Параллельный перенос в пространстве Лобачевского

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»



Физический факультет

Кафедра теоретической физики













Параллельный перенос в пространстве Лобачевского

Курсовая работа



Исполнитель:

студент группы Ф-46м _____________________ Замараева А.В.



Научный руководитель:

Доцент, К. Ф. – М. Н. , доцент кафедры теоретической физики

Капшай В. Н.













Гомель 2009


СОДЕРЖАНИЕ 



Введение 

1 Пространство мира 

2 Описание пространства Лобачевского 

3 Параллельный перенос вектора 

4 Геометрия Лобачевского 

Заключение 

Список использованных источников 




ВВЕДЕНИЕ



Основным признаком современных представлений о пространстве является их диалектический характер. Собственно говоря, именно диалектико-материалистический подход к проблеме пространства, стихийный или сознательный, имеющий свои корни в предшествующих философских и научных системах, и позволил создать картину пространства, объясняющую многие проблемы, перед которыми останавливались мыслители прежних эпох, но, пожалуй, ставящую еще больше новых проблем. Однако это естественно: чем больше мы узнаем, тем больше понимаем, насколько ограниченны наши знания, накопленные за всю историю человечества, перед миром.

Геометрия Лобачевского (как двумерная, так и многомерная) моделирует экспоненциальную неустойчивость геодезических на пространствах отрицательной кривизны. Аналогично, сфера моделирует возникновение сопряженных точек на пространствах положительной кривизны.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (то есть абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату. 




1 ПРОСТРАНСТВА МИРА



Корни развития представления о пространстве уходят в немецкую философию. Если Ньютон довел до логического завершения материалистически-атомистическую тенденцию развития представлений о пространстве, то идеалистическую трактовку пространства в наиболее развернутой форме дал Гегель, критически продолжив линию Лейбница и доведя ее с идеалистически-диалектических позиций до логического завершения. Пространство, считает Гегель, находится в неразрывной диалектической взаимосвязи со временем, движением и материей: “лишь в движении пространство и время действительны”, но “точно так же, как нет движения без материи, так не существует материи без движения”. 

Гегель утверждает: “...Пространство и время непрерывны в самих себе, и движущееся тело одновременно находится и не находится в одном и том же месте, т.е. одновременно находится в другом месте, и точно так же одна и та же временная точка существует и вместе с тем не существует, т.е. есть вместе с тем другая точка”. Или: «Две точки сливаются в единую точку, и в то время, когда они есть в одном, они также не есть в одном. Движение и состоит именно в том, что тело находится в одном месте и одновременно в другом месте, причем столь же верно, что оно находится не в другом, а именно в данном месте».

Пространство и время есть формы существования материи. В III веке до нашей эры Евклид завершил создание своей геометрии, которая господствовала в науке около трех тысячелетий и в практически неизменной форме дошла до нашего времени. Вспомним три основные аксиомы евклидовой геометрии: 

1) между двумя точками можно провести одну и только одну прямую; 

2) эта прямая есть кратчайшее расстояние между точками; 

3) через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. 

Обыденная практика подсказывает, что эти аксиомы совершенно очевидны и не требуют специального геометрического либо какого-то другого математического доказательства. 

Возможность отказа от одной из аксиом евклидовой геометрии либо построения любой другой внутренне непротиворечивой системы аксиом ставит вопрос о возможности существования других геометрий, описывающих пространство нашего мира.

В 1829 году русский математик Н. И. Лобачевский опубликовал статью “О началах геометрии”, в которой он утверждает, что возможно построение геометрии без аксиомы о параллельности прямых в смысле евклидовой геометрии, причем новая геометрия будет также логически непротиворечива. Аналогичная идея была высказана венгерским математиком Яношем Бояи и немецким математиком Карлом Гауссом. Интересно, что новые идеи возникли в одно и то же время независимо в Казани, Будапеште и Геттингене и долго оставались малоизвестной областью науки. 

Первым, кто целиком понял их значение, был выдающийся немецкий математик Бернхард Риман, создавший общую теорию геометрических многообразий (1854 год). Данная теория допускала не только существовавшие виды неевклидовых геометрий, но и многие другие, названные римановыми геометриями. Это было выдающееся обобщение классической геометрии, получившее признание лишь с развитием неклассической науки. 

Основная идея геометрии Лобачевского заключается в новой формулировке аксиомы параллельности, противоположной евклидовой: к данной прямой через данную точку, лежащую вне ее, можно провести по меньшей мере две прямые так, что они не пересекают данную прямую. Очевидно, что любая прямая, расположенная между этими прямыми и проходящая через данную точку, также не пересечет данную прямую. Таким образом, через данную точку можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной. Все другие аксиомы Евклида сохраняются. Из этого Лобачевский выводит ряд теорем, которые не противоречат друг другу, и строит логически непротиворечивую геометрию, которая значительно отличается от евклидовой и кажется весьма странной. Так, сумма углов треугольника всегда меньше 180°; невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую другие размеры; расстояние между двумя прямыми в одном направлении асимптотически увеличивается, а в другом, противоположном, асимптотически уменьшается; угол параллельности меняется в зависимости от расстояния от точки, через которую проводится параллельная линия, до данной линии и т.д. 

Можно построить двумерный образ геометрии Лобачевского путем вращения трактрисы вокруг оси OY как оси вращения. Полученная поверхность носит название псевдосферы. На такой поверхности кратчайшей линией между двумя точками будет кривая, называемая геодезической. Эта кривая и соответствует прямой Лобачевского. При передвижении фигуры по поверхности будет меняться кривизна фигуры, но сохранятся углы, отрезки и величина площади. 





Рисунок 2

Двумерный аналог геометрии Лобачевского: трасоида (а) и псевдосфера, образованная вращением трасоиды вокруг оси ОY (б). 



АВ – геодезическая (кратчайшее расстояние между точками А и В в пространстве Лобачевского. KLM – треугольник в пространстве Лобачевского;  М < 180°.

 Наглядный образ, соответствующий трехмерной геометрии Лобачевского, построить не удается, так как геометрия в обыденном представлении остается евклидовой. Однако удалось доказать логическую непротиворечивость и существование такой геометрии. Основная идея доказательства заключается в том, чтобы свести геометрию Лобачевского, построенную как планиметрию (т.е. на плоскости), к геометрии на трехмерной гиперповерхности постоянной отрицательной кривизны (аналогом такой гиперповерхности-псевдосферы может быть трехмерный гиперболоид) в четырехмерной евклидовой геометрии. Модель трехмерной геометрии Лобачевского можно представить в виде бесконечной седловидной поверхности гиперболической формы, поэтому такую геометрию обычно называют гиперболической. 

Риман обобщил геометрические представления и создал теорию произвольно искривленных пространств. Заслуга его состоит и в разработке частных случаев неевклидовых геометрий, в том числе в создании эллиптической геометрии, выступающей антитезой гиперболической геометрии Лобачевского. Эллиптическая геометрия – это геометрия на трехмерной гиперсфере. Двумерной ее аналогией является геометрия на поверхности обычной сферы. Здесь можно видеть, что представление о параллельных линиях вообще теряет всякий смысл, ибо все “параллельные” в локальном смысле линии представляют собой линии большого круга, пересекающиеся на полюсах сферы, а сумма углов треугольника, образованных этими линиями, всегда больше 180°. 

Следует особо отметить, что при малых величинах неевклидовы геометрии можно считать евклидовыми. 

Вот три рода изменений кривизны в пространстве, которые мы должны признать лежащими в пределах возможного:

Пространство наше, быть может, действительно обладает кривизной, меняющейся при переходе от одной точки к другой, – кривизной, которую нам не удается определить или потому, что мы знакомы лишь с небольшой частью пространства, или потому, что смешиваем незначительные происходящие в нем изменения с переменами в условиях нашего физического существования, последние же мы не связываем с переменами в нашем положения... 

Наше пространство может быть действительно тождественно во всех своих частях (имеет одинаковую кривизну), но величина его кривизны может изменяться как целое во времени. В таком случае наша геометрия, основанная на тождественности пространства, сохранит свою силу для всех частей пространства, по перемены в кривизне могут произнести в пространстве ряд последовательных видимых изменений. 

Мы можем мыслить наше пространство как имеющее повсюду приблизительно однородную кривизну, но легкие изменения кривизны могут существовать при переходе от одной точки к другой, в свою очередь изменяясь во времени. Эти изменения кривизны во времени могут произвести явления, которые мы не так уж неестественно приписываем физическим причинам, не зависящим от геометрии нашего пространства” 

Интересно то, что все эти три варианта изменения кривизны пространства нашли свое воплощение в общей теории относительности. 



ОПИСАНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛОБАЧЕВСКОГО



Представим отрезок АB в прямоугольной системе координат (евклидово пространство). Его длина определится по теореме Пифагора как 



(AВ)2 = (x2 - x1)2 + (у2 - у1)2, 				(1) 



где x1, x2, y1, y2 – проекции концов отрезка АВ на оси Х и Y, или 


(y2 . (2) 



Для бесконечно малого расстояния между двумя точками принят символ ds. Поэтому, если точки А и В сближаются все больше и больше, можно написать 



ds2 = dx2 + dy2 			(3) 



Предположим, что система координат относительно начала координат О повернулась на некоторый угол α.

