Многомерные и многосвязные системы

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»






Задание



Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию ;

2. Частотную передаточную функцию ;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику ;

5. Переходную характеристику ;

6. ЛАЧХ ;

7. ФЧХ .

Составить структурную схему системы.






Дано:



;

;

.



Решение:



1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:



,

.



Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:



;							(1)

,								(2)



где



;	;	



– лапласовы преобразования координат состояния , выходных  и входных  сигналов.

Преобразуем уравнение (1):








Выносим за скобки:







где

 – единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:







Откуда получаем:



.



Подставляем в уравнение (2):







Получаем:







Выражение  называют передаточной функцией системы.

Находим её:






Находим обратную матрицу:







Подставляем:



.



2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :



,



получаем:



.



Выделим действительную и мнимую части:



,



для этого умножим числитель и знаменатель  на комплексно – сопряжённый знаменатель:


;

;

;

.



3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции  на комплексной плоскости при изменении частоты  от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной  и мнимой  частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.



Таблица 1. Расчёт годографа



















0

2,8750000

0,0000000

10

-0,0512719

0,4570747

200

-0,00018

0,020008

1

2,7230769

0,9846154

20

-0,0163435

0,2074170

300

-0,000078

0,013336

2

1,9500000

1,9000000

30

-0,0075500

0,1355448

400

-0,000044

0,010001

3

0,8344828

1,9862069

40

-0,0043030

0,1009350

500

-0,000028

0,008001

4

0,2250000

1,5500000

50

-0,0027705

0,0804792

600

-0,000019

0,006667

5

0,0130624

1,1611030

60

-0,0019302

0,0669441

700

-0,000014

0,005715

6

-0,0500000

0,9000000

70

-0,0014209

0,0573176

800

-0,000019

0,005000

7

-0,0645030

0,7269777

80

-0,0010893

0,0501171

900

-0,000009

0,004445

8

-0,0634615

0,6076923

90

-0,0008614

0,0445267

1000

-0,000007

0,004000

9

-0,0578113

0,5216604

100

-0,0006982

0,0400600

2000

-0,000002

0,002000



Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.




Рис. 1. Годограф



4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:



.



Найдём полюса передаточной функции:









Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:


.



Используя табличные значения, находим:



,

.



Таким образом, получаем:



.



Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.



Таблица 2. Импульсная характеристика



0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5



-4

11,28

62,69

100,8

-167,1

-1236

-2395

2097

23854

54578

-15944



Строим график импульсной характеристики – рис. 2.





Рис. 2. Импульсная характеристика


5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:



.



Найдём полюса передаточной функции:





;	.



Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:



.



Приводим к общему знаменателю:



.



Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:



,

,

.


Откуда находим:



,

,

.



Используя табличные значения, находим:



,

,

.



Таким образом, получаем:





.



Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.



Таблица 3. Переходная характеристика



0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5



0

0,654

17,59

62,52

69,32

-243

-1209

-1744

3830

24151

42653



Строим график переходной характеристики – рис. 3.


Рис. 3. Переходная характеристика



6. ЛАЧХ

Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:



.



далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:



.



Это и есть выражение для ЛАЧХ.

Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).




Таблица 4. ЛАЧХ



















-1

0,1

9,17406

0,1

1,25893

9,20891

1,2

15,8489

-11,426

-0,9

0,12589

9,17482

0,2

1,58489

9,08243

1,3

19,9526

-13,614

-0,8

0,15849

9,17601

0,3

1,99526

8,70564

1,4

25,1189

-15,738

-0,7

0,19953

9,17788

0,4

2,51189

7,83066

1,5

31,6228

-17,818

-0,6

0,25119

9,18077

0,5

3,16228

6,23375

1,6

39,8107

-19,869

-0,5

0,31623

9,18519

0,6

3,98107

3,94960

1,7

50,1187

-21,902

-0,4

0,39811

9,19182

0,7

5,01187

1,26946

1,8

63,0957

-23,923

-0,3

0,50119

9,20135

0,8

6,30957

-1,5050

1,9

79,4328

-25,936

-0,2

0,63096

9,21400

0,9

7,94328

-4,1982

2

100

-27,944

-0,1

0,79433

9,22792

1

10

-6,7459

2,1

125,893

-29,950

0

1

9,23483

1,1

12,5893

-9,1470

2,2

158,489

-31,953



Строим график ЛАЧХ – рис. 4.



Рис. 4. ЛАЧХ



7. ФЧХ

ФЧХ – угол поворота вектора  на комплексной плоскости в зависимости от частоты:


.



Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).



Таблица 5. ФЧХ



















-1

0,1

0,03263

0,1

1,25893

0,44997

1,2

15,8489

1,66382

-0,9

0,12589

0,04110

0,2

1,58489

0,58831

1,3

19,9526

1,64958

-0,8

0,15849

0,05177

0,3

1,99526

0,77030

1,4

25,1189

1,63592

-0,7

0,19953

0,06524

0,4

2,51189

0,99225

1,5

31,6228

1,62384

-0,6

0,25119

0,08227

0,5

3,16228

1,22480

1,6

39,8107

1,61359

-0,5

0,31623

0,10383

0,6

3,98107

1,42316

1,7

50,1187

1,60513

-0,4

0,39811

0,13123

0,7

5,01187

1,56064

1,8

63,0957

1,59824

-0,3

0,50119

0,16622

0,8

6,30957

1,63913

1,9

79,4328

1,59268

-0,2

0,63096

0,21126

0,9

7,94328

1,67427

2

100

1,58822

-0,1

0,79433

0,26981

1

10

1,68250

2,1

125,893

1,58466

0

1

0,34696

1,1

12,5893

1,67633

2,2

158,489

1,58182



Строим график ФЧХ – рис. 5.





Рис. 5. ФЧХ




8. Структурная схема системы

Записываем матричные уравнения системы:



;

.



Подставляем исходные данные:



;

.



Производим умножение матриц:



,

,

.



Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.





Рис. 6. Структурная схема системы




Часть 2:

Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами

{–1; –4;  5j}.

Построить наблюдатель полного порядка.



Дано:

,

,

.



Решение:



1. Синтез замкнутой системы

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:



,

.



Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:



,



где

 – входной командный сигнал,

К – матрица коэффициентов обратной связи.

После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.





Рис. 7. Структура исходной системы



Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:



.



Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.

Характеристический многочлен исходной системы равен:





.



Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):

.

Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы  по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:



.



Пусть матрица коэффициентов обратной связи , тогда характеристический полином замкнутой системы:





.



Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов  и :

,

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

,

,

.

Искомое управление принимает вид:



.



Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:


,

,

,

,

.





Рис. 8. Структура синтезированной системы



2. Построение наблюдателя полного порядка

Система







называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех  оценка  с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния .

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления  и найдём модель её изменения:





.


Затем потребуем, чтобы  при всех  и .

Это равенство возможно при:



,

.



Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:



.



На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.





Рис. 9. Структура системы с наблюдателем



Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки  к вектору состояния  при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления , тогда

.

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей  и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица



,



тогда матрица



.

Полюса наблюдателя определяются уравнением:



.



Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4;  5j},

то расположим полюса наблюдателя в точках:

.

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:



,


что будет иметь место тогда, когда:



,

,

.



Решая полученную систему уравнений, получаем:



;

;

.



Находим матрицу:







Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:



,

,

,

.



Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.

Она построена по уравнениям:


,

,

,

,

,

,

.