Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач

1



























Методы решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач



Методы Алексея Юрьевича Виноградова


1 Введение



На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:



Y(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),



где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:



U∙Y(0) = u,

V∙Y(1) = v,



где 

Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1, 

Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:



Y(x) = e∙ Y(x)  +  e∙ e∙ F(t) dt,



где 

e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:



K(x←x) = K(x - x) = e.



Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:



Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x)  ,



где Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt   это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.




2 Случай переменных коэффициентов



Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):



e= e∙ e ∙ … ∙ e ∙ e,

K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).



В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:



K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),



где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:



K(x←x) = e,      где ∆x= x- x.



3 Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений



Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась значительно ранее выведенная и гораздо более сложная формула, приведенная в:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики  Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:



Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt



предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:



Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt .



Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:



Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ e∙ F(t) dt ,

Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt,



что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:



Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙ (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙ (EF(t) dt  + A∙(x- t) ∙ F(t) dt  + A/2! ∙(x- t) ∙ F(t) dt  + … ) .



Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x- x) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x)=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x←x) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.



4 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования



Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации. 

Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики 
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид



Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x)  .



Или можно записать:



Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x)  +  Y*(0←x)  .



Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:

U∙Y(0) = u,

U∙[ K(0←x) ∙ Y(x)  +  Y*(0←x) ] = u,

[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x)  = u - U∙Y*(0←x)  .

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

U∙ Y(x)  = u  ,



где U= [ U∙ K(0←x) ] и u = u - U∙Y*(0←x) .

Далее запишем аналогично



Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x)  



И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x 



U∙ Y(x)  = u,

U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x) ]  = u  ,

[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = u - U∙ Y*(x←x)   ,



Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:



U∙ Y(x)  = u  ,

где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x)   .



И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:



U∙ Y(x)  = u  ,

V∙ Y(x)  = v  .



Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:



 ∙ Y(x) =  .



А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

То есть, получив



U∙ Y(x)  = u,



применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:



U∙ Y(x)  = u.



И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем



Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x)  .



И получаем



U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x) ]  = u  ,


[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = u - U∙ Y*(x←x)   ,



Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:



U∙ Y(x)  = u  ,



где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x)   .

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:



U∙ Y(x)  = u.



И так далее. 

И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку. 



В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:



 ∙ Y(x) =  .


5 Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования



Этот вариант метода еще не обсчитан на компьютерах.

Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:



Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) +  Y*(0←x)  ,

Y(1) = K(1←x) ∙ Y(x) +  Y*(1←x)  .



Подставим эти формулы в краевые условия и получим:



U∙Y(0) = u,

U∙[ K(0←x) ∙ Y(x)  +  Y*(0←x) ] = u,

[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x)  = u - U∙Y*(0←x)  .

и

V∙Y(1) = v,

V∙[ K(1←x) ∙ Y(x)  +  Y*(1←x) ] = v,

[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x)  = v - V∙Y*(1←x)  .



То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:



[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x)  = u - U∙Y*(0←x)  ,

[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x)  = v - V∙Y*(1←x)  .



Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x)  в любой рассматриваемой точке x:

 ∙ Y(x)  =  .



В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.

Используем свойство перемножаемости матриц Коши:



K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x)



и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде: 



K(0←x) = K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),

K(1←x) = K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),



Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:



[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = u - U∙Y*(0←x)  ,

[ V∙ K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = v - V∙Y*(1←x)  



или в виде:



[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = u*  ,

[ V∙ K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = v*  .



Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:



[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x)  = u*  ,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) }  = u*  ,

[     матрица      ] ∙ {                     вектор                        }  = вектор  .



Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:



[ U∙ K(0←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) }  = u*  .



Далее последовательно можно записать:



[[ U∙ K(0←x) ] ∙  K(x←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ Y(x) }  = u*  ,

[                      матрица                          ] ∙ {         вектор          }  = вектор  .



Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:



[[ U∙ K(0←x) ] ∙  K(x←x) ]  ∙ { K(x←x) ∙ Y(x) }  = u*  ,

Далее аналогично можно записать:



[[[ U∙ K(0←x) ] ∙  K(x←x) ]  ∙ K(x←x) ] ∙ {  Y(x)   }  = u*  ,

[                                        матрица                                         ] ∙ { вектор}  = вектор  .


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:



[[[ U∙ K(0←x) ] ∙  K(x←x) ]  ∙ K(x←x) ]  ∙ Y(x)  = u*  .



Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края. 

Далее проортонормированные уравнения краевых условий:



[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x)  = u*  ,

[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x)   =  v*   



как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :



∙ Y(x)  = .



6 Метод дополнительных краевых условий



Этот метод еще не обсчитан на компьютерах.

Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:



M ∙ Y(0) = m .


В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0)  из выражения:



 ∙ Y(0) = ,



то есть вектор Y(0)  находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:



N ∙ Y(0) = n ,



где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:



 ∙ Y(1) = .

Запишем Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0)  и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:



 ∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ]  = ,



 ∙ K(1←0) ∙Y(0)  =  -  ∙ Y*(1←0),



 ∙ K(1←0) ∙Y(0)  =  ,



 ∙ K(1←0) ∙Y(0)  =  .



Запишем вектор Y(0)  через обратную матрицу:



Y(0) = ∙ 



и подставим в предыдущую формулу:

 

 ∙ K(1←0) ∙ ∙  = .



Таким образом, мы получили систему уравнений вида:



В ∙  = ,



где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.

Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:



∙  = ,



откуда можем записать, что



В11 ∙ u + B12 ∙ m = s,

B21 ∙ u + B22 ∙ m = t.



Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:



m = B12 ∙ (s – B11∙ u).



А искомый вектор n вычисляется через вектор t:



t  = B21 ∙ u + B22 ∙ m,

n = t + N ∙ Y*(1←0).



В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.

Запишем приведенную выше формулу 



 ∙ K(1←0) ∙ ∙  = 



в виде:


 ∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙  = .



Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:



[ ∙ K(1←x2) ]     ∙   { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙  }    =     



[     матрица       ]      ∙   {                     вектор                        }     =    вектор



Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:



[ ∙ K(1←x2) ]      { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙  }    =     



Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.



Далее запишем:



[[ ∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)]   { K(x1←0) ∙ ∙  }    =     

[          матрица               ]          {                вектор            }     =    вектор



Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:



[[ ∙ K(1←x2) ]  K(x2←x1)]  { K(x1←0) ∙  }  =  .



И так далее.

В результате поочередного ортонормирования получим:



В ∙  = ,

∙  =  .



Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:



m = B12 ∙ (s – B11∙ u).



7 Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова



Эта формула обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.

Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.

редположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x)  будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.

Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:



Y(x)  = Y(x) c +  Y(x) c + Y(x) c + Y(x) c + Y*(x),



или можно записать в матричном виде:



Y(x)  = Y(x) ∙ c  +  Y*(x),



где векторы  Y(x), Y(x), Y(x), Y(x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. 

Здесь Y(x)=|| Y(x), Y(x), Y(x), Y(x)  || это матрица размерности 8х4, а c  это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c,c,c,c.

Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y(x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:



Y(x)=Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+

+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y*(x),



И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) векторов Y(x), Y(x), Y(x), Y(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c,c,c,c.

Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.

Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:



U∙Y(0) = u,



где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:



U∙Y(0) = u,



где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u.

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].



Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W:



W = ,



где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.

В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками:



W = .



Можем записать, что 

Y(0) = (М)транспонированная = М. 

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:



Y(0) = Y(0) ∙с + Y*(0)


или 



Y(0) = М∙с + Y*(0).



Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U∙Y(0) = u и получим:



U∙ [ М∙с + Y*(0) ]= u.



Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как 



U∙ М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:

U∙ Y*(0) = u.



Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:



∙ Y*(0) = ,



где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:



Y*(0) = ∙ ,


Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:



Y(0) = М∙с + ∙ .



8 Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова



Этот алгоритм обсчитан на компьютерах в кандидатской диссертации.

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:







Начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:



∙ Y*(0) = ,

∙ Y(0) = , где i = , , , ,



где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.


9 Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова



Эта замена формул Рунге-Кутта на формулу теории матриц обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.

В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:



Y(x)  = Y(x) ∙ c  +  Y*(x).



На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:



Y(x) = K(x- x) ∙Y(x).



Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.



10 Метод половины констант 



Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.

Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:


Y(0) = М∙с + ∙ .



Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:



Y(0) = М∙с + U∙u

или 

Y(0) = U∙u +  М∙с

или 

Y(0) =  ∙ ,



Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.



Далее запишем     V∙Y(1) = v      и    Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0)   совместно:



V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ]  = v

V∙ K(1←0) ∙Y(0)   = v - V∙Y*(1←0)



и подставим в эту формулу выражение для Y(0):



V∙ K(1←0) ∙ ∙ = v - V∙Y*(1←0).

V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p.

Таким образом мы получили выражение вида:



D ∙ = p,



где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:



 ∙ = p.



Тогда можем записать:



D1∙ u + D2 ∙ c = p.



Отсюда получаем, что:



c =  D2 ∙ ( p - D1∙ u )



Таким образом, искомые константы найдены.

Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.



Запишем



V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p.



совместно с K(1←0)  = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:


V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ = p.



Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:



[ V∙ K(1←x2)  ] ∙  {  K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙  } =  p.

[     матрица    ] ∙  {                          вектор                                 } = вектор



Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:



[ V∙ K(1←x2)  ] {K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙  } =p.



И так далее. 

В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:



D ∙ = p,



Отсюда получаем, что:



c =  D2 ∙ (p - D1∙ u)



Таким образом, искомые константы найдены.

11 Применяемые формулы ортонормирования



Эти формулы обсчитаны в кандидатской диссертации.

Взято из: Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г. 635 стр.

 Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка n:



А=.



Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения жирным шрифтом.

Будем рассматривать строки матрицы А системы как векторы:



=(,,…,).



Ортонормируем эту систему векторов.

Первое уравнение системы А= делим на .

При этом получим:



++…+=,    =(,,…,),



где =, =, =1.



Второе уравнение системы заменяется на:


++…+=,    =(,,…,),



где =, =,



=-(,),  =-(,).



Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:



++…+=,    =(,,…,),

где =, =,

=-(,)-(,)-…-(,),  

=-(,)-(,)-…-(,).



Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических уравнений линейно независима.

В результате мы придем к новой системе С=, где матрица С будет с ортонормированными строками, то есть обладает свойством С*С= E, где Е – это единичная матрица.

(Таким образом, решение системы можно записать в виде = С.)




12 Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера



Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:



Y(x) = A Y(x) + F(x).	(1)



Разложим Y(x) в ряд Маклорена по степеням x:



Y(x)=Y + Yx + Yx/2!  +  …,  где Y=Y(0), Y= Y(0), …	(2).



Из (1) почленным дифференцированием при А=const и F(x)=0 получим:



Y= AY= AY, 	Y= A Y = AY, 	(3)



Положив в (3) x=0 и подставив в (2) получим:



Y(x) = Y + Ax Y + A x/2!  Y + … = e Y, 	(4)

где e = E + Ax + A x/2!  + …, где Е – единичная матрица. (5)



Если принять x=x, то (4) заменится на



Y(x) = e Y(x), 	(6)



Рассмотрим случай A=const и F≠0.

Введем в рассмотрение вектор-функцию Ya(x) в виде: Y(x)= eYa(x). 	(7)

Продиффренцируем (7) и подставим в (1). Получим:

eYa(x) = F(x).	(8)



При получении (8) учитывалось, что:



 =  = A + A x + A x/2!  + … = A e.



Из (8) следует, что:



Ya(x) = c + .	(9)



Подставим в (7) и получаем:



Y(x) = ec + e.	(10)



Положив x=x в (10) получим:



c = e Y(x). 	(11)



Окончательно получаем:



Y(x) = e Y(x) + e.		(12)



Мой отец предложил использовать и другую (гораздо более эффективную по времени счета) матричную формулу вместо матричной экспоненты – что-то на основе Вольтерра. Это есть в статье в журнале «Математическое моделирование»:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Я тут как-то на днях поговорил с отцом и вот что любопытное насчет метода выяснилось. 

Когда я сам решал своим методом «переноса краевых условий» «жесткие» краевые задачи, то я в каждой рассматриваемой точке x=x* решал соответствующую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения решения Y(x*) в каждой рассматриваемой точке x=x*. 

А мой отец утверждает, что «жесткими» бывают только краевые задачи, а начальные задачи «жесткими» не бывают. И поэтому он находил решение Y(x*) в какой-то одной точке x=x* по моему методу, а дальше решал (влево и вправо от рассматриваемой точки x=x*) как задачу Коши (от найденных начальных условий Y(x*) в этой одной точке): Y(x)=K(х←x*)·Y(x*)+Y*(x←x*). И если это так, то так решать, естественно, гораздо быстрее, так как надо только домножать на матрицу Коши (матрициант, матричную экспоненту) вместо решения систем линейных алгебраических уравнений.

Я думаю, что это очень существенное уточнение по скорости счета.

P.P.P.S. Метод решения «жестких» начальных задач, то есть «жестких» задач Коши. Придуман вечером 16 января 2008 года.

Метод переноса краевых условий работает успешно. Следовательно, по аналогии можно пытаться решать «жесткие» начальные задачи, то есть «жесткие» задачи Коши.

Пусть дана начальная задача:



Y(x) = A·Y(x),  Y(0) = Yнач,

Можем записать:



Y(0) = K(0←x) · Y(x),



K(0←x) · Y(x) = Yнач



K(0←x3) · K(x3←x2) · K(x2←x) · Y(x) = Yнач



[ K(0←x3) ] · { K(x3←x2) · K(x2←x) · Y(x) } = Yнач

[ матрица  ]    {                   вектор                  }     вектор



Выполняем построчное ортонормирование этой системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов и получаем систему с ортонормированными строчками в квадратной матрице:



[ K(0←x3) ]орт · {K(x3←x2) · K(x2←x) · Y(x)} = Yнач_орт



Аналогично записываем



[[ K(0←x3) ]орт · K(x3←x2) ] ·{ K(x2←x) · Y(x) } = Yнач

[                  матрица               ]   {         вектор        }     вектор



Далее выполняем построчное ортонормирование и получаем:



[[ K(0←x3) ]орт · K(x3←x2)]орт · {K(x2←x) · Y(x)} = Yнач_2орт



Аналогично получаем



[[ K(0←x3) ]орт · K(x3←x2)]орт · K(x2←x)]орт · Y(x) = Yнач_3орт


То есть получили итоговую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения вектора Y(x). Для этого вектор Yнач_3орт  надо домножить слева на матрицу транспонированную по отношению к левой ортонормированной матрице, так как если матрица ортонормированна, то обратная ей есть транспонированная матрица.

P.P.P.P.S. 11 сентября 2009:

Долго было лень записывать, но вдруг кто-то сам не сразу догадается – ещё один метод решения «жестких» начальных задач, то есть «жестких» задач Коши. Хотя у меня есть такое подозрение, что «жесткими» бывают только краевые задачи, а начальные задачи «жесткими» НЕ бывают. Но на всякий случай приведу метод решения «жестких» начальных задач.



Начальные условия имеют вид:



Y(0) = Yнач.



Полное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений Y(x) = A · Y(x) + F(x) имеет вид:



Y(x) = K(x←0)  · Y(0) + Y*(x←0).



Или можно записать:



Y(0) = K(0←x1)  · Y(x1) + Y*(0←x1).



Подставим это выражение в краевые условия и получим:

K(0←x1)  · Y(x1) + Y*(0←x1) = Yнач

или 

K(0←x1)  · Y(x1)  = Yнач - Y*(0←x1)

или 

K1 · Y(x1) = Y1.

Проортонормируем это выражение построчно и получим эквивалентное выражение:

K1орто · Y(x1) = Y1орто.

Тогда

Y(x1) = (K1орто)транспонир · Y1орто.

Подставим вместо Y(x1) выражение через Y(x2) и получим:

K(x1←x2)  · Y(x2) + Y*(x1←x2) = (K1орто)транспонир · Y1орто

или 

K(x1←x2)  · Y(x2) = (K1орто)транспонир · Y1орто - Y*(x1←x2)

или 

K2 · Y(x2) = Y2.

Проортонормируем построчно и получим эквивалентное выражение:

K2орто · Y(x2) = Y2орто.

Тогда:

Y(x2) = (K2орто)транспонир · Y2орто.

И так далее.

P.P.P.P.P.S. Метод для численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Читали нам как-то в бауманке численные методы решения дифференциальных уравнений. И, кажется, приводили аналитический вывод формул одного из авторов. Или это просто мелькнуло в учебнике (я имею в виду вывод формул). Уже не очень помню. Запомнилась только собственная мысль, что людям вообще-то проще всего даются геометрические аналогии и выводы, сделанные на основе понятных геометрических картинок. Ну, вот тогда я и нарисовал один из вариантов численного решения дифференциальных уравнений и помню даже перевёл геометрические картинки в буквенные формулы приближённых вычислений. Сейчас повторно выводить буквенные формулы для численного интегрирования дифференциальных уравнений мне не кажется интересным. А вот привести картинки тех студенческих мыслей вполне можно для обсуждения.

Далее идёт картинка с текстом и с рисунками численного интегрирования: