Математика в современном мире 2

Негосударственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
ИНСТИТУТ КОММУНИКАТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ















Реферат

Тема: «Математика в современном мире».













Исполнитель: Павлова М.М. студентка 1 курса, специальность финансовый менеджмент, форма обучения заочная

 Проверил:  Муслакова Е.А. Преподаватель  Гуманитарных и                            социальных дисциплин























Москва 2010


План:



1. Введение

2. Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики

3. Особенности математического стиля мышления

4. “Мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею”

5. Заключение

6. Список литературы





























































Введение

Математика - область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. "Замечательно, - пишет В.А. Успенский, - что хотя математическая модель создается человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реальности" Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука) наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). У представителей науки начала 19 века, не являющихся математиками, можно найти такие общедоступные определения математики.

"Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира" (Ф. Энгельс).

"Математика - наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. Математика может быть чистой и прикладной. Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая - протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа" (В. Даль). 

Современная математика насчитывает множество математических теорий: математическая статистика и теория вероятности, математическое моделирование, численные методы, теория групп, теория чисел, векторная алгебра, теория множеств, аналитическая и проективная геометрия, математический анализ и т.д.

Несмотря на то, что математических теорий достаточно много и они, на первый взгляд, могут и не иметь ничего общего, внутренняя эволюция математической науки упрочила единство ее различных частей и создала центральное ядро. Существенным в этой эволюции является систематизация отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют "аксиоматический метод". В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий, с помощью которых образуются утверждения, называемые аксиомами.

Прочие понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и из аксиом и определений выводятся теоремы. Теория становится рекурсивно структурированной, ее можно представить в виде матрешки, в которой понятия и их свойства как бы являются вложенными друг в друга. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся друг из друга согласно правилам логики, т.е. объединяющим началом математики является "дедуктивное рассуждение". Развитие математической теории в таком стиле - это первый шаг по направлению к ее формализации.



                           

                         





Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

1) зарождение математики

2) элементарная математика

3) математика переменных величин

4) современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции. В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа). На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта о методе координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают  нe

только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.























Особенности математического стиля мышления

Представляет интерес характеристика А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической формы – стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в других науках.

Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления). 

Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность.

В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода.

Для того чтобы сделать такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например, II 3, -это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собою разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.

В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания”.

Выделив основные черты математического стиля мышления, А.Я. Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер, а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, – писал Кант, – не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”.

Взаимодействие конкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых понятий и философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, - “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”, “производная” и т.п.




                    “Мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею”

 Выдающегося российского математика академика Игоря Ростиславовича Шафаревича считал, что основная догма научной идеологии - это вера в математизацию. Она утверждает, что всё (или, по крайней мере, всё существенное) в природе может быть измерено, превращено в числа (или другие математические объекты), и что путем совершения над ними различных математических манипуляций можно предсказать и подчинить своей воле все явления природы и общества. Кант говорил, что каждая область сознания является наукой настолько, насколько в ней содержится математика. Пуанкаре писал, что окончательная, идеальная фаза развития любой научной концепции - это ее математизация. В некотором смысле можно сказать, что мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею. Ввиду сказанного выше математику естественно проявить интерес к этим взаимосвязанным явлениям.

Научная идеология имеет сейчас уже длинную историю. Еще Галилей говорил, что "книга науки написана на языке геометрии" (геометрией тогда называли математику). Приблизительно в то же время (1605) Кеплер писал в письме своему другу: "Моя цель показать, что небесную машину нужно сравнивать не с божественным организмом, а с часовым механизмом". Декарт сравнивал животное с машиной, а столетие спустя Ламетри в книге "Человек-машина" распространил этот принцип и на человека.

Однако лишь во времена Ньютона механическая концепция мира полностью покорила себе умы. Ньютон и его последователи называли его теорию "Системой Мира". Она вдохновляла не только его современников, но и многие следующие поколения. Казалось, что можно развить полную картину природы на основе небольшого числа законов, из которых все остальное может быть дедуцировано при помощи решения дифференциальных уравнений, разложения функций в степенные ряды и других математических процедур.

Но больше всех был зачарован этой картиной сам Ньютон. Неслучайно свое главное сочинение он назвал "Математические начала натуральной философии". В конце его он прокламирует применимость тех же принципов к живым существам, чтобы и эта часть природы была включена в его "Систему Мира". Он пишет: "Теперь следовало бы кое-что добавить о некотором тончайшем эфире, проникающем все сплошные тела и в них содержащемся, коего силою... возбуждается всякое чувствование, заставляющее члены животных двигаться по желанию, передаваясь именно колебаниями этого эфира через тончайшие нити нервов от внешних органов чувств мозгу и от мозга мускулам. Но это не может быть изложено кратко, к тому же нет и достаточного запаса опытов, коими законы действия этого эфира были бы точно определены и показаны". Очевидно, Ньютон имеет в виду механическую теорию эфира и дает понять, что лишь недостаток места и неполнота экспериментальной базы мешают ему развить механическую теорию функционирования тел животных на базе эфира.

В то же время стали слышны и встревоженные голоса. Задавались вопросом: остается ли в этой механической системе мира место для Бога? Можно было бы даже спросить - для чего-либо живого? Вселенная выглядела как гигантская машина, функционирующая исключительно на основе механических законов. И опять наиболее встревожен был сам Ньютон. Религиозные убеждения Ньютона и до сих пор остаются несколько загадочными. Но несомненно, он был глубоко религиозным человеком. Бесспорно, противоречие между его механической системой мира и его религиозными чувствами было для него очень болезненным. Он ясно выразил это в своей переписке. Когда ему было около 50 лет, Ньютон пережил тяжелый нервный кризис, некоторые исследователи говорят даже о психическом заболевании. Он не мог спать по нескольку дней и ночей подряд. Его память была спутанной. Он переживал глубокую депрессию. Есть основания считать, что в этом случае мы имеем дело с кризисом мировоззрения.

Основная догма научной идеологии - это вера в то, что все измеримо, все может быть выражено в числах, переведено на язык математики.

Эта вера содержится уже в призыве Галилея: "Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым то, что неизмеримо". Особенно интересна вторая часть этой программы: как нам быть с любовью, состраданием, мужеством, нежностью? Очевидно, всем этим сторонам жизни нет места в математизированной концепции мира.

В научной идеологии математизация играет ту же роль, что стандартизация в технике. Простейший путь применения математики - это счет. Но считать можно только однородные объекты. Пусть нам даны, скажем, яблоко, цветок, собака, дом, солдат, девушка, луна. Мы можем сосчитать их и сказать, что их 7 - но 7 чего? Единственный ответ - 7 предметов. Различия между собакой и луной, между яблоком и солдатом исчезают: они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы". Счет убивает индивидуальность. Это самый примитивный пример, но во всех случаях присутствует тот же принцип. Другая особенность математики, очень существенная для научной идеологии, - это ее способность трансформировать решение глубоких проблем в стандартизированные логические схемы. Например, квадрирование параболы или спирали в античности было проблемой, требующей усилий такого гениального математика, как Архимед, и основывалось на красивом арифметическом тождестве. Сейчас школьник старших классов может стандартным приемом вычислить интеграл от xndx при любом n. Более того, такое вычисление легко совершает компьютер. Возникает чувство, что вся математика может быть сведена к работе грандиозного компьютера. Но большинство математиков, несомненно, согласятся с тем, что их работа в принципе отличается от работы компьютера. Этот вопрос был предметом интересной дискуссии между Пуанкаре и Гильбертом в начале нашего века. Та же проблема ставилась тогда иначе: формализуема ли математика? Ответ Гильберта был: "да" - и на этом пути он надеялся получить доказательство непротиворечивости арифметики. Пуанкаре не соглашался с ним. Позже теорема неполноты Гёделя, по-видимому, решила вопрос в пользу Пуанкаре. Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения, оно привлекательно как раз ввиду содержащегося в нем эстетического элемента. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем - для этого была бы нужна лишь хорошая память. Но известно, что большинству людей математика дается с трудом. Пуанкаре видит причину в том, что силлогизмы складываются в математике в "структуру", обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо "увидеть" эту красоту, а это требует эстетических способностей, которыми не все обладают.

Пуанкаре предлагает очень интересную схему математического творчества. Он связывает его с делением человеческой психики на сознательную и бессознательную части. Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на решение некоторой проблемы. Эти усилия повышают активность бессознательной части психики. Там появляется множество новых комбинаций математических объектов - как бы возможных фрагментов решения. Они возникают в громадном количестве и с колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту фазу с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих комбинаций бесполезна для решения проблем. Они, за очень небольшим исключением, не достигают сознания, проходят отбор, основанный на эстетическом принципе, некий эстетический барьер позволяет лишь небольшому их числу проникнуть в сознание. Они появляются там как готовая идея решения, причем это сопровождается очень сильным субъективным чувством уверенности в правильности идеи. Дальше остается лишь техническая работа по осуществлению найденного решения.

Эта схема, очевидно, напоминает картину эволюции, основанную на мутациях и естественном отборе, и, вероятно, возникла под ее влиянием. Гораздо позже, видимо, не зная об идеях Пуанкаре, Конрад Лоренц высказал аналогичные мысли. Он рассматривает жизнь как "процесс обучения", "познавательный процесс". Он подчеркивает черты, общие обоим явлениям - мышлению и эволюции, - такие, как "творческое озарение", "творческий акт", когда после долгих поисков "почти мгновенно" возникает новая идея или новый вид. Но можно эту аналогию обратить и взглянуть на эволюцию как на результат деятельности некоего гигантского интеллекта или души Природы. Концепция "anima mundi" (души Природы) возникала в различных философских и мистических учениях: у Платона, в христианстве. Когда в молодости я читал работы Пуанкаре, мне пришла в голову мысль об эволюции как процессе мышления; она показалась очень привлекательной. Только много позже я узнал, что еще до Дарвина знаменитый естествоиспытатель Л. Агассис рассматривал эволюцию как "мышление Бога". Но если продолжить эту аналогию, то насколько красивее окажется точка зрения Пуанкаре сравнительно с принятой сейчас концепцией: решающим фактором в эволюции оказывается не "борьба за существование", а эстетический критерий. Тогда становится понятным, почему природа порождает не только прекрасные растения и животных, но и решения проблемы адаптации видов, которые по красоте н е уступают самым совершенным научным теориям.

Но профессионалам-математикам вряд ли нужны какие-либо аргументы в пользу важности эстетического элемента в математике: в разговорах математика все время можно услышать: "изящное доказательство", "прекрасная статья"... Каждый математик знает, что в его работе эстетическое чувство не только дает удовлетворение, помогающее и облегчающее необходимые усилия, но и является рабочим средством, не менее важным, чем чисто логическое рассуждение. Он не будет следовать некоторой линии мыслей, т. к. она приводит к несимметричным, некрасивым формулам, и он будет верить в некоторую гипотезу и не пожалеет сил для ее доказательства только потому, что она очень красива. С этой точки зрения математика играет противоположную, анти-техническую роль. Мы видим, как под воздействием технологической цивилизации красота все больше исчезает из нашей жизни: из живописи и музыки, из архитектуры наших городов и из окружающей нас природы в виде прекрасных бабочек, цветов и птиц. Математика (вместе с математической физикой) остается почти единственным островом, где это загадочное явление сохраняется в полной силе. Иисус спросил: "Что есть истина?". Явление красоты не менее загадочно. Очевидно, что это - одна из фундаментальных форм взаимодействия с внешним миром, столь же существенная для большинства живых существ, как феномен истины и морали - для человека. 

Многие виды гибли из-за гипертрофированного развития признаков, первоначально очень полезных для их выживания (например, громадная броня гигантских третичных ящеров). Для Homo sapiens эту роль может сыграть его интеллект: способность к холодному рациональному мышлению, не ограниченному моралью и жалостью. Математика, несомненно, как-то связана со способностью к такому алгоритмическому, машинообразному мышлению. С другой стороны, она глубоко связана с эстетическим чувством, которое способно служить противоядием для этой тенденции. И математик имеет свободу выбора - в каком направлении развития человечества принять ему участие.



Заключение

Если говорить о современном историческом этапе развития математического познания, то он идет в русле дальнейшего освоения философских категорий: теория вероятностей “осваивает” категории возможного и случайного; топология – категории отношения и непрерывности; теория катастроф – категорию скачка; теория групп – категории симметрии и гармонии и т.д.

В математическом мышлении выражены основные закономерности построения сходных по форме логических связей. С его помощью осуществляется переход от единичного (скажем, от определенных математических методов – аксиоматического, алгоритмического, конструктивного, теоретико-множественного и других) к особенному и общему, к обобщенным дедуктивным построениям. Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается действительность, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. Могущество и красота математической мысли – в предельной четкости её логики, изяществе конструкций, искусном построении абстракций.

Принципиально новые возможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданием машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык – это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая.

Язык современной вычислительной математики становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы.































Список использованной литературы:

Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005. – 177 с.

Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Просвещение, 1977.

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007. – 190 с.

Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. - М., Мир, 2006. – 311 с.

Гильде В. Зеркальный мир. - М., Мир, 2007. – 255 с.

Стили в математике: социокультурная философия математики.//Под ред. А.Г. Барабашева. - СПб., РХГИ. 2008. – 244 с.

Шафаревич И.Р.  Математическое мышление и природа-доклад,1993.