Высшая математика

Высшая математика



Содержание

Часть I. 

	Задание №2. Вопрос №9. 

	Задание №3. Вопрос №1. 

	Задание №12. Вопрос №9. 

	Задание №13. Вопрос №2. 

	Задание №18. Вопрос №9

Часть II. 

	Задание №8. Вопрос №8. 

	Задание №12. Вопрос №9. 

	Задание №14. Вопрос №2. 

	Задание №15. Вопрос №6. 

	Задание №18. Вопрос №9. 

Дополнительно Часть I. 

	Задание №7. Вопрос №1. 

	Задание №9. Вопрос №8. 

	Задание №11. Вопрос №6. 

	Задание №15. Вопрос №1. 

Дополнительно Часть II. 

	Задание №7. Вопрос №1. 

	Задание №9. Вопрос №8. 

	Задание №11. Вопрос №6. 

	Задание №15. Вопрос №1. 



Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

	В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:



машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.



машин с водителями ежедневно уходят в рейс.



водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.



количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.



дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.



		Ответ:	Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь  свободных дней.

		

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если , .

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:



С осью OP (Q=0):

С осью OQ (P=0):

Для Q=QS(P):

Для Q=QD(P):



















Рисунок 1.



График функции спроса и предложения.Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

, из этой системы получаем: 





, тогда , значит координаты  т.M.

		Ответ:	Координаты точки равновесия равны ,  




Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:



Решение:





		Ответ:	Производная заданной функции равна  

		

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение 

		числа:	

Решение:



		Ответ:	Приближенное значение заданного числа равно 1,975.



Задание №18. Вопрос №9

		Исследуйте функцию и постройте ее график:	

Решение:

Область определения данной функции: .

Найдем точки пересечения с осями координат: 

С осью OY :

С осью OX :



, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.







Точка пересечения: 

Точки пересечения: , 

Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.

Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:



Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :



Рисунок 2.



Исследование на экстремум., дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка  - точка экстремума функции.

На участке производная  > 0, значит, при , заданная функция возрастает.

На участке производная  < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.). 

Следовательно  - точка максимума заданной функции .

Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:



Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.  , значит , тогда , отсюда 

Отсюда , . 



Рисунок 3.



Исследование на выпуклость.На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции. 

На участке  производная  >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции. 

Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.

На участке производная <0, значит, при  график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки ,  - точки перегиба графика заданной функции .



Рисунок 4.



График заданной функции



Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4). 




Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны  и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль. 

,   , 

Решение:

Пусть  - функция прибыли, тогда



Найдем первые частные производные функции :

, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:





Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения: , , , 

тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:



		Ответ:	 и  достигается при объемах выпуска и .



Задание №12. Вопрос №9.

		Вычислить неопределенный интеграл:	

Решение:



		Ответ:	

		

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .

Решение:



		Ответ:	Данный несобственный интеграл – расходящийся.



Задание №15. Вопрос №6.

		Решить уравнение	

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда







		Ответ:	Решением данного уравнения является .



Задание №18. Вопрос №9.

		Найти общее решение уравнения:	

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда

фундаментальную систему решений образуют функции: 

, 

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений  и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: 

Представим правую часть уравнения, как  и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

. Имеем , , тогда т.к.  - многочлен второй степени, то общий вид правой части:  . Найдем частные решения: 

, , 





Сравним коэффициенты при  слева и справа, найдем , решив систему:

, отсюда .

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .

		Ответ: .



Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: .

Решение:

.

		Ответ:	Заданный предел равен .

		

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

.

Решение:

Область определения данной функции: .

Т.к. точка  не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.  и , следовательно, уравнение  – уравнение вертикальной асимптоты.

Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:







Рисунок 5.





Графики асимптот функциит.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: .

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты  с осями

 координат:

С осью OX: точка, 

с осью OY: точка





		Ответ:	 и  – уравнения асимптот заданной функции. 



Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: .

Решение:

Т.к. по определению производная функции  в точке  вычисляется по формуле , тогда приращение  в точке : .

Следовательно .

		Ответ:.



Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя:  .

Решение:

.

		Ответ:	Заданный предел равен .



Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке  уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции  в точке  имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки  вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

 

.

		Ответ:	Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке  имеет вид .



Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в области: .

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области. 

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

, точка  не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями  и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

, тогда ,  , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:



Эта система имеет четыре решения:

, , 

Точка  – точка условного максимума, при этом функция .

, , 

Точка  – точка условного максимума, при этом функция .

, , 

Точка  – точка условного минимума, при этом функция .

, , 

Точка  – точка условного минимума, при этом функция .

, тогда ,  ,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:



Эта система также имеет четыре решения:

, , 

Точка  – точка условного максимума, при этом функция .

, , 

Точка  – точка условного максимума, при этом функция .

, , 

Точка  – точка условного минимума, при этом функция .

, , 

В точке  – точка условного минимума, при этом функция .



Рисунок 6.





График наибольших/наименьших значений функции  при .

Следовательно, заданная функция  в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках  и  и наименьшего в точках  и  при этом графики функций  и  касаются окружности  в точках ,  и ,  соответственно (см. рис.6).

		Ответ:	Заданная функция  при условии  имеет  и .





Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: .

Решение:



Ответ: 

Заданный неопределенный интеграл равен .



Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение:  .

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение:



.

Ответ:

Решением данного уравнения является .