Построение моделей статики по методике активного эксперимента

Содержание

	

	Введение 

	Задание

	1 Полный факторный эксперимент

	1.1 Составление матрицы планирования

	1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

	1.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

	1.4 Получение математической модели объекта

	1.5 Проверка адекватности математического описания

	2 Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта

	2.1 Составление матрицы планирования

	2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

	2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

	2.4 Построение диаграммы рассеяния

	2.5 Последовательность выделения наиболее существенных переменных при помощи выборочных ортогональных матриц планирования

	2.6 Выделение наиболее существенных парных взаимодействий

	2.7 Вычисление оценок коэффициентов и составление неполной квадратичной модели объекта

	2.8 Проверка адекватности математического описания

	Заключение

	Список используемых источников




ВВЕДЕНИЕ



Цель выполнения курсовой работы – закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

Задачей курсовой работы является приобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента.




Задание



Провести 5 серий измерений отклика (y) в соответствии с составленным планом ПФЭ типа 23 с центром в точке  с координатами х10=40, х20=20, х30=80 и интервалами варьирования x1=x2=x3=10 при заданной случайной помехе. 

 Провести процедуру идентификации модели, используя расчетные формулы и экспериментальные данные, полученные с помощью установки «Моделирование объектов».

3. Построить матрицу планирования МСБ из 16 строк, основываясь на предпосылке, что исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом, для 8 независимых линейных факторов, варьируемых на двух уровнях. 

4.Провести расчет целевой функции (y=y1+y2) в соответствии с составленным планом МСБ- МСБ с помощью ортогональных матриц планирования с центром в точке  с координатами х10=30, х20=40, х30=15, х40=25, х50=20, х60=75, х70=60, х80=30; и интервалами варьирования x1...x8=10 при заданной случайной помехе и проведенных (m) серий (m=2) измерений откликов y1 и y2.


1 Полный факторный эксперимент



Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях. Число этих комбинаций N=2n определяет тип ПФЭ. В моем варианте задания используется планирование типа N=23, т.е. объект с тремя (n=3) независимыми управляемыми факторами х1,х2,х3. При планировании эксперимента проводят преобразование размерных управляемых независимых факторов хi в безразмерные (нормированные)



. (1)



1.1 Составление матрицы планирования



Матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого примера (n = 3) можно представить в виде табл. 1.1.



Таблица 1.1

g

z0

z1

z2

z3

z12

z13

z23

z123

1

1

-1

-1

-1

1

1

1

-1

2

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

3

1

-1

1

-1

-1

1

-1

1

4

1

1

1

-1

1

-1

-1

-1

5

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

6

1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

7

1

-1

1

1

-1

-1

1

-1

8

1

1

1

1

1

1

1

1



1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования



Так как изменение отклика y носит случайный характер, то в каждой точке  приходится проводить т параллельных опытов и результаты наблюдений yg1, yg2, ..., ygm усреднять:



. (3)



Согласно заданию число параллельных опытов в каждой строке МП m = 5. Перед реализацией плана на объекте необходимо рандомизировать (расположить в случайном порядке) варианты варьирования факторов, т.е. с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел или компьютерной программы для проведения процесса рандомизации определить последовательность реализации вариантов варьирования плана в N  m опытах. 



