Свойства чисел Периодическая система чисел

©  Автор Бутарева Людмила 

                                                                                                29 декабря 2006 г.





                                                     СВОЙСТВА   ЧИСЕЛ

                                     ПЕРИОДИЧЕСКАЯ   СИСТЕМА   ЧИСЕЛ.



Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся  в различной  периодической зависимости от порядковых  номеров чисел.



Например, рассмотрим шестеричную периодизацию чисел.

  1.     Запишем натуральный ряд чисел по 6

---------------------------------------------------------------------------------------------

        Группы    !         A              B            C             D             E             F

-------------------!--------------------------------------------------------------------------

        Периоды  !

             0           !                                                                                       1                                                                                                                                                    

             1           !         2              3             4              5              6             7 

             2           !         8              9            10            11            12           13  

             3           !       14             15           16            17            18           19                                        

             n           !     6n - 4       6n - 3      6n - 2       6n - 1         6n         6n + 1

   -----------------!-------------------------------------------------------------------------

                                 Условные обозначения:     A B  C  D  E  F - группы чисел

                                                                                0, 1, 2... n  -  ## периодов  



    2.    Продолжим таблицу  в область отрицательных чисел:                                                                                                                                                                                                                           --------------------------------------------------------------------------------------------

        Группы     !         A              B            C             D             E             F

------------------- !------------------------------------------------------------------------

        Периоды   !

            -4           !      -28           -27          -26          -25          -24          -23

            -3           !      -22           -21          -20          -19          -18          -17

            -2           !      -16           -15          -14          -13         - 12          -11

            -1           !      -10             -9           -8            -7             -6            -5

             0           !       -4             -3            -2            -1              0             1                                                                                                                                                    

             1           !         2              3             4              5              6             7 

             2           !         8              9            10            11            12           13  

             3           !       14             15           16            17            18           19 

             4           !       20             21           22            23            24           25                           

             n           !     6n - 4       6n - 3      6n - 2       6n - 1         6n         6n + 1

   -----------------!-------------------------------------------------------------------------



Группы В и Е – самостоятельные группы.  Отрицательные числа каждой из этих групп по абсолютной величине равны собственным положительным. 

 Группа А  в отрицательной части переходит в группу С (и наоборот).

 Группа D в отрицательной части переходит в группу F (и наоборот). 

 По абсолютной величине ряды чисел  A = C,  D = F на всем протяжении от оо до – оо. 

Группы  A и C,  D и F называются близнецами.

В Таблице № 1 приведены некоторые общие свойства чисел по группам при шестеричной периодизации.





Таблица № 1

___________________________________________________________________                                                                                                                                                   

    Группа      !      Общие свойства чисел                      

---------------- !----------------------------------------------------------------------------------                                                                                                                                                          А   ( 6n – 4)   !    Четные (из них 1 простое)                    !  имеет близнеца С

B   ( 6n – 3)   !     Кратные 3-м ( из них 1 простое)         !            

С   ( 6n – 2)   !     Четные                                                   !  имеет близнеца  А                                                                               D   ( 6n – 1)   !     Простые + произведения D x F           !  имеет близнеца  F                                                       

E   ( 6n)         !     Четные, кратные 3-м                            !

F  ( 6n  + 1)   !     Простые + произведения D x D, F x F!  имеет близнеца  D

 ------------------------------------------------ -------------------------------------------------                                                                  

       . 



                                               I. ПРОСТЫЕ   ЧИСЛА

Таблица № 2 Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.

--------------------------------------------------------------

           Группы     !        A     B     C     D     E     F

----------------------!---------------------------------------    

 №№ периодов    !      

             0               !        х     х     х      х      х     х                                    

             1               !        2     3     х      5      х     7 

             2               !        х     х     х     11     х    13 

             3               !        х     х     х     17     х    19 

             4               !        х     х     х     23     х     х              

             n               !        х     х     х  6n - 1   х  6n + 1

----------------------!-----------------------------------------



1.    Числа 2 и 3 – первичные простые числа. Это единственные простые числа, стоящие рядом, без интервалов

Все остальные, типичные простые числа находятся в D и F группах 

Обозначим  №№ периодов чисел группы  D буквой d, а чисел группы F буквой f.

                            D = 6d -1                F = 6f +1.

2.     Типичные простые числа, принадлежащие разным  группам, но одному и тому же периоду, называются близнецами 

 Например

     Числа 5 и7 – близнецы. Они имеют один и тот же период d = f = 1

                            ( 6d – 1 ) = 6 х 1 – 1 = 5 

                            ( 6f + 1 ) = 6 х 1 + 1 = 7. 

      Числа 29 и 31 – близнецы. Они имеют период d = f = 5

                             ( 6d – 1 ) = 6 х 5 – 1 = 29 

                             ( 6f + 1 ) = 6 х 5 + 1 = 31

3.     Состав ряда чисел группы D ( Таблица №1) 

а) простые числа 

b) произведения  D х F:

           ( 6a – 1 ) х ( 6b + 1 ) = 36ab + 6a – 6b –  1  = 6 (6ab + a  – b) – 1 = 6d - 1

Отсюда следует, что все D =/ 6 (6ab + a  – b) – 1 

( где a и b любое натуральное число) – это  простые числа. 

Все d =/ 6ab + a  – b (где a и b любое натуральное число) – это периоды простых чисел.

4.      Состав ряда чисел группы  F ( Таблица №1)

             а) простые числа

             b) произведения  D х D

                 ( 6a – 1 ) х ( 6b – 1 ) = 36ab –  6a – 6b + 1 = 6 (6ab – a – b) + 1

             с) произведения  F х  F:

                 ( 6a + 1 ) х ( 6b + 1 ) = 36ab + 6a + 6b + 1 = 6 (6ab + a + b) + 1

 Значит, простые числа это:

              F =/ 6 (6ab – a – b) + 1 

              F =/ 6 (6ab + a + b) +  1( где a и b любое натуральное число) 

Периоды простых чисел

              f =/ 6ab - a  – b

              f =/ 6ab + a  + b (где a и b любое натуральное число)

.





                                      II   ТЕСТЫ    ПРОСТОТЫ 

 

                                               1. РЕШЕТО

 Запишем любой из числовых рядов групп D или  F до нужного нам числа. Знак ( - ) опустим без ущерба для нашей задачи. 



  53    47    41    35    29    23    17    11    5    1    7    13    19    25    31    37    43    49    55

 

Центр этого ряда  - число 1. Оно не является простым. Обозначим его [х]. Первое после 1 

число 5 – простое. От 5  влево и вправо отсчитываем каждое 5-ое число и  вычеркиваем. 



    53    47    41    х     29    23    17    11    5    х    7    13    19    х     31    37    43    49    х



Следующее по величине невычеркнутое число 7 – простое. От 7  влево и вправо отсчитываем каждое 7-е число и вычеркиваем. 



    53    47    41    х     29    23    17    11    5    х    7    13    19    х     31    37    43    х     х



Мы получили ряд типичных простых чисел в интервале от 5 до 55. Достаточным является вычеркиваемое число [корень квадратный из наибольшего квадрата в ряду]. 



                                          2. ПЕСОЧНЫЕ  ЧАСЫ

                                                                                                                                                                                                                                                           

Таблица № 1 Определение простоты чисел «Песочные часы»

____________________________________________________________________

!         !                   !                   !                   !                   !                   ! _________!x!

!         !                   !                   !                   !                   ! _________!_!_!_!_!_!x!_!

!         !                   !                   !                   !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!

!         !                   !                   ! _________!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!

!         !                   !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!

!         !_________ !_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!

! ____!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!0!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!                   !  !

!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!                   !                   !  !

!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!                   !                   !                   !  !

!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!                   !                   !                   !                   !  !

!_!x!_!_!_!_!_!_!_!                   !                   !                   !                   !                   !  !

!x!_!_!_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_!



1    Разрежем Таблицу № 1 на вертикальные колонки шириной 6 клеток.   

      2.   Отрежем от каждой колонки белую неразлинованную часть.

      3    Совместим колонки, наложив друг на друга. Если первая колонка имеет ширину меньше, чем 6 клеток, то она сдвигается вправо, а последняя – влево до боковой линии.

Допустим, что лист прозрачный. Тогда пустые клетки в совмещенной колонке

соответствуют простым числам ( Таблицы № 2А и2В ). Формулы вверху Таблицы № 2В  для чисел f периодов от 0 и выше, формулы внизу – для чисел d периодов от 0 и ниже. (Периоды f и d - №№ строчек ).

                                                                                  

  Таблица № 2А                                            Таблица № 2В                                       Периоды                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

                                       _____________________________________________                                                                                                                                                                   

                                       !_36f+25 !_36f+19!_36f+13 !_36f+7_!_36f+1_!_36f-5_!       F

     ___________            ______________________________________________

     !х!х!х!_!_!х!            !_______!_______!_______!__547__!__541__!_______!     15

     !х!_!х!х!х!_!            !_______!__ 523_ !_______!_______!_______!__499__!     14

     !х!_!х!х!х!_!            !_______!__487__!_______!_______!_______!__463__!     13

     !_!х!х!_!_!х!            !__457__!_______!_______!__439__!__433__!_______!     12

     !_!х!_!х!_!х!            !__421__!_______!__409__!_______!__397__!_______!     11

     !х!_!_!_!х!х!            !_______!__379__!__373__!__367__!_______!_______!     10

     !_!х!_!_!х!х!            !__349__!_______!__337__!__331__!_______!_______!      9

     !_!_!х!х!х!_!            !__313__!__307__!_______!_______!_______!__283__!      8

     !_!_!х!х!х!х!            !__277__!__271__!_______!_______!_______!_______!      7

     !_!х!_!_!х!_!            !__241__!_______!__229__!__223__!_______!__211__!      6

     !х!_!_!х!_!х!            !_______!__199__!__193__!_______!__181__!_______!      5

     !х!_!_!_!х!_!            !_______!__163__!__157__!__151__!_______!__139__!      4

     !х!_!х!х!_!_!            !_______!__127__!_______!_______!__109__!__103__!      3

     !_!х!х!_!_!_!            !___97__!_______!_______!___79__!___73__!___67__!      2

     !_!х!х!_!_!_!            !___61__!_______!_______!___43__!___37__!___31__!      1

     !х!_!_!_!0!_!            !_______!___19__!___13__!____7__!_______!____5__!      0

     !_!_!_!_!х!_!            !___11__!___17__!____23_!___29__!_______!___41__!      1

     !_!_!_!х!_!х!            !___47__!___53__!___59__!_______!___71__!_______!      2

     !_!_!х!_!_!_!            !___83__!___89__!_______!__101__!__107__!__113__!      3

     !х!х!_!_!х!_!            !_______!_______!__131__!__137__!_______!__149__!      4

     !х!х!_!_!_!х!            !_______!_______!___167_!__173__!__179__!_______!      5

     !_!_!х!х!х!х!            !__191__!__197__!_______!_______!_______!_______!      6

     !_!_!_!х!_!_!            !__227__!__233__!__239__!_______!__251__!__257__!      7

     !_!_!х!_!х!_!            !__263__!__269__!_______!__281__!_______!__293__!      8

     !х!х!_!_!х!х!            !_______!_______!__311__!__317__!_______!_______!      9

     !х!х!_!_!_!х!            !_______!_______!__347__!__353__!__359__!_______!     10

     !х!х!_!_!х!_!            !_______!_______!__383__!__389__!_______!__401__!     11

     !х!х!_!х!_!х!            !_______!_______!__419__!_______!__443__!_______!     12

     !_!_!х!_!_!х!            !__443__!__449__!_______!__461__!__467__!_______!     13

     !_!х!_!х!_!_!            !__479__!_______!__491__!_______!__503__!__509__!     14

     !х!_!х!х!х!х!            !_______!__521__!_______!_______!_______!_______!     15

     !х!_!_!_!х!х!            !_______!__557__!__563__!__569__!_______!_______!     16

     !_!_!_!х!х!_!            !__587__!__593__!__599__!_______!_______!__617  _!     17

                                      _______________________________________________

                                      !36d -25 _!36d-19_!36d-13_!_36d-7_ !_36d-1_ !_36d+5_!      D



                                                    Построение Таблицы № 1  



  1.    Числовая ось. ( Таблица № 3А)

Числовая ось -  это два ряда натуральных чисел, которые идут вверх и вниз от 0 в центре таблицы. Числа на оси - номера периодов.

  2.    Периоды чисел. ( Таблица № 3А)  

Период чисел – это одна строчка (6 клеток) в колонке. Вверх от 0 идут  №№ периодов f чисел вида (6а  + 1), вниз от 0 идут  №№ периодов d чисел  вида (6а - 1).                                                                                    

  3.    Числовые узлы. ( Таблица № 3В)

Числовые узлы - это числа d на оси, равные квадратам чисел (1 4 9 16 ... n ^ 2). 

   4.    Числовые цепочки . ( Таблицы  № 3В и №3С)

Числовые цепочки – парные. Они симметричны относительно оси. Каждая клетка в цепочке сдвинута относительно предыдущей на 1 клетку в сторону от числовой оси, на n клеток вверх или вниз (похоже на «ход конем» в шахматах.)

   а) Числовые цепочки внизу от 0 исходят из числовых узлов d. Клетки в них сдвинуты  на 1 в стороны от числовой оси и на n  вниз (Таблица № 3В). Параметры построения цепочек вниз от 0 приведены в Таблице № 4А  



           Таблица № 3                      

         А. Числовая ось.      В. Числовые узлы d = n^2           C. Числовые 

         Периоды чисел             и числовые цепочки d’                 цепочки f’                             

           _______f___               ________       ________          _______________      

           !_!_!_!_!4!_!              !_!_!х!_!_!     !_!_!х!_!_!        !х!_!_!_!3!_!_!_!х!    

           !_!_!_!_!3!_!              !_!х!2!х!_!     !_!_!5!_!_!        !_!х!_!_!2!_!_!х!_!         

           !_!_!_!_!2!_!              !х!_!3!_!х!     !_!х!6!х!_!        !_!_!х!_!1!_!х!_!_!         

           !_!_!_!_!1!_!                                     !_!_!7!_!_!        !_!_!_!_!0!_!_!_!_!         

           !_!_!_!_!0!_!                 d = 1^2        !х!_!8!_!х!                 

           !_!_!_!_!1!_!                                                                            f = 1^2

           !_!_!_!_!2!_!                                        d = 2^2                 

           !_!_!_!_!4!_!                                                                 

                         d

         b) Цепочки вверх от 0 начинаются на расстоянии 2n клеток по обе стороны от f = n^2 (клетка f при этом отсчете выполняет роль 0)  и сдвинуты на 1 клетку в стороны от оси и на n клеток вверх (Таблица № 3С)                                                                                                          

Параметры построения цепочек от 0 и выше приведены в Таблице № 4В

            

Таблица № 4А.Параметры                       Таблица № 4В. Параметры 

цепочек  чисел вида (6а – 1)                      цепочек чисел вида (6а + 1)              

 (вниз от 0)                                                  (вверх от 0)

___________________________               ________________________________________

! Числовые !  Колич.!  Колич. !                !  Число   !    Количество    !  Колич, !   Колич.  ! 

!      узлы     ! клеток !клеток в !                !  на оси  ! клеток от числа! клеток  ! клеток в  !

!                   !   вниз   ! сторону !                !              !      на оси до      !   вниз    ! сторону   !

!                   !              !                !               !               ! начала цепочки!               !                 !

!--------------!-----------!-----------!                !-----------!-------------------- !-----------!-------------!                                                                                       

!   1 ^ 2= 1   !     1       !        1     !                ! 1 ^ 2=  !!         1 х 2           !      1       !      1         !

!   2 ^ 2 = 4  !     2       !       1      !                ! 2 ^2 = 4 !         2 х 2          !      2       !      1         !

!   3 ^ 2 = 9  !     3       !       1      !                ! 3 ^ 2= 9 !         3 х 2          !      3       !      1         !

!   n ^ 2        !      n      !       1      !                !  n ^ 2     !           2n             !      n       !      1         !

!--------------!----------!----------- !                !-----------!---------------------!-----------!------------ !



Построим числовые цепочки до нужного нам числа. Все непомеченные знаком {x} клетки соответствуют простым числам. Следует предусмотреть, что запись цифр на числовой оси не является зачеркиванием клеток

Таким способом можно определить все простые числа от 5 и больше до технически возможных пределов.

 



1