функция

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ

ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ

ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА











Реферат



Тема: «Функция»









                              Выполнил: Ярмонтович Д.А.



                                           Проверила:











УССУРИЙСК 2006


СОДЕРЖАНИЕ



1)Введние

2)Линейная функция

3)Квадратичная функция

4)Степенная функция

5)Показательная функция (экспонента)

6)Логарифмическая функция

7)Тригонометрическая функция 

-Функция синус

-Функция косинус

-Функция тангенс

-Функция котангенс

8)Обратная функция

-Arcsin x

-Arctg x

9)Список Литературы


введение



К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)


Линейная функция.



 Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число  - свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси . 

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси . 



График линейной функции - прямая 





		Область определения – все действительные числа.

		Область значений – все действительные числа.

		Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).

		Линейная функция ни четная ни нечетная.

		Функция возрастает если k>0,

Функция убывает если k<0.

		Функция непрерывна.




Квадратичная функция.



 Это функция вида ,

Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке . 



Парабола () 



В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз. 



.Парабола с вершиной в точке () 



Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.

При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.



f(x) = (x+1/2)2

y

0

x

y

f(x) = x2



-1/2

x

0         Рис. 4                                                   Рис. 5



Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

Функция имеет единственную критическую точку 

x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +); при a<0 – множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).

График функции

f(x)=ax2+bx+c

(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).



Степенная функция.



 Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи: 

а). Если , то . Тогда , ; если число  - чётное, то и функция  - чётная (то есть при всех ); если число  - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ). 



График степенной функции при 



б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если  - чётное число, то и - чётная функция; если  - нечётное число, то и  - нечётная функция. 



График степенной функции при 



Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла). 

в). Если  - не целое число, то, по определению, при : ; тогда , . 



График степенной функции при 



При , по определению, ; тогда . 



График степенной функции при 

Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел. 

Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.

Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

Степенная функция непрерывна во всей области определения.

Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x)= .x-1.

Степенная функция x  монотонно возрастает во всей области определения при <0. 







1

y = x 5/2

1

y                                                    



y = x1/2

y  0          1                    x                    0           1                    x                                 





При  <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 – вогнутостью вниз.


Показательная функция (экспонента).



Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид: 



.График показательной функции при 



При вид графика такой: 



Рис.1.20.График показательной функции при 



Число  называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.

Область значения функции – множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax) =axlna

При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.

График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.



Логарифмическая функция.



 Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид: 



График логарифмической функции при 



При график получается такой: 



График логарифмической функции при 



Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле



(loga x) = 1/(x ln a).



Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

При любом основании a>0, a1, имеют место равенства



loga 1 = 0, loga a =1.

При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.


тригонометрические функции



Функции sin , cos , tg , ctg  называются тригонометрическими функциями угла . Кроме основных тригонометрических функций sin , cos , tg , ctg .



Функция синус

.

 . Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков: 



График функции 



                           

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах. 

Область определения – множество всех действительных чисел.

Область значения – промежуток [-1; 1].

Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

       sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x=n, n  Z.

Промежутки знакопостоянства:

    sin х>0 при x  (2n; +2n), n  Z,

    sin х<0 при x  (+2n; 2+2n),  n  Z.

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n  Z,

      и убывает при x ((/2)+2n; ((3)/2)+ 2n), n  Z.

Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-/2)+2n, n  Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n, n  Z.



Функция косинус.



 . Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков: 



График функции  Область определения – множество всех действительных чисел.

Область значения – промежуток [-1; 1].

Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

       cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n  Z.

Промежутки знакопостоянства:

    cos х>0 при x  ((-/2)+2n; (/2)+2n)), n  Z,

    cos х<0 при x  ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)),  n  Z.

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n), n  Z,

      и убывает при x (2n;  + 2n), n  Z.

 Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=+2n, n  Z, и максимальные



Функция тангенс.



 (в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ; 



то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль. 



График функции  Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n, n  Z.

Область значения – множество всех действительных чисел.

Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x=n, n  Z.

Промежутки знакопостоянства:

    tg х>0 при x  (n; (/2)+n), n  Z,

    tg х<0 при x  ((-/2)+n; n),  n  Z.

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos2 x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-/2)+n; (/2)+n), n  Z,



Функция котангенс.



 (в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ; 



то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0. 



График функции  Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n  Z.

Область значения – множество всех действительных чисел.

Функция сtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n  Z.

Промежутки знакопостоянства:

    ctg х>0 при x  (n; (/2)+n), n  Z,

    ctg х<0 при x  ((/2)+n; (n+1)),  n  Z.

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin2 x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков   (n; (n+1)), n  Z.



Обратные тригонометрические функции.



Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.

Arcsin x : 

Область определения – [-1; 1].

Область значений – [-П\2; п\2].

Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)





Графики главной ветви и 



Arctg x :

Область определений – R.

Область значений - интервал  (-П\2; П\2).

Монотонно возрастающая функция.

прямые у=-П\2 и у=П\2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13) 



Графики главной ветви и 


Список использованной литературы



Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М.,     1991 г.