Математические методы и модели в экономике 2

Содержание





	Задача 1	3

	Задача 2	4

	Задача 4	6

	Задача 5	9

	Задача 6	11

	Задача 7	14

	Задача 9	15

	Задача 11	19

	Задача 13	22

	Список используемой литературы	25




Задача 1



Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1 вида, 3 детали 2 вида, и 2 детали 3 вида. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

Первая партия

Вторая партия

Детали

Способ раскроя

Детали

Способ раскроя





1

2

3





1

2



1

0

6

9



1

6

5



2

4

3

4



2

5

4



3

10

16

0



3

8

0



Решение



Обозначим через хij число единиц из i-й партии (1,2) фанеры, которые намечено раскроить j -м способом (1,2,3) , так что из i -й партии при j -м способе раскроя будет получено аijkхij деталей к -го вида. Всего из всей i -й партии деталей к -го вида будет получено , а из всех m партий их будет получено: 

Из первой партии фанеры:

Деталей первого вида: 400(0х11+6х12+9х13)

Деталей второго вида: 400(4х11+3х12+4х13)

Деталей третьего вида: 400(10х11+16х12+0х13)

Из второй партии фанеры:

Деталей первого вида: 250(6х21+5х22)

Деталей второго вида: 250(5х21+4х22)

Деталей третьего вида: 250(8х21+0х22)

Всего из двух партий фанеры:

Деталей первого вида: 400(6х12+9х13)+ 250(6х21+5х22)

Деталей второго вида: 400(4х11+3х12+4х13)+ 250(5х21+4х22)

Деталей третьего вида: 400(10х11+16х12)+ 2000х21

Число полных комплектов, которое можно выпустить по данному плану, будет равно:

Введем дополнительную переменную х – отходы при используемом способе раскроя. В результате, получим задачу линейного программирования:

z = x  →   min,

при ограничениях:







х11+х12+х13=400

х21+х22+х23=250

,     где х, хij – целые числа.



Задача 2



Решить графическим методом.

Решить графическим методом

Z= 3 х1-4х2   → max при условиях:

-х1 +х2≤1

-х1 +2х2≥-2

х1 +х2≥-1

-3х1+2х2 ≤6; 

2х1– х2≤2

х1 ≥0; х2≥0



Решение



Запишем ограничения в виде равенств и построим соответствующие им линии уровня в системе координат. Строим область допустимых значений решения, удовлетворяющую начальным условиям. Семи заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости, образующие пятиугольник АВСDE. Неравенства  х1 ≥-4; х1 +5х2≥4 могут быть исключены, так как они определяют граничные прямые, не имеющие с АВСDE общих точек.

Строим на плоскости вектор целевой функции . Через начало координат перпендикулярно проводим линию уровня целевой функции Z=0. Линия уровня перемещается в направлении  параллельно самой себе, пока не встретится с  вершиной области допустимых значений АВСО  т. В.  Значение  Z в точке В является минимальным.

При дальнейшем перемещении линия уровня пройдет через другую вершину ОДР, выходя из области решений – точку С. Значение  Z в точке С является максимальным. Значение целевой функции Zmах  в т. С. Найдем её координаты: 



2х1– х2 =2         

х2=0

С(0;  1)

Zmах=3*1-4*0=3 

Ответ: Zmах=3.



С

Z

В

А 

Задача 4



Удельные затраты Сij на перевозку 1 т груза вида i транспортом j (руб.) представлены матрицей

Сij=

Мощности поставщиков А1=30 тыс.т; А2=10 тыс.т; А3=40 тыс.т; А4=70 тыс.т. Спрос потребителей: В1=30 тыс.т; В2=10 тыс.т; В3=20 тыс.т; В4=10 тыс.т.

Определить объемы перевозок груза транспортом j (руб.), чтобы суммарные издержки были бы минимальными, построить матрицу объемов перевозок.



Решение



1. Определяем тип задачи. Так как .     Задача является открытой. Введем фиктивного потребителя с объемом потребления Вф.

2. Строим расчетную матрицу с фиктивным потреблением Вф  и удельными затратами на перевозку фиктивного груза Сiф=0.

3. Сформируем опорный план по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза ,  т. е.  min Сiф.

Оставшиеся мощности относятся к фиктивному потребителю: хiф=Аii-

Опорный план



В1=30 тыс.т

В2=10 тыс.т

В3=20 тыс.т

В4=10 тыс.т

Вф

Ui

А1=30 тыс.т

1,2

30

1,6

1,7

1,5

0

0



1,5

А2=10 тыс.т

1,4

1

10

1,2

1,5

0

1

А3=40 тыс.т

1,6

1,4

1,2

20

1,4

0

20

1,2

А4=70 тыс.т

1,5

1,2

0

1,4

1,2

10

0

60

1,2

Vj

1,2

1,2

1,2

1,2

0



4. Проверим полученный план перевозок на вырожденность. Так как 

4 столбца + 5 строк-1 > 7 поставок. То задача вырожденная. Для приведения плана к невырожденному состоянию введем в клетки (4;2) и (1,4) фиктивные нулевые поставки.

5. Оптимизируем план, используя метод потенциалов.

Сij= Ui+ Vj, где Ui– потенциал строки; Vj– потенциал столбца.

Пусть V4=0. пересчитаем все остальные Ui и Vj и зафиксируем их в опорном плане.  U4=1,2; Vф =0; V4 =0-1,2=-1,2; Vф=0-1,2=-1,2; U3 =0-(-1,2)=1,2; V3=1,2-1,2=0; U1 =1,5-0=1,5; V1 =1,2-1,5=-0,3; V2 =0; U2 =1-0=1.

6. Определяем характеристики свободных клеток: Еij= Сij-(Ui+ Vj)≥0.

Е12=1,6-0-1,5=0,1; Е13=1,7-0-1,5=0,2; Е1ф=1,2-1,5=-0,3; Е21=1,4+0,3-1=0,7; Е23=1,2-1=0,2;  Е24=1,5-1=0,5;  Е2ф=0+1,2-1=0,2; Е31=1,6+0,3-1,2=0,7; Е32=1,4-0-1,2=0,2; Е34=1,4-0-1,2=0,2; Е41=1,5+0,3-1,2=0,5; Е43=1,4-0-1,2=0,2.

7. Характеристики клеток (3,ф) и (4,2) отрицательны, следовательно найденное решение не является оптимальным. Оптимизируем план. Для клетки к (1,ф) строим контур перераспределения.

х1ф= min{0; 60}=60

0   -

       +







0

10   +

60    -





10  

60

Перенесем полученные результаты в новый план перераспределения.



В1=30 тыс.т

В2=10 тыс.т

В3=20 тыс.т

В4=10 тыс.т

Вф

Ui

А1=30 тыс.т

1,2

30

1,6

1,7

1,5



0

0

1,5

А2=10 тыс.т

1,4

1

10

1,2

1,5

0

1

А3=40 тыс.т

1,6

1,4

1,2

20

1,4

0

20

1,2

А4=70 тыс.т

1,5

1,2

0

1,4

1,2

10

0

60

1,2

Vj

1,2

1,2

1,2

1,2

0



Характеристики свободных клеток матрицы неотрицательны, следовательно найденное решение является оптимальным.

Задача решена.

 Определим значение целевой функции: 

F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.)



Задача 5



Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней.

Представлена грузоподъемность транспорта Р1=10т; Р2=5т; Р3=10т; Р4=15т.

АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n1=20; n2=30; n3=30; n4=20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В1= 120 тыс.р.; В2= 50 тыс.р.; В3= 80 тыс.р.; В4= 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза:

Т=

Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта.

С=

Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными.



Решение



1. Определяем мощность  Аi=d t S ni

d– количество рабочих дней (d=25) в месяце;

t – количество часов в смене (t=8);

S– количество смен (S=2) в сутки

ni– количество машин i-го типа.

