Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.

Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=(t). Уравнение электрической цепи имеет вид

,

где  - противо ЭДС,  - угловая скорость вала двигателя,  - единый электромагнитный коэффициент.

Уравнение моментов будет иметь следующий вид



,



где , J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.

Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=, x3=.

Получим

,

.

Запишем эти уравнения относительно переменных , , 

,

,

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где

,		,		.

Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.







Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока



Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил



,



где  - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения,  - сила сопротивления демпфера,  - сила сопротивления пружины.

Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и  - перемещение и скорость перемещения соответственно.



Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий демпфер

Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух уравнений







где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.

Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода



.



Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде



,

.



Запишем это уравнение в другом виде

,

,

где , , , , .

С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.







Рис. 2.3. Структурная схема



Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи







Рис. 2.4. RLC цепь



Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при tt0, если известны начальные значения: i(t0), ec(t0) и входное напряжение e(t) при tt0, следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и ec(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec(t) имеем следующие уравнения





где , .



Введем следующие обозначения







В соответствии с этими обозначениями получаем





причем .

Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-матричном виде

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где , , , .





9