Конспект урока по Математике "Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности" 7 класс

Тема: «Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Аннотация.

Урок разработан для учебника «Алгебра 7 класс»: учеб. для общеобразоват. учреждений (под редакцией С. А. Теляковского)- Москва: «Просвещение»,2010г.  

Цель урока: получение и использование формул для возведения в квадрат суммы и разности выражений.

Задачи.

1. Обучающая: обеспечить усвоение материала всеми учащимися; учить и научить каждого ученика самостоятельно добывать знания; формировать навыки, умения, которые обеспечивают успешное выполнение деятельности.

2. Развивающая : способствовать развитию математического кругозора, мышления: умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать и систематизировать, развивать устную и письменную речи, внимание и память; продолжить работу по развитию умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для достижения поставленной задачи уже полученных знаний.

3. Воспитывающая : содействовать воспитанию интереса к математике, активности, дисциплинированности, честности, ответственности за свой труд и труд одноклассника, воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Оборудование урока: учебник, карточки с заданиями, бланки ответов, тесты, формулы.

Этапы урока.

I. Opганизационный момент.

II. Актуализация знаний.

1) Игра «График».
2) Устные упражнения.

III. Усвоение новых знаний.

1) Подведение к новой теме (решение примеров).

2) Постановка проблемы и ее решение.

IV. Первичное закрепление новых знаний.

1) Игра «Открой окно»
2) Решение примера с комментированием.

Физкультминутка.

V. Закрепления новых знаний.

1) дидактическая игра в парах
2) историческая справка
3) тестирование (3 варианта – 3 уровня сложности)
4) самопроверка

VI. Домашнее задание.

VII. Рефлексия.



Содержание урока.

Opганизационный момент.



На доске эпиграф. «Математика- это полет». (В.Чкалов)

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку ; организация внимания.

Актуализация знаний.



Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

Мы в поход отправляемся смело

В мир загадок и сложных задач.



-Начинается наше путешествие под названием  «Покорители вершин». Наши вершины называются: «График», «Устные упражнения», «Новая тема», «Открой окно», «Расшифровка», «Тест».
-Итак, я предлагаю покорить первую вершину «График». В тетради вы фиксируете ответ только знаками: «да» ставится V, «нет» -  ___. Рисуете график. Ответ проверяем по готовому образцу. В результате получается рисунок-график.(v-v-vv-vv). 



 Верны ли утверждения?

1)(–а)2 = а2 (да)
2) (2а)2 =  2а2 (нет)

3) (8)2 = 64 (да)


4) (–3х)2 =– 9х2 (нет)


5) ав + ва = 2ав (да)


6) (а + в)2 =) (а + в) )(а + в) (да)


7) –4а + 10а = 14а (нет)


8) 6cd – 10 cd = –4cd (да)


9) –7ху – 3ух = –10ху (да)

-Первая вершина «График» покорена. 

- Покоряем следующую вершину  «Устные упражнения».

-Устно выполните упражнения.                                                                                                                   –Замените квадрат произведением и упростите выражение.

1.52 = 5. 5 = 25
2.а2 = а. а
3.(5а)2 = 5а. 5а = 25а2
4.(2 + 3)2 = (2 + 3)(2 + 3) = 25
 5.(а + в)2 = (а + в)( (а + в) = аа + ав + ва + вв = а2 + 2ав + в2
 6.(х + у)2 = (х + у)(х + у) = хх + ху + ух + уу = х2 + 2ху + у2

- Какие закономерности видны в примерах 5и6?

III. Усвоение новых знаний.

-Обратите внимание  на доску.

I

II

III

1) (m + n)(m + n) =
2) (c + d)(c + d) =
3) (p + g)(p + g) =
4) (8 + m)(8 + m) =
5) (n + 5)(n + 5) =
6) (a + 3)(a + 3) =

= m2 + 2mn + n2
= c2 + 2cd + d2
= p2 + 2pg + g2
= 64 + 16m + m
= n2 + 10n + 25
= a2 + 6a + 9

= (m – n)2
= (c + d)2
= (p + g)2
= (8 + m)2
= (n + 5)2
= (a + 3)2









 

Здесь записаны примеры в 3 столбца, 2 и 3 столбцы закрыты. Вы сейчас объединитесь в 3 группы и получите карточки с заданием: найти произведение данных многочленов, решите их,  затем через некоторое время мы откроем 2 столбец.

Учащиеся находят произведение полученных  многочленов. Работают по группам.

