Вычисление пределов

1



Санкт-Петербургское государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования









Согласовано:

Предметной (цикловой) комиссией Председатель

____________/_____________

(Подпись) (ФИО)

«_____» __________200__г.

Утверждено:

Заместителем директора по УР

__________/______________/

(Подпись) (ФИО)

 «____»________200___г.











Указания по проведению

практической работы № ___1____

Задачи на вычисление пределов

(Название работы)



По дисциплине «Математика»



Специальность __080110, 080112, 080501__





Разработал преподаватель

_____________(___................. __)

(Подпись) (ФИО)



«_______» _________________200___г.


Цель работы:



1. Формировать умения и навыки вычисления пределов

Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда

Прививать умения и навыки работы со справочным материалом

4. Определить уровень остаточных знаний студентов по данной теме


Перечень справочной литературы :



Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004

Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004

Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003

Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001


Краткие теоретические сведения:



Предел последовательности



Определение. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительно  го числа найдется такое натуральное число , что при всех > выполняется неравенство 

Пишут: 

Графически это выглядит так:



n - 









Т.е. элемент  находится в - окрестности точки а. При этом последовательности  называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.



Основные свойства сходящихся последовательностей



1)Сходящаяся последовательность ограничена.

2)Пусть , , тогда а)  б)  в) 

3)Если  и для всех  выполняется неравенства , то .

4) Если  и последовательность {уn} - ограниченная, то  

№1. Найти пределы:





























Бесконечно большие и бесконечно малые функции



Определение. Функция  называется бесконечно малой при , если 

Например: 1)  при  б. м. ф. т.к.  2)  при  б. м. ф. т. к 

Определение. Функция  называется бесконечно большой при , если ,  или 

Например,  есть б. б. Ф при ;  если б. б. ф. при  действительно  и 

Теорема (о связи между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией). Если функция  имеет придел, равный , то ее можно представить как сумму числа  и бесконечно малой функции , т.е. если 

Теорема (обратная). Если функцию  можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. (x), то число А является пределом функции, т.е если , то 

Например, требуется вычислить . Представим числитель и знаменатель в виде суммы числа и б.м.ф. 

Функции  при  есть б.м.ф. таким образом 


Основные теоремы о пределах



Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:



Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Теорема 2. Функция может иметь только один предел при .



Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.



Примеры:

1)== ==

===

2) =

=

3) 

Первый замечательный предел



Второй замечательный предел

 или 

Примеры:

Вычислить:

1) .

2) .

3) 



4) ===

№2. Найти пределы: 

 

 

№3. Найти пределы:














Порядок проведения работы:

Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание

Соответствующим образом оформить работу

	

Лист 1.







Практическая работа по теме

«Вычисление пределов»





Выполнил:__________

(ФИО)

группа:_____________



Проверил:__________

Оценка:____________ 



Лист 2.



№ примера



Решение:



Ответ:



Оформление работы: