Вміння порівнювати в процесі навчання математики

1



ЗМІСТ

	

	Вступ

Розділ 1.Психолого-педагогічні основи навчання прийомам розумової діяльності.

	1.1.Аналіз стану проблеми формування розумової культури учнів у процесі навчання математики.

	1.2.Формування вміння порівнювати в процесі навчання математики.

	1.3.Рівні оволодіння вмінням порівнювати. 

Розділ 2.Методичні системи формування  та розвитку вміння порівнювати (Шляхи, організаційні форми, засоби).

	2.1.Шляхи і засоби формування вміння порівнювати.

	2.2.Методика формування  вміння порівнювати.

	Висновки

	Список використаних джерел


ВСТУП



Провідне місце в системі неперервної освіти належить загальній середній освіті. Вона потребує глибоких докорінних перетворень, які ставлять перед школою задачу не лише дати учням знання, але й навчити застосовувати ці знання на практиці, проявляти пізнавальний інтерес.

У зв'язку з цим вчителю необхідно більше уваги приділяти розвитку мислення учнів, формуванню різних прийомів розумової діяльності.

Реалізація концепції загальної середньої освіти має на увазі не лише вдосконалення програм, підручників, методів і форм навчання, але й привити кожному учню стійке бажання і уміння вчитися, самостійно отримувати і реалізовувати знання. Від розв'язання цієї задачі багато в чому залежить ефективність навчально-виховного процесу, формування гармонічно розвинутої і соціально зрілої особистості, готової до активної трудової діяльності.

Важливою умовою всебічного розвитку особистості являється розумове виховання. Математика володіє величезними можливостями для розумового розвитку учнів, завдяки усій своїй системі, виключній ясності і точності своїх розумінь, висновків і формулювань. Одна із відповідальних задач навчання математики полягає в розвитку мислення учнів, вдосконаленні вміння мислити, робити висновки, тобто формувати розумову культуру.

Мислення в шкільному віці виступає як пізнавальна функція. Воно розвивається інтенсивно в процесі цілеспрямованої, різнобічної навчальної діяльності в тісному взаємозв'язку зі сприйняттям, пам'яттю, просторовими уявленнями, мовою і виконує перетворюючу дію в розвитку усіх пізнавальних функцій і виховання особистості в цілому. Психологи, педагоги і методисти, які досліджували проблему розвитку мислення учнів, вважають необхідним навчати учнів прийомам розумової діяльності в процесі засвоєння знань. “У шкільному віці, – на думку Виготського Л.С., – мислення наче зміщується в центр свідомості і набуває “ключове”, вирішальне значення для всіх інших функцій і процесів... під впливом мислення закладаються основи особистості і світогляду”.[4,с.110]

Актуальність теми: “Формування вміння порівнювати в учнів 7-9 класів при вивченні математики” полягає в розширені кругозору учнів, ознайомленні їх з такими видами розумової діяльності, як індукція і дедукція, узагальнення і конкретизація, аналіз і синтез, класифікація і систематизація, абстрагування й аналогія. Звідси, розумовий розвиток учнів на матеріалі курсу математики – це програмна вимога. Однак реалізація цієї вимоги на практиці зустрічається з відомими труднощами, обумовленими перш за все тим, що більшість учителів недостатньо володіють методикою розвивання мислення учнів, не вміють передати учням знання, не можуть управляти їх розумовою діяльністю, оскільки не знають її психолого-педагогічних основ формування. У зв'язку з цим процес формування прийомів розумової діяльності нерідко випадає з поля зору вчителів, а головна увага приділяється запам'ятовуванню і відтворенню навчального матеріалу. Тому учні найчастіше формально запам'ятовують, заучують правила, формули, розв'язання задач, доведення теорем.

Об'єкт дослідження: процес навчання учнів математики в основній школі.

Предмет дослідження: методична система формування та розвитку вміння порівнювати в учнів 7-9 класів.

Мета дослідження : розробка методики ціленаправленого формування в учнів 7-9 класів уміння порівнювати на уроках математики в процесі обізнаного засвоєння знань, розвиток математичних здібностей.

Гіпотеза – сформованість вміння порівнювати дозволить учням більш глибоко осмислити матеріал який вони вивчають, встановити зв'язок між новими і раніше засвоєними знаннями, матеріалу підручника й особистого досвіду, підвищить якість засвоєння математики, розширить самостійність не лише сильних, але й слабких учнів.

Для реалізації поставленої мети і перевірки справедливості висунутої гіпотези розв'язувались наступні завдання:

Аналіз стану проблеми формування прийомів мислення учнів у психолого-педагогічній і методичній літературі, а також шкільній практиці.

Визначення вміння порівнювати, яке використовується в процесі навчання математики і рівня його сформованості в учнів 7-9 класів.

Виявлення методичних умов ефективної організації процесу формування в учнів вміння порівнювати.

Розробка і експериментальна перевірка методики цілеспрямованого формування вміння порівнювати при навчанні математики в 7-9 класах.

Методи дослідження:

		аналіз проблеми на основі вивчення методичної та психолого-педагогічної літератури з теми дослідження;

		спостереження за навчальним процесом, бесіди з вчителем математики; якісний і кількісний аналізи експериментально отриманих даних;

		підбір та складання завдань за допомогою яких будемо формувати вміння порівнювати в учнів основної школи.

Теоретична та наукова значущість полягає в розробці методичних засобів формування вміння порівнювати в учнів основної школи, які враховують особливості навчальної діяльності учнів, операційний склад умінь та психолого-методичні закономірності їх вироблення.

Практичне значення полягає в тому, що розроблена і апробована методика формування та розвитку вміння порівнювати в учнів 7-9 класів при вивченні математики, може бути рекомендована вчителям математики для досягнення кращих результатів у засвоєнні учнями навчального матеріалу.

Структура роботи: робота складається  із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел .

Апробація: одержані результати поповнюють практичну та теоретичну базу  методики викладання математики з теми: ”Формування та розвиток вміння порівнювати в учнів 7-9 класів з математики”.




	РОЗДІЛ 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНІ ОСНОВИ НАВЧАННЯ ПРИЙОМАМ РОЗУМОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

	

			Аналіз стану проблеми формування розумової культури 

		школярів у процесі навчання математики

	

	На сучасному етапі розвитку педагогічної науки і сучасної школи особливе значення набула проблема формування в учнів прийомів розумової діяльності.

	Аналіз психолого-педагогічної літератури з проблеми розвиваючого навчання показав, що в межах єдиної філософсько-методологічної основи в психології і педагогіці склалося кілька напрямків, що по-різному інтерпретують ряд психологічних і педагогічних проблем, які пропонують свої шляхи їх рішень (Л.С.Виготський, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубінштейн, И.С.Якіманська, Н.А.Менчинська, Л.В.Занков, Г.С.Костюк, Ш.А.Амонашвілі, Х.Й.Лійметс). Не використовуючи сутності фундаментальних теорій, розроблених цими вченими, виділимо найбільш важливі результати у формуванні прийомів розумової діяльності.

Відправною точкою нашого дослідження є обґрунтоване положення в психології (віковий, педагогічної), педагогіці про те, що психологічний розвиток школяра – це, насамперед, становлення його особистості, свідомості і, звичайно, усіх "обслуговуючих" їх психологічних процесів (відчуття, сприйняття, пам'ять, мислення, мова, емоції, воля). Великий внесок у розробку психологічної теорії діяльності внесли Б.Г.Анан’єв, Л.С.Виготський, А.В.Запорожець, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубінштейн тощо. Відповідно до їхніх поглядів, цілісна діяльність має наступні складові:

Потребамотивцільумови досягнення мети і діяльність, яка співвідноситься з неюдіяоперація. Ця загальна характеристика складу діяльності і взаємоперетворення її складових у нашій роботі є основою дослідження розумової діяльності і тих психологічних утворень, що забезпечують її побудову і функціонування.

Для кожного вікового періоду характерний ведучий тип діяльності. При визначенні ведучої діяльності в підлітковому віці в психологів і педагогів виникає ряд розбіжностей. Ми дотримуємося точки зору психологів і педагогів, що вважають, що ведучим типом діяльності в цьому віці стає суспільно-корисна діяльність у різних видах (розумова, навчальна, трудова, суспільно-організаційна).

Л.С.Виготський вважав, що навчання повинно орієнтуватися головним чином на ще не сформовані, але виникаючі психологічні види діяльності дитини. Він увів поняття зони найближчого розвитку, у якій дитина ще самостійно не може виконувати дану діяльність, але може її виконати з допомогою дорослого. Виконуючи цю діяльність при постійно зменшуваній допомозі, дитина переходить із зони найближчого розвитку в зону актуального розвитку, де він цю діяльність може виконати вже самостійно. Прийоми розумової діяльності, які формуються в підлітка під керівництвом вчителя, саме і складають зону його найближчого розвитку [4, т.5]. Питанням взаємовідношення навчання і розвитку приділено велику увагу в дослідженнях Л.С.Виготського, що вважав, що зміст навчання відіграє вирішальну роль у розвитку мислення учнів [1, т.3].

