Иррациональные уравнения и неравенства

МОУ СОШ  «УК №20»









         Иррациональные

 уравнения   и  неравенства 





       

	                                          реферат    по    алгебре

                                                           ученика  11 «В» класса

	                                                            Торосяна   Левона

        





	                                                  Руководитель:

			                                                      Олейникова Р. М.

			

			

			

			

			                               Сочи  2002г.

			

			                                       

			                                   Содержание.

			

			Введение

			

			Основные правила

				

			Иррациональные  уравнения:

				Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

				Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

				Решение сложных иррациональных уравнений.

					    

			Иррациональные неравенства:

				Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

				Решение нестандартных иррациональных неравенств.

				Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

					    

				Вывод

					

				Список литературы

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				I. Введение

				

				Я, Торосян Левон, ученик  11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение  иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.

Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.

В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.  

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				

				II. Иррациональные  уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

				Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

				Иррациональные уравнения  стандартного вида  можно решить пользуясь следующим правилом:

				                                                

				                                                          

				                                                    

				

				    Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

				

					а) Решить уравнение   = x – 2,

					Решение.

					 = x – 2,

				2x – 1 = x2 – 4x + 4,                                                                        Проверка:

				x2 – 6x + 5 = 0,                                                                       х = 5,       = 5 – 2, 

					x1 = 5,                                                                                                               3 = 3

				x2 = 1 – постор. корень                                                         х =  1,      1 – 2 ,

				Ответ: 5                                                                         пост. к.            1 -1.   

				

				

				б) Решить уравнение   = х + 4,

					Решение.

				 = х + 4,

				

				

				

				

				Ответ: -1

				

				

				в) Решить уравнение  х – 1 = 

					Решение.

				 х – 1 = 

				х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,

				х3 – 4х2 + 4х = 0,

				х(х2 – 4х + 4) = 0,

				х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,

				                                         (х – 2)2 = 0,

				                                          х = 2

				Ответ: 0; 2.     

				

				

				г) Решить уравнение  х –  + 4 = 0,

					Решение.

				х –  + 4 = 0,

				х + 4 = ,                                                         Проверка:

				х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                          х = 11,            11 –  + 4 = 0,

				х2 – 17х + 66 = 0,                                                                                       0 = 0

				х1 = 11,                                                                     х = 6,               6 –  + 4 = 0,  

				х2 = 6.                                                                                                          0 = 0.

				Ответ: 6; 11.

				

				            Решение  иррациональных уравнений смешанного вида:

				

				Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

		а) Решить уравнение  = 

					Решение.

		 = ,                                           –                    +       	

				                                                                                                            x        

				

				Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

				

				           или                                                                                                                

				                                                                                  

                              
                      

		                                                                                                                                              

		Ответ: 

		

		

		б) Решить уравнение  

					Решение.

		,	                                                 –                     +

		        	    x

				Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

				

		            или                    

		                           

		                                            

		                                                                 

		                                            

		Ответ:   .

		

		Иррациональные  показательные  уравнения:

		

		а) Решить уравнение  

		

		Решение.

		

		             ОДЗ:  

		

		Пусть   = t,   t  > 0

		

		Сделаем  обратную  замену:

		 = 1/49,                             или                  = 7,

		 = ,                                                       

		– (ур-ние не имеет решений)              x = 3.

		Ответ: 3  

		

	б) Решить уравнение    

		

		Решение.

		

		Приведем  все степени к одному основанию  2:

	

	данное уравнение равносильно уравнению:

	

	Ответ:  0,7

	

	

Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить  уравнение   

Решение.

 возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 = 

x                                      Проверка:

x                      x = 3,      

4x                                                                           1 = 1.

                                    x = 1,75   
Ответ: 3.







Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб



 но  , значит:



 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

(25 + x)(3 – x) = 27,



Ответ: –24; 2.





Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:





а) Решить уравнение  



Решение.



Пусть  = t,   тогда  = ,   где   t > 0

t – 



Сделаем обратную замену:

= 2, возведем  обе  части  в  квадрат

                        Проверка:  x = 2,5      

Ответ:  2,5.



б) Решить  уравнение  

Решение.



Пусть  = t,   значит = ,   где  t > 0

t+ t – 6 = 0,



Сделаем обратную замену:

 = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16,                                                    Проверка:

x = 8,                                                             x = 2,        

x = 2.                                                                                           6 = 6

Ответ:  2.









в) Решить  уравнение   

Решение.





Пусть   = t,   где   t  > 0



Сделаем обратную замену:

 = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат

                          Проверка:           

                                                               ,          

                       

Ответ: –5; 2.





             Решение сложных  иррациональных уравнений:



Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:

Решить уравнение  

Решение.

  возведем  обе  части уравнения в  куб



 возведем обе  части  уравнения в  квадрат



Пусть   = t

t 2– 11t + 10 = 0,

  

Сделаем  обратную  замену:                                             Проверка:

	= 10,                          или          = 1,                     x = ,              

	x = -пост. корень                                                                          0  

	Ответ:   1.                                                                  x = 1,       

	            	                     1 = 1

Иррациональные  логарифмические уравнения:

	а) Решить  уравнение  lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

	Решение.

	lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,

	lg(3 = lg,

	Учитывая  ОДЗ, данное  уравнение  равносильно  системе:

	

	

	



Ответ: 32,75



б) Решить  уравнение   

Решение.





 

                               

Ответ:  ; – 2; 3.

  IV. Иррациональные неравенства

Неравенства   называются   иррациональными, если  его  неизвестное  входит  под  знак  корня (радикала).

Иррациональное  неравенство  вида  равносильно системе неравенств:



Иррациональное  неравенство  вида  равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

          и           



				

				

				

				 Решение иррациональных неравенств стандартного вида:





а) Решить  неравенство 

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:





                         

                                                                                  +                –                     +      

 

Ответ:     [1; 2).                                                                                                    1                3                        x 

б) Решить неравенство 

Решение.



Данное неравенство  равносильно двум системам  неравенств:



                                          

	

Ответ:         





в) Решить неравенство 

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:



               

                                                                   



Ответ:  нет решений      





Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:



а) Решить неравенство 

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:





Ответ:   





	б) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:















                                           



Ответ:     



Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при  умножении и делении:



а) Решить неравенство 

Решение.



Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:



                                        



Ответ: 



б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)



Учитывая то, что   и правило знаков при делении данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:



                                                       

Ответ:  





	Решение иррациональных неравенств способом группировки:

	Решить неравенство  

	Решение.

	

	,

	 сгруппируем  по  два  слагаемых

	 

	 

	 вынесем общий множитель за скобку

	 учитывая, что  > 0 и правило знаков при                           умножении  данное неравенство равносильно  системе  неравенств:

	

	                                                       

	

	Ответ:  ( 0; 1 )

	

	

	

	   Иррациональное   неравенство,   содержащее   два   знака иррациональности:

	

Решить  неравенство 

Решение.







Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:



	

	                                                               

	

	Ответ: 

	

	

	Решение иррациональных неравенств заменой:

	Решить  неравенство 

	Решение.

	

	

	Пусть  = t, тогда   = ,     t  > 0

	

	

	

	

	

	            

	

	Сделаем  обратную  замену:

	возведем в  квадрат  обе  части  неравенства

	

	

	

	Ответ: 

	

	

        Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

	

		Иррациональные  показательные  неравенства:

		а) Решить  неравенство 

		Решение.

		,

		 т.к.  y = 0,8t  ,  то 

		0,5x(x – 3) < 2,

		0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,

		x2 – 3x – 4 < 0,

		f(x) = x2 – 3x – 4,

		ОДЗ,                                                          +                  –                 +

		Нули функции:  x1 = 4;   x2 = – 1.                                      –1                   4               x

		

		Ответ: х

		

		

		б) Решить  неравенство  4– 2 < 2– 32

		Решение.      

		4– 2 < 2– 32,                            ОДЗ:  x > 0

		2– 2 2 < 2 24 – 25, выполним  группировку слагаемых

		2(2– 2) – 24(2–2) < 0,

		(2– 2)  (2– 24) < 0, учитывая  правило  знаков   и  ОДЗ  данное  неравенство равносильно 2-м системам:

		

	                        или                                 

	  

		т.к. y = 2t , то                                       т.к. y = 2t , то

	                                                               

	

	                                                                        

		

	Ответ: х

	

	Решение иррациональных логарифмических неравенств:

	Решить  неравенство   

	Решение.

	 уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

	

	

	

                                             



	Ответ:  



V. Вывод



Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения  и  неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие  знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.    

Примеры  взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ  и  абитуриентам  технических  вузов.



                                        





VI. Список  литературы



Алгебра  и  начала   анализа.   Под  редакцией                        А.Н. Колмогорова

3000 конкурсных задач по математике. Авторы:             Е.Д. Куланин,  В.П. Норин

Справочные материалы по математике. Авторы:                   В.А. Гусев,  А.Г. Мордкович

Сборник задач по математике. Под  редакцией              М.И. Сканави

Справочный  материал





1