Построение полуполевых плоскостей

3









Введение



Проективная геометрия исторически возникла в рамках линейной перспективы, которую применяли строители еще в древности (их знания были систематизированы Евклидом в его трактате «Оптика»). Затем, уже в эпоху Возрождения, к ней обратились живописцы, пытавшиеся создавать иллюзию пространства, то есть изображать на плоскости объемные предметы так, как их видит глаз человека. 

В проективной геометрии не различают параллельные и пересекающиеся прямые — считают, что параллельные тоже пересекаются, но в бесконечно удаленной, «несобственной» точке; все такие точки, отвечающие разным направлениям прямых на плоскости, образуют несобственную прямую, которую присоединяют к плоскости. Значит, плоскость дополняется несобственной прямой, а трехмерное пространство — плоскостью. 

Как и другие геометрии, проективная абсолютно строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемые «точками» и «прямыми». Важно, что эти аксиомы устанавливают только отношения между объектами, поэтому для них возможны различные интерпретации. В частности, их можно (но совсем необязательно) считать обычными евклидовыми точками и прямыми. 

	Проективную геометрию можно описывать аналитически и изучать средствами алгебры. При этом вводят так называемые «однородные координаты», которых всегда на одну больше, — именно в них наиболее просто выражаются закономерности этой геометрии. Это не единственный способ координатизации.

	Рассмотрим проективную плоскость как аксиоматически заданную инцидентностную структуру, образованную объектами двух видов (точки и прямые). Если количество объектов конечно, то на плоскости можно ввести координаты с использованием элементов некоторого конечного множества. Отношение инцидентности между точками и прямыми позволяет определить на координатизирующем множестве тернарную операцию, а на основе тернара – операции сложения и умножения. Оказывается, геометрические свойства проективной плоскости тесно связаны с алгебраическими свойствами координатизирующего множества, что позволяет классифицировать и исследовать проективные плоскости алгебраическими методами.

Один из интересных классов проективных плоскостей – полуполевые плоскости. Множество, координатизирующее конечную полуполевую плоскость, наиболее близко к полю, координатизирующему классическую, или дезаргову, проективную плоскость. 

Известен метод построения полуполевых плоскостей как плоскостей трансляций: на основе векторного пространства и некоторого семейства линейных преобразований, называемого регулярным множеством (spread set). 

Наиболее простыми для построения и исследования являются плоскости трансляций ранга 2, регулярное множество которых может быть представлено 22-матрицами. Регулярное множество полуполевой плоскости замкнуто по сложению, что упрощает его построение.

Целью работы является построение всех неизоморфных полуполевых плоскостей ранга 2 над полем GF(4)  и их исследование.

Первоначально список построенных полуполевых плоскостей порядка 16 содержал 56 объектов, из которого далее были исключены все изоморфные копии.

Изоморфизм полуполевых плоскостей задается полулинейным отображением векторных пространств такого вида: , где σ – автоморфизм поля,  А – невырожденная матрица. Так как построен полный набор полуполевых плоскостей данного порядка и ранга, то достаточно рассматривать изоморфизмы вида  или .

На следующем этапе было показано, что изоморфизм  позволяет разбить построенные плоскости на  31 подкласс. Окончательно, было рассмотрено отображение вида  и получено всего 2 неизоморфных полуполевых плоскости порядка 16.

Для каждой из построенных плоскостей была составлена полная система взаимно ортогональных латинских квадратов.

С использованием матричного представления регулярного множества полуполевых плоскостей порядка 16 построены полярности каждой плоскости (анти-автоморфизмы порядка 2). Каждая полярность задана при помощи аддитивного преобразования координатизирующего полуполя. Доказаны некоторые результаты, позволяющие алгоритмизировать процесс поиска таких преобразований. Каждой полярности поставлено в соответствие множество ее абсолютных точек. Дана классификация полученных множеств и соответствующих им полярностей.















1. Основные определения и вспомогательные результаты



В данной главе приведены основные определения, используемые в работе, а также некоторые известные факты из теории проективных плоскостей. 



1.1. Основные понятия и определения



Определение 1.1. Проективной плоскостью назовем структуру , состоящую из двух непустых множеств (множества точек Р и множества прямых L) c отношением инцидентности I между ними таким, что выполняются 3 аксиомы:

1) любые две различные прямые l и m инцидентны единственной точке;

2) любые две различные точки  A и B инцидентны единственной прямой;

3) найдутся такие четыре точки, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой.



Определение 1.2.  Порядком проективной плоскости называется такое число n, что:

1)  плоскость содержит   точку, столько же прямых;

2) каждая прямая инцидентна с  точками;

3) каждая точка инцидентна с  прямыми.



Определение 1.3. Изоморфизмом проективной плоскости  на проективную плоскость  называется взаимно однозначное отображение точек  в точки , прямых  – в прямые , сохраняющее отношение инцидентности.   



Определение 1.4. Автоморфизм (коллинеация) проективной плоскости – изоморфизм плоскости на себя.



Определение 1.5. Анти-изоморфизмом проективной плоскости  на проективную плоскость  называется взаимно однозначное отображение точек  в прямые , прямых  – в точки , инвертирующее отношение инцидентности.   



Определение 1.6. Корреляция  – анти-изоморфизм плоскости на себя.



Определение 1.7. Корреляция γ называется полярностью, если γ2=1.

Определение 1.8. Трансляционной прямой  l плоскости π называется такая прямая, что для любых двух точек А и В, не лежащих на этой прямой, найдется автоморфизм β  плоскости π , который переводит А в В и фиксирует прямую l  поточечно.



Определение 1.9. Трансляционной точкой  К плоскости π называется такая точка, что для любых двух различных точек А и В, лежащих с К на одной прямой, но отличных от нее,  найдется автоморфизм β  плоскости π , который переводит А в В и фиксирует все прямые, проходящие через К,  не поточечно.



Определение 1.10.  Проективная плоскость π является плоскостью  трансляций, если она содержит трансляционную прямую.



Определение 1.11.  Проективная плоскость, содержащая  трансляционную прямую и трансляционную точку, называется полуполевой плоскостью.





1.2. Координатизация  проективной плоскости





Пусть Р – конечная проективная плоскость, , т.е. Р содержит  точку и столько же прямых. Пусть D – такое множество, состоящее из  символов, что , 0 ≠ 1, ∞ .

С помощью D  введем координаты для всех точек и прямых проективной плоскости Р.

Выберем 4 точки, образующие невырожденный четырехугольник: O, X, Y, I (рис. 1):



                                                          Y

                                                                                                                                                     

                           

                                                                                    I'                                                                                        

                                                                     

                                                                     I 



                                                                                   

                                                          А                                      F

                                                                                                                       

            O                                                                                           X          

                          

                                                               

Рис. 1



Рассмотрим точки прямых и сопоставим им элементы либо пары элементов множества D.

Точки прямой OI, кроме точки I'. 

Каждой точке поставим в соответствие элемент из D:  

O  0 O=(0,0),

A  a  A=(a,a),

I  1.

Точки прямой OX=[0,0], кроме точки X. 

   D= (d,0).

Точки прямой OY=[0], кроме точки Y. 

   С=(0,с).

Точки, не лежащие на прямых OI, OX, OY.

    F=(f, g),

.

Точки прямой XY=[∞]. 

,  

Y=(∞),

 X=(0).

Прямые.





Таким образом, мы получили плоскость, где каждая точка и прямая имеет свои координаты (рис. 2). 

                  (∞)

      

              [b]



           [0]                                         (m)

                                                                           (b,y)

                                                                                 

                                                                       [m,k]                                          

                                          (0,k)

                                                                         (b,0)            [0,0]                               (0)

                                    

                             (0,0)                                                                                             [∞]

                                                                                                                       

Рис. 2

Определим на множестве D тернарную операцию T:  точка  инцидентна прямой . Далее введем бинарные операции сложения и умножения следующим образом:

,

.



