Транспортная задача и задача об использовании сырья

Транспортная задача и задача об использовании сырья

1. Решить задачу об использовании сырья геометрическим способом и симплекс методом, дать экономическую интерпретацию.









75

5

3

83

4

7

50

1

5



4

5



Геометрический способ.

Пусть  количество выпускаемой продукции первого вида, тогда  количество выпускаемой продукции второго вида. Прибыль от реализации всей продукции составляет .

Цель задачи (максимализация прибыли) запишется в виде



Расход ресурса

Запас ресурса

Структура всех трёх ограничений одинакова  





Перейдём из неравенств к уравнениям



Построим прямые на плоскости 



Многоугольник решений . Для нахождения максимума функции  построим начальную прямую  и вектор . Передвигая прямую  вдоль вектора  получим, что максимальное значение наша прямая принимает в точке  точке пересечения прямых  и . 



.

Симплекс метод.

Приведём систему неравенств к системе уравнений



Целевая функция – функция прибыли 



Составим симплекс таблицу:

- Первое ограничение запишем в первую строку

- Второе ограничение запишем во вторую строку

- Третье ограничение запишем в третью строку

Целевую функцию запишем в  строку



Б

З













75

5

3

1

0

0



83

4

7

0

1

0



50

1

5

0

0

1



0





0

0

0



В строке  есть отрицательные  начальный план не оптимален. Найдём наименьший отрицательный элемент строки . Переменная  будет включена в базис. Столбец переменной  – ведущий. Подсчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное  третья строка ведущая, а элемент  разрешающий. Следовательно переменная  выйдет из базиса.

Проведём одну интеракцию метода замещения Жордано-Гаусса. Столбцы. Разрешающий элемент 

равен  поделим третью строку на 5, столбец  сделаем единичным для этого третью строку умножим на  и прибавим к первой строке, третью строку умножим на  и сложим со второй строкой; третью строку сложим со строкой . Получим новую симплексную таблицу



Б

З













45



0

1

0





13



0

0

1





10



1

0

0





50



0

0

0

1



В строке  есть отрицательные  план не оптимальный. Рассчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное  вторая строка ведущая  разрешающий 

Следовательно, переменная  выйдёт из базиса. Так как разрешающий элемент , поделим строку, соответствующую переменной  на . Элементы столбца, соответствующего переменной  отличны от элемента  сделаем нулевыми, для этого вторую строку умножим на  и прибавим к первой; вторую строку умножим на  и прибавим к третьей; вторую строку умножим на  и прибавим к строке . Получим новую симплексную таблицу



Б

З













23

0

0

1







5

1

0

0







9

0

1

0







65

0

0

0







В строке  есть отрицательный элемент – пересчитываем таблицу. Рассчитываем симплексные отношения и найдём среди них минимальные  первая строка ведущая  разрешающий элемент  переменная  выйдет из базиса. Сделаем элемент  единичным, для этого поделим первую строку на . Столбец, соответствующий переменной  сделаем единичным для этого первую строку умножим на  и прибавим ко второй строке. Первую строку умножим на  и прибавим к третьей. Первую строку умножим на  и прибавим к строке . Получим новую симплексную таблицу.



Б

З













13

0

0





1



12

1

0





0



5

0

1





0



73

0

0





0



Так как в строке  все элементы неотрицательны, то найден оптимальный план





Оптимальный план найденный геометрическим способом и симплексным методом совпадают. Предприятию необходимо выпускать 12 единиц продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида. В этом случае предприятие получит прибыль  денежных единиц. 



2. Решить транспортную задачу распределительным методом, оценивая свободные клетки по методу потенциалов.



 





60



50



85



75

65

8

10

6

5

65

80

4

30

3

50

5

9

35

11

25

4

4

8

10

90

5

5

5

3

85

6



Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи





Потребность в грузе равна запасам груза  задача закрытая, следовательно, имеет единственное решение.

Используя метод наименьшей стоимости заполним таблицу.

Среди тарифов наилучшим является  и . Направим например,

в клетку  

в клетку 

в клетку 

в клетку 

в клетку 

в клетку 

в клетку 

Запасы поставщиков исчерпаны, запросы потребителей удовлетворены полностью. В результате получили первый опорный план. Подсчитаем число занятых клеток таблицы их 7, а должно быть  опорный план не вырожденный.

Определим значение целевой функции первого опорного плана



Проверим оптимальность плана.

Найдём потенциалы  и  по занятым клеткам таблицы



Пусть , тогда:



Подсчитаем оценки свободных клеток 











Первый опорный план не является оптимальным так как .

Переходим к его улучшению. Для клетки  строим цикл перераспределения 



В результате получили новый опорный план



 





60



50



85



75

65

8

10

6

5

65

80

4

55

3

25

5

9

35

11



4

25

4

8

10

90

5

5

5

3

85

6



Определим значение целевой функции



Проверим оптимальность плана

  

Подсчитаем оценки свободных клеток 











План близок к оптимальному. 

При дальнейшем перераспределении груза, задача входит в циклическую фазу, план не улучшается. Таким образом, полученное решение является наиболее оптимальным для нашей задачи