Современное развитие математики

Современное развитие математики

J. Diedonné

(ПереводА. С. Дынина)

С год назад я довольно легко принял приглашение сделать этот доклад (на конференции, посвящённой Ван Флек Холлу в Висконсинском университете), но ближе к сроку я начал осознавать подстерегавшие меня ловушки и свою опрометчивость. Если я затрону так много вопросов, для всякого моего утверждения среди слушателей обязательно найдётся такой, который разбирается в данном предмете гораздо лучше меня, и поэтому с полным правом возразит против моих поверхностных замечаний. Но я опасался, что окажусь мишенью ещё более жестокой критики за тот выбор, который мне пришлось сделать: совершенно очевидно, что в таком кратком обзоре какой-то выбор необходим, так что пришлось решать, что? важно и что? нет. Но поскольку здесь нет объективных критериев, я по необходимости решил просто последовать своим вкусам. Я старался, однако, не уподобиться тем из моих коллег, которые так увлечены красотой своего крохотного уголка в какой-нибудь крайне специализированной области, как будто это единственно важная вещь в целом свете. Чтобы уравновесить опасность субъективности, я принял во внимание высказывания, которые слышал от некоторых из лучших математиков нашего времени. Каюсь, это не слишком демократично, но боюсь, что я не очень верю в демократию, особенно в науке. Чтобы уяснить положение вещей, я выбрал в качестве отличительных признаков сегодняшней математики решения некоторых выдающихся проблем, завещанных прежними поколениями математиков. Я охотно допускаю, что есть некоторые основания для утверждения, что можно проявить больше изобретательности при распутывании, скажем, структуры какой-нибудь причудливой неассоциативной алгебры, чем при решении пятой проблемы Гильберта или опровержении гипотезы Бернсайда, но я не слишком восприимчив к такого рода аргументам и здесь во многом следую К. Л. Зигелю или А. Вейлю.

Математика развивается, по существу, двумя различными путями. Математики, которых я мог бы назвать тактиками, штурмуют задачу, используя только старое испытанное оружие и попросту полагаясь на свою способность по-новому скомбинировать традиционные рассуждения и таким образом добиться решения, ускользавшего при прежних попытках. Напротив, стратеги никогда не удовлетворяются, пока понятия, охватываемые проблемой, не будут столь тщательно проанализированы, а их связи так ясно освещены, что окончательное решение представится почти тривиальным. Конечно, это может потребовать длительного и утомительного развития на первый взгляд посторонних очень общих теорий, которые иные считают несоразмерными с первоначальной задачей.

Я уверен всё же, что оба подхода существенны для процветания математики. Чрезмерная установка на индивидуальную силу без соответствующего обновления методов и перспективы вполне способна довести до бесплодности вследствие интенсивной концентрации на незаслуженно возвеличенных мелких аспектах теории. С другой стороны, последовательный любитель общности тоже зачастую теряет из виду правильные мотивировки и предаётся бесконечному выдуванию всё более пустых теорий. У лучших математиков обе эти тенденции счастливо сливаются в гармонически уравновешенное и плодотворное сочетание, чему Гильберт, возможно, лучший пример. Поэтому должно быть совершенно ясно, что, придерживаясь (несколько вольно) указанной классификации, я не собираюсь ни в коей мере превозносить один тип результатов над другим.

В качестве последнего предварительного вопроса мне надо было решить, что? подразумевать под «современным» развитием. Я думаю, что должным образом очертить задний план можно, вернувшись примерно к окончанию Второй мировой войны. Будущие историки могут поразмыслить над тем любопытным фактом, что конец обеих мировых войн сопровождался замечательным взрывом научного творчества, и искать социологические или психологические объяснения этому явлению, но я думаю, что никто не станет сомневаться в его реальности. Одна из моих целей — как раз показать, что, хотя многое из математических исследований после 1945 г. явилось естественным продолжением предшествующей работы, всё же значительная их часть заключается в выявлении радикально новых отправных точек, которые, по моему мнению, возвещают новую эру в математике.

Обратимся прежде всего к новым результатам, которые могли быть получены 30 или 50 лет назад. Среди наиболее замечательных — окончательный вариант Рота аппроксимационной. теоремы Туэ–Зигеля из теории чисел и великолепные работы Дж. Томпсона о конечных группах, особенно его доказательство (совместное с Фейтом) старой гипотезы Бернсайда, что все конечные простые некоммутативные группы имеют чётный порядок. Я имею в виду, что многое из доказательства этой теоремы могли найти Фробениус или Шур в начале девятисотых годов. Вероятно также (если судить по предварительным сообщениям), что пример, которым Новиков опровергает другую знаменитую гипотезу Бернсайда о конечно порождённых группах, не требует никакой более современной техники. Наконец, я мог бы отнести к той же категории многое из сенсационного оживления, происходящего в алгебраической топологии и возродившего отчасти её первоначальную геометричность, но всё это трудно отделить от других её достижений совершенно иной природы, и я предпочитаю отложить обсуждение до более позднего раздела доклада.

После этих волнующих примеров воздействия свежего воображения на старые проблемы выступает несколько иная и гораздо более обширная категория результатов, которые я рискну назвать закономерными плодами громадной работы, проделанной в течение периода, непосредственно предшествующего рассматриваемому нами, работы, предназначенной привести математику в соответствие с современным стандартом и выковать эффективное оружие для новых поколений. Мне бы не хотелось, однако, быть заподозренным в утверждении, что для успешного применения этого оружия не потребовалось больших усилий, и примеры, которые я сейчас укажу, сразу же опровергнут эту нелепость. Однако для меня очевидно, что эти прекрасные результаты скорее всего не только не были бы получены, но даже подчас и сформулированы без фундаментальных концепций современной алгебры, топологии и теории топологических векторных пространств в том виде, в каком они были заложены между 1920 и 1940 гг.

Типичным примером, сразу приходящим на ум, является решение пятой проблемы Гильберта, полученное Глисоном и Монтгомери–Циппином в 1951 г., где мера Хаара и принадлежащая Ф. Риссу характеризация конечномерных пространств выскакивают как «deus ex machina», чтобы замкнуть рассуждение. Другое применение меры Хаара, возможно не столь известное, но, на мой взгляд, ещё более замечательное, доставляет недавняя работа Тамагавы о «группах аделей»: развивая более ранние идеи А. Вейля, Ивасавы и Тэйта, он придаёт чрезвычайно простую и поразительную формулировку в терминах теории локально компактных групп и теории меры основным теоремам классической теории алгебраических чисел, включая монументальные результаты Зигеля о квадратичных формах. Как обычно, новая формулировка сразу же открыла дорогу неожиданным обобщениям. Мне бы не хотелось оставить эту тему, не упомянув близко примыкающие и не менее замечательные результаты, полученные в 1961 г. А. Борелем и Хариш-Чандрой о дискретных подгруппах полупростых групп Ли. Борель и Хариш-Чандра наконец сформулировали в надлежащем виде и тем самым прояснили и объединили различные теоремы «конечности» в «арифметической теории форм», восходящие ещё к Эрмиту и Жордану.

Феноменальный рост теории уравнений с частными производными на протяжении последнего десятилетия также можно рассматривать как превосходный пример воздействия общей теории топологических векторных пространств на классический анализ. Здесь катализатором, несомненно, послужила теория распределений, хотя многое из её аппарата имеет более раннее происхождение. Сама теория Шварца имела много предшественников, и в действительности её лучше всего сравнить с тем, что мы называем «изобретением исчисления»: совершенно ясно, что задолго до Ньютона и Лейбница практически все выдающиеся математики Европы середины XVII в. умели решать большинство задач, в которых теперь используется дифференциальное и интегральное исчисление. Однако, не имея готового универсального оружия, они были вынуждены прибегать к специальным приёмам в частных случаях. Аналогично большинство задач, которыми занимается теория распределений, было изучено и, по существу, решено до Шварца, но никому не удавалось создать формализм, избавлявший от частных рассуждений в каждом отдельном случае. Это сделалось возможным посредством теории топологических векторных пространств, и хотя с тех пор предложено много других подходов к теории распределений, ни один из них не обладает, по моему мнению, гибкостью и силой первоначальных определений Шварца. Применения этих новых идей, в особенности расширение области действия свёртки и преобразования Фурье, незамедлительно дали себя знать. Достаточно упомянуть работы Гординга, Хёрмандера, Мальгранжа, Эренпрайса, Лоясевича, Кальдерона к многих других, открывших нам столь многое из общих свойств уравнений с частными производными, особенно в вопросах существования и единственности, теперь, по существу, решённых для систем произвольно высокого порядка с постоянными коэффициентами. Не думаю, чтобы кто-нибудь всерьёз утверждал, что эти результаты могли быть получены с таким размахом и общностью без новых основополагающих идей в функциональном анализе.

То же можно сказать и о теории представлений групп в бесконечномерных пространствах, столь блестяще развитой в пятидесятых годах, после того как первооткрывательские работы фон Неймана и школы Гельфанда построили необходимый алгебраически-топологический аппарат. Ограниченность места не позволяет входить здесь в подробности, но я думаю то, что по справедливости можно считать кульминацией этих усилий, а именно длинная (ещё не завершённая) серия статей Хариш-Чандры о представлениях групп Ли, едва ли уступит любой современной математической работе по глубине и оригинальности, связав в грандиозный синтез (где теория распределений играет существенную роль) теорию алгебр Ли, гармонический анализ и уравнения с частными производными.

Следующий раздел второй категории результатов есть алгебраическая геометрия периода, который я бы назвал периодом Вейля–Зариского, примерно 1945–1955 гг. Главной проблемой здесь было построить заново алгебраическую геометрию над произвольными полями (в частности, полями ненулевой характеристики) не просто из стремления к большей общности, но потому, что это сделалось настоятельно необходимым для лучшего понимания диофантова анализа. Прежде всего надо было найти замену глубокой геометрической интуиции прежних поколений, в особенности блестящей итальянской школы, предназначенную для предстоящей работы в этой далеко расширенной области и основанную на менее шатком фундаменте. Прежние попытки (например, ван дер Вардена) не совсем достигали этой цели, причём главное препятствие заключалось в теории пересечений, которая, наконец, была построена А. Вейлем в его трудных «Основаниях алгебраической геометрии». Одновременно в другом направлении Зариский настойчиво разрабатывал новые алгебраические и топологические концепции, которые, как теперь видно, послужили основой для ещё более прекрасного будущего. Здесь опять я не могу входить в подробности непосредственных последствий работы Вейля и Зариского (в их собственных статьях и статьях их продолжателей: Розенлихта, Мацусаки, Ленга, Нагаты, Чжоу, Игусы, Нерона и др.). Наиболее выдающимся достижением было, конечно, знаменитое доказательство А. Вейля в 1948 г. так называемой «гипотезы Римана для кривых над конечным полем». Другим большим завоеванием новой алгебраической геометрии было создание теории алгебраических групп, практически отсутствовавшей до 1945 г., которая достигла полной зрелости менее чем за 15 лет. Это, по существу, работа трёх математиков; А. Вейля, который сам создал общую теорию абелевых многообразий над полями произвольной характеристики, А. Бореля и К. Шевалле, которые сделали то же самое для линейных алгебраических групп, доведя их теорию до такого же высокого уровня совершенства, какой был достигнут Э. Картаном и Г. Вейлем за тридцать лет до того в теории полупростых групп Ли над вещественным или комплексным полем. Здесь, к сожалению, я могу лишь вскользь упомянуть близко примыкающую замечательную работу К. Шевалле 1955 г., которая впервые и притом самым неожиданным образом перебросила мост между теорией Ли и теорией конечных простых групп, открыв тем самым быстро увеличивающуюся новую область, где уже получено много прекрасных результатов и несомненно, гораздо больше ещё впереди.

В этом месте, чтобы оставаться верным своей программе, я должен был бы рассказать о развитии «аналитической» и дифференциальной геометрии между 1945 и 1953 гг., поскольку они также служат естественным продолжением более ранних работ Ока и А. Картана, с одной стороны, Э. Картана, Уитни, Чженя, Понтрягина и т.д. — с другой. Но это было бы в высшей степени искусственно, так как здесь нет такого резкого различия, как между двумя периодами алгебраической геометрии, и гораздо лучше отнести эти работы к третьему разделу моего доклада, к которому я теперь перехожу.

Конечно, слишком рано делать окончательные выводы в этом вопросе, но я с готовностью решился бы предсказать, что основной факт относительно нашего времени, который подчеркнут будущие историки математики, заключается в необычайном возвышении вместе с прилегающими областями того, что прежде называлось алгебраической топологией. Чтобы оценить размеры этого преобразования, достаточно вспомнить, что из двух теорий, представленных наиболее активными разделами в каждом нынешнем номере «Mathematical Reviews», а именно гомологической алгебры и дифференциальной топологии — первой двадцать лет назад не было вовсе, а другая практически ограничивалась теоремами де Рама и Ходжа. Теперь же чуть ли не каждый год приносит решение какой-нибудь знаменитой старой проблемы, казавшейся фатально недостижимой: опровергнута основная гипотеза комбинаторной топологии (Мазур–Милнор); гипотеза Пуанкаре — теперь теорема, исключая размерности 3 и 4 (Смэйл–Столлингс); мы знаем, что сферы могут обладать несколькими гладкими структурами, а во многих случаях мы даже умеем вычислить их количество (Милнор–Смэйл), и в то же время существуют, напротив, топологические многообразия совсем без гладких структур (Кервэр); в настоящее время полностью определено число линейно независимых векторных полей на сфере (Дж. Адамс); найдены параллелизуемые сферы и сферы, допускающие комплексную структуру; всё более тонкие критерии появляются в проблемах вложения и заузливания многообразий, продолжения гомеоморфизмов и т.д. и т.д. Разумеется, следует подчеркнуть, что эти результаты опираются прежде всего на фундаментальные концепции, развитые до 1945 г., такие, как расслоённые пространства, гомотопические группы, характеристические классы, работы Уитни по гладким многообразиям и теория Морса вариационного исчисления в целом. Как уже отмечалось, многое из последних достижений опирается на всё более успешное и глубокое использование этих средств, яркие примеры чему — знаменитая работа Тома о внутренних гомологиях, замечательные применения Боттом и Смэйлом теории Морса и совсем недавняя работа Милнора о микропучках. Это то геометрическое направление в топологии, о котором я упоминал выше; ему предшествовали результаты в трёхмерной топологии таких математиков, как Мойз, Бинг и Папакирьякопулос, а за ним последовало аналогичное обновление и комбинаторной топологии, в частности в работах Дж. Г. С. Уайтхеда (пионера в этой области), Мазура, Столлингса, Мортона Брауна и Зеемана. Несколько раньше, около 1950 г., алгебраические аспекты топологии были также обогащены введением целого арсенала таких новых средств, как приведённые степени Стинрода, операторы Бокштейна, системы Постникова, пространства Эйленберга–Маклейна, пространства петель, произведения Уайтхеда, если назвать лишь некоторые.

И всё же это только одна половина истории, и несмотря на её замечательные успехи, на мой взгляд, не самая примечательная. Те новые методы и понятия, которые я сейчас упоминал, по своей природе являются топологическими и были придуманы для решения топологических проблем. Но в 1940 г. никак не ожидалось, что эти методы алгебраической топологии можно целиком пересадить в массу математических ситуаций в алгебре и анализе. Я имею в виду, конечно, гомологическую алгебру, находящуюся сейчас в процессе завоевания всей математики, наподобие линейной алгебры и теории групп полвека назад.

Общеизвестно, что гомологическая алгебра фактически возникла как разновидность прославленной линейной алгебры образованием таких понятий, как функторы Ext и Tor, измеряющих некоторым образом степень дурного поведения модулей над общими кольцами по сравнению с приличными векторными пространствами линейной алгебры, а аналогия с группами гомологии, показывающими, насколько комплекс уклоняется от ацикличности, тоже теперь общее место.

Однако потребовалось время, чтобы понять эту аналогию и выразить её в математических терминах, это произошло лишь после открытия в начале сороковых годов точной когомологической последовательности (несколькими топологами, работавшими независимо), введения резольвент Г. Хопфом, определения функтора Ext Эйленбергом и Маклейном в 1942 г., функтора Tor А. Картаном в 1948 г., пока, наконец, А. Картан и Эйленберг не соединили эти разрозненные результаты в общую теорию и не осмелились написать первую монографию в 1955 г. Мерой успеха и жизненности этой теории служит то обстоятельство, что книгу уже следовало бы написать заново, чтобы учесть множество новых средств, предложенных с тех пор, особенно совсем недавние группы и кольца Гротендика. Кроме того, теперь следовало бы иметь дело с общей концепцией абелевой категории, для которой категория модулей — лишь частный случай.

Однако, вероятно, воздействие этих новых идей на другие разделы математики было бы менее эффективно, если бы одновременное введение пучков Ж. Лерэ не расширило чрезвычайно сферу их действия, дав впервые работающий формализм для интуитивного понятия «вариации» структур. Сам Лерэ имел в виду главным образом приложения к топологии многообразий и в особенности расслоённых пространств, чтобы избавиться от громоздких триангуляций прежних методов; здесь можно напомнить, что, кроме того, он создал для той же цели понятие спектральной последовательности, одно из самых мощных средств гомологической алгебры. То, что он на верном пути, стало непосредственно очевидным из результатов, которые ему и А. Картану удалось получить в теории гомологии и за которыми в скором времени последовали прорыв Серра в теории гомотопических групп, диссертация Бореля о когомологиях групп Ли, а чуть позже глубокая работа Дж. Адамса о связях гомологий и гомотопий. За несколько лет необычайная гибкость и многосторонность этих новых средств так же революционизировали и другие области. Первой явилась «аналитическая геометрия, где А. Картан и Серр, работая в тесном сотрудничестве, вскоре за ними Кодаира и Спенсер, Хирцебрух, Грауэрт и Реммерт нашли в понятии когерентного пучка удивительно хорошо подогнанный способ выражения результатов Ока–Картана в простой и мощной формулировке, что быстро привело к решению некоторых ключевых проблем этой быстро развивающейся области математики, таких, как гипотеза Э. Леви, касающаяся характеристики областей гомоморфности, и проблема вложения для аналитических многообразий, если назвать только два вопроса, остававшихся без ответа долгое время. Упомянутые результаты уже привели к волнующим следствиям в классической алгебраической геометрии, таким, как когомологическая характеристика алгебраических многообразий (теорема Кодаира) и ныне знаменитое обобщение теоремы Римана–Роха, сделанное Хирцебрухом. Далее в своей знаменитой статье «Когерентные алгебраические пучки» Серр открыл, что те же самые методы, которые работали столь успешно в аналитическом случае, можно применить аналогичным образом в более алгебраической и «абстрактной» ситуации, а именно к алгебраической геометрии над произвольным полем, если воспользоваться топологией Зариского для перенесения всей геометрической техники «кольцованных пространств» на алгебраические многообразия в смысле А. Вейля. Как известно, А. Гротендик с большой энергией развил эту идею, открыв новую эру в алгебраической геометрии с таким обилием новых концепций, методов и проблем, что несколько поколений математиков вполне могут найти дело своей жизни в разработке увлекательных возможностей этой обширной и далеко ещё не разведанной территории. Всего за несколько лет этот новый подход уже принёс такие существенные результаты, как доказательство Серром гипотезы Севери, гротендиковское обобщение формулы Римана–Роха–Хирцебруха, работа Хиронаки о разрешении особенностей (над полем нулевой характеристики), решение Мамфорда проблемы «модулей» для алгебраических кривых над произвольным полем и совсем недавний решающий сдвиг в гипотезах Вейля, сделанный Гротендиком и М. Артином. Следует подчеркнуть, что многое из этого стало возможно благодаря другому прорыву, где опять-таки Серр явился выдающимся новатором: применению гомологической алгебры (и, в частности, введению понятия «плоскости») в теории локальных колец, увенчивающему двадцатилетние продвижения в этой области Крулля, Шевалле, Зариского, Самюэля, Нагаты, И. Коэна, М. Аусландера–Буксбаума и открывшему доступ её мощных результатов к теории Гротендика.

Имеются и другие важные применения гомологической алгебры, например формулировка Тэйта теории классов полей в когомологических терминах, немедленно последовавшая за пионерскими работами Хохшильда, Накаямы и А. Вейля в этом направлении и положившая начало многообещающей теории когомологий Галуа в руках самого Тейта и Ленга, Серра, А. Бореля, М. Кнезера, М. Лазара, если назвать лишь некоторых. В совсем другом направлении большой новинкой последних лет в теории линейных уравнений с частными производными были успех Мальгранжа, придавшего весьма адекватную и полезную формулировку некоторым ключевым результатам в терминах функторов Ext [См. также работы В. П. Паламодова. — Прим. перев.], и применения групп Гротендика к эллиптическим уравнениям (Атья и Зингер [Перевод работы Атья–Зингера «Индекс эллиптических операторов» см. в сб. переводов «Математика» (М., Мир, 1966), № 3, с.29–38. — Прим. перев.]). Весь опыт последнего десятилетия заставляет предполагать, что следует ожидать важных последствий их идей и что мы можем с уверенностью предвидеть другие завоевания гомологической алгебры областей математики, ещё не затронутых ею.

Я бы хотел закончить некоторыми общими замечаниями. Во-первых, и я это хотел бы особенно подчеркнуть, несмотря на потрясающе бурный и несколько загадочно разнообразный непредсказуемый рост за последнее двадцатилетие, математика ныне как никогда едина. Конечно, поразительные примеры глубокого родства различных частей математики были известны в классические времена, начиная от приложения ряда Дирихле к теории чисел и кончая введением Риманом топологии в теорию функций. Но теперь мы достигли положения, где практически невозможно приклеить к большой части современной математической литературы какой-нибудь из старых ярлыков «алгебры», «анализа» или «геометрии». Алгебраическая и «аналитическая» геометрии уже ведут себя как близнецы: всякому продвижению в одной области почти неизменно в течение короткого времени отвечает соответствующий результат в другой; с другой стороны, почти завершилось слияние коммутативной алгебры и алгебраической геометрии и, конечно, потребуется немного времени, чтобы теория алгебраических чисел подчинилась общей линии. Некоторые из наиболее замечательных теорем возникли из последовательного сопоставления двух на вид не связанных теорий: переводя «Риманову гипотезу» для кривых на чисто геометрический язык и поняв, что нужен аналог топологической формулы Лефшеца для неподвижной точки, А. Вейль в конце концов построил на этом пути своё знаменитое доказательство, а это привело его к формулировке гипотез, от доказательства которых мы надеемся, наконец, получить общие методы для наступления на диофантов анализ. Ещё более разительна история теоремы «Римана–Роха–Хирцебруха–Гротендика». Около 1950 г. Кодаира понял, что теорему Римана–Роха для классических алгебраических многообразий размерности 2 и 3 можно сформулировать как равенство между топологическими инвариантами многообразия вместо неравенства, как у Зариского и итальянских геометров; однако ему ещё не доставало аппарата, чтобы распространить эти результаты на случай больших размерностей. Несколько позже он понял, что требуемые топологические инварианты связаны со свойствами векторных расслоений над комплексными многообразиями (классы Чженя и классы Понтрягина). Как только Картан и Серр начали использовать в теории комплексных многообразий когерентные пучки, Кодаира увидел в этом одно из существенных для него средств и за несколько месяцев (частично в сотрудничестве со Спенсером и независимо от Картана и Серра) получил далеко ведущие результаты в своей теории, используя, в частности, некоторые результаты теории эллиптических уравнений с частными производными. В 1952 г. этой проблемой заинтересовался Хирцебрух; с помощью искусных алгебраических приёмов он связал классы Чженя векторных расслоений над алгебраическими многообразиями с более ранними инвариантами, введёнными в алгебраическую геометрию Егером и Тоддом, а чуть позже Серру удалось предугадать формулировку теоремы Римана–Роха. Но доказательство ещё не давалось и было найдено лишь в 1954 г. Хирцебрухом на основе ещё одного ряда идей, на этот раз теории внутренних гомологии Тома, которая только что появилась, предоставив нужную информацию о классах Понтрягина для заполнения пробела. Столь устрашающее переплетение идей казалось не слишком удовлетворительным, и сам Хирцебрух сознавал, что, вероятно, можно найти более простое и приятное доказательство. Это было сделано Гротендиком в 1957 г., который сохранил существенные алгебраические и гомологические идеи своих предшественников, но сумел избавиться от всей техники, проистекающей из теории гармонических форм и дифференциальной топологии, что позволило ему не только распространить формулу на абстрактную алгебраическую геометрию, но и показать, что она является частным случаем ещё более простой и общей формулы. Однако для этого ему понадобилось, в частности, изобрести новые средства гомологической алгебры, то, что сейчас называется группами и кольцами Гротендика и чьи скрытые возможности тотчас же привлекли внимание. Первый шаг в этом направлении был сделан Хирцебрухом и Атья, добавивших в необычное сочетание ещё и теорему Ботта о периодичности гомотопических групп простых групп Ли; это же снабдило Адамса нужными средствами для его решения проблемы векторных полей на сфере. Ещё более удивительно, как Атья использовал эти концепции в теории представлений конечных групп, а в настоящее время Г. Басс с успехом разрабатывает применение аналогичных методов к проективным модулям и линейным группам над дедекиндовыми кольцами. Вот где мы сегодня находимся, но, конечно, пока ещё очень далеко до конца этой истории. Надеюсь, сказанного достаточно, чтобы понять, насколько сложно и плодотворно теперь взаимодействие математических идей, идущих буквально со всех сторон.

Иногда (даже среди молодёжи) выражают опасения, что мощные тенденции к полному срастанию различных ветвей математики могут в конце концов привести к самопоражению вследствие явной неспособности разума добиться одновременно надёжного и полного охвата столь многих разных идей и теорий. К счастью, можно заметить, что, как это уже случалось в аналогичные времена «бури и натиска» истории нашей науки, пугающее разнообразие новых концепций, естественно, порождает ответную реакцию к упрощению этого хаоса. Сейчас представляется, что спасение заложено в новых концепциях категорий и функторов, которые в начале сороковых годов были введены Эйленбергом и Маклейном. Эти понятия уже доказали свою многосторонность и гибкость в работах таких математиков, как Эккман, Хилтон, Кан и Гротендик, и теперь много молодёжи включилось в эту работу концентрации и упрощения, которая на новом уровне повторяет историю алгебры и топологии сорокалетней давности. Конечно, как всегда, приходится платить за это большей «абстрактностью». Однако, как теперь уже твёрдо установлено, то, что крайне абстрактно для одного поколения математиков, тривиально для следующего, и гневные крики, ещё слышные по временам, обычно исходят от пожилых людей, явно опасающихся не поспеть за молодёжью. Однако ныне более нетерпимы к этому проявлению человеческой слабости, чем, скажем, тридцать лет назад, и традиционные шутки насчёт «жёсткой» и «мягкой» математики уже начали приедаться. Конечно, очень легко из кучи аксиоматического хлама, ежегодно извергаемого горе-математиками на несчастную публику, выбрать какую-нибудь особенно бессмысленную работу и выставлять её как типичный продукт современной математики. Судите сами, насколько совместимо такое позёрство хотя бы с минимумом интеллектуальной честности и не пристойнее ли было бы сдержаться и постараться раздобыть информацию поточнее.

Напоследок я хотел бы подчеркнуть, сколь мало новейшая история оправдывает благочестивые пошлости прорицателей краха, регулярно предупреждающих нас о гибельных последствиях, которые математика неминуемо навлечёт на себя, если откажется от применений к другим наукам. Я не собираюсь утверждать, что тесный контакт с иными областями, такими, как теоретическая физика, не выгоден для обеих сторон. Однако совершенно ясно, что из всех поразительных достижений, о которых я рассказывал, ни одно, за возможным исключением теории распределений, ни в малейшей степени не пригодно для физических применений. Даже в теории уравнений с частными производными сейчас упор гораздо больше на «внутренние» и структурные проблемы, чем на вопросы, имеющие прямое физическое значение. Даже если бы математика насильно была отрезана от всех прочих каналов человеческой деятельности, в ней достало бы на столетия пищи для размышления над большими проблемами, которые мы должны ещё решить в нашей собственной науке.

На самом деле наше богатство столь велико, что даже беглое описание его нельзя вместить в рамки одного доклада, и я с прискорбием понимаю, сколь много ценных работ мне пришлось, скрепя сердце, оставить в стороне: среди них работы по комплексному умножению (А. Вейль, Шимура, Танияма), нелинейным дифференциальным уравнениям, бесконечным группам Ли (Чжень, Кураниши, Штернберг), римановым поверхностям (Тайхмюллер, Альфорс, Л. Берс), теории потенциала (Дэни, Бёрлинг, Хант, Шоке), гармоническому анализу (Кахан, Кацнельсон, Рудин, Хельсон, Маллявию и многие другие). Ничего я не смог сказать о математической логике и теории вероятностей, касаться которых мне запрещает моё невежество. Я надеюсь, что сумел дать хотя бы слабое представление о громадном прогрессе, совершившемся за последнее двадцатилетие; никакой другой сравнимый период нашей истории не был столь богат новыми идеями и результатами, и у нас есть все причины верить, что будущее ещё более подтвердит девиз Гильберта: «Мы должны знать — мы будем знать».