Определение 1.12. Непустое множество G с заданной на нем бинарной операцией * называется лупой, если выполняются аксиомы:

1) для любых   существует единственный элемент  a*x=b;

2) для любых   существует единственный элемент  y*a=b;

3) существует  для любого элемента   e*x=x*e=x.





Определение 1.13. Непустое множество Q с заданными на нем бинарными операциями + и  является квазиполем, если:

1)   – группа; 

2)   – лупа;

3)    x*(y+z)=x*y+x*z (левая дистрибутивность);

4)    0*x=0;

5)  уравнение a*x=b*x+c имеет единственное решение  x  для   а≠b.



Определение 1.14. Квазиполе с правой дистрибутивностью называется полуполем (или кольцом с делением).



Известен результат [1], что проективная плоскость кординатизируется полуполем тогда и только тогда, когда  – трансляционная прямая и  – трансляционная точка.





1.3. Некоторые сведения о полярностях



Определение 1.15. Абсолютными элементами полярности γ являются точки, инцидентные своему образу: , и прямые, инцидентные своему образу: .



Приведем некоторые известные факты, связанные с абсолютными точками полярностей конечных проективных плоскостей [1].



Лемма 1.1.  Пусть α – полярность проективной плоскости Р. Тогда каждая абсолютная точка принадлежит единственной абсолютной прямой, одновременно, каждая абсолютная прямая содержит единственную абсолютную точку.  



В качестве следствия этой леммы можно сказать, что для любой полярности конечной плоскости существуют и  неабсолютные элементы.

Известен результат, что если α имеет точно n+1 абсолютную точку, то для произвольной плоскости порядка n (где n - четное)  абсолютные точки коллинеарны. 

Если порядок плоскости – четное число, то абсолютные прямые полярности проходят через одну точку (т. е. конкуррентны).

Пусть Р – проективная плоскость n = s2, α  - полярность плоскости Р, a(α) – число абсолютных точек полярности. В [1] приведена оценка значения a(α).



Теорема 1.2. Пусть α - полярность конечной проективной  плоскости Р  порядка         n = s2. Тогда  n +1  a(α)   s3 + 1. 



Если Р – дезаргова плоскость порядка n = s2, то любая полярность имеет либо n +1 абсолютную точку, либо n3/2 + 1. В первом случае полярность может быть задана линейным преобразованием 3-мерного векторного пространства с симметрической матрицей, во втором случае – полулинейным преобразованием с матрицей специального вида. Полярности дезарговой плоскости называются ортогональной и унитарной соответственно. В случае произвольной проективной плоскости название полярности определяется количеством a(α) абсолютных точек.



Определение 1.16. Полярность α проективной плоскости Р  порядка n = s2 называют ортогональной, если количество абсолютных точек а(α) = n+1, и унитарной, если               а(α) =n3/2 + 1. 



Лемма 1.3. Любая полярность дезарговой плоскости является либо ортогональной, либо унитарной.



Лемма 1.4. Если Р – проективная плоскость над  полем характеристики 2 . Тогда множество абсолютных точек ортогональной полярности либо пусто, либо состоит из одной точки, либо абсолютные точки коллинеарны. 



О полярностях с количеством абсолютных элементов  известно мало. Каждый из известных примеров – нерегулярный, что означает следующее: 



Определение 1.17. Полярность называют регулярной, если есть целое число t такое, что количество абсолютных точек на неабсолютной прямой  равно 0, 1 или t + 1. 



Лемма 1.5. Все полярности конечных дезарговых плоскостей регулярны. 



Нет никаких известных регулярных полярностей, которые не являются ортогональными или унитарными. Возникает предположение, что любая регулярная полярность должна быть или унитарной или ортогональной.

Известен пример, где полярность плоскости имеет n5/4+1 абсолютную точку. Это говорит о том, что плоскости, координатизирующиеся полуполем, могут допускать полярности, которые не являются ортогональными и унитарными.

























2. Построение неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16



2.1. Построение



Известен метод построения плоскостей трансляций на основе расщепляемых абелевых групп.



Определение 2.1. Пусть G – группа, S – некоторое множество подгрупп группы G.  S является расщеплением группы G, если:

1)  Х≠1;

2) ,  Х≠Y: ;

3) G=.



Рассмотрим аффинную плоскость, построенную следующим образом:

		точки плоскости – элементы группы G,

	прямые – смежные классы группы G  по подгруппам из множества S,

		отношение инцидентности – естественное.

Достроим аффинную плоскость до проективной, назвав особыми точками множества смежных классов по одной и той же подгруппе, особой прямой – множество всех особых точек.

В качестве группы G может быть выбрано векторное пространство.

Пусть F – конечное  поле, F=GF(q). Рассмотрим n-мерное пространство W  над полем F  и 2n-мерное пространство V=WW. Построим проективную  плоскость на основе пространства V:

		аффинные точки – векторы   , где , т.е.  , ,

		аффинные прямые – смежные классы по подгруппам  и , где ,

		особые точки и особые прямые вводятся, как описано выше.



Здесь   – множество матриц  размерности nn над полем F, причем:

1) R содержит   и  ;

2) все матрицы R , кроме нулевой – невырожденные, кроме того, .



	Множество  называют регулярным множеством плоскости (спрэдом).



Полуполевые плоскости порядка 16 построим на основе векторного пространства V размерности 4 над полем из 4 элементов, т.е. аффинные точки – это вектора вида , где , аффинные прямые – смежные классы по подгруппам:  



здесь .

	Напомним, что регулярное множество R замкнуто по сложению. Тогда праведлива  следующая лемма:



Лемма 2.1. Плоскость трансляций координатизируется полуполем тогда и только тогда, когда регулярное множество замкнуто по сложению.

Доказательство леммы 2.1. Условие левой дистрибутивности имеет вид: 

                                                   .                                            (2.1)

Напомним, что в нашем случае операция умножения вводится следующим образом:

.

Следовательно, (2.1) примет вид:

.

В правой части равенства x можно вынести за скобку:

.

Так как x – произвольный элемент пространства, то:

.

Проверим теперь выполнение условия правой дистрибутивности: 

                                                  .                                            (2.2)

Следовательно, (2.2) примет вид:

.

В правой части равенства  можно вынести за скобку:

.

Равенство выполняется, следовательно, условие правой дистрибутивности выполняется.

 Лемма 2.1 доказана.



Задача построения всех полуполевых плоскостей данного вида сводится к построению всех возможных регулярных множеств.

Так как все ненулевые матрицы невырожденные, то элементы первой строки однозначно определяются элементами второй строки матрицы:

			 , 	

где  и  - аддитивные функции двух аргументов из поля .

Если , то:

,





В нашем случае , тогда функции f(u,v) и g(u,v) таковы:

,

,

матрицы θ принимают вид:

.





Так как регулярное множество содержит единичную матрицу, то можно найти зависимость между коэффициентами, входящими в функции  и . Нижняя строка единичной матрицы определена однозначно: u=0, v=1, следовательно:

 , ,

 , .



Была написана программа на языке С++, с помощью которой построено 56 полуполевых плоскостей порядка 16. Все соответствующие наборы коэффициентов  приведены в приложении 1. 

Для удобства дальнейшей работы с полем GF(4) его элементами будем считать 0,1,2,3, причем таблицы Кэли по сложению и умножению соответственно имеют вид:



+

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

0

3

2

2

2

3

0

1

3

3

2

1

0

*

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

3

1

3

0

3

1

2



 













2.2. Изоморфизм полуполевых плоскостей



На следующем этапе работы было необходимо разбить множество построенных плоскостей на классы плоскостей, изоморфных между собой. Для этой цели была применена теорема, доказанная в [3].



Теорема 2.2. Пусть π – спрэд V, π' – спрэд V'. Если σ – изоморфизм плоскости трансляций π(V) на плоскость трансляций π'(V') такой, что 0σ =0, тогда σ – биективное полулинейное отображение векторного пространства V на векторное пространство V' .



Или другими словами, плоскость π изоморфна плоскости π΄  найдется полулинейное отображение , сохраняющее компоненты расщепления, 

.

Здесь σ – автоморфизм поля GF(4), А – невырожденная матрица,  (x,xθ)π, а .



Установление изоморфизма заключается в определении зависимости между матрицами регулярных множеств (а точнее, между функциями, определяющими вид матриц).

Возможны случаи:

   I) А=Е, σ – возведение в квадрат;

  II) АЕ, σ=1;

 III) АЕ, σ – возведение в квадрат.  

Так как мы рассматриваем полный список плоскостей, то достаточно установить наличие изоморфизмов типа I и II.

Рассмотрим случай I. 

Пусть         ,  а   .

Известно:

.

Зная, что х=, , получаем:         

,



.

Таким образом, мы получили, что , т.е. все коэффициенты, стоящие при переменных u  и v, возводятся в квадрат:

,

.



Рассмотрев первую плоскость, мы найдем изоморфную ей:

первая плоскость изоморфна второй (12);

Дальнейшие вычисления показывают, что: (33), (44), (55), (66), (711), (812), (913), (1014), (1515), (1616), (1718), (1920), (2122), (2324), (2527), (2628), (2943), (3044), (3145), (3246), (3347), (3448), (3555), (3656), (3750), (3849), (3952), (4051), (4153), (4254).



Итак, построив отображение типа I (А=Е, σ:), мы  получили 31 класс плоскостей, все плоскости приведены в приложении 2. Далее мы работали с этими классами.





Рассмотрим случай II. 

Для любой матрицы  существует матрица   

, 

здесь Аi – матрицы размерности 2 2 над GF(4).

Рассмотрим изоморфные полуполевые плоскости.



                                                                             (∞)



                                                                       [0]



                                                              (0,y)                                     [∞]







                                                   (0,0)



Рис. 3



Все точки, находящиеся на прямой [0] первой плоскости, имеют вид (0,у). Под действием изоморфного отображения они должны перейти в точки, лежащие на прямой [0] второй плоскости (так как точка (0,0) фиксируется и точка (∞) – трансляционная) (рис. 3). Следовательно,

     .

Таким образом, мы имеем:

,

  и   .

Из последнего равенства получим:

.

Для θ = 0   имеем: 

,  .

Следовательно,

,

,

.

Т.к. регулярное множество замкнуто по сложению, то можно сделать замену: 

.

Таким образом, мы получаем:

                                                                        .                                       

Для θ = Е  имеем   

, .

Для  имеем    . 

Рассмотрим подробнее получившуюся матрицу А:

.

Заметим, что S – изоморфизм :

,

это преобразование – элация с осью [0] и центром (∞). Можно сделать вывод, что достаточно рассматривать изоморфизмы вида

, 

где А4 – любая невырожденная матрица с элементами из GF(4),  – некоторая из R. 

Тогда

,





Таким образом, для любой  существует :  , то есть регулярное множество  второй плоскости сопряжено с множеством  для некоторой матрицы . 



Этот  результат уточняет  теорему, приведенную в [2].



Теорема 2.3. Плоскости трансляций Г' и Г  изоморфны тогда и только тогда, когда R' сопряжено в GL(V) с одним из следующих множеств:

1)  , где  l ≠ k;

2)   , где l ≠ r;

3)   , где l, k, r – попарно различные элементы V;

4)  , где k ≠ r. 

В этой теореме выражение вида  означает .

Наш результат справедлив для линейных изоморфизмов полуполевых плоскостей.



Теорема 2.4. Если φ – линейный изоморфизм полуполевых плоскостей, то он может быть задан матрицей вида , где А4 – любая невырожденная матрица с элементами из GF(4), ≠ 0 – некоторая матрица из R.

Следует заметить, что в случае поля четного порядка достаточно рассматривать матрицу  с определителем равным 1. Покажем, что это действительно так.



Пусть матрица имеет вид: 

A= и .

Тогда матрицу А можно записать в таком виде:

A=, и  |A|=,

  .

(т.к. в  поле четного порядка квадратный корень из любого элемента извлекается однозначно, то мы имеем право сокращать).



Была написана программа на языке С++, рассчитывающая данный случай. В итоге мы получили 2 класса неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16:

I) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32,  33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56}

II) {17, 18, 31, 32, 45, 46}

или всего 2 плоскости: №1 и №17, и 17-я плоскость является дезарговой. Обозначим эти плоскости    и  соответственно.



Для плоскостей номер 1 и 17 матрицы имеют вид:

 и .



Лемма 2.5. Для дезарговой плоскости (плоскость №17) регулярное множество является полем.

Доказательство леммы 2.5. Функции матрицы регулярного множества для плоскости №17 имеют вид: 

, .

Проверим необходимые аксиомы:

1) Замкнутость по умножению:

,



.

Замкнутость выполняется.



2) Коммутативность умножения:

,

,

Коммутативность выполняется.



3) Ассоциативность умножения:

,



Преобразуем левую часть равенства:



.

Преобразуем правую часть равенства:





.

Ассоциативность выполняется.

4) Наличие обратного элемента:

.

Лемма 2.5 доказана.

















































		Исследование полуполевых плоскостей порядка 16



3.1. Латинские квадраты





Определение 3.1.  Латинский квадрат порядка n – это матрица размерности n  n с элементами из множества R, которые мы будем называть 0, 1, 2..., n-1, такая, что в каждой строке и столбце любой элемент встречается один раз.



Определение 3.2. Два латинских квадрата называются ортогональными, если их элементы, находящиеся на одинаковых местах, образуют n2 неповторяющихся пар.



Пусть  R={0,1,2,…,n-1} – множество, координатизирующее проективную плоскость, T – тернарная операция. Для  определим матрицу {x} таким образом: на место (i ,j) поставим значение T(i, x, j). Тогда верна лемма, доказанная в [1]:



Лемма 3.1. 1) {x} – латинский квадрат;

                     2) если x ≠ y, то латинские квадраты  {x} и {y} ортогональны.



Определим координаты на плоскости, заданной векторным пространством, и установим связь между координатизирующим множеством и спрэдом.



Аффинные точки плоскости. 

(x, y), здесь x=(), y=().

Аффинные прямые плоскости. 

 ,

при k=0, получаем: .



Особые точки.



Особая прямая.  

.





Тернарная операция Т.

  .

Далее введем бинарные операции сложения и умножения:

,

.



	Для построенных полуполевых плоскостей тернарная операция имеет вид . Здесь , ,  – пары элементов из поля GF(4), . Для удобства обозначения номеров строк и столбцов латинских квадратов установим соответствия:



































Для плоскостей №1 и №17 были построены системы латинских квадратов, состоящие из 15 матриц размерности 1616 попарно ортогональных. Все они приведены в приложениях 3 и 4 для первой и семнадцатой плоскости соответственно.

Заметим, что все латинские квадраты каждой плоскости образованы перестановками строк одного из квадратов. Приведем результат, доказанный в [1].



Теорема 3.2. Конечное планарное тернарное кольцо удовлетворяет условию T(a,b,c)=a*b+c    в соответствующем полном множестве взаимно ортогональных латинских квадратов строки любого квадрата совпадают со строками любого другого квадрата.





3.2. Полярности



В данном параграфе приведен алгоритм поиска полярностей для конечных полуполевых плоскостей, в частности для полуполевых плоскостей порядка 16.



Приведем результат, доказанный в   [1]:



В качестве примера были построены плоскости над GF(3) с использованием программы (см. приложение). Результатом реализации алгоритма явился список из 2016  наборов матриц B и C.

Рассмотрим условия на B и C, при которых соответствующие полуполевые плоскости являются дезарговыми.

B*C = C*B;

B2 = b1E+b2B+b3C;

C2 = c4E+c5B+c6C;

BC = c1E+c2B+c3C.

При проверке всех условий оказалось, что из 2016 построенных плоскостей всего 288 являются дезарговыми. Заметим, что для плоскостей ранга 2 такой результат был бы невозможным, т.к. линейные функции в регулярном множестве могут определять только дезаргову плоскость.

Докажем это факт.