Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку,

розвязані відносно похідної





1. Поняття диференціального рівняння, його порядок.

Означення 2.1.	 Рівняння вигляду 

 					(2.1)

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обовязкова).

Означення 2.2. Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 2.3. Функція  називається розвязком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі  і задовільняє диференціальному рівнянню (2.1) .

Приклад 2.1.  - диференціальне рівняння другого порядку.

	При  диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і позначається 

.						(2.2)

	Диференціальне рівняння (2.2) називається розвязаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді 

.						(2.3)

	Припускаємо, що  однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).

	Якщо в деякій області функція  перетворюється в , то розглядають диференціальне рівняння  

.							

Множину таких точок, а також тих, в яких  не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).

	Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах

					(2.4)

або в більш загальному виді

				(2.5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

					(2.6)

	Функції  будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 2.4. Розвязком диференціального рівняння (2.3) в інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції  і яка перетворює диференціальне рівняння (2.3) в тотожність , тобто

					

Розвязок  називається розвязком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розвязку диференціального рівняння називається інтегруванням.

	Не завжди можна отримати розвязок в явному вигляді.

Означення 2.5. Будемо говорити, що рівняння

						(2.7)

визначає в неявній формі розвязок диференціального рівняння (2.3), якщо воно визначає , яка є розвязком диференціального рівняння (2.3).

	При цьому на розвязках диференціального рівняння (2.3) виконується

.	(2.8)

Означення 2.6 Будемо говорити, що співвідношення

					(1.9)

визначають розвязок диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі на інтервалі , якщо

.			(2.10)



Задача Коші.

	Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розвязків диференціального рівняння (2.3) знайти такий , який проходить через задану точку

					(2.11)

Тут  - початкове значення незалежної змінної,  - функції.

Розвязати задачу Коші з геометричної  точки зору означає (рис. 2.1) : знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку .

















х

у

Х0

М(х0 , у0)







У0













Рис. 2.1.





Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розвязок, якщо  число h>0, що на відрізку  визначений розвязок  такий, що  і не існує другого розвязку, визначеного в цьому ж інтервалі  і не співпадаючого з розвязком  хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

	Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розвязок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці  порушується єдиність розвязку задачі Коші.

	При постановці задачі Коші ми припускаємо, що  - обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці  задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

	Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і 

узнайти розвязок   (рис. 2.2)





х

Х0

У0









М











Рис. 2.2

Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (2.3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так : знайти розвязок  (або ), який примикає до точки М.

	В деяких випадках треба шукати розвязок , який задовольняє умовам  при  при  і т.д.

Теорема Пікара. (без доведення) Припустимо, що функція  в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій області



і, отже, вона є обмеженою

			(2.12)

функція  має обмежену частинну похідну по у на D

.				(2.13)

	При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний неперервно-диференційовний розвязок в інтервалі

					(2.14

Зауваження 2.1. В сформульованій теоремі умову (2.13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція  по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто

.	(2.15)

Тут  L>0 - найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца .

Теорема Пеано. (про існування розвязку). Якщо функція  є неперервною на D, то через кожну точку  проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

	Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові  Ліпшіца, з L=K.

	Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, .



Поняття загального розвязку, форми його запису.

	На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розвязків, яка залежить від деякого параметру  с

						(2.16)

Це сімейство і називається загальним розвязком диференціального рівняння (2.3). При кожному  с   (2.16) дає інтегральну криву.

	Для розвязування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння .

	Дамо точне визначення загального розвязку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.

Означення 2.8. Функцію 

						(2.17)

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розвязком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розвязати відносно  с  в області D

						(2.18)

і функція (2.17) є розвязком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18) коли .

	Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розвязком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).





D

у

х













Рис. 2.3



	Для розвязування задачі Коші константу С

можна знайти згідно

.						(2.18)

	Інколи в формулі (2.17) роль С грає  у0, тоді говорять, що розвязок представлений у формі Коші

.						(2.19)

Приклад 2.2. Знайти розвязок диференціального рівняння 



 у формі Коші. Загальний розвязок  В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки

 - розвязок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розвязок в неявній формі

  (або ,				(2.20)

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).

Означення 2.9. Будемо називати співвідношення (2.20) загальним розвязком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розвязок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.

	З означення випливає, що (2.18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.

	Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.

						(2.21)

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розвязком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.

	Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розвязок в неявній або явній формі.



Частинні і особливі розвязки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розвязку, по диференціальному рівнянню

Означення 2.10. Розвязок, який складається з точок єдиності розвязку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.

	Розвязок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розвязок.

Означення 2.11. Розвязок, в кожній точці якого порушується єдиність розвязку задачі Коші, будемо називати особливим.

	Геометрично особливому розвязку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розвязку. Тому особливий розвязок не може існувати всередині області D існування загального розвязку. Його не можна отримати з формули загального розвязку ні при яких числових значеннях С, включаючи . Його можна отримати з загального розвязку лиш при .

	Існують ні частинні ні особливі розвязки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розвязків.



y



N

N1

M

M1

x

















Рис. 2.4

Приклад 2.3. Знайти особливий розвязок диференціального рівняння  

 ,

 .

Отримали загальний розвязок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розвязком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розвязку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення  - особливий розвязок.

	Якщо  неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розвязок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

 вона являється інтегральною кривою;

 перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розвязку.

В прикладі 2.2.  при . Поскільки  - розвязок і через нього проходять інтегральні криві з загального розвязку, то  - особливий розвязок.

Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння 



при . Але  не є розвязком диференціального рівняння, тому і не є особливим розвязком.

	Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розвязком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розвязки : обвідна і сам розвязок.



Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

	Нехай 

					(2.22)

загальний розвязок загального диференціального рівняння (2.3) в області D,  в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розвязати відносно С

	.					(2.23)

Функція  приймає постійні значення на довільному частинному розвязку з D, причому значення постійної визначається частинним розвязком

.				(2.24)

Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розвязку з D, ця функція приймає постійні значення.

	Припустимо, що  - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розвязку

				(2.25)

або 

			(2.26)

	При цьому  на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.

Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що  в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

	З (2.26) випливає, що

 				(2.27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

	Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо  інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція  диференційовна в D, а  - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції  коли , то

					(2.28)

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення.

 ,

 причому  в області D. Маємо

			(2.29)

	З (2.29) випливає, що  - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

	Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай  два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що

	.			(2.30)

	Доведення. Поскільки  інтеграли, то

				(2.31)

	З (2.31) випливає, що

	.						(2.32)

	Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).