Общее доказательство гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора

2





Файл: MENTOR

© Н.М. Козий, 2007

Авторские права защищены

свидетельствами Украины

№ 23145 и № 27312 

















ОБЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ, ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

И ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ



Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение



Аx +Вy= Сz/1/



не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом: 



Аx = Сz - Вy/2/



Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде: 



Аx = (С0,5z) 2 -(В0,5y) 2 /3/



Обозначим: 



В0,5y =V /4/

С0,5z =U /5/



Отсюда: 



Вy =V2 /6/

Сz =U2 /7/

В = /8/

С = /9/



Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует: 



Аx = Сz -Вy =U2-V2 /10/



Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: 



Аx = (U-V) ∙(U+V) /11/



Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим: 



U-V=X /12/



Из уравнения /12/ имеем: 



U=V+X /13/



Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем: 



Аx = X· (V+X+V) =X(2V+X) =2VХ+X2 /14/



Из уравнения /14/ имеем: 



Аx - X2=2VХ /15/



Отсюда: 



V= /16/



Из уравнений /13/ и /16/ имеем: 



U=  /17/ 



Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем: 



B = /18/

C = /19/ 



Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа Аx на число X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа Аx. Другими словами, число Аx должно быть, например, равно: 



Ax = (abc) x, /20/



где: a, b, c - простые или составные целые положительные числа.

При этом должно быть, например: 



X=сm; X2=c2m. /21/ 



В любым случае должно соблюдаться соотношение: 2m ≤ x.

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует: 



В= /22/

C= /23/ 



Обозначим: 



P =  /24/

Q =  /25/ 



Тогда: 



B =  /26/

С = /27/ 



Из уравнений /24/ и /25/ имеем: 



Q =  /28/



Таким образом, из уравнений /27/ и /28/ следует: 


С = /29/ 



Из анализа уравнений /26/ и /29/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь: 



Q - P = P + 1 - P = 1, /30/



то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В - целое число.

ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; y = 4; m=2; 2m=4.

По формуле /25/ имеем: 



B =  =



Тогда: 



при z=3: С = =  - дробное число.

при z=4: С = =  - дробное число.

при z=5: С = =  - дробное число.

при z=6: С = =  - дробное число.



Очевидно, что если 



(dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,

где: d - целое число; 

e - целое число.


Таким образом, если допустить, что В - целое число, то С - дробное число.

Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА



Если в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой, т.е. x = y = z = n, то оно преобразуется в уравнение великой теоремы Ферма: 



Аn +Вn= Сn /31/



Тогда уравнения /2/, /6/ - /11/, /16/ - /20/ примут вид: 



Аn = Сn - Вn/32/

Вn =V2 /33/

Сn =U2 /34/

В = /35/

С = /36/

Аn = Сn - Вn = U2-V2 /37/

Аn = (U-V) ∙(U+V) /38/

V= /39/

U=  /40/ 

B = /41/

C = /42/ 



Пусть: An = (abc) n, /43/

где: a, b, c - простые или составные целые положительные числа.

При этом должно быть, например: 



X=сm; X2=c2m. /44/ 



В любом случае должно соблюдаться соотношение: 2m ≤ n.

Из уравнений / 41/ и /42/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 41/, /42/ и /43/ следует: 



В= /45/

C= /46/ 



Обозначим: 



P =  /47/

Q =  /48/ 



Тогда: 


B =  /49/

С = /50/ 



Из уравнений /47/ и /48/ имеем: 



Q =  /51/



Таким образом, из уравнений /50/ и /51/ следует: 



С = /52/ 



Из анализа уравнений /49/ и /52/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь: 



Q - P = P + 1 - P = 1, /53/



то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В - целое число.

ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; n =2m = 4; m=2.

По формуле /49/ имеем: 



B =  =



Тогда: 



С = =  - дробное число.


Очевидно, что если (dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,

где: d - целое число; e - целое число.

Таким образом, если допустить, что число В - целое число, то С - дробное число.

Следовательно, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА



Если в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой и равны: x = y = z = 2, то оно преобразуется в уравнение теоремы Пифагора: 



А2 +В2= С2 /54/



Тогда уравнения /2/, /6/ - /11/, /16/ и /17/ примут вид: 



А2 = С2 - В2/55/

В2 =V2 /56/

С2 =U2 /57/

В == V /58/

С == U /59/

А2 = С2 - В2 = U2-V2 /60/

А2 = (U-V) ∙(U+V) /61/

B = V = /62/

C = U =  /63/ 



По уравнениям /62/ и /63/ и заданному значению числа A определяются пары чисел B и С, которые с числом A образуют тройки пифагоровых чисел.



ПРИМЕРЫ 



Пример 1: А=3∙5=15; n=2; М=3.



В=Х=; С=Y=

А2=С2-В2=392-362=225; А= или: А2 +В2=152+362=1521=392= С2



Пример 2: А=3∙5=15; n=2; М=5.



В=Х=; С=Y=

А2 =С2-В2=252-202=225=152 или: А2+В2=152+202=625=252= С2



Пример 3: А=2∙3∙13=78; n=2; М=2∙13=26.



В=Х=; С=Y=

А2=С2-В2=1302-1042=6084=782, или: А2 + В2=782+1042=16900=1302= С2



Пример 4: А=2∙3∙13=78; n=2; М=2∙3=6.

В=Х=; С=Y=

А2=С2-В2=5102-5042=6084=782, или: А2 + В2=782+5042=260100=5102= С2



Таким образом, из уравнения /60/ следует, что любое целое положительное число в квадрате всегда равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых положительных чисел.


ВЫВОДЫ



Из анализа гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора следует, что в основе их лежит одно и тоже уравнение: 



Аx +Вy= Сz



При этом:

в уравнении гипотезы Биля показатели степени x, y, z больше 2 и не равны между собой;

в уравнении великой теоремы Ферма показатели степени x, y, z больше 2 и равны между собой: x= y= z = n;

в уравнении теоремы Пифагора показатели степени x, y, z равны между собой и равны: x= y= z = n=2.

Таким образом:

уравнение теоремы Пифагора является частным вариантом уравнения великой теоремы Ферма;

уравнение великой теоремы Ферма является частным вариантом уравнения гипотезы Биля.

Доказательства гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора выполнены одним методом: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Тот факт, что использованный метод доказательства теоремы Пифагора дает возможность для любого числа А находить пары пифагоровых чисел В и С, позволяет сделать вывод, что и доказательства гипотезы Биля и великой теоремы Ферма, выполненные тем же методом, достоверны.