Обозначим новую систему координат как X'Y'. Тогда расстояние между точками, не изменившееся по величине, запишем как 



 ds2= dx' 2 + dy' 2. 	 	(4) 



Поскольку при любом вращении или параллельном переносе координат величина расстояния не изменяется, она называется инвариантной относительно преобразования координат. Для косоугольной системы координат квадрат длины отрезка АВ, который называется в общем и строгом смысле квадратом интервала, запишем (на основе той же теоремы Пифагора) в виде 



ds2= dx 2 + dy 2 + 2 dxdy cos α			 (5) 



При этом, как можно видеть, численное значение интервала не изменяется, хотя формула для его выражения имеет более сложный вид, чем формула (3), т.е. и в данном случае интервал является инвариантом относительно замены координат. 

Рассмотрим описание интервала в неевклидовой геометрии. Но чтобы лучше понять смысл этого описания, сравним геометрию двумерного пространства с геометрией двумерной сферы. В качественном отношении эти пространства одинаково однородны и изотропны, так как и в случае сферы все ее точки эквивалентны относительно поворотов осей координат или их параллельного переноса. 

Введем сферическую систему координат. Она состоит из заданной фиксированной точки О, из произвольно ориентированной в пространстве прямой ρ, проходящей через центр О, из полуплоскостей, ограниченных этой прямой, из конических поверхностей с вершиной в точке О и прямой ρ в качестве оси и из сфер с центром в точке О. Прямая ρ как радиус есть параметр семейства сфер с центром О. Параметром семейства полуплоскостей является угол φ, который образует полуплоскость с так называемой полуплоскостью нулевого меридиана (аналогична географической долготе). Параметр семейства конических поверхностей – угол раствора θ, который измеряется между положительным направлением прямой ρ и образующей боковой поверхности конуса (полярный угол). 

Выберем из семейства сфер, задаваемых параметром ρ, некоторую сферу радиусом r (ρ = r). Тогда координаты точки А на поверхности сферы определяются на основе сказанного следующим образом. Зафиксируем большой круг QQ', называемый экватором, и большой круг PР', называемый пулевым меридианом (Р и Р' – полюса). Большие полукруги сферы, исходящие из полюса Р, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, – долготами. Угол φ, т.е. угол между нулевым меридианом и меридианом точки A (азимутальный угол), отсчитываемый против часовой стрелки (долгота), и угол θ, отсчитываемый от полюса Р до долготы точки А (полярный угол), вполне задают координаты точки А. Аналогичным образом определяются координаты точки В. Тогда интервал между двумя бесконечно близкими точками А и В (элементарный интервал АВ) можно получить из выражения 


ds2 = r2 sin2  .		 (6) 



Выражение (6) никакими преобразованиями нельзя свести к простой формуле (3) одновременно для всей поверхности сферы. Такую операцию можно осуществить лишь локально, выбирая направление на бесконечно малом участке сферы, так чтобы = 90°, и это фиксирует систему координат применительно только к данному участку сферы. В целом же, глобально, сделать это невозможно, что отражает неевклидовость сферы. 

Следующий шаг по пути обобщения представления пространственного интервала связан с его описанием на любой произвольной криволинейной поверхности. Из анализа сферической системы координат мы видим, что вводятся элементы, фиксирующие тот факт, что поверхность искривлена, т.е. углы и радиус, которые, однако, при минимальной значимой локализации (грубо говоря, “выпрямлении” кривизны, представлении каждой достаточно малой локальной области поверхности в виде плоскости) дают инвариантный интервал – интервал, не изменяющий своей величины при преобразовании координат. 

Представим, что мы имеем координатные линии любого искривления, в наиболее простом виде – косоугольные (гауссовы) с двумя измерениями U и V. Тогда 



ds2 = К du2 + 2L du dv + М dv2 , 		(7) 



где К, L, М – величины, меняющиеся от точки к точке, т.е. характеризующие искривление поверхности. Эти величины могут измеряться с помощью бесконечно малых масштабов длины и угла и характеризуют геометрию самой поверхности. 

Прикладывая бесконечно малые интервалы друг к другу, мы можем найти кратчайшее расстояние между двумя точками, которое в самом общем случае называется геодезической. Последняя является аналогом прямой линии в декартовой прямоугольной системе координат (евклидовом пространстве). Для каждого бесконечно малого интервала мы можем построить окружности и на этой основе определить соответствующие углы (предлагаем сравнить со сферической системой координат). Прямые линии и углы позволяют нам проводить любые геометрические построения. 

Эти линии и углы с геометрической (но не с физической) точки зрения поддаются точным измерениям. Если поверхность евклидова декартовой системой координат, то наши измерения подтвердят аксиомы Евклида. Если поверхность – сфера, то постулат о параллельности прямых не выполняется. Не выполняется и постулат о бесконечной протяженности прямой линии. В этом случае каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает ее, а движение от данной точки по прямой снова приведет в эту данную точку независимо от направления перемещения. Если же поверхность образована вращением трасоиды вокруг оси (простейшая псевдосфера Лобачевского), то через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более чем одна линия, лежащая в одной плоскости с данной прямой и не пересекающая ее. 

Можно сказать, что кривизна – это величина, характеризующая отклонение кривой (линии либо поверхности) от прямой (линии или плоскости). Отклонение дуги АА' кривой L от касательной АВ к точке А можно описать так называемой средней кривизной kcp этой дуги, равной отношению величины угла α между касательными в точках А и А' к длине s дуги АА': 



				(8)



Для дуги окружности радиусом r путем сравнения выражения длины дуги s, получаемого из равенства (8), с известным выражением длины дуги окружности можно показать, что 


				(9) 



Таким образом, можно видеть, что чем больше радиус дуги, тем меньше кривизна, и наоборот, т.е. средняя кривизна достаточно наглядно показывает степень искривленности. Пусть точка А' стремится к точке А, т.е. 0.Тогда мы получим предельное значение средней кривизны kcp кривой L в точке А: 



	 		(10) 



Для характеристики кривизны поверхности в окрестностях точки А построим плоскость L, проходящую через нормаль NA к поверхности в точке А, т.е. через прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную касательной прямой в этой точке поверхности. Построенная нами плоскость L будет естественно перпендикулярна плоскости K, касательной к поверхности S в точке А. Ясно также, что существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через данную нормаль, и каждая из них пересекает поверхность по некоторой кривой, которую в малой окрестности точки А можно считать частью окружности. 

Предположим, далее, что наша плоскость поворачивается вокруг нормали как оси. Тогда можно видеть, что радиус таких окружностей будет непрерывно меняться, так как в каждый момент меняется кривизна поверхности в окрестности точки А, называемая нормальной кривизной поверхности в этой точке. Мы получим непрерывное множество значений нормальной кривизны.

Можно также заметить, что существуют максимальное и минимальное значения радиусов получаемых окружностей, следовательно, существуют соответствующие минимальное н максимальное значения нормальной кривизны. Если R1 и R2 – максимальный и минимальный радиусы, то k1 = 1/R1 и k2 = 1/R2 – минимальное и максимальное значения кривизны, которые называются главными значениями кривизны поверхности в точке А. Вводимые по определению величина 



	 (11) 



называемая гауссовой кривизной поверхности в точке А, и величина 



	 (12) 



называемая средней кривизной поверхности в точке А, полностью характеризуют отклонения поверхности от плоскости. В частности, если k и kcp равны 0 во всех точках поверхности, то поверхность представляет собой плоскость. 

Интересен тот факт, что гауссова кривизна не меняется при изгибаниях поверхности и описывает без обращения к еще одному измерению пространства (т.е. к пространству, объемлющему поверхность) так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Средняя кривизна связана с внешней формой поверхности. В случае одномерной линии для определения ее кривизны придется выйти в двумерное пространство. Совершенно ясно, что для гипотетических обитателей двумерной поверхности, для которой мы выясняли смысл понятия кривизны, наши построения невозможны, так как для двумерного существа понятия нормали к точке А не существует, ибо сама нормаль непредставима, как непредставима для нас нормаль к нашему пространству из пространства с большим числом измерений: она лежит во внешнем пространстве и находится, таким образом, целиком вне поверхности. Не могут построить они и окружности к точке А, также выходящие в трехмерное пространство. 

Следовательно, на первый взгляд эти двумерные существа не смогут понять смысл величин R1 и R2 и выявить кривизну своей поверхности в точке А. Ведь и нам, чтобы доказать, что Земля сфероподобна, необходимо выйти в третье измерение – вспомним известный пример с судном, движущимся к нам из-за горизонта. Но если нас окутывает сплошной, непроницаемый туман, то как мы сможем “увидеть” трехмерность нашего пространства и доказать тем самым сфероподобность Земли? 

Оказывается, кривизну можно выявить и не выходя за пределы измерений исследуемой поверхности, если воспользоваться измерением уже упомянутых величин К, L и М. Так, для Земли мы обнаружим, что сумма углов достаточно большого треугольника больше 180°. Таким образом, зная величины К, L и М, можно определить кривизну поверхности, не выходя за ее пределы. И если k = 0, то мы имеем евклидову геометрию, в случае k >0 имеет место сферическая геометрия, при k < 0 – геометрия Лобачевского. 

В последнем случае отрицательность кривизны объясняется следующим. Представим некую седловидную поверхность, отвечающую требованиям геометрии Лобачевского. Для такой поверхности два главных нормальных сечения, определяющих максимальное и минимальное значения кривизны, лежат в противоположных направлениях от точки А, а значит, радиусы кривизны необходимо взять с разными знаками. Поэтому произведение R1R2 оказывается отрицательным числом. 



ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА



 В евклидовом пространстве равенство и параллельность двух векторов, отнесенных к разным точкам, формулируется весьма просто. Два вектора равны и параллельны, если их декартовы составляющие равны. То же определение, очевидно, годится и для векторов в плоскости . Оно непосредственно обобщается и на случай изогнутой поверхности, развертывающейся на плоскость. Если же мы имеем произвольную (не развертывающуюся) поверхность, то параллельность двух лежащих в ней векторов может быть определена только если точки приложения этих векторов бесконечно близки. Вектор на поверхности мы можем рассматривать как вектор в пространстве, касательный к поверхности в точке его приложения. Если дан вектор на поверхности в точке P, то параллельный ему (в смысле геометрии на поверхности) вектор в бесконечно близкой точке Q может быть построен следующим образом. Данный вектор в точке Р мы рассматриваем как пространственный вектор, и строим в точке Q параллельный ему в обычном смысле пространственный вектор, а затем проектируем его на плоскость, касательную к поверхности в точке Q. Этот касательный вектор в Q мы и считаем параллельным данному вектору в Р. 

Аналитически это построение может быть выполнено следующим образом. Пусть у1, у2, у3— декартовы координаты в евклидовом пространстве, а х1, х2— координатные параметры поверхности. Параметрические уравнения поверхности имеют вид:



y1=y1(x1, x2), y2=y2(x1, x2), y3=y3(x1, x2) (13) 



и квадрат элемента дуги на поверхности будет равен

	

	ds2 = g11dx12 + g12 dx1 dx2 + g21 dx2 dx1 + g22 dx22	 (14)

	

	где 

	

	 (15)



Пусть A1, A2 — ковариантные и A1, A2 — контравариантные составляющие некоторого вектора на поверхности в точке Р(х1, х2). Мы можем рассматривать его как пространственный вектор с прямоугольными составляющими

	

	Yn= A1 +  A2 , ( n=1, 2, 3 ) , (16)

	

	Причем будет 

	 

 , ( l =1, 2) . (17) 



Если мы, перейдя к точке Q(x1+dx1 , x2+dx2), не изменим прямоугольных составляющих Yn, мы получим пространственный вектор, который уже не будет касательным к поверхности. Но его касательные составляющие определят на поверхности вектор 



 , (18)



который мы и считаем, по определению, результатом параллельного (в смысле геометрии на поверхности) переноса вектора Аl в точку Q. Нормальная же составляющая Yn, очевидно, из формулы (18) выпадает.

В формуле (18) добавка к учитывает изменение этой величины при переходе от Р к Q. Из-за этой добавки составляющая Аl получает приращение



 (19)



Подставляя сюда выражение (16) для Yn, получаем


 (20)



На основании выражения (15) для gik нетрудно проверить, что в формуле (20) сумма по n равна 



 , (21)



или, если воспользоваться обозначением для скобок Кристоффеля,



, (22)



Таким образом, приращение составляющих вектора при параллельном переносе будет равно



 , (23)



Существенно отметить, что это приращение зависит только от внутренних свойств поверхности, определяемых выражением (14) для ds2.

Пусть коэффициенты квадратичной формы

	

	ds2 = gaβdxadxβ 	(24)



представлены в виде



 (25)


где числа еn равны ± 1, а



 (26)



Величины уn мы можем формально толковать как декартовы координаты в некотором многомерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой, определяемой выражением 



, (27)



а наше пространство-время — как некоторую гиперповерхность в этом многомерном пространстве.

Обычному контравариантному вектору Аα в пространстве-времени будет соответствовать в многомерном пространстве касательный к гиперповерхности вектор с декартовыми составляющими



 , (28)



(здесь и в дальнейшем снова подразумевается суммирование по греческим значкам от 0 до 3). Отсюда получаем на основании (25) следующие выражения для ковариантных составляющих вектора Аα:



 , (29)



Значения составляющих вектора Аα после его параллельного переноса в бесконечно близкую точку мы можем, аналогично (18), определить по формуле


 , (30)



Откуда 



, (31)



и после подстановки вместо Yn его выражения из (28)



, (32)



Но из (25) следует, аналогично (22),



, (33)



где Гγ,αβ — обычные скобки Кристоффеля 



 , (34)



Поэтому формула для приращения составляющих вектора при параллельном переносе напишется



, (35)


так же как и в случае обыкновенной поверхности в обычном евклидовом пространстве.

