Математические основы теории систем

Саратовский Государственный Технический Университет

Балаковский Институт Техники Технологии и Управления









Кафедра:

Специальность:









Курсовая работа

МОТС













Выполнил:

Принял:













Балаково 2009г.


I-часть



Задание1: По виду электрической схемы построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.

Задание2: По построенной модели составить структурную схему и сигнальный граф.

Задание3: Используя формулу Мейсона найти передаточную функцию объекта управления.

Задание4: По передаточной функции объекта управления определить временные и частотные характеристики. Построить их зависимость: АЧХ, ФЧХ.

Задание5: По полученным зависимостям определить прямые и косвенные оценки качества объекта управления.

II-часть.

Задание1: По заданной корреляционной функции Kx() определить спектральную плотность Sx() для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se,Sv определить передаточную функцию формирующего фильтра (р) 

Задание3: Представить объект управления в виде





(p)

W(p)V(t) X(t) Y(t)



и оценить качество полученной системы по переходной характеристике.

Задание4: Сделать вывод по работе.


I-часть



Данные



R1

R2

R3

R4

L1

L2

C2

I2

Ом

Гн.

10-6Ф

?

328

395

118

215

24

24

19605





L1 e(t) L2 







		Построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.





ОУ



В схеме три элемента, запасающих энергию: , следовательно, математическая модель должна быть третьего порядка. 

2. Построение математической модели.

Задаемся направлением контурных токов . Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:



 (1)

 (2)

 (3)



В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его:



 (3*)



В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные, в качестве  выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:



 (4)

 (5)

 (6)



Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.











Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:











В полученных уравнениях имеется шесть переменных . Необходимо уйти от , выразив их через 

Из выражения (1) выразим :

















Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.

Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:





 

 

 







Получим матричное уравнение для выходной переменной:











Построение сигнального графа.

Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:






Построение графа произведем в два шага:

Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы  и векторы параметров 

Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений.







с13Построим структурную схему.







b21

a22





a33





1/p

a23

1/p

b31



e X 3 X 3 X 2 X 2 i2 



a32





a21





1/p

a12



                                                                        X 1             X 1





Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона.

k-количество возможных путей от входа к выходу

-определитель графа

Pk-коэффициент передачи k пути от входа к выходу

-определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути

=1-(сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров)+(сумма всевозможных произведений из двух некасающихся контуров) - (сумма всевозможных комбинаций из трех некасающихся контуров)+…+…

Последовательность нахождения w(p) по формуле Мейсона: 

В данном случае есть 1 путь от входа к выходу:







В системе имеется 4 замкнутых контуров:













Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L1,L2; L1,L4





Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для  записывается как выражение для , но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь Pi. 

Сомножитель  для первого пути. При размыкании первого пути 2 контура размыкаются, кроме L2,L4







Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:















Найдем переходную функцию и построим ее график:







Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):




Найдем фаза частотную характеристику (ФЧХ):





Определим оценки качества системы: прямые и косвенные.

Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса.




Время переходного процесса: tn=11

Перерегулирование: 



 



Колебательность: п=0,5

Время нарастания регулируемой величины: t=0,385

Время первого согласования: tm=0,66

Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ.





Колебательность: 






Резонансная частота: p=0,83

Частота среза: сp=10







Полоса пропускания частот: 


II-часть



Задание1: По заданной корреляционной функции Kx() определить спектральную плотность Sx() для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

По данной корреляционной функции определим спектральную плотность:





Найдем корни характеристических уравнений передаточной функции фильтра:

Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости:



Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни:



P7= -0,583+7,05i 

P9= - 0,550+9,98i

P10= -0,570



Из этого следует, что передаточная функция фильтра будет иметь 





следующий вид:

С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид:



W(p)

(р)





Найдем переходную функцию данной системы, построим ее график и определим прямые оценки качества системы.







Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.