Интегрирование и производная функций

Задание 1



Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .



Таблица 1



Порядковый номер исходных данных

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Х

1,415

1,420

1,425

1,430

1,435

1,440

1,445

1,450

1,455

1,460

У

0,888

0,889

0,89

0,891

0,892

0,893

0,894

0,895

0,896

0,897

интерполяция погрешность производная



Решение

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде 





 - конечная разность первого порядка

 - конечная разность К-го порядка.



Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:

























1

1,415

0,888

0,001

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1,420

0,889

0,001

0

0

0

0

0

0

0



3

1,425

0,89

0,001

0

0

0

0

0

0





4

1,430

0,891

0,001

0

0

0

0

0







5

1,435

0,892

0,001

0

0

0

0









6

1,440

0,893

0,001

0

0

0











7

1,445

0,894

0,001

0

0













8

1,450

0,895

0,001

0















9

1,455

0,896

0,001

















10

1,460

0,897





















.



Задание 2



Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.



, [0,4].



Решение

Вычислим первую и вторую производную функции 



. Получим  и .



Итерационное уравнение запишется так:



.

В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости:




 . 



Условие сходимости метода Ньютона выполнено.

Таблица значений корня уравнения:



i



1

3,083

2

2,606

3

2,453



Уточненное значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину 



.



Задание 3



Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.







Решение

Метод прямоугольников

Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:










 слева

 справа

1

0,25

0,2

2

0,2

0,1667

3

0,1667

0,1429

4

0,1429

0,125



0,7595

0,6345



Значение интеграла: .

Метод трапеций

Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.







 

1

0,25

2

0,2

3

0,1667

4

0,1429

5

0,125



Значение интеграла: .

Метод Симпсона











1

0,25

2

0,2

3

0,1667

4

0,1429



Значение интеграла: .



Задание 4



Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2] . Начальное условие у(0,2)=0,25.







Решение



Все вычисления удобно представить в виде таблицы:















0

0,2

0,2500

0,2751

0,0688

0,3188

1

0,45

0,3188

0,4091

0,1023

0,4211

2

0,7

0,4211

0,5634

0,1408

0,5619

3

0,95

0,5619

0,7359

0,1840

0,7459

4

1,2

0,7459

0,9318

0,2329





Таким образом, задача решена.



Задание 5



Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.






Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.







Решение 



Задача 1.












Задача 2.











Задание 6



Вычислить производную функции f(z) в точке .









Решение 

Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то








Задание 7



Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.







Решение 

а) 







Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:



.



б)






Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:



.