Теория вероятностей

Министерство высшего образования Российской Федерации

		Ижевский Государственный Университет

		Кафедра ВТ

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		Курсовая работа

		Вариант Ж - 5

		

		

Выполнил: студент гр. 462

		Проверил: Веркиенко Ю. В.

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

2006 г.


Содержание



Цель работы

Задание

1. Генерирование выборок

2. Поиск оценок для выборок

3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

7. Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову)

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Выводы


Цель работы



Выполнить все одиннадцать пунктов работы по заданию и сделать выводы.



Задание



			На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(,2) генерировать две выборки объема n

			

			x1,,xn	(1)

			y1,,yn	(2)

			

			Для выборок (1), (2) найти оценки     Ex, Sx,  wx, wy.

			Для (1) построить доверительные интервалы для математического ожидания (считая 2 известной и неизвестной) и дисперсии.

			Для (1), (2) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.

			Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения  и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

			Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

			Проверить гипотезы: о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову).

			Проверить гипотезу о независимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.

			Для уравнения (модели)  с заданными коэффициентами i составить систему условных уравнений, считая  и найти по МНК оценки коэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона  или с равномерным шагом на отрезке [–1, 1].

			Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза в точках x=-1, 0, 1.

			По доверительным интервалам оценить значимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, если доверительный интервал накрывает значение, равное нулю.

			При выполнении курсовой работы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборок равна 1. Уровень значимости  = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.


Генерирование выборок



			На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(,2) генерируем две выборки объема n = 17, где  = 3 и 2 = 1

			

			x1,,xn	(1)

			y1,,yn	(2)

			

		Вариационные ряды:

			

 (1) (2) 



Поиск оценок для выборок



			Для найденных выборок (1), (2) находим оценки     Ex, Sx,  wx, wy.

		Выборочное среднее:

		

		 			

		
Квадрат средне – квадратичного отклонения:

		

		 		

		

		Оценка центрального момента 3-го порядка:

		

				

		

		Оценка центрального момента 4-го порядка:

		

				

		

		Коэффициент эксцесса:

		

					

		

		Коэффициент асимметрии:

		

					

		Оценка корреляционного момента:

		

				

		

		Оценка коэффициента корреляции:

		

					

		

		Размах выборки:

		

					



Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии



			Для (1) строим доверительные интервалы для математического ожидания (считая 2 известной и неизвестной) и дисперсии.

			Считаем 2 известной. 

		

		











			
Считаем 2 неизвестной. 

			

		











			

			Таким образом, при различных вариантах μmin, μmax имеют почти одинаковые значения.

			

			

			

			Подставляем табличные значения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что

			

			, 

			, 

			

Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

			

			Для (1), (2) строим доверительный интервал для коэффициента корреляции.



U = 1,96

Так как , то пусть , отсюда z = 0,693



То есть |z| ≤ 0,693.



Если z = –0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициента корреляции –0,6 < Rxy < 0,6.



Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)



Создание ступенчатой функции, при скачке высотой 1/n.







Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральных функций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленным оценкам математического ожидания и с. к. о.

Пусть u = 0, 0.001…6, тогда



, 




		- - - - теоретическая функция распределения.

		____ функция для нормального закона с оценками среднего и дисперсии.



Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

случайный выборка доверительный интервал

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1),х(n)) на несколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую. 

k*sigx - ширина интервалов разбиения, k - коэффициент шага разбиния. взято симметрично от среднего значения по 4 интервала




















		- - - - теоретическая функция плотности распределения.

		____ эмпирическая кривая плотности распределения.



Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову)

		

		Проверка по критерию согласия  Пирсона:

		По данным выборки найдем теоретические частоты , затем, сравнивая их с наблюдаемыми частотами , рассмотрим статистику  - случайная физическая величина, имеющая распределение  с k степенями свободы. Если сумма , то выборочные данные согласуются с нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

		

		

		

		

		

		
Определим  с  степенями свободы:

		

		

		

		

		Как видно условие  выполняется.

		Проверка по критерию согласия Колмогорова:

		

		Условие: 

		

		где , где максимальное значение разности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.

		

		

		

		 при для X, и при для Y.

		

		 - критическое значение квантиля распределения Колмогорова.

		Так как условие  – выполняется, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.



Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках



Чтобы из выборки х получить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).


 

		

		Проверим гипотезу о независимости : 

		

		

		Так как  из нормального закона , то 

		

		











		Так как условие  – выполняется, то выборки независимы.

		Теперь нам необходимо проверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках

		

		: 





















так как F< ,то нет оснований, отвергать нулевую гипотезу.



Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.



Для уравнения модели 







Генерируем выборку с шагом 



h = 1/N, где N = 100



Пусть даны коэффициенты регрессии:

β0 = 0; β1 = 1; β2 = 1; β3 = 0; β4 = 0; β5 = 1;

Значения матрицы плана















		

		Сформируем элементы матрицы А вида:

		

		



					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					

					





Формирование правых частей нормальной системы









 








		

		Где  случайная величина, сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.

		

		



Информационная матрица 









Решение относительно коэффициентов регрессии.

		Для нахождения вида уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии  данного уравнения.









Уравнение регрессии :







Графики уравнения регрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициенты регрессии:





		- - - - уравнение регрессии

		____ случайная выборка из нормального закона



Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза



		Доверительные интервалы будем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии .

		В случае нормальных ошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:

		


		

		где  - остаточная сумма квадратов;  - диагональный элемент ковариационной матрицы вида 

		 так как слагаемых в уравнении регрессии шесть.

		

			(1)

				(2)

				(3)



Строим интервал для коэф-та регрессии: 




























Доверительный интервал , где из таблицы находим.

k = 6;

		Тогда для r = [1…6] будем

		брать соответствующий элемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1) (2) (3).

		Нахождение доверительного интервала для  (фактор ):

		

		-

		Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

		

		

		Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

		

		

		Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

		

		

		Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

		

		

		Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

		

		

		Доверительные интервалы для ,, не накрывают значение равное нулю, следовательно, факторы ,, являются значимыми, а факторы ,, - незначимыми. 



Оценка значимости факторов по доверительным интервалам



Исключив из уравнения регрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду: 











Таким образом, из графика видно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график не изменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии 

		

		 при . 

		

		А доверительный интервал найдём из следующего двойного неравенства:





			

		

		Таким образом, доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:

		










Выводы



Таким образом, в данной курсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальным законом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии и построены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оценены значимости факторов по доверительным интервалам.