Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ























Контрольная работа

«Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня»









Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е.









Рязань 2007


Расчетная часть.



I.Заданное нелинейное уравнение и интервал изоляции корня:



.



II.Схема алгоритма отделения корней





Разбиение исходного интервала , на котором определена и непрерывна функция ,на n отрезков равной длины:





	

	Вычисление значения функции  в точках  



концах отрезка  

Выделение отрезка 

Длина отрезка  достаточно мала (можно предположить единственность корня)



Корень отделен на интервале 

Границы исходного отрезка сдвигаются



 ()



Воспользуемся приведенным выше алгоритмом для отделения корня уравнения на заданном отрезке:

Разобьем интервал изоляции корня  на n отрезков равной длины:







Вычисляем значения функции в точках :





На концах отрезка (1;2) функция имеет разные знаки и он достаточно мал для определения корня.



III. Уточнение корня методом половинного деления

	Отделение корней, нахождение отрезка изоляции

	

	Вычисление f(a)

	

	=(a+b)/2

	

	Вычисление f()

		

		a=f(a)*f()<0                                                                b=

		

		

		Вывод 

 Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом половинного деления с погрешностью. 

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.



     



Т.к.f() то выбираем другой отрезок  [1;1,5] на концах которого функция имеет разные знаки  и продолжаем вычисления.



 



Выбираем отрезок   [1;1,25] ,





  является корнем т.к. нам необходимо найти корень с заданной погрешностью и выполняется условие прекращения вычислений:



;



Мы нашли корень за 2 шага.

Проведем вычисления в системе MathCAD



 В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.

IV. Уточнение корня методом хорд.



	Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.











	

	

	Вывод 

	

Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом хорд с погрешностью. 

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

Для того чтобы определить какой формулой метода хорд необходимо воспользоваться найдем значения первой и второй производной на концах отрезка изоляции корня:









Нашли корень за 1 шаг. Проведем вычисления в системе MathCAD.





В системе MathCAD мы нашли корень за 2 шага, это объясняется более высокой точностью MathCAD по сравнению с расчетами вручную.



V. Уточнение корня методом касательных.



Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.



	

	

		

		

	Вывод 


Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом касательных с погрешностью. 

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.







Нашли корень за 2 шага. Проведем вычисления в системе MathCAD.





В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.



VI. Уточнение корня методом простой итерации.



Отделение корней, нахождение отрезка изоляции

	

	[c;d]=[a-h;b+h]

		

		Приведение уравнения

		

		f(x)=0 к виду  x=g(x)

		n=0

		

		                                     n=n+1

		

	Вывод 

	

Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом простой итерации с погрешностью. 

Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.







Значит, итерационный процесс не применим, расходится и не позволяет получить решение.

	Вывод: Изучили различные методы уточнения корней нелинейных уравнений (метод половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). На основе полученных нами результатов можно сделать вывод о том, что высокую скорость сходимости при решении уравнений дает метод хорд и метод касательных. Скорость сходимости методов половинного деления и простой итерации  небольшие, но они наиболее легко реализуются на ЭВМ.