по Математике

Заказ №1459

№1

Округлить сомнительные цифры числа а, оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.



Решение

а) По условию . Следовательно, в числе  верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a до четырех

значащих цифр: . Тогда



Так как , то число a1 имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда



Так как , то число a2 имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a до двух значащих цифр: . Тогда



Так как , то две оставшиеся цифры результата  верны в узком смысле. Таким образом,



б) Представим  в виде и найдем



примем. Так как , то число a = 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда



Так как, то три оставшиеся цифры результата  верны в широком смысле. Таким образом,

.

Ответ: а) , ;

            б) , 

























№2

Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f (x) с заданными узлами xk (k = 0, 1, 2, 3)



Решение

Прежде всего, заметим, что



Применяя формулу (3) при n = 3, получим:



Ответ: 









































№3

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представленным таблицей

х

1

2

3

4

5

у

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8



Решение

Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу











0

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8

1,8

2,6

9,9

19,2

19

1

4

9

16

25



15

15

52,5

55



Нормальная система уравнений принимает вид



Следовательно, искомая эмпирическая формула 





Ответ: 





















№4

Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.



Решение

Определяем значения подынтегральной функции при  для следующих значений аргумента



Находим соответствующие значения функции :



Тогда получаем



Ответ: 





№5

Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до 



Решение

Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим



Составляем таблицу знаков функции













-

+

-

+



Уравнение имеет три действительных корня:



Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1



-3

-2

0

1

2

3



-

+

+

-

-

+

Значит, 

Уточним больший корень  заданного уравнения методом Ньютона. Имеем



при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем

. Все вычисления сводим в таблицу













0

1

2

3

4

3

2,3495

2,0809

2,0285

2,0265

67

15,4003

2,1721

0,0765

-0,0005

103

57,3388

41,4471

38,5488

38,4394

0,651

0,267

0,0524

0,0020

0

2,3495

2,0809

2,0285

2,0265

2,0265



Искомый корень 

Ответ: 





№6

Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y’ = f (x, y), удовлетворяющего начальному условию      y(1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой



Решение

Находим последовательные значения аргумента



Обозначим



Для удобства вычислений составим таблицу











0

1

2

3

4

5

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

0

0,01

0,0199

0,0297

0,0395

0,0491

1

0,9907

0,9824

0,9750

0,9686

0,01

0,0199

0,0297

0,0395

0,0491



Таким образом, имеем следующую таблицу

х

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

у

0

0,01

0,0199

0,0297

0,0395

0,0491

Ответ: таблица.