Поиск клик в графах

Поиск клик в графах

		Курсовой проект студента Шеломанова Р.Б.

		Кафедра общей теории систем и системного анализа

				Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

				Москва 1998

Введение

Для иллюстраций условий и решений многих задач люди пользуются графиками. По своей сути графики являются набором из множества точек и отрезков прямых соединяющих эти точки. Возникает вопрос: подчиняются ли графики каким-либо законам и обладают ли они какими-нибудь свойствами?  Этот вопрос был поставлен Д.  Кенигом, который впервые объединил все схематические изображения, состоящие из совокупности точек и линий, общим термином “граф” и рассмотрел граф как самостоятельный математический объект. Теория графов нашла свое применение  в решении целого ряда задач. В моем курсовом проекте будет рассмотрен раздел   теории графов посвященный максимальным полным подграфам, тоесть кликам. Целью проекта является написание программы на языке программирования, которая из заданного графа выделяла бы клику с заданным числом вершин.

Допустим задан граф G=(Х,Г). Довольно часто возникает задача поиска таких подмножеств множества вершин Х графа G, которые обладают определенным, наперед заданным свойством. Например, какова максимально возможная мощность такого подмножества S  Х, для которого порожденный подграф S является полным? Ответ на этот вопрос дает кликовое число графа G. Это число и связанное с ним подмножество вершин описывает важные струтурные свойства графа и имеет непосредственные приложения при проведение проектного планирования исследовательских работ, в кластерном анализе и численных методах таксономии, паралельных вычмслениях на ЭВМ, при размещении предприятий обслуживания, а также источников и потребителей  в энергосистемах. 

Часть 1. Теоретическая часть к курсовому проекту

Глава1. Теория графов

Понятие графа

Графом G(X,U)  называется совокупность двух объектов некоторого множества X и отображения этого множества в себя Г.

При геометрическом представлении графа элементы множества Х изображаются точками плоскости и называются вершинами графа. Линии, соединяющие любые пары точек x и y, из которых у является отображением х, называются дугами графа. Дуги графа имеют направление, обозначаемое стрелкой, которая направлена острием от элемента х к его отображению у.

Вершины и линии графа

Две вершины А и В являются граничными вершинами дуги, если А- начало  дуги, а В ее конец.

Смежными называются различные дуги, имеющие общую граничную точку. Две вершины х и у смежны, если они различны и существует дуга, идущая от одной из них к другой .  

Вершина называется изолированной, если она не соединена дугами с другими вершинами графа. 

Если дуга U исходит из вершины х или заходит в х, то дуга U называется инцидентной вершине х, а вершины х инцидентной дуге U. Общее число дуг, инцидентной вершине х, являются  степенью вершины х Р(х). Вершины, степень которых Р(х)>2, называются узлом, а со степенью Р(х)<2 - антиузлом.

Полустепень захода Р+(х) вершины х - количество  дуг, заходящих в данную вершину. Полустепень исхода Р-(х) - количество дуг, исходящих из данной вершины.

Последовательность линий на графе

Путь - последовательность дуг (U1, U2, ...Un), в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом последующей. Путь может быть конечным и бесконечным.

Путь называется простым, если в нем никакая дуга не встречается дважды, и составным, если любая из дуг встречается более одного раза.

Путь, в котором ни одна из вершин не встречается более одного раза, называется элементарным путем.

Гамильтонов путь - путь проходящий через все вершины, но только по одному разу,

Эллеров путь - путь содержащий все дуги графа, при этом только по одному разу.

Длинна пути - число дуг последовательности (U1, U2, ...Un).

Ветвь - путь, в котором начальная и конечная вершины являются узлами. Дуга (x,y) называется замыкающей,  если удаление ее не приводит к аннулированию пути из x в y.

Контур - конечный путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине. Контур единичной длинны называется петлей.

Ориентированный граф - граф, у которого вершины соединяются направляющими стрелками.

Графы можно рассматривать с учетом или без учета ориентации его дуг.

Разновидности графов 

Нуль-граф - граф (X,U), состоящий только из изолированных вершин.

Однородный граф - если степени всех вершин графа одинаковы и P+(x)= P- (x) =0.

Симметрический граф - граф, в котором две любые смежные вершины соединены только двумя противоположно ориентированными  дугами.

Антисимметрический - граф, в котором каждая пара смежных вершин соединена только в одном направлении.

