Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а  в)2 = а2  2ав + в2

(а  в)3 = а3  3а2в + 3ав2  в3

а2  в2 = (а + в) (а  в)

а3 + в3 =  (а + в) (а2  ав + в2)

а3  в3 =  (а  в) (а2 + ав + в2)

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

ам ан = ам + н

ам  ан = ам  н

(ав)м = ам вм

(ам)н = амн

(а  в)м = ам  вм

а м = 1  ам

ам  н = н ам

Корни.

нав =на нв

на мв = н мам вн

на  в = на  нв

(нам)х = нам х

нам = ам/н

мна = мна

(на)м = нам

Арифметическая прогрессия.                                   

а1, а2, а3, …, а n-1, аn                                                                                        

	а n-1  - аn = d 	 

	d – разность прогрессии                                              

	а2 = а1+ d                                                                        

а3 = а2 + d = а1 + 2d                                                         

аn = а1 + d(n-1)                                                               

Sn = (а1 + аn) n  = (2а1 + ( n-1) d) n 

                2                      2                      

Sn – сумма членов арифметической                           

  прогрессии.                                                           

d – разность прогрессии.                                            

d > 0 – прогрессия возрастающая                                

d < 0 – прогрессия убывающая.                                   

                                                                                                                                                            Геометрическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, а n-1, аn                                                                                          

	а n+1 / аn  = q                                                                                                 

	а2 = а1 q 

	q  - знаменатель прогрессии. 

а3 = а2 q = а1 q2

аn = а1 q  n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = аn q - а1  = а1 (qn  -1  q – 1)  

         q – 1 

Сумма членов для убывающей прогрессии (q  <  1)

Sn = а1 (1 - qn)

            1 - q                                                                     

Сумма членов бесконечно убывающей

 Прогрессии

 Sn =   а1 

         1 - q                                                                                                 

Вектора.

а = М1М2 =х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1

Длина вектора

а =(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2  

Умножение вектора на число

 а = d

Скалярное произведение векторов

а в = а в cos 

cos  =         х1х2 + у1у2 + z1z2

             х12 + у12 +z12 х22 +у22 + z22

а2 = а 2

а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а в, то  х1 = у1 = z1

                х2   у2     z2

 Перпендикулярность векторов

а  в, то  х1х2 + у1у2 + z1z2

Производная.

 (c u)  = с u

 u  = u v – u v 

 v                 v2

(c) =  0

(xn ) =  n xn-1

(ax)  = ax ln a

(ех ) =  ех

(sin x) = cos x 

(cos x) = - sin x

(tg x) =   1 

              cos2 x

(ctg x) = -  1

                  sin2 x

(ln x) = 1

              х

(1 / х) = - 1

                 х2

(х) =   1 

            2 х

(х) = 1

Логарифмы.

logав = с     

logа 1 = 0

logа а = 1

logа (m n) = logа m + logа n

logа m = logа m - logа n 

       n

logа m n = n logа m

logа  n m  = 1 logа m

                    n

logав = logсв

            logс а 



Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tg x = sin x 

          cos x

ctg x = cos x 

            sin x

1 + ctg2 x =    1 

                    sin2 x

1 + tg2 x =    1 

                  cos2 x

tg x  ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (  ) = sin cos  cos sin

cos (  ) = cos cos  sin sin

tg  (  ) = (tg  tg) 

                    (1 + tg tg)

ctg (  ) = ctg ctg  1

                       ctg  ctg



sin + sin = 2 sin ( + ) cos (  )

2

sin  sin = 2 cos ( + ) sin (  )

2

cos + cos = 2 cos ( + ) cos (  )

2

cos  cos =  2 sin ( + ) sin (  )

2

tg  tg = sin (  )

                   cos cos

ctg  ctg = sin (  )

                       sin sin

sin2  sin2 = cos2  cos2 =

               sin ( + ) sin (  )

cos2  sin2 = cos2  sin2 =

              cos ( + ) cos (  )

Связь между тригонометрическими функциями

sin =  1  cos2

sin =       tg

            1 + tg2

sin =         1

            1 + ctg2



cos =  1  sin2

cos =        1

             1 + tg2

cos =       ctg

             1 + ctg2



tg =       sin

           1  sin2

tg =  1  cos2

                cos

tg =   1

          ctg



ctg =  1  sin2

               sin

ctg =        cos

             1  cos2

ctg =  1

            tg

Формулы преобразования произведения

sin sin = cos (  )  cos ( + )

                                      2

cos cos = cos (  ) + cos ( + )

                                      2

sin cos = sin ( + ) + sin (  )

                                      2

tg tg =  tg + tg

                ctg + ctg

ctg tg = ctg + tg

                  tg + ctg

ctg ctg = ctg + ctg

                     tg + tg

Формулы двойных углов

sin2 = 2 sin cos

sin = 2 sin () cos ()

cos2 = cos2  sin2 =

              = 1  2sin2 =

              = 2cos2  1

tg2 = 2 tg

            1  tg2 

         =       2

            ctg  tg

tg = 2 tg (/2) 

          1  tg2 (/2)

ctg2 = ctg2  1

               2 ctg

           = ctg  tg

                       2

ctg = ctg2 (/2)  1

             2 ctg (/2)

sin x = a

x = (-1)n arksin a + n



cos x = a

x =  arkcos a + 2n



tg x = a

x = arktg a + n



ctg x = a

x = arkctg a + n

Формулы приведения

sin ( /2  ) = + cos

sin ( /2 + ) = + cos

sin (  ) = + sin

sin (  + ) =  sin

sin (3/2  ) =  cos

sin (3 /2 + ) =  cos

sin (2  ) =  sin

sin (2  + ) = + sin 

        ----------------

cos (/2  ) = + sin

cos (/2 + ) =  sin

cos (  ) =  cos

cos ( + ) =  cos

cos (3/2  ) =  sin

cos (3/2 + ) = + sin

cos (2  ) = + cos

cos (2 + ) = + cos

        -----------------

tg (/2  ) = + ctg

tg (/2 + ) =  ctg

tg (  ) =  tg

tg ( + ) = + tg

tg (3/2  ) = + ctg

tg (3/2 + ) =  ctg

tg (2  ) =   tg

tg (2 + ) = + tg

        -------------

ctg (/2  ) = + tg

ctg (/2 + ) =  tg

ctg (  ) =  ctg

ctg ( + ) = + ctg

ctg (3/2  ) = + tg

ctg (/2 + ) =  tg

ctg (2  ) =  ctg

ctg (2 + ) = + ctg

sin ( ) =  sin

cos ( ) = cos

tg ( ) =  tg







В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2

a = c sin

a = b tg

b = c cos

теорема синусов:

  a    =   b   =   c

sin    sin   sin

теорема косинусов:

a2 = b2 + c2  2 bc cos

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d1 d2 sin,

d1 и d2 - диагонали

 - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sin

S = ½ d1 d2 sin

Трапеция

S = a + b  h = ½ d1 d2 sin

         2

Круг 

S = l r =  r2

       2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sin 

Формула Герона:

S =  p (p  a) (p  b) (p  c)

p = a +b + c

           2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

        4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c 

        4S

радиус вписанной окружности:

r =     2S

     a + b + c

длина окружности:

l = 2r

Квадрат

S = a2 = d2/2

Ромб

S = a2 sin = ah = ½ dD

где d - малая диагональ 

      D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sосн h = Sсеч l

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h =  r2 h = 1/4 d2 h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3  r2 h

Шар 

V = 4/3  r3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = Sсеч l

p = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = ½ Pосн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sосн cos

 - угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2 rh

Sосн = 2r (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = rl

Sосн = r (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 r2

Значения углов

      0      /6       /4        /3      /2       

sin    0       ½       2/2     3/2       1         0  

cos   1     3/2     2/2       ½          0       -1 

tg     0      1/3       1         3          -         0

ctg    -       3         1        1/3       0          -