Конспект урока по Математике "Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения"

Тема: Экстремум функций двух переменных. 

          Наибольшее и наименьшее значения.

Цель занятия: 

закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике;

научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и минимум с использованием производных высших порядков;

вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции;
 решать задачи на отыскание наибольших  и наименьших значений функции;

развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить логически и по аналогии.



Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности – проблемные, по дидактической цели – познавательные.

Ход занятия.

Организационная часть. Студенты записывают тему занятия. 

Актуализация опорных знаний. В начале занятия проводится небольшая по времени (10-15 минут) фронтальная работа, которая позволяет актуализировать базовые знания студента.

Работа по повторению: 

-критические точки;

-стационарные точки;

-экстремумы функции. 

















Выполнение самостоятельной работы:







2. Основная часть. Изучение новой темы. 



Экстремум функции двух переменных

Функция  имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке  некоторой окрестности точки , то есть  (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция  достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть  стационарная точка функции . Обозначим , ,  и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке  экстремум, а именно максимум, при  (или ) и минимум, при  (или );

если , то в точке  экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Рассмотрим пример решения задачи:















Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний.



Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию.

ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром



Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на  [-4; 6] 

без построения графика.





Во время самостоятельной работы сильные студенты вызываются к доске и решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы.

Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.

Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?









Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см. 

Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из экономии бумаги?









Следующим этапом изучения темы является подробное решение примера преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже обладают.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума функции. В результате чего получим стационарные точки.

Находим частные производные и составляем систему уравнений 



 ;





Решим отдельно уравнение . Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, т.е. . Пусть , тогда исходное уравнение примет вид квадратного трехчлена . Используя теорему, обратную теорему Виета, получаем корни уравнения .

Таким образом получаем:  подставляя полученные значения в систему получаем четыре стационарные точки:



Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух переменных, составляем определитель  и находим точки максимума и минимума.

Найдем производные второго порядка:



 и составим определитель

 для каждой стационарной точки.



1) Для точки







Значит, в точке  экстремума нет.



2) 

.



В точке , согласно достаточному условию существования экстремума, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при .



3) 

.



Экстремума в точке нет.



4)

.



В точке  функция имеет максимум: .









V этап: Выполнение самостоятельной работы.  (Работы сдаются на проверку учителю) 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

I в.  на отрезке .

II в.  = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2].

По окончании выполнения самостоятельной работы студенты готовятся к ответам на следующие вопросы.

1. Определение экстремума функции двух переменных.

2. Необходимое условии экстремума.

3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.





VI.  Рефлексия. Определение домашнего задания.