Диференціальні рівняння першого порядку,

Реферат на тему:



Диференціальні рівняння першого порядку, 

не розв’язані відносно похідної.



1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку.



   Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд 

     (5.1)

Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені.

Означення 5.1. Функція , визначена і

     (5.2)

неперервнодиференційовна на  називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в 

тотожність



Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння  визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає  як функцію  і вона являється розв’язком  Д.Р.(5.1).

Означення 5.3. Рівняння , ,, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо



Криві на ел., які відповідають розв’язкам, будемо називати 

   Задача Коші  - задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови .

Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами  має єдиний розв’язок, якшо через  в достатньо малому околі її проходить стільки , скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

   Якщо функція   задовільняє наступним умовам:

а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т.;

б);

в);

то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний в околі т , задовільняючий умови  і такий, що  



► Без доведення ◄



   Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки

     (5.3)

де  визначені в обл. так, що маємо  Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в  точці , напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що  різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на .

   Нехай кожне Д.Р. (5.3) на  має загальний інтеграл

			     (5.4)

			Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .

			   Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують

			     (5.5)

			   Якщо поле на  не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій  співпали, то  відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці . Тому крім Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні . Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).

			   В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв’язати відносно  в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство  в вигляді 

			    (5.6)

			яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).

			   Якщо сімейство  задано в вигляді 

			    (5.7)

			то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)

			   Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (5.3), коли -комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.

			   Сімейство , заданих в параметричному вигляді

			     (5.8)

будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.

			Означення 5.6. Розв’язок  Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.

			Означення 5.7. Розв’язок  називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші.

			   Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно , Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими.

			   Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв’язок  буде особливим, якщо буде особливим хоча б для  одного з Д.Р. (5.3).

			

			Приклад 5.1.

			     (5.9)

			   З (5.9) маємо: 

			Тоді  - загальний інтеграл.

			або . Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох (мал. 5.1).

			

			Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни  являється єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля:; І через цю точку проходить два 

			, якщо      (5.11)

			і , якщо .

   Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.

			

			2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.

			

			   Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких  являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як .

			   Дійсно, припустимо, що _____ похідні , тоді

			, звідки    (5.12).

			Припустимо, що , тоді  буде необмеженою при умові

			    (5.13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи

			     (5.14)

   Розв’язок системи (5.14) 

			=0     (5.15)

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.

			

			Приклад 5.2.

			     (5.16)

			,      (5.17)

			   Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна .

			

			5.3. Загальний метод введення параметра.

			

   Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

     (5.18)

Так, що при всіх значеннях параметрів  і .

   Використовуючи (5.18) і співвідношення  ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.



Тому 



   Візьмемо, наприклад,  за незалежну змінну,  – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

     (5.19)

Якщо

     (5.20)

загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.

     (5.21)

			Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.

			   Це рівняння має вигляд 

     (5.22)

За параметри  і  можна взяти  і . Позначимо , тоді

     (5.23)

Маємо



Звідки

     (5.24)

   Нехай  – загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді  – загальний розв'язок Д.Р. (5.22).

Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок .

Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.

			   Це рівняння має вигляд 

     (5.25)

Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді



Використовуючи співвідношення , отримаємо

     (5.26)

Якщо  – загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то

     (5.27)

			загальний інтеграл Д.Р. (5.25).

Якщо  – особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то  -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).

   Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

   Це рівняння має вигляд

     (5.28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

     (5.29)

З (5.29) маємо

     (5.30)

Д.Р. (5.30) лінійне по 

     (5.31)

Нехай  – розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

     (5.32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де 

    (5.33)

тобто

     (5.34),

де  – корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.

Г. Рівняння Клеро.

   Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .

    (5.35)

Покладемо , тоді

     (5.36)

Використовуючи , отримаємо

     (5.37)

Рівняння (5.37) розпадається на два

     (5.38)

Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок

     (5.39)

Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі

     (5.40)

			Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно



звідки

     (5.41)

			Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).

			Приклад 5.3.

			   Розв’язати рівняння Лагранжа.

			Покладемо . Маємо ,

			, 

			Отримали лінійне рівняння

			

			Його розв’язок

			     (5.42)

			     (5.43)

			загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :

			     (5.44)

			Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

			

Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.

			Приклад 5.4.

			

   Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –



Запишемо дискримінантну криву



Звідки  - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при .



4. Неповні рівняння.



а). Д.Р. які містять тільки похідну.

   Це рівняння вигляду

     (5.45)

Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.

     (5.46)

де  – деякі числа, задовільняючі функцію . 

Інтегруємо (5.46)

     (5.47)

Так як  то 

     (5.48)

загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях  Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.

			Приклад 5.5.

			   Розв’язати .

			Згідно (5.48)  – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексного Д.Р. 

			б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

			     (5.49)

   Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної

     (5.50)

то

     (5.51)

являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).

   Якщо ж розв’язати відносно  не можна, а допускається параметризація

     (5.52)

тобто

     (5.53)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі

     (5.54)

Якщо  Д.Р. (5.49) має вигляд 

     (5.55)

тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі

     (5.56)

			Приклад 5.6. 

			   Зайти загальний розв’язок рівняння .

			Вводимо параметризацію . 

			, , 

			Маємо

			

Загальний розв’язок в параметричній формі.

			в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.

			   Це рівняння вигляду

			     (5.57)

			Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто

			   (5.58)

			то

			     (5.59)

Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де  – корені рівняння (або ).

   Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію

     (5.60)

то

    (5.61)

Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.

Приклад 5.7.

   Розв’язати . Введемо параметризацію .



звідки



зашальний розв’язок нашого рівняння.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

   Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і  виміру, тобто

     (5.62)

Зробимо заміну 

    (5.63)

де  – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо



тобто . З іншої сторони

    (5.64)

Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)



отримане рівняння 

     (5.65)

не містить незалежної змінної .