Статистические методы обработки экспериментальных данных

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный университет печати

Факультет полиграфической технологии

Дисциплина: Математика

Курсовая работа по теме:

«Статистические методы обработки

Экспериментальных данных»

Выполнил: студент 

 Курс 2

 Группа ЗТПМ

 форма обучения заочная

Номер зачетной книжки Мз 023 н

Вариант № 13

Допущено к защите

Дата защиты

Результат защиты

Подпись преподавателя

Москва – 2010 год

	


	0;3

	3;6

	6;9

	9;12

	12;15

	15;18

	18;21

	4

	6

	9

	11

	14

	18

	13

	

	21;24

	24;27

	27;30

	30;33

	11

	7

	4

	3

	

Построение интервального и точечного статистических распределений  результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

	

	

	i – порядковый номер;

	Ii – интервал разбиения;

	xi – середина интервала Ii;

	ni – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii);

	wi =  - относительная частота (n =- объём выборки);

	Hi =  - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii).

	

	i

	Ii

	xi

	ni

	wi

	Hi

	1

	2

	3

	4

	5

	6

	7

	8

	9

	10

	11

	0;3

	3;6

	6;9

	9;12

	12;15

	15;18

	18;21

	21;24

	24;27

	27;30

	30;33

	1,5

	4,5

	7,5

	10,5

	13,5

	16,5

	19,5

	22,5

	25,5

	28,5

	31,5

	4

	6

	9

	11

	14

	18

	13

	11

	7

	4

	3

	0,04

	0,06

	0,09

	0,11

	0,14

	0,18

	0,13

	0,11

	0,07

	0,04

	0,03

	0,01

	0,02

	0,03

	0,04

	0,05

	0,06

	0,04

	0,04

	0,02

	0,01

	0,01

	         

	          Объём выборки: 

	              n ==100,

	               wi = ni/100;                                                                     

	     контроль:     =1

	         Длина интервала                                                              

	          разбиения (шаг):                                                                  

	                   h = 3 ,                                                                   

	                Hi = 

	                              

	

	                                      :   100      1,00                                                                                                                                                                         

	                                                                                       

	                                                                                                                                                                     

	           Статистическим распределением называется соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение – это наборы троек  (Ii ; ni ; wi)  для всех номеров i, а точечное – наборы троек  (xi ; ni ; wi). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное -  статистическое распределения.    

	          Далее, строим полигон и гистограмму   относительных частот.     

	

	Полигон.



	 Гистограмма.

	

Гистограмма относительных частот

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0

     3





















Интервалы частот 

Плотность относительных частот



     3



Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания xi) соединяют точки (xi ; wi). Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале Ii, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна Hi = wi/h – плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения  статистического распределения.

	

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и           

     дисперсии.





В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

для математического ожидания 

	                  	=   (выборочная средняя),

для дисперсии 

                           s2 =  (исправленная выборочная),

где n – объём выборки, ni – частота значения xi .

      

    Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

 

                               MX     ,           DX   s2  .



          Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.



i

xi

ni

xi ni

(xi - )2 ni

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1,5

4.5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

	4

	6

	9

	11

	14

	18

	13

	11

	7

	4

3

6

27

67,5

115,5

189

297

253,5

247,5

178,5

114

94,5

829,44

779,76

635,04

320,76

80,64

6,48

168,48

479,16

645,12

635,04

744,12

                                                                                 

                                                                             

         =  =

хini/100 = 1590/100= 15,9

                                                                                  

          s2 = = 

            =  5324,04/99=53,78

                                                                                    

                                                                    

                                    

       



            :    100       1590                   5324,04



                                                                  





3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.



         При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон  прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

          Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и , -   а  + ,  



	

            Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение)



	4.Построение графика теоретической плотности распределения.

	

	      Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров  и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е. 

	                              MX = а ,  

	                              DX = σ2

	     Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства  MX  , DX  s2 , что позволяет найти значения параметров распределения.

         По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

          _

          x = а, 			15,9 = а,			а=15,9

          s2= σ2			53,78 = σ2			σ=7,33



	             

	Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

	F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-(x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

	      Теперь необходимо вычислить значения  f(xi) плотности f (x) при x=xi (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:



	



	значения фунцкии



	при u=ui находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.

	

			  =15,9; s = 7,33



xi

 ui = xi- x / s

φ(ui)



1,5

4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

-1,96

-1,56

-1.15

-0,74

-0.33

0.08

0.49

0,90

1.31

1,72

2.13

0,0584

0,1182

0,2059

0,3034

0,3778

0,3977

0,3538

0,2661

0,1691

0,0909

0,0413

0,008

0,016

0,028

0,041

0,052

0,054

0,048

0,036

0,023

0,012

0,006

	    Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической  плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi ; f(xi)) и соединяем их плавной кривой. 

	

	                                                                    

     5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

	    Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма)  и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

	Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

	

	Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

	

	          Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация   чего-либо.

	          Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием 2 («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

	           Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

	           Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

	

	

	Группировка исходных данных.

	

	          Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через I количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что I = n.

	           Отметим, что критерий 2  будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

	количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n100;

	в каждом промежутке окажется не менее  5…10  результатов измерений, т.е. i 5 при любом i;  если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

	         

	          Пусть концами построенного разбиения являются точки zi , где z1  z2   …  zi – 1 , т.е. само разбиение имеет вид

	                 (-   z0; z1) ,   z1; z2) ,   z2; z3) , … ,  zi – 1; zi    ).

	       

	          После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на  - , а самой правой на  +  (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

	

	

	zi –1; zi

	- ; 6

	6;9

	9;12

	12;15

	15;18

	18;21

	i

	10

	9

	11

	14

	18

	13

	

	21;24

	24;27

	27;30

	

	30;+∞

	11

	7

	4

	

	3

	

	

	                                          
                       

	         

			Вычисление теоретических частот.

	

			        Критерий Пирсона основан на сравнении  эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты I определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

			                                               	= n  pi ,

			где n – количество испытаний, а pi   zi –1  x   zi - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1  i  1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

			    

			



			    

			

			

			

			

			

			

			

			   Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице:                                       _

			                                                 n = 100; а=x= 15,9;  σ= s=7,33

			i

			Концы промежутков

			Аргументы фунцкции Ф0

			Значения функции  Ф0

Pi= Ф0(ui)- Ф0(ui-1)

			ν1’=npi

			

			zi -1

			zi

			Ui-1=

			(zi-1-x)/s

			Ui=

			(zi-x)/s

			Ф0(ui-1)

			Ф0(ui)



			

			 1

			2

			3

			4

			5

			6

			7

			8

			9

			10

			

			   -∞

			6

			9

			12

			15

			18

			21

			24

			    27

			30

			

			    6

			9

			12

			15

			18

			21

			24

			27

			30

			+∞

			

			-∞

			-1,35

			-0,94

			-0,53

			-0,12

			0,29

			0,70

			1,11

			1,51

			1,92

			

			-1,35

			-0,94

			-0,53

			-0,12

			0,29

			0,70

			1,11

			1,51

			1,92

			+∞

			

			-0,5000

			-0,4115

			-0,3264

			-0,2019

			-0,0478

			0,1141

			0,2580

			0,3665

			0,4345

			0,4726

			

			-0,4115

			-0,3264

			-0,2019

			-0,0478

			0,1141

			0,2580

			0,3665

			0,4345

			0,4726

			0,5000

			

			0,0885

			0,0851

			0,1245

			0,1541

			0,1619

			0,1439

			0,1085

			0,0680

			0,0381

			0,0274

			

			8,85

			8,51

			12,45

			15,41

			16,19

			14,39

			10,85

			6,80

			3,81

			2,74

			

			                                                                                                     :     1,0000    100,00                              


			

			

				

				

				

				Статистика  2 и вычисление ее значения по опытным данным.

