и . Пусть 

И пусть  - силовская -подгруппа в  и  - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда 

Значит,  и . Это показывает, что  не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из  является -группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в  является абелевой. Предположим, что это не так и пусть  - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс  является наследственным, то . Пусть  , где  - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть  где . И пусть  - коммутант подгруппы , . Тогда  и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом,  не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в  является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из  делит число .

Теорема доказана.

Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу , называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Пусть  и  - подгрупповые -функторы. Определим произведение  при помощи следующего правила 

Понятно, что подгрупповой -функтор  является замкнутым тогда и только тогда, когда . Мы используем символ  для обозначения произведения , в котором имеется  сомножителей.

Пусть  - произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа  группы  называется -холловской, если ее индекс  в  не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка  нет ни одного не входящего в . Символом  обозначают множество всех простых чисел, отличных от .

Конечная группа  называется нильпотентной, если выполняется одно из эквивалентных условий:

а) все силовские подгруппы нормальны в ;

б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки ) нормальны в .

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда 

Доказательство. Пусть  - холловская -подгруппа в  и  Предположим, что  Тогда 

и поэтому , где  - силовская -подгруппа в . Тогда  противоречие. Следовательно,  и поэтому найдется максимальная подгруппа  в  така1я, что  и . Так как  - нильпотентная группа, то  и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем  Теперь мы докажем, что  Если  то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть  и пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что  Тогда  и так как 

Так как  мы видим, что  и поэтому  Следовательно, . Если  где  - максимальная подгруппа в  то  Но  и поэтому мы видим, что  Лемма доказана.

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда 

Доказательство. Предположим, что  Тогда найдется группа  с  Мы можем предполагать, что  - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно,  содержит подгруппу  такую, что , но  Ясно, что  Пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что  и пусть  Так как  для каждого , мы имеем  Понятно, что  и поэтому  Так как группа  нильпотентна, то  и поэтому по лемме 24.6,  Так как  мы видим, что  для всех  Следовательно,  и поэтому по выбору группы , мы имеем  Так как по условию  то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы  мы имеем  и  Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что  и поэтому 

Полученное противоречие показывает, что  Но согласно нашему предположению, мы имеем  Следовательно, 

Пусть  - решетка. Подмножество  называется антицепью в  если для любых различных элементов  и  из , мы имеем  и  Если  - антицепь в  такая, что  для любой другой антицепи , тогда кардинальное число  называется шириной решетки .

Если  - произвольная совокупность групп, то символом  обозначается множество всех простых делителей порядков групп из .

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и 

Доказательство. Прежде мы предположим, что формация  нильпотентна и , где  Пусть  Предположим, что имеется замкнытый функтор  в  такой, что  и  для  Мы покажем, что  Действительно, если , тогда найдется группа  такая, что для некоторой подгруппы  из , мы имеем  Мы можем считать, что  - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что  Пусть  - такая максимальная подгруппа в , что . Согласно условию, класс  является наследственным. Следовательно, , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем  Пусть  Так как  то найдется группа  такая, что  Таким образом, для некоторой подгруппы  мы имеем  и поэтому по лемме 4.9,  Это означает, что  противоречие. Следовательно,  Значит, если  - замкнутый функтор в  и  то для некоторого  мы имеем  По лемме мы видим, что ширина  решетки  равна 

Теперь мы предположим, что ширина  решетки  конечна и  Пусть  Если  и  тогда  и  и поэтому  Это означает, что  - конечное множество. Теперь мы покажем, что  - класс нильпотентных групп. Предположим, что  имеет ненильпотентную . Пусть  и пусть  - силовская -подгруппа в . Тогда  Так как  - ненильпотентная группа, то для некоторого  имеет место . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что  не является субнормальной подгруппой в , и поэтому  где  (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что  и поэтому  Это показывает, что  антицепь  с  противоречие. Таким образом,  - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10,  Теорема доказана.


Заключение



Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.


Список использованных источников



 Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Беларуская навука, 1997.

Скиба А.Н. Решетки и универсальные алгебры. Учебное пособие. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2002.255 с.

 Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. - Мн.: Беларуская навука, 1997.

 Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2001.238 с.

 Монахов В.С. Введение в теорию групп. Тексты лекций по курсу "Алгебра и теория чисел". - Минск: Белорусский гос. ун--т, 1990.72 с.

 Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.468 с.

 Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989.253 с.