Современный урок математики "ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ" 8 Класс

МБОУ Дорогобужская СОШ  №2



                         







          Современный урок математики (по курсу « Алгебра» 8 класс)

       ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ



                   (Урок формирования умений и навыков)





	



   Урок составила

Учитель высшей категории

Баринова Е.А.                                                                                 











Дорогобуж 2013



	Тема урока: Графическое решение квадратных уравнений.	

Цели урока:

	Образовательные: повторить графики ранее изученных функций, научить учащихся решать квадратные уравнения графическим способом.

	Развивающие: развивать логическое мышление, познавательную и мыслительную деятельность, учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

	Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

	Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, презентация.

Методы урока: словесный, наглядный, практический.

Структура урока: (продолжительность урока 45мин).

1. Орг. момент (1мин)

2. Мотивационная беседа (2мин).

3. Актуализация знаний (10мин).

4. Изучение новой темы (12мин).

5. Физкульт. минутка (2мин).

6. Закрепление изученного материала (12мин).

7. Домашнее задание (2мин).

8. Итог урока (2мин).

9. Рефлексия (2мин).









Ход  урока.

Этап 1. Орг. момент.

Учитель: Здравствуйте. Приятно вас видеть. Садитесь. Кто в классе отсутствует? (выслушиваю дежурного).

Учитель: Есть ли вопросы по домашнему заданию? (в случае необходимости разбираем поступившие вопросы).

Этап 2. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, где в повседневной жизни человек встречается со словом «Графики»?

 	Выслушиваю ответы учащихся.

 Ответы могут быть такими: «График движения автобусов», « График работы врача-терапевта Х», «График зависимости расстояния от времени при постоянной скорости предмета»…

 Учитель: Вы правы. Для описания движения кораблей, поездов, самолетов необходимо строить графики, читать их, изучать свойства графиков. С графиками мы встречаемся в школе при изучении общеобразовательных предметов. На уроках   физики показываем зависимость массы тела от его объема; на уроках информатики составляем таблицы, диаграммы, графики; на уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Сегодня на уроке математики мы узнаем, как  решать квадратные уравнения графическим способом (слайд 1).

Хотелось бы, чтобы девизом сегодняшнего урока стали слова: «График функции – не цель, а средство, помогающее решить уравнение».

Этап 3. Актуализация знаний.

Вызываю двух  учащихся к доске.

По карточкам (на доске)  учащиеся самостоятельно выполняют задания:

Задание 1 ученику.

 Решите уравнения аналитическим способом:

а) х2-2х=0.             б) х2-4=0.

Задание 2 ученику. 

 Решите уравнения  аналитическим способом:

а) 2х2-2=0.              б) х2 =5.

На этом этапе урока провожу устную фронтальную работу с остальными учащимися класса. Обсуждение  вопросов сопровождается показом слайдов презентации (слайд 2):

Вопросы:

1.Что является графиком функции у=х+3?

Ответ: графиком функции у=х+3 является  прямая .

2. Какая кривая является графиком функции у=0,5х2 ?

Ответ: графиком функции у=0,5х2 является парабола.

3. Куда направлены ветви параболы? Почему?

Ответ: ветви параболы направлены вверх, т.к. а 0, а=0,5.

4. Что является графиком функции у=6/х ?

Ответ: графиком данной функции является гипербола.

5. В каких четвертях расположены ветви гиперболы у=-?

Ответ: ветви гиперболы расположены во 2 и 4 четвертях.

6. Что является графиком функции у=

Ответ: ветвь параболы.

Слайд 3:    7. В каких четвертях расположен график функции у=?  

Ответ: в 3 и в 4 координатных четвертях.  

8. Найти координаты вершины параболы (х0;у0), заданной  формулой  у=х2+2х-3.

Ответ: х0=-2:2=-1.у0=(-1)2-2-3=-4,то есть (-1;-4;).

9. Какая прямая служит осью симметрии параболы: у=х2+2х-3?

Ответ: осью симметрии параболы служит прямая х=х0, то есть прямая х=-1.

10. Определите наименьшее значение функции: у=х2+2х-3.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.

11. Укажите промежутки возрастания и убывания функции: у=х2+2х-3.

Ответ: функция у=х2+2х-3 убывает на промежутке (-;-1], функция возрастает на промежутке   [-1;+

 Проверяем работу учащихся у доски: 

Решение заданий 1 ученика:                                		  

а) х2-2х=0                                б) х2-4=0                   		 		

х (х-2)=0                                   (х-2)(х+2)=0 	        	 	                           	  х=0 или х-2=0   		       х-2=0 или х+2=0

 х=0           х=2                          х=2       	х=-2		 		    

Ответ:0;2.                            Ответ:2;-2.    	                  	   

Решение заданий 2 ученика:

а) 2х2-2=0                               б) х2=5

2(х2-1)=0                                     х=  х=-                  

(х-1)(х+1)=0                              Ответ:  -

х=1 или х=-1

Ответ:1;-1.                                

Справка: При решении данных уравнений использовать формулы корней квадратных уравнений учащиеся  не могут, т.к. эти формулы изучаются в «Алгебре-8» по учебнику А. Г. Мордковича позже - в параграфе 25. В 7 классе, встречаясь с квадратными  уравнениями ах2+вх+с=0, учащиеся либо раскладывали левую часть на множители, либо использовали графические методы (см. стр.48 учебник «Алгебра-8» А. Г. Мордковича).

Задаем учащимся дополнительные вопросы:

Что называется уравнением?

Что называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Оцениваем работу учащихся, комментируя их ответ.

Этап 4. Изучение новой темы.

Учитель: Откроем тетради. Пишем число. Классная работа.

Тема урока: «Графическое решение квадратных уравнений» 

Учитель: Начнем изучение темы с графического решения  линейного  уравнения: х+3=5-х (слайд 4).

В прошлом году, изучая учебник «Алгебра-7», мы выработали алгоритм графического  решения  уравнений.  Дома вы повторили графическое решение уравнения: =6-х. (см. стр.62-63 пример 2 учебника «Алгебра-8»). Поэтому вам нетрудно сейчас воспринять решение уравнения: х+3=5-х (объяснение сопровождаю показом слайда 4):  

Решение комментирует учитель: чтобы графически решить данное уравнение х+3=5-х, нужно применить следующий алгоритм:

1. рассмотрим две функции: у=х+3 и у=5-х.

2. построим график функции у=х+3.

3. построим график функции у=5-х.
4. найдем точки пересечения построенных графиков; абсциссы этих точек - корни уравнения х+3=5-х.

Применив этот алгоритм, получили ответ: х=1.

Учитель: Переходим к графическому решению квадратных уравнений. При решении пытаемся использовать аналогичный алгоритм (слайд 5):

Алгоритм решения квадратных уравнений  графическим способом :

1. Из уравнения выделяем знакомые  нам функции.

2. Строим графики функций в одной координатной плоскости.

3. Находим координаты точек пересечения графиков.

4. Из найденных  координат-выбираем значение абсциссы, то есть х.

5. Записываем ответ.

Учитель: Сегодня на уроке аналитически было решено квадратное уравнение: х2-4=0.(решал 1 ученик). Теперь проследим этапы графического решения этого квадратного уравнения: х2-4=0 (слайд 6). 

Учитель: Рассмотрим следующий слайд 7. Проанализируем алгоритм графического решения квадратного уравнения: х2-4х+4=0.

Учитель: Что необходимо выполнить на 1 этапе решения? 

Ответ: необходимо  уравнение переписать так, чтобы встретились известные нам функции.

Учитель: Какие будут  предложения? 

Ответ: Выслушиваю ответы учащихся, записываю х2 =4х-4.

Учитель: В чем состоит 2 этап графического решения квадратного уравнения?

Ответ: Из уравнения необходимо выделить знакомые нам функции: у=х2  и у=4х-4.

Учитель: Сформулируйте 3 этап решения.

Ответ: Надо построить графики функций у=х2  и у=4х-4 в одной  координатной плоскости.

Учитель: Что необходимо выполнить на 4 этапе решения?

Ответ: Надо найти координаты точки пересечения построенных  графиков:(2;4). 

