Конспект урока по Математике "Тригонометрические уравнения"

Тема урока «Тригонометрические уравнения»  (2 часа)

 

       Тригонометрия  по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна  тренировка. В школьном курсе подробно изучаются три основных метода  решения тригонометрических уравнений – метод введения нового неизвестного, что позволяет свести уравнение к квадратному; разложение на множители; метод введения вспомогательного аргумента. 

       В своем уроке я рассмотрела решение тригонометрических уравнений, опираясь на методы их решения в наиболее доступной последовательности изложения материала. 



Предварительная подготовка к уроку.   Учащиеся должны знать следующие темы:  «Основные тригонометрические тождества», «Формулы сложения и их свойства», «Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов»,  «Простейшие тригонометрические уравнения».

Цели урока. Образовательная: формирование умений применять полученные раннее знания; сопоставлять, анализировать, делать выводы; отработка умения решать уравнения.

Воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу.

Развивающая: развитие наблюдательности, памяти, логического мышления.

Оборудование:  Таблицы «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений», «Основные формулы тригонометрии»

Тип урока: урок совершенствования знаний. Объяснение нового материала построено на решении конкретных примеров.

                                                                     Ход урока.

Организационный момент. Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

Изучение нового материала. 



 Вы уже знакомы с формулами корней простейших тригонометрических уравнений

   К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений. 

  

Уравнения, сводящиеся к квадратным. 

Задача 1. Решить уравнение 

                   Заменим         на   получим   

                    

                      это уравнение является квадратным относительно    .

                           Обозначим         получим  

                           Отсюда  

                           Таким образом,  решение исходного уравнения свелось к решению простейших      

                           уравнений     

                           Уравнение  

                          имеет корни    N.

     

       Ответ:          N.



Однородные уравнения.

Задача 2. Решить уравнение     

                   Заменим  

                   

                    

             Поделив уравнение на      получим    

             

       



Ответ:        

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения. 

 

Задача 3.  Решить уравнение  

                   Заменим  

                    

                  

             

                    

                    





                                                                                         



                                                                                         



      Ответ:



Вынесение общего множителя за скобки.

Задача 4.  Решить уравнение       

                   

                   

                     

                                           



Ответ:                 





Преобразование суммы в произведение. 

Используем формулы      

                                                    

                                               

                                                .



Задача 5.  Решить уравнение         

                           

                   Заменим разность синусов, на произведение, получим уравнение

                    

                    

                    

                    

                                                   



Ответ:       





Преобразование произведения в сумму.

Используем формулы      

                                                

                                                



Задача 6.  Решить уравнение         

                            

                     ,

                              Умножим обе части уравнения на 2  и учитывая, что          получим

                              

                                      Заменим разность косинусов произведением.

                             

                             Отсюда   или          

                                             

                            Так как первая серия решений включает в себя вторую серию решений при  , то в          

                             ответе   записываем только    (Для наглядности рассмотреть решение  

                             на единичной окружности)

    

 Ответ: 



Введение вспомогательного угла.

Используем формулы      

                                               

Рассмотрим уравнение 

Разделим обе части уравнения (*)        на      

                    .          

 Обозначим  .    

 Так как    то можно подобрать такой угол     α,  что 

Тогда исходное уравнение примет  вид

                      

Если подобрать такой угол ,   что  a = 

в виде           

          

Задача 7.  Решить уравнение               

                    Разделим правую и левую часть на .  

                           Так как  ,  

                    

                    

                    



Ответ:  

Замечание: Вспомогательный угол вводится, если слагаемое  есть 





Решение уравнений с помощью формул приведения.

Задача 8. Решить уравнение  

                   Заменим     получим уравнение

                       

Замечание: Из равенства синусов не следует равенство аргументов. 

                  Разность синусов заменим произведением.

                 

отсюда    

Это простейшие тригонометрические уравнения, которые имеют решения

                                                              





Ответ:





Понижение степени.

Используем формулы  ;

                            

                                            .



Задача 9. Решить уравнение   

                     =1,    умножим уравнение на 2

                   

                  заменим сумму произведением и получим

                   

                   

                   

                              

Ответ:       





Введение новой  переменной.



Задача 10.     Решить уравнение     



Пусть ,     возведем правую левую часть равенства в квадрат, 

тогда         

Получим уравнение   

                                         

                                                   

.   

          Умножим уравнение  на   , введем вспомогательный угол

                                                 

                                               

                                               

    



        Ответ:   



Универсальная подстановка.

Используем формулы 

                                     ,                           ,               .



Замечание: При использовании универсальной подстановки может быть потеряна серия ответов     

   

Задача 11.  Решить уравнение  



                                                               пусть    тогда

                                                           

    отсюда    y = 5.

Проведем обратную замену    

        Проверка, если        ,   то

                                            

                                                 

                                             корнем данного уравнения.



    Ответ:  





Итог урока:  С какими способами решения уравнений сегодня познакомились?



Домашнее задание: Внимательно разобрать материал лекции.

                                        Решить уравнение: