Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

                                    















               §1. Пространство R(p1,p2).                                                                                                                 





      

   А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу  r = {a,e},     где а иe   соответственно точка и вектор.

   Деривационные формулы репера r имеют вид: 

           

                                      d a= e  , de= We               (1),

причем формы Пфаффа  и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства : 

                   D  = W , DW=WW=0.

   Пусть e* - относительная длина вектора e* =e + de + 1/2d2e + 1/6d3e +... по отношению к вектору е. Тогда e* =e*e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора e* , близкого к e , по отношению к e.

   Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2  прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -е.

   Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+=0,   -W+=0.

   Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2) являются формы Пфаффа : W+ , -W+.

   Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.



































                  § 2. Отображение f.

   А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; dej= Wj k;

                                    DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

   Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2R(p1,p2).

   Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2        (1) 



 Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

        Q+W=jWj   ;   Q-W=jWj                 (2)

   Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

                            Wj=j(Q+W)+j(Q-W)           (3)

   Из (2) и (3) получаем :

   kj+kj=jk

   jj=1

   jj=1                            (*)

   jj=0

   jj=0

   Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f. 











































                            §3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

     D(λjWj-W-Q)=0,

получаем :   

     dλj=λkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk

     D(μjWj+W-Q)=0

получаем :

     dμj=μkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk

   Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

     Q+W=λjWj

     Q-W=μjWj

     dλj=λkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk

     dμj=μkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+μjkWj 

  Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={λj,μj} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

     dλk^Wjk+λkdWjk+1\4(λjμk-λkμj)^Wk+1\4(λjμk-λkμj)dWk+dλjk^Wk+λjkdWk=0.

получим: 

     (dλjt-λktWjk-λjkWtk+1\4(λkμjt-μkλjk)Wk+1\16λtμk(λj-μj)Wk)^Wt=0

     dμk^Wjk+μkdWjk+1\4d(λjμk-λkμj)^Wk+1\4(λjμk-λkμj)dWk+dμjk^Wk+μjkdWk=0

получим:

     (dμjt-μktWjk-μjtWtk+1\4(λkμjt-μkλjt)Wk+1\16λtμk(λj-μj)Wk)^Wt=0

обозначим:

     λj=dλj-λtWjt

     μj=dμj-μtWjt

     λjk=dλjk-λtkWkt-λjtWkt

     μjk=dμtkWjt-μjtWkt

   Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид: 

     Q+W=λjWj

     Q-W=μjWj

     dλj=λkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk

     dμj=μkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk                                          (4)

       λjk=(1\4(μαλjk-λαμjk)+1\16λkμα(μj-λj)+λjkα)Wα

       μjk=(1\4(μαλjk-λαμjk)+1\16λkμα(μj-λj)+μjkα)Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={λj,μj,λjk,μjk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р : 

     ГР={λj,μj,λj1j2,μj1j2,...,λj1j2...jp,μj1j2...jp}.







                    § 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

   Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λj},{μj} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые: 

     λjXj=1 ; μjXj=1                             (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λj,μj} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λj,μj} охватываются объектом Г1.

   Из (*) получаем: 

     dλj=-λkWkj-1\4(λj+μj)μtWt-λktλkλtWt-μktWt^λkμj

     dμj=-μkWkj-λktμkλjWt-μktμkμjWt+1\4λt(λj+μj)Wt

   Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка. 

   Предположение 1.Конец вектора  v1=λjej (вектора v2=μjej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями: 

λjXj=0  ,  μjXj = 0                                                       (7).

   Предположение 2. Основные векторы {λj} и {μj} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке: 

                                                            

                                                                

        λjXj=1                                                            

                                                                              

          V2                                                                     

                         V1             μjXj=1                                                

                                                                             

                                                                                          

   Система величин ρj=λj-μj образует ковектор: dρj=ρkWjk+(μjk-λjk)Wk.                                                                          

   Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

   Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы (р1,р2) определяемое условием: (р1*,р2*)∈W↔p1*p2*=p1p2.                                                                

   Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f. 

   Доказательство:

     ] (p1*,p2*)∈W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,

                               p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .

   Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ1Wj

   Следовательно, (р1*р2*)∈W равносильно ρjWj=0                               (9)                                       

   Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

   При фиксации элемента (р1,р2)∈R(p1p2) определяется функция h: (p1*p2*)∈h(p1p2)→e∈R, так, что р1*р2*=е р1р2   

   В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия     f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

   ]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент (р1р2) и определяемые соответственно уравнениями:

     (p1*,p2*)єW1↔p2*=p2.

     (p1*,p2*)єW2↔p1*=p1.

   Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.

   Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид: 

     λjWj=0                                       

     μjWj=0.                                                             

   Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее (р1р2) и определяемое условием: (p1*p2*)єW0↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р2*.  Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.                                                                       

   Предложение 3. Прямая (λj+μj)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (λj+μj)Wj=0.

   Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-1(W2),    f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку. 

   Доказательство вытекает из (7),(8),(10). 







































                          §5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

   Рассмотрим отображения: 

     П1: (р1,р2)∊R(p1,p2)→p1∊A1     (5.1)

     П2: (р1,р2)∊R(p1,p2)→p2∊A1     (5.2)

   Отображение f: A2→R(p1,p2) порождает точечные отображения: 

     φ1=П1∘f: A2→A1     (5.3)

     φ2=П2∘f: A2→A1     (5.4)

   В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={λj,λjk} и Г2,2={μj,μjk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2.

   В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид: 

     x=1+λjXj+1/2λjkXjXk+1/4λyρkXjXk+<3>,     (5.5)

     y=-1+μjXj+1/2μjkXjXk+1/4μyρkXjXk+<3>,   (5.6)

   Введем системы величин: 

     Λjk=λjk+1/4(λjρk+λkρj),

     Μjk=μjk+1/4(μjρk+μkρj)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид: 

     x=1+λjXj+1/2ΛjkXjXk+<3>     (5.7)

     y=-1+μjXj+1/2ΜjkXjXk+<3>   (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется: 

    λ1  λ2         1  0   

               =                           

    μ1  μ2        0  1   

Этот репер является каноническим. 

   Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей. 

   Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид: 

     x=1+X1+1/2ΛjkXjXk+<3>     (5.9),

     y=-1+X2+1/2ΜjkXjXk+<3>   (5.10). 















                       §6. Инвариантная псевдориманова метрика. 

   Рассмотрим систему величин: 

     Gjk=1/2(λjμk+λkμj)

   Из (3.1) получим:

dGjk=1/2(dλjμk+λjμk+dλkμj+λkdμj)=1/2(μkλtWjt+1/4λjμkμtWt-1\4μkμtλtWt+μkλjtWt+λjμtWkt+

       +1/4λjλkμtWt-1/4μjλkμtWt-1/4μjλtμkWt+μjλktWt+λkμtWjt+1/4λkλjμtWt-1/4λkλtμjWt+              

       +λkμjtWt),

dGjk=1/2(μkλt+λkμt)Wjt+1/2(λjμt+λtμj)Wkt+GjktWt,

где Gjkt=1/2(μkλjt+λyμkt+μjλkt+λkμjt-1/2μjμkλt+1/2λjλkμt-1/4λjμkλt+1/4λjμkμt+1/4μjλkμt-

             -1/4μjλkλt)                      (6.3).



   Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:

     dS2=GjkWjWk     (6.4)

   Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS2=θ2-W2  (6.5) в R(p1,p2).

   Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

   Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или 

λjWjμkWk=0     (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G. 

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U’) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU’)

   Теорема: Метрика dS2=θ2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда . 

   Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W. 

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем 

     dS2=θ2-W2

   Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований. 

В работе <3> был построен охват объекта 

     Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={λj,μj,λjk,μjk}.

Он определяется формулой: Гljk=λjΛjk+μlΜjk-λlλtλk+μlμtμk.



             

                     §7. Инвариантная риманова метрика.

  

 Рассмотрим систему величин:

     gjk=λjλk+μjμk     (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk=dλjλk+dλkλj+dμjμk+dμkμj=λkλtWjt+1/4λkλjμtWt-1/4λjλtμjWt+λkλjtWt+λjλtWkt+

      +1/4λjλkμtWt-1/4λjλtμkWt+λjλktWt+μkμtWjt+1/4μkλjμtWt-1/4μkλtμjWt+μkμjtWt+

      +μjμtWkt+1/4μjλkμtWt-1/4μjλtμkWt+μjμktWt.

dgjk=(λkλt+μkμt)Wjt+(λjλt+μjμt)Wkt+gjktWt,     (7.2)

где gjkt=1/2λjλkμt-1/2μjμkλt-1/4λkλtμj-1/4λjλtμk+1/4λjμkμt+1/4μjλkμt+λkλjt+λjλkt+

            +μkμjt+μjμkt     (7.3)

   Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g:

     dS2=gjkWjWk     (6’.4)

   Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6’.4) соответствует при отображении f метрике:

     dS2=2(θ2+W2)     (6’.5)

в R(p1,p2)

   Из (6’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

   Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

     GjkXjXk=1     (6’.6)

или (λjXj)2+(μjXj)2=1     (6’.7)

   Из (6’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

   Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

                                                                

  

              V1                                                                                                  

 

                                    V2                   рис.3.        

                                                     

                                                              





   Пусть gjk=λjλk+μjμk     (6.8)

   В силу (2.7) имеем:

     gjtgtk=(λjλt+μjμt)(λtλk+μtμk)=λjλk+μjμk=δkj     (6’.9)

   Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.



Предложение 7.2: Поле основного вектора {λj} (вектора {μj}) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λj} (ковектора {μj}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство: 

     λjλkgjk=λjλkλjλk+λjλkμjμk=1,

     μjμkgjk=μjμkλjλk+μjμkμjμk=1,

     λjμkgjk=λjμkλjλk+λjμkμjμk=0.

   Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).

В работе <2> был построен охват объекта 

     γjkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом 

     Г2={λj,μj,Λjk,Μjk}

   Он определяется формулой:

     γjkl=λlΛjk+μlMjk+Gjk(λl-μl)+1/2(λl+μl)(μjμk-λjλk),

где Gjk=1/2(λjμk+λkμj).