Общий курс высшей математики

4



Академия труда и социальных отношений

Курганский филиал



Социально-экономический факультет







КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА







по дисциплине: «Общий курс высшей математики»











Студент гр. ЗМб 1338



Ст. преподаватель

















Курган – 2009


Задание 03



В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), . Сделать чертеж.

Решение:

Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:







12(y-2)=16(x-4);

12y-24=16х-64

16х-12у-40=0 /:4



4х-3у-10=0 – уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.

Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:



-3y=-10-4х;

3y=4x-10;

y= откуда k А С=



Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен



КВD = 



Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом КBD.

В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:







Е (10;10)



Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде



у – yE= КВD (x-xE)

y-10= (x-10);

y-10=x+ / 4

4у-40=-3х+30

3х+4у-70=0 – уравнение диагонали BD



Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.

Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой , позволяющей вычислять тангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1 и К2; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ().

Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив  из формулы 	для тангенса двойного угла при  найдем tg φ:







Положим z = tg φ; тогда , тогда



15  2z = 8 (1-z2)

30z=8-8z2

8z2+30z-8=0 /:2

4z2+15z-4=0

D=152-4 4 (-4)= 225+64=289

z1=;

z2=



Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ =

Угол φ является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).

Потому в первом случае по формуле  имеем 

откуда при  то получим 





4()=1+;

= /3

16-12 KBC=3+4KBC;

16 KBC=13;

KBC=



Во втором случае по формуле  имеем =;

При КАС = получим:



;

4(KcD-)=1+KcD;

4KcD-=1+ KcD / 3;

12KcD-16=3+4KcD;

8KcD =19

KcD= 



Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.



КCD = KAB = ;

KBC = KAD = .



Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ: у – уA = KA B (х – хA),



у -2 =  (х-4) /8;

8у-16=19х-76;

19 х-8 у-60=0.



Уравнение CD: у – уC= КCD(х – xC)



у -18= ( х-16) / 8;

8у -144=19х-304;

19 х-8 у-160=0.



Уравнение ВС: у – уC= КBC ( х xC);



у -18=( х - 16);

у - 18= х – 13 / 16;

16у -288 = 13х - 208;

13х -16 у +80=0



Уравнение AD: у – уA = КAD( х -xA);



у -2=( х -4);

у -2= х -  /16;

16у -32= 13х-52;

13х-16у-20=0



Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.



19х -8у -60 = 0	/  (-2)

13х -16у +80= 0

-38х+16у+120=0

13х-16у+80=0

-25х = - 200

х = 8

13  8 -16у+80=0

104-16у+80=0

16у=184

у=11,5 т.В (8;11,5)



Для вершины D:



19х -8у +-160 = 0 		/ (-2)

13x - 16 y – 20 = 0

-38х + 16у +320 = 0

13x - 16 y – 20 = 0

-25х = - 300

х=12

13  12 - 16у-20 = 0

156 -16 у-20=0

16у – 136

у=8,5 т.D (12;8,5)



Координаты этих точек удовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у - 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.

Площадь ромба вычислим по формуле S = ½ d1d2, где d1 и d2 – диагонали ромба.

Полагая d1 = |АС|, а d2 = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:



d1 = 

d2 = 



В итоге площадь ромба будет равна S = ∙ 20 ∙ 5 = 50 кв.ед.

Ответ:



АС: 4х - 3у - 10 = 0;

BD: 3х + 4у - 70= 0;

АВ: 19х -8у -60 = 0;

CD:19 х -8у - 160 = 0;

ВС: 13х -16у + 80 = 0;

AD: 13х -16у – 20=0;

В (8;11,5);

D (12; 8,5);

S = 50 кв.ед.



Задание 27



Найти предел



а) 



Решение:

а) Функция, предел которой при х→ 2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ 2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:



===

==



2 х 2 - 3 х - 2=0

D=3 2 -42(-2)=9+16=25

х1 == =2;

х2 = == -

==

===12,5



Ответ: 12,5



б) 



Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:



==

=

==

+=





Найдем каждый сомножитель.



====

+)=(=1+1=2.





Предел  есть первый замечательный предел.

Таким образом.

 после замены t=3x будет равен =3

Аналогично =5

Получим 



=

1



В итоге получим: 

Ответ: 



в) 



Преобразуем основание данной функции:







Ведем новую переменную t= , тогда 



t (4x-1) = 2

4xt – t = 2

4xt =2 + t

x=

x=



Заметим, что предел функции t при x → ∞ равен нулю т.е t → 0 при x → ∞. Следовательно 



===

=



Воспользуемся теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции, вторым замечательным пределом получим.