Полный - граф, в котором любая пара вершин соединена одинаковым числом дуг.

Мультиграф - граф, в котором хотя бы две смежные вершины соединены более чем одной дугой. Наибольшее число дуг, соединяющих смежные вершины графа называется кратностью.

Подмножества графов 

Подграфом графа  G(X,U) называется граф G(A,UA), определяемый следующим образом:

1. Вершинами A  подграфа G(A,UA)   является некоторое подмножество вершин графа G(X,U);

2. Отображением каждой вершины подграфа является пересечение отображения той же вершины в графе G(X,U) со всем подмножеством вершин A подграфа G(A,UA).

Частичным графом для графа G(X,U) называется граф G(X,U), в котором содержатся все вершины и некоторое подмножество дуг исходного графа.

Частичный подграф - это частичный граф от подграфа.

Фактором графа G(X,U) называется частичный граф G(X,U), в котором  каждая вершина обладает полустепенями исхода и захода, равными единице,  имеются одна заходящая и одна исходящая дуги.

Базисным графом  называется ориентированный частичный граф, образованный из исходного удалением петель и замыкающих дуг.

Связность графа

В общем случае граф может быть представлен несколькими отдельными графами, не имеющими общих дуг. Тогда граф G(X,U) называется несвязным, а каждый из составляющих его графов G1 , G2 ,...Gn - компонентами связности. Граф называется  связным, когда каждую его вершину можно соединить с любой другой его вершиной некоторой цепью.

Операции над графами 

1. Объединение графов

G3(X3,Гх3) = G1(X1,Г1х1)  G2(X2,Г2х2), где  X3=X1X2, а Гx3=Г1x1Г2x2

Пример (Рис 1.1).



Рис 1.1



2.  Пересечение графов

G3(X3,Гх3) = G1(X1,Г1х1) G2(X2,Г2х2), где  X3=X1 X2, а Гx3=Г1x1Г2x2

Пример (рис 1.2).

Рис 1.2

4. Прямое (декартово) произведение графов.

Прямым произведением множеств Х{x1.......xn} и Y  называется множество Z, элементами которого являются всевозможные пары вида xi , yj , где xiX, yjY. Обозначают:  Z=X x Y.

G3(X3,Гх3) = G1(X1,Г1х1)  G2(X2,Г2х2), где  X3=X1X2, а Гx3=Г1х1Г2х2

Пример. (рис 2.3) 

G1(X,Гх)=G1(X1,Гх1)                                           G2(Y,Гy)= G2(X2,Гх2)

X={x1 x2 x3 }                                                           Y={y1 y2}  

Гх1=0                                                                       Гу1={y1 y1}

Гх2={x1 x3}                                                               Гу2={y1}

Гх3=0

Z=X x Y={x1 y1, x1y2, x2y1, x2y2, x3y1, x3y2}

Z={z1 z2 z3 z4 z5 z6}           



Рис 2.3



7.  Расширение графа.

Расширение графа - это превращение, линии, соединяющей любые две вершины графа в элементарный путь введением новых промежуточных вершин на этой линии.



8.  Сжатие графа.

Сжатие графа - это превращение элементарного пути, соединяющего две любые вершины графа, в линию.  



9.  Стягивание графа.

Если граф содержит вершины Х1 и Y1 , то операцией стягивания называется исключение всех дуг между вершинами Х1 и Y1  и превращение всех вершин в одну общую вершину Х.



Некоторые числа теории графов



Пусть существует мультиграф с b вершинами,  p ребрами, и R компонентами связности, тогда цикломатическое число мультиграфа определяется равенством:

V= p-b+R



Матрицы для графов



Матрицей смежности графа G(X,Гх), содержащего n вершин называется квадратная бинарная матрица А(G)  n x n , c нулями на диагонали. Число единиц в строке равно степени соответствующей вершины. 

Матрицей инциденций ориентированного графа G(X,U) называется прямоугольная матрица порядка [m x n] n - мощность множества Х,  m - мощность множества U. Каждый элемент которой определяется следующим образом:



              1,  если хi  - начало дуги  Uj

aij =        -1, если хi  - конец дуги  Uj

              0,  если хi  - не инцидентна дуге Uj





Пример.

Построим матрицы смежности (М1) и инциденций (М2) для графа G(X,U) (рис 2.1).





