Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Московский Государственный Институт

Электронной Техники 

(Технический Университет)







Курсовая работа



По дисциплине:

«Дискретная Математика»



Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x2=y2=(xy)3> »













Выполнил:  .

Группа: ЭКТ-35

    Проверил: Клюшин А.В.







Москва 2009г.

Оглавление.



Титульный лист…………………………………………………………….1

     Оглавление………………………………………………………………...2

Теоретическая часть…………………………………………………...3

Понятие группы……………………………………………………3

Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

Практическая часть…………………………………………………….7

Доказательство того, что в группе n элементов………………..7

Оперделения порядка элементов…………………………………9

Вычисление таблицы умножения данной группы. 

Нахождение центра группы………………………………………10

. Составление таблицы подгрупп, порожденных

 двумя элементами………………………………………………………11

Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

Структура всех подгрупп……………………………………………….14

Список используемой литературы…………………………………..……..15

.

















































Теоретическая часть.



1.1. Понятие группы.



Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G G G. Если (g1,g2)G1 G2, то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g1• g2, где (•) — знак

бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) g1 , g2,g3 G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2) eG: e•g = g•е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) gG g-1G : g• g-1 = g-1• g = e, элемент g-1для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) g1 , g2 G g1•g2 =g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g G | gh = hg для любого h G }.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g-1

1 и g-1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

g1

-1 = g1

-1 • e= g1

-1 •g • g2

-1 = e • g2

-1= g2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g G и

столбца hG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.



1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.



Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е H;

2) h1 , h2 H h1 • h2 H;

3) h H h-1H.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

перестановка.

Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g G, то множество gH = { gh | h

H}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а1,…,аn G. Через < а1,…,аn > будем обозначать

наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а1,…,аn. Если < а1,…,аn >= G,

то элементы {а1,…,аn} будем называть системой образующих группы G. Систему

{а1,…,аn} будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется элемент g G такой, что <g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 g1H g2H, то g3 = g1h1 = g2h2 для некоторых

h1, h2 H. Но тогда g1 = g2h2h1

-1 g2H, а g2=g1h1h2

-1 g1H. Отсюда следует, что g1H

= g2Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H gH, задаваемое правилом

g gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1=gh2, то, умножая равенство слева на g-1, получим h1= h2.

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g2,..., gk-1, е} образует подгруппу в

G.Следствие доказано.



1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

соотношениями.



Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1, у -1. Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать zn

вместо 

n

z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е. Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово znzm договоримся

сокращать и записывать как zn+m. Например, х3х-4 = х -1, х2х-2 = е.

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·), которую будем на-

зывать умножением. Если u=z1...zn и v = t1…tm - два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z1...zn t1...tm, в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е·u = u·е = u. Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

z1...zn, то u-1 = 1 1

n 1 z...z.

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у.

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F - свободная группа с образующими x1...xn. Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v-1 =

е. Пусть задана система из k соотношений

                                                                           (1)                                  

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w1,...,

wk Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w1,..., wk, обозначим N. Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w1,..., wk. Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N. Если u - слово, u F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

образующими x1...xn и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , хn = 1 (n > 1), то х

-1 = хn-1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x1 x2 ...xn . В слове

1 k

1 k u t...tможно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u t...tи 1 m

1 m v s...s, где i i t ,s { x1...xn }.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m ....... В случае

1 k 1 m ......будем считать, что u < v, если 1 1 t s или 1 1 t s , но

1 1 . Если 1 1 t s и 1 1 , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x2 ,xy, yx, y2 ,x3 ,x2 y,xyx,xy2 , yx2 , yxy, y2 x, y3 ,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G). Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.







2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.



G=< x, y| x2 y2=(xy)3 >, n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.



xy=yxyx y2 =(yxyxxyxy)xy,  yxyxxyxy=e,   x8 =y8 =e





2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.



Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.



Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x8 e , y8 e , x2 y2=(xy)3. 



Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.



e  

x

y

x2 

xy= x2 yxyx

yx= x3 yxy

x3 

x2 y =y x2 = y3 

 xyx

x y2 = y2 x

yxy= x5 yx= x3 yx y2 

x4 =x y2 x= x2 y2 

x3 y= x y3 =xy x2

x2 yx= yx y2= y3 x=y x3 

xyxy=yxyx

x5 = x3 y2 

x4 y = x2 y x2 

x3 y x=xyx y2 

x2 y xy=yxy x2 

x6 = x4 y2 

x5 y = x3 y x2 = x4 yxy

x4 yx= x2 yx y2 

x7 = x5 y2

x6 y = x4 y x2



Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

e

x

y

x2

xy

yx 

x3

x2 y 

xyx 

x y2

 yxy

x4

x3 y

 x2 yx

xyxy 

x5 

x4 y

 x3 y x

x2 y xy 

x6

 x5 y

      22. x4 yx

      23. x7

       24. x6 y



2.2 Определение порядков элементов.



o(e)=1

o(x)=8

o(y)=8

o(x2)=4	x2x2x2 x2=e

o(xy)=12

o(yx)=12 	 

o(x3)=4     

o(x2 y)=4     	

o(xyx)=8  		

o(yxy)=8  	      

o(x4)=2

o(x3 y)=8

o(x2 yx)=4

o(xyxy)=6  

o(yxyx)=4	

o(x5)=8  

o(x4 y)=8	

o(x3 y x)=8

o(x2 y xy)=8	

o(x6)=4

o(x5 y)=8

o(x4 yx)=4

o(x7)=8

o(x6 y)=4	









В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:



Обозначение

H1

H2

C1

L1

L2

C2

C3

H3

c4

H4

A1

H5

C5

F1

H6

Элемент

x

y

x2

xy

yx

x3

x2 y

xyx

yxyx

yxy

x4

x3 y

x2 yx

xyxy

x5



Обозначение

H7

H8

H9

C6

H10

C7

H11

C8

Элемент

x4 y

x3 y x

x2 y xy

x6

x5 y

x4 yx

x7

x6 y



2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.



Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x8 e , y8 e ,

 x2 y2=(xy)3, а также на ряде производных соотношений.

Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:

















e

a1

C1

c2

c3

c4

c5

c6

C7

C8

H1

H2

H3

H4

H5

H6

H7

H8

H9

H10

H11

F1

L1

L2

a1

e

C6

H11

C8

H5

F1

C1

L2

C3

H6

H7

H4

H3

C4

H1

H2

H9

H8

L1

C2

C5

H10

C7

C1

C6

A1

H6

H7

L1

C7

e

F1

H2

C2

C3

H8

H9

H10

H11

C8

H4

H3

C4

H1

L2

H5

C5

C2

H11

h6

C6

H10

C3

H4

H1

H9

l1

A1

H5

C7

L2

C8

e

C4

F1

C5

H2

C1

H3

H7

H8

C3

C8

H7

H10

C6

H4

H11

H2

H1

C1

C5

A1

C2

H10

L1

F1

e

H5

C4

H8

L2

C2

H9

H6

C4

H5

L1

C3

H4

C5

A1

H10

C6

H3

H2

H1

C2

H11

F1

H8

H9

H6

H7

L2

C8

e

C7

C1

C5

F1

C7

C8

H3

A1

H5

L2

H10

H4

H7

H9

H11

C2

e

H2

H8

H1

H6

C1

C3

C4

C6

L1

C6

C1

E

H1

H2

H10

L2

A1

C5

H7

H11

C8

H9

H8

L1

C2

c3

H3

H4

H5

H6

C7

C4

F1

C7

L2

F1

H2

H8

C6

H10

C5

C4

H9

C8

H3

H1

H6

C1

C3

F1

C2

H11

A1

H7

L1

e

H5

C8

C3

H2

L2

C1

H3

C2

H7

H6

C6

F1

e

H10

L1

H4

C5

A1

C4

H5

H9

C7

H11

H8

H1

H1

H6

C2

A1

H5

H2

H8

H11

H4

C4

C1

L1

C5

F1

H7

C6

H10

C7

L2

C8

e

H9

C3

H3

H2

H7

C3

C5

A1

H8

H6

C8

H11

e

L2

C1

C4

H5

H9

C7

C6

L1

H10

H3

F1

H1

H4

C2

H3

H4

H8

H10

L2

C2

C3

H9

H7

C7

H5

F1

C6

C1

H11

C4

C5

e

A1

H1

L1

C8

H6

H2

H4

H3

H9

L2

H10

H11

C2

H8

H2

L1

F1

c5

C1

C6

C8

h5

C4

A1

e

H6

C7

C3

H7

H1

H5

C4

H10

H4

H11

F1

e

L1

C1

C2

H8

H6

C3

C8

C5

H9

H1

H7

H2

C7

H3

A1

L2

C6

H6

H1

H11

e

C4

C5

H9

C2

H3

H5

C6

H10

F1

C5

H2

C1

L1

L2

C7

C3

A1

H8

C8

H4

H7

H2

C8

F1

e

H9

H1

C3

C2

A1

C7

C6

H5

C4

H8

L2

C1

H10

L1

H4

C5

H6

H3

H11

H8

H9

H4

C4

H5

H2

H1

H3

C8

F1

C7

L2

e

A1

H7

L1

H10

C1

C6

C2

C5

H2

H11

C3

H9

H8

H3

H5

F1

H1

H2

H4

C3

C5

L1

C7

A1

e

H6

H10

L2

C6

C1

H11

C4

H7

C2

C8

H10

L1

C4

H9

H1

L2

C1

H5

A1

H6

H4

H11

H7

H2

C7

H3

C2

C8

C3

F1

H8

C6

C5

e

H11

C2

H1

C1

L1

C8

H3

H6

H8

H10

e

C4

L2

C7

C3

A1

H5

C5

F1

H7

C6

H4

H2

H9

f1

C5

L2

H3

C2

e

C4

C7

L1

H11

H9

H8

C8

C3

A1

H7

H6

H2

H1

C6

H4

H5

C1

H10

l1

H10

H5

H8

H6

C7

C6

C4

e

H1

H3

C2

H2

H7

L2

H4

H11

C3

C8

C5

H9

C1

F1

A1

L2

C7

C5

H7

H9

C1

L1

F1

H5

H8

C3

H4

H6

H1

C6

C8

H3

H11

C2

e

H2

H10

A1

C4



Основным методом проверки правильности составления является присутствие

каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце один раз.

Из данной таблицы находим центр группы, сравнивая строку и столбец одного и

того же элемента, т.е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.

В итоге получаем следующее множество: Z(G) {e, a1,c1}.

2.4. Составление таблицы подгрупп, порожденных двумя элементами.



Подгруппы будем обозначать по тому же принципу, что и элементы, т.е. из 2-х

элементов через Ai, из 3-х элементов – Bi и т.д.

Заметим, что таблица будет симметрична относительно главной диагонали.

Используя таблицу умножений, получим:











A1={e,a1}Z2

C1={e,a1,c1,c6}Z4

F1={e,a1,c4,c5,f1,h5} Z6

H1={e,a1,c1,c3,c6,c8,h2,h7} Z8

H2={e,a1,c1,c6,h3,h4,h8,h9} Z8

H3={e,a1,c1,c2,c6,h1,h6,h11}Z8

L1={e,a1,c1,c4,c5,c6,c7,f1,h5,h10,l1,l2} Z12



При нахождении подгрупп удобно будет пользоваться следующими

соображениями:

1. В нашем случае, согласно теореме Лагранжа, возможны подгруппы порядков 2, 4, 6, 8, 12 и тривиальные – 1, 24. Поэтому, необязательно для получения подгруппы G искать все 24 элементов, нужно найти всего 13 элементов.

2. Если на каком-то шаге мы нашли, что в нашей подгруппе имеются элементы x и y, то подгруппа тривиальная. Ведь {x,y} – это минимальная система образующих нашей группы.



e

a1

c1,c6

c4,c5

c3,c8

C2,h11

C7,h10

H1,h6

H2,h7

H3,h4

H8,h9

F1,h5

L1,l2

a1

A1

C1

F1

H1

H3

L1

H3

H1

H2

H2

F1

L1

c1,c6

 

C1

L1

H1

H3

L1

H3

H1

H2

H2

L1

L1

c4,c5

 

 

F1

G

G

L1

G

G

G

G

F1

L1

c3,c8

 

 

 

H1

G

G

G

H1

G

G

G

G

C2,h11

 

 

 

 

H3

G

H3

G

G

G

G

G

C7,h10

 

 

 

 

 

L1

G

G

G

G

L1

L1

H1,h6

 

 

 

 

 

 

H3

G

G

G

G

G

H2,h7

 

 

 

 

 

 

 

H1

G

G

G

G

H3,h4

 

 

 

 

 

 

 

 

H2

H2

G

G

H8,h9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H2

G

G

F1,h5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1

L1

L1,l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1















2.5 Структура всех подгрупп.



B4

B1

C2

C3

A1

E

A1

B3

B2
3. Список литературы.

1. А.В. Клюшин «Введение в дискретную математику» МИЭТ, 2004г.

2. А.В. Клюшин «Курс лекций по дискретной математике 2009-2010 уч. год.»

3. Кострикин А.И. «Введение в алгебру», т.1, 3.

1