Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

2



© Н.М. Козий, 2008, [UA]

		Свидетельство Украины № 25256

		о регистрации авторского права



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА



Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:



N = A + B,



где: А и В – простые числа.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО



Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количество членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:



V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]



Очевидно, что часть прогрессии U: 

U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]



представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:



V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],



а часть прогрессии U:



U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]



представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:



V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].



Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:



V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].



При этом: 



V0i + U0i = N,



где V0i и U0i - i – тые члены прогрессий  V0   и   U0.

При n – четном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии   U0 и равно:



K = 0,5∙n = 0,25·N.       /1/


Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:



V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]



Очевидно, что часть прогрессии U: 



U3 = [N-1, N-3 … 0,5N] 



представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :



V3 = [0,5 … N-3, N-1],



а часть прогрессии U:



U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]



представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:



V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].



Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:



V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].



При этом: 

V0i + U0i = N,

где V0i и U0i - i – тые члены прогрессий  V0   и   U0.

При n –нечетном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии   U0 и равно:



К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2).              /2/



Количество пар чисел V0i + U0i прогрессий V0  и   U0 равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Zpv – количество простых чисел в прогрессии V0;

Zsv -- количество составных чисел в прогрессии V0;

Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U0;

Zsu -- количество составных чисел в прогрессии U0;

Пs/v – количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии U0 и простых чисел прогрессии V0;

Пs/u– количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии V0   и простых чисел прогрессии U0;

Пр --  количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из простых чисел прогрессий V0 и  U0.

Очевидно, что:



П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ;           /3/

Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.



Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует: 

-для чисел N ≤ 116: Zpv> Zsu;  Zpu > Zsv;

- для чисел N = 118…136:  Zpv=Zsu;  Zpu = Zsv; 

- для чисел N≥138: Zpv<Zsu; Zpu < Zsv.

Составим прогрессии V0  и U0 для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv,  Zpu, Zsu, Пs/v, Пs/u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V0  и U0 в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.



ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:



П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.

V0 ={ V01 =[ 1  3  5   7   9   11  13 ] V02 =[ 15  17  19  21 23] V03=[25 27]

U0 ={U01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U02 =[105 103 101 99 97 ] U03=[95 93]

Пр                        *      *   *            *   *     *  



V04 = [ 29  31 ] V05 = [ 33  35 ] V06= [ 37 39 41  43 45 47 ] V07= [ 49 51 53] 

U04= [ 91  89 ] U05= [ 87  85 ] U06= [ 83 81 79  77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]

Пр        *                      *     *         *               *



V08 = [ 55  57  59 ] }.

U08 = [ 65  63  61 ] }.

Пр            *



Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.



Для прогрессий V0  и  U0 в целом имеем:



Zpv =17,   Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5,   Пs/v ≠ Пs/u , 

Zpu =13,   Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1,   Пр = 12.



Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 17 – 5 = 12; 

Ru = Zpu - Пs/u = 13 – 1 = 12.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: 



Rv =Ru = Пр = 12.



Для подпрогрессий V01  и U01 имеем:



Zpv =6,  Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3,   Пs/v ≠ Пs/u, 

Zpu =3,  Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 3.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 6 – 3 = 3;  Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.



Для подпрогрессий V02  и U02 имеем:



Zpv =3,  Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0,  Пs/v = Пs/u = 0,

Zpu =3,  Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 3.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 3 – 0 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.

Для подпрогрессий V04  и U04 имеем:



Zpv =2,  Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1,  Пs/v ≠ Пs/u, 

Zpu =1,  Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 1.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.

Для подпрогрессий V06  и U06 имеем:



Zpv =4,  Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1,  Пs/v ≠ Пs/u, 

Zpu =3,  Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 3.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.

Для подпрогрессий V07 и U07 имеем:



Zpv =1,  Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v =0,  Пs/v ≠ Пs/u , 

Zpu =2,  Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u =1,   Пр = 1.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.

Для подпрогрессий V08 и  U08 имеем:



Zpv =1,  Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v =0,  Пs/v = Пs/u = 0,

Zpu =1,  Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u =0,   Пр = 1.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.



ПРИМЕР 2. N=154; n=0,5N =0,5·154= 77 – нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:



П = К=0,5(n+1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V0 ={V01= [ 1   3   5   7   9 ] V02= [ 11  13   15  17  19  21   23] » 

U0 ={U01= [153 151 149 147 145] U02= [143 141 139 137  135 133  131 ] »

Пр            *   *                            *            * 

V03=[ 25  27  29  31  33  35   37  39] V04=[ 41  43  45  47  49  51  53] 

U03=[129 127 125 123 121 119 117 115] U04=[113 111 109 107 105 103 101]

Пр                                         *          *          *

» V05= [55 57 59 61 63 65 67 69]  V06= [ 71  73 ]  V07 = [ 75  77 ] }.

» U05= [99 97 95 93 91 89 87 85]  U06= [ 83  81 ]  U07 = [ 79  77 ] }.

Пр                              *


Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.



Для прогрессий V0  и  U0 в целом имеем:



Zpv =21,  Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v =13,  Пs/v ≠ Пs/u ,

Zpu =15,  Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u =7,   Пр = 8.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 21 – 13 = 8; Ru = Zpu - Пs/u = 15 – 7 = 8.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 8.

Для подпрогрессий V01  и  U01 имеем:



Zpv =4,  Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =2,  Пs/v ≠ Пs/u , 

Zpu =2,  Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 2.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 2 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 2 – 0 = 2.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 2.

Для подпрогрессий V02  и U02 имеем:



Zpv =5,  Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =3,  Пs/v ≠ Пs/u , 

Zpu =3,  Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =1,   Пр = 2.


Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 5 – 3 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 1= 2.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 2.

Для подпрогрессий V04  и  U04 имеем:



Zpv =4,  Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v =1,  Пs/v ≠ Пs/u , 

Zpu =5,  Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =2,   Пр = 3.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3; 

Ru = Zpu - Пs/u = 5 – 2 = 3.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 3.

Для подпрогрессий V06  и U06 имеем:



Zpv =2,   Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1,   Пs/v ≠ Пs/u ,

Zpu =1,   Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0,   Пр = 1.



Определим разности:



Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1;  Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.



Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и  Пр следует: Rv = Ru =  Пр = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv, Zsv,  Zpu, Zsu , Пs/v, Пs/u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V0i + U0i , удовлетворяющие условию:



V0i + U0i = N:



Вариант 1: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v=Пs/u = 0 (подпрогрессия V02 - U02 для числа N =120);

Вариант 2: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu,  Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v= Пs/u = 0 (подпрогрессияV08 - U08 для числа N =120);

Вариант 3: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu,  Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u (подпрогрессии V01 - U01, V04 - U04, V06 - U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 - U01, V06 - U06 для числа 154);

Вариант 4: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =120);

Вариант 5: Zpv>Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u (подпрогрессия V02- U02 для числа N =154);

Вариант 6: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V07- U07 для числа N =120);

Вариант 7: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V04- U04 для числа N =154);

Вариант 8: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , Пs/v, Пs/u.

Значения количества пар Пp простых чисел для некоторых четных чисел N (количества Пp приведены в скобках рядом с числами N):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар Пp простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар Пp для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N>4 равно сумме двух и более пар Пp простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:



6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА



Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:



М = A + B + C,



где: A, B и C – простые числа.

При этом: 



A ≠ B ≠ С



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО



Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.



Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:



M = N + C = A + B + С,

где: A, B и C – простые числа.

При этом:



A ≠ B ≠ С



Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

umbolic@gmail.com