Экзаменационные задачи для подготовки к ЕГЭ ОГЭ

МБОУ Калманская средняя общеобразовательная школа 

Калманского района Алтайского края





























«Экзаменационные задачи на движение»

Материалы для проведения консультаций при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

















Cоставитель: Грекова Л.А., 

учитель математики высшей категории

















2014



























Задача 1.

Два человека одновременно отправляются  из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,2 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,3 км/ч, а другой – со скоростью 2,9 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от места отправления произойдёт их встреча?



Решение:



Пусть х км – расстояние от точки отправления до места встречи. Заполним таблицу:





         v

                 t

              S



1 человек



2,3 км/ч



?           ч





?         х км



2 человек



2,9 км/ч



?          





?         5,2 + (5,2 – х)



Так как время, которое прошёл первый человек до встречи, равно времени, пройденному вторым человеком, составляем уравнение:

 = 

2,9х = 2,3(10,4 – х)

2,9х = 23,92 – 2,3х

5,2 х = 23,92

Х = 4,6

Ответ: встреча произойдёт на расстоянии 4,6 км от места отправления.



Задача 2. 

Расстояние между городами А и В равно 540 км. Из А в В выехал автомобиль, через 3 часа за ним выехал мотоциклист со скоростью 120 км/ч, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найти расстояние от А до С.



Решение:



Пусть х км – расстояние от А до С, а у км/ч - скорость автомобиля. Получаем систему уравнений с двумя переменными: 





Откуда  –  = 3.

Выразим из второго уравнения у через х:ух = (540 – х)·120, у = .









  -  +  = 3

Умножаем обе части уравнения на у:

х – 540 + х =3у

                     х – 540 + х = 

х2 – 540х + х2 = 194400 – 360х

                      2х2 – 180х – 194400 = 0

х2 - 90х – 97200 = 0

D = 8100 – 4 ·(- 97200) = 396900 = 6302

х1 =  = 360       х2 =  = - 270 ( не удовлетворяет условию задачи)

у1 =  == 60



Ответ: расстояние от А до С равно 360 км.





Задача 3.

 Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет 6/5 скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой автомобиль.



Решение:



Пусть х км/ч – скорость грузовика, а t–время, за которое мотоциклист догонит грузовик.







v

     t

    S

Г.

?        х км/ч

?      t ч

?   хt км

Л.

?      х км/ч

?     (t + 1) ч

?  х(t + 1) км

М.

90 км/ч

?     t ч

?    (t +1) ч

? 90t км

?90( t + 1)





90· = 45(км) – на столько больше должен проехать мотоциклист, чтобы догнать машины.

2)Получаем систему двух уравнений с двумя переменными:

x

t через х 

.











Подставляем вместо t выражение во второе уравнение системы. 

Получаем:

90( + 1) -    х( + 1) = 45. 

Домножаем на общий знаменатель и приводим подобные слагаемые. Получаем: 

6х2  - 1035х + 40500 = 0,

2х2 – 345х +13500 = 0.

D = 119025 – 108000 = 11025 =1052.

х1 = 112,5 (не может быть скорость больше 90 км/ч)

х2 = 60 

3 )· 60 = 72 ( км/ч) – скорость легкового автомобиля.



Ответ: скорость легкового автомобиля 72 км/ч.



Задача 4.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали грузовой и легковой автомобили. Через 4 ч после начала движения они встретились. После встречи легковой автомобиль, едущий из А в В, увеличил свою скорость на 15 км/ч, а грузовик увеличил свою скорость на 30 км/ч. Определите первоначальную скорость легкового автомобиля, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем грузовик прибыл в пункт А.



Решение:

Пусть х км/ч – первоначальная скорость легкового автомобиля, а у км/ч – первоначальная скорость грузового автомобиля.





До встречи

V

              t

               S

Л. (из А в В)

? х

        4 ч

? 4х

Г. (из А в В)

? у

        4 ч 

? 4у

После встречи







Л.

? ( х + 15) км/ч

?  ч

?  4у 

Г.

? ( у + 30) км/ч

?    ч

?  4х













Так как расстояние между пунктами 300 км, то первое уравнение будет: 

( х + у)· 4 = 300 .

 Используя то условие, что легковой автомобиль прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем грузовик прибыл в пункт А, составляем второе уравнение:

 =  + 1.

у через х, получим у = 75 – х.

:

 =  + 1. 

Решение данного уравнения сводится к решению квадратного уравнения:

Х2 + 690х – 33075 = 0, корни которого

х1 = 45, х2 = -735 ( не  удовлетворяет условию задачи).



Ответ: первоначальная скорость легкового автомобиля 45 км/ч.



Задача 5.

Автобус и велосипедист выехали одновременно из городов А и В навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Автобус прибыл в В на 8 ч раньше, чем велосипедист - в А. Если бы велосипедист выехал из города В на 2 ч раньше, чем автобус из А, то через 3 ч езды велосипедиста от него до автобуса было бы 120 км. Определить расстояние от А до В. (Автобус и велосипедист движутся каждый со своей постоянной скоростью, без остановок).



Решение:



Пусть uкм/ч – скорость автобуса, а vкм/ч скорость велосипедиста, s– искомое расстояние.

Используя условия, сформулированные в задаче, составляем систему 3 уравнений с 3 переменными:







Приравниваем левые части первого и третьего уравнений, получаем:

3( u + v) = u + 3v + 120 , откуда находим u = 60.

Тогда из первого уравнения получаем, что s = 180 + 3v.

Подставляем вместо sэто выражение во второе уравнение, получаем:

 + 8 = , 









откуда v2 + 160v – 3600 = 0,

D = 40000 = 2002.

v1= 20, v2 = - 180  (не удовлетворяет условию задачи).

Находим s = 180 + 3· 20 = 240.



Ответ: расстояние между пунктами А и В 240 км.