Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам

Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам

Ю.А. Данилов

Нелинейная динамика, в каком бы — узком или широком — смысле мы её ни понимали, достигла ныне такого этапа в своём развитии, когда уместно оглянуться на пройденное и подвести некоторые итоги. Период штурма и натиска ещё продолжается, но для того, чтобы дальнейшее продвижение не замедлилось, чтобы не иссяк наступательный порыв, необходимо критически осмыслить достигнутое, подвергнуть тщательному пересмотру основные идеи и понятия, проследить их происхождение, продумать наиболее рациональную схему планомерной осады «узких мест» и достичь ясного понимания того, что сделано теми гигантами духа и мысли, на плечах которых мы, по признанию Ньютона, стоим. 

«Для развития науки, — любил подчёркивать Л.И. Мандельштам [2, с. 133], — важна не только работа пионеров, создающих новые концепции, в свете которых становится различимым скрывающееся во мраке неизвестное, но и последующий критический анализ этих концепций, очищающий их от случайного и неверного и вносящий в них стройность, ясность и прозрачность, без которых невозможно дальнейшее продвижение». 

Вклад Пуанкаре и Мандельштама в создание нелинейной динамики вряд ли можно переоценить. Им мы обязаны созданием этой новой науки, занимающейся изучением систем различной природы (и поэтому с необходимостью вторгающейся на суверенную территорию различных частных наук), выявляющей общие закономерности там, где их, казалось бы, нельзя было и ожидать среди пёстрого разнообразия внешне далёких явлений, описываемых нелинейными теориями, каждая из которых «говорит на своём языке, ставит и решает свои собственные задачи», используя для этого свои индивидуальные методы. Пуанкаре и Мандельштам — истинные творцы нелинейной динамики: первый создал адекватный математический аппарат, второй насытил абстрактные математические схемы ярким физическим содержанием. Разумеется, каждому из них можно было бы посвятить не одну лекцию, лишь прокрустово ложе школьного расписания вынуждает нас ограничиться самым необходимым.



А. Пуанкаре



Л.И. Мандельштам



И Пуанкаре, и Мандельштам — каждый в своей области — принадлежали к редкому типу учёных-универсалов, презревших ограниченность узкой специализации, порождённую дифференциацией науки. Вот что говорит, например, о Пуанкаре легендарный Никола Бурбаки [1, с. 99–100]: 

«Каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает всё более разнообразное содержание и постоянно даёт ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить всё это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-нибудь закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только полностью игнорируют всё то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от него. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение». 

А вот на что считает необходимым обратить внимание в творчестве своего учителя А.А. Андронов [2, с. 100, 102]: 

«Если пользоваться известной терминологией В. Оствальда, Л.И. Мандельштам одновременно и классик — по образцовой ясности и законченности опубликованных им работ, по строгости и точности рассуждений, и романтик — по стремлению делиться своими идеями и догадками, по своей любви к преподаванию, по силе своего живого слова, способного вызвать напряжённое внимание и радостное возбуждение аудитории. 

...Л.И. Мандельштам ощущал всё точное естествознание, включая математику и технику, как единое развивающееся целое и не только подчёркивал взаимное влияние математики и физики, физики и техники и т.д., но хотел каждую новую вещь, будь то квантовая механика или теория нелинейных колебаний, понять и усвоить прочно, как необходимую составную часть всей физики, всего точного естествознания. 

...Эта несравненная способность к далеко идущим сопоставлениям сочеталась у Л.И. Мандельштама с большой силой и остротой при конкретном исследовании, с умением преодолевать или обходить экспериментальные или вычислительные трудности». 

Нужно сказать, что и немногочисленные другие математики-универсалы, отобранные по самому строгому «гамбургскому счёту», внесли свою немалую лепту в создание и развитие математического аппарата нелинейной динамики. Каждый из них великолепно владел математикой своего времени, глубоко интересовался проблемами естествознания. Для каждого из них в величественном здании математической науки не было ни закрытых комнат, ни тёмных закоулков. Каждый мощью своего интеллекта превосходил «многоголового» Никола Бурбаки. 

Давид Гильберт (1862–1943) создал геометрию бесконечномерного функционального пространства, разработал прямые методы вариационного исчисления, указал на кинетическую теорию газов как на пример области физики, задачи которой решаются непосредственно с помощью интегральных уравнений и не сводимы к дифференциальным уравнениям. 

Герман Вейль (1885–1955) создал аппарат теории представлений групп, всё более широко используемой при описании симметрии физических систем, в том числе и систем, изучаемых нелинейной динамикой, получил выдающиеся результаты в области дифференциальной геометрии и решил важную задачу о связи спектра колебаний с формой колеблющейся области. 

Джон фон Нейман (1903–1957) получил первоклассные результаты в эргодической теории, математическом обосновании квантовой механики, теории автоматов. Именно ему принадлежит идея об использовании системы «реакция с диффузией» как основы моделирования процессов, происходящих в живых организмах, в частности формообразования и самовоспроизведения. 

Вместе с Уламом фон Нейман поставил один из первых численных экспериментов, пытаясь проверить на системе связанных нелинейных осцилляторов один из краеугольных камней статистической механики — гипотезу о равнораспределении энергии по степеням свободы. Обнаруженный им парадокс — отсутствие тенденции к равнораспределению впоследствии привёл к открытию солитона в уравнении Кортевега–де Фриза. 

Но сколь ни значимы результаты этих последних великих универсалов, они не образуют (в отличие от результатов Пуанкаре) всюду плотного множества в арсенале средств и методов нелинейной динамики, между тем все (или почти все) её идеи, понятия и методы так или иначе связаны с именем Пуанкаре, хотя и не всегда носят его. Ситуацию здесь довольно точно передаёт следующий отрывок из доклада Л.И. Мандельштама об оптических работах Ньютона [2, с. 260], который мы приводим здесь, лишь слегка изменив текст (у Мандельштама говорится не о Пуанкаре, а о Ньютоне): 

«Я чувствую своеобразное затруднение. Когда речь идёт о таких открытиях, как открытия Пуанкаре, которые всем нам известны со школьной скамьи, легко очутиться — я знаю это по себе — в положении того любителя литературы, который на вопрос, как ему понравилось «Горе от ума», сказал, что в грибоедовской комедии он в сущности ничего замечательного не видит, так как она сплошь состоит из давно известных поговорок и пословиц. 

Чтобы не терять перспективы, мне кажется, лучше всего встать на историческую точку зрения. Нужно представить себе, хотя бы в общих чертах, состояние вопроса до Пуанкаре, затем восстановить по памяти то, что сделал Пуанкаре, и, наконец, коротко проследить ту роль, которую его работы сыграли в дальнейшем развитии науки». 

Последуем совету Мандельштама. 

Оценить развитие нелинейной динамики до Пуанкаре не составляет особого труда: нелинейной динамики (тогда ещё нелинейной теории колебаний) как отдельной науки, обладающей своим предметом и методом исследования, не было. В истории нелинейной динамики у Пуанкаре не было предтеч. Существовали отдельные разрозненные результаты, значимость и общность которых никому не были известны. Дифференциальные уравнения, долгое время составлявшие основу математического аппарата нелинейной динамики и поныне не утратившие свои позиции, математики, или, как было принято говорить, геометры пытались решать путём сведения к более простым. Оценивая в «Аналитическом резюме» свои работы по дифференциальным уравнениям того периода, Пуанкаре заметил [3, с. 580]: 

«Как только принципы исчисления бесконечно малых были установлены, аналитик оказался перед лицом трёх проблем: решение алгебраических уравнений; интегрирование алгебраических функций; интегрирование дифференциальных уравнений. История этих трёх проблем одинакова. После длинных и тщетных усилий свести эти проблемы к более простым геометры уступили, наконец, необходимости изучения проблем самих по себе и были вознаграждены. 

Долгое время надеялись, что удастся решить все уравнения в радикалах. От этого пришлось отказаться, и сегодня алгебраические функции нам столь же хорошо известны, как и радикалы, к которым их желали привести. Точно так же и интегралы от алгебраических дифференциалов, которые долго пытались привести к логарифмическим или тригонометрическим функциям, выражаются сегодня посредством новых трансцендентностей. 

Примерно то же должно было произойти и с дифференциальными уравнениями. Число уравнений, интегрируемых в квадратурах, крайне ограничено и, постольку поскольку не решались изучать свойства интегралов самих по себе, вся эта аналитическая область оставалась всего лишь обширной terra incognita, которая казалась навсегда запретной для геометра». 