Учитель: Как выбрать корень решаемого уравнения?

Ответ: Указываем  значение абсциссы найденной точки: х=2.

Пишем ответ: х=2.

Учитель: Сколько корней  может иметь квадратное уравнение?

Ответ: Не более двух. Таким образом , встречаются квадратные уравнения, имеющие 2 корня,1 корень, нет корней.

Учитель: Как расположены графики функций в случае: уравнение не имеет корней?

Выслушиваю ответ учащихся. Закрепляем его просмотром слайда 8.

Слайд 8. Решите графически квадратное уравнение:4х2-х+4==0.

Этап 5. Физкульт. минутка (проводит дежурный класса).

Этап 6. Закрепление изученного материала.	

Учитель:  Зачем необходимо решать квадратные уравнения? Попытаемся ответить на него, решив из задачника задачу №23.10.

Задача №23.10. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 14 дм, а площадь равна 12 дм2.  

Учитель: Учитывая тему сегодняшнего урока, предложите способ решения задачи.

Ответ: Графический. 

Учитель: Какую величину примем за неизвестное?

Ответ: Длину одной стороны прямоугольника обозначим буквой х. 

Учитель: Чему равна длина другой стороны?

Ответ: 7-х.

Учитель: Чему равна площадь прямоугольника?

Ответ: Произведению двух его смежных сторон.

Учитель: Какое уравнение можно составить по условию задачи?

Ответ: х(7-х)=12.

т. е.         7х-х2-12=0.

Ученики решают это уравнение в тетрадях, один из учеников комментирует решение вслух с места:

Перепишем уравнение так, чтобы встретились знакомые нам функции:

 х2 =7х-12.

Строим графики функций: у=х2 и у=7х-12 в одной координатной плоскости. Графиком функции у=х2 является парабола, ветви направлены вверх;

Графиком функции у =7х-12   является прямая . Строим  прямую, используя координаты точек: (1;-5),(2;2).

Находим координаты точки пересечения графиков: (3;9).

Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т. е. х=3.

Читаем вопрос задачи и пишем ответ. Ответ: 3дм и 4дм. Задача решена.

Учитель: Эта задача показывает, что квадратные уравнения широко применяются при решении геометрических задач.

Учитель: А теперь предлагаю вам самостоятельно решить квадратное уравнение: 2х2+3х-2=0.

Работа выполняется в тетради. Затем учащиеся проверяют работы друг друга по слайду 9:

Решение: 

2х2=-3х+2.

х2=-1,5х+1

у=х2 и у=-1,5х+1.

Ответ: х1=-2, х2=0,5.

Этап 7. Домашнее задание.

Задание на дом включает №23.5(г),23.7(г),23.9 из  задачника для 8 класса по алгебре  А.Г. Мордковича и др. - М.: Мнемозина,2009.-255с.

Кроме того, для более глубокого осознания теории изучаемого вопроса и ее применения на практике, сильные ученики должны составить опорный конспект решения квадратного уравнения с параметром:№23.15.

При каком значении  р уравнение  х2-2х+1=р  имеет один корень?

Этап 8. Итог урока.

Сегодня на уроке мы рассматривали решение квадратных уравнений аналитическим методом, познакомились с алгоритмом решения квадратных уравнений графическим способом. Давайте еще раз отложим в памяти рассмотренный  материал (слайд 10).

На уроке активно работали учащиеся:       (Ф. И . уч.)

Оценки получили:        (Ф.И. уч.)

Этап 9. Рефлексия.

Учитель: Ребята, посмотрите на текст (слайд 11):

Я - понял…

Я - знаю…

Я - умею…

решать квадратные уравнения графически.

Учитель: А теперь поднимите руки те учащиеся, которые довольны результатами своей работы на уроке (мысленно оцениваю результаты своего труда, делаю выводы).

                                     



                                             Литература

1. А. Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. Часть 1. Учебник для учащихся  общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина,2012.

2. А. Г. Мордкович и др. Алгебра. 8 класс. Часть 2.Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина,2012.

3. А. Г. Мордкович. Алгебра -8.Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина,2012.