Подводные камни математики

Подводные камни математики 

А. Барбараш 

По оценкам учёных, практически используется не более 15% математических разработок. Иначе говоря, математики ушли далеко вперёд по отношению к реальным запросам науки и техники. Они создали формальный аппарат, примерно всемеро превышающий потребности сегодняшней науки и цивилизации в целом. Этому можно было бы только радоваться. Однако звуками фанфар часто заглушаются нерешительно высказываемые, но очень существенные претензии пользователей математического аппарата. Рассмотрим их чуть подробнее. 

Создав математику для решения практических задач, люди, тем не менее, с самого начала превратили её в сугубо теоретическую дисциплину, абстрагирующуюся от второстепенных деталей. Когда решалась задача о сложении яблок, не учитывалось, все ли они спелые, одного ли сорта и т.д. В задаче о бассейне с тремя трубами никого не интересовало, идёт речь о гончарных трубах или о деревянных, отделан бассейн мрамором или вымощен грубым камнем. Такой подход вполне логичен. Для начального этапа развития наук он методологически безупречен. Но по мере перехода ко всё более крупным задачам, такой подход стал превращаться в источник грубых ошибок. 

Особенно трагичным оказалось учащающееся соединение математики с философией. Математическая идеализация затронула важнейший диалектический принцип философии – переход количества в качество. Математика, сплошь и рядом, игнорирует его. 

Взглянем, для примера, на один из простейших законов естествознания – закон Архимеда. Видел ли кто-нибудь математическое выражение этого закона, учитывающее размерный диапазон тел? Если решается задача, будет ли плавать некое сплошное тело, не имеющее внутренних пустот, математика отвечает путём сравнения удельных весов жидкости и тела. Формулы говорят, что сплошная стальная болванка гарантированно потонет в воде. 

Но сравним этот результат с экспериментом. Положим на спокойную поверхность воды клочок бумаги, а на него – тонкую швейную иглу. Потом другой иглой утопим края бумаги и весь клочок. Игла, получившая от наших рук тонкий слой жира, останется плавать на поверхности воды, удерживаемая силами поверхностного натяжения. Чистое применение к этому случаю закона Архимеда оказалось некорректным. Такая же ситуация сложится, если взять щепотку железных опилок, растереть их между пальцами, и рассыпать по спокойной водной поверхности – большая часть опилок останется плавать. 

Подобные отклонения от математических формул широко распространены. Можно считать общим правилом, что подавляющее большинство естественнонаучных законов обладает параметрической локальностью – они справедливы лишь в определённых зонах параметров, для которых, собственно, и выведены. Ньютоновские законы механики справедливы только при скоростях тел, несопоставимых со скоростью света. И наоборот, когда скорости движения тел приближаются к световым, следует переходить от механики Ньютона к преобразованиям Лоренца. Аналогично, обладает параметрической локальностью и сфера дейст-вия квантовой механики – она ограничена диапазоном атомных и молекулярных размеров. 

Природа, по выражению Яна Стюарта, „безжалостно нелинейна” [Stewart, 1989]. Многие естественнонаучные законы описываются нелинейными выражениями. Нередки случаи, когда закон линеаризуется, т.е. используется лишь в узком диапазоне параметров, где можно пренебречь нелинейностями. Нарастание же нелинейных отклонений у границ „законной” зоны параметров – это обычное явление, как для линеаризованных, так и для нелинейно выраженных законов. Соответственно, границы разрешённой зоны параметров почти всегда нечётки, размыты, и определяются не дискретными отметками, а ростом погрешностей. Причиной отклонений обычно является вторжение, нарастающее влияние новой закономер-ности, которой можно было пренебрегать в пределах разрешённой зоны параметров. 

Упомянут сугубо линейный (казалось бы) закон Архимеда. Но жир от рук экспериментатора, сделал поверхность иглы несмачиваемой, к закону Архимеда добавились силы поверхностного натяжения жидкости, и мы получили плавающую монолитную стальную деталь! Силы поверхностного натяжения действуют и на крупную стальную болванку, брошенную в воду, но при больших размерах болванки влиянием этих сил можно пренебречь – это другая сторона „параметрической локальности” законов! 

Нередки ситуации, когда естественнонаучный закон удаётся использовать лишь в крайне узкой зоне параметров. Например, все газовые законы оказываются применимы к парам во-ды лишь значительно выше критической температуры 374˚С, но гораздо ниже температуры диссоциации молекул воды на отдельные атомы. Кроме того, для применения газовых законов к парам воды требуется равенство нулю ультрафиолетового облучения, вызывающего диссоциацию молекул. Такие примеры можно приводить без конца. Скажем, действие внут-риядерных сил ограничено в пространстве потому, что их переносчики – мезоны – имеют малое время жизни, и не успевают значительно удалиться от нуклонов ядра. 

К счастью, в практических ситуациях легко избежать ошибок из-за выхода закона за пределы свойственной ему зоны параметров. Хуже обстоит дело с теоретическими изысканиями, где обнаружить ошибки такого рода далеко не просто. 

Успехи математики вызвали у некоторых учёных специфическую аномалию – синдром „математического ослепления”. Математическое описание объектов они стали ставить неизмеримо выше собственно свойств объектов, проявляющихся в тех или иных феноменах. По их мнению, если феномен противоречит формулам, то нечего об этом феномене и говорить! К сожалению, такая ситуация не выдумана. А на замечание о недопустимости подобной позиции, о бесполезности подобной математики оппоненты в один голос отвечают железобетонной фразой, что, мол, „каждая наука тем в большей степени наука, чем больше в ней математики!” 

Да. Но, ведь, смотря какой математики! Конечно, хорошо иметь удобное математическое описание, правильно и лаконично отображающее рассматриваемый объект. Но какой толк от математического описания, лишь маскирующего наше незнание истинных свойств и истинной природы объекта? Какой толк от искусственно притянутого описания, расходящегося с отдельными фактами?! 

Математика начинается с абстракции. В основе самого талантливого математического описания всегда лежит идеализация, между описываемым объектом и формулами всегда остаётся ряд расхождений, неполных соответствий. В реальной жизни, куда математики выдают свои формулы для использования, к абстракциям приходится относиться очень осторожно. При современном уровне развития, когда нас окружили исключительно сложные системы, жизнь, как правило, требует скрупулёзного учёта всех подробностей, что противоречит „невинному” абстрагированию. 

Одной из главных задач математики является создание формального языка для точного и лаконичного описания закономерностей Природы. Математики убеждены, что их наука отлично выполняет эту миссию. Однако, при том, что подавляющее большинство законов Природы реально применимо лишь в ограниченной области параметров, формальный аппарат математики не только не учитывает эту важнейшую особенность, но ещё и маскирует её, искажает действительность обманчиво „всеобъемлющими” формулами, представляемыми „в общем виде”. В итоге, учёные, сплошь и рядом не замечающие подвоха „всеобъемлющих” формул, часто выходят за пределы диапазонов действия тех или иных законов. Хотя матема-тика могла бы, и должна была бы защитить инженера и учёного от болезненных ошибок такого рода, она эту функцию совершенно не выполняет! Особенно тревожная ситуация воз-никает при учащающихся разработках гибридных, философско-математических моделей. 

Формулами „в общем виде” математика породила иллюзию, будто любые допускаемые правилами математики манипуляции соответствуют свойствам Природы, и будто такими манипуляциями можно неограниченно познавать её закономерности. Анализ математических выражений, действительно, часто приводит к новым, значимым результатам, и это подкреп-ляет ошибочное убеждение исследователей в полной надёжности и методологической безупречности такого пути, ведёт к крупным и трудно обнаруживаемым промахам. 

