Представлення і перетворення фігур

Размещено на 



ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК



Представлення точок здійснюється наступним чином:

На площині 

У просторі 

Перетворення точок.

Розглянемо результати матричного множення , що визначає точку Р, і матриці перетворення 2х2 загального виду:

		

					(3.1)



Дослідимо декілька часткових випадків.

	

	1) а=d=1 і c=b=0. Змін не відбувається

		.				(3.2)

	2) d=1, b=c=0. Зміна масштабу по осі x

		.			(3.3)

	3) b=c=0. Зміна масштабу по осях x і y

		.			(3.4)

	4) b=c=0, d=1, a=-1. Відображення координат відносно осі y

		.			(3.5)

	5) b=c=0, a=d<0. Відображення відносно початку координат

		.			(3.6)

	6) а=d=1,c=0. Зсув

		.			(3.7)

	

	Для початку координат маємо інваріантно

	

			.

			



Рис.3.1. Перетворення точок.



ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРЯМИХ ЛІНІЙ



Пряма задана 2 векторами.

Вектори положення точок А і В рівні  і .




Рис.3.2. Перетворення прямих ліній.

	

	Матриця перетворення

		

		.

	

	Одержимо:

		

		,				(3.8)

		.				(3.9)

	

	Альтернативне представлення лінії AB

	

	.

	

	Після цього множення матриці L на Т дасть

		
.				(3.10)



Операція зсуву збільшила довжину лінії і змінила її положення.



ОБЕРТАННЯ



Розглянемо плоский трикутник ABC.

Здійснимо поворот на 90° проти годинникової стрілки.





Рис.3.3. Обертання і відображення.



Одержимо



		.				(3.11)



В результаті отримаємо трикутник A*B*C*. Поворот на 180° задається матрицею



		,



поворот на 270 навколо початку координат - за допомогою матриці:



		.



ВІДОБРАЖЕННЯ



Відображення визначається поворотом на 180° навколо осі, що лежить у площині ху.

1) Обертання навколо прямої y=x задається матрицею:

		

		.



Нові вирази визначаються співвідношенням:

		

		.				(3.12)



2) Обертання навколо осі y=0 задається матрицею:

		

		.




Нові вершини визначаються співвідношенням:

		

		.				(3.13)



ЗМІНА МАСШТАБУ



Зміна масштабу визначається значенням 2-х елементів головної діагоналі матриці.

	Якщо використовуємо матрицю  маємо збільшення в 2 рази.

Якщо значення елементів не рівні, то має місце спотворення.

Трикутник ABC перетворений за допомогою матриці . Трикутник DEF перетворений за допомогою матриці . Маємо спотворення.





Рис.3.4. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів.


ДВОВИМІРНИЙ ЗСУВ І ОДНОРІДНІ КООРДИНАТИ



	Введемо третій компонент у вектори точок  і - і .

Матриця перетворення матиме вигляд:

перетворення фігура площина точка

.



Таким чином,

		

		.		(3.14)



Константи m, n викликають зсув x* і y* відносно x і y.

Матриця 3х2 не квадратна - вона не має оберненої матриці.

Доповнимо матрицю перетворення до квадратної

		

		.						(3.15)



Третій компонент не змінюється.