Аналитическая геометрия

1.doc

		ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

		Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.

		Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство 1а1+2а2+…+лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2,…, л=0 и R

		Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном i0 (i=1,…,k)

		Свойства 

		Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

		Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

		Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

		Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

		Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

		Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

		Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

		Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

		Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

		Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

		Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

		

		БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

		1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

		В множестве векторов на прямой  базис состоит из одного ненулевого вектора.

		В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

		В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

		2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

		Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

		

		СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

		Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

		(а,b)=|a| |b| cos u,  u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

		Свойства:

		(а,b)= (b,а)

		(а,b)=  (а,b)

		(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

		(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

		Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

		Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

		Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

		Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

		Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)

		

		ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

		Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

		Свойства:

		[a,b]= - [b,a]

		[а,b]=  [а,b]

		[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

		[a,a]=0

		Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах. 

		Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

		Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

		Определение: ортой  вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|

		

		РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

		1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

		Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

		Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

		Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

		Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.

		Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

		1. С=0,		Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

		2. С=0, А=0,	By=0, значит у=0

		3. С=0, B=0, 	Ах=0, значит х=0

		4. А=0, 	By+C=0, паралл. ОХ

		5. B=0,		Ах+C=0, паралл. OY

		x/a+y/b=1. 

		Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

		x-x1/e=y-y1/m 

		Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой  (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)

		x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1

		Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)

		y=kb+b.

		u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

		Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b

		xcos+ysin-P=0

		 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

		Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

		Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

		Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

		Ах+By+C=0

		xcos+ysin-P=0

		т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

		Cos2=(A*t)2

		Sin2=(B*t)2

		-p=C*t

		cos2+sin2=t2(A2+B2),	t2=1/A2+B2,	t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

		Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

		Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

		

		7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1

		

		НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

		1. xcos+ysin-P=0

		 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

		Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

		Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

		Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

		Ах+By+C=0

		xcos+ysin-P=0

		т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

		Cos2=(A*t)2

		Sin2=(B*t)2

		-p=C*t

		cos2+sin2=t2(A2+B2),	t2=1/A2+B2,	t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

		Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

		Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

		2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

		Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos+y1sin-P=0

		Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos+y0sin-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)

		

		ГИПЕРБОЛА.

		Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

		Каноническое уравнение: 

		Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов; 
|r2-r1|=2a; a<c;

		, 

		

		

		

		

		x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

		x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

		c2-a2=b2

		x2b2-a2y2=a2b2

		 - каноническое ур-е гиперболы

		

		ПАРАБОЛА.

		Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

		Каноническое уравнение: 

		Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

		|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

		r=sqrt((x-p/2)2+y2); 	d=p/2+x

		Приравниваем и получаем:

		y2=2px	- каноническое уравнение параболы

		

		ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

		1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

		е=с/а

		е эллипсв <1 (т.к. а>c)

		е гиперболы >1 (т.к. с>a)

		Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

		Выразим эксцентриситеты через а и b:

		

		

		е эллипса является мерой его “вытянутости”

		е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

		2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

		D1: x= - a/e

		D2: x= a/e

		

		р=а(1-е2)/е – для эллипса

		р=а(е2-1)/е – для гиперболы

		

		ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

		Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

		Доказательство: для эллипса. 

		r1/d1=e

		x|a|, xe+a>0

		r1=xe+a

		

		d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1

		xcos180+ysin180-p=0

		x=-p

		x=-a/e

		бм=-x-a/e

		d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

		

		

		Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

		

		ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

		Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

		Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

		r= 

		d=p+cos

		e=/p+cos

		 - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

		

		КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

		Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

		

		у-у0=y’(x0)(x-x0)

		

		Рассмотрим касательную к кривой  следовательно 

		

		

		

		ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0

		

		

		 - уравнение касательной к эллипсу.

		 - уравнение касательной к гиперболе.

		 - уравнение касательной к параболе.

		

		ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

		Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

		Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

		(е1;е1’)=cos u

		(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u

		(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u

		(е2;е2’)=cos u

		Базис рассматривается ортонормированный:

		(е1;е1’)=(е1, 11е1+12е2)= 11

		(е1;е2’)= (е1, 21е1+22е2)= 21

		(е2;е1’)= 12

		(е2;е2’)= 22

		Приравниваем:

		11=cos u

		21= - sin u

		12=sin u

		22=cos u

		Получаем:

		x=a+x’cos u – y’sin u

		y=b+x’sin u – y’cos u	- формулы поворота системы координат на угол u.

		------------

		x=a+x’

		y=b+y’	- формулы параллельного переноса

		

		ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

		Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

		Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

		Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

		Определение: 

		I2>0 – элиптический тип

		I2<0 – гиперболический тип

		I2=0 – параболический тип

		

		ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

		Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

		Параллельный перенос:

		Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

		a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0	(2)

		точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0. 

		Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0

		Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, 	f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

		Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.

		Точка O’ – единственная точка.

		Центр симметрии кривой существует если I20 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

		Поворот:

		Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

		, после такого преобразования уравнение принимает вид 

		a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 	(3)

		

		ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

		Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

		Доказательство: 

		1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда 

		а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2

		

		I2=a11’’a22’’ > 0

		I1= a11’’+a22’’ > 0

		a11’’ > 0;	a22’’ > 0

		

		Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

		2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

		3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

		

		ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

		Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I2<0, I30 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых.

		Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0

		Пусть I3>0

		 

		В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

		Пусть I3<0

		-(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2

		

		В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

		Пусть I3=0

		а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0

		

		

		

		АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

		Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2

		Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

		(, ) – вектор асимптотического направления.

		a112+2a12+a222=0	(*)

		Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ):  следовательно . Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

		Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

		Решение: положим, что 0 и поделим на 2, получим: a11(/)2+2a12/+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

		

		т.к. у линий гиперболического  и параболического типов I20, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

		Найдем асимптотические направления у гиперболы:

		

		(, )1=(a,b)

		(, )2=(-a,b) 

		Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

		Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

		Найдем асимптотические направления у параболы:

		y2=2px

		y2-2px=0

		u(x,y)= y2+0, y=0

		(, )=(0,0)

		Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

		

		РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

		Пусть задано трехмерное пространство.

		Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

		Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

		Вектор n – нормальный вектор плоскости.

		2. Уравнение плоскости в отрезках: 

		3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

		Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти: 

		Ax+By+Cz+D=0

		Ax0+By0+Cz0=-D

		A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

		Уравнение плоскости ч/з 3 точки. 

		Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

		М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)

		Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

		М1М 	x-x1	y-y1	z-z1

		М1М2	x2-x1	y2-y1	z2-z1	=0

		М1М3	x3-x1	y3-y1	z3-z1

		Параметрическое ур-е плоскости.

		Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s

		

		РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

		Ax+By+Cz+D=0; 	M0(x0;y0;z0)

		

		

		ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

		Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.