Шпаргалка по Математическому анализу

Числовые множества: ограниченность, супремум, инфимум

1.Множество {x}, элементами которого являются числа, называется  числовым множеством.

2. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным  сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что   x  M  (  x  m).

  Число M называется верхней гранью числового множества {x}. Аналогично, число  m называется нижней гранью числового множества {x}.

  Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m), есть также верхняя (нижняя) грань.

3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x}  (обозначение  sup{x}).

4. Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества  {x}  (обозначение inf{x}).

  Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

 Супремум  sup{x},.

Инфимум  inf{x} ,.

 Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

  Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.

  Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.



Предел последовательности и предел функции

1.Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел 

{x1, x2, x3, ... }.

 Обратите внимание на два момента.

  *В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

  *Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

2. Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Подчеркнем, что N зависит от .

 Варианты определения.

 Говорят, что , если .

 Говорят, что , если .

3.Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a       ,



Односторонние пределы

1.Число b есть предел слева  (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если



().

Обозначение  ().

Если, то существует . Верно и обратное утверждение.

 2.Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал  необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn}, у которой  существовал 

  Свойства предельных значений.

  Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

,

,

,

, если .



Бесконечно малые и бесконечно большие

1.Функция f(x) называется бесконечно малой при xa, если. 

* Если существует  и , ¸ то говорят, что (x) и (x) – бесконечно малые одного порядка.  

* Если  (или, что то же самое, ), то говорят, что (x) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем (x).

Обозначение =o().

* Если  не существует, то говорят, что (x) и (x) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно малая величина (x)=x – a. Тогда, если существует ,

то говорят, что (x) является бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так

.

Слагаемое  называется главной частью (x).

2.Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при xa, если .

* Если существует  и , ¸ то говорят, что A(x) и B(x) – бесконечно большие одного порядка. 

* Если  (или, что то же самое, ), то говорят, что A(x) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B(x).

* Если  не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно большая величина . Тогда, если существует  и , ¸ то говорят, что A(x)

есть бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом: .



Возрастающие и убывающие функции

1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке  и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было  ().







-

Непрерывность

1.Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

*.

*. Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

*Обозначим  (приращение аргумента) и  (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при   также и  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

2.Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.



Производная.

1.Пусть функция f(x) непрерывна в точке x. Тогда производной  от этой функции в точке x, называется предел (разумеется, если он существует)



где  - приращение функции.

*Геометрический смысл производной состоит в том, что численно она равна тангенсу угла между касательной, проведенной к кривой в точке x, и осью абсцисс OX 





Дифференциал

1.Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение  может быть представлено в виде

.

Линейная часть приращения функции, то есть слагаемое  называется дифференциалом функции в точке х и обозначается так: .

*Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. При этом ,  и .

Геометрический смысл дифференциала изображен на рис. 3.5. Заметьте, что производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:

.







Выпуклость.



1. Функция f(x) называется выпуклой  на отрезке [a, b], если   выполнено условие

.

 Его отличительной особенностью является то, что график выпуклой функции лежит под хордой, соединяющей две любые ее точки.

2. Функция f(x) называется вогнутой  на отрезке [a, b], если   выполнено условие

.

 Его отличительной особенностью является то, что график вогнутой функции лежит над хордой, соединяющей две любые ее точки.(выпуклость, вогнутость :-) )





Экстремум

1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке  и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было  ().

*Говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум) если

    такое, что .

































Частные производные

1.рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x0,y0)

z=f(x0+x, y0+y)-f(x0,y0) - полное приращение. 

Частное приращение по х (по у):

xZ=f(x0+x, y)-f(x0, y0)

yZ=f(y0+y, x)-f(x0, y0)

Частная производная ф-ция:


*Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy

dZ=Z/x*dx+=Z/y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.



Теорема о вложенных отрезках.(Лемма о вложенных отрезках) 

1.Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.

2.Система замкнутых отрезков называется стягивающщей, если

*, т.е. каждый последующий отрезок расположен внутри предыдущего;

* , т.е. длины отрезков стремятся к нулю.

*Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство.

1. Рассмотрим множество левых концов наших отрезков. Очевидно, что

а) 

б)

Поэтому, существует конечный .

2. Рассмотрим множество правых концов наших отрезков. Очевидно, что

а) 

б) 

поэтому существует конечный .

3. Так как по условию , то 

.

Обозначим этот общий предел через c:

.

4. Так как а , то очевидно что , т.е. точка ; (она принадлежит всем отрезкам сразу). 

5. Докажем, что точка c единственная. Предположим противное, что точка , такая что . Но тогда было бы, что что противоречит тому, что .



Теоре́ма Вейерштра́сса (Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства)

*Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство

Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой:

Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an. 

Разделим его пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем один из них. 

Продолжим деление отрезков по индукции. 

Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно имеет одну общую точку. 

Далее построим подпоследовательность, что бы k-й элемент содержался в отрезке определённом на k-ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число an это возможно. 

Полученная подпоследовательность имеет предел.



Основные теоремы о пределах

*Функция не может иметь более одного предела.

*Пусть заданные на одном и том же множестве функции  и  имеют в точке  пределы соответственно  и . Тогда функции

,  и  (при )

имеют в точке а пределы, равные соответственно:

,  и .





Признаки существования предела последовательности

*Если числовая последовательность  монотонна и ограничена, то она имеет предел. 

*Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях x) функция f(x) заключена между двумя функциями (x) и (x), имеющими одинаковый предел A при  (или ), то функция f(x) имеет тот же пр.





Сравнение б.м. и б.б. функций

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

*Пусть при хх0 функции (х) и (х) являються б.м., т.е. Lim(х){при хх0}=0 и Lim(х){при хх0}=0, тогда Правила:1)Если Lim(х)/(х){при хх0}=0, то (х) – б.м. более высокого порядка, чем (х). 2)Если Lim(x)/(х){при хх0}=А0, то (х) и(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lim(х)/(х){при хх0}=1, то (х) и (х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lim(х)/ (х){при хх0}=А0, то (х) – б.м. n-го порядка относительно (х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х∞, х+\-∞, хх0+\-. Существует аналогичное правило.





































Замечательные пределы 

*1-й замечательный предел.



Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB  через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда



Разделим все на и получим:



Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

*2-й замечательный предел.



Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:



Если x→∞, то n→∞, тогда



По признаку о существовании пределов:





Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию  называют непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

*Теорема утверждает, что если функция  непрерывна на отрезке [a,b], то найдётся хотя бы одна точка  такая, что значение функции  в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: . Аналогично найдётся такая точка , в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: .

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция  принимает наименьшее значение в двух точках  и .

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a,b). Действительно, если рассмотреть функцию  на (0,2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция  непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция  непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a,b] найдётся по крайней мере одна точка , в которой функция обращается в ноль: , где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции , соответствующие концам отрезка [a,b] лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция   непрерывна на отрезке [a,b] и , . Тогда для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся внутри этого отрезка такая точка , что .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции . Пусть , . Тогда любая прямая , где С – любое число, заключённое между А и В, пересечёт график функции по крайней мере в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением , при котором .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности,

Следствие. Если функция  непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.



Классификация точек разрыва.

Разрывы  функции

1.Точки, где функция f(x) не является непрерывной,  называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева  и предел справа  функции f(x). Тогда  имеет место следующая классификация точек разрыва.

* Устранимый разрыв.

 Он имеет место, когда выполнено условие

.

 В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

* Разрыв первого рода (скачок).

 Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы  и  существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

* Разрыв второго рода.

 Если хотя бы один из  и  равен  или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

 Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен .





















Геометрический смысл производной.

KN=y, MK=x

MNK/tg2=y/x

вычислим предел левой и правой части:

limtg=lim(y/x) x0

tg0=y`

0

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg0=y`, 0)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0.

























Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

*Если функция  f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной.  

