Конспект урока по математике "Статистика. Статистические характеристики" 8 класс

Учитель: Ахонен Екатерина Петровна

Урок в 8 классе по теме: « Статистика. Статистические характеристики»

Цель: 

Познакомить с понятиями “статистика”, «среднее арифметическое числового набора», «размах»,  «мода,  «дисперсия». 

Научить решать статистические задачи, используя различные способы и методы. 

Развивать исследовательские и коммуникативные навыки учащихся. 

Формировать умение обучаться в сотрудничестве. 

Ход урока.

Организационный момент (учитель представляет историю развития статистики как науки, виды статистических исследований)

Статистические исследования

«Статистика знает всё»,— утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин... станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..»

 Зачем нужны эти таблицы, как их составлять и обрабатывать, какие выводы на их основании можно делать – на эти вопросы отвечает статистика (от итальянского stato – государство, латинского status – состояние).



Статистика — наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. 

Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. 

Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). 

А есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая...



Математическая статистика изучает методы сбора и обработки статистических данных,  характеристики данных для получения научных и практических выводов.

Из истории статистики как науки

Статистика имеет многовековую историю. Уже в древний период истории человечества хозяйственные и военные нужды требовали наличия данных о населении, его составе, имущественном положении. С целью налогообложения организовывались переписи населения, производился учет земель. 

С середины XIX в. благодаря усилиям великого бельгийского ученого-математика, астронома и статистика Адольфа Кетле (1796–1874 гг.) были выработаны правила переписей населения и установлена регулярность их проведения в развитых странах. Для координации развития статистики по инициативе А. Кетле проводились международные статистические конгрессы, а в 1885 г. был основан Международный статистический институт, существующий и сейчас. 

Становление государственной статистики в России можно отнести к концу XII – началу XIII в., хотя первые переписи земель и населения с постоянно усложнявшейся программой проводились еще в Киевской Руси (IX – XII вв.). 

Реформы Петра I (1672–1725), которыми были охвачены все основные направления общественной жизни вызывали потребность в полном и точном учете материальных ресурсов и населения. В этот период высший правительственный орган – Сенат – через систему коллегий не только руководил экономикой страны, но и являлся центром по проведению важнейших статистических работ, там собирались полученные материалы обследований, отчеты подведомственных коллегиям производств и заведений, а также местной администрации. 



В начале XIII в. в России зарождался и текущий учет населения. Так, в 1702 г. был издан указ о подаче в Патриарший Духовный приказ приходскими священниками недельных ведомостей о родившихся и умерших. В первой половине XIII в. проводились уже переписи рабочих фабрик и мануфактур. 

Первая половина XIX в. связана с новым этапом в развитии отечественной статистики. В сентябре 1802 г. в соответствии с Высочайшим манифестом императора Александра I вводится письменная отчетность министерств. Так началось операционно-структурное оформление государственной статистики в России. Этот год принято считать годом рождения российской государственной статистики. 

В 1811 г. впервые был создан официальный центр правительственной статистики – Статистическое отделение при Министерстве внутренних дел; сюда поступала отчетность губерний. Первым руководителем Статистического отделения был К.Ф. Герман. 

Российские ученые внесли большой вклад в развитие статистической науки. Большое значение, например, имеет работа Д.П. Журавского «Об источниках и употреблении статистических сведений», изданная в 1846 году. Определив статистику как «счет по категориям», Журавский отмечал, что статистика необходима для «изучения всего, относящегося к человеку». Журавский определил важнейшие разделы социальной статистики: 



статистика народонаселения – необходимость его исчисления по классам и занятиям; 

изучение народного быта, жилища, питания; 

статистика театров, клубов, дворянских собраний, народных увеселений; 

статистика учреждений, охраняющих права собственности; 

статистика нищеты, бедности, сиротства; 

статистика самоубийств с указанием средств, причин, званий, возраста и прочих характеристик лиц, лишивших себя жизни. 



Во всех предложениях Д.П. Журавский проводил идею как можно более точного и полного выявления дифференциации людей по условиям их жизни, по состоятельности. 

Особое место в истории российской статистики принадлежит земской статистике. При земствах, органах местного самоуправления, с середины 70-х годов XIX века были созданы специальные статистические бюро. Земские статистики собирали и разрабатывали огромный статистический материал, который использовался для глубоких экономических и социальных исследований пореформенной России. Работа земской статистики характеризуется не только сбором и разработкой статистических данных, но и развитием статистической методологии. 

Видными земскими статистиками были В.И. Орлов, П.П. Червинский, Ф.А. Щербина, А.П. Шликевич. В 90-х годах были созданы фабрично-заводские инспекции, которые вели текущую статистику, разрабатывали данные по статистике труда, в том числе о составе рабочей силы, несчастных случаях, стачках и др. 

Стала развиваться промышленная статистика. Под руководством В.Е. Варзара в 1900, 1908 и 1912 гг. были проведены первые переписи промышленности. 

Начальный этап советской статистики (1917–1930 гг.) отличается исключительной интенсивностью: проводится большое число специально организованных, статистических переписей и обследований, плодотворно работают различные научные коллективы, строится первый баланс народного хозяйства. 

Последующее развитие советской статистики тормозилось созданием в 30-е годы административно-бюрократической системы, массовыми репрессиями, в том числе и лучших экономистов и статистиков (Н.Д. Кондратьева, А.В. Чаянова, В.Г. Громана, О.А. Квитнина и многих других). 

В это время формируются отраслевые статистики, складывается система объемных показателей, скрывающая негативные тенденции в развитии народного хозяйства. Активно разрабатываются и качественные статистические показатели (индексы производительности труда, себестоимости и др.). Статистика подчиняется решению оперативных задач, оценке выполнения плана в ущерб ее аналитическим функциям. 

В годы Великой Отечественной войны перед советской статистикой стояли задачи по оперативному учету трудовых, материальных ресурсов, перемещение производственных сил страны в восточные районы. 

После войны роль и значение статистики возросли: развернулись балансовые работы, углубилась теория индексного метода и расширилась практика его применения, получили распространение экономико-математические модели и методы, развитие прикладной статистики. 

Коротко об истории математической статистики 

Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обрабатывал астрономические данные (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). 



В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ. 



В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа. 

Изучение нового материала.

Основные статистические характеристики

(будем рассматривать на примере данных о времени, затраченных восьмиклассниками при выполнении домашнего задания по алгебре):

Ряд данных – набор чисел 

Среднее арифметическое ряда данных  находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных (среднюю урожайность пшеницы с 1 га, средний суточный удой молока, среднюю выработку одного рабочего в бригаде за смену и т.д.).

Число, входящее в ряд данных - , количество чисел – n.

Задача 1. При изучении учебной нагрузки 12 восьмиклассников определили затраченное время на выполнение домашнего задания по алгебре в минутах: 

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25 – ряд данных

Среднее арифметическое ряда данных  – частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. (=324/12=27).

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре 27 минут. Однако анализ приведенного  ряда показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от среднего значения. Поэтому для характеристики разброса данных вводя величину отклонения.

Отклонение - разность между числом из ряда данных и средним арифметическим этого ряда данных: 

-4, -9, -2, -7, -2, -2, 5, 10, 7, -1, 7, -2 ряд отклонений.

Если отклонения малы, то числа в наборе мало разбросаны; если отклонения велики, то числа сильно разбросаны.

Если  <, то отклонение <0, если  >, то отклонение >0.

Свойство1: сумма отклонений =0. (проверка правильности расчетов в данном примере).

Когда набор чисел велик, рассматривать отклонения не удобно. Для удобства и наглядности суждения о разбросе вводят еще одну характеристику: дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения.



Размах ряда чисел – разность между наибольшим и наименьшим из  чисел данного ряда.

В нашем примере: наименьшее значение =18, наибольшее значение = 37, размах = 19.

Мода М– число, наиболее часто встречаемое в данном ряду.

Моду ряда данных находят тогда, когда  хотят выделить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах женских костюмов, проданных в день в магазине, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом.

В нашем примере М=25.

Ряд чисел может содержать 0, 1, 2, ..мод, например:

47,46,25,23,78 – моды нет; 69,75,72,69,75,89,65, две моды М=69; 75.

Свойства среднего арифметического и дисперсии:

Если к каждому числу ряда прибавить одно и тоже число, то к среднему арифметическому нужно прибавить тоже самое число; дисперсия остается неизменной.

Если  каждое число ряда умножить на одно и тоже число, то и среднее арифметическое нужно умножить на тоже самое число; дисперсия увеличивается в число равное квадрату данного.

Закрепление изученного материала:

В таблице показан расход электроэнергии некоторой семьей в течение года:

Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Расход электроэнергии, кВтч

85

80

74

61

54

34

32

32

62

78

81

83

Найти среднее арифметическое, размах, моду.

=(756/12)=63 (кВтч),

М=32,

=85,  =32, Р=53.

Найти среднее арифметическое, размах, моду, дисперсию ряда чисел: 16,22,16,13,20,17

Ряд чисел

16

22

16

13

20

21

отклонение

-2

4

-2

-5

2

3

Квадрат отклонения

4

16

4

25

4

9

=(108/6)=18,

М=16,

=22,  =13, Р=9,



Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда? 

=13, тогда сумма всех чисел равна 13*9=117.

Так как вычеркнули число 3, то 117-3=114 – сумма нового ряда чисел. Тогда =114/8=14,25.

Среднее арифметическое набора чисел –1,0,1 равно 0, а дисперсия равна 2/3. Пользуясь свойствами среднего и дисперсии найти среднее арифметическое и дисперсию нового ряда чисел: 0,1,2.

5. Среднее арифметическое набора чисел 5,11,2 равно 6, а дисперсия равна 14. Пользуясь свойствами среднего и дисперсии найти среднее арифметическое и дисперсию нового ряда чисел: 50,110,20.