по Эконометрике 2

2





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ



ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

По дисциплине: эконометрика

	Вариант №1

	

	                                                                         

	

	                                                                         Выполнил:

	                                                                          студент БУ,А и А

	                                                                          курс 3  2/в

	                                                                         

		

	                                                                          Проверил: проф.

	                                                                 Сахабетдинов М.А.

	

	

	

	Уфа – 2008

ЗАДАЧА 1.  Экономическое моделирование стоимости квартир в Московской области.

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.

2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов X.

4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.

5. Осуществите прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя У при уровне значимости а = 0.1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆-коэффициентов.

Обозначения

У – цена квартиры, тыс. долл.

Х1 – город области

Х3 – общая площадь квартиры, кв.м.

Х5 – этаж квартиры

Данные:



n

У

Х1

Х3

Х5

1

115

0

70,4

9

2

85

1

82,8

5

3

69

1

64,5

6

4

57

1

55,1

1

5

184,6

0

83,9

1

6

56

1

32,2

2

7

85

0

65

12

8

265

0

169,5

10

9

60,65

1

74

11

10

130

0

87

6

11

46

1

44

2

12

115

0

60

2

13

70,96

0

65,7

5

14

39,5

1

42

7

15

78,9

0

49,3

14

16

60

1

64,5

11

17

100

1

93,8

1

18

51

1

64

6

19

157

0

98

2

20

123,5

1

107,5

12

21

55,2

0

48

9

22

95,5

1

80

6

23

57,6

0

63,9

5

24

64,5

1

58,1

10

25

92

1

83

9

26

100

1

73,4

2

27

81

0

45,5

3

28

65

1

32

5

29

110

0

65,2

10

30

42,1

1

40,3

13

31

135

0

72

12

32

39,6

1

36

5

33

57

1

61,6

8

34

80

0

35,5

4

35

61

1

58,1

10

36

69,6

1

83

4

37

250

1

152

15

38

64,5

1

64,5

12

39

125

0

54

8

40

152,3

0

89

7

Сумма

3746,0

23,0

2768,3

282,0

Ср.знач.

93,7

0,58

69,2

7,1



Задание 1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.

n

У2

Х12

Х32

Х52

У * Х1

У * Х3

У * Х5

X1* X3

X1 * X5

X3 * X5

1

13225

0

4956

81

0

8096

1035

0

0

633,6

2

7225

1

6856

25

85

7038

425

82,8

5

414

3

4761

1

4160

36

69

4451

414

64,5

6

387

4

3249

1

3036

1

57

3141

57

55,1

1

55,1

5

34077

0

7039

1

0

15488

185

0

0

83,9

6

3136

1

1037

4

56

1803

112

32,2

2

64,4

7

7225

0

4225

144

0

5525

1020

0

0

780

8

70225

0

28730

100

0

44918

2650

0

0

1695

9

3678

1

5476

121

61

4488

667

74

11

814

10

16900

0

7569

36

0

11310

780

0

0

522

11

2116

1

1936

4

46

2024

92

44

2

88

12

13225

0

3600

4

0

6900

230

0

0

120

13

5035

0

4316

25

0

4662

355

0

0

328,5

14

1560

1

1764

49

40

1659

277

42

7

294

15

6225

0

2430

196

0

3890

1105

0

0

690,2

16

3600

1

4160

121

60

3870

660

64,5

11

709,5

17

10000

1

8798

1

100

9380

100

93,8

1

93,8

18

2601

1

4096

36

51

3264

306

64

6

384

19

24649

0

9604

4

0

15386

314

0

0

196

20

15252

1

11556

144

124

13276

1482

107,5

12

1290

21

3047

0

2304

81

0

2650

497

0

0

432

22

9120

1

6400

36

96

7640

573

80

6

480

23

3318

0

4083

25

0

3681

288

0

0

319,5

24

4160

1

3376

100

65

3747

645

58,1

10

581

25

8464

1

6889

81

92

7636

828

83

9

747

26

10000

1

5388

4

100

7340

200

73,4

2

146,8

27

6561

0

2070

9

0

3686

243

0

0

136,5

28

4225

1

1024

25

65

2080

325

32

5

160

29

12100

0

4251

100

0

7172

1100

0

0

652

30

1772

1

1624

169

42

1697

547

40,3

13

523,9

31

18225

0

5184

144

0

9720

1620

0

0

864

32

1568

1

1296

25

40

1426

198

36

5

180

33

3249

1

3795

64

57

3511

456

61,6

8

492,8

34

6400

0

1260

16

0

2840

320

0

0

142

35

3721

1

3376

100

61

3544

610

58,1

10

581

36

4844

1

6889

16

70

5777

278

83

4

332

37

62500

1

23104

225

250

38000

3750

152

15

2280

38

4160

1

4160

144

65

4160

774

64,5

12

774

39

15625

0

2916

64

0

6750

1000

0

0

432

40

23195

0

7921

49

0

13555

1066

0

0

623

Сумма

454221

23

222656

2610

1748

307179

27583

1546

163

20523

Ср.знач.

11355,5

0,58

5566,4

65,3

43,7

7679,5

689,6

38,7

4,1

513,1



Расчет среднеквадратических отклонений:







Расчет парных коэффициентов корреляции произведем по формуле:







 связь между У и Х1                                              заметная,  т.к. 0,3 < rух1 < 0,7.



	  связь между У и Х3 заметная, т.к. 0,3 < rух3 < 0,7.

	  связь между У и Х5 тесная,                           т.к. 0,7 < rух5  < 0,9.

	 связь между Х1 и Х3 слабая,                         т.к. 0,1 < rх1х3  < 0,3.

	  связь между Х1 и Х5 слабая,                         т.к. 0,1 <  rх1х5  < 0,3.

	  связь между Х3 и Х5 весьма тесная, т.к. 0,9 < rх3х5  < 0,99.

Матрица парных коэффициентов корреляции:

	              1       rуx1            rуx2              rуx3	            

	А =   rуx1              1         rx1x2            rx1x3	          

	         rуx2           rx1x2             1                rx2x3              	

         rуx3          rx1x3          rx2x3                1          

          

                1         -0,403        0,846        0,146

А =     -0,403          1            -0,082       0,011

           0,846       -0,082            1            0,229

           0,146        0,011          0,229           1

Используя функцию "Корреляция" в арсенале M. Excel, рассчитаем матрицу автоматически:

 

У

Х1

Х3

Х5

У

1







Х1

-0,403

1





Х3

0,846

-0,082

1



Х5

0,146

0,011

0,229

1



Построим матрицу t - статистики парных коэффициентов корреляции, вычисленная по формуле:  





Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости и степени свободы  k = 40 – 1 – 1 = 38 составляет 2,03.

Если tухj > 2.03 => коэффициент корреляции между факторами у и хj статистически значим.

       > 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х1 значим.

    > 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х3 значим.

   < 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х5 незначим.

Очевидно, что наиболее сильная корреляция (связь) имеется между         У - Х3.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции между факторами Хj. В нашем случае, явление сильной мультиколлинеарности наблюдается между факторами: Х1 – Х3, где rx1x3  > 0,8.

Задание 2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.



Задание 3 - 4. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов X.

1. Линейная модель: y^ = a + b * x1.



Составим таблицу исходных и расчетных данных:



t

y

x1

x*x

y*x

у * у

(y - yср)2

(x1 - xср)2

y^

(y - y^)2

E, %

1

115

0

0

0

13225,0

455,8

0,3

117,5

6,3

2,2

2

85

1

1

85

7225,0

74,8

0,2

76,0

80,6

10,6

3

69

1

1

69

4761,0

607,6

0,2

76,0

49,3

10,2

4

57

1

1

57

3249,0

1343,2

0,2

76,0

361,7

33,4

5

184,6

0

0

0

34077,2

8271,9

0,3

117,5

4501,9

36,3

6

56

1

1

56

3136,0

1417,5

0,2

76,0

400,8

35,7

7

85

0

0

0

7225,0

74,8

0,3

117,5

1056,5

38,2

8

265

0

0

0

70225,0

29360,8

0,3

117,5

21755,2

55,7

9

60,65

1

1

60,65

3678,4

1089,0

0,2

76,0

236,2

25,3

10

130

0

0

0

16900,0

1321,3

0,3

117,5

156,2

9,6

11

46

1

1

46

2116,0

2270,5

0,2

76,0

901,2

65,3

12

115

0

0

0

13225,0

455,8

0,3

117,5

6,3

2,2

13

70,96

0

0

0

5035,3

514,8

0,3

117,5

2166,3

65,6

14

39,5

1

1

39,5

1560,3

2932,2

0,2

76,0

1333,7

92,5

15

78,9

0

0

0

6225,2

217,6

0,3

117,5

1490,2

48,9

16

60

1

1

60

3600,0

1132,3

0,2

76,0

256,6

26,7

17

100

1

1

100

10000,0

40,3

0,2

76,0

575,1

24,0

18

51

1

1

51

2601,0

1819,0

0,2

76,0

626,0

49,1

19

157

0

0

0

24649,0

4013,2

0,3

117,5

1560,0

25,2

20

123,5

1

1

123,5

15252,3

891,0

0,2

76,0

2254,4

38,4

21

55,2

0

0

0

3047,0

1478,4

0,3

117,5

3881,7

112,9

22

95,5

1

1

95,5

9120,3

3,4

0,2

76,0

379,5

20,4

23

57,6

0

0

0

3317,8

1299,6

0,3

117,5

3588,4

104,0

24

64,5

1

1

64,5

4160,3

849,7

0,2

76,0

132,7

17,9

25

92

1

1

92

8464,0

2,7

0,2

76,0

255,4

17,4

26

100

1

1

100

10000,0

40,3

0,2

76,0

575,1

24,0

27

81

0

0

0

6561,0

160,0

0,3

117,5

1332,5

45,1

28

65

1

1

65

4225,0

820,8

0,2

76,0

121,4

17,0

29

110

0

0

0

12100,0

267,3

0,3

117,5

56,3

6,8

30

42,1

1

1

42,1

1772,4

2657,4

0,2

76,0

1150,5

80,6

31

135

0

0

0

18225,0

1709,8

0,3

117,5

306,1

13,0

32

39,6

1

1

39,6

1568,2

2921,4

0,2

76,0

1326,4

92,0

33

57

1

1

57

3249,0

1343,2

0,2

76,0

361,7

33,4

34

80

0

0

0

6400,0

186,3

0,3

117,5

1406,5

46,9

35

61

1

1

61

3721,0

1066,0

0,2

76,0

225,6

24,6

36

69,6

1

1

69,6

4844,2

578,4

0,2

76,0

41,2

9,2

37

250

1

1

250

62500,0

24445,3

0,2

76,0

30269,2

69,6

38

64,5

1

1

64,5

4160,3

849,7

0,2

76,0

132,7

17,9

39

125

0

0

0

15625,0

982,8

0,3

117,5

56,2

6,0

40

152,3

0

0

0

23195,3

3439,8

0,3

117,5

1210,8

22,8

сумма

3746

23

23

1748

454221

103406,4

9,8

3746

86584

1476,2

ср.зн.

93,65

0,58

0,58

43,71

11355,53

2585,16

0,2

93,65

2164,61

36,9

























Найдем параметры уравнения линейной регрессии:





Итак, у^ = 117,50 + (-41,48)*Х1

Рассчитаем коэффицент детерминации:



Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:





Fтабл = 4,40 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 40 - 1 - 1 = 38)

Т.к. F > Fтабл,  то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии  значимо

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

		

	

В среднем расчетные значения y* отличаются от фактических значений y на 36,9 %.

	Линейная модель: y^ = a + b * x3.

Составим таблицу исходных и расчетных данных:

t

y

x3

x*x

y*x

у * у

(y - yср)2

(x - xср)2

y^

(y - y^)2

E, %

1

115

70,4

4956,16

8096

13225,0

455,8

1,3

95,5

380,6

17,0

2

85

82,8

6855,84

7038

7225,0

74,8

183,9

114,6

877,2

34,8

3

69

64,5

4160,25

4450,5

4761,0

607,6

22,5

86,4

302,4

25,2

4

57

55,1

3036,01

3140,7

3249,0

1343,2

199,9

71,9

221,7

26,1

5

184,6

83,9

7039,21

15487,94

34077,2

8271,9

214,9

116,3

4662,9

37,0

6

56

32,2

1036,84

1803,2

3136,0

1417,5

1372,0

36,6

377,8

34,7

7

85

65

4225

5525

7225,0

74,8

18,0

87,2

4,7

2,5

8

265

169,5

28730,25

44917,5

70225,0

29360,8

10052,1

248,4

276,9

6,3

9

60,65

74

5476

4488,1

3678,4

1089,0

22,7

101,0

1631,6

66,6

10

130

87

7569

11310

16900,0

1321,3

315,4

121,1

79,3

6,8

11

46

44

1936

2024

2116,0

2270,5

637,1

54,8

76,8

19,1

12

115

60

3600

6900

13225,0

455,8

85,4

79,4

1264,0

30,9

13

70,96

65,7

4316,49

4662,072

5035,3

514,8

12,5

88,2

298,6

24,4

14

39,5

42

1764

1659

1560,3

2932,2

742,0

51,7

148,4

30,8

15

78,9

49,3

2430,49

3889,77

6225,2

217,6

397,6

62,9

254,7

20,2

16

60

64,5

4160,25

3870

3600,0

1132,3

22,5

86,4

696,4

44,0

17

100

93,8

8798,44

9380

10000,0

40,3

603,2

131,6

997,7

31,6

18

51

64

4096

3264

2601,0

1819,0

27,5

85,6

1198,4

67,9

19

157

98

9604

15386

24649,0

4013,2

827,1

138,1

358,5

12,1

20

123,5

107,5

11556,25

13276,25

15252,3

891,0

1463,8

152,7

853,8

23,7

21

55,2

48

2304

2649,6

3047,0

1478,4

451,1

60,9

32,9

10,4

22

95,5

80

6400

7640

9120,3

3,4

115,8

110,3

219,0

15,5

23

57,6

63,9

4083,21

3680,64

3317,8

1299,6

28,5

85,5

776,3

48,4

24

64,5

58,1

3375,61

3747,45

4160,3

849,7

124,1

76,5

144,4

18,6

25

92

83

6889

7636

8464,0

2,7

189,3

114,9

525,6

24,9

26

100

73,4

5387,56

7340

10000,0

40,3

17,3

100,1

0,0

0,1

27

81

45,5

2070,25

3685,5

6561,0

160,0

563,6

57,1

572,2

29,5

28

65

32

1024

2080

4225,0

820,8

1386,8

36,3

826,3

44,2

29

110

65,2

4251,04

7172

12100,0

267,3

16,3

87,5

507,7

20,5

30

42,1

40,3

1624,09

1696,63

1772,4

2657,4

837,5

49,1

48,4

16,5

31

135

72

5184

9720

18225,0

1709,8

7,6

98,0

1372,1

27,4

32

39,6

36

1296

1425,6

1568,2

2921,4

1104,9

42,4

8,0

7,1

33

57

61,6

3794,56

3511,2

3249,0

1343,2

58,4

81,9

620,8

43,7

34

80

35,5

1260,25

2840

6400,0

186,3

1138,4

41,7

1470,5

47,9

35

61

58,1

3375,61

3544,1

3721,0

1066,0

124,1

76,5

240,7

25,4

36

69,6

83

6889

5776,8

4844,2

578,4

189,3

114,9

2054,5

65,1

37

250

152

23104

38000

62500,0

24445,3

6849,2

221,4

819,9

11,5

38

64,5

64,5

4160,25

4160,25

4160,3

849,7

22,5

86,4

479,1

33,9

39

125

54

2916

6750

15625,0

982,8

232,3

70,2

3004,0

43,8

40

152,3

89

7921

13554,7

23195,3

3439,8

390,5

124,2

790,6

18,5

сумма

3746

2768

222656

307179

454221

103406

31068,8

3746

29475

1114,8

ср.зн.

93,65

69,21

5566,40

7679,46

11355,53

2585,16

776,72

93,65

736,88

27,9



Найдем параметры уравнения линейной регрессии:

   

Итак:        у^ = -13.11 + 1.54 * х3

Рассчитаем коэффицент детерминации:



Можно сказать, что вариация признака Y на 90,3% объясняется вариацией признака X3.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера:

	

Fтабл = 4,40 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 40 - 1 - 1 = 38).

Т.к. F > Fтабл,  то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии  значимо.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:



В среднем расчетные значения y* отличаются от фактических значений y на 27,9 %.

3. Линейная модель: y^ = a + b * x5

Составим таблицу исходных и расчетных данных:

t

y

x5

x*x

y*x

у * у

(y – yср)2

(x – xср)2

y^

(y - y^)2

E, %

1

115

9

81

1035

13225,0

455,8

3,8

97,3

312,2

15,4

2

85

5

25

425

7225,0

74,8

4,2

89,8

22,9

5,6

3

69

6

36

414

4761,0

607,6

1,1

91,7

513,9

32,9

4

57

1

1

57

3249,0

1343,2

36,6

82,2

636,6

44,3

5

184,6

1

1

184,6

34077,2

8271,9

36,6

82,2

10479,5

55,5

6

56

2

4

112

3136,0

1417,5

25,5

84,1

790,6

50,2

7

85

12

144

1020

7225,0

74,8

24,5

103,0

323,8

21,2

8

265

10

100

2650

70225,0

29360,8

8,7

99,2

27483,5

62,6

9

60,65

11

121

667,15

3678,4

1089,0

15,6

101,1

1636,7

66,7

10

130

6

36

780

16900,0

1321,3

1,1

91,7

1469,3

29,5

11

46

2

4

92

2116,0

2270,5

25,5

84,1

1453,0

82,9

12

115

2

4

230

13225,0

455,8

25,5

84,1

953,7

26,9

13

70,96

5

25

354,8

5035,3

514,8

4,2

89,8

354,2

26,5

14

39,5

7

49

276,5

1560,3

2932,2

0,0

93,6

2922,0

136,9

15

78,9

14

196

1104,6

6225,2

217,6

48,3

106,8

776,7

35,3

16

60

11

121

660

3600,0

1132,3

15,6

101,1

1689,7

68,5

17

100

1

1

100

10000,0

40,3

36,6

82,2

315,8

17,8

18

51

6

36

306

2601,0

1819,0

1,1

91,7

1653,9

79,7

19

157

2

4

314

24649,0

4013,2

25,5

84,1

5311,8

46,4

20

123,5

12

144

1482

15252,3

891,0

24,5

103,0

420,5

16,6

21

55,2

9

81

496,8

3047,0

1478,4

3,8

97,3

1775,0

76,3

22

95,5

6

36

573

9120,3

3,4

1,1

91,7

14,7

4,0

23

57,6

5

25

288

3317,8

1299,6

4,2

89,8

1035,6

55,9

24

64,5

10

100

645

4160,3

849,7

8,7

99,2

1205,4

53,8

25

92

9

81

828

8464,0

2,7

3,8

97,3

28,4

5,8

26

100

2

4

200

10000,0

40,3

25,5

84,1

252,2

15,9

27

81

3

9

243

6561,0

160,0

16,4

86,0

25,1

6,2

28

65

5

25

325

4225,0

820,8

4,2

89,8

614,1

38,1

29

110

10

100

1100

12100,0

267,3

8,7

99,2

116,2

9,8

30

42,1

13

169

547,3

1772,4

2657,4

35,4

104,9

3941,5

149,1

31

135

12

144

1620

18225,0

1709,8

24,5

103,0

1024,4

23,7

32

39,6

5

25

198

1568,2

2921,4

4,2

89,8

2518,1

126,7

33

57

8

64

456

3249,0

1343,2

0,9

95,4

1477,9

67,4

34

80

4

16

320

6400,0

186,3

9,3

87,9

62,3

9,9

35

61

10

100

610

3721,0

1066,0

8,7

99,2

1460,7

62,7

36

69,6

4

16

278,4

4844,2

578,4

9,3

87,9

334,6

26,3

37

250

15

225

3750

62500,0

24445,3

63,2

108,7

19978,0

56,5

38

64,5

12

144

774

4160,3

849,7

24,5

103,0

1481,8

59,7

39

125

8

64

1000

15625,0

982,8

0,9

95,4

873,6

23,6

40

152,3

7

49

1066,1

23195,3

3439,8

0,0

93,6

3450,9

38,6

сумма

3746

282

2610

27583

454221

103406

75597,5

3746

101191

1831,2

ср.зн.

93,65

7,05

65,25

689,58

11355,53

2585,16

1889,94

93,65

2529,77

45,8



Найдем параметры уравнения линейной регрессии:



Итак, у^ = 80,34 + 1,89 * х5.

Расcчитаем коэффициент детерминации:



Можно сказать, что вариация признака Y на 60,7% объясняется вариацией признака X5.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:



Fтабл = 4,40 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 40 - 1 - 1 = 38).

Т.к. F > Fтабл,  то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии  значимо

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:



В среднем расчетные значения y* отличаются от фактических значений y на 45,8 %.

Сравним модели:

 

R

F

Eотн

модель 1

0,16

7,38

36,9%

модель 2

0,71

95,31

27,9%

    модель 3

0,02

0,83

45,8%

    

      -   лучшая модель – модель2


Задание 5. Осуществите прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя У при уровне значимости а = 0.1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.

Пусть прогнозное значение Х составляет 80% относительно максимального значения (Хmах):

Хпр = Хmax * 80% / 100% = 169.5 * 0,8 = 135.6

Упр =  -13,11 + 1,54 * 135,6 = 196,07 

Границы доверительного интервала прогноза:





tа = 1,68 (для a = 0,10; k = n - m - 1 = 40 - 1 - 1 = 38).



Интервальный прогноз:

Верхняя граница прогноза Ув = Упр + U = 196,07 + 50,543 = 246,613

                                     145,527 < Упр < 246,613







6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Построим модель зависимости стоимости кватриры от всех факторов.

Используя функцию "Регрессия" в арсенале M.Excel, рассчитаем характеристики модели автоматически:

см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Модель имеет вид: 

У  = 12,606 + (- 34,44) * Х1 + 1,5087 * Х3 + (- 0,506) * Х5

R2 = 0,829,            F = 57,99

Fтабл = 3,20 (для a = 0,05; k1 = m = 3; k2 = n - m - 1 = 40 - 3 - 1 = 36)

Т.к. F > Fтабл,  то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии  значимо.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью               t - критерия Стьюдента:















tyx1 =

-4,83

tyx3 =

11,62

tyx5 =

-0,55

> 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х1 значим

> 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х3 значим

< 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х5 незначим

Исключим фактор Х5 как незначимый.

Используя функцию "Регрессия" в арсенале M.Excel, рассчитаем характеристики модели автоматически:

см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Модель имеет вид: 

У = 10,255 + (- 34,56) * Х1 + 1,492 * Х3

 R2 = 0,827,               	F = 88,49

	

Fтабл = 3,20 (для a = 0,05; k1 = m = 3; k2 = n - m - 1 = 40 - 2 - 1 = 37)

Т.к. F > Fтабл,  то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии  значимо

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью               t - критерия Стьюдента:

tyx1 =

-4,90

tyx3 =

11,92

> 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х1 значим

> 2,03 → коэф-т  корреляции между факторами у и х3 значим

Т.к. все параметры значимы, то мы получили модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов.

Задание 7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆-коэффициентов.

Итак, для анализа используем модель:

У =10,255 + (- 34,44) * Х1 + 1,4921 * Х3

Значение "b1" = - 34,44 означает, что с ростом фактора Х1 на 1 единицу (смена города), цена квартиры снизится на -34,44 тыс.долл.

Значение "b2" = 1,49 означает, что с ростом фактора Х3 на 1 единицу       (1 кв.м.), цена квартиры вырастет на 1,49 тыс. долл.

R2 = 0,827 - это значение выше, чем значение R2 однофакторной модели

F =88,49

Fтабл = 3,20 (для a = 0,05; k1 = m = 3; k2 = n - m - 1 = 40 - 2 - 1 = 37).

Т.к. F > Fтабл,  то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии  значимо.

Рассчитаем ряд коэффицентов:

Результаты регрессионного анализа

Множественный R

0,9094

R-квадрат



0,8271

Нормированный R-квадрат

0,8177

Стандартная ошибка

21,9831



Коэффициенты регрессии

ryxj

Хср

Sx

Y-пересечение

10,25

1

93,7

50,8

Х1





-34,56

-0,403

0,6

0,5

Х3





1,49

0,846

69,2

27,9

















1) коэффициент эластичности:



Э1 = -34,56 * 0,6 / 93,7 = - 0,21(c ростом Х1 на 1% снижение У составит - 0,21%)

Э2 = 1,49 * 69,2 / 93,7 = 1,10    (c ростом Х3 на 1% рост У составит 1,10%)

2) β - коэффициент:





β1 = -34,56 * 0,5 / 50,8 = -0,34

β2 = 1,49 * 27,9 / 50,8 = 0,82

3) ∆ - коэффициент:



∆1 = - 0,336 *(-0,403) / 0,827 = 0,16 фактор Х1 оказывает 16%  всего влияния

∆2 = 0,818 * 0,846 / 0,827 = 0,84 фактор Х3 оказывает 84%  всего влияния













ЗАДАЧА 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя :

№НАБЛЮДЕНИЯ

1

2

3

4

5

6

7

8

9



10

14

21

24

33

41

44

47

49



Проверить наличие аномальных наблюдений.

Построить линейную модель Y^(t) = a0 + a1 t, параметры которой оценить МНК (Y^(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда.

Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Осуществить прогноз спроса на следующие 2 недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 90%).

Фактические значения показателя, результаты моделирования представить графически. 



Проверить наличие аномальных наблюдений:



t

Y(t)

для метода Ирвина





Z(t) = 

h(t) =

h(t)2

Q(t) = Z(t) / S

Вывод





Y(t) - Y(t-1)

Y(t) - Ycp







1

10

 

-21,44

459,86

 

 

 

2

14

4

-17,44

304,31

0,27

= 4 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

3

21

7

-10,44

109,09

0,48

= 7 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

4

24

3

-7,44

55,42

0,20

= 3 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

5

33

9

1,56

2,42

0,61

= 9 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

6

41

8

9,56

91,31

0,54

= 8 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

7

44

3

12,56

157,64

0,20

= 3 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

8

47

3

15,56

241,98

0,20

= 3 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

9

49

2

17,56

308,20

0,14

= 2 / 14,71

 < 1,52, т.е. точка не аномальна

 

283

 

 

1730,22

 

 

 



1. Наличие аномальных точек определим по методу Ирвина, для чего определим значения Q(t):   Q(t) = Z(t) / S



Сравним полученные значения Q(t) с критическим значением Qкрит = 1,52

если Q(t) > Qкрит, то точка аномальна

если Q(t) < Qкрит, то точка не аномальна

Вывод: аномальных точек нет

Проведем анализ самого ряда:



 

 

 

 

 

(t-tcp) * (Y-Ycp)

 

E(t) =

 

 

R(t) =

R(t)2

E(t)*E(t-1)

[E(t)/Y(t)] * 100

t

Y(t)

t-tcp

(t-tcp)2

Y-Ycp



Yл(t)

Y(t)-Yл(t)

E(t)2

P

E(t)-E(t-1)







1

10

-4

16

-21,44

85,8

10,2

-0,2

0,06

 

 

 

 

2,444

2

14

-3

9

-17,44

52,3

15,5

-1,5

2,39

1

-1,30

1,69

0,38

11,032

3

21

-2

4

-10,44

20,9

20,8

0,2

0,02

1

1,70

2,89

-0,24

0,741

4

24

-1

1

-7,44

7,4

26,1

-2,1

4,60

1

-2,30

5,29

-0,33

8,935

5

33

0

0

1,56

0,0

31,4

1,6

2,42

0

3,70

13,69

-3,34

4,714

6

41

1

1

9,56

9,6

36,7

4,3

18,11

1

2,70

7,29

6,62

10,379

7

44

2

4

12,56

25,1

42,0

2,0

3,82

0

-2,30

5,29

8,32

4,444

8

47

3

9

15,56

46,7

47,3

-0,3

0,12

0

-2,30

5,29

-0,67

0,733

9

49

4

16

17,56

70,2

52,6

-3,6

13,28

 

-3,30

10,89

1,26

7,438

10

 

 

 

 

 

57,9

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

63,2

 

 

 

 

 

 

 

45

283

0

60

 

318

283,0

 

44,82

4

-3,40

52,32

11,9914

50,8603



2. Рассчитаем по методу наименьших квадратов параметры "a" и  "b" линейной модели :       Y* = a + b * t

		









	Где  	

	Итак, Y* = 4,944 + 5,3 * t.

Оценим адекватность полученной модели:

а) случайность уровней ряда E(t) проверим по критерию поворотных точек Р:





                   Р > 2,     у нас р = 4



т.к. Р > 2, то свойство случайности выполняется.

б) независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда E(t) проверим по критерию Дарбина-Уотсона:



		d(1) = 1,08

		d(1) = 1.36



T.к. d находится в интервале (d(1); d(2)), то критерий Дарбина-Уотсона не используется.

Рассчитаем первый коэффициент корреляции:









Т.к. по модулю r(1) < 0,36, то свойство независимости выполняется.

в) соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по  RS-критерию:











т.к.RS = 3,34 принадлежит интервалу [RSmin ; RSmax]  (RSmin=2,7; RSmax=3,7 из таблицы),  то гипотеза о НЗР уровней ряда E(t)  подтверждается, что  позволяет сделать прогноз.

5. Оценим точность модели по средней относительной ошибке аппроксимации:









Т.к. Еотн = 5,65 < 15%, то модель признается допустимой по точности.

6. Прогноз:

при k=1:  t =9+1=10

при k=2:  t =9+2=11

k- шаг прогноза





Y*(10) = 4,944 + 5,3 * 10 = 57,94

Y*(11) = 4,944 + 5,3 * 11 = 63,24

Границы доверительного интервала прогноза: 



при k=1

		



при k=2





Y10 = Y*(10) +/-U(1) = 57.94 +/- 3.28

Y11 = Y*(11) +/- U(2) = 63.24 +/- 3.48



Таблица прогнозных значений: 



 

Точечный прогноз

Нижняя граница прогноза

Верхняя граница прогноза

к = 1

57,94

54,66

61,23

к = 2

63,24

59,77

66,72





7. Представим на графике фактические данные, результаты моделирования и прогнозирования: