Справочник по геометрии (7-9 класс)

Выполнил:

	ученик 9А класса

	средней школы № 135

	Матвеев Евгений.

	Руководитель проекта:

Очеретина Т.В.



		

	

	

	

	

	

	Казань 2004 г.

	7 класс. 

	Глава I. 

	Точки, прямые, отрезки.

	

Через любые две точки                                       Если две прямые имеют общую

	можно провести прямую,                                  точку, то они пересекаются.

	и притом только одну.                                                            

	                                                         

Прямая а и точки А и В.

                                                                                           Прямая а и b пересекаются в точке О.



Две прямые либо имеют только одну общую точку, 

либо не имеют общих точек.





Угол.



Угол – это геометрическая фигура,                 Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей,          если обе его стороны

 исходящих из этой точки.                              лежат на одной прямой.

                                                

 Угол с вершиной О и сторонами h и k.                       Развёрнутый угол с вершиной С

                                                                                                        и сторонами p и q.

                                                                                                      

Развёрнутый угол = 180º;                                 Неразвёрнутый угол < 180º .       



Луч, исходящий из вершины угла и                  Два угла, у которых одна общая 

делящий его на два равных угла,                     сторона общая, а две другие 

называется биссектриса угла.                       являются продолжениями одна                                                                                                                                                                                                 

                                                                           другой, называются смежными.

Два угла,  называются вертикальными,     

если стороны одного угла являются              Сумма смежных углов = 180º.

продолжениями сторон другого.                          

                                                                           Две пересекающиеся прямые

Вертикальные углы равны.                            называются перпендикулярными,                                               

                                                                          если они образуют 4 прямых угла.

                                                                                       



Глава I I.

Треугольники.



Треугольник – геометрическая фигура,                   РАВС = АВ+ВС+СА.

кот-ая состоит из 3 точек, не лежа-

щих на 1 прямой, соединённых отрезками.     

                                         В равных треугольниках против

Треугольник  с вершинами А, В, С и            соответственно равных сторон

Сторонами а, b, c.                                         лежат равные углы, также против

                                                                соответственно равных равных

                                                                           углов лежат равные стороны.



Теорема: Если 2 стороны и угол            Теорема: Из точки, не лежа- 

 между ними 1-го треугольника                 щей на прямой, можно провести

 соответственно равны 2 сторонам         перпендикуляр к этой, и притом

и углу между ними другого                          только один. 

 треугольника, то треугольники равны. 



Отрезок, соединяющий вершину треуг-       Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,

ка с серединой противоположной сто-        соединяющий вершину треуг-ка

роны, называется медианой треуг-ка.     с точкой противоположной сторо-                                                             ны, называется бисс-сой треуг-ка.

Перпендикуляр, проведённый из верши-

ны треуг-ка к прямой, содержащей          Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,

противоположную сторону, называ-       называется равнобедренным.

ется высотой треуг-ка. 

	                                        Теорема: В равнобедренном треуг-ке       

	       ВН - высота треуг-ка АВС.                    углы при основании равны.



Теорема: В равнобедренном       Высота равнобедренного треуг-ка, про-

треуг-ке бисс-са, проведённая        ведённая к основанию, является медианой 

к основа-нию, является                   и бисс-сой.

медианой и высотой.

                                                            Медиана, проведённая к основанию, явля-

                                                           ется высотой и бисс-сой.









Теорема: Если сторона и 2              Теорема: Если три стороны 1го

прилежащих к ней угла 1го                  треуг-ка соответственно равны 3ём

треуг-ка соответственно рав-           сторонам другого треуг-ка, то такие 

ны стороне и 2 прилежащим к         треуг-ки равны.

ней углам другого треуг-ка, то

такие треуг-ки равны.   



Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.







                                                                                                                                                                                                        













































Глава I I I.

Параллельные прямые.



Определение: Две прямые    Теорема: Если при пересечении 2 пря-

на плоскости параллельны,        мых секущей накрест лежащие углы рав-

если они не пересекаются.         ны, то прямые параллельны. 



                   Теорема: Если при пересечении 2 пря-             

Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.                    мых секущей соответственные углы рав-

Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.                       ны, то прямые параллельны.

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.



	Теорема: Если при пересече-   Теорема: Если две параллельные пря-	

нии 2 прямых секущей сумма      мые пересечены секущей, то накрест

 односторонних углов равна        лежащие углы равны.

180º, то прямые параллельны. 

	                                                           Теорема: Если две прямые пересечены

Теорема: Если две парал-        секущей, то сумма односторонних углов

лельные прямые пересечены        равна 180º. 

секущей, то соответствен-

ные углы равны. 









		

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Глава IV.

Соотношения между сторонами

и углами треугольника.

		

	Теорема: Сумма углов       Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-     

	 треуг-ка = 180º.                      уг-ка, не смежных с ним. 



	В любом треугольнике либо   Теорема: В треуг-ке против большей сто-

все углы острые, либо два      роны лежит больший угол, против большего 

два угла острые, а третий    угла лежит большая сторона.

тупой или прямой. 



В прямоугольном треуг- ке гипотенуза    Если два угла треуг-ка равны, то больше катета.                                           треуг-к – равнобедренный. 



	Теорема: Каждая сторона      Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на

	треугольника меньше суммы      одной прямой, справедливы неравенства:

	2 других сторон.                             АВ<AB+BC, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.



Сумма двух острых углов пря-     Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий

моугольного треуг-ка = 90º.         против угла в 30º, равен ½ гипотенузы.  



Если катет прямоугольного треуг-   Если катеты 1го прямоугольного треуг-

ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа-   ка соответственно = катетам другого 

щий против этого катета, = 30º.     , то такие треуг-ки равны.



	Если катет и прилежащий к нему    Теорема: Если гипотенуза и острый 

острый угол 1го прямоугольного      угол 1го прямоугольного треуг-ка соот-   

треуг-ка соответственно равны    ветственно равны гипотенузе и остро-

катету и прилежащему к нему     му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие 

	треугольники равны.                      Теорема: Если гипотенуза и катет 1го

                                                          прямоугольного треуг-ка соответствен-                   

	Теорема: Все точки каж-          но равны гипотенузе и катету другого,

	дой из 2 параллельных прямых             то такие треугольники равны. 

	равноудалены от другой прямой.

                                                                

Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до

другой прямой называется прямой называется расстоянием между

этими прямыми.



                                                     8 класс.



Глава V.

Многоугольники.



Сумма углов выпуклого n-угольника    В параллелограмме противоположные   

= (n-2)180º.                                            стороны равны и противоположные

                                                                углы равны.

Диагонали параллелограмма точ-

кой пересечения делятся пополам.    Если в 4-угольнике 2 стороны равны и 

                                                               параллельны, то этот 4-угольник – па-

                                                              раллелограм. 

Если в 4-угольнике противопо-

ложные стороны попарно равны,     Если в 4-угольнике диагональю пересе-

то этот 4-угольник – параллело-      каются и точкой пересечения делятся 

грамм.                                                   пополам, то этот 4-угольник – парал-

                                                              лелограмм.

Трапецией называется 4-угольник,   

у кот-го 2 стороны параллельны, а   Прямоугольником называется парал-

2 другие стороны не параллельны.    лелелограмм, у кот-го все углы прямые.

                                                                

Диагонали прямоугольника равны.    Если в параллелограмме дигонали равны,

                                                              то этот параллелограмм – прямоуголь-

Ромбом называется параллело-        ник.

грамм, у кот-го все стороны 

равны.                                                  Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-

                                                             ны  и делят его углы пополам. 

Квадкатом называется прямо-

угольник, у кот-го все стороны       Все углы квадрата равны.

равны. 

                                                                   Диагонали квадрата равны, взаимно

Фигура называется симметричной     перпендикулярны, точкой пересечения

относительно прямой а, если для             делятся пополам и делят углы 

каждой точки фигуры симметричная               квадрата пополам.

ей точка относительно прямой а 

также принадлежит этой фигуре.    Прямая а называется осью симметрии.



Фигура называется симметричной    Точка О называется центром симмет-

относительно точки О, если для        рии фигуры.

каждой точки фигуры симметрич-

ная ей точка относительно точки О          

также принадлежит этой фигуре.          

ГлаваVI.

Площадь.



Равные многоугольники имеют       S квадрата равна квадрату его стороны.

Равные S.



Если многоугольник составлен из     Теорема: S прямоугольника = про-

нескольких многоугольников, то       изведению его смежных сторон.

Его S = сумме площадей этих

многоугольников.                                Теорема: S параллелограмма = про-

                                                              изведению его основания на высоту.

Теорема: S треугольника =

= произведению его основания       S прямоугольного треугольника = 1/2  

на высоту.                                         произведения его катетов. 



Если высоты 2ух 3-угольников         Теорема: Если угол 1го 3-угольника

равны, то их S относятся                равен углу другого 3-угольника, то S

как основания.                                    этих 3-угольников относятся как про-

                                                            изведения сторон, заключающих равные

Теорема: S трапеции = про-      углы.

изведению полусуммы её осно-

	ваний на высоту.	Теорема: В прямоугольном 3-угольни-

	                                                            ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-

	Теорема:  Если квадрат 1ой     тов катетов.

	стороны 3-угольника = сумме

	квадратов 2 других сторон, то

	3-угольник прямоугольный. 



	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Глава VII. 

Подобные треугольники.



Определение: 2 3-угольника        Теорема: Отношение S 2ух подоб-

называются подобными, если их       ных 3-угольников = квадрату коэф-

углы соответственно равны и           фициента подобия.

стороны 1го 3-угольника про-

порционально сходственны                Теорема: Если 2 угла 1го 3-уголь-

сторонам другого.                                 ника соответственно = 2ум углам

                                                                 другого, то такие 3-угольники по-

Теорема: Если 2 стороны 1го       добны.

3-угольника пропорциональны 2ум

сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-

нами, равны, то такие 3-угольники подобны.

 

Теорема: Если 3 стороны 1го      Теорема: Средняя линия параллель-

3-угольника пропорциональны          на 1ой из его сторон и равна ½ этой 

3ём сторонам другого, то такие     стороны. 

3-угольники подобны.

                                                         

sin острого угла прямоугольного      cos острого угла прямоугольного 3-уголь- 

3-угольника – отношение                  ника – отношение прилежащего катета  

противолежащего катета к            к гипотенузе.

гипотенузе.  

                                                                   tg угла = отношению sin к cos  

tg острого угла прямоугольного            этого угла: tg = sin/ cos.

3-угольника – отношение противо-

лежащего катета к прилежащему.          Основное тригонометрическое

                                                                                       тождество:

Если острый угол 1го прямоугольного                    sin2α+ cos2α=1.  

3-угольника = острому углу другого прямо-

угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.





x

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sinx

0

1/2

2/2

3/2

1

0

-1

0

cosx

1

3/2

2/2

1/2

0

-1

0

1

tgx

0

1/ 3

1

3

— 

0

—

0

ctgx

—

3

1

1/ 3

0

—

0

—



0

П/6

П/4

П/3

П/2

П

3П/2

2П







Глава VIII.

Окружность.



Если расстояние от центра окруж-     Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой <  радиуса, то пря-    ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие       мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является секущей.         точки. Прямая является касательной.



Если расстояние от центра окруж-      Теорема: Касательная к окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря-      ности перпендикулярна к r, прове-

мая и окружность не имеют общих      дённому в точку касания.

точек.

                                                                     Теорема: Если прямая проходит

Отрезки касательных к окружнос-        через конец r, лежащий на окруж- 

ти, проведённые из 1ой точки, рав-        ности, и перпендикулярна к этому

ны и составляют равные углы с              r, то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ-

ку и центр окружности.                          Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж-         Если дуга АВ окружности с центром 

ности — её центральный угол.              О < полуокружности или является

                                                                   полуокружностью, то её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок-          мера считается равной градусной 

ружности с общими концами =            мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°.                                                      дуга АВ > полуокружности, то её

                                                                  градусная мера считается = 

Угол, вершина кот-го лежит на          = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе-

кают окружность, называется           Теорема: Вписанный угол измеряя-

вписанным углом.                                   ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.



Луч ВО совпадает с 1ой из сто-          Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

рон угла АВС.                                         луч ВО пересекает дугу АС.



Луч ВО не делит угол АВС на 2          Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту 

угла и не совпадает со сторона-        же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС.                             Вписанный угол, опирающийся на полу-

                                                                окружность, -- прямой. 











Теорема: Если 2 хорды ок-            Теорема: Каждая точка бисс-сы

ружности пересекаются, то            неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой                от его сторон. Каждая точка, ле-

хорды = произведению отрез-           жащая внутри угла и равноудалённая

ков другой хорды.                                 от сторон угла, лежит на его бисс-се.



Бисс-сы 3-угольника пересека-           Серединным перпендикуляром к отрезку

ются в 1ой точке.                                называется прямая, проходящая через

                                                               середину отрезка и перпендикулярная

Теорема: Каждая точка се-        к нему.

рединного перпендикуляра к 

отрезку равноудалена от концов     Серединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Каждая точка,        нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез-    точке.

ка, лежит на серединном перпен-

дикуляре.                                               Теорема: в любой 3-угольник мож-

                                                                но вписать окружность.

Теорема: Высоты 3-угольника

(или их продолжения) пересека-      В 3-угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке.                               окружность.





Теорема: Около любого треу-      В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольника можно онисать окруж-    противоположных углов = 180°.

ность.



Если сумма противоположных  углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

























Глава IX.

Векторы.



Физические величины, характери-      Определение: Отрезок, для кот-

зуещиеся направлением в прост-         го указано, какой из его концов счи-

ранстве – векторные.                           тается началом, а какой – концом,

                                                                 называется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

                                                                 Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

 коллинеарными, если они лежат        Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на             то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой 

вектор считается коллинеар-             Если 2 вектора направлены противопо-

ным любому вектору.                           ложно, то они противоположно напра- 

                                                                влены.

Определение: Векторы, 

называются равными, если               От любой точки М можно отложить  

они сонаправлены и их дли-              вектор, равный данному вектору ã, и  

ны равны.                                             притом только один.



Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

ă + č = č + ă (переместительный закон);

( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).



Теорема: Для любых векто-          Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство:       0 есть нулевой вектор.

ă – č = ă + ( - č ).   



Для любого числа k и любого векто-    ( kl )ă=k( lă ) (сочетательный закон);

ра ă векторы ă и kă коллинеарны.       ( k+ l )ă=kă+lă(1ый рспред-ный закон);

                                                                k(ă+č )=kă+kč.



Теорема: Средняя линия тра-

пеции параллельна основаниям

и = их полусумме.









9 класс.



Глава X.

Метод координат.



Лемма: Если векторы ă и č           Теорема: Любой вектор можно раз-

коллинеарны и ă=0, то сущес-          ложить по 2ум данным неколлинеар-

твует такое число k, что č=kă.       ным векторам, причём коэффициен-

                                                                ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух         ственным образом.

векторов = сумме соответству-

ющих координат этих векторов.       Каждая координата произведения век-

                                                                тора на число = произведению соот-

Каждая координата разности           ветствующей координаты вектора 

2ух векторов = разности соот-          на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число.                               Координаты точки М = соответству-

                                                                ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко-       Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала.              равна полусумме соответствующих ко-

                                                              ординат его концов.

                                                                





























Глава XI.

Соотношения между сторонами

и углами 3-угольника.

Скалярное произведение

векторов.



Для любого угла α из промежут-        tg угла α(α=90°) называется отношение 

ка 0° <α<180° sin угла α называ-        sinα/cosα. 

ется ордината у точки М, а cos

угла α – абсцисса х угла α.                   sin(90°-- α)= cos α



Теорема: S 3-угольника = ½         Теорема: Стороны 3-угольника про-

произведения 2ух его сторон на       порциональны sin противолежащих

sin угла между ними.                         углов.



Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

а2=b2+с2-2bс cos α.

Скалярным произведением 2ух           Скалярный квадрат вектора = квадра-

векторов называется произве-           ту его длины.

дение их длин на cos угла между

ними.             



Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и b( х2; у2 ) выражается формулой:

ab=х1 х2 +у1 у2.



Нулевые векторы а( х1; у1) и         cos угла а между нулевыми векторами

 b( х2; у2 )перпендикулярны           а( х1; у1) и b( х1; у1) выражается формулой:    

тогда и только тогда, ког-         cos α= х1 х2 +у1 у2 / х1+у1  х2 + у2. 

да х1 х2 + у1 у2 = 0.



Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения:

а2>0, причём а2>0 при а=0.

аb=bа (переместительный закон).

( а+ b )с=ас+ bс (распределительный закон).

( kа )b=k( ab) (сочетательный закон).