В формулу (35) входят как ковариантные, так и контравариантные составляющие вектора, но нетрудно выразить в ней обе части через одни и те же составляющие. Мы имеем



, (36)

, (37)



Поэтому 



, (38)



Сюда входят только ковариантные составляющие. С другой стороны,



, (39)



и, как легко проверить, 



, (40)



Отсюда



, (41)


и, следовательно, формула для контравариантных составляющих имеет вид, (42)

Рассмотрим изменение скалярного произведения двух векторов при параллельном переносе. Тогда 



. (43)



Подставляя сюда выражение для  из (42) и написав, согласно (38),  в виде



, (44)

, (45)



Таким образом, скалярное произведение двух векторов при параллельном переносе не меняется. В частности, не меняется и абсолютная величина вектора.

Можно также определить параллельный перенос и вдоль любой заданной кривой. Пусть координаты точки на кривой заданы как функции некоторого параметра р:



xβ= xβ(p) , (46)



Величины  (которые являются функциями координат) также будут известными функциями от р. Для определения вектора Аν в функции от р мы будем иметь дифференциальные уравнения


. (47)



Если заданы значения Аν для начальной точки кривой, то, интегрируя уравнения (47), мы получим значения Аν и для конечной точки кривой. Тем самым мы произведем параллельный перенос вектора из начальной точки в конечную. Результат будет, очевидно, зависеть от вида кривой, вдоль которой производится перенос.

Сравним уравнения (47) параллельного переноса с уравнениями геодезической линии 

(Геодезическая линия, кривая, главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями поверхности, на которой та расположена. Кратчайшее расстояние между двумя точками по поверхности - геодезическая линия, но не всегда обратно.)



, (47*)



Те и другие уравнения совпадут, если мы положим



, (48)



Если геодезическая линия временно-подобна (т. е. соответствует движению точки со скоростью, меньшей скорости света), то в качестве параметра р можно взять собственное время τ, и вектор Аα будет совпадать с четырехмерной скоростью. Таким образом, в этом случае уравнения геодезической линии можно толковать как уравнения параллельного переноса вектора скорости вдоль направления, даваемого этим же самым вектором (в четырехмерном смысле).

Из уравнений параллельного переноса для вектора нетрудно получить соответствующие уравнения для тензора любого ранга. В качестве примера рассмотрим случай ковариантного тензора второго ранга Тµν. Мы будем исходить из требования, чтобы инвариант



, (49)



не менялся при параллельном переносе, каковы бы ни были векторы Aµ и Вν Меняя обозначения значков, мы можем написать величину  в виде 



. (50)



Так как это выражение должно обращаться в нуль при любых Аµ и Bν, мы должны иметь



. (51)



что и является искомым обобщением уравнений параллельного переноса.



ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО



Исторически геометрия Лобачевского возникла как первая неевклидова геометрия, осознанная как таковая. Именно с представлениями о геометрии Лобачевского как о типичном представителе пространств отрицательной кривизны связаны в основном физические приложения этой науки. Среди этих приложений наиболее традиционными являются приложения в общей теории относительности, которая, с математической точки зрения, базируется на геометрии искривленных пространств. Геометрия Лобачевского (как двумерная, так и многомерная) моделирует экспоненциальную неустойчивость геодезических на пространствах отрицательной кривизны. Аналогично, сфера моделирует возникновение сопряженных точек на пространствах положительной кривизны.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (то есть абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату. 

Через точку, лежащую вне прямой в плоскости, определяемой ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающих данной прямой.

Заметим, что существование хотя бы одной прямой, проходящей через данную точку и не пересекающей данной прямой, есть факт абсолютной геометрии. Аксиома Лобачевского утверждает существование по крайней мере двух таких прямых. Отсюда немедленно следует, что таких прямых существует бесконечное множество.

Плоскость, в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью Лобачевского.

Заметим также, что геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией, в соответствии с чем плоскость и пространство Лобачевского называются гиперболическими.

В плоскости Лобачевского две прямые могут либо пересекаться, либо могут быть параллельными в некотором направлении, либо расходящимися. Поэтому в плоскости Лобачевского существует три вида пучков прямых:

1) пучок прямых, пересекающихся в одной точке, называемой центром пучка; такой пучок называется центральным или эллиптическим;

2) пучок прямых, параллельных в заданном направлении некоторой прямой, называемой осью пучка; такой пучок называется параболическим;

3) пучок расходящихся прямых, перпендикулярных к некоторой прямой, называемой базой пучка; такой пучок называется гиперболическим.

Любой из этих пучков определяется двумя своими прямыми, а параболический – одной с выбранным на ней направлением и что через всякую точку плоскости (кроме центра эллиптического пучка) проходит одна и только одна прямая пучка.

Эти три вида пучков связаны с тремя основными кривыми плоскости Лобачевского, являющимися кривыми постоянной кривизны.

Определение. Секущей равного наклона к двум данным прямым называется прямая, которая при пересечении с данными образует равные внутренние односторонние углы.

Определение. Если a и b – две прямые пучка и AB – какая-нибудь секущая равного наклона, пересекающая a и b в точках A и B, то эти точки называются взаимно соответственными относительно пучка.

Возьмём какую-нибудь прямую a данного пучка и на ней произвольную точку A. Тогда, проводя через точку A секущие равного наклона ко всем прямым пучка, мы на каждой прямой пучка найдём точку, соответственную точке A относительно пучка. Геометрическое место всех таких точек определит на плоскости некоторую линию. В зависимости от того, какого рода пучок рассматриваем, мы получим различные линии, построенные указанным выше способом.

Определение. Геометрическое место точек, соответственных некоторой точке A, взятой на одной прямой пучка, называется окружностью, орициклом (или, иначе, предельной линией) или эквидистантой в зависимости от того, будет ли данный пучок прямых соответственно эллиптическим, параболическим или гиперболическим. Сама точка A также включается в соответствующее геометрическое место.

Заметим, что прямая, как база гиперболического пучка, является частным случаем эквидистанты.

Орицикл может скользить по себе самому без деформации, подобно тому как это имеет место для прямой и окружности.

Таким же свойством обладает и эквидистанта: если заставить скользить по самой себе базу эквидистанты, то и сама эквидистанта будет скользить сама по себе без деформации, ибо расстояния всех точек эквидистанты от базы равны между собой.

Таким образом, в геометрии Лобачевского имеется четыре типа линий постоянной кривизны: прямая, окружность, орицикл и эквидистанта.

В отличие от окружности орицикл и эквидистанта – линии незамкнутые

Пространство, в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется пространством Лобачевского.

В пространстве Лобачевского параллельность и расходимость прямых, а также прямой и плоскости, определяется следующим образом:

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными (расходящимися), если они лежат в одной плоскости и в этой плоскости они параллельны (расходятся).

Определение. Прямая a называется параллельной плоскости α, если она параллельна своей проекции на эту плоскость.

Определение. Прямая a называется расходящейся с плоскостью α, если она расходится со своей проекцией на эту плоскость.

Из последних определений немедленно следует, что прямая, параллельная плоскости, неограниченно сближается с последней в сторону параллельности, а прямая, расходящаяся с плоскостью, имеет с этой плоскостью единственный общий перпендикуляр, в обе стороны от которого в проектирующей плоскости прямая неограниченно удаляется от плоскости.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского вполне характеризуется при помощи так называемого конуса параллельности, являющегося аналогом понятия угла параллельности.

Пусть дана плоскость α и не лежащая на ней точка A. Пусть AA' – перпендикуляр к α, проектирующий точку A в точку A' на плоскости α. Пусть далее AB – прямая, параллельная плоскости α, и A'B' – её проекция на α. Тогда угол BAA' есть угол параллельности в точке A прямой AB относительно прямой A'B'. Будем вращать прямую AB около перпендикуляра AA', тогда AB опишет круглую коническую поверхность с вершиной в точке A, все образующие которой параллельны плоскости α. Эта поверхность называется конусом параллельности в точке A относительно плоскости α. Таким образом, конусом параллельности в точке A относительно плоскости α называется геометрическое место всевозможных прямых, параллельных плоскости α в точке A.

Из этого определения ясно, что всякая прямая, проходящая через точку A и лежащая внутри конуса параллельности, пересекает плоскость α, а всякая прямая, проходящая через точку A и лежащая вне конуса параллельности, расходится с плоскостью α.

Конус параллельности в точке A позволяет все плоскости, проходящие через точку A, разбить на три категории: 

1) плоскости, пересекающие конус по двум образующим, 

2) плоскости, касающиеся конуса по образующей, 

3) плоскости, имеющие с конусом лишь одну общую точку A.

Плоскости 1-й категории содержат прямые, проходящие через A и лежащие внутри конуса параллельности, а потому эти плоскости пересекают плоскость α. При этом прямая пересечения с плоскостью α параллельна в противоположных направлениях проекциям образующих, по которым плоскость 1-й категории пересекает конус параллельности. Плоскости 2-й и 3-й категории не содержат прямых, проходящих внутри конуса параллельности, а потому не могут пересекаться с плоскостью α.

Определение. Плоскость, проходящая через точку A, называется сходящейся с плоскостью α, параллельной плоскости α, или расходящейся с плоскостью α, смотря по тому, будет ли эта плоскость пересекать конус параллельности в точке A по паре образующих, или будет касаться конуса по образующей, или не будет иметь с конусом общих прямых.

В плоскости Лобачевского через точку, лежащую вне прямой, проходят две прямые, параллельные данной. В пространстве Лобачевского через точку, лежащую вне плоскости, можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости, это и будут образующие конуса параллельности.

В пространстве Лобачевского существует четыре типа поверхностей, которые могут без деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой её точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Эти поверхности являются аналогами прямой, окружности, орицикла и эквидистанты на плоскости. Построение этих поверхностей может быть проведено по тому же плану, что и построение основных кривых на плоскости. Для этого воспользуемся понятием связки прямых.

Определение. Связкой прямых называется совокупность всех таких прямых в пространстве, каждая пара которых лежит в одной плоскости. Эти плоскости называются плоскостями связки.

Из этого определения вытекает, что в пространстве Лобачевского существует лишь три типа связок в соответствии с тремя возможностями взаимного расположения пары прямых в плоскости Лобачевского.

Действительно, пусть a и b – две прямые связки. Так как они по определению лежат в одной плоскости, то возможны три случая:

1) либо a и b пересекаются в некоторой точке O (такая связка называется эллиптической),

2) либо они параллельны (такая связка называется параболической),

3) либо они расходятся (такая связка называется гиперболической).

Таким образом, пространство Лобачевского имеет свои особенности и очень интересно в изучении.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Каждому уровню физической материи соответствует своя специфическая геометрия, ибо специфические физические явления того или иного уровня определяют специфические свойства пространства данного уровня. И бесконечно большое количество этих уровней (в силу бесконечного разнообразия мира) определяет бесконечное количество пространств и соответственно геометрий, описывающих свойства пространства.

В конечном итоге понятно, что можно построить другие геометрические системы, и все их наряду с евклидовой проверить на различных моделях физического пространства вселенной, т.е. использовать физические соображения в качестве основы для доказательства. Классическая механика построена на основе евклидового пространства и поскольку она достаточно достоверна, то достоверна и евклидовость пространства. Однако сама классическая механика ограничена предметом исследования, поэтому и подтверждение ею евклидовости пространства также ограничено. 

Итак, строго говоря, одним каким-то опытом или даже некоторой ограниченной группой опытов евклидовость пространства однозначно не доказывается. Изменение же системы аксиом приводит к созданию новых геометрий. Заметим также, что геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией, в соответствии с чем плоскость и пространство Лобачевского называются гиперболическими.




СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



	Черников, Н. А., сб. «Физика элементарных частиц и атомного ядра» / Н. А. Черников.- М.: Атомиздат, 1973.- 163 с.

	 http://geom.kgsu.ru/index.php?option=content&task=view&id=27#Prokl

	Фок, В. А./ Теория пространства, времени и тяготения. / В. А. Фок.-М.: Наука, 1961.-415с.

	 Котельников, А.П. Сборник «Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике»/ А. П. Котельников, В. А. Фок– М.: Гостехиздат, 1950.-210с.

	 Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теория поля. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц -М., Наука, 1988.-509с.

	 Лобачевский, Н. И. Геометрические исследования по теории параллельных линий. / Н. И. Лобачевский.- М.: Акад. наук СССР, 1945.-267с.

	8. Лобачевский, Н. И. Полное собрание сочинений. Т. 1. / Под общ. ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, В. В. Степанова и др. Гл. ред. В. Ф. Каган.- М: Гостехиздат, 1947.-286с.

	9. Лобачевский, Н. И. Полное собрание сочинений Т. 2. / Гл. ред. В. Ф. Каган. -М: Гостехиздат, 1949.-310с

	10. Лобачевский, Н. И. Полное собрание сочинений Т. 3. / Гл. ред. В. Ф. Каган. М.: Гостехиздат, 1951с.-298с.

	11. Норден, А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. / А. П. Норден.- М. :Гостехиздат, 1953.-257с.

	12. Широков, П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. 2-е изд. / П. А. Широков.- М.: Наука, 1983.-178с.