Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.20

Задача 20. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.1. 

y'= e-x^2/2-x2e-x^2/2= e-x^2/2(1-x2)

xe-x^2/2(1-x2)=xe-x^2/2(1-x2)

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.2. 

y'= (xcosx-sinx)/x2

(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx

cosx=cosx

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.3. 

y'= -10e-2x+ex/3

-10e-2x+ex/3+10e-2x+2ex/3=ex

ex=ex

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.4. 

y'= -cx/√(1-x2)

-cx(1-x2)/√(1-x2)+2x+cx√(1-x2)=2x

2x=2x

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.5. 

y'= √(1-x2)-x2/√(1-x2)= (1-2x2)/√(1-x2)

x√(1-x2)(1-2x2) = x-2x3

        √(1-x2)

x-2x3= x-2x3

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.6. 

y'= c*tgx/cosx

c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.7. 

y'= 3/(3x+c)2

3/(3x+c)2=3/(3x+c)2

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.8. 

y'= ex/(c+ex)

ex/(c+ex)= ex/eln(c+e^x)

ex/(c+ex)=ex/(c+ex)

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.9. 

dy= (2x-c)dx/(2√(x2-cx))

(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2-cx))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.10. 

dy= (cx-xlnx+1)dx

(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.11. 

y'= etgx/2/(2cos2x/2)= etgx/2/(cosx+1)

sinx*etgx/2/(cosx+1)= etgx/2lnetgx/2

tgx/2= tgx/2

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.12. 

y'= (1-x+1+x)/(1-x)2=2/(1-x)2

2/(1-x)2= 1-2x+x2+1+2x+x2

                     (1-x)2(1+x)

2/(1-x)2=2/(1-x)2

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.13. 

y'= 1-b2

     (1-bx)2

b+x – x(1-b2) = b + x2(1-b2)

1+bx  (1-bx)2           (1-bx)2

b + x2(1-b2)=b + x2(1-b2)

	      (1-bx)2	(1-bx)2

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.14. 

y'=          1-2x     _

      3√(2+3x-3x2)2

(1-2x) 3√(2+3x-3x2) =          1-2x     _ 

	     3√(2+3x-3x2)2	  3√(2+3x-3x2)

	         1-2x     _=          1-2x     _

	   3√(2+3x-3x2)     3√(2+3x-3x2)

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.15. 

y'=                       4ex                =                      ex                     _

      4(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)     (1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)

ex(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1) = ex

 (1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)

ex=ex

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.16. 

dy=        3dx  _

       3xcos2ln3x

(1+tg2ln3x)dx =        3xdx  _

                            3xcos2ln3x

dx/cos2ln3x= dx/cos2ln3x

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.17. 

y'= 2/(x3√(2/x2-1))

1+2/x2-1- 2x√(2/x2-1)/(x3√(2/x2-1))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.18. 

y'=            x-1   _

      3x√(x-lnx-1)2

lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2 = 0

                        3x√(x-lnx-1)2

0=0

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.19. 

y'= 7/(ax+1)2

a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2 = a(1+7x2/(ax+1)2)

a(1+7x2/(ax+1)2)= a(1+7x2/(ax+1)2)

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.20. 

y'=                      -a2                 _

      2x2√(a/x-1)cos2√(a/x-1)

a2+a2tg2√(a/x-1)-         2a2x√(ax-x2)        = 0

                            2x2√(a/x-1)cos2√(a/x-1)

a2/cos2√(a/x-1) – a2/cos2√(a/x-1)=0

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.21. 

y'=                1       _

      8 4√(√x+√(x+1))

             8x           _ 4√(√x+√(x+1)) =                  -1             _ 

8 4√(√x+√(x+1))                                 4√(√x+√(x+1))3√(x+1)

                 -1             _=                  -1             _

4√(√x+√(x+1))3√(x+1)   4√(√x+√(x+1))3√(x+1)



Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.22. 

y'= ex^2(1+2x2+2x)

ex^2(1+2x2+2x) – 2xex^2(1+x)=2xex^2

2xex^2=2xex^2

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.23. 

y'= 2x2-4x5-x6-2x3-1

           x2(x3+1)2

x(x3+1)( 2x2-4x5-x6-2x3-1) + (2x3-1)(2x2+1) = x3-2

           x2(x3+1)2                                   x(x3+1)          x

x3-2= x3-2

  x       x

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.24. 

y'= (1+2x)ex+x^2+2ex

(1+2x)ex+x^2+2ex - ex+x^2+2ex = 2xex+x^2

2xex+x^2=2xex+x^2

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.25. 

y'= -cosx-xsinx+3

-xcosx+x2sinx+3x = -xcosx+3x+ x2sinx

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.26. 

y'=    -cosx-1   _

      2√(sinx+x)3

-2sinx(cosx+1)+    cosx    = xcosx-sinx

   2√(sinx+x)3     √(sinx+x)   √(sinx+x)3

xcosx-sinx = xcosx-sinx

√(sinx+x)3       √(sinx+x)3

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.27. 

y'= 2x3-4x2+2x-1

            (x-1)2

x(x-1)(2x3-4x2+2x-1) + x/(x-1)+x2 = x2(2x-1)

            (x-1)2

x2(2x-1)= x2(2x-1)

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.28. 

y'= (cosx+xsinx)/cos2x

(cosx+xsinx)/cos2x-xtgx/cosx = secx

1/cosx=secx

secx= secx

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.29. 

y'= n(x+1)n-1(ex-1)+(x+1)nex

n(x+1)n-1(ex-1)+(x+1)nex - n(x+1)n(ex-1)/(x+1) = (x+1)nex

(x+1)nex =(x+1)nex

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.30. 

y'= 2xcosx-2sinx-x2sinx

                       x2

xsinx(2xcosx-2sinx-x2sinx) + (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx) = sinxcosx-x

                   x2                                                x

sinxcosx-x= sinxcosx-x

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).

20.31. 

y'=   2x-4x3   =   1-2x2

      2√(x4-x2)    √(x2-1)

-x√(x4-x2)( 1-2x2) - x4+x2 = x4

        √(x2-1)

x4= x4

Равенство выполняется. Функция  удовлетворяет уравнению (1).