Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА  - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций  относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

   Суммой a+b векторов a  и b  называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:



   a+b=b+a                (коммутативность)

       (а+b)*с=а*(b+с)   (ассоциативность)

       a + 0=a                   (наличие нулевого элемента )

       a+(-a)=0                 (наличие противоположного элемента),



где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением x вектора а на число  в случае 0, аО называют  вектор, модуль которого равен |||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если >0, и в противоположную, если <0. Если =0 или (и) a =0, то a=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:



  

 *(a+b)= *a+*b   (дистрибутивность относительно сложения векторов)           

(+u)*a=*a+u*a     (дистрибутивность относительно сложения чисел)

 *(u*a)=(*u)*a      (ассоциативность)

 1*a=a                        (умножение на единицу)



Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной  алгебре  важное  значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются  линейно   зависимыми   векторами, если существуют числа  , ,…,  из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:



a+b+…c=0.      (1)



  Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа , ,…,   равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

 

a=a1e1+a2e2+a3e3.



Числа  a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.

Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности  векторов  a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1=b1,a2=b2,a3=b3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3}  и c={c1,c2,c3}  является равенство :

                          

|  a1 a2 a3 |

      |  b1 b2 b3| = 0

|  c1 c2 c3  |



Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}    равны суммам соответствующих координат:  a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координаты произведения вектора а на число  равны произведениям координат а на  : 

                                         а= {а1,a2, a3}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла  между ними:

                               

                                               (а, b) = | а |*| b | cos.



За    принимается угол между векторами, не превосходящий . Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:



     (a, b)= (b, а) (коммутативность),

     (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

      (a,b)=( a,b) =(a,6) (сочетательность относительно умножения на число),

     (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или ab. 



Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных       взаимно         перпендикулярных        векторов        (ортов)          i, j, k  ( ортонормированный  базис). Скалярное произведение векторов :

                                              a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}  

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:  





                                                (a,b)=a1b1+a2b2+a3b3





Косинус угла  между ненулевыми векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}  

может быть вычислен по формуле:

              

                                             



 где  и 

Косинусы углов вектора a={a1,a2,a3}  с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:



      ,   ,   .





Направляющие косинусы обладают следующим  свойством:



                                        cos2+cos2+cos2=1



Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:



                            Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b  (аддитивность),

                            Пр. е a = Пр. е a                     (однородность).



Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис).   Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.





                             b                                       b

                                  c             c                                         

                         a                                           a

   

          правило левой руки              правило правой руки

              

   Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла  положительного вращения от a к k:



                                              aVb=| a || b |*sin



Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:



    aVb=-bVa (антикоммутативность), 

    aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

    (aVb)=aVb (сочетательность относительно умножения на число),

    aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.



Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то :

                                         

                                                   aVb=a1b1-a2b2.