Дифференцированные уравнения

Дифференцированные уравнения

1.ВВЕДЕНИЕ



2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ



2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 

В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ



В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:



= (1)

При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1,...,Tn - постоянными времени данного звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как 



размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)



размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)



Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):



=





= (2)



2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА



Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):

y(t)==

==



=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)

Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.



2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА



Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:

w(t)=



2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ 

ХАРАКТЕРИСТИКИ



Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)=.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(jw)=U(w)+jV(w)

где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.

W(jw)=A(w),

где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ<w

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

j(w)=argW(jw)



4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ



4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ



Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.



4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=g(t)

y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==kd(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2Ч1(t)

w(t)=2Чd(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=k

W(jw)=k (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=k

V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(w)=2

j(w)=0 

L(w)=20lg2

U(w)=2

V(w)=0



Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.



4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=bog(t-t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

bo=4

t=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)= g(t-t)

y(t)=kg(t-t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t-t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t-t)=G(s)e-ts

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s) e-ts

W(s)= ke-ts (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==kd(t-t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2Ч1(t-t)

w(t)=2Чd(t-t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=k e-ts

W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=k costw

V(w)=-ksintw

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)= tw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(w)=2

j(w)=0,1w 

L(w)=20lg2

U(w)=2cos0,1w

V(w)=-2sin0,1w



Вывод:



4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24 

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t) 



T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== 

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 

w(t)= 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1 

W(s)== 

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e Ч1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T1 =0.62

h(t)=2 Ч1(t)

w(t)=3.2eЧ1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)==-j

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk - arctg 

j(w)=-arctgT1 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T1 =0.62

A(w)=

j(w)=arctg0.62w

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=



4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 - aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24 

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)=g(t) 



T -y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T p-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) 

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T sY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== 

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 

w(t)= 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1 

W(s)== 

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e Ч1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T =0.62

h(t)=2 Ч1(t)

w(t)=3.2eЧ1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

W(jw)==j=U(w)+jV(w)

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgk - arctg 

j(w)=-arctg(-Tw) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T =0.62

A(w)=

j(w)=-arctg(-0.62w)

L(w)=20lg

U(w)=

V(w)=



4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=50,4

ao=120

bo=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t) 



+T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=,T22=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,42

2T2=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.



Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) 

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== , где

T3,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) =

=k Ч1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 

w(t)= 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)= 

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw) ==





U(w)= 

V(w)= 

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=................

j(w)=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.



4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t) 



+T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=,T22=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, .

Тогда уравнение (2):



Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).



Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p2+2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) 

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2Y(s)+2xT sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=



Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

=



Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 

w(t)= 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw)= 



U(w)= 

V(w)

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - arg(2xTjw - T2w2+1)= - arctg

j(w)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.



4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2- a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

- +y(t)=g(t) 



-T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=,T22=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, .

Тогда уравнение (2):



Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).



Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p2 - 2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) 

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2Y(s) - 2xT sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=



Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

=



Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 

w(t)= 

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jw)= 



U(w)= 

V(w)

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - arg(1 - 2xTjw - T2w2)= - arctg

j(w)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.



4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t) 



+ y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T2=-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) 

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=



Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Заменим .Тогда

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= kw0sinw0tЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)



U(w)=

V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - arg(1-T2w2)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.



4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ



4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24 

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

=g(t) 



=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=ktЧ1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 

w(t)= 

w(t)==kЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

W(jw)= 

U(w)=0

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - argjw

j(w)= - arctgw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.



4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

+ a1 =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588 

a1=0,504

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

+ =g(t) 



T+=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени. 

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s) 

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= - kTЧ1(t)+ktЧ1(t)+kTЧ1(t)=

= (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1= 

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=kЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)= 

W(jw)= (7)

W(jw) 

U(w)=

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=argk - argjw - arg 

j(w)= - arctgw - arctgTw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.



4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 =b1+bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24 

bo=4

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

=+g(t) 



=k1+kg(t) (2),

где k1=, k=-коэффициент передачи.



Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=(k1p+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(t)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= Ч 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1 

W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k1Чd(t)+kЧ1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:



5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)= (7)

U(w)=k1

V(w)=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=............

j(w)=............ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.



4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=b1 (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=

y(t)=k (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=ksG(s)

W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=k

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kЧd(t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1=ks

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=ks

W(jw)=jkw (7)

W(jw)=U(w)+jV(w)

U(w)=0

V(w)=kw

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=kЅwЅ (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgkw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgkЅwЅ

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.



4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО



1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 + aoy(t) =b1 (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24 

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

+y(t)=



T+y(t)=k (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)

W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== 

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)Ч1 

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=Чd(t) e Ч1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

W(s)=

W(jw)=

W(jw)==

6.Найдем АЧХ:

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)==

Найдем ФЧХ:

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctgkw-arctgTw



L(w)=20lgA(w)

L(w)=20lg



4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Данное звено описывается следующим уравнением:

a0y(t)=b1+b0g(t)

y(t)=+g(t)

k1=

k=

p=

y(t)=k1pg(t)+kg(t)

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

Y(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=k1s+k

H(s)==k1+

h(t)=k1d(t)+k1(t)

W(jw)=k1jw+k

U(w)=k

V(w)=k1w

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

A(w)=

j(w)=argW(jw)

j(w)=arctg

L(w)=20lgA(w)

L(w)=20lg



4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА



a0y(t)=b2+b1+b0g(t)

y(t)=++g(t)

y(t)=k2+k1+kg(t)

y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)

Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)

W(s)=k2s2+k1s+k

H(s)=k2s+k1+

h(t)=k2+k1d(t)+k11(t)

w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k

w(t)=k2+k1+kd(t)

W(jw)=k1jw+k - k2w2

U(w)=k - k2w2

V(w)=k1jw

A(w)=

j(w)=arctg

L(w)=20lg