С.Л.Рубінштейн вказував на існування двосторонньої залежності знань і мислення один з одним, “...засвоєння знань і розумовий розвиток – діалектичний процес, в якому причина і наслідок неперервно міняються місцями” [18, с.54].

Теоретичне і експериментальне доведення положення про активну роль знань в актах мислення ми знаходимо в роботах Ю.А.Самаріна. Розвиток розумової діяльності він зв'язує з розвитком системи знань [19]. У роботах Н.А.Менчинської учення розглядається як подвійний процес: нагромадження знань і оволодіння способами оперувати ними. При раціональних умовах навчання обидва процеси прогресують рівномірно, а при неправильній організації навчання “інтенсивне нагромадження знань може сполучитися з недостатнім умінням оперувати ними. Друга сторона учення нерозривно зв'язана з мисленням, у той час, як перша (нагромадження знань) може і не мати настільки тісний зв'язок з ним” [12, с.351].

Роботи Л.М.Веккера [3] дають можливість зрозуміти, чому розвиток мислення, його переходи на більш високі рівні функціонування зв'язані з підвищенням рівня знань. Н.Ф.Тализіна з цього приводу пише: “Даремно чекати поки сформується математичне мислення, щоб почати навчати математики, оскільки тільки навчання математики приводить до розвитку мислення. У цьому виявляється визначальна роль навчання в розумовому розвитку людини”[21, с.23]. Радянські психологи, педагоги, методисти вважають, що знання і мислення тісно взаємопов’язані. Причому навчання повинно бути спрямоване на формування прийомів розумової діяльності. Але виконати свою ведучу функцію навчання зможе тоді, коли знайде інший (нетрадиційний) зміст і інші методи навчання.

Теоретичні положення й експериментальні дані, вважає И.Ш.Рухадзе, дозволяють стверджувати, що прийоми розумової діяльності регулюються з боку знань, саме тому засвоєння знань визначає розвиток мислення.

Однак, кожна з задач, що визначає, що учням треба вчити, і якими методами вчитель може довести це до свідомості учнів, повинна мати самостійне значення і свій шлях реалізації. У дослідженнях психологів, педагогів і методистів ставиться питання про необхідність спеціального навчання школярів прийомам розумової діяльності. Слід зазначити, що закордонні психологи проблему формування прийомів розумової діяльності не виділяють як особливий об'єкт дослідження.

У зв'язку з розробкою проблем пам'яті, формування в школярів прийомів раціонального запам'ятовування і з дослідженням проблеми прийомів розумової діяльності в психологічну науку ввійшло поняття “прийом”. У психолого-педагогічній і методичній літературі це поняття різні автори вживають у різних контекстах.

У навчальній діяльності учнів психологи, дидакти, методисти (Е.Н.Кабанова-Меллер, В.И.Решетніков, В.Н.Осінская, В.Ф.Паламарчук тощо) виділяють дві системи прийомів. З дидактичної точки зору можна говорити про раціональні прийоми навчальної роботи (з таблицею, графіком, конспектом, текстом і т.д.). Зазначені прийоми підлягають логіці навчального предмету. С психологічної точки зору, в тій же навчальній діяльності можна виділити прийоми розумової діяльності (абстрагування, узагальнення, аналогія, порівняння, аналіз, синтез і т.д.). Вони підлягають закономірностям мислення. Між відзначеними групами прийомів не можна провести чіткої границі. Прийоми розумової діяльності наче сховані за прийомами навчальної роботи. Так, наприклад, порівняння вважають одночасно і прийомом мислення і прийомом навчальної роботи. Тому в останні роки вживають термін “прийоми навчально-пізнавальної діяльності” (М.И.Махмутов).

Однак ряд авторів не роблять такого розмежування. При виборі прийомів для навчання учнів Е.О.Зейлігер-Рубінштейн виходить тільки з логіки науки, а И.С.Якіманська – тільки з особливостей розумової діяльності.

У нашому дослідженні ми дотримуємо позицій психологів і педагогів, що виділяють у навчальній діяльності прийоми навчальної роботи і прийоми розумової діяльності.

0.Б.Єпішева і В.И.Крупич визначають прийом діяльності як систему дій, що виконуються у визначеному порядку і служать для розв’язання навчальних задач, і виділяють істотні ознаки прийому діяльності:

прийом – найбільш раціональний спосіб роботи, що складається з окремих дій (практичних або розумових);

склад прийому може бути виражений у виді правила, інструкції, розпорядження і тощо;

правильний прийом допускає узагальнення, спеціалізацію і конкретизацію;

прийом має властивість перенесення на іншу задачу;

прийом можна переробити і створити на його основі новий прийом.

Таким чином, прийоми діяльності допускають самостійний вибір учнями конкретних дій для розв’язання навчальних задач. Деякі вчителі думають, що прийом розумової діяльності й уміння – те саме і, що не потрібно спеціально навчати учнів прийомам, можна обмежитися формуванням умінь, що звичайно вказуються в пояснювальних записках до програм. В дійсності, якщо в учня сформується уміння без попереднього формування відповідного прийому, то нерідко він володіє неправильним умінням.

У психолого-педагогічній літературі співвідношення між прийомами й уміннями трактуються по-різному. Д.Н.Богоявленський і Н.А. Менчинская розглядають прийом як складову уміння. Е.Н.Кабанова-Меллер і В.И.Решетніков вважають уміння компонентом прийому. На думку інших авторів, уміння – це заснована на знаннях і навичках готовність людини успішно виконувати визначену діяльність. Таке розуміння дає нам підставу визначити уміння як знання в діях.

Разом з тим, деякі дослідники (Е.И.Бойко, Н.А.Риков та ін.) вказують і на таку важливу сторону умінь як мотиваційну.

У своєму дослідженні ми дотримуємося точки зору психологів, педагогів, методистів, що вважають, що уміння варто розглядати з мотиваційної, змістовної, операційної сторін. Мотиваційний компонент – це спонукальна сила діяльності. У змістовний компонент умінь варто включати знання учнів на рівні фактів, понять, визначень, а в операційний ми включаємо прийоми розумової діяльності й окремі дії, що входять до складу прийому. Дослідження И.С.Якиманської показують, що немає прямого збігу (хоча воно і можливе) між заданим прийомом і фактичним способом його виконання. Спосіб – це результат суб'єктивної трансформації прийому. Якщо прийоми розумової діяльності залежать від змісту навчального матеріалу, інструкцій вчителя і т.д., то спосіб розумової діяльності більш стійкий. Він завжди індивідуальний. Спосіб опирається на засвоєння прийому, але не вичерпується ним. Якщо в школяра немає достатнього досвіду або заданий йому прийом, не вимагає опори на цей досвід, то спосіб і прийоми по своєму змісту збігаються. Функції способу різноманітні. Вони відображають спрямованість способу на засвоєння прийому, на його перетворення, на використання в нових умовах.

Задача “навчити учнів вчитися”, була висунута ще К.Д.Ушинським. На значущість масової підготовки учнів до самоосвіти вказувала Н.К.Крупська, підкреслюючи, що питання “як вчитися” відсунуть на задній план питанням “як вчити”, а варто було б і те й інше вирішувати в єдності. Учитель повинен володіти тими прийомами, що полегшують розуміння, прискорюють запам'ятовування, роблять навчання найбільш легким й ефективним. Н.К.Крупська розробила ряд рекомендацій щодо прийомів навчальної роботи [11].

Д.Н.Богоявленський, характеризуючи шляхи розвитку мислення й активізації навчання відзначає, що навчання прийомам мислення не визнається в педагогіці як принциповий і найважливіший напрямок розвиваючого навчання [2].

М.Н.Скаткін уперше гостро порушує питання про практичне рішення проблем навчання прийомам розумової діяльності. Однак, у більшості педагогічних досліджень 70-х років (А.И.Данилов, Н.Г.Дайрі, Б.В.Гнеденко, А.И.Маркушевич, Т.И.Шамова й ін.) говориться лише про необхідність формування таких прийомів і, майже, не характеризуються шляхи і методи навчання прийомам розумової діяльності.

При вивченні будь-якого нового навчального матеріалу, учні проходять три етапи його засвоєння. Відповідно можна говорити, як відзначає И.Я.Лернер, про три рівні засвоєння. Перший етап – усвідомлене сприйняття інформації про об'єкт засвоєння і запам'ятовування її; другий – засвоєння способів застосування знань за зразком; третій – у готовності творчо застосовувати засвоєну інформацію в новій, незнайомій йому ситуації. Це дидактичне положення дозволило нам виділити основні етапи навчання прийомам:

	а)	введення або находження прийому;

	б)	навчання застосуванню;

в) узагальнення прийому, навчання переносу.

В.И.Решетніков вважає, що формування прийомів розумової діяльності дозволяє вирішити важливу, що стала вже традиційною задачу – ліквідація перевантаження школярів і формалізму в засвоєнні знань.

У методичних дослідженнях вирішення проблеми “учити вчитися” пов'язано з застосуванням досягнень психологічної і педагогічної науки до викладання конкретних предметів. Зокрема в методиці математики широко досліджується навчання прийомам роботи над математичними поняттями, теоремами і загальними прийомами розв’язання задач: прийомам аналізу, синтезу, порівняння, абстракції, узагальнення і конкретизації; окремим частинним прийомам навчальної роботи; формування окремих (наприклад, алгебраїчних) умінь і навичок, алгоритмів рішення задач визначених видів (А.К.Артемов, В.Г.Болтянський, М.Б.Волович, М.В.Потоцький, Ю.М. Калягін, А.А.Столяр, А.Д.Сьомушкін, И.Ф.Тесленко й ін.). До останнього часу методичні дослідження, як і дидактичні, з питань формування прийомів розумової діяльності проводяться в напрямку підвищення ефективності навчального процесу в залежності від якого-небудь одного прийому, а не їхньої системи. Однак, дійсний етап розвитку психології і педагогіки безпосередньо зв'язаний з ідеєю системності (Б.Ф.Ломов). Тільки системний підхід дозволить узагальнити різні сторони розумової діяльності. В.Н.Осінська пропонує один з варіантів методики цілеспрямованого формування і систематизації в учнів прийомів мислення на уроках математики[14]. Запропонована методика розглядається в сукупності з багатьма відомими формами і методами активізації пізнавальної діяльності учнів, підвищення ефективності уроку математики, зокрема з проблемним навчанням. У роботах Л.П.Типчишина розглядається питання взаємозв'язку прийомів. У дослідженнях З.И.Слєпканъ [20] висвітлюються психолого-педагогічні основи формування математичних понять, навчання учнів доведенню математичних тверджень і розв’язанню задач. При цьому зазначається, що перед вчителем повинна ставитися мета – прямо і побічно формувати в учня прийому загальних і специфічних розумових дій, що входять до складу різних видів навчально-пізнавальної діяльності. Однак, автори зазначених досліджень не відзначають того факту, що система прийомів мислення під впливом взаємодії змінюється, перетворюється в нову функціональну форму, що забезпечує збереження цілісності.

Традиційна програма змісту математичної освіти в середній школі мала два розділи. Від учнів було потрібно лише міцне засвоєння основ математичних знань і основних алгоритмів рішення типових задач. Значний крок у напрямку планування роботи вчителя математики по навчанню учнів прийомам розумової діяльності зроблений у новій програмі. У ній зазначено, що шкільна математика займає провідне місце у формуванні науково-теоретичного мислення школярів, а тому під час вивчення в перелік прийомів і методів мислення учнів повинні включатися індукція і дедукція, узагальнення і конкретизація, аналіз і синтез, класифікація і систематизація, абстрагування й аналогія. Учні опановують прийоми аналітико-синтетичної діяльності при засвоєнні понять, при доказі теорем і розв’язанні задач. У розділі “Міжпредметні зв'язки” зазначені ситуації для застосування і переносу вироблених умінь і навичок. Власне кажучи, мова йде про прийоми навчальної діяльності, хоча явно вони не названі.

У процесі спостереження, бесід і анкетування виявлено, що більшість учнів 7-9 класів не можуть дати правильного визначення прийому “порівняння” і не розуміють ролі порівняння в засвоєнні знань. 70 % учнів показали, що вони не тільки не вміють провести повне порівняння, але й поверхово володіють фактичним матеріалом, що не завжди помітно при його послідовному викладі. 82 % учнів не змогли назвати послідовності дій при порівнянні. Отримані нами експериментальні дані свідчать про те, що завдання на порівняння для школярів незвичні й важкі.

На підставі досліджень Е.Н.Кабанової-Меллер [8,9,10] і В.Н.Осінської [14] нами виділені три рівні оволодіння прийомами. До першого відносяться учні, що не знають суті прийому і використовують його тільки під керівництвом учителя. До другого рівня – учні, що розуміють суть прийому, знають правило-орієнтир, але застосовують його не завжди повно й усвідомлено. Третій рівень характерний тим, що учні знають суть прийому, правило його реалізації, уміють самостійно його застосовувати.

Накопичені теоретичні дані в психології, педагогіці з великими труднощами впроваджуються в практику школи.

Найбільш важливі результати, отримані психологами, дидактами, методистами по проблемі формування прийомів мислення:

		Одним з важливих шляхів розумового розвитку є навчання учнів прийомам мислення.

		У психолого-педагогічній літературі обґрунтовано положення про те, що в процесі навчання необхідно відокремлювати дві самостійні, але взаємообумовлені і взаємозалежні задачі: оволодіння учнями змістом того або іншого предмета і цілеспрямоване формування в них загальних і специфічних розумових дій і прийомів розумової діяльності.

		Існує розрив між накопиченими теоретичними даними в психології, педагогіці і їх впровадженням в частині методи, зокрема, у методику математики, у практику школи.

		Система прийомів складна, динамічна система, що розвивається.

		Навчання прийомам можна і потрібно здійснювати на ведучому навчальному матеріалі.

		Формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуально-вікових особливостей учнів.




1.2 Формування уміння порівнювати в процесі навчання 

математики



Порівняння в навчанні – це розумова операція, за допомогою якої встановлюються риси подібності і відмінності між визначеними предметами і явищами.

Пізнання будь-якого предмету і явища починається з того, що ми відрізняємо його від інших предметів і встановлюємо його подібність з родинними предметами. У цьому виявляються дві основні форми, у яких здійснюється порівняння: співставлення і протиставлення.

Протиставлення – форма порівняння, спрямована на з'ясування відмінного в предметах і явищах при виділенні істотних ознак і властивостей.

Співставлення – форма порівняння, спрямована на виділення істотних властивостей, загальних для ряду об'єктів.

У розумовій діяльності учня протиставлення і співставлення як форми порівняння виконуються в єдності і є засобом аналізу і синтезу досліджуваних понять, фактів , предметів. Але в навчальному процесі ці розумові операції найчастіше здійснюються послідовно.

Надзвичайно важлива роль порівняння при формуванні понять, узагальнені і систематизації знань. Порівняння - засіб зв'язку нових і раніше засвоєних знань, матеріалу підручника й особистого досвіду учнів.

У математиці важливо уміти встановлювати відмінності між близькими родинними поняттями (наприклад, між раціональними й ірраціональними числами, правильними і неправильними дробами) і подібність між віддаленими поняттями (трикутником і тетраедром).

По ступеню повноти розрізняють часткові і повні порівняння. Суть часткового порівняння у встановленні тільки подібного або тільки відмітного. Якщо в об'єктах знаходять ознаки подібності, то це зіставлення, якщо шукають відмінність – це протиставлення.

Повне порівняння вимагає встановлення подібності і відмінності. Часткове порівняння ефективне на етапах сприйняття й осмислення знань, дозволяє глибше усвідомити особливе в досліджуваному матеріалі, зрозуміти його зв'язок з раніше засвоєними знаннями.

Пізнавальні завдання на протиставлення можуть бути такими :

	Чим відрізняється об'єкт А від об'єкта В?

	Яких властивостей немає в об'єкті А в порівнянні з об'єктом В?

	Якими додатковими властивостями володіє об'єкт А в порівнянні з об'єктом В?

	Чим відрізняються формулювання...?

	Приклади:

	Чим відрізняється бісектриса трикутника від його медіани?

	Які додаткові властивості має рівносторонній трикутник  в порівнянні з рівнобедреним?

	Чим відрізняється ромб від квадрата; ромб від паралелограма? Які властивості в них спільні?

	Які додаткові властивості має прямокутник в порівнянні з паралелограмом?

З метою узагальнення матеріалу учням пропонуються завдання на співставлення об'єктів (находження спільного).

Приклади:

Які спільні властивості має симетрія, паралельний перенос, поворот? В чому причина загальності даних властивостей?

Що спільного в доведенні ознаки паралельності прямої і ознаки паралельності площин?

Повне порівняння ефективне на етапах узагальнення і систематизації знань.

Приклади:

Порівняйте ознаки рівності трикутників з ознаками подібності трикутників. Які висновки можна зробити на основі порівняння?

Порівняйте основні припущення  про довжини і площі. Які висновки з цього можна зробити?

По способах здійснення розрізняють порівняння паралельні, послідовні відстрочені.

Паралельні порівняння застосовуються при одночасному вивченні взаємопов’язаних понять, теорем і задач, при викладі матеріалу блоками.

В дев’ятому класі доцільно в порівнянні паралельно вивчати поняття паралельних, мимобіжних та прямих, що перетинаються (таблиця 1).

Таблиця 1

Прямі на площині і в просторі

Паралельні

Ті, що перетинаються

Мимобіжні

Не мають спільних точок

Лежать в одній площині

Мають одну спільну точку

Лежать в одній площині

Не мають спільних точок

Не лежать в одній площині



Доцільні завдання такого змісту:

Які ознаки спільні у паралельних прямих і прямих, що перетинаються; у паралельних і мимобіжних?

