Типовые динамические звенья и их характеристики

Типовые динамические звенья и их характеристики






Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:



 (1)



Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:

Усилительное (безынерционное).

Дифференцирующее.

Форсирующее звено 1-го порядка.

Форсирующее звено 2-го порядка.

Интегрирующее.

Апериодическое (инерционное).

Колебательное.

Запаздывающее.

При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:



 (2)



или передаточной функцией:



 (3)



При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:



 



t

t

0

h(t)

0

k.1(t)

k(t)

k.(t)







а) б)

Рис. 1



Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:


.





+j

k   +

АФХ

АЧХ

ФЧХ

0

0

k

0

0

0

()

A()











h(t)

Рис. 2



Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .





L()



k<1

0

k>1

k=1

ЛАЧХ









Рис. 3



Примеры звена:

Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).

Потенциометр (рис. 4б).











Uвых

Uвх

R



Roc



Rвх

Uвых

Uвх







а) б)

Рис. 4


3. Редуктор (рис. 5).







K(p)=i=вых /вх.

вых

вх







Рис. 5



Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:



 (4)



или передаточной функцией:



 (5)



где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:



 






           h(t)



k1(t)



           

        0                                     t

             T             а)     

k(t)

k/T











0                             t                           

               б)

Рис. 6



Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:









-/4

-/2

 k/2          k    +

ФЧХ

0

0

()

c=1/T

+j

АФХ

c = 1/T

 k

 k

2



АЧХ

0

0

A()

c  =1/T









-k/2



h(t)

а) б) 				в)

Рис. 7



Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле




При





+20



    0



-20 





ЛАЧХ

L()

-20 дБ/дек



с



0.1    1     10  100     









Рис. 8



Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.

Примеры звена:

1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).



Сoc





Rос

Rвх

Uвых

K(p) = k/(Tp+1);

T = RосCос;

k = RосRвх.



Uвх



 

Рис. 9


2. Звенья на RLC-цепях (рис. 10).



L





R

Uвх

С

Uвх   



R



Uвых

Uвых





   

Рис. 10



4. Механические демпферы (рис. 11).





Y





X







Рис. 11



Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:



 (6)



или передаточной функцией:


 (7)



При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:



 





t

                 а)

h(t)

1/Т

1/T

k(t)

t

            6)









Рис. 12



Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:







0                  

-/2

АЧХ

A()

  0                      

ФЧХ

()





+j

            +

АФХ





=





h(t)

Рис. 13


Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:











0

ЛАЧХ

L()

-20 дБ/дек



с



+20

-20

0.1    1     10  100     







Рис. 14



Пример звена. Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).





Rвх

Uвых

Uвх

Сoc



K(p) =  1/Tp;

T = RвхCос.





 

Рис. 15



Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:



 (8)


или передаточной функцией:



 (9)



При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:



 



k(t)= T(t)

   0                        t

               б)

h(t)=T(t)

t

                 а)











Рис. 16



Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:







      +

АЧХ

0

0

A()

T0

ФЧХ

0

0

()

/2

+j

АФХ

=









а)				б) 				 б)			

Рис. 17


Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:











0

ЛАЧХ

L()

20 дБ/дек



с



+20

-20

0.1    1     10  100     









Рис. 18



Примеры звена:

1. Дифференцирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 19).





Cвх

Uвых

Uвх

Roc



K(p)=Tp;

T=CвхRос.





 

Рис. 19



2. Тахогенератор (рис. 20).






x = 



y = U





Рис. 20



Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:



 (10)



или передаточной функцией:



 (11)



где  – демпфирование (0    1).

Если  = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если  = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:



 (12)


а) б)

Рис. 21



Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением







Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений  имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением







Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением







Частотные характеристики колебательного звена имеют вид






=

K(j)

+j

               k    +

АФХ

ФЧХ

0

0

()

  -

c=1/T

-/2

АЧХ

0

0

A()

k













а) б) в)

		Рис. 22



Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:







При k = 1











0

ЛАЧХ

L()

-40 дБ/дек



с



+20

-20

0.1    1     10  100     

+40

-40











Рис. 23




Примеры звена. Колебательное звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).





                        Сос                             Сос                                   Rос                                                                                                                                

Uвх                                                                                                               Uвых

          Rвх                               Rвх                               Rвх                           















Рис. 24

Колебательное звено на RLC-цепи (рис. 25).



R

L













Uвых

Uвх



С









Рис. 25



В приведенной схеме:

С – накапливает энергию электрического поля;

L – накапливает энергию электромагнитного поля;

R – на сопротивлении происходит потеря энергии.

Запишем передаточную функцию цепи:






 – затухание (демпфирование).

4. Механические демпферы (рис. 26).





Y



X

С

m







Рис. 26



Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:



 (13)



или передаточной функцией



 (14)



где k – коэффициент передачи звена.



При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:



Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями: 






A()

 +

АЧХ

0

0

ФЧХ

0

0

()

/2

/4

 = с

+j

АФХ

  1





1



а)	 		б)			 в)	

Рис. 27



Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:









+20

    0

-20



ЛАЧХ

L()

+20 дБ/дек



с



0.1    1     10  100     







Рис. 28



Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:



 (15)



Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:




Рис.  29



L()

+40 дБ/дек



с



+40

+20

    0

-20

-40

0.1    1     10  100     















Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:



 (16)

 (17)



где  – время запаздывания.

В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:



 





h(t)

k(t)







Рис. 30




Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:









                    +

0

АЧХ

0

0

A()

1

АФХ

+j

+

1

K(j)

ФЧХ

0

()











а)			 б) в)		

Рис. 31



Устойчивые и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально – фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на 20 дБ/дек соответствует изменение фазы на /2, а 40 дБ/дек – на .

Пример 1. Построить частотные характеристики для звеньев





Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики имеют вид (рис. 32):








h(t)

0                               t

1(t)

0                               t

h(t)

1(t)













=0       =          +                            t

K(j)

+j

 =     =0    +                            t

K(j)

+j













 c                                             t

L(),()

   0



-/2



  -



-3/2

 c                                             t

L(),()

   0



-/2



  -



-3/2

















Рис. 32



Идеальные и реальные звенья. Идеальные звенья физически не реализуемы, реальные звенья содержат инерционности.



реальное интегрирующее звено;

 реальное дифференцирующее звено;

 реальное форсирующее звено.



АФХ этих звеньев имеют вид (рис. 33а-в):



		

K(j)

+

K(j)

=0              =   +

+j

+j











=0               =   +



K(j)

а) б) в)



Рис. 33



+j



Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.

1. Определяем, из каких элементарных звеньев состоит соединение.

2. Определяем сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

3. Определяем наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(-) 20] дБ/дек (где  – количество дифференцирующих, а - интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.

4. Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.

Пример 2. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения:






  0,1         1            10              [1/c]

+60



+40



+20

    0

-20



-40



-60

Рис. 34

-20

           0 

                          -20   

L [дБ]



  Решение: Определяем со-прягающие частоты отде-льных звеньев и отклады-ваем их по оси частот в по-рядке возрастания.

Tинт = 0,01 с;   инт = 100 с-1;

Tфор  = 1 с;       фор = 1 с-1;

Tап   = 0,1 с;     ап  =  10 с-1;

  Строим характеристику (рис.  34).



















Пример 3. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения





L [дБ]



   Решение: Определяем соп-рягающие частоты отдель-ных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

Tинт = 0,1 с;    инт  = 10 с-1;

Tфор  = 10 с;    фор  = 0,1 с-1;

Tк      = 1 с;         к     =  1 с-1;

Tфор  = 0,1 с;    фор = 10 с-1;

Tфор  = 0,01 с;  фор= 100 с-1;

Строим характеристику рис. 35



-20

           0                                

                     -20

                           

                                       0      -20

+60



+40



+20

    0

-20



-40



-60

















         0,1       1          10                [1/c]





Рис. 35


Пример 4. Построить АФХ соединения звеньев, передаточная функция которого имеет вид







Решение: Выполнив подстановку p = j и умножив на комплексно сопряженное выражение, получим





Строим характеристику рис. 36.



  АФХ

					 +j	



K(j)

+









Рис. 36






Литература



	Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

	Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Тэхника, 1989. –182 с.

	В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.

	Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.

	Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.





2