Конспект урока по Математике "Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета" 8 класс

Учитель математики высшей категории

 ГБОУ г. Москвы СОШ 

 с углубленным изучением английского и

  французского языков №1358

 Соловьёва Людмила Петровна.



Урок по теме:

 Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.





Тип урока: урок новых знаний, коррекция знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, экран, таблицы с графиками квадратичной функции.

Цели и задачи:

Расширение теоретических знаний учащихся по теме: «Квадратные уравнения» с использованием теоремы Виета. Коррекция знаний, умений и навыков.

Развитие логического рационального мышления, математической  речи и памяти учащихся, их аналитических навыков.

Формирование навыков самостоятельной работы, самоконтроля и самоанализа, умения наблюдать, сравнивать, способностей работать как самостоятельно, так и  коллективно, проявляя творческие способности под руководством учителя.





Примечание.

      Не все учащиеся с готовностью решаются использовать в решениях теорему Виета, но, как показывает практика, её знание экономит массу времени, позволяет избавиться от досадных вычислительных ошибок, к тому же освоить её не так сложно, как порой кажется уч-ся, поэтому предлагаемый урок может быть использован при обучении и 8-классников и 11-классников на любом этапе обучения.



Ход урока:



ЭТАП:      подготовительный.



а)  Слайд 1.  Разложите на множители числа 6 (2*3=6*1), 12 (1*12=3*4=2*6), 18 (1*18=2*9=3*6),  7(1*7).

б)  Слайд 2. Подберите два числа, если их сумма и произведение равны:



Сумма

4

6

11

-4

4

-2

2

-4

Произведение

3

8

10

-5

-5

-3

-3

3





в)  Слайд 3. Вопросы классу:

     -Как называется функция у=ах²+вх+с? Что можно сказать о коэффициентах а,в и с, имеются ли ограничения?

     -Что является графиком квадратичной функции?

     -Как расположен график функции, если соответствующее уравнение не имеет корней?

    -Если вершина параболы лежит на оси Ох, сколько корней имеет уравнение?

     -Как по графику параболы узнать количество корней квадратного уравнения?Слайд 4.

     -Как «быстро» построить графики функций у=(х-а)²  и  у=х² +в? Слайд 5.



г)  Слайд 6.  Решите уравнения и неравенства (учащиеся и учитель решают устно, учитель- на обороте доски):

       9х² -1=0                             х² ≥  4                    2х² ≤ 0

       6х² -3х=0                           х² ≥  0                     ⅜ х² ≤ 0        

       х² -5х+6=0                         3х² ≥ 0 

  (если верный ответ не последовал, на толковании решения не останавливаемся).





ЭТАП : письменный этап подготовительной работы.



Создание проблемной ситуации.

Решите уравнения и проиллюстрируйте его корни на рисунке.

(Учитель вместе с классом решает уравнения, иллюстрируя решения слайдами или на доске, старший коэффициент выбран во всех задачах положительным, т. к. однотипное положение параболы при построении и иллюстрации не отвлекает от существа вопроса):

Слайд 7. 

  2х² -5х+3=0

         Д=25-4*2*3=1

         х= 1 или х=1,5   

   х² +х-12=0

   Д=49, х=-4 или х=3,

   х² -9=0

   х=-3 или х=3,

  1 ⁄ 16 х² -1=0

   х= -4 или х=4,

   х² +25=0

   корней нет,

    х² +25х = 0

    х(х+25) = 0
   х = 0 или х = -25.

    2х² -32х = 0,

    2х (х-16) = 0,

     х = 0 или х = 16.

             Обозначение проблемы.

   Сколько времени вам потребовалось на решение?

    Могли бы вы выполнить задание втрое быстрее?

     Можно ли решать уравнения так же быстро, как и учитель? Что для этого нужно? (Специальные знания). 

     Чем мы сегодня будем заниматься?

Верно, решением квадратных уравнений  с помощью теоремы Виета. 



                Слайд 8.            Тема урока - ТЕОРЕМА ВИЕТА.

       Разрешение проблемы.



ЭТАП  :введение новых знаний- теорема Виета.



Слайд 9. Если старший коэффициент а равен 1 (уравнение приведённое), то 

х +х = -в,

х *х =с.



 Слайд 10.

    1) Найти корни уравнения:

а) х² -10х + 21 = 0  ,  х = 3,  х = 7,

б) х² +3х +2 = 0 ,  х = -1, х = -2,

в) х² + 2х – 15 = 0 ,  х = -5, х = 3,

г) х² + 5х + 6 = 0, х = -2, х = -3,

д) х²  + 3х -4 = 0 , х = -4, х = 1.



  Слайд 11.

     2) Составить квадратное уравнение, если:

а) х=-1, х=3,

б) х=0, х=3,

в) х=5, х=-7,

г) х=4, х=-3.



Слайд 12.

ЭТАП: обобщенная теорема Виета.



Если а≠0 и а≠1, то    х +х =-в/а  и  х *х =с/а.



Постановка вспомогательной проблемной ситуации.



Слайд 13.Решим уравнение:

2х² + х – 1 = 0.

Как  вы думаете, в этом случае так же легко пользоваться теоремой? А почему? Почему на первом этапе решение уравнения не вызывало проблемы? Что же мы хотели бы «видеть» в этом уравнении? Верно, единичный старший коэффициент.

Сделаем это.



Разрешение проблемы.



Решим вспомогательное уравнение, разделив на старший коэффициент его самого, и умножив на него свободный член. Слайд 14.

Получим:

х² +х – 2 = 0, его корни  х = 1,  х = -2.

Чтобы получить искомые корни, разделим найденные числа на старший коэффициент:

х =1/2  и х = -2/2 , т.е. корни нашего уравнения х = 0,5 и х = -1.



Слайд 15. Рассмотрим еще пример. Помогайте.

3х² - 10х + 7 = 0.

Какое уравнение будем решать вместо этого? (приведенное, вспомогательное). Что для этого надо сделать? Как найдем его корни? Верно.

Итак, слайд 16, решаем уравнение х² - 10х + 21 = 0. Его корни х = 7, х = 3.

Значит, как получим с их помощью искомые корни? Верно, разделим на старший коэффициент, на 3.



4.ЭТАП : закрепление знаний.



Слайд 17

1) Решить уравнения:

     а) 2х²+3х+1=0,

     б) 5х²+2х-3=0,

     в) 3х²+5х+2=0,

     г) 4х²+3х-1=0.

Слайд 18

2) Составьте квадратное уравнение по его корням:

     а) х=-1, х=3,

     б) х=0,  х=3,

     в) х=5, х=-7,

     г) х=1/2, х=3/2.

Слайд 19

3) Используя уравнение х²-5х+36=0, составить неприведённые квадратные уравнения.

(Варианты: 2х²-5х+18=0, 3х²-5х+12=0, -6х²-5х-6=0, 36х²-5х=1=0 и т. д.)



5.ЭТАП: рефлексия, подведение итогов,домашнее задание.



Слайд 20.

Решить квадратные уравнения: (на скорость)



х²-4х-5=0,

х²+5х+6=0,

3х²-2х-1=0
5х²-2х-3=0.

Молодцы. Чему мы с вами сегодня научились? Как нам будет помогать новое знание? Для чего нужна теорема Виета? Где в работе нам понадобятся новые знания? Можно ли в ГИА и ЕГЭ их использовать?



Слайд 21.

Домашнее задание.

Решить уравнения:

х²-х-12=0,

2х²-х-6=0,

12х²-х-1=0,

3х²-х-4=0.

Составить квадратные уравнения, если известны его корни:

х=-5 и х=2,

х=3 и х=-2,

х=4 и х=-6,

х=0 и х=-1,

х=7 и х=-2.

Спасибо за урок, приятно было с вами работать.