Криволинейный интеграл первого и второго рода

Криволинейный интеграл первого рода









Криволинейный интеграл второго рода



Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.

Определение криволинейного интеграла по координатам.

Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).

Вычисления 

а) 

б) 





Рис. 1



Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай  когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы  при перемещении точки  от  к 

1. Разобьем на n частей : 

Обозначим  вектор- хорда дуге.

Пусть  предположим, что на  тогда

Работа  вдоль дуги  вычисляется как скалярное произведение векторов  и 







Пусть 







Тогда: 

Работа 

Если , то этот предел примем за работу А силы  при движении точки  по кривой  от точки  до точки 







,-не числа, а точки концы линии .




Свойства:

10  определяется

а) подынтегральным выражением

б) формой кривой интегрирования.

в) указанием направления интегрирования (рис. 2).



  





Рис. 2







-можно рассматривать как интеграл от векторной функции 

Тогда  - если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора  по контуру .


30 

40  не зависит от того какую точку  взять за начало 



Вычисление криволинейного интеграла



Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).





Рис. 3



-гладкая кривая.



Если -непрерывны, -непрерывные.

-непрерывны по , то 

Пределы А и В не зависят ни от способа деления  на , ни от вектора 












Следовательно: .









2. В случае:  





 



Формула Грина.

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Полный дифференциал.

Связь между определенным и криволинейным интегралами.

Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией  (рис. 4).

интеграл криволинейный грин формула

 

Рис. 4



 непрерывны на 

 - определена и непрерывна в замкнутой области D.

 - определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда










Аналогично 





 -Формула Грина.



В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.



 

 

 





Пример.





 






Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования



 

Рис. 5



- непрерывные частные производные в  (рис. 5).

Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?









Теорема: -непрерывны в области , тогда для того, чтобы 


 в  (рис. 6)





Рис. 6



 

Пусть

 

Обратно  

Т.д.

Пусть  из непрерывности  и 

-окрестность точки  такая что  в 

 предположение неверно. ч.т.д.

Замечание. 


 





Определение. Функция -градиент которой есть вектор силы  называется потенциалом вектора .

Тогда 

Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.


Литература



	Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.

	Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.

	Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.

	Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.