Верхний центральный показатель некоторой линейной системы

2



Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений















Верхний центральный показатель некоторой линейной системы

Курсовая работа









Исполнитель:

Студентка группы М-42 

Лукьянович А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.









Гомель 2006


Содержание



Введение

1. Верхнее центральное число семейства функций

2. Верхний центральный показатель линейной системы

Заключение

Список использованной литературы


Введение



Цель данной курсовой работы - найти верхний центральный показатель системы



 



где k=0, 1, 2,….

Из определения верхнего центрального показателя диагональной системы следует, что верхний центральный показатель рассматриваемой системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства 



, где 



Таким образом, главная задача курсовой работы - найти верхнее центральное число соответствующего конечного семейства



.


1. Верхнее центральное число семейства функций



Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций:



, ,



зависящее от параметра x непрерывно в том смысле, что из  следует 



 



равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.

Определение 1 [1, с.103]: ограниченная измеримая функция R (t) называется верхней функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):



,

т.е. если

,



где  - константа, общая для всех  и , но, вообще говоря, зависящая от выбора R и >0.

Определение 2 [1, с.103]: совокупность всех верхних функций называется верхним классом семейства P (обозначим через N=N (P)).

Определение 3 [1, с.534]: число







называется верхним средним значением функции p (t).

Определение 4 [1, с.103]: число







где  - верхнее среднее значение функции R (t), называется верхним центральным числом семейства P. Оно будет обозначаться также .

Докажем следующее утверждение: если семейство состоит из двух функций и при этом , то верхний класс семейства P можно считать состоящим из одной функции , и .

Неравенство  означает, что







и для любого  существует такая константа , что






Или



  (1)



Аналогичное неравенство для функции  очевидно 



.



Согласно определения 1  является верхней функцией для семейства 



.



Докажем равенство 



.



Если существует такая верхняя функция , что  для всех , то эта функция одна образует верхний класс и  [1, с.104].

Найдем такую верхнюю функцию , что .

Рассмотрим интегралы







Разделим последнее неравенство на (t-s), получим







Устремив  и вычислив верхний предел при , получим







или





Итак, имеем



 Значит,  .



Так как  - верхняя функция, то .


2. Верхний центральный показатель линейной системы



Пусть дана система



 (2)



и  - ее решение.

Рассмотрим семейство функций 



,,



Определение 5 [1, с.116]: Функция R (t) называется верхней для системы (2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку



,



Где



 



- норма матрицы Коши линейной системы.

Совокупность всех верхних функций называется верхним классом системы (2), а число






верхним центральным показателем линейной системы.

Диагональная система







имеет матрицу Коши







с нормой



.



Поэтому верхний центральный показатель диагональной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства P={} [1, с.118].

Найдем верхний центральный показатель следующей системы



  (3)



где k=0, 1, 2,….

Верхний центральный показатель системы (3) совпадает с верхним центральным числом конечного семейства 



, где 



Найдем верхнее центральное число семейства 



.



Согласно утверждения, доказанного в пункте1: если семейство состоит из двух функций и при этом , то 



.



Проверим, осуществляется ли оценка . (4)

Подставляя  в (1), получим







Или



 



Оценка (4) осуществляется, следовательно, .

Вычислим верхнее среднее значение функции .

По определению 3 имеем



.



Вычисляя интеграл 



, 



Получим





Так как , то 



Таким образом, верхнее центральное число семейства 



, 


где , равно 0, следовательно, верхний центральный показатель системы (3) также равен 0.


Заключение



Таким образом, мы выяснили, что если семейство состоит из двух функций и при этом , то ; верхний центральный показатель рассмотренной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семействаи равен 0.


Список использованной литературы



1. Б.Ф. Былов и др. "Теория показателей Ляпунова" - М.: Наука, 1966 г., 564 с.