1группа: 1) (m + n)(m + n) =
                2) (c + d)(c + d) =

2 группа: 3) (p + g)(p + g) =
                4) (8 + m)(8 + m) =

3 группа: 5) (n + 5)(n + 5) =
                6) (a + 3)(a + 3) =

Вопросы: 

-Анализируем 2 столбец. 
- Что явилось результатом умножения? (Трёхчлен)
 1-й член – квадрат первого выражения
2-й член – удвоенное произведение 1 и 2 выражений 
3-й член – квадрат второго выражения.

-Можно ли выражения в 1 столбце записать короче? (Открыть 3 столбец).
- Запишите общую формулу 
(а+в)2 = а2 +2ав + в2
- А если возвести в квадрат (а – в)2, (в – а)2
- Что мы получим, если мы заменим в 1 и 3 столбцах знаки «+» на «–»?
- В каком месте стоит знак «–»?

-Запишите общую формулу

(а-б)2=а2-2аб+б2
- Изменится ли результат, если возвести в квадрат (–а – в)2? 

(Мы знаем, что (–а)2 = а2, тогда (–а – в)2 = а2 + 2ав + в2 )
Подведём итоги. Как читается формула квадрата суммы ( разности) двух выражений? Вершина «Новая тема» покорена. 

IV. Первичное закрепление новых знаний

-Я предлагаю решить № 799 (а, б); 800 (а, б) (1)в виде игры «Открой окно».

-Заполните пустые клетки, запишите примеры в тетрадях, предварительно проговорив.

1) Игра «Открой окно» № 799 (а, б); 

а) (х + у)2 = х2 + 2х . у + ?2 = х2 + 2ху + у2 
б) (р-q)2 = p2 – 2? + q2 = p2 – 2pq + q2 

800(а, б) 

а) (m+n)2 = m2 + ? mn + n2= m2 + 2mn +n2
б) (c-d)2 = ? - 2cd + d2 = c2 – 2cd + d2 

2)Решение с комментарием.

№ 804 (а) 
a) (7-8b)2 = 72 -2*7*8b + (8b)2=49-112b+64b2

-Вершина «Открой окно» покорена. 

Физкультминутка.

а) Дыхательное упражнение 
б) Упражнение для позвоночника 
в) Упражнение для глаз 

V. Закрепление новых знаний

1) Дидактическая игра в парах.

Вершина «Расшифровка»

-Некоторые из формул сокращенного умножения были известны ещё в древности. Эти формулы часто помогают при вычислениях. Каждая пара учеников должна решить свой пример. Найти в схеме букву, соответствующую ответу и  поставить её под номером своей карточки. Полученное имя принадлежит известному математику, который с помощью формул сокращённого умножения доказал равенство (2а + в)2 = 4(а + в) а + в2

Примеры решают на местах в парах, помогая друг другу.

Карточки

 1) (в2 + 2а2)2
 3) (а2 – 3в)2
 5) (а – 3в)2

 2) (2в2 + 3а)2
 4) (2а – 3в)2
 6) (2в – 3а)2

Е) в4 – 4а2в2 – 4а2
Д) 4в2 – 12ав + 9а2
Л) 4а2 – 12ав + 9в2

К) а4 – 6а2в + 9 в2
И) а2 – 6aв + 9в2
В) 4в2 – 12в2а + 9а2

1     2          3          4          5          6
Е     В         К         Л         И         Д

2) Историческая справка.

-Слово о Евклиде предоставляется одному из учащихся, подготовленному заранее.

Евклид – древнегреческий математик.
Автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н.э. Евклид – первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики. Также Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и другим наукам. (Математика, Большой энциклопедический словарь М., Большая Российская энциклопедия, 1998 г.).

 
-Вершина «Расшифровка» покорена!


3) Мы подошли к следующей вершине  «Тесты» 

(Тестирование на 3 варианта – 3 уровня по степени сложности). 

-Предлагаю вам тест (дифференцированный).

Выполнение: 

1 варианта оценивается в 3 балла,
2 варианта оценивается в 4 балла,
3 варианта оценивается в 5 баллов.

