Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів

Невласні інтеграли

Поняття та різновиди невласних інтегралів



Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:

1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений; 

2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ та b = ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x)  має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування  [а, b]. В цьому випадку   називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.



1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a < b < +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя



           (51)

її  називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

             (52)

Таким чином, за означенням



      (53)

У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x)  — інтегровною на проміжку [а; +∞).

Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞).

Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]:

          (54)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

       (55)

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати,  що він виражає   площу необмеженої  області (рис. 7.12).



рис. 7.12



Приклад. 

Обчислити невласний  інтеграл або встановити його розбіжність:

а)       б) 

в)      д) 

а) За формулою (53) маємо



Отже  інтеграл а)  збігається. 

б) 



Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний.

в) 

Отже інтеграл в) розбіжний, 

г) Якщо  = 1, то





Якщо ≠ 1, то





Отже інтеграл г) є збіжним при  > 1 і розбіжним при  ≤ 1.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то із збіжності інтеграла

            (56)

випливає збіжність  інтеграла

            (57)

а із розбіжності інтеграла  (57) випливав   розбіжність інтеграла (56).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.







Приклад

Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ;    

а) Оскільки :





і інтеграл  збігається, то за теоремою і заданий інтеграл  також збігається.

б)  Цей інтеграл розбігається, бо   :





і інтеграл  розбігається.

Теорема 2. Якщо існує границя 

  ,  ,

то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно   розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою,  ніж теорема 1, бо не потребує перевірки  нерівності  0  f(x) ≤ g(х).

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл



Оскільки інтеграл  збігається і



то  заданий інтеграл також збігається. 

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

Теорема 3. Якщо інтеграл   збігається, то збігається й інтеграл .

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл .

Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки





то   заданий інтеграл   збігається.   

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла  не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла .  Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом  збігається й інтеграл , то  інтеграл  називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку  [а; +∞).

Якщо інтеграл  збігається, а інтеграл  розбігається, то інтеграл  називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл



Оскільки 





то за теоремою 3 інтеграл  збігається.

Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.  



2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція f(x)  визначена на проміжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b — ] при довільному  > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя

           (58)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

          (59)



Отже, за означенням



У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х =  — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:









Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0   (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів   і   за означенням покладають (рис. 7.16).



Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів   і  за означенням покладають





де с — довільна точка інтервалу (а; b).

Приклад

Обчислити невласні інтеграли:

а) ;    б) 



а) 



Отже, інтеграл а) збіжний. 

б) Якщо   1, то







Якщо  = 1, то



Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 <  < 1 і розбігається при   1.

Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою

  (91)

Можна довести, що для всіх   (0, +∞) і   (0, +∞) інтеграл (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.

Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл

       (92)

Покажемо, що невласний інтеграл (92) при  > 0 збігається. Маємо



Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо







Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n — довільне натуральне число таке, що n >  — 1, то

,

в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що





Отже, інтеграл (92) при  > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г().

Обчислимо значення Г() при а  N. Якщо  = 1, то

        (93)



Нехай  n + 1  інтегруючи частинами,   дістанемо 



звідки

Г(n +1) = nГ(n)      (94)



З рівностей (93) і (94) випливає, що nN:

Г(n +1) = n!



Таким чином, гамма-функція для цілих значень n  N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].

Наводимо без доведення формулу Стірлінга для  гамма-функції:



де  > 0 і 0 <  () < 1. Якщо в цій рівності покласти  = n і помножити її на n, дістанемо

       (95)



Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням



      (96)

Приклади

1. Знайти  Г 

Згідно з формулою (96), при  =  =  маємо







отже, Г=.

2. Обчислити інтеграл Ейлера — Пуассона 

Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо 





3. Виразити інтеграл  через бета-функцію наближено при  = 3,   = . 

Маємо





Зокрема, при  = 3 і  =   згідно з формулою (96) дістанемо







Завдання   для   самоконтролю

		Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?

		Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла,  залежного від параметра.

	3. Дати   означення   гамма-функції Г().

		Довести, що Г(n +1) = n!, n  N.

		Дати означення бета-функції В(,). Як пов'язані між собою бета- та гамма-функції?

		Довести, що





Вказівка. Скористатись  підстановкою   sin x = .