Две замечательные теоремы планиметрии

Две замечательные теоремы планиметрии.

Мендель В.В., доцент кафедры геометрии ХГПУ

В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.

Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.

Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:

 1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;

 2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;

 3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке;

 В







 С1 А1



 В1

А С 

рисунок 1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)

4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.

 Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы.

 К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.

 Одна из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач. 

Формулировки теорем Чевы и Менелая.

 В





А С В1



 А1

 С1

рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон) 

 Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.

Теорема Менелая.

 Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда: 

 (*) 

на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.



Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*).

 Будем рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).

Опустим из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см. рис.2) 

 



 В





 Н1 

 Н2

 С1

 А1 Н3





 А С В1

рисунок 2 

Мы получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.



(У первых двух пар равны верти-

кальные углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий: 

; ; .

 Легко заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*).

 Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство:  в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В: 

.

 Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин).

 Доказательство для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично.

Теорема Чевы.

 Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:

 (**)

 На рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС.

 В





 С1



 А1

 О

 А



 В1

 С

рисунок 3 а)

Доказательство: (прямая теорема)

 Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С):  (1)



проделаем тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А):



  (2)

 В













А В1 С





 О



 С1 А1

рисунок 3 б) 

 Перемножив левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**).

 Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая.

Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая 

для решения задач.

 Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.

 Итак, в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы если в условиях задачи: 

1) идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);

2) если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

 Конечно есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений. 

 Заметим также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой).

Примеры решения задач.

 Начнем с достаточно простых.

1. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN).

Решение:

SMKNC=SBNC-SBKM. Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S). Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC.

Второе отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.

 Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А: 

Второе и третье отношения нам известны, подставим их: 

 и  

Подставив найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:

,

 зная площадь треугольника NВС (S) находим площадь треугольника ВKМ:

Теперь легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=S-S=S.

Для самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной редакции.

2. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.

 Следующая задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11 классов.

3. Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Решение: Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и 

 М







 В

 

 

 L Q С







 А Д К Р

рисунок 4

прямую LQ(P). Запишем теорему Менелая: 

Напомним, что  РА+РC=РВ+ РD =180°.

 Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда 

Теперь выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из D AMP), 

BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из D MBP).



Отсюда 





рисунок 5

 Подставив найденные отношения в полученную выше формулу имеем:  



откуда  что и требовалось доказать.

(Авторское решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).



В заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году на краевой олимпиаде.

4. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.

Решение: запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В): 



 

т.к. СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать.