Высшая математика

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Филиал Уральского государственного экономического университета

в г. Березники

Кафедра «математических и естественнонаучных дисциплин»















Контрольная работа

по дисциплине: «высшая математика»

Тема: «Вариант № 18»





Выполнил:

студент I курса, группы ЭКПС-091

Лоскутова Ирина Петровна .

Проверил:

к. ф-м. н., профессор .

Кобзев Виктор Николаевич .









Березники

2010


Содержание

		

			1. 	Задача № 1

			2.	Задача № 2

			3.	Список литературы


Вариант № 18 



№ 1



Составить оптимальный суточный рацион для откорма крупного рогатого скота, имеющий наименьшую стоимость. Рацион состоит из силоса и концентратов. Содержание каротина и кормовых ед. в 1 кг силоса 0 и 4 ед. соответственно, а в 1 кг концентратов 1 и 3 ед. соответственно. Для каждого животного суточная норма каротина 5 ед., а кормовых ед. 31. Цена 1 кг силоса 20 руб., а 1 кг. концентратов 30 руб. 

а) Записать математическую модель задачи.

б) Решить задачу графическим методом.

а) Пусть Х1 и Х2 – количество каротина и кормовых единиц, необходимых для откорма.

Тогда суточный рацион задается целевой функцией Z(Х)=20Х1+30Х2

Т.к. суточная норма ограничена, то Х1 и Х2 должны удовлетворять неравенствам 4Х2 ≥5



Х1+3Х2≥31 

Х1≥0, Х2≥0

математический функция уравнение неизвестное

Таким образом, математическая модель имеет вид

Найти значения Х1 и Х2, удовлетворяющие системе неравенств 



 4Х2≥5

 Х1+3Х2≥31

 Х1≥0, Х2≥0



и при которых функция Z(Х)=5Х1+31Х2 достигает минимума.

б) Решим задачу графическим методом.

1. построим прямые



 4Х2=5 Х1+3Х2=31 

 Х2=1,25 



Х1

0

 31



Х2

 10,3

 0











2. Для каждой прямой выделим полуплоскость, соответствующую неравенству

- выбираем точку не принадлежащую прямым (например, т. (0;0))

- подставляем ее координаты в каждое неравенство

- если неравенство верное, то выделяем полуплоскость, в которой лежит данная точка.

- если неравенство не верное, то выделяем другую полуплоскость.



т. (0;0) 4*0=0<5 (в)

1*0+3*0=0<31 (в)



3. выделим общую часть полуплоскостей, получая ОДР задачи.






Х2

















n

















0

Х1







4. Сроим вектор n ={5;31} и прямую (линию уровня) Z=0 n 

5. Продвигаем линию уровня Z=0 в направлении вектора n до тех пор, пока она не перестанет пересекать ОДР, т.е. пока не будут касаться этой области.

6. Найдем координаты т. С решив систему уравнений



 4Х2=5 Х2=1,25 Х2=1,25

 Х1+3Х2=31 Х1=30 - 3Х2 Х1=27,25

 



т. С (27,25;1,25)

 





7. Найдем значение целевой функции в т. С

Z(Х)= 5*27,25+31*1,25=136,25+38,75=175 (руб.)

Ответ: для получения оптимального суточного рациона стоимостью 175 руб. необходимо 27,25 кг силоса и 1,25 кг концентрата.



№2



Решить транспортную задачу методом потенциалов.



поставщик

потребитель

Запасы груза



В1

В2

В3

В4



А1

5

9

11

3

7

А2

19

8

7

5

17

А3

4

6

3

1

10

Потребность

11

19

20

3





Определим тип задачи: для этого найдем суммарные запасы

3 4

 поставщиков ∑ Аi и суммарные запасы потребителей ∑ Вj



 i≥1 j≥1

 3

∑Ai = 7+17+10=34

i≥1 3 4

 ∑Ai ≠ ∑ Bj задача открытого типа. 

4 i≥1 j≥1

∑ Bj= 11+19+20+3=53

j≥1



Приведем задачу к закрытому типу:

Введем фиктивного поставщика А4i с запасом груза в 19 ед. (53-34) и стоимостью перевозок С4j=0.


Получим таблицу 1.

Bj

Ai

11

19

20

3



7

 5

(7)

 9 

7 

11

7

3

1

U1=0

17

19

11

8

(4)

7

(13)

5

0

U2=3

10

4

 0 

6

5

3

(7)

1

(3)

U3=-1

19

0

(4)

0

(15)

0

1

0

3

U4=-5



V1=5

V2=2

V3=4

V4=2





Составляем начальный опорный план методом наименьшей стоимости: начинаем загружать с клетки с наименьшей стоимостью (С34 = 1), в которую пишем min (3;3) = 3 (т.к. у поставщика А2 -3 ед. груза, а потребителю В нужно 3 ед. груза), далее из оставшихся клеток загружаем опять клетку с наименьшей стоимостью и так до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все запросы – удовлетворены. Всего должно быть загружено 4+4-1=7 клеток.

Найдем значение целевой функции при полученном плане перевозок

Z(X)=7*5+4*0+4*8+15*0+13*7+7*3+3*1=35+32+91+21+3=182

Проверяем план на оптимальность

- каждому поставщику ставим в соответствие число Ui , а каждому потребителю – число Vj , называемые потенциалами.

- для каждой «загруженной» клетки составим уравнение Ui+Vj=Cij. В результате получим систему, состоящую из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Чтобы найти решение этой системы одной из переменных придаем конкретное числовое значение ( например, U1 = 0), тогда все остальные переменные находятся однозначно.


                                                                      U2=3

U1+V1=5                                     V1=5           U3=-1

U2+V2=8 U1=0                             V2=3           U4=-5

U2+V3=7                                     V3=4

U3+V3=3                                      V4=2

U3+V4=1

U4+V1=0

U4+V2=0



для каждой «пустой» клетки вычисляем оценку



Sij=Cij-(Ui+Vj)



S12=9- (0+2)=7 S21=19-(3+5)=11 S32=6-(-1+2)=5

S13=11-(0+4)=7 S24=5-(3+2)=0 S43=0-(-5+4)=1

S14=3-(0+2)=1 S31=4-(-1+5)=0 S44=0-(-5+2)=3

Т.к. среди оценок нет отрицательных, то полученный план является оптимальным.

Ответ: план перевозок затраты на перевозку



 7 0 0 0

 Х = 0 4 13 0 Z(Х) = 182.

 0 0 3 7


Список литературы



Высшая математика. Руководство к решению задач. часть 1. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. 2005 г., 216с.;

Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Письменный Д.Т., 2006 г. 4-е изд., 608 с.;

Практикум по высшей математике для экономистов. Кремер Н.Ш., 2002 г., 423 с.