Теория вероятности

2



























Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей



























2009г.


Контрольная работа № 1



Вариант 1.

Задача № 1.

Условие:

Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.

Решение:

Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 деталей вынуть три, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 3:







По условию задачи из трех извлеченных изделий одно бракованное, а два годные. Таким образом mA:







Найдем вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажется бракованной:







Ответ: вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажется бракованной равна 0,5


Задача № 2

Условие:

Известны вероятности независимых событий А, В и С:



Р (А) = 0,5; Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6.



Определить вероятность того, что а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) произойдет не более 2 событий.

Решение:

а) Для того чтобы найти вероятность того, что произойдет хотя бы 1 событие, найдем вероятность того, что ни одно событие не произойдет (обозначим эту вероятность P0). Так как события независимы по условию, вероятность P0 равна произведению вероятностей того, что не произойдет каждое отдельное событие.

Таким образом, вероятность того, что не произойдет:



событие А: А0 = 1 - 0,5 = 0,5

событие В: В0 = 1 - 0,4 = 0,6

событие С: С0 = 1 - 0,6 - 0,4



Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что ни одно событие не произойдет:

P0= А0*В0*С0 = 0,5*0,6*0,4 = 0,12

Ситуация, при которой не произойдет ни одно событие, и ситуация, при которой произойдет хотя бы одно событие, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:



P + P0 = 1, откуда следует, что

P = 1 - P0 = 1 - 0,12 = 0,88.



б) Для того, чтобы найти вероятность того, что произойдет не более 2 событий, найдем вероятность того, что произойдут все три события, и обозначим как Р1:



Р1 = А*В*С = 0,5*0,4,*0,6 = 0,12



Ситуация, при которой произойдут все 3 события, и ситуация, при которой произойдет не более 2 событий (от 0 до 2), составляют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:



P + Р1 = 1, откуда следует, что

P = 1 - Р1 = 1 - 0,12 = 0,88.



Ответ: 

а) вероятность того, что произойдет по крайней мере одно событие, равна 0,88

б) вероятность того, что произойдет не более двух событий, равна 0,88



Задача № 3

Условие:

Вероятности попадания в цель: первого стрелка - 0,6; второго - 0,7; третьего - 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.

Решение:

Для того чтобы найти вероятность попадания в цель хотя бы 1 стрелка, найдем вероятность того, что ни один из стрелков не попадет в цель (обозначим эту вероятность через P0). Так как попадания различных стрелков в цель следует считать независимыми событиями, вероятность P0 равна произведению вероятностей того, что промажет каждый из стрелков.

Событие, состоящее в том, что некоторый стрелок попадет в цель, и событие, состоящее в том, что он промажет, составляют полную систему событий. Сумма вероятностей двух этих событии равна единице.

Таким образом, вероятность того, что



А) промажет 1 стрелок равна: 1 - 0,6 = 0,4

Б) промажет 2 стрелок равна: 1 - 0,7 = 0,3

В) промажет 3 стрелок равна: 1 - 0,8 = 0,2



Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что промажут все трое стрелков:



P0= 0,4*0,3*0,2 = 0,024



Событие, состоящее в том, что не попадет в цель ни один из стрелков, и событие, состоящее в том, что попадет хотя бы один, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:



P + P0 = 1, откуда следует, что

P = 1 - P0 = 1 - 0,024 = 0,976



Ответ: вероятность попадания в цель хотя бы одного стрелка при одновременном выстреле всех трех равна 0,976 (или 97,6%)



Задача № 4

Условие:

Известно, что 80% продукции стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно.

Решение:

1) Найдем вероятность того, что стандартная продукция будет признана годной:



Р1 = 0,8*0,9 = 0,72 (72% продукции)



2) Найдем вероятность того, что нестандартная продукция будет признана годной:



Р2 = 0,2*0,3 = 0,06 (6% продукции)



3) Таким образом, упрощенный контроль признает годной Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукции)

4) Найдем вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно:



0,8*0,82 = 0,656



Ответ: вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно, равна 0,656.



Задача № 5

Условие:

Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить цель для первого - 0,86; для второго - 0,9; для третьего - 0,92; для четвертого - 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель?

Решение:

Обозначим через А событие - цель обнаружена, а возможные события (гипотезы) обнаружения цели 1-м, 2-м, 3-м или 4-м локаторами - через, соответственно, В1, В2, В3 и В4.

По условию задачи включен один из четырех локаторов, следовательно, вероятность обнаружения цели:



Р (В1) = Р (В2) = Р (В3) = Р (В4) = 1\4.



Соответствующие условные вероятности (по условию задачи) обнаружения цели равны:



Р (A|В1) = 0,86; Р (A|В2) = 0,9; Р (A|В3) = 0,92; Р (A|В4) = 0,95.



Таким образом, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность обнаружения цели равна:







Ответ: вероятность обнаружения цели равна 0,9075



Контрольная работа № 2



Вариант 1.

Задача № 1.

Условие:

Известна вероятность события А: р (А) = 0,3. Дискретная случайная величина  - число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины ; найти ее математическое ожидание m и дисперсию D.

Решение:

1) Вычислим вероятности р (хi) по формуле Бернулли:



	, где, р = 0,3; q = 1 - р = 0,7; n = 3; х = .



Таким образом, получим ряд распределения случайной величины :



Значения 

0

1

2

3

Вероятности р (хi) 

0,343

0,441

0,189

0,027



Графически ряд распределения случайной величины  выглядит следующим образом:







2) Найдем математическое ожидание m:

Математическим ожиданием m дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.







3) Найдем дисперсию D:

Дисперсией D дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.:







Ответ:

Ряд распределения случайной величины :



Значения 

0

1

2

3

Вероятности р (хi) 

0,343

0,441

0,189

0,027



математическое ожидание m = 0,9;

дисперсия D = 0,63



Задача № 2

Условие:

Распределение дискретной случайной величины  содержит неизвестные значения х1 и х2 (х1 < х2): 



xi

х1

х2

рi

0,4

0,6



Известны числовые характеристики случайной величины: М = 3,6; D = 0,24. Требуется определить значения х1 и х2.

Решение:

Поскольку



, 0,4х1 + 0,6х2 = 3,6





Для того, чтобы найти х1 и х2, необходимо решить систему уравнений:







Выразим из первого уравнения х1 и подставим во второе:







Решаем второе уравнение:







Умножим всю строку на 5:







Умножим всю строку на 2:







Разделим на 3:







Учитывая условие х1 < х2, получаем, что подходит только 1 вариант.

Ответ: х1 = 3, х2 = 4



Задача № 3

Условие

Плотность вероятности непрерывной случайной величины  задана следующим выражением:







если 0 < x <1,при других х

Найти постоянную С, функцию распределения F (x), математическое ожидание М и дисперсию D случайной величины .

Решение:

Свойство плотности распределения: 



, 



Получаем, что С = 3.



, 



Математическое ожидание:







Дисперсия:







Ответ: С = 3, М = ¾, D = 3/80



Задача № 4.

Условие:

Случайная величина  имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 56 и среднеквадратичным отклонением  = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна Р = 0,95

Решение:

Поскольку, по условию задачи, случайная величина  имеет нормальное распределение, а также известна вероятность Р = 0,95, то является возможным использование правила трех сигм, а именно данной его части:







Подставив имеющиеся по условию задачи данные, получим следующий интервал, симметричный относительно математического ожидания:.

Ответ: .



Задача № 5.

Условие:

Известно распределение системы двух дискретных величин (, ).







1

2

3

4

0

0,16

0,12

0,14

0,08

1

0,08

0,10

0,09

0,08

2

0,06

0,04

0,03

0,02



Определить частные, условные (при  = 1,  = 0) распределения и числовые характеристики системы случайных величин m, D, m, D, K,, r,; а также найти вероятность попадания двумерной случайной величины (, ) в область 



.



Решение:

Частное распределение для  получается суммированием вероятностей в столбцах:



Р ( = 1) = Р ( = 1,  = 0) + Р ( = 1,  = 1) + Р ( = 1,  = 2) = 0,16 + 0,08 + 0,06 = 0,3

Р ( = 2) = Р ( = 2,  = 0) + Р ( = 2,  = 1) + Р ( = 2,  = 2) = 0,12 + 0,10 + 0,04 = 0,26

Р ( = 3) = Р ( = 3,  = 0) + Р ( = 3,  = 1) + Р ( = 3,  = 2) = 0,14 + 0,09 + 0,03 = 0,26

Р ( = 4) = Р ( = 4,  = 0) + Р ( = 4,  = 1) + Р ( = 4,  = 2) = 0,08 + 0,08 + 0,02 = 0,18



Частное распределение для  получается суммированием вероятностей в строках:



Р ( = 0) = Р ( = 0,  = 1) + Р ( = 0,  = 2) + Р ( = 0,  = 3) + Р ( = 0,  = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5

Р ( = 1) = Р ( = 1,  = 1) + Р ( = 1,  = 2) + Р ( = 1,  = 3) + Р ( = 1,  = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35

Р ( = 2) = Р ( = 2,  = 1) + Р ( = 2,  = 2) + Р ( = 2,  = 3) + Р ( = 2,  = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15



Полученные данные можно представить в виде таблицы:







1

2

3

4



0

0,16

0,12

0,14

0,08

0,5

1

0,08

0,10

0,09

0,08

0,35

3

0,06

0,04

0,03

0,02

0,15



0,3

0,26

0,26

0,18





Вычислим математическое ожидание m:







Вычислим математическое ожидание m:







Вычислим дисперсию D:







Вычислим дисперсию D:








Условное распределение /=0:





1

2

3

4













Условное распределение /=1:





0

1

3













Вычислим ковариацию K,:







Вычислим коэффициент корреляции r,:







Вероятность попадания двумерной случайной величины (, ) в область:



 - эллипс.







1

2

3

4

0

0,16

0,12

0,14

0,08

1

0,08

0,10

0,09

0,08

2

0,06

0,04

0,03

0,02



К необходимому условию подходят только точки (1; 0) и (2;)







Ответ: m = 2,32, D = 1,1776, m = 0,80, D =1,06, K, = - 0,056, r, = - 0,0501.

Вероятность попадания двумерной случайной величины (, ) в область: 



 = 0,028 (2,8%).