Особенности языка математики

Особенности языка математики

Реферат выполнила студентка гр.1511 Вдовина Е.С.

Самарский государственный университет

Самара 2006

Математика – это язык.

Давид Гилберт

Математика – это язык. Язык нужен для коммуникации, чтобы передать смысл , возникший у одного человека к другому человеку. Для этого служат предложения этого языка, составленные по определенным правилам.

Почему люди учат разные языки, что это им дает кроме возможности общаться в других странах? Ответ – каждый язык имеет слова , не существующие в других языках, поэтому позволяет описывать (и видеть) такие явления, которые никогда человек бы не увидел, если бы не знал этого языка. Знание еще одного языка позволяет получить еще одно, отличное от других, видение мира. (У эскимосов в языке существует 20 разных слов для обозначения снега, в отличие от русского, где всего одно. Хотя, например, в русском есть такое слово «наст» для обозначения корки, образующейся на снегу после оттепели, за которой сразу наступили заморозки. Есть , вероятно, и другие слова, описывающие особые состояния снега).

Математика как язык науки

Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания. Более того, во многих случаях математический формализм оказывается единственно возможным способом выразить физические характеристики явлений и процессов, поскольку их естественные свойства и особенно отношения непосредственно не наблюдаемы. Скажем, каким образом в физических терминах описать тяготение, эффекты электромагнетизма и т.п.? Их можно представить только математически как определенные числовые соотношения в законах, фиксируемых количественными показателями. Современная наука в лице квантовой механики и чуть ранее теория относительности лишь прибавили абстрактности теоретическим объектам, вполне лишая их наглядности. Только и остается апеллировать к математике. Заявил же однажды Л. Ландау, что современному физику вовсе не обязательно знать физику, ему достаточно знать математику.

Рассмотренное обстоятельство и выдвигает математику на роль языка науки. Пожалуй, впервые отчетливо это прозвучало у Г. Галилея, одного из решающих персонажей в создании математического естествознания, господствующего вот уже более трехсот лет. Галилей писал: "Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, который сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики".

По мере роста абстрактности естествознания эта идея находила все более широкую реализацию, а на склоне XIX в. столетия уже вошла в практику научного исследования в качестве своего рода методологической максимы. Именно так прозвучали слова известного американского физика-теоретика Д. Гиббса, когда однажды при обсуждении вопроса о преподавании английского языка в школе, он, по обыкновению молчавший на подобных совещаниях, неожиданно произнес: "Математика - тоже язык". Дескать, что вы тут все об английском да об английском, математика - также язык. Выражение стало крылатым. И вот уже вослед тому английский физикохимик, лауреат Нобелевской премии (полученной, кстати сказать, вместе с нашим Н. Семеновым) Ханшельвуд объявляет, что ученые должны знать математику как родной язык.

Характерно рассуждение замечательного отечественного исследователя В. Налимова, работавшего в области наукометрии, теории математического эксперимента, предложившего вероятностные модели языка. Хорошая наука, пишет он, говорит на языке математики. Мы, люди, почему-то устроены так, что воспринимаем Мироздание через пространство, время и число. Это значит, что мы подготовлены к тому, чтобы обращаться к математике, подготовлены эволюцией живого, то есть априорно. Пытаясь приоткрыть тайную подоплеку математической власти над ученым, Налимов замечает далее: "Меня часто обвиняют, что я применяю математику в исследовании сознания, языковедения, биологической эволюции. Но разве там есть математика как таковая? Вряд ли. Математикой я пользуюсь как Наблюдатель. Так мне удобнее мыслить, иначе я не могу. Пространство, время, число и логика - это прерогатива Наблюдателя".

Ситуация порой складывается в науке так, что без применения соответствующего математического языка понять характер физического, химического и т.п. процесса невозможно. Не случайно признание П. Дирака, что каждый новый шаг в развитии физики требует все более высокой математики. Такой факт. Создавая планетарную модель атома, известный английский физик XX в. Э. Резерфорд испытал математические трудности. Вначале его теорию не приняли: она не звучала доказательно, и виной тому явилось незнание Резерфордом теории вероятности, на основе механизма которой только и возможно было понять модельное представление атомных взаимодействий. Осознав это, выдающийся уже к тому времени ученый, обладатель Нобелевской премии , записался в семинар математика профессора Лэмба и в течение двух лет вместе со студентами прослушал курс и отработал практикум по теории вероятности. На ее основе Резерфорд смог описать поведение электрона, придав своей структурной модели убедительную точность и получив признание.

Напрашивается вопрос, что же содержится в объективных явлениях такое математическое, благодаря чему они и поддаются описанию на языке математики, на языке количественных характеристик? Это однородные единицы вещества, распределяемые в пространстве и времени. Те науки, которые дальше других прошли путь к выделению однородности, и оказываются лучше приспособленными для использования в них математики. В частности, более всего - физика. В. Ленин, отмечая серьезные успехи естествознания и прежде всего физического знания на рубеже XIX-XX столетий, видел одну из причин именно в том, что природу удалось приблизить "к таким однородным элементам материи, законы движения которых допускали математическую обработку".

Вслед за физикой идут химические дисциплины, где также оперируют атомами и молекулами, и куда методом "парадигмальной прививки" перетекают из физики многие однородные единицы вещества и поля вместе с соответствующими приемами исследований. Все более утверждается математическая химия. Много слабее математический язык вошел пока в биологию, поскольку единицы субстрата здесь еще не выделены, кроме генетики. Еще менее подготовлены к этому гуманитарные разделы научного знания. Прорыв наблюдается только в языкознании с созданием и успешным развитием математической лингвистики, а также в логике (математическая логика). Науки об обществе, конечно, трудно подвержены количественному анализу в силу специфики явлений и процессов, здесь протекающих, поскольку отмечены неповторимостью и уникальностью. Интересную попытку выявить однородные элементы в исторических процессах предпринял Л. Толстой. В романе "Война и мир" писатель вводит понятие "дифференциал исторического действия" и поясняет, что лишь допустив бесконечно малую единицу - дифференциал истории, то есть "однородные влечения людей", а затем научившись их интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), можно надеяться на постижение истории.

Однако подобная однородность оказывается весьма условной, поскольку "влечения людей" всегда окрашены индивидуальной уникальностью, психологически вариативны, что будет накладывать трудно учитываемые возмущения на постулируемую однородность. Вообще каждое событие в истории общества достаточно своеобразно и не поддается нивелированию в однородные единицы. Хорошая тому иллюстрация - одно рассуждение А. Пуанкаре. Как-то он прочитал у известного английского историка XIX в. Т. Карлейля констатацию: "Здесь прошел Иоанн Безземелный, и этот факт мне дороже, чем все исторические теории". Пуанкаре по сему поводу заметил: "Это язык историка. Физик бы так не сказал. Физик сказал бы: "Здесь прошел Иоанн Безземельный, и мне это совершенно безразлично, потому что больше он здесь не пройдет". Возражение математика Пуанкаре понятно: физику нужна повторяемость, лишь тогда он сможет выводить законы. Наоборот, неповторимость события - тот материал, который питает историческое описание.

Отметим, что понимание однородности как условия применимости математического описания явлений пришло в науку довольно поздно. До известного времени считали невозможным отвлечься от предметных значений, чтобы перейти к числовым характеристикам. Так, еще Г. Галилей, один из основателей математического естествознания, не хотел принимать скорость равномерного прямолинейного движения в форме . Он полагал, что действие деления пути на время физически некорректно, поскольку необходимо было делить километры, метры, и т.п. на часы, минуты, и т.п. То есть считал, недопустимым проводить операцию деления с качественно неоднородными величинами. Для Галилея уравнение скорости имело чисто содержательное значение, но отнюдь не математическое отношение величин. И лишь столетия спустя академик Петербургской академии наук Л. Эйлер, вводя в научный обиход формулу , разъяснил, что мы делим этим не путь на время и, следовательно, не километры или метры на часы, либо минуты, а одну количественную размерность на другую, одно отвлеченное числовое значение на другое. Как замечает М. Розов, Эйлер указанным актом совершил знаково-предметную инверсию, переведя содержательное описание в алгебраически-отвлеченное63. То есть Эйлер принимает качественно данные километры, метры, часы, минуты и т.п. в качестве абстрактной меры за единицы измерения и тогда имеем уже, скажем, не 10 метров, а 10 отвлеченных единиц, которые делим, положим, не на 2 секунды, а на две столь же абстрактные единицы. Таким приемом нам удается качественно разнородные предметы, имеющие пространственную и временную определенность инвертировать в однородность, что и позволяет применить математический количественный язык описания.

Математический язык описания вечности и пространства

Для описания времени, понимаемого как время жизненного мира, время человеческого бытия, наиболее удобен язык феноменологии. Но феноменологическое описание времени и вечности вполне может использовать и математический язык.

Априорное и эмпирическое время.

Для решения этой задачи необходимо различать эмпирическое время - время насыщенное событиями жизни, и время априорное - форму чистого разума, являющуюся условием восприятия эмпирического времени. Я буду исходить из той простой мысли, что априорное время первично ко всему феноменологическому содержанию жизненного мира. Следовательно, ее основание мы должны искать не в самом становлении жизненного мира, а в усмотрении потенции собственной воли, которая еще не раскрыта в становлении жизненного мира, но содержит в себе это как возможность. Эмпирическое время определяется актуальным раскрытием воли в ее действиях вовне. Говоря более кратко, априорное время задается потенцией воли, эмпирическое - актуальным проявлением воли.

Априорное время обладает длительностью или протяженностью также как и эмпирическое время. Длительность априорного времени есть не свойство самой потенции воли, но свойство интуиции, в которой осуществляется осознание потенции собственной воли.

Длительность эмпирического времени определяется не только раскрытием потенции собственной воли, но и раскрытием в ней взаимообщения с Другим, то есть столкновение с другой волей (или волями). Следствием этого является то, что длительность эмпирически воспринимаемого отрезка времени всегда насыщеннее (или попросту говоря - больше) отрезка времени, который является его априорной формой. Из соотношения априорного отрезка времени и задаваемого им эмпирического отрезка времени мы можем определить степень насыщенности времени эмпирическим содержанием, определяющим степень интенсивности переживания эмпирического времени.

Эмпирическое время есть не просто раскрытие содержания становления воли вовне, но и становления взаимодействия моей воли с волей Другого. Эмпирическим содержанием времени будет взаимооформление взаимообщающихся воль, которое проявляется в конкретных событиях - эмпирически данных чувственных феноменах.

Таким образом, условием эмпирического течения времени является не только априорное время моего сознания, но и априорное время Другого, факт общения с которым раскрывается в качестве содержания эмпирического времени. Можно использовать декартову систему координат для иллюстрации такого понимания времени. Ось абсцисс будем понимать как мое априорное время. Ось ординат будем понимать как априорное время Другого, с которым я нахожусь во взаимообщении. Каждому моменту моего априорного времени (х) будет соответствовать момент априорного времени Другого (у). Если Другой будет воспринимать течение эмпирического времени также как я, то на координатной плоскости эмпирическое течение времени, в котором раскрывается факт нашего взаимообщения, можно будет обозначить графиком функции у=х.

Естественно, что изображение времени в двумерной системе координат является предельным упрощением. Весь мир есть результат взаимодействия и взаимооформления бесчисленного числа воль, как человеческих, так и не-человеческих. Каждый чувственный феномен мира есть результат взаимодействия моей воли с какой либо другой волей, не обязательно человеческой. Мир в целом - это область взаимообщения, собственно этим взаимообщением и порожденная. Поэтому изображение эмпирического времени требует системы координат с бесконечным количеством измерений. Такая задача довольно просто решается математическими средствами, но для большей иллюстративности, я буду пользоваться более упрощенной моделью в рамках двумерной системы координат.

Описание статической вечности.

В истории культуры довольно широко распространено представление о вечности как вечном миге, в котором нет ни движения, ни становления, ни какого-либо раскрывающегося содержания. Причем этот вечный миг часто понимается как чистое единство, отрешенное от всего, лишенное какого-либо содержания, то есть как абсолют (индийское представление о безличном Брахмане). Однако он может нести в себе статичное содержание, например содержание радости (индийское понимание ананды как одного из атрибутов Абсолюта).

Все моменты априорного времени, при таком понимании вечности, соотносятся с одним и тем же неизменным содержанием. Если моменты априорного времени мы выразим математически в виде f(x), то любому моменту х будет всегда соответствовать один и тот же момент у. Иными словами, в декартовой системе координат такое статичное понимание вечности как вечного мига будет изображаться функцией у=const. При этом априорный момент Другого, определяющий мое восприятие вечного мига может быть как бессодержательный (например, при постижении безличного Брахмана), так и содержательный (например, переживание ананды (радости) при слиянии с высшим божеством). Однако и в том, и в другом случае этот момент будет статичен, неизменен.

Описание софийного момента.

Антитезисом вечному мигу явиться софийный момент, который можно изобразить в виде графика функции х=const. Такое представление о софийном моменте мы можем найти в восточно-православной духовной традиции.

Представление о софийном моменте тесно связано с динамичным пониманием вечной жизни в православии. Вечная жизнь вбирает в себя все моменты временной жизни человека. Но если бы она вбирала бы в себя эти моменты без их внутреннего преодоления, то она превратилась бы в вечные мучения переживания собственных грехов. Каждый момент вечной жизни должен раскрывать в себе не только содержание момента временной жизни, но и преодоление этого содержания. Иными словами, моменты вечной жизни связаны не только в последовательном движении друг за другом, как это мы наблюдаем во временной жизни, но и обладают становлением вглубь себя, т.е. способностью бесконечного раскрытия в себе нового содержания.

Под софийным моментом я буду понимать именно такой момент, раскрывающийся в бесконечном становлении. Не переходя к последующему моменту, мы можем в софийном моменте раскрыть бесконечную полноту жизни. Общение с Другим будет дано не как длительность в эмпирическом времени, но как раскрытие бесконечного становления общения с Другим в каждом эмпирическом моменте. Причем в каждом из этих моментов вся бесконечная история взаимообщения с Другим будет дана по-разному. Иными словами, каждому выбранному эмпирическому моменту (х) будут соответствовать все моменты (у) Другого. Это можно изобразить на координатной плоскости графиком х=const, который мы можем построить для любого х.

Если софийный момент раскрывается как момент вечной жизни, то эмпирическое время может в большей или в меньшей степени приближаться к вечной жизни. Если я не могу воспринять всю полноту жизни Другого в отдельном моменте, то я могу более интенсивно пережить полноту жизни другого в определенном отрезке эмпирического времени, тем самым приближаясь к софийному моменту, хотя и не достигая его. Графически это можно изобразить так, чтобы мой отрезок априорного времени соответствовал двум отрезкам априорного времени Другого. В этом случае я в два раза интенсивней буду переживать эмпирическое время нежели Другой, иначе говоря, я в большей степени буду приближен к восприятию вечной жизни, чем Другой.

Такое восприятие времени можно будет изобразить графиком функции у=2х. Соответственно, чем выше коэффициент у х, тем ближе я к восприятию софийного момента. При этом не следует давать примитивно-натуралистическую интерпретацию этой схемы, из которой следовало бы, что я в два раза быстрей состарюсь и умру. Тут не идет речь о биологическом времени - времени жизни или старения. Здесь подразумевается интенсивность восприятия времени, никак не связанная с биологическими процессами человека.

Если феноменологически можно говорить о более или менее интенсивном переживании времени, то математический язык позволяет нам выразить степень интенсивности восприятия времени. Рассматриваемая математическая модель позволяет определять эту степень интенсивности в виде разницы между отрезком априорного времени (для удобства взятым за единицу) и соответствующим ему отрезком эмпирического времени.

Для случая, при котором Другой в той же степени воспринимает интенсивность времени нашего общения, что и я, такая разница составит примерно 0,41. Эту величину можно взять для обозначения усредненной интенсивности эмпирического времени, то есть такого восприятия времени, которое не предполагает никаких дополнительных факторов, приводящих к изменению интенсивности его переживания.

Рассчитывается эта величина элементарно. Если отрезок "моего" априорного времени взять за единицу, то по условию задачи ему будет соответствовать такой же отрезок априорного времени другого. Отрезок графика функции у=х на промежутке от х=0 и до х=1 явится гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной, равной единице, и рассчитывается по теореме Пифагора х2+у2=z2. Иными словами, он равен квадратному корню суммы квадратов катетов, то есть корню квадратному из 2, что примерно равно 1,41. Разница с катетом со стороны оси абсцисс будет соответствовать 0,41.

Соответственно, если я буду в два раз интенсивней переживать время, нежели находящийся со мной в общении Другой, то коэффициент интенсивности моего восприятия времени будет равен √(22+12) - 1. Формула коэффициента интенсивности времени будет таковой k=√(Δу2+Δх2) - х. Для случая, когда мы для удобства определили х=1, ее записать можно так: k=√(у2+1) - 1.

Августино-боэциановская "ретенциальная" вечность.

Если православие понимает вечность динамично, то католическая традиция склоняется к статичному пониманию вечности, хотя это статичное понимание принципиально отличается от вечности как вечного мига. Католическая мысль выражает общехристианскую идею о том, что вечность включает в себя все моменты временной жизни. Хотя оно и понимает это включение статично, а не динамично - как в православии, тем не менее такое понимание вечности ничего общего не имеет с вечностью индийского безличного абсолюта, полностью очищенного от любых моментов времени.

Со времен Августина и Боэция западно-католическая мысль понимает вечность как данность всего содержания времени в созерцании настоящего. Определение настоящего не через становление, а через созерцание позволило и вечность понимать созерцательно, как некую застывшую картину жизни, всплывшую в непосредственную данность созерцания из прошлого. И хотя это несовершенное понимание вечности преодолевается уже у Николая Кузанского, оно является важным опытом, без которого мы не сможем понять смысл устремленности человека к вечности.

Для описания Августино-боэциановского понимания вечности нам необходимо обратиться к понятию "ретенции", которое Э. Гуссерль использовал для описания восприятия времени. В соответствии с Гуссерлем я также буду понимать ретенцию как только что прошедший момент, который удерживается в восприятии времени в неразрывной связи с настоящим моментом, вызывая ощущение восприятия времени не в отдельных моментах, а в отрезках, обладающих длительностью.

Если восприятие настоящего момента мы обозначим на графике величиной х, то ретенцию, непосредственно дополняющую восприятие настоящего момента следует обозначить как Δх. При этом Δх может быть разной величины. Для амебы, которая не воспринимает прошлое и реагирует только на непосредственно настоящий момент, Δх=0. Для человека она в разных состояниях разная. Совершенно очевидно, что она будет меньше, когда человек делает механическую работу, нежели когда он переживает эстетический экстаз от слушания музыки. При этом, чем больше Δх, тем сильнее будет впечатление от музыки. При Δх стремящейся к 0 музыка будет рассыпаться на отдельные звуки и для восприятия человека перестанет существовать.

Используя понятие ретенции, мы можем августино-боэциановское понимание вечности представить как явленность в ретенции всей прошедшей человеческой жизни. В ретенции она без остатка будет дана через созерцание настоящего момента как его неотъемлемое содержание. При этом она останется неизменной, что является принципом завершенности события во времени. Математически это выразимо как Δх стремящаяся к бесконечности.

Таким образом, вечность может пониматься по разному: через увеличение интенсивности восприятия времени и через усиление ретенции. Степень приобщенности к вечности зависит от обеих этих величин и рассчитывается через интеграл величины Δх функции у=kх. Графически это можно изобразить как площадь фигуры, ограниченной графиком функции, иллюстрирующей течение эмпирического времени, и отрезком оси абсцисс от Δх и до х.

Время в махаяне.

Адепты школы шуньявада разработали специальную методику освобождения от страданий через отрешение импрессивной интенции от протенции и ретенции, при котором Δх=0. Оригинальность этой школы заключается также и в том, что они не абсолютизируют эту позицию, и не только допускают свободный переход от позиции отсутствия восприятия ретенции к позиции ее восприятия, но и имеют методики усиления ретенции, что предопределило рождение из шуньявады школы виджнянавады. Общим же для этих двух школ махаяны является идея равновесия сознания между двумя условиями, при одном из которых Δх стремиться к 0, а при другом - Δх стремиться к бесконечности.

Смерть

Смерть есть уход Другого из мира, неспособность "меня" находиться во взаимообщении с Другим. Другой продолжает присутствовать для "меня" чисто идеально, но он не способен вступить со "мной" во взаимообщение. Такое отношение присутствия и не-присутствия вполне можно изобразить, графически преобразовав функцию у=х в у = целому числу от х. В этом случае любому отрезку времени х будет соответствовать неизменный момент у, что делает невозможным восприятие времени Другого в становлении.

Вечные муки.

Как ни парадоксально, но вечные муки будут описываться тем же графиком у=const, что и вечный миг. По сути, вечные муки также являются вечным мигом, только в этом миге дано не положительное, но отрицательное содержание - это вечный миг страдания.

Однако вечные муки не обязательно предполагают только один момент в качестве данного для созерцания. Можно, например, обратиться к опыту мучения самоубийц, у которых бесконечно проигрывается один и тот же отрезок времени, связанный с собственной гибелью. Бесконечное проигрывание одно и того же момента можно изобразить в виде графика функции у=sin(х).

Заключение.

Математика является языком науки в целом, но каждая конкретная наука должна разговаривать на собственном (специфическом) диалекте этого языка.

Список литературы

Б.В. Гнеденко. Введение в специальность "Математика". - М.: Наука, 1984

В.Н. Страхов. Геофизика и математика // Физика Земли. 1995. № 12.

В.Ю.Ирхин, М.И.Кацнельсон. Уставы небес. 16 глав о науке и вере (Часть 2), 2003

Р.С. Гутер., Ю.Л. Полунов. От атома до компьютера.: Знание, 1981.

Ресурсы Internet