Формирование понятия цилиндра

I этап: Введение понятия цилиндр. Математическое видение цилиндра.



Цель этапа: Формирование пространственного представления и логического мышления учащихся при изучении и формировании математического видения цилиндра его характерных элементов и изображений.



Дидактические средства: 

набор пространственных тел (прозрачных и непрозрачных);

пластилин;

деревянные палочки;

цветные карандаши;

модели изготовленные по рис. 3.



Перед началом урока учитель на своем столе располагает все пространственные тела: призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, сферы и шары.



Рекомендуется начать урок со следующего упражнения.



Упражнение 1. Из множества тел представленных выбрать те, которые были уже изучены (предполагается, что учащиеся выберут призмы и пирамиды).



Упражнение 2. Оставшиеся тела сгруппируйте по внешним сходным признакам. (получили три группы: цилиндры, конусы, сферы и шары).



Упражнение 3. Вызывается с каждого ряда по ученику. Им предлагается на интуитивном уровне к каждому пространственному телу сопоставить соответствующую табличку с названием данного тела. Предполагаемый ответ:





Конус

Цилиндр

Сфера (шар)





















Упражнение 3 можно предложить выполнить  стоящим ученикам. Затем, после того как кто-нибудь выполнит это упражнение верно, учитель говорит о том, что изучение этих пространственных тел они начнут с изучения цилиндра.



Упражнение 4. Из пластилина учащиеся делают линию (KL). Затем деревянные палочки прикрепляют к пластилину, таким образом, чтобы эти палочки (АВ) как бы пересекали линию (KL) и были бы друг другу параллельны. В результате получилась бы поверхность которую назовем цилиндрической (рис. 1).



[Вывод: поверхность образованная движением прямой (АВ), которая во всех положениях параллельна данной прямой и пересекает линию (KL) назовем цилиндрической поверхностью].



Соглашение 1. Движущаяся прямая (АВ) – образующая; линия (KL) – направляющая.



Упражнение 5. Предполагается соединить оба конца линии (KL) вместе (Получится цилиндрическая поверхность которая называется замкнутой) (рис. 2).



















Рис. 1

Рис. 2



Упражнение 6. Учащиеся из пластилина делают две лепешки (плоскости) и с двух сторон прикрепляют к замкнутой цилиндрической поверхности и получают модель цилиндра.



[Вывод: Цилиндром назовем тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими цилиндрическую поверхность].



Соглашение 2. В получившейся модели цилиндра параллельные плоскости, которые пересекает цилиндрическая поверхность назовем основаниями цилиндра.



Упражнение 7. Учащимся предлагается из центра (приблизительно) верхнего основания цилиндра опустить перпендикуляр на нижнее основание (возможные варианты: а) высота проектируется точно в центр нижнего основания (прямой цилиндр); б) пересекает нижнее основание, но не в центре; в) не пересекает нижнее основание (наклонный цилиндр)). Высотой может служить одна из деревянных палочек.



Соглашение 3. Высотой цилиндра назовем кратчайшее расстояние между двумя основаниями цилиндра.



Упражнение 8. Учащимся на урок принести модели по рис. 3 из спиц и проволки.

Всем предлагается сделать полный оборот вокруг оси. В результате, точки линии АМВ опишут окружности, которые назовем параллелями, они лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а следовательно эти плоскости параллельны между собой.





























Рис. 3





[Вывод: Поверхностью вращения назовем поверхность, образованую линией, которая лежит в одной плоскости с осью и при вращении вокруг оси (Z) делает полный оборот].



Упражнение 9. Назовите какой из пунктов в упражнении является цилиндрической поверхностью? (Ответ в)).



Учащиеся делают вывод:



При вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, получается, что во всех положениях АВ параллельна ОО1, а поэтому при полном обороте описывает цилиндрическую поверхность (часть), а отрезки ОВ и О1А опишут круги. 

- ломанная опишет поверхность цилиндра О1АВО

- основания круги;

- образующая АВ перпендикулярна основаниям.



Полученное тело назовем цилиндром вращения.



Упражнение 10. (Самостоятельно). Предлагается учащимся вращать прямоугольник вокруг оси, проходящей через ось симметрии прямоугольника. Необходимо ли делать полный оборот в данном случае? (Ответ: нет, достаточно пол оборота).