Таблица 1.2

N

t,c

X1

X2

X3

X4

Y1

Yсред

Sg2

Y*

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3,8

30

10

50

0

127,8







2

4,9

30

10

50

0

114,3







3

6

30

10

50

0

122,4







4

7,1

30

10

65

0

123,6







5

8,2

30

10

50

0

121

121,82

24,122

121,64

6

10,6

50

10

50

0

143,2







7

11,6

50

10

50

0

142,8







8

12,7

50

10

50

0

139,8







9

13,7

50

10

50

0

153,1







10

14,7

50

10

50

0

146,6

145,1

25,81

145,28

11

17,8

30

30

50

0

133,2







12

18,8

30

30

50

0

138,9







13

19,7

30

30

50

0

144,3







14

20,5

30

30

50

0

151,4







15

21,7

30

30

50

0

151,2

143,8

62,285

143,98

16

23,7

50

30

50

0

168,1







17

24,8

50

30

50

0

163,8







18

25,8

50

30

50

0

170,9







19

26,8

50

30

50

0

168,1







20

27,8

50

30

50

0

168,1

167,8

6,47

167,62

21

32,1

30

10

80

0

227,5







22

33

30

10

80

0

232,4







23

33,9

30

10

80

0

225,1







24

34,8

30

10

80

0

228,5







25

35,6

30

10

80

0

230,7

228,84

8,008

228,205

26

38,6

50

10

80

0

266,4







27

39,4

50

10

80

0

271,9







28

40,2

50

10

80

0

258,8







29

41

50

10

80

0

272,3







1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

30

41,8

50

10

80

0

269,8

267,84

31,003

268,475

31

47,2

30

30

80

0

261







32

48

30

30

80

0

255,7







33

48,9

30

30

80

0

263,9







34

49,8

30

30

80

0

264,7







35

50,7

30

30

80

0

257,4

260,54

15,523

261,175

36

55

50

30

80

0

303,7







37

55,8

50

30

80

0

303,4







38

56,7

50

30

80

0

308,3







39

57,5

50

30

80

0

304,5







40

58,5

50

30

80

0

290,5

302,08

45,752

301,445



1.3 Проверка воспроизводимости эксперимента



Проверка воспроизводимости эксперимента есть не что иное, как проверка выполнения второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий . Задача состоит в проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий  при опытах соответственно в точках . Оценки дисперсий находят по известной формуле



. (4)


Рассчитанные для рассматриваемого примера по формуле (4) значения  занесены в последний столбец табл. 1.2.

Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объема т = 5, то число степеней свободы для всех них одинаково и составляет



1вос = m – 1. (5)



В этом случае для проверки гипотезы об однородности оценок  дисперсий следует пользоваться критерием Koxpэнa, который основан на законе распределения отношения максимальной оценки дисперсии к сумме всех сравниваемых оценок дисперсий, т.е.



. (6)



Если вычисленное по данным эксперимента (эмпирическое) значение критерия G окажется меньше критического значения Gкр, найденного по таблице для 1вос = m – 1 и 2вос = N и выбранного уровня значимости qвос = 0,05 (в данном случае Gкр=0,391), то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвечает результатам наблюдений.



1.4 Получение математической модели объекта



При ПФЭ получаются независимые оценки b0, bi, bil соответствующих коэффициентов модели 0, i, il, т.е. b0  0, bi  i, bil  il. Эти оценки легко найти по формулам


, , , (9)

, . (10)



Таблица 1.3

b0

204,7275

b1

15,9775

b2

13,8275

b3

60,0975

b12

0,4075

b13

4,1575

b23

2,6575

b123

0,2275



Рассчитанные значения коэффициентов приведены в таблице 1.3.

После определения оценок b коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезы об их значимости, т.е. проверить соответствующие нуль-гипотезы  = 0. Проверку таких гипотез производят с помощью критерия Стьюдента, эмпирическое значение которого



, (11)

где

 – (12)



дисперсия оценки b коэффициента уравнения регрессии. Если найденная величина параметра ti превышает значение tкр, определенное из таблицы для числа степеней свободы зн = N(m – 1), при заданном уровне значимости qзн = 0,05, то проверяемую нуль-гипотезу Н0:  = 0 отвергают и соответствующую оценку bi коэффициента признают значимой. В противном случае, нуль-гипотезу не отвергают и оценку b считают статистически незначимой, т.е.  = 0.

Рассчитанные значения критерия и значимость коэффициентов указаны в таблице 1.4.



Таблица 1.4

b0

t0

247,489

tтабл=2,036

значимый

b1

t1

19,31473



значимый

b2

t2

16,71565



значимый

b3

t3

72,65008



значимый

b12

t12

0,492615



незначимый

b13

t13

5,025878



значимый

b23

t23

3,212573



значимый

b123

t123

0,275018



незначимый



В данном варианте статистически незначимыми являются коэффициенты b12, b123, т.к. t12,t123<tтабл.

Математическую модель объекта составляют в виде уравнения связи отклика у и факторов xi, включающего только значимые оценки коэффициентов.

 (13)



1.5 Проверка адекватности математического описания



Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описания опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика  от результатов наблюдений  в одних и тех же g-х точках факторного пространства. 

Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности


, (14)



где d – число членов аппроксимирующего полинома (значимых оценок коэффициентов модели объекта). Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы



ад = N – d. (15)



Для данного варианта в соответствии с формулой (14) получим

.

Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в выяснении соотношения между дисперсией адекватности  и оценкой дисперсии воспроизводимости отклика . Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F-критерия Фишера. Критерий Фишера позволяет проверить гипотезу об однородности двух выборочных дисперсий  и . В том случае, если ,F-критерий характеризуется отношением



. (16)



Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значение критерия F меньше критического Fкр, найденного из таблице для соответствующих степеней свободы:



1ад = N – d , 2ад = зн = N(m – 1) , (17)



при заданном уровне значимости qад (обычно qад = 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

В данном случае 1ад =2, 2ад =32, табличное значение критерия Fкр=3,302. Таким образом, модель признается адекватной.




2 Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта



При оптимизации многофакторного объекта основным этапом является получение математической модели, адекватно описывающей статический объект в изучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этом естественно стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможно более простым при максимуме подобия, особенно при разработке способов и систем оптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а не локальный или частный экстремум. Однако решение этой задачи в реальных условиях обычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количеством переменных , в той или иной степени влияющих на объект.

Методика регрессионного анализа основана на предположении, что учтены все или, по крайней мере, все существенные факторы, иначе полученная математическая модель окажется неадекватной в изучаемом диапазоне изменения переменных. Привлечение всего множества переменных к составлению математического описания может потребовать непомерного объема экспериментальной и вычислительной работы, что зачастую невыполнимо в силу технологических, экономических и прочих ограничений. Возникает необходимость предварительного отсеивания несущественных переменных и выделения тех входных воздействий , которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию. 

Если число всех возможных факторов, влияющих на объект, не превышает 6 – 7, то для предварительного изучения объекта можно применить методы дробного или полного факторного эксперимента. Однако при большом числе рассматриваемых факторов методы ПФЭ и даже ДФЭ, предназначенные для тщательного изучения поверхности отклика, оказываются слишком громоздкими и трудоемкими для постановки отсеивающих опытов. В случае изучения более 8 – 10 факторов, если эксперименты недороги и если заведомо известно, что лишь немногие переменные являются существенными, следует применять метод случайного баланса (МСБ).

Важнейшей теоретической предпосылкой МСБ является априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемых переменных  только небольшое их число (например, 10 ... 15 %) являются действительно существенными, остальные же могут быть отнесены к "шумовому полю" .

Под "шумовым полем" обычно понимают случайные помехи , о которых ничего или почти ничего неизвестно, и малозначимые или незначимые переменные (линейные и парные взаимодействия), которые нет смысла контролировать. 

Основная идея метода заключается в том, что вместо дробных реплик, которые представляют собой систематические ортогональные выборки из ПФЭ, берутся случайные выборки. Тогда вектор-столбцы матрицы планирования можно считать не коррелированными (не связанными) или слабо коррелированными друг с другом. Совместные оценки оказываются смешанными случайным образом. Появляется возможность с высокой надежностью выделить и независимо оценить все доминирующие переменные.

Из сказанного следует, что МСБ обладает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ и ДФЭ. Под чувствительностью метода обычно понимается способность выделять коэффициенты  уравнения регрессии, значимо отличающиеся от нуля (т.е. способность отбрасывать нуль-гипотезу Н0: ai = 0). Зато он обладает большей разрешающей способностью: в благоприятных условиях, при одинаковом числе опытов, он позволяет независимо выделить существенные переменные среди гораздо большего числа рассматриваемых переменных, чем при ДФЭ и тем более ПФЭ.




2.1 Составление матрицы планирования



Построение матрицы планирования для проведения отсеивающих опытов выполняют на основе предпосылки, что исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом. Все линейные факторы zi (i = l, 2, ..., n) разбивают на группы, при этом стремятся заведомо взаимодействующие факторы включить в одну группу. Если же нет априорных сведений о физике процесса, то разбивку факторов по группам можно производить формально, с использованием таблицы (или программы) случайных чисел. Затем для каждой группы составляют МП на основе ПФЭ или ДФЭ.

В задании требуется исследовать 8 факторов z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, z8 и их взаимодействия и с помощью МСБ выделить самые существенные. Разобьем факторы на две группы: 1 – z1, z2, z3, z4, 2 - z5, z6, z7, z8.

Общая МП для МСБ составляется в виде таблицы 2.3 путем построчной стыковки таблиц 2.1 и 2.2 после рандомизации их строк с помощью таблицы случайных чисел или компьютерной программы для реализации процесса рандомизации. Общая МП в данном примере может иметь вид таблицы 2.3.



Таблица 2.1

g

z1

z2

z3

z4

1

-1

-1

-1

-1

2

1

-1

-1

-1

3

-1

1

-1

-1

4

1

1

-1

-1

5

-1

-1

1

-1

6

1

-1

1

-1

7

-1

1

1

-1

8

1

1

1

-1

9

-1

-1

-1

1

10

1

-1

-1

1

11

-1

1

-1

1

12

1

1

-1

1

13

-1

-1

1

1

14

1

-1

1

1

15

-1

1

1

1

16

1

1

1

1



Таблица 2.2

g

z5

z6

z7

z8

1

-1

-1

-1

-1

2

1

-1

-1

-1

3

-1

1

-1

-1

4

1

1

-1

-1

5

-1

-1

1

-1

6

1

-1

1

-1

7

-1

1

1

-1

8

1

1

1

-1

9

-1

-1

-1

1

10

1

-1

-1

1

11

-1

1

-1

1

12

1

1

-1

1

13

-1

-1

1

1

14

1

-1

1

1

15

-1

1

1

1

16

1

1

1

1

Таблица 2.3

g

g'

z1

z2

z3

z4

g''

z5

z6

z7

z8

1

4

1

1

-1

-1

2

1

-1

-1

-1

2

3

-1

1

-1

-1

16

1

1

1

1

3

2

1

-1

-1

-1

5

-1

-1

1

-1

4

5

-1

-1

1

-1

4

1

1

-1

-1

5

9

-1

-1

-1

1

11

-1

1

-1

1

6

11

-1

1

-1

1

3

-1

1

-1

-1

7

15

-1

1

1

1

10

1

-1

-1

1

8

7

-1

1

1

-1

6

1

-1

1

-1

9

16

1

1

1

1

9

-1

-1

-1

1

10

8

1

1

1

-1

1

-1

-1

-1

-1

11

1

-1

-1

-1

-1

14

1

-1

1

1

12

13

-1

-1

1

1

7

-1

1

1

-1

13

6

1

-1

1

-1

13

-1

-1

1

1

14

10

1

-1

-1

1

12

1

1

-1

1

15

14

1

-1

1

1

8

1

1

1

-1

16

12

1

1

-1

1

15

-1

1

1

1

Результаты МСБ анализируются с помощью диаграмм рассеяния либо с помощью выборочных ортогональных МП.



2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования



Проведем, используя лабораторный стенд, эксперимент в районе базовой точки: х1=30, х2=40, х3=30, х4=40, х5=20, х6=40, х7=40, х8=20. Примем за интервал варьирования Δxi=10 (I=1,…,8). Число параллельных опытов m=2. Целевую функцию запишем как сумму: y=y1+y2.



