Теорія і практика обчислення визначників

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ




1. Основні поняття і теореми



Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто 



 і .



Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал (х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

(х1, …, хi1 + хi2, … , хn) = (х1, … , хi1, … , хn) + (х1, … , хi2, … , хn);



б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): (х1, … , хi, … , хj, … , хn) = –(х1, … , хj, … , хi, … , хn);

в) підкоряється умові нормування: 



.



Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:








а                                             б 

Рис. 1



, (1)



де N(j1 j2 … jn) – кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто








Властивості визначників:

1. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.



7. .



8. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (–1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.

10.  (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).



11. 



12. (Теорема Лапласа).



.



Тут – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а – алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13. (Про зміну елементів визначника).



Якщо , а , то .



3. Приклади розв’язування задач



Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):










.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:







.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-го рядка.

При цьому визначник не зміниться.



Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто






det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).



Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:



det А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).



Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника  додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;

А22 = 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4 = 24.

Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:



n = 5n – 1 – 4n – 2. (*)



Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити n через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:



	n – n – 1 = 4(n – 1 – n – 2) = 42(n – 2 – n – 3) = … = 4n – 2 (2 – 1) =

= 4n – 2 (21 – 5) = 4n .

	n – 4n – 1 = n– 1 – 4n – 2 = n– 2 – 4n – 3 = … = 2 – 41 = 21 – 4.5 = 1.

	

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3n – 1 = 4n – 1. У такий спосіб: .



4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування



	Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

 а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

	З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;

в) а61а23а45а36а12а54; г) а32а43а14а51а66а25;

д) а27а36а51а74а25а43а62; е) а33а16а72а27а55а61а44;

ж) а12а23а34 …аn–1 n а25аkk (1  k  n); з) а12а23а34 …аn-1nаn1n.

 а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)n. ▲

	Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а1iа32а4kа25а53 з « + »; б) а62аi5а33аk4а46а21 з « – »;

в) а47а63а1iа55а7kа24а31 з « + ».

 а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

	Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3:

а) ; б) .

 а) 2х4, –х3; б) 10х4, –5х3. ▲

	Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком « – ».

 а) а11а24а32а43, а13а21а32а44, а14а23а32а41; б) а11а23а32а44, а12а23а34а41, а14а23а31а42. ▲

	Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?

 . ▲

	Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку?  Визначник помножиться на (–1)(n(n–1))/2. ▲

	Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

 а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

	Знайти мінори елементів а13, а24, а43 визначника .

 М13 = 24; М24 = – 126; М43 = 52. ▲

	Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42 визначника

.

 А14 = 8; А23 = 0; А42 = – 12. ▲

	Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

 8a + 15b + 12c – 19d. ▲

	Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

 5a – 5b – 5c + 5d. ▲

	Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

 а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

	Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲

	Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲

	Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲

	Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

 а) (1 – 3)2; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ▲

	Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

 а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲

	Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

 а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲

	Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

	Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

 а) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲

	Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) .  а) 52; б) 5. ▲

	Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 а) n!; б) 2n + 1; в) хn(а0 + а1 + … + аn); г) . ▲

	Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 а) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);

в) (х2 – 1)(х2 – 4); г) x2z2, вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲

	Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) (х  R).

 а) хi = ai, i = 1, 2, … , n – 1; б) хi = ai, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n – 1; г) x = 1. ▲

	Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

 а) ; б) 2n + 1 – 1; в) . ▲

	Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників: 



а) ; б) .

∆ а) хn + (а1 + а2 + … + аn)хn – 1; б) вказівка: xi  (xi – ai + ai),

. ▲



	Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

а) ; б) .



∆ а) ; б) . ▲



	Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) 1; б) 3n; в) 1; г) хn; д) 1 – n; е) (–2)n –1(5n – 2). ▲

	Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) (–2)n –2(1 – n); б) n + 1; в) (–1)n –1(n – 1); г) 1; д) (1 – (–1)n)/2, вказівка:

n = 1– n –1; е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)n/2, якщо n = 2k, k Z; вказівка: n = – n – 2. ▲

	Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .



∆ а) (b1 – а1) (b2 – а2) … (bn – аn); б) (n – 1)!; в) (–1)n – 1. n!; г) 0;

д) (–1)(n(n –1))/2nn–1(n + 1)/2; е)  ▲