Приближенное вычисление определенных интегралов

Магнитогорский Государственный технический университет

































Приближенное вычисление определенных интегралов. 

Формула парабол (формула симпсона)



















Подготовил:        Студент группы ФГК-98       Григоренко М.В.























Магнитогорск –1999

Н

е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и  применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.

Формула парабол (формула Симпсона)

Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2]  и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2)  и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией. 









		





Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид 

y = Ax2 + Bx + C.

Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.

Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.

Если криволинейная трапеция ограничена параболой 

y = Ax2 + Bx + C,

осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна 

S = h/3 (y0 + 4y1 + y2),    (☺)

где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка

Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные равенства (h=Δx):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение:





Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.


Примеры

Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:

                                           

                                                   И



Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).

Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***).

Были получены следующие ответы:















При n = 20.







Приложение









'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол

'(формула Симпсона)

Option Explicit

Sub integral_1()

Dim i As Integer, n As Integer

Dim t As Boolean

Dim b As Double, a As Double

Dim chet As Double, nechet As Double

Dim delta As Double, result As Double

a = 0                                                                                        '(*)

b = 1                                                            		         '(**)

t = True

Do

n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")

If n Mod 2 = 0 Then t = False

Loop While t

delta = (b - a) / n

chet = 0

nechet = 0

For i = 1 To n - 1

 If (i Mod 2) = 0 Then

   chet = chet + (f(a + (delta * i)))

 Else

   nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))

End If

Next i

result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))

MsgBox result, vbInformation, "Результат"

End Sub

Function f(x) As Double

f = Sqr(1 + (x ^ 4))                                                                      '(***)

End Function























'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол

'(формула Симпсона)

Option Explicit

Sub integral_1()

Dim i As Integer, n As Integer

Dim t As Boolean

Dim b As Double, a As Double

Dim chet As Double, nechet As Double

Dim delta As Double, result As Double

a = 2                                                                                        '(*)

b = 5                                                            		         '(**)

t = True

Do

n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")

If n Mod 2 = 0 Then t = False

Loop While t

delta = (b - a) / n

chet = 0

nechet = 0

For i = 1 To n - 1

 If (i Mod 2) = 0 Then

   chet = chet + (f(a + (delta * i)))

 Else

   nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))

End If

Next i

result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))

MsgBox result, vbInformation, "Результат"

End Sub

Function f(x) As Double

f = 1 / (Log(x))                                                                           '(***)

End Function







2