Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение:  Элемент наилучшего приближения – L – линейное  многообразие, плотное в E.  xE u: ║x-u║<

Теорема:  Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:  Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. 

Теорема:  Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LE, (0,1) zE\L ║z║=1 (z,L)>1-

Определение:  Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема:  О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение:  Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема:  Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:  L плотное в E, если xE uL: ║x-u║<

Теорема:  Чтобы L было плотно в H  ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.  

Определение:  Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество. 

Определение:  Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение:  Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение:  Непрерывный оператор – AxAx0 при x x0

Определение: (X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема:  Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем  X.

Определение:  Ограниченный оператор - ║x║≤1 с: ║Ax║≤c 

Теорема:  A – ограниченный  xX ║Ax║≤c║x║

Теорема:  Для того чтобы А был непрерывен  чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена  {An}- ограничена.

Теорема:  {Anx} – ограниченно  {║An║}- ограничена.

Определение:  Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║0,  n, обозначают AnA

Определение:  Слабая сходимость - xX ║(An-A)x║Y0, n

Теорема:  Для того, чтобы имела место сильная сходимость  {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема:  Банаха-Штенгауза AnA n слабо  1) {║An║}- ограничена 2) AnA, x’X, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)Y, D(A)X   A’:XY 1) A’x=Ax, xD(A)  2) ║A’║=║A║

Определение:  Равномерная ограниченность - a x: ║x(t)║≤a

Определение:  Равностепенная непрерывность t1,t2 : ║x(t1)-x(t2)║<

Теорема: (X,Y) полное, если Y – полное.

Определение:  Ядро – {xX | Ax=0}

Определение:  Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=(X,E)

Определение:  Сопряженный оператор A*: Y*X*

Теорема:  Банаха A:XY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда  A-1 и ограничен.

Определение:  Оператор А – обратимый 

Определение:  Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема:  A-1  и ограничен  m>0 xX ║Ax║≥m║x║

Теорема:  Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XY – линейный ограниченный функционал  ! yH xH f(x)=(x,y)

Определение:  MX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение:  Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность. 

Теорема:  Хаусдорфа. MX компактно  >0  конечная -сеть

Теорема:  Арцела.  MC[a,b] компактно  все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. 

Определение:  Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:  (X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема:  Шаудера. A(X,Y)  A*(X*,Y*)

Линейные нормированные пространства

Пространства векторов

		сферическая норма

			кубическая норма

				ромбическая норма

			p>1

Пространства последовательностей	

					p>1

	или 	пространство ограниченных последовательностей



		пространство последовательностей, сходящихся к нулю



		пространство сходящихся последовательностей



Пространства функций

	пространство непрерывных на  функций

		

	пространство k раз непрерывно дифференцируемых на  функций

		

£p[a,b]	пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

 - пополнение £p[a,b] (Гильбертово)

				

Неравенство Гёльдера	 p,q>0

Неравенство Минковского