Элементы аналитической геометрии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ  И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ



 









Контрольная работа

по дисциплине:  «Линейная алгебра»

















Выполнил:

Воропаева Екатерина Андреевна

(Ф.И.О.)

2010-З-ФК-1

(номер группы)

Вариант № 3



Проверил

преподаватель:

Кирютенко Юрий Александрович







Ростов – на - Дону 

2010


Оглавление

	1. Комплексные числа.	3

	2. Элементы аналитической геометрии.	3

	3. Вычисление определителей.	3

	4. Метод Гаусса.	3

	5. Метод Крамера.	3

	6. Матричные уравнения	3








Решение контрольной работы 

Вариант № 3

1. Комплексные числа.

1.3. а) Вычислите:   .

Решение:

Используя следующие правила:

 

выполним вычисления



1.3. б) Решите уравнение:

,

где 

Решение:

	Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе: 

	

	

	Ответ: .




2. Элементы аналитической геометрии.

Треугольник  задан координатами вершин на плоскости. Найти уравнения сторон треугольника, медианы ВМ и высоты СН. 

A(1,7); В(-3,-1); С(4,-2).

Решение:

Выполним чертеж:



H

M

C (4, -2)

B (-3, -1)

A(1, 7)

Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки А1(x1, y1) и 
А2(x2, y2):



подставив поочередно в формулу (1) попарно координаты точек А и В, В и С, А и С.

Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и В(-3, -1):









Уравнение прямой, проходящей через точки В(-3, -1) b C(4,-2):









Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и C(4,-2):











Для определения уравнения медианы ВМ предварительно вычислим координаты точки М, воспользовавшись формулами нахождения координат середины отрезка А1А2 (А1(x1, y1) и А2(x2, y2)):





где х1, у1 – координаты точки А (1, 7);

х2, у2 – координаты точки С (4, -2).

Координаты точки М:





Точка М имеет координаты х = 2,5 и у = 2,5, т. е. М(2,5; 2,5).

Для нахождения уравнения медианы ВМ воспользуемся формулой (1), подставив в нее координаты точек В(-3, -1) и М(2,5; 2,5).









Уравнение медианы ВМ:   

Для определения уравнения высоты СН воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку М1 (x1, y1) перпендикулярно к данной прямой y = ax + b:



подставив в нее координаты точки С(4,-2) и данные из уравнения прямой АВ  Получим:





Уравнение высоты СН: 

3. Вычисление определителей.



Решение:

Используя  алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем  элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:



Разложим определитель матрицы по элементам первого столбца, имеем:



Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.

Во второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому удобно разложить определитель матрицы по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.



В новом определителе третьего порядка во второй строке только один элемент не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат:



Определитель матрицы равен 4.




4. Метод Гаусса.

Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса.



Решение:

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Сформируем исходную матрицу:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

7

5

-4

-6

3

-4

7

1

3

5

-9

10

3

7

7

Разделим все элементы первой строки матрицы на 7, получим:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1      

  5/7 

-  4/7 

-  6/7 

  3/7 

-4

7

1

3

5

-9

10

3

7

7

Умножим все элементы первой строки матрицы на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1      

  5/7 

-  4/7 

-  6/7 

  3/7 

0      

9  6/7 

-1  2/7 

-  3/7 

6  5/7 

-9

10

3

7

7



Умножим все элементы первой строки матрицы на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1      

  5/7 

-  4/7 

-  6/7 

  3/7 

0      

9  6/7 

-1  2/7 

-  3/7 

6  5/7 

0      

16  3/7 

-2  1/7 

-  5/7 

10  6/7 

Все элементы второй строки разделим на 9 6/7:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1      

  5/7 

-  4/7 

-  6/7 

  3/7 

0        

1        

-   3/23 

-   1/23 

  47/69 

0      

16  3/7 

-2  1/7 

-  5/7 

10  6/7 

Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей строки:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1      

  5/7 

-  4/7 

-  6/7 

  3/7 

0        

1        

-   3/23 

-   1/23 

  47/69 

0      

0      

0      

0      

-  1/3 

Ранг матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A1)=3, т. е. r(A)≠r(A1); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.




5. Метод Крамера.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера.



Решение:

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: 



Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, 



называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе  последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов



Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.



 - 331 

Определитель системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение.











 

Найдем решение системы уравнений:










6. Матричные уравнения

Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.



Решение:

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:



Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

.

Найдем произведение



т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:

.

Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а  решение матричного уравнения получаем в виде X = B∙ A-1.

 

Вычислим обратную матрицу А-1.

Определитель матрицы





Система совместна и имеет единственное решение.

Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.



















Союзная матрица .

Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.

Присоединенная матрица  .

Вычислим обратную матрицу по формуле: . Получим следующий результат:

.

Найдем  X = B∙ A-1, выполнив умножение матриц B∙ A-1.

Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована.



Вычислим элементы матрицы |Х|:

x1,1 = b1,1 ∙ a1,1 + b2,1 ∙ a1,2 + b3,1 ∙ a1,3

x1,2 = b1,2 ∙ a1,1 + b2,2 ∙ a1,2 + b3,2 ∙ a1,3

x1,3 = b1,3 ∙ a1,1 + b2,3 ∙ a1,2 + b3,3 ∙ a1,3



x2,1 = b1,1 ∙ a2,1 + b2,1 ∙ a2,2 + b3,1 ∙ a2,3

x2,2 = b1,2 ∙ a2,1 + b2,2 ∙ a2,2 + b3,2 ∙ a2,3

x2,3 = b1,3 ∙ a2,1 + b2,3 ∙ a2,2 + b3,3 ∙ a2,3



x3,1 = b1,1 ∙ a3,1 + b2,1 ∙ a3,2 + b3,1 ∙ a3,3

x3,2 =  b1,2 ∙ a3,1 + b2,2 ∙ a3,2 + b3,2 ∙ a3,3

x3,3 =  b1,3 ∙ a3,1 + b2,3 ∙ a3,2 + b3,3 ∙ a3,3



x1,1 = 

1

∙

3

+

2

∙

(-3)

+

3

∙

1

= 

3

+

(-6)

+

3

= 

0

x1,2 = 

1

∙

(-2.5)

+

2

∙

4

+

3

∙

(-1.5)

= 

-2.5

+

8

+

(-4.5)

= 

1



x1,3 = 

1

∙

0.5

+

2

∙  (

-1)

+

3

∙

0.5

= 

0.5

+

(-2)

+

1.5

= 

0



x2,1 = 

2

∙

3

+

4

∙

(-3)

+

6

∙

1

= 

6

+

(-12)

+

6

= 

0



x2,2 = 

2

∙

(-2.5)

+

4

∙

4

+

6

∙

(-1.5)

= 

-5

+

16

+

(-9)

= 

2



x2,3 = 

2

∙

0.5

+

4

∙

(-1)

+

6

∙

0.5

= 

1

+

(-4)

+

3

= 

0



x3,1 = 

3

∙

3

+

6

∙

(-3)

+

9

∙

1

= 

9

+

(-18)

+

9

= 

0



x3,2 = 

3

∙

(-2.5)

+

6

∙

4

+

9

∙

(-1.5)

= 

-7.5

+

24

+

(-13.5)

= 

3



x3,3 = 

3

∙

0.5

+

6

∙

(-1)

+

9

∙

0.5

= 

1.5

+

(-6)

+

4.5

= 

0

Результирующая матрица: .

Выполним проверку, подставив в формулу X∙A=B значения │Х│ и │А│. В результате выполненного умножения матриц должна получится матрица │В│.



Вычислим элементы матрицы |B|:

b1,1 = x1,1 ∙ a1,1 + x1,2 ∙ a2,1 + x1,3 ∙ a3,1

b1,2 = x1,1 ∙ a1,2 + x1,2 ∙ a2,2 + x1,3 ∙ a3,2

b1,3 = x1,1 ∙ a1,3 + x1,2 ∙ a2,3 + x1,3 ∙ a3,3



b2,1 = a2,1 ∙ b1,1 + a2,2 ∙ b2,1 + a2,3 ∙ b3,1

b2,2 = a2,1∙ b1,2 + a2,2 ∙ b2,2 + a2,3 ∙ b3,2

b2,3 = a2,1∙ b1,3 + a2,2 ∙ b2,3 + a2, 3 ∙ b3,3



b3,1 = a3,1 ∙ b1,1 + a3,2 ∙ b2,1 + a3,3 ∙ b3,1

b3,2 = a3,1 ∙ b1,2 + a3,2 ∙ b2,2 + a3,3 ∙ b3,2

b3,3 = a3,1 ∙ b1,3 + a3,2 ∙ b2,3 + a3,3 ∙ b3,3

b1,1 = 

0

∙

1

+

1

∙

1

+

0

∙

1

= 

0

+

1

+

0

= 

1



b1,2 = 

0

∙

1

+

1

∙

2

+

0

∙

4

= 

0

+

2

+

0

= 

2



b1,3 = 

0

∙

1

+

1

∙

3

+

0

∙

9

= 

0

+

3

+

0

= 

3



b2,1 = 

0

∙

1

+

2

∙

1

+

0

∙

1

= 

0

+

2

+

0

= 

2



b2,2 = 

0

∙

1

+

2

∙

2

+

0

∙

4

= 

0

+

4

+

0

= 

4



b2,3 = 

0

∙

1

+

2

∙

3

+

0

∙

9

= 

0

+

6

+

0

= 

6



b3,1 = 

0

∙

1

+

3

∙

1

+

0

∙

1

= 

0

+

3

+

0

= 

3



b3,2 = 

0

∙

1

+

3

∙

2

+

0

∙

4

= 

0

+

6

+

0

= 

6



b3,3 = 

0

∙

1

+

3

∙

3

+

0

∙

9

= 

0

+

9

+

0

= 

9

Результирующая матрица: . Как показывают расчет, задача решена верно.