Які відмінні ознаки у паралельних і мимобіжних прямих?

Виконання таких завдань, по-перше, формує вміння аналізувати, порівнювати і, по-друге, попереджує типову помилку, коли учні в означенні мимобіжних прямих називають тільки першу ознаку.

Послідовне порівняння полягає в тому, що новий об'єкт порівнюється з раніше вивченим. Порівняння сприяє встановленню більш глибоких зв'язків раніше вивченого і нового матеріалу, полегшує засвоєння знань, допомагає побачити аналогії.

Розглянемо приклад послідовного порівняння під час вивчення у восьмому класі поняття рівності фігур за допомогою руху. Учні повторюють відомі їм означення рівності трикутників: АВС=А1В1С1, якщо АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1, А=А1, В=В1, С=С1. Вчитель дає нове означення  рівності фігур за допомогою руху. Порівнюючи ці означення, учні виділяють істотні ознаки між ними. Різні означення рівності трикутників – це наслідок відмінності їх теоретичних обґрунтувань. А щоб учні впевнилися в тотожності цих означень при їх різних формулюваннях, на прикладі з трикутниками доводиться, що із одного означення випливає інше і навпаки.

Відстроченими називаються порівняння об'єктів, що вивчалися на різних уроках, значно віддалених один від одного в часі.

У практиці навчання математики найбільш поширене послідовне порівняння. Але, оскільки вчителі все більш широко практикують вивчення матеріалу блоками, то часто застосовується і паралельне порівняння при одночасному вивченні взаємопов’язаних понять, теорем, задач. Завдяки використанню в навчанні послідовного порівняння і порівняння – протиставлення у свідомості школярів загальмовуються помилкові і закріплюються правильні тимчасові зв'язки, диференційовано встановлюються поняття, правила і закони.

Якщо порівняння різних предметів (фактів, явищ) здійснюється не по одній ознаці, а знаходять спільне і відмінне по різним ознакам і в різних напрямках, то таке порівняння називається комплексним.

Приклади:

		Чотирикутники порівнють за числом пар паралельних сторін;

		дроби відрізняють по відношенню величин чисельника і знаменника;

		додавання дійсних чисел і додавання векторів порівнють за виконуваністю законів додавання.

Порівняння однорідних предметів по одній ознаці веде до класифікації, розподілу об'єктів на дві групи, наприклад: функції – періодичні і неперіодичні, зростаючі й спадні.

Як і будь-який прийом розумової діяльності, порівняння має свій предмет, супроводжує визначену мету і пропонує свої шляхи реалізації в процесі навчання.

При вивченні математики предметом порівняння можуть бути об'єкти навколишньої дійсності, поняття, ознаки, результати дослідів, теореми і їх доведення, структури задач і методи їх розв’язань, операційний склад алгоритмів різних дій, способи навчальної роботи, а також факти, процеси, етапи роботи. На уроках учням пропонують порівнювати: взаємне положення прямих у=5х и у=5х-7 на координатній площині; істотні і несуттєві, доказові і характеристичні ознаки понять; способи роботи з метою вибору більш раціонального (наприклад, самоконтроль шляхом припущень або шляхом складання зворотної задачі).

Порівнюючи, учні повинні чітко розуміти, з якою метою це робиться. На уроці цілі порівняння часто називає сам учитель; при цьому необхідно викликати в учнів інтерес до оволодіння даним прийомом мислення.

Мета порівняння в навчальному процесі різноманітна: узагальнення і систематизації знань, виділення в них головного, істотного, пошук загальних ознак при формуванні понять; пошук аналогій у навчальному матеріалі; пошук закономірностей індуктивним шляхом; висування гіпотез; установлення міжпредметних зв'язків у навчальному матеріалі й у способах його вивчення; запобігання помилок за аналогією; побудова системи аналогів даного об'єкта; запобігання підміни істотних властивостей поняття несуттєвими властивостями; виділення істотного і несуттєвого в умові задачі, узагальнення її структури й усвідомлення границь варіації її умови усередині даного типу задач. Порівняння є одним з раціональних прийомів заучування і відтворення матеріалу, але, на жаль, недостатньо застосовується при вивченні математики. Без порівняння неможливий перенос способу рішення однієї задачі на іншу – аналогічну.

Інтерес до порівняння виникає в учнів в міру того, як вони усвідомлюють його роль в успішному оволодінні знаннями, починають розуміти, що цей прийом має загальнопізнавальний характер, що , навчивши порівнювати на уроках математики, вони зможуть використовувати порівняння при вивченні інших шкільних предметів, у життєвих ситуаціях. У навчальному процесі порівняння служить одним із засобів об'єднання матеріалу в блоки. На уроці порівняння виступає як самоціль. Воно найчастіше є основою більш складних прийомів розумової діяльності або способом раціонального заучування матеріалу.

Існує ряд дидактичних вимог до використання прийому порівняння в навчальному процесі:

1. Порівнювати треба тільки однорідні предмети.

Недоцільне порівняння, наприклад, таких понять, як “відрізок” і “точка”, “ромб” і “коло”.

2.	Спільне між об'єктами порівняння можна встановлювати лише тоді, коли між ними є якась відмінність.

 Різницю між об'єктами можна встановлювати тільки при наявності в них визначеної подібності.

Школярі не завжди усвідомлюють відносини між родинними поняттями, як відносини частинного і загального. Саме в такому випадку доречно порівнювати ці поняття за допомогою питань, наприклад: Що спільного і відмінного у функцій і послідовностей? Яке з цих понять є частинним випадком стосовно іншого і чому?

	3.	Порівнювати предмети слід за тими ознакам, що мають важливе, істотне значення.

Необхідно враховувати, що до порівняння учні не знають про істотність ознак. Крім того, істотність ознак також визначається в порівнянні. Тому вчитель спочатку підказує, по яких важливих ознаках варто проводити порівняння. Так при порівнянні задач варто звертати увагу на дані умов, характер зв'язку між даними і шуканими, тому що саме це визначає спосіб розв’язання. Зовнішня подібність або відмінність смислу задач не має істотного значення для способу їхнього рішення. У задач одного типу є загальне в істотному: структурі, умові, зв'язках між даними умови і шуканих величин – і розбіжність між несуттєвим у їхніх умовах і рішеннях.

Психологи установили, що учні легше знаходять у порівнюваних об'єктах або тільки спільне, або тільки відмінне. Присутність в порівнюваних об'єктах різного і подібного (загального) виявляється для учнів більш важкою справою, тому що вимагає розумової роботи в двох напрямках одночасно. Школярі затрудняються порівнювати процеси міркувань при виконанні вправ на знаходження процента від числа, числа за його процентом та процентного відношення двох чисел.

	4.	Порівнювати треба під певним кутом зору. У навчанні порівняння завжди цілеспрямоване. Ті самі об'єкти можуть мати подібність, якщо їх розглядати з однієї позиції, і можуть відрізнятися, якщо змінити “кут зору”. Наприклад, формули для обчислення площ паралелограма і трапеції зовні не мають нічого загального, але способи їхніх доведень однакові: суть виведення формул полягає в тому, що фігура перетвориться в такі фігури (або таку фігуру), площі яких заздалегідь відомі. 

	Прийоми розумової діяльності формуються стихійно або цілеспрямовано. Учні під керівництвом учителя порівнюють об'єкти за спільними, відмінними, та за тими й іншими ознаками одночасно. Але якщо при цьому сутності прийому, його операційному складові не приділяється належної уваги, то навіть встигаючі учні не можуть цілком назвати подібні і відмінні властивості понять, зробити план, схему порівняння.

Ю.К.Бабанський писав, що для успішного оволодіння будь-яким загальнонавчальним умінням або навичкою необхідно забезпечити наступний ланцюжок дій учнів:

	прийняття задачі, що вимагає оволодіння відповідним умінням і навиками;

	усвідомлення необхідності опанувати навиками, мотивація діяльності;

		засвоєння змісту навиків, послідовності і характеру дій, операцій, що необхідні для оволодіння цим навиком;

	виконання практичних дій, операцій, вправ по відпрацьовуванню навиків;

	поточний самоконтроль за ступенем оволодіння навиками;

	коригуючі дії спрямовані на відпрацювання навиків;

	застосування умінь і навичок у типових ситуаціях;

	застосування умінь і навичок у нестандартних ситуаціях;

	поглиблення і подальша автоматизація навиків шляхом використання його в повсякденній практичній діяльності [1 с.95].

Для вчителя, названий ланцюг дій виступає як методологічна схема діяльності по формуванню будь-якого загальнонаукового уміння, зокрема, прийому порівняння. Звичайно вчитель, приступаючи до формування уміння порівнювати, насамперед з'ясовує, що знають учні про цей прийом, які помилки допускають при порівнянні, тобто які рівні сформованості цього уміння в різних школярів, як вони розуміють сутність прийому порівняння, його операційний склад, мету застосування. Можна провести бесіду або письмову роботу на порівняння, запропонувавши учням наступні питання:

	Що таке порівняння? Що означає “порівняти”?

	Навіщо проводять порівняння?

	Яка послідовність дій при порівнянь?

Практичні пізнавальні завдання, наприклад: порівняти способи розв’язання двох задач або доведення двох теорем, також допомагають виявити рівні оволодіння школярами умінням порівнювати. При цьому ніяких вказівок, плану, правил порівняння вчитель не дає.

Аналізуючи відповіді учнів на згадані питання, я прийшла до наступних висновків: багато учнів не могли назвати послідовності дій при порівнянні; не розуміють ролі порівняння в засвоєнні знань; взагалі, завдання на порівняння для учнів 7-9 класів незвичні й важкі. 



1.3. Рівні оволодіння вмінням порівнювати.



В.Ф. Паламарчук виділила п'ять рівнів оволодіння прийомом порівняння.

Найнижчий рівень оволодіння прийомом порівняння – учень описує властивості об'єктів послідовно, не порівнюючи їх.

Другий рівень оволодіння прийомом порівняння – учень спочатку називає властивості одного поняття, потім іншого, використовуючи при цьому систему ознак.

Приклад відповіді. У рівнобедреного трикутника рівні дві сторони, а в рівностороннього – три. У рівнобедреного трикутника два кути рівні, а в рівностороннього – три. У першому випадку медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою, а в другому випадку всі три медіани мають цю ж саму властивість. У рівнобедреного трикутника медіани, висоти, бісектриси перетинаються відповідно в одній точці, аналогічно і в рівностороннього трикутника. У рівнобедреного трикутника ці три точки перетину не збігаються, а в рівностороннього – збігаються. Центри вписаних й описаних кіл у першому випадку не збігаються, а в другому – збігаються. У рівнобедреного трикутника тільки медіани поділяються точкою перетину у відношенні 2:1, рахуючи від вершини, а в рівностороннього – також бісектриси і висоти (типова помилка, коли учні вважають, що в рівнобедреного трикутника бісектриси і висоти теж поділяються точками перетину в такому ж відношенні).

Варто відмітити, що для такого порівняння за набором ознак потрібно не тільки уміння порівнювати, але і глибоке знання матеріалу, уміння систематизувати, змінювати послідовність висвітлення властивостей.

Тому, відповіді учнів будуть набагато краще, якщо вчитель буде послідовно задавати питання про окремі властивості понять або коли властивості одного поняття спроектувати на екран відеопроектора, а властивості іншого поняття учні повинні назвати самі у відповідності з властивостями першого (Як приклад див. табл.2)


Таблиця 2

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості рівностороннього трикутника

Дві сторони рівні.

Два кути при основі рівні.

Медіана, проведена з вершини кута до основи, є бісектрисою і висотою.

Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2:1, рахуючи від вершини.

Точки перетину медіан, бісектрис, висот не збігаються.

Центри вписаного й описаного кіл не збігаються.

	Три сторони рівні.

	Три кути рівні.

	Усі медіани є бісектрисами і висотами.

	Медіани, бісектриси і висоти точкою перетину діляться у відношенні 2:1, рахуючи від вершини.

	Точки перетину медіан, бісектрис, висот збігаються.

	Центри вписаного й описаного кіл збігаються

	



Робота з таблицею: одна сторона таблиці закривається, і учні називають властивості трикутника, описані в закритій її частині.

Третій рівень оволодіння прийомом порівняння – учень називає або тільки загальні властивості об'єктів, або тільки відмінні, або ті й інші, але не повністю (неповні порівняння). 

Приклад відповіді. Паралелограм і прямокутник – це чотирикутники, діагоналі їх перетинаються і точкою перетину діляться пополам, протилежні сторони рівні, усі кути в прямокутника рівні і попарно рівні в паралелограма.

У відповіді не названий цілий ряд як спільних властивостей, так і відмінних. Причому учні найчастіше називають не по порядку, то спільні властивості, то відмінні, у відповіді немає чіткості, деякі властивості не можуть згадати.

Цей рівень найбільш характерний для більшості учнів 7-9 класів.

Четвертий рівень оволодіння прийомом порівняння – учень називає всі загальні властивості, усі відмінні, указує мету порівняння, робить висновки, порівнює істотні ознаки (повне порівняння). 

Приклад відповіді по темі “Чотирикутники” при виконанні завдання на порівняння властивостей квадрата і ромба. Загальні властивості: чотирикутники, протилежні сторони паралельні, діагоналі є бісектрисами кутів, усі сторони рівні, діагоналі перетинаються під прямим кутом. Відмінні властивості показані в таблиці 3.

Таблиця 3

Відмінні властивості

Квадрат

Ромб

Усі кути прямі.

Діагоналі рівні між собою.

S=a2 (де а – сторона квадрата)

Протилежні кути рівні.

Діагоналі не рівні між собою.

S=a·h (де а – сторона, а h – висота ромба).



Висновки: квадрат і ромб мають ряд спільних властивостей, тому що і квадрат і ромб – чотирикутники. Але в них є і відмінні риси; причина – у несхожості видових ознак даних понять.

Мета порівняння в даному випадку – більш глибоке осмислення властивостей вивчених понять, раціональне заучування матеріалу, повторення, систематизація знань, встановлення істотних зв'язків.

Якщо вчитель не формував цілеспрямовано цей прийом, то таке порівняння, можливо, не зможе виконувати самостійно майже жоден учень восьмого класу, навіть у тому випадку, коли завдання дати додому.

П'ятий рівень оволодіння прийомом порівняння відрізняється від четвертого тим, що учень не тільки вміє правильно порівняти, але і застосовує це уміння при вивченні інших навчальних предметів, тобто порівняння стає узагальненим прийомом його розумової діяльності.

Прийом порівняння має широке застосування і при заучуванні доведень багатьох теорем, наприклад, теорем про властивості кутів при основі рівнобедреного трикутника, про властивість його медіани, проведеної з вершини до основи, про властивість протилежних кутів паралелограма і тощо. В цих доведеннях є істотно спільне: потрібно обґрунтувати рівність кутів, для цього варто розглянути трикутники, що містять ці кути, і довести рівність трикутників. Порівняння доведень дозволяє виділити загальний орієнтир міркувань, а деталі доведень запам'ятовувати необов'язково .

	П.М.Эрднієв, що досліджував роль прийому порівняння в навчальному процесі, рекомендує застосовувати так звані подвійні правила [23], що дозволяють не тільки на слух, але і наочно розмежувати спільні і відмінні властивості в подібних формулюваннях, бачити аналогії, більш глибокі зв'язки, полегшують запам'ятовувати. Наприклад:

	 гострого кута прямокутного трикутника називається відношення  катета до гіпотенузи.


РОЗДІЛ 2. МЕТОДИЧНІ СИСТЕМИ ФОРМУВАННЯ ТА РОЗВИТКУ ВМІННЯ ПОРІВНЮВАТИ



	Шляхи і методичні засоби формування вміння порівнювати



На основі теоретичного аналізу проблеми розвитку розумової діяльності учнів у психології, дидактиці, методиці викладання математики, а також у педагогічному досвіді й особистому викладанні математики ми прийшли до висновку, що без спеціально спрямованого формування розумова діяльність підлітків розвивається повільно. Процес розвитку мислення в різних педагогічних умовах піддається удосконалюванню різними шляхами. При організації експериментального навчання ми виходили з того, що засвоєння знань, сформованих при навчанні математики, можливо лише на основі цілеспрямованого навчання учнів прийомам розумової діяльності.

Одним із широко розповсюджених і на перший погляд дуже простим є прийом порівняння. Його відносять і до розумового і до навчального прийомів. К.Д.Ушинський вважав, що порівняння – основа всякого мислення і що в дидактику цей прийом повинний бути основним.

Отже, наш наступний підрозділ ми присвятимо методиці формування вміння порівнювати. 

	Методика формування вміння порівнювати.



Перш ніж почати цілеспрямоване формування прийому порівняння в учнів, необхідно попередньо з'ясувати рівень сформованості уміння порівнювати і розуміння сутності прийому порівняння, тобто провести діагностику.

Це можна зробити через спеціальну письмову або контрольну роботу, можна провести бесіду з учнями, обговорюючи при цьому наступні питання:

	Що таке порівняння? Що означає “порівнювати”?

	Навіщо проводять порівняння?

	Яка послідовність дій при порівнянні?

Ми проводили діагностику учнів 7-9 класів Херсонської загальноосвітньої школи № 46, запропонувавши їм відповісти в письмовому виді на наступні питання:

	Що таке порівняння? Що означає “порівнювати”?

	Навіщо проводять порівняння?

	Яка послідовність дій при порівнянні?

