Линейные функции

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2



ВАРИАНТ 2.3



№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0.  Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.



Запишем уравнение прямой в виде:



.



Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:





Получим уравнение прямой:







Сделаем чертеж









Ответ: 



№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед.

Сделаем схематический чертеж

Площадь треугольника будет равна .

Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде







Из уравнения





Получим прямую с угловым коэффициентом 







Значение  соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла..




№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.

Общее уравнение имеет вид:







Для нахождения A,B,C и D необходимо составить три уравнения.

Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей:







Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:







Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:







Получим уравнение плоскости:





Запишем условие перпендикулярности плоскостей:







Условие, что искомая плоскость:

через точку А: ;

через точку В: .

Получим систему уравнений:







Складываем 2-е и 3-е уравнения: , 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного:







Из 1-го уравнения: .

Из 3-го уравнения: . Принимаем , получаем

.

Уравнение плоскости имеет вид:





№ 4. Найти расстояние от точки  до прямой .

Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки  до прямой, заданной уравнением в канонической форме:







№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку  перпендикулярно вектору , где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью







Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение .

Для этого вначале найдем координаты точки В.

Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:







с осью OY:





с осью OZ:







Получим треугольник с вершинами: .

Найдем координаты середины стороны  по формуле:



.



 — середина стороны .

Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:







Точка пересечения медиан имеет координаты .

Найдем координаты вектора .



Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  имеет вид:





№ 6. Две прямые параллельны плоскости . Первая прямая проходит через точку  и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку  и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости



и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняется соотношение  в точке (x,0,0).







подставляем из 1-го уравнения во второе, получим







Полагаем  тогда .

Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).

Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)





Из второго уравнения







Косинус найдем по формуле:







№ 7. Найти координаты центра  окружности радиусом 5, касающейся прямой  в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.

Переформулируем задачу:

Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.

Запишем уравнение прямой в виде , коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых 







Получаем уравнение прямой





Используем формулу расстояния между двумя точками:







По условию второе решение не походит, т.к. x<0.





№ 8. Дана кривая 

8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.



— это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду







Это каноническое уравнение гиперболы.



8.2 Найти координаты ее центра симметрии.

Сделаем схематический чертеж:

Центр симметрии гиперболы в точке .

.

8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.







8.4. Записать уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус , р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).

Уравнение , где







8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.

№ 9. Дана кривая .

9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.

Каноническое уравнение параболы , заданное уравнение приведем к этому виду







следовательно, имеем параболу.

9.2. Найти координаты ее вершины.

Если уравнение параболы записано в виде , координаты вершины .



9.3. Найти значение ее параметра р.

Из уравнения—— видно, что .



9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.

Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение .



9.5. Построить данную параболу.

Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.



№ 10. Дана кривая .

10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.

Каноническое уравнение эллипса







Общее уравнение кривой второго порядка:



.



Перепишем заданное уравнение:






Введем обозначения:







Если  имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.







следовательно, исходная кривая — эллипс.

10.2. Найти координаты центра его симметрии.

Применим формулу:







10.3. Найти его большую и малую полуоси.

Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:






Уравнение запишем в виде:



 где





Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса  и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением , при этом угловой коэффициент новой оси 







10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси . В новых координатах .

Воспользуемся формулой преобразования координат:






Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой , получим:







10.5. Построить данную кривую.

Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и . Далее, определим вершины эллипса.

В новых координатах они равны .

В старых: