Шпаргалка по Математике 4

1. ЧР наз. сходящимся, если 

КК сходимости ЧР:



// Если ряд сходится, то





3. Интегральный ПК сх.Р:









5. Признак Коши:







7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР:

Признак Абеля:





Признак Дирихле:

Ряд anbn сходится, если:







9. Действия над рядами.

По определению полагают:





Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно.



11. КК РС функ. ряда:









13. Признаки РС ф. рядов.

Признак Абеля: Ряд



сходится равномерно на X, если: 1) Ряд an сх. равн. на X; 2) функции bn(x) ограничены в совокупности и x образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множестве X, если: 1) Част. суммы an(x) (n=1,…,N) в совокупности ограничены; 2) посл-ть bn(x) (n=1,2,…) монотонна x и равномерно на X стремится к нулю при n.



15. Непрерывность и lim пер.

Th:{ft; tT}, ft: X C; B-база в T. Если ft сх.равн. к f на X при базе B и функции ft непрерывны в точке x0X, то функция f: X C тоже непрерывна в этой точке.







Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.



17. Интегрирование и lim.

Th: {ft , tT}, ft:[a,b]C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и ft сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и









Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a,b] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a,b],





19. Характер сх. ст. ряда.

Th: Степенной ряд



сходится в круге K={zC | | z – z0 | < R}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:



Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга K сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.



21. Дифф. и  ст. рядов:

Th: Если круг KC сходимости ст. ряда



не сводится к единственной точке z=z0 , то внутри K сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем



Кроме того, f(z):KC можно интегрировать по любому гладкому пути :[0,1]K, и если



то





23. Ряд Тейлора.

Аналитическая в точке a ф-я f (x) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд



Остаточный член в форме Лагранжа:



в форме Коши:



Основные разложения:







25. Алгебры функций.

Совокупность A вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gA и R(C) следует, что









27. Теорема Стоуна:

Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R).



29. Теорема Вейерштрасса:

Если f C([a,b],C), то  {Pn; nN} многочленов Pn:[a,b]C, что Pn сх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fC([a,b],R), то и многочлены Pn можно выбрать из C([a.b],R).



31. Дифф. и непр. собств. (пар).

Непрерывность: P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}. Если функция f :PR непрерывна, то ф-я



непрерывна в любой точке y[c,d].

Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл  принадлежит к классу C(1)([c,d], R), причем





33. Пр. Вейерш.РС несоб.(пар).

Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,]  yY.

Если x[a,], yY  | f(x,y)| ≤ g(x,y), а интеграл



сходится равномерно на Y, то интеграл



сходится абсолютно y и равномерно на мн-ве Y.



35. lim перех. под. знаком.н..

Th: Пусть f(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x[a,), и пусть BY -база в Y.





Следствие: Пусть yYR вещ. ф-я f(x,y) неотрицательна и непрерывна на x[a,). Если с ростом y ф-ции f(x,y), монотонно возрастая, стр. к (x), C([a,],R) и 



то справедливо равенство (*).



37. Дифф. н.(пар).

Th: Если

а) ф-ции f(x,y), f’y(x,y) непрерывны на {(x,y)R2| x[a,), y[c,d]},

b) интеграл



c) интеграл



то он сх. равн. на Y; при этом ф-я F(y) оказывается дифференцируемой и





39. Интегрирование н.(пар):

Если f(x,y) непрерывна на {(x,y)R2| x[a,), y[c,d]} и интеграл



то ф-я F интегрируема на [c,d] и 







41. 

43. Ряды Фурье.

Если X – Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {lk}–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье:



Экстремальное свойство: yL ||x–xl||≤||x–y||. Равенство возможно только при y=xl.

Неравенство Бесселя:



Равенство Парсеваля:





45. Гильбертово пр-во.

Линейное нормированное пр-во наз. гильбертовым, если оно полно и имеет бесконечную размерность.

47. Тригонометр. ряд Фурье.

Систему экспонент{einx; nN} называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R([-,], C) отн. скал. пр-ния в-в.

Сопоставляемый ф. f триг.ряд



наз. триг.рядом Фурье ф-ции f.



Th:(ТРФ)fR([-,],C)сх.к f в средн.,т.е.f=ТРФ,







49. Лемма Римана.

Если локально интегрируемая ф-я f:[1,2]R абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [1,2], то





51. Д.У.сх.ряда Фурье в т.

Гов., что f:U0C, заданная в проколотой окр-ти точки xR, удовлетворяет усл. Дини, если

а) в т. x  оба односторонних предела



б) сходится абсолютно следующий интеграл:



Th: f:RC – 2-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-,]. Если f удовл. в т. xR условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x, причем







53.Свойства пр-ва CL2[-∞,+∞]





_____________

55. Преобразование Фурье.



называется нормиров.преобр. Фурье ф-ции f:RC.



называется интегралом Фурье ф-ции f.

Свойства: 1. Линейность преобразования Фурье.

2. Th: f:RC – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R. Если ф-я f удовл. Усл. Дини в xR, то её Фурье сх. в этой точке к значению ½(f (x-)+f (x+)).





57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер.

f: RC – лок. инт. на Rn ф-ция. Функция



называется  преобр. Фурье функции f.

Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных x1,…,xn.





59. Теорема обращения.

Оператор, определяемый равенством



называется обратным преорбазованием Фурье.

Формула обращения преобразования Фурье:



или в форме интеграла Фурье


















10. Сх. и РС семейства f(ПАР)







_________________________







8. Теорема Римана:

Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.



6. Признак Лейбница:

Условно сходищимся наз. ряд an , если ряд an сходится, а ряд |an| -расходится.(n=1,2,…)



сходится (вообще гов. не абсолютно), если



В этом случае для остатка ряда



имеем оценку





4. Признак Даламбера:







2. Признак сравнения I:





Признак сравнения II:





20. Теоремы Абеля.

Первая Теорема Абеля: Если степенной ряд



сх. в концевой точке x=R интервала сход-ти, то



Вторая Теорема Абеля: Если степенной ряд



сходится в некоторой точке С, то он сходится равномерно на отрезке с концами z0 ,.



18. Дифференцирование и lim.

Th:{ft , tT}–семейство ft: XC, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X ; B-база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство {ft’, tT} производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции :XC, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x0 X, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f:XC, причем f’=.



16. Теорема Дини:

Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.



Следствие: Если члены ряда an(x) (n=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции an: KR и ряд сходится на K к непрерывной функции. То он сходится на K равномерно.



14. Условия комм. 2х пр.пер:

Th: {Ft ; tT }, Ft: X C; BX – база в X, BT– база в T. Если при базе BT cем-во сх. равн. на X к F: XC, а t 



то  оба повторных предела



и имеет место равенство этих пределов.









12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда:

u1(x)+…+un(x)+… сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд   c1+c2+…+cn+…

такой, что





30. Собственные , их интег-е.

Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида



Если t  явл. собственным, то F есть собственный интеграл, зав. от параметра.

Th: Если ф-я f : PR непрерывна в прямоугольнике P={(x,y)R2| x[a,b], y[c,d]}, то интеграл



интегрируем на отрезке [c,d] и имеет место рав-во





28. Компл. вар. теоремы Стоуна:

Если комплексная алгебра A функций f :XC не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C(X,C).



26. Банахова Алгебра в С(K).

Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B-пространством).

Подмн-во пространства C(K,Y) наз. всюду плотным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f :KY.



24. Формула Стирлинга.



где





Или





22. Аналит. ф. в действ. обл.





40. Эйлеровы интегралы.















38. Интеграл Дирихле.







36. Непрерывность н.(пар):

Если а) ф-я f(x,y) непрерывна на {(x,y)R2| x[a,), y[c,d]}, b) интеграл



то ф-я F(y) непрерывна на [c,d].



34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н..

Th: Пусть f(x,y), g(x,y) yY интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,]. Для равн.сх. интеграла



на мн-ве Y достаточно:









32. Несоб.(пар), КК РС.

Говорят, что несобственный интеграл



зав. от пар. yY, сх. равн. на мн-ве EY, если





КК: Чтобы несоб.  (1) сходился равномерно на множестве EY   







50. Ядра Дирихле.



Dn называется ядром Дирихле. Ядро Дирихле 2-периодично, четно, и, кроме того,







48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф.

а) Если ф-я f(x) четная, то



б) если ф-я f(x) нечетная, то



Ряд Фурье в комплексной форме:



Th (О сх-ти в среднем): f(x)R([-,],C) 





46. Предгильбертово пр-во.

Линейное нормированное пр-во бесконечной размерности наз. предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем.

44. Ортонорм. сист.в-в.

Система в-в наз. {ek; kK} ортонормированной, если  i,jK  < ei ,ej >=i,j, где i,j – символ Кронекера



Система {x; A} в-в нормир.пр-ва X наз. полной по отношению к мн-ву E X, если xE можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы.

В конечномерном пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X.

Th: X– лин.пр-во со скал. пр-ем < , >; l1,…,ln,…– кон. или счет.сист.0 вз. ортогон.в-в X.  Эквив:

a){lk} полна по отн. к E X;b)xE X им.место





42. Интеграл Пуассона







60. Теорема Планшереля.



L2 – пополнение (S,d), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rn.



58. Пространство S(Rn).

S(Rn,C) – сов-ть всех ф-ций fC(∞)(Rn,C), удовлетворяющих условию



такие ф-ции наз. быстро убывающими.



Если fS, то



Более того,





56. Пр-е Фурье свертки.



- Ф-лы, связывающие операции свертки и умножения функций посредством пр.Фурье.



54. Теорема Фейера.

f : RC – 2-периодическая абс. инт-мая на [-,] ф-я. Тогда

a) если на E R   f равномерно непрерывна, то



b) если fC(R,C), то



c) если f непрерывна в xR, то



__________________________________________





52. ДУ РС триг. ряда Фурье.

Th: Если f:[-,]C такова, что а) fC(m-1)[-,], mN; b) f (j)(-)=f (j)(), j=0,1,…m–1; c) f имеет на [-,] непрерывную производную f (m) порядка m>=1,

то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномерно на отрезке [-,], причем отклонение n-й частичной суммы Sn(x) ряда Фурье от f(x) на всем отрезке [-,] имеет оценку



где {n}–стремящаяся к нулю посл-ть положительных чисел.