Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при

Исходные данные к курсовому проекту



Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

		посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

		на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ;

		аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:



; ; , где h – текущая высота;



или в нормальной форме:



; ; ; .



Здесь введены обозначения:



; ; ; ; .



Граничные условия имеют вид:



; ; ; ; ,




причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .



Исходные данные для расчетов

Начальная масса КА

, кг.

Начальная высота

, км.

Начальная

скорость

, км/с

Отношение силы тяги

к начальной массе , м/с2

500

190

2,65

42,5



=190000 м.

=2650 м/с





Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.






Задание к курсовому проекту



		Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

		Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

		Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=Tкомпоненты x1, x2, ψ0.

		Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

		Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения



.



Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что Кu есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.

		Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда  и управление u*=0, и когда , u*=umax.

Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).






Выполнение задания курсового проекта



Нам известно, что



, где 	с – сила тяги двигателя,



m – масса космического аппарата;

 – ускорение аппарата.	

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):



;

;

 кг/с.



Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения:



; .


Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.



;



Тогда критерий оптимизации:



;

. (Здесь .)



Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.



Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:



;

;

.



Выберем управление:



	;



Подставляем уравнения состояния, получим:

так как и , отсюда



					;

		;

					.



Критерий оптимизации:



.



Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4).



, где t – текущее время.

.



Тогда основные уравнения состояния:



			

			

		

			

			


Составим гамильтониан Н:



;

.



Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :



		– так как функция не зависит от х0,

следовательно производная равна нулю;

	– аналогично, так как функция не зависит от х1.













Итак, нужно найти максимум гамильтониана:






Варьируемые 

величины

Не варьируемые 

величины







Функция переключения:







Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:







Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:



;



Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:

, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1=с1.

, следовательно, , где c2 = const.

Итак,






Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная  имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует







На первом участке полета, на котором u1=0:















; ; ;

;

;

.



Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):

;

;

.














На отрезке полета со включенным двигателем:



;



так как , запишем:

.

Теперь, зная х3, можно выразить х2:











.



Теперь, зная х2 выразим х1:











;



На отрезке пути h(t):











В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть  и . На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:










Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:



;



Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):







Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления:

Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):



кг.



Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:



 м.



Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.

2



1