Структура и качество оптического изображения

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ



Кафедра ЭТТ













РЕФЕРАТ

На тему:



«Структура и качество оптического изображения»



























МИНСК, 2008


Основные характеристики структуры изображения



Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения. 

Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций  и . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат. 

Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу. 


Свойство линейности 



Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта: 

.                                                                                    (1) 

То есть, если предмет – это сумма точек , то изображение – сумма изображений этих точек . Изображающие оптические системы полностью линейны. 


Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма) 



При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.1): 

,                                                                                                           (2)

где V – обобщенное увеличение. 





O1

O

y

O



O1

yV y



Рисунок.1 - Условие изопланатизма. 



В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях. 

Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны. 


Функция рассеяния точки



В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния (рис.2). 





y

y

изопланатическая

зона





x

x

V y

y













V x

x



Рисунок 2 -  Изображение точки в пределах изопланатической зоны. 



Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки. 

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.

Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет , то каждая его точка изображается в виде функции , то есть ФРТ смещается в точку с координатами  (рис.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений: 

.                                                  (3) 

Если увеличение V принять за единицу, то выражение (3) становится сверткой (конволюцией). 

Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки: 

                                                                              (4) 


Гармонический периодический объект



Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки. 

Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами. 

Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.3). 

В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора. 









y

y

x



x

I

a

x

а) распределение интенсивности

b



T



б) сечение распределения интенсивности



Рисунок 3 - Гармоническая периодическая решетка



Гармоническая периодическая решетка описывается выражением: 

,                                                                                (5)

где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период,  – угол ориентации. 

Вместо периода можно использовать пространственную частоту , а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду: 

,                                                                                                  (6) 

Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме: 

,                                                                                          (7) 

Величину  можно выразить как , тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат (x, y):

                                         (8) 

где – частота в направлении x,  – частота в направлении y. 

Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию. 

Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию  (8): 

.                                                 (9) 

Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V=1, следовательно: 

.

После замены переменных  получим: 



или, после переобозначения  : 

.                                          (10) 

Двойной интеграл в выражении (9.10) – это некоторая функция , зависящая от пространственных частот. 

Обозначим , и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде: 

.                                                                             (11) 

Как показывают соотношения (8) и (11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы. 


Оптическая передаточная функция (ОПФ)



Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF)  характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот: 

.                                                                                           (12) 

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье: 

                                                           (13) 

или 

или ,

где F – обозначение Фурье преобразования: 

.                                                       (14) 

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты. 

Оптическая передаточная функция – это комплексная функция: 

.                                                                         (15) 

Модуль ОПФ  называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ  называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК). 

Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта: 

,                                                                                                   (16) 

где a – амплитуда на предмете, a – амплитуда на изображении. 

Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис.9.4) определяется выражением: 

.                                                                                             (17) 



I

Imin

Imax

x

Рисунок 4 - Контраст гармонического объекта. 

. Абсолютный контраст  получается, когда  (рис.5.а). Контраст в изображении нулевой , когда  – изображение практически отсутствует (рис.5.б). 





I

I

x



а) абсолютный контраст

б) нулевой контраст

x

Рисунок 5 - Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта



Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если: 

	,	                                                                                                (18) 

где  – порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза ). 

Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную a0 и a переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.6): 

.                                                                                                      (19) 





I

a

a0

x



Рисунок 6 - Постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта 



Если , то ЧКХ, как следует из выражения (16) будет определяться следующим соотношением: 

,                                                                                                 (20) 

где k – контраст изображения, k – контраст предмета. 

Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси. 




k

1

идеальная о.с.

0

реальная о.с.

x

Рисунок 7 -  Частотно-контрастная характеристика. 



Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота  измеряется в [лин/мм]. Для дальнего типа пространственная частота измеряется в [лин/рад]. 

Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:  

- графиков сечений  или , 

- изометрического изображения “поверхности” ,

- карты уровней .


Схема формирования оптического изображения



Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными. Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными (формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции). 



плоскость

предметов

	U x, y 	





A0

y

x

вых. зр.

Sw

y













A0

x



Ux, y





плоскость

S w

А.Д.

Sp

изображений

Рисунок 8 - Схема формирования оптического изображения. 



Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.8). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A0, и после идеальной оптической системы сходится в точке A0. Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты Sw и Sw. Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам: 

- преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся, 

- ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта, 

- ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля, 

- нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля. 

Рассмотрим поле  на выходной сфере (в области выходного зрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее на величину волновой аберрации. Поле на волновом фронте . Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучей одинаковый, так как волновой фронт – поверхность равного эйконала. Поскольку для формирования изображения важна разность фаз между выходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, что фаза волнового фронта равна нулю =0. При отсутствии аберраций амплитуда поля единичная, следовательно поле на волновом фронте . Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта: 

,                                                                                                (21) 

где  – расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдоль луча. 

Поле на выходной сфере математически можно представить в виде: 

,                                           (22) 

где  – волновая аберрация,  – зрачковая функция. 

В выражении (22) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций. 

Зрачковая функция (pupil function, PF) показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением: 

,                                           (23) 

где  – канонические зрачковые координаты,  – функция  пропускания по зрачку,  – область зрачка в канонических координатах. 

Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции. 



UPx,Py

y

Ux, y 

xp , yp 

r





rpconst

x, y

x

z

выходная

сфера

плоскость

изображения

Рисунок 9 - Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения. 



Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис. 9): 

.                                                                 (23) 

Используя зрачковую функцию, выражение (9.23) можно записать в виде: 

.                                                          (24) Поскольку  и,  то множитель  можно представить в виде . Множитель , следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как нас интересует только относительное распределение комплексной амплитуды. Тогда выражение (24) преобразуется так: 

                                                             (25) 

		можно выразить через  и  (рис. 10). 



rp

r

p

r

y





А



О

z

выходная

сфера

плоскость

изображения

Рисунок 10 - Связь  с радиусом выходной сферы  и расстоянием  

от выходной сферы до точки  



Отрезок , причем  – для крайнего луча, а для остальных лучей: ,  . Теперь интеграл (25) можно записать так: 

.                                                    (26) 

Введем канонические (приведенные) координаты на предмете и изображении: 


 .                                                              (27)

Тогда в канонических координатах получим: 

.                                                   (28) 

Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (28), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье: 

.                                                                            (29) 

Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах. 

Функция рассеяния точки – это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды . Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение: 

.                                                                           (30) 

Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах: 

,                                                                                (31) 

где  – канонические пространственные частоты: 

                                                                            (32) 

Канонические частоты безразмерные: . В этих координатах получаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточной функцией: 


.                                                                    (33) 

Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции: 

,                              (34) 

где  – площадь зрачка в канонических координатах. 


ЛИТЕРАТУРА



Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. – М.: Машиностроение, 2004

Дубовик А.С. Прикладная оптика. – М.: Недра, 2002

Нагибина И.М. и др. Прикладная физическая оптика. Учебное пособие.- М.: Высшая школа, 2002