Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел

Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел

Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел. 

п.1. Понятие кольца.

Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция,  называется кольцом, если выполнены аксиомы.

I. - абелева группа.

1)  

2)  

3)  

4)  

II. 1)  - ассоциативность умножения.

2) законы дистрибутивности:  - левый дистрибутивный закон,  - правый дистрибутивный закон.

- называется аддитивной группой кольца.

Определение. Кольцо  называется кольцом с единицей , если существует   

Определение. Кольцо  называется коммутативным, если  

Определение. Элементы  называются делителями , если 

Определение. Кольцо  называется областью целостности, если оно обладает свойствами:

Кольцо - коммутативно.

Кольцо  с единицей , где .

Кольцо не имеет делителей нуля.

п.2. Примеры колец.

Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве  выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как  и  . Это коммутативное кольцо, так как  . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности. 

Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.

- проверим, будет ли на множестве - кольцо. 

  - бинарная операция на множестве .

 - бинарная операция на множестве .

 - унарная операция на множестве .  

Значит - алгебра. 

Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на  аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.

.  . Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.

Пусть . Определим операции  , ; , . 

 



- бинарные операции на множестве  

  значит   - унарная операция на множестве . 

 , , значит - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство - равенство функции:  из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от  а) б) . Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит  является кольцом. Это кольцо с единицей  . Действительно,   (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как  . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , ,  (нулевая функция). Вычислим  (равно нулевой функции). Значит , - делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.

п.3. Простейшие свойства кольца.

Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:

 . 

Доказательство. - абелева группа, имеем  

 . 

Доказательство. - абелева группа, имеем  .

, если , если . 

Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве .

, если , если . 

Доказательство. Следует из свойства 4 групп.

 если , если . 

Доказательство. Следует из 5 свойства групп.

 . 

Доказательство. Следует из 6 свойства групп.

 . 

Доказательство. Докажем, что .  

 . 

Доказательство. Докажем, что  рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что .

 . Обозначение:  .

  (правый дистрибутивный закон),  (левый дистрибутивный закон). 

Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна  равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.

 . 

Доказательство. Вычислим сумму  .

п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Дано два кольца  и .

Определение. Гомоморфизмом кольца  в кольце  называется функция  и обладающая свойствами:

 

 

 



Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если - гомоморфизм кольца  в , то - гомоморфизм абелевых групп  в группу .

Теорема. Пусть  и - кольца и , обладающих свойствами:

 



Тогда - гомоморфизм колец.

Доказательство. Из свойства    является гомоморфизмом групп  и , поэтому  обладает свойствами: , , значит по определению - гомоморфизм колец.

Определение. Отображение  называется изоморфизмом кольца  на , если  обладает свойствами:

- гомоморфизм колец.

- биекция.

Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм, являющийся биекцией.

п.5. Подкольца.

Пусть - кольцо, , .

Определение. Множество - замкнуто относительно операции , если  . 

Множество - замкнуто относительно операции , если  . Множество - замкнуто относительно операции , если  .

Теорема. Пусть - кольцо, , , если - замкнуто относительно операции , то - кольцо, которое называется подкольцом, кольца .

Доказательство. - бинарные операции, - унарная операция, так как - замкнутое множество. Так как , то существует , так как - замкнуто относительно операции , то   , значит - алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на , потому алгебра - кольцо.

Теорема. Пусть - числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.

п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.

Алгебраическая система , где  бинарные операции, - унарная операция, , ,  называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:

I. - кольцо.

Абелева группа 

 

 

 

 

Аддитивная группа

 

 

 

II. Множество - замкнуто относительно операций  и алгебраическая система  является системой натуральных чисел (системой Пеано).

Для , 

Для , 

Для , 

Для , 

Для , 

Для , 

Аксиома индукции: пусть . Если множество  удовлетворяет условиям:

а) 

б) , , то 

III. Аксиома минимальности.

Если  и обладает свойствами:

а) 

б)  , то .

Свойства целых чисел.

Теорема 1. О делении с остатком.

   | , где . Число  называется делимым, - делителем, - частным, - остатком при делении  на .

Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел , . Для этого рассмотрим множество . Множество  содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть - наименьшее неотрицательное число в , тогда . Докажем, что , предположим противное . Рассмотрим число .  противоречие с выбором . Доказано, что , . Докажем единственность чисел  и , пусть  . , . Докажем, что , предположим противное . Пусть . Имеем   противоречие, так как между числами  нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то , а отсюда следует, что . Доказана единственность чисел  и .

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001