Доказательство теоремы Ферма для n=4

2





Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4



Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:



Аn+ Вn = Сn (1)



где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:



Аn = Сn - Вn (2)



Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:



А4 = С4 -В4 (3)



Уравнение (3) запишем в следующем виде:



А4 = (С2) 2 - (В2) 2 = (С2 -В2) ∙ (С2 +В2) (4)

Пусть: (С2 -В2) = N4 (5)



Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4 - ой степени с параметром N и переменными B и С. Преобразуем уравнение (5):



N4 = (С -В) · (С +В) (6)



Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:

C-B=M (7)



Из уравнения (7) имеем:



C=B+M (8)



Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:



N4=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2B∙M+M2 (9)



Из уравнения (9) имеем:



N4 - M2= 2B∙M (10)



Отсюда:



B = (11)



Из уравнений (8) и (11) имеем:



C=  (12)



Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4 на число M, т.е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4.

Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел N и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений (11) и (12) также следует:



С2 +В2=  (13)



Обозначим:



С2 +В2 = K (14)



Пусть:



N=P∙S; M=S2



Тогда:



K = С2 +В2 =  (15)



Из уравнений (4), (5) и (15) следует:



A4 = N4∙ K=N4· S4∙ (16)



Отсюда следует:



A = N· S∙ (17)

Очевидно, что:



 - дробное число.



То есть:



С2 + В2 ≠ R4; A4 ≠ N4∙R4



Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А - дробное число.

Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:



С2 + В2 = R4



Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=4.