Уравнение и функция Бесселя

Содержание



	Задание на курсовую работу 	2

	Замечания руководителя 	3

	1. Бесселевы функции с любым индексом 	5

	2. Формулы приведения для бесселевых функций 	10

	3. Бесселевы функции с полуцелым индексом 	13

	4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом 	15

	5. Ряды Фурье-Бесселя 	18

		6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента 	23

		Список литературы 	30


1. Бесселевы функции с любым индексом



Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

		.		(1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

,   ,   ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

	.	(2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , ,  предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть  есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

;     ;

;  ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

,    ;

,    .

Таким образом, , ,  должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

,

(3)

,     ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , ,  удовлетворяют уравнениям (3), то  есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя  в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , ,   – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае ,  называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой  (вместо ), а неизвестную функцию – буквой  (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

	.	(4)

	Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

	

	Бесселевы функции первого рода

	Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:

	.

	Тогда

	,

	,

	,

	

	.

	Следовательно, приходим к требованию

	

	или к бесконечной системе уравнений

	           ,

	которая распадается на две системы: 

	                         

	Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе  можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если  не является целым отрицательным числом). Взяв

	 ,

	найдем последовательно:

	,

	,

	,

	и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

	

	Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений  и, следовательно, является решением уравнения (4) в области  (в случае целого  в области ). 

	Функция

	                                                                         (5)

	называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса  получим:

	,	(5`)

	и, в частности,

	.	(5``)

	

	Общее решение уравнения Бесселя

	В случае нецелого индекса  функции  и  являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

	. 	(6)

	Если  (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что  равно нулю для …), принимает вид:

	                                 (5```)

	или, после замены индекса суммирования  на ,

	,	(7)

	откуда видно, что  удовлетворяет вместе с  уравнению Бесселя

	.

	Но формула (6) в случае целого  уже не дает общего решения уравнения (4).

	Полагая

	             ( – не целое)	(8)

	и дополняя это определение для  (целое число) формулой:

	,	(8`)

	получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от  (в случае , где  – целое). Функция  называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

	.	(9)

	
2. Формулы приведения для бесселевых функций

	

	Имеем:

	;          ;

	,                 ;

	.

	Следовательно, 

	.	(10)

	Таким образом, операция  (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс  на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию  раз, где  – любое натуральное число, получаем:

	.	(10`)

	Имеем:

	;

	

	Следовательно, 

	.	(11)

	Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс  на единицу. Применяя эту операцию  раз, получаем:

	.	(11`)

	Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:

	;      ;       .

	Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:

	;   ;     .

	Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:

	,	(12)

	.	(13)

	Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):

	, 	(13`)

	откуда последовательно получаем:

	,

	, …………………

	
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом

	

	Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где  – целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции. 

	Имеем:

	 ,

	,

	следовательно,

	.

	Но , значит:

	.	(14)

	Далее

	,

	,

	следовательно,

	.

	Но , поэтому

	.	(15)

	С помощью (10`) находим:

	,

	а учитывая (14)

	,

	следовательно, при целом положительном 

	.	(14`)

	С помощью (11`) находим:

	,

	но в силу (15)

	,

	и, следовательно, при целом положительном 

	.	(15`)

	
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом

	

	Производящая функция системы функций

	Рассмотрим систему  функций  (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

	

	Составим ряд

	,

	где  – комплексная переменная. Предположим, что при каждом  (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.

	Функция 

	                                                                                     (16)

	(где x лежит в области определения функций системы ,  – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .

	Обратно, пусть задана функция , где  пробегает некоторое множество,  находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если   при каждом  аналитична относительно  внутри соответствующего кольца, то  есть производящая функция некоторой системы  функций. В самом деле, разложив при каждом  функцию  в ряд Лорана по степеням :

	,

	найдем, что система коэффициентов  этого ряда будет искомой системой . 

	Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции  рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности  в простой интеграл, получим:

	. 	(17)

	Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

	Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами  (…) производящая функция есть:

	.

	Имеем:

	,        ,

	откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:

	

	(так как в предпоследней внутренней сумме  и  были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при  это будет ; при  это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть  в силу формул (5`) и (5```). Итак,

	,	(18)

	но это и доказывает, что  есть производящая функция для системы . 

	Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:

	,

	откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )

	           (18`)

	                      (18``) 

	Заменяя в (18`) и (18``)  на , найдем:

	,	  (18```)

	.	(18````)

	Интегральное представление Jn(x)

	Так как, по доказанному, при  имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

	

	где принято во внимание, что  есть четная функция от  есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа 

	.	(19)

	Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при  найдем:

	.	(19`)

	
5. Ряды Фурье-Бесселя

	

	Рассмотрим на каком-либо интервале  (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения

	,                           ,	(20)

	где  и  – непрерывные функции на . Пусть  и  – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на  и на  и последующее вычитание дают

	.

	Пусть  и  принадлежат  и , тогда после интегрирования в пределах от  до  получим

	.	(21)

	Если  и  – соседние нули решения , то между  и   сохраняет постоянный знак, пусть, например,  на (, ) (в противном случае следует заменить  на ), тогда ,  (равенство нулю исключено, так как  – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на  , то  должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между  и , так как иначе  сохранит постоянный знак на (,). Пусть, например,  на (,) (в противном случае заменяем  на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).

	Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если  на , то каждое ненулевое решение уравнения  может иметь на  не более одного нуля (это легко видеть, если положить   и взять ). Если  на  (где ), то для всяких двух соседних нулей  и  () каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить , взять  и заметить, что нулями  будут только числа вида ,  целое). Если  на  (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить  и взять ). Из сказанного следует, что если  на , то для всяких двух соседних нулей  и  () каждого ненулевого решения уравнения  имеем .

	Изложенное показывает, что если  непрерывна на  и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение  уравнения имеет на  бесконечно много нулей. Если еще  вблизи  не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +∞, а если, кроме того, , где , то .

	Рассмотрим уравнение Бесселя

	

	на интервале . Подстановка  приводит к уравнению

	.

	Очевидно,  и  имеют одни и те же нули. Так как , где  – целая функция, то  не имеет нулей на  при достаточно малом , и так как  при , то при каждом  нули  на  образуют бесконечную возрастающую последовательность

	

	причем .

	Если , то  удовлетворит уравнению

	

	на интервале (0, +∞). Подстановка  приводит к уравнению

	

	и, следовательно,  удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных  и  имеем 

	, где  ,

	, где ,

	откуда

	,

	следовательно,

	, где .	(22)

	Пусть теперь . Разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего , разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при  равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при  получим

	,

	то есть

	,	(23)

	откуда видно, что если  и  являются разными нулями функции , то

	.	(23`)

	Этим доказано, что при  система функций

	

	на интервале  является ортогональной относительно веса .

	Переходя к пределу при  в соотношении

	

	и используя правило Лопиталя, получим при всяком 

	,    	(24)

	следовательно, если  является нулем функции , то

	.	(24`)

	Таким образом, при каждом  всякой непрерывной функции  на , удовлетворяющей требованию

	,

	поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя

	,	(25)

	коэффициенты которого определяются формулами

	.	(25`)

	Можно доказать, что система функций  на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .

	Можно показать, что если  и  непрерывная на  и кусочно-гладкая на  функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .

	
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

	

	Пусть  - положительная функция и  - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

	        при 

	означает, что найдутся такие числа  и M, что при  имеем .

	Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если  - положительная функция и  - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

	        при    

	означает, что найдутся такие числа  и , что  на .

	Вспомогательная лемма

	Если  дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

	

	имеет место асимптотическое представление

	   при .

	Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

	.	(26)

	Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя  на , найдем:

	,

	но, заменив на , получим:

	.

	Если  положительна, убывает и стремиться к нулю при , то  и , а следовательно, и  есть  при , поэтому

	      при ,

	откуда

	    при .

	Итак, получаем асимптотическое представление:

	    при .	(27)

	Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

	,

	.

	Очевидно,  дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют  и , поэтому  становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

	,

	где первое слагаемое правой части  есть  при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

	,

	который сходится, так как

	     при ;

	следовательно, второе слагаемое есть тоже  при .

	Итак, имеем:

	    при .	(28)

	Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:

	    при .	(29)

	Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

	   при .	(29`)

	Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .

	Вывод асимптотической формулы для Jn(x)

	Заменяя  на , получим:

	  

	(учитывая, что  есть четная функция от , а  есть нечетная функция от ). Подстановка  дает: 

	,

	где  есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что  есть полином n-й степени относительно . Но

	

	и, заменяя в первом из этих интегралов  на , получим:

	

	Так как  и  на  имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:

	;

	но ; , следовательно,

	.

	Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:

	   при .	(30)

	Эта формула показывает, что  с точностью до слагаемого порядка  является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

	В частности,

	   при ;	(30`)

	    при .	(30``)

	Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.

	Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

	

	1. Найти решение уравнения Бесселя при 

	,

	удовлетворяющее начальным условиям при ,  и .

	Решение.

	На основании формулы (5`) находим одно частное решение:

	

	.

	

	2. Найти одно из решений уравнения:

	,         .

	Решение.

	Сделаем замену 

	.

	При  получим:

	.

	При  будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:

	.

	Уравнение на  имеет вид ; 

	,  ,  ,  , поэтому

	,

	,   .

	

	

	Рисунок 1 – График функции y=J0(x)

	

	

	Рисунок 2 – График функции y=J1(x)

	
Список литературы

	

	1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.

	2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.

2