Знаходження власних значеннь лінійого оператора

Міністерство освіти і науки України



ФАКУЛЬТЕТ  ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ





Реєстраційний №________

Дата ___________________







КУРСОВА РОБОТА



Тема:



Знаходження власних значень лінійного оператора



Рекомендована до захисту

“____” __________  2008р.





Робота захищена

“____” __________  2008р.

з оцінкою

_____________________



Підписи членів комісії




Зміст



Вступ

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

2. Матриця лінійного оператора

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Практична частина

1. Опис програми

2. Текст програми

3. Контрольний приклад

Висновок

Список літератури




Вступ



Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.

Нехай в дійсному лінійному просторі  задан лінійний оператор . Якщо вектор , відмінний від нуля, переводиться оператором  у вектор, пропорційний самому  , 



,



де – деяке дійсне число, то вектор  називається власним вектором оператора , а число – власним значенням цього оператора, причому, власний вектор  відноситься до власного значення .

Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним , є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.  




Теоретична частина



1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів



В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.

Нехай – деякий векторний простір над полем .

Означення 1. Вважають, що у векторному просторі  задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору  простору  ставиться у відповідність деякий вектор  цього ж простору. Про цьому вектор  називають образом вектора , а  називають прообразом вектора .

Як бачимо, оператор у векторному просторі  – це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .

Означення 2. Оператор  у векторному просторі  називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:









Лінійні оператори в просторі  називають також лінійним перетворенням простору .

З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:

1. Будь-який лінійний оператор  у просторі  залишає нерухомим нульовий вектор  цього простору, тобто .

2.  Всякий лінійний оператор  у просторі  протилежному вектору – будь-якого вектора , ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора , тобто .

3. Кожен лінійний оператор  у просторі  будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів  простору  ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто .



2. Матриця лінійного оператора



Нехай – деякий лінійний оператор у просторі . Виберемо в  який-небудь базис . Оператор  відображає вектори цього базису в деякі вектори . Кожен вектор  єдиним способом лінійно виражається через вектори базису . Припустимо, що 



 



Складемо з коефіціентів  матрицю . Рядками матриці  є координатні рядки векторів в базисі . Оскльки координатні рядки векторів  визначені однозначно, то й матриця  визначається оператором  в базисі .

Будемо вважати, що в базисі  лінійний оператор  задається матрицею .

Отже, при зафіксованому базисі  кожному лінійному оператору  простору  відповідає певна квадратна матриця -го порядку – матриця цього оператора.


3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора



Означення 1. Підпростір  лінійного простору  називається інваріантним відносно оператора , якщо , тобто якщо образ  будь-якого вектора  із  міститься в .

Нехай –одновимірний підпростір простору , а –деякий лінійний оператор цього простору. Підпростір , як відомо, породжується будь-яким своїм вектором , тобто є сукупністю всіх векторів виду , де – будь яке число з поля Р. Якщо підпростір  інваріантний відносно оператора , то , тобто , де –деяке число з поля Р. Тоді й для будь-якого вектора підпростору  , бо , і тому .

Означення 2. Вектор , що заддовільняє співвідношення , де  називається власним вектором оператора , а число  – власним значенням оператора , що відповідає власному вектору .

Отже, якщо одглвимірний підпростір  простору  інваріантний відносно лінійного оператора , то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора  з тим самим власним значенням оператора .  


Практична частина



1. Опис програми



n – вимірність матриці;

m – максимальне допустиме число ітерацій; 

e – точність; 

a – на вході – двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів; 

t – двовимірний масив власних векторів А;

b – цілочислова змінна.

Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.



2. Текст програми



uses crt;

const dim=10;

type ar=array[1..dim,1..dim]of real;

var ff:text;

    i100,j100,n100,b,m:integer;

    e:real;

    a,t:ar;

procedure eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var b:integer);

var c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;

    i,j,k,n1,q:integer;

    u,v,w,z:boolean;

function zn(x:real):integer;

begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end;

begin

     u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e);

     if b<>0 then

        begin

             if b<0 then v:=true else w:=true;

             for i:=1 to n do

                 for j:=1 to n do

                     if i=j then t[i,j]:=1 else t[i,j]:=0;

         end;

     for q:=1 to m do

         begin

              if u then begin b:=1-q; exit; end;

              i:=1; z:=false;

              repeat

                    j:=i+1;

                    repeat

                          if(abs(a[i,j]+a[j,i])>e1) or

                            (abs(a[i,j]-a[j,i])>e1) and

                            (abs(a[i,i]-a[j,j])>e1) then z:=true;

                          j:=j+1;

                    until (j>n) or z;

                    i:=i+1;

              until (i>n1) or z;

              if not z then begin b:=q-1; exit; end;

              u:=true;

              for k:=1 to n1 do

                for j:=k+1 to n do

                 begin

                  h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;

                  for i:=1 to n do

                   begin

                    x:=sqr(a[i,k]);d:=sqr(a[i,j]); y:=y+x-d;

                    if (i<>k) and (i<>j) then

                     begin

                      h:=h+a[k,i]*a[j,i]-a[i,k]*a[i,j];

                      p:=x+sqr(a[j,i]); r:=d+sqr(a[k,i]);

                      g:=g+p+r; f:=f-p+r;

                     end;

                   end;

                  h:=2*h; d:=a[k,k]-a[j,j];

                  p:=a[k,j]+a[j,k]; r:=a[k,j]-a[j,k];

                  if abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end

                  else

                   begin

                    x:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x);

                    s:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c;

                   end;

                 if y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;

                 co:=c*c-s*s; si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;

                 h:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));

                 if abs(x)<=e

                  then begin ch:=1; sh:=0; end

                  else begin ch:=1/sqrt(1-x*x); sh:=ch*x; end;

                c1:=ch*c-sh*s; c2:=ch*c+sh*s;

                s1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;

                if (abs(s1)>e)or(abs(s2)>e) then

                 begin

                   u:=false;

                   for i:=1 to n do

                    begin

                     p:=a[k,i];a[k,i]:=c1*p+s1*a[j,i];

                     a[j,i]:=s2*p+c2*a[j,i];

                     if v then

                      begin

                       p:=t[k,i]; t[k,i]:=c1*p+s1*t[j,i];

                       t[j,i]:=s2*p+c2*t[j,i];

                      end;

                    end;

                  for i:=1 to n do

                   begin

                        p:=a[i,k];a[i,k]:=c2*p-s2*a[i,j];

                        a[i,j]:=-s1*p+c1*a[i,j];

                        if w then

                         begin

                          p:=t[i,k];t[i,k]:=c2*p-s2*t[i,j];

                          t[i,j]:=-s1*p+c1*t[i,j];

                        end;

                     end;

                  end;

               end;

             end;

         b:=m;

end;

begin clrscr;

     write('введите максимальное количество итераций');read(m);

     write('введите точность');read(e);

     assign(ff,'vlasn.dat');

     reset(ff);

     read(ff,n100);

     for i100:=1 to n100 do

     for j100:=1 to n100 do

     read(ff,a[i100,j100]);

     b:=0;

     eigen(n100,m,e,a,t,b);

     for i100:=1 to n100 do begin

     for j100:=1 to n100 do

     write(a[i100,j100],' ');

     writeln; end;

     writeln;

     writeln(b);

     readkey;

end.



3. Контрольний приклад



При e=10-8 і m=50 для матриці







за 7 ітерацій знайдено власні значення







Тобо отримали такі власні значення , , 







Висновок



Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора  одновимірних підпросторів простору  рівнозначна задачі згаходження власних векторів оператора .




Список літератури



1. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975

2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 1,«Высшая школа», Киев 1974

3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 2,«Высшая школа», Киев 1976

1