Эрлангенская программа: прежде и теперь

Эрлангенская программа: прежде и теперь 

Переворот в геометрической науке, произведенный Феликсом Кляйном в конце 19 века, часто и справедливо сравнивают с реформой Евклида в античной геометрии. До Евклида был хаос (то есть, "газ") из разрозненных объектов и фактов древней науки. После него возник "кристалл" из тех же атомов (теорем, аксиом и определений), объединенных новыми логическими связями. Аналогично, до Кляйна была россыпь непохожих друг на друга кристаллов, синтезированных в разное время Евклидом, Гауссом, Лобачевским или Риманом. После Кляйна эта россыпь превратилась в упорядоченную коллекцию, где каждый экспонат задан своей группой допустимых преобразований интересующих нас фигур. 

20 век колоссально расширил эту коллекцию, введя в арсенал математиков бесконечное семейство новых групп и соответствующих им геометрий. Чтобы не утонуть в новом хаосе " "газе" из групп и однородных пространств, математикам пришлось упорядочить разные способы сравнения групп между собою. Так в 1900-е годы в трудах Исайя Шура возникла теория представлений групп; вскоре она стала важнейшей опорой теоретической физики и новых геометрий (бесконечномерных, или неархимедовых), которые Кляйн не мог вообразить в 1872 году. 

Двойной опыт Евклида и Кляйна в перестройке и упрощении высокоразвитой науки заслуживает рассмотрения с позиций обновленной физики. Если в обоих случаях мы имеем дело с фазовым переходом в структуре научной теории, то какова энергетика этого перехода" Можно ли описать его на языке Кляйна-Шура, сопоставив каждой геометрической теории некую группу допустимых преобразований каких-то фундаментальных объектов" Эти проблемы мы намерены обсудить. 

Вспомним, что система Евклида охватывала далеко не все факты и объекты греческой геометрии 4 века до н.э. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) не упомянуты в "Началах" ни единым словом. Конечно, Евклид был недоволен таким положением дел. Известно, что он написал трактат о конических сечениях " но не сумел унифицировать его с логической структурой "Начал", поэтому трактат не сохранился. Вскоре Аполлоний повторил (или превзошел) этот труд Евклида; но его книгу о конических сечениях также не удалось стыковать с "Началами". 

Унификация этого разнообразия началась лишь в Новое время - в трудах Декарта, на базе итальянской алгебры 16 века и новой системы числовых координат на плоскости. Этот подход соединил две, казалось бы, независимые ветви математики: геометрию фигур и арифметику чисел. Понятно, что такой синтез вызвал восторг многих поколений молодежи: от Ньютона до Галуа, который сформировался как математик под влиянием учебников Лежандра по аналитической геометрии и алгебраической теории чисел. 

Итак, между реформой Евклида и реформой Кляйна геометрия пережила еще один фазовый переход: "координатную революцию" Декарта. В сфере исследований эта революция совершилась за одно поколение " между появлением книги Декарта (1637) и ньютоновским открытием исчисления флюксий и флюент (1667). Напротив " в учебный процесс идеи Декарта проникали долго и мучительно. Не случайно Ньютон изложил свои открытия в "Математических Принципах Натурфилософии" (1687) на сложном, но привычном геометрическом языке " вместо новой и простой, но не обоснованной алгебры степенных рядов, которая вела мысль Ньютона от одного открытия к другому. Лишь сто лет спустя, когда новые вычислительные методы сделались основным аппаратом математики и механики, Адриен Лежандр использовал эту систему в преподавании геометрии будущим учителям и инженерам в Нормальной и Политехнической школах, порожденных Французской революцией. 

После этого (в начале 19 века) классическая геометрия оказалась расщеплена на две половины: "евклидову" и "декартову", которые медленно развивались, почти ничем не помогая друг другу. Это особенно заметно в творчестве Карла Гаусса. В юности, идя по пути Декарта, он достиг замечательного успеха: доказал невыполнимость многих построений циркулем и линейкой. Двадцать лет спустя (в 1818 году) Гаусс решил испытать путь Евклида: насколько далеко может завести "тонкая хирургия" принятой системы аксиом геометрии" При этом зрелый Гаусс как будто забыл те алгебраические методы, которые он успешно применял в юности. В итоге долгих интуитивных и логических поисков, не вводя в геометрию или логику новых понятий, Гаусс сумел лишь угадать новую великую истину: неполноту любой богатой системы аксиом и правил вывода, неизбежность ветвления каждой формальной теории по очередному постулату, который не удается ни опровергнуть, ни доказать. Видимо, эта перспектива потрясла Гаусса " и он предпочел умолчать о своих догадках, чтобы не вносить разврат в умы научной молодежи, не делать математику посмешищем для окружающих невежд. 

