Математический анализ

Математический анализ

(шпаргалка)

Определение функции нескольких переменных. 

Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u. 

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения .



Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y)  G ставится в соответствие определенное значение переменной z.





Предел функции 2-х переменных. 

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка. 

Опр. Окрестностью точки р0 называется круг с центром в точке р0 и радиусом .  = (х-х0)2+(у-у0)2

Число А называется пределом функции |в точке р0, если для любого 

Lim f(x,y)

pp0

сколь угодно малого числа  можно указать такое число  ()>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше  выполняется неравенство: f(x,y)  А, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р0, с радиусом , значение функции отличается от А меньше чем на  по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р  приблизится к точке р0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.







Непрерывность функции. 

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка. 

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р0, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р0) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке. 

Lim f(р) = 

pp0

3)Предел равен значению функции в этой точке:   = f(x0,y0); 

Lim f(x,y) = f(x0,y0); 

pp0

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва. 

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично. 

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных. 

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва. 







Частное производной. 

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка. 

Дадим аргументу х приращение х;  х+х, получим точку р1(х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:

хz = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y)  частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х. 

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю. 

z = Lim      xz 

x    x0  x    

 z = Lim     f(x+x,y) - f(x,y)

    x     x0            x

Аналогично определяем частное производной по переменной у.





Нахождение частных производных. 

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).





(Лекция № 2)

Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных.

z=f(x,y) в области D.

p(x,y)  D - рассматриваемая точка. Дадим х приращение х, у - у. Получим р1(х+х, у+у). Вычилим значение функции. Полным приращение функции называется разность:

z = f(p1)-f(p)

z = f(x+x,y+y)  f(x,y)

Опр. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная линейная часть приращения этой функции, если приращение можно преобразовать к виду:

z = Ax + By + 

А, В - не зависят от х, у;

 - зависит от х и у и при этом 

Lim    = 0

0  

 - расстояние между точками р и р1

S = рр1 = х2 +у2

 является бесконечно малой, более высокого порядка, чем 

При ументшении х и у 0 быстрее, чем . Из определения следует, что полный дифференциал функции равен

z = Ax + By

При малых х и у имеет место равенство z  dz.

Опр. Если  функция  z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке р, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема. Необходимые условия дифференцируемости функции.

Если  функция  z=f(x,y) дифференцируема в точке р, то она имеет частные производные в этой точке и при этом выражение поного дифференциала  А = z/x  B = z/y, т.е. полный дифференциал может быть записак в виде:

dz = z/x x + z/y  y

Док-во: По определению дифференцируемости приращение функции может быть записано в виде:

z = Ax+By + при любом х и у. 

Рассмотрим 2 частных случая

1)х0 у = 0

При этом z=Ax+   /x и перейдем к пределу. Полное приращение функций превращается в частное приращение.

Lim    xz/x  = Lim A+/x

x0                x0

z/x= A+Lim(x0)/x =0 т.к. =х

В результате получаем А=z/x

2)x=0 y0

При этом аналогичным образом получим, что В=z/y

Теорема доказана. Как следствие  полный дифференциал дифференцируемой функции определяется по формуле:

dz=z/xx+z/yy, если при этом учесть, сто приращение независимых переменных х и у равны их дифференциалам x=dx, y=dy, то окончательно получим:

dz=z/xdx+z/ydy

Теорема 2.  Достаточное услови дифференцируемости функции.

Если z=f(x,y) имеет в точке р(х,у) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, т.е. она имеет полный дифференциал.





Полный дифференциал для функций нескольких переменных.

Для функций многих переменный полный дифференциал определяется аналогично, при этом:

u=f(x,y,z,…,t)

du=u/xdx+u/ydy+u/zdz+…+u/tdt







Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть задана функция z=f(x,y) рассмотрим ее полное приращение.

z=f(x+x,y+y) - f(x,y)

При малых х и у  zdz 

f(x+x,y+y) - f(x,y)  z/xx+z/ydy 

f(x+x,y+y) f(x,y)+z/xdx+z/ydy — формула для приближенных вычислений.

Эта формула позволяет вычислять приближенное значение функции в точке р1 по известному ее в точке р и значением ее частных производных в точке р. Чем меньше х и у, тем меньше погрешность.





Дифференцирование сложных функций.

Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = z/xdx/dt+ x/ydy/dt  [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение t, при этом х=х(t) получит приращение х, а у=у(t)  у, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение z, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:

z=z/xx + z/yy + 

разделим на t и перейдем к пределу

Lim(t0)z/t = z/xLim(t0)x/t +

+ z/yLim(t0)y/t + Lim(t0)/t

dz/dt = z/xdx/dt + z/ydy/dt + Lim(t0) //t   0

=x2+y2

Lim(t0)/=0 - по определению дифференциала.

