Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп

Дипломна робота

"Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп"




Зміст



Перелік умовних позначок

Введення

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

2. - довжина - розв'язної групи

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

4. Використовувані результати

Висновок

Список використаних джерел




Перелік умовних позначок



Розглядаються тільки кінцеві групи. Використовуються наступні позначення.

 - прості числа.

 - знак включення множин;

 - знак строгого включення;

 і  - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

 - порожня множина;

 - множина всіх  для яких виконується умова ;

 - число  порівнянне із числом  по модулі .

 - множина всіх простих чисел;

 - деяка множина простих чисел, тобто ;

 - доповнення до  у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

примарне число - будь-яке число виду , ;

 - множина всіх цілих позитивних чисел.

 - одинична група;

 - одинична матриця розмірності ;

 - повна лінійна група ступеня  над полем з  елементів, тобто група всіх не вироджених лінійних перетворень - мірного лінійного простору над полем з  елементів;

) - спеціальна лінійна група ступеня  над полем з  елементів.

) - проективна спеціальна лінійна група ступеня  над полем з  елементів, тобто факторгрупа спеціальної лінійної групи по її центрі

 - кінцеве поле порядку .

Нехай  - група. Тоді:

 - порядок групи ;

 - порядок елемента  групи ;

 - одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

 - також одинична підгрупа групи ;

 - множина всіх простих дільників порядку групи ;

 - множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

- група - група , для якої ;

- група - група , для якої ;

Група  називається:

примарною, якщо ;

бипримарною, якщо .

 - підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп групи ;

 - підгрупа Фиттинга групи , тобто добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи ;

 - комутант групи , тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;

 - найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна підгрупа непарного порядку групи ;

 - найбільша нормальна - підгрупа групи ;

 - - холовська підгрупа групи ;

 - силовська - підгрупа групи ;

 - доповнення до силовської - підгрупи в групі , тобто -холовська підгрупа групи ;

 - група всіх автоморфизмов групи ;

 - головний ранг групи ;

 - - головний ранг групи ;

 -  є максимальною підгрупою групи ;

Нехай  - максимальний ланцюг підгруп, тобто  для всіх . Якщо  розв'язно, то всі індекси максимального ланцюга примарні, тобто . Тоді:





.



При введенні позначень  і  розглядаються всі максимальні ланцюги.

 - - довжина групи ;

 - нильпотентна довжина групи ;

 - похідна довжина групи ;

 -  є підгрупою групи ;

 -  є власною підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа - неодинична власна підгрупа;

 -  є нормальною підгрупою групи ;

 -  є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

 -  є субнормальною підгрупою групи ;

 - підгрупа  характеристична в групі , тобто  для будь-якого автоморфізму ;

 - індекс підгрупи  в групі ;



;



 - ядро підгрупи  в групі , тобто перетинання всіх підгруп, сполучених з  в ;

 - підгрупа, породжена всіма підгрупами, сполученими з підгрупою  з  елементами  з , тобто ;

 - централізатор підгрупи  в групі ;

 - нормалізатор підгрупи  в групі ;

 - центр групи ;

 - циклічна група порядку ;

 - симетрична група ступеня ;

 - знакозмінна група ступеня .

Якщо  й  - підгрупи групи , то:

 - прямий добуток підгруп  і ;

 - напівпрямий добуток нормальної підгрупи  й підгрупи ;

 -  і  ізоморфні.

Дужки  застосовуються для позначення підгруп, породжених деякою множиною елементів або підгруп.

 - підгрупа, породжена всіма , для яких виконується .

Групу  називають:

- замкнутої, якщо ;

- нильпотентною, якщо ;

- розкладеної, якщо  й  нормальні в.

Ряд підгруп  називається:

субнормальним, якщо  для кожного ;

нормальним, якщо  для кожного ;

головним, якщо  для всіх .




Введення



Відомо, що кінцеві розв'язні групи можна охарактеризувати як кінцеві групи, у яких доповнені всі силовські підгрупи. Ця теорема Ф. Холу [12] з'явилася джерелом розвитку одного з напрямків теорії груп, що складає в дослідженні будови груп з виділеними системами підгруп, що доповнюються. Як відзначає у своїй монографії С.Н. Черников [10,с.11]: "Вивчення груп з досить широкою системою підгруп, що доповнюються, збагатило теорію груп багатьма важливими результатами". До теперішнього часу виділені й повністю вивчені багато нових класів груп. При цьому намітилася тенденція до узагальнень як самого поняття доповнюється по способу виділення системи підгруп, що доповнюються. Системи підгруп, що доповнюються, виділялися, наприклад, за допомогою таких понять як примарність, абелевість, циклічність, нормальність і інші властивості кінцевих груп і їхніх комбінацій, а замість доповнюваності розглядалися - доповнюваність (якщо перетинання підгрупи з додаванням циклічне), - щільність (якщо для будь-яких двох підгруп  підгруп групи , з яких перша не максимальна в другий,  в існує що доповнюється (абелева) підгрупа, що строго втримується між ними), і ін. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [10].

Подібна тематика досліджується й у теорії формацій. У роботах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вень Биня [11], А.Н. Скиби [7], Л.А. Шеметкова [8] і інших авторів досліджувалися формації із системами що доповнюються підформацією. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [9].

Однак умова існування доповнень до окремих підгруп є досить сильним обмеженням. Далеко не всі підгрупи мають доповнення. Разом з тим кожна підгрупа має мінімальне додавання. Тому для дослідження будови кінцевих груп із системами підгруп, що додаються, необхідно вводити додаткові обмеження на мінімальні додавання.

У дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентною довжини кінцевої розв'язної групи. Метою дипломної роботи є дослідження величини нильпотентною довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з извесними додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентною довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

Робота складається із трьох глав.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга.

Визначення. Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи  називають підгрупою Фиттинга групи  й позначають через .

Визначення. Нильпотентною довжиною розв'язної групи  називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи  позначають через .

На основі підгрупи Фиттинга вводиться наступна

Теорема А. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Також розглядається доказ теореми К. Дерка.

Теорема B. Якщо  - максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .

Доведено теорему Монахова В.С.

Визначення. Підгрупа  групи  називається максимальною підгрупою, якщо  не втримується ні в якій іншій підгрупі, відмінної від .

Визначення. Підгрупою Фратіні групи називається перетинання всіх її максимальних підгруп. Підгрупа Фратіні групи  позначається через .

Теорема C. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентної групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

У другому розділі " - довжина - розв'язної групи" дані наступні визначення. Визначення. Нехай  - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на  й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу  будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група  розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона - розв'язна для всіх простих . Ясно, що група  -розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд







у якому кожна факторгрупа  є або -групою, або -групою.

Визначення. Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи  й позначимо його , або, якщо необхідно, . -довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду







Доводиться

Теорема D. Якщо - -розв'язна група, де  - непарне просте число, то


(i) 



(ii)  якщо  не є простим числом Ферма, і , якщо  - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема.

Визначення. Група  називається - сверхразрешимою, якщо її головні фактори або -групи, або мають прості порядки. -Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок , або є -групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.

Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна  або , де  - нильпотентна група, а  й  - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна  або , де  - - група, або , де  - -група.




1. Підгрупа Фиттинга і її властивості



Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи  називають підгрупою Фиттинга групи  й позначають через . Множина простих дільників порядку групи  позначається через  а найбільшу нормальну -підгрупу групи  - через .

Лема 1.1. (1)  - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;



(2) ;

(3) .



Proof. (1) Нехай  і  - нильпотентние нормальні підгрупи групи  й нехай  і  - силовські -підгрупи з  і . Тому що , а , те  по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, , тому . Ясно,  - -група. Покажемо, що вона силовська в.  Для цього обчислимо її індекс:







Тому що чисельник не ділиться на , те  - силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому  - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .

(2) Ясно, що  для всіх , тому






Обернено, якщо  - силовська -підгрупа групи , те  й  нормальна в , тому  й







(3) Якщо , те  й  нильпотентна, тому  по (1) і .

Лема 1.2. (1) ; якщо  розв'язно й , те ;

(2)  (3) якщо , те ; якщо, крім того,  абелева, те 

Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні  - нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай  - розв'язна неодинична група. Тоді  розв'язна й неодинична. Нехай







Тому що  - -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа  нильпотентна й . Отже, .

(2) Якщо , те  - нильпотентна нормальна в  підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому  й







Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи  або , або . Якщо , то






Якщо , то  - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку,  по теоремі 4.4, с. 35, тому .

Теорема 1.3.  для кожного . Зокрема, якщо  розв'язно, те 

Proof. Нехай , . Тому що  по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що  для деякого  й нехай







Ясно, що  й  Нехай  - силовська -підгрупа групи . Тому що







-група, те, а оскільки , те  й . Тепер,  - нильпотентна нормальна підгрупа групи  й . Таким чином,  і перше твердження доведене. Якщо  розв'язно, то  розв'язно, тому  й .

Говорять, що підгрупа  групи  доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що  й . У цьому випадку підгрупу  називають доповненням до підгрупи  в групі 

Теорема 1.4. Якщо  - нильпотентна нормальна підгрупа групи  й , те  дополняема в.

Proof. За умовою  а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні  а за умовою  Тому  й  абелева. Нехай  - додавання до  в.  По лемі 4.8, с. 35,  Оскільки  й  те  й по теоремі 4.7, с. 35,







Отже,  і  - доповнення до  в.

Теорема 1.5. Факторгрупа  є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .

Proof. Припустимо спочатку, що  й позначимо через  підгрупу Фиттинга  По теоремі 4.6 комутант  Але  значить  по теоремі 4.7, с. 35. Тому  й  абелева. Нехай  - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи  найбільшого порядку. Тоді  й по теоремі 1.4 існує підгрупа  така, що  По тотожності Дедекинда  Але  абелева, тому  а тому що , те  На вибір  перетинання  й 

Нехай тепер  і  По лемі 1.2(2)  Тому що  те для  твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп. 

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай







По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа  нормальна в.  Якщо






головний ряд групи , те









нормальний ряд групи . Тому що підгрупа  втримується в кожній підгрупі , те







для . По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа  нильпотентна, тому .

Перевіримо зворотне включення. Нехай  - головний фактор групи . Тому що







те по лемі 4.11, с. 35, або



 або 



У першому випадку , тому








У другому випадку з нильпотентності підгрупи  по лемі 1.2 одержуємо, що







Знову . Таким чином,  і .

Лема 1.8. .

Proof. Нехай . Ясно, що  й . Тому що







те  й  ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому









Нехай  - група й нехай













Ясно, що








У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне  таке, що .

Нильпотентною довжиною розв'язної групи  називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи  позначають через . Таким чином, якщо група  розв'язна й , те









Тому побудований ряд нормальний і його фактори  нильпотентни.

Ясно, що  тоді й тільки тоді, коли група  нильпотентна.

Приклад 1.9. . 

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай  - розв'язна група. Тоді:



(1) ;

(2) . 



Лема 1.11. (1) Якщо  - розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи  з нильпотентними факторами не менше, ніж .

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи . Нехай






нормальний ряд групи  з нильпотентними факторами. Тому що  - нормальна нильпотентна підгрупа групи , те  й . Тут . Факторгрупа  має порядок менше, ніж порядок групи  й володіє поруч







де . Ясно, що це нормальний ряд, його довжина  і його фактори









нильпотентни. По індукції  й .

(2) треба з (1). Лема 1.12. Нехай  - розв'язна група. Тоді:

(1) якщо , те ;

(2) якщо , те ;

(3) якщо  й , те







зокрема, якщо  й  - розв'язні групи,те





(4) .


Proof. Нехай  і . Тоді







(1) Нехай . Тоді ряд







буде нормальним рядом підгрупи  з нильпотентними факторами









По лемі 1.11.

(2) Нехай  і . Тоді ряд







буде нормальним рядом групи  з нильпотентними факторами









По лемі 1.10.

(3) Ясно, що . Позначимо . Тоді  по лемі 1.10, а по індукції










Тому . Тому що  по (1), те маємо







(4) Покладемо . По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи  маємо  й







Тому .

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо  - максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи . Нехай  - мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то  й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи  втримуються в.  Якщо група  містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те  й по індукції







Оскільки






те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група  містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то  по лемі 1.12 і знову







Оскільки







те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що  й  по наслідку 1.6. По індукції







Якщо , то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що  - -група. Тоді  - -група. Нехай . Якщо , то  й , тому







і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли . Тому що  - -підгрупа, те







причому  - -група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення  в теоремі 1.13 мають місце. Значення  виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення  виконується на групі  з максимальною підгрупою . Значення  виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна. 

Якщо факторгрупа  нильпотентна, то групу  називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через  перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через  перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи  й  характеристичні в групі  й







(1) У факторгрупи  підгрупа Фиттинга







по лемі 1.2, тому







Припустимо, що  й нехай  - мінімальна нормальна підгрупа групи , що втримується в.  Тому що підгрупа  нормальна в групі  й факторгрупа  нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа  нильпотентна й . Але тепер







протиріччя. Тому допущення невірно й , тобто .

(2) Нехай  - розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що   й







Тому підгрупа  метанильпотентна.

Приклад 1.16. У нерозв'язній групі  центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок . Тому в групі  немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.



2. - довжина - розв'язної групи



Нехай  - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на  й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу  будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група  розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона -розв'язна для всіх простих . Ясно, що група  - розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд






у якому кожна факторгрупа  є або -групою, або -групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній -ряд.







зажадавши, щоб  була найбільшої нормальною -підгрупою в , а  - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи  й позначимо його , або, якщо необхідно, .

-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду (2.2). Підгрупи  й, мабуть, характеристични в , і  містить всі нормальні підгрупи групи  з -довгої, не переважаючого числа . Помітимо також, що







для 

Підгрупи й факторгрупи -розв'язної групи  також -розв'язні, і їхня довжина не перевищує . Якщо групи  й  обидві -розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток  і 

Нехай  - -розв'язна група й - її силовська -підгрупа. Розумно припустити, що чим більше -довго  групи , тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи . Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності . Найбільш природні із цих критеріїв, силовські -інваріанти групи , такі:

(i)  де  - порядок ,

(ii)  - клас нильпотентності , тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду ,

(iii)  - довжина ряду комутантів ,

(iv)  де  - експонента , тобто найбільший з порядків елементів . Експонента самої групи , тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому . Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів  або  рівносильно тому, що  є -групою.

В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел , і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є  простим числом Ферма  чи виду ні.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.1. Якщо - -розв'язна група, де  - непарне просте число, те



(i) 



(ii)  якщо  не є простим числом Ферма, і , якщо  - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

Ми встановимо також нерівності, що зв'язують  c  і  з , але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для , і ми доведемо їхньою індукцією по . Припустимо, що  й що , як завжди володіє верхнім -поруч (2.2). Нехай підгрупа Фратіні -групи . Усякий елемент групи  індуцирує внутрішній автоморфізм групи  й, отже, групи . Але, як відоме,  є елементарної абелевой -групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики , а її автоморфізм - з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи , індуковані елементами , утворять тому лінійну групу над полем характеристики . Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи , і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі , і тому є -розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.

Теорема 2.2. Нехай  - розв'язна лінійна група над полем характеристики , не утримуюча неодиничну нормальну -підгрупу. Нехай  - елемент порядку  в.  Тоді мінімальне рівняння для  має вигляд .

Число  задовольняє наступній умові. Нехай  найменше ціле число (якщо воно існує), для якого  є ступенем простого числа  із властивістю . Якщо  не існує, то ; у противному випадку







Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи , для яких , буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність  може виконуватися тільки тоді, коли  або коли  - простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.

Теорема 2.3. Нехай  - якась -група, на яку діє -група , причому деякий елемент  групи  діє нетривіально на , але тривіально на кожну щиру -інваріантну підгрупу групи . Тоді існує таке просте число , що  є або елементарної абелевой -групою, або -групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа по комутанту  - елементарна абелева група й подання  на  неприводимо.

Слід зазначити, що якщо  - розв'язна група, то обмежник  тягне обмеженість довжини ряду комутантів  групи .

Нехай  означає наступне твердження:

: для кожного позитивного цілого числа  існує таке ціле число , що всяка розв'язна група експоненти , породжувана  елементами, має порядок не більше .

Теорема 2.4.  істинно, якщо  істинно для всіх ступенів простих чисел , що ділять .

Зокрема, тому що відомо, що ,  і  щирі, те щирі  й . У цих випадках, як і завжди, коли  ділиться тільки на два простих числа, ми можемо слово "розв'язна" замінити у формулюванні  словом "кінцева". Якщо  - число, вільне від квадратів, ми навіть можемо обчислити , коли  відомі для всіх простих , що ділять , і всіх . Так, порядок найбільшої кінцевої -породженої групи експоненти 6 дається формулою



 де  й 



Нехай потрібно довести індукцією один по одному групи  нерівність






Тут  і  - числові інваріанти, для деякого класу кінцевих груп, що ми вважаємо замкнутим. Ми вважаємо , що (2.3) виконується для досить малих , отже й для , і, крім того, що:

(I) якщо  - підгрупа , те ;

(II) ;

(III) якщо  - факторгрупа , те .

