Основы фрактального исчисления

Основы фрактального исчисления

Балханов Василий Карлович

Предложена система аксиом, определяющие фрактальное исчисление. Показано ее применение для иерархических структур. В качестве фрактальных разветвленных структур рассмотрены дельты рек и стримерные каналы. Введены фрактальные интегралы и дифференциалы, вычислены их значения для элементарных функций. Рассмотрены простейшие фрактальные уравнения.

Введение во фрактальное исчисление. Фрактальная геометрия, созданная Бенуа Б. Мандельбротом 30 лет назад, основывается на экспериментальном факте, что в общем случае длина L произвольной кривой (которая может быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения  [1,2,3]:

L  =  C    1-D .     (1)

Здесь С - размерный множитель, свой для каждой кривой, D - фрактальная размерность; наглядный пример - длинноногому дорога будет казаться короче. Для обычных, гладких линий D = 1 и получаем "истинную" длину. Если кривая плотно заполняет всю плоскость (простой пример - броуновская траектория), то для нее D = 2. Формулу легко проверить, нарисовав синусоподобную линию и, меняя раствор циркуля, измерить длину такой линии. Довольно очевидно, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Такое свойство называется самоподобием (скейлинг, масштабная инвариантность). Самоподобие означает, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Если линию увеличить в  раз, то для измерения новой длины  L достаточно использовать масштаб, равный    , т.е.

 L  =  C(     ) 1-D .     (2)

Формулы Мандельброта и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде аксиом фрактального исчисления, тогда чисто логическим путем можно получить практически все, известные на последнее время, результаты [4]. 

Альтернативная формулировка. При решении различных задач бывает полезным дать другую формулировку исходных аксиом. Во первых, длину измеряют, подсчитывая число масштабов, т.е. L = N  (   )  , где N (  ) - необходимое число шагов (растворов циркуля), с которым масштаб обходит всю линию, при этом из (1) следует, что  N  (   ) = C   -D. В новом масштабе, равном

   =  ,     (3)

длина будет L  = C     1-D. Подставляя (3) в выражение для L , получаем 

L  = C  1-D   1-D. Но здесь   C     1-D есть исходная длина, равная N (   ) , следовательно

L   =   1-D N  (   )  .            (4)

С другой стороны, L  = N  (    )  , или  L  = N  (     )    . Сравнивая последний результат с (4), приходим к замечательному результату:

N  (     ) =  -D  N  (   ).     (5)

В таком виде обычно и записывают условие самоподобия, подразумевая под N любую функцию от своих аргументов с отличным от D показателем. Во вторых, в формуле (3)  и  входят равным образом, т.е. переобозначение      не меняет общего вида самой формулы. Можно считать  масштабом, а  - масштабным множителем. Это легко понять - чтобы измерить шестиметровую длину, нужно двухметровый эталон приложить три раза, а можно трехметровый эталон приложить всего два раза. Вместо предложенных постулатов в основу теории фракталов можно положить симметрию переобозначения  и  и условие самоподобия в форме (5). Такая формулировка может оказаться наиболее пригодной в некоторых приложениях. Покажем это на примере иерархических структур, которые строятся по заранее определенным правилам.

Иерархические структуры. Пусть у нас имеется некоторый единичный отрезок. Если взять этот отрезок за масштаб, то последний уложится только один раз, т.е. N ( ) = 1. Далее строим триадную кривую Коха. Для этого отрезок разбиваем на три равные части  и на месте среднего из них строим "шляпу". Тогда масштаб будет  

 / 3, и его надо будет приложить четыре раза, чтобы обойти новую длину, т.е. 

N ( /3) = 4. Сравнивая последнее соотношение с  4N ( ) = 4, заключаем, что 4N ( ) = 

N ( /3). Это функциональное уравнение, и его решением будет степенная функция: 

N (  ) = C    -D, где  D = Ln 4/Ln 3, - искомая фрактальная размерность кривой Коха. В качестве следующего примера рассмотрим геометрический ряд:. Расстояние между соседними членами ряда будет, или, при  

N  1:    1/ N  2.  Откуда N     -1/ 2, сравнивая с N   -D, находим фрактальную размерность геометрического ряда: D = 1/2. Подобным образом можно рассматривать практически все иерархические структуры.

Разветвленные структуры. Важным примером применения фрактального исчисления является рассмотрение фрактальных разветвленных структур, к которым относятся дельты рек Селенги и Волги, стримерные каналы, образующиеся при коронном разряде в диэлектрических подложках, к последним относятся и молнии в атмосфере Земли. Для построения разветвленных структур возьмем фрактальную линию и разрежем ее на множество неравномерных отрезков. Разбросав эти отрезки по плоскости, мы получим пример разветвленной структуры. Наши постулаты позволяют определить зависимость длины всех отрезков от размера области, занимаемые отрезками на плоскости. Для этого проведем операцию переобозначения, заменив  на 1/R, где R будет линейным размером области. Тогда из (2), после простых сокращений, получаем L  =  C    1-D R  D. Убрав все неопределенные масштабные множители, находим

L    R  D .      (6)

Это важный результат. Если принять, что все отрезки обладают однородной массовой плотностью, то их общая масса будет зависеть от размера области как R D, а это известное положение в физике фрактальных кластеров, где оно и служит определением размерности [1,2].

В качестве примера разветвленной структуры была рассмотрена дельта реки Селенга. При расчете использовались топографическая и электронная карты [5,6]. Методика подсчета длины всех русловых рукавов и размеров областей разбиения подробно изложены в [7,8]. Оказалось, что фрактальная размерность дельты Селенги равна  1.38  0.01. Относительно небольшое значение размерности указывает, что разветвленная структура рассматриваемой дельты разряжена. Для сравнения у дельты Волги размерность оказалась равной 1.72, такое большое значение указывает на густоту русловых разветвлений, это хорошо наблюдается визуально на карте (рис. 1 в [9]).

