Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі

2



ЗМІСТ

Вступ 

Розділ 1. Теоретичні основи формування математичних понять

1.1. Поняття, як логіко-гносеологічна категорія

1.2. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця

1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення

1.4. Зміст і об’єм поняття. Зв'язок між ними

1.5. Види понять

1.6. Зв'язок між поняттями

1.7. Означення понять

1.8. Способи означення понять

1.9. Види означень

1.10. Структура означення

1.11. Основні вимоги до означень

Розділ 2. Основні етапи розкриття змісту математичного об’єкта (формування означення)

2.1. Логічний аналіз структури означення (виділення терміна, роду, видових відмінностей і логічний зв'язок властивостей

2.2. Виконання дії підведення під поняття

2.3. Виконання дії виведення наслідків

2.4. Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання

Висновки

Список використаних джерел


ВСТУП



Актуальність дослідження. У математиці розглядаються різні об’єкти: числа, фігури, формули, рівняння та інші. Усе це математичні поняття. Щоб правильно організувати процес формування того чи іншого поняття в школі, треба насамперед чітко визначити його зміст у науці і його зміст у шкільному курсі, пам’ятаючи про те, що друге не повинне суперечити першому.

Виходячи з того в даній роботі висвітлене трактування того чи іншого поняття сучасною наукою, щоб забезпечити творчий підхід до модифікації наукового означення для шкільної практики. Поняття – це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.

Отже, можна сказати, що поняття – це цілісна сукупність суджень про який-небудь об’єкт, ядром якої є судження, що відображають істотні ознаки об’єкта. 

Об’єкт дослідження – діяльність вчителя та учнів на уроках математики в основній школі.

Предмет дослідження – методична система (зміст, об’єм, види, способи, структура)формування математичних понять.

Мета дослідження – розробити й обґрунтувати методику формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі. 

Гіпотеза дослідження – розроблена методика формування математичних понять у процесі викладання математики в основній школі на основі освітнього стандарту з математики сприятиме підвищенню якості загальноосвітньої, математичної, професійної підготовці учнів, розвиває інтуїцію, деякі навики мислення, тобто сприяє підвищенню їх інтелектуального рівня.

Відповідно до мети і гіпотези дослідження було визначено такі завдання роботи:

аналіз психолого - педагогічної, методичної, математичної літератури з проблеми дослідження;

розкрити загальні питання формування математичних понять;

виявити психолого – дидактичні передумови застосування понять;

виявити психологічні закономірності процесу формування математичних понять в учнів основної школи.

Теоретичне значення результатів дослідження полягає в розробці методики формування математичних понять (зміст, об’єм, види, способи, структура), яка враховує особливості навчальної діяльності учнів, операційний склад умінь та психолого – методичні закономірності їх вироблення.

Практичне значення результатів дослідження:

розробленні методичні рекомендації по формуванню математичних понять;

впроваджено методику вибору ефективних шляхів, методів та прийомів формування математичних понять.

Джерелом дослідження є наукові статті з журналів, методичні посібники та підручники з математики.

Апробація результатів: одержані результати поповнюють практичну базу методики викладання математики, а саме на тему: "Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі".

Структура роботи. Випускна робота складається з двох розділів. У першому розділі висвітлюються теоретичні основи формування математичних понять в основній школі. В другому розділі подаються основні етапи розкриття змісту математичного об’єкта. 

У кінці роботи додається список використаних джерел.


РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ.



1.1. Поняття як логико-гносеологічна категорія



Що таке поняття? Питання здається тривіальним, оскільки в повсякденному житті, в практичній роботі і в процесі навчання і дітей, і студентів всі ми оперуємо тим або іншим терміном, не замислюючись над його змістом, тобто поняттям, що позначається їм. Співбесіди із студентами старших курсів педагогічних інститутів, з вчителями шкіл, молодими викладачами вузів показали, що більшість з них не може розкрити змісту терміну. І не дивно, оскільки ні в середній школі, ні у вищих учбових закладах в яких-небудь учбових курсах спеціально це питання не розглядається. Багато хто оперує даним терміном, вважаючи зміст його саме собою розуміючим. Насправді питання про єство поняття дуже складне. Немає ще єдиної думки серед філософів, психологів і логіків з питання про те, що ж таке поняття. Відомо більше 30 спроб дати визначення поняття. Великий угорський логік Б.Фогарши в підручнику «Логіка» приводить 34 визначення поняття. Ф.Энгельс відзначав, що поняття — це «результати, в яких узагальнюються дані... досвіду», підсумки деякого етапу пізнання.

Ряд логіків розглядає поняття як форму мислення. Наприклад, логік М.С. Строгович визначає поняття як форму мислення, що відображає і фіксує істотні ознаки речей і явищ об'єктивної дійсності. В.Ф.Асмус визначає поняття як «думку про предмет, що виділяє в ньому істотні ознаки». С.Бакрадзе визначає поняття як думку, що відображає істотні ознаки предмету. Е.К.Войшвилло відзначає, що таке визначення поняття дуже схожий з визначенням думки, тобто ознаки поняття як логічній категорії є загальними з ознаками думки. Тому розглядати це визначення як тільки те, що відображає, єство поняття невірне, і Е.К.Войшвилло дає своє визначення поняття. 

По Е.К.Войшвилло, поняття є «думка, що є результатом узагальнення (і виділення) предметів або явищ того або іншого класу по більш менш істотних (а тому і загальним для цих предметів і в сукупності специфічним для них, виділяючи їх з безлічі інших предметів і явищ) ознаках».

Між філософами і логіками йде суперечка, що первинне: думка або поняття? Що є більш високою формою мислення? Одні вважають, що початкові поняття, а думки є більш високою формою мислення. Це обгрунтовується тим, що думка складається з понять, виражається через зв'язані між собою поняття. Інші, навпаки, вважають, що оскільки саме поняття утворюється в результаті думок і висновків і сам зміст понять розкривається за допомогою думок, те поняття — вища форма мислення.

У «Логічному словнику-довіднику» Н.И.Кондаков дає наступну характеристику поняття: «Вищий ступінь мислення досягається у формі поняття, яке є цілісна сукупність думок, ядром якої є думки про істотні ознаки, властивості досліджуваного об'єкту». Узагальнивши все, можна так охарактеризувати поняття. Поняття — дуже складна логічна і гносеологічна категорія. Це результат деякого етапу в розвитку наших знань про ті або інші об'єкти матеріального миру. Виникнувши, поняття вже саме стає об'єктом пізнання. Разом з тим поняття — одна з форм мислення і в цьому значенні воно виступає як знаряддя (засіб) пізнання. 

Наприклад, поняття молекули, виникнувши в науці, зіграло величезну роль в пізнанні єства ряду явищ, на його основі була створена молекулярно-кінетична теорія. Це відноситься також до понять «електрон», «квант» і ін.

Мислення може протікати в різних формах: понять, думок, висновків, гіпотез і теорій. Всі вони грають величезну роль в пізнанні. Термін «поняття» звичайно застосовується для позначення уявного образу деякого класу речей, процесів, відношень об'єктивної реальності або нашої свідомості. Математичні поняття відображають в нашій свідомості певні форми і відношення матеріального світу, абстраговані від їх конкретних індивідуальних властивостей.

Кожне поняття поєднує в собі клас об'єктів (речей, відношень)— обсяг цього поняття — і характеристичну властивість, притаманну всім об'єктам цього класу, і тільки їм — зміст цього поняття. Наприклад, поняття «трикутник» поєднує в собі клас найрізноманітніших трикутників (обсяг цього поняття) і характеристичну властивість — наявність трьох сторін, трьох вершин, трьох кутів (зміст поняття); поняття «рівняння» поєднує в собі клас всяких можливих рівнянь (обсяг поняття) і характеристичну властивість — рівність, яка має одну або кілька змінних (зміст поняття.)Процес формування понять буде ефективним якщо він орієнтує учнів на узагальнення і абстрагування істотних ознак (характеристичної властивості) поняття, яке потрібно сформувати.

Поняття — одна з вищих форм мислення, форм віддзеркалення матеріальної дійсності. Але поняття не просте форма віддзеркалення дійсності. Воно є такою формою віддзеркалення, яка розкриває єство речей, внутрішні, корінні, визначаючі властивості предметів, їх внутрішню суперечливу природу. Тому поняття є знання істотних властивостей (сторін) предметів і явищ навколишньої дійсності, знання істотних зв'язків і відносин між ними.

 По Гегелю, поняття — перш за все синонім дійсного розуміння істоти справи, а не простий вираз будь-якого загального в споглядаючих, вивчаються об'єктах. В понятті розкривається справжня природа, особливість речі (об'єкту), а не її зовнішня схожість з іншими речами (об'єктами).

Як гносеологічна категорія поняття суперечливе. Воно є єдність протилежних моментів, єдність загального і одиничного, конкретного і абстрактного. Відповідно, процес засвоєння наукових понять також дуже складний і суперечливий. Наприклад, нескінченність множини раціональних чисел, що знаходяться між будь-якими двома раціональними числами, не стверджується, а навпаки, «заперечується» конкретним сприйняттям скінченого відрізка, який вміщує цю множину. 

Властивість щільності множини раціональних чисел не можна виявити за допомогою досліду, вона не підтверджується наочними геометричними уявленнями, а встановлюється логічно (абстрактно-дедуктивно). Цей та багато інших прикладів підтверджують висновки наших психологів про те, що сприйняття наочного матеріалу через об'єктивні особливості цього матеріалу може відігравати не лише позитивну, а й негативну роль.



1.2. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця.



Поняття — це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях. 

Визначаючи поняття як одну з основних форм мислення, підкреслюють його роль та значення у пізнанні. Саме мислення можна тоді розглядати як оперування поняттями, оскільки перехід від чуттєвих ступенів пізнання до абстрактного мислення характеризується як перехід від відображення світу у формі відчуттів, сприймань і уявлень до відображення його в поняттях і на їх основі,— в судженнях і інших логічних категоріях.

Отже, можна сказати, що поняття — це «цілісна сукупність суджень про який-небудь об'єкт, ядром якої є судження, що відображають істотні ознаки об'єкта».

Поняття виникають на основі суспільної практики і є продуктом багаторічного історичного розвитку пізнавальної діяльності людини. Процес пізнання здійснюється у формі чуттєвого пізнання і в формі логічного мислення.

Уявлення відрізняються від понять тим, що вони виникають у нашій свідомості у вигляді наочних образів, тоді як поняття — це такі розумові утворення, які можуть також відображати і недостатні органам чуття, закономірні відношення між предметами. 

Поняття закріплює в системі знань зміст, загальний для всіх людей, незалежно від того, як та чи інша людина уявляє собі цей предмет. На відміну від уявлень, поняття позбавлені конкретної наочності, їх матеріальною оболонкою є слово. Поза словом-терміном поняття не можуть ні виникнути, ні існувати.

Перша відмінна риса поняття — загальність. На відміну від чуттєвого пізнання, поняття втілює в собі все багатство конкретного одиничного і особливого. Чуттєві образи показують здебільшого одиничне, поняття відображає загальне, що є в самій дійсності. Поняття є могутнішим засобом пізнання, ніж форми чуттєвого пізнання. Правильні наукові абстракції відображають дійсність глибше, вірніше, повніше, ніж живе споглядання.

Форма і зміст поняття як протилежності складають єдине ціле. Логічна форма — це певний спосіб відображення предметів, відображення однотипних зв'язків і відношень між предметами. Вона взагалі як структура думки являє собою завжди відношення в думках між протилежностями, тобто між окремим, особливим і загальним, у логічній формі поняття, судження і умовиводи мають різний характер. У формі поняття являє собою співвідношення між змістом і об'ємом поняття. В формі судження — це відношення між предметом думки і ознакою цього предмета. У формі умовиводу — це також відношення між предметом думки і його ознакою.

Коли за змістом поняття відображає суть того чи іншого конкретного предмета або групи предметів, то за своєю формою воно відображає дещо загальне, єдине для різних предметів і їх груп.

Поняття утворюється в результаті абстрагування від індивідуальних властивостей предмета, воно відображає сукупність істотних ознак предмета.

Розглядаючи множину об'єктів, які мають певні спільні ознаки, ми відкидаємо в уяві ті ознаки, які належать окремим, але не всім об'єктам даної множини, і фіксуємо ті спільні ознаки, які характерні всім об'єктам даної множини. Ця сукупність спільних ознак, які відбивають природу та істотні властивості предметів, визначає поняття. Наприклад, щоб утворити поняття функції, треба абстрагуватися від різних конкретних залежностей, що існують у дійсності, і вибрати те спільне, що їх об'єднує, а саме: ту відповідність між двома множинами, при якій кожному елементу однієї множини відповідає один єдиний елемент другої множини.

Істотну роль у формуванні поняття відіграє мова. Поняття позначається словом, проте слово, що означає поняття, зв'язане з чуттєвим досвідом, в якому людина ознайомлюється з самими предметами, що включаються в дане поняття.

У понятті можуть відображатися і недоступні органам чуття властивості і відношення між предметами.

Можна, наприклад, мати поняття про велику кількість операцій, що виконує електронна лічильна машина за секунду, але не уявляти собі швидкості її роботи.

З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові поняття), а на базі вже раніше встановлених понять.

Оволодіння будь-якою наукою немислиме без опанування системи понять цієї науки. Це великою мірою стосується математики.

Найважливішим завданням викладання математики є формування в учнів правильних математичних понять.



1.3. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення.



Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття й усвідомлення його неістотних властивостей, а також на застосування нового поняття до розв’язування задач. До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).

У разі використання абстрактно – дедуктивного методу навчання для формування нового поняття вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належить до цього поняття, виявляє істотні спільні властивості та зазначає неістотні. Наприклад, запроваджуючи поняття «тотожно рівні вирази» в 7 класі, вчитель має сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Наприклад, вирази 3(x + y) і 3x + 3y, ab + 16c і 16c+ ab - тотожно рівні. Вирази 2x + y і 2xy – нетотожно рівні. Істотною спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Неістотними ознаками є кількість змінних, які містить вираз, форма виразів. 

Наприклад, вираз 5(b+c) має форму добутку, а тотожно рівний йому вираз 5b+5c має форму двочлена; тотожно рівні вирази ab + 16c і 16c+ ab різняться місцем одночленів, що не є істотним.

Труднощі засвоєння понять учнями, які мають слабку підготовку, пояснюються передусім невмінням виокремлювати істотні властивості об’єктів і абстрагуватись від неістотних. У зв’язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення, інакше кажучи, генералізацію неістотних властивостей (надання їм ролі істотних).Істотними для них стають яскраві властивості, які виявляються саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стандартно.



1.4. Зміст і об'єм поняття. Зв'язок між ними.



Під змістом поняття ми розуміємо сукупність усіх істотних ознак, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття. Вчителю ці характеристики поняття потрібно добре знати, щоб судити, як воно засвоєно, яким воно повинне бути.

Слід зазначити, що одні й ті самі ознаки одного й того самого предмета є в одному випадку істотними, а в іншому — неістотними. Все залежить від конкретного співвідношення зв'язків самого предмета і тих його ознак, які в практичному відношенні вважаються істотними.

Об'єм поняття — це сукупність усіх предметів, що охоплюються ним. Наприклад, до об'єму поняття «дійсні числа» входять множини раціональних і ірраціональних чисел.

Зміст і об'єм поняття тісно зв'язані між собою і залежать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його об'єм і навпаки — зменшення змісту поняття збільшує його об'єм. 

Наприклад, в об'єм поняття паралелограм входять всі види паралелограмів; зміст цього поняття становлять ознаки: «чотирикутник» і «попарна паралельність несуміжних сторін». Коли до цих істотних ознак додати ознаку «конгруентність усіх кутів зазначеної фігури», то об'єм поняття зменшиться, тепер до нього входить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Відношення об'ємів двох зазначених понять можна графічно подати у вигляді кругів Ейлера (мал. 1).

Точки кожного круга зображають об'єкти класу, що належать даному поняттю. Великий круг зображає поняття «паралелограм», менший— поняття «прямокутник».

Розподіл об'єму поняття . Певному родовому поняттю, як правило, відповідають не одне видове поняття, а дещо. Так, поняттю «елементарні частинки» відповідають: електрон, нейтрон, фотон, позитрон, протон і т. д.; поняттю «листяні дерева» — береза, клен, дуб, ясен, осика і т. д.; поняттю «планети» — Земля, марс, Юпітер і т.д.

Розумова операція, в результаті якої розкривається об'єм родового поняття, тобто визначаються його види, називається в логіці розподілом об'єму поняття. Поняття, об'єм якого ділиться, називається діленим, а поняття, що виходять в результаті розподіли, називаються членами розподілу. Розподіл об'єму поняття проводиться не довільно, а на основі якої-небудь ознаки, властивої родовому і видовим поняттям. Ознака, по якій проводиться розподіл об'єму родового поняття на види, називається підставою розподілу.

Розподіл об'єму поняття необхідно проводити на основі істотних ознак. Залежно від підстави розподілу родові поняття можуть мити розділені на абсолютно різні види.

При здійсненні операції розподілу об'єму поняття необхідно слідувати певним правилам:

	Члени розподілу (видові поняття) повинні виключати один одного, тобто кожний предмет входить в об'єм тільки одного видового поняття.

	При одному і тому ж розподілі потрібно користуватися однією підставою розподілу.

Наприклад, родове поняття «робітник» по підставі «професія» ділиться на наступні види: «слюсар», «токар», «коваль» і т. д., а по ознаці «освіта» — що «закінчив 10 класів», що «закінчив 8 класів» і т.д.

Будь-яке поняття можна розділити по різних підставах, але у кожному окремому випадку розподіли поняття повинна витримуватися одна ознака як підстава розподілу.

Приклади розподілу по різних ознаках поняття «число»:

 1) позитивне і негативне;

 2) ціле і дробове;

 3) просте і складове; 

4) іменоване і відвернуте; 

5) парне і непарне; 

6) раціональне і ірраціональне; 

7) уявне і дійсне.

Вибір тієї або іншої підстави в кожному розподілі визначається цілями, які ставить людина в процесі вивчення предметів матеріального миру. В учбовій практиці досить часто допускається розподіл відразу по декількох підставах. Так, учні (а деколи і самі вчителі), перераховуючи види руху, називають: вертикальний рух, вільний рух, прямолінійний, криволінійний і т. д., а перераховуючи на уроках геометрії трикутники, розташовують в один ряд: рівнобедрені, гострокутні, прямокутні, подібні.

		3.	Члени розподілу (видові поняття) повинні бути найближчими видовими поняттями даного родового, інакше кажучи, розподіл повинен бути безперервним, не перескакувати через види, а переходити від роду до його найближчих видів.

Наприклад, до листяних дерев відносяться береза, дуб, липа, осика і т.д. Але не можна говорити, що ліс буває листяна, змішана, берези, осики, сосни і т.д. невірний розподіл типу: «Тварини — кішка, собака, верблюд, слон, бегемот і т.д.». Вірно: «Тварини — хижі і нехижі, дикі і домашні і т. д.».

Порушення цього правила називається стрибком в розподілі. Прикладом подібної помилки є наступний розподіл:

«Небесне тіло — зірка, планета, Земля». «Небесне тіло» не є найближчим родом для поняття «Земля». Для поняття «Земля» найближчий рід — «Планета». Відношення об'ємів даних понять можна зобразити схемою, представленою на мал. 2.

4. Розподіл повинен бути відповідним, тобто сума об'ємів видових понять повинна дорівнювати об'єму діленого родового поняття. При порушенні цього правила припускається двох помилки: помилка вузького розподілу об'єму поняття і помилка широкого розподілу об'єму поняття. Розкриємо зміст цих помилок докладніше:

а) вузький розподіл об'єму поняття. Суть цієї помилки в тому, що при розподілі родового поняття перераховуються не всі види, що входять в його об'єм, тобто сума об'ємів видових понять менше об'єму діленого поняття. Наприклад, перераховуючи основні характеристики елементарних частинок, називають тільки заряд і спин. Перераховуючи види газових розрядів, називають тільки іскровою, дуговий і коронний, але не указують тліючий розряд. В поняття внутрішньої енергії учні включають тільки кінетичну і потенційну, енергію взаємодії молекул (не включають енергію зв'язку електронних оболонок, внутріядерну, енергію гравітаційної взаємодії частинок і ін.);

б) широкий розподіл об'єму поняття. При широкому розподілі вводять такі види, які не містяться в об'ємі діленого поняття, тобто сума об'ємів видових понять більше об'єму родового поняття. Наприклад, перераховуючи основні одиниці вимірювання фізичних величин в системі СІ в механіці, учень назвав метр, кілограм, ампер, ньютон, джоуль і секунду. Але ампер, ньютон і джоуль не містяться в об'ємі вказаного поняття. Ампер — одна з основних одиниць вимірювання в системі СІ, але не в механіці, а джоуль і ньютон — похідні одиниці. З погляду операції порівняння всі поняття в логіці справ» на порівнянні і незрівнянні. Порівнянними називаються поняття, що мають яку-небудь загальну ознаку. Загальним біля порівнянних понять є родове поняття (родова ознака), в об'єм якого вони входять. 

Незрівнянними називаються поняття, які неможливо порівняти ні за об'ємом, ні за змістом. Незрівнянні поняття: не мають загального роду, і їх зміст істотно різний. Наприклад: «стіл» і «верблюд», «соловей» і «олівець».

Разом з тим необхідно відзначити: не можна вважати, що існують незрівнянні поняття взагалі. Як би два поняття не були різними і за змістом, і за об'ємом, вони можуть бути порівнянні. Як вже було сказано вище, кожне поняття пов'язано зі всіма іншими.

По характеру відносин порівнянні поняття діляться на дві; групи: сумісні і несумісні.

Сумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака).

 Їх видові ознаки співпадають частково або повністю. Звідси витікає, що об'єми сумісних понять можуть співпадати частково. 



1.5. Види понять.



У шкільному курсі математики вивчають три види понять: 

1) первісні (неозначувані);

 2)означувані; 

3) поняття, які вводяться описуванням, на прикладах.

 В останньому випадку учні частково дістають уявлення про істотні властивості поняття, але означення поняття не формулюється з дидактичних міркувань. Розглянемо особливості методики формування трьох основних видів понять.

Первісні поняття. На перших уроках геометрії в 7 класі розкриваються істотні властивості понять «точка» і «пряма» за допомогою системи аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» - для трьох точок прямої. Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реальних існуючих об'єктів довкілля. 

Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку - місце дотику олівця до паперу чи крейди до дошки, уявлення про площину – поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури дістають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка.

Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію стосовно цих понять. Наприклад: «точки А і С лежать на прямій а», або «точки А і С належать прямій а»; «прямі а і b перетинаються в точці С», або «точка С є точкою перетину прямих а і b».

Учні мають усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести поняття і проілюструвати на рисунку, а й розв'язати кілька вправ на підведення до цього поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взяти не тільки точки прямої, а й точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної (Мал.3).



a

A

C

K

B

A

B

K

C

D

A

C

D

P

O

B

C

D

O

A

B

M

Мал.3Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов’язано з розумінням цього поняття в життєвій практиці. Учням слід пояснити: в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише середина відрізка АВ, а будь – яка точка відрізка, розміщена правіше від А і лівіше від В.

Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і D цього кола. Учні мають уміти обґрунтовувати неправильність такої відповіді, розрізняти сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» і наукове, геометричне поняття.

Означувані поняття. У систематичних курсах алгебри і геометрії значна кількість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, багаточлен, степінь багаточлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, багатогранник.

Вводячи означення математичних понять, потрібно враховувати, наскільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті істотні властивості, які розкривають зміст нового поняття. Психолог Дж. Брунер з цього приводу зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як рівняння або точні словесні означення, то вони є недоступними для дитини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.

Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах навчання. Що абстрактніше поняття, складніша логічна структура його означення, то гостріша потреба в попередньому запровадженні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення, спочатку на конкретних прикладах з використанням наочних образів. Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і передусім чітко називати спільні істотні властивості, що входять в означення, характер їх зв'язку (кон'юнктивний, диз'юнктивний чи обидва одночасно). При цьому не обов'язково вводити термінологію логіки, важливо пояснити роль сполучників.

Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, слід звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору істотних властивостей, що містить означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема. 

Потрібно показати учням приклади обґрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час розгляду поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками слід пояснити, що доцільність запропонованих означень спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками. 

Поняття, що вводяться описово. Значна кількість математичних понять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5 —6 класів, вводиться описово. Наприклад, у 5 класі за посібниками так вводять поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, площі, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда; у 6 класі — поняття простого і складеного чисел, кола, кругового сектора, кулі, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.

Низка понять вводиться описово, на прикладах і в систематичних курсах алгебри, геометрії. Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри на кількох прикладах запроваджується поняття одночлена і його стандартного вигляду. При цьому увагу звертають на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних та їхніх степенів, тобто фактично розкривають істотну властивість одночленів. Розглядаючи поняття «геометрична фігура» на першому уроці геометрії в 7 класі, недоцільно обмежуватися лише рисунками фігур, запропонованих у підручнику.

 Потрібно показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл, наприклад трикутників, виготовлених з дроту, і плоских трикутників, вирізаних з паперу або картону, кола, круга, паралелепіпеда, кулі. Слід звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля — ні. Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню їхніх властивостей у подальшому вивченні курсу геометрії.

У процесі формування математичних понять учні припускаються помилок, самостійно виявляючи істотні властивості у разі формування поняття конкретно-індуктивним методом і формулюючи означення, якщо їх уже введено. При цьому учні часто не помічають деяких істотних властивостей або умов, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття.

Найефективніше названі помилки виправляти за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити істотні властивості понять, а й міцніше запам'ятати їх.

Наведемо приклад застосування контрприкладів для виправлення помилок учнів під час формулювання вже наведених раніше означень понять.

На уроках геометрії учні вже ознайомились з означенням хорди. Під час повторення вивченого було допущено помилку в означенні. При цьому «діалог» учителя з учнем може бути таким.

Учень. Хорда — це лінія, що з'єднує дві точки кола. 

Учитель проводить хвилясту лінію, що з'єднує дві точка кола. 

Учень. Хорда — це пряма лінія, що з'єднує дві точки кола. 

Учитель проводить січну, що проходить через центр кола. 

Учень. Хордою називається відрізок, що з'єднує дві точки кола.

Рівнозначні поняття. Відношення рівнозначності (або тотожність) утворюється між поняттями, що відображають один і той же предмет, його зв'язки.

У кожному предметі є, з одного боку, істотні ознаки, що є загальними для класу предметів, з іншою специфічні, характерні для даного предмету. Загальні ознаки, як вже мовилося, є родовими ознаками, специфічні — видовими. Родова ознака в даному випадку як би зв'язуюча ланка між видовими поняттями.

У видових ознаках тотожних понять відображаються різні сторони одного і того ж предмету або явища. Значить, видові ознаки цих понять не виключають, а доповнюють один одного. Звідси витікає, що об'єми тотожних понять співпадають.

Виходячи зі всього сказаного можна дати наступне визначення рівнозначних (тотожних) понять.

Рівнозначні поняття — це сумісні поняття про один і той же предмет і відмінні по видових ознаках, що характеризують різні сторони даного предмету:

Дуже важливо уміло користуватися рівнозначними поняттями в практичній діяльності. Уміле їх використовування при викладі учбового матеріалу, при читанні лекцій, виступів з докладом робить їх цікавими за формою і змістом, не стомлює одноманітністю. Цьому умінню потрібно навчати дітей з найперших днів в школі.

Необхідно звернути увагу на помилки, що припускається деколи, при операції рівнозначними поняттями. Так, часто учні ототожнюють абсолютно нерівнозначні поняття. Наприклад, па уроках математики помилково ототожнюються такі поняття, як «круг» і «коло», «додати нуль» і «приписати нуль»; на уроках хімії ототожнюються такі поняття, як безбарвний» і «прозорий», «безбарвний» і «білий»; на уроках фізики часто спостерігається ототожнення понять «сила тяжкості» і «вага тіла», «сила тиску» і «тиск», «сила» і «енергія» «сила» і «потужність».

Поняття, що перехрещуються (відношення перетину). Поняттями, що перехрещуються, називаються видові поняття, що мають загальний рід, а видові ознаки кожного з них відображають як специфічні, так і частково загальні сторони (властивості) предметів і явищ.

Частковий збіг видових ознак понять, що перехрещуються, обумовлює частковий збіг їх об'ємів. Таким чином, на відміну від рівнозначних понять, де видові ознаки не пов'язані один з одним і відображають різні сторони предмету, в поняттях, що перехрещуються, видові ознаки частково співпадають. Приклади понять, що перехрещуються: що «вчиться» і «спортсмен», «інженер» і «винахідник». В приведених прикладах загальним родовим поняттям є «людина». Частина видових ознак поняття що «вчиться входить в зміст поняття «спортсмен»— деякі спортсмени можуть бути тими, що вчаться, але не обов'язково все, і, навпаки, частина видових ознак поняття «спортсмен» складає певну частку змісту поняття що «вчиться» — деякі учні можуть бути спортсменами. Співвідношення понять «інженер» і «винахідник» таке ж. Значить, об'єми цих понять частково співпадають. Наочно це відношення зображається за допомогою двох кругів, що перехрещуються, як показано на мал. 4 (а, б).

Приклад понять, що перехрещуються: «рідина» і «вода». Вода може бути в рідкому, газоподібному і твердому поляганнях. Тільки частина води може знаходитися в рідкому поляганні. Так само тільки частину рідини може складати вода. Загальним родовим поняттям для даних понять є «речовина».

Утворити поняття, що перехрещуються, можна при розподілі якого-небудь родового поняття по різних підставах. Одержані видові поняття знаходитимуться відносно часткового збігу. Наприклад, поняття «людина» розділимо по двох підставах: «національність» і «колір волосся». Одержимо дві групи видових понять, що знаходяться між собою відносно часткового збігу: «російський», «українець», «грузин», «казах» і т. д.; «брюнет», «блондин» і т.д. Ці поняття не будуть рядоположными. Щодо понять, що перехрещуються, в логіці існує правило, яке не можна порушувати: поняття, що перехрещуються, не можна розташовувати в один ряд при переліку.

Зв'язок між видовими ознаками понять, що перехрещуються, може не бути необхідним і бути необхідною. Наприклад, між поняттями що «вчиться» і «спортсмен» зв'язок не необхідний, а між поняттями що «вчиться» і «відмінник» — необхідна, оскільки кожному учню властивий той або інший вид успішності. По видовій ознаці зв'язок між даними поняттями, що перехрещуються, необхідний, родова ознака є їх зв'язуючою ланкою.

У результаті перетину об'ємів (збіги частини змісту) понять, що перехрещуються, можуть утворюватися нові поняття. Загальні елементи об'ємів понять, що перехрещуються, складають об'єм освіченого поняття. Наочно це представлено на мал. 4.

Несумісними називаються поняття, що мають загальне найближче родове поняття (родова ознака) і видові ознаки, що виключають один одного, наприклад: «сміливий» — «несмілий», «білий» — «чорний», «глибокий» — «дрібний». Об'єми сумісних понять не містять в собі загальних елементів. В основі відношення несумісних понять лежить виключення їх один одним за об'ємом і за змістом. Загальним же для сумісних і несумісних понять є те, що вони мають загальне найближче родове поняття (є порівнянними).

До несумісних відносяться осоружні і суперечать поняття. Несумісними можуть бути і супідрядні поняття.

Супідрядні поняття відображають види одного загального для них і роду, що підпорядковує їх. Об'єми супідрядних понять складають самостійні частини об'єму родового поняття. Відношення між видами, підлеглими одному загальному для них роду, називається відношенням супідрядності.

За змістом супідрядні поняття мають як загальні ознаки, що є ознаками родового поняття (родовими ознаками), так і специфічні, відображають особливості видових понять (ознаки видової відмінності). Якщо супідрядні поняття несумісні, то вони строго підкоряються всім правилам розподілу понять і тому, зокрема, не можуть бути тими, що перехрещуються (Мал.5,а). Але супідрядні поняття можуть бути і сумісними. В цьому випадку видові поняття, підлеглі загальному роду (члени супідрядності), можуть бути тими, що перехрещуються. Цей випадок схематично, зображений на мал. 5,б), з якого видно, що члени супідрядності можуть бути поняттями, що перехрещуються (поет може бути одночасне і романістом, і драматургом і т. д.).

У учбовому процесі дуже важливо правильно співвідносити поняття, не припускаючись при цьому помилки. Це можливо при знанні наступних правил операції супідрядними поняттями:

	Супідрядні поняття повинні бути найближчими видами одного загального роду.

	Розташовувати в один ряд при переліку можна тільки супідрядні поняття, що мають найближчий загальний рід. Учні ж при переліку часто припускаються помилки. Так, наприклад, учень, перераховуючи геометричні фігури, назвав трикутник, паралелограм, ромб і т.д. Помилка в тому, що ромб — найближчий вид не геометричної фігури, а паралелограма. У відомому вже нам прикладі з двигунами учні перераховують двигуни: механічні, теплові, поршневі, електричні, атомні, реактивні. У всіх приведених прикладах в один ряд ставляться поняття, що мають загальний рід, але не найближчий, тобто вони різного ступеня спільності. Подібний перелік невірний.

Зустрічається і інший варіант помилкового переліку. Наприклад, перераховують «баріони»: нуклони, гіперони, піони (піони відносяться до класу мезонів); «дерева листяної породи»: сосна, береза, клен, дуб, осика і т.д. В цих випадках загальному родовому поняттю підпорядковують декількох видових понять, що належать різним родовим поняттям.

Осоружні поняття. Осоружними називаються несумісні (супідрядні) поняття, видові ознаки яких обумовлюють найбільшу відмінність їх в змісті і повне виключення їх збігу за об'ємом.

Якщо при розподілі родового поняття на види по певній підставі розташовувати видові поняття по ступеню відмінності їх ознак, то утворюється ряд супідрядних понять. При цьому крайні в даному ряду поняття матимуть найбільші відмінності між собою. Говорять, що ці два поняття знаходяться відносно осоружності приклади: 1) білий, білястий, світло-сірий, сірий, темно-сірий, чорнуватий, чорний; 2) високий, вище середнього зростання, середнього зростання, нижче середнього зростання, низький. Як бачимо, найбільшу відмінність в даних рядах понять мають крайні поняття «білий» — «чорний»; «високий»-— «низький». Відношення осоружності встановлюється між поняттями, що відображають предмети, що займають крайні положення у ряді однорідних предметів. Осоружні поняття мають загальний рід (наприклад: колір, зростання), але видові ознаки їх обумовлюють найбільшу можливу відмінність між ними з даного ряду несумісних супідрядних понять. Таким чином, осоружні поняття утворюють особливий випадок супідрядності. Разом з тим крайню відмінність мають і незрівнянні поняття.

Але, на відміну від осоружних понять, незрівнянні поняття не мають загального родового поняття, бо відносяться до надзвичайно віддалених один від одного сторін або областей дійсності. 

Сума об'ємів осоружних понять не вичерпує повністю об'єму родового поняття. Більш того, між ними можуть знаходитися інші видові поняття, що розрізняються у меншій мірі. Зміст обох осоружних понять носить цілком певний, позитивний, ствердний характер, і ці поняття не можуть існувати одне без іншого. 

Так, без верху немає низу, без білого — чорного і т.д. Слова, що виражають осоружні поняття, називаються антонімами. Всі розглянуті вище види понятті по їх відносинах можна представити схематично, як показано на мал.6

Поняття, що суперечать. Поняттями, що суперечать, називаються два несумісні супідрядні поняття, сума об'ємів яких повністю вичерпує об'єм загального родового поняття, а видові ознаки мають протилежний характер (ознаки одного поняття повністю заперечують інше, і навпаки), наприклад: «білий»—«небілий», «високий» — «невисокий». 

