Преобразования плоскости, движение

- 1 -

Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè



Îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ



Îòîáðàæåíåì ïëîñîñòè íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðîçîâàíèå, ÷òî êàæäîé òî÷êå èñõîäíîé ïëîñêîñòè ñîïîñòàâëÿåòñÿ êàêàÿ-òî òî÷êà ýòîé æå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ëþáàÿ ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíîé äðóãîé òî÷êå. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ôèãóðà F ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ â ôèãóðó F', òî ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà F' - îáðàç ôèãóðû F, à ôèãóðà F - ïðîîáðàç ôèãóðû F'. Åñëè îäíèì îòîáðàæåíèåì ôèãóðà F ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F', à çàòåì ôèãóðà F' ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F'', òî îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå F â F'' íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ îòîáðàæåíèé. Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A êîòîðàÿ ýòèì îòîáðàæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ ñàìà â ñåáÿ. Îòîáðàæåíèå, âñå òî÷êè êîòîðîãî íåïîäâèæíûå íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Åñëè ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè ðàçíûì òî÷êàì ôèãóðû ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå îáðàçû, òî òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïóñòü ôèãóðà F' ïîëó÷åíà èç ôèãóðû F âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì f, òî ìîæíî çàäàòü îòîáðàæåíèå îáðàòíîå îòîáðàæåíèþ f, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèÿ f è îòîáðàæåíèÿ, îáðàòíîãî f ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âèäîâ îòîáðàæåíèÿ ïëîñêîñòè íà ñåáÿ, ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ:



Äâèæåíèÿ

Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ

Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ

Ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ

Ïîäîáèå

Ãîìîòåòèÿ



Äâèæåíèå



Äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ïðè êîòîððîì ñîõðàíàÿþòñÿ âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Äâèæåíèå èìååò ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ:



Òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïðè äâèæåíèè ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, è òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.



Äîêîçàòåëüñòâî: ïóñòü äâèæåíèå ïåðåâîäèò òî÷êè A, B, C â òî÷êè A', B', C'. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà

A'B'=AB ,  A'C'=AC ,  B'C'=BC            (1)

Åñëè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè.  Â ýòîì ñëó÷àå AB+BC=AC, è èç ðàâåíñòâ (1) ñëåäóåò, ÷òî A'C'+B'C'=A'C'. À èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà B' ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A' è C'. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå äîêàæåì ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî: Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êè A', B', C' ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé äàæå â òîì ñëó÷àå, åñëè òî÷êè A, B, C íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî åñòü ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà. Òîãäà äîëæíû âûïîëíÿòñÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà:

AB<AC+BC

AC<AB+BC

BC<AB+AC

íî èç ðàâåíñòâ (1) ñëåäóåò, ÷òî òå æå íåðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòñÿ è äëÿ òî÷åê A', B', C' ñëåäîâòåëüíî òî÷êè A', B', C' äîëæíû áûòü âåðøèíàìè òðåóãîëüêà, ñëåäîâòåëüíî òî÷êè A', B', C' íå äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé ïðÿìîé.

Îòðåçîê äâèæåíèå ïåðåâîäèòñÿ â îòðåçîê.

Ïðè äâèæåíèè ëó÷ ïåðåõîäèò â ëó÷, ïðÿìàÿ â ïððÿìóþ.

Òðåóãîëüíèê äâèæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ â òðåóãîëüíèê.

Äâèæåíèå ñîõðàíÿåò âåëè÷èíû óãëîâ.

Ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿþòñÿ ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíûõ ôèãóð.

Äâèæåíèå îáðàòèìî. Îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå äâèæåíèþ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

Êîìïîçèöèÿ äâóõ äâèæåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.



Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå ðàâíåñòâà ôèãóð:

Äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäíó èç íèõ ìîæíî ïåðåâåñòè â äðóãóþ íåêîòîðûì äâèæåíèåì.



Âèäû äâèæåíèé



Íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóþò ÷åòûðå òèïà äâèæåíèé:



Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.

Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ

Ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ



Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå êàæäûé âèä.



Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ



Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå.

Ïîäðîáíåå: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïðîèçâîëüíûì òî÷êàì ïëîñêîñòè X è Y ñòàâèò â ñîîòâåòñâèå òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî XX'=YY' èëè åùå ìîæíî ñêàçàòü òàê: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ýòî îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð - âåêòîð ïåðåíîñà. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàäàåòñÿ âåêòîðîì ïåðåíîñà: çíàÿ ýòîò âåêòîð âñåãäà ìîæíî ñêàçàòü, â êàêóþ òî÷êó ïåðåéäåò ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè.

Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, ñîõðàíÿþùèì íàïðàâëåíèÿ. Äåéñâòèòåëüíî, ïóñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå òî÷êè X è Y ïåðåøëè â òî÷êè X' è Y' ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî XX'=YY'. Íî èç ýòîãî ðàâåíñòâà ïî ïðèçíàêó ðàâíûõ  âåêòîðîâ ñëåäóò, ÷òî XY=X'Y', îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî âî-ïåðâûõ XY=X'Y', òî åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, è âî âòîðûõ, ÷òî XY   X'Y', òî åñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñîõðàíÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿ.

Ýòî ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà - åãî õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.



Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ



Òî÷êè X è X' íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a, è êàæäàÿ èç íèõ ñèììåòðè÷íîé äðóãîé, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì îòðåçêà XX'. Êàæäàÿ òî÷êà ïðÿìîé a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íà ñàìîé ñåáå (îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a). Åñëè äàíà ïðÿìàÿ a, òî êàæäîé òî÷êå X ñîîòâåòñâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà X', ñèììåòðè÷íàÿ X îòíîñèòåëüíî a.

Ñèììåòðèåé ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå ýòîé ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà, ñèììåòðè÷åíàÿ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a.

Äîêàæåì, ÷òî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì óñïóëüçóÿ ìåòîä êîîðäèíàò: ïðèìåì ïðÿìóþ a çà îñü x äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Òîãäà ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî íåå òî÷êà, èìåþùàÿ êîîðäèíàòû (x;y) áóäåò ïðåîáðàçîâàíà â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x, -y).

Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè A(x1, y1) è B(x2, y2) è ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî îñè x òî÷êè A'(x1,- y1) è B'(x2, -y2). Âû÷èñëÿÿ ðàñòîÿíèÿ A'B' è AB, ïîëó÷èì

Òàêèì îáðàçîì îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, ñëåäîâòåëüíî îíà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.



Ïîâîðîò



Ïîâîðîò ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî öåòðà O íà äàííûé óãîë  () â äàííîì íàïðàâëåíèè îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êàæäîé òî÷êå X ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñâèå òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî, âî-ïåðâûõ, OX'=OX, âî-âòîðûõ  è, â-òðåòèõ, ëó÷ OX' îòêëàäûâàåòñÿ îò ëó÷à OX â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ïîâîðîòà, à óãîë -óãëîì ïîâîðîòà.

Äîêàæåì, ÷òî ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì:



Ïóñòü ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîïîñòîâëÿþòñÿ òî÷êè X' è Y'. Ïîêàæåì, ÷òî X'Y'=XY.

Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè O, X, Y íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà óãîë X'OY' ðàâåí óãëó XOY. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü óãîë XOY îò OX ê OY îòñ÷èòûâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîâîðîòà. (Åñëè ýòî íå òàê, òî ðàññìàòðèâàåì óãîë YOX). Òîãäà óãîë ìåæäó OX è OY' ðàâåí ñóììå óãëà XOY è óãëà ïîâîðîòà (îò OY ê OY'):



ñ äðóãîé ñòîðîíû,



Òàê êàê (êàê óãëû ïîâîðîòà), ñëåäîâòåëüíî . Êðîìå òîãî, OX'=OX, è OY'=OY. Ïîýòîìó - ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Ñëåäîâòåëüíî X'Y'=XY.

Åñëè æå òî÷êè O, X, Y ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îòðåçêè XY è X'Y' áóäóò ëèáî ñóììîé, ëþáî ðàçíîñòüþ ðàâíûõ îòðåçêîâ OX, OY è OX', OY'. Ïîýòîìó è â ýòîì ñëó÷àå X'Y'=XY. Èòàê, ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.



Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ



Ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå:

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåòðîì â òî÷êå O ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèíîé îòðåçêà XX'.

Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîâîðîòà, à èìåííî, ïîâîðîòà íà 180 ãðàäóñîâ. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êà X ïåðåøëà â X'. Òîãäà óãîë XOX'=180 ãðàäóñîâ, êàê ðàçâåðíóòûé, è XO=OX', ñëåäîâòåëüíî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà 180 ãðàäóñîâ. Îòñþäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå.Òî åñòü åñëè ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîîòâåòñâóþò òî÷êè X' è Y', òî 

XY= - X'Y'

Äîêàçàòåëüñòâî: Ïîñêîëüêó òî÷êà O - ñåðåäèíà îòðåçêà XX', òî, î÷åâèäíî,

OX'= - OX

Àíàëîãè÷íî

OY'= - OY

Ó÷èòûâàÿ ýòî íàõîäèì âåêòîð X'Y':



X'Y'=OY'OX'=OY+OX=(OYOX)= XY



Òàêèì îáðàçîì X'Y'=XY.

Äàêàçàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè, à èìåííî, ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ïðèçíàêîì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè: "Äâèæåíèå, èçìåíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå, ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé."



Î ñèììåòðèè ôèãóð



Ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà îáëàäàåò ñèììåòðèåé (ñèììåòðè÷íà), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå äâèæåíèå (íå òîæäåñòâåííîå), ïåðåâîäÿùåå ýòó ôèãóðó â ñåáÿ.

Íàïðèìåð, ôèãóðà îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé, åñëè îíà ïåðåõîäèò â ñåáÿ íåêîòîðûì ïîâîðîòîì.

Ðàññìîòðèì ñèììåòðèþ íåêîòîðûõ ôèãóð:

Îòðåçîê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð è ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ ýòîò îòðåçîê) è öåíòð ñèììåòðèè (ñåðåäèíà).

Òðåóãîëüíèê îáùåãî âèäà íå èìååò îñåé èëè öåíòðîâ ñèììåòðèè, îí íåñèììåòðè÷åí. Ðàâíîáåäðåííûé (íî íå ðàâíîñòîðîííèé) òðåóãîëüíèê èìååò îäíóîñü ñèììåòðèè: ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îñíîâàíèþ.

Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê èìååò òðè îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì) è ïîâîðîòíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñ óãëîì ïîâîðîòà 120.

Ó ëþáîãî ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà åñòü n îñåé ñèììåòðèè, âñå îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç åãî öåíòð. Îí òàêæå èìååò ïîâîðîòíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñ óãëîì ïîâîðîòà .

Ïðè ÷åòíîì n îäíè îñè ñèììåòðèè ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû, äðóãèå  ÷åðåç ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí.

Ïðè íå÷åòíîì n êàæäàÿ îñü ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó è ñåðåäèíó ïðîòèâîïîëæíîé ñòîðîíû.

Öåíòð ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ ÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí öåíòðà ñèììåòðèè íåò.

Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ åå îñüþ ñèììåòðèè, îêðóæíîñòü òàêæå îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé, ïðè÷åì óãîë ïîâîðîòà ìîæåò áûòü ëþáûì.





Ïîäîáèå



Ïîäîáèåì ñ êîýôôèöèåíòîì k>0 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáûì äâóìÿ òî÷êàì X è Y ñîîòâåòñâóþò òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî X'Y'=kXY.

Îòìåòèì, ÷òî ïðè k=1 ïîäîáèå ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, òî åñòü äâèæåíèå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîäîáèÿ.

Ôèãóðà F íàçûâàåòñÿ ïîäîáíîé ôèãóðå F' ñ êîýôôèöèåíòîì k, åñëè ñóùåñòâóåò ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì k, ïåðåâîäÿùåå F â F'.

Ïðîñòåéøèì, íî âàæíûì ïðèìåðîì ïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîòåòèÿ







Ãîìîòåòèÿ



Ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì â òî÷êå O è êîýôôèöèåíòîì k íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî OX' = kOX, ïðè÷åì íå èñëþ÷àåòñÿ è âîçìîæíîñòü k<0.

Ïðè k =1 ïîëó÷àåòñÿ öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåíòðîì â òî÷êå O, ïðè k =1 ïîëó÷àåòñÿ òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.



Îñíîâíîå ñâîéñòâî ãîìîòåòèè

Ïðè ãîìîòåòèè ñ êîýôôôèöèåíòîì k êàæäûé âåêòîð óìíîæàåòñÿ íà . Ïîäðîáíåå: åñëè òî÷êè  è  ïðè ãîìîòåòèè ñ êîýôôôôèöèåíòîì  ïåðåøëè â òî÷êè ' è ', òî 

'' = 

Äîêàçàòåëüñòâî. 

Ïóñòü òî÷êà   öåíòð ãîìîòåòèè. Òîãäà ' = , ' = . Ïîýòîìó '' = '  ' =    = (  ) = .

Èç ðàâíåòñâà '' =  ñëåäóåò, ÷òî A'B' = |k|AB, òî åñòü ãîìîòåòèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì k ÿâëÿåòñÿ ïîäîáèåì ñ êîýôôôèöèåíòîì |k|.

Îòìåòèì, ÷òî ëþáîå ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì  ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì  è äâèæåíèÿ.

Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãîìîòåòèè

Ãîìîòåòèÿ îòðåçîê ïåðåâîäèò â îòðåçîê.

Ãîìîòåòèÿ ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó óãëîâ.

.

Êîìïîçèöèÿ äâóõ ãîìîòåòèé ñ îáùèì öåíòðîì è êîýôôèöèåíòàìè k1 è k2 ,áóäåò ãîìîòåòèåé ñ òåì æå öåíòðîì è êîýôôèöèåíòîì Ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì  áóäåò ãîìîòåòèåé ñ òåì æå öåíòðîì è êîýôôèöèåíòîì 1/k.



Ñâîéñòâà ïîäîáèÿ.



Ïîäîáèå îòðåçîê ïåðåâîäèò â îòðåçîê.

Ïîäîáèå ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó óãëîâ.

Ïîäîáèå òðåóãîëüíèê ïåðåâîäèò â òðåóãîëüíèê. Ñîîòâåòñâåííûå ñòîðîíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñîîòâåòñâåííûå óãëû ðàâíû

Â ðåçóëüòàòå ïîäîáèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì  ïëîùàäè ôèãóð óìíîæàþòñÿ íà 2.

Êîìïîçèöèÿ ïîäîáèé ñ êîýôôèöèåíòàìè k1 è k2 åñòü ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì k1k2.

Ïîäîáèå îáðàòèìî. Îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå ïîäîáèþ ñ êîýôôèöèåíòîì  åñòü ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì 1/.