Справочные материалы для учащихся 5 класса по математике "Выражения.Формулы.Уравнения.Задачи"

ТЕМА 2: ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ФОРМУЛЫ.                УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. КОМБИНАТОРИКА.

Раздел 1: Числовые выражения

        Запись, составленную из чисел , знаков арифметических действий и скобок , называют числовым выражением

Например:  36:4 – 25; 84 + ( 67 – 37 ) * 4  .

а) Что значит найти значение числового выражения? 

Это значит  необходимо выполнить все действия над числами, придерживаясь общепринятых правил порядка их выполнения.

Например: ( 327 -123 ) :  + 86 = 137

Порядок выполнения действий: 1) 327-123 = 204;  2)  = 2 * 2 = 4; 3) 204 : 4 = 51 ; 4) 51 + 86 = 137

б) «Чтение» числовых выражений 

Числовые выражения необходимо уметь «читать», используя названия действий.

Например:    5+67 – сумма чисел 5 и 67   ;   81 – 9   -  разность чисел 81 и 9   ;             2 * ( 5 + 7 )  -  произведение 2 и суммы чисел 5 и 7   ;

 21 : ( 7 – 4 ) -  частное от деления 21 и разности  7 и 4 ;

( 35 + 7 ) * ( 35 – 7 ) – произведение суммы и разности чисел 35 и 7 .

Запомни: Числовое выражение имеет только одно значение ( правильный ответ).

Раздел 2 : Буквенные выражения 

Запись, которая состоит из чисел , букв , знаков арифметических действий и скобок , называется буквенным выражением

Например : ( 3 + а ) – 17   ; 6 + 3х  ;  а : 3 + 5 * к  .

В буквенных выражениях используют те же знаки  действий ( + , - , * , : ) , как и у числовых ,только часто не пишут знак умножить между числом и буквой.   3* х = 3х .

а) Что значит найти значение буквенного выражения?

Для этого необходимо вместо буквы подставить соответствующее числовое значение и выполнить все действия в полученном числовом выражении :

 Пример 1: Найти значение выражения 3х + 5 , если  х = 15

Решение: если х = 15 , то  3х + 5 = 3 * 15 + 5 = 45 + 5 = 50

Пример 2 : В первом ящике лежало  а яблок , а груши положили в  в ящиков по 25 кг. Сколько всего яблок и груш ? Вычислите значение полученного выражения при а = 30 , в = 3 .

Решение : Если груши положили в   в   ящиков по 25 кг в каждый , то всего груш было  25в  ( кг ) . Следовательно, всего яблок и груш было  а + 25в  ( кг ). Если а = 30 , в + 3 ,то  а + 25В = 30 + 25 * 3 = 30 + 75 = 105 ( кг ).

Запомни: Буквенное выражение имеет бесконечно много значений , которые зависят от значений букв .Изменяя значение буквы , мы получаем каждый раз новое значение буквенного выражения.

Раздел 3 : Формулы 

Иногда буквенное выражение обозначают одной буквой. Например периметр квадрата обозначили буквой  Р. Тогда пишут  Р = 4а .Эту запись называют формулой вычисления периметра квадрата.

Известные нам формулы:  

№п/п

Название формулы

Формула

1

Периметр квадрата

Р = 4а

2

Площадь квадрата

S = а*а = 

3

Периметр прямоугольника

Р = ( а + в ) * 2

4

Площадь прямоугольника

S = а*в

5

Нахождение  расстояния ( пути ),  S - расстояние

S = v * t

6

Нахождение  скорости    ,  v  - скорость

V = S : t

7

Нахождение  времени ,   t  - время

t = S : v

8

Нахождение объёма куба



9

Нахождение площади поверхности куба



10

Нахождение суммы длин всех ребер куба



11



Нахождение объёма параллелепипеда



12

Нахождение площади поверхности параллелепипеда



13

Нахождение суммы длин всех рёбер параллелепипеда







Раздел 4: Уравнения

Уравнением, называется равенство , содержащее неизвестное , значение которого нужно найти.

Корнем уравнения называется значение буквы , при котором уравнение становится верным числовым равенством .

Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться ,что их вообще нет.

Пример1:  0 * х =  12 . Это уравнение не имеет корней , т.к. при умножении нуля на число получают нуль , и число 12 никогда не получат.

Пример 2 :  0 * х = 0 . Это уравнение имеет бесконечное множество корней , т.к. при умножении нуля на любое число мы всегда получаем нуль.

а) простейшие уравнения:



Чтобы найти вычитаемое , нужно из уменьшаемого вычесть разность.

346 – х = 259

х = 346 – 259

х =  87

Ответ : х = 87

чтобы найти уменьшаемое , нужно к разности прибавить вычитаемое.

х – 250 = 52

х = 250 + 52

х = 302

Ответ: х = 302

Чтобы найти неизвестный множитель , нужно произведение разделить на известный множитель.

5*х = 500

х = 500 : 5 

х = 100

Ответ : х = 100

Чтобы найти неизвестное слагаемое , нужно от суммы вычесть известное слагаемое.

64 + х = 146

х = 146 – 64 

х = 82

ответ: х = 82















Чтобы найти делитель , нужно делимое разделить на частное.

240 : х = 20

х = 240 : 20 

х = 12

Ответ : х = 12 









Чтобы найти делимое , нужно частное умножить на делитель.

х : 18 = 6 

х = 6 * 18

х = 108

Ответ : х = 108















б) Примеры решения сложных уравнений:



( х – 50 ) + 41 = 95 ,   где х -50 –слагаемое

х -50 = 95 – 41

х – 50 = 54 ,    где х - уменьшаемое

х = 54 + 50 

х = 104

Ответ : х = 104

77 : ( х + 10 ) = 7 , где х + 10 – делитель

х + 10 = 77 : 7 

х + 10 = 11 , где х – слагаемое

х = 11 – 10

х = 1

Ответ : х = 1

83 – ( х – 42 ) = 12 ,   где х – 42 –вычитаемое

х – 42 = 83 – 12 

х – 42 = 71 ,     где х – уменьшаемое

х = 71 + 42 

х = 113

Ответ : х = 113

( 13 + х ) – 58 = 126 ,  где  13+х -уменьшаемое

13 + х = 126 + 58

13 + х = 184 ,    где х - слагаемое

х = 184 – 13

х = 171

ответ : х = 171













95 – ( 99 – х ) = 8 ,   где 99 – х – вычитаемое

99 – х = 95 – 8 

99 – х = 87 ,   где х – вычитаемое

х = 99 – 87 

х = 12

ответ : х = 12















8 * ( х – 14 ) = 56 , где х – 14 – множитель

х – 14 = 56 : 8 

х – 14 = 7   , где х – уменьшаемое

х = 7 + 14

х = 21

Ответ : х = 21

























х : 8 – 6 = 49 , где х : 8 – уменьшаемое

х : 8 = 49 + 6 

х : 8 = 55 ,где х – делимое

х = 55 * 8 

х = 440

Ответ : х = 440

52 + 72 : х = 56  , где 72 : х – слагаемое

72 : х = 56 – 52

72 : х = 4  , где х – делитель

х = 72 : 4 

х = 18

Ответ : х = 18















Раздел 5 : Решение задач с помощью уравнений

Типы задач:

1) Задачи с одной переменной

На полке стояли книги. После того , как с полки взяли 12 книг , а поставили – 9 , на полке стало 39 книг. Сколько книг стояло на полке сначала?

Было

Взяли

Поставили

Стало

?

12 книг

9 книг

39 книг

 Решение:

Пусть было Х книг , тогда  ( Х – 12 ) + 9 = 39

                                                   Х – 12 = 39 – 9

                                                   х – 12 = 30

                                                   х = 30 + 12

                                                   х = 42 ( книг ) – было

Ответ: 42 книги.

2) Задачи с двумя одноименными величинами

На двух полках стояло 72 книги. На второй полке стояло в 2 раза больше , чем на первой . Сколько книг стояло на каждой полке?

Первая полка

?

 72 книги

Вторая полка

? , в 2 раза больше , чем



Решение: 

Пусть на первой полке стояло Х книг , тогда на второй стояло (2х) книг. Всего на полках стояло 72 книги. Составим уравнение:  х + 2х = 72

                                                                                        х ( 1 + 2 ) = 72

                                                                                        3х = 72

                                                                                        х = 72 : 3 

                                                                                        х = 24 ( книг ) – на 1 – й полке

2) 24 * 2 = 48 ( кн.) – на 2-й полке Ответ: 24 книги, 48 книг.

3) Задачи с тремя зависимыми величинами   

а)  За 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 31 руб. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм груш , если груши дороже яблок на 2 руб.

Фрукты

Цена 1 кг

Количество

Стоимость

Яблоки

?

2 кг

 31 грн.

груши

? , на 2 руб. больше

3 кг



Решение:  Пусть 1 кг яблок стоит х ( руб.) , тогда 1 кг груш стоит ( х + 2 ) руб. За 2кг яблок заплатили ( 2х ) руб.) , а за 3 кг груш –  3* ( х + 2 ) руб .За всю покупку заплатили 31 грн. Составим уравнение : 2х + 3 ( х + 2 ) = 31

                                                                 2х + 3х + 6 = 31 

                                                                 5х + 6 = 31

                                                                5х = 31 – 6 

                                                                5х = 25 ; х = 25 : 5   ; х = 5 ( руб.) – стоит 1 кг яблок

2) 5 + 2 = 7 ( руб.) – стоит 1 кг груш Ответ : 5 руб., 7 руб.

б) Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из сёл, расстояние между которыми 50 км. Встретились они через 2 часа . Первый ехал со скоростью 12 км/ч. найдите скорость второго велосипедиста.

Велосипедист

скорость

время

расстояние

первый

12мк/ч

2ч

50 км

второй

?

2ч



Решение :

Пусть скорость второго велосипедиста – х км/ч , тогда он поехал ( 2х ) км , а первый проехал – (12 * 2 ) км. Общее расстояние 50 км. Составим уравнение:

2х + 12 * 2 = 50 ;     

2х + 24 = 50  ;  

2х = 50 – 24

2х = 26

х = 26 : 2 

х = 13 ( км/ч) – скорость второго велосипедиста.  Ответ : 13 км/ч.

в) Катер прошел 51 км по течению реки и потратил на это 3 часа. Найдите скорость течения , если собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Движение

скорость

время

расстояние

По течению

(15 +  ?)  км/ч

3 часа

51 км

Решение:

Пусть скорость течения – х км/ч, тогда скорость по течению равна ( 15 + х ) км/ч. Расстояние катера по течению реки  составляет 3 * ( 15 + х )  км. Составим уравнение:  3 * ( 15 + х ) = 51

                        15 + х = 51 : 3 

                        15 + х = 17

                        х = 17 – 15 

                        х = 2 ( км/ч ) – скорость течения реки Ответ: 2 км/ч.

ПАМЯТКА ДЛЯ УЧЕНИКА



Скорость  по течению  равна

=  + 



 течение 2 км/ч 

катер10 км/ч

= 2 + 10 = 12 ( км/ч 

Скорость против течения равна

    =  

течение3км/ч 

катер 24км/ч

 = 24 – 3 = 21 км/ч