Метод Лобачевського-Греффе

1. Метод Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь (випадок дійсних коренів)



1.1 Загальні властивості алгебраїчних рівнянь



Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (n≥1)



, (1)



де коефіцієнти a0, a1, … , an – дійсні числа, причому a0≠0.

В загальному випадку вважатимемо перемінну x вважатимемо комплексною.

Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (1) має рівно n коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожен корінь рахується стільки разів, яка його кратність.

При цьому кажуть, що корінь ξ рівняння (1) має кратність s, якщо



,



. (символи над P означають похідні)

Комплексні корені рівняння (1) володіють властивістю парної сполученості.

Теорема. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1) – дійсні, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-сполучені, тобто якщо







(α, β – дійсні) є коренем рівняння (1) кратності s, то число





також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.

Відзначимо, що модулі цих коренів однакові:



.



Якщо x1, x2, … , xn - корені рівняння (1), то для лівої частини його вірний розклад



. (2)



Звідси, роблячи перемноження біномів в формулі (2) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в лівій та правій частині рівняння (2), отримаємо співвідношення між коренями та коефіцієнтами між коренями та коефіцієнтами рівняння:



 (3)



Ліві частини рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два і т. д. з n.

Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння


x3+px2+qx+r=0



задовольняють умовам:







Якщо враховувати кратність коренів, то розкладання (2) приймає вигляд



,



де x1, x2, …, xm (m≤n) – різні корені рівняння (1) й α1, α2, ..., αm – їх кратності, причому



α1+ α2+...+ αm=n.



Похідна виражається наступним чином:



,



де Q(x) – поліном такий, що

Q(x)≠0 при k=1, 2, …, m.

Тому поліном






є найбільшим загальним дільником поліному P(x) і його похідної P'(x). Як відомо, поліном R(x) може бути знайдений за допомогою алгоритму Евкліда. Складаючи відношення



,



отримаємо поліном







з дійсними коефіцієнтами A0=a0, A1, …, Am, корені якого x1, x2, …, xm різні.



1.2 Постановка задачі методу



Дано алгебраїчне рівняння n-ного ступеню:







знайти корені рівняння (тобто всі значення змінної x, при яких рівняння вірне).



1.3 Ідея методу



Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню



, (1)


де . Припустимо, що корені рівняння (1) x1, x2, …, xn такі, що



, (2)



тобто корені різні за модулем, при чому модуль кожного попереднього кореня значно більший модуля наступного. Іншими словами, ми припускаємо, що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи у порядку спадання їх номерів, є величина, мала за модулем, тобто



 (3)



де |k|< та  - мала величина. Такі корені для кратності називатимемо відділеними (треба зауважити, що в загальному випадку це можуть бути як дійсні так і комплексні корені).

Скористаймося тепер співвідношеннями між коренями та коефіцієнтами рівняння (1)







Звідси в силу припущення (3) ми отримуємо:


 (4)



де E1, E2, …, En – малі за модулем величини у порівнянні з одиницею. Нехтуючи в рівностях (4) величинами Ek (k=1, 2, …, n), будемо мати наближені відношення



 (5)



Звідси знаходимо шукані корені



 (6)


Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1), складають перетворене рівняння



, (7)



коренями якого y1, y2, …, yn є m-ті ступені коренів x1, x2, …, xn рівняння (1), тобто



yk=xkm (k=1, 2, …, n). (8)



Якщо корені рівняння (1), які ми вважаємо розташованими у порядку спадання модулів, є різними за модулем, то корені рівняння (7) при досить великій степені m будуть відділеними, тому що



 при .



Наприклад, нехай

x1=2; x2=1,5; x3=1.

При m=100 матимемо:

y1=1,27*1030; y2=4,06*1017; y1=1 і, відповідно,  .

Зазвичай в якості показника m беруть ступінь числа 2, тобто вважають m=p2, де p – натуральне число, а саме перетворення роблять у p прийомів, кожен раз складаючи рівняння, коренями якого є квадрати коренів попереднього рівняння.

Наближено обчисливши корені yk(k=1, 2, …, n), з формул (8) можна визначити і корені вихідного рівняння (1). Точність обчислень залежить від того, наскільки малим є відношення модулів сусідніх коренів перетвореного рівняння.

Ідея цього методу обчислення коренів належить Лобачевскому, практично зручна схема обчислень була запропонована Греффе.

Достоїнством метода Лобачевського-Греффе є те, що при використанні цього методу немає необхідності ізолювати корені. Треба лише позбавитися від кратних коренів. Саме обчислення коренів ведеться регулярним способом. Метод придатний також для знаходження комплексних коренів. Незручність методу полягає в необхідності оперування з досить великими числами. Крім того, відсутній достатньо надійний контроль обчислень й ускладнена оцінка точності отриманого результату.

Зауважимо, що якщо корені рівняння (1) різні, але модулі деяких з них близькі між собою, то збіжність метода Лобачевського-Греффе досить повільна. В цьому випадку такі корені варто розглядати як рівні за модулем і використовувати спеціальні прийоми обчислення.



1.4 Процес квадратування коренів



Покажемо тепер, як можна просто скласти рівняння, коренями якого є квадрати коренів даного алгебраїчного рівняння, взяті зі знаком мінус. Остання обставина викликається міркуваннями зручності, щоб за можливістю уникнути появи від’ємних коефіцієнтів. Процес переходу від коренів xk (k=1, 2, …, n) до коренів



yk=-xk2 (1)



для короткості зватимемо квадратуванням коренів.

Нехай

P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0



- дане рівняння, де a0≠0.

Позначуючи через x1, x2, …, xn корені цього рівняння, матимемо:



P(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn).



Звідси



P(-x)=(-1)na0(x+x1)(x+x2)…(x-xn).



Відповідно,



P(x)P(-x)=(-1)na02(x2-x12)(x2-x22)…(x2-xn2). (2)



Вважаючи



y=-x2



в наслідок формули (2) отримаємо поліном



Q(y)=P(x)P(-x),



Коренями якого є числа



yk=-xk2 (k=1, 2, …, n).



Так як



P(-x)=(-1)n(a0xn-a1xn-1+a2xn-1-…+(-1)nan),

то, роблячи перемноження поліномів P(x) і P(-x), матимемо:



P(x)P(-x)=(-1)n(a02x2n-(a12-2a0a2)x2n-2+(a22-2a1a3+2a0a4)x2n-4-...+(-1)nan2).



Відповідно, рівнянням, що цікавить нас є



Q(x)=A0yn+A1yn-1+A2yn-2+…+An=0



де

A0=a02,



A1=a12-2a0a2,



A2=a22-2a1a3+2a0a4,



…



An=an2.



Правило: При квадрату ванні коренів кожен коефіцієнт перетвореного рівняння дорівнює квадрату попереднього коефіцієнта, мінус подвоєний добуток сусідніх із ним коефіцієнтів, плюс подвоєний добуток слідуючих в порядку близькості коефіцієнтів і т. д., причому якщо потрібний коефіцієнт відсутній, то він вважається рівним нулю.



1.5 Використання методу для випадку дійсних різних корені



Нехай корені x1, x2, …, xn рівняння n-ного ступеню з дійсними коефіцієнтами

 (1)



дійсні і різні за модулем. Розташуймо їх в порядку спадання модулів:



.



Покроково використовуючи метод квадратування коренів, складемо рівняння



, (2)



коренями якого слугують числа



 (k=1, 2, …, n). (3)



Якщо p досить велике, то корені y1, y2, …, yn є відділеними та на підставі частини 1.2. могуть бути визначені з ланцюжку лінійних рівнянь







Звідси маємо:



 (k=1, 2, …, n); (4)


знаки коренів визначаються грубою прикидкою, при підстановці в дане рівняння, або на підставі співвідношень між коренями та коефіцієнтами рівнянь. Процес квадратування коренів зазвичай продовжується доти, доки подвоєні добутки не перестануть впливати на перші головні члени коефіцієнтів перетвореного рівняння. Правило. Процес квадратування коренів варто припинити, якщо коефіцієнти деякого перетвореного рівняння в межах точності обчислень дорівнюють квадратам відповідних коефіцієнтів наступного перетвореного рівняння за рахунок відсутності подвоєних добутків. Дійсно, якщо перетворене рівняння, що відповідає ступеню 2p+1, має вигляд







та виконані співвідношення



 (k=0, 1, 2, …, n),



то, вочевидь, отримаємо:



.



Таким чином, при цих обставинах ми не зможемо збільшити точність обчислення коренів. Так як при використання метода Лобачевського-Греффе коефіцієнти перетворених рівнянь, взагалі кажучи, швидко зростають, то корисно виділяти порядки їх, записуючі коефіцієнти в стандартній формі α*10m, де |α|<10 та m – ціле число.


1.6 Формули методу



Як сказано в ідеї методу



 (1)



Отже, якщо корені рівняння







відділені, то вони наближено визначаються з ланцюжку рівнянь



;



причому точність цих коренів залежить від того, наскільки малі за модулем величини k в співвідношеннях



.


При квадратуванні коренів коефіцієнти при змінних, як було сказано, дорівнюють



A0=a02,

A1=a12-2a0a2,

A2=a22-2a1a3+2a0a4,

…

An=an2.



Коротше можна записати:



 (k=0, 1, 2, …, n),



де мається на увазі as=0 при s<0 і s>n.

Після квадратування коренів отримаємо рівняння:



,



де



;



отже



. (2)



Виходячи з системи (1)


 (3)



З формул (2) та (3) отримуємо



 .




2. Конкретні приклади використання методу



2.1 Приклад



Методом Лобачевского-Греффе знайти корені рівняння



.



Рішення. Результати квадратування коренів, залишаючи чотири значущі цифри розміщені в таблиці 1.



Ступені

коеф. при x3

коеф. при x2

коеф. при x1

коеф. при x0

1

1

0

-3

1

2

1

6

9

1

4

1

18

69

1

8

1

1,86*102

4,725*103

1

16

1

2,515*104

2,233*107

1

32

1

5,878*108

4,986*1014

1

64

1

3,445*1017

2,486*1029

1

128

1

1,187*1035

6.180*1058

1



Зупиняючись на 64-ому ступеню коренів, матимемо:







Звідси






Логарифмуючи, отримаємо:





а, отже,





Для визначення знаків коренів зауважимо, що згідно з правилом Декарта наше рівняння має один негативний корінь та два позитивних корені, причому







Тому найбільшим за модулем має бути негативний корінь, і ми остаточно маємо:






причому співвідношення  виконано в межах заданої точності. Для порівняння можна взяти точні значення коренів, отримані за формулою Кардана:



x1=2cos160°=-1.87938;

x2=2cos40°=-1.53208;

x3=2cos80°=0.34730.



Зауважимо, що в нашому випадку обчислення коренів настільки спростилося завдяки тому, що крайні коефіцієнти рівняння дорівнюють 1. Взагалі, при використанні метода Лобачевского-Греффе радимо попередньо перетворити рівняння так, щоб старший коефіцієнт рівняння дорівнював 1, а вільний член рівняння дорівнював ±1.

Програма обчислення коренів рівняння наведена в ДодаткуA.




Висновки



В роботі ми розглянули метод Лобачевского-Греффе, навчилися використовувати його для розв’язання алгебраїчних рівнянь.

Вивчивши алгоритм методу, склали програму мовою C++, що спрощує його обчислення. Вона докладно описується в додаткуA.




Перелік посилань



„Основы вычислительной математики”; Б. П. Демидович, І. А. Марон; „Государственное издательство физико-математической литературы”, Москва, 1960

„Математический анализ”; А. Я. Дороговцев; „Либідь”, Київ, 1993

„Программирование на языке C++”; С. А. Калоєров; „Юго-восток”, Донецьк, 2004


Додаток A



Скласти програму для обчислення коренів алгебраїчного рівняння

Код програми, що обчислює корені алгебраїчного рівняння методом Лобачевского-Греффе.

#include<iostream.h>

#include<math.h>

void main()

{int j,s,k,i,n,step,izo;

double summ,akms,akps,b;

cout<<"Введите степень уравненийа\n";

cin>>step;

n=step+1;

double*a=new double[n];

double*A=new double[n];

double*x=new double[step];

cout<<"Введите коэффициенты при переменных\n";

for(i=0;i<=step;i++)

cin>>a[i];

for(j=2;j<=128;j*=2)

{for(k=0;k<=step;k++)

{summ=0.0;

for(s=1;s<=k;s++)

{if(((k-s)<0)||((k-s)>step)) akms=0.0; else

akms=a[k-s];

if(((k+s)<0)||((k+s)>step)) akms=0.0; else

akps=a[k+s];

summ=summ+pow(-1,s)*akms*akps;

}

A[k]=a[k]*a[k]+2*summ;

}

for(i=0;i<=step;i++)

a[i]=A[i];

}

b=1.0/128.0;

for(i=0;i<step;i++)

x[i]=pow((a[i+1]/a[i]),b);

for(i=0;i<step;i++)

{izo=i+1;

cout<<"X"<<izo<<"="<<x[i]<<"\n";

}

cout<<"Подставьте корни в исходное уравнение, меньайа знаки корней на противоположные, если они не обращают его в тождество";

}



Результат роботи програми









1