Коши, Фукс, Врио и Буке, С.В. Ковалевская проникли в эту ранее не исследованную область. Они установили, что если отказаться от изучения поведения интегралов дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, в целом, т.е. при всех значениях независимой переменной, сосредоточить усилия на исследовании локальных свойств, т.е. свойств в малом, в окрестности данной точки, то эти свойства будут существенно отличаться в зависимости от того, будет ли выбранная точка обычной или особой. 

Пуанкаре существенно дополнил и расширил результаты своих предшественников, показал, при каких условиях решение в окрестности неособой точки может быть разложено не только по степеням независимой переменной, но и по степеням начальных данных или малого параметра, каким образом эти ряды могут оставаться сходящимися при произвольных значениях независимой переменной. 

Но сколь ни важны результаты, полученные Пуанкаре относительно поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности обычной точки, свои главные усилия он сосредоточил на выяснении того, что происходит в окрестности особой точки. 

Подводя итог этим своим исследованиям, Пуанкаре писал в «Аналитическом резюме» [3, с. 583–584]: 

«Изучение интегралов дифференциальных уравнений в окрестности данной точки, какова бы ни была его польза с точки зрения числовых вычислений, может рассматриваться лишь как первый шаг. Эти разложения, которые справедливы только в очень ограниченной области, ...не могут рассматриваться как истинное интегрирование. 

Поэтому их следует принять лишь как отправную точку в более глубоком изучении интегралов дифференциальных уравнений, где мы были бы намерены выйти из ограниченных областей, где мы были систематически подготовлены исследовать интегралы по всей плоскости. 

Но это изучение может проводиться с двух разных точек зрения. 

Можно задаться целью выразить интегралы посредством разложений, справедливых всегда и более не ограниченных какой-либо частной областью. При этом приходят к введению в науку новых трансцендентностей; и это введение необходимо, так как старые известные функции позволяют интегрировать лишь небольшое число дифференциальных уравнений. 

Однако этот способ интегрирования, который даёт нам знание свойств уравнения с точки зрения теории функций, один не достаточен, если мы желаем применять дифференциальные уравнения к вопросам механики или физики. Наши разложения не показали бы нам, по крайней мере без значительного труда, будет ли, например, функция постоянно возрастать или колебаться между определёнными пределами, или она будет возрастать сверх всякого предела. Другими словами, если функцию рассматривать с точки зрения определения плоской кривой, мы ничего не узнаем об общей форме этой кривой. В некоторых приложениях все эти проблемы имеют такую же важность, как и вычисления, и они составляют новую проблему, которую нам приходится решать». 

Мы видим, что слабое место локального рассмотрения основной арены, на которой развёртываются события, подвластные классическому анализу, указано Пуанкаре ясно и определённо. Для перехода от рассмотрения в малом к рассмотрению в целом необходимы топологические и теоретико-групповые соображения, и Пуанкаре использует эти соображения, создав топологию и применяя группы Ли. 

С волшебной лёгкостью он переходит от одной области математики к другой, используя технику, наиболее адекватную решаемой задаче, попутно внося в применяемый метод существенные усовершенствования и с щедростью гения разбрасывая новые идеи. Именно Пуанкаре ввёл понятие универсальной обёртывающей алгебры. Именно ему принадлежит так называемый метод продолжения, суть которого состоит в погружении решаемой задачи в однопараметрическое семейство задач, зависящих от вспомогательного параметра, и в выяснении разрешимости задачи в зависимости от значений этого вспомогательного параметра. Пуанкаре одним из первых стал использовать неподвижную точку и принцип сжатых отображений для доказательства существования решений нелинейных задач и построения эффективных итерационных процедур. 

Логика исследования, приведшая в своё время геометров к необходимости исследования дифференциального уравнения самого по себе, без сведения к более простым проинтегрированным ранее, привела Пуанкаре к следующему шагу: к исследованию кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Так началась славная история качественной теории дифференциальных уравнений. Вот как рассказывает об этом сам Пуанкаре в «Аналитическом резюме» [3, с. 595–597]: 

«Даже когда придут к тому, чтобы то, что было мною сделано для линейных уравнений, проделать для произвольного уравнения, т.е. найти разложения интегралов, справедливые во всей плоскости, это ещё не будет основанием для отказа от результатов, которые можно получить другими методами, так как может случиться, что эти методы откроют нам частности, которые разложения не представляли бы нам сразу с очевидностью. Это соображение побудило меня встать на новую точку зрения, и я не мог бы найти лучшего способа дать о ней представление, чем воспроизвести то, что писал в момент, когда начинал эти исследования. 

...Итак, необходимо изучать функции, определённые дифференциальными уравнениями, сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это сделано для алгебраических функций, которые пытались сводить к радикалам и которые изучают теперь прямо, и так же, как это сделано для интегралов от алгебраических дифференциалов, которые долго пытались выразить в конечных терминах. 

Исследовать, каковы свойства дифференциальных уравнений, является, таким образом, вопросом, имеющим самый большой интерес. По этому пути уже сделали первый шаг, изучив функцию в окрестности одной точки плоскости. Сегодня речь идёт о том, чтобы идти дальше и изучать эту функцию на всём протяжении плоскости. В этом исследовании отправной точкой нам будет служить, разумеется, то, что уже известно об изучаемой функции в некоторой области плоскости. Полное изучение функции состоит из двух частей: 1) качественной (так сказать), или геометрического изучения кривой, определяемой функцией; 2) количественной, или вычисления значений функции. 

...Именно с качественной стороны должна начинаться теория всякой функции, и вот почему в первую очередь возникает следующая задача: построить кривые, определяемые дифференциальными уравнениями. 

...Это качественное исследование и само по себе будет иметь первостепенный интерес. Различные и чрезвычайно важные вопросы анализа и механики могут быть сведены к нему. 

...Таково широкое поле для открытий, которое лежит перед геометрами. Я не притязал на то, чтобы пройти его всё, но хотел, по крайней мере, перейти его границы и ограничил себя одним очень частным случаем, тем, который естественно представляется с самого начала, т.е. изучением дифференциальных уравнений первого порядка первой степени». 

Обобщив и специализировав результаты Брио и Бука, а также свои собственные, Пуанкаре обнаружил существование особых точек четырёх видов (сёдел, узлов, фокусов и центров — все названия принадлежат ему), изучил их расположение на плоскости, ввёл понятия цикла без контакта и предельного цикла. Тем самым им было выковано оружие, которое через много лет было обнаружено в математическом арсенале учеником Л.И. Мандельштама — А.А. Андроновым — и стало математическим образом, адекватным автоколебаниям. 

Обнаружение сложных — хаотических и стохастических — режимов в детерминированной динамической системе также связано с именем Пуанкаре. Занимаясь изучением так называемой ограниченной задачи трёх тел, он открыл существование особых фазовых кривых, отвечающих неустойчивым движениям. Именно они являются тем механизмом, который хаотизирует, запутывает траектории динамической системы. В знаменитых «Новых методах небесной механики» Пуанкаре так описывал гомоклиническую структуру [4, с. 339]: 

«Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми — устойчивая и неустойчивая инвариантные кривые, проходящие через седловую особую точку, — и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двоякоасимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решётки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; но ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самоё себя, но она должна навиваться на самоё себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети. 

Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трёх тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся». 

Открытие сложных хаотических режимов позволило не только понять природу неинтегрируемости задач динамики, но и постичь ограниченность так называемого ньютоновского детерминизма, по-новому взглянуть на природу случайного. Экспоненциальное разбегание первоначально близких траекторий, вынужденных оставаться в ограниченной части фазового пространства, приводит к их перепутыванию, т.е. в конечном счёте к хаотизации. В одной из своих работ по философии науки («Наука и метод») Пуанкаре говорит о природе случайного так [3, с. 323]: 

«...Совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. 

...Иногда большая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное». 

Пуанкаре принадлежит в числе прочих ещё одно важное открытие: непрерывный (более того, дифференцируемый) поток в фазовом пространстве, например, в окрестности периодической траектории, можно изучать с помощью дискретного отображения, индуцируемого этим потоком на версальном сечении (так называемом сечении Пуанкаре). Тем самым Пуанкаре одним из первых восстановил справедливость, уравняв в правах дискретное отображение сечения в себя и непрерывное (гладкое) отображение фазового пространства в себя. Развернувшиеся впоследствии острые споры о том, что первично — дискретное или непрерывное, несколько напоминают споры остро- и тупоконечников: в природе непрерывность встречается наряду с дискретностью, и при выборе средства для решения той или иной задачи следует скорее заботиться об его адекватности, нежели отдавать предпочтение определённому подходу только потому, что он дискретен или непрерывен. 

С именем Пуанкаре связан и метод нормальных форм, позволяющий избавляться от «лишних» (нерезонансных) членов в правой части уравнений с помощью формальных обратимых замен переменных (существующие теоремы о сходимости рядов, задающих замены, в приложениях, как правило, не используются). Нормальные формы позволяют не только упрощать решаемые уравнения, но и строить разумные базовые модели. Обычно модель выбирается с таким расчётом, чтобы она воспроизводила с большей или меньшей точностью некое множество режимов. Однако при построении модели обычно делаются многочисленные неконтролируемые предположения, не позволяющие в конце анализа однозначно ответить на вопрос, какое отношение к исходным физическим моделям имеет выбранная базовая модель. Приведение к нормальной форме означает разбиение множества исходных моделей на классы эквивалентности с последующим выбором по одному представителю от каждого класса. При таком подходе ничто не мешает после изучения режимов, допускаемых базовой моделью, вернуться к исходной модели без какой бы то ни было потери информации. 

В несметных сокровищах наследия Пуанкаре можно найти и многие другие важные понятия и теории, созданные на правах «первооткрывателей» теми, кто либо никогда не читал трудов Пуанкаре, либо делал это недостаточно внимательно. В частности, из его работ нетрудно извлечь достаточно подробно проработанные контуры теории бифуркаций, или, как предпочитал называть их сам Пуанкаре, «смен устойчивости». 

«К сожалению, — замечает В.И. Арнольд [5, с. 232–233], — бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. (Пуанкаре сказал бы: «Петя вымыл руки» там, где современный математик напишет просто: «Существует t1 < 0 такое, что образ точки t1 при естественном отображении t → Петя (t) принадлежит множеству грязноруких, и такое t2 Î (t1, 0], что образ точки t2 при том же отображении принадлежит дополнению вышеупомянутого множества».) Видимо, поэтому многие его идеи остались незамеченными ближайшими к нему поколениями. Исключение составляют, пожалуй, лишь Биркгоф и его ученики Морс и Уитни. Том в докладе о работах Смейла на Математическом конгрессе в 1966 г. в Москве назвал его чуть ли не единственным математиком, прочитавшим Пуанкаре и Биркгофа». 

Что же касается «наивных» определений Пуанкаре, то попытки обобщения их, как правило, не приводят к новым объектам. 

И всё же, несмотря на известное высокомерие потомков, труды Пуанкаре не встали мёртвым грузом на верхних полках библиотек. Как показала, в частности, конференция по математическому наследию Анри Пуанкаре, состоявшаяся с 7 по 10 апреля 1980 г. в университете штата Индиана, идеи Пуанкаре питают современную математику в гораздо большей мере, чем это может показаться непросвещённому узкому специалисту. 

Жизнь другого главного действующего лица нашего повествования, Леонида Исааковича Мандельштама (1879–1944), по словам его ближайшего сотрудника Н.Д. Папалекси [2, с. 5], «не отличалась внешним блеском. Он никогда не добивался внешних почестей, не стремился играть какой-либо роли, ему совершенно чужды были честолюбие и славолюбие. Но тем полнее и богаче была его внутренняя жизнь. Это была прекрасная жизнь истинного учёного и глубокого мыслителя, искателя научной истины, человека исключительного душевного благородства». 

Влияние научных идей Л.И. Мандельштама на современную физику в целом и, в особенности, на нелинейную динамику неоспоримо. Отчасти оно прослежено в обзоре [6], посвящённом 100-летию выдающегося учёного. Полученные им результаты по праву считаются классическими. Они вошли в учебники, стали достоянием истории науки и, что гораздо важнее, предметом пристального внимания со стороны тех, кто принимает непосредственное участие в создании нелинейной динамики на её современном этапе. 

Не менее важной, чем собственные научные результаты, была выдвинутая Л.И. Мандельштамом идея выработки нелинейного физического мышления — «создания наглядных физических представлений, имеющих в своей основе адекватные нелинейным физическим объектам математические представления и понятия» [2, с. 107]. 

Непревзойдённый знаток и ценитель линейной теории, Л.И. Мандельштам с присущей ему тонкой физической интуицией и особой, чисто «мандельштамовской» ясностью мышления раньше и лучше других осознал ограниченность линейной теории с её принципом суперпозиции, теоремами существования и единственности решений. Менее всего склонный принимать новое только потому, что это новое, бережно, чтобы не сказать консервативно, относившийся к старому (в данном случае — к линейной теории), Л.И. Мандельштам видел, сколь широк круг физических явлений, не допускающих описания в рамках линейной идеализации, сколь ненадёжной становится «линейная психология», способная скорее вводить в заблуждение, чем служить надёжной путеводной нитью исследователю. 

Высказанная Л.И. Мандельштамом идея не осталась благим пожеланием. Она была воплощена в плоть и кровь его учениками. Выступая 22 декабря 1944 г. на совместном заседании Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Академии наук СССР, посвящённом памяти Л.И. Мандельштама, А.А. Андронов сказал [2, с. 120]: 

«Я перечислю некоторые нелинейные понятия, либо получившие точный физический и математический смысл, либо впервые выдвинутые в этот с 1927 г. период времени. 

Я начну с фазового пространства, которое... перестало быть только математической абстракцией и приобрело высокую степень физической наглядности не только потому, что физики с ним свыклись, но и потому, что оказалось возможным приблизить его к нашим органам чувств, наблюдая систематически фазовые траектории на экране осциллографа. ...Если говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жёсткое возбуждение автоколебаний, затягивание и т.д., получили теперь твёрдую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия, как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д., были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории. 

Не все достижения этих лет в направлении выработки нелинейного мышления принадлежат Л.И. Мандельштаму или лицам, так или иначе с ним связанным. Но именно Л.И. Мандельштам вызвал к жизни это новое, опирающееся, с одной стороны, на настоящую математику, с другой стороны — на тонкий радиофизический эксперимент, научное направление в теории нелинейных колебаний». 

С тех пор набор «первичных» нелинейных физических понятий, опирающихся на прочную математическую основу, существенно пополнился. Солитон, различные типы отдельных бифуркаций, цепочки бифуркаций, катастрофы, перемежаемость, диссипативные структуры и т.д. — таков далеко не исчерпывающий их перечень. Естественно спросить: как мог один человек подняться до столь высокого, чтобы не сказать пророческого, предвидения? Ответ на этот вопрос, как нам кажется, дал И.Е. Тамм [2, с. 131–132], словами которого нам бы хотелось закончить нашу лекцию: 

«Одна из основных особенностей дарования Л.И. [Мандельштама], сообщавшая ему особую силу, заключалась, как мне кажется, в редчайшем сочетании в одном человеке ума конкретного, геометрически пластичного и ума абстрактного, логически аналитического. С одной стороны, способность единым взглядом охватить сложное многообразие разнородных явлений, с предельной чёткостью усмотреть в них черты сходства и различия и воссоздать всё существенное в простой и наглядной модели, с другой стороны, острый интерес к конкретной индивидуальности физического явления, порождавший те чувства непосредственного наслаждения, которые испытывал Л.И. при экспериментировании. В этом истоки и необычайного искусства Л.И. в постановке экспериментов, и его исключительно плодотворной деятельности в области технической физики. И вот с этими свойствами ума «широкого» и «английского», по терминологии Дюгема, в Л.И. сочеталась необычайная сила и тонкость абстрактной логической мысли и необычайная глубина анализа принципиальных основ физической теории, восходящего к основным категориям мышления». 

Список литературы

1. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математическое просвещение. М.: Физматгиз, 1960. Вып. 5. С. 99–112. назад к тексту

2. Академик Л.И. Мандельштам. К 100-летию со дня рождения. М.: Наука, 1979. назад к тексту

3. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3. М.: Наука, 1974. назад к тексту

4. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. назад к тексту

5. Арнольд В.И. Теория катастроф // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986. назад к тексту

6. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Л.И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн // УФН. 1979. Т. 128, вып. 4. С. 579–624. назад к тексту

Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.: Наука, 1989