Переключательные функции одного и двух аргументов

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ



Кафедра информатики

















РЕФЕРАТ

На тему:



«Переключательные функции одного и двух аргументов»

























МИНСК, 2008


1.Переключательные функции одного аргумента.

 

Существует четыре переключательные функции одного аргумента, которые приведены в табл. 1.

Таблица 1

Переключательные функции одного аргумента

x     

f(x)     

0

1

Условное обозначение

Название функции

f0(x)

0

0

0

Константа нуль

f1(x)

0

1

x

Переменная x

f2(x)

1

0



Инверсия x

f3(x)

1

1

1

Константа единица



Функция f0(x) тождественно равна нулю. Она называется константой нуль и обозначается f0(x)=0.

Функция f1(x) повторяет значения аргумента и поэтому тождественно равна переменной x.

Функция f2(x) принимает значения, противоположные значениям аргумента: если x=0, то f2(x)=1; если x=1, то f2(x)=0. Эту функцию называют инверсией x или отрицанием x и вводят для нее специальное обозначение f2(x)= .

Функция f3(x) тождественно равна единице. Она называется константой единица и обозначается f3(x)=1.



2. Переключательные функции двух аргументов. 



Существует шестнадцать различных переключательных функций двух аргументов, каждая из которых определена на четырех наборах. Эти функции представлены в табл. 2.

В число шестнадцати переключательных функций входят функции, рассмотренные в п.1:

f0(x,y)	= 0	— константа нуль;

f15(x,y)	= 1	— константа единица;

f3(x,y)	= x	—переменная x;

f5(x,y)	= y	—переменная y;

f12(x,y)	= 	—инверсия x;

f10(x,y)	= —инверсия y;

Таблица 2

Переключательные функции двух аргументов

x

0

0

1

1

Название функции

Обозначение 

y

0

1

0

1





f0(x,y)

0

0

0

0

Константа нуль 

0

f1(x,y)

0

0

0

1

Произведение (конъюнкция)

x∙y; xy;x&y

f2(x,y)

0

0

1

0

Функция запрета по y

xy

f3(x,y)

0

0

1

1

Переменная x

x

f4(x,y)

0

1

0

0

Функция запрета по x

yx

f5(x,y)

0

1

0

1

Переменная y

y

f6(x,y)

0

1

1

0

Сумма по модулю 2 (логическая неравнозначность)

xy

f7(x,y)

0

1

1

1

Логическое сложение (дизъюнкция)

x+y; xy

f8(x,y)

1

0

0

0

Операция Пирса (стрелка Пирса)

xy

f9(x,y)

1

0

0

1

Эквивалентность (логическая равнозначность)

x~y

f10(x,y)

1

0

1

0

Инверсия y



f11(x,y)

1

0

1

1

 Импликация от y к x

yx

f12(x,y)

1

1

0

0

Инверсия x



f13(x,y)

1

1

0

1

Импликация от x к y

xy

f14(x,y)

1

1

1

0

Операция Шеффера (штрих Шеффера)

xy

f15(x,y)

1

1

1

1

Константа единица

1



Рассмотрим некоторые переключательные функции двух аргументов. 

Функция f1(x,y) называется конъюнкцией, или логическим умножением. Таблица истинности этой функции совпадает с таблицей умножения двух одноразрядных двоичных чисел. Можно ввести функцию n аргументов, соответствующую произведению n одноразрядных двоичных чисел. Такая переключательная функция равна единице тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны единице. Для конъюнкции справедливы следующие соотношения:

x  0 = 0;

x  1 = x;

x  x = x;

x  y = y  x;

x  = 0.

Функция f7(x,y) называется дизъюнкцией или логическим сложением. Эта функция равна нулю только в том случае, когда все ее аргументы равны нулю. Можно ввести функцию n аргументов, соответствующую логическому сложению n одноразрядных двоичных чисел. Такая переключательная функция равна нулю тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны нулю. Для конъюнкции справедливы следующие соотношения:

x  0 = x;

x  1 = 1;

x  x = x;

x  y = y  x;

x  = 1.



Таблица истинности функции f6(x,y) совпадает с таблицей сложения двух одноразрядных двоичных чисел по модулю два. Можно ввести функцию n аргументов, соответствующую сумме по модулю два n одноразрядных двоичных чисел. Такая переключательная функция определяется следующим условием: она равна единице, если число аргументов, равных единице, нечетно, и равна нулю, если число таких аргументов четно. Приведем некоторые соотношения для суммы по модулю два:

x  0 = x;

x  1 = ;

x  x = 0;

x  x  x = x;

x  y = y  x.

