Ряд распределения функция распределения

Задача 1 (5) 

Производится контроль партии из 4 изделий. Вероятность изделия быть неисправным равна 0,1. Контроль прекращается при обнаружении первого неисправного изделия. Х – число обследованных приборов. Найти:а) ряд распределения Х б)функцию распределения F(X), в ответ ввести F(3.5). в) m(x) г) d(x) д) p(1.5<X<3.5).



Решение

Пусть событие А – состоит в том, что изделие исправно, и соответственно - неисправно. По условию, вероятность , значит p(A)=1-. Случайная величина Х – число обследованных приборов – может принимать значения 0(если первый же прибор неисправен),1,2,3,4.

Найдем соответствующие вероятности:



Составим ряд распределения Х:

Х

0

1

2

3

4

р

0,1

0,09

0,081

0,0729

0,6561



Х – дискретная случайная величина. Найдем функцию распределения F(x)=P(X





Значение F(3.5)=0.34391



Математическое ожидание дискретной случайной величины 







Дисперсия 





Вероятность  



Задача 2(2). События А и В независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,94. Найти Р(А), если Р(В)=0,7. Ответ записать в виде десятичной дроби.



Решение.

Вероятность наступления суммы событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Но так как события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Имеем Р(А+В)=0,94 (наступает событие А или событие В или оба); Р(В)=0,7

0,94=Р(А)+0,7- Р(А)



0,3Р(А)=0,94-0,7=0,24



Р(А)= - вероятность наступления А.



Задача 3(6). Дана плотность распределения случайной величины Х:



Найти а)константу А   б)функцию распределения F(x), в ответ ввести F(0); F(0.5)  в) m(x)   г)d(x) 

 д) P(0<X<0.5).



Решение. 

Константу А найдем из условия для р(х) :

Имеем 

 Отсюда .

Функция распределения непрерывной случайной величины 

Для  p(x)=0, F(x)=0

Для  - 

Для 



Математическое ожидание непрерывной случайной величины 

Имеем 



Дисперсия непрерывной случайной величины 

Имеем



Вероятность



Задача 4(2). Дана плотность распределения вероятностей системы (X,Y). 



Найти а)константу С;б)р1(х),р2(у); в) mx; г)my ;д)Dx; е)Dy; ж)cov(X,Y); з)rxy; и)F(-1,5); к) M(X|Y=1)



Решение. Плотность системы случайных величин должна удовлетворять условию:



В нашем случае ;  ; ; 





                                      Y

                    

                B                   4











              -3   A               0                                  X







б) Плотности р1(х),р2(у):





в) Математические ожидания:

		

		г) Дисперсии:

		ж) Ковариация

	з) Коэффициент корреляции

	

	и) Значение F(-1,5)

	   Функция распределения системы случайных величин

	.       (1)

	                              (-1,5)  Y

	                                        5

	                B              

	                      D4           4

	                         

	

	     D1           D0

	                                                         

	               A                                                                     X

	                -3          -1   O

	     D2             D3

	

	

	В областях D1,D2,D3,D4  которые не пересекаются с треугольником АВО значениеP(x,y)=0

	Вычисляя F(-1,5) представим двойной интеграл в виде суммы интегралов:

	

	

	

	

	

	

	к) Математическое ожидание M(x|y=1)