Проверка истинности моделей множественной регрессии

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.И. ПОЛЗУНОВА

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ РЕГИОНАЛЬНЫМ РАЗВИТИЕМ

















Расчётное задание

по дисциплине: Эконометрика

Проверка истинности моделей множественной регрессии

	

	

	

	

	Выполнил:

	Филатов М.И.











2010


Исходные данные



 

Численность студентов (на 1000 человек населения)

Динамика Валового Внутреннего Продукта (в постоянных ценах)

Динамика валового накопления основного капитала (в постоянных ценах)

 

x1

y

x2

Россия

64

131,2

103

Австралия

50

123

169

Австрия

29

117

115

Азербайджан

22

177,3

103,4

Армения

34

184,1

263,5

Беларусь

195

164,9

162,2

Бельгия

39

115

120

Венгрия

42

139

178

Германия

28

110

102

Грузия

42

169,3

112,4

Дания

40

114

134

Италия

34

111

125

Казахстан

61

163,4

126,7

Канада

42

121

156

Киргизия

46

134,7

83,3

Китай

15

184

420

Мексика

22

122

175

Нидерланды

33

119

129

Норвегия

47

120

130

Польша

54

140

154

Республика Молдова

34

129,1

134,1

Румыния

32

115

132

Соединенное Королевство Великобритания

38

122

146

США

58

117

143

Таджикистан

21

116,4

143,5

Украина

51

122,7

122,6

Финляндия

58

130

154

Франция

36

115

129

Швеция

48

121

129

Япония

32

105

91¹

Все данные взяты за 2003 год. Данные взяты из статистического сборника Регионы России Социально-экономические показатели.

2003. Федеральная служба государственной статистики Построение модели множественной регрессии



Расчет параметров



Рассчитаем необходимые параметры:



Признак

Ср. знач.

СКО

Характеристики тесноты связи

βi

bi



Коэф-ты частной корр.

F-критерий фактический

Табличный F-критерий

y

131,77

22,74

Ryx1x2=0,5963













x1

44,9

30,41

ryx1=0,2152

0,2639

0,1973

0,0672

ryx1х2=0,3112

Fx1факт=2,8954

4,21

x2

146,19

60,57

ryx2=0,5353

0,5583

0,2097

0,2326

ryx2х1=0,5695

Fx2факт=12,95

4,21







rx1x2=-0,0872



a=92,26



rx1х2у=-0,2453

Fфакт=7,45

3,35



Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:



ty =2639tx1+0,5583tx2



Уравнение множественной регрессии в естественной форме:



yтеор =92,26+0,1973x1 +0,2097x2



Рассчитаем по этой формуле теоретические значения динамики ВВП и определим среднюю ошибку аппроксимации. Она равна 9,5254.


Выбор фактора, оказывающего большее влияние



1. Динамика валового накопления основного капитала оказывает большее влияние на динамику ВВП, чем численность студентов, так как 



|β2|=0,5583 > |β1|=0,2639.



2. С помощью средних коэффициентов эластичности можно оценить относительную силу влияния динамики валового накопления основного капитала (х2) и числа студентов (х1) на динамику ВВП (у):



=0,0672, =0,2326, 



следовательно, с увеличением валового накопления основного капитала на 1% от их среднего значения, динамика ВВП возрастает на 0,23% от своего среднего значения. А при увеличении числа студентов на 1% от своего среднего значения, динамика ВВП увеличится на 0,067% от своего среднего значения. Очевидно, что сила влияния второго фактора (динамики валового накопления основного капитала) на результативный признак (динамику ВВП) значительно больше, чем сила влияния первого фактора (числа студентов).

3.Сравнивая коэффициенты парной и частной корреляции



ryx1

0,2152

ryx2

0,5353

ryx1x2

0,3112

ryx2x1

0,5695



Коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно что говорит о слабой межфакторной связи. Связь между динамикой валового накопления основного капитала и динамикой валового внутреннего продукта (связь прямая и средне тесная) выше, чем связь между числом студентов и динамикой ВВП (связь прямая слабая).

4. По коэффициенту множественной корреляции: Rуx1x2=0,5963 можно сделать вывод, что зависимость динамики ВВП от динамики валового накопления основного капитала и числа студентов характеризуется как средне тесная, в которой 59,63% вариации результативного признака определяется вариацией учтённых в модели факторов. Прочие факторы, не включённые в модель, составляют соответственно 35,56% от общей вариации.

4. Так как F – критерий Фишера превышает табличное значение: 



Fфакт=7,45 >Fтабл=3,35



то можно говорить о статистической значимости и надёжности уравнения регрессии.

5. Сравнивая частные F – критерии фактические с пороговой константой Fтабл=4,21, делаем вывод: Fх2факт=12,95 > Fтабл, следовательно статистически подтверждена целесообразность включения в модель динамики валового накопления основного капитала, после числа студентов, т.к. этот фактор оказывает большее влияние.