Таблица 2.4

N

t,c

X1

X2

X3

X4

Y1

N

t,c

X5

X6

X7

X8

Y2

Y

Yср

S2



































1

26,1

40

60

5

15

111,3

1

10,5

30

65

50

20

102,3

213,6





2

26,8

40

60

5

15

101,8

2

11,1

30

65

50

20

103,7

205,5

209,55

32,805

3

19,4

20

60

5

15

84,9

3

81,1

30

65

70

40

205,8

290,7





4

20,1

20

60

5

15

92,2

4

81,8

30

65

70

40

202,1

294,3

292,5

6,48

5

12,9

40

40

5

15

77,5

5

23,2

10

65

70

20

106,7

184,2





6

13,9

40

40

5

15

75,4

6

24,1

10

65

70

20

109,3

184,7

184,45

0,125

7

31

20

40

25

15

107,1

7

17,9

30

85

50

40

137,1

244,2





8

32

20

40

25

15

113

8

18,3

30

85

50

20

130,7

243,7

243,95

0,125

9

54,1

20

40

5

35

62,9

9

52,4

10

85

50

40

88,5

151,4





10

55,3

20

40

5

35

64,8

10

52,9

10

85

50

40

100,5

165,3

158,35

96,605

11

70,6

20

60

5

35

88,4

11

14,5

10

85

50

20

106

194,4





12

71,5

20

60

5

35

78,8

12

14,9

10

85

50

20

105,5

184,3

189,35

51,005

13

88,1

20

60

25

35

141,4

13

47,5

30

65

50

40

96,1

237,5





14

88,9

20

60

25

35

155,3

14

47,9

30

65

50

40

101,2

256,5

247

180,5

15

39,8

20

60

25

15

144,9

15

26,6

30

65

70

20

153,7

298,6





16

40,8

20

60

25

15

141,2

16

27,6

30

65

70

20

163,4

304,6

301,6

18

17

92,7

40

60

25

35

190,4

17

41,1

10

65

50

40

79,1

269,5





18

93,7

40

60

25

35

186,9

18

44,8

10

65

50

40

74,2

261,1

265,3

35,28

19

43,9

40

60

25

15

183,3

19

5,5

10

65

50

20

71

254,3





20

45,1

40

60

25

15

190,3

20

8,2

10

65

50

20

66,7

257

255,65

3,645

21

7

20

40

5

15

63,4

21

76,1

30

65

70

40

162,9

226,3





22

8,4

20

40

5

15

56,5

22

76,5

30

65

70

40

161

217,5

221,9

38,72

23

79,7

20

40

25

35

111,7

23

31,4

10

85

70

20

149,6

261,3





24

80,1

20

40

25

35

110

24

32,3

10

85

70

20

154,1

264,1

262,7

3,92

25

35,7

40

40

25

15

147

25

72,8

10

65

70

40

113

260





26

36,5

40

40

25

15

158,2

26

73,2

10

65

70

40

106

264,2

262,1

8,82

27

60,6

40

40

5

35

85,7

27

56,8

30

85

50

40

130,2

215,9





28

61,5

40

40

5

35

77,5

28

57,3

30

85

50

40

128,4

205,9

210,9

50

29

83,4

40

40

25

35

148,6

29

36,2

30

85

70

20

203,3

351,9





30

84,4

40

40

25

35

149

30

37,4

30

85

70

20

205,1

354,1

353

2,42

31

75,7

40

60

5

35

109,7

31

78,7

10

85

70

40

135,7

245,4





32

76,7

40

60

5

35

112,4

32

79,1

10

85

70

40

152

264,4

254,9

180,5



Таблица 2.5

g

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

z8

Y

1

1

1

-1

-1

1

-1

-1

-1

209,55

2

-1

1

-1

-1

1

1

1

1

292,5

3

1

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

184,45

4

-1

-1

1

-1

1

1

-1

-1

243,95

5

-1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

158,35

6

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

189,35

7

-1

1

1

1

1

-1

-1

1

247

8

-1

1

1

-1

1

-1

1

-1

301,6

9

1

1

1

1

-1

-1

-1

1

265,3

10

1

1

1

-1

-1

-1

-1

-1

255,65

11

-1

-1

-1

-1

1

-1

1

1

221,9

12

-1

-1

1

1

-1

1

1

-1

262,7

13

1

-1

1

-1

-1

-1

1

1

262,1

14

1

-1

-1

1

1

1

-1

1

210,9

15

1

-1

1

1

1

1

1

-1

353

16

1

1

-1

1

-1

1

1

1

254,9



2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента



Проверка воспроизводимости эксперимента проводится аналогично ПФЭ. 

Рассчитанные для рассматриваемого примера значения  занесены в последний столбец табл. 2.4.

Если вычисленное по данным эксперимента (эмпирическое) значение критерия G (G=0,2546)окажется меньше критического значения Gкр, найденного по таблице для 1вос = m – 1 и 2вос = N и выбранного уровня значимости qвос = 0,05 (в данном случае Gкр=0,3894), то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвечает результатам наблюдений. В данном случае воспроизводимость эксперимента выполняется. 



2.4 Построение диаграммы рассеяния



Вид диаграммы рассеяния приведен на рисунке 1.



Рисунок 1





Рассчитанные значения вкладов и количество выделяющихся точек для соответствующих факторов приведены в таблице 2.6.


Таблица 2.6

вклады

Bz1

Bz2

Bz3

Bz4

Bz5

Bz6

Bz7

Bz8

16,95

27,31

53,05

2,65

-5,6

-2,95

36,9

1,25

выделяющиеся точки

2

0

8

0

6

0

4

3



2.5 Последовательность выделения наиболее существенных переменных при помощи выборочных ортогональных матриц планирования



Выделение наиболее существенных переменных и их ранжирование можно произвести двумя способами: с помощью вкладов и ортогональных выборочных МП.

Визуальное оценивание показало, что самыми существенными факторами являются  и , имеющие и наибольшие абсолютные величины вкладов, и наибольшее число выделяющихся точек (соответственно восемь и четыре). Построим ВОМП ПФЭ типа  для этих двух факторов (табл. 2.7), где  – число факторов в ВОМП,  – номер строки ВОМП. 

