Сума накопиченого боргу Актуарний метод розвязку задач

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни “Основи фінансової та актуарної математики”


1. Задача № 1 (Варіант №1)



Визначити відсотки І, суму накопиченого боргу S, якщо позичка дорівнює Р, термін позички n, відсотки прості по ставці і.

Р = 600000

n = 3

i = 20%

Рішення

	Розраховуємо суму накопиченого боргу S для постійних простих відсотків, заданих в якості річної відсоткової ставки та для строку позички в цілих роках. Повернення позички та нарахованих відсотків – після закінчення строку кредитного договору.

	

	Розраховуємо суму відсотків за кредит:

	

	

2. Задача № 2 (Варіант №1)



Є зобов’язання погасити за 2 роки (з 12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згодний одержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних. Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис. грн.):

12.04.2000 р. – 550 тис. грн.

12.09.2000 р. – 5 000 тис .грн.

30.06.2001 р. – 6 000 тис. грн.

12.09.2001 р. – 3 000 тис. грн.

12.03. 2002 р. - ? (залишок) тис. грн.

Використовуючи актуарний метод, розв’язати завдання та скласти контур операції.

Рішення

	Оскільки часткові суми кредиту погашаються нерівними частинами помісячно з різним терміном, розрахунки проведемо для реальної тривалості року 365(366) днів при заданій простій річній відсотковій ставці і = 20%.

	Складаємо вихідний контур операції.

	Згідно з вихідними даними, нам відома початкова сума позичкового боргу Р = 15 млн. грн. та перші чотири суми S1 – S4 накопленого боргу, які знаходилися в боржника на протязі строків t1 – t4, указаних в табл. 2.1. Остання п’ята сума часткового повернення боргу S5 знаходилась у боржника на протязі повного строку позички t5= 2,0 роки = 366+365 = 731 день (враховуючи, що 2000 рік – високосний).



Таблиця 2.1 - Показники вихідного контуру позичкової операції

№ п/п



Назва операції



Сума операції, тис.грн.



Розрахунковий строк позички, днях



1.

Отримання кредиту Р

15 000

731

2.

Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1

- 550

31

3.

Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2

-5 000

183

4.

Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3

-6 000

482

5.

Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4

-3 000

548

6.

Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5

?

731

	

	За даними табл. 2.1 розраховуємо окремо суми часткового повернення основної суми кредиту P(i) та сплачених нарахованих відсотків I(i) за формулою:

	
 (2.1)



За формулою (2.1) розраховуємо суми P(i) та I(i) для перших 4-х періодів.

Розрахувавши часткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5 позикового боргу на кінець строку позикового договору. 












4. Розраховуємо загальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:



 (2.2)





5. Враховуючи результати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичкової операції (табл. 2.2):



Таблиця 2.2 - Показники результативного контуру позичкової операції

№ п/п

Назва операції

Сума операції, тис.грн.

Розра-хунковий строк позички, днях

Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн.

Сума сплачених відсотків в тис.грн.

1.

Отримання кредиту Р

15 000

731

-

-

2.

Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1

- 550

31

540,8

9,2

3.

Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2

-5 000

183

4 545,5

454,5

4.

Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3

-6 000

482

4 744,6

1 255,4

5.

Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4

-3 000

548

2307,7

692,3

6.

Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5

-4 007,5

731

2 861,4

1 146,1



Загальна сума операції

-18 555,7



15 000

3 555,7



Загальне подорожчання позики за 2,0 роки







23,72%



Ефективна річна ставка кредиту Р







11,86%


3. Задача № 3 (Варіант №1)



Є зобов’язання погасити за 2 роки (з 12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згодний одержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних. Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис.грн.):

12.04.2000 р. – 550 тис.грн.

12.09.2000 р. – 5 000 тис.грн.

30.06.2001 р. – 6 000 тис.грн.

12.09.2001 р. – 3 000 тис.грн.

12.03. 2002 р. - ? (залишок) тис.грн.

Використовуючи метод торговця, розв’язати завдання.

Рішення

Нарощування первинної суми кредиту за відсотковою ставкою по формулі (3.1) попередньої задачі має назву декурсивного методу нарахування відсотків (або актуарного методу нарахування відсотків).

Окрім відсоткової ставки і існує облікова ставка d (інша назва – ставка дисконту), величина якої визначається формулою:



 (3.1)



де D – сумма дисконта, як різниця між сумою позики Р та нарощеної суми загального позикового боргу S на момент погашення позики.

Хоч, в основному облікова ставка застосовується в дисконтуванні, тобто в процесі, обратному до нарахування відсотків, іноді вона застосовується для нарощення методом антисипативних відсотків (метод торгівця). 

Нарахування простих декурсивних та антисипативних відсотків в нарощених сумах позикових боргів виконується за різними формулами: 

декурсивні відсотки (актуарний метод):



 (3.2)



антисипативні відсотки (метод торгівця):



 (3.3)



n – тривалість позики в роках.

Відповідно з формулами (3.2), (3.3) ставка дисконту d, еквівалентна відсотковій ставці і, розраховується по формулам:



(3.4)



Відповідно, проста річна ставка дисконту d в задачі дорівнює:



За формулою (3.3), використовуючи вихідні дані табл.2.1, розраховуємо суми P(i) та I(i) для перших 4-х періодів. Розрахувавши часткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5 позикового боргу на кінець строку пози-кового договору. 














4. Розраховуємо загальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:



 (2.2)





5. Враховуючи результати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичкової операції (табл. 3.1):


Таблиця 3.1 - Показники результативного контуру позичкової операції

№п/п



Назва операції



Сума операції, тис.грн.



Розра-хунковий строк позички, днях



Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн.

Сума сплачених відсотків в тис.грн.

1.

Отримання кредиту Р

15 000

731

-

-

2.

Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1

- 550

31

543,3

6,7

3.

Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2

-5 000

183

4 642,0

358,0

4.

Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3

-6 000

482

4 866,2

1 133,8

5.

Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4

-3 000

548

2357,0

643,0

6.

Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5

-3 629,6

731

2 591,5

1 038,1



Загальна сума операції

-18 179,6



15 000

3 179,6



Загальне подорожчання позики за 2,5 роки







21,2%



Ефективна річна ставка кредиту Р







10,6%



4. Задача № 4 (Варіант №1)



Якого розміру досягне борг, рівний Р, через n років при рості по складній ставці проценту і річних?

Р = 800000

n = 5

I = 15%

Рішення

	1.Розраховуємо суму накопиченого боргу S для постійних складних відсотків, заданих в якості річної відсоткової ставки та для строку позички в цілих роках. Повернення позички та нарахованих відсотків – після закінчення строку кредитного договору.

	

	2. Розраховуємо суму відсотків за кредит:

	



5. Задача № 5 (Варіант №1)



Позику (борг) 1000000 грн. надано під 10% річних (складних) на 3 роки. Визначити річні (рівні) термінові сплати по погашенню боргу та нарахованих процентів.

Рішення

Серія n виплат, розміри яких рівні, здійснюваних наприкінці кожного періоду(року), називається рентою постнумерандо.

Щорічні сплати основної суми та нарахованих відсотків станови-тимуть за формулою нарощеної суми боргу з складними відсотками:

	



6. Задача № 6 (Варіант №1)



Існують такі дані по страховій компанії за чотири квартали звітного року, тис. грн.



Квартал

Страхова сума, тис.грн.

Сума виплат, тис.грн.

I

32000

1500

II

32890

1350

ІІІ

34400

1480

IV

35000

1420


У звітному році умови страхування були стабільні, величина навантаження у тарифній ставці – 25%. З ймовірністю 0,95 розрахуйте нетто-ставку і брутто-ставку.

Рішення

1. Показник збитковості страхової суми (У) являє собою відношення сплаченого страхового відшкодування (В) до страхової суми всіх об’єктів страхування (С):



або 4,69 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 4,10 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 4,30 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 4,06 грн./на 100 грн. страхової суми;

2. Нетто-ставка зі страхування розраховується за даними 4 кварталів страхових виплат як математичне очікування показника збитковості страхової суми МУ + 2  -середньоквадратичних відхилення (з рівнем гарантування ймовірної упевненості 0,954).



	

	Тн(нетто-ставка) = 4,2875% + 2*0,2881% =4,8637%

	
Як видно із порівняння розрахованої нетто-ставки з фактичними даними розрахунків, ймовірна максимальна нетто-ставка вища ніж фактичні значення, що характерно для малого обсягу статистичних вибірок (за рахунок здвигів у середньоквадратичному відхиленні).

3. Тарифна ставка, за якою укладається страховий договір, називається брутто-ставкой. Вона складається з двох частин: нетто-ставки і навантаження. Нетто-ставка – це ціна страхового ризику. Навантаження – вартість, яка покриває витрати страховика з організації та ведення страхової справи, а також містить елементи прибутку.

Загальна методика розрахунку брутто-ставки має вигляд:



 (6.1)



де Тб – брутто-ставка, % від страхової суми;

Тн – нетто-ставка, % від страхової суми;

Нс – статті навантаження (витрати страховика та його прибуток), в абсолютних процентах від страхової суми;

Н0 – регламентовані статті навантаження в процентах від брутто-ставки;

Брутто – ставка з врахуванням заданого навантаження розраховується як:

 



7. Задача № 7 (Варіант №1)



Існують такі дані по страховій компанії за п’ять років, тис. грн.



Рік

Страхова сума, тис.грн.

Сума виплат, тис.грн.

1

66440

350

2

58890

285

3

46400

148

4

68550

280

5

65440

210



У звітному році умови страхування були стабільні, величина навантаження у тарифній ставці – 30%. Розрахуйте нетто-ставку і брутто-ставку.

Рішення

1. Показник збитковості страхової суми (У) являє собою відношення сплаченого страхового відшкодування (В) до страхової суми всіх об’єктів страхування (С):



або 0,527 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 0,484 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 0,319 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 0,408 грн./на 100 грн. страхової суми;



або 0,321 грн./на 100 грн.страхової суми;

6. Нетто-ставка зі страхування розраховується за даними 5 років страхових виплат як математичне очікування показника збитковості страхової суми МY + 2  - середньоквадратичних відхилення (з рівнем гарантування ймовірної упевненості 0,954).



	

	Tн (Нетто-ставка)0,95 = 0,412% + 2*0,094% =0,60 %

	Як видно із порівняння розрахованої нетто-ставки з фактичними даними пункту 5 розрахунків, ймовірна максимальна нетто-ставка вища ніж деякі фактичні значення, що характерно для малого обсягу статистичних вибірок (за рахунок сдвигів у середньоквадратичному відхиленні).

3. Тарифна ставка, за якою укладається страховий договір, називається брутто-ставкой. Вона складається з двох частин: нетто-ставки і навантаження. Нетто-ставка – це ціна страхового ризику. Навантаження – вартість, яка покриває витрати страховика з організації та ведення страхової справи, а також містить елементи прибутку.

Загальна методика розрахунку брутто-ставки має вигляд:



 (7.1)



де Тб – брутто-ставка, % від страхової суми;

Тн – нетто-ставка, % від страхової суми;

Нс – статті навантаження (витрати страховика та його прибуток), в абсолютних процентах від страхової суми;

Н0 – регламентовані статті навантаження в процентах від брутто-ставки;

 Брутто – ставка з врахуванням заданого навантаження розраховується як:

 



8. Задача № 8 (Варіант №1)



Обчисліть річну нетто-премію по змішаному страхуванню життя особи у віці 35 років, яка виявила бажання застрахуватися на суму 5000 грн. терміном 15 років, якщо річна нетто-премія за втрату працездатності від нещасних випадків становить 1 грн.50 коп., одноразова нетто-премія по страхуванню на випадок смерті – 120 грн. 77 коп., одноразова нетто-премія по страхуванню дожиття – 393 грн. 51 коп із 1000 грн. страхової суми, а сучасна вартість майбутнього платежу – 10 грн.20 коп.

Рішення

1. За правилами страхової компанії “Універсальна” при змішанному страхуванні життя на випадок дожиття, смерті або нещасного випадку страхові виплати (не ануїтети) встановлюються у таких розмірах:



№ п/п

Страховий випадок 

Розмір виплати у відсотках від страхової суми

1.

Дожиття застрахованої особи до закінчення строку дії договору страхування або до досягнення нею віку, визначеного договором страхування

100

2.

Смерть застрахованої особи

100

3.

Інвалідність внаслідок нещасного випадку:

при першій групі інвалідності

при другій групі інвалідності

при третій групі інвалідності

100 страхової суми, встановленої для інвалідності

 80 - “ -

 60 - “ -

4.

Тимчасова непрацездатність внаслідок нещасного випадку

0,2 % за кожен день непрацездатності але не більше 25 % страхової суми

5.

Смерть внаслідок нещасного випадку

100 страхової суми


Страхові виплати можуть проводитись як у вигляді одноразових, так і у вигляді регулярних послідовних виплат протягом визначеного терміну (ануїтету). 

Страхування на дожиття та на випадок смерті 

Страховим випадком по даній програмі є смерть Застрахованої особи під час дії Договору страхування або дожиття застрахованої особи до кінця дії Договору страхування. 

Для вибору страхового тарифу береться повна кількість прожитих років особи збільшена на один.

Для визначення страхового внеску необхідно страхову суму помножити на відповідний віку, статі, періодичності сплати внесків та строку дії Договору нетто-тариф. При розрахунку місячного, квартального чи піврічного страхового внеску отриману суму ділимо на кількість сплати внесків в рік (відповідно на 12, 4, 2).

Виплата проводиться як у випадку дожиття, так і у випадку смерті застрахованої особи.

Страхування від наслідків нещасних випадків 

Застрахованими можуть бути особи, щодо яких укладено договір страхування життя за основними ризиками. 

Страховими випадками є: тимчасова непрацездатність, стійка непрацездатність і смерть застрахованої особи внаслідок нещасного випадку.

Для вибору страхового тарифу береться повна кількість прожитих років особи збільшена на один.

Для визначення страхового внеску необхідно страхову суму помножити на відповідний нетто-тариф, який розраховується згідно із Додатком №1 до Правил добровільного страхування життя та пенсій “Універсальні”.

Рішення

	Одноразова нетто-ставка страхування на дожиття розраховується по формулі:

	




де S – страхова сума;

n – кількість років страхування на дожиття з моменту заключення договору;

х - вік застрахованого на момент заключення договору страхування;

l(x) - кількість доживших до віку х осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

l(x+n) - кількість доживших до віку (х+n) осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

	Одноразова нетто-ставка страхування на випадок смерті для осіб у віці х-років при терміні страхування n – років розраховується по формулі:







де S – страхова сума;

n – кількість років страхування на дожиття з моменту заключення договору;

х - вік застрахованого на момент заключення договору страхування;

l(x) - кількість доживших до віку х осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

d(x) - кількість померлих у віці (х) осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

d(x+n-1) - кількість померлих у віці (х+n-1) осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

3. Якщо відома сучасна вартість дисконтованих сумарних ануїтетних щорічних платежів по страхуванню на дожиття та по страхуванню на випадок смерті , то розрахунок сумарної ставки змішаного страхування nPx (дожиття, смерть, нещасний випадок) виконується за формулою (вихідні дані надані в задачі в розрахунку на 1000 грн. страхової суми):





9. Задача № 9 (Варіант №1)



Знайти розмір премії при страхуванні на дожиття до 30 років новорожденому хлопчику. Ставка і = 9%, страхова сума = 100000 грн.

Рішення

Одноразова нетто-ставка страхування на дожиття розраховується по формулі:







де S – страхова сума;

n – кількість років страхування на дожиття з моменту заключення договору;

х - вік застрахованого на момент заключення договору страхування;

l(x) - кількість доживших до віку х осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

l(x+n) - кількість доживших до віку (х+n) осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності - Додаток А);

 Враховуючи вихідні умови задачі:

l(0) = 100 000 осіб

l(30)= 94 070 осіб (чоловіки)







10. Задача № 10 (Варіант №1)



Страхувальник у віці 55 років уклав довічний договір страхування з умовою щорічної сплати страхових внесків, поки він живий. Страхова сума складає 5000 грн., річна норма прибутковості – 5%. Визначити розмір страхових внесків.

Рішення

1. Довічне або пожиттєве страхування - це страхування, що забезпечує стра-хове покриття протягом всього життя застрахованої особи аж до моменту її смер-ті. Цей вид страхування цікавий для людей, котрі навіть у смерті бажають принес-ти користь своїм рідним чи близьким. Так, програма довічного страхування життя страхової компанії “Універсальна” передбачає одноразову сплату страхового внес-ку чи регулярну сплату внесків протягом всього життя або до досягнення віку 55, 60, 65 чи 70 років 

2. В табл. 10.1 балансовим методом розрахована щорічний обсяг страхових внесків з застрахованих, кількість яких щорічно зменшується з рівня lx для 55 років згідно таблиці смертності (Додаток А). Залишок зібраного щорічного фонду страхових платежів за ставкою доходності переходить у фонд наступного року.

3. Щорічний постійний нетто - внесок застрахованих становить 226,6 грн. на рік, при цьому щорічна кількість платників внесків скорочується.

4. Як показують результати розрахунків, змінного щорічного фонду достатньо для виплати страхової суми до 100 років.



Таблиця 10.1




Список використаної літератури



1. ЗАКОН УКРАЇНИ «Про страхування» (Законом України від 4 жовтня 2001 року N 2745-III цей Закон викладено у новій редакції) // із змінами і доповненнями, внесеними Законами України від 15 грудня 2005 року N 3201-IV.

	2. Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1996. – 192 c.

	3. Гвозденко А.А. Основы страхования. М.: Финансы и статистика, 1998 – 228 c. 

4. Кофанов В.О. Основи актуарної математики: Навч.посібник. – Д.: РВВ ДНУ, 2005. – 96 с.

5. Правила добровільного страхування життя та пенсій "Універсальні" (із змінами та доповненнями від 27.01.2004 року) // ВАТ “Компанія страхування життя "Універсальна", Тернопіль, 2004, http://www.universalna-life.com.ua.

5. Основы страховой деятельности: Учебник /Отв. Ред. Проф. Т.А. Федорова.. М.: Издательство БЕК, 1999. - 776 с.

6.Основи актуарних розрахунків: Навчально-методичний посібник/ С.М. Лаптев, В.І. Грушко, М.П. Денисенко. - К.: Алерта, 2004. - 328 с.

7. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 192 с.

8. Фінансово-банківська статистика. Практикум: Навч.посібник /П.Г.Вашків, П.І. Пастер та інш. – К.: Либідь, 2002. –324 с.

9. Шахов В.В. Страхование: Учебник для вузов.- М.: Страховой полис. ЮНИТИ, 1997.- 311 с.

10. Шумелда Я. Страхування: Навчальний посібник для студ. вищих навчальних закладів/ Я. Шумелда. - 2-ге вид., переробл. і допов.. - Тернопіль: Джура, 2006. - 296 с.


Додаток



Таблиця смертності за 1999-2000 роки [5]





Чоловіки

Жінки



Чоловіки

Жінки



Міські поселення та сільська місцевість



Міські поселення та сільська місцевість

Вік

lx

dx

lx

dx

Вік

lx

dx

lx

dx

0

100000

1432

100000

1032

51

76757

1399

91847

557

1

98568

188

98968

166

52

75358

1466

91290

586

2

98380

108

98802

75

53

73892

1573

90704

640

3

98272

63

98727

57

54

72319

1550

90064

659

4

98209

62

98670

47

55

70769

1778

89405

754

5

98147

46

98623

36

56

68991

1724

88651

781

6

98101

48

98587

30

57

67267

1793

87870

832

7

98053

42

98557

25

58

65474

1892

87038

913

8

98011

48

98532

27

59

63582

1957

86125

977

9

97963

43

98505

25

60

61625

2154

85148

1068

10

97920

42

98480

24

61

59471

2098

84080

1131

11

97878

43

98456

24

62

57373

2161

82949

1212

12

97835

41

98432

27

63

55212

2209

81737

1349

13

97794

49

98405

28

64

53003

2278

80388

1494

14

97745

57

98377

34

65

50725

2308

78894

1620

15

97688

72

98343

38

66

48417

2221

77274

1635

16

97616

96

98305

45

67

46196

2284

75639

1735

17

97520

127

98260

51

68

43912

2405

73904

1892

18

97393

160

98209

60

69

41507

2465

72012

2041

19

97233

180

98149

60

70

39042

2492

69971

2167

20

97053

218

98089

63

71

36550

2471

67804

2370

21

96835

237

98026

69

72

34079

2477

65434

2516

22

96598

271

97957

68

73

31602

2385

62918

2683

23

96327

278

97889

79

74

29217

2275

60235

2825

24

96049

302

97810

74

75

26942

2322

57410

3069

25

95747

313

97736

83

76

24620

2234

54341

3181

26

95434

329

97653

87

77

22386

2099

51160

3340

27

95105

321

97566

95

78

20287

2040

47820

3466

28

94784

331

97471

96

79

18247

1895

44354

3496

29

94453

383

97375

107

80

16352

1974

40858

3780

30

94070

451

97268

125

81

14378

1944

37078

3991

31

93619

420

97143

126

82

12434

1609

33087

3556

32

93199

466

97017

133

83

10825

1496

29531

3435

33

92733

505

96884

139

84

9329

1498

26096

3603

34

92228

523

96745

143

85

7831

1375

22493

3435

35

91705

580

96602

152

86

6456

1180

19058

3169

36

91125

594

96450

160

87

5276

1038

15889

2762

37

90531

634

96290

175

88

4238

870

13127

2581

38

89897

672

96115

198

89

3368

714

10546

2530

39

89225

714

95917

204

90

2654

592

8016

1838

40

88511

830

95713

234

91

2062

481

6178

1550

41

87681

813

95479

241

92

1581

386

4628

1268

42

86868

864

95238

265

93

1195

304

3360

1005

43

86004

928

94973

286

94

891

236

2355

767

44

85076

983

94687

307

95

655

181

1588

562

45

84093

1102

94380

339

96

474

136

1026

394

46

82991

1118

94041

356

97

338

101

632

263

47

81873

1151

93685

394

98

237

73

369

166

48

80722

1236

93291

449

99

164

53

203

98

49

79486

1297

92842

463

100

111

37

105

54

50

78189

1432

92379

532