Цилиндр и конус

Цилиндр

 Цилиндром называется тело, которое состоит из 2 кругов,

совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, сое-

диняющих соотв. точки этих кругов. Круги называются осно-

ванием цилиндра, а отрезки - образующими цилиндра. Также,

как и для призмы доказывается, что основания циллиндра

равны и лежат в параллельных плоскостях, образующие пара-

ллельны и равны.

 Цилиндр называется прямым, если его образующие перпенди-

кулярны плоскостям оснований. Радиусом ц. называется рад-

иус его основания. Высота - расстояние между плоскостями

оснований. Ось - прямая, проходящая через центры основан.

Сечение ц. плоскостью, проходящей через ось ц. - осевое

сечение.

 Теорема 19.1. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра,

пересекает его боковую поверхность по окружности, равной

окружности основания.

 Докозательство. Пусть б - плоскость, перпендикулярная

оси цилиндра. Эта плоскость || основаиям. Параллельный

перенос в направлении оси ц., совмещающий плоскость б с

плоскостью основания ц., совмещает сечение б.п плоскостью

б с окружностью основания. Ч.Т.Д.

 Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая п., осно-

вания которой - равные многоугольники, вписанные в основа-

ние ц. Призма называется описанной около ц., если ее осно-

вания - равные многоугольники, описанные около основания

ц.



                      Конус

К. называется тело, которое состоит из круга - основания

к., точки не лежащей в плоскости этого круга,  -  вершины

конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точ-

ками основания. Отрезки, соединяющие вершину к. с точками

окружности основания,  называются образующими конуса.  К.

называется прямым,  если прямая соеденяющая вершину к.  с

центром основания,  перпендикулярна  плоскости основания.

Высотой к.  называется перпендикуляр,  опущенный  из  его

вершины на плоскость основания. Осью прямого конуса назы-

вается прямая,  содержащая его высоту.  Сечение к.  плос-

костью, проходящей через его ось, называется осевым сече-

нием. Плоскость, проходящая через образующую к. и перпен-

дикулярная осевому сечению,  проведенному через эту обра-

зующую, называется касательной плоскостью конуса.

Теорема 19.2. Плоскость, перпендикулярная оси конуса,

пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по ок-

ружности, с центром на оси конуса.

 Док-во. Пусть б - плоскость, перпендикулярная оси конуса

и пересекающая  к.  Преобразование гомотетии относительно

вершины к.,  совмещающее плоскость б с плоскостью основа-

ния, совмещает  сечение  к.  плоскостью б с основанием к.

Следовательно, сечение к. плоскостью есть круг, а сечение

б.п. - окружность с центром на оси конуса.

 Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает он него

меньший к. Оставшаяся часть называется усеченным к. Ч.Т.Д

Пирамидой, вписанной в конус,  называется такая пирамида,

основание которой есть многоугольник,  вписанный в окруж-

ность основания конуса, а вершиной является вершина кону-

са. Пирамида  называется описанной около конуса,  если ее

основанием является многоугольник,  описанный около осно-

вания к., а вершина совпадает с вершиной к.