Проекции и диаграммы

Проекции и диаграммы



Азимутально-полярная проекция







Азимутально-полярная проекция - это проекция сферы на плоскость, причем, центром проекционных лучей является один из полюсов сферы.



Подготовительная часть







Разделим лист бумаги, ориентированный как "Ландшафт", примерно пополам.

Проведем горизонтальную линию. 






A



Выберем на этой горизонтальной линии любую точку (т.А) так, чтобы эта точка располагалась ближе к правому концу проведенной ранее линии.





A



Восстановим из этой точки перпендикуляр к горизонтальной линии.





A

BA



Отметим на вертикальной линии точку В.

Длина отрезка АВ определяет радиус экваториальной окружности





A

BA

СA



Раствором циркуля, равным длине отрезка АВ, из точки А, как центра окружности, делаем засечку на горизонтальной линии и обозначим эту точку, как С.





A

BA

СA

DВСA



Получившийся отрезок АС, разделим пополам, в результате чего получим точку D.






A

BA

СA

DВСA



Из точки D, как из центра, проводим окружность радиусом, равным длине отрезка CD.





A

BA

СA

DВСA

1

3

2



Выбираем шаг через который будут располагаться параллели.

Из точки D под углами , 2, ... проводим прямые до пересечения с окружностью. Обозначим эти точки как 1, 2, ...





A

BA

СA

DВСA

1

3

2

a

b


Из точки С проводим прямые, проходящие через точки 1, 2, ... до пересечения с отрезком АВ.

Точки пересечения обозначим как a, b …



Построение кругов параллелей





A

BA

СA

DВСA

a

b



Возьмем новый лист и в центре него начертим две взаимно -перпендикулярные линии.





o



Точку пересечения обозначим как О.

Это будет полюс проекции.






A

BA

СA

DВСA

a

b



Раствором циркуля, равным длине отрезка Aa из точки О, как из центра, начертим окружность.





o



Это будет проекция параллели, отстоящей от полюса О на угол, равный выбранному нами шагу 





A

BA

СA

DВСA

a

b




Теперь раствором циркуля, равным длине отрезка Ab из точки О, как из центра, начертим еще одну окружность.





o



Такие манипуляции мы будем повторять до тех пор, пока не начертим окружность, радиус которой будет равен длине отрезка АВ.





A

BA

СA

DВСA

a

b



Эта окружность носит название ЭКВАТОРА.

Получившаяся совокупность окружностей, будет являться проекциями параллелей, отстоящих друг от друга на выбранный нами шаг .




Построение линий меридианов





o



Через точку О проведем линии так, чтобы углы между ними были одинаковыми и равными выбранному нами шагу  

 



o



Получившаяся совокупность прямых, будет являться проекциями меридианов, отстоящих друг от друга на выбранный нами шаг 




Полярная диаграмма





М1

М2

Главный

Меридиан

Экватор

Линия

главного

меридиан

Полярная

Ось

Р1

Р2

о



Отобразим сферу в несколько ином ракурсе – плоскость рисунка представляет собой плоскость главного меридиана. При этом мы сохраним, принятые нами ранее, обозначения.

Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2

Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.





Р1



Отобразим на листе точку. Эта точка будет отображать один из ПОЛЮСОВ сфера, например Р1




Р1



Чертим окружность, центром которой будет точка Р1. Эта окружность будет отображать ЭКВАТОР сферы.





М1

М2

Р1

Р2

о





ОТОБРАЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕЙ. 

ПАРАЛЛЕЛЬ - это малый круг, полученный от сечения сферы плоскостью, параллельной плоскости экватора. За НУЛЕВУЮ параллель принимается линия экватора. Расстояние параллели от экватора называется ШИРОТОЙ (обозначается как ). Очевидно, что полюс сферы удален от экватора на 






Р1





На диаграмме линия параллели отобразится в виде концентрической окружности, радиус которой вычисляется как:







Я думаю Вам понятно, что  изменяется в пределах ().

ОТОБРАЖЕНИЕ МЕРИДИАНОВ. 





М1

М2

Р1

Р2

о





МЕРИДИАН – это большой круг, полученный от сечения сферы центральной плоскостью, проходящей через полярную ось P1 P2. Один из меридианов считается ГЛАВНЫМ (или НУЛЕВЫМ) меридианом. Какой из меридианов считать главным, зависит от конкретной задачи. Расстояние меридиана от главного меридиана называется ДОЛГОТОЙ (обозначается как ).





Р1



М1

М2



На диаграмме линия меридиана отобразится прямой, исходящей из центра окружности.

Выбираем ЛЮБОЕ направление на нашей диаграмме и будем считать это направление - направлением ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА. Проведем вдоль него диаметр.

Точки пересечения диаметра окружности с линией окружности дает нам положение полюсов линии главного меридиана М1 и М2 





Р1



М1

М2





Меридиан, имеющий долготу  , отобразится на диаграмме в виде отрезка прямой, исходящего из центра окружности и повернутый на угол , относительно главного меридиана. Долгота  изменяется в пределах ().


Проекции и диаграммы





М1

М2

Главный

Меридиан

Экватор

Линия

главного

меридиан

Полярная

Ось

Р1

Р2



Теперь, когда мы научились определять положение точек на поверхности сферы, было бы очень хорошо научиться еще и отображать на чем-нибудь эти точки. Самым естественным местом отображения была бы модель сферы с нанесенной на ней ГРАДУСНОЙ СЕТКОЙ. Такая модель называется ГЛОБУСОМ.

Рассмотрим сначала, что же такое градусная сетка? На глобусе градусная сетка образуется МЕРИДИАНАМИ и ПАРАЛЛЕЛЯМИ. 

На поверхности глобуса имеются две особые точки, которые называются ПОЛЮСАМИ глобуса. Эти точки получаются от пересечения поверхности сферы одним из ее диаметров, сам же диаметр носит название ПОЛЯРНОЙ ОСИ. Центральная плоскость, перпендикулярная полярной оси носит наименование ПЛОСКОСТИ ЭКВАТОРА, а круг на поверхности сферы, получаемый от сечения сферы плоскостью экватора, называется ЭКВАТОРОМ.






М1

М2

Р1

Р2

Секущая

плоскость

Меридиан

Долгота ()



МЕРИДИАН – это большой круг, полученный от сечения сферы центральной плоскостью, проходящей через полярную ось P1 P2 глобуса.

Каждый меридиан пересекается со всеми остальными меридианами в двух точках – полюсах глобуса. Длины всех меридианов на глобусе равны между собой. Один из меридианов считается ГЛАВНЫМ (или НУЛЕВЫМ) меридианом. Какой из меридианов считать главным, зависит от конкретной задачи. Расстояние меридиана от главного меридиана определяется двугранным углом, образованным плоскостями главного меридиана и меридиана. Этот угол называется ДОЛГОТОЙ (обозначается как ).

Условились, что меридианы градусной сетки глобуса отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии.





Экватор

Р1

Р2

Секущая

плоскость

Параллель

Широта ()




ПАРАЛЛЕЛЬ - это малый круг, полученный от сечения сферы плоскостью, параллельной плоскости экватора. За НУЛЕВУЮ параллель принимается линия экватора.

Как не трудно заметить, длины параллелей – различны, чем дальше параллель от экватора, тем длина ее меньше. Расстояние параллели от экватора называется ШИРОТОЙ (обозначается как ).

Как для меридианов, так и для параллелей условились, что параллели градусной сетки глобуса отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии.

Чем же интересен глобус? Очевидно, что на глобусе во всех направлениях сохраняется один и тот же масштаб и, поэтому получается наиболее правильное изображение. Отсюда получается, что при помощи глобуса легко, а главное – наглядно, решаются многие задачи СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Но у глобуса есть крупный недостаток – глобус всегда делается в мелком масштабе, что не дает возможности изобразить мелкие подробности какого – либо участка сферы, иными словами – глобус имеет низкую разрешающую способность. В дополнение ко всему – глобус достаточно дорогой прибор, чтобы им пользоваться в повседневной жизни.

Чтобы избавить от недостатков, присущих глобусу, попытались изображать поверхность сферы на плоском листе бумаги. Такое изображение назвали КАРТОЙ. Однако, сферическую поверхность НЕЛЬЗЯ развернуть, то есть ее нельзя разостлать на плоскости без разрывов или складок. Но было разработано много различных способов приближенного изображения сферической поверхности. Каждый из таких способов называется КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ.

В основе любой картографической проекции лежит тот или иной способ изображения градусной сетки. Это изображение называется КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТКОЙ. В зависимости от выбранной проекции, меридианы и параллели на картах изображаются в виде то прямых, то кривых линий.

В дальнейшем, мы выберем следующие виды проекций:

Для лучшего визуального восприятия какого-либо динамического процесса, мы воспользуемся

Цилиндрической проекцией,

Азимутальной полярной проекцией,

Цилиндрической диаграммой,

Полярной диаграммой.

Для решения задач по сферической геометрии, мы воспользуемся:

Стереографической проекцией или сеткой Вульфа.



Цилиндрическая диаграмма





М1

М2

Главный

Меридиан

Экватор

Линия

главного

меридиан

Полярная

Ось

Р1

Р2

о



Отобразим сферу в несколько ином ракурсе – плоскость рисунка представляет собой плоскость главного меридиана. При этом мы сохраним, принятые нами ранее, обозначения.

Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2

Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.

В отличии от цилиндрической проекции, где, мы видели, плотность распределения параллелей подчиняется КОТАНГЕСЦИАЛЬНОМУ закону, а, следовательно, при значениях широт  близких к , расстояние от линии экватора до отображаемой параллели будет стремиться к БЕСКОНЕЧНОСТИ, то есть верхняя и нижняя границы цилиндрической проекции не определены, на цилиндрической диаграмме мы заранее ставим условие равномерного распределения плотности параллелей. Это означает, что цилиндрическая диаграмма имеет конечные размеры.

Рассмотрим, как же отобразить градусную сетку на цилиндрической диаграмме. Начнем с линии ЭКВАТОРА. Длина экватора, как нам известно, составляет один оборот ( ) или , если рассматривать длину в градусной системе счисления, или , если рассматривать длину в часовой системе счисления.





М1

Р1

Р2

о

М2

Экватор



Отобразим на листе бумаги отрезок прямой и будем считать длину этого отрезка равной длине экватора, то есть 






М1

Р1

Р2

о

М2

М1



Разделим отрезок пополам. Получившаяся точка отображает точку пересечения экватора с главным меридианом. Но мы знаем, что экватор и главный меридиан пересекаются в двух точках. Спрашивается, какую же точку мы отобразили? Напрашивается очевидный ответ: - это должна быть точка, от которой начинается отсчет долгот . То есть – это будет точка 





М1

Р1

Р2

о

М2

М1

М2

М2



Если мы поступили, как было сказано выше, то точки, ограничивающие линию экватора, представляют собой точку 




Отображение Главного меридиана и полюсов сферы





М1

М2

Главный

Меридиан

Р1

Р2

о



Окружность Главного меридиана  расщепится на ТРИ линии следующим образом:





М1

Р1

Р2

о

М2

М1

М2

М2

Р1

Р2



Дуга полуокружности отобразится отрезком прямой, проходящей через точку  на диаграмме, причем точки, ограничивающие этот отрезок, отобразят точки Полная длина отрезка составляет , а точка  делит отрезок - пополам.






М1

Р1

Р2

о

М2

М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2



Дуга полуокружности отобразится на диаграмме в виде ДВУХ отрезков, проходящих через крайние точки линии экватора (то есть, через точки )

Точки, ограничивающие эти отрезки, так же отображают точки 

Полная длина отрезков так же равна , а точка  находится на середине соответствующего отрезка.

Таким образом у нас выходит, что:

Главный меридиан сферы на цилиндрической диаграмме отобразится ТРЕМЯ ЛИНИЯМИ.

Каждый полюс сферы , через которые проходит главный меридиан, на диаграмме отобразится ТРЕМЯ точками.

А теперь обобщим. Так как на сфере мы можем провести бесконечное количество меридианов и каждый из них проходит через точки полюсов, то получается, что точки полюсов сферы на диаграмме отобразятся в виде отрезков прямых, соединяющих одноименные точки.






М1

Р1

Р2

о

М2

М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2



Как мы видим, в отличии от цилиндрической ПРОЕКЦИИ, на которой мы не можем отобразить полюса сферы, на цилиндрической ДИАГРАММЕ полюса сферы отображаются отрезками прямых линий, длина которых равна , хотя в действительности, как мы знаем, ТОЧКА не имеет размеров.

Есть еще одна особенность цилиндрической диаграммы. Эта особенность заключается в том, что МАСШТАБ цилиндрической диаграммы – РАВНОМЕРНЫЙ, то есть область цилиндрической диаграммы можно представить в виде клетчатого листа из школьной тетради.

ОТОБРАЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕЙ. 





М1

М2

Р1

Р2

о





ПАРАЛЛЕЛЬ - это малый круг, полученный от сечения сферы плоскостью, параллельной плоскости экватора. За НУЛЕВУЮ параллель принимается линия экватора. Расстояние параллели от экватора называется ШИРОТОЙ (обозначается как ).






