Задачи по теории вероятности 2

Работа №1

Случайные события

6 вариант.



Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

	Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

	Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ: вероятность 3/8.



Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

		Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n = 7!

		Буквы в слове СОБЫТИЕ не повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

		Таким образом,

		Р(А) = 1/7! = 1/5040.

		Ответ: Р(А) = 1/5040.

		

Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

		n = 11!;    M = 2!*2! = 4.

		Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.



Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

		8  ч           Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

		6  б           событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

		

		а) А1 - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

		 Р(А1) = 560/2002 = 280/1001.

		б) А2 - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

		В1 - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

		В2 - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

		В3 - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

		А2 = В1  В2  В3.

		Так как события В1, В2 и В3 несовместимы, можно использовать формулу:

		Р(А2) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3);

		

		Р(А2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

		в)  - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

		

		Р(А3) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

		Ответ: Р(А1) = 280/1001, Р(А2) = 483/1001, Р(А3) = 973/1001.



Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.



		1 урна          2 урна                    Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями    

		5     б            6       б                    являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров                 

		7     ч            4       ч                    из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания 

		_____           ______                   по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

		   2                    2                          а) А1 - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

		                                                   или все черные. 

			Определим для каждой урны всевозможные события:

			В1 - из первой урны вынуты 2 белых шара;

			В2 - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

			В3 - из первой урны вынуты 2 черных шара;

			С1 - из второй урны вынуты 2 белых шара;

			С2 - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

			С3 - из второй урны вынуты 2 черных шара.

		Значит, А1 = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

		Р(А1) = Р(В1) * Р(С1) + Р(В3) * Р(С3).

			Найдем количество элементарных событий n1 и n2  для первой и второй урн соответственно. Имеем: 

		

			Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события: 

		В1 : m11 =          C1 : m21 = 

		B2 : m12 =     C2 : m22 = 

		B3 : m13 =      C3 : m23 = 

		Следовательно, 

		Р(А1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

			б) А2 - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

		А2 = (В1  С2  (В2  С1);

		Р(А2) = Р(В1) * Р(С1) + Р(В2) * Р(С2)

		Р(А2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

			в) А3 - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

		 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

		

		Р() = Р(В3) * Р(С3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

		Р(А3) = 1 - Р() = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ: Р(А1) = 46/495, Р(А2) = 1/3, Р(А3) = 158/165.



Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.



		Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

		событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

		Рассмотрим события:

		В1 - в урне было 5 белых шара;

		В2 - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

		В3 - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

		В4 - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

		В5 - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

		В6 - в урне было 5 черных шара;

		Общее число элементарных исходов

		

		Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

		                                Р(А/В1) = 1.

		                           Р(А/В2) = 56/84 = 2/3.

		                            Р(А/В3) = 35/84 = 5/12.

		                                Р(А/В4) = 5/21.

		                                Р(А/В5) = 5/42.

		                                  Р(А/В6) = 1/21.

		Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

		Ответ: Р(А) = 209/504.



Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.



Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно  (для В1) и  (для В2); таким образом Р(В1) = 3/ 11, Р(В2) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В1) = 0,87 и Р(А.В2) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ: Р(А) =0,615.



Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М1=13, М2=12, и М3=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.



Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В1) = 0,91, Р(А/В2) = 0,82, Р(А/В3) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

	Р(В1) = 13/42 = 0,3095;   Р(В2) = 12/42 = 0,2857;   Р(В3) = 17/42 = 0,4048;

	Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

	По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В1:

Р(В1/А) = 

Р(В2/А) = 

Р(В3/А) = 

Ответ: Р(В1/А) = 0,3403,    Р(В2/А) = 0,2831,   Р(В3/А) = 0,3766



Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.



Задача 2.1.  В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности рk, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей рk. Найти наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р0, р1, р2 , ..., р11 и k.                                                                 

Используя формулу Бернулли. Значение р0 вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности рk - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р0 = *0,360 * 0,6411 = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство  

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q knp + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32. np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р3 является максимальным.

Таблица 1



k

(n-k-1)/ k

рk



k

(n-k-1)/ k

pk

0

1

2

3

4

5

-

11/ 1

10/ 2

9/ 3

8/ 4

7/ 5

0,0073787

0,0456556

0,1284066

0,2166861

0,2437719

0,1919704



6

7

8

9

10

11

6/ 6

5/ 7

4/ 8

3/ 9

2/ 10

1/ 11

0,1079833

0,0433861

0,0122023

0,0022879

0,0002573

0,0000131











-

0,9926213



Рисунок 1 График вероятностей рk



Задача 2.2.  В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.



а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

    Найти: Р760(330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:





Значение функции (x)  найдем из таблицы :

(1,98) = 0,0562,   P760(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.



б) Найти: Р760(284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим: 		







Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р760(284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.



в) Найти: Р760(330<k).

Имеем:  х1 = -1,98, 

Р760(330<k) = Р760(330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.



Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.





а) Задано: n = 5600,   p = 1/800,   k = 2.

Найти: Р800(2).

Получаем:

 = 5600 * 1/800 = 7.

Р800(2) = .

б) Задано k<3.

Найти: Р200(k<3).

Имеем:

= 7.

Р800(k<3) = Р800(0) + Р800(1) + Р800(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.



в) Задано k > 8.

Найти: Р800(k > 8).

Находим

= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р800(k>8) = 1 – Р800(k8)  = 1 - Р800(k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.



Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Х

  8         12          16         24

Р

0,11     0,14      0,50      0,25   



Найти функцию распределения F(x)  случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX и моду Мо.

R = 4



Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х2) = 82*0,11 + 122*0,14 + 162*0,5 + 242*0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,522 = 26,2896.































График функции распределения



Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности 

f(x) = 

Найти функцию распределения F(x)  случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме.   К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:



Поэтому



Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ = 

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х2) = 

DX = 40,5 – (4,5)2.

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х2/ 256 = 1/2, или х2 = 128. Имеем х =  11,31, Ме = 11,31.





















         6





                                                                                                           

                      

         3                             

                    

                           

                                 

                 

          

                                     6                       12               х             

График функции плотности вероятности f(x).





         6





                                                                                                           

                      

         3                              

                    

                           

                                 

                 

          

                            6              12               х             

График функции распределения F(х).



Работа №3.

Задача 3.1

По  выборкам А и В

составить вариационный ряд;

вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);

составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое ,

дисперсию ,

стандартное отклонение ,

моду Мо,

медиану Ме.



Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности ,S2, S по 

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу  выборки В.











Выборка А6

4

10

7

6

3

7

8

7

4

7

10

7

3

9

3

1

5

8

10

11

6

5

7

6

3

8

4

3

8

4

10

6

8

7

8

7

7

7

4

6

7

10

4

4

0

5

4

4

8

5

5

10

7

3

8

5

6

6

6

3

5

7

8

5

7

10

9

10

8

2

3

6

9





N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1



Выборка В6

324

296

313

323

312

321

322

301

337

322

329

307

301

328

312

318

327

315

319

317

309

334

323

340

326

322

314

335

313

322

319

325

312

300

323

335

339

326

298

298

337

322

303

314

315

310

316

321

312

315

331

322

321

336

328

315

338

318

327

323

325

314

297

303

322

314

317

330

318

320

312

333

332

319

325

319

307

305

316

330

318

335

327

321

332

288

322

334

295

318

329

305

310

304

326

319

317

316

316

307

309

309

328

317

317

322

316

304

303

350

309

327

345

329

338

311

316

324

310

306

308

302

315

314

343

320

304

310

345

312

330

324

308

326

313

320

328

309

306

306

308

324

312

309

324

321

313

330

330

315

320

313

302

295

337

346

327

320

307

305

323

331

345

315

318

331

322

315

304

324

317

322

312

314

308

303

333

321

312

323

317

288

317

327

292

316

322

319

313

328

313

309

329

313

334

314

320

301

329

319

332

316

300

300

304

306

314

323

318

337

325

321

322

288

313

314

307

329

302

300

316

321

315

323

331

318

334

316

328

294

288

312

312

315

321

332

319







N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7



Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: хmin = 0 и хmax = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).



Таблица 1 

xi

ni

ni/n

Накопленные частости

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

1

1

8

9

8

9

14

10

3

8

1

0,0137

0,0137

0,0137

0,1096

0,1233

0,1096

0,1233

0,1918

0,1370

0,0411

0,1096

0,0137

0,0137

0,0274

0,0411

0,1507

0,274

0,3836

0,5069

0,6987

0,8357

0,8768

0,9864

1,0001



73

1,0001

-



         Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси ni/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).



Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А





Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

	Эмпирическую функцию распределения F*(x) находим, используя формулу  и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:



	



При построении графика F*(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).





Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.





	Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое и дисперсию 

















Таблица 2 



xi

ni

 

 

 



0

1

-7

-7

49

49

1

1

-6

-6

36

36

2

1

-5

-5

25

25

3

8

-4

-32

16

128

4

9

-3

-27

9

81

5

8

-2

-16

4

32

6

9

-1

-9

1

9

7

14

0

0

0

0

8

10

1

10

1

10

9

3

2

6

4

12

10

8

3

24

9

72

11

1

4

4

16

16

 

73

 

-58

 

470

	

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

	Теперь по выборке В найдем хmin = 288 и хmax = 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).



Таблица 3

Интервалы

ni

ni/n

Накопленные частости

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

4

8

22

36

62

50

33

16

5

1

0,017

0,034

0,093

0,153

0,262

0,211

0,140

0,068

0,022

0,004

0,017

0,051

0,144

0,295

0,557

0,768

0,907

0,975

0,996

1,000



237

1,000

-







Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.





Рис. 5.  Гистограмма  вариационного ряда выборки В.



	При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси ni/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

	Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).



Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.



	Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим  с помощью табл. 4 (табл. 4).

	По формулам вычисляем среднее арифметическое   и  дисперсию 

	Стандартное отклонение  Моду находим  по формуле:

Мо = 313 + 7  = 317,8.

Таблица 4

Интервал

Середина интервала

ni



ni

()2

()2ni

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

289

296

303

310

317

324

331

338

345

352

4

8

22

36

62

50

33

16

5

1

-3,8

-2,8

-1,8

-0,8

0,1

1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

-1114,7

-845,7

-562,7

-265,7

45,3

370,3

709,3

1062,3

1429,3

1810,3

14,9

8,2

3,4

0,7

0,02

1,3

4,6

9,9

17,2

26,4

4299,6

2416,3

1045

227,8

6,5

423,2

1519,9

3338,6

5921,3

9310



-

237



2637,9

-

28508,3

	

Медиану находим по формуле: Ме =.



	Задача 3.2.

	По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения: 

n = 73,    S-2 = 5,8143,     S2 = 73/72  5,8143 = 5,8951,     S =  = 2,43.



	Для выборки В имеем

 = 393,92,   = 177,47,    n = 237,    S2 = 237/236  177,47 = 178,222,   S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).