Теореми Ролля Лагранжа Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для функції однієї та двох змін

Пошукова робота на тему:

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.


План

Основні теореми диференціального числення 

Теорема Ролля 

Теорема Лагранжа 

Теорема Коші 

Правило Лопіталя 

Формула Тейлора для многочлена 

Формула Тейлора для довільної функції 

Формула Тейлора для функції двох змінних 

6.12. Основні теореми диференціального числення

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу  знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

            Теорема. Нехай функція  задовольняє умовам:

            1) визначена і неперервна на відрізку :

            2) диференційована в інтервалі ;

            3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

            Тоді всередині інтервалу  знайдеться хоча б одна точка  в якій .

            Д о в е д е н н я.    

Випадок 1.  Функція  на відрізку  є сталою:

            .

            Тоді , тобто в кожній точці  похідна дорівнює нулю, а тому за точку  можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

            Випадок 2.  Функція  не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки  за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку  набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

            Через те, що , то хоча б одне з чисел  або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число  досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій 

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки  є найменше значення функції  на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх  з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх  справджуватимуться нерівності

                 при     ,

                 при     .

            Розглянемо відношення       , для якого справедливі нерівності

                     при     ,

                       при     ,

причому .

            Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому

,       .

Звідси випливає, що . Теорему доведено

            З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):

            1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);

            2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

            3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2.  Теорема Лагранжа

            Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу  знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

                             .                              (6.73)

            Д о в е д е н н я.     Розглянемо функцію

,

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді,  на відрізку  є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу  має похідну

;

.

            Отже, існує точка  в якій  або, що саме,



звідси



            Теорему доведено.

            Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. Нехай графік функції зображено на рис. 6.10. Відношення є кутовий коефіцієнт січної , а - кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою . Обидва кутові коефіцієнти однакові. Отже, дотична і січна паралельні. Тому висновок теореми Лагранжа можна сформулювати так: на дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до кривої паралельна  хорді .

            Оскільки , то можемо записати:

.



                   Рис.6.19                                Рис.6.10

            Отже, рівність (6.73) можна записати в такому вигляді:

,

або 

.

            Зокрема, покладемо , одержимо рівність 

.

            Вираз, який стоїть у лівій частині останньої рівності, є не що інше, як приріст  функції в точці . Отже, дістаємо формулу

                          .          (6.74)

            Формула (6.74) виражає точне значення приросту функції 

в точці  за будь-якого скінченого значення приросту аргументу   і має назву формули скінчених приростів.

            Наслідок 1.   Якщо функція  на проміжку має похідні   і   за будь-якого , то  на даному проміжку є сталою.

                Д о в е д е н н я.  Візьмемо в проміжку дві довільні точки  Тоді функція  на відрізку  задовольняє умовам теореми Лагранжа і справедливою є рівність

.

            Проте  при будь-якому , зокрема і при , дорівнює нулю. Тоді з попередньої нерівності випливає:, або .

Оскільки  і   - довільні точки проміжку  і функція  у цих точках набуває однакових значень, то  є сталою.

Тепер ми можемо сформулювати такий критерій сталості диференційованої функції на заданому проміжку: для того, щоб диференційована на проміжку функція  була сталою, необхідно і достатньо, щоб  в кожній точці цього проміжку дорівнювала нулю.

Наслідок 2.    Якщо функції  і   на проміжку мають похідні ,   і  за будь-якого , то різниця між цими функціями  є величина стала.

Д о в е д е н н я.   Позначимо різницю  через : .

Тоді функція  на проміжку  має похідну :

.

Проте , тому . Звідси випливає, що  або, що те саме, .

6.12.3. Теорема Коші

            Теорема. Нехай: 1) функції  і   задані і неперервні на відрізку ; 2) диференційовані в інтервалі ; 3) похідна  всередині інтервалу  не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу  знайдеться така точка , що має місце рівність

                                      .               (6.75)

            

6.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя

Розглянемо невизначеність виду .

            Теорема 1.    Нехай для функцій   і   виконуються умови:

1) функції визначені на півінтервалі   і

;

2) в інтервалі   диференційовані, причому  для всіх ;

3) існує (скінчена або нескінченна ) границя 

.

Тоді існує границя відношення  при і ця границя дорівнює теж числу , тобто

.

Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.

Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.

Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями  виконуються рівності



Нехай



тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:



Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення   яке має при  певну границю. Тоді



У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується  разів.

            Зауваження 2.  Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка  є невласною, тобто . У цьому випадку



Справді, застосувавши підстановку , маємо



            Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду 

            Теорема 2. Нехай для функцій і  виконуються умови:

1)      функції визначені на півінтервалі і при цьому



2)      функції диференційовані в інтервалі  причому



3)      існує ( скінчена або нескінченна) границя



Тоді

.

            Зауваження 3. Крім невизначеностей  є ще й інші невизначеності:  Проте всі вони зводяться до невизначеності або 

            Справді, нехай, наприклад, маємо невизначеність Інакше кажучи, нехай маємо функції  і  такі, що  Тоді добуток  можна зобразити у вигляді частки:

Отже, у правій частині ми маємо невизначеність виду 

            Якщо маємо невизначеність , тобто  і то різницю  можна записати:



отже, в правій частині маємо невизначеність виду 

            Якщо маємо степінь і  тобто невизначеність виду , то її розкривають так.

            Припускаючи, що , вираз має вигляд



            У показнику при  маємо невизначеність виду , яка (це було показано вище) зводиться до невизначеності . Аналогічно невизначеності  розкриваються невизначеності , .

            Приклади.  Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі функцій:

1.                    2.      3. 

              4.        5.      6. 

              7.    8. 

            Р о з в ’ я з о к.  Перевіримо виконання умов теорем Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем перевірити самостійно.

            1. Нехай . Розглядатимемо пів інтервал, де - довільне число. Тоді  . Знаходимо похідні за будь-якого , а потім

.

Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому

.

            2. Маємо невизначеність виду . Використавши першу теорему Лопіталя, одержимо

.

            3. Маємо невизначеність виду , тому використовуємо другу теорему Лопіталя:

.

            4. Маємо невизначеність виду . Зводимо її до невизначеності . Для цього запишемо  у вигляді

.

Отже, дістали невизначеність . Тому

.

            5. Маємо невизначеність . Запишемо добуток 

так: . Дістали невизначеність . Тому



            Під знаком границі в правій частині останньої рівності знову маємо випадок, коли чисельник і знаменник прямують до , тобто маємо ту саму невизначеність . Застосувавши  раз друге правило Лопіталя,  дістаємо



            

            6. Маємо невизначеність . Тоді



Знайдемо границю показника:



тому



            7.Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:

. Дістали невизначеність . 

Отже,

.

            8. Маємо невизначеність виду . Запишемо даний вираз:

.

            Знайдемо границю показника:

.

Отже, 



6.14. Формула Тейлора

6.14.1. Формула Тейлора для многочлена

            Нехай задано многочлен



де - довільні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами многочлена.

            Виразимо коефіцієнти даного многочлена через значення многочлена  та його похідні.

            З цією метою будемо послідовно диференціювати многочлен. Матимемо







.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .



            Підставляючи в ці рівності , дістаємо







.   .   .  .   .   .   .   .  .  .  



            Тоді многочлен  набуде вигляду

                               (6.76)

            Може трапитися, що многочлен  буде записаний за степенями різниці , де - довільне дійсне число:



- дійсні числа. Тоді многочлен  можна записати так:

             (6.77)

            Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.

6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції

            Візьмемо довільну функцію , яка в околі деякої точки і в самій точці  має похідні до -го порядку включно.

            Тоді для такої функції можна побудувати многочлен

    (6.78)

            Цей многочлен називається многочленом Тейлора для функції

            Розглянемо таку різницю:



Оскільки  залежить від  то й  залежить від 

            Тоді



або

       (6.79)

            Формула (6.79) називається формулою Тейлора для функції  а функція - залишковим членом формули Тейлора.

            Отже, формула Тейлора (6.79) відрізняється від формули Тейлора (6.77) для многочлена тим, що вона містить залишковий член Виразимо  через похідну -го порядку від функції 

            Теорема. Якщо  в деякому околі, наприклад, на відрізку  точки  має неперервні похідні до -го порядку включно, то залишковий член  у формулі Тейлора можна записати у вигляді

                                   (6.80)

де  

Формула (6.79) записується тепер у вигляді

         (6.81)

і справедлива для будь-якого  

            Формула (6.81) називається формулою Тейлора із залишковим членом виду Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то матимемо так звану формулу Маклорена       

                               (6.82)

            Враховуючи вирази для диференціалів різних порядків функції можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:

            (6.83)

6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних

            Нехай функція  має в околі точки  неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній формі:

        (6.84) 

де 

            Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого числа змінних.