Методология изучения темы «Признаки параллельности прямых

Методология изучения темы «Признаки параллельности прямых

Курсовая работа по курсу «Основы преподавания математики»

Кировоградский государственный педагогический университет им. Винниченка

Кировоград

2003

Введение

Учащиеся, приступая к систематическому изучению курса геометрии, уже владеют некоторым запасом геометрических знаний. Знания эти по преимуществу почерпнуты или непосредственно из опыта или восприняты ими интуитивно, путем сопоставления ряда аналогичных или уже знакомых им геометрических фактов. 

Преподаватель должен суметь: 1) надлежащим образом использовать накопленные учащимися знания для развертывания перед ними школьного логического курса геометрии, в котором логическое доказательство выдвигается на первое место, где интуиция играет роль разведки, в опыт отходит на задний план, 2) приучить учащихся находить новые геометрические факты, 3) подкреплять при рассмотрении отдельных вопросов теоретические выводы иллюстрацией их практической ценности и тем самым находить тесную увязку теории с практикой, 4) использовать явления окружающей действительности, опыт и интуицию как стимул для постановки вопроса, отнюдь не заменяя логическое доказательство опытом, 5) приучать учащихся усматривать взаимозависимость между отдельными геометрическими фактами, 6) развить  в учащихся наблюдательность, строгость и последовательность в суждениях, любовь к исследованию, 7) научить учащихся пользоваться учебником, вести четкую конспективную запись, выполнять опрятно и точно чертежи и быть всегда готовыми к ответу – вот ответственная и сложная  задача преподавателя, начиная с первых же занятий по геометрии.

В своей работе преподаватель всегда должен помнить, что учащиеся должны научиться доказывать, но отнюдь не заучивать непонятное доказатель-ство. Необходимо вести работу так, чтобы учащиеся умели четко отличать при разборе теоремы, то что дано, и то, что требуется доказать. Всякое доказательство требует от учащихся сосредоточенности внимания и напряжения мысли, поэтому нельзя перегружать урок разбором и доказательством более чем двух-трех теорем.

Юнг в своей книги «Как преподавать геометрию» писал: «если геометрию изучать так, чтобы учащийся сам делал открытия, то он почувствует ее жизнь».

Раздел 1. Методика преподавания темы «Параллельные прямые. Задачи, связанные с параллельными прямыми»

1.1. Параллельные прямые

К понятию о параллельных прямых следует подвести учащихся следующим образом. Учащимся предлагается провести произвольную прямую АВ, отметить на ней две близлежащие точки М и N и провести через эти точки к  прямой АВ перпендикуляры ММ1 и NN1. Ставится вопрос, пересекутся ли эти перпендикуляры, если их продолжить в ту или другую сторону от прямой АВ.

Если на заданный вопрос последует ответ, что прямые не пересекутся, а это учащиеся чувствуют интуитивно, или, наоборот, будет дан ответ, что прямые пересекутся, необходимо указать учащимся, что каждое из сделанных ими утверждений должно быть доказано, т.е. обосновано ссылкой на известные им аксиомы и теоремы.

Доказательство: имеем ММ1 перпендикулярно АВ, NN1 перпендикулярно АВ. Докажем, что перпендикуляры ММ1 и NN1 , проведенные к одной и той же прямой АВ, не могут пересечься. Предположим противное, а именно – что перпендикуляры ММ1 и NN1 пересекутся в некоторой точке О, тогда получается треугольник МОN, в котором сумма двух внутренних углов, 1 и 2, равна двум прямым: 1+2=180, что невозможно, так как согласно сумма двух углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Отсюда следует, что принятое допущение, что перпендикуляры ММ1 и NN1 при своем продолжении пересекутся в некоторой точке О, неверно. Итак, два перпендикуляра к одной и той же прямой не пересекаются, сколько бы их ни продолжать.

После такого разбора учащимся указывается, что на плоскости можно расположить две прямые так, что они никогда не пересекутся, и дается определение: прямые, которые расположены в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными.

Возвращаясь затем у полученному выше выводу о взаимном положении двух перпендикуляров к одной и той же прямой, преподаватель отмечает, что этот вывод можно формулировать в виде теоремы: две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.

Вводится знак для обозначения параллельности двух прямых: АВ CD.

Преподаватель должен подчеркнуть, что необходимым условием для параллельности двух прямых является то, что прямые должны лежать в одной плоскости. Это указание должно быть выявлено в определении, а потому определение параллельных прямых без слов «которые расположены в одной плоскости» является неполным.

Следует использовать модель куба для показа параллельных и непараллельных прямых. Так, ребра куба АВ и А1D1  не пересекаются: они лежат в разных плоскостях; поясняется, что такие прямые, в отличие от прямых параллельных, называются скрещивающимися. ребра же куба АВ и А1В1, АА1 и ВВ1, ВВ1 и СС1 также не пересекаются; однако они попарно расположены на одной плоскости, они параллельны.

Теорема о двух перпендикулярах на плоскости к одной и той же прямой является одним из признаков параллельности прямых. Необходимо показать учащимся ее практическое приложение, для чего следует решить задачу:

На плоскости даны две точки А и В. Провести через эти точки две параллельные прямые.

Построение. Через точки А и В проводится прямая MN, и в этих же точках строятся к прямой MN перпендикуляры АС и BD (АС BD). Продолжая оба перпендикуляра по другую сторону от прямой MN имеем: СС1  DD1. Это одно из многочисленных решений; через точки А и В можно провести бесчисленное множество пар параллельных прямых.

Действительно, проводим на плоскости ряд произвольных прямых и к ним через точки А и В перпендикуляры. Получаем, что в каждой из точек А и В пучок прямых. При этом каждой прямой пучка с центром в точке А соответствует определенная прямая, ей параллельная, принадлежащая пучку с центром в точке В.

После этого следует решить задачу на построение. Через точку А вне данной прямой провести прямую, параллельную данной.

Запись задачи на доске: Дана прямая MN и вне ее точка А. Провести через точку А прямую, параллельную данной.

Решение. Из данной точки А проводят к прямой MN при помощи линейки и чертежного треугольника перпендикуляр АР. Затем проводят через точку А к прямой АР перпендикуляр АК также при помощи линейки и чертежного треугольника. Прямая АК параллельна MN на основании теоремы: две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.

Необходимо предложить учащимся сделать несколько построений, различно расположив прямую MN относительно края доски или листа бумаги.

Когда построение выполнено, преподаватель должен указать, что необходимо еще исследовать, нет ли помимо построенной прямой еще другой прямой, которая также проходит через точку А и параллельна данной прямой MN, и что если таковой нет, то проведенная прямая является единственной прямой, проходящей через точку А параллельно прямой MN.

Учащимся разъясняется, что доказать это положение нельзя при помощи известных нам аксиом и теорем и что вековой опыт человечества, приобретенный решением практических задач, привел еще древних геометров к заключению, что через данную точку вне прямой на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Последнее суждение есть аксиома о параллельных.

Не лишнее указать учащимся, что, начиная с древнейших времен, лучшими математиками все же делались попытки доказать аксиому о параллельных, т.е. рассматривать ее как теорему, которая, как они предполагали, может быть доказана при помощи уже принятых аксиом. Однако их попытки были и остались безуспешными. В настоящее время рассуждениями, выходящими за пределы элементарного курса геометрии, установлено, что аксиому о параллельных нельзя доказать без внесения дополнительных аксиом к числу тех, которые установлены Евклидом.

На аксиоме о параллельных и следствиях из нее следует заострить внимание учащихся.

Учащиеся должны уметь формулировать словами запись: на плоскости АВ  CD и CDMN, уметь сделать к ней нужный чертеж и после соответствующего доказательства записать вывод, вытекающий из взаимного расположения прямых АВ, CD и MN. А именно, что АВMN. К чтению такого рода записей и учению по записи сделать соответствующий вывод следует приучать учащихся.

Большинство учебников обычно приводит аксиому о параллельных непосредственно перед рассмотрением обратной теоремы о параллельных, т.е. теоремы: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы, так как доказательство этой теоремы основано на аксиоме о параллельных. Для прямой теоремы: две прямые, пересеченные третьей, параллельны, если внутренние накрест лежащие углы равны – нет необходимости в применении аксиомы о параллельных. Для доказательства прямой теоремы достаточно предшествующих аксиом. 

Приводя все же аксиому о параллельных ранее, а именно – в связи с анализом решения задачи о проведении прямой, параллельной данной прямой, полагаем, что при таком расположении материала учащимся более доступно понимание необходимости аксиомы о параллельных.

1.2. Углы при параллельных прямых

Ознакомление учащихся с углами, образуемыми двумя параллельными и секущей, целесообразно начать с повторения свойств углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, рассмотреть получаемые противоположные и смежные углы и лишь затем перейти к рассмотрению углов, образуемых тремя попарно пересекающимися прямыми, из которых одна по отношению к двум другим, параллельным, называется секущей.

Получаемым при этом восьми углам даются названия. Нужно указать, что не следует требовать от учащихся запоминания всех наименований углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей. Достаточно, если учащиеся умеют четко разбираться в расположении соответственных и внутренних накрест лежащих углов. Доказывается, что определенная зависимость между углами какой-либо одной из следующих двенадцати пар углов – 3 и 5, 4 и 6, 1 и 7, 2 и 8, 1и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 5, 1 и 8, 3 и 6, 2 и 7 – влечет за собою определенную зависимость между углами каждой из остальных пар. Так, если первая пара углов равна, то равны и следующие семь пар углов, а последние четыре пары углов пополнительные и т.д.

Небесполезно обратить внимание учащихся на следующее: углы, образуемые при пересечении двух параллельных третьей прямой, секущей, – в общем случае углы острые и тупые, при этом все острые углы между собой и все тупые углы между собой равны, а любая пара углов, из которых один острый, а другой тупой, – углы пополнительные. Если же хотя бы один из восьми углов – прямой, то все углы равны и все углы попарно пополнительные.

1.3. Признаки параллельности прямых

В ряде учебников теорема о признаках параллельности двух прямых, пересеченных третьей, доказывается способом от противного.

Это доказательство следующее: допустим, что прямые АВ и CD не параллельны. Тогда они могут пересечься или в какой-нибудь точке О, лежащей права от секущей EF, или в какой-нибудь точке О1, лежащей слева от секущей EF. Если АВ и CD пересекутся в точке О, то в полученном треугольнике OMN 1<2. Однако это противоречит условию, согласно которому 1=2, а потому допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в точке О, неверно. Итак, прямые АВ и CD не могут пересечься, следовательно, они параллельны: АВCD. К тому же заключению приводит допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в некоторой точке О1, слева от секущей EF. 

Прямой доказательство данной теоремы, приведенное в учебнике, следует предпочесть доказательствам от противного, изложенным выше, так как метод доказательства от противного всегда представляет для учащихся затруднения, обусловленные тем, что приходится принимать в качестве исходного условия для цепи заключений противоположное тому, что требуется доказать.

После проработки теоремы о признаках параллельности двух прямых следует вернуться к задаче на построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой MN.

Построение. Через точку А проводится под произвольным углом  к прямой MN секущая EF, и при точке А строится угол, равный углу , как угол соответственный или внутренний накрест лежащий так, чтобы одна сторона угла совпала с секущей EF. Следует указать, что построение, ранее приведенное и сводящееся к построению двух перпендикуляров к третьей прямой, аналогично последнему построению.

Учащимся должны быть даны практические указания о проведении параллельных прямых при помощи линейки и чертежного треугольника. Указывается, что при параллельном перемещении чертежного треугольника вдоль ребра линейки прямые, проводимые вдоль одного из катетов или гипотенузы чертежного треугольника, образуют вместе с ребром линейки равные соответственные углы, в силу чего проводимые прямые параллельны.

Теорема: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы – является теоремой, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых. В учебниках она доказывается методом от противного, и как следствие из нее приведено суждение: прямая, перпендикулярная  к одной из двух параллельных прямых, перпендикуля-рна и к другой.

Можно привести и прямое доказательство указанной теоремы, но тогда необходимо сперва доказать, как следствие из аксиомы о параллельных, что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.

После проработки теоремы, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых, можно вместе с учащимися составить в виде таблицы сводку признаков параллельности прямых.

1.4. Признаки непараллельности прямых

Для прямой теоремы, выражающей признаки параллельности двух прямых, и ей обратной  также верны и противоположные теоремы:

I. Если при пересечении двух прямых третьей 1) внутренние накрест лежащие углы не равны, 2) внешние накрест лежащие углы не равны, 3) соответственные углы не равны, 4) внутренние односторонние углы не пополнительны, т.е. сумма их больше или меньше 2d, и 5) внешние односторонние углы не пополнительны, то прямые не параллельны.

II. Если две прямые не параллельны, то при пересечении их третьей прямой: 1) внутренние накрест лежащие углы не равны, 2) внешние накрест лежащие углы не равны, 3) соответственные углы не равны, 4) внутренние односторонние углы не составляют в сумме 2d и 5) внешние односторонние углы не составляют в сумме 2d.

Теоремы эти доказываются методом от противного. Теоремы выражают признаки непараллельности двух прямых.

Приведем доказательство одного из признаков непараллельности: если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то прямые не параллельны, и они следовательно, пересекаются.

Допустим, что АВCD, тогда +=2d. Но это противоречит условию, а потому принятое допущение неверно. Если же прямая АВ не параллельна прямой CD, то прямые пересекаются. 

Рассмотренное доказательство одного из признаков непаралллельности прямых, а также доказательства остальных признаков могут служить темами для самостоятельной работы учащихся.

Приведенный признак непараллельности прямых, дополненный утверждением, что прямые пересекутся по ту сторону секущей, на которой сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, был принят Евклидом как аксиома параллельных прямых и известен как V постулат Евклида.

У Евклида аксиома гласит: если две прямые линии встречаются с третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, меньше двух прямых углов, то две первые прямые при достаточном своем продолжении встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.

В современных элементарных курсах геометрии V постулат Евклида заменяется равносильной ему аксиомой о параллельных, данной еще Проклом (412-485), одним из комментаторов Евклида.

Следует остановиться на одном из признаков непараллельности прямых, который используется при доказательстве теоремы: через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.

Теорема (признак непараллельности). Перпендикуляры к двум пересекающимся прямым пересекаются.

Действительно, если допустить, что MN и KL не пресекаются, то MNKL. Но в таком случае прямая АВ, перпендикулярная к MN, будет перпендикулярна и к KL, так как MNKL. Итак, и CD и АВ перпендикулярны к KL, но CD и AB пересекаются в некоторой точке Р, следовательно, из точки Р проведены к KL два перпендикуляра, AB и CD, что невозможно. А потому допущение, что MNKL неверно. Если же MN не параллельна KL, то MN и KL пересекаются.

Последняя теорема представляет для учащихся значительные трудности. Поэтому целесообразно рассмотреть ее позднее (на следующем году обучения геометрии) для обоснования вывода теоремы о проведении окружности через три точки, не лежащие на одной прямой.

1.5. Углы с взаимно параллельными сторонами, углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Теорему о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами следует рассмотреть для случаев, когда данные углы или оба острые, или оба тупые, или один из них острый, а другой тупой.

Теорема находит широкое применение при изучении свойств различных фигур и, в частности, четырехугольника.

Встречающееся иногда при формулировке теорем указание на то, что стороны углов с соответственно параллельными сторонами могут иметь или одинаковое или противоположное направление, считаем ненужным.

Если пользоваться термином «направление», то следовало бы разъяснить, что должно понимать под этим словом. Достаточно обратить внимание учащихся на то, что углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые, если же один из углов тупой, а другой острый, то они в сумме составляют 2d.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами может быть дана непосредственно после теоремы о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами. Учащимся приводятся примеры использования свойств углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами в приборах и деталях машин.

1.6. Сумма углов треугольника

При выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник АВС, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается 1+2+3=2d. Проводят из вершины С треугольника АВС высоту СD и перегибают треугольник так, чтобы высота делилась пополам, т.е. вершина С упала в точку D – основание высоты. Линия перегиба MN есть средняя линия треугольника АВС. Затем перегибают равнобедренные треугольники АМD и DNB по их высотам, при этом вершины А и В совпадут с точкой D и 1+2+3=2d.

Следует помнить, что использованием наглядных пособий в систематическом курсе геометрии отнюдь не ставится задача подменить логическое доказательство какого-либо предложения опытной проверкой его.

Наглядные пособия должны лишь содействовать пониманию учащимися того или иного геометрического факта, свойств той или иной геометрической фигуры и взаимно расположения отдельных ее элементов.

При определении величины угла треугольника следует напомнить учащимся о рассмотренной ранее теореме о внешнем угле треугольника и указать, что теорема о сумме углов треугольника позволяет и построением и вычислением установить числовую зависимость между углами внешними и внутренними, не смежными с ними.

Как следствие из теоремы о сумме углов треугольника доказывается, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

По ходу изложения материала учащимся следует задать вопросы и простые задачи, содействующие лучшему усвоению нового материала. Например,

1. Какие прямые называются параллельными?

2. При каком положении секущей равны все углы, образуемые двумя параллельными прямыми и этой секущей?

3. Прямая, проведенная в треугольнике параллельно основанию, отсекает от него малый треугольник. Доказать, что отсекаемый треугольник и данный равноугольны.

4. Вычислить все углы, образуемые двумя параллельными и секущей, если известно, что один из углов равен 72 градуса.

5. Внутренние односторонние углы соответственно равны 540 и 1230. На сколько градусов надо повернуть одну из прямых вокруг точки ее пересечения с секущей, чтобы прямые были параллельны?

6. Доказать, что биссектрисы: а) двух равных, но не противоположных углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, б) двух неравных углов при тех же прямых и секущей – перпендикулярны.

7. Даны две параллельные прямые АВ и CD и секущая EF, пересекающая данные прямые в точках K и L. Проведенные биссектрисы KM и KN углов AKL и BKL отсекают на прямой CD отрезок MN. Найти длину MN, если известно, что отрезок KL секущей, заключенный между параллельными, равен а. Ответ: 2а

8. Каков вид треугольника, в котором: а) сумма двух любых углов больше d, б) сумма двух углов равна d, в) сумма двух углов меньше d? 

Ответ: а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный.

9. Во сколько раз сумма внешних углов треугольника больше суммы внутренних его углов? Ответ: в 2 раза.

10. Могут ли все внешние угля треугольника быть: а) острыми, б) тупыми, в) прямыми? Ответ: а)  нет, б)  да, в) нет.

11. В каком треугольнике каждый внешний угол вдвое больше каждого из внутренних углов?  Ответ: равносторонний.

Раздел 2. Проведение практических уроков по теме «Параллельность прямых и использование признаков параллельности при решении геометрических задач»

2.1. Сумма углов треугольника. 

Цель: систематизировать сведения о треугольниках, доказать исследовательским путем теорему о сумме углов треугольника, сформировать привычки нахождения разных способов доказательства этой теоремы, показать применение приобретенных знаний в практической деятельности, развивать умение анализировать, строить заключения, работать творчески.

И. Актуализация опорных знаний.

Актуализация теоретического материала проводится в форме гейма “Дальше, дальше...” игры  “Счастливый случай”. За одну минуту нужно дать максимальное количество правильных ответов.

Вопрос для первой команды

1. Фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки, называется .....

(Треугольник)

2. Раздел геометрии, в котором изучают фигуры на плоскости, называется .....

(Планиметрия)

3. Угол, больший 900 и меньше 1800, называется .....

(Тупой угол)

4. Свойство вертикальных углов...

(Равны)

5. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, которая содержит противоположную сторону треугольника, называется ......

(Высота треугольника)

6. В равнобедренном треугольнике углы при основании ......

(Равны)

7. Треугольник, один из углов которого прямой, называется .......

(Прямоугольным)

8. Если две параллельные прямые пересеченные третьей, то внутренние разносторонние углы ........

(Равны)

9. Утверждение, которое принимается без доказательства, называется ......

(Аксиома)

Вопрос для второй команды

1. Угол, меньше, чем 900, называется ......

(Острым углом)

2. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются ......

(прямая, отрезок, окружность)

3. Если сторона угла является перпендикуляром к полупрямой, то угол 

называется ........

( Прямый углом )

4. Сумма смежных углов равняется .....

(180 градусов)

5. Если две стороны треугольника равны, то он называется ......

(Равнобедренным)

6. Отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется ......

(Медианой)

7. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основе , является .......

(Высотой)

8. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние разносторонние углы равны, то прямые .....

(Параллельны)

9.Теорема, у которой условие является выводом, а вывод является условием, называется ........

(Лемма)

Вопрос для третьей команды

1. Развернутый угол равняется .......

(180 градусам)

2. “Геометрия” в переводе на украинский язык означает ........

(Наука об измерении земли )

3. Угол, который равняется 900, называется ........

(Прямым)

4. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются .......

(Параллельными)

5. Луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам, называется ......

(Биссектриссой)

6. Если в треугольнике два угла равны, то он .....

(Равнобедренный)

7. Треугольник, у которого все стороны равны, называется ......

(Равностронний)

8. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равняется 1800, то прямые ......

(Параллельны)

9. Утверждение, которые требует доказательства, называется ......

(Теоремой)

ІІ. Мотивация учебной деятельности.

Вы только начали изучать геометрию, но уже знаете названия элементов треугольников и их виды, а также признаки равенства треугольников.

Треугольник играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен “Начал” Евклида базируется на “трех китах” – трех признаках равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры так детально выучили треугольник, что порой говорят о “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Среди всех метрических свойств треугольника, которые изучаются в 7-м классе, важнейшим есть свойство суммы углов треугольника.

ІІІ. Изучение нового материала.

В тетрадях нарисуйте произвольный треугольник. Далее, с помощью транспортира измерьте градусные меры углов треугольника и найдите их сумму.

Как вы думаете, случайно ли сумма углов треугольника оказалась близкой к 1800?

Свойство суммы углов треугольника характерно тем, что оно совсем не очевидно. Вдобавок, треугольники могут быть разнообразнейшими – от маленьких, какие мы строим в тетрадях, до исполинских, которые можно построить на поверхности Земли или вообразить, соединив отрезками три звезды на небе. Для всех этих треугольников справедливо одно и  то же равенство. Докажем теорему о сумме углов треугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равняется 1800.

Учитель доказывает на доске теорему. Ученики записывают теорему в свои тетради.

IV. Применение теоремы к решению задач.

1. Найдите третий угол треугольника АВС, используя данные таблицы:

А

130

30

?

В

30

?

45

С

?

50

90



2. Решите задачи 19(1), 22(1), 23(1), 20(1) из параграфа 4 учебника (Погорелов О.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. серед. шк. – К.,Образование, 1997).

3. Если один из углов треугольника тупой, то какими должны быть два другие его угла?

А правильно ли обратное утверждение?

4. Решите задачи самостоятельно.

Задача 1. Дан: АВС, С=700, Ам-биссектриса, МАСС=400. Найти ВАС, (АВС.

Задача 2. Дан: АВС, AD=DB=DC. Доказать: АВС=900.

5. Как определить градусную меру угла, часть которого вместе с вершиной вытерли?

6. Какое наименьшее количество углов треугольника нужно задать, чтобы определить остаток углов в случае, если треугольник:

а) произвольный;  б) прямоугольный;  в) равнобедренный;  г) равносторонний;

д.) прямоугольный равнобедренный?

V. Практическое применение знаний.

Свойство углов прямоугольного равнобедренного треугольника знал еще один из первых творцов геометрической науки древнегреческий ученый Фалес. Используя ее, он измерял высоту египетской пирамиды по длине ее тени. По легенде, Фалес выбрал день и время, когда длина его собственной тени равнялось его росту, поскольку в этот момент высота пирамиды также должна равняться длине тени, которую она отбрасывает. Конечно, длину тени нужно было вычислить от средней точки квадратной основы пирамиды, но ширину основы Фалес мог измерять непосредственно. Таким образом можно измерять высоту любого дерева.

VI. Итог урока.

Сегодня на уроке мы доказали исследовательским путем теорему о сумме углов треугольника,  научились применять приобретенные знания в практической деятельности. Мы еще раз убедились, что геометрия это наука, которая возникла из потребностей человека. Ведь, как писал Галиллей : “Природа разговаривает языком математики: буквы этого языка – окружности, треугольники и прочие математические фигуры».

