Определители

Определители

Муниципальное образовательное учреждение – гимназия № 47 

Реферат по математике ученицы 8 г класса Годуновой Екатерины

г.Екатеринбург, 2000г.

Введение

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через Определители , составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.

В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей

Определители второго порядка.

Рассмотрим систему уравнений:

a1x + b1y = с1    

a2x + b2y = с2    

Данную систему можно решить традиционными методами - подстановки и сложения уравнений. Однако, в ряде случаев оказывается легче применить определители

Представим систему в виде квадратной матрицы:

| a1 b1 |   

А = |    |      

| a2 b2 |   .

число а1b1– а2b2 называют определителем системы и обозначают det A или D

| a1 b1 |    | a1 b1 |       

Dx = |     | , Dy = |    |    

| a2 b2 |    | a2 b2 |  

Определитель Dx получается из D заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично Dy.

Возможны три случая:

Случай 1: определитель системы не равен нулю: D ¹ 0. Тогда система  имеет единственное решение: x = Dx/D , y= Dy/D.

Случай 2: определитель системы равен нулю: D = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае системы не имеет решений. 

Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (т.е. коэффициенты и свободные члены пропорциональны). Тогда одно из уравнений есть следствие другого:  система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений. 

Рассмотрим несколько примеров решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей.

Пример 1. Решить систему уравнений: 

2x + 3y = 8     

7x - 5y = -3

| 2 3 |      | 8  3|       | 2 8 |       

D= |   | = -31 Dx = |   | = -31  Dy = |    | = - 62 

| 7 -5 |      | -3 -5|       | 7 -3 |   

Система имеет единственное решение.

х = Dx/D =1  y = Dy/D = 2 

Пример 2. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8      

4x + 6y = 10

| 2 3 |          | 8  3|             

D = |   | = 0, при этом Dx = |   |= 18 ¹ 0.            |   |     

| 4 6 |           | 10 6 |          

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8      

4x +6y = 10

| 2 3 |     | 8 3 |    | 2 8 |      

D = |    |= 0  Dx = |   | =0 Dy = |   | =0    

| 4 6 |     | 16 6 |    | 4 16 |    

Одно из уравнений есть следстввие другого (например, второе получается из первого, умножая на два). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений. 

Определители третьего порядка.

Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестны-ми также можно решить методом определителей .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка 

| a1 b1 c1 |    называется выражение D = а1b2c3 – a1b3c2 + b1c2a3 –   

А= | a2 b2 c2 |              b1c3a2 + c1a2b3 – c1a3b2

| a3 b3 c3 |

или, если выразить его через определители 2-го порядка:

| b2 c2|   | a2 c2 |   | a2 b2 |

a1 |   | - b1 |   | + c1 |   |

| b3 c3|   | a3 c3 |   | a3 b3|

Определители n –го порядка

Определителем квадратной матрицы n-го порядка А, где 

| a11 a12 … a1n |               | a22 a23…a2n |      

| a21 a22 … a2n |   называют число D = a11 | …………… | - 

A = | ………………… |               | an2 an3…annn| 

| an1 an2 … ann |

| a21 a23…a2n |       | a21 a22…a2(n-1)|

- a12 | ………….. | +…+ (-1)n+1a1n | ……………. |

| an1 an3…ann |       | an1 an2…an(n-1) |

т.е. мы имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из из множителей – элемент первой строки, а другой – определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит первый множитель.

Например:

| 4 1 3 5 |

| 2 3 2 1 |   | 3 2 1 |  | 2 2 1 |   | 2 3 1 |   | 2 3 2 | 

| 5 2 1 4 | = 4 | 2 1 4 | - 1 | 5 1 4 | + 3 | 5 2 4 | - 5 | 5 2 1 |

| 11 6 5 10|   | 6 5 10|  | 11 5 10 |   |11 6 10 |   | 11 6 5 |   

= 4( 3(10-20) – 2(20-24) + 1(10-6)) – 1( 2(10-20) –2(50-44) + 1(25-11)) +

+ 3( 2(20-24) – 3(50-44) + 1(30-22)) –5( 2(10-6) – 3(25-11) +2(30-22)) = -28 

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменяется, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

Пример 1:

| a1 b1 |  | a1 a2 |    | 2 3 |          | 2 7 |

|    | = |     |     |     |  = 2(-5) - 7 3 = -31 = |   | 

| a2 b2 |  | b1 b2 |    | 7 -5 |          | 3 -5 |     

2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-нибудь двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на обратный.

| a1 b1 c1 |  | a1 b1 c1 | (переставлены вторая и третья строки)     

| a2 b2 c2 | = - | a3 b3 c3 |

| а3 b3 c3 |  | a3 b3 c3 |

Пример 2:  | 2 3 |   | 5 7 |

    | 5 7 | = - | 2 3 |

3. Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (или столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю.

Пример 3: | 2 -1 3|

| 4 -2 -3| = 2(-2 2 –(-3)(-3)) – (-1)(4 2- 6(-3)) + 3(4(-3)- 6(-2))

| 6 -3 2|  = 0 (первый и второй столбцы пропорциональны). 

| 2 2 2 |

| -5 -3 -3| = 0 (второй и третий столбцы одинаковы).

| 0 -1 -1|

4. Общий множитель всех элементов одной строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

| ma ma’ ma’’ |   | a a’ a’’ | Пример 4: | 3 5 |  | 1 5 |

| b  b’ b’’ | = m | b b’ b’’ |      | 6 7 | = 3 | 2 7 |

| c  c’ c’’ |   | c c’ c’’ |

5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит только первое слагаемое, в другом – только второе (остальные элементы в обоих определителях те же, что в данном ).

| a1 (b1+c1) d1 |  | a1 b1 d1 |  | a1 c1 d1 | 

| a2 (b2+c2) d2 | = | a2 b2 d2 | + | a2 c2 d2 |

| a3 (b3+c3) d3 |  | a3 b3 d3 |  | a3 c3 d3 |

Пример 5: 

| 5  13 |   | 5  6 |    |  5  7 |

| 3  7 | = | 3  3 |  +  |  3  4 |

6. Если ко всем элементам какого-либо столбца прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца, то новый определитель равен старому. То же для строк.

Пример 6:

| 2 -1 3 |

определитель | 4 1 -3 | = 12.

| 5 0 2 |

Прибавим к этим элементам первой строки элементы второй и получим | 6 0 0 |  Этот определитель тоже = 12, но вычисляется

| 4 1 3 |  проще ( в разложении по элементам первой

| 5 0 2 |  строки два слагаемых равны нулю.

Пример 7:

Для вычисления определителя 

| 4 2 3 |  прибавим к элементам первого столбца элементы второго,

|-1 3 5 |  умноженные на -2

| 6 3 -1 |

Получим | 0 2 3 |

| -7 3 5 |  Этот определитель легко вычислянтся 

| 0 3 -1 |  разложением по элементам первого столбца

Получаем:

| 2 3 |  

7 |   | = -77. 

| 3 -1 |

Таким образом, рассмотрев свойства определителей, мы видим, что существует множество возможностей упростить вычисление определи-телей. При «ручном» вычислении определителей очень часто решение системы оказывается сложнее, чем традиционными методами. Однако, решение систем методом определителей легко запрограммировать, и тогда данный метод даст тем больший выигрыш, чем выше порядок системы уравнений.

Заключение

В настоящем реферате показан способ решения линейных уравнений любого сколь угодно большого порядка методом определи-елей. Рассмотрены свойства определителей, решены примеры . Метод определителей позволяет ввести единый алгоритм решения систем, т.е. дает возможность запрограммировать это решение. Таким образом, чем выше порядок системы, тем больше будет выигрыш при решении систем методом определителей, чем при традиционных способах решения. 

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика /Сост.А.П.Савин.- М.:  Педагогика, 1989.

2. Петраков И.С. Математические кружки в 8 –1 0 классах: Кн. для   учителя.- М.: Просвещение, 1987.