Определение интегралов

Задание. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

а)







Используемый прием интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверим результат дифференцированием.







б)

В этом интеграле также используется подведение под знак дифференциала









Проверим результат дифференцированием.






в)







Для решения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования "по частям". Приведем формулу интегрирования по частям:







В этом интеграле распишем составляющие следующим образом:









Продифференцируем u и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования по частям:












Подинтегральное выражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к сумме правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель.









Вернемся к исходному интегралу:







Проверим результат дифференцированием:









г)

интеграл дифференцирование уравнение парабола





Подинтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразовать ее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель:











Подинтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрировать её необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корни знаменателя







по теореме Виета











Разложим правильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенных коэффициентов:







Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В:









Решая СЛАУ находим значения коэффициентов: 













Возвратимся к исходному интегралу:







Результат проверим дифференцированием:







Задание. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.






Перейдем к замене переменных в определенном интеграле:











Задание. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой . Сделать чертеж.

Решение. Площадь области S, ограниченной снизу функцией g(x), сверху- функцией f(x), слева - вертикальной прямой , справа - вертикальной прямой равна  равна определенному интегралу:







Так как мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке , построим чертеж. Точки ,  являются абсциссами точек пересечения графиков этих двух функций.






Как видно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому:









Абсциссы точек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можем получить решив в системе уравнения двух кривых















по теореме Виета имеем: , . Теперь осталось только применить формулу вычисления площади криволинейной области:






-6

-1



Найти общее решение дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию  при 







Решение: имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х:  

Запишем исходное выражение в виде:















Выберем функцию  такой чтобы выражение в скобках равнялось нулю:






Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:















Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение  в уравнение  для определения u.















Таким образом находим общее решение системы






Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия , что будет являться частным решением дифференциального уравнения:









Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям.







Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ,  при . (,)

Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка: 







Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения:







Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения.

Характеристическое уравнение в нашем случае есть:







имеет действительные и различные корни: , . 

Общий интеграл есть: 

Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:  , где  - многочлен 0-й степени, =2 (не является корнем характеристического многочлена). 

поэтому частное решение следует искать в виде:







где  - постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь:












Имеем решение . Итак, частное решение нашли в виде:







Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:







Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:

При х=0 функция равна 2









При х=0 первая производная функции равна -1:









Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2 



					





Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде: