Кольца и полукольца частных

Содержание



	Введение

	Глава 1.Построение классического полукольца частных

	Глава 2.Построение полного полукольца частных

	Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных

	Библиографический список


           Введение



В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество  с определёнными на нём бинарными операциями  и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1)  ;

2)  

3)   

А2.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1)  ;

2)  

3)   

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

 , .

А4.  .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.


Глава 1.



Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары  и  эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение1. Элемент  назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через  множество всех мультипликативно сокращаемых элементов. 

Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е.  для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ▲

Пусть  - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение  на :  для всех  и .

Предложение1. Отношение  является отношением эквивалентности на .

Покажем, что  является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца  ;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение  является отношением эквивалентности на .

Полукольцо  разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении . Обозначим  класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве  всех классов эквивалентности:

 

 т.к. для  , ,  выполнено  отсюда т.к.  получаем  и поскольку  то  следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть , , тогда



▲

Теорема1.  - коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество  всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для  и 

1. 

2.



Так как правые части равны, то левые части тоже равны:



3. покажем, что для  .

Так как 

Класс  является нейтральным по +: 

 

Из равенства  тогда .

Для   составляет отдельный класс, играющий в  роль нуля.

умножение: для  и 

1. 

2. 



Из равенства правых частей следует, что 

3. покажем, что для  .

Пусть 

Класс  является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства  тогда .

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:





Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:



Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что  является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо  называется классическим полукольцом частных полукольца .▲


Глава 2



Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь  как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы  неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит  в , где . Аналогично, дробь  определена на идеале  и переводит  в . Эти две дроби эквивалентны, т.е.  они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та  и другая дробь переводят  в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности  одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .

Данный метод можно применить к произвольному  коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.

Определение2. Идеал  коммутативного полукольца  называется плотным, если для  и  выполняется равенство  тогда и только тогда, когда .

Свойства плотных идеалов полукольца :

10  - плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для  выполнено . Положим , тогда . Таким образом  - плотный идеал по определению. ▲

20 Если  - плотный идеал и , то идеал  плотный.

Доказательство:

Если - плотный идеал, то для  из равенства следует . Пусть для  выполнено . Так как по условию  возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем  отсюда . Таким образом  - плотный идеал по определению. ▲

30 Если  и  - плотные идеалы, то  и  - так же плотные идеалы.

Доказательство:

Положим для  выполняется . Пусть , где , . Элемент  т.к. , тогда верно равенство  отсюда , т.к.  - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом  - плотный идеал.

Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны  значит . Тогда по 20  - плотный идеал. ▲

40 Если , то 0 не является плотным идеалом.

Доказательство.

Пусть . Для  и  выполнено  отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲ 

Определение3.  Дробью назовём элемент , где  - некоторый плотный идеал. ( -  сокращение от  - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )

Таким образом,  - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого  для  и .

Введём так же дроби , положив  и  для .

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть  и  тогда

, 

, .

Покажем, что  является идеалом, где  т.е. сохраняются операции:

1. Если , то .

Пусть , , тогда .

2. Если  и , то . По условию .

Так как  - коммутативное полукольцо, то .

 . Таким образом,  - идеал.

Покажем, что идеал  является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .

По определению сложения и умножения , т.е.  содержит плотный идеал  значит, по свойству 20 идеал  является плотным.

Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу  с нулём и полугруппу  с единицей. То есть образуют полукольцо. 

Доказательство:

1.  По определению сложения и умножения:

, .

, 

2. Коммутативность:



3. Ассоциативность:

4. Нейтральный элемент.





5. Дистрибутивность:



Правосторонняя дистрибутивность аналогично.

Таким образом, дроби образуют полукольцо.

Определение4. Будем писать  если  и  согласованы на пересечении своих областей определений, т.е.  для .

Лемма 1.  тогда и только тогда, когда  и  согласованы на некотором плотном идеале.

Доказательство.

Если  то  и  согласованы на . По свойству 30 идеал  является плотным. Следовательно,  и  согласованы на плотном идеале.

Обратно, пусть  и  согласованы на плотном идеале . Тогда если  и , то  отсюда в силу плотности идеала ,  для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений  и  является  отсюда следует, что .▲

Лемма 2. Отношение  является конгруэнцией на системе .

Доказательство.

Для того чтобы доказать, что  - конгруэнция, нужно показать:

1. отношение  - рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Рефлективность:  и  согласованы на плотном идеале .

Симметричность: пусть , т.е.  и  согласованы на .

Транзитивность: пусть  и , т.е.  и  согласованы на плотном идеале 

 и  согласованы на плотном идеале . Значит   и  согласованы на идеале , являющемся плотным , и  согласована с  на , тогда    согласована с  на плотном идеале  по Лемме 1 

Таким образом,  - отношение эквивалентности.

2. отношение  сохраняет полукольцевые операции.

			Пусть  и , т.е.  для  и  для .

Тогда  и  определены и согласованы на плотном идеале  отсюда по Лемме 1 .

				Пусть  и , т.е.  для  и  для .

Тогда  и  определены и согласованы на плотном идеале  отсюда по Лемме 1 .▲

Теорема2.Если  - коммутативное полукольцо то система  так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть  полным полукольцом частных полукольца )

Доказательство.

 - разбивает множество дробей  на  непересекающихся классов эквивалентности.

По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в  справедливы и в .

Чтобы убедится, что  коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.

1. Дистрибутивность.

Отображения:  и  согласованы на идеале  покажем, что образы отображений  и  совпадают на этом идеале:

пусть , где .

Тогда .

Областью определения  является . По определению идеала:  то  для , а идеал  (свойство 30) то: . Тогда по определению сложения  отсюда следует . Покажем . По определению 

Аналогично .

Тогда:

Таким образом,  где . По свойству 30 - плотный идеал значит  и  согласованы на плотном идеале .

2. Коммутативность.

Отображения  и  согласованы на плотном идеале   докажем что их образы совпадают на этом идеале: .

Доказано ранее, что   пусть элементы  тогда 

Отсюда следует, что  и  согласованы на плотном идеале .

Таким образом,  по Лемме 1.

Наконец  сопоставим дробь:  с областью определения   при которой  переходит в .

Предложение2. Отображение  является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:



Доказательство:

1. Пусть ,  и  где  и .

Нужно показать, что . Покажем равенство образов  и .

Рассмотрим дробь , такую что 

 для .	(1)

 С другой стороны рассмотрим дроби  и  , такие что  для .	(2)

Из (1) и (2) следует, что .

По свойству сложения смежных классов:

  для 

2. Пусть ,  и  где  и .

Нужно показать, что . Покажем равенство образов  и .

Рассмотрим дробь , такую что 

 для .	(3)

 С другой стороны рассмотрим дроби  и  , такие что  для .	(4)

Из (3) и (4) следует, что .

По свойству умножения смежных классов:

  для .

Таким образом  гомоморфизм.



Пусть , тогда 

 т.е.  и  согласованы на некотором плотном идеале  значит  для , так как - плотный идеал, то  отсюда  - инъективно.

Поэтому, гомоморфизм  является мономорфизмом и  вкладывается в полное полукольцо частных.

Гомоморфизм  будем называть каноническим мономорфизмом  в .▲


Глава 3.



Определение5.Любому мультипликативно сокращаемому элементу  сопоставим плотный идеал . Если , то элемент  назовём классической дробью, полагая  для .

Теорема3. Множество дробей  образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных  полукольца .

Доказательство:

Рассмотрим отображение , т.е. .

1. Докажем, что  - отображение: если  и , , где , , то .

Имеем 

Возьмём элемент  из пересечения плотных идеалов , т.е.  и 

Тогда , домножим  на  получим .  Так как  и на  выполняется коммутативность по умножению, то ,  отсюда  для .

2. Докажем, что  является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.

2.1





. Покажем, что дробь  согласована с  на плотном идеале .

Пусть , .



для .

Следовательно .

2.2



.

Идеал  содержит , покажем, что  и  согласованы на плотном идеале .

Пусть , . Тогда 

 для .

Значит .

Таким образом  - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных  в полное полукольцо частных .

3. Докажем, что  - инъективный гомоморфизм.

Пусть для . Предположим, что дроби  и  согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для  выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на  получим:

т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.

Значит,  является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом  в .

Так как , то , где  - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е.  и . Поскольку  - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм  отсюда следует .

Мономорфизм  называется вложением классического полукольца частных  в полное полукольцо частных  полукольца .▲




Библиографический список



		Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.

		Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.

		Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.





3