Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)  

X1=0,n11n12n13…n1k…       m1{0,1,…,9}\{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k…       m2{0,1,…,9}\{9,n22}

………………………       ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk…       mk{0,1,…,9}\{9,nkk}

=0,m1m2…mk…  x1 x2 x3 …… xk

(0;1) Противоречие. 

0<<1  R - несчётное множество.



Теорема: Q - Счётное множество.

Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-{0}Q+

Док-во:

  

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

 множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных  одмножеств явл. Само счётным  Q - сч. мн.





Предел числовой последовательности:

Пусть aR, >0 {x: x-a<}

Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число aR, что кокого

 бы нибыло >0 почти все члены этой последовательности  - окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

n0=n0()N: n>n0  xn-a<        a=limxn , при n

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limxn ,  b=limxn , при n, a>b, a-b=>0

n0=n0(/3):xn-a</3  и  xn-b</3

=a-b=(a-xn)-(b-xn)

=(a-xn)-(b-xn) (a-xn)+(b-xn)2/3

2/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: limxn=a, при n  -  конечный предел

	Док-ть:M>0:xn<M n

	Док-во: limxn=a, при n:>0 n0=n0():a-<xn<a+, при n>n0

	Пусть =1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или xn-a<1

	Тогда xn<(xn-a)+a<xn-a+a<a+1  n>n0(1)

	P=max{a1,a2,…,ano}

	M=max{P,a+1}xn<M n

	3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

	 её подпоследовательность имеет тоже предел а)

	

	

	Свойства предельного перехода связанные с  неравенствами:

	Теорема 1. Пусть limxn=x, при n - конечный (1 последовательность)

	                               limyn=y, при n - конечный (2 последовательность)

	Если x<y, то для почти всех n  xn<yn

	Док-во: =y-x>0

	n=n(/3): xn-x</3 n>n

	n=n(/3): yn-y</3 n>n

	n0=max{n,n}, n>n0

	x-/3<xn<x+/3 

	y-/3<yn<y+/3   xn<x+/3<y-/3<yn  n>n0 xn<yn  Что и т. док-ть.

	Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

	 эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

	 сохраняет знак своего предела)

	x=limxn, x0

	1) x>0 Предположим x>0  x/2>0x>x/2

	limxn>x/2, при n Из Т.1. следует, что n0:n>n0 xn>x/2>0

	

	Теорема 2. Предположим, что limxn=x и limyn=y, при n

	Если для почти всех n:xnyn, то и xy

	Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1.  xn>yn для почти всех n

	Противоречие.

	

	Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

	Пусь limxn=limyn=a, при n, и предположим, что xnznyn n, тогда

	1) Сущ. limzn, при n

	2) limzn=a, при n

	Док-во: n=n():a-xna+, n>n

	               n=n():a-yna+, n>n

	n0=max{n,n}

	n>n0  a-xnznyna+  a-zna+  limzn=a

	

	

	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

	def {xn}-б.м. :=limxn=0, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0  xn<

	def {xn}-б.б. :=limxn=, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0  xn>

	Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

	{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

	Док-во: M>0:ynM n - значит ограничена.

	>0 n0=n0(/M):n>n0  xn</M 

	 n>n0 xnyn=xnyn/M*M=  {xnyn}-б.м.

	Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

	{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

	Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству) {xnyn}-б.б.

	Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

	{xn} и {yn}-б.м. {xn+yn}-б.м.

	Док-во:  n=n(/2):n>n xn</2

	                     n=n(/2):n>n yn</2

	n0=max{n,n}

	n>n0  xn+ynxn+yn</2+/2=

	Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

	 нужно применить метод мат. индукции.

	Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

	Док-во: Очивиднл.

	

		Неопределённые интегралы.

		def / F(x) называется первообразной

		      для f(x) на [a;b] если F (x)=f(x)

		У непрерывной функции первообразная

		      всегда есть.

		Теорема: Различные первообразные

		       одной и той же функции отличаются 

		       на одно и тоже постоянное слагаемое.

		Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)

		F(x)= F1(x)- F2(x)

		F (x)= F1(x)- F1(x)=f(x)-f(x)=0

		F(x)=const

		Def / Совокупность всех первообразных одной

		       и той же функции называется её

		       неопределённым интегралом.

		

		

		

		Св-ва линейности:

		 

		Замена переменных в неопределённом интеграле

		        или методом подстановки.

		Теорема: Пусть функция     x=

		        x(t): (;)(a;b), xC1(;), fC(a;b)

		1) 

		x=x(t)

		2)  Если x(t) сохраняет знак, тогда

		

		t=t(x)

		Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F (x(t))x(t)=f(x(t))x(t)

		2) x(t) – строго монотонная  обратная t=t(x)

		

		t=t(x)

		Интегрирование по частям.

		

		Рекуррентная формула.

		

		y=+x2  y=2x  xy=2x2=2(y-)

		U=1/yn  dx=dV dU=(-ny/yn+1)dx  V=x

		

		

		In=x/yn+2nIn-2nIn+1

		1) In+1=(1/2n)(x/yn+(2n-1)In), n0, 0

		2) In=(1/(2n-1))(2nIn+1-x/yn), n1/2, 0

		

		Поле комплексных чисел.

		(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi 

		      – алгебраическая запись комплексного числа

		Чертёж :