Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

Задача 1



Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса







Решение: 

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера







Определитель системы  не равен нулю. Найдем вспомогательные определители 1, 2, 3, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество










Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:



				 



Ответ: получили решение: 



2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса 

Составим расширенную матрицу системы 







Примем первую строку за направляющую, а элемент а11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.







Матрице  соответствует множество решений системы линейных уравнений  

Ответ: получили решение: 



Задача 2



Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение и длину высоты CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1), 	В(4; 3).	 С(5; 1).



Решение

1) Расстояние между точками А(х1; у1) и В(х2; у2) определяется по формуле







воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;





2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1; у1) и В(х2; у2)  имеет вид







Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:







Угловой коэффициент kАВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть  откуда 

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:







Угловой коэффициент kВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть 

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:







Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС. 

Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ  в (3), находим:







Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В  1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС



		



Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:






5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0; у0) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид







и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kABkCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x0,  y0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты  CD







Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0; у0) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:







Подставив в (5) вместо х0; у0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем





6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0; у0 координаты точки Е, а вместо k значение kEF получаем уравнение прямой EF'.







Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.







Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус



	



Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0; у0) имеет вид





Имеем 



Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на  рис.1.





Рис. 1



Задача 3



Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат



Решение

Пусть М (x, у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то



Pиc. 2















Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).



Задача 4



Найти указанные пределы:

а) 





Ответ: 



б) 





Ответ: 



Задача 5



Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования



Решение:



а) 







Ответ: 



б) 











Ответ: 



в) 











Ответ: 



Задача 6



Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

а) ; б) 



Решение



а) 



1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х:  х}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных  асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:








Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х1 =  1, х2 = 2.

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:



х

(-; 1)

1

(1; 2)

2

(2; )

f ’(x)

+

0

-

0

+

f(x)



max



min











3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:







Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:



х

(-; 1,5)

1,5

(1,5; )

f ‘’(x)

-

0

+

f(x)



т. п.





Значение  х = 1,5  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:





4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  y = kx – b воспользуемся формулами









Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) построим график функции







б) 



1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х


D(y) = х0  0, .



2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:









Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.

3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:







Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.

Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает  во всей области определения

4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:







Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:



х

(-; 0)

0

(0; )

f ‘’(x)

-

не существует

+

f(x)



не существует





5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  y = kx + b воспользуемся формулами









Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота



y = 0*x + 1 = 1.



6) построим график функции