Теория вероятностей

2





Содержание



Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Список используемой литературы




Задание 1



Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:



.



Решение:

Преобразуем уравнение и разделяя переменные, получим уравнение с разделенными переменными:











Интегрируем его и получаем общее решение данного уравнения













Ответ: Общее решение данного уравнения 






Задание 2



Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: 



.



Решение:

Вводим замену 



→ 









Так как одну из вспомогательных функций можно взять произвольно, то выберем в качестве  какой-нибудь частный интеграл уравнения . Тогда для отыскания получим уравнение . Итак, имеем систему двух уравнений:



















Далее 

















Проверка:













верное тождество. Ч. т.д.

Ответ: 








Задание 3



Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:



, 



Решение:

Общее решение данного уравнения 







ищется по схеме:

Находим общее решение  однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение 







 и 



Общее решение имеет вид: 



, 



где 

Находим частное решение . Правая часть уравнения имеет специальный вид. Ищем решение



 , т.е.





Найдем производные первого и второго порядков этой функции. 



-2



1



1







 →





 →





 →





Т.о. частное решение 







Общее решение 







Используя данные начальных условий, вычислим коэффициенты 













Получим систему двух уравнений:







→





Искомое частное решение: 







Ответ: 









Задание 4



В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника в мягком переплете.

Решение:

Пусть имеется множество N элементов, из которых M элементов обладают некоторым признаком A. Извлекается случайным образом без возвращения n элементов. Вероятность события, что из m элементов обладают признаком А определяется по формуле:



(N=6, M=3, n=2, m=2)





Ответ: 







Задание 5



Дана вероятность  появления события A в каждом из  независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие A появится не менее и не более раз.

Решение:

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа







Где



 и 



Ф (x) - функция Лапласа , обладает свойствами

10.  - нечетная, т.е. 

20. При , значения функции представлены таблицей (табулированы) для 

Так 







Ответ: 







Задание 6



Задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возможные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значение).



Xi

8

4

6

5

pi

0,1

0,3

0,2

0,4



Найти:

1) найти математическое ожидание ,

2) дисперсию ;

3) среднее квадратичное отклонение .

Математическое ожидание (ожидаемое среднее значение случайной величины):









Дисперсия (мера рассеяния значений случайной величины Х от среднего значения а):



.



Второй способ вычисления дисперсии:



где 

.







Среднее квадратичное отклонение (характеристика рассеяния в единицах признака Х):



→ 



Ответ:

Математическое ожидание 

Дисперсия 

Среднее квадратичное отклонение 



Задание 7



Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Найти процент стандартных деталей.

Решение:















Таким образом, процент стандартных деталей составляет 95,45%

Ответ: Стандартных деталей 95,45%.


Список используемой литературы



	Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. - Ростов н/Д: Феникс, 2006. - 475 с.

	Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. - СПб.: Альфа, 2001. - 192 с.

	Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ, 2008. - 200 с.

	Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 551 с.

	Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. - М.: Издательский центр "Академия", 2003. - 421с.

	Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 496 с.