Краткое доказательство гипотезы Биля

Краткое доказательство гипотезы Биля



Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:



Аx +Вy= Сz/1/



не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:



Аx = Сz - Вy/2/



Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде:



Аx = (С0,5z) 2 - (В0,5y) 2 /3/



Обозначим:



В0,5y =V /4/

С0,5z =U /5/



Отсюда:



Вy =V2 /6/

Сz =U2 /7/

В = /8/

С = /9/



Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:



Аx = Сz -Вy =U2-V2 /10/



Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:



Аx = (U-V) ∙ (U+V) /11/



Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:



U-V=X /12/



Из уравнения /12/ имеем:



U=V+X /13/



Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:



Аx = X· (V+X+V) =X (2V+X) =2VХ+X2 /14/



Из уравнения /14/ имеем:



Аx - X2=2VХ/15/



Отсюда:



V=/16/



Из уравнений /13/ и /16/ имеем:



U=  /17/



Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:



B = /18/

C = /19/



Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа А на число X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:



A = N∙ X, /20/



где N - простое или составное целое положительное число.

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует:



В= /21/

C= /22/



Обозначим:

P =  /23/

Q =  /24/



Тогда:



B =  /25/

С = /26/



Из уравнений /23/ и /24/ имеем:



Q =  /27/



Таким образом, из уравнений /26/ и /27/ следует:



С = /28/



Из анализа уравнений /25/ и /28/ следует, что поскольку разность между числами P и Q равна всего лишь:



Q - P = P + 1 - P = 1, /29/



то по меньшей мере одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В - целое число.

ПРИМЕРЫ: X=33 = 27; P = 53 =125; y=6.

По формуле /25/ имеем:



B =  =.



Тогда:



при z=6: С = =  - дробное число.

при z=5: С = =  - дробное число.

при z=4: С = =  - дробное число.

при z=3: С = =  - дробное число.

при z=7: С = =  - дробное число.

Очевидно, что если (am) 2 = a2m, то (am + 1) 2 ≠ b2m,



где: a - целое число;

b - целое число.

Таким образом, одно из чисел В или С - дробное число. Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.