Задачи по Математике

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ



Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.



9)         

Решение

Задача № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

  

1-й способ (метод Крамера).









По формулам Крамера, найдем решение:



2 способ (решение с помощью обратной матрицы). 



Перепишем систему уравнений в виде AX = B, где 

, , .

Решение матричного уравнения имеет вид X = A-1B. Найдем обратную матрицу A-1. Имеем следующий главный определитель системы:

 

Вычислим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:

, , , ,

, , , ,

.

Тогда обратная матрица имеет вид:

, следовательно,

.

Ответ: x = 2; y = -1; z = 3.



3 способ (метод Гаусса).



.

Из последнего уравнения имеем z = 3; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = -1 и тогда из первого уравнения находим x = 2.



Задачи № 11 - 20.    Найти производные функций:

15)   а) ;   б) .

Решение











Задачи № 21-30.     Найти общее и частное частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, соответствующего начальным условиям: 

при , , .

21) ;       

Решение

Составим характеристическое уравнение имеет вид:



Следовательно, общее решение уравнения без правой части таково:



Так как n=1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в виде 



Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получим



 Итак, частное решение уравнения с правой частью есть



Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей теоремы имеет вид:



Найдем частные решения:





Задачи № 31-40

38) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 путевок. Найти вероятность того, что среди обладателей путевок окажутся две девушки.

Решение

Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей:





Ответ: 





Задачи № 41-50

Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.



Номер задачи

Условие задачи

41

xi

2

4

6

8

10



pi

0,2

0,3

0,1

0,2

0,2

Решение

Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое ожидание:



Дисперсия:



Среднее квадратическое отклонение:



Для вычисления характеристик случайной величины Y=3X+20 воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:



Ответ: 



















































Аудиторная контрольная работа по дисциплине «Математика»



Вариант № 1

	Решить систему уравнений: .

	Решение

	

	Ответ: х=1, у=-1.

Найти производную: .

Решение



В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников.

Решение

Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей:





Ответ: 



Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:



xi

-4

6

10

pi

0,2

0,3

0,5



Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое ожидание:



Дисперсия:



Среднее квадратическое отклонение:



Ответ: