Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел

Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество . Определим на  бинарные операции сложения , умножения , унарную операцию  и определим элементы .

Для :

;

;

.

Обозначим: .

Теорема 1. Алгебра  является полем.

Доказательство. Проверим, что алгебра  есть абелева группа.

Для 

.

Для 

.

Для 

.

Для 

(.

Проверим, что операция - ассоциативна, то есть  

.

Действительно, 



.

Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для  

.

Действительно, 

, 

.

Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.

Из выше доказанного следует, что алгебра  есть кольцо.

Проверим, что кольцо  коммутативно, то есть для  .

Действительно, 

.

Проверим, что  - кольцо с единицей 1, то есть 

. 

Действительно, 

.

Так как , то .

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца  обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару  и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно, 

.

Из выше доказанного следует, что алгебра  - поле. 

Определение. Поле  называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами. 

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:

 для . 

Теорема 2. Каждое комплексное число  может быть, и притом единственным образом, записано в виде:

, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют  такие, что . Имеем

. 

Теорема 3. Число  обладает свойством: .

Доказательство. . 

Из равенства  следует, что .

Определение. Пусть , где . Число  называется действительной частью,  - мнимой частью комплексного числа . Пишем . 

Пусть  - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если , то ;

если , то .

Определение. Если , то комплексное число  называют чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Для 

.

Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.

Доказательство. . 

2) Для 

.

Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.

Доказательство. . 

3) Для 

.

Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.

Доказательство. 

. 

4) Для 

.

Доказательство. 

. 

5) Для 

.

Доказательство. . 

6) Для , если , то 

.

Доказательство. 

. 

п.3. Операция сопряжения.

Определение. Пусть комплексное число  записано в алгебраической форме . Числом сопряжённым с  называется число . 

Свойства операции сопряжения

Для , где , , . 

1). 

Доказательство. 

. 

2) .

Доказательство. . 

3) . 

Доказательство. 

.

.

4) Если   0, то .

Доказательство. . 

5) .

Доказательство. . 

6) .

Доказательство. .

С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе. 

п.4. Модуль комплексного числа.

Пусть  записано в алгебраической форме .

Определение. Модулем комплексного числа  называется неотрицательное действительное число . 

Свойства модуля.

Для , где , , .

1) .

Доказательство. 

. 

2) .

3) . 

Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения. 

4) . 

Доказательство. .

Отсюда следует нужное утверждение. 

5) Если , то .

Доказательство. .

6) Неравенство треугольника: .

Доказательство. Докажем сначала неравенство

.

Имеем

(2) , 

так как

.

Из (2) следует, что

.

Из последнего неравенства следует неравенство (1).

Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для . Докажем неравенство треугольника для . Имеем

. 

7) . 

Доказательство. . Отсюда следует нужное неравенство. 

8) .

Доказательство. Справедливы неравенства

, .

Одно из подчёркнутых чисел совпадает с . 

п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Пусть  записано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу  точку плоскости с координатами . Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.

Числа  и  расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.

Геометрический смысл модуля

Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа  равно . Поэтому геометрический смысл  - расстояние от  до начала координат. 

y 

 bi 

i

-1+i 1+i 

 - 1 0 1 a 

x

- 1-i 1-i

- i 

Рис.1. 

 - bi 

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; ; . 



 y  z  =1 y  z  1 y  z  1

 i i i 

 - 1 1 - 1 1 - 1 1 

 0 0 0 

 

- i - i - i

Рис.2.

Пусть  записано в алгебраической форме . Имеем

.

Из Рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.

 y

 b 



d b-d 

  a-c

Рис.3.

0 c a x 

Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; .

 y y

  z-1 =2 0 

x

- i 

- 1 0 1 3 x z+i   1

- 2i 

Рис.4.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел векторами плоскости

Поставим в соответствие числу  связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.

 y

 +

 

 

0 Рис.5

x

Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина вектора . Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.

п.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Определение. Аргументом комплексного числа  называется число , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором ,  определяется с точность до углов, кратных . Главным значением аргумента комплексного числа  называется то значение , которое принадлежит промежутку , оно обозначается  и . 

Пусть  записано в алгебраической форме . Тогда из геометрической интерпретации  следует, что:

;

, если ;

, если ;

, если .

Заметим, что  выражается только в радианах,  не определён.

Теорема 4. Каждое комплексное число  может быть записано в виде

.

Доказательство. Изобразим  вектором комплексной плоскости, 

см. Рис.6.

 

y

b  

Рис.6.

0 a x

Угол, образованный вектором  и положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно,  . Поэтому . 

Определение. Если комплексное число  записано в виде  , то говорят, что  записано в тригонометрической форме. 

Правила действий с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа  записаны в тригонометрической форме 

.

1) , 

то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.



. 

2) Если , то

, 

то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Обозначим . Так как  , то нужное утверждение доказано. 

3) Если , то

.

4) Формула Муавра. Для , 

.

Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1. 

5) Обобщённая формула Муавра. Для , 

.

Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3). 

п.7. Показательная форма записи комплексного числа.

Обозначение. Для  обозначим

. (1)

Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа  в показательной форме принимает вид

. (2)

Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .

Теорема 5. Для  справедливы равенства:

1)  ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ; 

6) ; 

7)  

п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Из формул Эйлера следует, что для 

.

Складывая и вычитая эти равенства находим, что для :

(1) ;

(2) .

Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно,  , для , определяются равенствами:

; ;

; .

Если в формулах (1), (2), заменить  на , то мы получим формулы для определения значений . Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для :

; ;

; .

п.9. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть , . Комплексное число  называется корнем степени  из , если .

Теорема 6. Пусть ,  - множество всех корней степени из 1. Тогда алгебра - группа, (которая называется группой корней степени из 1).

Доказательство. Пусть .

Проверим, что умножение – бинарная операция. Имеем  - корень степени  из 1.

Проверим, что - унарная операция. Имеем  - корень степени  из 1.

Очевидно, что 1 – корень степени  из 1.

Доказано, что  - алгебра.

То, что алгебра  - группа, следует из свойств комплексных чисел.

Теорема 7. Для  существует точно  различных корней  степени  из 1, , . (1)

Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (1), являются корнями степени  из 1. Действительно, .

Докажем, что любой корень степени из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к. , то  можно записать в показательой форме .

Имеем . Поэтому , , , где . По теореме о делении с остатком, существуют такие , что , где . 

Значит, , , т.е. вычисляется по формуле (1).

Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.

Теорема 8. Пусть , , , . Тогда существует точно  различных корней  степени  из , , . (2)

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (2), являются корнями степени  из . Действительно, .

Пусть - корень степени  из . Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число , где  определено формулой (2). Имеем 

Следовательно  - корень степени  из 1, т.е.  совпадает с одним из чисел . Имеем  

Из вышедоказанного следует, что числа  попарно различны.

п.10. Мультисекция.

Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть

 - многочлен с числовыми коэффициентами, . Тогда

, (1)

где .

Доказательство. Для  равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для . Имеем

 (2)

Если  - целое, то  и .

Если  - не целое, то  и по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем , для которых . Отсюда следует (1). 

Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.

Следствие 1. Пусть . Тогда

. (3)

Доказательство. Рассмотрим многочлен

.

Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что

, 

где . Полагая  в последнем равенстве получим, что

. (4)

Имеем









.

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3). 

п.11. Упорядоченные поля.

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система 

 такая, что:

1) алгебра  - поле;

2)  - линейный порядок на ;

3) для 

;

4) для 

. 

Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок , согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел. 

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел. 

Теорема 9. Если  - упорядоченное поле, то для  из условия , следует, что .

Доказательство. Так как  - линейный порядок, то  или . Если , то по условию 4) . Если , то  и по условию 4), . 

Теорема 10. Если  - упорядоченное поле, то для  из условия  следует, что . 

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что  и . Из условия 3 следует, что . 

Теорема 11. Поле комплексных чисел  нельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел  упорядоченно. Так как , то по теореме 10  - противоречие. 

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001