Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Содержание

	

	Задание № 1

	Задание № 2

	Задание № 3

	Задание № 4

	Задание № 5

	Задание № 7

	Задание № 8

	Задача № 4

	Задача № 5

	Задача № 6

	Список литературы

	

	
Задание № 1

	

	3. б) Найти пределы функции:

	

	

	

	Решение

	Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов: 

	Если существуют 

	

	 и , то: 

	

	

	

	Следовательно: 

	

	

	

	Ответ: предел функции 

	

	

	

	Задание № 2

	

	3. б) Найти производную функции:

	

	

	
Решение

	Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:

	Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

	Тогда 

	

	

	

	Применим это правило к заданной функции:

	

	

	Ответ: 

	

	Задание № 3

	

	3. Исследовать функцию и построить ее график:

	

	

	

	Решение

		Найдем область определения функции:

	

	D(y)=R

	

		Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.

	Условие четности: f(x)=f(-x)

	Условие нечетности: f(-x)=-f(x)

	
при x=1: y=0

	при x=-1: y=-4

	Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.

	Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.

	Функция 

	

	 

	

	не периодична.

		Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.

	

	y=0 при 

	

	; 

	

	

	Следовательно, имеем три промежутка: 

	

	

	

	Определим знак на каждом промежутке:

	при x= -1 y=-4 < 0

	при x= 0,5 y=0,125 > 0

	при x= 2 y=2 > 0

	Тогда: для 

	
, для 

	

	Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:

	

	

	

	

	

		Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

	Найдем производную функции:

	

	

	 

	при 

	,  

	

	- точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка: 

	

	

	Исследуемая функция в промежутке 

	

	 – возрастает 

	 – убывает

	 - возрастает

		
Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

	Найдем вторую производную функции:

	

	

	 при  - точка перегиба

	

	Для 

	

	 , 

	

	следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

	Для 

	

	 ,

	

	следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.

	

		По полученным данным построим график функции.

		


	Рис. 3 График функции 

	

	Задание № 4

	

	Найти интеграл:

	

	3. 

	

	Решение

	Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

	

	F(x) + C.

	

	Записывают: 

	


	

	Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

	Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:

	

	

	

	Ответ: .

	

	Задание № 5

	

	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.

	

	, , , .

	

	Решение.

	Построим график функции: 

	при х=-2: y = 12

	при х=-1: y = 5

	при х=0: y = 0

	при х=1: y = -3

	при х=2: y = -4

	при х=3: y = -3

	при х=4: y = 0

	при х=5: y = 5

	

	

	Рис. 1 График 

	

	Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:

	

	

	

	

	 

	

	Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:

	

	 кв. ед.

	

	Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.

	
Задание № 7.

	

	Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:

	

	,  при 

	

	Решение

	Общий вид дифференциального уравнения: 

	Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция  от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом. 

	Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: , где  - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши.

	Найдем общее решение или общий интеграл:

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	 - 

	

	общее решение дифференциального уравнения

	Найдем частное решение для  при 

	

	

	Получаем: 

	Ответ:  - любое число. 

	

	Задание № 8

	

	Найти вероятность случайного события.

	Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?

	Решение.

	Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

	

	

		

	
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

	Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».

	Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:

	

	 .

	

	Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ;

	2. вероятность выпадения «шестерки» равна .

	

	
Методы вычислений и ЭВМ

	

	Задача № 4.

	

	Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.

	

	Решение:

	Схема решения

	Алгоритм

	Результат

	238200 – 100 %

	50175 – х %

	

	

	21,064 %

	

	Задача № 5

	

	Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.

	Решение: 

	По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на 

	

	Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %. 

	

	Тогда:

	Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %

	

	Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:

	

	100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %

	

	Задача № 6

	

	Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.

	

	Табельный номер

	Часовая тарифная ставка, руб

	Отработано часов

	К оплате, руб

	03

	6,6

	165

	

	04

	8,8

	72

	

	05

	7,5

	216

	

	

	Алгоритм решения на МК:

	

	6,6 * 165 М+

	8,8 * 72 М+

	7,5 * 216 М+

	16713 / MR MR * 1089 = М+

	 C C 633,6 = М+

	 1620 = М+ MR

	 C

	
Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:

	

		Ввод названий граф документа:

	Адрес клетки

	Вводимая строка

	А1

	Табельный номер

	А2

	03

	А3

	04

	А4

	05

	В1

	Начислено, руб. (всего)

	С1

	Часовая тарифная ставка, руб.

	D1

	Отработано часов

	Е1

	К оплате, руб.

	

		Ввод исходных данных:

	Адрес ячейки

	Исходные данные

	В2

	16713

	С2

	6,6

	С3

	8,8

	С4

	7,5

	D2

	165

	D3

	72

	D4

	216

	

		Ввод расчетных формул:

	Адрес ячейки

	Исходные данные

	F2

	С2*D2

	F5

	=СУММ(F2:F4)

	E2

	$B$2/$F$5*F2

	E5

	=СУММ(Е2:Е4)

	

		Конечный результат:

	Табельный номер

	Начислено, руб. (всего)

	Часовая тарифная ставка, руб.

	Отработано часов, ч.

	К оплате, руб.

	Ставка, руб.

	03

	16713

	6,6

	165

	5445,00

	1089,00

	04

	

	8,8

	72

	3168,00

	633,60

	05

	

	7,5

	216

	8100,00

	1620,00

	

	

	

	

	16713,00

	3342,60

	

	
Список литературы

	

		Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.

		Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с.

		Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.

		Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.

		Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.