Насыщенные формации заданной структурой подформаций

43





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение Образования

"ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Ф. СКОРИНЫ"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии



Допущена к защите

Зав. кафедрой___________________ Л.А. Шеметков

"____"________________200___г.

	

Дипломная работа

Насыщенные формации заданной структурой подформаций







Исполнитель

студент группы М-52

Рябченко Елена Александровна

Научный руководитель

к. ф. - м. н., доцент 

Васильев Александр Федорович

Рецензент

к. ф. - м. н., доцент 

Новиков Сергей Петрович









ГОМЕЛЬ 2005


Оглавление



Введение

1. Решетка всех -насыщенных формаций и ее основные свойства

Спутники формаций

Решетка внутренних -локальных спутников формации

2. -Насыщенные формации с ограниченным -дефектом

Понятие -дефекта.

3. Решетка  - насыщенных формаций с дополнениями

-Насыщенные формации, у которых решетка  является решеткой с дополнениями

Заключение

Список использованных источников




Введение



Важное место в современной алгебре занимает изучение конечных групп, для исследования которых было разработано немало средств. И хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующихся точек зрения.

Толчок, произведенный работой Гашюца 1963 года, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления, новой теории. Уже в первые годы существования этой теории были получены значительные результаты. С этого момента началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, наибольшую популярность среди которых получили формации.

Напомним, что формация - это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. В работе Гашюца был впервые выделен важный для приложений класс насыщенных формаций и предложен способ конструирования такого рода формаций при помощи специальных функций. В вопросах приложения теории формаций к исследованию непростых конечных групп нашли широкое применение насыщенные и -насыщенные формации. При их изучении выделились два подхода. Первый связан с так называемым локальным заданием формации . В качестве рабочего инструмента этого способа Гашюц предложил использовать функции вида







При этом вводится понятие локального спутника формации . Говорят, что  - локальный спутник формации , если данная формация состоит из тех и только из тех групп, для которых имеет место  для любого .

Позднее эта теория расширилась, и в результате возникла необходимость изучать частично насыщенные формации. Рабочим инструментом теперь стало понятие -локального спутника формации. В качестве которого выступает функция вида 







где данная формация  состоит только из тех групп , для которых  и  для любого . Формацию  называют -насыщенной, если из  всегда следует .

Как показал Гашюц, всякая локальная формация насыщена. В дальнейшем Любезедер и П. Шмид  установили, что всякая непустая насыщенная формация локальна. Таким образом, оказалось, что класс локальных формаций совпадает с классом непустых насыщенных формаций. Идеи, заложенные в отмеченной выше работе Гашюца, привлекли внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Развивая локальный метод Гашюца, Л.А. Шеметков предложил второй подход для изучения формаций, в основе которого лежит идея изучения формаций с заданной системой подформаций. Этот метод исследования был впервые рассмотрен в книге Л.А. Шеметкова "Формации конечных групп" (Москва: Наука, 1978 г) . Решение задач, поставленных в этой книге, дало толчок целому кругу новых идей и, в частности, это привело к возникновению таких важных понятий как минимальные не -формации, -кратно насыщенные формации, -дефект насыщенной формации, дополняемость подформаций, длина насыщенной формации и др.

Немаловажным из рабочих инструментов исследования частично насыщенных формаций являются результаты и методы общей теории решеток. Как известно, методы общей теории решеток с успехом используются при исследовании различных алгебраических объектов . Привлечение методов этой теории к изучению классов групп позволяет не только значительно упрощать доказательства многих уже известных теорем, но и с успехом решать ряд открытых вопросов, связанных с изучением внутреннего строения таких классов. Применение решеточных подходов в теории классов групп было впервые осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее А.Н. Скиба показал , что привлечение решеточных конструкций весьма полезно и при изучении формаций групп. При этом существенную роль играет тот факт, что решетка всех насыщенных формаций модулярна. В дальнейшем рассматривался вопрос о модулярности и дистрибутивности решеток формаций других типов. Так в монографии Л.А. Шеметкова и А.Н. Скибы "Формации алгебраических систем" (М.: Наука, 1989 г)  была доказана модулярность решетки всех -кратно насыщенных формаций; Баллестером-Болиншес и Л.А. Шеметковым  было показано, что модулярна решетка всех -насыщенных формаций; Л.А. Шеметковым и А.Н. Скибой была установлена модулярность решетки -кратно -насыщенных формаций. Эти результаты позволили широко применять элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций таких типов. Широкий спектр применения решеточных конструкций при исследовании формаций представлен в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций" (Минск: Беларуская навука, 1997 г) . Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов групп является актуальной задачей.

В настоящее время теория насыщенных формаций является весьма развитым учением, обогащенным большим числом ярких теорем и содержательных примеров. Они отражены в ряде работ. В то же время, частично насыщенные формации и, в частности, -насыщенные формации изучены сравнительно мало. Следует отметить, что как показывают результаты ряда авторов, полученные в последние годы, -насыщенные формации весьма полезны при анализе многих вопросов при исследовании нормального строения конечных непростых групп. А методы, разработанные на основе частично насыщенных формаций широко используются в различных областях современной математики. Наиболее широкий диапазон применения этой теории в общей алгебре.

Настоящая дипломная работа посвящена изучению свойств частично насыщенных формаций с заданной структурой подформаций. Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы. Каждый раздел условно можно разделить на две части. Первая часть носит вспомогательный характер. В ней приводятся обозначения, определения понятий, которые неоднократно используются в дальнейшем. В этой части также включены некоторые результаты теории формаций конечных групп для удобства ссылок и независимости текста работы от других источников. Во второй части работы находятся новые результаты, полученные автором в результате изучения данной темы.

Первый раздел посвящен изложению основных свойств решетки -насыщенных формаций. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о частично насыщенных формациях и их -локальных спутниках. Доказано, что совокупность всех внутренних -локальных спутников формации образует полную модулярную решетку.

Во втором раздле дипломной работы исследуется -дефект -насыщенной формации. Изучаются вопросы, связанные с понятием минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций. Основным результатом этого раздела является теорема , дающая описание -насыщенных формаций -нильпотентного дефекта .

В третьем разделе рассматриваются -насыщенные формации, у которых решетка  -насыщенных формаций, заключенных между  и , является решеткой с дополнениями. В теореме  получено описание -насыщенных формаций такого вида.

Работа носит теоретический характер. Результаты ее могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.


1. Решетка всех -насыщенных формаций и ее основные свойства



Спутники формаций



В работе рассматриваются только конечные группы. Используются определения и обозначения, принятые в книгах  -  и работе .

Напомним, что через  обозначают множество всех простых чисел. Пусть  - некоторое непустое множество простых чисел.  - дополнение к  во множестве простых чисел, т.е. . Через  обозначают множество всех различных простых делителей натурального числа , а через  - множество всех простых делителей порядка группы , т.е. . Полагают также, что . Натуральное число  называется -числом, если . Группа  называется -группой, если ее порядок есть -число.

Определение.Формация  - это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений, т.е.  - формация, если

1)  и  следует, что ;

2)  и  следует, что .

Напомним, что если  - произвольный непустой класс групп, то через  обозначают пересечение всех формаций, содержащих .

Определение.Пусть  - непустое множество простых чисел. Всякую функцию  вида 

называют -локальным спутником. При этом запись  означает множество .

Для произвольного класса групп  символом  обозначают пересечение всех таких нормальных подгрупп , что , а символом  обозначают произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Пусть  - класс всех тех групп, у которых каждый композиционный фактор является -группой.

Полагают, , .

Через  обозначают наибольшую нормальную -подгруппу группы .

Лемма.  Пусть  - нормальная подгруппа группы .

1. Если  - -группа, то .

2. Если , то .

Для произвольного -локального спутника 



Лемма. Пусть , где  и . Тогда либо , либо найдется такое число , что .

Доказательство. Пусть  и  для всех . Первое соотношение влечет . Пусть . Тогда  и . Значит, для всех  имеет место включение . Следовательно, . Полученное противоречие доказывает лемму.

Определение.Если формация  такова, что , то говорят, что  является -локальной, а  - ее -локальный спутник. Если при этом все значения  таковы, что  для любого , то  называется внутренним -локальным спутником.

Пример. Пусть  - формация, содержащаяся в , и  - такой -локальный спутник, что  и  для любого . Тогда, очевидно, . Таким образом, всякая подформация формации  является -локальной. Отсюда, в частности, следует, что пустая формация  и формация единичных групп  являются -локальными для всех .

Определение.Насыщенной называют такую формацию , что для любой группы  с  всегда следует .

Определение.Формацию  называют -, если ей принадлежит всякая группа , для которой , где . В частности, если , то -насыщенные формации называют -насыщенными.

Определение.Пусть  - произвольная совокупность групп,  - некоторое простое число. Полагают 







Пусть  и  - некоторые -насыщенные формации. Тогда через  обозначают класс групп, равный .

Вместо  пишут .

Следующая теорема для -локальных формаций является аналогом известной теоремы Гашюца--Любезедер--Шмида , , .

Теорема.  Пусть  - формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

 Формация  -насыщенная;

  для всех ;

 , где  и  для всех ;

 Формация  -локальна.

Доказательство. Импликация  доказана в работе . Пусть выполняется условие 2) и  Включение  очевидно. Предположим, что обратное включение неверно и  - группа минимального порядка из  с минимальной нормальной подгруппой . Если  - -группа, то . Значит 

противоречие. Следовательно, . Пусть . Если  - неабелева группа, то  Поэтому



что противоречит выбору группы . Значит,  - -группа. Ввиду теоремы  работы  формация  является -насыщенной, откуда вытекает, что , т.е. . Тогда  и, следовательно, 

Полученное противоречие показывает, что . Таким образом, .

Предположим теперь выполнимость условия  и допустим, что формация  не является -насыщенной. Тогда найдется такое число  и такая группа  с нормальной подгруппой , что , но . Поскольку    для простых  и , получаем  и  для всех . Следовательно, . Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть  - произвольный набор -локальных спутников. Через  обозначают такой -локальный спутник , что  для всех .

Если  для всех , то полагают, что .

Лемма. Пусть , где . Тогда , где .

Доказательство. Пусть выполнены условия леммы, т.е. , где  и пусть . Тогда по условию . Следовательно, для любого  . Но, так как для всех  имеет место , то  для всех  и . Тогда  всех  и . Таким образом получаем, что . Лемма доказана.

Определение.Пусть  такая совокупность формаций, что либо , либо , где , . Такую совокупность формаций называют цепью формаций.

Определение.Цепью -локальных спутников называют такую совокупность -локальных спутников , что либо , либо , где , .

Лемма. Пусть  - цепь формаций,  - такая цепь -локальных спутников, что  и для всех  имеет место в точности тогда, когда  для всех . Тогда , где  для каждого .

Доказательство. Пусть  - цепь формаций и  - такая цепь -локальных спутников, что , причем для всех  выполнено в точности тогда, когда  для любого .

Пусть .Т. е. существует номер  такой, что . Следовательно,  для любого  и . Тогда  для любого  и  Это означает, что . Пусть теперь . Следовательно,  для любого  и 

Тогда существует такой номер , что  для любого  и . Тогда получаем, что . Следовательно, . Лемма доказана.

Лемма. Если = и , для некоторого , то .

Доказательство. Прежде заметим, что поскольку , то . А поскольку  и для всех  имеет место  то  и . Значит, . Лемма доказана.

Определение.Непустое множество формаций  называют полурешеткой формаций, если пересечение любого множества из  снова принадлежит .

Определение.Пусть  - формация, имеющая -локальный спутник . Если  является минимальным (максимальным) элементом множества всех -локальных спутников формации , то  называют минимальным (соответственно максимальным) -локальным спутником формации .

Пусть  - полурешетка формаций. Если формация  обладает -локальным спутником  , то формация  обладает -локальным спутником . Значит, множество всех тех формаций, которые имеют хотя бы один -локальный спутник, является полурешеткой формаций.

Пусть  - некоторый класс групп. Через  обозначают пересечение всех тех -насыщенных формаций, которые содержат , т.е.  - наименьшая -насыщенная формация, содержащая формацию . В частности, если , то пишут form.

Теорема.  Если  и  - минимальный -локальный спутник формации , то справедливы следующие утверждения:

1) ;

2)  для всех ;

3)  и  - некоторый фиксированный элемент из , то , где  для всех ,



и, кроме того, ;

4) , где  и  для всех 

Из теоремы и леммы  непосредственно вытекает

Следствие. Пусть  и  - минимальные -локальные спутники формаций  и  соответственно. Тогда  в том и только в том случае, когда .

Определение.Пусть  - -насыщенная формация. -Локальный спутник  формации  называется каноническим, если  и  для всех .

Замечание 1. Согласно теореме  всякая -локальная формация  имеет -локальный спутник , который является каноническим. Такие спутники обозначают большими латинскими буквами.

Ясно, что если  и  - произвольный внутренний -локальный спутник формации , то ввиду леммы  .

Если формация , то  для всех .

Из следствия теоремы  следует

Лемма. Пусть  и . Тогда  в том и только в том случае, когда .

Определение.Через ,  обозначают такие -локальные спутники  и  соответственно, что  и  для любого .

Лемма. Пусть  - минимальный -локальный спутник формации , где . Тогда  - минимальный -локальный спутник формации 

Доказательство. Пусть .

И пусть , а  - минимальный -локальный спутник формации . Тогда, если , то для любого  имеет место . Значит, . Понятно также, что . Пусть . Тогда найдется такое , что . Значит, согласно теореме , имеет место 










Лемма доказана.

Решетка -насыщенных формаций.

Результаты и методы общей теории решеток широко используются в различных областях современной математики. Наиболее широк диапазон применения этой теории в общей алгебре. Применение решеточных подходов в теории классов групп было впервые осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее А.Н. Скибой было показано , что привлечение решеточных конструкций весьма полезно и при изучении формаций групп. Следует отметить, что существенную роль играет тот факт, что решетки всех формаций и всех насыщенных формаций модулярны . Эти результаты позволили широко использовать элементы общей теории решеток в вопросах изучения и классификации формаций групп. Широкий спектр применений решеточных конструкций при исследовании формаций представлен в монографии А.Н. Скибы , где, в частности, показано, что привлечение общей теории решеток при исследовании классов групп позволяет не только с успехом решать открытые вопросы, но и значительно упрощать доказательства многих уже известных теорем. Таким образом, дальнейшее развитие решеточных методов в теории классов алгебраических систем является актуальной задачей.

Напомним, что решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует как наибольший, так и наименьший элементы.

Через  обозначают множество всех -насыщенных формаций.

Если две -насыщенные формации  и  такие, что , то полагают, что . Относительно вхождения формаций друг в друга множество -насыщенных формаций является частично упорядоченным.

Для любых двух -насыщенных формаций  и  полагают 

Определение.Непустую совокупность формаций  называют полной решеткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из  снова принадлежит  и во множестве  имеется такая формация , что  для любой формации .

Лемма.  Частично упорядоченное множество с наибольшим элементом является полной решеткой, если в нем любая непустая совокупность элементов обладает нижней гранью.

Лемма. Множество всех -насыщенных формаций  образует полную решетку.

Доказательство. Частичным порядком  на  является вхождение формаций друг в друга. Множество всех -насыщенных формаций  замкнуто относительно операций  и , так как объединение  и пересечение  -насыщенных формаций снова является -насыщенной формацией. Таким образом,  является решеткой.

В качестве наибольшего элемента в  выступает  - формация всех групп. Так как пересечение любой совокупности -насыщенных формаций снова будет -насыщенной формацией, то по лемме   - полная решетка. Лемма доказана.

Лемма.  Пусть  - монолитическая группа с неабелевым монолитом,  - некоторая полуформация и . Тогда .

Лемма.  Пусть  - полуформация и . Тогда если , то , где 

Лемма.  Пусть  - такой внутренний -локальный спутник формации , что , где . Тогда  где .

Определение.Пусть L - полная решетка и . Элемент  называют компактным в , если из условия  следует, что  для некоторого конечного подмножества , т.е., иначе  - компактный элемент в , если из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Определение.Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.

Определение.Атомом решетки  называют наименьший ненулевой элемент, т.е. , то в  не существует  такого, что .

