О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»



Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии









О сверхразрешимости некоторых классов

факторизуемых групп

Курсовая работа







Исполнитель:

Студентка группы М-31 

____________ Леванюк А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент 

____________ Скиба М.Т.











Гомель 2005


Содержание



Перечень условных обозначений

Введение

1 Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами

2 Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами

Заключение

Литература


Перечень условных обозначений



В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 --- пустое множество;

 --- множество всех  для которых выполняется условие ;

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 --- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 --- порядок элемента  группы ;

 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 --- множество всех простых делителей порядка группы ;

 --- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- -ый коммутант группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- --холловская подгруппа группы ;

 --- силовская --подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

 --- группа всех автоморфизмов группы ;

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --- подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;



;



 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- центр группы ;

 --- циклическая группа порядка ;

 --- ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны.

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .



, где .



Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы  такая, что  нильпотентна.

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы  --- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

 --- цоколь группы .

Экспонента группы  --- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов. 

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 --- класс всех групп;

 --- класс всех абелевых групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп;

 --- класс всех --групп;

 --- класс всех сверхразрешимых групп;

 --- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .

Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть  --- некоторый класс групп и  --- группа, тогда:

 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и .

Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Произведение формаций  и  состоит из всех групп , для которых .


Введение



Понятие -перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке -перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа  разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы -перестановочны. Согласно теореме 3.8 из  группа  является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий -перестановочности некоторых ее подгрупп.


1. Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами



В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.

Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где  и  --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что каждая подгруппа группы  -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть  --- сверхразрешимая группа. Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого числа . Пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда ,  и  сверхразрешимы и каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Предположим, что  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и ,  --- подгруппа Фиттинга группы  и каждая подгруппа группы  -перестановочна с каждой подгруппой группы , но  не является сверхразрешимой группой. Допустим, что  --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Если  --- максимальная подгруппа группы  такая, что  и либо , либо , то  сверхразрешима.

Предположим, что . Тогда по тождеству Дедекинда имеем 



.



Так как 







то каждая подгруппа группы  -перестановочна с каждой подгруппой группы . Поскольку , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.

(2) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  сверхразрешима.

Ясно, что . Пусть  и . Так как по условию для некоторого , 







то мы имеем 











где . Это показывает, что каждая подгруппа группы  -перестановочна с каждой подгруппой группы . Но поскольку  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.

(3) Группа  имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Допустим, что . Тогда ввиду (2),  --- сверхразрешимая группа и поэтому  разрешима. Следовательно,  имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Предположим теперь, что . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда по условию . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но  сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что  и пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1),  сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Пусть теперь . Так как , то каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой погруппой группы . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда . Предположим, что . Ввиду леммы  мы видим, что . Но  сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что  и пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1),  сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Следовательно, . Поскольку  и  абелевы группы, то группа  имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.

(4) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  и  --- такая максимальная в  подгруппа, что 



 и .



Пусть  --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то  --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  --- максимальная подгруппа в  такая, что  и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как ввиду (3),  абелева, то  и . Это показывает, что . Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы  . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем 

(5)  --- наибольший простой делитель порядка группы .

Предположим, что  не является наибольшим простым делителем порядка группы , и пусть  --- наибольший простой делитель . Пусть  и  --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Тогда . По лемме,  и  не сопряжены в . Так как ввиду леммы  все максимальные подгруппы группы , которые не содержат , сопряжены в , то либо  содержит , либо  содержит . Пусть, например,  и пусть  --- силовская -подгруппа группы . Предположим, что . Согласно (2),  сверхразрешима и поскольку  максимальная подгруппа группы , то по лемме  --- простое число. Значит,  содержит неединичную силовскую -подгруппу . Согласно лемме , , и поэтому . Это противоречие показывает, что . Ясно, что . Тогда . Предположим, что  и пусть  --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Ввиду (1),  сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Так как группа  сверхразрешима, то , и поэтому , что невозможно в силу (4). Значит, . Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем 







