Теорема Минелая Теорема чевы

Тема: Теорема Менелая. Теорема Чевы. (2 часа)

Цели урока:

обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;

способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;

развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;

воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока: 

Образовательная: изучить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.

Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.

Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Ход урока 

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Лекция

Чева Джованни  (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году. 

Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство   





	

	

	

	

	

	

	

	

	Теорема Чевы

	Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда 

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Для решения задач чаще применяется обратная теорема.

	Обратная теорема Чевы.   Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1.  Если выполняются равенство    , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.



III этап. Решение задач. (22 мин.)

. Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.





Дано:  ABC; 

CMBN = K, MAB, N AC



Найти: Задача №1























Решение

Рассмотрим  ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: . т.к. ,    , тогда , то , следовательно,  



                                                                                 Ответ: =



Задача №2









Дано:  ABC;  ;

A1BC; B1 AC; 

C1 AB. SABC= S, 

PKNограничен прямыми:AA1, BB1, CC1.

Найти:  SPKN

































		Решение

	1 способ

	Рассмотрим  ACC1  и секущую BB1 (точки пересечения B1, K, B). Применим теорему Менелая  .

	;                   из этого следует  =3. Подставим в равенство 

	, отсюда,  

	

	Рассмотрим ABA1  и секущую CC1 (Точки пересечения C1, N, C) По теореме Менелая: 

	;         , отсюда, , подставим в равенство,  , отсюда,  

	

	Рассмотрим  BB1C  и секущую AA1 (точки пересечения A, P, A1)  По теореме Менелая: 

	;                     , отсюда, . Подставим в равенство , отсюда,  

	

	Далее будем использовать свойство площадей частей  треугольника

	, где DAC

	 Действительно,  

	

	Обратимся к рисунку к задаче

	

	В C1BC, следовательно, S3+S4=6S2

	В AA1C, следовательно, S5 +S6 =6S4

	В ABB1, следовательно,  S2+S7=6S6.

	т.к. BA1 = 2 A1C, следовательно, SABA1 = 2SAA1C, следовательно, S1+S2+S3+S7=2S6+2S5+2S4   (1)

	т.к. AC1 = 2BC1, следовательно, SACC1 = 2SBCC1,  следовательно,  S1+S5+S6+S7=2S2+2S3+2S4    (2)

	т.к. SB1BC = 2SABB1  (B1C = 2 B1A)

	S1+S3+S4+S5=2S2+2S6+2S7     (3)

	Сложимравенства (1), (2), (3) почленно:

	3S1+S2+2S3+S4+2S5+S6+2S7=4S2+4S4+2S3+2S5+4S6+2S7.

	Послеупрощенияполучим:

	3S1=3S2+3S4+3S6;               S1=S2+S4+S6

	Из доказанного, что S3+S4=6S2 следует, что , так же    и  , подставим,

	S1=   +  + т.е.  S1=(S2+S3+S4+S5+S6+S7)=, следовательно, S=7S1, где S=SABC;         S1=SPKN.

	Ответ: S=7S1

	

	2 способ

	По теореме Менелая:, следовательно, .

	Значит, SC1KB = SC1BC

	Аналогично SAB1P=SAB1B,       SA1NC=SACA1

	По условию A1C=CB, следовательно, SACA1=SABC, следовательно, SA1NC=SABC

	

	AB1=AC, следовательно, SABB1=SABC, следовательно, SAPB1=SABC

	C1B=AB, следовательно, SC1BC=SABC, следовательно, SC1BK=SABC

	SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.

	S=S+S-S+S+SKPN

	S=S+ SKPN, откуда SKPN=(1-)S= S;           SKPN=S

	Ответ: SKPN=S

	

	Задача №3

	

Дано:  ABC; C1AB;

AB=BC1; A1BC; BC=CA1; B1AC; AC=AB1

Найти:   а)

Б) , где K=ABA1B1



	

	

	

	























Решение

А) Используем свойство площадей треугольников:



 (в случае, если BD –медиана, то SABD= SCBD)



Проведём медианы  в  B1AC1, в B1A1C и в BC1A1.

 ОбозначимплощадичастейA1B1C1буквами S1;S2;S3;S4;S5;S6;S7

По свойству, приведённому выше:

S1=S2 (AB – медианаB1BC)

	 S6=S7 (A1A – медианаB1A1C)        	, следовательно, S1=S7

 S6=S1 (AC – медианаABA1)

 S2=S3 (B1B – медианаAB1C1), следовательно, S1=S3

S1=S4 (CB – медианаACC1)

S4=S5 (C1C – медианаBC1A1), следовательно, S1=S5

SA1B1C1 = S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7  = 7SABC,   где SABC=S1

Значит,  =  

Б) точки A, B, K – лежат на одной прямой, пересекающей стороны  A1B1C По теореме Менелая: ,    т.к. B1A=AC;     т.к. BC=CA1, следовательно,   т.е. 

