Решение задач по прикладной математике

2



МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ























КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА



По курсу: «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

























Выполнил: ст-т гр. ЭБ - 241

Лебедев Н. В.



Проверил: профессор

Г. И. Королев























Рязань 2003 г.

Задание 1. Решите, используя формулу полной вероятности, формулу гипотез и формулу Бернулли.

1. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых автомобилей как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовой автомобиль, равна 0.1. Для легковой автомашины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.



Решение.

Определим событие, вероятность которого надо посчитать. А - к бензоколонке подъехал автомобиль. 

Тогда гипотезы:

Н1- к бензоколонке подъехала грузовая машина.

Н2 - к бензоколонке подъехал легковой автомобиль

Р(Н1) = 3/(2+3) = 0.6; 

Р(Н2) = 2/(2+3) = 0.4 

По условию 

Р(А/Н1)=0.1 

Р(А/Н2)=0.2

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле: 

P(A)=Р(A|Н1)*Р(Н1)+Р(A|Н2)*Р(Н2)= 0.6  0.1 + 0.4   0.2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 

P(H2|A)=[ Р(A|Н2)*Р(Н2) ]/P(A) = 0.2   0.4/ 0.14 ~ 0.57 



2. Вероятность своевременной оплаты счетов шестью потребителями равна 0.8. Найти вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех потребителей.



Решение.

«Оплатят не более трех потребителей», это значит, что возможны следующие варианты событий:

счета оплатят 0 – потребителей,  

                        1 - потребитель, 

                        2 - потребителя, 

                        3 – потребителя.



По формуле Бернулли найдем вероятность каждого из этих событий.

P_n(k) = C_n(k)  pk  (1-p)(n-k),     где C_n(k) = 

n = 6, p = 0.8     



1.      C_6(0) = = = 1 

P_6(0) = C_6(0)  0.80  (1-0.8)(6-0) =  1  1 0.26 = 0.000064

2. C_6(1) = = = 6 

P_6(1) = C_6(1)  0.81  (1-0.8)(6-1) =  6  0.8  0.25 = 0.001536

3. C_6(2) = = =   = 15

P_6(2) = C_6(2)  0.82  (1-0.8)(6-2) =  15  0.64  0.24 = 0.01536

4. C_6(3) = = =   = 20

P_6(3) = C_6(3)  0.83  (1-0.8)(6-3) =  20  0.512  0.23 = 0.08192

P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192 = = 0. 09888 0.099 - вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех потребителей.



Задание 2. Найти среднее квадратическое отклонение вариационного ряда.



X1          800   1000   1200   1400   1600   1800   2000



n1                1     8     23     39     21      6       2     

   

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Xвычисляется по формуле x = , где  – дисперсия случайной величины X.



 = 

  - математическое ожидание случайной величины X.

800 1 + 1000  8 + 1200  23 + 1400  39 + 1600  21 + 1800  6 + 2000      2 =  139400  

  =  (800  -  139400)   1  +  (1000  -  139400)    8  +  (1200  -  139400)  23  +  (1400 - -139400)  39 + (1600 - 139400) 21 + (1800 - 139400) 6 + (2000 - 139400) 2 = 

= 19209960000  +  153236480000   +   439282520000  +  742716000000  +  398765640000 +  + 113602560000 + 37757520000 = 1904570680000

x =  1380062



Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.

Для производства двух видов изделий используются три вида сырья, запасы которого ограничены. Величины запасов приведены в матрице С. Нормы расхода сырья каждого вида на каждое из двух изделий приведены в матрице А , где строки соответствуют виду сырья, а столбцы – виду изделия. Прибыль от реализации изделий указана в матрице P.



Составить план производства изделий так, чтобы предприятие получило максимальную прибыль от их реализации.



	   5	9	              7710

    А =	   9	7             C  =    8910                   P = ( 10  22 )	

               3      10	              7800

			

Найдем производственную программу, максимизирующую прибыль L=10х1+22х2.

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу  5х1+9х2≤7710.

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу   9х1+7х2 ≤8910.

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу 	3х1+10х2 ≤7800.

Имеем

 5х1+9х2 ≤ 7710

	 9х1+7х2 ≤ 8910			

	3х1+10х2 ≤ 7800

где по смыслу задачи х1≥0, х2≥0.		

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х3, х4, х5 заменим системой линейных алгебраических уравнений

5х1+9х2+х3 = 7710				

9х1+7х2+х4 = 8910				

3х1+10х2+х5= 7800				

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

	х3 – остаток сырья 1-го вида,

х4 – остаток сырья 2-го вида,

х5 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условию неотрицательности

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, надо найти то решение, при котором функция L=10х1+22х2  будет иметь наибольшее значение.

Ранг матрицы системы уравнений равен 3.

               5     9     1     0    0	              

    А =	   9     7     0     1    0           

               3     10   0     0    1	              







Следовательно,  три переменные (базисные) можно выразить через две (свободные), т. е. 

х3 = 7710 - 5х1 - 9х2			

х4 = 8910 - 9х1- 7х2			

            х5= 7800 - 3х1 - 10х2

Функция L = 10х1+22х2  или L - 10х1 - 22х2  = 0 уже выражена через эти же свободные переменные. Получаем следующую таблицу.

Таблица 1.

Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5















х3



7710



5

9

1

0

0



х4



8910

9

7

0

1

0



х5



7800

3

10

0

0

1



L



0

-10

-22

0

0

0



Находим в индексной строке отрицательные оценки. Выбираем разрешающий элемент.

В результате получаем следующую таблицу.

Таблица 2.

Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5















х3



7710





5

9

1

0

0

х4





990

1

7/9

0

1/9

0

х5



7800

3

10

0

0

1

L



0

-10

-22

0

0

0







Таблица 3.

Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5















х3



2760



0



46/9

1

-5/9

0

х1



990

1

7/9

0

1/9

0

х5



4830

0

69/9

0

-1/3

1

L



9900

0

-128/9

0

10/9

0



Таблица 4.

Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5















х2



540



0

1

9/46



-5/46

0



х1



570

1

0

-7/46

9/46

0

х5





690

0

0

-3/2

1/2

1

L



17580

0

0

128/46

-10/23

0



Таблица 5.

Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5















х2



690



0

1

-3/23

0

10/46



х1



300

1

0

10/23

0

-81/46



х4



1380

0

0

-3

1

2

L



18780

0

0

34/23

0

20/23



Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, то это значит, что мы получили оптимальную производственная программу:

х1 = 300,  х2 = 690,  х3 = 0,  х4 = 1380,  х5 = 0



Остатки ресурсов:

Первого вида – х3=0;

Второго вида – х4=1380;

Третьего вида – х5=0

Максимальная прибыль Lmax=18780.