Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ





КАФЕДРА «Прикладной информатики и управления»



Контрольная работа



По дисциплине: «Вычислительная математика»



По теме: «Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона».











		Выполнил: студент (ЦДО)

Шевченко С.Н.

№спец. 230102 (АСОИУ)

			Проверил: Обухова Л.Г.

			

			









г. Набережные Челны – 2010 г.


СОДЕРЖАНИЕ



Введение

3

1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4

2. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)

7

Заключение

11

Список использованной литературы

12




ВВЕДЕНИЕ



В данной работе необходимо рассмотреть решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Данный метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов», адресованной в 1669 году английскому математику Исааку Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» или «Аналитическая геометрия». В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение .




1 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.



		Нелинейным уравнением называется уравнение вида

			, 	(1.1)

		где  - нелинейная функция вида:

		- нелинейная алгебраическая функция (полином или многочлен);

		- тригонометрическая, логарифмическая, показательная функция;

		- комбинирование этих функций, например .

		Решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , которое при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.

		На практике не всегда удается найти точное решение. В этом случае решения уравнения (1.1) находят с применением приближенных (численных) методов.

		Приближенным решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , при подстановке которого в уравнение (1.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности.

		Нахождение приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики. Решение нелинейных уравнений и их систем распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

		На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.

		Первый способ отделения корней – графический. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если  имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (1.1), можно построить график функции . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если  имеет сложный аналитический вид, то можно представить её в виде разности двух более простых функций . Так как , то выполняется равенство . После построения графиков  и  задача решения нелинейного уравнения сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (1.1).

		Второй способ отделения корней – аналитический. Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах:

	1) 	если функция  непрерывна на отрезке  и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т.е. ), то на  содержится хотя бы один корень.

	2) 	если функция  непрерывна на отрезке , выполняется условие вида  и производная  сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

	3) 	если функция  является многочленом n-й степени и на концах отрезка  принимает значения разных знаков, то на  имеется нечетное количество корней. Если на концах отрезка  функция меняет знак, то уравнение (1.1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

		При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо найти критические точки , т.е. точки, в которых первая производная  равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности , на каждом из которых определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности , на которых функция  меняет знак, то есть выполняется неравенство . На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

		Одним из наиболее распространенных методов уточнения корня на отрезке является метод Ньютона (метод касательных).

		

		
2 МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ).

		

		Пусть известно, что нелинейное уравнение  имеет на отрезке  единственный вещественный корень . Причем, производные  - непрерывны и сохраняют определенный знаки на отрезке . Требуется найти этот корень с заданной точностью . Найдем какое-либо -е приближенное значение корня  и уточним его методом Ньютона следующим образом.

		Пусть

			. 	(2.1)

		По формуле Тейлора получим

			.

		Следовательно, .

		Внося эту правку в формулу (2.1), получим рабочую формулу метода Ньютона вида:

			 	(2.2)

		Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой  касательной, проведенной в некоторой точке  этой кривой.

		Для определенности положим  и . Выберем начальное приближение , для которого . Проведем касательную к кривой  в точке . За первое приближение  берем точку пересечения касательной с осью . На кривой определим точку  и проведем касательную к кривой  в этой точке. Найдем следующее приближение  и так далее (рис. 2.1).

		

		Рис. 2.1.

		Составим уравнение касательной в точке :

			.

		Полагая , из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона:

			.

		Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка  , то следующее приближение .

		Рассмотрим метод определения необходимого конца отрезка, выбираемого в качестве начального приближения .

		Теорема. Если  и производные  не равны нулю и сохраняют определенные знаки на отрезке , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , по методу Ньютона, заданному формулой (2.2), можно вычислить единственный корень  уравнения с любой степенью точности.

		Доказательство.

		Пусть для определенности  при  (остальные случаи рассматриваются аналогично).

		Из неравенства  следует, что , т.е. .

		Докажем, что все приближения  расположены правее , т.е. , а значит .

		Доказательство проведем методом индукции:

		а) ;

		б) предположим, что ;

		в) докажем, что .

		Точное решение уравнения (1.1) можно представить в виде

			.

		Применяя формулу Тейлора, получим:

			 	(2.3)

		где .

		Так как по условию теоремы , то последнее слагаемое в соотношении (2.3) положительное, следовательно,

			.

		Отсюда, в силу того, что , получим:

			.

		Таким образом доказали, что все последовательные приближения , т.е. находятся правее , и, следовательно .

		Из соотношения (2.2), учитывая знаки  и , следует, что , т.е. последовательные приближения  образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность, т.е. эта последовательность имеет конечный предел, который обозначим . Перейдем к пределу при  в левой и правой частях соотношения (2.2), получим:

			,

		т.е. . Отсюда следует, что , т.е. . А это означает, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать.

		Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения  выбирается тот конец отрезка , которому отвечает ордината того же знака, что и , т.е. выполняется достаточное условие сходимости

			. 	(2.4)

		Следует заметить, что чем больше числовое значение  в окрестности корня , тем меньше правка . Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня  график функции  имеет большую крутизну (т.е. , тогда ). Если кривая  вблизи точки пересечения с осью  почти горизонтальна (т.е. , тогда ), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется.

		Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать . Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:

			 для всех . 	(2.5)

		Если выполнено условие (2.5), то итерационный процесс, заданный формулой (2.2), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения .

		


ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Достоинства метода Ньютона:

1) обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной;

2) достаточно простое получение итерационной формулы.

Недостатки метода Ньютона:

1) сходится не при любом выборе начального приближения;

2) применим только в тех случаях, когда производная функции на всей области определения не равна нулю.

В некоторых случаях для решения систем нелинейных уравнений целесообразно применять модифицированный метод Ньютона.




СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



	1. 	Гутер Р.С., Овчинский Б.В. «Элементы численного анализа и математической обработки результата опыта» М., Наука 1970., 432 с.

	2. 	Красильников В.В. Математичемкие методы в экономике. Набережные Челны, 1999, 475 с.

	3. 	Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М. Вычислительная математика: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 148 с.



2