М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2





На диаграмме линия параллели отобразится прямой, параллельной линии экватора и отстоящей от линии экватора на расстоянии 

Я думаю Вам понятно, что  изменяется в пределах () или ().

ОТОБРАЖЕНИЕ МЕРИДИАНОВ. 





М1

М2

Р1

Р2

о





МЕРИДИАН – это большой круг, полученный от сечения сферы центральной плоскостью, проходящей через полярную ось P1 P2. Один из меридианов считается ГЛАВНЫМ (или НУЛЕВЫМ) меридианом. Какой из меридианов считать главным, зависит от конкретной задачи. Расстояние меридиана от главного меридиана называется ДОЛГОТОЙ (обозначается как ).






М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2





На диаграмме линия меридиана отобразится прямой, параллельной линии главного меридиана.

Долгота  изменяется в пределах ().



Цилиндрическая проекция







Цилиндрическая проекция - это проекция вписанной в цилиндр сферы, на боковую поверхность цилиндра.

Центром проекционных лучей является центр сферы.

Развернув цилиндр со спроецированной картинкой, мы и получим цилиндрическую проекцию.

При такой проекции приполярные области будут наиболее искажены.


Подготовительная часть





o



Начертим две взаимно перпендикулярные линии так, чтобы точка их пересечения (т.О.) находилась ближе к левому нижнему углу чертежа.

Горизонтальная линия называется ЭКВАТОРОМ. 





o

A



Из точки О, радиусом, равным длине вертикальной линии, проводим дугу до пересечения с линией экватора.

Теперь выбираем ШАГ (), через который будут проходить линии координатной сетки. Чем точнее мы хотим отобразить координатную сетку, тем меньше должен быть шаг, но необходимо помнить, что шаг НЕ МОЖЕТ превышать 






o

A

B



Через т.О, под углом к линии экватора, проведем линию до пересечения с дугой окружности. Обозначим эту точку, как т.В.





o

A

B

С



Раствором циркуля, равным длине отрезка АВ, из точки В, как из центра окружности, делаем засечку на ранее построенной дуге. Получаем точку С.





o

A

B

С

D




Не изменяя раствора циркуля, уже из т.С, как из центра окружности, делаем засечку на ранее построенной дуге. Получаем точку D.





o

A

B

С

D

E

F



Такие манипуляции мы проделаем столько раз, сколько потребуется, чтобы полностью поделить дугу окружности. 





o

A

B

С

D

E

F



Соединим получившиеся точки с т.О прямыми линиями.



Определим размер чертежа (масштабирование)



Из т.О, как из центра окружности, проводим дугу произвольного радиуса r, Но произвол наш не безграничен. Если мы хотим построить полную цилиндрическую проекцию, то следует помнить, что величина r должна быть равной 1/8 длины экваториальной линии.




o

A

B

С

D

E

F



Построение линий проекций меридианов





o

A

B

С

D

E

F

a

b



Пересечение дугой радиуса r линии экватора обозначим как точка а.

Пересечение прямой ОВ дуги радиуса r обозначим как точка b.

Расстояние ab - и будет являться ШАГОМ для построения линий проекций меридианов.





o




На новом листе чертим две взаимно перпендикулярные линии, соблюдая те же условия, которых мы придерживались ранее, т.е. точка пересечения должна находиться в левом нижнем углу чертежа.





o

A

B

С

D

E

F

a

b



Раствором циркуля, равным расстоянию ab, определенному на вспомогательном чертеже, делаем засечки на линии экватора основного чертежа.





o



Из получившихся точек восстанавливаем перпендикуляры к линии экватора - это и будут линии проекций меридианов.



Построение линий проекций параллелей



На вспомогательном чертеже из точки а восстановим перпендикуляр к линии экватора.

Обозначим точки пересечения линии перпендикуляра с лучами, исходящими из точки О, как 1, 2 и т.д.





o

A

a

1

2

3

4

5



Перенесем при помощи циркуля длины отрезков а-1, а-2 ... со вспомогательного чертежа на крайнюю левую вертикальную линию основного чертежа, причем отсчет вести будем от точки О.





o

A

a

1

2

3

4

5

o




o

A

a

1

2

3

4

5

o





o

o

A

a

1

2

3

4

5





o

A

a

1

2

3

4

5

o






o

. 2. 3. 4.











Через получившиеся точки проводим линии, параллельные линии экватора. Это и будут линии проекций параллелей.

Расстояние между каждой линией на чертеже будет равно выбранному нами шагу .