Математические вычисления

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА





















Контрольная работа

по курсу «Математика»









Выполнил студент В.В.Тюрин

















Тула 2010


1. Задача 1

	

	Для заданных двух множеств найти произведения  и , изобразить их графически и найти пересечение

		,

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

		

		

		

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:

		

		

		

		

3.Определяем пересечение множеств:

		

		{Ø}

		

4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются 

совокупности точек, обозначенные разными символами.





Рис. 1. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств


Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.



2. Задача 2



	Вычислить предел функции с использованием основных теорем

	

	

	

	Решение





3. Задача 3

	

	Раскрытие неопределенности вида  и  с использованием правила Лопиталя

	

	

	

	Решение

	Неопределенность 

	

	

	


4. Задача 4

	

	Найти производную простой функции 

	Решение

	

	

	Итак, 



5. Задача 5



	Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

		

	Решение

1. Находим первую производную заданной функции



		



2. Определяем критические точки первого рода:



		

		

		 или ,

		Отсюда , 



3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке  числовой оси:

	
Таблица 1



-1,2

()

0

()

1

()

2,5

Знак 



-



+



-



Величина 

32,88





-6



-1



244

Экстремум





m







M



Итак,



	



В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.

	

6. Задача 6

	

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки 

	Решение

	Выполним подстановку:

	





Продифференцируем обе части уравнения:







=


7. Задача 7



	Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби 

	

	

	

	Решение

	1. Найдем производную знаменателя:

	

	

	

	2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем  за знак интеграла.

	

	

	

	3. Запишем число , как , получим:

	

	

	

	4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:

	

	


5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:







6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат. 







Интеграл принимает табличный вид:







7. Записываем решение:







8. Задача 8

	

	Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

	

	

	
Решение

	

	

	



9. Задача 9

	

	По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь 

			А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)

	Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):



			

Рис. 2 Схема треугольника

			

			

			

			




2 Вычисляем длины сторон:











3. Определяем углы треугольника, 





следовательно, =23.3o



следовательно, 25,4о

Угол  по формуле .



Следовательно, , 



4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника







следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:








10. Задача 10

		

		Найти для заданной матрицы  присоединенную  и обратную  матрицы

		

		

		

Решение

Вычисляем определитель матрицы







Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы  алгебраические дополнения:
























3. Записываем присоединенную матрицу:







4. Вычисляем обратную матрицу







5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу 



=







Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.



11. Задача 11

		

		Найти произведения  и  квадратных матриц  и 

		

		

	

	Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)









2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)






		

		

12. Задача 12

		

		Найти произведение  прямоугольных матриц

		

		

	

	Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц



,



устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)





		


13. Задача 13

		

	Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

	

	

	

	Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:



	    



то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:







так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.




3. Вычисляем остальные определители:









4. Вычисляем значения неизвестных:







Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:



.



1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:



, , 



2. Вычисляем определитель матрицы :






Итак, матрица  неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:























4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:






5. Вычисляем обратную матрицу :







6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:











Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:



 или (1, 2, 1).



3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:








Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим: 







Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.







Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.







Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:








Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:













Итак, решение системы уравнений имеет вид:



, , 



или в краткой форме: (1,2,1).



14. Задача 14

	

	Определить число элементарных событий и простых соединений

	Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

	Решение

	Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные: 




15. Задача 15



	Вычислить вероятность события по классической схеме

	Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

	Решение

	1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6. 







2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:







3. Вероятность искомого события:







16. Задача 16

	

	Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

	Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

	Решение

	Пусть

	P(A) – вероятность попадания 3 раза,

	P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,

	P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,

	P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.

	Тогда

	P(B)=0,8

	P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7

	P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6

	P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336



17. Задача 17

	

	Вычисление вероятности повторных независимых испытаний

	Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение

Используем формулу Я. Бернулли:







1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:



n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5


2. Вычисление вероятности искомого события:





	

18. Задача 18

	

	Найти законы распределения случайных величин  и , если законы распределения случайных величин  и  имеют вид

		

		

		



0

2

4

6



0,1

0,2

0,3

0,4



3

5

7

9



0,3

0,2

0,2

0,3



Решение

Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.

1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.



Таблица 2.





3

5

7

9



     

0.3

0.2

0.2

0.3

0

0.1

-3    0.03

-5   0.02

-7  0.02

-9   0.03

2

0.2

-1    0.06

-3   0.04

-5  0.04

-7   0.06

4

0.3

1   0.09

-1   0.06

-3  0.06

-5   0.09

6

0.4

3   0.12

1   0.08

-1  0.08

-3  0.12



2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.



Таблица 3



-9

-7

-5

-3

-1

1

3



0.03

0.08

0.15

0.25

0.2

0.17

0.12



Проверяем достоверность вычислений:



0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0



4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины  (произведения тех же случайных величин), используя табл.4. 



Таблица 4





3

5

7

9



    

0.3

0.2

0.2

0.3

0

0.1

0    0.03

0   0.02

0  0.02

0   0.03

2

0.2

6    0.06

10   0.04

14  0.04

18   0.06

4

0.3

12   0.09

20   0.06

28  0.06

36   0.09

6

0.4

18   0.12

90   0.08

42  0.08

54  0.12



5. Записываем закон распределения случайной величины  в табл. 5.




Таблица 5



0

6

10

12

14

18

20

28

36

42

54

90



0.1

0.06

0.04

0.09

0.04

0.18

0.06

0.06

0.09

0.08

0.12

0.08



6. Проверяем достоверность вычислений:



0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0



19. Задача 19

	

	Вычислить основные характеристики вариационного ряда

	

	Таблица 6



25

29

33

37

41

Итого



16

8

19

10

7

60

	

Решение

1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7).



Таблица 7

№№











1

25

16

625

400

10000

2

29

8

841

232

6728

3

33

19

1089

627

20691

4

37

10

1369

370

13690

5

41

7

1681

287

11767

Итого



60

6505

1916

62876

Среднее

-

-

93,42

31,93

1047,93

	

2. По итоговым данным табл.7, получаем:

	- среднюю производительность труда 

3. Вычисляем характеристики вариации:

	- дисперсию

	- среднее квадратическое отклонение

	



	

	- коэффициент вариации





	

4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис.3.





	

Рис. 3. Результаты вычислений

	

20. Задача 20

	

	Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных 

	
Таблица 8



103

108

102

111

95

109

118

123



106

103

108

102

111

91

109

118



Решение

1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:



.



Таблица 9

№№











1

103

106

10609

11236

10918

2

108

103

11664

10609

11124

3

102

108

10404

11664

11016

4

111

102

12321

10404

11322

5

95

111

9025

12321

10545

6

109

91

11881

8281

9919

7

118

109

13924

11881

12862

8

123

118

15129

13924

14514

Итого

869

848

94957

90320

92220

Среднее

108,63

106

11870

11290

11528



2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:






Отсюда получаем: ,

а из первого уравнения 

	3. Записываем корреляционное уравнение

	





4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9







Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами  и  слабая.

5. Графически результаты вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости  (сплошная черная линия). 





Рис. 4. Результаты вычислений