Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

Содержание.



Глава I

Введение.                                                                                                 2

§1. Актуальность темы.                                                                   2 

§2. Обзор работ.                                                                                6



Глава II   

Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью.                                                                       8

§1. Обоснование необходимости обобщения понятия 

      решения.                                                                                      8 

§2. Определения  решения.                                                           10



Глава III

Исследование устойчивости для  дифференциальных 

уравнений с разрывными правыми частями.                                23

§1. Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.      23

§2. Некоторые сведения теории дифференциальных 

      уравнений  с импульсным воздействием.                              27

§3. Связь рассматриваемых теорий.                                             31 



Заключение.                                                                                          34

Литература.                                                                                           35







Глава I

Введение.



§1. Актуальность темы.



Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена многочисленными приложениями теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. 

Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях характеризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений, которые описывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Стандартный пример такой динамической системы – механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения. Рассмотрим эту систему подробнее.



Механическая система с сухим трением.



 Как показано в [3] можно установить зависимость между работой, затраченной на преодоление сил трения и скоростью движения. Эта зависимость получается совершенно различной для случая движения груза массы m в жидкости и трения о какую-либо твердую поверхность. В первом случае (случай “жидкого трения”) работа существенно зависит от скорости и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно малой. Во втором случае (случай “сухого трения”), наоборот, работа мало зависит от скорости, и как бы медленно ни двигали груз, необходимо затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную работу, т.е. сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет конечную величину. Кроме этого, учитывая, что сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости, и, значит при переходе через нуль сила трения меняет знак на обратный, в случае “жидкого трения” получаем, что сила трения без скачка проходит через нуль и меняет при этом знак:

                                                                

	

V

Fтр





                                                                                  

                                                                              

     В случае же “сухого трения” при скорости, стремящейся к нулю, сила трения с двух сторон стремится к разным конечным пределам (в частности противоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине), т.е. при нуле претерпевает разрыв:



V

Fтр

                                           



                                                                                                                                        







Т.о. математические модели механических систем с кулоновым трением, полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения изменяется скачкообразно при изменении направления движения).

Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в системах автоматического управления: стремление повысить быстродействие системы, минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими системами автоматического управления являются системы с переменной стуктурой и со скользящими режимами. 

 

Системы с переменной структурой и со скользящим режимом.



Исследование этих систем в большинстве случаев осуществляется на основе развитого в работе [3] метода фазового пространства. Согласно этому методу, состояние динамической системы –го порядка в любой момент времени полностью определяется значениями  координат. Значения этих координат задают некоторую точку в –мерном пространстве, по осям которого отложены координаты системы. Т.о., каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки пространства и изменению состояний системы можно соподчинить движение некоторой точки, которая называется изображающей точкой, а пространство – фазовым пространством. При движении системы ее координаты изменяются. И изображающая точка описывает некоторую кривую (выражающую для данного движения зависимость скорости от координат), которая называется фазовой траекторией. По виду этих траекторий можно судить о свойствах рассматриваемой динамической системы, и, более того, изменять их, деформируя фазовые траектории при соответствующем выборе  управляющих воздействий. Движение изображающей точки характеризуется вектором фазовой скорости, который направлен по касательной к траектории в сторону движения.  

Определение систем с переменной структурой дано в работе [13]. Под системами с переменной структурой авторы понимают системы, в которых связи между функциональными элементами меняются тем или иным образом, в отличие от систем с фиксированной структурой, в которых совокупность функциональных элементов и характер связей между ними остаются неизменными.

Одним из режимов работы таких систем является скользящий режим, характеризуемый бесконечной частотой переключения функции управления. Скользящий режим возникает, если в окрестности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены навстречу друг другу 



Поверхность разрыва

                                                 

                                                                   



После попадания на поверхность разрыва изображающая точка не может в течение любого даже сколь угодно малого, но конечного интервала времени двигаться по любой из траекторий, примыкающих к этой поверхности (при любом смещении всегда возникает движение, возвращающее изображающую точку на поверхность разрыва).

В [7] рассматривается еще случай, когда решение наоборот не может попасть на соответствующий участок поверхности разрыва (при возрастании времени):



Поверхность разрыва







Скользящие режимы обладают рядом привлекательных свойств с т.з. построения систем автоматического управления (часто скользящие режимы специально вводят в системы). Одна из особенностей, связанная с независимостью их от характеристик управляемого объекта и возможностью наделить их желаемыми свойствами, и обуславливает  широкое применение скользящих движений. 

Т.о., существование теории релейных систем, систем переменной структуры, реализация законов оптимального управления, механики, электротехники приводят к необходимости изучения общей теории диф. уравн. с разрывными правыми частями, для которых в общем случае неприемлемы методы классической теории дифференциальных уравнений.









