Системы эквивалентные системам с известным типом точек покоя

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины









Математический факультет





Кафедра Дифференциальных уравнений











Курсовая работа



«Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»





















Гомель 2005


Реферат



Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.

Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.

Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.






Содержание



Введение

Определение вложимой системы. Условия вложимости

Общее решение системы

Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Отражающая функция

Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Заключение

Список использованных источников

	




Введение



В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.

В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.

Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.

В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.






1. Определение вложимой системы. Условия вложимости



Рассмотрим дифференциальную систему



  D. (1)



Будем называть i-ю компоненту x системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x(t),…, x(t)), t, этой системы функция xt, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида



, (2)



для которого является решением.

Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента  любого решения  системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений  уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).



2. Общее решение системы



Рассмотрим вложимую систему



 (1)


(b>0 и а-постоянные) с общим решением



, если с0;



x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с, с связаны соотношением с(b+c+c)=a, имеет два центра в точкахи .



Решение:

Подставим общее решение

 в нашу систему (1) получим 



==c(ccosct-csinct)=

a-



Для краткости распишем знаменатель и преобразуем


x+y+b=

=



=a+c(csinct+ccosct)

a-





Получаем, что x и y являются общим решением системы.



3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования



Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x) (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:GR, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством



V (t, x(t))t.



Лемма 1.

Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество



V t.



Без доказательства.

Лемма 2.

Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества



U



Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества






а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) выполняется неравенство.







Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Найдем первый интеграл нашей системы:







Возведем в квадрат и выразим с





y











Положим , получим















Проверим, что функция  – это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества  (2)

Найдем производные по t, x, y



  





После выше сделанных преобразований получаем, что функция  – это первый интеграл системы (1),


2) Положим , т.е. ,



где , Q

3) Проверим выполнение тождества:



 (3), где 



Преобразуем (3).



[в нашем случае ] = =[учитывая все сделанные обозначения] =

=

=

=[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]



Таким образом, тождество (3) истинное.




4. Отражающая функция



Определение. Рассмотрим систему



 (5)



cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть







Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой







Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения системы (5) верно тождество







для отражающей функции F любой системы выполнены тождества






3) дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных







и начальному условию







5. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Получаем  где - любая нечетная непрерывная функция.

Наряду с дифференциальной системой  (1)

рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система    (3)

эквивалентна возмущенной системе



   (4), где непрерывная скалярная нечетная функция удовлетворяющая уравнению 

Так как выше уже показано, что функция  где  {есть первый интеграл} удовлетворяет этому уравнению, то справедлива следующая теорема.

Теорема1.

Система  (1) эквивалентна системе  (2) в смысле совпадения отражающей функции.

Так как система  (1) имеет две особые точки, в каждой из которых находится центр, то и система  (2) имеет центры в этих точках.






Заключение



В данной курсовой работе рассмотрена вложимая система с известным типом точек покоя, проверено удовлетворение общего решения нашей системе, найдены первый интеграл и проверено выполнение тождества, затем с помощью теоремы 1 доказана эквивалентность дифференциальных систем. Сформулированы определения вложимой системы, первого интеграла, отражающей функции и общие свойства отражающей функции. Cформулирована теорема при помощи которой мы доказали эквивалентность нашей системы с дифференциальной системой.






Список использованных источников



Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.

Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.

Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.