Рис 2.1

Дополнительная матрица графа G(X,U) представляет собой квадратную матрицу А1 ,  которая получается из матрицы смежности этого графа путем замены всех нулей единицами и наоборот.



Деревья и прадеревья



Деревом называется неориентированный связный граф с числом вершин не менее двух, не содержащий петель и циклов. Вершины, инцидентные только одной дуге дерева, называются висячими. 

Прадрево - ориентированное дерево.

Корень прадерева - вершина у которой Р+(х)=0.



Глава 2. Максимальные полные подграфы (клики)

Максимальный полный подграф (клика) графа G есть порожденный подграф, построенный на подмножестве S вершин графа и являющийся полным и максимальным в том смысле, что любой другой подграф графа G, построенный на множестве вершин H, содержащих S, не является полным. Следовательно, в клике все вершины попарно смежны. Возможно также определить кликовое число графа (известное также как густота или плотность) - это максимальное число вершин в кликах данного графа. 

Часть 2. Практическая реализация курсового проекта

Задание

В неориентированном графе заданном матрицей смежностей выделить клики. Написать программу выполняющую это действие.



Решение



Мой алгоритм нахождения клик в графе



Пусть задан неориентированный граф  G1 матрицей смежностей M1 (рис 3.1)



Рис 3.1



Замечаем следующее:

1) Что матрица М1 симметрична относительно главной диагонали, так как вершины неориентированного графа попарно смежны.

2) Если выделить клику из данного графа и представить ее в виде матрицы смежностей то получим матрицу вида:

01111  Тоесть тоже симметричную относительно главной диагонали и в верхнем  

10111   и нижнем треугольниках ее будут находится 1 а на главной диагонали 0,             

11011  так   получается  потому,  что   все  вершины  попарно смежны (см опред.

11101   клики.



На основе наблюдений приходим к выводу, что для отыскания клик в неориентированном графе нужно выделить в исходной матрице смежностей подматрицы указанного выше вида, множества вершин образующие эти матрицы и будут вершинами клики. Но по определению клики нам подойдут не все такие множества, а лишь оригинальные не содержащих  в себе других множеств вершин. Так что вторая задача будет сводится к выделению из полученных множеств оригинальных, не содержащих в себе других подмножестве. То что исходная матрица смежностей симметрична относительно главной диагонали позволят нам осуществлять поиск подматриц только в ее верхнем или нижнем треугольнике.   



Шаг 1. 

Идем по матрице как показано на рисунке 3.2 а и ищем первую попавшуюся единичку (рис 3.2 б) запоминаем ее координаты (R,C) .



Шаг 2.

Ищем следующую 1 по адресу (R,C1) 

Шаг 3.

Начинаем спускаться по столбцу (С1) в поисках 1 , причем ищем ее по адресу (С,С1), так как в исходной матрице столбцы попарно смежных вершин не обязательно соседствуют. Запоминаем строку каждой найденной таким образом 1 для поиска в следующих столбцах. Увеличиваем длину множества вершин на 1.

Количество повторений шага  3 равно текущему размеру множества вершин.

Если по указанному адресу мы не встречаем 1 то значит данный столбец не образует подматрицу смежностей клики - пропускаем его. Начинаем Шаг 2.

Если размер множества вершин образующих клику больше 2 то запоминаем это множество.

Так до конца строки.

Повторяем Шаг 1 для всех 1 в строке.



Таким образом проходим всю матрицу. На выходе получаем несколько множеств вершин, отбираем среди них только оригинальные, не содержащие в себе других подмножеств. 

Отобранные подмножества и есть клики заданного графа.



Программная реализация



procedure MakeKliks;



var   StolbecSravn,StringSravn,Num,size,i1,i,lenStolb,

      Stolbec,RetStolb:byte;



      Kstring:klik;

      f1:file of byte;

      klika:tKlik;





begin

    assign(FileKlics,'klics.ots');

    rewrite(fileKlics);

    assign(f1,'matrica.ots');



  reset(f1);



  read(f1,size);



  for I:=1 to size do

  begin

    for stolbecsravn:=1 to size do

    begin

      read(f1,smezh[i,stolbecsravn]);

    end;

  end;

  for i:=1 to size  do

  begin             {начало пpохода по стpокам}

    KString[1]:=i;

    for stolbec:=i+1 to size do

    begin         {пеpебиpаем в стpоке все возможные места начала клики}

      If Smezh[i,stolbec]=1 then

      begin

        lenStolb:=1;

        for StolbecSravn:=Stolbec to size do

        begin       {с найденного места пpовеpяем все возможные ваpианты}

          StringSravn:=i;