Важно помнить, что математические выражения являются лишь инструментом познания и отображения реальности, но не самой реальностью. Они отображают лишь то, что мы в них вкладываем, независимо от специфики, области применения, правильности или неправильности исходных данных. С одинаковым успехом может быть построена евклидова и неевклидова геометрия, при чём успех каждого построения отнюдь не говорит о степени адек-ватности математического аппарата реальным свойствам нашего мира. Он говорит лишь о внутренней логической стройности математических построений. 

Игнорирование математикой параметрической локальности естественных законов, маскировка этой локальности – создают у исследователей ложное впечатление о границах применимости тех или иных формул. Результатом становятся попытки переноса идеологий одного параметрического диапазона в совершенно иной диапазон. Как пример, можно назвать разработку одного из астрофизиков, дающую подкупающе простое объяснение температуры реликтового излучения. 

В устойчиво существующей звезде должно соблюдаться равновесие между силой тяжести и давлением света. На этом основании выведена формула Эддингтона для предела светимости звёзд. В формулу входят радиус и масса звезды, радиус и масса протона и несколько ми-ровых констант типа постоянной Планка, гравитационной постоянной и скорости света. Результатом является температура, выше которой световое давление разрушает звезду. 

Загипнотизированный математикой астрофизик подставил в формулу вместо параметров протона – параметры Солнца, а вместо параметров звезды – так называемые хаббловский радиус и массу, характеризующие Вселенную. В результате была вычислена температура Вселенной, как звезды. Эта температура оказалась очень близкой к температуре реликтового из-лучения – с точностью до нашего знания средней плотности Вселенной. 

Отсюда следовало, что нашу Вселенную можно рассматривать как сверхзвезду. За пределами этой сверхзвезды могут быть другие аналогичные объекты. Часть из них может находиться вблизи эддингтоновского предела, как наша Вселенная, что соответствует звезде-сверхгиганту нашего мира. Другая часть сверхзвезд может находиться в особо компактных состояниях, аналогичных нейтронным звездам нашего мира. Переход от компактного со-стояния сверхзвезды к её „развёрнутому” состоянию – это явление типа Большого Взрыва. При таком подходе, уже нет причин видеть в возникновении Вселенной взрыв из Ничего, остаётся лишь уточнить детали процесса, начальные и конечные условия. 

В приведенную цепочку рассуждений, с другого конца, можно уложить и элементарные частицы. Известно, что они не вечны. В их мире существуют свои звезды-сверхгиганты – нестабильные частицы, которые быстро распадаются, и частицы, которые, подобно карликовым звездам и планетам, практически, вечны. Почему это не могут быть такие же миры, как наш, только другого масштаба? 

Иначе говоря, работа формирует предположение о многократной вложенности вселенных разных масштабов, например, о том, что Солнце может являться элементарной частицей в мире, где вся Вселенная – просто звезда-сверхгигант. 

Но много ли физического смысла в таких рассуждениях? Действительно ли Солнце и протон подчиняются одним и тем же законам, как это подразумевает в данном случае при-менённый математический подход? 

Ничего подобного! Реального сходства между ними нет. Для Солнца одной из главных действующих сил является гравитация, тогда как при расчёте поведения протона гравитацию никто никогда не учитывает (и правильно делает). Для свободного протона главными являются электрические силы, а для протона в составе атомного ядра, к ним добавляются ещё более мощные внутриядерные (мезонные) взаимодействия. На Солнце электромагнитные силы влияют очень слабо, а говорить о мезонных взаимодействиях по отношению к Солнцу – во-обще нелепо, потому что радиус действия этих сил много меньше размеров атома. 

В такой ситуации проводить аналогию между небесными телами и элементарными частицами – это примерно то же, что подсчитывать золотой запас страны с помощью закона Ома или Гей-Люссака, а потом ужасно радоваться, если результат случайно совпал с действительностью. Подобная математическая эквилибристика не имеет ни малейшего научного основания. А в том, что такая эквилибристика вообще стала возможной – непростительная вина существующего математического аппарата, игнорирующего параметрическую локальность законов реального мира. 

* * *

Представление о многократной вложенности Вселенных разных масштабов показало всю фантастичность математических иллюзий. Хотя при подстановке, например, параметров Солнца вместо параметров протона использованные законы перестали действовать, математический аппарат нисколько этому не воспротивился!!! 

Математика в такой же степени не является первичным источником знаний, как наше сознание нельзя считать первичным по отношению к материальному миру. Роль математики вторична и не должна абсолютизироваться. Если математика способна приводить к открытию каких-то новых свойств окружающего мира, то только потому, что является более точной, более наглядной формой выражения данных, полученных из эксперимента, и только в той степени, в какой её формализмы адекватны исследуемым объектам. 

Могут возразить, что математика содержит и собственные данные, собственные глубочайшие находки, не связанные с внешним миром. Например, она открыла нам натуральный ряд чисел и простые числа со сложными и не до конца ещё понятыми внутренними закономерностями. 

Нет, это значит лишь, что внутри математики, как и внутри всякой другой дисциплины, существуют определённые внутренние правила, законы и аксиомы. Их истоки находятся вовне. Существование этих правил совершенно не означает, что хотя бы законы простых чисел могут быть применены к объектам окружающего мира без предварительного исследования этих объектов. Ведь может оказаться, что эти объекты вообще не являются дискретными об-разованиями. А в каких-то случаях может потребоваться применение аппарата нечётких мно-жеств Лофти Заде и т.д., и т.п. 

Не случайно теоремы Курта Гёделя „о неполноте” показали невозможность существования полной формальной теории, внутри которой могли бы быть доказаны все истинные теоремы арифметики. Оказывается, для выяснения истины обязательно нужно выйти за рамки рассматриваемой теории! Вероятно, этот вывод нельзя доказать по отношению к ещё не появившимся разделам развивающейся математики, но он, безусловно, справедлив и в таком, наиболее широком толковании. В таком толковании его следует считать аксиомой. 

Математику можно сравнить со скальпелем, помогающим проникнуть в глубинную сущность изучаемых объектов, или с тарой, с обёрткой, позволяющей компактнее упаковывать наши знания о таких объектах, и снабжать их удобными графическими этикетками. Но так же, как на рынке нужно всегда быть начеку, остерегаясь подделки, так и при использовании законов, представленных в формализованном виде, всегда нужно остерегаться несоответствия между математической упаковкой и реальным содержанием! 

* * *

Человек как априорная (или мыслящая) творческая система, довёл свои творческие способности до высокого мастерства, в частности, за счёт использования математики. Поэтому математика стала одной из центральных научных дисциплин. Больше того, мощное развитие математики, по принципу обратной связи, повлияло на всю нашу жизнь. Математический подход настолько проник в нашу психологию, что мы порой не замечаем его. Выстроенный человеком искусственный мир и вся технологическая цивилизация оказались подчинёнными математическим догмам. Основой проектирования стал выбор технических решений, упрощающих расчёты. Мы экономим, прежде всего, на вычислениях – создаём легко рассчитываемые изделия с простыми формами, создаём конструкции, каждая деталь которых выполняет, преимущественно, одну, легко рассчитываемую функцию. 

Задумывался ли читатель над тем, как много деталей у автомобиля, и как мало, по сравнению с ним, органов в более сложном организме человека? Здесь ярко проявилось различие пробующих и мыслящих творческих систем в подходах к своим творениям. Выполнение каждой деталью, преимущественно, одной функции усложняет конструкцию, но сокращает затраты интеллекта на вычисления, облегчает работу априорной творческой системы. 

Инженеры проектируют полностью цилиндрический поршень автомобильного двигателя, тогда как ему достаточно иметь две кольцевые части и у одной из них – закрытый торец, а связь между этими частями может иметь любую форму, вплоть до петушиной головы. Архитекторы строят дома с ровными стенами и почти исключительно прямыми углами, хотя это противоречило исходной психологии существ, вышедших из пещеры, да и сейчас не очень вяжется с настроением людей, стремящихся к природным условиям. И так во всём: изделия наших рук – станки, приборы, сооружения – разрабатываются так, чтобы физические законы проявлялись в них, как в математике, в наиболее „чистом” виде, чтобы расчёт не ос-ложнялся необходимостью учёта сложных форм, сочетаний факторов и т.п. 

Особый психологический прессинг математики испытывают учёные. Поэтому многие из них стали всерьёз считать, что „в каждой науке ровно столько науки, сколько математики”. Возникло явление, которое можно назвать математическим гипнозом. Бытует представление, будто удачное, красивое математическое описание того или иного явления уже само по себе доказывает истинность этого описания. Такой порочный подход приносит особый вред в разделах науки, где ощущается нехватка экспериментальных данных, и потому превалируют теоретические, гипотетические построения. Примером математического гипноза стало длительное господство в биологии многоклеточных организмов теории диссипативных структур, которая обладает красивым, корректным математическим аппаратом, но не совпадает с биологическими реалиями. Другим примером математического гипноза стало многолетнее господство в космологии усиленно разрабатывавшейся, но по-прежнему противоречащей реалиям, гипотезы Большого Взрыва. 

* * *

В главе 3.4.11. („Мозг и „Дао физики””) моей книги "Подводные камни математики" рассказывалось о резких различиях между свойствами мира квантовой механики и привычного нам мира „средних измерений”. Процессы в мозге подчиняются, более всего, законам квантового мира. Соответственно, когда человек в процессе медитации затормаживает каналы связи с внешним миром, и остаётся наедине с собственным мозгом, воспринимая его как необъятную Вселенную, последняя выглядит построенной по законам квантового мира. Свойства этого мира настолько впечатляющи, что человек безусловно верит им, как подлинному облику Вселенной. Но, выйдя из медитации, и пытаясь приложить „увиденную” картину к реальному миру, он обнаруживает глубокое различие их свойств. А объясняется это, прежде всего, отличием размерных диапазонов, отли-чием квантового мира от нашего мира „средних измерений”. 

В квантовом мире такая наука как статика, принципиально не могла бы возникнуть. У объектов этого мира не существует статики! Если в нашем мире „средних измерений” можно долго и обоснованно обсуждать причины и следствия, то по отношению к элементарным процессам квантового мира такие разговоры теряют смысл – здесь элементарные события всегда спонтанны, и каждый раз могут протекать не по одному, а по разным вариантам сценариев. В квантовом мире поражает невероятная механическая прочность атомов – напри-мер, атомы газа миллионы раз в секунду сталкиваются друг с другом, но после каждого столкновения сохраняют прежнюю форму, прежние качества. Никакая система планет, подчиняющаяся законам классической механики, не выдержала бы таких столкновений. 

В квантовом мире точная определённость заменяется вероятностью существования. Становятся естественными внезапные переходы атомов из одного „квантового состояния” в другое. Величины квантового мира – расстояния, порции энергии, электрические заряды – принципиально дискретны. Квантовому полю приписывается самостоятельная физическая природа – природа протяженной среды, пронизывающей или наполняющей всё пространство. Частицы представляют собой лишь точки „сгущения” этой среды, возникающие и исчезающие энергетические узлы. Здесь не нашлось места одновременному существованию понятий поля и вещества – единственной реальностью оказалось понятие поля. 

Можно было бы и дальше перечислять отличия квантового мира от нашего мира „сред-них измерений”. А ведь это один и тот же мир! Их отличает только диапазон размеров! В то же время, кто видел математический аппарат, достоверно описывающий чрезвычайно важ-ную для науки зону перехода от мира „средних измерений” к квантовому миру? 

Не следует думать, что практиков вполне спасает от математического гипноза тесная связь с реальностью. От этой болезни страдают и они. 

Самые лучшие идеи, приведшие к успеху в одном диапазоне параметров, чаще всего, ока-зываются бесполезными в другом параметрическом диапазоне. При распространении какого-либо закона на новый, резко отличающийся диапазон параметров всегда возникают новые условия, новая общая ситуация, например, изменяются соотношения объём/поверхность, размер/скорость и т.п., что, зачастую, меняет результат. В новом диапазоне параметров к рассматриваемому закону может приложиться действие другого закона, не проявлявшегося в прежних условиях. Соответственно, заманчивые попытки переноса законов и идеологий из одной области параметров в другие области, чаще всего, ведут к принципиальным просчётам. В том, что опасность этого не стала до сих пор азбучной истиной методологии науки, кроме математиков, повинны и философы. 

Как пример практических промахов такого рода, можно упомянуть попытки переноса традиционных принципов построения электронных схем в молекулярную область размеров, что пытались (и всё ещё пытаются) делать многие учёные в ходе разработок молекулярной электроники. Были созданы остроумные логические элементы и элементы памяти молекулярных размеров. Но все попытки собрать из них нормально работающую схему традиционной архитектуры окончились провалом – при молекулярных размерах элементов схемы начинают проявляться свойства квантового мира, резко изменяющие общую ситуацию по сравнению с привычной полупроводниковой электроникой. 

1. При создании всё более сложных и, казалось бы, совершенных логических элементов молекулярных размеров увеличивается число конкурирующих степеней свободы элемента и растёт вероятность того, что энергия сигнального воздействия не будет использована по назначению – переведёт молекулу не в заданное, а в какое-то иное новое состояние. Обычно вероятность правильного срабатывания исправных логических элементов молекулярной электроники не превышает 50% ! 

2. После получения входного сигнала, переводящего логический элемент молекулярной электроники на более высокий энергетический уровень, элемент не может долго оставаться на таком уровне. Через стотысячные доли секунды он возвращается в исходное состояние с низкой энергией, что принципиально отличает его от ламповых или полупроводниковых триггеров традиционной электроники. 

3. Переход молекулярных логических элементов с высокого энергетического уровня на низкий не только нельзя отодвинуть на произвольное время, но нельзя и приблизить по своему желанию. Он неуправляем и, в известной степени, непредсказуем (нестабилен) по времени, что нарушает привычную логику действия информационных систем. 

4. В отличие от кристаллов полупроводниковой микроэлектроники, элементы молекулярной электроники, из-за сложного химического состава, легко присоединяют, а затем прочно удерживают атомы посторонних примесей, выводящие их из строя. Кроме того, из-за малых размеров, эти элементы очень чувствительны к радиационному фону. Один квант ионизи-рующего излучения способен вызвать множественные обратимые и необратимые нарушения в схеме молекулярной электроники. Поэтому нужно заранее рассчитывать на присутствие в информационной системе большого количества хаотически расположенных неисправных элементов. 

5. Нелегко создать микроманипулятор, способный захватить одну молекулу, правильно сориентировать её в пространстве и точно установить в заданное место молекулярной схемы. Но даже если такой манипулятор появится, изготовление молекулярно-электронной системы с его помощью, учитывая ожидаемые триллионные количества схемотехнических элементов, длилось бы веками. Поэтому в молекулярной электронике возможны лишь технологии, при которых одновременно монтируются миллионы и миллиарды однотипных логических элементов, что далеко от схем с традиционной архитектурой.

Трудности построения информационных систем из элементов молекулярной электроники имеют фундаментальный характер. При переходе из зоны „средних измерений” в микромир, при уменьшении элементов схемы до размеров атомов и молекул законы физики теряют привычный чёткий характер и приобретают принципиальную неопределённость. Здесь одно и то же событие, не нарушая законов физики, может происходить или не происходить, здесь вполне исправный элемент схемотехники может срабатывать или не срабатывать. В результате, остаётся справедливой давняя констатация, что „детальные предложения по схемотех-нике, основанной на молекулярных элементах ... отсутствуют; не представляется ... возмож-ным создать проект ... хотя бы простейшего молекулярного микроэлектронного изделия ... ” [Рамбиди, Замалин, 1986]. 

Таким образом, не только научные исследования, но и практика инженерных разработок столкнулась с болезненным провалом попыток автоматического переноса идеологии одной размерной области в другую область. 

Наибольшее фиаско произошло в космологии, где очень трудно проверять гипотезы, отчего опасное манипулирование формальными соотношениями приобрело особый размах. Авторы гипотезы Большого Взрыва попытались перенести из квантового мира на Космос идеологию спонтанного возникновения виртуальных частиц, идеологию отсутствия привычного детерминизма, идеологию неопределённости и прочих удивительных эффектов субатомного диапазона параметров. Положения квантовой теории – так называемые нулевые флюктуации вакуума и спонтанное возникновение виртуальных частиц – они трансформировали в гипотезу о столь же внезапном возникновении всей Вселенной! Хотя квантовая теория говорит об очень кратковременных и ничтожных по амплитуде процессах (в пределах постоянной Планка, неопределённости Гейзенберга), о возникновении частиц на столь короткое время, что их нельзя зарегистрировать приборами (отчего они названы виртуальными), сторонники Большого Взрыва распространили эти представления на космические раз-меры и на интервалы времени в миллиарды лет. Вина за это лежит не столько на доверчивых астрофизиках, сколько на математиках – формальный аппарат математики не содержит сдерживающих факторов, способных предотвратить использование физических законов за границами разрешённых зон параметров. Больше того, он маскирует подобные случаи. 

* * *

Есть ещё одна существенная претензия к математике. На протяжении многих столетий математика выполняла важную роль единого языка разных научных дисциплин. Но в 20-м веке её безудержное, неуправляемое развитие перечеркнуло эту функцию. Возникло множество узко специализированных разделов математики, не известных представителям других дисциплин. Вместо того, чтобы быть удобным и надёжным инструментом науки, подчиняющимся, как всякие инструменты, унификации и стандартизации, математика переродилась в некое подобие ничем не ограниченной умственной игры (хотя и игры сейчас старательно стандартизованы). В результате, выпускник одного университетского факультета не знает значительной части математического аппарата, преподаваемого на другом факультете. Возникло подобие вавилонского столпотворения, когда люди заговорили на разных языках и потому не смогли решать общую задачу. 

Возникла необходимость возрождения утраченной функции математики – функции общего языка науки и инженерных дисциплин, удобного и понятного средства обмена точными, компактными данными между специалистами разных профилей. Решение этой задачи возможно только с учётом сокращения ассортимента и дальнейшего совершенствования ис-пользуемых математических средств. 

Легко представить себе, что требование широкой унификации и стандартизации математического аппарата вызовет бурю гнева со стороны математиков, потому что ведёт к значительному усложнению их жизни. Нужно провести ревизию всего созданного, отобрать необходимый и достаточный минимум математических средств, обеспечивающих потребности науки и практики, ввести этот минимум в программы ВУЗов всех специальностей, создать международный координационный Центр для выработки общих рекомендаций и контроля их выполнения и т.д. 

* * *

Ситуацию можно подытожить следующим образом: 

Большинство законов Природы обладает параметрической локальностью – действует в ограниченных зонах параметров, вне которых они теряют силу или искажаются наложением других закономерностей. Математический аппарат маскирует эту особенность законов, стимулируя их ошибочное применение за рамками допустимых параметров. 

Особую опасность влечёт за собой синтез математических и философских построений, поскольку математические формулы не учитывают философский принцип перехода количества в качество у границ допустимых зон использования конкретных законов. 

Практика показала также опасность „математического гипноза”, при котором красота математических построений воспринимается как свидетельство их абсолютной достоверности, хотя никак не связана с главнейшем – со степенью соответствия математического описания реальным описываемым объектам. 

Одной из важнейших задач развития математики должно стать возрождение утраченной функции – использования математики в качестве удобного, понятного и всеобщего языка общения между разными научными и инженерными дисциплинами.