-Выберитe себе вариант, внимательно прочитайте задание. К каждому заданию даны три ответа, из которых один верный. Решите задание, ответ запишите в бланк ответов, после мы  сравним полученный ответ с предложенным.                                                                                     









I вариант 

№

Задания

Ответ





А 

Б

В 

1)
2)
3)

(2а + в)2
(х – 1)2
(2m + 3)2

2а2 + 2ав + в2
х2 + 2х + 1
4m2 + 12m + 9

4а2 + 2ав + в2
х2 – 2х + 1
2m2 + 12m + 9

4а2 + 4ав + в2
х2 – х + 1
4m2 + 6m + 9

II вариант 

№

Задания

Ответ





А

Б

В

1)
2)
3)
4)

(с + 8)2
(12 – р)2
(10z + 3t)2
(–3а + 5х)2

с2 + 8с+ 16 
24 – 24р + р2
100z2 + 60zt + 9t2
-9а2 +30ах + 25х2

с2 – 16с + 64
144 – 24р + р2
100t2 – 30zt + 9t2
9а2 – 30ах + 25х2

с2 + 16с + 64
144 – 12р + р2
20z2 + 60zt + 9t2
9а2 – 15ах + 25х2

III вариант 

№

Задания

Ответ





А

Б

В

1)
2)
3)
4)
5)

(7у + 6)2
(–3m + 4n)2
(6а – 1/6)2
(m2 – 6n)2
(–0,2х – 5а)2

49у2 – 84у + 36 
9m2 + 24mn + 16n2
36а2 – 2а + 1/36
m2 – 12mn + 36n2
–0,04х2– 2ах – 0,25а2

49у2 + 42у + 36
9m2 – 24mn + 16n2
m4 – 12mn + 36n2
0,4х2 + 2ах + 25а2

49y2 + 84y + 36
9m2 – 12mn – 16n2
36a2 + 2a + 1/36
m2 – 12mn + 6n2
0,042 + 2ах + 0,25а2

Бланк ответов 

№ задания

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ ответа 1 в.

 

 

 

 

№ ответа 2 в.

 

 

 

 

№ ответа 3 в.

 

 

 

 

Фамилия, имя:

Вариант: 









В бланке ответов под номером задания поставьте букву в клеточке, которая cooтветствует выбранному ответу.

4) Самопроверка.





Ответы:

I вариант: В, Б, А.
II вариант: В, Б, А, Б.
III вариант В, Б, А, Б, В.

Перед самопроверкой учащиеся сдают бланки учителю, затем сверяют свои ответы и ставят себе оценки. 

Вершина «Тесты» покорена!

VI. Домашнее задание.

-Доказать формулу (2а + в)2 = 4(а + в) а + в2 с помощью формулы квадрата суммы.
Пункт 32, выучить правила нахождения квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. № 799(в, г); 800 (в, г); 803 (в, г); 804 (в, г). 

VII. Рефлексия.

Путешествие подошло к концу.

Что нового мы узнали на уроке?

Пусть каждый из вас закончит фразу:

-Я научился..

-Я умею..

-Я сделаю..

-Вы все хорошо поработали. Спасибо за урок. Урок закончен.



Список литературы и интернет источников:

1.Учебник: Алгебра. 7 класс. Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др.  под редакцией С.А. Теляковского. - М.: Просвещение,-2010.

2. Методическое пособие: Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные  и контрольные работы по алгебре для 7 класса. – М.: Илекса, – 2007.

3.www.planeta-kniga.ru



































Тема : «Разложение многочленов на множители.»

Цель урока: показать различные приёмы разложения многочленов на множители  и научить их применять.

Задачи:

научить использовать различные способы разложения;

развивать абстрактное и логическое мышление;

воспитание самостоятельности и самоконтроля.

Оборудование: персональный компьютер с мультимедийным проектором.

План урока:

Организационный момент.

Повторение (актуализация знаний учащихся: устная работа, самостоятельной работы с последующей проверкой через проектор). Слайд № 1, 2. 

Выполнение упражнений по теме урока: Найди ошибку (слайд № 3). Исправь ошибку, самостоятельная работа (слайд № 4).

Изучение нового материала (слайд № 5).

Самостоятельная работа (слайд № 6).

Домашнее задание (слайд № 7).

1 этап

Проверяется подготовка детей к уроку. 

2 этап

1.Представьте в виде квадрата одночлены: 81 m2 , 25x6,y14  , 0,04 x8

2.Преобразуйте  трехчлен: x2+4x+4                            9y+6y+1

A2-2A+1                             m4-10m2+25

Демонстрируется 1 слайд, предлагается задание:

3.Распределите данные выражения по группам и объясните, по какому принципу. 

3а2b(1-2a) 

(x-2) (x2+2x+4)

27x6y3-72x4y4+48x2y5

(5a+1) 2

(9c-ab)(9c+ab)

ad -8a –bx+8x

kn-mn-n2+mk

x(x-4)(25+3x)

x4+4x3

-4a2+40ab-100b2

На выполнение задания дается 2-3 минуты. Далее учащиеся зачитывают результаты работы, проверка осуществляется через показ слайда № 2. На нем все выражения разбиты на 4 группы

1 группа

3а2b(1-2a)

(x-2)(x2+2x+4)

(5a+1)2

х (x - 4)(25 - 3x)

(9c-ab)(9c+ab)

2 группа

27x2y2 +72x2y2+48x2y5

-4a2+40ab-100b2

x4+4x3



3 группа 

ad -8a –bx+8x

kn-mn-n2+mk



1 группа - произведения одночлена на многочлен или многочленов.

2 группа – многочлены, в которых есть общий числовой множитель.

3 группа – многочлены, разлагающиеся на множители способом группировки.

Учитель: Сформулируйте правила ,по которым можно сделать необходимые преобразования. (Ученики должны рассказать правила умножения одночлена на многочлен, умножения многочлена на многочлен, формулы квадрата суммы и квадрата разности, вынесения общего множителя за скобки)

3 этап

Учитель: Итак, цель нашего урока:Научиться раскладывать многочлены на множители тогда, когда обычные правила не помогают, и приходится применять сразу несколько различных способов (демонстрируется слайд № 3). Но сначала вспомним основные способы, уже известные нам. Выполним  задание (слайд № 4).

Разложение с помощью формулы. Найдите ошибки в записях.

Формула

Ошибочные записи

(a-b) 2=a2-2ab+b2

a-2ab+b

a2-2ab+b2

a2-ab+b2

a2+2ab-b2

a2-2ab-b2

Учитель: Повторим формулу квадрата разности. А теперь закроем её. Объясните, какая ошибка допущена в каждой записи в правой части. (Во второй записи ошибки нет.)

Самостоятельная работа со взаимоконтролем. (Слайд № 5). На работу 2 минуты.

Исправьте ошибки в записях.

X2+y2-2xy=(x-y) 2

2•3•с-32-с2=(3-с) 2

m2+2mn - n2=(m-n) 2

2cb+c2+b2=(c+ b) 2

Для сильных учеников тест на компьютере.

После выполнения предложить учащимся поменяться тетрадями с соседом, и проверить работу товарища.

Учитель: Итак, главную формулу, изученную в этом году мы вспомнили, отработали и надеюсь ошибок в ней больше не будет.

4 этап

Учитель: А теперь будем применять для разложения на множители сложных многочленов различные способы. Кроме формул сокращенного умножения в этом нам поможет способ вынесения за скобки общего множителя. (Слайд № 6)

Способы вынесения общего множителя и группировки.

А•В+А•С=А • (В+С)

А•В-А•С=А • (В-С)

=А • ( )+В • ( )=( ) •(А+В)

Учитель: Первые две формулы мы умеем применять с 5-го класса. Впоследней применяется способ группировки слагаемых. Для этого слагаемые выбираются так, чтобы из каждой пары можно было вынести один и тот же общий множитель, который затем выносится за скобку. Это мы с вами тоже умеем.

Физкультминутка.

А теперь выполним упражнения.

Разложить на множители, используя различные методы. (Учащиеся по очереди выходят к доске и выполняют задания, записанные на ней в столбик)

5а3 -125 аb2=

a2 -2ab + b2 – ac + bc

63ab3 – 7a2b

m2 6mn + 9n2 – m -3m

2x2 + 4xy +4y2 -2x +1

7a2b -14ab2 + 7ab

b(a +c) +2a + 2c

x2 -3x – 5x + 15

Наводящие вопросы к заданиям: 

1.Сколько слагаемых в сумме?

2. Есть ли у слагаемых общий множитель, который можно вынести за скобку?

3.Можно ли применить формулу квадрата суммы или разности двучлена, если слагаемых три?

4. Если слагаемых 4, то как их лучше сгруппировать?

этап

Выполнить самостоятельно. (Слайд № 7) 

5р2-10рq+5q2

9-p2+q2-6q

m2-n2-8m+16

12z2-12z2+3z

m2-2n-m-4n2

A2+64b4

На работу отводится 7-10минут, выполняется она под копировку. После сдачи работы на проверку, демонстрируется слайд № 8с проверкой работы. Ученик и могут сразу оценить себя, посчитав верное количество ответов в работе. Задание, вызвавшее наибольшее затруднение может бать разобрано подробно.

6 этап

Домашнее задание задается на выбор: (слайд № 8)

№ 844 , 981 обязательное задание на оценку “3”.

№ 979,982 на оценку “4 и 5”.

Повторить все правила, используемые в теме.

Подведение итогов урока:

Оцените свою работу по карточке учета знаний.

1. Что нового узнали на уроке?

2. Удовлетворены ли вы своей работой?

Сколько ошибок допустили?