Аналітична геометрія

Реферат 

на тему:

Аналітична геометрія 

в просторі




Аналітична геометрія в просторі



Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0;y0;z0) перпендикулярно до вектора    має вигляд

                       A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)                                              (2.7)

		або

                          Ax+By+Cz=0                                                            (2.8)

Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z=0), OXZ (рівняння  y=0) та OYZ (рівняння x=0).

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки  (x0;y0;z0), (x1;y1;z1), (x2;y2;z2) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:

                                                                (2.9)

Приклад.  Записати рівняння площини, яка проходить через точки  M0(1;2;3), M1(2;1;2) та M3(3;3;1).

Маємо             ,

 звідки   x+4y-4=0.

Рівняння площини у відрізках є таким:

                        .                                                             (2.10)

Ця площина проходить через точки  (a;0;0), (o;b;0) та  (0;0;c).

Приклад.  Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.

Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність

                                   2x+3y+4z=120.

Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.

Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):

                                     .

`Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин     за умов x0; y0; z0 (рис .2.10).

                                          z



                                                                   Бюджетне обмеження –

                                                                   частина площини в просторі

                                        30



                                                             40                     

                                                                                 y

                               60

                           x

                                             Рис. 2.10.

Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром:

                         .

Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z =0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині

                       ,

або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11)

                        .



                         y

                                                                Бюджетне обмеження -

                       40                                     відрізок прямої на площині





                                                      60              x

                                        Рис. 2.11.

Рівняння прямої у тривимірному просторі також записується багатьма способами.

Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь

                   .                                                      (2.11)

Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку  (x0;y0;z0)  паралельно до напрямного вектора  , має вигляд

                       .                                                 (2.12)

Параметричне рівняння прямої є таким:

                              .                                                          (2.13)

Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x1;y1;z1)  та  (x2;y2;z2) , є подібним до рівняння прямої на площині:

                     .                                                (2.14)

Приклад.  Пряма в просторі проходить через дві точки: M1(1;2;3) та  M2(4;6;8) .  Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння

                        .

Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння

                   .

Від останнього рівняння перейдемо до параметричного задання прямої (формула 2.13):         .

У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів:

кут між двома прямими    та  

обчислюється згідно з формулою      ;

кут між прямою   та  площиною  Ax+By+Cz+D=0  знаходиться за формулою        .