Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии







Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации  -нильпотентных групп

Курсовая работа









Исполнитель:

Студентка группы М-31

____________ Бондаренко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент 

____________ Скиба М.Т.















Гомель 2005


Содержание



Перечень условных обозначений

Введение

Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации  -нильпотентных групп

Заключение

Литература


Перечень условных обозначений



В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 --- пустое множество;

 --- множество всех , для которых выполняется условие ;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 --- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

 --- множество всех целых положительных чисел.

 --- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись  означает, что  предшествует  в упорядочении , .

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 --- порядок элемента  группы ;

 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 --- множество всех простых делителей порядка группы ;

 --- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- коммутант группы ;

 --- --холловская подгруппа группы ;

 --- силовская --подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

 --- группа всех автоморфизмов группы ;

 ---  является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --- подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;



;



 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- центр группы ;

 --- циклическая группа порядка ;

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы .

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу  называют --нильпотентной, если .

Группу  порядка  называют --дисперсивной, если выполняется  и для любого   имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение  таково, что  всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь  называется -цепью (с индексами ); если при этом  является максимальной подгруппой в  для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого .

Нормальный ряд называется главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 --- класс всех групп;

 --- класс всех абелевых групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп;

 --- класс всех --групп;

 --- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть  --- некоторый класс групп и  --- группа, тогда:

 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и . Класс групп  называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Пусть  --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь  называется -субнормальной, если для любого  подгруппа  -нормальна в . Подгруппа  группы  называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа  называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп  и  группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе  существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в  подгрупп плотно.




Введение



Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп  удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп  из , где  не максимальна в , найдется -подгруппа  такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа  является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп







такая, что  является -нормальной максимальной подгруппой в  для любого . Если  совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если  --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда  --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.




Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации  -нильпотентных групп



Пусть  --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация,  --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда  либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

Доказательство. Пусть  --- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как  неразрешима, то она имеет подгруппу  порядка , где  --- простое число. По условию,  имеет -субнормальную подгруппу  такую, что  делит . Поэтому в  существует максимальная подгруппа, содержащая . Таким образом, .

По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы . Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы . Так как класс всех разрешимых групп и класс всех -нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что . Очевидно,  имеет минимальную нормальную подгруппу , содержащуюся в .

1. Рассмотрим случай . Допустим, что  неразрешима. Тогда  содержит подгруппу  порядка , где . Так как 1 не максимальна в , то в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . По лемме,  есть -число. Мы получаем, что  и , т.е.  оказывается -нильпотентной -группой. Противоречие. Следовательно,  разрешима.

Ввиду леммы , лемма верна для . Значит,  либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой. Так как , то мы видим, что лемма верна и для .

2. Теперь рассмотрим случай . Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы . Следовательно, каждая собственная подгруппа группы  либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

2.1. Предположим, что  содержит разрешимую -нормальную максимальную подгруппу. Тогда  разрешима, а  --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Из  следует, что  является -группой для некоторого простого .

Предположим, что  и . Так как  неразрешима, то  имеет подгруппу  порядка , где . По условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Так как  --- -группа, а по лемме, индекс  является -числом, то мы получаем, что  --- -нильпотентная -группа. Противоречие.

Случай  и  невозможен, так как  --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Поэтому остается рассмотреть случай . Но тогда  является -разрешимой -группой. Так как  неразрешима, то в холловой -подгруппе  из  найдется нециклическая силовская подгруппа . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда  не максимальна в . По условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Обозначим через  формацию всех -нильпотентных групп. По лемме,  -субнормальна в . Теперь по теореме, мы имеем . Следовательно, , а значит,  централизует . Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из  централизует . Так как  не принадлежит , то  не централизует . Итак, в  имеется циклическая силовская подгруппа , которая не централизует . Ввиду теоремы,  не максимальна в . Теперь, применяя к  те же рассуждения, что и для , получаем, что  централизует . Пришли к противоречию.

2.2. Итак, пусть теперь каждая -нормальная максимальная подгруппа группы  является -нильпотентной -группой. Тогда  оказывается -группой, а ее -корадикал  -нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что  имеет -абнормальную максимальную подгруппу , которая не является -нильпотентной. По предположению,  разрешима. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  принадлежит . По теореме,  является -группой для некоторого простого числа . Если , то  -нильпотентна, противоречие. Таким образом, , т.е.  есть -группа. Выберем в  подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: 1)  --- степень простого числа; 2)  не является -группой; 3)  не максимальна в . По условию, в  найдется -субнормальная подгруппа  такая, что . По теореме , , а потому мы имеем . Так как  не -нильпотентна, то мы получаем, что  не является -группой. Мы видим, что в  существует силовская -подгруппа  такая, что  максимальна в ,  и . Если  нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы  и , которые, как мы доказали, централизуют . Отсюда следует, что и  централизует , что невозможно. Следовательно,  --- циклическая максимальная подгруппа в . Группа  у нас -разрешима. Будем считать, что  содержится в холловой -подгруппе  группы . Если  максимальна в , то учитывая, что  циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа  разрешима. Но тогда и  разрешима. Получаем противоречие. Таким образом,  не максимальна в . По условию, в  найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как , мы получаем, что  -субнормальна в . По теореме , . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть  --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация,  --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Предположим, что ,  --- -группа,  не -нильпотентна, а все ее -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1)  --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа  из  совпадает с  и является ее минимальной нормальной подгруппой;

3) ,  --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , имеющая индекс  в , а подгруппа  является циклической, причем .

Доказательство. По лемме,  разрешима. Пусть  --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа из . Тогда, по условию, некоторая холлова -подгруппа  входит в  и нормализует ее силовскую -подгруппу . Так как  --- -группа, то . А так как  и  -нильпотентна, то из  вытекает, что . Рассмотрим два случая:  и .

1. . По лемме,  либо максимальна в , либо -субнормальна в . Пусть вначале  -субнормальна в . Тогда, по теореме, . Так как , то получается, что  --- силовская -подгруппа из , нормализующая . Это противоречит тому, что  не -нильпотентна. Пусть теперь  максимальна в . Тогда . Значит,  либо совпадает с силовской -подгруппой , либо .

1.1. . Допустим, что в  имеется ненильпотентная -нормальная максимальная подгруппа . Будем считать, что ее холлова -подгруппа  содержится в . Так как  не максимальна в  и , то, по лемме,  -субнормальна в , а значит, и в . Теперь по теореме, , а значит,  нильпотентна. Итак,  --- группа Шмидта. Но тогда  нормальна в , а значит, ввиду теоремы,  не может быть абелевой. Таким образом, . Так как , то . Итак,  --- группа типа 1).

1.2.  не является силовской -подгруппой в . Тогда  и  Таким образом,  является минимальной нормальной подгруппой в . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  нормальна в  и не -нильпотентна. Подгруппа  содержится в  и характеристична в . Так как  --- минимальная нормальная подгруппа, то  --- силовская -подгруппа из . Пусть  --- такая строго содержащая  подгруппа из , что  максимальна в . Из равенства  следует, что  не является -нильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из  не максимальна в  и, по лемме, является -субнормальной в , а значит, и в . Теперь по лемме,  --- минимальная не -группа, т.е.  --- группа Шмидта. Таким образом,  --- циклическая -группа, . Так как , то . Лемма в этом случае доказана.

2. . Таким образом,  --- дополнение к подгруппе , которая является в этом случае силовской подгруппой в  и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа из  -субнормальна в , то по лемме,  является группой Шмидта, т.е.  --- группа типа 3).

Предположим, что  не является группой Шмидта. Тогда в  имеется не -нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа , холлова -подгруппа  которой входит в , принадлежит  и, ввиду теоремы, не является -субнормальной в  (в противном случае, по теореме, подгруппа  была бы -нильпотентной). Выберем в  такую подгруппу , что  и  максимальна в . Допустим, что в  имеется -субнормальная в  подгруппа , не содержащаяся в . Тогда, по теореме, , т.е. . Тогда  содержит  и , т.е. . Так как  --- минимальная нормальная подгруппа, то . Любая собственная подгруппа из  не максимальна в  и, по лемме, является -субнормальной в . Теперь по лемме, примененной к , получаем, что  --- минимальная не -группа. Таким образом,  --- группа Шмидта. Значит,  --- примарная циклическая группа. Так как  разрешима и  --- минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что  --- группа типа 2).

