Использование расчетных формул в задачах

Задача 1.



Определить центр тяжести сечения.



30

60

30

60























Решение



О

1

2

C1

C2

C

y2

хС

х1

y1

yС

x2

X

Y


Укажем оси координат X и Y с началом в нижнем левом углу сечения.

Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1 с центром тяжести С1 и квадрат 2 с центром тяжести С2.



Координаты центра тяжести С сечения находим по формулам:



 и , где



x1 = 15 мм - координата центра тяжести С1 прямоугольника по оси Х;

y1 = 30 мм - координата центра тяжести С1 прямоугольника по оси Y;

x2 = 45 мм - координата центра тяжести С2 квадрата по оси Х;

y2 = 15 мм - координата центра тяжести С2 квадрата по оси Y;

F1 = = 1800 мм2 - площадь прямоугольника;

F2 = = 900 мм2 - площадь квадрата.



Тогда



мм, мм.



Задача 2. 



К стальному валу приложены три известных момента М1, М2, М3. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).

Для стали принять G = МПа. Полярный момент инерции м4



a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,

М1 = 1900 Нм, М2 = 1200 Нм, 

М3 = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.



М1

М2

М3

Х

c

a

b

a









Решение.



1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE 



.



Отсюда определим момент X







Х = 1178,125 Нм



2) Строим эпюру крутящих моментов MК (см. рис а)

Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент МЕ, который определим из уравнения равновесия:



; МЕ – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0

МЕ = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм



При построении эпюры крутящих моментов МК применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.



Для участка DE:



; Нм





М1

М2

М3

Х

c

a

b

a

A

B

C

D

E

М1

М2

М3

Х

МЕ

а) МK, Нм

1178,125

521,825

678,125

1221,875

0,071

0,046

0,068

b) φ, рад






























Для участка CD:



; Нм



Для участка ВС:



; Нм



Для участка АВ:



; Нм



3) Определяем диаметр вала

Из эпюры максимальный МК = 1221,875 Нм на участке DE. На этом участке возникает максимальное касательное напряжение , где WP – момент сопротивления сечения 







Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала



 0,043 м или 43 мм,



Согласно условиям задачи принимаем d = 45 мм.


4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в) для всех участков по формуле 



.



Выбираем начало координат в точке Е.

Участок DE:

Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного сечения Е, будет



, где ;



при z = 0 φ = 0;

при z = a = 1,9 м 



= – 0,071 рад.



Участок CD:



, где 



при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;

при z = (a + b) = 3,1 м = – 0,046 рад.




Участок BC:



, где 



при z = (а + b) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;

при z = (a + b +c) = 4,5 м = – 0,068 рад.



Участок AB:

, где 

при z = (а + b + c) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;

при z = (2a + b + c) = 6,4 м = 0 рад.

5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE 



== 0,037 рад/м



Задача 3.



Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:

определить положение центра тяжести;

найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;

определить направления главных центральных осей инерции;

найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;

вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.

Схема сечения состоит из двух прокатных профилей: 

профиля I - швеллера № 30, 

профиля II - двутавра № 33.











Решение.



Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:



hI = 300 мм, bI = 100 мм, dI = 6,5 мм, tI = 11 мм,

см4, см4, А1 = 40,5 см2, z0 = 2,52 см.



Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:



hII = 330 мм, bII = 140 мм, dII = 7 мм, tII = 11,2 мм,

см4, см4, А2 = 53,8 см2.



Выбираем вспомогательные оси V, Z и определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения


19,7 см;

13,4 см.



Вспомогательные центральные оси XC и YC параллельны осям V и Z.

Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные оси XC и YC параллельны осям центральным осям швеллера и двутавра, относительно которых моменты инерции известны.

Тогда 

Осевые моменты инерции



см4 = м4

 см4 = м4



Центробежный момент инерции





Для швеллера оси X1, Y1 являются главными, поэтому . Для двутавра оси X2, Y2 являются главными, поэтому .

Тогда



см4 =  м4






V

Z

X1

X2

XC

X

Y1

YC

Y

O1

O2

C

v2=165

vC=197

v2=355,2

z2=70

zC=134

z1=220

a2=32

a1=158,2

b1=86

Y2

b1=64
























































Определяем положение главных осей инерции составного сечения (угол наклона) к исходной оси XC



–1,165 . 



Определяем главные моменты инерции составного сечения по формулам





 м4;

 м4.



Проверим правильность расчетов по выполнению соотношений





 м4

 м4



, то есть расчет произведен точно.




Задача 4.



Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ] = 30 Н/мм2. Мощности P1 = 52 кВт, Р2 = 100 кВт, Р3 = 60 кВт. Угловая скорость ω = 32 рад/с.





М3

М1

М4

М2







Решение



Разбиваем вал на три участка – по сечениям, в которых приложены вращающие моменты. Находим вращающие моменты



= 1625 Нм, = 3125 Нм, = 1875 Нм.



Равномерное вращение обеспечивается условием



; =0; = – 375 Нм.

Знак «–» указывает, что момент M4 направлен в противоположную сторону, указанному в условии задачи.



Крутящий момент на участке 1






М3

М1

М4

М2

1

2

3

3125

1250

375

МК, Нм











Справа ;

3125 Нм.



Крутящий момент на участке 2



Справа ;

3125 – 1875 = 1250 Нм.



Крутящий момент на участке 3



Справа ;

1625 + 3125 – 1875 = 375 Нм.



По полученным результатам строим эпюру.

Диаметр вала определяем для наиболее напряженного участка.

Наиболее напряженный участок – первый – 3125 Нм.

Касательное напряжение сечения вала . Из условия прочности .



Отсюда = 80,5 мм.