Изображение цилиндра



В

А

C

D

Обычно цилиндр изображают от руки:

1) основание изображают в виде эллипсов, лежащих в параллельных плоскостях;

2) двумя образующими соединяют концы больших диаметров эллипсов (оснований);

3) видимые линии рисуют сплошными, невидимые – контурными.





Соглашение 4. Под цилиндром будем понимать (подразумевать) цилиндр вращения.



Упражнение 11. Ученикам предлагается провести всевозможные сечения цилиндра, плоскостью. Каждый ученики предлагает вариант, а затем все сведения систематизируются в следующую таблицу: (это упражнение выполняется на модели цилиндра сделанного полностью из пластилина, используя нож для резки пластилина).



Сечения цилиндра



Параллельно основаниям (круг)

Перпендикулярно основаниям (прямоугольник)



Не параллельно и не перпендикулярно основаниям.

Не пересекая основания (эллипс)

Пересекая только одно основание и касаясь другого в одной точке





Пересекая только одно основание и не касаясь другого 

Пересекая основание по хордам (прямоугольник)

1

2

3

4

5

6

7





























5

6

7

4

3б

3а

1







































Соглашение 5. Цилиндр осевое сечение (проходящее через ось вращения), которого – квадрат называется равносторонним цилиндром.






I этап: Введение понятия конус. Математическое видение конуса.



Цель этапа: сформировать ценностное представление у учащихся о конусе и его элементах. Развить пространственное воображение и логическое мышление через «видение конуса». 



Дидактические средства: 

набор пространственных тел;

пластилин;

деревянные палочки;

цветные карандаши;

модели изготовленные по рис. 3.



Упражнение 1. Назовите уже изученные вами пространственные тела? (призма, пирамида, цилиндр). Назовите те которые еще не изучались? (конус, сфера (шар)).



Изучение данной темы по своей структурной схеме аналогично изучению темы «Цилиндр».



Упражнение 2. Из пластилина изготовьте линию (KL). Пересеките ее деревянными палочками, таким образом, чтобы все эти палочки проходили через одну точку (S), не принадлежащую (KL). В результате получим поверхность, которую назовем конической поверхностью (рис. 1).



Соглашение 1. Точка S – вершина, линия MN – направляющая, а прямая а – образующая.



Упражнение 3. Соедините концы линии (KL) (получится замкнутая линия (KL) и коническая поверхность, которую назовем замкнутой) (рис. 2).





















Рис. 1

Рис. 2



Упражнение 4. Из пластилина делается плоскость (лепешка) и коническую поверхность соединяют с этой плоскостью. Получилась модель конуса.



[конусом назовем тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей ее плоскостью].



Соглашение 2. Плоскость, пересекающая коническую поверхность назовем основанием.



Упражнение 5. Учащимся предлагается из точки S  опустить перпендикуляр. Это можно сделать при помощи деревянной палочки, протянув ее в модели конуса через вершину точку S. 

(а) перпендикуляр опущен в центр основания, то есть конус прямой;

б) перпендикуляр пересекает основание или плоскость основания, но не в центре, то есть наклонный конус).



Соглашение 3. Данный перпендикуляр назовем высотой конуса (кратчайшее расстояние от точки до плоскости).



Упражнение 6. Учащиеся приходят на урок с моделями по рис. 3. Необходимо выполнить полный оборот вокруг оси.



Рис. 3

б)

а)

б)

а)

z

z

z

z

S

S

S

S

О

А

А

В

В

А

О

О

А

























[поверхностью вращения. Конусом вращения назовем  тело полученное при вращении прямоугольного треугольника на полный оборот вокруг одного из катетов, в тогда другой катет опишет круг основание конуса, а образующая (гипотенуза) часть конической поверхности, или равнобедренного треугольника вокруг высоты опушенной из вершины) Достаточно пол оборота].



Соглашение 4. Конус вращения – частный случай конуса, основание которого – круг и вершина проецируется в центр основания.



Изображение конуса



S

В

А

О

1) основание изображается в виде эллипса;

2) из точки вне плоскости основания проводятся две касательные (образующие) к концам большого диаметра эллипса. 



Упражнение 7. С помощью пластилиновой модели конуса и ножа для пластилина учащимся предлагается провести всевозможные сечения конуса. Результаты систематизируются в таблицу:



Сечения конуса

Параллельно основанию

Перпендикулярно основанию 

Не параллельно и не перпендикулярно основанию.

Не пересекая основания 

Пересекая основание точка S принадлежит  сечению

1

3

4

5

6

Пересекая основание точка S не принадлежит  сечению

точка S принадлежит 

 сечению

точка S не принадлежит 

 сечению

2

























Рис. 4



































SСоглашение 5. Конус осевое сечение (рис. 4 [2.а]) которого – равносторонний треугольник называется равносторонним конусом.



Упражнение 8. Рассмотрим часть конуса заключенную между основанием конуса и плоскостью сечения параллельной основанию (рис. 4.1.)



O1

С

D

[эту часть конуса назовем усеченным конусом; круги с центрами в точках О и О1 – его основания; его образующие (АС, BD, …) равны между собой; прямая  – ось; отрезок [ОО1] - высота].



O

А

В



zУпражнение 9. Выполните вращение следующих моделей.



О1

В1

В1

А1

О1

z



О

В

А1

А

О1

О

А

В

О

А

А1

А

О

А1

О1



















Усеченный конус можно рассматривать как тело полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей перпендикулярную сторону, или равнобокой трапеции вокруг оси симметрии.



Упражнение 10.Изобразите все возможные сечения усеченного конуса.















I этап: Введение понятия сфера и шар.



Цель этапа: Формирование понятия сфера (шар) развитие воображения, систематизация знаний по теме вращения. Формирование целостной системы.



Дидактические средства: 

набор пространственных тел;

пластилин;

надувные шарики (круглые!);

цветные карандаши;

модели заготовки (рис.1).



Упражнение 1. Выполните вращение модельными заготовками. Если вращать полукруг, какое тело получится?

















Рис. 1

Соглашение. Поверхность образованная вращением полуокружности или окружности около диаметральной прямой называется сферой. Если же вращать полукруг или круг, то в результате получится тело вращения называемое шаром.



Упражнение 2. Из пластилина вылепите тело вращения и надуйте шарик. Что сфера, а что шар? Воздух внутри шарика и он сам, что это за тело? (ответ: 1) пластилин – шар; шарик – сфера; 2) шар).



Упражнение 3. Сфера – геометрическое место точек … (пространства), которые расположены на данном расстоянии от одной … (точки) называемой … (центром) … (сферы).

- отрезок, соединяющий центр с точкой сферы называется … (радиусом);

- тело, ограниченное сферой называется … (шаром);

- центром и радиусом шара называется … и … сферы.



Изображение сферы (шара)



1. Изображается круг;

2. Пунктиром рисуют два перпендикулярных диаметра;

3. Изображаются эллипсы на этих диаметрах, как больших диаметрах эллипса.



Упражнение 4. Изобразите всевозможные сечения сферы (шара).















Сечения сферы – окружности;

Сечения шара – круги.



Упражнение 5. Выясните взаимное расположение сферы (шара) и плоскости?

(ответ: возможны три случая:

1) не пересекаются и не касаются, то есть нет общих точек;

2) касаются, существует одна общая точка, точка касания;

3) пересекаются, то есть для сферы – по окружности, для шара по кругу).



Упражнение 6. Проверьте истинность утверждений:

1) Сечение шара плоскостями, равноудаленными от центра равны;

2) Сечение шара плоскостью тем больше, чем ближе она расположена к центру;

3) Rсеч =, где r – радиус сферы (шара), 

   d – расстояние от центра сферы до центра сечения 

4) Два больших круга пересекаются по диаметру;

5) Линия пересечения двух пересекающихся сфер – мерна линии центров сфер.



Упражнение 7. Каково взаимное расположение сфер (шаров)?

(ответ: аналогично расположению окружностей:

1. Не касаются

расположены независимо друг от друга;

находятся одна внутри другой с общим центром или нет

2. Касаются

в одной точке

а) внешне

б) внутренне

в нескольких точках

      а) пересекаются



Упражнение 8. На интуитивном уровне к каждому рисунку поставьте цифру, соответствующую изображенному на рисунке.



















1. Шаровой слой

2. Сферический сегмент

3. Шаровой сегмент

4. Сферический пояс.