Определитель матрицы 2

Оглавление



	Задача 1 

	Задача 2 

	Задача 3 

	Задача 4 

	Задача 5 




Задача 1



Вычислить определитель 4-го порядка.



Решение:

Определитель 4-го порядка находится по формуле:



 ,



где

aij – элемент матрицы;

Мij – минора элемента aij. Минора элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij





















Задача 2



Решить систему матричным способом.





Решение:

	Введем обозначения:









Тогда в матричной форме система имеет вид , т.е. 

А-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. 

	Найдем определитель матрицы по формуле:









Так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная.

	Найдем обратную матрицу по формуле:



, где



- присоеденненая матрица, элементы которой  равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы , и затем транспонированная.

		найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:







Получается матрица





		транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)







		обратная матрица равна:







		Находим значение переменных х1,х2,х3:





Х1=-27,  Х2=36,  Х3=-9



Задача 3



Решить систему методом Крамера



Решение:

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Данную систему представим в виде матрицы:







Найдем определители: 



,







 

(, т.е. можно применить метод Крамера)

;

.

Найдем значение x, y:



, 



, 

Задача 4



Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:





Решение:

Данную систему представим в виде матрицы:













В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11. Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:


; 

; 

; 



; 

; 

; 



;

; 

; 



; 

; 

; 



;



;



; 

; 

;  







В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

;      ;         

; ; 

;               

 




В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

; 

;      

;        

 



Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:







Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда 

Х1=3,8-3,4С;		Х2=23,6-7,8С;		Х3=-33+С


Задача 5



Даны векторы.



Найти:



Решение:

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.

Из данных уравнений выделим координаты векторов:

, где координатами являются (x,y,z)

т.е. координатами вектора  являются (18,2,1), а координатами вектора являются (1,-2,17).

Скалярное произведение векторов находится по формуле:









Длина  вектора  определяется по формуле: