Основні теореми теорії ймовірностей

Тема 2. Основні теореми теорії імовірності. 



На фундаменті    міцному 

будем   класти    поверхи,

перегородки та сходинки,

що  їх  з’єднають  на віки.



      План.

Теорема додавання імовірностей несумісних подій..

Залежні та незалежні події, умовні імовірності.

Множення імовірностей.

Імовірність появи хоча б однієї випадкової дії.

Теорема додавання імовірностей сумісних подій..

Надійність системи.

Формули повної імовірності Байєса.



     Література.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –М.: Высшая шк., 1998

Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія імовірності та математична статистика. – К.: Національна академія управління, 1999.

Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. – метод. Посібник. У 2ч. – ч.1. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000.





Додавання імовірностей несумісних подій.

Формулювання

Аналітичний запис

Імовірність об’єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей.



            

Якщо випадкові події А1, А2,…,Аn попарно несумісні, то імовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх імовірностей.





) = Р(А1) + Р(А2)+ …  +Р(Аn).

Сума імовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці



Р(А1) + Р(А2)+…+Р(Аn)=1

Сума імовірності протилежних подій дорівнює одиниці

Р (А)+Р(Ã)=1



Залежні та незалежні події, умовні імовірності.



Формулювання

Позначення

Випадкові події А та В називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або непояви другої події.



Випадкові події А та В називаються залежними, якщо імовірність появи однієї події не залежить від появи або непояви іншої



Імовірність події В, обчислена при умові появи події А, називають умовною імовірністю події В.



РА(В) або Р (В/А)

Якщо події А та В незалежні, то умовна імовірність дорівнює безумовній імовірності



РА (В) = Р(В)



Множення імовірностей



Формулювання

Аналітичний запис

Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша полія з’явилася





Р (А·В) = Р(А) · РА(В) =Р(В)·РВ(А)

Імовірність сумісної появи двох незалежних випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей цих подій.



Р(А·В) = Р(А) · Р(В)

У випадку скінченої кількості незалежних випадкових подій

Р(А1·А2·…·Аn)=Р(А1)·Р(А2)·…·Р(Аn)







Теорема. Імовірність появи хоча б однієї із подій А1, А2,...Аn, незалежних в сукупності , дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей протилежних подій Ā1, Ā2, … , Ān:



Р (А) = 1 – Р(Ā1)  Р(Ā2) · … · Р(Ān).4. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події



5. Теорема додавання імовірностей сумісних подій.



Формулювання

Аналітичний запис

Якщо випадкові події А та В сумісні, то імовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи.



Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В)

Якщо події А та В незалежні

Якщо події А та В залежні

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В)

Р(А U В)  =  Р(А) +  Р(В) – Р(А) · РА(В)





6. Надійність системи



Означення. Надійністю системи називають імовірність її безвідмовної роботи в певний час t.





Елементи системи з’єднані послідовно:

Р1

Р2

….

Рn

Р= р1 · р2· … · рn

Елементи системи з’єднані паралельно:

Р1

Р2

Р3

Рn

Р = 1 –q1·q2 ·… · qn, де qі=1-рСистема

Формули для обчислення надійності











Формули повної імовірності та Баєса



Формулювання

Формула

Формула повної імовірності.

Якщо випадково подія А може настати лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В1, В2, …, Вn, що утворюють повну групу, тоді імовірність події а обчислюється за формулою:







Р(А)=

Формула Байєса

Вона використовується, коли подія F, яка може настати тільки з однією із гіпотез А1, А2, … , Аn, що утворюють повну групу подій, відбулась і необхідно зробити кількісну переоцінку апріорних імовірностей цих гіпотез Р(А1), Р(А2), … , Р(Аn), відомих до випробування, тобто потрібно знайти апостеріорні (після досліду) умовні імовірності гіпотез  РF(А1), РF(А2), … , РF(Аn)









Pf (Ai) =