Ці поняття від осоружних відрізняються тим, що сума їх об'ємів рівна об'єму родового поняття. 

Значить, між ними немає якого-небудь середнього, третього поняття, наприклад: у разі поняття вся решта «білого» ряду понять входить в поняття «небілий». Якщо осоружні поняття обидва позитивні, то що суперечать — одне має позитивну видову ознаку, інше — негативний.



1.6. Зв'язок між поняттями.



Всі предмети і явища навколишньої дійсності зв'язані і взаємно обумовлюють один одного. Віддзеркалення цих об'єктивне існуючих зв'язків між предметами і явищами в свідомості людини — зв'язки і відносини між поняттями.

Як абсолютно справедливо говорив Д.Д. Ушинський, поняття не лежать в голові учня мертвими низками, одне біля іншого. Вони багатьма сторонами стикаються один з одним.

Поняття взаємно зв’язані і взаємно обумовлюють один одного. Відносини між поняттями є, перш за все, відносини їх по таких характеристиках, як зміст понять і їх об'єм. З урахуванням цих характеристик і їх взаємозв'язку розрізняють родові і видові поняття.

У кожному предметі є, з одного боку, істотні ознаки, загальні для класу предметів, а з іншою — специфічні, характерні для окремої групи предметів.

У книзі пані короткі відомості про характеристики і види понять. При бажанні читач може поглибити знання з цих питань, використовуючи спеціальну літературу.

Поняття, що відображають істотні загальні ознаки класу предметів, називаються родовими або пологами. Об'єм родового поняття включає об'єм декількох понять меншого ступеня спільності. Загальна ознака родового поняття називається родовою ознакою. Родова ознака визначає істотно загальне (тотожне) в змісті класу предметів, явищ дійсності.

Поняття меншого ступеня спільності, що відображають властивості окремих предметів (явищ), що входять в об'єм родового поняття, називаються видовими або видами. Зміст видових понять відображає специфічні, характерні властивості груп предметів; воно виражається в так званих видових ознаках. Ознака, по якій один вигляд відрізняється від інших видів одного і того ж роду, називається ознакою видової відмінності. Об'єми видових понять повністю входять в об'єм родового поняття, є його частиною.

Відношення за об'ємом двох понять (відношення роду і вигляду) в логіці прийнято наочно зображати у вигляді кругів (кругів Ейлера), як це показано на мал. 7. При цьому родовому поняттю відповідає круг більшого діаметру, видовому — круг меншого діаметру. Це умовне зображення показує, що об'їм поняття, що є родовим, більше об'єму поняття, що є по відношенню до нього видовим. Воно показує також, що об'єм видового поняття — частина об'єму родового. Видові поняття, об'єм яких складає частину родового поняття, називаються підлеглими. По відношенню до родового, підпорядковує поняття вони знаходяться в підкоренні, а по відношенню один до одного — в супідрядності. А самі видові поняття, що мають загальний найближчий рід, називають супідрядними. При відношенні підкорення поняття підкоряються один одному як за об'ємом, так і за змістом. Підкорення за об'ємом розглянуто вище. За змістом це відношення встановлюється на основі загальної родової ознаки, що міститься у видовому понятті (як частини його змісту). Визначаючу роль грає зв'язок за змістом, тому що відношення за об'ємом встановлюється на основі родової ознаки, що міститься у всіх видових поняттях, що мають загальний рід. Але необхідно мати зважаючи на, що встановлення відношення між поняттями, як за об'ємом, так і за змістом — єдиний нероздільний процес. Відношення підкорення — дуже важливий вид відношення між поняттями. Неможливо дати жодного визначення, не підпорядкувавши видове поняття родовому. Будь-яке правильне визначення починається саме зі встановлення підкорення між видовим і родовим поняттям. Дати визначення — це значить знайти найближче родове поняття даного видового і вказати його видову відмінність, наприклад: «Динамометр є прилад для вимірювання сили». Тут найближче родове поняття «прилад», видова відмінність — «для вимірювання сили».

При операції поняттями, що знаходяться відносно підкорення, часто припускається помилки, що є слідством неправильного підведення видового поняття під родове поняття або знаходження видових понять якого-небудь родового поняття. Щоб не припускатися подібної помилки, необхідно знати наступні правила:

	Підлегле поняття — це видове поняття, а що підпорядковує поняття — це родове поняття.

	Те, що властиво поняттю, що підпорядковує, то властиво і підлеглому поняттю, але не все, що властиво підлеглому поняттю, можна знайти в понятті, що підпорядковує.

Наприклад, все, що властиво поняттю «дерево» (що підпорядковує поняття), то властиве і поняттю «хвойне дерево» (підлегле поняття). Проте не все, що властиво хвойним деревам, буде властиво всім деревам. Те, що властиво хвойному дереву і що відрізняє цей вид дерев від листяних, не входить в зміст родового поняття «дерево» (це видова ознака).Завершальним етапом формування поняття, як правило, є його означення. В математиці і в навчанні математики застосовують різні способи означення понять. Найчастіше, особливо в навчанні геометрії, зустрічаються означення «через найближчий рід та видову відмінність». 



1.7. Означення понять. Способи означення понять.



Означення відіграють велику роль у математиці. Вони допомагають виділити даний предмет з інших об'єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої ми розкриваємо зміст поняття.

Об'єкт має багато властивостей. Щоб його відрізнити від інших об'єктів, досить виділити лише його істотні властивості. Уміння точно визначити поняття, а отже, знання правил визначення понять, має величезне значення у всіх областях науки і практики. Не випадково розробкою прийомів визначення понять займалися філософи з якнайдавніших часів. Перші спроби такого роду були зроблені старогрецьким філософом-матеріалістом Демократом (460—370 рр. до н. э.) в його трактаті «Про логіку», старогрецьким філософом-ідеалістом Сократом (469—399 рр. до н. э.), що спирався на індукцію. Ознаки правильності визначень він знаходив на основі аналізу окремих випадків. Платон (428—347 рр. до н. э.), розвиваючи сократівську індукцію, приходить до думки, що поняття є істотне в речах, загальне, показуюче приналежність до загального роду. Він вважав, що визначення повинне указувати на приналежність до загального (роду) і на специфічну відмінність, яка відрізняє цінну річ від всіх речей роду. В подальшому проблемою визначення займалися Арістотель (384—322 рр. до н. э.), Т. Гоббс і 1588—1679) і інші філософи.

Визначити поняття — це значить підвести дане видове поняття під найближче родове поняття і укажіть його видові відмінності. «Визначити поняття зовсім не означає перерахувати ознаки предмету (ця операція здійснюється лише з мертвим поняттям, вийнятим з теоретичного контексту). Визначити поняття означає розвинути його, включити у вузлову лінію понятійних перетворень. Це означає, далі, визначити його через «місце» в системі понять, в теоретичній структурі».

Означити поняття — це перелічити всі істотні ознаки об'єктів, що охоплюються даним поняттям. Наприклад, в означення поняття кільця ми спочатку включаємо його родову ознаку, а саме, що це множина елементів довільної природи, а потім перелічуємо такі його істотні ознаки: 

1) для елементів цієї множини означені дві операції — додавання і множення; 

2) повинні виконуватися: 

  а) комутативність додавання,

  б) асоціативність додавання і множення; 

3) для будь-яких а і b рівняння а + x = b має єдиний розв'язок; 

4) має місце дистрибутивність множення по відношенню до додавання.

Під істотними ознаками розуміємо такі незалежні між собою ознаки, кожна з яких необхідна, але всі разом достатні, щоб відрізнити об'єкти даного роду від інших. Означення не є раз назавжди даним і незмінним. Чим ширші і глибші наші знання про навколишню дійсність, тим повніші і точніші наші поняття, що відображають істотні властивості об'єктів дійсності. 

Вибір ознак для означення не є однозначним. Досить для цього навести хоча б один такий приклад: паралелограм можна означити, як 1) чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні; 2) як чотирикутник, в якого діагоналі взаємно діляться пополам; 3) як чотирикутник, в якого протилежні сторони конгруентні і т. д.

Істотні ознаки, які входять в означення, повинні бути незалежні між собою; в противному випадку означення буде неточним. Наприклад, означення «паралелограм — це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні і конгруентні» містить у собі зайву ознаку (сторони конгруентні).

Так само, коли в означенні недостатня кількість істотних ознак, то означення буде неточним. Воно буде охоплювати і такі поняття, які воно не повинне охоплювати. Наприклад, коли означити паралельні прямі в просторі як прямі, що не перетинаються, то під це означення підпадуть і мимобіжні прямі (вони також не перетинаються у просторі). Отже, це означення є неточним.

Істотні ознаки, які характеризують ті чи інші поняття, є, в свою чергу, також поняттями, що потребують означення. Але кожне з них також зводиться до інших. Очевидно, такий послідовний ланцюг означень не можна продовжити до нескінченності; зрештою ми приходимо до поняття, для якого на даному етапі розвитку науки вже не можна вказати найближчий рід. Таке більш широке поняття називається основним, воно вже не означається. До таких понять, наприклад, у шкільному курсі відносять поняття «множина», «площина», «точка», «пряма», «відстань», «змінна». 

Визначення понять в найширшому значенні є логічна операція, в процесі якої розкривається зміст поняття, тобто указуються відмітні істотні ознаки предметів, відображених в даному понятті.

Визначити поняття — значить, в короткій формі виразити найзагальніші, основні і істотні властивості визначуваного предмету, не вичерпуючи всіх його властивостей, сторін і зв'язків.

Визначення поняття — сходинка в пізнанні навколишнього світу. Але для того, щоб ця сходинка вела нас до більш глибокого пізнання предметів і явищ, їх зв'язків і відносин, треба пам'ятати, що коротке визначення не відображає предмету або явища повністю. 

Отже, визначити поняття — значить, виразити в короткій формі найзагальніші, основні і істотні властивості визначуваного предмету, не вичерпуючи всіх його властивостей, сторін і зв'язків.

Помилки, що допускаються у визначенні понять. Педагогу важливо знать не тільки правила визначення понять, але і типові помилки, що допускаються в учбовій практиці у визначенні понять. 

В логіці розрізняють 6 основних помилок: порушення правила відповідності (дві помилки), тавтологія у визначенні, круг у визначенні, визначення невідомого через невідоме, включення у визначення неістотних ознак поняття.

	Приклади вузьких визначень:	   Приклади широких визначень:

		Речовиною називається те, що має	  1. Речовиною називається матерія.               молекулярна будова.

		Двигун — машина, перетворююча	  2.Двигун — машина. 

		електричну енергію в механічну.

Єство другої помилки у визначенні поняття — тавтології — полягає в тому, що предмет визначається через самого себе, а міняється тільки (і то часто трохи) словесна форма виразу.

Ф. Энгельс в «Анті-Дюрінге» визначає тавтологію як «просте повторення в предикаті того, що було вже виказане в суб'єкті». Іншими словами, тавтологія — просте повторення в присудку того, що було вже виказане в підметі.

Тавтологія нерідко спостерігається у визначеннях, формульованих тими, що вчаться. Наприклад, на уроках хімії і фізики учні допускають наступні визначення: «Речовиною називається те, з чого складається речовина», «Кількість внутрішньої енергії, яку тіло одержує або віддає при тепловіддачі, називається внутрішньою енергією», «Внутрішня енергія є внутрішня енергія».

В. И. Григорьев і Р. Я. Мякишев в своїй книзі «Сили в природі» про такого роду визначення образно пишуть: «Змія укусила себе за хвіст».

Круг у визначенні у відповідях вчаться зустрічається рідше, але ця помилка спостерігається в учбовій і методичній літературі. І часом вона ніким не помічається. Суть помилки полягає в тому, що одне поняття визначається через інше, а це інше — через перше. Наприклад: «Що таке обертання?» — «Рух навкруги осі».— «А що таке вісь?» — «Те, навкруги чого відбувається обертання».

