Экстремальная задача на индексационных классах

2



Содержание



Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения 

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, )

Литература




Введение



В работе вводится понятие индекса функции на [0,) относительно произвольного класса F функций на [0, ), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция (t), tR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1<A2<…<Ak+1, такие, что



а) ;



б) знаки функции (t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем , если функция =g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение  выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x1, …, xk (-<x1<…<xk<) такие, что



(-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;



б) существуют точки y1, …, yk (-<y1<…<yk<) такие, что



(-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .


Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ) и f, g  F.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hF, hg, выполнено одно из отношений: ,  , , . Пишем , если для любой функции hF, hf, выполнено одно из отношений: ,  ,, .

Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение  и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено  и не выполнено .

Через Ik- (Ik+), k1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ).

Через FU обозначим множество функций fF, для которых интегралы



, uU,



абсолютно сходятся.

В случае  положим , fFU, AFU, :



, Fi(A)={Fi(f): fA},

, ,

.


Множество  называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ) такие, что . Тогда отношение  невозможно для  и, если , то



.



Доказательство. Допустим, что , где kn, и A1, …, Ak – множества строгого знакопостоянства функции g - f. Для векторов  рассмотрим матрицу



.



Так как



, ,



то есть


, (1)



где di(-1)k-i,  и di=0,  для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим



, (2)



где 01<2<…<k<. Так как векторы  линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов  . Из (2) получаем .

Пусть теперь  и .

Так как


, (3)



где di=(-1)n+1-i, , то



,



где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i1 функций на [0, ) относительно класса U слабо сходится к функции f , если







для всех uU.

Определение 4. Множество AFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fA и множество А имеет вид , где V открыто,  при ,  при  .

Множество AFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)L при t0, fF;



2. ;



3. Множества Ik- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {fi}i1I-k+1 (k>n) такой, что



,



можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система  образует T+ - систему на [0, ).

Рассмотрим систему функций , такую, что wi=ui для  и  - T+ - системы для mn (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система  образует T+ - систему на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда



.


Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j1Ik- такая, что . Зафиксируем произвольное fl.

Если flIk-, где kn+1, то положим fl*=fl.

Пусть k>n+1 и ={} – (k-1, W) окрестность fl в Ik-.

Рассмотрим произвольные  и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и  невозможны для sk-1. Следовательно,  и , что невозможно.

Таким образом, отображение  непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что  - открытое множество в Rk-1, содержащее .

Пусть ,  и  - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие k-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим k-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.

Имеем



,



где cli – i-ая компонента вектора , и, следовательно,


.



Так как константа К не зависит от f, то ml >-.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p<q и

,

Рассмотрим произвольные flp и flq, где p<q. Так как , то отношения  и  невозможны для sk-2. Отношения  и  невозможны, так как flp, flqIk-. Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что Fk-1(fl’)=ml.

Отношение fl’Ik- невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl’Im- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия  следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;



3. Множества Ik+ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {fi}i1Ik+ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;



5. Ik+FU для kn+1.



Теорема 2. Пусть система  образует T+-систему на [0, ), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда



.



Определение 6. Систему  непрерывных на [0, ) функций назовем T+1-системой, если она является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для .

Лемма 2. Пусть - T+1-система на [0, ), функции f и g таковы, что



(-1)n-i Fi(f)  (-1)n-i Fi(g), .


Тогда отношения ,  и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение  и 1pn.

Пусть x1, …, xp-1 (-<x1<…<xp-1<) – точки перемен знака функции ; xо=-, xn=; . Выберем точки xn-1<xn-2<…<xp<xp-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств



, (4)



где hi=1. Из условия  следует, что hn=1. С другой стороны, из (4) получаем



,



где А – матрица, записанная в (4) слева, Ani – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T+1-система на [0, ), то detA>0, detAni>0, . Следовательно, hn0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T+1-система на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда



.



Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов  так, чтобы  при  и



для , j1.

Согласно теореме 1, для любого  найдется последовательность  такая, что .

Существует j1, такое, что , где  - какая-либо метрика в Rn, и



, .



Выберем j2 так, чтобы  и



, .



Продолжая таким образом, получим последовательность  такую, что  и

 (5)



Рассмотрим произвольные  и . Отношения  и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция  такая, что . Включение  противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности  следует утверждение теоремы 2.




Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах



§ 1 Экстремальная задача



Пусть  – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -<a<b<; (t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем (k)(t)>0 для t[a, b] и ; c1, …, cn – вещественные константы; [a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла







на множестве   ФР из , удовлетворяющих ограничениям



, .



Для классов o - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -<x<y<, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что  - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, o, BL, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k A, ): Ik+ (Ik-) –множество всех ФР из , имеющих индекс k+ (k-); ;  - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:



,

,

,

.




§ 2 Свойства отображения 



Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого  существует и единственная ФР .

2. Если , то множество  одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства  (т. е.  при  и (значок  обозначает слабую сходимость)) и  ФР такие, что ,, , для  и  для .

Пусть  и , где , a, b.

Функция  непрерывна слева на [a, b] и (a)=0 для всех . Так как t>0 при t[a, b], то  не убывает по .

Далее, из k при k следует . Следовательно, семейства распределений {} и {} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0(f)<…<Bm(f) (под X<Y (X, YR1) понимаем x<y для всех xX, yY) из [a, b] такие, что (-1)j f(x)>0 (или (-1)j+1f(x)>0 при xBj(f),  и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения  () и для любого , , функция  - ( - ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция  - имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0<x1<…<xn+3b такие, что (-1)i [ -] > 0, . Кроме того, (a)=(a)=0. Следовательно, существуют точки y0[a, x0), y1[x0, x1), …, yn+3[xn+2, xn+3) такие, что функция (-1)i [t - (t)] возрастает в точке yi, , что противоречит условию .

Равенство  запишем в виде



tci, ,



где , , с0 = 1.

Очевидно, что последовательности u0, …, uk, , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия (k)(t)>0 для t[a, b] и  следует (см. [1]), что последовательности –u0, …,-uk , также образуют T+ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция  - не может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)],

 , Pk(f)=[supBk-1(f), +).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{ - :[0,1]} и { - :[0,1]}.

Число  (число ) назовем: параметром первого типа, если функция  () имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция  () отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция  () имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция  () имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому [0,1] ([0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(), …, Xn+2() (Y0(), …, Yn+2()) следующим образом. Если  () есть:

параметр первого типа, то



Xi()=Pi(),  (Yi()=Pi(), );



параметр второго типа, то



Xi()=Pi-1(), , X0()=(-, infB0()],

(Yi()=Pi(), , Yn+2()=(supBn+1(), +));



параметр третьего типа, то



Xi()=Pi(), , Xn+2()=[supBn+1(), +)),

(Yi()=Pi-1(), , Y0()=(-, infB0()]).


Таким образом:



(-1)n-i(t)0 при tIntXi(), , (1)

(-1)n-i(t)0 при tIntYi(), .



При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XIntXi() и (-1)n-i(t)0 при tX. Ни для какого i не существует интервала YIntYi() и (-1)n-i(t)0 при tY.

Заметим также, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1).

Определение 2. Отображение Z(): [0, 1]Z()R1 непрерывно, если из i0, xix0, где 0, i [0, 1], xiZ(i), i1, следует x0Z(0).

Лемма 2. Отображения Xi(), Yi(),  непрерывны.

Доказательство. Пусть j, j. Обозначим через  границы отрезка Xi(j). Определим a0=-. Возьмем произвольную точку a1 сгущения последовательности {a1(j)}j1. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai(j)}j1,  и {bi(j)}j1, . Положим bn+2=+.

Итак,



, ,  (2)



причем -=a0<a1b0a2b1…an+1bnan+2bn+1<bn+2=+.

Из (1) и (2) следует, что для .



(-1)n-i(t)0 (3)


при t(ai, bi), если aibi.

Из (3) и  следует, что aibi, , так как в противном случае функция  имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi() следует [ai, bi]Xi(),. Для любого i из xj[ai(j), bi(j)] и xjx0 вытекает, что x0[ai, bi]. Следовательно, x0Xi().

Непрерывность отображений Yi() доказывается аналогично.



§ 3 Доказательство теоремы



В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР  и любой точки [a, b] существует ФР  такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки .

Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0), то в некоторой окрестности точки  имеет место 00. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и Yi(0).

Случай I, in+2. a) Предположим, что Yi(1). Пусть . Согласно лемме 2, Yi(). В силу сделанного предположения, <1 и, следовательно, существует последовательность {j}j1 такая, что Yi(j) и j. Пусть для некоторого l не существует такого k, что n-k четно и Yk(l). Тогда в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем . Если же для всех j, j1, существует kj такие, что n-kj четны и , то существует m, mi, такое, что n-m четно и Ym(j) для бесконечного числа элементов последовательности {j}. По лемме 2 Ym(). Так как n-i и n-m четны, то mi-1, mi+1. Вместе с mi это противоречит включению Yi().

б) Предположим, что Yi(1)=Xi+1(1). Пусть inf{Xi+1()}. Согласно лемме 2, Xi+1(). Если , то Xi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречит условию Xi+1(). Поэтому  и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При Yn+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть Yn+2(1). Так как Yn+2(1)Yn+1(1), то Yn+1(1). Точка  не может совпадать с левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что невозможно. Так как Yn+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn+1(1), то 1(t)0 в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что - в некоторой окрестности точки . Случай - рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

() и (+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=() . Пусть последовательность ФР , i, такова, что . Выберем подпоследовательность последовательности {i}, слабо сходящуюся к некоторой ФР  . Покажем, что d. Для произвольного >0 выберем < такое, что -< и - точка непрерывности . Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ()-()<, из которого следует, что () - ()<, j>N. Так как ()  (), то () - ()<, откуда следует ( - d. Последнее неравенство влечет d.




Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, )



В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть  - выпуклый класс ФР на [0, ), системы u01 на [0, ) функций образуют T+-системы на [0, ).

Положим (1in, ):



, ,



 - моментное пространство класса  относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

10. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе х решается, и в переносе предельным переходом x решения на класс .

Для любого x>0 введем подкласс класса : х={:x+0)=1}.

Очевидно, для любых x1<x2



 (1)



Предположим, что для любого x>0 х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ), класс ФР вогнутых на [0, ),класс ФР  на [0, ), удовлетворяющих при 0x<y< неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение



 (-замыкание множества XRn),



где Ii- - множество всех ФР, имеющих индекс i- в .

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,



 (2)



Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества  следует, что точка  является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа >0, …, n>0, n+1>0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что


.



Тогда для достаточно больших k выполнено равенство



,



где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что  для достаточно больших x. Так как класс x является индексационным на [0, x], то ([5])



,

,



где ,  () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе x.

Так как ФР  имеет индекс (n+1)- в  и , то



.


Из (1) следует, что



.



Вид экстремальных ФР  и  для рассматриваемых классов имеется в [5].

20. Второй подход продемонстрируем на примере класса 0 всех ФР на 

Лемма 2. Если u0, u1, …, un – T+-система на , то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел  функции uj(t) и uj(t)+uj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение

uj(t)+uj(t)=0, t>x. (3)

Уравнение  (ui(t)0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ) при любых .



Пусть , .



Допустим, что  не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {ti}i1, {i}i1, удовлетворяющие условиям:

а) tkk при k;



б) , ;



в) t1<<t2<<…<tm<m<… .

Пусть c(A, B).

Из-за непрерывности функции  на (x, ) уравнение







имеет бесконечное множество решений на (x, ).

Выберем 0j0n так, чтобы  для всех  и обозначим .

Пусть число t0 таково, что  при t>t0.



Рассмотрим функцию 

Пусть , , .



Легко видеть, что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn,  являются T+-системами на [0, ).

Предположим, что эти системы являются T+-системами также на [0, ], т. е. для любых 0t0<t1<…<tn-1<tn<



, ,



где .

Через  обозначим множество ФР 0, для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть  - моментное пространство класса  относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение  является взаимно однозначным, причем .

Таким образом,  - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ).

Пусть .

Необходимо найти



. (4)



Из равенств (0U)









следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти



, (5)



где  - множество функций , удовлетворяющих равенствам



, , .


Таким образом, задача в классе 0 сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого 



,



где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что



,

,

где , ,



 - величина скачка функции  в точке .


Литература



Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.