Экономико-математическое моделирование

14







Экономико-математическое моделирование



Сидин Э.Ф.   

Экономико-математическое моделирование. 

Учебное пособие. Электронный вариант-дискета.

Учебное пособие написано на базе материала лекций, которые читаются студентам дневной формы обучения.

Пособие содержит  краткое изложение теоретических вопросов и конкретные экономико-математические модели по каждой теме рабочей программы.

В начале пособия помещено содержание электронного курса, что облегчает поиск необходимого материала.

В конце пособия приведен обзор пакетов прикладных программ, позволяющих реализовать те или иные экономико-математические модели.

Учебное пособие может быть использовано студентами при написании курсовых и дипломных работ.



Содержание

Тема 1. Предмет и структура курса. Основные принципы системного подхода. 

1.1. Предмет и структура курса. 

1.2. Понятие сложной системы. 

1.3. Взаимодействие системы с внешней средой

1.4. Особенности сложных систем. 

1.5. Основные понятия системного подхода и анализа. 

1.6. Классификация систем и их моделей. 

1.7. Особенности экономических систем. 

Тема 2. Метод математического моделирования в экономике. 

2.1. Понятие “модель” и “моделирование”. 

2.2. Классификация моделей. 

2.3. Этапы практического моделирования. 

2.4. Оптимальность управления и достаточность системы ограничений. 

2.5. Формальная классификация моделей. 

Тема 3. Матричные ЭММ. Модель межотраслевого баланса. 

3.1. Основные соотношения и понятия модели. 

3.2. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат. 

3.3. Разновидности матричных балансовых моделей. 

Тема 4. Оптимизационные ЭММ

1.1.  Особенности ЭММ оптимизации. 

4.2. ЭММ оптимизации производственного плана отрасли. 

4.3. ЭММ оптимизации выпуска продукции предприятиями отрасли. 

4.4. ЭММ распределения финансовых ресурсов по оптимизации прироста       мощностей (отрасли, предприятия, ...). 

4.5. Распределение капитальных вложений по проектам. 

4.6. ЭММ составления оптимальных смесей, сплавов, соединений и выбор оптимального рациона питания (кормления). 

4.7. ЭММ оптимизации раскроя материала. 

4.8. Экономическая интерпретация двойственных задач линейного     программирования. 

Тема 5. Методы моделирования стохастических (вероятностных) систем.       Имитационное моделирование. 

5.1. Понятие о вероятностных системах и процессах. 

5.2. Имитационное моделирование систем и процессов. 

5.3. Имитационная модель и ее структура.. 

5.4. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). 

Тема 6. Методы и модели управления запасами. 

6.1. Основные определения и понятия теории управления запасами. 

6.2. Классификация систем снабжения и их моделей. 

6.3. Стратегия управления запасами. 

6.4. Детерминированная ЭММ управления запасами с фиксированным спросом. 

6.5. Модель управления запасами при случайном спросе. 

6.6. ЭММ управления запасами с ограничениями на складские помещения. 

Тема 7. ЭММ систем массового обслуживания. 

7.1. Основные понятия и определения. 

7.2. Классификация и обозначение СМО. 

7.3. Основные характеристики системы массового обслуживания. 

Тема 8. ЭММ и модели АСУ. 

8.1. Основные характеристики и классификация АСУ

8.2. ЭММ расчета эффективности АСУ. 

Тема 9. Эконометрические модели и их применение в экономике. 

9.1. Основные понятия об эконометрических моделях и корреляционном анализе. 

9.2. Метод наименьших квадратов (МНК). 

9.3. Использование качественных показателей в эконометрических моделях. 

Тема 10. Обзор прикладных пакетов программ



Тема 1. Предмет и структура курса. Основные принципы системного подхода.

1.1. Предмет и структура курса.

ЭММ – это комплекс экономических и математических дисциплин. Научной основой являются основные положения диалектики, экономики, теории сложных систем, законы математики.

Цель изучения курса - получение знаний об экономике, построении ЭММ и их оптимизации на ЭВМ.



1.2. Понятие сложной системы.

Сложная система – комплекс подсистем, обладающих общими сложными свойствами.

Элемент системы при данном подходе – это тот объект, который не подлежит расчленения, и внутренняя структура которого не исследуется. Сложные системы, их структура и иерархия определяются целями исследования.

Подсистема – самостоятельно функционирующий объект, не подлежащий декомпозиции.

Принципы выделения системы:

наличие управляющего центра;

обладает общей целью;

состоит из компонентов;

система работает при взаимодействии с окружающей средой;

система жизнеспособна при наличии достаточных ресурсов.



1.3. Взаимодействие системы с внешней средой

Любая техническая, биологическая система работает в окружении среды, которая оказывает внешнее воздействие на систему с параметрами возмущения, искажающими результаты управления.



Параметры:

X – входные параметры, факторные признаки, экзогенные параметры;

Y – выходные параметры, результативные признаки, эндогенные параметры;

Z – параметры возмущения, случайные факторы, случайные составляющие;

U – параметры управления. Системы бывают открытые (взаимодействующие с внешней средой) и закрытые (невзаимодействующие с внешней средой).



1.4. Особенности сложных систем.

Сложная система – комплекс отдельных подсистем, функционирующих в тесном взаимодействии, решающих общую задачу.

Основные особенности:

наличие большого количества связанных между собой отдельных подсистем;

наличие иерархической структуры управления, как по горизонтали, так и по вертикали;

обязательной присутствие информационной сети;

функционирование связано с воздействием случайных факторов.

Эффективность системы определяется функционалом:

W = F0 (f(x0), f(x1),…,f(xn))



1.5. Основные понятия системного подхода и анализа.

При анализе сложных экономических систем (СЭС) придерживаются системного подхода. Это предполагает максимальный охват всех взаимосвязей и анализ последствий принятого решения.

Основные моменты:

а) Уточнение предметной области исследования, ее структуризация на задачи;

б) выбор параметров и критериев оценки эффективности системы;

в) Подбор нужных ЭММ;

г) Уточнение деталей и целей анализа системы;

д) Синтезирование математических моделей, обеспечивающих достижение поставленных целей.

Системы в своем структурном строении бывают одноуровневые и многоуровневые.



	

1

3

2

Система (1 уровень)

Объекты (3 уровень)

Подсистемы (2 уровень)	















1.6. Классификация систем и их моделей.

В зависимости от признаков системы, сами системы и их модели классифицируются на:

динамические и статические;

стохастические (вероятностные) и детерминированные (регулярные);

непрерывные и дискретные;

линейные и нелинейные.

По наличию обратных связей системы подразделяются на открытые, закрытые, комбинированные.



x

y

x

x

y обратн.

y

y обратн.

3

2

1

1

2

3

3

2

1

4

Открытые:





Закрытые:





Комбинированные:



1.7. Особенности экономических систем.

Экономическая система является частью более сложной системы – социально-экономической, и представляет собой вероятностную, динамическую, адаптивную систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных благ, а также предоставления различных сервисных услуг. Как правило, входные параметры экономических систем – это материальные вещественные потоки производственных и природных ресурсов, то есть Х. Входные параметры – это материальные вещественные потоки, оборудование, военная продукция, продукция накопления, возмещения и экспорта, то есть У.

Экономические системы – многоступенчатые, многоуровневые системы, и любая неопределенность, случайность во входных параметрах в нижних уровнях приводит к неопределенностям и случайностям в выходных параметрах подсистем более высокого порядка и системы в целом. 

Структурная схема простой экономической системы



ЭММ оптимизации обычной экономической системы



	где pi – прибыль от реализации единицы продукции; 

		xi - объем выпуска продукции; 

		ai - расход сырья на единицу продукции; 

		B - общий запас сырья;

		 - область допустимых ограничений;



Тема 2. Метод математического моделирования в экономике.

2.1. Понятие “модель” и “моделирование”.

С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических и др.) связаны два класса задач:

задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.

Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования. 

Различают физическое и математическое моделирование.





Функциональные2.2. Классификация моделей.



2

6

5

4

3

1

Вещественные (физические)

Символьные



Структурные 

Формальные

Теоретические 

Имитационные (метод Монте-Карло)

Математические











Словесно-описательные



АналитическиеМодели 









2.3. Этапы практического моделирования.

Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.

Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.

Верификация модели и уточнение ее параметров

Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).

Этап подгонки модели многократный.



2.4. Оптимальность управления и достаточность системы ограничений.

В экономических системах  (моделях) критерием оптимальности выбирают параметры, как правило, определяющие наилучшим образом эффективность данной системы. Такими параметрами могут быть максимальная прибыль и затраты, минимальное время достижения цели и т.д.

Вектор оптимального управления – набор тех параметров, которые обеспечивают оптимальную траекторию функционирования данной ЭС. В любой модели (ЭС) имеются ограничения по ресурсам, по фондам и т.д. Поэтому система ограничений  – запись условий в виде уравнений, неравенств, в которых существует единственное оптимальное решение. Совместимость ограничений – обязательное условие разрешимости любой модели. На практике – это запасы ресурсов, сырья, трудовые ресурсы, финансовые ресурсы, др.

“Смягчить ограничение” - значит, получить показатель оптимизации оптимистичным.

“Ужесточить ограничения” - сделать более строгими, значит получить показатель оптимизации пессимистичным.

Ограничения могут встречаться в разных комбинациях.



x

y

I,II - линейное



x

y

x

y

II

:

I

:

III – линейное,   

IV-VI - нелинейное

IV

VI

V

VIII

VII

III

:

VII – линейное,   

VIII – случайная реализация







ЭММ линейна тогда и только тогда, когда целевая функция и система ограничений линейны. Любая комбинация:

целевая функция линейна -  нелинейна;

целевая функция нелинейна -  линейна;

целевая функция нелинейна -  нелинейна;

приводит к нелинейности модели.



2.5. Формальная классификация моделей.

Признак классификации

Модель

1. Целевое назначение

Прикладные, теоретико-аналитические

2. По типу связей

Детерминированные, стохастические

3. По фактору времени

Статические, динамические

4. По форме показателей

Линейные, нелинейные

5. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных

Открытые, закрытые

6. По типу переменных

Дискретные, непрерывные, смешанные

7. По степени детализации

Агрегированные (макромодели), детализированные (микромодели)

8. По количеству связей

Одноэтапные, многоэтапные

9. По форме представления информации

Матричные, сетевые

10. По форме процесса

Аналитические, графические, логические

11. По типу математического аппарата

Балансовые, статистические, оптимизационные, имитационные, смешанные



Тема 3. Матричные ЭММ. Модель межотраслевого баланса.

3.1. Основные соотношения и понятия модели.

Матричные экономико-математические модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.

Положительными и ценными качествами данной модели являются общность расчетов, которые опираются на знание коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства; их число равно п. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответствует определенная строка, а отрасли как потребителю продукции — определенный столбец.

Если номер любой производящей отрасли обозначить через i, а номер любой потребляющей отрасли — через j, то находящиеся на пересечении отраслей (т. е. соответственно строк и столбцов) величины хij нужно понимать как стоимость средств производства, произведенных в i-й отрасли и потребленных в качестве материальных затрат в j-и отрасли.

хij – технологический коэффициент.



Матричная модель межотраслевого баланса

Производящая отрасль

Потребляющая отрасль

Продукция, тыс.грн.



1

2

3

j

N

Конечная

Валовая

1

x11

x12

x13

…

x1n

y1

X1

2

x21

x22

x23

…

x2n

y2

X2

3

x31

x32

x33

…

x3n

y3

X3

I

…

…

…

…

…

...

…

N

xn1

xn2

xn3

…

xnn

yn

Xn

Оплата  труда

v1

v2

v3

…

vn

vкон

-

Чистый доход, тыс. грн.

m1

m2

m3

…

mn

mкон

-

Валовая продукция, тыс. грн.

X1

X2`

X3

…

Xn

-

X



В столбцах межотраслевого баланса отражается структура материальных затрат и чистой продукции каждой отрасли. Допустим, 1-я отрасль—это производство электроэнергии, 2-я — угольная промышленность. Тогда величина х11 показывает стоимость электроэнергии, израсходованной внутри 1-й отрасли для собственных производственных нужд. Величина x12 отражает затраты угля в производстве электроэнергии. В целом же столбец х11, x21, х31, ..., хn1 характеризует структуру материальных затрат 1-й отрасли за отчетный год в разрезе отраслей-поставщиков.

В балансе отражены не только материальные затраты, но и чистая продукция отраслей. Так, чистая продукция 1-й отрасли характеризуется суммой оплаты труда v1 и чистого дохода (прибыли) m1. Итог материальных затрат и чистой продукции равен, очевидно, валовой продукции отрасли (например, для 1-й отрасли—величине Х1). Таким образом, можно записать:

Х1=х11+х21+х31+…+хn1+v1+m1 = (1)

То же соотношение для любой отрасли имеет следующий вид :

X              (2) 



Если рассматривать модель по строкам межотраслевого баланса, то здесь представлено распределение годового объема продукции каждой отрасли материального производства

Х1 = х11+х12+х13+ … +х1т+y1 =  

тогда для любой производящей отрасли 

Хi=                       (3)

Если сравнить правую и левую части  уравнений (2) и (3), то можно отметить, что у них присутствует общий член хij .Тогда можно записать выражение:

               (4)	



Выражение (4) показывает, что в межотраслевом балансе собдюдается важнейший принцип – это единство материального баланса, представленного выражением, как единства вещественного и стоимостного состава национального дохода.

Квадрант I – промежуточная продукция, показывает распределение материальных затрат по всем производящим отраслям.

Квадрант II – конечная продукция, которая вышла из сферы производства и попала в сферу сбыта. В развернутом виде ее можно представить как продукцию, идущую на личное потребление, на общественные нужды, а также на восполнение ресурсов и экспорт.

Квадрант III – характеризует национальный доход со стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального производства. Данные этого квадранта необходимы для глубокого экономического анализа.

Квадрант IV – отражение конечного распределения и использования национального дохода. Он находится на пересечении столбцов конечной продукции и строк национального дохода.

В целом модель отражает балансы отраслей материального производства, баланс всего общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый баланс, баланс доходов и расходов населения. В балансе отражено единство материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода.



3.2. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

    (5)

Основным элементом матричной модели является технологический коэффициент , который отражает технологические связи и материальные потребности между производящими и потребляющими отраслями. Коэффициент прямых  материальных затрат показывает, сколько единиц продукции і-отрасли непосредственно затрачивается в качестве средств производства на выпуск единицы продукции j-отрасли.

Прямыми материальными затратами называются затраты, обусловленные на последнем этапе производства.



		руда

сталь

чугун

прокат

Электро-энергия

Электро-энергия

Электро-энергия

Конечная продукция

Косвенные затраты второго порядка

Косвенные затраты первого порядка

Прямые затраты



















Zполн = Zкосв + Zпрям



Из уравнения (5) видно, что



 (6)



Тогда в формулу (3) подставим xij:



Хi=      (7)



Формулу  (7), которая представляет систему линейных уравнений, можно представить в матричном виде:

 (8), где

а – матрица коэффициентов прямых затрат



Уравнение (8) можно раскрыть через коэффициенты полных материальных затрат. Тогда:



единичная матрица, у которой по диагонали “1”, а остальные “0”:



    

 (9)



Выражение (9) – валовая продукция, выраженная через вектор конечной продукции У и матрицу = А, которая представляет матрицу полных материальных затрат. Тогда:

  (10)

Выражение (10) можно представить в развернутой форме:



   (11)



Выражение (11) представляет систему из n уравнений, которые выражают валовую продукцию каждой отрасли как функцию конечной продукции всех отраслей. В общем виде для любой отрасли i

  (12)



3.3. Разновидности матричных балансовых моделей.

Данные модели могут применяться как на уровне народного хозяйства, так и на уровне отдельного предприятия. Представляют:

матричную модель народного хозяйства в целом (государства, республики);

матричную модель межрегионального баланса (Черниговский регион);

балансовые модели на уровне отдельных предприятий (матричные модели тех-пром-фин-плана).

Можно рассчитать исходя из вариантов:

Когда задается уровень валовой продукции, то рассчитываются все технологические коэффициенты по производящим и потребляющим отраслям.

Когда задается уровень конечной продукции (вектор), рассчитывается вектор валовой продукции и все технологические коэффициенты.



Тема 4. Оптимизационные ЭММ.

1.1.  Особенности ЭММ оптимизации.

В условиях рыночных отношений, когда сырьевые ресурсы ограничены, возникает вопрос оптимизации прибыли, себестоимости и экономии ресурсов. Оптимизационные модели разного характера часто сводятся к задачам линейного программирования.



ЭММ оптимизации содержит одну целевую функцию, в которой показательной является эффективность производства, и систему ограничений, куда входят факторы, в области которых модель не теряет своей практической ценности. Система ограничений должна составляться корректно, при этом возможны 4 случая:

Ограничения модели несовместимы (модель не имеет неотрицательных решений).

Неотрицательные решения имеются, но максимум (минимум) целевой функции не ограничен (). Условия ограничений выбраны неверно.

Оптимальное значение целевой функции представляет собой конечное число и достигается при единственном сочетании переменных системы ограничений.

Оптимальное значение целевой функции достигается при многих вариантах значений переменных системы ограничений (система ограничений не корректна). В линейных моделях число переменных х может иметь разные значения.



Если число х (видов продукции) больше числа независимых ограничений и задача имеет одно решение, то в оптимальном плане число х (видов продукции) будет не меньше числа ограничений. Остальные переменные х будут равны 0.



4.2. ЭММ оптимизации производственного плана отрасли.



Э



М



М         (13)



k – вид, номер производимой продукции;

l – число видов продукции;

s – вид выделяемых ресурсов;

m – число видов выделяемых ресурсов;

Rk – прибыль от реализации единицы продукции k вида;

Xk - объем (количество изделий) k вида;

вsk – норма потребления S вида ресурсов при производстве единицы k вида продукции;

Bs – объем выделяемых ресурсов S вида ;

hk, qk – верхняя и нижняя граница, соответствующая по производству k вида продукции.



4.3. ЭММ оптимизации выпуска продукции предприятиями отрасли.





Э



М



М           (14)



i – номер предприятия;

n – число предприятий;

k – вид, номер производимой продукции;

l – число видов продукции;

s – вид выделяемых ресурсов;

m – число видов выделяемых ресурсов;

Rki – прибыль от реализации единицы продукции k вида на i предприятии;

Xki - объем (количество изделий) k вида на i предприятии; 

Ak - план выпуска k вида продукции;

вski – норма потребления S вида ресурсов при производстве единицы k вида продукции на на i предприятии;

Bsi – объем выделяемых ресурсов S вида на i предприятии;

hki, qki – верхняя и нижняя граница, соответствующие производству k вида продукции на i предприятии.



4.4. ЭММ распределения финансовых ресурсов по оптимизации прироста мощностей (отрасли, предприятия, ...).





Э



М



М       (15)



Сi – стоимость единицы продукции  i поставщика;

Ki – капитальные затраты на единицу готовой продукции при строительстве нового  предприятия; 

E – нормирующий коэффициент эффективности капитальных вложений;

tij – транспортные расходы по перевозке единицы продукции i поставщика j потребителю;

xij – объем поставок  продукции i поставщика j потребителю;

Ai – мощность  i поставщика;

Bj – спрос j потребителя.



4.5. Распределение капитальных вложений по проектам.



Э



М



М           (16)



j – вариант (индекс) проекта капитальных вложений;

s – общее число проектов;

kj – объем капитальных вложений по j варианту;

M – суммарный годовой объем капитальных вложений;

Rj – ожидаемый доход от реализации j варианта капитальных вложений;

N – общее число вариантов капитальных вложений.



4.6. ЭММ составления оптимальных смесей, сплавов, соединений и выбор оптимального рациона питания (кормления).

Данная модель позволяет исходя из стоимости исходных компонентов и содержания необходимых элементов в исходных компонентах получить дешевый выходной продукт. Данная модель применяется на металлургических, химических, нефтеперерабатывающих заводах, крупных АПК.



Э



М



М         (17)

i – номер (индекс) исходного материала;

n – количество исходных компонентов;

j – номер (индекс) химического элемента;

m – общее количество компонентов, входящих в готовую продукцию;

hij - %(доля) j химического элемента в i исходном материале;

Hj - %(доля) j химического элемента готовой продукции;

Pi – цена за единицу каждого i исходного материала;

Xi - % (доля) i исходных материалов.



4.7. ЭММ оптимизации раскроя материала.

Данная модель позволяет выбирая один из способов раскроя, изготовить определенное количество заготовок с минимальным расходом материала.



Э



М



М              (18)



i – номер (вид) заготовки;

n – общее количество разновидностей заготовок;

j – способ раскроя;

m – общее количество способов раскроя;

bij – количество выкраиваемых заготовок;

Вi – количество штук заготовок i вида;

Xj – количество исходного материала, который необходимо раскроить j способом;

Pj - величина отходов при данном j-м способе раскроя.



4.8. Экономическая интерпретация двойственных задач линейного программирования.

При моделировании экономических систем и процессов, когда характер системы до конца не изучен, или же система сложная, прибегают к упрощению модели и представлению ее в виде линейной (прямой или обратной). 

Исходная модель предполагает, сколько и какой продукции необходимо изготовить с заданной стоимостью cj (j=) и при заданных ресурсах bi (i=)  и получить максимальную прибыль в  стоимостном выражении.

Двойственная (обратная) задача предполагает оценку стоимости единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданном количестве ресурсов bi и стоимости единицы продукции cj минимизировать общую стоимость затрат.



целевая функция исходной задачи

целевая функция обратной задачиcx = by









Тема 5. Методы моделирования стохастических (вероятностных) систем. Имитационное моделирование.

5.1. Понятие о вероятностных системах и процессах.

Экономические системы, как правило, являются вероятностными (стохастическими), так как выходные параметры системы случайным образом зависят от входных параметров.

Почему экономические системы являются стохастическими:

так как система сложная, многокритериальная многоуровневая иерархическая структура;

система подвержена влиянию внешних факторов (погодные условия, внешняя политика);

преднамеренное искажение информации, сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия.

Исходя из того, что экономическая система сложная и имеет случайную компоненту ,



поэтому оптимизация целевой функции ведется по среднему значению, то есть при заданных параметрах  необходимо найти решение х, когда значение целевой функции по возможности будет максимальным.

Сложные системы описываются Марковским аппаратом, то есть когда поведение системы в момент t0 характеризуется вероятностью первого порядка p(х0, t0) и поведение системы в будущем зависит от значения системы х0 и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние.

Марковские случайные процессы описываются двумя параметрами:

вероятностью первого порядка p(х0, t0);

условной вероятностью pij (х2 t2 /х1 t1);

pij характеризует значение системы х2 в момент t2, при условии, что в момент t1 система имела значение х1.

Имея в своем распоряжении матрицу условных переходов



можно заранее сформулировать поведение системы в будущем.

Марковские случайные процессы называют Марковскими цепями с вероятностью перехода в pij, когда процесс изучается в дискретные моменты времени.



5.2. Имитационное моделирование систем и процессов.

Применяется в случаях, когда нельзя заформализовать модель (описать аналитическим выражением) и в случае, когда система представляет собой многопараметрическую вероятностную экономическую систему. Кроме того, моделирование с помощью имитационных подходов применяется для систем больших размерностей и с большими внутренними связями.

Основные этапы моделирования:

анализ моделируемой систем, сбор необходимой информации, выделение проблемной области исследования и постановка задач на исследование;

синтезирование (формирование, получение) необходимой математической модели области допустимых упрощений (ограничений), выбор критериев оценки эффективности и точности моделирования;

разработка имитационной модели, алгоритма ее реализации, внутреннее и внешнее математическое обеспечение;

оценка адекватности имитационной модели и контроль результатов экстремумов с последующей валидацией модели;

анализ результатов моделирования с целью достижения заданной точности моделирования.



5.3. Имитационная модель и ее структура..



Исследуемая СЭС.

Постановка задач исследования

Формализованные данные о системе

Неформализованные данные о СЭС

Моделирующий алгоритм

Обработка и оценка результатов моделирования

Имитационная модель

Оценка адекватности модели

Блок принятия решений

Математическое обеспечение внутреннее и внешнее

печать

ЭММ – ЭВМ





















При создании модели необходимо максимально использовать те параметры системы, которые поддаются формализации, то есть записи с помощью аналитических выражений.

