Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид: 



 = 

ρ





 = 





При этом 



(4)

В вакууме ε = 1, так что 



(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное. 

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат: 



 = 



(6)







(7)







(8)





 = 



(9)







(10)







(11)



Δ φ

 = 



(12)







(13)







(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r. 



 = 



(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0. 

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла: 

ρ

 = 





ρ

 = 





Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал: 









В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела: 









В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу: 

φ(x)

 = 







 = 





Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области. 

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3 

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r). 

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала: 









После этого сразу записывается (у нас ε = 1): 









Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда: 











Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует. 

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), 

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля и для поля . 

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет. 

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.