Рівносильні та рівновеликі багатокутники

2





























Курсова робота



Учбово-посібний матеріал уроків в школі на тему

«Рівносильні та рівновеликі багатокутники»


ЗМІСТ



ВСТУП

РОЗДІЛ І. Сутність понять рівносильності та рівновеликості для багатокутників

1.1 Леми та теореми рівносильності та рівновеликості як методів розрахунку площ багатокутників 

1.2 Класичні приклади рівновеликості багатокутників, складеними методами „розрізання” та „доповнення” рівноскладеними елементами багатокутників

РОЗДІЛ ІІ. Розрахунок площ випуклих багатокутників методами рівновеликості при геометричних побудуваннях

2.1 Розрахунок площ основних багатокутників (прямокутник, паралелограм, трикутник, трапеція) методом побудови рівновеликих геометричних фігур

2.2 Розрахунок площі несиметричного п’ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника

РОЗДІЛ ІІІ. Розрахунок площ невипуклих багатокутників методами рівновеликості з використанням координатних підходів аналітичної геометрії 

3.1 Застосування методу рівновеликості для розрахунку площ багатокутників

3.2 Розрахунок площі невипуклого багатокутника композицією результатів координатно – аналітичного методу

ВИСНОВКИ ТА ПРОПОЗИЦІЇ

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ




ВСТУП



Проблема рівноскладеності та рівносильності рівновеликих фігур формулюється в такий спосіб: чи можна кожну із двох рівновеликих фігур «скласти» з того самого набору фігур? Ця проблема для різних класів фігур вирішується по-різному. 

Рівновеликі фігури - це плоскі (просторові) фігури однакової площі (об'єму); рівноскладені фігури - фігури, які можна розрізати на однакове число відповідно конгруентних (рівних) частин. Звичайне поняття рівноскладеності застосовується тільки до багатокутників і багатогранників. Рівноскладені фігури є рівновеликими.

Термін „рівносильність” багатокутників в математиці відсутній, його рідке застосування еквівалентне терміну - „рівні” багатокутники, тобто багатокутники у яких кількість сторін, внутрішні кути при відповідних вершинах та площа одночасно дорівнюють один одному. Основним предметом досліджень математики багатокутників є рівновеликі багатокутники, серед яких „рівносильні” становлять частний випадок.

Угорський математик Я. Больяй (1832) і німецький математик П. Гервин (1833) довели, що рівновеликі багатокутники є рівноскладеними (теорема Больяй - Гервина). Тому розрізуванням на частині й перекладанням їх можна будь-який багатокутник перетворити в рівновеликий йому квадрат. 

Поняття рівноскладеності лежить в основі «методу розбивки», застосовуваного для обчислення площ багатокутників: паралелограм «розрізуванням і перекладанням» зводять до прямокутника, трикутник - до паралелограма, трапецію - до трикутника. 

Еквівалентним поняттю рівноскладеності є поняття рівнодоповненості, що лежить в основі «методу доповнення», тобто доповнення двох фігур рівними частинами так, щоб фігури, які вийшли після такого доповнення були рівні. Так, паралелограм рівновеликий прямокутнику, який має ті ж самі основу й висоту, трикутник рівновеликий паралелограму із удвічі меншою основою й тією же висотою( або з тією же основою й удвічі меншою висотою). Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, і квадрати, побудовані на його катетах, можна доповнити чотирма рівними трикутниками так , що будуть складені рівні квадрати( це приклад рівновеликості по доповненню на відміну від рівновеликості по розрізуванню).

У курсовій роботі наведені теореми та їх доведення, а також численні приклади побудови рівновеликих багатокутників методами „розрізання” на рівноскладені фігури, а також сучасні методи аналітичної геометрії для обчислення площі будь-якого багатокутника, заданого на координатній площині координатами своїх вершин. 




РОЗДІЛ І. Сутність понять рівносильності та рівновеликості для багатокутників



1.1 Леми та теореми рівносильності та рівновеликості як методів розрахунку площ багатокутників 



Означення. Багатокутником називається замкнута ламана без самоперетинань. Багатокутник розбиває площину на дві частини, одна йз яких обмежена й називається внутрішністю багатокутника (насправді це твердження, називане теоремою Жордана для багатокутників, не зовсім очевидно) [7]. 

