Математика матрица

Матрицы

Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.

Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Пример матрицы 4×3 :

a1,1  

a1,2  

a1,3  

a2,1  

a2,2  

a2,3  

a3,1  

a3,2  

a3,3  

a4,1  

a4,2  

a4,3  

Определитель матрицы

Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.

Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.

Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:

det(A)= 



=



где M1,j - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1,j.

Выражение 

det A =





называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке. 
Число (-1) j+1 M1,j называется алгебраическим дополнением элемента a1,j.

Если вас пугает это формула, то она значит следующее: 

Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы. 

Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)1+k. 

Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца. 

Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!

Умножение матриц

Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой

ci,j =

n

a i,q · b q,j 



∑





q=1



i=1, ... , m 

j=1, ..., k 

Произведение матриц записывается как C=A·B.

Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!

Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.

Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...

В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT. 

Обратная матрица

Матрица A-1 - называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A-1 = A-1·A=E.

Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0. 

Обратную матрицу находим следующим образом: 



 

где Ai,j - алгебраические дополнения элементов матрицы A.