Показательно-степенные уравнения и неравенства

белгородский государственный университет





КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии











Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.







Дипломная работа студента физико-математического факультета







Научный руководитель:



______________________________

Рецензент : _______________________________

________________________











Белгород. 2006 г.


Содержание.



Введение 

3

Тема I.

Анализ литературы по теме исследования.



Тема II.

Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.





I.1.

Степенная функция и ее свойства.





I.2.

Показательная функция и ее свойства.



Тема III.

Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.



Тема IV.

Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.



Тема V.

Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».





V.1.

Обучающий материал.





V.2.

Задачи для самостоятельного решения.



Заключение. 

Выводы и предложения.



Список используемой литературы.



Приложения 




Введение.



«…радость видеть и понимать…»

А.Эйнштейн.



В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой

Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходимостью — и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1. 

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Целями настоящей работы являются:

Проанализировать литературу по данной теме.

Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.

Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:

Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.

План дипломной работы:

Введение.

Глава I. Анализ литературы по теме исследования.

Глава II. Функции и их свойства,  используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

II.2. Показательная функция и ее свойства.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.

Обучающий материал.

Задачи для самостоятельного решения.

Заключение. Выводы и предложения.

Список использованной литературы.

В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».

В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися  отрицательного аргумента показательно-степенной функции.

В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.

В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен  план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.

В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.



Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.



II.1. Степенная функция и ее свойства.



Степенная функция с натуральным показателем. Функция у = хn, где n — натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При  n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая  пропорциональность. Прямой  пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число   k   называется   коэффициентом   пропорциональности.

Перечислим свойства функции у = kx.

	Область определения функции — множество всех действительных чисел.

	y = kx — нечетная    функция    (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).

	3)	При   k > 0   функция  возрастает,  а   при   k < 0 убывает на всей числовой   прямой. 

	График (прямая) изображен на рисунке II.1. 

	

	

	

	Рис. II.1.

	При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:

	Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.

	Область определения функции — вся числовая прямая.

	у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).

	На промежутке [0;   +   οο) функция возрастает.

В самом  деле, если , то , а это и означает возрастание функции.

	4)	На промежутке (—оо; 0] функция убывает.

В  самом   доле,   если  ,то   — х1 > — х2 > 0,   а  потому  

(—х1)2> ( — х2)2, т. е.  , а это и означает убывание функции.

	Графиком  функции  y=х2  является  парабола. Этот график изображен на рисунке II.2. 











Рис. II.2.

	При n = 3 получаем функцию у = х3, ее свойства:

	Область определения функции — вся числовая прямая.

	y = х3 — нечетная     функция     (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).

3) Функция   y = x3   возрастает   на   всей   числовой   прямой. График функции y = x3   изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3. 













Рис. II.3.

Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух: 

n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция  у = х2. График такой функции напоминает параболу  у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное число.  При  n = 1  получаем  у = х-n   или  у =  Свойства  этой функции: 

График (гипербола) изображен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы, 

n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает 

Рис. II.4.

график функции у =. Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим некоторые свойства функции  у = х-2, т. е. функции y = .

	Функция определена при всех  х0.

	y =  четная функция.

	y =  убывает  на  (0; +оо)  и  возрастает  на  (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.

График функции у =  изображен на рисунке. Аналогичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .

Функции вида , ,  обладают теми же свойствами, как и функция .

Степенная функция с положительным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная несократимая   дробь.   Перечислим   некоторые   свойства   этой функции.

	Область определения — луч [0; + оо).

	Функция ни четная, ни нечетная.

	Функция у = хr возрастает на [0; +оо).



Рис. II.5.

На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и  у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).

Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .

На том же рисунке изображен график функции . Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .

Степенная функция с отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая   дробь.    Перечислим   свойства   этой   функции.

	Область определения — промежуток (0; + оо).

	Функция ни четная, ни нечетная.

	Функция  у = х-r убывает на (0; +оо).

	Построим для  примера  график  функции  у — х таблицу значений функции:

	

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.). 

 Подобный вид имеет график любой функции 

у = хr, где r — отрицательная дробь.

	

        Рис. II.6.



II. 2. Показательная функция и ее свойства.

	

	Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.

	Функция у = ах при а>1  обладает следующими свойствами (см. рис. II.7.):

	а)	область  определения — множество всех  действительных чисел;

	б)	множество   значений — множество   всех   положительных чисел;

	

	

	Рис. II.7.

	в)	функция возрастает;

	г)	при х = 0 значение функции равно 1;

	д)	если x > 0, то аx > 1;

	е)	если х < 0, то 0 < ах < 1.

	3.	Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):

	а)	область определения D(f)=R;

	б)	множество значений E(f)=R+;

	в)	функция убывает;

	г)	при х = 0 значение функции равно 1;

	д)	если х > 0, то 0 < ах < 1;

	е)	если х < 0, то ах > 1.

	Рис. II.8.

	


Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.



Так  называются уравнения  вида ,  где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения  будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x)  и 

а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и  могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

	Итак, для полного решения уравнения  рассматриваем случаи:

		а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению,  f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

		а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

	а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

	При  и  решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.



Пример №1.



Решение

x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и  32 > 0, то x1 = 3  - это решение.

x – 3 = 1, x2 = 4.

x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.

x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.



Пример №2.



Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

x – 1 = 0 или  x = 1,  = 0, 00  это не решение.

x – 1 = 1         x 1 = 2.

x – 1 = -1         x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

 = 

               

       

       

       

       Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.

Ответ: 2.



Пример №3.



Решение

1)  =  0  решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2)  ≠  0  т.е. . Тогда можем записать:

    

3)  =  1.     =  0    

     и 

4)  =  -1  х = 0 или х = 1. При х = 0    =  -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение.  При х = 1   (-1)0 = (-1)0. Это  решение х3 = 1.  

5)  ≠  0 и  ≠  ±1    имеем  =  0,    =  -1    или 

     =  1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.



Пример №4.

  

Решение

При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1. 

     при , 

, .

, . 

     , (-1)0 = (-1)0 это решение.

     .

           4)  и 

               

                    или 

               При  (-4)0 = 1 – верно. 

Ответ: -1, 2, 4.



Пример №5.



Решение

1) , ,  это не решение.

2) ,  и .

3) отрицательных значений основание не имеет. При  и , ,      ,

х = 5,    315 = 315 – верно. х3 = 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.



Пример №6



Решение

1)  не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2) .  или .

3) отрицательных значений  не имеет.

4) При , 

    , т.к. , то . Проверка 20 = 1 – верно. 

Ответ: -1, 1, 2.



Пример №7



Решение

1) , , , . Это решение .

2) , .

3) , ,  - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.

4)  и , , , ,  4-3 = 4-3 – верно. .

Ответ: -4, -3, -2, 1



Пример №8



Решение

ОДЗ: , 

, ,

 и 



Все решения принадлежат уравнению =2.

, ,   и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.



Пример №9



Решение

ОДЗ: ,  , .

1)  решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1. 

При ,  или , 

                          ОДЗ, ОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении = 0,  или .

Проверка: , 20 = 1 – верно.

                  ,  - верно.

Ответ: 0, 3/2.



Пример №10



Решение

1)  решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При , , . Все решения принадлежат уравнению .  или .

3) ,  и .

Второе решение не подходит, т.к , . А  является решением 

Ответ: , 2, 4.



Пример №11



Решение

1) ,   ,   и  это решение .

2) ,   .

3) ,  ,   - четное,  - нечетное. Это является решением.

4)  или , , , , .

Проверка: ,  - верно.

Но  не является корнем!

Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство =  только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.

Ответ: -4, -2, -1.



Пример №12



Решение

ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.

 и все решения содержатся в уравнении.



,    ,   

Ответ: 5.



Пример №13



Решение



1) ,  , . Это решение .

2) ,   , .

3) отрицательных значений  не имеет.

При  или  все решения в уравнении ,  и .

При ,  - верно. .

Ответ: -1, 2, 3, 4.



Пример №14



Решение

ОДЗ: 

При  решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При 



2) , и . - решение, а .

3)  для всех . При  и  все решения содержатся в уравнении ,  или . При  , . 

При ,  - верно. .

Ответ:  4, 5.



Пример №15.

, 

Решение

 

используя свойства логарифма  и получили: 

= 

В первой части уравнения выполнили преобразования

. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.

 или . 

Ответ: 2.



Пример №16



Решение

ОДЗ: 

Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения

;  .

, , где 

1) ,  - верно.

2) , 

Пасть , тогда 



,  или .

Следовательно;  или , , .

Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.



Пример №17



Решение

ОДЗ:  и 

Выполним преобразования.

+=  2+2

+=  4

Пусть , а , 

Следовательно,  или 

,                     

2*2t = 4                        

2t = 4/2                         

2t = 2

t = 1



Ответ: 2.



Пример №18



Решение

ОДЗ: 

; 

Прологарифмируем обе части равенства:



, где .

Умножим обе части уравнения на 2.



Пусть , тогда  





,  или 

1) , 

 или 

       

Ответ: 0.1, 10.



Пример №19



Решение

ОДЗ: 

Обратите внимание  ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!



, 

                             или 

Оба значения в ОДЗ.

Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.

,  - верно.

,  - верно.

Ответ: -3, 3.



Пример №20



ОДЗ: 

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)

 или 

Прологарифмируем по основанию 10.



 или 

1)  или 

    ,        

Ответ: 0.01,  100.



Пример №21



Решение

ОДЗ: 

Прологарифмируем по основанию 10.

, где .



Пусть , тогда:

 умножим на 4



, 



,  или 

1) 



2) 



Ответ:  0,0001, 10.



Пример №22



Решение

ОДЗ: 





Заменим: , получим:

, где .

Решаем уравнение: 



;  или 

1) ; ; . .

2) , , , , .

    ; ; ; .

Ответ: 0,1, 1, 10.



Пример №23





Решение

 и 

      \ : 



Подставим во второе уравнение вместо  число 5, получим:



 или 

составляем систему уравнений:



                                        

                                           

                                         





Ответ: (13;8)



Пример №24



Решение

ОДЗ: 

; 

, 



;            или 

, .

Ответ: 5.



Пример №25



Решение

ОДЗ: 

Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:

Получим: 

 или 

Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:

.

Решая его относительно , находим , .

Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:

. Значит, , т.е. .

Ответ: 30, 100.



Пример №26



Решение

Так как , то при  и  имеем равносильное уравнение:

 или 

.

, 

Ответ: 5.



Пример № 27



Решение

ОДЗ: 

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:





, 



;  или 

1)                                     2) 

                                    

Ответ: 0.1, 100.



Пример №28



Решение

ОДЗ: 

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:





 и , поэтому







Пусть , тогда 

 или .

1) 

    ;

2) 

    

Ответ: , 3.

Пример №29



Решение

1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) = 1, =1,  ,  или

                    =-1,  , .

Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.

3)  (т.к. )

При  все решения принадлежат уравнению .  или .

При   = 0, что не удовлетворяет уравнению 

, 

Ответ: , .

            , .

            , .



Пример №30



Решение

ОДЗ: 

= 

1) , , .

2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда  или .   ,  и   , .

Ответ:  , -,  и , .



Пример №31



Решение



1)   или ,   и . Это решение. .

2) ,  и 

3) Так как , то ;

    ;

    

    

    

    ;   . Это решение.

Ответ: ; 5; 3; 4.



Пример №32



Решение

 при всех 





1) ,  - решений нет.

2). Потому при  левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.

3) ;

    ;

    ;

     ;

    ;

    ;

    ;

     и ;

    ;            ;

    ;                     ;

    ;

    ;

     - решений нет.

Ответ: -3, 3.

Пример №33

Решить графически уравнение:



Решение

У функции                    Д(y):  x > 0 и log2 x > 0, т.е.,

                                                                     x > 1. обл. определения х > 1.

А теперь:  (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).

Тогда   (определение логарифма: ).

Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.


Построим график функции (рис III.1).



                      у



                                                                                            



                                                                                                             

                     2

                     1



                     0             1             4                                                               х

Рис. III.1.

Ответ: (4; 2).



Пример №34

Решить систему уравнений:

 

Решение:



По определению логарифма имеем:

         .

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.

     .

Из второго уравнения системы выразим у через х:

, 

Тогда: 

Пусть ,  , Д = (-5)2 -4*1*4 = 9, ,  или .

1)                                             2) 

                                                           

                                                  

Д = (-3)2 – 4*1*(-4) = 25                               пусть , тогда

                                                             

  или                                           Д = (-1)2 – 4*3*4 = -47<0

 или                                  корней нет

(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ

(4,4) решение системы уравнений.

Ответ: (4, 4).



Пример №35

Решите систему уравнений:



Решение.



По определению логарифма имеем:

    

Основание логарифма может быть:

1)  (дробное)

    

    (-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.

2) 

    

Выполним преобразования:



Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:

,

, ,



 или 

Пусть ,  тогда 

Д = (-)2 -4*1*(-2) = 9

 или 



: (х+1)



, где 

;

1) 

 или  



Решаем биквадратное уравнение

Примем , тогда получим  

D = 32 – 4*1*(-4) = 25

;   или 

а) 

б) ;   (не удовлетворяет ОДЗ) 





 - решение системы уравнений.

2) 







 или 

  - (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)2 -4*4*3 = -47 – корней нет.

Ответ: .  [ ]



Пример № 36



Решение

Для любого х  и  ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х  из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

                          и                   

Решаем ее.

                                                    

                                           

                                             

 принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ:  .




Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.



Неравенства вида  (или меньше) при а(х)>0 и  решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию

Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.



Пример   1.

 Решить неравенство:

 23x:+7 < 22x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х -  1.   Решив   это   неравенство,   получим   х < - 8.

Ответ: -8.



Пример   2. 

Решить неравенство:



Решение.

Так как 625 = 252= , то заданное неравенство можно записать в виде   

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х2 - 8 =  -2. Имеем последовательно

,

,

,

.

Решив последнее неравенство, получим 2  х 3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример   3. 

Решим неравенство 

0,57-Зх < 4.

Решение

Пользуясь тем, что 0,5 -2 = 4, перепишем заданное неравенство в виде 

0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3. 

Ответ:  ( — оо ; 3).



Пример 4.  

Решим неравенство 



Показательная функция y = 6x возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х2 + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо;  -3) 

и (1;   оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1;   оо).

	

	Пример 5.    

		Решим    неравенство:

		

	Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно,   решением   данного неравенства   являются   числа   х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа.  Но  , , а функция   убывает,

поскольку   < 1. Поэтому решением неравенств  будут числа х,  удовлетворяющие неравенствам   - 2 < х < 1. 

Ответ: ( - 2;  1).



Пример 6.



Решение

1)     


   



                            2         3                10

Изобразим на числовом луче

Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при  взятое не выполняется. Решений нет.

2)   

Изобразим на числовом луче





                                             10

Если , то 

 -решение системы неравенств.

Остальные случаи не дают решений, т.к.  или 1 не удовлетворяют условию, а при  т.е.  получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.

Ответ: 





Пример 7



Решение

При , х = 2,5 или х = -1

При  или  можно записать .

  

При  второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств



                   -1                     2,5                                  3

Система не имеет решений.

2)  

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств







 решение системы неравенств.

3) ,  - выражение  имеет смысл тогда, когда х – 3 – целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х – целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.

Проверка:

При - верно.

При  - верно.

