Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Магнитогорский государственный технический университет











































Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных















Подготовил: Григоренко М.В.

 Студент группы ФГК-98











Магнитогорск –1999

Ведение

		Для решения были предложены следующие уравнения:

		x3 – 4x – 2 = 0            и            4x = cosx

		При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция ((x) = x3 – 4x – 2  и  (x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.

		Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (– ; ).

		Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму:

Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции (x1) и (x2) разных знаков. Так как функция (x) непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2.

Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = (x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;(x1)) и B(x2; (x2)), в каноническом виде:

;

Учитывая, что y = 0 при x = a1,  выразим из данного уравнения a1:



Чтобы получить более точное значение корня, определяем (а1). Если на данном отрезке мы имеем (x1)<0, (x2)>0 и (a1)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если (x1)>0, (x2)<0 и (a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3 и т.д. 

Пример 1.      x3 – 4x – 2 = 0

(x) = x3 – 4x – 2,

(x) = 3x2 – 4,

производная меняет знак в точках 



(x)        +                     –                   +

(x)                                                      х

             

функция (x) монотонно возрастает при x(–;] и при х[;), и монотонно убывает при x[;].

Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.

Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение (х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:

(–2)= –2,

(–1)= 1,

(0)= –2,

(1)= –5,

(2)= –2,

(3)= 13.

Таким образом, корни находятся в интервалах

(–2;–1),     (–1;0),      (2;3).

Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:



a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000

a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000

a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000

a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000

a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000

a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000

a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000

a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000Для (–2;–1):                                                Для (–1;0):

a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000

a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333

a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000

a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653

a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394

a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195

a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423

a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488

a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506

a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511

a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513



для (2;3)

a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000

a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000

a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000

a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000

a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000

a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000

a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000

a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000

a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000

a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000

Приближенным значением корня уравнения на отрезке 

(–2;–1) является x = –1,6751