Эконометрика 7

Оглавление:



1.Задача №19( Практикум по эконометрике, Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М., стр.38.) 

2. Методы исключения тенденции в анализе временных рядов.

3. Список использованной литературы







































































    

                                  1. Задача № 19



По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.



№ п/п

Район

Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., y

Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., x

1

Брянская обл.

240

178

2

Владимирская обл.

226

202

3

Ивановская обл

221

197

4

Калужская обл.

226

201

5

Костромская обл.

220

189

6

г. Москва

250

302

7

Московская обл.

237

215

8

Орловская обл.

232

166

9

Рязанская обл.

215

199

10

Смоленская обл.

220

180

11

Тверская обл

222

181

12

Тульская обл.

231

186

13

Ярославская обл.

229

250



1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости

а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.







                                    Решение:

Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной таблицы (см. расчетную таблицу ниже), округляя и занося в неё промежуточные результаты. 

1) Основные характеристики выборки 

Средние значения:   и  .

Стандартные отклонения:   и  .

Итак, по данным регионам  средний размер назначенных ежемесячных пенсий составляет 228,38руб. со стандартным отклонением 9,29 руб., а прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера – 203,54 руб. со стандартным отклонением 34,75 руб. 



Поле корреляции и линия регрессии:

Сначала построим поле корреляции – точки с координатами (хi, уi), и принимая во внимание экономические соображения, по их расположению сформулируем предположение о связи Y и X.



Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Можно предположить, что связь прожиточного минимума и среднего размера назначенных ежемесячных пенсий положительная, не очень тесная. 

Это предположение проверим с помощью линейного коэффициента корреляции:  

Линейная связь положительна, теснота связи средняя, умеренная.

2) Линейная парная регрессионная модель

Предположим, что связь между величиной прожиточного минимума и средним размером назначенных ежемесячных пенсий – линейная, а значит, и для данной выборки модель также линейная: ; то есть решение сводится к нахождению линейного уравнения регрессии по выборке: . Таким образом, нужно найти коэффициенты регрессии a, b. Используя для этого классический подход, который основан на методе наименьших квадратов, приходим к системе нормальных уравнений:

.

Все необходимые числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу), подставим их в систему нормальных уравнений: 

ему нормальных уравнений: бюджет льуплений от налога на прибыль предприятий о с увеличением размера среднемесячной зарплаты Х н

и решим её относительно a, b. Получим коэффициенты регрессии: a=197,85 и b= 0,15 

Итак, уравнение регрессии имеет вид: .

Экономический смысл данного уравнения заключается в том, что  с увеличением прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц на 1 тыс.руб., средний размер назначенных ежемесячных пенсий возрастает на 0,15 тыс.руб.

В декартовой системе координат Х,У на поле корреляции строим и график линии регрессии по найденному уравнению (см. выше).



3) Коэффициент детерминации

По свойству: , он показывает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора х включенного в уравнение регрессии равна 31%, а остальные 69% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

Итак, полученный линейный коэффициент корреляции , коэффициент регрессии b= 0,15 и коэффициент детерминации  свидетельствуют, что линейная зависимость суммы прожиточного минимума и среднего размера назначенных пенсий в регионах положительная, умеренная. 

4) Средний коэффициент эластичности:

Для линейной регрессии: . Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при повышении размера прожиточного минимума в месяц на 1% от своего среднего значения сумма среднего размера назначенных ежемесячных пенсий увеличивается на 0,134% от своего среднего значения. Эластичность прожиточного минимума по размеру назначенных ежемесячных пенсий невелика, что вполне согласуется с экономической теорией, а потому небольшое увеличение или уменьшение прожиточного минимума не влечет за собой резкого повышения или понижения размера назначенных ежемесячных пенсий.



5) Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации , которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.







=2,93 говорит о хорошем качестве уровня регрессии т.е. свидетельствует  о хорошем подборе модели к исходным данным.



6) Оценка статистической надежности результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера.

Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.:













Так как , то признается статистическая значимость уравнение в целом.

7)	 Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. 



Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:



а точечный прогноз : 



Ошибка прогноза составит:



















                   

Предельная ошибка прогноза:







Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости

α = 0,05.









     Из полученных результатов видно, что интервал от 212,06 до 250,70 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана прежде всего с малым объемом выборки (n=13), а также тем, что по мере удаления xp от ширины доверительного интервала увеличивается. 



Выводы: Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,56, следовательно, связь изучаемых явлений является заметной, прямой.

Коэффициент детерминации равен 0,31, т.е. вариация результата на 31% объясняется вариацией фактора х.

При изменении в среднем прожиточного минимума на одного пенсионера на 1%, то средний размер назначенных ежемесячных пенсий изменится приблизительно на 13%.

Средняя ошибка аппроксимации равна 2,93%, что попадает в допустимый предел значений 8-10% и говорит о том, что расчетные значения отклоняются от фактических примерно на 3%.

Полученное значение F-критерия превышает табличное, следовательно, параметры уравнения и показателя тесноты статистически незначимы.

И гипотеза Hо о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. 

Интервал от 212,06 до 250,70 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана прежде всего с малым объемом выборки (n=13), а также тем, что по мере удаления xp от ширина доверительного интервала увеличивается.



  Рекомендации по улучшению модели: проверить и устранить нарушения предпосылок МНК, в частности гетероскедастичности и/или автокорреляции остатков; добавить в модель другие существенные факторы; увеличить объем выборки.

 Расчетная таблица

№

п/п

Район

y

x

yx

x2

y2



y-

(y-)2

Ai

1

Брянская обл.

240

178

42720

31684

57600

224,55

15,45

238,81

6,44

2

Владимирская обл.

226

202

45652

40804

51076

228,15

-2,15

4,64

0,95

3

Ивановская обл

221

197

43537

38809

48841

227,40

-6,40

40,99

2,90

4

Калужская обл.

226

201

45426

40401

51076

228,00

-2,00

4,01

0,89

5

Костромская обл.

220

189

41580

35721

48400

226,20

-6,20

38,44

2,82

6

г. Москва

250

302

75500

91204

62500

243,18

6,82

46,49

2,73

7

Московская обл.

237

215

50955

46225

56169

230,11

6,89

47,51

2,91

8

Орловская обл.

232

166

38512

27556

53824

222,74

9,26

85,69

3,99

9

Рязанская обл.

215

199

42785

39601

46225

227,70

-12,70

161,36

5,91

10

Смоленская обл.

220

180

39600

32400

48400

224,85

-4,85

23,50

2,20

11

Тверская обл

222

181

40182

32761

49284

225,00

-3,00

8,98

1,35

12

Тульская обл.

231

186

42966

34596

53361

225,75

5,25

27,57

2,27

13

Ярославская обл.

229

250

57250

62500

52441

235,37

-6,37

40,54

2,78

 

Σ(Сумма)

2969

2646

606665

554262

679197

2969

0,00

768,52

38,13

 

Среднее значение

228,38

203,54

46666,54

42635,54

52245,92

228,38

0,00

59,12

2,93











2. Методы исключения тенденции в анализе временных рядов.

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд

последовательных моментов (периодов), называются моделями временных

рядов.

     Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за

несколько последовательных моментов или периодов.

     Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного ана-

лиза для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, пред-

ставленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных про

блем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа экономет

рических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой

временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содер

жит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные ко

лебания (S) и случайную компоненту (E).

     Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то

перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна.

     Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно

проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей.

     Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент

корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинноследственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде.

     Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости

между значениями остатков εt за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».

     Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосы-

лок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению

регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК. При построении уравнения множественной регрессии по временным рядам данных, помимо двух вышеназванных проблем, возникает также проблема 

мультиколлинеарности  факторов, входящих в уравнение регрессии, в случае если эти факторы  содержат тенденцию.

               3.Список использованной литературы:

1.Эконометрика: Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2004 . - 344с.



2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 192с



3.Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов/ Е.Ю.Дорохина, П.Ф.Преснякова, Н.П. Тихомиров.-М.: Издательство «Экзамен», 2003г.-224с.



4. Эконометрика: Учебник для вузов (под ред. Мхитаряна В.С.) Мхитарян В.С. Балаш В.А. Архипова М.Ю.







1