Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2

2





                                                                                                   Файл: FERMA-n3-new

                                                                                                         © Н. М. Козий, 2009                                        

                                                                                                                            Украина, АС  № 28607

 

     ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ  n=3

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

               Аn + Вn = Сn					(1)

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

                   Аn = Сn -Вn	  	                     (2)

Рассмотрим частное решение уравнения (2) при  показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

                A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2)                             (3)

Обозначим:   C – B = K                                                                 (4)

Отсюда:      C=B+K;      B=C-K                                                         (5)

Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

         A3 = K[C2+ C∙(C-K) + (C-K)2] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3              (6)

Отсюда:       3K·C2 -3K2 ∙C – (A3 – K3) = 0                                       (7) 

Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами  А и  К и  переменной  величиной  С.  Решая его, получим:

                                  C =                                   (8)   

Число  C будет целым только  при условии, если:

                                    = 3N∙K2                                       (9)   

Отсюда:              12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4

                          A3 = K3∙                                                  (10)

                            A = K                                                        (11)

Из анализа формулы  (10)  следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число  N должно быть нечетным числом.

Из анализа формулы  (10)  также следует, что  если  A – целое число, то должно быть:

                                  A3 = K3∙ Y3,                                                         (12)

где:                                   Y3 =                                                        (13)

Отсюда:          A = K∙ Y = K                                                  (14)

Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение  (14) решение в целых числах, воспользуемся  арифметической прогрессией и определим ее сумму:

Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1)                                            (15)

По аналогии с уравнением (15) определим  сумму арифметической прогрессии:

SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1),                                                    (16) 

где:   N- нечетное число, входящее в уравнение (14).

Тогда:       SN = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} =                 (17)

Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):

                                 Y3 = 1 + 6∙SN                                                        (18)  

Из уравнения (18) следует, что все числа  Y3 нечетные.

Из уравнений (17) и (18) получим:

      Y3 = 1 + 6∙  = ,   т.е. получили уравнение  (13).           (19)

т.е. получили уравнение  (13).

Из уравнения (19) следует:   Y =                                           (20) 

Таким образом, для анализа уравнения  (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением  (19), записанным с учетом уравнения  (17)  в виде:

                Y3 = 1 + 6∙ = 1 + 6∙SN                                               (21)

Из уравнения (21) следует:           SN =                                      (22)

Полагаем, что  Y- целое число. Из уравнения  (22) следует, что для того чтобы сумма   SN  была целым числом, число  Y  должно быть нечетным числом.  Задаваясь значениями числа  Y, определим  по уравнению (22) соответствующие им значения суммы  SN:

Y = 3,      SN = 4,333…;       Y = 5,     SN = 20,666…;       Y = 7,     SN1 = 57;                                                                                                                     

Y = 9,      SN = 121,333…;   Y = 11,   SN = 221,666…;     Y = 13,  SN2 = 366;                                                                                                                                                                                                                                      

Y = 15,   SN =562,333…;    Y = 17,   SN = 818,666…;    Y = 19,  SN3 = 1143;  Y = 21,   SN =1543,333…;  Y = 23,   SN = 2027,666…;   Y = 25,  SN4 = 2604.

Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа  Y, для которых сумма   SN – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не  может быть дробным числом, то для таких   значений целого числа  Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19)  не существует целого числа  N, т. е.:

                   N= - дробное число.                                                (23)

Есть также такие значения числа   Y, для которых сумма  SN – целое число. Эти числа имеют особенность - они равны:

Y = 7 =1 + 6∙1;     Y = 13 =1 + 6∙2;     Y = 19 =1 + 6∙3;     Y = 25 =1 + 6∙4.

Отсюда следует, что для чисел:

        Y = 1 + 6∙m,   где: m =1, 2, 3,…, сумма  SN – целое число.

Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:

                              N=                                                          (24) 

Подставляя ранее полученные значения целых чисел  SN, получим:

        N= = 21,377…         N=  = 54,120…                                                                                                                                                                          

        N=  = 95,629…      N=  = 144,336… 

Отсюда следует, что и при целых числах  SN  число N - дробное число.  Это объясняется тем, что полученные  целые числа  SN1,  SN2, SN3,  SN4     на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:

     SN1 =57 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + p;       SN2  =366 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + r;                                                 

     SN3 =1143 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + s;   SN4 =2604 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + t.

Следовательно, в соответствии с  формулами  (19), (20) и (23) если  N -целое   число, то Y -  дробное число.  И, наоборот,  если Y- целое число, то   N -  дробное число.  

Таким образом, поскольку при любом  заданном целом числе  N>1   число Y  всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число   A – также  всегда дробное число. 

При N =1   из уравнения (14) следует   A=K, а из уравнения (8):  С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует:  В=0. 

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах   для   показателя степени  n=3.



                 Автор                                        Козий Николай Михайлович,

                                                                              инженер-механик

                                                                              E-mail:  nik_krm@mail.ru