Ответ: 



г) 



Представим выражение под знаком предела в виде



===

==





Найдем значение каждого предела:



==1

= - ln e следствие из второго замечательного предела.

=3=3 1=3



В итоге получим



=1= = 



Ответ: 




Задание 50



Найти производную функции



а) 



Решение:

при решении будем применять правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.



=



==

=



б) 

+

+=+=

= +=+



в) 



Решение:



















г) 

==

=-

=- =-

-=- 

== 





Задание 73



Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln  в точке x1 заменив приращение функции в точке х0 = 0 ее дифференциалом. Если известно a=8; b=13; c=21;x1=0.013

Решение:

Если приращение аргумента ∆х = х1 – х0 достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ∆f = f (x1) – f (x0) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула



f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f / (x0) ∆x.



Для вычисления приближенного значения функции у = ln  в точке х1 = 0,013 вычислим производную этой функции в точке х0 = 0:



f / (x) = =	=

==

f / (x) = f / (0) = ==-1



Подставив в формулу получим; f (0,013) =-0,013

Ответ: -0,013



Задание 96



Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), так как выражение



f (x) = 



в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция, данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси формула

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ +∞ вычислим следующие два предела k = lim y/x и b = lim (y – kx)

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x)

Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество √х2 = |х| (1), из которого следует, что при x > 0 √х2 = х ,

а при х < 0 √х2 = -х или х = -√х2 (2)

Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х2, затем воспользуемся равенством (1) и основными свойствами предела:



k======

==0



Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:

b =(y – kx)=		y ==		= 

===3



Следовательно, прямая у = 3 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞.

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ -∞ вычислим пределы k1 = lim y/x и b1 = lim (y – kx)

Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k1x + b1 является наклонной асимптотой при х→-∞

Для вычисления этих пределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз вместо равенства (1) равенство (2). Теперь, в частности, для отрицательных значений аргумента имеем:

==-=- и следовательно, k1 = 0, b1 = -3, то есть наклонной (горизонтальной) асимптотой при х→-∞ на сей раз является прямая у = -3

4. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат и установим участки ее знакопостоянства.

Для отыскания абсцисс точек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение =0

Его единственным решением, очевидно, является х =  Причем, в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что f(x)>0 при х> f(x)<0при х < 

Таким образом, точка А (; 0) является единственной точкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-∞; ) и (; +∞) соответствующие точки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.

Точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ОУ – это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции. В нашем случае: f (0) ===-=-2,24 такой точкой является В(0;-2,24).

5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.

Вычислим сначала ее производную:



у===



====



Решая уравнение у/ = 0, получим единственный корень производной:

5(3+х) = 0 х=-3

Таким образом, необходимое условие экстремума выполняется лишь в точке х = -3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-∞;-3) и (-3; +∞) знакопостоянства производной.

Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как



f/(-1) = < 0 и f/(2) =  =  >0



то заключаем, что функция убывает на интервале (-∞;-3) и возрастает на интервале (-3; +∞), и значит точка х = -3 является точкой минимума данной функции.

Значение функции в этой точке (то есть минимум функции) равно



f (-3) = 	==-=-3,74

С (-3;-3,74)



6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.

С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:



у=(у)//===

= =

===



Решим затем уравнение у// = 0, эквивалентное квадратному уравнению:













его корни: х1 = -5; х2 = 0,5 , которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -5), (-5; 0.5), (0.5; +∞). 

Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:



f//(-6) = == < 0

f//(0) == > 0

f//(2) === < 0



Из полученных неравенств вытекает, что график функции является вогнутым на интервале (-5; 0.5), и выпуклым на интервалах (-∞; -5) и (0.5; +∞) и значит точки D (-5; f(-5)) и Е (0.5; f(0.5)), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:



f (-5) ===	 ≈-3,65

f (0.5) = =	= ≈ -1,53



Точки D(-5;-3,65) и E(0,5; -1,53)

Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у=-3 и у=3




Список использованной литературы:



1 Данко. П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов.М.: ОНИКС 21век, 2002.- 304 с.

2 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов по экономическим специальностям. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.-479 с.

3 Коломогоров А..Н., Абрамов А..М., Дудницын Ю.П.. Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа:Учебник .М.: Просвещение, 1993.-320 с.

4 Кудрявцев Л.Д. курс математического анализа: Учебник для студентов вузов. М.: высшая школа, 1989.-352 с.