Алгебра и алгебраические системы

Алгебра и алгебраические системы

Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры. 

п.1. Бинарные и n-местные операции.

Пусть - непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве  называется отображение прямого произведения .

Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов множества  поставлен в соответствие единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

Пусть - произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

Пусть - произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

Пусть 

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если - произвольная бинарная операция на множестве  и паре  ставится в соответствие элемент  (то есть ), то вместо записи  пишут , то есть имеем  . Элемент  называется композицией элементов .

Определение. Пусть . Отображение  называется - местной операцией на множестве . Число - ранг операции.

Определение. Нульместной операцией на множестве  называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число  называется рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются унарными операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества  ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это отображение множества  во множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

Пусть - множество натуральных чисел

 - унарная операция 

 - не является унарной операцией

На множестве высказываний операция :  - унарная операция

На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.

Определение. Отображение из множества  называется частичной - местной операцией на множестве , если область определения отображения не совпадает с .

Виды бинарных операций

Пусть - бинарные операции на множестве .

Операция - коммутативна на множестве  .

Операция - ассоциативна на множестве  . 

Операция - дистрибутивна слева относительно операции    . 

Операция  дистрибутивна справа относительно операции    .

Пример.

Операция  на множестве - коммутативна, ассоциативна.

Операция  на множестве - коммутативна, ассоциативна. 

На множестве множеств операции  и  дистрибутивны относительно друг друга.

На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.

п.2. Понятие алгебры.

Определение. Алгебра , где , - множество операций на . 

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.

Пример.

Пусть - множество высказываний

- алгебра логики высказываний.

Пусть - множество натуральных чисел

- алгебра натуральных чисел относительно операций  и . 

Определение. Алгебра  называется подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .

Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка , где , - множество операций на ; - множество отношений на . 

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001