Тоді справедлива

Лема 2.5. У доказі нерівності (2.3) індукцією один по одному групи  можна припустити, що  володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою.

Справді, якщо  володіє двома мінімальними нормальними підгрупами  й , ми одержимо, що , так що  ізоморфно підгрупі прямого добутку . Так як  - інваріант, що має однакові значення для ізоморфних груп, останні (I) і (II) дають







У силу припущення індукції  й у силу умови (III) . Таким чином, , і точно також , так що , що й було потрібно.

Помітимо, що всі силовські -інваріанти, згадані раніше, крім , задовольняють умовам (I), (II) і (III). Те ж вірно й для інваріанта  розв'язної групи й інваріанта  -розв'язної групи;  задовольняє умові (III). Таким чином, якщо  задовольняє умовам (I) і (II), те цим же умовам задовольняє будь-яка функція , а якщо  задовольняють умові (III), те цій же умові задовольняє будь-яка функція , що не убуває по кожному з  аргументів. Тому що всі наші нерівності тривіальні для досить малих груп , то легко бачити, що твердження останньої леми можна застосовувати щораз, коли це необхідно.

Теорема 2.6. Якщо  - розв'язна група, те .

Доводячи теорему індукцією один по одному , можна припустити, що  володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Тому що  розв'язно, ця підгрупа буде -групою для деякого простого числа . Тоді у верхньому -ряді (2.2) групи  підгрупа . Звідси







Але  й -1, у той час як при  інваріанти  й  мають однакові значення для  й .

Нехай пропозиція індукції, застосована до групи , дає







Звідси треба теорема.

Нам знадобитися далі важлива властивість верхнього -ряду -розв'язної групи, що зручно вивести в небагато більше загальному контексті. Нехай  - деяка множина простих чисел, а  - додаткове до  множина. -група - це кінцева група, порядок якої ділиться тільки на прості числа, що входять в.  Кінцева група  -розв'язна, якщо кожний її композиційний фактор є або -групою, або -групою. Така група  володіє верхнім -поруч, для якого ми використовуємо ті ж позначення, що й у випадку, коли  містить одне просте число . Таким чином, ми пишемо






для ряду нормальних підгруп, вимагаючи, щоб факторгрупа  була найбільшої нормальною -підгрупою в , а факторгрупа  - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Лема 2.7. Якщо -розв'язна група  не містить неодиничну -підгрупу, так що , то група  містить свій централізатор у групі .

Нехай  - централізатор групи . Якщо лема не вірна й , то ми можемо вибрати нормальну підгрупу  групи , таку, що  й мінімальну при цьому умові. Тому що група  -розв'язна, факторгрупа  виявляється або -групою, або -групою, а по визначенню групи  вона не може бути -групою. Отже, факторгрупа  є -група й порядки груп  і  взаємно прості. По теоремі Шура, група  має доповнення  в групі . Тому що , трансформування групи  елементом з  індуцірує її внутрішній автоморфізм, а тому що порядки  й  взаємно прості, цей автоморфізм може бути тільки тотожним. Тоді  - прямий добуток  і . Тому  є характеристичною підгрупою в , а отже, нормальною підгрупою в , у протиріччі із припущенням, що . Це протиріччя доводить лему. Помітимо, що припущення  насправді зайво, тому що в загальному випадку ми можемо застосувати лему до факторгрупи .

Наслідок 2.8. Нехай  - деяка підгрупа , індекс якої не ділиться ні на яке просте число з , тоді центр групи  втримується в центрі групи .

Дійсно, підгрупа  повинна містити нормальну -підгрупу  групи .

Наслідок 2.9. Нехай  - деяка підгрупа групи , що містить , тоді  не володіє неодиничної нормальної -підгрупою.

Дійсно, нормальна -підгрупа групи  повинна втримуватися в центролизаторе групи .

Під -підгрупою кінцевої групи  ми маємо на увазі таку підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості. Якщо група  розв'язна і її порядок дорівнює , де , то група  володіє -підгрупами порядку  й будь-які дві з них сполучені, а тому ізоморфні.

