Решение задач по высшей математике

Задача 10 Даны матрицы 





1

1

2



2

-1

1



1

0

0

А=

-2

0

2

В=

3

4

-2

Е=

0

1

0



0

-1

0



1

0

-1



0

0

1



Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е

Решение:



													2	-1	1		1	1	2

												BA= 	3	4	-2	·	-2	0	2

													1	0	-1		0	-1	0





      2•1+(-1)•(-2)+1•0	2•1+(-1)•0+1•(-1)	2•2+(-1)•2+1•0

        3•1+4•(-2)+(-2)•0	3•1+4•0+(-2)•(-1)	3•2+4•2+(-2)•0

      2•1+(-1)•(-2)+1•0	2•1+(-1)•0+1•(-1)	2•2+(-1)•2+1•0



				4	1    2

			=	-5	5   14

				1	2    2



														10	-5	5			2	0	0	

													5В=	15	20	-10	    2Е=	       0	2	0	          АЕ=А,

														5	0	-5			0	0	2	



													                                                                                                        1   1   2

													т.к. Е – единичная матрица     АE  =   -2    0  2

													                                                                                                        0   -1  0





10-1+4-2

-5-1+1-0

5-2+2-0

С=

15+2-5-0

20-0+5-2

-10-2+14-0



5-0+1-0

0+1+2-0

-5-0+2-2



11

-5

5

12

23

2

6

3

-5







Задача 20



Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

x + 2y + z = 5

x - y –2z = -1

2x + y + z = 4



Решение:

Метод Гаусса. 



1

2

1

5



1

2

1

5



1

2

1

5

1

-1

-2

-1

~

0

-3

-3

-6

~

0

-3

-3

-6

2

1

1

4



0

-3

-1

-6

  

0

0

2

0



2z = 0, z = 0;	-3y -3∙0 = -6, y = 2;	x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x  = 1.



Решение системы {1;2;0}

По формулам Крамера:





 - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

x, y, z – получаются из  путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.





1

2

1





















Δ=

1

-1

-2

= -1+1-8+2-2+2= -6



2

1

1


























5

2

1





















Δx=

-1

-1

-2

= -5-1-16+4+2+10 = -6



4

1

1

















































X=Δx/Δ= -6/(-6) = 1





1

5

1





















Δy=

1

-1

-2

= -1+4-20+2+8-5 = -12



2

4

1





























Y=Δy/Δ= -12/(-6) =2

Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0





1

2

5





















Δя=

1

-1

-1

= -4+5-4+10+1-8 = 0



2

1

4































Решение системы {1;2;0}



Задача 30



На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

Найти:

	длину стороны АВ

	уравнение стороны АВ

	уравнение медианы АD

	уравнение высоты СЕ

	уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

	внутренний угол при вершине А

	площадь треугольника АВС

	координаты точки Е

	сделать чертеж

Решение:

Длина стороны АВ:

АВ=  5,385



Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:



;          ;      



у =     - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент kAB= 2/5



3.	Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам. 

Координаты середины ВС:



х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3

D (-3,5;3)



Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:



;                	-5,5у = -16,5

у = 3- уравнение прямой АD



Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен 







Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:

у – у3 = kСЕ (х – х3);       у – 5 = -2,5(х+4) 

у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.



	5.	Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:



у – у3 = kАВ (х – х3);   у – 5 =  х +,

 у =  х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.



Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:



, где 

- длины сторон АВ и АС соответственно. 



,

А = arc cos 0,7643 = 40о9'



7.	Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:



S = Ѕ(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1);

S= Ѕ (-5)·2 – (-2) ·(-6) = 22/2 = 11 кв.ед.



	8.	Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:


у = -2,5х -5 

у =  

0,4х +2,2 = -2,5х -5		2,9х = -7,2		х = -2,5

у = 6,25 – 5 = 1,25			Е(-2,5;1,25)



2

-3

4

А

В

E

D

С

3

1

y = x + 

2

1

-1

-2

-4

4

5

0

Х

У



















Задача 40



Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.



у2 +  2x - 2y -1 = 0



Решение:

Выделяем полные квадраты:



у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0

(у - 1)2 = -2(х - 1)

(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая 

у = 1, ветви параболы направлены влево.






У

Х

1

1











Задача 50



Вычислить пределы.



1)	

2)	

3) 

4)  

так как -первый замечательный предел

5)	,     (a0)

Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a = 



где  -– второй замечательный предел.

Задача 60



Найти производные функций:



1) y = 	

y = 

2) у =  	



3) y = 

y = 

4) y = ctg(excosx);

y= 



Задача 70



Провести полное исследование функции и построить ее график.



у = ;



Решение:



1. Область определения функции: х  (-; +).

2. Поведение функции на границах области определения:

		

3. у= х3 – х2 = х2(x-1);		у= 0, если х1 = 0,	х2 = 1;

При х  (-; 0), у 0,  функция убывает.

При х  (0;1), у 0,  функция убывает.

В точке х = 0 экстремума нет. 

При х  (1;+∞), у 0, функция возрастает.

В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

4. уmin = 1/4  -  1/3 = -  1/12.

5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

у= 3х2 – 2х = x(3x-2).

у= 0, если 2х(6х -1) = 0,	х1 = 0,		х2 = 2/3;

При х  0, у 0, график вогнутый.

При 0  х  2/3, у 0, график выпуклый.

При х  2/3, у 0, график вогнутый.

Точки  х1 = 0 и х2 = 2/3  - точки перегиба графика функции.

у(0) = 0,    у(2/3  )  -0,05

6. Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ.  у = 0,	= 0 		х1 = 0, x2 = 4/3

С осью ОУ. х = 0, у= 0. 





-1

-2

0

1

1

2

Y

X

min

Точки перегиба

2/3

2

2

-1

-2














Задача 80 



Найти частные производные первого и второго порядка функций.



z = x2∙sin y + y2∙cos x;



Решение:



	









=.



Задача 90

Дана функция. Показать, что 



Решение:





= 



		= 	

=-= 0, что и требовалось доказать.



Задача 100



Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3  + 8y3 -6xу+1  в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.



Решение:



Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:





Y

X

1

2

0

N

K

М

В

С

Q	



		

		

3x2 = 6y, 		y = 

24y2 = 6x,  			

x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ 

Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)

2. Ищем точки экстремумов на границах области:

а) сторона АВ: 	х= 0,  -1  у  1, 	z = 8у3+1;

24у2,		z = 0, если у = 0, точка (0,0).

б) сторона ВС:	у = 1,  0  х  2, 	z = х3 – 6х+9;

3х2 - 6 = 0,	х2 = 2	х = 1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

х = 1,4 ,   – точка К (1,4;1)

в) Сторона CD:	х = 2,    -1  у  1,

z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;

	2у2 = 1,  у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7) 

г) сторона АD: у = -1,  0  х  2, 	z = х3 + 6х-7;

3х2 + 6 ≠ 0,	при любых значениях х.



	Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.



ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;

ZB = Z(0,1) = 8+1=9;

ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

ZK = Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

ZO = Z(0,0) = 1;

ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

ZN = Z(1,) = 0;

ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

Zmin = -7, Zmax = 14,7.


Задача 110



Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):



Х

1

2

3

4

5

У

4,8

5,8

4,3

2,3

2,8



Решение:

Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:







Подсчитаем суммы:



1+2+3+4+5=15	1+4+9+16+25 = 55

4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20	1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5



Подставляем значения сумм в систему уравнений:



52,5 -55a -15b = 0

60 – 45a – 15 b = 0

-7,5 -10а = 0

52,5 -55a -15b = 0

20 – 15a – 5 b = 0           (*3)

a = -0.75





20 – 15·(-0.75) = 5b;		b = 31,25 : 5 = 6,25

Искомая формула: 	y = -0,75x + 6,25.



Задача 120



Вычислить неопределенные интегралы:



1)	

2)	





3)	



	4)	; Подстановка: t = tg t; x = arctg t, 

dx = 



5)	 Подстановка: 




Задача 130



Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

у = х2, y = 2- x2 

Решение: 



	

X

Y

0

4

A

B

C

y =x2

y =2-x2



S = 

S

	

Sкв.ед.



Задача 140



Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:



(у-3)2 +3х = 0, х = -3  вокруг оси Ох



Решение:



V = 

	

	

V = 





X

Y

0

х=-3

6

3



=6∙27 =162 куб.ед.


Литература:



		Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.

		Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1	М. 1986 г.