Квадратные формы

Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.



 



Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.



Примеры квадратичных форм:



        (n = 2),



        (n = 3).   (10.1)



Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:



Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.



     Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:



1)       Все собственные числа симметрической матрицы действительные.



Доказательство (для n = 2).



Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:



                            (10.2)        Найдем дискриминант:



 следовательно, уравнение имеет только действительные корни.



2)       Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.



Доказательство (для n = 2).



Координаты собственных векторов  и  должны удовлетворять уравнениям:



 Следовательно, их можно задать так:



. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:



 По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что  Подставим эти соотношения в предыдущее равенство:  Значит, .



 



Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.



 Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица  .                                              (10.3)



Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.



 



Приведение квадратичной формы к каноническому виду



Определение 10.4. Каноническим видом  квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: .                                       (10.4)



Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть 



               - нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ1,λ2,λ3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица



. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:



                          ,



получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ1, λ2, λ3:



               .                                                         (10.5)



 



Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.



 



Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.



 



Пример.



Приведем к каноническому виду квадратичную форму



          x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz.



Ее матрица имеет вид  В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:



 



 Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:



(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:



                     .



 Получим:





Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы. 







||Оглавление||