Приклад круга у визначенні — визначення роботи і енергії. Енергія в багатьох вузівських курсах і шкільних підручниках визначається як здатність тіл або системи тіл скоювати роботу. А робота, у свою чергу, визначається як міра зміни енергії або процес перетворення одного виду енергії в іншій.

Визначення невідомого через невідоме. Суть цієї помилки полягає в тому, що поняття визначається через таке поняття, ознаки якого невідомі і яке саме ще повинне бути визначене.

Включення у визначення неістотної ознаки також зустрічається досить часто. Так, наприклад, визначаючи поняття «пружинний динамометр», багато учнів 6 класу пишуть: «Це прилад, що складається з пружини з гачком». Тут вказана неістотна ознака — гачок. І невірно вказаний рід — «прилад». Потрібно брати найближчий рід — «динамометр». Інший приклад подібної помилки у визначенні: «Речовиною називаються форми матерії, що володіють енергією». Ознака «володіють енергією» для речовини не суттєво, оскільки енергія властива не тільки речовині, але і полю.

Знання типових помилок у визначенні понять дає можливість вчителю більш строго відноситися до визначень, які дає він сам що вчиться на уроці, і до визначень, які дають учнів в своїх відповідях.

Визначаючи те або інше поняття, вчителю треба мати у вигляді наступне:

	Визначення поняття не ставить задачу охопити предмет вичерпним чином. Воно відображає лише самі загальні і відмітні властивості визначуваного класу предметів або явищ. Корисно нагадати слова Ф. Энгельса про те, що від визначення не слід вимагати більше того, що воно може дати. Кожний предмет має велике число властивостей і зв'язків з іншими предметами матеріального миру. Для того, щоб відмежувати предмет від інших предметів, достатньо виділити лише найістотніші властивості (вказати рід і видову відмінність).

	Задача визначення — в короткій формі зафіксувати здобуті знання про предмет або явище.

	Визначення поняття не є раз і назавжди дане, незмінне. У міру розвитку науки заглиблюються наші знання про природу і відповідно до цього уточнюється зміст понять, а разом з цим і їх визначення. На цьому питанні ми ще зупинятимемося докладніше у зв'язку з розглядом питання про розвиток понять в науці.

4. Слід завжди мати у вигляді, що формально-логічна операція визначення поняття може бути застосована лише тоді, коли з'ясовано, що слід вважати істотним, єством. Питання ж про єство розробляє змістовна діалектична логіка.

Визначення понять з переходом учнів з класу в клас уточнюються. Це питання також розглядатиметься більш детально у зв'язку з аналізом процесу формування понять у школярів. Разом з тим вже зараз хотілося б попередити про доцільність прагнення неодмінно давати визначення поняття на самому початку його формування у школярів. У зв'язку з цим корисно привести вислів російського педагога Ц. І. Балмлона, який в книзі «Виховне читання», виданої в 1908 р., абсолютно правильно попереджав, що розвиток відвернутого понятійного мислення в дитячому віці вимагає від вчителя найбільшого терпіння і обережності; воно досягається поволі, поступово, у зв'язку з органічним зростанням дітей і накопиченням у них реального досвіду.

Відвернуті поняття повинні складатися і зростати як результат поступового розширення кругозору.

Російський педагог В. И. Шереметовский розглядав як злочин проти першої заповіді дидактики, що наказувала помірність і акуратність, прагнення вичерпувати все відразу до дна. Насправді ж всяке теоретичне положення, всякий висновок і узагальнення на перший раз відкладається, так би мовити, на поверхні свідомості, і лише при подальшому неодноразовому вживанні теорії до практики, при підкріпленні одного теоретичного положення іншим, поступово первинне поверхневе уявлення проникає в глибінь свідомості і утворюється, нарешті, той «розумовий осад», який вже можна вважати, а ясне поняття, за точне грунтовне знання.

Але з цього правильного положення про те, що для ряду понять не можна дати відразу закінченого визначення, що поняття повинні розвиватися поступово і згідно з цим на різних татах навчання повинне вводитися різне формулювання визначення, що поступово розкриває все більш і більш глибокий зміст даного поняття, зовсім не витікає, що взагалі можна не давати в процесі навчання (в підручниках) закінчених формулювань визначень ряду основних понять.



1.8. Способи означення понять. 



Логіка указує прийоми визначення понять, що дозволяють розкрити істотні ознаки, не вдаючись до докладного переліку всіх істотних ознак. Є декілька способів визначення понять. Основними з них є: визначення через найближчий рід і видову відмінність, генетичне визначення — визначення через вказівку способу утворення предмету.

Виділяють також номінальне визначення — пояснення значення слова, імені або терміну, що позначає дане поняття. Є різні способи означування понять. Основний з них — через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад, «Медіана є відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони». Тут вказано родове поняття (відрізок) і видова відмінність (з'єднує вершину з серединою протилежної сторони).Означення через абстракцію — це означення, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. Наприклад: «число (кардинальне) класу а є клас всіх класів, що перебувають у відношенні взаємно однозначної відповідності з класом а».

Аксіоматичне означення — це логічна операція опосередкованого розкриття змісту поняття за допомогою певної аксіоматики. Так, система аксіом геометрії Гільберта непрямо означає поняття «точка», «пряма», «площина», «належність», «між», «конгруентність». Наприклад, аксіоми інцидентності (належності): 1) двом точкам належить тільки одна пряма; 2) якщо дві точки прямої належать площині, то й ця пряма інцидентна даній площині, опосередковано розкривають зміст понять «пряма», «площина», «інцидентиність».

Оскільки зміст кожного поняття розкривається через означені вже поняття, то в процесі такого поступового зведення (редукції) приходять до ряду не означуваних понять. Це є первісні, основні поняття, такі як: «множина», «відповідність», «натуральне число», «точка», «пряма», «площина», «конгруентність» тощо.

При означуванні понять треба запобігати створенню сурогатів-означень, в яких за означення беруться перелік тих моментів з практики, які привели до утворення даного поняття. Наприклад: «Число є результат рахунку або вимірювання»; «відношення є результат порівнювання» і т. д. Тут за означення поняття взято деякий його опис. Означення, по можливості, не повинно подаватися в негативній формі. Наприклад, означення: «трапеція не є паралелограм», або «ірраціональне число — це не ціле число» є неправильними.

Перший основний спосіб означення починається з вказівки роду, в який як вигляд входить визначуване поняття. При цьому береться не перший рід, що попався, а найближчий, в який даний вигляд входить. Родове поняття — це і є більш широке поняття, під яке, «підводиться» визначуване видове поняття.

Знаходження більш широкого поняття є тільки початком визначення поняття. Другий етап — вказівка видової відмінності визначуваного поняття. В кожний рід входить багато видів. Для того, щоб точно визначити поняття, треба знайти зміст даного вигляду, знайти ту специфічну істотну ознаку, по якій даний вигляд відрізняється від всієї решти видів, що входять у вказаний рід.

Вперше наукове формулювання прийому визначення поняття через найближчий рід і видову відмінність дав Арістотель. Він сформулював також правила визначення, прийняті сучасною традиційною логікою. Д. Маркс, Ф.Энгельс в своїх працях широко користувалися цим прийомом визначення поняття. Серед  помилок більш типовими при означуванні є: не називання окремих істотних ознак поняття. Наприклад: «Кут, утворений двома хордами, називається вписаним» (не сказано, що його вершина лежить на колі); «Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, називається правильною» (не зазначено, що її вершина ортогонально проектується в центр основи) і т. д. Причиною таких неточних формулювань є недостатнє розуміння кожної з істотних ознак означуваного поняття. Тому при введенні поняття слід виділяти всі їх істотні ознаки, перелічити ці ознаки, зіставити означуване поняття із спорідненими, але відмінними поняттями. і називання зайвих (вивідних) ознак поняття, наприклад: «Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції і паралельний основам трапеції». Такі помилки є менш істотними, ніж попередні. Однак вони свідчать про те, що учні не усвідомлюють потреби мінімалізації ознак в означенні поняття. Виправляючи їх, треба пояснити учневі, що вивідні ознаки понять є предметом не означень, а теорем; що цим демонструється не «обширність» його знань, а логічна нечіткість. Причиною таких помилок є дещо неосмислене нагромадження учнем ряду споріднених фактів. Щоб запобігти появі таких помилок, доцільно в ході викладання та після розгляду певної теми (наприклад, про трапецію) показ учням логічне призначення кожного із розглянутих математичних тверджень.

Називання суперечних ознак, наприклад, «Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, а кути діагоналями поділяються навпіл». У подібних випадках пояснюємо, що не можна об'єднувати в одному твердженні істотні ознаки поняття загального виду із специфічними ознаками підпорядкованого йому поняття.

	

1.9. Види означень. 



Існують різні види означень у математиці. Найпоширеніший з них — означення через рід і видову відмінність.

Означення через рід і вид. При такому означенні ми заздалегідь визначаємо клас, який припускається вже точно означеним, і з нього виділяємо підклас, що має дану видову відмінність. Наприклад, арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом. Найближчий рід тут — це поняття «послідовність» (припускається, що поняття «послідовність» точно означене), видова відмінність: «кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом».

Означення поняття характеризується двома основними частинами. Перша частина - визначуване поняття. Це то поняття, що визначається, друга частина — визначальна поняття — ті слова в означенні, що характеризують родову і видову ознаки визначуваного поняття. Наприклад, в означенні арифметичного квадратного кореня «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а» визначуване поняття буде «арифметичний корінь», визначальне поняття — це слова «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а».

Означення через рід і вид здебільшого зустрічаються у геометрії.

Генетичне означення. Генетичне означення — це означення, яке вказує на походження предмета, яке охоплюється даним поняттям. У такому означенні вказується спосіб, яким даний предмет утворюється. Наприклад, означення: «Куля — тіло, яке утворюється від обертання півкруга навколо діаметра» є генетичним означенням. В цих означеннях використовується рух або побудова.

У генетичному означенні також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність визначуваного предмета від інших предметів даного роду. Наприклад, в означенні циліндричної поверхні: «Поверхня, яка утворюється рухом прямої, що переміщується паралельно самій собі і яка перетинає деяку задану плоску криву (направляючу циліндричної поверхні) поняття «поверхня» є родовою ознакою, а всі інші ознаки, що входять у це означення, є видовими ознаками.

Означення —умовні погодження. До таких означень, наприклад, відносять: 1) означення добутку від'ємних чисел (—а) * (—b) = ab; 2) означення добутку двох дробових чисел:  ; 3) означення степеня з від'ємним показником: а-n =; 4) означення степеня з нульовим показником а0 = 1; 5) означення  = 1 і т. д.

У старих підручниках ці означення фігурували як правила, і тому окремі учні часто плутали їх з теоремами. Наприклад, окремі учні помилково вважали, що висловлення а0 = 1 — це теорема, а не означення. Термін «умовні погодження» є невдалим, і це призводить, до того, що окремі учні помилково вважають, що в математиці можна довільно прийняти будь-які погодження. Слід їм пояснити, що доцільність вибору тих чи інших означень диктується потребами узагальнення і зумовлюється певними математичними принципами, перевіреними практикою в широкому розумінні цього слова.

Важливо, щоб учні старших класів навчились самі розбиратися в доцільності таких означень і вміли пояснювати, чому саме вибрані ті означення, а не інші.

При введенні такого означення, яке ще не використовувалося, не треба запитувати: «Чи вірне це означення?». Досить запитати, чи доцільно вибрано означення?

Означення через абстракцію. До цього виду означення звертаються тоді, коли означення через рід і вид важко здійснити.

Процес утворення поняття в цьому випадку спирається на абстракцію ототожнювання. Зіставляючи і порівнюючи між собою різні предмети, ми виділяємо їх спільні властивості, а серед них— специфічні, відмінні властивості для даного кола предметів, утворюючи відповідні множини, кожний елемент яких розглядається під кутом зору цієї відмінної властивості.

Сукупність встановлених при цьому ознак ми об'єднуємо загальною назвою, не вказуючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення нового поняття ще не створене). Таким способом утворюється нове поняття.

Візьмемо, наприклад, поняття «величина». В результаті спостережень і досвіду виявляються такі основні ознаки цього поняття:

які б не були а і b має місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або а = b, або a < b, або b < а;

якщо а < b і b < с, то а < с (транзитивність відношень «менше», «більше»);

для будь-яких двох величин а і b існує однозначно визначена величина с = а + b;

а + b = b + а (комутативність додавання);

а + (b + с)=(а+b)+с (асоціативність додавання);

	а +b >а(монотонність додавання);

	якщо а > b, то існує одна і тільки одна величина с, для якої b+с =а (можливість віднімання);

якими б не були величини а і натуральне число n, існує така величина В, що nb = а (можливість ділення);

	якими б не були величини а і b, існує таке натуральне число п, що а < nb. Ця властивість називається аксіомою Архімеда;

10)якщо послідовності величин а1< а2< ... < b2< b1
такі, що bn - аn< с для будь-якої величини с при досить
великому номері п, то існує єдина величина х, яка більша за
всі аn і менша за всі bn.

Стимулом для формування поняття «величина» є потреба взагалі порівнювати між собою різні предмети. Раніше (ще в дошкільному періоді) у дітей утворюються відносні поняття «великий і маленький», «довгий і короткий» і т. д. і поступово виділяється те спільне, що лежить в основі поняття «величина», пізніше — утворюється поняття «дорівнює», яке спочатку виникає в негативній формі «не більше» і «не менше». Це пояснюється тим, що практично нерівність предметів встановити набагато легше, ніж рівність.

Означення через аксіоми. Цей вид означення розкриває зміст поняття непрямим шляхом через систему аксіом, які описують відношення, що зв'язують це поняття з рештою понять даної системи.

За допомогою системи аксіом визначаються найбільш широкі родові поняття геометрії через основні поняття: «точку», «пряму», «площину», «відстань» «належить» та ін. Решта понять визначається за допомогою цих понять.

У алгебрі через систему аксіом визначаються такі широкі поняття, як група, кільце, поле, тіло, структура і т. д.

Усвідомлення учнями аксіоматичних означень можливе лише в старших класах, коли вони матимуть певне уявлення про дедуктивну побудову курсу математики.



1.10. Структура означення.



 Визначення через найближчий рід і видову відмінність складається з двох частин: визначуваного поняття і визначального поняття.

Визначуване поняття — поняття, істотні ознаки якого відшукуються, а визначаюче поняття — поняття, що відображає родовою і видовою ознаки. Родове поняття — більш загальне поняття, в об'єм якого входить визначуване поняття.

Так, визначення поняття «електродвигун» буде сформульовано таким чином: «Електродвигуном називається двигун (найближчий рід), що перетворює електричну енергію в механічну (видова відмінність)». Тут на першому місці — визначуване поняття «електродвигун», а на другому — що підпорядковує (родове) поняття «двигун», на третьому — видова відмінність (перетворюючий електричну енергію в механічну). Схемно структуру даного визначення можна представити так: електродвигун — двигун — перетворюючий електричну енергію в механічну.

Визначення, в яких вказані всі необхідні ознаки, називаються повними визначеннями. Якщо у визначенні не вказані всі необхідні ознаки, воно називається неповним.

П р а в и л а в и з н а ч е н н я п о н я т ь. Логікою встановлений ряд вимог, яким повинні задовольняти визначення понять. Ці вимоги одержали в логіці назву правил визначення. Таких правил п'ять. Порушення одного з них приводить до помилок у визначенні і кінець кінцем до того, що зміст поняття і його об'єм виявляються невірно розкритими у визначенні. Розглянемо ці правила.

	1. Визначення повинне бути відповідним, тобто об'єми визначуваного поняття і поняття, за допомогою якого визначається перше поняття, повинні бути однакові.

Приведене раніше визначення електродвигуна задовольняє цій вимозі. Приклад порушення даного правила — наступні визначення: «літак є машина» і «двигун є машина». Ці визначення надмірно широкі: об'єм визначального поняття («машина») ширше за визначуване поняття. Машин існує багато — це і двигуни, і генератори електричного струму, це і транспортні машини і т.д. Приведені приклади є прикладами надмірно широких визначень.

Інший приклад невідповідного визначення: «Динамометром називається прилад, головною частиною якого є проградуйована пружина». В цьому визначенні, навпаки, об'єм визначального поняття виявляється значно вужче визначуване (об'єм правої частини визначення виявляється вже об'єму лівої частини). Таке визначення дуже вузьке. Воно охоплює тільки пружинні динамометри. За межами визначення виявилися і гідравлічні динамометри і динамометри з тензометрическими датчиками.

Визначення буде вірним при умові, коли об'єм його лівої частини повністю співпадає з об'ємом правої частини. Цій вимозі задовольняє приведене визначення електродвигуна.

	2. Родова ознака повинна указувати найближче вище поняття, не перескакуючи через нього.

Це правило забороняє брати при визначенні понять віддаленіший рід. Приклади порушення даного правила: «Парова турбіна є двигун, що перетворює енергію пари в механічну»; «Парта є меблі для сидіння учня». В першому визначенні замість найближчого роду «тепловий двигун» узятий віддалений рід «двигун». В другому визначенні замість найближчого родового поняття «класні меблі» узятий віддалений рід «меблі» (меблі взагалі).

3. Видовою відмінністю повинна бути ознака або група ознак, властивих тільки даному поняттю і відсутніх в інших поняттях, що відносяться до того ж роду.

Приклад порушення даного правила: «Пружинним динамометром називається прилад, що служить для вимірювання сили». Тут ознака — прилад для вимірювання сили — є загальним не тільки для пружинних динамометрів, але і для інших видів динамометрів, а треба вказати таку ознаку, яка властива тільки динамометрам даного вигляду.

	4.Визначення не повинне бути тільки негативним. Негативне визначення не указує істотних ознак, значить, і не розкриває змісту поняття.

	5.Всяке визначення повинне бути ясним.

Виконання вказаних правил має особливо важливе значення в учбовому процесі при формуванні понять у школярів. Дотримання вказаних правил визначення в підручниках і при поясненні матеріалу вчителем запобігає змішенню понять, сприяє освіті біля правильних понять, що вчаться, адекватно тих, що відображають явища і предмети реальної дійсності.

Тому знання правил визначення наукових понять необхідне кожному педагогу. На жаль, на практиці нерідко спостерігається порушення вказаних правил не тільки при поясненні матеріалу вчителями, але і в учбовій літературі. Визначення через найближчий рід і видову відмінність — найпоширеніший прийом визначення, але не єдиний.

Генетичне визначення — це таке визначення, коли указується на походження предмету, поняття якого визначається, на той спосіб, яким даний предмет створюється. Так визначається коло і ряд інших геометричних понять. Наприклад: «Коло є геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї неї крапки (центру)».

У визначенні поняття, одержаному генетичним способом, також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність від інших предметів даного роду, як і при першому способі визначення. У науці ми маємо справу в основному з першим способом визначення, тобто через найближчий рід і видову відмінність. Ці визначення ми і розглядатимемо надалі.

1.11. Основні вимоги до означень



Математичне означення — це таке формулювання, яке цілком зводить нове поняття до вже відомих понять тієї ж математичної галузі. Наприклад, означення числової функції однієї змінної як відображення підмножини D множини R дійсних чисел на другу підмножину  є науковим означенням, бо в ньому, крім первинного поняття «множина», всі поняття, що входять, були до цього означені. 

При побудові математичної науки намагаються, щоб кожне нове поняття, що вводиться, було строго означено. З самого початку в кожній математичній науці вводиться група з невеликого числа первинних понять, які не означаються. Між цими первинними поняттями встановлюються закономірні обов'язкові відношення, які описуються за допомогою системи аксіом. Як приклад, можна навести аксіоматику натуральних чисел Пеано, до якої входить три первинні поняття: (число, одиниця, наступне число) і чотири аксіоми: 

1) одиниця є натуральне число; 

2) за кожним натуральним числом є єдине наступне натуральне число;

 3) одиниця не є наступною ні за яким натуральним числом; 

4) аксіома математичної індукції.

Обов'язковою вимогою логічної побудови кожної математичної дисципліни є зведення числа первинних понять і аксіом до мінімуму. Проте це питання не визначається однозначно. З формального боку воно може бути довільним і залежить від вибраної системи викладу. Поняття, які були визнані за первинні в одній системі викладу, можуть бути в іншій системі такими, що підлягають означенню.

До означення ставлять низку вимог. Найважливіші з них такі.

Відсутність хибного кола. Це означає, що означуване поняття не повинне явно чи неявно містить у тому понятті, за допомогою якого воно означається. Наприклад, інколи намагаються сформулювати означення наближеного числа так: число, яке неточно, тобто з похибкою, виражає значення величини або деякого числа, називають наближеним. За іншим означенням, похибка – це різниця точного і наближеного чисел. Інший приклад, взаємно перпендикулярні прямі означають як прямі, що утворюють прямий кут. Водночас прямий кут означається як такий, у якого сторони взаємно перпендикулярні.

Відсутність омоніма. Це означає, що кожний термін (символ) має вживатися не більше ніж один раз як такий, що відповідає означуваному поняттю. У разі порушення цієї вимоги той самий термін (символ) позначатиме різні поняття.

Означення не повинно містити означуваних понять, які ще не означались.


РОЗДІЛ ІІ. ОСНОВНІ ЕТАПИ РОЗКРИТТЯ ЗМІСТУ МАТЕМАТИЧНОГО ОБЄКТА (ФОРМУВАННЯ ОЗНАЧЕННЯ).



1. Логічний аналіз структури означення (виділення терміна, роду, видових відмінностей і логічний зв'язок властивостей).



Питання про поняття, об'єкти і їх визначення дуже складний за змістом і може розглядатися з різних точок зору: логічної, змістовної (наочної), пізнавальної (гносеологічної) і ін., і через це навіть в різних методичних допомогах даються різні його аспекти. Ми вважаємо, що як основа необхідно вибрати логічну структуру з урахуванням математичних трактувань. Враховуючи, що навчання можливе тільки в діяльності, необхідно розглядати дії, адекватні видам визначень понять і об'єктів. Тому в зміст роботи входитиме актуалізація і систематизація знань по значенню операції «визначення понять», структурі визначень і їх видів.

Приклад1. Актуалізуйте і систематизуйте знання за поняттями і їх визначеннями, відповівши на наступні питання:

	Основним підсумком роботи будуть наступні факти:

Поняття — це форма мислення про цілісну сукупність істотних і неістотних властивостей об'єктів реального миру, зокрема і математичних об'єктів. Для формування математичних понять необхідне розуміння математичного об'єкту, який в понятті характеризується завдяки вживанню певних розумових дій.

Коли ведеться мова про математичний об'єкт, наприклад про ромб або квадратне рівняння і т. п., то мається на увазі конкретний емпіричний (реальний) об'єкт, представлений у вигляді малюнка, моделі або аналітичного запису, і одночасно теоретичний (ідеальний) об'єкт, що володіє всіма істотними властивостями. В прикладі з ромбом це не тільки намальований ромб, але і всі об'єкти, які суть геометричні фігури з чотирма сторонами, протилежні з яких паралелі, всі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні і т.п.

Сформувати поняття про об'єкт — це значить розкрити всі істотні властивості об'єкту в їх цілісній сукупності. Діяльність учня (суб'єкта) при цьому направлена на вивчення математичного об'єкту, а продуктом цієї діяльності буде правильне поняття.

Однією з дій вивчення математичного об'єкту для отримання поняття про нього є дія визначення.

Визначити об'єкт — це значить вибрати з його істотних властивостей такі і стільки, щоб кожне з них було необхідне, а всі разом достатні для відмінності об'єкту, що вивчається, від інших.

Виконується дія визначення різними шляхами (за допомогою різних розумових і наочних операцій), і результат його виконання фіксується в різного вигляду визначеннях.