Столбцы  заполняются данными табл. 2.5 следующим образом. Для каждой строки ВОМП выбирается строка в исходной МП, где факторы  и  имеют такие же знаки. Например, для первой строки табл. 2.7 ( и ) выбираются строки 1,7,9 и 10 табл. 2.5. Таким образом, в каждой строке ВОМП (табл. 2.7) оказалось по 4 параллельных опыта (,, и ). Построчные средние значения отклика даны в графе .



Таблица 2.7

z3

z7

y1

y2

y3

y4

Yвыб

S

G

Gтабл

-1

-1

209,55

158,35

189,35

210,9

192,0375

601,5173

0,455986

0,6841

1

-1

243,95

247

265,3

255,65

252,975

92,07083





-1

1

292,5

184,45

221,9

254,9

238,4375

2127,302





1

1

301,6

262,7

262,1

353

294,85

1844,39





В графе Sg2выб приведены несмещенные оценки построчных дисперсий, однородность которых проверяется с помощью G-критерия Кохрэна. Расчетное значение критерия G=0,455986, а критическое Gкр=0,6841. Т.к. G<Gкр, можно сделать вывод об однородности оценок дисперсии.Оценки коэффициентов нормированного уравнения регрессии на основании данных ВОМП получились:

в 3=29,3375; в 7=22,0688.

Статистическую значимость оценок коэффициентов проводят по критерию:



вi≤ вiкр=tкр∙S{ вi},



где 

Критическое значение t-критерия Стьюдента выбирают из таблицы для уровня значимости q=0,05 и числа степеней свободы:



зн=вос=Nвыб·m(mвыб-1)

Nвыб=4; mвыб=4; m=2

=1166,32

=36,4475

tкр=2,0639

вкр=12,4601



Оценки в 3, в 7 признают статистически значимыми.

Далее исходную табл. 2.5 корректируют по формуле



, (23)


стабилизировав  и  на уровнях  и . При этом в тех g-х строках, где , из исходных значений отклика  вычитают удвоенное значение коэффициента , где  – удвоенное значение . Если , то вычитание соответствующего  не производится.

В результате получится скорректированная таблица 2.8.



Таблица 2.8

g

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

z8

Y

Y'

1

1

1

-1

-1

1

-1

-1

-1

209,55

209,55

2

-1

1

-1

-1

1

1

1

1

292,5

248,3625

3

1

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

184,45

140,3125

4

-1

-1

1

-1

1

1

-1

-1

243,95

185,275

5

-1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

158,35

158,35

6

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

189,35

189,35

7

-1

1

1

1

1

-1

-1

1

247

188,325

8

-1

1

1

-1

1

-1

1

-1

301,6

198,7875

9

1

1

1

1

-1

-1

-1

1

265,3

206,625

10

1

1

1

-1

-1

-1

-1

-1

255,65

196,975

11

-1

-1

-1

-1

1

-1

1

1

221,9

177,7625

12

-1

-1

1

1

-1

1

1

-1

262,7

159,8875

13

1

-1

1

-1

-1

-1

1

1

262,1

159,2875

14

1

-1

-1

1

1

1

-1

1

210,9

210,9

15

1

-1

1

1

1

1

1

-1

353

250,1875

16

1

1

-1

1

-1

1

1

1

254,9

210,7625



По данным этой таблицы (по столбцу y') можно построить новую диаграмму рассеяния (рисунок 2), анализируя которую, выделяют следующие два наиболее существенных фактора. На очередных диаграммах рассеяния ординаты для ранее выделенных наиболее существенных переменных оставляют незаполненными. Отметим, что дисперсия точек на диаграммах рассеяния после выделения наиболее существенных факторов заметно уменьшается по сравнению с первоначальной картиной, поскольку после стабилизации остаются факторы, оказывающие более слабое влияние на величину отклика .

Далее аналогичным образом определим следующие два существенных фактора.

Определим медианы на диаграмме рассеяния после стабилизации (рисунок 2). 



Рисунок 2





Далее определим вклады и количество выделяющихся точек (таблица2.9).

вклады

Bz1

Bz2

Bz3

Bz4

Bz5

Bz6

Bz7

Bz8

-8,1062

23,09375

0

-4,3875

38,4375

30,10625

0

8,575

выделяющиеся точки

0

0



3

2

5



0



Наиболее существенными факторами являются z5,z6.

Далее строим ВОМП для этих факторов(таблица 2.10).


Таблица 2.10

z5

z6

y1

y2

y3

y4

Yсред

S

G

Gтабл

-1

-1

140,3125

206,625

196,975

159,2875

175,8

976,8622

0,311196

0,6841

1

-1

209,55

188,325

198,7875

154,65

187,8281

564,3275





-1

1

158,35

189,35

159,8875

210,7625

179,5875

635,4361





1

1

248,3625

185,275

210,9

250,1875

223,6813

983,3819







Т.к. G<Gкр, можно сделать вывод об однородности оценок дисперсии.

Получим следующие значения коэффициентов:



в 5=14,0305; в 6=9,91016.



Далее по аналогичным формулам проводится оценка значимости.



Nвыб=4; mвыб=4; m=2

=790,002

=24,6876

tкр=2,0639

вкр=10,2548



Коэффициент в 5 признается незначимым, коэффициент в 2 – значимым.



2.6 Выделение наиболее существенных парных взаимодействий



В данном случае наиболее значимыми являются взаимодействия z4z7, z6z7, z1z7.

На рисунках 5-7 приведены диаграммы рассеяния для данных взаимодействий.


Рисунок 5





Bz6z7=51,3



Рисунок 6



Bz4z7=51,3



Рисунок 7





Bz1z6 =56,525



2.7 Вычисление оценок коэффициентов и составление неполной квадратичной модели объекта



При использовании ВОМП вычисление оценок  коэффициентов выполняют по формуле, учитывающей число  строк ВОМП:



. 



Значения коэффициентов для данного варианта указаны в таблице 2.12.


Таблица 2.11

a0

244,575

a2

14,03047

a3

29,3375

a7

22,06875



Неполная квадратичная модель объекта примет вид:



Расчетные значения у приведены в таблице 2.12.



Таблица 2.12

g

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

z8

Y

Y*

1

1

1

-1

-1

1

-1

-1

-1

209,55

207,1992

2

-1

1

-1

-1

1

1

1

1

292,5

310,0117

3

1

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

184,45

223,2758

4

-1

-1

1

-1

1

1

-1

-1

243,95

265,8742

5

-1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

158,35

237,8133

6

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

189,35

237,8133

7

-1

1

1

1

1

-1

-1

1

247

207,1992

8

-1

1

1

-1

1

-1

1

-1

301,6

251,3367

9

1

1

1

1

-1

-1

-1

1

265,3

179,1383

10

1

1

1

-1

-1

-1

-1

-1

255,65

179,1383

11

-1

-1

-1

-1

1

-1

1

1

221,9

251,3367

12

-1

-1

1

1

-1

1

1

-1

262,7

281,9508

13

1

-1

1

-1

-1

-1

1

1

262,1

223,2758

14

1

-1

-1

1

1

1

-1

1

210,9

265,8742

15

1

-1

1

1

1

1

1

-1

353

310,0117

16

1

1

-1

1

-1

1

1

1

254,9

281,9508



2.8 Проверка адекватности математического описания



Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описания опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика  от результатов наблюдений  в одних и тех же g-х точках факторного пространства. 

Для данного варианта в соответствии с формулой (14) получим

.



Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F-критерия Фишера. 

F=184,05

Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значение критерия F меньше критического Fкр, найденного из таблице для соответствующих степеней свободы:



1ад = N – d , 2ад = зн = N(m – 1) , (17)



при заданном уровне значимости qад (обычно qад = 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

В данном случае 1ад =12, 2ад =16, табличное значение критерия Fкр=2,42. Таким образом, модель не является адекватной.




Заключение



В процессе выполнения курсовой работы были изучены современные методы планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

При выполнении курсовой работы мною были приобретены навыки выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от плана эксперимента.




Список использованных источников



1	Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1969.

2	Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

3	Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965.

4	Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие / Под. ред. Г.К. Круга. М.: Высш. школа, 1983.

5	Рузинов Л.П., Слободчикова Р.И. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. М.: Химия, 1980.

6	Бондарь А.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии. Киев: Вища школа, 1976.

7	Статистические методы планирования эксперимента: Лаб. работы / Сост.: С.В. Мищенко, С.В. Григорьева, В.Г. Серегина, Э.В. Злобин: Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002