Линейные диофантовы уравнения

Линейные диофантовы уравнения

Курсовая работа

Выполнил студент IV курса физико-математического факультета Белов Денис Владимирович

Вятский государственный гуманитарный университет

Киров, 2006 г.

Введение.

Определим цели, стоящие перед данной работой. Для этого дадим два определения. 

Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с  неизвестными называется уравнение вида

 ,

где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно . 

Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.

Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n-ка целых чисел , такая, что .

Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется.

Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:

1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.

2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ. 

Работа состоит из двух глав, в первой приведены теоретические материалы, во второй решения некоторых задач. 

В части 1.1 приведены выдержки из истории неопределенных уравнений. В части 1.2. в виде теоремы приводится необходимое и достаточное условие существования решения ЛДУ, также говорится о числе решений. Далее рассматриваются методы нахождения решений, в пункте 1.3 для некоторых частных случаев, в пункте 1.4 для любого ЛДУ, имеющего решение. 

1. Диофант и история диофантовых уравнений.

Диофант (Dióphantos) представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он. [10]

На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. [10] 

Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из, возможно, 13 [1], которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида ,  или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. 

Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах. 

Неопределенные уравнения 1-й степени начали рассматриваться индусскими математиками позднее, примерно с V века. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.[2]

Первое общее решение уравнения первой степени , где  - целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты (ок. 625 г). Поэтому, строго говоря, нет оснований называть линейные неопределенные уравнения диофантовыми. Однако, исторически все же сложилось применять термин «диофантово», к любому уравнению, решаемому в целых числах.

В 1624 г. в публикуется книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problẻmes plaisans et delectables que se font par les nombres». Баше де Мезирьяк для решения уравнения  фактически применяет процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей. 

После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер, Саундерсон и другие математики. 

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до него. Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с Гаусса. [2]

В августе 1900 г. в Париже состоялся II Международный конгресс математиков. 8 августа Д.Гильберт прочитал на нем доклад "Математические проблемы". Среди 23 проблем, решение которых (по мнению Д.Гильберта) совершенно необходимо было получить в наступающем XX в., десятую проблему он определил следующим образом: 

"Пусть задано диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах". [7]

Гипотезу, что такого способа нет, первым выдвинул (с достаточным на то основанием) американский математик М.Дэвис в 1949 г. Доказательство этой гипотезы растянулось на 20 лет - последний шаг был сделан только в 1970 г. Юрием Владимировичем Матиясеевичем, на первом году аспирантуры он показал алгоритмическую неразрешимость 10 проблемы Гильберта.

Однако, если про произвольное диофантово уравнения нельзя сказать, имеет ли оно целые корни, или нет, то проблема существования целых корней ЛДУ решена. Приведем теоремы, пользуясь которыми всегда можно сказать, имеет ли целые решения данное ЛДУ или нет. 

2. О числе решений ЛДУ.

Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах  диофантово уравнение 



имеет решение в целых числах.

Доказательство. Обозначим через множество тех положительных чисел , для которых уравнение 



имеет решение в целых числах. , очевидно, не пусто, так как при заданных , можно подобрать целые значения , такие, чтобы  было положительным числом.

В множестве существует наименьшее число ( – подмножество натуральных чисел), которое мы обозначим через   Обозначим через  - целые числа, такие, что 

.

Пусть , где ; тогда



.

Мы подобрали целые значения: , ,…, , такие, что , но , а  - наименьшее положительное число в , т. е.  не может быть положительным, , , .

Аналогично получаем: ,…,.

Мы видим, что  – общий делитель чисел , следовательно, поскольку , , , , то уравнение разрешимо в целых числах.

Теорема 2. Пусть  - наибольший общий делитель коэффициентов . Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда . Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.

Докажем последовательно все три утверждения теоремы.

1). Пусть . Для уравнения 

,

где , существуют целые числа:  удовлетворяющие ему. Т.е. такие, что

.

Тогда 



т. е.  - решение уравнения.

2). Пусть теперь  не делит . Тогда левая часть уравнения при любых целых  делится на , а правая на  не делиться, так что равенство при целых значениях  невозможно.

3). Если  - упорядоченная n-ка чисел, удовлетворяющий уравнению, то например, все n-ки

 при 

также удовлетворяют этому уравнению и, таким образом, у нас либо совсем не будет решений, либо их будет бесконечное множество.

Если хоть одна пара коэффициентов взаимно простая, то , и уравнение имеет бесчисленное множество решений. 

3. Нахождение решений для некоторых частных случаев ЛДУ.

3.1. ЛДУ c одной неизвестной.

Рассмотрим линейное уравнение с одной неизвестной, т.е. уравнение вида

 

Ясно, что решением данного уравнения будет , и решение будет целым числом только в том случае, когда . 

3.2. ЛДУ с двумя неизвестными.

Рассмотрим теперь линейное уравнение с двумя неизвестными 

, .

Покажем несколько алгоритмов для нахождения решения.

Способ 1.

Пусть 

Рассмотрим два случая:

а).  не делится на . В этом случае решений нет по теореме 2.

б).  делится на , поделим на .

;

.

Таким образом получили новое ЛДУ, с тем же множеством решений, но уже со взаимно-простыми коэффициентами. Поэтому далее мы будем рассматривать именно такие уравнения.

Рассмотрим , .

, перейдем к сравнению,

.

Т.к. , то сравнение имеет единственное решение .

; подставим в уравнение.

;

;

, причем .

Обозначим .

Тогда общее решение можно найти по формулам: , где .

Пример. , .

Найдем решение сравнения ;

;

, т.е. 

 .

;



Получили общее решение: , где .

Способ 2.

