Математическая статистика

1-я контрольная работа

Задача № 1.33

Вычислить центральный момент третьего порядка (3) по данным таблицы:



Производительность труда, м/час

80.5 – 81.5

81.5 – 82.5

82.5 – 83.5

83.5 – 84.5

84.5 – 85.5

Число рабочих

7

13

15

11

4



Производительность труда, м/час

XI

Число рабочих, mi

mixi

(xi-xср)3

(xi-xср)3mi

80.5 – 81.5

81

7

567

-6,2295

-43,6065

81.5 – 82.5

82

13

1066

-0,5927

-7,70515

82.5 – 83.5

83

15

1245

0,004096

0,06144

83.5 – 84.5

84

11

924

1,560896

17,16986

84.5 – 85.5

85

4

340

10,0777

40,31078

Итого:



50

4142



6,2304



Ответ: 3=0,1246



Задача № 2.45

	Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200 пачек чая равен =26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до .

	Р(25<x<27)=P=2Ф(1)-1=0,3634

m=n*p=200*0,3634  73



Ответ: n=73



Задача № 3.17

	На контрольных испытаниях n=17 было определено =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью =0,98

 

Ответ: [2988<<3012]





Задача № 3.69

	По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены оценки =360 и S=26 ч. Считая, что сроки  служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью 







Ответ: 358



Задача № 3.71

	По результатам n=7  измерений средняя высота сальниковой камеры равна =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала .





Ответ: P=0,516



Задача № 3.120

	По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено =50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.



Ответ: 50,2



Задача № 3.144

	На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n=37 рабочих было вычислено =400 метров ткани в час S=12 м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.







Ответ: P(11<<13)=0,8836



Задача № 4.6

	С помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.



Mi

85

120

25

10

Mti

117

85

37

9





mi

miT

(mi-miT)2

(mi-miT)2/ miT

85

117

1024

8,752137

120

85

1225

14,41176

25

37

144

3,891892

10

9

1

0,111111







27,1669

2факт.=(mi- miT)/ miT=27,17

2табл.= (=2, =0,02)=7,824

2факт>2табл

Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.





2-я контрольная работа





Задача 4.29

По результатам n =4  измерений в печи найдено = 254 C. Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с  = 6 C. На уровне значимости  = 0.05 проверить гипотезу H0:  = 250 C против гипотезы H1:  = 260 C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

1 > 0  выберем правостороннюю критическую область.



Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| - |tнабл |=0,98).



Задача 4.55



 На основание n=5  измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна  мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости  =0,01 мощность критерия при гипотезе H0 :50 и H1 : 53



Ответ:  23

Задача 4.70

На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости  = 0.1 проверить гипотезу H0:   мм2 при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

построим левостороннюю критическую область.



Вывод: на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ().





Задача 4.84

По результатам n = 16 независимых  измерений диаметра поршня одним прибором получено = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости  = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0:  при конкурирующей гипотезе H1: .

построим левостороннюю критическую область.



Ответ: 23;



Задача 4.87

Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  = 180 мм и  = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями  мм2 и  мм2.  На уровне значимости  = 0.025 проверить гипотезу H0: 1 = 2 против H1: 1 < 2. 

Т.к. H1: 1 < 2, будем использовать левостороннюю критическую область.



Вывод: гипотеза отвергается при данном уровне значимости.







Задача 4.96

Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  = 260 мм, S1 = 6 мм,  = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и , на уровне значимости  = 0.01 проверить гипотезу H0: 1 = 2 против H1: 1  2. 



Вывод:  при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.



Задача 4.118

Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач. Проверить на уровне значимости  = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.



Вывод:нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается ().



Задача 1.39:

Вычислить центральный момент третьего порядка (3*) по данным таблицы:

Урожайность (ц/га), Х

34,5-35,5

34,5-36,5

36,5-37,5

37,5-38,5

38,5-39,5

Число колхозов, mi

4

11

20

11

4



Решение:



Урожайность (ц/га), Х

Число колхозов, mi

Xi

mixi

(xi-xср)3

(xi-xср)3mi

34,5-35,5

4

35

140

-8

-32

34,5-36,5

11

36

396

-1

-11

36,5-37,5

20

37

740

0

0

37,5-38,5

11

38

418

1

11

38,5-39,5

4

39

156

8

32

Итого:

50

-

1850

-

0





Ответ: 3*=0





Задача 2.34:

В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:



Число дефектных изделий

0

1

2

3

4

Число партий

79

55

22

11

3



Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.

Решение:



m

0

1

2

3

4

p

0.4647

0.3235

0.1294

0.0647

0.0176

Ответ: P=7.79*10-7





Зпадача 3.28:

В предложении о нормальной генеральной совокупности с =5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью =0.96 точность оценки генеральной средней  времени обработки зубчатого колеса будет равна =2 сек.



Решение:

n=(5.1375)3=26.3927

Ответ: n=27





Задача 3.48:

На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью =0.98 точность оценки генеральной средней.

Решение:

St(t,=n-1)==St(t,6)=0.98

Ответ: =0.4278



Задача 3.82:

На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9 С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью =0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.



Решение:

Ответ: 41.4587





Задача 3.103:

Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью =0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.

Решение:

t=2.33

Ответ: 0.3





Задача 3.142:

По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью =0.98 верхнюю границу для оценки  генеральной совокупности.

Решение:

t=2.33



Ответ: 8.457





Задача 4.18:

Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0.05 по следующим данным:



mi

6

13

22

28

15

3

miT

8

17

29

20

10

3



Решение:



mi

miT

(mi-miT)2

(mi-miT)2/ miT

6

8

4

0.5

13

17

16

0.941

22

29

49

1.6897

28

20

64

3.2

15

10

25

1.9231

3

3





Итого:

-

-

8.2537



Ответ: -2.2627









1.36.

Вычислить дисперсию.



Производительность труда

Число рабочих

Средняя производительность труда

81,5-82,5

9

82

82,5-83,5

15

83

83,5-84,5

16

84

84,5-85,5

11

85

85,5-86,5

4

86

Итого

55







2.19.

Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.



m

0

1

2

3

4

5

Итого

fi

164

76

40

27

10

3

320

Pm



0,34

0,116

0,026

0,004

0,001



Pm*fi

288,75

25,84

4,64

0,702

0,04

0,003

320

fi теор.

288

26

5

1

0

0

320



m – число дефектных изделий в партии,

fi – число партий,

fi теор. = теоретическое число партий



 Теоретическое значение числа партий получается округлением  Pm*fi.

Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.











3.20.

По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что  среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..

3.40.

По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм.,  а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98х;1,02х).

3.74. 

По данным контрольных 8  испытаний  определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.







3.123.

По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).



3.126

По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.





4.10

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости  α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ2).



mi

miT

(mi-miT)2

(mi-miT)2/miT

80

100

400

4

125

52

5329

102,5

39

38

1

0,03

12

100

4

0,4

∑=256

200

5734

122,63



Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.