Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

Вариант 6



Тема: Алгебра матриц



Задание: Выполнить действия над матрицами.



 



1) С=3A-(A+2B)B













2) D=A2+B2+4E2














Тема: Обращение матриц



Обратить матрицу по определению:







Определитель матрицы:







Далее находим матрицу алгебраических дополнений (союзную матрицу):







Обратную матрицу находим:







По определению обратной матрицы:





Действительно:







Тема: решение матричных уравнений



Задание 1: Решить матричное уравнение:







Решение.



Нахождение столбца Х сводится к умножению матрицы на обратную:







Матрица коэффициентов А:








Найдем обратную матрицу A-1:

Определитель матрицы A:







Алгебраические дополнения:



   

  

  



Транспонированная матрица алгебраических дополнений:







Запишем выражение для обратной матрицы:







Итак, выполняем умножение матриц и находим матрицу X:






Ответ:







Задание 2: Решить систему уравнений матричным способом







Решение



Матричная запись уравнения:







Матрица коэффициентов А:






Найдем обратную матрицу A-1:

Определитель матрицы A:







Алгебраические дополнения:



  

  

  



Транспонированная матрица алгебраических дополнений (союзная матрица):







Запишем выражение для обратной матрицы:







Вычислим столбец неизвестных:








Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса



Задание 1: Исследовать и решить систему по формулам Крамера:





Найти решение системы уравнений по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, если определитель матрицы системы ненулевой, то система из 4-х уравнении имеет одно решение, при этом значение корней:



,,,,



Где:



 - определитель матрицы коэффициентов – ненулевой.




 - определитель матрицы полученной путем замены первого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.



 - определитель матрицы полученной заменой второго столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.



 - определитель матрицы полученной заменой третьего столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.



 - определитель матрицы полученной заменой четвертого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.



Итак:






,

,

.



Задание 2: Решить эту систему по методу Гаусса.







Метод Гаусса заключается в сведении системы к треугольному виду.



















Видим, что решение системы по методу Гаусса совпадает с решением по методу Крамера.





2