Призма и параллелепипед

Призма и параллелепипед




Содержание



Понятие призмы и виды призм

Понятие параллелепипеда

Свойства параллелепипеда

Дополнительные соотношения между элементами призмы

Задачи

Тесты

Глоссарий

Литература




Понятие призмы и виды призм



Рассмотрим два равных многоугольника  и , расположенных в параллельных плоскостях  и  так, чтобы отрезки , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).





Рис. 1 





Каждый из n четырехугольников



…,  (1)



является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников  и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой.

Многоугольники  и  называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки  называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), следовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями  и  называют n – угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы.





Рис. 2





Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 2 изображена правильная шестиугольная призма. [1, 62]



Понятие параллелепипеда



Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.




 



Рис. 3 

Рис. 4



Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301]

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме: [2, 115]



Параллелепипеды



Прямые

Наклонные





Прямоугольные

Не прямоугольные





Правильные 4-х угольные

призмы

Другие





Кубы

Не кубы



Свойства параллелепипеда



Теорема:

У параллелепипеда:

1) противолежащие грани равны и параллельны;

2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство:

1) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например,  и  (рис. 5).







Рис. 5





Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая  параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и  параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань  совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.

2) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например,  и , и проведем дополнительные прямые  и . АВ и  соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура  есть параллелограмм, в котором прямые  и  – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]

Теорема:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство:

Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если  – диагональ прямоугольного параллелепипеда , то  – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, . [2, 116]







Рис. 6



Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.




Дополнительные соотношения между элементами призмы



Если в наклонной призме боковое ребро  образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты  лежит на биссектрисе угла  (рис. 7).

Доказательство: 





Рис. 7





Проведем   и отрезки   Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем  и . Прямоугольные треугольники  и  равны, поскольку имеют общую гипотенузу  и одинаковые углы ( по условию). Следовательно,  и , отсюда  Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла  и, следовательно, лежит на биссектрисе  угла . [3, 24]



Задачи



1. Ребро куба равно а.

Найдите:

Диагональ грани: d= a√2.

Диагональ куба: D= a√3.

Периметр основания: P= 4a.








2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.







Решение

Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть , где - площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности, содержащей основание, - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).

Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:



Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой , с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:



Таким образом:

, 



3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы.

Решение

Правильный четырехугольник – это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна 

Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: 

Ответ: 22 см

4. Рассмотрим правильную четырехугольную призму , диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину  и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если 

Решение







Построение сечения видно на рисунке, где К и L – середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F – точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник  площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников  и  а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники  и  равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:







Проекция пятиугольника  на плоскость основания призмы есть пятиугольник , площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата  площадь треугольника ВКL:



Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как  и  (согласно теореме о трех перпендикулярах), то  – линейный угол двугранного угла КL.

Далее находим:



 



Из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора имеем:







Значит,  и 



5. Дана правильная призма: , . Найти высоту призмы.

Решение













Площадь основания 

АВ= 2 см.

Периметр основания Р = 8 см.

Высота призмы 

6. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть  – данный параллелепипед с основаниями ,  и боковыми рёбрами , причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина  равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины  до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка  равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах , поэтому  – высота грани . Из прямоугольного треугольника  находим, что



.



Значит,







Аналогично,






Если S – полная поверхность параллелепипеда , то



.



7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

Доказательство

У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.

8. В параллелепипеде  грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро  также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .

Решение

Треугольник – равносторонний, т.к.  = AB и . Поэтому . Аналогично, . Боковые рёбра  треугольной пирамиды  с вершиной  равны между собой, значит, высота  этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника  находим, что








Поскольку , точка  равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и =, четырёхугольник  – прямоугольник, поэтому OK==5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK=. Из прямоугольных треугольников MKB и  находим, что:







9. На ребре AD и диагонали  параллелепипеда  взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости  и AM:AD = 1:5. Найдите отношение .

Решение

Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости  и  пересекаются по прямой , поэтому прямые  и  пересекаются в некоторой точке Q, причём







По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и  пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой  и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости ). Рассмотрим параллелограмм . Так как 



 то 





10. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Решение

Пусть O – общая середина отрезков ,  и . Тогда AB||и AD||. Значит, плоскости ABD и  параллельны. Аналогично, плоскость  параллельна плоскости . В плоскостях ABD и  возьмём соответственно точки C и  так, что ABCD и  – параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и ||, то CD||. Поэтому плоскости  и  также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.



Тесты



1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см.

Варианты ответов:




А

Б

В

Г

Д

 см

9 см

 см

24 см

 см




Решение

Длина диагонали параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений и составит 

2. Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер

Варианты ответов:



А

Б

В

Г

Д

8

10

12

24

6



3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников  и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется:

А) параллелепипед;

Б) призма;

В) пирамида;

Г) многогранник;

Д) конус.

4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется…

А) высотой призмы;

Б) ребром призмы;

В) медианой призмы;

Г) диагональю призмы;

Д) стороной призмы.

5. Прямая призма называется правильной, если ее основания…

А) равнобедренные треугольники;

Б) не правильные многоугольники;

В) параллелограммы;

Г) окружности;

Д) правильные многоугольники.

6. У параллелепипеда все грани...

А) параллелограммы;

Б) треугольники;

В) трапеции;

Г) шестиугольники;

Д) квадраты.

7. В прямоугольном параллелепипеде все ли диагонали равны?

А) нет;

Б) да.

8. У параллелепипеда противолежащие грани равны и …

А) параллельны;

Б) лежат в одной плоскости;

В) перпендикулярны;

Г) лежат в разных плоскостях;

Д) образуют между собой угол 

9. У параллелепипеда все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней …

А) в отношении 1:2;

Б) в отношении 1:3;

В) пополам;

Г) в отношении 1:5;

	Чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда?

А) сумме квадратов трех его измерений;

Б) сумме ребер;

В) сумме трех его измерений;

Г) сумме квадратов ребер;

Д) корню из суммы трех его измерений.




Глоссарий



	Многогранник, составленный из двух равных многоугольников  и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется призмой.







	Многоугольники  и  называются основаниями, а параллелограммы …, – боковыми гранями.

	Призму с основаниями  и  называют n – угольной призмой.

	Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

	Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

	Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

	Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом.

	У параллелепипеда все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом.

	Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

	Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом.




Литература



	Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Учеб. для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992 – 207с.

	Геометрія: Підруч. для учнів 10 – 11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. загально-освіт. закладах /Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, В. М. Владіміров, Н. Г. Владімірова. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 2003. – 239 с.

	Лосєва Н. М. Геометричні тіла: Навчальний посібник. – Донецьк: ДонНУ, 2006. – 240 с.

	Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.