Анализ наименьших квадратов и полиномы второго порядка

Анализ наименьших квадратов и полиномы второго порядка 

Подход с использованием наименьших квадратов выстраивает прямую линию через ряд цен в течение прошлого периода времени так, чтобы различие между каждой отдельной ценой и прямой линией было наименьшим. Это "наиболее подходящая" линия данных (называемая также "линией регрессии"). Под "квадратами" понимается нахождение наименьшей возведенной в квадрат разности между ценой и прямой линией. Разность возводится в квадрат, потому что некоторые точки цены находятся выше линии (положительные), а некоторые находятся ниже ее (отрицательные). Построение окончательного значения, или конечной точки, линии наименьших квадратов для каждого бара, рассчитанного для определенного периода прошлых данных, отслеживает цену более точно, чем скользящая средняя.

Формула линии наименьших квадратов проста. Прямая линия имеет исходную точку и повышается с фиксированным темпом. Например, если IBM, начав со 100 долларов, движется вверх в течение десяти дней и закрывается на 105 долларах, то прямая линия, подходящая к этим данным, будет начинаться на 100 долларах и подниматься на 50 центов в день, достигая в последний день 105 долларов.

Формула прямой линии следующая:

a0+a1*t

где

a0 = первоначальное значение линии;

a1 = наклон линии;

t = время.

В нашем примере, а0 равно 100 долларов, а1 равно 50 центов, а t равно 10 (дней). Формула имеет два члена: коэффициенты (а0 + а1) и переменные (t). Математики называют такую формулу полиномом, или многочленом, что означает, что в ней более одного члена. Поскольку t не возводится в степень, такой полином называется полиномом "первого порядка".

Хотя линия наименьших квадратов может быть лучше скользящей средней, она все же изменяет направление слишком часто, чтобы давать пригодные для торговли сигналы. Требуется формула, которая давала бы кривую линию.

Кривая линия не изменяет направление с фиксированным темпом; этот темп может убыстряться или замедляться. Математический фокус, заставляющий линию искривляться, заключается в прибавлении дополнительного условия в формулу прямой линии и возведении этого условия в квадрат (т.е. возведение во вторую степень). Формула линии, которая может искривляться, следующая: a0+a1*t+a2*t2. Это линия выглядит как парабола. Поскольку эта линия искривляется, она соответствует ценовым данным лучше, чем прямая линия, как показано на рисунке 1В. Поскольку последний член полинома возводится в квадрат, такой полином называется полиномом "второго порядка".

Так же, как расчет полинома второго порядка (парабола) показывает изменение направления тренда быстрее, чем прямая линия, полиномы более высокого порядка приближаются к цене лучше, чем прямые или параболические линии. Это показано на рисунке 1С. Чем больше членов вводится в формулу, тем ближе она соответствует ценовым данным.

Более подробную информацию см. в “Surfing the least squares curve, ” Active Trader, December 2001.

А) Линейная регрессия подгоняет прямую линию к ценам в рассматриваемом историческом периоде. Эта линия соответствует данным, но отстает от поворотов рынка. В) Полином второго порядка изгибается и, следовательно, конечная точка изменяет направление на поворотах рынка быстрее, чем линейная регрессия. С) Линия полинома четвертого порядка тесно следует за трендом рынка, быстро изменяя направление, когда рынок поворачивает. 

Источник: TradeStation Pro by TradeStation Group 

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (EMA)

Простая скользящая средняя (simple moving average, SMA) представляет собой стандартный расчет скользящего среднего, который дает каждой ценовой точке в расчете равные значения, или вес. Например, 5-дневная SMA равна сумме пяти предыдущих цен закрытия, деленной на пять.

Взвешенные скользящие средние придают большее значение самому недавнему поведению цены. Экспоненциальная скользящая средняя (exponential moving average, EMA) взвешивает цены, используя следующую формулу:

EMA = SC * цена + (1 - SC) * EMA (вчера)

где

SC является "сглаживающей константой" между 0 и 1 и

EMA (вчера) является значением EMA предыдущего дня.

Вы можете рассчитать длину конкретной SMA для EMA, используя следующую формулу для расчета эквивалентной сглаживающей константы:

SC = 2/(n + 1)

где

n = число дней в простой скользящей средней приблизительно такой же длины.

Например, сглаживающая константа 0, 095 создает эквивалент экспоненциальной скользящей средней для 20-дневной SMA (2/(20+1) = 0, 095). Чем больше n, тем меньше константа, и чем меньше константа, тем меньшее влияние последнее будет оказывать поведение цены на EMA. На практике большинство компьютерных программ позволяет вам просто выбирать, сколько дней вы хотите использовать в скользящей средней, и какую применить форму расчета: простую, взвешенную или экспоненциальную. 

ДИСПЕРСИЯ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Дисперсия (вариантность) измеряет то, как распределена группа значений – иными словами, насколько они отличаются друг от друга. Математически дисперсия является средним квадратным "отклонением" (или разностью) каждого числа в группе от среднего значения группы, деленным на число элементов группы. Например, для чисел 8, 9 и 10 среднее равно 9, а дисперсия равна:

{(8-9)2 + (9-9)2 + (10-9)2}/3 = (1 + 0 + 1)/3 = 0, 667

Теперь рассмотрим дисперсию более широко распределенного ряда чисел: 2, 9 и 16:

{(2-9)2 + (9-9)2 + (16-9)2}/3 = (49 + 0 + 49)/3 = 32, 67

Распространенным применением дисперсии в торговле является стандартное отклонение, являющееся квадратным корнем из дисперсии. Стандартное отклонение 8, 9 и 10 равно: v0, 667 = 0, 82; стандартное отклонение 2, 9 и 16 равно: v32, 67 = 5, 72.

Чем более разнообразны изменения цены рынка день ото дня (или неделя от недели и т.д.), тем выше ее дисперсия и стандартное отклонение, и тем более переменчив этот рынок; чем более разнообразна прибыль системы, тем выше ее дисперсия и стандартное отклонение, и тем рискованнее торговля по этой системе.

Кроме того, если результаты торговли считаются "нормально распределенными" (т.е. укладывающимися в стандартную гауссианскую "колоколообразную кривую", показанную на рисунке А), одно стандартное отклонение будет содержать примерно 68 процентов всех результатов; два стандартных отклонения будут содержать примерно 95 процентов всех результатов. Например, если среднее значение ряда выборок равно 1, 21, и граница одного стандартного отклонения отстоит на 0, 11, 68 процентов значений должно находиться в области между 1, 10 (1, 21 – 0, 11) и 1, 32 (1, 21 + 0, 11).