Лекции по математике

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

1.1	Матрицы, определители.

Вопросы:

1.1.1. Определение матриц, виды матриц;

1.1.2. Операции над матрицами;

1.1.3. Определители;

1.1.4. Свойства определителей;

1.1.5.  Миноры и алгебраические дополнения;

1.1.6.  Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы;

1.1.7.	Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.

1.1.1.	Матрицы

 	Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида



называется прямоугольной матрицей размера , где m - количество строк, а n - количество столбцов.

	Определение 2. Числа, которые образуют матрицу, - aij, где , , называются элементами матрицы.

	Определение 3. Числа i и j называются индексами элемента aij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.

	Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц.

	Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

	Матрица размера  называется матрицей-столбцом.

.

	Матрица размера  называется матрицей-строкой.

.

	Определение 1. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

	Определение 2. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.

	Определение 3. Диагональная матрица n-го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается Е.

	Определение 4. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.



Примеры.	,	.

1.1.2.	Операции над матрицами

	Определение 1. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается АТ.

, , .

Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.

	Определение 2. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.

	Определение 3. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число..

	Определение 4. Произведением двух матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С, у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.

Приведем свойства операций над матрицами.

		А · В  В · А			- произведение матриц не комму-тативно.

		А+В = В+А 			- сложение матриц коммутативно.

		(А + В) +С = А + (В + С) 	- ассоциативность.

		А · Е=Е · А=А.

		.

		.

		.

1.1.3.	Определители

	Пусть дана квадратная матрица порядка n:

А = .

	Определение 1. Определителем n-го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".

.

	Пример 1. Определитель второго порядка. n=2,  2!=1 · 2=2 слагаемых.

.

Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:

					

                слагаемое со знаком "-",	слагаемое со знаком "+".

	Пример 2. Определитель третьего порядка. n=3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых,



Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:

								

   слагаемые со знаком "+",	слагаемые со знаком "-".

Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определите

1.1.4.Свойства определителей

	Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется.

	Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.

	Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.

	Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.

	Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.

	Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.

	Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

	Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д.

	Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.

	Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

1.1.5.	Миноры и алгебраические дополнения

	Пусть дана прямоугольная матрица А размера .

	Определение 1. Минором порядка k данной матрицы, где kmin(m;n), называется определитель k-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов.

	Пример А=, , 

	.

	Определение 2. Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы  называется определитель (n-1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.

	Пример. .

	Найдем дополнительный минор к элементу a31. .

	Определение 3. Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной матрицы  называется число Aij=.

	Пример. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a33.

.

	Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

	 - разложение определителя по i-й строке.

	Вычисление определителей порядка n>3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.

	

1.1.6.	Обратная матрица

	                Определение 1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае.

	Определение 2. Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А n-го порядка, если А·А-1= А-1·А=Е.

	Теорема 1. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

	 Дана матрица         А = , .

Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:

	1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:

А*=- матрица, присоединенная к матрице А;

	2) транспонируем полученную матрицу:

(А*)Т=;

	3) разделим все элементы на число ?А?

.

	Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на А-1. Элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы произведения, будет равен



	Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е. Следовательно, А · А-1=Е, т.е. А-1 - обратная матрица к А.

Элементарные преобразования 

над матрицей. Нахождение обратной матрицы

	             Определение 1. Элементарными преобразованиями над матрицей называются:

		умножение любой строки на число, отличное от нуля;

		прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число;

		перестановка строк;

		 отбрасывание строки из нулей.

	Определение 2. Две матрицы называются эквивалентными (А~В), если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

	Теорема. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице того же порядка. Применяя ту же последовательность элементарных преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной.

	Обычно элементарные преобразования производят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой стоит исходная матрица, а в правой - единичная матрица того же порядка. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, параллельно в правой части автоматически создается обратная матрица.

1.1.7.	Ранг матрицы

	Пусть дана произвольная матрица размером . Возьмем произвольные k строк и k столбцов, . Минором порядка k называют определитель порядка k, составленный из элементов, расположенных на пересечении выбранных k строк и k столбцов, и обозначают Mk.

	Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r(A).

	Очевидно, что .

	Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).

	Теорема 1 (теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк). 

	Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

	При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы.

	Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы. Рассмотрим схему таких преобразований подробно. Пусть дана матрица

А=.

	Предположим, что а11 отличен от нуля (если а11=0, то, переставив строки, этого можно добиться). Разделим первую строку на а11, после чего на первом месте в первой строке будет стоять 1. Умножая последовательно первую строку на а21, а31, …, аm1 и вычитая, соответственно, из второй, третьей, …, n-й, образуем в первом столбце все нулевые элементы.

А~.

Преобразуем второй столбец, начиная с элемента а’22. Если этот элемент отличен от нуля, то аналогично вышеизложенному получим на его месте единицу, а ниже расположенные элементы превратим в нули. Если а’22=0, но ниже его в том же столбце есть элемент, отличный от нуля, то, поменяв местами строки, переставим его на место а’22. Если в столбце не окажется ненулевых элементов, то можно поменять местами столбцы, пока на месте а’22 не окажется ненулевой элемент. После второго цикла получим новую эквивалентную матрицу.                        А=    

Выполняя последовательно несколько циклов подобных эквивалентных преобразований и отбросив нулевые строки, придем окончательно к матрице

А~.

Буквой "а" условно обозначены элементы матрицы, которые могут принимать любые числовые значения. Очевидно, что r(A)=m1, так как минор, расположенный в первых m1 строках и первых m1 столбцах, равен единице

Вопросы для самопроверки.

	1.	Дайте понятие матрицы.

	2.	Перечислите линейные операции над матрицами.

	3.	Что представляет собой операция «транспонирование матрицы»?

	4.	Дайте понятие «ранг матрицы»

	5.	Что такое «определитель матрицы»?

	6.	Перечислите основные свойства определителя.

	7.	Что такое обратная матрица?



1.2. Решение систем линейных уравнений.(СЛУ)

Вопросы:

	1.2.1.Определение СЛУ;

	1.2.2.Матричная форма записи системы;

	1.2.3.  Решение СЛУ с помощью формул Крамера;

1.2.4.Решение СЛУ методом Гаусса;

1.2.1. Системы линейных уравнений

 Определение 1. Система вида



	называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x1, x2, …, xn - неизвестные, aij, i=, j=- коэффициенты при неизвестных, b1, b2, …, bm - свободные члены. 

	Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.

	Определение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с1, с2, …, сn, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

	Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

	Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной - в противном случае.

При изучении систем исследуют три вопроса:

		совместна система или нет;

		если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;

		нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

	

	1.2.2. Матричная форма записи системы

	 Пусть дана система



	Рассмотрим матрицы

, , .

	 

	С помощью этих матриц систему можно записать в виде .

,

.

1.2.3. Решение системы с помощью формул Крамера

	Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:



	Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

	, где  - главный определитель,  - j-й вспомогательный определитель, который получен из определителя  заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

	    Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

	   Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

1.2.4. Решение СЛУ методом Гаусса.

	Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

			умножение уравнения на число, отличное от нуля;

			прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

			перестановка двух уравнений;

			отбрасывание уравнения 0=0.

	Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.

	Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1. 

	Пример.

	 .

	Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице.  Составим расширенную матрицу:



	Получено решение системы   х (3;2;1).

Вопросы для самопроверки.

1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?

2. Перечислите способы решения  СЛУ.

3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?

4. Назовите формулы Крамера.

Перечислите этапы  метода Гаусса.

	Резюме к разделу 1.



Изучение  раздела 1 формирует у обучающихся умения  по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак 

Перечень терминов, определений. 

Матрицы, операции над ними. Определите матриц, их вычисления. Обратная матрица. Определители матриц, их свойства. Алгебраическое дополнение. Минор матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, способы ее нахождения. Системы п-линейных уравнений с п переменными. Матричный метод решения СЛУ, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.

	Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

	2.1. Векторы;

	Вопросы:

	2.1.1. Линейное векторное пространства;

	2.1.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол межу векторами.



2.1.1. Линейное векторное пространство.

Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а1, а2, …, аn) называется n-мерным вектором ā(а1, а2, …, аn). Числа а1, а2, ..., аn называются координатами вектора.

Два n-мерных вектора (а1, а2, …, аn) и (b1, b2, …, bn) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:

, ().

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается .

Пример. (3; 1/2; 0,7; -2; 0) - пятимерный вектор.

Определение 2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов (а1, а2, …, аn) и (b1, b2, …, bn) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:

=(a1b1; a2b2; …; anbn).

Определение 3. Произведением n-мерного вектора (а1, а2, …, аn) на число k называется nмерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора  на число k:         k · =(ka1; ka2; …; kan).

Свойства операций над векторами:

1) +=+			- коммутативность,

2) +(+)=(+)+		- ассоциативность,

3) k·()=k·k·		- дистрибутивность,

4) (k1k2)·= k1 · k2·,

5) (k1·k2)·=k1·(k2·),

6) 1·=,

7) 0·=,

8) k·=,

Определение 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается En.

Пример. E2 - совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.

2.1.2.  Скалярное произведение. 

Длина вектора. Угол между векторами.



Определение 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов (а1, а2, ..., аn) и (b1, b2, ..., bn) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.

·=а1·b1+a2·b2+…+an·bn.

Свойства скалярного произведения:

1. ·=·			- коммутативность;

2. ·(+)=·+·	- дистрибутивность;

3. k·(·)=(k·)·,

4. ·=2, 2=0.

Определение 2. Длиной n-мерного вектора называется величина:

.

Определение 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле

.

Вопросы для самопроверки.

Что такое вектор?

Перечислите операции над векторами.

Что такое длина вектора? Как она вычисляется?

Как вычислить угол меду векторами?

Что называется скалярным произведением векторов?

	2.2. Уравнение прямой.

	Вопросы:

2.2.1 Декартова прямоугольная система координат;

2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости. Формула координат середины отрезка;

2.2.3. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

2.2.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

2.2.5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении;

2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки;

2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности.

	

2.2.1. Декартова прямоугольная система координат

Определение 1. Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат).

Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.

Определение 2. Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными, такое, что только координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению.

2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости

Даны две точки на плоскости с координатами A (x1, y1) и B (x2, y2).

		Y									

	 y2 		 	   B						

	 y1	   A		    C							

											

	         0	       x1		x2     X			

Из треугольника ABC:

.

 ,  - формулы для нахождения координат середины отрезка.



2.2.3. Общее уравнение прямой

 	Теорема 1. Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости некоторую прямую, и наоборот.

Аx+Вy+С=0 - общее уравнение прямой,

 - условие невырожденности.

Рассмотрим различные случаи расположения прямой на плоскости в зависимости от коэффициентов общего уравнения.

		1)	1)  С = 0,	Ax + By = 0	- прямая проходит через начало координат;

		А = 0,		By + C = 0	- прямая проходит параллельно оси ОХ;

		В = 0,		Ax + C = 0 	 - прямая проходит параллельно оси ОУ;

		2)	2)  A = C = 0,	By = 0		- прямая совпадает с осью ОХ;

		B = C = 0,	Ax = 0		- прямая совпадает с осью ОУ.

	Расстояние от точки M0 (x0,y0) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, находится по формуле

.

2.2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 Предположим, что прямая расположена под углом j к оси ОХ и отсекает от оси ОУ отрезок в b единиц. Составим уравнение этой прямой.





 

 





 Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Из рисунка видно: AM = AN + NM, где AM = y, AN = b. Из треугольника BMN: MN = BN · tg j. Обозначим tg j = k и назовем его угловым коэффициентом прямой. MN = k · x. Подставляя в равенство   AM = AN + NM   выражения отрезков  AM = y, AN = b, MN = k · x;  получим  y = k · x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.



2.2.5. Уравнение прямой, проходящей 

через данную точку в данном направлении

Предположим, что прямая проходит через точку M1 (x1,y1) и образует с осью OX 

угол j. Составим уравнение этой прямой.

 

 

Y

		 y			M(x,y)

 

 

 		 у1    M1 (x1,y1)			N

 

			        j	

                           0                    х1                х         Х

						          Будем искать уравнение прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом: y = k · x + b. Угловой коэффициент прямой можно найти, зная угол наклона k = tg j. Возьмем произвольную точку M (x, y), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y. Так как точки М и M1 лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой:  y = k · x + b,   y1 = k · x1 + b.  Вычитая эти равенства, получим:

y - y1 = k · (x - x1) - уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.



2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Даны две точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Составим уравнение прямой, проходящей через две эти точки,

 - угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку M1 и в данном направлении :



получим

 - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.



2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности прямых

Определение 1. Углом между двумя прямыми I и II называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от прямой I к прямой II.

					  II						

					    I						

 

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k1 · x + b1, 	 y = k2 · x + b2.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых φ1 и φ2. Тогда

k1 = tgφ1,	k2 = tgφ2.

Проведем через точку пересечения прямую, параллельную оси OX.

 

 











- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

1. Предположим, что прямые параллельны:

a = 0  ?  tg a = 0   ?  

k1 = k2 - условие параллельности прямых.

2. Предположим, что прямые перпендикулярны:

a = 900 ? tg a не существует ? ctg a = 0 ?

? k1 · k2 = -1 - условие перпендикулярности прямых

Вопросы для самопроверки.

1. Как выглядит общее уравнение прямой7 Опишите частные случаи этого уравнения.

2. Условие параллельности прямых.

3. Условие перпендикулярности прямых.

4. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через данные точки.



Резюме.

Раздел 2 включает элементы аналитической геометрии, необходимых для решения неравенств с двумя переменными.

Перечень терминов, определений

Вектор. Координаты вектора. Действия над векторами. Длина вектора. Угол между векторами. Уравнение прямой проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Пересечение двух прямых. Параллельность и перпендикулярность прямых. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.