Означення. Багатокутник називається опуклим, якщо для будь-яких двох точок, що лежать усередині нього, усередині нього лежить також відрізок, який їх з'єднує. 

Два багатокутники називають рівносильними (рівноскладеними), якщо один з них можна розрізати на багатокутники й скласти з них іншої. Очевидно, що рівноскладені багатокутники є рівнове-ликими. Виявляється, вірно й зворотне [7]. 

Теорема Бойя і Гервіна. Будь-які два рівновеликих багатокутники рівноскладені [6]. 

Так, як ілюстрація умов теореми, на рис.1.1. наведений приклад компьютерної анімації розрізання трикутника на чотири частини (багатокутники) та складання з них квадрату методом послідовного повертання розрізаних частин.


 







  





Рис. 1.1 Приклад перетворення рівноскладених та рівновеликих багатокутників (рівнобічний трикутник у квадрат) 


Приведемо математичне доказування теореми [6].

Багатокутники P і P’ називаються рівноскладеними, якщо вони допускають розбивки на рівні багатокутники (тобто існують такі розбивки {M1,..., Mn} і {M’1,..., M’n} багатокут-ників P і P’ відповідно, що Mi = M’i при всіх i < n). Очевидно, що рівноскладені багатокут-ники мають однакову площу. Чи вірно зворотне твердження? Перш ніж відповісти на це питання, доведемо кілька допоміжних тверджень. 

Лема 1. Якщо багатокутник P1 рівноскладений з багатокутником P2 і багатокутник P2, у свою чергу, рівноскладений з P3, то P1 і P3 також рівноскладені.

Лема 2. Будь-який трикутник ABC рівноскладений з деяким прямокутником. 

Доведення. Нехай [AB] - більша сторона трикутника ABC (рис.1.2). Тоді підстава висоти [CH] належить відрізку [AB]. Через точку M - середину висоти [CH] - проведемо пряму a, паралельну (AB). Позначимо через P, L, E і F точки перетинання прямій a зі сторонами [AC] і [BC], а також проекції точок A і B на пряму a відповідно. 





Рис.1.2 До Доведення Леми 2



Тепер рівноскладеність ∆ ABC і прямокутника AEFB витікає з умов ∆ AEP = ∆CMP, ∆BFL = ∆CML. Лема доведена. 

Лема 3. Якщо паралелограми ABCD і KLMN мають загальну основу й однакову площу, то вони рівноскладені. 

Доведення. Будемо вважати, що відрізки [AB] і [KL] збігаються, і точки M і N лежать на прямій (CD) – рис.1.3. Розглянемо окремо два випадки взаємного розташування відрізків [CD] і [MN]. Перший випадок. Нехай відрізки [CD] і [MN] перетинаються. Не обмежуючи спільності, припустимо, що точка C лежить на відрізку [MN]. 



 

Рис.1.3 До доведення Леми 3 Рис.1.4 До доведення Леми 3



Тоді рівноскладеність ABCD і ABMN витікає з умови ∆DAN = ∆CBM. 

Другий випадок. Якщо відрізки [CD] і [MN] не перетинаються, то відкладемо послідовно точки C1 = C,...,Cn так, що [CiCi+1] = [CD] при i  n1 і відрізок [Cn1Cn] перетинає [MN] – рис.1.4. 

Тепер до ланцюжка паралелограмів ABCD, ABC1C2,..., ABCn1Cn, ABMN досить застосувати перший випадок і лему 1. Лема доведена. 

Лема 4. Якщо прямокутники ABCD і KLMN мають однакову площу, то вони рівноскладені. 

Доведення. Не обмежуючи спільності міркування, будемо вважати, що відрізок [AB] - найбільша зі сторін даних прямокутників – рис.1.5. Тоді на промені [ML) найдуться такі точки P і S, що S  [PM], [PS] = [KN] і [SN] = [AB]. Чотирикутники ABCD і KNSP, а також KNSP і KLMN рівноскладені по попередній лемі. Тоді з леми 1 витікає, що ABCD і KLMN рівноскладені. Лема доведена. 



Рис.1.5 До доведення Леми 4


Лема 5. Будь-який багатокутник M рівноскладений з деяким прямокутником. 