 5.4. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).

Данный метод родился в 1949 году благодаря усилиям американских ученых Дж. Неймана и Стива Улана в городе Монте-Карло (княжество Монако).

Метод Монте-Карло – численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных чисел.

Суть метода состоит в том, что посредствам специальной программы на ЭВМ вырабатывается последовательность псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения от 0 до1. Затем данные числа с помощью специальных программ преобразуются в числа, распределенные по закону Эрланга, Пуассона, Релея и т.д. 

	Полученные таким образом случайные числа используются в качестве входных параметров экономических систем :

	Q (x1, x2, x3,…,xn)  Qpt  (min или max)

	

P(x)

1

0

x: Bs (x1, x2, x3,…,xn)  Rs







При многократном моделировании случайных чисел, которые мы используем в качестве входных параметров системы (модели), определяем математическое ожидание функции M(Q) и, при достижении средним значением  функции Q уравнения не ниже заданного, прекращаем моделирование. 

Статистические испытания (метод Монте-Карло) характеризуются основными параметрами:

 - заданная точность моделирования;

P – вероятность достижения заданной точности;

N – количество необходимых испытаний для получения заданной точности с заданной вероятностью.

Определим необходимое число реализаций N, тогда 

(1 - ) будет вероятность того, что при одном испытании результат не достигает заданной точности ;

(1 - ) N – вероятность того, что при N испытаниях мы не получим заданной точности .

Тогда вероятность получения заданной точности при N испытаниях можно найти по формуле

    (19)

	Формула (19) позволяет определить заданное число испытаний для достижения заданной точности  с заданной вероятностью Р.

	

	Значение Р

	

	0,80

	0,20

	0,95

	0,99

	0,10

	0,05

	0,025

	0,0125

	0,006

	16

	32

	64

	161

	322

	22

	45

	91

	230

	460

	29

	59

	116

	299

	598

	44

	90

	182

	459

	919

	

	Qi – Qконеч  

	Случайные числа получаются в ЭВМ с помощью специальных математических программ или спомощью физических датчиков. Одним из принципов получения случайных чисел является алгоритм Неймана, когда из одного случайного числа  последовательно выбирается середина квадрата

	0 = 0,9876	0 2 = 0,97531376

	1 = 0,5313	12  = 0,28654609

	2 = 0,6546	22  = 0,42850116  и т.д.

Кроме того данные числа проверяются на случайность и полученные числа заносятся в базу данных.

Физические датчики разрабатываются на электронных схемах и представляют собой генераторы белого (нормального) шума, то есть когда в спектральном составе шума имеются гармоничные составляющие с частотой F  . Из данного белого шума методом преобразования получаются случайные числа.

	

Тема 6. Методы и модели управления запасами.

6.1. Основные определения и понятия теории управления запасами.

Любая СЭС, как и техническая система, может ритмично работать при наличии достаточного запаса ресурсов.

В качестве ресурсов для обеспечения ритмичного производства  используются:

материальные ресурсы (сырье, полуфабрикаты, энергоносители);

технологические, трудовые ресурсы;

финансовые и другие ресурсы.

Ритмичность поставок вынуждают следующие обстоятельства:

несовпадение ритмов производства с ритмами потребления;

случайные колебания спроса за период между поставками;

случайные колебания интервала между поставками;

срыв объема поставок.

То есть появляется случайная составляющая в целевой функции оптимизации эффективности производства.

Предпосылки, которые заставляют оптимизировать запасы сырья, ресурсов:

возрастают убытки за счет хранения сверхнормативных запасов;

связывание оборотных средств;

потеря в качестве материальных ресурсов, моральное и физическое старение ресурсов.

В качестве целевой функции в задачах управления запасами выступают суммарные затраты на:

приобретение продукции с учетом максимальных скидок на размер партии;

затраты на хранение и складские операции;

от материального и морального старения при хранении;

потери от дефицита и штрафных санкций.

Целевая функция, представляющая сумму данных компонентов, должна быть min. Поэтому управление запасами производится в начале путем выбора стратегии в пространствестратегий управления, а затем путем выбора параметров в прострастве параметров управления.

Запасы делятся на:

текущие (обеспечивают ритм производства на определенном интервале времени);

страховые (на случай срыва ритма поставок).

Из параметров управления запасами принято выделять:

управляемые параметры

объем и номенклатура необходимого сырья (ресурсов);

момент (время) выдачи заказа на пополнение ресурса;

неуправляемые параметры

затраты на организацию снабжения;

ограничение на запасы поставщика;

выбор системы снабжения (централизованная, децентрализованная)

Качественно систему снабжения можно представить графически:





Р 

затраты на функционирование системы снабжения

Р min



q*



2



h



k



q (размер партии сырья)



1



3





















Р – затраты на функционирование системы снабжения;

1 – затраты на размещение заказов;

2 – затраты на хранение данных ресурсов;

3- суммарные затраты на функционирование системы снабжения;

q* - оптимальный размер (объем) заказа сырья.



6.2. Классификация систем снабжения и их моделей.



Признак

Тип модели

I

По типу системы снабжения

эшелонированные (многоэтапные)

децентрализованные

II

По числу хранимого сырья

многокомпонентные

однокомпонентные

III

По спросу

детерминированная:

дискретная

непрерывная

случайная (вероятностная):

 дискретная

непрерывная

IV

По способу поставки сырья 

мгновенная

с фиксированным временем задержки

со случайным временем задержки

V

По видам затрат и способам их отражения в модели

линейная

нелинейная

VI

По ограничениям системы снабжения

по объему

по весу

по площади

по себестоимости

по числу поставщиков

VII

По принятой стратегии управления

периодические (с периодом контроля Т)

по критическим уровням и объему.

Н – верхний уровень;

n – нижний уровень запасов;

q – объем партии (поставок). 



6.3. Стратегия управления запасами.

Оптимальное управление запасами – выбор таких объемов и моментов поставок, когда суммарные издержки на функционирование системы снабжения будут минимальными.



Простейшие стратегии:

периодические (со временем контроля Т);

по критическим уровням (H, h, yi – текущий уровень запаса q).

Стратегия постоянного уровня.

В данном случае через каждый интервал контроля Т запас пополняется до верхнего уровня.



	

H

h

0

T3

t

T2

T1

y1

y2

q2

q1

q3	q1  q2  q3  const

		q* опт = H – yтек

		y1,2 – текущие уровни









2. Стратегия фиксированного объема поставок.

	

H

h

0

T3

t

T2

T1

y1

y2

q2

q1

q3

		Q* = const  

		q1 = q2 = q3 = const

		







3. Стратегия с контролем за текущим уровнем.

	если y  h, то: - y  h  q* = const 

		- y  h  q* = 0 (не заказываем сырье)

	если y  h, то: - y  h  q* = H – yтек 

		- y  h  q* = 0  



6.4. Детерминированная ЭММ управления запасами с фиксированным спросом.

Данная модель называется моделью экономики выгодных размеров поставок.

Начальные условия (ограничения):

Известны моменты поступления заявок.

Интенсивность расходования ресурсов (скорость).

Поставки мгновенны.

Отсутствие дефицита.



Введем обозначения:

 - интенсивность спроса;

k – затраты на оформление;

h – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени;

q – объем поставок (размер партии сырья).



- период времени, в течение которого полностью расходуется сырье.



F(q) – суммарные затраты на функционирование системы снабжения







q/2 – оптимизация ведется по среднему уровню; 

q* -  оптимальный размер заказа.

Для нахождения F* нужно взять частную производную целевой функции F(q) по оптимизационному параметру q.







Из данной формулы находим q*:

формула Уилсона (оптимального заказа).

Данный заказ необходимо разместить для выполнения через время



Оптимальные затраты можно определить по формуле

- это затраты на единицу продукции.



6.5. Модель управления запасами при случайном спросе.

В данном случае интенсивность расходования ресурсов  - величина случайная со своим законом распределения, то есть известно P(), F() , тогда в данной ситуации возможны случаи:

q -   0



q,



2

Затраты за дефицит (штрафы)



q



Затраты хранения

1





t

t1





h – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени; 

k – затраты на размещение (оформление) ресурсов, сырья.

Так как  - величина случайная, то ( q -  ) и  ( - q) будут величины случайные, поэтому оптимизация и функция цели будут находится как для случайных величин.

Функция цели будет представлять собой математическое ожидание от суммы слагаемых. Одно из них представляет собой математическое ожидание затрат на размещение заказа; другое математическое ожидание затрат на хранение ресурсов.



Известно, что оптимальное размещение запасов можно найти из системы неравенств:



Методом линейной интерполяции определяется q*.



6.6. ЭММ управления запасами с ограничениями на складские помещения.

Данная модель многопродуктовая с n-видами сырья.

Введем обозначения для данной модели:

qi – размер объема заказа на сырье i – вида ();

А – максимальный размер складских помещений для сохранения n-видов продукции;

аi – размер площади, необходимой для хранения продукции i – вида;

i – интенсивность спроса на сырье i – вида;

ki – затраты на размещение заказа на поставку сырья, продукции i – вида;

hi – затраты на сохранение единицы сырья (продукции) i – вида.

Данная модель от вышеизложенной отличается наличием ограничений на складские помещения и выглядит так:



Э



М



М

		

	

			



qi / 2 – оптимизация по среднему уровню запасов

Данная ЭММ решается с помощью метода множителей Лагранжа. Полученная функция путем добавления в целевую функцию слагаемого, состоящего из системы ограничений и множителя , называется Лагранжианом.



  (*)

Для того, чтобы найти qi* и оптимальное значение *, необходимо взять частные производные по qi и  Лагранжиана (*).

     (1)

   (2)

из формулы (1) определяем  - оптимальный размер заказа.

Оптимальный размер заказа при ограничении ai определяется путем последовательного расчета для разных значений qi и . Методом линейной интерполяции по значениям, представленным в промежуточной таблице, находится коэффициент  и оптимальное значение qi*.



Тема 7. ЭММ систем массового обслуживания.

7.1. Основные понятия и определения.

Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность приборов, каналов, станков, линий обслуживания, на которые в случайные или детерминированные моменты времени поступают заявки на обслуживание. Например, коммутаторы телефонных станций, супермаркет, парикмахерские.

Оптимизация и оценка эффективности СМО состоит в нахождении средних суммарных затрат на обслуживание каждой заявки и нахождение средних суммарных потерь от заявок не обслуженных.

СМО состоит из определенного числа обслуживающих каналов и предназначена для выполнения заявок с разным характером распределения момента времени на обслуживание.

Моделирование СМО предполагает:

построение ЭММ, связывающих параметры СМО (число каналов, их производительность и т.п.) с показателями эффективности;

оптимизацию данных показателей с целью получения максимальной эффективности.



7.2. Классификация и обозначение СМО.

По ряду признаков СМО делятся на:

	СМО: 	- с очередями;

		- с отказами заявок (очереди);

	СМО с очередью:	- в порядке очереди;

		- в случайном порядке;

		- обслуживание с приоритетом (абсолютным или относительным);

СМО с многофазным обслуживанием;

			СМО:	- закрытые (замкнутые) – поток заявок генерируется самой системой;

		- открытые – характер потока заявок не зависит от состояния СМО;

	СМО:	- одноканальные;

		- многоканальные.



Обозначения СМО.

Для сокращения записи и характеристик СМО принята общемировая система записи по формату Кендола.

( a  b  c ) : ( d e f )

a –характеризует закон распределения заявок входного потока;

b - характеризует закон распределения интервалов выполнения заявок на обслуживание;

c - характеризует количество каналов обслуживания;

d - характеризует дисциплину очереди;

e - характеризует максимальное количество требований (заявок) на обслуживание (е в очереди + е в обслуживании);

f – максимальный объем источника (генератора) заявок.



Пример.

GI G  N

GI  - данная позиция характеризует, что момент заявок, поступающих на обслуживание, распределен по случайному закону с функцией распределения F(x) с математическим ожиданием .

F(x) – любой закон распределения;

G  - данная позиция характеризует моменты распределения (временные интервалы) обслуживания заявок с любой функцией распределения H(x) и со средним временем обслуживания .

( M1  M2  N ) : - характеризует, что поток заявок, поступающих на обслуживание как входящий поток, подчиняется закону Пуассона с функцией распределения ,

 - интенсивность потока заявок;

M1 – простейший поток заявок;

N – количество мест по обслуживанию заявок;

M2 – характеризует поток обслуживания и распределения времени обслуживания также по простейшему Пуассоновскому закону с функцией распределения ,

 - характеризует интенсивность потока обслуживания.



Простейший поток обладает тремя свойствами:

стационарностью;

безпоследействия;

ординарностью.

Стационарность – это когда вероятность попадания того или иного числа заявок на интервал времени длиной  зависит от длины этого интервала и не зависит от того, где этот интервал расположен на оси времени.

Поток безпоследействия – когда для любых не перекрывающихся участков времени число заявок, попадающих на один из участков, не зависит от числа заявок, попадающих на  другой участок.

Ординарность – это когда вероятность попадания на участок  двух или более заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной заявки.

Поток, обладающий вышеназванными тремя свойствами, называется простейшим (стационарным, Пуассоновским ) потоком.

Эрланговский поток – “просеянный” простейший поток с коэффициентом k = (2;3;4...), то есть когда обслуживается каждая 2,3,...,k заявка.

E E NM – эрланговский входной  поток заявок E и эрланговский закон обслуживания E.



7.3. Основные характеристики системы массового обслуживания.

Характеристиками, принятыми для СМО, являются:

вероятность потери заявок

Ротказа = Рпотерь

вероятность занятости k каналов

Рк

среднее число занятых каналов



коэффициент простоя каналов



N0 – незанятых каналов,

n – всего каналов.

средняя длина очереди



среднее число требований, находящихся на обслуживании





Эффективность СМО можно определить, используя следующую методику:



(*) ЕСМО = 



qожид –потери в результате ожидания 1 заявки в единицу времени;  

qnk – стоимость простоя одного канала в единицу времени;  

qk - стоимость эксплуатации одного канала в единицу времени;

(*) – показывает один из возможных подходов к оценке эффективности СМО. Как правило для высокоточных оценок эффективности используются имитационные модели.



Тема 8. ЭММ и модели АСУ.

8.1. Основные характеристики и классификация АСУ.

Управление – целенаправленное воздействие на параметры системы и координация деятельности всей системы с целью получения максимальной эффективности.

АСУ – автоматизированная система управления, в которой применяются современные автоматические средства обработки информации, математические методы и экспертные системы для решения задач управления.

АСУ подразделяются на два класса:

АС организационного управления (административного);

АСУ технологическими процессами.

АСУ обеспечивает высокую эффективность за счет:

высокого уровня использования входной информации и ускорения ее обработки на ЭВМ;

за счет проведения расчетов оптимизации и имитационного моделирования с применением ЭВМ;

принятие оптимальных решений с помощью экспертных систем (систем поддержки и принятия решения).



8.2. ЭММ расчета эффективности АСУ.

Основным показателем применения АСУ является коэффициент экономической эффективности. Расчеты данного коэффициента ведутся на этапах:

при планировании и создании АСУ;

на стадии технического и рабочего проектов АСУ;

после внедрения АСУ.

Как правило, эффективность АСУ определяется коэффициентом годовой прибыли (его приростом), который определяется исходя из методики



ПАСУ = ((А2 – А1)/А1)*П1 + ((С1 – С2)/100)*А2, где



А1, А2 – годовые объемы производства продукции до внедрения и после внедрения соответственно;

С1 ,С2  - затраты на 1 грн. произведенной продукции до и после внедрения АСУ;

П1 – прибыль до внедрения АСУна единицу продукии.

Кроме предложенного коэффициента годовой прибыли оценка эффективности АСУ возможна за счет подхода по срокам окупаемости внедренной АСУ.



Тема 9. Эконометрические модели и их применение в экономике.

9.1. Основные понятия об эконометрических моделях и корреляционном анализе.

Эконометрические модели являются составляющими более широкого класса ЭММ. Данная модель выступает в качестве средств анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов, как на макро, так и на микро уровнях на основе реальной статистики.

Эконометрическая модель, учитывая корреляционные связи, позволяет путем подбора аналитической зависимости построить модель на базисном периоде и при достаточной адекватности модели использовать ее для краткосрочного прогноза.

При синтезе эконометрических моделей при имеющихся факторных признаках xi и результативных параметрах yi необходимо определить a0, a1, a2, a3, …,an.

yi = f(xi) + ei, где

f(xi) – величина детерминированная;

ei, yi – величины случайные.

Эконометрическая модель опирается на понятие корреляционных связей и так называемое уравнение регрессии.

Корреляционная связь – когда при одном и том же значении факторного признака х  встречаются разные значения у. Корреляционные связи описываются так называемыми уравнениями регрессии. 

Уравнение регрессии – уравнение прямой (как и любой кривой), описывающее корреляционную связь, а сама прямая (кривая) называется линией регрессии.

Корреляционные связи оцениваются по среднему значению всей совокупности результативного признака, такт как для одного и того же значения факторного признака возможны различные значения результативного признака.



x

y

x

y

x

y

y=a0+a1x

1

3

2

1

3

Прямая корреляционная связь

  х, y

Обратная корреляционная связь  х, y

2



















Корреляционные связи (уравнения регрессии), а также эконометрические модели, построенные на базе уравнения регрессии, могут описываться:

уравнением прямой: yi = a0 + a1x

уравнением 2-го порядка: yi = a0 + a1x + a2x2

уравнением показательной функции: yi = a0a1x

уравнением степенной функции: yi = a0xa1

уравнением гиперболы: yi = a0 + a11/x

При построении эконометрических моделей нам известны фактические значения х и у, а нам необходимо определить параметры a0 , a1, a2 для соответствующей модели. Данные параметры определяются по методу наименьших квадратов.



9.2. Метод наименьших квадратов (МНК).

Суть данного метода заключается в том, что квадрат суммы разностей между фактическим значением результативного признака и его теоретическим значением сводится к минимуму.

F =  (уфакт – утеор )2  min



*





y

x1

 

y1факт

*

у1теор



у2факт

x

y2теор

*

*

*

*





 





x2

x4

x3

x5

x6







		









* - уфакт (эмпирическое) 

Чтобы найти параметры a0 , a1, a2 , необходимо в формулу (1) подставить утеор, то есть ту аналитическую зависимость, которой будем сглаживать (аппроксимировать) статистический материал. Как известно из математики для нахождения минимума функции нужно взять частные производные по анализируемым параметрам, то есть ... и приравнять данное выражение к нулю. Получим систему нормальных уравнений, из которых найдем заданные коэффициенты.

F =  (уфакт – a0 – a1xфакт )2  min

урасч =  a0 + a1xфакт 





(*)



преобразовав уравнение (*), получим систему нормальных уравнений:



(**)





решением системы (**) будут:







Рассчитав коэффициенты a0 , a1, можно синтезировать модель:

   (оценки коэффициентов a0 , a1)



Аналогичным образом используя МНК, можно получить коэффициенты для остальных функций, используемых при аппроксимации.

Если в качестве факторного признака х используется время t, то такой ряд называется динамическим (временным) рядом. При применении специального подхода при обозначении факторного признака t, когда сумма времени t будет равна 0, выражения для коэффициентов a0 , a1 , a2 – будут проще.

ti, t = 0

93

94

95

96

97

-2

-1

0

1

2



При таком подходе формулы коэффициентов a0 , a1 значительно упрощаются:

 ,  (для линейной функции)

Аналогично определяем коэффициенты для других функций:



yt =a0 +a1t +a2t2  (парабола)











y =a0 a1t  (показательная функция)







Для того, чтобы убедится, что полученные коэффициенты являются типичными, используют метод оценки с помощью распределения Стьюдента (критерий Стьюдента). Находят:





 - среднее квадратичное отклонение;

2 – дисперсия

- остаточная дисперсия





Отделив ta0, ta1 и сравнив с tтабличное, можно сделать вывод, что если ta0  tтабличное и 

ta1  tтабличное (ta0 tтабличное ta1), то параметры а0 и а1 – стандартно типичны (обладают оценкой несмещенной, эффективной).

Получив синтезированные модели по функциям 1-5 срвнивают остаточную диперсию и по минимальности остаточной диперсии выбирают функцию для аппроксимации (сглаживания).

Для оценки прогноза используют обычно не дискретные (точечные) значения результативного признака, а рассчитанный интервал.

Yпрогнозное = yтеор  t *

 - коэффициент доверия, обычно выбирается 0,05 и вероятность Р=0,95.

t - находится по таблице Стьюдента (t = 4,3).



* - скорректированное среднее квадратичное отклонение с учетом степеней свободы n - m, где

m - число параметров нашей синтезируемой модели;

n - объем выборки.



y



5

*

*

t

*

*

*

*

*

*

*



7



6



8Для y =a0 +a1x, m = 2















9.3. Использование качественных показателей в эконометрических моделях.

В экономических явлениях наряду с количественными факторами применяются также качественные факторы: пол, племенные, сортовые свойства. Эти качественные параметры оцениваются показателем d, носящим бинарное свойство.



		 “1” - свойство есть (студент-отличник, овощ сортовой, скот породистый)

	d -	

		 “0” - свойства нет

	

	В литературе  d – “DUMMY - фактор”

	Тогда, с учетом d:

	yi = a0  + a1d1i + 1i x1i + i (*)

	С учетом  d1i = (1,0), уравнение распадается:

	E (yi / d1i = 0)= a0  + 1i x1i + i 

	E (yi / d1i = 1)= a0  + a1 + 1i x1i + i 

	

y

x

a1

a0

Студент отличник

Студент не  отличник

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	X – вступительный бал на экзамене;

	Y – рейтинг студента в семестре.



Тема 10. Обзор прикладных пакетов программ.

FORECAST EXPERT –система прогнозирования. Позволяет по имеющимся данным построить временной ряд с помощью модели Бокса-Дженкинса (или, так называемая, модель АРИСС – авторегрессия интегрированная скользящая средняя).

yt = 1 Yt-1 +…+p Yt-p +at - 1 at-1 - q at-q

p – номер авторегрессии;

- параметры авторегрессии;

 - параметры скользящего среднего;

at – дискретный белый шум.

Пакет QSB EXE. Данный пакет позволяет решать задачи экономико-математического направления путем применения:

		линейного программирования;

		целочисленного программирования;

		сетевой оптимизации;

		динамического программирования;

		управления запасами;

		системы массового обслуживания;

		оценки вероятности данного события;

		марковских процессов;

		прогнозирования временных рядов.

Пакет PROJECT EXPERT. Предназначен для планирования и анализа эффективности инвестиций на предприятиях малого и среднего бизнеса. Пакет автоматизирован от ввода до получения данных.

STAT GRAFIX. Интегрированная система статистических и графических процедур. Содержит более 250 функций и 22 раздела.Удобный интерфейс. Пакет позволяет строить графики всех функций, проводить регрессионно-дисперсионный анализ, прогнозировать, проводить анализ временных рядов, моделировать и приниматьь экспертные решения. Большой объем справочного материала.



Литература

Острейковский В.А. Теория систем. М. Высшая школа 1997г.

Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М. Наука 1978г.

Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в     планировании и управлении предприятиями. К. Выща школа 1985г.

Замков О.О.,  Толстонятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М. ДНСС. 1997г.

Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М. Финансы и статистика 1999г.

Вітлінський В.В. Наконечний С.І. Ризик у менеджменті. Київ, Борисфен, 1996г.

Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М. Из-во УРАО 1998г.

Терехов Л.Л. Экономико- математические методы. М. Статистика 1988г.

Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании. М. Экономика. 1987г.

Андрийчук В.Г. Наконечный С.Н. математическое моделирование экономических процессов сельскохозяйственного произв. К. КНИХ 1982г.

Скурихин Н.П. Математическое моделирование. М. Высшая школа 1989г.

Хазанова Л. Математическое моделирование в экономике. М.1998г.

Жданов С. Экономические модели и методы управления. М.Эльта 1998г.

Советов Б. Моделирование систем. М. Высшая школа 1999г.

Алдохин Н.П., Кулиш С.А. Экономическая кибернетика. Харьков. Вища школа. 1983г.