Экстремумы функций 3

Экстремумы  функции

На рисунке 123 изображён график функции   y=-3. Рассмотри окрестности точки x=0, т.е. некоторый интервал содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки   x=0, что наибольшее значение функция -3 в этой окрестности принимает в точке x = 0. Например, на интервале (—1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке x=0. Точку x = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично точку x = 2 называют точкой минимума функции x—Зх2, так как значение функции в этой точке меньше ее значения в любой точке некоторой окрестности точки  x=2, например окрестности (1,5; 2,5).

Точка  называется точкой максимума функции (x), если существует такая окрестность точки , что для всех xх0 из этой окрестности выполняется неравенство 

                                          f(x)  

Например, точка хо = 0 является точкой максимума функции f(x) =1—х2, так как  f(0)=1 и при всех значениях x верно неравенство f(x) <1 (рис.  124).

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех xх0 из этой окрестности выполняется неравенство 

                                           f(x)  

Например, точка х0=2 является точкой минимума функции f(x) =3+(x— 2)2, так как /(2) = 3 и /(х)>3   при   всех   значениях   хф2   (рис.  125).

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Рассмотрим функцию /(х), которая определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет производную в этой точке.

Теорема. Если х0 — точка экстремума дифференцируемой функции /(х), то /'(х0) = 0.

Это утверждение называют теоремой Ферма1. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции г/ = /(х) в точке (х0; / (х0), где х0 — точка экстремума функции г/ = /(х), параллельна оси абсцисс, и поэтому  ее  угловой  коэффициент  /'(х0)  равен  нулю (рис.  126). Например, функция / (х) = 1 — х2 (рис. 124) имеет