Краткое доказательство гипотезы Билля

2



Краткое доказательство гипотезы Билля



Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:



Аx +Вy= Сz						/1/



не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Билля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:



Аx = Сz - Вy						/2/



Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде:



Аx = (С0,5z)2 – (В0,5y)2				 /3/



Обозначим:



В0,5y =V	 						 /4/

С0,5z =U								 /5/



Отсюда:



Вy =V2							 	 /6/

Сz =U2								 /7/

В =								 /8/

С =								 /9/



Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:



Аx = Сz – Вy =U2-V2				 /10/



Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:



Аx = (U-V)∙(U+V)				 /11/



Для доказательства гипотезы Билля используем метод замены переменных. Обозначим:



U-V=X						 /12/



Из уравнения /12/ имеем:



U=V+X						 /13/



Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:



Аx = X· (V+X+V)=X (2V+X)=2VХ+X2		 /14/



Из уравнения /14/ имеем:



Аx – X2=2VХ							/15/



Отсюда:


V=				/16/



Из уравнений /13/ и /16/ имеем:



U=  /17/



Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:



B =			 /18/

C = /19/



Алгебраическое выражение  включает в себе возведение чисел в степень, вычитание одного числа из другого и деление их разности на число.

Алгебраическое выражение  включает в себе возведение чисел в степень, их сложение и деление суммы этих чисел на число.

Из анализа этих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математических действий нельзя получить числа, равные  и  соответственно, т.е.:



; /20/

, /21/



где: S и R – должны быть целыми числами.

Поэтому в соответствии с уравнениями /18/, /19/, /20/ и /21/:



 – дробное число;

 – дробное число.



Таким образом, числа В и С – дробные числа.

Следовательно, гипотеза Билля не имеет решения в целых положительных числах.