Системы уравнений межотраслевого баланса

Системы уравнений межотраслевого баланса

Лабораторную работу выполнил Сиропов Вадим Александрович 

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса

Цели:

Выработать у студентов навыки построения математических моделей межотраслевого баланса в статистических случаях и оптимизации моделей в рамках межотраслевого баланса. Научиться делать выводы в рамках построения моделей.

Задание:

Найти объемы выпуска продукции по каждой из отраслей, предварительно обосновав сущность нестандартного решения.

Рассчитать новый план выпуска продукции, при условии, что конечный спрос на продукцию U-ой и -ой отраслей возрос соответственно на 85 и 97 единиц. Вычислить абсолютные и относительные приросты объема, выполненные по каждой из отраслей.

Скорректировать новый план, с учетом того, что  отрасль не может увеличить объемы выпуска своей продукции более чем на 2 единицы.

Рассчитать матрицу полных затрат.

Исходные данные:

A =

0.02

0.01

0.01

0.05

0.06

0.03

0.05

0.02

0.01

0.01

0.09

0.06

0.04

0.08

0.05

0.06

0.06

0.05

0.04

0.05

0.06

0.04

0.08

0.03

0.05



C =

235

194

167

209

208























,    ,             .

0) Проверим матрицу А на продуктивность:











Матрица А является продуктивной матрицей.

(J-A) = 

J – единичная матрица;

A – заданная матрица прямых затрат;

 - вектор (план) выпуска продукции, подлежащей определению;

 - вектор конечного спроса.

Произведем расчеты на PС, используя метод Гаусса.

 ;           ;

;

;

;

Используя Симплекс-метод, получим:







 



        





2) 

;

;





 









Решение:













3) Скорректировать новый план, с учетом того, что  отрасль не может увеличить объем выпуска своей продукции, более чем на 2 единицы. 

 

Подставляя значение  в исходную систему уравнений, получим:

;

;

;

Решаем систему уравнений методом Гаусса:



4) Рассчитаем матрицу полных затрат.

Произведем обращение матрицы:



.

Матрица, вычисленная вручную:



Вывод: Видно, что несмотря на сходство этих матриц, полученные приближенные значения довольно грубы.

Рассчитаем деревья матрицы:


































 Оптимизационная модель межотраслевого баланса.

Зная запасы дополнительных ресурсов (r), нормы их затрат (D) на производство продукции каждой отрасли и цены реализации конечной продукции (p), рассчитать объемы производства продукции, обеспечивающие максимальный фонд конечного спроса. Вычислить конечный спрос и провести анализ полученного решения:

относительно оптимальности;

статуса и ценности ресурсов;

чувствительности.

Рассчитать объем производства.

Исходные данные:





D =

0.3

0.6

0.5

0.6

0.6

0.9

0.5

0.8

0.1

0.9

0.4

0.8

1.1

0.2

0.7







 = 564

298

467

= (121 164 951 254 168)

Требуется максимизировать цену конечного спроса;

=

:



, при ограничениях:







  



 

Решая задачу на ЭВМ, симплекс-методом, получим:





Решим соответствующую двойственную задачу:

;

;

;





Решая задачу на ЭВМ, симплекс-методом, получим:



Проведем анализ результатов:

1) Оптимальность:

т.е., следует выпускать лишь продукцию 1-ой и 3-ей отрасли, объем которой соответственно составит – 377,75 и 372,50 ед. Не следует выпускать продукцию 2-ой, 4-ой и 5-ой отрасли.

 



Оптовая цена конечного спроса: 

=

т.е. С1=336.67, С2=-26.1275, С3=353.8225, С4=-48.6875, С5=-41.29,

отрицательные значения говорят о том, что продукция отраслей необходимая для функционирования. 



2) Статус и ценность ресурсов:

Ресурс

Остаточная переменная

Статус ресурса

Теневая цена

1

x6 = 21,67

недефицитный

0

2

X7 = 88,96

недефицитный

0

3

X8 = 0,26

недефицитный

0