          Num:=1;

          while (Smezh[KString[num],StolbecSravn]=1)and(num<=LenStolb) do

          begin

            StringSravn:=KString[num];

            num:=num+1;

          end;

          If num-1=LenStolb then

          begin

            lenStolb:=lenStolb+1;

            Kstring[lenStolb]:=StolbecSravn;

          end;



        end; {конец пpовеpки ваpиантов}

        if lenstolb>2 then

        begin

          klika.lenmass:=lenstolb;

          for i1:=1 to lenstolb do

          klika.Klikmass[i1]:=Kstring[i1];

          write(fileKlics,klika);

        end;



      end;

    end; {конец пеpебоpа возможных мест в стpоке}

  end; {конец пpохода по стpокам}

  close(fileklics);

end;



Выше представлена процедура нахождения клик в графе.

Описание переменных:

StolbecSravn: номер сравниваемого столбца. 

StringSravn: номер текущей строки.

Num ,i1,i: счетчики.

lenStolb: размер множества вершин клики.

Stolbec: номер столбца первой единицы в текущем цикле сравнения. 

size: размер матрицы смежностей.

Kstring:  вектор хранящий координаты строк для сравнения. По выходе из цикла сравнения этот массив представляет собой множество вершин  найденной клики.

Smezh: Матрица смежностей;



Найденные клики сохраняются в файле klics.ots. Потом из него удаляются все клики несоответствующие вышеприведенным условиям. На выходе получаем файл клик задаваемого графа.



 Пример







Задаем граф G1 его матрицей смежности М1.

Берем первую строку, находим первую единичку по адресу (1,2).

Запоминаем адрес первой 1 (1,2). Ищем следующую 1 в первой строке. Она находится по адресу (1,5). Проверяем адрес (2,5) на 1. Там ее нет. Пропускаем 5-й столбец. Находим следующую 1 в 6 столбце. Проверяем адрес (2,6) на 1. Там ее нет. так до конца строки. Убеждаемся что в данном цикле сравнений матрица смежностей получаемой клики имеет размерность два. Что означает наличие в клике двух вершин - простейшее сочетание - оно не рассматривается в моей программе. Мы записываем в файл клик клики не меньше третьего порядка.

Выбираем в первой строке следующую 1. Она находится по адресу (1,5) запоминаем этот адрес в массиве строк. Ищем следующую  1 в первой строке. Она находится по адресу (1,6). Спускаемся по 6 столбцу, проверяем адрес (5,6) на 1. Она там есть. Количество найденных 1 в 6 столбце =размеру массива содержащего множества. Тогда увеличиваем длину этого массива на 1 и записываем туда 6. Получаем в массиве [1,5,6]. И т.д.

 В итоге получим клики с номерами вершин: 1 5 6 8; 6 4 8; 1 7 8.

Матрица смежностей клики 1568.

  1 5 6 8

10 1 1 1

51 0 1 1 

61 1 0 1

81 1 1 0



Работа с программой



Программа позволяет найти клики в неориентированном графе размером не более 10 вершин. Граф вводится в ЭВМ матрицей смежностей. Данную матрицу можно взять из вшитого в программу файла. Программа позволяет удобно редактировать заданную матрицу, для выхода из редактирования нажать Esc. Результат работы программы выводится в виде таблицы по количеству вершин клик и номеров самих вершин составляющих клики.

Программа реализована на языке программирования Turbo Pascal 7.0.

Заключение 

Программная реализация на ЭВМ поиска максимальных полных подграфов(клик) значительно облегчает  работу с графами, как представлением каких либо систем, в смысле исследования этих  систем. Мой алгоритм позволяет найти клики в графе любой размерности, но для наглядности я реализовал алгоритм только для графов чья мощность не превышает  10. Так же мой алгоритм за добавлением одного условия будет искать клики и в ориентированном графе. Но моей целью не было создание профессиональной часто используемой программы, а скорее я хотел показать возможность решения данной задачи на ЭВМ.

Список литературы

Ковалева Л.Ф. “Математическая логика и теория графов”          МЭСИ     1977

А Кристофидес “Теория графов. Алгоритмический подход”