Методы оптимизации при решении уравнений

Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»


Задание №1



Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.







Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:











Используем краевые условия:







Решаем систему уравнений и получаем:







Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида 



Так как 






то функционал на прямой  достигает минимума.



Задание №2



Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал  для системы, описываемой уравнениями



,



при начальных и конечных условиях соответственно:







A

B

t0

tf

x0

xf

a

b

0 1

0 0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1



Решение

Формируем задачу по исходным данным:



 				(1)


				 (2)







Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:







и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):



				(3)



			(4)



Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1): 







и находим общее решение 



					(5)



Подставим его в первое уравнение (1):






и находим общее решение: 



					(6)



Для  из (6) и  из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,: 







Таким образом, решение имеет вид:







которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.




Задание №3



Для системы, описываемой уравнениями 



 



с заданными условиями на начальное  и конечное  значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал







A

B

t0

tf

x0

xf

g0

a

b

0 1

0 0

0

1

0

t

1

0

x1(tf) = -tf2



0

0

1



Решение. Формулируем задачу по исходным данным 



				(1)



					(2)



т.е. , подвижна на правом конце, координата  - свободна на правом конце, 








Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)



					(3)



и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:



						(4)



			(5)



				(6)



Составим вспомогательную функцию



,	



где . Таким образом: 



.						(7)



Поскольку  и  подвижны, то используем условия трансверсальности:






 					(8)



				(9)



Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности







Найдем значение  при  из (3), но учтем, что , а  из (9). Тогда, учитывая (4): 







и используя (10) получим:



				(11)



Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:



				(12),


		(13)



Используя начальные условия, можем записать:







Запишем условие  с учетом (13). Тогда:



 					(14)

	

	Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :





	

	Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим: 

	

	, 

	

	а подставляя 1-е в третье, получим:




	

	Таким образом, решение имеет вид:







	Задание №4

	

	Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы







	A

	B

	t0

	tf

	F

	a

	b

	0 1

	0 0

	0

	1

	0

	∞

	0

	1 0

	0 2

	1

	

	Решение:

	Формируем задачу по исходным данным.



			(1)

	
 – не ограничено, то есть .





	

	Составим уравнение Беллмана с учетом того, что  (S-функция Беллмана)

	

					(2)

	

					(3)

	

						(4)



Из (3) находим:



					(5)

	

	Подставим (5) в (4)



			(6)

	
Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы 



				(7)



причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит



					(8)

	

	т.е. матрица должна быть положительно определённой.

	Вычисляя выражения:



				(9)

	

	подставим их в (6) и обратим коэффициенты при ,  и  в ноль, т.к. справа у нас ноль:





	

	Отсюда:



				(10)




			(11)



			(12)

	

	Если , то   S < 0, что нельзя допустить. Тогда: 

	

	 

	

	а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.

	Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):





	

	Задача 5

	

	Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы







в задаче:



	А

	В

	t0

	tf

	х0

	xf

	|u|

	0 1 0

	0 0 1

	0 0 0

	0

	0

	1

	0

	1

	0

	0

	0

	x1max

	0

	0

	1

	
Решение: 

	Формируем задачу по исходным данным:







  



					(4)

	

	Составим функцию Гамильтона







Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:



					(5)



				(6)



			(7)

	
Поскольку  – подвижна, то используем условие трансверсальности: 

	

	 

	

	Но из (5) видно, что 1 = С1 С1 = 1. Тогда из (7) видно, что 3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень 3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует: 



,

	

	а следовательно:





	

	Тогда, поскольку 3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать



						 (8)

	

	Подставим  в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)


				(9)

	

	Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности  в t1 и t2 получим:



		(10)

	

	Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:



 				(11)

	

	Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:





	

	Используем непрерывность  при  и :




			

		

	

	Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:



			(12-14)



Подставив (12) в (13), получим уравнение



.

	

	Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):





	

	Тогда t1 из (12) равно 

	

	

	
и, наконец, 

	

	

	

	Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):



 				(15)

	

	Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:





	

	Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а  заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

	

	Задание №6

	

	Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:




	

	где 



.

	

	Решение:

	Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

	

		Y = (B, AB, A2B):						





	

	Таким образом 







Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что 



.

	
Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

	Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

	

	H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);







.

	

	Таким образом 





	

	Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что 





	

	Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

	
Задание №7

	

	Для линейной системы и квадратичного критерия

	

	

	

	выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

	

	A

	B

	Q

	R

0 1

	1 0

	1

	0

	1 0

	0 0

	1

	

	Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

	

	

	

	где 

	

	, 

	

	причем матрица >0 (положительно определена).





	
Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:







Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы , получим:





	

	Тогда для уравнения, которое имеет вид





	

	получим: