Модели и методы принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ



















Курсовая работа

Модели и методы принятия решений





Выполнила: Токарева О.П.

Заочная форма обучения

Курс V

Специальность 210100

№ зачетной книжки 602654

Проверил: Цыганов Ю.К.









Москва

2008


Задание

на курсовую работу по дисциплине «Модели и методы принятия решений»

Вариант 4



Задача 1. 

Решить графоаналитическим методом.



min  (X) = – 3x1 – 2x2

при 2x1 + x2  2

x1 + x2  3

– x1 + x2  1 

X  0



Задача 2.

Найти экстремумы методом множителей Лагранжа. 

Решение проиллюстрировать графически.



extr  (X) = x12 + x22

при x12 + x22 – 9x2 + 4,25 = 0



Задача 3. 

Решить на основе условий Куна-Таккера. 

Решение проиллюстрировать графически.



extr  (X) = x1x2 

при 6x1 + 4x2  12

2x1 + 3x2  24

– 3x1 + 4x2  12

Задача 4. 

Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.

Решить задачу средствами MS Excel. 

Решение проиллюстрировать графически.



max  (X) = 2x1 + 4x2 – x12 – 2x22

при x1 + 2x2  8

2x1 – x2  12

X  0




Задача 1



Решить графоаналитическим методом.



min  (X) = – 3x1 – 2x2

при 2x1 + x2  2

x1 + x2  3

– x1 + x2  1 

X  0



Решение:

Построим линии ограничений:



Примем: 2х1+х2=2		(a)

х1+х2=3		 (b)

-х1+х2=1		(c)

экстремум функция минимизация алгоритм

Получаем три прямые a, b и c, которые пересекаются и образуют треугольник соответствующий области которая соответствует первым трем ограничениям, добавляя четвертое ограничение получаем четырехугольник ABCD – допустимая область значений, в которой надо искать минимум (на рисунке эта область не заштрихована).




Рис. 1



Примем целевую функцию равной нулю (красная линия d) тогда градиент имеет координаты (-3;-2). Для того, чтобы найти минимум целевой функции будем перемещать график линии d параллельно самой себе в направлении антиградиента до входа ее в область ограничений. Точка в которой область войдет в допустимую область и будет искомой точкой минимума целевой функции. Это точка В(0,33 ; 1,33). При этом целевая функция будет иметь значение:







Темно-синяя линия на рисунке (е).


Задача 2. 

Найти экстремумы методом множителей Лагранжа. 

Решение проиллюстрировать графически.



extr  (X) = x12 + x22

при x12 + x22 – 9x2 + 4,25 = 0



Решение:

Составим функцию Лагранжа



h(X)=x12 + x22 - 9x2 + 4,25=0





Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:







Решим данную систему уравнений:

Разложим на множители 1 уравнение системы:







Предположим, что , тогда . Подставим во второе уравнение:



2x2 - 2x2 + 9 = 0



9 = 0 не верно, следовательно принимаем, что



, а 



Подставляем  в третье уравнение:







Решая это квадратное уравнение получаем, что







Подставляем эти значения во второе уравнение:

1.Подставим первый корень , получаем






2. Подставим второй корень , получаем









( X*,λ*)

N

X1*

X2*

λ*

φ(X*)

Примечание

1

0







Min

2

0







Max



- кривая a (окружность)

- кривая b (окружность)



Задача 3



Решить на основе условий Куна-Таккера. 

Решение проиллюстрировать графически.



extr  (X) = x1x2 

при 6x1 + 4x2  12

2x1 + 3x2  24

– 3x1 + 4x2  12



Решение:

Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа:







Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:






Решим данную систему уравнений:

1.Предположим, что, тогда из уравнения 5 получим:







Предположим, что ,,, тогда из уравнения 1 получим:







Пусть , тогда из уравнения 2 получаем:






Это решение не удовлетворяет условиям задачи: (Х≥0)

2.Предположим, что и , тогда из уравнения 1 получим:







Предположим, что , , , выразим из второго уравнения :







Подставим в 3 уравнение:







Получаем:, , 

В этой точке функция  равна минимальному значению

3. Предположим, что ,  и , тогда из второго уравнения получим:







Предположим, что , и , тогда из второго уравнения следует:







Подставим в четвертое уравнение:







Получаем: , , 

В этой точке функция имеет максимальное значение:






X*

N

X1*

X2*

φ(X*)

Примечание

1

1

1,5

1,5

Min

2

6

4

24

Max



Прямая а соответствует графику функции 6х1+4х2=12

Прямая b – графику функции 2х1+3х2=24

Прямая с – графику функции -3х1+4х2=12

Прямая d – графику функции 

Прямая е – графику функции



Задача 4



Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.

Решить задачу средствами MS Excel. 

Решение проиллюстрировать графически.



max  (X) = 2x1 + 4x2 – x12 – 2x22

при x1 + 2x2  8

2x1 – x2  12

X  0



Решение:

1. Найдем выражение вектор функции системы:

Составим функцию Лагранжа:







Вектор функция системы:







2. Составим матрицу Якоби


=