Построение парных моделей регрессии



Представим данные полученные при построении парных моделей в таблице:



Модель

Aср.

r (ρ)

Уравнение

Fфакт

Линейная

10,89

0,5353

у=102,38+0,201х1

11,24

Степенная

11,008

0,4934

у=38,26×х10,2481

9,01

Показательная

10,47

0,5350

у=106,53×1,001х1

11,23

Гиперболическая

12,59

0,3786

у=165,92-4546,04/х1

4,68



Определение лучшей модели



1. Недопустимую ошибку аппроксимации имеют все 4 модели, однако у показательной модели она наименьшая, это говорит о том что линейная модель лучше аппроксимирует исходные данные чем остальные модели.

2. У линейной модели теснота связи самая сильная по сравнению с другими моделями. Это говорит о том, что показательная модель лучше подходит к нашим данным.

3. Проверив гипотезу о стат. значимости и надежности, получив значения Fфакт больше табличного во всех случаях, получаем, что все 4 уравнения являются стат. значимыми и надежными. Хотя линейная модель имеет наибольшее Fфакт по сравнению с другими моделями, это говорит о большей точности линейной модели. 

По двум показателям линейная модель лучше остальных, это говорит о том, что линейная модель лучше аппроксимирует исходные данные. Однако множественная модель, на мой взгляд, лучше аппроксимирует данные, чем линейная, потому что множественная модель имеет допустимую ошибку аппроксимации и большую тесноту связи.







Проверка предпосылок МНК



	1.Первую предпосылку проверим путём вычисления суммы значений остатков:

	

x1

x2

y

x1x2

yx1

yx2

y^x

y-y^x

64

103

131,2

6592

8396,8

13513,6

126,48

4,72

50

169

123

8450

6150

20787

137,56

-14,56

29

115

117

3335

3393

13455

122,09

-5,09

22

103,4

177,3

2274,8

3900,6

18332,82

118,28

59,02

34

263,5

184,1

8959

6259,4

48510,35

154,21

29,89

195

162,2

164,9

31629

32155,5

26746,78

164,75

0,15

39

120

115

4680

4485

13800

125,11

-10,11

42

178

139

7476

5838

24742

137,87

1,13

28

102

110

2856

3080

11220

119,17

-9,17

42

112,4

169,3

4720,8

7110,6

19029,32

124,11

45,19

40

134

114

5360

4560

15276

128,25

-14,25

34

125

111

4250

3774

13875

125,18

-14,18

61

126,7

163,4

7728,7

9967,4

20702,78

130,86

32,54

42

156

121

6552

5082

18876

133,25

-12,25

46

83,3

134,7

3831,8

6196,2

11220,51

118,80

15,90

15

420

184

6300

2760

77280

183,27

0,73

22

175

122

3850

2684

21350

133,29

-11,29

33

129

119

4257

3927

15351

125,82

-6,82

47

130

120

6110

5640

15600

128,79

-8,79

54

154

140

8316

7560

21560

135,20

4,80

34

134,1

129,1

4559,4

4389,4

17312,31

127,08

2,02

32

132

115

4224

3680

15180

126,25

-11,25

38

146

122

5548

4636

17812

130,37

-8,37

58

143

117

8294

6786

16731

133,69

-16,69

21

143,5

116,4

3013,5

2444,4

16703,4

126,49

-10,09

51

122,6

122,7

6252,6

6257,7

15043,02

128,03

-5,33

58

154

130

8932

7540

20020

135,99

-5,99

36

129

115

4644

4140

14835

126,41

-11,41

48

129

121

6192

5808

15609

128,78

-7,78

32

91

105

2912

3360

9555

117,65

-12,65













сумма

0,0000

	

	2.Случайный характер остатков. Проверим графически: 





Из графика зависимости остатков εi от теоретических значений результативного признака видно, что точки распределены случайно, следовательно, εi представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

3. Наличие гомоскедастичности. Воспользуемся методом Гольдфельда – Квандта. Число исключаемых центральных наблюдений примем равным 8. Тогда в каждой группе будет по 11 наблюдений. Результаты расчетов представим в таблице:

x1

x2

y

x1x2

yx1

yx2

y^x

y-y^x

Ai

(y-y^x)^2

46

83,3

134,7

3831,8

6196,2

11220,51

132,15

2,55

1,8961

6,52

32

91

105

2912

3360

9555

128,41

-23,41

22,2973

548,13

28

102

110

2856

3080

11220

127,98

-17,98

16,3451

323,27

64

103

131,2

6592

8396,8

13513,6

139,08

-7,88

6,0058

62,09

22

103,4

177,3

2274,8

3900,6

18332,82

126,24

51,06

28,7972

2606,87

42

112,4

169,3

4720,8

7110,6

19029,32

133,02

36,28

21,4308

1316,41

29

115

117

3335

3393

13455

129,22

-12,22

10,4468

149,40

39

120

115

4680

4485

13800

132,65

-17,65

15,3447

311,40

51

122,6

122,7

6252,6

6257,7

15043,02

136,51

-13,81

11,2549

190,71

34

125

111

4250

3774

13875

131,48

-20,48

18,4460

419,23

61

126,7

163,4

7728,7

9967,4

20702,78

139,87

23,53

14,4012

553,73















0,0000

15,1514

6487,74



x1

x2

y

x1x2

yx1

yx2

y^x

y-y^x

Ai

(y-y^x)^2

21

143,5

116,4

3013,5

2444,4

16703,4

119,32

-2,92

2,5060

8,51

38

146

122

5548

4636

17812

124,14

-2,14

1,7530

4,57

58

154

130

8932

7540

20020

131,22

-1,22

0,9407

1,50

54

154

140

8316

7560

21560

130,25

9,75

6,9625

95,01

42

156

121

6552

5082

18876

127,90

-6,90

5,7020

47,60

195

162,2

164,9

31629

32155,5

26746,78

166,75

-1,85

1,1203

3,41

50

169

123

8450

6150

20787

133,47

-10,47

8,5103

109,57

22

175

122

3850

2684

21350

128,35

-6,35

5,2041

40,31

42

178

139

7476

5838

24742

134,04

4,96

3,5697

24,62

34

263,5

184,1

8959

6259,4

48510,35

155,95

28,15

15,2883

792,18

15

420

184

6300

2760

77280

195,01

-11,01

5,9854

121,29















0,0000

5,2311

1248,57



Величина R=0,1924 (1248,57/6487,74), меньше табличного значения F-критерия, следовательно, наличие гомоскедастичности и отсутствие гетероскедастичности.

4.Отсутствие автокорреляции. Тест Дарбина–Уотсона:



x1

x2

y

y^

lу-у^l

(lу-у^l/у)*100

у-у^

ei-ei-1

(ei-ei-1)^2

(у-у^)^2

64

103

131

126,48

4,715497

3,594

-4,715

-4,7155

22,2

22,24

50

169

123

137,56

14,55865

11,836

14,559

19,27414

371,5

211,95

29

115

117

122,09

5,093094

4,353

5,093

-9,46555

89,6

25,94

22

103

177

118,28

59,02032

33,288

-59,020

-64,1134

4110,5

3483,40

34

264

184

154,21

29,88682

16,234

-29,887

29,13349

848,8

893,22

195

162

165

164,75

0,151302

0,092

-0,151

29,73552

884,2

0,02

39

120

115

125,11

10,11485

8,796

10,115

10,26615

105,4

102,31

42

178

139

137,87

1,133281

0,815

-1,133

-11,2481

126,5

1,28

28

102

110

119,17

9,170267

8,337

9,170

10,30355

106,2

84,09

42

112

169

124,11

45,18646

26,690

-45,186

-54,3567

2954,7

2041,82

40

134

114

128,25

14,24733

12,498

14,247

59,43379

3532,4

202,99

34

125

111

125,18

14,17636

12,771

14,176

-0,07097

0,0

200,97

61

127

163

130,86

32,53879

19,914

-32,539

-46,7152

2182,3

1058,77

42

156

121

133,25

12,25437

10,128

12,254

44,79316

2006,4

150,17

46

83,3

135

118,80

15,89794

11,802

-15,898

-28,1523

792,6

252,74

15

420

184

183,27

0,725914

0,395

-0,726

15,17202

230,2

0,53

22

175

122

133,29

11,29077

9,255

11,291

12,01669

144,4

127,48

33

129

119

125,82

6,817621

5,729

6,818

-4,47315

20,0

46,48

47

130

120

128,79

8,790167

7,325

8,790

1,972546

3,9

77,27

54

154

140

135,20

4,796736

3,426

-4,797

-13,5869

184,6

23,01

34

134

129

127,08

2,015804

1,561

-2,016

2,780932

7,7

4,06

32

132

115

126,25

11,24923

9,782

11,249

13,26503

176,0

126,55

38

146

122

130,37

8,368454

6,859

8,368

-2,88077

8,3

70,03

58

143

117

133,69

16,68649

14,262

16,686

8,318035

69,2

278,44

21

144

116

126,49

10,08938

8,668

10,089

-6,59711

43,5

101,80

51

123

123

128,03

5,32814

4,342

5,328

-4,76124

22,7

28,39

58

154

130

135,99

5,992662

4,610

5,993

0,664522

0,4

35,91

36

129

115

126,41

11,40967

9,921

11,410

5,417008

29,3

130,18

48

129

121

128,78

7,777864

6,428

7,778

-3,63181

13,2

60,50

32

91

105

117,65

12,65349

12,051

12,653

4,875628

23,8

160,11

















19110,43

10002,65



Исходя из статистики Дарбина-Уотсона, можно сделать вывод, что автокорреляция отсутствует, так как 1,91 находится в промежутке (1,339;2,661) (d2; 4-d2). Следовательно, значения остатков распределены независимо друг от друга. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

Таким образом, не все предпосылки выполнились, это говорит о недостаточной надежности уравнения множественной регрессии. Возможно, можно было бы и получить надежную модель, если исключить из данных страны значение динамики ВВП, которых сильно отличается от других.