Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля (11 класс)

Управление образования администрации 

Арзамасского муниципального района



Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чернухинская средняя общеобразовательная школа»











Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	                                                                                                                           Работу выполнила:

	     Коткова Дарья,

	ученица 11 класса.

	Руководитель:

	Пахутина Г.М.,

	учитель математики.

	

	с.Чернуха  2014год

                                                Содержание

Введение………………………………………………………………..…….3 

Определение модуля. Свойства модуля………………………..……5

Определение модуля.

Геометрический смысл модуля.

Формула расстояния между двумя точками числовой прямой.

Свойства модуля.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля ..6

Неравенства вида |f(x)|a

Неравенства вида 

Неравенства вида  и .

Метод интервалов.

Заключение ……………………………………………………………9

2 Литература………………………………………………….………..10













                                                                                                                 











Введение

Существенной характеристикой числа, как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины (модуля). Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических наук. Так, в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий – понятие предела – в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений первым, важнейшим понятием, является понятие абсолютной погрешности приближенного числа. В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина (модуль). 

Слово модуль произошло от латинского modulus, что в переводе означает мера. Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике это термин, применяемый в различных областях технике, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п.

С понятием модуля (абсолютной величины) действительного числа я знакомилась еще в 6 классе. Однако в дальнейшем в учебниках общеобразовательных школ это понятие редко используется в теоретическом материале, задачах и упражнениях. Неравенства  с модулем вызывают большие трудности. В то же время на ЕГЭ по математике задачи с модулем предлагаются все чаще и чаще. 

Объектом исследования в данной работе являются неравенства с модулем  и  методы  их  решения.

Целью моей работы является рассмотрение теоретических основ  и описание методических аспектов проблемы решению неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Для реализации поставленной цели потребовалось решить следующие задачи: 

изучить научно-методическую, математическую литературу  по проблеме исследования;

проанализировать учебные пособия с целью изучить методические особенности введения понятия модуля, его геометрического смысла, свойств, методов решения  неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

рассмотреть основные методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

подобрать упражнения, способствующие формированию умений решать неравенства, содержащие переменную под знаком модуля;































Определение модуля. Свойства модуля

Определение модуля.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а – неотрицательно, и число противоположное а, если а отрицательно.



Например, |100| = 100, т.к. 100>0;

 |-3,7| = 3,7, т.к. -3,7<0;

 |π-4| = 4-π, т.к. π-4<0.



Геометрический смысл модуля.



|-3|=3

|-а|

|а|

а

-а

-3

0

0

х

х|а| – расстояние на числовой прямой от точки а до начала отсчёта.







|0| = 0

Если а ≠0, то на числовой прямой существуют две точки а и –а, равноудалённые от начала отсчёта: |а| = |-а|.



Формула расстояния между двумя точками числовой прямой.

Если а и b – две точки числовой прямой, то расстояние между ними ρ(a,b) выражается формулой .





0

b

а

х    





Например, ρ(-2,5) = |-2-5| = |-7| = 7



0

5

-2

х    



Ясно, что ρ(a,b)=  ρ(b,а).



Свойства модуля 

№

Запись

Формулировка

1

|а| ≥ 0 при всех а Є R

Модуль любого числа есть число неотрицательное.

2

|а| = |-а|

Модули противоположных чисел равны.

3

|а·b| = |а|·|b|

Модуль произведения равен произведению модулей.

4

, b≠0

Модуль частного равен частному модулей.

5



Модуль суммы не больше суммы модулей.

6



Модуль разности не меньше разности модулей

7

|а|2 = а2

Квадрат модуля равен квадрату числа.



 Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 

Неравенства вида |f(x)|  a

Простейшим неравенством, содержащим неизвестную величину под знаком модуля, является неравенство вида 



 или 

Пример 1. Решить неравенство 

Решение. 

Или 

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство 

Решение



х



1

Ответ: .



Неравенства вида 

 (i=1,2,…,n) – функции, в частности многочлены, дробно-рациональные функции и т.д. Для каждой функции находят область определения, нули функции и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения на промежутки, в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак, т.е. решая неравенство на каждом промежутке без знака модуля, находим решение и объединяем их.





-





-





-





-

-

+

-

+

хПример. Решить неравенство 



Знаки (2x+6) 





-3Решение:



+

-

х

-

-3





+

 







0

4

-4

х

Ответ: .



Неравенства вида  и .

Неравенство  равносильно двум системам неравенств:

 

Аналогичные рассуждения верны и для 

Пример. Решить неравенство 

Решение:









Ответ: 



В некоторых случаях при решении неравенств с модулем удобно применять метод интервалов изучаемый в курсе «Алгебра и начала анализа» .

Пример. Решить неравенство . 

Решение: 

рассмотрим функцию . 

Нули: 



-

+

+

+

-

-

-Найдём точки разрыва ; x=1







1



2

-2

хСхем. рис.

Ответ: .













Заключение

Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение  неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает  определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных случаев, так как в подавляющем большинстве задач одно  неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких  неравенств, освобожденных от знака модуля. 

При решении  неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяются следующие методы: 1) раскрытие модуля по определению, 2) метод разбиения на промежутки.

Неравенства, приведенные в данной  работе, будут способствовать формированию умений решать неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля, и могут быть использованы при подготовке к ЕГЭ по математике.

 

























Литература

Гайдуков И.И. Абсолютная величина. М., Просвещение, 1966.

Гусев В.А. и др. 300 задач. М., Просвещение, 1993.

Литвененко В.Н, Мордкович А.Г. Практикум по решению задач. Алгебра. Тригонометрия. М., Просвещение, 1991.

Сидоров Н.Н. Модуль числа. Уравнения и неравенства: Учебное пособие. Чебоксары:1998.

  5.     Алгебра: Учеб.для 7 кл. общеобразоват. учрежд. /Ш.А.Алимов,          Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.:Просвещение, 2006. -207с.

6.Алгебра: Учеб.для 8 кл. общеобразоват. учрежд. /Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.:Просвещение, 2003. - 255с.

7. Алгебра: Учеб.для 9 кл. общеобразоват. учрежд. /Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.:Просвещение, 2003. - 255с.

	





10