Атомические разложения функций в пространстве Харди

Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство  Освіти  України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

 

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса - 2000

Содержание

Введение....................................................................................   3

Глава I.  Основные сведения об интеграле Пуассона и 

               пространствах , и .................................  8

§I.1.        Интеграл Пуассона.....................................................  8

§I.2.        Пространства  .......................................................  12

§I.3.        Пространства и .........................................  17

§I.4.        Произведение  Бляшке,  нетангенциальная  

               максимальная функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве 

                , пространство ВМО........................................ 26

§II.1.       Пространство  , критерий принадлежности

                функции из    пространству  ....................... 26

§II.2.       Линейные ограниченные функционалы на ,

                двойственность  и ВМО.................................. 32

Литература.................................................................................. 37       

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных  в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства  , ,   и  , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.  

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств  , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из  пространству  и двойственность пространств  и .

В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:

 - пространство периодических, непрерывных на  функций;

- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;

 - пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- пространство периодических ограниченных на  функций;

- носитель функции .

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p]  2p-периодической комплекснозначной функции  называется функция

¦r ( x ) =  ,

где      ,   t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в  ряде доказательств:

 а)  ;

 б)  ;                                                                   

 в) для любого d>0

      

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

                                            ;

если же ¦ (x) непрерывна на  [ -p, p ]  и  ¦ (-p) = ¦ (p) , то

                                          .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из  . Тогда

                                            для  п.в.  .

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности.  Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных  называется гармонической в области , если  и удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Определение3. Две гармонические функции  и  , связанные условиями Коши-Римана :   ,      ,  называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства  понимается

 , .

Определение5.  Под нормой пространства  понимается

 , .

Определение6. Пусть  ( или ,). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции   определяется равенством

,  .

(,  ).

Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если           для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства  - это совокупность аналитических в единичном круге  функций F (z) ,  для  которых конечна норма

 .

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию () можно предсавить в виде 

,        , ,

где   для п.в.  , при этом 

       ;

          .

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8.  Говорят, что действительная функция  , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками  выполнено неравенство .

Определение9. Действительная  функция  , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на   [a,b], если для любого  найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов ,  с суммой  длин, меньшей :  , выполняется неравенство .

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств  и  . Пространство () представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из, т.е. представимы в виде  (). Здесь мы получаем следующие результаты: при   пространство  совпадает с , а при  р=1   уже, чем , и состоит  из функций , для которых  и  .

 В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции ,  аналитической в круге  с нулями ,  () с учетом их кратности:

,

где  - кратность нуля функции  при . 

Здесь доказывается, что каждая функция   представима в виде 

, где  не имеет нулей в круге  и ,  ,а  - произведение Бляшке функции .

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть ,  , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки  к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при   вырождается в радиус единичного круга). Для положим 

 , ,

где  - интеграл Пуассона функции . Функция  называется нетангенциальной максимальной функцией для .

 Тут же мы доказываем теорему об оценке : если  (),  , то  и   .   

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.   

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству   .  Здесь вводится понятие атома: действительная функция  называется атомом, если существует обобщенный интервал  такой, что 

а) ;   б) ;     в) .

Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из   , либо множество вида (). 

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция  допускает представление в виде

,  ,  где , , - атомы.    (*)

При этом    ,   где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а   с и С   - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств  и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

 ,                             (91)

где  ,  а  sup  берется по всем обобщенным интервалам  . А затем доказываем теорему о том, что .

                     

                 

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и 

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через   f*g(x)  будем обозначать свертку

                  f*g(x)  =dt   

Из теоремы  Фубини  следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

                    cn ( f*g ) = cn ( f )× c-n ( g ) ,                  n = 0, ±1 , ±2 , ...            ( 1 )

где { cn ( f )} - коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :

                             cn (f)= -i n tdt ,                          n = 0, ±1, ±2,¼        

Пусть  ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при  0 £ r < 1  функцию

                   ¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x   ,            x Î [ -p, p ]  .                  ( 2 )

Так как   для  любых  x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд  сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций  стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного   r ,  0 £ r < 1 . Коэффициенты   Фурье функции    ¦r (х)    равны cn ( fr ) = cn (f)× r| n  | ,    n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это  значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :

                          ¦r ( x ) =  ,                                                       ( 3 ) 

где 

                           ,                                   t Î [ -p, p ] .                  ( 4 )

          Функция двух переменных  Рr (t) ,   0 £  r <1 ,  t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  -  интегралом Пуассона . 



Следовательно,

                     Pr ( t ) =      ,    0 £ r < 1 ,   t Î [ -p, p] .                     ( 5 )   

Если  ¦Î L1 ( -p, p )  - действительная функция , то , учитывая , что 

c-n  ( f ) = , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = 

=  ,                                                                      ( 6 )

где

                          F ( z ) = c0 ( f ) + 2             ( z = reix  )                     ( 7 )

-            аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х  ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

                  u ( z ) = ¦r (eix )  , z = reix    ,  0 £  r <1  ,   x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v (0) = 0  задается формулой

                  v (z) = Im F (z) =    .                                     ( 8 )

Утверждение1.

Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге   | z | < 1+e   ( e>0 ) функция  и ¦ (x) = u (eix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

                  u (z) =                 ( z = reix  ,    | z | < 1 )               ( 10 )

Так как  ядро Пуассона  Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

                                              =,          | z | < 1+ e .

Но тогда коэффициенты Фурье функции  связаны с коэффициентами Фурье функции   следующим образом :

                                       

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению  поведения функции ¦r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а)  ;

б)  ;                                                                   (11)

в) для любого d>0

      

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  ¦ (х) º 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

                                            ;

если же ¦ (x) непрерывна на  [ -p, p ]  и  ¦ (-p) = ¦ (p) , то

                                          .

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

                      .                                  ( 12 )

Для любой функции  , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим



.

Следовательно,

                            .

Для данного e > 0  найдем  d = d (e) такое, что  . Тогда для  r  , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим  оценку

.

Аналогично,  второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

                            .

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a<b,   . Максимальной функцией для функции   называется функция 

                          ,

где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор  называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

  ,  .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из  . Тогда

                                            для  п.в.  .

Доказательство.

Покажем, что  для   и  

                                                       ,                                          ( 13 )

где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для  f (x)*). Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку

              

(К - абсолютная константа).

Пусть  -  такое число, что

.

Тогда  для  







.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора  . Используя его, найдем такую последовательность функций  ,что 

,

                                                  ( 14 )

   для п.в. .

Согласно (13) при   xÎ (-p,p)





Учитывая , что по теореме 1   для каждого xÎ [-p, p]  и (14)

из последней оценки  получим 

  при  r®1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p]   ,  когда точка reit  стремится к  eix  по некасательному к окружности    пути.

 

§I.2.Пространства Hp.

Определение I.3.

Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) ,  для  которых конечна норма

                                                .                               (15)

Пусть комплекснозначная функция   удовлетворяет условиям

                                                                            (16)

тогда функция  F (z) , определенная равенством

                                            (17)

принадлежит пространству ,  причем

                                                       .                                             (18)      

  

Действительно,  аналитичность функции  F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того,  в силу неравенства       мы имеем

                       (*)

С другой  стороны ,  по теореме 1  ( а  при  р=¥  в силу теоремы 2)

  .   Отсюда            (**)     

Учитывая  (*)  и  (**) ,  получим  (18).

Ниже мы докажем,  что любую функцию      можно  представить в виде  (17). Для этого нам потребуется 

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция  j (t)  имеет ограниченную вариацию на       [ -p,p]  и  

                              (19)

Тогда   j (t)  абсолютно непрерывна  на  [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже  рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса,  построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что 

j (t)= u (t)+ i v (t)  имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t)  и   v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл



определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если 

 - характеристическая функция замкнутого множества  .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества  ,

 ,

                                                   (20)

Для этой цели убедимся, что справедлива 

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а   V - открытое множества , причем       и 

. Тогда для всякого  ,  существует функция   вида

      ,                                         (21)   

обладающая свойствами:

а)      ;

б)            ;                                                          (22)

в)               .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть   ,  где      - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F,  и для  

.

Очевидно, что - открытое множество и .

Рассмотрим для данных    функцию  ,  построенную в лемме 1 для числа e  и  множества . Тогда  нетрудно проверить[3], что если    ,  а   , то разность 

.                               (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

 ,      

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству  леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

  , где ,  ,   - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при  ядро Фейера обладает следующими свойствами:         а) , ;             б) ,

Мз которых вытекает, что для   и  

,  

Также известно [3], что средние Фейера  равномерно сходятся к .

Пусть  f(t) - непрерывная на  [-p, p]  функция, для которой

 и  

Так как средние Фейера  равномерно сходятся  к    и

  ,  то существует тригонометрический полином

                                               (24)

такой, что 

           (25)

Пусть .  Рассмотрим для каждого d>0  такую функцию , что

,   



(функцию   можно построить следующим образом:  взять замкнутое множество    с мерой   ,  достаточно близкой  к  2p,  и положить

   ).

Так как        (здесь число m  то же,  что в (24)), то  для  достаточно малых  d>0  функция      удовлетворяет соотношениям

                  (26)

При этом  ,  если  .   Тогда  средние Фейера   функции  h(t)  имеют вид



и при достаточно большом  N

               (27)

Положим

  ,                                            (28)

Так как h(t) - действительная функция, то  ,  n=0,±1,±2,¼. Поэтому

   и   .                       (29)

Определим искомую функцию g(t) :



Ясно, что   , а из (24) и (28) следует, что   при n<0,  т.е.

                                                   (30)

В силу  соотношений (25), (27) и (29)  для  

 ,

а для  

 .

Наконец, для любого  

.

Таким образом, функция g(t)  обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.

Теорема 4.

Пусть функция . Тогда для п.в.  существует предел

                                                  (31)

При этом 

1)       ,        ,  ;

2)             ;

3)               .

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции  найдется функция  такая, что имеет место 1).  Действительно, если , то тем более   и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом   и  по теореме 1  

. Наконец, из 1) следует, что 



а тогда 

.

Пусть . Для построения  искомой функции   положим

,       ,     .

Функции ,  ,  имеют равномерно ограниченную по r вариацию на :

.

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации  и последовательность  , такие, что  в каждой точке   и 

                (32)

для любой функции . При этом  для  n=1,2,...



(мы учли аналитичность  функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3  абсолютно непрерывна : существует функция  , для которой

 ,       

Тогда

    ,                 (33)

Зафиксируем число   .  Функция  , аналитична в круге ,  поэтому согласно  утверждению 1

 ,        .

В пределе  при   из  последнего равенства вытекает, что 

 ,    , .

Равенство 1) ,  а вместе с ним  и теорема 4 доказаны.

 

§I.3.Пространства     и  .  

Обозначим через   класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде

  для п.в. ,   .

В силу пунктов 3)  и  2)  теоремы 4    и каждая функция   удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной   с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Следовательно, 

.                    (34)

Из (34) вытекает, что (замкнутое) -  подпространство пространства  , а   - банахово пространство  с нормой (15).

Пусть . Положим

,

,                               (35)



ОпределениеI.5.

Если функция  , то сопряженной к ней функцией называется функция       ,   ,

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при  интегралов                           .

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции  сопряженная функция  существует и конечна п.в. на ; при этом

а)  ,  y>0;

б) если , , то   и .

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны :

а)     ;

б)     ,   ,   ,   ;

в)       ;

г)       ,  где  - такая действительная функция, что ее сопряженная  также принадлежит пространству :

.         (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34),  а эквивалентность условий а) и в) - из  теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место равенства

,                            (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что 

,   ,     ,      

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть  фиксировано. Для произвольной функции  и  положим

 ,        ,

 где   ,   ,   .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций  (наличие этих свойств мы установим  ниже):

1)   ,         ,     ;

2)   при  функции   , , сходятся по мере к      

      ;

3)   ,     ,    ,

     где  С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что  ,  где  ,  поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:

 по мере .                                (38)

Для произвольного  найдем тригонометрический полином  такой, что

,       .                        (39)

Тогда согласно 3)

                       (40)

и при 

.                           (41)

Так как   - полином, то   и 

 .         (42)

Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим   , ,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции  справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное  и представим функцию в виде

,   ,   .                 (43)

Из непрерывности функции  легко следует, что

 

 равномерно по  . Поэтому при достаточно больших  с учетом (43) мы будем иметь

,      (44)

Кроме того,  в силу 1) и (43)

 ;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при   

.

Для доказательства оценки 3) заметим, что 

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть     (,,)  и

. Тогда  по теореме 4  ,  и надо доказать только, что  для п.в. .

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать,  что при  и 

,  .

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,  

                                                      ,  .                               (45)

Согласно теореме 1

.                   (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует сходимость по мере функций  к . Таким образом, 

 по мере  (),

а потому , учитывая (46),  для п.в. .

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если ,  то  ;

б) если  и  , то  ;

в) если , ,   ,  ,  то 

.                               (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим 

,

.

Согласно теореме 5 ,  , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса  мы получим, что

.                                                    (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство  совпадает с . Для  р=1 это не так. Пространство  уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых  и  .

 - банахово пространство с нормой 

.                                (49)

Полнота  с нормой (49) следует из утверждения 2  и полноты пространства : если   при , то  ,  , ,  и так как по мере  при , то и  при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв в (47) вместо   функцию  и учитывая б), мы получим

,   если .                    (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) -  удовлетворяет условию

 ,  ,  .                             (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

.                              (52)                              

Для фиксированного ,  ,  при   имеет место оценка

.                            (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция  аналитична в единичном круге и имеет нули в точках ,  , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством  ( , ), мы находим

 ,   .                                               (54)

Допустим теперь, что  () - нули некоторой функции  с  , причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим 

 ,   

Функция  () аналитична в круге  радиуса больше единицы, и , если   .  Следовательно,  и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда



и

,                                          (55)

Так как  , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть   - аналитическая в круге  функция и ,  () -  ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также  - кратность нуля функции  при . Произведение 

                                              (56)

называется произведением Бляшке функции .

Справедлива 

Теорема 6.

Каждая функция   представима в виде 

,

где  не имеет нулей в круге  и 

,  ,

а  - произведение Бляшке функции .

Доказательство.

Пусть ,  () - нули функции  ( или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше,  - аналитическая в круге  функция и 

 ,   .                                               (57)

При этом функция  также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и  .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

,   ,   .

Так как  для любого , то по теореме 4 



и

 , если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что  () равномерно по , мы получим

,  ,

т.е. ,  .

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть ,  , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки  к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при   вырождается в радиус единичного круга). Для положим 

 , ,

где  - интеграл Пуассона функции . Функция  называется нетангенциальной максимальной функцией для . 

В силу теоремы 2

 для п.в. .                            (58)

Установим, что для произвольной функции   величина  не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е.

,   .                           (59)

Нам понадобится 

утверждение 3.

а) если функция , то для любого 

;

б) если функция , то ,

где  - постоянная, зависящая  только от числа р.

Пусть  и . По определению интеграла Пуассона



Положим . Тогда будем иметь



и, в силу неравенства , , и периодичности ,

.                     (60)

Так как обе функции   и    положительны при     и отрицательны при   ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

.                    (61)

Для   имеют место оценки

,

.

Следовательно,  для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

 при  ,                     (62)

если . Пусть , тогда

.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции ,  ,

,                        (63)

где  - постоянная, зависящая только от  .

Теорема 7.

Пусть  (),   и 

 , .

Тогда  и 

.                                  (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где ,  , если   и  . Из функции  можно извлечь корень: существует функция  такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим

.

Оценка снизу для  вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве , пространство ВМО.

§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из  

пространству .

Рассмотрим  () - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :

  для п.в. ,   .               (65)

Ранее мы доказали, что

,   ,               (66)

и что - банахово пространство с нормой 

;                                (67)

при этом, если в (65) , то

    () .                (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при  пространство  совпадает с пространством  и из утверждения 2 следует, что

    ().

Последнее соотношение теряет силу при  - нетрудно проверить, что при 

,

где



и, следовательно, существует функция , для которой . Таким образом,  - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству  .

ОпределениеII. 8.

Множество  мы будем называть обобщенным интервалом, если   - дуга на единичной окружности, т.е.  - либо интервал из  , либо множество вида

  ().                             (69)

Точку  назовем центром обобщенного интервала , если  - центр дуги . Длиной обобщенного интервала  естественно назвать величину 



Определение II.9.

Действительную функцию  назовем атомом, если существует обобщенный интервал  такой, что 

а) ;

б) ;

в) .

Атомом назовем также функцию , .

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно, чтобы функция  допускала представление в виде*)

,  ,                              (70)

где , , - атомы. При этом 

,                           (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а   с и С   - абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность. 

Пусть для функции  нашлось разложение вида (70). Покажем, что  и   . Для этого достаточно проверить, что для любого атома  имеет место неравенство

.                                                 (72)

Пусть - такой обобщенный интервал, что

,   ,                      (73)

(случай    тривиален). Так как  , то нам остается доказать, что 

.                                            (74)

Для любого измеримого множества , применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2  и соотношениями (73), мы находим

,  (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда  . 

Допустим теперь, что , и обозначим через  обобщенный интервал длины  с тем же центром, что и . Из (75) следует, что 

.

Нам остается оценить интеграл . Мы воспользуемся очевидным неравенством

,   ,

где - длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки  и ,  а   - абсолютная постоянная. В силу (73) при  мы имеем

где - центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что   и  ,  мы находим

, , где  .

Следовательно, 

.

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции  разложение (70), для которого 

.

Пусть функция   с   такова, что выполнено соотношение (65), и пусть  () - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.

 , ,                                (75')

где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки   к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое разложение функции   на атомы (70), что  

,                                       (76)

где постоянные С  и  () не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что

.                                            (77)

Рассмотрим на отрезке  множества

 ,   ,             (78)

Так как при любом  множество точек единичной окружности  открыто, то ясно, что при  множество  (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

,   при ,   ,  .    (79)

Положим                и  при  

               (80)

Так как   конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в.         при  , а значит,  для п.в. 

 .

Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80),  при , мы находим, что

,                           (81)

где - характеристическая функция множества .  Из (81), учитывая, что , мы для функции  получаем следующее разложение:

     для п.в. ,              (82)

где 

,    ,            (83)

С помощью функций  мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при  ,  

   ,  .                       (84)

Докажем теперь, что для п.в. 

 ,  ,                             (85)

где постоянная  зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.

Так как из (65) и (75')  для п.в. , то из  (77) следует, что

.

Пусть теперь ,   - один из обобщенных интервалов  в представлении (79), тогда из (77) и (78)   , и если ,   - концевые точки дуги  () , то , а значит, 

,  .                                           (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что 

  при  .                         (87)

Легко видеть (учитывая,  что   и  ) , что множества    и   пересекаются в одной точке: 

 с    ,  .                                      (88)

Пусть ,  , - отрезок, соединяющий точки   и  . Так как   , , то из непрерывности функции  при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и  . Поэтому , учитывая (88)

 , ,,   .                         (89)

Рассмотрим область , ограниченную 

отрезками  и   и дугой  ;

пусть, далее, для 

 ,

,  .



По теореме Коши [5]             .

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги  справедливо равенство ,

мы получим

.

Но в силу теорем 4 и 5 

,  ,

и так как ,  , то мы находим, что 

 .                                    (89')

Легко видеть, что отношение    ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому

 , .                             (90)

Так как  , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в.  неравенство (85) сразу следует из определения функций  и множеств .

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что функции

  ,  , ,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции  на атомы:

  для  п.в.  ,

где                  ,  .

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем 

.

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность  и  ВМО.

Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству . Нам потребуется 

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

 ,                             (91)

где  ,  а  sup  берется по всем обобщенным интервалам  .

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой 

 .                                (92)

Ясно, что  . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция  .

Теорема 9.

, т.е.

а) если , и для произвольной функции  рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

,   , ,  - атомы*)              (93)

и положить 

 ,                          (94)

то сумма  ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на  ;

б) произвольный ограниченный линейный функционал  на  представим в виде (94), где  . При этом



(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция   такова, что для любого обобщенного интервала  найдется постоянная , для которой 

,

где М не зависит от . Тогда   и .

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала  мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то  и 

.                                              (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что 



для произвольного обобщенного интервала .

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть . Положим



Так как всегда   , то, учитывая равенства

,   ,  

,

мы с помощью следствия 2 находим

,                                 (96)

Допустим, что   ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

,   ,                   (97)

где функции  являются атомами и , и при 

,   , .                     (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при  







.

Отсюда, учитывая, что функции ,  , по модулю не превосходят суммируемой функции   и для п.в.  , мы получим, что

 .

Таким образом, равенством

 , ,                            (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в  линейном многообразии (плотность функций из   в   вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции  частные суммы разложения (70) сходятся к   по норме , и, очевидно, принадлежат пространству  ).  Поэтому функционал  можно единственным образом продолжить на все пространство :

,  .                       (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции  ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме  к  :

.

б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции 



(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция  с 

 ,                                          (101)

для которой 

 , .                           (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что 

.                                            (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал,  - произвольная функция с  . Тогда функция

 ,  ,

является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому



 .

Подбирая в последнем неравенстве функцию  оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала  I

,

что с учетом соотношения   доказывает оценку (103).

Таким образом, для  значение функционала  совпадает со значением ограниченного линейного функционала  на элементе  (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство  плотно в , то, следовательно, 

  для любой функции  .

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1.    Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2.    Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3.    Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.

4.    Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство  физико-математической литературы, 1961. —936с.

5.    Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.

6.    Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7.    Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.

8.    Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.





*) Мы считаем , что f (x) = 0  ,    если   |x| > p .

*) Так как функция  определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при  и  при .

*) В силу условий а) и в) в определении 9 ,  , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства  и п.в.

*) Возможен случай,  когда  при  .