Основы высшей математики

Контрольная работа

Основы высшей математики




Оглавление



Введение

1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число

2 Произведение матриц

3 Транспонированная матрица

4 Задача

Список использованных источников



		
Введение

		

		Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

		С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

		

		
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число



Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.

Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.







играет роль единицы в матричном исчислении.

Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.



  - дельта Кронекера



Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.


В = k × A



bij = k × aij.



Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

		

		2 Произведение матриц



Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что



сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,



т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.



А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:



1. А × (В × С) = (А × В) × С;

2. А × (В + С) = АВ + АС;

3. (А + В) × С = АС + ВС;

4. α × (АВ) = (αА) × В;

5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;

6. (АВ)Т = ВТАТ;

7. (АВС)Т = СТВТАТ;

8. (А + В)Т = АТ + ВТ.



3 Транспонированная матрица

	

	Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

	Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].

	Например,

	

	

	

	Свойства транспонированных матриц:

	

	1. (AT)T = A

	2. (A + B)T = AT + BT

	3. (AB)T = BTAT

	4. detA = detAT




4 Задача









		

		








Список использованных источников



1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ, 2005. - 991 с. 

2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. 

3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. - Минск. ТетраСистемс, 2004. - 640 с. 

4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. - 517 с.