Цепные дроби вокруг нас

Цепные дроби вокруг нас

А. Устинов

Всякое рациональное число p/q можно представить в виде конечной цепной дроби 

 p

 = a0 + 

1

 = [a0; a1, …, an].

 q



 a1 + …

 

 



 

 + 

1 

an

 

Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них a1, …, an — натуральные, a0 — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби. 

Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями (нумерация подходящих дробей, как и неполных частных, начинается с нуля). Для числа 

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …]

с древних времён известны приближения

22 

7

 = [3; 7] и 

355 

113

 = [3; 7, 15, 1].



При этом

 π – 

22 

7

 

 < 1, 3 · 10–3, 

 π – 

355 

113

 

 < 2, 7 · 10–7.



Квадратичные иррациональности (иррациональные корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами), и только они, раскладываются в периодические цепные дроби. Например (черта отмечает период), 

√5 = [2; 4, 4, 4, …] = [2; 4], 



 √13 = [3; 

1, 1, 1, 1, 6 

], 



Если, разорвав прямоугольный лист бумаги пополам, мы хотим получить два новых листа с тем же отношением сторон, то стороны исходного листа должны относиться друг к другу как √2 : 1. Именно таким свойством обладают форматы бумаги серии A (A0, A1, …). Размеры стандартного листа бумаги A4 — 210×297 мм. Их отношение 

297 

210

 = 

99 

70

 = [1; 2, 2, 2, 2, 2]



есть пятая подходящая дробь к числу √2 = [1; 2]. Разница между ними на глаз не заметна:

 √2 – 

297 

210

 

 < 7, 3 · 10–5.



Произведение сторон листа (в метрах) мало отличается от 1/16:

 0, 297 · 0, 210 – 

1 

16

 

 = 1, 3 · 10–4.



Это связано с тем, что лист A4 составляет 1/24 = 1/16 от ватманского листа A0, площадь которого равна 1 м2. 

Отношение напряжений в трёхфазных электрических сетях 

380 

220

 = 

19 

11

 = [1; 1, 2, 1, 2], 



220 

127

 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2]



— это хорошие приближения к числу

 √3 = [1; 1, 2, 1, 2, …] = [1; 

1, 2 

].



Подходящие дроби к длине солнечного года, измеренного в солнечных сутках, — 

365, 24219… = [365; 4, 7, 1, 3, 5, …]

— позволяют строить календарные стили. 

Первая подходящая дробь 365 1/4 соответствует юлианскому стилю, в котором каждый четвёртый год — високосный. В средние века от него отказались, поскольку он даёт заметную ошибку: 11 минут 14 секунд в год. 

Третья подходящая дробь [365; 4, 7, 1] = 365 8/33 лежала в основе персидского календаря, который в 1079 году предложил математик, астроном и поэт Омар Хайям. Такой календарь за год ошибается на 19 секунд. В нём все годы разбиты на 33-летние циклы, внутри цикла семь раз високосным считается каждый четвёртый год, а на восьмой раз — пятый. 

Календарь, основанный на следующем (четвёртом) приближении [365; 4, 7, 1, 3] = 365 31/128 предлагался астрономом Иоганном Генрихом Медлером в 1864 году. Он не был принят, хотя за год давал бы ошибку всего в одну секунду. 

Мы живём по григорианскому стилю, использующему приближение 365 97/400. . Этот календарь ошибается примерно на 27 секунд в год. 

Голландский учёный Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колёс, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет. 

В ботанике известно явление филлотаксиса — спиралевидного расположения листьев, колючек, чешуек, семян, … Если посчитать количество спиралей, закручивающихся в одну и в другую стороны, то, как правило, получатся два соседних числа Фибоначчи, т.е. числа из последовательности 

{Fn} = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …}, 

в которой

F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn–1 (n ≥ 1).

Так, на сосновой шишке есть 3 спирали, закручивающиеся в одну сторону, и 5 — в другую. На еловой — 5 и 8 спиралей соответственно, на кедровой — 8 и 13. Отношения соседних чисел Фибоначчи раскладываются в очень простые цепные дроби, например, 

5 

3

 = [1; 1, 1, 1], 

8 

5

 = [1; 1, 1, 1, 1].



Это подходящие дроби к числу, называемому золотым сечением:

 1 + √5

 = 1 + 

1

 = [1].

 2



 1 + …

 

 



 

 + 

1 

1 + …

 

Расположение листьев по таким спиралям позволяет растениям получать наибольшее количество солнечных лучей. 

На рисунках 1 и 2 изображён «чертёж» сосновой шишки. 



Рис.1.

 



Рис.2.



Представьте, что эти квадраты вырезаны из бумаги и склеены в цилиндры (левая сторона склеена с правой, а заштрихованные квадраты одного цвета наклеены друг на друга). Тогда повёрнутые квадраты будут располагаться на цилиндре так же, как располагаются чешуйки на сосновой шишке. На рисунке 1 видно 3 спирали, закрученные в одну сторону, а на рисунке 2 — 5 спиралей, закрученных в другую. Попробуйте нарисовать «чертёж» еловой шишки с 5 и 8 спиралями. Воспользуйтесь для этого миллиметровой бумагой, вам понадобится квадрат 89×89. 

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Если струна длины l (при заданном натяжении) издаёт звук «до» первой октавы, соответствующий частоте f, равной 512 колебаниям в секунду, то струна длиной 2/3l (на струнных инструментах эта длина получается нажатием пальца в соответствующем месте) издаёт звук, имеющий частоту 3/2f (натуральная квинта), а струна длиной 1/2l издаёт звук, имеющий частоту 2f (октава). Наше ухо при сравнении двух звуков улавливает не отношение их частот, а логарифм этого отношения. Естественней всего брать двоичный логарифм, чтобы интервал в одну октаву измерялся как единица: 

 log2 

2f 

f

 = 1.



Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем. Подходящими дробями к числу

 log2 

3 

2

 = [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, …]



будут дроби

1 

1

 , 

1 

2

 , 

3 

5

 , 

7 

12

 , …



Приближения 1 и 1/2 слишком грубые. Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существовавшей у народов Востока, а приближение 7/12 — самое удачное. Погрешность

 log2 

3 

2

 – 

7 

12

 

 < 1, 7 · 10–3



на слух неразличима.