V. Домашняя задача.

Прочитать пункт 33, решить задачи 19(2), 22(2), 26 из параграфа 4 учебника.

2.2.  УРОК 2

Тема. Признаки параллельности прямых (Часть 1).

Цель: ввести понятия секущей, внутренних односторонних углов, внутренних разносторонних углов, доказать теоремы 4.1, 4.2, сформулировать теорему 4.3 (без доказательства) (Погорелов О.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. – К.,Освіта, 1997).

ХОД  УРОКА

І. Изучение нового материала.

Если новый материал вмещает много информации, достаточно сложной для восприятия, то начинают урок с нового материала.  Учитель на доске вводит новые понятия такие как секущая, внутренние односторонние углы, внутренние разносторонние углы, доказывает теоремы 4.1, 4.2  и  формулирует теорему 4.3 (без доказательства). Учащиеся делают опорный конспект в тетрадях. 

ІІ. Решение задач на доске с подробным объяснением

Применение теоремы 4.1 можно продемонстрировать на примере решения следующей задачи.

Задача 1. Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD.

Применение теоремы 4.2. можно продемонстрировать на примере решения следующей задачи.

Задача 2. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.

Применение теоремы 4.3. можно продемонстрировать на примере решения следующей задачи.

Задача 3. Прямые АС и ВD параллельны, причем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС. Докажите, что 1) углы DBC и ACB внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС, 2) луч ВС проходит между сторонами угла АВD, 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.

ІІІ. Решение задач по готовым плакатам. http://www.schools.techno.ru/sch1529/geometr/geom7_6.htm



IV. Домашнее задание

Задача 1. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Задача 2. Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.

Задача 3. Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а стороне АС – точка С1. Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1.

Задача 4. Угол АВС равен 800, а угол BCD равен 1200. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Ответ обоснуйте.

2.3. УРОК  3

Тема. Признаки параллельности прямых (Часть 2).

Цель: научить учащихся применять признаки параллельности прямых  к решению задач.

Оборудование. Таблицы  с рисунками к задачам и короткой записью условия.

ХОД  УРОКА

І. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить признаки равенства треугольников, теоремы про смежные и вертикальные углы, сумму углов треугольника 

ІІ. Математический диктант.

Вариант 1

1. Две прямые на плоскости называются параллельными, если …

2. Прямая называется секущей, если …

3. Внутренними накрест лежащими углами при пересечении двух прямых a и b секущей c (см. рис.) являются углы …

    Внешними односторонними являются углы …

4. Признак параллельности двух прямых заключается в следующем: …

5. Если две прямые параллельны третьей, то …

Вариант 2

1. Две прямые на плоскости называются не параллельными, если …

2. Параллельность прямых обозначается …

3. Внешними накрест лежащими углами при пересечении двух прямых a и b секущей c (см. рис.) являются углы …

   Внутренними односторонними являются углы …

4. Аксиома параллельных прямых заключается в следующем: …

5. Если две прямые параллельны третьей, то …

ІІІ. Решение задач.

Найдите пары  параллельных прямых (отрезков) и докажите их параллельность. 

Разобрав задачу устно, учащиеся записывают ее в тетрадь

IV. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Задача 1. Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 300. Найдите эти углы.

Задача 3. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей равен 720. Найдите остальные семь углов.

Вариант 2.

Задача 2. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 1500. Найдите эти углы.

Задача 4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 300. Может ли один из остальных семи углов равняться 700? Объясните ответ.

Список литературы

1. Лищенко В.М. Сума кутів трикутника// МАТЕМАТИКА, №41(149), 2001 с.7-11

2. Лищенко В.М. Сума кутів трикутника// МАТЕМАТИКА, №40(148), 2001 с. 7.

3. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.

4. Погорелов А.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. –  К.,Освіта, 1997.

5. Готман Э.Г.,Скопец З.А. Задача одна–решения разные.–К.: Рад. шк.,1988.–173 с.

6. Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителей. – К.: Рад. шк., 1990. – 128с.