Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

1





Министерство Образования Украины



Кафедра электротехники







Курсовая работа

по курсу “Теория электрических и электронных цепей”



на тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами”



Вариант № 12




Содержание курсовой работы



1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R4=R3 ), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Еm.

2. Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса tnn.

Это время определить по следующим формулам:



tnn=  или tnn=



где λmin – наименьший из двух вещественных корней;

δ - вещественна часть комплексного корня.

3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.

4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону 



e(t)=Emsin(ωt +φ).



Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.

Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.

5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U0, U1, U2, U3. Принимая значение времени: t1=τ , t2=1,5τ , t3=2τ , t4= 2,5τ .

Здесь τ – постоянная времени рассматриваемой цепи.



Таблица 1:

Номер варианта

Номер схемы

Параметры

источника

Параметры 

цепи

Параметры источника

для интеграла Дюамеля

Номер схемы по рисунку 2

Исследуемая 

величина ƒ(t)





Напряжение

U, В

Частота

ƒ, Гц 

Нач.

фаза

φ,град.

R1

		Ом

		R2

		Ом

		R3

Ом

		L

		мГн

C

		мкФ

№ графика

Uо

В

U1

		В

U2

В

U3

В





12

12

70

30

75

26

10

10

100

25

12

20

5

10

0

		4

UR2





R1Рисунок 1:



		



R2



C





L



t=0



		





R3





Рисунок 2:



R3

R3

R1

i1                       





R2

C



U(t)



i2







ic                                                                                                                      




UГрафик 1:





U0





t3

t2

		t



0



t1



U1 



U2





		



1 этап курсовой работы



Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом



R1





		

i2

i1

		



R2

C





		

ic

L

t=0



		





R3



1 этап

Запишем начальные условия в момент времени t(-0) 



i2(-0)=i1(-0)=== 1.52 (A)

Uc(-0)= i2.R2=Uc(+0)



Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:




i1-i2-ic=0 (1) 

i1.R1+ i2. R2+L=U (2)

i1.R1+ Uc=U (3) 



Из (2) уравнения выразим i1 



i1=  (2.1)



i1 из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic

		

ic= (1.1)



i1 подставим в (3) и выразим Uc



U= (3)

Uc=U-U- i2. R2-  (3)

Uc=i2.R2+ (3.1)

Uc=   (3.2)



Подставим в место Uc и ic в уревнение (3.2), получим:



 (3.3)




Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки: 



 (3.4)



В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:







2 этап

Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представим i2 как сумму двух составляющих i2св – свободная составляющая и i2вын – вынужденная составляющая 



i2=i2св+i2вын



i2вын найдём по схеме



i2вын=



i2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через , а через 2 получим:



L2+R2++=0 (3.5)



Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни 1 и 2


0.12+10++

		15384,6+153,85+40000+10+0,12=0

		Д=b2-4ac=(163,85)2-4.0,1.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98

		1,2=; ;          12 – вещественные 

		1=

		2=

		i2св=А1е-477t+А2е-1162t (3.6)

		i2=1.94+ А1е-477t+А2е-1162t (3.7)



3 этап

Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

		Найдём ток i2 для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

		

		i2(+0)=i2вын(+0)+ А1+А2

		-477 А1-1162 А2

		

		Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0



 (3.8)



Из уравнения (3) выразим i1 для момента времени t+0 при Uc=i2R2


i1= (3.9)



Найдём  подставив значение i1 из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)



 (4.0)



Подставим значение , i2(+0), i2вын в систему и найдём коэффициенты А1 и А2



1,52=1,94+ А1 + А2 (4.1)

2=-477 А1-1162 А2 (4.2)

		

		Из уравнения (4.1) выразим A1 и подставим в (4.2)

		

		А1=-0,42-А2

		2=-477(-0,42-А2)-1162А2 (4.3)

		

		Из уравнения (4.3) найдём А2

		

		2=200,34+477А2-1162А2

		2=200,34-685А2

		А2=

		А1=-0,42-0,29=-0,71

		

		Подставим найденные коэффициенты А1 и А2 в уравнение (3.7)

		
i2=1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t (А)



4 этап

Определяем остальные переменные цепи UL, Uc, ic, i1



UL= (В)

Uc= +i2R2= 

=  (В)

ic= (А)

i1=ic+i2=(0,044е-477t+0,014е-1162t)+( 1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t) =

=1,94-0,666е-477t+0,304е-1162t (А)



Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса tnn.

Это время определим по формуле:



tnn=  



Найдём tпп время переходного процесса



tпп= (с)



Таблица переменных

Время переходного процесса tnn (c)

Значение тока

i1

(A)

Значение тока

i2

(A)

Значение тока

ic

(A)

Значение напряжения

UL

(B)

Значение напряжения

UC

(B)

0.000

1.578

1.520

0.058

0.20

15.22

0.001

1.622

1.590

0.032

10.49

16.95

0.002

1.713

1.695

0.018

9.75

17.92

0.003

1.790

1.779

0.011

7.07

18.50

0.004

1.844

1.837

0.006

4.70

18.84

0.005

1.879

1.875

0.004

3.02

19.06

0.006

1.902

1.899

0.0025

1.90

19.19

0.0063

1.907

1.905

0.0022

1.65

19.21



Рисунок 3 - График токов





где

            i1                                     i2                         ic




Рисунок 4 – График напряжений



где 

           UL                        UC



		2 этап курсовой работы

		

		2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения: 

		

		

R2e(t)=Emsin(t+)

		

		                                                 R1

		

i3

i1

		



C



U(t)

R3



		

i2

L



		





R3

		

		
где Em=100 (B) 

		=2f  =2 3,14 50=314 (Гц) 

		=300

		R1=R2=10 (Ом) L=100 (мГн)

		R3=9 (Ом) С=100 (мкФ)

		=314 (Гц)

		XL=L=314. 0,1=31,4 (Ом)

		XC= (Ом)

		

		Найдём начальные условие: 

		

		U(t)=Umsin(t+)=100sin(314+30);

		Um=100ej30=86,603+j50 (В)

		UC(-0)=0 (B)

		

		Найдём полное сопротивление цепи

		

		Zп=R1+R3+jXL=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)

		

		Зная сопротивление и напряжение найдём I3m 

		

		I3m=I1m=(А)

		

		Найдём мгновенное значение тока

		

		i3(t)=I3msin(t+)=2.725sin(314t-28.82) (A)

		

		Для времени t=0 ток будет равен

		
i3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

		

		Таким образом

		

		UC(-0)=UC(+0)=0 (B)

		i3(-0)= i3(+0)=-1.314 (A)

		

		1 этап

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:



i1-i2-i3=0 (1) 

i1.R1+ i3.R3+L=U(t) (2/)

i1.R1+i2.R2+Uc=U(t) (3/) 



Из (2/) уравнения выразим i1 



i1=  (2/.1)



i1 из уравнения (2/.1) подставим в (1/) и выразим i2

		

i2= (1/.1)

U(t)=U(t)-i3.R3-L+R2

 

- (3.1)


Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 



 (3.2)



2 этап

		Вид решения для i3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i3св не зависит от входного напряжения.

		Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид: 

		

		i3св=А1е-406t+А2е-234t 

		

		Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i3вын 

		i3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);

		Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I1, а для этого найдём Zп вын сопротивление цепи:

		

		Zп вын= (Ом)

		I1m= (A)

		

		Найдём Uab вын 

		

		Uab m= I1m (В)

		I3 m= (A)

		

		Найдём i3 вын

		

		I3 вын= I3 msin(t+)=2.607sin(314t-43.60) (A)

		

		Таким образом 

		

		i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t 

		

		3/ этап

Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1/ этапе.

		

		i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t

		

		

		i3(+0)=i3(-0)=-1.314 (A)

		

		i3(+0)=2.607sin(-43.60)+A1+A2=-1.798+A1+A2

		

		

		R1i1=U(t)-R2i2-UC

		

		

		=

		= 

		

		Подставим значение , i3(+0), и найдём коэффициенты А1 и А2 для времени t+0

		 -1.314=-1.798+A1+A2

		433.96=592/806-406A1-234A2

		

		A1=-1.314+1.798-A2=0.484- A2

		433.96=592.806-406(-0.484- A2)-234 A2

		433.96-592.806+406 .0.484= A2(406-234)

		37.658=172A2             A2=0.219

		A1=0.265

		

		Ток i3 будет равняться

		

		I3=2.607sin(314t-43.600)+0.265е-406t+0.219е-234t (A)

		

Таблица переменных 

Время t, c

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.0063

Ток i2, A

1.115

1.327

1.528

1.671

1.7428

1.7430

1.6745

1.6413

 






		3 этап курсовой работы

		

		Найдём выражение для тока катушки операторным методом: 

		

		                                                 R1                                     R2

		

i3

i1

		



C



U

R3



i2

		

L



		





		

		

Запишем начальные условия в момент времени t(-0)



I3(-0)=== 5.263 (A)

Uc(-0)=0 (В)



Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.

В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока. 



    

R1



R2



		



I3(p)

I1(p)

		



		



R3



		

Lp

		







I2(p)

LiL(0)

		





Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.



I1(p)-I2(p)-IC(p)=0 (1.3)

 (2.3)

 (3.3)



Из уравнения (2.3) выразим ток I1(p) и подставим в уравнение (3.3):



 

 


Из уравнения (3.3)



 (2.3.1)

 (2.3.2)













Подставим численные значения элементов







По полученному изображению найдём оригинал тока .

Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.

Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.

p1=0 

		

		0,000065p2+0,1065p+36=0

Д=(0б1065)2-4.0,000065.36=0,0019       





I2(p)=



Найдём A1 A2 A3

Коэффициент An будем искать в виде, где N(p) – числитель, а M(p) – знаменатель 



A1=

A2=

A3=



Таким образом, i2(t) будет равняться 

		

i2(t)=A1.exp(p1t)+ A2.exp(p2t)+ A3.exp(p3t)=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t

		

		Искомый ток катушки i2 равняется :

		

		i2=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t (A)

		

		Токи сходятся.

		

		
4 этап курсовой работы



Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её 





R3

R3

R1

i1                       





R2

C



U(t)



i2







ic                                                                          

                                                                         



Определим переходную характеристику h1(t) цепи по напряжению UR2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия UC(-0)=UC(+0)=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи: 



i1-i2-ic=0 

i1.R1+ i2.R2=U iс=

iс.R3-i2.R1+Uc=0 i1=i2+iс



i1=i2+iс

 i2(R1+R2)+iсR1=U i2=

iс.R3-i2.R1+Uc=0



iс.R3+Uc-+

ic+

+

+



0,00043+1=0             = -2322,58 ()

UC св=Ae-2322,58t

UC вын= (B)

UC=UC св+UC вын=0,278+Ae-2322,58t A=-0,278

UC=0,278-0,278e-2322,58t (B)

iс==25.10-6.0,278.2322,58e-2322,58t=0,016e-2322,58t (A)

Uab=icR3+UC=0,278-0,12e-2322,58t (B)



Таким образом переходная характеристика h1(t) будет равна



h1(t)=UR2(t)=0,28-0,12.e-2322,58t (В)

= (c)



5 этап курсовой работы





U0





t3

t2

		t



0



t1



U1 



U2






Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.

Переходную характеристику h1(t) возьмем из предыдущего этапа



h1(t)=0,28-0,12.e-2322,58t (В)

tпп=(c)



Найдём , t1, t2, U1/(), U2/():



= (с)

t1==0.00043 (c) t2=1,5=0.00065 (c) t3=2=0.00086 (c)

U0=20 (В); U1=-5 (B); U2=-10 (B);

U1/()=0 () U2/()= ()

U3/()= ()



Запишем уравнение UR2(t) для интервала :



 

UR2=U0.h1(t)+ (B)



t (c)

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.00043

UR2 (B)

3.2

3.697

4.092

4.404

4.652

4.716



Запишем уравнение UR2(t) для интервала :



 

UR2=U0.h1(t)+

+

-

 (B)



t (с)

0,00043

0.00045

0.0005

0.00055

0.0006

0.00065

UR2 (B)

4,14

3,64

2,37

1,06

-0,27

-1,64



Запишем уравнение UR2(t) для интервала :



 

UR2=U0.h1(t)+

+=

- )+ 

+ (B)



t (c)

0.00065

0.0007

0.00075

0.0008

0.00085

0.00086

UR2(B)

-5,145

-4,396

-3,653

-2,914

-2,179

-2,03



Запишем уравнение UR2(t) для интервала :



 

UR2=U0.h1(t)+

+

-

+ (B)



t (c)

0.00086

0.0009

0.00095

0.001

0.0013

UR2(B)

-1,97

-1,79

-1,60

-1,42

-0,707



Строим графики U(t) и UR2(t) по данным таблиц.