Конспект урока по математике для учащихся 11 класса «Вычисление углов между скрещивающимися прямыми»

Конспект урока по математике

для учащихся 11 класса





«Вычисление углов между скрещивающимися прямыми»

(Подготовка к ЕГЭ)







Автор:

Учитель математики МОУ «СОШ № 55»

Ленинского района города Саратова

ПЕТРОВА Людмила Дмитриевна















Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Урок одной задачи по тему:
«Угол между скрещивающимися прямыми».

	Характеристика темы урока.
1) Центральным моментом технологии подготовки к ЕГЭ является обучение школьника приёмам мысленного поиска способа решения, а для этого следует показать ему всю картину поиска в трудных заданиях.
2) Решение задачи по стереометрии, планиметрии оформляются примерно одинаково. В основе лежат общематематические и даже, можно сказать, общенаучные принципы.
    Структура текста решения такова: оно разделяется на этапы, а те, в свою очередь, могут быть разбиты на более мелкие части, содержащие цепочки умозаключений: как правило, следствий, равенств и даже неравенств, в зависимости от постановки и содержания задачи.
3) Особая роль при решении геометрической задачи отводится чертежу, он не обязательно должен быть ровно один. Обычно на нём, в соответствии с условием задачи отмечают следующие данные:
       а) обозначения точек, прямых, плоскостей и других геометрических объектов;
      б) длины отрезков, величины углов, площади и объёмы;
      в) соотношения равенства длин или углов, перпендикулярности прямых или плоскостей.
На чертеже можно ещё и вводить новые:
      а) обозначения объектов – первоначальных или возникающих в процессе дополнительных построений;
      б) величины – буквенные или вычисленные в процессе решения;
      в) соотношения равенства или перпендикулярности, определяемые построением или выведенные с помощью рассуждений.
  Одним словом, на чертеже фактически можно решать задачу, или, по крайней мере, демонстрировать фрагменты её решения.
4) В связи с возможностью решать задачу прямо на чертеже возникают некоторые ограничения и проблемы.
    Ученику необходимо побеспокоится о том, чтобы проверяющий смог понять, в каком порядке и на основании чего появились на чертеже новые пометки. С этой целью пишется текст решения, который хотя и дублирует отчасти чертёж, тем не менее, отличается большей содержательностью, т.к. в нём :
       а) отражается хронология проведённых умозаключений;
       б) указываются причинно-следственные связи между утверждениями.
Чертёж должен быть абсолютно ясным и разборчивым, а главное, понятным.
Укажем типы задач по стереометрии, встречающиеся на ЕГЭ и вызывающие определённые трудности.
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Расстояние от точки до прямой, до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми.
3. Угол прямой с плоскостью.
4. Угол между плоскостями.

	Цели урока.

	Методическая цель урока.
Показать приёмы формирования у школьников навыков решения задач на вычисление углов в пространстве, умения применять изученный теоретический материал на практике, развивать их самостоятельность при решении задач разными методами.
Методы: 

	А) использование моделей фигур и интерпретация их на чертеже;

	Б) отбор соответствующих задач, способствующих формированию навыков и умений учащихся;

	В) рассмотрение различных способов решения одной задачи.

	2) Образовательная цель урока.
Рассмотреть 3 метода решения одной задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми.
3) Воспитательные цели урока.
Формирование мировоззрения: показать, что источник возникновения изучаемых понятий представляет собой определённую систему знаний в геометрии.

	III. На доске девиз. 

	«Незнанием никогда не следует
хвалиться: незнание есть бессилие».
- Н. Г. Чернышевский.

	Сегодня на уроке при решении одной задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми мы рассмотрим 3 метода решения.
    Методы:
    1. Поэтапно-вычислительный
    2. Векторно-координатный
    3. Геометрический

	Задача.
На ребрах АВ, АС и SC правильной треугольной пирамиды SABC, у которой все плоские углы при вершине S прямые, взяты соответственно точки D, E, F – середины этих рёбер. Найти угол между прямыми DF и SE.

	Решение. 

	Поэтапно вычислительный метод.

	

	Построение чертежа.

	Угол между прямыми DF и SE – искомый. DF и SE – скрещивающиеся прямые, т.к. SE лежит в плоскости ASC, а прямая  пересекает эту плоскость в точке F, не лежащей на прямой SE.

	Построим какой-нибудь угол, равный искомому. Для этого в плоскости SAC, которая проходит через прямую SE (одну из скрещивающихся прямых) и точку F (на другой скрещивающейся прямой), через т. F проведём прямую FK||SE. 
DFK равен искомому. Пусть DFK = .

	Угол  поместим в некоторый треугольник, для чего проведём DK.  - угол треугольника DFK.

	Найдём стороны треугольника DFK.
а) введём вспомогательный параметр: обозначим сторону основания через ;
б) треугольник ASC – прямоугольный равнобедренный, SE – медиана; SE = AE = .
FK – средняя линия треугольника SEC, FK = .

	    в) Найдём DF из треугольника SDF.
Определим вид этого треугольника.
По условию BSA, BSC, ASC – прямые.
Следовательно, 
                               SCSB                 SC  (BSA)          
                               SCSA                 по признаку.

Аналогично, 
                           SD  (BSA)               SC  SD по 
                           SC  (BSA)                определению.
Следовательно, DSC – прямоугольный, и DSF тоже прямоугольный.
г)  SF = SC =  () = 

	д) По теореме Пифагора DF = =    =   =   =  =  .

	DF =  .

	e) По теореме косинусов:
DK2 = AD2 + AK2 – 2DA   AK  cosA = ()2  (a)2 – 2      cos60 =  +  -  +  .

	DK =   =  .

	

	Из :
cos =  =  = 0.
=90

	Векторно – координатный метод.

Т.к. заданная пирамида правильная, то SA=SC=SB. По условию все углы при вершине S прямые. Поэтому: 1) введём в пространстве прямоугольную систему координат: начало – точка S; отрезки SB, SA, SC – единичные отрезки соответствующих осей Sx, Sy, Sz.
2) Определим координаты точек S, A, B, C, D, E, F.
3)    {;  },  {}.
4) cos (= |cos( , )| =  =   = 0.

=90 

	Геометрический метод.



Т.к. отрезки SA, SB, SC равны между собой и попарно перпендикулярны, то можно принять их за рёбра куба, выходящие из одной вершины.
Построим этот куб и заданные точки D, E, F.
1) Соединим вершины P и С куба и проведём диагональ SQ.
2) Нетрудно убедиться, что DF||PC (средняя линия 
3) Угол между прямыми SE и DF равен углу между PC и SQ.
4) АС – проекция прямой РС на плоскость ASC.
АСSQ  (свойство диагоналей квадрата)
РСSQ (теорема о трёх перпендикулярах)
Следовательно, DFSQ  и тогда DFSE, т.е. угол равен 90.

	Итог урока.
На примере одной задачи мы рассмотрели 3 различных метода решения. Можно сказать, что эффективность каждого метода зависит конкретно от предлагаемой задачи. Какой метод выбрать зависит от вас, вашей математической подготовки и опыта, т.е. количества решенных вами задач. Вы убедились, какой большой теоретический материал необходим для решения задачи.

	

	
Наш урок я хочу закончить словами:
«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил  к своему образованию»  
                                                             - Ян-Амос Каменский

	

	Домашнее задание. Задачи на стенде.

	В правильной пирамиде SABC отношение бокового ребра к стороне основания равно 2:1. На рёбрах АВ и АС взяты соответственно точки М и К – середины этих рёбер. Найти угол между прямыми SM и ВК.

	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 угол между прямыми B1D и CD1 равен 90 и АВ:AD = 1:2. Найти угол между прямыми АС и А1D.

	На рёбрах ВВ1 и С1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q такие, что ВР:ВВ1=2:3, С1Q : C1D1 = 1:4. Плоскость, проходящая через точки A, P, Q, пересекает прямые DD1 и B1C1 соответственно в точках E и F. Найти угол между прямыми EF и А1С.

	В основании пирамиды лежит параллелограмм ABCD, угол BAD которого равен 45, а отношение сторон АВ:АD = 1:2. Грань SAB является равносторонним треугольником, а её медиана SF перпендикулярна плоскости основания. На ребре SC взята точка М, такая что SМ:SC = 2:3. Найти угол между прямыми SF и DM.