Теория вероятности

Индивидуальные задания по математике




Задача 1



В урне 6 белых шаров, 11 – черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

Решение

1) Вероятность того, что один из вытащенных шаров будет белым равна количеству шансов вытащить белый шар из всей суммы шаров, находящихся в урне. Этих шансов ровно столько сколько белых шаров в урне, а сумма всех шансов равна сумме белых и черных шаров.







Вероятность того, что второй из вытащенных шаров также будет белым равна







Так как один из белых шаров уже вытащен.

Таким образом, вероятность того, что оба вытащенных из урны шара будут белыми равна произведению этих вероятностей, так как эти возможности независимы:



.




2) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут одного цвета это – вероятность того, что оба шара будут либо белыми, либо черными. Она равна сумме вероятностей - вытащить два белых шара или два черных шара:



.



3) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут разных цветов это – вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черными или того, что первый шар будет черным, а второй – белым. Она равна сумме соответствующих вероятностей.



.



Ответ: 1)  2)  3) .



Задача 2



В первой урне 6 белых шаров, 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из каждой из урн наугад вынимают по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

Решение

1) Вероятность того, что оба шара будут белыми равна произведению вероятности того, что шар вытащенный из первой урны будет белым на вероятность того, что шар вытащенный из второй урны также окажется белым:








2) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут одного цвета это – вероятность того, что оба шара будут либо белыми, либо черными. Она равна сумме вероятностей - вытащить два белых шара или два черных шара:



.



3) Вероятность того, что шар, вытащенный из первой урны будет белым, а шар, вытащенный из второй урны – черным, или наоборот – первый шар будет черным, а второй – белым, равна сумме соответствующих вероятностей:







Ответ: 1)  2)  3) .



Задача 3



Среди 24 лотерейных билетов – 11 выигрышных. Найти вероятность того, что по крайней мере один из 2-х купленных билетов будет выигрышным.

Решение

Вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным, равна разности между единицей и вероятностью того, что ни один из купленных билетов не будет выигрышным. А вероятность того, что ни один из купленных билетов не будет выигрышным равна произведению вероятности того, что первый из билетов не будет выигрышным на вероятность того, что и второй билет не будет выигрышным:







Отсюда, вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным:







Ответ: 



Задача 4



В ящике 6 деталей первого сорта, 5 – второго и 2 – третьего. Наугад берутся две детали. Какова вероятность того, что они обе будут одного сорта?

Решение

Искомая вероятность это – вероятность того, что обе детали будут или 1-го или 2-го или 3-го сорта и равна сумме соответствующих вероятностей:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся первого сорта:







Вероятность, что обе взятые детали окажутся второго сорта:






Вероятность, что обе взятые детали окажутся третьего сорта:







Отсюда вероятность вытащить 2 детали одного сорта равна:







Ответ: 



Задача 5



В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус.

Решение

Автобус может прибыть в любой момент t, где 0 ≤ t ≤ 1 (где t – время в часах) или, что то же самое, 0 ≤ t ≤ 60 (где t – время в минутах).

Пассажир прибывает в момент t = 0 и ожидает не более 28 минут.

Возможности прибытия автобуса на станцию в течение этого времени или в течение остальных 32 минут равновероятны, поэтому вероятность того, что пассажиру, прибывшему на эту остановку в момент времени t = 0, придётся ожидать автобус не более 28 минут равна .

Ответ: 




Задача 8



Вероятность попадания первым стрелком в мишень равна 0,2 , вторым – 0,2 и третьим – 0,2. Все три стрелка одновременно произвели выстрел. Найти вероятность того, что:

1) только один стрелок попадёт в мишень;

2) два стрелка попадут в мишень;

3) хотя бы один попадет в мишень.

Решение

1) Вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень равна вероятности попадания в мишень первым стрелком и промаха вторым и третьим или попадания в мишень вторым стрелком и промаха первым и третьим или попадания в мишень третьим стрелком и промаха первым и вторым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый стрелок попадёт в мишень, а второй и третий – промахнутся равна произведению этих вероятностей:



.



Аналогичные вероятности попадания вторым стрелком в мишень и промаха первым и третьим, а также попадания третьим и промаха первым и вторым:



,

.



Отсюда, искомая вероятность:




.



2) Вероятность того, что два стрелка попадут в мишень равна вероятности попадания в мишень первым и вторым стрелком и промаха третьим или попадания в мишень первым и третьим стрелком и промаха вторым или попадания в мишень вторым и третьим стрелком и промаха первым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый и второй стрелки попадут в мишень, а третий – промахнётся равна произведению этих вероятностей:



.



Аналогичные вероятности попадания первым и третьим стрелком в мишень и промаха вторым, а также попадания вторым и третьим и промаха первым:



,

.



Отсюда, искомая вероятность:



.



3) Вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень равна разности между единицей и вероятностью того, что ни один стрелок не попадёт в мишень. Вероятность того, что ни один стрелок не попадёт в мишень равна произведению этих вероятностей:




.



Отсюда,



.



Ответ: 1) , 2) , 3) .



Задача 9



Студент знает 11 вопросов из 24 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: 1) студент знает все три вопроса; 2) только два вопроса; 3) только один вопрос экзаменационного билета.

Решение

1) Вероятность того, что студент знает все три вопроса билета равна произведению вероятностей знания каждого из них. Так как все три вопроса разные и не повторяются, то:



.



2) Вероятность того, что студент знает только два вопроса билета равна вероятности того, что он знает первый и второй вопрос, а третий – не знает, или, что он знает первый и третий вопрос, а второй – не знает, или, что он знает второй и третий вопрос, а первый – не знает. То есть, эта вероятность равна сумме всех этих вероятностей.

Первое слагаемое этой суммы:


.



Второе слагаемое этой суммы:



.



И третье слагаемое этой суммы:



.



Отсюда искомая вероятность:



.



3) Вероятность того, что студент знает только один вопрос из трёх равна разности единицы и вероятности того что он не знает ни одного вопроса:



.



Ответ: 1)  , 2) , 3) .



Задача 12



В первой урне 6 белых шаров и 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из первой урны переложили во вторую один шар , затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что взятый из второй урны шар оказался: 1) белым, 2) чёрным.

Решение

1) Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется белым:



.



Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался белым, то белых шаров во второй урне станет шесть. Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется белым:







А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:



.



Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется чёрным:



.



Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался чёрным, то чёрных шаров во второй урне станет три.

Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется чёрным:



.



А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:



.



Ответ: 1) , 2)  .



Задача 13



В первой урне 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Произвольно выбирают урну и из неё наугад вынимают шар. Найти вероятность того, что вынутый шар оказался:

1) белым, 2) чёрным.

Решение

1) Вероятность выбора одной из трёх урн равна 1/3.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны:







Значит, вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё белый шар:


.



Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё белый шар:



.



Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё белый шар:



,



так как в третьей урне все шары – белые.

Вероятность вытащить белый шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:



.



Вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё чёрный шар:



.



Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё чёрный шар:



.


Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё чёрный шар:



,



так как в третьей урне все шары – белые.

Вероятность вытащить чёрный шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:







Ответ: 1) , 2)  .



Задача 14



В одной из трёх урн 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Наугад выбирают из трёх урн и из неё снова наугад выбирают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что: 1) шар вынут из первой урны, 2) шар вынут из второй урны, 3) шар вынут из третьей урны ?

Решение

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса, суть которой в следующем: если до опыта вероятности гипотез Н1, Н2, … Нn были равны Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn), а в результате произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле:






Где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi, Р(А|Нi) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н1 – выбор первой урны, Н2 – выбор второй урны, Н3 – выбор третьей урны.

До начала действий все эти гипотезы равновероятны:



.



После выбора оказалось, что вытащен белый шар. Найдем условные вероятности:



;

;

.



1) По формуле Бейеса апостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны, равна:



.



2) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из второй урны, равна:




.



3) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:



.



Ответ:



1)  ,

2) ,

3)  .



Задача 15



Из 24 студентов, которые пришли на экзамен по математике, 6 подготовлены отлично, 11 – хорошо, 5 – посредственно, 2 – плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на все три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Решение


Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:







Где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi,

Р(А|Нi) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н1 – студент подготовлен отлично, Н2 – студент подготовлен хорошо,

Н3 – студент подготовлен посредственно, Н4 – студент подготовлен плохо.

До начала экзамена априорные вероятности этих гипотез:



, , ,

.



После экзаменационной проверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса. Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопроса студентом из каждой группы успеваемости:



, ,

, .



1) По формуле Бейеса апостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично, равна:


.



2) Аналогично, вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:



.



Ответ:

1) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично:



 ,



2) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо:



,



Задача 16



Монета подбрасывается 11 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не более 2-х раз, 3) не менее одного и не более 2-х раз.

Решение

Если опыт проводится n раз, а событие при этом каждый раз появляется с вероятностью р (и, соответственно, не появляется с вероятностью 1– р = q ), то вероятность появления этого события m раз оценивается с помощью формулы биномиального распределения:



,



Где







- число сочетаний из n элементов по m.

1) В данном случае р = 0,5 (вероятность выпадения герба),

q = 1 – р =0,5 (вероятность выпадения решки),

n = 11, m = 2.

Отсюда, вероятность выпадения герба 2 раза:







2) в данном случае событие (герб) может появится 0 раз, 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:






3) в этом случае событие (герб) может появится 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:







Ответ:

Вероятность того, что герб выпадет:

1) ровно 2 раза равна



,



2) не более 2-х раз:



,



3) не менее одного и не более 2-х раз:



.



Задача 17



По каналу связи передаётся 11 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью р = 0,2 искажается помехами. Найти вероятность того, что: 1) из 11 сообщений ровно 2 будет искажено помехами,

2) все сообщения будут приняты без искажений, 3) не менее двух сообщений будет искажено.

Решение

1) здесь р = 0,2 (вероятность искажения),

q = 1 – р =0,8 (вероятность неискажения),

n = 11, m = 2.

Отсюда,



.



2) Вероятность принятия всех 11 сообщений без искажения равна произведению всех вероятностей принятия каждого из них без искажения:



.



3) Искажение не менее двух сообщений означает, что искажены могут быть два или одно или ни одного сообщения:







Ответ:

Вероятность того, что:

1) из 11 сообщений будет искажено ровно 2 равна ,

2) не будет искажено ни одного сообщения: ,

3) не менее 2-х:  .