Контрольная по Математике

Контрольная работа по дисциплине «Математика»

для студентов заочного отделения


1. Найти пределы функций:



а)	 =;  = 

=  =  =

=  =  =  = 0;



б)	 =  = 

 =

 =

 =  =  =.6290;



в)	 =  =

 =  =  = 0;


г)	 = = =  = 

= ln  = = ln e* = 1*56/3 = 18.667;



д)	;  =  = 

= = ;;



е)	 =  =  =

=  =  +  = 

=  -  = -  =

=  = 2.



2. Найти производные  функций:



а)	 =  =

= ;



б)	 =  =  = ;


в)	 =  = 

=  = 

=  =

= ;



г)	= = 

=  = 

=  = ;



д)	= ;



е)	; ;

;



ж)	;; ;


; ;; ;;



з)	. = =

= = ;



3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции 



.



1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва.  отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.

2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.

3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.

4. Найдем асимптоты при  в виде у = kх+b. Имеем:



k =


b = 



Таким образом при  асимптотой служит прямая ОХ оси координат.

Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7



=-1,19,



 .



В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.

5. Найдем точки пересечения с осями координат:



Х

0

У

1,08



Точка (0:3,86) с осью ОУ.

6. Исследуем на возрастание и убывание:



 = 

.0;


Это говорит о том что функция возрастающая.

Строим график:







4. Найти интегралы при m=3, n=4:



а) = 

= :



б)= = пусть t = arcsin4x, 

 получим = = .



в)= 

= ;

==. 




Решаем равенство и получим:



;



аналогично второе слагаемое



3- получим = 



подставим все в последнее равенство



… = + +9+-+С.



г).= = =

= ==

 = ….избавившись



от знаменателя получим



B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);



Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28; 


…=  = = = 2,527766.



5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4: 



а)  = …



пусть t = arctg(x/4), тогда  и  подставим и получим



… = ;



б)= 

= 0,6880057.



6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , при m=3, n=4.






 х = -1,5, у = -18,25.



точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25)



X

-4.19

1.19

0

Y

0

0

-16



 или 



Х

0

4

У

-4

0



Точки пересечения двух функций:



=  и  т.е.:  и .



Площадь получиться из выражения



= = 49,679.




График выглядит:







7. Найти частные производные  функций при m=3, n=4:



а) =,



,



,







б). ;



;










8. Найти дифференциал функции:  при m=3, n=4.







9. Для функции  в точке  найти градиент и производную по направлению  при m=3, n=4.



 в точке А(-4,3)











grad(z) = (-0,1429:0,1875);



=grad(z)* ()*cos=…




cos



10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4



 



в области, заданной неравенствами: 



.







D=AC-B;



A=



B=



C=



D=AC-B=()() - ;














найдем 



; 



Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).



A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0;



= -114,74 < 0 – нет экстремума функции,

= 45097,12 > 0 – min функции = 12,279;

= 1767.38 > 0 - min функции = 65,94;

= -160,296 < 0 – нет экстремума функции.



11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4: 



.



 = , так как 


подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим 



.







12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями ,  и плоскостью, проходящей через точки ,  и .



А)см. рис.



 



- получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.


7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=



23x-812+116z-45y=0



Получим пределы интегрирования:

Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).



= =

== =

=232,109 куб.ед.,



13. Вычислить при m=3, n=4 , где , , а контур образован линиями , , .

а) непосредственно;

б) по формулам Грина.



,



P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.


= = 

= = 

= = 

= = 

= = 

= = 

= =32,4060912,



где пределы интегрирования были получены:



 и у = 9, то  откуда х = 2,52.



14. Даны поле  и пирамида с вершинами , , ,. Найти при m=3, n=4:







O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7).



а) поток поля  через грань пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью ; 


= 

= = 

==

==

==…



после подстановки и преобразования однородных членов получим:



… = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.



поток поля 



= 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.



б) поток поля  через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;

в) циркуляцию поля  вдоль замкнутого контура ;

с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).



rot(F) = ,



в нашем случае 






15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:



= .