Теорема 2.10. Якщо  - розв'язна група порядку , де  при , і якщо підгрупа групи  порядку  має клас нильпотентності  те







Зокрема, для будь-якої кінцевої розв'язної групи . -підгрупа деякої факторгрупи , порядок якої ділить , має клас нильпотентності, не перевищуючий , так що ми можемо застосувати твердження леми 2.5 і одержати результат індукцією один по одному групи , допустивши що  володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Це буде -група для деякого простого числа , і ми можемо тому предполодить, що її порядок ділить . Тоді, якщо ми візьмемо в якості  множина простих долителей числа , виявиться виконаної передумова леми 2.5. Якщо  - найбільша нормальна -підгрупа групи  й  - її центр, то по наслідку леми 2.5  містить центр -підгрупи групи , що має порядок . Порядок -підгрупи групи  ділить , тому клас нильпотентності її не більше . Для  -підгрупи груп  і  порядку  ізоморфні, так що в силу припущення індукції, застосованої до , одержимо








Тому що , той доказ по індукції проведено.

Перш ніж застосовувати лему 2.5 до доказу нерівності для , зручно уточнити її для випадку, при якому  складається з одного простого числа . Нехай  є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) . Тоді лема 2.5, застосована до групи , показує, що якщо  - елемент групи , що не входить в , те трансформування елементом  індуцируе у  нетотожний автоморфізм. Необхідне уточнення складається в заміні групи  групою , де  - підгрупа Фратіні групи . Тепер  - -група, і в такий спосіб  - елементарна абелева -група. Ясно тому, що автоморфізм групи , індукований групи , тотожний. Таким чином, множина елементів групи , що тотожно трансформує , є нормальною підгрупою  групи , такий, що . По визначенню  фактор група  не може бути -групою, відмінної від 1, тому якщо , те група  повинна містити елемент , що не входить в  і порядку, взаємно простого . Тоді  індуцірує автоморфізм групи  порядку, взаємно простого с. Але автоморфізм -групи, по модулю підгрупі Фратіні, має порядок, рівний ступені числа . Таким чином,  індуцірує у  нетотожний автоморфізм, що суперечить визначенню групи . Виходить, , що й було потрібно. У такий спосіб:

Лема 2.11. Якщо  є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) і якщо  - підгрупа Фратіні групи , те автоморфизми групи, які індуковані трансформуваннями елементами групи , представляють  точно.

Наслідок 2.12. .

По лемі група  не володіє неодиничної нормальної -підгрупою, і наступні члени її верхнього -ряду являють собою фактор групи по  відповідних членів верхнього -ряду групи .

Теорема 2.13. Для кожної -розв'язної групи 



(I) 

(II) 



Ми можемо використовувати індукцію один по одному групи  й припустити, що  володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою . Очевидно, ми можемо також припустити, що , звідки наслідку з леми 2.11 , а, отже, , і  - елементарна абелева -група. Тепер, думаючи , ми одержимо, що , так що по припущенню індукції містимо, що . Якщо  - група порядку , то порядок її групи автоморфизмов  дорівнює







так що . Відповідно до леми 2.11, група  ізоморфна деякій підгрупі групи , так що , звідки . Таким чином,








що й було потрібно.

З іншої сторони відповідно до наслідку 1 леми 2.7,  містить центр силовської -підгрупи групи , так що . Тому що , те індукція для (II) проводиться відразу.

Нерівності, отримані десь, аж ніяк не є найкращими. Для непарних  їх значно можна підсилити. Однак при  теорему 2.13 поліпшити не можна.

Останню теорему можна застосувати для короткого доказу тверджень  і .



3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп



У справжньому главі описані нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп. До цього класу груп ставляться, зокрема, і кінцеві групи із примарними індексами несверхразрешимих груп. Доводиться

Теорема 3.1. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна  або , де  - нильпотентна група, а  й  - прості числа.

Наслідок 3.2. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешими, ізоморфна  або , де  - -група, або , де  - -група.

Відзначимо, що кінцеві групи з нильпотентними підгрупами непримарного індексу вивчені С. С. Левищенко [13]. Серед них немає нерозв'язних груп.

Розглядаються тільки кінцеві групи. Всі позначення, що зустрічаються, і визначення стандартні, їх можна знайти в [2,14].

Нам знадобиться наступна

Лема 3.3. Нехай у кінцевій групі  кожна несверхразрешима група володіє нильпотентним додаванням. Тоді в будь-якій підгрупі й у будь-який фактор-групі групи  кожна несверхразрешима підгрупа володіє нильпотентним додаванням.

Proof. Нехай  - довільна підгрупа кінцевої групи , і нехай  - несверхразрешимая підгрупа з . У групі  існує нильпотентное додавання  до підгрупи . Тому , а . Тепер  - нильпотентна, і до  можна взяти нильпотентне додавання в підгрупі .

Нехай  - нормальна в  підгрупа, і  - несверхразрешимая в  підгрупа. Тоді  несверхразрешима, і існує нильпотентна підгрупа  така, що . Тепер  нильпотентна й , тобто до підгрупи  можна знайти в  нильпотентное додавання.

Доведемо теорему.

Приклад. Шлях  - кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до підгруп. Тому що  не -нильпотентна, те в  існує -замкнута підгрупа Шмидта , де  - нормальна в  силовська 2-підгрупа, підгрупа  - циклічна [14,c. 434]. Оскільки  не є сверхразрешимої, те існує нильпотентна підгрупа  така, що . З урахуванням парності порядку  з теореми 2.8 [15] містимо, що фактор-група  ізоморфна  або , де  - деяке просте число, а  - найбільша розв'язна нормальна в  підгрупа. Крім того,



 а 



Тут  і  - 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку . З теореми 2.10 [15] одержуємо, що  - простої число.

У випадку, коли  й  - прості числа в простій групі , кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі . Остання підгрупа має в  циклічне доповнення . Тому група  у випадку, коли  й  - прості числа, задовольняє умові теореми.

Перевіримо, що група  не задовольняють умові теореми. Нехай









Відомо, що  - нормальна в  підгрупа, а  - циклічна група порядку . Для силовської -підгрупи  з  маємо









Тепер







Оскільки  й  - прості числа, то в  існує підгрупа  порядку . Для  підгрупа  -замкнута, і зовнішній автоморфізм  не централізує силовскую -підгрупу, тому  несверхразрешима. Тому що в  немає нильпотентною підгрупи порядку , то  не задовольняє умові теореми при . Якщо , то в  для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі  ступеня , повинна найтися нильпотентна підгрупа  порядку, що ділиться на . Але такий нильпотентною підгрупи в  немає.

Отже, якщо , те  ізоморфна , де  й  - прості числа.

Нехай тепер . Припустимо, що  не є мінімальною нормальною в  підгрупою, і нехай  - мінімальна нормальна в  підгрупа, що втримується в.  По індукції, , де  - нильпотентна, а  ізоморфна  або . Тому що , те  - власна в  підгрупа, і для її прообразу  в групі  по індукції одержуємо, що , де  або . Підгрупа  характеристична в , а  нормальна в , тому  нормально в.  Тому що



 те 



Оскільки для несверхразрешимої підгрупи  з  існує нильпотентна підгрупа  така, що , те







буде нильпотентною підгрупою.

Тепер розглянемо випадок, коли  - мінімальна нормальна в  підгрупа. Припустимо, що комутант  - власна в  підгрупа. Тому що



 те 



З мінімальності  одержуємо, що



 Тому що 




де  й  - прості числа, то в цьому випадку теорема доведена.

Отже, нехай . Якщо  - власна підгрупа у своєму централізаторі, то із простоти  треба, що  втримується в центрі . Тепер група  ізоморфна  або  по теоремі VI.25.7 [14].

Нехай  само централізована. Оскільки  розв'язно, те  - -група для деякого простого . Допусти, що існує простої , що ділить порядок , і нехай  - силовська -підгрупа з . Якщо підгрупа  сверхразрешима, то  нильпотентна й  не само централізована. Якщо  не сверхразрешима, то за умовою теореми існує нильпотентна підгрупа  така, що . Але тепер







буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп, протиріччя. Отже,  - найбільше просте число, що ділить порядок .

Допустимо, що  не втримується в.  Тоді  - власна в  підгрупа й . Тому що ,  і  - -група, те  - група непарного порядку. Підгрупа  має порядок  і  - просте число. Тому  й тепер , а фактор-група







буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп. Протиріччя.

