Теория вероятности и математическая статистика 2

Министерство образования и науки 

Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Филиал государственного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Тюменский государственный университет»

В г. Тобольске 

Специальность «Финансы и кредит»









Контрольная работа 

Предмет: «Теория вероятности и математическая статистика»

Вариант №8















Выполнила: 

№ зачетной книжки: 

№ группы: 

Домашний адрес: 







Тобольск, 2009



	На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?

	

	Решение

	

	Вариант получившегося слова является размещением 3-х элементов по 3.

	

	N(n-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)= 

	Отсюда получаем:

	

	Число таких вариантов равно:

	

	Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m=1, тогда по классическому определению вероятности

	

	

	

	

	Какое из восьми вычислительных устройств обслуживается одним оператором? В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены.

	

	Решение

	

	Поскольку количество испытаний не велико (n=8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k=6 раз воспользуемся формулой Бернулли:

	, где q=1-p

	По условию задачи вероятность назначения оператора равна , значит 

	

	 



	Опыт состоит в четырехкратном выборе с вращением одной из букв алфавита Е={а, б, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?

	

	Решение

	

	Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из четырёх элементов по четыре элемента, т.е.

	N = = 

	Слову «мама» соответствует лишь один исход. Поэтому

	Р(А) =  = 0,00390625 ≈ 0,004

	Ответ: 0,004.

	

	

	70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

	

	Решение

	

			        детали		брак

	1 автомат  	70%		2%	

	2 автомат	   (100-70)%	5%

	Введём обозначения для событий: А - взятая деталь оказалась бракованной; В1, В2 – эта деталь изготовлена соответственно первым и вторым автоматом. Имеем: 

	Р(В1) = 0,7;		Р(В2) = 0,3

	 =0,02		 = 0,05

	По формуле Байеса  РА(Вk) =  (k = 1, 2, …, п) находим

	РА(В2) =  =  =  ≈ 0,52

	






	В первый класс должны были принять 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

	

	Решение

	

	Пусть событие А состоит в том, что в первый класс приняли 200 детей, девочек будет 100. Поскольку количество испытаний велико (n=200), то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k=100 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласса:

	, где  и F(x) – диф. функция Лапласса-Гаусса.

	По условию задачи вероятность рождения мальчиков равна q=0.515,значит

	 вероятность рождения девочек равна p=1-q=1-0.515=0.485

	Определим аргумент функции Лапласса-Гаусса x:

	

	По таблице значений функций Лапласса определяем, что F(0,42)=0,1628

Теперь 

  







Случайная величина Х задана функцией f(x). Определить: а) плотность распределения f(x); b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b); с) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функций F(x) и f(x).





Решение



					  0		x ≤ -1,5

а) f(x) = F'(x)			f(x) =  	   	 -1,5 < x ≤ 1,5

  0		x > 1,5



b) P (a ≤ x ≤ b) =  =>	

= > P (-1,5 ≤ x ≤ 1,5) =  =  =  (1,5 - 0,5) =    ≈ 0,33



c)М(х)= = =    =    ≈ 0,75



      D(x)=
= = 3,9375  ≈  4





Построим графики F(x) и f(x)







	Даны результаты наблюдений некоторой случайной физической величины Х, сгруппированные в статистический ряд.

	а) Построить гистограмму и полигон частот.

	b) Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

	с) Вычислить числовые характеристики:

		выборочную среднюю;

		выборочное среднее квадратичное отклонение;

		асимметрию;

		эксцесс;

		коэффициент вариаций.

	d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов аx и ех и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

	е) Определить точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность распределения вероятностей f(x).

	f) Найти теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

	g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

	Время выполнения упражнения (с):

	

	Границы интервалов

	9,35-9,45

	9,45-9,55

	9,55-10,05

	Частоты

	5

	7

	2

	

	Решение

	Границы интервалов

	9,35-9,45

	9,45-9,55

	9,55-10,05

	

	Середины интервалов

	9,40

	9,50

	9,80

	

	Частоты

	5

	7

	2

	п = 14

	

	а) Построим гистограмму и полигон частот.

	

	Гистограмма частот

	

	

	

	Полигон частот

	

	

	b) Составим эмпирическую функцию распределения и изобразим ее графически.

	Найдём объём выборки: n = 5 + 7 + 2 = 14

	Зная, что 			

	0	при x < x1

				при xk ≤ x ≤ xk+1	(k € N)

				1	при x ≤ xs

	 , при 9,35 < x < 9,45

	, при 9,45 < x < 9,55

	, при 9,55 < x < 10,05 

	

	можем записать эмпирическую функцию и изобразить графически:

	0 	при  х ≤ 9,35

	

			   	при  9,35 < x < 9,45

	

		    , 	при  9,45 < x < 9,55

	

			   1	при  9,55 ≤ x 

	

	

	

	с) Вычислим числовые характеристики:

		выборочную среднюю;

	, 

	в данной задаче в качестве xi возьмём серидины интервалов, а ni – соответствующие этим интервалам частоты.

	  ≈ 7,18

	

			выборочное среднее квадратичное отклонение;

	 ,			

	≈  -  ≈ 38,87

	 

	  6,23

	

		асимметрию;

	 ,			 

	

	 ≈ 12,74

	

	 ≈ 0,05

	

		эксцесс;

	 , 		 

	

	 ≈ 30

	

	 -3 = -2,98017 ≈  -3

	 

		коэффициент вариаций.

	0,87

	

	d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов аx и ех и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

	Решение:

	Сделаем предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

	аx = 0,05  и  ех = -3, что неприемлимо для нормального закона распределения.

	М(х) = σ(х) – для показательного закона распределения. Здесь имеем М(х) =  = 7,18, а 
σ(х) = 6,23 => отпадает версия о показательном распределении.

	При законе распределения Пуассона М(х) = D(х) = а. В данной задаче М(х) = 7,18, а

	D(х)=dB=  = ≈
≈ 5,44		=> 	и этот закон отпадает.

	Таким образом, сходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х можно сделать вывод-предположение, что она распределена  по биноминальному закону распределения.

	

	е) Определим точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, запишем плотность распределения вероятностей f(x).

	Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр а – это математическое ожидание М(х), а параметр b – это среднее квадратичное отклонение σ(х).

	Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так:

	

	

	

	а  = М(х) = 7,18 , b  = σ(х) = 6,23.

	

	

	

	f) Найдём теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

	При нахождении теоретических частот  за оценку математического ожидания и среднего квадратического ожидания нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик  и σв , т.е.

	

	m =  = 7,18 , G = σв = 6,23

	

	 ,  		где n – объём выборки, n = 14

		рi – величина попадания значения нормально распределённой случайной величины в i-ый интервал.

	

	рi = р (аi < x ≤ bi ) ≈   ,

	 , 		

	ai

		bi

		ni

		T1i

		T2i

		1/2 Ф(T1i)

		1/2 Ф(T2i)

		pi

		pi*n

		Mti

		9,35

		9,45

		5

		0,35

		0,36

		0,1847

		0,19465

		0,00995

		0,04975

		0,05

		9,45

		9,55

		7

		0,36

		0,38

		0,19465

		0,2045

		0,00985

		0,06895

		0,07

		9,55

		10,05

		2

		0,38

		0,46

		0,2045

		0,24235

		0,03785

		0,0757

		0,08

	

	

	g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

	 , 	γ = 0,95.

	где	 = δ – точность оценки,

		n – объём выборки,

		t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) =  = 0,475 => t = 1,96

	δ = 1,96 *  = 3,27

	7,18 – 3,27 <   < 7,18 + 3,27

	3,91 <  < 10,45

	S =  =  =  ≈ 5,86 ,

	где S – исправленное среднее квадратическое отклонение

	

	S( 1 - q) < σ < S( 1 + q)	если q < 1

	

	0 < σ < S( 1 + q)	если q < 1

	По данным задачи  γ = 0,95 и n = 14 в специальном приложении найдём q = 0,48< 1. Итак:

	

	6,23*( 1 – 0,48) < σ < 6,23*( 1 + 0,48)

	     3,2396 < σ < 9,2204

	           3,2 < σ < 9,2

	

	Математическое ожидание найдём при неизвестном σ нормального распределения.

	

	По таблице в специальном приложении к учебнику определим tγ => tγ = 2,16

	

	   6,23 – 2,16*

		          2,8535 9,6157

			    2,9 9,6

	

	

	

	8. Зависимость между признаками X и Y задана корреляционной таблицей. Требуется:

	а) вычислить выборочный коэффициент корреляции;

	b) составить уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y  на X.

	X – стрела кривизны рельса, см. 

	Y – количество дефектов рельса, см на 25 м.

	

	Y

	X

	6,75-7,25

	7,25-7,75

	7,75-8,25

	8,25-8,75

	0

	2

	1

	

	2

	5

	

	1

	2

	

	10

	

	

	

	1

	15

	

	2

	

	4

	20

	

	1

	1

	3

	

	Решение

	

	а) вычислим выборочный коэффициент корреляции;

	 , 	Cxy = M(xy) – M(x)M(y) , 	M(xy) =

	

	Y 

	X

	6,75-7,25

	7,25-7,75

	7,75-8,25

	8,25-8,75

	nx

	

	7

	7,5

	8

	8,5

	

	0

	2

	1

	

	2

	5

	5

	

	1

	2

	

	3

	10

	

	

	

	1

	1

	15

	

	2

	

	4

	6

	20

	

	1

	1

	3

	5

	ny

	2

	5

	3

	10

	20

	

	M(x) = mx =  

	M(x) = mx = 20* + 15* + 10* + 5* + 0 = 
 = 10,75

	

	M(y) = my =  7* + 7,5* + 8* + 8,5* =  = =8,025

	

	M(xy) = 20*+ 15* +10* + 
+ 5*  = 87,875

	

	D(x) = M(x2) – [M(x)]2 = 202*+152*+102*+52*+ 0- -87,8752 = 176,25 - 115,56 =  60,6875

	

	D(y) = M(y2) – [M(y)]2 = 72* + 7,52* + 82* + 8,52* - 8,0252 = 64,6875 -
-  64,40063 = 0,286875

	

	σ(х) =  =  ≈ 7,8

	

	σ(y) =  =  ≈ 0,54

	

	 =  = 0,384961383 ≈ 0,4

	Если || *  3, то связь между случайными величинами x и y достаточно вероятна.

	|0,4|* ≈ 1,39 < 3 – связь между случайными величинами x и y мало вероятна.

	b) составим уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y  на X.

	

	 = 

	

	 =  =  = 10 ,		=  =  =  7,75

	

	 - 10 = 0,4 ** (y - 7,75)

	 = 5,78y – 44,78 + 10

	 = 5,78y – 34,78 – уравнение прямой линии регрессии X на Y

	

	 = 

	

	– 7,75 = 0,4 ** (х - 10)

	= 0,03y – 0,28 +7,75

	= 0,38y + 7,47 - уравнение прямой линии регрессии Y на X

2