Великая теорема Ферма два коротких доказательства

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства



Бобров А.В.

123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15

Контактный телефон – 193-42-34



	Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:

	В равенстве  числа  и   не могут быть одновременно целыми положительными, если .

	Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:

Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел  и , т.е. два числа – всегда нечетные.

Существуют числа  и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных  существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел  и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых  числа  и  также будут целыми.

Вариант№1 

	Равенство			 					(1)

путем последовательного деления на числа  и  всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

			(2)

			(3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел  и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … , 			(4)

Из (1) и (4) следует ,  то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , ,  и .

	Из равенства свободных членов следует:

, или  ,  или

		(5)

Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:

			(6)

или, если , сократив на , получим:

			(7)

	Из равенства (7) следует, что для  числа  и  не могут быть одновременно положительными.

	Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:

для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при  число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , ,  и ;

многочлены (2) и (3) для   и натуральных  и  не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители  и  равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;

числа ,  и  в равенстве (1) для  не могут быть одновременно рациональными.

	Для  противоречие исчезает, коэффициенты при   равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений  и  обращается в тождество:

				.					(8)

	Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через  и , где  и  - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :

				

				(9),

где неизвестное  обозначено общепринятым образом через , то есть .

 Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.

	Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.

	Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.

Вариант№2	

	Пусть в равенстве 	 числа  и  - взаимно простые,  - нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:

								(1)

где  ,   - действительные положительные множители числа .

Из (1) следует:

				, 				(2)

	В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел ,  и целого  существуют единственные значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам:

					,  					(3)

где  ,  .

Из (3) следует  , , или после сокращения на числа  ,   получим:

											(4)

	Из (1), (2) и (3) следует:

			,			(5)

или, с учетом равенств (3) и (4):

					(6)

Вынесем за скобки общий множитель :

						(7)

	Из (5) и (7) следует, что числа ,  и  содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты, если . Из  следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид:

								(8)

	Из (8) следует, что при нечетном  числа  и  также целые, причем всегда имеет место тождество:

											(9)

что для одновременно целых ,  и  выполнимо только при  ,  или  , , что и требовалось доказать.

	Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где ,  и  - произвольно выбранные натуральные числа,  - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).

	Вынесем за скобки множитель  и поделим на него все слагаемые тождества (5):

									(10)

где  .

	В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам ,  и , например из равенства (5), соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию:

										(11)

тогда 			, 					или

											(12)

где  ,  и  - целые числа.

	Из (10), (11) и (12) следует:

											(13)

то есть числа  и  могут быть одновременно целыми только при , или  , . При  числа  и  есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых  и нечетных .

	Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель , при этом число  в этих равенствах одно и то же, откуда следует , , , и тождество (10) принимает вид тождества (8).

	Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо  любую рациональную дробь и полагая , можно найти все Пифагоровы числа.

	Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.

	Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте  доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.



А.В.Бобров

	 

  











Великая теорема Ферма



	Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.

	Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15. 

Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15











































































The evidence of the Fermat theorem



Alexander V. Bobrov

The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented



1