Рассмотрим еще один способ нахождения решения ЛДУ с двумя неизвестными, а для этого рассмотрим уравнение вида . Уравнения такого вида называются линейными однородными диофантовыми уравнениями (ЛОДУ). Выражая неизвестную , через неизвестную  приходим к . Так как x должен быть целым числом, то, где - произвольное целое число. Значит. Решениями ЛОДУ  являются n-ки вида , где . Множество всех таких n-ок называется общим решением ЛОДУ, любая же конкретная пара из этого множества называется частным решением. 

Рассмотрим теперь уравнение , . Пусть n-ка его частное решение, а множество n-ок  общее решение соответствующего ЛОДУ. Докажем предложение.

Общее решение ЛДУ ,  задается уравнениями , где .

Доказательство. То, что правые части указанных в формулировке теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое решение уравнения  имеет именно такой вид, какой указан в формулировке предложения. Пусть - какое-нибудь решение уравнения . Тогда , но ведь и . Вычтем из первого равенства второе и получим: 

 - однородное уравнение. Пишем сразу общее решение:  , откуда получаем: 

. Доказательство завершено.

Встает вопрос о нахождении частного решения ЛДУ. 



По теореме о линейном разложении НОД, это означает, что найдутся такие  и  из множества целых чисел, что , причем эти  и  мы легко умеем находить с помощью алгоритма Евклида. Умножим теперь равенство  на  и получим: , т.е., .

Таким образом, для нахождения общего решения находим общее решение ЛОДУ, частное решение ЛДУ и их складываем.

Замечание: особенно этот способ удобен, когда  или . Если, например, , , тогда n-ка , очевидно, будет частным решением ЛДУ. Можно сразу выписывать общее решение.

Пример. , .

Найдем частное решение. Используем алгоритм Евклида.

;



Получаем линейное разложение НОД:

, т.е .

, 

Получили общее решение: , где . 

Как видим, получили решение, не совпадающее с решением, найденным первым способом.

Обозначим  и получим , т.е эти решения равносильны.

Способ 3.

Еще один способ опирается на теорему:

Пусть  - произвольное решение диофантова уравнения

, , тогда

множество решений уравнения в целых числах совпадает с множеством пар , где , , где t – любое целое число.

Доказательство этого несложного факта можно найти, например, в книге Бухштаба [2, стр. 114].

Опять же частное решение можно легко отыскать с помощью алгоритма Евклида.

4. Нахождение решений произвольного ЛДУ.

Перейдем теперь к решению ЛДУ с  неизвестных, т. е. уравнений вида 



где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно . Для существования решения по теореме 2, необходимо, чтобы

Положив 



перейдем к равносильному уравнению 

 (*),

где. Пусть,  - два ненулевых числа, таких, что  Для определенности предположим, что,  Разделив с остатком  на , получим представление . Заменив  на  в уравнении (*), приведем его к виду 



Перепишем это уравнение в виде 

 (**)

где 

, .

Очевидно, что решения уравнения (*) и (**) связаны между собой взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив уравнение (**), несложно найти все решения уравнения (*). С другой стороны отметим, что 

 

Отметим также, что 



Следовательно, за конечное число шагов уравнение (*) приведется к виду 

 (***)

где числа  (i = 1,...,n), которые не равны нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения  следует, что числа  могут принимать только значения 0,±1, причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности, . Тогда уравнение (***) имеет следующее решение: 



где t2, t3, ..., tn - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая проведенные замены, получается и решение уравнения (*). Отметим, что при получении решения уравнения (***) использовался лишь факт, что , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равным ±1. 

5. Примеры решений задач.

1). Решить в целых числах уравнение 

4x - 6y + 11z = 7, (4,6,11)=1.

Разделив с остатком -6 на 4, получим -6 = 4(-2) + 2. Представим исходное уравнение в виде 

4(x - 2y) + 2y + 11z = 7. 

После замены x = x - 2y это уравнение запишется следующим образом 

4x + 2y + 11z = 7. 

Учитывая, что 11 = 2·5 + 1, преобразуем последнее уравнение: 

4x + 2(y + 5z) + z = 7. 

Положив y = y + 5z, получим 

4x + 2y + z = 7. 

Это уравнение имеет следующее решение: x, y - произвольные целые числа, z = 7 - 4x - 2y. 

Следовательно y = y - 5z = 20x + 11y - 35, x = x + 2y = 41x + 22y - 70. 

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид 

, где,  - произвольные целые числа. 

2). Решить в целых числах уравнение



Разделим 5 на -4 с «остатком», , преобразуем исходное уравнение к виду

.

Заменив  получим , следовательно

, является решением данного ЛДУ. 

Список литературы

Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст]. – М.: «Наука», 1972 г. - 68 с.

Бухштаб, А. А. Теория чисел [Текст]. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960. - 378 с.

Виноградов, И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд. [Текст]. – СПб.: Издательство «Лань», 2006. - 176 с.

Гаусс, Карл Фридрих Труды по теории чисел. Под общей ред. Виноградова И.М. [Текст] – М.: Изд. академических наук СССР, 1959 г. - 980 с.

Гельфонд, А.О. Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике, вып. [Текст]. М.: «Гостехиздат», 1957 г. - 66 с.

Давенпорт, Г. Введение в теорию чисел [Текст]: Пер. с английского Мороза Б.З. под ред. Линника Ю.В. – М.: «Наука», 1965 г. - 176 с.

Матисеевич, Ю.В. Десятая проблема Гильберта [Текст]. - М.: «Физматлит», 1973 г. - 224 с.

Михелович, Ш.Х. Теория чисел [Текст]. – М.: «Высшая школа», 1962 г. - 260 с.

Соловьев, Ю. Неопределенные уравнения первой степени [Текст]: Квант, 1992 г., №4.

Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики [Текст]. – М.: «Наука», 1990 г. - 256 с.