		

		      Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения. 

		       В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

		

		                                            ,

		называемая статистикой «хи - квадрат» или  статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что  всегда      2 , причем 2 = 0, тогда и только тогда, когда  при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают.  Во всех остальных случаях 2 ; при этом значение 2  тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

		

		         Прежде чем рассказать о применении статистики 2  к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через 2набл..

		

		

		

		

		

		

		i

		i

		

		

		1

		2

		3

		4

		5

		6

		7

		8

		9

		10

		

10

9

11

14

18

13

11

7

4

3



			8,85

			8,51

			12,45

			15,41

			16,19

			14,39

			10,85

			6,8

			3,81

			2,74

			

		0,15

		0,03

		0,17

		0,13

		0,20

		0,13

		0,00

		0,01

		0,01

		0,02

		

		                                                :   100      100               0,85

		

		                                                  2набл.  = 0,85

		

		

		       5.4.  Распределение статистики   2.

		

		          Случайная величина имеет  2 – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид

		

				                     

				где cr – которая положительная постоянная ( cr  определяется из равенства  ).             Случайная величина, имеющая распределение 2  с r степенями свободы, будет обозначаться .

				           Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение   определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины   в любой промежуток.

			           Вернемся теперь к статистике  . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi  и теоретические частоты  = n  pi )

						        Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики  зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики  практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при  распределение статистики  стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

						         Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

						                                                 

						где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

						           Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это  а и  для нормального распределения.

						         Следовательно

						R=i-Nпар-1=10-2-1=7                      

						

						

						

					  Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.

					

					               Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика  принимает только не отрицательные значения (всегда 2 ), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при  для каждого i).

					              Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики  будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

					               Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через  , который  разбил бы всю область возможных значений статистики  на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством .

		

		

		

		

          Область принятия      Критическая область

		              гипотезы

		

		

		

		        0                                                      

				         Как же найти критическое значение  ?

				         Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики  в критическую область должна быть мала, так что событие {} должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :

				                                                     

				называется уровнем значимости.

				          Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости  (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем  как уровень уравнения 

				                                                         

				с неизвестной x. Поскольку распределение статистики  близко при  к - распределению с r степенями свободы, то 

				                                                      

				и приближенное значение можно найти из уравнения

				                                              

				            Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x , при котором площадь под графиком функции  (плотности- распределения) над участком  равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости  и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и   r,что при необходимости отражают и в обозначениях:  ).

				              Зададим уровень значимости как  = 0,05 (условие курсовой работы) .

				              Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

				Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n  100).

				

				Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков

				                         

				 так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической     

				 частотой ) оказалось не менее пяти (т.е.   5 при каждом i).

				

				Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

				

				С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности pi и теоретические частоты  = n  pi попадания значений случайной величины в i-й промежуток.

				

				По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через 2набл..

				

				Определяют число r степеней свободы.

				

				Используя заданное значение уровня значимости  и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .

				Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез:

				                если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если  , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

				                если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е.  , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.

				

				Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте. 

				

				           Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:

				

				Название величины

				Обозначение и числовое значение величины

				Уровень значимости (задан в условии)

				 = 0,05

				Количество промежутков разбиения

				l =10

				Число степеней свободы

				r=7

				Критическое значение (находится по таблице)

				 = 

				Наблюдаемое значение критерия

		2набл.  = 0,85

				

				ВЫВОД

				Гипотеза не принимается для данного 9 варианта, поскольку  : 83,5 << 15,51

				Замечания: 1.  Заданное значение уровня значимости  = 0,05 означает, что 

				                                                 ,

				т.е. вероятность события {} очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при  = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости  - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

				          2. Иногда вместо уровня значимости  задается надежность :

				                                                     

				т.е.  - это вероятность попадания значений статистики  в область принятия гипотезы. Поскольку события 

				                                                 {} и 

				противоположны, то 

				                                       



	





2