При  - верно.

4) , х2 = 2,5 и х1 = -1

При х = -1 – не имеет смысла выражение 0-4.

При х = 2,5, 02,5 – не имеет смысла.

5) 

;   

При ;  - верно.

При ;  - верно.

Ответ:  или .


Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками 

по данной теме.



Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.

Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой

 

Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1.                                         Ответ: .

2.                                   Ответ: 2.

3.                                       Ответ: 7; 14.

4.                            Ответ: .

5. Найдите произведение корней уравнения

                           Ответ: .

6.                                      Ответ: .

7.                         Ответ: .

8.                                      Ответ: .

9.          Ответ: 

10.                                          Ответ: .

11.                              Ответ: 2; 3; 4; 11.

12.                         Ответ: .

13.                       Ответ: .

14.                                            Ответ:  -2; 0; 2.

15.                                      Ответ:  1; 4; 5.

16.                                              Ответ:  нет решений.

17.                                 Ответ:  1; 10; 10-3.

18.                                      Ответ: 1; 8.

19.                                            Ответ: -1; 1; 2.

20.                                 Ответ:  .

21.                            Ответ:  2; 10-1; 10-3.

22.                            Ответ:  0; 3.

23.                          Ответ:  0.

24.                          Ответ:  .

25.                                           Ответ:  .

26.                                

 Ответ:  .

27.                             Ответ:  .

28.                        

 Ответ:  .

29.          Ответ:  .

30.                        Ответ:  .

31.             

                                  Ответ:  .

32.                  

  Ответ:  .

33.                          

 Ответ:  .

34.           Ответ:  0; 1.

35.                                                             Ответ:  1; 3.

36.                                                             Ответ:  0; 1; 5.

37.                                                           Ответ:  0; 5; 4.

38.    

Ответ:  .

39.                    Ответ:  .

40.              Ответ:  .

41.                           Ответ:  .

42.                    Ответ:  .

43.                          Ответ:  1; 0,1; 0,01.

44. 

45.              Ответ:  -2; -1; 3.

46.              Ответ:  -2; 0,6.

47.              Ответ:  .

48.                 Ответ:  -4; -3,5; -2; -1.

49.                        Ответ:  -0,2; 0,5; 1; 3.

50.                  Ответ:  -2; 0,6.



Решить системы уравнений



1.                                   Ответ:  .

2.                           Ответ:  (5;-1).

3.                                 Ответ:  .

4.                           Ответ:  .

5.                           Ответ:  .

6.               Ответ:  .

7.          Ответ:  .

8.                          Ответ:  .

9.               Ответ:  .

10.                             Ответ:  .

11.                  

 Ответ:  .

12.                          Ответ:  .

13.          

Ответ:  .

14. 

15. 

16. 

17.          

 Ответ:  .

18.                     

 Ответ:  .

19.   

Ответ:  .

20.                Ответ:  .

21.               Ответ:  .

22.                  Ответ:  .

23.        Ответ:  .



Решить неравенства.



1.                          

                                      Ответ:  если , то если  то .

2.    Ответ:  .

3.                   Ответ:  .

4.                             Ответ:  .

5.                            Ответ:  .

6.                        Ответ:  .



7.              Ответ:  .

8.      Ответ:  .

9.                      Ответ:  .

10.               Ответ:  .

11.              Ответ:  .

12.       Ответ:  .

13.       Ответ:  .

14.       Ответ:  .

15.        Ответ:  .

16.    Ответ:  .

17.       Ответ:  .

18.                 Ответ:  .

19.                 Ответ:  .

20.                    Ответ:  .

21.                  Ответ:  .


Заключение.



Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:

Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.

Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.

Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.

Мое предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.

Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.


Список используемой литературы.



Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени  и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.

Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 1997.

Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.

Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 1999.

Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. – Томск,из-во Томского университета, 1973.

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.

Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1995.

Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.

Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.

Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.

Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2003.

Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.

Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2001.

Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.

Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.

Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.

Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.

Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.

Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.

Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.

Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.