А1=25*8*2*20=8000 маш.ч.; А2=25*8*2*30=12000 маш.ч.; А3=12000 маш.ч.; А4=8000 маш.ч.

2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λij=Pi/tij.

λ=

3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: kij= λij/ Сij.

K=

4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по max kij. Это клетки Х31и Х43.

Расчетная матрица



В1= 120 тыс.р.

В2= 50 тыс.р.

В3= 80 тыс.р.

В4= 100 тыс.р.

Ui

А1=8 тыс.р.

3                        3,3

8

4                        2,5



5                           4



6                       2,5



3

А2=12 тыс.р.

5                           1

6                        0,8

7                           1

4                      1,25

12

4

А3=12 тыс.р.

2                          5

12 

3                      3,33



4                        2,5



3                       2,5

2

А4=8 тыс.р.

5                      3,7

4                           5

2                        5

8

2                      3,75

2

Аф

0                          1

33,3

0                          1

50

0                          1

40

0                           1

85

0

Vj 

0

0

0

0





5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с Сiф=0 и λiф=1. произведем расчет фиктивных поставок.

6. Проверяем план на вырожденность:

5 строк  + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная.

Оптимизируем опорный план.

Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению: 

Сij= Ui+Vj λij, откуда Ui= Сij-Vj λij; Vj= (Сij -Ui)/ λij

Зададимся потенциалом фиктивной троки: Uф=0. 

Тогда: V3=V2= V1= V4=0; U4=4-5∙0=4; U3=2-0=2; U2=4-0=4; U1=3-0=3

Определяем характеристики свободных клеток по формуле: 

Еij= Сij-(Ui+ λij Vj);

Е12 =4-3-0>0; Е13=5-3-0>0; Е14=6-3-0>0; Е21=5-4-0>0; Е22=6-4>0; Е23=7-4>0; Е32=3-2>0; Е33=4-2>0; Е34=3-2>0; Е41=5-2>0; Е42 =4-2>0; Е44=2-2=0.

Так как все Еij≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е44=0)

Целевая функция затрат на перевозку:

F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)



Задача 6



Для обслуживания потребителей предприятие может выделить 3 вида транспорта А1, А2, А3, получая прибыль, зависящую от спроса на них (В1,В2,В3).



В1

В2

В3

В4

А1

1

3

3

2

А2

4

2

0

2

А3

3

1

0

1

Определить оптимальную пропорцию транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.



Решение



Определим верхнюю и нижнюю цену игры.

А=



Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):

	

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную  Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.



Z=

Аналогично для второго игрока (спрос)



Приведем данные уравнения к форме без переменной V:

  (*)

Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х1,х2,…,хm) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:



Решаем задачу симплексным методом.

итерация



0

базис

d1

d2

d3

d4

d5

d6

d7

bi

bi / a



d4

1

4

3

1

0

0

0

1

1/3



d5

3

2

1

0

1

0

0

1

1



d6

3

0

0

0

0

1

0

1





d7

2

2

1

0

0

0

1

1

1



ψ

-1

-1

-1

0

0

0

0

0



1

d3

1/3

4/3

1

1/3

0

0

0

1/3

1



d5

8/3

2/3

0

-1/3

1

0

0

2/3

1/4



d6

3

0

0

0

0

1

0

1

1/3



d7

5/3

2/3

0

-1/3

0

0

1

2/3

2/5



Ψ

-2/3

1/3

0

1/3

0

0

0

1/3



2

d3

0

1,25

1

0,375

-0,125

0

0

0,25





d1

1

0,25

0

-0,125

0,375

0

0

0,25





d6

0

-0,75

0

0,375

-1,125

1

0

0,25





d7

0

0,25

0

-0,125

-0,625

0

1

0,25





Ψ

0

0,5

0

0,25

0,25

0

0

0,5



Базисное решение Б1 (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как  0,25+0,25+0=0,5 то V=2. 

Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х1=0,5;  х2=0; х3=0,5; х4=0; х5=0; х6=0,5; х7=0,5.



Задача 7



На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на I предприятии, равны 4x12 руб., а затраты, обусловленные изготовлением х2 изделий на II предприятии, составляют 48х2 + 8х22 (руб.).

Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленных изготовлением необходимой продукции, были минимальными.



Решение



f=4x12+48х2 + 8х22→min

х1+х2=300

Составим функцию Лагранжа: F=f+λg









х1+х2=300

  ;  х2=300-х1

16(300-х1)-8х1+48=0

Тогда     (деталей)

х2 =300-202=88 (деталей)

	Ответ: на первом предприятии следует произвести 202 детали, а на втором – 88 деталей.

	

Задача 9

	

	Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт а дальнейшую эксплуатацию К(τ)= 0,2τ+τ2 (р.). Функция замены Р(τ)=10+0,05τ2(р.). Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5.

	

Решение

	

	Рассчитаем переходы (затраты на замену и ремонт) оборудования для каждого из возможных состояний τ.

	τ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

	К

-

1,2

4,4

9,6

16,8

26

37,2

50,4

65,6

	Р

10

10,05

10,2

10,45

10,8

11,25

11,8

12,45

-

	Произведем пошаговую оценку альтернативных вариантов затрат для возможных различных состояний τ на каждом шаге t, т.е. 

	

	Начало оценивается с последнего t=5 шага.

	Шаг 1; t=5.

	Все состояния на последнем интервале приравниваются к 0:

	F85=0;  F75=0;  F65=0; F55=0; F45=0; F35=0;  F25=0;  F15=0.

	Шаг 2; t=4.

	

	

	

	

	

	

	

	Шаг 3; t=3.

	

	

	

	

	

	

	Шаг 4; t=2.

	

	

	

	

	

	Шаг 5; t=1.

	

	

	

	

	

	Шаг 6; t=0.

	

	

	

	

	Функции затрат F00, F10, F20, F30 – затраты на единицу оборудования  соответственно для возраста τ=0,1,2,3 года. Определим стратегию замены и ремонта оборудования каждого возраста. На схеме стратегии выделены стрелками (только оптимальные шаги). Определяем затраты по годам планирования:

	t=1; Q1= 10*11,2+12*4,4+8*11,4+5*11,65=314,25

	t=2; Q2= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

	t=3; Q3= (10+8+5)*11,4+12*4,4=315

	t=4; Q4= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

	t=5; Q5=(10+8+5)* 9,6+12*4,4=237,6

	Проверка: сумма затрат для оборудования каждого возраста должна равняться сумме затрат на них по годам планирования. Затраты на каждый возраст:

	

	=41*10+36*12+41,2*8+41,45*5=1378,85

	Сумма затрат по годам: 

	Q1+ Q2+ Q3+ Q3=314,25+238+315+238+237,6=1375,85

	

	

Задача 11

	

	Дана схема движения транспорта с n=5 пунктами и расстояниями между ними. Построить кольцевой маршрут объезда всех пунктов наименьшей длины.

	∞

	13

	12

	11

	7

	10

	∞

	6

	9

	4

	13

	10

	∞

	12

	7

	9

	6

	14

	∞

	8

	12

	13

	9

	10

	∞

	

Решение

	

	Стоим приведенную матрицу с целью получения в каждой  строке и столбце не меньше 1 кратчайшего  маршрута (0 приведенного значения). Коэффициенты приведения 

	по строкам: К1=7+4+7+6+9=33

	∞

	6

	5

	4

	0

	6

	∞

	2

	5

	0

	6

	3

	∞

	5

	0

	3

	0

	8

	∞

	2

	3

	4

	0

	1

	∞

	по столбцам (у приведенной матрицы): К2=3+1=4

	Кпр=33+4=37 (сумма самых коротких маршрутов).

	∞

	6

	5

	3

	0

	3

	∞

	2

	4

	0

	3

	3

	∞

	4

	0

	0

	0

	8

	∞

	2

	0

	4

	0

	0

	∞

	Для нулевых значений определяем коэффициенты значимости:

	К41=0; К51=0; К42=3; К53=2; К25=2; К15= К35=3; К54=3.

	Выбираем  аij=0 с максимальным Кij, например, К15=3.

	В матрице назначения присваиваем Х15=1. В полученную матрицу  в клетку (5,1) вводим запрет. 

	Приведем матрицу.

	

	2

	3

	4

	1

	2

	∞

	0

	2

	1

	3

	0

	∞

	1

	0

	4

	0

	8

	∞

	0

	5

	4

	0

	0

	∞

	

	Подсчитаем новое значение Кпр: 37+2+3=42.

	Определяем коэффициенты значимости для нулевых значений. 

	К32=К42= К53=К41=К31=0; К23= К54=1. 

	Выбираем  аij=0 с максимальным Кij, например, К23=1.

	В матрице назначения присваиваем Х23=1. В полученную матрицу  в клетку (3,2) вводим запрет. 

	

	2

	4

	1

	3

	∞

	1

	0

	4

	0

	∞

	0

	5

	4

	0

	∞

	Так как матрица уже приведена, определяем коэффициенты значимости для нулевых значений. 

	К42=4; К41=0; К31=1;  К54=5.

	Присваиваем в матрице назначения Х54=1. В полученную матрицу  в клетку (4,1) вводим запрет.

	

	2

	1

	3

	∞

	0

	4

	0

	∞

	

	В полученной матрице осталось два маршрута, которые и вносим в кольцевой маршрут: Х31=1; Х42=1.

	Введем все маршруты в матрицу назначения.

	

	

	

	

	1

	

	

	1

	

	

	1

	

	

	

	

	

	1

	

	

	

	

	

	

	1

	

	

	Длина полученного маршрута:

	

	Условие оптимальности F=Кпр.=42 выполняется, то  полученный кольцевой маршрут является оптимальным.

	

Задача 13

	

	Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. Пункт состоит из n=3 каналов; на осмотр каждой машины затрачивается  При осмотре  группа выявляет дефект с вероятностью р=0,7; на осмотр поступает в среднем  . Обслуживание одной заявки приносит среднюю прибыль С1=3 руб./час, создание 1 канала требует среднего расхода С2=18000 тыс.р., эксплуатация 1 канал в единицу времени требует среднего расхода С3=8 руб./час. Определить характеристики работы пункта. Установить, при каких соотношениях С1,С2, С3 система будет рентабельна, и если система не рентабельна при заданных С1,С2, С3 , то при каких она будет рентабельна?  Через какое время эксплуатации система будет приносить прибыль?

	

Решение

	

	Характеристики работы системы:

	1. Среднее число занятых каналов

	

	2. Вероятность выявления скрытого дефекта

	Рабс.=(1-Р0)Р=

	3. Абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:

	

	4. Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:

	

	5. Вероятность того, что канал занят:

	Пз.к.=

	6. Среднее время простоя канала:

	

	7. Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром

	

	8. Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы)

	

	9. Средняя прибыль за сутки (t=24 часа)

	

	10 Средняя стоимость в сутки:

	

	11. Прибыль, которую система начнет приносить через время, определяется условием: 

	Условие рентабельности: 

	У нас .

	Преобразуем это выражение с учетом того, что ; получим условие оптимальности: 

	Система будет рентабельна, если: 

	Из   найдем время, через которое система начинает приносить прибыль:

	(дней)  или   (лет)


Список используемой литературы

	

	

	Данко П.Е. и др. Высшая математика в примерах и задачах. Ч2: Учебник для втузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

	Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2002. – 208 с.

	Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании МТС. – М.: Высшая школа, 1990. – 352 с.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	



Министерство образования Российской Федерации

«Тихоокеанский государственный университет»



















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

ПО МЕТОДАМ И МАДЕЛЯМ В ЭКОНОМИКЕ



























                                                                      Выполнил: студент 3-го курса з/о               

Специальность:________________

№ зач. книжки_________________

Ф.И.О._______________________









2010г.

	

	

	

	

	

	

2