*С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему ? )

 





  Лагранжа









Отношение f(b)-f(a) / b-a  есть угловой коэффициент  секущей АВ, а величина f I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

СЛЕДСТВИЕ:

Если, производная функции yi=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.

Если две ф-ии имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.

 



Теорема Лагранжа

 Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), то найдется хотя бы одна точка , такая, что f(b)-f(a)=f I(c)(b-a)

*ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Положим в т. Коши φ(x)=x

   

Подставим эти значения в формулу:



 

 Что и требовалось доказать.



Правило Лопиталя



Если  

То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.

*Предел  отношения функций равен пределу отношения их производных.



при условии, что предел правой части равенства существует.

*Правило Лопиталя применимо и в том случае когда: 

Аргумент x стремится к бесконечности

*Если отношение производных f I и φi при  x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.

При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.



Признак возрастания и убывания функции.

Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и , то эта ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).

*Исследование ф-ии на возрастание и убывание:

f(x)=x3-6x2-9x+1

D(f): (+∞;-∞)

f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)



f I > 0

f I < 0 при х прин.(1;3)

Функция убывает на (1;3)













Признаки существования экстремума

*Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней .

*Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие . Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: . Тогда возможны следующие варианты.

а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если , то в точке x0 – локальный максимум, а если , то в точке x0 – локальный минимум.

б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба).



Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба

*Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

*Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

*Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

*Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

*Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

*Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.



Геометрический смысл дифференциала 

limy=A, y=A+

limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x

x0

y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.

dy=y`x

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x



*Св-ва:
1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.



Инвариантная форма дифференциала

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.ъ

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = x, но

если х зависит от t, то х  dx. 

Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.



Формула Тейлора.

1.Многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв.



Пример: 

2.Остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:



*Если функция F(x) (n+1) – дефферен. в окресности точки x0, то для любого x из этой окресн. сущ. т. с(x0, x)







Геометрический смысл частных производных

*(допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

 В   пространстве   XYZ   условие   y = y0   описывает   плоскость   P,

перпендикулярную оси OY и пересекающую эту  ось  в  точке  y0.  Плоскость  P

пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль  некоторой  линии  L,  как

показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью  XOY  и  касательной  к

линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x  функции

z = f(x,y) в  этой  точке.  В  этом  состоит  геометрический  смысл  частной

производной.

      Аналогичное заключение можно сделать относительно частной  производной

по y.























Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная    и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.



Производные

(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)

(c*u(x))=c*u'(x)

(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)

(u(x)/v(x))'=(u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x))/v2(x)

u(v(x))'=u'v+v'x

(xa)'=a*xa-1

(sin(x))'=cos(x)

(cos(x))'=-sin(x)

(tg(x))'=1/cos2(α)    

(ctg(x))'=-1/sin2(α)

(ex)'= ex

(ln(x))'=1/x

(loga(x) )'=1/xln(a)

(arcsin(x))'=1/√(1-x2)

(arccos(x))'=-1/√(1-x2)

(arctg(x))'=1/(1+x2)

(a x)'=axln(a)  

    касательная                                                    

y-y0=y`( x0)(x- x0)	

    нормаль	

y-y0=(-1/y`( x0))*(x- x0)  

       

Логарифмы

y=ax, x=loga(y)	 

y=aloga(y)	 

logb(a1a2)= logb(a1)+logb(a2)

logb(a1/a2)= logb(a1)-logb(a2)	

logb(ak)=k logb(a)	

logb(a)=logc(a)/logc(b)

(n+1)!=n!(n+1)

n!=1*2*3*4*…*n

Ckn=n!/(n-k)!*k!



Лимиты

[c/∞]=0 [c/0]= ∞ [0/∞]=0 [∞/0]= ∞

первый замечательный предел

lim[(sin(x))/x] (при х→0)=1   lim[(arcsin(x))/x] (при х→0)=1  

lim[(1-cos(x))/x2] (при х→0)=1/2  lim[(tg(x))/x] (при х→0)=1

lim[(arctg(x))/x] (при х→0)=1  

lim[1/f(x)]=1/lim f(x)

lim[(x/sin(x))] (при х→0)=1  

(1+x)1/x (при х→0)=e=2.718  

второй замечательный предел          

lim

lim[(ln(1+x)/x] (при х→0)=1    lim[(loga(1+x)/x] (при х→0)=1/ln(a)  

lim[(ex-1)/x] (при х→0)=1        lim[((1+x)a-1)/x] (при х→0)=a  

lim[(ax-1)/x] (при х→0)=ln(a)  

lim [f(x)g(x)] (при х→х0)=lim f(x) (при х→х0)lim g(x) (при х→х0)

 х

1.sin x~ x       tg x ~ x 

arcsin x ~ x    arctg x ~x

(1- cos x)~ x    ex-1 ~x

ax-1 ~xlna     ln(1+x)~x

log(1+x)~ xloge

(1+x)-1~kx, k>0



Тригонометрия

cos2(α)+sin2(α)=1

cos(α-β)= cos(α) cos(β)+sin(α)sin(β)              

cos(α+β)= cos(α) cos(β)-sin(α)sin(β)              

sin(α+β)=sin(α) cos(β)+cos(α)sin(β)              

sin(α-β)=sin(α) cos(β)-cos(α)sin(β)                

tg(α+β)=(tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β))               

tg(α-β)=(tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β)) 

cos(π/2-α)=sin(α)

sin(π/2-α)=cos(α)	 

cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)                                  

cos(2α)= 1-2 sin2(α)

cos(2α)=2cos2(α)-1	  

sin(2α)=2cos(α)sin(α)	  

tg(2α)=2tg(α)/(1-tg2(α))	  

sin2(α)=(1-cos(2α))/2

cos2(α)=(1+ cos(2α))/2	 

tg2(α)=(1-cos(2α))/(1+ cos(2α))	

 sin(α)=2tg(α/2)/(1+tg2(α/2))	 

cos(α)= (1-tg2(α/2))/ (1+ tg2(α/2))	 

sin(α)sin(β)=(1/2)(cos(α-β)-cos(α+β))	

cos(α)cos(β)=(1/2)(cos(α-β)+cos(α+β))	 

sin(α)cos(β)=(1/2)(sin(α+β)+cos(α-β))	

sin(α)-sin(β)=2sin((α-β)/2)cos((α+β)/2)	

sin(α)+sin(β)=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)	

cos(α)+cos(β)=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)	

cos(α)-cos(β)=2sin((α+β)/2)sin((β- α )/2)	 

tg2(α)+1=1/cos2(α)	 

1+ctg2(α)=1/sin2(α)	     

2sin2(α)=1- cos2(α)	

sin2(α)=(1- cos2(α))/2                                      













































Асимптоты.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.



Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x), при xa.

Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :



Док-во: Точка M0(x0,y0) и прямая 

L: Ax+By+Cz=0, то расстояние



Пусть y=kx+b

асимптота =>

d(M,l)0=>

kx-f(x)+b0

тогда f(x)-kxb

при x+

существует предел:





Дифференцирование функций заданных параметрически.



Пример 1:

возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3 

Пример 2: 





Аналитические признаки поведения функции.

Теорема: Критерий постоянства фун.

Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).

Док-во: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем x[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); c(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого  x => f(x)=const.

Теорема: Достаточный признак возрастания функции.  Если  f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].

Док-во: 

возьмем x1, x2 [a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)

применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]

по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0  => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].

Док-во 1: подобно предыдущему.

Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0

=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).

f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)0 (a,b).

Признаки экстремума функций.

Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.



Теорема: Необходимый признак экстремума функции.

Если х0 точка экстремума f(x), то :

1). Либо не существует f’(x0)

2). Либо f’(x0)=0

Док-во:

1). Не сущест. f’(x0)

2). Сущест. f’(x0) - по т. Ферма f’(x0)=0



Замечание: данные условия не являются достаточными.