Отже,  утримується в  і із  й нильпотентності  одержуємо, що  - -група для найбільшого простого , що ділить порядок . З теореми 2.1 [15] одержуємо, що , а . Але тепер  - підгрупа непримарного індексу. Тому вона сверхразрешима, а тому що її порядок дорівнює , те  нильпотентна, і знову  не само централізована. Протиріччя.

Теорема доведена повністю.

Розглянемо доказ наслідку.

Proof. Нехай  - кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі. Якщо  - несверхразрешима в  підгрупа, те, де  - просте число. Тепер  для силовської -підгрупи  з , тобто група  задовольняє умові теореми. Тому



 або 



де  - нильпотентна група. Якщо







те в  є несверхразрешима підгрупа  індексу . Тому що цей індекс повинен бути примарним, те  або , тому  або , а  - або -група, або -група. Якщо







те в  є несверхразрешимая підгрупа Шмидта порядку , а її індекс дорівнює  й повинен бути примарним, тобто  повинна бути -групою. Наслідок доведений.



4. Використовувані результати



Лема 4.1. Нехай . Тоді:

(1) якщо , , те ;

(2) якщо , , те .

Наслідок 4.2. Якщо  нильпотентна, те  нильпотентна.

Теорема 4.3. Нехай ,  і . Якщо  нильпотентна, то  нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр  неодиничної нильпотентною групи  відмінний від одиниці й .

(2) У нильпотентною групі кожна власна підгрупа відмінна від свого нормализатора.

(3) У нильпотентною групі  перетинання неодиничної нормальної підгрупи  із центром групи відмінно від одиниці й .

Лема 4.5. Нехай  - нормальна підгрупа групи . Тоді:

(1) якщо , те й ;

(2) якщо , те й ;

(3) ;

(4) .

Теорема 4.6. Група нильпотентна тоді й тільки тоді, коли її комутант утримується в підгрупі Фратіні.

Теорема 4.7. Нехай . Тоді:

(1) ;

(2) ;

(3) якщо , те ;

(4) якщо  й , те .

Лема 4.8. Тоді й тільки тоді підгрупа  є додаванням до нормальної підгрупи  в групі , коли  й .

Наслідок 4.9. (1) Якщо  - головний фактор кінцевої групи , те  й 

(2) Якщо  - головний фактор порядку  кінцевої групи , те  - циклічна група порядку, що ділить .

Теорема 4.10. (1) Якщо існує натуральне число  таке, що , то група  нильпотентна.

(2) Щабель нильпотентності нильпотентною групи  є найменше натуральне число , для якого 

Лема 4.11. Нехай . Тоді:

(1) якщо , те або , або  й ;

(2) якщо  абелева й  для деякої власної підгрупи  групи , те ;

(3) якщо  й , те .




Висновок



У даній дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентної довжини кінцевої розв'язної групи, проведене дослідження величини нильпотентної довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентної довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга. Доведено теореми К. Дерка й Монахова В.С.

У другому розділі " - довжина -розв'язної групи" дані необхідні визначення й доведене теорема.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема:

Теорема. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна  або , де  - нильпотентна група, а  й  - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу понад розв'язні, ізоморфна  або , де  - - група, або , де  - -група.




Список використаних джерел



[1] В.А. Белоногов. Задачник по теорії груп. - К., 2000.

[2] С.С.Левищенко. //Деякі питання теорії груп. – К., 1975. С. 173-196.

[3] В.С. Монахов. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. – К., 2000

[4] В.С. Монахов. Нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями. – К., 2004

[5] М.В.Селькин. Максимальні підгрупи в теорії класів кінцевих груп. - К., 1997.

[6] М.Хол. Теорія груп. – К., 2005

[7] Л.А.Шеметков. Формації кінцевих груп. – К., 2006

[8] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Формації алгебр із що доповнюються підформаціями // Укр. мат. журн. - 1991. - Т. 43, № 7, 8. - С. 1008-1012.

[9] Скиба А.Н. Алгебра формацій. – К., 2004

[10] Черніков С.М. Групи із заданими властивостями системи підгруп. – К., 2000

[11] Guo Wenbin. Local formations in which every subformation of type  has a complement // Chinese science Bulletin. - 1997. - Vol. 42, № 5. - P. 364-368.

[12] Hall P. A characteristic property of soluble groups // J.London Math. Soc. - 1937. - 12. - P. 198-200.

[13] Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin-Heidelberg-New York, 1976.

[14] Монахов В. С. Кінцеві групи. – К., 2004