и поэтому . Пусть , где . Предположим, что . Тогда , и очевидно . Это влечет . Следовательно, . Ясно, что , и поэтому . Пусть  --- максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого , мы имеем . Так как  не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что . Но поскольку , то приходим к противоречию. Следовательно, . Пусть  --- силовская -подгруппа группы  и для некоторого , . Предположим, что . Пусть  --- максимальная подгруппа группы , содержащая . Согласно (1),  сверхразрешима. Это влечет , противоречие. Следовательно, . Предположим теперь, что . В этом случае , и поэтому каждая силовская -подгруппа группы  является силовской -подгруппой группы . Следовательно, . Это противоречие показывает, что , и поэтому  --- максимальная подгруппа группы . Согласно лемме , мы имеем , для некоторого . Это противоречие показывает, что  --- наибольший простой делитель порядка группы .

(6)  --- силовская -подгруппа группы .

Предположим, что это не верно. Тогда . Отсюда следует, что , и поэтому ввиду (5) и леммы , , что невозможно в силу (4). Значит,  --- силовская -подгруппа группы .

(7) Заключительное противоречие.

Без ограничения общности мы можем предположить, что . Так как  сверхразрешима, то ввиду (5),  имеет нормальную подгруппу  порядка . Согласно (6),  Пусть  --- холлова -подгруппа группы  и для некоторого , . Поскольку 







то . Согласно (6), силовская -подгруппа группы  содержится в  Тогда  и поэтому  что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где  и  --- нильпотентные подгруппы группы  и  имеет такой главный ряд 







что каждая  -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что  --- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме , . Пусть  и  --- такая подгруппа группы , что  и  для каждой собственной подгруппы  группы . Тогда . Так как подгруппы  и  нильпотентны, то  --- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы , проходящий через  







Поскольку  --- простое число для каждого , то этот ряд является главным рядом группы  и каждая подгруппа  перестановочна со всеми подгруппами группы  для каждого .

Достаточность. Предположим теперь, что , где  --- нильпотентные подгруппы группы  и группа  имеет такой главный ряд 







что каждый член этого ряда -перестановочен с каждой подгруппой группы . Покажем, что  сверхразрешима. Предположим, что  не является сверхразрешимой группой, и пусть  --- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что  и  для каждой собственной подгруппы  группы . Для начала заметим, что поскольку группа  является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля , группа  разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  сверхразрешима.

Ясно, что  где  и  нильпотентны. Рассмотрим в  ряд 







Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.

Пусть . Так как по условию для некоторого , 







то мы имеем 











где  и . Это показывает, что каждый член ряда (2) -перестановочен со всеми подгруппами группы .

Поскольку  то  Так как  --- простое число, то  также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы . Поскольку , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.

(2) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  и  --- такая максимальная в  подгруппа, что  и . 

Пусть  --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то  --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  --- максимальная подгруппа в  такая, что  и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как  разрешима, то  --- элементарная абелева -группа для некоторого простого  и поэтому  и . Это показывает, что . Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы  . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .

(3)  и  имеют не простые порядки. 

Действительно, если для некоторого простого , , то в группе  каждая подгруппа группы  -перестановочна с каждой подгруппой группы  и поэтому по теореме,  сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Следовательно,  не является простым числом. Предположим теперь, что . Допустим, что . Тогда . Так как  нильпотентна, то ввиду(2),  --- -группа. Покажем теперь, что . Предположим, что . Так как  сверхразрешима, то . Но поскольку , то согласно лемме, , и поэтому . Предположим теперь, что . В этом случае, для некоторого , 







Так как,







Значит, . Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы . Ясно, что , где  и  --- нильпотентные подгруппы и подгруппа  имеет главный ряд







где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем . Поскольку  и , то . Это означает, что каждая подгруппа  -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима. Значит, . Отсюда следует, что , противоречие. Таким образом, . Следовательно,  --- силовская -подгруппа группы  и поэтому  --- максимальная подгруппа группы . Поскольку для некоторого ,  и  максимальная подгруппа группы , , то . Получили противоречие с нашим предположением о группе . Значит, . По условию, , для некоторого  и поэтому . Согласно лемме , . Так как порядок группы  является не простым числом, то . Отсюда следует, что , что невозможно в силу (2). Этим доказано (3).

(4)  --- силовская -подгруппа группы .

Допустим, что наше предположение не верно. Пусть  --- наибольший простой делитель порядка группы . Так как  и согласно (2), . Пусть  --- максимальная подгруппа группы . По условию для некоторых, ,  и . Согласно (3),  и  неединичные группы. Так как группы  и  нильпотентны, то  и . Ввиду леммы ,  и . Отсюда следует, что . Ясно,что либо , либо . Допустим, что . Покажем, что  --- сверхразрешимая группа. Подгруппы  и  нильпотентны и подгруппа  имеет главный ряд







где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем







Поскольку  и , то . Это означает, что каждая подгруппа  -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима. Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы , , и поэтому , противоречие. Пусть теперь, . Покажем, что группа  сверхразрешима. Ясно, что  и  --- нильпотентные подгруппы и подгруппа  имеет главный ряд







где . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем







Поскольку  и , то . Это означает, что каждая  -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима. Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы , , и поэтому , противоречие. Следовательно, (4) справедливо.

(5)  и .

Предположим, что . Поскольку  нильпотента, то  -группа, и поэтому согласно (4),  --- силовская -подгруппа группы . Ясно, что  и . Тогда . Пусть  --- такой элемент из , что . Тогда . Так как , то  и поэтому , противоречие. Значит, .

Пусть теперь, . Так как  --- нильпотентная группа, то ввиду (4),  --- силовская -подгруппа группы . Поскольку  и , то . Пусть  --- максимальная подгруппа группы  и , где . Согласно (3),  и . Поскольку , то







и поэтому . Следовательно, , противоречие. Значит, .

(6) Заключительное противоречие.

Пусть  --- холлова -подгруппа группы . Допустим, что . Тогда . Поскольку по условию, , для некоторого , и , то согласно лемме , . Так как  и , то . Значит,  и , противоречие с (2). Следовательно, . По условию, 



,



где . Поскольку , то







Тогда , и поэтому , что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.

 Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где  и  --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что  и  -перестановочна с каждой подгруппой группы  и  -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть  --- сверхразрешимая группа. Тогда ввиду леммы , . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого числа . Пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда ,  и  сверхразрешимы и каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Пусть , где  и  --- сверхразрешимые подгруппы,  --- подгруппа Фиттинга группы ,  и  -перестановочна с каждой подгруппой группы  и  -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что  не является сверхразрешимой группой, и пусть  --- контрпример минимального порядка. Поскольку , то  разрешима. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  сверхразрешима.

Ясно, что  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и . Пусть  и . Так как по условию для некоторых ,



 и





то мы имеем







 и









где  и . Это показывает, что подгруппа  -перестановочна с каждой подгруппой группы  и каждая подгруппа группы  -перестановочна с подгруппой . Но поскольку согласно лемме ,







то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.

(2) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  --- силовская -подгруппа группы  и  --- такая максимальная в  подгруппа, что  и .

Пусть  --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1),  --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  --- такая максимальная подгруппа в , что  и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как  разрешима, то  --- элементарная абелева -группа для некоторого простого  и поэтому  и . Значит, 



.



Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы  .

Так как , то  абелева. Поскольку  --- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то  --- циклическая группа. Ввиду леммы ,  --- силовская -подгруппа группы . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .

(3)  или .

Допустим, что  и . Пусть  --- силовская -подгруппа группы , где . Тогда  --- циклическая группа. Ввиду леммы , , где  и  --- силовские -подгруппы групп  и  соответственно и . Тогда либо , либо . Пусть, например, . Так как , то . Поскольку  сверхразрешима, то ввиду леммы , . Тогда . Так как , то . Это показывает, что  --- абелева группа экспоненты, делящей , и ввиду леммы ,  сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Значит, либо , либо .

(4) Заключительное противоречие.

Пусть . Тогда . Так как  сверхразрешима, то в группе  содержится минимальная нормальная подгруппа  простого порядка .

Предположим, что . Пусть  --- холлова -подгруппа группы . Тогда для некоторого , . Поскольку







для некоторого , то . Пусть . Тогда  и , что противоречие (2). Значит,  Пусть  и  для некоторого . Поскольку  и , то , что невозможно в силу (2). Этим завершается доказательство теоремы.

Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где  и  --- такие сверхразрешимые подгруппы взаимно простых порядков, что  и каждая подгруппа группы  простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы ,  и каждая подгруппа группы  простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть  --- сверхразрешимая группа. Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого , . Пусть  --- максимальная подгруппа группы  такая, что . Тогда  и  перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Предположим, что  --- произведение подгрупп  и , где ,  --- сверхразрешимы подгруппы взаимно простых порядков,  --- подгруппа Фиттинга группы ,  и каждая подгруппа группы  простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы ,  и каждая подгруппа группы  простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что  не является сверхразрешимой группой, и пусть  --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) В группе  имеется несверхразрешимая максимальная подгруппа.

Предположим, что каждая максимальная подгруппа группы  сверхразрешима. Тогда ввиду леммы ,  разрешима. Согласно леммы , для некоторого  в группе  имеется нормальная силовская -подгруппа , удовлетворяющая следующим условиям:

(i)  свехразрешима и  --- наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой сверхразрешима;

(ii) если  то ; если  то экспонента подгруппы  равна 2 или 4;

(iii)  --- главный фактор группы .

Допустим, что . Тогда . Пусть  и пусть  --- такое простое число, что ,  --- силовская -подгруппа группы . Пусть  --- такая холлова -подгруппа группы , что . Тогда . Поскольку , то  содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Так как каждая максимальная подгруппа группы  сверхразрешима, то  сверхразрешима. Значит, в группе  имеется такая нормальная подгруппа , что  и поэтому , где . Следовательно,  или . Для некоторого , мы имеем . Тогда по условию, . Поскольку  субнормальна в  и , то , и поэтому . Следовательно,  --- циклическая группа. Так как  --- сверхразрешимая группа, то  сверхразрешима. Значит,  --- сверхразрешимая группа. Это противоречие с выбором группы  доказывает (1).

(2) Группа  не является разрешимой.

Допустим, что  разрешима и пусть --- произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого . Без ограничения общности мы можем предположить, что . Согласно теоремы ,  для некоторого . Покажем, что  сверхразрешима. Используя тождество Дедекинда, получаем , где  и  --- сверхразрешимые подгруппы группы  взаимно простых порядков. Пусть  --- произвольная подгруппа группы  простого порядка или порядка 4. И пусть  --- подгруппа группы . Тогда по условию  для некоторого . Поскольку , то . Значит, теорема справедлива для  и ее подгрупп  и . Так как , то по выбору группы , заключаем, что подгруппа  сверхразрешима, и поэтому  тоже сверхразрешима. Следовательно, каждая максимальная подгруппа группы  сверхразрешима, что невозможно в силу (1). Этим доказано (2).

(3) Группа  имеет нормальную силовскую подгруппу.

Пусть  --- наибольший простой делитель . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Так как по условию,  сверхразрешима, то ввиду леммы , . Пусть  --- силовская -подгруппа группы , где . Тогда для некоторого , . Предположим, что . Согласно леммы ,  и поэтому . Тогда для некоторого , . Если , то по теореме Бернсайда,  разрешима, что невозможно в силу (2). Значит, . Так как теорема справедлива для группы , то по выбору группы , мы заключаем, что группа  сверхразрешима. Это влечет . Следовательно, .

(4) Заключительное противоречие.

Пусть  --- нормальная силовская подгруппа группы . Тогда  для некоторых  и . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Покажем, что теорема справедлива для 



.



Подгруппы  и  являются сверхразрешимыми подгруппами группы  взаимно простых порядков. Предположим, что . Пусть  --- произвольная подгруппа группы  простого порядка (порядка 2 или 4, в случае, когда ). Тогда по теореме Шура-Цассенхауза , группа  имеет такую подгруппу , что  и . Пусть  --- подгруппа группы . Используя тождество Дедекинда, мы имеем . По условию для некоторого ,  и поэтому









Поскольку , то . Значит, теорема справедлива для группы , и поэтому  разрешима. Следовательно,  --- разрешимая группа, что невозможно в силу (2). Этим противоречием завершается доказательство теоремы.



2. Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами



Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на силовские подгруппы некоторых выделенных подгрупп этой группы. Отметим, в частности, что в работе Хупперта, было доказано, что разрешимая группа  является свехразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из  перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы . Целью данного раздела является дальнейшее изучение строения факторизуемых групп, у которых силовские подгруппы некоторой выделенной подгруппы группы перестановочны или -перестановочны с некоторой системой ее подгрупп.

Пусть  --- разрешимая группа и  --- произведение -сверхразрешимых подгрупп  и  взаимно простого порядка. Предположим, что  делит порядок подгруппы  и

(1) если , то  и каждая ее подгруппа простого порядка  перестановочна с каждой силовской подгруппой группы ;

(2) если , то  и каждая ее подгруппа порядка 2 и 4 перестановочна с каждой силовской подгруппой группы .

Тогда  --- -сверхразрешимая группа.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть  --- контрпример наименьшего порядка. Пусть  --- класс всех -сверхразрешимых групп.

Пусть  --- -абнормальная максимальная в  подгруппа. Тогда  для некоторого  или  для некоторого  и . Предположим сначала, что . Поскольку  делит  и согласно теоремы Холла,  имеет такой элемент , что , то без ограничения общности мы можем предположить, что . Покажем, что  --- -сверхразрешимая группа. Используя тождество Дедекинда, мы имеем , где  и  -сверхразрешимые подгруппы группы  взаимно простых порядков. Если  является -подгруппой, то  -группа и поэтому  -сверхразрешима. Предположим теперь, что . Пусть  --- произвольная подгруппа группы  простого порядка  (или 4, в случае, если ). И пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию,  и поскольку , то . Итак, теорема справедлива для группы  и ее подгрупп  и . Но  и поэтому согласно выбора группы , мы заключаема, что группа  -сверхразрешима. Пусть теперь, , где . Рассуждая как выше, мы можем показать, что  -сверхразрешима. Следовательно, каждая -абнормальная максимальная в  подгруппа -сверхразрешима.

Так как  разрешима, то ввиду леммы ,  имеет нормальную -подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям:

(i)  -сверхразрешима и  наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой -сверхразрешима;

(ii) если  то экспонента подгруппы  равна ; если  то экспонента подгруппы  равна 2 или 4;

(iii)  --- главный фактор группы .

Ясно, что . Пусть  и пусть  --- такое простое число, что ,  --- силовская -подгруппа группы . Пусть  --- некоторая такая холлова -подгруппа группы , что . Тогда . Рассуждая как выше, видим, что  -сверхразрешима. Тогда в группе  имеется такая нормальная подгруппа , что  и поэтому , где . Ясно, что  или . Согласно лемме , для некоторого , мы имеем . Тогда по условию, . Так как  субнормальна в  и , то , и поэтому . Следовательно,  --- циклическая группа. Ясно, что  -сверхразрешима и поэтому  -сверхразрешима, противоречие. Теорема доказана.

Прежде, чем дать доказательство следующего основного результата этого раздела, нам необходимо установить справедливость следующей леммы.

Пусть  --- простое число, , где ,  --- разрешимая группа,  -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы , где  --- подгруппа Фиттинга группы . Тогда  разрешима.

Доказательство. Предположим, что эта лемма не верна и пусть группа  --- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1)  не простая группа.

Предположим, что  --- простая группа. Тогда . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию . Действительно, поскольку для каждого  мы имеем 







где  и . Тогда ввиду леммы ,  непроста.

(2)  --- разрешимая группа для каждой неединичной нормальной подгруппы  группы .

Пусть  --- неединичная нормальная подгруппа группы . Если , то  разрешима.

Пусть . Тогда  --- произведение подгруппы  простого порядка  и разрешимой группы . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда  для некоторой силовской -подгруппы  группы , и поэтому по условию, 







для некоторого . Итак, теорема справедлива для факторгруппы . Но , и поэтому ввиду выбора группы , факторгруппа  разрешима.

(3) Заключительное противоречие.

Если , то ввиду (2),  разрешима и поэтому  --- разрешимая группа, противоречие. Значит, . Путсь  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду (1), . Допустим, что . Тогда . Так как по условию,  разрешима, то  разрешима и поэтому согласно (2),  --- разрешимая группа, противоречие. Следовательно, . Поскольку  --- холлова -подгруппа группы , то  --- холлова -подгруппа группы  . Ясно, что , и по тождеству Дедекинда, . Путсь  --- силовская -подгруппа группы ,  --- силовская -подгруппа группы  такая, что . Тогда по условию, , и поэтому . Следовательно, теорема справедлива для группы  и поэтому  разрешима. Следовательно,  --- разрешимая группа, противоречие с выбором группы . Лемма доказана.

Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Если , где  и  --- сверхразрешимые подгруппы группы , каждай примарная циклическая погруппа группы  -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы  и каждай примарная циклическая погруппа группы  -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы , то  сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть  --- минимальный контрпример. Тогда:

(1) Для каждой нормальной неединичной подгруппы  в  фактогруппа  сверхразрешима.

Пусть  --- неединичная нормальная подгруппа в . Заметим, что  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и . Пусть  --- примарная циклическая подгруппа группы . Ясно, что для некоторой примарной циклической подгруппы  группы , . Поскольку , то  для некоторого , имеющего примарный порядок и для некоторого , и поэтому . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда  для некоторой силовской -подгруппы  группы . Так как по условию, для некоторого ,  и поэтому 











Ясно, что . Итак, теорема справедлива для . Но , и ввиду выбора группы , мы имеем (1).

(2)  разрешима.

Допустим, что  не является разрешимой группой.

Если , то ввиду (1),  сверхразрешима и поэтому  разрешима, противоречие с выбором группы . Следовательно, . Пусть  --- наибольший простой делитель . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Пусть  --- -подгруппа группы . Тогда по условию,  сверхразрешима. Ввиду леммы , . Следовательно,  имеет такую минимальную нормальную подгруппу, скажем , что . Если , то ввиду леммы , . Поскольку теорема справедлива для , то  сверхразрешима и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Ввиду (1),  разрешима, противоречие. Пусть  и пусть , где  --- силовские подгруппы группы . Тогда по условию,  перестановочна со всеми , . Допустим, что . Поскольку теорема справедлива для  и , то мы заключаем, что  сверхразрешима. Но , и поэтому ввиду леммы  и (1), мы снова приходим к противоречию. Допустим теперь, что . Ввиду леммы , мы можем предположить, что . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда , и . Поскольку , то , и поэтому ввиду (1),  разрешима, противоречие. Это доказывает (2).

(3)  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  для некоторого простого числа ,  сверхразрешимая максимальная подгруппа группы  и .

Пусть  --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1),  --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  --- максимальная подгруппа группы , не содержащая  и . Тогда по тожеству Дедекинда,  Так как ввиду (2),  абелева, то  и поэтому . Следовательно,  и  сверхразрешима и согласно леммы , .

(4)  --- наибольший простой делитель порядка группы .

Пусть  и  --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Так как , то ввиду леммы ,  для некоторого . Поскольку ввиду леммы , , то либо , либо . Пусть . И пусть  --- наибольший простой делитель . Тогда силовская -подгруппа группы  нормальна в , и поэтому  содержится в . Следовательлно,  --- наибольший простой делитель . Если  не является холловой подгруппой группы ,то справедливо (4). Пусть  --- холлова подгруппа группы  и допустим, что , где  наибольший простой делитель порядка группы . Тогда  для некоторого . Так как , то ввиду (1),  порядок силовской -подгруппы группы . Ясно, что . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . По условию,  для некоторого  и ввиду леммы , . Согласно леммы , . Поскольку , то  имеет нормальную подгруппу  простого порядка  такую, что  и  для некоторого . Согласно леммы , , и поэтому ввиду (2), , противоречие. Полученное противоречие доказывает (4).

(5)  --- силовская -подгруппа группы .

Допустим, что это утверждение не верно. Тогда . Это влечет  и поэтому ввиду (4), и леммы, , что противоречит (3). Итак,  --- силовская -подгруппа группы .

(6) Заключительное противоречие. 

Поскольку  и  --- силовская -подгруппа группы , то либо , либо . Допустим, что  и пусть  --- минимальная нормальная в  подгруппа, содержащаяся в .

По условию,  для некоторого , где  --- некоторое простое число,  и  --- холлова -подгруппа группы . Тогда 







Значит,  и поэтому . Таким образом, . Следовательно,  --- сверхразрешимая группа, что противоречит выбору группы . Теорема доказана.




Заключение



В данной главе получены новые критерии сверхразрешимости факторизуемых групп на основе условия -перестановочности некоторых подгрупп. Полученные здесь результаты показывают, что строение группы в существенной мере определяется наличием в ней факторизаций системами перестановочных и -перестановочных подгрупп.  Пальчик Э.М., Конторович Н.П. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. 


Литература



1.Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. --- 2000. --- № 4. --- С. 22---25.

2.Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. --- 1999. --- № 4(14). --- С. 80---82.

3.Поляков Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Конечные группы. --- Минск: Наука и техника, 1966. --- С.75---88.

4.Самусенко (Подгорная) В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 13. --- 1998. --- С. 177---182.

5.Самусенко (Подгорная) В.В. О сверхразрешимости конечных групп с циклическими добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 14. --- 1999. --- С. 141---146.

6.Сергиенко В.И. Критерий -разрешимости для конечных групп // Мат. заметки. --- 1971. --- Т. 9, № 4. --- С. 375---383.

7.Сергиенко В.И. Некоторые свойства квазинормальных групп // Подгрупповое строение конечных групп: труды гомельского семинара / Под ред. В.С. Монахова. --- Мн.: Наука и техника, 1981. --- С.149---152.

8.Скиба А.Н. -перестановочные подгруппы // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. --- 2003. --- № 4(19). --- C. 37---39.

9.Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. --- Киев: Наук. думка, 1987. ---208с.

10.Черток В.Д. Порождение конечной группы системами недостижимых подгрупп // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. --- 1967. --- № 2. --- С. 80---84.

11.Чунихин С.А. Об условиях теорем типа Силова // ДАН СССР. --- 1949. --- Т. 69, № 6. --- С. 735---737.

12.Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. --- Минск: Наука и техника, 1964. --- 158 с.

13.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. --- М.: Наука, 1978.--- 272 с.

14.Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. --- 1924. --- Т. 31. --- С. 366---372.