Определение.Пусть  - произвольный -локальный спутник. Символом  обозначают класс групп 

Если для формации  выполнено равенство , то говорят, что  - -локальный -спутник формации .

Минимальным -локальным -спутником формации  называют ее -локальный -спутник  со следующими значениями:







Лемма.  Пусть  - минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда включение  имеет место в том и только том случае, когда .

Лемма.  Пусть  - минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда  - минимальный -локальный -спутник формации .

Теорема. Решетка всех -насыщенных формаций  является алгебраической.

Доказательство. По лемме   является полной решеткой. Поскольку каждая -насыщенная формация, очевидно, является решеточным объединением своих однопорожденных -насыщенных формаций, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая однопорожденная -насыщенная формация  является компактным элементом в .

Пусть  - некоторая однопорожденная -насыщенная формация,  - -насыщенная формация, содержащая , где  - -насыщенная формация, .

Пусть  - минимальный -локальный -спутник формации ,  - минимальный -локальный -спутник формации ,  - минимальный -локальный -спутник формации . Согласно определению минимального -локального -спутника формации  для всех  и 

Ввиду леммы  . Согласно лемме  

Ввиду алгебраичности решетки всех формаций (см. ) для каждого фиксированного  существует конечное число индексов  () таких, что 

И существует набор индексов ,...,  таких, что 

Тогда . Таким образом 

Итак, решетка всех -насыщенных формаций алгебраична, и ее компактными элементами являются однопорожденные -насыщенные формации. Теорема доказана.

Следствие 1. Решетка всех -насыщенных формаций является алгебраической.

Следствие 2. Решетка всех насыщенных формаций является алгебраической.

Определение.Решетка называется модулярной, если для любых элементов , ,  решетки таких, что  выполняется .

Теорема. Решетка всех -насыщенных формаций  модулярна.

Доказательство. Пусть , ,  - -насыщенные формации и кроме этого . Покажем, что 

Рассмотрим такие -локальные спутники , что  и  при всех , где . Ввиду теоремы  справедливо равенство . Пусть . По лемме  имеем 

Из леммы  вытекает, что  - внутренний -локальный спутник формации .

Понятно, что  при всех . Значит, при всех  имеет место равенство 

Следовательно, . Но  - внутренний -локальный спутник формации . Значит, согласно теореме , получаем  откуда следует требуемое равенство. Теорема доказана.

Следствие 1.  всех -насыщенных формаций модулярна.

Следствие 2.  всех насыщенных формаций модулярна.

Лемма.  Подрешетка модулярной решетки модулярна.



Решетка внутренних -локальных спутников формации



Пусть  - некоторая -насыщенная формация. Обозначим через  - множество всех внутренних -локальных спутников формации .

Теорема. Пусть  непустая -насыщенная формация. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) множество  c операциями  и  образует полную решетку;

2) решетка  является модулярной.

Д о к а з а т е л ь с т в о.1) Относительно операции  множество  является частично упорядоченным. Кроме этого для любых двух -локальных спутников  и  по лемме  существуют такие -локальные спутники  и , что  и , т.е. для любых двух -локальных спутников из  существует как наибольший, так и наименьший элементы. Следовательно,  является решеткой.

Покажем, что  является полной решеткой. Так как формация  -насыщена, то по теореме  у формации  имеется такой -локальный спутник , что  и  для всех . Этот -локальный спутник является каноническим. По определению канонического спутника получаем, что для любого  выполнено включение .

Применяя лемму , получаем, что для любой непустой совокупности внутренних -локальных спутников формации  из  существует наименьший элемент, равный пересечению этих -локальных спутников. При этом этот элемент является точной нижней гранью. По лемме  получаем, что  является полной решеткой.

2) Пусть  - внутренние -локальные спутники формации , причем , т.е.  для любого .

Покажем, что выполнено  Возьмем произвольное  из . Тогда ,  и  - являются некоторыми формациями, причем все эти формации содержатся в формации . По теореме  и лемме  получаем, что для любого , в силу модулярности решетки всех формаций, выполнено равенство 

Но тогда 

Таким образом,  является модулярной решеткой. Теорема доказана.


2. -Насыщенные формации с ограниченным -дефектом



Пусть  и  - некоторые -насыщенные формации, причем формация  хорошо изучена. Тогда у нас имеется некоторая информация и относительно формации , поскольку в ней содержится часть формации , а именно . Так, например, при изучении насыщенной формации часто используют ее подформацию , где  - некоторая формация классического типа. Напомним, что формация  называется формацией классического типа, если она имеет такой локальный спутник, все неабелевы значения которого насыщены. Однако, в общем случае без дополнительных ограничений на "хорошо известную часть"  формации  что-либо сказать о самой формации  трудно. В качестве одного из возможных ограничений на  можно, например, рассматривать ограничения, накладываемые на решетку -насыщенных формаций , заключенных между  и  (-насыщенная формация  принадлежит  тогда и только тогда, когда ). Очевидно, что  - это наименьший, а  - наибольший элементы -насыщенной решетки 



Понятие -дефекта



Определение.Для любых двух -насыщенных формаций  и , где , через  обозначают длину решетки  -насыщенных формаций, заключенных между  и .

Определение.Пусть  и  - произвольные -насыщенные формации. Тогда, если решетка  имеет конечную длину , то говорят, что -дефект формации конечен и равен . Если же длина  этой решетки бесконечна, то говорят, что -дефект формации  - бесконечен и пишут .

Определение.Пусть  и  -насыщенные формации. Формация  называется максимальной -насыщенной подформацией формации , если , и в  не существует такой -насыщенной подформации , что .

Пример. Пусть -насыщенная формация  не имеет максимальных -насыщенной подформаций. Тогда для любой -насыщенная подформации , не содержащей , -дефект формации  бесконечен.

Лемма. Пусть  и  - -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство. Поскольку в силу модулярности решетки -насыщенных формаций имеет место решеточный изоморфизм







и в модулярной решетке длина любой ее подрешетки не превосходит длину самой решетки, то . Лемма доказана.

Лемма.  Пусть  и  - -насыщенные формаций, причем . Тогда если ,  и  - соответственно -дефекты формаций  и  и , то .

Лемма. Пусть  и  - -насыщенные формации, причем . Тогда в том и только в том случае  имеет конечный -дефект , когда в  имеется максимальная -насыщенная подформация  с  и в  нет ни одной максимальной -насыщенной подформации  с 

Доказательство. Достаточность. Предположим, что . Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм,   и, согласно условию, , получаем . Значит, если  - такая максимальная подформация в , что , то . Противоречие. Значит, . Поэтому . Следовательно, .

Необходимость. Если  - такая максимальная подформация формации , что , то очевидно, . Предположим, что в  имеется максимальная подформация  такая, что 

Тогда . Следовательно, 

Поэтому, согласно лемме ,









Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Насыщенные формации с -нильпотентным дефектом 1.

Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не -формации (или иначе -критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не -формаций была отмечена Л.А. Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп . Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.

Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не -формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.

Пусть  - холловская -подгруппа группы . Группу  называют -нильпотентной, если  нормальная подгруппа в группе .

Группу  называют -нильпотентной, если она -нильпотентна для любого .

Обозначим через  - формацию всех -нильпотентных групп.

Определение.Пусть  - некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации  называют -нильпотентным дефектом.

Определение.-Насыщенная формация  называется минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, если , но все собственные -насыщенные подформации из  содержатся в .

Лемма.  Пусть  - формация классического типа,  - непустая -насыщенная формация. Тогда если , то в  имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -подформация.

Следствием леммы  является следующая

Лемма. Пусть  - произвольная -насыщенная не -нильпотентная формация. Тогда в  имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация.

Лемма.  Тогда и только тогда  является минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, когда , где  - такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо  и P - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий:

1) группа  неабелева, причем, если , то  - -группа, если же , то  - простая неабелева группа;

2) , где  - -группа, а  такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , ,  - -группа, и либо , либо  - группа порядка q, где .

Лемма.  Пусть  - произвольная непустая формация и пусть у каждой группы  -корадикал  не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда, если  - монолитическая группа из , то .

Лемма.  В любой модулярной решетке если  и оба элемента  и  покрывают , то  покрывает и , и ; двойственно, если  и  покрывает оба элемента  и , то  и  оба покрывают .

Теорема. Пусть  - формация всех -нильпотентных групп, и пусть  - некоторая -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -нильпотентный дефект формации  равен 1, когда , где  - -насыщенная -нильпотентная подформация формации ,  - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая -нильпотентная подформация из  входит в ;

2) всякая -насыщенная не -нильпотентная подформация  из  имеет вид .

Доказательство. Необходимость. Пусть -нильпотентный дефект формации  равен 1. Так как формация  - не -нильпотентна, то по лемме  в формацию входит некоторая минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация . По условию  - максимальная -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть  -насыщенная не -нильпотентная формация, удовлетворяющая требованиям теоремы, т.е.  - -насыщенная -нильпотентная подформация формации ,  - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация формации . Понятно, что . Пусть -дефекты формаций ,  и  равны соответственно ,  и . Поскольку  - -насыщенная -нильпотентная формация, то ее -дефект  равен 0. Так как  - минимальная -насыщенная не -нильпотентная формация, то ее -дефект  равен 1.Т. е., в силу леммы , получаем, что -дефект формации  равен






Если , то отсюда следует -нильпотентность формации , что противоречит условию . Таким образом получаем, что -дефект формации  равен 1. Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как  - максимальная -насыщенная подформация в , то, в силу теоремы , имеет место решеточный изоморфизм









Следовательно,  - максимальная -насыщенная подформация в . Следовательно, поскольку , то всякая -нильпотентная подформация из  входит в .

Для доказательства утверждения 2) прежде покажем, что в  нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Предположим, что в  существует  - минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация, отличная от . Тогда, поскольку , то .

Пусть  - внутренний -локальный спутник формации , такой, что 



 







где . И пусть  - внутренний -локальный спутник формации  такой, что











По теореме  такие спутники существуют. Тогда по лемме  получаем, что формация  имеет такой -локальный спутник , что



, если ,

.



По лемме  имеем, что , где  монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо  и  - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий:

(1) группа  неабелева, причем, если , то  - -группа, если же , то  - простая неабелева группа;

(2) , где  - -группа, а  такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , ,  - -группа, и либо , либо  - группа порядка q, где .

Поскольку , то .

Пусть  удовлетворяет условию (1), т.е.  - неабелева -группа. Поскольку, очевидно,  - -насыщенная формация, то . Но  - единственная минимальная нормальная подгруппа.

Следовательно, . Но по лемме  . Тогда, так как , то получаем . Поэтому 

Поскольку  - минимальная -насыщенная не -формация, то имеем, что . Противоречие.

Пусть теперь для группы  выполняется условие (2), т.е. . Так как , то 

Поскольку  и , то . Поэтому 

Но тогда . Снова получили противоречие.

Пусть теперь  - -группа. Заметим, что если  - неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит,  - абелева -группа, где .

Покажем, что . Поскольку , то по лемме  -дефект формации . С другой стороны, -дефект формации  , так как . Значит, -дефект  равен 1. Поэтому в  существует максимальная -насыщенная -нильпотентная подформация . Следовательно, 

Поскольку, в силу теоремы , 

где , то получаем, что  - максимальная -насыщенная формация в .

С другой стороны, 

Но тогда  максимальна в .

А, значит, по лемме  формация  максимальна в  и . Так как в  и  имеется единственная максимальная подформация, то 

Поскольку , то 

Но . Поэтому . Таким образом .

Так как  - абелева -группа, где  и , то  где  - группа порядка .

Понятно, что . Значит, 

В силу теоремы  заключаем, что 

Заметим, что 

Действительно, пусть 

где  - группа минимально порядка и  - минимальная нормальная подгруппа в . Если  не является -группой, то, так как , имеем . Значит . Противоречие.

Поэтому  - -группа. Так как при этом  и , то  - группа порядка . Но тогда . Противоречие.

Таким образом, 

Значит, 









Но . Следовательно . Таким образом,







По лемме   - гомоморфный образ группы из . Следовательно . Последнее влечет . Противоречие. Таким образом, в формации  нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от . Пусть теперь  - произвольная не -нильпотентная -насыщенная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы  получаем, что . Следовательно, применяя лемму  и модулярность решетки -насыщенных формаций, получаем 

Теорема доказана.

Если , а  - множество всех простых чисел, то из теоремы вытекает

1.  Пусть  - некоторая -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации  равен 1, когда , где  - -насыщенная нильпотентная подформация формации ,  - минимальная -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из  входит в ;

2) всякая -насыщенная ненильпотентная подформация  из  имеет вид .

Если  и  равны , то из теоремы вытекает

2.  Пусть  - некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации  равен 1, когда , где  - насыщенная нильпотентная подформация формации ,  - минимальная насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из  входит в ;

2) всякая насыщенная ненильпотентная подформация  из  имеет вид . Если , то вытекает

3. Пусть  - некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -нильпотентный дефект формации  равен 1, когда , где  - насыщенная -нильпотентная подформация формации ,  - минимальная насыщенная не -нильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая -нильпотентная подформация из  входит в ;

2) всякая насыщенная не -нильпотентная подформация  из  имеет вид .


3. Решетка  - насыщенных формаций с дополнениями



-Насыщенные формации, у которых решетка  является решеткой с дополнениями



Изучение -насыщенных формаций, имеющих заданную подрешетку с дополнениями, начато в работах --.

В этом разделе устанавливается тот факт, что тогда и только тогда  - решетка с дополнениями, когда формация  представима ввиде объединения всех своих минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций и .

Напомним, что группа  называется, если она обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.

Пусть  - некоторая -насыщенная формация. Тогда через  обозначим следующее пересечение , где  - формация всех разрешимых групп.

Определение.Пусть  - решетка с  и , . Тогда элемент  называется дополнением элемента  в , если  и . Решетку с нулем и единицей называют решеткой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет дополнение.

Определение.Решетка с  и  называется решеткой с относительными дополнениями, если каждый ее интервал  является решеткой с дополнениями.

Лемма.  Любая модулярная решетка с дополнениями является решеткой с относительными дополнениями.

Лемма.  Любая модулярная решетка с дополнениями, имеющая конечное число атомов, является решеткой конечной длины.

Лемма.  В решетке конечной длины с относительными дополнениями каждый элемент является объединением содержащихся в нем атомов.

Определение.Пусть  - некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации  называют разрешимым дефектом.

Лемма.  Пусть  - -насыщенная формация. Тогда и только тогда разрешимый дефект формации  равен , когда , где  - разрешимая -насыщенная формация,  - минимальная -насыщенная неразрешимая формация, при этом:

1) всякая разрешимая подформация из  входит в ;

2) всякая неразрешимая -насыщенная подформация  из  имеет вид 

Следующее утверждение является следствием леммы .

Лемма. Пусть  - произвольная -насыщенная неразрешимая формация. Тогда в  имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная неразрешимая подформация.

Лемма.  Тогда и только тогда  - минимальная -насыщенная неразрешимая формация, когда , где  - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа  разрешима.

Лемма. Пусть  - некоторый набор минимальных -насыщенных неразрешимых формаций,  - -насыщенная разрешимая формация. Тогда если  - некоторая минимальная неразрешимая подформация из  то .

Доказательство. Пусть выполняются условия леммы и ,  - некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация формации . Покажем, что тогда .

Ввиду леммы  , где  - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа  разрешима.

Тогда 

Поскольку  - неабелева группа, то . Но тогда по лемме  имеем . Так как , то найдется такое , что . Значит, . Поскольку  - минимальная -насыщенная неразрешимая формация, то . Лемма доказана.

Лемма. Пусть  - произвольная неразрешимая -насыщенная формация. Тогда и только тогда формация  - атом решетки , когда , где  - некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая формация из .

Доказательство. Необходимость. По условию леммы длина решетки  равна . Следовательно, формация  обладает разрешимой максимальной -насыщенной подформацией. Применяя лемму , имеем , где  - некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация из .

Достаточность. Предположим противное. Пусть найдется такая -насыщенная формация , что 

Так как  не содержится в , то по лемме  формация  обладает минимальной -насыщенной неразрешимой формацией . Тогда 

Следовательно, ввиду леммы  имеем . Значит, 

Противоречие. Таким образом,  - атом решетки . Лемма доказана.

Лемма. Пусть  - произвольная -насыщенная формация и пусть  - некоторый набор -насыщенных неразрешимых подформаций  из , у которых  - максимальная -насыщенная подформация. Пусть 

где . Тогда если  - произвольная -насыщенная неразрешимая подформация из  c максимальной подформацией , то .

Доказательство. По лемме  каждая формация  имеет вид где  - минимальная -насыщенная неразрешимая формация. Следовательно, формация  имеет вид 

Ввиду леммы  формация  имеет вид , где  - минимальная -насыщенная неразрешимая формация. Следовательно, по лемме  имеет место  т.е.  для некоторого . Значит 

Лемма доказана.

Лемма. В однопорожденной -насыщенной формации содержится лишь конечное число разрешимых -насыщенных подформаций.

Лемма. В каждой однопорожденной -насыщенной неразрешимой формации содержится лишь конечное множество -насыщенных подформаций с разрешимым дефектом .

Доказательство. Пусть  для некоторой группы . Ввиду леммы  каждая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация  из  имеет вид , где  - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа  разрешима. Тогда 

Поскольку  - неабелевая минимальная нормальная подгруппа группы , то . В силу леммы ,  - гомоморфный образ группы . Но  - конечная группа. Значит, в  имеется лишь конечное множество минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций. В силу леммы , формация  содержит лишь конечное множество разрешимых -насыщенных подформаций.

Пусть теперь  произвольная неразрешимая -насыщенная подформация формации , имеющая разрешимую максимальную -насыщенную подформацию. По лемме  имеем  где  - некоторая разрешимая -насыщенная формация, а  - минимальная -насыщенная неразрешимая формация. Из доказанного выше следует, что в  имеется лишь конечное множество -насыщенных формаций с разрешимым дефектом . Лемма доказана.

Лемма. Пусть  - однопорожденная -насыщенная формация и  - решетка с дополнениями. Тогда каждый элемент  решетки  представим в виде  где  - набор всех минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в .

Доказательство. Ввиду теоремы  и леммы  решетка -насыщенных подформаций формации  модулярна. Следовательно, модулярной является и ее подрешетка . В силу леммы   - модулярная решетка с относительными дополнениями. Ввиду лемм  и  решетка  имеет конечное число атомов. Значит, по лемме  имеет конечную длину. Но тогда, по лемме  и лемме , каждый элемент  решетки  представим в виде  где  - набор всех минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в . Лемма доказана.

Теорема. Пусть  - некоторая -насыщенная неразрешимая формация и  - множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций из . Тогда и только тогда  - решетка с дополнениями, когда 

Доказательство. Необходимость. Пусть  - решетка с дополнениями. И пусть  - произвольная неразрешимая группа, принадлежащая . Обозначим через .

Пусть  - множество всех неразрешимых формаций из .

Из теоремы  и леммы  следует, что  является модулярной решеткой.

Очевидно, что  - подрешетка решетки . Следовательно, по лемме  получаем, что  - решетка с дополнениями.

Ввиду леммы , имеем, что  - модулярная решетка. Поэтому имеет место решеточный изоморфизм 

Таким образом,  - решетка с дополнениями. Тогда, применяя лемму , получаем 

Так как  то, в силу произвольности выбора группы , получаем 

Достаточность. Пусть теперь . Пусть  - произвольная -насыщенная формация, принадлежащая решетке , т.е. .

Обозначим через  множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в , а через  - множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций, не содержащихся в . Очевидно, что множество  является дополнением к множеству  во множестве всех -насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в . Пусть  - -насыщенныя формация, порожденная множеством , а  - -насыщенная формация, порожденная множеством . Поскольку  и , то ввиду леммы  имеют место равенства









Допустим, что  не содержится в , то есть . Тогда по лемме  в  имеется минимальная -насыщенная неразрешимая формация . По лемме   для некоторого . Следовательно, . Но . Противоречие. т.е. . Но в таком случае     . Ввиду леммы  и произвольности выбора формации , каждый элемент решетки  представим в виде объединения содержащихся в нем атомов.

Покажем теперь, что в решетке  дополняема каждая -насыщенная формация. Если , то дополнением к  в решетке  является формация . Итак, можем считать, что . Обозначим через  множества всех атомов решетки , через  - множества всех атомов решетки , которые содержатся в . Тогда , иначе, ввиду доказанного выше, 

Пусть  - дополнение к  в  и 

Так как по условию  то ввиду леммы  имеет место равенство  Рассмотрим формацию . Так как  и  являются элементами решетки , то . Допустим, что  не содержится в , т.е. . Тогда по лемме  формация  содержит минимальную -насыщенную неразрешимую подформацию . Следовательно,  содержит формацию . По лемме  формация  - атом решетки , содержащийся в . Так как  содержится в , то, применяя теперь лемму , имеем 

Полученное противоречие показывает, что . Таким образом, формация  - дополнение к  в решетке . А, следовательно,  - решетка с дополнениями. Теорема доказана.

Если , то из теоремы вытекает

Пусть  - некоторая насыщенная неразрешимая формация и  - множество всех минимальных насыщенных неразрешимых подформаций из . Тогда и только тогда  - решетка с дополнениями, когда 


Заключение



В дипломной работе изучены ключевые свойства частично насыщенных формаций с заданной структурой подформаций.

В работе установлено, что совокупность всех внутренних -локальных спутников -насыщенной формации  образуют полную и модулярную решетку. В теореме  дано описание -насыщенного -нильпотентного дефекта 1. В теореме  рассматриваются -насыщенные формации, у которых решетка  -насыщенных формаций, заключенных между  и , является решеткой с дополнениями.

Результаты настоящего диплома являются новыми имогут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.


Список использованных источников



 Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. - 1963. - Bd.80, №4. - S.300--305

 Libeseder U. Formationsbildungen in endlichen auflosbaren Gruppen, 1963.

 Schmid P. Every saturated formation is a local formation // J. Algebra. 1978. Vol.51, N 1. P.144--148.

 Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 с.

 Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. - 568 с.

 Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Белорусская наука, 1997. - 240 c.

 Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. - Минск: Наука и техника 1986. - С.135--149.

 Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 253 с.

 Ballester-Bolinches A., Shemetkov L. A. On lattices of -local formations of finite groups // Math. Nachr. - 1997. - V.186. - P.57--65.

 Скиба А.Н., Шеметков Л.А., Кратно -локальные формации и классы Фитинга конечных групп // Матем. Труды, Т.2., № 2 (1999). - С.144--147.

 Шаблина И.П. Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп: Кан. дис." Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп" // Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины. - Гомель, 2003. - 92с.

 Л.А. Шеметков, Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюз. симпозиум по теории групп, Киев: Навуковая думка, 1980, с.37--50.

 Сафонова И.Н. О существовании -критических формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. - 1999. - Вып.15. С.121--129.

 Сафонова И.Н. К теории -критических формаций конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. - 2001. - Вып.17. С.124--133.

 Джарадин Джехад Классификация -локальных формаций длины : Автореф. дис. "Классификация -локальных формаций длины " к-та физ. - мат. наук: Д 02.12.01 // Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины. - Гомель, 1996. - --15 с.

 Скиба А.Н., Таргонский Е.А. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 // Матю заметки. - 1987. - Т.41. - Вып.4. - С.490--499.

 Жевнова Н.Г. -локальные формации с дополняемыми подформациями: Автореф. дис. "-локальные формации с дополняемыми подформациями" к-та физ. - маи. наук: Д 02.12.01 // Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины. - Гомель, 1997. - 17 с.

 Сафонова И.Н. О частично насыщенных формациях с заданной системой подформаций // IX Бел. мат. конф. Гродно. - 2004. - С.47--48.

 Рыжик В.Н., О критических -локальных формациях, Препринт // Гомельский госуниверситет. Гомель, 1997. №58.12 с.

 Скиба А.Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во"Университетское". - 1987. - Вып.3. С.21--31.

 Джарадин Джехад О формациях с системами наследственных подформаций // Изв. вузов. Математика. - 1997. - Вып.1. - С.1--5.

 Джарадин Джехад Минимальные -насыщенные ненильпотентные формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом. гос. ун-т. 1995. Вып.8. С.59--64.

 Джарадин Джехад Элементы высоты 3 решетки -насыщенных формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом. гос. ун-т. 1996. Вып.9. С.45--59.

 Жевнова Н.Г. -Локальные формации с дополняемыми подформациями с булевой решеткой -локльных подформаций // Докл. АН Беларуси. - 1997. - Т.41. - №5. - С.15--19.

 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Гомель: Гом. гос. ун-т им.Ф. Скорины, 2003. - 319 с.

 Рыжик В.Н., Скиба А.Н. Факторизации -локальных формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом. гос. ун-т. 1997. Вып.11. С.76--89.

 Сафонова И.Н. О минимальных -локальных формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та. - 1998. - Вып.12. С.123--130.

 Сафонова И.Н. О критических -локальных формациях конечных групп. - Препринт // Изд-во Гомельского ун-та. Гомель, 1998. № 76.12 с.

 Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О частично локальных формациях // Док. АН Беларуси. - 1995. - Т.39, №3. С.9--11.

 Шаблина И.П. Формации с максимальной -кратно -насыщенной нильпотентной подформацией // Изввестия Гом. гос. ун-та им.Ф. Скорины. Вопросы алгебры. - 2001. - №3 (6). - С. 194. - -197.

 Шаблина И.П. Формации групп с максимальной -насыщенной нильпотентной подформацией // Весн. Вiцебс. джярж. ун-та. - --2001. №4 (22). - С.78--83.

 Шаблина И.П. Формации групп с максимальной -локальной нильпотентной подформацией. - Гомель, 2002. - 17 с. - -- (Препринт/ УО"ГГУ им.Ф. Скорины", №25).

 Шаблина И.П. Об алгебраичности решетки всех -заскнутых -кратно -насыщенных формаций // Некоторые вопросы алгебры и прикладной математики: Сб. науч. тр. Бел. гос. ун-та трансп.; Под ред. Т.И. Васильевой. - Гомель, 2003. - С.34--37.

 Шаблина И.П. Алгебраичность решетки всех -заскнутых -кратно -насыщенных формаций // Изввестия Гом. гос. ун-та им.Ф. Скорины. Вопросы алгебры. - 2002. - №5 (14). - С.59. - -67.

 Шаблина И.П. О  замкнутых -локальных формациях , у которых решетка  является решеткой с дополнениями. - Препринт // Изд-во Гомельского ун-та. Гомель, 2003. № 40.10 с.

 Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. - Berlin--New York: Walter de Gruyter, 1992. - 889 p.

 Gaschutz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups // Notes on pure mathematics; № 11. - Canberra: Australian National University. - 1979. - 100 p.