Итак, каждая подгруппа из , -субнормальная в , содержится в . Пусть  --- простой делитель индекса . Силовская -подгруппа  из  не входит в  и потому не является -субнормальной в . Поэтому по лемме,  максимальна в . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Пусть  --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация,  --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп,  и каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  -нильпотентна. Тогда  либо является -нильпотентной -группой, либо группой одного из типов:

1)  --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа  является минимальной нормальной подгруппой в ;

3) , , где  --- минимальная нормальная подгруппа в , ,  циклическая, .

Доказательство. Пусть  не является -нильпотентной -группой. По лемме,  разрешима. Пусть  --- формация всех -нильпотентных групп. Так как , то каждая -абнормальная максимальная подгруппа является -абнормальной, а значит, ввиду условия, и -нильпотентной. По тереме ,  --- -группа, и теперь мы применяем лемму в случае . Лемма доказана.

 Пусть  --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация,  --- не -нильпотентная группа c плотной системой -субнормальных подгрупп и . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из  либо -нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено.

Доказательство. По лемме,  разрешима. Пусть  --- не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа группы . По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп в  плотно. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  принадлежит . По теореме,  --- -группа. Значит,  --- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем  обозначает формацию всех -нильпотентных групп. Пусть  --- группа типа 1), т.е.  --- группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и . Тогда  не максимальна в . По условию, в  имеется -субнормальная подгруппа  такая, что . Кроме того, . Получается, что  -субнормальна в , а значит, и в . По теореме, , что невозможно. Итак,  либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

1. , . Тогда холлова -подгруппа  группы  строго содержит некоторую .

Предположим, что  --- типа 2). Пусть  --- произвольная собственная подгруппа из . Так как  не максимальна в , то существует -субнормальная в  подгруппа  такая, что . Подгруппа  будет -субнормальна в . Поэтому и  будет -субнормальна в . По теореме, , т.е. . Таким образом, каждая собственная подгруппа из  -нильпотентна, а значит,  --- группа Шмидта, в которой  --- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.

Итак,  ---группа типа 3), т.е. ,  --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , силовская -подгруппа  из  циклическая и . Если  -субнормальна в , то, по теореме,  нильпотентна и, значит, , что невозможно. Значит,  не -субнормальна в . Если  не максимальна в , то, по условию, в  найдется -субнормальная подгруппа  такая, что . Получается, что  --- нормальная подгруппа -субнормальной разрешимой -подгруппы , а потому  будет -субнормальной в . Итак,  максимальна в , а значит, . Пусть  --- силовская -подгруппа из , являющейся дополнением к  в , очевидно, . Так как  не максимальна в , то  для некоторой -субнормальной подгруппы  из . Тогда . Так как , то мы видим, что  не содержится в . Ввиду леммы , -абнормальные максимальные подгруппы -абнормальных максимальных подгрупп из  принадлежат , поэтому, по теореме, имеем . Получается, что . Вспоминая, что  --- минимальная нормальная подгруппа в , мы получаем, что содержащаяся в  минимальная нормальная подгруппа группы  совпадает с , либо с . Случай  не возможен, так как  и  не -нильпотентна. Значит, . Рассмотрим -нильпотентную подгруппу . По условию,  содержится в некоторой подгруппе из , которая -субнормальна в . Так как , то  будет -абнормальна в , а значит, и в . Тогда, по теореме ,  -нильпотентна, что противоречит тому, что  не -нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.

2. . Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для -абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью , утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности:  --- либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

Рассмотрим сначала случай, когда  типа 2), т.е. , силовская -подгруппа из  совпадает с  и является минимальной нормальной подгруппой в . Ясно, что  содержит силовскую -подгруппу  группы , а  нормальна в ; а кроме того, холлова -подгруппа  из  является холловой -подгруппой в . Подгруппа  является -абнормальной максимальной подгруппой в ; кроме того,  --- холлова -подгруппа в . Если  --- любая -абнормальная максимальная подгруппа из , не сопряженная с , то индекс  не делится на . Но тогда  --- -абнормальная максимальная подгруппа в  с индексом, не делящимся на . По доказанному,  либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что . Заметим, что . Если  --- -замкнутая группа Миллера-Морено, то  --- минимальная нормальная подгруппа в  и, значит, , что невозможно. Таким образом, в  все -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. По теореме,  --- -группа. Вспоминая, что , получаем . Допустим, что в  имеется максимальная подгруппа  такая, что  не -нильпотентна. По теореме,  не -субнормальна в . Так как  не максимальна в , то  для некоторой собственной -субнормальной подгруппы  из . Значит, . Подгруппа  максимальна в  и содержится в . Поэтому . Так как  и , то  является собственной -субнормальной подгруппой в , и поэтому  является собственной подгруппой в . Так как  не -нильпотентна, то . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . По индукции,  либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что  --- группа Миллера-Морено. Тогда , где  максимальна в , а  --- минимальная нормальная подгруппа в . Так как  и , то , что невозможно, так как  --- собственная подгруппа в . Значит,  -нильпотентна и, более того, принадлежит . Если  не максимальна в , то, по условию, , где  -субнормальна в . Но тогда  -субнормальна в , что невозможно. Таким образом,  максимальна в  и, значит, , где . Так как  и  максимальна в  и имеет силовскую -подгруппу  порядка , то  --- максимальная нормальная подгруппа в , а значит,  --- тоже элементарная абелева -группа.

2.1. , . Так как  --- минимальная нормальная подгруппа в , то . По теореме Машке, , где . Так как , то -главные факторы  и  центральны. Но тогда  и  содержатся в . Если , то из  вытекает, что , а это противоречит тому, что  --- -эксцентральный главный фактор в . Значит, . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  не максимальна в , поэтому , где  --- некоторая -субнормальная подгруппа из . Так как , то  не может быть -субнормальной в . Поэтому . Из максимальности  в  выводим, что  совпадает либо с , либо с . В обоих случаях . Отсюда и из -субнормальности подгруппы  следует, что  -субнормальна в , и мы приходим к противоречию.

2.2. , . Так как , то главные факторы  и  изоморфны, откуда выводим, что  содержится в . Но тогда  --- неединичная подгруппа из , что невозможно, так как  -эксцентральна. Получили противоречие.

2.3. . Так как , то из  следует, что , а это противоречит минимальности  в . Поэтому остается принять, что . Это означает, что  -нильпотентна. Но  была выбрана ранее так, что  не -нильпотентна. Снова получили противоречие.

Таким образом, в  нет максимальных подгрупп  таких, что  не -нильпотентна. Получается, что  --- минимальная не -нильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой , т.е.  --- группа Миллера-Морено.

Пусть теперь  --- группа типа 3), т.е. ,  --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , не являющаяся силовской в , а силовская -подгруппа  из  является циклической и . Если  -субнормальна в , то  -нильпотентна по теореме и, кроме того, дополнение к  в  тоже -нильпотентно. А это противоречит тому, что  не -нильпотентна. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду, что  не -субнормальна в .

Если  не максимальна в , то по условию, , где  -субнормальна в . Так как , то получается, что  -субнормальна в , что невозможно. Итак,  максимальна в . Пусть  --- дополнение к  в , а  --- дополнение к  в силовской -подгруппе  из . Тогда , . Подгруппа  не максимальна в , но максимальна в , т.е. . Поэтому, по условию, существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Значит,  содержится в максимальной подгруппе группы , содержащей . Равенство  показывает теперь, что  не содержится в . Подгруппа  максимальна в , поскольку ее индекс равен . Так как  ---собственная -субнормальная подгруппа в , то  не равна , но содержит . Значит, . Но  --- собственная -субнормальная подгруппа в , поэтому . Получается, что  --- собственная подгруппа из . Ясно, что  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Для  лемма верна по индукции, поэтому  либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Если  -нильпотентна, то из  выводим, что  и поэтому , что невозможно. Таким образом,  --- группа Миллера-Морено, у которой  --- силовская -подгруппа. Но тогда ввиду того, что  и , мы получаем . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть  --- -группа, не принадлежащая непустой -замкнутой -нильпотентной формации  такой, что  содержит  и не совпадает с множеством всех простых чисел. Скажем, что  является:

1) группой типа , если  - не -нильпотентная -группа Шмидта с ;

2) группой типа , если , ,  нециклическая,  --- минимальная нормальная подгруппа в ,  является нильпотентной максимальной подгруппой в , а любая другая максимальная подгруппа из , содержащая , является группой Миллера-Морено;

3) группой типа , если , , , , в  имеется нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа, а также -абнормальная максимальная подгруппа, являющаяся группой Миллера--Морено;

4) группой типа , если , , где , ,  нормальна в ,  циклическая,  --- минимальная нормальная подгруппа в , имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются ,  и ;

5) группой типа , если ,  --- минимальная нормальная подгруппа в ,  является циклической максимальной подгруппой в ,  --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа ,  и  --- группа Фробениуса;

6) группой типа , если ,  и если ,  и  --- силовская база группы , то  нормальна в ,  нормальна в , одна из подгрупп ,  нормальна в ,  максимальна в , имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп в , представителями которых являются:  --- группа Миллера-Морено,  и ;

7) группой типа , если , ,  --- группа порядка , не являющаяся группой Фробениуса и имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются:  --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа ,  --- группа типа , ;

8) группой типа , если , ,  --- группа Фробениуса порядка , имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются:  --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа ,  --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , .

Пусть , где  --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Будем считать, что  и  таковы, что , но . Так же, как и в примере, строим группу Шмидта  порядка . По теореме Гольфанда, существует группа Шмидта  порядка . Очевидно, . Таким образом, группы  и  --- группы типа .

Пусть , где  --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Будем считать, что . Пусть  --- неабелева группа порядка . Тогда , где , , . Рассмотрим группу , где . Ясно, что , . Таким образом,  --- группа типа .

Пусть , где  --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Пусть  --- циклическая группа порядка ,  --- такая подгруппа из , что  --- простое число, делящее  и входящее в . Пусть . Так как  циклическая, то из теоремы вытекает, что  и . Отсюда следует, что  --- -нормальная нильпотентная максимальная подгруппа, а любая подгруппа порядка  является группой Миллера-Морено. Значит,  --- группа типа .

Пусть  --- нециклическая группа порядка ,  --- неабелева неприводимая группа автоморфизмов порядка  группы , где  и  --- простые числа из ,  --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Тогда , где  --- группа типа .

Пусть  --- группа порядка  такая, что  имеет силовскую -подгруппу  порядка . Пусть , где  --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Тогда  --- группа типа .

Пусть  и  --- нечетные простые числа,  --- группа простого порядка ,  --- группа порядка . В  существует элемент  порядка , который действует нетривиально на  и . Циклическую группу  порядка  превратим в группу операторов группы  с помощью гомоморфизма  с ядром порядка . Пусть . Очевидно, что  и  --- группы Миллера-Морено, а  --- нильпотентная максимальная подгруппа. Пусть  --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа  --- группа типа .

Пусть , ,  --- различные простые числа и порядок  по модулю  равен . Пусть  --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Пусть  --- группа из примера . Допустим, что существует неабелева группа автоморфизмов  порядка  группы . Тогда  --- группа Миллера-Морено. Ясно, что группа  --- группа типа . Эта ситуация реализуется, например, в случае , , .

Пусть  --- группа простого порядка . Тогда  имеет порядок , и можно подобрать  так, что в ней найдется подгруппа  порядка , где  и  --- различные простые числа. Рассмотрим группу . Подгруппа  будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы  и  --- максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть  --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа  --- группа типа .

Пусть  --- непустая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация,  --- не -нильпотентная -группа, у которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно. Тогда  является группой одного из типов  для некоторого .

Доказательство. Пусть  не -нильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1,  разрешима.

1. Допустим, что  обладает не -нильпотентной -абнормальной максимальной подгруппой . По лемме,  --- бипримарная группа Миллера-Морено, а значит, . Заметим еще, что , где  --- минимальная нормальная подгруппа в .

1.1. Рассмотрим вначале случай . Тогда  есть степень либо простого , либо . Пусть . Пусть  ---силовская -подгруппа из , содержащая . Если  не максимальна в , то , где  --- некоторая -субнормальная в  подгруппа. Тогда  -субнормальна в , а значит, и в  (напомним, что из  следует, что ). Но тогда, по теореме, , противоречие. Значит,  и . Пусть  --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как  -абнормальна, то, по лемме,  либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но  --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому ясно, что  не может быть -замкнутой группой. Таким образом,  -нильпотентна. Если , то из  и из условия вытекает, что существует -субнормальная в  подгруппа  такая, что . Так как , то , что противоречит равенству . Итак, мы должны рассмотреть только случай . Подгруппа  является циклической и максимальна в . Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа  из  нормальна в . Пусть  ---минимальная нормальная подгруппа в . Так как  --- минимальная нормальная подгруппа в , то  --- -группа, не входящая в , а значит, . Так как  максимальна и не нормальна в , то . Ясно теперь, что , а значит,  нормальна в . Таким образом, получается, что , что противоречит равенству . Итак, теперь надо рассмотреть случай , т.е.  --- силовская -подгруппа в , а  --- минимальная нормальная подгруппа в . Допустим, что силовская -подгруппа  из  не равна 1. Так как , то . Тогда  -нильпотентна, а значит, силовская -подгруппа из  содержится в . Но это противоречит равенству . Итак, . По теореме Бернсайда,  -нильпотентна и, значит,  --- силовская -подгруппа в . Максимальная подгруппа  из  не максимальна в , поэтому  для некоторой -субнормальной в  подгруппы . Так как  --- абелева -группа, то . Значит,  оказывается -субнормальной в . По теореме, . Мы получаем, что  --- группа типа .

1.2. Рассмотрим теперь случай . Тогда ясно, что  --- холлова подгруппа в ; будем полагать, что  делится на  и . Пусть ,  и  --- попарно перестановочные силовские подгруппы из  такие, что . Так как  и , то . Рассмотрим максимальную подгруппу  из , содержащую . Если  не максимальна в , то ввиду условия , где  --- -субнормальная собственная подгруппа группы , а значит, , что противоречит равенству . Значит,  максимальна в  и поэтому , где , так как . Понятно, что содержащаяся в  минимальная нормальная подгруппа группы  совпадает либо с , либо с . Пусть  --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как  --- группа Миллера-Морено, то холлова -подгруппа из  нильпотентна. Таким образом, если , то  -нильпотентна и . Если  не максимальна в , то существует -субнормальная подгруппа  такая. что . Тогда  -субнормальна в , где  --- формация всех -нильпотентных групп, а  -нильпотентна по теореме , т.е. . Следовательно, если  не нормальна в , то ,  максимальна в  и . В любом случае, силовская -группа  из  нормальна в . Пусть  --- еще одна максимальная подгруппа индекса . Тогда , так как  циклическая. Понятно теперь, что  и  сопряжены. Итак  --- группа типа .

2. Теперь будем полагать, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа группы  -нильпотентна. Тогда  --- группа одного из типов 1)-3) леммы Если  --- группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть  --- группа типа 3), т.е. , , где , , ,  циклическая, а  --- минимальная нормальная подгруппа в . Заметим, что  -сверхразрешима. Пусть  --- максимальная подгруппа группы . Если  содержит  и не содержит , то . Если  содержит  и , то . А если  содержит , то  и . Таким образом,  имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются ,  и . Значит, в этом случае группа  --- группа типа . Пусть  и  --- минимальная нормальная подгруппа в . Рассмотрение этого случая разобьем на две части:  и .

2.1. Пусть вначале . Пусть . Очевидно, . Предположим, что  имеет максимальную подгруппу , являющуюся -субнормальной в . По теореме , . Очевидно, . Ясно, что любая максимальная подгруппа из , отличная от , не является -субнормальной в . Если  циклическая, то  --- группа типа . Поэтому считаем, что  нециклическая. Пусть  --- максимальная подгруппа из , отличная от . Рассмотрим подгруппу , являющуюся -субнормальной в . Так как  не -субнормальна, то . Пусть  --- -абнормальная максимальная подгруппа из . Так как , то  --- степень , т.е.  содержится в подгруппе, сопряженной с  в . Будем считать, что . Силовская -подгруппа  из  нормальна в  и в , т.е.  нормальна в . Но  ---минимальная нормальная подгруппа. Поэтому  --- -группа, т.е.  максимальна в . По лемме , каждая собственная подгруппа из  будет -субнормальной в  (мы применяем утверждение 2) леммы  для случая ). Теперь, по лемме ,  является минимальной не -группой, откуда следует, что  --- группа Миллера-Морено, т.е.  --- группа типа . Предположим теперь. что любая максимальная подгруппа из  не является -субнормальной в . Пусть  --- максимальная подгруппа из , причем . Подгруппа  не принадлежит , иначе  была бы -субнормальной. Если  максимальна в , то  --- группа Миллера-Морено. Если  не максимальна в , то  строго содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Подгруппа  не -нильпотентна, так как в противном случае , что противоречит тому, что  не -субнормальна. Итак,  , в  существует не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа, . Но этот случай уже рассмотрен, т.е.  --- группа типа . Таким образом, максимальная подгруппа  из  нормальна в . Рассмотрим группу , ее порядок равен . Понятно, что если  и  --- две различные подгруппы из , то , и значит, , так как каждая максимальная подгруппа из  не нормальна в . Следовательно,  --- группа Фробениуса с циклической подгруппой  порядка . Так как , то получается, что  циклическая. Так как  --- единственная максимальная подгруппа, содержащая , то . Итак,  --- группа типа .

2.2. Пусть теперь . По лемме,  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Если собственная подгруппа  из  не является максимальной в , то, по условию, существует -субнормальная в  -группа , содержащая . По теореме , , а значит, . Итак, каждая собственная не максимальная подгруппа из  поэлементно перестановочна с . Так как  не -нильпотентна, то ясно, что силовская -подгруппа  и силовская -подгруппа  из  не могут одновременно быть не максимальными в , т.е. либо обе они максимальны в , либо только одна из них максимальна в . Эти два случая мы рассмотрим.

2.2.1. Пусть  максимальна в . Тогда, как отмечалось,  нильпотентна, а  ненильпотентна. Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда  не максимальна в  и, по условию, содержится в некоторой -субнормальной -подгруппе, которая, по теореме , будет поэлементно перестановочна с . Отсюда следует, что  --- группа Миллера-Морено. Если  нормальна в , то . Пусть  --- максимальная подгруппа из , содержащая . Каждая собственная подгруппа из , как отмечалось, поэлементно перестановочна с . Значит, каждая собственная подгруппа из  будет -нильпотентна. Но . Поэтому  не может быть группой Шмидта. Значит,  -нильпотентна и . Значит, . Получается, что каждая максимальная подгруппа из  нормальна в , т.е.  нильпотентна. Итак, если  нормальна в , то  --- группа типа .

Пусть теперь  не нормальна в . По теореме Бернсайда,  -нильпотентна, т.е. . Учитывая, что  нильпотентна, получаем, что  нормальна в , т.е.  оказывается группой типа .

2.2.2. Пусть теперь подгруппы  и  являются максимальными в . Тогда одна из них нормальна в . Пусть . Тогда . В этом случае ,  и  --- максимальные подгруппы в . Если одна ,  нильпотентна, то  --- группа типа . Предположим, что  и  не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из  поэлементно перестановочна с , а подгруппа  ненильпотентна, то  является циклической. Но тогда , так как  максимальна в сверхразрешимой подгруппе . Рассмотрим подгруппу . Так как , то . Если  максимальна в , то  --- группа Миллера-Морено. Пусть  не максимальна в . Так как  и , то -корадикал подгруппы  является неединичной -группой. Ясно, что  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из , причем , так как  самонормализуема в . Мы видим, что  --- группа типа .

Возможны два случая:  нормальна в  и  ненормальна в .

Пусть  не нормальна в . Если , то  --- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой , что противоречит нашему допущению. Пусть , где , . Так как  элементарная абелева, то существует такая -подгруппа , что . Мы видим, что  --- группа типа , а сама  --- группа типа .

Предположим теперь, что  нормальна в , т.е.  нильпотентна и имеет порядок . Очевидно, что в этом случае  является группой Фробениуса с ядром , а  --- группа типа , либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим . Если  максимальна в , то  --- группа Миллера-Морено. Пусть  не максимальна в . Так как , то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из , причем , так как  самонормализуема в . Получается, что  --- группа типа . В этом случае  оказывается группой типа . Теорема доказана.

Таким образом, теоремы дают описание не -нильпотентных групп, у которых множество всех -субнормальных подгрупп плотно, где  --- некоторая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп.

В случае, когда  --- формация всех -нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Теорема остается новой в случае, когда  --- формация всех нильпотентных -групп. В частности, при  мы получаем результат В.В.Пылаева.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где  --- формация всех -нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская -подгруппа  группы , где  --- силовская подгруппа максимальной подгруппы  группы , , является элементарной абелевой группой, утверждается, что , что в общем случае не верно.


Заключение



В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случаях, когда  --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы  и  такие, что ,  не максимальна в , и из  всегда следует, что  не -субнормальна в .


Литература



1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.

4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.

6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.

7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.

8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.

9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.

10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.

11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.

12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.

13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.