Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания

Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания

А.В.Ястребов

1. Об инвариантном ядре различных концепций математического образования

Перечисляя основные психологически ориентированные модели школьного обучения, М.А.Холодная называет следующие пять: свободную модель (Р.Штейнер, Ф.Г.Кумбе и др.), личностную модель (Л.В.Занков, М.В.Зверева и др.), развивающую модель (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов и др.), активизирующую модель (А.М.Матюшкин, М.М.Махмутов и др.), формирующую модель (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина и др.) [6, с. 307-308]. Добавим к этому списку предлагаемую ею модель обогащающего обучения, концепцию укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева, в значительной мере ориентированную на математику, а также некоторые концепции вузовского математического образования: концепцию специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ О.А.Иванова, профессионально-педагогической направленности обучения А.Г.Мордковича, наглядно-модельного обучения Е.И.Смирнова, моделирования научных исследований А.В.Ястребова. 

Для преподавателя математики педагогического вуза столь большое разнообразие подходов приводит к тому, что комплексное, одновременное использование достижений и рекомендаций каждой из концепций оказывается достаточно трудным или невозможным просто в силу их обилия и разнообразия. Более того, трудность такого рода только возрастает по мере дальнейшей разработки перечисленных концепций и появления новых. Одним из методов улучшения ситуации может служить выделение инвариантного ядра различных концепций математического образования. Речь идет о поиске таких положений (принципов, аксиом, утверждений и проч.), которые либо уже входят в большинство из концепций, либо могли бы войти в них в качестве составной части в процессе их развития. Полемически заостряя мысль, можно сказать, что речь идет о поиске таких положений, учет которых в той или иной форме был бы весьма желателен как при существующих подходах, так при тех, что с неизбежностью появятся в недалеком будущем.

Математическое образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании учащихся адекватный образ математики. В силу этого общие положения любой педагогической концепции должны быть тесно связаны с имманентными свойствами математики, не зависящими ни от предметной области внутри нее, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода ее развития. Ниже будут рассмотрены некоторые из таких свойств.

2. Дуалистические свойства математики

При описании дуалистических свойств математики мы будем исходить, во-первых, из общего представления о науке и, во-вторых, из общего представления о математике как о науке о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Математике, как и всякой науке, присущ деятельностно-продуктивный дуализм. Это означает, что понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности – сумму полученных к данному моменту математических знаний.

Поскольку образование должно формировать в сознании студентов адекватный образ науки, объективно возникает естественное требование к математической подготовке: обучение математике должно быть ориентировано, причем одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков деятельности внутри математики.

Проиллюстрируем вышесказанное примером, описав два различных сценария, которым может следовать педагог при выявлении математических взаимосвязей. При этом мы выбираем нарочито простой пример, который с одинаковым успехом может быть рассмотрен и в школе, и в вузе – связь между четностью и дифференцируемостью функции.

Первый сценарий состоит в прямом использовании упражнения из известного задачника [1, № 537].

Задание 0. Докажите, что если и дифференцируема, то .

Поскольку утверждение, которое необходимо доказать, сформулировано в явном виде и приходит к студенту извне, то единственное, что остается ему делать – это действовать по формальным правилам, используя определение производной, условие и переобозначение переменной под знаком предела: .

Второй сценарий основан на наблюдении за группой функций.

Задание 1. Рассмотрите функции , , , , и найдите их общее свойство, а затем вычислите их производные. Какую гипотезу вы можете сформулировать?

Как правило, студентам не понятно выражение “найти общее свойство”. Преподавателю приходится возвращать их к общей схеме исследования функций и напоминать, что им известны многие свойства функций, выраженные посредством понятий: область определения, четность, периодичность, асимптота, ограниченность, монотонность, экстремум, непрерывность, дифференцируемость. Одним из методов поиска общих свойств является метод исключения. Обнаруживается, например, что данный ряд функций содержит как периодические, так и непериодические функции ( и соответственно), так что периодичность не является их общим свойством. То же самое можно сказать о большинстве свойств из числа упомянутых. Исключение составляет нечетность всех функций и, с некоторой оговоркой, их дифференцируемость (оговорка состоит в недифференцируемости функции в одной точке своей области определения). Вычисление производных показывает, что все они четны. Так естественным образом рождается гипотеза: “Если функция нечетна и дифференцируема, то ее производная четна”. Проверка справедливости этой гипотезы приводит к формальному доказательству, приведенному выше.

Нетрудно видеть, что умственные действия, совершаемые учащимися при втором сценарии, достаточно разнообразны: это обобщающее повторение, вычисление производных, формулировка гипотезы и лишь затем чисто технические действия, используемые в первом сценарии. Обобщенно говоря, при первом сценарии учащийся усваивает математический продукт, полученный другими людьми, а при втором сценарии – и продукт, и элементы математической деятельности по его получению.

Отступим от основной линии нашего изложения и отметим пропедевтический компонент рассмотренного примера. Если вычислять производную функции с помощью определения этой функции, то получим, что . Нетрудно видеть, что эту словесно заданную производную можно задать аналитически: . Интерпретируя последнее равенство в других терминах, можно сказать, что первообразной элементарной функции является неэлементарная функция . Этот и другие подобные примеры психологически готовят студентов к восприятию интегралов, не выражающихся в конечном виде [5, с. 36, 83 и др.].

Вернемся к рассмотрению дуалистических свойств математики.

Математике, как и всякой науке, присущ личностно-социальный дуализм. Это означает, что имеют место несколько дополняющих друг друга фактов: (а) каждый математический результат изобретается лично тем или иным конкретным математиком; (б) математика может существовать только благодаря наличию особого социального института – научного сообщества; (в) изобретенный результат становится фактом науки только в результате его принятия научным сообществом; (г) процесс принятия нового результата включает в себя обмен информацией о содержании нового результата и различные виды экспертных оценок.

С организационной точки зрения научное сообщество является весьма сложным образованием с разветвленной иерархией и многокомпонентными отношениями принадлежности. В него входят отдельные ученые, творческие коллективы, исследовательские институты, учебные заведения, научные журналы, органы по присуждению ученых степеней, национальные академии, международные комитеты. Очевидно, что необходимым (и, возможно, достаточным) условием функционирования такой системы является информационный обмен между ее элементами. На практике он весьма интенсивно осуществляется посредством публикаций, конференций, семинаров, системы Интернет и т.д.

Коль скоро в реальном научном мире объективно существует важное явление – информационный обмен результатами личной деятельности – оно должно в той или иной форме отражаться в процессе преподавания. Проиллюстрируем возможность такого отражения с помощью заданий той же идейной направленности и того же уровня сложности, что и задание 1.

Задание 2. Рассмотрите функции , , , , и найдите их общее свойство, а затем вычислите их производные. Какую гипотезу вы можете сформулировать? (Здесь дельта-функция определяется равенством .)

Задание 3. Рассмотрите функции , , , , и найдите их общее свойство, а затем вычислите их производные. Какую гипотезу вы можете сформулировать? (Здесь – это функция-константа, а – это дробная часть числа .)

Нетрудно заметить, что все функции из задания 2 являются четными, а их производные – нечетными, что приводит студентов к общей гипотезе о смене четности при дифференцировании. Аналогично, все функции из задания 3 являются периодическими, причем их производные также периодичны с тем же самым периодом; так возникает общая гипотеза об инвариантности свойства периодичности по отношению к дифференцированию.

Данные наблюдения подсказывают естественный педагогический прием: распределить задания 1-3 между микрогруппами студентов с тем, чтобы представитель каждой из них сообщил своим товарищам о результатах решения.

Разумеется, методика работы малыми группами хорошо известна и распространена достаточно широко. Необходимость и целесообразность организации информационного обмена между студентами можно вывести из работ Л.С.Выготского, П.Я.Гальперина, В.В.Давыдова, В.А.Лекторского, А.Н.Леонтьева, Я.А.Пономарева, Н.Ф.Талызиной и др. по философии, психологии и педагогике. (Например, краткий обзор первоисточников под определенным углом зрения и обоснование данного вывода можно найти в работах автора [7, 8].) Мы хотим подчеркнуть, что обмен информацией между малыми группами или отдельными студентами является не просто удачным методическим приемом, не только хорошо обоснован с точки зрения психологии, но затрагивает существо математики – ее личностно-социальный дуализм, и в силу этого является в определенном смысле обязательным для процесса преподавания.

Обратимся к пропедевтическому компоненту заданий 2 и 3. Прямые вычисления показывают, что и , если . Последнее равенство можно переписать в различных видах, например, или . Данные равенства можно трактовать с различных точек зрения. Во-первых, мы получили еще один пример элементарной функции , первообразная которой не элементарна. Во-вторых, мы видим, что в некоторых случаях функцию, заданную словесно, можно задать аналитически. Таковы, например, функции , и , которые поначалу задаются словесно и лишь затем приобретают свое аналитическое выражение. В-третьих, функции и обладают парадоксальными свойствами: их производные равны, однако функции не отличаются друг от друга на аддитивную константу, поскольку . Данное наблюдение находится в кажущемся противоречии с условиями постоянства функции и следствием из него [4, с. 268]. Студентам полезно разобраться в том, что противоречия на самом деле нет, поскольку производные обеих функций определены не на промежутке, как того требует теорема, а на объединении промежутков.

Вернемся к рассмотрению дуалистических свойств математики.

Математике присущ индуктивно-дедуктивный дуализм. Это означает, что природа умозаключения в математике является одновременно и индуктивной, и дедуктивной. Интуиция, основанная на индуктивных умозаключениях, служит средством первичного получения результата, а логика, основанная на дедукции, служит средством его строгого обоснования.

О соотношении индукции и дедукции, интуиции и логики писали такие выдающиеся математики, как Ж.Адамар, Г.Вейль, Ф.Клейн и многие другие. Особенно много внимания уделяет этому А.Пуанкаре [3, с. 8, 11-21, 159-169, 309-320]. Приведенное выше утверждение об индуктивно-дедуктивном дуализме математики является всего лишь кратким выражением мыслей ее создателей. Для нас сейчас важнее то обстоятельство, что для классиков науки размышления о природе умственных действий в области математики оказываются тесно связанными с вопросами ее преподавания. Говоря об интуиции, А.Пуанкаре пишет, что “без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы ее любить и увидели в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее” [3 с, 165]. Ключевая мысль А.Пуанкаре указывает на сходство мыслительных процессов исследователя и студента: “Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он выбрал его” [3, c. 166].

В сложившихся условиях, когда индуктивная природа математического творчества недостаточно раскрывается в процессе преподавания, когда абсолютное большинство учебников написано дедуктивным методом, а задачники в значительной мере ориентированы на выработку математической техники, преподавателям следует акцентировать индуктивное начало математики и выдерживать этот акцент до тех пор, пока в студенческом сообществе не сформируется устойчивое представление о равноправии обоих компонентов математики. Задания 1-3 иллюстрируют возможность такого акцентирования в рамках государственных образовательных стандартов (кстати, отнюдь не высоких). Действительно, с одной стороны, в них используется традиционный школьный материал, а с другой стороны, задания носят явно индуктивный характер.

Краткий обзор взглядов классиков математики на индуктивную природу математического творчества содержится, например, в [7, 8].

Математике присущ эмпирико-теоретичекий дуализм источников ее развития. Это означает, что существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественнонаучного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики.

Дж. фон Нейман [2] называет два раздела математики, идеи которых имеют заведомо эмпирическое происхождение – геометрию и математический анализ. Это именно те ее разделы, к которым как нельзя лучше применимо название “чистая математика”. Более того, создание математического анализа “в большей мере, чем что либо другое, знаменует рождение современной математики”. К разделам второго типа, изобретенным для внутреннего, математического потребления, Дж. фон Нейман относит абстрактную алгебру, топологию, теорию множеств. Двумя удивительными примерами служат дифференциальная геометрия и теория групп, поскольку поначалу их считали абстрактными, неприкладными дисциплинами и лишь впоследствии они нашли широкое применение в физике. Однако и поныне они развиваются в основном в абстрактном духе, далеком от приложений. Кратко говоря, “двоякий лик – подлинное лицо математики, и я не верю, что природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь единой упрощенной точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность” [2].

Эмпирический компонент источников развития достаточно хорошо отражен в практике преподавания. Действительно, изучение математического анализа по традиции начинается с рассмотрения физических задач, приводящих к понятиям производной, интеграла, дифференциального уравнения. Развитие теории, как правило, завершается ее приложениями, например, вычислением площадей, объемов, длин дуг, моментов инерции и т.д.

Иначе обстоит дело с теоретическим компонентом источников развития. Например, большинство учебников, а вслед за ними большинство преподавателей, не считают необходимым рассмотрение задач, приводящих к понятиям группы, кольца, поля, векторного пространства и т.д. Между тем обращение к ним могло бы сыграть серьезную мотивирующую роль в изучении студентами такой абстрактной математической дисциплины, какой является алгебра. По мнению автора, определенное невнимание к мотивировкам объясняется исключительно традициями преподавания и никак не связано ни с природой математики, ни с трудностями рассмотрения мотивирующих задач. Например, необходимость изучения систем линейных уравнений могла бы быть проиллюстрирована физической задачей о расчете электрической цепи, экономической задачей об определении стоимости товара, аналитической задачей о восстановлении многочлена по нескольким точкам его графика. Было бы целесообразно иметь полный список задач, приводящих к основным понятиям абстрактной алгебры.

В заключение отметим, что дуалистические свойства математики выражают ее существенные свойства, которые, именно в силу их важности, должны быть осознаны в процессе ее изучения. Для этого преподаватель должен располагать большим набором задач по всем темам изучаемых курсов, которые формируют у студентов представление о дуалистических свойствах математики. Вопрос об их оптимальном использовании следует решать в экспериментальном порядке.

Список литературы

Мордкович А.Г., Мухин А.Е. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному исчислению функций одной переменной. – М.: Просвещение, 1985. 

Нейман Дж. фон. Математик // Природа. – 1983. – № 2. – С. 88-95. 

Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983. 

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 

Т. I. – М.: Наука, 1966. 

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 

Т. II. – М.: Наука, 1966. 

Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. – Томск: Изд-во Том. ун-та. Москва: Изд-во “Барс”. – 1997. 

Ястребов А.В. О процессе формулировки одной исследовательской задачи // Ярославский педагогический вестник. – № 1-2. – 1999. – С. 66-73. 

Ястребов А.В. О процессе формулировки одной исследовательской задачи: окончание // Ярославский педагогический вестник. – № 3-4. – 1999. – С. 62-69.