	Були, також, запропоновані учням практичні пізнавальні

завдання наступного характеру:

	дати означення рівностороннього і рівнобедреного трикутника, порівняти їх;

	порівняти означення прямокутника і квадрата.

Підводячи підсумки цієї роботи і зробивши розрахунки, ми одержали наступні дані: 65,5% порівняння замінили простим описом об'єктів, що порівнювалися; 10,3% пояснили порівняння, як встановлення спільних і відмінних ознак, але і вони практично відчували труднощі при виконанні порівняння; 27,2% порівняння обмежили перерахуванням тільки відмінних ознак , а 4 учня (13,8%) зрозуміли і використовували порівняння, як знаходження подібності. Аналізуючи відповіді на поставлені питання ми прийшли до висновку, що учні не розуміють ролі порівняння в засвоєнні знань. Вони не тільки не можуть провести повне порівняння, але і поверхово володіють фактичним матеріалом, що не завжди помітно при його послідовному викладі, і взагалі завдання на порівняння для школярів незвичні й важкі.

Після діагностики необхідно створити атмосферу зацікавленості в оволодінні учнями прийомом порівняння. Для цього на етапі мотивації доцільно застосовувати різні девізи, епіграфи до уроку, наприклад, “Усе пізнається в порівнянні !”,”Без порівняння немає навчання!”

Щоб створити “сприятливий ґрунт” для переходу до наступного етапу формування прийому порівняння – осмислення суті прийому і правил його реалізації ми на наступному уроці, після письмової роботи, провели детальний аналіз її переваг і недоліків по основних структурних компонентах порівняння.

Результати здивували учнів: їм здавалося, що порівнювати так просто. І перед ними виникли питання: "А які ж правила порівняння? Що можна порівнювати, а що не можна? Чи можна скласти план і схему порівняння?" Ці і подібні питання створюють сприятливий ґрунт для осмислення суті прийому. Учні переконуються, що для порівняння об'єктів недостатньо знати окремі властивості, необхідно знати ще сутність і правило-орієнтир порівняння . Осмислення суті прийому і правила його реалізації один з найбільш важливих етапів.

Суть прийому роз'ясняється учням у виді короткого визначення: порівняння – це прийом розумової діяльності, за допомогою якого в предметах і явищах виділяються окремі ознаки, знаходяться спільні і відмінні властивості. Потім у процесі пошукової бесіди або інструктажу вводиться правило-орієнтир використання даного прийому.


 Він має такий вигляд:

	установити мету порівняння;

	перевірити, чи відомий матеріал про об'єкти, що будуть порівнюватися;

	виділити головні ознаки, по яких будуть порівнюватися об'єкти;

	знайти різні властивості;

	знайти відмінність і (або) подібність;

	сформулювати висновок про подібність і (або) відмінність даних об'єктів відповідно до поставленої мети.

Правило-орієнтир учні повинні записати в зошитах, а вчителеві бажано завжди його мати на уроці на відеопроекторі або плакаті. Далі вчитель організує роботу з формування уміння порівнювати відповідно до правила-орієнтира. 

Наприклад, пропонує порівняти ознаки подібності і ознаки рівності трикутників(мал.1):



A

B

C

C1

A1

B1

B1

C1

A1

C

A

B

C1

A1

B1

C

A

B

C1

A1

B1

C

A

B

C1

A1

B1

C

A

B

C1

A1

B1

C

A

B














Встановлюємо мету порівняння: систематизація знань, раціоналізація запам’ятовування.

Перевіряємо, чи знаємо ми ознаки рівності і ознаки подібності трикутників.

Складаємо план порівняння: сформулювати теореми, ідеї доведень, з’ясувати і обґрунтувати основні знання які будемо використовувати, значення матеріалу.

Знаходимо спільні і відмінні риси, для цього порівнюємо формулювання теорем: вони відрізняються лише термінами “пропорціональні” і “рівні”.

Висновок: якщо замінити термін “пропорціональні” на термін ”рівні”, то із ознак подібності отримуємо відповідні ознаки рівності трикутників, тобто взяти К=1. Це доцільно застосовувати  для раціонального запам’ятовування матеріалу.

Далі порівнюємо доведення ознак подібності і ознак рівності трикутників.	

Для доведення всіх трьох ознак подібності трикутників застосовується загальна схема:	

1. Будуємо трикутник, гомотетичний одному із даних в умові, з коефіцієнтом К= і довільним центром гомотетії.

 2. Доводимо, що отриманий при гомотетії трикутник дорівнює другому, даному в умові, за відповідною ознакою рівності трикутників.

 3. Робимо висновок на підставі того, що послідовне виконання перетворення гомотетії і руху є подібність.

	При доведенні всіх трьох ознак рівності трикутників застосовуються аксіоми існування трикутника, рівного даному, відкладання відрізків і кутів. У процесі доведення третьої ознаки застосовується метод від супротивного.	|

Основні знання, які використовуються в обґрунтуваннях, різні. Тому доведення ознак подібності трикутників необхідно знати незалежно від доведень ознак рівності трикутників.

Висновок зроблений на основі порівняння: ознаки рівності трикутників – це окремий випадок ознак подібності, коли К=1, термінові „пропорційні” відповідає термін «рівні». Тому досить запам'ятати тільки ознаки подібності трикутників. Доведення теорем різні для ознак подібності і рівності трикутників. Призначення ознак однакове.

Багато дослідників вважають, що пізнавальні задачі дозволяють формувати в учнів досвід творчої пошукової діяльності, який іншим шляхом набути неможливо. Будь-яка пізнавальна задача або завдання для свого рішення вимагає визначеного прийому розумової діяльності або сукупності цих прийомів, що розвивають розумові здібності учнів.

Розглянемо пізнавальну задачу: „Порівняти розв’язання задач про ділення відрізка навпіл і про побудову перпендикулярної прямої”. Використовуємо питання-орієнтири, складені відповідно до правила-орієнтира прийому порівняння. Повторюємо розв’язання кожної задачі. Порівнюємо плани розв’язань і встановлюємо спільне в них: після побудови за допомогою циркуля точок А і В на прямій, розв’язання другої задачі співпадає з першою. Встановлюємо спільне в доведеннях: з рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін або кутів. Робимо висновки: варто запам'ятовувати раціональне розв’язання задачі. Задача на побудову перпендикулярної прямої зводиться до задачі на ділення відрізка навпіл і відрізняється від неї додатковою дією – находженням на прямій точок А і В. Тому варто пам'ятати те, як розв’язувати задачу на ділення відрізка навпіл, і те, що в другій задачі потрібно спочатку за допомогою засічок із точки О знайти на прямій точки В і А. При доведенні варто шукати рівні трикутники і виділяти необхідні рівні елементи. У даному випадку порівняння дозволяє виділити головне, виступає як прийом раціонального запам'ятовування і відтворення знань.

Розглянемо прийоми формування вміння порівнювати на уроках систематизації, повторення, узагальнення знань. Вміння проміжного протиставлення можна формувати на уроках паралельного повторення, систематизації знань або вивченні понять осьової і центральної симетрії. Дії виконуються послідовно для одного і другого поняття (таблиця 4).

Таблиця 4

Осьова симетрія (мал. 2)

Центральна симетрія (мал. 3)

	1)	Візьмемо пряму а і точку А

	2)	Опустимо з точки А перпендикуляр на пряму а ,

	3)	Продовжимо перпендикуляр в іншу півплощину

	4)	Відкладемо по іншу сторону від а на перпендикулярі відрізок АО=ОА1

	5)	Одержимо точку А1,  симетричну точці А відносно прямої а

Таке перетворення називається осьовою симетрією

	1)	Візьмемо точки О і А

	2)	З'єднаємо точки А і О

	3)	Продовжимо півпряму по іншу сторону точки О 

	4)	Відкладемо по іншу сторону від точки О на прямій відрізок АО=ОА1

	5)	Одержимо точку А1,симетричну точці А відносно точки О

	Таке перетворення називається центральною симетрією



Потім учні доводять теореми про те, що симетрія на площині є рух (табл. 5).

Таблиця 5

Що потрібно довести

Ідея доведення

Зв'язок з алгеброю 



Осьова симетрія

Центральна симетрія

Осьова симетрія

Центральна симетрія

АВ=А1В1

Скористатися координатним методом

Розглянути рівні трикутники

У графіку парної функції 
Оу – вісь симетрії. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у=х

У графіку

непарної

функції

точка

О (0; 0) – 

центр

симетрії



Далі пропонуємо учням назвати спільні і відмінні властивості понять. 

Один із способів навчання умінню порівнювати – встановлення родо-видових відносин між поняттями. Невмінням учнів установлювати такі відносини пояснюється типова помилка – перенесення видових властивостей на родове поняття, що випливає через нечітке диференціювання властивостей роду і властивостей виду. Щоб запобігти такій помилці, можна запропонувати учням завдання на порівняння: якими властивостями відрізняється прямокутник від паралелограма? квадрат від ромба? квадрат від прямокутника? десятковий дріб від звичайного? пряма пропорційність від лінійної функції? бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з його вершини, від інших бісектрис кутів цього трикутника? які властивості загальні в названих парах понять? В чому причина того, що багато властивостей однакові? В чому причина розбіжності властивостей у порівнюваних поняттях? Яке з порівнюваних понять загальне, а яке частинне?

