Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Кафедра: Высшая математика



























Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

























Тольятти, 2008


Введение



Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.


Понятие функции нескольких переменных



Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u. 

Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают 



z = f (x, y).



Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.

Так, для функции z = x2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x, y, z, если дано правило, как по данной тройке значений x, y и z вычислить соответствующее значение u:



u = F (x, y, z).



Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x, y и z.

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz 

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x, y, z, …,t) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x, y, z, …,t, определенной на множестве Е, и обозначается 



u = f (x, y, z, …,t).



Переменные x, y, z, …,t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М0 (x0, y0, z0, …,t0) и обозначается f (М0) = f (x0, y0, z0, …,t0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x, y) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x, y, z) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x, y, z, …,t) рассматривают как функцию точки некоторого п-мерного пространства.



Предел функции нескольких переменных



Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х0, у0), равный числу А, обозначаемый так: 


 (1)



(пишут еще f (x, y)→А при (x, y)→ (х0, у0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел



 (2)



какова бы ни была стремящаяся к (х0, у0) последовательность точек (xk, yk).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х0, у0) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что



| f (x, y) – A | < ε (3)



для всех (x, y), удовлетворяющих неравенствам



0 <  < δ. (4)



Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х0, у0) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х0, у0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х0, у0) можно записать в виде х = х0 + Δх, у = у0 + Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:







Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х0, у0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ωх, ωу) – произвольный вектор длины единица (|ω|2 = ωх2 + ωу2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида 



(х0 + tωх, y0 + tωу) (0 < t)



образуют луч, выходящий из (х0, у0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию 



f (х0 + tωх, y0 + tωу) (0 < t < δ)



от скалярной переменной t, где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t)



 f (х0 + tωх, y0 + tωу),



если он существует, естественно называть пределом f в точке (х0, у0) по направлению ω.

Пример 1. Функции






определены на плоскости (x, y) за исключением точки х0 = 0, у0 = 0. Имеем (учесть, что  и ):







Отсюда







(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y)| < ε, если  < δ).

Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство 







из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx, х > 0, имеет вид 



).



Пример 2. Рассмотрим в R2 функцию



 (х4 + у2 ≠ 0).



Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:


 при х → 0.



Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х2



 и 



Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0, у0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что



| f (x, y)| > N, 



коль скоро 0 <  < δ. 

Можно также говорить о пределе f, когда х, у → ∞:



 (5)



Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |x| > N, |y| > N, функция f определена и имеет место неравенство



| f (x, y) – А| < ε.



Справедливы равенства


 (6)

 (7)

  (8)



где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.

Докажем для примера (7).

Пусть (xk, yk) → (х0, у0) ((xk, yk) ≠ (х0, у0)); тогда



(9)



Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (xk, yk) стремится к (х0, у0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y)∙ φ (x, y) в точке (х0, у0).

Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х0, у0), т.е.







то существует δ > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам 



0 <  < δ, (10)


она удовлетворяет неравенству



 (12)



Поэтому для таких (x, y) 







т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда  при A > 0 и  при 

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f(x) = f (x1, …, xn) = A имеет предел в точке 

x0 = , равный числу А, обозначаемый так:







(пишут еще f(x) → A (x → x0)), если она определена на некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел







какова бы ни была стремящаяся к x0 последовательность точек хk из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x0.

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x0 предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что



 (13)



для всех х, удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x0| < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x0) точки x0 такая, что для всех хU(x0), х ≠ x0, выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x0, то А есть предел функции f(x0 + h) от h в нулевой точке:







и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x0, кроме, быть может, точки x0; пусть ω = (ω1, ..., ωп) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x0 + tω (0 < t) образуют выходящий из x0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию 



 (0 < t < δω)



от скалярной переменной t, где δω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t)






если он существует, естественно называть пределом f в точке x0 по направлению вектора ω.

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x0, за исключением, быть может, x0, и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f(x)| > N, коль скоро 0 < |x – x0| < δ.

Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:



 (14)



Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых |x| > N, функция f определена и имеет место неравенство .

Итак, предел функции f(x) = f(x1, ..., хп) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(M) при М → М0, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М0 и удовлетворяющих условию | ММ0 | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε. 

Предел обозначают  В случае функции двух переменных 

Теоремы о пределах. Если функции f1(M) и f2(M) при М → М0 стремятся каждая к конечному пределу, то:



а) 

б) 

в)  

Пример 1. Найти предел функции: 

Решение. Преобразуем предел следующим образом:







Пусть y = kx, тогда 

Пример 2. Найти предел функции: 

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом  Тогда 

Пример 3. Найти предел функции: 

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом  Тогда 


Непрерывность функции нескольких переменных



По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:



 (1)



Условие непрерывности f в точке (х0, у0) можно записать в эквивалентной форме:



 (1') 



т.е. функция f непрерывна в точке (х0, у0), если непрерывна функция f (х0 + Δх, у0 + Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов



Δи = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y)



и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если 



 (1'')


Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х0, у0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х0, у0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что



| f (x, y) – f (х0, у0) | = |с – с | = 0 0.



Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:



| f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤  0.



Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y)  R2.

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R2, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0.

Функция 



Р (x, y) = х3 – у2 + х2у – 4



может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция


Р (x, y) = х4 – 2х2у2 + у4



есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x0, y0, z0) пространства R3 (точек (x, y, z)), а функции



x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v) 



непрерывны в точке (u0, v0) пространства R2 (точек (u, v)). Пусть, кроме того,



x0 = φ (u0, v0), y0 = ψ (u0, v0), z0 = χ (u0, v0).



Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по 

(u, v)) в точке (u0, v0).

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то







Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х0, у0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х0, у0) в некоторой окрестности точки (х0, у0).

По определению функция f (x) = f (x1, ..., хп) непрерывна в точке х0 = (х01, ..., х0п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х0, и если предел ее в точке х0 равен ее значению в ней:


 (2)



Условие непрерывности f в точке х0 можно записать в эквивалентной форме:



 (2')



т.е. функция f (x) непрерывна в точке х0, если непрерывна функция f (х0 + h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х0, соответствующее приращению h = (h1, ..., hп),



Δh f (х0) = f (х0 + h) – f (х0) 



и на его языке определить непрерывность f в х0: функция f непрерывна в х0, если



 (2'')



Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х0) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δh f (х0) называют также полным приращением функции f в точке х0.

В пространстве Rn точек х = (x1, ..., хп) зададим множество точек G.

По определению х0 = (х01, ..., х0п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.

Множество G  Rn называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции 



х1 = φ1 (t), ..., хп = φп (t) (a ≤ t ≤ b)



непрерывные на отрезке [a, b], определяют непрерывную кривую в Rn, соединяющую точки х1 = (х11, ..., х1п) и х2 = (х21, ..., х2п), где х11 = φ1 (а), ..., х1п = φп (а), х21 = φ1 (b), ..., х2п = φп (b). Букву t называют параметром кривой.

Множество G называется связным, если любые его две точки х1, х2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на Rn (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству 

f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.

В самом деле, функция F(x) = f(x) – с непрерывна на Rn, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х0  G, тогда существует шар 



| х – х0 | < δ, 



на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х0  G – внутренняя для G.

Случай с f (x) < с доказывается аналогично.

Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

а) функция f (М) определена в точке М0 и вблизи этой точки;

б) существует предел ;

в) 


Если в точке М0 нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x2 + y2).

Решение. Функция z = ln (x2 + y2) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Пример 2. Найти точки разрыва функции: 

Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x2 + y2 – z2 = 0. Следовательно, поверхность конуса 

x2 + y2 = z2 является поверхностью разрыва.


Заключение



Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики. 

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций). 

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.

Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.


Список использованной литературы



1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.

3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.

4. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm