Предмет математики

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?



  На вопрос "Что же такое математика?", как и на вопрос "Что

же  такое философия" ответить однозначно и конкретно в прин-

ципе не возможно.  Эти две области мировоззрения весьма  об-

ширны  и постоянно богатеют все новыми и новыми идеями,  так

что даже для того чтобы сделать только  поверхностный  обзор

математики  потребуется очень много времени,  поэтому этим я

заниматься не буду,  а рассмотрю со своей точки зрения, опи-

раясь на точку зрения Канта,  только небольшой вопрос касаю-

щийся математики и может частично (далеко не полностью)  по-

пытаюсь ответить, что же все таки такое математика.

  Всякая математика по Канту имеет приложение только  к  об-

ласти  явлений,  а математика чистая т.е.  теоретическая,  -

только к априорно-созерцательным формам,  будучи ими же  по-

рождена.  Кант отрицает, что математические построения отра-

жают свойства объективной реальности.  Он прав, полагая, что

собственно  геометрическое  пространство  реально вне нас не

существует,  а абсолютное пространство Ньютона не реально. У

Канта  пространство  и время тоже "абсолютны",  но уже в том

смысле,  что абсолютно не зависят ни от вещей в себе,  ни от

чувственной  эмпирии.  Однако очень трудной задачи выяснения

статуса математических абстракций и их отношения к  действи-

тельности он разрешить не смог.  Хотя исторически арифметика

и геометрия  выросли  из  практического  опыта  древних,  но

исходными  пунктами при аксиоматическом построении математи-

ческих дисциплин оказываются не индуктивные обобщения  и  во

многих  случаях  даже  не  идеализирующие абстракции от этих

обобщений,  а так называемые  чистые  идеальные  конструкты.

Правда,  в случае, например, геометрии Евклида, в единствен-

ности и абсолютной универсальности которой у Канта  в  общем

нет   сомнений,   ее  аксиомы  и  постулаты  в  совокупности

представляют собой гносеологически еще более сложное образо-

вание, будучи совокупным результатом идеализируещего абстра-

гирования и идеального, т.е. чисто абстрактного, конструиро-

вания. В последнем случае отражение объективной реальности в

теории происходит "окольным" путем приблизительной интерпре-

тации.  Только физическая интерпретация, проверяемая затем в

практике научных экспериментов, в состоянии решить, какая из

известных  ныне  геометрических систем истинна,  т.е.  соот-

ветствует свойствам реального физического пространства.  За-

метим так же,  что изображенная Кантом структура математики,

которая включает в себя не  только  чувственную  интуицию  и

синтезирующую  конструкцию,  но  и аналитичность,  как бы по

частям возродилась в интуиционистском,  конструктивистском и

чисто  аналитическом направлениях философии математики ХХ в.

Но каждое из этих направлений односторонне.

  Важный вопрос заключается в том, можно ли считать, что от-

крытие Лобачевским неевклидовых геометрий в принципе  подор-

вало учение об априорности пространства, поскольку оно пока-

зало,  что тезис об априорной  общеобязательности  геометрии

Евклида  как  единственного  будто бы возможного для всякого

субъекта способа восприятия чувственных феноменов  не  имеет

силы.

  Лобачевский не отрицал эмпирической предпочтительности ге-

ометрии  Евклида как геометрии обычного восприятия и привыч-

ного для нас макромира,  и  эту-то  "привилегированность"  и

закрепленную  в филогенезе "очевидность" евклидовского виде-

ния  пространства  Кант  как   раз   и   пытался   объяснить

посредством априоризма, так что неокантианец Э.Кассирер уви-

дел в открытии Лобачевского даже  подтверждение  кантианской

позиции. Конечно зависимость выбора между неевклидовыми гео-

метриями от физических и предметных интерпретаций наносит по

априоризму  "критического"  Канта  сильный удар.  Однако сам

факт создания подобных геометрий не столько побуждает к  его

модификациям: ведь метод идеальных конструктов в современной

математике и освобождение абстрактных геометрических постро-

ений наших дней от остатков былой "воззрительности" в первом

приближении с априористской иллюзией  совместимы.  Кант  был

знаком  через Ламберта с допущениями математиков насчет воз-

можности неевклидовых постулатов и писал:  "...возможно, что

некоторые  существа  способны  созерцать  те же предметы под

другой формой, чем люди". Уже это его допущение свидетельст-

вует о том,  что, кроме однозначного априоризма и конвенциа-

нолизма,  идеализм в математике способен  апеллировать  и  к

иным  гносеологическим построениям.  Однако тезис общей тео-

рии,  относительности, что выбор той или иной геометрии есть

физическая проблема,  а также вывод из этой теории,  что при

определенных условиях распределения  масс  во  Вселенной  ее

пространство имеет именно неевклидовую структуру,  подрывают

априоризм в самой его основе.