Вариационные ряды

Задание № 1.

По данной выборке:

а) Найти вариационный ряд;

б) Построить функцию распределения;

в) Построить полигон частот;

г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

№=42. Элементы выборки:



1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

а) построение ранжированного вариационного ряда:



1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9

б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:







Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:







Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.


Таблица 2

xj

1-2 (+) 

2-3

3-4

4-5

5-6

6-7

7-8

8-9

Итого

fj

11

7

1

5

3

7

6

2

42

Середина интервала

xj’

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5



xj’fj

16,5

17,5

3,5

22,5

16,5

45,5

45

17

184

Накопленная частота

fj’

11

18

19

24

27

34

40

42









в) построение функции распределения:

С помощью ряда накопленных частот построим кумулятивную кривую распределения.



Диаграмма 1



в) построение полигона частот:


Диаграмма 2





г) вычисление среднего значения СВ, дисперсии, среднеквадратичного отклонения:











Задание № 2.

По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98



Таблица 1.

78

80

83

84

84

86

88

88

89

89

91

91

92

92

94

94

96

96

96

97

97

99

99

101

102

102

104

104

105

105

107

109

110

110

115

120

76

78

81

83

84

86

86

88

88

89

89

91

92

92

92

94

94

96

96

97

97

99

99

99

101

102

104

104

105

105

107

107

110

110

112

115

75

78

80

83

84

86

86

88

88

89

91

91

91

92

92

94

94

96

96

97

97

99

99

101

101

102

102

104

104

105

107

109

109

112

115

117

73

81

84

84

86

88

89

91

91

92

94

96

96

97

99

101

101

104

105

105

107

107

110

117

123

67

78

81

81

83

84

84

86

86

88

88

88

89

89

91

91

91

92

92

92

94

94

94

96

96

97

97

97

99

99

99

101

101

102

102

104

104

104

105

105

107

107

109

109

110

110

113

118

121









































№=182

Решение.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:







Определим величины интервала:





Примем число групп равным 8, а число интервалов 7.



Таблица 2. 

Номер интервала

xj

fj

x’j

x’jfj

f’j

1

2

3

4

5

6

1

67-74 (+) 

2

70,5

141

2

2

74-81

12

77,5

930

14

3

81-88

30

84,5

2535

44

4

88-95

40

91,5

3660

84

5

95-102

47

98,5

4629,5

131

6

102-109

32

105,5

3376

163

7

109-116

13

112,5

1462,5

176

8

116-123

6

119,5

717

182

Итого



182



17451





Условные обозначения в таблице: xj - установленные интервалы; fj - частота событий; x’j - середина интервала; f’j - накопленная частота.

На основании полученных данных построим таблицу 2.









Значения  и  находим по таблице значений функции Лапласа.

Pj определяется разностью  и , а f’j = Pj * n.



Таблица 3. 

Номер интервала

Границы интервала









Pj

f’j

1

2

3

4

5

6

7

8

1

67-74

-2,26

-1,70

-0,4881

-0,4554

0,0327

5,9514

2

74-81

-1,70

-1,16

-0,4554

-0,3770

0,0784

14,2688

3

81-88

-1,16

-0,61

-0,3770

-0,2291

0,1479

26,9178

4

88-95

-0,61

-0,06

-0,2291

-0,0279

0, 2012

38,0268

5

95-102

-0,07

0,47

-0,0279

0,1808

0, 2087

37,9834

6

102-109

0,47

1,02

0,1808

0,3461

0,1653

30,0846

7

109-116

1,02

1,57

0,3461

0,4418

0,0957

17,4174

8

116-123

1,57

2,12

0,4418

0,4830

0,0412

7,4984

Итого

















Условные обозначения в таблице:

xнj - нижняя граница интервала;

xвj - верхняя граница интервала;

tнj и tвj - нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала;

 и  - значение интегральной функции Лапласа для tнj и tвj;

Pj - оценка вероятности попадания в интервал;

f’j - частота теоретического распределения.

Итак, воспользуемся данными таблицы 1 и 2 для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в графе 8 табл.2, а также объединив частоты двух последних интервалов, выполняя требование f’j  5.



Таблица 4. 

Номер интервала

Эмпирические частоты

Теоретические частоты





1

2

6

16

2,67

2

12

14

4

0,29

3

30

27

9

0,33

4

40

38

4

0,1

5

47

38

81

2,13

6

32

30

4

0,13

7

16

25

81

3,24

Итого

182

178



8,89



X2расч = 8,89



Таким образом, проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Произведем интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.

На основе имеющейся выборки получим точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней:







Среднеквадратичное отклонение составляет: . Уровень надежности . Определяем значение функции Лапласса:







По таблице значений функции  находим соответствующее значение z. В данном случае . Тогда .

Доверительный интервал] 95,6868 - 0,164, 95,6868 + 0,164 [=

=] 95,5228, 95,8508 [.

Следовательно, 95,5228 < Mx < 95,8508 с вероятностью 0,98.

Задание № 4.

По заданной выборке (x,y) найти коэффициент корреляции и уравнения линейной регрессии y=a+b*x, №=45



Таблица 5

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

 x…... y

23

-115

18

-90

10

-48

19

-91

18

-84

9

-44

12

-55

24

-115

6

-26

22

-107

18

-84

18

-83

11

-54

15

-71

13

-64

8

-51

14

-64

22

-109

8

-38

14

-64

22

-106

9

-43

16

-74

17

-85

15

-71

13

-60

11

-37

24

-118

18

-87

6

-28

7

-31

22

-109

13

-64

8

-35

8

-35

12

-56

12

-54

14

-67

14

-68

21

-102

10

-46

16

-79

17

-80

18

-87

22

-105













































Решение:

На основании исходных данных найдем суммы и средние значения x и y:









Вычислим параметр парной линейной корреляции:







Свободный член уравнение регрессии вычислим по формуле:



, откуда 





Уравнение регрессии в целом имеет вид:







Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе полученных данных: