Диференціальне рівняння

ПЛАН

Основи означення.

Диференціальні рівняння І порядку.

Задача Коші.

Теорема існування та єдності розв'язку.

Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.


І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N).

Символічно диференціальне рівняння записується так:

(1) 

Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0;

Sin у'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, що входять в дане рівняння.

Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

у'''+7у'-3у-0 диференціальне рівняння ІІІ порядку.

Отже розв'язком диференціального рівняння (1) називається інтегральною кривою цього рівняння. Виявляється, що рівняння (1) має безліч розв'язків. Сім'я розв'язків яка залежить від n довільних параметрів називається загальний розв'язком рівняння 1. Процес знаходження розв'язків рівняння (1) називається інтегруванням цього рівняння. Розв'язок рівняння (1) може бути у явному у=у(х) або в неявному – G (х1у(х)), яка визначає розв'язок у (х) рівняння (1) називається інтегралом цього рівняння.

2. Диференціальним рівнянням першого порядку виду (2)

де у-у(х) – шукана невідома функція, у'у'(х) – її похідна по х, 

F – задана функція змінних х, у, у' . Якщо розв'язати рівняння (2) відносно похідної у'´(якщо це можливо), одержуємо   (3)

Означення. Рівняння у'-f(х; у) називається рівнянням першого порядку що розв'язується відносно похідної.

Означення. Функція φ (х) є (а; и) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо вона має похідну φ' (х) на (а; в) і якщо для будь-якого х є )а; в) правильна рівність: φ' (х) = f (х; φ (х) ) (тобто функція φ (х) , х є (а; в) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо рівняння (3) при підстановці її замість у перетвориться в тотожність по х на інтервалі (а; в)).

Аналогічно визначається розв'язок диференціального рівняння (2) функція φ (х)  розв'язок рівняння, а крива, що задана рівнянням у - φ (х) , називається інтегральною кривою.

3. Задача знаходження розв'язку рівняння (3), що задовольняє умові   де х0, у0 – задані числа, називається задачею Коші. Умова (4) називаються початковою умовою.

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву рівняння (3), яка проходить через задану точку М0 (х0; у0).

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А0 (х0; у0) області D.

4. Теорема. Нехай маємо рівняння і області D1 в якій функції f (х0; у0) і  визначені і неперервні. Нехай А0 (х0; у0) – довільна точка з області D1. Тоді існує єдиний розв'язок.

у = φ (х) 

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х0 і задовольняє початкову умову φ (х0) = у0.

Приклад 2. Розглянемо рівняння 

 (5)

Його права частина f (х0; у0)  неперервна при у0, тобто у верхній півплощині, включаючи вісь, Ох (область D'1). Функція   неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох (область D1). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків:

, ,  , (6) 

де С – довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком рівняння (5). Тоді у = (х+с)2, при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)2 є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

Припустимо, що через кожну точку області D1 проходить єдина інтегральна крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D1 називається функція у = φ (х, с), 

Яка: 1) є розв'язком рівняння (2) при всіх значеннях довільної сталої;

 2) дає розв'язок Коші є довільними початковими даними (х0, у0) з області D1 при відповідному значення С=С0.

Геометрично розв'язок (6) являє собою сім'ю пів парабол в області D1. Коєжнак інтегральна крива одержується з пів параболи у=х2, х>0 зсувом вліво та вправо на осі Ох.

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що рівняння (5) має розв'язок у=0, який не можна одержати ні при якому значенні довільної сталої С.

Розв'язок у=0 називається особливим розв'язком рівняння (5)

						у





			 			0						х

Частинним розв'язком рівняння (2) називається розв'язок цього рівняння при фіксованому значенні величини С.

Для знаходження частинного розв'язку, який відповідає початковій умові, потрібно підставити х0 і у0 у рівняння (7) і визначити С = С0 з рівняння 

У0 =φ (х0, С)  (8)

Шуканий частинний розв'язок матиме вигляд У0 =φ (х, С0) . Особливим розв'язком рівняння (2) називається такий його розв'язок, який не може бути одержаним ні при якому значенні С. Отже, виходить, що інтегральна крива, яка відповідає особливому розв'язку, проходить поза областю єдності задачі Коші.

5. Розглянемо деякі задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

Приклад 1. Дослідним шляхом встановлено, що швидкість розмноження бактерій в будь-який момент часу додатня і пропорційна їх масі. Знайти залежність маси бактерій від часу.

Позначимо m (t) масу бактерій в момент часу t; тоді  - швидкість розмноження цих бактерій. Згідно умові задачі швидкість розмноження  пропорційна масі m (t) бактерій, тому  - km (t) (9),  де k>0. Рівняння (90 містить шукану функцію m (t) і її похідну, тому є диференціальним рівнянням. Переконаємось, що будь-яка функція виду  (10) де С – довільна змінна, є розв'язком рівняння 9.

Дійсно, замінивши в рівнянні (9) m його значенням з рівності (10) маємо 



Одержали тотожність, отже, дійсно функція (10) є розв'язком рівняння (9). Так як функція m (t) – cekt означає масу бактерій в залежності від часу t, то задача розв’язана в загальному вигляді (10) є загальним розв'язком рівняння (9). При цьому коефіцієнт k залежить від виду бактерій і від зовнішніх умов.

Якщо ми знаємо значення k і масу то бактерій і деякий момент часу t0, то за формулою (10) одержимо масу бактерій в будь-який момент часу t. Дійсно, нехай  (11)

Тоді, m0– cekt,  c- m0– ce-kt отже  (12)

Функція (11) є розв'язком рівняння (9) і, крім того, задовольняє умові (11).

Умова (11) називається початковою умовою.

Таким чином, рівняння 9 має безліч розв'язків, а завдання початкової умови виділяє єдиний розв'язок з цієї множини.


КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

Яке рівняння називається диференціальним?

Яке диференціальне рівняння називається рівнянням першого порядку?

Яке диференціальне рівняння називається рівнянням другого порядку?

Що називається порядком диференціального рівняння?

Записати загальний вид диференціального рівняння першого порядку.

Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, розв'язання відносно похідної?

Що називається розв'язком диференціального рівняння у' =F (х; у)?

Що називається інтегральною кривою диференціальне рівняння у' =F (х; у)?

Як формується задача Коші для диференціального рівняння у' =F (х; у)?

Сформулювати теорему існування та єдності розв'язку.

Що називається загальним розв'язком диференціального рівняння у' =F (х; у)?

Як із загального розв'язку одержати частинний розв'язок?