Основные элементарные функции, их свойства и графики

Национальный научно-исследовательский университет

-ИрГТУ-

Кафедра прикладной геологии







Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции, 

их свойства и графики»















Выполнил:



.

Проверил:

преподаватель

Коваленко Е.В. 







Иркутск 2010

Содержание:



Показательные функции:	- 3 -

Степенные функции:	- 3 -

Логарифмические функции:	- 3 -

Тригонометрические функции:	- 3 -

Обратные тригонометрические функции:	- 3 -

Список использованной литературы:	- 3 -

Список рисунков:	- 3 -





































Показательные функции:



Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции :

Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.

Является функцией общего вида.





Рис. 1 График функции , на интервале x  [-3;3]





Рис. 2 График функции , на интервале x  [-3;3]



Степенные функции:



Функция вида у(х)=хn, где n – число  R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;

При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).

Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз. 



Рис. 3 График функции , на интервале x  [-3;3]





Степенная функция у=х³

График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами: 

D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

Функция возрастает на всей области определения.

Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).



Рис. 4 График функции , на интервале x  [-3;3]

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. 

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами: 

D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.



Рис. 5 График функции , на интервале x  [-3;3]



Степенная функция с дробным показателем



Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

D(x)  R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;

E(y)  (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;

Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.

Функция проходит через начало координат в любом случае.





Рис. 6 График функции , на интервале x  [0;3]





Рис. 7 График функции , на интервале x  [0;5]



Рис. 8 График функции , на интервале x  [-3;3]



Логарифмические функции:



Логарифмическая функция у = loga x обладает следующими свойствами :

Область определения D(x)  (0; + ∞).

Область значений E(y)  ( - ∞; + ∞)

Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции у = loga x может быть получен из графика функции у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.



Рис. 9 График функции  ; на интервале x  [0;5]



Рис. 10 График функции  ; на интервале x  [0;5]

Тригонометрические функции:



Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.





Функция y = sin (х).

Область определения D(x)  R.

Область значений  E(y)  [ - 1; 1].

Функция периодическая; основной период равен 2π.

Функция нечетная .

Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n  Z. 

График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.



Рис. 11 График функции  ; на интервале x  [-2;2]



Функция y = cos(х).

Область определения D(x)  R.

Область значений E(y)  [ - 1; 1].

Функция периодическая с основным периодом 2π.

Функция четная.

Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12.





Рис. 12 График функции  ; на интервале x  [-2;2]

Функция y = tg х.

Область определения: D(x)  π/2 + πk, kZ.

Область значений E(y)  (- ∞; + ∞)

π- основной период функции.

Функция нечетная.

Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).

График функции у = tg х изображен на рисунке 13.



Рис. 13 График функции  ; на интервале x  (- ;)

Функция y = ctg х.

Область определения функции: D(x)   xπ/2 +πk, kZ.

Область значений функции E(y)  (- ∞; + ∞).

Функция периодическая с основным периодом π.

Функция нечетная.

Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).

График функции у = ctg х изображен на рисунке 14.



Рис. 14 График функции  ; на интервале x  (-𝜋;)



Обратные тригонометрические функции:



Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями.

Функция y = arcsin (x):

Свойства функции y = arcsin (x):

1. Область определения D(x)[−1;1]

2. Область значения  E(y) [−π/2;π/2]

3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x

6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х)

График функции y = arcsin (x)  изображен на рисунке 15.



Рис. 15 График функции  ; на интервале x  [- ;]

Функция y = arccos (x):

Свойства функции y = arccos (x):

1. Область определения D(x)[−1;1]

2. Область значения  E(y) [0;π]

3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x

6. y=arccos(x) функция общего вида

График функции y = arccos (x)  изображен на рисунке 16.





Рис. 16 График функции  ; на интервале x  [- ;]

Функция y = arctg (x):

Свойства функции y = arctg (x):

Область определения D(x)(- ∞;+∞)

Область значения  E(y) [−π/2;π/2]

y=arctg (x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

График y = arctg(x) симметричен графику y = tg(x) относительно линии y=x

y=arctg (x) нечетная функция.

График функции y = arctg (x)  изображен на рисунке 17.





Рис. 17 График функции  ; на интервале x  [- 5; 5]

Функция y = arcсtg (x):

Свойства функции y = arcсtg (x):

Область определения D(x)(- ∞;+∞)

Область значения  E(y) [0 ; π]

y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D

График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x

y=arcctg (x) функция общего вида.

График функции y = arcctg (x)  изображен на рисунке 18.



Рис. 18 График функции .



Список использованной литературы:

Алгебра и начала анализа, учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений ; С.М. Никольский; М. Просвещение, 2001

Конспект лекции по высшей математике.

Некоторые изображения взяты из сети Интернет, графики функции построены в программе Microsoft Office Exel. 

Список рисунков:

Рис. 1 График функции , на интервале x  [-3;3] ………………………- 3 -

Рис. 2 График функции , на интервале x  [-3;3] ..…………………..- 3 -

Рис. 3 График функции , на интервале x  [-3;3] ………………………- 3 -

Рис. 4 График функции , на интервале x  [-3;3]……………………… - 3 -

Рис. 5 График функции , на интервале x  [-3;3] …………………......- 3 -

Рис. 6 График функции , на интервале x  [0;3] ………………………..- 3 -

Рис. 7 График функции , на интервале x  [0;5] ……..………………..- 3 -

Рис. 8 График функции , на интервале x  [-3;3] …………………...…..- 3 -

Рис. 9 График функции  ; на интервале x  [0;5]…………………... - 3 -

Рис. 10 График функции  ; на интервале x  [0;5] …………..……...- 3 -

Рис. 11 График функции  ; на интервале x  [-2;2] …………..- 3 -

Рис. 12 График функции  ; на интервале x  [-2;2] …………..- 3 -

Рис. 13 График функции  ; на интервале x  (- ;) ………..- 3 -

Рис. 14 График функции  ; на интервале x  (-𝜋;) ……………- 3 -

Рис. 15 График функции  ; на интервале x  [- ;] ………...- 3 -

Рис. 16 График функции  ; на интервале x  [- ;] ………..- 3 -

Рис. 17 График функции  ; на интервале x  [- 5; 5] ………….- 3 -

Рис. 18 График функции . ……………………………………..- 3 -



- 1 -