Логічна структура дії визначення математичних об'єктів, взагалі кажучи, єдина.

Єство дії визначення математичних об'єктів. Для розуміння єства дії визначення математичних об'єктів необхідне розуміння структури аксіоматично побудованої теорії. Якщо учбовий предмет будується аксіоматично (або близько до аксіоматичного методу), то вибираються основні об'єкти (фігури) і їх істотні властивості або зв'язки між ними розкриваються в системі аксіом. Так, в підручнику А. В. Погорєлова основні фігури в планіметрії «крапка» і «пряма» і відносини між ними «належати» і «лежати між» розкриваються за допомогою чотирьох аксіом.

Потім на основі побічно охарактеризованих властивостей основних об'єктів (фігур) предмету і відносин визначаються подальші об'єкти (фігури) предмету.

Наприклад, промінь вже можна визначити через введення фігур «пряма» і «крапка» і відношення «лежати по різні сторони» як еквівалентне відношення «лежати між» і загальні гносеологічні поняття «частини» і «множина».

Для конструювання визначення фігури «промінь» на прямій вибирається її частина. Частина ця складається з таких крапок, які лежать по одну сторону від фіксованої крапки на прямій, яку називають початком променя. Оскільки промінь — частина прямої, то більш широким поняттям для нього буде пряма; значить, пряма — родове поняття, причому найближче. Видові відмінності: частина прямої; крапка, що обмежує цю частину з одного боку.

Розглянемо ще приклад. Кут — це фігура, яка складається з двох різного проміння з обший початковою крапкою. Родовим найближчим об'єктом буде фігура; видові відмінності: два промені і загальний початок біля цього проміння.

Операції, що розкривають дію визначення об'єктів, будуть наступні: вибирається найближчий родовий об'єкт (фігура), потім на цей об'єкт накладаються як би обмеження, видові характеристики (відмінності). На основі видових характеристик більше властивостей. Ось цьому об'єкту з великим числом . властивостей і меншим об'ємом привласнюється нова назва (термін). Так, зі всієї рівності рівнянням назвемо тільки таку рівність, в записі якої є змінні (букви). Зі всіх рівнянь квадратними назвемо такі, які мають вигляд ах2+bx+с = 0, де х — змінна; а, b і с — деякі числа, причому а≠0. Зі всіх прямокутників квадратом назвемо такі прямокутники, біля яких суміжні сторони рівні, і т.п.

При виділенні видів визначень математичних об'єктів часто ось ця загальна дія — визначення об'єктів — називають конкретним видом «визначення через найближчий рід і видові відмінності». Нам представляється більш правомірним вести мову про специфіку дій по виділенню видових відмінностей і залежно від цього розрізняють означення і називати їх визначеннями об'єктів конкретного вигляду.

Відповідно до цього можна назвати наступні види визначень математичних об'єктів залежно від специфіки дій, за допомогою яких виділяють родові об'єкти і видові відмінності. Інакше можна ще сказати, що визначення через найближчий рід і видові відмінності мають наступну конкретизацію: 

1) визначення об'єктів шляхом вказівки їх характеристичної властивості; 

2) негативні визначення. І окремо слід назвати неявні визначення основних (початкових) об'єктів (фігур) предмету через систему аксіом; 

3) конструктивні і рекурсивні визначення.

Визначення математичних об'єктів шляхом опису характеристичної властивості. Цей вид визначень побудований на логічних діях і операціях встановлення найближчого роду, видових відмінностей і логічної природи зв'язку між родом і видовими відмінностями. Залежно від логічної природи зв'язку властивостей в шкільному курсі математики розрізняють коньюнктивні і диз'юнктивні визначення.

Розглянемо, наприклад, визначення паралелограма.

Паралелограмом називається чотирикутник, біля якого протилежні сторони паралелі.

Термін — паралелограм.

Рід — чотирикутник.

Видові відмінності: 1) одна пара протилежних сторін паралель; 

2) інша пара протилежних сторін паралель.

Всі властивості у визначенні сполучені союзом «и»; значить, маємо конъюнктивне визначення.

Інший приклад — визначення неправильного дробу.

Дріб, в якому чисельник більше знаменника або рівний йому, називається неправильним дробом.

Термін — неправильний дріб.

Рід — дріб.

Видові відмінності: 1) чисельник більше знаменника; 2) чисельник рівний знаменнику.

Видові відмінності сполучені союзом «або». Визначення диз'юнктивне.

Конструктивні і рекурсивні визначення. Властивості об'єкту в такому визначенні розкриваються шляхом показу операцій його конструювання, тобто його видові відмінності задані у вигляді дій.

Приклад 1. Поворотом біля даної крапки називається такий рух, при якому кожний промінь, витікаючий з цієї крапки, повертається на один і той же кут в одному напрямку.

Термін — поворот.

Рід — рух.

Видові відмінності: 1) кожний промінь, витікаючий з крапки, повернути в одному і тому ж напрямі; 2) кожний промінь повернути на один і той же кут.

Конструктивні дії можуть задаватися різно. 

Так, в рекурсивних визначеннях указуються деякі базисні об'єкти деякого класу і правила, що дозволяють одержати нові об'єкти цього ж класу.

Дії отримання подальшого члена, якщо відомий попередній, вказані у видових відмінностях.

Негативні визначення. Негативні визначення не задають властивості об'єкту. Вони виконують як би класифікаційну функцію. Якщо клас об'єктів розбитий на групи (множини) і об'єктам однієї групи, що володіють певними властивостями, привласнений термін і є об'єкти, які належать цьому класу, але на наголошених властивостях (всіма або частиною) не володіють, те такий об'єктам дається негативне означення.

Приклад. Прямі, що схрещуються, — це такі прямі, які не належать площині і не перетинаються.

Термін — прямі, що схрещуються.

Рід — прямі.

Видові відмінності: 1) не належать одній площині; 2) не перетинаються.

Таким чином, логічна дія — визначення об'єкту — скрізь однаково, не змістовні (математичні) дії в кожному з на наголошених видах визначень різні. В одних видові відмінності перераховуються як описові характеристики (бути паралельними, бути більше і т. п.); в інших указуються дії, які треба провести, щоб одержати (сконструювати) об’єкт; в третіх перераховуються властивості, які заперечуються.

Таким чином, головне в типології шкільних визначень по видах — це розуміння специфіки дій, що розкривають (характеризуючи) видові відмінності.

Основною учбовою задачею при навчанні визначенням математичних об'єктів буде формування логічної дії по розкриттю структури визначення математичних об'єктів і дій, адекватних конкретному виду визначень.

Дії, за допомогою яких розв'язуватиметься основна учбова задача, наступні:

	логічний аналіз структури визначень різного вигляду (виділення логічної і змістовної функцій кожного слова у визначенні об'єкту, відшукання зайвих слів у визначеннях і ін.);

підведення конкретного математичного об'єкту під визначення;

	приведення конкретного прикладу, об'єкту, що ілюструє приналежність його даному визначенню;

заміна визначення об'єкту еквівалентним визначенням цього об'єкту. Іноді цю дію називають переформулювання визначення. Порівняння різних визначень одного і того ж об'єкту;

отримання слідств з факту, що об'єкт належить до класу об'єктів, охарактеризованих визначенням;

знаходження логічних і змістовних помилок в приведених визначеннях.

При з'єднанні видових відмінностей коньюктивно для приналежності конкретного об'єкту до класу певних об'єктів необхідне дотримання (наявність біля прикладу) всіх властивостей одночасно.

Для приналежності конкретного об'єкту до класу, заданого у визначенні, коли видові відмінності сполучені диз'юнктивний, необхідне дотримання (наявність) родової властивості і хоча б однієї з видових відмінностей.



2.2. Виконання дії підведення під поняття. 

Уміння застосовувати поняття є показником його засвоєння. На думку Н.О.Менчинської, якщо учень справді засвоїв поняття, то він уміє його і застосовувати.

Одним із провідних принципів педагогічної психології є принцип єдності знань і дій. Проте існують два роди знань: знання про предмети і явища навколишнього світу (а отже, і про поняття) і знання про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і сучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого роду. 

Часто учні, які добре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв'язування задач, зокрема прикладних. Тому дії, адекватні знанням, зокрема поняттям, мають стати не тільки засобом, а й предметом засвоєння.

З погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумові дії, як «підведення до поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй дія — відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей об'єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об'єктів до поняття. Для встановлення факту належності об'єкта до певного поняття потрібно перевірити наявність у об'єкта сукупності необхідних і достатніх властивостей. Якщо виявиться, що об'єкт не має хоча б однієї з істотних властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не належить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а й теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, можуть бути покладені в основу означень. 

Наприклад, для встановленні належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися означенням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони є еквівалентними системами необхідних і достатніх властивостей.

Перелік операцій, що входять до складу дії підведення до поняття у випадку, коли істотні властивості пов'язані сполучником «і» чи сполучником «або», можна задати у вигляді такого навчального алгоритму. Щоб визначити, чи належить х до поняття у, потрібно:

1) виокремити властивості у;

2) з'ясувати, якими сполучниками пов'язані ці властивості;

3) якщо: а) сполучником «і», то перевірити, чи має х всі властивості у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у; б) сполучником «або», то перевірити, чи має х хоча б одну властивість у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у.

Якщо означення поняття має змішану структуру, тобто містить сполучник «і» та сполучник «або», то в алгоритмі потрібні додаткові вказівки.

Наведемо приклад. У курсі геометрії 7 класу учні ознайомлюються з означенням медіани трикутника. Доцільно ще на етапі введення означення чітко виділити дві істотні властивості, які воно містить і які лише разом утворююгь необхідну і достатню властивість належності об'єкта до поняття «медіана»: 1) медіана — це відрізок; 2) цей відрізок з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Щоб встановити, чи є АВ медіаною трикутника АВС, потрібно: 1) пригадати означення медіани; 2) переконатися, що істотні властивості в ньому пов'язані сполучником «і»; 3) перевірити, чи має АО обидві властивості медіани.



2.3. Виконання дії виведення наслідків



Перелік операцій, що є складовими дії «відшукання наслідків», можна задати у вигляді такого навчального алгоритму: 1) назвати всі істотні властивості, які входять в означення поняття; 2) назвати інші істотні властивості, які вивчалися.

Наприклад, результати відшукання наслідків з поняття «рівнобедрений трикутник» можна сформулювати так. Якщо трикутник рівнобедрений, то: 1) дві сторони його рівні; 2) кути при основі рівні; 3) бісектриса кута при вершині є медіаною, проведеною до основи; 4) бісектриса кута при вершині є висотою, проведеною до основи; 5) пряма, що містить згадану бісектрису кута при вершині, є віссю симетрії цього трикутника.

З метою забезпечення передумов для формування умінь застосовувати поняття та їхні властивості до розв'язування задач і доведення теорем, доцільно після вивчення кожного з основних понять і відношень звести разом їхні істотні властивості, що містяться в означеннях і теоремах.

До таких понять слід віднести насамперед основні геометричні фігури та їхні властивості, відношення рівності, паралельності, перпендикулярності, основні види рівнянь, нерівностей, функцій. У міру вивчення курсу виникають нові можливості щодо доведення відношень рівності, паралельності й перпендикулярності відрізків, подібності фігур. Тому важливо сформулювати правила-орієнтири для доведення цих відношень. 

Наприклад, щоб довести рівність двох відрізків, можна включити їх у трикутники і довести рівність цих трикутників або скористатися властивістю одного з рухів, або застосувати вектори, або довести, що ці відрізки є бічними сторонами рівнобедреного трикутника чи протилежними сторонами паралелограма (прямокутника, квадрата, ромба).

Основою застосування понять до розв'язування складніших задач і доведення теорем є прийом розумової діяльності, який дістав назву «аналіз через синтез», або переосмислення елементів задачі з погляду різних понять. У процесі застосування понять в учнів формується така важлива розумова дія, як конкретизація, оскільки використання знань у практичних ситуаціях пов'язане з переходом від абстрактного до конкретного. Дослідження педагогічної психології показують, що перехід від оперування абстрактними поняттями до конкретної практичної ситуації досить складний для школярів.

 З цього приводу Л. С. Виготський писав, що шлях від абстрактного до конкретного виявляється тут не менш важким, ніж шлях сходження від конкретного до абстрактного. Багатьом учням складно одночасно виокремлювати абстрактні співвідношення в конкретних даних і абстрагуватися від наочного сприймання об'єктів. Для запобігання таким труднощам потрібно використовувати конкретні практичні ситуації ще в період формування абстрактних понять — розв'язувати задачі практичного змісту. Особливо корисними є практичні роботи на місцевості, екскурсії на сільськогосподарські та промислові підприємства.



2.4. Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання



Відомі конкретно-індуктивний і абстрактно-дедуктивний підходи до формування понять та їх означень. При першому з них учні спочатку спостерігають і аналізують конкретні об'єкти (числа, фігури, задачі та ін.), потім відокремлюють і перераховують їх істотні ознаки і, нарешті, синтезують поняття та формулюють його означення. Так, при формуванні понять «прості» і «складені» числа можна запропонувати учням розглянути такі множини чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ... 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 

Учні визначають дільники чисел спочатку в першій множині, а потім у другій; виявляють спільні і відмінні властивості чисел обох рядів і означають поняття «просте число» і «складене число». При цьому слід звернути увагу на ті істотні ознаки, які узагальнюються і синтезуються в понятті.

Ці методи набули неабиякого поширення у навчанні математики. Вперше їх докладно проаналізував К.Ф.Лебединцев.

Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам наводить означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об’єктів, що належать до цих понять. Формулюється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу.

Конкретно-індуктивний метод навчання протилежний абстрактно-дедуктивному. За цього методу пояснення нового матеріалу починається з розгляду прикладів. Використовуючи приклади, учні мають можливість виявити істотні властивості поняття, що вводиться. Це допомагає самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати означення поняття. Рисунок до теореми дає змогу учням виявити властивості зображеної фігури і самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати теорему.

Наприклад, у 9 класі запроваджується поняття кута, вписаного в коло. За абстрактно-дедуктивного методу навчання вчитель відразу розпочинає з формулювання означення вписаного в коло кута й ілюструє його конкретними прикладами.

Означення. Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло (мал.1). Кут ВАС на малюнку вписано в коло. Його вершина А лежить на колі, а сторони перетинають коло в точках В і С.

 За конкретно-індуктивного методу навчання вчитель пропонує учням рисунок на дошці (Мал.2), на якому зображено кілька різних кутів, пов’язаних з колом. Вписані кути на малюнку зображено одним кольором (тут – потовщеними лініями). Учням пропонується порівняти кути, виділені кольором, і назвати їхні істотні спільні властивості. Учні помічають, що вершини кутів лежать на колі, а сторони перетинають це коло. Вчитель пропонує учням сформулювати означення; звертає увагу на неістотні властивості вписаних кутів (величина, розміщення центра кола відносно сторін).






ВИСНОВКИ



Під час написання дипломної роботи було реалізовано та повністю виконано мету та завдання поставлені на початку дослідження даної проблеми.

В результаті аналізу психолого - педагогічної, методичної, математичної літератури з проблеми дослідження виявлено вікові особливості психологічного розвитку учнів основної школи, специфіку їх розумової, інтелектуальної діяльності, пам’яті, уваги, притаманну даному віковому періоду.

Визначаючи поняття як одну з основних форм мислення, підкреслюють його роль та значення у пізнанні. Саме мислення можна тоді розглядати як оперування поняттями, оскільки перехід від чуттєвих ступенів пізнання до абстрактного мислення характеризується як перехід від відображення його в поняттях і на їх основі, - в судженнях і інших логічних категоріях. Поняття виникають на основі суспільної практики і є продуктом багаторічного історичного розвитку пізнавальної діяльності людини. 

Виявлені психолого-дидактичні закономірності формування математичних понять:

Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико – синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття;

Усвідомлення неістотних властивостей поняття;

Застосування нового поняття до розв’язування задач

В сучасних умовах дало змогу проаналізувати діяльність учнів в процесі викладання математики в основній школі та виявлені помилки, які допускаються при формуванні математичних понять.

До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).

З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові поняття), а на базі вже раніше встановлених понять.

До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія – виведення наслідків).



	
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

	

	Державна національна програма «Освіта» («Україна XXI століття»): Затв. Постановою Кабінету Міністрів України від 03.11.93 № 896. — К.: Радуга, 1994. - 61 с.

	Авдеева Н. Н. О статистическом образовании в школе // Математика в шк. — 1973. - № 3. - С. 4-8.

	Лвраменко М. І. Таблиці з геометрії для 7 класу. — К.: Рад. шк., 1988.

	Айзенштат Я. Й., Білоцерківська Б. Г. Розв'язування задач з математики в середній школі. — К.: Рад. шк., 1957. — 320 с

	Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. — М.: Высш. шк., 1986.

	Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нсш-ков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. - 240 с.

	Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нсш-ков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1991. - 238 с.

	Алгебра і початки аналізу. Підруч. для 10 — 11 кл. серед, шк. / А. М. Колмогоров, О. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін.; За ред. А. М. Колмогорова. — К.: Освіта, 1992. - 350 с.

	Алексюк А. М. Загальні методи навчання в школі. — 2-ге вид., персробл. і допов. — К.: Рад. шк., 1981. — 206 с.

	Аллан Р., Вилльямс М. Математика на 5. Пособие для 1 —3 кл. начальной шк.: Пер. с англ. - М.: АСТ-Прссс, 1996. - 384 с.

	Анастази А. Психологическое тестирование: Пер. с англ. / Под ред. К. М. Гу-ревича. - М., 1982. - Кн. 1. - 320 с.

	Андерсон Дж. Думай, пытайся, развивайся: Пер. с англ. — СПб.: Азбука, 1996. — 92 с.

	Апостолова Г. В. Планиметрия в опорных схемах. — К.: ФАКС, 2002. — 64 с.

	Апостолова Г. В. Стереометрія в опорних схемах: Посіб. для 10 — 11 кл. — К.: Оракт, 1999. - 68 с.

	Апостолова Г. В. Хитроумний модуль: Посіб. для 6 — 11 кл. — К.: Поліграф-сервіс, 2001. — 252 с.

	Аташе Г. А. Дсятельностный подход в обучении. — Донецк: ЕЛИ-Пресс, 2001. - 160 с.

	Ашкинузе В. Г., Шоластер Н. Н. Алгебра и элементарные функции. — М.: Просвещение, 1964. — 543 с.

	Бабансъкий Ю. К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. — М.: Просвещение, 1985. — 208 с.

	Бабанский Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса. — М.: Педагогика, 1982. — 192 с.

	БалкМ. Б., БалкГ. Д. Математика после уроков. — М.: Просвещение, 1971. — 254 с.

	Балк М. Б., Балк Г. Д. Поиск решения. — М.: Дет. лит., 1983.–143 с.

	Балк М. Б., Балк Г. Д. Реальные применения мнимых чисел: Для ст. шк. возраста. — К.: Рад. шк., 1988. — 254 с.

	Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. — М.: Педагогика, 1990. — 184с.

	Бараболин М. П. Методические основы развивающего обучения. — М.: Высш. шк., 1991. - 232 с.

	Башмаков М. И. Мы учим и учимся математике в нашем общем доме-Европе // Математика в шк. — 2002. — № 1. — С. 3 — 6.

	Башмаков М. И. Теория и практика продуктивного обучения. — М.: Нар. образование, 2000. — 248 с.

	Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 — 11 кл. сред. шк. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1992. — 350 с.

	Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия: Учеб. для 7 — 11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1992. — 352 с.

	Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посіб. — К.: Вища шк., 1989. - 367 с.

	Бевз Г. П. Методика розв'язування алгебраїчних задач. — К.: Рад. шк., 1975. — 240 с.

	Бевз Г. П. Методика розв'язування стереометричних задач. — К.: Рад. шк., 1988.- 190 с.

	Бевз Г. П. Математика, 6 кл. — К.: Вежа, 2002. — 224 с.

	Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 7-9 кл. - К.: Освіта, 2001. - 303 с.

	Бевз Г. П. Геометрія: Підруч. для 10 — 11 кл. шк. з поглибл. вивченням математики. — К.: Освіта, 2000. — 218 с.

	Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрія: Проб, підруч. для 7 — 9 кл. — 2-ге вид. — К.: Вежа, 2004. — 312 с.

	Бевз Г. П. Таблиці з математики для 8 класу. — К.: Рад. шк., 1978.

	Бесполько В. П. Слагаемые педагогических технологий. — М.: Педагогика, 1989.- 119 с.

	Бех I. Д. Особистісно зорієнтоване виховання: Наук.-метод, посіб. ін-т змісту і методів навчання. — К., 1998. — 204 с.

	Груденов Я. И. Психолого-дидактическис основы методики обучения математики. — М.: Педагогика, 1987. — 158 с.

	Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990. — 223 с.

	Гусев В. А., Иванов А. И., Шаболин О. Д. Изучение величин на уроках математики и физики в средней школе. — М.: Просвещение, 1991. — 79 с.

	Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. — М.: Просвещение, 1972. — 423 с.

	Давыдов В, В. Теория развивающего обучения / Междунар. ассоц. «Развивающее обучение». — М.: Интер, 1996. — 544 с.

	Дементій О. І., Дементій С. В. Навчаючі задачі з геометрії: Посіб. для 7 — 9 кл. - К.: Торгсин, 1998. - 210 є.

	Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в шк. — 2004. - № 2. - С 2-5.

	Дидактика средней школы: Пособие для учителей / НИИ педагогики УССР; Под ред. В. А.Онищука. — К.: Рад. шк., 1987. — 350 с.

	Дидактика средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики: Учеб. пособие по спецкурсу / Под ред. М. Н. Скаткина. — М.: Просвещение, 1982. - 319 с.

	Дорофеев Г. В. Строгость определений математических понятий с методической точки зрения // Математика в шк. — 1984. — № 3. — С. 56 — 60.

	Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Дифференциация в обучении математике // Математика в шк. — 1990. — № 4. — С. 15—21.

	Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания математического образования // Математика в шк. - 1990. - № 6. - С. 3-5.

	Дусавицкий А. К. Формула интереса. — М.: Педагогика, 1989. — 172 с.

	Єріна А. М., Пальян 3. О. Теорія статистики: Практикум. — К.: Знання, 2002. - 235 с

	Епишев О. Б., Крупич В. И. Учат школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990. - 126 с.

	Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод, посіб. — К.: КНЕУ, 2002. — 303 с

	Зак А. З, Как определить уровень развития мышления школьника. — М.: Знание. - 1982. - 96 с,

	Избранные вопросы математики: 9 кл. Факультативный курс / Сост.: О. А. Бо-ковнев, В. В. Фирсов, С. И. Шварцбурд. — М.: Просвещение, 1979. — 191 с.

	Кабанова Г. И. Мой опыт изготовления и применения пособий по геометрии. — М.: Учпедгиз, 1958. - 160 с.

	Калмыкова 3. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. — М.: Педагогика, 1981. - 200 с.

	Калмыкова 3. И. Психологические принципы развивающего обучения. — М.: Знание, 1979. - 48 с.

	Карнацевич Л. С, Мартынова М. П., Неменко В. М. Кабинет математики в школе. — К.: Рад. шк., 1978. — 127 с.

	Карнацевич Л. С. Уроки геометрии в 9 классе. — К.: Рад. шк., 1979. — 167 с.

	Метельский Н. В. Дидактика математики. — Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1982. - 256 с.

	Методика викладання математики: Практикум / За ред. Г. П. Бевза. — К.: Вища шк. Головне вид-во, 1981. — 199 с.

	Методика викладання математики: Наук.-метод, зб. / За ред. І. Є. 

	Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В. А. Оганесян, ІО. М. Колягин, Г. Я. Луканкин, В. Я. Соминський. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.- 367 с.

	Слєпкань З.І. Методика навчання математики. К.: «Вища школа»,2006.