Линейные регрессионные модели

2







Решение контрольной работы по эконометрике



Используя данные Федеральной службы государственной статистики России (за двенадцать месяцев) из периода 2004 - 2005гг., следует:



1. Оценить влияние факторов (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8) на изучаемый показатель (Y) и друг на друга с помощью коэффициентов линейной корреляции



Таблица 1. 

в% к предыдущему периоду

индексы цен платных услуг

индексы цен производителей

добыча полезных ископаемых 

обрабатывающие производства 

производство и распределение электроэнергии газа и воды

индексы тарифов на грузовые перевозки

железнодорожный транспорт

автомобильный транспорт

трубопроводный транспорт

 

Y

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

 

ицпу

пр

дпи

оп

прэгв

гп

жт

ат

тт

июл.04

101,3

101,2

102,9

100,7

100,1

102,1

100

101,3

105

авг.04

101

101,8

103,9

101,4

100,2

100,2

100

100,4

100

сен.04

100,6

103,1

105

103,1

100

100,3

100

101,9

100,6

окт.04

101,2

101,8

103,6

101,4

99,9

95,4

100

101,5

87,4

ноя.04

100,8

102

104,5

101,5

100

100,7

100

101,9

101,1

дек.04

101

100,1

100,8

99,8

99,9

102,1

100

100,6

105,8

янв.05

108,8

100,5

95,7

100,9

104,9

113,9

108,8

103,2

122,6

фев.05

102,2

101,3

98,4

100,9

106,3

100,1

100

100,8

100,1

мар.05

101,2

102,5

109,6

101

100,3

100

100

100,3

99,9

апр.05

100,8

102,5

108,9

101,1

100,3

103,5

100

101

107,7

май.05

100,8

102,7

109,7

101

100,1

100,3

100

100,5

100

июн.05

100,9

100,1

99,3

100,3

100,1

101,7

100

100,6

103,7



Коэффициент линейной корреляции, с помощью которого можно оценить влияние факторов (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8) на изучаемый показатель (Y) и друг на друга, вычисляется по формуле:

,



где  - среднее квадратическое отклонение фактора .

 - среднее квадратическое отклонение изучаемого показателя . Если =0, то факторы не могут влиять на изучаемый показатель, так как связь между ними будет отсутствовать. Чем ближе  к 1, тем сильнее связь между факторами и изучаемым показателем. Рассмотрим сначала как влияет X1 на изучаемый показатель Y. Произведем предварительные расчеты в таблице:



Таблица 2. 

 

 









июл.04

101,3

101,2

10251,56

10261,69

10241,44

авг.04

101

101,8

10281,8

10201

10363,24

сен.04

100,6

103,1

10371,86

10120,36

10629,61

окт.04

101,2

101,8

10281,6

10241,44

10363,24

ноя.04

100,8

102

10281,6

10160,64

10404

дек.04

101

100,1

10110,1

10201

10020,01

янв.05

108,8

100,5

10934,4

11837,44

10100,25

фев.05

102,2

101,3

10352,86

10444,84

10261,69

мар.05

101,2

102,5

10373

10241,44

10506,25

апр.05

100,8

102,5

10332

10160,64

10506,25

май.05

100,8

102,7

10352,16

10160,64

10547,29

июн.05

100,9

100,1

10100,09

10180,81

10020,01

Сумма

1220,6

1219,6

124023,03

124211,94

123963,3

Среднее значение 

101,71667

101,6333

10336,96666

10350,995

10330,27

 

Из таблицы находим среднее квадратическое отклонение фактора :



==0,9679876;


среднее квадратическое отклонение изучаемого показателя :



==2,1718655.



Полученные значения подставляем в формулу:



==-0,41056



Коэффициент линейной корреляции равен 0,3 ≤ = ≤0,7. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором умеренная.

Аналогично оценивается влияние остальных факторов на изучаемый показатель (Y).



=



Коэффициент линейной корреляции равен 0,3 ≤ = ≤0,7. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х2 умеренная.



=



Коэффициент линейной корреляции равен = < 0,3. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х3 слабая.


=



Коэффициент линейной корреляции равен 0,3 ≤ = ≤0,7. Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х4 умеренная.







Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х5 близка к линейной (тесная).







Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х6 близка к линейной (тесная).







Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х7 близка к линейной (тесная).






Коэффициент линейной корреляции равен 0,7 < = Это говорит о том, что связь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х8 близка к линейной (тесная).

Влияние факторов друг на друга рассчитывается аналогично. Все полученные данные представим в таблице.



Таблица 3.

 

Y

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

Y

1

















X1

-0,41056

1















X2

-0,62049

0,817335

1













X3

-0,14167

0,750202

0,304572

1











X4

0,684791

-0,31544

-0,63666

-0,13627

1









X5

0,863179

-0,39974

-0,4795

-0,21126

0,494364

1







X6

0,984045

-0,36981

-0,55741

-0,09167

0,560132

0,89804

1





X7

0,719717

-0,08272

-0,45151

0,36154

0,360766

0,610648

0,762909

1



X8

0,752448

-0,40384

-0,42926

-0,26069

0,440197

0,978356

0,790727

0,493109

1



Из свойств корреляции известно, что если > 0, то связь прямая (); если < 0, то связь обратная ). Факторы (Х1), (Х3), (Х2) имеют обратную связь с ицпу, то есть если индекс цен платных услуг растет, они падают, и наоборот. Факторы (Х4), (Х5), (Х6), (Х7), (Х8) имеют прямую связь с индексом цен платных услуг (вместе с ним растут или падают).

Самая сильная связь наблюдается между индексом цен платных услуг и железнодорожным транспортом. Самая слабая связь наблюдается между обрабатывающим производством и производством и распределением электроэнергии, газа и воды.


2. Используя процедуру выбора факторов, предложить и построить линейные регрессионные модели изучаемого показателя. Оценить качество моделей



При процедуре выбора факторов должны выполняться следующие условия:

Факторы должны быть количественно измеримы или допускать кодировку. В нашем случае это условие выполняется.

Факторы должны "объяснять" поведение изучаемого показателя согласно принятым положениям экономической теории. Это должно подтверждаться индексами корреляции факторов с показателями. Это условие тоже выполняется, так как для всех факторов индексы корреляции рассчитаны.

Факторы не должны находиться в точной функциональной связи (допустим, коллинеарной). Включение в модель факторов с индексами корреляции, близкими по модулю к единице может привести к нежелательным последствиям:

1) факторы будут дублировать друг друга, и будет затруднена экономическая интерпретация параметров модели;

2) система уравнений для определения параметров может оказаться плохо обусловленной и повлечь ненадежность полученных уравнений регрессии т нежелательность их использования для анализа и прогноза.

При наличии корреляции ≥0,7 между факторами один из них следует исключить. Оставить рекомендуется тот, который при достаточно тесной связи с показателем имеет более слабую связь с другими факторами.

Рассмотрим таблицу 3, используя метод исключения, отберем факторы для построения регрессионных моделей. Так как связь между факторами должна быть слабой, исключим все факторы, коэффициент корреляции которых больше или равен по модулю 0,3. Для построения модели оставляем факторы сильно или умеренно влияющие на данный показатель, то есть коэффициент корреляции должен быть больше или равен 0,3.

Следующее необходимое условие при построении регриссионных моделей: Число включаемых факторов должно в 6 раз меньше объема наблюдений, по которым строится регрессия. N-число наблюдений в нашем случае равно 12. Тогда m ≤ , то есть m=1 или m=2.

Число параметров при факторах в линейной модели совпадают с их количеством: m=p.

Итак, можно предложить следующие регрессионные модели:



1. 

2. .

3. .



Используя инструмент РЕГРЕССИЯ, оценим 1 модель.

1 этап. Оценка значимости модели в целом.



Таблица 4. 

ВЫВОД ИТОГОВ





















Регрессионная статистика









Множественный R

0,985324602









R-квадрат

0,970864572









Нормированный R-квадрат

0,963580715









Стандартная ошибка

0,453164887









Наблюдения

11





















Дисперсионный анализ









 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

54,74441

27,3722

133,289901

0,00000072

Остаток

8

1,642867

0, 205358





Итого

10

56,38727

 

 

 

Модель линейной регрессии с двумя фактором Х1 и X6 значима в целом согласно F-критерию (F=133,2899) с приемлемым уровнем значимости 0,00000072 ≤ 0,05

Итак, получаем модель



 

Коэф-ты

Станд. ошибка

t-стат. 

P-Значение



Y-пересечение

27,18887556

17,92439

1,516864

0,16777466



Х1

-0,1220023

0,146648

-0,83194

0,42957614



Х6

0,86279739

0,058131

14,84242

0,000000418





Согласно критерию Стьюдента 2 параметра модели a=27,18 и =-0,122 незначимы с приемлемыми уровнями >0,05 и >0,05. Следовательно, эта модель неудачна и не может быть использована к анализу и прогнозу индекса цен платных услуг. Следует изменить спецификацию модели (необходимо убрать фактор Х1).

Используя инструмент РЕГРЕССИЯ, оценим 2 модель.

1 этап. Оценка значимости модели в целом.



Таблица 5. 

ВЫВОД ИТОГОВ























Регрессионная статистика









Множественный R

0,984045









R-квадрат

0,968344









Нормированный R-квадрат

0,964827









Стандартная ошибка

0,445346









Наблюдения

11





















Дисперсионный анализ











 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

54,60227273

54,60227

275,3055768

0,0000000468

Остаток

9

1,785

0, 198333





Итого

10

56,38727273

 

 

 

Модель линейной регрессии с фактором X6 значима в целом согласно F-критерию (F=275,306) с приемлемым уровнем значимости 0,0000000468 ≤ 0,05

Итак, получаем модель



2 этап. Оценка параметров модели.

 

Коэф-ты

Станд. ошибка

t-стат. 

P-Значение



Y-пересечение

12,98182

5,351909883

2,425642

0,038255004



X6

0,880682

0,05307763

16,59233

0,0000000468





Согласно критерию Стьюдента 2 параметра модели a=12,98 и b=0,88 значимы с приемлемыми уровнями <0,05 и <0,05.

3 этап. Проверка наличия необходимых свойств у остатка модели.



Таблица 6. 

ВЫВОД ОСТАТКА















Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

Стандартные остатки

1

101,05

-0,05

-0,118345267

2

101,05

-0,45

-1,065107404

3

101,05

0,15

0,355035801

4

101,05

-0,25

-0,591726335

5

101,05

-0,05

-0,118345267

6

108,8

0,00000000000132

0,000000000003128

7

101,05

1,15

2,721941143

8

101,05

0,15

0,355035801

9

101,05

-0,25

-0,591726335

10

101,05

-0,25

-0,591726335

11

101,05

-0,15

-0,355035801



График 1.

 

Проверяем случайность остатков Первое, что требуется, это чтобы график остатков располагался в горизонтальной полосе, симметричной относительно оси абсцисс. Согласно предпосылкам МНК возмущение должно быть случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Это имеет место для получения однофакторной регрессии. График остатка (возмущения, ошибки) располагается в горизонтальной полосе. Имеется большое количество локальных экстремумов (максимумов и минимумов). -значит остатки случайные.

Согласно следующей предпосылке остатки должны быть равноизменчивы. Для проверки этой предпосылки используем в Microsoft Excel инструмент "Среднее значение".



 

-0,000000000000006.



Проверка на гомоскедастичность по методу Гольдфельда-Квандта невозможна, так как недостаточно наблюдений (должно быть n>12m) /

Проверим отсутствие автокорреляции остатков. Для этого чаще всего используют критерий Дарбина Уотсона (d-критерий):



.



находится в Microsoft Excel при помощи инструмента "СУММКВРАЗН"



=3,215

, берется из таблицы 4.1 "SS"/ "остаток"

1,785

d=. 



Критерий Дарбина Уотсона (d-критерий): n=12, m=1, , dl=0,97,du=1,33



             I     dl     II  du    III         IV 4-du   V  4-dl        VI            

      0         0,97      1,33        2         2,67       3,03          4



d=1,801III, IV. Значит нет оснований отклонить предположение об отсутствии автокорреляции соседних остатков по d-критерию с уровнем значимости .

Следующее необходимое условие: остатки должны иметь распределение Гаусса. можно ограничиться критерием размахов (RS - критерий).



.



-стандартная ошибка модели

=0,445346.

находится в Microsoft Excel при помощи функции "МАКС".

=1,15.

 находится в Microsoft Excel при помощи функции "МИН".

=-0,45.

RS=3,59

Критерий размахов, RS - критерий: n=12, α =0,05, a=2,8, b=3,91.

Если a <RS < b, то остатки имеют нормальный закон распределения с уровнем α =0,05.



2,8 <3,59 < 3,91.



Вывод: Все предпосылки регрессионного анализа выполняются с уровнем α =0,05. Значит модель успешно прошла проверку оценки ее качества.

Используя инструмент РЕГРЕССИЯ, оценим 3 модель.

1 этап. Оценка значимости модели в целом.



Таблица 7. 

ВЫВОД ИТОГОВ





















Регрессионная статистика









Множественный R

0,863178866









R-квадрат

0,745077754









Нормированный R-квадрат

0,71675306









Стандартная ошибка

1,263784889









Наблюдения

11









Дисперсионный анализ









 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

42,01290252

42,0129

26,30488273

0,000620555

Остаток

9

14,37437021

1,597152





Итого

10

56,38727273

 

 

 

Модель линейной регрессии с фактором X5 значима в целом согласно F-критерию (F=26,304) с приемлемым уровнем значимости 0,0000000468 ≤ 0,05

Итак, получаем модель



 

Коэф-ты

Станд. ошибка

t-стат. 

P-Значение

Нижние 95%

Y-пересечение

55,68196551

8,991138974

6, 192982

0,00016021

35,34258057

Х5

0,453226954

0,088368512

5,128829

0,000620555

0,253323338

Согласно критерию Стьюдента 2 параметра модели a=55,68 и b=0,453 значимы с приемлемыми уровнями <0,05 и <0,05.

3 этап. Проверка наличия необходимых свойств у остатка модели.



Таблица 8. 

ВЫВОД ОСТАТКА













Наблюдение

Предсказанное 101,3

Остатки

Стандартные остатки

1

101,0953062

-0,095306249

-0,079492648

2

101,1406289

-0,540628945

-0,450925589

3

98,91981687

2,280183127

1,901845857

4

101,3219197

-0,521919726

-0,43532068

5

101,9564375

-0,956437461

-0,797741462

6

107,3045155

1,495484488

1,247347611

7

101,0499836

1,150016446

0,959201034

8

101,0046609

0, 195339141

0,162927675

9

102,5909552

-1,790955196

-1,493792616

10

101,1406289

-0,340628945

-0,284110403

11

101,7751467

-0,87514668

-0,729938779



График 2.





Проверяем случайность остатков. Согласно предпосылкам МНК возмущение должно быть случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Это имеет место для получения однофакторной регрессии. График остатка (возмущения, ошибки) располагается в горизонтальной полосе. Имеется большое количество локальных экстремумов (максимумов и минимумов). -значит остатки случайные.

Согласно следующей предпосылке остатки должны быть равно изменчивы. Для проверки этой предпосылки используем в Microsoft Excel инструмент "Среднее значение".



 

-0,0000000000000026.



Проверка на гомоскедастичность по методу Гольдфельда-Квандта невозможна, так как недостаточно наблюдений (должно быть n>12m) /

Проверим отсутствие автокорреляции остатков. Для этого чаще всего используют критерий Дарбина Уотсона (d-критерий):



.



находится в Microsoft Excel при помощи инструмента "СУММКВРАЗН"



=29,573

, берется из таблицы 4.1 "SS"/ "остаток"

14,374

d=. 


Критерий Дарбина Уотсона (d-критерий): n=12, m=1, , dl=0,97,du=1,33





             I     dl     II  du    III         IV 4-du   V  4-dl        VI            

      0         0,97      1,33        2         2,67       3,03          4



d=2,057III, IV. Значит нет оснований отклонить предположение об отсутствии автокорреляции соседних остатков по d-критерию с уровнем значимости . Следующее необходимое условие: остатки должны иметь распределение Гаусса. можно ограничиться критерием размахов (RS - критерий).



.



-стандартная ошибка модели

=1,263784889.

находится в Microsoft Excel при помощи функции "МАКС".

=.2,280183127

 находится в Microsoft Excel при помощи функции "МИН".

=-1,790955196

RS=3,22138

Критерий размахов, RS - критерий: n=12, α =0,05, a=2,8, b=3,91.

Если a <RS < b, то остатки имеют нормальный закон распределения с уровнем α =0,05.



2,8 <3,22138 < 3,91.


Вывод: Все предпосылки регрессионного анализа выполняются с уровнем α =0,05. Значит модель успешно прошла проверку оценки ее качества.



3. Предложить модели тренда изучаемого показателя. Оценить качество моделей



Линейный тренд у показателя связан с ситуацией, когда наибольшим является коэффициент автокорреляции первого порядка.

>0,7, при это , где a,bR.

При выборе модели тренда нельзя выбирать функцию тренда с числом параметров при факторе время больше шестой части n, то есть m>.

Существует несколько видов тренда (линейный, полиномиальный, степенной, логарифмический, гиперболический). Из них необходимо выбрать наилучший вид тренда.

Построим графики основных типов тренда. Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры трендов. Результаты расчетов представим в таблице 9. Согласно, данным этой таблицы наилучшей моделью тренда является полиномиальный тренд, для которого значение коэффициента детерминации наиболее высокое.




График 3. Линейный тренд.





График 4. Полиномиальный тренд.





График 5. Степенной тренд.




График 6. Экспоненциальный тренд.

 



Таблица 9. 

Тип тренда

Уравнение 



Линейный



0,0016

Полиномиальный



0,1371

Степенной



0,0125

Экспоненциальный



0,0016



Итак, рассмотрим модель тренда. Но у показателя Y явно нет никакой тенденции (тренда), так как для  =0.1371<0,3. Модель неудачна.

4. Используя значимые в целом и по параметрам модели (с приемлемым уровнем значимости), для которых выполняются все предпосылки метода наименьших квадратов (свойств остатков), получит прогнозы изучаемого показателя на два следующих месяца.

Модели ,  значимы в целом и по параметрам и для них выполняются все предпосылки МНК. По этим моделям можно строить прогнозы изучаемого показателя. Различают точечный и доверительный прогнозы показателя. Точечный прогноз получают путем подстановки в уравнение регрессии значения фактора x, и он имеет нулевую вероятность. Этот прогноз полезен при формировании доверительного прогноза.

Пусть в модели  Х5 в последующих два будет увеличиваться на столько на сколько и в прошлом месяце 1,7% (в% к предыдущему периоду). Значит Х5 в следующем периоде уменьшится на 1%.



1,017*101,69103,41

55,68+0,453*103,41=102,52.



Доверительная вероятность равна 95%





где 



=1,59, =0,55, тогда

102,52-5,12*0,55≤≤102,52+5,12*0,55

99,704≤≤105,33.


4. Сравнить полученные прогнозы показателей с фактическими данными



Получили, что в последующих двух месяцах изучаемый показатель будет колебаться в интервале от 99,704 до 105,33.



В июле 0,99*101,69100,67

55,68+0,453*100,67=101100,9 (как и фактические данные).

В августе0,98*101,6999,65

55,68+0,453*99,65100,82 (как и фактические данные)