Доведення. Нехай {Ti: i < n} - розбивка M на трикутники. Зафіксуємо деякий нетривіальний відрізок [A1B1] . Через точки A1 і B1 перпендикулярно прямій (A1B1) проведемо дві прямі. На цих прямих виберемо сонаправлені промені [A1X) і [B1Y). На промені [A1X) виберемо послідовно точки A2,...,An+1, а на промені [B1Y) - точки B2,...,Bn+1 так, що площа прямокутника AiAi+1Bi+1Bi дорівнює площі трикутника Ti при i < n. З лем 2 і 4 треба, що Ti і AiAi+1Bi+1Bi рівноскладені. Виходить, M і A1An+1Bn+1B1 рівноскладені. Лема доведена. 

Теорема 1. [ Бойяи-Гервин] Багатокутники M і N равноскладені тоді й тільки тоді, коли вони рівновеликі. 

Доведення. Равноскладені багатокутники - мають рівні площі. Доведемо зворотне твердження. 

Нехай SM = SN. По лемі 5 для M і N найдуться такі прямокутники ABCD і A1B1C1D1, що M і ABCD, а також N і A1B1C1D1 рівноскладені. З рівностей SABCD = SM = SN = SA1B1C1D1 і леми 4 витікає рівноскладеність ABCD і A1B1C1D1. Тепер рівноскладеність M і N витікає з леми 1. Теорема доведена. 

Близьким до поняття рівноскладеності є рівнодоповнюємість багатокутників. 

Наприклад, паралелограм ABCD і прямокутник EFGH на рис.1.6 - рівнодоповнюємі. 





Рис.1.6 До рівнодоповнюємості багатокутників



Звідси витікає рівність площ цих чотирикутників. 

Теорема 2. Багатокутники M і N рівнодоповнюємі тоді й тільки тоді, коли вони рівновеликі. 

Доведення. Рівновеликість двох рівнодоповнених багатокутників очевидна. Нехай тепер SM = SN. Існують два рівних по площі квадрата K1 і K2, які містять M і N відповідно. На рис.1.7 наведений приклад рівновеликих та рівнодоповнюємих багатокутників – „грецького хреста” та відповідного квадрату, який отримуємо „ відрізанням” та доповненням відповідних трикутників 2,3,4,5 до основної фігури 1.





Рис.1.7 Рівнодоповнення „грецького хреста” в рівновеликий (рівноскладений) квадрат



1.2 Класичні приклади рівновеликості багатокутників, складеними методами „розрізання” та „доповнення” рівноскладеними елементами багатокутників



Класичним прикладом освоєння равновеликості та рівноскладеності багатокутників є древня китайська головоломка «Танграм” [5], яка виникла в Китаї 4 тис.років тому. Головоломка представляє собою квадрат 12*12 квадратів, які розрізаються на 7 окремих багатокутників - 5 трикутників, 1 квадрат та 1 паралелограм (рис.1.8). 




Рис. 1.8 Побудова структурних багатокутників головоломки „танграм”





Рис. 1.9 Декілька складених фігурок - багатокутників з 7 елементів головоломки „танграм”



Рис. 1.10 Розшифрування техніки складання фігурок - багатокутників на рис.1.19 за допомогою елементів „танграма”




Рис. 1.11 Рівновеликі та рівноскладені багатокутники з 7 елементів - елементарних багатокутників головоломки „танграм”



За допомогою методів рівновеликості та рівноскладеності багатокутників вирішують-ся наступні задачі [5]:

Довести, що в п'ятикутної зірки (рис.1.12) замальована рівно половина площі

Довести, що в правильного восьми кутника (рис.1.13) замальована половина площі





Рис. 1.12 Рис.1.13




Відповіді:

На рис. 1.14 та рис.1.15 видно, що при розбитті зірки та вісьмокутника на окремі елементарні багатокутники - біла та замальована частини складаються з рівноскладених елементів, тобто площі рівні.





Рис. 1.14 Рис. 1.15



Класичне доведення теореми Піфагора як історичний приклад застосування методу рівновеликості для розрахунку площі трикутника на плоскості – „Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.” [6].

Це одна з найвідоміших геометричних теорем стародавності, називана теоремою Пифагора. Її й зараз знають практично всі, хто коли-або вивчав планіметрію. 

