Решение дифференциальных уравнений

Задача 4



С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.



xi

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

yi

0,9

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5



Решение

Система нормальных уравнений







в задаче



n = 6





Тогда




решая ее получаем . 



y = 0,5714x + 0,9476







Задача 5



Найти неопределенный интеграл 



Решение



	

	
Ответ: 

	

	Задача 6



Найти неопределенный интеграл 



Решение



	

	

	Ответ: 

	

	Задача 7



Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям 



Решение





	
Ответ: 

	

	Задача 8



Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами





Решение





Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.

Площадь фигуры найдем из выражения









Ответ: 



Задача 9



Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка 



Решение

		Разделим переменные









Проинтегрируем















Ответ:  



Задача 10



Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию

 		



Решение:











Запишем функцию  y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:







Подставим эти выражения в уравнение








Выберем v таким, чтобы









Проинтегрируем выражение 





, 



Найдем u





 , 

 , 

,

,



Тогда 



Тогда 



Ответ: 



Задача 11



Исследовать на сходимость ряд:

а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд





Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда





n

n





nТ. к. , то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.

Используем признак Даламбера 







Ответ: ряд расходится


б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд





Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда





n

n





nТ. к. , то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.

По признаку подобия







данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.



Ответ: ряд расходится



в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости




Решение

Используем признак Даламбера: 





 		



При х =5 получим ряд







Ряд знакопостоянный, lim Un = n



Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.

При х = -5 получим ряд







Ряд знакочередующийся, lim Un = n

|Un| > |Un+1| > |Un+2| … - не выполняется.

По теореме Лейбница данный ряд расходится



Ответ:   Х (-5; 5)


Задача 12



Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 





Решение

В разложении функции sin(x) в степенной ряд







заменим . Тогда получим







Умножая этот ряд почленно на   будем иметь







Следовательно 






Ответ:  0,006.