Спектры элементарных возбуждений в двупериодических одномерных системах

2



Содержание



Введение

Глава 1. Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки

Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки

Выводы

Список использованных источников

Приложение


Введение



Современная металло-оксидно-полупроводниковая микроэлектроника фактически достигла пределов быстродействия и степени интеграции. Дальнейшее развитие электроники связывают с уменьшением размеров устройств до наномасштабов с использованием новой элементной базы. Поэтому на сегодняшний день большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы, примерами которых являются полимеры, нанотрубки на основе углерода, кремния и других материалов. В настоящее время нанотрубки уже выпускаются серийно многими фирмами, например, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США. 

Нанотрубки бывают одностеночными и многостеночными. Одностеночная нанотрубка представляет собой графитовую плоскость, различным образом свернутую в цилиндр. Она характеризуется так называемыми индексами хиральности, и в зависимости от этих индексов может быть как металлом, так и полупроводником. Диаметр такой трубки порядка нанометров, а длина достигает микрометров, поэтому она занимает промежуточное положение между молекулой и кристаллом, что проявляется в наличии специфических свойств, в частности, зонной структуры в спектре электронов. Одностеночные нанотрубки уже достаточно хорошо изучены.

Многостеночная нанотрубка представляет собой либо несколько одностеночных трубок, вложенных друг в друга, либо графитовую плоскость, свернутую в несколько слоев в виде свитка, либо цилиндрическую структуру, составленную из небольших графитовых фрагментов и напоминающую папье-маше. В отличие от одностеночных, свойства многостеночных нанотрубок изучены намного хуже.

Целью данной работы является исследование спектров элементарных возбуждений двупериодических одномерных систем, примером которых являются двуслойные углеродные нанотрубки. Для этого с помощью метода сильной связи рассматривается спектр упрощенной модели нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов, определяется уровень Ферми такой системы и исследуется ее проводимость. Все вычисления производились в программе, написанной на языке C++ в среде Microsoft Visual Studio 2008 с использованием библиотек Win32.


Глава 1. Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки



Для исследования электронного спектра двустеночной углеродной нанотрубки воспользуемся моделью, в которой нанотрубка представляет собой две параллельные регулярные цепочки атомов с разными периодами. При этом, однако, в силу периодичности системы будем пользоваться результатами теоремы Блоха, поэтому необходимо потребовать, чтобы отношение периодов цепочек выражалось рациональной дробью. 

Сначала рассмотрим систему, представляющую собой линейную цепочку атомов, расстояние между которыми а, и определим энергетический спектр электрона в такой системе. 

Будем пользоваться приближением сильной связи и искать волновую функцию электрона в виде:



,в (1.1)



где  - волновая функция электрона на изолированном n-ом атоме цепочки. Для удобства обозначим . Далее, минимизируя функционал энергии при условии нормировки волновых функций :



 (1.2)


получим:



 (1.3) 



Выделим в потенциальной энергии слагаемые с  и воспользуемся тем, что решения для электронов на изолированном атоме известны:



, (1.4)



где  - обменный интеграл. Далее учтем, что в методе сильной связи он считается ненулевым только для ближайших соседей, и получим:



 (1.5)



 (1.6)



В силу трансляционной симметрии волновую функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла теореме Блоха, тогда коэффициенты  будут иметь вид . Подставим их в (1.6) и получим выражение для энергетического спектра электрона:




 (1.7)



где - энергия основного состояния электрона в изолированном атоме, к – волновой вектор.

Теперь рассмотрим две такие цепочки атомов, расположенные на некотором расстоянии d друг от друга. Расстояние между атомами в первой цепочке по-прежнему a, во второй – b. Если пренебречь возможностью перескока электрона с одной цепочки на другую, то собственные волновые функции электронов будут иметь следующий вид:

 - описывает движение электрона с энергией  по первой цепочке;

 - описывает движение электрона с энергией  по второй цепочке;

Теперь учтём, что при таком расположении цепочек появляется вероятность перескока электрона с одной из них на другую. Тогда в гамильтониане системы появятся недиагональные вклады:



, (1.8)



где  - матричные элементы оператора взаимодействия, ответственного за перескок электронов. Считая его достаточно малым, вычислим поправки к энергии, воспользовавшись теорией возмущения для вырожденного уровня. Волновую функцию системы представим в виде линейной комбинации . Тогда соответствующее секулярное уравнение примет вид:



 (1.9)



Отсюда получим энергию нашей системы:



 (1.10)



Уровень Ферми в такой системе расщепляется. Это следует из того, что значения интегралов перекрытия γ1 и γ2 принимают разные значения, вследствие этого происходит перекрытие зон. Формула для энергии уровня Ферми упростится, если мы будем считать, что на нем выполняется условие:



  (1.11)



и примет вид:



 (1.12)

	

	Осталось вычислить . Очевидно, что вероятность перескока электрона с одной цепочки на другую определяется расстоянием между атомами этих цепочек и быстро убывает с его ростом. Поэтому смоделируем  в таком виде:



 (1.13)



Значение этого выражения определяется численно в программе. Импульсы k и p на уровне Ферми определяются из условия равенства энергий (1.11). Значения интегралов перекрытия брались из [1], [2].



Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки



Как было показано в [3], в упрощенной модели одностеночной трубки, представляющей собой линейную цепочку атомов, сила протекающего через нее тока определяется выражением:



, (2.1)



где U- напряжение, приложенное к концам трубки, L – ее длина, τ – время релаксации электронов, n – их концентрация. После простых преобразований получим:



 (2.2)


Так как мы рассматриваем идеальную систему, то рассеяние электронов при движении может происходить только на контактах. Тогда время релаксации электронов можно определить так:



 (2.3)



Тогда формула приобретет простой вид:



  (2.4)



Видно, что электрическое сопротивление одностеночной нанотрубки обладает уникальным свойством – оно не зависит от геометрических размеров и определяется величиной  - квантом сопротивления (формула Ландауэра [4], [5]). Такое сопротивление называется баллистическим.

Рассмотрим теперь проводимость двустеночной нанотрубки.

В предыдущей главе было показано, что гамильтониан системы из двух линейных регулярных цепочек атомов с учетом их взаимодействия имеет вид:



 (2.5)



Собственными волновыми функциями такого гамильтониана будут функции:


,  (2.6)



Волновую функцию электрона, влетающего в первую цепочку, представим в виде линейной комбинации этих волновых функций:



 (2.7)



Рассмотрим теперь эволюцию этой волновой функции во времени. По правилам квантовой механики, получим:



, (2.8)



где под Δ для удобства обозначено |Γkp|. 

Учитывая ортогональность функций Ψ1 и Ψ2, которые для электронов имеют вид блоховских функций, следуя [6], получим для средней скорости первого электрона на уровне Ферми:



 (2.9)



или, с учетом того, что 


 (2.10)



То есть, скорость электрона на уровне Ферми является суперпозицией двух слагаемых, в которых присутствуют скорости на уровне Ферми для первой изолированной цепочки и для второй. Аналогично, для второй цепочки:



 (2.11)



Рассмотрим два граничных случая, когда  и .

В первом случае усреднением заменяем  и  на 1/2:



 (2.12)



Во втором случае , :



  (2.13)

  (2.14)



Сразу видно, что во втором случае в выражении для времени релаксации электронов не будет никаких изменений, не изменится вид формулы (2.2), а значит, и формула Ландауэра не изменится.

Рассмотрим подробнее первый случай. Проводимость системы из двух параллельных одностеночных трубок определяется выражением:





 (2.15)



Проводимость двустеночной трубки:





 (2.16)



Видно, что и в этом случае формула Ландауэра остается справедливой.




Выводы



Целью данной работы было исследование электронного спектра и проводимости в двустеночных нанотрубках. С помощью упрощенной модели, представляющей собой две параллельные регулярные цепочки атомов, было показано, что в таких нанотрубках происходит перекрытие зон, что приводит к изменению положения уровня Ферми, а также его расщеплению. Величина этого расщепления была определена численно в программе, листинг которой приведен в приложении. При реалистичных значениях параметров расщепление оказалось достаточно малым, порядка 10-5 эВ. При этом изменяется и скорость электронов на уровне Ферми. Очевидно, что в такой идеальной системе рассеивание электронов должно происходить на контактах, поэтому время релаксации будет зависеть только от средней скорости движения электронов. Было проанализировано выражение для средней скорости движения электронов и показано, что в предельных случаях высоких и низких частот в двустеночных системах формула Ландауэра остается справедливой.


Список использованных источников



Wildoer J.W.G., Venema L.C., Rinzler A.G., Smalley R.E., Dekker C. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes // Nature – 1998. – V.391. – P.59 -62.

2. Odom T.W., Huang J.L., Kim P., Lieber C.M. Structure and electronic properties of carbon nanotubes // J. Phys. Chem. B – 2000. – V.104(13). – P.2794-2809.

3. Тищенко С.В. Зонная структура и межзонные переходы в углеродных нанотрубках: Дис., 01.04.02 – Одесса, 2007. - 100 с.

4. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices // Phyl. Mag. – 1970. – V.21 – No 172. – P.863-867.

5. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings // Phys. Rev. B – 1985. – V.31. – P.6207-6215.

6. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников – М.: Наука, 1978. – 616 с.




Приложение А. Алгоритм программы для вычисления величины расщепления в спектре упрощенной модели двуслойной нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов



Содержимое файла stdafx.h:



#include <stdio.h>

#include <tchar.h>

#include <math.h>

class Complex

{

public:

double real;

double image;

Complex() {}; // Конструктор по умолчанию

Complex(double r) { real = r; image = 0; } // Конструктор

Complex(double r, double i) { real = r, image = i; } // Конструктор

~Complex() {} // Деструктор

double absolute() // Модуль комплексного числа

{

return sqrt(real * real - image * image);

}

Complex operator+(Complex &); // Перегрузка оператора сложения

Complex operator-(Complex &); // Перегрузка оператора вычитания

Complex operator*(Complex &); // Перегрузка оператора умножения

Complex operator/(Complex &); // Перегрузка оператора деления

};

Содержимое файла Gammakp.cpp:

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

#define N 30

#define a 1.0

#define b 1.1

#define d 0.5

// Перегрузка +

Complex Complex::operator+(Complex &fp1)

{

fp1.real = real + fp1.real;

fp1.image = image + fp1.image;

return fp1;

}

// Перегрузка -

Complex Complex::operator-(Complex &fp1)

{

fp1.real = real - fp1.real;

fp1.image = image - fp1.image;

return fp1;

}

// Перегрузка *

Complex Complex::operator*(Complex &fp1)

{

double i, j;

i = real * fp1.real - image * fp1.image;

j = real * fp1.image + fp1.real * image;

fp1.real = i;

fp1.image = j;

return fp1;

}

// Перегрузка /

Complex Complex::operator/(Complex &fp1)

{

double k, i, j;

k = fp1.real * fp1.real + fp1.image * fp1.image;

i = (real * fp1.real + image * fp1.image) / k;

j = (fp1.real * image - real * fp1.image) / k;

fp1.real = i;

fp1.image = j;

return fp1;

}

int main()

{

Complex Gkp;

double m;

int i,j;

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<N;j++)

{

Gkp.real=0;

Gkp.image=0;

Gkp.real=Gkp.real+1/(double)N*exp(-1/a*sqrt(pow(i*a-j*b,2)+d*d))*cos(6.28*i-6.28*j);

Gkp.image=Gkp.image-1/(double)N*exp(-1/a*sqrt(pow(i*a-j*b,2)+d*d))*sin(6.28*i-6.28*j);

}

Gkp.real=pow(Gkp.absolute(),2);

cout<<"Gkp"<<" "<<Gkp.real<<"\n";

getchar();

}