Рассмотренные шестнадцать функций двух аргументов (будем называть их элементарными) позволяют строить новые переключательные функции следующим образом:

		путем перенумерации аргументов;

		путем подстановки в функцию новых функций вместо аргументов.

	Функцию, полученную из функций f1, f2, …, fk путем применения (возможно многократного) этих двух правил, будем называть суперпозицией функций f1, f2, …, fk. Например, имея элементарные функции инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, запрета, сложения по модулю два, можно составить новую переключательную функцию:

	f (x,y,z) = ((y)z)((yz)x).

	Используя таблицы, определяющие элементарные функции, можно задавать в виде таблицы любую переключательную функцию, являющуюся суперпозицией этих функций.

	

	Пример 1. Представить в виде таблицы функцию 

	f (x,y,z) = ((y)z)((yz)x).

	Решение. Функцию f (x,y,z) будем представлять последовательно, записывая в столбцы табл. 1.5 промежуточные результаты, получаемые после выполнения каждой операции:

	

	Таблица 3

	Таблица истинности функции f (x,y,z) = ((y)z)((yz)x).

	x

	y

	z

	

	(y)

	(y)z)

	(yz)

	(yz)x

	((y)z)((yz)x)

	0

	0

	0

	1

	1

	1

	1

	0

	1

	0

	0

	1

	1

	1

	0

	0

	0

	0

	0

	1

	0

	1

	1

	1

	1

	0

	1

	0

	1

	1

	1

	1

	0

	1

	0

	0

	1

	0

	0

	0

	0

	0

	1

	1

	1

	1

	0

	1

	0

	0

	0

	0

	0

	0

	1

	1

	0

	0

	1

	1

	1

	1

	0

	1

	1

	1

	0

	1

	0

	1

	1

	1

	

3. Представление переключательной функции в виде многочленов.



 1. Конституенты. В п. 2 был рассмотрен один из возможных способов представления переключательной функции – задание ее в виде таблицы истинности. В этом разделе будем решать обратную задачу, а именно представление переключательной функции, заданной таблицей истинности, через элементарные функции, образующие базис. 

Рассмотрим переключательные функции, называемые конституентами.

Определение  1. Конституентой единицы называют переключательную функцию n аргументов, которая принимает значение, равное единице на одном единственном наборе аргументов. 

Из определения следует, что число различных конституент единицы среди функций n аргументов равно 2n. Конституенты единицы обозначаются так: Ki(x1, …, xn), где i – номер набора, на котором конституента равна единице. Например, запись K7(x1, x2, x3, x4) означает функцию четырех аргументов, равную единице на наборе (0111). 

Конституента единицы может быть выражена через конъюнкцию всех аргументов, каждый из которых входит в произведение со знаком отрицания или без него. Приведенную выше конституенту единицы можно представить через конъюнкцию аргументов следующим образом:

K7(x1, x2, x3, x4) = .

Чтобы записать в виде произведения конституенту Ki(x1, …, xn), можно воспользоваться следующим правилом: записать n-разрядное двоичное число (n – число аргументов), равное i, и конъюнкцию n переменных; над переменными, места которых совпадают с позициями нулей в двоичном числе i, поставить знак отрицания.  

Пример 2. Записать конституенту, равную единице на двенадцатом наборе для функции пяти переменных.

Решение. Пятиразрядное двоичное число, равное двенадцати, записывается в виде: 01100. Запишем произведение пяти аргументов, располагая их в порядке возрастания индексов: x1x2x3x4x5. Сопоставляя это произведение с двоичным числом 01100, определяем, что знаки отрицания необходимо поставить над первым, четвертым и пятым аргументами:

K12(x1, x2, x3, x4, x5) =.



Определение 3. Конституентой нуля называют переключательную функцию n аргументов, которая принимает значение, равное нулю, на одном единственном наборе аргументов. 

Из определения следует, что число различных конституент нуля среди функций n аргументов равно 2n. Конституенты нуля обозначаются так: Mi(x1, …, xn), где i – номер набора, на котором конституента равна нулю. Конституента нуля может быть выражена через дизъюнкцию всех аргументов, каждый из которых входит в произведение со знаком отрицания или без него. 

Чтобы записать в виде произведения конституенту Mi(x1, …, xn), можно воспользоваться следующим правилом: записать n-разрядное двоичное число (n – число аргументов), равное i, и дизъюнкцию n переменных; над переменными, места которых совпадают с позициями единиц в двоичном числе i, поставить знак отрицания.  

Пример 3. Записать конституенту нуля, равную нулю на двадцать пятом наборе для функции пяти переменных.

Решение. Пятиразрядное двоичное число, равное двадцати пяти, записывается в виде: 11001. Запишем дизъюнкцию пяти аргументов, располагая их в порядке возрастания индексов: x1x2x3x4x5. Сопоставляя это произведение с двоичным числом 11001, определяем, что знаки отрицания необходимо поставить над первым, вторым и пятым аргументами:

M25(x1, x2, x3, x4, x5) =.

2. Представление переключательной функции в виде полинома Жегалкина.



Теорема Жегалкина. Любая переключательная функция может быть представлена в виде полинома (многочлена), т. е. записана в форме

f(x1, . . . , xn) = ао   a1x1  a2x2  … anxn  an+1x1 x2 …  aNx1…xn , 

(1)

где a0,  a1x1, … aN — константы, равные нулю или единице;

 		—операция сложения по модулю два.

При записи конкретной переключательной функции в виде многочлена коэффициенты a0,  a1x1, … aN выпадают, так как члены, при которых коэффициенты равны нулю, можно опустить, а коэффициенты, равные единице, не писать.

Для доказательства теоремы Жегалкина предположим, что задана произвольная переключательная функция п аргументов f(x1, . . . , xn), равная единице на некотором числе наборов с номерами m1, … mp.

Покажем, что переключательная функция f(x1, . . . , xn) равна сумме конституент единицы, которые равны единице на тех же наборах, что и данная функция:

f(x1, . . . , xn)  = Km1  Km2  . . .  Kmp.			(2)

Действительно, на каждом из наборов с номерами m1, … mp равна единице только одна конституента, стоящая в правой части выражения (2), а остальные равны нулю. Следовательно, на этих наборах и только на них правая часть выражения (2) принимает значение, равное единице. 

Для того чтобы перейти от выражения (2) к виду (1), достаточно представить конституенты единицы в виде произведений и, используя соотношение , заменить все переменные с отрицаниями (так как отрицания в выражение (3.1) не входят). Пусть например, конституента единицы записана в виде

.

Тогда получим 

Ki= (1  x1)x2(1x3)x4x5.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в соответствии со свойствами операции сложения по модулю два, получаем запись заданной функции в форме (1), что и доказывает теорему.

Приведенное доказательство теоремы позволяет сформулировать правило представления любой переключательной функции в виде многочлена.

Чтобы переключательную функцию, заданную таблицей истинности, представить в виде полинома Жегалкина, достаточно записать функцию в виде суммы конституент единицы, равных единице на тех же наборах, на которых равна единице заданная функция. Затем все аргументы, входящие в полученное выражение с отрицанием, заменить с помощью соотношения , раскрыть скобки и привести подобные члены с учетом тождества;



 								x, если п нечетно,

x  x   . . .  x =	0, если п четно.

Пример 3. Представить в виде полинома Жегалкина  функцию f58(x1,x2,x3).

Функция f58(x1,x2,x3) равна единице на втором, третьем, четвертом и шестом наборах,  и может быть записана в виде суммы соответствующих конституент единицы:

f58(x1,x2,x3) =K2 K3 K4 K6 =.

Используя соотношение , получаем

f58(x1,x2,x3)=(1x1)x2(1x3)(1x1)x2x3 x1(1x2)(1x3)x1x2(1x3).

Приводя подобные члены, окончательно находим 

f58(x1,x2,x3)= x1 x2 x1x2x1x3.

	

3. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма переключательной функции. 



В общем виде переключательная функция п аргументов  может быть задана таблицей истинности. Обозначим через f(i) (i=0, … ,2n-1) значение функции на i-м наборе аргументов. Напомним, что каждая из величин f(i) принимает значение нуль или единица. В соответствие i-му набору аргументов можно поставить конституенту единицы Ki, которая принимает значение, равное единице только на данном f(i) наборе. Умножим каждую конституенту единицы Ki на значение функции f(i) и рассмотрим дизъюнкцию произведений fiKi:

.	(3)

Если подставить в выражение (3) значения f(i), то получим дизъюнкцию конституент, которые равны единице на тех же наборах, что и заданная функция. Действительно, ввиду того, что 0x=0 и 0х=х, члены выражения (2), в которых коэффициенты f(i)=0, можно опустить, а так как x1 = x,  то коэффициенты f(i)=1 можно не писать. Тогда



где j1, …,jm 	– номера наборов, на которых функция равна единице;

		m	– число таких наборов.

Определение 3. Дизъюнкция конституент единицы, равных единице на тех же наборах, что и заданная функция, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой переключательной функции.

Любую переключательную функцию f(x1, . . . , xn) (кроме константы ноль) можно представить в совершенной  дизъюнктивной нормальной форме. Заметим, что любая переключательная  функция имеет единственную совершенную дизъюнктивную нормальную форм у: это непосредственно следует из выражения (3).

Совершенную дизъюнктивную нормальную форму переключательной функции удобно находить в такой последовательности:

выписать ряд произведений всех аргументов и соединить их знаками дизъюнкции; количество произведений должно равняться числу наборов, на которых заданная функция обращается в единицу;

	записать под каждым произведением набор аргументов, на котором функция равна единице, и над аргументами, равными нулю, поставить знаки отрицания.

Это правило называют иногда правилом записи переключательной функции по единицам.

Пример 4. Представить в совершенной дизъюнктивной нормальной форме переключательную функцию четырех аргументов f23805(x1,x2,x3,x4) (см. табл. 2).

Решение. Из табл. 2 видно, что переключательная функция принимает значения, равные единице, на следующих наборах аргументов: 

0001, 0011, 0100, 0101, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1111.

Таким образом, совершенная дизъюнктивная нормальная форма функции f23805(x1,x2,x3,x4) будет состоять из одиннадцати дизъюнкций, каждая из которых представляет собой конъюнкцию четырех элементов:





4. Совершенная конъюнктивная нормальная форма переключательной функции. 



Если заданная переключательная функция равна единице на большинстве наборов аргументов, то представление функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме  может оказаться достаточно громоздким. В этих случаях удобнее использовать другую форму представления функции – совершенную конъюнктивную нормальную форму. Для представления функций в этой форме используется функция конституенты нуля. 

Рассмотрим выражение

,  		(4)

где f(i)	– значение переключательной функции на i-м наборе. 		

Ввиду справедливости соотношений 1 x = 1 и 0х= х, при подстановке в выражение (4) значений функции f(i), сомножители, у которых f(i), == 1, можно опустить, а значения функции f(i)=0 не писать. Тогда

			(5)

где j1, j2, …,jm 	–номера наборов, на которых функция равна нулю;

т		-число таких наборов.

Определение  4. Произведение конституент нуля, которые равны нулю на тех же наборах, что и заданная функция, называется совершенной конъюнктивной нормальной формой.

Любая переключательная функция f(x1, . . . , xn) (кроме константы единицы) может быть представлена в совершенной конъюнктивной нормальной форме. Любая переключательная функция имеет единственную совершенную конъюнктивную нормальную форму.

	Сформулируем правило представления переключательной функции в совершенной конъюнктивной нормальной форме. Чтобы представить переключательную функцию п аргументов в совершенной конъюнктивной нормальной форме, достаточно:                      

выписать произведение дизъюнкций всех аргументов с количеством сомножителей, равным числу наборов, на которых заданная функция обращается в нуль; 

выписать под каждым сомножителем набор аргументов, на котором функция равна нулю, и над аргументами, равными единице, поставить знаки отрицания;

Это правило иногда называют правилом записи переключательной функции по нулям.

Пример 5. Представить в совершенной конъюнктивной нормальной форме функцию f23805(x1,x2,x3,x4) (см. табл. 2).

Решение. Из табл. 2 видно, что переключательная функция принимает значения, равные нулю, на следующих наборах аргументов: 

0000, 0010, 0110, 0111, 1110.

Таким образом, совершенная конъюнктивная нормальная форма функции f23805(x1,x2,x3,x4) будет состоять из пяти конъюнкций, каждая из которых представляет собой дизъюнкцию четырех элементов:




ЛИТЕРАТУРА



Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).

Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.

Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).