Не підлягає, однак, сумніву, що цю теорему знали за багато років до Піфагора. Так, за 1500 років до Піфагора древні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним, і користувалися цією властивістю (тобто теоремою, зворотнью теоремі Пифагора) для побудови прямих кутів при плануванні земельних ділянок і споруджень будинків. Та й понині сільські будівельники й теслі, закладаючи фундамент хати, виготовляючи її деталі, вичерчують цей трикутник, щоб одержати прямий кут. Це ж саме застосовувалось тисячі років тому при будівництві чудових храмів у Єгипті, Вавилоні, Китаї, імовірно, і в Мексиці. У самому древньому математико-астрономічному творі, що дійшов до нас, китайському « Чжоу-Бі», написаному приблизно за 600 років до Піфагора, серед інших пропозицій, що ставляться до прямокутного трикутника, утримується й теорема Піфагора. Ще раніше ця теорема була відома індусам. Із глибокої стародавності математики знаходять всі нові й нові доведення теореми Піфагора, всі нові й нові задуми її доведень. Таких доведень - більш-менш строгих, більш-менш наочних - відомо більше півтори сотень, але прагнення до збільшення їхнього числа збереглося. 

Доведення, засновані на використанні поняття рівновеликості багатокутників, - це доведення, у яких квадрат, побудований на гіпотенузі даного прямокутного трикутника «складається» з таких же фігур, що й квадрати, побудовані на катетах. Можна розглядати й такі доведення, у яких застосовується перестановка фігур, що складаються, і враховується ряд нових ідей. 

На рис. 1.16 зображено два рівних квадрати. Довжина сторін кожного квадрата дорівнює a + b. Кожний із квадратів розбитий на частині, що складаються із квадратів і прямокутних трикутників. Ясно, що якщо від площі квадрата відняти учетверенну площу прямокутного трикутника з катетами a, b, те залишаться рівні площі, тобто c2 = a2 + b2. Втім, древні індуси, яким належить це міркування, звичайно не записували його, а супровод-жували креслення лише одним словом: «дивися!» Цілком можливо, що такий же доказ запропонував і Пифагор. 



 

Рис.1.16 Доказ теореми Пифагора на підставі рівновеликості та рівноскладеності багатокутників


РОЗДІЛ ІІ. Розрахунок площ випуклих багатокутників методами рівновеликості при геометричних побудуваннях



2.1 Розрахунок площ основних багатокутників (прямокутник, паралелограм, трикутник, трапеція) методом побудови рівновеликих геометричних фігур



Матеріал заснований на наступних аксіомах і теоремах [4]:

1. Про паралельні прямі

2. Про пересічу пряму для паралельних прямих і утворених нею кутах

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

4. Про площу прямокутника

1). Про паралельні прямі

Теорема. Мінімальна відстань між двома паралельними прямими на площині є величина постійна й визначається перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу.

Доведення.





Рис. 2.1



Розглянемо дві прямі а й b, кожна з яких перпендикулярна до прямої с (рис.2.1). Якби прямі а й b перетиналися, то із точки їхнього перетинання були б побудовані два перпендикуляри до прямої с, що неможливо. Отже, прямі а й b не перетинаються, тобто паралельні. Отже, дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні. 

Сформульоване твердження виражає ознака (перпендикулярність двох прямих до третьої прямої), по якому можна зробити висновок про паралельність двох прямих, або, коротко говорячи, ознака паралельності двох прямих. 

2. Про січну паралельних прямих і утворених нею кутах

Нехай a і b - дві паралельні прямі й c - третя пряма, що перетинає прямі a і b (рис.2. 2). Пряма c стосовно паралельних прямих a і b називається січною.

Січна утворить із паралельними прямими дві пари внутрішніх одностронних і дві пари внутрішніх навхрест лежачих кутів. 





Рис.2.2



Нехай відповідні кути 1 і 2 рівні: l = 2. Тому що 2 = 3 (як вертикальні кути), те l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а║ b. 

Нехай сума однобічних кутів 1 і 2 дорівнює 180°. Тому що сума суміжних кутів 3 і 2 також дорівнює 180°, то l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а ║ b 

3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції

Приведемо означення прямокутника , трикутника , паралелограма й трапеції.

Означення. Параллелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Означення.Прямокутник - це параллелограм, у якого всі кути прямі.

Означення.Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основагиями трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Означення.Трикутником називається фігура . яка складається із трьох крапок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків , попарно з'єднуючі ці точки. Точки називаються вершинами трикутника , а відрізки - сторонами.

4. Про площу прямокутника

Теорема. Площа прямокутника зі сторонами  дорівнює



На підставі вищевикладених аксіом і теорем, доведемо теореми про площі елементарних багатокутників методом рівновеликих і рівноскладених елементів багатокутників.

а) Площа паралелограма

Теорема. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту.







Рис.2.3 Дано: ABCD-Паралелограм, AD-підстава, BH-Висота




Довести:

SABCD=AD x BH

Доведення

Перекроїмо паралелограм у прямокутник. Для цього розріжемо його по висоті BH , і трикутник ABH прикладемо праворуч як показано на рис.2.3. Одержимо прямокутник HBCH1 , рівноскладений з паралелограмом ABCD. Але рівноскладені фігури є рівновеликими, тобто SHBCH1=SABCD .

SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.

Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.



б) Площа трикутника

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.





Рис.2.4. Дано: ABC-Трикутник, AC- основа, BH- висота. 



Довести:

SABC = ? AC x BH

Доведення

Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.2.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC, тому що N-Середина AC.

Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.

в) Площа трапеції

Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.





Рис.2.5 Дано: ABCD-Трапеція, AD і BC- основи, BH-Висота



Довести:

SABCD=1/2 (AD + BC) x BH

Доведення

Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M- середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.2.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD 

SABN=1/2 AN x BH, (2.1)

Але AN =AD + DN, а DN = BC. 

Звідки AN=AD + BC.

Підставимо в (2.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.


2.2 Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника



Дано довільний 5-кутник  [3].



Рис.2.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник



Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :

1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника

2.Продовжуємо по стороні AE пряму F-K

3.Через точку B будуємо пряму B-F, що паралельна діагоналі AC.

4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF

5.Оскільки й  побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу , то 

- їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;

-площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.

6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.

7.Через точку D будуємо пряму D-K паралельну другій діагоналі СE

8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих D-K і F-K.

9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.

10.Отриманий трикутник  -є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику , оскільки:




РОЗДІЛ ІІІ. Розрахунок площ невипуклих багатокутників методами рівновеликості та методами використанням координатних підходів аналітичної геометрії



3.1 Застосування методу рівновеликості для розрахунку площ багатокутників



Кожному багатокутнику можна поставити у відповідність позитивне число S(площа), так щоб виконувалися наступні властивості (аксіоми) [2]:

Рівні багатокутники мають рівні площі

Якщо багатокутник складений із двох багатокутників , що не мають загальних внутрішніх точок, то його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників

Площа квадрата зі стороною, рівній одиниці довжини, дорівнює 1 ( одиниці виміру площ)

Іншими словами , площа - це функція, задана на множині багатокутників, що приймає тільки позитивні значення й задовольняє умови I,II,III

Теорема: Доведемо ( виведемо із властивостей I,II,III), що площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сторін [4].

Нехай  і  - довжини сторін прямокутника .

A.Якщо  й  - цілі числа, розділимо сторони прямокутника відповідно на  й  рівних частин і розіб'ємо прямокутник на квадратів зі стороною 1 ( рис. 3.1). Площа кожного із квадратів дорівнює 1 у силу аксіоми III , виходить, площа всього прямокутника дорівнює  в силу аксіоми II.




Рис. 3.1



Б. Нехай довжини сторін прямокутника виражені кінцевими десятковими дробами , скажемо:



, 

 , (3.1)



де  й  - цілі числа , 

 і - цифри те 0 до 9.

Візьмемо одиничний квадрат і кожну його сторону розділимо на  рівних частин .Весь квадрат розіб'ємо на  маленьких квадратиків ( рис.3.2), які в силу аксіоми I мають однакову площу  . По аксіомі II площа одиничного квадрата  . А тому що по аксіомі III ця площа дорівнює 1,



 (3.2)




Рис.3.2 Рис.3.3



Числа  й  - цілі .Ділимо сторони прямокутника на  й  рівних частин, відповідно. Прямокутник розбиваємо на  рівних маленьких квадратиків ( рис.3.3) , і в силу аксіоми II площа прямокутника дорівнює



 (3.3)



В. Розглянемо тепер загальний випадок , коли  й – нескінченні десяткові дроби:



 і  (3.4)



Візьмемо раціональні наближення чисел по недоліку , тобто  й . Прямокутник з такими сторонами є частиною прямокутника зі сторонами : це треба із властивостей довжини відрізків . Також розглянемо прямокутник зі сторонами  й ( це наближення чисел по надлишку); він буде містити вихідний прямокутник ( рис.3.4) . Використовуючи аксіому II, нескладно одержати, що площа даного прямокутника задовольняє умові 


 (3.5)



При необмеженому збільшенні n ліва й права частини рівності прагнуть до того самого дійсного числа .А це значить , що площа даного прямокутника також дорівнює .





Рис.3.4



Задачі на розрахунок площ рівновеликих фігур

Рівновеликими називаються фігури , що мають однакову площу. У рішеннях цих задач не використовуються формули для обчислення площ ( трикутників, параллелограмов , трапецій) - ми опираємя тільки на основні властивості площі , тобто на аксіоми I,II,III. 

Задача 1.

На стороні  паралелограма взята точка . Площа трикутника дорівнює  ( рис.3.5). Яка площа паралелограма ?

Рішення

Проведемо через точку  пряму , паралельну стороні  ( рис. 3.6). Трикутники й рівні ; трикутники  й також рівні . Таким чином, площа S незаштрихованої частини паралелограма дорівнює площі заштрихованої , тому площа всього параллелограма дорівнює . 




Рис.3.5 Рис.3.6 Рис.3.7 Рис.3.8



Задача 2.

Нехай тепер точка  взята усередині паралелограма й з'єднана з усіма його вершинами ( рис.3.7) . Площа заштрихованої частини паралелограма дорівнює . Чому дорівнює площа паралелограма? 

Рішення

Як і в попередній задачі , провівши через точку  прямі , паралельні сторонам 

(рис. 3.8) , переконуємося , що площа незаштрихованої частини паралелограма дорівнює площі заштрихованої, а площа всього паралелограма дорівнює .

Задача 3.

Паралелограми  й  у яких сторони  й  лежать на одній прямій , рівновеликі ( рис.3.9).

Рішення

Трапеція є , з одного боку, об'єднання трикутника  й паралелограма  ( рис.3.10) , з іншого боку, об'єднання трикутника й паралелограма ; трикутники  й  рівні.





Рис.3.9 Рис.3.10


Задача 4.

Дано паралелограм  . Розглянемо новий параллеограмм , у якого одна вершина збігається з вершиною , сусідня з нею вершина лежить на стороні , а сторона  протилежна стороні , лежить на прямій , що проходить через вершину ( рис.3.11). Доведіть, що паралелограми  й рівновеликі.

Рішення

Можна вважати (див. попередню задачу) , що сторона  містить точку  (рис.3.12). Трикутник  - „загальний” для обох паралелограмів , 



 по задачі 1.



 

Рис.3.11 Рис.3.12



Задача 5.

Медіана трикутника ділить його на два рівновеликих трикутники.

Рішення

Нехай  - медіана трикутника . Добудуємо трикутник до паралелограма , провівши через точку  пряму , паралельну , а через точки  й – прямі , параллелтные ( рис. 3.13). Паралелограми й  рівні : паралельний перенос на вектор  переводить перший з них у другий . Тому . 

Діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутники, виходить,



 і 



Отже,









Рис.3.13



Задача 6.

Медіани трикутника ділять його на 6 рівновеликих частин.

Рішення

Нехай  - точка перетинання медіан  і  трикутника  ( рис.3.14) . – медіана трикутника  , виходить,  ; позначимо цю величину через  . Нехай також  . Оскільки  – медіана трикутника , ,тобто  , звідки . Аналогічно 




Рис.3.14



Задача 7.

Кожна сторона трикутника  продовжена на свою довжину , так що точка - середина відрізка , - середина , точка – середина  (рис. 3.15). Площа трикутника  дорівнює  . Знайти площу трикутника .

Рішення

Проведемо відрізки  й ( рис. 3.16).  – медіана трикутника  , тому  ( дивитися задачу 5); -медіана трикутника , тому . Міркуючи аналогічно , одержуємо , що 







отже , 



Рис.3.15 Рис.3.16


Задача 8.

Дано опуклий чотирикутник  площі. Продовжимо його сторони , як у попередній задачі : нехай точка - середина відрізка  , - середина , - середина  , - середина ( рис.3.17). Знайти площу чотирикутника 





Рис.3.17



Рішення

Проведемо в чотирикутнику діагональ і позначимо площу трикутника  через , а площа трикутника через , так що  ( рис.3.18). 





Рис.3.18


Міркуючи так само , як у попередній задачі , одержуємо, що 



 і 



У такий спосіб 







Аналогічно , проводячи діагональ  , можна довести , що 





Отже, 



3.2 Розрахунок площі невипуклого багатокутника композицією результатів координатно –аналітичного методу



Розрахунок оснований на методі комбінації площ трапецій, побудованих в координатній сітці на сторонах багатокутника, площі яких розраховуються за координатами вершин багатокутника [3]. 

Нехай даний багатокутник, розташований у позитивному квадранті й до того ж опуклий. Занумеруємо його вершини проти годинникової стрілки:  , як показано на рис. 3.19, де число вершин  . Опустимо із всіх вершин перпендикуляри на вісь ; їхні довжини рівні  .




Рис.3.19 - Розрахунок площі багатокутника методом комбінації позитивних та негативних площ трапецій, побудованих на його сторонах [3]



Площа трапеції  дорівнює модулю добутку . Цей добуток позитивний при  й негативний при  (тут  - одне із чисел  причому наступний за  номер треба  замінити на (1). Виявляється, що сума всіх  таких однотипних добутків саме дорівнює площі багатокутника  .Наприклад, для п'ятикутника на рис. 3.19 - з п'яти добутків ,



(3.7)


При цьому - три, що відповідають верхнім сторонам, позитивні, а дві відповідні нижні сторони – негативні. Віднімаючи із суми позитивних площ трапецій суму негативних площ, знаходимо площу п'ятикутника.

Отриману суму можна трохи спростити , скоротивши добуток 



 (3.8)



Основна формула для n - багатокутника

Отже, площа  опуклого  - багатокутника з вершинами   дорівнює при n =5 



 (3.9)



Вираження так часто зустрічається в математику що для нього прийняте спеціальне позначення  й назва визначник другого порядку ; за допомогою таких визначників можна записати компактніше:



 (3.10)



Помітимо, що формула (3.10) припускає, що вершини занумеровані проти годинникової стрілки).

Щоб не піклуватися про той або інший напрямок нумерації вершин, замість квадратних дужок у формулі (3.10) можнопоставить знак модуля. 


Отримана формула



 (3.11)



годиться для будь-якого випадку(нагадаємо ще раз ,що  й  треба замінити на  й  ).

На основі формули (3.11) побудована компьютерна програма „Площа багатокутника”, яка розраховує площу для всіх видів багатокутників (Рис.3.20, 3.21) [1].





Рис.3.20 - Розрахунок площі випуклого 6-кутника (екранний інтерфейс)




Рис.3.21 – Розрахунок площі невипуклого 10-кутника (екранний інтерфейс)


ВИСНОВКИ ТА ПРОПОЗИЦІЇ



В курсовій роботі досліджені методи розрахунку площ багатокутників ( i= 1, …,n),

засновані на застосуванні методів рівновеликості та рівноскладеності багатокутників:

На історичних методах „розрізання” та „рівнодоповнення” для відносно нескладних багатокутників, які виконувались за допомогою лінійки та циркуля;

На сучасних методах застосування принципу „рівноскладеності” рівновеликих прямокутників для розрахнку на ПЕОМ площі неопуклих форм прямокутників з довільною кількістю сторін, заданих координатами їх вершин.

Проведений аналіз показав, що як у древності, так і у сучасності, методи розрахунку площ багатокутників спираються на аксіоми, леми та теореми про:

властивості паралельних прямих;

властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів та трапецій, які є основними „елементарними” складовими багатокутниками при аналізі та розрахунку площ багатокутників довільної форми та кількості сторін.




СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ



			Бельди А. “Площадь многоугольника, версия 2.6 Демо», Москва, 2009, sah-1m@yandex.ru

			Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., 1956, 64 с.

		3. Вагутен Н. Формула площади многоугольника // Журнал «Квант», № 4, 1981. – МЦНМО (Интернет-версия)

		4. Гейдман Б.П. Площади многоугольников – М.: МЦНМО,2001. - 24 с. 

		5.Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, 2002. - 120 с.

			6. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963, 572 с.

		7. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В. Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 488 с.