Выход из этого кризиса геометрии был возможен лишь с помощью алгебры " и Феликс Кляйн нашел этот выход, как только новая алгебра (теория групп) достигла необходимой понятийной зрелости в трудах Камилла Жордана. Вспомним, что создавать теорию групп перестановок S(n) начал Огюстен Коши в 1810-е годы. Вскоре юный Эварист Галуа с блеском применил алгебраические свойства групп S(n), доказав неразрешимость уравнений-многочленов степени n>4 в радикалах. Но рання смерть Галуа не позволила ему (в отличие от Ньютона или Гаусса) изложить свои открытия на общепонятном языке. Этот труд был завершел Жорданом лишь к 1870 году, когда Кляйну исполнилось 20 лет и он прибыл в Париж. 

Слушая лекции Жордана, юный Кляйн испытал такое же потрясение, какие прежде посещали Евклида и Ньютона, Гаусса и Галуа. Группы перестановок конечных множеств оказались могучим рабочим средством для геометрии и алгебры. Можно ожидать того же от групп взаимно-однозначных преобразований геометрических фигур! Эти группы различны в трех известных геометриях: Евклида, Лобачевского и Римана. Вероятно, они различают любые возможные геометрические миры! Так родилась в 1872 году Эрлангенская программа 23-летнего профессора Кляйна " первый манифест новой синтетической математики, не расщепленной на алгебру и геометрию. Вскоре Георг Кантор огласил второй манифест обновленной математики: общую теорию множеств, которая быстро переросла в топологию метрических пространств и окончательно срастила исчисление функций с исчислением фигур или чисел. Кляйн горячо приветствовал эту новинку, предлагая считать функцию (и ее символ " график) столь же универсальным "иероглифом" математической науки, какими издавна служили числа и фигуры. 

Очень важно, что (подобно Ньютону и Гауссу, но в отличие от Евклида или Галуа) Кляйн смолоду получил хорошее образование в области теоретической физики, считал ее сестрой и союзницей "чистой" математики. Выдвигая Эрлангенскую программу, Кляйн не мог не задуматься о той группе преобразований евклидова пространства, которая соответствует ньютоновой механике массивных точек и твердых тел. Тем более, что в эти же 1870-е годы Джемс Максвелл создал теорию электромагнитного поля (вторую главу единой математической физики), а Джозайя Гиббс распространил математическую термодинамику в область химических реакций. 

Успехи Максвелла убедили Кляйна, что Эрлангенская программа неизбежно включит геометрические исследования новых физических миров " с использованием той же теории групп. Но научный талант Кляйна явно уступал таланту Ньютона или Гаусса. Понимая это, Кляйн не пытался стать законодателем мод в рождающейся геометрической физике, предоставив эту честь друзьям и ученикам " прежде всего Максу НTтеру, который в 1918 году установил взаимно-однозначное соответствие между геометрическими и физическими мирами. НTтер доказал, что всякий закон сохранения в физике соответствует симметрии физической среды относительно некоторой группы ее преобразований " одной из возможных групп Ли. Так теория групп объединила, наконец, математическую физику с геометрией и алгеброй; главная мечта Кляйна исполнилась. Незадолго до этого правоту Кляйна признали главный математик и главный физик нового века: Давид Гильберт увлекся математической физикой, Альберт Эйнштейн выразил суть общей теории относительности на языке дифференциальной геометрии. 

Для нас, профессионалов, все это " события далекого прошлого, давно понятые и по достоинству оцененные мировой научной общественностью. Но для абсолютного большинства школьников (даже в математическом классе) это " Terra Incognita, об открытии которой не прочтешь ни в одном учебнике математики, физики или истории. Узнают ли российские юноши 21 века о надеждах и опасениях, удачах и ошибках научных Колумбов и Магелланов 17-20 веков " это зависит только от решимости и эрудиции того учителя, с которым их столкнула судьба. Не важно, какова узкая специальность такого учителя. Автору этих строк доводилось успешно излагать драму идей, завязанную Евклидом и развязанную Кляйном, в рамках разных учебных курсов, перед разными аудиториями " от математиков до гуманитариев. 

Вывод прост: понять суть дела способны все любознательные подростки, хотя каждая их категория говорит на своем диалекте и задает вопросы особого рода. Современных подростков объединяет еще одна черта: справедливо считая начало 20 века "древней историей", они требуют от учителя связать высшие достижения Эйнштейна, Гильберта или ГTделя с наукой и бытом наших дней. Кляйн предвидел такую ситуацию в 1910-е годы, когда он боролся за очередную реформу математического и общенаучного образования в "классических" (то есть, застывших на уровне Евклида или Лежандра) немецких гимназиях. Увы " даже лучшие гимназии и лицеи современной России сходным образом застыли на уровне Резерфорда и Бора, Менделя и Моргана, Ключевского и Моммзена, и наконец " самого Кляйна, который не одобрял превращения Эрлангенской программы в вечную икону. 

Если оказалось, что миром чисел или фигур управляют группы симметрий, то что может управлять самими группами Ли" В природе такое управление наблюдается на каждом шагу " от фазовых переходов в физике твердого тела, через перестройку ценозов и ветвление таксонов в биологии, до переворотов в российской или всемирной истории 20 века. Ради объединения столь разных и важных взглядов на природу учителю математики стоит потрудиться! Тем более, что путь этого объединения был намечен топологом Пуанкаре в начале нашего века, а вскоре физики-теоретики проверили этот путь. 

Он ведет через известный принцип наименьшего действия в его квантовой формулировке, найденной Фейнманом: в природе наблюдаются все те и только те траектории движения тел или систем, которые соответствуют экстремальным значениям функционала Действия. Если эти траектории " минимальные (как в механике), то поведение системы качественно не изменяется. Если же траектория " экстремаль ненулевого индекса (то есть, седло или максимум на графике Действия), то движение по ней вызывает фазовый переход в системе " будь то тающий лед, осенний лес или российское общество 1917 года. 

Согласно топологической теории Морса (созданной в 1930 году), совокупность всех экстремальных траекторий задает клеточное разбиение гладкого многообразия с двумя краями, или БОРДИЗМА, заменяющего в новой физике классическое понятие мировой линии. В 1950-е годы Рене Том создал теорию бордизмов любой размерности. После этого топологи и физики начали изучать бордизмы произвольных фигур, особенно групп Ли " и к 1970 году алгебро-геометрический аппарат общей теории эволюции был, в основном, создан (хотя биологи и социологи не сразу заметили это). Вспомним, как тремя веками раньше Ньютон создал на основе дифференциальных уравнений единую математическую теорию механических процессов, не вызывающих эволюции. Осмысление и совершенствование механики Ньютона затянулось на полтораста лет - до эпохи Лагранжа и Лапласа, которые сумели объяснить все, кроме происхождения Солнечной системы. 

Сейчас Эрлангенской программе Кляйна исполнилось 125 лет. Видно, как 25 лет назад математики завершили ее понимание, создав топологическую теорию управления симметриями природных систем. После 1967 года началось проникновение этой теории в физику элементарных частиц и вакуума. Сейчас, поколением позже, пора начинать экспорт новой модели физического мира в умы школьников! Первые опыты этого рода в ведущих физматшколах России прошли успешно. Старшеклассники быстро привыкают к тому, что программа Кляйна охватывает всю природу " включая биоэволюцию, социальные катаклизмы и деятельность людей-творцов, чьи биографии изображаются траекториями максимального действия. Конечно, вычислительные трудности на этом пути огромны " но ведь и школьный курс математического анализа включает далеко не все, что умел делать Ньютон! 

Нужно крепить наметившуюся связь, наводя все новые мосты между школьными курсами математики и разных ветвей естествознания " включая историю науки, неразделимо сплетенную с историей человечества. Чем больше учителей разного профиля увлечется этой мечтой, тем более зрелым и уверенным вступит в 21 век нынешнее поколение юных россиян. Феликс Кляйн, Давид Гильберт и Николай Лузин решали сходную задачу в начале 20 века. Опыт развития российской науки в нашем столетии показал, что эти труды не пропали даром. Очень хочется, чтобы через полвека или через век потомки сказали нечто подобное о наших усилиях...