Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

Контрольная работа

Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры


Векторная алгебра



Вариант №21



Найти скалярное произведение .









При каком значении α векторы и ортогональны?



;;;

;;;



Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.







Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(0,-3) М2(2,1).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:


y-y1=k(x-x1),



значит для прямой М1М2



у+3=kx 



Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:



,



значит для прямой М1М2







Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:



,



Здесь






Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2



;





	В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-1,-2); М1(0,-3); М2(2,1)).

	Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:

	

	



уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:



,

	

	уравнение для высоты М0М3:

	

	

	Найдём уравнение прямой М1М2:

	

	

	

	Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:



y-y1=k(x-x1),



тогда уравнение для высоты примет вид:



y+1= (x+2)/2



или



x+2y=0.



Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:





	Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):

	

	

	

	Найдём координаты точек Е иF.

	Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).

	Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).

	Уравнение прямой EF:



y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.



	По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой). 











 (1)

	

	Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))

	
 (2)

	

	Подставим (2) в (1), получим

	

	

	

	кривая второго порядка является эллипсом.

	

	F1(c;0); F2(-c;0).

	

	т.к.

	

	Координаты центра: O’(-3,-1).





Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.











1)

2) 



Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:






Линейная алгебра



Матрицы



Ответы на вопросы



Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .



Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы? 

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: .

Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:







Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.



Задача 1.

















X4-свободная переменная

r = 3

система совместима. 





Задача 2









т.к. detA0, то матрица является невырожденной.

А11=3;А12= -1;А13= -10;А21=0;А22=0;А23= -1;А31=0;А32= -1;А33= -1.


;

.







.

.



5. Найти скалярное произведение .









При каком значении α векторы и ортогональны?



;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.





Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(2,-2) М2(1,0).



Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:



y-y1=k(x-x1),



значит для прямой М1М2



у+2=k(x-2) 



Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:



,


значит для прямой М1М2







Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:



,



здесь 



Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2



;



y=-2x+2

















	В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-3,-5); М1(2,-2); М2(1,0)).

	Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:

	

	



уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:



,

	

	уравнение для высоты М0М3:

	

	

	

	Найдём уравнение прямой М1М2:

	

	

	

	Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=-1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y1=k(x-x1),



тогда уравнение для высоты примет вид:



y+5= -(x+3)/2 



или



x+2y+13=0.



Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:





	

	Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):

	

	

	

	Найдём координаты точек Е иF.

	Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).

	Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).

	Уравнение прямой EF:

	y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.

	По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

	

	

	

	

	

	 (1)

	

	Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))

	

	 (2)

	

	Подставим (2) в (1), получим

	

	

	

	кривая второго порядка является эллипсом.

	

	F1(c;0); F2(-c;0).

	

	

	т.к.

	

	

	Координаты центра: O’(-2,2).







Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.











1) 

2) 



Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:




Ответы на вопросы

Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную . 

Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы? 

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: 



.



Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:







Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.



Задача 1.







 r=2; система совместима.



х 3,x 4 – свободные переменные







;.



Задача 2.





т.к. detA0, то матрица невырождена.

А11=-1; А12=-3; А13=-1;А21=-3;А22=1;А23=2;А31=2;А32=-1;А33= -3.









.