Ответ: = ,  



Задача №4



Дано: четырёхугольник ABCD; PBD; N–середина CD; M–середина AB; PNBC=E; PMAD=F

Доказать:   



	

	Решение

	Используем теорему Менелая для BCD и секущей EP.

	;         CN=ND; следовательно, .

	, следовательно, .

	Рассмотрим ABD и секущую MP. По теореме Менелая: ; BM=MA, следовательно, , тогда, , следовательно, .  

	Из двух равенств:   и  , следует что, . Что и требовалось доказать.

	Задача №5

	

Дано: ABCD – четырёхугольник. M – середина AD; N – середина BC.  MP=PK=KN

Доказать: ABCD – трапеция; 

DC=2AB

	

	

	

	

	

	

	

	

	Решение

	Используем теорему Менелая поочерёдно к треугольникам:

	AKM и секущая DO (точки пересечения O, P, D)  ;  , следовательно, AO=2OK.

	BPN и секущая OC (точки пересечения O, K, C)  ;   , следовательно, BO=2OP.

	AOD и секущая AK (точки пересечения M, P, K)   ;  , следовательно, DP=3PO

	BOC и секущая PN (точки пересечения P, K, N)   ;  , следовательно, CK=3OK.

	Значит, DO=4PO;   BO=2PO, т.е.  

	CO=4OK;   AO=2OK, т.е.  .   В AOB и  COD ,

	AOB = DOC – вертикальные, следовательно, AOB подобенCOD, следовательно BAO=DCO (накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, AB || DC. Значит, ABCD – трапеция. 

	Из равенств   и    видно, что стороны подобных треугольников  AOB и COD относятся как , значит  или DC=2AB. Что и требовалось доказать.

	Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы.

	

	Задача №1

	

	

	



	

Дано: Треугольник ABC.

Доказать: медианы треугольника пересекаются в одной точке. 

	















	

	Доказательство

	Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC.

	Проверим равенство:  ,     1*1*1=1  (верно).

	Утверждение доказано согласно теореме Чевы.

	

	

	Задача №2

	



Дано: треугольник ABC

Доказать: биссектрисы  ABC пересекаются в одной точке









	

	

	

	

	Доказательство

	  Пусть BE, CM, AK – биссектрисы ABC.

	Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

	Значит, . Найдём произведение , по теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.

	

	

Дано:  ABC, CM – медиана, 

PCM, APBC=A1, BPAC=B1

Доказать: A1B1|| ABЗадача №3

	

				











	Решение

	Прямые AA1, BB1 и CM пересекаются в одной точке P. По теореме Чевы: , , поэтому   =>

	CB1A1 подобен CAB (; C – общий)

	Значит, CB1A1 =  CAB – соответственные при прямых B1A1 и AB и секущей AC, поэтому  A1B1 || AB. Что и требовалось доказать.

	

Дано: В ABCвписана полуокружность. Диаметр лежит на стороне BC, C1; B1 – точки касания сторон AB, AC и полуокружности.  BB1CC1=P, AA1BC.

Доказать:  PAA1

	                                               Задача №4

	

	











		

	

	

	

	

	

	Решение

	Пусть r – радиус окружности.

	Из прямоугольных треугольников OBC1 и OCB1  находим CB1=r*ctgC,     C1B=r*ctgB.

	Из прямоугольных треугольников ABA1 и ACA1 имеем BA1=AA1*ctgB; A1C=AA1*ctgC;    AB1=AC1 – как отрезки касательных, проведённых из одной точки.

	 Найдём произведение:

	=    =  

	Согласно теореме Чевы прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, т.е. PAA1. Что и требовалось доказать.

	

	Задача №5

	

	

	

	

	

	

	

	

	

Дано: ABC, PABC,  APBC=D, BPAC=M,  CPAB=N;



Доказать:



	

				

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Решение

	Пусть  SCDM=S1,   SBDN=S2,    SANM=S3,     SABC=S.

	   Знаем, что площади двух треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Имеем   

	По условию  , следовательно ;  , следовательно, , отсюда,  

	Аналогично,  ;   

	Найдём  SDMN = S- (S1+S2+S3)

	SDMN = S-(++)=

	=S-==

	== =

	В треугольнике ABCотрезки AD, BM, CN пересекаются в одной точке. По теореме Чевы 

	Значит,  Что и требовалось доказать.

	

	

	

	

	

	

	Задача №6

	Доказать. Что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. 

	

Дано: ABC. Окружность (O;r) –вписана в ABC.

OM=ON=OP=r

Доказать: AN;  BP,  CMпересекаются в одной точке. 

	







	

	

	

	

	

	

	Решение

	По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки  AM=AP=a;  BM=BN=b;   CN=CP=c. 

	Найдём произведение отношений:

	

	По теореме Чевы  ANBPCM=O1



V этап. Итог урока 

VI этап. Домашнее задание 

1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL.  Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)