Без порівняння неможливе підведення під поняття, тобто розпізнавання. При цьому те поняття, до якого потрібно віднести дане поняття, виступає зі своїми властивостями як еталон. У процесі міркувань співставляються властивості „еталона” і піднесеного під нього поняття, і робиться висновок.

Як відзначалося раніше, важливим методичним прийомом у формуванні уміння порівнювати є складання порівняльних таблиць, схем. Ця робота може виконуватися учнями як під керівництвом учителя, так і самостійно. Розглянемо порівняльну таблицю властивостей чотирикутників (табл. 6).


Таблиця 6

Види чотирикутників

Властивості чотирикутників

Випуклий чотирикутник

Паралелограм

Прямокутник

Ромб

Квадрат

Трапеція

	1.	Всі сторони непаралельні 

	2.	Пари протилежних сторін паралельні

	3.	Дві пари протилежних сторін паралельні

4.	Діагоналі, перетинаючись, діляться пополам

	5.Протилежні сторони попарно рівні

	6.	Всі сторони рівні

	7.	Всі кути рівні

	8.	Діагоналі рівні

	9.	Є центр симетрії

	10.	Є осі симетрії

11.	Можна вписати коло

12. Можна описати коло

+



–



+



–



–



–

–

–

–

–





–



+



+



+



+



–

–

–

+

–

–

–

–



+



+



+



+



–

+

+

+

+

–

+

–



+



+



+



+



+

–

–

+

+

+

–

–



+



+



+



+



+

+

+

+

+

+

+

–



+



–



–



–



–

–



–









Таку таблицю можна використовувати на уроках узагальнення і систематизації матеріалу в міру вивчення видів паралелограма.



Для роботи з таблицею можна давати такі завдання:

	Порівняйте властивості паралелограма і прямокутника.

	Які властивості в них однакові? Чому?

	За якими властивостями відрізняється прямокутник від паралелограма? Чим це пояснити?

	Чому в рядках 3, 4, 5, 9 властивості паралелограма, ромба, прямокутника, квадрата збігаються?

	Чи є в паралелограма властивості, яких немає в прямокутника, ромба, квадрата? Поясніть причину.

Учні можуть скласти порівняльну таблицю властивостей перетворень подібності і руху, використовуючи як основу такі властивості подібності:

	1. Це – перетворення.

2. Відстань між точками змінюється в те саме число раз.

	Коефіцієнт подібності К 1.

	Перетворення подібності переводить прямі в прямі, півпрямі в півпрямі, відрізки у відрізки, кути – у рівні їм кути.

	У подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні.

	Існує три ознаки подібності трикутників:

	а)	за рівністю двох кутів;

	б)	за пропорційністю двох сторін і рівності кутів між ними;

	в)	за пропорційністю трьох сторін.

	Окремий випадок подібності – гомотетія.

	Відношення периметрів подібних фігур дорівнює коефіцієнтові К.

	Відношення площ подібних фігур дорівнює К2.

	10.	Послідовне виконання перетворень подібності є подібність.

	11.	Існує зворотне перетворення того ж виду.

12. Подібні фігури можна одержати, наприклад, за допомогою проекційної апаратури.

До складеної учнями таблиці можна запропонувати такі завдання на порівняння:

	Якими властивостями рух відрізняється від подібності?

	Чому рух має усі властивості подібності?

	Яких властивостей немає в подібності в порівнянні з рухом?

4. Які, висновки можна зробити на основі порівняння?

Виконуючи ці завдання, учні вчаться проводити порівняння понять: по декількох ознаках. Цю таблицю можна використовувати при вивченні перетворень у дев'ятому класі, доповнивши її і пропонуючи додаткові завдання на порівняння.

Роботу з такими таблицями можна проводити з різними цілями: перевірити уміння порівнювати за системою ознак, формувати уміння порівнювати, повторити і систематизувати знання, встановити причинно-наслідкові зв'язки між властивостями понять, викласти матеріал блоками, раціонально заучувати і відтворювати матеріал. Учитель може організувати колективну роботу класу з таблицями, запропонувати учням самостійно заповнити половину таблиці або дати завдання скласти подібну таблицю додому, знаходячи самостійно властивості порівнюваних понять у підручнику. Ефективне складання порівняльних таблиць при встановленні міжпредметних зв'язків. У цьому випадку учні складають таблицю в класі під керівництвом вчителя або заповнюють у класі тільки одну сторону таблиці, а другу частину – додому.

Прикладами таких таблиць можуть бути: порівняльна таблиця властивостей дійсних чисел і векторів у шкільному курсі математики (табл. 7) і порівняльна таблиця зв'язку векторів у геометрії і фізиці (табл. 8).







Таблиця 7

Дійсні числа

Вектори

1 Існують відносини рівності і нерівності

	2.	Є нуль

	3.	Існують протилежні числа:

а + (–а) = 0

	4.	Визначено дії додавання і віднімання чисел. Результат – число.

	5. Виконуються закони додавання:

a + b = b + а,

a + (b + c) = (a + b) + c



	6.	Визначено дії множення і ділення чисел. Результат – число. Ділити на 0 не можна

	

	

	7.	Виконуються закони множення:

ab = bа,

а (bc) = (ab) c

(a + b) c= ас + bc

ab0, якщо а  0, b  0















8. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною дійсних чисел і точками координатної прямої

9. 

10.Напрямок на прямій

1. Існують відносини рівності і нерівності

	2.	Є нульовий вектор

	3.	Існують протилежні вектори:



	4.	Визначено дії додавання і віднімання векторів. Результат – вектор.

	5.	Виконуються закони додавання:





	6.	Визначено дію множення (ділення) вектора на число. Результат – вектор.

Визначено скалярне множення векторів. Результат – число

	7.	Виконуються закони множення:









Не виконується:



, може бути при

	

	8.	Існує взаємно однозначна відповідність між множиною  векторів та точками координатної площини

	

	

	9.	 – довжина вектора 

	

10. Напрямок на площині




Таблиця 8

Вектори в геометрії

Вектори у фізиці

Вектор – спрямований відрізок

Вектор – спрямований відрізок: сила, швидкість, прискорення, момент сил і т.п.

Скалярне множення векторів



Робота

	1)	при русі по похилій площині 

	2)	Ф , де 

	Ф – магнітний потік,

В – магнітна індукція,

S – площа контуру

Обчислення довжини вектора

Знаходження значення рівнодіючої сили, швидкості та ін.

Розкладання вектора по координатним осям або по двох даним векторам

Розкладання сил, швидкостей, інших векторних величин по координатних осях або двом даним векторам

Нульовий вектор

Сума сил по замкнутому багатокутному контурі; сума сил, прикладених до центра і ваги фігури

Компланарні вектори

Сили, швидкості, прискорення та ін., що діють в одному або протилежних напрямках

Не компланарні вектори

Фізичні векторні величини, спрямовані один до одного під кутом а  0



Крім порівняльних таблиць, при встановленні міжпредметних зв'язків можна використовувати такі завдання на порівняння:

	Порівняйте формулу для скалярного множення векторів і для виконання роботи при русі матеріальної точки по похилій площині. Який висновок можна зробити на основі порівняння?

Порівняєте спосіб побудови правильного трикутника, вписаного в коло, і спосіб побудови правильного трикутника, вписаного в еліпс

3. Порівняєте способи побудови взаємно перпендикулярних діаметрів в колі і спряжених діаметрів еліпса (на уроках креслення). Що спільного в побудові? 

4. Порівняйте формули, відомі з курсу фізики – ,  і геометрії – , з формулою з алгебри . Які висновки можна зробити на основі порівняння?

5. Порівняйте задачу „Довести, що якщо точка О є точкою перетину медіан ABC, то виконується рівність , з істотними ознаками центру ваги фігури в фізиці. Який висновок можна зробити на основі порівняння? 

У навчальному процесі уміння порівнювати формується також при встановленні причинно-наслідкових зв'язків. З цією метою учням можна пропонувати такі завдання:

	1.	Побудуйте графіки функцій ; ; . Порівняєте їхнє положення відносно початку координат і відносно один одного. Які висновки можна зробити на основі порівняння? У чому причина такого розташування графіків?

	Додайте числа на координатній прямій 2 + (–4) і 3 + (–2). Порівняєте, з якої сторони від початку відліку вийшов результат у кожнім випадку. Чому в першому випадку результат ліворуч, а в другому – праворуч від точки О?

	Порівняєте положення центрів вписаного в рівнобедрений трикутник і описаного довкола нього кіл. В чому причина такого їх взаємного розташування?

Учитель часто пропонує учням дати оцінку способу розв’язання задачі або доведення теореми з точки зору їх раціональності. Учням корисно навчитися порівнювати різні прийоми і способи заучування теорем з погляду їх раціональності й ефективності: запам'ятовувати детальне доведення, або запам'ятовувати тільки формулювання теореми й ідею доведення, або лише формулювання теореми, ідею і план доведення. Можна запропонувати одному учневі або декільком, оцінити оформлення практичних робіт, у тому числі моделей з математики, виконаних іншими учнями, оформлення розв’язання задач, доведень теорем і вибрати найбільш раціональне і гарне оформлення.

Прийом порівняння можна формувати, створюючи на уроках проблемні ситуації. Так, перед вивченням теореми Фалеса учням можна запропонувати практичну роботу: „На сторонах кута відкласти кілька рівних відрізків. Провести через них паралельні прямі до перетину їх з іншою стороною кута. Порівняти довжини отриманих відрізків на іншій стороні кута. Чи випадкова рівність довжин отриманих відрізків? У чому причина такої рівності? Чи можна строго довести істинність заміченої закономірності в загальному випадку?”

Інші приклади: „Майстер при виготовленні табурета, щоб перевірити, чи не буде він хитатися, натягає на кінці його ніжок пересічні мотузки. Новорічну ялинку ставлять у хрестовину. Для стійкості столу його ніжки іноді з'єднують хрестовиною”. Учням пропонується порівняти ці ситуації, знайти в них спільне, висунути гіпотезу на основі порівняння.

На уроках математики можна залучати учнів до порівняння різних випадків взаємного положення геометричних фігур.

Уміння порівнювати формується при пошуку зв'язків за аналогією. Порівняння тут виступає як основа прийому аналогії. Без порівняння й аналогії неможливий перенесення способу розв’язання однієї задачі на іншу того ж типу, висунути припущення про закономірність, визначених властивостей досліджуваних фігур. У курсі геометрії порівняння разом з аналогією широко застосовується при вивченні векторів і декартових координат на площині.

Багато аналогічних задач планіметрії корисно розглядати в порівнянні.

Учні при цьому не лише повторюють, систематизуючи раніше вивчений матеріал, але і використовують його як базу для вироблення нових умінь і навичок. Вони вчаться знаходити глибокі зв'язки між різними розділами геометрії, переносити раніше сформовані знання уміння і навички в нові умови. Наприклад, паралельно можна розглянути рішення задачі „Складіть рівняння прямої, що проходить через точки А(–1; 1); В(1;0)” і задачі з курсу дев'ятого класу „Складіть рівняння площини, що проходить через точки А (1; 0; 0); В(0; 2; 0); С(0; 0; 3)”.

У вчителя є багато можливостей для формування вміння порівнювати на різному навчальному матеріалі геометрії й у різних методичних ситуаціях. Учителі математики формують уміння порівнювати на уроках геометрії й алгебри паралельно, Важливо наполегливо рекомендувати учням активно застосовувати прийом порівняння при вивченні різних шкільних дисциплін.




ВИСНОВКИ



Проведена робота з досліджуваної теми дозволяє зробити наступні висновки:

	Було проаналізовано стан проблеми формування прийомів мислення учнів у психолого-педагогічній і методичній літературі, а також шкільній практиці.

	Провівши контрольну роботу з учнями основної школи, ми визначили їхній рівень сформованості та вміння порівнювати при навчанні математики. 

	З метою виявлення методичних умов ефективної організації процесу формування в учнів вміння порівнювати було проаналізовано методичну літературу, проведено бесіди з вчителями-предметниками, учнями 7-9 класів.

	На основі отриманих результатів ми розробили і експериментально перевірили методики та завдання цілеспрямованого формування вміння порівнювати при навчанні математики в учнів 7-9 класів, результати виявилися втішними. 

	Порівняння зв'язане в навчальному пізнанні з всіма основними прийомами розумової діяльності, особливо з виділенням головного й узагальненням. Порівняння починається з аналізу і виділення головного; якщо учні опанували умінням виділяти головне, прийом порівняння формується значно швидше і на більш високому рівні. Сформований прийом порівняння дозволяє приступити до цілеспрямованого формування уміння узагальнювати; крім того, будь-яке порівняння повинно закінчуватися узагальненням, тобто тією добавкою до старих знань, заради якої відбувається порівняння. Застосування прийому порівняння сприяє досягненню позитивних результатів у навчанні і розвитку, якщо воно вводиться цілеспрямовано, усвідомлено, з урахуванням характеру матеріалу, порівнюваних обсягів, віку і рівня розвитку учнів.

	

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ



	Бабанский 10.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса.-М.Просвещение,1982.

	Бевз Г. П. Методика розв'язування алгебраїчних задач. – К.: Рад. шк., 1975 – 240 с.

	Бевз Г. П. Математика, 6 кл. – К.: Вежа, 2002. – 224 с.

	Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 7-9 кл. - К.: Освіта, 2001. - 303 с.

	Богоявленский Н. Формирование приёмов умственной работы учащихся как путь развития мышления и активизации учения //Вопросы психологии.-1962.-М.-С.7 4-82.

	Епишев О. Б., Крупич В. И. Учат школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. - 126 с.

	Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод, посіб. – К.: КНЕУ, 2002. – 303 с

	Зак А. З, Как определить уровень развития мышления школьника. – М.: Знание. - 1982. - 96 с,

	Зеккер Л.М. Психологические процессы.: Изд-во Ленинград.ун-та, 1976.-342 с.

	Выготский Л.С. Собр.соч. т.1-6.М.,1982-1384.

	Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 223 с.

	Гусев В. А., Иванов А. И., Шаболин О. Д. Изучение величин на уроках математики и физики в средней школе. – М.: Просвещение, 1991. – 79 с.

	Епишева О.Б.Друпич З.Л. Учить школьников учиться математике.-М.просвещение, I99C.-128 с.

	Земляков. Геометрия в 9 классе.-U.гПросвещеяие,1988.–с.208.

	Земляков А.Н.Геометрия в 9 классе.-М.: Просвещение, 1986.-2С8с.

	Кабанова-Меллер Е.Н.Приемы учебной работы и овладение ими (в условиях развивающего обучения)//Вопросы психологии.-I98C.-C.145-I5C.

	Кабанова-Меллер Е.Н.Роль образа в решении задач//Вопросы психологии.  C.122-131C

	Кабанова-Меллер В.И. Формирование приёмов умственной деятельности и умственное развитие учащихся.-М.:Просвещение,. 1968.-288с.

	Калмыкова 3. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. – М.: Педагогика, 1981. - 200 с.

	Калмыкова 3. И. Психологические принципы развивающего обучения. – М.: Знание, 1979. - 48 с.

	Карнацевич Л. С, Мартынова М. П., Неменко В. М. Кабинет математики в школе. – К.: Рад. шк., 1978. – 127 с.

	II.Крупская Н.К.Методические заметки. Педагог.соч. в десяти томах, т.З.-М.:Лзд-во АПН РСФСР, 1959.– с.552-560.

	Менчинская Н.А. Мишление в процессе обучения//исследование мышления в советской психологии.-М., 1966.-с.349-357.

	Методика викладання математики: Практикум / За ред. Г. П. Бевза. — К.: Вища шк. Головне вид-во, 1981. – 199 с.

	Методика викладання математики: Наук.-метод, зб. / За ред. І. Є. 

	Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В. А. Оганесян, ІО. М. Колягин, Г. Я. Луканкин, В. Я. Соминський. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1980.- 367 с.

	Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю. М. Колягин, Г. Я. Луканкин, Е. Л. Макрушин и др. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

	Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика./Сост.: В. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

	Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика/Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 414 с.

	Методика розв'язання задач на побудову/За ред. О. М. Астряба, О. С. Смо-горжевського. – К.: Рад. шк., 1962. – 387 с.

	Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе.-М.:Просвещение,1987.

	Осинская З.Н. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики в 9-IC классах. Киев: Рад.школа, 119C.-143с.

	Осинская В.Н.Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике.-К.:Рад.школа,1989.

	Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить.-М.:Просвещение,1979.

	Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие дал 6–10 классов средней школы.-Ж. : Просведение, 1988.-ЗСЗ с.

	Рубинштейн С.А.Принципы пути развития психологии. М.:Лзд-во АН СССР, 1958,-1.47 с.

	Самостоятельная деятельность учащихся при обучений математики (формирование умений самостоятельной работы):Сб.статей (Состаз. С.И.Демидова, О.деяйщева)т И.:Просвещение,1985.-191 с. (Е-ка учителя математики).

	Слепкань З.Л. Зсяхолого-педагогические основы обучения математике:Метод.пособие.-Киев:Рад.школа,1983.-192 с.

	Талызина Н.5. Управление процессом усвоения знании.-М.:Изд-во Моск.ун-та,1975.-343с.

	Ридман Л.М. Учитесь учиться математике.-М.просвещение,1985.

	Эрдниев I.M., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике.-М.:Просвещение,198С.-255с.