Интегралы. Функции переменных

Вариант 2



Вычислить интегралы







Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:







Найдем А и В:







Отсюда видно что А и В являются решением системы:







Решим эту систему и найдем А и В:






Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.





 с помощью замены переменных





Введем  и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:







Возвращаемся к x:







Теперь вычисляем определенный интеграл:






Итак,





3. методом интегрирования по частям 





Итак,





II. Функции многих переменных

1. Найти частные производные 1-го порядка











2. Исследовать на экстремум функцию






Найдем частные производные









Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: ,









Это равносильно следующему:



 



 





Вторая система не имеет вещественного корня













t= 0 t=1

y=1 y=-1


x=1 



M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.

Теперь определим характер этих стационарных точек.

Найдем частные производные второго порядка этой функции.







В точке M0(0;0):







Так как <0, то экстремума в точке M0(0;0) нет.

В точке M1(1;1):







Так как >0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума,

Причем этот экстремум-минимум.


III. Решить дифференциальные уравнения.

1. Решить уравнение с разделяющимися переменными







Интегрируем правую и левую части уравнения:









После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:







2. Решить линейное уравнение 1-го порядка







Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций: 

При этом:






После подстановки в исходное уравнение имеем:









Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:







Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:



:



Решение запишется в виде:




3 



Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:

, где  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - частное решение.

Найдем 

Решим однородное дифференциальное уравнение







Характеристическое уравнение для него:







Это квадратное уравнение



d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:

k1=3-4i ; k2=3+4i



Общее решение, следовательно, имеет вид:



, 



где  - константы.

Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:


, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25



При этом , следовательно, частное решение ищем в виде:







Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:







Для нахождения коэффициентов А и В решим систему:





A=0,07, B=0,16



Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:






IV. Ряды

Исследовать на сходимость ряд с положительными членами



 



Рассмотрим ряд:







Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.

Теперь сравним члены ряда  с членами ряда 



 при n>4 , значит ряд  также сходится.



Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:







Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.



,


Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:



, следовательно наш ряд расходится абсолютно.



Исследуем ряд на условную сходимость:

Так как условия признака Лейбница выполнены



 



данный ряд сходится условно.

3. Найти область сходимости функционального ряда



, перепишем его в виде:





Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.

Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда  определяется сходимостью степенного ряда: , причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.

Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:






Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :









Итак, область сходимости функционального ряда :