Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Москва, 2003 

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

1. Основные определения

Рассмотрим уравнение 

(a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x),     (1)

где a, b, c, …, , x -переменные величины.

Любая система значений переменных 

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …,  и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

              (1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

 или 

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения  относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений  и , получаем 

 и .

Если а   , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ: 

Если а  (-;-1](1;+), то ;

Если а  , то  , ;

Если а   , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде  и рассмотрев пару функций                               , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .  

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде  и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде



Поскольку график функции  – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный  , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную  

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений 



имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим  при  Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы  “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

 

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

     и     

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается 

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то . 

Случай касания “полупараболы” с прямой  определим из условия существования единственного решения системы



В этом случае уравнение 



имеет один корень, откуда находим :



Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при  или  имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).

IV. Решить уравнение 

    

Решение. 

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде



Это уравнение равносильно системе



Уравнение  перепишем в виде 

.       (*)       

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций  и  Из графика следует, что при  графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при  графики функций совпадают и, следовательно, все значения  являются решениями уравнения (*).

При  графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при  уравнение (*) имеет единственное решение - .



Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям 



Пусть , тогда . Система примет вид 



Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что  , можно заключить, что при  исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5). 

Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид 

 

Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ: 

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.

V. Решить уравнение

 , где а - параметр.     (5)

Решение.

При любом а : 

Если , то ;

если , то .

Строим график функции  , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции  , которая соответствует . 

По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ: 

если , то  

если , то ;

если , то решений нет; 

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров  и , при которых системы 

         (1)

и

        (2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение. 

С учетом того, что  имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

             (3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе 

    (4)   

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом  

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При  окружность касается прямой  и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых. 

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением  , иметь общие точки с гиперболой  при  (прямая  всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение 

,

которое удобнее переписать в виде 



Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения: 

если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;

если , то система (3) имеет три решения;

если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ: 



II. Неравенства с параметрами.

1. Основные определения

Неравенство 

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x),     (1)

где a, b, c, …,  – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции 

(a, b, c, …, , x) и 

(a, b, c, …, , x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если 

(a, b, c, …, , x) и 

(a, b, c, …, , x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство 

(a, b, c, …, , x0)>(a, b, c, …, , x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и  (1)

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x)   (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.



2. Алгоритм решения.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство 



Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств



данное неравенство равносильно системе неравенств



Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система 



Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства – 

        (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен 



сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован



ной области с окружностью, где , а значения  и  находятся из системы 



а значения  и  находятся из системы



Решая эти системы, получаем, что



Ответ: 

III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.

Решение.

Находим область допустимых значений – 

Построим график функции в системе координат хОу.

при  неравенство решений не имеет.

при  для  решение х удовлетворяет соотношению , где 

Ответ: Решения неравенства существуют при 

, где  , причем при  решения ; при  решения  .



IV. Решить неравенство 



Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

           



Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :







Разложим числитель на множители.



т. к.  то 



Разделим обе части равенства на  при . Но  является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при . 







3. Строим в ПСК хОа графики функций 

 

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.



точка

неравенство: 

вывод

1





-

2





+

3





-

4





+

5





-

6





+

7





-

8





+

9





-

5. Найдем точки пересечения графиков



6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.



Ответ.

при 						

при 						

при 					

при 					решений нет

при 					

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г. 

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.