Справочные материалы для 5 класса по математике "Натуральные числа и действия с ними"

ТЕМА 1 : НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА .СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Числа , используемые при счете предметов ,называются натуральными.

2.Натуральные числа ,записанные в порядке возрастания , образуют ряд натуральных чисел.

       1,2,3,4.5,… - ряд натуральных чисел

3.Числа записывают с помощью специальных знаков, которые называют цифрами:                   0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

4. ПРАВИЛА СРАВНЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

а)     когда количество цифр одинаковое

из двух чисел с одинаковым количеством цифр ( разрядов) больше то , у которого больше первая (двигаясь слева направо) из неодинаковых цифр.

                                   7256  > 7249

б)     когда количество цифр разное

из двух натуральных чисел больше то , у которого цифр больше

                                      974 1538



         2            +              5             =            7

Слагаемое            Слагаемое            Сумма5. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

а) Компоненты сложения :             чч





б)Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное слагаемое.           

                                 Х + 12 = 65

                                 Х= 65 – 12

                                 Х=53

                                 Ответ: х=53 



а + 0  = а

0 + а = а

12+0=12         0 + 56 = 56

Сочетательный закон

а+(в+с) = (а+в)+с = (а+с)+в

28 + (36+42)=(28+42)+36=70+36=106

Переместительный закон

а+в= в+а

28+57 = 57+28В)            Законы сложения :      











Г) Сложение именованных чисел:

2км 354м+7км 861м= 9км 1215м= 10км 215м



            64         –          53           =           11

Уменьшаемое    Вычитаемое      Разность6.ПРАВИЛА ВЫЧИТАНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

а)   Компоненты вычитания:





б)       НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ КОМПОНЕНТОВ



Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность            137 – х =  25

                               Х = 137 – 25

                               Х = 112

                               Ответ: х = 112

Чтобы найти неизвестное умень-шаемое , надо к разности прибавить вычитаемое.              Х – 78 = 102

                                        Х = 102 + 78 

                                        Х = 180

                                        Ответ: х = 180













Чтобы из числа вычесть сумму двух слагаемых ,можно из этого числа вычесть одно из слагаемых, а потом из результата вычесть второе слагаемое .

                      а – ( в + с ) = ( а – в ) – с = ( а – с ) – в 

135 – ( 29 + 35 ) = ( 135 – 35 ) – 29 = 100 – 29 = 71

























В)                             ПРАВИЛО   ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЛА ИЗ СУММЫ:













Чтобы из суммы слагаемых вычесть число, можно вычесть это число из одного из слагаемых ( если это слагаемое больше или равно вычитаемому) и потом к результату прибавить второе слагаемое:

( а + в ) – с = ( а – с ) + в = ( в – с ) + а

( 164 + 47 ) – 64 = ( 164 – 64 ) + 47 = 100 + 47 = 147Г)                           ПРАВИЛО ВЫЧИТАНИЯ ИЗ СУММЫ ЧИСЛА















ТЕМА 2: УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.

1.Произведением числа А на натуральное число В , не равное 1 , называют сумму , состоящую из В слагаемых, каждое из которых равно А.

А*В=А+А+А+А+…+А,          3*4=3+3+3+3 .





              24         *           5           =             120                                                                                           множитель          множитель       произведение                                                                                                                 

2.КОМПОНЕНТЫ УМНОЖЕНИЯ              





Чтобы найти неизвестный множитель , надо произведение разделить на известный множитель     25 * Х = 150

                           Х = 150 : 25

                           Х = 6 

                          ОТВЕТ: Х = 6 3.НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО МНОЖИТЕЛЯ















Если один из множите-лей равен нулю , то про-изведение равно нулю        а * 0 = 0  

15  *  0  =  0

Если произведение равно нулю , то хотя бы один из множителей равен нулю                     Если  а * в = 0,                  то а = 0  или  в = 0

Если один из множите-лей равен 1 , то произ-ведение равно другому множителю.                          а * 1 = а                            24 * 1 = 24

4.ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ











Переместительный закон От перестановки мест множите-лей произведение не меняется.  

  а * в = в * а

 5 * 6 =6 * 5 

Сочетательный закон                            Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.              ( а * в ) * с = а * ( в * с ) = ( а * с ) * в

5 * 47 * 2 = ( 5 * 2 ) * 47 = 10 * 47 = 470              15а  6в = 15  6  ав = 90ав













Распределительный закон                           Чтобы число умножить на сумму двух чисел , можно это число умножить на каждое слагаемое и получен-ные произведения сложить .                                                        ( а + в ) * с = а * с + в * с

( 12 + 5 ) * 10 = 12 * 10 + 5 * 10 = 120 + 50 = 170 

( 2 + Х ) * 6 = 6 * 2 + 6 * х = 12 + 6Х 

Этот закон можно применять и для разности двух чисел:                                                                                                      ( а – в ) * с = а * с – в * с

     5 * ( у – 8 ) = 5 * у – 5 * 8 = 5у - 40





















5. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОГО СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ                                                 а) Раскрытие скобок :  ( 1  - 8а ) = 9   1  -  9   8а  =  9  -  72а  

                                        9  ( 1 – 8а ) = 9  1 -  9   8а  = 9 – 72а

б) Вынесение общего множителя за скобки:

  329  754 + 329  246  =  329  ( 754 + 246 ) = 329   1000 = 329 000

  18х – 12х = х  ( 18 – 12 ) = х  6 = 6х

  34в + в = в  ( 34 + 1 ) = в  35 = 35в

  55х – х = х  ( 55 – 1 ) = х  54 = 54х

  24х + 46х – 9х = х ( 24+46-9) = х  61 = 61х 



9х + 6х – 15 = 615

Х  ( 9 + 6 ) – 15 = 615

15 х – 15 = 615

15х = 615 + 15

15х = 630

Х = 630 : 15 

Х = 42     Ответ : х = 42

45у – 22у = 46

У  ( 45 – 22 ) = 46

23у = 46 

У = 46 : 23 

У = 2

Ответ : у = 2

5х + 4х = 99

х  (  5 + 4 ) = 99

9х = 99

Х = 99 : 9

Х = 11

Ответ : х = 11в) Решение уравнений:













СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

В математике придумали способ коротко записывать произведение , в котором все множители равны: например : 7  7  7  7  7  =    

Выражение  называют степенью и читают так : «семь в пятой степени» или «семь в степени пять».                                                                                                                                            При этом число  7 – основание степени , а   5 – показатель степени.                        Число  5 показывает , сколько раз в произведении перемножается число 7 .Выражение   читают так : «четыре во второй степени» или « четыре в квадрате»,(вторую степень числа называют –квадратом числа) .                       Выражение  читают так : « пять в кубе» , ( третью степень числа называют кубом числа).

Обрати внимание!                                                                                                                  Возведение в степень – это новое , пятое .арифметическое действие.                                        Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень , а потом – остальные действия.

5   = 5   9  = 45          5 +  = 5 + 1000 = 1005



 = 9          = 8           = 25          = 27     

 = 100                       = 16           = 1 Запомни: 





ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 



        56           :            14            =            4 

   Делимое          Делитель         Частное1. Компоненты деления:







Чтобы найти неизвестный делитель , надо делимое разделить на частное.

160 : у = 8 

У = 160 : 8

У = 20

Ответ: у = 20

Чтобы найти  неизвестное делимое . надо частное умножить на делитель . х : 25 = 8

Х = 8  25 

Х = 200

Ответ : х = 2002.Нахождение неизвестных компонентов:









Помни: а) при делении чисел, оканчивающихся нулями , пользуются особым правилом: сначала отбрасывают одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя, а затем  выполняют деление.  2400 : 400 = 24 : 4 = 6                                   125000 : 2500 = 1250 : 25 = 50

3. Свойства деления:          а : 1 = а          а : а = 1        0 : а = 0  

                                                                                      

а  : 0 – не выполнимо



ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ



   7           :            2           =         3           (  ост . 1 ) 

Делимое     Делитель     Неполное     Остаток                                                    

                                              Частное

Выучи!

а = в  q + r  , r < q,  а –  делимое,  в  –  делитель ,             q  – неполное частное ,  r  -  остаток.                Чтобы получить делимое , нужно делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.

15 : 6 = 2 ( ост . 3 ) 

15 = 6   2 + 3 – получено делимое





              7            :             3           =          2               (  ост . 1 )      Делимое                Делитель       Неполное       Остаток 

                                                              частное