 Помимо определения фрактальной размерности по формуле (3), была использована вторая независимая методика, основанная на следующем. Если посчитать число пересечений N руслами рукавов произвольного периметра линейным размером R, то они связаны между собой степенным образом:

N  R    ,    = 2 ( D - 1 ).     (7)

Качественно результат можно обосновать следующим образом.  Для обычных евклидовых линий число N не должно зависеть от R, т.е. при  D = 1 должно быть   = 0. Если линия заполняет всю плоскость, т.е.  D  = 2, то  N  будет квадратично зависеть от области, т.е.   = 2. Предполагая линейную зависимость между   и D, приходим к результату (7). При более строгом подходе необходимо было бы использовать понятие фрактальной производной [4]. В качестве примера приведем фрактальную производную от степенной функции:

.

В частности, полученная формула позволяет дать геометрическую интерпретацию фрактальной производной: так, для обычной производной из площади круга получают длину окружности, а фрактальной производной из длины R D получают канторовское множество R 2 ( D - 1 ) . Само число всех пересечений представляет пример канторовского множества. По этой методике для дельты Селенги было получено   = 0.74, и для дельты Волги   = 1.44. Используя эти значения, находим D  = 1 +  / 2 = 1.37 и  D = 1.72  для Селенги и Волги соответственно, что согласуются с выше приведенными значениями. Заметим, что методически производить подсчет по формуле (7) много легче, чем использовать (6). В качестве иллюстрации была рассчитана фрактальная размерность плоскостной проекции микроразрядов в фотопластинке (стримерные каналы), изображение которых представлена на рис. 2 в [10]. Здесь оказалось  

  =  0.768  0.008 и  D  = 1 +  / 2 = 1.38  0.01.

Фрактальное исчисление. По определению, длина есть сумма всех масштабов, т.е., где сумма берется от 1 до N (  ). Поскольку априори считается N  1, то сумму можно заменить некоторым интегралом, который назовем фрактальным, а способ его вычисления - фрактальным исчислением. Итак, определяем

.     (8)

Обратим внимание на то, что значок D, указывающий на фрактальную размерность, пишется снизу дифференциала d. Поскольку длина фрактальной линии есть C     1-D, то приходим к следующему, первому правилу фрактального исчисления - правилу интегрирования линейной функции:

= C     1-D.                                                    (9)

Проведем в этой формуле масштабное преобразование: = C() 1-D. Выражение справа есть 1-DC     1-D, или, с учетом (9), 1-D =. Сравнивая с исходным выражением, приходим к следующему закону для фрактального дифференциала:

.

В этом выражении отчетливо видно отличие фрактального дифференциала от дифференциала дробного порядка [11], для последнего. В общем случае для степенной функции можно получить следующее правило фрактального интегрирования:

= C     n-D.                                                 (10)

Элементарные функции. Фрактальный интеграл от степенной функции получается элементарно. Для этого в выражении (10) достаточно переобозначить  на x:

= C  x   n-D.                                                  (11)

Для вычисления фрактального интеграла от экспоненциальной функции экспоненту необходимо разложить в ряд, далее применяя для каждого члена ряда формулу (11), окончательно получаем

.                                                     (12)

Видим, что экспонента после фрактального интегрирования приобрела нелинейный множитель. Постоянные интегрирования здесь не выписываем, если судить по дробному интегродифференциальному исчислению [11], вопрос о постоянной интегрирования неоднозначен. Интегрирование от тригонометрических функций продемонстрируем на синусе. Представляя функцию синус в экспоненциальной форме и применяя результат (12), в итоге получаем



В этом выражении легко узнать одно из слагаемых в ряде, представляющей нигде не дифференцируемую функцию Вейерштрасса [1,2].

Фрактальное дифференцирование. Как и в обычном случае, будем считать, что фрактальное дифференцирование - это обратная к интегрированию операция. Таким образом, полагаем, что

.

Теперь легко можно установить правила фрактального дифференцирования элементарных функций. Опуская простые вычисления, приведем результаты:

,

,

.

Фрактальные уравнения. Для описания процессов, происходящих в Природе, используют дифференциальные уравнения - второй закон Ньютона, уравнения Максвелла и т.д. В настоящее время неизвестно, в какой форме должны выглядеть законы движения в форме фрактальных производных. Поэтому приведем некоторые возможные виды фрактальных уравнений и их несложные решения. Именно:

,

,

,   .

В этой части фактически завершено построение математического аппарата фрактального исчисления. Дальнейшее развитие должно пойти по пути применения к конкретным задачам, по пути совершенствования технических приемов.

Список литературы

Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991, 254 с. 

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 528 с. 

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 128 с. 

Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. - Улан-Удэ.: Изд. Бурятского гос. ун-та, 2001, 58 с. 

Топографическая карта, масштаб 1: 200000, лист ¦ 48-XXXV. 

CD - диск "ГИС района дельты реки Селенги в пакете Arc View 2.3". 

Балханов В.К. Дельта реки Селенга // Математика, вып. 3, 2002. Изд-во Бурятского гос. ун-та, Улан-Удэ. С. 13-18. 

Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные разветвленные структуры. Дельта реки Селенга // Горный информационно - аналитический бюллетень, 2002. N 4. С. 20-23. 

Алексеевский Н.И., Соколова Ю.В. Структура сети водотоков в русловых и дельтовых разветвлениях и способы ее формализации // Вестник Московского ун-та, Серия 5, География, ¦ 2, 1999. С.13-19. 

Попов Н.А. Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда // Физика плазмы, 2002, том 28, ¦ 7, с. 664-672. 

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.