Решение нелинейных уравнений

Лабораторная работа

Решение нелинейных уравнений






Задание



N =07

М=2

Дано уравнение:         

Найти все решения уравнения графически.

Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до 

 = 0,001:

*методом половинного деления;

*методом Ньютона - Рафсона;

 методом секущих;

 конечно-разностным методом Ньютона;

*методом простой итерации;

*методом хорд и касательных

 комбинированным методом Ньютона.

Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.

Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.



нелинейный уравнение графический ньютон итерация


1. Решение уравнения графически:







2. Метод половинного деления



Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.

Начальное приближение: 

Критерий остановки: <2; .



Таблица результатов

Метод половинного деления

k

ak

bk

xk

f(ak)

f(bk)

f(xk)

|bk-ak|

f(xk)*f(ak)

f(xk)*f(bk)

|bk-ak|<2ε

0

0

1,5

0,75

-2,070

4,305

-0,148

1,5

0,306360 

-1,000000 

-

1

0,75

1,5

1,125

-0,148

4,305

1,604

0,75

-0,237392 

6,905220 

-

2

0,75

1,125

0,938

-0,148

1,604

0,631

0,375

-0,093388 

1,012120 

-

3

0,75

0,938

0,844

-0,148

0,631

0,219

0,188

-0,032412 

0,138190 

-

4

0,75

0,844

0,797

-0,148

0,219

0,03

0,094

-0,004440 

0,006570 

-

5

0,75

0,797

0,774

-0,148

0,03

-0,058

0,047

0,008584 

-0,001740 

-

6

0,774

0,797

0,786

-0,058

0,03

-0,012

0,023

0,000696 

-0,000360 

-

7

0,786

0,797

0,792

-0,012

0,03

0,011

0,011

-0,000132 

0,000330 

-

8

0,786

0,792

0,789

-0,012

0,011

-0,001

0,006

0,000012 

-0,000010 

-

9

0,789

0,792

0,791

-0,001

0,011

0,007

0,003

-0,000007 

0,000080 

-

10

0,789

0,791

0,790

-0,001

0,007

0,003

0,002

-0,000003 

0,000020 

-

11

0,789

0,790

0,790

-0,001

0,003

0,003

0,001

 

 

+



3. Метод Ньютона – Рафсона



Расчетная формула: , где 



Начальное приближение:.

Критерий остановки: |f(xk+1)-f(xk)|<ε; .



Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рафсона

k

xk

f(xk)

f'(xk)

|f(xk+1)-f(xk)|<ε

0

0,75

-0,1481

3,688

-

1

0,79

0,003

3,872

-

2

0,789

-0,0008

3,868

+



4. Метод Ньютона – Рассела



Расчетная формула:  



Начальное приближение: : x = 0,75

Критерий остановки: |f(xk+1)-f(xk)|<ε, .



Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рассела

k

xk

h

xk+h

f(xk)

f(xk+h)

|f(xk+1)-f(xk)|<ε

0

0,75

1

1,75

-0,1481

6,789

-

1

0,771

1

1,771

-0,0697

7,027

-

2

0,781

1

1,781

-0,0316

7,141

-

3

0,785

1

1,785

-0,0163

7,187

-

4

0,787

1

1,787

-0,0086

7,211

-

5

0,788

1

1,788

-0,0047

7,222

-

6

0,789

1

1,789

-0,0008

7,234

-

7

0,789

1

1,789

-0,0008

7,234

+



5. Метод простой итерации



Расчетная формула:. x=(x), где (x)=x - k f(x), k=0.11



Начальное приближение: x = 0,75

Критерий остановки: |xk+1-xk|≤ε; .



Таблица результатов

Метод простой итерации

k

xk

φ(xk)

|xk+1-xk|≤ε

0

0,5

0,604

-

1

0,604

0,675

-

2

0,675

0,720

-

3

0,720

0,748

-

4

0,748

0,765

-

5

0,765

0,775

-

6

0,775

0,781

-

7

0,781

0,784

-

8

0,784

0,786

-

9

0,786

0,787

-

10

0,787

0,788

-

11

0,788

0,789

-

12

0,789

0,789

+




6. Метод хорд и касательных



Расчетная формула: , 

,где .



Начальное приближение: , 

Критерий остановки: ; .



Таблица результатов:

Метод хорд и касательных

k

ak

bk

f(ak)

f(bk)

f'(ak)

f'(bk)

f''(ak)

f''(bk)

f(ak) *f''(ak)

f(bk) *f''(bk)

|bk-ak|<2ε

0

0

1,5

-2,070

4,305

2

8,75

0

9

0

38,745

-

1

0,487

1,022

-0,980

1,041

2,712

5,133

2,922

6,132

-2,86 

6,383

-

2

0,746

0,852

-0,163

0,252

3,67

4,178

4,476

5,112

-0,73 

1,288

-

3

0,788

0,803

-0,005

0,054

3,863

3,934

4,728

4,818

-0,02 

0,26

-

4

0,789

0,792

-0,001

0,011

3,868

3,882

4,734

4,752

-0,01 

0,052

-

5

0,789

0,79

-0,001

0,003

3,868

3,872

4,734

4,74

-0,01 

0,014

+






Вывод



Название метода

Вычислительная сложность

Сложность

реализации

Глобальная

сходимость

Скорость

сходимости



h

Произв.







Метод Ньютона-Рафсона

-

+

+++

-

квадратичная

Метод половинного деления

-

-

+

+

линейная

Метод простой итерации

-

-

+

-

линейная

Конечно-разностный метод

+

-

++

-

сверхлинейная (при хорошем выборе h)

Метод секущих

-

+

++

-

сверхлинейная

Метод хорд и касательных

-

+

+++



квадратичная

Метод хорд

-

+

+++

-

Сначала лин., потом сверхлин.