Двумерная кластеризая по предельному расстоянию. Дискретная математика

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО "ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»



















ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ

по дисциплине «Дискретная математика»

ДВУМЕРНАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАССТОЯНИЮ



















Омск – XXX




Реферат



Отчёт 14с., 1ч., 12рис., 0табл., 3источника, 0прил.

ГРАФ, КЛАСТЕР, МИНИМАЛЬНОЕ ОСТОВНОЕ ДЕРЕВО.

Предметом курсового проекта является кластеризация.

Цель работы – разработка алгоритма кластеризации по предельному расстоянию и построение минимального остовного дерева каждого кластера.

В ходе работы был разработан алгоритм кластеризации.

В результате работы было написан алгоритм, решающий данные задачи.






Введение



Часто бывает полезно и наглядно изображать некоторую ситуацию в виде рисунка, состоящего из точек (вершин) и линий (рёбер), соединяющих некоторые вершины. Такие изображения получили названия графа.

Теория графов получила широкое применение на практике. Она применяется в гражданском строительстве, электротехнике, социологии и экономике и в других областях.

Одной из задач теории графов является кластеризация и построение минимального остовного дерева. Эти задачи часто возникают на практике: при группировке результатов поиска, проектировании компьютерных систем, соединении городов, составлении электрических цепей.

Целью данной работы является разработка алгоритма, выполняющего данные задачи.

Отчет содержит четыре раздела:

- постановка задачи курсового проектирования – это раздел, в котором описывается задача курсового проекта;

- схемы алгоритмов – это раздел, в котором описывается алгоритм и его схема;

- теоретический анализ – теория, необходимая для выполнения поставленной задачи;

- результаты тестирования – это раздел, в котором описываются результаты тестирований на правильность работы разработанного алгоритма.






1 Постановка задачи курсового проектирования



Реализовать алгоритм кластеризации заданного набора точек по предельному расстоянию d. После кластеризации граф каждого кластера редуцировать до минимального остовного дерева.






2 Теоретический анализ



	Граф G - это математический объект, состоящий из множества вершин X = {x1, x2,..., xn} и множества ребер A = {a1, a2,..., ak}.

	Связный граф — такой граф, в котором между любой парой вершин существует по крайней мере один путь.

	Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некоторое значение (вес ребра).

		Вес ребра — значение, поставленное в соответствие данному ребру взвешенного графа. Обычно вес — вещественное число и его можно интерпретировать как «длину» ребра.

	Если ребрам графа приданы направления от одной вершины к другой, то такой граф называется ориентированным. Ребра ориентированного графа называются дугами. Если направления ребер не указываются, то граф называется неориентированным (или просто графом).

	Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. 

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента ai j равно числу ребёр из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Матрица смежности простого графа является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

		Кластерный анализ — задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались.

		Кластер — группа элементов, характеризуемых общим свойством. 

		В данном случае в кластеры объединяются точки, находящиеся на расстоянии меньше предельного d. 

		Лес — неориентированный граф без циклов. Компонентами связности леса являются деревья.

		Дерево — это связный граф, не содержащий циклов.

		Минимальное остовное дерево (или минимальное покрывающее дерево) в связанном, взвешенном, неориентированном графе — это остовное дерево, имеющее минимальный возможный вес. Вес дерева — сумма весов входящих в него рёбер.

В данном курсовом проекте для построения минимального остовного дерева используется алгоритм Краскала. Рёбра графа упорядочиваются в порядке не убывания их весов и последовательно добавляются к графу. Если добавление нового ребра приведёт к образованию цикла, то это ребро пропускается. Подграф данного графа, содержащий все его вершины и найденное множество рёбер, является его остовным лесом минимального веса. 




3 Схемы основных алгоритмов



3.1 Пошаговый алгоритм



Шаг 1. Заполнение матрицы весов T.

Шаг 2. Создание матрицы смежности С.

Шаг 2а. Если расстояние между двумя точками s > d, то в матрицу заносится 0, иначе 1.

Шаг 2б. Повторение шага 2 N раз;

Шаг 3. Создание матрицы минимального остовного дерева ТТ;

Шаг 3а. Если ttii = 0, ttjj = 0, то ttij = tij, ttii = k, ttjj = k, k = k +1, где tij – минимальный положительный элемент матрицы T;

Шаг 3б. Если ttii = 0, ttjj ≠ 0, то ttij = tij, ttii = ttjj;

Шаг 3д. Если ttii ≠ 0, ttjj = 0,то ttij = tij, ttjj = ttii;

Шаг 3е. Если ttii ≠ 0, ttjj ≠ 0, ttii ≠ ttjj ,то ttij = tij, ttii = l, ttjj = l, где l – наименьшее из ttii и ttjj;

Шаг 3ж. Если ttii ≠ 0, ttjj ≠ 0, ttii = ttjj, то tij = -1;

Шаг 4. Проверка диагональных элементов матрицы ТT;

Шаг 4б. Если ttzz = 1, то повторить шаг 4. Иначе m = 0;

Шаг 5. Повторять алгоритм с шага 3 до тех пор, пока m ≠ 1;



3.2 Схема алгоритма.	



Решение данной задачи состоит из нескольких этапов: кластеризации и построения минимального остовного дерева. Схемы этих алгоритмов, изображены на рисунках 2 – 4. Общая схема алгоритма изображена на рисунке 1. 








Набор точек

Предельного расстояние d

Кластеризация



Построение минимального остовного дерева



Начало

ачало

Конец

ачало

























Рисунок 1 – Схема основного алгоритма

		

Расчет матрицы T графа G

В матрицу смежности заносится 1

si > d

нет

да

В матрицу смежности заносится 0

i = 1,N

Начало

ачало

Конец

ачало

		

		

		 

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

Рисунок 2 – Алгоритм кластеризации




		

Обнуление матрицы ТT

Начало

ачало

ttii = 0, ttjj = 0

ttij = tij, ttii = k, ttjj = k, 

k = k +1



нет

да

ttii = 0, ttjj ≠ 0

ttij = tij, ttii = ttjj 



нет

да

ttii ≠ 0, ttjj = 0

ttij = tij, ttjj = ttii



нет

да

ttii ≠ 0, ttjj ≠ 0, 

ttii ≠ ttjj

ttij = tij, ttii = l, ttjj = l



нет

да

 m = 1

нет

ttii ≠ 0, ttjj ≠ 0, 

ttii = ttjj

нет

да

tij = -1



А

В

ТT – матрица минимального остовного дерева

tij – минимальный положительный элемент матрицы T





		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

















l – наименьшее из ttii и ttjj

















Рисунок 3 – Алгоритм построения минимального остовного дерева








z = 1,N

В

А

ttzz = 1

нет

да

m = 0



Конец

ачало































Рисунок 4 – Алгоритм построения минимального остовного дерева (продолжение)






4 Результаты тестирования



Было проведено 3 различных эксперимента.



4.1 Тест первый.



Пусть граф содержит 8 вершин, координаты которых заданы случайным образом, а взвешенная матрица Т представлена на рисунке 5. Предельное расстояние d = 5;





Рисунок 5 – Тест первый (часть 1)



Шаг 1. Обнуление матрицы дерева ТТ.

Шаг 2. Составляем матрицу смежности С.

Шаг 2а. Если расстояние между двумя точками s > d, то в матрицу заносится 0, иначе 1.

Шаг 2б. Повторение шага 2 8 раз. Полученная в результате матрица смежности представлена на рисунке 6.






Рисунок 6 – Тест первый (часть 2)



Шаг 3. Составляем матрицу дерева ТТ.

Шаг 3а. Первоначально в матрице на главной диагонали все нули, значит 



tt11 = tt22 = ... = tt88 = 0, k = 1;



Шаг 3б. Находим минимальный элемент матрицы Т - t12 = 0,5. Включаем данное ребро в матрицу ТТ и увеличиваем значение счётчика k = k + 1 = 2;

Шаг 3г. Находим следующий минимальный элемент и повторяем все действия из шага 3б. Таким образом перебираем всю матрицу.

Шаг 4. На главной диагонали матрицы ТТ находятся все 1. Полученная матрица представлена на рисунке 7.





Рисунок 7 – Тест первый (часть 3)




4.1 Тест второй.



Результат выполнения алгоритма с 20-ю вершинами, заданными случайными координатами и предельным расстоянием равным 2,5 представлен на рисунке 8.





Рисунок 8 – Тест второй (часть 1)



На данном рисунке видно, что граф был разбит на 8 кластеров. Увеличим предельное расстояние до 3. Из рисунка 9 видно, что количество кластеров сократилось до 4.





Рисунок 9 – Тест первый (часть 2)




Продолжая постепенно увеличивать предельное расстояние, увидим, что в итоге граф будет представлять собой один кластер. Минимальное остовное дерево этого кластера представлено на рисунке 10.





Рисунок 10 – Тест первый (часть 3)



Из этого теста видно, что с увеличением предельного расстояния количество кластеров уменьшается. Минимальное остовное дерево строится верно. Значит, в данном тесте программа работает верно.



4.3 Тест третий



Составим граф из 7 вершин, координаты которых и предельное расстояние представлены на рисунке 11.






Рисунок 11 – Тест второй (часть 1)



Построим данный граф. Остовное дерево данного графа, а так же матрицы смежности, расстояний и остовного дерева представлены на рисунке 12.





Рисунок 12 – Тест второй (часть 2)




Заключение



При рассмотрении данной задачи был изучен один из разделов теории графов кластеризация и построение минимального остовного дерева по алгоритму Краскала.

Результатом курсового проекта является алгоритм, выполняющий необходимые задачи.






Список использованных источников



1 Канева О.Н. Дискретная математика. – Омск: ОмГТУ, 2009. -87с.

2 Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.- М.: Мир, 1978.-433с.

3 Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Питер, 2000. -304с. 



2