Область определения функции

Федеральное агентство по образованию

Среднего профессионального образования 

«Профессиональный лицей №15»

Кафедра: Станочник (металлообработка)





















Контрольная работа

по курсу: «Математика»

на тему: «Область определения функции»









Выполнил студент гр. Т 102

Бахирев Я.А.



Проверил: Корнилова Н.Г.







	Воткинск

2010


1. Решить неравенство

	

	x2 – 3x+5 

	x-1

	

	Решение.

	Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.

	Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения

	x-1

	D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:

	

	x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).

	

	Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:

	

	x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1) 

	x-1x-1=0 (2)

	

	Решая уравнение (1), получим:

	

	x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.

	

	Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.

	Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:

	
f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5 

	

	 2-1

	Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:

	

	f (x) < 0 f (x)>0 

	f (x) > 0, x c (1;).

	Ответ: (1;). 

	

	2. Решить неравенство

	

	Log5(3x+1)<2

	

	Решение.

	Используя свойства логарифмов положительных чисел

	

	loga a=1

	m loga b =loga bm

	

	преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида

	

	loga f (x) < loga g(x)

	

	Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)<log552.

	

	При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:

	

	Если a > 1, то 

	Loga f(x) < loga g(x)  0 < f(x) < g(x)

	

	log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,

	11

	3 < x < 8, x с 3; 8.

	1

	Ответ: 3; 8. 

	

	3. Найдите все решения уравнения

	

	sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.

	

	Решение.

	Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:

	

	sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.

	|cosx=0

	|sinx-v3=0

	0<x<2п

	

	Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения

	

	cosf(x)=0 f(x)=п +пn, n c Z 2

	
Решим уравнение (1):

	

	cosx=0, x=п+пn, n с Z

	

	Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:

	

	0< п +пn<2п, п <пn<2п п

		222, п < пn < 3п 1 < n < 3

		2 п п 2 п, 2 2.

		

		Так как n с Z, то n=0 и n =1. Подставляя n=0 и n=1

		в уравнение (4), получим:

		sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.

		Ответ: п 3п 

		2, 2.

	

	4. Найдите наименьшее значение функции

	

	f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].

	

	Решение.

	Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.

	Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

	Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:

	
(f(x) +g(x)) =f (x) + g (x)

	(xm) = mxm-1

	C=0

	

	f(x)=(3x2-18x+7) =3 (x2)-18 x +7=3 2x2-1-18 x1-1 +0=6x-18. 

	

	Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:

	

	f(x)=0

	

	6x-18=0, x=3 c [-5; -1].

	Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:

	f(x)=3x2-18x+7,

	f(-5)=3 (-5)2-18 (-5)+7=75+90+7=172,

	f(-1)=3 (-1)2-18 (-1)+7=3+18+7=28.

	Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:

	min f(x)=f(-1)=28.

	[-5; -1]

	Ответ: min f(x)=f(-1)=28.

[-5; -1] 

	

	5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx

	

	Решение.

	Найдем область определения D(f) функции f(x):

	
D(f)=(- ~;~).

	

	Все функции, имеющие производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято) обозначают:

	

| f(x)dx=F(x)+C

	

	Используя свойства неопределенного интеграла

	

|(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx

|af(x) dx=a|f(x)dx

	

	и таблицу неопределённых интегралов

	

	xm+1

| xmdx=m+1 + C, где m= -1

|sinx dx= -cosx + C

	

	получим:

	

	F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx) dx= |xdx + 5| sinx dx= 1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.

	x1+1 x2

	

	Ответ: F(x) = 2 -5cosx + C.