§2. Обзор работ по теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.



Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [3,4,7,9], а также большое число журнальных статей.

Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Филиппова. В [16] Филиппов рассмотрел диф. уравн. с однозначными разрывными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории.

Различные направления исследования релейных диф. уравн. , т.е. таких уравнений, у которых правая часть не является ненпрерывной по x функций рассмотрены в статье [5].

Теория систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13, 14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается  один из разделов теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной структурой, принадлежащих к классу нелинейных систем автоматического регулирования, в которых широко используются скользящие режимы. Скользящие режимы релейных систем изучались Ю.И Неймарком [10], Ю.И. Алимовым [2]  и др. Но появление систем с переменной структурой породило интерес к теории скользящих режимов не только в релейных системах  общего вида [14, 15]. Содержание последних книг составляют проблемы, связанные с исследованием систем с разрывными управляющими воздействиями, в [14] приводится математический аппарат для исследования разрывных динамических систем, которые не рассматриваются в классической теории диф. уравнений. Обзор и основные направления теории диф. уравнений с разрвными правыми частями приводятся в книге [17], которая явилась основной при написании дипломной работы. 

Во всех вышеперечисленных работах теория  разрывных систем основывается на теории дифференциальных включений. Нами было сделано предположение, что эти системы можно свести к системам  дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, теория которых изложена в [12]. Для этого потребуется дать определения решения, устойчивости решения разрывной системы в смысле системы с импульсным воздействием, сформулировать теорему об устойчивости нулевого решения.   





















































Глава II

Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью.





Здесь из лагаются различные определения решений дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, устанавливается связь таких уравнений с дифференциальными включениями, указываются условия их применимости.



§1. Обоснование необходимости обобщения понятия 

решения дифференциального уравнения.



Определение1. Решением дифференциального уравнения 

                                                     =                                                   

с непрерывной правой частью называется функция , которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.

 Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры.

Пример 1.



При  =-1 и решение выражается формулой ;



x

tпри , решение :

        









Исходя из требования непрерывности решения при :



x(0)=,

. Поэтому решение выражается формулой . При  производной  не существует. 

Пример 2.

 

При  3, решение ,

при  , решение :



t                                                    x









 При возрастании  каждое решение доходит до прямой 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой 0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция  не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее, а правая часть уравнения при  равна 1-sign 0=10.

         Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению



В случае, когда  f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):





                                                  S

                                                  

Решение x(t) попадающее  при  на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения   и близкие к ; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).

В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).



Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.



§2. Определения решения.



Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи

                                                 ,                                                       (1)          

с кусочно-непрерывной функцией  f  в области G;, , M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f.

Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки  области G указывается множество  в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество  состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же -точка разрыва функции f, то множество  задается тем или иным способом.

Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения

                                               ,                                                         (2)

 т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I

                                                       .

Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная  может принимать любые значения из некоторого множества  .

Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию  называют многозначной функцией, подчеркивая, что значение- множество. Если для всех (t, x) множество состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция  называется однозначной в точке , если множество F состоит из единственной точки.

Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.



А. Выпуклое доопределение.

Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.

Для каждой точки  пусть - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции, когда   Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным . Т.к. - множество меры нуль, то при почти всех  мера сечения множества  плоскостью  равна нулю. При таких  множество  определено для всех . В точках непрерывности функции  множество  состоит из одной точки  и решение  удовлетворяет  уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка  лежит на границах  сечений двух или  нескольких  областей , …,  плоскостью , то множество  есть отрезок, выпуклый многоугольник  или многогранник с вершинами , ,  где

= .

Все точки  (= 1, … ,  содержатся в , но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.

Определение 3.

Вектор-функция , определенная на интервале  называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна  и если при почти всех  для любого  вектор  принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству (-мерного пространства), содержащему все  значения вектор-функции , когда  пробегает почти всю -окрестность точки  в пространстве X (при фиксированном ), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.

Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.

Рассмотрим случай, когда функция  разрывна на гладкой поверхности , задаваемой уравнением . Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области и . Пусть при  и приближении  к из областей  и    функция имеет предельные значения



Тогда множество , о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов  и , проведенных из точки .

Если этот отрезок при  лежит по одну сторону от плоскости , касательной к поверхности  в точке, то решения при этих  переходят с одной стороны поверхности   на другую:











S

P

x

f -

f +  







                           

                                                       

Рис. 1.



Если этот отрезок пересекается с плоскостью , то точка пересечения является концом вектора , определяющего скорость движения

                                                                                                       (3)

по поверхности  в пространстве :



S

x

f 0

P

f -

G -

f +

G -       

                                                                  

       

                              







Рис. 2.



Причем касательный вектор к S , следовательно  . Это значит, что функция , удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция , которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области (или в ) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А.





В уравнение (3)  , 

  ,   ( ),

 - проекции векторов  и  на нормаль к поверхности  в точке  (нормаль направлена в сторону области ).

Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок  J:



 f +



 f  -

 P

 x

 S                                                  







                                             



                                            



Рис. 3.



При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от ; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения.

Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества  F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения.

Если весь отрезок с концами  и  лежит на плоскости P, то скорость движения  по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.

При , имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя  для  из условия  , находим уравнение

               ,                                (4)

с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x(0))=0).

Пример 3.

Решить систему



Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси , то в окрестности этой точки вектор , компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: при , (6,-2) при . Отложим из точки М  эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ:



 x1

 A

 f -

 f +

 C

 M

 -2

 x

 6

 B                     

                                 



                                                        

                                                                                                                            

                                         



Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора  для точки М. В то же время вектор скорости  должен лежать на оси . Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси . Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что 

Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1)  с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение  в точке разрыва  некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым. Кроме этого оно должно включать все предельные значения при (t, x). После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функция удовлетворяет перечисленным требованиям.

Однако, в некоторых случаях множество  в (2)  в точках разрыва функции  нельзя определить, зная только значения функции  в точках ее непрерывности. 

Пример 4. 

В механической системе с сухим трением:

	,

	масса тела, его отклонение, упругая сила, сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при =0 функцией скорости , -внешняя сила. Трение покоя  может принимать любые значения между своим наибольшим и наименьшим значениями  и -. Если =, то применимо доопределение . Если же >, то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции  в областях ее непрерывности, но и от величины . Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество   при – точка, а при v=0 – отрезок, длина которого зависит от .

	Следовательно, множество  не всегда определяется предельными значениями функции из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.

	Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения  множества F(t,x). 

	Рассмотрим систему

	                                                  ,                                     (6)                                                                                               

	где , вектор-функция  непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции   разрывны соответсвенно на множествах , i=1,…,r,  которые могут иметь общие точки и даже совпадать.  В каждой точке (t, x) разрыва  функции задается замкнутое множество - множество возможных значений аргумента  функции . Предполагается, что при  аргументы и могут независимо друг от друга пробегать  соответственно множества и . Обычно, это условие выполнено, если функции и  описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция   непрерывна, множество  состоит из одной точки . В точках, разрыва функции  необходимо, чтобы множество  содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида , где  k=1,2,…(или , где  k=1,2,…). Потребуем, чтобы множество   было выпуклым (если  - скалярная функция, то - отрезок или точка).

	Пусть

	                                                           (7)       множество значений функции , когда t, x постоянны, а  независимо друг от друга пробегают соответственно множества .

	Определение 4.

	Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где (или , где - наименьшее выпуклое множество, содержащее множество ).

	Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.

	

	Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения

	 (управления).

	Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,  - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности 1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

	В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например ,…, Sm  (, полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

	                    ,                           (8)                     

	где эквивалентные управления   определяются так, чтобы вектор  в (8)  касался поверхностей ,…, Sm  и чтобы  значение содержалось в отрезке с концами , где  – предельные значения функции  с обеих сторон поверхности , i=1,…, m. Т.о., функции  определяются из системы уравнений

	                    .

	Определение 5.

	Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей  удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).

	Например, в случае   конец вектора  лежит на пересечении касательной к  S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от до :

	

 a

c

b

 G+

 G -

 S

 x

                                                        





                                                                              







Рис. 4.



С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением,  которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва  для нахождения этого вектора в некоторой  точке  (t, x) нужно  построить  годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет  диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид ).



ueq

xn

(x,t)

u - (t,x)

x1

                                     



                                                        

                                                                                  

                                                                                



u + (t,x)



	Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению . Множество  определено в (7), где  – отрезок с концами  и  ; для тех  ,  которые непрерывны в точке (t,x),  является  точкой .

	Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества с касательной к пересечению поверхностей ,…, Sm. На рис. 4 множество  – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.

	Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам  объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями

	                                                                                                     (9)     

	x,f - n-мерные векторы-столбцы,  - координаты системы, - непрерывные функции по всем аргументам (), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого  претерпевает разрывы на поверхности :

	

	i=1, …, m, ,  (), - непрерывные функции. Если положить , то .

	Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо  подставить , которые являются решениями уравнения

	,

	где строки матрицы G={} размерности  являются градиентами функций . Очевидно, что при начальном значении  в силу условия (10) дальнейшее движение будет происходить по траекториям, лежащим на многообразии S(x)=0.

	Пример 5.

			Получить уравнение  скольжения для разрывной системы:

			

			

			В любой точке прямой разрыва S=0 (т.е. при ) выполняются условия возникновения скользящего режима , а уравнение метода эквивалентного управления (10) имеет вид:

			.

			Найдем эквивалентное управление из уравнения  , откуда , подставим  его в первое уравнение  системы (учитывая  ):

			 

			

			Замечание.

			Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4) приводит к уравнению  движения по прямой S=0.

			

			В. Общее дополнение.

	Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f непрерывна по t,x, , а каждая из  функций  разрывна только на поверхности , i=1,…, r.

	Пусть и  те же, что в Б, а  – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество .

	Определение 6.

	Решением уравнения (6) называется решение включения

	                                                                                                      (10)

	Движение по поверхности разрыва S (S(x)=0) может происходить только со скоростью , где K(t,x)– пересечение множества с плоскостью, касательной к S в точке x. На  рис. 4 множество - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной плоскости, то множество  – сегмент между этой дугой и ее хордой, заштрихованный на рисунке, а K(t,x) – отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с касательной к S  в точке x.

	Если функция f нелинейна по , то, вообще  говоря,  множество K(t, x) содержит более одной точки и скорость движения по S определяется неоднозначно.

	

	Сравнение определений.

	Сравним определения А, Б, В.

	Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение А. Т.к. при этом множнство  содержит множества  и   из (2) и (7), то каждое решение в смысле определения А и каждое решение в смысле определения Б являются так же решением в смысле определения В. Обратно, вообще говоря, неверно: на рис. 4 множество F – хорда ac,  - дуга abc, - заштрихованный сегмент.

	Если же функция  f линейна по , то  и определения Б и В совпадают. Если, кроме того, все поверхности  различны и в точках их пересечения векторы нормалей линейно независимы, то множества  F, и совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Глава III

	Исследование устойчивости для дифференциальных 

	уравнений с разрывными правыми частями.

	

	§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.

	

	Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892 г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике. Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете искусственных спутников Земли. 

	Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф. уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы, не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции V(t, x) – функции Ляпунова, производная которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее эффективных методов исследования систем автоматического управления. Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной работе ограничимся только этим.

	Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы

	                                              .                                                          (1)

	Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф. включениям

	                                                                                                         (2)

	Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость.

	Определение 1. 

Решение  дифференциального включения (2) называется устойчивым (соответственно слабо устойчивым), если для каждого  существует такое , что для каждого такого , что , каждое решение (соответственно некоторое решение)  с начальным условием  при  существует и удовлетворяет неравенству

                                      ().

Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием 

Пример 1.

(). Решение асимптотически устойчиво. При  любое другое решение достигает положения равновесия x=0 за конечное время, а при  за бесконечное время.

Пример 2.

, F(x) – отрезок с концами kx и mx. - решение. Для других решений имеем



	При  асимптотически устойчиво,

при  устойчиво,

при   слабо асимптотически устойчиво,

при   неустойчиво.                                                                                                                                                                 

Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе [17] сформулированы  подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать .

Для функции  (т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):



При почти всех t производная существует и удовлетворяет включению (2). При этих t существует

                                                              (3)         

Теорема 1.

Пусть в замкнутой области D () для всех  - непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция -непрерывна по t, x;  и существуют функции , для которых.

Тогда:

		Если  в D, то решение  включения (2) устойчиво.

		Если, кроме того, существуют функции   причем , , (),, то решение  асимптотически устойчиво.

Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки  сверху функции V(t, x(t))  используют соотношение (3).

Теорема 2.

Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой , то решение  слабо  устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).

Доказательство теоремы 2 приведено в [17].

Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова , но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции x(t), значит и для любого решения, сложная функция V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой grad V  не существует, и производную dV/dt, нельзя, как в случае , представить в виде



Для :

                           .                                      (4)

В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные  от функции V  в силу включения (2) можно определить как sup и inf правой части (4) по всем . Тогда теоремы 1и 2 сохраняются.

Пример 3. 

Если , то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt  на линиях поверхностях разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А.





Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные  разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы. На оси Ox при доопределении А:



 , и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (4) при h=0:

.



x

yТ.к. на оси Ox имеем , то решения по оси удаляются от точки (0, 0) со скоростью 1 и решение  неустойчиво













§2. Некоторые сведения теории дифференциальных 

уравнений  с импульсным воздействием.



При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.

Определение таких систем приведено [12], они задаются

а) системой диф. уравн.  

                                                                                                       (5)  

б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве,

в) оператором  At, заданным на множестве Ft  и отображающем его на множество .  

Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка , выйдя из точки (t0, x0), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой решением x(t) = x(t, t0, x0) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени  t = t1 > t0, в который точка (t, x(t)), встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент времени t = t1 точка Pt  “мгновенно” перебрасывается оператором At из положения  в положение и движется дальше по кривой {t, x(t)}, которая описывается решением   системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени t2 > t1, в которой точка Pt снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At точка Pt мгновенно перескакивает из положения  в  и движется дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением  системы уравнений (1), до новой встречи с множеством  Ft и т.д.

Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием.

Кривую  {t, x(t)} описываемую точкой Pt  называют интегральной кривой, а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).

Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:

                                                                                    (6)                       

Т.о., решение системы уравнений (2)  - это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого рода в точках  Ft  со скачками           



 - состояние системы до и после скачка в момент времени t1.

В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные поверхности  расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид:

                                                                           (7)                                     

Устойчивость в системах с нефиксированными моментами 

импульсного воздействия.

Определение 2.

Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t≥t0, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел  и  существует такое число , что для любого другого решения y(t) уравнений (7) из того , что следует, что при всех t≥t0 таких, что , где  – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей .

 Определение 3.

Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым,  если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число , что для любого другого решения этой системы уравнений, удовлетворяющего неравенству  имеет место предельное равенство: .

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:

                                                                                               (8)                    

где  т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8).

Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).

Теорема 3.

Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D неравенствами	

		                                       (9)

то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.

Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство 



для всех - непрерывная при  функция, , то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.

Пример 4.

Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями:

 ,



В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника  находим

 .

Независимо от свойств поверхностей  выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.



§3. Связь рассматриваемых теорий.



Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых было дано в §2.

Пусть задана система

                                                                                                      (10)

 где функция f(t, x) претерпевает разрыв на поверхности S: S(t, x)=0. Тогда множества , фигурирующие в определении импульсной системы, для системы (10) примут вид:

             

где оператор  действует по закону

                                          

 Если  S(t, x)=0 разрешимо относительно t: , то систему (10) можно записать в виде:

	  	                                               (11)

Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10) сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей точки поверхности разрыва. 

Решение X(t) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться следующим образом. Пусть задано начальное условие . Тогда для  функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии  Для  функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии ; для  – с решением системы (10) при условии  и т.д. Каждое решение x(t) будет представлять собой непрерывную функцию.

Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет доопределить f(t, x) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б, В), так как осуществляется перескок через поверхность . В этом случае система (10) сводится к диф. включению

                                                                                                (12)

где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва  в моменты .

Тогда решение x(t) () диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову, если для произвольных чисел  существует такое число , что для любого другого решения  включения (12) из того, что следует, что  при всех  таких, что , где  – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t)  поверхностей .



Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.

Пусть при  функции 2, 3,… непрерывны, а функции  удовлетворяют условию Липшица, т.е. 

 при всех i=1, 2, …, ,

и неравенству

.

Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения системы уравнений (8)  x(t) , определенного при всех  и лежащего в области

,

пересекает каждую поверхность  только один раз.

Доказательство этой теоремы приведено в [12].

Теорема 5.

Если решение x(t)  включения (12), определенное при всех  устойчиво по Ляпунову, то оно  является устойчивым и для системы (8). Верно и обратное.

Доказательство.

Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения уравнения (8) о поверхности .

Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет устойчивым и для системы (8).

Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция V(t, x), удовлетворяющая неравенству



.

При почти всех t производная существует и удовлетворяет включению (12). При этих t существует и 

,

т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.

Т.к.  где M – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва  в моменты , то указанная функция V(t, x) , будет удовлетворять и второму неравенству :

.

Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8)  устойчиво.

Обратно доказывается аналогично.









Заключение.



В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой, реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П. Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.

В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы качественной теории. Во второй главе приведено определение решения разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение соответствует минимальному возможному построению множества F(t, x) среди всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1] Викторовского [6], Матросова [8].

Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории  дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др. Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Сформулирована  и доказана теорема об устойчивости таких систем.

















Литература.



	Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. – Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.

	Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика, 1959, 2, № 6.

	 Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.

	Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.

	Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений. – Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.

	Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2, 213-248.

	Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.

	Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-878.

	Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. – М.: Наука, 1972.

	Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.

	Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. – Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012.

	Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным возмущением. М.: Наука, 1987.

	Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.: Наука, 1981.

	Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.: Наука,1981.

	Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. – М.: Наука, 1974.

	Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128.

	Филиппов А.Ф.  дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985.

	Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. – Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266.

	Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027.



2