Семейства решений с постоянной четной частью

2



Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины









Курсовая работа





"Семейства решений с постоянной четной частью"





































Гомель, 2005


Реферат



В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.

В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Библиография – 5 названий.






Содержание



Введение

1. Определение и свойства отражающей функции

2. Простейшая система

3. Система чет-нечет

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Заключение

Литература






Введение



Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.

Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.






1. Определение и свойства отражающей функции



Рассмотрим систему



, (1.1)



считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через  обозначим интервал существования решения 

Пусть 



.



Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой  (*) или формулами .

Для отражающей функции справедливы свойства:

1). Для любого решения , системы  верно тождество 



;						(1.2)



2). Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:



;						(1.3)


3). Дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных



		(1.4)



и начальному условию 



.					(1.5)



Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения  системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку  проходит некоторое решение  системы (1.1), и следуют тождества (1.3).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть  – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по  и воспользуемся тем, что  – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество 



 



из которого в силу произвольности решения  следует, что  – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция  удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция  должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1)  – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле 



, 



и поэтому решение  системы (1.1) будет  – периодическим тогда и только тогда, когда  есть решение недифференциальной системы 



	(1.6)



В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция   – периодична и нечетна по , т. е.  и . Тогда всякое продолжение на отрезок  решение системы (1.1) будет  – периодическим и четным по .

Для доказательства достаточно заметить, что функция  удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на  решение системы (1.1) будет  – периодическим. Четность произвольного решения  системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.



2. Простейшая система



Простейшей называют систему вида 



 (2.1), 



где  – отражающая функция этой системы.

Теорема: Пусть  (2.2) простейшая система, тогда , где - отражающая функция системы (2.2).

Если система простейшая, 



; 



.



Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию , обладающую свойством  и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.


3. Система чет-нечет

Рассмотрим систему 



		(3.1)



Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а.) Функция  непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;

б.) Правая часть системы (3.1)  – периодична по .

Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок  решение  этой системы будет  – периодическим тогда и только тогда, когда 



, 



где  – есть нечетная часть решения .

Пусть  –  – периодическое решение системы (3.1). Тогда . Необходимость доказана.

Пусть  – решение системы (3.1), для которого . Тогда  	, и поэтому . Таким образом, точка  есть неподвижная точка отображения за период, а решение  –  – периодическое.

Доказанная лемма вопрос о периодичности решения , сводит к вычислению одного из значений нечетной части. Иногда относительно  можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции ; , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим: 



 (3.2)



Так как  решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2)  на  и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество



				(3.3)



Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:



;



. 



Таким образом, вектор-функция 



		(3.4)


Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка 



: ;







При этом . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.



4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть



1. 



Найдем решение:



;



;






























  



Таким образом: 



Сделаем проверку: 



; 


Четная часть общего решения: 



2.



Найдем решение: 



 























     






Таким образом: 



Сделаем проверку: ; 



;, четная часть общего решения 



3. 



Найдем решение:


























				



 		.



Сделаем проверку:




























 Таким образом:  Четная часть общего решения 







Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде: 



 



где  и  – нечетные функции, а четная часть представлена константой.







 



						(4.1)



Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.


5. Семейства решений с постоянной четной частью



Рассмотрим систему 



				(5.1)



Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда  не будет зависеть от .

Рассмотрим уравнение . Его решение 



.



Возьмем отражающую функцию  системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом: 



 (5.2)

Если четная часть будет представлена константой, то 



.	(5.3)



Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем: 


. 



Воспользуемся соотношением (1.4) 



  



		 					(5.4)



Таким образом, приходим к теореме:

Теорема: Если система вида  (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество 



						(5.4)






Заключение



Мы исследовали понятие «отражающей функции».

Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.

На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.

Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.






Литература



		Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.

		Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.

		Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.

		Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.

		Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.