Подъем инвариантов классических групп

Подъем инвариантов классических групп

А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры 

Пусть G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D, над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n) канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное действие группы G на - m экземплярах пространства матриц M(n) сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место естественный эпиморфизм , который индуцирован каноническим отображением , где тогда и только тогда, когда , или (для симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне "центрального" -блока). На остальных местах отображение тождественно. 

Все необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ), можно найти в [5]. 

Мы будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть . 

Cлучай B, D. Мы будем предполагать, что . Подходящим образом изменяя базис, мы можем считать, что . Более того, так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что . 

Пара аффинных G-многообразий (G - произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G- модули с ХФ. Здесь IV - это идеал . Пусть W=M(n), V= C(A)=CG(A), где . Наша задача сейчас - показать, что и, что - хорошая пара. 

Нетрудно проверить, что  g-1Ag = En + (a-1)(xij), где xij = g1ig1j, g=(gij), En - единичная матрица. Обозначим через M(n)r множество матриц ранга , а через S - подпространство симметрических матриц в M(n). 

Лемма 1. Класс сопряженности V совпадает с , где T - это множество всех матриц, удовлетворяющих условиям . 

Обозначим множество через L 

Доказательство. Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида (xiyj), где независимо пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть и лежит в . Тогда xiyj = yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь . Тогда из xi0yj0 = yi0xj0 следует, что . Далее, если xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0 тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов отношение xi/yi является константой. Обозначим ее t. Переходя к параметрам xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в уравнения определяющие T и используя то, что , мы получим, что . Достроим cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g. Ясно, что , и g-1Ag = En + (a-1)z. Таким образом, . Обратное включение очевидно. 

Поскольку , то мы можем воспользоваться леммой 1 () [7] и заключить, что , если докажем, что нормальное многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу является доминантным. В частности, мы имеем вложение . Образ этого вложения порожден элементами xixj. Алгебра имеет градуировку , где R0 - подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной. Элемент однороден относительно этой градуировки, поэтому "наследует" градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0. Ранг якобиана равен 1 по крайней мере на , и . По критерию Серра ([6] , теорема 5.8.6), K[Sn] нормально (). Пусть теперь - целый над R0. Так как , то и . Следовательно, , то есть , откуда z1=0. 

Согласно предложению 6.7 [2], чтобы доказать, что ( отождествляется с , где ZG(A) - централизатор элемента A, достаточно проверить, что дифференциал сюръективен. Однако . Используя формализм с двойными числами [8], имеем: . Таким образом, . Отсюда ясно, что образ имеет ту же размерность n-1. Итак, . Отметим еще для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый "нижний" -угол - это произвольная матрица из G(n-1), а в первом столбце и первой строке везде стоят нули, кроме начала, где коэффициент равен . 

По тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M(n), L) - хорошая пара. Согласно лемме 1.3(a) [4], можно рассмотреть "башню" и проверить каждый "скачок". Рассмотрим сначала . Мы имеем коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) диаграмму: 

 где вертикальные стрелки - это просто включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим "дуальную" диаграмму: 



В первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во второй - вложения. Отсюда ясно, что можно отождествить с (в принятых выше обозначениях). Здесь I - идеал, порожденный элементом f. Из тех же градуировочных соображений ясно, что . Осталось отметить, что f G-инвариант и, следовательно, G-модуль изоморфен R0. То, что R0 с ХФ, будет следовать из того, что - хорошая пара. 

Пусть теперь по правилу . Ясно, что -эквивариантное отображение, где K* = GL(1) действует по правилу . Напомним, что отображение G-многообразий называется факторным, если сюръективно и . Хорошо известно, что K*-факторное отображение [4]. Обозначим через . Покажем, что (U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL(n)-модули с ХФ в G-модули с ХФ. Алгебра изоморфна как -модуль (Kl - это одномерный K*-модуль с весом l). Хорошо известно, что GL(n)-модуль Sk(E(n)) с ХФ [9]. По теореме Донкина-Матье, K[U] -модуль с ХФ. Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G. Представим алгебру K[U] в виде . Отождествление происходит по правилу , где - стандартный базис E(n), а f1,f2 - E(2). Cогласно [1], имеет -фильтрацию c факторами , где - функтор Шура, пробегает все разбиения с . Нетрудно заметить, что идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации, где . Поскольку без кручения [3], то . В частности, IB с ХФ как G-модуль, а значит, и как -модуль. В итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из [4]. А это значит в частности, что - хорошая пара. Осталось заметить, что (M(n), M(n)1) - хорошая GL(n)-пара по [4]. Согласно сказанному выше, это также хорошая G-пара. В частности, хорошей G-парой будет , что и требуется. 

Случай C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны и пробегают K*. Кроме того, "серединный" -квадрат лежит в G(n-2)=Spn-2(K). Далее, легко проверить, что класс сопряженности C(A) совпадает с En + (a-1)L, где . В частности, он уже замкнут. Проверка того, что отождествляется с факторным совершенно аналогична. Здесь , образ Lie(G) состоит из матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только коэффициенты первой строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и поэтому размерность образа тоже равна 2n-2. Наконец, (M(n), L) - очевидно хорошая пара. Достаточно рассмотреть башню и использовать то, что tr(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом случае характеристика поля произвольна. 

Пусть теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы 2 из [5], мы получим эпиморфизм , индуцированный (на остальных общих матрицах отображение тождественно). Разбив матрицы из M(n) на блоки в соответствии с блочным "строением" группы ZG(A), мы видим, что пространство M(n) изоморфно (так как ZG(A)-многообразие) в ортогональном случае и в симплектическом. Здесь K и K4 тривиальные модули, а на En-1 (соответственно на En-2) ZG(A) действует как G(n-1) (G(n-2)) c точностью до умножения на скаляр. Отсюда ясно, что каноническое отображение (), даст эпиморфизм (). Пусть Rn,m - Q-алгебра, порожденная следами от всевозможных произведений общих матриц, или транспонированных к ним (в случае C - симплектически транспонированных). 

Лемма 2. Суперпозиция описанных выше отображений - это просто и затем - каноническое на остальных матрицах. 

Доказательство. К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что In,m порождается элементами из После этого утверждение леммы очевидно, ведь произведение матрицы A на матрицы Xi(n), у которых приравнены нулю коэффициенты левого верхнего "угла" (или "окаймления" в случае C), дает тот же результат, что и произведение единичной матрицы. 

В силу сделанного выше замечания о порождающих In,m специализация отображает In,m+1 в In,m. Отсюда уже легко получается основная теорема. 

Теорема. Каноническое отображение алгебры K[M(n)m] в K[M(n-1)m] ( в случае C) индуцирует эпиморфизм колец инвариантов. 

Список литературы

Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J. Shur functors and Shur complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207-278 (1982). 

Борель А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972. 

De Concini C., Procesi C. A characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21. P. 330-354. 

Donkin S. The normality of conjugacy classes of matrices// Inv. Math., Vol.101. P.717-736 (1990). 

Donkin S. Invariants of several matrices// Invent. Math. Vol.110. P.389-401 (1993). 

Grotendick A., Dieudonne J. Elements de geometrie algebriques// Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960-1967. 

Grosshans F. Observable subgroups and Hilbert's fourteenth problem// Am.J. Math. 95. P.229-253 (1973). 

Humphreys J.E. Linear algebraic groups/ Springer Verlag. 1975. 

Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra. 22(15). 6385-6399 (1994).