Вычисление интеграла по поверхности

Содержание



1)Поверхностный интеграл второго рода 

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция

Литература

интеграл теорема доказательство


Интеграл по поверхности



Поверхность будем рассматривать

как образ замкнутой области  при непрерывном отображении  

Отображение можно задать в векторном виде  в каждой точке гладкой поверхности 

Для  существует нормаль  , перпендикулярный к касательным  кривым  в точке . Следовательно  равен векторному произведению касательных к  векторов:



  



  , 

 

поверхность 

- 



направление касательных прямых к  и  в т. к поверхности 







.



Направляющие косинусы нормали  к поверхности 







Задание векторного поля характеризует задание вектор функции: 







Примеры векторных полей:

- поле скоростей текущей жидкости или газа.

 - гравитационное поле

 - электростатистическое поле.

Если в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке  можно поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано:  - область ограниченная поверхностью 



 



Дано: - поверхность 



 



-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность  в направлении нормали .

Функции - непрерывны в области  с границей .

Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность  в направлении .

Решение.

Поверхность разобьем на  произвольных частей.

 

Выберем по точке 

 

Вычислим скорость течения жидкости в точке 

Определим , где -скалярное произведение

  -единичная нормаль к поверхности  в точке  

 - вектор в точке .

Составим 

Найдем 

Механический смысл интеграла по поверхности 













- 



объем цилиндра с основанием  и высотой .

Если -скорость течения жидкости , то  равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность  за единицу времени в направлении нормали .

- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность  в положительном направлении нормали  равен потоку векторного поля  через поверхность  в направлении нормали .

Вычисление интеграла по поверхности

Пусть нормаль :













Заметим, что 

  






 Действительно,  как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к  и его проекцией на плоскость 



Следовательно 





Вычисление интеграла по поверхности.



1. 

 




Аналогично









Пример 1. 

Найти поток вектора  через часть поверхности параболоида 

 в направлении внутренней нормали.



 





 -проектируется на  с двух сторон и  образует с осью Ох углы  (острый и тупой ) 





Аналогично 







 



Пример 2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.







Пример 3. Найти поток вектора  через часть сферы  в направлении внешней нормали




 







Пример 4.  



 



Пример 5. 









Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.






-поток вектора через поверхность  в направлении  за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области  и количеством жидкости втекающей в область .

1. . Следовательно из области  жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2. жидкости или газа вытекает больше, внутри  существует источник.

3.  жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри  существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри  нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.



 



Если -непрерывна вместе с частными производными в области  то:



 


Поток изнутри  равен суммарной мощности источников и стоков в области  

 за единицу времени.

 Величина потока вектора через замкнутую поверхность :

  является глобальной характеристикой векторного поля в области  и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .

Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество жидкости прошедшей через  независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

 Определение:-  стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля  в точке  называется предел отношения потока векторного поля через поверхность  к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность  стягивается в точке .

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля  исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока  находящегося в точке .

- средняя объемная мощность потока .

-существует источник в точке .

- существует сток в точке 



Теорема 2. 



Доказательство: 





 ч.т.д.



Пример 1. . Найти поток вектора  через всю поверхность тела ,  в направлении внешней нормали.

Решение: 



1.

2.  


Литература



Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987

Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.