Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1998 г.

Район

Потребительские расходы в расчете на душу населения тыс. руб. у

Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х

Волго-Вятский район





Респ. Марий Эл

302

554

Респ. Мордовия

360

560

Чувашская респ.

310

545

Кировская обл.

415

672

Нижегородская обл.

452

496

Центрально-Черноземный





Белгородская обл.

502

777

Воронежская  обл.

355

632

Курская обл.

416

688

Липецкая обл.

501

833

Тамбовская обл.

403

577

Поволжский





Респ. Калмыкия

208

584

Респ. Татарстан

462

949

Астраханскаяобл.

368

888

Волгоградская обл.

399

831

Пензенская обл.

342

562

Саратовская обл.

354

665

Ульяновская обл.

558

705





Задание

1. Постройте поле корреляции и сформируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Рассчитайте коэффициент эластичности.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.

8. Оцените полученные результаты.


Построим поле корреляции:



В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей скорее всего гиперболический характер.

1.1 Построить линейную модель.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1 приложения.

Можно сказать, что связь между размером потребительских расходов и  средней заработной платы и выплат социального характера.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: 

Значения параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 1.

, .

Уравнение регрессии имеет вид: 

Рассчитаем коэффициент детерминации: 



Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера.

F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=15, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.

Определим среднюю ошибку:



В среднем расчетные значения ý для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,04%.

1.2 Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной регрессии имеет вид: 

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Данные приведены в таблице 2 приложения.

Обозначим Y=lgŷ, X=lg x, A=lga.

Тогда уравнение примет вид: Y=A+bX-линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.



A=0,001

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,001+0,915X

Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения:

Ŷ=10-0,001*х0,915

Получим уравнение степенной модели регрессии: Ŷ=0,998*х0,915

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R2=r2XY=0,728

Рассчитаем критерий Фишера.

F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=15

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ý для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,28%.

1.3 Построение экспоненциальной функции

Ŷ=аbx

Для построения этой модели необходимо провести линериаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения.

Lgŷ=lga+xlgb

Обозначим Y=lgŷ, B=lgb, A=lga

Получим линейное уравнение регрессии:

Y=A+Bx

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4 приложения.

, .

Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенциирование данного уравнения:

Ŷ=100,026*(100,004)x=1,06*1,01x

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать недостаточно сильной. Коэффицент детерминации равен R2=r2XY=0,404

Рассчитаем критерий Фишера.

F Fтабл=4,54 для α=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=15

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F> Fтабл.

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ý для экпоненциальной модели отличаются от фактических значений на 5,16%.

1.4 Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции:

Ŷ=a+b/x

Проведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение ŷ=a+bX

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 5.

, .

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Ŷ=31,001+215709,49/х



Определим индекс детерминации:r2=0,951

Вариация результата Y на 95,1% объясняется вариацией фактора Х.

Рассчитаем критерий Фишера.

F Fтабл=4,54 для α=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=15

Средняя относительная ошибка: 0,067*44,106=2,955%

В среднем расчетные значения ý для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 2,955%.

1.5 Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов



Коэффициент детерминации

F-критерий Фишера

Индекс корреляции

Средняя относительная ошибка

Линейная

0,346

7,9

0,588

4,04

Степенная

0,728

40,2

0,924

1,28

Экспоненциальная

0,636

0,404

10,17

5,16

Гиперболическая

0,951

291,1

0,975

2,955

Наибольшее значение коэффициента детерминации и критерия Фишера имеет гиперболическая модель. Она же имеет практически наименьшую среднюю относительную ошибку, значит, ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

1.6 Расчет прогнозного значения результативного показателя.

.

Подставим значение xр в уравнение гиперболической регрессии:

Ŷ=31,001+215709,49/х

 



Доверительный интервал прогноза для уровня значимости  определяется в виде:





где 





Рассчитаем необходимые величины:



;







;



; ;





.



В результате доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05 равен:



505,8-0,275*145,8 .

465,7

8. Полученные результаты, в целом удовлетворительные. Модель гиперболической парной регрессии описывает реальную зависимость рассматриваемыми показателями.