Нахождение решений дифференциальных уравнений

2





Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина"

Институт математики, физики и информатики. 











"Нахождение решений дифференциальных уравнений,

имеющих вертикальные асимптоты"

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА









Допущена к защите

Заведующий кафедрой

доктор физико-математический наук, профессор

_________________

Студентка 6 курса

заочного отделения

научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и геометрии

__________________









Тамбов, 2009


СОДЕРЖАНИЕ



Введение

Метод нахождения приближенного решения дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты

Пример

Список литературы


ВВЕДЕНИЕ



Рассмотрим общее дифференциальное уравнение 1 порядка. 

=f (x, y) 

Решением этого уравнения на интервале I= [a,b] называется функция u(x) 

Решить это дифференциальное уравнение численным методом означает, для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя аналитический вид функции у = F(x), найти такие значения 

у1, у2,…, уn, что уi = F(xi), i=1,2,…

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

y=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина  называется шагом интегрирования. Часто выбирают  

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов. 


Метод нахождения приближенного решения 

дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты



Применение шаговых методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

у’= f(x, у), х≥0, (1) 

у(0) =α, (2) 

встречает серьезные трудности, если решение у(х) не продолжаемо на всю числовую ось. 

Действительно, привычное определение решения, как функции аргумента х, заставляет выбирать в качестве шага значение . Вычисления с таким шагом не позволяют "заметить", например, вертикальную асимптоту решения. В работе предлагается модификация одношаговых численных методов, позволяющая оценивать и учитывать максимальный интервал существования решения задачи (1), (2) с тем, чтобы не строить лишенные смысла "приближенные решения" за границами этого промежутка, если он кончен. Эта модификация основывается на геометрической идее рассмотрения решения как кривой на плоскости Оху. При таком взгляде в качестве шага естественно выбрать длину заключенного между точками (,), (), аппроксимирующей решение. 

Применим эту идею к модификации метода Эйлера, описываемого формулами =+,  +. Так как здесь интегральная кривая заменяется ломаной, то в качестве постоянного шага H выберем расстояние между точками (), (,), т.е. 

=. 

Отсюда . Таким образом, метод Эйлера можно записать в виде: 

+;  .  (3) 

Приведем условия конечности максимального интервала существования решения задачи (1), (2) и выясним поведение при этих условиях приближенного решения, построенного по формулам (3). Интервал [0,b) считается максимальным интервалом существования решения , если  или если не существует конечного предела  Соответствующее решение , определенное на [0,b), называется полным. Предлагаемое ниже утверждение не содержит требований к функции f, гарантирующих наличие полного решения и тем более его единственность. Отметим в связи с тем, что непрерывности f достаточно для существования полного решения и продолжаемости любого решения на максимальный интервал. 

ТЕОРЕМА 1. Пусть α>0 и существуют такие положительные числа А, δ, что при всех ,  выполнено неравенство: 

f(x,y) ≥А  (4) 

Тогда: 

если существует полное решение , x, задачи (1), (2), 

то , 

для приближенного решения, построенного по формулам (3), имеют место предельные соотношения , . 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 

Решением задачи = , z(0) = , является функция z=α/(1-Aδαδx) 1/δ, имеющая вертикальную асимптоту x=1/ (Aδcδ). Согласно теореме об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29) 

y(x)  Утверждение 1) доказано. 

Вследствие неравенства (4) и положительности y0 для численного решения, построенного по формулам (3), имеем  при любом i. Далее, так как функция  возрастающая, то

/ = 00. 

Отсюда

, 

Поскольку , то ряд  сходится, поэтому существует . Утверждение 2) доказано. 

Теореме 1 свидетельствует о "качественной близости" приближенного и точного решений задачи (1), (2). Для исследования сходимости предлагаемого метода удобно заменить задачу (1), (2), задачей Коши для системы двух уравнений: 

,

. (5) 

x(0) =0,y(0) =α (6) 

Решением этой системы являются функции x=x(t), y=y(t), задающие параметрические уравнения интегральной кривой задачи (1), (2). 

Формулы (3) оказываются формулами метода Эйлера решения задачи (5), (6) с шагом H изменения параметра t. 

Потребуется следующее утверждение о непрерывной зависимости решения (x(t), y(t)) системы (5) от начальных условий. Выберем произвольные числа Т>0, β,γ. Обозначим через (((t), (t)) такое решение системы (5), для которого , . 

ТЕОРЕМА 2. Пусть при  функция f (x, y) удовлетворяет неравенству (4) и имеет непрерывные частные производные, причем существует такое число В>0, что

| | (7) 

Тогда найдётся такая убывающая функция N (E), определенная при Е для любых x(T), y(T), β, γ из неравенств x(T) ≥0, x(T) + β≥0, y(T) ≥Е, y(T) +β≥Е следует неравенство: 

 ≤ N(E) |(β, γ) | (8) 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 

Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных и в силу неравенств (7) можно выбрать такие  ,  и , содержащиеся между

 и , что

≤

. 

Вследствие положительности f(x, y) при x≥0, y≥α функции  монотонно возрастают. Пусть С= , где Е >0. 

Так как функция F(k) =  возрастает, то при t≥T выполнено  , y(t) ≥ E + C(t-T),  E + C(t-T). 

В соответствии с неравенством (4) имеем: 

. . 

Сложив эти неравенства, получим: 

(. 

Вследствие теоремы об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29) справедливо неравенство



где z(t) является решением задачи. 

 . 

Имеем

≤

Учитывая эквивалентность норм пространства R2 ([3] , с.32), получаем неравенство (8). Теорема доказана. 

Погрешность решения, полученного по формулам (3), оценивает

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда существует такое М>0, что для решения (x(t)), y(t)) задачи (5), (6) и его приближения, построенного по формулам (3), выполнено неравенство. 

. 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 

Обозначим через (решение системы (5), удовлетворяющее условию , . В соответствии с теоремой Лагранжа о среднем для функции одной переменной найдется такое , что 

. 

Система (5) обеспечивает выполнение неравенств  и следовательно, ((i+1) H) ≤, ((i+1) H) ≤. Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных существуют такие  

Что

((i+1) H) - 

Отсюда, учитывая условия (4), (7), получаем

|((i+1) H) - ,

где  взято и доказательства теоремы 1. Аналогично



Вследствие теоремы 2 при  имеем 

+

Получена оценка расстояния между двумя интегральными кривыми, проходящими через точки ( Для оценки погрешности метода сложим эти расстояния. Учитывая, что , получим 



Обозначив через М сумму сходящегося ряда и сославшись на эквивалентность норм пространства , завершим доказательство. 




2. ПРИМЕР 

Рассмотрим задачу. 

 (9) 

Здесь 

. Пусть H=0,1;  

Воспользуемся формулами (3), имеем

шаг 1: 







шаг 2: 







шаг 3: 







шаг 4: 







шаг 5: 







шаг 6: 







шаг 7: 







шаг 8: 







шаг 9: 







шаг 10: 







шаг 11: 










шаг 12: 







шаг 13: 







шаг 14: 







шаг 15: 










шаг 16: 







шаг 17: 







шаг 18: 







шаг 19: 










шаг 19: 







шаг 20: 







шаг 21: 







шаг 22: 










шаг 23: 







шаг 24: 







шаг 25: 







шаг 26: 










шаг 27: 







шаг 28: 







Дальнейшие вычисления аналогичны. Все значение x, y внесены в таблицу

№ шага

Приближенное значение х

Приближенное значение y 

 - точное решение

0

0

0

0

2

0,141

0,142

0,142

5

0,348

0,359

0,363

9

0,601

0,669

0,686

13

0,810

1,009

1,051

15

0,895

1, 190

1,247

19

1,002

1,471

1,564

23

1,109

1,856

2,009

28

1, 204

2,346

2,603

36

1,302

3,140

3,630

51

1,400

4,637

5,798

66

1,452

6,136

8,378

92

1,500

8,736

14,101

160

1,550

15,435

49,078

660

1,600

65,535

-

2095

1,610

209,035

-

2101

1,610

209,635

-

12965

1,614

1296,035

-

14905

1,614

1489,935

-



Точным решением задачи (9) является функция  Её вертикальная асимптота . Как видим, приближенным вычислением мы также нашли асимптоту. 


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М., 1970г. 

Камке Э. справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.М. Наука, 1976г. 

Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1975г. 

Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Н.И. Гаврилов. Государственное издательство "Высшая школа" Москва-1962г. 

В.В. Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник. - Д.: Сталкер, 1997г. 

Загускин В.Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с. 









2