Дифференцирование. Интегрирование

Задание 1. Найти производные функций



a) 

Пусть , , тогда 







b) 



Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному: 

По свойству логарифма 

Таким образом,





c) 



Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:




















Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции 

Областью определения функции являются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к. 

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).

Найдем производную функции:



.



Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.










+

-

+

-1

1

0

-

min

max







Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.





+

-

0





В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции :

1) вертикальная асимптота – прямая х=0


Т.к.  и 



2) горизонтальных асимптот нет,

т. к.  и 



3) наклонных асимптот нет,



т. к. 

и	



Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x2 + 2x – y2)

Найдем частные производные первого порядка.









М (1; 0) – стационарная точка.


Найдем вторые производные и их значения в точке М.











>0  Следовательно, функция Z = ln (3 – x2 + 2x – y2) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.



Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием



a) 



Решаем методом замены переменной. Положим ,



тогда   ,

  

Таким образом, получаем








Вернемся к переменной х.







Проверим дифференцированием:





b) 



Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]


С



Проверим дифференцированием:





c)



Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем

	

	



Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем







 



Подстановка      приводит интеграл к виду








Возвращаясь к аргументу х, получаем





Таким образом, ,

где С=С1+С2



Проверим дифференцированием:





Задание 5. Вычислить определенный интеграл







Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим







Вернемся к переменной х.




Таким образом, 














Библиографический список



		Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

		Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

		Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.