Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

1. Определения

	

	Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида

	

								(1)

	

	где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.

	Если заданы начальные данные в виде

	

								(2)

	

	То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.

	В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:

		Def 1.Функция  называется решением системы (1), (2) на отрезке  , если она удовлетворяет следующим условиям:

		

		

		 на отрезке .

		

		Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.

		Для начала сделаем некоторые обозначения.

		a)  есть функция, определенная на отрезке  и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть

		

		;

		b) 

		c)

		

		Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}

		

		2. Полезная лемма

		

		Lemma 1: -выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке  функций.

		Proof:

		1)Выпуклость:

		a)Выберем произвольные функции , тогда

		

		 

		

		b);

		

		c)на отрезке  на том же отрезке для любых .

		2)Ограниченность:

		Множество  определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса 

		3)Замкнутость:

		Возьмем последовательность функций такую, что 

		

		, .

		a)

		

		Возьмем  тогда 

		

		

		

		Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.

		b) По теореме Кантора  равномерно на отрезке.

		Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)

		Возьмем , тогда, так как для любого положительного  и любого  выполнено , то выполнено и для данных  и t. Получим:

		

		

		

		Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .

		

		c) 

		

		

		на отрезке .

		Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество  замкнуто.

		Лемма доказана полностью.

		

		3. Существование и единственность решения

		

		Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].

		Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.

		Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на  называется равномерно ограниченным, если 

		Def 4.Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если 

		Теорема 1.(Арцела)

		Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке  функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

		Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)

		Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор  вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.

		Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.

		Теорема 3.(существование и единственность решения системы (1).(2))

		Пусть система (1),(2) такая что:

		

		

		

		Тогда  такая что на отрезке  существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.

		Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.

		Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:

		

		

		

		Обозначим

		

		

		

		и будем искать решение в виде 

	

	Где 

	

	Определим оператор

	

	,

	

	Который действует из  в себя, действительно, возьмем произвольный элемент 

	Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем 

	

	

	

	При  

		

	

	При  выполнено .

	 при  по определению оператора.

	Выполнение условий a,b,c означает что .

	Для этого необходимо подобрать параметры  так, чтоб одновременно выполнялись условия:

	

							(3)

							(4)

	

	Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:

	Возьмем последовательность  такую что 

	

	

	

	

	Оценка выполнена на всем интервале, величина  положительна и конечна, отсюда следует, что при |

	 также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.

	Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве  с соответствующей нормой.

	

	1), 

	

	правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.

	

	2) 

	

	Выбирая  получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.

	А значит, образ множества  предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.

	Так как множество  ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка  из этого множества.

	, а это значит, что  - решение системы (1),(2).

	Единственность:

	Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале .

	При  оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале  оценим модуль разности функций, являющимися решениями.

	

	

	

	Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что

	

	,

	

	Выбирая  таким малым, чтоб  было меньше 1, получаем что , а значит на  . Последовательно строя интервалы длинной  закончим доказательство теоремы.

	

	4.Пример неединственности (Winston)

	

	Для уравнения  с начальными данными 

	

	

	

	для малых положительных t существует два различных решения:

	

	

	

	Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:

	

	

	

	

	

	Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент  оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.

	
Список использованной литературы

	

	[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.

	[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.

	[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.

	[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.

	[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.

	[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976