Lim(t0)/t = Lim(t0)(x/t)2+(y/t)2= 

=(dx/dt)2+(dy/dt)2

Формула [**] доказана.

Рассмотрим частный случай сложной функции:

z= f[x,y(x)] = z(x)

в ф-ле [**] вместо tх, получим

dz/dx= z/xdx/dx+ z/ydy/dx

dz/dx= z/x+ z/ydy/dx  [***]

Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.

Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t)  z=z(r,s,..,t) - cложная функция.

При этом формула [**] принимает вид:

z/r=z/xx/r+x/yy/r

z/s=z/xx/s+ z/yy/s    [****]

Лекция №3

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Опр.  Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=ez - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x2+y2+z2=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z)  непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по z  Fz(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

z/x= Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)

z/y=Fz (x,y,z)/Fy(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz

F(x0,y0,z0)=0dF=0

F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0

dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy  (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy  (**)

Сравнивая (*) и(**) 

z/x= Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)

z/y=Fz (x,y,z)/Fy(x,y,z)

Частные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

z/x=fx(x,y)

z/y=fy(x,y)

В общем случае,  эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.

2z/xy=2z/yx - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.

nz/xn-2y2

Экстремумы функции 2ух переменных.

Рассмотрим функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р0(x0,y0) - внутренняя точка этой области.

Опр. Точка р0 наз. Точкой max  функции, если в некоторой окресности этой точки выполняется неравенство:

f(x,y)< f(x0,y0) 

min  наоборот

Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции в точке р0.

Если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и имеет в этой точке экстремум, то часные производные функции в этой точке равны нулю.

fx(x0,y0)=0

fy(x0,y0)=0

Пусть в точке р0  функция достигает max. Рассмотрим часную производную этой функции по у.

fy(x,y)=(у)

При нахождении этой частной производной мы имеем дело с функцией, зависящей только от х, при этом эта функция в точке р0 достигает max, поэтому по теореме о существовании экстремума функции одной переменной имеем:

( y0)=0  fy(x0,y0)=0, аналогично по х.

Опр. Точка р0 при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю).

Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать только в стационарных точках (если она диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка этой  функции

r=2z/x2    s=2z/xy   t=2z/y2 

Вычислим в точке р0 значение выражения  (rt-s2)po, если это выражение >0, то в т. р0 сущ. экстремум. 

При этом если r>0 р0 min; r<0 р0 max

Если rt-s2<0  экстремума нет.

rt-s2=0  экстремум возможен, требуются дополнительные исследования.





Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.

F(x,y)=0  уравнение границы Д.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции в этой области.

Эти значения функция может достигать либо в экстремальных точках внутри области, либо на границе области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:

1.Сначала находим стационарные точки внутри области. В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем зачение заданной функции в этой точке.

2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на границе области.

3.Сравниваем полученное значение и выбираем наиб. и наим. знач.





Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области Д.

Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0  y=y(x)  на гр. обл. Д

z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x)  является сложной функцией.

 Необходимо найти min и max z(x) на границе. Для этого надо найти экстремумы внутри области (достаточно найти точки, где возможны экстремумы и вычислить значение функции в этих точках).

Леция №4









Определение интеграла по фигуре.

Пусть дана фигура G , р  текущая точка на фигуре.

f(p)  заданная на фигуре  G

Выполним след. операции:

1.Разобьем G на куски: G1, G2,…, Gn,  меры кусков.

2.Внутри каждого куска выберем по 1 точке р1, р2, р3…

3.Вычисляем значение функции в выбранных точках

4.Составляем сумму произведений

f(p1)* G1+ f(p2)* G2+… +f(pn)* Gn=(n/i=1)f(pi)*Gi  

эта сумма  называется интегральной суммой функции f(p) по фигуре G при разбиениии n

Опр. Интегралом по фигуре G функции f(p) называется предел интегральных сумм этой функции, когда n0

Gf(p)dG=Lim(n)*(n/i=1)f(Pi)*Gi

Если этот предел существует и независит от способов разбиения при условии, что диаметры кусков при этом стремятся к нулю.

Диаметром куска называется его максимальный линейный размер.

Max dim G 0







Cвойства интеграла по фигуре.

1.Итеграл по фигуре от единичной функции равен мере фигуры.

GdG=G  мера фигуры

Док-во: по определению

GdG=Lim(n)*(n/i=1)1*G=G  как сумма мер всех кусков.