Лекции по Математике 3

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Лекция 1.

1.1 Общие понятия.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее одну

или несколько независимых переменных, неизвестную функцию, зависящую от этих пере-менных и ее производные.



Определение 2. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, уравнение назы-

вается обыкновенным дифференциальным уравнением.



Определение 3. Если неизвестная функция зависит от двух или большего числа переменных,

уравнение называется уравнением с частными производными.



Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать следующим образом:

                                                                                                            (1)

где  - заданная функция своих аргументов.



Определение 4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей

производной, входящей в уравнение.

Пример 1. 

1.  

2. 

Определение 5. Решением дифференциального уравнения -ого порядка на промежутке

 называется всякая функция , имеющая на данном промежутке производные до

-ого порядка включительно, и такая, что подстановка ее и ее производных в уравнение обра-

щает его в тождество по  на .

Пример 2. Решением уравнения  на всей числовой оси является функция .



Определение 6. График решения дифференциального уравнения называется интегральной

кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегриро-

ванием дифференциального уравнения.



Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-ого порядка:



                                                                                                                                     (2)

Если его можно разрешить относительно производной, то получится уравнение:



                                                                                                                                        (3)



Оно называется разрешенным относительно производной. Если уравнение невозможно разре-

шить относительно , то оно называется неразрешенным относительно производной.

Пример 3.

1.  

Это уравнение можно разрешить относительно производной, получим:

;

2. 

Данное уравнение невозможно разрешить относительно производной.

Дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Чтобы выделить

из этого множества решений какое-то конкретное решение, надо задать дополнительное усло-

вие: 

                                                                                                                                      (4)

оно называется начальным условием.

Так как часто в уравнениях независимой переменной является время , поэтому условие (4)

означает, что искомая функция задается в начальный момент времени, отсюда название

начальное условие. Геометрически начальное условие означает, что задается точка ,

через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Определение 7. Задача нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего условию (4),

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием). 



1.2 Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Часто бывает трудно решить аналитически дифференциальное уравнение, поэтому большое

значение имеют приближенные методы решения дифференциальных уравнений, которые в

связи с быстрым развитием вычислительной техники приобретают еще большее значение.

Однако, чтобы применять тот или иной метод приближенного интегрирования дифференциаль-

ного уравнения, надо прежде всего быть уверенным в существовании искомого решения, а так-

же и в единственности решения, так как при отсутствии единственности остается неясным, ка-

кое именно решение требуется приближенно определить. Ответ на эти вопросы дает следую-

щая теорема.

Теорема 1(существования и единственности).

Пусть функция    в уравнении (3) определена в некоторой области  на плоскости .

Если существует окрестность точки , в которой функция :

1) непрерывна по совокупности аргументов;

2) имеет ограниченную частную производную ,

то найдется интервал   оси , на котором существует и единственно решение

уравнения (3), удовлетворяющее условию (4).







Эта теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного реше-

ния уравнения (3), удовлетворяющего условию (4) в достаточно малой окрестности т. .

Геометрически теорема означает, что через т. проходит только одна интегральная

кривая уравнения (3).

Пример 4. Рассмотрим уравнение  . Функция   определена и непрерывна

на всей плоскости , , следовательно, условие 2 теоремы 1 нарушается в

точках оси . Решениями данного уравнения являются функции , где - констан-

та, и еще . Если искать решение этого уравнения, удовлетворяющее условию , то

таких решений бесконечно много, например, , ,  и т.д.

Значит через каждую точку оси  проходят по крайней мере две интегральные кривые, следо-

вательно, в точках оси  нарушается единственность.

Определение 8. Общим решением дифференциального уравнения (3) в некоторой области

существования и единственности решения задачи Коши называется однопараметрическое се-

мейство функций  , зависящих от одной независимой переменной  и одной произ-

вольной постоянной (называемой параметром), такое, что

1) при любом допустимом значение параметра функция этого семейства является решением

уравнения (3);

2) каково бы ни было начальное условие (4), можно подобрать такое значение параметра , что решение  будет удовлетворять данному условию.

При этом предполагается, что т. принадлежит области существования и единственности

решения задачи Коши. 

Определение 9. Частным решением уравнения (3) называется решение, получаемое из общего

при каком-либо конкретном значении параметра.

Определение 10. Уравнение                                                                                   (5),

неявно задающее решение уравнения (3), называется общим интегралом.

Определение 11. Уравнение                                                                                  (6),

где - конкретное значение параметра , называется частным интегралом.

Определение 12. Решение  уравнения (3) называется особым, если в каждой его точке

нарушается единственность, то есть через каждую его точку кроме данного решения проходит и другое решение уравнения (3), не совпадающее с  в сколь угодно малой окрестности точки .



1.3 Уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если его общее реше-

ние(общий интеграл) может быть получено(получен) в результате конечной последовательнос-

ти элементарных действий над известными функциями и интегрирования этих функций.

Таких уравнений сравнительно немного, рассмотрим некоторые виды дифференциальных урав-

нений, интегрируемых в квадратурах.

I. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными; уравнения, приводящиеся

к уравнениям с разделяющимися переменными.

Уравнение вида 



                                                                                                                      (7)



называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

 - известные непрерывные функции.



                                                                                                            (8)



Это общий интеграл данного дифференциального уравнения (7).

Уравнение вида



                                                                                                    (9)



в котором коэффициенты при дифференциалах являются произведениями функций, завися-

щих только от какой-то одной переменной, называется уравнением с разделяющимися пере-

менными.



Разделим левую и правую части уравнения (9) на произведение , получим урав-

нение с разделенными переменными:

 , тогда общий интеграл уравнения (9) имеет в

                                                  (10)



Деление на  может привести к потере решений, которые обращают в ноль данное

произведение, поэтому надо делать проверку.

Пример 5. Найти общее решение уравнения  .

Решение. , делим левую и правую части на , получаем

 или    , тогда

, пропотенцируем данное равенство, получим

    - это общий интеграл исходного уравнения. 

Уравнение вида



                                                                                                                 (11),

где   - известная непрерывная функция;  - константы, называется приводящимся к

уравнению с разделяющимися переменными.

Чтобы привести данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, надо сделать

следующую замену:

                                                                                                                        (12),

 тогда   , а   , подставляем в уравнение (11), получаем

  или     , данное уравнение является уравнением с разделяющимися

переменными, разделим переменные:   или   , тогда его общий интеграл имеет вид:   или .

Затем заменяем  на   и получаем общий интеграл для уравнения (11).

Пример 6. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Сделаем замену  , тогда  или  , подставляем в исходное

уравнение, получаем     или   ,   , разделяем переменные:

, тогда   , следовательно, 

, возвращаемся к переменной :

 или     - это общее решение исходного уравнения.

Лекция 2.

II. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.



Определение 13. Функция  называется однородной функцией -ой степени однород-

ности, если при любых допустимых значениях  справедливо равенство



                                                                                                                   (13)



Пример 7. Рассмотрим функцию . Данная функция является однородной

степени однородности 2, так как  

.

Пример 8. Функция  однородная степени однородности 0, так как 

.



Определение 14. Уравнение                                                             (14)

называется однородным, если функции   являются однородными одинаковой

степени однородности.

Однородное уравнение еще может записываться следующим образом



                                                                                                                            (15)

Решаются однородные дифференциальные уравнения с помощью замены:

, тогда  ,   (для уравнения (14)),   ( для уравнения

(15)). После замены уравнение станет уравнением с разделяющимися переменными   и  .



Пример 9. Найти общий интеграл уравнения   .

Решение. Уравнение можно записать следующим образом  . Сделаем соответствую-щую замену и подставим в уравнение, получим:

 или     , разделяем переменные, тогда  ; интегрируем

, получаем     или .

Теперь вернемся к прежней переменной    или    - это общий

интеграл исходного уравнения.



Определение 15.  Уравнение                                                                           (16),

где  - константы, причем   называется уравнением, приводящимся к

однородному.



В случае, когда  , уравнение (16) будет являться однородным.

Рассмотрим следующие случаи:

1. 

Введем новые переменные    и      следующим образом:

                                                                                                                                 (17),

где   пока неопределенные константы, , тогда уравнение (16) примет вид



Если подобрать   таким образом, чтобы

                                                                                                                   (18),

то есть    являются решением системы (18), тогда получим однородное уравнение:



                                                                                                                     (19)

Найдем его общий интеграл, а затем вернемся к старым переменным и получим общий ин-

теграл уравнения  (16).



2.  , это означает, что строки определителя пропорциональны, то есть

, значит уравнение (16) имеет вид:  

                                                                                                          (20)

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой

.

Аналогично интегрируется уравнение 



                                                                                                         (21),

где  - заданная непрерывная функция.

Пример 10. Найти общий интеграл уравнения   .

Решение. Так как , для приведения данного уравнения к однородному

надо сделать замену, для этого сначала решим систему:

 , получим  .

Тогда сделаем следующую замену  , подставляем в исходное уравнение, получаем

  или    - это однородное уравнение, для его решения сделаем

замену    или   , , подставляем в однородное уравнение, получа-

ем       или      .

Преобразуем полученное уравнение, чтобы можно было разделить переменные:

         , тогда

          

 или   , а после потенцирования получаем

.

Сначала вернемся к переменной  :  или    , теперь вер-

немся к переменным  :    или 

 - это общий интеграл исходного уравнения.



Пример 11. Найти общий интеграл уравнения  .

Решение. Так как  , то это уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися

переменными. Сделаем замену  , тогда    или   . Подставляем в

уравнение, получаем:  или . Разделяем переменные  , тогда

              

        или  , после потен-

цирования получаем:  ; возвращаемся к переменной  :

 - это общий интеграл исходного уравнения.





III. Линейные неоднородные уравнения, уравнения Бернулли.

Определение 16. Уравнение 1-ого порядка, линейное относительно неизвестной функции и

ее производной, называется линейным уравнением.



Линейное уравнение имеет вид:



                                                                                                                       (22),



где  - функции, заданные на некотором промежутке .

Если , то уравнение (22) называется линейным однородным; если , то уравне-

ние (22) называется линейным неоднородным.



Теорема 2. Если функции  непрерывны на отрезке , то уравнение (22) всегда

имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , где т.

принадлежит полосе  .

Доказательство. Разрешим уравнение (22) относительно производной, то есть в виде уравнения

(3): , тогда , данная функция удовлетворяет условиям 

теоремы 1, а именно, она непрерывна и по переменной  и по переменной  в силу условий теоремы и свойств непрерывных функций; частная производная функции по : ,

 так как частная производная непрерывна отрезке, то она ограничена на данном отрезке.

Следовательно, по теореме 1 уравнение (22) имеет единственное решение, удовлетворяющее

указанным начальным условиям.



Метод вариации произвольной постоянной.



Рассмотрим метод решения линейного неоднородного уравнения, который называется методом

вариации произвольной постоянной.

1. Сначала решаем линейное однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному



Оно одновременно является и уравнением с разделяющимися переменными, разделим перемен-

ные и проинтегрируем равенство:

, пропотенцируем данное

равенство, получим  - это общее решение линейного однородного уравнения.

2. Теперь будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде:

, где - неизвестная функция. Тогда 

Подставляем функцию и ее производную в уравнение (22), получаем

  или   .

Теперь разделяем переменные и интегрируем:



Следовательно, общее решение уравнения (22) имеет вид:

.



Пример 12. Найти общее решение уравнения   .

Решение. Линейное однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному

. Разделяем переменные и интегрируем: ,

потенцируем полученное равенство, получаем  .

Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде: . Тогда

. Подставляем все в исходное уравнение, получаем:

. Разделяем переменные и интегрируем

. Подставляем найденную

функцию, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения

.



Определение 17. Уравнение вида                                                               (23),

где  называется уравнением Бернулли.



Сначала разделим левую и правую части уравнения (23) на , получим

                                                                                                                    (24)

Теперь сделаем замену:             

                                                                                                                               (25)

Тогда , подставляем в уравнение (24), получаем:

                                                                                                           (26)

Уравнение (26) является линейным неоднородным относительно функции . Решаем его, а

затем возвращаемся к переменной .



Замечание. Если , то уравнение (23) имеет еще решение .



Пример 13. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Разделим левую и правую части уравнения на , получаем: .

Сделаем замену  , тогда  или  , подставляем в уравнение, полу-

чаем: . Это линейное неоднородное уравнение. Сначала решаем линейное

уравнение, соответствующее данному неоднородному, то есть , оно является

уравнением с разделяющимися переменными, поэтому разделяем переменные и интегрируем:

. Потенцируем полученное равенство:

. Будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде:  , тогда  . Подставляем в неоднородное уравнение, получаем:

. Теперь разделяем переменные и интегрируем:

, тогда

. Возвращаемся к переменной , следовательно, общее ре-

шение исходного уравнения    и еще одно решение, не входящее в этот на-

бор  .





IV. Уравнения в полных дифференциалах.



Определение 18.  Уравнение                                                              (27)        



называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным диф-

ференциалом некоторой функции  двух независимых переменных.



Дифференциал функции двух переменных , тогда  - это общий

интеграл уравнения (27).



Теорема 3. Пусть функции  имеют непрерывные частные производные в неко-

торой области  плоскости . Для того, чтобы уравнение (27) было уравнением в полных

дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство



                                                                                                                                         (28)



Доказательство. 1. Необходимость: пусть левая часть уравнения (27) является полным диффе-

ренциалом некоторой функции двух переменных , тогда

, следовательно, .

Первое равенство продифференцируем по , второе – по , получаем

. Так как частные производные  непрерывны (по условию), то

смешанные производные  тоже непрерывны, а значит, в силу свойства смешанных

производных они равны; следовательно, выполняется равенство (28).

2. Достаточность: Пусть выполняется равенство (28); покажем, что существует функция 

 такая, что .

Так как в этом случае , проинтегрировав это равенство по , получим

. Продифференцируем полученное равенство по , учитываем, что

 и получаем . Найдем функцию .

                                                                                                (29)

Левая часть этого равенства не зависит от , убедимся, что и правая часть тоже не зависит

 от , для этого продифференцируем правую часть по , получаем   .

Интегрируем (29) по , получаем

, следовательно,

.

Получили искомую функцию.



Пример 14. Найти общий интеграл уравнения  .

Решение. В данном уравнении . Проверим выполнение

равенства (28): , то есть равенство (28) выполняется, следовательно,

данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения – 

полный дифференциал некоторой функции двух переменных  . Тогда  ,

проинтегрируем это равенство по , получаем: .

Найдем , получаем  . Так как , то имеет место

следующее равенство: , отсюда  , тогда .

Значит общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

.



Теперь все рассмотренные уравнения 1-ого порядка и методы их решения сведем в таблицу.



Таблица 1.

Тип уравнения 1-ого порядка

Метод решения

1. Уравнение с разделенными переменными



1.  - общий интеграл

                                       

2. Уравнение с разделяющимися перемен-

ными



2. -общий интеграл

Проверка функций, удовлетворяющих

равенству  

3. Уравнение, приводящееся к уравнению с

разделяющимися переменными



3. Замена  , 



4. Однородное уравнение

,где

- однородные функции оди-

наковой степени однородности

или      

4. Замена  ,

  или  

5. Уравнение, приводящееся к однородном  или                                                                                                          

5. а) , замена ,

где - решение системы      

    б) ,  замена 

6. Линейное неоднородное уравнение

                   

6. а) решается линейное однородное уравне-

ние  : -общее решение;

б) общее решение неоднородного уравне-

ния ищется в виде 



7. Уравнение Бернулли

          , где 

7. Делим на  , замена  , тогда

, получаем линейное неодно-

родное уравнение  

8. Уравнение в полных дифференциалах

     , где 

8. , функция

удовлетворяет уравнению

   











Лекция 3.



1.4 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.



Дифференциальное уравнение -ого порядка записывается следующим образом



                                                                                                             (30),



. Старшая производная 2-ого или более высокого порядка.

Если разрешить данное уравнение относительно старшей производной, получим уравнение



                                                                                                           (31)



Чтобы найти частное решение уравнения (31), надо задать  условий:



                                                                                 (32),



где   - числа.

Условия (32) называются начальными условиями.

Задача Коши для уравнения высшего порядка ставится также как и для уравнения 1-ого поряд-

ка: надо найти решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32).



Теорема 4. Пусть функция  непрерывна по совокупности своих аргументов в

окрестности точки   и в этой окрестности имеет ограниченные частные 

производные  , тогда найдется промежуток   оси  , на кото-

ром существует и единственно решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32).



Определение 19. Общим решением уравнения (31) в некоторой области существования и един-

ственности решения задачи Коши называется - параметрическое семейство функций

, зависящих от одной независимой переменной  и   произвольных посто-

янных  (называемых парметрами) такое, что:

1. при любых допустимых значениях параметров  каждая функция этого семейства явля-

ется решением уравнения (31);

2. каковы бы ни были условия (32), можно подобрать значения параметров  так, чтобы

функция этого семейства  удовлетворяла этим условиям.

Решение, полученное из общего при конкретных значениях параметров, называется частным.



Определение 20. Равенство                                                                        (33),

связывающее независимую переменную, искомую функцию и  произвольных постоянных,

называется общим интегралом уравнения (31).



Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижения порядка.



1.                                                                                                                                  (34)

 - известная интегрируемая функция.

Используя определение производных высших порядков, запишем левую часть уравнения по-другому, а именно    , можно разделить переменные и проинтегрировать, получим

,

аналогично поступим с полученным равенством и в конечном итоге найдем искомую функцию



                                                                         (35)



Пример 15. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Интегрируем данное равенство, получаем   или  , далее аналогично: , а затем

.

Общее решение содержит три произвольных постоянных( уравнение 3-его порядка), многочлен

второго порядка.



2. Рассмотрим уравнение                                                                        (36),

где .

Уравнение (36) не содержит искомую функцию, а еще в уравнении может отсутствовать часть

производных с 1-ого порядка по -ого . Понизить порядок можно с помощью замены



                                                                                                                        (37)



Тогда , подставляем все в уравнение (36), получаем



                                                                                                           (38)



То есть порядок уравнения в этом случае можно понизить на  единиц. Пусть уравнение (38)

можно проинтегрировать, тогда его общее решение имеет вид

  или   , это уравнение вида (34), из него находим 

- кратным интегрированием.



Пример 16. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Так как младшая производная, присутствующая в уравнении, 1-ого порядка, то заме-

на  , тогда  , подставляем в уравнение, получаем  - это линей-

ное неоднородное уравнение 1-ого порядка, решаем его методом вариации произвольной по-

стоянной, а именно: сначала решаем линейное однородное, соответствующее данному неодно-

родному   , разделяем переменные и интегрируем: 

, пропотенцируем

данное равенство и получим общее решение однородного уравнения: .

Будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде  , тогда

. Подставляем все в неоднородное уравнение:

.

Тогда  , следовательно, , интегрируем и получаем

.



Пример 17. Найти общее решение уравнения  .

Решение. Сделаем замену  , тогда , подставляем в уравнение, получаем

- это уравнение с разделяющимися переменными, разделяем и интегрируем

, тогда , дважды интегрируем

.



3.  Рассмотрим уравнение                                                                                 (39)



В данном уравнении отсутствует независимая переменная, в этом случае порядок уравнения

можно понизить на единицу, сделав замену 

                                                                                                                                    (40)



Тогда  и т.д.

То есть любая производная - ого порядка функции  выражается через производные функции  порядка не выше - ого, что приводит к понижению порядка уравнения на

единицу.



Пример 18. Найти общий интеграл уравнения  .

Решение. Сделаем замену , тогда  , подставляем в уравнение и получаем

- это уравнение с разделяющимися переменными, разделяем их и интегрируем:

. 

Возвращаемся к переменной : .

Это общий интеграл исходного уравнения.



4. Левая часть уравнения может быть представлена в виде полного дифференциала некоторого

выражения, этим можно воспользоваться для интегрирования данного уравнения.



Пример 19. Найти общий интеграл уравнения  .

Левая часть является полным дифференциалом, поэтому уравнение можно записать в следую-

щем виде: , тогда  .



Замечание. При решении задачи Коши для уравнений высших порядков бывает целесообразно

определять значения произвольных постоянных в процессе решения, а не после нахождения

общего решения, так как интегрирование упрощается, когда параметры принимают конкретные 

значения, в то время как при их произвольных значениях интегрирование затрудняется, а то и

вообще невозможно в элементарных функциях.



Пример 20. Найти решение задачи Коши:  

Решение. Сделаем замену , тогда , подставляем в уравнение, получаем

, теперь воспользуемся начальными условиями:

если , то  , получаем , тогда . Найдем  :

. Вновь воспользуемся начальными услови-

ями, получим , подставляем найденное значение : . Тогда

решение задачи Коши имеет вид  .





Составим для уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, таблицу

типов уравнение и методов их решения. 











Таблица 2.

Тип уравнения

Метод решения

1. 

1.                                       

2.  -

отсутствует искомая функция и часть про-

изводных этой функции

2. Замена   понижает порядок на

 единиц

3.   -

отсутствует независимая переменная

3. Замена   - понижает

порядок на единицу









Лекция 4. 



1.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) -ого порядка.