Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов  и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .

б) Если в знаменателе стоит выражение  (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на  (или ). В этом случае применяются формулы

,

.

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ; д) ;     е) .

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) 

.

Отметим еще одно свойство:



которое часто применяется в преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

а) ;     б) ;     в) .

Решение:

а) , т.к. .

б) , т.к. .

в) 

.



-1

1

0Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n1, n1, n0.

1) Если n<-1, то 



2) Если -1n<0, то 



3) Если 0<n<1, то



4) Если n1, то



Ответ: 

II. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение вида .

Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду .

Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.

Пример 3. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а)       ;







Проверка.

   х4 – посторонний корень,

   – верно  х2 – корень.

Ответ: х2.

б) 















Проверка.

   –  это выражение не существует, т.е.

 – посторонний корень,

  – верно   – корень.

Ответ: .

в) 

Введем вспомогательную переменную   x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t25.

Сделаем обратную замену:

  х2+13=49  х2=36  х=6,

 – не имеет решений.

Ответ: х=6.

г) 

Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид:

    



        .

Проверка показывает, что  – корень.

Ответ: .

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.

Поэтому неравенство  эквивалентно системам 

 или 

Неравенство  равносильно системе 



Пример 4. Решить неравенства:

а)  б) 

в)  г) 

Решение.

а)     

Решим третье неравенство системы методом интервалов:

x2-5x-14>0

x2-5x-14=0 



+

–

+

-2

7

х

(x-7)(x+2)>0 





-18

-2

2

7

хНайдем пересечение решений трех неравенств:

Ответ: -18x<-2.

б) 

если х-10, то неравенство верно, то есть х1;

если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:

    x>1.

Объединяем два решения, получим х – любое.

Ответ: х – любое.

в) 

     

   



Ответ: х1.

г) 





  или  

 

 



3

х

-3

3

-5/6

х  х3 

  

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1)  2)  3) 

4) , если , m>0, 0<n<1.

М11.9.2. Решить уравнения

;

;

;

.

М11.9.3. Решить неравенства:

;

;

;

.